apuntes mecanica de fluidos 2

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE PUEBLASUBDIRECCIONACADEMICADEPARTAMENTO METALMECANICAAPUNTESDEM E C A N I C A

D E

F L U I D O SRECOPILADO PORM.C. PABLO OTHON ROSAS RAMOSDICIEMBRE 2011U N I D A DU N O1.1 INTRODUCCIONAMECANICA DE FLUIDOSOBJETIVO: Al finalizar el curso de mecnica de fluidos los estudiantes sern capaces de conocer, identificar tipos, comportamiento, caractersticas y propiedades de los fluidos as comolarelacinyaplicacindelasdistintasecuacionesquepermitirnresolver problemas de reposo movimiento de los mismos. El propsito desarrollar capacidades y habilidades de reproducir contenidos aprendidos, durante el curso, identificar tipos de fluidos conociendo sus propiedades, aplicar ecuacionesen la resolucin de problemas en sistemas hidrostticos hidrodinmicos.Fluido.-Sustancia capaz de fluir y de cambiar su forma cuando es sometido a fuerzas externas, adoptalaformadelageometradel recipienteenel cual estaalmacenado estticamente para su transportacin a centros de distribucin. DIVISION DEMECANICA DE FLUIDOSLa esttica de fluidos se le conoce tambin como hidrosttica, se encarga de estudiar las caractersticas, propiedades y comportamiento de los luidos en reposo.La cinemtica de fluidos estudia elmovimiento de los fluidos sin tomar en cuenta las causas que originan el movimiento.Ladinmicadefluidosseleconocetambincomohidrodinmica,seencargade estudiar las caractersticas, propiedades y comportamiento de los fluidos que se mueven de un lugar a otro,tomando en cuenta las causas queoriginan el movimiento. CLASIFICACION DE LOS FLUIDOSLos fluidos se clasifican de acuerdo al siguiente mapa conceptual.ALMACENAMIENTO DE LOS FLUIDOSLos fluidos pueden almacenarse ytransportarse en recipientes depsitos porttiles a travs de redes de tuberas.1.2DEFINICION Y CLASIFICACIONDE SISTEMAS DE UNIDADESSistema de unidades: Es el conjunto de magnitudes, unidades, smbolos y dimensiones. Magnitud: todo aquello que se puede medirDimensin: representacin simblica de la magnitudUnidad:eslamagnitudespecfica, talescomo: metro, kilogramo, segundo, pie, libra, segundo, metro cuadrado, pie cuadrado, litros, galones, metro sobre segundo, pie sobre segundo, metro sobre segundo cuadrado, pie sobre cuadrado, etc.1.3 APLICACIN DELANALISISDIMENSIONAL ALASOLUCION DE HOMOGENEIDAD DE MAGNITUDES EN ECUACIONESAnlisisDimensional:Tcnicaquepermiteverificar comprobar lahomogeneidad dimensional de una ecuacin algebraica sustituyendo las dimensiones en las magnitudes.Para identificar una ecuacin algebraica de una dimensional, se usa la notacin entre corchetes, [ ] Ecuacinalgebraica Ecuacin dimensional long long Area [ ] [ ] long long Area [ ] [ ] L L A [ ] [ ] L A2long long log Volumen [ ] [ ] long long long Volumen

[ ] [ ] L L L V [ ] [ ] L V3tiempodistanciavelocidad [ ]1]1

tiempodistanciavelocidad

[ ]1]1

tdv

[ ]1]1

TLv[ ] [ ]1T L v tiempovelocidadn aceleraci [ ]1]1

tiempovelocidadacelacion [ ]1]1

111]1

1]1

2tdttdtva [ ]1]1

2TLa[ ] [ ]2T L a tiempoangular desplaz.angular veloc. [ ]1]1

tiempoangualr desplaz.angular veloc.[ ]1]1

tiemporadianesangular veloc. [ ]1]1

T11.3 PRESIONATMOSFRICA Esta magnitud se considera como la capa que envuelve a la tierra, tiene un espesor de aproximadamente 965 km = 600 millas. En ocasiones se le conoce como presin normal, presin estndar, presin baromtrica, se mide con un barmetro.atm 1 PAtm

Hg mm 760 Torr 760 bar 1.013

2fcm kg 1.033

2fm kg 330 10 a c m 10.33 KPa 101.325

2m N 325 101

Hg in29.92 a c f 33.91 psi 14.7 in lb 14.72f psf 2116.8 ft lb 2116.82f 1Hg mm 760atm 1 1m kg 10330bar 1.0132f1in lb 14.7cm kg 1.0332f2f2f 2fcmkgcm kg 1.4 PRESIONABSOLUTALa presin absolutatambin se le conocepresin total, seobtiene de dosmaneras distintas, tal como se observa en la grfica siguiente.

Vectores 01, 03 definen presin absolutaVector02 define presin atmosfrica = presin baromtrica Vector23 define presin manomtrica = sobrepresin Vector21 define presin de vacio = subpresin man atm absP P P + 1.1vacio atm absP P P 1.21.5 IDENTIDADESDETRANSFORMACION2seg m kg 1 N 1 2seg ft lb 7.236 N 1 N 9.81 kg 1f N 4.45 lb 1f 2fseg ft lb 32.2 lb 1 kg 9.81 utm 1 lb 32.165 slug 1 1 2fm seg kg 1 utm 1 1 2fft seg lb 1 slug 1 kg 14.59 slug 1 in 12 ft 1 lb 2.2046 kg 1 3in 231 galon 1 oz 35.27 kg 1 lb 8.34 ft 3.2808 m 1 litros 3.785 in 39.37 m 1 galones 42 barril 1 kg 1 dm 1 litro 13 galones 7.48 ft 13litros 159 barril 1 lb 62.4 lb 0.036 in 132m N 1 Pa 1 libras 1000 Kip 1 m kg 427 Kcal 1f 2in lb 1000 Ksi 1 KJ 4.184 2ft lb 1000 ksf 1 m kg 102 KJ 1f ft lb 778 btu 1f Kcal 0.252 mseg kg1.488 slug 12f 1.6 COMPORTAMIENTO DE LA CURVA DEL AGUA A MEDIDA QUE SE AGREGA CALOREnlagrficasiguienteseobservasobreel ejehorizontal deentalpa(calor)comova variando la curva a medida que se agrega energa dando origen a distintas regiones as como sobre el eje vertical de temperatura.Calor latente defusin,fh:Energa requeridaparafundir unamasaunitariade sustancia slida a lquida, esto es provocar un cambio de fase.f fmh H donde de mHh total entalpa H1.3lbBTU144kgKcal80 hf

especfica entala hf Esto indica que 1 kg de hielo desde 20 C ( 4 F ) absorbe 80 kcal ( 144 BTU ) para formar 1 kg ( 1 lb ) de agua lquida a 0 C ( 32 F ). Calor latentedevaporizacin,vh:Energarequeridaparatransformar unamasa unitaria de sustancia lquida a vapor, esto es provocar un cambio de fase.mHhv dedonde vmh H1.4lbBTU970kgKcal540 hv Esto indica que 1 kg de agua lquida a 100 C ( 212 F ) absorbe 540 kcal ( 970 BTU ) para formar 1 kg ( 1 lb ) de vapor de aguaa la misma temperatura.1.7 CAMBIOSDEFASEDELAGUAFase: Cantidad de sustancia con composicin qumica y estructura fsica homognea.Cambio de fase: Transformacin de una sustancia sin alterar su composicin qumica.1.7 USODELAECUACIONDELPESOUnidad: es la magnitud especfica: metro, pe, kilogramo, libra, segundo, metro cuadrado, pie cuadrado, litros, galones,segm, segft, 2segm, etc.Para deducir algunas equivalencias de inters, se hace uso de la igualdad que define el peso de un cuerpo.g m w 1.52fsegm9.81 1kg 1kg 2fsegft32.2 1lb 1lb 2fsegmkg 9.81 1kg 2fsegftlb 32.2 1lb 2segm1kg 1N 2segftlb 32.2 N 4.45 9.81Nsegm1kg1Nsegm9.81kg 1kg22f 2 2segftlb 7.236segftlb4.4532.21N N 9.81 1kgf N 9.81 lb 2.2046f N 4.45 N2.20469.811lbf La presin atmosfrica local para Puebla oscila entre los valores 780a790 mbar. Y se localiza 2150 m.s.n.mUNIDADES DE MASA1 Kg =2.2046lb 1 Slug =14.59kg =0.102 UTM = 35.162 lb=35.27 oz.UNIDADES DE LONGITUD1 m =3.2808ft=39.37in1 ft =12 inUNIDADES DE CAPACIDAD1 litro =1 dm3 = 1 kg 1 ft3=7.48gal1 galon =3.785 lts. =62.4lb=231 in31 in3=0.036 lb=8.34 lb1 barril =159 lts=42 galmseg kg1 UTM 12f ftseg lb1 Slug 12f mseg kg1.488 Slug 12f 2mN1 Pa 1 flb 1000 kip 1 2f2f2inlb1000inklb1inkip1 ksi 1 2f2f2ftlb1000ftklb1ftkip1 ksf 1 1.8 ECUACIONES DIMENSIONALESSonidentidades que se verifican con analisis dimensional. Analisis dimensional: Tcnica que permite verificar comprobar lahomogeneidad dimensional de una expresin algebraica.El procedimientocosisteenir sustituyendolasdimensionesenlasmagnitudesque intervienen en cualquier ecuacin algebraica. P.e.1[ ] [ ] longitud longitud area [ ] [ ] L L A [ ] [ ]2L A2[ ] [ ] longitud longitud longitud volumen [ ] [ ] L L L V [ ] [ ]3L V3[ ]1]1

1]1

tiempolongitudtiempodistanciavelocidad[ ]1]1

TLv4 [ ]1]1

1]1

1]1

1]1

2tiempodistancia1tiempotiempodistanciatiempovelocidadn aceleracio[ ]1]1

2TLa5[ ]1]1

1]1

1]1

tiempovueltastiemporadianestiempociclosangular velocidad[ ]1]1

T1w1.9 RESOLUCION DE EJERCICIOSEjercicio 1.9.1 Transformar1)500 N a lbf, kgf. 7) 8 642 kPa abar, N m 2 2)450 kgf aN, lbf. 8) 12 486 Psi aPsf3)7422 2segmkga N 9)400Psiakgf cm 2 4)8632 2segftlb a N 10)5 m3alts, gal 5) 2finlb435 a bar 11) 10 ft3agal,lb6) 1200 lts a barriles 12) 200lbakg, utmEjercicio 1.9.2 Obtener la homogeneidad dimensional de13)20t a21t v d + 19)g 14)2t g21h 20) vy 15) b F T 16)v F N T P0 17)AFP 18)T RP U N I D A D D O S2.1 CARACTERISTICAS Y PROPIEDADES DE LOS FLUIDOSCARACTERISTICAS DE FLUIDOS LIQUIDOS1.-Tienen superficies libres horizontales2.-Prcticamente son incompresibles3.-Presentan volumen definido adoptando la forma del recipiente que los contiene4.-Ejercen presin uniforme en todas direcciones sobre las superficies de las paredes Del recipiente que los contiene.5,-Soportan presiones grandes de compresin.CARACTERISTICASDEFLUIDOS GASEOSOS1.-No tienen forma definida2.-No tienen volumen definido3.-Son miscibles ( capacidad de mezclarse)4.-Son capaces de dilatarse y de contraerse (expansionarse y comprimirse)5.-Ocupan todo el volumen del recipiente en el cual estan confinados (encerrados) 2.2PROPIEDADESDE LOS FLUIDOSConjunto de cualidades que hacen distinguir un fluido dentro, entre las de mayor importancia prcticase citan las siguientes.1) Densidad absoluta2) Peso especfico3) Volumen especfico4) Densidad relativa = gravedad especfica5) Compresibilidad6) Viscosidad absoluta = viscosidad dinmica7) ViscosidadCinemtica8) Tensinsuperficial Densidad absolutaPropiedad de un fluido definida como el cociente de la cantidad de masa con el volumen unitario.unitario volumenmasaDensidad Vm 2.1Unidades de medida: 3 3 3 3 3ftslug ,ftlb ,mutm ,mslug ,mkg3 3mx.aguaftlb62.4mkg1000 Ladensidad para fluidos compresibles se obtiene a partir de la ecuacin de estado gaseoso.T R v P T RVmP MR MRRu 0 2.2T RmVP T R P T R m V P T RP P = presion absolutaT = temperatura absolutaR = constante particular de gasR0 = Ru = constante universal de los gasesM = peso molecular del gasv = volumen especifico de gasV = volumen total Peso especficoPropiedad de un fluido definida como el cociente del pesocon el volumen unitario.volumen de unidadPesoespecifico Peso gVg mVw 2.3Unidades de medida: 2 2 3f3 2 2 3fseg ftlb ,ftlb ,mN ,seg mkg ,mkg3f3fmx.aguaftlb62.4mkg1000 Volumen especficoPropiedad de un fluido definida como el cociente del volumen total que ocupa la masa unitaria, es el inverso de la densidaddensidad1unitaria masatotal volumenespecifico volumen 1mV 2.4Unidades de medida: lbft ,kgm3 3 Densidad relativa = gravedad especificaPropiedadadimensional deunfluidodefinidacomoel cocientedeladensidaddela sustanciacon la densidad mxima del agua como la relacin del peso especfico de la sustancia con el peso especfico mximo del agua.mx.aguasust.mx.aguasust.r rS D 2.5Para fluidos ms ligerosque elagua como los aceites, la densidad relativa se calcula aplicando la igualdad emprica.Baum 130140API 131.5141.5r++ 2.6Para fluidos ms pesados que el agua como la glicerina, la densidad relativa se calcula aplicando la igualdad emprica.Baum 145145r 2.7Compresibilidad Propiedad de un fluido referida al cambio de volumen que experimenta un lquido cuando sobre l se ejerce un cambio de presin. La compresibilidad se representa por el mdulo volumtrico de elasticidad, E. Se calcula dividiendo el cambio de presin con el cambio de volumen por volumen unitario.VP V VVPE 2.8Viscosidad dinmica = viscosidad absoluta Propiedad de un fluido que ofrece resistencia para fluir, disminuye cuando la temperatura se incrementa. Se obtiene aplicando la ley de viscosidad de Newton cuando se coloca una pelcula de fluido de espesor, y entre dos placas paralelas con reas, A de las cuales una es fija y la otra movible con una rapidez, v. Tal como se muestra en la figura.La fuerza aplicada a la placa mvil es directamente proporcional al producto del rea con la rapidez que lleva inversamente proporcional al espesor del fluido, esto se expresa.yv AF v y yv A Fvy Define viscosidad dinmica yvAEyv Se denomina ley de viscosidad de Newton2.9Cuando se conoce el tiempo de fluidez, tde las sustancias en viscosmetros, se utilizan las igualdades empricas siguientesDe 25 seghasta100 segSayboltrt1.95t 0.00226

,_

2.10De 101 seghasta1000 seg Sayboltr

,_

t1.35t 0.0022 2.11En ambos casos las unidades de medida resultantes sonpoisesViscosidadcinemtica = viscosidad relativaPropiedadde un fluido que se obtiene dividiendo la viscosidad dinmica con la densidad, esto es.v v1 g g 2.12Unidades de medida; segft ,segm2 2.Tensinsuperficial Propiedad de un fluido que produce efectos de tensin estiramiento en la superficie libre de lquidos en la interfase de dos lquidos inmiscibles de gas con lquido.Tensinsuperficial: membranafinaqueseformaenlasuperficielibredeloslquidos capaz de resistir fuerzas de tensin pequeas, tal como se muestra en la figura. Se ha encontrado que la fuerza elstica es proporcional a la longitud total de la pelcula, esto se expresa.TL F2LFLFT TL F 2.13Igualando expresiones de presin y tensin superficial se obtiene la presin que soportara la lmina.AFP TLF TL A P AL PT 2.14Para el caso particular de cuerpos en forma de anillos que se colocan sobre la membrana de la tensin superficial, la longitud es igual al permetro del anillo, por lo tantor 2 d P LT El rea dela lmina lquida es:22r 4d A Sustituyendo: tiene se P en A , LTr 2r r 2AL P2T 2r P 2.152.3RESOLUCION DE EJERCICIOSEjercicio2.3.1 EnunrecipientecilndricosealmacenaMetanoa38Cypresin absoluta de 2fcm kg 8.5 . Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular la densidad c)Calcular volumen especificod)Calcular el peso especfico Ejercicio2.3.2Enunrecipienteesfricosealmacenaungasconpesoespecfico 3m N 11.42 a unapresin

absoluta de 2fcm kg 2y 30 C. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular la densidadc)Calcular la constante particular Ejercicio2.3.3Enunrecipienteabiertosetienenguardados3m 6 deunaceitelos cuales pesan 47 kN. Se pidea)Elaborar esquema de sistemab)Calcular peso especficoc)Calcular la densidadd)Calcular la densidad relativaEjercicio2.3.4Undepsitocerradoconcapacidadde3in 120 sedeseallenar con Nitrgeno a 200 Psig en forma lenta de tal manera que el deposito adquiera la temperatura ambiente de 73 F. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular la densidadc)Calcular volumen especficod)Calcular peso especfico Ejercicio 2.3.5 En un recipientesedesea almacenarunfluido condensidad relativa 0.709 a 40 C. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular la densidad c)Calcular volumen especficod)Calcular peso especficoEjercicio 2.3.6En un recipiente cilndrico se almacena agua a 40 C el se desea reducir su volumen en un 2 %. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Cual sera el cambio de presin requeridoEjercicio 2.3.7 En condiciones atmosfricas locales un recipiente cilndrico abierto en parte superior contiene 3m 1 de agua a 27 C. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab) Cul sera la variacin de volumen cuando sobre la superficie libre se aplican

2fcm kg 21Ejercicio2.3.8 Con datos experimentales sobre agua a 2fcm kg 35el volumen era 3dm 30y con 2fcm kg 250el volumen es 3dm 29.7 . Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular el mdulo volumtrico de elasticidad del agua bajo estas condicionesEjercicio2.3.9 En un recipiente se guarda anhdrido carbnico, CO2 aC 20y 2fcm kg 7.75abs. No utilizar valores tabulados. Se pidea)Calcular densidad absolutab)Calcular volumen especficoc)Calcular peso especfico Ejercicio2.3.10En el interior de un recipiente abierto en parte superior, se almacena un fluido a 25 C con una densidad relativa de 0.714. Expidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular la viscosidad absoluta del fluido expresada en PoisesEjercicio 2.3.11Un cilindro con radio de base 0.122 m, altura 0.305 mgira concntricamente en elinterior de otro cilindro fijo con radio de base 0.128 m y altura 0.305 m. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular el esfuerzo cortante entre paredesc)Calcular velocidad lineal del cilindro interiord)Calcular el gradiente de velocidade) Calcular la viscosidad absoluta del lquido que llena el espacio entre cilindros si para Mantener una velocidad angular de 60 rpm del cilindro interior se requiere un par torsional de 0.881 N-m. Ejercicio2.3.12 Un fluido lquido tiene una viscosidad dinmica de 15.14 poises y una densidad relativa de 0.964. Se pidea)Calcular la viscosidad cinemtica expresada en 1 2seg m , 1 2seg ft Ejercicio2.3.13 Dos superficies planas separadas 25 mm por un lquido con viscosidad absoluta de( )2fm seg kg 0.1 . Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular esfuerzo cortante sobre la superficie de la placa de la placa movible con rea De 40 dm2 y viaja a 1seg cm 32c)Calcular la fuerza que debe aplicarse a la placa para mantener la velocidad.Ejercicio 2.3.14 En un viscosmetro, el tiempo promedio de descarga de un aceite es 155 seg. Y su densidad relativa es 0.932. Se pidea)Calcular viscosidad absoluta expresada en 2fm seg kg b)Calcular viscosidad cinemtica medida en 1 2seg m Ejercicio2.3.15Un aceite con 20 API y un tiempo de descarga de 800 seg. Se pide a)Calcular viscosidad dinmica expresada en( )1seg m kg ,( )2fm seg kg b)Calcular viscosidad cinemtica medida en 1 2seg mc)Calcular densidad absoluta dada en 3m slugd)calcular volumen especfico expresado en 1 3kg m Ejercicio 2.3.16 En un viscosmetro el tiempo promedio de descarga del agua fue de 510 seg. A 15 C. Se pide Calcular a)Calcular viscosidad absoluta dada en poisesb)Calcular viscosidad cinemtica medida en 1 2seg mEjercicio2.3.17 Unaceitetieneunagravedadespecficade0.925yel tiempode descarga en un viscosmetro fue de 400 seg. Se pidea)Calcular viscosidad absoluta medida en poises b)calcular viscosidad cinemtica dada en 1 2seg mEjercicio2.3.18Una aguja con 35 mm de longitud descansa sobre la superficie libre del agua a 20 C almacenado en un recipiente abierto. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular la fuerza hacia arriba para separar la aguja del agua. Ejercicio2.3.19 Un recipiente abierto contiene agua a 20 C y en la superficie libre se encuentra un aro de 0.5 mm de espesor formando un dimetro de 45 mm. Se pidea)Elaborar dibujo del sistemab)Calcular la fuerza requerida para separar el aro del agua.c)Calcular la presion de la lmina lquida.U N I D A DT R E S3.1 ESTATICA DE LOS FLUIDOSEn sta unidad la magnitud ms importante es la presion y sus propiedades.La presion puede manifestarse de tres maneras distintas dependiendo la manera de cmo acta.3.2 PROPIEDADESDELAPRESION1La presion ejercida en un punto cualquiera de un lquido en reposo es igual en todas Direcciones2La presion ejercida en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el Interior de un lquido en reposo es la misma. 3La fuerza de contacto que ejerce un lquido en su interior, una parte del lquido sobre La otra parte del mismo tiene la direccin normal a la superficie de contacto.4La fuerza de presion ejercida de un lquido en reposo se dirige siempre hacia el interior Del mismo, esto es una fuerza de compresin, nunca una de tensin. La fuerza de Compresin se tomar positiva hacia el interior del lquido.5La superficie libre de un lquido en reposo es siempre horizontal.3.3 CALCULO DE LA PRESION HIDROSTATICAPara calcular la presin hidrosttica ejercida por un lquido almacenado en un depsito, considrese un recipiente cilndrico de base, A y altura h cuyo volumen es, V = A h.Si ahoraseigualanfuerzaypesodelasmagnitudespresinypesoespecfico, se tiene.AFP Vw 3.1A P F V w V A P h A A P h Ah A P h Ph h g Ph Define presin manomtrica 3.23.4 CALCULO DE LA PRESIONTOTALENUNPUNTOCUALQUIERA EN ELINTERIORDEUNLIQUIDOConsidrese un sistema hidrosttico tal como muestra la figura en la que seescogen dos puntos de referencia para obtener la presion total ejercida en un punto cualquiera en el fondo de un lquido.Diferenciando Integrando la presion hidrosttica entre los puntos escogidos del sistema hidrosttico, se tieneh P Como: 0 hP P2atm 2dh dP 1 atm 1h P P + 1212dh dP( )2 1 2 1h h P P 3.3( )2 1 2 1h h P P +

3.5 FUERZAS EJERCIDAS SOBRE SUPERFICIES VERTICALESConsidrese un corte del sistema hidrosttico mostrado en la figura, en l puede observarse el perfil de presin actuante, tiene un valor cero en la superficie libre y un valor mximo en el fondo del recipiente.Del triangulo de presin y sobre la pared vertical puede localizarse el punto de presin promedio, ( p.p) y el punto del centro de presin, (c.p). Clculos experimentales han demostrado que: la presin, P es directamente proporcional a la profundidad, hdel fluido, esto es. h P La presin promedio se expresah 21Ppp 3.4La fuerza que acta en el punto de presin promedio es.A P Fpp pp A h 21Fpp 3.5La presin ejercida en el centro de presin desde la superficie libre del fluido es.h 32Pcp 3.6La presin ejercida en el centro de presin desde el fondo del recipiente esh 31Pcp 3.7La fuerza que acta en el centro de presiones se expresa como.A P Fcp cp A h 32Fcp A h 31Fcp 3.83.6 FUERZAS EJERCIDAS SOBRE SUPERFICIES INCLINADASPara deducir las fuerzas que actan sobre superficies inclinadas un ngulo, respecto a la superficie libre del fluido, tal como se muestra en la figura. Es importante analizar el comportamiento de las1Coordenadas verticales2Coordenadas paralelas a la pared3Fuerza que acta en el punto de presin promedio4Fuerza que acta en el punto de centro de presin5Calcular las fuerzas normales a la superficie de contacto.Del tringulo ABCA

pppp y 2h1y2h sen

sen 2hypp 3.9

sen y 2 hppDel tringulo 1 1 1CA B A y 3h 21yh32 sencpcp

y31y sen 3h 2ycp sen 3 y h 2cp sen y23hcp 3.10Del tringulo2 2 2CA B Ayh sen senhy 3.11La presin promedio es seny sen2 y 21h 21Ppp pp pp Lafuerza de presin promedio esA seny A h 21A P Fpp pp pp 3.12La presin en el centro de presiones es seny seny2332h 32Pcp cp cp

,_

La fuerza en el centro de presiones esA seny A h 32A P Fcp cp cp 3.133.7 MANOMETROSDECOLUMNA = PIEZOMETROSInstrumentos que emplean columna de lquido homogneo para medir presiones en un punto, tal como se muestra en la figura. Si se emplean dos lquidos no homogneos con pesos distintos, el instrumento es capaz de medir diferencia de presiones. 21piezmetro en Presion recipiente en Presion 3.14

h h 0 h P Pmx.agua rsustsust. amt A + + 2 en Presion 1 en Presion 3.15

( )atm sust AP h P 0 h Psust A +

h P,sust. A 2 en Presion 1 en Presion Hg h, 3 agua h, AP P P P + +1 r1 2 r2 Ah h P 2 2 1 1 Ah 0 h P + +1 1 2 2 Ah h P 3.8 RECIPIENTE CON PIEZOMETROS LATERALESA mx. r,sust. A A Ay y P 3.16Carga adicional en el piezmetro, Bmx.agua rBABAAPPh Altura en el piezmetro, BB A By h h + Presin total en el fondo del recipienteB A TP P P + B rB A rA Th h P + Presin en B=presin enC( ) ( )Hg D agua Ah P h P + +C C D A A Ah P h P + +C C A A Ah 0 h P + + A A C C Ah h P

A r1 C r2 Ah h P 3.9 MANOMETRODIFERENCIALInstrumento capaz de medir diferencia de presin entre dos recipientes dos conductos que pueden estar a la misma a distinta elevacin respecto a un plano de referencia, tal como se muestra en las figuras. ALTURA DE PRESION EN C = ALTURA DE PRESION EN D B r2 B A Ay h P h y P + + +

B r2 B A Ay h h P y P + +

( ) h 1 P y y Pr2 B B A A + + + ( ) ( ) ( ) h 1 y y P Pr2 B A B A +

( ) ( )1y y P Phr2B A B A+ +

( ) ( )1h h P Phr2B A B A + ALTURA DE PRESION EN M = ALTURA DE PRESION EN N N 1 N 2 C 1 My P z y P z y y P P2 N 1 C 1 N M + ( ) z y y P P2 1 N C N M + De la figura se tieneh y z yN C +z h y yN C Sustituyendo este valor en diferencia de presiones se tiene( ) z y y P P2 1 N C N M + ( ) z z h P P2 1 N M + Considerando que1 r2 2 ( ) z z h P P1 r2 1 N M + z h P P1 r2 1 1 N M + zz h z P P1 1 1 r2 N M ( ) h z z P Pr2 1 N M ( ) [ ] h z P Pr N M 12 1Cuando los recipientes estn en el mismo plano, h = 0, la ecuacin se reduce a( ) 1 z P Pr2 1 N M El factor( ) 12 rz se denomina carga dinmicaEn la figurase muestra un depsito presurizado que contiene adems dos fluidos lquidos inmiscibles con sus respectivas cargas hidrostticas Presin en A = Presin en B

( ) ( ) y y y y y Pr2 0 1 1 2 r1 aire + + + 3.10APLICACINDELMANOMETRODIFERENCIALALMOVIMIENTO DE LOS FLUIDOSConsideremos un tramo de tubera y sobre sta se encuentra instalado un manmetro diferencial, tal como se muestra en la figura. ALTURA DE PRESION ENC = ALTURA DE PRESION EN D( ) h h yPyPr2B A + + ( ) h h y yPPr2B A + + h h y yPPr2B A + h h PPr2B A ( )h 1 PPr2B A ( ) h 1 P Pr2 B A Esta expresin define el cambio la cada de presin entre dos puntos.3.11 ECUACION FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA DE UN FLUIDOPara deducir la ecuacin que rige a los fluidos que no tienen movimiento sino que estn almacenados en depsitos, se elige un volumen infinitesimal de fluido representado por un prisma rectangular de baseyA yalturady tal como se muestra en la figura.Aislando la partcula diferencialde fluido entre los lmites 1, 2 talcomo se muestra en diagrama de cuerpo libre.Planteando la condicin de equilibrio para las fuerzas verticales, se tiene + 0 Fy3.170 w F F2 1 ( ) 0 dy A g A dP P PAy y y + 0 dy A g dPA PA PAy y y y 0 dy gA dPAy y dy gA dPAy y dy gAdPAyy dy gdP 2y1y2P1Pdyg dP1( ) ( )1 2 1 2y y g P P1 ( )1 22 1y y gP P Desarrollando y separando trminos, se tiene2211y gPy gP + + 3.18Es la ecuacin fundamental de la esttica de fluidos para una entrada y una salida.Generalizando para un estado, se tieneC y gP +Esta expresin define la ecuacin fundamental de la hidrosttica primera forma. Si sta ecuacin la dividimos por la gravedad miembro a miembro, se transforma resultandogCygP +Reescribiendo la expresin con hgCh ygP +Siendo,hlaaltura piezomtrica y el producto, g h yP +3.19Estaexpresindefinelaecuacinhidrostticaenfuncindealturas, segundaforma, tambin puede escribirse en sus formas equivalentes.h y P +h g y g P +Estas expresiones representan la ecuacin hidrosttica en funcin de energas de presione, tercera forma.De la ecuacin 2211y gPy gP+ + Si2 1y y , entonces 2 1P P esto comprueba que en un fluido en reposo todos los puntos ubicadosalamisma altura conrespecto alplano de referencia tienela misma presin.3.12 PRINCIPIO DE ARQUIMEDES Y FLOTACION DE CUERPOS SLIDOS Es importante conocer como acta un fluido sobre las paredes de un slido prismtico de forma hexadrica. Para ello se elige un sistema hidrosttico en elcualse sumerge un cuerpo slido tal como muestra la figura. Luego se elige el centro de gravedad del slido y setrazael diagramadecuerpoenlibertadyobservar lasfuerzasactuantesenlas superficies de las caras del hexaedro, ver figura de cuerpo libre. Planteando las condiciones de equilibrio en direccin verticalse tiene. + 0 FyA P A P E2 1 3.200 E F F2 1 ( ) A P P E2 1 2 1F F E ( ) A h h E2 1 ( ) A h h E2 1 desplazado lquido slidoV V ( )slido 2 1 lquidoA h h E ( )slidoV mg w desplazado lquidoV E 3.21El peso neto del slido, se obtiene restando el peso real con el empuje.E w wreal neto 3.22Cuando se alcanza el equilibrio significa que: E = wpor lo tantoslido slido zado lq.despla lq.V V lquidoslidoslido zado lq.desplaV V 3.23Aplicando las condiciones de equilibrio en las caras del cubo para las direcciones, x, y, zSe tiene.0 Fx 0 Fy 0 Fz 3.24No hay w E = 0 No hayW = EDiferenciandopeso.Vw V w dV dw dz dy dx dw dz dy dx g dw Como dE dw ,entoncesdz dy dx dE dz dy dx g dE 3.25PRINCIPIO DE ARQUIMEDESPostula que: Todo cuerpo slido sumergido en el interior de un fluido lquido, experimenta una fuerza de empuje vertical hacia arriba igual al peso del volumen de lquido desplazado por el slido, esto es.dw dE 3.13 PRESION HIDROSTATICA SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA SUMERGIDANos interesa conocer las coordenadas vertical y paralela a la placa sumergida un ngulo respecto a la superficie libre del fluido.Para determinar las fuerzas que actan en el centroide y en el centro de presin de la placa obsrvese la figura siguiente. Del tringulo ABCA se tieneyh sen ,por lo tanto seny h Diferenciando la fuerzadA P dFh dA h dF dA h g dF 3.26Sustituyendo h en dF, se tiene ( )dA seny dF Integrando la igualdadse obtiene la fuerza resultante dA y sen FRPor la esttica se sabe que A y dA yce y sustituyendo en la fuerza resultante, la expresin se transforma en.( ) A y sen Fce R 3.27Del tringulo AEDA ceceyh sendednde seny hce ce , sustituyendo ste valor en fuerza Resultante y acomodando factores, se tiene.( ) A seny Fce R A h Fce R 3.28Utilizando el concepto de momento par que se expresa como el producto de una fuerza con su brazo de palanca, esto es.b F T 3.29 Aplicando al elemento diferencial de reay dF dT ( ) [ ] y dA seny dT dA y sen dT2 Integrando la expresin se obtiene el par ejercido por el fluido sobre la placa. dA y sen T2, endondelaintegralI dA y2, representael momentode inercia del rea plana de la placa, entoncesI sen T 3.30Considerandoquelafuerzaresultanteactaenel centrodepresinconunbrazode palancacpy, entonces el momento en el centro de presin se expresa.cp R cpy F T Igualando momentosT Tcp senI y Fcp R ( ) A yIA y sen senI F senI yce ce Rcp 3.31Por el teorema de ejes paralelos ( teorema de Steiner ) el momento de inercia se puede expresar como2ce cey A I I + 3.32Obtenindose as un valor equivalente paracpy.A yy y AA yIA yy A Iycece cececece2ce cecp + +cecececpyA yIy +3.33Estaecuacinrepresentalalneadeaccindelafuerzaquepasapor el centrode presin.3.14 FUERZASSOBRESUPERFICIES CURVASEn ste tema se requiere conocer el comportamiento de cmo actan y como se calculan.1.- Fuerza vertical, vF2.- Fuerza horizontal, HF3.- Profundidaddel centro de presin,cpy4.- Distancia horizontal al centro de gravedad,x5.- Fuerza resultante, RF6.- Direccin de la fuerza resultante, Paraobtenerestas magnitudesanalicemos unsistema hidrostticocombinadopor dos recipientes prismticos rectangulares, de los cuales uno de ellos tiene una pared curvada, tal como se muestra en la figura siguiente. Esta figura representa el rea proyectada del recipiente3.15 CALCULODELAFUERZAHORIZONTALAnalizando el centro de gravedad de la seccin curvada, las fuerzas ceF, HF , se contraponen para estar en equilibrio, por lo tanto seestablece la igualdad.ce HF FA P Fce H A y Fce H A2sy FH

,_

+ w s2sy FH

,_

+ 3.34De la ecuacin que representa la lnea de accin de la fuerza que pasa por el centro de gravedad expresada por la igualdad.A yIy ycecece cp 3.35Parael rearectangular proyectadadelaseccincurva, el momentodeinerciase expresacomo.12s wI3ce 3.36Entoncesce2ce3ce3ce3ce cp12ysw s 12ys wA 12ys w1A y12s wy y cece2cpy12ysy + 3.37Ecuacin que relaciona las coordenadas verticales al centroide y al centro de presiones de la seccin curvada.3.16 CALCULODELAFUERZAVERTICAL Utilizando la misma analoga de la fuerza horizontal, se establece la igualdadfluido del Peso vertical Fuerza w Fv V Fv h A Fv w A Fv 3.38Para calcular la fuerza resultante y su direccin, observemos la siguiente figura.2v2H2RF F F + HvFFtan 2v2H RF F F + Hv 1FFTan 3.393.17 PRESION INTERNA EN RECIPIENTES CILINDRICOS Y ESFERICOS RECIPIENTE ESFERICO Analicemosmediaesferayobservemoslaspresionesactuantessobreel espesor de pared,tysobrelasuperficieinternaas comolafuerzaresultantedefinidacomoelproducto de la presin con el rea proyectada, tal como se muestra en la figura siguiente.Efectuando suma de fuerzas en, x. 0 Fx proyctada fluido R,A P F P 4D P F P2R, 3.40El esfuerzo en las paredes del recipiente puede calcularse porAP,pared,A P t D P, Como, ,F P4D P t D 2 2D P t D 4 t 4D Pt D 4D P2 t 2r P t 4r 2 P t 4D P3.41RECIPIENTE CILINDRICOAnalicemos un cilindro cerrado en el cual acta una presin manomtrica interna,iPy observemos elcomportamiento de los esfuerzos que actan sobre elespesor, t de las paredes del recipiente, tal como se muestra en la figura siguiente.Las magnitudes de mayor inters son:1.-1esfuerzo circunferencial anular2.-2esfuerzo axial longitudinal3.-3esfuerzo radial = presin interna4.-iP presin interna manomtrica5.- ir radio interior6.- tespesor de pared7.-1A rea del espesor8.-2Area proyectadaAnalicemosa detalleun tramo deanillo como una parte del cilindro, tal como se observa en lafigura siguiente.Efectuando suma de fuerzas en direccin, xse tiene0 xF2 1 1A p A 2 0 F Fp dy r 2 p t dy 2i 1 0 A p A 2 1 t dy 2dy r 2 pi1 2 1A p A tr pi12 1 TA p A ( )2 1 1 1A p A +Analicemos el cinturn en la direccin, y tal como se muestra en la figura y efectuando suma de fuerzas en sa direccin, se tiene.2Acta a travs de la pared, es el esfuerzo axialipActa sobre las tapas del cilindro t r 2 Ai Lrea lateral 2i Tr A rea transversal 0 Fy 2i i 2r p t r 2 0 F Fpi 2 t 2r pt 2r pii2i2 3.420 A p A T L 2 0 r p t r 2 2i i 2 3.18 RESOLUCION DE EJERCICIOSEjercicio 3.18.1 Un recipiente cilndrico abierto en parte superior con dimetro de 4 ft almacena agua incondiciones normales de presion y temperatura. La carga hidrulica es 2 mdesde la superficie libre al fondo del recipiente. Se pidea)Elaborar esquema del sistema hidrostticob)Calcular presin hidrostticac)Calcular presion absoluta en el fondo del recipiented)Calcular la fuerza ejercida en el fondo del recipientee)Si se desea construir el recipiente de latn con un factor de seguridad de 2. Cul sera el espesor del material expresado en mm.Ejercicio3.18.2Un recipiente cilndrico abierto en parte superior con dimetro de 16 in, almacena disolvente comercial a 20 C y una carga hidrulica de 12 ft. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular la presin hidrosttica medida en Psic)Calcula la presion absoluta en el fondo de recipiente expresada en Psi.d)Calcular la fuerza actuante en el fondo del cilindro dado en N. Ejercicio3.18.3Un depsito cilndrico abierto en parte superior con dimetro de 3 m y una carga hidrulica de 4 m almacena una sustancia con densidad relativa 1.262 a 20 C. Se pide.a)Elaborar esquema del sistema hidrostticob)Calcular la presion total en un punto ubicado a tres cuartos de la carga hidrulica a partir de la superficie libre medida en Kpa.c)Calcular la fuerza ejercida en el fondo del depsito medida en N.Ejercicio 3.18.4 Un recipiente cilndrico cerrado con dimetro de interior de 2.25 m y espesor de pared 0.25 in se encuentra horizontalmente y almacena glicerina a 20 C bajo una presin gaseosa de 50 Kpa.y una carga hidrulica de 2 m. Se pidea)Elaborar esquema del sistema b)Calcular la presion hidrosttica en la pared medida en bar.c)Calcular la presion absoluta interna medida en bar.d)Calcular el esfuerzo circunferencial del recipiente expresado en 2m Ne)Calcular el esfuerzo axial del recipiente medido en 2m NEjercicio3.18.5Un deposito cilndricovertical con radio 0.5 m y altura 5 mabierto a la atmsfera contiene dos sustancias a 20 C de los cuales 1.5 m son de agua y 2.4 m son de aceite a prueba de polvo. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular la presion hidrosttica del aceite expresada en: bar, Kpa.c)Calcular la presion hidrosttica del agua medida en: bar, Kpa.d)Calcular la fuerza actuante en el fondo del recipiente Ejercicio 3.18.6 Elmuro de contencin de una presa mide 20 m de alto y 950 m de longitud, retiene agua a una carga hidrulica de 18 m . Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular presin promedio ejercida sobre el muro dado en 2m Nc)A qu profundidad se localiza el cp.d)Calcular la fuerza resultante que acta en el cp.Ejercicio3.18.7La barda de contencin de una presa est inclinada 60 respecto a la superficie libre del agua. Retiene 8 m de agua de manera vertical con 30 m de largo y 10 m de altura. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular la fuerza de presion promedio dada en KN.c)Calcular las coordenadas vertical e inclinada para el centro de presiond)Calcular la fuerza que acta en centro de presion medida en KN.Ejercicio3.18.8 Un manmetro de columna contiene agua a 20 C, registra una altura piezomtrica de 3.6 m. Se pidea)Elaborar esquema del sistema b)Calcular la presion manomtrica en A expresada en 2fcmkgEjercicio3.18.9Un manmetro en U contiene dos sustancias agua y mercurio en condiciones normales de presion y temperatura con m 0.6 h1, m 2 h2 , 0 P3 . Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular presion manomtrica en A expresada en PsiEjercicio3.18.10Un recipiente abierto con dos piezmetros laterales contiene agua y glicerina a 20 C. El espesor de la glicerina es 2 ft desde el fondo del recipiente y la superficie libre del agua es 7 ft desde el fondo del recipiente. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular altura de presion de la superficie lquida en piezmetro, A c)Calcular altura de presion de la superficie lquida en piezmetro, Bd)Calcular Presion hidrosttica total en el fondo del recipiente medida en Psi.Ejercicio 3.18.11Dos recipientesA, Bcontienen agua a 276 Kpa y 138 Kpa respectivamente. La elevacin delrecipiente Aes 4.877 m y la de B3.048 m. Ambos recipientes estan conectados por un manmetro diferencial de mercurio. Se pidea)Elaborar esquema del sistema.b)Calcular lectura del fluido manomtrico. Ejercicio3.18.12Un depsito presurizado con aire a 30 Kpa. Sobre la superficie libre de aceite con densidad relativa 0.82, y0, = 1.0 m, y1= 2 m de mercurio, y2= 5 m. de aceite Se pidea)Elaborar esquema del sistema. b)Calcular la altura del fluido manomtrico.Ejercicio3.18.13 Atravsdeunductohorizontal conboquillafluyeunaceitede izquierda a derecha con densidad relativa 0.75. En la seccin recta se tiene conectado un manmetro en Uque utiliza mercurio como fluido manomtrico si la presin en el centro delducto es 2fcm kg 1.4 . La altura desde elcentro delducto alnivelms alto de la columna de mercurio es 0.825 m. Se pidea)Elaborar esquema del sistema b)Calcular la altura del fluido manomtrico.Ejercicio 3.18.14 Se requiere medir la prdida de carga a travs de un dispositivo X, utilizando un manmetro diferencial cuyo fluido manomtrico tiene una densidad relativaDe 0.75 y el fluido que fluye a travs de la tubera tiene una densidad relativa de 1.5. Se pide.a)Calcular la cada en alturas de presion entre los puntos A, Bde la figura b)Calcular la cada depresin entre los puntos A, B medida en KPa.Ejercicio 3.18.15 Un cubo de bronce con aristam 0.5y peso especfico 3m KN 86.9 , se sumerge en agua a 30 C. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular fuerza de empujec)Calcular peso aparente ( peso neto)Ejercicio 3.18.16Un hexaedro de acero pesaN 600 , 3fft lb 487 , se sumerge en un recipiente abierto que contiene agua a 60 F. Se pidea)Elaborar esquema del sistema b)Calcular la fuerza de empujec)Calcular peso aparented)Calcular arista del hexaedroEjercicio 3.18.17Un cuerpo slido con peso especfico 3fft lb 15y un volumen de 3ft 2se sumerge en agua a 70 F. Se pide.a)Elaborar esquema del sistema b)Calcular fuerza de empuje que recibe el slidoc)Calcular peso aparente del slidod)Calcular volumen de lquido desplazado.Ejercicio 3.18.18Unapiedra pesa 900 N en aire y 500 N en agua a 40 C. Se pidea) Elaborar esquema del sistemab) Calcular el volumen de la piedra c)Calcular la densidad relativa de la piedra.Ejercicio 3.18.19Un globo meteorolgico opera a una altitud donde la densidad del aire es 0.9 kg m 3 a sta altitud el globo tiene un volumen de 20 m3 y est lleno de hidrgeno con densidad absoluta de 0.09 kg m 3. La bolsa del globo pesa 118 N. Se pidea) Elaborar esquema del sistema b) Calcular la fuerza de empujec) Calcular los Ns. De hidrgeno contenidos en el globod) Calcular la carga que puede soportar el globo a sta altura.Ejercicio 3.18.20 Una placa plana de 3 m x 6 m se encuentra sumergida en aguaa 20 Ca4mdeprofundidadenformavertical desdelasuperficielibre, sobreunadelas paredes de un recipiente prismtico cuadrangular. Se pidea) Elaborar esquema del sistemab) Calcular la fuerza que acta enpc de la placac) Calcular la profundidad de la lnea de accinde la fuerza que acta en centro de Presion.Ejercicio 3.18.21 Una placa triangular plana de 4 m x 6 mse encuentra sumergida en agua a 20 C y elvrtice que intercepta con la altura se localiza a 3 m de profundidad vertical formando un ngulo de 45 con respecto a la superficie libre del fluido. Se pidea) Elaborar esquema del sistema b) Calcular la fuerza ejercida en elpc de la placa.c) Calcular profundidad de la lnea de accinde la fuerza que acta enpc.d) calcular el par generado por el fluido sobre la placa enpc.Ejercicio 3.18.22 Un recipiente prismtico con una superficie curva en parte inferior y abierto en parte superior tiene las medidas siguientes.m 3 y1m 4.5 y2 m 1.5 s m 2.5 w m 1.5 r Contiene aguaen condiciones normales de presion y temperatura. Se pidea) Elaborar esquema del sistemab) Calcular, 1xj)Calcular,cpyc) Calcular, 2xk)Calcular, RFd) Calcular, TAl)Calcular, e) Calcular,wf)Calcular,xg)Calcular, ceyh) Calcular, HFi)Calcular, vF Ejercicio3.18.23 Unrecipienteesfricocondimetrode30ft almacenaunfluido gaseoso a una presion manomtrica de 48 Psi, el espesor de pared en tres octavos de pulgada. Se pide.a)Elaborar esquema del sistema b)Calcular la fuerza ejercida en la pared debida a la presion internac)Calcular el esfuerzo en la pared del recipienteEjercicio 3.18.24Se desea fabricar un recipiente esfrico de bronce con dimetro de 9 m para que soporte una presin manomtricade 240 Kpa. Con un esfuerzo admisible de 82 Mpa. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular espesor de la placa en mm. c)Calcular el factor de seguridad.d)Calcular la fuerza que ejerce el fluido.Ejercicio 3.18.25 Un tubo de acero laminado en caliente y bajo contenido de carbono con cuatro pulgadas de dimetro interior y un cuarto de espesor, trabaja con un factor de seguridad de 3.6. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular la presin mxima que puede soportar el material medida en Psi. Ejercicio 3.18.26Un recipiente cilndrico con dimetro interior 4 ft y espesor de pared de un medio de pulgada. Los esfuerzos longitudinal y circunferencialno deben exceder 20 Ksi. Se pide.a)Elaborar esquema del sistemab) Calcular la presin interna mxima que debe soportar la pared del recipiente medida en Psi.c) Calcular la fuerza actuante sobre las tapas del cilindro, medida en N.Ejercicio3.18.27 Sedeseaconstruirunrecipienteesfricodecobreextruidoconun factor de seguridad de 2.4 , espesor media pulgada y dimetro interior 3 m. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular la presin interna mxima que soportara el recipiente.c)Calcular la fuerza mxima ejercida sobre la pared interna del recipiente. U N I D A D C U A T R O4.1 CINEMATICADE LOS FLUIDOSCinemtica:Estudialacantidaddefluidoquefluyeatravsdeconductosabiertos cerrados sin tomar en cuenta las causas que originan el movimientoVolumendecontrol:Espacioescogidodemaneraarbitrariaconvencional paraun estudio en particularSuperficie de control: Lmite que rodea envuelve totalmente al volumen de control Masa de control: Cantidad de sustancia contenida dentro del volumen de control Contorno 1, 2, 3, 4, 1 es la superficie de controlContorno 1, 2es superficie de control de entradaContorno 3, 4 es superficie de control de salidarea 1, 2, 3, 4, 1es el volumen de controlEn sistemas hidrodinmicos las magnitudes ms importantes son.4.2 DEFINICIONESDEFLUJOFlujo:significaabundancia, conbaseastasignificacinsesugierenlassiguientes ideas del concepto.Flujo = Caudal = Gasto: Conjunto de molculas de fluido que fluyen por un conducto cerrado ( tubera ) a travs de uno abierto ( canal, vertedero ). Flujo: Conjunto de lneas de corriente que atraviesan una superficie de control. Flujo: Conjunto de lneas de fuerza que atraviesan una superficie de control.Los estudios en sistemas abiertos volmenes de control se hacen en condiciones de flujo estacionario, stas son1.- El gasto msico de fluido que atraviesa una superficie de control permanece Constante, esto es C m m 2 1 2.-La masa total de fluido adentro del volumen de control permanece constante conRespecto al tiempo. C t dm dT3.- El gasto msico total que entra a un volumen de control debe ser igual al gasto Msico total que sale del volumen de control.

2 1 m m

Los flujos pueden ser:1.- Ideales 9.- Rotacionales2.- Reales 10.- Irrotacionales3.- Reversibles 11.- Laminares4.- Irreversibles 12.- Turbulentos5.- Constantes6.- Inconstantes7.- Uniformes8.- No uniformes Oleosidad de un fluido: propiedad de un fluido que le permite adherirse a las superficies de otros cuerpos. P.e. agua en la piel, agua en vidrio, agua en plstico, aceite en metal, etc.4.3 REPRESENTACION ESQUEMATICA DE LOS FLUJOSFLUJO LAMINAR = FLUJO ORDENADOEn la figura siguiente se observa elpatrn de flujo laminar que se esquematiza por un campo de flujo mediante un conjunto de lneas de corriente que siguen las partculas de fluido a travs de caminos bien definidos.La naturaleza de un flujo de fluido incompresible se determina por el nmero de Reynolds de acuerdo al esquema siguiente, en la que se observan las distintas zonas regiones ms sobresalientes. Delagrfica, losnmeros 2000y 4000selesconocecomonmeroscrticosde Reynolds los cuales permiten identificar flujos tranquilos = laminares de flujos desordenados = turbulentos 4.4 OBTENCION DEL NMERO DE REYNOLDSEn movimiento de flujos de fluidos, ste grupo adimensional define la separacin entre flujos laminar y flujo turbulento, se obtiene a partir de la relacin de fuerzas de inercia con fuerzas viscosas. L vv v Lv TLLL v TLLLLv TLLA a mviscosa Fza.inercia Fza.R22222223e

,_

,_

4.1Considerando que la viscosidad cinemtica se define por la relacin de dos propiedades. Entonces 1 El nmero de Reynolds se transforma aL VL VRe 4.2Para que sta expresin sea til se cambia la longitud por el dimetro interior de tubera, resultando.VVRe 4.3VENADECORRIENTE Seexpresacomoel conjuntodefilamentosdecorrienteconunaseccintransversal constante, dA que fluyen por una tubera, tal como se ilustra en la figura siguiente. FLUJO TURBULENTOEsunpatrndeflujodesordenado, segeneracuandoseincrementalavelocidaddel fluido en el interior de una tubera provocando que los caminos que siguen las partculas se vuelvan muy irregulares cruzndose unos con otros dando origen a vrtices remolinosgrandesypequeos, stosgeneranvibracionesenlastuberasquetraern como consecuencia desperfectos en las redes de sistemas hidrulicos.Elmovimiento de una partcula de fluido est controlado por dos fuerzas, stas son la viscosa y la de inercia dadas por las expresiones.A Fv A m FI Para el caso de flujo laminarLa fuerza viscosa domina a la fuerza de inercia, esto esI vFF >Para el caso de flujo turbulentoLa fuerza de inercia domina a la fuerza viscosa, esto esv IF F >4.5 VELOCIDAD CRTICADEUNFLUIDOEsta magnitud se obtienepor despeje del nmero de Reynolds.VRe VRe V Re V Re RVe RVe 4.44.6 ECUACIONDECONTINUIDADEstaigualdadesaplicableasistemasabiertosdenominadosvolmenesdecontrol tal como se muestra en la figura siguiente aplicando las condiciones de flujo estacionario.Para obtener la ecuacin de continuidad se sustituyen las magnitudes de desplazamiento volumen y densidad engasto msico.t v s s A V Vm dt v ds ds A dV V m dt v A dV dV dm dt v A dm v Adtdt v Adtdmm 4.5Aplicando la tercera condicin para un volumen de control Gasto msico que entra = Gasto msico que sale2 1 m m 2 2 2 1 1 1v A v A

22 211 1v A

v A 4.6.Para el caso de flujo volumtrico, se sustituyela diferencial de volumen,dVv A t d t d v A t dV dQ 4.74.7 RESOLUCION DE EJERCICIOS Ejercicio 4.7.1 Expresar si el flujo es laminar turbulento cuando por una tubera de 2 Pulgadas de dimetro interior fluye agua a 40 C con una rapidez de 1seg m 5Ejercicio 4.7.2 Por una tubera de 2.5 pulgadas de dimetro interior fluye agua a 10 C. Cules seran las velocidadescrticas inferior, superior.Ejercicio4.7.3 Por unatuberadedimetroconstantesedeseatransportar aceite lubricante medio a 40 C de tal manera que la velocidad del aceite se mantenga entre 1.5 y 3.0 1seg m . Calcular el dimetro apropiado del ducto expresado en mm, in.Ejercicio 4.7.4 A travs de una tubera horizontal de 15 cm de dimetro interior fluye aireaunapresinmanomtricade2fcm kg 2.1 a38C. lapresinbaromtricaes 2fcm kg 1.03y la rapidez del airees 1seg m 3.2 . Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular1seg kg de aire que fluyec)Calcular la fuerza con la que el aire se mueve.Ejercicio4.7.5 Por unatuberahorizontal detrescuartosdepulgadadedimetro interior fluyen 1min lits 10de agua a 20 C . se pidea)Calcular la velocidad del fluidob)Calcular el flujo msicoc)Calcular la fuerza con la que fluye el fluido.Ejercicio 4.7.6 Porel interior de una tubera horizontal fluyen 1min gal 5de agua a 50 F . Se pide.a)Calcular la velocidad del fluido b)Calcular el flujo msicoc)Calcular la fuerza con la fluye el fluidoEjercicio4.7.7 Por unatuberahorizontal con30cmdedimetrointerior fluyen 1min lits 1800 de agua a 20 C reducindose gradualmente el dimetro a 15 cm. Se pide.a)Elaboraresquema del sistemab)Calcular las velocidades del fluido en ambas seccionesc)Calcular la cada de presin de ambas secciones.Ejercicio 4.7.8 Por una tubera horizontalde 1.5 pulgadas de dimetro interior fluyen 1min kg 15de vapor de agua saturado a 140 C. Se pidea) Calcular la presin del vaporb) Calcular la velocidad del vaporc) Calcular los Newtons con los que se desplaza el vapor en la tubera.Ejercicio 4.7.9 El manmetro de una caldera registra 19.06 bar y el dimetro interior de la tubera de descarga es 2 pulgadas. Se pidea)Calcular la temperatura del vapor en grados absolutos.b)Calcular los 1min kgde vapor si la velocidad de descarga es 1seg m 95Ejercicio 4.7.10 Por una tubera horizontal de 30 cm de dimetro interior fluye agua con una rapidez de 1seg m 0.5y se descarga en una boquilla de 7.5 cm de dimetro interior que est unida a la tubera. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcula la velocidad del chorro a travs de la boquilla c)Calcular los 1seg kgde agua que fluyen por la tuberad)Calcular los Newtons de descarga. U N I D A D C I N C O5.1 DINAMICA DE FLUIDOSDinmica: Estudia y analiza las causas que originanmovimiento de fluidosa travs de conductos abiertos cerrados tomando encuentasus propiedadesycomportamiento durante su transportacin de un punto a otro. Los fluidos pueden ser.Para que los fluidos lquidos tengan movimiento, se requiere el suministrode una fuerza externa capaz de mover.1.- En fluidos de baja viscosidadcomo elagua elmovimiento se puede generar por cada desde un tanque elevado, la fuerza actuante la gravedad utilizando una bomba en carga, tal como se muestra el siguiente figura. 2.- En fluidos de baja viscosidad como el agua el movimiento se genera por succin y elevacin, se requiere bomba con impulsor de labes que aplica la fuerza al fluido, tal como se muestra en la siguiente figura.3.- En fluidos de alta viscosidad como los aceites el movimiento se genera por succin y elevacin, serequierebombadeengranesqueaplicalafuerzaal fluido, tal comose muestra en la siguiente figura.4.- En fluidosgaseosos como el aire el movimiento se genera por succin y compresin se requiere un compresor con depsito de almacenamiento y un sistema de tubera de transportacin de ventiladores con canales de transportacin Ventilador:Turbo mquina que absorbe energa mecnica y la transforma a energa de flujoaunfluidocompresiblecreandounadiferenciadepresiones. Paraproducir la corriente de un gas, un ventilador est constituido de una cubierta que envuelve a una rueda con aspas paletas montada sobre un eje flecha.5.2 ECUACIONES DE EULEREstas analizan el comportamiento de una partcula diferencial de fluido. Para obtenerlas se hacen las siguientes consideraciones.1.- Fluido ideal que se mueve en rgimen permanente2.- Fuerza externa nica actuante, la gravedad3.- Considerar un punto de coordenadas, ( ) z y, x, P en el centro de gravedad de la Partcula.4.- Considerar partcula de fluido diferencial de forma hexadrica, tal como se muestra en La figura. Diferenciando la segunda ley de Newton y escogiendola direccin, xde la partcula diferencial de fluido, se tiene.da dm dF dtdva dVdm 5.1dV dm dz dy dx dV dz dy dx dm dtdvdz dy dx dFxx 5.2Efectuando suma de fuerzas en direccin, xpara la partcula de fluido, ver figura inmediata anterior. +

xd xi x F F F5.3dz dy2dxxPP dz dy2dxxPPdtdvdz dy dxx

,_

+

,_

dz dy2dxxPdz dy P dz dy2dxxPdz dy Pdtdvdz dy dxx

,_

dz dy2dxxP2dtdvdz dy dxxdz dy dxxPdtdvdz dy dxx 5.4Esta expresin define la aceleracin de la partcula diferencial de fluido en direccin, xen funcin de diferencial parcial de presin con respecto al producto de la densidad con el desplazamiento de la partcula. Es ecuacin de Euler en su forma simple en la direccin, x.Sila partcula diferencialde fluido est en movimiento, sta se va moviendo en por lo menos tres direcciones en el interior de un conducto, entonces la velocidad en la direccin,x esta en funcin de tres variables ( ) z y, x, v vx x y calculando la diferencial de velocidad total se tiene.

dzzvdyyvdxxvdvx x xx++5.5Multiplicando toda la expresin por dt1la expresin anterior se transforma a.dtdzzvdtdyyvdtdxxvdtdvx x x x++zxyxxx xvzvvyvvxvdtdv++Ordenando igualando trminos de la ecuacin de Euler en la forma simplexP 1zvvyvvxvvxzxyxx ++5.6Esta expresin define la ecuacin de Euler desarrollada en direccin, x. Utilizando la misma analoga de, x para el anlisis en la direccin, y se hace uso de la partcula diferencial de fluidoEfectuando suma de fuerzas en direccin,y para la partcula de fluido diferencial, ver figura inmediata anterior. + F F F Fw ys yi y5.7dz dy dx g dz dx2dyyPP dz dx2dyyPPdtdvdz dy dxy

,_

+

,_

dz dy dx g dz dx2dyyPdz dx P dz dx2dyyPdz dx Pdtdvdz dy dxy dz dy dx g dz dx2dyyP2dtdvdz dy dxy

,_

gyPdtdvy 5.8Esta igualdad define la aceleracin de la partcula de fluido diferencial en direccin, yes ecuacin de Euler en su forma simple en la direccin, y.Considerando que la velocidad en direccin,yes una funcin de tres variables ( ) z y, x, v vy y y calculando la diferencial de velocidad total se tiene.dzzvdyyvdxxvdvy y yy++Multiplicando toda la expresin por dt1dtdzzvdtdyyvdtdxxvdtdvy y y y++zyyyxy yvzvvyvvxvdtdv++Ordenandoigualandotrminos se tieneyP 1gzvvyvvxvvyzyyyx ++ 5.9Esta expresin defineecuacin de Euler desarrollada en direccin, y. Siguiendo el mismoprocedimiento de, xpara la direccin, z Efectuando suma de fuerzas en la direccin, z se tiene. 5.10dy dx2dzzPP dy dx2dzzPPdtdvdz dy dxz

,_

+

,_

dy dx2dzzPdy dx P dy dx2dzzPdy dx Pdtdvdz dy dxz

,_

dy dx2dzzP2dtdvdz dy dxzdz dy dxzPdtdvdz dy dxz 5.11Esta expresin define la aceleracin de la partcula diferencial de fluido. Esecuacin de Euler en su forma simple en la direccin, z Considerando nuevamente que la velocidad es una funcin de tres variables y calculando la diferencial total y ordenando trminos se obtiene la ecuacin de Euler desarrollada en la direccin, z.zP1zvvyvvxvvzzzyzx ++5.125.3 FUERZA DINAMICA Esta magnitud se obtiene por sustitucin de magnitudesequivalentes demasa,volumen de tubera, desplazamiento y aceleracin que lleva el fluido en la ecuacin de movimiento.V m s A V t v s tva t v A V a m F tvtv A F 2v A v v A F 5.135.4 PRESIONDEMOVIMIENTOEstamagnituddependedeladensidadydelavelocidaddel fluidoseobtienedela presin dinmica.5.14La presin esttica equivalente de un fluido en movimiento, se obtiene por igualacin de de fuerzas, esttica y de movimientoAFP A P F A P v A2 Av AP2 5.15La presin total es la suma de presin esttica con presin dinmicad s TP PP + 2 2 2 2 2Tvg2323vg211 vgv2g vgP

,_

,_

+ + 5.165.5 POTENCIADEFLUJOEsta magnitud se obtiene por sustitucin de la presin que lleva el fluido atravesando una seccin determinadaenla potencia definida como el producto de lafuerzaconla velocidad,esto es.v F W A p F h p A h F v A h W v A Q 5.17z2gv

ph2+ + zg 2vgvh2 2+ +zg 2vgvh2 2+ + zgv211 h2+

,_

+ 5.185.6OBTENCIONDELAECUACIONDEBERNOULLI A PARTIRDELAS ECUACIONESDEEULERLa ecuacin de Bernoullise obtiene por suma y sustitucin de trminos utilizando las ecuaciones de Euler en su forma simple en donde la ecuacin 1 se multiplica con dx, la 2 con dy, la 3 con dz tal como se muestra en las ecuaciones 4, 5, 6.1.- xP 1dtdvx 4.-dxxP 1dtdxdvx 2.-yP 1gdtdvy 5.-dyyP 1dy gdtdydvy 3.-yP 1dtdvz 6.-dzzP 1dtdzdvz Sumandomiembroamiembrolasecuaciones4, 5, 6, agrupandotrminosysacando factor comn, se tiene.dy g dzzPdyyPdxxP 1dtdzdvdtdydvdtdxdvz y x

,_

++ + +dy g dzzPdyyPdxxP 1dv v dv v dv vz z y y x x

,_

++ + + Aplicando la integral2vvdv2( ) + + + + + + 2z2y2x2z2y2xz y x xv v v212v2v2vdz v dy v dv v

( ) dy g dzzPdyyPdxxP 1v v v212z2y2x

,_

++ + +Lostrminosqueestndentrodel parntesiscorrespondenalascomponentesdela velocidad y de la presin respectivamente. Reescribiendo la igualdad en forma diferencialdy g dP1dv212 0 dy g dP1dv212 + + + +2y1y2p1p22v21v0 dyg dP 1dv21( ) ( ) ( ) 0 y y g P P1v v211 2 1 22122 + + Eliminando los parntesis y agrupando trminos, se tiene5.19Esta expresin define la ecuacin de Bernoulli para un hilo y tubo de corrienteAhora si toda la igualdad se multiplica con g1se obtiene la ecuacin de Bernoulli con alturas equivalentes para un fluido incompresible que se mueve en rgimen permanente.222 2121 1y2gvgPy2gvgP+ + + + Agrupando trminos5.20El primerparntesisdefinelacargaalturadepresin, el segundolacargaaltura dinmica, eltercero la carga altura geodsica.Para una tubera horizontal de dimetro interior constante: 2 1y y , la ecuacin se reduce 5.215.7 INTERPRETACIONENERGETICADELAECUACIONDE BERNOULLILa mecnica de fluido incompresible se ocupa del estudiodelintercambio de tres formas de energa relacionadas entre s y con el trabajo mecnico, stas son:1.- Energa de presin2.- Energa cintica de movimiento3.- Energa potencialRetomando la ecuacin de Bernoulli en su forma simple y multiplicndola con la masa, mLa igualdad se transforma a.121 1222 2y g m2vmPm y g m2vmPm + + + +y1 C2 P1 y2 C2 P2E E E E E E + + + + 5.22Aplicando el concepto de energa especfica,e.como el cociente de la energa total por unidad de masa, se tiene.mEe Para las tres energasPmEP 2vmE2C y gmEy

Pep 2ve2c y g ey Reescribiendola ecuacin de Bernoulli en funcin de energa especfica, se tieney1 c1 p1 y2 c2 p2e e e e e e + + + +Para un fluido ideal en rgimen permanente no hay viscosidad ni friccin, entoncesc y g2v Pc e e e2y c p + + + +Dividiendo la igualdad de energa especifica por, g, sta se transforma a.g mEgeg mEgeh hrepresenta la altura equivalente Aplicando sta idea a las tres energas, stas se transforman a. g Pgehpp 2gvgeh2cc ygehyy Para la carga altura total, es la suma de las tres alturasy c p Th h h h + + 5.23y2gvPh2T+ + Para el caso de un fluido en reposo el trmino,02gv2,entoncesyPhT+ 5.8 ECUACIONDEBERNOULLICONPRDIDAS5.242gvLf h22 f1 Define prdidas primarias en tramos rectos de tuberas. Es la Ecuacin de Darcy Weisbach.Para flujos laminares con frecuencia se utiliza la ecuacin de Hagen Poiseuille 2fv L 32 h Para prdidas secundarias en codos, ts, vlvulas, reducciones cualquier otro accesorio se utiliza la expresin.2gvf h2s fs

sf= factor de friccin del accesorioFACTORES DEFRICCIONPara flujo laminar Para flujo turbulento eR64f 000 100 R 000 4 R0.3164fe0.25e 5.9 ECUACIONDEBERNOULLI PARAFLUIDOIDEAL COMPRESIBLE5.255.10ECUACIONDEBERNOULLI PARAFLUIDORAEAL COMPRESIBLE5.265.11 USO Y MANEJO DEL NOMOGRAMA DE CAUDALESEl nomogramadecaudalesesunagraficaquerelacionatresmagnitudes, caudal,Q. Dimetrointerior delatubera,. Ypendiente,Spor cada1000m1000ft de longitud. Con lneas rectas se unen el caudal, Q, el dimetro interior de la tubera, , la pendiente, S, de stos siempre se conocern 2 de ellos para calcular un tercero.5.12ESTUDIO COMPARATIVO DE PROTOTIPO Y MODELOConceptos que permiten comparar un prototipo con un modelo con la finalidad de que exista semejanza entre ambos en la construccin de series nuevas, modificaciones en las dimensiones lineales, superficiales, volumtricas de mecanismos, implementos, estructuras, equipo auxiliar de mquinas,etc. Que son propuestos para su aceptacin.Prototipo: primer molde de un objeto hecho a escala 1:1Modelo:Representacinenpequeodeunprimermoldehechaaescala: 1:10, 1:25, 1:50. 1:100, 1:500, 1:1000, etc. El cual debe tener todas las caractersticas del prototipo. Los modelos pueden ser.Semejanza Geomtrica:Reproduccin de un modelo a escala que satisface todas las caractersticas y restricciones de diseo del prototipo.Semejanza cinemtica y dinmica: reproduccin de modelos verdaderos cuyos efectos producidos deben ser iguales a los efectos generados por el prototipo. Para identificar y analizar el estudio comparativo de prototipo y modelo se har uso del anlisis dimensional para calcular las relaciones relativas de las magnitudes tanto bsicas como derivadas.PARASEMEJANZAGOMETRICA1.- modelo longitudprototipo longitudrelativa longitud 2.- modelo areaprototipo arearelativa area 2r2mp2m2pm mp pmprLLLLLL LL LAAA

,_

3.- modelo volumenprototipo volumenrelativo volumen 3r3mp3m3pm m mp p pmprLLLLLL L LL L LVVV

,_

PARASEMEJANZACINEMATICA4.- modelo velocidadprototipo velocidadrelativa velocidad rrmpmpmpmppmmpmmppmmppmprTLTTLLTT1LLTTLLLTTLTLTLvvv 5.-modelo n aceleracioprototipo n aceleraciorelativa n aceleracio 2rr2mpmp2m2p mp2p2mmp2mm2ppmprTLTTLLTT1LLTTLLTLTLaaa

,_

6.-modelo caudalprototipo caudalrelativo caudal

r3rrr 2r r rmpmpmprTLTLL v AvvAAQQQ

PARA SEMEJANZA DINAMICA7.- modelo fuerzaprototipo fuerzarelativa Fuerza 2rrmp2mprmp2m2prmp2p2mmpmp2mm2ppmpmpmpmprTLmmTTLmmTT1LmmTTLLmmTLTLmmaammFFF

,_

Como la masa de un fluido se expresa como: V m ,entonces2rr 2r r2rr 3r r2rrr r2rrmpmp2rrmprTLLTLLTLVTLVVTLmmF

,_

Esta igualdad define la semejanzadinmica entre prototipo y modelo.5.13 GRUPOS ADIMENSIONALES = PARAMETROS ADIMENSIONALES = NUMEROS ADIMENSIONALESEstos se obtienen al dividir un par de fuerzas que actan en un fluido que fluye. Las fuerzas de mayor inters para un fluido en movimiento son:1.- Fuerza de inercia,a m F 2.- Fuerza viscosa,A F 3.- Fuerza de presin,A P F 4.- Fuerza de gravedad = peso, g m w 5.- Fuerza de tensin superficial,L F 6.- Fuerzaelstica,A E F Losgruposadimensionalesdemayor importanciaseobservanenel siguientemapa conceptual. NUMERO DE EULEREste grupo adimensional establece la relacin de fuerzas de inercia con fuerzas de presin.presion de fuerzainercia de fuerzaEu 2222223vP TLP TLP LTLPLA Pa mEu

,_

5.27Otra manera de obtener el nmero de Euler es utilizando la ecuacin de Bernoulli para un fluido ideal. ( ) 0 z z2gv vP P1 22122 1 2 ++ Multiplicando termino a termino por la gravedad, se Tiene.( ) 0 z z g2v v P P1 22122 1 2 ++Para corrientes en planos horizontales, significa que 1 2z z ,la ecuacin se transforma.2 12122P P2v v Escogiendo un estado de referencia, significa quev v2 0 1v v P P2 0 1P P La igualdad anterior se transformaP P2v v0202 ( ) P P2v v0202 Multiplicando la igualdad por 2v1,se tiene.( ) P Pv2vvvv02 22022 220vP 2vv1

,_

Para prototipo y modelo la expresin 20vv1 ,_

es el mismo lo cualSe convierte en una constante, C. resultando as.2vP 2C Reescribiendo P 2vP 2vC12 2P 2vC125.28NUMERO DE FROUDE Este grupo a dimensional relaciona fuerzas de inercia con fuerzas gravitatoriasg Lvg LTLLgTLLLg ma mia gravitator Fuerzainercia de Fuerza2322233

,_

su equivalente5.29NUMERO DE CAUCHYEste grupo a dimensional relaciona fuerzas de inercia con fuerzas elsticas.EvLTLELLTLELA Ea melstica fuerzainercia de fuerzaCa2222223

,_

5.30NUMERO DE MACHEstegrupoadimensional seobtieneapartir del nmerodeCauchymultiplicandola igualdad por 1 EvEvCa22Extrayendoraz cuadrada a ambos miembros se tiene E vE v Ca 2 ComoMaCa ycE5.31c = velocidad del sonido Esta expresin define cuatro corrientes de flujo de fluidos.1 Ma < Define una corrientesubsnica1 Ma Define unacorriente transnica1 Ma > Defineunacorriente supersnica1 Ma >>> DefineunacorrientehipersnicaNUMERO DE WEBEREste grupo a dimensional relaciona fuerzas de inercia con fuerzas de tensin superficial.v LL v LL a ml superficia tensionde fuerzainercia de fuerza2 2 2 Trabajando solo el segundo miembro y dividiendo por L LvLLv LLa m22 LvLa mWe2 5.325.14 TEOREMA DEL IMPULSOY DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTOPara deducir ste teorema se aplican los conceptos de.1.- Velocidad de una partcula de fluido.2.- Aceleracin de una partcula de fluido 3.- Aplicacin de la segunda ley de Newton4.- Densidad del fluido5.- Volumen que ocupa la unidad de masa6.- Flujos msico y volumtrico.Ahora considrese un sistema abierto y en el elegir un volumen de control, tal como se muestra en la figura siguiente.En la entrada del volumen de control existe una cantidad de movimiento dada porA t vc, sist.tdP dP dP + Enlasalidadel volumendecontrol hatranscurridountiempopequeo, dt. Existe entonces una cantidad de movimiento expresada por.B dt t vc, dt t sist,dP dP dP + + +Analizando el camino que recorre la partcula de fluido que lleva una cantidad de movimiento, dPconformestaatraviesael volumendecontrol duranteunintervalo diferencial de tiempo, dt.Restando entrada de la salida y agrupando trminos, se tiene.A B t vc, dt t vc, t sist, dt t sist,dP dP dP dP dP dP + + +A B vc sistdP dP dP dP + Multiplicando la igualdad por dt1dtdPdtdPdtdPdtdPA B vc sist. + A Bvc sist.P PdtdPdtdP + De la segunda ley de NewtondtdPdtdv mdtdvm a m F dtdPFsist.sist. Igualando expresiones para dtdPsist.A Bsist.sist.P PdtdPF + Para condiciones de flujo estacionario, el trmino0dtdPsist. , la ecuacin se reduce aA B sist.P P F Generalizando la expresinA B sist.dP dP F 5.33Esto se expresa diciendo que la cantidad de movimiento inicial ms menos el impulso es iguala la cantidad de movimiento final. Es elteorema delimpulso y de la cantidad de movimiento. 5.15 FORMULADEHAZENWILLIAMSPermite calcular la velocidad de un fluido a partir del radio hidrulico, R. La pendiente, S. Y el coeficiente de Hazen Williams, C1. Utilizando la expresin.0.54 0.631S R C 0.85 v Para el sistema internacional de unidades.0.54 0.631S R C 1.32 v Para el sistema ingles 1CSe obtiene de la tabla 6 , se llama rugosidad relativa del Del material.tuberia la de longitudcarga de PrdidaPendiente LhLhSf mojado PermetroAreahidalico Radio mHPAR Para tuberas circulares completamente llenas, el radio hidrulico se expresa.4RH5.16 RESOLUCION DE EJERCICIOSEjercicio5.16.1Fluyeaguapor unalneadetuberaqueseagrandagradualmente desde un dimetro de 24 in. En la entrada hasta 36 inen la salida. La velocidad del fluido a la entrada es 1seg ft 5 con una presin media de 2fin lb 50 . Considerando que se pierden 2 ft entre la entrada y la salida. La descarga se localiza 15 ft debajo de la entrada. Se pide a)Elaborar esquema del sistemab)Calcular la velocidad en la descargac)Calcular la presin en la descarga.d)Calcular la potencia de flujoe)calcular la fuerza de escurrimiento.Ejercicio 5.16.2 Por una tubera horizontalcon dimetro interior de 12 in transporta agua a razn de 1seg lts 10 a60 F con una presin promedio de 20 Psi. Se pidea)Elaborar esquema del sistema b)Calcular altura dinmicac)Calcular altura de presin d)Calcular la altura totale)Calcular 1seg lbde agua que fluyen por la tubera.f)Calcular la 1seg energarequerida para mantener el movimiento.g)Calcular la fuerza de escurrimiento.Ejercicio 5.16.3Se tienenhorizontalmente 1000 ft de tuberade 0.5 in que conduce agua a 60 F con una rapidez de 1seg ft 0.5 . Se pidea)Elaborar esquema del sistema b)Calcular las perdidas de cargac)Calcular la cada de presin Ejercicio 5.16.4Por una tubera horizontal de 0.75 in de dimetro interior y 1250 ft de longitud conduce agua a razn de 1seg ft 2 a 80 F. Se pidea)Calcular las prdidas de cargab)Calcular la cada de presinEjercicio 5.16.5 Un aceite de 20 API con tiempo de escurrimiento e 800 seg. Fluye por unatuberahorizontal de6indedimetrointerior conunavelocidadde1seg ft 4 a 20000 ft de longitud. Se pidea)Calcular la gravedad especficab)Calcular las viscosidades dinmica y cinemticac)Calcular las prdidas por friccine)Calcular la cada de presin.Ejercicio 5.16.6Por una tubera horizontal nueva de fundicin con dimetro interior de 40 in tiene una longitud de 2772 ft y una prdida de carga de 16 ftpor el cual fluye agua a 90 F. Se pidea)Calcula pendiente de la lnea de altura piezomtrica.b)Calcular radio hidrulicoc)Calcular velocidad del fluido.d)Calcular 1seg ltsde agua que fluyen por la tuberae)Calcular 1seg lbde fluido que pasan por la tubera.f)Calcular la fuerza que lleva el fluido.Ejercicio 5.16.7Por una tubera horizontal de acero con dimetro interior de 6 in tiene una longitud de 845 my una prdida de carga de 20 mpor el cual fluye agua a 60 F. Se pidea)Calcula pendiente de la lnea de altura piezomtrica.b)Calcular radio hidrulicoc)Calcular velocidad del fluido.d)Calcular 1seg ltsde agua que fluyen por la tuberae)Calcular 1seg lbde fluido que pasae)Calcular 1seg lbde fluido que pasan por la tubera.f)Calcular la fuerza que lleva el fluido. Ejercicio 5.16.8Utilizando el nomograma de caudales determine el caudal que fluye por una tubera nueva con dimetro interior de 30 cm y longitud de 1500 m con una prdida de altura piezomtrica 4.3 m Ejercicio 5.16.9Utilizando el nomograma de caudales calcule la altura piezomtrica para una tubera de fundicin viejacon dimetro interior de 60 cm y longitud de 1800 m si el caudal es 1seg lts 250 .Ejercicio 5.16.10 Por una tubera de 20 cm de dimetro interior fluye agua a 15 C con una rapidez de 1seg m 4 . A qu velocidad debe fluir elfueloilmedio a 32 C por el interior de una tubera de 10 cm de dimetro para que los dos fluidos sean dinmicamente semejantes. Ejercicio 5.16.11 Un modelo de submarino con escala 1:15 ser ensayado en un canal hidrodinmico de agua salada. Si el prototipo se mueve a una velocidad de 12 mph (m illas por hora). Con qu velocidad ser arrastrado el modelo para que exista semejanza dinmica entre ambos.Ejercicio 5.16.12El casco de un barco tiene una longitud de 140 m y a de moverse con una rapidez de 1seg m 7.6 . Calculara)Numero de Froude. b)A que velocidad debe arrastrarse en un modelo construido a escala 1:30.Ejercicio 5.16.13Un modelo de avin hecho a escala 1:80 es probado en una corriente de aire a 20 C y a una velocidad de 1seg m 45 . A que velocidad habr de arrastrarse el modelo si est totalmente sumergido en agua a 25 C.Ejercicio 5.16.14Un chorro de agua a 5 Ccon 76 mm de dimetro se mueve con una rapidez de 1seg m 24 de izquierda a derecha chocando sobre una placa plana situada normal al eje del chorro. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular la fuerza requerida para mantener la placa en equilibrio con el chorroEjercicio 5.16.15Un chorro de agua con 76 mm de dimetroa 20 C es desviado sobre una placa curvada con ngulo de 45 . El chorro es dirigido de izquierda a derecha con una velocidad de 1seg m 40 . Se pidea)Elaborar esquema del sistema b)Calcular componentes de la fuerza generadas sobre la placa desviadora.c)Calcular la fuerza resultante que la placa ejerce sobre el fluido.Ejercicio 5.16.16Un chorro de agua con 12 in de dimetroa40 F es desviado por una superficie deflectora verticala 180 . El chorro es dirigido de izquierda a derecha con una velocidad de 1seg ft 5 . Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular la fuerza requerida para mantener el equilibrio de la placa con el chorro.Ejercicio 5.16.17 Por una tubera horizontal con dimetro interior 4 in y factor de friccin 0.02 transporta agua caliente a 90 C con una rapidez de 1seg m 8 . Sobre la tubera estn instalados dos manmetros a una separacin, L. El primero registra abs. cm kg 102f y el segundo registraabs. cm kg 42f . Se pidea).- Elaborar esquema de la tuberab).- Calcularcaudal msicoc).- Calcular caudal volumtricod).- Calcular prdidas primariase).- Calcular fuerza de escurrimientof).- Calcular la potencia de flujog).- Calcular separacin entre manmetrosEjercicio 5.16.18 Por una tubera horizontal con dimetro interior 12 in transporta agua a 80 F con una rapidez de1seg ft 5 . El dimetro interior de la tubera cambia bruscamente a 6 in. Se pide a).- Elaborar esquema de la tuberab).- Calcular velocidad del agua en la seccin menorc).- Calcular las 1sg lb de agua que pasan por la tuberad).- Calcular 1sg galde agua que pasan por la tuberae).- Cuales sern los Ns. Requeridos para mantener el movimientof).- Cual ser la potencia de flujo.U N I D A DS E I S6.1 FLUJO DE FLUIDOS A TRAVES DE ORIFICIOS Y VERTEDEROSFlujo=Caudal =Descarga=Escurrimiento.- Cantidaddefluidoquepasapor un conducto cerrado (tubera) abierto ( canal) expresado como masa volumen en la unidad de tiempo.v Adtdmm v AdtdVQ 6.1Orificio.- Es sinnimo de agujero, hoyo, barreno, abertura hecha sobre la superficie de una pared de un depsitocon permetro cerrado a travs del cual se descargaun flujo de fluido. Losorificios se clasifican segn el siguiente mapa conceptual. Los orificios se utilizan para.1.- Medir caudales2.- Disear estructuras hidrulicasEn la siguiente figura se ejemplifica una grfica comparativa de un orificio circular con uno rectangular con la misma capacidad de descarga as como de las partes mas importantes. 0Area del orificiocA rea contrada del chorro hAltura de carga hidrulica al centro del orificioEn esta figura se ilustran las distintas geometrasde los orificios y grficamente se observa cual de los cuatro resulta ser mas eficiente aplicado a la descarga de flujos.Los orificios tambin se puedenclasificar de acuerdo al espesor de pared, tal como se muestra en el siguiente mapa conceptual.6.2 ORIFICIOSCONDESCARGALIBREEn elsiguiente sistema hidrosttico se observa elsuministro de fluido aldepsito para mantenerconstante lacargahidrulicaycomoconsecuencialadescargaatravs del orificio as como de las magnitudes mas importantes que se consideranen la resolucin de problemas con fluidos que se descargan a travs de orificios.6.3 CALCULO DE LA VELOCIDAD TERICA DE DESCARGA A TRAVES DE UN ORIFICIOConsiderando que el dimetro del recipiente es tan grande comparado con el dimetro de orificiodedescarga, entonces laspartculas queestanmuy alejadas del orificiode descargatendrnunavelocidadmuypequeaqueseconsiderarandespreciables, si ademslafriccindelaspartculassedesprecia, entonceslavelocidadtericade descarga de un fluido se calcula aplicando la ecuacin de Bernoulli entre la superficie libre del fluido y el centro del orificio. Escogiendo 1como la entrada suministro,2como la salida descarga 222 2121 1z2gvgPz2gvgP+ + + + Tomando como referencia la superficie libre del fluido, esto significa que0 v1 atm. 2 1P P P La ecuacin de Bernoulli se reduce a.2221z2gv0 z 0 0 + + + +2gvz z222 1 ( )22 2 1v z z 2g ( )2 1 t 2z z 2g v v Siz = h entonces 6.2VELOCIDAD REAL DE DESCARGAEstamagnitudsecalculaapartir del coeficientedevelocidad,vcexpresadocomola relacinde la velocidad real con la velocidad terica, esto es.tRvvvc de dnde6.3COEFICIENTEDECONTRACCIONEsta magnitud se obtiene dividiendo rea contrada del chorro con rea del orificio.occA A c Por lo tantoo c cA c A COEFICIENTEDECAUDALEstecoeficientesedefinecomoel productodedoscoeficientes, decontraccinyde velocidad, esto es.tRv c qQQc c c Aplicando el concepto general de caudal a la descarga, se tiene( )2 1 v c R c dz z 2g c A v A Q 6.46.4 PERDIDASDE CARGAEN ORIFICIOS Y TOBERASSe obtienen por sustitucin al combinar las expresiones que definen velocidades terica y real.Elevando al cuadrado las velocidades( )22v2Rh 2g c v ( )22th 2g v ( ) h 2g c v2v2R h 2g v2t Agregandolasprdidas f2v2Rh h c2gv+ h2gv2tComoh2gv2R entonces h c h h2v f ( )h c 1 h2v f 6.5De la ecuacin h 2g c v2v2R 2R2Rv 2gvhSustituyendoste valor en prdidas, se tieneh c h h2v f 2v2R 2v2v2Rfc 2gvcc 2gvh 6.66.5 ORIFICIOSCONDESCARGAAHOGADAPyg Py h2222 2+ + hg Py h h h22 2 1++ + ESCURRIMIENTOALAPRESIONATMOSFERICA2gvh h h h222 2 1+ + 2gvh h222 1 ( )22 2 1v h h 2g ( )2 1 t 2h h 2g v v 6.7De ecuacin que define caudal de descargatRqQQc Entonces 6.8ESCURRIMIENTO BAJO PRESIONEnel centrodel orificioexisteunapresionmenor quelaatmosfrica. Aplicandola ecuacin de Bernoulli entre los puntos1,2. 222 2121 1z2gvPz2gvP+ + + +Con las condiciones de la figura en la superficie libre 0 v1 , en el centro delorificio 0 y z2 2 02gvPz 0P22 211+ + + +12 122zP P2gv++6.96.6 VERTEDEROS = VERTEDORESVertedero.-Abertura hecha en la orilla superior de una pared verticalconstruido en el interior de un canal la cual por encima de ella se deja fluir agua con propsitos de medir elnivel el caudal del fluido. 1 = Pared vertical de concreto2 = Placa de bronce acero inoxidable atornillable sobre la pared3 = Pernos tornillos de fijacin4 = Cresta viva del vertederoCLASIFICACIONDELOSVERTEDEROS Los vertederos de pared delgada sirven para medir caudales con gran precisin.Losvertederosdepared gruesasirvenparamedirel control de nivel en presasen estructuras hidrulicas.Vertederodepareddelgada Vertederode paredgruesa6.7 REQUISITOSPARA CONSTRUIRUN VERTEDOR1.- Pared porta placa del vertedor debe ser vertical y perpendicular ( normal ) a la Direccin del flujo.2.- Placa de bronce acero inoxidable de 5 mm de espesor , recta horizontal a lo anchoDel canal y perpendicular a la direccin del flujo con arista viva.3.- Debe tener ventilacin por debajo de la lmina de flujo con la finalidad de evitar una Depresin ( vaco ) el cual puede provocar un aumento en el flujo de descarga.4.- Por encima del vertedor el canal debe ser recto y largo para asegurar una distribucinUniforme del fluido logrando con ello una velocidad y un escurrimiento tranquilo ySuave.5.-Si el agua que entra al canal provoca turbulencia entonces deben colocarse pantallasAmortiguadoras en el interior del canal con la finalidad de tranquilizar el flujo aguasArriba del vertedor. Condiciones en 1Por tratarse de un escurrimiento tranquilo y suave0 P1 0 v1 h y z1 1 Condicionesen2Por tener las lneas de corriente una gran curvatura 0 P2 y h y z2 2 ? v2 Aplicando la ecuacin de bernoulli entre los puntos 1, 2.222 2121 1z2gvPz2gvP+ + + +2221z2gv0 z 0 0 + + + +2221z2gvz + ( ) y h2gvh22 + y2gv022 Entonces y 2g v vd 2 sta expresin define la velocidad de Descarga en 2.6.8 OBTENCION DEL CAUDAL DE DESCARGA POR ENCIMADEUN VERTEDORAdaptando el concepto general de caudal por encima del vertedor en 2y el rea de flujo considerado como el producto del ancho del vertedor con la altura de la lmina de flujo por encima del vertedor, se tiene.d f dv A Q y y 2g b y 2g y b y 2g y b Q2121d dy y 2g b dQ21d + +2323222121dy 2g b3223y2g b2221y2g b dy y 2g b QHaciendoy = h23dh 2g b32Q 6.10Esta expresin define el caudal terico que fluye por encima de un vertedor.OBTENCIONDEL CAUDALREALDESCARGAPORENCIMADEUN VERTEDORSe obtiene despejando del coeficiente de caudal considerado ahora como constante del vertedor.23q t q Rh 2g b32c Q c Q qcOscila entre 0.64y0.79COEFICIENTEDECAUDALPROPUESTOPORSIALa Sociedad Suiza de ingenieros y Arquitectos ( SIA) ha propuesto frmulas empricas para calcular el coeficiente de caudal de vertederos, p.e.Para vertederos rectangulares sin contraccin lateral conm 0.8 h m 0.025 < < h Altura de carga por encima del vertedorm 0.3 yc > cyAltura del vertedor1yhc 11]1

,_

++

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++ 2cqy h10.5 11.6 h11 0.615 c6.11Este tipo de vertedor proporciona resultados precisos para medir caudales desde seglts6 hastaseglts10000 sus valores equivalentes desde segm0.0063 hastasegm103Para vertederos rectangulares con contraccin lateral la SIA propone 11]1

,_

+

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+1111]1

+

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+ ,_

+ 2c22qy hhBb0.5 11.6 hBb3 3.615Bb0.037 0.578 c6.12 bAncho de la contraccin lateral BAncho del vertedor6.9 OBTENCIONDEL CAUDAL PARAUNVERTEDOR TRIANGULAREstevertedor seutilizaparamedir caudalesinferioresaseglts6. Lasvariablesque intervienen se muestran en las siguientes figuras. Delagrficaseeligeunreadiferencial,dy 2x dA integrandostaexpresinse obtiene el rea de flujo en el vertedor. dy 2x dA y 2x Af Considerando que, y 2g v2 Sustituyendo stos dos valores en la ecuacin del caudal.2 f tv A Q 232121ty 2g 2x y y 2g 2x y 2g y 2x y 2g y 2x Q Por tringulossemejantesy hx2tan de dnde ( )2tan y h x Sustituyendo,x en tQ( ) ( ) y y 2g2tan y h 2 y 2g2tan y h 2 Q2123t Diferenciando integrando la ecuacin( ) dy y 2g2tan y h 2 dQ21t ( ) h021tdy y y h2tan 2g 2 dQ( ) h023h021h021h021h021dy y dy y h dy y y dy y h dy y y h( )2523h025h023h025h023h021h52h h32y52y h3225y23yh dy y y h 11]1

11]1

11]1

111]1

111]1

( )25252525252523h021h154h156 10h5232h52h32h52h h32dy y y h

,_

,_

Sustituyendo el valor equivalente a la integral en el caudal terico.2525th2tan 2g158h1542tan 2g 2 Q

,_

6.13Esta expresin define el caudal terico para un vertedor triangular.6.10 CAUDALREALDEUNVERTEDORTRIANGULARSe obtiene por despeje y sustitucin de valores, tal como se muestra en el desarrollo siguiente.tRqQQc dednde5q25q t q Rh 2g2tan158c h2tan 2g158c Q c Q 6.14Cuando,hse encuentraentre los valoresm 0.25 h m 0.05 < 0.6 cq Generalizando frmulas para caudalesVertedorrectangular con / sin contraccin 23h C Q Vertedortriangular 25h C Q CConstante del vertedor6.11 VERTEDERO TRAPEZOIDAL TRAPECIALLasvariablesde inters se ilustran en el siguienteesquema.Las magnitudes para este tipo de vertedero son.1.- rea de la corriente,( ) h x b h x h b h22xh b Ac+ + + 2.- Permetro mojado,b 2a a a b Pm+ + + 3.- Radio hidrulico,( )b 2ah x bmojado perimetrocorriente la de areaRh++ 4.- Reynolds para flujo en canal abierto,R vRhe ,2000 R 500e vVelocidad del fluido Viscosidad cinemtica del fluido5.- Caudaldedescarga, ( )d d c dv x b h v A Q + 6.12RESOLUCION DE EJERCICIOSEjercicio6.12.1 La velocidad real en la seccin contrada de un chorro de agua por un orificiode5cmdedimetroesde14 8seg m . bajounacargade4.5mdesdela superficie libre al centro del orificio y 1.5 m de ste al fondo del recipiente. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular rea del orificio c)Calcular rea contrada considerando que el dimetro del chorro es la mitad del Dimetro del orificio.d)Calcular coeficiente de contraccine)Calcular coeficiente de velocidadf)Calcular caudal de descargag)Calcular prdidas en el orificio.Ejercicio6.12.2Un recipiente con orificio de 3 in de dimetro se localiza a 2 ft desde el fondo del recipiente al centro del orificio y de ste a la superficie libre del fluido 6 ft. El caudal que se descarga por el orificio es 9 litros por segundo. Se pidea)Elaborar esquema del sistema b)Calcular rea del orificio c)Calcular rea contrada del chorro si el dimetro del chorro es la mitad del dimetro del Orificio.d)Calcular coeficiente de contraccin.e)Calcular velocidad real de descargaf)Calcular caudal real de descargag)Calcular prdidas a travs del orificio Ejercicio6.12.3Un depsito cilndrico abierto en parte superior registra una carga de 9 ft de agua desde la superficie libre al centro del orificio y de ste 2 ft al fondo del depsito. El dimetro del orificio es 2 in. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular la velocidad real de descarga utilizando un coeficiente de velocidad de 0.98c)Calcular el coeficiente de descarga para h = 9 ftyino2 d)Calcular el caudal real de descarga.Ejercicio 6.12.4 Dos recipientes a la presion atmosfrica se cargan por un orificio de descargaahogadadetal maneraqueenel recipiente, 1lacargaes19ft desdela superficie libre al centro del orificio y de ste a la superficie libre del reciente, 2es 7 ft. Eldimetro del orificio es 4 in. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular la altura dinmicac)Calcular velocidad real de descargad)Calcular el caudal real de descargae)Calcular prdidas a travs del orificio. Ejercicio6.12.5Un sistema de escurrimientobajo presion con vapor de agua a 120 Psi acta sobre la superficie libre del agua lquida, la carga desde ste punto al centro del orificio es 6 ft. El agua se suministra a un segundo recipiente por un orificio de 2 in de dimetro a una presion de 4 Psi. Se pide a)Elaborar esquema del sistemab)Calcular la altura dinmicac)Calcular velocidad real de descargad)Calcular caudal real de descargae)Calcular las prdidas a travs del orificio Ejercicio6.12.6 Durante el ensayo sobre un vertedor sin contraccin lateral de 2.4 m de ancho y 0.9 m de alto. La carga aguas arriba se mantuvo constante a 0.3 m y en 36 seg se recogieron 27 000 litros de agua. Se pidea)Elaborar esquema delsistemab)Calcular el caudal de descarga por encima del vertedorc)Calcular velocidad real descarga por encima del vertedord)Calcular la constante del vertedor.Ejercicio 6.12.7 Se tiene un vertedor rectangular sin contraccin lateral con los datos siguientes. h = 0.5 m, h1 = 4.5 m, yc = 4 m, b = 1.5 m, B = 1.5 m. Se pide a)Elaborar esquema del sistemab)Calcular el caudal terico por encima del vertedorc)Calcular la constante del vertedord)Calcular el caudal real descargae)Calcular la velocidad real de descarga.Ejercicio 6.12.8 Por un vertedor triangular a 45 con una altura de carga de 0.26 m escurren 0.02 m3 / seg. Se pidea)Elaborar esquema del sistemab)Calcular el coeficiente de caudal c)Calcular la velocidad real de descarga.