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física 3 maría del carmen lasprillaTRANSCRIPT
Introducción Mecánica Cuántica
Introducción A fines del siglo XIX y durante el primer cuarto del XX se acumulo cierta evidencia experimental de la interacción de la radiación electromagnética con
la materia que no estaba claramente de acuerdo con las leyes del electromagnetismo, sintetizadas en las ecuaciones de Maxwell. Al mismo tiempo se
estaba desarrollando la teoría de la estructura atómica de la materia, principalmente como resultado del descubrimiento del electrón y de la confirmación del modelo nuclear para el átomo. Otra serie de experimentos obligó a los físicos a revisar sus conceptos sobre el movimiento de partículas subatómicas,
ya que aparentemente no se movían exactamente de acuerdo con las suposiciones de la mecánica newtoniana. Para explicar las nuevas observaciones,
varios físicos incorporaron, más o menos empíricamente, una serie de de nuevas ideas. Con el correr del tiempo, y gracias a los esfuerzos de muchos
científicos, estas ideas evolucionaron hasta constituir lo que hoy día se conoce como teoría cuántica. En este capítulo se revisarán las bases experimentales más importantes de la física cuántica.
En el transcurso de un intento afortunado de encontrar la solución al problema que presentaba la discrepancia entre el espectro experimental de la
radiación térmica (cuerpo negro) y las predicciones de la teoría clásica, Planck llegó a la conclusión de que la energía de un sistema que efectúa
oscilaciones armónicas simples, sólo puede ser un múltiplo entero de una cierta cantidad finita de energía (1901). Einstein aplico una idea semejante al explicar el efecto fotoeléctrico (1905) y Bohr en una teoría que predecía con gran precisión muchas de las características del complejo espectro atómico
(1913). El trabajo de estos tres físicos y los desarrollos subsiguientes de De Broglie, Schrödinger y Heisenberg (hacia 1925) constituye lo que se conoce
como teoría cuántica.
Se tratarán dos fenómenos, el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton cuya interpretación fue crucial en el desarrollo de la teoría cuántica. Estos fenómenos comprenden la interacción de la radiación electromagnética con la materia –específicamente con los electrones que contiene.
La emisión de electrones por el cátodo metálico del tubo de rayos catódicos o el efecto fotoeléctrico, es un indicio de la presencia de electrones en los
átomos que forman el cátodo. Entonces, es razonable suponer que esto es cierto para cualquier átomo. La hipótesis es atractiva, pues conduce a una
imagen simple de un átomo positivamente ionizado, como al que le han extraído uno o varios electrones. Dado que en su estado normal los átomos son neutros, debe contener una carga positiva de magnitud igual a la de los electrones que normalmente contiene.
En la interacción de la radiación electromagnética con la materia los fotones tienen una función crítica. La dispersión por parte de electrones, ya sean
ligados o libres, se absorbe un fotón y se emite otro con la misma energía o con una distinta. En otros casos se absorbe por completo el fotón, como en el
efecto fotoeléctrico. Como consecuencia, el sistema pasa a un estado de mayor energía o más excitado. Al contrario, un sistema que está en un estado excitado puede liberar el exceso de energía en forma de fotón y pasar a un estado de menor energía. Se verá como se explican los espectros de emisión y
absorción haciendo uso del concepto de fotón.
El movimiento de los cuerpos que se observa a nuestro alrededor puede describirse en términos de reglas generales basadas en la evidencia experimental.
Tales reglas o principios son: (1) la conservación del momentum; (2) la conservación del momentum angular; y (3) la conservación de la energía. Con base en estas leyes de conservación, se desarrolló en el siglo XIX el formalismo conocido como mecánica clásica, suponiendo que las partículas están
localizadas en el espacio y que pueden ser observadas sin perturbar notablemente su comportamiento. Sin embargo, cuando la mecánica clásica se aplica
al movimiento de los constituyentes básicos de la materia, tales como electrones y átomos, los resultados son sólo aproximados y, en algunos casos,
completamente inadecuados. Como resultado de la evidencia experimental, se han incorporado varios conceptos y métodos nuevos y revolucionarios para la descripción del comportamiento de la materia en niveles atómicos y subatómicos. Aunque las leyes de conservación siguen siendo válidas, ya no se
puede aplicar la descripción detallada del movimiento de las partículas en el sentido de la mecánica de Newton. La cuantización de la energía y de otras
cantidades físicas es otra idea que no aparece en la mecánica clásica, y una teoría satisfactoria debe contener información acerca de los valores permitidos
de tales cantidades. La interacción de la radiación y la materia mediante la absorción o emisión de fotones es otro aspecto que debe introducirse.
El nuevo formalismo, conocido como mecánica cuántica, fue el resultado del trabajo original de Louis de Broglie (1892-1987), Erwin Schrödinger (1887-
1961), Werner Heisenberg (1901-1976), Paul Dirac (1902-1984), Max Born (1882-1970), Albert Einstein (1879-1955) y otros que lo desarrollaron en la
década de los veinte. La mecánica cuántica es esencial para entender el comportamiento de los constituyentes fundamentales de la materia.
El desarrollo de la teoría de la mecánica cuántica se inició con una idea que, aunque simple, es de una extrema importancia— expuesta por De Broglie en su tesis doctoral (1924). Su línea de pensamiento fue aproximadamente la siguiente: en la física clásica se considera que la radiación electromagnética es
un fenómeno netamente de propagación ondulatoria. Por otra parte, las investigaciones de Einstein y Compton muestran que en ciertas circunstancias
manifiesta una naturaleza característica de las partículas (cuantos). Al ser éste el caso, ¿no será cierto que entidades físicas que consideramos como
partículas (electrones, partículas alfas, bolas de billar, etc.), bajo ciertas condiciones manifestarán una naturaleza característica de las ondas? Cuando se investiga la interacción de la radiación con la materia se pone de manifiesto la naturaleza corpuscular de la radiación electromagnética,
mientras que su naturaleza ondulatoria se revela cuando se considera la forma en que se propaga. La situación puede describirse indistintamente diciendo
que la radiación electromagnética es una onda que al interaccionar con la materia manifiesta un comportamiento corpuscular, o bien, que consta de
partículas cuyo movimiento está determinado por las propiedades de propagación de ciertas ondas que le están asociadas. En cierta medida sería ingenuo sugerir que deba hacerse una elección. Aceptando tentativamente la segunda alternativa y guiado por la analogía, De Broglie examinó las características
ondulatorias de las partículas en términos de algún aspecto de propagación ondulatoria en su movimiento. Examinó la idea de que el movimiento de
una partícula está gobernado por la propagación ondulatoria de ciertas ondas piloto (según su terminología) asociadas con la partícula.
Werner Heisenberg fue uno de los principales contribuyentes al desarrollo inicial de la mecánica cuántica, en la década de los Veinte. En 1927 formuló el principio de incertidumbre, que establece un límite, inherente a la naturaleza, en la precisión con la que es posible medir simultáneamente la posición
y el momentum de una partícula. El principio de incertidumbre demostró que el punto de vista clásico de las partículas atómicas tenía que ser sustituido
por un planteamiento mecánico-cuántico.
Radiación del cuerpo negro. Análisis de las transiciones espontáneas y estimuladas
Transiciones radiativas espontáneas y estimuladas
Un sistema ligado de cargas eléctricas, como es el caso de átomos, moléculas, sólidos o núcleos, que se halle en un nivel de energía
excitado, puede pasar a un nivel de menor energía de manera espontánea (Fig. (a)), pero si se encuentra presente radiación de la
frecuencia apropiada, el sistema puede ser inducido o estimulado a pasar al nivel inferior (Fig. (b)). En cualquier caso, el sistema emite
radiación (un fotón).
La transición de un sistema de un nivel de energía menor a uno mayor con la absorción de energía (Fig. (c)) es también una transición
inducida ya que puede darse sólo en presencia de radiación electromagnética de la frecuencia apropiada, de manera que el sistema pueda
absorber la energía de un fotón. Las transiciones de absorción pueden producirse también en colisiones inelásticas.
La probabilidad de emisión espontánea de radiación depende únicamente de la estructura interna del sistema. Por otro lado, la emisión o
absorción inducida de radiación es producida por el campo electromagnético de la radiación que incide sobre el sistema. Por tanto, la
probabilidad de una transición inducida depende de la intensidad de la radiación, además de la estructura interna del sistema.
Transiciones radiativas: a) Emisión espontánea; b) emisión inducida; c) absorción inducida. En todos los casos h = E2 - E1.
Hasta cierto punto, las transiciones inducidas pueden considerarse como oscilaciones forzadas del sistema y, por consiguiente, pueden
tener una diferencia de fase fija con respecto a la radiación incidente. Esto significa que en el caso de la emisión inducida, todos los
sistemas emiten en fase con la radiación incidente, produciendo una radiación monocromática coherente. Por otro lado, las transiciones
de emisión espontáneas ocurren al azar, dando como resultado una que, aunque monocromática, es incoherente.
Radiación del cuerpo negro Se considera una cavidad cuyas paredes están a cierta temperatura. Los átomos del material que compone las paredes emiten radiación
electromagnética y al mismo tiempo absorben la emitida por otros átomos de la pared. El campo de radiación electromagnética ocupa la
cavidad entera. Cuando la radiación atrapada dentro de la cavidad alcanza el equilibrio con los átomos de las paredes, la cantidad de
energía que emiten los átomos por unidad de tiempo es la misma que la absorbida por ellos. En consecuencia, cuando la radiación de la
cavidad está en equilibrio con las paredes, la densidad de energía del campo electromagnético es constante.
Figura 1. La apertura hacia la cavidad existente en el interior de un objeto hueco es una buena aproximación de lo que es un cuerpo negro. La luz penetra
por el pequeño orificio e incide sobre las paredes interiores, donde una parte absorbida y otra es reflejada en ángulos aleatorios. Las paredes de la cavidad
vuelven a radiar con longitudes de onda correspondientes a su temperatura, produciendo ondas estacionarias dentro de la cavidad. Parte de la energía proveniente de estas ondas estacionarias pueden abandonar la cavidad a través del orificio.
Los experimentos muestran que, en el equilibrio, la radiación electromagnética atrapada tiene una distribución de energías bien definida;
es decir, a cada frecuencia corresponde una densidad de energía que sólo depende de la temperatura de las paredes y es independiente de
su material. La densidad de energía correspondiente a una radiación cuya frecuencia está entre f y f + df se escribe como E(f) df, donde
E(f) es la densidad de energía por unidad de intervalo de frecuencia, en ocasiones llamada densidad de energía monocromática. En la
figura siguiente se muestra la variación observada de E(f) con la frecuencia, para dos temperaturas. En las curvas se puede ver que para
cada temperatura la densidad de energía muestra un máximo pronunciado a una cierta frecuencia o longitud de onda. La frecuencia a la
que la densidad de energía es máxima aumenta (o la longitud de onda disminuye) a medida que aumenta la temperatura. Esto explica el
cambio de color de un cuerpo radiante conforme cambia su temperatura.
Si se abre un pequeño agujero en una de las paredes de la cavidad, algo de la radiación escapa y puede ser analizada sin perturbar el
equilibrio térmico de la cavidad. El agujero aparece muy brillante cuando el cuerpo está a altas temperaturas y la intensidad de la
radiación de equilibrio dentro de la cavidad es alta, pero aparece completamente negro a bajas temperaturas, cuando la intensidad de la
radiación de equilibrio es despreciable en la región visible del espectro. Por tal razón la radiación que sale de la cavidad fue llamada
radiación de cuerpo negro por los primeros científicos que la analizaron en el siglo XIX.
El problema de explicar cómo los átomos producen la distribución de energía observada de la radiación de cuerpo negro condujo a la
formulación de la teoría cuántica. A fines del siglo XIX, todos los intentos por explicar la distribución de energía de cuerpo negro
mediante los conceptos aceptables en la época fallaron por completo. Max Planck (1858-1947) sugirió que si la radiación de la cavidad
estaba en equilibrio con los átomos de las paredes, debería existir una correspondencia entre la distribución de energía de la radiación y las
energías de los átomos de la cavidad. Como modelo de los átomos radiantes, Planck supuso que
los átomos se comportan como osciladores armónicos que absorben o emiten energía de radiación solamente en cantidades
proporcionales a su frecuencia .
Si E es la energía absorbida o emitida en un solo proceso de interacción de un oscilador con la radiación electromagnética, entonces,
según la suposición de Planck, E = hf, donde h es una constante de proporcionalidad, igual para todos los osciladores sin importar su
frecuencia. Así, cuando un oscilador absorbe o emite radiación electromagnética, su energía aumenta o disminuye en la cantidad hf. La
sugerencia de Planck implica que
la energía de los osciladores atómicos está cuantizada.
Figura 2. Densidad de energía monocromática de radiación de cuerpo negro a diferentes temperaturas como función de la frecuencia.
Esto es, la energía de un oscilador de frecuencia y puede tener sólo ciertos valores: 0, hf, 2hf, 3hf, ... (suponiendo que la mínima energía
del oscilador es cero). Así, en general, los valores posibles de la energía de un oscilador de frecuencia son
nE nhf
donde n es un entero positivo. Como ya se sabe, la energía de un oscilador es proporcional al cuadrado de su amplitud y, a priori,
ajustando la amplitud de las oscilaciones, se puede hacer que un oscilador de una frecuencia dada tenga cualquier energía deseada. Por
tanto, la idea de Planck fue una suposición ad hoc que podía justificarse sólo porque ―funcionaba‖ y porque en aquella época (1900) no
había una mejor explicación. En la actualidad se reconoce que la cuantización de algunas cantidades físicas es un hecho fundamental de la
naturaleza.
Aplicando algunas consideraciones de naturaleza estadística, y usando la ley de distribución de Maxwell-Boltzmann, E kT
EN Ae (k =
1,3806504 10-23
J/K, es la constante de Boltzmann), junto con En = nhf, Planck obtuvo la densidad de energía de la radiación de cuerpo
negro como 3 3
3
8 1 J mHz1hf kT
hfE f
c e
Esta expresión, que concuerda sorprendentemente bien con los valores experimentales de E(f) a diferentes temperaturas, ha sido aceptada
como la expresión correcta para la radiación de cuerpo negro. Se conoce como ley de radiación de Planck.
Como la constante h en la ecuación fue introducida por Planck, se llama constante de Planck. Al hacer que la ecuación concordara con los
valores experimentales para E(f), Planck obtuvo primero el valor de h = 6.6256 10-34
J s, que concuerda con los valores obtenidos años
más tarde a partir de los efectos fotoeléctrico y Compton y de los espectros atómicos y moleculares.
En realidad, Planck obtuvo esta ecuación de manera empírica, como la expresión matemática que mejor se adaptaba a la distribución
experimental de energía que se muestra en la figura de arriba, y después buscó una explicación teórica basada en la cuantización de la
energía. Más adelante, Einstein y otros perfeccionaron la derivación de Planck.
La obtención de una Ley de distribución:
A finales del siglo XIX era un problema crucial en la Física explicar la radiación emitida por un cuerpo caliente. Se sabía, en definitiva,
que la intensidad de dicha radiación aumenta con la longitud de onda hasta un valor máximo y, a continuación, disminuye al aumentar la
longitud de onda. También se conocía que el origen de esa radiación radica en las vibraciones de los átomos del cuerpo caliente que se
comportaban como resonadores armónicos en toda la gama de frecuencias. Para el caso del cuerpo negro, emisor perfecto, que absorbe
toda la radiación que recibe, la termodinámica habría de ser capaz de conseguir una expresión teórica.
La Ley de Distribución de Wien:
El físico Wilheim Wein había dado en 1896 su ley de distribución de intensidad o emisividad, bastante aceptable para pequeñas longitudes
de onda: 3
2 2
2 W
m
hf kThfI f df e df
c
o, en función de la longitud de onda, haciendo f=c/ , df = (c/2)d , donde I d = - I f df:
2
5 2
2 W
m
hc kThcI d e d
(h: constante de Planck, c: velocidad de la luz en el vacío, k: constante de Boltzman).
La expresión de la densidad de energía electromagnética de equilibrio se expresar por:
3 3
3
J4 8 m,
Hz
hf kThfE f T I f e
c c
o, en función de la longitud de onda, por:
3
5
J4 8 m,
m
hc kThcE T I e
c
La Ley de Distribución Rayleigh-Jeans:
La ley es derivada de argumentos de la física clásica. Lord Rayleigh obtuvo por primera vez el cuarto grado de la dependencia de la
longitud de onda en 1900; una derivación más completa, la cual incluía una constante de proporcionalidad, fue presentada por Rayleigh y
Sir James Jeans en 1905. Ésta agregaba unas medidas experimentales para longitudes de onda. Sin embargo, ésta predecía una producción
de energía que tendía al infinito ya que la longitud de onda se hacía cada vez más pequeña. Esta idea no se soportaba por los experimentos
y la falla se conoció como la catástrofe ultravioleta.
Lord Rayleigh y James Jeans dedujeron una ley capaz de explicar los resultados de longitudes de onda largas, pero predecía que el cuerpo
debería tener una emisión masiva de energía a longitudes de onda cortas. Un sinsentido conocido como ''catástrofe ultravioleta''. La
expresión de la emisividad o intensidad en función de la longitud de onda era:
4 2
2 W
m
kTcI d d
y la densidad de energía electromagnética por unidad de longitud de onda en equilibrio:
4
4 8,
kTE T I
c
La ley de Wien, obtenida a partir de los principios de la Física clásica,
coincide con los resultados experimentales sólo en la zona de las ondas
cortas, mientras que para la zona de las ondas largas estaba en
contradicción con estos resultados.
La Fórmula de Rayleigh-Jeans, deducida basándose en las mismas
consideraciones clásicas, sólo coincide con los resultados experimentales
para la región de las ondas largas, mientras que no se ajusta a la realidad
para la región de las ondas cortas. "Catástrofe Ultravioleta"
La Ley de Distribución de Planck:
El 19 de octubre de 1900 Max Planck presentó en la Sociedad de Física de Berlín un artículo en el que logró explicitar una nueva ley de
distribución que, hasta la fecha, ha resistido todos los hechos experimentales. La ley de Distribución de Planck coincide con la ley de
Distribución de Wien para longitudes de onda cortas y con la ley de Rayleigh-Jeans para longitudes de onda largas. 3
2
2 1
1hf kT
hfE f df df
c e
o, en función de la longitud de onda, haciendo f=c/ , df = (c/2)d , donde E d = - E f df:
2
5
2 1
1hc kT
hcE d d
e
y la densidad de energía electromagnética en la radiación de equilibrio:
3
5
J4 8 1 mE ,
m1hc kT
hcT I
c e
Radiación cósmica de fondo.
4
Una aplicación interesante de la expresión de Planck para la radiación de cuerpo negro es en el análisis de lo que se conoce como
radiación cósmica de fondo. La existencia de dicha radiación fue propuesta por Ralph Alpher y Robert Herman en 1948. En 1961, Arno
Penzias y Robert Wilson, que se hallaban probando un detector de microondas muy sensible en Bell Telephone Laboratories, en Estados
Unidos, hicieron un descubrimiento inesperado. Encontraron que, sin importar la dirección en la que orientaran el detector, aparecía una
radiación de fondo que siempre tenía la misma intensidad y distribución espectral. Incluso, la radiación era la misma si las mediciones se
hacían de día o de noche, y durante todo el año. Esto demostró que la radiación es independiente de la rotación y movimiento orbital
terrestre y que, por consiguiente, debe provenir de fuera del sistema solar, e incluso de fuera de la galaxia. La distribución espectral se
parece bastante a la radiación de cuerpo negro a una temperatura de 2.7K aproximadamente. Gracias al trabajo de Robert Dicke, James
Peebles y muchos otros, ahora se acepta que la radiación de 2.7K se extiende por todo el universo y es un residuo de la radiación
electromagnética que se produjo poco después de la Gran Explosión, cuando el universo estaba a una temperatura extremadamente alta.
Debido a la expansión del universo y su correspondiente enfriamiento, la radiación electromagnética original se ha desplazado hacia el
rojo o longitudes de onda más grandes, o lo que es equivalente, a temperaturas más bajas.
Hasta hace poco había sido difícil medir, con precisión, el espectro completo de la radiación cósmica de fondo, en particular a longitudes
de onda cortas (es decir, altas frecuencias), debido a la dispersión de la radiación por la atmósfera. Sin embargo, con instrumentos a bordo
de satélites, ha sido posible eliminar los efectos de la atmósfera. En la figura 57 se muestra el espectro de la radiación cósmica de fondo
medida por el espectrómetro absoluto del infrarrojo lejano (Far Infrared Absolute Spectrometem, FIRAS), a bordo del satélite explorador
de la radiación cósmica de fondo (Cosmic Background Explorer, COBE), lanzado en noviembre de 1989. FIRAS tardó sólo 9 minutos de
observación, en dirección cercana al polo norte galáctico, para obtener los datos, los cuales han sido ajustados a un espectro de radiación
de cuerpo negro de Planck correspondiente a 2.726 ±0.005K. La concordancia es excelente en todas las longitudes de onda (o
frecuencias). Éste es un ejemplo de la importancia de la investigación espacial.
Figura 3Espectro de la radiación cósmica de fondo medido por el Faz
Infrared Absolute Spectrometer (FIRAS) que se encuentra a bordo del
satélite Cosmic Background Explorer (COBE). Los datos se han ajustado a la curva de radiación de cuerpo negro a una temperatura de
2.726K.
En realidad la radiación cósmica de fondo no es exactamente isótropa, sino que muestra una ligera asimetría en la dirección del cúmulo de
galaxias Virgo; ésta se atribuye a un efecto Doppler debido al movimiento de nuestra galaxia en esa dirección, con velocidad de 3 106m/s.
A este respecto es posible definir un sistema de referencia ―preferente‖, en el cual la radiación cósmica de fondo sea exactamente isótropa.
Análisis de las transiciones espontáneas y estimuladas. Deducción de la ley de radiación de Planck
Considere una sustancia cuyos átomos o moléculas pueden estar en los estados de energía E1 y E2. Por ejemplo, E1 puede corresponder al
estado fundamental y E2 a uno excitado. Suponga que incide radiación de frecuencia f = (E2 - E1)/h sobre la sustancia. Los átomos en el
estado E1 pueden absorber fotones de energía hf y pasar al estado de mayor energía E2. También, los átomos en el estado E2 pueden emitir
fotones de energía hf y pasar al estado E1, ya sea de manera espontánea o estimulada por la radiación. Si N1 y N2 son el número de átomos
en los estados E1 y E2 en un instante dado, se puede escribir
1
Rapidez de absorción Probabilidad de
de energía absorción estimuladaN
2
Rapidez de emisión Probabilidad de Probabilidad de
de energía emisión espontánea emisión estimuladaN
Las probabilidades de absorción y emisión estimuladas son proporcionales a la intensidad de la radiación. Por otro lado, la probabilidad de
emisión espontánea es independiente de la presencia de radiación. Si la sustancia está en equilibrio térmico, el número de ocupación N2 es
mucho menor que N1. Por tanto, a menos que la intensidad de la radiación sea muy alta o la población del estado de mayor energía se
incremente por algún medio, como se vio en la sección anterior, la absorción predomina sobre la emisión de radiación. Hay una intensidad
de radiación particular para la cual es posible que la absorción iguale a la emisión sin perturbar el equilibrio térmico.
Cuando materia y radiación están en equilibrio térmico no se produce absorción o emisión neta de radiación porque, en promedio, el
número total de transiciones de absorción y emisión es el mismo. Esto significa que si un fotón de la radiación incidente es absorbido por
un átomo que pasa a un estado de mayor energía, otro átomo en el mismo estado excitado pronto emitirá un fotón de la misma energía,
como resultado de una transición de emisión espontánea o estimulada. Así, en promedio, los números de ocupación N1 y N2 permanecen
constantes. Combinando la expresión anterior para la rapidez de absorción y de emisión, el equilibrio térmico entre materia y radiación se
puede expresar mediante la siguiente relación:
2 1
Probabilidad de Probabilidad de Probabilidad de
emisión espontánea emisión estimulada absorción estimuladaN N
Si la sustancia está en equilibrio térmico, los números de ocupación N1 y N2 están determinados por la ley de distribución de Maxwell-
Boltzmann, ecuación
iE kT
i i
Nn e
ZG
Como la frecuencia de la radiación emitida o absorbida está dada por hf = (E2 - E1), se tiene
2 12
1
E E kT hf kTNe e
N
Insertando esta relación, se obtiene
Probabilidad de Probabilidad de Probabilidad de
emisión espontánea emisión estimulada absorción estimulada
hf kTe
que expresa la condición de equilibrio entre materia y radiación de frecuencia a la temperatura T. Mediante las técnicas de la mecánica
cuántica, es posible demostrar que las probabilidades de emisión y de absorción estimuladas son iguales, hecho reconocido por primera
vez por Einstein en 1916. Entonces la ecuación anterior se puede escribir como
Probabilidad de emisión espontánea1
Probabilidad de emisión estimulada
hf kTe
Esta relación muestra que en el extremo de alta frecuencia del espectro de radiación de cuerpo negro, para el cual la energía del fotón hf es
5
mucho mayor que la energía térmica kT (hf/kT >> 1), la emisión espontánea es más importante que la estimulada, mientras que ocurre lo
contrario en el extremo de bajas frecuencias del espectro, para el cual hf/kT << 1.
La relación anterior fue utilizada por Einstein para deducir la distribución de energía de la radiación en equilibrio térmico con la materia a
temperatura T, sin hacer ninguna suposición específica acerca de los osciladores atómicos, como lo hizo originalmente Planck. Para
simplificar la escritura se designa con A12 la probabilidad de emisión espontánea entre los estados 1 y 2. La probabilidad de emisión
estimulada es proporcional a la densidad de energía E(f) de la radiación correspondiente a las frecuencias entre f y f + df. Entonces se
puede designarla con B12 E(f) y la ecuación queda
12 12 12
12
1 o E ,, 1
hf kT
hf kT
A A Be f T
B E f T e
Calculando el cociente A12/B12, lo cual es algo complejo para hacerlo aquí, Einstein obtuvo la ley de radiación de Planck, ecuación, para la
distribución de energía en la radiación de cuerpo negro; esto es
3 3
3
J8 1 m,
m1hf kT
hfE f T
c e
Ejemplo 1: Expresar la densidad de energía monocromática de la radiación de cuerpo negro en función de la longitud de onda.
Solución: En algunas ocasiones es preferible expresar la densidad de energía monocromática en función de la longitud de onda en vez de
la frecuencia. Se define E conforme a la relación E d = - E f df. El signo menos se debe a que d y df tienen signos opuestos
mientras que E y E f son positivas. Como f = c/ , se tiene 2df d c y 2E E f df d E f c
Reemplazando 3
3
8 1
1hf kT
hfE f
c e y reemplazando f = c/ , se obtiene finalmente
3
5
J m8,
m
1
1hc kT
hcE T
e
En la figura se muestra el gráfico de E( ) para diversas temperaturas. Presenta un pico pronunciado para una longitud de onda que
depende de la temperatura.
Figura 4 Densidad de energía monocromática de la radiación de cuerpo negro en función de la longitud de onda para diversas temperaturas.
Ejemplo 2: Encontrar la longitud de onda para la cual la densidad de energía monocromática de la radiación de cuerpo negro es máxima a
una temperatura dada (Deducción de la Ley de desplazamiento de Wien).
Solución: Usando la ecuación para E( ) y, para simplificar, se hace x = hc/ kT; la expresión de E( ) se convierte entonces en 5 5 5
4 4
8
1x
k T xE x
c h e
Para encontrar el máximo de E( ) se calcula dE/dx y se iguala a cero. La ecuación resultante es
5 5 0xx e
Esta es una ecuación trascendente que se resuelve por aproximaciones sucesivas obteniendo x = 4,9651. Por lo tanto: T = b, donde b =
hc/4,9651k = 2,8976 10-3
m K se denomina constante de desplazamiento de Wien. La expresión
T = b (68)
constituye la ley de desplazamiento de Wien, descubierta en 1896 por Wilhelm Wien. Esta ley establece que los máximos de E( ) a
diferentes temperaturas T1, T2, T3,… ocurren para las longitudes de onda 1, 2, 3, ... tales que
1 1 2 2 3 3T T T
Obsérvese que a medida que la temperatura del cuerpo aumenta, el máximo de su distribución de energía se desplaza hacia longitudes de
onda más cortas, lo cual origina un cambio de color en el cuerpo. La ley de desplazamiento de Wien es por lo tanto muy útil para
determinar la temperatura de cuerpos calientes, como hornos o estrellas, hallando la longitud de onda para la cual la intensidad de la
radiación es máxima.
La ley de Wien también proporciona un método para determinar h en función del valor experimental de b y de su definición en función de
h, c y k dada anteriormente. La compatibilidad de los resultados con otras determinaciones de h es otra prueba de la corrección de la ley de
distribución de Planck.
Ejemplo 3: Obtener la densidad total de energía de la radiación de cuerpo negro en función de la temperatura (deducción de la ley de
Stefan-Boltzmann). El fotón, es parte del gas de la radiación cósmica de fondo, se caracteriza por tener una longitud de onda inversamente proporcional a su energía. Los fotones «calientes» son azules y tienen una longitud de onda corta; los «fríos» son rojos y de longitud de onda larga. En un gas de fotones con muchas
longitudes de onda distintas, la temperatura del gas será la energía media de los fotones que contenga. Así pues, la longitud de onda media de un fotón del
gas es inversamente proporcional a la temperatura del gas. Imaginemos al universo contrayéndose, todos sus fotones cambiarían al azul: disminuiría su
longitud de onda, aumentaría su flujo de energía media de radiación FR y, en consecuencia, aumentaría proporcionalmente a T, su temperatura: FR ~ T. Si se considera un volumen V cualquiera de espacio, ocupado por un gas de fotones, se ve que también se contrae con el espacio. Como un volumen es el
cubo de una longitud y todas las longitudes, y entre ellas las longitudes ondulatorias de los fotones se contraen al aumentar la temperatura, se deduce de
ello que cualquier volumen de espacio decrece al hacerlo el inverso de la temperatura al cubo: V T-3. La densidad energética del gas de fotones será la energía de los fotones dividida por el volumen del gas. Como el flujo de energía media de los fotones, es proporcional a la temperatura, y ésta ha de
dividirse por el volumen, V, se deduce de ello que la densidad energética, del gas de fotones es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura: F/V ~
T4, relación que se conoce por el nombre de sus descubridores, como ley de «Stefan-Boltzmann». Todo esto significa resumiendo, que si se sabe la
6
temperatura de un gas de fotones se conoce también su densidad energética. Dado que se sabe que en el universo actual la temperatura de este gas es de unos 3°K, se puede calcular la densidad de energía radiante y compararla con la densidad de energía material.
Todos los objetos cuya temperatura está sobre el cero absoluto emiten radiación. La longitud de onda correspondiente a esa emisión de
radiación depende sobre todo de la temperatura del objeto emisor. Mientras más alta es la temperatura más corta es la longitud de onda de
la radiación emitida. La relación por segundo entre la temperatura de los objetos y la energía emitida por el área de la superficie, el flujo
de la energía, intensidad o emisividad F, es descrita por la ley de Stefan-Boltzmann, fue descubierta empíricamente en 1879 por Josef
Stefan y demostrada teóricamente por Ludwig Boltzmann algunos años más tarde usando métodos termodinámicos:
2
4
m.
WTF
Solución: Como E(f) df es la densidad de energía en el intervalo df de la radiación de cuerpo negro, la densidad total de energía es 3
3
0 01.
8hf kT
h f dfE E f df
c e
Es evidente que E es igual al área bajo la curva E(f) de la fig. 2. Introduciendo la variable x = hf/kT, se tiene df = (kT/h) dx y 4 3
3
0
8.
1x
h kT x dxE
hc e
El valor de esta integral es 6,4938, por lo que
E = aT4, (69)
donde
a = 51,9504 k4/c
3h
3 = 7,5643 10
-16 J m
-3 K
-4.
Para llegar a la ley de Stefan-Boltzmann, se considera la intensidad específica integrada I(T) de un cuerpo negro, cuya relación con la
densidad total de energía de radiación esta dada por la formula:
4.E
cI Permite encontrar .
4E
cI
Introduciendo en esta relación el valor de E para el cuerpo negro, que dio E = aT4, en donde a es la constante de la densidad de energía de
radiación, se obtiene:
4
4.T T
caI
I(T) es simplemente el área baja de la curva en la figura 5. Ahora bien, considerando que la radiación es isotrópica y homogénea, el flujo
integrado será:
4.4
T Tca
F
La constante ca/4 es la constante de Stefan - Boltzmann de la radiación. Se designa por y su valor es: 5,6693 10-8
W m-2
K4.
Figura 5 La «ley de Stefan-Boltzmann», expresa que el flujo emitido por una superficie que radia como un cuerpo negro varía con la cuarta potencia de
su temperatura.
La proporcionalidad de E o F a T4 ha sido verificada experimentalmente. Usando los valores medidos de a o de se puede recalcular h
obteniéndose nuevamente el mismo valor. Se puede usar la ley de Stefan-Boltzmann para determinar la temperatura de un cuerpo negro
midiendo su emisividad de radiación.
La intensidad de la radiación emitida por un cuerpo negro con una temperatura T viene dada por la ley de Planck:
23
2
W
m2 1,
4 1sr
Hzhf kT
c hff T E f
c eI
donde I(f) df es la cantidad de energía por unidad de área, unidad de tiempo y unidad de ángulo sólido emitida en el rango de frecuencias
entre f y f + df. NOTA: El ángulo sólido es el ángulo espacial que abarca un objeto visto desde un punto dado, que se corresponde con la zona del espacio limitada por
una superficie cónica. Mide el tamaño aparente de ese objeto. La unidad del ángulo sólido en el SI es el estereorradián, cuyo símbolo es sr.
También puede expresarse la intensidad de la radiación por unidad de longitud de onda a partir de E( ) 2
5
2W
4
m2 1
1 mhc kT
c hc
eI = E
Se debe anotar que la mayoría de los cuerpos radiantes – como el sol, un filamento incandescente o un gas caliente – no se comportan
como cuerpos negros y por lo tanto no siguen rigurosamente las relaciones obtenidas en esta sección.
Ejemplo 4: Compruebe que las fórmulas de Rayleigh-Jeans para longitudes de onda largas y de Wien para longitudes de onda cortas son
casos extremos de la fórmula de Planck:
Solución:
- Para longitudes de onda largas:
1 1hc
kThc hc
ekT kT
reduciéndose la fórmula de Planck a 2
5 4
2 2hc kT ckTE d d d
hc
que es la ley de Distribución de Rayleigh-Jeans.
7
- Para longitudes de onda cortas:
11
1
hc
kThc
kT
hce
kTe
y se tiene, al sustituir, que 2
5
2 hc kThcE d e d
que es la ley de Distribución de Wien.
Emisión fotoeléctrica
En un tubo de rayos catódicos, los electrones son emitidos de un electrodo metálico (el cátodo) como consecuencia del bombardeo del
electrodo por iones positivos del gas contenido en el tubo. Otro proceso por el cual se emiten electrones de la superficie de un metal fue
descubierto por Hertz en 1887. En la figura se muestra un modelo posterior de su aparato. Un tubo de vidrio contiene un electrodo de
metal pulido llamado fotocátodo, y un segundo electrodo en la forma de placa metálica perforada. La diferencia de potencial entre los dos
electrodos es de algunos voltios (normalmente el segundo electrodo es positivo respecto al fotocátodo). Se observa que fluye una corriente
a través del tubo, cuando se hace pasar luz ultravioleta (frecuencia ~ 1016
seg-1
) por el segundo electrodo perforado, e incide sobre la
superficie interna del fotocátodo. A este fenómeno se le llama efecto fotoeléctrico. El efecto persiste aun cuando en el tubo se haya
reducido la presión considerablemente, lo que implica que los iones gaseosos no son los portadores de la corriente. Los experimentos en
los que se aplicaba un campo magnético en la región entre el fotocátodo y el segundo electrodo indican que la corriente consistía de un
flujo de partículas cargadas negativamente. El descubrimiento de Thomson sobre la existencia de los electrones sugería que las partículas
cargadas negativamente en el efecto fotoeléctrico podían ser también electrones liberados del fotocátodo como resultado del bombardeo
con la luz ultravioleta. Esta hipótesis fue confirmada por Lenard en 1900, quien midió la relación e/m para las partículas fotoeléctricas y
mostró que su valor era igual al que se tiene para el electrón.
Figura 6. Una celda fotoeléctrica.
Los experimentos de Lenard aclararon la cuestión relativa a la identidad de las partículas fotoeléctricas, pero también mostraron que
algunas propiedades del efecto fotoeléctrico eran difíciles de entender en términos de la física clásica. Lenard midió la corriente que
llegaba al segundo electrodo como función del potencial entre este electrodo y el fotocátodo, manteniendo fijos los demás parámetros. En
la figura se representan sus datos. Una característica interesante de estos datos es que todavía llega corriente al segundo electrodo aun
cuando el potencial V de ese electrodo es negativo respecto al fotocátodo. Un potencial con este signo tenderá, por supuesto, a repeler a
los fotoelectrones cargados negativamente. Esto significa obviamente que los fotoelectrones son emitidos del fotocátodo con energía
cinética no despreciable. La forma de la curva indica que no todos los fotoelectrones poseen la misma energía cinética; pero existe un
punto extremo bien definido en V = -Vmáx que muestra la existencia de una energía máxima bien definida ~ eVmáx, donde e es la magnitud
de la carga electrónica. Rápidamente se sugirió que los fotoelectrones de energía máxima eran emitidos de la superficie del fotocátodo,
mientras que los fotoelectrones de energía menor provenían del interior del fotocátodo y perdían energía cinética para llegar a la
superficie. Esta sugerencia implica que Emáx es una buena medida de la energía comunicada a un electrón en el proceso fotoeléctrico.
Lenard efectuó una serie de medidas, del tipo indicado en la figura, en función de la intensidad de la luz ultravioleta incidente. Encontró
que la corriente fotoeléctrica para valores positivos de V (para los cuales los fotoelectrones de cualquier energía cinética llegarán al
segundo electrodo) era directamente proporcional a la intensidad luminosa. Sin embargo, se observaba que el potencial de corte, -Vmáx era
independiente de la intensidad luminosa. Entonces, la energía máxima adquirida por los fotoelectrones no depende de la intensidad de la
luz incidente.
Figura 7 Dependencia del voltaje de la corriente liberada en una celda fotoeléctrica.
El proceso por el cual se liberan electrones de un material por la acción de la radiación se denomina emisión fotoeléctrica o efecto
fotoeléctrico. Los electrones emitidos se denominan fotoelectrones debido al método de producción. La emisión electrónica aumenta
cuando aumenta la intensidad de la radiación que incide sobre la superficie del material, ya que hay más energía disponible para liberar
electrones; pero, también se observa que depende en forma característica de la frecuencia de la radiación incidente. Esto significa que para
cada sustancia hay una frecuencia umbral o mínima 0 de la radiación electromagnética. La figura muestra la corriente fotoeléctrica en
función de la frecuencia de la radiación electromagnética incidente.
Figura 8 Corriente fotoeléctrica en función de la frecuencia de la radiación incidente.
Más acerca de los fotones: efecto fotoeléctrico en metales
8
El efecto fotoeléctrico es la emisión de electrones de metales y otras sustancias cuando absorben energía de una onda electromagnética.
En 1887, Heinrich Hertz observó que al iluminar con luz ultravioleta los electrodos entre los cuales se produce una descarga eléctrica
podía aumentarse la intensidad de la descarga. Esto sugirió la disponibilidad de más partículas cargadas, identificadas más tarde como
electrones. Un año después, Wilhelm Hallwachs (1859-1922) observó una emisión de electrones cuando iluminaba la superficie de ciertos
metales, como Zn, Rb, K, Na, etc. Estos electrones se conocen como fotoelectrones, debido al método de producción.
La emisión electrónica aumenta con la intensidad de la radiación incidente en la superficie metálica, puesto que hay más energía
disponible para liberar electrones, pero se observa también una dependencia con la frecuencia característica de la radiación. Para cada
sustancia existe una frecuencia mínima f0 de radiación electromagnética tal que, para una radiación de frecuencia menor que 0, no hay
producción de fotoelectrones, sin importar la intensidad de la radiación. Además, la energía cinética máxima de los fotoelectrones varía
linealmente con la frecuencia de la radiación electromagnética y es independiente de la intensidad de la radiación.
El efecto fotoeléctrico puede explicarse de manera sencilla si se usa el concepto de fotón. En un metal los electrones de la banda superior
o de conducción son más o menos libres de moverse por la red cristalina. Estos electrones están confinados en el metal mediante una
barrera de potencial situada en la superficie. A menos que los electrones tengan suficiente energía para sobrepasar esta barrera, no pueden
escapar del metal (Fig. 9). Una manera de aumentar la energía de los electrones es aumentando la temperatura del metal. Otra forma de
liberar electrones de un metal es mediante la absorción de energía de la radiación electromagnética.
Figura 9 Función de trabajo de un metal.
Sea la energía necesaria para que un electrón escape de un metal dado. Entonces, si el electrón absorbe una energía E mayor que , la
diferencia E - es la energía cinética del electrón al escaparse y se puede escribir
kE E
De acuerdo con el concepto de fotón, la energía de una onda electromagnética absorbida por un electrón debe ser la de un fotón. Por tanto,
si es la frecuencia de la radiación, entonces E = hf, según la ecuación 10, y se puede escribir la ecuación anterior como
kE hf
Esta ecuación fue propuesta por primera vez por Albert Einstein en 1905, antes de que se introdujera el concepto de fotón, con el fin de
ajustar los datos experimentales. La gran contribución de Einstein fue proponer que los electrones absorben energía electromagnética en
cantidades o cuantos iguales a hf, siguiendo una teoría desarrollada por Max Planck para explicar la radiación de cuerpo negro. Sin
embargo, Einstein no aceptó el concepto de fotón durante muchos años.
No todos los electrones requieren la misma energía para escapar de un metal. Los que ocupan los estados superiores de la banda de
conducción, cercanos al nivel de Fermi, necesitan menos energía. A la energía mínima 0 se la llama función de trabajo del metal (Fig.
9). Entonces la máxima energía cinética de los electrones es
, 0k máxE hf
A partir de esta ecuación se ve que la energía cinética del electrón es cero para la frecuencia f0 = 0/h. Por tanto, 0 es la frecuencia umbral
o frecuencia mínima a la cual hay emisión fotoeléctrica. Para frecuencias menores que 0 no hay emisión. La función de trabajo 0 se
puede calcular en términos de f0 y h y el valor obtenido concuerda con el calculado por otros métodos, confirmándose la validez de esta
ecuación.
No hay necesidad de tener en cuenta la conservación del momentum en el efecto fotoeléctrico pues el electrón que absorbe radiación
electromagnética está ligado a la red cristalina del metal y el momentum del fotón absorbido es compartido por el electrón y la red. Sin
embargo, debido a la masa relativamente grande de la red, su energía cinética es despreciable y podemos suponer (sin incurrir en un error
considerable) que toda la energía del fotón pasa al electrón.
El efecto fotoeléctrico es importante no sólo porque es uno de los fundamentos experimentales de la teoría cuántica, sino también debido a
sus múltiples aplicaciones prácticas, como las fotoceldas y los fotómetros que se usan en diferentes dispositivos, como en cámaras
fotográficas y de vídeo, para determinar la intensidad de la iluminación.
Verificación experimental de la ecuación de Einstein
La máxima energía cinética Ek, máx de los fotoelectrones se puede medir con el método indicado en la figura 10. Aplicando una diferencia
de potencial V entre las placas A y C, se puede retardar el movimiento de los fotoelectrones emitidos por A cuando incide en ella radiación
electromagnética de frecuencia f. A un voltaje dado la corriente indicada por el electrómetro E, cae súbitamente a cero, indicando que no
hay electrones que lleguen a C, ni siquiera los más rápidos. Entonces, mediante la ecuación si Ek, máx = eV0 y la ecuación de arriba se
transforma en
0 0eV hf
Cambiando la frecuencia , se puede obtener una serie de valores para el potencial de frenado V0,. Si esta ecuación es correcta, la gráfica
V0 en función de debe ser una línea recta, como se muestra en la figura 11. La pendiente de la recta es tan = h/e. Midiendo , y
utilizando el valor conocido de e, se puede calcular la constante de Planck, h, obteniéndose el mismo resultado hallado para el efecto
Compton, o viceversa. Esta concordancia se puede considerar como una justificación más del concepto de fotón.
Figura 10 Dispositivo experimental para la observación del efecto
fotoeléctrico.
Figura 11 Relación entre el potencial de frenado y la frecuencia en el efecto fotoeléctrico. Las cruces (X) indican puntos experimentales.
Nótese que tan = h/e.
Dispersión de radiación electromagnética por un electrón libre: efecto Compton
La dispersión de la radiación electromagnética por un electrón libre requiere que el electrón absorba energía de una onda electromagnética
y la emita como radiación dispersada. Una onda electromagnética posee energía y momentum, relacionados por p = (E/c)v, que es la
misma relación válida para una partícula de masa cero. Por tanto, si se retira de la onda una energía E, se debe retirar también de la onda
9
una cantidad correspondiente de momentum p = E/c.
Cuando la radiación electromagnética pasa por una región en la que hay electrones libres, además de la radiación incidente, se observa
otra radiación de frecuencia distinta. Esta nueva radiación se interpreta como la radiación dispersada por los electrones libres. La
frecuencia de la radiación dispersada es menor que la de la incidente y, en consecuencia, su longitud de onda es mayor que la de la
radiación incidente (Fig. 12). La longitud de onda de la radiación dispersada es también diferente para cada dirección de dispersión. Este
fenómeno se conoce como efecto Compton, en honor a ArthurH. Compton (1892-1962), quien fue el primero que lo observó y analizó en
1922.
Siendo la longitud de onda de la radiación incidente y ’ la de la dispérsada, Compton encontró que ’ está determinada solamente por
la dirección de dispersión. Esto es, si es el ángulo entre las ondas incidentes y la dirección en que son observadas las ondas dispersadas
(Fig. 13), la longitud de onda de la radiación dispersada ’ está determinada solamente por el ángulo . La relación experimental es
1 cosC
donde C es una constante cuyo valor, si se mide , y ’ en metros, es C = 2.4262 10-12
m. Se conoce como longitud de onda de
Compton para electrones.
Figura 12 Distribución de la intensidad de la radiación dispersada por un electrón libre para diferentes ángulos de dispersión.
Figura 13 Dispersión de Compton: colisión entre un fotón (o cuanto) con un electrón libre estacionario.
Recordando que = c/f, donde f es la frecuencia de la onda, se puede escribir la ecuación anterior de la forma
1 11 cosC
f f c
La dispersión de una onda electromagnética por un electrón puede considerarse como una ―colisión‖ entre la onda y el electrón, ya que
comprende un intercambio de energía y momentum. Además, como la onda se propaga con velocidad c y su relación energía-momentum,
E = cp, es similar a la relación para una partícula de masa cero, esta dispersión debe semejarse a una colisión en la que una de las
partículas tiene masa cero y se mueve con velocidad c. Se puede demostrar que si E y E’ son las energías de la partícula de masa cero
antes y después de la colisión,
2
1 1 11 cos
eE E m c
donde me es la masa de la otra partícula implicada en la colisión, en este caso un electrón, inicialmente en reposo con respecto al
observador. La semejanza entre las ecuaciones dos últimas ecuaciones es sorprendente y va más allá de un simple parecido algebraico.
Ambas se aplican a procesos de colisión, y la relación energía-momentum, E = cp, para una onda electromagnética es la misma que para
una partícula de masa cero. Una conclusión razonable es relacionar la frecuencia y de la onda y la energía E absorbida de la radiación
mediante
E hf
donde h es una constante universal que describe la proporcionalidad entre la frecuencia de una onda electromagnética y la energía
asociada con el proceso de ―colisión‖. Entonces la ecuación 3 queda
2
1 1 11 cos
ehf hf m c que se puede escribir como
2
1 11 cos
e
h
f f m c
y es parecida a la segunda ecuación. Entonces, por comparación, la longitud de onda de Compton para un electrón se relaciona con la
masa del electrón dispersante por medio de
2C
h
mc
A partir de los valores conocidos de C, me y c se puede obtener el valor h = 6.6261 10-34
Js o m2kg/s. Este es el valor de la constante de
Planck.
Un protón, que tiene una masa mayor que la del electrón, tiene una longitud de onda de Compton (usando el valor anterior de h) y la
ecuación anterioe da C,p = 1,3214 10-15
m
Este resultado ha sido confirmado experimentalmente al analizar la dispersión de rayos por protones libres, lo que nos asegura la validez
general de la suposición, E = hf. Sin embargo, debido a que la longitud de onda de Compton del protón es mucho menor que la del
electrón, el efecto Compton es mucho menos apreciable con los protones, a menos que la radiación tenga una longitud de onda muy corta,
como en el caso de los rayos .
Se puede concluir que es posible ―explicar‖ la dispersión de la radiación electromagnética por un electrón libre como si se tratara de una
colisión del electrón y una partícula de masa cero, la que se llama fotón, nombre propuesto por G. N. Lewis en 1926.
Demostración: Colisiones que implican una partícula de masa cero
Sean E y E’ las energías de la partícula de masa cero antes y después de la colisión; entonces p = E/c y p’ = E’/c son los valores
correspondientes del momentum. Se supone que la otra partícula (electrón) está inicialmente en reposo con respecto al observador. Dado
que pe es el momentum del electrón después de la colisión, los principios de conservación de energía y momentum dan
ep p p
2 2
e k eE m c E E m c
La relación entre energía cinética y momentum para un electrón es, 2
2 2 2 2
2
ek e e e
e
pE c m c p m c
m
entonces,
10
2 2 2 2
e e eE m c E c m c p
De la ecuación de arriba se obtiene pe =p - p’. Elevando al cuadrado se obtiene:
2 2 2 2 2
2
12 2 cosep p p E E EE
cp p
donde es el ángulo en que fue desviada o dispersada la partícula de masa cero. Despejando pe2 de la ecuación 9 se tiene
22 2 2 2 2 2 2
2 2
1 12 2e e e ep E m c E m c E E E E m c EE
c c
Igualando los dos resultados para pe2 y cancelando términos comunes, se obtiene
21 cos
e
EEE E
m c
Dividiendo ambos lados entre EE’ se llega a la ecuación:
2
1 1 11 cos
eE E m c
Fotones
La ―explicación‖ del efecto Compton implica las siguientes suposiciones: (a) la dispersión de radiación electromagnética por un electrón
libre se puede considerar como una colisión entre el electrón y una partícula de masa cero; (b) la radiación electromagnética juega el papel
de la partícula de masa cero que, por brevedad, de ahora en adelante se llamará fotón; y (c) la energía y el momentum de la partícula de
masa cero (o fotón) están relacionados con la frecuencia y la longitud de onda de la radiación electromagnética mediante
y h
E hf p k
donde = h/2 , = 2 f, k = 2 / .
La segunda relación se debe a que p = E/c = hf/c y f/c = 1/ . Así, se puede ―visualizar‖ el efecto Compton como la colisión ilustrada en la
figura 14, en la que un fotón de frecuencia choca con un electrón en reposo, transfiriéndole cierta energía y momentum. Como resultado
de la interacción, la energía del fotón dispersado es menor, con una frecuencia correspondiente menor ’. Una prueba adicional consiste
en verificar si el electrón, después de la dispersión, tiene un momentum igual a la diferencia entre el momentum del fotón incidente y del
dispersado. Es un experimento difícil, pero se ha llevado a cabo y el resultado es positivo.
En lugar de la sencilla colisión de la figura 14, el efecto Compton es más bien un proceso que ocurre en dos pasos, como en la figura 15.
Se puede interpretar la energía, E = hf, y el momentum, p = h/ , del fotón como la energía y el momentum absorbidos por el electrón libre
de la onda electromagnética incidente. Esto viola, momentáneamente, la conservación de energía y momentum. La energía E’ = hf’ y el
momentum p’ = h/ ’ del fotón corresponden a la energía y momentum de un fotón reemitido por el electrón hacia la radiación dispersada.
El electrón adquiere una energía E - E’ y gana un momentum p – p´, y se mantiene la conservación de energía y momentum.
Figura 14 Relaciones de momentum y energía en la dispersión de
Compton.
Figura 15 La dispersión de un fotón por un electrón es un proceso de
dos pasos con Ee + E = E’e + E´ y pe + p = p’e + p’.
De manera parecida, en la dispersión de radiación electromagnética por electrones ligados, los fotones provenientes de la onda incidente
son absorbidos por el átomo, la molécula o el núcleo que, posteriormente, emite otro fotón con igual o diferente energía (o frecuencia) en
la dirección de incidencia o en cualquier otra dirección. Mediante el concepto de fotón, la dispersión se puede expresar como A + h i
A* + h d, donde A y A* se refieren al átomo antes y después de la dispersión.
El fotón es el ―cuanto‖ de energía y momentum electromagnéticos absorbido o emitido en un solo proceso por una partícula cargada. Está
completamente determinado por la frecuencia de la radiación y por la dirección de propagación. El concepto de fotón se aplica a las
interacciones entre radiación electromagnética y partículas cargadas, libres o ligadas, y no sólo con electrones libres. Por tanto, se puede
establecer que:
cuando una onda electromagnética interactúa con un electrón (o cualquier otra partícula cargada), las cantidades de energía y
momentum que se pueden intercambiar en el proceso son las correspondientes a un fotón.
Este principio es una de las leyes fundamentales de la física. Es aplicable a todos los procesos radiativos que implican part ículas cargadas
y campos electromagnéticos.
Figura 16 Interacción electromagnética considerada como un intercambio de fotones. Los fotones transfieren energía y momentum de una partícula
cargada a otra.
El concepto de fotón sugiere una sencilla representación gráfica de la interacción electromagnética entre dos partículas cargadas, como se
muestra en la figura 16. La interacción corresponde a un intercambio de momentum y energía entre las dos partículas. Se puede decir, que
entre las partículas 1 y 2 ha habido un intercambio de fotones.
las interacciones electromagnéticas se pueden describir como el resultado del intercambio de fotones entre las partículas que
interactúan; los fotones transportan energía, momentum y ;nomentum angular entre las partículas.
La naturaleza dual de la radiación electromagnética
La teoría cuántica del efecto fotoeléctrico explicó un fenómeno ininteligible en términos de la teoría clásica. Sin embargo, muchos físicos
se rehusaban a aceptarla, ya que representaba el reverso de la aceptada naturaleza ondulatoria de la radiación electromagnética. Después
del descubrimiento y la explicación del efecto Compton, no pudo ser objetada la existencia de los cuantos (fotones). Se consideró que la
11
física se encontraba en una situación incómoda.
Por otra parte, la radiación electromagnética tiene ciertas propiedades, como la de difracción, que solamente puede ser explicada en
términos del movimiento ondulatorio; otras propiedades, como las que exhiben los efectos fotoeléctricos y Compton, requerían de los
cuantos para su explicación que, al encontrarse localizados, tenían las características esenciales a las partículas. Parece como si la
radiación electromagnética tuviera una doble personalidad: una ondulatoria y otra corpuscular.
Los hechos experimentales respecto a las propiedades de la radiación electromagnética, así como su interpretación en términos de la
existencia de aspectos ondulatorios y corpusculares permanecen actualmente invariables. Sin embargo, como consecuencia del amplio
punto de vista introducido por el desarrollo de la mecánica cuántica, la actitud actual de los físicos, respecto a la inicial, ha cambiado
considerablemente. Las pruebas sobre la dualidad partícula-onda de la radiación electromagnética no se consideran inusitadas, ya que se
sabe que es una característica general de todas las entidades físicas. Además, no se considera que esta dualidad represente un problema, ya
que es posible conciliar la existencia de ambos aspectos con la ayuda de la mecánica cuántica.
Dualidad en la materia, ondas de De Broglie
El movimiento de los cuerpos que se observa a nuestro alrededor puede describirse en términos de reglas generales basadas en la
evidencia experimental. Tales reglas o principios son: (1) la conservación del momentum; (2) la conservación del momentum angular; y (3) la conservación de la energía. Con base en estas leyes de conservación, se desarrolló en el siglo XIX el formalismo conocido como
mecánica clásica, suponiendo que las partículas están localizadas en el espacio y que pueden ser observadas sin perturbar notablemente su comportamiento. Sin embargo, cuando la mecánica clásica se aplica al movimiento de los constituyentes básicos de la materia, tales como
electrones y átomos, los resultados son sólo aproximados y, en algunos casos, completamente inadecuados. Como resultado de la evidencia experimental, se han incorporado varios conceptos y métodos nuevos y revolucionarios para la
descripción del comportamiento de la materia en niveles atómicos y subatómicos. Aunque las leyes de conservación siguen siendo válidas, ya no se puede aplicar la descripción detallada del movimiento de las partículas en el sentido de la mecánica de Newton. La cuantización
de la energía y de otras cantidades físicas es otra idea que no aparece en la mecánica clásica, y una teoría satisfactoria debe contener información acerca de los valores permitidos de tales cantidades. La interacción de la radiación y la materia mediante la absorción o
emisión de fotones es otro aspecto que debe introducirse. El nuevo formalismo, conocido como mecánica cuántica, es resultado del trabajo original de Louis de Broglie (1892-1987), Erwin
Schrodinger (1887-1961), Werner Heisenberg (1901-1976), Paul Dirac (1902-1984), Max Born (1882-1970), Albert Einstein (1879-1955) y otros que lo desarrollaron en la década de los veinte. La mecánica cuántica es esencial para entender el comportamiento de los
constituyentes fundamentales de la materia. El desarrollo de la teoría de la mecánica cuántica se inició con una idea que, aunque simple, es de una extrema importancia— expuesta
por De Broglie en su tesis doctoral (1924). Su línea de pensamiento fue aproximadamente la siguiente: en la física clásica se considera que la radiación electromagnética es un fenómeno netamente de propagación ondulatoria. Por otra parte, las investigaciones de Einstein y
Compton han mostrado que en ciertas circunstancias manifiesta una naturaleza característica de las partículas (cuantos). Al ser éste el caso, ¿no será cierto que entidades físicas que consideramos como partículas (electrones, partículas alfas, bolas de billar, etc.), bajo ciertas
condiciones manifestarán una naturaleza característica de las ondas? Cuando se investiga la interacción de la radiación con la materia se pone de manifiesto la naturaleza corpuscular de la radiación
electromagnética, mientras que su naturaleza ondulatoria se revela cuando se considera la forma en que se propaga. La situación puede describirse indistintamente diciendo que la radiación electromagnética es una onda que al interaccionar con la materia manifiesta un
comportamiento corpuscular, o bien, que consta de partículas cuyo movimiento está determinado por las propiedades de propagación de ciertas ondas que le están asociadas. En cierta medida sería ingenuo sugerir que deba hacerse una elección. Aceptando tentativamente la
segunda alternativa y guiado por la analogía, De Broglie examinó las características ondulatorias de las partículas en términos de algún aspecto de propagación ondulatoria en su movimiento. Examinó la idea de que el movimiento de una partícula está gobernado por la
propagación ondulatoria de ciertas ondas piloto (según su terminología) asociadas con la partícula. La experiencia sensorial muestra que los objetos que se tocan y se ven tienen una forma definida y están localizados en el espacio. Así
pues, se tiende a extrapolar esta experiencia sensorial y pensar que las partículas fundamentales (es decir, electrones, protones, neutrones,
etc.) tienen forma y tamaño, e imaginarlas como si fueran algo así como pequeñas esferas, con un radio, masa y carga caracter ísticos. Esta
idea, sin embargo, es una extrapolación que va más allá de la experiencia sensorial y se debe analizar el esquema meticulosamente antes
de aceptarlo.
Los experimentos han mostrado que tal extrapolación del esquema sensorial acerca de los constituyentes básicos de la materia es errónea.
El comportamiento dinámico de las partículas atómicas y subatómicas requiere que se asocie a cada partícula un campo de mater ia, del
mismo modo que, en otro sentido, se asocia un fotón (que se puede considerar equivalente a una partícula) con un campo
electromagnético. El campo de materia describe la condición dinámica de una partícula en el mismo sentido en que el campo
electromagnético corresponde a fotones que tienen momentum y energía precisos. Al analizar la conexión entre el campo de materia y las
propiedades dinámicas de una partícula (es decir, momentum y energía), se utilizan las relaciones E = hf y p = h/ , que se encontraron
para el fotón. Al expresar estas relaciones en el otro sentido, se puede suponer que la longitud de onda y la frecuencia f del campo
asociado con una partícula, de momentum p y energía E. De Broglie postuló que la longitud de onda y la frecuencia f de las ondas piloto
asociadas con una partícula, están dadas por:
h E
fp h
donde h, es la constante de Planck, y que el movimiento de la partícula está regido por la propagación ondulatoria de las ondas piloto. De
Broglie propuso estas relaciones en 1924 y, por tal razón, = h/p, se conoce como longitud de onda de De Broglie de una partícula.
Introduciendo el número de onda k = 2 / y la frecuencia angular = 2 f, y teniendo en cuenta que = h/2 = 1.0546 10-34
[Js], se
pueden escribir las relaciones anteriores de una manera más simétrica:
E
p k
Si esta suposición, expresada por las ecuaciones 1 y 2, es correcta, se puede suponer que siempre que el movimiento de una partícula es
perturbado de tal modo que el campo asociado con ella no se pueda propagar libremente, se deben observar fenómenos de interferencia,
difracción y dispersión, como en el caso de las ondas elásticas y electromagnéticas. De hecho, esto es lo que sucede, como se verá en la
sección siguiente.
Aunque se seguirá utilizando el término partícula cuando se refiera a electrones, protones, neutrones y demás componentes fundamentales
de la materia, se debe evitar considerarlos como pequeñas esferas. Su comportamiento es muy diferente y en ocasiones va en contra de las
percepciones sensoriales. La noción de partícula se aplica sólo cuando el movimiento se efectúa en una región grande, comparada con las
dimensiones atómicas o nucleares, como es el caso de electrones en un cinescopio de televisión o protones en un acelerador. Ésta es la
razón por la que es válido el análisis del movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y magnéticos. Sin embargo, se debe
refinar el análisis del movimiento de los electrones dentro de un átomo, de una molécula o de un sólido, pues requiere la introducción del
concepto de campo de materia.
12
Confirmación experimental del postulado de De Broglie. Dispersión de partículas en cristales. Difracción de electrones
Comparando con las características de la propagación de las ondas electromagnéticas, se encuentra que el comportamiento ondulatorio en
el movimiento de una partícula sólo podrá manifestarse si el orden de magnitud de la longitud de onda de De Broglie = h/p no es menor
que el de las dimensiones características del sistema empleado para investigar el movimiento. Puesto que el valor de la constante de
Planck, h = 6.62l0-34
Js, es muy pequeño, a menos que el valor de p también lo sea, el de será tan pequeño que elimine toda esperanza de
observar los efectos postulados. Se calcula p y en algunos casos específicos.
Considerar electrones con energía eV equivalente a la que adquieren al moverse en una diferencia de potencial V del orden de 104V. La
energía cinética de los electrones es p2/2me = e V de modo que p = (2eme V)
½ . Introduciendo los valores de e, me, y h, se obtiene la
longitud de onda de De Broglie para tales electrones como
2 e
h
m V
La longitud de onda de estos electrones es de alrededor de 10-11
m, comparable a la de los rayos X. Esto significa que si un haz de
electrones lo suficientemente rápidos se mueven a través de un cristal, la dispersión del campo de materia debe dar lugar a patrones de
difracción parecidos a los observados en el caso de los rayos X.
En 1927, G. P. Thomson (1882-1975) inició una serie de experimentos para estudiar el paso de un haz de electrones a través de una
película delgada hecha de un material cristalino. Como se muestra en la figura 17, después de que los electrones atraviesan la película,
inciden en una placa fotográfica. Si los electrones se hubiesen comportado como partículas en el sentido macroscópico, se habría obtenido
una imagen borrosa, pues, en general, cada electrón habría sufrido una dispersión distinta por los átomos del cristal. Sin embargo, el
resultado obtenido fue idéntico a los patrones de Debye-Scherrer para la dispersión de rayos X por una sustancia poli-cristalina, como se
indica en la fotografía de la figura 18. De manera parecida, cuando un haz de electrones pasa por un cristal simple, se producen patrones
de Laue, que también se observan con rayos X, como se muestra en la fotografía de la figura 19. De la estructura de tales patrones se
puede calcular la longitud de onda de De Broglie, si se conoce el espaciado entre los planos cristalinos y se aplican las fórmulas derivadas
para rayos X. Los valores de que se obtienen se pueden comparar con los obtenidos con la ecuación anterior. El resultado es una completa
concordancia, dentro de los límites del error experimental.
Figura 17 Dispositivo experimental para observar la
dispersión de electrones por un material cristalino.
Figura 18 Dispersión de electrones producida por un cristal pulverizado
Figura 19 Dispersión de electrones por un
cristal de carbono (grafito) simple.
En los experimentos efectuados por C. Davisson y L. Germer (más o menos al mismo tiempo que los de Thomson) se hacía incidir un haz
de electrones formando un ángulo determinado con respecto al cristal. Los electrones dispersados fueron observados mediante un detector
colocado simétricamente, como se indica en la figura 20, en forma semejante al experimento de Bragg para observar la dispersión de
rayos X. Se encontró que la corriente de electrones registrada por el detector era máxima cada vez que se cumplía con la condición de
Bragg, originalmente obtenida para rayos X,
sen2
n
d
En esta ecuación, d es la separación entre capas atómicas sucesivas del cristal y = h/p.
Varios años después de que se iniciaron los experimentos con electrones, Estermann, Frisch y Stern demostraron la aparición de efectos de
difracción al dispersar un haz de átomos de He en la superficie de un cristal de LiF. El patrón obtenido para los átomos de He fue
semejante al observado por Davisson y Germer para la dispersión de electrones. Asimismo, la ubicación angular del pico de difracción
concordó satisfactoriamente con el que debía esperarse para la longitud de onda predicha por el postulado de De Broglie.
También, se ha observado el mismo fenómeno de la dispersión de Bragg en experimentos con protones y neutrones. La dispersión de
neutrones constituye uno de los medios más eficaces para estudiar la estructura cristalina. Por ejemplo, los neutrones que emergen de un
reactor nuclear a través de una ventana especial (Fig. 21) tienen un amplio rango de energías y por consiguiente también de momentum.
Por tanto, el espectro del haz de neutrones está compuesto por muchas longitudes de onda de De Broglie. Cuando el haz de neutrones
provenientes del reactor incide en un cristal, de LiF por ejemplo, los neutrones que se observan en la dirección simétrica tienen energía y
momentum bien definidos que corresponden a la longitud de onda , dada por la condición de Bragg, ecuación anterior. Entonces el
cristal actúa como un filtro de energía o monocromador. El haz mono-energético de neutrones, a su vez, puede ser utilizado para estudiar
otros materiales o para el análisis de reacciones nucleares con neutrones.
Estos experimentos verifican tanto la presencia de efectos ondulatorios en el movimiento de las partículas como la longitud de onda
predicha por el postulado de De Broglie. Desde entonces numerosos ejemplos de estos efectos se han observado experimentalmente, de
modo que la validez del postulado de De Broglie ha sido confirmada más allá de toda duda.
Figura 20 Dispositivo experimental de Davisson y Germer para la observación de la dispersión de electrones de Bragg.
Figura 21 Espectrómetro cristalino de neutrones
13
Problema ejemplo: Longitud de onda de De Broglie de neutrones térmicos a una temperatura de 25 C.
Se llaman neutrones térmicos los neutrones que están en equilibrio térmico con la materia a una temperatura dada. Por tanto, los neutrones
térmicos tienen una energía cinética media idéntica a la de las moléculas de un gas ideal a la misma temperatura, o sea Emed = 3/2kT,
donde T es la temperatura absoluta y k la constante de Boltzmann (k = 1,3805×10-23
J/K). Dada una temperatura de 25 C, o T = 298K, se
tiene 21 23
26,17 10 3J eV,85 10molE kT
El momentum correspondiente es 242 4,55 10 kg m/se molp m E
Luego, usando la ecuación =h/p, se encuentra que la longitud de onda de De Broglie promedio de los neutrones térmicos es λ=1.85 10-10
m.
Teniendo en cuenta que la separación de los planos de un cristal de NaCl es d = 2.82 10-10
m, se ve que el primer máximo de Bragg para
neutrones con esta longitud de onda dispersados por el cristal ocurre a un ángulo = 19 .
Principio de Heisemberg y relaciones de incertidumbre
Una consecuencia inevitable de la descripción de un electrón, que se mueve en una órbita de Bohr, introducida por De Broglie es la
imposibilidad de especificar exactamente, y en forma simultánea, la posición del electrón y el vector de su momentum lineal. Esta
situación contrasta con la que presenta la descripción corpuscular de Bohr para el movimiento de un electrón atómico, donde es posible
una especificación exacta, a un tiempo dado, de la posición y el momentum lineal, de la misma manera que es posible en la descripción de
Newton del movimiento de un planeta. Esta incertidumbre, para un tiempo dado, en la posición y el momentum de una partícula es una
característica general de la descripción de De Broglie para su movimiento en términos de la propagación de sus ondas piloto asociadas.
Un paquete de ondas localizado en el espacio es el resultado de la superposición de varios campos con diferentes longitudes de onda (o
con diferentes valores del número de onda). Si el paquete de ondas se extiende sobre una región x, los valores de los números de onda,
de las ondas que interfieren y componen el paquete, caen dentro de un intervalo k tal que, según un análisis matemático que se omite, x
k 1. Esta relación muestra que x y k son inversamente proporcionales y, por tanto, cuanto menor sea el tamaño x del paquete de
ondas, mayor será la dispersión k de los números de onda o de las longitudes de onda necesarias para construir el paquete (Fig. 22).
Figura 22 Ejemplo de x k 1. Gráficas de f(x) = (l/n) coskx para k = 1 a: (a) n = 1; (b) n = 2; (c) n = 4; (d) n = 8. Conforme aumenta la dispersión en los valores de k, el ancho del máximo principal se hace menor.
El que haya diferentes longitudes de onda o números de onda k significa que existen varios valores del momentum p tales que p = k.
Por tanto, se ve que la expresión es equivalente a
x p
El significado físico de esta relación es el siguiente: si una partícula está localizada dentro de la región x – ½ x y x + ½ x (es decir, x es
la incertidumbre en la posición de la partícula), su campo asociado se obtiene mediante la superposición de los campos correspondientes a
momentum que están entre p – ½ p y p + ½ p, donde p está relacionada con x mediante la ecuación x p . Se dice que p es la
incertidumbre en el momentum de la partícula. La relación de arriba implica que cuanto más grande sea x, menor será p y viceversa.
En otras palabras, la información acerca de la localización de una partícula en el espacio se obtiene a expensas del conocimiento acerca
del momentum. Cuanto más preciso sea el conocimiento de la posición de la partícula, menos precisa será la información de su
momentum, porque para localizar un paquete de ondas tenemos que combinar varias longitudes de onda. Al contrario, cuanto más
precisamente se conozca el momentum, menos longitudes de onda se necesitará en el paquete y más extendido será éste. Por eso es que
una partícula de momentum bien conocido ( p = 0) está representada por una onda de amplitud constante que se extiende por todo el
espacio ( x ), de modo que este conocimiento de su posición es nulo. Por el contrario, si la localización de una partícula es muy
precisa ( x = 0), el conocimiento de su momentum es muy impreciso ( p ) (Desde luego, estas dos situaciones extremas nunca se dan
en la práctica.) No es posible determinar exactamente la posición y el momentum de una partícula al mismo tiempo, de modo que x = 0 y
p = 0, pues eso violaría la relación x p , que relaciona la máxima precisión con la que se puede conocer ambas cantidades.
El resultado expresado por la relación x p se conoce como principio de incertidumbre de Heisenberg para la posición y el
momentum, y se puede formular de la manera siguiente:
es imposible conocer simultáneamente y con exactitud la posición y el momentum de las partículas fundamentales que constituyen la
materia. La precisión óptima del conocimiento de la posición y el momentum está determinada por la ec. x p .
Este principio expresa uno de los hechos fundamentales de la naturaleza. Se ha dicho que sería mejor que el principio de incertidumbre se
llamara principio de limitación, ya que expresa una limitación fundamental de la naturaleza que restringe también la precisión de las
mediciones.
El principio de incertidumbre implica que nunca se puede definir la trayectoria de una partícula atómica o subatómica con la absoluta
precisión que se supone en mecánica clásica. Sin embargo, esta suposición sigue siendo válida cuando la incertidumbre implicada por la
relación x p es mucho más pequeña que los errores experimentales de los valores medidos de x y p. Por ejemplo, para describir
ciertos movimientos de partículas atómicas, como el caso de electrones en un tubo de televisión y de electrones y protones en un
acelerador, se puede usar la mecánica clásica cuando los valores x y p, permitidos por la ecuación x p , son mucho menores que
el error experimental del momentum y la posición de las partículas. Sin embargo, para partículas restringidas al moverse en regiones de
dimensiones atómicas, el concepto de trayectoria no tiene significado, pues no se le puede definir precisamente; por tanto, para describir el
movimiento se requiere un esquema distinto al de la física clásica. Por la misma razón, conceptos como los de velocidad, aceleración y
fuerza son de uso limitado en la mecánica cuántica. Por otro lado, el concepto de energía es de gran importancia, ya que está relacionado
con el ―estado‖ del sistema, más que con su ―trayectoria‖.
Debe observarse que el principio de incertidumbre impone un límite inferior al producto x k. Esto es, es posible encontrar un grupo de
ondas para el cual la relación correspondiente a x k 1 sea x k 1 = donde > l/2 . El producto de las incertidumbres instantáneas
en la posición y el momentum de la partícula asociada a este grupo será mayor que .
Cuando x p es apreciablemente mayor que , significa que en el experimento no se ha alcanzado el límite inferior en la precisión
impuesta por el principio de incertidumbre. Dado que tiene un valor muy pequeño, es muy difícil que x p sea comparable con en
una medición real. Por esto no se observan las consecuencias del principio de incertidumbre en los experimentos de la mecánica clásica.
14
Por otra parte, su importancia es extrema cuando se consideran las distancias y los momentos en los sistemas atómicos y nucleares, que
son sumamente pequeños.
En un sistema de tres dimensiones, conforme al principio de Heisenberg, se tiene:
Existen tres relaciones de incertidumbre independientes. Si x, y, z son las coordenadas rectangulares y px, py, pz los momentum
correspondientes, se tiene
El símbolo indica que el principio de incertidumbre establece solamente un límite inferior. Por otra parte, no existe restricción alguna
sobre los productos del tipo x py.
Ejemplos del principio de Heisenberg
Puede entenderse fácilmente la ―razón física‖ para la existencia de un límite en la precisión máxima con la que puede medirse
simultáneamente la posición y el momentum de una partícula: la medición del valor de una de estas cantidades perturbará a la partícula de
modo que deja incierto el valor de la otra cantidad. En 1928 Bohr imaginó un buen ejemplo de lo anterior. Mediante el dispositivo
ilustrado en la figura 23 se desea determinar la ubicación instantánea de una partícula. La partícula puede verse por los cuantos de luz que
dispersa al ser iluminada. El poder de resolución del microscopio determina la precisión máxima con la que puede ubicarse la partícula. Se
sabe que este poder de resolución es aproximadamente /sen , si es la longitud de onda de la luz dispersada y es el semi-ángulo
subtendido por el objetivo del microscopio; se tiene que la precisión de la medida es igual a
Figura 23. Experimento ―imaginario‖de Bohr con un microscopio.
Supóngase que el observador necesita ver solamente un fotón (o cuanto) para llevar a cabo su medida. El momentum de este fotón es p =
h/ . Por otra parte, el cuanto pudo haber sido dispersado con cualquier ángulo comprendido entre +a y -a. En consecuencia, la
incertidumbre en la componente x del momentum del fotón después de la dispersión es
Puesto que la componente x del momentum del fotón puede conocerse exactamente antes de la dispersión (no es preciso conocer su
coordenada x), la conservación del momentum requiere que la partícula absorba un momentum cuya magnitud px es incierta en una
cantidad igual a la incertidumbre del momentum del fotón, esto es,
El producto de las incertidumbres en la posición x y en la componente x del momentum de la partícula, en el instante de la medición, es
Si se emplea luz de longitud de onda menor, el observador aumentará la precisión en la medida de la posición. Pero esto aumentará la
incertidumbre en el momentum de la partícula.
Para ilustrar el principio de Heisenberg se consideran algunas situaciones o experimentos ―imaginarios‖. Por ejemplo, suponga que se
desea determinar la coordenada X de una partícula que se mueve a lo largo del eje Y (Fig. 24) observando si la partícula pasa o no por una
ranura (de ancho b) en una pantalla perpendicular a la dirección de movimiento. La precisión de la posición de la partícula está limitada
por el tamaño de la ranura; esto es, x = b. Pero la ranura perturba el campo asociado con la partícula y esto provoca un cambio en el
movimiento de la partícula después de haber pasado, como se puede ver en el patrón de difracción que se produce. La incertidumbre en el
momentum de la partícula paralelo al eje X está determinada por el ángulo θ, correspondiente al máximo central del patrón de difracción,
ya que la partícula, después de pasar por la ranura, es más probable que se mueva dentro de un ángulo 2θ. Según la teoría de la difracción
producida por una ranura rectangular, el ángulo θ está dado por senθ = /b. Entonces
es la incertidumbre en el momentum de la partícula paralelo al eje X. Así, p x h, lo que concuerda con la relación x p (el 2
que falta es irrelevante para este análisis). Nótese que para mejorar la medida de la posición de la partícula en el eje X se debe utilizar una
ranura muy delgada. Pero ésta produce un máximo central muy ancho en el patrón de difracción, lo que significa una incertidumbre
grande en el conocimiento de la componente X del momentum de la partícula después de pasar por la ranura. Por el contrario, para reducir
la incertidumbre en el conocimiento de la componente X del momentum, el máximo central del patrón de difracción debe ser muy
estrecho. Esto requiere una ranura muy ancha que, a su vez, trae como resultado una incertidumbre grande en la coordenada X de la
partícula.
Figura 24. Medición de la posición y el momentum de una partícula mediante un microscopio.
Estos dos experimentos ―imaginarios‖ muestran cómo se relaciona el principio de incertidumbre con el proceso de medición. Al nivel
atómico, las mediciones, inevitablemente, introducen una perturbación significativa en el sistema, debido a la interacción del dispositivo
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de medición con la cantidad que se va a medir, lo que limita la precisión de la medición. Sin embargo, el principio de incertidumbre es de
validez general, independientemente de que hagamos medidas o no.
La situación descrita por el principio de incertidumbre es una consecuencia inmediata de la cuantización de la radiación electromagnética
que precisa que por lo menos sea dispersado una ―unidad‖ de luz (un fotón de momento p = h/ ) para poder ver la partícula. Si no
existiera esta limitación no existiría, en principio, razón alguna para que el observador no fuera capaz de ver la partícula empleando una
iluminación cuyo momentum fuera arbitrariamente pequeño. El fotón de luz dispersado es el mensajero indispensable entre el instrumento
de medida y la partícula. Pero este mensajero perturba la partícula en una forma incontrolable e impredecible. En consecuencia, es
imposible, después de la medida, conocer exactamente las coordenadas y el momentum de la partícula. La relación x p ; afirma que
la constante de Planck es una medida de la magnitud (mínima) de esta perturbación incontrolable.
Problema ejemplo: Energía mínima de un electrón en un átomo hidrogenoide.
El principio de Heisenberg permite estimar la energía mínima de un electrón en un átomo. Si r es el radio de la región en que el electrón se
puede hallar, se puede suponer que x r, y si p es el momentum del electrón, también se puede suponer que p p. En ese caso la
relación de incertidumbre queda rp , y se inserta en la expresión para la energía total del electrón,
Para calcular la mínima energía compatible con el principio de incertidumbre, se hace dE/dr = 0 y se despeja r. Esto da
Cuando se sustituye este valor en la expresión para E, se obtiene
Ésta es precisamente la energía obtenida con n = 1 en la ecuación deducida mediante la teoría de Bohr. El resultado no debe sorprender,
pues la relación de incertidumbre rp es equivalente a la condición de cuantización de Bohr L = nh/2 con n = 1. Así, el principio de
incertidumbre hace que sea muy difícil reducir la energía del electrón por debajo de un cierto valor mínimo. También, la condición rp
es equivalente a r /p , de manera que la energía mínima corresponde a la longitud de onda del campo asociado con la partícula que
se puede adaptar a la región en la que el electrón se puede mover.
Relación de incertidumbre para el tiempo y la energía
A partir de las propiedades matemáticas de las ondas y del postulado de De Broglie, puede darse otra forma al principio de incertidumbre,
de la misma manera como la ecuación x p . Mediante un análisis de Fourier puede mostrarse que si un intervalo f de frecuencias
intervienen en la composición de un grupo de ondas de longitud x y velocidad de grupo vg = x/ , entonces
donde = x/vg es el tiempo que el grupo necesita para recorrer la distancia x, esto es, es la duración del pulso de ondas.
Considérese un grupo de ondas piloto de duración . Esta cantidad será una medida de la incertidumbre en el tiempo del paso de la
partícula por un punto dado. Por otra parte, el postulado de De Broglie relaciona la frecuencia de las ondas piloto y la energía de la
partícula:
f = E/h
En consecuencia
f = E/h
Una incertidumbre f en la frecuencia de las ondas implica una incertidumbre E en la energía de la partícula asociada, que está
relacionada con la incertidumbre en el tiempo del paso de la partícula por un punto, de modo que
La interpretación dada por Heisenberg a esta relación de incertidumbre es mucho más amplia que la dada anteriormente. Su enunciado es:
Una medida de la energía de una partícula (o de cualquier sistema) efectuada durante el tiempo será incierta por la cantidad E de
modo que E .
Se concluye que es imposible conocer simultáneamente y con exactitud la energía de una partícula y el tiempo en el que tiene tal energía.
No debe resultar sorprendente que se encuentren dos relaciones de incertidumbre, x p y E , pues esto es un requisito de la
teoría de la relatividad, dado que las parejas de cantidades (x, t) y (p, E) se transforman del mismo modo bajo una transformación de
Lorentz.
Problema ejemplo: Ancho de los niveles de energía y duración de un estado excitado.
Supóngase que un electrón está en un estado estacionario excitado de un átomo. Después de cierto tiempo, el electrón sufrirá una
transición radiativa hacia otro estado estacionario de menor energía. Sin embargo, no hay modo de predecir con certeza cuánto tiempo
permanecerá el electrón en el estado estacionario excitado antes de efectuar la transición. A lo sumo se puede hablar de la probabilidad de
que el electrón pase a un estado de menor energía. Por tanto, el tiempo promedio que el electrón permanece en el estado estacionario,
llamado tiempo de vida del estado, se conoce con una incertidumbre , inversamente proporcional a la probabilidad de transición P, esto
es, = 1/P.
En consecuencia, la energía del estado estacionario del electrón no se conoce de manera precisa, sino que tiene una incertidumbre E, tal
que se cumple la relación . E se conoce como ancho de energía del estado cuya energía está con más probabilidad entre E –
½ E y E + ½ E (Fig. 2). Como es del orden de magnitud del tiempo de vida del estado excitado, cuanto más corto es el tiempo de
vida de un estado excitado o mayor es la probabilidad de transición, mayor será la incertidumbre en la energía del estado; esto es, E =
/ . El tiempo de vida de los estados atómicos excitados es del orden de 10-8
s, dando un ancho de energía del orden de l0-26
J o 10-7
eV.
Los estados con tiempo de vida mucho más grande se conocen como meta-estables. Para el estado fundamental, cuyo tiempo de vida es
infinito —pues un sistema que se encuentra en el estado fundamental no puede sufrir una transición a un estado estacionario de menor
energía— se tiene que . Esto da E = 0, que significa que la energía del estado fundamental se puede conocer exactamente.
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Figura 25. Ancho natural de los niveles de energía.
Debido al ancho de energía de los estados estacionarios, la energía emitida o absorbida en una transición no está bien definida. Por tanto,
en una transición entre estados de energía E1 y E2, los fotones emitidos o absorbidos se hallan en el intervalo de energías E2 - E1 ± ½ E,
donde E es el ancho total de energía de ambos estados, dando como resultado un ensanchamiento de las líneas espectrales con un
intervalo de frecuencias del orden de E/h. En la mayoría de las transiciones atómicas y moleculares el efecto Doppler debido al
movimiento térmico es mucho mayor que el ensanchamiento debido al principio de incertidumbre, que se puede despreciar. Sin embargo,
el ensanchamiento de las líneas es importante en la sintonización de láseres.