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MATEMÁTICAS-bloque 4

1. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores que se indican:

a) 2x3 - 4x2 + 3x - 1, para x = – 2 2·(-2)3 – 4·(-2)2 + 3·(-2) – 1 = 2· (-8) – 4 ·(4) – 6 – 1 = - 16 – 16 – 6 – 1 = - 39

b) -2xy – x + 2y -4 , para x = -1 ; y = 2

-2·(-1)·(2) – (-1) + 2·(2) – 4 = -2 (-2) + 1 + 4 – 4 = + 4 + 1 + 4 – 4 = + 5 2. Indica en los siguientes monomios el literal, el coeficiente y el grado:

LITERAL COEFICIENTE GRADO

a) 2yx3 yx3 2 4

b) 3x2 x2 3 2

c) –2x2y2z x2y2z -2 5

3. Simplifica realizando los cálculos oportunos: a) (4x2 + 3x - 2) + (-2x2 – 5x) = (4x2 - 2x2) + (3x +(-5x)) +(-2) = 2x2 – 2x - 2

b) (x2 + 2x – 5) · (-2x + 1) = -2x3 + x2 - 4x2 + 2x + 10x -5 = -2x3 - 3x2 +12x -5

c) (5x2 + 4x – 8) - (4x2 – 2x - 2) = (5x2 – 4x2)+(4x –(-2x))+(-8-(-2)) = 1x2 +6x-6

d) (3x2 + 2x – 5) · (-x + 1) = -3x3 -2x2 +5x + 3x2 + 2x – 5 = -3x3 +1x2 +7x -5

4. Resuelve las ecuaciones realizando todos los pasos necesarios:

a) 2x + 8 = x +25 + 8 2x – x = 25 + 8 – 8 x = 25

b) 6x + 2 – 4x = 9 + x + 8 6x – 4x – x = 9 + 8 – 2 x = 15

c) 3(x + 6) + 5(2 – x) = 10 – 4(6 + 2x) 3x + 18 + 10 – 5x = 10 – 24 - 8x

3x – 5x + 8x = 10 – 24 – 18 – 10 6x = - 42 x = -42 / 6 x = - 7


d) 3(5x + 9) – 3(x – 7) = 11(x – 2) + 7 15x + 27 – 3x + 21 = 11x – 22 + 7

15x – 3x – 11x = - 22 + 7 – 27 – 21 x = - 63

e) 253

27

3

5

xx m.c.m.(3,1) = 3

183

54

543

217525

752215

3

325

3

2

3

37

3

5

x

x

xx

xx

xx

f) 4

12

3

4

6

1

xx

2

9

92

1622742

2716422

324)4(4)1(2

12

1·3

12

12·2

12

)4(4

12

)1(2

x

x

xx

xx

xx

xx


Problemas de ecuaciones:

5. Si al triple de un número le restamos 4, obtenemos lo mismo que si al doble

de ese número le sumamos 3. ¿Cuál es el número?

Planteamiento: Ecuación:

Número buscado = x 3x – 4 = 2x + 3

3x – 2x = 3 + 4

x = 7

Solución: Número buscado x = 7

6. En una clase de 27 alumnos hay 5 chicas más que chicos. ¿Cuántos chicos

y chicas hay en la clase?


Alumnos = x Chicos + Chicas = 27

Alumnas = x + 5 x + (x + 5) = 27

x + x = 27 – 5

2x = 22

112

22x

Solución:

Alumnos = x = 11

Alumnas = x + 5 = 11 + 5 = 16


7. La suma de tres números consecutivos es igual al doble del mayor de ellos

más uno. Calcula los números.


Primer número = x x + (x+1) + (x+2) = 2·(x+2) + 1

Segundo número = x+1 x + x + 1 + x + 2 = 2x + 4 + 1

Tercero número = x + 2 x + x + x -2x = 4 + 1 – 1 - 2

3x – 2x = 5 - 3

x = 2

Solución:

Primer número = x = 2

Segundo número = x+1 = 2 + 1 = 3

Tercero número = x + 2 = 2 + 2 = 4

8. Tres amigos van de compras a una librería. Juan gasta el doble que Alicia y

Ana gasta el triple que Alicia. Si entre los tres han gastado 72 euros,

¿cuánto ha gastado cada uno de los amigos?


Alicia = x x + 2x + 3x = 72

Juan = 2x 6x = 72

Ana = 3x x = 72 / 6 = 12

Solución:

Alicia = x = 12 € Juan = 2x = 2·12 = 24€ Ana = 3·x = 3· 12 = 36 €


9. En una bolsa hay bolas azules, blancas y rojas. El número de bolas rojas es

igual al de bolas blancas más 14, y hay 6 bolas azules menos que blancas.

Si en total hay 98 bolas, halla cuántas bolas hay de cada color.


Blancas = x x + (x+14) + (x-6) = 98

Rojas = x+14 x + x + 14 + x - 6 = 98

Azules = x - 6 3x = 98 – 14 + 6

3x = 90

x = 90 / 3 = 30

Solución:

Blancas = x = 30

Rojas = x+14 = 30 + 14 = 44

Azules = x - 6 = 30 – 6 = 24


SOLUCIONES TAREAS BLOQUE 5

1. Completa las definiciones con el nombre correspondiente:

a) RECTA: Es una sucesión ininterrumpida de infinitos puntos en una sola

dimensión.

b) SEMIRECTA: Es una recta que tiene un punto de inicio.

c) ÁNGULO: Es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas

coincidentes en un punto llamado vértice.

d) BISECTRIZ: Es la recta que divide un ángulo en dos partes iguales.

e) SEGMENTO: Es una porción de recta comprendida entre dos puntos.

f) MEDIATRIZ: Es la recta perpendicular al segmento en su punto medio.

2. Relaciones entre rectas. Completa:

a) RECTAS SECANTES : Son aquellas que se cortan en un punto.

b) RECTAS PERPENDICULARES: Son aquellas rectas secantes que al

cortarse forman un ángulo de 90º, también llamado ángulo recto.

c) RECTAS PARALELAS : Son aquellas rectas que no tienen ningún punto en

común aunque las alarguemos.

3. Escribe la clasificación de los triángulos, según sus lados y según sus ángulos.


5. Dibuja todos los elementos de la circunferencia escribiendo sus nombres:

6. Explica la diferencia entre cuerpo homogéneo y cuerpo heterogéneo.

Un cuerpo heterogéneo es aquella que por medio de la vista podemos

distinguir las sustancias que forman parte de ella, mientras que en un cuerpo

homogéneo por medio de la vista no podemos distinguir esas sustancias.

7. En un acto benéfico hemos elaborado 25 litros de chocolate, para lo cual hemos

mezclado leche y chocolate en polvo. Si hemos utilizado 5 kg de chocolate en

polvo, ¿cual es la concentración de la disolución? Expresa el resultado en %.

Sabemos que la concentración es la relación entre la masa del soluto

(expresada en gramos) y el volumen de disolvente (expresada en litros), de

manera que como tenemos:

Soluto = 5 kg chocolate = 5000 g

Disolvente = 25 l

C = S / D C = 5000 / 25 C = 200 g/l

Para pasar la concentración de g/l a %, debemos de dividir la

concentración expresada en g/l entre 10, de manera que:

C(%) = C(g/l) / 10 C(%) = 200 / 10 = 20 %

diámetro

radio

cuerda

Arco circular


8. En una empresa dedicada a la elaboración de caldo para alimentación infantil,

desean que la concentración de sal en sus comidas sea como máximo de 4g/l.

¿Qué cantidad de sal deben de añadir si están preparando un lote de caldo de

5000 litros?

Como en el ejercicio anterior, sabemos que la concentración es la relación

entre la masa del soluto (expresada en gramos) y el volumen de disolvente

(expresada en litros), de manera que como tenemos:

Concentración= 4 g/l

Disolvente = 5000 l

C = S / D 4 = x / 5000 x = 4 · 5000 x = 20000 g = 20 kg

Por lo tanto necesitaremos 20 kg de sal para conseguir esa concentración.

9. Un volumen gaseoso de 5 litros es calentado a presión constante desde 10 °C

hasta 60 °C, ¿qué volumen final ocupará el gas?

Como nos indican que el proceso es a presión constante, utilizamos la

segunda ley de Charles y Gay-Lussac, de manera que:

Vo / To = V1 / T1

Debemos de comprobar que el volumen esté expresado en la misma

unidad tanto al principio como al final y que la temperatura debemos de

expresarla en grados Kelvin. Una vez hechos los cambios, si sustituimos y

calculamos, obtenemos:

Vo = 5 litros Vo / To = V1 / T1

To = 10 ºC = 283 ºK 5 / 283 = x / 333

T1 = 60 ºC = 333 ºK 5 · 333 = 283 · x

V1 = x litros 1665 = 283 · x

x = 1665 / 283 x = 5,88 litros


10. Tenemos un recipiente que contiene un gas, siendo su temperatura de 20 ºC y

su presión de 1.6 atm. Si introducimos el recipiente en un congelador a una

temperatura de -15 ºC, ¿Cuál será la nueva presión del gas si el recipiente

mantiene su volumen constante?

Como nos indican que el proceso es a volumen constante, utilizamos la

segunda ley de Charles y Gay-Lussac, de manera que:

Po / To = P1 / T1

Debemos de comprobar que la presión esté expresada en la misma unidad

tanto al principio como al final y que la temperatura debemos de expresarla

en grados Kelvin. Una vez hechos los cambios, si sustituimos y calculamos,

obtenemos:

Po = 1,6 atm Po / To = P1 / T1

To = 20 ºC = 293 ºK 1,6 / 293 = x / 258

T1 = -15 ºC = 258 ºK 1,6 · 258 = 293 · x

P1 = x atm 412,8 = 293 · x

x = 412,8 / 293 x = 1,41 atm

11. ¿Qué presión hay que aplicar a 2 L de un gas que se encuentra a una presión

de 1 atm para comprimirlo hasta que ocupe 0,80 L?

Como no nos indican nada, suponemos que el proceso es a temperatura

constante, utilizamos la ley de Boyle, de manera que:

Vo · Po = V1 · P1

Debemos de comprobar que el volumen y la presión estén expresados en

la misma unidad tanto al principio como al final. Una vez hechos los cambios,

si sustituimos y calculamos, obtenemos:

Po = 1 atm Po · Vo = P1 · V1

Vo = 2 l 1 · 2 = x · 0,8

V1 = 0,8 l 2 = 0,8·x

P1 = x atm 2 / 0,8 = x x = 2,5 atm


12. Si tenemos un triángulo rectángulo del que conocemos que su hipotenusa

mide 8 cm y uno de sus catetos mide 4 cm, calcula la longitud del otro cateto.

Para resolver este problema utilizamos el teorema de Pitágoras:

c2=a2+b2

donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa. Si sustituimos y

calculamos obtenemos:

c2=a2+b2 82=42+b2 82 – 42 = b2 b2 = 64 – 16 b2 =48 b= 6.92

por lo tanto el otro cateto mide 6.92 cm.

13. Una escalera de 120 cm de longitud está apoyada sobre una pared. Si el pie

de la escalera dista 5 dm de dicha pared, calcula:

¿A qué altura se apoya la parte superior de la escalera en la pared?

Como vemos en el dibujo, la escalera forma con la pared un triángulo

rectángulo, donde la longitud de la escalera es la hipotenusa y la altura de la

pared y la acera son los catetos. Aplicando Pitágoras obtenemos, después de

poner todas las medidas en la misma unidad:

c2=a2+b2

1202=502+b2

14400=2500+b2

120 cm 14400-2500=b2

11900=b2

b= 109,1 cm = 10,91 dm

5 dm


ÁMBITO CIÉNTIFICO-TECNOLÓGICO ----- MÓDULO II

TAREAS BLOQUE 6

1. Calcula el perímetro de las siguientes figuras:

a) Un rombo de 7 metros de lado.

Un rombo es un polígono de cuatro lados y que tiene todos los lados iguales, con lo cual:

P = n · l = 4 · 7 = 28 m

b) Un decágono regular de 10 cm de lado.

Como es un polígono regular, es decir, todos los lados son iguales, tenemos:

P = n · l = 10 · 10 = 100 cm

c) Un romboide cuyos lados miden 6, 7, 7 y 8 dm respectivamente.

Si sumamos los cuatro lados del romboide, obtenemos el perímetro:

P = l1 + l2 + l3 + l4 = 6 + 7 + 7 + 8 = 28 dm

2. Calcula el área de los siguientes triángulos rectángulos isósceles:

Como son dos triángulos, necesitamos saber un lado y la altura correspondiente para poder hallar su área. Así que como esos son los datos que nos dan, tenemos:

2

1 5,1572

315

2

1521

2cm

hbA

2

2 5,322

65

2

513

2dm

hbA


3. Calcula el número de baldosas cuadradas que hay en un salón rectangular de 6 m de largo y 4,5 de ancho, si cada baldosa mide 30 cm de lado.

Tenemos que calcular el área del salón por un lado y el área de cada baldosa por el otro:

Salón Rectángulo A = a · b = 6 · 4,5 = 27 m2

Baldosa Cuadrado A = l2 = 302 = 900 cm2 = 0,09 m2

Ahora, para saber el número de baldosas necesarias, dividiremos el área del salón entre el área de una baldosa:

Nº baldosas baldosasA

An

baldosa

salón 30009,0

27

4. Calcula el diámetro de un círculo que tiene un área de 78,5 cm2.

Sabemos que el área de un círculo viene expresada por la relación siguiente:

4

2DA

Si despejamos el diámetro nos queda:

96,9855,78·14,3·4··42 AD

cmD 4,3196,985


5. Calcula el número de árboles que se pueden plantar en un campo como el de la figura en el que las medidas están indicadas en decámetros, si cada árbol necesita para desarrollarse 4 m2.

Descomponemos la figura y vemos que el campo es la suma de un rectángulo y de

un paralelogramo. Si calculamos el área de cada parte por separado y las sumamos,

obtendremos el área del campo. Después si dividimos el área total del campo entre

el área que necesita cada árbol para desarrollarse, obtendremos el número de

árboles que podemos plantar:

2305·6· dcamabArectángulo 2

log 244·6· dcamhbA ramoparale

22

log 5400542430 mdcamAAA ramaparalerectángulo

árbolesA

Aárbolesn

arbol

campo1350

4

5400º

6. En las siguientes figuras las medidas vienen dadas en cm. Calcula su área.

En la primera figura vemos que si la descomponemos está formada por dos

trapecios iguales y un rectángulo. Si calculamos el área de cada figura por

separado y las sumamos obtendremos el área buscada:


284·2· cmabArectángulo

25,163·5,53·2

113·

2

47·

2cmh

bBAtrapecio

24183385.165.16 cmAAAA rectángulotrapeciotrapecio

La segunda figura está formada por un rectángulo, y dos semicírculos,

uno grande y otro pequeño. Actuando de la misma forma:

25,245,3·7· cmabArectángulo

222

log 23.192

46,38

246.38

4

86.153

4

49·14.3

4

7·14,3

4cm

AA

DA círculo

osemicirculrandecírcu

222

53.32

06.7

206.7

4

26.28

4

9·14.3

4

3·14,3

4cm

AA

DA círculo

osemicirculueñocírculopeq

2

log 20.4023.1997.2023.1953.35.24 cmAAAA randesemicírcuopeqúeñosemicirculrectángulo

7. Calcula el área de los siguientes polígonos regulares:

El área de un polígono regular se calcula en función del número de lados, de la medida de los lados y de la medida de la apotema. Como conocemos esos datos en ambos casos, tenemos:

2422

84

2

5,3·4·6

2

··m

alnAhexagono

28,1212

6,243

2

5,3·8,5·12

2

··m

alnAdodecágono


8. Un vehículo se desplaza con una velocidad constante de 25 m/s, realizando un trayecto que dura 1,5 horas. ¿Qué distancia ha recorrido el vehículo en kilómetros?

Como el movimiento es a velocidad constante, tenemos que: t

ev

Como velocidad está en m/s, el tiempo lo expresaremos en segundos:

t = 1,5 horas = 1,5·3600 = 5400 s

Ahora si sustituimos tenemos:

kmmeee

t

ev 13513500025·5400

540025

9. Un móvil se desplaza con una velocidad de 70 m/s cuando comienza a frenar hasta detenerse con una aceleración constante de 3,5 m/s2. Calcular:

a) ¿Qué tiempo tarda en detenerse? b) ¿Qué espacio recorrió en ese tiempo?

Como nos indican que el móvil posee aceleración, el movimiento es un

movimiento uniforme y acelerado, con lo cual:

taVV f ·0 2

··

2

0

tatVe

Además como nos dice que el objeto está frenando, la aceleración es

negativa y como nos indica que se detiene, la velocidad final será 0 m/s

con lo cual, aplicando estas fórmulas tenemos:

Vf = Vo + a·t 0 = 70 +(- 3,5) · t -70 / -3,5 = t t = 20 s

e = Vo·t + (a·t2) / 2 e = 70·20 + (-3.5·202) / 2 e=1400 + (-1400)/2

e = 1400 + (-700) e = 700 m


10. Un móvil cuya masa es de 750 kg es impulsado con una fuerza de 15000 N. ¿Qué aceleración adquiere el móvil?

Aplicando el segundo principio de la dinámica (Principio de acción de

masas), como sabemos la fuerza y la aceleración, tenemos:

smaaaamF /20750

15000·75015000·

11. Utilizando una prensa hidráulica en la que realizamos una fuerza de 300 N sobre

una superficie cuadrada de 0,5 metros de lado, hemos podido levantar un objeto situado sobre una superficie de 10 m2. ¿Qué fuerza hemos obtenido en esta superficie?

Aplicamos el principio de Pascal, que nos dice que en un fluido la

presión en cualquier punto de dicho fluido es la misma, con lo cual:

2

2

1

121

S

F

S

FPP

Calculamos la superficie que no conocemos, como es una superficie

cuadrada:

222 25.05.0 mlAcuadrado

Ahora, aplicando el principio de Pascal, obtenemos la fuerza obtenida:

NFF

S

F

S

FPP 12000

25.0

3000

25.0

10·300

1025.0

3002

2

2

2

1

121

12. ¿Qué fuerza se ejercerá sobre una superficie circular de 60 cm. de diámetro, si la

presión que soporta es de 15000 Pa?

Sabemos que la presión es la fuerza ejercida por unidad de superficie, es decir:

S

FP

Como no nos indican la superficie directamente, la calculamos. Al ser una superficie circular:

S = Π · r2 = Π · 302 = Π · 900 = 2826 cm2 = 0,2826 m2


Ahora ya podemos calcular la fuerza aplicada:

NFF

S

FP 42392826,0·15000

2826,015000

13. Una fuerza de 40 N está ejerciendo 60000 Pa; calcula la superficie de apoyo.

Como hemos visto antes, la Presión representa la fuerza que se ejerce por

unidad de superficie y que se calcula a partir de la expresión S

FP . Si

sustituimos los datos que nos dan tenemos:

200066,060000

404060000·

4060000 mSS

SS

FP

S = 0,00066 m2 = 6,6 cm2

14. Queremos levantar un peso de 150 Kg., con una barra de 1 m. sobre la que tenemos colocado un punto de apoyo a 20 cm. del peso. ¿Qué fuerza debemos aplicar en el otro extremo?

Debemos de aplicar la regla de la palanca, que nos dice que:

BP · P = BR · R

Conocemos que R=150 kg, que BR=20 cm =0,2 m y por lo tanto

sabemos también que BP=1-0,2=0,8 m. Si sustituimos tenemos:

kgPPRBRPBP 5,378,0

30

8,0

150·2,0150·2,0·8,0··

Como lo que nos piden es la fuerza y lo que acabamos de calcular es

la masa, la calculamos:

NFFgmF 5,3678,9·5,37·

15. Que fuerza deberemos realizar para vencer una resistencia de 100 N si el BP mide

40 cm y el BR mide 30 cm.

Como antes, hay que aplicar la regla de la Palanca y para ello

conocemos que R=100 N, BP=40 cm y que BR=20 cm por lo que

sustituyendo: NPPRBRPBP 7540

3000

40

100·30100·30·40··

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