MB_M2AA2_Productos Versión: octubre de 2012 Revisor: Emilio González Olguín 

 

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

 

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      Productos notables   

Por: Oliverio Ramírez Juárez 

Es muchos casos para resolver problemas resulta muy útil aplicar la regla de los productos notables, porque facilitan las operaciones algebraicas y son indispensables en el proceso de factorización.

En multiplicación de polinomios se tienen casos particulares donde el producto puede obtenerse sin necesidad de efectuar la multiplicación indicada. A estos productos se les denomina Productos Notables y se les trata en forma especial debido a la utilidad que tienen en el estudio de la factorización (Scherzer & López, 2010, p. 86).

Uno de los casos que te puedes encontrar es el siguiente:

(𝑎 − 𝑏) (𝑎 + 𝑏).

En el cual, para obtener el resultado del producto, tendríamos que realizar la multiplicación de cada término de la siguiente forma:

𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎! + 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 − 𝑏! = 𝑎! − 𝑏!.

Para facilitar esta operación, sencillamente nos aprendemos la regla del producto notable que dice:

𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎! − 𝑏!.

La única restricción que se tiene para utilizar esta regla es que los binomios sean conjugados, es decir, que su única diferencia sea el signo de uno de los términos.

Por ejemplo:

Ejercicio 1 Apliquemos la regla anterior para calcular el resultado del siguiente producto:

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𝑥 –  4 𝑥 +  4 ,

que tiene la forma: 𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎! − 𝑏!.

En donde 𝑎 = 𝑥         𝑦     𝑏 = 4     .

Por lo que el resultado del producto es:

𝑥 –  4 𝑥 +  4 = 𝑥! − (4!) = 𝑥! − 16

¿Cuál será el resultado de multiplicar (2𝑥 + 5)(2𝑥 − 5)?

Reglas de productos notables 

La tabla 1 muestra algunos de los productos notables más comunes, de acuerdo con Cuellar (2008).

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Tabla 1. Productos Notables

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el cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.

el cuadrado del término común, más el producto del término común por la suma de los términos no comunes, más el producto de los términos no comunes.

Por ejemplo: 

1. Realiza 𝒙  −  𝟓 𝟐.

Este ejercicio se trata de un binomio al cuadrado, por lo que se utilizará la expresión:

𝑎  −  𝑏 ! =  𝑎!  −  2𝑎𝑏  +  𝑏!.

Sustituiremos a por 𝒙 y b por 5:

𝑥 −  5 !  =  𝑥!  −  2(𝑥)(5)  +   5 !

       =  𝑥!  −  10𝑥 +  25 

2. Realiza (𝐱𝟐  +  𝟗) (𝐱𝟐  −  𝟗). En este ejercicio el producto está formado por dos binomios conjugados y se aplicará la expresión:

(𝑎 − 𝑏) (𝑎 + 𝑏) =  𝑎!  −  𝑏!.

Sustituimos a por 𝒙𝟐 y b por 9, así:

(𝑥!  +  9) (𝑥!  −  9)  =   𝑥! !  −   9 !

=  x!  − 81  

3. Realiza (x + 3) (x - 7)

Aquí tenemos el producto de dos binomios con término común, por lo que aplicamos la expresión:

 (𝑥  +  𝑎) (𝑥  +  𝑏)  =  𝑥!  +  (𝑎 + 𝑏)𝑥  +  𝑎𝑏  

Los valores de a y b se toman con su respectivo signo.

(𝑥 +  3) (𝑥 −  7)  =  𝑥!  +  (3 −  7) 𝑥 +  (3)(−7) 

  =  𝑥!  −  4𝑥 −  21 

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el cubo del primero más el cubo del segundo.

4. Realiza (x + 2) (x2 – 2x + 4) Este es el producto de un binomio por un trinomio. Si el binomio es de la forma (𝑎 + 𝑏) es necesario verificar que el trinomio tenga la forma (𝑎! –  𝑎𝑏  +  𝑏!). Si es así, entonces aplicaremos la expresión 𝑎 + 𝑏 𝑎! –  𝑎𝑏  +  𝑏! =  𝑎! +  𝑏!. 

Por lo tanto, sí tiene la forma esperada

𝑎! –  𝑎𝑏  +  𝑏!  =   (𝑥!) –  (𝑥)(2)  +   2 !  =  𝑥! –  2𝑥  + 4 

Ahora simplemente escribimos el resultado:

(𝑥 +  2) (𝑥! –  2𝑥 +  4)   =   (𝑥!)  +   2 ! 

=  𝑥!  +  8 

Se debe tener cuidado de identificar correctamente a qué producto notable corresponde cada multiplicación que se vaya a realizar para que la aplicación de la fórmula o la regla sea la adecuada. Es importante que aprendas los productos notables, pues éstos te ayudarán a resolver operaciones a simple vista, para lo que es necesario que practiques. Verás que pronto dominarás las reglas de dichos productos.

Referencias

Allen, A. (2010). Matemáticas I. México: Pearson Educación. [Versión en línea]. Recuperado el 31 de mayo del 2012, de la base de datos Bibliotechnia de la Biblioteca Digital UVEG.

Cuéllar, J.A. (2008). Matemáticas I. Álgebra (2ª .ed.). México: McGraw-Hill.

Scherzer, R. A. & López, F. (2010). Matemáticas I: área: ciencias sociales y administrativas. México: Instituto Politécnico Nacional. [Versión en línea]. Recuperado el 31 de mayo del 2012, de la colección E-libro de la Biblioteca Digital UVEG.