MB0001_M1AA1_Tríangulos Versión: octubre 2012 Revisor: Emilio González Olguín 

 

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

 

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 Triángulos rectángulos  

Por: Oliverio Ramírez Juárez   

Trigonometría 

La trigonometría “es la rama de las Matemáticas que estudia la resolución de triángulos, es decir, la relación métrica entre los ángulos y los lados de un triángulo” (Figueroa, 2010, p. 83), la cual es muy utilizada para resolver problemas que involucran triángulos en su proceso de solución.

Tipos de triángulos 

Los triángulos se pueden clasificar de acuerdo con sus lados o en función de sus ángulos (Acevedo, Valadez y Vargas, 1999). Observa la siguiente ordenación:

a) De acuerdo al número de lados iguales que tenga un triángulo se clasifican en:

Figura 1. Tríangulos, (Llamas, 2010)

b) De acuerdo con la magnitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

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Figura 2. Triángulos 2 (Llamas, 2010).

Los ángulos pueden medirse en grados, radianes o gradianes (Acevedo, et al., 1999). Estas unidades tienen las siguientes equivalencias:

360° = 2πrad = 400!

Es importante recordar que en todo triángulo la suma de sus ángulos interiores mide 180° o lo que es igual:

180° = πrad = 200!

 El Teorema de Pitágoras 

De todos los triángulos, existe una clase que posee propiedades muy particulares, los cuales son los triángulos rectángulos, llamados así porque uno de sus ángulos internos es un ángulo recto (mide 90°).

Respecto a ellos, el Teorema de Pitágoras dice: “el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados” (Bello, 1998, p. 527). Palabras que se pueden representar con la siguiente fórmula:

a! = b! + c!

Donde la hipotenusa se le llama al lado más largo del triángulo y a los otros dos lados se les llama catetos.

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Figura 3. Tríangulo (Llamas, 2010).

Por lo tanto, cada lado estará determinado por la relación:

a = b! + c! b = a! − c! c = a! − b!

Representación gráfica del Teorema de Pitágoras 

Figura 4. Triángulo rectángulo (Llamas, 2010).

En esta figura puedes ver un triángulo rectángulo en donde la hipotenusa mide 5 unidades y los catetos 3 y 4 respectivamente. Según el Teorema de Pitágoras:

5! = 4! + 3!

25 = 16 + 9

   

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Razones trigonométricas   Las razones trigonométricas son importantes ya que nos permiten relacionar el ángulo de un triángulo rectángulo con sus lados.

Las razones trigonométricas son útiles si deseamos conocer la medida de un lado de un triángulo rectángulo a partir del conocimiento de uno de sus ángulos agudos y de la medida de uno de sus lados. Así también, podemos conocer el ángulo agudo del triángulo rectángulo si conocemos dos de sus lados.

Aunque existen seis diferentes razones trigonométricas, por el momento estudiarás las tres razones básicas, dado que son suficientes para resolver los diversos tipos de problemas que pueden ser representados con triángulos rectángulos.

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Las razones trigonométricas básicas son:

La razón seno: 𝑠𝑒𝑛𝐵 = !!

La razón coseno: 𝑐𝑜𝑠𝐵 = !!

La razón tangente: 𝑡𝑎𝑛𝐵 = !!

Razones trigonométricas inversas 

Las razones trigonométricas inversas son útiles para conocer el ángulo agudo B de un triángulo rectángulo a partir del conocimiento de la medida de dos de sus lados (a y b).

Las razones trigonométricas inversas también son llamadas razones arco y estas son:

Arcoseno (arcsen) =seno inverso (sen-1)

Arcocoseno (arccos)=coseno inverso (cos-1)

Arcotangente (arctan)= tangente inversa (tan-1)

Y haciendo uso de ellas se puede obtener la magnitud de los ángulos:

𝐵 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 !!                        𝐵 = arccos !

!                  𝐵 = arctan !

!.

Las razones anteriores también se pueden expresar de la siguiente forma:

B = 𝑠𝑒𝑛!! !!                         𝐵 = 𝑐𝑜𝑠!! !

!                            𝐵 = 𝑡𝑎𝑛!! !

! .

Las calculadoras utilizan esta nomenclatura por cuestión de espacio.

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Figura 6. Calculator (Peke, 2007).

Recomendaciones para el uso de la calculadora  Cuando utilices la calculadora científica para encontrar el valor de una razón trigonométrica o trigonométrica inversa, es necesario que indiques el tipo de unidades en que se están midiendo los ángulos.

Los ángulos se pueden expresar en (Sullivan, 2006):

a) Grados. Unidades del sistema sexagesimal, en donde una circunferencia se divide en 360 partes. En las calculadoras se representa con la letra D.

b) Radianes. Aquí la circunferencia se divide en 2𝜋 partes iguales y se representan con la letra R.

c) Gradianes. Estas unidades pertenecen al sistema centesimal, aquí la circunferencia se divide en 400 partes. Se representan con la letra G.

Figura 7. Calculator (Peke, 2007).

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En la mayoría de las calculadoras aparece una letra en la pantalla (D, R o G) que indica estas unidades.

Los ángulos se pueden expresar en grados, por lo que es importante que verifiques que tu calculadora se encuentre en grados al momento de realizar este tipo de operaciones. Generalmente, tienes que ir a Mode, y seleccionar Deg antes de efectuarlas. (Degrees son grados en inglés).

  

Resolución de triángulos rectángulos 

Es posible conocer las medidas de los lados y ángulos de un triángulo rectángulo a partir del conocimiento de dos de ellas. Las opciones que se pueden presentar son:

1. Se conoce la longitud de dos lados. 2. Se conoce la longitud de un lado y la magnitud de un ángulo.

Lo anterior es posible si utilizas el Teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas, como se puede observar en los siguientes ejemplos.

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Resolución de problemas con triángulos rectángulos  

Aplica los procedimientos de los ejemplos anteriores para resolver problemas derivados de

situaciones reales.

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Referencias   

Acevedo, V., Valadez, M. A. y Vargas, E. (1999). Geometría y trigonometría: Matemáticas con aplicaciones 2. México: McGraw-Hill Interamericana. Recuperado el 29 de julio de 2012, de la colección E-libro de la Biblioteca Digital UVEG.

Bello, I. (1998). Álgebra elemental. México: Thomson. Figueroa, M. (2010). Geometría y trigonometría.USA: Firmas Press. Recuperado el 29 de julio de 2012, de la colección E-libro de la Biblioteca Digital UVEG. Sullivan, M. (2006). Álgebra y trigonometría (7ª. ed. en español, trad. González, M. y Durán, S.). México: Pearson Educación. [Versión en línea]. Recuperado el 28 de noviembre de 2012, de http://books.google.com.mx/books?id=44-YnoUhxOoC&pg=PA498&dq=trigonometr%C3%ADa+grados+radianes&hl=es-419&sa=X&ei=0_e2UOT4JoulqQH7hYC4Bg&ved=0CC8Q6AEwAA`#v=onepage&q=trigonometr%C3%ADa%20grados%20radianes&f=false Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México. McGraw-Hill.

Peke, John (2007). Calculator. Recuperada el 10 de marzo de 2012, de http://www.sxc.hu/photo/819718 (imagen bajo licencia SXC.Hu Free of charge, de acuerdo a: http://www.sxc.hu/txt/license.html).