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Aplicaciones

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Capitulo 1

1. MATRICES

1.1 Definicin.- Una matriz es un arreglo rectangular de nmeros reales ordenados en filas y columnas, se denota con las letras maysculas A,B,C,....

El conjunto de elementos o componentes se denota por aij y una matriz por:

A = [aij]mxn = (aij)mxn ,

donde los subndices indican i= la fila en la que est la componente y j la columna correspondiente.

i.e.

A=(aij )mxn =

donde aij ocupa la interseccin de la i-sima fila y la j-sima columna.

1.2 Orden de una matriz

El orden de una matriz est dado por el producto indicado mxn donde m y n son los sub ndices de la matriz tales que m indica el nmero de filas y n el nmero de columnas.

Ejemplo:

El orden de la matriz A= es 2x4.

El conjunto de matrices de orden mxn con coeficientes k se denota por kmxn, es decir:

kmxn={A/A=(aij)mxn}Ejemplo:

Escribir explcitamente la matriz:

a) A = (aij)(k2x2/ aij = 2i-j

b) B =(bij) (k3x2/ bij = min{i,j}

Solucion.

Escribiremos las componente de cada matriz de acuerdo a lo que esta definido cada una de la matrices.

a) Tenemos que A = (aij)(k2x2/ aij = 2i-j entonces la matriz

A =

Donde: a11 = 2-1 = 1 ; a12 = 2-2 = 0 ; a21 = 2(2)-1 = 3 ; a22 = 2x2-2 = 2

A =

b) Como la matriz B esta definido por

B =(bij) (k3x2/ bij = min{i,j} entonces

B = de donde tenemos que

b11 = 1 ; b12 = 1 ; b21 = 1 ; b22 = 2 ; b31 = 1 ; b32 = 2

( B =

1.3. Tipos de Matrices:1.3.1.- Matriz Rectangular.- La matriz de orden mxn con m( n, es una matriz rectangular.

Ejemplo: Una matriz rectangular de orden 2x4 es

B =

1.3.2.- Matriz Columna.- La matriz de m filas y una sola columna se denomina matriz columna de orden mx1.

Ejemplo:

A = es una matriz columna de orden 3x1.

1.3.3.- Matriz Fila.- Es una matriz de orden 1xn de una sola fila y n columnas.

Ejemplo

L a matriz fila A = [1 2 4 5] es de orden 1x4.

1.3.4.- Matriz Cero o Nulo.- Es una matriz cuyos elementos son todos nulos.

i.e.

A = (aij)mxn es una matriz nula si y solo si aij = 0 , ( i , j con i = 1,2,...,m

y j = 1,2,...,n. Una matriz nula denotado por (Ejemplo :

( =

1.3.5.- Matriz Cuadrada.- Una matriz A de orden mxm es cuadrada si el nmero de filas es igual al nmero de columnas es decir m = n.El conjunto de matrices cuadradas se denota por Kmxm=Km.

Ejemplo: Una matriz de orden 3x3 es

A =

Obs.

En una matriz Cuadrada de orden nxn, la diagonal principal es una lnea formada por los elementos: a11 ,a22 , a33 ,..., ann y se denota por D(a11 ,a22 , a33 ,..., ann)

Traza de una Matriz .- La traza de una matriz cuadrada A de orden nxn denotado por Tr(A) es la suma de todo los elementos de la diagonal principal.

i.e.

Tr(A) = a11 + a22 + a33 +...+ ann = , i = 1,2,...n

1.3.6.- Matriz Identidad.- Una matriz identidad denotado por I, es una matriz cuadrada donde los elementos de la diagonal principal son todos, la unidad y los dems elementos son ceros.

i.e

I = (aij)nxn us una matriz identidad si y solo s aij =

Ejemplo: Una matriz identidad de orden 3x3 es

I=

1.4. Igualdad de Matrices.

Definicin.- Sea las matrices A=(aij)mxn y B=(bij)mxn, Se dice que la matriz A es igual a la matriz B s y solo si son del mismo orden y sus respectivos componentes son tambin iguales.

i.e.

(aij)mxn = (bij)mxn si y solo si aij = bijEjemplo.

Dadas las matrices A y B tales que

A = (aij)(k2x2/ aij = 2i- (-1)j y B =

Hallar los valores de x e y s A = B.

Solucin.

La matriz A expresado explcitamente es A = como A =B entonces los respectivos elementos de la matriz son iguales, es decir:

x y = 3

3x y = 5

de donde resolviendo el sistema tenemos que:

x = 1 ; y = -2

1.5 Adicin de Matrices.

Definicin.- Dadas dos matrices A = [aij]mxn y B = [bij]mxn, se denomina suma de A y B a otra matriz

C = [cij]mxn, tal que

cij = aij + bijdonde [cij]mxn = [aij]mxn + [bij]mxn = [aij+ bij]mxn La adicin de matrices es una ley de composicin interna tales que un par de matrices del mismo orden hace corresponder en otra matriz del mismo orden llamado matriz suma.

i.e

+: Kmxn x Kmxn ( Kmxn ([aij],[bij]) ([cij] = [aij] + [bij]

Ejemplo :

Sean las matrices

A= y B =

entonces la matriz suma C es

C =

( C =

Propiedades

S A , B y C( Kmxn, entonces se cumple:

i) ( A + B) ( Kmxnii) A + B = B + A

iii) A + (B + C) = (A + B) + C

iv) (( (( Kmxn tales que A + ( = A , ( A( Kmxnv) ( A( Kmxn , (( B = -A( Kmxn tales que A + B = A + (-A) = (

Obs.

i) Dos matrices del mismo orden se llama confrmales o compatibles respecto de la suma algebraica.

ii) Las matrices conformables respecto de la suma algebraica, siguen las misma propiedades y leyes de la adicin que sujetan a los elementos que las componen.

1.6 .Producto de un Escalar por una Matriz.Definicin.- Dado una matriz A=(aij)mxn y un ((R , (( 0, el producto de ( por A esta definido por (A = ((aij)mxn = ((aij)mxn donde cada componente de A se multiplica por (.

Ejemplo :

(A = (

(A =

Propiedades.

Sea ( y ( dos escalares (nmeros reales ) y A y B dos matrices de orden mxn, entonces se cumple:

i) ( (A + B) = (A + (B

ii) (( ()A = ( ((A) = ((( A)

iii) (( + ()A = ( A + (A

Ejemplo.

Sean la matrices definidas por

A = , B = y C =

Resolver las ecuaciones:

a) 3(X 2A) = 5(B - C) + 2(X A - B)

b) (X A + B) = 2(X 3(B + C) (X + C))

Solucin.

Para poder resolver esta ecuacin matricial se procede de la misma forma que se realiza en una ecuacin lineal en R, para ello se aplica toda las propiedades de la adicin y la multiplicacin es decir:

a) 3(X 2A) = 5(B - C) + 2(X A - B)

3X 6A = 5B - 5C + 2X 2A - 2B

X = 4A + 3B - 5C

X = 4+3- 5

X = +-

X= X =

b) Se procede en forma similar que en la parte a)

X = A 7B - 8C

X =

1.7. Multiplicacin de Matrices.-

Definicin.- Sean las matrices A=[aij]mxp y B=[bij]pxn, dos matrices el producto de A y B denotado por AxB = AB es otra matriz C =(cij)mxn cuyos elementos de encuentran de la siguiente manera:

Cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aiP bPj es decir :

cij = [ai1 ai2 ...aip] x

cij es igual a la i-sima fila de la matriz A por la j-sima columna de la matriz B

cij =

Propiedades.

S A , B y C son matrices de dimensiones compatibles(conformables) respecto de la suma y producto, entonces se tiene :

i) (AB)C = A(BC)

ii) A(B +C) = AB + AC

iii) AB ( BA

iv) (( I(Knxn tal que AI = IA = A ; I es la matriz identidad

Observacin :

El producto de matrices AB esta definido si el nmero de columnas de A es igual al nmero de filas de B.

Ejemplo.

Determinar la matriz E = ABC donde:

A = , B = y C =

Solucin.

1.8.- Matriz Transpuesta.

Definicin.- Dada una matriz A de orden mxn, se llama matriz transpuesta de A traspuesta de la matriz A, a la matriz denotado por At, de orden nxm cuyos elementos se obtienen intercambiando las filas por las columnas en la matriz A.

Ejemplo.

La transpuesta de la matriz A = de orden 2x3 es la matriz

At = de orden 3x2

Propiedades.

S At y Bt son, respectivamente, las transpuestas de las matrices de A y B las matrices, confrmales respecto a la adicin y multiplicacin, y ( un escalar cualquiera; entonces se cumple las siguientes propiedades:

1.- (At)t = A.

2.- ((A)t = (At.

3.- (A + B)t = At + Bt .

4.- (AB)t = At + Bt

5.- (AB)t = BtAt6.- It = I

7.- (A-1) t = (At)-1 , A-1 es la inversa de la matriz A

Ejemplo

1.9. Matrices Cuadradas Especiales.Son aquellas matrices cuadradas que tienen ciertas caractersticas o propiedades propias que diferencian de las otras, entre ellos tenemos los siguiente:

1.9.1.- Matriz Simtrica.- Una matriz cuadrada A = (aij)nxn , se dice que A es una matriz simtrica si y solo si es igual a la transpuesta de la matriz A.

i.e.

A es simtrica si y solo si A = AtEjemplo.

La matriz A = es una matriz simtrica puesto que A = At

Propiedad

1.- Si A es una matriz cuadrada entonces la matriz B definida por B = A + At es una matriz simtrica.

2.- Si A es una matriz simtrica entonces la matriz B definida por B = (A , ((R es una matriz simtrica.

Ejemplo.

Sea la matriz A = probar que la matriz B = A + At es simtrica.

Prueba.

Como la matriz A = entonces At = de donde la matriz definido por B = A + At es B = +

B =es una matriz simtrica puesto que B = Bt1.9.2.- Matriz Antisimtrica.- Sea una matriz cuadrada A = (aij)nxn , se dice que la matriz A es antisimtrica si y solo si es igual al opuesto de su transpuesta.

i.e.

A es antisimtrica si y solo si A = - AtProposicin.

1.- Si A es una matriz cuadrada entonces la matriz B definida por B = A - At es una matriz Antisimtrica.

2.- Si A es una matriz Antisimtrica entonces la matriz B definida por B = (A , ((R es una matriz Antisimtrica.

3.- Toda matriz cuadrada se puede componer o expresar como la suma de una matriz simtrica y otra antisimtrica.

i.e.

A = As + Aa donde As = A + At y Aa = A - At (A(KnxnEjemplo.

Descomponer la matriz A = como la suma

de una matriz simtrica y otra matriz antisimtica.

Solucin.

Sabemos que A = As + Aa entonces se tiene que:

As =

EMBED Equation.3 +

EMBED Equation.3

As = es una matriz simtrica.

Aa = =

EMBED Equation.3 -

EMBED Equation.3 Aa = = es una matriz antisimtrica

(A = + =

1.9.3.- Matriz Diagonal.- Una matriz cuadrada A, se dice que es una matriz diagonal si los elementos de la diagonal son no todos iguales a cero y los dems son todos ceros.

i.e.

D = (dji)nxn es una matriz diagonal si i solo s dji =

Donde (i(R y existe al menos un (i ( 0

La matriz diagonal se denota por D = diag(d11 d22 d33 ... dnn)

Proposicin.

Si D = diag(d11 d22 d33 ... dnn) es una matriz diagonal entonces se cumple que

Dr = diag()

Ejemplo

Sea la matriz D = entonces la matriz

D3 =

1.9.4.-Matriz Escalar.- Una matriz diagonal se dice que es escalar si todo los elementos de la diagonal principal son iguales.

i.e.

La matriz D = (dij)nxn es escalar si i solo si D = (I , ((R-{0}

Ejemplo

Sea la matriz D = entonces la matriz D = 2 = 2I

1.9.5.- Matriz Triangular Superior.-La matriz cuadrada A = (aij)nxn cuyos elementos situados por debajo de la diagonal principal son todos ceros, se llama matriz triangular superior.

i.e.

A = (aij)nxn es Triangular Superior si i solo si aij = 0 , ( i > jEjemplo.

La matriz A = es una matriz Triangular

Superior

1.9.6.- Matriz Triangular Inferior.-La matriz cuadrada A = (aij)nxn cuyos elementos situados por encima de la diagonal principal son todos ceros, se llama matriz triangular inferior.

i.e.

A = (aij)nxn es Triangular Inferior si i solo si aij = 0 , ( i < jLa matriz A = es una matriz Triangular inferior

1.9.7.- Matriz Peridica.- Sea la matriz cuadrada A = (aij)nxn , s para un nmero entero y positivo p se cumple que Ap+1 = A , se dice que A es una matriz peridica de periodo p.

Propiedad.

Si A es una matriz peridica de periodo p y sea q = mp + 1 entonces A es una matriz peridica de periodo mp.

i.e.

S Ap+1 = A entonces Amp + 1 = A

Ejemplo.

S A es una matriz peridica de periodo igual a 4 . Hallar el periodo y calcular la matriz A101.

Solucin.

1.9.8.- Matriz Idempotente.- Una matriz cuadrada A, es idempotente si A es una matriz peridica de periodo igual a uno.

i,e.

Una matriz A(Knxn es Idempotente si i solo si A2 = A.

1.9.9.-Matriz Nilpotente.- Una matriz cuadrada A, es nilpotente si para algn k ( 2 se cumple que Ak = 0

1.9.10.- Matriz Involutiva.- Una matriz A(Knxn es Involutiva si i solo si

A2 = I , con I(Knxn que es la matriz identidad

Capitulo 2

2. DETERMINANTES2.1.- Definicin.- Determinante es un nmero real o escalar r asociado a una matriz cuadrada A y que se denota por (A ( = det(A) = D(A)

i.e.

La determinante de una matriz cuadrada es una funcin definido por

det: Rnxn ( R / r =(A(.

Por induccin se tiene:

i) Para n = 1, A = (a11)1x1 ; entonces (A ( = a11ii) Para n = 2, A = ; entonces (A ( = a11 a22 a21 a12iii) Para n = 3, A =; entonces

(A ( = a11 - a12 + a13

(A ( = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 ) ( a31 a22 a13 + a21 a12 a33 + a32 a23 a11)

En general se tiene si A = entonces

(A ( = formula de LAPLACEdonde A(1/j) es la sub-matriz que resulta de eliminar la primera fila y la j-sima columna

La formula de expansin de Laplace o mtodo de los menores complementariosEsta dada por

(A ( =

donde A(i/j) es la sub-matriz que resulta de eliminar la i-sima fila y la j-sima columna de la matriz A

Observacin.

Si la matriz A es de orden 3x3 entonces se puede aplicar la regla de SARRUS.

(A (=

= -

(A ( = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 )

( a31 a22 a13 + a21 a12 a33 + a32 a23 a11)Propiedades

Sea A , B matrices cuadradas de orden nxn y ((R, entonces se cumple que :

1.- det(A) = 0, si y solo si una fila o columna tienen todo sus elemento iguales a cero

2.- det(A) = det(At)

3.- det(AB) = det(A) det(B)

4.- det(A-1) =

5.- det(Am) = (det(A))m m(Z+6.- det((A) = (n det(A)

7.- Si la matriz A posee dos filas (o dos columnas) iguales o proporcionales, entonces

det(A) = 0

8.- S A = (aij)nxn es una matriz triangular (superior o inferior), entonces

det(A) = a11 a22 a33 ... ann9.- S se intercambian 2 filas 2 columnas el determinante cambia de signo.

10.- Si a una fila (o columna) se le multiplica por una constante y se le suma otra fila

(o columna) , el determinante de la matriz no Varia

= +

13.- det(In) = 1

14.- det(() = 0

15.- Si dos matrices son equivalentes entonces sus determinantes de las matrices son iguales

i.e.

A( B entonces det(A) = det(B)

ejemplo.

si A =

Calcular (A (

Solucin.

Para calcular el determinante de la matriz A, observamos que el elemento a24 = 1 se puede designar como el elemento pivotal y la fila 2 la fila pivotal , esto con el objeto de transformar por medio de operaciones de fila , todos los elemento que se encuentren en la columna 4 , tengan valores iguales a cero, excepto el elemento pivotal, para ello se procede como sigue:

- En la fila 1, se resta de la fila 1 , 5 veces la fila 2

- En la fila 4, se resta de la fila 4 , 4 veces la fila 2

- en la fila 3 no es necesario realizar la operacin de filas puesto que el elemento a34 = 0

(A (= = = +(1)

(A ( = (12x0x(-2) + 3(-17)(-1) + (-28)(-7)(16)) - ((16)0(-1) + 3(-28)(-2) + (-17)(-7)(12))

= ( 0 +51 + 3136) ( 0 + 252 + 1428 )

= 3187 1596

( (A ( = 1591

Para asignar el elemento pivotal se recomiendo aquel elemento que tenga como valor igual a la unidad, en caso que no exista, se procede primero en determinar por medio de reduccin de filas dicho elemento. La fila pivotal es la fila donde se encuentra el elemento pivotal.

2.2.- Matrices Escalonadas

Una matriz A = (aij)mxn es una matriz escalonada , o se dice que esta en forma escalonada, si el numero de ceros anteriores a la primera componente distinta de cero de una fila crece fila por fila hasta llegar a filas en las que todas sus componente sean iguales a cero; esto es, si existe componentes distintas de cero.

a1j1, a2 j2,...., ar jr, donde j1