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Matrices

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Page 1: Matrices

EDUCACIÓN VIRTUAL EN LINEA

ALGEBRA ELEMENTAL Clase Nº 3: MATRICES

Prof. Christian Farinango

www.eduvirtual.tk

08/11/2010

Las matrices se aplican en diferentes situaciones: EL control de inventario de una fábrica, análisis de costo de una empresa, optimización de los recursos de una industria, análisis de circuitos eléctrico en física, etc. Este documento está bajo la Licencia Creative Commons; esto quiere decir que puede hacer uso del mismo y modificarlo siempre y cuando se reconozca su autoría.

Page 2: Matrices

Matrices:

1. Definición.- Arreglo rectangular de números reales (R) en filas y columnas.

� = ���� ������ ����

Ejemplo: � = �5 17 2� Dónde:

i = i-ésima fila o reglón. j= j-ésima columna.

Así tenemos que el número 5 se encuentra en la fila 1 y columna 1.

2. DIMENSIÓN U ORDEN DE UNA MATRIZ.

� = �5 17 2� ; MATRIZ Aij TIENE UNA DIMENSIÓN DE 2x2

� = �1 0 32 1 0� ; MATRIZ Bij TIENE UNA DIMENSIÓN DE 2x3

� = �0 17 23 8�; MATRIZ Cij TIENE UNA DIMENSIÓN DE 3x2

3. TIPOS DE MATRICES.

a. MATRIZ VECTOR: 1 FILA o 1 COLUMNA

� = �� −��

� = � ��−��

aij

FILA

COLUMNA

Page 3: Matrices

b. MATRIZ CUADRADA: Mismo número de filas y columnas.

(Forma un cuadrado)

� = �5 17 2� MATRIZ A TIENE UNA DIMENSIÓN DE 2x2

� � �3 �3 32 0 14 1 2� MATRIZ B TIENE UNA DIMENSIÓN DE 3x3

c. MATRIZ RECTANGULAR: Diferente número de filas y columnas.

� � � ����� MATRIZ B TIENE UNA DIMENSIÓN DE 3x1

� � �� ��� MATRIZ C TIENE UNA DIMENSIÓN DE 1x2

d. MATRIZ NULA O CERO: Todos los números son ceros.

� � �0 0 00 0 00 0 0� � � �����

e. MATRIZ TRIANGULAR: Forman un triángulo con ceros y es CUADRADA.

� � �� � 5� 1 31 2 4� � � � 0 7 53 1 ��1 � ��

� �0 4 5� 1 3� � 2� ! � � 7 � �3 1 ��1 0 4�

f. MATRIZ SIMÉTRICA: Una matriz cuadrada con los números iguales

respecto a la diagonal principal.

� � �4 7 57 1 05 0 3� g. MATRIZ DIAGONAL: Una matriz cuadrada con su diagonal principal

diferente de cero (puede haber un cero pero no todos).

� � ��1 0 00 4 00 0 2�

Page 4: Matrices

h. MATRIZ ESCALAR: Una matriz diagonal con sus elementos iguales.

� � �5 0 00 5 00 0 5�

i. MATRIZ IDENTIDAD: Una matriz diagonal IIII con sus elementos igual a 1.

" � #1 0 00 1 00 0 1$

j. MATRIZ TRANSPUESTA: La fila se transforma en columna.

� � �3 0 �11 2 4 � �% � � 3 10 2�1 4�

k. MATRIZ ANTISIMÉTRICA: Una matriz cuadrada con los números

opuestos respecto a la diagonal principal.

� � � 4 7 �5�7 1 �15 1 3 �

Fila 1

Fila 2

Columna

1

Columna

2

Page 5: Matrices

OPERACIONES CON MATRICES

1. Suma y Resta de Matrices: La condición es: Tener la misma dimensión.

Ejemplo:

� � �� �� ��� y � � ��� ��� � �

Suma:

� + � � �� + (��) � + (��)� + � �� + � � � + � � �� � � � � �� + � ��+ �� � + � � ��� �� ��

Resta:

� � � � �� � (��) � � (��)� � � �� � � � � � � � �� + � � + �� � � ��� �� � + � � �� *� ���

Page 6: Matrices

EJERCICIOS Nº 1

1.) � � �� �� �� � +* , ��� y � � � � � ��� � �- � ��, encuentre:

a. A+B

b. A-B

c. B+A

d. B-A

e. Explique porque el resultado de A+B es Igual B+A

2.) . � / �� ��� ��

0 y 1 � / -� ��2+� ,�0, encuentre:

a. C+D

b. C-D

c. D+C

d. D-C

e. Explique porque el resultado de C+D es Igual D+C

3.) 3 � 4�, - �, ���, � ��, ��6 y � � 4 �, � �, �-��, �� �, � 6, encuentre:

a. E+F

b. E-F

c. F+E

d. F-E

e. Explique porque el resultado de E+F es Igual F+E

4.) 7 � #�, - ,�* ��$ y 8 � /� � ���* �, -0, encuentre:

a. G+H

b. G-H

c. H+G

d. H-G

e. Explique porque el resultado de G+H es Igual H+G

Page 7: Matrices

2. Multiplicación De Matrices:

a. Multiplicación por un escalar.- Se multiplica el numero escalar por todos los

elementos de la matriz.

Ejemplo:

� �� +� �� � ��. � �. +�. � �. �� � �� ��+ � �

b. Multiplicación ENTRE Matrices.- Se multiplica FILA POR COLUMNA.

3 � �- �� �� y � � ����

:;<=�>� ?;<=�>�

Las columnas de la primera matriz deben coincidir con las filas de la segunda matriz.

Ejemplo 1:

3 � �- �� �� y � � ���� 3. � � �-. � + �. ��. � + �. �� 3. � � ��� + �, + + � 3. � � ������ Ejemplo 2:

� � �� ��� � � y � � �� �- ���, Se cumple la condición: Número de Columnas

primera matriz = Número de Filas segunda matriz.

�. � � 4�. � + (��. -) �. � + (��)(��)�. � + �. - �. � + �(��) 6

�. � � 4� + (�-) � + �@ + �� + + (��)6

�. � � 4 � � - � + �@ + �� + � �)6 �. � � ��� ��@ ��

Page 8: Matrices

Ejercicios Nº 2:

i) Multiplique (AxB) las siguientes matrices y escriba que clase de matriz

es:

� � �� �� �� y � � � � ���� � � ii) Compruebe si el resultado de CxD da como resultado una matriz de

dimensión 2X1.

. � �� �� �� y 1 � ���� � iii) Multiplique.

3 � # �� ��� �$ y � � /�- -�� ��0

iv) De las siguientes matrices:

� � �� �- �� y � � �� ��� � � Demuestre que: �� + �� � ��� -�- ��� v) Multiplique la siguiente matriz por su escalar:

7 � # �� ��� �$ Escalar =

�� ��7 �?

Page 9: Matrices

Referencias:

MANCILL J.D. GONZÁLEZ M.O. Algebra elemental moderna. Ed. Kapelusz, Buenos Aires –

Argentina, Volumen I, 1991.

SOLIS ZAMBRANO HNOS., Matemática para diversificado I, Printer-GO, Quito-Ecuador, 2007.

SOLIS ZAMBRANO HNOS., Matemática para diversificado II, Printer-GO, Quito-Ecuador,

2007.

http://fooplot.com, Trazador de ecuaciones online.

www.eduvirtual.tk