matemáticas°_guía---4_matemáticas... · 2021. 5. 24. · fecha de límite de entrega: viernes...

Fecha de límite de entrega: viernes 11 de junio.

www.conaldi.edu.co 2021

Segundo periodo

Guía 4

Matemáticas – Grados once

1. FECHA DE PUBLICACIÓN DE ESTA GUÍA

Lunes 24 de mayo

2. FECHA LÍMITE PARA ENTREGAR LA GUÍA Viernes 11 de junio

3. FORMA Y MEDIO DE ENTREGA El trabajo se debe realizar en PDF, nombrar el archivo

Apellido_Nombre_Curso_Guia4 (Ejemplo: Segura_María_1102_Guía4) y

cargarlo en tareas de TEAMS al equipo de matemáticas de su respectivo curso.

4. HABILIDADES QUE EL ESTUDIANTE

ADQUIERE

1. Comprende, identifica y soluciona limites aplicando propiedades.

2. Levanta las indeterminaciones de los límites, haciendo uso de la factorización.

3. Establece con claridad si una función es continua o no.

Profesora Eliana Nieto

Profesora Rosario Monastoque

1101 1103 1102 1105

1106

1104

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5. ACTIVIDADES

1. Gráficas

Determina la función racional que corresponde a las siguientes gráficas. Haciendo

uso de la herramienta GeoGebra realice la gráfica especificando asíntotas

horizontales y verticales. (Debe entregar una imagen de buena calidad)

Gráfica #1: Determine las asíntotas verticales, horizontales y la función

correspondiente.





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Grafica #2: Determine la función que corresponde a la gráfica.

Nota: si por alguna razón no puede trabajar en la aplicación, puede elaborar la

gráfica en papel milimetrado o cuadriculado, especificando asíntotas y la función

correspondiente.

2. Procesos estables En la mayoría de las empresas existe un departamento de control que tiene como

misión velar por la calidad del producto fabricado.

Hablar de calidad remite a hablar no solamente del producto en sí, sino de los

procesos internos que se deben seguir en la elaboración de ese elemento.





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En el análisis de procesos industriales el registro gráfico de la información se

convierte en una herramienta muy importante.

Así, a partir de la gráfica se puede conocer si un proceso está dentro de los

límites del control.

PROCESO INESTABLE

En una fábrica de pasta de hizo un análisis durante 20 segundos.

a. ¿En qué intervalos la cantidad de pasta empacada fue estable?

b. ¿En qué intervalos el empaque mostró inestabilidad de tendencia?

c. ¿Cuándo se mostró inestabilidad de secuencia?

d. En qué momento 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒕

𝒇(𝒙) = 𝟓𝟎𝟎𝒈

Sobre la gráfica se traza una línea horizontal que determina el valor

ideal. A partir de esta línea se analiza la estabilidad del proceso





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3. Continuidad

Analizar y graficar la continuidad de la función en el punto 𝒙 = 𝟐.

𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 1 𝑠𝑖 𝑥 > 25 𝑠𝑖 𝑥 = 2𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < 2

6. TEORÍA Y MATERIAL DE CONSULTA

Límite

Para comprender un poco más esta definición puedes ver el siguiente video:

https://www.youtube.com/watch?v=o2UTk8bsLS0

Limites laterales

Las aproximaciones que se realizan para determinar el límite de una función se asocian al

concepto de límite lateral.

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 Se lee cuando x tiende

a 𝒂 por la derecha es L.

lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝑀 Se lee cuando x tiende

a 𝒂 por la izquierda es M.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝜖 > 0, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝜎 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥,

𝑠𝑖|𝑥 − 𝑎| < 𝜎, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖



https://www.youtube.com/watch?v=o2UTk8bsLS0



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Ejemplo gráfico:

Ejemplo:

Traza la gráfica de f(x) y hallar los límites laterales cuando x tiende a 1

𝒇(𝒙) = {𝒙 + 𝟏 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟏𝒙𝟐 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟏

Solución

Para calcular el límite por la izquierda se tiene que:

lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1−

𝑥 + 1 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑓(𝑥) → 2

Para calcular el límite por la derecha se tiene que:

lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+

𝑥2 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑓(𝑥) → 1

La existencia o no existencia del límite de una función depende de los límites laterales. Si los

límites laterales son iguales, entonces, el límite de la función existe. Si los límites laterales son

diferentes, entonces, el límite de la función no existe.





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Propiedades de los límites

Límite de funciones indeterminadas

Ejemplo 1: Límite de funciones racionales

Calcular el siguiente límite: 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟏

𝒙𝟐−𝟏

𝒙−𝟏

Solución1:

Haciendo sustitución directa tenemos

𝑙𝑖𝑚𝑥→1

𝑥2−1

𝑥−1=

12−1

1−1=

0

0 resultando una indeterminación

Para resolver el problema, podemos hacer uso de la

gráfica de la función. Usando los límites laterales

𝑙𝑖𝑚𝑥→1−

𝑥2−1

𝑥−1= 2 y

𝑙𝑖𝑚𝑥→1+

𝑥2 − 1

𝑥 − 1= 2

Al emplear el método de sustitución directa es posible encontrar resultados que no existen,

como 𝑎

0, indeterminaciones como

0

0,

∞

∞,

∞

0 .





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Solución 2:

Usando la factorización tendríamos:


𝑥2 − 1

𝑥 − 1


(𝑥+1)(𝑥−1)

𝑥−1 por diferencia de cuadrados


(𝑥 + 1) simplificando


(𝑥 + 1) = 1 + 1 = 2 valorando el límite

Ejemplo 2: Función racional - Clases de asíntotas

Asíntota vertical

Si 𝑎 es un cero del denominador, entonces, la gráfica

de la función f tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 𝑎,

siempre y cuando el numerador y el denominador de la

función racional no tenga un factor común. La recta

𝑦 = 𝑏 es una asíntota horizontal de la gráfica de la

función f(x), si lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = ±∞ 𝑜 lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = ±∞

Asíntota horizontal

Dada la función racional f definida por:

𝑓(𝑥) =𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)=

𝑎𝑛𝑥𝒏 + 𝑎𝑛−1𝑥𝒏−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

𝑏𝑚𝑥𝒎 + 𝑏𝑚−1𝑥𝒎−1 + ⋯ + 𝑏𝑛𝑥 + 𝑏0

Si 𝒏 < 𝒎, entonces, la función f tiene una asíntota horizontal en la recta

𝒚 = 𝟎 (eje x)





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Si 𝒏 = 𝒎, entonces, la función f tiene una asíntota horizontal es la recta

𝒚 =𝒂𝒏

𝒃𝒏.

Si 𝒏 > 𝒎, entonces, la función f no tiene asíntota horizontal

La recta 𝑦 = 𝑏 es una asíntota horizontal de la gráfica de la función f(x), si

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑜 lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 𝑏

Asíntota oblicua

Una función f(x) tiene asíntota oblicua si lim𝑥→±∞

𝑓(𝑥)

𝑥= 𝑚, 𝑐𝑜𝑛 𝑚 ∈ ℝ − {0}

La recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 es la ecuación de la asíntota de f(x) si:

lim𝑥→±∞

[𝑓(𝑥) − (𝑚𝑥 + 𝑏] = 0 , en donde

𝑚 = lim𝑥→±∞

𝑓(𝑥)

𝑥 𝑦 𝑏 = lim

𝑥→±∞[𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥]

Ejemplo 3:

Límite de funciones radicales

Racionalizando el numerador, el denominador o ambos es posible levantar la

indeterminación.

lim𝑡→9

3 − √𝑡

9 − 𝑡

valorando el límite

lim𝑡→9

3−√𝑡

9−𝑡=

3−√9

9−9=

3−3

0=

0

0

Para levantar la indeterminación se

racionaliza el numerador

lim𝑡→9

3 − √𝑡

9 − 𝑡∙

3 + √𝑡

3 + √𝑡

lim𝑡→9

32 − (√𝑡)2

(9 − 𝑡)(3 + √𝑡)

lim𝑡→9

32 − (√𝑡)2

(9 − 𝑡)(3 + √𝑡)

lim𝑡→9

9−𝑡

(9−𝑡)(3+√𝑡) Simplificando

lim𝑡→9

1

(3+√𝑡) valorando nuevamente

lim𝑡→9

1

(3 + √𝑡)=

1

3 + √9=

1

3 + 3=

1

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Límites en el infinito

Límites en el infinito

Ejemplo:

Los límites de funciones racionales para los cuales se presenta la inderminación

∞

∞ reciben el nombre de límites en el infinito.

Para calcular el límite de estas funciones, se divide el numerador y el

denominador de la función entre la potencia de mayor grado.

A partir de este proceso se presentan tres criterios:

i. lim𝑥→∞

𝑃(𝑥)

𝑄𝑥)= ∞ si el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x).

Ejemplo:

lim𝑛→∞

3𝑛2 − 7𝑛 + 2

𝑛 − 2

lim𝑛→∞

(3𝑛−1)(𝑛−2)

𝑛−2 factorizando

lim𝑛→∞

3𝑛 − 1 = ∞ simplificando

Ya que al crecer n sin cota la expresión

3𝑛 − 1 también crece sin cota.

ii. lim𝑥→∞

𝑃(𝑥)

𝑄𝑥)= 0 si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x).

Ejemplo:

Si la variable x crece o decrece sin cota y la función f(x) se aproxima a valores

específicos L y M respectivamente, tales límites se denominan límites en el infinito.

Simbólicamente: 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

= 𝐿1, 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝑀





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lim𝑥→∞

2𝑥3 − 3𝑥 + 1

−3𝑥4 + 5𝑥3 − 6𝑥 + 2

Se elige la expresión de mayor potencia

𝑥4, y se divide el numerador y

denominador entre esa potencia.

lim𝑥→∞

2𝑥3

𝑥4 −3𝑥𝑥4 +

1𝑥4

−3𝑥4

𝑥4 +5𝑥3

𝑥4 −6𝑥𝑥4 +

2𝑥4

lim𝑥→∞

2𝑥

−3

𝑥3 +1

𝑥4

−3 +5𝑥

−6

𝑥3 +2

𝑥4

=0

−3= 0 Valorando el límite

iii. lim𝑥→∞

𝑃(𝑥)

𝑄𝑥)=

𝑚

𝑛 si el grado de P(x) es igual al grado de Q(x), siendo m y n los

coeficientes de los términos de mayor grado de P(x) y Q(x),

respectivamente.

Ejemplo:

lim𝑎→∞

−2𝑎3 + 5𝑎2 − 𝑎 + 1

−𝑎3 + 3𝑎 − 8= 2

Para probarlo, se divide el numerador y el denominador de la función

racional entre 𝑎3.

Continuidad

Una función es continua cuando a pequeñas variantes de la variable

independiente corresponden pequeñas variaciones de la variable dependiente.

Este hecho es evidente gráficamente cunado no se representan saltos de un

valor a otro sin tomar valores intermedios (rupturas).





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Continuidad de una función en un punto

Una función f es continua en un punto x=a si cumple las siguientes condiciones:

f está definida en un intervalo abierto que contiene a "𝑎" y f(a) existe.

El límite de la función cuando tiende a "𝑎" existe; es decir,

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) existe.

El límite de la función cuando x tiende a "𝑎" es igual a la función

calculada en 𝑎; es decir, lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).

Continuidad de una función en un intervalo

Una función f es continua en un intervalo abierto (𝑎, 𝑏), si f es continua en todos

los puntos del intervalo (𝑎, 𝑏).

Una función f es continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]si:

f es continua en el intervalo abierto (𝑎, 𝑏)

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) ⋀ lim𝑥→𝑏−

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏)

7. EVALUACIÓN A continuación, describimos los criterios de evaluación que se tendrán en

cuenta en cada uno de los ítems de la actividad que se desarrollará; se

establecen con claridad las acciones a realizar y la forma como serán

evaluadas las evidencias de dicho trabajo.

Criterios

1 Encuentra las asíntotas horizontales y verticales de la grafica #1

2 Determina la función a la cual corresponden la gráfica #1 y #2

3 De acuerdo a la información de la situación planteada, encuentra: Los

procesos estables e inestables.





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4 Gráfica y analiza la continuidad de la función dada en el punto x=2

5 Presenta la actividad de forma organizada, bien elaborada en las fechas

establecidas y de acuerdo a los parámetros solicitados.

7 Asiste, permanece y participa en los encuentros programados



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