matemÁticas de 3º espa/espad · 2019-05-21 · identidades notables ... 6 ejercicios resueltos...

MATEMÁTICAS DE 3º ESPA/ESPAD

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CEPA PLUS ULTRA

Saludo imposible entre paralelas.

2º PREMIO Concurso Fotografía matemática PLUS ULTRA 2018

Matemáticas 3º E.S.P.A. Pág.2 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

Índice

TEMA 1. NÚMERO REAL (RESUMEN) ............................................................................................................. 5

1 Clasificación de los números .................................................................................................................. 5

1 Opuesto, inverso y valor absoluto de un número ................................................................................... 6

2 Jerarquía de las operaciones ................................................................................................................. 6

3 Potencias enteras .................................................................................................................................. 6

3.1 Propiedades de las potencias ........................................................................................................ 6

3.2 Propiedades para potencias con el mismo exponente ................................................................... 7

4 Números racionales ............................................................................................................................... 7

4.1 Fracciones ...................................................................................................................................... 7

4.2 Operaciones con fracciones ........................................................................................................... 9

TEMA 2. POLINOMIOS. OPERACIONES. .......................................................................................................10

1 Definiciones ...........................................................................................................................................10

2 Monomios ..............................................................................................................................................10

2.1 Operaciones con monomios ..........................................................................................................11

3 Polinomios .............................................................................................................................................11

3.1 Operaciones con polinomios .........................................................................................................12

3.2 Raíces de un polinomio .................................................................................................................13

4 Potencias. Identidades notables............................................................................................................14

4.1 Potencias de monomios y polinomios ...........................................................................................14

4.2 Identidades notables .....................................................................................................................15

TEMA 3. ECUACIONES DE PRIMER GRADO .................................................................................................16

1 Igualdad. identidad y ecuación. .............................................................................................................16

2 Significado y utilidad..............................................................................................................................16

3 Elementos y nomenclatura ....................................................................................................................17

4 Reglas de equivalencia .........................................................................................................................18

5 Resolución de ecuaciones de primer grado ..........................................................................................22

6 Consejos ...............................................................................................................................................30

7 Resolución de problemas ......................................................................................................................32


TEMA 4. FUNCIONES ......................................................................................................................................34

1 Intervalos de la recta real ......................................................................................................................34

2 Ejes cartesianos. Coordenadas en el plano. .........................................................................................37

2.1 Representación gráfica de puntos .................................................................................................37

3 Función .................................................................................................................................................39

3.1 Relaciones dadas por tablas .........................................................................................................40

3.2 Relaciones dadas por gráficas ......................................................................................................41

3.3 Relaciones dadas por fórmulas .....................................................................................................43

3.4 Representación gráfica de funciones ............................................................................................45

4 Estudio gráfico de funciones .................................................................................................................47

4.1 Dominio (Dom f) ............................................................................................................................47

4.2 Imagen o recorrido (Im f) ...............................................................................................................48

4.3 Continuidad ...................................................................................................................................50

4.4 Crecimiento y decrecimiento .........................................................................................................50

4.5 Función creciente y decreciente en un intervalo ...........................................................................52

4.6 Máximos y mínimos .......................................................................................................................53

4.7 Simetrías .......................................................................................................................................56

4.8 Periodicidad ..................................................................................................................................58

4.9 Puntos de corte con los ejes .........................................................................................................58

TEMA 5. FUNCIONES. RECTAS ......................................................................................................................60

1 Definición ..............................................................................................................................................60

2 Pendiente y ordenada en el origen........................................................................................................61

3 Representación gráfica .........................................................................................................................64

4 Determinación de la ecuación de una recta ..........................................................................................65

5 Rectas paralelas y secantes .................................................................................................................68

6 Ejercicios resueltos ...............................................................................................................................68

TEMA 6. CUERPOS GEOMÉTRICOS. .............................................................................................................75

1 Cuerpos geométricos ............................................................................................................................75

2 Poliedros ...............................................................................................................................................75

2.1 Poliedros regulares .......................................................................................................................76

2.2 Poliedros irregulares: prismas y pirámides ....................................................................................76

3 CUERPOS REDONDOS .......................................................................................................................78

3.1 Cilindro ..........................................................................................................................................78

3.2 Cono ..............................................................................................................................................79

3.3 Esfera ............................................................................................................................................79


4 Teorema de Pitágoras en el espacio. diagonal del ortoedro .................................................................79

5 Teorema de Euler..................................................................................................................................80

6 Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos .........................................................................................80

6.1 Prismas y pirámides rectas ...........................................................................................................80

6.2 Cuerpos redondos .........................................................................................................................83

TEMA 7. ESTADÍSTICA ....................................................................................................................................87

1 Población, muestra y caracteres o variables estadísticas .....................................................................87

2 Valores, frecuencias y tablas ................................................................................................................88

2.1 Intervalos de clase y marcas de clase ...........................................................................................90

3 Representaciones gráficas ....................................................................................................................91

4 Medidas de centralización: media, moda y mediana .............................................................................96

5 Medidas de dispersión: rango, varianza y desviación típica ..................................................................99

6 Ejercicios resueltos .............................................................................................................................102


al (res

NÚMERO REAL (RESUMEN)

1 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS

Naturales ( ): 1,2,3,4,5,6,.....

Enteros ( ): … -3,-2,-1,0,1,2,3,4,......

Racionales ( ): .......',',, 233334654

8

3

1 todos los que pueden expresarse en forma de fracción.

Decimales

Exactos: Tienen un número finito de decimales (ej.: 4’267300124)

Ilimitados: (número infinito de decimales)

Periódicos:

Puros: infinitos decimales que se repiten formando un periodo desde la coma (ej:

2’ 3434343434….= )

Mixtos: infinitos decimales que se repiten formando un periodo pero dicho periodo comienza, como mínimo, en el segundo

decimal (ej: 2’73434343434...= ;

0’213555555…= 52130

' )

No periódicos: Infinitos decimales que no se repiten

Irracionales (II): - 2 , 3 , , 1'24587215963... decimales infinitos no periódicos; son aquellos números

que no pueden expresarse en forma de fracción

Reales (IR): la unión de todos los números, racionales e irracionales

La ordenación de los números se hace sobre una recta llamada recta real. Aparecen colocados en forma creciente, es decir, leyendo de izquierda a derecha, los menores serán los que más a la izquierda de la recta estén y van siendo mayores según nos vamos desplazando hacia la derecha:

NNNÚMERO REAL (Resumen)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 …

Negativos ← → Positivos


1 OPUESTO, INVERSO Y VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO

Opuesto de un número: Es aquél que tiene el mismo valor que el número pero con distinto signo, es decir, que la suma de un número con su opuesto debe ser 0. Por ejemplo: el opuesto del 3 es el -3 y se cumple que 3+ (-3) = 0; el opuesto de -7 es +7.

Inverso de un número: Es aquél que multiplicado por éste nos da 1. Por ejemplo: El inverso de 4 es 4

1ya

que 14

14 .

Observación: el 0 NO tiene inverso, no se puede dividir por 0. Valor absoluto: El valor absoluto de un número real a se denota por a y se define como

0a sia-

0a siaa

Es decir, consiste en considerar el número sin tener en cuenta el signo.

Ejemplo 1. : |2| =2 ; |-2| =2

Observación: el valor absoluto de 0 es 0

2 JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

El orden en el que hay que realizar las operaciones es el siguiente: 1. Corchetes y paréntesis. 2. Potencias y raíces.

3. Productos y cocientes (si son exactos). 4. Sumas y restas.

3 POTENCIAS ENTERAS

Sea a un número y n un número natural. El símbolo na está definido como veces n

n ..·a·aa·a·a

3.1 Propiedades de las potencias

1. 1a0

2. aa1

3. n

n

a

1a (con n positivo)

4. mnmn aaa · (El producto de potencias de la misma base tiene la misma base y se suman los exponentes)

5. mn

m

n

aa

a

(El cociente de potencias de la misma base tiene la misma base y se restan los exponentes, el del numerador menos el del denominador)


6. mnmn aa ·)(

(Una potencia elevada a otra potencia tiene la misma base y se multiplican los exponentes) ¡¡ IMPORTANTE !!: NO hay propiedades para la suma y resta de potencias, ni para potencias que no tengan

nada en común. Por ejemplo: 954 333 ; 444 523

3.2 Propiedades para potencias con el mismo exponente

1. nnn baba ·)·( (La potencia de un producto se puede separar en producto de potencias)

Por ejemplo: 333 )4·(7))4·(7( 5555 932932 ··)··(

222 7676 ·)·( 7777 523523 )··)((··)(

2. n

nn

b

a

b

a

(La potencia de un cociente se puede separar en cociente de potencias)

Ejemplo 2. : 3

3

3

4

7

4

7 )(

; 5

555

9

32

9

32 ··

4 NÚMEROS RACIONALES

4.1 Fracciones

o Fracción: en la forma b

a, expresa el cociente de dos números enteros a y b (a : b)

o Fracciones propias: el numerador es menor que el denominador. o Fracciones impropias: el numerador es igual o mayor que el denominador. o Fracciones decimales: el denominador es la unidad seguida de ceros. o Números mixtos: son fracciones impropias que se expresan dando la parte entera y la parte

fraccionaria, siendo esta última una fracción propia. Se denotan c

ba .

c

ba no significa que estamos haciendo el producto de a por la fracción

c

b, es sólo una forma de

expresar este tipo de números, lo que significa es que tenemos a enteros y la parte fraccionaria c

b, es

decir, tenemos c

ba . Mediante éste último cálculo se obtiene la fracción impropia a la que corresponde

la expresión mixta, aunque no será necesario realizarlo, ya que las calculadoras científicas permiten la transformación de forma directa.

Ejemplo 3. :

a) 2

11 significa que tenemos uno y medio

Escrito como fracción serían: 2

3

2

11


Escrito como decimal sería: 51501

5021

,,

,

(se convierte la parte fraccionaria en decimal y se

suma a la parte entera ya conocida)

b) 5

32 significa que tenemos 2 enteros y tres quintas partes

Escrito como fracción serían: 5

13

5

32

Escrito como decimal sería: 62602

6053

,,

,

Transforma la fracción 5

19 en número mixto.

Hacemos el cociente que nos indica dicha fracción:

Entonces, tenemos como parte entera 3 y la parte fraccionaria saldría

de continuar dividiendo 4 entre cinco, es decir, de hacer 4:5, o lo que es lo mismo 5

4. Por

tanto, como número mixto, se trata del 5

43 (Como decimal sería el 3,8)

o Fracciones equivalentes: son fracciones que tienen el mismo valor

Existen varias formas de reconocer si dos fracciones son o no equivalentes:

Realizando los cocientes que representan cada una de las fracciones y comprobando que obtenemos

el mismo resultado.

Por ejemplo: 8

12 y

2

3(ambas valen 1,5)

Multiplicando en cruz para ver si resulta el mismo número, es decir, si se cumple que el producto de

los extremos es igual al producto de los medios.

Por ejemplo:

2

3

8

12 ? ; 83212 ··

?

; 2424 Son equivalentes

20

12

5

4 ? ; 125204 ··

?

; 6080 No son equivalentes

Comprobando que hemos obtenido una de ellas multiplicando (o dividiendo) el numerador y

denominador de la otra por la misma cantidad.

Por ejemplo:


Cuando se conoce ya la operación de división de fracciones, para ver si son equivalentes dos fracciones, basta realizar el cociente entre ellas y comprobar que el resultado es 1. En caso contrario, no serían equivalentes.

4.2 Operaciones con fracciones

Suma: Si los denominadores son iguales, la suma es una fracción que tiene el mismo denominador que las

anteriores y como numerador el resultado de operar los numeradores.

Ejemplo 4. : 6

11

6

175

6

1

6

7

6

5

Si los denominadores son distintos, reduciremos las fracciones a común denominador (mediante el mínimo común múltiplo de los denominadores) y transformaremos los numeradores correspondientes para proceder después como en el apartado anterior.

Ejemplo 5. : 18

85

18

24245

18

2

18

42

18

45

9

1

3

7

2

5

Producto: se multiplica en línea bd

ac

d

c

b

a

Ejemplo 6. : 9

5

18

10

3

2

6

5

Cociente: se divide multiplicando en cruz bc

ad

d

c:

b

a

Ejemplo 7. : 4

5

12

15

3

2:

6

5


POLINOMIOS. OPERACIONES.

1 DEFINICIONES

Expresión algebraica: Expresión en la que se operan números conocidos y desconocidos, representados por letras, a, b, c, x, y, z,..., que se denominan indeterminadas. Cada sumando es un término de la expresión.

Ejemplo 1. :

3xy2y3x 32 es una expresión algebraica de tres términos y dos indeterminadas.

Términos: 32y3x , xy2 , 3 Indeterminadas: x, y

Valor numérico de una expresión algebraica: Es el que se obtiene al sustituir las letras por números y calcular la operación resultante.

Ejemplo 2. :

El valor numérico de 3xy + 4x para x = 2 e y = 5 es 38, ya que: 3·2·5 + 4·2 = 30 + 8 = 38

Ejemplo 3. :

El valor numérico de 6xx4x)x(P 23 para x = -4 P(-4) = (-4)3 – 4(-4)2 + (-4) + 6 =

-64 - 64 - 4 + 6 = -126 P(-4) = -126

Ejemplo 4. :

Dado el polinomio P(x) = 4x3x2 , hallar

2

1P .

4

23

4

16

4

6

4

14

2

3

4

14

2

13

2

1

2

1P

2

2 MONOMIOS

Monomio: Es la expresión algebraica que resulta de multiplicar un número por una o varias indeterminadas. El número se denomina coeficiente, y el producto de las indeterminadas, parte literal. Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

Ejemplo 5. :

a) zy3x2 es un monomio de coeficiente 3 y parte literal zyx2

b) 3 x- es un monomio de coeficiente (– 1) y parte literal 3 x

c) Los monomios 23 y7x , 23y4x son semejantes (la parte literal 23yx es igual)

Grado de un monomio: Es la suma de los exponentes de su parte literal.

Ejemplo 6. :

a) El grado del monomio 23z8ab es 6, (1+3+2 =6)

b) El grado del monomio 3 x- es 3

PPPOOOLLLIIINNNOOOMMMIIIOOOSSS... OOOPPPEEERRRAAACCCIIIOOONNNEEESSS...


c) El grado del monomio constante 7 es cero, ya que la parte literal tendría grado 0

( 07x y 1x0 )

2.1 Operaciones con monomios

Suma y resta de monomios semejantes: Se suman o restan sus coeficientes, manteniéndose la misma parte literal.

Ejemplo 7. :

a) 23y7x 23y4x 23yx4)(7 = 23yx11

b) 23y7x – 23y4x = 23y4)x-(7 = 3 23yx

Multiplicación de un monomio por un número: Se multiplica el coeficiente por dicho número,

manteniéndose la misma parte literal.

Ejemplo 8. : 23z3ab(-4) = 23z3)ab((-4) = 23z12ab-

Multiplicación de monomios: No es necesario que sean semejantes. Se multiplican los coeficientes

y las potencias de las partes literales se van multiplicando, agrupando las que tengan la misma base, sumando los grados como se indica en las propiedades de las potencias.

Ejemplo 9. :

a) 4332 yx12yx4xy3 )()( (no sería necesario expresar los monomios entre

paréntesis, sólo se han utilizado para indicar cada uno de ellos, bastaría escribir 4332 yx12yx4xy3

b) 8356423 zb-15a)z(-5az3ab

Cociente de monomios: Se dividen los coeficientes, y las potencias de las partes literales se van

dividiendo, agrupando las que tengan la misma base, restando los grados como se indica en las propiedades de las potencias.

Ejemplo 10. :

a) 232

32 y2x2xy

y4x2xy)y(4x (:)

b) 43

3

64

236423

z3a

b

z9a

z3abz9az3ab :

3 POLINOMIOS

Polinomio: Expresión formada por sumas y/o restas de monomios de diferentes grados.

Ejemplo 11. :

a) 2yx32xyy)Q(x, 23 es un polinomio en dos indeterminadas x e y.

b) 1xx-x2P(x) 35 es un polinomio en una indeterminada, x.

433-6234-1 zba3

1zba

3

1


Grado de un polinomio: Es el de su monomio de mayor grado. Cuando el polinomio sea función de una única indeterminada, el grado coincidirá con el mayor de los exponentes de dicha indeterminada.

Ejemplo 12. :

a) 5x2yx32xyy)P(x, 23 es de grado 4, ya que:

Grado del monomio 32xy : 1+3=4

Grado del monomio yx3 2 : 2+1=3

Grado del monomio x2 : 1+0=1 Grado del monomio 5 : 0

Ejemplo 13. :

a) 1xx-x2P(x) 35 es de grado 5

b) 9x2x32xP(x) 273 es de grado 7

De aquí en adelante, nos centraremos en polinomios con una indeterminada Ordenar un polinomio: Consiste en reorganizar los términos de manera que aparezcan escritos los grados de mayor a menor (descendente) o de menor a mayor (ascendente); generalmente se ordenan de la primera forma.

Ejemplo 14. : 6823 x2x3x-4x5P(x)

Ordenado de mayor a menor grado queda: 5x-4xx2x3P(x) 2368

Ordenado de menor a mayor grado queda: 8632 x3x24xx-5P(x)

Expresión general de un polinomio en una indeterminada: un polinomio en una indeterminada, x, es de la forma

012

22n

2n1n

1nn

n axaxa...xaxaxaP(x)

con n1i ai ,...,, y 0an

Los coeficientes ia pueden ser cualquier número real y el coeficiente de nx tiene que ser no nulo, ya que es

el término que nos da el grado del polinomio.

0a : Se llama término independiente del polinomio. Es el coeficiente del término de grado 0, es decir, el

término que aparece como 0a es en realidad el 00xa .

Observación: Cuando no aparece alguna potencia ix , se dice que el polinomio no es completo y significa que el coeficiente correspondiente a dicha potencia es nulo, es decir, 0a i .

Por ejemplo, el polinomio del apartado b del ejemplo 10 es incompleto, faltan los términos de grado 4 y de

grado 2, sería: 1xx0x-x0x2P(x) 2345

3.1 Operaciones con polinomios

Suma y resta: Se realizará sumando los términos por monomios semejantes.

Ejemplo 15. :


a) 3x33x1x22x3x1x22x3(x 22222 )()

b) 1x3x1x22x3x1x22x3(x 22222 )() Multiplicación de polinomios:

1. Producto de un número por un polinomio: Se multiplica el número por cada uno de los

monomios que forman el polinomio.

Ejemplo 16. :

a) 8x12x42x3(x4 22 )

b) 18x30x63x5(-x6- 2323 )

2. Producto de un monomio por un polinomio: Se multiplica el monomio por cada uno de los

monomios que forman el polinomio.

Ejemplo 17. :

a) 34523 x8x12x42x3(x4x )

b) 467234 x18x30x63x5(-x6x- )

3. Producto de dos polinomios: Se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada uno de

los monomios del segundo polinomio y después se agrupan los monomios semejantes.

Ejemplo 18. :

a) x18x66x23(-x6x)-(2 433 )

b) x10x15x5x8x12x42x3(xx5(4x 2334523 ))

x10x15x13x12x4 2345

3.2 Raíces de un polinomio

Se dice que un valor x = a es raíz de un polinomio P(x), cuando al sustituir dicho valor en el polinomio, el resultado es 0; es decir, cuando P(a) = 0. Las raíces de un polinomio, también se llaman ceros del polinomio.

Dado el del polinomio 6xx4x)x(P 23 , indica cuáles de los siguientes valores de x,

x = 0; x = 3; x = 1; x = -1; x=2 y x = -4, son raíces de P(x).

Ejemplo 19. :

Calculamos el valor numérico de P(x) para los valores que nos dan.

x = 0 P(0) = 03 – 402 + 0 + 6 = 0 – 0 + 0 + 6 = 6 x = 0 no es raíz del polinomio.

x = 3 P(3) = 33 – 432 + 3 + 6 = 27 – 36 + 3 + 6 = 0 x = 3 es raíz del polinomio.


x = 1 P(1) = 13 – 412 + 1 + 6 = 1 – 4 + 1 + 6 = 4 x = 1 no es raíz del polinomio.

x = - 1 P(-1) = (-1)3 – 4(-1)2 + (-1) + 6 = -1 – 4 – 1 + 6 = 0 x = -1 es raíz del polinomio.

x = 2 P(2) = 23 – 422 + 2 + 6 = 8 – 16 + 2 + 6 = 0 x = 2 es raíz del polinomio.

x = - 4 P(-4) = (-4)3 – 4 (- 4)2 + (- 4) + 6 = - 64 - 64 - 4 + 6 = -126 x = - 4 no es raíz del polinomio.

También podemos decir que 3, -1 y 2 son ceros del polinomio 6xx4x)x(P 23 .

Ejemplo 20. :

Dados los polinomios 1x4

3x

2

1xN3x5x3xM 22 ; y

3

2x

3

1xxP 2 .

Calcula: a) 2M(x) + 4N(x) + 3P(x); b) M(x) – 2N(x); c) M(x) +3N(x) – P(x)

a)

3

2x

3

1x31x

4

3x

2

143x5x32xP3xN4xM2 222

x8x112xx34x3x26x10x6 2222

b)

2x

2

3x3x5x31x

4

3x

2

123x5x3xN2xM 2222

5x2

13x2 2

c)

3

2x

3

1x1x

4

3x

2

133x5x3xPxN3xM 222

3

2x

12

29x

2

7

3

2x

3

1x3x

4

9x

2

33x5x3 2222

4 POTENCIAS. IDENTIDADES NOTABLES

4.1 Potencias de monomios y polinomios

Las potencias de monomios y de polinomios se efectúan del mismo modo que las de los números reales.

La potencia de exponente natural de un monomio o de un polinomio se calcula multiplicando la base consigo misma tantas veces como indica el exponente.

Ejemplo 21. :

2

13

2

35

2

71

2

33

12

29

3

1

4

95

3

2

3

233


642322233223232232 yx16yx4yyxx44y(4xy(4xy(4x )()())()(())) La potencia de un monomio se calcula elevando cada elemento del monomio a dicha potencia.

369332333323 zy8xz)(y)(x2z)y(2x

Ejemplo 22. :

25x10x25x5x5x)5x()5x()5x( 222 Las siguientes identidades nos permiten calcular determinadas potencias de polinomios de forma más sencilla.

4.2 Identidades notables

Cuadrado de una suma: 222 bab2aba )( .

El cuadrado de una suma es el cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Ejemplo 23. :

a) 9x24x1633x42x43x4 2222 )()(

b) 1x2x11x2x1x 24222222 )()(

Cuadrado de una diferencia: 222 bab2a)ba(

El cuadrado de una diferencia es el cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Ejemplo 24. :

a) 632233223 yxy6x9yyx32x3yx3 )()()(

b) 432422222222 xx10x25xxx10x25xxx52x5xx5 )()()(

Suma por diferencia: 22 ba)ba()ba( (diferencia de cuadrados)

Ejemplo 25. :

a) 49x167x47x47x4 222 )()()(

422222 x91x31x31x31 )()()(

b) 422222 x91)x3(1)x31()x31(


ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1 IGUALDAD. IDENTIDAD Y ECUACIÓN.

Una identidad es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verdadera para cualquier valor de las indeterminadas.

Ejemplo 1. : x + x = 2x

Esta igualdad se cumple para cualquier valor que tome la letra x, pues un número sumado consigo mismo siempre es igual a su doble.

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se verifica para ciertos valores de las letras.

Ejemplo 2. : 2x + 2 = 6 + x

Esta igualdad entre dos expresiones algebraicas puede ser verdadera o falsa, según el valor numérico que se le asigne a la letra x.

Si sustituimos la x por 4 en la expresión anterior, 2 ∙ 4 + 2 = 6 + 4 10 = 10

Se obtiene una igualdad entre expresiones numéricas, que es cierta. Pero si sustituyéramos x por 7, 2 ∙ 7 + 2 = 6 + 7 1 6 = 1 3

La igualdad obtenida es falsa.

Luego 2x + 2 = 6 + x, no es una identidad, es una ecuación que se verifica para ciertos valores de la letra x.

2 SIGNIFICADO Y UTILIDAD.

Una ecuación expresa, en lenguaje algebraico, una relación entre cantidades cuyo valor, de momento, no conocemos. Esas cantidades se representan con letras.

Ejemplo 3. :

La tercera parte de un número es igual a su cuarta parte más una unidad.

Un número → x

Su tercera parte →3

x

Su cuarta parte →4

x

14

x

3

x

Ecuación

EEECCCUUUAAACCCIIIOOONNNEEESSS DDDEEE PPPRRRIIIMMMEEERRR GGGRRRAAADDDOOO


2x – 4 = x + 3

Primer

miembro Segundo

miembro

Ecuación

Ejemplo 4. :

La edad de Laura coincide con la quinta parte de la que tendrá dentro de 28 años.

Las ecuaciones permiten codificar relaciones en lenguaje algebraico y, a partir de ahí, manejarlas matemáticamente. Eso, como comprobarás más adelante supone una potentísima herramienta para resolver problemas.

3 ELEMENTOS Y NOMENCLATURA

Miembros de una ecuación: Son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo de igualdad.

Ejemplo 5. : 2x - 4 = x + 3

Términos: Son los sumandos que forman los miembros.

Ejemplo 6. : La ecuación anterior tiene cuatro términos. Los términos del miembro de la izquierda son 2x y - 4, y los términos del miembro de la derecha son x y 3.

Incógnitas: Son las letras que aparecen en la ecuación. También puede referirse a las incógnitas como indeterminadas.

Ejemplo 7. :

2x – 4 = x + 3 → Ecuación con una incógnita, x. 5x + 3y = y – 3 → Ecuación con dos incógnitas, x e y.

Soluciones o raíces de una ecuación: Son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta. Cada solución de una ecuación está formada por tantos números como letras tenga. Resolver una ecuación es encontrar el valor, o los valores, que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.

Edad de Laura → x Edad dentro de 28 años → x + 28

5

28xx

Ecuación


Ecuaciones compatibles e incompatibles. Según el número de soluciones, las ecuaciones se pueden clasificar en:

Compatibles: ecuaciones que tienen solución. Y se dividen en:

Determinadas: tienen una única solución.

Indeterminadas: tienen infinitas soluciones

Incompatibles: ecuaciones que no tienen solución.

Ejemplo 8. :

La ecuación x + 2 = 5 es compatible, porque la igualdad se cumple para x = 3 y, por tanto, la ecuación tiene solución.

Si intentas encontrar ahora una solución de la ecuación 4x2 , comprobarás

que no la tiene, ya que el cuadrado de un número no puede ser negativo. Se trata, por tanto, de una ecuación incompatible.

Ecuaciones equivalentes. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas incógnitas y las mismas soluciones.

Ejemplo 9. :

¿Qué tienen en común estas dos ecuaciones? 2x - 1 = x + 1 2 + x = 6 - x

La solución de ambas es x = 2, ya que: 2x - 1 = x + 1 2 ∙2 - 1 = 2 + 1 3 = 3

2 + x = 6 – x 2 + 2 = 6 – 2 4 = 4

Por tanto, las ecuaciones son equivalentes

4 REGLAS DE EQUIVALENCIA

Para transformar una ecuación en otra equivalente, se pueden aplicar las siguientes reglas de equivalencia, basadas, en las igualdades numéricas:

■ Transponer, o cambiar de lugar, sus miembros:

2x – 4 = x + 3 x + 3 = 2x – 4

¡ATENCIÓN! Si al aplicar las reglas de equivalencia a una ecuación con varias incógnitas eliminas alguna de ellas, el resultado no es una ecuación equivalente:

x2 + 2y = x

2 + 1

x2 + 2y - x

2 = x

2 + 1 - x

2

2y = 1

Esta última ecuación no es equivalente a la de partida.

3x4x2

x = 7 es solución, ya que 37472

x = 5 no es solución, ya que

35452


■ Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta un mismo número o una misma expresión algebraica, la ecuación resultante es equivalente a la dada:

Ejemplo 10. :

a)

b)

Resumiendo lo que ha ocurrido en estos ejemplos, podemos decir:

■ Si se multiplica o se divide por un mismo número distinto de cero a los dos miembros de la ecuación, es decir, a todos los términos de la ecuación, la ecuación resultante es equivalente a la dada:

Sumamos dos a cada miembro

En el miembro de la izquierda aparece -2+2, por lo que se anulan y sólo aparece el +2 en el miembro de la derecha

5x - 2 = 6 5x - 2 + 2 = 6 + 2 5x = 6 + 2 5x = 8

Suma: A = B CBCA

Resta: A = B CBCA

Producto: A = B CBCA0Cy

Simplificación: BA0CyCBCA

En una ecuación se puede pasar un término de un miembro a otro cambiándolo de signo: Lo que está sumando en un miembro pasa restando al otro miembro.

Lo que está restando en un miembro pasa sumando al otro miembro.

2x = 6 + x 2x - x = 6 + x - x 2x - x = 6 x = 6

En el miembro de la derecha aparece -x+x, por lo que se anulan y sólo aparece el -x en el miembro de la izquierda

Restamos la incógnita x a cada miembro


Ejemplo 11. :

Ejemplo 12. :

En este ejemplo los miembros tienen más de un término y vamos a multiplicar ambos miembros por cinco porque de este modo conseguiré que desaparezca el denominador de la fracción. Cuando se multiplica o se divide un miembro de una ecuación, se multiplica o divide a cada uno de sus términos.

Resumiendo lo que ha ocurrido en estos ejemplos, podemos decir:

Ejemplo 13. :

Teniendo en cuenta las reglas anteriores vamos a escribir tres ecuaciones equivalentes a cada una de las siguientes.

Se puede reducir una ecuación multiplicando o dividiendo ambos miembros por un mismo número no nulo: Lo que está multiplicando en un miembro pasa dividiendo al otro miembro. Lo que está dividiendo en un miembro pasa multiplicando al otro miembro.

255

x535x252

5

x53x252

5

x3x2 )()(

Multiplicamos por 5 los dos miembros

Hemos conseguido una ecuación equivalente sin denominadores

10x15x10

Restamos x y 15 a cada miembro para dejar las x en un miembro y los números en otro.

10x + 15 – x – 15 = x – 10 – x – 15

Dividimos por 9 los dos

miembros.

10x – x = – 10 – 15 9x = – 25

9

25x

9

25

9

9x

3

4x

3

4

3

x34x3

En el miembro de la izquierda aparece 13

3 ,

por lo que se simplifica y sólo aparece el 3 en el miembro de la izquierda dividiendo.

Dividimos por 3 cada miembro


a) 2x = 1

a.

b.

c.

b) 3 – x = 8x

a.

b.

c. Grado de una ecuación. Al aplicar las reglas de equivalencia, algunas ecuaciones se reducen a otras, cuyos miembros son uno un polinomio y el otro un cero. Estas ecuaciones se clasifican según el número de incógnitas y el grado del polinomio resultante.

Ejemplo 14. :

Luego, es una ecuación de primer grado con incógnita.

Ejemplo 15. :

01xx1xx 22

Por tanto, es una ecuación de segundo grado con incógnita.

3x - 2 = x - 7 3x = x - 7 + 2 3x = x - 5 3x – x = -5 2x = -5

2x + 5 = 0

Una ecuación es de primer grado con una incógnita si equivale a otra de la forma ax + b = 0. Una ecuación es de segundo grado con una incógnita si equivale a otra de la forma ax2 + bx + c = 0.

Sumando 3 a cada miembro

43x2313x21x2

Restando 1 a cada miembro

01x2111x21x2

Sumando x a cada miembro

x93xx8xx3x8x3

Restando 3 a cada miembro

3x8x3x83x3x8x3

Dividiendo por 2 cada miembro 2

1x

2

1

2

x21x2

Dividiendo por 8 cada miembro

x8

x

8

3

8

x8

8

x3x8x3


5xx5 Los miembros de una ecuación se transponen para que la incógnita aparezca a la izquierda al dar la solución.

2x57x75x

5x23x32x Un término de una ecuación se pasa de un miembro a otro cambiándole de signo.

5x4

20x20x4

Un número distinto de 0 que esté multiplicando a un miembro de una ecuación pasa al otro miembro dividiendo.

21x37x73

x

Un número distinto de 0 que esté dividiendo a un miembro de una ecuación pasa al otro miembro multiplicando.

Ejemplo 16. :

Clasifica estas ecuaciones atendiendo al grado y al número de incógnitas:

a) 1x35x3 En esta ecuación sólo aparece una incógnita, x, averigüemos el grado.

06x3x01x35x1x35x 333 El polinomio que aparece es de grado 3, luego es una ecuación de tercer grado con una incógnita. b) xyx9

Esta ecuación tiene dos incógnitas, x e y, averigüemos el grado. 0yx80xyx9xyx9

El polinomio que aparece es de grado 1, luego es una ecuación de primer grado con dos incógnitas.

c) 1y2x 22

Esta ecuación tiene dos incógnitas, x e y, averigüemos el grado.

01y2x1y2x 2222

El polinomio que aparece es de grado 2, luego es una ecuación de segundo grado con dos incógnitas. d) 71xy

Esta ecuación tiene dos incógnitas, x e y, averigüemos el grado. 08xy071xy71xy

El polinomio que aparece es de grado 2, luego es una ecuación de segundo grado con dos incógnitas.

5 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, debes despejar esta última aplicando las reglas de equivalencia. Fíjate en estos ejemplos:


En la resolución de una ecuación de primer grado conviene seguir un orden para facilitar la tarea y no cometer errores:

a) Quitar los paréntesis.

b) Realizar las multiplicaciones o divisiones que aparezcan entre fracciones

c) Quitar denominadores. Calcular m.c.m. y después

Se puede hacer:

a. Multiplicando la ecuación, es decir, a ambos miembros por el m.c.m de los denominadores de la ecuación.

b. Reduciendo a común denominador.

d) Pasar a un miembro los términos con incógnitas y al otro los numéricos.

e) Reducir términos semejantes.

f) Despejar la incógnita.

g) Comprobar la solución.

Vamos a resolver algunas ecuaciones siguiendo los pasos anteriores.

Ejemplo 17. :

Resolver la ecuación x64x73x4 )()(

Procedimiento x64x73x4 )()(

Quitar paréntesis x628x712x4

Pasar a un miembro los términos con incógnitas y al otro los numéricos

Nos saltamos los pasos b) y c) porque no hay denominadores ni operaciones entre fracciones.

Aquí aplicamos que los términos que están sumando en un miembro pasan al otro restando y los que están restando pasan sumando.

28126xx7x4

Reducir términos semejantes

10x2

Despejar la incógnita El -2, que está multiplicando pasa al segundo dividiendo

5 x :Sol. 52

10x


Comprobar la solución

11178

11724

56457354

)()(

Ejemplo 18. :

Resolver la ecuación 4

1

3

x2

2

3

Procedimiento 4

1

3

x2

2

3

Quitar paréntesis

4

1

2

x3

4

1

6

x3

2

6

4

1

3

x

2

32

2

3

Quitar denominadores

Nos saltamos el paso b) porque no hay operaciones entre fracciones.

Calculamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m. (2, 4) = 4, y multiplicamos ambos miembros por 4.

1x212

4

4

2

x434

4

14

2

x34



121x2


11x2

Despejar la incógnita El -2, que está multiplicando pasa al segundo dividiendo 2

11 x:Sol.

2

11

2

11x



4

1

4

1

4

1

12

3

4

1

6

1

2

3

4

1

6

11

6

12

2

3

4

1

6

112

2

3

4

1

32

11

22

3

Ejemplo 19. :


1

3

x2

2

3

. Volvemos a hacer este ejercicio por la

opción b. del apartado c).

Procedimiento 4

1

3

x2

2

3

Quitar paréntesis

4

1

2

x3

4

1

6

x3

2

6

4

1

3

x

2

32

2

3



Calculamos el mc.m. de los denominadores, m.c.m.(2, 4) = 4, y reducimos todos los términos a común denominador.

4

x2

22

2x

2

x

4

12

4

433

Después multiplicamos por 4 ambos miembros y los denominadores se eliminan.

1x212

4

1

4

x2

4

12




121x2


112x

Despejar la incógnita El -2, que está multiplicando pasa al segundo dividiendo 2

11 x:Sol.

2

11

2

11x


4

1

4

1

4

1

12

3

4

1

6

1

2

3

4

1

6

11

6

12

2

3

4

1

6

112

2

3

4

1

32

11

22

3

Ejemplo 20. :


xx1

8

1

2

1x2

2

1

8

3

Procedimiento

3

xx1

8

1

2

1x2

2

1

8

3

Quitar paréntesis 3

x

8

x

8

1

2

1x2

2

1

8

3

Realizar las multiplicaciones o divisiones que aparezcan entre fracciones

3

x

8

x

8

1

4

1x2

8

3



Calculamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m.(8, 4, 3)=24, y reducimos todos los términos a común denominador.


Cuidado en el primer miembro con el signo menos delante de la fracción.

x8x336x129

x8x331x269

24

x8

24

x3

24

3

24

1x26

24

9

)(

)(


Aquí aplicamos que los términos que están sumando en un miembro pasan al otro restando y los que están restando pasan sumando..

693x8x3x12


12x


12 x:Sol. 121

12x


8

43

8

43

8

32

8

11

8

46

8

3

48

11

4

23

8

3

4118

1

2

23

2

1

8

3

3

12121

8

1

2

1122

2

1

8

3

Ejemplo 21. :

Resolver la ecuación 3x

2

x51

3

Los denominadores de estas fracciones no son números, son expresiones algebraicas. Pero si invertimos las fracciones, se obtienen otras dos que siguen siendo equivalentes pero con denominadores numéricos.


2

3x

3

x51

3x

2

x51

3

Procedimiento 2

3x

3

x51

Nos saltamos los pasos a) y b)


Calculamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m.(3, 2)=6, y reducimos todos los términos a común denominador.


9x3x102

6

9x36

6

x1026

6

9x3

6

x102

6

3x3

6

x512



29x3x10


7x13


13

7- x:Sol.

13

7

13

7x



13

16

13

16

26

32

39

48

2

13

32

3

13

48

2

13

39

13

7

3

13

35

13

13

2

313

7

3

13

351

2

313

7

3

13

751

Ejemplo 22. :

Resolver la ecuación )()( 1x10

3

5

x2

2

35x

5

2

Procedimiento )()( 1x10

3

5

x2

2

35x

5

2

Quitar paréntesis

10

3

10

x3

5

x2

2

32

5

x2

110

3x

10

3

5

x2

2

35

5

2x

5

2



Calculamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m.(2, 5, 10)=10, y multiplicamos ambos miembros por 10.

3x3x41520x4

10

310

10

x310

5

x210

2

310210

5

x210

10

3

10

x3

5

x210

2

32

5

x210




15203x3x4x4


8x3

Despejar la incógnita

El -2, que está multiplicando pasa al segundo dividiendo

3

8- x:Sol.

3

8

3

8x


30

17

30

17

30

15

30

32

30

45

30

28

30

15

15

16

2

3

15

14

3

5

10

3

15

16

2

3

3

7

5

2

3

3

3

8

10

3

5

3

16

2

3

3

15

3

8

5

2

13

8

10

3

5

3

82

2

35

3

8

5

2

6 CONSEJOS

Comentamos algunos de los errores más frecuentes que se suelen cometer al resolver una ecuación. Recuerda que son errores y que debes evitarlos.

Ejemplo 23. :

La ecuación 21x3 , parece tan sencilla que nos vemos capaces de hacerla rápidamente y por ello, a veces o nos saltamos pasos o no aplicamos bien las reglas de equivalencia, y acabamos resolviéndola mal. El siguiente desarrollo es una muestra de lo que hemos dicho. Hemos resuelto mal la ecuación y una forma de comprobarlo es sustituir la solución obtenida en dicha ecuación y comprobar que no se cumple dicha ecuación.


Pero, entonces ¿qué error o errores hemos cometido? Un error es que nos quedamos con la “receta” lo que está multiplicando pasa dividiendo basándonos en ella hemos pasado el 3 que sólo multiplicaba a un término del miembro de la izquierda, no a todos los términos de dicho miembro, dividiendo al otro miembro. Si quisiéramos pasar el 3 dividiendo haciéndolo correctamente, deberíamos operar de la siguiente forma.

Pero esta forma de resolver la ecuación es bastante complicada y lo mejor es seguir los pasos indicados en el apartado anterior. Como no hay paréntesis ni denominadores en la ecuación saltamos directamente al paso d). Comprobamos que el resultado obtenido es la solución de la solución:

222132113

13

3x

3

1

3

2x

3

2

3

1x2

3

1x32

3

13x321x3

De esta forma el 3 aparece multiplicando a todos los términos del miembro de la izquierda.

Podemos pasar el 3

dividiendo al otro miembro.

Sustituimos en la ecuación, la indeterminada x por la

supuesta solución 3

5

24215213

1521

3

53

3

5x1

3

2x

3

21x21x3

Ecuación mal resuelta

13

3x3x312x321x3

Dejamos los términos con la incógnita en un miembro y los numéricos los dejamos en el otro.


Ejemplo 24. :

Otro error muy común consiste en cambiar el signo a un número que pasa dividiendo.

El proceso va bien hasta que llegamos a, -2x = 4, y tenemos que despejar x. Como el signo – parece que nos estorba lo quitamos y pasamos el 2 dividiendo. Una forma muy sencilla de comprobar que el resultado obtenido no es la solución, es que necesitamos multiplicar -2 por otro número negativo para que nos dé un número 4.

7 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Para resolver un problema algebraico seguiremos los siguientes pasos:

1. Lectura y comprensión del enunciado: realizaremos varias lecturas atentas para diferenciar lo que nos piden de los datos de que disponemos.

2. Elección de la incógnita.

3. Planteamiento de la ecuación a partir de las relaciones matemáticas entre los datos y la incógnita que se expresan en el enunciado.

4. Resolución de la ecuación.

5. Evaluación de la coherencia del resultado. Hay que comprobar que el resultado obtenido

es coherente con el enunciado.

6. Escribir la respuesta.

Ejemplo 25. :

Tres hermanos, Mercedes, Pedro y Laura, han reunido 834€ para regalar un viaje a sus padres. Laura ha aportado 120€ más que Pedro, y este, 45 más que Mercedes. ¿ Cuánto ha aportado cada uno?.

Después de leer el enunciado atentamente, identificamos la incógnita:

x: dinero que aporta Mercedes

Podemos expresar en función de la incógnita otros datos desconocidos:

x + 45: dinero que aporta Pedro

Ecuación mal resuelta

22

4x4x24x3x4x3x

Ecuación bien resuelta

22

4x4x24x3x4x3x


x + 165: dinero que aporta Laura

Planteamos la ecuación:

834165x45xx )()(

Resolvemos la ecuación:

2083

624x624x3834210x3834165x45xx )()(

La solución es coherente, ya que la cantidad de dinero tiene que ser positiva,

y la suma de las tres cantidades son los 834€.

Escribimos la solución:

Mercedes aporta 208 €, Pedro 253 € y Laura 373 €


FUNCIONES

1 INTERVALOS DE LA RECTA REAL

Este curso vamos a estudiar las funciones reales de variable real, es decir, funciones que se calculan sobre números reales y el resultado es un número real. Los números reales sobre los que podemos calcular la función forman un conjunto llamado dominio, los números reales que resultan forman un conjunto llamado recorrido. Por lo tanto, dominio y recorrido son subconjuntos, una parte, de los números reales. Veamos las formas con las que podemos expresar esos subconjuntos:

ENTRE LLAVES, {…….} : Es el conjunto formado exclusivamente por los elementos que aparecen en el interior de las llaves.

Ejemplo 1. :

a) { -6, 0.5,1, 3} Este conjunto está formado por cuatro elementos, -6, 1, 0.5 y el 3, sólo por esos cuatro números.

b) { 3 , 3

4, -7, 1 } Los elementos de este conjunto son cuatro, cuatro

números reales: 3 ,4

3, -7 y 1.

INTERVALOS: Sean a y b dos números reales tales que a < b Intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de números reales x, tales que a < x < b, es decir, todos los números mayores que a y menores que b, no incluidos a y b. se representa por (a, b) ó ]a,b[.

Observación: en la representación gráfica de un intervalo, cuando un extremo esté incluido pintaremos en él un punto cerrado ( ) y cuando no esté incluido, pintaremos uno abierto ( ).

FFFUUUNNNCCCIIIOOONNNEEESSS


Ejemplo 2. :

(-2, 3)1 Este conjunto está formado por los infinitos números reales (enteros, racionales e irracionales) comprendidos entre -2 y 3 no incluidos estos dos números. -1.99999, -1, -0.001, 0.5, 1, 1.25, 2.9999999 … etc.

Intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de números reales x, tales que a x b, es decir, todos los números mayores que a y menores que b incluidos a y b. Se representa por [a, b].

Ejemplo 3. :

a) [-2, 3] Está formado por todos los números reales mayores o iguales que -2 y menores o iguales que 3.

b) [2, 4] Está formado por todos los números reales mayores o iguales que 2 y menores o iguales que 4.

Intervalos semicerrados o semiabiertos de extremos a y b son aquellos intervalos en los que uno de los extremos se incluye y el otro no.

[a, b) : es el conjunto de números reales x, tales que a ≤ x < b, es decir, todos los

números mayores o iguales que a y menores que b (ahora está incluido a y no está incluido b).

(a, b] : es el conjunto de números reales x, tales que a < x ≤ b, es decir, todos los números mayores que a y menores o iguales que b (ahora no está incluido a y sí está incluido b).

1 ]-2, 3[

gráficamente [a, b)={x /a ≤ x < b}

gráficamente (a, b]={ x /a < x ≤ b }


Ejemplo 4. :

a) [-1, 4) Está formado por todos los números reales mayores o iguales que -1 y menores que 4.

b) (-1, 4] Está formado por todos los números reales mayores que -1 y menores o iguales que 4.

Intervalos infinitos: en alguno de los extremos, o en ambos, aparece el símbolo .

Observación: El extremo siempre es abierto; si el otro extremo es un número, puede ser abierto o cerrado.

(– , + ) = Representa toda la recta real, todos los números reales

(Cuando el extremo superior es +, también puede omitirse el signo + )

Veamos algunos ejemplos de este tipo de intervalos:

Ejemplo 5. :

a) (– , 3) Está formado por todos los números reales menores que 3

b) (-2, + ) Está formado por todos los números reales mayores que -2.

c) (– , – 1) Está formado por todos los números reales menores que -1.

d) (2, + ) Está formado por todos los números reales mayores que 2.

e) [2, + ) Está formado por todos los números reales mayores o iguales que 2.


f) (– , – 1] Está formado por todos los números reales menores o iguales que -1.

2 EJES CARTESIANOS. COORDENADAS EN EL PLANO.

Un sistema de referencia cartesiano está formado por dos rectas perpendiculares, llamados ejes de coordenadas, que dividen el plano en cuatro partes iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante.

El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.

El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas. El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el

origen de coordenadas.

El eje X puede tomar valores muy pequeños - , o valores muy grandes + . Los valores negativos están a la izquierda del punto O y los positivos a la derecha de dicho punto. El eje Y puede tomar valores muy pequeños - , o valores muy grandes + . Los valores negativos están debajo del punto O y los positivos encima de dicho punto.

Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y). La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina coordenada x del punto o abscisa del punto. La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama coordenada y del punto u ordenada del punto. El origen de coordenadas es el punto O(0, 0).

2.1 Representación gráfica de puntos

Como hemos dicho antes los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro cuadrantes. En el siguiente gráfico se observa como se nombran los cuadrantes, en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, y el signo de las coordenadas de un punto dependiendo del cuadrante en el que esté.


Los puntos que están en el eje de ordenadas tienen su abscisa igual a 0; y los que están en el eje de abscisas tienen ordenada igual a 0.

Ejemplo 6. :

Observa los puntos que aparecen en la ilustración y escribe sus coordenadas.

Las coordenadas de los puntos son:

A(-2, 3) D(1, -4)

B(-2, 0) E(3, 2)

C(-3, -3) F(0, 3)

Los puntos B y F se encuentran sobre los ejes, E está en el primer cuadrante, A en el segundo, C en el tercero y D en el cuarto.

Ejemplo 7. :

Indica en que cuadrante se encuentra los siguientes puntos y luego represéntalos: P(-1, 4), Q(-4, -2), R(2, 5) y S(5, -3)

El punto P se halla en el segundo cuadrante ya que su abscisa es negativa, -1, y su ordenada es positiva, 4. El punto Q se halla en el tercer cuadrante ya que su abscisa es negativa, -4, y su ordenada es negativa, -2.


El punto R se halla en el primer cuadrante ya que su abscisa es positiva, 2, y su ordenada es positiva, 4. El punto S se halla en el cuarto cuadrante ya que su abscisa es positiva, 5, y su ordenada es negativa, 4.

3 FUNCIÓN

Una función es una relación que asocia a cada valor de una magnitud2 (o conjunto inicial) un único valor de la otra magnitud (o conjunto final). A estas magnitudes se llaman variables. La primera magnitud, x, es la variable independiente, y la segunda, y, es la variable dependiente (es la que se deduce de la variable independiente). Las funciones sirven para expresar relaciones matemáticas, para describir fenómenos económicos, físicos, biológicos, sociológicos y también para predecir qué sucede con esos fenómenos si cambian las condiciones.

Ejemplo 8. :

La relación que a cada número natural le hace corresponder su siguiente, ¿es función?

Conjunto inicial Conjunto final Números naturales Números naturales

1 2 2 3 3 4 4 5

….. ….. Esta relación es una función porque a cada valor del conjunto inicial, un número natural, se le asocia un único valor del conjunto final, el siguiente número. Cada número solo tiene un siguiente.

Esta relación también la podemos escribir como pares de valores ordenadores:

(1, 2); (2, 3); (3, 4); (4, 5); (5, 6); …. donde el primer número de cada pareja pertenece a la magnitud inicial (variable independiente, x) y el segundo número es el que le corresponde por la función (variable dependiente, y). Si representamos estos pares de valores en unos ejes de coordenadas obtenemos la representación gráfica de la función.

2 Magnitud es todo aquello que se puede cuantificar, expresar mediante un número, medir.

(1, 2)

(2, 3)

(3, 4)

(4, 5)

(5, 6)

(6, 7)

(7, 8)

Una relación entre magnitudes en la que a un valor de la primera magnitud le pueden corresponder varios valores de la segunda, no

es una función.


Ejemplo 9. :

La relación que a cada día del mes de agosto del 2011 le hace corresponder la temperatura mínima y la máxima registrada en la ciudad de Logroño, ¿es función? Esta relación no es una función porque la temperatura mínima y máxima no coinciden. Por ejemplo, el 10 de agosto, la mínima fue de 12º y la máxima de 26º.

Ejemplo 10. :

¿Es una función la correspondencia que relaciona cada capital de provincia con la distancia que la separa de Madrid?

Esta correspondencia no es una función, porque una función es una relación entre magnitudes (Magnitud es todo aquello que se puede cuantificar, expresar mediante un número, medir). La capital de provincia, por ejemplo, Logroño, no es una magnitud.

A continuación desarrollaremos tres formas en las que se puede expresar la relación entre dos magnitudes y como distinguir si esa relación es una función:

Relación dada por una tabla.

Relación dada por una gráfica.

Relación dada por una fórmula.

3.1 Relaciones dadas por tablas

Una tabla es una representación de datos, mediante pares ordenados, expresan la relación existente entre dos magnitudes o dos situaciones. Cuando una tabla corresponda a una función, consideraremos la primera magnitud que aparece como la variable independiente, x, y la segunda como la variable dependiente, y, salvo que en el enunciado nos indiquen otra cosa.

Ejemplo 11. :

Un estudio de un ginecólogo muestra cómo crece un bebé antes de nacer, según el mes de gestación en que se encuentre su madre, de acuerdo con la siguiente tabla:

Observa que se ha establecido una relación entre los meses de gestación y la longitud del bebé. A cada mes le corresponde una longitud determinada. La longitud del feto depende de los meses de gestación o es función del mes de gestación.

Edad (meses) 2 3 4 5 6 7 8 9

Longitud (cm) 4 8 15 24 29 34 38 42

Para que una tabla represente una función, debe cumplirse que todos los datos de la primera fila sean distintos


Fíjate que el eje Y está como “arrugado”

Ejemplo 12. :

Doña Francisca, la churrera del barrio, cobra 0,30 € por cada churro. Para no tener que andar haciendo cuentas ha elaborado esta tabla:

Número de churros 1 2 3 4 5 6 7

Precio (€) 0,30 0,60 0,90 1,20 1,50 1,80 2,10

Fíjate que a cada cantidad de churros le corresponde un único precio. El precio de los churros depende del número de churros comprados o es función del número de churros.

En los dos ejemplos anteriores las relaciones expresadas mediante tablas son funciones.

Ejemplo 13. :

En esta tabla se asocia a cada valor de la primera fila su correspondiente valor de la segunda. ¿Es esta relación una función?

x 1 1 2 3 4 4 5

y -1 3 -2 -3 -2 2 -5

Esta tabla no representa una función ya que x = 1 (aparece dos veces) tiene dos imágenes 1 y -1. Esta relación también asocia a x = 4 dos valores 2 y -2.

3.2 Relaciones dadas por gráficas

Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una tabla. Las gráficas describen relaciones entre dos magnitudes. Cuando un gráfico corresponda a una función consideraremos la variable independiente la que se indica en el eje de abscisa y la dependiente la que se especifica en el eje de ordenadas.

Cuando los valores que toma una de las magnitudes de la tabla son demasiado grandes, para representar sus puntos sobre los ejes se hace de esta forma: Esto significa que en el eje Y, por debajo de 40, hay una parte de eje de la que hemos prescindido, se llama romper el eje.

Ejemplo 14. :

Una ciudad dispone de un aparato que registra constantemente la temperatura ambiental, en forma de gráfica.

Para que una gráfica represente una función, debe cumplirse que todos los puntos tengan distinta abscisa, es decir, que no puede haber dos o más puntos con la misma abscisa.


En el eje X se ha colocado el tiempo (variable independiente) medido en horas y en el eje Y se mide la temperatura (variable dependiente) en grados centígrados. A cada hora del día le corresponde una determinada temperatura. La temperatura depende de la hora del día. La temperatura es función de la hora del día.

Ejemplo 15. :

Un estudio de un ginecólogo muestra cómo crece un bebé antes de nacer, según el mes de gestación en que se encuentre su madre, obteniéndose la siguiente gráfica.

Si observas bien estos datos puedes comprobar que las coordenadas de los puntos de la gráfica coinciden con los datos recogidos en la tabla del ejemplo 3. Se está relacionando la edad gestacional (eje X) con la longitud del bebé (eje Y).

A cada mes sólo le corresponde una longitud. La variable independiente es la edad y la dependiente la longitud.

Ejemplo 16. :

¿Cuáles de las gráficas siguientes corresponden a una función?:

b)

a)


Ejemplo 17. :

¿La gráfica siguiente corresponde a una función? Observa que en este gráfico están representados los puntos de la tabla del ejemplo 13. Como ya sabemos la respuesta es que no se trata de una función. La abscisa x=1 tiene dos ordenadas -1 y 3. Existe además otros dos puntos con la misma abscisa x=4.

3.3 Relaciones dadas por fórmulas

En ocasiones podemos escribir la relación entre dos magnitudes mediante una expresión algebraica

y = f (x)

Cuando mediante esta expresión a un valor de x le corresponde un único valor de y, diremos que dicha expresión define una función. Fijando un valor de la variable independiente, x, y sustituyendo en la ecuación de la función, podemos calcular el valor de la variable dependiente, y. En la definición de una función, para referirse a la imagen de x, se pude utilizar y ó f(x). La función y = 4x+1, podríamos escribirla como f(x) = 4x+1. Cuando en un ejercicio se hace referencia a más de una función, para distinguirlas además de f(x) se les puede llamar g(x), h(x).


Ejemplo 18. :

Dadas las funciones f(x) = 3x, g(x) = 2x 2 y h(x) = 5. Calcula f(2), g(-4), g(3),

h(2), h(3) y h(-11).

Para la función f(x) = 3x, nos pide cuánto vale cuando x = 2. Para calcular su valor sustituimos en la definición de la función la variable x por 2 y realizamos la operación u operaciones que en dicha definición aparezcan, siempre teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con números reales.

Procedemos de forma parecida para calcular g(-4), g(3) y h(2).

La función h(x) = 5 quiere decir que a cualquier valor de x siempre le va hacer corresponder 5. En la definición de h(x) no aparece la variable x, luego solo podremos escribir el número aparece que en la definición de la función.

Ejemplo 19. :

Dada la función f(x) = 4x+1. Se pide: a) f(-3) b) La imagen del 2 c) La ordenada de la abscisa -1 d) La abscisa de un punto de la función cuya ordenada es 6. e) El valor de la variable independiente si la dependiente vale 5. f) ¿Pertenecen los puntos (1, 6) y (-3 , 11) a esta función? Las respuestas a estos apartados son: a) En la definición de la función tenemos que cambiar la x por -3: f(-3) = 4∙(-3) + 1 = -12 + 1 = -11

b) La imagen del 2, nos dicen que la x = 2: f(2) = 4∙2 + 1 = 8 + 1 = 9

Definición de la función f(x)

x = 2

f(x) = 3x f(2) = 3∙ = 3∙2 = 6

2

x

h(x) = 5 h(2) =5

h(3) = 5

h(-11) = 5

Recuerda: (-4)2 = (-4) ∙ (-4) = 16

-(-4)2 = - (-4) ∙ (-4) = - 16

- 32 = - 3∙3 = - 9

g(x) = 2x2 g(-4) = 24 2 )( = - 16 - 2 = -18

g(3) = 232 = - 9 - 2 = -11


c) Nos piden la ordenada, es decir, la y o la imagen cuando la abscisa vale -1, x= -1: f(-1) = 4∙(-1) + 1 = -4 + 1 = -3

d) Nos dan la ordenada 6, y = 6, buscamos la abscisa x:

25.14

5xx45x4161x46

e) La variable independiente es y, luego nos dicen que y = 5:

14

4xx44x4151x45

f) Vamos a comprobar si (1, 6) es un punto de la función dada. Este punto

nos dice que x = 1 e y = 6. Sustituyamos en la definición de la función la x por 1 y comprobemos si se obtiene el valor de la ordenada, en este caso 6.

f(1) = 4∙1 + 1 = 4 + 1 = 5 ≠ 6

Cuando x =1, el valor de la función es 5 y no 6 por lo tanto, el punto (1, 6) no pertenece a esta función.

Pasemos a estudiar si el segundo punto está en la función dada. En el apartado a) de este ejemplo se ha comprobado que para x = -3, la función toma el valor -11, f(-3) = -11. Así que el punto (-3, -11) pertenece a esta función.

Ejemplo 20. :

Sea la relación que a cada número le asocia su doble menos 1 ¿Cuál será la fórmula general de esta relación? Esta relación es una función porque un número solo tiene un doble y si le restamos uno se sigue obteniendo un único resultado. Llamemos x al número e y al valor que le asocia esta relación, es decir, la imagen de x. Calculemos algunos valores de esta relación.

Si x = 3, el doble de tres es 6, si ahora le restamos 1, se obtiene 5 x = 3 y = 2 ∙ 3 - 1 = 6 -1 = 5 la imagen (la ordenada) del 3 es 5 Si x = - 5 y = 2 ∙ (-5) - 1 = -10 - 1 = -11 la imagen (la ordenada) -5 es -11

Para x = 2 y = 2 ∙ 2 - 1 = 4 -1 = 3 la imagen (la ordenada) del 2 es 3 En general, a cada valor de x le asocia una y que viene definida por la siguiente fórmula: y = 2x -1

3.4 Representación gráfica de funciones

Para representar gráficamente una función se forma una tabla de valores y se representan los pares de valores de la tabla como puntos sobre el plano cartesiano.

Los valores de la variable independiente se representan sobre el eje horizontal o de abscisas.


Los valores de la variable dependiente se representan sobre el eje vertical o de ordenadas.

Es importante observar si tiene sentido unir los puntos obtenidos.

Ejemplo 21. :

La siguiente fórmula expresa el área de un cuadrado, y, en función del lado, x. y = x2

A partir de ésta fórmula podríamos calcular valores de área en función del lado. Como x representa el lado de un cuadrado no podríamos darle valores negativos. Por ejemplo:

Para x =0 y =02 = 0, Para x =1 y =12 = 1,

Para x = 2 y =22 = 4,

Con estos y otros valores podríamos construir una tabla de valores de la función.

Representamos los pares de valores sobre unos ejes coordenados. Aunque en la tabla hemos dado al lado valores naturales podríamos haber calculado el área de un cuadrado de lado 1.5; 2.25; 4.02, pero su representación en los ejes de coordenadas habría sido más complicada.

Si damos valores intermedios obtenemos valores intermedios del área, por ello tiene sentido unir los puntos iniciales. De esta forma obtenemos la gráfica de la función dada por la fórmula.

Lado (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Área (m2) 02 = 0 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64


Ejemplo 22. :

El precio de revelado de un carrete de 36 fotos es 1,30 € y por cada foto cobran 0,25 €. Representa la gráfica de esta función.

Si llamamos x al número de fotos e y al coste del revelado, la expresión que nos da el coste en función del número de fotos.

y = 0,25x + 1,30

El número de fotos sería la variable independiente y el coste la variable dependiente. Formamos una tabla de valores.

Número de fotos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

Coste (€) 1,30 1,55 1,80 2,05 2,30 2,55 2,80 3,05 3,30 …

Representamos los pares de valores sobre unos ejes de coordenadas y obtenemos distintos puntos de la gráfica.

4 ESTUDIO GRÁFICO DE FUNCIONES

Dada la gráfica de una función vamos a estudiar las siguientes características: dominio, recorrido, continuidad, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, simetrías y periodicidad.

4.1 Dominio (Dom f)

Se llama dominio de una función al conjunto formado por los elementos del conjunto inicial (valores de x) que tienen imagen (valores de y). Tenemos que buscar las abscisas de los puntos de la gráfica. Leemos de izquierda a derecha en el eje X y vemos para que valores hay función.


Ejemplo 23. :

Dada la gráfica siguiente determina su dominio.

Sobre la gráfica de la función hemos marcado tres puntos A, B y C. La abscisa de estos puntos formará parte del dominio de la función, es decir, los números 0, 3 y 4. Si fuéramos tomando todas las abscisas de los infinitos puntos de la función tendríamos el dominio. Determinar el dominio gráficamente es más fácil solo tenemos que proyectar la gráfica sobre el eje X (flechas verticales que van de la gráfica al eje X) y obtenemos la marca hecha sobre el eje de abscisa que comienza en x = 0 y no termina. Por lo tanto el dominio es: Dom f = [0, + )

4.2 Imagen o recorrido (Im f)

Se llama recorrido de una función al conjunto formado por las imágenes (valores de y) de los elementos del dominio (valores de x). Tenemos que buscar las ordenadas de los puntos de la gráfica. Leemos de abajo a arriba en el eje Y y vemos para que valores hay función.

Ejemplo 24. :

Determina la imagen de la función del .ejemplo anterior

Sobre la gráfica de la función hemos marcado tres puntos A, B y C. La ordenada de estos puntos formara parte del dominio de la función, es decir, los números 0, 2 y 4. Si fuéramos tomando todas las ordenadas de los infinitos puntos de la función tendríamos el recorrido. Determinar el recorrido gráficamente es más fácil solo tenemos que proyectar la gráfica sobre el eje Y (flechas horizontales que van de la gráfica al eje Y) y obtenemos la marca hecha sobre el eje de ordenadas que comienza en y = 0 y no termina. Por lo tanto el dominio es: Im f = [0, + ).


-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

X

Y

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

X

Y

RE

CO

RR

IDO

DOMINIO

Ejemplo 25. :

Determina el dominio y la imagen de la función

El dominio empieza en x=-5 y acaba en x=4, luego: Dom f = [-5, 4]

El recorrido empieza en y=-3 y acaba en y=3, luego Im f = [-3, 3]

Ejemplo 26. :

Determina el dominio y el recorrido de la función

En esta gráfica el punto (-2, 2) aparece con un círculo de fondo blanco. Esto quiere decir que el valor de x = -2 y el de y = 2 no los toma la función pero si los demás números reales muy próximos a ellos. Por ejemplo, el valor -1,999999999… (eje X) que está muy cercano a -2 y el valor 1,99999999999999… (eje Y) que está muy cerca del 2. Cuando en la gráfica de una función aparece algún círculo blanco indica que ese punto no pertenece a la función. En los demás casos, se entiende que la función toma todos los puntos de la gráfica.


En este caso vemos que los valores de x que tiene imagen están en el intervalo cuyos extremos son -2 y 5 (de abscisas), pero la abscisa -2 no tiene imagen. Por lo tanto, Dom f = (-2, 5] Los valores de y que son imágenes están en el intervalo cuyos extremos son 2 y 5 (de ordenadas), pero el punto 2 no es imagen. Por tanto, Im f = (2, 5]

4.3 Continuidad

Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo, es decir, no presenta saltos. En caso contrario, la función es discontinua. Los puntos donde se producen las interrupciones o los saltos se laman puntos de discontinuidad de la función.

Ejemplo 27. :

Estudia la continuidad de las siguientes funciones

a) b)

Esta función es continua en todo su dominio,

es decir, es continua en el intervalo [- 5, 4] La función representada en el gráfico es

continua en el intervalo (- , -1] U [2, + )

4.4 Crecimiento y decrecimiento

Una función es creciente cuando al aumentar los valores de x aumentan los valores de y , o al disminuir los valores de x disminuyen los valores de y. Podemos estudiar el crecimiento de una función:

a. Comprobando si al aumentar los valores de la variable x aumentan los valores de la variable y.

b. Observando su gráfica y comprobando si al crecer la variable x (de izquierda a derecha), la función crece (de abajo a arriba).


Ejemplo 28. :

Comprobar si es creciente la función y = 3x-2

Una función es decreciente cuando al aumentar los valores de x disminuyen los valores de y, o viceversa. Podemos analizar el decrecimiento de una función:

a. Comprobando si al aumentar los valores de la variable x disminuyen los valores de la variable y.

b. Observando su gráfica y comprobando si al crecer la variable x (de izquierda a derecha), la función decrece (de arriba a abajo).

Ejemplo 29. :

Comprobar si es decreciente la función y = -x + 3


La función constante (no crece ni decrece) tiene la forma f(x) = k, siendo k un número cualquiera. La gráfica de la función constante es una recta paralela al eje de abscisas que pasa por los puntos de ordenada y = k.

Una función puede ser creciente, decreciente y constante en diversos intervalos de su dominio. Estos intervalos siempre son abiertos (los extremos de los intervalos van entre paréntesis).

4.5 Función creciente y decreciente en un intervalo

Una función es creciente en un intervalo [a, b] si se cumplen las siguientes condiciones: Si x1 y x2 son dos valores cualesquiera del intervalo [a, b], tales que x1< x2 se verifica

f(x1) < f(x2) f(x2) - f(x1)>0 (positivo)

Ejemplo 30. :

Estudiar si es creciente o decreciente la función f(x) = x2 en el intervalo [2, 5]. Tomamos, en este caso, los valores x1 = 2, x2 = 5

f(x1)= f(2)= 22 = 4

f(x2) = f(5) = 52 = 25

f(5) - f(2) = 25 - 4 = 21 > 0

Por tanto, la función es creciente en este intervalo (se podría comprobar en diversos pares de números del intervalo).

Una función es decreciente en un intervalo [a, b] si se cumplen las siguientes condiciones: Si x1 y x2 son dos valores cualesquiera del intervalo [a, b] tales que x1< x2 se verifica

f(x2) > f(x1) f(x2) - f(x1)<0 (negativo).

Ejemplo 31. :

Estudiar el crecimiento o decrecimiento de la función f(x) = x2 en el intervalo [-4, -1] Tomamos los valores x1 = - 4; x2 = -1


f(x1) = f(-4) = (-4) 2 = 16

f(x2) = f(.1) = (-1) 2 = 1

f(-1) - f(-4) = 1 - 16 = -15 < 0

La función es decreciente en este intervalo.

Ejemplo 32. :

La función representada en la figura es creciente en el intervalo (1, 3), constante en el intervalo (3, 6) y decreciente en el intervalo (6, 8).

4.6 Máximos y mínimos

Una función y = f(x) tiene un máximo en un punto de abscisa x = xo si, en valores próximos a él, a la izquierda de ese punto la función es creciente y a la derecha de ese punto la función es decreciente; esto es, si los valores próximos a él que toma la función son menores.

Una función y = f(x) tiene un mínimo en un punto de abscisa x = xo si, en valores próximos a él, a la izquierda de ese punto la función es decreciente y a la derecha de ese punto la función es creciente; esto es, si los valores próximos a él que toma la función son mayores.


No obstante, una función puede presentar varios máximos y mínimos. Para distinguirlos, definimos

los siguientes conceptos:

Una función y = f (x) tiene un máximo (mínimo) absoluto en un punto x = x0 si los valores que toma la función son todos menores (mayores) que su imagen f (x0).

Una función y = f (x) tiene un máximo (mínimo) relativo en un punto x = x0 si los valores próximos a él que toma la función son todos menores (mayores) que su imagen f (x0).

Ejemplo 33. :

A partir de la siguiente gráfica (muestra el perfil de una etapa de la Vuelta Ciclista a España) estudia el crecimiento y decrecimiento de la función y los máximos y mínimos.

La función es creciente en (0, 50) (75, 150)

(175, 200).

La función es decreciente en (50, 75) (150, 175)

(200, 250).

Presenta un máximo absoluto en x = 200 (1.500 m es la altitud máxima) y un mínimo absoluto en x = 75 (300 m es la altitud mínima). Los máximos relativos los alcanza en los puntos de abscisa x = 50 y x = 150. El mínimo relativo lo alcanza en el punto de abscisa x = 175. Primero observamos la gráfica e identificamos los trozos en los que crece.


Una vez hecho esto trasladamos el crecimiento y el decrecimiento al eje X. Recuerda que en el crecimiento hay que expresar desde que valor de X comienza a crecer hasta que valor de X deja de crecer. Lo mismo ocurre con el decrecimiento.

Por último, expresamos en forma de intervalo el conjunto de números en los que se produce el crecimiento y el decrecimiento. Recuerda que son intervalos abiertos.

Crecimiento (0, 50) (75, 150) (175, 200)

Decrecimiento (50, 75) (150, 175) (200, 250)


4.7 Simetrías

Las gráficas de la funciones pueden ser simétricas respecto del eje de ordenadas o del origen de coordenadas (el punto (0, 0)). Existen funciones que no presentan ningún tipo de simetría.

Ejemplo 34. :

La gráfica de una función representa una función simétrica respecto del eje Y, si al doblar el plano por dicho eje tal como indica la flecha, las dos ramas en las que la recta OY divide a la gráfica coinciden.

Simetría respecto del eje de ordenadas Simetría respecto del origen de coordenadas

Una función y = f (x) es simétrica respecto del eje de ordenadas, o se dice que tiene simetría par, si para cualquier valor x se verifica que: f (-x) = f (x).

Una función y = f (x) es simétrica respecto del origen de coordenadas, o se dice que tiene simetría impar, si para cualquier valor x se verifica que: f (-x) = -f (x).

Eje de ordenadas, si doblamos por él las dos ramas coinciden

Observa que los puntos simétricos tienen abscisas opuestas y la misma ordenada; por ejemplo: (1, -1) y (-1, -1); (1.5, 0.5) y (-1.5, 0.5). Esto significa que a cada par de valores opuestos de la variable independiente le corresponde un mismo valor de la

variable dependiente. (1, -1) (-1, -1)

(1.5, 0.5) (-1.5, 0.5)


Ejemplo 35. :

La gráfica de una función representa una función simétrica respecto del origen de coordenadas si al doblar el plano primero por uno de los ejes y luego por el otro las dos ramas de la función coinciden. Fíjate que los puntos simétricos tienen sus dos coordenadas opuestas; por ejemplo: A(1, 1) y A’(-1, -1); B(2, 8) y B’(-2, -8). Por tanto, a cada par de valores opuestos de la variable independiente le corresponde un par de valores opuestos de la variable dependiente.

Ejemplo 36. :

La función representada en este gráfico no es ni par ni impar. Si tuviera algún tipo de simetría esta se tiene que cumplir en todos los puntos de su gráfica.

Comprobamos, por ejemplo que,

f(1) ≠ f(-1) ya que f(1) = 0 y f(-1) = - 3 Esta función no es par.

f(1) ≠ -f(-1) ya que

f(1) = 0 y -f(-1) = -(- 3) = 3

Esta función no es impar.

La simetría también se puede estudiar a partir de la expresión algebraica de la función.

Ejemplo 37. :

Estudia de la simetría de la función y = x3. Vamos a comprobar si la función dada presenta simetría par:

Comprobemos si es impar

f(x) = x3

f(-x) = (-x)3= - x3 x3 -x3 f(x) f(-x) La función no es par

f(x) = x3 - f(x) =- x3 f(-x) = (-x)3= - x3 - x3 = - x3 -f(x) = f(-x) La función es impar


Ejemplo 38. :

Estudia la simetría de la función y = x4 - 6x2.

Sustituimos x por – x en la definición de la función: f (-x) = (-x)4 - 6(-x)2 = x4 - 6x2 = f (x) f (x) = f (-x)

Luego f (x) es una función par; por tanto, su gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas, y no respecto del origen.

4.8 Periodicidad

Una función es periódica si su gráfica repite, de forma consecutiva, un mismo modelo, cuyo dominio se llama período de la función.

Ejemplo 39. :

La primera gráfica representa una función de dominio [-2, 1]. La segunda gráfica representa una función periódica. Fíjate en que esta última se ha construido repitiendo consecutivamente a derecha e izquierda la primera función. Este intervalo se denomina período de la función.

4.9 Puntos de corte con los ejes

En el estudio de funciones es interesante saber si éstas cortan a los ejes cartesianos y en qué puntos. Puntos de corte con el eje Y El punto de corte de una función y = f (x) con el eje Y tiene por abscisa x = 0. Por tanto, es el punto de coordenadas (0, f(0)). Puntos de corte con el eje X Los puntos de corte de una función y = f (x) con el eje X tienen por ordenadas y = 0. Por tanto, son los puntos cuya coordenada x son soluciones de la ecuación f (x) = 0.

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Y

X

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 0 1 2

Y

X


Ejemplo 40. :

Los puntos de corte con los ejes de la función del ejemplo 25.

Eje X (-4, 0); (-1, 0) y (3, 0)

Eje Y (0, -3)

Ejemplo 41. :

Halla los puntos de corte de la función y = -x + 3 con los ejes cartesianos.

Eje Y: para x = 0 y = -3 Q (0, -3)

Eje X: para y = 0 0 =- x + 3 x = 3 P (3, 0)

En el ejemplo 29, está la gráfica de esta función y en ella se pueden observar los puntos de corte con los ejes.


FUNCIONES. RECTAS

1 DEFINICIÓN

Recordamos que una función se expresa analíticamente mediante una relación de la forma y= f(x), donde “y” es la variable dependiente y “x” la variable independiente.

Se trata de una función lineal, ya que la relación entre las variables es de tipo lineal, el máximo exponente con el que aparece cada una de ellas es 1.

Por ejemplo, una función dada por la ecuación y = x2 + 3x - 2 no sería una función lineal puesto que el mayor exponente para la variable x es 2, está elevada al cuadrado. La gráfica de una función lineal es una línea recta:

La ecuación puede darse de maneras diferentes, pero utilizando, para despejar la “y”, las mismas reglas que se estudiaron para mover términos entre miembros de una ecuación, siempre es posible conseguir la expresión (1) anterior.

Ejemplo 1. :

a) 3x + y = –2 y = –3x – 2 ( donde m = –3 , n = –2)

b) 2x – 5 + 3y = –x + 4 – y 3y + y = –x + 4 –2x + 5 4y = – 3x + 9

4

9x3y

4

9

4

x3y

(donde m =

4

3 , n =

4

9)

Una RECTA viene dada por una ecuación de la forma:

y = mx + n (1)

siendo m y n números reales.

FFFUUUNNNCCCIIIOOONNNEEESSS... RRREEECCCTTTAAASSS


c) xy = 5 x

5y NO representa una recta, la variable x aparece en el

denominador.

d) –x + 2y – 7 + x2 = – 6 + 4x + x2 + 5y –x – 4x – 7 + x2 –x2 + 6 = 5y –2y (los términos en 2

x desaparecen)

– 5x – 1 = 3y y3

1x5

3

1x

3

5y

(donde m = –

3

5 , n = –

3

1)

2 PENDIENTE Y ORDENADA EN EL ORIGEN

La pendiente de una recta viene determinada por la variación que sufre la y al variar la x, es decir, la razón que hay entre el desplazamiento en vertical y el desplazamiento en horizontal al movernos de un punto a otro de la recta. Veámoslo con los siguientes ejemplos:

Ejemplo 2. : y = – 2x + 1

Supongamos que nos desplazamos sobre la recta entre los dos puntos marcados que corresponden al (– 2,5) y al (0,1). La lectura se hará siempre de izquierda a derecha y los movimientos en vertical hacia abajo se considerarán negativos. (En horizontal serán positivos, ya que nos movemos siempre hacia la derecha).

Desplaz. vertical: 4 unidades hacia abajo – 4

Desplaz. horizontal: 2 unidades hacia la derecha 2 Pendiente: el cociente entre el vertical y el horizontal

incluido el signo, es decir, pendiente: m = 22

4

. La

pendiente de esta recta es m = – 2.

Este valor no depende de los puntos de desplazamiento elegidos. La razón se mantiene para dos puntos cualesquiera de la recta:


(-2,5) y (1, -1)

En vertical: 6 hacia abajo – 6

En horizontal: 3 hacia la derecha 3

Pendiente m = 23

6

(-1,3) y (0, 1)

En vertical: 2 hacia abajo – 2

En horizontal: 1 hacia la derecha 1

Pendiente m = 21

2

Ejemplo 3. : y = 3x + 1

Elegimos para desplazarnos (de izquierda a derecha) sobre esta recta los dos puntos marcados que son el (–1, –2) y el (1,4).

Desplaz. en horizontal: 2 unidades hacia la derecha 2

Desplaz. en vertical: 6 hacia arriba 6

Pendiente =horizontal .desplaz

vertical .desplaz= 3

2

6

La pendiente de esta recta es 3. Comprueba que con los puntos de la recta (– 1, – 2) y (2, 7) se obtiene el mismo resultado.

Sin necesidad de dibujar los puntos podemos calcular la pendiente de la recta que pasa por dos puntos A (x1, y1) y B (x2, y2), mediante la fórmula:

12

12

xx

yy

m o también

21

21

xx

yym

Si nos fijamos en los dos ejemplos anteriores, podemos hacer las siguientes observaciones:


El valor de la pendiente que hemos obtenido coincide con el coeficiente de x en la ecuación dada:

Ejemplo 2.: y = – 2x + 1 pendiente = – 2

Ejemplo 3.: y = 3x + 1 pendiente = 3

La pendiente del ejemplo 2 es negativa y la función es decreciente. La pendiente del ejemplo 3 es positiva y la función es creciente.

Ambas gráficas cortan al eje Y en el punto (0,1), cuya segunda coordenada es 1, que coincide con el valor del término independiente de la ecuación dada para cada una de ellas:

y = – 2x + 1 y = 3x + 1

1.1. Casos particulares de rectas Paralela al eje X (recta horizontal):

En este caso, como la pendiente es nula, se tendrá y = 0 · x + n = n, por tanto su ecuación es de la forma:

y = n

Es decir, que el valor que toma la función, sea cual sea el valor de x, es el valor dado por y (función constante). Todos los puntos de la recta tienen su segunda coordenada igual.

Para cualquier recta de ecuación y = mx + n el coeficiente m que multiplica a x es el valor de la pendiente de la recta. El término independiente n es la ordenada en el origen, es decir, el valor de la “y” en el que la recta corta al eje de ordenadas (al eje Y). Nota: es necesario que la ecuación esté en esta forma, es decir, con la “y” despejada.


La ecuación de la recta de esta gráfica sería: y = – 3

Paralela al eje Y (recta vertical): Ahora todos los puntos de la recta tienen la primera coordenada (x) igual, mientras que la y puede tomar cualquier valor. Su ecuación es de la forma:

x = k con k un número real. La ecuación de la recta de esta gráfica sería:

x = 2

3 REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Por dos puntos dados pasa una única recta, por tanto, para dibujarla bastará conocer dos puntos por los que pasa, representar éstos en el plano y trazar la línea que los une.

Ejemplo 4. :

a) Conocidos dos puntos: Representa la recta que pasa por los puntos (1, – 5)

y (– 3,2).

OBSERVACIÓN: Una recta vertical NO es una función, ya que a un valor de x le corresponden más de un valor de y.


b) Conocida la ecuación: Representa la recta de ecuación y = 2x – 1.

Conseguimos los dos puntos necesarios a partir de la ecuación creando una tabla de valores de la forma siguiente: damos dos valores cualesquiera a la “x” y hallamos el valor de “y” que corresponde a cada uno de ellos sustituyendo el valor de “x” en la ecuación y realizando el cálculo resultante. Otra opción es dar valores a “y” y calcular sus correspondientes “x” de la manera que acaba de indicarse. También se puede dar un valor a “x” para calcular su “y” y un valor a “y” y hallar su “x”. La gráfica obtenida en cualquiera de los casos, debe ser la misma.

En este ejemplo, una tabla podría ser: O también:

4 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA

Para escribir la ecuación de una recta en la forma y = mx + n, bastaría conocer los valores de m y de n y colocarlos en dicha expresión. El problema se reduce a encontrar estos parámetros. Estudiaremos algunos casos: Conocemos la pendiente (m) y la ordenada en el origen (n): La ecuación puede escribirse

directamente puesto que se conocen m y n.

Ejemplo 5. :

a) Escribe la ecuación de la recta cuya pendiente es 8 y su ordenada en el origen – 1/3.

La ecuación quedaría: 3

1x8y

b) Escribe la ecuación de la recta de pendiente – 2 y que corta al eje de ordenadas en el punto (0, 2).


Sabemos que n (la ordenada en el origen) es el valor de la segunda coordenada (la y) del punto de corte de la recta con el eje Y, luego, n = 2. Como m = –2, la ecuación pedida es: y = – 2x + 2

c) Determina la ecuación de la recta representada a continuación.

En este caso los valores de los parámetros m y n no vienen dados de forma directa pero pueden deducirse fácilmente a partir de la gráfica.

n: El punto de corte de la recta con el eje Y es el (0,0), cuya segunda coordenada es 0, por tanto, n = 0. m: Para hallar la pendiente, elegimos dos puntos de la recta y calculamos el cociente entre el desplazamiento vertical y el horizontal, como se ha visto anteriormente. Tomamos, por ejemplo, los puntos (1,1) y (3,3) Despl. horizontal: 2 hacia la

derecha 2

Despl. vertical: 2 hacia arriba 2

Pendiente: 12

2m

ó también

12

2

13

13m

La ecuación de esta recta es: y = 1·x + 0, es decir, y = x

Conocemos sólo uno de los dos parámetros (m o n) y un punto por el que pasa la recta:

Que una recta pase por punto dado o, dicho de otro modo, que un punto pertenezca a una recta, significa que ese punto verifica la ecuación de la recta, es decir, que al sustituir las coordenadas del punto en la ecuación se cumple dicha igualdad.

Ejemplo 6. :

¿Pertenecen los puntos (2, – 4) y (0, 5) a la recta y = – 3x + 5?.

Probamos cada punto por separado:

Para )4,2(

yx :

yx

4156`523 no se cumple la ecuación, la recta

no pasa por ese punto

Para )5,0(

yx

:

yx

550503

se cumple la ecuación, la recta sí pasa por

ese punto


De esta forma, si conocemos m o n y un punto de la recta, bastará sustituir en la ecuación y = mx + n los datos conocidos y resolver la ecuación con una incógnita resultante.

Ejemplo 7. :

a) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (– 1,3) y cuya pendiente es 4.

Consideramos la ecuación de la recta, y = mx + n ; si imponemos las condiciones

pedidas en el enunciado resulta: n143 )(

Resolvemos esta ecuación de incógnita n:

7nn43n43n143 )(

Ahora ya conocemos los dos parámetros m y n necesarios para escribir la ecuación, que es:

y = 4x + 7

b) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,5) y cuya ordenada en el origen es 2.

Consideramos la ecuación y = mx + n. Sabemos que n = 2, y al sustituir los datos dados resulta: 23m5 Resolvemos la ecuación de incógnita m:

13

3mm33m32523m5

La pendiente de la recta buscada es 1 y su ecuación: y = x + 2 Conocemos dos puntos por los que pasa la recta: En esta situación podemos representar

gráficamente la recta, calcular su pendiente y proceder como en el caso anterior para calcular el valor de n eligiendo para ello uno cualquiera de los puntos conocidos.

Ejemplo 8. :

Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, – 5) y (– 3,2)

Despl. vertical: 7 hacia abajo – 7

Despl. horizontal: 4 hacia la derecha 4

Pendiente: 4

7

31

25m

)(

Ecuación: y = mx + n y = 4

7x + n

Elegimos por ejemplo el punto (1, – 5) para calcular n:


4

13nn

4

75n

4

75n1

4

75

Por tanto la ecuación de la recta es: 4

13x

4

7y

5 RECTAS PARALELAS Y SECANTES

Rectas paralelas Rectas secantes

r: y = 2x + 1 s: y = 2x – 1

r: y = – 2x + 1 s: y = 2x – 1

6 EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Calcula la pendiente de las rectas según los datos que se proporcionan en cada apartado:

a) y = -3x + 2 b) 2x + 4y = 8 c) Pasa por los puntos (3, - 4) y (7, 2). d) Su gráfica es la de la imagen.

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.

(No se cortan)

Dos rectas son secantes si tienen distinta pendiente.

(Se cortan en un punto)


Solución: a) m = - 3

b) Para averiguar la pendiente tenemos que despejar y en la expresión algebraica de la

recta

2x + 4y = 8 2x2

1y

4

8x

4

2y

4

8x2y8x2y4

c) 2

3

4

6

37

42m

)(

d)


2.- Halla la ecuación la recta que pasa por los puntos (2, -5) y (-2,7).

Solución: La ecuación será de la forma y = mx + n. Representamos la recta y hallamos la pendiente:

34

12m

Ahora se trata de encontrar la ecuación de una recta conocida la pendiente y un punto por el que pasa; elegimos cualquiera de los dados, por ejemplo el (2, -5).

- 5 = - 3 ·2 + n - 5 + 6 = n n = 1 Ecuación: y = - 3x + 1

3.- Representa las siguientes funciones:

e) 2x2

3y

f) 3x + 2y = 1

g) y = - 2

Solución: a)


b) Despejando y en la expresión de la recta, 2

1x

2

3y

c)

4.- Obtén la ecuación de cada una de estas rectas:


Solución:

a) n = 0 (porque corta al eje Y en (0,0) cuya segunda coordenada es 0)

21

2m

(desplazándonos, por ejemplo, del punto (-1,2) al (0,0))

Ecuación: y = -2x

b) Es una paralela al eje X, el valor de y siempre es 2, por tanto su ecuación es: y = 2 5.- Indica cuáles de las siguientes rectas son paralelas:

a) 2x3

2y

b) –2x + 3y =2

c) 3

2y

d) –2x + y = 1

e) 3

2xy

f) x – y – 1 = 8 – 4y + 3x Solución: Serán paralelas aquellas rectas que tengan la misma pendiente. Hallamos la de cada una de ellas y comparamos:

a)3

2m

b) Primero despejamos y queda la ecuación:3

2x

3

2y

3

2m

c) m = 0

d) La ecuación es: y = 2x + 1 m = 2 e) m = -1

f) x – y - 1 = 8 – 4y + 3x – y + 4y = 8 + 1 + 3x – x 3y = 2x + 9 3x3

2

3

9x

3

2y

3

2m

Por tanto son paralelas las rectas a, b y f.

6.- Juan es técnico en informática y trabaja en el mantenimiento y reparación de

equipos informáticos de pequeñas y medianas empresas. Cobra 15 euros por

desplazamiento y 30 euros por cada hora de trabajo.


a) Identifica las variables independiente y dependiente, y halla la función que relaciona el coste total de la reparación en función de las horas de trabajo invertidas.

b) Representa la función obtenida, eligiendo las unidades y escala adecuadas. c) Utiliza la función obtenida para calcular el coste de una reparación en la que

empleó 7 horas.

d) Calcula, haciendo uso de la función obtenida, cuántas horas invirtió en un trabajo por el que cobró 375 €

Solución:

a) x Variable independiente: Tiempo invertido en la reparación

y Variable dependiente: Coste total de la reparación

La función que relaciona el coste total de la reparación en función de las horas

de trabajo invertidas es

y = 30x + 15

b) Calculamos puntos de esta función, para ello creamos una tabla de valores Dibujamos los puntos calculados en unos ejes de coordenadas cartesianas y los unimos obteniendo de esta manera la gráfica de la función. Hemos eliminado la parte negativa de los ejes porque ni el tiempo ni el coste pueden ser negativos.


c) Para 7 horas de trabajo el coste será y = 307 +15 = 225 € 225 € costará una reparación en la que se han invertido 7 horas de trabajo.

d) Para calcular el tiempo empleado en una reparación que costó 375 € sustituimos esta cantidad en la variable dependiente y buscamos el tiempo despejando x.

horas1230

360xx30360 x3015 - 37515+ x30 = 375

Se pagaron 375 € por una reparación en la que se invirtieron 12 horas.


Cuerpos Geométricos

Poliedros

(cuerpos con caras planas)

Poliedros Regulares

Poliedros Irregulares

Prismas Pirámides

Cuerpos redondos o de revolución

(cuerpos con caras curvas)

Cilindros Conos Esferas

CUERPOS GEOMÉTRICOS.

1 CUERPOS GEOMÉTRICOS

En nuestro entorno observamos continuamente objetos de diversas formas: pelotas, botes, cajas, pirámides, etc. Todos estos objetos son cuerpos geométricos. A lo largo de todos los tiempos se han utilizado estos cuerpos en el arte y en la arquitectura.

Cuerpos geométricos son porciones de espacio limitadas por superficies planas o curvas

Clasificamos, en el siguiente esquema, los cuerpos geométricos:

2 POLIEDROS

Un poliedro cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos. Los principales elementos de un poliedro son:

Caras: polígonos que lo limitan. Aristas: lados de las caras. Vértices: puntos de corte con las aristas. Diagonales: segmentos que unen dos vértices de

distintas caras.

CCCUUUEEERRRPPPOOOSSS GGGEEEOOOMMMÉÉÉTTTRRRIIICCCOOOSSS


Dentro de ellos, haremos la siguiente distinción: diremos que un poliedro es convexo si todas sus caras se pueden apoyar en un plano; cuando no ocurre así, se dice que el poliedro es cóncavo.

2.1 Poliedros regulares

Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice concurren el mismo número de caras.

Sólo existen cinco poliedros regulares. A continuación te mostramos cada uno de ellos con su definición:

2.2 Poliedros irregulares: prismas y pirámides

Un poliedro irregular está definido por polígonos que no son todos iguales. Se clasifican en prismas y pirámides

2.2.1 Prismas

Los prismas son poliedros que tienen dos caras poligonales iguales y paralelas, llamadas bases; el resto de sus caras son paralelogramos.

Podemos clasificar los prismas de la siguiente manera:

Por los polígonos de sus bases pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.

Rectos y oblicuos, según que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a las bases.


Regulares o irregulares. Son regulares aquellos prismas rectos cuyas bases son polígonos regulares; y son irregulares cuando falta alguna condición de regularidad.

Paralelepípedos son prismas cuyas bases son paralelogramos, luego sus seis caras son

paralelogramos. Los paralelepípedos rectos se denominan ortoedros.

Los elementos más característicos del prisma regular, además de los generales de los poliedros, son:

2.2.2 Pirámides

Las pirámides son poliedros que tienen por base un polígono y sus caras laterales son triángulos que concurren en un vértice.

Podemos clasificar las pirámides de la siguiente manera:

Por los polígonos de sus bases pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.

Rectas y oblicuas. Las pirámides rectas son aquellas que tienen por caras laterales triángulos isósceles. Si alguna cara lateral es un triángulo escaleno, la pirámide es oblicua.


Regulares o irregulares. Son regulares aquellas pirámides rectas que tienen por base un polígono regular; y son irregulares cuando falta alguna condición de regularidad.

Los elementos más característicos de la pirámide regular, además de los generales de los poliedros, son:

El tronco de pirámide es la parte de pirámide comprendida entre la base y la sección producida por un plano paralelo a la base. La altura del tronco es la distancia entre las bases y la apotema es la altura de una cara lateral (trapecio).

3 CUERPOS REDONDOS

Los cuerpos redondos o de revolución se obtienen al girar una figura plana alrededor de un eje. Los tres cuerpos de revolución más sencillos son el cilindro, el cono y la esfera.

3.1 Cilindro

El cilindro es el cuerpo geométrico que se obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Los elementos más importantes del cilindro son: Altura (h) es el segmento que une el centro de las dos bases. Es

perpendicular a ambas bases.

Radio (r) es el radio de cada uno de los círculos que forman sus bases.

Generatriz (g) es el segmento que genera el cilindro. Su medida


coincide con la de la altura.

3.2 Cono

El cono es el cuerpo geométrico que se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

Los elementos más importantes del cono son:

Altura (h) es el segmento que une el vértice y el centro de la base. Es perpendicular a la base.

Radio ( r) es el radio del círculo que forma su base.

Generatriz (g) es el segmento que genera el cono.

3.3 Esfera

La esfera es el cuerpo geométrico que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. Los elementos más importantes de la esfera son:

Radio (r) es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la superficie que limita la esfera.

Diámetro (d) es el segmento que une dos puntos de la superficie esférica pasando por el centro.

4 TEOREMA DE PITÁGORAS EN EL ESPACIO. DIAGONAL DEL ORTOEDRO

La diagonal de un ortoedro se puede calcular generalizando el teorema de Pitágoras a triángulos rectángulos situados en el espacio. Llamamos a, b y c a las tres dimensiones del ortoedro (ancho, largo, alto), D a la diagonal del ortoedro y d a la diagonal de la base. Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado por el largo, ancho y diagonal tenemos:

1bad 222

Aplicamos también el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado por la altura, la diagonal de la base y la diagonal del ortoedro tenemos:

2cdD 222

Sustituyendo la expresión (1) en (2) obtenemos:

22 caD 2b


5 TEOREMA DE EULER

A partir de los siguientes poliedros convexos construimos la tabla que figura más abajo.

Poliedro Caras (C) Vértices (V) Aristas (A)

Pirámide triangular 5 5 8

Pirámide triangular truncada 5 6 9

Diamante 11 11 20

Observa que en los tres casos se cumple C + V = A + 2. Este resultado se puede generalizar a todos los poliedros convexos, y se conoce como el teorema de Euler. Teorema de Euler: En cualquier poliedro convexo se verifica que el número de caras (C) más el número de vértices (V) es igual al número de aristas (A) más dos.

Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2 ⇒ C + V = A + 2

6 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

6.1 Prismas y pirámides rectas

El desarrollo de un prisma recto es un rectángulo (formado por las caras laterales) y los dos

polígonos de las bases. Uno de los lados del rectángulo es el perímetro del polígono de la

base y el otro lado es la altura del prisma.

El área lateral (AL) es igual al

perímetro de la base por la altura:

El área total (AT) es igual al área lateral más el área de las dos bases:

Volumen:

AB= Área del polígono de la base

V = AB· h

AL = PB · h

AT = 2 AB + AL


Ejemplo 1. :

Halla el volumen de este prisma de base hexagonal regular. Calcula el área total.

Primero expresamos las medidas en la misma unidad de longitud. En este caso trabajaremos en cm. 2,5 dm = 25 cm El volumen del prisma es V = AB· h

Calculamos el área de la base que es un hexágono tenemos que calcular el apotema

2

aP

2

apotemaPerimetroABASE

3

2BASE

22

cm6495258,259V

cm8,2592

66,860

2

aPA

cm66,8510a

El volumen del prisma hexagonal es 6495 cm3

Calculamos el área total del prisma hexagonal

ALATERAL= 6 ∙10∙ 25=1500 cm2

ATOTAL=2∙ABASE+ ALATERAL=2∙259,8+1500=2019,6 cm2 El área total del prima es 2019,6 cm2

Ejemplo 2. :

Calcula la cantidad de tela necesaria para construir una tienda de campaña como la de la imagen.

Se trata de calcular el área total de un prisma triangular (las bases de un prisma tienen que ser dos caras paralelas, por lo que en este caso los triángulos equiláteros son la base).

Procedemos a calcular el área total AT = 2 AB + AL


El área de la base es el área de un triángulo equilátero.

Altura del triángulo de la base m73,131412h 22

2BASE m73,1

2

73,12A

2LATERALBBLATERAL m3056A632Ph · P A

2LATERALBASETOTAL m46,333046,33073,12AA2A

Se necesitan 33,46 m2 de tela para fabricar la tienda de campaña.

El desarrollo de una pirámide recta lo forman varios triángulos isósceles (caras laterales) y el

polígono de la base.

Ejemplo 3. :

Calcula el área y el volumen de una pirámide de base cuadrada de arista 6 cm y altura de la pirámide 10 cm. El área de la pirámide es AT = ABASE + ALATERAL

2

BASE cm3666A

Para hallar el área lateral nos hace falta averiguar la apotema lateral

cm44,101099100310a 22

2

LATERAL cm28,1252

44,1064A

2

LATERALBASETOTAL cm28,16128,12536AAA

El área lateral (AL) se obtiene sumando el área de todas las caras laterales:

El área total (AT) es igual al área lateral más el

área de la base:

Volumen : AB= Área del polígono de la base

AL = suma de las áreas de las caras laterales

hA3

1V B

AT = AB + AL


El área total es 161,28 cm2

El volumen de dicha pirámide sería 3

BASE cm112010363

1hA

3

1V

6.2 Cuerpos redondos

El desarrollo de un cilindro es un rectángulo y dos círculos. El rectángulo tiene por base la

longitud de la circunferencia y por altura la generatriz.

El área lateral (AL) es el área de un

rectángulo :

El área total (AT) es igual al área lateral más el área de las bases, que son dos círculos:

Volumen:

Ejemplo 4. :

Una fábrica de conservas va a sacar al mercado un nuevo bote de tomate natural cuyas dimensiones son las que aparecen en la imagen. Calcula la cantidad mínima de chapa para la fabricación del bote y la máxima cantidad de tomate que puede contener.

El bote tiene forma de cilindro, la chapa que se necesita corresponde a la superficie total de dicho cilindro y la cantidad de tomate que cabe equivale al volumen de del cilindro

Calculamos primero la superficie total AT = 2 r2 + AL

Área base =r2 = ·3,752 = 44,18 cm2

Área lateral = 2· hr = 2 2cm74,2821275,3 AT = 2 r2 + AL= 2 44,18 + 282,74 = 371,1 cm2. Se necesitan 371,1 cm2 como mínimo de chapa para fabricar el bote.

Busquemos ahora cuánto tomate cabe V = r2 · h = ·3,752 · 12 = 530,14 cm3 En el bote caben 530,14 cm3 como máximo.

AL = 2 hr

AT = 2 r2 + AL

V = r2 · h


El desarrollo de un cono es un sector circular y un círculo. El arco del sector circular tiene de

longitud r2 , porque es la longitud de la circunferencia de la base.

Ejemplo 5. :

Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 10 cm y el radio de su base es de 2,5 cm.

El volumen del cono es hr3

1V 2 , luego necesitamos calcular la altura

del cono.

cm7,925,61005,210a 22

322 cm4,637,95,2.3

1hr

3

1V

El volumen del cono es 63,4 cm3 La esfera no tiene caras, está formada por una única superficie curva.

Superficie esférica:

Volumen:

Ejemplo 6. :

Calcula la cantidad necesaria de cristal para construir un canica maciza de cristal de 5 cm de diámetro.. Al ser una canica maciza de cristal, la cantidad de cristal que se necesitan para construirla se corresponde con su volumen.

El radio de la canica r = cm5,22

5

El área lateral (AL) es el área del sector circular

El área total (AT) es igual al área lateral más el área

del círculo de la base:

Volumen: hr3

1V 2

AL = rg

S = 4 r2

3r3

4V

AT = r2 + rg


Luego el volumen sería 333 cm45,655,23

4r

3

4V

Ejemplo 7. :

Teniendo en cuenta las medidas señaladas, calcula el volumen de este cuerpo. Este cuerpo está formado por una semiesfera y un cilindro, luego su volumen será la suma de los dos VCUERPO = VCILINDRO + VSEMIESFERA

VCILINDRO = r2 · h = ·82 · 25 =5026,55 cm3

VSEMIESFERA= 33

3 cm33,10723

84

2

1r

3

4

2

1

3CUERPO cm88,609833,107255,5026V

Ejemplo 8. :

Teniendo en cuenta las medidas señaladas, calcula el volumen y el área de esta figura:

Este cuerpo está formado por media esfera (semiesfera) y un cono.

33

3SEMIESFERA cm8,261

3

54

2

1r

3

4

2

1V

322CONO cm16,314125.

3

1hr

3

1V

3

CUERPO cm6796,57516,3148,261V

La superficie total del cuerpo está formada por la superficie de la semiesfera y la superficie lateral del cono. La base del cono no hay que tenerla en cuenta porque es una cara interior común con la semiesfera.

Área CUERPO = Área SEMIESFERA + Área LATERAL CONO

Área SEMIESFERA = 2222 cm08,15752r2r42

1

Para calcular el área lateral del cono nos hace falta averiguar la medida de la

generatriz Área LATERAL CONO = rg

cm1316914425125g 22 Área LATERAL CONO = 513 = 204,2

cm2

Área CUERPO =157,08 + 204,2 = 361,28 cm2


Ejemplo 9. :

La figura representa una pieza de madera que hay que recubrir con una capa de pintura. ¿Qué superficie hay que pintar? (Las longitudes vienen expresadas en cm.) Hay que pintar las caras exteriores, no hay que pintar la

cara que tiene en común el ortoedro con el prisma triangular y con el medio cilindro. En la figura de abajo se han rodeado de azul las caras que no se pintan.

Área del cuerpo = área exterior del

prisma triangular + área exterior del ortoedro + área del

semicilindro.

Cateto del triángulo:

cm39162545x 22

Área exterior del prisma triangular:

2cm66122430)34(2

124656

Área exterior del ortoedro: 2cm18012060602302)610(2)310(2

Área del semicírculo: radio: r= 3:2= 1,5 cm. Altura: h= 6 cm.

2222 cm325,35065,726,285,114,365,114,3rhr)r2hr2(2

1A

Área del cuerpo: 66 + 180 + 35,325= 281,325 cm2

Hay que pintar una superficie de 281,325 cm2.


ESTADÍSTICA

La palabra estadística designaba al conjunto de trabajos que realizaba el Estado para conocer el número de sus habitantes y la distribución por edades y condición social.

La Estadística es la rama de las matemáticas que se ocupa de organizar, resumir e interpretar conjuntos extensos de datos. Sus aplicaciones son múltiples, tanto en el campo de la ciencia como de la conducta humana. La estadística, además de analizar y describir grupos de datos, permite hacer predicciones a partir de estos datos.

1 POBLACIÓN, MUESTRA Y CARACTERES O VARIABLES ESTADÍSTICAS

Imaginemos que queremos hacer un estudio sobre los hábitos de lectura de de los habitantes de La Rioja. Entrevistar a cada uno de los habitantes de La Rioja sería un proceso que llevaría mucho tiempo y supondría un gasto económico demasiado alto. Por ello, para realizar el estudio se elige una parte representativa de de la población. Para que los resultados obtenidos del estudio de la muestra puedan hacerse verdaderamente extensivos al conjunto de la población, es necesario elegir adecuadamente la muestra. En este estudio queremos saber qué tipo de lecturas son más frecuentes en la población riojana.

Según el tipo de valores que toma la variable estadística se pueden clasificar en distintos tipos:

Variables cualitativas: no pueden expresarse con números, estudian características no medibles (color, deporte practicado, tipo de lecturas,…).

Variables cuantitativas: los valores expresan cantidades o medidas. Pueden ser:

Discretas: cuando en un intervalo no pueden tomar todos los valores numéricos (nº de hijos, nº de libros leídos en el verano,..)

Continuas: cuando en un intervalo pueden tomar todos los valores numéricos (altura, peso,… )

La población es el conjunto de individuos o elementos que son objeto de un estudio estadístico

Una muestra es una parte o subconjunto de la población

La variable estadística es la propiedad estudiada en cada uno de los individuos

EEESSSTTTAAADDDÍÍÍSSSTTTIIICCCAAA


Ejemplo 1. :

Indica población, muestra y variable en los siguientes estudios estadísticos:

1.- Se quiere hacer un estudio sobre las aficiones en las que emplean el tiempo libre las personas jubiladas en España. Para ello se entrevista a los socios de todos los clubes de jubilados de Segovia.

Población: Personas jubiladas en España

Muestra: Socios de los clubes de jubilados de Segovia

Variable: aficiones de los jubilados

2.- Se quiere hacer un estudio sobre el número de personas que integran la unidad familiar de los alumnos/as del centro Plus Ultra. Para ello se entrevista a los alumnos/as del turno de mañana

Población: los alumnos/as del centro Plus Ultra

Muestra: los alumnos/as del turno de mañana del centro Plus Ultra

Variable: número de personas que integran la unidad familiar

2 VALORES, FRECUENCIAS Y TABLAS

Una vez que se han recopilado todos los datos, se procede a su recuento expresándolos de forma ordenada, generalmente en forma de tablas. En estas tablas aparecen los datos (representados por xi) y las frecuencias de cada uno de ellos. Las frecuencias que aparecen en la tabla son: Frecuencia absoluta de un valor es el número de veces que se repite ese valor. Se

representa por fi. La suma de todas las frecuencias absolutas es el número total de datos N.

Frecuencia absoluta acumulada de un valor se obtiene sumando a la frecuencia absoluta de ese valor las frecuencias absolutas de todas las anteriores. Se representa por Fi.

Frecuencia relativa de un valor es el cociente entre su frecuencia absoluta y el número total

de datos (N). Se representa por hi. N

fh i

i . La suma de todas las frecuencias relativas es 1.

Frecuencia relativa acumulada un valor es el cociente entre su frecuencia absoluta

acumulada y el número total de datos (N). Se representa por Hi. N

FH i

i .

El porcentaje de un valor es la frecuencia relativa multiplicada por 100. Se representa por p i. pi = hi· 100

OBSERVACIÓN: En algunos textos los efectivos se denotan por in y la if representa las

frecuencias relativas que aquí aparecen como ih . Las acumuladas se denotarían con la misma

letra pero en mayúscula.


Todos estos datos se ordenan por columnas en una tabla, llamada tabla de frecuencias, de la forma siguiente:

ix if iF ih iH

Ordenamos de forma creciente los diferentes valores de las observaciones de la variable a estudiar

Frecuencia para cada valor de la variable

Frecuencias acumuladas

Frecuencia relativa de cada observación

Frecuencias relativas acumuladas

SUMA N

(Suma de todas las frecuencias)

1 (o 100)

(Suma de todas las frecuencias relativas)

Ejemplo 2. :

Se ha preguntado a 50 familias por el número de personas activas en cada una de ellas y se han obtenido los siguientes datos:

2 1 2 2 1 2 4 2 1 1 2 3 2 1 1 1 3 4 2 2 2 2 1 2 1 1 1 3 2 2 3 2 3 1 2 4 2 1 4 1 1 3 4 3 2 2 2 1 3 3

Se tiene que N = 50 y la variable sólo toma los valores 1,2,3,4 que se repiten un número determinado de veces:

Ejemplo 3. :

Para realizar un estudio sobre el absentismo escolar se han anotado los días que han faltado a clase 20 alumnos/as de primaria durante el mes de mayo y se han obtenido los siguientes resultados:

2 1 3 1 0 5 1 2 4 3

1 0 2 4 0 0 2 1 2 1

Elabora la tabla de frecuencias

El valor acumulado, por ejemplo 36, significa que hasta ahí están contabilizados 36 de los 50 datos. Para expresar las frecuencias relativas en % bastaría multiplicar por 100 los valores obtenidos y quedaría: 32%, 40%, 18% y 10%. La suma de todas ellas sería 100 en lugar de 1.

xi if iF ih iH

1 16 16 0,32 (16/50) 0,32

2 20 36 (16+20) 0,4 (20/50) 0,72

3 9 45 (36+9) 0,18 (9/50) 0,9

4 5 50 (45+5) 0,1 (5/50) 1

SUMA 50 1


2.1 Intervalos de clase y marcas de clase

Si una variable es cuantitativa y toma muchos valores diferentes, agrupamos los valores de la variable en intervalos de clase o clases y contamos los casos de cada intervalo.

El valor que representa una clase es la marca de clase. Se obtiene calculando la media aritmética de los valores extremos.

X (Intervalos) ix (Marca de clase) if iF ih iH

El orden también será creciente y los intervalos se tomarán cerrados en

el extremo inferior y abiertos en el superior, [

ia , 1ia ).

Además el extremo superior de un intervalo será el inferior para el

siguiente.

Son los puntos medios de cada uno de los

intervalos. Se calcula mediante la semisuma de

los extremos:

2

aax

1iii

Cantidad de datos con valores en

ese intervalo

Frecuencias acumuladas

Frecuencia relativa de

cada observación

Frecuencias relativas

acumuladas

Para este tipo de variables también será necesario conocer la amplitud a del intervalo, que se

calcula haciendo la diferencia entre el extremo superior y el inferior: i1i aaa .

Ejemplo 4. :

En un curso de 3º de Sociología se han obtenido las siguientes puntuaciones

43 49 71 32 30 40 46 45 30 38 41 47 46 40 45 50 51 55 39 50 62 64 68 42 33 35 36 40 30 41 38 39 53 35 48 50 51 55 40 69 32 51 52 38 45 35 48 49 36 43 36 49 50 46 60 45 53 59 45 69 58 66 62 68

X (Intervalo) ix if iF ih iH

[29.5, 32.5) 31 5 5 0,078125 0,078125

[32.5, 35.5) 34 4 9 0,0625 0,140625

[35.5, 38.5) 37 6 15 0,09375 0,234375

[38.5, 41.5) 40 8 23 0,125 0,359375

[41.5, 44.5) 43 3 26 0,046875 0,40625

[44.5, 47.5) 46 9 35 0,140625 0,546875

[47.5, 50.5) 49 9 44 0,140625 0,6875

[50.5, 53.5) 52 6 50 0,09375 0,78125

[53.5, 56.5) 55 2 52 0,03125 0,8125

[56.5, 59.5) 58 2 54 0,03125 0,84375

[59.5, 62.5) 61 3 57 0,046875 0,890625

[62.5, 65.5) 64 1 58 0,015625 0,90625

[65.5, 68.5) 67 3 61 0,046875 0,953125

[68.5, 71.5) 70 3 64 0,046875 1

SUMA 64 1


Ejemplo 5. :

Las alturas de los chicos y las chicas de una clase de 3º ESPA son (en centímetros):

165 170 167 178 161 167 174 158 159 163

169 159 170 151 160 167 169 155 172 164

152 163 166 178 164 Haz la tabla de frecuencias agrupándolas en seis clases: [150 , 155) [155 , 160) [160 , 165) [165 , 170) [170 , 175) [175 , 180)

Alturas Marca de clase (xi)

fi Fi hi Hi pi

[150 , 155) 152’5 2 2 0’08 0’08 8

[155 , 160) 157’5 4 6 0’16 0’24 16

[160 , 165) 162’5 6 12 0’24 0’48 24

[165 , 170) 167’5 7 19 0’28 0’76 28

[170 , 175) 172’5 4 23 0’16 0’92 16

[175 , 180) 177’5 2 25 0’08 1 8

SUMA N = 25 1 100

3 REPRESENTACIONES GRÁFICAS

Los gráficos estadísticos permiten visualizar los datos de una tabla y captar de inmediato las características de la distribución de datos. Los gráficos más usados son: Diagrama de barras. Para elaborar un diagrama de barras hacemos lo siguiente:

- Representamos en el eje horizontal los valores de la variable y en el eje vertical las frecuencias.

- Dibujamos sobe cada valor una barra de altura igual a la frecuencia de manera que las barras no se toquen entre ellas


Ejemplo 6. :

Diagrama de barras correspondiente a las frecuencias absolutas del estudio del ejemplo 3.

Diagrama de sectores

Los valores de la variable se pueden representar con sectores en un círculo, de manera que la amplitud de cada sector sea proporcional a la frecuencia relativa del valor. Así, a cada sector le corresponde el ángulo 360º ∙ hi.

El ángulo (en grados) del sector correspondiente puede obtenerse mediante una regla de tres, o bien multiplicando directamente por 360 las frecuencias relativas ih (pero en tanto por 1, NO en

%).

Con la regla de tres se llega al producto mencionado:

frec. relativa ángulo (º) 1 360

hi G

Entonces: G=(hi·360)/1 que es justo la frecuencia relativa por 360

Ejemplo 7. :

La tabla de frecuencias recoge los datos sobre el color del pelo de 36 personas elegidas al azar.

Nº de días faltados

Nº de

alumnos

xi if iF ih iH

1 16

A una frecuencia relativa cualquiera, le corresponderán G

grados


Calculamos los valores de ih y de los ángulos para saber qué amplitud dar a cada

sector al dibujar el diagrama

COLOR fi hi Ángulo ( º )

Rubio 9 0,25 90º 0,25·360=90

Castaño 18 0,5 180º 0,5·360=180

Pelirrojo 3 0,083 30º 0,083·360=30

Moreno 6 0,167 60º 0,167·360=60

SUMA 36 1 360º

Ahora seccionamos el círculo utilizando los grados obtenidos, indicando con qué dato se relaciona cada sector y el porcentaje (ahora sí, ih en %) que le corresponde:

Ejemplo 8. :

El diagrama de sectores correspondiente al ejemplo 3.


Histograma

Se utiliza para representar datos agrupados en clases. Para elaborar un histograma hacemos lo siguiente:

- Representamos en el eje horizontal los extremos de las clases y en el eje vertical las frecuencias. En el eje horizontal se puede colocar la marca de clase en lugar del intervalo.

- Construimos rectángulos que tengan como base la amplitud del intervalo, y como altura la frecuencia. A diferencia del diagrama de barras, en el histograma los rectángulos se tocan.

Ejemplo 9. :

Histograma correspondiente a las frecuencias absolutas del estudio del ejemplo 5.

Polígono de frecuencias

Un polígono de frecuencias se obtiene uniendo los puntos medios de las bases superiores de los rectángulos de un diagrama de barras o histograma. El polígono de frecuencias del ejemplo anterior es:


Ejemplo 10. :

Consideramos el ejemplo 2 de las 50 familias, el gráfico adjunto corresponde a su diagrama de barras y su polígono de frecuencias

Ejemplo 11. :

Tenemos los siguientes datos

Intervalos [3.5, 6.5) [6.5, 9.5) [9.5, 12.5) [12.5, 15.5) [15.5, 18.5)

Frecuencias 3 5 9 6 2

Para representar gráficamente los datos, confeccionaremos primero la tabla de frecuencias

Otros gráficos estadísticos son: pictogramas, cartogramas, pirámides de población, …:

Intervalo ix if

[3.5, 6.5) 5 3

[6.5, 9.5) 8 5

[9.5, 12.5) 11 9

[12.5, 15.5) 14 6

[15.5, 18.5) 17 2

SUMA 25 0

2

4

6

8

10

5 8 11 14 17

Histograma Polígono de frecuencias


Según el tipo de datos que mida la variable estadística, las representaciones gráficas más utilizadas son: a) Para datos cualitativos (atributos):

- Diagramas de rectángulos - Diagramas de sectores - Pictogramas - Cartogramas

b) Para datos cuantitativos:

- Diagrama de barras (para variables discretas) - Histograma (para variables continuas)

c) A veces la estadística es mixta, es decir, aparecen datos cuantitativos y atributos como por

ejemplo estudios demográficos clasificando a la población por su edad (cuantitativo) y por su sexo (atributo). En este caso se representa por lo que se conoce como Pirámide de población.

4 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN: MEDIA, MODA Y MEDIANA

Hemos visto cómo el estudio del conjunto de los datos mediante la estadística permite realizar tablas y representaciones gráficas, que informan sobre ese conjunto. Además es conveniente resumir dichos datos en un solo número, que nos describa de una manera sencilla el comportamiento y las características de los datos estudiados. Esos números que resumen los datos se llaman medidas de centralización. Hay varios, nosotros vamos a estudiar tres: la media aritmética, la moda y la mediana. Media aritmética

La media aritmética se calcula sumando todos los valores de la variable a estudiar, y dividiendo

dicha suma entre el número total de datos. Se representa por X , y se calcula utilizando la fórmula:

N

fxi

ii

N

fx......fxfxX nn2211

Cartograma Pictograma Pictograma Cartograma Pictograma Cartograma Pictograma


Ejemplo 12. :

Calcula la media de la distribución del ejemplo 3

75,1X75'120

3515242352

N

6140X

Ejemplo 13. :

En el ejemplo 2 de las familias: 06250

4539220116,

····

x

Para simplificar los cálculos en estos casos, añadiremos una columna en la tabla de frecuencias que recoja los productos ii fx · y la suma de todos ellos:

Moda La moda de una distribución es el valor que más se repite. Es, por tanto, el que tiene la mayor frecuencia absoluta. Se representa por Mo. (No tiene por qué ser única, si por ejemplo hay dos modas la distribución se dice que es bimodal).

Ejemplo 14. :

En el ejemplo 3, la frecuencia más alta es 6 que corresponde al valor 1 de la variable. Por lo tanto, la moda de la distribución es: 1oM .

Ejemplo 15. :

Para las 50 familias del ejemplo 2, observamos en la tabla que la mayor frecuencia es 20 que corresponde al valor 2. Luego 2oM .

Mediana La mediana es valor que ocupa el lugar central una vez ordenados los datos. Es, por tanto, el dato

que tiene la primera frecuencia absoluta acumulada mayor que la mitad de los datos, es decir, 2

Nó

lo que es lo mismo, el 50% de los datos. Se representa por Me. Ordenando los N datos de menor a mayor, la mediana se obtendrá de la forma siguiente:

– Si N impar: la mediana eM es el dato central.

– Si N par: la mediana eM es la semisuma de los dos datos centrales.

xi if ii f·x

1 16 16

2 20 40

3 9 27

4 5 20

SUMA 50 103

06,250

103x


Ejemplo 16. :

a) 1,5,3,7,3 N = 5. Ordenados:

lado cada a datos dos deja

7 , 5 , 3 , 3 , 1

3M e

b) 1,3,5,3 N = 4. Ordenados:

centrales datos dos los son

5 , 3 , 3 , 1

32

33M e

Como en general el número N de datos es grande, el método más rápido para encontrar la mediana es calculando las frecuencias acumuladas y teniendo en cuenta lo siguiente:

– El valor de la variable que corresponde a la primera frecuencia acumulada mayor que 2

N

es la mediana.

– Si 2

N coincide con una frecuencia acumulada, la mediana se obtiene tomando la media

aritmética entre el valor de la variable correspondiente a dicha frecuencia y el siguiente.

Ejemplo 17. :

a) Consideramos la tabla del ejemplo de las 50 familias, con las frecuencias y

las frecuencias acumuladas:

b) Tenemos los datos siguientes:

xi if iF

8 1 1

19 1 2

23 1 3

26 1 4

SUMA 4

xi if iF

1 16 16

2 20 36

3 9 45

4 5 50

SUMA 50

252

N

La 1ª frecuencia acumulada mayor que 25 es 36, cuyo valor correspondiente de la variable es 2. Luego, 2Me

22

N Coincide con la frecuencia acumulada cuyo

valor de la variable es 19, y el siguiente a éste es 23. Por tanto:

212

2319Me


OTRA FORMA DE BUSCAR LA MEDIANA: Utilizando las frecuencias relativas acumuladas en tanto por ciento ya que esta columna nos va indicando qué porcentaje de los datos queda por debajo del valor de la variable de la correspondiente fila.

Ejemplo 18. : En el ejemplo anterior de las 50 familias

xi if pi = ih % iH %

1 16 32 32

2 20 40 72 2Me Cuando hemos contado todos los 1 y todos los 2, se han registrado ya el 72% de los datos, por tanto, ya está contabilizado el 50%.

3 9 18 90

4 5 10 100

SUMA 50 100

5 MEDIDAS DE DISPERSIÓN: RANGO, VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA

Hasta el momento hemos estudiado los valores centrales de la distribución, pero también es importante conocer si los valores en general están cerca o alejados de estos valores centrales, es por lo que surge la necesidad de estudiar medidas de dispersión. Si las medidas de dispersión son grandes, significa que los valores reales se alejan de las medidas de centralización. Las medidas de dispersión que vamos a calcular son el rango, la desviación típica y el coeficiente de variación.

Rango

El rango de una distribución es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo de la variable. Se representa por R.

Ejemplo 19. : El rango de la distribución del ejemplo 3

R = 5 – 0 = 5

Varianza, 2 Es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto a la media.

N

)xx·(fi

2ii

2

Desarrollando esta fórmula se llega a otra expresión de la varianza que facilita los cálculos:

2i

2ii

2 xN

x·f


Desviación típica,

Es la raíz cuadrada del valor de la varianza. Se representa por σ.

N

fxX...fxXfxXσ n

2n2

221

21

ó 2i

2ii

xN

·xf

Para obtener estos valores típicos, añadiremos a la tabla de frecuencias las columnas de cálculos necesarias, igual que en el caso de la media. (Recuerda que en el caso de variables continuas los valores ix hacen referencia a las marcas de

clase, es decir, a los centros de los intervalos) Para el cálculo de la desviación típica se puede utilizar la siguiente tabla:

xi fi ixX 2ixX ii fxX 2

La desviación típica es la raíz cuadrada de la suma de los valores de la última columna dividido por el número total de datos. Si queremos utilizar la segunda fórmula basta con incluir la columna sombreada. Sumar las celdas de dicha columna y restarle la media al cuadrado. La desviación típica es la raíz cuadrada de dicha diferencia.

ix if ix if 2ix if

Ejemplo 20. :

Calcula la desviación típica de la distribución del ejemplo 3

1'4120

39'76σ

xi fi ixX 2ixX ii .fxX2

0 4 1’75 3’06 12’25

1 6 0’75 0’56 3’38

2 5 -0’25 0’06 0’31

3 2 -1’25 1’56 3’13

4 2 -2’25 5’06 10’13

5 1 -3’25 10’56 10’56

SUMA 20 39’76


Ejemplo 21. : Calcular la media, la varianza y la desviación típica para los siguientes datos

Primero completamos la tabla de frecuencias y utilizamos la segunda fórmula para el cálculo de la varianza:

Coeficiente de variación

El coeficiente de variación es la razón entre la desviación típica y la media. Se representa por CV. Este coeficiente indica la homogeneidad de los datos con respecto a la media, y suele expresarse en porcentaje. Permite comparar distribuciones.

100X

σCV

Ejemplo 22. :

Calcula el coeficiente de variación de la distribución del ejemplo 3

80'57%100

1'75

1'41CV

Ejemplo 23. :

El peso medio de los alumnos de una clase es de 58,2 kg, y su desviación típica, 3,1 kg. El de las alumnas de esa clase es 52,4 kg y su desviación típica es5,2 kg. Calcula el coeficiente de variación y compara la dispersión de ambos grupos.

X if

[3.5, 6.5) 3

[6.5, 9.5) 5

[9.5, 12.5) 9

[12.5, 15.5) 18

[15.5, 18.5) 10

[18.5, 21.5) 6

[21.5, 24.5) 2

SUMA 53

X ix if if · ix if · 2

ix

[3.5, 6.5) 5 3 15 75

[6.5, 9.5) 8 5 40 320

[9.5, 12.5) 11 9 99 1089

[12.5, 15.5) 14 18 252 3528

[15.5, 18.5) 17 10 170 2890

[18.5, 21.5) 20 6 120 2400

[21.5, 24.5) 23 2 46 1058

SUMA 53 742 11360

Media: x = 1453

742

Varianza: 18,34 .18,33962..1453

11360 22

Desviación típica: 28,42825,418.34


El peso medio de las alumnas es más variable que el peso de los alumnos ya que su C.V. es

mayor.

%,,

,..

,

,35100

258

13VC

kg13

kg258XAlumnos

%,,

,..

,

,99100

452

25VC

kg25

kg452XAlumnas

6 EJERCICIOS RESUELTOS

1.- La distribución de ventas por departamentos en un hipermercado viene dada por la tabla inferior.

DEPARTAMENTO (xi)

Ventas en € (fi) ih ih % ángulo

Discos 9000

Juguetes 4500

Plantas 6000

Alimentación 16500

SUMA

a) Complétala y realiza un diagrama de sectores para reflejar los resultados, indicando, en %,

a qué corresponde cada sector.

b) ¿Cuál es la moda?

Solución: a)

b) La moda es la alimentación ya que es el departamento con mayor número de ventas en euros.

2.- En una encuesta, se ha preguntado a 20 personas por el número de días que practican

deporte a la semana y se han obtenido las siguientes respuestas:

1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 6 6 6 7

DEPARTAMENTO (xi)

Ventas en € (fi) ih ih % ángulo

Discos 9000 0,250 25,0% 90

Juguetes 4500 0,125 12,5% 45

Plantas 6000 0,167 16,7% 60

Alimentación 16500 0,458 45,8% 165

SUMA 36000 1 100% 360


a) Completa la tabla de frecuencias. b) Dibuja el diagrama de barras y el polígono de frecuencias. Escribe junto a cada eje

cuál corresponde al número de días y cuál al número de personas. c) Halla el rango, la mediana Me, la media y la desviación típica.

Solución:

a)

Nº de días

ix

Nº de personas

if iF ih %

iH % ii fx i2 fxi

1 3 3 15 15 3 3

2 4 7 20 35 8 16

3 7 14 35 70 21 63

4 1 15 5 75 4 16

5 1 16 5 80 5 25

6 3 19 15 95 18 108

7 1 20 5 100 7 49

SUMA 20 100 66 280

b)

c) Rango 6 1-7 R

Mediana


Si calculamos la mediana con la frecuencia acumulada, obtenemos el mismo resultado.

Media: x = 30320

66,

Varianza: 11330320

280 22 ,,

Desviación típica: 761763513,11 ,,

3.- Dada la siguiente tabla:

15 19 31 30 23 76 13 35 27 32 77 35

24 18 18 15 45 76 81 27 76 23 18 18

75 15 69 14 75 63 29 19 81 15 29 81

45 17 15 41 18 31 49 55 64

a) Construye el histograma y el polígono de frecuencias para los intervalos:

102

N

La 1ª frecuencia acumulada mayor que 10 es 14, cuyo valor correspondiente de la variable es 3. Luego, 3Me

Nº de días

ix

Nº de personas

if iF

1 3 3

2 4 7

3 7 14

4 1 15

5 1 16

6 3 19

7 1 20

SUMA 20

Nº de días

ix

Nº de personas

if iH %

1 3 15

2 4 35

3 7 70

4 1 75

5 1 80

6 3 95

7 1 100

SUMA 20

La primera Hi (porcentaje de frecuencia acumulada) que supera el 50% corresponde al valor de la variable xi= 3 3Me .


0

2

4

6

8

10

12

14

16

17 26 35 44 53 62 71 80

Histograma

Polígono de frecuencias

[12.5, 21.5) [21.5, 30.5) [30.5, 39.5) [39.5, 48.5) [48.5, 57.5) [57.5, 66.5) [66.5, 75.5) [75.5, 84.5)

b) Halla el intervalo modal, el intervalo mediano, la media, desviación media, varianza y

desviación típica. Solución:

a) Construyamos una tabla con las marca de clase y las frecuencias absolutas de cada clase

b) Para los cálculos de este apartado completamos la siguiente tabla

El intervalo modal es [12.5, 21.5), porque posee la frecuencia de 15 que es la más alta de todos los intervalos. Para calcular el intervalo mediano calculamos

5222

N, . Nos centramos en la

columna de las frecuencias acumuladas y buscamos la primera

frecuencia acumulada superior o igual a 22,5, que en este caso es 23. Esta última frecuencia corresponde al intervalo [12.5, 21.5), luego [12.5, 21.5) es el intervalo mediano.

Media: x = 4,3945

1773

Varianza: 64,5564,3945

94905 22

Desviación típica: 592359322364556 ,,,

X ix if

[12.5, 21.5) 17 15

[12.5, 21.5) 26 8

[12.5, 21.5) 35 5

[12.5, 1.5) 44 3

[12.5, 21.5) 53 2

[12.5, 21.5) 62 2

[12.5, 21.5) 71 3

[12.5, 21.5) 80 7

SUMA 45

X ix if iF if · ix

if · 2ix

[12.5, 21.5) 17 15 15 255 4335

[12.5, 21.5) 26 8 23 208 5408

[12.5, 21.5) 35 5 28 175 6125

[12.5, 1.5) 44 3 31 132 5808

[12.5, 21.5) 53 2 33 106 5618

[12.5, 21.5) 62 2 35 124 7688

[12.5, 21.5) 71 3 38 213 15123

[12.5, 21.5) 80 7 45 560 44800

SUMA 45 1773 94905

matemÁticas de 3º espa/espad · 2019-05-21 · identidades notables ... 6 ejercicios resueltos...

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