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Matemáticas 2º Bachillerato
Tema 1.- Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
1.- Ecuaciones lineales
Se llama ecuación lineal de n incógnitas a una ecuación del tipo:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b
donde a1, a2, a3, …, an, b son números reales y x1, x2, x3, …, xn son variables.
Ej: 25
1274 wzyx
Es decir, una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1 con una o varias
incógnitas. Las incógnitas no pueden estar elevadas a ningún número, no pueden estar en una
raíz, en el denominador, ni multiplicadas entre sí, …, únicamente como se muestra en el
ejemplo anterior.
Se llama solución de una ecuación de n incógnitas a un conjunto de n números reales
(1 ,
2 , 3 , …, n ) tales que al sustituirlos por las incógnitas se satisface la igualdad.
Ej: (-11, 0, 15, 6) es una solución de la ecuación anterior, ya que
26155
1207)11(4
2.- Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones (o la misma
solución, en el caso de que sólo haya una).
Si a los dos miembros de una ecuación los multiplicamos o dividimos por un mismo número
distinto de 0, la ecuación resultante es equivalente a la primera.
Ej: 154
yx es equivalente a 2045 yx (se ha multiplicado ambos miembros por 20).
3.- Sistemas de ecuaciones lineales
Se llama sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas a un sistema de la forma:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2 …
am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm
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donde x1, x2, x3, …, xn son las incógnitas, todos los aij son los coeficientes y los bi son los
términos independientes.
Se dice que n números reales ordenados (1 ,
2 , 3 , …, n ) son una solución del sistema si
satisfacen todas las ecuaciones del sistema.
4.- Sistemas equivalentes
Dos sistemas con el mismo número de incógnitas, aunque no tengan el mismo número
de ecuaciones, se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Ej:
33
1652
yx
yxes equivalente a
1323
1
135
yx
yx
yx
ya que la solución de ambos es x = 3, y = -2
Se llaman transformaciones válidas a aquellas que permiten pasar de un sistema a otro
equivalente:
Cambiar de orden las ecuaciones.
Sustituir una o más ecuaciones del sistema por ecuaciones equivalentes a cada una de
ellas.
Sustituir una ecuación por la ecuación resultante de sumarle a la ecuación inicial una
combinación lineal de las demás ecuaciones.
Ej:
0
52
353
zyx
zyx
zyx
213 2 EEE
12136
52
353
zyx
zyx
zyx
son equivalentes
Añadir una ecuación que sea combinación lineal de las ya existentes, o quitar una
ecuación que sea combinación lineal de las demás.
5.- Discusión de un sistema
Un sistema lineal puede que no tenga solución, que tenga una única solución, o que tenga
infinitas soluciones:
Si tiene solución se llama compatible.
Si no tiene solución se llama incompatible.
Si es compatible y tiene una única solución se llama compatible determinado.
Si es compatible y tiene infinitas soluciones se llama compatible indeterminado. En este
caso, dependiendo del número de parámetros, puede ser uniparamétrico, biparamétrico, …
Si un sistema tiene todos sus términos independientes nulos (son 0) el sistema se llama
homogéneo. Los sistemas homogéneos siempre tienen la solución trivial (0, 0, 0, …, 0), por
ello, siempre son compatibles.
- 3 -
6.- Sistemas escalonados
Son sistemas en los que a partir de los valores de las incógnitas (o incógnita) de una de
sus ecuaciones, se halla el valor de otra incógnita en otra ecuación. A partir de este
nuevo valor y el de los anteriores, se halla el valor de otra incógnita en otra ecuación,
…, y así sucesivamente.
El caso más fácil de reconocer es aquel en el que el sistema tiene una incógnita menos en
cada ecuación.
Ej:
7
124
10323
tz
tzy
tzyx
113
8
52
tz
zy
tyx
En el primer sistema, conociendo el valor de z y t de la tercera ecuación podemos hallar el
valor de y en la segunda ecuación, y tras esto, con los valores de y, z y t podemos hallar el
valor de x en la primera ecuación.
En el segundo, conociendo el valor de z y t de la tercera ecuación podemos hallar el valor de
y en la segunda ecuación, y tras esto, con los valores de y y t podemos hallar el valor de x en
la primera ecuación.
Un sistema escalonado, si tiene el mismo número de ecuaciones que incógnitas se denomina
sistema triangular. En un sistema triangular, de cada ecuación se puede hallar una
incógnita. Por tanto, siempre son compatibles determinados.
Ej:
63
42
104
z
zy
zyx
z = 2; y = 1; x = -1 La solución del sistema es (-1, 1, 2).
En cambio, un sistema escalonado no triangular nunca puede ser compatible determinado,
sino que siempre es compatible indeterminado.
Ej:
0
1432
zy
zyx
zy
zzx 1432
zy
zx 12
zy
zx
2
1
zy
zx2
1
2
1
La solución sería R
z
y
x2
1
2
1
, que también puede expresarse como:
- 4 -
Soluciones
R ,,
2
1
2
1
R 1,1,
2
10,0,
2
1
Se puede demostrar que el conjunto de soluciones de un sistema es igual a una solución
particular de dicho sistema más el conjunto de soluciones del sistema homogéneo
resultante de anular los términos independientes del sistema inicial.
Ej: Considerando el sistema homogéneo resultante de anular los términos independientes del
sistema del ejemplo anterior:
0
0432
zy
zyx
zy
zzx 0432
zy
zx 02
zy
zx
2
zy
zx2
1
La solución sería R
z
y
x2
1
, que también puede expresarse como:
Soluciones
R ,,
2
1
R 1,1,
2
1
Como se puede ver, la solución del sistema no homogéneo es igual a una solución particular,
ya que
0,0,
2
1es solución particular del sistema, más el conjunto de soluciones de su
sistema homogéneo asociado, R
1,1,
2
1.
7.- Método de Gauss
Consiste en aplicar transformaciones válidas a un sistema dado para poder sustituirlo
por uno escalonado.
Pueden darse tres casos dependiendo de los tres tipos de sistemas:
a)
1635
4432
12
zyx
zyx
zyx
13
12
5
2
EE
EE
21134
68
12
zy
zy
zyx
23 4EE
4545
68
12
z
zy
zyx
Por ser triangular, es compatible determinado.
- 5 -
b)
10223
62
43
zyx
zyx
zyx
13
12
3
2
EE
EE
27
27
43
zy
zy
zyx
23 EE
00
27
43
zy
zyx
Puesto que ha salido una ecuación inútil, la quitamos y se nos queda un sistema
escalonado, pero no triangular, de dos ecuaciones. Por tanto, el sistema es compatible
indeterminado.
c)
3
9624
632
zyx
zyx
zyx
32
31
3
4
2
EE
EE
E
322
0
3
zy
zy
zyx
23 2EE
30
0
3
zy
zyx
Puesto que ha salido una ecuación imposible no existe solución al sistema. Por tanto, el
sistema es incompatible.
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Resumen del tema 1
Sistemas de ecuaciones lineales
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2 …
am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm
Sistemas equivalentes
Dos sistemas con el mismo número de incógnitas, aunque no tengan el mismo número
de ecuaciones, se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Transformaciones válidas:
Cambiar de orden las ecuaciones.
Sustituir una o más ecuaciones del sistema por ecuaciones equivalentes a cada una de
ellas.
Sustituir una ecuación por la ecuación resultante de sumarle a la ecuación inicial una
combinación lineal de las demás ecuaciones.
Añadir una ecuación que sea combinación lineal de las ya existentes, o quitar una
ecuación que sea combinación lineal de las demás.
Discusión de un sistema
Sistema compatible: Con solución
o Sistema compatible determinado: Una única solución
o Sistema compatible indeterminado: Infinitas soluciones
Sistema incompatible: Sin solución
Sistemas escalonados
Son sistemas en los que a partir de los valores de las incógnitas (o incógnita) de una de
sus ecuaciones, se halla el valor de otra incógnita en otra ecuación. A partir de este
nuevo valor y el de los anteriores, se halla el valor de otra incógnita en otra ecuación,
…, y así sucesivamente.
Si tiene el mismo número de ecuaciones que incógnitas se denomina sistema triangular.
El conjunto de soluciones de un sistema es igual a una solución particular de dicho
sistema más el conjunto de soluciones de su sistema homogéneo asociado.
Método de Gauss
Aplicar transformaciones válidas a un sistema para convertirlo en uno escalonado.
Escalonado triangular: sistema compatible determinado.
Escalonado no triangular: sistema compatible indeterminado.
Una ecuación imposible: sistema incompatible.
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Tema 2.- Matrices
1.- Definición
Se llama matriz de m filas y n columnas (o de orden o dimensión m x n) a un conjunto
de m·n números reales designados por ija distribuidos de la siguiente manera:
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
...
...
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
El primer subíndice se denomina índice de fila y
el segundo, índice de columna.
Matriz fila: Matriz formada por una sola fila, es decir, de orden 1 x n.
Matriz columna: Matriz formada por una sola columna, es decir, de orden m x 1.
Matriz nula: Matriz formada solo por ceros. Se representa por un 0.
Matriz cuadrada: Matriz donde m = n, es decir, de orden n x n, o simplemente de orden n.
En una matriz cuadrada se denomina diagonal principal al conjunto de
todos los elementos cuyos índices son iguales: 11a ,
22a , 33a , …, nna .
La suma de todos los elementos de la diagonal principal se denomina
traza.
Matriz unidad o identidad: Matriz cuadrada en la cual todos los elementos de la diagonal
principal valen 1, y los demás elementos valen 0. Se representa
por una I.
Transpuesta de una matriz: Se llama transpuesta de una matriz A a una matriz cuyas filas
son las columnas de A, y cuyas columnas son las filas de A .
Se representa por tA .
Ej:
654
321
A
63
52
41
tA
Matriz simétrica: Matriz cuya transpuesta es igual a ella misma, es decir, tA = A . Para que
esto ocurra A debe ser cuadrada.
Ej:
645
406
561
A
645
406
561
tA
- 8 -
Matriz antisimétrica: Matriz que coincide con la opuesta a su transpuesta, es decir, tA = - A .
También debe ser cuadrada. Y su diagonal principal debe estar
formada por ceros.
Ej:
045
406
560
A
045
406
560
tA = - A
Matriz triangular superior: Matriz cuadrada en la cual todos los elementos situados por
debajo de la diagonal principal son 0.
Ej:
700
420
563
Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada en la cual todos los elementos situados por
encima de la diagonal principal son 0.
Matriz diagonal: Matriz cuadrada en la cual todos los elementos situados tanto por encima
como por debajo de la diagonal principal son 0.
Ej:
700
020
000
2.- Operaciones con matrices
2.1.- Suma de matrices
Dadas dos matrices del mismo orden m x n, su matriz suma es otra matriz de orden
m x n cuyos elementos se obtienen de sumar los elementos homólogos a las dos matrices
sumandos.
Ej:
866
722
812
401
054
321
Propiedades de la suma de matrices:
1.- Conmutativa: A+B = B+A
- 9 -
2.- Asociativa: (A+B)+C = A+(B+C)
3.- Tiene como elemento neutro la matriz nula: A+0 = 0+A = A
4.- Toda matriz A tiene su opuesta –A: A+(-A) = (-A)+A = 0
2.2.- Producto de un escalar por una matriz
Dada una matriz de ordn m x n y un número real, se define el producto del número real
por la matriz como otra matriz de orden m x n cuyos elementos son los mismos
elementos de la matriz inicial multiplicados por el número real.
Ej:
3248
1604
812
401
·4
Propiedades del producto de un escalar por una matriz:
1.- Asociativa: a·(b·A) = (a·b)·A
2.- Distributiva: (a+b)·A = a·A + b·A
a·(A+B) = a·A + a·B
2.3.- Producto de una matriz fila por una matriz columna
Debe tratarse de una matriz fila de orden 1 x n y una matriz columna de orden n x 1:
nn
n
n babababa
b
b
b
b
aaaa
...
...
·... 3322113
2
1
321
2.4.- Producto de matrices
Dadas las matrices A, de orden m x n, y B, de orden n x r, se define el producto A·B
como una matriz C de orden m x r cuyos elementos son el producto de las filas de A por
las columnas de B. Para que ambas matrices puedan multiplicarse es necesario que el
número de columnas de A coincida con el número de filas de B, en este caso sería n.
Por ejemplo, el elemento de la fila 3 y columna 1 de C se hallaría multiplicando la tercera fila
de A por la primera fila de B.
Ej:
2621
723
)5·(42·26·70·47·21·7
)5·(52·36·20·57·31·2
50
27
61
·427
532
- 10 -
Como vemos la primera matriz es de orden 2 x 3 y la segunda, de orden 3 x 2. Se pueden
multiplicar porque coincide el 3 (columnas de la primera y filas de la segunda), y el resultado
es una matriz de 2 x 2 (filas de la primera y columnas de la segunda).
Propiedades del producto de matrices:
1.- No se cumple la propiedad conmutativa: ABBA ··
2.- Asociativa: CBACBA )··()··(
3.- Distributiva respecto de la suma: A·(B+C) = A·B+A·C (D+E)·F = D·F+E·F
4.- En el caso de matrices cuadradas tiene como elemento neutro la matriz unidad:
A·I = I·A = A
5.- Al contrario que en números reales, es posible que el producto de dos matrices no nulas
dé la matriz nula.
Ej:
0
0
0·7)2·(1)1·(2
0·3)2·(2)1·(4
0
2
1
·712
324
6.- No se cumple la ley de simplificación: si A·B = A·C esto no significa que podamos
simplificar la A y decir que B = C. No se puede simplificar y, B y C pueden, o no, ser
iguales.
7.- ttt ABBA ·)·(
3.- Matriz inversa de otra
Una matriz cuadrada de orden n se dice que tiene inversa (o es invertible) si existe otra
matriz cuadrada de orden n, A-1, llamada matriz inversa tal que: A·A-1 = A-1·A = I
Para que una matriz tenga inversa (o sea invertible) es necesario que sea cuadrada. Pero no
todas las matrices cuadradas son invertibles.
Ej:
12
25
A
52
211A
10
01
52
21
·12
25
Para calcular la matriz inversa uno de los métodos es el de Gauss-Jordan. Consiste en poner
la matriz A junto a la matriz unidad formando una única matriz, y mediante el método de
Gauss obtener la matriz unidad donde antes se encontraba la matriz A, como consecuencia
donde antes se encontraba la matriz unidad ahora se encontrará la matriz inversa de A.
Ej:
1012
0125
21 52 FF
5210
0125
21 2FF
5210
10505
2
1
5
F
F
5210
2101
Como vemos la matriz que aparece a la derecha es la inversa, y arriba esta la demostración de
ello.
- 11 -
Resumen del tema 2
Matriz fila: Matriz formada por una sola fila, es decir, de orden 1 x n. Matriz columna: Matriz formada por una sola columna, es decir, de orden m x 1.
Matriz nula: Matriz formada solo por ceros. Se representa por un 0.
Matriz cuadrada: Matriz donde m = n, es decir, de orden n x n, o simplemente de orden n.
En una matriz cuadrada se denomina diagonal principal al conjunto de
todos los elementos cuyos índices son iguales: 11a ,
22a , 33a , …, nna .
La suma de todos los elementos de la diagonal principal se denomina
traza.
Matriz unidad o identidad: Matriz cuadrada en la cual todos los elementos de la diagonal
principal valen 1, y los demás elementos valen 0. Se representa
por una I.
Transpuesta de una matriz: Se llama transpuesta de una matriz A a una matriz cuyas filas
son las columnas de A, y cuyas columnas son las filas de A .
Se representa por tA .
Matriz simétrica: Matriz cuya transpuesta es igual a ella misma, es decir, tA = A . Para que
esto ocurra A debe ser cuadrada.
Matriz antisimétrica: Matriz que coincide con la opuesta a su transpuesta, es decir, tA = - A .
También debe ser cuadrada. Y su diagonal principal debe estar
formada por ceros.
Matriz triangular superior: Matriz cuadrada en la cual todos los elementos situados por
debajo de la diagonal principal son 0.
Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada en la cual todos los elementos situados por
encima de la diagonal principal son 0.
Matriz diagonal: Matriz cuadrada en la cual todos los elementos situados tanto por encima
como por debajo de la diagonal principal son 0.
Operaciones
Suma: Se suman los elementos que se encuentran en la misma posición en ambas matrices.
Producto de un escalar por una matriz: Se multiplica el escalar por cada elemento de la
matriz.
Producto de matrices: Para hallar el elemento ija se multiplica la fila i de la 1ª matriz por la
columna j de la 2ª.
Matriz inversa
Una matriz cuadrada de orden n se dice que tiene inversa (o es invertible) si existe otra
matriz cuadrada de orden n, A-1, llamada matriz inversa tal que: A·A-1 = A-1·A = I
Método de Gauss-Jordan: Consiste en poner la matriz A junto a la matriz unidad formando
una única matriz, y mediante el método de Gauss obtener la matriz unidad donde antes se
encontraba la matriz A, como consecuencia donde antes se encontraba la matriz unidad ahora
se encontrará la matriz inversa de A.
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Tema 3.- Determinantes
Los determinantes son sólo aplicables a matrices cuadradas, y son números reales, no
matrices.
1.- Determinantes de orden 2
Dada la matriz
2221
1211
aa
aa
A se denomina determinante, y se representa por
2221
1211
aa
aa
A , al número real definido por: 12212211 ·· aaaaA
Ej: 12·21·512
25
2.- Determinantes de orden 3
Dada la matriz
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A , su determinante se halla de este modo:
322311332112312213322113312312332211
333231
232221
131211
············ aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A
Esta fórmula se memoriza mediante una regla mnemotécnica llamada regla de sarrus:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Los términos positivos son los productos mostrados en las líneas.
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Los términos negativos son los productos mostrados en las líneas.
- 13 -
3.- Propiedades de los determinantes
1.- Si una fila o columna de una matriz es suma de dos, su determinante puede
descomponerse en suma de los determinantes de dos matrices, del siguiente modo:
333231
232221
131211
333231
232221
131211
33323231
23222221
13121211
'
'
'
'
'
'
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaaa
aaaa
aaaa
2.- Si se multiplica o divide una fila o columna de una matriz por un número real, el
determinante de la matriz resultante es igual al determinante de la matriz inicial multiplicado
o dividido, respectivamente, por dicho número real:
333231
232221
131211
333231
232221
131211
·
·
·
·
aaa
aaa
aaa
k
akaa
akaa
akaa
3.- Si se permutan dos filas o columnas entre sí, el determinante cambia de signo:
323331
222321
121311
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
4.- Si a una fila o columna se le suma una combinación lineal de las demás filas o columnas,
respectivamente, el determinante no varía:
333231
232221
131211
3231333231
2221232221
1211131211
··
··
··
aaa
aaa
aaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
5.- Si una fila o columna es combinación lineal de las demás filas o columnas,
respectivamente, el determinante vale 0.
6.- Si dos filas o columnas son iguales o proporcionales el determinante vale 0.
7.- Si hay alguna fila o columna formada toda por ceros el determinante vale 0.
- 14 -
8.- El determinante de una matriz y el de su transpuesta son iguales:
tAA
9.- El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes:
BABA ··
10.- El determinante de una matriz triangular, superior o inferior, es igual al producto de los
elementos de la diagonal principal:
332211
33
2322
131211
··
00
0 aaa
a
aa
aaa
4.- Menor complementario y adjunto de una matriz
Dada la matriz cuadrada A de orden n se llama menor complementario de ija , y se
representa por ij , al determinante de la matriz cuadrada de orden n-1 obtenida
eliminando la fila i y la columna j de A.
Ej:
651
121
532
A 73·15·251
32
23 (Se ha eliminado la fila 2 y la columna 3)
Dada la matriz cuadrada A de orden n se llama adjunto de ija , y se representa por ij ,
al número real dado por: ij
ji
ij ·1
Es decir, el adjunto es igual al menor complementario con el mismo signo o cambiado, según
i + j sea par o impar.
Ej:
651
121
532
A 77·17·1532
23
- 15 -
5.- Desarrollo de determinantes por adjuntos
Cualquier determinante se puede hallar como suma de cada elemento de una única fila
o columna multiplicado por su adjunto.
Ej: ...······ 323222221212131312121111
333231
232221
131211
aaaaaa
aaa
aaa
aaa
En el primer caso se ha desarrollado el determinante por los elementos de su primera fila; en
el segundo se ha desarrollado por los elementos de su segunda columna.
Los determinantes de orden 2 y de orden 3 se resuelven mediante las fórmulas descritas
anteriormente, pero a partir del orden 4 se deben resolver por adjuntos.
Un método bastante útil es la reducción del orden: se utiliza la 4ª propiedad de los
determinantes para conseguir que una fila o columna sea todo 0 excepto un elemento,
que sea 1, y teniendo en cuenta el desarrollo por adjuntos, el determinante inicial se
convierte en el adjunto del 1 que hemos hallado.
Ej:
4211
1231
3522
4321
14
13
12 2
FF
FF
FF
8130
3110
111160
4321
Se ha utilizado la 4ª propiedad de los determinantes y se ha obtenido una columna toda de 0
excepto un 1. Ahora si desarrollamos por adjuntos la primera columna de la matriz
obtenemos que el determinante inicial es igual a ese 1 multiplicado por su adjunto (no
importa los adjuntos de los demás elementos de la columna, ya que al multiplicarlos por 0
desaparecen), es decir, que el determinante inicial es igual al adjunto de ese 1:
813
311
11116
4211
1231
3522
4321
No se cambia el signo porque en este caso: 111211
- 16 -
6.- Rango de una matriz
Es el número de filas o de columnas linealmente independientes (que no son
combinación lineal de las otras) de una matriz.
Se puede hallar el rango de una matriz aplicando el método de Gauss. El rango será el
número de filas distindas de (0 0 0 … 0).
Ej:
651
121
532
ª3ª2
ª3·2ª1
ª3
770
770
651
ª2ª3
000
770
651
El rango es 2.
También podríamos haber dicho que la tercera fila es combinación lineal de las otras dos, ya
que: 3ª = 1ª-2ª. Y por tanto, sólo hay dos filas linealmente independientes (L.I.)
Teniendo en cuenta la definición anterior, el rango de una matriz es menor o igual que su
orden. Será igual que su orden si todas las filas y columnas son linealmente independientes.
Esto se traduce en que su determinante no es 0. Por tanto:
Si el determinante de una matriz de orden n es distinto de 0, su rango es n.
Su rango será menor que su orden si hay alguna fila o columna que es combinación lineal de
las demás, es decir, si su determinante es 0. En ese caso se cogen los menores
complementarios de la matriz y sólo con que uno de ellos no sea 0 el rango de la matriz es
una unidad menos que su orden. Si todos dan 0 se cogen los menores de un orden inferior a
los anteriores y se repite el proceso. Por tanto:
Si el determinante de una matriz de orden n es 0, se cogen los menores de orden n-1, y
sólo con que uno de ellos sea distinto de 0 el rango es n-1. Si no es el caso, se cogen
menores de orden n-2 y se repite el proceso.
Ej:
651
121
532
A 0
651
121
532
, por tanto rang A < 3
721
32
, por tanto rang A 2 Esto significa que rang A = 2
En el caso de matrices de órdenes mayores el cálculo del rango se complica pues, por
ejemplo, en una matriz de 4 x 5 hay 60 menores de orden 2, 40 de orden 3 y 5 de orden 4.
Para ello se sigue este procedimiento:
- 17 -
Ej:
654113
01213
32150
21031
A El rango será como mucho de 4, orden del menor más grande.
1º.- Se coge un menor de orden 2 que sepamos que no es nulo: 050
31
Esto nos confirma que las dos primeras filas son linealmente independientes (L.I.) y que el
rango es como mínimo de 2.
2º.- Hay que averiguar si la 3ª fila es L.D. de las dos primeras. Para ello cogemos todos los
menores de orden 3 donde intervengan todos los elementos del menor de orden 2 utilizado
antes y los elementos de la 3ª fila: 0
213
150
031
; 0
113
250
131
; 0
013
350
231
;
puesto que todos son 0 la 3ª fila es L.D. de las dos primeras. Ahora el rango será como
mucho de 3.
3º.- Hay que averiguar si la 4ª fila es L.D. de las dos primeras. Para ello cogemos todos los
menores de orden 3 donde intervengan todos los elementos del menor de orden 2 utilizado
antes y los elementos de la 4ª fila: 0
4113
150
031
; 0
5113
250
131
; 0
6113
350
231
;
puesto que todos son 0 la 4ª fila es L.D. de las dos primeras. Ahora no hay duda de que:
rang A = 2.
7.- Matriz adjunta y cálculo de su determinante
Dada la matriz cuadrada A de orden n se llama adjunta de ella, y se representa por A~
,
a otra matriz cuadrada de orden n cuyos elementos son los adjuntos de tA .
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
332313
322212
312111
aaa
aaa
aaa
At
332313
322212
312111
~A
- 18 -
Se cumple que ··~~
· AAAAA I
Ej:
241
211
132
A
221
413
112
tA
5113
354
7210
~A
Comprobamos que se cumple la fórmula anterior:
29
241
211
132
A
·
100
010
001
·29
2900
0290
0029
5113
354
7210
·
241
211
132
~· AAA
I
7.1.- Determinante de la matriz adjunta
Si A es de orden n (y por tanto A~
también):
··~~
· AAAAA I ··~~
· AAAAA I ·A In
A
A
A
A
A
...000
...
0...00
0...00
0...00
nAAAAA ·
~~·
1~
n
n
AA
AA
- 19 -
8.- Cálculo de la matriz inversa
Una matriz cuadrada es singular si su determinante vale 0.
Una matriz tiene inversa o es invertible si y solo si es cuadrada y no es singular (su
determinante debe ser distinto de 0).
Dada una matriz invertible:
··~~
· AAAAA I ··
~~·
A
A
A
AA
A
AA I A
A
A
A
AA ·
~~
· I
IAA
A
A
AA
IAAAA
·
~~
·
·· 11
De aquí se deduce que: A
AA
~1
Ej:
241
211
132
A ;
5113
354
7210
~A
29
5
29
11
29
3
29
3
29
5
29
4
29
7
29
2
29
10
5113
354
7210
·29
11A
100
010
001
29
5
29
11
29
3
29
3
29
5
29
4
29
7
29
2
29
10
·
241
211
132
· 1AA
8.1.- Determinante de la matriz inversa
IAAAA ·· 11 IAAAA ·· 11 1·· 11 AAAA
AA
11
- 20 -
Resumen del tema 3
Determinantes de orden 2
12212211 ·· aaaaA
Determinantes de orden 3
Regla de sarrus:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Los términos positivos son los productos mostrados en las líneas.
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Los términos negativos son los productos mostrados en las líneas.
Propiedades de los determinantes
1.-
333231
232221
131211
333231
232221
131211
33323231
23222221
13121211
'
'
'
'
'
'
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaaa
aaaa
aaaa
2.-
333231
232221
131211
333231
232221
131211
·
·
·
·
aaa
aaa
aaa
k
akaa
akaa
akaa
3.-
323331
222321
121311
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
- 21 -
4.-
333231
232221
131211
3231333231
2221232221
1211131211
··
··
··
aaa
aaa
aaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
5.- Si una fila o columna es combinación lineal de las demás filas o columnas,
respectivamente, el determinante vale 0.
6.- Si dos filas o columnas son iguales o proporcionales el determinante vale 0.
7.- Si hay alguna fila o columna formada toda por ceros el determinante vale 0.
8.- tAA
9.- BABA ··
10.- 332211
33
2322
131211
··
00
0 aaa
a
aa
aaa
Menor complementario y adjunto de una matriz
Dada la matriz cuadrada A de orden n se llama menor complementario de ija , y se
representa por ij , al determinante de la matriz cuadrada de orden n-1 obtenida
eliminando la fila i y la columna j de A.
Dada la matriz cuadrada A de orden n se llama adjunto de ija , y se representa por ij ,
al número real dado por: ij
ji
ij ·1
Desarrollo de determinantes por adjuntos
Cualquier determinante se puede hallar como suma de cada elemento de una única fila
o columna multiplicado por su adjunto.
Un método bastante útil es la reducción del orden: se utiliza la 4ª propiedad de los
determinantes para conseguir que una fila o columna sea todo 0 excepto un elemento,
que sea 1, y teniendo en cuenta el desarrollo por adjuntos, el determinante inicial se
convierte en el adjunto del 1 que hemos hallado.
- 22 -
Rango de una matriz
Es el número de filas o de columnas linealmente independientes (que no son
combinación lineal de las otras) de una matriz.
Si el determinante de una matriz de orden n es distinto de 0, su rango es n.
Si el determinante de una matriz de orden n es 0, se cogen los menores de orden
n-1, y sólo con que uno de ellos sea distinto de 0 el rango es n-1. Si no es el caso,
se cogen menores de orden n-2 y se repite el proceso.
Matriz adjunta y cálculo de su determinante
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
332313
322212
312111
aaa
aaa
aaa
At
332313
322212
312111
~A
Se cumple que ··~~
· AAAAA I
7.1.- Determinante de la matriz adjunta
Si A es de orden n (y por tanto A~
también): 1~
n
n
AA
AA
Cálculo de la matriz inversa
Una matriz tiene inversa o es invertible si y solo si es cuadrada y no es singular (su
determinante debe ser distinto de 0).
Dada una matriz invertible: A
AA
~1
Determinante de la matriz inversa
AA
11
- 23 -
Tema 4.- Resolución de sistemas mediante determinantes
1.- Matriz de un sistema
Dado un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2 …
am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm
se llama matriz del sistema a los coeficientes de las incógnitas:
mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...
.....
.....
321
2232221
1131211
y matriz ampliada del sistema a la matriz del sistema añadiéndole la columna de los
términos independientes:
mmnmmm
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
A
...
...
.....
.....
*
321
22232221
11131211
2.- Teorema de Rouché
Dado un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas:
Si rang A = rang A* el sistema es compatible
o Si rang A = rang A* = n el sistema es compatible determinado
o Si rang A = rang A* n el sistema es compatible indeterminado. En este
caso: nº parametros = n – rang A
Si rang A = rang A* - 1 el sistema es incompatible
No son posibles más casos: puesto que A está incluida en A* el rango de A* será igual o
mayor al rango de A. Y puesto que A* siempre tiene 1 columna más que A tan sólo puede
tener un rango 1 unidad mayor que el rango de A.
- 24 -
3.- Regla de Cramer
La regla de Cramer tan sólo puede utilizarse cuando rang A = rang A* es decir, cuando
es compatible.
Según la regla de Cramer:
mnmmm
n
n
mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaab
aaab
aaab
x
...
...
.....
.....
...
...
.....
.....
321
2232221
1131211
32
223222
113121
mnmmm
n
n
mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaba
aaba
aaba
y
...
...
.....
.....
...
...
.....
.....
321
2232221
1131211
31
223221
113111
…
mnmmm
n
n
mmmm
aaaa
aaaa
aaaa
baaa
baaa
baaa
t
...
...
.....
.....
...
...
.....
.....
321
2232221
1131211
321
2232221
1131211
Es decir, A
Ax
x
A
Ay
y
A
Az
z …
A
At
t , siendo xA la matriz A cuya primera
columna se ha sustituido por los términos independientes, yA la matriz A cuya segunda
columna se ha sustituido por los términos independientes, …
Pueden darse los siguientes casos:
rang A = rang A* = n = m: en este caso se puede aplicar Cramer directamente.
rang A = rang A* = n < m: en este caso sobran ecuaciones. Se eliminan las L.D. y se
dejan únicamente las L.I. (al hacer esto tendremos n = m) y se aplica Cramer.
rang A = rang A* = m < n: en este caso pasamos n – m incógnitas a la parte derecha
de la igualdad, pasándo a considerarse como parámetros, y se aplica Cramer.
rang A = rang A* < n y además rang A = rang A* < m: en este caso sobran
ecuaciones. Se eliminan las L.D. y se dejan únicamente las L.I. (al hacer esto
tendremos rang A = rang A* = m, y nos encontraremos en el tercer caso). Luego
pasamos n – m incógnitas a la parte derecha de la igualdad, pasándo a considerarse
como parámetros, y se aplica Cramer.
Ej:
3292
1066
134
132
zyx
zyx
zyx
yx
292
166
134
032
A
3292
10166
1134
1032
*A
- 25 -
024
166
134
032
rang A = 3 rang A* 3 0* A rang A* = 3
Como rang A = rang A* = n, según el teorema de Rouché el sistema es compatible
determinado.
Como rang A = rang A* = n < m podemos aplicar Cramer si eliminamos la última ecuación
(ya que hemos comprobado que las 3 primeras son L.I. con el determinante anterior):
124
24
166
134
032
1610
131
031
x 124
24
166
134
032
1106
114
012
y 224
48
166
134
032
1066
134
132
z
Solución:
2
1
1
z
y
x
Ej:
2
1
zyx
zyx
111
111
A
2111
1111
*A
011
11
0211
11
rang A = 2 rang A* = 2
Como rang A = rang A* < n, según el teorema de Rouché el sistema es compatible
indeterminado.
Como rang A = rang A* = m < n podemos aplicar Cramer si pasamos como parámetros 3-2
incógnitas a la parte derecha de la igualdad.
No podemos pasar la z como parámetro ya que la nueva matriz A tendría rango 1. El sistema
queda así:
- 26 -
yzx
yzx
2
1
11
11
A
yy
y
y
x
2
3
2
32
11
11
12
11
2
1
2
1
11
11
21
11
y
y
z Solución:
2
1
2
3
z
y
x
R
4.- Resolución de sistemas homogéneos
Puesto que en todo sistema homogéneo los términos independientes son nulos, el rango
de A* siempre coincide con el rango de A. Por ello, no es necesario estudiar la matriz A*,
ya que estos sistemas son siempre compatibles.
De ser compatibles determinados su única solución será la trivial. Y si son compatibles
indeterminados tendrán infinitas soluciones, entre ellas la trivial.
Ej:
032
0423
0
zyx
zyx
zyx
312
423
111
A
0A rang A < 3 0123
11
rang A = 2
Como rang A < n y el sistema es homogéneo, según el teorema de Rouché el sistema es
compatible indeterminado.
Como rang A = rang A* (el sistema es homogéneo) < n y además rang A = rang A* < m
podemos aplicar Cramer si eliminamos la ecuación que depende de las otras 2 (en este caso
la tercera) y pasamos como parámetros 3-2 incógnitas a la parte derecha de la igualdad.
0423
0
zyx
zyx
zyx
zyx
423
- 27 -
zz
z
z
x 21
2
23
11
24
1
zz
z
z
y
1
23
11
43
1
Solución:
z
y
x 2
R
5.- Forma matricial de un sistema de ecuaciones
Dado un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2 …
am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm
éste se puede escribir en forma de producto de matrices:
mm
mnmmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
......·
...
...
.....
.....
2
1
2
1
321
2232221
1131211
donde la primera matriz es A, la matriz de las incógnitas es X, y la matriz de los
términos independientes es B:
BXA ·
Una vez preparamos el sistema (como hacíamos para poder aplicar Cramer), tendremos que
A es una matriz cuadrada y no singular (y por tanto invertible). Así que podemos hacer esto:
BXA · BAXAA ··· 11 BAXI ·· 1 BAX ·1
Ej:
2
1
zyx
zyx
111
111
A
2111
1111
*A
Este ejemplo se ha resuelto antes. Al prepararlo para poder utilizar Cramer se quedaba así:
yzx
yzx
2
1
11
11
A
- 28 -
Así que en este caso:
11
11
A
y
yB
2
1
Calculamos la inversa de A:
2
1
2
1
2
1
2
1
1A
Y ahora ya podemos calcular X:
2
1
2
3
2
1·
2
1
2
1
2
1
2
1
·1
y
y
yBAX
Solución:
2
1
2
3
z
y
x
R
6.- Discusión de sistemas con parámetros como coeficientes
Dado un sistema como éste:
5
102
kyx
yx, dependiendo del valor del parámetro k el
sistema puede ser compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
Ej: En el sistema anterior:
kA
1
21
51
1021
*k
A
21
21
kk
A 0A 02 k 2k ; por tanto tenemos dos casos:
1º Caso: k = -2
52
102
yx
yx
21
21
A
521
1021
*A rang A = 1; rang A* = 2
Como rang A rang A*, según el teorema de Rouché el sistema es incompatible.
2º Caso: k -2 02 kA rang A = 2; rang A* = 2
Como rang A = rang A* = n, según el teorema de Rouché el sistema es compatible
determinado.
- 29 -
Resumen del tema 4
Matriz de un sistema
Matriz del sistema:
mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...
.....
.....
321
2232221
1131211
Matriz ampliada del sistema (A*): se añade la columna de los términos independientes.
Teorema de Rouché
Si rang A = rang A* el sistema es compatible
o Si rang A = rang A* = n el sistema es compatible determinado
o Si rang A = rang A* n el sistema es compatible indeterminado.
Si rang A = rang A* - 1 el sistema es incompatible
Regla de Cramer
La regla de Cramer tan sólo puede utilizarse cuando rang A = rang A*.
A
Ax
x
A
Ay
y
A
Az
z …
A
At
t
rang A = rang A* = n = m: en este caso se puede aplicar Cramer directamente.
rang A = rang A* = n < m: en este caso sobran ecuaciones. Se eliminan las L.D. y se
dejan únicamente las L.I. (al hacer esto tendremos n = m) y se aplica Cramer.
rang A = rang A* = m < n: en este caso pasamos n – m incógnitas a la parte derecha
de la igualdad, pasándo a considerarse como parámetros, y se aplica Cramer.
rang A = rang A* < n y además rang A = rang A* < m: se eliminan las ecuaciones
L.D. y nos encontramos en el tercer caso.
Resolución de sistemas homogéneos
El rango de A* siempre coincide con el rango de A. Por ello, no es necesario estudiar la
matriz A*, ya que estos sistemas son siempre compatibles.
Forma matricial de un sistema de ecuaciones
BAX ·1
Discusión de sistemas con parámetros como coeficientes
Se averigua los casos para los cuales 0A y para cuales no y se estudian por separado.
- 30 -
Tema 5.- Vectores en el espacio
1.- Operaciones con vectores
1.1.- Suma de vectores
Dados dos vectores, 321 ,, uuuu
y 321 ,, vvvv
, la suma vu
es otro vector de
componentes:
332211 ,, vuvuvuvu
Ej: 13,2,28,4,15,2,3
Geométricamente para sumarlos se coloca el origen del segundo vector en el extremo del
primero. La suma será el vector que tiene por origen el origen del primer vector, y como
extremo, el extremo del segundo vector:
Si se trata de una resta ( vu
), no hay más que sumarle a u
el opuesto de v
( v
).
La suma de vectores cumple:
Propiedad conmutativa: uvvu
Propiedad asociativa: wvuwvu
1.2.- Producto de un vector por un número real
Dado un vector 321 ,, vvvv
y un número real , el producto v
es otro vector que
tiene de componentes:
321321 ,,,, vvvvvvv
Ej: 8,0,24,0,12
Este nuevo vector tiene la misma dirección que v
, mismo sentido o sentido opuesto
dependiendo de si es positivo o negativo, y el módulo es: vv
Si 0 se obtiene el vector cero ( 0
).
El producto de un vector por un número real cumple:
Propiedad asociativa: vabvba
Propiedad distributiva: vbvavba
y wavawva
- 31 -
1.3.- División de un segmento en partes iguales
Dado el segmento AB , si queremos dividirlo en n partes iguales necesitamos n-1 puntos
interiores:
1AMn
1 AB 1AM
n
1 AB AB
nAM
11
n
BAn
n
A
n
BAM
11 ;
n
BAn
n
A
n
BAM
222 ;
n
BAn
n
A
n
BAM
333 ; …
n
BAmnM m
donde n es el número de partes en que se quiere dividir el segmento, y m es el número de
punto interior, es decir, el primer punto interior se consigue con n = 1.
Ej: Si tenemos los puntos 1,2,3A y 3,1,1B y queremos dividirlos en 5 partes iguales
necesitamos 4 puntos internos. El tercero de ellos sería:
1,1,1
5
5,5,5
5
3,1,11,2,32
5
2
5
353
BABAM
2.- Combinaciones lineales
Dados los vectores x
, y
, z
, …, w
y los números reales a, b, c, …, k se llama
combinación lineal de los vectores al vector:
wkzcybxa
...
2.1.- Dependencia e independencia lineal
Un conjunto de vectores es libre o sus vectores son linealmente independientes (L.I.)
cuando ninguno de ellos es una combinación lineal de los demás. En caso contrario el
conjunto de vectores es ligado o sus vectores son linealmente dependientes (L.D.)
Para averiguar si un conjunto de n vectores es libre o ligado se forma una matriz con tales
vectores. Si el rango de tal matriz es n significa que son vectores L.I.
En 3R los conjuntos de vectores libres tienen como máximo 3 vectores, ya que los vectores
de 3R tienen 3 componentes y por tanto la matriz tendría solo 3 columnas.
2.2.- Base en 3R
Un conjunto B es una base de 3R si está formado por tres vectores libres.
- 32 -
Ej: 1,0,0,4,3,1,3,2,1B es una base de 3R , ya que: 01
100
431
321
rang B = 3
Ya que toda base de 3R está formada por tres vectores se dice que 3R es un espacio vectorial
de dimensión 3.
Si los tres vectores son perpendiculares se dice que la base es una base ortogonal. Y si
además los tres vectores son unitarios tenemos una base ortonormal.
2.3.- Coordenadas de un vector respecto de una base
Dada una base zyxB
,, , cualquier vector v
se puede poner de forma única como
combinación lineal de sus elementos:
zcybxav
A los números a, b, c se los llama coordenadas de v
respecto de B y se expresa
cbavB ,,
.
La base más utilizada es la llamada base canónica, formada por los vectores 0,0,1i
,
0,1,0j
, 1,0,0k
.
3.- Producto escalar de vectores
Dados dos vectores, 321 ,, uuuu
y 321 ,, vvvv
, se llama producto escalar de ambos
al número real:
332211,·cos·· vuvuvuvuvuvu
Ej: 2940838·54·21·38,4,1·5,2,3
3.1.- Propiedades del producto escalar
1.- Conmutativa: uvvu
··
2.- Asociativa: vuvu
··
3.- Distributiva: wuvuwvu
···
4.- Si vu
, entonces 0º90·cos·· vuvu
. Del mismo modo, si 0· vu
, entonces vu
.
- 33 -
4.- Aplicaciones del producto escalar
4.1.- Módulo de un vector
Se llama módulo de un vector 321 ,, uuuu
, y lo representamos por u
, al número
real:
2
3
2
2
2
1 uuuu
De aquí deducimos que también es: uuu
· , ya que 2
3
2
2
2
1· uuuuu
Se cumple que uu
·
4.2.- Ángulo entre vectores
A partir de la fórmula anterior deducimos que:
vu
vuvu
·
·,cos
Ej:
5227'0
9·38
29
841·523
8,4,1·5,2,38,4,1,5,2,3cos
222222
El ángulo que forman ambos vectores es: ''8'29º585227'0arccos
4.3.- Vector normalizado o unitario
Un vector u
se dice que es unitario o que está normalizado si y sólo si 1u
Para hallar el vector unitario en una dirección concreta se coge un vector que tenga tal
dirección y se divide entre su módulo:
u
uvunitario
Ej:
9
8,
9
4,
9
1
9
8,4,1unitariov
Lo comprobamos: 119
8
9
4
9
1222
- 34 -
4.4.- Proyección ortogonal de un vector sobre otro
Dados los vectores ABu
y ACv
se llama proyección ortogonal del vector u
sobre
v
, y lo representamos por u
vproy al vector 'AB .
Se cumple que:
u
proy
AB
ABu
v
'
cos v
vu
vu
vuuuproy
u
v
·
·
···cos
·cosuproyu
v
ó
v
vuproy
u
v
·
Y el vector es:
v
v
v
vuproy
u
v
··
5.- Producto vectorial
Dados dos vectores no nulos, 321 ,, aaaa
y 321 ,, bbbb
, se llama producto vectorial
de ambos al vector:
321
321
bbb
aaa
kji
bxa
El módulo es: basenbabxa
,··
La dirección es perpendicular a los dos vectores.
El sentido es el correspondiente según la regla de Maxwell.
- 35 -
5.1.- Propiedades del producto vectorial
1.- Distributiva: wxuvxuwvxu
2.- Anticonmutativa: uxvvxu
3.- abxa
y bbxa
4.- El producto vectorial entre dos vectores L.D. es nulo: 0
axa
5.- vaxuvxuavxua
6.- El cuadrado del módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al determinante
formado por ambos vectores y su producto vectorial:
321
321
321
2
bxabxabxa
bbb
aaa
bxa
7.- El módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo
determinado por tales vectores:
bxaÁrea
6.- Producto mixto
Dados tres vectores, 321 ,, aaaa
, 321 ,, bbbb
y 321 ,, cccc
, se llama producto
mixto de ellos, y se representa por cba
,, , al producto escalar del primero por el
producto vectorial de los otros dos:
321
321
321
·,,
ccc
bbb
aaa
cxbacba
Por tratarse de un determinante, las propiedades del producto mixto son las mismas que las
de los determinantes.
Una aplicación del producto mixto es que dado un paralelepípedo formado por tres vectores
(todos ellos con el origen en uno de sus vértices), el volumen de tal paralelepípedo viene
dado por el producto mixto de los tres vectores.
- 36 -
Resumen del tema 5
Operaciones con vectores
Suma de vectores: 332211 ,, vuvuvuvu
Propiedad conmutativa: uvvu
Propiedad asociativa: wvuwvu
Producto de un vector por un número real: 321321 ,,,, vvvvvvv
Propiedad asociativa: vabvba
Propiedad distributiva: vbvavba
y wavawva
División de un segmento en partes iguales:
n
BAmnM m
Producto escalar de vectores
332211,·cos·· vuvuvuvuvuvu
Propiedades del producto escalar
1.- Conmutativa: uvvu
··
2.- Asociativa: vuvu
··
3.- Distributiva: wuvuwvu
···
4.- Si vu
, entonces 0º90·cos·· vuvu
. Del mismo modo, si 0· vu
, entonces vu
.
Aplicaciones del producto escalar
Módulo de un vector: uuuuuu
·2
3
2
2
2
1
Ángulo entre vectores: vu
vuvu
·
·,cos
Vector normalizado o unitario: u
uvunitario
Proyección ortogonal de un vector sobre otro
·cosuproyu
v
ó
v
vuproy
u
v
·
- 37 -
v
v
v
vuproy
u
v
··
Producto vectorial
321
321
bbb
aaa
kji
bxa
Módulo: basenbabxa
,··
Propiedades del producto vectorial
1.- Distributiva: wxuvxuwvxu
2.- Anticonmutativa: uxvvxu
3.- abxa
y bbxa
4.- El producto vectorial entre dos vectores L.D. es nulo: 0
axa
5.- vaxuvxuavxua
6.-
321
321
321
2
bxabxabxa
bbb
aaa
bxa
7.- bxaÁrea
Producto mixto
321
321
321
·,,
ccc
bbb
aaa
cxbacba
cxbaVolumen
·
- 38 -
Tema 6.- Puntos, rectas y planos en el espacio
1.- Algunas aplicaciones de vectores
1.1.- Coordenadas del vector que une dos puntos
Dados los puntos 321 ,, pppP y 321 ,, qqqQ , las coordenadas del vector PQ se hayan
restando al punto extremo el punto origen:
332211 ,, pqpqpqPQPQ
1.2.- Comprobación de que tres puntos están alineados
Tres puntos P, Q y R o forman un triángulo o están alineados. Si están alineados los
vectores PQ y PR tendrán la misma dirección, es decir, serán L.D.; si son L.I. es
porque los tres puntos forman un triángulo.
1.3.- Simétrico de un punto respecto de otro
El punto simétrico del punto P respecto al punto Q es
otro punto P’ que se encuentra en la dirección que une
al punto P con el punto Q y a una distancia de Q igual
a la del punto P al punto Q:
'QPPQ QPPQ ' PQP 2'
2.- Ecuaciones de la recta
Una recta viene determinada por dos puntos de ella, por lo que todos los demás puntos de la
recta deberán estar alineados con estos dos.
2.1.- Ecuación vectorial
Si dos puntos de la recta son P y Q, dado otro punto X de la recta, éste estará alineado con
ellos, es decir, PQ y PX deben ser L.D.:
PQPX
Al vector PQ se le llama vector director o vector de dirección y se representa por v
:
vPX
vPX
vPX
2.2.- Ecuaciones paramétricas
vPX
332211321321 ,,,,,,,, vpvpvpvvvpppzyx
- 39 -
33
22
11
vpz
vpy
vpx
2.3.- Ecuación continua
Si despejamos de las tres ecuaciones anteriores:
1
1
v
px ;
2
2
v
px ;
3
3
v
px
3
3
2
2
1
1
v
px
v
px
v
px
2.4.- Ecuación implícita o general
La ecuación general de un plano es: 0 DCzByAx .
Por ello, la ecuación implícita o general de una recta es:
0''''
0
DzCyBxA
DzCyBxA
ya que una recta es la intersección de dos planos.
Para hallar el vector director de una recta dada en forma implícita:
',',',, CBAxCBAv
Aunque, en general, el vector director de una recta puede ser cualquiera que cumpla el
sistema homogéneo asociado a la ecuación de la recta, excepto la solución trivial. Es
decir, cualquier vector que sea solución de:
0'''
0
zCyBxA
zCyBxA
es vector director de la recta.
Puesto que ',',',, CBAxCBA es ortogonal tanto a CBA ,, como a ',',' CBA , los dos
productos escalares que representan las dos ecuaciones del sistema anterior dan cero. Y ello
significa que ',',',, CBAxCBAv
es un vector director.
Para hallar un punto de la recta simplemente se da un valor concreto a una de sus
coordenadas (generalmente 0) y se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas resultante.
- 40 -
Ej: Pasar a forma vectorial la ecuación de la recta
027
0134
zyx
zyxr
El vector director de la recta cumple:
027
034
zyx
zyx
zyx
zyx
27
34
z
y
x
11
1
11
29
Tomando 11 el vector director es 11,1,29
Si tomamos un punto con 0y las otras coordenadas del punto serían:
02
013
zx
zx
02
13
zx
zx
1
2
z
x; por tanto un punto de la recta es 1,0,2
Y la ecuación en forma vectorial queda así: 11,1,291,0,2,, zyx
3.- Ecuaciones del plano
Un plano viene definido por tres puntos no alineados o por un punto y dos vectores directores
L.I.. Ambos casos son el mismo, pues con tres puntos no alineados se pueden obtener dos
vectores L.I. y cogiendo uno de los tres puntos ya estamos en el segundo caso.
3.1.- Ecuación vectorial
Si tres puntos del plano son P, Q y R, dado otro punto X del plano se cumplirá que:
PRPQPX
A los vectores PQ y PR se les llama vectores directores o vectores de dirección y se
representan por u
y v
:
vuPX
vuPX
vuPX
3.2.- Ecuaciones paramétricas
vuPX
321321321 ,,,,,,,, vvvuuupppzyx
333222111 ,,,, vupvupvupzyx
- 41 -
333
222
111
vupz
vupy
vupx
3.3.- Ecuación implícita o general
Tal y como se ha dicho en el apartado 2.4 la ecuación general de un plano es:
0 DCzByAx
Análogamente a las rectas, los vectores directores de un plano pueden ser dos cualquiera
que cumplan el sistema homogéneo asociado a la ecuación del plano, excepto la solución
trivial. Es decir, dos vectores cualquiera que sean solución de:
0 CzByAx
La ecuación anterior se puede escribir así: 0,,·,, CBAzyx , y esto significa que los
vectores directores del plano deben ser dos vectores L.I. ortogonales al vector CBA ,, , y a
su vez el vector CBA ,, es ortogonal a cualquier vector director del plano, y con ello, es
ortogonal a todo el plano. Este vector (o cualquiera que sea L.D.) se llama vector
asociado al plano y se representa por n
, siendo el plano.
Para hallar un punto del plano se da un valor a dos de sus coordenadas y se resuelve la
ecuación resultante.
Ej:
Pasar a forma general la ecuación del plano 10,8,75,4,03,2,4,, zyx y
tras esto pasar a forma paramétrica a partir de la general y sin tener en cuenta la forma
vectorial.
El vector asociado CBA ,, es ortogonal a los dos vectores directores. Una forma de hallarlo
es realizando el producto vectorial de ambos:
28,35,010,8,75,4,0 x
El plano es de la forma: 02835 Dzy
Un punto del plano es 3,2,4 por lo que: 03·282·35 D 14D
El plano en forma general es: 0142835 zy ó 0245 zy
Los vectores de dirección del plano cumplirán la ecuación: 045 zy
- 42 -
Puesto que en tal ecuación no aparece la x, ésta puede valer cualquier valor y por tanto la
solución trivial sí es válida en este caso:
0
0
z
y, de modo que un vector director es 0,0,1 .
Si tomamos 4y sale 5z , así que otro vector director es 5,4,0 .
Para hallar un punto del plano consideramos 0y : 024 z 2
1z . En cuanto a la x
puede valer cualquier valor. Un punto del plano es
2
1,0,0 .
El plano en forma paramétrica es:
502
1
400
010
z
y
x
52
1
4
z
y
x
4.- Paralelismo
4.1.- Entre dos rectas
Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son L.D., o si el vector director de una de
ellas cumple las ecuaciones de dirección de la otra recta.
4.2.- Entre dos planos
Dos planos son paralelos si sus vectores asociados son L.D., o si los vectores directores de
uno de ellos cumplen la ecuación de dirección del otro plano.
4.3.- Entre una recta y un plano
Una recta es paralela a un plano si su vector director es ortogonal al vector asociado al plano,
o si cumple la ecuación de dirección del plano.
5.- Perpendicularidad
5.1.- Entre dos rectas
Dadas dos rectas, r y s, un punto de cada recta, rP y sP , y sus vectores directores, rv
y sv
, se
puede demostrar que tales rectas son coplanarias (pertenecen al mismo plano) si el
determinante formado por sus vectores directores y el vector sr PP es nulo, es decir, si
0,, srsr vvPP
Dos rectas son perpendiculares si además de que sus vectores directores son ortogonales, las
rectas son coplanarias. (Dos rectas perpendiculares son dos rectas ortogonales que se cortan,
ya que dos rectas pueden ser ortogonales pero no perpendiculares, en tal caso serían dos
rectas ortogonales que se cruzan).
- 43 -
5.2.- Entre dos planos
Dos planos son perpendiculares si sus vectores asociados son ortogonales.
5.3.- Entre una recta y un plano
Una recta es perpendicular a un plano si su vector director es L.D. al vector asociado al
plano.
6.- Posiciones relativas
6.1.- Entre dos rectas
Dos rectas pueden ser coincidentes (ser la misma recta), paralelas, o puede que se corten en
un punto o que se crucen sin tocarse.
Si se resuelve el sistema formado por ambas rectas:
Sistema compatible determinado: Las rectas se cortan en un punto.
Sistema compatible indeterminado: Las rectas son coincidentes.
Sistema incompatible:
o Las rectas tienen la misma dirección: Las rectas son paralelas.
o Las rectas no tienen la misma dirección: Las rectas se cruzan.
Otra forma de encontrar la posición relativa de dos rectas es ver si los vectores directores son
L.D. o L.I.
Si los vectores son L.D. se coge un punto de una recta y se comprueba si cumple o no la
ecuación de la otra recta, siendo en este caso coincidentes o paralelas, respectivamente.
Si son L.I. se averigua si las rectas son coplanarias o no, en cuyo caso se cortan o cruzan,
respectivamente.
6.2.- Entre dos planos
Dos planos pueden ser coincidentes, paralelos o puede que se corten formando una recta.
Si se resuelve el sistema formado por ambos planos:
Sistema compatible indeterminado:
o Uniparamétrico: Los planos se cortan en la recta que es solución del sistema.
o Biparamétrico: Los planos son coincidentes (la solución del sistema es igual a
los dos planos)
Sistema incompatible: Los planos son paralelos.
Otra forma de encontrar la posición relativa de dos planos es ver si los vectores asociados son
L.D. o L.I.
Si los vectores son L.D. se coge un punto de un plano y se comprueba si cumple o no la
ecuación del otro plano, siendo en este caso coincidentes o paralelos, respectivamente.
- 44 -
Si son L.I. los planos se cortan.
6.3.- Entre una recta y un plano
La recta puede cortar al plano en un punto, estar incluida en el plano, o ser paralelo a él.
Si se resuelve el sistema formado por la recta y el plano:
Sistema compatible determinado: La recta corta al plano en un punto.
Sistema compatible indeterminado: La recta está incluida en el plano.
Sistema incompatible: La recta y el plano son paralelos.
Otra forma de encontrar la posición relativa de dos planos es ver si el vector director de la
recta es o no ortogonal al vector asociado al plano.
Si los vectores son ortogonales se coge un punto de la recta y se comprueba si cumple o no la
ecuación de plano, estando en este caso la recta incluida en el plano o paralela a él,
respectivamente.
Si no son ortogonales la recta corta al plano.
7.- Haz de planos
Se llama haz de planos de arista r a todo el conjunto de planos que se cortan en la recta r.
Si la recta tiene por ecuación:
0''''
0
DzCyBxA
DzCyBxAr , la ecuación del haz de planos
de arista r es:
0'''' DzCyBxADCzByAx
Para cada valor de y se obtiene uno de los planos que pasa por la recta r.
- 45 -
Resumen del tema 6
Ecuaciones de la recta
Ecuación vectorial: vPX
Ecuaciones paramétricas:
33
22
11
vpz
vpy
vpx
Ecuación continua: 3
3
2
2
1
1
v
px
v
px
v
px
Ecuación implícita o general:
0''''
0
DzCyBxA
DzCyBxA
El vector director de una recta es cualquiera que cumpla:
0'''
0
zCyBxA
zCyBxA
Ecuaciones del plano
Ecuación vectorial: vuPX
Ecuaciones paramétricas:
333
222
111
vupz
vupy
vupx
Ecuación implícita o general: 0 DCzByAx
Los vectores directores de un plano son dos cualquiera que cumplan:
0 CzByAx
El vector CBA ,, se llama vector asociado al plano.
Paralelismo
Entre dos rectas: Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son L.D.
Entre dos planos: Dos planos son paralelos si sus vectores asociados son L.D.
Entre una recta y un plano: Una recta es paralela a un plano si su vector director es
ortogonal al vector asociado al plano.
- 46 -
Perpendicularidad
Rectas coplanarias: 0,, srsr vvPP
Entre dos rectas: Dos rectas son perpendiculares si además de que sus vectores directores
son ortogonales, las rectas son coplanarias.
Entre dos planos: Dos planos son perpendiculares si sus vectores asociados son ortogonales.
Entre una recta y un plano: Una recta es perpendicular a un plano si su vector director es
L.D. al vector asociado al plano.
Posiciones relativas
Entre dos rectas: se miran los vectores directores:
Si los vectores son L.D. se coge un punto de una recta y se comprueba si cumple o no la
ecuación de la otra recta, siendo en este caso coincidentes o paralelas, respectivamente.
Si son L.I. se averigua si las rectas son coplanarias o no, en cuyo caso se cortan o cruzan,
respectivamente.
Entre dos planos: se miran los vectores asociados:
Si los vectores son L.D. se coge un punto de un plano y se comprueba si cumple o no la
ecuación del otro plano, siendo en este caso coincidentes o paralelos, respectivamente.
Si son L.I. los planos se cortan.
Entre una recta y un plano: se mira el vector director de la recta y el vector asociado al
plano:
Si los vectores son ortogonales se coge un punto de la recta y se comprueba si cumple o no la
ecuación de plano, estando en este caso la recta incluida en el plano o paralela a él,
respectivamente.
Si no son ortogonales la recta corta al plano.
Haz de planos
Si la recta tiene por ecuación:
0''''
0
DzCyBxA
DzCyBxAr , la ecuación del haz de planos
de arista r es:
0'''' DzCyBxADCzByAx
- 47 -
Tema 7.- Geometría métrica
1.- Ángulos
1.1.- Entre dos rectas
Es el ángulo que forman sus vectores directores, es decir:
sr
sr
srvv
vvvvsr
·
·,cos,cos
(El valor absoluto es para que el ángulo hallado sea agudo.)
1.2.- Entre dos planos
Es el ángulo que forman sus vectores asociados, es decir:
nn
nnnn
·
·,cos,cos
1.3.- Entre una recta y un plano
Es el ángulo complementario al ángulo que forman el vector director de la recta y el vector
asociado al plano, es decir, si es el ángulo que forman el vector director de la recta y el
vector asociado al plano y es el ángulo que forman la recta y el plano:
Por ser ángulos complementarios:
nv
nvsen
r
r
·
·cos
nv
nvsen
r
r
·
·
2.-Distancias
2.1.- Entre dos puntos
Simplemente hay que hallar el módulo del vector que une los dos puntos.
2.2.- Entre un punto y una recta
Dado un punto P y una recta r, la distancia del punto a la recta es:
r
r
v
vxPQrPd
, , siendo Q un punto cualquiera de la recta r.
- 48 -
2.3.- Entre un punto y un plano
Dado un punto P y un plano , la distancia del punto al plano es:
n
nPQPd
·
, , siendo Q un punto cualquiera del plano .
Si el plano viene dado en forma general: 0 DCzByAx , la distancia es:
222
321,CBA
DCpBpApPd
, siendo 321 ,, ppp las coordenadas del punto P.
2.4.- Entre dos rectas
Existen dos casos:
Dos rectas paralelas: Se coge un punto de una recta y se halla su distancia a la otra recta.
Dos rectas que se cruzan: sr
srsr
vxv
vvPPsrd
,,
,
2.5.- Entre una recta y un plano paralelo a ella
Simplemente se coge un punto de la recta y se halla su distancia al plano.
2.6.- Entre dos planos paralelos
Simplemente se coge un punto de un plano y se halla su distancia al otro plano.
3.- Proyecciones ortogonales
Es la “sombra” que produciría un punto sobre una recta o plano, o una recta sobre un
plano, si se proyectara luz perpendicular (ortogonal) a la recta o plano.
3.1.- Proyección ortogonal de un punto sobre una recta
Es el punto intersección de la recta con el plano perpendicular a ella que pasa por el punto.
3.2.- Proyección ortogonal de un punto sobre un plano
Es el punto intersección del plano con la recta perpencicular al mismo que pasa por el punto.
3.3.- Proyección ortogonal de una recta sobre un plano
Es la recta intersección del plano con el plano perpendicular al mismo y que contiene a la
recta. (La recta no debe ser perpendicular al plano, de lo contrario su proyección ortogonal
sobre el plano sería la propia intersección de la recta con el plano).
- 49 -
Es sencillo hallar tal proyección si se hallan las proyecciones ortogonales de dos puntos de la
recta sobre el plano.
4.- Punto genérico
Punto genérico de una recta o un plano es un punto dado por sus coordenadas, donde
éstas están dadas en función de un parámetro (rectas) o dos parámetros (planos), y que
representan a todos los puntos de la recta o plano según sea el caso.
Se puede utilizar en muchos casos para resolver problemas sobre ángulos, distancias o
proyecciónes.
Ej: Hallar la proyección ortogonal de 1,2,4 P sobre la recta 0,1,25,1,3,, zyxr
El punto genérico de la recta r será: 5,1,2305,11,23 gP
El punto P’ (proyección del punto P) cumplirá: rvPP
'
Hay que hallar para qué el punto genérico se convierte en P’:
4,1,211,2,45,1,23 PPPP gg
rg vPP
0· rg vPP
0151420,1,2·4,1,21
Esto se cumple si 5
1 , así que:
5,
5
4,
5
175,
5
11,
5
123'P
5.- Medida de áreas y volúmenes
5.1.- Área de un paralelogramo
Como ya hemos visto en el tema 5: bxaÁrea
5.2.- Área de un triángulo
bxaÁrea
2
1
5.3.- Volumen de un paralelepípedo
Como ya hemos visto en el tema 5: cxbaVolumen
·
5.4.- Volumen de un tetraedro
cxbaVolumen
·6
1
- 50 -
Resumen del tema 7
Ángulos
Entre dos rectas: sr
sr
srvv
vvvvsr
·
·,cos,cos
Entre dos planos:
nn
nnnn
·
·,cos,cos
Entre una recta y un plano:
nv
nvsen
r
r
·
·
Distancias
Entre un punto y una recta: r
r
v
vxPQrPd
,
Entre un punto y un plano: 222
321,CBA
DCpBpApPd
Entre dos rectas que se cruzan: sr
srsr
vxv
vvPPsrd
,,
,
Proyecciones ortogonales
Es la “sombra” que produciría un punto sobre una recta o plano, o una recta sobre un
plano, si se proyectara luz perpendicular (ortogonal) a la recta o plano.
Punto genérico
Punto genérico de una recta o un plano es un punto dado por sus coordenadas, donde
éstas están dadas en función de un parámetro (rectas) o dos parámetros (planos), y que
representan a todos los puntos de la recta o plano según sea el caso.
Medida de áreas y volúmenes
Área de un paralelogramo: bxaÁrea
Área de un triángulo: bxaÁrea
2
1
Volumen de un paralelepípedo: cxbaVolumen
·
Volumen de un tetraedro: cxbaVolumen
·6
1
- 51 -
Tema 8.- Funciones. Límites y continuidad
1.- Funciones
Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto D
(subconjunto de los números reales R) en el conjunto R.
xfx
RDf
:
De modo que a cada número real del conjunto D le corresponde un único número real,
llamado imagen, del anterior.
Dada una función xfy , la variable y depende de la variable x, de modo que la y se llama
variable dependiente, y la x es la variable independiente.
Al conjunto D donde está definida la función, se le llama dominio de la función f, y al
conjunto formado por todas las imágenes se le llama rango o recorrido.
DxxfDf ,
xf imagen de x D Dominio de la función Df recorrido de la función
2.- Cálculo del dominio en una función
2.1.- Funciones polinómicas
Son aquellas cuya expresión es un polinomio: xPxf
En este caso, cualquier número real tiene imagen, es decir, la expresión polinómica tiene
valor para cualquier número real, luego el dominio de una función polinómica es:
RxD
2.2.- Funciones racionales
Son aquellas cuya expresión es un cociente de polinomios: xQ
xPxf
El dominio estará formado por aquellos valores que no anulen el denominador:
0/ xQRxD
2.3.- Funciones irracionales
Son aquellas cuya expresión presenta un radical:
n
xQ
xPxf
- 52 -
El dominio estará formado por aquellos valores que no anulen el denominador ni que hagan
negativa la fracción xQ
xP:
00/xQ
xPyxQRxD
Ej: 2
92
x
xxf
0
2
902/
2
x
xyxRxD
092 x 3x
Como debe ser 02
92
x
x y 02 x : ,32,3D
3.-Valor absoluto y entorno de un punto
3.1.- Valor absoluto
Se llama valor absoluto de un número real x, y se representa por x , a:
0
0
xsix
xsixx
Se puede demostrar que:
1.- Si Rxy 0 : x x
2.- Si Rxy 0 : x xóx
- 53 -
Ej: 2
492
x
xxf
09,2
49
09,2
49
22
22
xsix
x
xsix
x
xf
09,2
13
09,2
5
22
22
xsix
x
xsix
x
xf
3,2
5
3,3,2
13
3,2
5
2
2
2
xsix
x
xsix
x
xsix
x
xf
3.2.- Entorno de un punto
Se llama entorno de centro a y radio r, y se representa por aEr o por raE , , al intervalo
abierto de centro a y radio r:
raraaEr ,
Si aEx r rarax , raxra raxr rax
4.- Límite de una función en un punto
Se dice que xf tiende a un límite finito l cuando x tiende a a, y se representa por
lxfax
lim , si se cumple:
llxfaaxsi ,,/00
Es decir: se dice que lxfax
lim si para cualquier entorno de l existe un entorno de a tal
que las imágenes del entorno de a pertenecen al entorno de l.
- 54 -
Si los valores de x se acercan a a únicamente por su derecha, se define el límite de xf
cuando x tiende a a por la derecha a:
lxfax
lim llxfaaxsi ,,/00
Si los valores de x se acercan a a únicamente por su izquierda, se define el límite de xf
cuando x tiende a a por la izquierda a:
lxfax
lim llxfaaxsi ,,/00
Fijémonos que:
lxfax
lim lxfxfaxax
limlim
4.1.- Operaciones con límites finitos
xgxfxgxfaxaxax
limlimlim
xgxfxgxfaxaxax
limlimlim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
lim
limlim si 0lim
xg
ax
Si 0xf , xg
ax
xg
ax
axxfxf
limlimlim
Si n es impar o si n es par y 0xf , nax
n
axxfxf
limlim
Si 0 y 0xf , xfxfaxax
limlogloglim
5.- Cálculo de límites
Si Rk kkax
lim
axax
lim
Si Rk xfkxfkaxax
lim··lim
aPxPax
lim
aQ
aP
xQ
xP
ax
lim
o Si 0
limk
xQ
xP
ax
se calculan los límites laterales para averiguar si tal límite no
existe, o es o .
o Si 0
0lim xQ
xP
ax se simplifica la fracción algebraica
xQ
xP y después se halla
el límite.
- 55 -
Ej: 5
2
10
4
13
13·23
1
12lim
2
2
2
2
3
x
xx
x
Ej: 0
4
93
13·23
9
12lim
2
2
2
2
3
x
xx
x
0
4
93
13·23
9
12lim
0
4
93
13·23
9
12lim
2
2
2
2
3
2
2
2
2
3
x
xx
x
xx
x
x
Como 9
12lim
9
12lim
2
2
32
2
3
x
xx
x
xx
xx no existe
9
12lim
2
2
3
x
xx
x.
Ej: 0
0
93
63·53
9
65lim
2
2
2
2
3
x
xx
x
6
1
3
2lim
3·3
2·3lim
9
65lim
332
2
3
x
x
xx
xx
x
xx
xxx
6.- Límites en el infinito
Cuando una función cumple alguna de estas propiedades se dice que ly es una asíntota
horizontal.
6.1.- Límite de un cociente de polinomios
ordenmismodelsonxgyxfsigradomayordeescoeficientdeCociente
ordenmayordeesxgsi
ordenmayordeesxfsio
xg
xf
x0lim
Ej: 2
5
2
165lim
23
3
xx
xx
x
7.- Infinitos. Comparación de infinitos
Se dice que una función xf es un infinito en ax , y se representa por axf , , si
xfax
lim
- 56 -
Se puede demostrar que:
1.- El producto de un infinito por una función acotada es un infinito.
Ej:
tadaacofunción
xsen
xxsen
x xxx·
1lim·
1lim
1·
1lim
000
2.- Dados dos infinitos: axf , y axg , se dice que:
xf es un infinito de mayor orden que xg
xg
xf
axlim
xf es un infinito del mismo orden que xg
0lim
lxg
xf
ax
xf es un infinito equivalente a xg
1lim xg
xf
ax
xf es un infinito de menor orden que xg
0lim xg
xf
ax
Si no existe xg
xf
axlim se dice que tales infinitos no son comparables.
Cuando x :
orden de los logaritmos < orden de las potencias (incluídas las raíces) < orden de las
funciones exponenciales
Ej: orden xln < orden 2/1xx < orden 2x < orden
5x < orden x2 < orden x3
7.1.- Propiedades de los infinitos equivalentes
1.- La suma de dos infinitos de distinto orden es equivalente al de mayor orden.
Ej: ,3,123 55 xxx
2.- Cuando se calculan límites se puede sustituir un infinito por otro equivalente.
Ej: 0111
limlimlim,lim22
2
2
2
eee
e
e
xe
e
xexxx
x
xx
x
xx
x
x
8.- Infinitésimos
Se dice que una función xf es un infinitésimo en ax , y se representa por axf , , si
0lim
xfax
Se puede demostrar que:
- 57 -
1.- El producto de un infinitésimo por una función acotada es un infinitésimo.
Ej: 0·01
lim·lim1
·lim000
tadaacofunción
xsenx
xsenx
xxx
2.- Dados dos infinitésimos: axf , y axg , se dice que son equivalentes
1lim xg
xf
ax
Algunos infinitésimos equivalentes son:
0,0, kxkxsen
0,0, kxkxtg
0,0, kxkxarcsen
0,0, kxkxarctg
0,·ln0,1 axa x
0,0,1 xex
En un polinomio que sea infinitésimo, el infinitésimo equivalente es su monomio de menor
grado.
Ej:
,0
05·3lim
230
xx
xsenxsen
x
1515lim
15lim
2
5·3lim
5·3lim
02
2
06420230
xxxx x
x
xxx
xx
xx
xsenxsen
9.- Indeterminaciones
Las indeterminaciones son estas expresiones: , 1 , 00 , 0 , ·0 ,
,
0
0
9.1.- Indeterminación del tipo
Se resuelve realizando previamente la resta de expresiones que llevan a tal indeterminación.
Ej: ,1
1
4lim
2
2
3
x
x
x
x
x
014
lim14
lim1
1
4lim
33
4
3
42
2
3
xx
x
xx
x
xx
xx
x
x
x
x
xxx
En este caso también se podría resolver así:
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxxxxxlimlimlimlim
1lim
1
4lim
1
1
4lim
2
2
32
2
32
2
3
00limlim xx
xx
- 58 -
9.2.- Indeterminación del tipo 1
Desaparece aplicando la fórmula: 1·lim
lim
xfxgxg
ax
axexf
9.3.- Indeterminación del tipo 00
Desaparece aplicando la fórmula: xfxgxg
ax
axexf·lnlim
lim
9.4.- Indeterminaciones del tipo ·0 ,
, 0
0
Se resuelven utilizando la regla de L’Hôpital, que se explicará en un tema posterior.
10.- Continuidad
Las funciones continuas son aquellas cuya gráfica no se corta en ningún punto.
Si una función es continua se cumple que afxfax
lim .
Si aparece la indeterminación 0
0 habiendo radicales, se multiplica numerador y denominador
por el conjugado de la expresión que contiene el radical:
Ej: 0
0
0·2
240
2
24lim
0
x
x
x
24·2lim
24·2
44lim
24·2
24·24lim
2
24lim
0000
xx
x
xx
x
xx
xx
x
x
xxxx
8
1
42·2
1
440·2
1
44·2
1lim
24·2
1lim
00
xx xx
10.1.- Discontinuidad en un punto
Para que una función sea continua en ax se han de cumplir 3 condiciones:
1ª.- Debe existir af
2ª.- Debe existir xfax
lim
3ª.- Debe ser afxfax
lim
Sólo con que una de estas condiciones no se cumpla la función es discontinua en ax .
Si se cumplen las dos primeras condiciones y no se cumple
la tercera, tenemos una discontinuidad evitable.
- 59 -
Si se cumple la segunda condición y no la primera,
también tenemos una discontinuidad evitable.
Si se cumple la primera condición y no la segunda (porque los límites laterales no coinciden),
tenemos una discontinuidad de salto finito:
12 llSalto
Si alguno de los límites laterales (o los dos) tiende a o a se dice que la función es
discontinua de salto infinito:
Para hallar la continuidad de una función a intervalos hay que estudiar la continuidad
en cada intervalo, y después hay que estudiar la continuidad en los puntos conflictivos
(que son los puntos entre intervalos).
Ej: Hallar la continuidad de 1
12
x
xxf
Si resolvemos el valor absoluto la función queda así:
Si 1x , 1 xxf , por tanto es continua por ser una recta.
Si 1,1x , xxf 1 , es continua por ser una recta.
Si 1x , 1 xxf , por tanto es continua por ser una recta.
En el punto 1x : No existe función en tal punto, por ello es discontinua.
1,1
1,1,1
1,1
xsix
xsix
xsix
xf
- 60 -
21limlim
21limlim
11
11
xxf
xxf
xx
xx En el punto 1x hay una discontinuidad de salto 4 22
En el punto 1x : 0111 f
0lim
01limlim
01limlim
1
11
11
xfxxf
xxf
x
xx
xx La función es continua en el punto 1x
10.2.- Operaciones con funciones continuas en un punto
Si xf y xg son continuas en ax la función suma xgxf es continua
en ax .
Si xf y xg son continuas en ax la función producto xgxf · es
continua en ax .
Si xf y xg son continuas en ax y 0ag la función cociente xg
xf es
continua en ax .
Si xf es continua en ax y xg es continua en af la función compuesta
xfg es continua en ax .
11.- Teorema de Bolzano
Si xf es continua en un intervalo cerrado y en sus extremos toma valores de distinto signo,
entonces corta al eje X en ese intervalo. Es decir:
Si xf es continua en ba, y 0· bfaf , entonces 0/, cfbac
Como consecuencia de este teorema:
Si xf es continua en ba, , entonces toma todos los valores intermedios entre af y
bf .
12.- Teorema de Weiertrass
Si xf es continua en ba, , entonces tiene un máximo y un mínimo absolutos en ese
intervalo.
- 61 -
Resumen del tema 8
Cálculo del dominio en una función
Funciones polinómicas: RxD
Funciones racionales:
n
xQ
xPxf 0/ xQRxD
Funciones irracionales:
n
xQ
xPxf
00/xQ
xPyxQRxD
Límite de una función en un punto
lxfax
lim lxfxfaxax
limlim
Operaciones con límites finitos
xgxfxgxfaxaxax
limlimlim
xgxfxgxfaxaxax
limlimlim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
lim
limlim si 0lim
xg
ax
Si 0xf , xg
ax
xg
ax
axxfxf
limlimlim
Si n es impar o si n es par y 0xf , nax
n
axxfxf
limlim
Si 0 y 0xf , xfxfaxax
limlogloglim
Cálculo de límites
afxfax
lim
Límite de un cociente de polinomios cuando x
ordenmismodelsonxgyxfsigradomayordeescoeficientdeCociente
ordenmayordeesxgsi
ordenmayordeesxfsio
xg
xf
x0lim
Infinitos. Comparación de infinitos
Cuando x :
orden de los logaritmos < orden de las potencias (incluídas las raíces) < orden de las
funciones exponenciales
- 62 -
Propiedades de los infinitos equivalentes
1.- La suma de dos infinitos de distinto orden es equivalente al de mayor orden.
2.- Cuando se calculan límites se puede sustituir un infinito por otro equivalente.
Infinitésimos
0,0, kxkxsen
0,0, kxkxtg
0,0, kxkxarcsen
0,0, kxkxarctg
0,·ln0,1 axa x
0,0,1 xex
En un polinomio que sea infinitésimo, el infinitésimo equivalente es su monomio de menor
grado.
Indeterminaciones
Indeterminación del tipo : Se resuelve realizando previamente la resta de expresiones
que llevan a tal indeterminación.
Indeterminación del tipo 1 : 1·lim
lim
xfxgxg
ax
axexf
Indeterminación del tipo 00 : xfxgxg
ax
axexf·lnlim
lim
Continuidad
Discontinuidad en un punto
Para que una función sea continua en ax se han de cumplir 3 condiciones:
1ª.- Debe existir af
2ª.- Debe existir xfax
lim
3ª.- Debe ser afxfax
lim
Teorema de Bolzano
Si xf es continua en ba, y 0· bfaf , entonces 0/, cfbac
Teorema de Weiertrass
Si xf es continua en ba, , entonces tiene un máximo y un mínimo absolutos en ese
intervalo.
- 63 -
Tema 9.- Derivadas
1.- Tasa de variación media
Dada una función xfy se llama
incremento de f en 0x a:
000xfhxff h
x
y es lo que varía la función cuando la
x pasa de 0x a hx 0 .
Al incremento de la variable se le llama h ó x .
Se llama tasa de variación media a:
h
xfhxf
x
fMVT
h
x 000...
y es la variación relativa de la función con relación a la variable en el intervalo cerrado
hxx 00 , .
Ej: Tasa de variación media de xxxf 2 en el intervalo 7,5
112
22
2
2042
57
577,5...
ffMVT
2.- Derivada de una función en un punto
Si tomamos intervalos hxx 00 , con valores de h cada vez más pequeños la tasa de
variación media se convierte en la tasa de variación instantánea:
h
xfhxfMVTIVT
hh
00
00lim...lim...
A la tasa de variación instantánea se le llama derivada de xf en 0x y se representa por
0' xf :
h
xfhxfxf
h
00
00 lim'
En el gráfico anterior vemos que tgMVT ... , así que, puesto que cuando menor es h el
ángulo se acerca :
- 64 -
tgtgMVTIVThh
00
lim...lim... tgxf 0'
Por tanto, como la tangente del ángulo que forman la recta tangente a la función en el punto
0x y el eje X es la pendiente de tal recta:
La derivada de una función en un punto 0x es la pendiente de la recta tangente a tal
función por tal punto:
tmxf 0'
Ej: Derivada de xxxf 25 2 en 3x
h
hh
h
fhff
hh
3·23·53·23·5lim
33lim3'
22
00
h
hh
h
hhh
h
hhh
hhh
285lim
6452630545lim
6452669·5lim
2
0
2
0
2
0
28285lim0
hh
3.- Derivadas laterales
Se llama derivada por la izquierda de f en 0x a:
h
xfhxfxf
h
00
00 lim'
Se llama derivada por la derecha de f en 0x a:
h
xfhxfxf
h
00
00 lim'
Si 00 '' xfxf entonces no existe derivada en 0x y se dice que 0x es un punto
anguloso. Los puntos angulosos gráficamente son puntas en las gráficas de la función.
- 65 -
Si 00 '' xfxf entonces existe derivada en 0x 000 ''' xfxfxf y se dice que la
función xf es derivable en 0x .
4.- Función derivada
Se dice que una función xf es derivable en un intervalo ba, (cuando se habla de
derivabilidad los intervalos son siempre abiertos) xf tiene derivada en todos los
puntos del intervalo.
Se llama función derivada de xf , y se representa por xf ' , a la función que a cada
valor bax , le asocia la derivada en ese punto.
La función derivada se halla así:
h
xfhxfxf
h
0lim'
Ej: Hallar la función derivada de xxxf 25 2 y hallar su derivada en 3x
h
xxhxxhhx
h
xxhxhxxf
hh
25222·5lim
25·2·5lim'
222
0
22
0
h
xhh
h
hxhh
h
xhxhhx
hhh
2105·lim
2105lim
521055lim
0
2
0
222
0
2102105lim0
xxhh
210' xxf
La derivada en 3x será:
2823·103' f , que es el mismo valor hallado en un ejemplo anterior.
Las derivadas laterales pueden hallarse a partir de la función derivada:
xfxfxx
'lim'0
0
xfxfxx
'lim'0
0
5.- Derivadas sucesivas
A la derivada de la función derivada se le llama segunda derivada, y se representa por xf '' .
A la derivada de la segunda derivada se le llama tercera derivada, y se representa por xf ''' .
Y así sucesivamente.
- 66 -
6.- Tabla de derivadas
Suma xgxfxgxfD ''
Producto por un número xfkxfkD '··
Producto xgxfxgxfxgxfD '··'·
Cociente
2'··'
xg
xgxfxgxf
xg
xfD
Regla de la cadena xgxgfxgfD '·'
Mediante la regla de la cadena se hallan las derivadas de funciones compuestas:
Potencia
xfxfnxfDnn
'··1
xfxfn
mxfD
n mn
n m'·
·
, siendo mn
Trigonométricas
xfxfxfsenD '·cos
xfxfsenxfD '·cos
xfxftgxftgD '·1 2 ó
xfxf
xftgD '·cos
12
Funciones arco
xfxf
xfarcsenD '·1
1
2
xfxf
xfD '·1
1arccos
2
xfxf
xfarctgD '·1
12
Exponenciales
xfeeD xfxf '· xfaaaD xfxf '··ln
Logarítmicas
xfxf
xfD '·1
ln
xfaxf
xfD a '·ln
1·
1log
7.- Derivabilidad
Se dice que una función xf es derivable en ax si existe y es finito af ' .
Si xf es derivable en ax xf es continua en ax
Si xf no es derivable en ax xf puede o no ser continua en ax
Si xf es continua en ax xf puede o no ser derivable en ax
Si xf no es continua en ax xf no es derivable en ax
- 67 -
En resumen, la derivabilidad sólo puede darse si hay continuidad, aunque existen puntos
donde la función es continua pero no derivable (puntos angulosos).
Ej: Estudiar la derivabilidad de
28
2,12
1,02
3 xsix
xsix
xsixsen
xf
Primero hay que estudiar la continuidad de la función, ya que de haber discontinuidades en
algunos puntos, la función no sería derivable en tales puntos.
Si hacemos el estudio comprovamos que la función es continua en todo su dominio.
En segundo lugar hallamos la función derivada (sin olvidar que los intervalos deben ser
siempre abiertos):
23
2,11
1,02
·cos2
'
2 xsix
xsi
xsix
xf
Y ahora se estudia la derivabilidad de los puntos conflictivos:
11lim'lim1'
02
·cos2
lim'lim1'
11
11
xx
xx
xff
xxff
Como 1'1' ff , xf no es derivable
en 1x
123lim'lim2'
11lim'lim2'
2
22
22
xxff
xff
xx
xx Como 2'2' ff , xf no es derivable
en 2x
Es decir, que la función presenta dos puntos angulosos: uno en 1x y otro en 2x
8.- Diferencial de una función en un punto
Se dice que xf es diferenciable en un punto 0x
hhhxfxfhxfxx ··'/, 00000
Se llama diferencial de xf en el punto 0x , y se representa por h
xdf0, a: hxfdf h
x ·' 00
De modo que:
- 68 -
xf es diferenciable en un punto 0x
hhdfxfhxfxx h
x ·/,00000
8.1.- Importancia de la diferencial
hhdfxfhxf h
x ·000 hhdfxfhxf h
x ·000
hhdff h
x
h
x ·00
Cuando 0h se podrá sustituir el incremento de la función por la diferencial de la función:
h
x
h
x dff00
Ej: Calcular aproximadamente 1'1
h
x
h
x dff00
hxfxfhxf ·' 000 hxfxfhxf ·' 000
1'10 hx ;
10 x (valor más próximo a 1'1 del cual conocemos su raíz cuadrada);
1'0h
xxf 1110 fxf
x
xf·2
1'
2
1
1·2
11'' 0 fxf
hxfxfhxf ·' 000 1'0·2
111'1 05'11'1
- 69 -
Resumen del tema 9
Tasa de variación media
Incremento de f en 0x : 000xfhxff h
x
Incremento de la variable: h ó x .
Tasa de variación media:
h
xfhxf
x
fMVT
h
x 000...
Derivada de una función en un punto
Tasa de variación instantánea:
0
00
00'lim...lim... xf
h
xfhxfMVTIVT
hh
La derivada de una función en un punto 0x es la pendiente de la recta tangente a tal
función por tal punto:
tmxf 0'
Derivadas laterales
Derivada por la izquierda de f en 0x : h
xfhxfxf
h
00
00 lim'
Derivada por la derecha de f en 0x : h
xfhxfxf
h
00
00 lim'
Si 00 '' xfxf , 0x es un punto anguloso.
Si 00 '' xfxf , 000 ''' xfxfxf
Función derivada
h
xfhxfxf
h
0lim'
xfxfxx
'lim'0
0
xfxfxx
'lim'0
0
Suma xgxfxgxfD ''
Producto por un número xfkxfkD '··
Producto xgxfxgxfxgxfD '··'·
Cociente
2'··'
xg
xgxfxgxf
xg
xfD
Regla de la cadena xgxgfxgfD '·'
- 70 -
Potencia xfxfnxfDnn
'··1
Trigonométricas
xfxfxfsenD '·cos
xfxfsenxfD '·cos
xfxftgxftgD '·1 2 ó
xfxf
xftgD '·cos
12
Funciones arco
xfxf
xfarcsenD '·1
1
2
xfxf
xfD '·1
1arccos
2
xfxf
xfarctgD '·1
12
Exponenciales xfaaaD xfxf '··ln
Logarítmicas
xfaxf
xfD a '·ln
1·
1log
Derivabilidad
Se dice que una función xf es derivable en ax si existe y es finito af ' .
La derivabilidad sólo puede darse si hay continuidad, aunque existen puntos donde la función
es continua pero no derivable (puntos angulosos).
Diferencial de una función en un punto
hxfdf h
x ·' 00
hhdff h
x
h
x ·00 Cuando 0h : h
x
h
x dff00
En problemas:
1º.- hx 0 es el valor que se quiere aproximar
0x es el valor más próximo a hx 0 del cual conocemos el valor de la función
00 xhxh
2º.- Se escribe la función que se quiere aproximar y su derivada. Y se halla tanto el valor
de la función en el punto 0x ( 0xf ) como el valor de su derivada en ese mismo
punto ( 0' xf ).
3º.- Se halla el valor aproximado mediante: hxfxfhxf ·' 000
- 71 -
Tema 10.- Aplicaciones de la derivada
1.- Ecuación de la recta tangente a una curva por un punto de ella
Dada la cuarva xfy , vamos a buscar la ecuación de la recta tangente por un punto de
abscisa 0x .
Por tratarse de una recta su ecuación será de la forma axmby · , siendo ba, las
coordenadas de un punto de la recta. La pendiente de tal recta es, por definición, la derivada
de xf en 0xx , es decir, que la pendiente es 0' xfm . Un punto de la recta es el punto
de tangencia, que tiene de coordenadas 00 , xfx .
Por tanto, la ecuación de la recta tangente a una curva xfy en el punto de abscisa 0x es:
000 ·' xxxfxfy
Ej: Ecuación de la recta tangente a xxxf 25 2 en el punto de abscisa 3.
30 x ; 393·23·53 2
0 fxf ; 210' xxf ; 2823·103'' 0 fxf
3·2839 xy 398428 xy 4528 xy
2.- Información extraída de la primera derivada
2.1.- Crecimiento y decrecimiento
xf es creciente en 0x 00 , xx tal que:
Si 00 , xxx 0xfxf
Si 00 , xxx 0xfxf
xf es decreciente en 0x 00 , xx tal que:
Si 00 , xxx 0xfxf
Si 00 , xxx 0xfxf
Si 0' xf xf es creciente en 0x
Si 0' xf xf es decreciente en 0x
Si 0' xf No se puede decir nada sobre xf
2.2.- Máximo y mínimo de una función
Dada una función xf de dominio D:
- 72 -
0x es un máximo xfxf 0 Dx
0x es un mínimo xfxf 0 Dx
2.3.- Máximos y mínimos relativos de una función
Dada una función xf :
0x es un máximo relativo 00 , xx tal que xfxf 0 00 , xxx
0x es un mínimo relativo 00 , xx tal que xfxf 0 00 , xxx
Si una función tiene un máximo o un mínimo relativo en 0x y 0' xf 0' 0 xf
No obstante puede haber un máximo o mínimo relativo en 0x en un punto donde no haya
derivada, es decir, en un punto anguloso.
Ej: xxf
También puede haber puntos donde la derivada sea nula pero no haya máximo o mínimo
relativo.
Ej: 3xxf en 0x
23' xxf 00' f
2.3.1.- Criterio de la primera derivada
Si 0x es un punto singular ( 0' 0 xf ):
Si 0' xf 00 , xxx y 0' xf 00 , xxx , entonces 0x es un
máximo relativo, es decir, si la derivada pasa de ser positiva a negativa, el punto
intermedio es un máximo relativo.
- 73 -
Si 0' xf 00 , xxx y 0' xf 00 , xxx , entonces 0x es un
mínimo relativo, es decir, si la derivada pasa de ser negativa a positiva, el punto
intermedio es un mínimo relativo.
2.3.2.- Criterio de la segunda derivada
Si 0x es un punto singular ( 0' 0 xf ) y 0'' xf :
Si 0'' 0 xf 0x es un mínimo relativo.
Si 0'' 0 xf 0x es un máximo relativo.
Para hallar los máximos y los mínimos relativos hay que estudiar los puntos donde la
derivada es nula o no existe.
Ej: 3 2 xxxf 3 22·3
12'
xx
xxf
0' xf
0
·3
12
3 22
xx
x 012 x
2
1x
xf ' no existe 0·3 3 22 xx 03 22 xx 022 xx
02 xx 01· xx
1
0x
xf es decreciente
2
1,00,x
xf es creciente
,11,
2
1x
xf tiene un mínimo relativo en 2
1x
3.- Concavidad, convexidad y puntos de inflexión
Se hallan estudiando la segunda derivada. Gráficamente:
- 74 -
Un punto 0x es un punto de inflexión de xf si en él la función es derivable y además pasa
de cóncava a convexa o de convexa a cóncava.
Si 0'' 0 xf xf es cóncava en 0x .
Si 0'' 0 xf xf es convexa en 0x .
Si 0'' 0 xf xf tiene un punto de inflexión en 0x si es derivable en él.
Ej: 3 2 xxxf 3 22·3
12'
xx
xxf
2
3 22
3
123 22
·3
12·3
2·3·12·3·2
''
xx
xxxxxx
xf
2
3 22
3 2
22
2
3 22
3 2
2
3 2
2
2
3 22
3 2
2
3 22
·3
12·2·6
·3
12·2·6
·3
12·2·3·2
xx
xx
xxx
xx
xx
x
xx
xx
xx
xx
xxx
3 52
2
3 52
2
3 23 42
22
3 2
2
3 22
22
·9
1·2
·9
222
··9
82866
··3
414·266
xx
xx
xx
xx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
0'' xf
0
·9
1·2
3 52
2
xx
xx 01·2 2 xx 012 xx No hay solución.
xf ' no existe 0·9 3 52 xx 03 52 xx 02 xx
1
0x
- 75 -
xf es cóncava ,10,x
xf es convexa 1,0x
Aunque 0x y 1x son puntos donde la función cambia de curvatura, puesto que en ellos
no se cumple que 0'' 0 xf , no son puntos de inflexión.
4.- Teorema de Rolle
Si xf es una función continua en ba, y derivable en ba, tal que bfaf :
0'/, cfbac
En otras palabras: si xf es una función continua en ba, y derivable en ba, tal que
bfaf , entonces tendrá al menos un mínimo relativo o un máximo relativo.
Ej: Demostrar que en al menos un punto 0' xf en la función 24 xxxf
Hay que buscar dos puntos cuya imagen sea la misma, por ejemplo, 0x y 4x :
000·40 2 f
0161644·44 2 f
Puesto que xf es continua en 4,0 por ser una función polinómica, es derivable en 4,0 y
40 ff : 0'/4,0 cfc
5.- Teorema del valor medio
Si xf es una función continua en ba, y derivable en ba, :
ab
afbfcfbac
'/,
Se puede considerar que el teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor
medio.
Gráficamente significa que existe un punto en
el que la recta tangente a la función por él es
paralela a la recta AB .
Ej: Hallar el punto de 3xxxf que cumple el teorema del valor medio en el intervalo
1,2 :
- 76 -
xf es continua en 1,2 por ser una función polinómica y derivable en 1,2 :
231' xxf . Por tanto,
21
21'/1,2
ffcfc 2
3
6031 2
c
233 c 12 c 11 c
1,21
1,21 1c
6.- Regla de L’Hôpital
Si xg
xf
axlim da lugar a una indeterminación del tipo
0
0 o
se halla
xg
xf
ax '
'lim
.
Ej:
33
33lim
x
x
x;
2233
3·ln3
3
3·ln3lim
3lim
xx
x
x
x
x;
·6
3ln·3
6
3ln·3lim
3
3·ln3lim
22
2 xx
x
x
x
x;
66
3ln·3
6
3ln·3lim
6
3ln·3lim
332 x
x
x
x x
3
3lim
x
x
x
Si xgxfax
·lim
da lugar a una indeterminación del tipo ·0 se halla
xg
xf
ax 1lim
y
aparecerá una indeterminación del tipo 0
0 o
, que se resuelve mediante L’Hôpital.
Ej:
·0·11·21·21·21lim 0
11
xx
x
0
0
0
11
0
21
1
21
1
21
lim·21lim0
11
1
x
x
x
x
x
x
2ln2·ln22·ln22·ln2lim1
1·2·ln2
lim1
21
lim 0
11
2
2
11
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2ln·21lim
1
xx
x
- 77 -
7.- Optimización
La optimización consiste maximizar o minimizar una función.
En los problemas de optimización se procede del siguiente modo:
1.- Indentificar la función a maximizar o a minimizar (En la mayoría de los casos la función
tendrá más de 1 variable).
2.- Hallar las relaciones entre las variables de modo que todas dependan de 1 única variable.
3.- Calcular la derivada de la función resultante.
4.- Hallar los puntos de discontinuidad de la función, los puntos donde la derivada sea 0, los
puntos donde no exista derivada y los extremos del intervalo que forma el dominio de la
función.
5.- Hallar las imágenes de todos esos puntos para saber cuál de ellos da la imagen máxima o
mínima según sea el caso.
Ej: La base de un triángulo isósceles es 12 cm y la altura 5 cm. Hallar un punto sobre dicha
altura de modo que la suma de sus distancias a los tres vértices sea mínima.
1.- La función a minimizar es: yxyxf 2,
2.- La relación de las variables es: 222 56 xy xxy 102536 22
61102 xxy 6110·2 2 xxxxf
3.- 6110
1026110
6110
1021
6110·2
102·21'
2
2
22
xx
xxx
xx
x
xx
xxf
4.- a) No hay discontinuidad en ningún punto.
b) 0' xf 06110
1026110
2
2
xx
xxx 010261102 xxx
xxx 21061102 xxxx 4041006110 22 039303 2 xx
125x
c) xf ' no existe 061102 xx 061102 xx xf ' siempre existe
d) El dominio es 5,0 , ya que son todos los valores que puede tomar x.
5.- 61125·10125·21251252
f
12·412548·21256112·105012·101225·2125
39'1512·35
- 78 -
125f no se calcula porque 125 no pertenece al dominio de la función
62'1561·2610·100·200 2 f
171256·2536·25615025·25615·105·255 2 f
Puesto que el valor mínimo se alcanza con 125 , significa que el punto buscado se
encuentra a una distancia de 125 u.d.l. del vértice superior del triángulo.
En optimización el único paso difícil es el 2, que en la inmensa mayoría de los casos se
resuelve utilizando el teorema de Pitágoras.
8.- Representación de funciones
8.1.- Cálculo de asíntotas
8.1.1.- Asíntotas horizontales
La recta ky es una asíntota horizontal kxfx
lim ó kxfx
lim
Si se cumplen ambos límites entonces la recta ky es una asíntota horizontal durante toda
la función. Si sólo se cumple el primero entonces la recta ky es una asíntota horizontal
cuando x . Si sólo se cumple el segundo entonces la recta ky es una asíntota
horizontal cuando x .
8.1.2.- Asíntotas verticales
La recta kx es una asíntota vertical
xfkx
lim
8.1.3.- Asíntotas oblicuas
La recta nmxy es una asíntota oblicua 0lim
nmxxfx
x
xfm
x lim ó
x
xfm
x lim mxxfn
x
lim ó mxxfn
x
lim
Si se cumplen ambos límites entonces la recta nmxy es una asíntota oblicua durante
toda la función. Si sólo se cumple el primero entonces la recta nmxy es una asíntota
oblicua cuando x . Si sólo se cumple el segundo entonces la recta nmxy es una
asíntota oblicua cuando x .
Si cuando x la función tiene una asíntota horizontal, no puede tener una asíntota
oblicua, y viceversa, si tiene una asíntota oblicua no puede tener una asíntota horizontal.
Lo mismo ocurre cuando x .
No obstante puede ser que una función tenga, por ejemplo, una asíntota oblicua cuando
x y una asíntota horizontal cuando x .
- 79 -
8.2.- Pasos para representar funciones
8.2.1.- Estudiando la función xf :
1.- Hallar el dominio.
2.- Simetrías:
Par: si xfxf (significa que la gráfica es simétrica respecto al eje Y)
Impar: si xfxf (significa que la gráfica es simétrica respecto al origen de
coordenadas)
3.- Corte a los ejes y signo de la función.
4.- Asíntotas.
8.2.2.- Estudiando su derivada xf ' :
5.- Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos.
8.2.3.- Estudiando su derivada segunda xf '' :
6.- Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
Ej: 4
32
2
x
xxf
1.- 04/ 2 xRxD 042 x 2x 2,2 RD
2.-
xf
x
x
x
xxf
4
3
4
32
2
2
2
Simetría par
3.- Corte al eje X 0y : 04
32
2
x
x 032 x No corta al eje X
Corte al eje Y 0x : 4
3
40
302
2
xf Corta al eje Y en el punto
4
3,0
0xf ,22,x
0xf 2,2x
Tras esto podemos deducir lo siguiente:
- 80 -
4.-
14
3limlim
14
3limlim
2
2
2
2
x
xxf
x
xxf
xx
xx
1y es una asíntota horizontal
0
7
42
32limlim
0
7
42
32limlim
2
2
22
2
2
22
xx
xx
xf
xf
2x es una asíntota vertical
0
7
42
32limlim
0
7
42
32limlim
2
2
22
2
2
22
xx
xx
xf
xf
2x es una asíntota vertical
0
4
3lim
4·
3lim
3
2
2
2
xx
x
xx
xm
xx No hay asíntota oblicua cuando x
0
4
3lim
4·
3lim
3
2
2
2
xx
x
xx
xm
xx No hay asíntota oblicua cuando x
5.-
2222
22
4
14
4
2·34·2'
x
x
x
xxxxxf
0' xf
04
1422
x
x 014 x 0x
xf ' no existe 0422 x 042 x 2x
xf es creciente 0,22, x
xf es decreciente ,22,0x
- 81 -
En 0x hay un máximo relativo.
6.-
32
2
42
222
4
2·2·144·14
4
2·4·2·144·14''
x
xxx
x
xxxxxf
32
2
32
22
4
43·14
4
4·144·14
x
x
x
xx
0'' xf
04
43·1432
2
x
x 043·14 2 x 043 2 x xf '' nunca es 0
xf '' no existe 0432 x 042 x 2x
xf es convexa ,22,x
xf es cóncava 2,2x
No hay puntos de inflexión.
El estudio de la concavidad y convexidad no nos ha aportado nada nuevo, pero queda
demostrado que no hay ninguna contradicción. Además se cumple la simetría par.
- 82 -
Resumen del tema 10
Ecuación de la recta tangente a una curva por un punto de ella
000 ·' xxxfxfy
Crecimiento y decrecimiento
Si 0' xf xf es creciente en 0x
Si 0' xf xf es decreciente en 0x
Si 0' xf No se puede decir nada sobre xf
Máximos y mínimos relativos de una función
Si una función tiene un máximo o un mínimo relativo en 0x y 0' xf 0' 0 xf
Criterio de la primera derivada
Si la derivada pasa de ser positiva a negativa, el punto intermedio es un máximo
relativo.
Si la derivada pasa de ser negativa a positiva, el punto intermedio es un mínimo
relativo.
Criterio de la segunda derivada
Si 0'' 0 xf 0x es un mínimo relativo.
Si 0'' 0 xf 0x es un máximo relativo.
Para hallar los máximos y los mínimos relativos hay que estudiar los puntos donde la
derivada es nula o no existe.
Concavidad, convexidad y puntos de inflexión
Un punto 0x es un punto de inflexión de xf si en él la función es derivable y además pasa
de cóncava a convexa o de convexa a cóncava.
Si 0'' 0 xf xf es cóncava en 0x .
Si 0'' 0 xf xf es convexa en 0x .
Si 0'' 0 xf xf tiene un punto de inflexión en 0x si es derivable en él.
Teorema de Rolle
Si xf es una función continua en ba, y derivable en ba, tal que bfaf :
0'/, cfbac
- 83 -
Teorema del valor medio
Si xf es una función continua en ba, y derivable en ba, :
ab
afbfcfbac
'/,
Regla de L’Hôpital
Si xg
xf
axlim da lugar a una indeterminación del tipo
0
0 o
se halla
xg
xf
ax '
'lim
.
Si xgxfax
·lim
da lugar a una indeterminación del tipo ·0 se halla
xg
xf
ax 1lim
y
aparecerá una indeterminación del tipo 0
0 o
, que se resuelve mediante L’Hôpital.
Optimización
1.- Indentificar la función a maximizar o a minimizar (En la mayoría de los casos la función
tendrá más de 1 variable).
2.- Hallar las relaciones entre las variables de modo que todas dependan de 1 única variable.
3.- Calcular la derivada de la función resultante.
4.- Hallar los puntos de discontinuidad de la función, los puntos donde la derivada sea 0, los
puntos donde no exista derivada y los extremos del intervalo que forma el dominio de la
función.
5.- Hallar las imágenes de todos esos puntos para saber cuál de ellos da la imagen máxima o
mínima según sea el caso.
El paso 2 en la inmensa mayoría de los casos se resuelve utilizando el teorema de Pitágoras.
Representación de funciones
Cálculo de asíntotas
Asíntotas horizontales
La recta ky es una asíntota horizontal kxfx
lim ó kxfx
lim
Asíntotas verticales
La recta kx es una asíntota vertical
xfkx
lim
Asíntotas oblicuas
La recta nmxy es una asíntota oblicua 0lim
nmxxfx
- 84 -
x
xfm
x lim ó
x
xfm
x lim mxxfn
x
lim ó mxxfn
x
lim
Pasos para representar funciones
Estudiando la función xf :
1.- Hallar el dominio.
2.- Simetrías:
Par: si xfxf (significa que la gráfica es simétrica respecto al eje Y)
Impar: si xfxf (significa que la gráfica es simétrica respecto al origen de
coordenadas)
3.- Corte a los ejes y signo de la función.
4.- Asíntotas.
Estudiando su derivada xf ' :
5.- Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos.
Estudiando su derivada segunda xf '' :
6.- Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
- 85 -
Tema 11.- Cálculo de primitivas
1.- Definición
Se dice que xF es una primitiva de xf xfxF ' . Esto se representa así:
xFdxxf ·
Si xF es una primitiva de xf , kxF también lo es, ya que:
xfxFxFkxF '0''
De modo toda función xf tiene infinitas primitivas, y todas ellas se diferencian en una
constante.
Al conjunto de las infinitas primitivas de una función se le llama integral indefinida de
dicha función, y se representa por:
kxFdxxf ·
Ej: kxdxx 32 ·3
2.- Propiedades de las integrales indefinidas
dxxgdxxfdxxgxf ···
Ej: kxxdxxdxxdxxx 2322 ·2·3·23
dxxfkdxxfk ····
Ej: kxdxxdxx 322 5·3·5·15
3.- Integrales inmediatas
Potencia
kn
xfdxxfxf
nn
1·'·
1
Trigonométricas
kxfdxxfxfsen cos·'·
kxfsendxxfxf ·'·cos
kxftgdxxf
xfdxxfxftg ·
cos
'·'·1
2
2
- 86 -
Funciones arco
kxfarcsendx
xf
xf
·
1
'
2
kxfdx
xf
xf
arccos·
1
'
2
kxfarctgdx
xf
xf
·
1
'2
Exponenciales
kedxxfe xfxf ·'·
kadxxfaa xfxf ·'··ln
Logarítmicas
kxfdxxf
xf ln·
'
kxfdxxf
xf
aa log·
'·
ln
1
Ej: dxxx ··1 253 Puesto que la derivada del polinomio del paréntesis es 23x , y
tenemos 2x hay que “añadir” un 3 dxxxdxxx ·3·1·3
1··1·3·
3
1 253253
k
xx
18
1
6
1·
3
16363
Ej: kxxdxxsenxdxxsenx 666565 ·cos
6
1cos·
6
1··6·
6
1··
Ej:
kxtgsendxx
xtgdxx
xtg ·
cos
1·cos·
cos
cos
22
Ej: kxtgdxx
xdx
x
xdx
xx ·2·
cos
2
1
·2·cos
1
··cos
1222
Ej: kxdxx
x
2
4arccos·
1
2 ó kxarcsendx
x
x
2
4·
1
2
Ej:
kxarctgdxx
xdx
x
xdx
x
x
5
25
4
25
4
10
4
·5
1·
1
5·
5
1·
1·
1
Todas las integrales del tipo cbxax
dx2
con discriminante negativo son del tipo
arcotangente (para resolverlo primero multiplicamos y dividimos por 4·a):
Ej: 1153 2 xx
dx
123·4·4
10711·3·45422
a
acb
1107
56·
107
12
10756·12
1326036·12
1153·12·12
2222x
dx
x
dx
xx
dx
xx
dx
- 87 -
kx
arctgdxxx
dx
107
56·
107
2·
107
561
107
6
·6
107·
107
12
107
561
·107
1222
Ej: kedxxedxxe xxx 222
·2
1·2··
2
1··
Ej: kdxx
dxx
xarcsenxarcsenxarcsen
5·5ln
1·
1
1·5·ln5·
5ln
1·
1
5
22
Ej: kxdxx
xdxxx
lnln·ln
1
··ln
1
Ej: kxdxx
x
3
23
2
log·3
·2ln
1 ó k
xdx
x
xdx
x
x 2ln
ln·
3·
2ln
1·
3·
2ln
13
3
2
3
2
,
Ambos resultados son el mismo.
4.- Integración por partes
Dadas dos funciones xu y xv :
'·'·· vuvuvuD
vudxvuD
dxvuvudxvuD
···
·'·'··· dxvuvuvu ·'·'··
dxvudxvuvu '···'·· dxvuvudxvu ·'··'··
Por analogía con h
xdfhxf0
·' 0
dvdxv
dudxu
'·
'·:
dxvuvudxvu ·'··'·· duvvudvu ···
Ej:
dxexexdxexex
evdxedv
dxxduxudxex xxxx
xx
x ···2···2··
·2·· 22
2
2
dxeexexdxeexex
evdxedv
dxduxuxxxxxx
xx··2·2····2·
·
·122
kxxekeexex xxxx 22··2·2· 22
Ej:
dxxsenexsene
xsenvdxxdv
dxedueudxxe xx
xx
x ····cos
···cos
dxxexexsene
xvdxxsendv
dxedueuxxx
xx
··cos·cos·cos·
·
dxxexexsene xxx ··cos·cos·
- 88 -
Nos ha salido otra vez la integral inicial. Si continuamos integrando por partes nunca
llegaríamos a la solución. En este caso se resuelve así:
dxxexexsenedxxe xxxx ··cos·cos···cos xexsenedxxe xxx ·cos···cos·2
kxxsene
kxexsene
dxxexxx
x
cos·22
·cos···cos
Ej:
dxx
xxarctgx
xvdxdv
dxx
duxarctgudxxarctg ·
1·
·1
·1
1
·2
2
kxxarctgxdxx
xxarctgx
2
21·ln
2
1··
1
2·
2
1·
Ej:
dxxxdx
xxxx
xvdxdv
dxx
duxudxx 4·ln·
1·4·ln
·1
·1
4ln·4ln
kxxkxxx 14ln·4·ln
Este método se utiliza fundamentalmente en las siguientes integrales:
dxex axn ·· nxu dxedv ax ·
dxaxsenx n ·· nxu dxaxsendv ·
dxaxx n ··cos nxu dxaxdv ·cos
dxaxx n ··ln axu ln dxxdv n ·
dxbxseneax ·· axeu dxbxsendv ·
dxbxeax ··cos axeu dxbxdv ·cos
dxaxarcsen · axarcsenu dxdv ·1
dxax ·arccos axu arccos dxdv ·1
dxaxarctg · axarctgu dxdv ·1
dxaxgarc ·cot axgarcu cot dxdv ·1
dxax ·ln axu ln dxdv ·1
5.- Integración de funciones racionales. Descomposición en fracciones
simples
Si tenemos una integral del tipo dxxQ
xP, donde el grado de xP es menor que el grado de
xQ , se hallan las raíces de xQ . Pueden aparecer 4 casos: raíces reales simples, raíces
reales múltiples, raíces imaginarias simples, raíces imaginarias múltiples. Éste último caso no
se va a estudiar.
- 89 -
5.1.- Raíces reales simples
Si las raíces de xQ son: a, b, c, d, …, hay que hallar los valores A, B, C, D, …, que
cumplen:
...
dx
D
cx
C
bx
B
ax
A
xQ
xP
Entonces:
dx
dx
D
cx
C
bx
B
ax
Adx
xQ
xP·...
Ej:
dx
xxx
x
2
123
2
0223 xxx 02·1· xxx
2
1
0
x
2·1·
1·2·2·1·
212
123
2
xxx
xCxxBxxxA
x
C
x
B
x
A
xxx
x
1·2·2·1·12 xCxxBxxxAx
Si 0x : 10·0·20·0·20·10·102 CBA A21 2
1A
Si 1x : 11·1·21·1·21·11·112 CBA B32 3
2B
Si 2x : 12·2·22·2·22·12·122
CBA 6
5C
dx
xdx
xdx
xdx
xxxdx
xxx
x·
2
1·
6
5·
1
1·
3
2·
1·
2
1·
2
65
1
32
21
2
123
2
kxxx 2·ln6
51·ln
3
2·ln
2
1
5.2.- Raíces reales múltiples
Si las raíces de xQ son: “a” doble, “b” simple, “c” triple, …, hay que hallar los valores A,
B, C, D, …, que cumplen:
...322
cx
F
cx
E
cx
D
bx
C
ax
B
ax
A
xQ
xP
- 90 -
Entonces:
dx
cx
F
cx
E
cx
D
bx
C
ax
B
ax
Adx
xQ
xP·...
322
Ej:
dx
xxxxx
x
485
22345
2
0485 2345 xxxxx 02·2·1·1·1 xxxxx
doble
triplex
2
1
2322345
2
22111485
2
x
E
x
D
x
C
x
B
x
A
xxxxx
x
23
332222
2·1
1·2·1·2·2·1·2·1·
xx
xExxDxCxxBxxA
3322222 1·2·1·2·2·1·2·1·2 xExxDxCxxBxxAx
Si 1x : 22 21·21 C C·91 9
1C
Si 2x : 3212·22 E E·272
27
2E
Ahora utilizamos valores arbitrarios de x para obtener un sistema de ecuaciones:
Si 0x : 3322221·
27
22·1·2·
9
12·1·2·1·2
DBA
27
22
9
4442 DBA
27
44244 DBA
Si 1x : 27
168
9
1241 DBA
27
40824 DBA
Si 2x : 27
24
9
1616162 DBA
27
10441616 DBA
27
10441616
27
40824
27
44244
DBA
DBA
DBA
27
2
27
8
27
2
D
B
A
- 91 -
dx
xxxxxdx
xxxxx
x2322345
2
2
272
2
272
1
91
1
278
1
272
485
2
dx
xdx
xdx
xdx
xdx
x 2322
1·
27
2
2
1·
27
2
1
1·
9
1
1
1·
27
8
1
1·
27
2
k
xx
xxx
1
2·
27
22·ln
27
2
2
1·
9
1
1
1·
27
81·ln
27
2121
5.3.- Raíces imaginarias simples
Si las raíces de xQ son: a, b, c, …, además de las imaginarias, hay que hallar los valores A,
B, C, D, …, que cumplen:
xS
FEx
cx
C
bx
B
ax
A
xQ
xP
...
siendo xS un polinomio de segundo grado que cumple: xScxbxaxxQ ·...···
Entonces:
dx
xS
FEx
cx
C
bx
B
ax
Adx
xQ
xP·...
Ej: xxx
dx23
023 xxx 01· 2 xxx
ix
2
3
2
1
0
1·
·1·
1
12
2
223
xxx
xCBxxxA
xx
CBx
x
A
xxx
xCBxxxA ·1·1 2
Si 0x : A1
Ahora utilizamos valores arbitrarios de x para obtener un sistema de ecuaciones:
Si 1x : CB 31 2CB
Si 1x : CB11 0CB
0
2
CB
CB 22 B
1
1
C
B
- 92 -
dxxx
xxdx
xx
x
x
dxdx
xx
x
xxxx
dx·
1
22·
2
1ln·
1
1·
1
1122223
dx
xxxxxdx
xxdx
xx
xx ·
1
1·
2
11·ln
2
1ln·
1
1·
1
12·
2
1ln
2
2
22
dx
xxxxx ·
1
1·
2
11·ln
2
1ln
2
2
44
34142
a
acb
dxx
xxxdxxx
xxx ·312
1·21·ln
2
1ln·
444
1·
2
1·41·ln
2
1ln
2
2
2
2
dxx
xxxdxx
xxx ·
3
121
1·
3
21·ln
2
1ln·
3
121
1·
3
21·ln
2
1ln
2
2
2
2
dxx
xxx ·
3
121
32
·2
3·
3
21·ln
2
1ln
2
2
kx
arctgxxx
3
12·
3
31·ln
2
1ln 2
6.- Integración de funciones trigonométricas
6.1.- Integrales de la forma dxxfsen n ·
ó dxxfn ·cos
con n impar
Puesto que n es impar: 12 kn
dxxfsenxfsendxxfsenxfsendxxfsendxxfsen
kkkn ······ 2212
dxxfsenxfk
··cos1 2
dxxfxfdxxfxfdxxfdxxf
kkkn ··coscos··coscos·cos·cos 2212
dxxfxfsenk
··cos1 2
Para acabar de resolver estas integrales se desarrolla el binomio, se utiliza la propiedad
distributiva con el elemento que se encuentra fuera del paréntesis, y se resuelven por
separado las diferentes integrales que aparecen.
Ej: dxxsenxdxxsenxsendxxsendxxsen ··cos1···· 2211·23
kx
xdxxsenxdxxsendxxsenxxsen 3
coscos··cos···cos
322
Ej: dxxxdxxxdxxdxx ··coscos··coscos·cos·cos
222·212·25
dxxxsenxsendxxxsen ··cos·21··cos1 2422
- 93 -
dxxxsendxxxsendxxdxxxsenxxsenx ··cos·2··cos·cos··cos·2·coscos 2424
kxsenxsen
xsen 3
·25
35
6.2.- Integrales de la forma dxxfsen n ·
ó dxxfn ·cos
con n par
Puesto que n es par: kn 2
dx
xfdxxfsendxxfsendxxfsen
kkkn ·
2
·2cos1··· 22
dx
xfdxxfdxxfdxxf
kkkn ·
2
·2cos1·cos·cos·cos 22
Ej:
dxxdx
xdxxsendxxsendxxsen ·2cos1·
8
1·
2
2cos1···
3
3323·26
dxxxx ·2cos2·cos32·cos31·8
1 32
dxxdxxdxxdx ·2cos·8
1·2cos·
8
3·2cos·
8
3·
8
1 32
dxxxdxx
xsenx
·2·cos2cos·8
1·
2
4cos1·
8
32·
16
3
8
2
dxxxsendxxxsenx
·2·cos21·8
1·4cos1·
16
32·
16
3
8
2
dxxxsenxdxxdxxsenx
·2·cos22cos·8
1·4cos·
16
3·
16
32·
16
3
8
2
dxxxsendxxxsenxxsenx
·2·cos2·8
1·2cos·
8
14·
64
3·
16
32·
16
3
8
2
kxsen
xsenxsenxxsenx
3
2·
16
12·
16
14·
64
3·
16
32·
16
3
8
3
kxsenxsenxsenx 2·48
14·
64
32·
4
1·
16
5 3
7.- Integración de funciones irracionales
Vamos a estudiar únicamente las del tipo: dxxba 222
Se resuelven mediante el cambio: tsenb
ax ·
Ej: dxx25
dttdx
tsenx
··cos5
·1
5
dtttsen ··cos5··552
- 94 -
dtttdtttsendtttsen ··cos5·cos·5··cos5·1·5··cos5··55 222
dtt
dttdtttdttt ·2
2cos1·5·cos·5··cos·cos5··cos5·cos·5 22
tsentdttdtdtt 2·
2
1·
2
5·2·cos2·
2
1·
2
5·2cos1·
2
5
5
·5
xarcsent
tsenx
52·
2
1
5·
2
55 2 x
arcsensenx
arcsendxx
kx
arcsensenx
arcsen
52·
4
5
5·
2
5
- 95 -
Resumen del tema 11
Integrales inmediatas
Potencia
kn
xfdxxfxf
nn
1·'·
1
Trigonométricas
kxfdxxfxfsen cos·'·
kxfsendxxfxf ·'·cos
kxftgdxxf
xfdxxfxftg ·
cos
'·'·1
2
2
Funciones arco
kxfarcsendx
xf
xf
·
1
'
2
kxfdx
xf
xf
arccos·
1
'
2
kxfarctgdx
xf
xf
·
1
'2
Exponenciales
kedxxfe xfxf ·'·
kadxxfaa xfxf ·'··ln
Logarítmicas
kxfdxxf
xf ln·
'
kxfdxxf
xf
aa log·
'·
ln
1
Integración por partes
duvvudvu ···
dxex axn ·· nxu dxedv ax ·
dxaxsenx n ·· nxu dxaxsendv ·
dxaxx n ··cos nxu dxaxdv ·cos
dxaxx n ··ln axu ln dxxdv n ·
dxbxseneax ·· axeu dxbxsendv ·
dxbxeax ··cos axeu dxbxdv ·cos
dxaxarcsen · axarcsenu dxdv ·1
dxax ·arccos axu arccos dxdv ·1
dxaxarctg · axarctgu dxdv ·1
dxaxgarc ·cot axgarcu cot dxdv ·1
- 96 -
dxax ·ln axu ln dxdv ·1
Integración de funciones racionales. Descomposición en fracciones simples
Raíces reales simples
dx
dx
D
cx
C
bx
B
ax
Adx
xQ
xP·...
Raíces reales múltiples
dx
cx
F
cx
E
cx
D
bx
C
ax
B
ax
Adx
xQ
xP·...
322
Raíces imaginarias simples
dx
xS
FEx
cx
C
bx
B
ax
Adx
xQ
xP·...
Integración de funciones trigonométricas
n impar
dxxfsenxfsendxxfsenxfsendxxfsendxxfsen
kkkn ······ 2212
dxxfsenxfk
··cos1 2
dxxfxfdxxfxfdxxfdxxf
kkkn ··coscos··coscos·cos·cos 2212
dxxfxfsenk
··cos1 2
n par
dx
xfdxxfsendxxfsendxxfsen
kkkn ·
2
·2cos1··· 22
dx
xfdxxfdxxfdxxf
kkkn ·
2
·2cos1·cos·cos·cos 22
Integración de funciones irracionales
dxxba 222 ; se resuelve mediante el cambio: tsenb
ax ·
- 97 -
Tema 12.- Integral definida. Aplicaciones
1.- Definición
Se llama integral definida entre dos extremos a y b, y se representa por b
adxxf · , al
área del recinto limitado por la función positiva xfy , las rectas ax y bx , y el
eje X. (A los valores a y b se les llama límites de integración)
b
adxxfA ·
Si la función es negativa en ba, , la integral definida daría un valor negativo, así que el área
encerrada sería:
b
adxxfA ·
2.- Propiedades de la integral definida
1.- 0· a
adxxf
2.- Si 0xf 0· b
adxxf y si 0xf 0·
b
adxxf
3.- b
a
a
bdxxfdxxf ··
4.- Si bac , b
c
c
a
b
adxxfdxxfdxxf ···
5.- b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf ···
6.- b
a
b
adxxfkdxxfk ····
3.- Regla de Barrow
Si xf es continua en ba, si xF es una primitiva cualquiera de xf , se cumple:
aFbFdxxfb
a ·
Ej:
2
1
4
100
2
1
4
1
2
0
4
0
24·
24240
1
240
1
3 xxdxxx
2
1
2
10
- 98 -
4.- Áreas de recintos planos
Ej: Área que encierra la curva 12 xy con el eje X entre 0x y 4x
Primero hay que saber si la curva es positiva o negativa entre 0x y 4x para utilizar
4
0·12 dxxA ó
4
0·12 dxxA . Nos podemos ahorrar este problema utilizando el
valor absoluto: 4
0·12 dxxA
4
0
23
4
0
214
0
214
0
2
3
12·
2
1·12·2·
2
1·12·12
xdxxdxxdxxA
2
32
32
32
34
02
3
4
0
23
19·3
110·214·2·
3
112·
3
2·
2
1
3
12·2·
2
1x
x
...3
26127·
3
1sdu
Es decir, para hallar él área que encierra una curva con el eje X entre ax y bx :
b
adxxfA ·
Pero una curva puede pasar de ser positiva a negativa, cambiando el signo de la integral
definida. Así que para resolver una integral definida:
1º.- Hallamos los puntos de corte de la curva con el eje X.
2º.- Seleccionamos aquellos puntos que estén dentro del intervalo ba, (tales puntos dividen
el intervalo en varios subintervalos).
3º.- Hallamos la integral definida (con valor absoluto) de la curva en cada uno de los
subintervalos y se suma.
Ej: Ej: Área que encierra la curva xxy 163 con el eje X en todo su dominio.
0163 xx 016· 2 xx 04·4· xxx
4
4
0
x
Esto significa que el área buscada es el área que encierra la curva xxy 163 con el eje X
entre 4x y 4x , teniendo en cuenta que en 0x la curva cambia de signo.
- 99 -
4
0
24
0
4
24
4
0
30
4
3 ·84
·84
·16·16 xx
xx
dxxxdxxxA
12864128640·8
4
04·8
4
44·8
4
40·8
4
0 24
24
24
24
...12864646464 sdu
Si queremos hallar el área que encierran dos curvas con el eje X entre ax y bx
debemos hallar el punto de corte de ambas curvas, ya que habrá que integrar una curva desde
ax hasta el punto de corte, e integrar la otra curva desde el punto de corte hasta bx .
Ej: Área que encierran las curvas xxf y 34
1 xxg con el eje X.
Las curvas cortan al eje X en:
12
0
034
1
0
x
x
x
x
Y las rectas se cortan en: 34
1 xx xxxx
2
39
16
13
4
1 2
2
02
59
16
1 2 xx 0144402 xx
36
4x
Por ser una ecuación con radicales hay que comprobar las soluciones:
66
22
396
312
336·4
136
34·4
14
, así que las rectas se cortan en 4x
Esto nos dice que debemos integrar una curva entre 0x y 4x y la otra curva entre
4x y 12x .
En 2x (punto cualquiera entre 0 y 4):
5'232·4
12
4142'122
g
f
xgxf
Es decir, que en el intervalo 4,0 xf se encuentra más próximo al eje X y, por
consiguiente, en el intervalo 12,4 xg se encuentra más próximo al eje X.
12
4
2
4
0
12
4
4
03·
8
1··
3
2·3
4
1· xxxxdxxdxxA
- 100 -
1223618
3
164·34·
8
112·312·
8
10·0·
3
24·4·
3
2 22
...3
408
3
168
3
16sdu
Si queremos hallar el área que encierran dos curvas entre ellas:
b
a
b
a
b
adxxgxfdxxgdxxfA ···
Puesto que tal área se halla restando a la función que se encuentra por arriba la función que
se encuentra por abajo, si no queremos representar las funciones (y por tanto, no sabemos
cuál está por encima de la otra) utilizamos el valor absoluto:
b
adxxgxfA ·
Ej: Área que encierran las curvas 1444 234 xxxxxf y 1082 2 xxxg
entre ellas.
Primero hallamos los puntos de corte de ambas funciones para obtener los límites de
integración:
10821444 2234 xxxxxx 091264 234 xxxx
03·3·1 2 xxx
3
1x
3
1
2343
1
2234 ·91264·10821444 dxxxxxdxxxxxxxA
3
1
2345
3
1
234 9625
·91264 xxxxx
dxxxxx
1·91·61·21
5
13·93·63·23
5
3 2345
2345
...5
48
5
21
5
27
5
21
5
279621
5
127545481
5
243sdu
5.- Volumen de un cuerpo de revolución
Si tenemos una función que gira sobre el eje X aparece un cuerpo en 3-D cuyo volumen
viene dado por:
- 101 -
b
adxxfV ··
2
Ej: Volumen del cono generado al girar sobre el eje X la función 14 xxf .
Tal función corta al eje X en el punto: 014 x 4
1x
41
0
2341
0
241
0
24·
3
16··1816··14· xxxdxxxdxxV
...·12
1
4
1
16
1·4
64
1·
3
16·00·40·
3
16
4
1
4
1·4
4
1·
3
16· 23
23
vdu
- 102 -
Resumen del tema 12
Propiedades de la integral definida
1.- 0· a
adxxf
2.- Si 0xf 0· b
adxxf y si 0xf 0·
b
adxxf
3.- b
a
a
bdxxfdxxf ··
4.- Si bac , b
c
c
a
b
adxxfdxxfdxxf ···
5.- b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf ···
6.- b
a
b
adxxfkdxxfk ····
Regla de Barrow
aFbFdxxfb
a ·
Áreas de recintos planos
b
adxxfA ·
1º.- Hallamos los puntos de corte de la curva con el eje X.
2º.- Seleccionamos aquellos puntos que estén dentro del intervalo ba, (tales puntos dividen
el intervalo en varios subintervalos).
3º.- Hallamos la integral definida (con valor absoluto) de la curva en cada uno de los
subintervalos y se suma.
Si queremos hallar el área que encierran dos curvas entre ellas:
b
adxxgxfA ·
Volumen de un cuerpo de revolución
b
adxxfV ··
2