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MATEMÁTICA I

Manual del estudiante

Ciudad Universitaria Santa Anita, 2020 - I

© UNIVERSIDAD DE SAN MARTÍN DE PORRES

Unidad Académica de Estudios Generales

Manual publicado con fines académicos, 2020

Elaborado por: Revisado por: Aprobado por: Versión

Mg. Armando Llerena Recoba Comisión de Acreditación

y Calidad

Coordinación Académica de

la UAEG 03

Fecha: 29/01/2020

Fecha: 06/02/2020

Fecha:07/02/2020

h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |3

Presentación

La matemática es una ciencia formativa, fomenta el razonamiento de las personas, en

todos los ámbitos donde se pueda desarrollar, por lo que el curso de Matemática I, es una

asignatura que cumple uno de los objetivos básicos de la universidad, enseñar a los alumnos

a obtener conocimientos en forma clara, ordenada, razonada, bajo estructuras sólidas de la

ciencia, para que ellos a su vez puedan aplicarlos en su vida personal y profesional.

El presente Manual de Matemática I, elaborado especialmente para los estudiantes de

Estudios Generales, está orientado a incrementar y consolidar el conocimiento, desarrollar

habilidades, fortalecer el aprendizaje autónomo, los hábitos de lectura, de análisis y de

síntesis. Por ello, es indispensable que los estudiantes usen el manual tanto en clase y, como

un instrumento de práctica, fuera de ella. Se insta también a los alumnos usar la bibliografía

recomendada en el sílabo.

El manual que se presenta, contiene teoría, ejercicios resueltos y propuestos, problemas

de aplicación y casos de situaciones reales en cada una de las sesiones de aprendizaje que

se realizarán en el presente semestre académico 2020 - I, por lo que está organizado en

cuatro unidades de aprendizaje, en las cuales se hace referencia a los contenidos,

capacidades y actitudes que se espera alcancen los estudiantes. Estas unidades de

aprendizaje son: I. Lógica Matemática y Teoría de Conjuntos. II. Los Números Reales. III.

Funciones y Tópicos de Geometría Analítica. IV. Función Cuadrática y Programación Lineal -

Aplicaciones de la Programación Lineal.

Los docentes de la asignatura


ÍNDICE

Presentación .......................................................................................................................... 3

Índice ..................................................................................................................................... 4

UNIDAD I: LÓGICA MATEMÁTICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS

Lógica Matemática ................................................................................................................. 6

Cuantificadores Lógicos ....................................................................................................... 11

Conjuntos ............................................................................................................................ 16

Operaciones con Conjuntos ................................................................................................. 19

UNIDAD II: LOS NÚMEROS REALES

Ecuación Lineal ................................................................................................................... 27

Ecuación Cuadrática o de segundo grado ........................................................................... 38

Inecuaciones Lineales ......................................................................................................... 45

Inecuaciones Cuadráticas o de segundo grado ................................................................... 53

UNIDAD III: FUNCIONES Y TÓPICOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Funciones ............................................................................................................................ 60

Características de la Función………………………………………………………………………75

Evaluación Funcional ........................................................................................................... 77

Funciones Especiales .......................................................................................................... 83

Gráfica de Funciones………………………………………………………………………………..86

Función Lineal ..................................................................................................................... 92

UNIDAD IV: FUNCIÓN CUADRÁTICA. PROGRAMACIÓN LINEAL

APLICACIONES

Función Cuadrática ............................................................................................................ 102

Desigualdades en el Plano Cartesiano .............................................................................. 113

Programación lineal ........................................................................................................... 120

Maximización y minimización de una función objetivo ........................................................ 124

GLOSARIO ....................................................................................................................... 147

FUENTES DE INFORMACIÓN ......................................................................................... 149


COMPETENCIA, UNIDAD, CAPACIDADES Y ACTITUDES DE LA ASIGNATURA

Competencia Unidad Capacidad Actitudes

Aplica conceptos y

métodos de la

Matemática

Básica en la

solución de

problemas en

contextos reales

propios de su

formación

profesional.

Unidad I:

Lógica Matemática y

Teoría de Conjuntos

Aplica racionalmente los

métodos de la Lógica

Matemática y Teoría de

Conjuntos para la solución de

problemas específicos de su

formación.

Respeto a la

persona.

Compromiso.

Conservación

ambiental.

Búsqueda de

la excelencia.

Unidad II:

Los Números Reales

Utiliza axiomas y/o

propiedades de los Números

Reales para la solución de

problemas relacionados con

operaciones de negocios.

Unidad III:

Funciones y Tópicos

de Geometría

Analítica.

Aplica y utiliza los conceptos

de funciones de la variable

real considerando las

condiciones del contexto en la

que se desarrollara el

profesional.

Unidad IV:

Función Cuadrática y

Programación Lineal

- Aplicaciones

Utiliza los métodos de la

Programación Lineal en la

solución de problemas

relacionados con su

especialidad en contextos

reales.


SEMANA

1

UNIDAD I

Lógica Matemática y Teoría de Conjuntos

Tema: Proposiciones Lógicas

La Lógica tiene sus inicios desde el tiempo de Aristóteles, nacido en Grecia (384-322 a.c.)

plasmado en su obra “Organum”, llamada Lógica Aristotélica o Clásica. Luego el alemán

Gottfried Wilhem Liebnitz (1646–1716), introduce los símbolos lógicos los cuales facilitaban

el estudio, utilizándolos como instrumentos matemáticos. Sin embargo no es sino hasta la

genialidad de George Boole (1815–1864) inglés, quien publicó su obra “Una investigación

de las leyes del pensamiento”, que realmente dió un gran salto al estudio de la matemática

simbólica que gracias a Bertrand Russell (1872–1970) y Alfred Whitchead (1864–1947) con

su obra “Principia Mathemática” publicada en 1910 y 1913; que proponen como la base para

el desarrollo vertiginoso de la lógica llamada “Lógica Simbólica”.

Figura 1. Características fundamentales de la inteligencia lógico-matemática.

Recuperado de: https://revistas.ucr.ac.cr/index.php/eciencias/article/view/15129/14438

1. CONCEPTO: La Lógica es la ciencia que estudia el razonamiento inductivo é

deductivo. El razonamiento inductivo es aquel que lleva a conclusiones generales a partir

de observaciones particulares y el razonamiento deductivo parte de conclusiones

generales y llega a conclusiones particulares.

https://revistas.ucr.ac.cr/index.php/eciencias/article/view/15129/14438


2. Enunciado.

Es toda oración o frase que exprese alguna idea, a través de afirmaciones, negaciones,

preguntas, órdenes, saludos, emociones, etc.

Ejemplos:

¡Aprobaré Matemática I, este ciclo

Las rosas rojas son hermosas.

¿Qué hora es?

Enunciado Abierto. Es aquel enunciado, el cual no se puede responder con verdadero

o falso, contiene por lo menos 1 variable y cuando se le asigna un valor a la variable se

convierte en proposición.

Ejemplos:

3x < 6 Si x = 6 luego la expresión es Falsa.

4x - 3y = 8

El, es el Presidente del Perú Martin Vizcarra Cornejo, es el Presidente

del Perú es una expresión Verdadera.

Proposición Lógica. Una proposición es un enunciado, cuya propiedad fundamental es

poder asignarle un valor de verdad como verdadero (V) o falso (F), pero no ambas a la

vez. Por tanto, no existe ambigüedad en la respuesta. Una proposición se representa

simbólicamente por letras minúsculas tales como: p , q , r , s llamadas variables

proposicionales.

Ejemplos:

p: Paolo Guerrero es el capitán del seleccionado peruano de futbol.

q: Todos los ingresantes a la USMP han rendido un examen de admisión.

Valor de Verdad. Si p es una proposición, su valor de verdad se denota con ( )V p y

escribimos: ( )V p V si el valor de p es verdadero y ( )V p F si el valor de p es

falso.

Proposición Lógica Simple. Es aquella proposición lógica que consta de un solo sujeto

y un predicado y no necesita de operador lógico.

Ejemplos:

p : Lima es la Capital del Perú.

q: El curso de matemática I no es pre-requisito para poder llevar el curso de

Matemática II en la USMP.

r : Miguel Grau fue el “Caballero de los Mares”

Proposición Lógica Compuesta. Está conformada por dos o más proposiciones

simples unidas por palabras (operadores lógicos) que enlazan a dichas proposiciones.

Ejemplo:

Los universitarios tienen carnet de identificación y pagan medio pasaje


p q

3. Operadores Lógicos. Son signos o símbolos que representan palabras y que son usados

para relacionar proposiciones. Tenemos:

Símbolo Nombre Algunas palabras

Conjunción “y”, “pero”, “también”

Disyunción inclusiva “o”, “a menos que”

Disyunción exclusiva “ o….o….”

Condicional “entonces”, “por lo tanto”, “luego”

Bicondicional “si y solo si”

Negación “no”, “ni”, “nunca”, “no es verdad que”

ACTIVIDAD 01

RECONOCIENDO LOS ELEMENTOS BÁSICOS DE LA LÓGICA

Objetivo

Reconocer los elementos fundamentales de la lógica y establecer su importancia.

Orientaciones

La actividad a realizar es de manera individual. Lee detenidamente, analiza, y responde.

NIVEL Pregunta Nº1

CONOCIMIENTO Coloca (E) si es enunciado, (P) si es proposición lógica y (EA)

si se trata de un enunciado abierto.

Expresiones

1. ¡Cretino! ( )

2. Génova es la capital de Italia ( )

3. 5 2 13x . ( )

4. El número 11 es un número primo. ( )

5. Ella, es la Coordinadora Académica de EE. GG. ( )

6. ¿A que hora es la reunión? ( )


NIVEL Pregunta Nº2

CONOCIMIENTO Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda a cada

una de las afirmaciones.

Afirmaciones

1. es el conector lógico llamado Conjunción. ( )

2. es el conector lógico llamado Bicondicional. ( )

3. Una proposición compuesta se forma al unir por lo menos dos

proposiciones simples con uno o más conectores lógicos. ( )

4. Luis y Ricardo son muy amigos. Es una propisicion lógica compuesta. ( )

5. La hora tiene 60 minutos si y solo si un minuto tiene 60 segundos. Es

una propisicion lógica verdadera. ( )

NIVEL Pregunta Nº3

COMPRENSIÓN Responda brevemente lo planteado.

1. De acuerdo a lo leído, ¿Cuál es la diferencia entre enunciado y enunciado abierto?

2. En el enunciado 5 de la Pregunta Nº1 ¿Qué papel juega la palabra “Ella”?

NIVEL Pregunta Nº4

APLICACIÓN

Utilizando los conceptos de proposición lógica

simple, compuesta y conectores lógicos, identifica las

proposiciones lógicas siguientes y simboliza:

Proposición lógica Simbolización

1. Marisol estudia la carrera de Medicina.

2. Trujillo es la “Ciudad de la Eterna Primavera” y Arequipa la “Ciudad

Heroica”.

3. Arturo es muy estudioso, también Diana.

4. O Paolo Guerrero es futbolista o es un gran boxeador.

5. .

5. Si Elsa estudia a conciencia entonces aprobará la asignatura de

matemática I.

6. Lupe, Ángela y Enriqueta son odontólogas.

7. Saúl o Luis serán excelentes ingenieros, si y solo si estudian mucho.

8. Beatriz viene a la universidad en el bus o en taxi.

9. Si la empresa de Jorge maximiza sus ingresos, entonces podrá

repartir utilidades a sus trabajadores.

10. Lima es la capital del Perú y soporta alta tasa delincuencial. Por lo

tanto, la policía debe redoblar sus operativos preventivos.


SEMANA

2

UNIDAD I


Tema: Evaluación de Proposiciones y Esquemas Lógicos.

1. Tablas de Verdad.

Signos de Agrupación o de Colección. Los signos de agrupación , , se usan

en lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicos más complejos. Otra finalidad

de estos signos es darles mayor o menor jerarquía a los operadores.

Fórmula Lógica. Es una combinación de variables proposicionales y operadores

lógicos. Se evalúa mediante tablas de verdad.

Las fórmulas lógicas o esquemas moleculares, se evalúan mediante tablas de valores

de verdad, el número de valores de verdad queda determinado por 2n , donde n

es el número de proposiciones.

Si al evaluar una fórmula lógica resulta que todos los valores de verdad de su operador

principal son verdaderos, entonces se tiene una TAUTOLOGÍA.

Si todos estos valores son falsos, es una CONTRADICCIÓN.

Si es una combinación entre valores verdaderos y falsos, entonces se tiene una

CONTINGENCIA.

Disyunción inclusiva

p Q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

Conjunción

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

Disyunción exclusiva

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

Condicional

p q pq

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

Negación

p ~ p

V

F

F

V

Bicondicional

p q pq

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V


2. Evaluación de Esquemas Lógicos

Determina si el esquema es tautológico, contradictorio o contingente.

[ ( p ~ q ) Λ ( ~ r v q ) ] ~ p

V F F F F V V V F

V F F F V V V V F

V V V F F F F V F

V V V V V V F F F

F V F V F V V V V

F V F V V V V V V

F V V F F F F V V

F V V V V V F V V

El esquema lógico responde a una: CONTIGENCIA

3. CUANTIFICADORES

Función Proposicional. La función proposicional es un enunciado abierto de la forma

( )P x , es decir, se trata de una expresión que contiene alguna variable que al ser sustituida

por un valor particular se convierte en proposición.

Por ejemplo:

2( ) : 3 10P x x ; es un enunciado abierto

2(2) : 2 3 10P ; es una proposición falsa

2(3) : 3 3 10P

; es una proposición verdadera

Cuantificadores. Los cuantificadores sirven para transformar un enunciado abierto

o función proposicional en una proposición para lo cual su misión es indicar cuántos

elementos de un conjunto dado, cumplen con cierta función proposicional.


Cuantificador Universal. Representado por ∀ se emplea para afirmar que todos los

elementos de un conjunto cumplen con determinada función proposicional.

Notación:

∀ 𝒙 ∈ 𝑨 ∶ ”Para todo x que pertenece al conjunto A se cumple que”

Cuantificador Existencial. Representado por , se usa para indicar que al menos un

elemento de un conjunto cumple con determinada función proposicional.

Notación:

∃ 𝒙 ∈ 𝑨 / ” Existe algún x que pertenece al conjunto A tal que”

Figura 2. Concepto de los Cuantificadores Lógicos.

Negación de los Cuantificadores.

~ / ( ) :x A p x x A ( )~ p x “la negación de un existencial da un universal”

~ : ( ) /x A p x x A ( )~ p x “la negación de un universal da un existencial”

NOTA.

En general, la proposición universal :x A P x es verdadera si la propiedad ( )P x lo es,

es decir, si cumple con cada uno de los elementos de A y es falso si hay al menos un

elemento de A que no cumple la propiedad ( )P x .

En general, la proposición existencial : ( )x A P x es verdadera si en A hay al menos un

elemento x que cumple ( )P x y es falsa si ningún elemento de A cumple con ( )P x , esto

es, todo elemento de A no cumple ( )P x .


ACTIVIDAD 02

EVALUACIÓN DE PROPOSICIONES COMPUESTAS, ESQUEMAS LÓGICOS Y

CUANTIFICADORES

Objetivo

Conocer las tablas de valores de verdad y cuantificadores lógicos.

Orientaciones

De manera individual responda según lo señalado en cada uno de los ítems.

NIVEL Pregunta Nº1



1. Si dos proposiciones falsas se unen mediante la conjunción, entonces

el resultado es verdadero. ( )

2. Si dos proposiciones falsas, se unen con la bicondicional, entonces el

resultado es verdadero. ( )

3. En la condicional cuando la primera proposición es falsa, sin importar

el valor de verdad de la segunda, el resultado es verdadero. ( )

4. Si al evaluar un esquema logico, de manera indirecta, el resultado del

conector principal todos son verdaderos, entonces el esquema es una

tautologia.

( )

5. Si al evaluar un esquema logico, de manera indirecta, resulta que cada

variable proposicional tiene 4 valores de verdad es porque contiene 2

variables proposicionales.

( )

6. La proposición: Paolo Guerrero es futbolista y capitán de la selección

peruana, es Falsa. ( )

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN Responda brevemente las preguntas planteadas.

1. Explique brevemente, ¿Cuándo una proposición cuantificada universalmente es

verdadera?

2. Explique brevemente, ¿Cuándo una proposición cuantificada existencialmente es falsa?


NIVEL Pregunta Nº3

APLICACIÓN

Utilizando las tablas de valores de verdad y los

conceptos de las proposiciones lógica cuantificada,

responde.

1. Evalúa el esquema lógico y determina si es una tautología, contradicción o contingencia.

~p q p r q p

2. Dado el conjunto 𝑨 = {−𝟓,−𝟒…… , 𝟓}, determine el valor de verdad de:

a) ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 / (𝑥2 + 1) ≠ 𝐴 b) ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∶ (𝑥2 − 1) = 0

c) ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∶ 𝑥−5

𝑥+2> 2 d) ∃ 𝑥 ∈ 𝐴/(4𝑥 − 16) ≤ 0

3. Dado el conjunto 𝑩 = {−𝟑,−𝟏, 𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕 } , negar las proposiciones cuantificadas y determinar su valor de verdad:

a) ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∶ 2𝑥−6

2> 3 b) ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 / (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = −4

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

I. Determina cuáles de las siguientes expresiones representa un enunciado (E) una

proposición (P) o un enunciado abierto (EA)

a. El examen parcial de matemática I, está muy difícil........................ ( )

b. 3𝑥 + 4 = 10……………………………………………………………… ( )

c. El número cero, es un número par……………………………………. ( )

d. El, es el Presidente del Perú.…………………………………………… ( )

e. La USMP es una universidad licenciada por MINEDU………………. ( )

f. 22 1 0x no es un enunciado abierto, es proposición………….( )

II. Según tus conocimientos sobre el tema responde V o F a las siguientes expresiones:

a. En la condicional si ambas proposiciones son V el resultado el Falso…… ….. ( )

b. Una proposición compuesta se forma al unir dos simples con un conector… . ( )

c. Si dos proposiciones verdaderas, se unen con la bicondicional, luego la………( )

resultante es falsa.

d. En la conjunción, si una proposición es falsa sin importar el valor de la otra.... ( )

el resultado es falso.


III. Interpreta, comprende, simboliza y determina el valor de verdad de las siguientes

proposiciones:

a. Miguel Grau fue el Caballero de los Mares o el Brujo de los Andes

………………………………………………………………………………..

b. Lima no es la ciudad de los virreyes y Cuzco es la ciudad Imperial.

………………………………………………………………………………..

c. 12 es múltiplo de 3 si y solo si 30 es divisor de 600.

…………………………………………………………………………………

d. Si Paolo estudió administración en la USMP, luego es un buen profesional.

…………………………………………………………………………………

e. El día tiene 24 horas a menos que una hora tenga 60 minutos.

………………………………………………………………………………..

IV. Enrique el estudiante promedio del aula siguiendo las pautas para resolver una

evaluación lógica determinó los resultados en cada una de ellas. Coloca una A si

estás de acuerdo y NA si no estás de acuerdo:

a. ~ ~ ~ ~p q p q p q ………………. Contradicción…… ( )

b. ~ ~ ~p q p r ………………………………. Contingencia……. ( )

c. ~ ~p q p q …………………………………..Tautología………. ( )

V. De la falsedad de ~p q r s deduzca el valor de verdad de:

a. ~ ~ ~p q q p

b. ~ ~r q q q r s

c. ~r s q p s

VI. Dado el conjunto 𝑩 = {−𝟑,−𝟏, 𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕 }. Hallar el valor de verdad inicial y luego negar

cada una de las siguientes proposiciones y establecer el nuevo valor de verdad:

a) ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∶ (𝑥2 − 20) ≤ 29 b) x B : 4 15

5

x

c) ∃ 𝑥 ∈ 𝐵/ (𝑥2 − 6) ≤ 0 d) ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 / (𝑥 + 4) ≥ −1

e) ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∶ (𝑥2 − 20) ≤ 5 f) ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 / 𝑥−1

𝑥−3> 0


SEMANA

3

UNIDAD I


Tema: Conjuntos

Desde que nacemos nos encontramos con agrupaciones. En primer lugar, con personas a

nuestro alrededor tratando de conocernos, luego con cosas con las cuales empezamos a

diferenciar formas, texturas, etc. Así continuamos aprendiendo a relacionar objetos y los

vamos agrupando según las necesidades. Por ejemplo, los compañeros de la escuela, las

enfermedades del corazón, los estudiantes de matemática, entre otros. Nos hacemos

preguntas respecto a estas agrupaciones y sus componentes, por eso la matemática se

encarga de estudiarlas y este estudio es conocido como Teoría de Conjuntos.

1. IDEA INTUITIVA DE CONJUNTO.

De manera intuitiva diremos que un conjunto es una colección bien definida de objetos. A

cada uno de estos objetos le denominamos elemento del conjunto. Un conjunto se denota

por una letra mayúscula, sus elementos se encierran entre llaves y se separan por comas

cuando el conjunto esta expresado por extensión.

Determinación de Conjuntos.

Por Extensión. Aquí se listan todos los elementos del conjunto. Esta lista de

elementos la escribimos entre llaves.

Por Comprensión. Aquí se escribe una propiedad que cumplen todos los elementos

que están en el conjunto.

2. RELACIÓN DE PERTENENCIA E INCLUSIÓN.

Cuando un elemento se encuentra en un conjunto se dice “que este elemento pertenece

al conjunto” y se denota por “pertenece”.

Subconjunto. Es aquel que forma parte de otro. Se denota por y se lee “es

subconjunto de” ó “está contenido en”. Un conjunto A es subconjunto de B si y sólo si cada

elemento de A también es elemento de B y se denota por A B .

El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto A.

Diagrama de Venn-Euler. Son gráficos que nos ayudan a ilustrar algunas ideas. En el

caso de la teoría de conjuntos se usan diagramas de Venn-Euler. Se usan generalmente

círculos para graficar los conjuntos y un rectángulo para el conjunto universal.

Cardinal de un conjunto. Es la cantidad o número de elementos de un conjunto y se

denota por n A

Conjuntos Especiales.

Conjunto Universal. Es aquel formado por todos los elementos con los cuales

estamos trabajando en un problema particular. Se denota por U . Es muy importante

establecer el conjunto universal, ya que eso determinará nuestro marco de referencia.

Conjunto Vacío. Es aquel que carece de elementos. Se denota por o .

Conjuntos Disjuntos. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en común.


Conjunto Unitario. Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Conjunto Potencia. El conjunto potencia de un conjunto A , es el conjunto formado

por todos los subconjuntos de A . Se denota por P A y el número de elementos de

2nP A , donde n es el número de elementos de A .

Conjunto Finito. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es limitada.

Conjunto Infinito. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es ilimitada. Por

ejemplo, el conjunto de números reales.

Figura 3. Estructura de la teoría de conjuntos. Concepto, clasificación, operaciones y tipos de

conjuntos.

ACTIVIDAD 03

RECONOCIENDO ELEMENTOS BÁSICOS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

Objetivo

Reconocer los elementos básicos de la teoría de conjuntos y establecer su importancia.

Orientaciones

La actividad a realizar es individual. Lee detenidamente, analiza, y responde.

NIVEL Pregunta Nº 1

CONOCIMIENTO Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda

1. / ; 1 4A x x x es un conjunto determinado por

comprensión. ( )


2. Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. ( )

3. / ;1 3B x x x es un conjunto unitario. ( )

4. /C x x es un conjunto infinito. ( )

5. Si 1,3,4,6,7D entonces (C) 16nP . ( )

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN Elabore un concepto de lo que es un conjunto y

subconjunto. Muestre un ejemplo

NIVEL APLICACIÓN

Utilizando los conceptos de la teoría de conjuntos responda las preguntas.

Pregunta Nª 3

Expresa los conjuntos siguientes por extensión:

1. 𝐴 = { 𝑥 ∈ 𝑍 −2 ≤ 𝑥 < 11; 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟⁄ }

2. 𝐵 = { 𝑥 ∈ N−2 ≤ 𝑥 < 10; 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟; 𝑥 ≠ 4 ⁄ }

3. 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑍 𝑥⁄ (𝑥 − 5)(𝑥 + 6)(𝑥 + 7)} = 0 } Pregunta Nª 4

Hallar el conjunto potencia de:

1. 𝑀 = {𝑥 ∈ 𝑁 0 < 𝑥 < 4⁄ }

2. 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑁∗ −1 < 𝑥 ≤ 3⁄ }


SEMANA

4

UNIDAD I


Tema: Operaciones con Conjuntos

1. Operaciones con Conjuntos

a) Unión o reunión. Dado dos conjuntos A y B, la unión de A y B se define como:

/A B x x A x B

Nota; Siempre se cumple que A A

b) Intersección. Dado dos conjuntos A y B, la intersección de A y B se define como:

/A B x x A x B

Dos conjuntos son disjuntos sí A B . Además siempre se cumple que A .

c) Diferencia de Conjuntos. Dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos

A y B se define como:

/A B x x A x B

A

B

U A B

U

A

B

U A B

U

A B

U A

B

U

A B U

A B U

A B U


d) Diferencia Simétrica. Dado dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica de A y

B se define como:

/A B x x A B x B A

e) Complemento de un Conjunto. Dado un conjunto A y el conjunto universal U, donde

A U , se define el complemento de A como:

/' cA A x x U x A

Nota: Siempre se cumple que: 'U y ' U .

Figura 4. Operaciones con Conjuntos.

Elaborado por ra 4. Operaciones con Conjuntos.

U

A

A B U A

B

U

A’

A B U


2. Aplicaciones

a) En una encuesta a 200 votantes se reveló lo siguiente respecto de 3 candidatos de un

cierto partido que se presentaban a 3 cargos diferentes: 28 a favor de A y B, 98 a favor

de A o B pero no C, 42 a favor de B pero no de A o C, 122 a favor de B o C pero no A,

64 a favor de C pero no de A o B, 14 a favor de A o C pero no B.

¿Cuantos votantes están a favor de los 3 candidatos y cuantos a favor de un solo

candidato?

b) Un grupo de 60 chef se presentaron a un Concurso de Cocina en las siguientes

especialidades: postres, cremas y pastas. Obteniéndose como resultado que: 30

ganaron en la especialidad de pastas. 25 ganaron en la especialidad de postres. 20

ganaron en la especialidad de cremas. 5 ganaron en pastas y postres, pero no en

cremas. 7 ganaron en pastas y cremas. 1 ganó en las tres especialidades. Además,

se sabe que el número de los que ganaron sólo postres es la mitad de los que ganaron

la especialidad de pastas.

Determine ¿cuantos ganaron al menos, en dos de las especialidades? ¿Cuántos

ganaron en las especialidades de postres y crema? y ¿Cuántos no ganaron en ninguna

especialidad?

Paul, uno de los estudiantes que lleva la asignatura, resuelve el problema y afirma lo

siguiente:

18 ganaron en al menos dos especialidades

4 ganaron en postres y cremas

1 no ganó en ninguna de las especialidades

Resuelve y luego critica o defiende la afirmación justificando tu respuesta.

c) En una encuesta a 300 personas se determinó que 20 solo leen el diario A, 10 leen

solo los diarios A y B, 40 leen solo los diarios B y C, 20 leen solo los diarios A y C. Se

conoce que el número de personas que leen los tres diarios es el cuádruplo de los que

solo leen el diario C y el doble de los que leen solo el diario B. Si todos leen al menos

un diario, determinar el número de personas que leen al menos dos diarios.

d) En una encuesta realizada por la empresa VERDAD acerca de la preferencia en la

lectura de los diarios La República y El Expreso arrojo la siguiente información:

Al 30% no le gusta leer La Republica, Al 70% no le gusta leer El Expreso, Al 20% no

le gusta leer diarios. La empresa encuestadora sostiene en su informe que al 60% les

gusta leer solo un diario. Defienda o Critique la precisión de la encuesta.


ACTIVIDAD 04

REALIZANDO LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS Y SUS APLICACIONES

Objetivo

Realizar operaciones con conjuntos y utilizarlas en la solución de problemas de aplicación

Orientaciones

La actividad a realizar es de manera grupal. Lee detenidamente, analiza, y responde.




Afirmaciones

1. ( )A B representa a la operación de intersección de dos conjuntos. ( )

2. ( )A B representa a la operación de diferencia de dos conjuntos. ( )

3. Si 1,2,4A y 0,2,4B entonces 0,1A B . ( )

4. Si 3,5,7M y 4,6,8B entonces 0,1M N . ( )

5. Si A y B son dos conjuntos disjuntos, entonces A B . ( )

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN Expresa el modelo matemático de la Diferencia

Simétrica:

NIVEL APLICACIÓN

Utilizando las definiciones de operaciones con conjuntos responda las preguntas.

Pregunta Nª 3

Sean los conjuntos: 𝑼 = {𝒙 ∈ ℤ+/𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟗} , 𝑨 = {𝒙 ∈ ℕ/𝒙 ≥ 𝟏 ∧ 𝒙 < 𝟓} y

𝑩 = {𝒙 ∈ ℤ/𝟎 < 𝒙 ≤ 𝟗 ∧ 𝒙 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓}

Determinar:

a) A B b) ' 'A B c) ( ) 'A B c) A B

Pregunta Nª 4

Sean los conjuntos: 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ/−3 ≤ 𝑥 < 6}, 𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ∗/−2 < 𝑥 < 4} y 𝑈 = 𝐴 ∪ 𝐵.

Determinar:

a) ( ) ' 'A B A b) ( ) 'A B A c) ( )c cA B A


NIVEL ANALISIS

Pregunta Nª 5

Lee y analiza detenidamente, la situación planteada y responde:

De un aula de 35 estudiantes del primer ciclo de la Universidad San Martín de Porres que

son evaluados, 22 aprobaron matemática I, 20 aprobaron Filosofía, 21 aprobaron Realidad

Nacional, 10 los tres cursos y 12 solo dos cursos. Algunos de ellos no aprobaron ninguno

de los tres cursos. ¿Cuántos aprobaron un solo curso?

NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nª 6

Lee la situación problemática planteada, resuelve utilizando los conceptos de la teoría de

conjuntos y critica o defiende la afirmación. Justifica tu respuesta.

César, funcionario de una agencia de viajes, realiza una encuesta a un grupo de turistas

europeos sobre sus preferencias de pasar sus vacaciones en Sudamérica y se obtuvo que:

13 prefieren Brasil y Perú, pero no Argentina; 12 prefieren sólo Brasil. 9 sólo prefieren Perú.

50 prefieren Perú o Argentina, de los cuales 7 prefieren Brasil, pero no Perú y 4 prefieren

Perú y Argentina, pero no Brasil. 40 prefieren Brasil. Si todos los turistas prefieren por lo

menos un país, César indica que:

a) 32 turistas que prefieren al menos dos países.

b) 30 turistas que prefieren solo un país.

c) El número de turistas que fueron encuestados fue de 62.

Resuelve y luego, de acuerdo a tus resultados, critica o defiende la afirmación del

funcionario.


EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS:

I. Colocar V o F en las siguientes expresiones y de ser el caso completar la expresión:

a) La expresión /A B x x A x B corresponde a la Diferencia… ( )

Simétrica

b) El N° elementos del Conjunto Potencia se calculan con la expresión:……….

c) El conjunto / 2 0M x x es vacío…..… ( )

d) El complemento del Conjunto Vacío es:……………………………………………….

II. Expresar los siguientes conjuntos por extensión:

a) 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝑍 𝑥⁄ (𝑥 − 5)(𝑥 + 6)(𝑥 + 7)} = 0 }

b) 𝐻 = { 𝑥 ∈ 𝑁 −2 ≤ 𝑥 < 11; 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟; 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜⁄ }

c) 𝐺 = { 𝑥 ∈ 𝑍 −2 ≤ 𝑥 < 11; 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟⁄ ; 𝑥 ≠ 1 , 3}

III. Jorge estableció el Valor de Verdad de las siguientes expresiones en el siguiente

orden: V F V F V F ¿Es este el verdadero orden? Según sus conocimientos ¿está

usted de acuerdo? Si no lo está ¿Cuál sería el orden de los valores de verdad?

a) 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑍+ −10 < 𝑥 ≤ −4,⁄ }, es un conjunto vacío

b) 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑅+ √−9𝑥 ∈ 𝑅⁄ },es un conjunto nulo

c) / 3B x x es múltiplo de es un conjunto infinito.

d) 1,2,3A y 1,1,3,2,3B son disjuntos

e) 1,2,3,4E es subconjunto de 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑍+ 0 < 𝑥 ≤ 4⁄ },

IV. Interpreta, comprende y determina el valor de verdad de las siguientes

proposiciones:

Sea el conjunto 3,4, 6 ,8A , colocar verdadero o falso, según corresponda:

a) 3 A

b) 4 A

c) 8 A

d) 3,8 A e) A f) 6 A

g) A h) 6 A i) { 6 } ⊂ A

V. Calcular el conjunto potencia de los siguientes conjuntos:

1) 𝐴 = {1,2,3} 2) 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑍+ 0 < 𝑥 < 4⁄ }

3) 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑍 −1 ≤ 𝑥 < 2⁄ } 4) 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑁 0 < 𝑥 < 5⁄ }


VI. Aplica los conceptos de operaciones con conjuntos y resuelve:

Sean los conjuntos:

𝒂) 𝑼 = {𝒙 ∈ ℤ+/𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟗} 𝑨 = {𝒙 ∈ ℕ/𝒙 ≥ 𝟏 ∧ 𝒙 < 𝟓} y

𝑩 = {𝒙 ∈ ℤ/𝟎 < 𝒙 ≤ 𝟗 ∧ 𝒙 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓}

Determinar:

1) A B 2) ' 'A B 3) A B

Determinar: 𝐸 = (𝐴 − 𝐵)′

b) 𝑈 = {𝑥 ∈ ℤ/−4 < 𝑥 ≤ 7}, 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ∗/𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑥 < 4} y

𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ/−2 < 𝑥 ≤ 7 ∧ 𝑥 𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜}

Determinar:

1) A U 2) ' 'A B A 3) A B

c) U = { x Ɛ Z / - 2 ≤ x ≤ 15 }, A = { x Ɛ N*/ x ≤ 8 }

B = {x Ɛ N / 5 < x < 15}, C = {x Ɛ Z / -1 ≤ x < 5} y

X = (A ∩ C) ∩ B y Y = (A – BC) - CC

Determinar si: X ≠ Y

Aplicaciones de Conjuntos

1. En una reunión de doctores de 54 participantes, 35 dominan inglés y física, 21 inglés y

química y 16 física y química. Si todos por lo menos dominan 2 cursos ¿cuántos dominan

los 3 cursos?

2. En un avión viajan 120 personas de las cuales se sabe que: dos tercios (2/3) de

ellas no beben, cuatro quintos (4/5) de ellas no fuman y 72 no beben ni fuman.

¿Cuántas personas solo beben y cuantas beben y fuman?

3. Una agencia de Turismo convocó a un concurso para administradores con conocimientos

de algún idioma extranjero. De los que se presentaron, 25 saben inglés, 21 francés y 17

alemán. Además 17 saben inglés y francés; 14 inglés y alemán; 11 francés y alemán y 9

inglés, francés y alemán. ¿Cuántas personas se presentaron al concurso?

4. En una encuesta realizada en 100 viviendas de un distrito se obtuvo que: 60 casas tenían

Tv a color; 30 casas tenían equipo de sonido; 20 casas tenían DVD; 21 casas tenían Tv

a color y equipo de sonido; 15 casas tenían Tv a color y DVD y, 4 casas tenían equipo de

sonido y DVD. ¿Cuántas casas, como máximo, no tenían estos aparatos?


5. En una población el 50% toma leche y el 40% come carne, además solo los que comen

carne y solo los que toman leche son el 54%. ¿Cuál es el % de los que no toman leche

ni comen carne?

6. En una encuesta sobre consumo de bebidas, se obtuvieron los siguientes datos: a) 67%

beben A o B, y 13% beben ambas. b) 59% beben B o C y 11% beben ambas. c) 75%

beben A o C y 15% beben ambas. d) el 16% no consume ninguna bebida.

Calcular el porcentaje que consume sólo una bebida y el porcentaje que beben las tres

bebidas.

CASO:

Manuel, administrador de la cafetería “Casita Blanca” y el propietario Juan Carlos,

ante la llegada del próximo invierno, conversan respecto al aumento de sus clientes.

Manuel le dice a Juan Carlos, “Estamos próximo al invierno y la cantidad de nuestros

clientes aumentará. Por consiguiente, si aumentan nuestros clientes entonces

aumentaremos la cantidad de tazas de café”. Los café más pedidos en la cafetería

son el Express, el Capuchino y el Americano. En promedio los clientes de la cafetería

piden diariamente 120 tazas de café express, 133 tazas de café capuchino y 90 tazas

de café americano. Se sabe que 38 clientes toman solo café express, 48 clientes

toman café capuchino y americano, 25 clientes toman café express y capuchino pero

no americano, los que toman solo capuchino es la mitad de los que toman café

express y 21 clientes toman los tres tipos de café.

Luego de escuchar a Manuel, Juan Carlos comenta:

“El administrador de la cafetería es Manuel”.

¿Seguirá siendo nuestro café capuchino el más vendido?

“Si aumentan nuestros clientes contrataremos dos nuevos mozos”

“El, aseguró, que en este invierno se venderá más el café americano”

a) De los comentarios de Juan Carlos, ¿Cuáles son proposiciones y cuáles son

enunciados?

b) En la expresión literal: “Estamos próximo al invierno y la cantidad de nuestros

clientes aumentará. Por consiguiente, si aumentan nuestros clientes entonces

aumentaremos la cantidad de tazas de café” ¿Cuáles son los conectores lógicos que

intervienen?

c) Luego de analizar la información del caso, realiza la gráfica de la intersección de

conjuntos respectiva y evalúa la afirmación de un mozo que sostiene que diariamente

se venden 213 tazas de café, 60 clientes toman solo café capuchino y 36 clientes

toman solo café express y americano.

Según tu evaluación ¿estas o no de acuerdo con lo afirmado por el mozo?


SEMANA

5

UNIDAD II

Números Reales

Tema: Ecuación Lineal

Ecuación Lineal.

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las dos expresiones

que conforman una ecuación son llamadas lados o miembros, y están separados por el

signo de igualdad “=”

La ecuación lineal de primer grado con una variable es aquella que adopta la forma

canónica: ax + b = 0 / a 0 a, b

Resolver una ecuación consiste en hallar el valor de la variable que hace verdadera

dicha igualdad.

La solución es también llamada raíz de la ecuación siendo expresada por: a

bx

Discusión de las raíces:

Respecto a la solución de la ecuación, se debe tener en cuenta lo siguiente:

1º La ecuación es compatible determinada, (finitas soluciones)

Si: a 0 b

2º La ecuación es compatible indeterminada, (infinitas soluciones)

Si: a = 0 b = 0

3º La ecuación es incompatible, inconsistente (ecuación absurda)

Si: a = 0 b / b 0

1.- Resolver−𝟓{−𝟐 [−𝟑𝒙 + 𝟑(−𝟐 − 𝟐𝒙)]}

Solución:

Se resuelve primero lo que está dentro del paréntesis, respetando los signos, luego los

corchetes y finalmente las llaves.

−𝟓{−𝟐 [−𝟑𝒙 + 𝟑(−𝟐 − 𝟐𝒙)]} = −𝟓{−𝟐 [−𝟑𝒙 − 𝟔 − 𝟔𝒙]} = −𝟓{−𝟐 [−𝟗𝒙 − 𝟔]}

= −𝟓{𝟏𝟖𝒙 + 𝟏𝟐} = −𝟗𝟎𝒙 − 𝟔𝟎

𝟎 = 𝟎

Luego x toma cualquier valor de los Reales. C.S= R

ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE EN LOS

NÚMEROS REALES

EJEMPLOS:


2.- Resolver:

Solución:

Aplicando las siguientes identidades

ad =bc

( a+b ) ( c+d ) = ac+ad+bc+bd

Obtenemos:

(X+3)(x–4) = (x-2)(x+1)

x2- 4x + 3x – 12 = x2 + x - 2x - 2

Simplificando: - x – 12 = - x - 2

-12 = -2 ABSURDO

Luego la ecuación es Incompatible y la respuesta es: C.S= Ǿ

3.- Que valor de “x” satisface a la ecuación:

Solución:

Siendo el m.c.m. (4, 3, 6) = 12 se obtiene:

3 (3x-2) – 4 (5x–1) = 2 (2x-7)

9x – 6 - 20x + 4 = 4x - 14

Simplificando:

-11x-2 = 4x-14

-15x = -12

De donde: x = C.S.: x ε {𝟒

𝟓}

4.- Qué valor de “x” satisface a la ecuación:

4x

1x

2x

3x

d

c

b

a

6

7x2

3

1x5

4

2x3

15

12x

5

4

x5

2x1

43

25

3x

1x1

43

25


Solución:

Debe tenerse en cuenta que los términos que son iguales en los dos miembros de la ecuación

se pueden cancelar directamente; es decir: 5 con 5; 2 con 2; 3 con 3; -4 con –4 y 1 con 1;

quedando:

o lo que es lo mismo:

Por proporciones

(x – 1)(x – 5)=(x – 2)(x – 3)

Resultando:

-x + 5 = 6 x = -1 C.S.= {– 𝟏 }

5. Resolver las ecuaciones con radicales siguientes

a) 2 9 9x x

Solución

Elevando al cuadrado ambos miembros:

2 2 2( 9) (9 )x x

Resolviendo: 2 29 81 18x x x

18 81 9x

5x

Verificando: 25 9 9 5 4 4

Entonces: C.S.= 5

b) 3 2 5x x

Solución

Pasando la raíz negativa al segundo miembro y elevando al cuadrado ambos

miembros:

2 2( 3) (5 2)x x

Resolviendo: 3 25 10 2 2x x x

3 23 10 2x 2 2x Elevando al cuadrado ambos miembros: 2 2( 2) ( 2)x

4 2x

6x

Verificando: 9 4 5 1 5 es absurdo, luego: C.S = Ø

x5

2x

3x

1x

5x

2x

3x

1x


APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES

(Utilidades) Un comerciante de ganado compró 1000 reses a $150 cada una. Vendió 400 de

ellas obteniendo una ganancia del 25%. ¿A qué precio deberá vender las restantes 600 si la

utilidad promedio del lote completo ha de ser del 30%?

Solución:

a) Calculemos la ganancia en la 1ra venta; su ingreso por esa venta fue de:

400 x 150 = 60,000 su ganancia es del 25% de ese monto luego: (25/100) (60,000) = $15,000,

b) Si la ganancia promedio del lote completo (ósea de las 1000 reses) es del 30% quiere decir

que al vender todas a $150 el ingreso sería de: 1000 x 150 = 150,000 y su ganancia por la

venta del lote completo es: (30/100)(150,000) = 45,000

c) Al vender las 600 reses restantes a $150 se obtendrá: 600 x 150 = 90,000, por lo tanto se

cumple lo siguiente: U1 + U2 = 45,000 expresión que puede escribirse de la siguiente manera:

U1 + (precio de venta X 600 – 90,000) = 45,000.

d) Resolviendo tenemos. 15,000 + [p2 x 600 – 90,000] = 45000, donde p2 = $200

Lee detenidamente los siguientes problemas y utilizando los conceptos de las

ecuaciones lineales, resuelve.

a) Una compañía produce harina de pescado, con un costo variable de $38 por tonelada. Si

los costos fijos son $55 000 por mes y el alimento se vende en $63 por tonelada, ¿cuántas

toneladas deben venderse para que la compañía tenga una utilidad mensual de $270 000?

b) (Problema de mezclas) Una compañía vitivinícola requiere producir 10,000 litros de jerez

encabezando vino blanco, que tiene un contenido de alcohol del 10%, con brandy, el cual

tiene un contenido de alcohol del 35% por volumen. El jerez debe tener un contenido de

alcohol del 15%. Determine las cantidades de vino blanco y de brandy que deben

mezclarse para obtener el resultado deseado.

c) La compañía Jimmys fabrica rodilleras para deportistas, que tienen un precio unitario de

venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos, que no dependen de la producción,

ascienden a $60 000, determine:

d) (Inversiones) Un hombre invierte al 8% el doble de la cantidad que destina al 5%. Su ingreso

total anual por las dos inversiones es de $840. ¿Cuánto invirtió a cada tasa?

e) Un negociante vende los 2/5 de un lote de aceite a un primer comprador, a un segundo

vende 1/3 de la cantidad de aceite que queda después de la primera venta; al final

quedan todavía 16 litros de aceite para vender. Cuántos litros ha vendido en total el

negociante


1. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Al conjunto de ecuaciones:

253

542

yx

yx se le llama sistema de 2 ecuaciones lineales con

2 variables. Las variables o incógnitas son x e y. el problema consiste en encontrar valores

para x e y para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas (de manera simultánea) a estos

valores se les llama soluciones del sistema.

Interpretación Geométrica.

Como las ecuaciones del sistema son lineales, sus gráficas son rectas. Si los dibujamos en

un mismo plano, existen sólo 3 posibilidades:

1.

2.

3.

y

L1

L2

(xo; yo)

xo x

L1

L2

y

x

Un sólo punto de intersección. El sistema tiene solución única:

0

0

x x

y y

No hay intersección.

El sistema no tiene solución.

Infinitos puntos de intersección. El sistema tiene infinitas soluciones. Se le llama Solución paramétrica.

( )

x rr R

y f r

y

x

L1 L2


Métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, antes de usar uno de los métodos, es

conveniente alinear los términos en x y en y:

A. Método de eliminación por adición

Ilustramos este método para el sistema: 2 4 5 .. . . . ( 1)3 5 2 .. . . . ( 2)

x yx y

Busquemos que los coeficientes de la variable x sean iguales, excepto por el signo, para esto

multiplicamos a la ecuación (1) por 3 y a la ecuación (2) por -2, así queda un sistema

equivalente:

4106

15126

yx

yx

Luego sumamos ambas ecuaciones, miembro a miembro, obtenemos: 112 y que es una

ecuación lineal en la variable y, fácil de resolver: 2/11y

Para obtener el valor de x, reemplazamos 2/11y en cualquiera de las ecuaciones originales

(1) ó (2), para este caso elegimos la ecuación

(1):

2/11

542

y

yx

o 5)2/11(42 x

que es una ecuación lineal en la variable x, fácil de resolver, así 2/17x . Por lo tanto, la

solución del sistema es única: 2/11,2/17 yx

Esta solución cumple en ambas ecuaciones.

B. Método de eliminación por sustitución

Ilustramos este método, con el sistema:

)2.....(253

)1.....(542

yx

yx

Primero escogemos una de las ecuaciones, en este caso (1) y despejamos una de las

variables, en este caso despejamos la variable y, así obtenemos:

2534

25

yx

xy

Sustituimos el valor de y en la ecuación (2), resultando una ecuación lineal, de una variable,

fácil de resolver: 2)4

25(53

x

x luego 2/17x .


Reemplazamos, el valor hallado de x en la ecuación (1) se obtiene una ecuación lineal en la

variable y, fácil de resolver:

54)2

17(2

y luego 2/11y .

Por lo tanto, la solución del sistema es única: 2/11,2/17 yx .

Esta solución cumple en ambas ecuaciones. Se pudo haber elegido la ecuación (2) y despejar

la variable x, y proceder de manera similar.

Figura 5. Forma, representación, métodos de solución y tipos de solución de los sistemas de

ecuaciones lineales.

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

5123

34

yx

yx b)

830043

920062

yx

yx

c)

2

11

6

5

8

3

22

1

3

2

yx

yx

d)

121)10()10(

22

xyyx

yx


ACTIVIDAD 05

RESOLVIENDO ECUACIONES LINEALES, SISTEMAS DE ECUACIONES Y

SUS APLICACIONES

Objetivo

Resolver ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones y sus aplicaciones

Orientaciones





Afirmaciones

1. La forma de una ecuación lineal es ax + b = 0 donde, a 0 ( )

2. Si ax + b = 0 donde a=0 y b=0 la variable x toma infinitos valores ( )

3. 5 2 1 2

1 2

x x x

x x x

es una ecuación racional ( )

4. La ecuación 64

89

2

37

xx tiene como C.S. = { 2} ( )

5. La ecuación 2 7 1x x tiene como C.S. = { } ( )

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN Explique, brevemente, cuando un sistema de

ecuaciones lineales es compatible e incompatible


NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nª 3

Utiliza los conceptos y propiedades de las ecuaciones determina el conjunto solución de:

1. 2 24 3 (5 4) 3 ( 1)x x x x

2. 21

53

14

98

3

72

xxx

3. 65

13

12

1

82

2222

xxxxxx

4. 9 10 2 3 2x x x

NIVEL ANALISIS

Pregunta Nª 4


4.1 (Inversión) Una persona invirtió $2000 más al 8% que al 10% y recibió un ingreso total

por intereses de $700 por un año. ¿Cuánto invirtió a cada tasa?

4.2 (Agricultura) Una cosecha de papas da un promedio de 16 toneladas métricas de

proteína por kilómetro cuadrado de área plantada, mientras que el maíz produce 24

toneladas métricas por kilómetro cuadrado. ¿En qué proporciones deben plantarse las

papas y el maíz para obtener 21 toneladas de proteína por kilómetro cuadrado de la cosecha

combinada?

NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nª 5

Lee la situación problemática planteada, resuelve utilizando los conceptos de las

ecuaciones lineales y critica o defiende la afirmación. Justifica tu respuesta.

Si la razón entre el número de horas que una tienda de electrodomésticos está abierta, al

número de clientes diarios, es constante. Cuando la tienda está abierta 8 horas, el número

de clientes disminuye en 92 menos que el número máximo de clientes. Cuando la tienda

está abierta 10 horas el número de clientes es 46 menos que el número máximo de clientes.

Carlos, administrador de la tienda, ha determinado que el número máximo de clientes es de

276.



I. Resolver las siguientes ecuaciones lineales.

a) 15x - 10 = 6x - (x + 2) + (-x + 3) b) 4 3 ( 2) 2( 8) 4 ( 6)x x x x

c) 5 ( 4 1) 6 (3 5) ( 2)x x x x x d) 6 2 8 3 2 14x x x

e) 2 2 2

3 1 5 3 4 2x x x

f) 64

89

2

37

xx

g) 11 4 10

2 33 6

x xx

h)

5

4

4

3

3

2

xxx

II. Resolver las siguientes ecuaciones lineales racionales:

a) 4

2

2

x

x

x

x

b)

2

2

2 1

2 2 4

x x

x x x

c) 2

3 4 3 5 12

2 4 2 8

x x

x x x x

d) 3

9

14

3

12

3 2

xx

x

x

x

e) 14

114

7

8

37

12

xx

x

x

f)

34

4

9

1

32

2222

xxx

x

xx

x

III. Resolver las siguientes ecuaciones lineales con radicales:

a) 6 2 5 0x b) 2 7 1x x

c) 5 2 4 2x x d) 1 1x x

e) 5 14 2 1x x f) 5 2 4 5x x x

g) 9 7 16 7x x x

APLICACIONES

1. (Mezclas) La sustancia A contiene 5 miligramos de niacina por onza, y la sustancia B

contiene 2 miligramos de niacina por onza. ¿En qué proporciones deben mezclarse A y B

de modo que la mezcla resultante contenga 4 miligramos de niacina por onza?

2. (Venta de automóviles) Un vendedor de autos usados compró dos automóviles por $2900.

Vendió uno con una ganancia de 10% y otro con una pérdida de 5% y aún obtuvo una

ganancia de $185 en la transacción completa. Encuentre el costo de cada automóvil.


3.- (Inversiones) La señora Cordero va a invertir $70,000. Ella quiere recibir un ingreso anual

de $5000. Puede invertir sus fondos en bonos del gobierno a un 6% o, con un riesgo

mayor, al 8.5% de los bonos hipotecarios. ¿Cómo debería invertir su dinero de tal manera

que minimice los riesgos y obtenga $5000?

4.- Para una compañía que fabrica ollas a presión, el costo combinado de mano de obra y

material es de $3 por olla. Los costos fijos son $10 000. Si el precio de venta de una olla

es $5.

a.¿Cuántas ollas debe vender para que la compañía tenga una utilidad de $140 000?

b.¿Cuál será el ingreso para esa utilidad?

5.- La fábrica de comida para perros Omar’s, vende cada costal de comida en $200. El

costo de fabricación de cada costal es de $120. Los costos fijos mensuales son de $80

000. ¿Cuántos costales de comida para perros debe vender el fabricante para llegar al

punto de equilibrio?

CASO: INVIRTIENDO PARA EL FUTURO

(Interés y otros) El Sr. Pérez de 75años recibe de una AFP $200,000 por concepto de

jubilación y desea asegurar a su familia haciendo crecer su dinero. Un familiar le propone 3

alternativas según su experiencia para un período de 5 años:

1.- Colocar su capital en una entidad financiera a plazo fijo que paga un interés de 9% anual.

2.- Colocar el 80% de su capital en una empresa de inversiones que paga 0.8% mensual y el

20% restante colocarlo en un negocio pequeño privado que le paga 1.5% mensual.

3.- Colocar su capital directamente proporcional a 2,3 y 5 en 3 negocios diferentes A, B y C

de forma que: A es un negocio que le rinde 12% anual, B es un negocio que le rinde 1%

mensual y C le rinde 8% anual.

¿Qué alternativa le recomendaría usted al Sr. Pérez?

4.- Un negociante vende primero 1/3, luego los 2/5 de una pieza de tela de seda y

sucesivamente 1 / 4 de la parte que queda; sabiendo que vende en toral 48 metros.

Determinar cuántos metros quedará por venderse.

IV. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

326

6124

pq

qp b)

3(2 ) 712 72 10 10

2 4

3 9 2

x yx

x y x y


SEMANA

6

UNIDAD II

Números Reales

Tema: Ecuación Cuadrática

Definición.

Una ecuación cuadrática, o de segundo grado, es aquella expresión en la que el exponente

máximo es 2, siendo además racional y entera y, de la forma: 2 0ax bx c ; donde , ,a b c

son números reales y 0a .

Completas: 2 0ax bx c

Incompletas: 2 0ax bx donde 0c ; 2 0ax c donde 0b

Figura 6. Ecuación de segundo grado y sus tipos.

METODOS DE SOLUCION

Los métodos para resolver una ecuación de segundo grado son: Por factorización o por la

fórmula general

a) Por Factorización. - Pueden ser mediante factor común, aspa simple, completando

cuadrados, etc.

Ejemplo:

Resolver: 032 2 xx


Factorización mediante aspa simple: 032 2 xx

x2 3

x 1

Los factores son: (2 3)( 1) 0x x

Igualando a cero cada factor: 01 ; 032 xx

Resolviendo se obtiene: 1 ; 2

3 xx

El conjunto solución es: 3

2. ; 1 C S

Ejemplo:

Resolver: 3𝑥2 − 6𝑥 = 0

Usando el factor común: 3𝑥(𝑥 − 2) = 0 → 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 2 Luego: 𝐶. 𝑆: { 0; 2 }

b) Por la Formula General:

Una ecuación de segundo grado se puede resolverse utilizando la formula general:

2 4

2

b b acx

a

; Donde cba , y son los coeficientes de la ecuación.

Procedimiento

a) Se halla el valor de los coeficientes: cba , y .

b) Se reemplaza el valor de los coeficientes en la fórmula general.

c) Se reducen los términos semejantes en cada miembro

d) Se despeja la incógnita.

Además, de acuerdo al valor de la discriminante se tiene:

Si, 2 4 0b ac , entonces las raíces son reales y diferentes.

Si, 2 4 0b ac , entonces las raíces son complejas.

Si, 2 4 0b ac , entonces las raíces son reales e iguales.

Ejemplo:

Resolver: 0682 2 xx

Los valores de cba , y son: 2 , 8 , 6a b c


Reemplazando en la Fórmula General, se tiene:

2( 8) ( 8) 4(2)(6)

2(2)x

=

8 64 48

4

=

8 16

4

=

4

48

Entonces: 4

48

1

x y

4

48

2

x → 3

1x y 1

2x

→ 1 ; 3 . SC

APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRATICAS

1. La ecuación de ingresos de cierta compañía es: 2340 4I p p ; donde p es el precio en

dólares del producto que fabrica esa compañía. ¿Cuál será el precio para que el ingreso

sea de $ 6 000, si el precio debe ser mayor de $ 40?

2. Una compañía determina que si produce y vende q unidades de un producto, el ingreso

total por las ventas será q100 . Si el costo variable por unidad es de S/. 2 y el costo fijo

es S/. 1200, determine los valores de q para que la utilidad sea cero.

ACTIVIDAD 06

RESOLVIENDO ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y SISTEMAS DE

ECUACIONES NO LINEALES Y SUS APLICACIONES

Objetivo

Resolver ecuaciones de segundo grado, sistemas de ecuaciones no lineales y aplicaciones.

Orientaciones





Afirmaciones

1. La forma de una ecuación cuadrática es 2 0ax bx c , donde, a =

0 ( )

2. El Discriminante de una ecuación cuadrática es: 2 4b ac ( )

3. Para resolver una ecuación cuadrática se usa el método de factorización

y la fórmula general. ( )

4. La ecuación 2 7x x tiene como C.S. = { 7 } ( )

5. En la ecuación 2 1 0x x el discriminante es 5. ( )


NIVEL ANALISIS

Pregunta Nª 4


4.1 (Volumen) Una caja sin tapa se fabricará a partir de una hoja rectangular de hoja de lata

cortando cuadrados de 4 pulgadas de cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Si el

ancho de la caja es de 3 pulgadas menos que el largo y la caja contiene 280 pulgadas

cúbicas, encuentre las dimensiones de la hoja de lata.

4.2 (Inversión) Una suma de $200 se invirtió durante 2 años a una tasa de interés de 6%

anual. El interés del primer año no se retira y genera interés durante el segundo año. ¿Cuál

es el valor final que alcanza el capital?

NIVEL Pregunta Nº2


1. Explique, brevemente, el tipo de solución que tiene una ecuación cuadrática cuando el

discriminante es 0 , 0 y 0 .

NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nª 3

Utilizando los conceptos y los métodos de solución de las ecuaciones cuadráticas determina

el conjunto solución de:

a) 2 132 0x x b) 2 22 6 6 8x x x x

c) 23 1 0x x d)

22 3 5 0x x


NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nª 5



5.1 Un fabricante de camisas puede vender q unidades semanales al precio de p dólares

por unidad, donde qp 150 . El costo total de producir q unidades de camisas es de

)401800( q dólares. El fabricante indica que debe vender 60 camisas a la semana para

obtener una utilidad de 1 200 dólares, si el número de camisas debe ser mayor que 50.

5.2 (Decisión de precio) Si un editor pone un precio de $20 a un libro, se venderán 20,000

copias. Por cada dólar que aumente al precio se dejará de vender 500 libros. ¿Cuál debe

ser el costo de cada libro para generar un ingreso total por las ventas de $425,000?


I. Resolver las siguientes ecuaciones por cualquier método de solución:

a) 0192322 xx b) 0125202 xx

c) 2 22 6 6 8x x x x d) 2 2 9 0x x

e) (x-1)(x+2) - (2x-3)(x+4) - x + 14 = 0 f) 1 + 4(2x - 3)² = 4(2x - 3)

II. Resolver las siguientes ecuaciones por el método de factorización:

a) x2 25x b) 2x2 – 72x = 0

c) x2 – 4x + 4= 0 d) 2x2 + x – 3 = 0

e) x2 – 2x + 9= 0 f) x2 + 8x + 16= 0

III. Resolver los siguientes Sistemas de Ecuaciones no Lineales:

a)

2

2 1

1 3

x y

x y

b)

2 2 8

. 3

x y

x y


APLICACIONES

1. Un terreno rectangular de 4 x 8 m. se usa como jardín. Se decide poner una vereda en

toda la orilla interior de modo que 12 m2 del terreno se dejen para flores. ¿Cuál debe ser

el ancho de la vereda?

Solución:

Como el ancho de la vereda x debe ser de medida estándar al finalizar su construcción el

ancho del terreno será igual a 4 – 2x y el largo del mismo 8 – 2x.

Sabemos que el área de un rectángulo es A = L x A luego podemos reemplazar en la

fórmula y quedaría: 12 = (8 – 2x) (4 – 2x) y al efectuar la operación nos queda una

ecuación cuadrática de la forma 2 6 5 0x x y resolviendo por cualquiera de

los métodos resulta x = 1 y x = 5 donde debemos de desechar el segundo valor ya que

no podemos tener longitudes negativas en un a medida de terreno y por lo tanto el C.S =

{1}

2. El ingreso mensual de cierta compañía está dado por 2800 7 ,R p p donde p es el

precio en nuevos soles del producto que fabrica esa compañía.¿A qué precio el ingreso

será de S/. 10 000, si el precio debe ser mayor de S/. 50?

3. Cuando el precio de un producto es de p dólares por unidad, suponga que un fabricante

suministrará 23 4p p unidades del producto al mercado y que los consumidores

demandarán 224 p unidades. Si el valor de p para el cual la oferta es igual a la

demanda, se dice que el mercado está en equilibrio, halle el valor de p .

4. Suponga que un comerciante venderá q unidades de un producto, cuando el precio es

de )110( q dólares por unidad. Determine el número de unidades que debe vender a

fin de obtener un ingreso por ventas de 3000 dólares, si debe vender más de 50

unidades.

5. Un fabricante de pantalones puede vender q unidades semanales al precio de p

dólares por unidad, donde qp 185 . El costo total de producir q unidades de

pantalones es de )452800( q dólares. Halle el número de pantalones que debe vender

a la semana para obtener una utilidad de 2000 dólares, si el número de pantalones debe

ser mayor que 60.

6. Una compañía vende su producto a $9 por unidad. Cuesta $(4x + 3000) producir x

unidades por semana. ¿Cuáles son los ingresos y ganancias de la compañía, si x

unidades se producen y venden por semana?

7. (Problema de costo) Un vendedor vendió un reloj en $75. Su porcentaje de ganancia fue

igual al precio de costo en dólares. Determine el precio de costo del reloj.


CASO: INVERSIONES

1.- (Inversión) Una suma de $400 se invirtió a una tasa de interés R% anual. Al final del año

el capital y el interés se dejan que generen interés durante el segundo año. Determine R si el

valor total de la inversión al final del segundo año es $484.

2.- (Inversión) Una compañía desea reservar una suma de $1 millón para invertirlo a una tasa

de interés y utilizarlo en una fecha posterior para liquidar dos emisiones de bonos que deberá

pagar. Un año después que la suma se invirtió por primera vez, se requerirán $250,000 para

la primera emisión, un año después, se necesitarán $900,000 más para la segunda emisión.

Determine la tasa de interés necesaria para que la inversión sea suficiente para cubrir ambos

pagos.

Dilema Ético

Alteración de la parte contable y financiera de Enron

Enron Corporación, pasó de ser una pequeña empresa a convertirse en una de las

empresas de mayor valor en los Estados Unidos. Enron hizo participes de su

crecimiento a sus trabajadores, a través de múltiples formas para obtener acciones,

las que se iban cotizando cada vez más en el mercado de valores. El gerente General,

cuyo objetivo principal era que Enron aumentará cada vez su valor, pidió al Jefe del

área contable y financiera de la empresa, que modificara los balances y mostraran

beneficios no existentes; así como la falsificación de documentos, que describían una

situación financiera no real. El jefe del área contable y financiera, que no quería perder

su trabajo y además perder también el valor de la gran cantidad de acciones que había

adquirido, no puso reparos a la solicitud el Gerente General.

1. Menciona y explica los valores éticos y morales que estuvieron en juego en la

alteración de la parte contable y financiera de Enron.

2. Si usted estuviera a cargo del área contable y financiera, ¿hubiera obedecido al

Gerente General?

3. ¿Cuál sería su actuación ética, si usted hubiese sido Jefe del área contable y

financiera de Enron?


SEMANA

7

UNIDAD II

Números Reales

Tema: Inecuaciones Lineales

Desigualdad:

Es un enunciado que establece una relación de orden (<,>, ≤, ≥)

Ejemplo: 5 > 3 5 ≥ 𝑥 3 < 5 𝑥 ≤ 5

Propiedades de las Desigualdades

1) Si: 𝑎 < 𝑏 → 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 Ejemplo: 5 < 7 → 5 + 2 < 7 + 2

2) Si: 0a b

a b y c ac bc yc c

Ejemplo: 6 < 9 y 3 >0 ⇾ 6.3 < 9.3 y 6

3<

9

3

3) Si: 0a b

a b y c ac bc yc c

Ejemplo: 3 < 7 y -2 < 0 ⇾ 3 (-2) > 7 (-2) y 3

−2 >

7

−2

El conjunto solución de las desigualdades se da mediante INTERVALOS: Sea I un

subconjunto de R (I R). Decimos que I es un intervalo, si y sólo si es el conjunto de todos

los números reales que están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser reales o

ideales).

Figura 7. Representación de las desigualdades mediante intervalos.


INECUACIONES LINEALES

Definición: Son desigualdades, provistas de variables en primer grado y entes matemáticos

Ejemplo 1:

Resolver: 7𝑥 + 5 ≤ −3𝑥 − 5

Pasando las variables al primer miembro: 7𝑥 + 3𝑥 ≤ −5 − 5

Simplificando: 4𝑥 ≤ −10

Dividiendo entre 4: 𝒙 ≤−𝟓

𝟐

∴ 𝐂. 𝐒. = ⟨−∞; −𝟓

𝟐⟩

Ejemplo 2:

Resolver: −3𝑥 − 7 > 7𝑥 − 10

Pasando las variables al primer miembro: −3𝑥 − 7𝑥 > −10 + 7

Simplificando: −10𝑥 > −3

Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 10: 𝑥 <3

10

∴ 𝐂. 𝐒.= ⟨−∞; 𝟑

𝟏𝟎⟩

Ejemplo 3:

Resolver: 3 −5𝑥

2≤

2

5+3𝑥

6

Multiplicando por 30 (MCD): 90 − 75𝑥 ≤ 12 + 15𝑥

Pasando las variables al primer miembro: −75𝑥 − 15𝑥 ≤ 12 − 90

Simplificando: −90𝑥 ≤ −78

Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 90: 𝑥 ≥13

15

∴ 𝐂. 𝐒.= [𝟏𝟑

𝟏𝟓; ∞[

Ejemplo4.

Resolver: 3−1𝑥 + 2−1𝑥 + 6−1𝑥 > 5

Solución:

5623

xxx

M.C.M. (3; 2; 6) = 6

−5

2

3

10

13

15


556

32

x

xxx

∴ C.S. = <5; +>

Ejemplo 5:

Resolver 4𝑥 + 1 ≥ 3 − 5𝑥 > 10 − 7𝑥 6

Separando las inecuaciones: 4𝑥 + 1 ≥ 3 − 5𝑥 > 10 − 7𝑥 6

4𝑥 + 1 ≥ 3 − 5𝑥

Pasando las variables al primer miembro:

4𝑥 + 5𝑥 ≥ 3 − 1

Simplificando: 9𝑥 ≥ 2

Dividiendo entre9: 𝑥 ≥2

9

2

9

3 − 5𝑥 > 10 − 7𝑥 6

Pasando las variables al primer miembro:

−5𝑥 + 7𝑥 > 10 − 3

Simplificando: 2𝑥 > 7

Dividiendo entre 2 : 𝑥 >7

2

7

2

∴ 𝑥 ∈ ⟨7

2 ,∞⟩

I

II

5

2/9

I

7/2

I


APLICACIONES DE DESIGUALDADES LINEALES

a) Un rectángulo tiene perímetro de 24 unidades. Si la diferencia entre los dos lados

es menor que 6 unidades, determine el intervalo de valores para la longitud del

lado más largo.

b) (Utilidades del fabricante) El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo

que produce al precio de $60 cada artículo. Gasta $40 en materia prima y mano

de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de $3000 a la

semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que

debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos $1000 a la

semana.

c) (Inversión) La señora K tiene $5000 que quiere invertir, parte a 6% y el resto a

8%. Si ella desea un ingreso anual por intereses de al menos $370, ¿cuál es la

cantidad mínima que debe invertir al 8%?

Obtener ganancia: 0U ; 0t tI C

No obtener pérdida: 0U ; 0t tI C

1. Una empresa produce cartucheras. Las cartucheras tienen un precio unitario de venta de

S/. 20 y un costo unitario de S/. 15. Si los costos fijos son de S/. 500 000, determine el

número mínimo de cartucheras que deben venderse para que la empresa tenga utilidades.

2. En la producción del periódico “La Voz” se tiene que el costo de materia prima es de S/.

0,20 y el costo de mano de obra es S/. 0,30, por unidad. El costo que se tiene sin importar

el volumen de ventas, es de S/. 1000 mensual. El precio de cada periódico es S/. 1,00.

Determine el número de periódicos que se deben vender para que la empresa editorial

obtenga utilidades.

3. Un estilista cobra $20 por cortar el cabello, con ese precio tiene 120 clientes por semana.

Si sabe que por cada dólar que aumente el precio, perderá cuatro clientes, ¿Qué precio

máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $2 500


ACTIVIDAD 07

RESOLVIENDO INECUACIONES LINEALES Y SUS APLICACIONES

Objetivo

Resolver inecuaciones lineales y aplicaciones.

Orientaciones





Afirmaciones

1. La expresión 2 10 es una inecuación lineal. ( )

2. Si ;x es lo mismo que x - {0} ( )

3. La expresión “para obtener ganancias” se representa por: I – CT ≥ 0 ( )

4. La expresión “para no tener pérdidas” se representa por: I – CT > 0 ( )

5. Si 20 50q entonces q asume valores entre 20 y 50 inclusive. ( )

NIVEL Pregunta Nº2


Explique, brevemente, el procedimiento a seguir en la solución de una inecuación lineal


NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nª 3

Utilizando los conceptos y los métodos de solución de las ecuaciones cuadráticas determina

el conjunto solución de:

1. 3

x

2

)1x(

2

)1x( 22

2. 2

1

3

12

1

2

5

x

x

x

NIVEL ANALISIS

Pregunta Nª 4


Un empresario en venta de repuestos para celulares exclusivos, estima que para obtener

ganancias mensuales debe vender como mínimo 5000 repuestos por mes. Si los costos

que no se relacionan con la producción son de $70,000, los costos combinados de mano

de obra y material es de $21 por unidad y cada repuesto se vende en $35, analiza y

determina si el empresario está o no en lo cierto.


NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nª 5



Hoy, un fabricante tiene 2 500 unidades de un producto. El precio unitario del producto es

S/. 4,0. El próximo mes el precio por unidad se incrementará en S/. 0,50. El fabricante quiere

que el ingreso total recibido por la venta de las 2500 unidades no sea menor que S/. 10750,

¿Cuál es el número máximo de unidades que pueden venderse este mes?

Armando el estudiante más calificado resuelve el problema y afirma que el número de

unidades que pueden venderse hoy es 1000.

Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta

.


I. Colocar V o F en las siguientes expresiones y completar según sea el caso:

a) Definir Desigualdades Lineales e Inecuaciones Lineales es lo mismo……… ( )

b) El intervalo [¨1 ; 4] se puede escribir…………………………………………………..

c) U ˃ 0 significa………………………………………………………………………………

d) I – CT ≥ 0 significa no obtener ganancias…………………………………………( )

e) El Equilibrio se da cuando………………………………………………………………..

f) Si se requiere la cantidad mínima para que U ˃ $10000 y luego de operar los

datos nos resulta q ˃ 500 la respuesta será 501…………………………………( )

g) El intervalo abierto en “a” y cerrado en “b” se denota………………………………..

II- Resolver e indicar el conjunto solución de los siguientes ejercicios:

a) (3x + 2)(x - 5) – (12x - 76) > 3(x + 7)(x - 1) – 42 b) (x + 2)2 – (x - 2)2 16

c) (x + 2)(x + 5) – (x + 4)(x + 2) 10 d) (x + 2)(x - 2) – (x + 1)2 13


APLICACIONES

1.- Un empresario que vende repuestos para celulares, estima que para OBTENER

GANANCIAS mensuales debe vender como mínimo 5000 repuestos por mes. Si los

costos que no se relacionan con la producción son de $70,000, los costos combinados

de mano de obra y material es de $21 por unidad y si cada repuesto se vende en $35,

determine si el empresario está o no en lo cierto. Emita un juicio personal sobre la

afirmación.

2.- Un empresario en venta de carros exclusivos y reparados, estima que para NO

OBTENER PERDIDAS debe vender como mínimo 11 carros por mes. Si los

costos que no se relacionan con la producción son de S/.96, 000, los costos

combinados de mano de obra y material son de S/.2400 por carro y si cada carro

se vende en S/.12, 000 determine si el empresario está en lo cierto. Emita un juicio

personal sobre la afirmación.

3.- Una empresa produce fundas de automóvil y cada una tiene un precio unitario de venta de

$80 y un costo unitario de $35. Si los costos fijos son de $100000, determine el número

mínimo de fundas que deben venderse para que la empresa obtenga una Utilidad no

menor a $800000.

El estudiante Juan sostiene que la empresa debe vender algo menos de 20000 fundas

para que pueda obtener la utilidad deseada. Critica o Defiende la afirmación.

CASO: COMPRAR O RENTAR

Una compañía debe proporcionar a sus representantes de ventas un automóvil para uso

oficial. Con el fin de simplificar el problema suponga que sólo se tiene un representante

de ventas. Entonces la compañía debe decidir entre comprar, o bien, rentar un

automóvil. Después de analizar diferentes propuestas de empresas automotrices, tiene

las dos opciones siguientes. a) Comprar un automóvil con un desembolso inicial de

$60,600, más 24 mensualidades fijas de $4700, incluye el pago de un seguro para

automóvil. Al término de los 24 meses, el automóvil se puede vender en $70,000, a éste

se le conoce como valor de rescate.

b) Rentar un automóvil, por $3000 mensuales, más $0.60 por kilómetro recorrido y un

pago único de $5000 por concepto de seguro para automóvil con vigencia de dos años.

La empresa considera que en promedio su representante viaja 2000 kilómetros al mes, y

esto no cambiará en los próximos dos años.

Al final de los dos años, 24 meses, el plan A implica un gasto de $103,400, mientras que

en el plan B el gasto asciende a $105,800. Por lo que se debería elegir el plan A. Pero, si

el precio por kilómetro aún se puede negociar, ¿a partir de qué precio por kilómetro es

mejor el plan B que el plan A? y además responda:

tomando como base el planteamiento original y sólo cambie lo que se indica en cada

caso: i) ¿Cuál es el número de kilómetros promedio mensual que debe viajar a lo más el

representante de ventas para que sea mejor el plan B que el plan A? ii) Si el pago mensual

para la compra del automóvil se reduce a $4500 mensuales cada mes, ¿a lo más cuántos

kilómetros debe recorrer el representante de ventas para que sea mejor el plan B que el

plan A?


SEMANA

8

UNIDAD II

Números Reales

Tema: Inecuaciones Cuadráticas

Definición: Son desigualdades, provistas de variables en segundo grado y entes

matemáticos.

Casos: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 a, b, y c ∈ ℝ y 0a

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0

Procedimiento:

a) Resolver la inecuación como si fuera una ecuación de 2do grado.

b) Encontrar las raíces o soluciones de la ecuación, estas serán los extremos del intervalo

o los intervalos correspondientes al conjunto solución (Puntos Críticos).

c) Aplicar entre otros el Método de las Áreas.

d) Determinación del C.S.

Nota: Depende de la relación de orden que tenga la inecuación, para establecer el

conjunto solución.

Caso 1.- 2 0ax bx c , entonces:

1) 2 0ax bx c , al resolver supongamos que obtenemos como soluciones 1x m y

2x n

2) Como la relación de orden es ≥

C.S: ; ;x m n y m < n

Nota: Si la desigualdad hubiera sido solo > el conjunto solución sería:

; ;x m n

Caso 2.- 2 0ax bx c

𝑪. 𝑺 ∶ [𝒎;𝒏]

Nota: En el caso de ser solo < 𝑪. 𝑺 ∶ < 𝒎,𝒏 >

m n

+ + −

− + +

𝑚 𝑛


Ejemplo:

Resolver 2 6 0x x

1) 2 6 0x x 0)2)(3( xx 31 x ó 22 x

2) Como la inecuación es

𝐂. 𝐒: 𝐱 ∈ ⟨−∞; −𝟐] ∪[𝟑 ; ∞⟩

APLICACIONES DE INECUACIONES CUADRÁTICAS

(Producción y utilidades). Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es

p dólares están dadas por xp 3200 . El costo de producir x unidades al mes del artículo

es )5650( xC dólares. ¿Cuántas unidades de este articulo deberán producirse y

venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2 200 dólares?

Solución.

( ) ( )I unidades vendidas precio por unidad

)3200( xxI

23200 xxI

El costo C (en dólares) de fabricar x unidades es xC 5650 , la utilidad U (mensual)

obtenida por producir y vender x unidades está dada por:

CIU

)5650()3200( 2 xxxU

2 195 3 650U x x

Dado que la utilidad U debe ser al menos de $2200, tenemos que 2200 U luego:

2195 3 650 2200x x

Al escribir esto en la forma estándar y dividir todo entre -3 (notando que el signo de la

desigualdad se invierte), se obtiene la desigualdad:

2 65 950 0x x

Que es una inecuación cuadrática, por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el

intervalo cerrado 8.42 ; 2.22

Rpta.

Para alcanzar la meta requerida el número de unidades producidas y vendidas por mes debe

estar entre 23 y 42 inclusive.

-2 3

+ + −

xpI


(Decisión de precios). Una peluquería tiene un promedio de 120 clientes semanales a un

costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento de $0,75 en el precio, la

peluquería perderá 10 clientes. ¿Cuál debe ser el precio máximo que puede cobrarse de modo

que los ingresos semanales no sean menores que los actuales?

Solución.

Sea x el número de incremento de $0, 75 por encima de $8. Entonces el precio por corte de

cabello es (8 0,75 )x dólares, y el número de clientes será de (120 10 )x por semana.

Entonces: Ingresos totales semanales = numero de clientes×precio por corte

)75.08)(10120( xxI

Los ingresos por los 120 clientes actuales son 960$ 8120 por tanto los nuevos ingresos

deben ser al menos $960

(120 10 )(8 0,75 ) 960x x

Simplificando

2 10 7,5 0x x

Por tanto la solución de la desigualdad es el intervalo 4/3 , 0

Esto es, el precio de un corte de cabello debe estar entre $8 y $(8 + 0,75(4/3)) = $9,00

Rpta. El precio máximo que puede cobrarse es $9,00

(Ingresos del fabricante). Al precio de p dólares por unidad, x unidades de cierto articulo

pueden venderse al mes en el mercado con xp 5500 ¿Cuántas unidades deberán

venderse cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $12 500?

Solución.

Ingresos totales semanales = numero de unidades x precio

; 12 500 I

(500 5 ) 12500x x 2500 5 12500x x 25 500 12500 0 x x

2 100 2500 0 x x 2( 50) 0 x

La solución de la desigualdad es 50x

Rpta. Al mes se deben venderse 50 unidades.

)5-(500 xxI


ACTIVIDAD 08

RESOLVIENDO INECUACIONES CUADRÁTICAS Y SUS APLICACIONES

Objetivo

Resolver inecuaciones cuadráticas y sus aplicaciones.

Orientaciones





Afirmaciones

1. La forma de una inecuación cuadrática es 2 0ax bx c , donde a

= 0 ( )

2. Un método para resolver una inecuación cuadrática es mediante la

fórmula general. ( )

3. Un método para resolver una inecuación cuadrática es mediante los

puntos críticos. ( )

4. La inecuación 2 2 3 0x x tiene como C.S. = ( )

5. La inecuación 2 1 0x x tiene como C.S. = ( )

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN Explique, brevemente, el procedimiento a realizar en

la solución de una inecuación cuadrática o de

segundo grado.


NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nª 3

Utilizando los conceptos y los métodos de solución de las inecuaciones cuadráticas

determina el conjunto solución de:

a) 22 5 3 0x x b) 2 24 7 20 5 8x x x x

c) 2 24 5 3 7 9x x x x d) 2 6 25 16x x

NIVEL ANALISIS

Pregunta Nª 4


(Agricultura) Un granjero desea delimitar un terreno rectangular y tiene 200 yardas de cerca

disponible. Encuentre las dimensiones posibles del terreno si su área debe ser de al menos

2100 yardas cuadradas.

NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nª 5


inecuaciones cuadráticas y critica o defiende la afirmación. Justifica tu respuesta.

Una compañía de productos de belleza vende 300 unidades de un cosmético cuando su

precio unitario es de $60. Por cada disminución de $5 en el precio se venderán 45 unidades

más. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos de al menos $19 500? José

uno de los más destacados estudiantes del aula afirma que el precio máximo es mayor que

49 pero menor que 51.




I. Resolver e indicar el conjunto solución

1. x2> 3 2. x3 + 1 < (x - 1)3 3. x2 – 2x – 1 0

4. x2 – 6x + 25 < 11 4. 5. x2 – 11x + 24 < 0 6. x2 – 9x + 20 > 0

7. x2 – 8x – 9 0

APLICACIONES

1. La fábrica de cierto artículo ha estimado que su ganancia en miles de dólares está dado

por la expresión G(x) = - 6x2 + 48x - 76 donde ( x en miles) es el número de unidades

producidas. ¿Qué nivel de producción le permitirá obtener una ganancia de al menos S/.

14 000?

2. La demanda mensual de un cierto artículo cuando su precio es de p dólares viene dada

por 200

3

p

unidades. Los costos generales de la planta son 650 dólares mensuales

y el costo de producción de cada unidad es de 46 dólares. ¿Qué producciones garantizan

que el beneficio mensual sea de por lo menos 1325 dólares?

3. Juguetes BASA puede vender al mes, a un precio de p dólares por unidad, x unidades de

cierto artículo, con 120p x . Si los costos totales son de (950 15 )x dólares, ¿Cuántas

unidades deberán producirse y venderse cada mes para obtener una utilidad de al menos

$1800?

4. Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $25 cada una. El costo C

(en dólares) de producir x unidades cada semana, está dado por 2 300 26400C x x .

¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la semana para obtener alguna

utilidad?

JUICIO DE VALOR:

1. Si el precio “ p ” de cierto articulo depende de la cantidad demandada “ q ” y está dado por

120 2p q , y además se tienen costos fijos de $300 y el costo de producción de cada

unidad es de $20. ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse para obtener

utilidades de al menos $900? Ramiro el estudiante más aplicado del aula afirma que

matemáticamente la respuesta se debe expresar: 20 ≤ x ≤ 30



2. Las ventas mensuales “ x ” de cierto producto cuando su precio es “ p ” dólares está dada

por: 240 4p x . El costo de producir “ x ” unidades del mismo artículo es

700 20C x dólares. ¿Cuántas unidades de éste artículo deberán producirse y

venderse de modo que las utilidades mensuales son sea menor que $2 300? Arturo el

estudiante más distraído del aula afirma que el número de unidades a producirse y

venderse está entre 20 y 30.


3. Un editor puede vender 12 000 ejemplares de un libro al precio de $25 cada uno; por

cada dólar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares. ¿Qué precio

máximo deberá fijarse a cada ejemplar con el objeto de lograr ingresos de por lo menos

de $ 300 000? Juana una de las más destacadas estudiantes del aula afirma que el precio

máximo resulta de resolver la siguiente expresión: n2 - 5n ≤ 0


4.- Un supermercado se encuentra con grandes existencias de manzanas que debe vender

rápidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p céntimos por kilo,

venderá x kilos, con 1000 20x p . ¿Qué precio deberá fijar con el fin de obtener

ingresos de por lo menos $120?

CASO: VOLUMEN

Un empresario de la industria de confección metálica inicia conversaciones con futuros

clientes potenciales para la venta de cajas con material de hojalata y se necesita conocer

ciertos datos de las mismas a fin de proceder al costeo según el volumen de cada una de

ellas.

Por lo tanto, encomienda al contador de la empresa a que coordine con el jefe de planta el

dato faltante de una de las cajas de mayor posibilidad de venta. Ambos profesionales analizan

y determinan que la caja abierta se fabrica de una hoja rectangular metálica de 16 por 14 pies,

cortando cuadrados iguales de cada esquina y doblando hacia arriba los lados. Siendo el área

de la base de la caja de al menos de 80 pies cuadrados encuentran que la máxima altura

posible de la caja es de al menos 3 pie.

Resuelve el problema y determina si ambas personas están o no en lo correcto


TAREA AUTÉNTICA

Al finalizar tu carrera profesional, un inversionista te contrata para que le analices y presentes

una propuesta de inversión en el rubro de confecciones. El inversionista cree que confeccionar

y comercializar Gorras exclusivas para mujeres es un gran negocio. Para hacer realidad esta

idea de negocio, se necesita invertir en trámites para abrir la empresa, compra de máquinas

y equipos, alquiler de local, compra de material e insumos para las gorras (telas, viseras,

etiquetas, logos, etc) y en la promoción y venta de las mismas (volantes). Teniendo en cuenta

que el inversionista dispone de $12500 y desea confeccionar y comercializar 500 gorras como

mínimo en el primer mes, complete los gastos a realizar en la tabla siguiente:

Trámites Máquinas

y Equipos

Alquiler de

local Insumos Confección

Promoción y

Venta

LEMCO

Asimismo, con el acuerdo y decisión del equipo, determinen el precio al que se puede

comercializar cada gorra.

De acuerdo a lo anterior y a lo trabajado establecido en clase, justificadamente responda lo

siguiente:

a) Clasifica la inversión realizada de los 6 rubros de la tabla, en costos fijos y variables.

b) Identifica el costo unitario por gorra.

c) El costo fijo y costo total.

d) ¿Habría forma de calcular la cantidad que permite maximizar el ingreso del primer mes?

e) El ingreso obtenido en el primer mes.

f) La utilidad obtenida en el primer mes.

g) La cantidad de gorras a confeccionar para llegar al punto de equilibrio.

h) La cantidad mínima de gorras a confeccionar para obtener ganancias.

La tarea autentica se realizará en equipo, formados por un mínimo de 2 y un máximo de 4

estudiantes. Cada equipo presentará la tarea autentica realizada en hojas de papel bond A4

a espacio y medio.

.

LEMA ÉTICO


SEMANA

9

UNIDAD III

Funciones y Tópicos de Geometría Analítica

Tema: Funciones

I. Sistema Coordenado Bidimensional

El sistema coordenado bidimensional o 𝑅2 o rectangular o plano, se representa mediante

dos rectas perpendiculares, llamados ejes coordenados, que se intersectan o cruzan en

un punto llamado origen O. A la línea horizontal se le llama eje X (eje de abscisas), y a la

línea vertical, eje Y (eje de las ordenadas).

Cada punto P en un plano XY debe tener asignado un par de números llamado par

ordenado, se denota ( , )P a b , a se llama abscisa de P y b ordenada de P. Se dice que P

tiene las coordenadas ),( ba .

EJERCICIOS

Ubicar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares e indique el cuadrante al que

pertenece cada punto.

a) ( 2,6) (1, 1) (5,7) (6, 3)

b) )9,2()11,0()0,2()8,1(

c) (0, 3) (2, 1) (3,5) ( 4,6)

d) (0,0) (3, 3) (4, 5) ( 1, 6)

II. Producto Cartesiano

Dados dos conjuntos A y B , el producto cartesiano se define como:

, /A B x y x A y B

y

x

I

CUADRANTE

II

CUADRANTE

III

CUADRANTE

IV

CUADRANTE

(eje de las ordenadas)

( eje de las abscisas)

y

xa

b

( , )a b

o


Ejemplo 1

Dado los conjuntos: 2;1;0A y 4;2B , hallar: BA

Solución:

)4,2();2,2();4,1();2,1(();4,0();2,0(BA

Ejemplo 2

Dado el conjunto: 4; 3; 1A hallar: A A

Solución:

(4, 4); (4,3); (4, 1); (3, 4); (3,3); (3, 1); ( 1, 4); ( 1,3); ( 1, 1)A A

Propiedad

ABBA

III. RELACIONES

Dado un producto cartesiano A x B, mediante una regla de correspondencia entre la

abscisa y la ordenada de sus pares ordenados se dice que existe una RELACIÖN.

Las abscisas de los pares ordenados de la relación se les llaman DOMINIO

Las ordenadas de los pares ordenados de la relación de les llama RANGO

Observación

Si BA tiene n elementos entonces existen n2 relaciones de A en B

EJERCICIOS

1. Si 2;1;0;1A y 1;1;0;2 B . Hallar las relaciones siguientes:

a) 1 ( , ) / .R x y A B x y es un número par

b) 2 ( , ) / 0R x y A B x y

c) 3 ( , ) / 2R x y A B x y

2. Si 2; 0; 1; 3A , hallar las relaciones siguientes:

a) 1 ( , ) /R x y A A x y

b) 2 ( , ) / 0R x y A A x y

c) 3 ( , ) / 2R x y A A x y


IV. Funciones

Definición de Función

Una función de A en B , es una relación BAf que hace corresponder a cada

elemento ""x del conjunto A a lo más un elemento "" y del conjunto .B

La notación de una función es )(xfy que se lee “ y es igual a f dé x ”, donde ""x

es la variable independiente e "" y la variable dependiente.

El conjunto de valores que puede tomar ""x se denomina dominio de una función, y al

conjunto de valores que puede tomar "" y se le denomina rango de la función.

Formas de Representar una Función

Con el fin de describir una función específica podemos usar las siguientes formas:

a) Verbal (mediante una descripción con palabras).

El interés bancario producido por un capital, está en función del tiempo que esté

depositado.

b) Algebraica (por medio de una fórmula explícita).

Con una fórmula: A(r) = r2 que es el área de un círculo.

c) Visual (con una gráfica).

d) Numérica (a través de una tabla de valores).

Con una tabla de valores.

w (kilos) C(w) (dólares)

0 < w 1

1 < w 2

2 < w 3

3 < w 4

4

6.5

8.5

10

Costo de enviar por correo de primera clase una encomienda.

x

y


e) Diagrama Sagital

Dominio Rango

f) Conjunto de Pares Ordenados

1 2

4, 2 ; ,3 ; 0,1 ; 6,0 ; , 32 5

g

g es una función

Formas para determinar si una Relación ó Correspondencia es una función

Existen dos formas para determinar si una relación o correspondencia es o no es una función:

1. Estableciendo los siguientes Principios:

Principio de Existencia:

“Cada elemento de A está asociado a otro elemento de B”

Principio de Unicidad:

“A cada elemento de A le corresponde un solo elemento de B”

2. Aplicación del Método de la Recta Vertical:

“Se traza una recta vertical paralela al eje “Y” y si corta a la gráfica de la supuesta función

en un solo punto; luego la gráfica representa una función”

Nota:

Se debe analizar la gráfica presentada como posible función de izquierda a derecha

aplicando el método referido.

Ejemplos:

Establecer si la correspondencia de pares ordenados mostrada es una función:

g: A B {(1;3),(2;4),(,(3;5),(4;6),(5;7)} f: A B {(1;2),(5;2),(3;a),(a;-2),(a;5)}

A B

f


Determinar si las siguientes gráficas representan una función:

1.

2.

No es función ya que al trazar la recta vertical corta a la gráfica en 2 puntos.

No es función ya que, al trazar la recta vertical, corta a la gráfica en 2 puntos.

g

1

2

3

4

5

3

4

5

6

7

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

f

2

a

-2

5

1

5

3

a

A B

y

x

y

x

A B

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5


3.

4.

Figura 7. Representación de las desigualdades mediante intervalos.

Si es función ya que la vertical que se traza corta a la gráfica en 1 punto.

No es función ya que la vertical corta a la gráfica en 2 puntos.

y

x

y

x


Cálculo de las variables a y b en una función

1.- Si f es una función encontrar el valor de “a” y “b”

a) f: {(-1; 42a – b),(2;3a + b),(6;1),(2;243),(-1;256)}

Solución

Para x = -1 tenemos y = 42a - b = 256

De acuerdo a la propiedad de los exponentes. 42a - b = 256 = 44 . . . . . . . . ( 1)

Para x = 2 tenemos y = 3a + b = 243

Por el misma propiedad se tiene: 3a + b = 243 = 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

Luego de (1) y (2); igualamos los exponentes resultando un sistema de ecuaciones con

dos incógnitas donde obtenemos que a = 3 y b = 2

b) f : {(a; a + b),(a;14),(b; b - a),(b ; 4)}

Solución

De acuerdo al principio de unicidad se tiene:

a + b = 14 y b – a = 4

Resolviendo tenemos que: a = 5 y b = 9

c) f : {(-1; 2a – 3b),(2; 5a + b),(3; 5),(2; 25),(-1; 64)}

Solución

De acuerdo al principio de unicidad se tiene:

a – 3b = 6 y a + b = 2

Resolviendo tenemos que: a = 3 y b = -1

2) Determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenados es una función.

a) (2; 3), (3;4), ( 3;1), (4;5)

b) 2 3(1;5),(( 1) ;9),( 1;5),( 1;9)

c) { (2;2),(2;3),(3;3),(3;4),(4;5),(5;6)}

d) (1;2),(5;2),(3; ),( ; 2),( ,5)a a a

e) { (0;8),(-1;3),(0;16/2),(-1;5),(1;-6)}

f) ( 2;1),(6; 2);(3; 16),(4;1),(3, 4)

g) 3( 3;0),(0;0),(2; 8),(5;3),(2; 2)

h) { (4;2),(-62;8),(-1;22),(0;2),(-36;9)}

i) 1 4

1;3 ,(2;1), ;2 ,( , )3 3

a a

3) Si f es una función determinar ba, e indicar su dominio y rango.

a) (3;4),(7;8),(3; ),(7; )f b a

b) f = { (x; x +y),(x;12),(y; y – x),(y; 6)}

c) f = { (3; 8),(3; 22a – 1),(4; 81),(5;6),(4; 33b + 5),(7; a + b)}


d) f = { (3;27),(3, 32a – 1),(4;625),(9;4),(4; 53b + 5),(-4; a + b)}

e) f = { (2; 81),(2; 33a – 2b),(7,1),(5; 144 ),(3; a + b),(5; 122b -1)}

f) f = { (4,-1),(2;a),(4; b2 – a),(2;1)}

4) ¿Cuál de los siguientes diagramas representa una función?

b)

d)

a) A B

f)

h)

e) A B1

2

3

4

A Ba

b

c

d

e

1

2

3

4 5

A B

g)

A B

.

A B

AB

A B

c)


DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

En la definición de una función encontramos que los valores que puede asumir “x” y los valores

que asume “y” forman el Dominio (Dom.) y Rango (Rang.) respectivamente.

Para el caso de una función representada gráficamente puede asumirse una metodología

aparente para determinar el Dominio y el Rango y es la siguiente:

Cuando se trata de definir el Dominio, analizamos la totalidad de la gráfica de izquierda a

derecha y proyectamos la misma sobre el eje X con lo que obtenemos el resultado cuidando

la forma de los intervalos en cada tramo analizado.

Para el caso del Rango, hacemos exactamente lo mismo pero esta vez se proyecta la gráfica

sobre el eje Y.

Ejemplo: En las siguientes gráficas determinar Domf y Rangf

Dominio: 𝑥𝜖 < −∞; −5 >∪< −5;−4 >∪ [−3; 1[ ∪ {3} rango: 𝑦𝜖]−∞ ; 4]

Df : 𝑥 𝜖 < −∞; −5 >∪< −5;2] ∪< 2; 0] ∪< 0; 2 >∪< 2;∞ >

Rf : 𝑦 𝜖 < −∞; −2 >∪ {−1} ∪< 0; 6 >

2

2 5

1 2

2

6

x

4

3 1 3

y

4

2

5


ACTIVIDAD 09

RECONOCIENDO LAS RELACIONES Y FUNCIONES EN

Objetivo

Reconocer relaciones y funciones, estableciendo sus diferencias.

Orientaciones





Afirmaciones

1. El plano cartesiano está formado por 4 cuadrantes en sentido horario ( )

2. Un punto queda establecido en el plano cartesiano cuando tenemos

definido el par ordenado ( x; y) ( )

3. Si 1,2A y 3,4B entonces (3,1),(4,2)R es una relación

de A en B. ( )

4. La inecuación 2 2 3 0x x representa a una función. ( )

5. Si el conjunto de pares (3,1),(1,2),(4,2),(3,1) representa a una

función entonces 3,1,4Dom y 1,2Rang . ( )

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN Si los pares ordenados siguientes son funciones,

halla el valor de a y b.

1. 2 3( 1;2 ),(2;5 ),(3;5),(2, 625),( 1;64)a b a bf

2. 2 2(5;7),( 1; ),( ;2 ),(5; 2 ),( 1;2)f a b a b b a a b

3. 2(1;27),(7;2),(2;4 ),(1,3 ),(2;16)a b a bf


NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nª 3

Utilizando los conceptos de domino y rango de una función, determina el dominio y rango a

partir de las gráficas de las siguientes funciones:

1.

2.

3.

y

x1

3

5 73 8

1

4

3

2

2

y

x461

2 2

3

4

2

8

( )f x

3

4

2


NIVEL ANALISIS

Pregunta Nª 4

Analiza detenidamente, cada una de las gráficas siguientes y establece cual representan a

una función. Explica la justificación.

a) b)

NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nª 5

Juan ha establecido que el dominio y rango de la gráfica de la función es:

5;4 2;3 3;5Dom y 2; 1 1;5 1;4Rang . Critica o defiende la

afirmación de Juan. Justifica tu respuesta.

.

Dominio:

Rango:

y

x

y

x

y

x55

2

4

4

2

3 1

1

4




a) El plano cartesiano está formado por 4 cuadrantes en sentido horario………… ( )

b) A cada pareja de coordenadas (x, y) le corresponde más de un punto en el plano

c) Un punto queda establecido en el plano cartesiano cuando tenemos…………... ( )

definido el par ordenado ( x ; y)

c) El Producto Cartesiano A x B = B x A……………………………………………… ( )

d) Si A = {0;1;2} y B = {2;4} luego (4;2) es una relación de A X B…………………… ( )

e) Si a cada “x” elemento de A le corresponde un solo elemento “y” de B decimos

que…………………………………………………………………………………………………

f) La Regla de Correspondencia de una función se expresa como:……………………..

g) Los Principios de Unicidad y Existencia determinan…………………………………….

………………………………………………………………………………………………..

d) Una supuesta función expresada en pares de ordenado se reconoce si lo es cuando

………………………………………………………………………………………………..

e) El Método de la Recta Vertical consiste en……………………………………………….

……………………………………………………………………………………………….

f) El Rango de una función está formado por………………………………………………

……………………………………………………………………………………………….

g) Si A = 1 4

1;3 ,(2;1), ;2 ,( , )3 3

a a

luego representa una función…………….( )

II- Si 2;1;0;1A y 1;1;0;2 B . Hallar las relaciones siguientes:

a) 1 ( , ) / . 1R x y A B x y

b) 2 ( , ) / .R x y B A x y es un número impar

c) 3 ( , ) / 0R x y B A x y

d) 4 ( , ) / 1R x y B A x y

III. Si 2; 0; 1; 3A , hallar las relaciones siguientes:

a) 1 ( , ) / 1R x y A A x y

b) 2 ( , ) /R x y A A x y

c) 3 ( , ) / 1xR x y A A y


IV. Si f es una función encontrar los valores de “a” y “b” así como el dominio y rango:

a) f = {( 7;42a – b),(12;3a + b),(3;1),(12;243),(7;256)}

b) )64;1(),625,2(),5;3(),5;2(),2;1( 32 babaf

d) )2;1(),2;5(),2;(),;1(),7;5( 22 baabbabaf

e) )16;2(),3,1(),4;2(),2;7(),27;1( 2 babaf

V. Determine que grafica representa una función:

x x

y y(a) (b)

y

x

y

x

(c) (d)

(e) (f) y

x

y

x

(g) (h) y

x

y

x


VI. Hallar el dominio y el rango sólo de los gráficos que representan una función:

4

3

1 4 5 -1

-2

-2

-4 2 4 x

-2

(b)

(d)

y

x

y

x

y

x

y

x

y

-4

6

2

1

(a)

(c)

-2

2

5

6 f(x)

1 2 5

y

x

5

1

2

-2 -3

-4 -6

6

(2; 3)

6 8 10

(e) (f)

-2 2 8

-2

(4; 7)

(g) y

x(0, 1)

(3, 6)

(0, 4)(4, 4)

y

x3

3

35

4

1 2

(h)

3

7

8 f(x)


SEMANA

10

UNIDAD III


Tema: Características y Evaluación de una función

Características de una función

Función creciente: Una función f es

estrictamente creciente en el intervalo I ,

si Ixxxfxfxx 212121 ,)()(

La grafica crece o sube de izquierda a

derecha conforme el valor de x también

aumenta.

Función decreciente: Una función f es

estrictamente decreciente en el intervalo I ,

si Ixxxfxfxx 212121 ,)()(

La grafica decrece o baja de izquierda a

derecha conforme el valor de x aumenta.

Función constante: Una función f

es constante en el intervalo I ,

si 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ,x x f x f x x x I

La gráfica es una recta horizontal

conforme el valor de x aumenta.

Ejemplo

La función 2( ) ( 1) , 0,5f x x x es estrictamente creciente.

Solución

Considerando 01 x y 52 x , entonces:

1)10()0()( 2

1 fxf

36)15()5()( 2

2 fxf

Se tiene que si )()( 2121 xfxfxx se cumple 5,0, 21 xx

Por lo tanto la función es estrictamente creciente en 5,0

y

1( )f x

2( )f x

1x2x x

y

2( )f x

1( )f x

1x 2x x

y

21( ) ( )f x f x

1x2x x


Signos de la función

i. 0)( xf )(xf es negativa ;x a b

ii. 0)( xf )(xf es positiva ;x b c

Intersecciones con los ejes coordenados

- Intersección con el eje x

Hacemos 0)( xfy , y hallamos el valor de x .

- Intersección con el eje y

Hacemos 0x , y hallamos el valor de y .

Ejemplo

Dada la siguiente gráfica de la función: )(xfy

y

x1

3

5 5 7

4

3 8

1

68

3 2

x

y

( )f x

a b c


Tenemos:

Dominio:

, 8 6 5,0 1,8domf

Rango:

, 4 3 2,3Ranf

Intervalos de crecimiento:

5,0 ; 5,8

Intervalos de decrecimiento

1,5

)(xf es positiva en

6 , 1,3 , 7,8

)(xf es negativa en

, 8 , 5,0 , 3,7

Puntos de

intersección con el

eje x

(3,0), (7,0)

Punto de

intersección con el

eje y

(0, 4)

Evaluación de una función

Evaluar una función significa encontrar un valor para la misma y éste puede ser numérico o

literal.

La evaluación de una función tiene dos características:

- Evaluación Analítica

- Evaluación Gráfica

Ejemplos:

a). Evaluación Analítica

1) Evalúa las siguientes funciones en los valores indicados:

Función f(a) f(0) f(-2) f(5) f(x + h)

f(x) = 4x2 + 1 4(a)2 + 1 1 17 101 4(x + h)2+1

f(x) = x / 2 a/2 0 -1 5/2 X + h / 2

f(x) = 2x - 6 2a - 6 -6 -10 4 2(x+h) - 6

f(x) = 3x 3a 0 -6 15 3(x+h)

2) Evaluar la función f(x) = 6x – 2 para: f(0) ; f(-2) ; f(8)

f(0) = 6(0) – 2 = -2 ; f(-2) = 6(-2) – 2 = -14 ; f(8) = 6(8) – 2 = 46

3) Evaluar la función 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + √𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎: 𝑓(1) 𝑦 𝑓(9)

𝑓(1) = √12 + √1 = 2 ; 𝑓(9) = √92 + √9 = 12

4) Evaluar la función 𝑓(𝑥) = {(2𝑥2 – 10𝑥 + 2) ; 𝑥 < 3 7𝑥 + 1 ; 𝑥 > 3

𝑓(0) ; 𝑓(5) ; 𝑓(−2) ; 𝑓(√3)


Para evaluar debemos tener en cuenta el dominio en el que se sitúa el valor de x examinado

y el respectivo valor de la función para ese valor de x.

Luego:

𝑓(0) = 2(0)2 – 10(0) + 2 = 2

𝑓(5) = 7(5) + 1 = 36

𝑓(−2) = 2(−2)2 – 10(−2) + 2 = 30

𝑓(√3 = 2(√3)2 – 10(√3) + 2 = 8 − 10(√3)

5) Evaluar función: 𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 1 ; −6 ≤ 𝑥 ≤ 6

36 − 𝑥2 ; 6 < 𝑥 ≤ 10

ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑀 = 3𝑓(0) + 8𝑓(7)

4𝑓(−4) – 3𝑓(10)

Luego:

f(0) = 02 –1 = -1 ; f(7) = 36 – 72 = -13; f(-4) = (-4)2 –1=15 ; f(10)=36 – 102 = - 64

Así: 𝑀 = 3(−1) + 8(−13)

4(15) – 3(−64) =

−107

252

b). Evaluación gráfica

1) Dada la gráfica Nª 1:

Determinar los valores de: f(-3), f(0), f(2), f(4), f(5) y f(8)

f(-3) = 0 f(0) = -4 f(2) =-6 f(4) = -6 f(5) = 4 f(8)= No existe

x

y

-4

-6

-6

4

8 5 2 -3


2) Dada la gráfica Nª 2:

Hallar: 𝑃 = 𝑓(−4) + 𝑓(0)

𝑓(5) − 𝑓(3)

f(-4) = 5 f(0) = -3 f(5) = 4 f(3) = 0

Luego: 𝑃 = 5 – 3

4 – 0 = ½

ACTIVIDAD 10

IDENTIFICANDO LAS CARACTERISTICAS DE UNA FUNCIÓN Y SU

CORRESPONDIENTE EVALUACION

Objetivo

Identificar las características principales de las funciones especiales y evaluarlas.

Orientaciones

La actividad a realizar es individual. Lee detenidamente, analiza, evalúa y responde.

NIVEL Pregunta Nº1



Afirmaciones

1. El dominio de una función es el conjunto de valores que están sobre

el eje X. ( )

2. El rango de una función es el conjunto de valores que están sobre el

eje Y. ( )

3.- Cuando se evalúa una función el valor encontrado siempre es un

número real. ( )

4.- Cuando se evalúa la función valor absoluto, el resultado puede ser un

número negativo. ( )

x

y

-4

0

-3

-5

4

5

5 3


NIVEL Pregunta Nº2


1. De acuerdo a lo establecido en la sesión, explique brevemente, que es evaluar una

función.

2. A partir de la gráfica de una función, ¿Cuándo se dice que la función es positiva o

negativa? ¿Cuándo la función es creciente o decreciente?

NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nª 3

Considerando que la gráfica adjunta corresponde a cierta función )(xfy , halla:

a. Dominio

b. Rango

c. Los intervalos de crecimiento

d. Los intervalos de decrecimiento

e. Los intervalos en el cual 0)( xf

f. Los intervalos en el cual 0)( xf

g. Los puntos de intersección con los ejes coordenados.

Pregunta Nª 4

En cada una de las funciones siguientes, hallar los valores funcionales indicados

a. f(x) = 4x4 + 1 )5(;)(;)4( fhff

b. 5

( )3

xf x

x

,

( 1) ; (0) ; ( )f f f x h

c. 42)( 2 xxxf ( ) ; (0) ; ( 3)f h f f

d. 62

1)( xxf

1( ); (0) ; ( 1)3

f f f

e. 𝑓(𝑥) = √ 𝑥 + 2 (0) ; ( 1)f f

x

y


f.

84;16

44;)(

2

2

xx

xxxf )0(;)6(;)

3

1( fff ; )2(f

g. 2

5 ; 3 3( )

6 8 ; 3 9

x xf x

x x

3 ( 2) 2 (3)

3 (4) 2 (8)

f fA

f f

h. 2( )f x x

( ) ( )f x h f x

h

NIVEL ANALISIS

Pregunta Nª 5

Analiza la gráfica adjunta corresponde a cierta función )(xfy , y halla:

a. ( 1)f

b. ( 5)f

c. (1)f

d. ( 2)f

e. (4)f

NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nª 6

Luego de analizar la función ( )f x , Luis ha encontrado que el valor de la expresión R es 4.

¿Estás de acuerdo con lo encontrado por Luis? Justifica tu respuesta

2

3 2

5 ; 0

( ) 2 3 4 ; 0 6

10; 6

x x

f x x x x x

x x

( 2)

( 1)

(0)

(1)

(2)

(3)

f

f

f

f

f

f

( 2)

(1)(0) 8 ( 1) (6)

(3)

f

ff f f

fR

Justificación:

x

y4

3

1

-1 -2

-5 1

-2


EJERCICIOS ADICIONALES:

1. Dada la gráfica de la función:

a) Hallar (7) ( 3)

(2) ( 6) (0)

f f

f f f

b) Hallar los “ x ” para los cuales se cumple que

.0)( xf

c) Halle el dominio y el rango.

d) Indique los intervalos de crecimiento y

decrecimiento.

e) Indique los intervalos en que la función es

constante.

f) ¿En qué intervalos la función es negativa?

g) Hallar los puntos de intersección con los ejes

coordenados.

Tomando la gráfica Nº 1 como modelo: hallar

𝑀 = 6𝑓(7) + 3𝑓(3)

2𝑓(2) − 3𝑓(−3) 𝑁 =

7𝑓(6) − 𝑓(2)

2𝑓(−3) + 4𝑓(0)

Tomando la gráfica Nª 2 como modelo: hallar

𝑅 = 6𝑓(−5) + 8𝑓(12)

3𝑓(8) – 4𝑓(−4) 𝑆 =

3𝑓(0) + 3𝑓(20)

2𝑓(3) + 2𝑓(5) 𝑃 =

𝑓(7)+𝑓(0)

𝑓(−5)−𝑓(−4)

2. Dada la gráfica de la función f (x), determina los intervalos donde es creciente o

decreciente. Así como los intervalos donde 𝑓(𝑥) > 0 𝑦 𝑓(𝑥) < 0.

x

y

6 4

-1

9

6

2

1 3 5 7 8 9

-2

4


SEMANA

11

UNIDAD III


Tema: Funciones Especiales

Funciones especiales

1. Función lineal: 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃;𝒂 ≠ 𝟎, 𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙): 𝒙 ∈ 𝑹 , 𝑹𝒈 𝒇(𝒙): 𝒚 ∈ 𝑹

2. Función constante.

cxf )( , donde c es una constante, fDom , cfRan

3. Función cuadrática

,)( 2 cbxaxxf 0a , fDom .

4. Función polinomial

),()( xpxf Donde )(xp es un polinomio, fDom

5. Función Racional

( )( )

( )

p xf x

q x , donde )()( xqyxp ; q(x) ≠ 0 son funciones polinomiales.

0)(/ xqxfDom

6. Función radical

( ) ( )nf x p x , si n es par, 0)(: xpfDom

7. Función por partes o tramos

33

22

11

,)(

,)(

,)(

)(

fDomxxf

fDomxxf

fDomxxf

xf 21 fDomfDomfDom 3fDom .

8. Función valor absoluto

f x x , donde

, 0

, 0

x si xx

x si x

, )( fDom


Ejemplo

Hallar el dominio de las siguientes funciones:

1. 2

4( )

xf x

x x

04 x

x4

02 xx

10

0)1(

xx

xx

,4 0,1Dom f

2. 6 3 3

( )3 4

xf x

x

036 x

x2

043 x

43x

3/ 4,2Dom f

OPERACIONES CON FUNCIONES

1. Suma de funciones

xgxfxgf , gDomfDomgfDom )(

2. Diferencia de funciones

xgxfxgf , gDomfDomgfDom )(

3. Multiplicación de funciones

xgxfxfg . , gDomfDomgfDom ).(

4. División de funciones

xg

xfx

g

f

, gDomfDomgfDom )( 0)(/ xgx

5. Composición de funciones

,)()( xgfxgf )()()()( fDomxggDomxgfDom

,)()( xfgxfg )()()()( gDomxffDomxfgDom

Observación

Las operaciones entre funciones están definidas siempre y cuando el dominio de las

nuevas funciones sea distinto de vacío.

4 2


7321

Ejemplos

1. Si ( ) 1 ( ) 2,f x x y g x x hallar ))(( xgf y ( )( )f

xg

Solución

;1Dom f y, RgDom )( , entonces:

;1Dom f g , ;1 2f

Domg

Luego:

21)()()( xxxgxfxgf

2

1

)(

)()(

x

x

xg

xfx

g

f

2. Si 7,3,2)( xxxf y 3,0,4)( xxxg . Hallar )(xgf y )(xfg

Solución

a) )()()()( fDomxggDomxgfDom

7,343,0 xx

31

743

x

x

3,0)( gfDom

1 0 3

Por lo tanto:

xxxfxgfxgf 2)4(24)()(

b) )()()()( gDomxffDomxfgDom

3,027,3 xx

21

12

320

x

x

x

)( fgDom

Por lo tanto:

)(xfg No está definido.


y

x

y

GRÁFICA DE FUNCIONES

1) Función constante

cxf )( , c = constante

𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅, 𝑅𝑔 𝑓(𝑥): 𝑦 𝜖 {𝑐}

3) Función cuadrática

2)( xxf

𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅, 0;Ran f

5) Función valor absoluto

, 0( )

, 0

x xf x x

x x

𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅

0;Ran f

2) Función lineal

xxf )(

𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅, 𝑅𝑔 𝑓(𝑥): 𝑦 𝜖 𝑅

4) Función raíz cuadrada

,)( xxf

,0fDom , 0;Ran f

6) Función racional

x

xf1

)(

𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅 − {0}

𝑅𝑔 𝑓(𝑥): 𝑦 𝜀 𝑅 − {0}

y

y y

c

x x 1

1

1

1 -1

-1

- 1 1

1

1 4

2

1

x

-1 1

1

x

y


ACTIVIDAD 11

RECONOCIENDO LAS FUNCIONES ESPECIALES SU GRÁFICA, DOMINIO Y

RANGO. REALIZANDO OPERACIONES CON FUNCIONES

Objetivo

Reconocer las funciones especiales, su gráfica, dominio y rango. Así como las operaciones

entre funciones.

Orientaciones

La actividad a realizar es individual. Observa, analiza, calcula y responde.

NIVEL Pregunta Nº1


una de las proposiciones.

Proposiciones

1. ( ) 2 1f x x es la función especial valor absoluto. ( )

2. 1

( )f xx

es la función especial lineal. ( )

3. La función 2( )f x x tiene como dominio a . ( )

4. Si 2( ) 2 1f x x x y ( ) 2g x x entonces

2( )( ) 2 3g f x x . ( )

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN De acuerdo a lo establecido en la sesión, indica el

nombre de las funciones especiales siguientes.

Justifica.

a) b)

---------------------------------------- --------------------------------------

y

x

y

x


c) d)

----------------------------------------- ------------------------------------------

NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nª 3

De cada una de las funciones siguientes, hallar su dominio

a. 12

3)(

2

xx

xxf

b. xxf 25)( ,

c. 42)( 2 xxxf

d. 6

)(2

xx

xxf

e. 2 3( )

6 2

xf x

x

f. 6( )

3

xf x

x

y

x

y

x


NIVEL ANALISIS

Pregunta Nª 4

Analiza la gráfica adjunta corresponde a cierta función )(xfy , y halla el valor de E y M:

3( )( 15) 2( )(8)

5( )( 20)

f g f gE

f g

2( . .)(5) 4( )(0)

3( )( 6)

f g f gM

f g

NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nª 5

Luego de analizar las funciones ( )f x , Pedro ha encontrado que el valor de la expresión M

es 8. ¿Estás de acuerdo con lo encontrado por Pedro? Justifica tu respuesta

Si : 2

2 4 ; 0( )

; 0

x xf x

x x

y

2( 4) 6 ; 1

( )

5 2 5 ; 1

x x xg x

x x

halle el valor de la expresión:

1 2

34 /

f g f gM

g f

x

y( )g x

3

8

6 5

4

x

y( )f x

4

6

6 4

4

3

2

2



I . Determine el dominio de las siguientes funciones:

1. 9)( xf

2. xxxf 22

3. 2518)( xxxf

4. 216)( xxf

5. xx

xxf

2

3)(

2

6. 232

25)(

2

4

xx

xxxf

7. x

xxxf

24)(

2

8. 16

22)(

2

x

xxf

9. 1

326)(

2

x

xxf

10. 2

14

7)(

x

xxf

11. xx

xxf 5

32

49)(

12. 21

2)(

x

xxf

13. 12

1054)(

2

2

xx

xxxf

14. 65)( 2 xxxf

15. 4

65)(

2

x

xxxf

16.

2;1

2;2)(

3 xx

xxxf

II. Dada las funciones:

,24)(13)( xxgyxxf hallar las operaciones siguientes:

a) ))(( xgf b) ))(( xgf c) ))(.( xgf d) ))(( xg

f

xxf )( y ,123)( 2 xxxg hallar las operaciones siguientes

a) ))(( xgf

b) ))(( xgf

c) ))(.( xgf d) ))(( xf

g

III. Sean las funciones:

2;63

2;42)(

xx

xxxf

y

4;4

4;24)(

2

xx

xxxg

Hallar: 6)2)((2

5)2)(.(3)

gof

fgHa

2 . 6 12)

7 0/

f g g fb H

f g

IV. Sean Las funciones:

1;256

1;46)(

2

xx

xxxf

y

0;

0;24)(

2 xx

xxxg


hallar: a)

3 2 2 1

3 3

/f g f gH

g f

1/ 2

3 . 2 2)

2

f g f gb H

f g g f

V. Si 9,5,4,0,5,1,2,3 f y 6,8,1,5,2,3,4,2g

Hallar:2; ; . ; ; 3/f g f g f g f g f g

VI. Sean las funciones:

2,3,4,0,5,1,2,2 f y 6,0,1,5,2,3,4,2g

Hallar:

(2) 2 (0)

4 (3)

/f g f gM

g f

VII. Sean las Funciones

Hallar: a) 3( )( 4) 4( )( 7)

3( )( 8)

f gE

g f

b)

2( )( 3) 5( . )(0) ( )( 7)

3 ( )(0)

g f g gF

f g

VIII. En cada uno de los ejercicios, indicar el dominio de gf , fg y hallar su regla de

correspondencia si existe.

a) 4,1,4)( xxxf y 5,0,12)( xxxg

b) 7,1,33)( xxxf y ( ) 12, 2;4g x x x

c) 8,3,1)(2

xxxf y ( ) 3 , 5;2g x x x

x

y( )f x

4

6

6 4

4

3

2

2

x

y( )g x

3

8

6 5

4


SEMANA

12

UNIDAD III


Tema: Función Lineal

RECTAS

Pendiente de una recta

Sean 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y dos puntos diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la

recta se define como: tg Ø = 2 1

2 1

y y cambio verticalm

x x cambio horizontal

Podemos caracterizar la orientación de una recta por su pendiente:

Pendiente cero Recta horizontal

Pendiente indefinida Recta vertical

Pendiente positiva Recta que sube de izquierda a derecha

Pendiente negativa Recta que desciende de izquierda a derecha

FORMAS DE ECUACION DE UNA RECTA

Ecuación de la recta con punto – pendiente conocido

Sea la recta L con pendiente m que pasa por el punto 0 0( , )x y , tiene por ecuación:

0 0( )y y m x x

Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,4) que tiene pendiente 5.

Solución.

Tenemos punto de paso (1,4) y m = 5 luego la ecuación de la recta es 4 5( 1)y x

simplificando : 5 1L y x .

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sea la recta L que pasa por los puntos 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y . Entonces la ecuación de recta

es: 2 11 1

2 1

( )y y

y y x xx x


Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la recta L que pasa por: (-1,2) y (3,5).

Solución.

Es claro que 5 2 3

3 ( 1) 4m

y tomando como punto de paso cualquiera de ellos, digamos

el punto (3,5) se tiene la ecuación: 3

5 34

y x . Reduciendo tenemos: 3 11

:4 4

L y x

Ecuación pendiente – ordenada al origen (intersección)

Sea la recta L con pendiente m que interseca al eje y en b, tiene por ecuación:

bmxy

Ecuación lineal general: 0 CByAx donde a y b ≠ 0 a la vez

Ecuación de una recta vertical: ax

Ecuación de una recta horizontal: by

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Rectas Paralelas

Dos rectas 1 2L y L son paralelas, si sus pendientes 1 2m y m son iguales. Es decir:

21 // LL si sólo si 21 mm .

Rectas Perpendiculares

Dos rectas 1 2L Ly son perpendiculares, si sus pendientes 1 2m y m satisfacen la siguiente

relación 1 2. 1m m .

Es decir 1 2 1

2

1

L L mm

si y solo si .

Ejemplo 3: Hallar la ecuación de la recta L (y su perpendicular) que pasa por el punto

(1,2) y es paralela a la recta 2 3y x .

Solución. Si L pasa por el punto (1,2) y es paralela a la recta 2 3y x entonces la

pendiente de L es 2. Luego aplicando la ecuación punto pendiente tenemos

2 2( 1) : 2y x L y x . Luego la ecuación de la recta L1 perpendicular a L y que pasa

por (1,2) es L1: 1

2 12

y x resolviendo tenemos L1:1 3

2 2y x que es la recta

perpendicular a L.


APLICACIONES

Demanda Lineal Oferta Lineal

m es cantidad de equilibrio

n es precio de equilibrio.

Ejemplo

Supongamos que la demanda por semana de un producto es de 150 unidades a un precio de

$ 40 por unidad y de 300 unid. A un precio de $ 35 por unidad. Hallar la ecuación de demanda,

si dicha ecuación es lineal.

Solución.

Según los datos, es claro que q = 150 y p = 40; también q = 300 y p = 35. Por el hecho que

es lineal, el precio p y la cantidad q están relacionados linealmente, de modo que podemos

representar en un plano cartesiano de ejes q y p, los puntos 150,40 300,35y , hallando

así la ecuación de la recta que pasa por dichos puntos. Hallando la pendiente, tenemos que

35 40 1

300 150 30m

, y tomando como punto de paso, cualquiera de ellos, digamos (40, 150)

tenemos la recta 1 454

30 3p q

, que es la ecuación de demanda.

q

p Pendiente negativa

q

p

Pendiente positiva

q

p

m

n (m,n) Punto de equilibrio


EJERCICIOS

I. Hallar la ecuación de la recta con las condiciones dadas:

1. Pasa por (2, -3) y es paralela a la recta 3y + 2 = 0

2. Pasa por (0, -1) y es paralela a la recta determinada por (2, 2) y (3, 1)

II. Determine la pendiente y la ordenada al origen de cada una de las relaciones lineales

siguientes.

a) 3

14

x y b) 2 3 0y x c) 2 3 0y d) 3 4 0x

III. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o de

ninguno de estos tipos.

a)3 4 1 , 3 4 1x y x y b) 3 0 , 5 0y x c)3 2 1 , 2 2x y y x

IV. Resuelva:

1. (Negocios) La propietaria de una tienda de embutidos inicia su negocio con una deuda

de $100 000. Después de operarla durante cinco largos años, ella acumula una utilidad

de $40 000.

2. (Modelo de costo lineal) El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de

S/1,50 céntimos de sol y los costos fijos por día son de S/1 000.

a) Muestre la ecuación de costo lineal y dibuje su gráfica.

b) Determine el costo de procesar 1 000 kilos de granos de café en un día.

3. (Modelo de costos) El costo de fabricar 10 máquinas al día es de $350, mientras que

cuesta $600 producir 20 máquinas del mismo tipo al día. Suponiendo un modelo de costo

lineal, determine la ecuación del costo total CT de producir q máquinas al día y dibuje su

gráfica.

4. Cuando el precio por unidad es $10, la oferta será de 80 unidades diarias, mientras que

será de 90 unidades a un precio unitario de $10.50. Determine la ecuación de oferta,

suponiendo que es lineal. Dibuje la curva de oferta.

5. (Modelo de costo lineal) Los costos fijos por fabricar cierto artículo son de $300 a la

semana y los costos totales por fabricar 20 unidades a la semana son de $410. Determine

la relación entre el costo total y el número de unidades producidas, suponiendo que es

lineal. ¿Cuál será el costo de fabricar 30 unidades a la semana?


APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y APLICACIONES

VARIADAS DE OFERTA – DEMANDA- PUNTO DE EQUILIBRIO

6. Dada las ecuaciones de oferta y demanda para un determinado producto, donde “p“

representa el precio por unidad en dólares y “q” el número de unidades por unidad de

tiempo, encuentre el punto de equilibrio.

Oferta: 35 2 250 0q p ;demanda: 65 785 0q p

7. Dado el ingreso total TI en y el costo total TC , en dólares para un fabricante donde “q”

representa tanto el número de unidades producidas como el número de unidades

vendidas. Encuentre la cantidad de equilibrio y esquematice un diagrama de equilibrio.

2 4500

3

T

T

C q

I q

8. Si las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto son: 125 250 0p p y

100 1100 0p q respectivamente, encuentre el precio de equilibrio y la cantidad de

equilibrio.

9. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son;6

5150

p q y 9

20 0150

p q

respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el número de

unidades, encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente.

ACTIVIDAD 12

RECONOCIENDO LAS FUNCIONES LINEALES Y ENCONTRANDO LA

ECUACIÓN DE UNA RECTA

Objetivo

Reconocer las funciones lineales y determinar la ecuación de una recta.

Orientaciones

La actividad a realizar es individual. Observa, analiza, calcula y responde.

NIVEL Pregunta Nº1


una de las proposiciones.

Proposiciones

1. La pendiente de una recta es:

verticalm sen

horizontal

( )

2. Para encontrar la ecuación de una recta se utiliza: 0 0( )y y m x x

. ( )


3. La gráfica de una recta que va de izquierda a derecha tiene pendiente

positiva. ( )

4. Si dos rectas son paralelas, entonces sus pendientes son diferentes. ( )

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN De acuerdo a lo establecido en la sesión, indica el

nombre de las funciones especiales siguientes.

Justifica.

Un fabricante vende todo lo que produce. Su ingreso total está dado por: 7TI q y el

costo total es 6 800TC q donde “q” representa el número de unidades producidas y

vendidas. Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio y dibuje el diagrama de

equilibrio.

NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nª 3

En cada una de los casos siguientes, hallar la ecuación de la recta que:

1. Corta al eje Y en 5 de pendiente 4.

2. Pasa por el punto A (-2, 5) y perpendicular a la recta y = 3x + 2.

3. Que pasa por A (0,4) y paralelo a la recta L: 2x + y = -1

4. Pasa por A (5, 4) y paralela al eje Y.

NIVEL ANALISIS

Pregunta Nª 4

Analiza la siguiente situación problemática y responde

(Ecuación de oferta). Un fabricante de cocinas produce 200 unidades cuando el precio es

de $ 800 y de 300 cocinas cuando el precio es de $ 1 500. Hallar la ecuación de oferta,

sabiendo que es lineal.


NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nª 5



(Función de oferta). Se tienen dos bienes A, B, con ecuaciones de oferta dadas por

( ) 5 20p f q q y ( ) 15 120p f q q respectivamente. Un consumidor acude al mercado

con las intenciones de comprar uno, cualquiera de dichos bienes. Si el consumidor está

dispuesto a pagar $ 12 por cada unidad del bien comprado, ¿Cuál de los bienes debería

comprar?

Omar el estudiante más calificado del aula afirma que el bien B debe ser comprado




a) Cuando se conoce dos puntos de la recta la pendiente es calculable……... ( )

b) Dos rectas paralelas tienen pendientes…………………………………………..

c) La pendiente m de una de dos rectas perpendiculares se expresa:……………

d) La recta paralela al eje “X” tiene pendiente 0………………………………….…( )

e) La recta paralela al eje “Y” tiene pendiente positiva……………………….…… ( )

f) La gráfica de una recta que va de derecha a izquierda tiene pendiente……..

II. Realizar la gráfica de la recta que:

a) Por el punto (-2;1) y tiene pendiente m = 3

b) Pasa por los puntos (-1;3) y (2;5)

c) Pasa el eje “X” y al eje “Y” en 5 y 6 respectivamente

III. En cada uno de los ejercicios siguientes, hallar la ecuación de la recta con las condiciones

dadas:

Pasa por el punto (-2,1) con pendiente m = 3.

Pasa por 4

2;5

y m = 5.

Pasa por 1 6

;5 5

y 3

24

m


Pasa por (-1,3) y (2,5)

Pasa por el punto 3,1

2

y 2

7 31

2 4

m

Pasa por el origen y su pendiente es -4.

Corta al eje X en 3, y su pendiente es 2.

Corta al eje X en 6 y al eje Y en 3.

Pasa por (1,5) y es paralela a la recta de ecuación: y = -x + 3.

Pasa por el punto A (2, 4) y es paralela, a la recta que pasa por los puntos B (0, 2) y C

(-1, 5).

Pasa por el punto A (2,1) y es perpendicular, a la recta que pasa por los puntos B (2,6)

y C (9,1).

Pasa por el punto A (3,4) y es perpendicular a la recta de ecuación: y = -x + 2 y

Pasa por B (2, 4) y paralela al eje X.

APLICACIÓNES DE FUNCION LINEAL

1) (Ecuación de demanda). Suponga que los clientes demandaran 60 unidades de un

producto cuando el precio es de $ 20 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $

40 cada una. hallar la ecuación de la demanda, suponiendo que es lineal. Hallar el precio

por unidad cuando se requiere 35 unidades.

2) (Ecuación de demanda). La demanda semanal para un libro que se vende mucho es de

30,000 ejemplares cuando el precio es de $ 15 c/u y de 20, 000 libros cuando el precio es

de $ 25 c/u. hallar la ecuación de demanda para el libro, sabiendo que es lineal.

3) (Ecuación de oferta). Un fabricante de cocinas produce 200 unidades cuando el precio

es de $ 800 y de 300 cocinas cuando el precio es de $ 1 500. Hallar la ecuación de oferta,

sabiendo que es lineal.

4) (Ecuación de oferta). Suponga que un fabricante de zapatos colocara en el mercado 50

mil pares cuando el precio es $ 35 el par y 35 mil pares de zapatos cuando el precio es de

$ 30. determine la ecuación de oferta, sabiendo que p y q están relacionados linealmente.

5) (Punto de equilibrio) Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinado

bien son, respectivamente:

180 15 6 18

2

pq s p

y . Obtenga el punto de equilibrio.

6) (Ecuación de costo). Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto

es de $ 40 y el costo para 20 unidades es de $ 70. Si el costo C está relacionado de forma

lineal con la producción q, determine el costo de producir 35 unidades.


JUICIO DE VALOR:

7) (Función de demanda). Se tienen dos bienes B1, B2, cuyas funciones de demanda son:

90 3( )

5

pq f p

y ( ) 140 12q f p p , respectivamente, donde p está expresado en

dólares.

Si el precio unitario de ambos bienes es de $ 5, 75, ¿Cuál de los dos bienes tendrá

mayor demanda?

¿Existe algún precio del mercado para el cual la demanda de ambos bienes sea la

misma?

Jaime el estudiante más distraído del aula afirma que el bien B2 es de mayor demanda y

no existe precio en el mercado para el cual la demanda de ambos bienes sea la misma.


8) (Punto de equilibrio) Un docente de matemática propone el siguiente problema:

Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinado bien son,

respectivamente:

180 15 6 18

2

pq s p

y . Obtenga el punto de equilibrio.

Pedro estudiante sobresaliente del aula afirma que PE (30; 8)


9) Un docente de matemática propone el siguiente problema:

Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto (5; 6) y es perpendicular a la recta

L1 que corta a “X” e “Y” en 3 y 4 respectivamente.

Oscar el estudiante más calificado del aula afirma que la ecuación general es:

4y – 3x – 9 = 0


CASO: (DECISIÓN DE TRÁNSITO)

El gobierno de una ciudad tiene un presupuesto de $200 millones de capital para gasto

sobre transporte, e intenta utilizarlo para construir metros subterráneos o carreteras.

Cuesta $2.5 millones por milla construir carreteras y $4 millones por milla para metros

subterráneos. Encuentre la relación entre el número de millas de carretera y de

subterráneo que puede construirse para utilizar por completo el presupuesto disponible.

Interprete la pendiente de la relación lineal que se obtiene. Armando estudiante más

aplicado del aula sostiene que cada milla adicional de construcción de subterráneo

sustituye a 8/5 millas de construcción de carretera.


10) Un docente de matemática propone el siguiente problema:

Un fabricante de “MOUSE” para laptops produce 5200 unidades cuando el precio es de

$1240 y de 3200 unidades cuando el precio es de $1050. Suponga que el precio p, y la

cantidad q, producidas están relacionadas de manera lineal. Determina la función de

oferta. Paul estudiante de EE.GG. en la asignatura de matemática afirma que la ecuación

de la Oferta es: 𝑝 = 19

200𝑞 + 746

Sistemas de ecuaciones

1. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son: 3 200 1800 0q p y

3 100 1800 0q p , respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares

y “q” el número de unidades vendidas por periodo.

a) Encuentre, algebraicamente, el precio de equilibrio y dedúzcalo por medio de una

gráfica. b) Encuentre el precio de equilibrio, cuando se fija un impuesto de 27 centavos

por unidad, al proveedor.

2. A un precio de $2 400, la oferta de cierto bien es de 120 unidades, mientras que su

demanda es 560 unidades. Si el precio aumenta a $2 700 por unidad, la oferta y la

demanda serán de 160 y 380 unidades respectivamente.

a) Determine las ecuaciones de oferta y de demanda, suponiendo que son lineales.

b) Determine el precio y la cantidad de equilibrio.

3. El punto de equilibrio de mercado para un producto, ocurre cuando se produce 13 500

unidades a un precio de $ 4,50 por unidad. El productor no ofertará unidades a $1 y el

consumidor no demandará unidades a $20. Encuentre las ecuaciones de oferta y

demandas si ambas son lineales.

4. A un precio de 50 soles por kg. la demanda de un cierto artículo es de 4 500kg., mientras

que la oferta es de 3 300kg. Si el precio se incrementa en 10 soles por kg., la demanda

y la oferta serán de 4 400 y 4 200kg., respectivamente. Encontrar la ecuación de la oferta

y demanda sabiendo que son lineales, indicando el punto de equilibrio.

5. Un empresario de ropa para niños observa, que el punto de equilibrio del mercado ocurre

cuando se producen 10 000 unidades a un precio de 40 soles por unidad. El consumidor

no demandará unidades a un precio de 50 soles la unidad y el productor no ofertará

unidades a 20 soles la unidad. Hallar la ecuación de la oferta y demanda sabiendo que

son lineales.

6. Un fabricante vende un producto a $ 8,35 por unidad, y vende todo lo que produce. Los

costos fijos son de son de $2 116 y el costo variable es de $ 7,20 por unidad. ¿A qué nivel

de producción existirán utilidades de $ 4 600? ¿A qué nivel de producción ocurre el punto

de equilibrio?

7. La compañía de Sandalias Cómodas fabrica sandalias para las que el costo del material

es de $ 0.80 por par, y el costo de mano de obra es de adicionales e $ 0,90 por par.

Hay costos adicionales por par de $0.30. Los costos fijos son de $ 70 000.Si cada par

se vende a $ 2,50 ¿Cuántos pares se deben vender para que la compañía llegue al

equilibrio?


SEMANA

13

UNIDAD IV

Función Cuadrática y Programación Lineal.

Aplicaciones

Tema: Función Cuadrática

FUNCIÓN CUADRÁTICA

f es una función cuadrática si y sólo si puede escribirse en la forma 2

( )f x ax bx c ;

donde a, b y c son constantes, con 0a .

Representación gráfica de una función cuadrática.

Su gráfica es una curva, llamada parábola, y es simétrica respecto a la recta vertical hx

, llamada eje de simetría y con vértice khV , .

si 0a , 2

y ax bx c si 0a ; cbxaxy 2

la parábola se abre hacia arriba. la parábola se abre hacia abajo.

( )Dom f R ; ( ) ,Ran f k ( )Dom f R ; ( ) ,Ran f k

k valor mínimo de la función k valor máximo de la función

Coordenadas del vértice

Las coordenadas del vértice son: , ,2 2

b bV h k f

a a

Ejemplo 1

Determinar dominio, rango y gráfica de 2( ) 2 8 3y f x x x

y

x h

k ( h ; k )

y

x h

k ( h ; k )


Solución:

Primero hallamos el vértice

Como ,2a 8b y 3c , luego 2)2(2

)8(

2

a

bh y

2(2) 2(2) 8(2) 3 5f

Entonces el vértice es: (2, 5)V

Como 02 a , entonces la parábola se abre hacia arriba

Gráfica

Ejemplo 2

Determinar dominio, rango y gráfica de 2362)( xxxfy

Solución:

Primero hallamos el vértice

Como ,3a 6b y 2c , luego h= 1)3(2

6

2

a

b y

5)1(3)1(62)1( 2 f

Entonces el vértice es: )5,1(V

Como 03 a , entonces la parábola se abre hacia abajo

Gráfica

( )Dom f R

( ) 5,Ran f

)( fDom

5;)( fRan

3

x

2

-5 (2 ; -5 )

y

5 (-1; 5)

y

x

-

1

2

4

1


APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÀTICA

Recuerda:

Ejemplo:

El ingreso de una empresa algodonera se estima a través del tiempo de acuerdo a la siguiente

función 224 288 64I t t , donde I es el ingreso en miles de dólares y t es el tiempo

medido en años.

a) ¿En qué año se alcanzará el máximo ingreso y cuánto será

b) Grafique la función ingreso.

Resolución:

a) 6)24(2

288

2

a

bth 224 288 64I t t

Luego: 2(6) 24(6) 288(6) 64I

(6) 800I

El máximo ingreso se alcanzará en el 6to año.

El máximo ingreso será de 800 mil dólares.

b)

U = IT - CT IT = p.q donde: p precio unitario. q cantidad.

V (h, k) =

a

bf

a

b

2,

2 el vértice de una parábola.

I

t 6

800 (6,800)


ACTIVIDAD 13

RECONOCIENDO LAS CARACTERISTICAS DE LA FUNCION CUADRÁTICA Y

SUS APLICACIONES

Objetivo

Reconocer las características de la función cuadrática y utilizarlas en la solución de

aplicaciones.

Orientaciones





Afirmaciones

1. La forma de una función cuadrática es 2( )f x ax bx c . ( )

2. La grafica de una función cuadrática es una parábola. ( )

3. Al vértice de una parábola se le representa por (h; k). ( )

4. En una función cuadrática, si 0a entonces la gráfica se extiende hacia

abajo ( )

5. La función cuadrática 2( ) 2 4 10f x x x presenta punto máximo. ( )

NIVEL Pregunta Nº2


Explique brevemente, las características de la función cuadrática cuando el coeficiente del

término cuadrático es: 0a y 0a .


NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nª 3

Utilizando los conceptos de la función cuadrática, realiza la gráfica e indica su punto máximo

o mínimo y su dominio y rango

a) 2

( ) 4 1y f x x x b) 2

( ) 6 2f x x x

c) 2

( ) 2 4f x x x d) 2

( ) 3 2 1f x x x

NIVEL ANALISIS

Pregunta Nª 4


La función de demanda para el fabricante de un producto es ( ) 1200 3p f q q en donde

p es el precio por unidad cuando los consumidores demandan q unidades.

a) Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso.

b) Determine este ingreso máximo.

c) Grafique la función ingreso.

NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nª 5



Para una empresa dedicada a la venta de bolsas de cemento para construcción se tiene

que la Función Costo se expresa como 2( ) 2 100 2500C q q q , determina la cantidad

bolsas de cemento que debe producir y vender para que el costo sea mínimo en dicha

empresa.

Juan sostiene que son 25 bolsas que se debe producir y vender y el Costo mínimo es de

1250.




Colocar V o F en las siguientes expresiones y completar según sea el caso:

a) Si a ≤ 0 la parábola va para abajo………………………………………………………….. ( )

b) El par ordenado que representa el vértice de la parábola es:………………………………..

c) Si la parábola va para arriba, entonces (h,k) es:………………………………………….

d) Si la gráfica de la parábola va para abajo, se deduce que debo maximizar f… … . ( )

e) Si la gráfica de la parábola va para arriba me indica que debo minimizar f…………….( )

f) La parábola en una función cuadrática tiene pendiente 0……………………… ……….( )

Grafica las siguientes funciones cuadráticas

a) f = 12 + - 4x – x2 b) f = X2 – 4x + 1

c) f = 1400 x – 7x2 d) f = 2x2 + 2x + 3

Determinar dominio, rango, intersecciones con los ejes coordenados y graficar las siguientes

funciones:

a) 2232)( xxxfy b)

2342)( xxxfy

c) 2

( ) 3 4 y k x x d)

2( ) 2 8 y h x x x

e) ( ) ( 3) 14 f x x x f) 2

( ) 6 13 t f s s s

g) ( ) ( 3) 14 f x x x h) 261)( xxxfy

i) 154)( 2 xxxfy j) 32)( xxxfy

k) xxxfy 2)( l)

25)( xxfy

APLICACIONES

1. La función de demanda de un fabricante de muebles es qqfp 71400)( , donde p

es el precio (en euros) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).

a) Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante.

b) Determine el ingreso máximo.

2. La función de demanda para una compañía de seguros para autos es

qqfp 132600)( , donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando se

demandan q unidades (semanales).

a) Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso total del fabricante.

b) Determine el ingreso máximo.



3. La función de demanda para el fabricante de un producto es ,31200)( qqfp en

donde p es el precio por unidad cuando los consumidores demandan q unidades.

a) Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso.

b) Determine este ingreso máximo.


4. La utilidad diaria por la venta de árboles de jardinería de un almacén, está dada por

2( ) 169 16P x x x , en donde x es el número de árboles vendidos.

a) Determine la cantidad de árboles vendidos que maximizará la utilidad.

b) Determine dicha utilidad máxima.

5. El ingreso mensual, en soles, por conceptos de venta de q unidades de cierto artículo está

dado por 2( ) 12 0,01I q q q . Determine el número de unidades que debe venderse cada

mes con el propósito de maximizar el ingreso. ¿Cuál es el máximo ingreso

correspondiente?

JUICIO DE VALOR:

6. Para una empresa dedicada a la venta de bolsas de cemento para construcción se tiene

que la Función Costo se expresa como C (q) = 2q2 – 100q + 2500, determinar la cantidad

bolsas de cemento que debe producir y vender para que el costo sea mínimo en dicha

empresa.

Juan sostiene que son 25 bolsas que se debe producir y vender y el Costo mínimo es de

1250.



7. Los costos de producción de una empresa que ensambla computadoras se expresa

mediante la función C(q) = 3q2 – 780q + 60000 en donde q representa el número de

computadoras ensambladas.

a) Determinar la cantidad de computadoras que se deben ensamblar para que el costo sea

mínimo.

b) Determinar dicho costo.

c) Graficar la función costo.

Paolo afirma que el número de computadoras a ensamblarse para que el costo sea mínimo

es 120, el costo mínimo es de 1250 y que al graficar la función ésta va para abajo.


8. Se estima que, de aquí a “t” años, el número de personas que visitarán el parque de las

leyendas será dado por la función 2( ) 30 120 3 000N t t t .

a) Actualmente ¿Cuál es el número de personas que visitan el parque de las leyendas

b) Determinar el año en que será registrado el menor número de visitantes.


Toñito sostiene que en la actualidad 2800 personas visitan el parque y en 3 años se

registrara el menor número de visitantes.


9. La función de demanda de un fabricante de pieles es p = 2600 – 13q, donde p es el precio

(en euros) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).

a) Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante.

b) Determine el ingreso máximo

Piero afirma que el nivel de producción que maximiza el ingreso es 100 y el ingreso

máximo alcanza la cifra de 130000 euros.


CASO 1. EQUILIBRIO ENTRE LA DEMANDA Y OFERTA

Las ecuaciones de la Oferta y Demanda de un producto que se vende en el Emporio Comercial

de Gamarra son: 3q -200p +1800 = 0 y 3q +100p – 1800; donde p representa el precio / unidad

en dólares y q el número de unidades vendidas por periodo.

1.- Muestre las ecuaciones dadas de forma que representen las funciones Oferta y Demanda:

....................................................................................................................................................

……………………………………………………………………………………………………………

2.- ¿Qué sentido tienen las rectas que representan a la Oferta y la Demanda? Mostrarlo

en una expresión matemática:

…………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………….

3.- ¿Cómo se expresaría el equilibrio entre la Oferta y la Demanda?

……………………………………………………………………………………………………………

4.- Determinar el precio y la cantidad en el equilibrio y muéstrelo mediante una gráfica:

CASO 2. VISITANTES AL ZOOLOGICO DE HUACHIPA

Los directivos del zoológico de Huachipa se reúnen con el propósito de dilucidar algunas

dudas de parte del directorio quienes andaban preocupados por el ingreso de efectivo a fin de

cubrir los gastos y generar beneficios con la asistencia de público a las instalaciones.

Uno de ellos, matemático de profesión sostiene que de aquí a “t” años el número de personas

que visitaran el zoológico se puede expresar mediante la siguiente función:

N(t) = 30 t2 – 120 t + 3000

1.- ¿Cuál es el número de personas que asisten actualmente al zoológico?

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………


2.- Tratándose de una función cuadrática ¿Cuál sería la gráfica que tendríamos que

trabajar en este caso?

……………………………………………………………………………………………………………

3.- De tratarse de una parábola determinar su sentido y vértice

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

4.- ¿En qué año en se registrará el menor número de visitantes al zoológico? Graficar

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES.

1. En el problema siguiente, se proporciona una ecuación de oferta y una de demanda para

un producto. Si “p “representa el precio por unidad en dólares y “q” el número de unidades

por unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio.

Oferta : 2 20p q ; demanda :2200 2p q

2. En el problema siguiente se representa el ingreso total en TI dólares y TC el costo total

en dólares para un fabricante. si “q” representa tanto el número de unidades producidas

como el número de unidades vendidas. Encuentre la cantidad de Equilibrio. Esquematice

un diagrama de equilibrio

303

)10( 2

qC

qI

T

T

3. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 2q = 20 y p + 2q2 - 200 = 0,

respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el número de

unidades, encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente.

4. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 4q = 24 y p + 4q2 - 248 = 0

respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el número

de unidades, encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente.


Método de Polya aplicado a un problema de Función Cuadrática

UNIDAD IV

PROGRAMACIÓN LINEAL. APLICACIONES

CAPACIDAD: Aplica y Utiliza los conceptos de funciones de la variable real de la geometría

analítica en el tema de Función Cuadrática considerando las condiciones del contexto en la

que se desarrollara el profesional.

CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Aplica reglas de procedimiento para optimizar una

función en operaciones de negocios.

FICHA N°:

Resolver el siguiente problema, en torno a funciones y tópicos de geometría analítica,

utilizando la metodología de POLYA

PROBLEMA: Función Cuadrática

Los costos de producción de una empresa que ensambla computadoras se expresa

mediante la función C(q) = 3q2 – 780q + 60000 en donde q representa el número de


Determinar la cantidad de computadoras que se deben ensamblar para que el costo sea

mínimo

Determinar dicho costo.

Graficar la función costo.

Paolo afirma que el número de computadoras a ensamblarse para que el costo sea mínimo

es 120, el costo mínimo es de 1250 y que al graficar la función ésta va para abajo.

Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación. Justifica tu respuesta.

CRITERIO PASOS DESARROLLO

Identifica

Entender

el

problema

a) Identifica la/las incógnitas

¿Cuál es la/las incógnitas del problema?

1.- Cantidad para que el Costo sea mínimo

2.- Costo mínimo

b) Identifica los datos y condición del problema

¿Cuáles son los datos y condición del problema?

1.- La función C(q) = 3q2 – 780q + 60000

2.- Determinar el costo mínimo

c) Cual es la dirección de la gráfica, porqué y cuáles son

los componentes del vértice

1.- La grafica de la parábola va para arriba porque a > 0

2.- Vèrtice (h; K) : ℎ = −𝑏

2𝑎 𝑦 𝐾 = 𝑓(ℎ)

3.- K es mínimo


Relaciona

Configurar

un plan

Relaciona la condición con los datos y las incógnitas.

¿Cuál sería el planteamiento de solución del problema?

1.- Analizar la función y determinar el sentido de la parábola

2.- Determinar el vértice de la parábola

3.- Graficar

4.- Determinar el .K mínimo = Costo mínimo

Resuelve

Ejecutar

el plan

Resolver:

Sea la función C(q) = 3q2 – 780q + 60000

a = 3 ; b = - 780 ; c = 60000

Luego aplicando en Vèrtice (h; K) : ℎ = −𝑏

2𝑎 𝑦 𝐾 = 𝑓(ℎ)

h = 130 y K = 9300

Hasta el momento esta es una respuesta algebraica que nos

permite deducir que siendo. K mínimo = Costo mínimo

El costo mínimo es: 1300 para una cantidad q = 130


Gráfico:

Reflexiona

Examinar

la

solución

Revisamos la solución obtenida:

Indica ¿Cómo podrías verificar el resultado?

El resultado algebraico debe coincidir con el resultado gráfico y

como estamos siguiendo la metodología de Polya debemos

comprobar cada paso.

Respuesta:

Costo mínimo = 9300

Cantidad de computadoras ensambladas: 130

Emita un Juicio Crítico respecto a si es correcto o no la

afirmación

Paolo está en un error cuando afirma que el número de

computadoras a ensamblarse para que el costo sea mínimo es

120, el costo mínimo es de 1250 y que al graficar la función ésta

va para abajo


SEMANA

14

UNIDAD IV


Aplicaciones

Tema: Desigualdades en el Plano Cartesiano

Desigualdades en el Plano Cartesiano

Si en un plano P consideramos una recta L éste queda dividido en tres conjuntos: el

conjunto de puntos que están en la recta misma, y los semiplanos 1

p y 2

p formados por los

puntos que están a uno y otro lado de la recta L .

Consideremos la recta vertical x a .

Los puntos que están en la recta son aquellos que satisfacen su ecuación. Los puntos que

están a la izquierda satisfacen la inecuación x a , y los puntos que están a la derecha

satisfacen la inecuación x a .

Ejemplo 1. Graficar en el plano cartesiano la desigualdad y x

Primero graficamos a la recta y x .

y x

a


La recta ha sido trazada en forma punteada ya que los puntos sobre ella no forman parte del

conjunto solución de la desigualdad (semiplano abierto). Por tanto, la recta trazada es la

frontera entre los puntos que satisfacen la desigualdad y los puntos que no la satisfacen.

Para determinar el semiplano que representa gráficamente a la inecuación se toman dos

puntos. Uno que esté por encima de la recta y el otro por debajo. El punto que satisface la

desigualdad determina el semiplano que representa la solución.

En nuestro caso tomamos los puntos ( 2; 2) y (3; 2) , entonces el punto que satisface la

desigualdad es (3; 2) , por lo que la gráfica de y x es el semiplano bajo la recta fronteriza.

Ejemplo 2. Graficar en el plano cartesiano la desigualdad 1y x

Primero graficamos a la recta 1y x .

Luego verificamos si las coordenadas del punto (0, 0) satisfacen la desigualdad. Como este

es el caso, entonces el semiplano que representa gráficamente a la inecuación es el que

contiene al origen.

y x


Graficar en un mismo sistema de coordenadas el conjunto formado por las

siguientes desigualdades:

Ejemplo 3

25

0

0

x y

x

y

Como las desigualdades deben satisfacerse simultáneamente, se debe graficar la intersección

de las regiones correspondientes a cada una de ellas.

Primero graficamos la desigualdad 0x :

Es decir: 0x . Se observa que esta recta es coincidente con el eje Y del sistema.

Su grafica es el semiplano ubicado a la derecha del eje Y (puesto que 0x )

Segundo graficamos la desigualdad 0y :

Es decir: 0y . Se observa que esta recta es coincidente con el eje X del sistema.

Su grafica es el semiplano ubicado arriba del eje X (puesto que 0y ).

Tercero graficamos la desigualdad 25x y :

Es decir: 25x y .


Su grafica es el semiplano ubicado por debajo de la recta 25x y puesto que 25x y

Ejemplo 4.

Indicar los vértices del polígono formado.

Como las desigualdades deben satisfacerse simultáneamente, se debe graficar la intersección

de las regiones correspondientes a cada una de ellas.

Es claro que la región que corresponde a 0x es el semiplano ubicado a la derecha del eje

Y , y la que corresponde a 0y es el semiplano ubicado arriba del eje X . Graficaremos

las rectas 2 6x y y 4x y .

Y

X

25

25


Ejemplo 5

𝑥 − 𝑦 < 5

𝑥 + 2𝑦 < 14

𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0

SOLUCIÓN

𝑥 − 𝑦 = 5 (1) 𝑥 + 2𝑦 = 14 (2)

𝒚 𝒙−𝟓 𝟎 𝟎 𝟓

𝒚 𝒙 𝟕 𝟎 𝟎 𝟏𝟒

A, B y C son los vértices del

polígono.


Ejemplo 6

2𝑥 + 𝑦 ≤ 8

2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12

𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0

SOLUCIÓN

2𝑥 + 𝑦 = 8 → (1) 2𝑥 + 3𝑦 = 12 → (2)

𝒚 𝒙𝟖 𝟎𝟎 𝟒

𝒚 𝒙 𝟒 𝟎 𝟎 𝟔

A, B y C son los vértices del polígono.


ACTIVIDAD 14

GRAFICANDO DESIGUALDADES Y SISTEMAS DE DESIGUALDADES

LINEALES EN EL PLANO

Objetivo

Graficar desigualdades y sistemas de desigualdades lineales en el plano.

Orientaciones





Expresiones

1. La grafica de la desigualdad 2x es la región situada a la derecha

de la recta frontera. ( )

2. Los puntos que están situados a la derecha de la recta frontera se

representan como x < a ( )

3. La recta frontera que representan a la desigualdad x < a es una recta

vertical. ( )

4. La recta frontera que representan a la desigualdad x > a es una recta

horizontal. ( )

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN Explique en forma breve, cual es el procedimiento a

realizarse para graficar una desigualdad en el plano.

NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nª 3

Graficar en el plano cartesiano los sistemas de desigualdades lineales siguientes:

a)

2 3 12

4

0

0

x y

x y

x

y

b)

4 4

2 2

0

0

x y

x y

x

y

c)

7

3 3

5

0

0

y

x y

x y

x

y


SEMANA

15

UNIDAD IV


Aplicaciones

Tema: Programación Lineal

Introducción a la Programación Lineal

La teoría de la programación lineal fue desarrollada en la década 1940 - 1950 por matemáticos

tales como John von Neumann, George Dantzig, T. Koopmans, etc. La programación lineal

sirve para encontrar el valor máximo o el valor mínimo de una expresión lineal sujeta a un

conjunto de desigualdades lineales. La aplicación más común abarca el problema general de

asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible, esto es,

en forma óptima. Tiene aplicaciones en la investigación de operaciones, ciencias

administrativas, física y biología.

Veamos el ejemplo de una fábrica que produce una gama de artículos y que dispone de una

variedad de recursos (personal, materias primas, máquinas, créditos, etc.) cada uno de los

cuales supone un costo a considerar. ¿Cuál debe ser la política a seguir si se quieren

conseguir los máximos beneficios?

FORMA DE REPRESENTAR LOS MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

FORMA GENERAL:

FUNCIÓN OBJETIVO

FO: Máx. / Min Z = C1X1 + C2 X2 + ... + CJXJ + ... + CnCn

a. RESTRICCIONES ESTRUCTURALES

Re:

{

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2+ . . . . . +𝑎1𝑛𝑥𝑛 , < = > 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2+ . . . . . +𝑎2𝑛𝑥𝑛, < = > 𝑏2

.

.𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2+ . . . . . +𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛, < = > 𝑏𝑚

Donde:

n = número de variables de decisión.

m = número de restricciones, y n > m


aij = son coeficientes técnicos, que indican la proporción de un determinado recurso

que requiere un producto, por cada unidad que se elabore de ella. Sirve para

indicar también en algunos casos, una relación lógica de las variables.

bj= son las constantes, referidos al nivel de recursos disponibles.

En algunos casos representan los valores que tienen las relaciones lógicas.

Cj= representan los costos o utilidades que generan cada una de las variables del

modelo por unidad.

c) RESTRICCIONES DE “NO NEGATIVIDAD” (RNN)

XJ > 0 ; J = 1, 2, ..., n

X2

X1

VARIABLES ESTRUCTURALES O DE DECISION:

Son variables bases del modelo, que están directamente relacionadas con el problema real.

EJEMPLO N° 1:

FO: MIN Z = 2x1+ 15x2 + 10x3 + 5x4

Re:

{

2x1 + x2 + 3x3 − x4 ≥ 10x1 + 4x2 + 2x4 ≥ 15

5x1 + 3x2 + x3 + x4 ≥ 20x ≥ 0y ≥ 0

+

+

+

+


ACTIVIDAD 15

RECONOCIENDO LAS CARACTERISTICAS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL.

IDENTIFICANDO LA FUNCION OBJETIVO

Objetivo

Reconocer los elementos y características de la programación lineal.

Identificar la región factible

Orientaciones

La actividad a realizar es individual. Lee detenidamente y responde.




Expresiones

1. La programación lineal tiene su aplicación en las situaciones

problemáticas referidas a la asignación óptima de recursos escasos. ( )

2. El objetivo fundamental de la programación lineal es maximizar o

minimizar una función llamada función objetivo. ( )

3. Las desigualdades: 0x e 0y se denominan restricciones de no

negatividad. ( )

4. La expresión ( , , ) 2 4F x y z x y z representa a una función objetivo. ( )

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN Explique en forma breve, cual es el procedimiento a

realizarse para obtener la región factible.


NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nª 3

Utilizando los conceptos de graficas de desigualdades en el plano y de programación lineal,

determina la región factible en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

a)

2 80

3 2 120

0

0

x y

x y

x

y

b)

3

3

5 25

0, 0

x y

x y

x y

x y


SEMANA

16

UNIDAD IV


Aplicaciones

Tema: Maximización y Minimización de una función objetivo

Maximización y minimización de una función objetivo

Aplicaciones

EJEMPLO 1

Una persona está pensando prepararse una dieta, que debe contener al menos 16 unidades

de carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4

de proteínas; el alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el

alimento cuesta $ 1,20 por unidad y el B $ 0.8 por unidad. ¿Cuántas unidades de cada

alimento debe prepararse para minimizar el costo? ¿Cuál es el costo mínimo?

SOLUCIÓN

Carbohidratos (x) A B

Proteínas (y) X 2 4

Y 2 1

𝐶𝑀𝐼𝑁 = 1,2𝑥 + 0,80𝑦

Sujeto a:

{

2𝑥 + 2𝑦 ≤ 16 → (1)

4𝑥 + 𝑦 ≤ 20 → (2)

𝑋 ≥ 0 → (3)

𝑌 ≥ 0 → (4)

𝑦 𝑥8 00 8

𝑦 𝑥20 00 5

VERTICES:

𝐴 ( 8 , 0) 𝐶 (0 , 20)

B: 4𝑥 + 𝑦 = 202𝑥 + 2𝑦 = 16

4𝑥 + 𝑦 = 20 𝑥 + 𝑦 = 8


𝑥 + 𝑦 = 8 4 + 𝑦 = 8 ⇒ 𝑦 = 2 𝑥 = 4

𝐵 (4, 2)

𝐶𝐴 = 1,2 (8) + 0,8 (0) = 9,6

𝐶𝐵 = 1,2 (4) + 0,8 (2) = 4,8 + 1.6 = 6,4 (𝑚í𝑛. )

RESPUESTA:

Deben comprarse 8 unidades de carbohidratos y ninguna unidad de proteínas para minimizar

el costo. El costo mínimo será de 9,6 dólares.

EJEMPLO 2

Una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dispone de 80 Kg.

de acero y 120 Kg. de aluminio. Para construir una bicicleta de paseo se necesita 1Kg de

acero y 3 Kg de aluminio, y para construir una bicicleta de montaña se necesita 2kg de acero

y 2kg de aluminio. Si vende las bicicletas de paseo a $200 y las de montaña a $150. ¿Cuántas

bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es el beneficio

máximo?

SOLUCIÓN

ACERO ALUMINIO

A 1 3 X : Bicicleta de paseo

B 2 2 Y : Bicicleta de montaña

Total 80 120 U : Utilidad

Máx 𝑈 = 200𝑥 + 150 𝑦

S. A.

{

𝑥 + 2𝑦 ≤ 80 → (1)

3𝑥 + 2𝑦 ≤ 120 → (2)

𝑋 ≥ 0 → (3)

𝑌 ≥ 0 → (4)

𝑦 𝑥40 00 80

𝑦 𝑥 60 0 0 40

VERTICES

A (40,0) B

C (0; 40)

B:

𝑥 + 2𝑦 = 80 20 + 2𝑦 = 80

3𝑥 + 2𝑦 = 120 2𝑦 = 80 −𝑥 − 2𝑦 = −80 3𝑥 + 2𝑦 = 120

𝑦 = 30

2𝑥 = 40 𝑥 = 20

𝐵 (20; 30)


RESPUESTA:

𝑈𝐴 = 200 (40) + 150 ( 0) = 8000

𝑈𝐵 = 200 (20) + 150 (30) = 8500 (𝑀á𝑥)

𝑈𝐶 = 200 (0) + 150 (40) = 6000

Respuesta:

Deben construirse 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña. La utilidad máxima es de $8 500.

EJEMPLO 3

Una empresa fabrica dos modelos de DVD: el modelo A y el modelo B. Se dispone de 50

kilogramos de caucho y de 80 horas de mano de obra. Para fabricar un DVD del modelo A se

utiliza 1 kilogramo de caucho y 1 horas de trabajo, y para fabricar un DVD del modelo B se

utiliza 1 kilogramo de caucho y 2 hora de trabajo. Si la venta le genera una utilidad 30 soles

por cada modelo A y 40 soles por cada modelo B. ¿Cuántos DVD de cada tipo debe fabricar

y vender para que la utilidad sea máxima?, ¿Cuál es la utilidad máxima?

SOLUCIÓN

Consideremos: x : Número de DVD del modelo A

y : Número de DVD del modelo B.

U : Utilidad mensual.

La función objetivo, que se debe maximizar, es: 30 40U x y

50 (1)

2 80 (2)

0 (3)

0 (4)

. .

x y

x y

x

y

s a

A las restricciones (3) y (4) se les denomina condiciones de no negatividad. La región que

satisface simultáneamente las condiciones (1) a (4) se denomina región factible.

Graficando las desigualdades e identificando la región factible se tiene:

MODELO A MODELO B TOTAL

Cantidad de caucho 1x 1x 50 kg.

Horas de mano de obra 1x 2x 80 horas


Se puede probar que una función lineal definida sobre una región factible acotada y no vacía

tiene un valor máximo (o mínimo) y se encuentra en uno de sus vértices. Para hallar este valor

es suficiente evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y

después elegir aquél en que la función objetivo resulte óptima.

En nuestro caso, las coordenadas de los vértices de la región factibles son:

A (0, 0) B (50, 0) C (20, 30) D(0, 40)

Entonces, se evalúa la función objetivo en cada punto:

U (0, 0) = 30 (0) + 40 (0) = 0

U (50, 0) = 30 (50) + 40(0) = 1500

U (90, 0) = 30 (20) + 40 (30) = 1800

U (0, 40) = 30 (0) + 40 (40) =1600

Por consiguiente U tiene un valor máximo en C , en donde: 20x e 30y .

Se debe fabricar y vender 20 DVD del modelo A y 30 DVD del modelo B. La utilidad máxima

es de de S/. 1 800.

EJEMPLO 4

Supongamos que una compañía fabrica dos tipos de artefactos, manuales y eléctricos. Cada

uno de ellos requiere en su fabricación el uso de tres máquinas: A, B y C. Un artefacto manual

requiere del empleo de la máquina A durante dos horas, de una hora en la máquina B y de

una hora en la máquina C. Un artefacto eléctrico requiere de una hora en A, dos horas en B y

una hora en C. Supóngase, además, que el número máximo de horas disponibles por mes

para el uso de las tres máquinas es 180, 160 y 100, respectivamente. La utilidad que se

obtiene con artefactos manuales es de $4 y de $6 para los eléctricos. Si la compañía vende

todos los artefactos que fabrica ¿cuántos artefactos de cada tipo se deben elaborar con el

objeto de maximizar la utilidad mensual?

Y

X

40

50 80

50

A B

C

D


Un resumen de los datos se presenta en la siguiente tabla

A B A Utilidad

Manual 2h 1h 1h 4

Eléctrica 1h 2h 1h 6

Horas disponibles 180 160 100

Consideremos

x : Número de artefactos manuales que se fabrican en el mes.

y : Número de artefactos eléctricos que se fabrican en el mes.

U : Utilidad mensual.

La función objetivo es:

: 4 6U x y Maximizar

2 180 (1)

2 160 (2)

100 (3)

0 (4)

0 (5)

x y

x y

x y

x

y

A las restricciones (4) y (5) se les denomina condiciones de no negatividad. La región que

satisface simultáneamente las condiciones (1) a (5) se denomina región factible.

Aunque existen una cantidad infinita de soluciones, se debe hallar la que maximice a la función

de utilidad.


Se puede probar que una función lineal definida sobre una región factible acotada y no vacía

tiene un valor máximo (o mínimo) y se puede encontrar este valor en un vértice. Esta

afirmación permite hallar soluciones óptimas, para lo cual es suficiente evaluar la función

objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y después elegir aquél en que la

función objetivo resulte óptima.

En nuestro caso, tenemos

A (40, 60) B (80, 20) C (90, 0) D(0, 0) E (0, 80) .

Entonces, se evalúa la función objetivo en cada punto:

U (40, 60) = 4 (40) + 6 (60) = 520

U (80, 20) = 4 (80) + 6 (20) = 440

U (90, 0) = 4 (90) + 6 (0) = 360

U (0, 0) = 4 (0) + 6 (0) = 0

U (0, 80) = 4 (0) + 6 (80) = 480.

Por consiguiente U tiene un valor máximo de $520 en A , en donde 40x …… 60y .


ACTIVIDAD 16

MAXIMIZANDO Y MINIMIZANDO UNA FUNCIÓN OBJETIVO

Objetivo

Maximizar y minimizar una función objetivo.

Orientaciones


NIVEL APLICACIÓN

Pregunta Nª 1

Utilizando los conceptos de la programación lineal, maximiza o minimiza la función objetivo

en cada uno de los casos siguientes:

1. Dada las restricciones

0,0

3

42

yx

yx

yx

Determine el máximo valor de yxyxf 32),(

2. Dada las restricciones

7

3 3

5

0, 0

y

x y

x y

x y

Determine el mínimo valor de ( , ) 15 8f x y x y


NIVEL ANÁLISIS

Pregunta Nª 2


La concesionaria autorizada de autos Toyota en el Perú “Mitsui Automotriz, vende autos y

camionetas. La concesionaria quiere emprender una campaña publicitaria en TV y tiene que

decidir comprar los espacios publicitarios en dos tipos de programas: uno de reality y el otro

deportivo.

• Cada anuncio en el programa de reality es visto por 6 millones de mujeres y 2 millones de

hombres.

• Cada anuncio, en el programa deportivo cuando transmite un partido de fútbol, es visto

por 3 millones de mujeres y 8 millones de hombres.

• Un anuncio en el programa de reality cuesta 50 000 dólares y un anuncio en el programa

deportivo cuesta 100 000 dólares

• Mitsui desea que los anuncios sean vistos, por lo menos, por 30 millones de mujeres y

24 millones de hombres.

• Mitsui quiere saber cuántos anuncios debe contratar en cada tipo de programa para que

el costo de la campaña publicitaria sea mínimo.


NIVEL EVALUACIÓN

Pregunta Nª 3



Un estudiante de la San Martín dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda

publicitaría. La empresa A le paga 5 soles por cada impreso repartido y la empresa B, con

folletos más grandes, le paga 7 soles por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para

los impresos A, en la que cabe 120, y otra para los impresos B, en la que cabe 100 Ha

calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. El estudiante

asegura que debe repartir 80 propagandas de la empresa A y 70 de la empresa B para que

su beneficio diario sea máximo.

Resuelve la situación problemática indicando si la afirmación del estudiante es o no correcta

al mencionar la proporción de las propagandas A y B, justificando tu respuesta.



1. Maximice: 5 7z x y

sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 3 2 7x y ; 2 5 12x y

2. Minimice: 4 3z y x

sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 3 4 4x y ; 6 8x y

3. Maximice: 2z x y

sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 2 1y x ; 4 9y x

4. Minimice: 2z y x

sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 1y x ; 3 2y x

5. Dada las siguientes restricciones: 2 4x y ; 2 5x y ; 0x ; 0y

a) Grafica la región defina por las restricciones indicando sus vértices.

b) Calcule el valor máximo de la función objetivo 5 2z x y sujeta a las restricciones

dadas.

6. Grafique el sistema de inecuaciones

0,0

54

1

3

yx

xy

yx

yx

7. Dado el siguiente problema de programación lineal: : ( , ) 5 4f x y x y max

Sujeta a

0,0

602

15053

yx

yx

yx

. esboce la gráfica

8. Maximizar la función yxyxf 50002000),(

Sujeta a las restricciones

2 3 3

2 9

2 5 5

0, 0

x y

x y

x y

x y


Maximización y Minimización de una Función Objetivo

Aplicaciones

1. Una compañía química diseña una planta para producir dos tipos de polímeros P1 y P2.

La planta debe tener una capacidad de producción de al menos 100 unidades de P1 y

420 de P2 cada día. Existen dos posibles diseños para las principales cámaras de

reacción que se incluirán en la planta. Cada cámara de tipo A cuesta $600 000 y es capaz

de producir 10 unidades de P1 y 20 unidades de P2 por día, el tipo B es un diseño más

económico, cuesta $300 000 y es capaz de producir 4 unidades de P1 y 30 unidades de

P2 por día. Debido a los costos de operación es necesario tener al menos 4 cámaras de

cada tipo en la planta. ¿Cuántas de cada tipo deben incluirse para minimizar el costo de

construcción y aun así satisfacer el programa de producción requerido? (Suponga que

existe un costo mínimo).

2. Una compañía produce dos productos, A y B. Cada unidad de A requiere 2 horas en una

máquina y 5 en una segunda máquina. Cada unidad de B demanda 4 horas en la primera

máquina y 3 en la segunda máquina. Se dispone de 100 a la semana en la primera

máquina y de 110 en la segunda. Si la compañía obtiene una utilidad de $70 por cada

unidad de A y $50 por cada unidad de B, ¿cuánto deberá de producirse de cada unidad

con objeto de maximizar la utilidad total?

3. Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos artículos:

camiones y camionetas con base en la información siguiente:

Máquina A Máquina B Máquina C

Camión 2h 3h 5h

Camioneta 1h 1h 1h

Las horas que los empleados tienen disponibles por semana son: para operación de la

máquina A, 80 horas, para la B 50 horas, para el acabado 70 horas. Si las utilidades en

cada camión y cada camioneta son de $7 y $2 respectivamente. ¿Cuántos juguetes de

cada uno deben producirse por semana con el fin de maximizar la utilidad? ¿Cuál es la

utilidad máxima?

4. La empresa de transporte “Viaje Feliz”, desea vender a lo más 260 pasajes de Lima a

Tumbes, , de dos clases: clase VIP y clase económica.

Las ganancias correspondientes son de 60 y 40 soles respectivamente. Además, la

empresa decide vender por lo menos 120 pasajes de la clase económica. Se pide:

a) La cantidad de pasajes de cada clase para que las ganancias sean máximas.

b) Cuál es la ganancia máxima.


5. Si “X” es el número de unidades del producto A; “Y” el número de unidades del producto B,

el administrador formula el modelo utilizando la técnica de programación lineal (P.L.):

G = 500x + 200y

Sujeta a:

2x + 3y > 12

2x + y < 8

x > 0; y > 0

Afirma que cuando se producen y venden 3 unidades del producto A y 2 unidades del

producto B; la ganancia máxima será $19 000.

Se pide defender o cuestionar dicha afirmación justificando su respuesta.

6. La mueblería ESTILO S.A. fabrica y vende juegos de dormitorio en caoba y cedro. Cada

juego de dormitorio de caoba le origina una ganancia de $120 y cada juego de dormitorio

de cedro le origina una ganancia de $150. Se sabe que la fábrica produce al mes no más

de 200 juegos de dormitorios de caoba y no más de 250 juegos de dormitorios de cedro;

y que al mes en tienda no se venden más de 300 juegos de dormitorios. Al utilizar la

técnica matemática de la programación lineal, que consiste en:

a) Plantear tus incógnitas y darles variables.

b) Formular la ecuación o función ganancia.

c) Plantear el sistema de inecuaciones.

d) Graficar el sistema de inecuaciones.

e) Evaluar en la función ganancia.

Recomienda cuántos juegos de dormitorio y de qué tipo se deben producir y vender para

maximizar las ganancias de la empresa.

7. Un empresario textil para su departamento de ropa de vestir encarga la confección de

pantalones y poleras de damas estilo deportivo. El fabricante dispone para la confección

750 m de tejido de algodón y 1 000 m de tejido de poliéster; se sabe que cada pantalón

precisa de 1 m de algodón y 2 m de poliéster y que cada polera necesita de 1.5 m de

algodón y 1 m de poliéster.

El precio del pantalón se fija en S/.100 y el de la polera en S/.80. Su Gerente de Ventas

le indica que debe vender 250 pantalones y 375 poleras para que el Ingreso sea máximo,

Se le pide a Ud. que defienda o cuestione la opinión del Gerente de Ventas e indique

además cuál sería el Ingreso Máximo.

8. La empresa SONY S.A. fabrica televisores LCD y LED. Cada televisor LCD produce una

ganancia de $120 y cada televisor LED $80. Para cumplir con la demanda diaria, dicha

empresa debe cumplir como mínimo 250 LCDs y 150 LEDs. Si la producción diaria no

debe sobrepasar de 520 televisores. Al utilizar la técnica matemática de la programación

lineal, que consiste en:

a) Plantear tus incógnitas y darles variables.

b) Formular la ecuación o función ganancia.


c) Plantear el sistema de inecuaciones.

d) Graficar el sistema de inecuaciones.

e) Evaluar en la función ganancia.

Recomienda cuántos televisores y de qué tipo debe producir y vender para maximizar

las ganancias de la empresa.

9. Una compañía fabrica dos tipos de artefactos manuales y eléctricos. Cada uno de ellos

requiere en su fabricación el uso de dos máquinas: A y B. Un artefacto manual requiere

del empleo de la máquina A durante una hora y de una hora en la máquina B. Supóngase,

además, que el número máximo de horas por mes que dispone para el uso de las dos

máquinas A y B es de 180 y 100 respectivamente.

La Utilidad que se obtiene con artefactos manuales es de $4 y para los eléctricos es de

$6. Su Gerente de Ventas le indica que la Utilidad Máxima se obtiene cuando se venden

80 artefactos manuales y 20 artefactos eléctricos. Se le pide a Ud. que defienda o

cuestione la opinión del Gerente de Ventas e indique además cuál sería la Utilidad

Máxima.

CASO 1 MAXIMIZANDO EL BENEFICIO

Finalizado el semestre de estudio un estudiante de la USMP decide aprovechar su tiempo

repartiendo propaganda publicitaria.

La empresa A le paga $5 por cada impreso repartido y la empresa B con folletos más grandes

le paga $7 por impreso repartido. El estudiante lleva 2 bolsas:

Una para los impresos de A en la que caben 120

Otra para los impresos de B en la que caben 100

Así mismo, el estudiante ha calculado que cada día puede repartir 150 impresos como máximo

entre ambos.

Analice, comprenda e interprete la lectura del caso y responda las preguntas siguientes

1.- Determinar la Función Objetivo

……………………………………………………………………………………………………………

2.- Establecer las condiciones (Desigualdades) que se generan en el problema

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

3.- Gráfica y obtenga el polígono resultante calculando cada vértice del mismo

4.- Evalué cada vértice y determine en cuál de ellos se generará el máximo beneficio, es

decir, la combinación perfecta de folletos de A y B.


Método de Polya aplicado a un problema de Programación Lineal

UNIDAD IV

PROGRAMACION LINEAL Y APLICACIONES

CAPACIDAD: Utiliza y aplica axiomas y/o propiedades de la programación lineal para la

solución de problemas relacionados con su especialidad.

CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Reconoce las características de la programación lineal,

alcances y formas de representación con el propósito de plantear, modelar y solucionar

problemas específicos de su formación profesional.

FICHA N°:

Resolver el siguiente problema, en torno a la Programación Lineal y sus aplicaciones,

utilizando la metodología de POLYA

PROBLEMA: Maximizar una función objetivo

La empresa SONY S.A. fabrica televisores LCD y LED. Cada televisor LCD produce una

ganancia de $120 y cada televisor LED $80. Para cumplir con la demanda diaria, dicha

empresa debe cumplir como mínimo 250 LCDs y 150 LEDs. Si la producción diaria no debe

sobrepasar de 520 televisores. Al utilizar la técnica matemática de la programación lineal,

que consiste en:

2. Plantear tus incógnitas y darles variables.

3. Formular la ecuación o función ganancia.

4. Plantear el sistema de inecuaciones.

5. Graficar el sistema de inecuaciones.

6. Evaluar en la función ganancia.

Recomienda cuántos televisores y de qué tipo debe producir y vender para maximizar las

ganancias de la empresa.

CRITERIO PASOS DESARROLLO

Identifica

Entender el

problema

a) Identifica la/las incógnitas

1.- x = LCD ; y = LED

2.- Función Objetivo

3.- Sistema de inecuaciones

4.- Principio de No negatividad

b) Identifica los datos

x genera una ganancia de $120 , y genera una ganancia de

$80

x + y ≤ 520 ; x ≥ 250 ; y ≥ 150; x ≥ 0 ; y ≥ 0

c) Identifica la condición del problema

Evaluar y maximizar la función Ganancia


Relaciona

Configurar

un plan

Relaciona la condición con los datos y las incógnitas.

1.- Determinar la Función Objetivo (Ganancia)

2.- Plantear las restricciones (Desigualdades)

3.- Graficar

4.- Determinar la Región Factible

5.- Determinar los vértices de la Región Factible

6.- Evaluar

7.- Determinar la ganancia

Resuelve

Ejecutar el

plan

Resolver:

Función Objetivo: G = 120x + 80y

Restricciones:

x ≥ 250; y ≥ 150; x + y ≤ 520; x ≥ 0 ; y ≥ 0

Gráfica: Cada estudiante debe graficar

A:(250;150)

B:(250;270)

C:(370;150)

Luego, evaluando la función G =120x + 80y

A= 42000 G máxima = $ 56400 si se vende:

B = 51600 x = 370 ; y = 150

C = 56400


Reflexiona

Examinar la

solución



Indica ¿Cómo podrías verificar el resultado?

Los valores de x e y encontrados los comprobamos en las

restricciones y cumplen con ellas.

Respuesta:

Después de realizar las operaciones respectivas tenemos

que:

1.- El número de televisores LCD y LEDs que se debe

producir y vender para que la Ganancia sea máxima es:

x = 370 ; y = 150


RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO DE CASOS

UNIDAD Nª1

CONJUNTOS

CASO: Preferencias Profesionales

La Facultad de Ciencias

contables, económicas y

financieras de la USMP realizó una

encuesta dirigida a 60 estudiantes

de la Institución educativa “Santa

Anita” y obtuvo los siguientes

resultados:

30 eligieron “Contabilidad”,

24 eligieron “Negocios

Internacionales”,

22 eligieron “Administración de empresas”,

8 eligieron “Contabilidad” y “Negocios Internacionales”,

6 eligieron “Negocios Internacionales” y “Administración de empresas”,

7 eligieron “Contabilidad” y “Administración de empresas”,

2 eligieron “Contabilidad”, “Negocios Internacionales” y “Administración de empresas”.

Ficha de encuesta

Estimado estudiante, esta encuesta permitirá conocer las preferencias sobre

las diferentes Carreras que ofrece la Facultad de Ciencias contables,

económicas y financieras de la USMP, por favor, responde las preguntas con

franqueza completando los espacios.

Nombre:

________________________________

Edad:

__________

Grado:

________

Mujer: Varón:

1. Contabilidad

2. Administración de empresas

3. Marketing

4. Negocios Internacionales


1. Responda las siguientes preguntas. (2 puntos)

a) ¿Qué carreras ofrece la Facultad de Ciencias Contables, Económicas y Financieras

de la USMP? (0,5 puntos)

1 ) ________________________________________

2 ) ________________________________________

3 )________________________________________

4 ) ________________________________________

b) ¿Los que prefieren Negocios Internacionales son 28? (0,5 puntos)

__________________________________________________________________

c) ¿Los que prefieren Contabilidad son 24? (0,5 puntos)

__________________________________________________________________

d) ¿Los que prefieren tres de los cursos son 9? (0,5 puntos)

2. Si: M = Facultad de Ciencias Contables, Económicas y Financieras de la USMP.

(3 puntos)

a = Contabilidad , b = Administración de empresas

c = Marketing d = Negocios Internacionales

e = Ingeniería Industrial f = Matemática Pura.

a) Determina por Extensión el conjunto M = Facultad de Comunicaciones (los elementos

serán las carreras de dicha facultad) (0,5 puntos)

M = ,

b) Determina por Comprensión el conjunto M = Facultad de Ciencias Contables,

Económicas y Financieras (0,5 puntos)

M = {x/x es una _____________________________________________________ }

c) Determina si cada elemento pertenece o no pertenece a cada conjunto escribiendo V

o F.

(0,5 puntos)

a M ( )

b M ( )

d M ( )

c M ( )

f M ( )

e M ( )

d) Si tenemos que M = { a, b, c, d } y N = { b } (0,5puntos)

Determina la inclusión o no inclusión escribiendo V o F.

N M ( )

b M ( )

d M ( )

M N ( )

e) Colocando Si o No en los paréntesis determine lo que se le pide: (1 punto)


En relación a los datos de la pregunta d) el conjunto M tiene:

2 elementos ( ) 4 elementos ( ) 1 elemento ( )

En relación a los datos de la pregunta d) el conjunto N es:

Unitario ( ) Vacío ( )

En relación a los datos de la pregunta d) el conjunto M es:

Finito ( ) Infinito ( )

En relación a los datos de la pregunta d) los conjuntos M y N son:

Disjuntos ( ) Iguales ( )

Si definimos los siguientes conjuntos

A = Total Estudiantes que eligieron la carrera de “Contabilidad”

C = Total Estudiantes que eligieron la carrera de “Negocios Internacionales”

P = Total Estudiantes que eligieron la carrera de “Administración de empresas”

UNIDAD Nª2

INECUACION LINEAL

MOVISTAR empresa de prestigio en la rama de venta de celulares de marcas conocidas como

NOKIA encarga a la Gerencia de Marketting realizar un estudio para ampliar su negocio, pero

esta vez en la producción y venta de repuestos más solicitados por sus clientes.

Dicha gerencia escoge el repuesto más solicitado y con el apoyo del personal que labora en

el Área de Costos proceden a evaluar una supuesta situación en la que se considera

importante la amplia demanda del repuesto y las posibilidades económicas de la empresa

para tomar una decisión tan importante.

Luego de costeado el repuesto se concluye que el Costo unitario de mano de obra y

material por unidad es de $21, los Costos Fijos por mes son de $70000 y el repuesto debe

venderse a $35.

Para que la empresa Obtenga Ganancia el encargado de Marketting sostiene que MOVISTAR

debe de producir y vender como mínimo 5001 unidades por mes.

Finalizado el estudio la empresa decide dar el paso importante de ampliar su negocio en la

producción y venta de repuestos más solicitados por sus clientes

1.- Responda V o Fa las siguientes preguntas: (4 puntos)

a) La expresión U > 0 significa que se obtiene ganancia……………………………… ( )

b) Costo Variable es igual a Costo unitario por la cantidad………………………………… ( )

c) Costo Fijo es aquel que tiene que ver con la producción……………………………… ( )

e) El alquiler del local es un costo variable……………………………………………………( )


2.- Responda a las siguientes preguntas: ( 6 puntos)

¿Qué expresión utilizaría para obtener el ingreso?

a) I = p*q b) I = CV + CF c) U = 0 d) I < 0

¿Cuándo la empresa desea estar en el equilibrio se cumple?

a) U = I – CT b) I – CT = 0 c) U ≤ 0 e) U ≥ 0

¿Cuándo la empresa desea no obtener perdida se cumple?

a) I – CT ≥ 0 b) No vende c) I = 0 e) I = CT

¿Qué expresión utilizaría para obtener el costo total?

a) CT = Cuq + CF b) CT = Cuq – CF c) CT = I d) CT = q

En la simulación la desigualdad resultante es:

a) 35q – (21q + 70000) ≤ 0 b) 35q – (21q + 70000) ≥ 0

En la simulación la q mínima resultante es:

a) q = 4999 b) q = 5000 c) q = 5001 d) q = 4900

¿Si ud fuera el gerente de Marketting que recomendaría al Directorio de MOVISTAR?

UNIDAD Nª3

FUNCION LINEAL

En la fábrica de confecciones de la marca UMBRO se reúne el Gerente General con sus

asesores para delinear la expresión que representa a la Demanda y Oferta de un nuevo

modelo de zapatos de futbol.

Para ello, el Gerente de Producción en función a su experiencia y para no tener resultados

arriesgados propone una supuesta situación a través del siguiente caso:

“Cuando se oferta 50 pares de zapatos de futbol el precio será de $240 y cuando se

ofertan 70 pares del mismo modelo el precio es de $276”.

Pero, si la demanda es de 70 pares el precio será de $340 y cuando la demanda sea de

110 pares el precio es de $260”


a) La pendiente tiene la siguiente expresión 𝑚 = 𝑞𝟐−𝐪𝟏

𝑝2−𝑝1……………………………… ( )

b) La Ecuación punto / pendiente se aplica al conocer 2 puntos de la recta…………… ( )

c) La intersección de las rectas de oferta y demanda representa el Equilibrio….. ………( )

d) Cuando la Oferta y la Demanda son iguales se obtiene ganancia……………………. ( )


2.- Responda V o Fa las siguientes expresiones: (4 puntos)

Pendiente cero Recta horizontal ( )

Pendiente indefinida Recta vertical ( )

Pendiente positiva Recta que sube de izquierda a derecha ( )

Pendiente negativa Recta que desciende de izquierda a derecha ( )

3.- Responda las siguientes preguntas: (12 puntos)

La pendiente de la Oferta es:

a) 𝟒

𝟓 b)

𝟓

𝟒 c)

− 𝟒

𝟓 d)

−𝟓

𝟒

La pendiente de la Demanda es:

a) 2 b) – 2 c) 1 d) – 1

La Ecuación de la Oferta es:

La Ecuación de la Demanda es:

Los valores de “q” y “p” en el Equilibrio son:

a) (280;100) b) (100; 280) c) (100; 180) d) (180, 100)

Ubica los puntos de la Oferta y la Demanda en los gráficos dados:

q

p

Pendiente negativa

q

p

Pendiente positiva


UNIDAD Nº 4

PROGRAMACION LINEAL

El Departamento de Diseño de la fábrica de muebles OLIMPIA presenta dos sillones A y B a

la Gerencia de Ventas de la empresa para su análisis y pronunciamiento respectivo.

El responsable de ventas recurre al Gerente de Producción entregándole la Ficha Técnica de

cada sillón, ya que en una reunión de ventas los agentes coincidieron en que tenían todo lo

necesario para lograr un buen ingreso para la empresa.

La inquietud llegó al Gerente General quien con una visión de negocio propuso que el área

productiva emita un informe sobre la forma más adecuada de obtener una ganancia

máxima antes de aprobar la producción de ambos sillones.

La Ficha Técnica para producir el sillón A manifestaba que era necesario 1 hora de Carpintería

y 2 horas de Tapicería y para producir el sillón B necesario 3 hora de Carpintería y 1 hora de

Tapicería.

La disponibilidad total de los talleres de Carpintería y Tapicería es 80 y 90 horas

respectivamente. Ventas estima que las ganancias por la venta del sillón A es de $60 y por la

del sillón B es de $30


La función objetivo en este caso es:

a) G = x + 3y b) G = 2x + 6y c) G = 60x + 30y

Una de las restricciones es:

a) 2x + 6y > 0 b) x + 3y ≤ 90 c) 2x + 6y ≥ 0

El Polígono formado tiene:

a) 3 vértices b) 2 vértices c) 4 vértices

Uno de los vértices del polígono es:

a) (30;0) c) (30;20) c) (0;90)

2.- Complete las siguientes expresiones: (4 puntos)

a) La restricción en el área de Carpintería es:……………………………………………………..

b) La restricción en el área de Tapicería es:……………………………………………………….

d) El valor de “x” y “y” luego de solucionar el sistema de ecuaciones es:………………. ……..


3.- Cual de los gráficos adjuntos se asemeja al resultado del tema propuesto: (1 punto)

a) b)

4.- Si llamamos A, B , C y D a los vértices encontrados (3 puntos)

A: (0 ; 0) B: (0 ; 30) C: (30 ; 20) d) (40 ; 0) y evaluamos la

Función Objetivo la Ganancia máxima se da cuando:

a) X = 30 y Y = 20 b) X = 0 y Y = 30 c) X = 30 y Y = 90

Luego la ganancia máxima es de:

a) 900 b) 1600 c) 2400 d) 1700

Si ud fuera el Gerente General que juicio emitiría al respecto de la producción de ambos

sillones:

Y

X

40

50 80

50

A B

C

D


GLOSARIO

Enunciado. Un enunciado es una expresión, frase u oración a través del cual se comunica

algo. Un enunciado no siempre es una proposición lógica.

Proposición lógica. Es una enunciado que admite un valor de verdad (puede ser verdadero

o falso). Dicho valor de verdad debe ser único; es decir que el enunciado no puede ser

ambiguo.

Formula lógica. Representa de manera formal, mediante los símbolos p, q ,r, s, etc, a las

proposiciones lógicas compuestas.

Cuantificador. Expresión que permite convertir en proposición lógica a todo enunciado

abierto. El cuantificador puede ser existencial o universal.

Conjunto. Es toda agrupación o reunión de objetos, de cualquier naturaleza, que cumplen

determinadas propiedades o características, a los cuales se les denomina elementos.

Cardinal de un conjunto. Es el número de elementos que presenta un conjunto. Si uno o

más elementos se repiten, solo se toma en cuenta una sola vez, para establecer el cardinal

de dicho conjunto.

Operaciones con conjuntos. Llamado también algebra de conjuntos, permiten obtener un

nuevo conjunto a partir de otro. Las operaciones con conjuntos son: unión, intersección,

diferencia, diferencia simétrica y complemento.

Ecuación lineal. Es una igualdad en la que aparecen una o más variables. Presenta dos

partes llamadas primer miembro (lado izquierdo de la igualdad) y segundo miembro (lado

derecho de la igualdad). El máximo exponente de las variables es la unidad.

Ecuación cuadrática. Es una igualdad en la que el máximo exponente de las variables es

dos. Es llamada también ecuación de segundo grado.

Inecuación lineal. Es una desigualdad (se puede utilizar los símbolos >, <, o ), en la

que aparecen una o más variables. El máximo exponente de las variables es la unidad.

Inecuación cuadrática. Es una desigualdad en la que el máximo exponente de las variables

es dos. Es llamada también inecuación de segundo grado.

Relación. Es la correspondencia establecida entre dos conjuntos. Al elemento del primer

conjunto le corresponde, por lo menos, un elemento en el segundo conjunto.

Función. Es una relación donde a cada elemento del primer conjunto, le corresponde uno y

solo un elemento del segundo conjunto.


Dominio. Es la reunión de los elementos del primer conjunto (conjunto de partida), que tienen

una correspondencia con algún elemento del segundo conjunto (conjunto de llegada).

Rango. Es la reunión de los elementos del segundo conjunto (conjunto de llegada) que tienen

una correspondencia con algún elemento del primer conjunto (conjunto de partida). Suele

llamársele codominio o imagen.

Función lineal. Es una expresión de la forma ( )f x mx b , donde el exponente de la variable

es la unidad, m es la pendiente y b es la constante.

Función cuadrática. Es una expresión de la forma 2

( )f x ax bx c , donde el exponente de

la variable es dos, a es el coeficiente del término cuadrático, b es el coeficiente del término

lineal y c la constante.

Programación lineal. Procedimiento basado en algoritmos que permite optimizar un conjunto

de variables con la finalidad de usarlas de manera racional.

Función objetivo. Expresión en la cual se desea obtener un valor máximo (maximización) o

un valor mínimo (minimización).

Portafolio. Procedimiento utilizado en la evaluación. Consiste en disponer una carpeta en la

que un individuo va reuniendo evidencias sobre la actividad que desarrolla, las cuales

constituyen la base para realizar una valoración de dicho individuo.


FUENTES DE INFORMACIÓN

Haeussler, E. y Richard, P. (2008). Matemáticas para administración y economía. (12ª. Ed).

Ciudad de México: Pearson Educación.

Hoffmann L. y Geral, B. (2006).Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales.

(8ª. Ed.). México: McGraw-Hill.

Arya,J. (2002). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. (4ª. Ed.). Ciudad

de México: Pearson Educación.

Leithold, L. (1998). Matemáticas previas al cálculo. (3ª. Ed.). Ciudad de México: Oxford México.

Loa, G. (2013) Matemática con aplicaciones en Ciencias de la Empresa. (T. I). Perú: Grupo

Editorial Megabyte.

matemÁtica i · y un predicado y no necesita de operador lógico. ejemplos: p : lima es la capital...

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