lÓgico matemÁtica 13 ciencias

CEPRE (Quieres más material educativo >> CLIC AQUÍ <<) Pág. - 1 -

Seccionamientos y cortes. Estadística (promedios). Progresiones geométricas.

Áreas equivalentes (traslado de áreas). Perímetros (perímetros de figuras poligonales).

EJERCICIOS DE CLASE

1. Valeria es una costurera profesional y está preparando la tela para diseñar una blusa, por ello cuenta con tela de medida 3,5 m de largo por 0,5 m de ancho. Si para los moldes de la blusa necesita tela de medida 50 cm por 100 cm usando para ello una guillotina que corta un metro de tela y dos capas como máximo, ¿cuántos cortes rectos como mínimo debe realizar Valeria para obtener la mayor cantidad de moldes? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1 Solución Doblando adecuadamente

Alineando (una al costado de la otra) y doblando.

Con solo dos cortes

2. La figura, representa una rejilla construida de alambre; formada por 12 cuadrados congruentes cuyos lados miden 3cm. Se desea obtener las 34 varillas de alambre de 3cm de longitud. Si no se puede doblar el alambre en ningún momento, ¿cuántos cortes rectos como mínimo se deberá realizar para obtener las varillas?

A) 7 B) 6 C) 4 D) 5 E) 3

Solución

Con solo 4 cortes rectos 3. Abdías desea rifar su tablet entre sus 37

compañeros de trabajo y solo cuenta con una hoja de papel para hacer los boletos. Si no debe doblar, ni superponer, ni alinear el papel en ningún momento, ¿cuántos cortes rectos como mínimo tendrá que hacer a la hoja para conseguir exactamente 37 trozos, con el fin de colocar el nombre de cada uno de sus compañeros de trabajo en ellos? A) 5 B) 7 C) 8 D) 12 E) 15 Solución Evaluando previamente por inducción

Para n cortes se tiene:

(n 1) 12

n ++

Luego hacemos el primer corte y Superponemos las dos capas y hacemos 7 cortes más:

# trozos 7 82 1 582xx + =

⇒ # Total de cortes como mínimo es 8.

4. En el cumpleaños de Paulo, su madre le preparó una gran torta de chantillí de forma cilíndrica, la cual debería alcanzar para 32 invitados. Si la madre de Paulo desea realizar la menor cantidad de cortes posibles para poder repartir la torta a todos los invitados ¿cuántos cortes rectos serán necesarios para cumplir con esto? A) 6 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9 Solución

LÓGICO MATEMÁTICA

13 CIENCIAS

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Lógico Matemática Teoría y ejercicios – Semana 13


Como debe realizar cortes rectos, primero debe realizar 5 cortes de arriba hacia abajo para obtener la mayor cantidad de partes con lo cual obtendría 16 y luego un corte horizontal con lo cual se obtendría 32 partes, ∴ # Total de cortes rectos es 6.

5. Un carpintero tiene un pedazo de madera como el que se muestra en figura, los lados que son paralelos y perpendiculares, también son congruentes dos a dos. El carpintero debe separar dicho pedazo de madera de tal forma que con todos los pedazos que obtenga pueda construir un marco para un lienzo cuadrado de 40 cm de lado. ¿En cuántas partes como mínimo debe separar el pedazo de madera?

A) 6 B) 4 C) 5 D) 2 E) 3

Solución

6. Yolanda visita con su familia un determinado pueblo

de la ciudad de Jauja en donde no hay dinero; por tanto, las transacciones o compras se realizan con algo a cambio. Yolanda tenía una cadena abierta formada por 18 eslabones; por cada día que ella y su familia se quede en el hotel, debe pagar un eslabón teniendo que realizarse este pago cada día. ¿Cuántos cortes debe realizar como mínimo para poder quedarse los 18 días en ese pueblo? A) 6 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Solución Estiramos la cadena y enumeramos en orden del 1 al 18, se debe cortar y abrir el cuarto y el onceavo el eslabón, de tal forma que nos resulten como cantidades de cadenas de eslabones: 1; 1; 3; 6 y 7. Por lo tanto, sólo es necesario abrir 2 eslabones y hacer las transacciones pagando y recibiendo vuelto

7. En cierta ciudad, la suma de las edades de los pobladores es 1440 y la edad promedio es 18 años. Si cada hombre tuviera tres años más y cada mujer un año menos de edad, la edad promedio aumentaría un año. Halle la relación entre el número de hombres y mujeres. A) 1 B) 2/3 C)1/2 D) 1/3 E) 2/5 Solución

1440(suma de edades)Pr 18omn

=

n = total de pobladores = 80 H: # de hombres M: # mujeres

Luego 18+11440 380

H M+ −

Luego 3H-M = 80 pero H+M =80 De aquí H = 40 M = H/M = 1

8. De las edades de Fernando y su único hijo, se sabe que la media aritmética excede en 5 a la media armónica. Si el hijo de Fernando nació cuando este tenía 20 años, ¿cuántos años tiene actualmente el hijo de Fernando? A) 12 B) 10 C) 6 D) 9 E) 8 Solución Edades: Fernando x años, hijo y años 9 x – y = 20

2 52

x y xyx y

+− =

+

Resolviendo: x = 30, y = 10

9. En una reunión realizada en la Cepre Untels están 6 ingresantes de edades diferentes y ninguno es menor de 16 años. Si la edad promedio de todos es 21 años, ¿cuál es la máxima edad, en años, que puede tener uno de los ingresantes? A) 46 B) 34 C) 38 D) 40 E) 36 Solución Edades a1, a2, a3, a4, a5, a6 Por dato:

1 2 3 4 5 6 216

a a a a a a+ + + + +=

⇒ a1,+ a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 126 Donde ai ≥ 16, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Luego: 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + x = 126 90 + x = 126 ⇒ x = 36

10. En un juego cinco primos obtienen puntajes que forman una progresión geométrica cuya suma es 372; pero los puntajes de orden impar es 252. Halle la diferencia entre el mayor y el menor puntaje. A) 90 B) 85 C) 120 D) 180 E) 150 Solución Sean los términos de progresión: t, tr, tr2, tr3, tr4. Dato: t +tr + tr2 + tr3 + tr4 = 372 …(I) t + tr2 + tr4 = 252…(II).




Entonces (II) en (I): tr + tr3 = 120, tr(1 +r2) = 24x5, entonces r = 2 y t = 12. Nos piden: tr4 - t = 180.

11. Un padre celebra sus 24 años de servicios junto a sus 3 hijos. El mayor les dice a sus hermanos; que sumando el doble de la edad del menor, más las edades del segundo y el mayor da 24 años. El segundo hermano afirma que el séxtuplo de su edad, menos la edad del mayor también es 24.Halle la suma de las edades del menor y segundo hermano, sabiendo que las tres edades forman una progresión geométrica. A) 6 años B) 9 años C) 12 años D) 5 años E) 10 años Solución Sean las edades de los hijos: menor: x, 2º: y, mayor: z, tal que PG: x, y, z Entonces: 2x +y +z =24 …(I) 6y – z = 24 …(II), tal que y2 = x. z …(III) 𝑦𝑦 = 24+𝑧𝑧

6 2𝑥𝑥 = 24 − 24+𝑧𝑧

6− 𝑧𝑧. Reemplazando

en (III) se tiene: 11Z2 – 156z +288 = 0, entonces (11z - 24)(z - 12)=0 entonces z = 12, y = 6, x=3 Entonces x + y = 9.

12. A las 8 pm, Valeria comunica una noticia a tres de sus amigas e inmediatamente cada una de ellas la comunica a otras tres mujeres y así sucesivamente. Si cada persona comunica sólo una vez a tres personas y demora 5 minutos en comunicar la noticia a sus oyentes, ¿cuántas damas conocerán la noticia a las 8:40 pm del mismo día? A) 9 771 B) 9 671 C) 9 941 D) 9 661 E) 9 841 Solución

# Intervalos de tiempo: 40 85=

# damas=

92 8 3 11 3 3 3 9841

3 1−

+ + + + = =−

13. Si AFMC es un cuadrado de 6 m de lado y además «B» es punto medio, calcula el área de la región sombreada. A) 6 m2 B) 9 m2

C) 7 m2 D) 5 m2 E) 3 m2 Solución

14. Calcula el área de la región sombreada en el hexágono regular de área 108 cm2. A) 60 cm2 B) 90 cm2

C) 60 cm2 D) 33 cm2 E) 43 cm2

Solución

15. Calcula el área de la región sombreada, si se sabe

que AFMC es un cuadrado de lado 8 m.

A) 64 m2 B) 32 m2 C) 12,8 m2 D) 24,8 m2 E) 16 m2

Solución

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN 1. Se tiene un pedazo de cartulina de tamaño 16 cm x

12 cm, de esta cartulina se desea obtener la menor cantidad de trozos cuadrados de longitud entera en centímetros sin desperdiciar material. Si se cuenta con una tijera que a lo más puede cortar dos capas a la vez de esta cartulina, ¿cuántos cortes rectos como mínimo serán necesarios para obtener los trocitos cuadrados? A) 4 B) 3 C) 5 D) 2 E) 6 Solución Como se quiere el menor número de trozos sin desperdiciar, saquemos el MCD(16,12) = 4, los cuadrados de tela formados deben ser de tamaño 4x4.

Mostramos el proceso de doblez y corte

A

F

C

M

B

A

F

C

M




Por tanto son necesario solo 3 cortes.

2. Se tiene una cinta de tela, suficientemente larga, a

la cual se le dobla por la mitad y se le hace 4 cortes, paralelos a la línea del doblez. Luego, en cada parte obtenida, se hace 5 cortes paralelos, sin doblar la tela. ¿Cuál es la cantidad de partes que se obtiene en total? A) 45 B) 54 C) 40 D) 72 E) 63 Solución Al doblar la cinta por la mitad y hacer 4 cortes, se obtiene 9 partes. En cada parte se hace 5 cortes paralelos y se obtiene 6 partes. ∴ # Total de partes que se puede obtener es 54.

3. En el asentamiento humano “Oasis de Villa” en donde no hay dinero, las transacciones o compras se hacen con algo a cambio. Un turista que llegó al asentamiento tenía una cadena abierta formada por 23 eslabones, por cada día que el turista se quede debe pagar el valor de un eslabón teniendo que realizarse este pago cada día. ¿Cuántos cortes debe realizar como mínimo para poder quedarse los 23 días en ese asentamiento? A) 5 B) 2 C) 6 D) 4 E) 3 Solución Estiramos la cadena y enumeramos en orden del 1 al 23, se debe cortar y abrir el cuarto y el onceavo el eslabón, de tal forma que nos resulten como cantidades de cadenas de eslabones: 1; 1; 3; 6 y 12. Por lo tanto, sólo es necesario abrir 2 eslabones y hacer las transacciones pagando y recibiendo vuelto. ∴# Total de cortes como mínimo es 2.

4. En la figura, se tiene un trozo de madera de 1cm de espesor, el cual será cortado por una sierra eléctrica para obtener los seis cuadritos en los cuales se encuentran alguna impresión (letra o figura). Si la sierra no corta más de 1cm de espesor, ¿cuántos cortes rectos como mínimo debería realizarse? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Solución

En solo 4 cortes

5. Marcos posee una cadena de doce eslabones

idénticos con excepción de una que pesa ligeramente menos que las demás, como se muestra en la figura. Si solo cuenta con una sierra y una balanza de dos platillos, ¿cuántos eslabones tendrá que cortar en el peor de los casos, como mínimo, para que con el menor número de pesadas encuentre el eslabón que pesa menos?

A) 53 B) 54 C) 57 D) 55 E) 56 Solución Primer corte y una pesada:

1° corte

Segundo corte y segunda pesada:

2° corte

o

2° corte

Tercer corte y una pesada:

3° corte

o3° corte 3° corte

o # Mínimo de eslabones cortados es 3.

6. De las edades de cinco personas, si sumamos la edad promedio de cuatro de ellos a la edad de la quinta persona, se obtienen los números 26, 29, 32, 35 y 38. Halle la edad promedio de las cinco personas. A) 15 años B) 12 años C) 18 años D) 16 años E) 20 años Solución

UT

NE

L S

UT

NE

L S 1° corte

2° corte

SL

NEU

T

3° corte3° corte

N U 4° corte




Sean las edades: a, b, c, d, e Por dato tenemos:

262

b c d ea + + ++ =

292

a c d eb + + ++ =

322

a b d ec + + ++ =

352

a b c ed + + ++ =

382

a b c de + + ++ =

Sumando obtenemos: 2(a + b + c + d + e) = 160 Entonces, (a + b + c + d + e) = 80 años Por lo tanto la edad promedio será 80/5=16años

7. Paulo le dice a Marcos: “el promedio geométrico de cuatro números pares positivos y diferentes es de 6 3 ; si hallas el valor del promedio aritmético de dichos números, recibirás de premio el valor, en soles, de la suma de cifras del valor obtenido”. ¿Cuánto fue el premio de Marcos? A) S/. 2 B) S/. 4 C) S/. 6 D) S/. 8 E) S/.10 Solución Se sabe que

4Pr . . . . . 6 3om Geom a b c d= = Luego a.b.c.d = 64.32 Descomponiendo: a.b.c.d = (6)(6)(6)(6)(9)=(2)(6)(18)(54) Los números pares diferentes: 2, 6, 18 y 54

2 6 18 54Pr . . 204

om Aritm + + += =

Sema de cifras = 2

8. La estatura promedio de 500 personas es 1,67 m. En este grupo hay 350 varones en total, cuya estatura promedio es 1,70 m. ¿Cuál es la estatura promedio de todas las mujeres que hay en este grupo? A) 1,60 m B) 1,57 m C) 1,50 m D) 1,55 m E) 1,65 m Solución

9. A la arquitecta Ruth se le ofrece pagar una suma de dinero por cada grupo de 10 casas que diseñe. Por

el primer grupo se le pagará una cierta suma; por el segundo, el doble del primero, por el tercero, el doble del anterior; y así sucesivamente. Si Ruth diseñó 120 casas y recibe S/ 32 760, ¿cuánto le pagaron por el quinto grupo de casas que diseñó? A) S/. 128 B) S/. 164 C) S/. 258 D) S/. 192 E) S/. 148 Solución

# grupos de 10 casas diseñadas = 120 1210

=

Pago por el 1º grupo: S/ x Pago por el 5º grupo: S/. 24x

122 1 32768 82 1

5 128

x x

Pago por el grupo

−= ⇒ = −

⇒ ° =

10. Cuatro sobrinos tienen ahorrado cada uno cierta

cantidad de dinero y estas cantidades forman una progresión geométrica. El primero tiene S/.320 que es la menor cantidad y el cuarto tiene la mayor cantidad. Si los otros dos sobrinos tienen juntos S/. 900, ¿cuánto tiene el cuarto sobrino? A) S/. 610 B) S/. 625 C) S/. 620 D) S/. 640 E) S/. 660 Solución Sean las cantidades que tienen: 320 ; 320x ; 320x2 ; 320x3 Además: 320x + 320x2 = 900 ⇒ 16x2 + 16x – 45 = 0 ⇒ (4x + 9)(4x – 5) = 0 ⇒ x = 9

4− ó x = 5

4

Por tanto lo que tiene el cuarto hermano es: S/. 625 11. Un empresario está endeudado con una entidad

financiera y la forma de pago acordada mensualmente por 2 años, da lugar a una progresión geométrica. El quinto mes pagó 160 soles y el noveno mes pagó 2 560 soles. ¿Cuántos soles pagará en el decimosegundo mes? A) S/. 20 480 B) S/. 40 955 C) S/. 20 890 D) S/. 40 450 E) S/. 20 325 Solución Sea el aumento en P.G: a; a.r ; a.r2 ; …. an = a.r(n - 1) Tenemos: a5 = a.r4 = 160 … (i) a9 = a.r8 = 2 560 … (ii) De (ii) / (i): r = 2 ; a = 10

En 15 días en total habrá: 11

12a 10.2 20 480= =

12. Abdías está diseñando una cometa, como se muestra en la figura, la cual tiene un área total de 60 cm2. Para darle unos últimos detalles en el diseño, desea pintar la región sombreada de color celeste. Si ABC es un triángulo, 2 BR = RA y BP = PT = TC, calcule el área de la región que pintará Dante. .




A) 3 cm2 B) 4 cm2 C) 5 cm2 D) 12 cm2 E) 8 cm2 Solución En ∆ ABT: 2(2a+b) = 5 Entonces 4a = 3b En ∆ ABC: 3(3b+a) = 60 Entones a = 4 Por lo tanto Área a pintar = 4 cm4

13. En la figura, ABCD representa un terreno agrícola que tiene la forma de un paralelogramo cuya área es 6 km2. Si en el terreno sombreado se quiere sembrar espárragos y M es punto medio de BC , calcule el área de la región a sembrar. A) 1,5 km2 B) 4 km2 C) 5 km2 D) 2 km2 E) 3 km2 Solución

Se tiene 12S = 6 entonces S = 1/2 Área a sembrar = S + 3S = 4S = 4(1/2) = 2 Área a sembrar es 2 km2


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