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MATEMÁTICA 4

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GOBERNADORA DE LA PROVINCIA DE BUENOS AIRESLic. María Eugenia Vidal

DIRECTOR GENERAL DE CULTURA Y EDUCACIÓNLic. Gabriel Sánchez Zinny

SUBSECRETARIO DE EDUCACIÓNLic. Sergio Siciliano

DIRECTOR DE EDUCACIÓN DE ADULTOS Prof. Ing. Pedro Schiuma

SUBDIRECTOR DE EDUCACIÓN DE ADULTOSProf. Juan Carlos Latini

MANUAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

PRESENTACIÓN

Este material que hoy llega a sus manos forma parte de una serie de módulos del Programa de Educación a Distancia (Res. 106/18) de la Dirección de Educación de Adultos de la Provincia de Buenos Aires. El mismo busca ampliar el acceso a la educación secundaria de aquellos jóvenes y adultos mayores de 18 años que se encuentren imposibilitados de concurrir a nuestras escuelas.

La evolución de las tecnologías de la información y de la comunicación nos permite repensar el modelo educativo de enseñanza-aprendizaje. El objetivo de la modalidad a distancia es superar las limitaciones de tiempo y espacio de todos aquellos bonaerenses que quieran terminar sus estudios secundarios. Este Programa tiene como propósito que los estudiantes puedan ingresar y egresar en cualquier momento del año, avanzando según su propio ritmo y con la posibilidad de organizar su trayecto formativo.

La Educación a Distancia es una herramienta que se suma a las ofertas de terminalidad secundaria que ofrece la provincia de Buenos Aires en pos de alcanzar a aquellos que el sistema educativo no les proponía una alternativa de estudio que no requiera concurrir a los servicios educativos presenciales de tiempo completo y con desplazamiento diario.

Esta modalidad se caracteriza por la mediatización de la relación entre el docente y el estudiante, a

Los estudiantes contarán así con el acompañamiento permanente de un profesor tutor a través de los distintos recursos que ofrece el Campus Virtual (campusvirtualadultos.com.ar), y también en instancias presenciales de encuentros individuales e intercambios abiertos grupales para compartir intereses, preocupaciones, dudas, opiniones, explicaciones, materiales, etc.

Este material estará disponible tanto en formato digital como impreso, para que sin importar sus posibilidades, los estudiantes tengan acceso al mismo. Completar sus estudios secundarios es, fundamentalmente, dar un paso más en la construcción de su ciudadanía.

Director de Educación de AdultosProf. Ing. Pedro Schiuma

RESOLUCIÓN DE CREACIÓN 106/18 Año de impresión2019 - 2da EdiciónAdecuación de la estructura curricular modular del Programa Educación a Distancia

Introducción

Unidad 1: Polinomios Apunte de clase: Polinomios-1. Polinomios

• 1.1. Grado de un polinomio-2. Adición-3. Sustracción-4. Multiplicación-5. División-6. Funciones polinómicas

• 6.1. Función lineal• 6.2. Función cuadrática

Unidad 2: Límites Apuntes de clase: Límites -1. Límite finito -2. Límite laterales -3. Límite infinito -4. Cálculo de límites -5. Indeterminación del tipo ∞/ ∞ -6. Asíntotas lineales -7. Continuidad de una función en un punto

Unidad 3: Derivadas Apuntes de clase: Derivadas -1. Derivada de una función en un punto -2. Interpretación geométrica de la derivada -3. Función derivada -4. Aplicaciones de las derivadas -5. Signo de la primera derivada

• 5.1. Intervalos de la monotonía• 5.2. Determinación de máximos y mínimos

1EDUCACIÓN a DISTANCIA

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2. Adición

Operaciones con polinomios: adiciónDados los polinomios P y Q, se llama suma de los mismos y se simboliza P

+ Q, al polinomio cuyos términos son los de los polinomios dados, después de efectuar la suma de los semejantes si los hubiera.

Disposición práctica:Colocamos en columnas los términos semejantes de los polinomios

sumandos. Esto se debe a que vamos a sumar monomios semejantes.Ejemplo:P = 2x4 - 3x3 + 2x – 3

Q =

Los ubicamos, como ya dijimos, de manera que los términos semejantes queden encolumnados para poder sumarlos:

P = 23x4 - 3x3 + 2x - 3+ Q = -x4 +1/2x2 + 3/4 x + 1

P + Q = x4 -3x3 + 1/2x2 + 11/4 x - 2

1. Polinomios

Su significado viene de la conjunción de las palabras “poli” (muchos) y “nomios” (términos); y sus expresiones son del tipo:

f(x) = anxn + an-1x

n-1 + … + a1x1 + a0x

0

donde el coeficiente a es distinto de 0 (an ≠ 0).

1. 1. Grado de un polinomio

Es el mayor de los grados de las incógnitas que lo forman.

Polinomios

Apunte de clase: Polinomios

UNIDAD 1

Determinar el grado de los siguientes polinomios:

f(x) = 3x3 + 1 p(x) = 1g(x) = -x4 + 8x5 - 16 h(x) = -7 - x3 - 8x7

ACTIVIDAD 1»

Continuamos con la lectura del apunte

EDUCACIÓNa DISTANCIA

2MATEMÁTICA 4

3. Sustracción

Operaciones con polinomios: sustracciónSe llama diferencia entre P y Q, en ese orden, al polinomio que se obtiene

sumando a P el opuesto de Q.Se simboliza como P – Q = P + (-Q)Ejemplo:

P = 8x5 - 7x - 5Q = -x5 + 3x2 + 8x - 4Colocamos, como en el caso de la suma, los términos semejantes de

cada polinomio encolumnados:

P = 8x5 - 7x-5-Q = -x5 + 3x2 + 8x - 4

P - Q = 9x5 - 3x2 - 15x -1

4. Multiplicación

Operaciones con polinomios: multiplicaciónDados 2 polinomios P y Q, se llama producto de los mismos y se simboliza

P.Q al polinomio que se obtiene multiplicando cada término de uno de ellos por cada término del otro (se aplica propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición) y sumando los términos semejantes si los hubiera.

Ejemplo:P = 5x3 - 2x2 + x - 1Q = 3x2 + 7x

Disposición práctica:

5. División

Operaciones con polinomios: divisiónSi P y Q son dos polinomios y Q es no nulo (es decir Q ≠ 0), entonces

existen y son únicos dos polinomios C y R, tales que:P = Q.C + R

Grado de R < grado de Q o bien R es el polinomio nulo (cuando el resto es 0).P se denomina dividendo; Q es el divisor; C es el cociente y R es el resto.


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Ejemplo de división:Queremos hacer la división del polinomio P por el polinomio Q:P = -2x2 + x3 + 2x - 1Q = 1 - x + x2

Para facilitar la operación, es conveniente proceder de la siguiente manera:1) Ordenamos según las potencias decrecientes de la variable, el

dividendo y el divisor. Se completa el polinomio dividendo.x3 - 2x2 + 2x - 1 |x2 - x + 1

2) Dividimos el primer termino del dividendo por el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cociente.

x3 - 2x2 + 2x - 1 |x2 - x + 1 x

3) Multiplicamos este termino del cociente por el divisor y se resta este producto del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo parcial.

x3 - 2x2 + 2x - 1 |x2 - x + 1+ -x3 + x2 - x x - x2 + x - 1

4) Reiteramos el procedimiento indicado en 2 y 3 hasta que el resto sea el polinomio nulo; o bien, un polinomio de grado menor que el del divisor.

x3 - 2x2 + 2x - 1 |x2 - x + 1+ -x3 + x2 - x x - 1 - x2 + x - 1+ x2 - x + 1 0

El cociente C = x - 1. El resto R es un polinomio nulo

Otro ejemplo:P = x3 + 1 + 2xQ = x2 - x

x3 + 0x2 + 2x + 1 |x2 - x + -x3 + x2 x + 1 x2 + 2x + 1+ -x2 + x 3x + 1

C = x + 1 R = 3x + 1

Podremos observar que el grado del cociente es la diferencia entre el grado del dividendo y el del divisor.

Existe otro procedimiento llamado “regla de Ruffini”, que permite obtener los coeficientes del cociente y del resto de la división entre un polinomio P(x) y un binomio Q(x) de la forma x + a de una manera más sencilla.


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Ejemplo de aplicación:Queremos realizar la división entreP(x) = 3x3 + 2x2 + x - 8Q(x) = x + 1

1) En una fila escribimos los coeficientes del dividendo completo según las potencias decrecientes de la variable.

3 2 1 -8 (3x3 + 2x2 + 1x - 8)2) Trazamos una cruz como indica la figura, y en el ángulo izquierdo se

escribe el opuesto del término independiente del divisor (en este caso x + 1, el opuesto será -1)

3) Debajo de la cruz obtenemos los coeficientes del cociente, el primero de los cuales es el primero del dividendo.

4) Los restantes coeficientes del cociente se obtienen multiplicando al anterior obtenido por el número que figura en el ángulo izquierdo y sumando este producto (que se coloca en la segunda fila), al correspondiente coeficiente de la primera fila. Así:

5) El último número obtenido es el resto.Entonces: C = 3x2 - x + 2 R = - 10

Otro ejemplo:P(x) = -x4 + 16Q(x) = x - 2

C = -x3 - 2x2 - 4x - 8 R = nulo

Para afianzar el tema pueden ver: “División por Ruffini - División de Polinomios”https://www.youtube.com/watch?v=5CDZEfaU0Kg

VIDEO


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Sean los polinomios

P(x) = x3 - x2 + 4Q(x) = x2 - xH(x) = -x4 + 8x2 +16J(x) = x - 2

Realizar las siguientes operaciones:

P/Q P+H Q-J P/J H.J H.P

ACTIVIDAD 2»

6. Funciones polinómicas

Conceptos previosUna función es un polinomio que podemos representar gráficamente para

expresar una idea concreta, como por ej. el crecimiento de la población de una ciudad en base al tiempo, etc.

El dominio de una función corresponde a todos los valores de x que pertenezcan a la propia función.

La imagen son todos los valores de y que pertenecen al dominio de la función.Llamamos conjunto de positividad (C+) a todos los valores de x con los

cuales la función posee valores positivos de y.Llamamos conjunto de negatividad (C-) a todos los valores de x con los

cuales la función posee valores negativos de y.Llamamos conjunto de ceros (C0) a todos los valores de x con los cuales la

función posee valores nulos de y. Coincide con las raíces de la función.

Un ejemplo gráfico sería el siguiente:

El dominio de la función son todos los números reales (ya que la función es una recta infinita para ambos sentidos).

La imagen de la función son todos los números reales.El conjunto de negatividad se encuentra marcado en rojo y se expresa

analíticamente como (- ∞; - 4) (desde el menos infinito hasta el -4).El conjunto de positividad se encuentra marcado en azul y se expresa

analíticamente como (- 4; + ∞) (desde el - 4 hasta el más infinito).El conjunto de ceros está compuesto solamente por el {-4}.



6MATEMÁTICA 4

Determinar el dominio, imagen, C+, C- y C0 de los siguientes gráficos (cada línea representa una función):

ACTIVIDAD 3»

6. 1. Función lineal

Su fórmula está dada por un polinomio de grado 1.

f(x) = ax + b Donde a no puede ser igual a 0 (a ≠ 0)

Su representación gráfica es una recta.El coeficiente principal a (que acompaña a la x) se llama pendiente.

Si a > 0 la función “crece” de izquierda a derecha:



MATEMÁTICA 4

Si a < 0 la función “decrece” de izquierda a derecha:

La pendiente (inclinación que posee la recta) está dada por la fórmula:

Ejemplo de aplicación:Tomando 2 puntos cualesquiera A (Xi ; Yi) y B (Xf ; Yf) y aplicando la

fórmula antes mencionada obtenemos que:

2 será la pendiente de la función:


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En el modelo: f(x)= ax + b

El término independiente b se llama ordenada al origen y representa el punto donde la recta corta al eje y. Para obtener analíticamente este valor procedemos a “darle valor 0 a la x”, ej. :

f(x) = 9x - 8f(0) = 9.0 - 8f(0) = - 8 Es decir que la recta cortará al eje y en el valor -8; o bien

en el punto (0;-8)Para calcular por donde la recta corte al eje x (también llamadas raíces,

o ceros de la función), procedemos a igual la función a 0, y despejar xf(x) = 9x - 8 f(x) = 09x - 8 = 09x = 8

1) Hallar la raíz y la ordenada al origen en forma analítica de las siguientes funciones lineales. Graficar.f(x) = 3x +4 g(x) = -2x h(x) = x +10

2) A partir del siguiente gráfico obtener la función correspondiente (calcular la pendiente, la ordenada al origen y las raíces).

ACTIVIDAD 4»


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6. 2. Función cuadrática

Su fórmula está dada por un polinomio de grado 2f(x) = ax2 + bx + c con a ≠ 0Su representación gráfica es una parábola:

El término independiente c es la ordenada al origenf(0) = cPara calcular los ceros de la función (raíces) utilizaremos la fórmula

resolvente:

Si el determinante es positivo (Δ > 0) obtendremos 2 raíces reales distintas.

Si el determinante es 0 (Δ = 0) obtendremos 2 raíces reales e iguales (raíz doble).

Si el determinante es menor a 0 (Δ < 0) obtendremos 2 raíces complejas conjugadas.

Y las gráficas resultan parecidas a las siguientes (para a > 0 y a < 0).



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Como podemos observar la función decrece hasta el punto V y luego cambia su sentido y crece. A este punto lo llamaremos vértice de la parábola, y estará dado por la siguiente fórmula:

Analizaremos ahora el siguiente gráfico:


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Y entonces el vértice V estará dado por los puntos Vx y Vy:

Dadas las siguientes funciones obtener analíticamente las raíces, la ordenada al origen, el vértice y graficar.

f(x) = x2 - 4x + 2

g(x) = -x2 + 4x + 12

ACTIVIDAD 5» Obligatoria

¿Quedó alguna duda? ¿Alguna actividad que no sé cómo resolverla? Los espera el tutor en el Campus Virtual o en el encuentro presencialpara acompañarlos y ayudarlos.



12MATEMÁTICA 4

1. Límite finito

Vamos a ver en qué condiciones los valores de una función se aproximan a un número real determinado cuando los puntos del dominio se acercan a un punto a, que puede o no pertenecer al dominio.

Consideremos la función:f(x)=2x-1 con la restricción de que x≠3

Apunte de clase: Límites

UNIDAD 2 Límites


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Estudiemos la variación de la función en un entorno reducido del punto 3, sin preocuparnos de lo que sucede en ese punto, es decir cuando la variable x se aproxima ilimitadamente a 3, sin hacerse igual a 3, lo que se designa x→3 (x tiende a 3).

Realizamos una tabla de valores:

Los valores de f(x) se aproximan a 5 cuando x→3Entonces podremos afirmar que:

x→3 f(x) = 5

x 2,8 2,99 3,001... 3,01 3,1 3,22,99 ...

...

2,999 3

F (x) 4,6 4,98 5,0024,8 4,998 ... 5,02 5,2 5,4

La fórmula general del límite queda expresada como

x→a f(x) = l

Donde a será el punto de acumulación donde deseamos saber que ocurre, y l el valor finito que satisface a la f(x)

Definimos entonces al límite, como una forma para saber qué sucede con la función en determinado punto del dominio.

Para resolver los límites, reemplazaremos las x de la función por el valor a.Por ejemplo:

x→-1 2x+8 = 2 . (-1)+8 = 6

x→-1 x²+x = 1²+1-3 = -1

ACTIVIDAD 6»Calcular los siguientes límites:a) x→3 X X2

b) x→-2 x2+9-x

c) x→0 x7-3

d) x→-1 1+x

2. Límite laterales

Hasta ahora, al hablar de límite consideramos puntos próximos al punto de acumulación “a” a ambos lados de dicho punto. En algunos casos interesa el comportamiento de la función en puntos del dominio a un solo lado, es decir en un semientorno a la derecha o a la izquierda.

Consideremos la siguiente función

f (x) = lxl con x ≠ 0 x


lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim


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Con su respectivo gráfico:

Observamos que para elementos del dominio mayores a cero se satisface la definición de límite con el número.

x→0 |x| = 1 xAnálogamente, para los valores menores a cero el límite es -1. x→0 |x| = -1 xA modo de conclusión, podemos afirmar que si una función admite el

mismo número como límite por la derecha y por la izquierda de un punto de acumulación “a”, entonces dicha función tiene límite finito en ese punto.

En nuestro ejemplo anterior, la función no posee límite finito en el punto de acumulación cero.

En el siguiente ejemplo donde f(x) es una función partida, es decir que está formada por dos o más funciones restringidas a una pequeña parte del dominio.

lim

lim

f (x) = -1 si x < 1 Calcular lim f(x) 2x si x > 1 x→1{


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Podemos observar que la primera función es una constante de valor -1, la cual comprende a todos los valores del dominio que sean menores o iguales a 1.

La segunda función es una lineal, la cual comprende a todos los valores del dominio que sean mayores a 1.

Entre las dos logran que el dominio de f(x) sean todos los números reales.Ahora volviendo al cálculo del límite, cuando se trata de este tipo de

funciones procederemos a analizarla por izquierda y por derecha:Por la derecha: (colocamos como índice de x el signo +).

x→1 + 2x = 2Por la izquierda (colocamos como índice de x, el signo -)

x→-1 - 1 = -1

Si el límite por ambos lados es igual, podremos decir que existe un límite finito. Caso contrario diremos que no existe límite en el punto.

En nuestra función entonces:

x→1 f(x) Ǝ

Para seguir con el tema pueden visitar:http://matematica.50webs.com/limite-finito.html

WEB

ACTIVIDAD 7»Calcular si las siguientes funciones por partes poseen límites finitos en el punto:a) f (x) = x² si x<2 cuando x→2 2x si x<2

b) f (x) = x si x< 4 cuando x→4 -1 si x> 4

c) f (x) = x² si x< 0 cuando x→0 x si x> 0

3. Límite infinito

La inexistencia de límite finito en un punto de acumulación “a” puede significar, como ya hemos visto, que no coincidan los límites laterales a derecha e izquierda, o bien, que cuando x se aproxima al punto de acumulación “a” los valores de la función superan, en valor absoluto, a cualquier número prefijado.

Consideremos la funciónf (x) = Como sabemos x≠0 y ahora veremos por qué.Tomemos valores en un entorno reducido del punto cero.

x 0,1 0,001 -0,01-0,001 -0,10,01 00,0001 -0,0001

F (x) 10 1000 -100100 10000 -10000 -1000 -10


{

{

{

1 x

lim

lim

lim


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A medida que x toma valores próximos a cero, la función toma, en valor absoluto, valores cada vez más grandes.

Se dice entonces que el x→0 1 → ∞ x

Entendiéndose por ello que la función en valor absoluto toma valores tan grandes como se quiera.

4. Cálculo de límites

Indeterminación del tipo 0 0

Consideremos el siguiente límite: x →2 x²-4 = 2² - 4 = 0 x-2 2-2

Tanto la función del numerador como la función del denominador tienen límite 0. En estos casos se dice que se produce una indeterminación del tipo 0

0

lim

lim


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Para poder calcular el límite debemos “salvar” la indeterminación, es decir, aplicar algún procedimiento algebraico para poder simplificarla.

En este caso factorizaremos el numerador:

x →2 x²-4 = x →2 (x-2) (x+2) x-2 x-2

Procedemos a cancelar el factor (x-2) que se encuentra multiplicando y dividiendo, y nos queda:

x →2 x+2 = 2+2 = 4

De esta forma obtuvimos que cuando x tienda a 2, el límite será 4.

ACTIVIDAD 8»Calcular los siguientes límites:a) x→1 5x²+2x x

b) x→1 x³+x²+x x²-2x

c) x→1 x-1 x²-2x+1

5. Indeterminación del tipo ∞/∞

Consideremos el siguiente límite:x→∞ 2x+1 = 2∞+1 x−3 ∞−3

El símbolo ∞ nos indica un número demasiado grande, al cual no lo influyen las operaciones comunes (como la adición, sustracción, o multiplicación; si lo hará la división, explicada más adelante), por eso el límite nos quedará de la siguiente forma:

2∞+1 = ∞ ∞−3 ∞

Entonces, tanto la función numerador como la función denominador tienen limite infinito. En estos casos se dice que se produce una indeterminación del tipo ∞

∞Para poder calcular el límite, sacaremos factor común la x de mayor

exponente en el numerador y el denominador, es decir:

x→∞ 2x+1 = x→∞ x(2+1/x) x−3 x (1-3/x)


lim lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim lim


18MATEMÁTICA 4

Procedemos a cancelar el factor x que se encuentra multiplicando y dividiendo, y nos queda:

x→∞ 2+1/x 1-3/x

Para tener en cuenta: k → ∞ 0

Si poseemos una constante cualquiera sobre cero diremos que el resultado va a tender a infinito: k → 0

∞

Si poseemos una constante cualquiera sobre infinito diremos que el resultado va a tender a cero.

Entonces continuando con el ejemplo anterior:

2+1/∞ = 2+0 = 21−3/∞ 1−0

Cuando los elementos del dominio tiendan al infinito, el límite será 2.

ACTIVIDAD 9»Calcular los siguientes límites:a) x→∞ x²-4+3 x²+1

b) x→∞ x³-2x+3 3 x³ -5x+1

c) x→∞ x-2 x³+2

Pueden mirar el siguiente video en el cual se resuelve una indeterminación del tipo 0 0“LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 1”https://www.youtube.com/watch?time_continue=2&v=rrbS5l--1Ss

VIDEO

6. Asíntotas lineales

Se le llama así a una recta que se aproxima continuamente a la gráfica de una función, pero nunca llegara a tocarla.

Poseemos asíntotas verticales, las cuales son paralelas al eje de ordenadas; y asíntotas horizontales, las cuales son paralelas al eje de abscisas.

Asíntota verticalLa recta x=a es asíntota vertical al gráfico de la función si y sólo si:

x→a f(x)→∞

En el caso de obtener una constante k, el valor a nos indicará donde la función tiene un “agujero”, es decir que el punto (a;k) no pertenece a la función.


lim

lim

lim

lim

lim


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Asíntota horizontalLa recta y=l es asíntota horizontal al gráfico de la función si y sólo si:

x→∞ f(x)=l

Aplicación de las asíntotas en funciones racionalesLas funciones racionales son aquellas cuya fórmula está dada por el

cociente entre dos polinomios.f(x) = p(x) con q(x)≠0 q(x)

Sea entonces

F(x) = 3x+1 x-2

Indicaremos el dominio de la función. Recordamos que son los valores de x para los cuales existe valor en el eje y.

Como dijimos antes q(x) no podrá ser igual a cero, entonces:x-2≠0x≠2

EntoncesDom f(x)=R-{2}

Es decir, que todos los números reales del dominio satisfacen a f(x), a excepción del número 2.

Ahora averiguaremos qué sucede con la función en ese valor, aplicando los conocimientos antes vistos:

x→2 3x+1 = 3.2+1 = 6+1 → ∞ x-2 2-2 0

Podremos decir que x=2 es asíntota vertical.Ya que cumple con la condición antes mencionadaNos faltaría saber qué sucede cuando x→∞

x→∞ 3x+1 = 3∞+1 = ∞ x-2 ∞-2 ∞

x→∞ x(3+1/x) = 3 + 1/∞ = 3+0 = 3 x (1-2/x) 1 - /∞ 1-0

Entonces y=3 es asíntota horizontal.Si graficamos la función, obtendremos lo siguiente:

lim

lim

lim

lim


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Evitable cuando Ǝ x→a f(x)=l (finito) donde puede suceder Ǝ f(a) f(a)≠x→a f(x)

Esencial cuando Ǝ x→a f(x)=l (finito) donde puede suceder x→∞ f(x)=∞ x→a+ f(x)≠ x→a- f(x)

ACTIVIDAD 10»Calcular las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones racionales:a) F(x) = x²-x x²-2x-3

b) F(x) = x²-5x+6 x²-3x+2

b) F(x) = x²+x-6 x²-6x+9

7. Continuidad de una función en un punto

Sea f una función y a un punto de acumulación1) Ǝ f(a)

f es continua en a si y sólo si 2) Ǝ x→a f(x)=l (finito)

3) f(a)= x→a f(x)

Si no se cumple alguna de las condiciones anteriores, la función es discontinua en a.

Existen 2 tipos de discontinuidad:


lim

lim

limlim

limlim

limlim

{

{

Obligatoria


MATEMÁTICA 4

Por ejemplo:f(x) = f(x) = x²−1 x+1 Aclaramos los elementos del dominio que no pertenecen a la funciónen este caso x ≠ -1Y ahora procedemos a averiguar que sucede en el ese punto

x→ -1 (x+1)(x−1) = -1-1 = -2 x+1

Como no existe f(-1) podemos asumir que hay una discontinuidad evitable en x=1

Si la graficamos podemos observarla mejor.El ser evitable nos permite recorrer la función “salteando” solo el punto

que no pertenece a la función.

Otro ejemplof(x)= 1 En este caso x≠4 x−4

x→4 1 = 1 → ∞ x−4 0

Por tratarse de una asíntota, diremos que es una discontinuidad esencial. Si observamos su gráfico podemos decir que como es esencial no

podemos recorrer la función y solo “saltear” el punto que no pertenece.



lim

lim


22MATEMÁTICA 4

1. Derivada de una función en un punto

Sea f una función continua definida en un intervalo abierto y sea a un punto cualquiera perteneciente a dicho intervalo.

Apunte de clase: Derivadas

UNIDAD 3 Derivadas

Cuando del valor a pasamos al valor x decimos que la variable ha experimentado un incremento ∆x

∆x=x-a

De la misma manera la ordenada ha pasado del valor f(a) al valor f(x) y experimenta el incremento ∆y

∆y=f(x)-f(a)

Definición:La función f tiene derivada en el punto a si y sólo si existe el limite finito

del cociente incremental Δy cuando ∆x→0 Δx

f’(a) = ∆x→0 Δy o f’(a)=x→a f(x)−f(a) Δx x−a

Ejemplo:Queremos hallar la derivada de la función f(x)=3x² en x=2Aplicamos la fórmula utilizando el valor 2 como punto a:f’(2)= x→2 x²−3.2² x−2

lim lim

lim


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f’(2) = 3.2²−2 = 12−12 = 0 2−2 0 0

Como vimos anteriormente, al obtener una indeterminación 0 0 debemos “salvarla” utilizando algún procedimiento algebraico. En este

caso primero sacamos como factor común al 3, y luego aplicamos el método de diferencia de cuadrados.

Si no recuerdan el método, pueden mirar el siguiente video:

“DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS. Ejemplo 1”https://www.youtube.com/watch?time_continue=11&v=5RtsQZLIDSY

VIDEO

f’(2)= x→2 3(x²−4) = x→2 3(x+2)(x−2) x−2 x−2

x→2 3(x+2) = 3(2+2)=12

Entonces la derivada de la función f(x)=3x² en x=2 es 12

ACTIVIDAD 11»Hallar las siguientes derivadas de la función en el punto:a) f(x)=x2+4x-5 en x=1

b) f(x)=x3+2x-5 en x=1

2. Interpretación geométrica de la derivadaContinuamos con la lectura del apunte

lim lim

lim

Obligatoria


24MATEMÁTICA 4

Recordamos que una recta tangente es aquella que intersecta a una curva en un solo punto.

De esta forma, en una función f(x) por cada punto a obtendremos una recta tangente diferente, ya que modifica su pendiente.

La derivada de una función en un punto representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

3. Función derivada

Hasta ahora hemos calculado f’(a), pero si consideramos al punto a como variable, se tiene f’(x) que se llama función derivada primera de f.

Ejemplo:Sea f(x)=5x²+3x hallar f’(x)

Esta vez como no poseemos valor para a ya que es variable, la colocamos en la fórmula como si fuera una incógnita más, de esta forma:

f’(a)= x→a 5x²+3x−(5a²+3a) = 5a²+3a−5a²−3a = 0 x−a a−a 0

Observamos que hay que realizar el límite, al hacerlo, obtenemos una indeterminación, por lo tanto, procedemos sacando factor común 5 y 3 de la siguiente manera:

lim


MATEMÁTICA 4

f’(a)= x→a 5(x²−a²) + 3(x−a) = 5(x+a)(x−a)+3 (x−a) x−a x−a

f’(a)= x→a 5(x+a)+3 = 5(a+a)+3 = 5 . 2a+3 = 10a+3

Para terminar, expresaremos el resultado en función de x cambiando la a por una x:

f’(x)=10x+3Acabamos de obtener la función derivada con la cual podremos hallar

todas las derivadas puntuales que deseemos, sólo hará falta reemplazar la x por el punto correspondiente.

Por ejemplo: hallamos f’(2) y f’(-1)

f’(2)=10 . 2+3=23f’(-1)=10 . (-1)+3=-7

Tienen otro ejemplo en el siguiente video:

“DERIVADA DE UNA FUNCIÓN USANDO LA DEFINICIÓN - Ejercicio 1”https://www.youtube.com/watch?v=sR5KYTap0Cg

VIDEO

ACTIVIDAD 12»Hallar la función derivada de f(x)=8x2+2x+5 y las derivadas puntuales en:a) x=1b) x=12c) x=0

lim

lim


26MATEMÁTICA 4

4. Aplicaciones de las derivadas

A continuación veremos qué datos se pueden obtener a través del uso de derivadas.

En las funciones de grado 2 o superior, las derivadas nos ayudarán a calcular los puntos extremos (E) y los puntos de inflexión (I).

5. Signo de la primera derivada

El crecimiento y decrecimiento de una función está vinculado al signo de la derivada primera.

Si una función f tiene derivada primera positiva en un punto a, entonces la función es estrictamente creciente en dicho punto.

f’(a)>0


MATEMÁTICA 4

Si una función f tiene derivada primera negativa en un punto a, entonces la función es estrictamente decreciente en dicho punto.

f’(a)<0


28MATEMÁTICA 4

5. 1. Intervalos de monotonía

Son los intervalos en donde se contemplan todos los puntos donde la función crece o decrece.

5. 2. Determinación de máximos y mínimos

La derivada de una función en un máximo o un mínimo es nula, ya que la pendiente de la recta tangente a ese extremo será cero.

Ejemplo:Teniendo la función f(x)=x3+3x2-1 analizaremos en que puntos se

encuentran los extremos.Primero procedemos a calcular la derivada primera y segunda de la función:f’(x)=3x2+6xf’’(x)=6x+6

Ahora igualamos f’(x)=0 para obtener los extremos máximos y mínimos3x2+6x=0

Aplicando la fórmula resolvente obtenemos 2 valores posible para xx1=-2 x2=0

Luego procedemos a evaluar ambos valores en la f’’(x)f’’(x1)=6 . (-2)+6 f’’(x2)=6 . 0+6f’’(-2)=-6 f’’(0)=6

A modo de conclusión decimos que:


MATEMÁTICA 4

Si evaluamos un extremo en la función derivada segunda y su resultado es negativo, el extremo será un máximo de la función.

Si evaluamos un extremo en la función derivada segunda y su resultado es positivo, el extremo será un mínimo de la función.

Como f’’(-2)<0 la función tiene un máximo en x=-2

Como f’’(0)>0 la función tiene un mínimo en x=0

Para obtener los valores de y de ambos extremos, los evaluamos en la función original.

f(-2)=(-2)3+3 . (-2)2-1 =3f(0)=03+3 . 02-1 =-1

Máximo en (-2;3) Mínimo en (0;-1)


30MATEMÁTICA 4

Ahora procedemos a indicar los intervalos de monotonía. Podemos observar que en los extremos, la función modifica los mismos. (Observen la gráfica anterior).

Teniendo en cuenta los valores del dominio, analizamos la función por tramos.

Desde el -∞ hasta el -2 la función crece, ya que los valores de y aumentan conforme aumentan los de x.

Desde del -2 hasta el 0 la función decrece, ya que los valores de y disminuyen conforme aumentan los de x.

Desde el 0 hasta el +∞ la función crece, ya que los valores de y aumentan nuevamente.

Escribiéndolo de forma de intervalos:(-∞;-2) U (0;+∞) intervalo de crecimiento(-2;0) intervalo de decrecimiento

ACTIVIDAD 13»Hallar los extremos de las siguientes funciones e indicar los intervalos de monotonía:a) f(x)=3x2+6xb) f(x)=x3+3x2-1c) f(x)=x2-3x+10



Bibliografía y Webgrafía

● Material elaborado en forma conjunta con los docentes y el Centro de Planificación, Evaluación e Investigación de Procesos Educativos en Red (CEPEIPER), dependiente de la Secretaría Académica de la UNRC en el marco del Proyecto de Ingreso, Orientaciones para el Diseño, Implementación y Evaluación de Proyectos para la integración a la Cultura Universitaria 2016-2019. UNRC- Secretaría Académica – CEPEIPER● UTN (2016) MATEMÁTICA. Seminario de ingreso UTN Instituto Nacional Superior del Profesorado técnico.● UNTREF (2009), Matemáticas. Material de cátedra ingreso Ingeniería.● UTN BA (2012) Seminario de ingreso, módulo B Matemática/Física.

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