matematica y arte
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Matemáticas y Artepor
Francisco Rivero Mendoza
Matemáticas - Arte
• La búsqueda de un ideal de belleza.
• Conocimiento del espacio tiempo.
• Búsqueda de patrones que se repiten.
• Métrica.
Matemáticas y Poesía.
La guacharaca de Apure
Le dijo al pájaro vaco
Préstame tu candelita
Para encender mi tabaco
Alberto Arvelo Torrealba
Relaciones líricas
• En su estructura, la poesía tiene algo de matemáticas en la periodicidad, tanto de las sensaciones fonéticas ( rima) como de acentos ( ritmo).
• La gua cha ra ca dea pu re 00010010
• Le dijo al pá ja ro va co 00010010
• Prés ta me tu can de li ta 10000010
• Pa raen cen der mi ta ba co 00010010
El Lilavati ( Baskhara s. XII)
• “Un quinto de un enjambre de abejas se posa sobre una flor de kadamba(Loto); un tercio sobre una flor de silindha ( cambur). Tres veces la diferencia entre los dos números voló a las flores de un kutuja, y quedó una sola abeja que se alzó por el aire, igualmente atraída por el perfume de un jazmín y un pandamus. Dime tú ahora, mujer fascinante, cual era el número de abejas”
• Un matemático no es digno de este nombre si no es un poco poeta
• Karl Weierstrass
Matemáticas y Literatura
• La matemática enseña también a escribir, si se quiere que la concisión, la claridad, y la precisión sean cualidades de estilo.
• El lenguaje matemático obliga a una gimnasia intelectual sumamente intensa.
• Algunos escritores han usado elementos matemáticos en sus creaciones literarias.
Veamos algunos ejemplos
1. Don Quijote: (segunda parte cap LI) La paradoja del ahorcado
- “ Señor, un caudaloso río dividía dos términos de un mismo señorío … digo pues que sobre este río estaba una puente, y al cabo della una horca y una como casa de audiencia, en la cual de ordinario había cuatro jueces que juzgaban la ley que puso el dueño del río, de la puente y del señorío…”
El Juramento del puente
• Si alguno pasare por esta puente, de una parte a otra, ha de jurar primero adónde y a qué va; y si jurare verdad, déjenle pasar; y si dijere mentira, muera por ello ahorcado en la horca que allí se muestra....
Don Quijote: Un texto que se autorefiere creando un peligroso descenso al infinito
Un libro dentro de un libro
• “Créanme vuesas mercedes- dijo Sancho- que el Sancho y el Don Quijote desa historia deben de ser otros que los que andan en aquella que compuso Cide Hamete Benengeli,
• “Por el mismo caso- respondió Don Quijote- no pondré los pies en Zaragoza; y así, sacaré a la plaza del mundo la mentira de ese historiador moderno y echarán de ver las gentes cómo yo no soy el Don Quijote que él dice”
Lewis Carrol: Alicia en el país de las maravillas
• Un relato fantástico del matemático Charles Dogson (1832-1898)
• Nada hacía suponer que aquel severo personaje gris de Oxford consagrado al estricto orden de las matemáticas y a la precsión de la lógica fuera a producir una de las más célebres obras en el terreno de lo irracional y lo absurdo.
Una merienda de locos
• Entonces dí lo que piensas- prosiguió la liebre.
• Eso es lo que hago- dijo Alicia precipitadamente- A lo menos...yo pienso lo que digo. Es la misma cosa.
• No es lo mismo- advirtió el sombrerero- Según tú, sería lo mismo decir “Veo lo que como” que “Como lo que veo”
Jorge Luis Borges: La Biblioteca de Babel
• “...A cada uno de los muros de cada hexágono corresponden cinco anaqueles; cada anaquel encierra treinta y dos libros de formato uniforme; cada libro es de cuatrocientas diez páginas; cada página de cuarenta renglones; cada renglón de unas ochenta letras…”
La biblioteca total. Tocando el infinito
• “La biblioteca es total y en sus anaqueles se registran todas las posibles combinaciones de los veintitantos símbolos ortográficos, o sea, todo lo que es dable expresar”.
• “...Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiografías de los acángeles, el catálogo fiel de la biblioteca, miles y miles de catálogos falsos, la demostración de la falacia de esos catálogos, el evangelio gnóstico de Balsídes, el comentario de ese evangelio, el comentario del comentario, la relación verídica de tu muerte...”
Dale Brown: El código da Vinci
• Anagramas• Códigos secretos.• Criptografía.• Proporción dorada.• Número de oro.• Geometría sagrada.• Sucesión de
Fibonacci.
Un receso musical...
Quatrivium
• La música y la matemática han estado relacionada durante siglos. En el curriculum de los estudiantes de la edad media se incluían las siguientes artes o disciplinas:
• Aritmética• Geometría.• Astronomía• Música
Pitágoras y la música
• Para construir la escala musical los pitagóricos construyeron un instrumento formado por una sola cuerda que se tensaba y que se podía hacer más larga, o más corta, moviendo una tabla móvil ( Monocordio)
• Cuando la cuerda medía ½ del total el sonido se repetía pero más agudo.
• Cuando el largo de la cuerda es 2/3 del tamaño original se obtiene otra nota musical ( la quinta)
• Cuando la cuerda es ¾ del largo de la anterior se obtiene la cuarta.
La escala diatónica
• En la escala diatónica, las frecuencias de cada nota son radios de números enteros.
Frecuencia Razón nota anterior
Tónica f Do
Segunda 9/8 f 9/8 Re
Tercera 81/64 f 9/8 Mi
Cuarta 4/3 f 256/243 Fa
Quinta 3/2 f 9/8 Sol
Sexta 27/16 f 9/8 La
Séptima 243/128 f 9/8 Si
Octava 2 f 256 / 243 Do
El Piano Bien Temperado
• El Piano Bien Temperado, Obra de Juan Sebastian Bach compusta de 24 piezas musicales, en doce tonalidades usando el modo mayor y menor.
• Bach afinó su piano en la escala temperada dividiendo los tonos en series dentro de un espacio definido.
• La escala temperada es la que se usa hoy en día.
La música y las probabilidades
• Algunos músicos compusieron obras a partir de reglas y conceptos matemáticos, como por ejemplo, las probabilidades.
• Mozart, a la edad de 21 años, creó un juego para componer valses de 16 compases, lanzando los dados.
• La obra musical se titula “ Juegos de dados musical para escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico, ni saber nada de composición” (K294).
• Los números en la matriz corresponden a los 176 compases que compuso Mozart.
• Hay 2x1114 variaciones del mismo vals.
¿De que está hecha la música?
• Respuesta: De funciones trigonométricas.
• Los sonidos producidos por la vibración de cuerdas y membranas se propagan en el aire mediante ondas sonoras.
Componentes de una onda
• Intensidad = Amplitud• Tono= frecuencia.• Timbre = forma particular de la onda.
El Análisis de Fourier
• El matemático Francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), descubrió que toda función periódica ( onda sonora) es una combinación de senos y cosenos.
¿ Y que hay del ritmo y la melodía?
• En 2002, los trabajos Toussaint, inician una investigación teórica de ritmos con herramientas matemáticas, introduciendo nuevas técnicas geométricas, gráficas y de combinatoria.
• Esto permite la enseñanza, el análisis, la visualización y el reconocimiento automatizado de ritmos. Godfried T. Toussaint :
“ A mathematical analysis of African, Brasilian and
Cuban clave rithms”
Godfried T. Toussaint :
“ A mathematical analysis of African, Brasilian and
Cuban clave rithms”
El ritmo clave son y su análisis matemático.
• Para los ritmos se usa un sistema sencillo de notación en base a unidades de tiempo.
• Otra forma de representar los ritmos consiste en emplear un vector de intervalos.
• Cada dígito representa el intervalo de tiempo entre sonidos sucesivos.
• Clave son se representa por: (3 3 4 2 4)
• Ejercicio ¿ cómo se representa el ritmo de Gaita?
La Trilogía Sagrada: Matemáticas, Arte y Naturaleza
• La belleza de las proporciones
• El rectángulo dorado• El Número de Oro • La sucesión de
Fibonacci• La espiral• Las simetrías• Las teselaciones
Las proporciones
• Un radio es una comparación de dos cantidades, tamaños, cualidades o ideas diferentes a y b y se expresa por la fórmula a:b.
• Una proporción es una relación de equivalencia entre dos radios. Si las cantidades que intervienen son a, b , c y d, entonces la proporción se escribe
• a: b::c: d.• Ejemplo 20 es a 4, como 5 es a 1.
La proporción dorada
¿Cómo dividir un segmento en forma bella y armoniosa?
a + b : b :: b : a
La suma de las dos partes es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor.
Esta proporción la llamamos proporción dorada
a b
Construcción del segmento áureo
La belleza de las formas en la naturaleza
• “Las formas supremas de lo bello son la conformidad con las leyes, la simetría y la determinación ( el orden), y son precisamente estas formas las que se encuentran en las matemáticas, y puesto que estas formas parecen ser la causa de muchos objetos, las matemáticas se refieren en cierta medida a una causa que es la belleza”
• Aristóteles.
La belleza de las proporciones
• “Lo bello es lo que nos deleita, haciendo de medianeros, oídos y vista” – Platón.
• La altura total dividida entre la altura hasta el ombligo debe ser iguala la proporción dorada ϕ = 1.618…
El rectángulo dorado
1
1
x
x
(X + 1) : x = x : 1
X = ( 1 + √ 5 ) / 2
ϕ ≈ 1.56
Número de oro en el arte del renacimiento italiano
• El rectángulo dorado sirve de división armónica entre los espacios.
• Para que un espacio dividido en partes iguales resulte agradable y estético, deberá haber entre la parte más pequeña y la mayor, la misma relación que entre ésta y la menor.
• Euclides
Ley de la sección dorada
El numero de oro generalizado:¿Qué hay entre un rectángulo dorado y
un cuadrado?
Un rectángulo verde
Una familia de números de oroNúmeros de oro generalizados
• Si para cada número natural n, consideramos la ecuación
n x 2 – x- n = 0
La solución de la misma es el n-número de oro
ϕn = { 1 + ( 1 + 4n ) ½}/ 2n
• En particular se tiene que
ϕ1 = ϕ
Los números de oro generalizados:
ϕ1
(1 + √ 5) /2 1.61803399
ϕ2( 1 + √17) / 4 1.28077641
ϕ3( 1 + √ 37) / 6 1.18046042
ϕ4( 1 + √ 65) / 8 1.13278222
ϕ5( 1 + √ 101) / 10 1.10498756
ϕ6( 1 + √ 145) / 12 1.07397635
La sucesión de Fibonacci
• Una sucesión de números naturales
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,……
• Una sucesión de proporciones racionales
• 1 /1 , 2/1, 3 /2, 5/3, 8/5, 13/8, …
• Que tienden hacia la Proporción Áurea
• → ϕ
La Espiral
• La espiral aparece en la naturaleza organizando el crecimiento de las formas.
• Cada Angulo central, de una espiral logarítmica, origina arcos similares
Las espirales del girasol
• Hay 55 espirales ( en el sentido de las agujas del reloj).
• Hay 89 espirales en sentido contario a las agujas del reloj.
• La relación 55,89 se conoce como la phyllotaxis de la planta.
La Espiral generadora del movimiento en el arte del cuatrocientos florentino.
Simetrías
Simetría bilateral
• El hombre y los animales superiores poseen simetría de reflexión o bilateral
• Los espejos cambian nuestro lado derecho por el izquierdo y viceversa.
• ¿Por qué los espejos no cambian los pies por la cabeza?
La simetría rotatoria abunda en la naturaleza
La simetría en el arte de la decoración
Los grupos miden las simetrías
• Los artesanos y decoradores de templos alfombras y vasijas de todas las épocas y culturas, jamás imaginaron que estaban empleando en sus creaciones una de las herramientas más moderna, abstracta y sofisticada de toda la matemática: la Teoría de Grupos
Los 17 grupos de simetría en el plano
• Toda decoración simétrica del plano consiste de una celda básica o patrón que se repite infinitamente.
• En este proceso solo intervienen 4 tipos de movimientos:
1. Traslaciones2. Reflexiones3. Rotaciones4. Deslizamientos
Grupo p1: Sin rotaciones
• Grupo p1, contiene sólo traslaciones en dos direcciones diferentes.
Grupo pg:No hay rotaciones
• Contiene deslizamientos en direcciones paralelas.
Grupo cm: sin rotaciones
• Grupo cm, contiene una reflexión sobre un eje vertical.
• Contiene un deslizamiento sobre un eje paralelo.
Grupo pm: sin rotaciones
• Contiene una reflexión.
Grupo p2: rotacion de orden 2
• No contiene reflexiones ni deslizamientos
Grupo p2mg: Rotación de orden 2.
• Contiene un reflexión sobre un eje paralelo a la traslación.
• Contiene deslizamientos sobre líneas perpendiculres a los ejes de reflexión.
Grupo p2mm : rotación de orden 2
• Contiene reflexiones sobre ejes perpendiculares
Grupo p2gg: Rotación de orden 2.
• Contiene deslizamientos con ejes que se cruzan perpendicularmente
Grupo c2mm: Rotación de orden 2
• Contiene dos reflexiones sobre ejes perpendiculares.
• Contiene una rotación de orden dos
Grupo p3: Rotación de orden 3
• No contiene reflexiones
Grupo p3m1: Rotación de orden 3.
• Contiene reflexiones• La celda básica se
obtiene al unir 4 centros de rotación cercanos.
• Los ejes de reflexión están sobre la diagonal mayor de la celda básica.
Grupo p31m: Rotación de orden 3.
• Contiene reflexiones sobre tres direcciones distintas que se intersectan en los centros de rotación.
• Si se unen 4 centros
De rotación cercanos se obtiene la celda básica que es un paralelogramo. En la diagonal menor del mismo hay un areflexión.
Grupo p4: Rotación de orden 4
• No contiene reflexiones ni deslizamientos.
Grupo p4mm: Rotación de orden 4
• Contiene reflexones sobre ejes perpendiculares que se cortan en el centro de la celda básica.
Grupo p4gm: Rotación de orden 4
• Contiene centros de rotación de orden 4 y de orden 2.
• Contiene reflexiones con ejes que pasan por los centros de rotación de orden 2.
Grupo p6: rotación de orden 6
• No tiene reflexiones• Posee centros de
rotación de orden 3.
Grupo p6mm: Rotación de orden 6
• Posee reflexiones• Posee centros de
rotación de orden 2.
Un método más interacativo
• Programa en Java Kali, Creado por Nina Armenta en 1995.
• Kali
Teselaciones
El proceso de construcción
Teselaciones regulares
• Se puede teselar el plano ( en forma periódica) con polígonos regulares del mismo tipo.
• Los únicos permitidos son el triángulo, el cuadrado y el hexágono ( teselaciones regulares)
Teselaiones irregulares
• Se puede teselar el plano usando dos tipos de polígonos regulres.
• Sólo existen ocho posibilidades. Son las llamadas ( teselaciones irregulares)
El Mundo maravilloso de M. Escher
• También es posible teselar el plano en forma artística con figuras que representan seres vivos.
Las teselaciones pentagonales
• Se han descubierto 14 tipos de teselaciones pentagonales con pentágonos irregulares
• La Sra. Marjorie Rice descubrió cuatro de ellas.
• Ella no es un matemático profesional, sino, tan sólo, un ama de casa que hace unas colchas muy bonitas.
Una teselación misteriosa: Pentágonos de Durero
Fractal de Durero
Teselaciones no periódicas: Diagramas de Penrose
Universos de Penrose: Un modelo matemático para los cuasicrsitales.• Cada Universo de
penrose en no periódico.
• El número posible de arreglos es infinito no enumerable.
• La Teoría de grupos es insuficiente para entender este orden: Para comprender su estructura se utiliza el Algebra de Lie.
•Muchas gracias
Algunas referencias
• https://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico• Mosaicos y teselaciones.• http://webs.advance.com.ar/simetriadelespacio/capitulo4.htm
.• Intriguing Tessellations• Math Forum: Tessellation Tutorials by Suzanne Alejandre
.• http://webpages.ull.es/users/imarrero/sctm04/modulo1/3/carmelo.pdf