matematica u0 1er c2010

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Matemaacutetica

UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA

NOTACIONES Y SIacuteMBOLOS USADOS FRECUENTEMENTE

IN = Conjunto de los nuacutemeros naturales

IN0 = Conjunto de los nuacutemeros naturales con el cero

Z = Conjunto de los nuacutemeros Enteros

Q = Conjunto de los nuacutemeros racionales

= Conjunto de los nuacutemeros reales

= Conjunto Vaciacuteo

lt menor menor o igualgt mayor mayor o igual distinto

y o si y solo si entonces aproximadamente

incluido pertenece no pertenece interseccioacuten unioacuten

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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Nuacutemeros reales1

EXPRESIONES ALGEBRAICAS FOacuteRMULAS ECUACIONES1

En matemaacutetica es habitual trabajar con relaciones numeacutericas en las que una o maacutes cantidades sondesconocidas Estas cantidades se denominan incoacutegnitas o variables y se representan por letras

Aquellas expresiones en las que intervienennuacutemeros y letras vinculadas medianteoperaciones aritmeacuteticas se denominanexpresiones algebraicas

Son expresiones algebraicas

2x ndash3

m2 ndash2m

x + y2 = 5

Al traducir un cierto enunciado al lenguaje simboacutelico se obtienen expresiones algebraicas

Ejemplos

Lenguaje coloquial Lenguaje simboacutelico

La suma entre un nuacutemero natural y su consecutivo n + (n +1)

El precio de un artiacuteculo aumentado en un 15 x10015x

El cuadrado de la diferencia entre a y b es 16 (a ndash b)2 = 16

Con las expresiones algebraicas se pueden realizar las mismas operaciones que con los nuacutemeros realeslo que hace posible reducirlas a expresiones maacutes sencillas

bull Se opera con las expresiones algebraicas de lamisma forma que con los nuacutemeros reales

bull Las operaciones con expresiones algebraicastienen las mismas propiedades que lasoperaciones con los nuacutemeros reales

Ejemplos

bull (4m + 3m)2 = 8m + 6mbull 2x + x2 ndash4x2 = 2x ndash 3x2

bull ab + ac = a(b + c)bull 2s s2 (-3s) = -6 s4

Las expresiones algebraicas aparecen en las foacutermulas que se usan por ejemplo en Geometriacutea Unafoacutermula es una igualdad algebraica en que dos expresiones representan el mismo nuacutemero

En la foacutermula que expresa el aacuterea de un rectaacutenguloA = b h el siacutembolo ldquoArdquo representa el aacuterea lomismo que la expresioacuten b h pero aquiacute el aacuterea seexpresa en teacuterminos de la base (b) y la altura (h) delrectaacutengulo

Ambos miembros de la igualdad quedanperfectamente determinados al conocer los valoresde b y de h

1 Elizondo Giuggiolini Moacutedulo 2 Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones UBA XXI Articulacioacuten 2007Elizondo S Elementos de Matemaacutetica y Estadiacutestica TAGU UBA 2009

b = 3

h = 2

A = b hA = 2 3A = 6

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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Ecuaciones 2

Otras igualdades algebraicas involucran nuacutemeros indeterminados

Por ejemplo3(x ndash1) = 6 soacutelo se verifica para x = 2

Mientras que(a + b) (a - b) = a2 ndash b2 se verifica para cualquier nuacutemero real a y b

Definicioacuten El conjunto de valores de las variables para los cuales ambos miembros de una igualdadalgebraica tiene sentido se denomina dominio de definicioacuten

Por ejemplo el dominio de definicioacuten de

33-x

2x2x

3

es el conjunto de los nuacutemeros reales distintos de 2 y de 3 ya que para los nuacutemeros 2 y 3 se anula uno delos denominadores y por lo tanto resultariacutea una divisioacuten por cero que no es admisible

Cuando una igualdad algebraica es cierta paraalgunos valores en su dominio de definicioacuten se diceque es una ecuacioacuten

Cuando una igualdad algebraica es cierta paratodos los valores en su dominio de definicioacuten sedice que es una identidad

Ecuaciones con una incoacutegnita

Una ecuacioacuten es una igualdad que contiene uno o maacutes nuacutemeros desconocidos llamadosincoacutegnitas

En este apartado trataremos ecuaciones con una sola incoacutegnita Habitualmente a laincoacutegnita la denominamos ldquoxrdquo

Son ejemplos de ecuaciones

3x + 2 = 4x ndash 1

x2 ndash 3x ndash 10 = 0

|x ndash 3| = ndash 2

Cada valor de la variable que al sustituirlo en la ecuacioacuten hace que la mismase transforme en una igualdad numeacuterica se denomina solucioacuten de laecuacioacuten dada Decimos que tal valor satisface o verifica la ecuacioacuten

Por ejemplo 3 es solucioacuten de 3x + 2 = 4x ndash 1 ya que al sustituir por 2 en laecuacioacuten obtenemos

3 3 + 2 = 4 3 ndash 1

9 + 2 = 12 ndash 1

11 = 11

que es una igualdad numeacuterica

Y de la misma manera -2 y 5 son soluciones de la ecuacioacuten x2 ndash 3x -10 = 0ya que al sustituirlos en la ecuacioacuten dada se obtiene

(ndash 2)2 ndash 3 (ndash 2) ndash 10 = 4 + 6 ndash 10 = 0

52 ndash 3 5 ndash 10 = 25 ndash 15ndash 10 = 0

Mientras que no existe ninguacuten nuacutemero real que verifique la ecuacioacuten x2 = ndash 2ya que el cuadrado de un nuacutemero real es siempre mayor o igual que cero


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Una ecuacioacuten puede tener una solucioacuten puede no tener solucioacuten pero tambieacuten puede ser que tenga varias

Para encontrar las soluciones de una ecuacioacuten realizamos operaciones quepermiten ir transformando la ecuacioacuten dada en otras equivalentes

Mediante estas operaciones intentamos aislar la incoacutegnita (ldquodespejarrdquo) enuno de los miembros En estos casos utilizamos propiedades de la suma ymultiplicacioacuten de nuacutemeros reales

Pero tambieacuten puede suceder que necesitemos de otros procedimientos quenos permitan hallar la solucioacuten de la ecuacioacuten

En este texto trabajaremos ecuaciones lineales o que se reducen a ellas

Ecuaciones de la formaa x = b

x es la incoacutegnita

a y b son nuacutemeros reales y a 0 a se llama coeficiente y - b teacutermino independiente

Se denominan de primer grado (o ecuaciones lineales) porque la incoacutegnitasoacutelo aparece elevada a la potencia 1

Para recordar Resolver una ecuacioacuten es encontrar el valor de la incoacutegnita (oincoacutegnitas) que hace verdadera la igualdad A estos valores se losllama solucioacuten de la ecuacioacuten

Cuando un nuacutemero es solucioacuten de una ecuacioacuten suele decirse queldquosatisfacerdquo o ldquoverificardquo la ecuacioacuten

Resolver una ecuacioacuten significa hallar todas las soluciones si lastiene o demostrar que no las tiene

Revisaremos mediante ejemplos coacutemo resolver ecuaciones lineales de primergrado con una incoacutegnita

Ejemplos Ejemplo 1 Resolver la ecuacioacuten -2x + 5 = -3

Solucioacuten-2x + 5 = -3

-2x + 5 ndash 5 = - 3 ndash 5 Sumando miembro a miembro ndash5

-2x = - 8 Realizando operaciones

x = (-8) (-2) Dividiendo miembro a miembro por ndash2

x = 4 Realizando operaciones

Debemos asegurarnos que x = 4 es solucioacuten de la ecuacioacuten -2x + 5 = -3

Para ello reemplazamos el valor de x que encontramos en la ecuacioacuten

ndash2 4 + 5 = -8 + 5 = -3

Como vemos que se cumple la igualdad podemos afirmar que x = 4 es solucioacutende la ecuacioacuten dada

Escribimos el conjunto solucioacuten de esta manera S = 4


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Observar que

bull Cada paso que se realiza para resolver una ecuacioacuten la transforma en otramaacutes simple Se forman asiacute ecuaciones equivalentes la uacuteltima de las cualeses la solucioacuten

bull Llamamos ecuaciones equivalentes a un conjunto de ecuaciones quetienen exactamente las mismas soluciones

bull Para transformar una ecuacioacuten dada en otra equivalente se puede

o Sumar o restar la misma expresioacuten en ambos lados de la ecuacioacuten

o Multiplicar o dividir ambos miembros de la ecuacioacuten por un nuacutemerodistinto de cero

Ejemplo 2 Resolver 3(x ndash 1) = -x + 1

Solucioacuten3(x ndash 1) = -x + 1

3x ndash 3 = -x + 1 Distribuyendo en el primer miembro3x ndash 3 + 3 = - x + 1 + 3 Sumando miembro a miembro 3

3x = -x + 4 Resolviendo operaciones

3x + x = -x + 4 +x Sumando miembro a miembro x

4x = 4 Resolviendo operaciones

x = 4 4 Dividiendo miembro a miembro por 4

x = 1

Para asegurarnos que x = 1 es solucioacuten de la ecuacioacuten 3(x ndash 1) = -x + 1reemplazamos

3(1- 1) = -1 + 1 3 0 = 0 0 = 0

Podemos afirmar que la solucioacuten es x = 1 pues al reemplazar en la ecuacioacutendada se verifica la igualdad

Escribimos el conjunto solucioacuten de esta manera

S = 1

Ejemplo 3 Hallar el conjunto de soluciones de 1-x2x

x31

2x

Solucioacuten

1-x2xx

31

2x

1x6x

3x

2x Se resuelve el pareacutentesis y se lo elimina

1-x6

xx2x3 Se reduce a comuacuten denominador

1-x6x4 Resolviendo la suma


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6)1x(66x4 Multiplicando miembro a miembro por 6

4x = 6x ndash 6 Resolviendo las operaciones

4x ndash 6x = 6x ndash 6 ndash 6x Sumando miembro a miembro 6x-2x = -6 Resolviendo las operaciones

-2x -2 = -6 -2 Dividiendo por ndash2x = 3

Debemos asegurarnos que x = 3 es solucioacuten Reemplazamos en la ecuacioacuten dada

211

2211

23

1-323

331

23

Luego es S = 3

Ejemplo 4 Resolver las siguientes ecuaciones

a) 4x ndash 1 = -2( 1 ndash2x)

b) 3x ndash 2 = 2(x - 1) + x

Solucioacuten a)4x ndash 1 = -2( 1 ndash2x)

4x ndash 1 = -2 + 4x Distribuyendo

4x ndash 1 ndash 4x = -2 + 4x ndash 4x Sumando el opuesto de 4x

-1 = -2 Resolviendo las operaciones

Al resolver las operaciones se llega a un absurdo Asiacute se concluye que la ecuacioacutenplanteada no tiene solucioacuten

Se dice que el conjunto solucioacuten es vaciacuteo y se escribe S =

Solucioacuten b)3x ndash 2 = 2(x -1) +x

3x ndash2 = 2x -2 + x Distribuyendo

3x ndash2 = 3x -2 Asociando y resolviendo las operaciones3x ndash 3x = -2 + 2 Agrupando los teacuterminos en x en un

miembro y los nuacutemeros en el otro

0 = 0

En este caso al resolver las operaciones se llega a una igualdad

Esto significa que la ecuacioacuten planteada se verifica para cualquier nuacutemero realEsto es tiene infinitas soluciones

Por ejemplo x = 1 satisface la ecuacioacuten pues al reemplazar en la ecuacioacuten dada es31 ndash2 = 2 (1 ndash 1) +1 1 = 0 + 1 = 1

Y tambieacuten x = 0 satisface la ecuacioacuten pues


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30 ndash 2 = 2 (0-1) + 0 -2 = 2(-1) = -2

El conjunto solucioacuten es el de los nuacutemeros reales

Lo expresamos S =

Revisando los resultados de cada una de las ecuaciones planteadas se observaque una ecuacioacuten lineal de primer grado con una incoacutegnita puede

tener una solucioacuten no tener solucioacuten tener infinitas soluciones

Ecuaciones yresolucioacuten de

problemas

En muchas ocasiones para resolver situaciones problemaacuteticas enunciadas enlenguaje corriente o coloquial es necesario traducir las condiciones del problema a unlenguaje simboacutelico apropiado para su resolucioacuten Es decir plantear una ecuacioacuten queexprese en siacutembolos matemaacuteticos una condicioacuten planteada con palabras Para elloes necesario tener en cuenta los siguientes pasos

bull Leer comprensivamente el enunciadobull Identificar la(s) incoacutegnita(s)bull Traducir al lenguaje simboacutelicobull Expresar mediante una ecuacioacuten las condiciones que deben cumplir las

incoacutegnitasbull Resolver la ecuacioacutenbull Analizar si la solucioacuten hallada responde a las condiciones del problema

Ejemplo 1

Si a un nuacutemero se lo multiplica por 8 el resultado es el mismo nuacutemero aumentado en21 Encontrar dicho nuacutemero

Solucioacuten

bull La incoacutegnita es un nuacutemero real x

bull Traducir al lenguaje simboacutelicoo a un nuacutemero se lo multiplica por 8 8 x

o el mismo nuacutemero aumentado en 21 x + 21bull Expresioacuten de la ecuacioacuten 8x = x + 21

bull Resolucioacuten de la ecuacioacuten8x ndash x = 21 Restando miembro a miembro x

7x = 21 Resolviendo la restax = 3 Dividiendo miembro a miembro

por 7

bull Verificar si la solucioacuten planteada responde a las condiciones del problema

8 3 = 24 = 3 + 21

Como se cumplen las condiciones el nuacutemero buscado es x = 3


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Ejemplo 2

La suma de dos nuacutemeros naturales consecutivos es igual al triple del primero maacutesdos iquestCuaacuteles son estos nuacutemeros

Solucioacuten

bull Las incoacutegnitas son dos nuacutemeros naturales consecutivos n y n +1

bull Traducimos al lenguaje simboacutelico

o La suma de esos nuacutemeros n + (n +1)

o El triple del primero maacutes dos 3n + 2

bull Planteamos la ecuacioacuten n + (n +1) = 3n + 2 ()

bull Resolvemos

Sumando los teacuterminos en n del primer miembro de la igualdad es

2n + 1 = 3n + 2

Agrupando los teacuterminos en n en el primer miembro y los nuacutemeros en otro

2n ndash 3n = 2 ndash 1

-n = 1

dividiendo miembro a miembro por ndash1 (ya que ndash n = (1) n) n = -1

bull Analizamos la solucioacuten hallada

Si bien el valor de n hallado resuelve la ecuacioacuten planteada en () noresuelve el problema ya que el nuacutemero buscado es un nuacutemero natural y ndash1no lo es

Luego el problema no tiene solucioacuten

Ejemplo 3

De su viaje de turismo aventura Miguel cuenta que la mitad de los diacuteas anduvo portierra Despueacutes de descansar 3 diacuteas reinicioacute la travesiacutea en un bote alliacute empleoacute laquinta parte del tiempo total Esta vez necesitoacute descansar 4 diacuteas para emprender elascenso a una montantildea que soacutelo le llevoacute la octava parte del tiempo total iquestCuaacutentosdiacuteas duroacute el viajeSolucioacuten

Llamando d a la cantidad de diacuteas que duroacute el viaje planteamos

d8d

45d

32d

donde

bull 32d es la cantidad de diacuteas que anduvo por tierra y lo que descansoacute

bull 45d es la cantidad de diacuteas que usoacute en la travesiacutea en bote y lo que

descansoacute

bull8d

cantidad de diacuteas que le llevoacute el ascenso a la montantildea


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Al agrupar los teacuterminos en d en un miembro de la ecuacioacuten y los nuacutemeros en otroresulta

3-4-d-8d

5d

2d

Reduciendo a comuacuten denominador 740

d40d5d8d20

Operando y multiplicando miembro a miembro por 4020d + 8d + 5d ndash40d = -7 40

-7d = -280Dividiendo miembro a miembro por ndash7 y operando d = 40

Entonces el viaje duroacute 40 diacuteas

Comprobacioacuten

d405483208404

5403

240

Ejemplo 4

Resolver en dando las condiciones de posibilidad

2-2x3

1x1

1x2

SolucioacutenLos denominadores contienen expresiones racionales Se anulan para x = -1 yx = 1Luego la igualdad anterior estaacute definida para x 1 y x -1

Para resolver consideramos el denominador comuacuten que es 2 (x-1) (x+1) Laexpresioacuten dada resulta

1)(x1)-(x21)(x3

1)(x1)-(x21)-(x22)1x(2

Cancelando denominadores ya que son distintos de cero y operando es

4x + 4 + 2x ndash 2 = 3x + 36x + 2 = 3x + 36x ndash 3x = 3 - 23x = 1

De donde31x que podemos pensar que es solucioacuten ya que cumple la

condicioacuten de ser distinto de 1 y ndash1

Verifique que lo es

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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - INECUACIONES 1

Inecuaciones

Inecuaciones deprimer grado enuna variable

Expresiones como ldquopeso maacuteximo 225 kgrdquo ldquovelocidad miacutenima 40 kmhrdquo ldquolo espereacutemaacutes de 15 minutosrdquo son habituales en la vida cotidiana

Para traducir al lenguaje matemaacutetico cualquiera de estas relaciones se hace uso dedesigualdades

peso (p) maacuteximo 225 kg p 225 velocidad (v) miacutenima 40 kmh v 40 espereacute (e) maacutes de 15 minutos e gt 15

Las relaciones algebraicas que se expresan mediante desigualdades reciben elnombre de inecuaciones

En la inecuacioacuten p 225 cualquier nuacutemero que cumpla con las condiciones de lainecuacioacuten seraacute solucioacuten de la misma

p = 200 es solucioacuten de p 225 pues 200 225

p = 225 tambieacuten es solucioacuten de p 225 pues 225 = 225 Tambieacuten son soluciones p = 100 p = 55 5 p = 0 Pero no lo es p = 300 pues no cumple la relacioacuten de menor o igual y tampoco

lo es p = -15 pues no tiene sentido un peso negativo (debe ser p 0) En este ejemplo los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad deben ser

mayores o iguales que cero (pues el peso no puede tomar valores negativos)y menores o iguales que 225 que es la condicioacuten inicial de la relacioacuten

Graacuteficamente el conjunto solucioacuten es el segmento con extremos en 0 y 225Todos los puntos del segmento satisfacen la desigualdad

Los ciacuterculos rellenos en los extremos del segmento indican que 0 y 225 sonsolucioacuten de la ecuacioacuten esto es pertenecen a su conjunto solucioacuten

Se puede expresar el conjunto de soluciones S como S = x 0x 225

En algunos casos como el del ejemplo es relativamente faacutecil hallar su conjuntosolucioacutenPero generalmente para resolver una inecuacioacuten es preciso transformarla en otrasequivalentes

Resolucioacuten deinecuaciones

En las transformaciones es necesario recordar queLas siguientes operaciones no cambian el sentido de la desigualdad

Sumar o restar un nuacutemero a ambos miembros de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero mayor que cero

Pero cambia el sentido de la desigualdad Multiplicar (o dividir) por un nuacutemero menor que cero

3 gt 1 pero 3 (-2) lt 1 (-2) ya que ndash 6 lt -2

0 225

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Ejemplos En los siguientes ejemplos se encuentra en forma analiacutetica y graacutefica el conjunto desoluciones de las inecuaciones propuestas

Ejemplo 1 Resolver x ndash 3 gt 7Solucioacuten

x ndash 3 gt 7

x -3 + 3 gt 7 + 3 Sumando a ambos miembros 3

x gt 10

Los nuacutemeros reales que verifican la desigualdad son todos aquellos mayoresque 10

Graacuteficamente las soluciones quedan expresadas asiacute(el ciacuterculo vaciacuteo significa que seexcluye el nuacutemero)

Luego S = x xgt 10

Ejemplo 2 Resolver 3(1-x) -2 ndash xSolucioacuten

31 ndash3x -2 - x Distribuyendo

3 ndash3x -2-x

3 ndash 3x +x -2-x +x Sumando x a ambos miembros

3 ndash 2x -2

-3 + 3 ndash2x -2 -3 Restando 3 a ambos miembros

ndash2x ndash 5

(-12) (-2x) (-12)(-5) (Multiplicando 7ambos miembros por ndash12lt0 cambiael sentido de la desigualdad)

x 52

Son solucioacuten de la inecuacioacuten todos los nuacutemeros reales mayores o igualesque 52

S = x x 52Graacuteficamente

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Ejemplo 3 Un problemaPara dibujar un rectaacutengulo los lados de un cuadrado seaumentaron 2 cm y 5 cm como se muestra en la figuraSi el periacutemetro del rectaacutengulo resultante es menor que 39 cm

a) iquestCuaacuteles son las posibles dimensiones del cuadrado originalb) Verificar que s =

23 es una solucioacuten

c) iquestQueacute valores toma s si la longitud del lado del cuadrado es un nuacutemero entero

Solucioacuten

a) Llamando s al lado del cuadrado los ladosdel rectaacutengulo son

s + 5 (uno de los lados delcuadrado aumentado en 5cm)

s + 2 (otro de los lados aumentado en 2 cm)

Entonces el periacutemetro del rectaacutengulo es

p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14

Resolviendo las operaciones la inecuacioacuten que expresa que ldquoel periacutemetro delrectaacutengulo es menor que 39 cmrdquo es

4s + 14 lt 39

Buscamos sus soluciones

4s + 14 lt 394s + 14 ndash 14 lt 39 ndash 14 Restando 14 a ambos miembros

4s lt 254s 4 lt 25 4 Dividiendo por 4gt0 a ambos miembros se

conserva la desigualdads lt 254

Luego es solucioacuten de la inecuacioacuten el conjunto S = x x lt 254

Pero se tiene una restriccioacuten la longitud ldquosrdquo del lado del cuadrado debe sermayor que cero Entonces los ldquosrdquo que responden al problema deben sermayores que 0 y menores que 8 esto es

0lt s lt 254

b) s =23 pertenece al conjunto solucioacuten ya que es 0lt

23 lt

425

c) Si la longitud del lado son nuacutemeros enteros los posibles valores que puedetomar son 1 2 3 4 5 oacute 6

s

s + 5

s + 2

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Para recordar Las soluciones de una inecuacioacuten son de la forma

x lt a x a x gt a xa

y sus representaciones en la recta son respectivamente

O bien

El corchete o punto lleno indica que a pertenece al conjunto solucioacuten mientrasque el pareacutentesis o punto vaciacuteo indica que a no pertenece al conjunto solucioacuten

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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES1

LOS NUacuteMEROS REALES1

Nuacutemeros Naturales

Los nuacutemeros que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una coleccioacuten uordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los nuacutemeros naturales simbolizado por N

N = 1 2 3 4

N es un conjunto infinito

El primer elemento de N es el 1

Cada nuacutemero natural tiene un sucesor o siguiente

Un nuacutemero natural y su siguiente se denominan consecutivos

N0 denota el conjunto de los nuacutemeros naturales al que se le agrega el cero

N0 = 0 1 2 3 4 = N 0

N0 es un conjunto infinito

El primer elemento de N0 es el 0

Al representar en la recta numeacuterica al conjunto N0

se observa que

Entre un nuacutemero de N0 y su siguiente no hay otro nuacutemero natural

Los conjuntos de nuacutemeros que tienen esta propiedad se llaman discretos

Nuacutemeros Enteros

Los nuacutemeros naturales los enteros negativos y el cero constituyen el conjunto de los nuacutemeros enterosque simbolizamos con la letra Z

Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3

En la recta numeacuterica los enteros negativos se ubican a la izquierda del cero

Se observa que cada nuacutemero negativo es simeacutetrico respecto del cero de un nuacutemero natural

Por ejemplo 2 y -2 son simeacutetricos respecto del cero

1 Elizondo Giuggiolini Moacutedulo 1 Nuacutemeros y operaciones UBA XXI Articulacioacuten 2007


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UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 2

Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2

Conviene recordar que

El opuesto de un nuacutemero a lo simbolizamos ndasha

Si a es un nuacutemero entero su opuesto ndasha es unnuacutemero entero

El opuesto de 0 es 0

Si a es el opuesto de b b es el opuesto de a

Si a = 2 el opuesto de a es ndasha = 2

Si a = -2 el opuesto de a es ndasha = -(-2) = 2

La expresioacuten ndasha no significa que el nuacutemerosea negativo Soacutelo indica el opuesto de a

-2 es un nuacutemero entero Su opuesto ndash(-2) = 2es tambieacuten un nuacutemero entero

Y tambieacuten

Z es un conjunto infinito

Cada nuacutemero entero es el siguiente de otro

Entre un nuacutemero entero y el siguiente no hayotro nuacutemero entero

Por poseer esta propiedad se dice que elconjunto de los enteros es un conjuntodiscreto

N es un conjunto discreto

El conjunto de los nuacutemeros naturales es unsubconjunto de los enteros N Z

A los nuacutemeros naturales tambieacuten se losllama enteros positivos N = Z+

(El siacutembolosignifica incluido)

Nuacutemeros Racionales

Un sistema maacutes amplio de nuacutemeros lo constituye el de los nuacutemeros racionales (Q)

Los nuacutemeros racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos nuacutemeros enteros donde el

divisor es distinto de cero (es decirqp

con p y q enteros q 0)

Cada nuacutemero entero a puede representarse

como un nuacutemero racional en la forma1a (por

ejemplo12

2 )

Todo nuacutemero entero es racionalZ Q

Ademaacutes N Z Q

Entre dos nuacutemeros racionales siempre hay otronuacutemero racional

Por ello se dice que los nuacutemeros racionalesforman un conjunto denso


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Cualquiera que sea el nuacutemero entero m 0 las expresionesbmamy

ba

son equivalentes y

representan el mismo nuacutemero racional

2012

159

106

53 son fracciones equivalentes y representan el mismo nuacutemero racional

De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo nuacutemero racional existe soacutelo unacuyo numerador y denominador son nuacutemeros primos entre siacute Estas fracciones se denominanirreducibles

53

es una fraccioacuten irreducible

Simplificar una fraccioacuten es hallar una fraccioacuten irreducible equivalente a ella

Para comparar fracciones

Una fraccioacuten positiva es siempre mayor que una negativa Por ejemplo5-1

310

Si las fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador Por

ejemplo2-3

2-1

51

53

Si las fracciones tienen distinto denominador conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que

se quiere comparar y que tengan el mismo denominador Por ejemplo para comparar71y

43 podemos

escribirlas en forma equivalente71

43entonces

284

71y

2821

43

Expresioacuten fraccionaria y decimal de los nuacutemeros racionales

Todo nuacutemero racional puede expresarse en forma de fraccioacuten o en forma decimal

Para obtener la expresioacuten decimal de un nuacutemero racional expresado en forma fraccionaria se divide elnumerador por el denominador

Al hacerlo puede suceder

El cociente es un nuacutemero decimal exacto porque despueacutes devarios pasos el resto de la divisioacuten es ceroDecimos que es una expresioacuten decimal finita

Que luego de un nuacutemero de pasos los restos comiencena repetirse y tambieacuten las cifras del cociente se repiten

Se trata de expresiones decimales perioacutedicas

Al nuacutemero o bloque de nuacutemeros que se repite se lo llamaperiacuteodo

7020277777185

6300636363117

611666663

5

55422

0452


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Si la expresioacuten decimal es finita escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales

Si la expresioacuten decimal es perioacutedica

1 Expresioacuten de a = 50 como una fraccioacuten

Si a = 50 multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10a = 55

Restando ambas igualdades (la segunda a la primera) resulta 9a = 5 con lo que a =95

2 Expresioacuten de b = 230 como fraccioacuten

Si b = = 230Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos 100b = 232 (1)

Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10b = 23 (2)Restando (1) y (2) se tiene que 100b ndash 10 b = 29De donde 90b = 29

Asiacute9029b

Operaciones con nuacutemeros racionales

Adicioacuten de fracciones

bca

bc

ba

m

cdm

m

abm

dc

ba

Si los denominadores son iguales se suman los numeradores

Si los numeradores no son iguales se sustituyen lasfracciones por otras equivalentes que tengan el mismodenominador

donde m es el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo entre b y d

Ejemplos

135

341

34

31

2

2023

20158

2015

208

43

52

Los decimales exactos y perioacutedicos pueden expresarse en forma de fraccioacuten

10003512

10002

1001

105

35123


Matemaacutetica


Los nuacutemeros reales

Entre los nuacutemeros conocidos existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos nuacutemerosenteros Son los llamados nuacutemeros irracionales (I)

Los nuacutemeros irracionales (I) junto con los nuacutemeros racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemeros reales()

= I Q

Ademaacutes= I Q

Son nuacutemeros irracionales0 010010001000010123456789101112

7182812e14159265353

414213562312

Estos nuacutemeros no pueden expresarse comocociente de dos nuacutemeros enteros

Los nuacutemeros irracionales tienen un desarrollodecimal infinito no perioacutedico

Operaciones en los reales Propiedades

En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operacionesAdicioacuten y multiplicacioacuten

Por adicioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado la suma de a con b que indicamos a + b

Por multiplicacioacuten entendemos que a todo par de nuacutemeros reales a b se le asigna un nuacutemero realllamado producto de a con b que indicamos a b

Multiplicacioacuten y divisioacuten de fraccionesEjemplos

1

2

35 es el inverso multiplicativo de

5

3

3

6-7

23(-1)7

2-1

37

125

35

41

53

41

10-3

2-1

53

(-2)53

Para multiplicar dos fracciones se multiplican losnumeradores entre siacute y los denominadores entre siacute

Para dividir una fraccioacuten por otra distinta de cero semultiplica la primera por el inverso multiplicativo de lasegunda

Si c0

dbca

dc

ba

cbda

cd

ba

dc1

ba

dc

ba


Matemaacutetica


Propiedades de la adicioacuten Propiedades de la multiplicacioacuten

Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c se

verifica

La adicioacuten es conmutativa

a + b = b + a

La adicioacuten es asociativa

( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a

(0 es el elemento neutro para la adicioacuten)

a + (-a) = (-a) + a = 0

(-a es el inverso aditivo de a)


verifica

La multiplicacioacuten es conmutativa

a b = b a

La multiplicacioacuten es asociativa

( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 a = a

(1 es el elemento neutro para el producto)

a a-1 = 1 (si a 1)

(a-1 es el inverso multiplicativo de a)

La propiedad distributiva de la multiplicacioacuten con respecto a la adicioacuten vincula ambas operaciones

Cualesquiera sean los nuacutemeros reales a b y c vale que a (b + c) = a b + a c

Observacioacuten

En el conjunto de los nuacutemeros naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivopara la adicioacuten ni la de inverso multiplicativo

En el conjunto de los nuacutemeros enteros no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo

Otras propiedades importantes

El opuesto de la suma es la suma de los opuestos- (a + b) = - a + (- b )

El producto de cualquier nuacutemero real por (-1) es igual al opuesto del nuacutemero real

a (-1) = (-1) a = (-a)

El producto de un nuacutemero real por cero es cero

a 0 = 0 a = 0

Si a b = 0 entonces a = 0 oacute b = 0 Ley cancelativa

o de la suma Si a + c = b + c entonces a = bo del producto Si a c = b c y c 0 entonces a = b

Recordamos que

Restar dos nuacutemeros reales a y b significa sumar a con el opuesto de b

a ndash b = a + (- b )

Dividir dos nuacutemeros reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativode b

a b = a b-1


Matemaacutetica

U

Orden en

En consideramos la relacioacuten ldquomenor querdquo que denotamos ldquoltrdquo que satisface las siguientes propiedades

1 Tricotomiacutea Si a y b son dos nuacutemeros reales vale una y soacutelo una de las siguientesposibilidades

a lt b oacute a = b oacute a gt b

2 Transitividad a lt b y b lt c a lt c3 Monotoniacutea de la suma a lt b a + c lt b + c4 Monotoniacutea del producto a lt b c gt 0 a c lt bc

Tambieacuten escribiremos

a gt b para indicar que a es mayor que b a lt b lt c para indicar a lt b y b lt c a b para indicar que a es mayor o igual que b a b para indicar que a es menor o igual que b

es un conjunto ordenado

Otras propiedades de orden

Sean a b y c elementos cualesquiera de Entonces

1 Si a lt 0 entonces ndasha gt 02 a lt b -b lt -a3 Si a lt b y c lt 0 entonces a c gt b c4 a b gt 0 a lt 0 y b lt 0 oacute a gt 0 y b gt 05 a b lt 0 a lt 0 y b gt 0 oacute a gt 0 y b lt 06 a gt b a ndash b gt 0

Los nuacutemeros reales y la recta real

Cl

Clm

Ps

a b siacute y solo siacute a gt b oacute a = ba b siacute y solo siacute a lt b oacute a = b

Los nuacutemeros reales se pueden ubicar sobre la recta a cada punto de la recta le corresponde

BA XXI ndash MAacuteTEMATICA - NUacuteMEROS REALES 7

onsideremos una recta donde se fija un origen y la unidad deongitud

ada nuacutemero positivo estaacute representado por un punto situado aa derecha del origen y cada nuacutemero negativo a la izquierda del

ismo

ara ubicar los nuacutemeros enteros dibujamos consecutivamenteobre la recta el segmento unidad

un uacutenico nuacutemero real y a cada nuacutemero real un uacutenico punto en la recta

-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica


Para ubicar los nuacutemeros racionales de la forma 0qq1

dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q

partes iguales

En forma anaacuteloga procedemos para los

nuacutemeros racionales de la formaqp con

q 0 y menores que la unidad (p lt q)

Es suficiente tomar a partir del origen p

segmentos de longitudq1

Algunos nuacutemeros irracionales puedenubicarse en la recta numeacuterica medianteconstrucciones geomeacutetricas

La posibilidad de hacerlo permite ver quelos puntos que han ocupado estaban vaciacuteosde nuacutemeros racionales Algunos de losinfinitos huecos que dejan entre siacute losnuacutemeros racionales son ocupados por ellos

Otros nuacutemeros irracionales no puedenubicarse en la recta medianteconstrucciones geomeacutetricas

Por ejemplo e 3 2

En general para representar los nuacutemeros irracionales en la recta numeacuterica usamos una aproximacioacutendecimal de los mismos Por ejemplo

314 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional

3 2 1 25 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 2

441 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 3 + 2

1 - 3 5 -071 representa una aproximacioacuten del nuacutemero irracional 1 - 3 5

Por ejemplo para q = 5A partir de 0 dibujamos una semirrecta que formeun aacutengulo agudo con el segmento unidad y sobreella marcamos 5 segmentos de igual longitud Eluacuteltimo extremo (E) se une con 1 y se trazanparalelas por A B C y D dividiendo al segmentounidad en 5 partes iguales Cada segmento en quequeda dividido el segmento unidad representa

51

del mismo

Ejemplo representacioacuten de53

53

Representacioacuten geomeacutetrica de algunos irracionales de la

forma n (siendo n un entero positivo)

En cada caso se aplica el teorema de Pitaacutegoras a un triaacutengulorectaacutengulo de catetos 1 y raiacutez cuadrada del nuacutemero natural

anterior Por ejemplo 212132

2 3 5 6

2


Matemaacutetica


Su representacioacuten aproximada es

Conviene recordar

Cualquier segmento sobre la recta por pequentildeo que sea contiene infinitos puntos racionales(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos tambieacuten infinitos los nuacutemeros irracionales(I)

Ambos conjuntos los irracionales (I) junto con los racionales (Q) forman el conjunto de los nuacutemerosreales (es decir tanto los racionales como los irracionales son nuacutemeros reales)

Los nuacutemeros reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real)

Esta propiedad de los nuacutemeros reales se conoce como propiedad de completitud de los nuacutemerosreales

Otras operaciones en

Potenciacioacuten y radicacioacuten de nuacutemeros reales

DefinicioacutenSi a es un nuacutemero real cualquiera y n es un entero positivo entonces la potencia eneacutesima de a es

factoresn

n aaaaa

an es la potencia eneacutesima de a

a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a

Si n es un entero positivo y a 0 entoncesn

n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica


Propiedades de la potenciacioacuten

Si a y b son nuacutemeros reales y ademaacutes n y m enteros valen las siguientes

Propiedades(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos

nmnm aaa1 Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232

aa

a2 n-m

n

m

Cociente de potencias de igual base 9333

3 22-52

5

nmnm a)(a3 Potencia de potencia 156255)(-(-5) 632 mmm bab)(a4 Potencia de un producto 51264)8(4(-2)4(-2 333

n

nn

ba

ba5

Potencia del cociente

278

32

32

3

33

Exponente fraccionario

La expresioacuten n1

a con n entero mayor que 1 recibe el nombre de raiacutez n-eacutesima de a

Asiacute 21

a es la raiacutez cuadrada de a y 31

a es la raiacutez cuacutebica de a


a se representa tambieacuten mediante n a

Recordamos que

Si n es par a debe ser mayor o igual que cero Si n es impar a puede tomar cualquier valor real positivo nulo o negativo

DefinicioacutenSi a0 es un nuacutemero real llamamos raiacutez cuadrada de a y lo simbolizamos a al uacutenico nuacutemero real b 0tal que b2 = a

Es decir quea = b si y soacutelo si b 0 y b2 = a

Proposicioacuten Si a es un nuacutemero real cualquiera |a|a2

0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222

n aIacutendice de la

raiacutezRadicando


Matemaacutetica


Definicioacuten Si m y n son nuacutemeros naturales

Propiedades

Si a es un nuacutemero real y a gt 0 valen las siguientes propiedades

q

pnm

q

p

nm

aaa1

Producto de potencias de igual base

qn

pm

q

p

nm

aa2 )(

Potencia de potencia

n

m

n

m

n

m

ba)b(a3 Distributividad respecto a la multiplicacioacuten

Ejemplos Calcular aplicando propiedades

1 63 1616 SolucioacutenUsando la notacioacuten de exponente fraccionario y propiedades de lapotenciacioacuten escribimos

2 4625216 Solucioacuten

Por propiedad 3 escribimos

54

625216

625216

4

44

3 53 )6( SolucioacutenUsando la definicioacuten de exponente fraccionario y operando

4 2)16( Solucioacuten

a Aplicando la propiedad ||2 aa es 16|-16|)16( 2

b Tambieacuten podemos resolverlo asiacute 16256)16( 2

355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica


Supresioacuten de raiacuteces en el denominador

Expresiones como

que contienen raiacuteces en el denominador pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nuevaexpresioacuten no contenga raiacuteces en el denominador Vemos algunos ejemplos

Ejemplo 12

1

Multiplicando numerador y denominador por

2 y aplicando propiedades de la potenciacioacutenes

22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2

Multiplicando numerador y denominador por5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicandopropiedades de la potenciacioacuten es

5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2

En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresioacuten del tipo n ma Se busca multiplicar

numerador y denominador por otra expresioacuten con el mismo iacutendice n pa y tal que el producto de susbases am y ap sea una potencia de an

Ejemplo 351

4

El denominador es en este caso una diferencia entre dos nuacutemeros Multiplicando numerador y denominadorpor la suma de ellos y operando es

)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22

Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos nuacutemeros en donde uno de ellos o ambos es unirracional cuadraacutetico se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los teacuterminos deldenominador en el caso de una suma o por la suma en el caso de una diferencia

Asiacute el denominador queda expresado en la forma

(a + b)(a ndash b) = a2 ndash b2

36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica

Practico 0 ndash Revisioacuten 1

PRACTICO 0 PRACTICO DE REVISION

1 Resolveacute los caacutelculos

a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25

2 Sustituiacute cada liacutenea por un nuacutemero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones

23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a

3 Dadas las fracciones51

y71

escribiacute si es posible entre ellas

a Dos fracciones

b Una fraccioacuten con denominador 20

c Todas las fracciones con denominador 70

4 a iquestEs posible hallar un nuacutemero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y

56-

iquestEs uacutenico

b Encontraacute una fraccioacuten equivalente a85

con denominador igual a una potencia de 10 iquestCuaacutentas

pueden escribirse iquestPor queacute

c Escribiacute si es posible dos nuacutemeros entre73y

72

5 a iquestCuaacutentos nuacutemeros con dos cifras decimales hay entre 35 y 36

b iquestY con maacutes de dos cifras decimales

65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2

Podeacutes consultarcualquier texto de laescuela secundaria


Matemaacutetica


c Encontraacute si es posible un nuacutemero decimal a de manera que el nuacutemero a + 00001 esteacute entre35 y 36

6 a Buscaacute tres pares de nuacutemeros racionales a y b tal que su producto sea103

b Encontraacute una multiplicacioacuten que tenga como uno de sus factores a73 y que deacute como resultado 5

7 De dos nuacutemeros p y q se sabe que

p estaacute entre 13 y 14

q estaacute entre 8 y 9

iquestEntre queacute valores se encuentran los siguientes resultadosa p + q b pq c p q d (p + q) (p - q)

8 Completaacute con ldquogtrdquo ldquo=rdquo oacute ldquoltrdquo seguacuten corresponda

)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a

9 a Escribiacute en forma decimal y fraccionaria

5 deacutecimos = ___ 123 centeacutesimos = ___ 5 centeacutesimos = ___ 82 mileacutesimos= ___

b iquestDe queacute nuacutemero es 200 la quinta parte

c iquestDe queacute nuacutemero es 850 el 52

10 Hallaacute el valor de las siguientes expresiones sabiendo que m = - 2 y n = 5

mnme

n1md

n1mc)nm3(bn)m3(a 222

11 Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1 colocaacute en el casillero la letra quecorresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez maacutes de una vez o ninguna vez


Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35

f Un nuacutemero distinto

de los anteriores

233023301

g No tiene resultado

12 Resolveacute explicitando las propiedades utilizadas (con x ne 0)

a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx

13 Calculaacute las siguientes potencias

2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33

15 a Resolveacute aplicando propiedades

(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=

b Escribiacute como producto de dos factores

m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=

16 Dadas las ecuaciones

a 9 = 5y ndash 3 b 5x21x

2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0

averiguaacute a cuaacutel ecuacioacuten corresponde cada solucioacuten

17 Resolveacute las siguientes ecuaciones

a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)

e 3 + x ndash (5 ndash 3x) = 4 f (4 + z ) (2 + z) = (4 ndash z) (2 ndash z) + 8

g (x ndash 1)2 ndash (x2 ndash 1) = 2(1 ndash x) h51

x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica


18 Decidiacute la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones Justificaacute adecuadamente

a x ndash 2(1 ndash 3x) = 6 + 3 (4 ndash x) tiene solucioacuten x = 2

b S = 4 es el conjunto solucioacuten de2

x85

2x3

c2x)1x(

41x2 tiene como solucioacuten x = 5

d La ecuacioacuten 2(x ndash 1) ndash 3(x - 2) + 4(x ndash 3) = 0 no tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemerosnaturales

19 Traduciacute al lenguaje matemaacutetico con una o maacutes ecuaciones y escribiacute el conjunto de soluciones

a La suma de dos nuacutemeros es 15 y su diferencia es 25 iquestCuaacutel es su producto

b En un juego Pedro triplicoacute su dinero y despueacutes gastoacute $10 En un segundo juego duplicoacute loque le quedaba y gasta $ 22 Si le quedan $108 iquestCuaacutento dinero teniacutea Pedro antes de losjuegos

c La suma de dos nuacutemeros enteros consecutivos es igual al doble del primero maacutes dosiquestCuaacuteles son estos nuacutemeros

20 ldquoSi de un nuacutemero entero se resta su mitad maacutes ocho se obtiene el cuaacutedruplo de la diferenciaentre su octava parte y dosrdquo

La expresioacuten que simboliza el enunciado anterior es

anterioreslasdeNingunae

2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa

21 iquestCuaacutel de los siguientes enunciados corresponde a la expresioacuten 101)2(xx21 3

a La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10

b El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10

c La mitad del cubo de un nuacutemero maacutes el doble del consecutivo de dicho nuacutemero es igual a 10

d El cubo de la mitad de un nuacutemero maacutes el siguiente del doble de dicho nuacutemero es igual a 10

e Ninguna de las anteriores

22 Consideraacute la desigualdad 2 lt 5 Indicaacute queacute pasa con ella en los siguientes casos

a Si le sumo miembro a miembro 4

b Si le sumo miembro a miembro -4

c Si se la multiplica miembro a miembro por 3

d Si se la multiplica miembro a miembro por -3

e Si se la multiplica miembro a miembro por 1

f Si se la multiplica miembro a miembro por 0

Comparaacute las respuestas que obtuviste y escribiacute tus conclusiones


Matemaacutetica


23 Sean m y n dos nuacutemeros enteros Decidiacute si son correctas las siguientes afirmaciones en casocontrario da un contraejemplo

a Si m gt n y n gt 0 entonces m gt 0

b Si m lt n y m lt 0 entonces n lt 0

c Si m lt n y n lt 0 entonces m lt 0

24 En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracioacuten y B lacantidad de libros de Biologiacutea

Expresar en lenguaje coloquial

a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5

d 5A = 3B ndash 6 e A ndash 10 gt 30 f B 2A + 10

25 Encontraacute en forma analiacutetica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadasRepresentaacute graacuteficamente el conjunto de soluciones

a 3x + 2 gt 5x ndash4 b x ndash 4 - 2x + 5 c ndash5x + 2 8 d x - 2 x + 3

26 Resolveacute los siguientes problemas

a Una persona comproacute cierto nuacutemero de objetos con $ 300 Podriacutea haber comprado 10 objetosmaacutes si cada uno hubiese costado $ 5 menos iquestCuaacutentos objetos comproacute

b Hallar dos nuacutemeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro maacutes 5 y que elproducto de ambos es igual a 68

c Todas las personas que asistieron a una reunioacuten estrecharon sus manos para saludarse Silos saludos fueron 91 iquestCuaacutentas personas hay en la reunioacuten

d El nuacutemero de varones de una comisioacuten especial debe ser por lo menos tres veces mayorque el nuacutemero de mujeres Los varones son 12 iquestCuaacutentas pueden ser las mujeres

e Despueacutes de vender dos docenas de cajas de CD quedan en stock menos de 45 cajas deCD iquestCuaacutentas cajas de CD habiacutea como maacuteximo antes de hacer la venta

f En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros No pueden retirarse maacutes dedos libros de historia ni maacutes de 3 libros de aventuras Indicar en un cuadro todas lasposibilidades si deseo retirar al menos 1 libro de cada categoriacutea Expresar las inecuacionesque condicionan el problema

UBA XXI Modalidad virtualMatemaacutetica

RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ RESPUESTA EJ RESPUESTA EJ RESPUESTA

1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25

3a Hay infinitos por ej 016 13c 14 19c Conjunto Vaciacuteo

3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c

4a -65 lt-44lt -34lt -12 13f -1 22a No altera el sentido de ladesigualdad

4b Infinitas por ej 6251000 13g -1 22b No altera el sentido de ladesigualdad

4c Por ej 721 y 821 13h 10000 22c No altera el sentido de ladesigualdad

5a 9 nuacutemeros 13i 827 22d Se altera el sentido de ladesigualdad

5b Infinitos 13j 100 22e Se obtiene la misma desigualdad

5c Infinitos por ej 354 14a 2 22f Se obtiene la igualdad 0=0

6a Infinitos por ej 310 y 1 14b -32 23a Correcta

6b Infinitas por ej (37)(353) 14c 25 5 23b Incorrecta

7a Entre 21 y 23 14d 32 23c Correcta

7b Entre 104 y 126 14e 139 24 Por ej b Hay maacutes libros deAdministracioacuten que de Biologiacutea

7c Entre 14444hellip y 175 14f -1516 25a 3xx

7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d

8c gt 15a 4x2-m2 4x2+4xm+m2 y4x2-4xm+m2 26a 20 objetos

8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000

16c frac12 26e 68 cajas

9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA

1 H y 3 A oacute2H y 2A oacute1H y 2Aoacute 2H y 1Aoacute 1H y 1A

Mate_UBAXXI_Appoyo Simbolos

Mate_UBAXXI_Appoyo Ecuaciones

Mate_UBAXXI_Appoyo Inecuaciones

Mate_UBAXXI_Appoyo Numeros reales

Mate_UBAXXI_Appoyo Trabajo Practico de revision

Mate_UBAXXI_Appoyo Respuesta Trabajo Practico de revision

Modalidad virtual

Matemaacutetica

UBA XXI ndash MAacuteTEMATICA - Nuacutemeros reales1

EXPRESIONES ALGEBRAICAS FOacuteRMULAS ECUACIONES1

En matemaacutetica es habitual trabajar con relaciones numeacutericas en las que una o maacutes cantidades sondesconocidas Estas cantidades se denominan incoacutegnitas o variables y se representan por letras

Aquellas expresiones en las que intervienennuacutemeros y letras vinculadas medianteoperaciones aritmeacuteticas se denominanexpresiones algebraicas

Son expresiones algebraicas

2x ndash3

m2 ndash2m

x + y2 = 5

Al traducir un cierto enunciado al lenguaje simboacutelico se obtienen expresiones algebraicas

Ejemplos

Lenguaje coloquial Lenguaje simboacutelico

La suma entre un nuacutemero natural y su consecutivo n + (n +1)

El precio de un artiacuteculo aumentado en un 15 x10015x

El cuadrado de la diferencia entre a y b es 16 (a ndash b)2 = 16

Con las expresiones algebraicas se pueden realizar las mismas operaciones que con los nuacutemeros realeslo que hace posible reducirlas a expresiones maacutes sencillas

bull Se opera con las expresiones algebraicas de lamisma forma que con los nuacutemeros reales

bull Las operaciones con expresiones algebraicastienen las mismas propiedades que lasoperaciones con los nuacutemeros reales

Ejemplos

bull (4m + 3m)2 = 8m + 6mbull 2x + x2 ndash4x2 = 2x ndash 3x2

bull ab + ac = a(b + c)bull 2s s2 (-3s) = -6 s4

Las expresiones algebraicas aparecen en las foacutermulas que se usan por ejemplo en Geometriacutea Unafoacutermula es una igualdad algebraica en que dos expresiones representan el mismo nuacutemero

En la foacutermula que expresa el aacuterea de un rectaacutenguloA = b h el siacutembolo ldquoArdquo representa el aacuterea lomismo que la expresioacuten b h pero aquiacute el aacuterea seexpresa en teacuterminos de la base (b) y la altura (h) delrectaacutengulo

Ambos miembros de la igualdad quedanperfectamente determinados al conocer los valoresde b y de h

1 Elizondo Giuggiolini Moacutedulo 2 Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones UBA XXI Articulacioacuten 2007Elizondo S Elementos de Matemaacutetica y Estadiacutestica TAGU UBA 2009

b = 3

h = 2

A = b hA = 2 3A = 6


Matemaacutetica







33-x

2x2x

3








3x + 2 = 4x ndash 1





3 3 + 2 = 4 3 ndash 1

9 + 2 = 12 ndash 1

11 = 11







Matemaacutetica























ndash2 4 + 5 = -8 + 5 = -3




Matemaacutetica


Observar que













x = 1


3(1- 1) = -1 + 1 3 0 = 0 0 = 0



S = 1


x31

2x

Solucioacuten

1-x2xx

31

2x

1x6x

3x


1-x6




Matemaacutetica







211

2211

23

1-323

331

23

Luego es S = 3



b) 3x ndash 2 = 2(x - 1) + x











0 = 0






Matemaacutetica


30 ndash 2 = 2 (0-1) + 0 -2 = 2(-1) = -2


Lo expresamos S =




problemas




Ejemplo 1


Solucioacuten






por 7


8 3 = 24 = 3 + 21



Matemaacutetica


Ejemplo 2


Solucioacuten






bull Resolvemos


2n + 1 = 3n + 2



-n = 1





Ejemplo 3



d8d

45d

32d

donde



descansoacute

bull8d



Matemaacutetica



3-4-d-8d

5d

2d


d40d5d8d20




Comprobacioacuten

d405483208404

5403

240

Ejemplo 4


2-2x3

1x1

1x2



1)(x1)-(x21)(x3

1)(x1)-(x21)-(x22)1x(2





Verifique que lo es

Modalidad virtual

Matemaacutetica


Inecuaciones




















0 225

Modalidad virtual

Matemaacutetica




x ndash 3 gt 7


x gt 10



Luego S = x xgt 10



3 ndash3x -2-x


3 ndash 2x -2


ndash2x ndash 5


x 52



Modalidad virtual

Matemaacutetica






Solucioacuten





p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14


4s + 14 lt 39







0lt s lt 254


23 lt

425


s

s + 5

s + 2

Modalidad virtual

Matemaacutetica





O bien


Modalidad virtual

Matemaacutetica





N = 1 2 3 4






N0 = 0 1 2 3 4 = N 0




se observa que





Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3






Matemaacutetica












Y tambieacuten
















ejemplo12

2 )


Ademaacutes N Z Q




Matemaacutetica



ba

son equivalentes y


2012

159

106



53





310


ejemplo2-3

2-1

51

53



43 podemos


43entonces

284

71y

2821

43









7020277777185

6300636363117

611666663

5

55422

0452


Matemaacutetica










Asiacute9029b



bca

bc

ba

m

cdm

m

abm

dc

ba




Ejemplos

135

341

34

31

2

2023

20158

2015

208

43

52


10003512

10002

1001

105

35123


Matemaacutetica





= I Q

Ademaacutes= I Q


7182812e14159265353

414213562312








1

2


5

3

3

6-7

23(-1)7

2-1

37

125

35

41

53

41

10-3

2-1

53

(-2)53



Si c0

dbca

dc

ba

cbda

cd

ba

dc1

ba

dc

ba


Matemaacutetica




verifica


a + b = b + a


( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a


a + (-a) = (-a) + a = 0



verifica


a b = b a


( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 a = a


a a-1 = 1 (si a 1)




Observacioacuten






a (-1) = (-1) a = (-a)


a 0 = 0 a = 0



Recordamos que




a b = a b-1


Matemaacutetica

U

Orden en












Cl

Clm

Ps






ismo



-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica







33-x

2x2x

3








3x + 2 = 4x ndash 1





3 3 + 2 = 4 3 ndash 1

9 + 2 = 12 ndash 1

11 = 11







Matemaacutetica























ndash2 4 + 5 = -8 + 5 = -3




Matemaacutetica


Observar que













x = 1


3(1- 1) = -1 + 1 3 0 = 0 0 = 0



S = 1


x31

2x

Solucioacuten

1-x2xx

31

2x

1x6x

3x


1-x6




Matemaacutetica







211

2211

23

1-323

331

23

Luego es S = 3



b) 3x ndash 2 = 2(x - 1) + x











0 = 0






Matemaacutetica


30 ndash 2 = 2 (0-1) + 0 -2 = 2(-1) = -2


Lo expresamos S =




problemas




Ejemplo 1


Solucioacuten






por 7


8 3 = 24 = 3 + 21



Matemaacutetica


Ejemplo 2


Solucioacuten






bull Resolvemos


2n + 1 = 3n + 2



-n = 1





Ejemplo 3



d8d

45d

32d

donde



descansoacute

bull8d



Matemaacutetica



3-4-d-8d

5d

2d


d40d5d8d20




Comprobacioacuten

d405483208404

5403

240

Ejemplo 4


2-2x3

1x1

1x2



1)(x1)-(x21)(x3

1)(x1)-(x21)-(x22)1x(2





Verifique que lo es

Modalidad virtual

Matemaacutetica


Inecuaciones




















0 225

Modalidad virtual

Matemaacutetica




x ndash 3 gt 7


x gt 10



Luego S = x xgt 10



3 ndash3x -2-x


3 ndash 2x -2


ndash2x ndash 5


x 52



Modalidad virtual

Matemaacutetica






Solucioacuten





p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14


4s + 14 lt 39







0lt s lt 254


23 lt

425


s

s + 5

s + 2

Modalidad virtual

Matemaacutetica





O bien


Modalidad virtual

Matemaacutetica





N = 1 2 3 4






N0 = 0 1 2 3 4 = N 0




se observa que





Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3






Matemaacutetica












Y tambieacuten
















ejemplo12

2 )


Ademaacutes N Z Q




Matemaacutetica



ba

son equivalentes y


2012

159

106



53





310


ejemplo2-3

2-1

51

53



43 podemos


43entonces

284

71y

2821

43









7020277777185

6300636363117

611666663

5

55422

0452


Matemaacutetica










Asiacute9029b



bca

bc

ba

m

cdm

m

abm

dc

ba




Ejemplos

135

341

34

31

2

2023

20158

2015

208

43

52


10003512

10002

1001

105

35123


Matemaacutetica





= I Q

Ademaacutes= I Q


7182812e14159265353

414213562312








1

2


5

3

3

6-7

23(-1)7

2-1

37

125

35

41

53

41

10-3

2-1

53

(-2)53



Si c0

dbca

dc

ba

cbda

cd

ba

dc1

ba

dc

ba


Matemaacutetica




verifica


a + b = b + a


( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a


a + (-a) = (-a) + a = 0



verifica


a b = b a


( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 a = a


a a-1 = 1 (si a 1)




Observacioacuten






a (-1) = (-1) a = (-a)


a 0 = 0 a = 0



Recordamos que




a b = a b-1


Matemaacutetica

U

Orden en












Cl

Clm

Ps






ismo



-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica























ndash2 4 + 5 = -8 + 5 = -3




Matemaacutetica


Observar que













x = 1


3(1- 1) = -1 + 1 3 0 = 0 0 = 0



S = 1


x31

2x

Solucioacuten

1-x2xx

31

2x

1x6x

3x


1-x6




Matemaacutetica







211

2211

23

1-323

331

23

Luego es S = 3



b) 3x ndash 2 = 2(x - 1) + x











0 = 0






Matemaacutetica


30 ndash 2 = 2 (0-1) + 0 -2 = 2(-1) = -2


Lo expresamos S =




problemas




Ejemplo 1


Solucioacuten






por 7


8 3 = 24 = 3 + 21



Matemaacutetica


Ejemplo 2


Solucioacuten






bull Resolvemos


2n + 1 = 3n + 2



-n = 1





Ejemplo 3



d8d

45d

32d

donde



descansoacute

bull8d



Matemaacutetica



3-4-d-8d

5d

2d


d40d5d8d20




Comprobacioacuten

d405483208404

5403

240

Ejemplo 4


2-2x3

1x1

1x2



1)(x1)-(x21)(x3

1)(x1)-(x21)-(x22)1x(2





Verifique que lo es

Modalidad virtual

Matemaacutetica


Inecuaciones




















0 225

Modalidad virtual

Matemaacutetica




x ndash 3 gt 7


x gt 10



Luego S = x xgt 10



3 ndash3x -2-x


3 ndash 2x -2


ndash2x ndash 5


x 52



Modalidad virtual

Matemaacutetica






Solucioacuten





p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14


4s + 14 lt 39







0lt s lt 254


23 lt

425


s

s + 5

s + 2

Modalidad virtual

Matemaacutetica





O bien


Modalidad virtual

Matemaacutetica





N = 1 2 3 4






N0 = 0 1 2 3 4 = N 0




se observa que





Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3






Matemaacutetica












Y tambieacuten
















ejemplo12

2 )


Ademaacutes N Z Q




Matemaacutetica



ba

son equivalentes y


2012

159

106



53





310


ejemplo2-3

2-1

51

53



43 podemos


43entonces

284

71y

2821

43









7020277777185

6300636363117

611666663

5

55422

0452


Matemaacutetica










Asiacute9029b



bca

bc

ba

m

cdm

m

abm

dc

ba




Ejemplos

135

341

34

31

2

2023

20158

2015

208

43

52


10003512

10002

1001

105

35123


Matemaacutetica





= I Q

Ademaacutes= I Q


7182812e14159265353

414213562312








1

2


5

3

3

6-7

23(-1)7

2-1

37

125

35

41

53

41

10-3

2-1

53

(-2)53



Si c0

dbca

dc

ba

cbda

cd

ba

dc1

ba

dc

ba


Matemaacutetica




verifica


a + b = b + a


( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a


a + (-a) = (-a) + a = 0



verifica


a b = b a


( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 a = a


a a-1 = 1 (si a 1)




Observacioacuten






a (-1) = (-1) a = (-a)


a 0 = 0 a = 0



Recordamos que




a b = a b-1


Matemaacutetica

U

Orden en












Cl

Clm

Ps






ismo



-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica


Observar que













x = 1


3(1- 1) = -1 + 1 3 0 = 0 0 = 0



S = 1


x31

2x

Solucioacuten

1-x2xx

31

2x

1x6x

3x


1-x6




Matemaacutetica







211

2211

23

1-323

331

23

Luego es S = 3



b) 3x ndash 2 = 2(x - 1) + x











0 = 0






Matemaacutetica


30 ndash 2 = 2 (0-1) + 0 -2 = 2(-1) = -2


Lo expresamos S =




problemas




Ejemplo 1


Solucioacuten






por 7


8 3 = 24 = 3 + 21



Matemaacutetica


Ejemplo 2


Solucioacuten






bull Resolvemos


2n + 1 = 3n + 2



-n = 1





Ejemplo 3



d8d

45d

32d

donde



descansoacute

bull8d



Matemaacutetica



3-4-d-8d

5d

2d


d40d5d8d20




Comprobacioacuten

d405483208404

5403

240

Ejemplo 4


2-2x3

1x1

1x2



1)(x1)-(x21)(x3

1)(x1)-(x21)-(x22)1x(2





Verifique que lo es

Modalidad virtual

Matemaacutetica


Inecuaciones




















0 225

Modalidad virtual

Matemaacutetica




x ndash 3 gt 7


x gt 10



Luego S = x xgt 10



3 ndash3x -2-x


3 ndash 2x -2


ndash2x ndash 5


x 52



Modalidad virtual

Matemaacutetica






Solucioacuten





p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14


4s + 14 lt 39







0lt s lt 254


23 lt

425


s

s + 5

s + 2

Modalidad virtual

Matemaacutetica





O bien


Modalidad virtual

Matemaacutetica





N = 1 2 3 4






N0 = 0 1 2 3 4 = N 0




se observa que





Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3






Matemaacutetica












Y tambieacuten
















ejemplo12

2 )


Ademaacutes N Z Q




Matemaacutetica



ba

son equivalentes y


2012

159

106



53





310


ejemplo2-3

2-1

51

53



43 podemos


43entonces

284

71y

2821

43









7020277777185

6300636363117

611666663

5

55422

0452


Matemaacutetica










Asiacute9029b



bca

bc

ba

m

cdm

m

abm

dc

ba




Ejemplos

135

341

34

31

2

2023

20158

2015

208

43

52


10003512

10002

1001

105

35123


Matemaacutetica





= I Q

Ademaacutes= I Q


7182812e14159265353

414213562312








1

2


5

3

3

6-7

23(-1)7

2-1

37

125

35

41

53

41

10-3

2-1

53

(-2)53



Si c0

dbca

dc

ba

cbda

cd

ba

dc1

ba

dc

ba


Matemaacutetica




verifica


a + b = b + a


( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a


a + (-a) = (-a) + a = 0



verifica


a b = b a


( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 a = a


a a-1 = 1 (si a 1)




Observacioacuten






a (-1) = (-1) a = (-a)


a 0 = 0 a = 0



Recordamos que




a b = a b-1


Matemaacutetica

U

Orden en












Cl

Clm

Ps






ismo



-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica







211

2211

23

1-323

331

23

Luego es S = 3



b) 3x ndash 2 = 2(x - 1) + x











0 = 0






Matemaacutetica


30 ndash 2 = 2 (0-1) + 0 -2 = 2(-1) = -2


Lo expresamos S =




problemas




Ejemplo 1


Solucioacuten






por 7


8 3 = 24 = 3 + 21



Matemaacutetica


Ejemplo 2


Solucioacuten






bull Resolvemos


2n + 1 = 3n + 2



-n = 1





Ejemplo 3



d8d

45d

32d

donde



descansoacute

bull8d



Matemaacutetica



3-4-d-8d

5d

2d


d40d5d8d20




Comprobacioacuten

d405483208404

5403

240

Ejemplo 4


2-2x3

1x1

1x2



1)(x1)-(x21)(x3

1)(x1)-(x21)-(x22)1x(2





Verifique que lo es

Modalidad virtual

Matemaacutetica


Inecuaciones




















0 225

Modalidad virtual

Matemaacutetica




x ndash 3 gt 7


x gt 10



Luego S = x xgt 10



3 ndash3x -2-x


3 ndash 2x -2


ndash2x ndash 5


x 52



Modalidad virtual

Matemaacutetica






Solucioacuten





p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14


4s + 14 lt 39







0lt s lt 254


23 lt

425


s

s + 5

s + 2

Modalidad virtual

Matemaacutetica





O bien


Modalidad virtual

Matemaacutetica





N = 1 2 3 4






N0 = 0 1 2 3 4 = N 0




se observa que





Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3






Matemaacutetica












Y tambieacuten
















ejemplo12

2 )


Ademaacutes N Z Q




Matemaacutetica



ba

son equivalentes y


2012

159

106



53





310


ejemplo2-3

2-1

51

53



43 podemos


43entonces

284

71y

2821

43









7020277777185

6300636363117

611666663

5

55422

0452


Matemaacutetica










Asiacute9029b



bca

bc

ba

m

cdm

m

abm

dc

ba




Ejemplos

135

341

34

31

2

2023

20158

2015

208

43

52


10003512

10002

1001

105

35123


Matemaacutetica





= I Q

Ademaacutes= I Q


7182812e14159265353

414213562312








1

2


5

3

3

6-7

23(-1)7

2-1

37

125

35

41

53

41

10-3

2-1

53

(-2)53



Si c0

dbca

dc

ba

cbda

cd

ba

dc1

ba

dc

ba


Matemaacutetica




verifica


a + b = b + a


( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a


a + (-a) = (-a) + a = 0



verifica


a b = b a


( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 a = a


a a-1 = 1 (si a 1)




Observacioacuten






a (-1) = (-1) a = (-a)


a 0 = 0 a = 0



Recordamos que




a b = a b-1


Matemaacutetica

U

Orden en












Cl

Clm

Ps






ismo



-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica


30 ndash 2 = 2 (0-1) + 0 -2 = 2(-1) = -2


Lo expresamos S =




problemas




Ejemplo 1


Solucioacuten






por 7


8 3 = 24 = 3 + 21



Matemaacutetica


Ejemplo 2


Solucioacuten






bull Resolvemos


2n + 1 = 3n + 2



-n = 1





Ejemplo 3



d8d

45d

32d

donde



descansoacute

bull8d



Matemaacutetica



3-4-d-8d

5d

2d


d40d5d8d20




Comprobacioacuten

d405483208404

5403

240

Ejemplo 4


2-2x3

1x1

1x2



1)(x1)-(x21)(x3

1)(x1)-(x21)-(x22)1x(2





Verifique que lo es

Modalidad virtual

Matemaacutetica


Inecuaciones




















0 225

Modalidad virtual

Matemaacutetica




x ndash 3 gt 7


x gt 10



Luego S = x xgt 10



3 ndash3x -2-x


3 ndash 2x -2


ndash2x ndash 5


x 52



Modalidad virtual

Matemaacutetica






Solucioacuten





p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14


4s + 14 lt 39







0lt s lt 254


23 lt

425


s

s + 5

s + 2

Modalidad virtual

Matemaacutetica





O bien


Modalidad virtual

Matemaacutetica





N = 1 2 3 4






N0 = 0 1 2 3 4 = N 0




se observa que





Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3






Matemaacutetica












Y tambieacuten
















ejemplo12

2 )


Ademaacutes N Z Q




Matemaacutetica



ba

son equivalentes y


2012

159

106



53





310


ejemplo2-3

2-1

51

53



43 podemos


43entonces

284

71y

2821

43









7020277777185

6300636363117

611666663

5

55422

0452


Matemaacutetica










Asiacute9029b



bca

bc

ba

m

cdm

m

abm

dc

ba




Ejemplos

135

341

34

31

2

2023

20158

2015

208

43

52


10003512

10002

1001

105

35123


Matemaacutetica





= I Q

Ademaacutes= I Q


7182812e14159265353

414213562312








1

2


5

3

3

6-7

23(-1)7

2-1

37

125

35

41

53

41

10-3

2-1

53

(-2)53



Si c0

dbca

dc

ba

cbda

cd

ba

dc1

ba

dc

ba


Matemaacutetica




verifica


a + b = b + a


( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a


a + (-a) = (-a) + a = 0



verifica


a b = b a


( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 a = a


a a-1 = 1 (si a 1)




Observacioacuten






a (-1) = (-1) a = (-a)


a 0 = 0 a = 0



Recordamos que




a b = a b-1


Matemaacutetica

U

Orden en












Cl

Clm

Ps






ismo



-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica


Ejemplo 2


Solucioacuten






bull Resolvemos


2n + 1 = 3n + 2



-n = 1





Ejemplo 3



d8d

45d

32d

donde



descansoacute

bull8d



Matemaacutetica



3-4-d-8d

5d

2d


d40d5d8d20




Comprobacioacuten

d405483208404

5403

240

Ejemplo 4


2-2x3

1x1

1x2



1)(x1)-(x21)(x3

1)(x1)-(x21)-(x22)1x(2





Verifique que lo es

Modalidad virtual

Matemaacutetica


Inecuaciones




















0 225

Modalidad virtual

Matemaacutetica




x ndash 3 gt 7


x gt 10



Luego S = x xgt 10



3 ndash3x -2-x


3 ndash 2x -2


ndash2x ndash 5


x 52



Modalidad virtual

Matemaacutetica






Solucioacuten





p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14


4s + 14 lt 39







0lt s lt 254


23 lt

425


s

s + 5

s + 2

Modalidad virtual

Matemaacutetica





O bien


Modalidad virtual

Matemaacutetica





N = 1 2 3 4






N0 = 0 1 2 3 4 = N 0




se observa que





Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3






Matemaacutetica












Y tambieacuten
















ejemplo12

2 )


Ademaacutes N Z Q




Matemaacutetica



ba

son equivalentes y


2012

159

106



53





310


ejemplo2-3

2-1

51

53



43 podemos


43entonces

284

71y

2821

43









7020277777185

6300636363117

611666663

5

55422

0452


Matemaacutetica










Asiacute9029b



bca

bc

ba

m

cdm

m

abm

dc

ba




Ejemplos

135

341

34

31

2

2023

20158

2015

208

43

52


10003512

10002

1001

105

35123


Matemaacutetica





= I Q

Ademaacutes= I Q


7182812e14159265353

414213562312








1

2


5

3

3

6-7

23(-1)7

2-1

37

125

35

41

53

41

10-3

2-1

53

(-2)53



Si c0

dbca

dc

ba

cbda

cd

ba

dc1

ba

dc

ba


Matemaacutetica




verifica


a + b = b + a


( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a


a + (-a) = (-a) + a = 0



verifica


a b = b a


( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 a = a


a a-1 = 1 (si a 1)




Observacioacuten






a (-1) = (-1) a = (-a)


a 0 = 0 a = 0



Recordamos que




a b = a b-1


Matemaacutetica

U

Orden en












Cl

Clm

Ps






ismo



-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica



3-4-d-8d

5d

2d


d40d5d8d20




Comprobacioacuten

d405483208404

5403

240

Ejemplo 4


2-2x3

1x1

1x2



1)(x1)-(x21)(x3

1)(x1)-(x21)-(x22)1x(2





Verifique que lo es

Modalidad virtual

Matemaacutetica


Inecuaciones




















0 225

Modalidad virtual

Matemaacutetica




x ndash 3 gt 7


x gt 10



Luego S = x xgt 10



3 ndash3x -2-x


3 ndash 2x -2


ndash2x ndash 5


x 52



Modalidad virtual

Matemaacutetica






Solucioacuten





p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14


4s + 14 lt 39







0lt s lt 254


23 lt

425


s

s + 5

s + 2

Modalidad virtual

Matemaacutetica





O bien


Modalidad virtual

Matemaacutetica





N = 1 2 3 4






N0 = 0 1 2 3 4 = N 0




se observa que





Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3






Matemaacutetica












Y tambieacuten
















ejemplo12

2 )


Ademaacutes N Z Q




Matemaacutetica



ba

son equivalentes y


2012

159

106



53





310


ejemplo2-3

2-1

51

53



43 podemos


43entonces

284

71y

2821

43









7020277777185

6300636363117

611666663

5

55422

0452


Matemaacutetica










Asiacute9029b



bca

bc

ba

m

cdm

m

abm

dc

ba




Ejemplos

135

341

34

31

2

2023

20158

2015

208

43

52


10003512

10002

1001

105

35123


Matemaacutetica





= I Q

Ademaacutes= I Q


7182812e14159265353

414213562312








1

2


5

3

3

6-7

23(-1)7

2-1

37

125

35

41

53

41

10-3

2-1

53

(-2)53



Si c0

dbca

dc

ba

cbda

cd

ba

dc1

ba

dc

ba


Matemaacutetica




verifica


a + b = b + a


( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a


a + (-a) = (-a) + a = 0



verifica


a b = b a


( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 a = a


a a-1 = 1 (si a 1)




Observacioacuten






a (-1) = (-1) a = (-a)


a 0 = 0 a = 0



Recordamos que




a b = a b-1


Matemaacutetica

U

Orden en












Cl

Clm

Ps






ismo



-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA








Modalidad virtual

Matemaacutetica


Inecuaciones




















0 225

Modalidad virtual

Matemaacutetica




x ndash 3 gt 7


x gt 10



Luego S = x xgt 10



3 ndash3x -2-x


3 ndash 2x -2


ndash2x ndash 5


x 52



Modalidad virtual

Matemaacutetica






Solucioacuten





p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14


4s + 14 lt 39







0lt s lt 254


23 lt

425


s

s + 5

s + 2

Modalidad virtual

Matemaacutetica





O bien


Modalidad virtual

Matemaacutetica





N = 1 2 3 4






N0 = 0 1 2 3 4 = N 0




se observa que





Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3






Matemaacutetica












Y tambieacuten
















ejemplo12

2 )


Ademaacutes N Z Q




Matemaacutetica



ba

son equivalentes y


2012

159

106



53





310


ejemplo2-3

2-1

51

53



43 podemos


43entonces

284

71y

2821

43









7020277777185

6300636363117

611666663

5

55422

0452


Matemaacutetica










Asiacute9029b



bca

bc

ba

m

cdm

m

abm

dc

ba




Ejemplos

135

341

34

31

2

2023

20158

2015

208

43

52


10003512

10002

1001

105

35123


Matemaacutetica





= I Q

Ademaacutes= I Q


7182812e14159265353

414213562312








1

2


5

3

3

6-7

23(-1)7

2-1

37

125

35

41

53

41

10-3

2-1

53

(-2)53



Si c0

dbca

dc

ba

cbda

cd

ba

dc1

ba

dc

ba


Matemaacutetica




verifica


a + b = b + a


( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a


a + (-a) = (-a) + a = 0



verifica


a b = b a


( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 a = a


a a-1 = 1 (si a 1)




Observacioacuten






a (-1) = (-1) a = (-a)


a 0 = 0 a = 0



Recordamos que




a b = a b-1


Matemaacutetica

U

Orden en












Cl

Clm

Ps






ismo



-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA








Modalidad virtual

Matemaacutetica




x ndash 3 gt 7


x gt 10



Luego S = x xgt 10



3 ndash3x -2-x


3 ndash 2x -2


ndash2x ndash 5


x 52



Modalidad virtual

Matemaacutetica






Solucioacuten





p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14


4s + 14 lt 39







0lt s lt 254


23 lt

425


s

s + 5

s + 2

Modalidad virtual

Matemaacutetica





O bien


Modalidad virtual

Matemaacutetica





N = 1 2 3 4






N0 = 0 1 2 3 4 = N 0




se observa que





Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3






Matemaacutetica












Y tambieacuten
















ejemplo12

2 )


Ademaacutes N Z Q




Matemaacutetica



ba

son equivalentes y


2012

159

106



53





310


ejemplo2-3

2-1

51

53



43 podemos


43entonces

284

71y

2821

43









7020277777185

6300636363117

611666663

5

55422

0452


Matemaacutetica










Asiacute9029b



bca

bc

ba

m

cdm

m

abm

dc

ba




Ejemplos

135

341

34

31

2

2023

20158

2015

208

43

52


10003512

10002

1001

105

35123


Matemaacutetica





= I Q

Ademaacutes= I Q


7182812e14159265353

414213562312








1

2


5

3

3

6-7

23(-1)7

2-1

37

125

35

41

53

41

10-3

2-1

53

(-2)53



Si c0

dbca

dc

ba

cbda

cd

ba

dc1

ba

dc

ba


Matemaacutetica




verifica


a + b = b + a


( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a


a + (-a) = (-a) + a = 0



verifica


a b = b a


( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 a = a


a a-1 = 1 (si a 1)




Observacioacuten






a (-1) = (-1) a = (-a)


a 0 = 0 a = 0



Recordamos que




a b = a b-1


Matemaacutetica

U

Orden en












Cl

Clm

Ps






ismo



-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

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51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA








Modalidad virtual

Matemaacutetica






Solucioacuten





p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14


4s + 14 lt 39







0lt s lt 254


23 lt

425


s

s + 5

s + 2

Modalidad virtual

Matemaacutetica





O bien


Modalidad virtual

Matemaacutetica





N = 1 2 3 4






N0 = 0 1 2 3 4 = N 0




se observa que





Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3






Matemaacutetica












Y tambieacuten
















ejemplo12

2 )


Ademaacutes N Z Q




Matemaacutetica



ba

son equivalentes y


2012

159

106



53





310


ejemplo2-3

2-1

51

53



43 podemos


43entonces

284

71y

2821

43









7020277777185

6300636363117

611666663

5

55422

0452


Matemaacutetica










Asiacute9029b



bca

bc

ba

m

cdm

m

abm

dc

ba




Ejemplos

135

341

34

31

2

2023

20158

2015

208

43

52


10003512

10002

1001

105

35123


Matemaacutetica





= I Q

Ademaacutes= I Q


7182812e14159265353

414213562312








1

2


5

3

3

6-7

23(-1)7

2-1

37

125

35

41

53

41

10-3

2-1

53

(-2)53



Si c0

dbca

dc

ba

cbda

cd

ba

dc1

ba

dc

ba


Matemaacutetica




verifica


a + b = b + a


( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a


a + (-a) = (-a) + a = 0



verifica


a b = b a


( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 a = a


a a-1 = 1 (si a 1)




Observacioacuten






a (-1) = (-1) a = (-a)


a 0 = 0 a = 0



Recordamos que




a b = a b-1


Matemaacutetica

U

Orden en












Cl

Clm

Ps






ismo



-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

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b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA








Modalidad virtual

Matemaacutetica





O bien


Modalidad virtual

Matemaacutetica





N = 1 2 3 4






N0 = 0 1 2 3 4 = N 0




se observa que





Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3






Matemaacutetica












Y tambieacuten
















ejemplo12

2 )


Ademaacutes N Z Q




Matemaacutetica



ba

son equivalentes y


2012

159

106



53





310


ejemplo2-3

2-1

51

53



43 podemos


43entonces

284

71y

2821

43









7020277777185

6300636363117

611666663

5

55422

0452


Matemaacutetica










Asiacute9029b



bca

bc

ba

m

cdm

m

abm

dc

ba




Ejemplos

135

341

34

31

2

2023

20158

2015

208

43

52


10003512

10002

1001

105

35123


Matemaacutetica





= I Q

Ademaacutes= I Q


7182812e14159265353

414213562312








1

2


5

3

3

6-7

23(-1)7

2-1

37

125

35

41

53

41

10-3

2-1

53

(-2)53



Si c0

dbca

dc

ba

cbda

cd

ba

dc1

ba

dc

ba


Matemaacutetica




verifica


a + b = b + a


( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a


a + (-a) = (-a) + a = 0



verifica


a b = b a


( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 a = a


a a-1 = 1 (si a 1)




Observacioacuten






a (-1) = (-1) a = (-a)


a 0 = 0 a = 0



Recordamos que




a b = a b-1


Matemaacutetica

U

Orden en












Cl

Clm

Ps






ismo



-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA








Modalidad virtual

Matemaacutetica





N = 1 2 3 4






N0 = 0 1 2 3 4 = N 0




se observa que





Z = N 0 -3 -2 -1 = -3 -2 -1 0 1 2 3






Matemaacutetica












Y tambieacuten
















ejemplo12

2 )


Ademaacutes N Z Q




Matemaacutetica



ba

son equivalentes y


2012

159

106



53





310


ejemplo2-3

2-1

51

53



43 podemos


43entonces

284

71y

2821

43









7020277777185

6300636363117

611666663

5

55422

0452


Matemaacutetica










Asiacute9029b



bca

bc

ba

m

cdm

m

abm

dc

ba




Ejemplos

135

341

34

31

2

2023

20158

2015

208

43

52


10003512

10002

1001

105

35123


Matemaacutetica





= I Q

Ademaacutes= I Q


7182812e14159265353

414213562312








1

2


5

3

3

6-7

23(-1)7

2-1

37

125

35

41

53

41

10-3

2-1

53

(-2)53



Si c0

dbca

dc

ba

cbda

cd

ba

dc1

ba

dc

ba


Matemaacutetica




verifica


a + b = b + a


( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a


a + (-a) = (-a) + a = 0



verifica


a b = b a


( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 a = a


a a-1 = 1 (si a 1)




Observacioacuten






a (-1) = (-1) a = (-a)


a 0 = 0 a = 0



Recordamos que




a b = a b-1


Matemaacutetica

U

Orden en












Cl

Clm

Ps






ismo



-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica












Y tambieacuten
















ejemplo12

2 )


Ademaacutes N Z Q




Matemaacutetica



ba

son equivalentes y


2012

159

106



53





310


ejemplo2-3

2-1

51

53



43 podemos


43entonces

284

71y

2821

43









7020277777185

6300636363117

611666663

5

55422

0452


Matemaacutetica










Asiacute9029b



bca

bc

ba

m

cdm

m

abm

dc

ba




Ejemplos

135

341

34

31

2

2023

20158

2015

208

43

52


10003512

10002

1001

105

35123


Matemaacutetica





= I Q

Ademaacutes= I Q


7182812e14159265353

414213562312








1

2


5

3

3

6-7

23(-1)7

2-1

37

125

35

41

53

41

10-3

2-1

53

(-2)53



Si c0

dbca

dc

ba

cbda

cd

ba

dc1

ba

dc

ba


Matemaacutetica




verifica


a + b = b + a


( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a


a + (-a) = (-a) + a = 0



verifica


a b = b a


( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 a = a


a a-1 = 1 (si a 1)




Observacioacuten






a (-1) = (-1) a = (-a)


a 0 = 0 a = 0



Recordamos que




a b = a b-1


Matemaacutetica

U

Orden en












Cl

Clm

Ps






ismo



-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica



ba

son equivalentes y


2012

159

106



53





310


ejemplo2-3

2-1

51

53



43 podemos


43entonces

284

71y

2821

43









7020277777185

6300636363117

611666663

5

55422

0452


Matemaacutetica










Asiacute9029b



bca

bc

ba

m

cdm

m

abm

dc

ba




Ejemplos

135

341

34

31

2

2023

20158

2015

208

43

52


10003512

10002

1001

105

35123


Matemaacutetica





= I Q

Ademaacutes= I Q


7182812e14159265353

414213562312








1

2


5

3

3

6-7

23(-1)7

2-1

37

125

35

41

53

41

10-3

2-1

53

(-2)53



Si c0

dbca

dc

ba

cbda

cd

ba

dc1

ba

dc

ba


Matemaacutetica




verifica


a + b = b + a


( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a


a + (-a) = (-a) + a = 0



verifica


a b = b a


( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 a = a


a a-1 = 1 (si a 1)




Observacioacuten






a (-1) = (-1) a = (-a)


a 0 = 0 a = 0



Recordamos que




a b = a b-1


Matemaacutetica

U

Orden en












Cl

Clm

Ps






ismo



-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica










Asiacute9029b



bca

bc

ba

m

cdm

m

abm

dc

ba




Ejemplos

135

341

34

31

2

2023

20158

2015

208

43

52


10003512

10002

1001

105

35123


Matemaacutetica





= I Q

Ademaacutes= I Q


7182812e14159265353

414213562312








1

2


5

3

3

6-7

23(-1)7

2-1

37

125

35

41

53

41

10-3

2-1

53

(-2)53



Si c0

dbca

dc

ba

cbda

cd

ba

dc1

ba

dc

ba


Matemaacutetica




verifica


a + b = b + a


( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a


a + (-a) = (-a) + a = 0



verifica


a b = b a


( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 a = a


a a-1 = 1 (si a 1)




Observacioacuten






a (-1) = (-1) a = (-a)


a 0 = 0 a = 0



Recordamos que




a b = a b-1


Matemaacutetica

U

Orden en












Cl

Clm

Ps






ismo



-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica





= I Q

Ademaacutes= I Q


7182812e14159265353

414213562312








1

2


5

3

3

6-7

23(-1)7

2-1

37

125

35

41

53

41

10-3

2-1

53

(-2)53



Si c0

dbca

dc

ba

cbda

cd

ba

dc1

ba

dc

ba


Matemaacutetica




verifica


a + b = b + a


( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a


a + (-a) = (-a) + a = 0



verifica


a b = b a


( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 a = a


a a-1 = 1 (si a 1)




Observacioacuten






a (-1) = (-1) a = (-a)


a 0 = 0 a = 0



Recordamos que




a b = a b-1


Matemaacutetica

U

Orden en












Cl

Clm

Ps






ismo



-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica




verifica


a + b = b + a


( a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a


a + (-a) = (-a) + a = 0



verifica


a b = b a


( a b) c = a ( b c)

a 1 = 1 a = a


a a-1 = 1 (si a 1)




Observacioacuten






a (-1) = (-1) a = (-a)


a 0 = 0 a = 0



Recordamos que




a b = a b-1


Matemaacutetica

U

Orden en












Cl

Clm

Ps






ismo



-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica

U

Orden en












Cl

Clm

Ps






ismo



-3 -2 -1 0 1 2 3


Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica




partes iguales









Por ejemplo e 3 2







51

del mismo


53





2 3 5 6

2


Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica



Conviene recordar








factoresn

n aaaaa


a se denomina base

n es el exponente

Recordamos que

a0 = 1 para a 0

a1 = a


n

a

1a

En particularab

ba1

ba 1

Ejemplos

51

5 1

91

3

13 2

2-

3

5

53

1

5

31

916

3

434

43

2

222

exponentean

base

01 - 3 5 3 2 3 + 2


Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica






aa

a2 n-m

n

m


3 22-52

5


n

nn

ba

ba5


278

32

32

3

33




Asiacute 21





Recordamos que





0asia

bba

6n

nn

2516

5

454

45

2

222


raiacutezRadicando


Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica



Propiedades


q

pnm

q

p

nm

aaa1


qn

pm

q

p

nm

aa2 )(


n

m

n

m

n

m






54

625216

625216

4

44





355

31

5

31

53

66

6)6(

n mn1

mn1

mnm

a)(aaa

416

16

16

16161616

21

61

31

61

31

63


Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica



Expresiones como


Ejemplo 12

1



22

2

2

22

21

2

12

Ejemplo 25 32

2


5 25 2

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 3

22

22

2

22

22

22

2

2



Ejemplo 351

4


)51(-4

)51(4

)5(-1

)51(4

)51()51(

)51(4

51

4

22




36

4

5-3

1

16

1

2

13


Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica




a 5 - (-2) + (- 8) (-4) ndash5

b 7 ndash (-3) ndash(- 8) (- 8) + (-3) (-1)

c 6 (-2) + (-7) ndash (-15) (-3)

d 42 2 ndash 1 - 82 2 ndash 1

e 22 ndash 42 8 + 25


23-___1h0___5-g1

92___f

34___

34-e

___(-5)5d16-___16-c0___-65-b0___

43a


y71


a Dos fracciones




56-

iquestEs uacutenico





72



65

31

421

132

h

31

143

g

24003)-(15

6-

51)8121(

f

22

2

2



Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica










)1(37

___)1(25

ntoncese01-y37

25

omoCf

41

0___41

2-ntoncese041

y02-Comoe

152

___301d1420___71

c

10

6___06b

3

1033___a






mnme

n1md




Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

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2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica


COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a

3013

32

41

53

b9

25

2

321

c 1

d307

21

211

925

e207

22

34

35


de los anteriores

233023301



a -x2 x3 e (-x)2 x3

b x5 x-1 f x-3 x4

c (x ndash 3y) (x + 3y) g (x+2)2

d [(3x)2]-2 h34

523

xx

xxx


2-3

52525

2-22-03

(01)j23i10h(-1)g1-f

(-3)e(-3)d2c51b

52a


Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica



154

85

429

23

52

i

21

215

54

45

21

35

1h

21

431

382

g

51)5(

52

41-f

431

812

316e416

21d

2525100c8-27b42-75-a

3

221

3

2

2-

22

33


(2x ndash m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=


m2 ndash 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=



2

c 6y +5 = 2y + 7 d 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones

-05 -3 2421 0



a 2101

x52

b92

1x35

c

t

154

53

15)10t(3 d (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y ndash 1)



x4

i 11x

x1x

3

j23x3x

51x 22


Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica





x85

2x3

c2x)1x(










2-8x48

2x-xd2-

8x48

2x-xc

2-8x48

2x-xb2-

8x48

2x-xa
















Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA









Matemaacutetica








a A + B = 45 b A gt B c A lt B + 5













1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA










1a 4 10a 61 17a 194

1b 12 10b 1 17b -715

1c -15 10c -95 17c -3

1d -22 10d -15 17d -1

1e 34 10e -32 17e 32

1f 1 11 e a b g c d 17f 23

1g -6916 12a -x5 17g 1h 5132 12b x6 17h 20

2a -34 12c x2-9y2 17i 2

2b -56 12d (13)4x-4 17j 452

2c 0 12e x5 18a V

2d 0 12 f x-7 18b V

2e -1 12g x2+4x+4 18c F

2f 92 12h x5 18d V

2g 0 13a -8125 19a -100

2h -23 13b 1 19b 25


3b 320 13d 9 20 a

3c 1170 1270 y 1370 13e 19 21 c












7d Entre 35 y 575 14g 654 84 25b 3xx

8a lt 14h 2728 25c 56xx

8b = 14i -11180 25d


8d = 15 b (m+4)(m-4) (m+3)2 ym(m2+1) 26b 4 y 17

8e lt 16a 24 26c 14

8f lt 16b -3 y -05 26d 1 2 3 oacute 4

9a 05= 510 123 = 123100005= 5100 y 0082 = 821000


9b 1000 16d 0 y -05 26f

9c 2125013

3A1

2H14HA








matematica u0 1er c2010

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