DIARIO DE CAMPO DE MATEMATICA.

LOGICAS MATEMATICAS

PROPOSICIÓNES

Es una unidad verdad semántica que, o solo es verdadero o solo es falso.

Ejemplo

Oración q se convierte en proposición

5 es un numero primo – es una proposición

5 es igual a 5 – es una proposición

X+2=5 No es una proposición, xq no sabemos el valor de x.

Oración Es un conjunto de palabras.

7415 – solo es una oración

¿Qué es una hora? – es una oración

Los números divisibles de son divisibles para 2 – no es una proposición, porque

habla de los números

La edad de Ana tiene 17 años – es una proposición, porque es verdadera

Objetivos

Dada varias oraciones identificaremos cuales son proposiciones iguales no,

multiplicando adecuadamente su respuesta.

Identificamos oraciones que re3presentan proposiciones.

REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA DE LA PROPOSICIÓN

Es dando un valor

a: 5+2= 5 – es una proposición

Ejemplo

Indique cuál de los siguientes enunciados no es una proposición

1

Hubo escases de lluvia.

Mi correo es turista@espol.edu.ec.

5 (3+4) = 36.

Tres es un número par.

Turismo – es correcto porque no tiene sentido, y no está completa

Seleccione el enunciado que no es proposición

El ecuador tiene 24 provincias

Las islas galápagos pertenecen a Perú.

La es la capital de cuba.

Viva el turismo. Es correcta porque es solo una expresión, no carece de valor.

La montaña más alta del ecuador es Chimborazo.

Dado los siguientes enunciados

Disminuya la velocidad.

No son proposiciones

10-8=1

Mi banca es gris

Hola ¿Cómo estás?

V f

0 0 1 0 0

Operadores

AND y entonces

OR o si

HOT o si

VALOR DE VERDAD

El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe

adecuadamente la proposición. Este puede ser verdadero o falso.

Visualmente el valor verdadero se lo asocia como:

TRUE, 1, V, mientras que el valor falso se lo asocia como:

2

FALCE, 0, F. se podría cualquiera utilizan cualquiera de ellas, pero la mas usual

es (1 y 0)

a: 0

b: 0

c: 1

d: 1

Ejemplo:

¬(a v d) → (c /\ ¬d) 2) ¬(c ↔ d) v (b /\ d)

¬(0 v 0) → (1 /\ ¬1) ¬(1 ↔ 1) v (0 /\ 1)

¬(0 v 0) → (1 /\ 0) ¬(1 v 0)

¬(0) → 0 0 v 0

1 → 0 0 R,,

0 R,,

TABLA DE VERDAD

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el

valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores

de verdad que se pueda asignar a sus componentes.

Es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una

proposición.

Ejemplo:

a a b a b c

0 0 1 0 0 1

1 1 0 0 0 0

0 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0

3

OPERADORES LOGICAS

Conectar las proposiciones (2 o más)

a : fui al banco y

b : está cerrado

NEGACIÓN

Sea una proposición (a:), la negación de (a:), representado simbólicamente por

(¬a ), es una nueva proposición cuyo valor de la verdad esta dada por la siguiente

tabla de verdad:

a ¬a

1 0

0 1

Este operador lógico cambia el valor de verdadero de una proposición:

Si a es una proposición verdadera

Negación de a será una proposición falsa

Si a es una proposición falsa

La negación de a es verdadera

Ejemplo:

a : tengo un billete de 5 dólares

¬a: no tengo un billete de 5 dólares

La negación se representa con los términos gramaticales:

“no” “ni” “no es verdad que” “no es cierto que”

4

CONJUNCIÓN

Sean (a y b) proposición la conjunción entre (a y b), se representan

simbólicamente por (a^b), es una nueva proposición, cuya valor de verdad esta

dada por las siguientes tabla de verdad.

Ejemplo:

Se lo conoce como Y- AND

Este operador lógico relaciona 2 proposiciones para formar una nueva en la cual la

proposición resultante será verdadera solamente cuando el valor de verdad de

ambas proposiciones es verdad. En español la conjunción copulativa se presenta

con los términos gramaticales:

“y” “pero” “mas”

Y signos de puntuación como:

La coma (,) Punto (.) Punto y coma (;)

Ejemplo:

a : obtengo buenas notas

b: gano una beca

a : trabajo mucho

b: recibo un bajo sueldo

5

a b A ^

b

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

DISYUNCIÓN

Sean (a y b) proposición la disyunción entre (a y b) se representa simbólicamente

por (a v b), es una nueva proposición, cuyo valor de verdad esta dada por las

siguientes tablas de verdad:

a b a v

b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Este operador lógico relaciona 2 proposiciones para formar una nueva, en la cual

la proposición resultante será falsa

Solamente cuando el valor de verdadero de ambos proposiciones es falso.

En español la disyunción se representa con el término gramatical:

“O”

Ejemplo

a : tengo un libro de trinometria

b: tengo un libro de algebra

Como se podría notar en este ejemplo, existe la posibilidad de poseer ambos

libros, razón por la cual esta disyunción recibió el nombre de disyunción inclusiva.

En español suelen presentarse situaciones que son mutuamente excluyentes

entre sí.

La expresión. “o estoy en quito” “o estoy en Guayaquil”, denota la imposibilidad de

estar físicamente en quito y Guayaquil al mismo tiempo.

6

DISYUNCION EXCLUSIVA

Sean (a y b) proposiciones de la disyunción exclusiva entre (a y b), representada

simbólicamente por: (a v b), en una nueva proposición cuyo valor de verdad es

dada por la siguiente tabla de verdad.

En español la disyunción exclusiva se presenta con el término gramatical:

“o” “o solo” “o solamente” “o , o”

CONDICIONAL

Entre (a y b), proposiciones la condicional entre (a y b), representada

simbólicamente por: (a → b), es una nueva proposición cuyo valor de verdad está

dada por la siguiente tabla de verdad.

Ejemplo:

a:Obtengo buenas notas

b:Gano una beca

Las formas gramaticales para expresar la condicional son los siguientes:

“si a: entonces b:” “a: solo si b:” “luego” “a: solamente si b:” “b: si a:” “por lo tanto”

Se tiene las proposiciones:

a: Juan gana el concurso.

b: Juan dono $ 10.000.

Las 3 condicionales

7

a b a v b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

a b a→ b

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

La condicional reciproca: (a → b)

La condicional inversa: (¬ a → ¬ b)

La condicional contra recíproca: (¬ b → ¬ a)

Ejemplo

a: si es un automóvil,

b: entonces es un medio de transporte.(a → b)

a: si es un medio de transporte,

b: entonces es un automóvil. (b → a)

a: si no es un automóvil,

b: entonces no es un medio de transporte. (¬ a → ¬ b)

a: si no es un medio de transporte,

b: entonces no es un automóvil. (¬ b → ¬ a)

BICONDICIONAL

(a ↔ b) ambos depende de si mismo.

Si ambos no son iguales es falsa

Formas gramaticales:

“a: si y solo si b:” “a: si y solamente si b:”

a: implica b: y b: implica a:

“a: cuando y solo cuando b:”

8

a b a ↔ b

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS

Traduzca al lenguaje simbólico a la pro.

Si la seguridad privada es efectiva, disminuye el índice de asalto en la

ciudad, y el turismo se desarrolla. El índice de asalto no disminuye, pero la

seguridad privada es efectiva entonces, el turismo no se desarrolla.

a: si la seguridad privada es efectiva

b: disminuye los índice de asaltos en la ciudad

c: el turismo de desarrolla

a: pero la seguridad privada es efectiva.

b: los índice de asalto no disminuye.

c: entonces el turismo no se desarrolla.

(a ^ b) ^ (¬ d ^ a )→ ¬ c

Si estudio y apruebo el examen de admisión, o repruebo y lo intento una

vez más.

a: si estudio.

b: apruebo el examen de admisión.

c: lo intento una vez más.

(a ^ b) v (¬ b ^ c)

Mi equipo gana el juego de futbol y obtiene los 3 puntos o pierde y trata de

ganar el próximo juego.

a: si mi equipo gana el juego de futbol.

b: obtiene los 3 puntos.

c: pierde y trata de ganar el próximo juego.

(a ^ b) v (¬ a ^ c)

9

Formulas

2n 22=4

Ejemplo

2n 23=8 [(p ^ q) → (r v ¬ q)] ^ r

p q r p ^ q ¬ q r v ¬ q (p ^ q) → (r v ¬ q) a

0 0 0 0 1 1 1 0

0 0 1 0 1 1 1 1

0 1 0 0 0 0 1 0

0 1 1 0 0 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 0

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 1 0 0 0 0

1 1 1 1 0 1 1 1

10

p q

0 0

0 1

1 0

1 1

TAUTOLOGÍA

Si se tiene solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad

de las variables proposicionales, se dice que es una tautología.

Ejemplo

1

1

1

1

CONTRADICCIÓN

Si se tiene solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las

variables proposicionales, se dice que es una contradicción.

Ejemplo

0

0

0

0

CONTINGENCIA

Si se tiene en algunas proposiciones verdaderas y otras falsas. Para los valores

de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una contingencia.

Ejemplo

0

1 no tiene validez

0

1

11

IMPLICACIÓN LÓGICA

Sean (A y B) 2 formas proposicionales, se dice que A: implica lógicamente a B:,

denotado con (A=>B), si y solo si (A→B) – condicional

Es una tautología

Ejemplo

p => (q →p)

2n 22=4

p q q →

p

p => (q →

p)

0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 1 1

1 1 1 1

EQUIVALENCIA LÓGICA

Sean A y B 2 formas proposicionales, se dice que A es equivalencia lógicamente a

B, denota por A<=>B, si y solo si la bincondicional es una tautología.

¬ (p ^ ¬q) ^ ¬r

2n 23=8

PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LOGICOS12

p q r ¬ q ¬ r p ^ ¬ q (p ^ ¬ q) ^ ¬ r ¬ (p ^ ¬ r) ^ ¬ r

0 0 0 1 1 0 0 1

0 0 1 1 0 0 0 1

0 1 0 0 1 0 0 1

0 1 1 0 0 0 0 1

1 0 0 1 1 1 1 0

1 0 1 1 0 1 0 1

1 1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 0 0 1

LEYES DE LOS OPERADORES FUNDAMENTALES

CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN

(p ^ q ) = (q ^ p) Conmutativa. (p v q) = (q v p)

[(p ^ q) ^r] = [p (q ^ r)] Asociativa. [(p v q) v r ] = [p v (q v r)]

p ^ q = p Idempotencia. (p v p) = p

p ^ 1 = p Identidad. (p v 0) = p

(p ^ 0) = 0 Absorción. (p v 1) = 1

¬ 0 = 1

¬1 = 0

Negación

¬(¬ p) = p Doble negación o Involucra.

p v(q ^ r) = (p v q) ^ (p v r)

p ^ (q v r) = (p ^ q) v (p ^ r)

Distributivas

¬ (p ^ q) = (¬ p v ¬q)

¬ (p v q) = (¬ p ^ ¬q)

De Morgan.

(p v ¬p) = 1 Tercero excluido.

(p ^ ¬p)= 0 Contradicción.

(p→q) = (¬q→ ¬p) Contra positiva o contra reciproca.

(p→q) = (¬ p v q)

(¬q→ ¬p) = (p v q)

Implicación

[(p→r) ^ (p→r)] = [(p v q) → r ]

[(p→q) ^ (p→r)] = [p →(p ^ r)]

[(p ^ q) → r] = [p →(p ^ r)] Exportación.

(p→q)= [(p ^ ¬ q) → 0] Reducción al absurdo.

13

(p →q) = [(p→q) ^ (q→p)]

(p=q) = (q=p)

FORMA SIMBOLICA TAUTOLOGÍA

p → q Trivial.

p → (p v q) Adición.

(p ^ p) →p Simplificación.

[(p → q) ^ p] → q Suposición del antecedente.

[(p → q) ^ ¬ q] → ¬p Negación del consecuente.

[(p v q) ^ ( ¬ p )] → q Silogismo

Disyuntivo.

[(p → q) ^ (r → s)] → [(p ^ r) → (q ^ s)]

[(p →q) ^ (r→s)] → [(p v r)→(q v s)]

Dilemas.

Constructivas.

[(p → q) ^ (q → r)] → (p ^r)

[(p ↔ q) ^ (q → r)] → (p ↔ r)

Transitividad o Silogismo Hipotético.

p (p v q) = p

p v (p ^ q) = p

Reducción.

EJERCICIO

Aplicando las leyes lógicas determine si la forma proposicional es un tautología.

14

[p → (p v q)] → 0

¬ (p v (p v q) → 0

(¬ p v (p v q) → 0

v q → 0

1 → 0

R,,

RAZONAMIENTO

Un razonamiento es una expresión de la forma (H1 ^ H2 ^ H3 ^……..Hn → c

Ejemplo

(q ^ r) → (r ^ q)

VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO

Un razonamiento es válido si su forma proporcional es una tautología, y es no

valido si su forma proporcional es una falacia.

MÉTODO DE REDUCCIÓN AL ABSURDO

Consiste en obligar al razonamiento al que es falso. Para ello, asignamos valores

a las variables proporcionales, de tal forma que las hipótesis sean verdaderas y la

conclusión falsa, para esa forma obtener la combinación (1 → 0) correspondiente

a falso.

Si logra lo anterior el razonamiento no es valido porque se habría un falso en la

tabla de verdad. Si no es posible lograr esa combinación, no existe el falso en la

tabla de verdad y se incluye que el razonamiento es valido: consiste en H1 ^ H2 ^

H3 → c

EJERCICIO

Es una contingencia o falacia porque no se puede reducir más.

15

p → [(¬ r v p) → p

2n 22=4

Tautología

p → [(¬ r v p) → p

¬ p v [(¬ r v p) →] implicación

¬ p v [¬ (¬ r v p) v p]de Morgan

¬ p ^ [¬ (¬ r) ^ ¬ p v p]

¬ p v (r ^ ¬ p) v p

(¬ p v p) v (r ^ ¬ p)

1 v (r ^ ¬ p)

1

PRACTICA 3

[¬ p ^ (p v q)] ^ ¬ q

Contingencia

[¬ p ^ (p v q)] ^ ¬ q

[(¬ p ^ p) v (¬ p v q)] ^ ¬ q distributiva

0 v (¬ p v q)] ^ ¬ q

(¬ p ^ q) ^ ¬ q se puede agrupar). Contradicción.

(q ^ ¬ q) ^ ¬ p

0 ^ ¬ p

0 R,,

16

p r ¬ r ¬ r v

p

(¬ r v p) → p p → (¬ r v p) →

p

0 0 1 1 0 1

0 1 0 0 1 1

1 0 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1

p q ¬ p ¬ q p v

q

¬ p ^ (p v

q)

¬ p ^ (p v q) ^ ¬

q

0 0 1 1 0 0 0

0 1 1 0 1 1 0

1 0 0 1 1 0 0

1 1 0 0 1 0 0

PRACTICA 4

Dado el siguiente razonamiento, conjunción (H1 ^ H2) → C, donde

H1: si lo intento con ahínco y tengo talento, entonces me convierto en músico.

H2: si me convierto en músico, seré feliz.

p: lo intento con ahínco

q: tengo talento

r: me convierto en músico

s: seré feliz.

[(p ^ q → r) ^ (r ^ s)

H1: (p ^ q → r)

H2: (r ^ s) C: → r)

PRACTICA 5

Si trabajo arduamente, gano un buen sueldo, pero no un buen sueldo.

Por lo tanto no trabajo arduamente.

p: trabajo arduamente

q: gano un buen sueldo.

[(p ^ q) ^ ¬ q] → ¬ p

H1: (p ^ q)

H2: ¬ q

C: → ¬ p

2n 22=4

Tautología

CONJUNTOS

17

p q p ^

q

¬ q ¬ p (p ^ q) ^ ¬

q

[(p ^ q) ^ ¬ q] → ¬

p

0 0 0 1 1 0 1

0 1 0 0 1 0 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 0 1

Es una colección bien definida de objetos llamados elementos. Por lo general se

realizan la primera letra del alfabeto en mayúscula para poder representar dicho

conjunto; los objetivos o elementos se suelen colocarse entre llaves se parado por

comas.

Ejemplo:

A = {1, 3, 4,5}

PERTENENCIA

El símbolo de pertenencia relaciona un elemento con un conjunto.

El símbolo de pertenencia es: €

Ejemplo:

3€ a (A)

CARDINALIDAD

La carnalidad del conjunto A es el número de elemento que tiene (A).

Ejemplo:

N(A) = 4

Ejercicio 1

Si se define el conjunto A = {1, 3, 5, 8,9}, determine la cardinal de A.

N(A) = 5

Ejercicio 2

Sea el conjunto B = {a, s, d, f, g}, determine el valor de verdad de las siguientes

proposiciones.

s € B V

e € B F

a € B V

t € B V

REPRESENTACION DE CONJUNTO

18

EXTENCION O TABULACION

Se especifica cada elemento de conjunto. Los elementos se encuentran entre

llaves y se separa con coma.

Ejemplo:

A = {1, 3, 4, 5}

COMPRENCION

Se especifica las características de los elementos que pertenecen al conjunto.

Ejemplo:

B = {a, s, d, f, g}

Representa los siguientes conjuntos por extensión.

A = {x/ x es vocal de la palabra escritorio}

A = {e, i, o}

B = {x/ x es un numero par entre 3 y 12}

B = {4, 6, 8, 10, 12}

C = {x/ x > a 3 ^ x < = 14 ^ x es impar}

C = {5, 7, 9, 11, 13}

D = {x/ 2< = x < = 14 ^ x es primo} D = {2, 3, 5, 7, 11, 13}

CONJUNTOS IMPORTANTES

El conjunto vacío no tiene elementos se representa como {Ø} o { }, cualquiera de

las dos maneras.

Todo conjunto vacío es un conjunto de cualquier conjunto unitario: se denomina un

conjunto unitario cuando tiene un elemento.

CONJUNTO FINITO

Conjunto con una cantidad determinada de elemento.

CONJUNTO INFINITO

Es un conjunto con una cantidad no determinada de elemento

19

REFERENCIAL

El conjunto referencial o conjunto universo es el conjunto que tiene todos los

elementos.

Representación: Re o U

REPRESENTACION GRAFICOS

DOAGRAMA DE VENN

Un diagrama de ven es una representación grafico de un conjunto.

Por lo general el conjunto universo se representa por un reglamento, y el resto del

conjunto con vínculo u otra figura geométrica, todas dentro del universo.

Ejemplo:

U

Ejercicio

Represente gráficamente lo siguientes conjuntos.

U

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A = {1, 3, 5, 7}

B = {2, 3, 5, 6}

C = {1, 2, 4, 5, 6}

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS20

tsr p

mn

ho

cba

d

IGUALDAD

El conjunto A es igual a conjunto B, si A y B tienen los mismos elementos, es

decir.

A = {1, 2, 3} no son iguales

B = {1, 2, 4}

A = B = (x €A ↔ x €B)

SUBCONJUNTOS → C

A es subconjunto de B, si todo elemento de A es elemento de B, es decir.

Ejemplo: significa por lo tanto

A c B = (x €A → x €B)

Tabulación B = {a, b, c, d}

A = {a, b}

SUBCONJUNTO PROPIO → c

A es un subconjunto propio de B, si A es subconjunto de B, pero no es igual a B.

Ejemplo:

A c B = (A C B) ^ (¬ A = B)

B = {1, 2, 3, 4, 5}

A c B

A = {1, 2, 3}

SUBCONJUNTO DISYUNTOS

21

2 conjuntos son disyuntos si no tienen elementos en común.

A = {1, 2} a) A = B F a) Ø c A V

B = {1, 2, 3} b) A = C V b) A c A V

C= {1, 2} c) B y D F c) A c B V

D = {3, 4, 5} d) A y D V d) A c B V

e) A c C V

f) A c C F

CONJUNTOS POTENCIA

Es el conjunto representado P(A) 3, es el conjunto que tiene como elemento todos

los subconjuntos de A

Ejemplo:

A = {1, 2, 3}

N(A) = 3

P(A) = {x/ x 5 A}

Formula

N(P(A)) = 2N (A )=23=8

P(A) = {1} {2} {3} {1, 2} {2, 3} {1, 3} {Ø} {A}

Ejercicio

B = {2, 4, 5, 7}

N(P(B)) = 2N (B)24 = 16

P(B) = {2} {4} {5} {7} {2, 4} {2, 5} {2, 7} {4, 5} {4, 7} {5, 7} {2, 4, 5} {4, 5, 7} {2, 5, 7} {2, 7, 2}

{Ø}{B}

OPERACIONES ENTRECONJUNTO22

COMPLEMENTO

El conjunto de A representado ( Ac ¿ es el conjunto formado por todos los elementos del

referencial que no pertenecen al conjunto A.

U

Formula simbólica

Ac = {x/ x € Re ^ x €A}

INTERSECCION

La intersección entre A y B esta representado como (A B, es el conjunto formado por

los elementos comunes al conjunto A y al conjunto B, es decir.

U

UNION

La unión entre A y B representado como (AUB, es el conjunto formado por los elementos

que pertenece al conjunto A y al conjunto B.

U

M = {X /x es la letra de la palabra Popeye}

M = {p, p, y}

N = {X/x es la vocal de la palabra pepino}

N = {e, i, o}

MUN = {p, p, y, e, i, o}

23

AUB = {X/ X€A v €B}

DIFERENCIA

La diferencia entre A y B representada como (A–B), es el conjunto formado por los

elementos que pertenecen al conjunto A pero no al conjunto B.

U

A – B = {X/ x€A ^ €B}

DIFERENCIA SIMETRICA

La diferencia simétrica entre A y B representada como (A B), es el conjunto formado

por los elementos que pertenecen a la unión entre A y B pero no a la intersección.

U

A B = {X/ X€AUB ^ €A B}

PRACTICA EN CLASES

Sean A, B y C, conjuntos no vacios. Respecto del siguiente diagrama de venn.

La región sombreada correspondiente a:

U

a) (A B) – C = {3, 4} {3}

b) (A B) – A = {3,4} {Ø}

c) (AUB) – C = {1,2,3,4,5,6} {1,3,5}

d) (A–B) C = {2} R,,

e) (B–A )UC = {2,4,5,6,7}

Sean A, B y C, conjuntos no vacíos. Respecto del siguiente diagrama de ven.

24

La región sombreada correspondiente a:

U

a) [(A-B) U (B-A)] U [(A-B) U (B-A) –C]

b) [(A B) –C] U [(A-B) C] U [(B-A) C]

= {3, 4, 5} {3, 5}

= {1, 2, 6, 7} {2, 7}{2, 3, 5, 7, 10, 11} R,,

= {8, 9, 10, 11} {10, 11}

c) [(A B) C c] U [(A Bc) C]

d) [( AcUBc) C] U [(AUB) C c]

e) [(A-B) U (B-A) –C] U [C-(A B)]

LEYES DE ALGEBRA DE CONJUNTOS

Involución Diferencia

Ac c = A A-B = A Bc

Complemento Contradicción

ℜc = Ø A Ac = Ø

Ø c = Re

Conmutativa Reducción

AUB = BUA AU (A B) = A

A B = B A A (AUB) = A

Tercer Excluido De Morgan

AU Ac = Re (AUB ¿¿c = Ac Bc

(A B ¿¿c = Ac Bc

Idempotencia Asociativa

AUA = A AUB) U C = A U (BUC)

A A = A A B) C = A (B C)

Identidad Distributiva25

AUØ = A A U(B C = (AUB) (AUB)

A Re = A A (BUC) = (A B) U(A B)

Absorción Distributiva De La Diferencia

AURe = Re A - (B C) = (A-B) U(A-C)

A Ø = Ø A - (BUC) = (A-B) (A-C)

PRACTICA EN CLASES

En una encuesta realizada a 500 alumnos se obtuvo las siguientes informaciones.

220 estudian matemáticas, 180 estudian física, 300 estudian química, 150 estudian física

y química, 120 estudian matemática y química, 60 estudian matemática y física y 50

estudian las tres materias.

Determine cuantos alumnos no estudian materia alguna.

U

Suma del universo

420

-500

80 → son los que no estudian esas materias.

1) El jefe de una empresa entrevista a 300 personas que persiguen en obtener uno

de los puestos disponibles en la empresa, entre los datos recolectados obtuvo las

siguientes recolecta acerca de las idiomas que dominan.

140 hablan inglés, 120 hablan francés, 140 hablan alemán, 30 hablan inglés y

francés, 40 hablan inglés y alemán, 60 hablan francés y alemán, pero 20 no dominan

algunos de los tres idioma.

Determine cuantos aspirantes hablan los tres idiomas.

26

U

→ La suma del universo

290

-300

10 R,,

FORMULA:

N = (AUBUC) = N(I)+N(F)+N(A) - N(I F) - N(I A)- N(F A) = N(I F A)

140+120 + 140 - 30 - 40 - 60 + N(I F A)

U = (IUFUA) = 20

300 (IUFUA) = 20

IUFUA = 300 – 20

IUFUA = 280 → N(I F A) 280-140-120-140+30+40+60 =10R,,

27

CUANTIFICADORES

Cuantificador universal El cuantificador universal ∀ actuar sobre un predicado p(X)

para fórmala proposición ∀xp(x) que se lee “todo por cumple p(X)”o “cada x cumple

p(x)”es verdadera si el conjunto solución de P(x) es igual al referencial ∀

xp(X)=u=ap(x)

Cuantificador existencial.- El cuantificador ∃ actua sobre un predicado p(X) para

forma la proposición ∃ x p(x9 que se lee “existe por lo menos un por lo menos un x

que cumple p(x)” o “algún x cumple un p(x)” o “algún X cumple un p(X) el ∃ x p(x) es

verdaero si el conjunto solución de predicado de x tiene al menos un elemento.

P(x)=xτ 2

a. - ∀xp(x)=ap(x)={2,3,4,5} f

b.-∃xp(x)=ap(x9= {2, 3, 4,5,6} v

u={-4,-3,-1,3.5,7}

a=∀x x >3 f

b.- ∀x es par f

c.-∀X X> -5 V

D.-∃ X X ES PAR Y X < 3V

E.- ∃ X X >7 V

AP(X)= {-4,3,-1,3,5,7}

AP(X)= {-4}

PROPIEDADES DE LOS CUANTIFICADORES

Si p(x)y q(x)a son predicado de una referencial RE

ᴲx(p(x) v q (x))≡x p(x)ᴲx p(x)

ᴲ x(p(x)^q(x))→ᴲ xp(x)^ᴲ xq(x)

Vxp(x)ʌ V xq(x)≡V x(p(x)ʌq(x)

Vxp(x)V Vxq(x)→Vx(p(x)v q(x))

28

RE={1,2,3,4,5,} a)Vx[p(x)vq(x)] B)ᴲX[p(x)ʌq(x)]

p(x)=1,2,3,4 vx(p(x)vq(x)] ᴲxp(x)ʌᴲxq(x)

q (x)={1,2,3,5} {1,2,3,4} (1,2,3,)ʌ(1,2,3,5,)

{1,2,3,,4,5} V (1,2,3,)

C)ᴲ[¬p(x)ʌq(x)]

ᴲx¬p(x)ʌᴲxq(x)

5ʌ1,2,3,5

5V

LECTURA

A SATISFACER p(x)

Todo p(x)

Ninguno p(x) es q(x)

Algun p(x)es q(x)

no todo p(x)es q(x)

Lógica

P(o)≡1

Vx(p(x)→q(x))

Vx(p(x)→¬q(x)

ᴲx(p(x)ʌq(x)

ᴲx(p(x)ʌ¬q(x)

Conjuntos

E Ap(x)

Ap(x)ᴄAq(x)

Ap(x)ᴄAᶜq(x)

Ap(x)ʌq(x)≠ɸ

Ap(x)∩Aᶜq(x)≠ɸ

LEYES DE MORGAN

¬Vxp(x)≡ᴲx¬p(x)

¬ᴲxp(x)≡Vx¬p(x)

Si tienes los predicados niega la proposición todos los poetas son románticos

P(x):xes poeta

Q(x):x es romántico

V x(p(x)→q(x)

Vx(p(x)→¬q(x)

29

PRODUCTO CARTESIANO

Par ordenado: un par ordenado es un conjunto formado por dos componentes

como(x,y),en el cual x se denomina primer componente y Y segunda componente

Producto cartesiano: el producto cartesiano entre los dos conjuntos Ay B representado

como AxB , está formado por todos los pares ordenados ,en loa cuales 1compoente

pertenece al conjunto ∆ y la segunda componente al conjunto B

AxB=N(A) N(B)

AX(B∩C=(AXB)∩(AXC)

AX(BN)=(AXB)-(AXC)

AX(BNC)=(AXB)∆(AXC)

*se diferencian los conjuntos A={1,2,3,} B={a,b} determina axb

AXB {(a, b)}

B={1,2,}

BXA={[1,(a b)] ;[2,(a b)]}

RELACION

Una relación de A en B ,que se representa como r:A→B,es cualquier subconjunto del

producto cartesiano AXB,A se denomina conjunto de partida y B conjunto de llegada.

Dominio: sea r:A→B una relación de A en B ,entonces el dominio de r representa todo

como dom r,es el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que estén

relacionados ,es decir

dom r= {XΕA ⁄ (x;y)Εr}

Rango: sea r:A→B una relación de A en B , entonces el rango de r ,representa como rgr

, es el conjunto dado para los elementos del conjunto de llegada que esta relacionado

es decir

rgr={YΕB ⁄(X,Y)Ε}

Si se tiene los conjuntos A{1,2,3,} B{3,5,7,9} determine si el conjunto es relación

r={(1,5),(3,9) y es A en B

30

AxB:{(1,3) (1,5)(1,7)(1,9)(2,3)(2,5)(2,7)(2,9)(3,3)(3,5)(3,7)(3,9)}

Si se tiene los conjuntos A{a,b,c} B{2,4,6,8} determina si los siguientes conjuntos son

relacionados de B en A

a=r:ɸ

b:r:{(a,2);(b,b);(c,8)

c=r:{(2,a);(2,b);(2,c)

{(2,a)(2,b)(2,c)(4,a)(4,b)(4,c)(6,a)(6,b)(6,b(6,c)(8,a)(8,b)(8,c)

r:A→B

{(2,a)(b,2)(b,8)(c,4)

(a,2)(a,4)(a,6)(a,8)(b,2)(b,4)(b,6)(b,8)(c,2)(c,4)(c,6)(c,8)

rg.r→(2,8,4)

dom r(a,b.c)

Función: una función de A en B es una relación de A en B que asigna a cada elemento

de A un único elemento de B según esta definición el dominio de una función es igual al

conjunto de partida y cada elemento del conjunto de partida se relaciona con un único

elemento del conjunto de llagada

A={a,b,c}

B={1,2,3}

F={(A,1)(B,2)(C,3)

Un número entero es divisible por:

2: si termina en cero o cifra par

3: si la suma de dos cifras es un múltiplo d3

4: si sus dos últimas cifras son 00 o es múltiplo de 4

31

ABc

2486

5: si termina en o en 5

6: si es divisible para dos y ara 3 a la vez

8: si las cuatro últimas cifras son 0000y múltiplos de ocho

9: si las sumas de sus cifras es múltiplo de 9

10: si termina en cero

Números primos: un número entero positivo es primo si y slo si son exactamente 1yp

Números compuestos: un numero entero positivo es compuesto, si y solo si no es

primo

m.c.d: el mcd de un conjunto de un conjunto de números enteros cuyo entero

positivo que es divisor en cada uno de los números del conjunto .

24:2ᵌx3

36:2²x3²

48:2x3

Un vendedor dispone de 24.36 unidades de 3 artículos diferentes respectivamente

necesita elaborara paquetes por cada artículo de tal forma del número de unidades

sea el mismo y el más grande posible .el vendedor necesita calcular el número de

unidades que debe tener cada paquete y cuantos paquetes por articulo tendrá

m.c.d

24=2³.3

36=2².3²

48=2.3

M.C.M: el m.c.m de un conjunto de números enteros es el menor entero positivo que

es el múltiplo de cada uno de los números dados

12=2².3

8=2³

36=2².3³

32

m.c.d:2².3:12

m.c.m=2³.3²=27

256 2 312 2 2=256

128 2 156 2 2³.3.13=312

64 2 78 2 2².137=548 m.c.m2²=4

32 2 39 3 m.c.m =2.3.13.137=1367808

13 3

NÚMEROS PAR E IMPAR

#par↔a=2n,nΕz

#impar ↔a=2n+1n€z

12=2(6)

-5=2(-3)+1

0=2(0)

31=2(15)+1

-140=2(-70)

8=2(40)+1

EXPRESIONES ALGEBRAICAS33

Una expresión algebraica es la combinación de símbolos (números y letras),a través

de las diferentes operaciones fundamentales los términos de la expresión algebraica

corresponde a cada uno de sus partes, las cuales están separadas entre si por los

signos + O –

2²x+4x²-3x²+y+5x-6y

3x+5xx-5y²

*2x²y+5xy²-5x²y+10xy²=-3x²y+15xy²

*5ab²+4ab+bᵌ+a²b+b²+b²=5ab²+5bᵌ+4ab+2b²+a²b

*81ab²+42a²b+13ab²+2a²b=68ab²+40a²b

X=-1 y=-2

2x²-yᵌ

(2(-1)²-y(-2)ᵌ

2(1)-(-8)

2+8=10

a+b ²−c2√❑a+1 b ²

a=3 b=-4 c=-2

3+(-4)²-(-2)ll

2√3+1−(−4 )²

3+16+22 (2 )+64

¿¿=

2168

Rm

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

34

1)aⁿ.aᶬ=aⁿᶧᶬ

2)a ⁿaᶬ

=a ⁿ−ᶬ

3)aⁿbⁿ=(ab)ⁿ

4)a ⁿa ⁿ

=( ab)ⁿ

5)(aⁿ)ᶬ=aᶬⁿ =(2x²)ᵌ=8x6

6)1

a ⁿ=a ⁿ= 1

xᵌ=xᵌ

7)a°=1

*(2 x ⁿ❑1 ) x3 ⁿ

x 2 (ⁿ ᶧ 1 ) (x ⁿ )2=4 x2ⁿ ᶧ ² x3 ¯ ⁿ

x 2 ⁿ ᶧ 2 x2 ⁿ

*(2 x ) x

x2¿¿¿=

4 x2 ⁿ ᶧ 2 x3 ⁿ

x2ⁿ x2ⁿ=4 x¿¿¿

*(

¿(6 x¿)4❑2

x ­2√2

x3√❑16

= 1

(6 x4 )2

1x2 √❑2

x3√❑16

= 1

¿ 36 x8

( √2x 2

x3√16 )2

= 136 x8

(√2

x2 )2

( x3 √16 )2

= 136 x

2x4

x6161

= 136 x8

18 x10

= 8 x10

36 x8 =29

x ² ¿

R//

35

PRODUCTOS NOTABLES

1) (a+b)=(a²+2ab+b²)

2) (a-b)=(a²+2ab+b²)

3) (a+b)(a-b)=a²-b²

4) (x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab

5) (a-b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

6) (a-b)³=a³-3a²b+3ab²+b³

7) (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

8) (a+b)(a²+ab+b²)=a³+b³

9) (a-b)(a²+ab+b²)=a³+b³

1+ 1

1−1

1+1

1−1x

=1+ 1

1−1

1+1

x−1x

=1+ 1

1−1

1+x

x 1

=1+ 1

1−1

2 x−1x−1

=1+ 1

1−x−1

2 x−1

=1+ 1x

2 x−1

=1+2 x 1x

= x+2 x−1x

=3 x−1x

R//

1)6 XY −3 X 2

3 X2−13 XY +14 X2=3 X (2 Y−X )

(3 X +7 Y ) ( X −2Y )=3 X ( X 2Y

(3 X +7 Y ) ( X−2 Y ) )¿ 3 X

3 X +7 Y

2)6ᶬ 3−¿ 3ᶬ 2 ⁿ

21ᶬⁿ+7 ⁿ2 ÷6 ᶬ 2+24 ᶬⁿ6 ᶬⁿ+2 ⁿ2 =6 ᶬ 3−3ᶬ 2ⁿ

21ᶬⁿ+7 ⁿ2 ×6 ᶬⁿ+2 ᶬ

6 ᶬ 2+24 ᶬⁿ=

3 ᶬ 2 (2 ᶬ−ⁿ )7 ⁿ (3ᶬ + ⁿ )

×2 ⁿ (3 ᶬ + ⁿ )6 ᶬ (ᶬ +4 ⁿ )

=ᶬ (2ᶬ −ⁿ )7(ᶬ +4 ⁿ )

¿

R//

36

RACIONALIZACION

Racionalizar radicales consiste en quitar las raíces del denominador. Racionalizar

cuando en el denominador hay sumas, racionalizar cuando no hay sumas.

Ejercicios de radicales

2√3

. √3√3

=2√3¿¿ R//

110

1√3− 8

2√2=( 10

1+√3.1−√31−√3 )−( 8

2−√2.2+√22+√2 )=10 (1−√3 )

12 (√3 )2−

8 (2+√2 )22 (√2 )2

=10 (1−√3 )

−2−8¿¿

=−13+5√3−4 √ 2 R//

ECUACIONES CON RADICALES

1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el

resto de los términos, aunque tengan también radicales.

2º Se elevan al cuadrado los dos miembros.

3º Se resuelve la ecuación obtenida.

4º Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial.

Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra

que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se

obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.

√ x+2=2 x−437

√ x=2 x−4−2

√ x=2 x−6

(√ x )2=(2 x−6 )2

x=(2 x )2−2 (2 x ) (6 )+(6)

X=4x²-24x+36

4x²-25x+36=o

(x-4)(4x-9)-0

x-4=0 4x-9=0

x=4 4x=9

x=9/4

−28 ± √56528

21 =

−28 ± √4722

=−28 ± 2362

28+2362

=2082

=104

28−2362

=2642

=132

(√3 x−5++√3 x−14 ) ²=(9)²

((√3 x−5 ) ²+2(√3 x−5)¿

3x-5+2(√3 x−5¿(3x-14)+3x-14)=)81

2(√3 x−5¿¿

2 (√3 x−5 ) (√3 x−14 )=81−3 x+5−3 x+14

2 (√3 x−5 ) (√3 x−14 )=−6 x+100

2√9 x2−42 x−15 x+70¿=−6 x+100

(2√9 x2−42−15+70 )2 (−6 x+10 )2

18 x ²−114 x+140=36 x2−1200+1000

38

a6+a4+a2+1a3 +a2+¿a 1=¿¿¿¿

=

ECUACIONES CUADRÁTICAS – FACTORIZACIÓN

 Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde  a, b, y c son números reales.    

Ejemplo:

9x2 + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10

3x2  - 9x                 a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10              a = -6, b = 0, c = 10    

39

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:  

1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática    

Factorización Simple:

 La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

 x2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8  

(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x2]  

( x +   )   (x  -   ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0                                        4 y –2     4 + -2 = 2

                                                                    4 · -2 = -8        

x + 4 = 0       x – 2 = 0    

x + 4 = 0      x – 2 = 0 x = 0 – 4      x = 0 + 2 x = -4           x = 2                  

40

Estas son las dos soluciones.

En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.  Por ejemplo, para factor izar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:     4x2 + 12x – 8  = 0  4        4      4      4

 x2 + 3x – 2 = 0   Ahora,  a= 1. x2  + 2x + 1 = 9

(       )  (      )  = 9        

( x + 1) (x + 1) = 9

(x + 1)2 = 9

(x + 1) = ± 

  x + 1 =  ± 3

x = -1 ± 3      

x = -1 + 3       x = -1 – 3 x = 2               x = -4

SOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS

Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c = 0, donde  a, b, y c son números reales.   Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:

Ejemplos:

9x2 + 6x + 10 = 0        a = 9, b = 6, c = 10

3x2  – 9x  + 0  = 0        a = 3, b = –9, c = 0  (el cero, la c, no se escribe, no está)

41

–6x2 + 0x + 10 = 0       a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:    Solución por factorización

En toda ecuación  cuadrática uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplos

1) Resolver

(x + 3)(2x − 1) = 9

Lo primero es igualar la ecuación a cero.

Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factor izar esta ecuación:

(2x − 3)(x + 4) = 0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:

Si

2x − 3 = 0

42

2x = 3

Si

x + 4 = 0

x = −4

Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:

(x + 3)(2x − 1) = 9

2x2 + 5x − 12 = 0

2x2 + 5x = 12

2x2 − 12 = − 5x

En todos los casos la solución por factorización es la misma:

2) Halle las soluciones de

La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en términos de x:

Ahora, si

x = 0

o si

43

x− 4 = 0

x = 4

Algunos ejercicios: Resolver cada ecuación por el método de factorización:

EJERCICIOS DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Consideramos el sistema x - y = 3 x + 2 y = 9 } . Construimos las tablas de soluciones de ambas ecuaciones

Soluciones de x - y = 3

x 1 2 3 4 5 6y -2 -1 0 1 2 3

Soluciones de x + 2y = 9

x 1 2 3 4 5 6y 4 3,5 3 2,5 2 1,5

El par de valores (1, -2) es solución de x - y = 3, pero no de x + 2y = 9.

44

El par (1, 4) es solución de x + 2y = 9, pero no de x - y = 3.

Observamos que el par de valores x = 5, y = 2, es decir, (5, 2), es solución de las dos ecuaciones al mismo tiempo. Decimos entonces que este par de valores es solución del sistema:

x - y = 3 x + 2 y = 9 }

Dados los valores numéricos de x = 2 e y 1, comprobamos si son solución del sistema de ecuaciones

4 x - 2 y = 10 x - y = 1 }

Sustituimos los valores que nos dan en la primera ecuación:

4 · 2 - 2 · (-1) = 8 + 2 = 10

la cual es cierta, veamos qué ocurre con la segunda ecuación:

2 - (-1) = 2 + 1 = 3 ≠ 1

No verifican la segunda ecuación; por tanto, x = 2 e y -1 no es solución del sistema propuesto.

Observamos este sistema: x + y = 3 x - y = 1 }

Las soluciones de sus ecuaciones son:

x + y = 3

x 0 0,5 1 1,75 2 ...y 3 2,5 2 1,25 1 ...

x - y = 1

x 1 1,5 2 2,25 3 ...y 0 0,5 1 1,25 2 ...

45

El par (2, 1) se repite como solución en ambas ecuaciones; es, por tanto, la solución del sistema

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES I

1 Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

1. En un sistema compatible indeterminado se puede eliminar una ecuación y obtener un sistema equivalente.

2. Un sistema compatible indeterminado es equivalente a un sistema homogéneo.

3. Todo sistema compatible indeterminado tiene dos ecuaciones iguales.

4. De un sistema incompatible podemos extraer otro compatible (no equivalente) eliminando ecuaciones.

2Discutir los siguientes sistemas y resolverlos en caso de que proceda:

1

2

3Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

4Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3x +2y + z = 15x +3y +4z = 2

x + y - z = 1

5Se considera el sistema:

46

1. Resuélvelo y clasifícalo en función del número de soluciones.

2. Determina si es posible, o no, eliminar una de las ecuaciones, de forma que el sistema que resulte sea equivalente al anterior.

6Clasificar y resolver el sistema:

7Clasificar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

8Clasificar y resolver el sistema:

9Clasificar y resolver el sistema:

VALOR ABSOLUTOP(x):│2x-1│=x-3

a) N(Ap(x))=0 2X-1=X-3 V 2X-1=X+3b) N(Ap(x))=1 2X-X=-3+1 2X+X=3+1c) N(Ap(x))=2 X=-2 3X=4d) N(Ap(x))=3 e) Ap(x)=R

47

│2(43 )-1│=

43 -3 │2(-2)-1│=-2-3

│83-1=

4−93 │-4-1│=-5

│8−3

3│=−5

3 │-5│=-5

5/3=5/3x 5=5

INECUACIONES

5x+1˂65x˂6-1 -x +x5x˂5x˂1 5(o)+1˂ 5(2)+1˂6

x˂55=1 1˂6 10+1˂6

11˂6

( - 1ص, )

º ¹,5׀ ׀

48

2+3x≤8-x3x+x≤8-24x≤6 x=0 x=2

x≤64 2+3(0)≤8-(0) (8≤6) f

x≤32-3/2=1,5 2+0≤8

2≤8 v (( 1,5ص, ]

X+3x≤8-x5x≤8

x≤8¹,⁶׀ º׀ 1,6=5 (0) (2)

0≤8 2+6≤8-2 8≤6 (∾,16]5 -9-x˂x -9-5˂x -14 - ˂ ¹⁴ 5 (13-) (10-) ׀ º ׀ -9-(-10) 5 -9(-13)˂ ˂ 5 -9+10 5 -117˂ ˂ 5 1 ˂ ( -∾,-14)4-2t>t-5-2t-t>-5-4 º ׀³ ׀-3t>-9

t>-−9−3 (1) (4)

t>-3 4-2(1)>(1)-5 4-2(4)>4-5 4-2> -5 4-8>-1 2>-5 -4>-1

(-∾,3)

2x-6>3x+1 -7 ׀ º ׀

49

2x-3>1+6 (-6) -x>7 2(-6)-6>3(-6)+1 2(1)-6>3(1)+1x˂-7 -12-6>-18+1 2-6>3+1 +18>-17 1-4>4 (∾,-7)

( 1a+ 1

b )1

1 a+1 b= 1

b+a

ab

= abb+a R//

√ X4 Y 2 √ X2Y 3√5 √ X ⁵ �̸ ² y5/ ³

√ x¯ 5 ⁄

² y5 �̸ 3=(x5 �̸ 2 y5 �̸ 3) ¹ !̸ �̸ ⁵

=¯ ° y⁵̸�¹ ⁵̸�¹⁵̸ =x¯ y½ ¹�³

√ x3 �̸ 2 y10 �̸ 3 =(x y )³�² ¹⁰̸�³ ½=x y ³�⁴ ¹⁰̸�⁶ =x y³�⁴ ⁵̸�³

ACOTADA SUPERIOR

Definición: Una función está acotada superiormente cuando existe algún número real

k que es mayor o igual que todas las imágenes.

una función f está acotada superiormente si existe un número real k

tal que para toda x es f(x) ≤ k .El número k se llama cota superior.

50

 k=0.135

Función acotada inferiormente

Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′

tal que para toda x es f(x) ≥ k′.

El número k′ se llama cota inferior.

k′ = 2

FUNCION INYECTIVA

En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto

(dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es

decir, a cada elemento del conjunto X le corresponde un solo valor de Y tal que,

en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma

imagen.

51

Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por

no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si

el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función

entonces sí se obtiene una función inyectiva

Definición formal

De manera más precisa, una función es inyectiva cuando se cumple

alguna de las dos afirmaciones equivalentes:

Si x1,x2 son elementos de tales que f(x1) = f(x2), necesariamente se

cumple x1 = x2.

Si x1,x2 son elementos diferentes de , necesariamente se cumple

Los siguientes diagramas corresponden a función inyectiva:

FUNCION SOBREYECTIVA

En matemática, una función es sobreyectiva (infectivo, sobreyectiva,

suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codo minio, es decir,

52

cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento

de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

Formalmente,

Los siguientes diagramas corresponden a función sobreyectiva:

Ejemplo de función sobreyectiva.

FUNCION BIYECTIVA

En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo

inyectiva y sobreyectiva.

Formalmente,

53

Para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los

elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el

conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva. Además, a cada

elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de

llegada, en este caso (y); esta es la norma que exige la función sobreyectiva.

TEOREMAS

Si es una función biyectivo, entonces su función inversa existe y también es

biyectiva.

Ejemplo

La función: es biyectiva.

54

Luego, su inversa: también lo es.

El siguiente diagrama se puede ver cuando la función es biyectiva:

Funciones Inyectiva No inyectiva

Sobreyectiva

Biyectiva

No sobreyectiva

INYECTIVA, SOBREYECTIVA, BIYECTIVA

"Inyectiva, sobreyectiva y biyectivo" te dan información sobre el comportamiento

de una funcion

Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un

conjunto "A" a los de otro conjunto "B":

55

"Inyectiva" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al

que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan

alguno en "A").

"Sobreyectiva" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de

"A" (a lo mejor más de uno).

"Biyectivo" significa inyectiva y sobreyectiva a la vez. Así que hay una

correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

DEFINICIONES FORMALES

INYECTIVA

Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.

Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales a es una función

inyectiva. (Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros

(esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo

f(2) = 4 y

f(-2) = 4)

Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena

un poco como si fuera biyectivo.

SOBREYECTIVA (O TAMBIÉN "EPIYECTIVO")

56

Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B,

existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es

sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.

Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio

por lo menos.

Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales al de los

números pares no negativos es sobreyectiva.

Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales a no es

sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de va al 3 por esta función.

BIYECTIVA

Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay

exactamente un x en A que cumple que f(x) = y

Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo: La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo

conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.

(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por

ejemplo

f(2)=4 y

f(-2)=

DEFINICIÓN FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de

números x1,x2 del intervalo. .

57

Una función f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de

números x1,x2 del

Intervalo ,   .

Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La

siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo

. 

En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:

1.) Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)

2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)

Criterio de crecimiento y decrecimiento Sea f una función continua en el

intervalo cerrado   y derivable en el intervalo abierto

1. Si   es creciente en 

2. Si   es decreciente en 

3. Si   es constante en 

Ejemplo 1

Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación f(x) =

1 / 2(x2 − 4x + 1).

58

Para ello calculemos la primera derivada de f:f'(x) = x − 2.

Como f'(x) > 0 ↔ x − 2 > 0, o sea si x > 2, entonces f es creciente para x > 2.

Como f'(x) < 0 ↔ x − 2 < 0, o sea si x < 2, entonces f es decreciente para x < 2.

En la gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente

ESTADISTICA

Tabla tipo #1 Tabla tipo #2

59

TABLAS DE FRECUENCIA

Según el número de observaciones y e rango de la variable, podemos clasificar las

tablas de la siguiente manera:

Tablas de tipo 1_elb tamaño de la población o muestras pequeñas .solo se ordena de

manera creciente o decreciente

Tabla tipo 2_eltamaño de la población o muestras grande y el rango de la variable es

pequeño

Tabla tipo 3_ el tamaño de la población es grande y el rango de la variable es grande

TABLAS DE DISTRIBUTION DE FRECUENCIA

60

1 1 1 4

2 1 2 3

3 4 3 1

3 4 4 2

xi fi

#

llamadas

frecuencia

1

2

3

4

5

3

4

4

16

22 23 44 10 28 40

15 42 38 7 24 31

28 12 5 20 28 47

56 27 14 16 30 26

55 27 42 50 27 36

Generalmente las tablas de tipo 2 y tipo3 se complementa con distintos tipos de

frecuencia les como:

a) frecuencia absoluta: es el número de veces que aparece dicho valor, como

resultado de la medición de la variable se representa por: fi frecuencia absoluta

b)Frecuencia absoluta: es el resultado de sumar a la frecuencia absoluta de valor

correspondiente la frecuencia absoluta es el valor correspondiente a la frecuencia

absoluta del valor anterior se representa por: FI

c)frecuencia relativa: es la cociente entre la frecuencia absoluta y y el tamaño de la

muestra o población se representa por :hi

d)frecuencia absoluta relativa :es el resultado de sumar a la frecuencia relativa del

valor anterior se representa :HI

# DE

LLAMADAS

fi FI hi HI

1 8 8 0,27 0,27

2 6 14 0,2 0,42

3 7 21 0,23 0,70

4 4 25 0,3 0,93

5 5 30 100

total 30

hi=fin

=8

30

intervalo xmc fi FI hi HI

[0,1009) 50 11 11 0,28 0,28

[100,200) 150 12 23 0.3 0,58

[200,300) 250 14 37 0.35 0,93

[300,400) 350 1 38 0,025 0,955

[400,500) 450 2 40 0.05 1,005

total 40 1.005

61

fi

100 200 300 400

500 intervalo

fi

100 200 300 400 500

xmc

intervalo xmc fi FI hi HI

5-9 7 2 2 0,06

9-13 11 2 4 0,06

13-17 15 3 7 0,1

17-21 19 2 9 0,06

21-25 33,4 6 12 0,1

25-29 27 2 18 0,2

29-33 45,5 1 20 0,06

33-37 51,5 2 21 0,03

37-41 57,5 2 23 0,06

41*45 63,5 1 36 0,1

45-49 64,5 2 27 0,03

49-53 75,5 1 29

62

14121086420

14121086420

53-57 81,5 30 30

MEDIA ARITMETICA

Se define como el cuoeficiente entre la suma de los valores que toman la variable

y el total de obsevaciones

10 8 7 6 10

X=10+8+7+6+10

5

XI Fi

1 8

2 2

3 5

4 5

20

X=Σx 1 fi

n

X=1.8+2.2+3.5+4.5

20=x=2,35

sueldos Fi xmc x

400,450 10 425 31,48

450,500 20 475 70,37

500,550 30 525 116,67

550,600 40 575 170,37

600,650 15 625 69,44

650,700 10 675 50,00

700,750 5 725 26,85

750,800 5 775 28,79

135 563,9

63

X=Σ ¿) 104,25

135=3,48

X= ¿

X=4250+9500+15750+23000+93+5+6750+3625+58751

135

X=76225

135=563,9

MEDIANA

Se define como el valor central de una distribucion que tiene un numero impar de

datos ,una vez ordenados los datos de numero creciente o decreciente ,el dato

que repesenta la mediana divide la distribucion en dos grupos un 50%de valores

son inferiores y otro 50%son superiores.

Formula:x=x (n+1)

2 impar x=

xn2+x

n2+1

2 par

MODA

Se define como el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta, o el valor

que mas se repite .puede haver mas de una moda para el caso que exista dos se

tiene una distancia bim modal;para mas de dos ,se llama plimodal

M=60 75 75 80 90 100 90

M=75 90

MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL

Estas medidas tambien son denominados madidas de localizacion ,permite

conoocer ptros puntos caracteristicas de la distribucion que no son los valores

centrales ;se suele utilizar una serie de valores que divide la muestra en tramos

iguales .

cuartiles :son tres valores que distribuyen la serie de datos ordenando en forma

creciente o decreciente el 25%de los datos

X

1

fi

5

FI

5

hi

0.25

HI

0.25

64

2

3

4

2

3

10

7

10

20

0.1

0.15

0.5

0.35

0.5

1

Deciles :son el valor que distribuye serie de datos ordenda de forma creciente o

decreciente en e 10 tramos en los que cada uno de ellos concentra el 10%de los

datos

Perceptiles :son 99 valores que distribuyen la serie de datos ordenada de forma

creciente o decreciente en 100%tramos ,en la que cada uno de ellos concentran el

1%de los datos

MEDIDAS DE DESCRIPCION

Varianza:mide la distancia existente de la serie entre los vaores y la media

asimetrica se calcula como la sumatoria de las diferencias al cuadrado ente cada

valor y la media se multiplica por elnumero de veces que se reíta cada valor de la

sumatoria obtenida se divide por el tamaño de la muestra

s=Σ ( x 1−x ) 2∗x

n

65

Se calcula como la raiz cuadrada de la varianza

Nivel de

cotinina

fi Xmc FI hi HI

0,100 11 50 11 0.28 0.28

100,200 12 150 23 0.3 0.58

200,300 14 250 37 0.35 0.93

300.400 1 350 38 0.25 0.95

400.500 2 450 40 0.25 0.15

total 40 1

X=¿

X=550+1800+3500+350+900=

X=7100

40=177.5

66