QUMICA ORGNICA

Academia Pre Universitaria Alexander Fleming 3 Boletn Anual Ciencias 2006

LA CIRCUNFERENCIADefinicin

Se llama circunferencia al conjunto de puntos de plano que se encuentra a una distancia constante (radio) de un punto fijo (centro) de ese plano.

Si P(x; y) es un punto genrico de una circunferencia de centro C(h; k) y radio , entonces por la definicin de circunferencia se tiene:

Es decir:

A esta continuacin se conoce como la ECUACIN ORDINARIA o FORMA ORDINARIA de la ecuacin de una circunferencia.

Observacin:

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio r tiene por ecuacin:

FORMA CANNICA

donde: h = 0 y k = 0

Ejemplo:

Determinar el centro y el radio de la circunferencia:

Resolucin:

Sabemos que:

Tambin:

LuegoC(1, -2) y r = 1

Ecuacin General de la Circunferencia

Si la ecuacin ordinaria de la circunferencia se desarrolla, entonces se tiene:

Ordenando la ecuacin, obtenemos:

Haciendo:

D = -2h; E = -2k;

Ecuacin que tiene la forma:

La ecuacin anterior es llamada forma general de la ecuacin de la circunferencia.

Observacin:

Para saber si una ecuacin de la forma: , representa una circunferencia, procedemos a completar cuadrados y obtenemos:

EMBED Equation.3 Comparando esta ecuacin con la ecuacin:

Observamos que toda ecuacin de la forma:

representa una circunferencia de centro:

Donde: h = -D/2 y k = -E/2

Siempre que se cumpla la condicin:

Anlisis:

a)Si: , entonces r = 0 y la ecuacin se reduce a un punto, el centro.

b)Si: , entonces el radio r ser imaginario (complejo), luego, la ecuacin no tendr representacin geomtrica real.

Es decir la ecuacin representa a una circunferencia imaginaria.

c)Si: , entonces r > 0, y la ecuacin representar a una circunferencia de centro y radio dados.

Ejemplo 1:

La ecuacin , corresponde a una circunferencia. Hallar el centro y el radio.Resolucin:

Completando cuadrados podemos transformar la ecuacin dada en la forma:

Luego: C(1; 2) y r = 1

Ejemplo 2:

La ecuacin: , representa o no a una circunferencia.

Resolucin:

Si la ecuacin representa a una circunferencia, se debe cumplir:

Reemplazamos valores:

efectivamente se cumple

El radio:

Centro:

Ejemplo 3:

Determinar la ecuacin dada a la forma ordinaria, dividiendo entre 4:

Resolucin:

Llevemos la ecuacin dada a la forma ordinaria, dividiendo entre 4:

Completando cuadrados

Simplificando:

Por lo tanto tenemos el centro:C(3/2; -2) y radio: r = 2

ObservacionesOtro mtodo que tambin se usa para determinar si una recta L de ecuacin:

L: Ax + By + C = 0 .(()

Es tangente a una circunferencia de ecuacin:

...(()Consiste en resolver simultneamente las ecuaciones dadas; para determinar sus intersecciones.

Si de (() despejamos y, en trminos de x, y se reemplaza en ((), se obtiene una ecuacin de la forma:

Cuyas races estn dadas por:

La naturaleza de estas races depende del discriminante.

Veamos los siguientes casos:

1.Si: , entonces las races no son reales, es decir, no existe interseccin entre la recta y la circunferencia.

2.Si: , entonces las races son reales, esto es, existen dos puntos de interseccin entre la recta y la circunferencia, por tanto la recta es secante

Condicin de Tangencia

3.Si: , entonces existe una nica raz real, es decir, existe un nico punto de interseccin entre la recta y la circunferencia.

Luego la recta es tangente a la circunferencia.

Este mtodo, llamado MTODO DEL DISCRIMINANTE, se usa tambin para determinar las tangentes a curvas cuyas ecuaciones son de segundo grado.Longitud de la Tangente

Dados una circunferencia y un punto P, exterior a ella, se denomina longitud de la tangente (t) a la distancia entre el punto P y el punto tangencia T.

Ejemplo:

Dada la ecuacin de una circunferencia

a)Hallar la ecuacin de la tangente a la circunferencia C en el punto T= (4; 3)

b)Hallar la longitud de la tangente a la circunferencia dada, trazada desde el punto Q = (8; 8)Resolucin:

a)

Completando cuadrados, obtenemos la ecuacin de la circunferencia:

( C = (2; 0) y

Ecuacin de la recta :

Luego la pendiente de la recta L ser:

m = -2/3

En consecuencia su ecuacin es:

L: 2x + 3y 17 = 0

b) Su propiedad:

PROBLEMAS PROPUESTOS1.La ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos A(1; 2), B(4; 6) y cuyo centro est sobre el eje X, es:

a)

b)

c)

d)

e)

2.La ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos (2; 3) y (4; 1) y que tiene su centro en la recta 3x4y=0 es:

a)

b)

c)

d)

e)

3.En la figura mostrada. Hallar rea de la regin sombreada.

a)

b)

c)

d)

e)

4.La distancia mnima del punto (3; 9), a la circunferencia:

es:

a)17b) c) 26

d) 9

e)

5.Hallar la medida del ngulo agudo formado por la recta 3x y 1 = 0 y la circunferencia

a) 45b) 60 c) 30

d)75e) 15

6.Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos A = (3; 2) y B = (7; 8), sabiendo que la recta xy=5 pasa por el centro de la circunferencia.

a)

b)

c)

d)

e)

7.Hallar la ecuacin de la circunferencia concntrica a la circunferencia ; cuyo radio es un tercio del radio de esta circunferencia.

a)

b)

c)

d)

e)

8.En la ecuacin de la recta tangente a la circunferencia:

. En el punto P = (2; 5).

a)3x 4y = 26b) 4x 3y = 26c)3x + 4y = 26d) 4x + 3y = 26e)6x + 2y = 139.Los puntos extremos de una cuerda de una circunferencia son: A = (2; 7) y B = (4; 1). La ecuacin de esta circunferencia que tiene su centro en el eje Y es:

a)

b)

c)

d)

e)

10.Sean las circunferencias:

y ; cuyo centro es (7; 7). La ecuacin de la recta que pasa por el punto (0; 13) y es perpendicular a la recta que une los centros de estas circunferencias es:

a)x + 3y 39 = 0 b) x 3y +39 = 0c)x 3y 39 = 0 d) 3x y + 13 = 0e)3x + y 13 = 011.Los extremos de un dimetro de una circunferencia C son los puntos A = (-3; -4) y B = (5; 8). La ecuacin de C es:

a)

b)

c)

d)

e)

12.La ecuacin de la circunferencia cuyo centro es el punto C = (-2; 3) y que es tangente a la recta 2x y 2 = 0, es:

a)

b)

c)

d)

e)

13.La ecuacin:

representa:

a)Un conjunto vaco

b)Un punto

c)Una circunferencia de centro (-1/4, 2)

d)Una circunferencia de radio

e)Una circunferencia de centro(1/4,-2) y radio 714.La recta L: x + y + 1 = 0 intersecta a la circunferencia en los puntos A y B. Hallar el punto medio de

a)(0; 1)

b) (-3/2; -3/2)c)

d) (-1/2; -1/2)

e) (-1, 9)

15.La recta y = x + 3 es tangente a la circunferencia en el punto (a; b). Entonces a + b es:

a)1

b) 0c) -1d) 3 e) -3

16.Las circunferencias:

y

. Son:

a)Secantes

b)Coincidentes

c)Tangentes interiores

d)Tangentes exteriores

e)No se intersectan

17.Una circunferencia pasa por los puntos A=(2;4), B=(4;2) y C=(1;3). Esta encierra un rea de:

a) 5( b)

c) 2(d) 2,5( e) 10(18.Una circunferencia encierra un crculo de rea y tiene su dimetro sobre la recta y = x. Si el punto A de la circunferencia, ms cercano al origen dista de el unidades. El centro de la circunferencia es:

a) (3/2; 3/2) b) (3/2; 5/2)

c) (3; 3) d)

e) (5/2; 5/2)

19.Hallar la ecuacin de la tangente a la circunferencia.

en el punto A = (-5, 7)a) 3x+4y13 = 0 b) 4x3y+41 = 0

c) 4x+3y1 = 0 d) 3x5y +50 = 0

e) 3x4y + 43 = 0

20.El punto C = (3; -1) es el centro de la circunferencia que intersecta en la recta: 2x 5y + 18 = 0, una cuerda cuya longitud es igual a 6. Hallar la ecuacin de esta circunferencia.

a)

b)

c)

d)

e)

21.Una circunferencia de radio es tangente a la , circunferencia: en el punto (6; 5). Determinar las coordenadas de su centro.

a) (4; 2) (8; 8) b) (3; 2) (6; 7)c) (4; 2) (8; 6) d) (2; 4) (8; 8)e) (4; 2) (6; 8)22.Se tiene la circunferencia: , y el punto (3; 3). Hallar la ecuacin de la tangente a la circunferencia trazada por dicho punto.

a) x = -3b) x = 3 c) y = 3d) y = -3e) x = 523.Hallar la ecuacin de una recta tangente a la circunferencia cuya ecuacin es: y pasa por el punto (1; 2). El punto de tangencia es (1; 2).a) x + 2y 5 = 0 b) x + 5y 2 = 0

c) 5x + 2y = 0 d) 5x+ 3y 7 = 0e) 2x + 3y 11 = 0

24.Hallar la ecuacin de la circunferencia con centro (3; 1) y tangente a la recta: x + y + 3 = 0

a)

b)

c)

d)

e)

25.de la figura. Hallar M. Si:

M = Tg( + Sec(

a) 0,5b) 0,25c) 0,75 d) 1,5 e) 3

26.Hallar la ecuacin de la circunferencia, si C(1, 1)

a)

b)

c)

d)

e) N.A.

27.Hallar la ecuacin de la circunferencia:

a)

b)

c)

d)

e) N.A.

28.hallar n, de modo que el radio de la circunferencia:

sea 6 unidades

a) 15b) 12 c) 8 d) 18 e) 229.Hallar la circunferencia:

a)

b)

c)

d)

e)

30.rea del cuadrado ABCD = 100. Hallar la ecuacin de la circunferencia.

a) b)

c) d)

e)

31.En . Hallar la posicin del centro.

a) (2; 3)

b) (2; -3) c) (2; 4)d) (2; -4)e) imposible

32.En la figura:

. Hallar a

a)37b) 53 c) 74 d) 60 e) 7533.Hallar la circunferencia con centro en C(-2; 5) y pasa por (2; 2)

a)

b)

c)

d)

e)

34.Hallar la circunferencia:

a)

b)

c)

d)

e)

35.Hallar C: A(-2; -1)

a)

b)

c)

d)

e)

36.Hallar C:

a)

b)

c)

d)

e)N.A.

37.Hallar C: si

a)

b)

c)

d)

e)

38.Hallar C:

a)

b)

c)

d)

e)N.A.39.Hallar la distancia entre las circunferencias

a) b) c)

d)

e) N.A.

40.Hallar C:

a)

b)

c)

d)

e)N.A.

41.Hallar el permetro ((ABC).

a) 18 b) c)

d) e)

42.Hallar C

a)

b)

c)

d)

e)N.A.

43.Hallar C:

a)

b)

c)

d)

e)N.A.

44.Hallar C:

a)

b)

c)

d) e)N.A.

45.Hallar C:

a)

b)

c)

d)

e)N.A.

46.Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuacin es:

a)5(b) 4(c) (d) 2(e) 3(47.Hallar C: A(-2; 1)

a)

b)

c)

d)

e)N.A.

48.Hallar m

a) 10 b) c)

d) e)

49.Hallar k

a)-3 b) -2 c) -4 d) -5 e) 1-

50.Hallar la distancia mnima del punto P(7; 0) a la circunferencia.

a)

b)

c)

d)

e)

51.Hallar el rea del crculo cuya ecuacin es:

a)12(b) 15( c) 14(d)13(e) 16(52.Hallar el punto de interseccin de las circunferencias:

a) (0; 0)

b) (3; 2) c) No se intersectand) (2; 3) e) N.A.

53.Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos (0;0), (3;6), (7;0)

a)

b)

c)

d)

e)

54.Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos:

(2;-2),(-1;4),(4;6)

a)

b)

c)

d)

e)

29

28

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26

25

24

23

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35

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28

20

Matemtica III

22

Colegio de Ciencias Alexander Fleming Asvea B 7

Ven y nete al Equipo Ganador!

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X

Y

L2

L1

L3

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Y

X

L: 2x - y - 5 = 0

B

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Y

X

4

6

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Y

X

(10; 8)

m

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Y

X

A(k; -2)

B

_1115461505.vsdText

Y

X

O

A

_1115460796.vsdText

Y

X

O

2x +y-5=0

_1115458936.vsdText

Y

X

5

_1115459630.vsdText

A

B

C

_1115459993.vsdText

Y

X

2

4y = x

_1115459416.vsdText

Y

X

(h; k)

O

P

_1115458416.vsdText

Y

X

3

5

_1115458663.vsdText

Y

X

A

B

_1115458061.vsdText

Y

X

A

_1115225070.vsdText

x2 + y2 = 25

y = x + 1

X

Y

_1115456509.vsdText

Y

X

5

_1115457074.vsdText

D

A

C

X

Y

B

_1115457448.vsdText

Y

X

T

L

O

a

_1115456715.vsdText

C

(1, 1)

(7, 9)

_1115455918.vsdText

(x+1)2 + (y-7)2 = 25

q

Y

X

_1115456449.vsdText

C

Y

X

_1115225368.unknown

_1115223808.vsdText

d

L

C

r

A

B

_1115224222.vsdText

t

r

C

T

P

d

_1115224425.vsdText

C = (2; 0)

T = (4; 3)

L

_1115223948.vsdText

L

d = r

C

T

_1115223311.vsdText

(0; 0)

r

P(x; y)

X

Y

_1115223673.vsdText

d

L

C

r

_1115223144.vsdText

r

P(x; y)

h

k

0

X

Y

C(h; k)