aplicaciones de matemática iii en la ingeniería

Aplicaciones del Contenido de la asignatura Matemática III en la Ingeniería.

Específicamente en matemática III, se imparte, entre otros temas, el cálculo de área y volumen mediante el uso de integrales dobles y triples.

Para nadie es un secreto que la gran mayoría de las actividades

desarrolladas en el campo de la ingeniería van de la mano de la

aplicación de los conocimientos adquiridos en las asignaturas de

cálculo.

UN EJEMPLO DE APLICACIÓN DENTRO DEL CAMPO DE LA INGENIERÍA ELÉCTRICA, ESPECÍFICAMENTE EN EL ESTUDIO DE LOS CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS. SE DESEA OBTENER UNA EXPRESIÓN O FÓRMULA PARA DETERMINAR LA INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO EN EL EJE DE UN DISCO CIRCULAR DE RADIO B QUE TIENE UNA DENSIDAD SUPERFICIAL DE CARGA UNIFORME ΡS, EL CUAL SE MUESTRA EN LA FIGURA.

Para esto, debe tenerse en cuenta que aunque el disco tiene simetría circular, no se puede visualizar una superficie a su alrededor en la cual la componente normal de E (Campo Eléctrico) tenga magnitud constante; en consecuencia, no puede aplicarse la Ley de Gauss. En lugar de esto, se puede usar la expresión para calcular el potencial eléctrico cuando existe una distribución superficial de carga:

푑푢 = 2푟′푑푟′

= 푟′푑푟′

Luego:

푉 =ρ

4휋휖1푢 / 푑푢푑∅′

푉 =ρ

4휋휖12

1푢 / 푑푢푑∅′

푉 =ρ

4휋휖푢 / 푏

0 푑∅′

푉 =ρ

4휋휖(푧 + 푟 ) / 푏

0푑∅′

푉 =ρ

4휋휖(푧 + 푟 ) / − 푧

푑∅′

푉 =ρ

4휋휖(푧 + 푟 ) / − 푧 ∅′]2휋

0

푉 =ρ

4휋휖(푧 + 푟 ) − 푧 (2휋)

Finalmente:

푉 =ρ

2휖(푧 + 푏 ) / − |푧|

Donde las barras de valor absoluto alrededor de z describen el hecho de que V es igual si z es un valor positivo (un punto por encima del disco) o negativo (un valor por debajo del disco). Por consiguiente:

푬 = −풂풛휕푉휕푧

푬 =

⎩⎪⎨

⎪⎧ 풂풛

ρ2휖

1 − 푧(푧 + 푏 ) , 풛 > ퟎ

−풂풛ρ

2휖1 + 푧(푧 + 푏 ) , 풛 < ퟎ

En el mismo orden de ideas a continuación se presenta un ejemplo de un caso de ingeniería mecánica donde se aplica la integral de línea.

La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

El cálculo de la longitud de una curva en el espacio; El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva,

objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;

O también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

Una función vectorial

Definida en

, diferenciable y acotada en ;

La parametrización de una trayectoria en . Se

llama integral de línea de F sobre a la integral:

En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también INTEGRAL DE CONTORNO.

Una forma más utilizada para expresar la integral de línea teniendo en cuenta que el vector diferencial de curva también se pude expresar así:

Entonces después de resolver el producto punto obtenemos:

Evalúe el trabajo realizado por el campo de fuerza

sobre una partícula que se mueve por la hélice de ecuación desde el punto hasta

Luego de graficar la superficie nos damos cuenta que va desde el punto a

Necesitamos la primera derivada de nuestra ecuación de superficie.

Luego sustituimos en la función del campo de fuerza la ecuación vectorial de la superficie obtenemos:

Realizamos el producto punto entre los vectores:

Evaluamos la integral

Aplicación De La Integral De Línea Al Cálculo Del Trabajo

El trabajo en la física elemental se define como “trabajo es igual a fuerza por distancia”, es decir que el trabajo que se efectúa sobre el cuerpo se da por: W = Fd , donde F es una fuerza constante que actúa sobre el cuerpo y que es paralela al desplazamiento y d es la magnitud del desplazamiento.

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