2014

APLICACIONES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

EN MATEMÁTICA FINANCIERA:

LA TASA INSTANTÁNEA

XXXV JORNADAS NACIONALES DE PROFESORES

UNIVERSITARIOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

Evelín M. Rabbia everabbia@yahoo.com

Fac. de Cs. Económicas – UNC

1

XXXV Jornadas Nacionales de Profesores Universitarios de Matemática Financiera-

Evelín M. Rabbia – Fac. Cs. Económicas - UNC

APLICACIONES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO EN MATEMÁTICA

FINANCIERA: LA TASA INSTANTÁNEA

RESUMEN

El tema tratado es un concepto por todos conocido: la tasa instantánea. La bibliografía

consultada trata el tema de la tasa instantánea desde dos enfoques que parten de supuestos

distintos, pero que llegan a la misma definición de la tasa instantánea:

1) Partiendo de una tasa efectiva para el infinitésimo, se llega a una tasa nominal con

capitalización instantánea para una unidad de tiempo (o simplemente “tasa instantánea”

δ).

2) Partiendo del monto en el campo continuo (para lo cual se utiliza un límite notable), se

obtiene la tasa instantánea.

En el trabajo se muestran gráficamente las implicancias de ambos desarrollos. Por la

interpretación geométrica de la derivada, concluimos que la derivada de la función 𝑓(𝑡) en

el punto 𝑡0 es igual a la tangente trigonométrica del ángulo que forma la tangente geométrica

a la curva por dicho punto con el sentido positivo del eje de las abscisas. O, lo que es lo

mismo, es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto. Esto nos muestra la

velocidad de cambio de la función en el punto 𝑡0, la intensidad de la variación de los capitales

en el tiempo.

𝛿 =1

𝑓(𝑡0) .

𝑑𝑓(𝑡)

𝑑𝑡=

𝑑 ln 𝑓(𝑡)

𝑑𝑡

Con el desarrollo, vemos cómo es necesario recordar los contenidos de Matemática II

(Análisis Matemático) al cursar Matemática Financiera, utilizando las distintas herramientas

que forman parte del programa de dicha Matemática pura.

2

INTRODUCCIÓN:

Este trabajo surge en el marco del “1º Taller de formación continua de integración de las

Matemáticas Puras con las Matemáticas Aplicadas”, del Sistema de Formación y

Perfeccionamiento Docente de la Facultad de Cs. Económicas de la Universidad Nacional de

Córdoba, a cargo de la Dra. Olga Andonian y la Esp. Silvia Bilesio.

El tema tratado es un concepto por todos conocido: la tasa instantánea. En un relevamiento

realizado en los trabajos presentados en las Jornadas de Profesores Universitarios de

Matemática Financiera y existentes en soporte digital, desde el 2008 hasta las presentes

Jornadas, la temática ha sido abordada en:

- “Propuesta metodológica para la introducción de los conceptos de tasas en la Asignatura”,

de Norberto Tomas (2009).

- “Variaciones continuas: una visión conceptual”, de Gustavo Biondo (2009).

- “Temas de análisis matemático aplicables en el cálculo financiero” de Ma. Magdalena

Mas y Norberto Tomas (2012).

- “El análisis de inversiones a través del plazo financiero media y la tasa continua” de

Paulino Mallo, Ma. Antonia Artola y Mariano Morettini (2012).

- “La tasa instantánea de la operación financiera” de Elvira Carrizo y Ana Karl de Vega

(2012).

- “La tasa instantánea es una tasa de interés, ¿o de descuento?¿O es ambas a la vez?” de

Sebastián Fumis (2013).

Lo que se pretende en este trabajo es sistematizar el desarrollo de la tasa instantánea existente

en la bibliografía. Al mismo tiempo, y dado la importancia que tuvieron las representaciones

gráficas en mi formación como alumna de la materia, se graficarán los conceptos y las

implicancias de los distintos desarrollos de la tasa instantánea, para demostrar que, si bien se

parten de supuestos distintos, las distintas posturas llegan a un concepto único de tasa

instantánea.

3

DESARROLLO:

Tasa instantánea de interés y monto en el campo continuo:

El crecimiento del capital es una función de la variable tiempo, es continuo y se va

produciendo en cada instante del tiempo. Desde la matemática financiera nos interesa

conocer la intensidad de dicho crecimiento. La bibliografía consultada trata el tema de la tasa

instantánea desde dos enfoques que parten de supuestos distintos, pero que llegan a la misma

definición de la tasa instantánea:

3) Partiendo de una tasa efectiva para el infinitésimo, se llega a una tasa nominal con

capitalización instantánea para una unidad de tiempo (o simplemente “tasa instantánea”).

4) Partiendo del monto en el campo continuo (para lo cual se utiliza un límite notable), se

obtiene la tasa instantánea.

En este trabajo vamos a analizar ambas situaciones, mostrando gráficamente las implicancias

de ambos desarrollos.

Habiendo encontrado la tasa instantánea, estaremos en condiciones de determinar el monto

en el campo continuo. Nuevamente, a este concepto podemos arribar por dos caminos

diferentes: la utilización de límites notables o la aplicación de la integración.

En los trabajos presentados en las Jornadas de Profesores Universitarios de Matemática

Financiera: “La tasa instantánea de la operación financiera” de las Mgters. Elvira Carrizo y

Ana Karl de Vega (2012), y “La tasa instantánea es una tasa de interés, ¿o de descuento? ¿o

es ambas a la vez?, de Sebastián Fumis (2013), se concluyeron que la tasa instantánea es

única, ni de interés ni de descuento (o ambas a la vez), pues es la fuerza que define la

intensidad de la variación de los capitales en el tiempo, pudiendo considerarse una variación

positiva de la variable tiempo (por lo tanto, sería un interés), o una variación negativa de

dicha variable (lo que sería un descuento). En general, en el presente trabajo, se considerarán

variaciones positivas, pero no perdemos de vista que las conclusiones que arribemos son

aplicables a ambos tipos de variaciones.

4

Desarrollo de la tasa instantánea (de interés) a partir de una tasa efectiva para el

infinitésimo:

Como dijimos, el crecimiento del capital es una función de la variable tiempo, es continuo y

se va produciendo en cada instante del tiempo. Para conocer la intensidad de dicho

crecimiento, la velocidad de cambio, haremos uso de una herramienta fundamental, que

estudiamos en la asignatura Matemática II: la derivada.

Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥), una función definida en un punto x0 del intervalo (a, b). Se define a la

derivada de 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto x0, como el límite del cociente incremental, si existe,

cuando el incremento de la variable tiende a cero.

𝑓´(𝑥0) = lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)

∆𝑥

Para que una función sea derivable en un punto es necesario que la misma sea continua en

dicho punto (condición necesaria, pero no suficiente para la derivabilidad en el mismo).

El valor de la derivada primera 𝑓´(𝑥0) nos mide el crecimiento infinitesimal de la función en

el punto x=x0, o, lo que es lo mismo, la velocidad de cambio de la función al crecer la variable

independiente en un entorno del punto x0.

Cuando se trabaja con una función 𝑦 = 𝑓(𝑡) de la variable independiente tiempo, llamaremos

crecimiento instantáneo a 𝑓´(𝑡0) y tasa de crecimiento instantáneo al cociente 𝑓´(𝑡0)/𝑓(𝑡0).

Sea f (t0) el capital al momento t0 y t la variable que mide el tiempo en unidades de una

magnitud arbitraria cualquiera. Al cabo de n unidades de tiempo, tendremos un capital final

que simbolizaremos f (t0+n). El interés producido por el capital f (t0) en n unidades de tiempo

será [f (t0+n) - f (t0)].

Si consideramos un plazo igual a la unidad de tiempo definida (n=1), [f (t0+1) - f (t0)]

indicará el crecimiento de f (t0) en una unidad de tiempo.

Si dividimos la unidad de tiempo en m partes iguales, [f (t0+1/m) - f (t0)] será el incremento

de f (t0) en el primer m-ésimo siguiente a t0.

Suponiendo un crecimiento proporcional para los (m – 1) m-ésimos restantes (es decir, que

el incremento en cada uno de los m-ésimos en que se dividió la unidad de tiempo fuera igual

5

al incremento del primer m-ésimo), se puede determinar el crecimiento de f (t0) en una unidad

de tiempo de la siguiente manera:

𝑚 [𝑓 (𝑡0 +1

𝑚) − 𝑓(𝑡0)]

Si deseamos obtener la tasa de crecimiento proporcional (que simbolizamos 𝒊(𝒎)), debemos

dividir la expresión obtenida por el capital inicial, con lo cual obtendremos el crecimiento

para la unidad de moneda en que está expresado el capital.

𝑖(𝑚) =𝑚 [𝑓 (𝑡0 +

1𝑚) − 𝑓(𝑡0)]

𝑓(𝑡0)

Obtuvimos así una tasa nominal de interés, bajo el supuesto de que el incremento en las m

partes en que se divide la unidad de tiempo es igual al incremento del primer m-ésimo.

Si la capitalización se hace en intervalos de tiempo tan pequeños como fuese posible, es decir,

la amplitud de los intervalos se aproxima a cero, el número m de intervalos tiende a infinito.

En este caso, se puede decir que la capitalización es continua. Entonces:

𝑖 (∞) = lim𝑚→∞

1/𝑚→0

𝑚 [𝑓 (𝑡0 +1𝑚) − 𝑓(𝑡0)]

𝑓(𝑡0)

Aplicando álgebra de límites:

𝑖 (∞) =1

𝑓(𝑡0) lim

𝑚→∞1/𝑚→0

[𝑓(𝑡0 + 1/𝑚) − 𝑓(𝑡0)]

1/𝑚

Ésta es la tasa instantánea de interés que se simboliza por δ. Por aplicación de la definición

de derivada, podemos expresar δ como:

𝛿 =1

𝑓(𝑡0) .

𝑑𝑓(𝑡)

𝑑𝑡=

𝑑 ln 𝑓(𝑡)

𝑑𝑡

Que representa el incremento de la unidad de capital en una unidad de tiempo, suponiendo

que los incrementos en cada uno de los infinitésimos o instantes en que se divide la unidad

de tiempo es igual al incremento del primer instante. Por lo tanto, la tasa instantánea

(A)

6

corresponde a una unidad de tiempo y no a un infinitésimo. La tasa infinitesimal, en cambio,

es denotada por ρ por varios autores. Podríamos definir a ρ como:

𝜌 = lim𝑚→∞

1/𝑚→0

[𝑓 (𝑡0 +1𝑚) − 𝑓(𝑡0)]

𝑓(𝑡0)

δ es una tasa nominal con capitalización instantánea. Esta tasa instantánea aplicada a la

unidad de capital produce al cabo de cierto tiempo un monto igual al obtenido mediante la

aplicación de la tasa i de interés definida para la misma unidad de tiempo. Por lo tanto, la

tasa instantánea de interés es equivalente a la tasa de interés y la unidad de tiempo es la de la

operación financiera.

Analicemos gráficamente este desarrollo. Para ello, debemos tener presente la

interpretación geométrica de la derivada: el valor de la derivada de una función en un punto

es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. Apliquemos este

concepto a la Matemática Financiera:

Comencemos con el gráfico que muestra la tasa de interés (i), definida como el incremento

de una unidad de capital inicial en una unidad de tiempo.

7

Vamos a mantener constante la función de monto, independientemente del número de partes

en que se divida la unidad de tiempo, pues se calcularán tasas equivalentes. Así, dividimos

la unidad de tiempo en dos, y obtenemos una tasa equivalente para ½ unidad de tiempo.

Luego, trazamos la recta secante que une f(0) con el capital formado en media unidad de

tiempo (que si extendemos para toda la unidad de tiempo, obtendremos una tasa proporcional

i(2))

Si dividimos la unidad de tiempo en cuatro, y repetimos lo realizado en el punto anterior

tendremos:

8

Vemos cómo a medida que aumentamos el número de partes en que dividimos la unidad de

tiempo (m), la recta representativa de la tasa nominal se va aplanando.

Si m tiende a infinito, la recta secante (representativa de la tasa nominal), va a tender a la

recta tangente a la curva de la función en el punto 𝑡0:

Si ampliamos la parte del gráfico delimitada por el círculo, tendremos:

9

Si unimos los puntos 𝑓(0) = 1 y 𝑓 (1

𝑚), se obtiene la recta secante cuya pendiente es

∆𝑓(𝑡)

∆𝑡.

Cuando el número de partes en que se divide la unidad de tiempo tiende a infinito (𝑚 → ∞),

∆𝑡 tiende a cero.

Por definición de la función trigonométrica tangente surge que:

𝑖(𝑚)

𝑚= 𝑡𝑔 𝛽

Al tomar límite para el incremento de la variable que tiende a cero, la recta secante a la curva

que pasa por los puntos 𝑓(0) y 𝑓 (1

𝑚) tiende a convertirse en tangente a la curva en el punto

𝑓(0). En tal caso, el ángulo β tiende al ángulo α. Luego:

lim𝑚→∞

1/𝑚→0

[𝑓 (𝑡0 +1𝑚) − 𝑓(𝑡0)]

𝑓(𝑡0)= lim

∆𝑡→0

∆𝑓(𝑡)

∆𝑡= lim

𝛽→𝛼𝑡𝑔 𝛽

Al realizar la operación de paso al límite:

𝑓´(𝑡0) = 𝑡𝑔 𝛼

Por lo que concluimos que la derivada de la función 𝑓(𝑡) en el punto 𝑡0 es igual a la tangente

trigonométrica del ángulo que forma la tangente geométrica a la curva por dicho punto con

el sentido positivo del eje de las abscisas. O, lo que es lo mismo, es la pendiente de la recta

tangente a la función en dicho punto, y esto es lo que hemos dado en llamar ρ (tasa

infinitesimal).

Si bien se ha tomado como punto de partida, al graficar, 𝑓(0), la conclusión es aplicable a

cualquier punto de la función.

Dado que la derivación e integración son procesos contrarios, ya conocida la tasa instantánea

de interés, para obtener el capital final en el campo continuo, deberemos integrar.

Si aplicamos el método de separación de variables en la ecuación diferencial (A), tendremos:

𝛿 𝑑𝑡 = 𝑑 ln 𝑓(𝑡)

que indica el crecimiento de una unidad de capital en el primer instante siguiente al momento

0. Integrando ambos miembros entre “0” y “t”, obtenemos el incremento de la unidad de

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capital en “t” unidades de tiempo, bajo el supuesto de que la intensidad de crecimiento

durante todo el período es igual a la del primer instante:

∫ 𝛿𝑑𝑡 = ∫ 𝑑 ln 𝑓(𝑡)

𝑡

0

𝑡

0

Dada la propiedad de homogeneidad de las integrales, se puede extraer la constante 𝛿 fuera

del signo integral:

𝛿 ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑 ln 𝑓(𝑡)

𝑡

0

𝑡

0

Aplicando el método de integración inmediata, obtenemos:

𝛿𝑡 t

0= ln 𝑓(𝑡)

t

0

Aplicando la regla de Barrow:

𝛿𝑡 − 𝛿0 = ln 𝑓(𝑡) − ln 𝑓(0)

Por propiedades de logaritmo:

𝛿𝑡 = ln𝑓(𝑡)

𝑓(0)

Aplicando la definición de logaritmo:

𝑒𝛿𝑡 =𝑓(𝑡)

𝑓(0)

Con lo cual, el capital al final de un período de tiempo t será:

𝑓(𝑡) = 𝑓(0) 𝑒𝛿𝑡

Desarrollo de la tasa instantánea (de interés) a partir del monto en el campo continuo:

Para llegar al límite notable, del cual parte este desarrollo, veremos la relación del monto

continuo y el número e:

Para el campo discreto, conocemos la función 𝑓(𝑛) = 𝑓(0)(1 + 𝑖)𝑛. Siendo i constante para

las n unidades de tiempo, nos encontramos frente a una función exponencial. Siendo que 𝑓(0)

debe ser positivo, y la base (1 + 𝑖)>1, sabemos que la gráfica de la función se encuentra

íntegramente sobre el eje de las abscisas.

11

Las funciones exponenciales están relacionadas con la constante e, “descubierta” por Jacob

Bernoulli (1654-1705) al estudiar la aplicación del interés compuesto.

Supongamos un período de tiempo anual, un capital inicial de $1 y una tasa enunciada (𝑖(𝑚))

de 1 anual. Vamos a dividir ese período en m partes iguales.

A lo largo del año, el monto obtenido estará dado por:

𝑓(𝑚) = (1 +𝑖(𝑚)

𝑚)

𝑚

Si la unidad de tiempo es el año, sólo capitalizaremos al final del mismo:

𝑢𝑡 = 𝑎ñ𝑜 (B)

𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 = 1 𝑎ñ𝑜

𝑚 = 1

𝑓(1) = (1 + 1) = 2

En este caso, la tasa enunciada y la tasa efectiva anual serían iguales.

Si la unidad de tiempo es el semestre, capitalizaremos 2 veces a lo largo del año. Esta unidad

de tiempo resulta ser la mitad de la unidad de tiempo definida en (B)

𝑢𝑡∗ = 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 ∴ 𝑢𝑡∗ =1

2𝑎ñ𝑜 =

1

2𝑢𝑡

𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 = 1 𝑎ñ𝑜

𝑚 = 2

𝑓(2) = (1 +1

2)

2

= 2,25

Si la unidad de tiempo es el trimestre, capitalizaremos 4 veces a lo largo del año. Esta unidad

de tiempo resulta ser un cuarto de la unidad de tiempo definida en (B):

𝑢𝑡∗ = 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 ∴ 𝑢𝑡∗ =1

4𝑎ñ𝑜 =

1

4𝑢𝑡

𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 = 1 𝑎ñ𝑜

12

𝑚 = 4

𝑓(4) = (1 +1

4)

4

= 2,44140625

Si la unidad de tiempo es el día, capitalizaremos 365 veces a lo largo del año. Esta unidad de

tiempo resulta 1/365 parte de la unidad de tiempo definida en (B):

𝑢𝑡∗ = 𝑑í𝑎 ∴ 𝑢𝑡∗ =1

365𝑎ñ𝑜 =

1

365𝑢𝑡

𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 = 1 𝑎ñ𝑜

𝑚 = 365

𝑓(365) = (1 +1

365)

365

= 2,714567482

¿Qué sucedería si capitalizamos de manera continua, en el infinitésimo?.

Sabemos que el lim𝑚→∞

(1 +1

𝑚)

𝑚

es el número e. Fue Bernoulli quien notó que la sucesión de

números de término general (1 +1

𝑚)

𝑚

, a medida que n aumenta, se aproxima a un límite que

no supera (que luego Euler llamaría número e).

Si aplicamos a dicho límite el desarrollo binómico de Newton, que nos permite hallar las

potencias de un binomio, suponiendo que m sea un número natural, se tendrá:

(1 +1

𝑚)

𝑚

= 1 + ( 𝑚

1)

1

𝑚+ (

𝑚

2)

1

𝑚2+ (

𝑚

3)

1

𝑚3+ ⋯ + (

𝑚

𝑚)

1

𝑚𝑚=

= 1 + 𝑚1

𝑚+

𝑚(𝑚 − 1)

1.2.

1

𝑚2+

𝑚(𝑚 − 1)(𝑚 − 2)

1.2.3.

1

𝑚3+ ⋯

+𝑚(𝑚 − 1) … (𝑚 − 𝑚 + 1)

1.2.3 … 𝑚.

1

𝑚𝑚=

= 1 + 1 +1

2!.𝑚(𝑚 − 1)

𝑚2+

1

3!.𝑚(𝑚 − 1)(𝑚 − 2)

𝑚3+ ⋯ +

1

𝑚!.𝑚(𝑚 − 1) … (𝑚 − 𝑚 + 1)

𝑚𝑚

= 1 + 1 +1

2!. (1 −

1

𝑚) +

1

3!. (1 −

1

𝑚) (1 −

2

𝑚) + ⋯ +

1

𝑛!. (1 −

1

𝑚) (1 −

2

𝑚) … (1 −

𝑚 − 1

𝑚) (C)

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Cuando m crezca, los factores entre paréntesis serán mayores. Simultáneamente, aumenta el

número de términos. No obstante ello, cualquiera que sea el valor de m, resulta que

(1 +1

𝑚)

𝑚

es mayor que 2 y menor que 3. Gómez Mur, en Lecciones de Álgebra Financiera

(ver Bibliografía), demuestra por qué ello es así.

Si suponemos que m tiende a infinito, el desarrollo de la potencia, al tender a cero las

fracciones sustraendos de los paréntesis de (C), dan a éstos el valor de 1, por lo que pueden

prescindirse de ellos en el desarrollo, convirtiéndose en una serie, y

𝑒 = lim𝑚→∞

(1 +1

𝑚)

𝑚

= ∑1

ℎ!= 1 +

1

1!+

1

2!+

1

3!+ ⋯ +

1

ℎ!+ ⋯

∞

ℎ=0

Para determinar su valor, bastará ir calculando el de sus términos, todos los cuales, a

excepción de los 3 primeros, originan fracciones periódicas que requieren una limitación de

sus infinitas cifras. Si nos detenemos en el término 1

16! , el error cometido será la suma de

todos los términos siguientes despreciados, que es menor a 0,000.000.000.000.010 (una

unidad de 14° orden). Por ello, acotamos a 14 cifras los cálculos:

Si descartamos la última cifra (que podría variar), obtuvimos el número e =

2,7182818284590.

1 = 1,00000000000000 + 1 = 1,00000000000000 + 1/2! = 0,50000000000000 + 1/3! = 0,16666666666667 + 1/4! = 0,04166666666667 + 1/5! = 0,00833333333333 + 1/6! = 0,00138888888889 + 1/7! = 0,00019841269841 + 1/8! = 0,00002480158730 + 1/9! = 0,00000275573192 + 1/10! = 0,00000027557319 + 1/11! = 0,00000002505211 + 1/12! = 0,00000000208768 + 1/13! = 0,00000000016059 + 1/14! = 0,00000000001147 + 1/15! = 0,00000000000076 + 1/16! = 0,00000000000005

Suma: 2,71828182845904

14

Éste sería el monto obtenido a partir de $1 de capital inicial, en una unidad de tiempo (un año

en este ejemplo), la cual se ha dividido en infinitas partes, capitalizando al instante, siendo la

tasa enunciada igual a 1 anual.

Buscando generalizar el desarrollo anterior, dada una tasa nominal 𝑖(𝑚) (para seguir con el

ejemplo, diremos que es anual), que mantendremos constante, el monto formado a lo largo

de una unidad de tiempo, la cual se ha dividido en m partes, para un capital inicial de $1,

será:

𝑓(𝑚) = (1 +𝑖(𝑚)

𝑚)

𝑚

Tomando límite para m que tiende a infinito, obtendremos la fórmula de monto en el campo

continuo (con capitalización instantánea):

lim𝑚→∞

(1 +𝑖(𝑚)

𝑚)

𝑚

Definamos 1

ℎ=

𝑖(𝑚)

𝑚, por lo tanto: 𝑚 = 𝑖(𝑚). ℎ

Reemplazando en (D):

lim𝑚→∞ℎ→∞

(1 +1

ℎ)

𝑖(𝑚).ℎ

Dijimos que 𝑖(𝑚) es constante, que podemos simbolizar como 𝑖(∞)o δ. Aplicando álgebra de

los límites y propiedades de la potencia, tendremos:

[ limℎ→∞

(1 +1

ℎ)

ℎ

]

𝛿

El límite que está entre corchetes, según desarrollamos, es igual al número e, por lo tanto

lim𝑚→∞

(1 +𝑖(𝑚)

𝑚)

𝑚

= [ limℎ→∞

(1 +1

ℎ)

ℎ

]

𝛿

= 𝑒𝛿

Que será el monto de $1 de capital inicial en una unidad de tiempo bajo el supuesto de que

la intensidad de crecimiento durante toda la unidad de tiempo es igual a la del primer instante.

(D)

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Consideramos ahora un plazo que contiene t veces la unidad de tiempo definida. En el

ejemplo desarrollado, la unidad de tiempo es el año, por lo cual ahora el plazo será t años,

con un capital inicial de $1, y una tasa enunciada de 𝑖(𝑚) anual, con lo cual obtendremos a lo

largo de t años un capital final de:

𝑓(𝑛) = (1 +𝑖(𝑚)

𝑚)

𝑚𝑡

Tomando límite para m que tiende a infinito, y aplicando álgebra de los límites, tendremos

lim𝑚→∞

[(1 +𝑖(𝑚)

𝑚)

𝑚𝑡

] = [ lim𝑚→∞

(1 +𝑖(𝑚)

𝑚)

𝑚

]

𝑡

= 𝑒𝛿𝑡

Así Sibarini, en “Lezioni di Matematica Generale e Finanziaria”, define al régimen de

capitalización instantánea como el límite de un régimen de capitalización compuesta a

período 1

𝑚 de año cuando m tiende al infinito, esto es cuando el período de capitalización

deviene infinitésimo1.

Si partimos de la expresión del monto para una unidad de tiempo, tanto en el campo continuo

como en el campo discreto, formado a partir de un capital inicial de $1:

𝑒𝛿 = (1 + 𝑖)

Para obtener la expresión de δ, tomamos logaritmos naturales en ambos miembros:

𝛿. ln 𝑒 = ln(1 + 𝑖)

𝛿 = ln(1 + 𝑖)

Generalizando, el monto para t unidades de tiempo de un capital inicial 𝑓(0) estará dado por

las siguientes expresiones, correspondientes al campo continuo y discreto respectivamente.

𝑓(0)𝑒𝛿𝑡 = 𝑓(0)(1 + 𝑖)𝑡 = 𝑓(𝑡)

1 Traducción propia y adaptación de simbología.

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Que es la expresión a la que habíamos arribado al integrar.

Grafiquemos el desarrollo de la tasa instantánea desde este enfoque. Partimos de una tasa

nominal anual igual a 1, que mantendremos constante, independientemente del número de

partes en que se divida la unidad de tiempo (en este caso, el año). Esta tasa nominal se ha

representado de color rojo.

Si computamos los intereses sólo al final del año, tendremos una curva de monto como la

graficada en color celeste. De esta manera, la tasa efectiva es igual a la tasa enunciada, y el

monto obtenido por cada $1 de capital inicial es igual a (1 + 1)𝑡 = $2

Pero si dividimos unidad de tiempo en 2 partes iguales, y utilizamos la misma tasa nominal,

al cabo del año, por cada $1 de capital inicial, tendremos un monto de $2,25, según surge de

la función (1 +1

2)

2𝑡

. Esta función se ha representado en color verde.

Si dividimos al año en trimestres, utilizando la tasa nominal anual de 1, al cabo del año, por

$1 de capital inicial, tendremos un monto de $2,44140625, que surge de la función (1 +1

4)

4𝑡

.

Esta función se ha representado en color amarillo.

Bajo los mismos supuestos, si dividimos al año en 365 días, tendremos al cabo del año un

monto de $2,7145. La función (1 +1

365)

365𝑡

se ha graficado en color negro.

Si dividiésemos el año en segundos, partiendo de $1 de capital inicial, y con una tasa nominal

anual de 1, tendríamos al cabo de un año un monto de $2,7828, que se aproxima al número

e, monto en el campo continuo de $1 de capital inicial en 1 unidad de tiempo con un tasa

instantánea (δ) igual a 1 (anual en el ejemplo dado).

Vemos cómo al aumentar m, tomando la misma tasa nominal, el monto obtenido es cada vez

mayor, pues, si obtenemos las tasas anuales equivalentes, las mismas también serán cada vez

mayores, lo cual aumenta la base de la función exponencial (1 + 𝑖(𝑚))𝑡. Cuanto mayor sea

la magnitud de la base, más aumentará la tasa en f(t) al elevarse el valor de t.

17

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CONCLUSIONES:

Las herramientas matemáticas estudiadas en la asignatura Matemática II (Análisis

Matemático), encuentran una interesante aplicación en la Matemática Financiera, en la tasa

instantánea.

Como pudimos observar, la manera de arribar a la definición de tasa instantánea varía según

los autores, pero finalmente se llega a una tasa proporcional al infinitésimo, definida para

una unidad de tiempo, aplicando las herramientas de derivada y/o límites notables. También

hemos utilizado la integración (proceso contrario a la derivación), las ecuaciones

diferenciales y las nociones de serie, los cuales forman parte del programa de Matemática II.

Es frecuente la pregunta de los alumnos, al cursar las matemáticas puras, acerca de la utilidad

de lo aprendido. Estoy convencida que mostrar en el aula aplicaciones matemáticas y

económicas, contribuyen a una mejor comprensión de los temas.

Por otro lado, es habitual que los alumnos vean a las asignaturas como compartimentos

estancos, sin relación. En este caso vemos cómo es necesario recordar los contenidos de

Matemática II al cursar Matemática Financiera.

Finalmente, el desarrollo de las tecnologías y el fácil acceso a las mismas, han llevado a

despojarnos de cálculos matemáticos, a veces tediosos. Sin embargo, como docentes,

considero que es necesario conocer las matemáticas que justifican nuestros cálculos.

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BIBLIOGRAFÍA:

Andonian, Olga G: “Matemática Finaciera: Material Teórico”, Asociación Cooperadora de

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