matemática financiera -
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matematica rentasTRANSCRIPT
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Historia que compromete
Diplomado en Gerencia Financiera
de Empresas
Matemtica Financiera
Rafael J. Avila D.
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Historia que compromete
Presentacin y cules son sus expectativas
Objetivos
Informacin General
Metodologa
Agenda
Contenido del Mdulo
Historia que compromete
Cmo impacta el uso del crdito a la empresa?
Qu se puede hacer para mejorar la situacin financiera de la empresa?
Cuando hablamos de Finanzas surgen distintas interrogantes sobre el tema;
algunas de ellas son:
Cul es la situacin financiera de la empresa?
Cmo puede el buen manejo de las finanzas mejorar el desempeo de la empresa?
Preguntas frecuentes sobre Finanzas
Cmo puedo evaluar un proyecto? Cmo comparo opciones de inversin?
Cmo es su desempeo? Cmo lo mido?
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Historia que compromete
Objetivos del Mdulo
Introducir conceptos tericos de las finanzas y familiarizar al participante con la
terminologa financiera.
Introducir al participante en el concepto del valor del dinero en el tiempo, de modo que
sepa discernir acerca del riesgo y rendimiento de las inversiones.
Suponiendo ausencia de incertidumbre, presentar metodologas y modelos matemticos
para calcular rentas y amortizaciones haciendo uso del inters simple y del inters
compuesto.
Introducir cmo funcionan los productos financieros ms frecuentes de la banca
venezolana: crditos de automviles y viviendas, fondos de ahorro, etc. A su vez,
introducir la metodologa para valorar otros instrumentos financieros como bonos y
acciones.
Hacer consideraciones generales de evaluacin de proyectos y valoracin de empresas
en marcha.
Por ltimo, introducir algunos productos derivados y conceptos de VaR.
Historia que compromete
Rafael J. Avila D.
Ingeniero Civil, UCAB (1998). Master en Administracin de Empresas, IESA (2002), Master en Polticas Pblicas, IESA (2005), Master en Finanzas, IESA (2005), Caracas, Venezuela. PhD. in Economics de la SMC University, Zug,
Suiza (candidato).
Orientado a Finanzas Corporativas, anlisis de mercado y estrategia. Slida experiencia en gerencia de proyectos,
Banca y Finanzas, y Evaluacin de proyectos y Emprendimiento. Experiencia en riesgo de mercado, riesgo de
liquidez, riesgo financiero y control de riesgo crediticio. Ha trabajado en gerencia de construccin, banca y casas de
bolsas. Amplia experiencia en consultora financiera, y creacin y manejo de portafolios de inversin.
Profesor con concentracin en Contabilidad, Finanzas Personales, Economa, Emprendimiento, Evaluacin de
Proyectos y Finanzas Corporativas, en IESA, UCAB, Universidad Montevila e Instituto de Finanzas y Empresas,
en Caracas, Venezuela. Ha sido ponente en distintos foros sobre Economa y Finanzas, y Emprendimiento. Es
Decano de la Facultad de Ciencias Econmicas y Administrativas de la Universidad Montevila. Es director-
fundador del Centro de Estudios para la Innovacin y el Emprendimiento de la Universidad Montevila, y del Centro
de Polticas Pblicas Fundacin Siglo y Compromiso.
Co-autor del Time Series Stochastic Properties of Growth Miracles and Growth Disasters, ganador del Best
Paper Award en el International Business & Economic Research Meeting 2006, y publicado en el International
Business & Economics Research Journal (Nov. 2006).
Informacin General
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Historia que compromete
Rafael J. Avila D.
Ofic. 0212-2666460
Cel. 0414-3384146
PIN: 2687DC71
twitt me @rjavilad
www.rafael-avila.net
Informacin General
Historia que compromete
Discusiones terico-prcticas sobre principios y conceptos generales,
y sobre tcnicas y/o herramientas particulares.
Asignacin de ejercicios y evaluacin conceptual para poner en
prctica los conocimientos adquiridos.
Por favor no se quede con dudas.
Metodologa del Mdulo
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Historia que compromete
GARAY, Urbi; GONZLEZ, Maximiliano. Fundamentos de Finanzas. 2da. Ed.
Ediciones IESA, 2007.
ROSS, Stephen A.; WESTERFIELD, Randolph W; JAFFE, Jeffrey. Finanzas
Corporativas. McGraw Hill, 7ma. Ed., Mxico, 2005.
BESLEY, Scott; BRIGHAM, Eugene; Fundamentos de Administracin
Financiera. McGraw Hill.
HORNGREN, SUNDEM, ELLIOT. Introduccin a Contabilidad Financiera.
7ma. Ed. Prentice Hall.
NAJUL, Miguel. Valoracin de Proyectos. Ediciones IESA.
HULL, John. Options, Futures, and Other Derivatives (9th Edition).
FABOZZI, Frank J. The Handbook of Fixed Income Securities. Eighth
Edition.
Bibliografa Recomendada
Historia que compromete
1. Introduccin: La importancia de las Finanzas en el mundo de los negocios
2. Inters simple
3. Inters compuesto
4. Descuentos
5. Rentas
6. Derivados
7. Value at Risk
8. Reflexiones finales
Contenido
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Historia que compromete
Introduccin al tema
Qu son las Finanzas?
La ciencia del dinero
Negocios, banca, asuntos econmicos, en muchos aspectos de la vida
Disciplina que estudia la relacin entre las personas y el dinero
Los postulados bsicos
El dinero vale ms hoy que maana
No existe nada gratuito
El mercado define el valor de las cosas
El ser humano es adverso al riesgo, excepto por el beneficio
La diversificacin reduce el riesgo
Historia que compromete
Introduccin al tema
Para qu sirven las Finanzas? Toma de decisiones:
Evaluacin de Proyectos
Proyecciones: Expectativas de futuro
Correcciones de proyectos o empresas en marcha
Control de Gestin: El manejo de un recurso escaso
Quines las usan?
Emprendedores
Gerentes y Administradores
Financistas y Acreedores
Inversionistas
Estado
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Historia que compromete
Intermediacin Financiera
Excedentarios Familias
Particulares
Empresas
Estado
Deficitarios Familias
Particulares
Empresas
Estado
Instituciones
Bancarias
Historia que compromete
Desintermediacin Financiera
Excedentarios Familias
Particulares
Empresas
Estado
Deficitarios Empresas
Estado
Dividendos, Intereses
Capital
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Historia que compromete
El Mercado Monetario
Intermediacin financiera del dinero.
Bancos e instituciones financieras.
Instrumentos de Inversin del Mercado Monetario:
Depsitos a plazo fijo:
Emitidos por los bancos.
Otorgan rendimientos predeterminados.
Derecho de percibir intereses o una renta fija as como el reembolso de capital.
Cuenta Corriente o ahorro.
Historia que compromete
El Crdito
El crdito es la oportunidad de utilizar dinero de otras personas en nuestro beneficio.
El punto clave es: Cundo endeudarse, por qu endeudarse, para qu endeudarse y
cmo garantizamos que el crdito no se convierta en una carga que aleje a la
empresa de alcanzar sus metas financieras.
394,5 BsF.
1.000 BsF. 1.000 BsF.
Intereses efectivos cobrados
Se us una tasa del 23%, en un periodo de 36 meses.
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Historia que compromete
Al hablar de Crditos hay que hablar de
Inters
El inters o tasa de inters es la cantidad que nos cobran por
prestarnos una suma de dinero, y tambin es la cantidad de
dinero que nosotros cobramos cuando prestamos a otros.
La tasa de inters siempre est dada en trminos
porcentuales anuales.
Tasa de Inters Nominal: La que nos dicen que nos van a
cobrar.
Tasa de Inters Efectiva: La que realmente nos cobran.
Tipos de inters:
Inters Simple
Inters Compuesto
Historia que compromete
100 10 10 10 10 10
10% 10% 10% 10% 10%
El Inters Simple Total Capital + Intereses = 150
100 100 100 100 100
100 10 11 12 15 13
10% 10% 10% 10% 10%
110 121 133 146 161
El Inters Compuesto
Intereses sobre Intereses
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10
Historia que compromete
El Valor del Dinero en el Tiempo
El factor tiempo juega un papel decisivo a la hora de fijar el
valor de un capital. No es lo mismo disponer de 1 milln de
bolvares hoy que dentro de un ao, ya que el dinero se va
depreciando como consecuencia de la inflacin.
Por lo tanto, 1 milln de bolvares en el momento actual ser
equivalente a 1 milln de bolvares ms una cantidad
adicional dentro de un ao. Esta cantidad adicional es la que
compensa la prdida de valor que sufre el dinero durante ese
periodo.
Historia que compromete
El Valor del Dinero en el Tiempo
Hay dos reglas bsicas en matemticas financieras:
Ante dos capitales de igual cuanta en distintos momentos, se preferir
aqul que sea ms cercano.
Ante dos capitales en el mismo momento pero de distinto importe, se
preferir aquel de importe ms elevado.
Para poder comparar dos capitales en distintos instantes, hay
que hallar el equivalente de los mismos en un mismo
momento, y para ello utilizaremos las frmulas de matemtica
financiera.
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Historia que compromete
El Valor del Dinero en el Tiempo
Ejemplo: Qu es preferible disponer de 2 millones de
bolvares dentro de 1 ao, de 2 millones dentro de 5 aos?
Qu es preferible disponer de 2 millones de bolvares dentro
de 1 ao, de 4 millones dentro de 5 aos?
Para contestar a esta pregunta hay que calcular equivalentes
de ambos importes en un mismo instante.
As, por ejemplo, si aplicando las leyes financieras resulta que
el primer importe equivale a 1,5 millones en el momento
actual, y el segundo equivale a 1,4 millones, veremos que es
preferible elegir la primera opcin.
Historia que compromete
El Valor del Dinero en el Tiempo
Hemos calculado los importes equivalentes en el momento
actual, pero podramos haber elegido cualquier otro instante
(dentro de 1 ao, dentro de 5 aos, etc.), y la eleccin habra
sido la misma.
Las leyes financieras que nos permiten calcular el equivalente
de un capital en un momento posterior, se llaman Leyes de
Capitalizacin, mientras que aquellas que nos permiten
calcular el equivalente de un capital en un momento anterior,
se denominan Leyes de Descuento.
Estas leyes financieras nos permiten tambin sumar o restar
capitales en distintos momentos.
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Historia que compromete
El Valor del Dinero en el Tiempo
Ejemplo: Si vamos a recibir 1 milln de bolvares dentro de 6
meses y 2 millones dentro de 9 meses, no los podemos
sumar directamente, sino que tendremos que hallar sus
equivalente en un mismo instante (el momento actual, dentro
de 6 meses, 9 meses, etc.) y entonces s se podrn sumar.
Historia que compromete
1. Introduccin: La importancia de las Finanzas en el mundo de los negocios
2. Inters simple
3. Inters compuesto
4. Descuentos
5. Rentas
6. Derivados
7. Value at Risk
8. Reflexiones finales
Contenido
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Historia que compromete
100 10 10 10 10 10
10% 10% 10% 10% 10%
El Inters Simple
Total Capital + Intereses = 150
100 100 100 100 100
Recuerdan cmo funciona?
Historia que compromete
La capitalizacin simple es una frmula financiera que permite
calcular el equivalente de un capital en un momento posterior.
Es una ley que se utiliza exclusivamente en el corto plazo
(periodos menores de 1 ao), ya que para periodos ms largos
se utiliza la "Capitalizacin compuesta", que veremos ms
adelante.
La Capitalizacin Simple
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Historia que compromete
La frmula que nos sirve para calcular los intereses que genera
un capital es la siguiente:
I = Co * i * t
Donde:
I: son los intereses que se generan
Co: es el capital inicial (en el momento t=0)
i: es la tasa de inters que se aplica
t: es el tiempo que dura la inversin
Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 5
millones de dlares a un tipo del 15% durante un plazo de 1
ao.
La Capitalizacin Simple
Historia que compromete
I = 5.000.000 * 0,15 * 1
I = 750.000 USD.
Una vez que hemos calculado el importe de los intereses,
podemos calcular el importe del capital final:
Cf = Co + I
Cf = Co + ( Co * i * t )
Cf = Co * ( 1 + ( i * T ))
Donde, Cf: es el capital final
La Capitalizacin Simple
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Historia que compromete
Ejemplo: Cul era el capital final en el ejemplo anterior?
Cf = Co + I
Cf = 5.000.000 + 750.000
Cf = 5.750.000 USD
Hay un aspecto que es importante tener en cuenta: el tipo de
inters y el plazo deben referirse a la misma medida temporal
(si el tipo es anual, el plazo debe de ir en aos, si el tipo es
mensual, el plazo ir en meses, etc.)
La Capitalizacin Simple
Historia que compromete
Cmo se calcula el tipo de inters equivalente, segn distinta
unidad de tiempo?
Veamos un ejemplo: tipos equivalentes a una tasa anual del 15%.
Base temporal Clculo Tipo resultante
Ao 15 / 1 15 %
Semestre 15 / 2 7,5 %
Cuatrimestre 15 / 3 5 %
Trimestre 15 / 4 3,75 %
Mes 15 / 12 1,25 %
Da 15 / 365 0,041 %
La Capitalizacin Simple
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Historia que compromete
El resultado que se habra obtenido en el anterior ejemplo es
independiente del tipo de base temporal que se hubiera
tomado. Eso s, si el inters va en base semestral, el plazo ir
en semestre, etc.
Base temporal Intereses
Ao 5.000.000 * 0,15 * 1 = 750.000
Semestre 5.000.000 * 0,075 * 2 = 750.000
Cuatrimestre 5.000.000 * 0,05 * 3 = 750.000
Trimestre 5.000.000 * 0,0375 * 4 = 750.000
Mes 5.000.000 * 0,0125 * 12 = 750.000
Da 5.000.000 * 0,0041 * 365 = 750.000
La Capitalizacin Simple
Historia que compromete
Ejemplo: calcular los intereses que producen 5 milln de
bolvares al 15% anual durante 3 meses:
Si utilizo como base temporal meses, tengo que calcular el tipo mensual
equivalente al 15% anual: 1,25% (= 15 / 12)
Ya puedo aplicar la frmula: I = Co * i + t
I = 5.000.000 * 0,0125 * 3 = Bs 187.500
La Capitalizacin Simple
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Historia que compromete
1. Calcular el inters que generan 500.000 USD durante 4 meses a un tipo de
inters anual del 10%. (Rta. I = 16.666 USD)
2. Calcular el capital final que tendramos si invertimos 1.000.000 Bs durante 6
meses al 12%. (Rta. Cf = Bs 1.060.000)
3. Recibimos 500.000 ptas. dentro de 6 meses y 800.000 ptas. dentro de 9
meses, y ambas cantidades las invertimos a un tipo del 15%. Calcular que
importe tendramos dentro de 1 ao.
4. Qu es preferible recibir 500.000 Euros dentro de 3 meses, 400.000 Euros
dentro de 6 meses, o 600.000 Euros dentro de 1 ao, si estos importe se
pueden invertir al 12%?
5. Calcular los tipos anuales equivalentes: a) 4% semestral; b) 3% cuatrimestral;
c) 5% trimestral; d) 1,5% mensual.
La Capitalizacin Simple Ejercicios
Historia que compromete
1. Introduccin: La importancia de las Finanzas en el mundo de los negocios
2. Inters simple
3. Inters compuesto
4. Descuentos
5. Rentas
6. Derivados
7. Value at Risk
8. Reflexiones finales
Contenido
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Historia que compromete
La Magia del Inters Compuesto
Recuerdan cmo funciona?
100 10 11 12 15 13
10% 10% 10% 10% 10%
110 121 133 146 161
Intereses sobre Intereses
Historia que compromete
La capitalizacin compuesta es otra frmula financiera que tambin
permite calcular el equivalente de un capital en un momento
posterior.
La diferencia entre la capitalizacin simple y la compuesta radica
en que en la simple slo genera intereses el capital inicial, mientras
que en la compuesta se considera que los intereses que va
generando el capital inicial, ellos mismos van generando nuevos
intereses.
Decamos que la capitalizacin simple slo se utiliza en
operaciones a corto plazo (menos de 1 ao), mientras que la
capitalizacin compuesta se utiliza tanto en operaciones a corto
plazo, como a largo plazo.
La Capitalizacin Compuesta
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Historia que compromete
La frmula de capitalizacin compuesta que nos permite
calcular los intereses es la siguiente:
Donde,
I: son los intereses que se generan
Co: es el capital inicial (en el momento t=0)
i: es la tasa de inters que se aplica
t: es el tiempo que dura la inversin
La Capitalizacin Compuesta
11* tiCoI
Historia que compromete
Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 2
millones de bolvares a un tipo del 10% durante un plazo de 1
ao.
I = 200.000 Bs.
Una vez calculado el importe de los intereses, podemos calcular
el importe del capital final:
Cf = Co + I
Ejemplo: Cual ser el capital final en el ejemplo anterior?
Cf = 2.000.000 + 200.000
Cf = 2.200.000 Bs.
La Capitalizacin Compuesta
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Historia que compromete
Al igual que vimos al estudiar la capitalizacin simple, tambin en
la capitalizacin compuesta es importante tener en cuenta que el
tipo de inters y el plazo deben referirse a la misma base
temporal.
El clculo de los tipos de inters equivalentes, referidos a distinta
base temporal, es diferente al que vimos en la capitalizacin
simple. La formula de clculo es la siguiente:
(m se refiere a la base temporal que se utiliza)
(m = 1, para aos) (m = 2, para semestres)
(m = 3, para cuatrimestres) (m = 4, para trimestres)
(m = 12, para meses) (m = 365, para das)
La Capitalizacin Compuesta
mmii 11
Historia que compromete
La tasa de inters siempre esta dada en trminos anuales.
Tasa de Inters Nominal: La que nos dicen que nos van a cobrar
Tasa de Inters Efectiva: La que realmente nos cobran
La Capitalizacin Compuesta
100 110 10%
1 ao
100
105 1 ao
5% 5% 110,25
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Historia que compromete
Veamos, por ejemplo, los tipos equivalentes al 15% anual.
Base temporal Clculo Tipo equivalente Semestre Cuatrimestre Trimestre Mes Da
La Capitalizacin Compuesta
365365
12
12
4
4
3
3
2
2
115,01
115,01
115,01
115,01
115,01
i
i
i
i
i
%038,0
%17,1
%56,3
%76,4
%24,7
365
12
4
3
2
i
i
i
i
i
Historia que compromete
Ambas leyes de capitalizacin dan resultados diferentes.
Vamos a analizar en qu medida la aplicacin de una u otra ley
en el clculo de los intereses, da resultados mayores o
menores, y para ello vamos a distinguir tres momentos:
Periodos inferiores a la unidad de referencia (en nuestro caso el
ao): en este supuesto, los intereses calculados con la ley de
capitalizacin simple son mayores que los calculados con la ley
de capitalizacin compuesta.
Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un
capital de 4 millones de euros, durante 3 meses, a un tipo de
inters del 12%:
Capitalizacin Compuesta
vs Capitalizacin Simple
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Historia que compromete
Capitalizacin simple
I = 120.000 euros.
Capitalizacin compuesta
I = 116.000 euros.
Se comprueba, por tanto, como el inters calculado con la
frmula de la capitalizacin simple es superior al calculado con
la frmula de capitalizacin compuesta.
Capitalizacin Compuesta
vs Capitalizacin Simple
Historia que compromete
Periodos iguales a un ao: en estos casos, ambas frmulas dan
resultados idnticos.
Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un
capital de 2 millones de dlares, durante 1 ao, a un tipo de
inters del 15%:
Capitalizacin simple
I = 300.000 USD
Capitalizacin compuesta
I = 300.000 USD
Se comprueba, por tanto, como los intereses calculados con
ambas frmulas son iguales.
Capitalizacin Compuesta
vs Capitalizacin Simple
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Historia que compromete
Periodos superiores a un ao: en estos casos, los intereses
calculados con la frmula de capitalizacin compuesta son superiores
a los calculados con la frmula de capitalizacin simple.
Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital
de 5 millones de pesetas, durante 2 aos, a un tipo de inters del
10%:
Capitalizacin simple
I = 1.000.000 ptas.
Capitalizacin compuesta
I = 1.050.000 ptas.
Se puede comprobar, por tanto, cmo en este caso el inters
calculado con la frmula de capitalizacin compuesta es ms elevado.
Capitalizacin Compuesta
vs Capitalizacin Simple
Historia que compromete
No obstante, como ya hemos indicado anteriormente, la frmula
de capitalizacin simple slo se utiliza con operaciones de corto
plazo (menos de 1 ao), mientras que la de capitalizacin
compuesta se puede utilizar en el corto y en el largo plazo.
Capitalizacin Compuesta
vs Capitalizacin Simple
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Historia que compromete
La Capitalizacin Compuesta Ejercicios
1. Calcular el inters de un capital de 5.000.000 ptas. invertidos durante
un ao y medio al 16%, aplicando capitalizacin simple y
capitalizacin compuesta.
2. Hallar el equivalente del 16% anual en base: a) mensual; b)
cuatrimestral; c) semestral. Aplicando la frmula de capitalizacin
compuesta. Rta: i = 0,0124; i = 0,0507; i = 0,0770
3. Se recibe un capital de 1 milln de Bs. dentro de 6 meses y otro
capital de 0,5 millones Bs. dentro de 9 meses. Ambos se invierten al
12% anual. Qu importe se tendr dentro de 1 ao, aplicando
capitalizacin compuesta? Rta: Ct= 1.058.301 + 514.369 = 1.572.670
Bs.
Historia que compromete
La Capitalizacin Compuesta Ejercicios
4. Qu intereses seran mayores: los de un capital de 600.000 USD
invertidos durante 6 meses al 15% anual, aplicando capitalizacin
simple, o los de un capital de 500.000 USD invertidos durante 8
meses al tipo del 16% en capitalizacin compuesta?
5. Si un capital de 1 milln de euros genera unos intereses durante 6
meses de 150.000 euros, qu tasa de inters se estara aplicando si
se estuviera usando la capitalizacin simple?, y la capitalizacin
compuesta? Rta: Capitalizacin simple: i = 0,3 (30%) Capitalizacin
compuesta: i = 0,322 (32,2%)
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Historia que compromete
La Capitalizacin Compuesta
100 110 132 156 212 183
10% 10% 10% 10% 10%
10 10 10 10
120 142 193 166
Inters compuesto + aportes
Historia que compromete
La Capitalizacin Compuesta
Tipo Capital Intereses Total
Inters Simple 100 50 150
Inters Compuesto 100 61 161
Inters Compuesto ms Aportes 140 72 212
El Inters es la herramienta para multiplicar su dinero
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Historia que compromete
Tasas Nominales vs. Tasas Efectivas
Si el inters es Simple:
Tasa Nominal anual = Tasa Efectiva
Si el inters es Compuesto:
Tasa Nominal anual Tasa Efectiva
Donde:
L: perodo mayor
l: perodo menor
lLlL ii/
11
Historia que compromete
Tasas Nominales vs. Tasas Efectivas
A mayor periodicidad, mayor es la tasa de inters.
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Historia que compromete
1. Introduccin: La importancia de las Finanzas en el mundo de los negocios
2. Inters simple
3. Inters compuesto
4. Descuentos
5. Rentas
6. Derivados
7. Value at Risk
8. Reflexiones finales
Contenido
Historia que compromete
La operacin financiera de descuento es la inversa a la
operacin de capitalizacin. Con esta operacin se calcula
el capital equivalente en un momento anterior de un
importe futuro.
Mientras que la ley de capitalizacin calcula unos
intereses que se les aade al importe principal,
compensando el aplazamiento en el tiempo de su
disposicin, en las leyes de descuento es justo al
contrario: se calculan los intereses que hay que pagar por
adelantar la disposicin del capital.
Descuento
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Historia que compromete
Dentro de las leyes de descuento, se pueden
distinguir tres modelos:
1. Descuento comercial
2. Descuento racional
3. Descuento compuesto (econmico)
Descuento
Historia que compromete
La ley financiera del descuento comercial, que permite
calcular el importe del descuento, es la siguiente:
D = Co * d * t
Donde,
D: son los intereses que hay que pagar
Co: es el capital inicial (en el momento t=0)
d: es la tasa de descuento que se aplica
t: es el tiempo que dura la inversin
Descuento Comercial
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Historia que compromete
Veamos un ejemplo: calcular los intereses de descuento
que generan 2 millones de bolvares, descontados a un
tipo del 15%, durante un plazo de 1 ao.
D = 2.000.000 * 0,15 * 1
D = 300.000 Bs.
Una vez que conocemos el importe del descuento, se
puede calcular el capital final (que equivale al capital inicial
menos el importe del descuento):
Cf = Co D
Descuento Comercial
Historia que compromete
Cf = Co - ( Co * d * t )
Cf = Co * ( 1 - ( d * t ))
Donde,
Cf: es el capital final
Ejemplo: Cul ser el capital final en el ejemplo anterior?
Cf = 2.000.000 -300.000
Cf = 1.700.000 Bs.
Descuento Comercial
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Historia que compromete
Al igual que ya hemos visto con las leyes de capitalizacin, es
importante tener en cuenta que el tipo de inters y el plazo deben
referirse a la misma medida temporal. El tipo de inters equivalente se
calcula tal como visto al estudiar la capitalizacin simple.
Recordemos el ejemplo: tipos equivalentes a una tasa anual del 15%.
Base temporal Clculo Tipo resultante
Ao 15 / 1 15 %
Semestre 15 / 2 7,5 %
Cuatrimestre 15 / 3 5 %
Trimestre 15 / 4 3,75 %
Mes 15 / 12 1,25 %
Da 15 / 365 0,041 %
Descuento Comercial
Historia que compromete
Veamos un ejemplo: calcular los intereses de descuento
de un capital de 600.000 pesetas al 15% anual durante 3
meses:
Si utilizo como base temporal meses, tengo que calcular el
tipo mensual de descuento equivalente al 15% anual:
1,25% (= 15 / 12)
D = 600.000 * 0,0125 * 3 = 22.500 ptas.
La ley de descuento comercial, al igual que la de
capitalizacin simple, slo se utiliza en el corto plazo
(operaciones a menos de 1 ao)
Descuento Comercial
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31
Historia que compromete
Descuento Comercial Ejercicios
1. Calcular el descuento por anticipar un capital de 800.000 Bs. por 7 meses a
un tipo de descuento del 12%. Rta: D = 56.000 Bs.
2. Calcular el capital final que quedara en la operacin anterior. Rta: Cf =
744.000 Bs.
3. Se descuentan 200.000 euros por 6 meses y 900.000 euros por 5 meses, a un
tipo de descuento del 15%. Calcular el capital actual total de las dos
operaciones. Rta: Cf = 185.000 + 843.759 = 1.028.759
4. Qu importe actual es ms elevado: el que resulta de descontar 1.000.000
USD por 6 meses al 12%, o el de descontar 1.200.000 USD por 9 meses al
15%?.
5. Se descuentan 800.000 por un plazo de 4 meses, y los intereses del
descuento son 40.000 . Calcular el tipo del descuento. Rta: tipo anual del
15,02%
Historia que compromete
La ley financiera de descuento racional viene definida de
la siguiente manera:
Donde,
D: son los intereses que hay que pagar
Co: es el capital inicial (en el momento t=0)
d: es la tasa de descuento que se aplica
t: es el tiempo que dura la inversin
Descuento Racional
tdtdCo
D*1
**
-
32
Historia que compromete
Una vez que sabemos calcular los intereses de descuento,
podemos ver cmo se determina el capital final:
Cf = Co D
Luego,
Donde,
Cf es el capital final
Descuento Racional
tdCo
Cf*1
Historia que compromete
Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento
por anticipar un capital de 1.200.000 , durante 8 meses, a
un tipo de inters del 14%.
D = 102.345
Podemos ahora calcular el capital final. Lo vamos a
calcular de dos maneras:
a) Aplicando la frmula Cf = Co D (capital final es igual al capital inicial
menos los intereses de descuento):
Cf = 1.200.000 -102.345
Cf = 1.097.655
Descuento Racional
-
33
Historia que compromete
b) Aplicando la frmula
Cf = 1.097.655
La ley de descuento racional es el equivalente, en sentido
inverso, de la ley de capitalizacin simple, y, al igual que
sta, slo se suele utilizar en operaciones a menos de 1
ao. Esta relacin de equivalencia no se cumple con la ley
de descuento comercial.
Descuento Racional
tdCo
Cf*1
Historia que compromete
Con el trmino equivalente nos referimos al hecho de que
descontando un capital a un tipo de inters, y
capitalizando el capital resultante con el mismo tipo de
inters, volvemos al capital de partida.
Veamos un ejemplo: Descontar un capital de 1.000.000
Bs., por un plazo de 6 meses al 10%, y el importe
resultante capitalizarlo (capitalizacin simple) por el mismo
plazo y con el mismo tipo de inters.
a) Aplicando el descuento racional;
b) Aplicando el descuento comercial.
Descuento Racional
-
34
Historia que compromete
a) Aplicando el descuento racional
Primero descuento aplicando la frmula
Luego, Cf = 952.381 Bs.
Una vez obtenido el capital descontado, lo capitalizo
aplicando la frmula de capitalizacin simple
(El capital descontado, 952.381 Bs, pasa a ser ahora "Co")
Luego, Cf = 1.000.000 Bs.
Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que
hemos vuelto al capital de partida.
Descuento Racional
tdCo
Cf*1
Historia que compromete
b) Aplicando el descuento comercial
Primero descuento aplicando la frmula Cf = Co * ( 1 -( d * t ))
Luego, Cf = 950.000 Bs.
Ahora capitalizo Cf = Co * (1 + (i * t))
Luego, Cf = 997.500 Bs.
No se cumple, por tanto, la relacin de equivalencia.
Como se ha podido ver en el ejemplo, el descuento que se
calcula aplicando la ley de descuento racional es menor
que el que se calcula aplicando la ley de descuento
comercial.
Descuento Racional
-
35
Historia que compromete
Descuento Racional Ejercicios
1. Calcular el descuento por anticipar un capital de 500.000 ptas. por 4 meses a un tipo de
descuento del 12%; a ) aplicando el descuento racional, b) aplicando el descuento
comercial.
2. Se ha descontado un capital de 1.000.000 yenes por 3 meses, y los intereses de
descuento han ascendido a 40.000 yenes. Calcular el tipo de inters aplicado
(descuento racional) Rta: tipo anual del 16,66%
3. Se descuentan 200.000 Bs. al 12% y los intereses de descuento ascienden a 15.000
Bs. Calcular el plazo del descuento (descuento racional) Rta: 0,67567 aos, u 8,1
meses.
4. Los intereses de descuento de anticipar un capital por 8 meses, al 10%, ascienden a
120.000. Calcular el importe del capital inicial (descuento racional)
5. Se descuentan 2.000.000 USD por un plazo de 4 meses, a un tipo del 10% (descuento
racional). Calcular que tipo habra que aplicar si se utilizara el descuento comercial,
para que el resultado fuera el mismo. Rta: tipo anual del 9,6774% (menor a 10%)
Historia que compromete
La ley financiera de descuento compuesto viene definida
de la siguiente manera:
Donde,
D: son los intereses de descuento
Co: es el capital inicial (en el momento t=0)
d: es la tasa de descuento que se aplica
t: es el tiempo que dura la inversin
Descuento Compuesto
tt dCo
d
CoCoD
)1(
11*
1
-
36
Historia que compromete
El capital final queda definido de la siguiente manera:
Cf = Co D
Luego,
Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento
por anticipar un capital de 900.000 Bs., durante 8 meses,
a un tipo de inters del 14%.
D = 75.281 Bs.
Descuento Compuesto
tdCo
Cf
1
Historia que compromete
Calculamos ahora el capital final, utilizando dos
procedimientos:
a) Aplicando la frmula Cf = Co D (capital final es igual al
capital inicial menos los intereses de descuento):
Luego, Cf = 900.000 -75.281
Cf = 824.719 Bs.
b) Aplicando la frmula
Luego, Cf = 824.719 Bs.
Descuento Compuesto
tdCo
Cf
1
-
37
Historia que compromete
La ley de descuento compuesto es inversa de la ley de
capitalizacin compuesta: si descontamos un capital
utilizando el descuento compuesto, y el importe obtenido
lo capitalizamos (capitalizacin compuesta), aplicando el
mismo tipo de inters y plazo, obtenemos el importe
inicial.
Veamos un ejemplo: Descontar un capital de 2.000.000
euros, por un plazo de 6 meses al 15%, y el importe
resultante capitalizarlo (capitalizacin compuesta) por el
mismo plazo y con el mismo tipo de inters.
Descuento Compuesto
Historia que compromete
Primero descuento aplicando la frmula
Luego, Cf = 1.865.010 euros
Una vez obtenido el capital descontado, lo capitalizo
aplicando la frmula de capitalizacin compuesta
El capital descontado, 1.865.010 euros, pasa a ser ahora "Co
Luego, Cf = 2.000.000 euros
Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que
hemos vuelto al capital de partida
Descuento Compuesto
tdCo
Cf
1
-
38
Historia que compromete
El descuento compuesto, al igual que la capitalizacin
compuesta, se puede utilizar tanto en operaciones de
corto plazo (menos de 1 ao), como de medio y largo
plazo.
En este sentido contrasta con el descuento comercial y el
racional, que slo se utilizan en operaciones a corto plazo.
Descuento Compuesto
Historia que compromete
Hemos estudiado tres leyes de descuento:
1. Ley de descuento comercial
Intereses de descuento: D = Co * d * t
Capital final: Cf = Co * ( 1 - ( d * t ))
2. Ley de descuento racional
Intereses de descuento:
Capital Final:
Repaso de los 3 tipos de Descuento
tdtdCo
D*1
**
tdCo
Cf*1
-
39
Historia que compromete
3. Ley de descuento compuesto
Intereses de descuento:
Capital final:
La ley de descuento comercial y racional slo se utilizan
en operaciones a corto plazo (menos de 12 meses).
Mientras que la ley de descuento compuesto se puede
utilizar en operaciones de corto y largo plazo.
Repaso de los 3 tipos de Descuento
td
CoD1
11*
tdCo
Cf
1
Historia que compromete
La ley de descuento racional es inversa de la ley de
capitalizacin simple, mientras que la ley de descuento
compuesto es la inversa de la ley de capitalizacin
compuesta. Es decir, que si se descuenta un capital, y el
importe resultante se capitaliza al mismo plazo y tipo, se
vuelve al capital inicial.
La ley de descuento comercial no cumple esta propiedad.
Repaso de los 3 tipos de Descuento
-
40
Historia que compromete
El resultado de aplicar estas leyes es el siguiente:
La mayor carga de intereses Descuento comercial
La 2 mayor carga de intereses Depende del plazo
La menor carga de intereses Depende del plazo
(*) El plazo de 1 ao es en el caso de que se aplique un mismo tipo de inters
anual. Si el mismo tipo de inters que se aplica es trimestral, entonces el plazo
sera 3 meses, y as sucesivamente.
Repaso de los 3 tipos de Descuento
Operaciones < 1 ao (*) Operaciones > 1 ao (*)
Descuento racional Descuento compuesto
Operaciones < 1 ao (*) Operaciones > 1 ao (*)
Descuento compuesto Descuento racional
Historia que compromete
Veamos un ejemplo: Calcular el importe de los intereses
de descontar un capital de 1.000.000 Bs., a un tipo de
inters del 16%, por un plazo de 8 meses.
a) Ley de descuento comercial
Intereses de descuento: D = 106.007 Bs.
b) Ley de descuento racional
Intereses de descuento: D = 96.386 Bs.
c) Ley de descuento compuesto
Intereses de descuento D = 94.209 Bs.
Repaso de los 3 tipos de Descuento
-
41
Historia que compromete
Cul de estas leyes se utiliza?
Se puede utilizar cualquiera, con la limitacin que
hemos sealado antes entre operaciones de corto y
medio-largo plazo. Lo importante para el cliente de una
entidad financiera es conocer el importe de los
intereses de descuento segn la ley elegida, y decidir
si la operacin planteada le resulta aceptable o no.
Repaso de los 3 tipos de Descuento
Historia que compromete
Descuento Ejercicios
1. Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 2.500.000 Bs. por 4
meses a un tipo de descuento del 12%; aplicando a ) descuento comercial, b)
descuento racional. c) descuento compuesto Rta: a) D = 100.000 Bs. b) D =
96.154 Bs. c) D = 92.679 Bs.
2. Calcular la misma operacin anterior al plazo de 1 ao.
3. Calcular la misma operacin anterior a un plazo de 1 ao y medio.
4. En el ejercicio 1, calcular los tipos de inters que habra que aplicar en el
descuento racional y en el compuesto, para obtener el mismo resultado que en el
descuento comercial. Rta: a) 12,5% b) 13,028%
5. Los intereses de descontar 2.000.000 USD a un tipo del 10% ascienden a 150.000
USD. Calcular el plazo de descuento si se ha aplicado la ley de a) descuento
comercial, b) descuento racional, c) descuento compuesto. Rta: a) 0,75 aos = 9
meses. b) 0,8108 aos = 9,7 meses. c) 0,8180 aos= 9,8 meses
-
42
Historia que compromete
1. Introduccin: La importancia de las Finanzas en el mundo de los negocios
2. Inters simple
3. Inters compuesto
4. Descuentos
5. Rentas
6. Derivados
7. Value at Risk
8. Reflexiones finales
Contenido
Historia que compromete
Una renta financiera es una sucesin de capitales
distribuidos a lo largo de un periodo temporal.
Por ejemplo, un contrato de alquiler de un apartamento,
por un periodo de 5 aos, con pagos mensuales de
100.000 Bs.
Rentas Financieras
-
43
Historia que compromete
En una renta financiera distinguiremos los siguientes
elementos:
a) Trmino de la renta: importe del capital que se paga (o
se cobra) en cada momento (en el ejemplo, las
100.000 Bs. de alquiler mensual)
b) Periodo de maduracin: cada sub-periodo en el que
se realizan los cobros o pagos (en el ejemplo, es el
mes)
c) Duracin de la renta: el periodo total de vigencia (en el
ejemplo, 5 aos)
Rentas Financieras
Historia que compromete
En la renta financiera se denomina "valor capital", a un importe,
en un momento dado, equivalente al total de la renta:
En el ejemplo anterior (pago mensual de 100.000 Bs. durante
un periodo de 5 aos), aplicando leyes financieras, puedo
calcular que esta renta es equivalente a un slo pago de
3.000.000 Bs. en el momento actual.
El "valor capital" de una renta se puede calcular en cualquier
momento: momento inicial, final, momento intermedio, etc. Los
importes calculados varan segn el momento, pero son
equivalentes (si se aplican leyes de descuento o capitalizacin
para llevarlos a un mismo periodo, coinciden)
Rentas Financieras
-
44
Historia que compromete
Cuando se calcula en el momento inicial, se denomina "valor
actual".
Cuando se calcula en el momento final, se denomina "valor
final".
Dos rentas son equivalentes cuando sus valores de capital son
los mismos en cualquier momento en que se calculen:
Por ejemplo, si el valor capital del alquiler mensual de 100.000
durante 5 aos, coincide en cualquier momento con el de una
renta de 240.000 Bs. trimestral durante 7 aos, diramos que
ambas rentas son equivalentes.
Rentas Financieras
Historia que compromete
Las rentas cumplen las siguientes propiedades:
a) Proporcionalidad del "valor capital": el valor capital de una renta
de 200.000 Bs., mensual, durante 5 aos, es el doble del de
una renta de 100.000 Bs., mensual, por el mismo periodo.
b) Adicin de rentas: una renta se puede descomponer en varias
sub-rentas, siendo la suma del "valor capital" de las sub-rentas
igual al de la renta. (p.e. el contrato de alquiler de 5 aos, se
descompone en cinco contratos anuales)
Rentas Financieras
-
45
Historia que compromete
Las rentas se pueden clasificar:
1. Segn la duracin de la renta:
a) Temporales: duracin finita
b) Perpetuas: no tienen fin
2. Segn el importe del trmino de la renta:
a) Constantes: siempre es la misma cantidad
b) Variable: la cantidad puede variar de un periodo a otro
3. Segn los sub-periodos en los que se divide:
a) Discreta: nmero de periodos finitos
b) Continua: flujo continuo de capital
c) Peridica: todos los sub-periodos tienen la misma duracin
d) No peridicas: la duracin de los sub-periodos vara
4. Segn el momento del sub-periodo en que se genera el cobro o el pago:
a) Prepagable: se genera al comienzo del sub-periodo (por ejemplo, pago del alquiler a
comienzo de cada mes)
b) Postpagable: se genera al final de cada sub-periodo (por ejemplo, pago del alquiler al
final de cada mes)
Rentas Financieras
Historia que compromete
Hemos definido como rentas constantes aquellas en las que los
importes de capital (trminos de la renta) son siempre iguales.
Dentro de las rentas constantes, vamos a distinguir las
siguientes modalidades:
1. Renta temporal pospagable
2. Renta temporal prepagable
3. Renta perpetua pospagable
4. Renta perpetua prepagable
5. Renta diferida
6. Renta anticipada
Renta Constante
-
46
Historia que compromete
Es aquella de duracin determinada, en la que los importes de
capital se generan al final de cada sub-periodo (p.e.contrato de
alquiler por 5 aos, con pago del alquiler al final de cada mes).
Para ver como se calcula su valor ("valor capital") vamos a
comenzar por el caso ms sencillo: el importe de capital en
cada periodo es de 1 Bs (renta unitaria). Es decir, tenemos una
sucesin finita (de "n" periodos) de importes de 1 Bs.
Periodo 1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n
Importe (Bs) 1 1 1 1 1 1 1 .1 1 1
Renta temporal constante pospagable
Historia que compromete
Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Ao. Para ello tenemos que
traer cada uno de los importes al momento actual. Aplicaremos la ley de descuento
compuesto:
Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t que es equivalente a: Cf = Co / ( 1 + d ) ^ t
Vamos a ir descontando cada importe:
Periodo Importe Importe descontado
1 1 1 / ( 1 + i )
2 1 1 / ( 1 + i )^2
3 1 1 / ( 1 + i )^3
..... ..... .....
..... ..... .....
n-2 1 1 / ( 1 + i )^n-2
n-1 1 1 / ( 1 + i )^n-1
n 1 1 / ( 1 + i )^n
Renta temporal constante pospagable
-
47
Historia que compromete
La suma de todos los importes descontados es el valor actual Ao. Si
realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1
Bs, durante 7 aos, con un tipo de inters del 16%:
Aplicamos la frmula
luego,
luego, Ao= 4,0386 Bs.
Luego el valor actual de esta renta es 4,04 Bs.
Renta temporal constante pospagable
nii
Ao1
11*
1
nii
Ao1
11*
1
716,01
11*
16,0
1Ao
Historia que compromete
IMPORTANTE: plazo, tipo de inters e importes han de ir referidos a la
misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son
anuales, hay que utilizar la base anual. Si, por ejemplo, los importes
hubieran sido trimestrales, el tiempo y el tipo iran en base trimestral.
Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos Sf, hay
que realizar el proceso inverso, es decir, capitalizar todos los importes
y llevarlos al momento final. Para ello utilizaremos la ley de
capitalizacin compuesta:
Renta temporal constante pospagable
tiCoCf 1*
-
48
Historia que compromete
Veamos el ejemplo:
Periodo Importe Importe capitalizado
1 1 1 * ( 1 + i )^n-1
2 1 1 * ( 1 + i )^n-2
3 1 1 * ( 1 + i )^n-3
..... ..... .....
..... ..... .....
n-2 1 1 * ( 1 + i )^2
n-1 1 1 * ( 1 + i )^1
n 1 1
Renta temporal constante pospagable
Historia que compromete
Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos
a:
Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de una renta anual de 1 Bs,
durante 7 aos, con un tipo de inters del 16%:
Aplicamos la frmula
luego,
luego, Sf = 11,4139 Bs.
Luego el valor final de esta renta es 11,4 Bs.
Renta temporal constante pospagable
11*1 nii
Sf
11*1 nii
Sf
116,01*16,0
1 7Sf
-
49
Historia que compromete
Podemos ver qu relacin existe entre el valor inicial Ao y el valor final
Sf, y esto nos viene dado por la siguiente frmula:
Sf= Ao * (1 + i)^n
Veamos si se cumple en el ejemplo que estamos viendo:
Hemos visto que Ao= 4,0386 Bs.
y que Sf= 11,4139 Bs.
Luego 11,4139 = 4,0386 * (1+ 0,16)^7
Luego 11,4139 = 4,0386 * 2,8262
Luego 11,4139 = 11,4139
Se cumple, por tanto, la relacin.
Renta temporal constante pospagable
Historia que compromete
Una vez que hemos visto cmo se valora una renta unitaria, vamos a estudiar
cmo se valora una renta de importes constantes.
Para ello vamos a aplicar una propiedad que dijimos que cumplan las rentas: la
proporcionalidad.
Si los trminos de una renta son "x veces" mayores que los de otra, su valor capital
ser tambin "x veces" superior.
Por lo tanto, el valor de una renta, cuyos trminos son de importe "C", ser "C
veces" mayor que el de una renta unitaria.
El valor actual "Vo" de una renta temporal de trminos constantes de cuanta "C"
ser: Vo = C * Ao
Por lo que:
Renta temporal constante pospagable
nii
CVo
1
11*
-
50
Historia que compromete
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual pospagable de
200.000 pesetas, durante 5 aos, con un tipo de inters del 12%:
Aplicamos la frmula
luego,
luego, Vo= 720.955 ptas.
El valor actual de esta renta es 720.955 ptas.
Para calcular el valor final "Vn" seguimos el mismo razonamiento: el valor final
de una renta de trminos constantes "C", ser "C veces" superior al de una
renta unitaria Vn = C * Sf
Por lo que:
Renta temporal constante pospagable
nii
CVo
1
11*
512,01
11*
12,0
000.200Vo
11* nii
CVn
Historia que compromete
Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo
anterior
Aplicamos la frmula
luego,
luego, Vn= 1.270.569 ptas.
Luego el valor final de esta renta es 1.270.569 ptas.
Renta temporal constante pospagable
11* nii
CVn
112,01*12,0
000.200 5Vn
-
51
Historia que compromete
La renta constante temporal prepagable es aquella de duracin
determinada, en la que los importes de capital se generan al comienzo
de cada sub-periodo (p.e.contrato de alquiler por 5 aos, con pago del
alquiler al comienzo de cada mes)
Para ver cmo se calcula su valor capital vamos a comenzar,
nuevamente, por estudiar el caso de la renta unitaria (importes de 1
Bs. en cada periodo)
Periodo 1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n
Importe (Bs) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por o. Como
vimos en el caso de la renta pospagable, se aplica la ley de descuento
compuesto
Renta temporal constante prepagable
Historia que compromete
Vamos descontando cada importe:
Periodo Importe Importe descontado
1 1 1
2 1 1 / ( 1 + i )
3 1 1 / ( 1 + i )^2
..... ..... .....
..... ..... .....
n-2 1 1 / ( 1 + i )^n-3
n-1 1 1 / ( 1 + i )^n-2
n 1 1 / ( 1 + i )^n-1
Renta temporal constante prepagable
-
52
Historia que compromete
La suma de todos los importes descontados es el valor actual o. Si
realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1
Bs, durante 4 aos, con un tipo de inters anual del 16%:
Aplicamos la frmula para o
Luego,
Luego, Ao= 3,246 Bs
Luego el valor actual de esta renta es 3,246 Bs.
Renta temporal constante prepagable
nii
ioA
1
11*
1
416,01
11*
16,0
16,01oA
Historia que compromete
IMPORTANTE: plazo, tipo de inters e importes han de ir referidos a la
misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son
anuales, hay que utilizar la base anual
Este valor actual o guarda la siguiente relacin con el valor actual Ao
de una renta pospagable:
o= (1 + i) * Ao
Para demostrarlo, vamos a suponer que en el ejemplo anterior la renta
era pospagable:
Aplicamos la frmula
luego,
luego, Ao= 2,7982 Bs.
Renta temporal constante prepagable
nii
Ao1
11*
1
416,01
11*
16,0
1Ao
-
53
Historia que compromete
Hay que demostrar que o= (1 + i) * Ao
luego, o= 1,16 * 2,7983
luego, o= 3,246 Bs. (coincide con el valor que
habamos calculado)
Vemos, por tanto, cmo se cumple la relacin.
Renta temporal constante prepagable
Historia que compromete
Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos Sf, se utiliza la
ley de capitalizacin compuesta. Empezamos analizando el caso de una renta
unitaria:
Periodo Importe Importe capitalizado
1 1 1 * ( 1 + i )^n
2 1 1 * ( 1 + i )^n-1
3 1 1 * ( 1 + i )^n-2
..... ..... .....
..... ..... .....
n-2 1 1 * ( 1 + i )^3
n-1 1 1 * ( 1 + i )^2
n 1 1 * ( 1 + i )
Renta temporal constante prepagable
-
54
Historia que compromete
Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos a:
Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior:
Aplicamos la frmula para Sf
luego,
luego, Sf= 5,877 Bs.
Luego el valor final de esta renta es 5,877 Bs.
Renta temporal constante prepagable
11*1 ni
i
ifS
116,01*
16,0
16,01 4
fS
Historia que compromete
La relacin entre Sf y el valor final de una renta pospagable Sf, es la
siguiente: Sf = (1 + i) * Sf
(Realizar la misma comprobacin que hemos realizado con el valor inicial)
Por otra parte, la relacin entre el valor inicial o y su valor final Sf es:
Sf = (1 + i)^n * o
Vamos a comprobarlo siguiendo el ejemplo que venimos utilizando:
Hemos visto que o = 3,246 Bs. y que Sf = 5,877 Bs.
Hay que demostrar que 5,877 = 3,246 * (1+0,16)^4
Luego 5,877 = 3,246 * 1,8106
Luego 5,877 = 5,877
Se cumple, por tanto, la relacin.
Renta temporal constante prepagable
-
55
Historia que compromete
Una vez que hemos visto cmo se valora una renta unitaria, veremos cmo se
valora una renta de importes constantes.
El valor actual "Vo" de una renta temporal prepagable de trminos constantes
de cuanta "C" ser:
Vo = C * o
Por lo que:
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral
prepagable de 500.000 USD, durante 5 aos, con un tipo de inters anual del
12%:
Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base
semestral.
Renta temporal constante prepagable
nii
iCVo
1
11*
1*
Historia que compromete
Tipo de inters semestral: 1 + i = (1 + i2)^2
Luego, 1 + 0,12 = (1 + i2)^2
Luego, i2 = 5,83%
Una vez que tenemos el tipo de inters semestral, vamos a aplicar la frmula
del valor actual, Vo
luego,
"n" es 10, ya que 5 aos tienen 10 semestres (todo va en base semestral)
luego, Vo= 3.926.151 USD
El valor actual de esta renta es de 3.926.151 USD
Renta temporal constante prepagable
100583,01
11*
0583,0
0583,01*000.500Vo
-
56
Historia que compromete
Para calcular el valor final "Vn
Vn = C * Sf
Por lo que:
Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior:
Aplicamos la frmula para Vn
luego, Vn = 6.919.185 USD
Luego el valor final de esta renta es 6.919.185 USD
Renta temporal constante prepagable
10583,01*
0583,0
0583,01*000.500
10
Vo
11*1* ni
i
iCVn
Historia que compromete
La renta perpetua constante es aquella de duracin
infinita, en la que los importes de capital son siempre
iguales (p.e. un ttulo de deuda pblica a perpetuidad a
tipo de inters fijo)
Al igual que las rentas temporales, las rentas perpetuas
pueden ser pospagables (los importes se originan al final
de cada subperiodo) o prepagables (se originan al
principio de los subperiodos)
Renta perpetua constante
-
57
Historia que compromete
A) RENTAS PERPETUAS POSPAGABLES
Comenzaremos viendo el caso ms sencillo, el de las rentas unitarias:
Periodo 1 2 3 4 5 ..... ..... ..... ..... .....
Importe (Bs) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por APo. Vamos descontando cada
importe:
Periodo Importe Importe descontado
1 1 1 / ( 1 + i )
2 1 1 / ( 1 + i )^2
3 1 1 / ( 1 + i )^3
4 1 1 / ( 1 + i )^4
5 1 1 / ( 1 + i )^5
..... 1 1 / ( 1 + i )^....
Renta perpetua constante
Historia que compromete
La suma de todos los importes descontados es el valor actual APo. Si
realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
APo = 1 / i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual
pospagable de 1 Bs, con un tipo de inters anual del 16%:
Aplicamos la frmula APo= 1 / i
luego, APo= 1 / 0,16
luego, APo= 6,25 Bs.
Si en lugar de una renta unitaria, estamos analizando una renta de importe
constante "C", entonces la frmula del valor actual ser:
Vo = C * APo = C / i
Renta perpetua constante
-
58
Historia que compromete
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral
pospagablede 1.000.000 Bs., con un tipo de inters anual del 10%:
Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral
Tipo de inters semestral: 1 + i = (1 + i2)^2
Luego, 1 + 0,10 = (1 + i2)^2
Luego, i2 = 4,88%
Aplicamos ahora la frmula de valor actual, Vo= C / i
luego, Vo= 1.000.000 / 0,0488
luego, Vo= 20.491.803 Bs.
En las rentas perpetuas no se puede calcular valor final (ya que nunca
finalizan)
Renta perpetua constante
Historia que compromete
B) RENTAS PERPETUAS PREPAGABLES
Calculamos el valor actual de una renta unitaria, que representaremos por Po.
Periodo Importe Importe descontado
1 1 1
2 1 1 / ( 1 + i )
3 1 1 / ( 1 + i )^2
4 1 1 / ( 1 + i )^3
5 1 1 / ( 1 + i )^4
..... 1 1 / ( 1 + i )^....
Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
Po= (1 + i) / i
Renta perpetua constante
-
59
Historia que compromete
Veamos un ejemplo: Supongamos una renta perpetua anual prepagable de 1
Bs, con un tipo de inters anual del 16%:
Aplicamos la frmula Po= (1 + i) / i
luego, Po= (1 + 0,16) / 0,16
luego, Po= 7,25 Bs.
Si la renta es de importe constante "C", entonces la frmula del valor actual
ser: Vo= C * Po= C * (1 + i) / i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral
prepagable de 1.000.000 Bs., con un tipo de inters anual del 10%:
Aplicamos la frmula de valor actual, Vo= C * (1 + i) / i
luego, Vo= 1.000.000 * 1,0488 / 0,0488 = 21.491.803 Bs.
Renta perpetua constante
Historia que compromete
La relacin entre el valor actual de una renta perpetua
pospagable APo y el de una renta perpetua prepagable
Po es la siguiente:
Po= (1 + i) * APo
Comprobar esta relacin con el ejemplo de la renta
unitaria.
Renta perpetua constante
-
60
Historia que compromete
La renta diferida es aquella cuyo valor inicial se calcula con anterioridad al
comienzo de la renta.
Por ejemplo: calculo hoy el valor de un contrato de alquiler que se va a poner
en vigor dentro de 6 meses.
La renta anticipada es aquella en la que se calcula su valor final en un
momento posterior a la finalizacin de la renta.
Por ejemplo: calculo hoy el valor de una serie de depsitos mensuales que fui
realizando en un banco y que finalic hace unos meses.
En la modalidad de renta diferida, lo que vara respecto a los modelos
que hemos venido analizando es el clculo del valor inicial, ya que el
valor final coincide con la terminacin de la renta (al igual que en los
modelos que hemos visto)
Renta diferida y anticipada
Historia que compromete
En la renta anticipada, la peculiaridad est en el clculo del valor final, ya
que el valor inicial coincide con el comienzo de la renta .
Estas modalidades de renta diferida o anticipada pueden darse en los
distintos supuestos de renta constante que hemos estudiado:
Una renta diferida puede ser una renta temporal
(prepagable o pospagable), o una renta perpetua
(tambin prepagable o pospagable)
Por su parte, la renta anticipada slo puede darse en rentas temporales,
nunca en el supuesto de rentas perpetuas, ya que estas no terminan
nunca.
Vamos a analizar ahora en qu medida estas peculiaridades afectan al
clculo del valor actual de la renta.
Renta diferida y anticipada
-
61
Historia que compromete
A) RENTA DIFERIDA
Vamos a suponer que entre el momento de la valoracin y
el momento del inicio de la renta transcurren "d" periodos.
Luego la diferencia con los modelos que hemos analizado,
en los que se descontaban los importes hasta el momento
de inicio de la renta, est en que en el caso de la renta
diferida hay que descontar cada importe "d" periodos
adicionales.
Renta diferida y anticipada
Historia que compromete
Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable:
Periodo Importe descontado Importe descontado
(Renta normal) (Renta diferida)
1 1 / ( 1 + i ) 1 / ( 1 + i )^1+d
2 1 / ( 1 + i )^2 1 / ( 1 + i )^2+d
3 1 / ( 1 + i )^3 1 / ( 1 + i )^3+d
..... ..... .....
..... ..... .....
n-2 1 / ( 1 + i )^n-2 1 / ( 1 + i )^n-2+d
n-1 1 / ( 1 + i )^n-1 1 / ( 1 + i )^n-1+d
n 1 / ( 1 + i )^n 1 / ( 1 + i )^n+d
Renta diferida y anticipada
-
62
Historia que compromete
Luego, el valor actual sera el siguiente:
Renta normal Renta diferida
Valor actual
Renta diferida y anticipada
nii
Ao1
11*
1
ndiii
Aod1
11*
1*
1
1/
Historia que compromete
Este mismo razonamiento se aplica en todos los casos. En el siguiente cuadro
se presentan las frmulas del valor inicial de una renta diferida en los distintos
supuestos:
Tipo de renta Renta normal Renta diferida
Temporal pospagable
Temporal prepagable
Perpetua pospagable
Perpetua prepagable
Renta diferida y anticipada
nii
Ao1
11*
1
ndiii
Aod1
11*
1*
1
1/
nii
ioA
1
11*
1
ndiii
oAd1
11*
1*
1
1/
1
iAPo
1 ii
APodd
1*
1
1/
i
iPoA
1 ii
PoAdd
1*
1
1/
1
-
63
Historia que compromete
Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual pospagable de
300.000 Bs, con un tipo de inters anual del 16%, y que se encuentra diferida
2 aos:
Aplicamos la frmula Vo= C * d/Apo
luego, Vo= 300.000 * (1+0,16)^-2 / 0,16
luego, Vo= 1.393.430 Bs.
Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral prepagable de
1.000.000 ptas. durante 7 aos, con un tipo de inters anual del 8%, y que se
encuentra diferida 3 aos:
Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral
Tipo de inters semestral: 1 + i = (1 + i2)^2
luego, 1 + 0,08 = (1 + i2)^2
Luego, i2 = 3,92%
Renta diferida y anticipada
Historia que compromete
Aplicamos ahora la frmula de valor actual, Vo= C * d/o
luego,
luego,
(los periodos van expresados en semestres)
luego, Vo= 1.000.000*0,825*10,619
luego, Vo= 8.760.783 ptas.
Renta diferida y anticipada
ndiii
CVo1
11*
1*
1
1*
1
14160392,01
11*
0392,0
1*
0392,01
1*000.000.1Vo
-
64
Historia que compromete
B) RENTA ANTICIPADA
Comentamos anteriormente que en las rentas anticipadas, lo que
vara respecto a los modelos normales que hemos analizado es el
clculo del valor final, ya que el clculo del valor inicial es el
mismo.
Vamos a suponer que entre el momento final y el de la valoracin
transcurren "k" periodos.
La diferencia en el clculo del valor final est en que en los
modelos normales los importes se capitalizan hasta el momento
final de la renta, mientras que en la renta anticipada cada importe
hay que capitalizarlo "k" periodos adicionales.
Renta diferida y anticipada
Historia que compromete
Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable:
Periodo Importe capitalizado Importe capitalizado
(Renta normal) (Renta anticipada)
1 1 * ( 1 + i )^n-1 1 * ( 1 + i )^n-1+k
2 1 * ( 1 + i )^n-2 1 * ( 1 + i )^n-2+k
3 1 * ( 1 + i )^n-3 1 * ( 1 + i )^n-3+k
..... ..... .....
..... ..... .....
n-2 1 * ( 1 + i )^2 1 * ( 1 + i )^2+k
n-1 1 * ( 1 + i )^1 1 * ( 1 + i )^1+k
n 1 1 * ( 1 + i )^k
Renta diferida y anticipada
-
65
Historia que compromete
Luego, el valor final sera el siguiente:
Renta normal Renta anticipada
Valor final
Este mismo razonamiento se aplica tambin en el caso de la renta
prepagable:
Renta normal Renta anticipada
Valor final
Hemos comentado anteriormente, que la modalidad de renta
anticipada slo se puede dar en las rentas temporales, pero no en las
rentas perpetuas, ya que estas no finalizan, por lo que no se puede
calcular un valor final.
Renta diferida y anticipada
11*1 nii
Sf
11*1 ni
i
ifS
11*1*1/ nk ii
iSfk
11*1/
1
nk
ii
ifSk
Historia que compromete
Ejemplo: Calcular el valor final de una renta perpetua anual
pospagable de 500.000 Bs, de 6 aos de duracin, con un tipo de
inters anual del 12%, y que se encuentra anticipada 4 aos:
Aplicamos la frmula del valor final Vn= C * k/Sf
luego,
luego,
luego, Vn= 500.000 * 1,5735 * 8,1152
luego, Vn= 6.384.625 Bs.
Renta diferida y anticipada
11*1*1* nk ii
iCVn
112,01*12,0
1*12,01*000.500
64Vn
-
66
Historia que compromete
Ejemplo: Calcular el valor final de una renta trimestral prepagable de 150.000
ptas. durante 5 aos, con un tipo de inters anual del 12%, y que se encuentra
anticipada 2 aos y medio:
Como los importes son trimestrales tendremos que utilizar la base trimestral
Tipo de inters trimestral: 1 + i = (1 + i4)^4
luego, 1 + 0,12 = (1 + i4)^4 Luego, i4 = 2,874%
Aplicamos ahora la frmula de valor final, Vn= C * k/Sf
luego,
luego,
(los periodos van expresados en trimestres)
luego, Vn= 150.000 * 1,3657 * 26,5286 = 5.434.521 ptas.
Renta diferida y anticipada
11*1*1* 1 nk ii
iCVn
102874,01*02874,0
1*02874,01*000.150
20110
Vn
Historia que compromete
1. Introduccin: La importancia de las Finanzas en el mundo de los negocios
2. Inters simple
3. Inters compuesto
4. Descuentos
5. Rentas
6. Derivados
7. Value at Risk
8. Reflexiones finales
Contenido
-
67
Historia que compromete
Dentro del los mercados de valores hay un tipo de activos
financieros llamados derivados (o instrumentos financieros),
cuya principal cualidad es que su valor de cotizacin se basa en
el precio de otro activo.
Puede haber gran cantidad de derivados financieros
dependiendo de el ndice valor inicial del que se deriven,
pueden ser: acciones, renta fija, renta variable, ndices
burstiles, bonos de deuda privada, ndices macroeconmicos
como el Euribor o los tipos de inters, etc.
Instrumentos derivados
Historia que compromete
Algunas de sus principales caractersticas son:
Normalmente cotizan en mercados de valores, aunque tambin
pueden no hacerlo.
El precio de los derivados vara con respecto siempre al del
llamado activo subyacente, el valor al que est ligado dicho
derivado.
Tambin puede ser referido a productos no financieros ni
econmicos como las materias primas. Algunos de los ejemplos
ms conocidos son el oro, el trigo o el arroz.
Normalmente la inversin que debes realizar es muy inferior a si
compraras una accin o una parte del valor subyacente por el que
desees apostar.
Los derivados financieros tienen que cumplir una cualidad
indispensable y es que siempre se liquidan de forma futura.
Instrumentos derivados
-
68
Historia que compromete
Futuros:
Acuerdo de comprar o vender un activo a un cierto precio en un
cierto momento.
No hay que pagar nada en el momento de su contratacin, pero si
hay que predisponer una garanta ante el pago. La principal
cualidad de este tipo, es que contraemos una obligacin de pago
sobre los derivados adquiridos, el riesgo es grande, pero tambin
los beneficios posibles tambin.
Instrumentos derivados
Historia que compromete
Contratos Forward vs Contratos de Futuros:
Instrumentos derivados
Contrato Privado entre 2 partes Negociado en bolsa
Contrato No-estndar Contrato Estndar
Usualmente especifica una
Sola fecha de entrega Rango de fechas de entrega
Settled a la madurez Settled diariamente
Usualmente ocurre una
entrega final o efectivo
El contrato es usualmente
cerrado antes de la madurez
FORWARDS FUTUROS
-
69
Historia que compromete
Opciones:
Al contratar una opcin has de pagar una pequea prima y en
ocasiones suscribir tambin una garanta. Lo bueno de las
opciones es que realmente estamos fijando un compromiso de
beneficios y prdidas; si perdemos siempre el lmite ser el valor
de la prima previa y los beneficios de carcter ilimitados.
Calls y Puts.
Instrumentos derivados
Historia que compromete
Swap:
Tradicionalmente, es el intercambio de un ttulo por otro para
cambiar el plazo (bonos), la calidad de las emisiones (acciones y
bonos), o porque los objetivos de inversin han cambiado.
Recientemente, los swaps han crecido hasta incluir a los swaps de
divisas y swaps de tasas de inters.
Si empresas de diferentes pases tienen ventajas comparativas en
tipos de inters, entonces un swap podra beneficiar a ambas
empresas.
Por ejemplo, una empresa puede tener una tasa de inters fija ms
baja, mientras que la otra tiene acceso a un tipo de inters variable
ms bajo. Estas empresas podran hacer un swap para tomar ventaja
de las tasas ms bajas.
Swaps de tasas de inters
-
70
Historia que compromete
Ejemplo: el 31 de diciembre de 2010, la empresa A y la empresa B
celebran un intercambio de cinco aos con los siguientes trminos :
La empresa A paga la empresa B una cantidad igual al 6 % anual
sobre el principal nocional de US $ 20 millones.
La empresa B paga la empresa A una cantidad igual a un ao LIBOR
+ 1 % anual sobre el principal nocional de US $ 20 millones.
Para simplificar, supongamos que las dos partes intercambian pagos
anualmente el 31 de diciembre, a partir de 2011 y concluyendo en
2015.
Swaps de tasas de inters
Historia que compromete
A finales de 2011, la Compaa A pagar a la Compaa B
$20.000.000 * 6 % = $1.200.000 .
El 31 de diciembre de 2010, un ao LIBOR fue de 5.33%; Por lo tanto,
la empresa B pagar $20 millones la empresa A * ( 5,33% + 1%) =
$1.266 millones.
En un swap de tasas de inters plain vanilla, el tipo de inters variable
se determina por lo general al principio del periodo de liquidacin .
Normalmente, los contratos de swap permiten que los pagos se
compensen entre s para evitar pagos innecesarios.
Aqu, la empresa B paga $66.000, y la empresa A no paga. En ningn
momento cambia el principal de manos, por lo que se conoce como
una cantidad "notional".
Swaps de tasas de inters
-
71
Historia que compromete
La titularizacin es un mecanismo de financiamiento que
consiste en transformar activos o derechos futuros en valores
de titularizacin negociables en el Mercado de Valores, para
obtener liquidez en condiciones competitivas en trminos de
plazo y costos financieros.
Los activos o derechos deben tener caractersticas comunes
(homogeneidad) y deben generar flujo de caja. Con la cesin de
estos activos o derechos se constituyen Patrimonios
Autnomos, independiente del patrimonio del cedente
(originador) que sern administrados por la sociedad
titularizadora.
Titularizacin de Activos
Historia que compromete
Los Patrimonios Autnomos sirven de respaldo a la misin
de valores de titularizacin que se negocian en el Mercado
de Valores.
Los activos o derechos se transfieren absolutamente al
Patrimonio Autnomo en trminos jurdicos, contables y
con carcter de irrevocabilidad. Los activos o derechos
transferidos respaldan en forma exclusiva la emisin de
valores.
Titularizacin de Activos
-
72
Historia que compromete
Los Patrimonios Autnomos pueden ser constituidos por:
Personas Individuales o Naturales
Personas Jurdicas
Sociedades de Titularizacin
El Patrimonio Autnomo se constituye a travs de:
Contrato de Cesin irrevocable de Bienes o Activos suscrito entre
el cedente (originador) y la Sociedad de Titularizacin, donde se
establece la cesin de los bienes o activos.
Declaracin Unilateral de Cesin, efectuada por la Sociedad de
Titularizacin, en caso que sta hubiera adquirido bienes o
activos que constituirn el Patrimonio Autnomo, para ser
titularizados.
Titularizacin de Activos
Historia que compromete
Titularizacin de Activos Esquema
-
73
Historia que compromete
1. Introduccin: La importancia de las Finanzas en el mundo de los negocios
2. Inters simple
3. Inters compuesto
4. Descuentos
5. Rentas
6. Derivados
7. Value at Risk
8. Reflexiones finales
Contenido
Historia que compromete
"Valor en Riesgo VaR
Tcnica estadstica utilizada para medir y cuantificar el nivel de
riesgo financiero dentro de una empresa o de carteras de
inversin durante un perodo de tiempo especfico.
VaR es utilizado por los gestores de riesgos con el fin de medir
y controlar el nivel de riesgo en el que la empresa
se compromete. El trabajo del gestor de riesgos es asegurar
que los riesgos no se tomen ms all del nivel en el que la
empresa puede absorber las prdidas de un peor resultado
probable.
Value at risk
-
74
Historia que compromete
VaR se mide en tres variables:
1. El monto de prdida potencial,
2. La probabilidad de ese monto de la prdida,
3. El marco de tiempo.
Por ejemplo: una firma financiera puede determinar que tiene un valor de 5% en riesgo de $100 millones, en un mes.
Esto significa que hay una probabilidad del 5% de que la empresa pierda ms de $100 millones en un mes determinado.
Por lo tanto, se debe esperar una prdida de $100 millones a
ocurrir una vez cada 20 meses.
Value at risk
Historia que compromete
1. Introduccin: La importancia de las Finanzas en el mundo de los negocios
2. Inters simple
3. Inters compuesto
4. Descuentos
5. Rentas
6. Derivados
7. Value at Risk
8. Reflexiones finales
Contenido
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75
Historia que compromete
Concluyendo
Vimos herramientas bsicas de finanzas, tiles para la
toma de decisiones.
Un apropiado entendimiento de las matemticas
financieras, nos facilitan la interaccin con los
instrumentos de inversin.
Historia que compromete
Somos parte de un equipo
Saberse parte de la empresa. Cada decisin se refleja en las
finanzas de la organizacin.
Tomar acciones para alcanzar las metas, y agregar valor.
Pensar en el mediano y largo plazo.
A las rdenes de ustedes para acompaarlos y asistirlos en el
camino del interesante mundo de las finanzas.
-
76
Historia que compromete
MUCHAS GRACIAS
Historia que compromete
www.bbvaresearch.com
www.ecoanalitica.net
http://espanol.doingbusiness.org
www.heritage.org/index
www.instituto-finanzas.com
www.rafael-avila.net
Rafael J. Avila D.
Links de inters