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Prácticas de matemática apoyadas
en aplicaciones informáticas
César A. Yépez
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Polinomios 1
Gráficas de ec. de
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Significado de la
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Prácticas de matemática apoyadas en aplicaciones informáticas César Augusto Yépez Gómez 4.0, CC-BY-NC-ND Segunda edición digital Número de registro IEPI: 03990 ISBN: 978-9942-28-871-4
Esta obra ha sido creada bajo licencia Creative Commons 4.0, CC, BY, NC, ND: Reconocimiento –No Comercial-Sin derivar; la cual permite: copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra, mientras se reconozca la autoría original, no se utilice con fines de lucro comerciales y no se permiten obras derivadas. https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.es Julio, 2017
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Presentación
El creciente desarrollo de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación ha permitido que se desarrollen también diferentes aplicaciones informáticas que facilitan la enseñanza y el aprendizaje de matemática. El uso de programas computacionales en la enseñanza mejora el desempeño de los estudiantes, facilitan la exploración y el descubrimiento, promueven la interacción del alumno con el maestro y entre alumnos, constituye un elemento potenciador que produce mejoras en la formación matemática del estudiante. Por tal motivo presento el trabajo “Prácticas de matemática apoyadas en aplicaciones informáticas”, a la comunidad educativa, a los maestros que buscan nuevas estrategias para mejorar el aprendizaje y, en especial a los alumnos del bachillerato y universitarios que necesitan aclarar las dudas que siempre se presentan al estudiar matemática.
César A. Yépez
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Índice y Contenidos
1. Descarga e instalación de programas
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1.1. Microsoft Mathematics Microsoft Mathematics proporciona un conjunto de herramientas matemáticas que ayudan a los estudiantes a hacer sus tareas escolares de forma rápida y sencilla
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1.2. GeoGebra GeoGebra es un software interactivo de matemática que reúne dinámicamente geometría, álgebra y cálculo. Lo ha elaborado Markus Hohenwarter junto a un equipo internacional de desarrolladores, para la enseñanza de matemática escolar
14
2. Proyectos de Aula
2.1. Fundamentos de Matemáticas de Microsoft. Prácticas de matemática con Matemáticas de Microsoft
Identificar las utilidades y las principales formas de aplicación del programa Matemáticas de Microsoft.
Graficar rectas, planos, parábolas, circunferencias, cilindros, esferas utilizando el programa matemáticas de Microsoft
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2.2. Suma de Vectores Diseñar un modelo gráfico para que realice la suma vectorial en el programa GeoGebra.
Resolver problemas de suma vectorial mediante la utilización del modelo creado en GeoGebra.
27
2.3. Fundamentos de Microsoft Mathematics. Prácticas de matemática con Microsoft Mathematics.
Identificar las utilidades y las principales formas de aplicación del programa Microsoft Mathematics. Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones utilizando el programa Microsoft Mathematics.
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Índice y Contenidos
2.4. El círculo trigonométrico Diseñar el círculo trigonométrico que presente en forma dinámica los valores de las funciones trigonométricas en GeoGebra. Resolver problemas de trigonometría mediante la utilización del modelo creado en GeoGebra.
41
2.5. Funciones trigonométricas Diseñar un modelo en GeoGebra 4 que presente en forma dinámica los valores de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Graficar las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.
45
2.6. Análisis de datos 1 – Estadística Resolver un problema de estadística, utilizando Geogebra4.
55
2.7. Análisis de datos 2- Estadística Resolver un problema de estadística, utilizando Microsoft Excel.
59
2.8. Gráficas de funciones Graficar diferentes tipos de funciones.
65
2.9. Funciones en Excel Calcular valores de funciones. Graficar diferentes tipos de funciones.
71
2.10. Gráficas de ecuaciones de segundo grado Graficar parábolas, elipses, hipérbolas, circunferencias. Resolver sistemas de ecuaciones no lineales
75
2.11. Polinomios 1 Determinar los ceros y la gráfica de una función polinomial mediante el uso de TICs.
79
2.12. Polinomios 2 Determinar la gráfica y la monotonía de una función polinomial mediante el uso de TICs.
85
2.13. Significado geométrico de la derivada Representar geométricamente la derivada de una función Determinar el significado geométrico de la función derivada
89
2.14. Significado geométrico de la derivada parcial Diseñar la gráfica dinámica de la función dos variables 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) y el
significado geométrico de la derivada parcial 𝜕𝑧
𝜕𝑥
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1. Descarga e instalación de programas
Matemáticas de Microsoft y Microsoft Mathematics
Matemáticas de Microsoft es una versión anterior a la actual Microsoft Mathematics 4.0. Es posible que el lector disponga de la versión anterior, caso contrario se recomienda la descarga que se indica más adelante. La siguiente introducción se ha tomado de la “Ayuda” del programa Microsoft Mathematics.
Microsoft Mathematics proporciona un conjunto de herramientas matemáticas que ayudan a los estudiantes a hacer sus tareas escolares de forma rápida y sencilla. Con Microsoft Mathematics, los estudiantes pueden aprender a resolver ecuaciones paso a paso, mientras profundizan sus conocimientos sobre conceptos fundamentales de introducción al álgebra, álgebra, trigonometría, física, química y cálculo.
Microsoft Mathematics incluye una calculadora de gráficas completa que funciona como si fuera una calculadora manual. Otras herramientas matemáticas pueden servir para calcular triángulos, convertir de un sistema de unidades a otro y resolver sistemas de ecuaciones.
Microsoft Mathematics puede ayudarle con muchas tareas, como, por ejemplo:
Calcular funciones matemáticas estándar, como raíces y logaritmos. Resolver ecuaciones e inecuaciones. Resolver triángulos. Convertir medidas de una unidad a otra. Calcular funciones trigonométricas, como seno y coseno. Realizar operaciones de matriz y vector, como inversas y productos cruzados. Calcular estadísticas básicas, como una media y una desviación estándar. Realizar operaciones con números complejos. Representar gráficas en 2D y 3D en coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas. Hallar derivadas e integrales, límites y sumas y productos de serie. Hallar, representar y resolver fórmulas y ecuaciones comunes.
Descargar Microsoft Mathematics
1. En la barra de direcciones del navegador de internet escribimos
Se ingresa al centro de descargas de Microsoft
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2. En la barra de búsqueda escribimos “matemáticas”
Se indican tres resultados de ésta búsqueda y sus correspondientes características
3. Escogemos . Luego se observa el sitio de descarga con tres opciones disponibles, así: el archivo MSetup_x64.exe deberá descargarse cuando se tiene un sistema operativo de 64 bits; mientras MSetup_x86.exe debe descargarse para un sistema operativo de 32 bits. Para observar el si nuestro sistema operativo es de 32 bits o de 64 bits, lo hacemos mediante la siguiente secuencia:
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4. Seleccionamos el archivo a descargar por ejemplo MSetup_x86.exe, dando un clic en
La descarga se inicia, al final se observará el archivo instalador en la carpeta de descargas
Instalación de Microsoft Mathematics
1. Damos doble clic sobre el archivo MSetup_x86.exe
2. El sistema operativo pedirá permiso para realizar cambios. Se deberá aceptar para seguir con
la instalación 3. Se observa el Asistente para la instalación de Microsoft Mathematics 4.0.
4. Seleccionamos Aparece el contrato de licencia
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5. Marcamos la casilla de aceptación del contrato de licencia y damos un clic en Se observará la siguiente ventana opcional.
6. Escogemos el botón 7. Aparece la ventana de para seleccionar una carpeta donde se instalará el programa. Esta
opción es opcional.
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8. Damos un clic en Se observa la ventana que indica que se comenzará con al instalación
9. Seleccionamos Se observa el progreso de instalación
Luego la ventana de finalización de la instalación
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10. Damos un clic en Luego se observará la ventana de instalación de un complemento que permite trabajar con Microsoft Mathematics.
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11. Seleccionamos y luego el botón
12. Damos un clic en el botón
13. Escogemos
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Se observa la ventana de finalización de instalación
14. Damos un clic en
GeoGebra Existen en internet muchos trabajos sobre GeoGebra, a continuación se muestra un resumen de la utilidad de éste programa “GeoGebra es un software interactivo de matemática que reúne dinámicamente geometría, álgebra y cálculo. Lo ha elaborado Markus Hohenwarter junto a un equipo internacional de desarrolladores, para la enseñanza de matemática escolar.” Vistas Múltiples de los Objetos Matemáticos “GeoGebra ofrece tres perspectivas diferentes de cada objeto matemático: una Vista Gráfica, una, numérica, Vista Algebraica y además, una Vista de Hoja de Cálculo. Esta multiplicidad permite apreciar los objetos matemáticos en tres representaciones diferentes: gráfica (como en el caso de puntos, gráficos de funciones), algebraica (como coordenadas de puntos, ecuaciones), y en celdas de una hoja de cálculo. Cada representación del mismo objeto se vincula dinámicamente a las demás en una adaptación automática y recíproca que asimila los cambios producidos en cualquiera de ellas, más allá de cuál fuera la que lo creara originalmente.” Descargar GeoGebra
1. Ingresamos a la dirección Observaremos entre otras opciones la sección de descarga de GeoGebra
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2. Damos un clic en . Buscamos la sección siguiente.
3. Seleccionamos . Se observa las opciones para escoger nuestro sistema operativo.
4. Seleccionamos el sistema operativo, por ejemplo . Se inicia la descarga y el archivo puede observarse de la siguiente forma:
5. Instalamos GeoGebra, dando doble clic sobre el archivo instalador y seleccionando las opciones de instalación.
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Observación: Es posible que al momento de la instalación se requiera un complemento de “Java”. Este se descarga de internet con la asistencia del mismo instalador de GeoGebra. A la fecha, julio de 2017 se dispone de la última versión de Geogebra, la versión 5.0, la misma que se obtiene en forma gratuita accediendo a la dirección www.geogebra.org.
La interfaz de usuario presenta novedosos cambios y nuevas aplicaciones. Una vez instalado el programa se puede descargar el manual desde el acceso que se indica en la imagen precedente.
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2. Proyectos de aula
Micro Proyecto 1
Autor: MSc. César A. Yépez
Tema : Fundamentos de Matemáticas de Microsoft. Prácticas de matemática con Matemáticas de Microsoft
Objetivos:
- Identificar las utilidades y las principales formas de aplicación del programa Matemáticas de Microsoft.
- Graficar rectas, planos, parábolas, circunferencias, cilindros, esferas utilizando el programa Matemáticas de Microsoft
Materiales: Computador, software matemático (Matemáticas de Microsoft), guía de procedimiento
Procedimiento:
1. Leer el documento de Fundamentos de Matemáticas de Microsoft e identificar sus características, utilidades y aplicaciones en el computador.
2. Realizar las gráficas de las ecuaciones planteadas siguiendo el procedimiento que se indica.
Fundamentos de Matemáticas de Microsoft.
Un excelente programa de matemática y muy sencillo de utilizar es Matemáticas de Microsoft, cuando se ingresa al programa podemos observar el menú Ayuda donde encontraremos las utilidades de Matemáticas de Microsoft:
“Matemáticas de Microsoft es un conjunto de herramientas matemáticas que puede ayudarle a que su trabajo sea más rápido y sencillo. Lo más destacado de Matemáticas de Microsoft es una
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compleja calculadora científica con amplias capacidades de representación gráfica y de resolución de ecuaciones. Puede utilizarla como una calculadora de mano, pulsando sus botones, o también puede usar su teclado para escribir aquellas expresiones matemáticas que quiera que la calculadora evalúe. Otras herramientas adicionales le ayudarán a evaluar triángulos o a convertir cantidades de un sistema de unidades a otro.” Podrá usar Matemáticas de Microsoft para las siguientes tareas:
1. Cálculos matemáticos estándar, tales como funciones, raíces y logaritmos. 2. Resolución de triángulos. 3. Convertir medidas de una unidad a otra. 4. Calcular funciones trigonométricas como el seno y el coseno. 5. Interpretar matrices y vectores, inversas y productos cruzados. 6. Calcular datos estadísticos, como media y desviación estándar. 7. Interpretar operaciones con números complejos. 8. Representar gráficas 2D y 3D en coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas. 9. Ejecutar operaciones de cálculo de funciones, incluyendo el cálculo de derivadas, integrales y
límites, así como sumas y productos de sucesiones. 10. Resolución numérica y simbólica de ecuaciones.
Cuando abrimos Matemáticas de Microsoft, se observa su interfaz en donde podemos ver desplegados los siguientes elementos:
El teclado de la calculadora está dividido en diferentes grupos: Números complejos, Estadísticas, Trigonometría, Álgebra lineal, Cálculo, Estándar y Botones favoritos.
La ficha Hoja de cálculo se muestra por defecto, en esta ficha se realizarán la mayoría de los cálculos numéricos. Esta ficha incluye un campo de entrada de datos y otro de salida. Cuando haga clic en los botones de la calculadora, estará construyendo una expresión matemática en el campo de entrada. Cuando haga clic en ENTER, Matemáticas de Microsoft evaluará la expresión de forma simbólica y
numérica (si procede), y a continuación mostrará los resultados en el campo de salida de datos. En algunos casos, la salida de datos podrá incluir Resoluciones paso a paso o información adicional acerca de la solución.
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La ficha Gráficas se utiliza para crear la mayoría de las gráficas matemáticas. Esta ficha incluye un campo de entrada de datos para introducir las funciones, ecuaciones, inecuaciones, conjuntos de datos o ecuaciones paramétricas que quiera representar. Para trabajar con la gráfica después de haber sido representada, la ficha Gráficas incluye una ventana que describe la gráfica representada y una ventana donde se visualiza la gráfica.
El botón Herramientas proporciona un acceso rápido a las siguientes utilidades de Matemáticas de Microsoft: Resolución de ecuaciones, para resolver una ecuación o un sistema de ecuaciones. Fórmulas y ecuaciones, para encontrar ecuaciones que se usan con frecuencia en ciencias y en matemáticas. Matemáticas de Microsoft las explora gráficamente o las resuelve para una variable concreta. Resolución de triángulos, para calcular las dimensiones de los lados y ángulos de un triángulo en el que las medidas de algunos de sus lados y ángulos son conocidas. Conversor de unidades, para convertir medidas de una unidad a otra.
Gráficas
Rectas
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Podemos iniciar el estudio de la ecuación de la recta mediante una motivación geométrica que se indica a continuación:
Ejemplo 1. Representar gráficamente las siguientes ecuaciones
a) 𝑦 = 2𝑥 b) 𝑦 = 2𝑥 + 3 c) 𝑦 = 2𝑥 − 3 d) 𝑦 = −2𝑥 + 3
1. Damos un clic en la ficha
2. Escogemos la categoría
Se abren las opciones de ecuaciones, donde se observan por ejemplo: el botón para seleccionar el tipo de gráfica 2D o 3D, los botones Agregar, Quitar, Gráfica
3. Escogemos las opciones 4. Damos un clic en el cuadro correspondiente a la primera ecuación
5. Ingresamos la primera ecuación y presionamos el botón Intro
6. Damos un clic en el botón Se observará la primera gráfica en la parte derecha de la pantalla
7. Se observará la primera gráfica en la parte derecha de la pantalla
8. Introducimos el resto de ecuaciones que se indican y damos un clic en el botón .Se observarán las rectas de distintos colores. identificando las características de cada recta, mediante la sección Controles de la gráfica.
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9. Identificamos las características de cada recta, mediante la sección Controles de la gráfica.
Planos
Para graficar planos, ingresamos las ecuaciones de los planos en 3D, por ejemplo las ecuaciones anteriores representan planos que se intersecan perpendicularmente al plano XY. Esto se observa en la siguiente gráfica.
Parábolas
Ejemplo 2. Representar gráficamente las siguientes ecuaciones:
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a) 𝑦 = 𝑥2 b) 𝑦 = 𝑥2 + 2 c) 𝑦 = 𝑥2 − 2 d) 𝑦 = −𝑥2
1. Seleccionamos la ficha
2. Abrimos la sección
3. Escogemos las opciones 4. Damos un clic en el cuadro correspondiente a la primera ecuación
5. Ingresamos la primera ecuación y presionamos el botón Intro
6. Damos un clic en el botón 7. Se observará la primera gráfica en la parte derecha de la pantalla.
8. Ingresamos las ecuaciones restantes mediante el mismo procedimiento. Luego, se observarán las gráficas con diferentes colores.
9. Podemos controlar algunos aspectos mediante las opciones de la sección Controles de la gráfica.
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Animación
La animación de una gráfica se la hace utilizando parámetros, realizaremos una animación sencilla de la gráfica de una parábola, utilizaremos el parámetro “𝑎”. Se pueden utilizar varios parámetros en una misma ecuación.
Animación en 2D
1. Iniciamos graficando la ecuación de la parábola 𝑦 = 𝑎𝑥2 en 2D. Se observará la gráfica y los respectivos controles
2. Damos un clic en el botón de reproducción de la sección Animar. La animación comienza
desde el límite inferior 𝑎 = 0 hasta el límite superior 𝑎 = 2 . Estos valores podemos cambiarlos según se requiera.
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Animación en 3D
Graficaremos una ecuación con dos parámetros 𝑎 y 𝑏
1. Graficamos la ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏 en 3D.
2. En la sección Animar de los Controles de la gráfica escogemos el parámetro y luego damos clic en el botón de reproducción.
Se observará que si escogemos el parámetro "𝑎" , la gráfica tiende a cerrarse conrespecto al eje 𝑌, mientras que si escogemos el parámetro 𝑏, la gráfica se desplaza en eje 𝑌 hasta el valor 𝑦 = 2.
Circunferencia, cilindro y esfera
Podríamos graficar la ecuación de la circunferencia 𝑦2 + 𝑥2 = 1 en 2D, y observar la diferencia cuando se obtiene un cilindro en 3D, al cual lo hacemos girar mediante el botón
.
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Por último se podría agregar el término 𝑧2 a la ecuación 𝑦2 + 𝑥2 = 1 en 3D para obtener una esfera como se observa en la figura.
Evaluación:
El docente verificará visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos en el computador. Los estudiantes presentarán un documento impreso con las gráficas realizadas
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Gráfica de ecuaciones paramétricas en 3D
Gráfica en forma de un tubo cilíndrico de las ecuaciones paramétricas
𝑥 = (2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑢) cos 𝑡𝑦 = (2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑢)𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑧 = 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑣
realizada en el programa Winplot.
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INDICE
Significado de la
derivada
Polinomios 2
Polinomios 1
Gráficas de ec. de
segundo grado
Significado de la
derivada parcial
Micro Proyecto 2
Autor: MSc. César A. Yépez
Tema : Suma de Vectores
Objetivos:
- Diseñar un modelo gráfico para que realice la suma vectorial en el programa GeoGebra.
- Resolver problemas de suma vectorial mediante la utilización del modelo creado en
GeoGebra.
Materiales: Computador, software matemático (GeoGebra), guía de procedimiento
Procedimiento:
Creación de puntos, segmentos, vectores
Realizaremos el procedimiento que permite diseñar el modelo de suma de vectores siguiente:
1. Definimos los Puntos A y B desde el campo de entrada
2. Definimos el punto C como la intersección de los ejes X
y Y. desde el campo de entrada 3. Definimos un vector u
4. Definimos el vector v
5. Ubicamos el punto final del vector w mediante la suma
de los puntos A y B (el punto D)
6. Formamos el paralelogramo ( segmento a)
28
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Significado de la
derivada
Polinomios 2
Polinomios 1
Gráficas de ec. de
segundo grado
Significado de la
derivada parcial
(el segmento b)
7. Sumamos los vectores u y v ( vector w)
8. Ubicamos el punto E: la proyección del punto A en el eje X
9. Ubicamos el punto F: la proyección del punto B en el eje X
10. Ubicamos el punto G: la proyección del punto A en el eje Y
11. Ubicamos el punto H: la proyección del punto B en el eje Y
12. Creamos los segmentos de proyección sobre los ejes X y Y
(segmento d)
(segmento c)
(segmento e)
(segmento f )
El procedimiento anterior permite obtener el diseño que se observa a continuación:
Se observa que todos los elementos tienen el mismo estilo, color y grosor; podemos cambiar estas
característica para obtener un diseño que mejore la presentación.
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Significado de la
derivada parcial
Estilo, color, grosor
Podemos editar la presentación, modificando el color, estilo, grosor, etc. de todos los objetos
creados (puntos, rectas, segmentos, etc.)
1. Damos clic derecho en un objeto, por ejemplo: el
segmento a. Se despliega un menú con las opciones
disponibles para el objeto seleccionado.
2. Seleccionamos la opción Propiedades. Entre las
propiedades disponibles se observan: Básico, Color,
Estilo, Decoración y Avanzado. Además podemos
escoger otros objetos en la columna de la izquierda
para modificar sus propiedades.
3. Escogemos el color y el estilo conveniente
Luego de escoger las opciones mencionadas, nuestro diseño podría quedar de la siguiente forma:
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Significado de la
derivada parcial
Creación de ángulos
Existen algunas formas de definir un ángulo; cuando escribimos la palabra ángulo en el campo de
entrada, aparecen los formatos de ingreso, debemos escoger la forma más conveniente.
Escogemos la tercera forma:
Crearemos los ángulos α (del vector u), β (del vector v), y (ϒ del vector suma w). Para los tres ángulos
se necesita un punto lateral (I), un vértice (C) y un punto lateral antihorario (el punto extremo de
cada vector: A,B,D)
1. Ubicamos un punto sobre el eje X Se crea el punto I sobre el eje X
2. Definimos el ángulo α Se crea el ángulo α
3. Definimos el ángulo β Se crea el ángulo β
4. Definimos el ángulo ϒ Se crea el ángulo ϒ
Se observa en la Vista algebraica, los tres ángulos creados
Si movemos el punto D hacia la posición (3.-3) observaremos la
representación de los ángulos creados en la Vista gráfica y los
correspondientes valores en la Vista Algebraica
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Gráficas de ec. de
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Significado de la
derivada parcial
Introducción de texto
Todos los elementos matemáticos (punto, recta, vector, ángulo, etc.) creados en GeoGebra se
llaman objetos. Para introducir texto en cualquier posición de la Vista Gráfica se utiliza el campo de
entrada o el botón Inserta Texto, ubicado en la barra de herramientas:
Utilizaremos éste botón:
1. Seleccionamos el botón Inserta Texto. Inmediatamente el puntero del ratón cambia a
la forma de cruz negra.
2. Damos un clic en la posición donde insertaremos el texto, por ejemplo en la posición (7,4) . En
forma inmediata aparece el cuadro de texto.
Los botones ubicados en la
parte superior derecha sirven
para seleccionar los caracteres
que no se encuentran en el
teclado.
d
3. Escribimos el texto “Angulo α=”+α.
El texto entre comillas se
leerá en forma idéntica en la
Vista Gráfica, mientras que
se antepone el signo +, a los
objetos que deseamos visualizar su valor, a esto se le llama texto dinámico. Así, el texto
ingresado se observará como:
4. Damos un clic en OK.
Luego, procedemos en forma similar para ingresar cualquier objeto, por ejemplo para ingresar
los valores de los ángulos α y β, escribiremos el siguiente texto.
Ingresamos el siguiente texto mediante el botón Inserta Texto, para observar los valores de los
vectores u, v y w.
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Gráficas de ec. de
segundo grado
Significado de la
derivada parcial
Ahora se observa el texto ingresado en la Vista gráfica
Coordenadas polares y cartesianas
Si observamos en la Vista Algebraica y en
la Vista Gráfica, encontramos los vectores
definidos mediante coordenadas
cartesianas. Podemos cambiar a
coordenadas polares mediante el siguiente
procedimiento:
1. Damos un clic derecho en el objeto que queremos cambiar el tipo de coordenadas, por
ejemplo el vector u.
2. Seleccionamos Coordenadas Polares.
3. Realizamos el mismo procedimiento para los vectores v y w.
Se observa la Vista Algebraica y la Vista Gráfica con los vectores u, v y w en coordenadas
polares.
Realizamos el mismo procedimiento para regresar a coordenadas cartesianas.
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Significado de la
derivada parcial
Redondeo
Se observan en la Vista Algebraica y la Vista gráfica los valores de todos los objetos creados
(segmentos, puntos, ángulos, vectores), hasta con dos decimales o posiblemente más de dos
decimales. Podemos cambiar el número de decimales de la siguiente forma:
1. Seleccionamos el menú Opciones
2. Escogemos Redondeo
3. Escogemos el número de Lugares Decimales o de Cifras Significativas
Si escogemos 0 Lugares decimales, se observarán los siguientes valores:
Evaluación:
El docente verificará visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos en el computador. Los estudiantes presentarán un archivo que contiene el modelo de suma de vectores creado en GeoGebra.
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Significado de la
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Gráfica de una función de dos variables en 3D
Gráfica de la función de dos variables
𝑧 =𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 𝑦2)
𝑥2 + 𝑦2
realizada en el programa Winplot
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Micro Proyecto 3
Autor: MSc. César A. Yépez
Tema : Fundamentos de Microsoft Mathematics. Prácticas de matemática con Microsoft
Mathematics.
Objetivos:
- Identificar las utilidades y las principales formas de aplicación del programa Microsoft Mathematics.
- Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones utilizando el programa Microsoft Mathematics.
Materiales: Computador, software matemático (Microsoft Mathematics), guía de procedimiento
Procedimiento:
3. Leer el documento de Fundamentos de Microsoft Mathematics e identificar sus características, utilidades y aplicaciones en el computador.
4. Realizar las gráficas de las ecuaciones planteadas siguiendo el procedimiento que se indica.
Fundamentos de Microsoft Mathematics.
Un excelente programa de matemática y muy sencillo de utilizar es Microsoft Mathematics, cuando se ingresa al programa podemos observar el menú Ayuda donde encontraremos las utilidades de: Microsoft Mathematics
Microsoft Mathematics proporciona un conjunto de herramientas matemáticas que ayudan a los estudiantes a hacer sus tareas escolares de forma rápida y sencilla. Con Microsoft Mathematics,
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Significado de la
derivada parcial
los estudiantes pueden aprender a resolver ecuaciones paso a paso, mientras profundizan sus conocimientos sobre conceptos fundamentales de introducción al álgebra, trigonometría, física, química y cálculo.
Microsoft Mathematics incluye una calculadora de gráficas completa que funciona como si fuera una calculadora manual. Otras herramientas matemáticas pueden servir para calcular triángulos, convertir de un sistema de unidades a otro y resolver sistemas de ecuaciones.
Microsoft Mathematics puede ayudarle con muchas tareas, como, por ejemplo:
1. Calcular funciones matemáticas estándar, como raíces y logaritmos. 2. Resolver ecuaciones e inecuaciones. 3. Resolver triángulos. 4. Convertir medidas de una unidad a otra. 5. Calcular funciones trigonométricas, como seno y coseno. 6. Realizar operaciones de matriz y vector, como inversas y productos cruzados. 7. Calcular estadísticas básicas, como una media y una desviación estándar. 8. Realizar operaciones con números complejos. 9. Representar gráficas en 2D y 3D en coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y
esféricas. 10. Hallar derivadas e integrales, límites y sumas y productos de serie. 11. Hallar, representar y resolver fórmulas y ecuaciones comunes.
Cuando Microsoft Mathematics se abre, verá los siguientes elementos:
1. Teclado de la calculadora El teclado de la calculadora incluye un teclado numérico y los siguientes grupos de botones: Números complejos, Cálculo, Estadística, Trigonometría, Álgebra lineal, Estándar y Botones favoritos.
2. Ficha Hoja de cálculo La ficha Hoja de cálculo, que se muestra de forma predeterminada, es donde probablemente realizará la mayoría de los cálculos numéricos. Esta ficha incluye un panel de entrada y un panel de resultado. Puede usar expresiones matemáticas de entrada usando el teclado, el mouse o el lápiz. Cuando termine de escribir la expresión, Microsoft Mathematics la calcula de forma simbólica y numérica (si corresponde) y, a continuación, muestra los resultados en el panel de resultado. En algunos casos, el resultado puede incluir soluciones detalladas o información adicional sobre la solución.
3. Ficha Gráficas La ficha Gráficas se puede usar para crear la mayoría de las gráficas matemáticas. Esta ficha incluye un panel de entrada para escribir la función, ecuación, inecuación, conjunto de datos o ecuación paramétrica que desea representar. Para trabajar con la gráfica después de representarla, la ficha Gráficas también incluye un panel que describe lo que se representa en la gráfica y un panel de gráfica que muestra la gráfica en sí.
4. Cinta La cinta está diseñada para ayudarle a encontrar rápidamente los comandos que necesita para llevar a cabo una tarea. Los comandos están organizados en grupos lógicos, que se encuentran recopilados en forma de fichas. Cada ficha se relaciona con un tipo de actividad, como insertar datos. Para no recargar la pantalla, algunas fichas se muestran
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derivada
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segundo grado
Significado de la
derivada parcial
solo cuando es necesario. Por ejemplo, la ficha Herramientas gráficas se muestra solo cuando se representan gráficas.
Ecuaciones
Ecuación de primer grado
Ejemplo 1. Hallar 𝑥 ∈ 𝑅 tal que:
a) 8𝑥 + 7 = 3𝑥 − 6 b)4𝑥 − 2(2𝑥 − 1) = 2 − 𝑥 + 3(𝑥 − 4) c)𝑥−4
2(𝑥+10)=
𝑥
2𝑥−3
1. Seleccionamos la ficha Hoja de cálculo 2. Escribimos la ecuación 8𝑥 + 7 = 3𝑥 − 6 en el cuadro de entrada como se indica en la figura. 3. Damos un clic en el botón Entrar o presionamos la tecla Enter 4. Observamos la solución de la ecuación ingresada. Además cuando es posible se puede
observar el
procedimiento realizado. 5. Damos un clic en Pasos de solución.
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segundo grado
Significado de la
derivada parcial
6. Ingresamos la ecuación 4𝑥 − 2(2𝑥 − 1) = 2 − 𝑥 + 3(𝑥 − 4) en el cuadro de entrada y presionamos Enter.
7. Escribimos la ecuación 𝑥−4
2(𝑥+10)=
𝑥
2𝑥−3 de la forma que se indica; es importante agrupar entre
paréntesis los numeradores y denominadores en forma correcta.
. El resultado de la ecuación anterior se observara de la siguiente forma:
Ecuación cuadrática
Ejemplo 2. Sean las funciones cuadráticas 𝑝, hallar el conjunto 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ 𝑝(𝑥)⁄ = 0}
a) 𝑝(𝑥) = 𝑥2 + 8𝑥 + 15 b) 𝑝(𝑥) = 5𝑥2 + 8𝑥 − 15 = 0 c) 𝑝(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 17 = 0
1. Seleccionamos la ficha Hoja de cálculo 2. Escribimos la ecuación 𝑥2 + 8𝑥 + 15 = 0 en el cuadro de entrada, como se indica en la
figura. Para ingresar el término 𝑥2, escribimos 𝑥 y utilizamos el botón del teclado de la
calculadora. Para otros exponentes utilizamos el botón 3. Damos un clic en el botón Entrar o presionamos la tecla Enter. 4. Observamos las soluciones de la ecuación ingresada. Para las ecuaciones cuadráticas se
presentan dos procedimientos solución. 5. Damos un clic en Pasos de
solución mediante la fórmula cuadrática. Se observará una explicación de este procedimiento. Observación: El conjunto solución es:
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ 𝑝(𝑥)⁄ = 0} 𝑆 = {−5, −3}
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6. Ingresamos la ecuación
5𝑥2 + 8𝑥 − 15 = 0 de la misma forma. Se observa el resultado en la parte superior, como se muestra en la figura.
7. Ingresamos la siguiente ecuación 𝑥2 − 2𝑥 +17 = 0. El resultado se muestra en la siguiente figura. Se observa que las soluciones no pertenecen al conjunto de los números reales sino al conjunto de los números complejos. Luego, el conjunto solución es:
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ 𝑝(𝑥)⁄ = 0} 𝑆 = {0,0}
Sistemas de ecuaciones
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es el conjunto de ecuaciones:
{𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2
Donde 𝑥, 𝑦 denotan las incógnitas, 𝑎1, 𝑎2, 𝑏1, 𝑏2 ∈ ℝ se denominan incógnitas, 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ se llaman términos independientes.
Resolver en el conjunto ℝ2 el sistema de ecuaciones lineales con coeficientes y términos independientes en ℝ, significa hallar, si existen, dos números reales 𝑥, 𝑦 que satisfacen las dos ecuaciones del sistema propuesto. El conjunto solución es:
𝑆 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2/ {𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2 }
Ejemplo 3. Hallar la solución en ℝ2, si existe de los sistemas de ecuaciones lineales .
a){−6𝑥 + 7𝑦 = −20
−2𝑥 + 14𝑦 = −30 b){
4𝑥 + 8𝑦 = 100−2𝑥 + 5𝑦 = 13
c) {𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 2𝑎 + 𝑏
−𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎 − 2𝑏
En general, para resolver una ecuación o un sistema de ecuaciones se utiliza la herramienta Solve de ecuaciones que se encuentra en la ficha Inicio.
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Gráficas de ec. de
segundo grado
Significado de la
derivada parcial
Resolveremos la primera ecuación:
1. Seleccionamos el botón Solve de ecuaciones 2. Escogemos Resolver un sistema de 2 ecuaciones 3. Ingresamos la primera ecuación 4. Ingresamos la segunda ecuación 5. Damos un clic en el botón Resolver 6. Observamos la solución del sistema
En este caso el conjunto solución 𝑆 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2| {−6𝑥 + 7𝑦 = −20
−2𝑥 + 14𝑦 = −30 } = {(1, −2)}
Resolviendo los sistemas {4𝑥 + 8𝑦 = 100−2𝑥 + 5𝑦 = 13
y {𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 2𝑎 + 𝑏
−𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎 − 2𝑏 se obtiene respectivamente:
Evaluación:
El docente verificará visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos en el computador. Los estudiantes presentarán un documento en Word que contiene el desarrollo de los ejemplos propuestos.
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Autor: MSc. César A. Yépez
Tema : El círculo trigonométrico
Objetivos:
- Diseñar el círculo trigonométrico que presente en forma dinámica los valores de las
funciones trigonométricas en GeoGebra.
- Resolver problemas de trigonometría mediante la utilización del modelo creado en
GeoGebra.
Materiales: Computador, software matemático (GeoGebra), guía de procedimiento.
Procedimiento:
Diseñaremos un modelo de un circulo trigonométrico de radio igual a 1; mediante la creación de todos los objetos desde el campo de entrada y la correspondiente alternativa utilizando la barra de herramientas.
1. Introducimos el punto A definido como la intersección de los ejes X y Y.
Objeto Definición Comando Herramienta
Punto A Punto de Intersección: EjeX, EjeY
Interseca[EjeX,EjeY]
2. Insertamos el punto B sobre el eje X, luego lo trasladamos a la ubicación (1,0).
Objeto Definición Comando Herramienta
Punto B Punto sobre el EjeX Punto[EjeX]
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Significado de la
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Polinomios 2
Polinomios 1
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Significado de la
derivada parcial
3. Ubicamos la circunferencia c de centro en el punto A y que pasa por el punto B
Objeto Definición Comando Herramienta
Circunferencia c
Circunferencia de centro A que pasa por B
Circunferencia[A,B]
4. Ubicamos el punto C sobre la circunferencia c
Objeto Definición Comando Herramienta
Punto C Punto sobre c Punto[c]
5. Definimos el ángulo positivo α con los puntos B, A y C
Objeto Definición Comando Herramienta
Angulo α Angulo de extremo B, vértice A y extremo C
Angulo[B,A,C]
6. Trazamos el segmento a desde el punto A hasta el punto C.
Objeto Definición Comando Herramienta
Segmento a Segmento que une los puntos A y C
Segmento[A,C]
7. Ubicamos el punto D como la proyección del punto C sobre el EjeY
Objeto Definición Comando Herramienta
Punto D Proyección del punto C sobre el EjeY
(0,y(C))
8. Ubicamos el punto E como la proyección del punto C sobre el EjeX
Objeto Definición Comando Herramienta
Punto E Proyección del punto C sobre el EjeX
(x(C),0)
9. Trazamos la recta b que es perpendicular al EjeX y pasa por el punto B.
Objeto Definición Comando Herramienta
Recta b Recta que pasa por B y es perpendicular al EjeX
Perpendicular[B,EjeX]
10. Ubicamos el punto F de coordenadas (1, tan (𝛼))
Objeto Definición Comando Herramienta
Punto F Punto de coordenadas (1, tan (𝛼))
(1, tan (𝛼))
11. Trazamos el segmento d que va del punto C al punto F
Objeto Definición Comando Herramienta
Segmento d Segmento que une el punto C con el punto F
Segmento[C,F]
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Significado de la
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Polinomios 2
Polinomios 1
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segundo grado
Significado de la
derivada parcial
12. Trazamos el segmento e que va del punto D al punto C
Objeto Definición Comando Herramienta
Segmento e Segmento que une el punto D con el punto C
Segmento[D,C]
13. Trazamos el segmento f que va del punto C al punto E
Objeto Definición Comando Herramienta
Segmento f Segmento que une el punto C con el punto E
Segmento[C,E]
14. Ubicamos el texto y el valor del seno del ángulo α, en el punto D. Esto hace que el texto se traslade junto con el punto.
Objeto Definición Comando Herramienta
Texto texto1
Texto que indica el valor del seno de α
“sen α =”+(sin(α))
15. Ubicamos el texto y el valor del coseno del ángulo α, en el punto E. Esto hace que el texto se traslade junto con el punto.
Objeto Definición Comando Herramienta
Texto texto2
Texto que indica el valor del seno de α
“cos α =”+(cos(α))
16. Ubicamos el texto y el valor del ángulo α.
Objeto Definición Comando Herramienta
Texto texto3
Texto que indica el valor del ángulo α
“α = “+α
17. Ubicamos el texto y el valor de la tangente del ángulo α.
Objeto Definición Comando Herramienta
Texto texto4
Texto que indica el valor de la tangente de α
“tan α =”+(tan(α))
Finalmente editaremos los objetos creados, con los estilos de linea, colores, grosor, tamaño de letra, etc. Para obtener el círculo trigonométrico que se observa en la imagen siguiente, con la Vista algebraica y la Vista Gráfica.
Observaciones:
Cuando desplazamos el punto C sobre la circunferencia c, se observarán los distintos valores de las funciones trigonométricas, así como las lóngitudes de de los segmentos trazados.
En la versón 4 de GeoGebra, es posible hacer una Animación automática del punto C, dando un clic derecho sobre éste y escogiendo la opción correspondiente.
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Polinomios 1
Gráficas de ec. de
segundo grado
Significado de la
derivada parcial
Podemos observar el resumen de los objetos creados al seleccionar el menú Vista y la opción Protocolo de Construcción.
Evaluación:
El docente verificará visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos en el computador. Los estudiantes presentarán el archivo guardado en GeoGebra y demostrarán la utilización del modelo creado, calculando los valores de las funciones trigonométricas para ángulos notables.
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Tema : Funciones trigonométricas
Objetivos:
- Diseñar un modelo en GeoGebra 4 que presente en forma dinámica los valores de las
funciones trigonométricas seno, coseno y tangente
- Graficar las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.
Materiales: Computador, software matemático (GeoGebra), guía de procedimiento.
Procedimiento:
Diseñaremos el modelo que se observa en la figura con las gráficas de las funciones seno, coseno y tangente.
Es importante aclarar que el modelo debe crearse en la versión 4 de GeoGebra o en versiones superiores. Utilizaremos dos aplicaciones interesantes de ésta versión:
- Una segunda vista gráfica, que permitirá gráficar las funciones trigonométricas, al cambiar la escala del EjeX a grados; una escala distinta a la primera vista gráfica.
- La herramienta de Animación Automática, que permite visualizar el movimiento de un punto sobre la circunferencia.
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funciones
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INDICE
Significado de la
derivada
Polinomios 2
Polinomios 1
Gráficas de ec. de
segundo grado
Significado de la
derivada parcial
Primera Parte
Iniciaremos ingresando a GeoGebra 4 y diseñando el modelo de un circulo trigonométrico de radio igual a 1; mediante la creación de todos los objetos desde el campo de entrada o utilizando la barra de herramientas.
18. Introducimos el punto A definido como la intersección de los ejes X y Y.
Objeto Definición Comando Herramienta
Punto A Punto de Intersección: EjeX, EjeY
Interseca[EjeX,EjeY]
19. Insertamos el punto B sobre el eje X, luego lo trasladamos a la ubicación (1,0).
Objeto Definición Comando Herramienta
Punto B Punto sobre el EjeX Punto[EjeX]
20. Ubicamos la circunferencia c de centro en el punto A y que pasa por el punto B
Objeto Definición Comando Herramienta
Circunferencia c
Circunferencia de centro A que pasa por B
Circunferencia[A,B]
21. Ubicamos el punto C sobre la circunferencia c
Objeto Definición Comando Herramienta
Punto C Punto sobre c Punto[c]
22. Definimos el ángulo positivo α con los puntos B, A y C
Objeto Definición Comando Herramienta
Angulo α Angulo de extremo B, vértice A y extremo C
Angulo[B,A,C]
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Significado de la
derivada parcial
23. Trazamos el segmento a desde el punto A hasta el punto C.
Objeto Definición Comando Herramienta
Segmento a Segmento que une los puntos A y C
Segmento[A,C]
24. Ubicamos el punto D como la proyección del punto C sobre el EjeY
Objeto Definición Comando Herramienta
Punto D Proyección del punto C sobre el EjeY
(0,y(C))
25. Ubicamos el punto E como la proyección del punto C sobre el EjeX
Objeto Definición Comando Herramienta
Punto E Proyección del punto C sobre el EjeX
(x(C),0)
26. Trazamos la recta b que es perpendicular al EjeX y pasa por el punto B.
Objeto Definición Comando Herramienta
Recta b Recta que pasa por B y es perpendicular al EjeX
Perpendicular[B,EjeX]
27. Ubicamos el punto F de coordenadas (1, tan (𝛼))
Objeto Definición Comando Herramienta
Punto F Punto de coordenadas (1, tan (𝛼))
(1, tan (𝛼))
28. Trazamos el segmento d que va del punto C al punto F
Objeto Definición Comando Herramienta
Segmento d Segmento que une el punto C con el punto F
Segmento[C,F]
29. Trazamos el segmento e que va del punto D al punto C
Objeto Definición Comando Herramienta
Segmento e Segmento que une el punto D con el punto C
Segmento[D,C]
30. Trazamos el segmento f que va del punto C al punto E
Objeto Definición Comando Herramienta
Segmento f Segmento que une el punto C con el punto E
Segmento[C,E]
31. Ubicamos el texto y el valor del seno del ángulo α, en el punto D. Esto hace que el texto se traslade junto con el punto.
Objeto Definición Comando Herramienta
Texto texto1 Texto que indica el valor del seno de α
“sen α =”+(sin(α))
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Significado de la
derivada parcial
32. Ubicamos el texto y el valor del coseno del ángulo α, en el punto E. Esto hace que el texto se traslade junto con el punto.
Objeto Definición Comando Herramienta
Texto texto2 Texto que indica el valor del seno de α
“cos α =”+(cos(α))
33. Ubicamos el texto y el valor del ángulo α.
Objeto Definición Comando Herramienta
Texto texto3 Texto que indica el valor del ángulo α
“α = “+α
34. Ubicamos el texto y el valor de la tangente del ángulo α.
Objeto Definición Comando Herramienta
Texto texto4 Texto que indica el valor de la tangente de α
“tan α =”+(tan(α))
Finalmente editaremos los objetos creados, con los estilos de linea, colores, grosor, tamaño de letra, etc. Para obtener el círculo trigonométrico que se observa en la imagen siguiente, con la Vista algebraica y la Vista Gráfica.
Observaciones:
Cuando desplazamos el punto C sobre la circunferencia c, se observarán los distintos valores de las funciones trigonométricas, así como las lóngitudes de los segmentos trazados.
En la versón 4 de Geogebra, es posible hacer una Animación automática del punto C, dando un clic derecho sobre éste y escogiendo la opción correspondiente.
Podemos observar el resumen de los objetos creados al seleccionar el menú Vista y la opción Protocolo de Construcción.
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segundo grado
Significado de la
derivada parcial
Segunda parte
Empezaremos configurando el diseño de la pantalla. Para ello utilizamos el menú Vista; donde podemos activar o desactivar cualquier elemento que se muestra a continuación.
- Desactivamos la Vista Algebraica - Activamos la Vista Algebraica 2 y la ubicamos en forma conjunta con la primera Vista Gráfica
mediante el botón Expone en la Vista Principal
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Significado de la
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Luego se presentan en conjunto las dos Vistas Gráficas,a las cuales podemos configurarlas para obtener la presentación adecuada.
Para configurar la Vista Gráfica:
1. Damos un clic derecho sobre la Vista Gráfica
2. Escogemos Vista Gráfica Se observa la ventana para ingresar la configuración adecuada.
La configuración para la Vista Gráfica 2 es la siguiente:
- En la sección Básico ponemos los avlores que se indican:
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Significado de la
derivada parcial
- En la sección EjeX marcamos las opciones que se indican con un visto y seleccionamos las características adicionales como: Distancia, Rótulo, Unidad.
- En la sección EjeY marcamos las opciones que se indican con un visto y seleccionamos las características adicionales como: Distancia, Rótulo.
La configuración para la primera Vista Gráfica es la siguiente:
- En la sección Básico ingresamos los valores que se indican y seleccionamos las características como: Muestra Ejes, Color, Estilio de trazo.
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- En la sección EjeX marcamos las opciones que se indican con un visto y seleccionamos las características adicionales como: Distancia 0.5.
- En la sección EjeY marcamos las opciones que se indican con un visto y seleccionamos las características adicionales como: Distancia 0.5.
- En la sección cuadrícula marcamos Muestra Cuadrícula, en Tipo de Cuadrícula escogemos Cartesiano, seleccionamos Distancia y Estilo de Trazo como se indica en la figura.
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Tercera Parte
Una vez configuradas las Vistas Gráficas, procedemos a realizar el diseño en la Vista Gráfica 2. Esto lo hacemos desde el procedimiento 18 del siguiente protocolo de construcción:
Observaciones:
- El comando (α/°,0) ubica un punto sobre el EjeX con el valor del ángulo α. Este punto se desplazará sobre el EjeX cuando el ángulo α cambie de valores.
- El comando (α/°,sin(α)) define al punto I sobre el EjeX, e indica el valor del seno del ángulo α.
- El comando (α/°,cos(α)) define al punto H sobre el EjeX, e indica el valor del coseno del ángulo α.
- El comando (α/°,tan(α)) define al punto J sobre el EjeX, e indica el valor de la tangente del del ángulo α.
- El valor Booleano k sirve para mostrar u ocultar la función seno. - El valor Booleano l sirve para mostrar u ocultar la función coseno. - El valor Booleano m sirve para mostrar u oultar la función tangente.
Los valores booleanos se introducen de la siguiente forma:
1. Selecccionamos 2. Damos un clic en el sitio donde ubicaremos nuetra Casilla de Control. Inmediantamente
aparece el cuadro de de dialogo Casilla de Control para Mostrar / Ocultar Objetos, el cual se indica en la siguiente figura.
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3. Escribimos el nombre de la Casilla de control en el cuadro Subtitulo, por ejemplo:
Función Seno. 4. En Selección de objetos de la construcción o de la lista, escogemos los elementos que
se indican. Es decir, no solo se puede escoger un elemento, sino varios. Esto se nuestra en la siguiente figura.
5. Damos un clic en el botón Aplica.
Evaluación:
El docente verificará visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos en el computador. Los estudiantes presentarán el archivo guardado en GeoGebra y demostrarán la utilización del modelo creado, calculando los valores de las funciones trigonométricas para ángulos α ∈ [0,2𝜋].
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derivada
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segundo grado
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derivada parcial
Micro Proyecto 6
Autor: MSc. César A. Yépez
Tema : Análisis de datos 1 - Estadística
Objetivos:
- Resolver un problema de estadística, utilizando Geogebra4.
Problema:
La inversión anual, en miles de dólares, de una muestra de 40 pequeñas empresas fueron:
36 19 29 37 33 22 29 31 21 35
20 4 25 34 24 27 27 24 26 31
27 17 31 10 28 15 41 30 18 39
46 26 12 23 18 33 25 28 23 28
- Calcular: el número total de valores(n), la media, la varianza (𝜎), la desviación estándar (s), valor mínimo (Min), valor máximo (Max), mediana, cuartiles (Q1, Q3).
- Realizar el histograma de frecuencias, diagrama de cajas, diagrama de tallo y hojas,
diagrama de puntos.
Materiales: Computador, software matemático (GeoGebra), guía de procedimiento.
Procedimiento:
1. Abrimos la versión 4 de GeoGebra
2. Seleccionamos el menú 3. Escogemos
Se observará la Vista Hoja de Cálculo como en la siguiente figuara:
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segundo grado
Significado de la
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4. Ingresamos los valores en la Hoja de cálculo
La hoja de cálculo es similar a Excel, podemos ingresar los datos en una sola columna o en varias, en el ejemplo se han ingresado los datos en dos columnas. Para realizar alguna operación sobre los datos ingresados debemos seleccionarlos, como se indica en la figura de la derecha.
5. Seleccionamos las celdas que contienen los datos
6. Damos un clic en la herramienta Análisis de un avariable
Inmediatamente aparece la ventana Estadíaticas de Una Variable
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segundo grado
Significado de la
derivada parcial
En esta ventana se observan dos secciones, la primera que indica los resultados estadísticos obtenidos como por ejemplo el número total de datos (n), la media, la desviación estándar (s), la varianza (𝜎), valor mínimo (Min), etc. La segunda sección que indica el histograma correspondiente.
7. Damos un clic un la flecaha hacia abajo del cuadro que indica el tipo de gráfico, en este caso Histograma
Se observan als opciones disponibles según el tipo de diagrama
8. Seleccionamos el tipo de diagrama, por ejemplo tenemos:
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segundo grado
Significado de la
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Evaluación:
El docente verificará visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos en el computador. Los estudiantes desarrollarán el ejercicio en forma manual y comprobarán los resultados obtenidos en el computador.
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Autor: MSc. César A. Yépez
Tema : Análisis de datos 2- Estadística
Objetivo:
- Resolver un problema de estadística, utilizando Microsoft Excel.
Problema La siguiente tabla muestra las edades de los jugadores en un torneo de fútbol
22 24 28 34 30 26 17
17 18 24 30 29 28 21
19 26 25 22 23 29 20
31 24 25 20 20 28 30
27 24 26 28 21 22 28
24 28 27 26 24 28 35
30 20 19 15 17 24 24
26 16 19 22 28 26 26
27 28 24 21 25 25 22
19 21 28 22 26 22 25
Diseñar en Excel la tabla de frecuencias correspondiente
Nota: Frecuencia (f) de un conjunto de datos es el número de veces que se repite un valor, mientras que frecuencia relativa (fr) es la frecuencia dividida para el número total de datos. La frecuencia acumulada (fa), resulta de sumar las frecuencias parciales; de la misma forma, la frecuencia relativa acumulada (fra) es la suma de las frecuencias relativas parciales.
Materiales: Computador, software matemático (Microsoft Excel), guía de procedimiento.
Procedimiento:
1. Copiamos los datos en una hoja de Excel, empezamos en la celda A2 y terminamos en la celda G11, es decir ingresamos los datos en el rango A2:G11. Diseñamos la tabla de frecuencias para distribuir los datos en 7 intervalos, en las celdas que se indican
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Significado de la
derivada parcial
2. Completamos los valores que corresponden al rango de celdas F13:F17
Contamos el número de jugadores, nos ubicamos en la celda F13 y aplicamos la función CONTAR. En la barra de fórmulas se observa ésta función
Calculamos la edad promedio en la celda F14, aplicamos la función PROMEDIO, según se
observa en la barra de fórmulas
En la celda F15 calculamos la edad mínima, mediante la función MIN. La fórmula para este caso, se observa en la barra de fórmulas
La edad máxima se obtiene aplicando la función MAX en la celda F16
La desviación estándar de las edades la obtenemos en la celda F17, aplicando la función
DESVEST, como se observa en la barra de fórmulas
3. Calculamos la frecuencia de las edades mediante la función FRECUENCIA:
a. Seleccionamos el rango de celdas L3:L10
b. Seleccionamos la función estadística
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segundo grado
Significado de la
derivada parcial
Inmediatamente aparece el cuadro Argumentos de la función frecuencia, donde ingresaremos el rango de celdas donde se encentran los Datos y el rango de celdas donde se encuentran los intervalos o grupos
c. Seleccionamos los datos ubicados en el rango A2:G11 y los intervalos o grupos en el rango I3:I9
Las frecuencias se observan en la sección resaltada de rojo.
d. Presionamos las teclas MAYUS+CTRL+ENTER
Luego, las frecuencias f de las edades de los jugadores del torneo se copian en el rango de celdas seleccionadas, como se observa en la siguiente figura:
e. Sumamos la los valores de la frecuencia en la celda L10, mediante el botón . Se observará en la barra de fórmulas:
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segundo grado
Significado de la
derivada parcial
4. Para el cálculo de la frecuencia relativa: a. Escribimos en la celda M3, la fórmula “ =L3/$L$10”
b. Copiamos la fórmula hacia el resto de celdas de la columna y sumamos las frecuencias, los
resultados se observan en el siguiente gráfico.
5. Para completar la tabla realizamos los siguientes pasos
Frecuencia acumulada (fa)
En la celda O3 copiamos el contenido de la celda L3; escribimos la fórmula “=L3”
En la celda O4, escribimos la fórmula “=O3+L4”
Copiamos la fórmula hacia el resto de celdas de la columna
Frecuencia relativa acumulada (fra)
Ubicamos el cursor en la celda P3 y copiamos el contenido de la celda M3 mediante la
fórmula “=M3”
Ubicamos el cursor en la celda P4 y escribimos la fórmula “=P3+M4”
Copiamos ésta última fórmula hacia el resto de celdas de la columna
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Significado de la
derivada parcial
La siguiente tabla muestra todas las fórmulas correspondientes a la tabla de frecuencias del ejemplo anterior.
- Calcular: el número total de valores(n), la media, la varianza (𝜎), la desviación estándar (s), valor mínimo (Min), valor máximo (Max), mediana, cuartiles (Q1, Q3).
- Realizar el histograma de frecuencias, diagrama de cajas, diagrama de tallo y hojas, diagrama de puntos.
Evaluación:
El docente verificará visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos en el computador. Los estudiantes desarrollarán el ejercicio en forma manual y comprobarán los resultados obtenidos en el computador.
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derivada
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segundo grado
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derivada parcial
Gráficas de funciónes en cordenadas polares
Rosa de cuatro pétalos: Gráfica de la función 𝑟 = 3cos (2𝑡) realizada en Winplot.
Cardioide: Gráfica de la función 𝑟 = 1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑡) realizada en Winplot
Gráfica de la función 𝑟 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛3(5𝑡
2) realizada en Winplot
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derivada
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Micro Proyecto 8
Autor: MSc. César A. Yépez
Tema : Gráficas de funciones
Objetivos:
- Graficar diferentes tipos de funciones
Materiales: Computador, software matemático (GeoGebra), guía de procedimiento.
Procedimiento:
1. Leer las siguientes definiciones Polinomios A una función P se le llama polinomio si 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 , 𝑛 ∈ ℤ+. Se llaman coeficientes del polinomio a los valores constantes 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑛. El dominio de la función la función P es 𝐷𝑜𝑚(𝑃) = ℝ. Si 𝑎𝑛 ≠ 0 el grado del polinomio es 𝑛. Si 𝑛 = 1 entonces se tiene un polinomio de grado 1 llamado función lineal 𝑷(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒃. La gráfica de la función lineal es una línea recta. Si 𝑛 = 2 entonces se tiene un polinomio de grado 2 al cual se le llama función cuadrática
𝑷(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄. Su gráfica es una parábola que se abre hacia arriba si 𝑎 > 0 y que se abre hacia abajo si 𝑎 < 0. Si 𝑛 = 3 entonces se tiene un polinomio de grado 3 al cual se le llama función cúbica
𝑷(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟑 + 𝒄𝒙 + 𝒅 Función potencia Una función de la forma 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒂 se llama función potencia Si 𝑎 = 𝑛, 𝑛 ∈ ℤ+
Si 𝑎 =1
𝑛, 𝑛 ∈ ℤ+ se tiene la función raíz 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟏/𝒏
Si 𝑎 = −1, se tiene la función recíproca 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟏 =𝟏
𝒙
Funciones racionales
La función de la forma 𝑓(𝑥) =𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥) , donde P y Q son polinomios es una función racional.
Su dominio 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑄(𝑥) ≠ 0} Funciones algebraicas Cuando una función puede construirse mediante el uso de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación división, y el uso de raíces, se llama función algebraica. Funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) , 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) tienen el mismo dominio 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ y el mismo recorrido 𝑅𝑒𝑐(𝑓) = [−1,1].
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Significado de la
derivada parcial
La función tangente 𝑓(𝑥) = tan(𝑥) =𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos (𝑥), no está definida cuando cos(𝑥) = 0, es decir
cuando 𝑥 toma los valores de 𝜋
2, −
𝜋
2,
3𝜋
2, −
3𝜋
2, …
El recorrido de la función tangente es 𝑅𝑒𝑐(𝑓) = ℝ Funciones exponenciales Una función exponencial tiene la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, donde 𝑎 ∈ ℝ+ es una constante. El dominio de la función exponencial es 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ. El recorrido es 𝑅𝑒𝑐(𝑓) =]0, +∞[ Funciones logarítmicas La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, así se tiene la siguiente equivalencia
𝑎𝑦 = 𝑥 ⟺ 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = 𝑦 Entonces la función logarítmica tiene la forma 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 donde 𝑎 es una constante positiva. El dominio de la función logarítmica es 𝐷𝑜𝑚(𝑓) =]0, +∞[ , mientras que el recorrido es 𝑅𝑒𝑐(𝑓) = ℝ. Funciones trascendentes Comprende las funciones que no tienen nombre, se incluyen las funciones que no son algebraicas, además las funciones trigonométricas, trigonométrica inversa, exponencial y logarítmica.
2. Clasificar las siguientes funciones escribiendo al frente de cada literal, el tipo de función al cual corresponde.
a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥6 − 𝑥4 +2
5𝑥3 + √2
b. 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥+1 c. 𝑦 = −2𝑥2 + 3𝑥 + 1 d. 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥 + 1 e. 𝑦 = 𝑥4 − 3𝑥2 − 𝑥 f. 𝑦 = 3𝑥5 − 25𝑥3 +
60𝑥 g. ℎ = 449.36 +
0.96𝑡 − 4.90𝑡2 h. 𝑦 = 𝑥 i. 𝑦 = 𝑥2 j. 𝑦 = 𝑥3 k. 𝑦 = 𝑥4 l. 𝑦 = 𝑥5
m. 𝑓(𝑥) = √𝑥
n. 𝑓(𝑥) = √𝑥3
o. 𝑓(𝑥) =2𝑥4−𝑥2+1
𝑥2−4
p. 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1
q. 𝑔(𝑥) =𝑥4+16𝑥2
𝑥+√𝑥+ (𝑥 −
2) √𝑥 + 13
r. 𝑓(𝑥) = 𝑥√𝑥 + 3
s. 𝑓(𝑥) = √𝑥4 − 254
t. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
3(𝑥 − 2)2 u. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) v. 𝑓(𝑥) = cos (𝑥) w. 𝑓(𝑥) = tan (𝑥) x. 𝑦 = 2𝑥 y. 𝑦 = (0.5)𝑥 z. 𝑡(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔10𝑥 aa. 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔5𝑥 bb. 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2
3. Realizar la gráfica de las siguientes funciones ingresando la función desde el campo de entrada, como se indica en la parte inferior de cada gráfica.
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Significado de la
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Significado de la
derivada parcial
4. Graficar las siguientes funciones utilizando el comando “Función” de GeoGebra.
Se ha definido la función mediante los siguientes argumentos: Función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥) El valor inicial 𝑥 = −1 El valor final 𝑥 = 3
Se ha definido la función mediante los siguientes argumentos: Función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 El valor inicial 𝑥 = −3 El valor final 𝑥 = 2
Se ha definido la función mediante los siguientes argumentos:
Función 𝑓(𝑥) = √𝑥4 − 254
El valor inicial 𝑥 = −3 El valor final 𝑥 = 3
La gráfica representa a la función definida como: 𝑓: [−2,2] ⟶ [−1,3]
𝑥 ⟶ 𝑦 = 𝑓(𝑥) =𝑥2−1
𝑥−1
Valor inicial 𝑥 = −2 Valor fina 𝑥 = 2
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Significado de la
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Significado de la
derivada parcial
5. Realizar las siguientes gráficas definidas a trozos utilizando la función lógica “Si” de GeoGebra. La estructura de la función lógica “Si”, se indica a continuación:
O también:
Evaluación:
El docente verificará visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos en el computador. Los estudiantes presentarán un documento impreso que contiene las graficas realizadas.
𝑓(𝑥) = {−1 𝑠𝑖 − 4 < 𝑥 < 0
0 𝑠𝑖 𝑥 = 0 1 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 4
𝑓(𝑥) = {
−2 𝑠𝑖 − 6 < 𝑥 < −3 2
3𝑥 𝑠𝑖 − 3 < 𝑥 < 3
2 𝑠𝑖 3 < 𝑥 < 6
La representación de la función
𝑓(𝑥) = {
𝑠𝑒𝑛(𝑥) ; −6 < 𝑥 ≤ −4 2𝑥 ; −4 < 𝑥 ≤ 2
√𝑥4 − 254
; 2 < 𝑥 ≤ 4
Se obtiene ingresando la instrucción
que se indica en la barra de entrada.
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INDICE
Significado de la
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Polinomios 1
Gráficas de ec. de
segundo grado
Significado de la
derivada parcial
Micro Proyecto 9
Autor: MSc. César A. Yépez
Tema : Funciones en Excel
Objetivos:
- Calcular valores de funciones - Graficar diferentes tipos de funciones
Materiales: Computador, software matemático (Microsoft Office Excel), guía de procedimiento.
Procedimiento:
1. Lee la siguiente información:
Función
Función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto A de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto B de llegada, llamado Recorrido, de forma tal que, a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el recorrido.
Una función se representa mediante las siguientes formas:
En la función lineal 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃, m y b son valores constantes mientras x, y son variables, así:
Si 𝑚 = 2 y 𝑏 = 3 se tiene la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3. Luego,
𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑦
Si 𝑥 = −2 𝑓(−2) = 2(−2) + 3 = −1 -2 -1
Si 𝑥 = −1 𝑓(−1) = 2(−1) + 3 = 1 -1 1
Si 𝑥 = 0 𝑓(0) = 2(0) + 3 = 3 0 3
Si 𝑥 = 1 𝑓(1) = 2(1) + 3 = 5 1 5
Si 𝑥 = 2 𝑓(2) = 2(2) + 3 = 7 2 7
𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝐴 𝐵 𝑓
𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵
𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅
𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
La función lineal es de la forma:
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Funciones en Excel
INDICE
Significado de la
derivada
Polinomios 2
Polinomios 1
Gráficas de ec. de
segundo grado
Significado de la
derivada parcial
Se observa que los valores de y dependen de los valores de x, entonces x es la variable independiente, mientras y es la variable dependiente.
Podemos en Excel, calcular los valores f(x) de la función para todos los valores de la variable x, para luego hacer la gráfica de la función mediante las Herramientas de gráficos.
2. Graficar la función lineal 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑 mediante el siguiente procedimiento:
1. Escribimos en una columna los valores que corresponden a la variable x.
2. Digitamos la fórmula que permita hallar el primer valor de y. En este caso es: =2*B7+3.
3. Pulsamos ENTER. Aparece en la celda, el primer valor de y
4. Copiar la fórmula en el resto de la columna de los Valores de y. Se calcula automáticamente los valores de y.
1 2
4
3
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INDICE
Significado de la
derivada
Polinomios 2
Polinomios 1
Gráficas de ec. de
segundo grado
Significado de la
derivada parcial
5. Seleccionamos las celdas que contienen los valores de x y los valores de y.
6. Seleccionamos la ficha insertar
7. Escogemos el tipo de gráfico, Dispersión
8. Seleccionamos el tipo Dispersión con líneas suavizadas y marcadores
Luego del proceso anterior, se puede observar el gráfico de la función lineal.
5
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INDICE
Significado de la
derivada
Polinomios 2
Polinomios 1
Gráficas de ec. de
segundo grado
Significado de la
derivada parcial
3. Grafica la función lineal 𝑦 = −2𝑥 + 3
4. Grafica la función cuadrática 𝑦 = 𝑥2 + 2
5. Grafica la función cúbica 𝑦 = 𝑥3
Evaluación:
El docente verificará visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos en el computador. Los estudiantes presentarán un documento impreso que contiene las graficas realizadas.
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Significado de la
derivada
Polinomios 2
Polinomios 1
Gráficas de ec. de
segundo grado
Significado de la
derivada parcial
Micro Proyecto 10
Autor: MSc. César A. Yépez
Tema : Gráficas de ecuaciones de segundo grado
Objetivos:
- Graficar parábolas, elipses, hipérbolas, circunferencias. - Resolver sistemas de ecuaciones no lineales
Materiales: Computador, software matemático (GeoGebra), guía de procedimiento.
Procedimiento:
6. Leer las siguientes definiciones Circunferencia Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos 𝑃(𝑥, 𝑦) cuya distancia al centro 𝐶(ℎ, 𝑘) es una constante 𝑟
Si el centro se ubica en el origen (0,0), se tiene la ecuación:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 La ecuación de una circunferencia con centro (ℎ, 𝑘) y radio r es:
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2
La ecuación de la circunferencia se obtiene usando la fórmula de la distancia entre dos puntos, así, la distancia r del punto (x,y) al punto (h,k) es:
𝑟 = √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 Luego,
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 Por ejemplo la ecuación del círculo de radio 2 y centro (5,3) es:
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 (𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 3)2 = 4
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derivada
Polinomios 2
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Gráficas de ec. de
segundo grado
Significado de la
derivada parcial
Parábola Una parábola es el conjunto de todos los puntos en un plano que son equidistantes de un punto fijo F (foco) y de una línea fija (directriz). El punto sobre la parábola que se ubica a la mitad de la distancia entre el foco y la directriz se llama vértice. Si el vértice de la parábola es el origen entonces se tiene la ecuación:
𝑦 = 𝑎𝑥2 La ecuación de una parábola de vértice en el punto (ℎ, 𝑘) es:
𝑦 − 𝑘 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 Se obtiene la ecuación más simple de la parábola si colocamos su vértice en el origen O y su directriz paralela al eje X como se indica en la figura. Según la definición de una parábola, la distancia del punto F de coordenadas (0,p) hacia el punto P de coordenadas (x,y) será:
|𝐹𝑃| = 𝑦 + 𝑝
√(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 𝑝)2 = 𝑦 + 𝑝 Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación se tiene:
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦𝑝 + 𝑝2 = (𝑦 + 𝑝)2 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦𝑝 + 𝑝2
= 𝑦2 + 2𝑦𝑝 + 𝑝2 𝑥2 = 4𝑝𝑦
Despejamos para 𝑦,
𝑦 =1
4𝑝𝑥2
Luego si 𝑎 =1
4𝑝 se tiene:
𝑦 = 𝑎𝑥2 Elipse Una elipse es el conjunto de puntos en el plano cuya suma de sus distancias desde dos puntos fijos 𝐹1 y 𝐹2 (focos) es una constante. Así por ejemplo en la figura si A y B son dos puntos distintos de la elipse, 𝐹1 y 𝐹2 sus focos, entonces se cumple la igualdad:
|𝐹1𝐴| + |𝐴𝐹2| = |𝐹2𝐵| + |𝐵𝐹1|
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Significado de la
derivada
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Gráficas de ec. de
segundo grado
Significado de la
derivada parcial
La ecuación de una elipse cuyo centro se encuentra en el origen (0,0), de intersecciones 𝑥 =±𝑎, 𝑦 = ±𝑏 es:
𝑥2
𝑎2 +𝑦2
𝑏2 = 1
Si el centro de la elipse se traslada al punto (ℎ, 𝑘), entonces se tiene la ecuación: (𝑥 − ℎ)2
𝑎2 +(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2 = 1
Se obtiene la ecuación más simple de la elipse colocando los focos en los puntos de coordenadas (−𝑐, 0) y (𝑐, 0) como se indica en la figura Hipérbola
Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos en un plano, cuya diferencia de sus distancias desde dos puntos fijos, 𝐹1 y 𝐹2 (focos) es constante. En la figura P está sobre la hipérbola si |𝑃𝐹1| − |𝑃𝐹2| = ±2𝑎
La ecuación de una hipérbola de centro en el origen y de intersecciones 𝑥 = ±𝑎 es:
𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1
Si el centro de la hipérbola se traslada al punto (ℎ, 𝑘) entonces su ecuación toma la forma: (𝑥 − ℎ)2
𝑎2 −(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2 = 1
7. Clasificar las siguientes ecuaciones cuadráticas escribiendo al frente de cada literal, el tipo de
curva al cual corresponde. a. 𝑦 = −𝑥2 b. 𝑦2 − 𝑥2 = 1 c. 𝑥2 + 4𝑦2 = 16 d. 𝑥 = −2𝑦2 e. 2𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑥 + 𝑦 = 1 f. 16𝑥2 − 25𝑦2 = 400 g. 25𝑥2 + 4𝑦2 = 100 h. 4𝑥2 + 𝑦2 = 1
i. 𝑥 = 𝑦2 − 1 j. 𝑦 = 𝑥2 + 2 k. 9𝑥2 − 25𝑦2 = 225 l. 9𝑦2 − 𝑥2 = 9 m. 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 = 0 n. 16𝑥2 + 16𝑦2 + 8𝑥 + 32𝑦 + 1 =
0
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Significado de la
derivada parcial
8. Realizar la gráfica de las ecuaciones cuadráticas anteriores ingresando la ecuación desde el campo de entrada, como se indica en la parte inferior de cada gráfica.
Evaluación:
El docente verificará visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos en el computador. Los estudiantes presentarán un documento impreso que contiene las graficas realizadas.
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derivada parcial
Micro Proyecto 11
Autor: MSc. César A. Yépez
Tema : Funciones polinomiales
Objetivos:
-Determinar los ceros, la monotonía y la gráfica de una función polinomial mediante el uso de TICs.
Materiales: Computador, software matemático (GeoGebra), guía de procedimiento.
Procedimiento:
9. Leer las siguientes definiciones Polinomios
Sea 𝑛 ∈ ℕ y sean 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … . 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 ∈ ℝ , con 𝑎0 ≠ 0. La función
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +∙∙∙∙ +𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0. se llama función polinomial de 𝑥 y de grado 𝑛.
El número 𝑎𝑛 se llama coeficiente del término principal y el número 𝑎0 se llama término constante. Ejemplos:
𝑓(𝑥) = 2𝑥5 − 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 + 2 𝑔(𝑥) = −𝑥4 − 2𝑥3 − 𝑥2 + 4𝑥 − 9
ℎ(𝑥) = 𝑥4 + 4𝑥3 − 6𝑥 + 7 𝑃(𝑥) = −3𝑥3 − 𝑥4 − 8𝑥2 + 5
𝑄(𝑥) = 𝑥6 + 3𝑥4 − 4 𝑅(𝑥) = 4𝑥5 − 13𝑥4 + 3𝑥2 − 8𝑥
Ecuaciones polinomiales
Dado un polinomio 𝑃(𝑥). Se llama ecuación polinómica a la siguiente igualdad: 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +∙∙∙∙ +𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 0
Ejemplos:
2𝑥5 − 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 + 2 = 0 −𝑥4 − 2𝑥3 − 𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 9 = 0
𝑥4 + 4𝑥3 − 6𝑥 + 7 = 0 2𝑥5 − 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 + 2 = 0
−3𝑥3 − 𝑥4 − 8𝑥2 + 5 = 0 𝑥6 + 3𝑥4 − 4 = 0
4𝑥5 − 13𝑥4 + 3𝑥2 − 8 = 0 Raíz de un polinomio
Un número 𝑎 se llama raíz de un polinomio 𝑃(𝑥) si se cumple que: 𝑃(𝑎) = 0
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segundo grado
Significado de la
derivada parcial
Ejemplos:
- El polinomio 𝑅(𝑥) = 𝑥6 + 3𝑥4 − 4 tiene dos raíces reales 𝑎 = −1 o 𝑎 = 1 , así: Si 𝑎 = −1 entonces 𝑅(−1) = (−1)6 + 3(−1)4 − 4 = 0 Si 𝑎 = 1 entonces 𝑅(1) = (1)6 + 3(1)4 − 4 = 0
- El polinomio 𝑄(𝑥) = 4𝑥4 − 4𝑥3 + 9𝑥2 − 8𝑥 + 2 tiene una raíz reales 𝑎 =1
2 , así:
Si 𝑎 =1
2 entonces 𝑄 (
1
2) = 4 (
1
2)
4− 4 (
1
2)
3+ 9 (
1
2)
2− 8 (
1
2) + 2 = 0
- El polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥5 − 2𝑥4 − 4𝑥3 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 6 tiene tres raíces reales 𝑎 = 1 o 𝑎 = −2 o 𝑎 = 3, así:
Si 𝑎 = 1 entonces 𝑃(1) = (1)5 − 2(1)4 − 4(1)3 + 4(1)2 − 5(1) + 6 = 0
Si 𝑎 = −2 entonces 𝑃(−2) = (−2)5 − 2(−2)4 − 4(−2)3 + 4(−2)2 − 5(−2) + 6 = 0
Si 𝑎 = 3 entonces 𝑃(3) = (3)5 − 2(3)4 − 4(3)3 + 4(3)2 − 5(3) + 6 = 0 Factor
El binomio (𝑥 − 𝑎)es un factor del polinomio 𝑃(𝑥) si existe un polinomio 𝑄(𝑥) tal que 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)𝑄(𝑥)
Ejemplos: - El binomio (𝑥 − 1) es un factor del polinomio 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 − 7𝑥 + 2 porque existe
el polinomio 𝑄(𝑥) = (3𝑥2 + 5𝑥 − 2) tal que 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 1)𝑄(𝑥). Es decir: 3𝑥2 + 2𝑥2 − 7𝑥 + 2 = (𝑥 − 1)(3𝑥2 + 5𝑥 − 2).
- El binomio (𝑥 − 3) es un factor del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 3 porque
existe el polinomio 𝑄(𝑥) = (𝑥3 + 2𝑥 + 1) tal que 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 3)𝑄(𝑥). Es decir: 𝑥4 − 3𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 3 = (𝑥 − 3)(𝑥3 + 2𝑥 + 1).
Teorema del factor
El polinomio 𝑃(𝑥) tiene como factor a (𝑥 − 𝑎) si al evaluarlo en 𝑥 = 𝑎, resulta la igualdad 𝑃(𝑎) = 0.
Ejemplos: - El polinomio 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 − 7𝑥 + 2 tiene como factor (𝑥 − 1) si al evaluarlo en 𝑥 =
1, resulta la igualdad 𝑃(1) = 0. Esto se comprueba a continuación: 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 − 7𝑥 + 2
Si 𝑥 = 1 entonces 𝑃(1) = 3(1)3 + 2(1)2 − 7(1) + 2 = 0. Esto significa que 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)𝑄(𝑥) es decir:
3𝑥3 + 2𝑥2 − 7𝑥 + 2 = (𝑥 − 1)(3𝑥2 + 5𝑥 − 2) - El polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥⁵ + 3𝑥⁴ + 2𝑥³ + 𝑥² + 4𝑥 + 4 tiene como factor (𝑥 + 2) si al
evaluarlo en 𝑥 = −2, resulta la igualdad 𝑃(−2) = 0. Esto se comprueba a continuación:
𝑃(𝑥) = 𝑥⁵ + 3𝑥⁴ + 2𝑥³ + 𝑥² + 4𝑥 + 4 Si 𝑥 = −2 entonces 𝑃(−2) = (−2)5 + 3(−2)4 + 2(−2)3 + (−2)2 + 4(−2) + 4 = 0. Esto significa que 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)𝑄(𝑥) es decir:
𝑥5 + 3𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = (𝑥 + 2)(𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥 + 2)
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El círculo
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Análisis de datos 1
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funciones
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Significado de la
derivada
Polinomios 2
Polinomios 1
Gráficas de ec. de
segundo grado
Significado de la
derivada parcial
Teorema del número de raíces de una ecuación polinomial
Todo polinomio 𝑃(𝑥) de grado 𝑛 ≥ 1 tiene exactamente 𝑛 raíces.
Teorema de las raíces enteras de un polinomio
Si la ecuación polinómica 𝑃(𝑥) = 0 tiene raíces enteras, entonces estas raíces son divisores del término independiente 𝑎0.
Ejemplo: - Las raíces de la ecuación polinómica 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0 se obtienen de los
divisores del término independiente 𝑎0 = 3, éstos son: ±1, ±3. Comprobando uno por uno se tiene: Si 𝑥 = −1; 𝑃(−1) = 2(−1)3 − (−1)2 − 4(−1) + 3 = 4, 𝑥 = −1 no es raíz de 𝑃(𝑥). Si 𝑥 = 1; 𝑃(1) = 2(1)3 − (1)2 − 4(1) + 3 = 0, luego 𝑥 = 1 es raíz de 𝑃(𝑥).
Si 𝑥 = −3; 𝑃(−3) = 2(−3)3 − (−3)2 − 4(−3) + 3 = 48, 𝑥 = −3 no es raíz de 𝑃(𝑥) Si 𝑥 = 3; 𝑃(3) = 2(3)3 − (3)2 − 4(3) + 3 = 36, luego 𝑥 = 3 no es raíz de 𝑃(𝑥)
Teorema de las raíces racionales de un polinomio
Sea el polinomio de coeficientes enteros 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +∙∙∙∙ +𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 0
donde 𝑎𝑛 ≠ 0 y 𝑎0 ≠ 0. Si el número racional 𝑝
𝑞 es raíz de 𝑃(𝑥) = 0, entonces, 𝑝 es divisor
del término independiente 𝑎0 y 𝑞 es divisor del término principal 𝑎𝑛.
10. Graficar en Geogebra la siguiente función polinomial: 𝑄(𝑥) = 4𝑥4 − 4𝑥3 + 9𝑥2 − 8𝑥 + 2
- Escribimos en el campo de entrada el comando que se indica a continuación:
Se observará en la vista gráfica, la figura de la izquierda - Ubicamos el punto P de intersección de la gráfica de la función Q con el eje Y, mediante el
comando:
- Mediante observación ubicamos el punto P1 escribiendo en el campo de entrada la
siguiente instrucción:
La gráfica con los puntos agregados se observa en la figura de la derecha.
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Significado de la
derivada parcial
11. Aplicar el teorema de las raíces racionales de un polinomio para encontrar los ceros de la función
polinomial 𝑄(𝑥) = 4𝑥4 − 4𝑥3 + 9𝑥2 − 8𝑥 + 2. - El término principal es -4 y el término constante es 2, por lo tanto las posibles raíces
racionales son:
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 2
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 − 4=
±1, ±2
±1, ±2, ±4= ±1, ±
1
2, ±
1
4, ±2
- Con estos valores que son las posibles raíces racionales del polinomio Q, construimos una matriz llamada Matriz1 de (2x4) 2 filas y cuatro columnas mediante el siguiente comando.
- Ubicamos en una matriz llamada Matriz2 los valores de la función Q para los valores de 𝑥 =
±1, ±1
2, ±
1
4, ±2 . Para ello utilizamos el siguiente comando:
En la vista algebraica se observarán las dos matrices de la siguiente forma
Los valores correspondientes a la fila 1 columna 4 en las dos matrices que se han resaltado, corresponden a la solución, así la Matriz1 representa los valores de 𝑥, en este caso 𝑥 = 0.5; mientras la Matriz2 representa los valores de la función 𝑄(𝑥) , esto es 𝑄(0.5) = 0.
- Comparando las dos matrices se observa que existe una única raíz real, esto es:
Si 𝑥 =1
2= 0.5 entonces 𝑄 (
1
2) = 𝑄(0.5) = 0 . Entonces 𝑥 = 1/2 es raíz racional del
polinomio Q
12. Graficar la función polinomial 𝑃(𝑥) = 𝑥5 − 2𝑥4 − 4𝑥3 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 6 . Realizar el procedimiento 2 anterior para ubicar los puntos de intersección con los ejes.
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Gráficas de ec. de
segundo grado
Significado de la
derivada parcial
El resultado del procedimiento 4 deberá ser el de las gráficas anteriores, para ello se configurar la vista gráfica.
13. Aplicar el teorema de las raíces racionales de un polinomio para encontrar los ceros de la
función polinomial 𝑃(𝑥) = 𝑥5 − 2𝑥4 − 4𝑥3 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 6. - Obtener las posibles raíces racionales - Construir una matriz de nombre Matriz3 que contiene las posibles raíces 𝑥 del polinomio - Construir una matriz de nombre Matriz4 con los valores de 𝑃(𝑥). - El resultado de la construcción de las matrices Matriz3 y Matriz4 en la Vista Algebraica será
el que se observa a continuación:
- Comparando las matrices Matriz3 y Matriz4 establecer las raíces racionales de la función P.
Evaluación:
El docente verificará visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos en el computador. Los estudiantes presentarán un documento impreso que contiene las graficas y ejercicios realizados.
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Gráficas de superficies cuadráticas
Elipsoide: Gráfica de la ecuación 𝑥2
𝑎2 +𝑦2
𝑏2 +𝑧2
𝑐2 = 1
Paraboloide elíptico: Gráfica de la ecuación 𝑧
𝑐=
𝑥2
𝑎2 +𝑦2
𝑏2
Paraboloide hiperbólico: Grafica de la ecuación
𝑧
𝑐=
𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2
Cono: Gráfica de la ecuación 𝑧2
𝑐2 =𝑥2
𝑎2 +𝑦2
𝑏2
Hiperboloide de una hoja: Gráfica de la ecuación
𝑥2
𝑎2 +𝑦2
𝑏2 −𝑧2
𝑐2 = 1
Hiperboliode de doss hojas: Gráfica de la ecuación:
−𝑥2
𝑎2 +𝑦2
𝑏2 −𝑧2
𝑐2 = 1
Gráficas realizadas en Matemáticas de Microsoft
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Micro Proyecto 12
Autor: MSc. César A. Yépez
Tema : Funciones polinomiales
Objetivos:
-Determinar los ceros, la monotonía y la gráfica de una función polinomial mediante el uso de Tics.
Materiales: Computador, software matemático (GeoGebra), guía de procedimiento.
Procedimiento:
14. Leer las siguientes definiciones Función creciente
Sea 𝑓 una función real, 𝑓 es creciente en un intervalo 𝐼 ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) si ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐼; 𝑥1 ≤ 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) ≤ 𝑓(𝑥2)
Función decreciente
Sea 𝑓 una función real, 𝑓 es decreciente en un intervalo 𝐼 ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) si ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐼; 𝑥1 ≤ 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) ≥ 𝑓(𝑥2)
Función monótona
Una función es monótona si es creciente o decreciente en todo su dominio
En la figura se observa que la función es
creciente en el intervalo [𝑎, 𝑥0] y en el
intervalo [𝑥1, 𝑏], mientras que es decreciente
en el intervalo [𝑥0, 𝑥1].
15. Establecer la monotonía de la siguiente función polinomial
𝑃(𝑥) = 𝑥5 − 2𝑥4 − 4𝑥3 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 6 - Graficamos en GeoGebra la función 𝑃(𝑥) = 𝑥5 − 2𝑥4 − 4𝑥3 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 6. Escribimos
en el campo de entrada el comando que se indica
La gráfica que se obtiene se observa a continuación
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Significado de la
derivada parcial
Como podemos notar, la gráfica no se aprecia en forma completa, se requiera cambiar la escala de visualización de los ejes
- Damos un clic derecho en la Vista Gráfica; se observan las opciones disponibles
- Escogemos luego seleccionamos la escala más conveniente, en éste
caso será: . La gráfica obtenida se observa a continuación.
- Ubicamos los valores máximos y mínimos en cada intervalo
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Significado de la
derivada parcial
Mediante observación identificamos los intervalos donde existen valores máximos y mínimos. Ubicamos éstos puntos mediante las siguientes funciones:
En la Vista Algebraica se observan la función polinomial 𝑃 y los puntos máximo Max y mínimo Min
- Proyectamos los puntos Max y Min hacia el EjeX Utilizamos el comando
para el punto A. Mediante el comando y
se crea el punto B.
- Establecemos los intervalos de monotonía de la función 𝑃 La función 𝑃 es creciente en el intervalo 𝐼1 =] − ∞, −1.4]. La función 𝑃 es decreciente en el intervalo 𝐼2 = [−1.4, 2.4]. La función 𝑃 es creciente en el intervalo 𝐼3 = [2.4, +∞].
16. Ubicar una recta tangente a la gráfica de la función 𝑃
- Ubicamos un punto sobre la función 𝑃 mediante la herramienta , en este caso se crea el punto C.
- Ubicamos la recta tangente a la gráfica de la función 𝑃 mediante la herramienta
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Significado de la
derivada parcial
- Mediante la herramienta , calculamos la pendiente de la recta tangente que pasa por el punto C.
Se observa en la Vista Gráfica y en la Vista Algebraica, la pendiente (m=-6.3) de la recta tangente creada. Observación: Si movemos el punto C sobre la gráfica de la función 𝑃 se tiene que cuando la pendiente es positiva, la función es creciente, mientras que si la pendiente es negativa la función es decreciente.
17. Analizar la monotonía de las siguientes funciones polinomiales 𝑓(𝑥) = 2𝑥5 − 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 + 2
𝑔(𝑥) = −𝑥4 − 2𝑥3 − 𝑥2 + 4𝑥 − 9 ℎ(𝑥) = 𝑥4 + 4𝑥3 − 6𝑥 + 7
𝑃(𝑥) = −3𝑥3 − 𝑥4 − 8𝑥2 + 5 𝑄(𝑥) = 𝑥6 + 3𝑥4 − 4
𝑅(𝑥) = 4𝑥5 − 13𝑥4 + 3𝑥2 − 8𝑥
Evaluación:
El docente verificará visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos en el computador. Los estudiantes presentarán un documento impreso que contiene las gráficas y ejercicios realizados y propuestos.
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Micro Proyecto 13
Autor: MSc. César A. Yépez
Tema : Significado geométrico de la derivada
Objetivos:
- Representar geométricamente la derivada de una función - Determinar el significado geométrico de la función derivada
Materiales: Computador, software matemático (GeoGebra), guía de procedimiento.
Procedimiento:
1. Leer las siguientes definiciones
Derivada de funciones reales
El estudio de la derivada de funciones reales inicia con el cálculo del límite de una función.
Sean 𝐴 ⊂ ℝ, f una función real definida en A y 𝑥0 ∈ 𝐴 . El grafo de f se define como 𝐺(𝑓) =
{(𝑥, 𝑓(𝑥))/𝑥 ∈ 𝐴}. Este conjunto se representa en el sistema de coordenadas rectangulares XY.
Gráfica de una función real f y de rectas secantes que pasan por el punto (𝑥0, 𝑓(𝑥0)).
La pendiente entre dos puntos de la curva está definida como
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Significado de la
derivada parcial
𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑚 = 𝑡𝑔(𝜃) =∆𝑦
∆𝑥=
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ.
La pendiente 𝑚𝑡 de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto 𝑥0 se define como:
𝑚𝑡 = 𝑡𝑔𝛼 = limℎ→0
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ,
siempre que el límite exista. Más aún se tiene la siguiente definición.
Definición. Sea 𝑓 una función definida en 𝐴 ⊂ ℝ y 𝑥 𝜖 𝐴, se llama derivada de 𝑓 en 𝑥 y se escribe
𝑓´(𝑥) al límite:
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ,
siempre que el límite exista.
2. Ingresamos en Geogebra 5.0 y configuramos la vista gráfica a una escala adecuada, que nos
permita visualizar la gráfica de la función 𝑓(𝑥) =𝑥
𝑥2+2
3. En la barra de entrada ingresamos la función 𝑓(𝑥) =𝑥
𝑥2+2. Lo que se visualiza de la siguiente
forma:
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segundo grado
Significado de la
derivada parcial
4. Sobre la gráfica de la función f ubicamos un punto utilizando el ícono .
Las coordenadas x=0.35, y=0.17 corresponden simplemente al lugar donde se dio un clic sobre
la gráfica de f.
5. Dando clic derecho en el punto sobre la función seleccionamos Animación
Luego en la barra de entrada se visualizará de la siguiente forma:
6. Ubicamos una tangente sobre el punto A y la función f. Escribimos en la barra de entrada el
comando: Tangente[A, f]
Se observa que el programa le asigna automáticamente el nombre a la tangente: g
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Significado de la
derivada parcial
La línea auxiliar se la puede asignar mediante las propiedades.
7. Calculamos y visualizamos el valor de la pendiente de la recta tangente g mediante el comando:
Pendiente[g]
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segundo grado
Significado de la
derivada parcial
Es posible cambiarle de nombre a la pendiente, dando clic derecho en la pendiente seleccionamos
Renombra; le asignamos el nombre m.
8. Ubicamos un punto de abscisa x (la proyección del punto A en el eje X) y de ordenada y (la
pendiente. Escribimos en la barra de entrada: (x(A), m).
Como se observa, Geogebra le asigna automáticamente el nombre al punto ingresado, en este
caso B.
9. Dando clic derecho sobre el punto B seleccionamos: Mostrar el rastro.
Además, dentro de las propiedades podemos asignarle un color rojo, por ejemplo.
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Significado de la
derivada parcial
10. Activamos la animación sobre el punto A .
Es el momento de aclarar que la función f (color negro) sobre la cual hemos ubicado el punto A y
su tangente, generan a la función f´ (de color rojo). Podemos graficar la función derivada de f (f´)
calculando la derivada de f; para esto escribiremos en la barra de entrada el comando: Derivada[f],
luego, el resultado es el siguiente.
Evaluación:
El docente verificará visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos en el computador. Los estudiantes presentarán un documento impreso que contiene las gráficas y ejercicios realizados y propuestos.
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Significado de la
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Micro Proyecto 14
Autor: MSc. César A. Yépez
Tema : Significado geométrico de la derivada parcial
Objetivos:
- Diseñar la gráfica dinámica de la función dos variables 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) y el significado
geométrico de la derivada parcial 𝜕𝑧
𝜕𝑥
Materiales: Computador, software matemático (GeoGebra), guía de procedimiento.
Procedimiento:
1. Leer las siguientes definiciones Función de dos variables
Una función de dos variables es aquella que tiene dos variables independientes, así, si Ω ⊂ℝ2 y 𝑓 una función real de Ω en ℝ escribimos 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ; 𝑥 e 𝑦 son las variables independientes, su representación geométrica se la hace en el espacio de las tres dimensiones
Derivadas parciales
Sean Ω ⊂ ℝ2, f una función de Ω en ℝ de dos variables x e y que escribimos 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Si 𝑦 es considerada como constante e igual a 𝑏, entonces 𝑓(𝑥, 𝑏) es una función de una sola variable 𝑥; su derivada en 𝑥 = 𝑎 es llamada la derivada parcial de 𝑓(𝑥, 𝑦) con respecto a 𝑥, la cual se denota por 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏).
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Gráficas de ec. de
segundo grado
Significado de la
derivada parcial
Si x es considerada como constante e igual a 𝑎 entonces 𝑓(𝑎, 𝑦) es una función de una sola variable 𝑦; su derivada en 𝑦 = 𝑏 es llamada la derivada parcial de 𝑓(𝑥, 𝑦) con respecto a 𝑦, la cual se denota por 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏).
Si 𝑓 es una función de dos variables, sus derivadas parciales son las funciones 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦
definidas por:
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ,
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = limℎ→0
𝑓(𝑥, 𝑦 + ℎ) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ,
Notaciones para las derivadas parciales: Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), escribimos
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥 =𝜕𝑓
𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑥𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑦 =𝜕𝑓
𝜕𝑦=
𝜕
𝜕𝑦𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑧
𝜕𝑦
Reglas para calcular derivadas parciales: Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
1. Para hallar 𝑓𝑥 se considera a 𝑦 como constante y se deriva 𝑓(𝑥, 𝑦) con respecto a 𝑥. 2. Para hallar 𝑓𝑦 se considera a 𝑥 como constante y se deriva 𝑓(𝑥, 𝑦) con respecto a 𝑦.
2. Ingresamos en Geogebra 5.0 y seleccionamos para construir la
gráfica de la función de dos variables 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = −(𝑥−4)2
10−
(𝑦−4)2
1+ 5
3. En la barra de entrada ingresamos la función 𝑧 = −(𝑥−4)2
10−
(𝑦−4)2
1+ 5. Inmediatamente se
observa la en la barra de entrada la ecuación equivalente al paraboloide “a” y la gráfica de ésta
superficie en la vista gráfica 3D.
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segundo grado
Significado de la
derivada parcial
4. Ahora ingresamos el plano y=4. Se observa en la barra de entrada el nombre por defecto
designado por el programa para éste plano; el plano “b”
5. Ingresamos el plano z=0
6. Trazamos la recta de intersección de los planos b y c, ingresando en la barra de entrada el
comando: Interseca [b, c]
7. Escribimos en la barra de entrada el comando: Interseca[b, a]; la intersección del plano b con
el paraboloide a. Esta intersección resulta la parábola d.
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derivada
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Polinomios 1
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segundo grado
Significado de la
derivada parcial
La gráfica muestra una vista de la parábola en mención, esto se consigue desmarcando los
botones adjuntos de los otros elementos.
8. Ubicamos un punto sobre la parábola d mediante el botón de la barra de herramientas.
Además, le asignamos la propiedad de animación. Luego se observa en la barra de entrada de
la siguiente forma:
9. Sobre el punto A y la parábola d ubicamos una tangente mediante el comando Tangente[A, d]
10. Proyectamos el punto A hacia el plano XY sobre la recta f, escribiendo en la barra de
entrada:(x(A), y(A), 0). El programa automáticamente le asigna el nombre B
11. Trazamos el segmento AB mediante el comando: Segmento[A,B]
En este momento se puede activar la animación del punto A para observar el desplazamiento
del mismo y lo que ocurre con los demás elementos que intervienen en la definición de la
derivada parcial de z respecto a x. Así, la derivada parcial de z respecto a x indica la razón de
cambio de z (segmento h) con respecto a x (recta f) cuando y se mantiene constante; ésta razón
de cambio la es el valor de la pendiente de la tangente g.
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derivada
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Gráficas de ec. de
segundo grado
Significado de la
derivada parcial
12. Introducimos los textos correspondientes al título, función, planos, etc. mediante el botón
. La gráfica resultante deberá observarse de la siguiente forma:
13. Construir una gráfica que represente el significado geométrico de la derivada parcial con
respecto a y de la función z si:
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = −(𝑥 − 4)2
10−
(𝑦 − 4)2
1+ 5
Evaluación:
El docente verificará visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos en el computador. Los estudiantes presentarán un documento impreso que contiene las gráficas y ejercicios realizados y propuestos.
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