matemÁtica financiera con aplicaciones en excel
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PROGRAMA DE
ADMINISTRACIÓN BANCARIA Y
FINANCIERA
MATEMÁTICA FINANCIERA CON
APLICACIONES EN EXCEL
PRESENTACIÓN
En este mundo globalizado que vivimos hoy, donde los negocios se realizan a una velocidad
asombrosa y a grandes distancias, sin necesidad que el vendedor y el comprador necesariamente
se conozcan, gracias a la maravilla de la informática, donde el acontecer del mundo se conoce en
todos los confines del planeta a los segundos de que ocurren, donde todos los días se producen
avances tecnológicos que cambian drásticamente lo que hasta ahora era común para nosotros, las
empresas deben estar convenientemente preparadas para poder afrontar los retos que el mercado
les impone, si es que quieren crecer o en caso extremo sobrevivir.
El análisis financiero es muy importante para la empresa y para eso hoy en día se disponen
de una cantidad de herramientas que en manos de una persona familiarizada con dichas
herramientas, con el conocimiento del funcionamiento de la empresa, con suficiente criterio y
creatividad contribuirá decididamente a que la función financiera de la empresa se constituya en el
pilar fundamental para la adecuada toma de decisiones y el consiguiente crecimiento de la misma.
Esta separata pretende dar a conocer a los estudiantes las herramientas que puedan hacer
uso, para desarrollar la función financiera en la empresa en donde les toque aportar sus
conocimientos y habilidades, de una manera sencilla y sin muchas fórmulas que la mayoría de
veces asustan. Lo importante es que usted comprenda el porqué de cada fórmula de cada
operación y que no se memorice una infinidad de fórmulas que lo confundirán.
Dichas operaciones se realizan fácilmente con una simple calculadora de bolsillo (claro está,
científica) y mejor aún si puede realizarlo en una Hoja de Cálculo (EXCEL, por ejemplo). Para este
fin usted necesita Álgebra, pero solamente álgebra básica (ecuaciones, simples, los exponentes y
sus leyes, productos notables, logaritmos y progresiones)
¡No se asuste! Solamente debemos hacer un breve repaso de algo que usted ya ha estudiado
en el colegio, no usaremos cálculos complejos. Nos bastará con que entienda los principios
elementales para que pueda comprender después las fórmulas financieras.
1.1. La calculadora y las operaciones aritméticas
La calculadora se ha convertido, junto con la computadora, en una herramienta básica de las
actividades laborales, académicas y de la vida cotidiana. La calculadora es una herramienta útil
empleada para efectuar los cálculos aritméticos tediosos; puede utilizarse para comprender mejor
ciertos procesos matemáticos y desarrollar cierta habilidad en el área. Sin embargo, la calculadora
no sustituye el razonamiento ni interpreta los resultados, estas actividades continúan siendo
exclusivas del ser humano.
Se verán algunos aspectos básicos del empleo de las calculadoras en general; sin embargo,
no se pretende reducir el manual de instrucciones. El lector debe estudiar el manual del usuario
de la calculadora.
Con el fin de aprovechar al máximo esta separata, se recomienda que el lector tenga una
calculadora, bien sea científica, financiera o graficadora.
Manejo de la Calculadora Científica
Cada tecla de las calculadoras científicas, financieras y graficadora llevan a cabo más de
una función. La función marcada sobre la tecla recibe el nombre de función primaria y las
funciones impresas arriba se llaman funciones secundarias. Las funciones secundarias se
eligen presionando antes la tecla de cambio y después la función deseada. La tecla de cambio
varía con la marca y modelo de la calculadora, algunas veces vienen marcadas como,
en otras como , o bien,
Para utilizar otras funciones, la calculadora debe ponerse en determinado modo de
funcionamiento mediante la tecla como el uso de esta tecla varía con la marca y
modelo de la calculadora, el lector debe consultar el manual de su calculadora.
REGLAS DE PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES
Para evaluar expresiones matemáticas es necesario seguir un orden establecido con el fin de
garantizar que los cálculos sólo tengan un resultado. El orden es el siguiente:
En primer lugar se llevan a cabo todas las operaciones que se encuentren dentro de
signos de agrupación (paréntesis, corchetes llaves).
En segundo lugar se efectúan las elevaciones a la potencia y las raíces. En seguida se resuelven las multiplicaciones y las divisiones.
Al final se realizan las sumas y las restas.
Cuando un conjunto de operaciones se encuentra en el mismo nivel de prioridad, las operaciones
se realizan de izquierda a derecha.
Las calculadoras con lógica aritmética realizan las operaciones en el orden en que van
apareciendo los números y los operadores, al ser ingresados; esto es, no siguen las reglas de
prioridad. El resultado de un cálculo llevado a cabo de esta manera está equivocado la mayoría de
las veces.
Ejemplo: 1.1
Resuelva la operación: 75 + (15)(32)
Solución:
75 + (15)(32)
=75 + 480 Primero se lleva a cabo la multiplicación.
=555 Al final se efectúa.
Al efectuar la operación anterior directamente con una calculadora con lógica algebraica, la
secuencia de tecleo sería en el orden en que se encuentra escrita la expresión; esto es
75 15 32 555
si se utiliza una calculadora con lógica aritmética, el resultado sería el siguiente:
75 15 32 2880
2nd
Shift INV
Mode
+ X =
+ X =
El resultado anterior está equivocado debido a que no se llevó a cabo utilizando las reglas
de prioridad. En este caso, la calculadora realizó primero la suma (75 15 ) 90
y el resultado lo multiplicó por 32, (90 32 2880).
En general, las calculadoras científicas y las graficadora utilizan lógica algebraica y las financieras
utilizan lógica aritmética; las calculadoras básicas emplean lógica aritmética. Por tanto, es
necesario tener cuidado al realizar operaciones aritméticas con una calculadora financiera o
básica.
Las calculadoras con lógica en Notación Polaca Inversa , conocida simplemente como notación
RPN, por sus siglas en inglés (Reverse Polish Notation), se basan en una lógica matemática no
ambigua que no utiliza paréntesis en los cálculos en cadena, desarrollado por el matemático polaco
Jan Lukasiewicz (1878-1956). En esta separata no se utilizará la notación RPN, de manera que si
la calculadora utilizada por el estudiante es de ese tipo, deberá tener en cuenta que el
procedimiento del cálculo será diferente.
Ejemplo 1.2
Calcule:
Solución:
La expresión anterior significa que el resultado del numerador se divide por el resultado del
denominador, esto es,
La secuencia de tecleo es:
96.3 1 4.8 73 .4 6.1 1 7.6 15 7.094621212
Otra forma de tecleo es:
96.3 14.8 73.4 6.1 1872.98 17.6 15 7.094621212
1.2 Potencias y raíces
Las elevaciones a potencia se obtienen mediante la tecla , llamada tecla de potencias. En
algunas calculadoras esta tecla viene marcada como . Para llevar a cabo la elevación a
+ =
X =
(17.6)(15)
)(73.4)(6.1 8)(96.3)(14.
(17.6)(15)
)(73.4)(6.1 8)(96.3)(14.
( X + X ) ( X ) =
X + X =
=
xy
potencia, la base se teclea antes y el exponente después de oprimir la tecla de potencias. Por
ejemplo: el resultado 64.3 se obtiene después de la siguiente forma:
3.4 6 1544.804416
Ejemplo 1.3
Calcule
7.248.1
23
)3.15()432(
)75.6()5.102(
Solución:
102.5 3 6.75 432 1.48
15.3 2.7 3.90477787
Las raíces con índice superior a dos se obtiene usando la tecla de raíces (en algunas
calculadoras es ), que por lo general viene como función secundaria de la tecla de
potencias. Para obtener una raíz determinada, el índice de la raíz se teclea antes y el radicando
después de oprimir la tecla de las raíces. Por ejemplo, 6 2985984 se obtiene de la siguiente
manera:
6 2985984 12
Memoria
Todas las calculadoras científicas, financieras y graficadora por lo menos un registro de memoria,
que evita tener que escribir resultados intermedios que se utilizarán posteriormente.
Las teclas de memoria usadas comúnmente son:
: Almacena un número en la memoria
o : Muestra en pantalla el número almacenado en la memoria.
: Suma el número en pantalla con el número almacenado en la memoria.
Ejemplo 1.4 Calcule la siguiente expresión utilizando la memoria:
xy
=
( xy X 2x ) ( xy
X
xy ) =
x y
yx /1
x y
=
Min ST
O MR RCL
M+
7.2
1.3
)9.75.17(
)4.256.32(
Solución:
17.5 7.9 2.7
32.6 25.4 3.1 652.3707053
Resuelva las siguientes operaciones utilizando calculadora:
1. (7350 + 10835 – 8300) 64
2. (260)(12.6)(55) + 4
792 + (21.5)(3.45)
5
3. 25 + 3 4096400
4. 68)1518.01(
5. )60.0)(0712.0(
)0418.1)(0345.0(
Porcentaje Porcentaje, llamado también tanto por ciento, proviene de la palabra latina per centum,
que significa por ciento. El cálculo del porcentaje es una de las operaciones más utilizadas en el campo comercial y financiero, ya que se emplea para indicar aumentos,
disminuciones, utilidades, tasas de interés, tasas de descuento, etcétera. El término por ciento significa centésima, es decir, el por ciento de un número N es
una fracción con numerador N y denominador 100. el símbolo de por ciento es %.2 Así, por
ejemplo
15 % significa 100
15 = 0.15
4.18 % significa 100
18.4= 0.0418
210 % significa 100
210 = 2.10
Asimismo, cualquier número se puede escribir en forma de porcentaje; simplemente se
multiplica por 100 y se agrega el símbolo %. Por ejemplo
0.25 = (0.25) (100) = 25 %
0.0188 = (0.0188) (100) = 1.88 %
¿Qué significa, entonces, la expresión “18 % de 250” ? Cómo 18 % significa 18 centésimas, esta expresión significa: 18 centésimas de 250. Por tanto,
18 % de 250 =
100
18 (250) = 45
( - ) xy = Min
( + ) xy MR =
Practique
el número 45 recibe el nombre de producto; 18 % es el porcentaje y 250 se llama base.
Ejemplo 1
Obtenga el 16.75 % de 2 600
Solución: 16.75 % de 2 600 significa 16.75 centésimas de 2 600; esto es
16.75 % de 2 600 =
100
75.16 (2 600) = 435.5
Ejemplo 2
El precio de lista de una calculadora financiera es de $ 95. Si una tienda la vende con un
descuento de 18 %, ¿Cuál es el precio final de la calculadora?
Solución: Descuento = 18 % de 95 = (0.18) (95) = $ 17.1
Precio final = $ 95 - $ 17.1 = $ 77.9
Ejemplo 3
El transporte público en la ciudad de Lima costaba 70 centavos en el 2000 y S/.1.20 en la
actualidad. Calcule el porcentaje de incremento.
Solución: El incremento en el precio del pasaje fue de S/. 0.50 (1.20 – 0.70).
Sea x el porcentaje, expresado en forma decimal. Como x % de 0.70 debe ser igual al
incremento, entonces
(x) (0.70) = 0.50
Por tanto,
x = 70.0
50.0 = 0.71 = 71 %
Ejemplo 4
El gerente de una tienda de ropa aumentó el precio de los pantalones para caballero en 15 % ¿Cuál era el precio original de los pantalones, si el actual es de S/. 55.2?
Solución:
Sea x el precio de los pantalones antes del aumento. Si el aumento fue de 15 % sobre el
precio x, entonces
Aumento = 15 % de x = 0.15 x
El precio actual se forma de la siguiente manera: Precio anterior + aumento = precio actual
Es decir,
x + 0.15 x = 55.2
Esto es
1.15 x = 55.2
x = 15.1
2.55 = S/. 48.00
Se explican los conceptos básicos para la comprensión del curso de Matemática Financiera, interés
y monto, así como el proceso para calcular el plazo comprendido entre dos fechas determinado
como horizonte temporal.
Objetivos de aprendizaje
Conceptos Básicos
Al terminar la semana, el estudiante está en la capacidad de:
Definir el interés a partir del importe inicial en una cuenta que devenga una tasa de interés en un plazo determinado de tiempo.
Obtener el monto de una cuenta cuando se conoce el importe inicial y el interés generado.
Calcular el plazo comprendido entre dos fechas con base en el método de días terminales.
Calcular los períodos de tiempos bancarios en un horizonte temporal.
Definir horizonte y subhorizonte temporales.
Aplicar los métodos PPLI y PILP
Simbología
Los símbolos que se utilizarán en el presente material son los siguientes:
H
Plazo del horizonte temporal. Es el plazo de
vida de la cuenta; tiempo comprendido
entre la fecha de apertura y la fecha de
cierre de la misma. Por ejemplo, si un
importe de dinero se coloca a una cuenta a
plazo fijo trimestral, entonces, H = 90 días.
kh Plazo del k-ésimo
subhorizonte del horizonte
temporal.
I Interés
i Tasa de interés efectiva
acumulada
H
Plazo del subhorizonte temporal uniforme.
Por ejemplo, si se coloca en un banco un
importe a un plazo fijo de un año cuyos
intereses se pagan mensualmente,
entonces, H = 360 días puede ser dividido
en 12 períodos uniformes; en tal caso, h =
30 días
P
Principal. Parte del monto
que no corresponde a
interés
S
Stock final de efectivo,
monto, valor futuro. Suma
de principal y de interés
Perfil del Resumen
Interés.
Monto.
Capitalización del interés.
Plazo comprendido entre dos fechas.
Períodos de tiempo bancarios.
Horizonte y subhorizonte temporales.
Métodos de afectación al interés y al principal de un año cuando se reduce el
monto.
Concepto
Interés
El interés entonces corresponde al precio del uso del capital ajeno
durante determinado intervalo de tiempo; el beneficio que se
obtiene por la colocación de un capital representado por un stock
de efectivo; o recíprocamente, el costo que asume el prestatario por
usar ese capital durante el referido intervalo temporal.
El principal y el interés se registran en una cuenta. El saldo de la
cuenta, que viene a ser la suma del principal y del interés, se
denomina monto. De lo anterior se deduce que el interés es la
diferencia entre el monto y el principal. El monto de la cuenta
puede variar por cambios en el principal o
por cambios en el interés. En este capítulo, excepto en el estudio de los métodos de afectación a
principal e interés cuando se reduce el monto, se supone la invariabilidad del principal durante la
vigencia de la cuenta.
La figura 1-1 muestra cómo al momento de apertura de la cuenta, el monto y el principal coinciden
puesto que no se ha generado interés. Al momento de cierre, el monto supera al principal, como
resultado a la adición del interés. El intervalo de tiempo entre el momento de apertura y el
momento de cierre se denomina horizonte temporal.
Para que se genere interés, la condición sine qua non es el tiempo; por este motivo, el interés
anticipado es una ficción matemática producida por una tasa anticipada o adelantada, que se
analizará en detalle en el capítulo que corresponde al tema de descuento.
Monto
final
Monto
inicial Horizonte temporal
El interés generado por un principal que simboliza con la letra I está en función de múltiples
variables, entre las cuales se encuentran:
La magnitud del principal colocado o invertido.
La tasa de interés implícita o explícita.
El horizonte temporal; a mayor tiempo, mayor interés para un mismo principal y a una misma tasa de interés que genera un mayor interés.
El riesgo de la operación; se supone que a mayor riesgo al principal le corresponde una mayor tasa de interés que genera mayor interés.
Otras variables de carácter económico, político, social, etc. En consecuencia, se tiene:
I = f (principal; tasa de interés; horizonte temporal; riesgo; otras variables)
En una operación crediticia
(colocación o capitación de
capitales), el prestamista
suele otorgar al prestatario
un importe denominado
principal exigible al finalizar
determinado lapso del
tiempo; además de la
devolución del principal, se
cobra un importe adicional
denominado interés.
Interés
Principal
Figura 1-1
Variación del
monto como el
resultado de
generación de
interés.
Monto de apertura Momento de cierre
de la cuenta de la cuenta
Principal
Si se designa P al principal y se supone que el horizonte temporal, el
riesgo y las otras variables enunciadas están reflejadas en la tasa de
interés i, el interés puede calcularse con la siguiente fórmula:
PiI
(1)
La fórmula (1) calcula el interés en función del principal y de la tasa de interés efectiva acumulada
durante determinado horizonte temporal. Las fórmulas para las variables P e i pueden deducirse a
partir de la fórmula (1)
y se presentan en la
siguiente figura:
(2) (3)
Monto:
Si se conoce el principal y el interés generado hasta determinado momento, el monto para ese
tiempo se puede calcular con la siguiente fórmula:
S = P + I (4)
La fórmula (4) calcula el monto en función del principal y del interés generado por la cuenta hasta
determinado momento del horizonte temporal. A partir de la fórmula (4) puede calcularse que las
variables P e I, las mismas que se presentan en la figura 1-3
(5) (6)
Al reemplazar (6) en (2) se obtiene:
P
P
P
S
P
PS
Pi
1 (7)
Concepto
El monto de una cuenta
está formado por el
principal y el interés
devengado que se generó
a partir de una tasa de
interés acordada entre el
deudor y el acreedor.
(Fig. 1.3)
S = P + I
P = S - I I = S - P
I = Pi
i = P
I P = i
I
Figura 1-2 Fórmulas
de interés, tasa de
interés y principal
válidas para cuentas
monocapitalizadas o
multiplicalizadas
La fórmula (7) calcula la tasa de interés efectiva acumulada en determinado horizonte temporal en
función del principal y del monto.
Al momento de apertura de la cuenta el interés es cero y el monto coincide con el principal. Con el
transcurso del tiempo, el resultado de la cuenta puede variar como el resultado de los cambios en
el principal o en el interés
Capitalización del interés
Si este proceso se da una sola vez durante la vigencia de la cuenta se
presenta un régimen de interés monocapitalizado como el del interés
simple; si ocurre múltiples veces, se trata de un régimen de interés
monocapitalizado como el del interés compuesto.
PLAZO COMPRENDIDO ENTRE DOS FECHAS
Si se abre una cuenta el día 28 de Abril y se cierra el 2 de Mayo del mismo año, ¿cuántos días
deben considerarse entre ambas fechas?
28/04 29/04 30/04 01/ 05 02/05
Al incluir el día inicial (28/04) y el día terminado (02/05) se podrá decir que han transcurrido 5
días; mientras que por otra parte al excluir el día inicial o incluir el día inicial y excluir el terminal,
se podrá asegurar que han transcurrido 4 días. Incluso podría decirse que depende de la hora en
que se abrió la cuenta y la hora en que se cerró. De acuerdo con la normatividad vigente, si una
persona en el mismo día deposita y retira de su cuenta bancaria determinada cantidad de dinero,
no habrá ganado interés alguno por esa operación. Lo contrario supondría percibir interés por
horas, minutos segundos, etc. o incluso en cada punto del tiempo, situación que puede
corresponder al cálculo del interés continuo.
En el presente material, excepto indicación contraria, se adoptará el método de días terminales,
que se explica a continuación.
Concepto
Mientras la cuenta
esté vigente, el
interés se genera al
aplicar una tasa de
interés a una base
de cálculo
denominada capital.
Al momento de
apertura de la
cuenta, el capital
coincide con el
principal;
posteriormente
puede variar debido
a la incorporación
de interés, proceso
que se denomina
capitalización de
interés.
INTERÉS
Una capitalización Múltiples capitalizaciones
Interés simple Interés compuesto
Método de días terminales
El cómputo del plazo comprendido entre una fecha inicial y una final, cuando se aplica el método
de días terminales, consiste en considerar todos los días posteriores a la fecha inicial que no sean
posteriores a la final; se excluye el día correspondiente a la fecha inicial. Así desde las 0:01 hasta
las 23:59 horas del 28 de abril se considerará 0 días. Del 28 de abril a cualquier hora hasta el 29
del mismo mes, a cualquier hora se considerará 1 día.
0 1
28/04 29/04
En el ejemplo dado (28/04) al (02/05), desde el momento de la apertura hasta el cierre se
considerará 4 días.
Para aplicar el método de días terminales, puede efectuarse lo siguiente:
Para depósitos y retiros efectuados en el mismo mes: restar al día de retiro al día de depósito. Por ejemplo para un depósito del 3 de abril retirado el 26 del mismo mes, se
considerará 23 días (26 – 3).
Para depósitos y retiros producidos en períodos que incluyen más de un mes: restar al número de días del primer mes los días transcurridos desde que se efectuó el depósito (incluso
ese día) y adicionar los días de los meses siguientes, inclusive el día de retiro. Por ejemplo, para un depósito del 26 de mayo, retirado el 7 de junio, se considerará 12 días (5 en mayo y 7 en
junio).
¿Cuántos días se habrán acumulado entre el 27 de junio y el 4 de Agosto del mismo año,
fechas de depósito y cancelación de un importe ahorrado en un banco?
Solución: Los días transcurridos en el mismo mes son:
Junio: Dado que junio tiene 30 días, se efectúa la siguiente operación: 30 – 27 = 3. los
30 días del mes de junio menos el día 27, que da inicio al plazo de interés; de este modo
se excluye el día 27 y se incluyen los días 28, 29 y 30.
Julio: Incluye los 31 días del mes.
Agosto: Incluye los 4 días de este mes.
El número de días de intervalo de este tiempo corresponde a la suma: 3 + 31 + 4 = 38
PERÍODOS DE TIEMPOS BANCARIOS
Cuando en términos generales se dice que se contrató un préstamo para amortizarlo, por ejemplo,
cada mes o cada año, sin dar mayores detalles adicionales, el término mes puede referirse a
períodos de 28 días (febrero en año no bisiesto), 29 días (febrero en año bisiesto), 30 días (abril,
junio, setiembre y noviembre) o 31 días (enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y diciembre),
mientras que el término del año puede referirse a períodos de 365 días (año no bisiesto) o de 366
días (año bisiesto).
Si de forma específica se dice que una cuenta abierta hoy, deberá cancelarse en el plazo de un
trimestre con cuotas mensuales, ¿cuántos días contendrá cada mes? En este caso, falta precisar
los datos del mes y el día del mes en que se invirtió. Si se sabe que fue el 28 de febrero, puede
argumentarse que el primer mes se cumple el 28 de marzo y el segundo el 28 de abril. Sin
embargo, puede aducirse que dado que el 28 es el último día del mes febrero, el primer mes se
cumple el 31 de marzo y el segundo el 30 de abril (últimos días de cada mes).
Si el año fuera bisiesto, entonces el 28 de febrero serías el penúltimo día del mes. Otra respuesta
podría ser que el primer mes se cumple el 30 de marzo y el segundo el 29 de abril (penúltimos días
de cada mes).
Para evitar confusiones, se usa el término año bancario, el cual se refiere a un período de 360 días.
El año bancario tiene como submúltiplos, entre otros, a los semestres, cuatrimestres, trimestres,
bimestres, meses, quincenas y días bancarios, cuyo número de días se indica en la siguiente tabla:
Período bancario Número de días
Año 360
Semestre 180
Cuatrimestre 120
Trimestre 90
Bimestre 60
Mes 30
Quincena 15
Día 1
En ausencia del adjetivo bancario, salvo indicación contraria, se supone que los términos año,
semestre, cuatrimestre, trimestre, bimestre y mes hacen referencia a períodos bancarios.
HORIZONTE Y SUBHORIZONTE TEMPORALES
El horizonte temporal de una cuenta es el intervalo de tiempo que existe desde que se abre la
cuenta hasta que se cierra; su plazo se simboliza con la letra H.
H
Momento de apertura Momento de cierre
Un subhorizonte temporal es un intervalo de tiempo dentro del horizonte temporal de la cuenta.
Cuando el horizonte temporal se divide en subhorizontes temporales uniformes, su plazo se
simboliza con la letra h; si los subhorizontes temporales no son necesariamente uniformes, el k-
ésimo subhorizonte se simboliza hk Por ejemplo, en un préstamo que debe amortizarse en el plazo
de 90 días, con cuotas de cada 30 días, el horizonte temporal puede dividirse en 3 subhorizontes
uniformes; entonces, se tiene: H = 90 días y h = 30 días
H = 90 días
0 h = 30 días 30 h = 30 días 60 h = 30 días
90
Determine el horizonte temporal de una cuenta a un plazo de 30 días, si ésta se abre el 2
de enero y se cierra el 29 de enero.
Solución: Al aplicar el método de días terminales se tiene que H = 27 días. Note que
aunque el enunciado del ejemplo se dice que la cuenta es a un plazo de 30 días, en
realidad se cierra en 27 días. Ocurre que a veces las cuentas a plazos ofrecen una tasa
de interés para un plazo mínimo; en este caso, 30 días. Si el cliente cierra la cuenta
antes del término de ese plazo, se le aplica una tasa menor.
Determinar el horizonte temporal de una cuenta a un plazo de 15 días, si ésta se abre el
2 de enero y se cierra el 1 de febrero.
Solución: Al aplicar el método de días terminales se tiene que H = 30 días. Observe que
aunque en el enunciado del ejemplo se dice que la cuenta tiene un plazo de 15 días, en
verdad se cierra a los 30 días.
Resumen de Fórmulas
Fórmula Obtiene Fórmula Obtiene
I = Pi (1) Interés acumulado. S = P + I (4) Monto.
I =p
l
(2) Tasa de interés
efectiva acumulada.
P = S – I (5) Principal constante.
I = S – P (6) Interés acumulado.
P = i
l
(3) Principal constante I = 1
P
S
(7) Tasa de interés efectiva.
Interés Simple
Por ejemplo si una tasa de interés fuera de 18% anual significa que por cada unidad monetaria se
deberá pagar al año 0.18 unidades monetarias o lo que es lo mismo por cada 100 unidades
monetarias prestadas se deberá pagar al año 18 unidades monetarias.
Y entonces ¿qué es la tasa de interés? Simplemente “Lo que gana una unidad
monetaria luego de transcurrida una unidad de tiempo” o si usted quiere el “costo de
dinero”.
Así como el azúcar, el pan, el arroz, la ropa, la fruta, la carne, los zapatos, etc. tienen un
costo, pues es el dinero también y por supuesto, igual que los productos indicados, está
sujeta la ley de la oferta y la demanda.
Cuando nuestros agricultores de la sierra tienen una sobre producción de papa el precio
por kilo de este producto, para desgracia de los productores, baja de precio a tal punto que ni
siquiera pueden cubrir sus costos de producción. Y, al contrario, cuando hay escasez de este
producto de este producto el precio por kilo sube astronómicamente.
De igual manera, cuando hay mucho dinero en el mercado, los bancos bajan la tasa de
interés para los ahorristas y también para la prestaros) y cuando hay demanda de dinero los
bancos se pelean por captar a los ahorristas, subiendo la tasa de interés y hasta regalando
artefactos, haciendo sorteos, dando premios, etc., lógicamente también subirá la tasa de interés
para quienes requieran dinero.
El porqué hay escasez o abundancia de dinero es el resultado del manejo de la economía de
los países, tema que escapa a los alcances del propósito de esta separata.
Pero para que haya generación de intereses (I) es necesario el transcurso del tiempo (n), por
eso la definición tasa de interés: es lo que gana una unidad monetaria en una unidad de tiempo.
De ahí que siempre escuchemos: 20 por ciento anual, 6 por ciento semestral, 2.5 por ciento
mensual, etc. que significan:
En el primer caso, que transcurrido un año 100 unidades monetarias ganarán 20 unidades
monetarias.
En el segundo caso, que transcurrido un semestre 100 unidades monetarias garantizarán 6
unidades monetarias y
En el tercer caso, que transcurridos un mes 100 unidades monetarias ganarán 2.5
unidades monetarias.
El hecho que se pague tanto por ciento (%) es convencional y así se trabajan la mayoría de las
operaciones en el mundo; pero en algunos casos, para operaciones especiales, también se utiliza el
tanto por mil e incluso el tanto por diez mil en cuyo caso la tasa respectiva será lo que ganen 1000
o 10000 unidades monetarias según sea el caso, en una unidad de tiempo.
FÓRMULA ELEMENTAL DEL INTERÉS
Supongamos que usted presta a una persona los S/. 1000.00 que tiene ahorrados, con la
condición de que se lo devolverá en un mes y por lo cual le cobrará el 5% mensual.
¿Cuánto deberá pagar su amigo por interés?
Lo calcularemos de la siguiente manera.
Interés (I) = (1,000 x 0.005) x 1 = 50
Es decir su amigo, al final del mes, deberá pagarle S/. 50.00 como interés más los S/. 1000.00 que
le prestó.
Pero analicemos la multiplicación que hemos realizado.
1000 es el préstamo que ha realizado o también podemos llamarlo el capital invertido o Stock
inicial de efectivo que, vamos a convenir, lo representaremos por la letra P.
0.05 es la tasa de interés para este periodo (en este caso el mes) y lo vamos a representar por la
letra i.
N es el tiempo o cantidad de periodo por los cuales se ha prestado el dinero.
Con lo cual podemos estructurar la primera y la más elemental fórmula que da origen a las
finanzas, es decir la fórmula del interés.
I = Interés
P = Principal (término más utilizado en lugar del tradicional CAPITAL)
i = tasa de interés
n = tiempo de imposición
O también
I = P. i .n
Sin embargo se preguntará, porque si la tasa de interés es 5% al momento de efectuar nuestra
multiplicación pusimos como uno de los factores 0.05.
Muy sencillo; porque 5% significa lo que ganarán S/.100 en un periodo (un mes en este caso) y si
S/.100 ganarán S/.5 en un mes, pues S/1.00 ganará S/.0.05 en un mes (una elemental regla de
tres simple).
Si 100 ganará 5 en 1 mes
1 ganará x en 1 mes
1100
51
x
xX
Luego X = 0.05
TASAS DE INTERÉS PROPORCIONAL
De una tasa de interés simple cualquiera 8por ejemplo 20% anual) podemos establecer otras tasas,
a distintas unidades de tiempo, que produzcan el mismo resultado económico, (por ejemplo 10%
semestral) con lo cual estaríamos frente a una tasa de interés proporcional.
I = (P.i) n
Por lo tanto, de aquí en adelante cuando tenga que hacer un
cálculo financiero, con cualquier fórmula, utilice el tanto por uno,
es decir dividida entre 100 el número que representa la tasa.
Ejemplos:
Para una tasa de interés simple de 30% anual, sus tasas de interés proporcional serán:
- Para el semestre 15% (30% dividido entre dos porque el año
tiene dos
semestres)
- Para el cuatrimestre 10% (30% dividido entre 3 porque el año tiene
3 cuatrimestres)
- Para el trimestre 7.5% (30% dividido entre porque el año tiene 4 bimestres)
- Para el bimestre 5% (30% dividido entre seis porque el año
tiene 6 bimestres)
- Para el mes 2.5% (30% dividido entre 12 porque el año
tiene 12 meses)
Ejemplo: Calcular el interés por un capital de S/.75000 en 3 meses a la tasa de interés simple de
15% anual.
P = 75000 i = 0.15/12 = 0.0125 n = 3
I = (P.i) n
I = (75000 x 0.0125) x 3
I = 2812.50
Cálculo del Interés
1. Hallar el interés simple de S/. 4 000 colocados durante 6 días al 36 % anual. Rp. I = S/. 24
2. ¿Qué interés simple podrá disponerse el 18 de mayo, si el 15 de abril se invirtió S/. 5 000 a una tasa anual del 24 %? Rp. S/. 110
3. ¿Cuál es el interés simple de S/: 3 000 en 8 meses al 48% anual? Rp. I = S/: 960
4. ¿Cuánto habrá Ganado un capital de S/. 10 000 en 1 año, 2 meses y 26 días al 24% anual
de interés simple? Rp. I = S/. 2 973.33
5. Calcular el interés simple de S/. 2 000 al 2.5% mensual desde el 12 de marzo al 15 de junio
del mismo año. Rp. I = S/. 158.33
Variaciones en las Tasas de Interés
Cuando en el mercado se producen variaciones de tasas, la fórmula I = Pin debe modificarse para
incluir dichas variaciones durante los períodos de tiempo de vigencia de la tasa.
Ejemplo:
Practique
Calcular: a) el interés simple de un depósito de ahorro de S/. 5000 colocado en el Banco Norte del
6 de julio al 30 de setiembre del mismo año ganando una tasa anual de interés simple del 36%. La
tasa anual bajó al 24% a partir del 16 de julio y al 21% a partir del 16 de setiembre: b) Con la
misma información calcule nuevamente el interés, considerando que el banco abona los intereses
en la libreta de ahorros cada fin de mes (capitalización).
Solución:
a) Interés simple al 6 de julio al 30 de setiembre
i = 36% i = 245 i = 21%
6/7 16/7 16/9 30/9
n1 = 10d n2 = 52d n3 = 14d n = 86 d
Variaciones de tasas
A partir de I Días Acumulado
6 julio i1 = 36% n1 = 10 10
16 julio i2 = 24% n2 = 62 72
16 setiembre i3 = 21% n3 = 14 86
30 setiembre
Cálculo del interés simple del 6 de julio al 30 de setiembre
I = 5000 (0.36 x 10/360) + (0.24 x 62/360) + (0.21 x 14/360)
I = 5000 ( 0.0595) = 297.5
b) Interés simple del 6 de Julio al 30 de setiembre con abono de intereses cada fin de mes
Cuando los intereses simples se abonan mensualmente como lo hacen los bancos para los
depósitos de ahorros, éstos se capitalizan y sobre los nuevos capitales se calculan nuevamente los
intereses simples.
Julio: I = 5000 (0.36 x 10/360) + 0.24 x 15/360) = 100.00
Agosto: I = 5100 (0.24 x 31/360) = 105.40
Setiembre: I = 5205.4 (0.24 x 16/360) + 0.21 x 14/360) = 98.04
Interés total: 100.0 + 105.4 + 98.04 = 303.44
Variaciones de tasas
A partir de I Días
6 de julio 36% 10
16 de julio 24% 15
31 de julio 24% 31
31 de agosto 24% 16
16 de setiembre 21% 14
30 de setiembre 86
El conjunto de estas operaciones a interés simple constituye una operación de INTERES
COMPUESTO.
Numerales (Variaciones en el Principal)
Cuando el saldo de una cuenta corriente, de ahorro, etc. cambia constantemente debido a los
movimientos que se generan en torno a ella (cargos y abonos ) el cálculo de intereses se efectúa
usando numerales. Numeral es el producto de cada nuevo saldo de una cuenta y el número de días
de permanencia de ese saldo sin movimiento. A una fecha determinada ( fin de mes, trimestre, etc.)
se obtiene el interés simple multiplicando la sumatoria de los numerales por la tasa diaria de
interés.
La siguiente ecuación muestra el movimiento de una cuenta de ahorros durante un período de
tiempo.
I = P1in1 + P2in2 + ……..+ Pminm
Esto es: I = i ( P1n1 + P2n2 +…………+ Pmnm)
Ejemplo:
Una persona abre una libreta de ahorros el 1 de junio con S/. 1100 y efectúa a partir de esa fecha
durante todo el mes de junio las operaciones detalladas en el cuadro siguiente:¿qué interés habrá
acumulado al 1 de julio, si la tasa mensual de interés simple fue del 4%?
Depósitos Retiros
1 de junio 1100 4 de junio 150
6 de junio 200 18 de junio 300
10 de junio 100 27 de junio 630
23 de junio 60
26 de junio 480
28 de junio 100
Solución:
P1 = 1100 n1 = 3 I = 0.04/30 (1100 x 3) + (950 x 2) + (1150 x 4) + (1250 x 8) +
P2 = 950 n2 = 2 (950 x 5) + (1010 x 3) + (1490 x 1) + 860 x 1) + (960 x 3)
P3 = 1150 n3 = 4
P4 = 1250 n4 = 8
P5 = 950 n5 = 3 I = 0.04/30 (32810)
P6 = 1010 n6 = 3 I = 0.001333333 x 32810
P7 = 1490 n7 = 1 I = 43.75
P8 = 860 n8 = 1
P9 = 960 n9 = 3
Día D/R Importe Movimiento Saldo
Acreedor
Días Numerales
Acreedores Debe Haber
01.06 D 1100 0 1100 1100 1 3300
04.06 R 150 150 0 950 2 1900
06.06 D 200 0 200 1150 4 4600
10.06 D 100 0 100 1250 8 10000
18.06 R 300 300 0 950 5 4750
23.06 D 60 0 60 1010 3 3030
26.06 D 480 0 480 1490 1 1490
27.06 R 630 630 0 860 1 860
28.06 D 100 0 100 960 3 2880
01.07 Totales 30 32810
Multiplicador fijo O.04/30 x 32810 = 43.75
01.07 I 43.75 0 43.75 100.75
D = Depósito R = Retiro I = Interés
Procedimiento bancario de cálculo del interés simple a través de numerales
1) Registramos los depósitos o retiros de ahorros, abonando o cargando respectivamente en la
columna (Movimiento) y establecemos los saldos acreedores de acuerdo a las fechas en que se
hayan efectuado estos movimientos.
2) Registramos los días de permanencia de la cuenta con el último movimiento. Por ejemplo, el
saldo inicial de acreedor de S/. 1100 ha permanecido tres días con dicho importe, desde el 1 al 3
de junio inclusive, ya que a partir del día 4 la cuenta registra un nuevo saldo acreedor de S/. 950.
3) Calculamos los numerales: multiplicando los saldos acreedores Pk por los días nk que la cuenta
ha permanecido con ese saldo, y obtenemos la sumatoria de las operaciones acumuladas durante
el mes, incluyendo el último día del mes , esta cantidad así obtenida de S/. 32810 viene a
representar los numerales que servirán para el cálculo del interés.
4) Hallamos el interés del mes, multiplicando la tasa diaria por los numerales acreedores:
Interés = (0,04/30) (32810) = 43,75
El importe de S/. 43,75 es el interés ganado por el ahorrista durante el mes de junio y está
disponible a partir del primer día útil del mes siguiente.
Cuando la institución financiera abona los intereses del mes en la libreta de ahorros como el
desarrollado en el presente ejemplo, se está produciendo el proceso de capitalización,
combinándose el interés simple con el interés compuesto.
Numerales con variaciones de tasas
Cuando existen variaciones de tasas, el cálculo de interés simple a través de numerales debe
efectuarse por tramos durante los periodos de tiempo en que la tasa tuvo vigencia. Se muestra la
aplicación a través del siguiente ejemplo.
Ejemplo: El 1 de setiembre cuando la tasa mensual era de 3%, una persona abrió una libreta de
ahorros con un importe de S/. 2000 y a partir de esa fecha efectuó los siguientes depósitos: S/.
500, 300 y 400 el 6, 9 y 20 de setiembre; así mismo retiró: S/. 600 y 200 el 6 y 25 del mismo mes.
Si la tasa bajó al 2% a partir del 16 de setiembre y la entidad financiera abona los intereses
simples en la cuenta de ahorros el primer día del mes siguiente. ¿Cuál es el importe disponible del
cliente el 1 de octubre?
Solución:
Cálculo del interés simple con variación de tasas a través de numerales
Día
D
R
I
Importe
Movimiento
Saldo
acreedor Días
Numerales
acreedores
Tasa
diaria
Interés
Debe Haber
01,09
06,09
06,09
09,09
16,09
20,09
25,09
D
D
R
D
C
D
R
2000
500
600
300
0
400
200
0
0
600
0
0
0
200
2000
500
0
300
0
400
0
2000
2500
1900
2200
2200
2600
2400
5
0
3
7
4
5
6
10000
0
5700
15400
8800
13000
14400
0,00100
0,00100
0,00100
0,00100
0,00066
0,00066
0,00066
10,00
0,00
5,70
15,40
5,87
8,67
9,60
01,10 Totales 30 55,24
01,10 I 55,24 0,0 55,24 2455,24
D = depósito; R = retiro; I = interés C = cambio de tasa
Recuerde que el dinero tiene un costo a través del tiempo que llamaremos intereses y que para la
generación de intereses tiene que transcurrir un tiempo (n). Lo que gana cada unidad monetaria en
un determinado tiempo lo conocemos como la tasa de interés (i)
Suponga que usted tiene hoy S/. 1000 y hay alguien que se los pide prestado por el lapso de 18
meses ofreciéndole pagar una tasa efectiva de 15% efectiva anual. Si usted le conviene el precio
que le ofrecen por su dinero ( la tasa efectiva) por el plazo de 18 meses, entonces al cabo de dicho
plazo usted recibirá S/. 1233.24
Esto significa que para usted en un momento dado le da lo mismo tener los S/. 1000 en su bolsillo
o prestarlo a la persona que se los solicita y esperar 18 meses para recibir S/. 1233.24, porque hay
una equivalencia financiera entre sus S/. 1000 ( Stock Inicial) y el pago final de S/. 1233.24 que
recibirá dentro de 18 meses ( Stock Final). Esto lo podemos graficar así:
-------------------------------- 18 meses ----------------------------------
P S
Donde: P ( Stock Inicial) = S/. 1000 y S(Stock Final) = S/. 1233.24
Pero ahora imagínese que hay otra persona que puede recibir sus S/. 1000 y le ofrece devolverle 18
cuotas iguales de S/. 61.94, calculadas con una tasa efectiva anual de 15%. Si usted consideraría
conveniente recibir estas 18 cuotas mensuales ( R) por prestar sus S/. 1000 quiere decir que en un
determinado momento para usted será igual tener los S/. 1000 en su bolsillo o prestarlos y esperar
18 meses para recibir S/. 1233.24 ó prestarlos y recibir 18 cuotas iguales de S/. 61.94 porque hay
una equivalencia financiera entre el Stock Inicial (P), el Stock Final (S) y el flujo de 18 cuotas (R)
Ampliando lo expuesto podemos concluir que hay una EQUIVALENCIA FINANCIERA entre
P y S; P y el flujo de cuotas R; el flujo de cuotas R y S
Dicho de otra manera, estando de por medio una tasa de interés efectivo (i) y un tiempo (n)
podemos hacer las siguientes TRANSFORMACIONES.
El Stock Inicial (P) en un Stock Final (S)
El Stock Final (S) en un Stock Inicial (P)
El Stock Inicial (P) a un Flujo de Pagos ( R)
El Flujo de Pagos ( R ) a un Stock Inicial ( P)
El Flujo de Pagos ( R) a un Stock Final ( S)
El Stock Final ( S) a un Flujo de Pagos ( R )
Estas son las seis transformaciones en que se basa la Matemática Financiera para realizar
evaluación de financiamiento o inversión, en la práctica usted observará que en realidad sólo son
tres fórmulas básicas, las otras tres son las inversas de las primeras.
El Circuito Financiero
Flujos ó Anualidades
Hemos hablado de FLUJO de cuotas o flujo de dinero, como habrá podido observar el flujo es una
sucesión de cantidades de dinero a través del tiempo. Este flujo de dinero puede ser uniforme o no,
pero en los dos casos es un flujo de efectivo.
Cuando el flujo de efectivo es uniforme y a intervalos regulares a través del tiempo se llama flujo
constante de efectivo (R), lo cual es usual en las operaciones financieras y comerciales. Por
ejemplo, cuando obtenemos un crédito la devolución de ese préstamo lo hacemos en un
determinado número de cuotas iguales ( R )
A los flujos se les conoce con el nombre de ANUALIDADES, pudiendo ser flujos constantes ciertos e
inciertos. Flujos Ciertos: son aquellos en las que la duración de la serie de pagos se encuentra
estipulada previamente en términos concretos, pudiendo dicha duración ser temporal ( de duración
limitada) o perpetuos, en el primer caso un ejemplo es el plazo de un préstamos y en el segundo las
pensiones de un jubilado.
Estos dos grupos de flujos, de acuerdo al momento del pago, pueden a su vez ser: VENCIDOS ó
ANTICIPADOS
Si los pagos se hacen a fines de un determinado período (mes, semestre, etc) estaremos ante un
flujo a plazo vencido y si estos pagos se hacen al inicio del período ( mes, semestre, etc) tendremos
un flujo a plazo anticipado.
Si los pagos se hacen a fines del período, pero para el inicio de los pagos transcurre un tiempo
previamente convenido (ejemplo, pagos con períodos de gracia), estaremos ante un flujo diferido
vencido. En tanto que si se opta por un período de gracia antes del inicio de los pagos que se
realizarán a inicios del período, tendremos un flujo diferido a plazo anticipado.
Todas las fórmulas matemático financieras se basan en flujos a plazos vencidos. Lo cual no
significa que podamos trabajar con flujos a plazos anticipados.
Fórmulas Clave en las Transformaciones Financieras
Transformar un Stock Inicial ( P) en un Stock Final ( S)
S = P(FSC) FSC = Factor Simple de Capitalización
Transformar un Stock Final ( S) en un Stock Inicial ( P)
P = S (FSA) FSA = Factor Simple de Actualización
Transformar un Flujo de Pagos Uniforme ( R) en un Stock Final ( S)
S = R (FCS) FCS = Factor de Capitalización de la Serie
Transformar un Stock Final (S) en un Flujo de Pagos Uniforme ( R)
R = S (FDFA) FDFA = Factor del Fondo de Amortización
Transformar un Flujo de Pagos Uniforme ( R) en un Stock Inicial ( P)
P = R (FAS) FAS = Factor de Actualización de la Serie
Transformar un Stock Inicial ( P) a un Flujo de Pagos Uniforme ( R)
R = P (FRC) FRC = Factor de Recuperación del Capital
CONCEPTO
El interés compuesto es un régimen, en el cual el interés generado por un capital, en una
unidad de tiempo, se capitaliza; es decir, se incorpora al capital el mismo que genera un nuevo
interés en la siguiente unidad de tiempo y así sucesivamente durante el horizonte temporal. El
capital al final de cada unidad de tiempo crece de manera geométrica si el principal, la tasa de
interés y el plazo de ésta última se mantienen constantes.
Interés compuesto
El interés compuesto puede verse como una sucesión de operaciones a interés simple, en la que el
monto final de una de ellas constituye el principal de la siguiente.
Una cuenta está bajo régimen de interés compuesto cuando:
El capital devenga interés generado por una tasa de interés efectiva, al que a su vez puede estar en función de una tasa de interés nominal que capitaliza cada cierto periodo de tiempo.
Se produce más de una capitalización de interés durante el horizonte temporal pactado, aun cuando este plazo sea diferente al plazo de la tasa de interés. Por ejemplo, la tasa puede ser
mensual y el horizonte semestral para la operación.
Monto con principal y tasa efectiva constantes
Se supone que durante el horizonte temporal de la operación a interés compuesto:
El principal permanece invariable durante el plazo de la operación, es decir no se producen depósitos o retiros después de la apertura de la cuenta. Por ejemplo, cuando se coloca en un banco
un importe de 1000 um, a plazo fijo durante un trimestre y a una tasa de interés efectiva anual
de 10%, al final de la cual se recibe el principal más el interés devengado por ese principal, que en
el presente ejemplo suma 1100 um.
La tasa de interés efectiva i no sufre variaciones durante el plazo de la operación. En el ejemplo la TEA no sufre variaciones durante el trimestre.
Las variables i y n hacen referencia a periodos de la misma duración. En el ejemplo, dado que el plazo de la tasa i es anual, n indica el número de años; por tanto, su valor es 90/360. Dado que la tasa de interés compuesta o tasa de interés efectiva puede referirse diferentes plazos,
se designará con las siguientes siglas:
i Siglas i Siglas
Anual TEA Bimestral TEB
Semestral TES Mensual TEM
Cuatrimestral TEC Quincenal TEQ
Trimestral TET Diaria TED
Monto compuesto
Tasa nominal Tasa efectiva
Cálculo del Monto
Si tenemos un principal P, que gana una tasa i por período de tiempo durante n períodos
capitalizables, tendríamos al final del horizonte temporal el monto S, y para ello utilizaremos la
fórmula siguiente.
S = P (1 + i)n
Tal como vimos en el interés, el número de períodos a capitalizar n y la tasa de interés i,
necesariamente deben estar referidos en la misma unidad de tiempo (años, trimestres, días, etc.)
El Factor Simple de Capitalización (FSC)
El factor (1 + i)n de la fórmula general es el FSC, por lo que la fórmula puede expresarse como:
S = P. FSC
Ejemplo:
Calcule el monto de un capital inicial (Principal) de S/. 1000 colocado durante 4 años a una tasa
efectiva anual del 18%.
Solución:
S = 1000( 1 + 0.18)4 S = 1938.78
Ejemplo:
Un banco paga por los depósitos que recibe del público una tasa nominal mensual del 3% con
capitalización trimestral, ¿Qué monto se habrá acumulado con un principal inicial de S/. 3000
colocado durante 6 meses?
Solución:
S = 3000(1 + 0.09)2 S = 3564.30
Ejemplo:
Una persona solicita a un banco un préstamo de S/. 2000, el mismo que se le abona en su cuenta
corriente el 26 de mayo, ¿Qué monto deberá pagar el 24 de julio, fecha que cancela el préstamo, si
el banco cobra una tasa efectiva mensual del 5%?
Solución:
S = 2000(1 + 0.05)59/30 S = 2201.42
El FSC con variaciones en la tasa de interés
Cuando la tasa efectiva no varía durante el período pactado, el FSC capitaliza la unidad monetaria
a esa misma tasa durante n períodos; si la tasa por período varía, las capitalizaciones durante el
plazo pactado H, se efectúa combinando las tasa tantas veces como sea necesario por cada período
de tiempo vigente.
Ejemplo:
Calcule el monto de un principal de S/. 1000 colocado durante tres meses. La tasa efectiva
mensual pactada es del 35, 4% y 5% para el primer, segundo y tercer mes respectivamente.
Solución:
S = P(1 + 0.03)(1 + 0.04)(1 + 0.05) S = 1124.76
Capitalización Calendario
Las capitalizaciones anual, trimestral, mensual, etc. están referidas a períodos de capitalización del
mismo número de días (360, 180, 90, 30, etc.) mientras la “capitalización calendario” abarca
períodos capitalizables en fechas fijas e incluyen períodos de capitalización en tiempos variables,
dependiendo de los días incluidos en cada mes del año.
Ejemplo:
Señale las fechas de capitalización de una transacción llevada a cabo el 2 de abril con vencimiento
el 28 de diciembre del mismo año, considerando la capitalización de intereses: a) trimestral b)
trimestre calendario vencido
Solución:
a) En el trimestre son 270 días
b) En el trimestre calendario es 275 días
1. Calcular el monto a pagar dentro de 5 meses por un préstamo bancario de S/. 50000 que
devenga una tasa nominal anual del 36% con capitalización mensual
2. Calcule el importe capitalizado de un depósito a plazo de S/. 20000 colocado durante 6 meses a
una tasa nominal anual del 36% capitalizable diariamente
3. ¿Qué monto debe dejarse en letras con vencimiento dentro de 38 días si después de
descontarlas se requiere disponer de un importe neto de S/. 20000, sabiendo que el banco cobra
una tasa efectiva mensual del 3.5%?
4. Asumiendo que la población actual es de 28 millones de habitantes y su tasa promedio de
crecimiento neto anual es del 1.8% anual, ¿Cuántos habitantes seremos en 3.5 años?
5. El 1 de abril el precio de una materia prima fue de S/. 20000 por Tm, 45 días después se
incrementó a S/. 22000, ¿Cuál será el precio a pagar por el nuevo stock que lo renovaremos dentro
de 180 días contados a partir del 1 de abril, si nuestro proveedor nos manifiesta que los precios se
incrementarán periódicamente (cada 45 días) en el mismo porcentaje original?
Practique
6. En el último semestre la gasolina ha venido incrementándose en 2% cada 18 días en promedio.
De mantenerse esta tendencia, ¿Cuánto costará un galón de gasolina dentro de un año, si su
precio de hoy es S/. 13.50?
7. Una persona abre una cuenta bancaria el 14 de abril con S/. 1000 percibiendo una tasa
nominal mensual del 4% con capitalización diaria. El 2 de mayo retira S/. 400, el 15 de mayo
retira S/. 200 y el 3 de junio deposita S/. 100, ¿Qué monto acumuló desde la fecha de su depósito
inicial hasta el 24 de junio, fecha en que canceló la cuenta?
8. Una empresa abre una cuenta corriente bancaria por la cual gana una tasa de interés efectivo
mensual del 3% sobre sus saldos acreedores y paga una tasa nominal mensual del 3% con
capitalización diaria sobre sus saldos deudores (sobregiros bancarios). Calcule el monto de la
cuenta al 31 de agosto, cuyo vencimiento fue el siguiente:
Fecha 4/8 6/8 9/8 12/8 13/8 15/8 31/8
Depósito 10000 5000 3000 30000 9000 15000
Retiro 2000 37000
9. Se ha suscrito un contrato de crédito por S/. 80000 para cancelarlo dentro de 120 días, a la
tasa efectiva mensual de mercado. Al vencimiento del plazo, la tasa efectiva mensual ha sufrido las
siguientes variaciones: 5% durante 46 días, 4.5% durante 10 días y 4% durante 64 días, ¿Cuál es
el monto a cancelar al vencimiento del crédito?
10. El 6 de junio la empresa Agroexport SAC. compró en el Banco Palatino un Certificado de
Depósito a Plazos (CDP) a 90 días por un importe de S/. 20000 ganando una tasa nominal anual
del 24% con capitalización diaria, si el 1 de julio la tasa bajó al 18% nominal anual (con la misma
capitalización), ¿Cuál fue el monto que recibió Agroexport al vencimiento del CDP?
Cálculo del Capital Inicial ( Principal)
De la ecuación original del monto a interés compuesto, despejamos P:
P = S(1 + i)-n
El factor (1 + i)-n es conocido como el Factor Simple de Actualización Compuesto (FSA), por lo
que P puede expresarse como:
P = S. FSA
El FSA es el valor presente compuesto de I a una tasa i por período, durante n períodos y su
función es traer al presente cualquier cantidad futura o llevar al pasado cualquier cantidad del
presente.
Ejemplo:
El 6 de abril la empresa PERT descontó en el Banco Financiero un pagaré cuyo valor nominal fue
de S/. 8000 y su vencimiento el 5 de junio. Calcule el importe abonado por el Banco a PERT,
considerando una tasa nominal del 36% anual con capitalización mensual.
Solución:
P = S( 1 + i)-n
P = 8000(1 + 0.36/12)-2 P = 7540.77
FSA con variaciones en la tasa de interés
Cuando la tasa de interés por período varía, la actualización durante el plazo pactado se efectúa
cambiando la tasa tantas veces como sea necesario para cada período de tiempo vigente. En forma
similar a lo hecho con el FSC.
Ejemplo:
Un pagaré con valor nominal de S/. 9000 y vencimiento dentro de 60 días es descontado
matemáticamente hoy, aplicando una tasa nominal anual del 36%, con capitalización mensual, a)
¿Cuál será el importe a cancelar al vencimiento, si la tasa anual bajó al 24% después de 22 días?
B) ¿Cuál hubiese sido el importe verdadero del abono de haber conocido de antemano la
disminución en la tasa de interés?
Solución:
S1 = ?
S = 9000
0 TNA=36% 22 TNA=24% 60 días
P = ?
P1 = 8588.85
a) Importe a cancelar al vencimiento
Debido a que el monto se ha descontado originalmente con la tasa del 36% hallaremos su valor
presente y lo llevaremos al futuro con las variaciones ocurridas de tasas ocurridas: 22 días al 36%
anual y 38 días al 24% anual
1) Cálculo del valor presente
P = ? P = S (1 + i) –n
S = 9000 P = 9000(1 + 0.36/12)-2
i = 0.03 P = 8483.36
n = 60 días (2 meses)
2) Cálculo del valor futuro (importe al vencimiento)
S1 = ? S1 = P(1 + i1)H1/f(1 + i2)H2/f
P = 8483.36 S1 = 8483.36(1 + 0.36/12)22/30(1 + 0.24/12)38/30
i1 = 0.03 H1 = 22 días S1 = 8889.46
i2 = 0.02 H2 = 38 días
f = 30 días (1 mes)
b) Cálculo del valor presente con variaciones de tasa
Si se hubiesen conocido en la fecha del descuento las futuras variaciones de tasas(lo cual no es
posible, debido a las fluctuaciones de tasas en el mercado), el importe verdadero del valor presente
sería calculado del siguiente modo.
P1 = ? P1 = S(1 + i1)H1/f(1 + i2)H2/f
S = 8483.36 P1 = 9000(1 + 0.03)22/30(1 + 0.02)38/30
i1 = 0.03 H1 = 22 días P1 = 8588.85
i2 = 0.02 H2 = 38 días
f = 30 días (1 mes)
En el caso a) se recibe 8483.36 y se cancela 8889.46 mientras que en el caso b) se recibe 8588.85
y se cancela 9000 al vencimiento del pagaré
Cálculo de la tasa de interés
De la fórmula original: S = P (1 + i )n se tiene i = 1P
Sn
1
Cálculo del número de períodos de capitalización
De la fórmula original: S = P (1 + i)n se tiene n = )i1log(
)P/Slog(
Cálculo del interés
Del concepto general: S = P + I se tiene I = S – P
Por lo que: I = P ( 1 + i)n - 1
1. Hace 4 meses se colocó en un banco un capital al 3% efectivo mensual, lo que permitió
acumular un monto de S/. 2000, ¿Cuál fue el importe del capital original’
2. ¿Cuánto podré disponer hoy, si me han descontado un paquete de 4 letras cuyos importes son
S/. 2000, 6500, 8000 y 7500 las cuales vencen dentro de 15, 30, 45 y 60 días respectivamente?.
La tasa efectiva quincenal que cobra la entidad financiera es del 1%
3. En el proceso de adquisición de una máquina se tienen las siguientes alternativas:
a) Inicial de S/. 2000 y dos cuotas mensuales de S/. 2000
b) Inicial de S/. 1520 y 3 cuotas mensuales del mismo importe de la cuota inicial
¿Cuál es la mejor oferta considerando un costo de oportunidad del 3% efectivo mensual
Practique
4. Se ha descontado una letra con valor nominal de S/. 3000, la cual vence dentro de 38 días y la
tasa efectiva mensual que cobra el banco es 2%, ¿Cuál es el importe neto que me deben abonar?
5. El 8 de agosto el Banco Continental descontó a Exportaciones Tradicionales S.A (EXTASA), un
pagaré con valor nominal de S/. 9000 y con vencimiento el 7 de setiembre. Si la tasa efectiva anual
durante ese período fue del 15%, ¿Qué importe abonó el banco en la cuenta corriente de EXTASA
el 8 de agosto?
6. El 24 de setiembre se efectuó un depósito en un banco percibiendo una tasa efectiva mensual
del 4% la cual varió el 16 de octubre al 4.2% y al 4.5% el 11 de noviembre. El día de hoy, 25 de
noviembre, el saldo de la cuenta es de S/. 6500, ¿Qué importe se depositó originalmente?, ¿Cuál
fue la tasa de interés acumulada?
7. Calcular el valor presente de un monto de S/. 15000 que se recibirá dentro de 30 días, si la
vigencia de la tasa efectiva mensual será 8 días al 2% y 22 días al 1.5%
8. Después de 3 meses de haber colocado un capital de S/. 3000 se obtuvo un monto de S/. 3500,
¿A qué tasa de interés efectivo mensual se colocó el capital?
9. ¿A qué tasa efectiva mensual una inversión de S/. 10000 se convirtió en un monto de S/.
11151.23, si fue colocada durante 67 días?
10. La empresa JAWS tiene en el banco una deuda de S/. 10000 que vence dentro de 48 días
producto de un préstamo concedido a una tasa efectiva mensual del 3%. En el mismo banco tiene
otra deuda de S/. 15000 con vencimiento dentro de 63 días. El banco acepta la propuesta de
JAWS, que consiste en cancelar ambas deudas con el descuento de un pagaré que vencerá dentro
de 90 días y cuyo valor nominal es de S/. 26033, ¿Qué tasa efectiva mensual está cargando el
banco por esta operación?
11. Después de colocar un capital de S/. 1000 a una tasa de interés efectiva del 4% mensual se ha
obtenido un monto de S/. 1500, ¿A qué tiempo se colocó el capital?
12. ¿En cuántos meses acumularé S/. 5341.18 si he colocado un capital de S/. 5000 en un banco
que paga una tasa efectiva trimestral del 2%?
13. Calcule el interés que ha producido un capital de S/. 7000 a una tasa efectiva mensual del 1%
por el período comprendido entre el 3 de abril y 6 de junio del mismo año
Factor de Recuperación del Capital y Factor de Actualización de una Serie Uniforme
Factor de Actualización de la Serie ( FAS )
Si queremos transformar un flujo constante o serie uniforme ( R ) en un Stock Inicial ( P) debemos
utilizar el Factor de Actualización de la Serie ( FAS )
La fórmula es la siguiente:
FAS = n
n
)i1(i
1)i1(
Ejemplo:
Teoría de las Rentas
Suponga que usted recibirá 3 cuotas de S/. 1000 que le serán abonadas cada fin de mes. Suponga
también que existe una tasa de interés de 10% mensual. Con estos datos usted quisiera saber
cuánto valen en el momento actual ( hoy ) las tres cuotas antes indicadas.
Solución:
P = R (FAS ) P = 1000 3
3
)1.01(1.0
1)1.01(
P = S/. 2486.85
Debemos recalcar, nuevamente, que la fórmula del FAS funciona para cuotas o anualidades a
plazo vencidas.
Ejemplo:
Se compra un artefacto eléctrico financiado de la siguiente manera: 10% de inicial y 36 cuotas
mensuales de $ 85 cada una ( a plazo vencido). Si la tasa de interés aplicada por la casa comercial
es de 40% efectivo anual, determine el precio al contado de dicho artefacto.
Solución:
Este es un ejemplo típico de los miles de operaciones comerciales que se realizan diariamente a
través de lo que se conoce como crédito de consumo.
Como no conocemos el precio del artefacto, lo simbolizaremos como una incógnita:
Precio del artefacto = x
La cuota inicial es el 10% del precio del artefacto, por tanto:
Cuota inicial = 10% de x = 0.1x
Si se pagó el 10% del precio como cuota inicial, entonces el 90% de dicho precio es la suma
financiada o el monto del crédito
Monto del crédito = 90% de x = 0.9x
Luego 0.9x será el stock inicial ( P) que se ha transformado en 36 cuotas ( R ) de $ 85 cada una
Tenemos que calcular la tasa efectiva mensual:
imensual = (1 + 0.4)1/12 – 1 = 0.02843616
Ahora apliquemos la fórmula del FAS para encontrar el valor actual de las 36 cuotas mensuales de
$ 85, valor que será el 90% del precio del artefacto
P = R ( FAS)
P = 85. 36
36
)02843616.01(02843616.0
1)02843616.01(
P = $ 1899.81
Por lo que, aplicando una simple regla de tres:
1899.10 90%
x 100%
x = $ 2110.90
El precio del artefacto es de $ 2110.90
Operaciones con Anualidades a Plazo Adelantado
Si las anualidades o cuotas ( R ) fuesen adelantadas, ¿ Cómo calcularíamos el valor actual de una
serie de tal naturaleza?
Ejemplo:
Calcular el valor actual de 5 cuotas bimensuales a plazo adelantado de S/. 15000 a la tasa de
interés de 125 con capitalización bimensual
Solución:
Sabemos que la fórmula del FAS funciona para cuotas o anualidades a plazo vencido y en este caso
las cuotas son adelantadas. Transformaremos, entonces el flujo del problema en uno a plazo
vencido
Si a cada cuota R lo capitalizamos un período ( un bimestre en este caso), tendremos un flujo a
plazo vencido, por lo que ahora sí podemos aplicar el FAS:
P = R FAS(i, n)
P = 15000 x FSC(0.06, 1) x FAS(0.06, 5)
P = 15000(1 + 0.06) 5
5
)06.01(06.0
1)06.01(
P = $ 66976.58
Otra forma es la de no tomar en cuenta la primera cuota, por lo que tendríamos un flujo a plazo
vencido de 4 cuotas, por lo que:
P = 15000 4
4
)06.01(06.0
1)06.01(
P = 51.976.58
Ahora a este resultado sólo hay que añadirle la primera cuota que dejamos de lado para
transformar el flujo en uno a plazo adelantado.
$ 51976.58 + 15000 = $ 66976.58 que coincide con el calculado inicialmente, se recomienda
utilizar el primer procedimiento.
Nota: en algunos textos se utiliza la fórmula i
)i1(1 n que es la misma que nosotros definimos
para la FAS.
Factor de Recuperación del Capital ( FRC)
Mediante el Factor de Recuperación del Capìtal ( FRC), podemos convertir un Stock Inicial ( P) en
un flujo constante de cuotas o anualidades ( R ) y como ya explicáramos en anteriores
oportunidades, su fórmula es la inversa que la del FAS
Fórmula del FRC.
FRC = 1)i1(
)i1(in
n
Ejemplo:
Una persona toma en préstamo la suma de $ 1000 para ser devueltos en 4 cuotas mensuales. Si la
tasa de interés es de 5% mensual, calcular el importe de dichas cuotas.
Solución:
R = P ( FRC)
R = 1000 1)05.01(
)05.01(05.04
4
R = $ 282.01
Ejemplo:
Se compra un vehículo cuyo precio es de $ 9500, siendo la forma de pago la siguiente:
Cuota inicial : 30%
Tasa de interés : 18% efectivo anual
Número de cuotas : 24 ( mensuales)
A estas condiciones hay que agregar el hecho de que el vehículo a adquirirse tiene que estar
asegurado durante el tiempo que dure el crédito, es decir por 24 meses. El costo del seguro es de
4.5% sobre el precio de venta por año, suma que debe incluirse en la financiación. Calcular la
cuota mensual que debe pagar el comprador.
Solución:
Este es un ejemplo usual de casos que se presentan diariamente en las operaciones que involucran
la venta de vehículos.
Primero determinamos la tasa efectiva mensual
Tasa efectiva mensual = ( 1 + i)1/12 – 1
= (1 + 0.18)1/12 – 1 = 0.01388843
Ahora vamos a calcular el importe del seguro vehicular:
Precio del seguro = Precio del vehículo x Tasa de seguro x Nro. De años
= 9500 x 0.045 x 2 = $ 855
Seguidamente debemos encontrar la suma a financiar ( P )
Precio del vehículo 9000
(+) Precio del seguro vehicular 855
(-) Cuota inicial (30%) 2700
Suma a financiar $ 7155
Ahora ya podemos aplicar el FRC para calcular la cuota mensual
R = P ( FRC)
R = 7155 x 0.01388843 x 1)01388843.01(
)01388843.01(24
24
R = $ 352.61
El cliente tendrá que pagar la suma de $ 352.61 mensuales
Operaciones con Anualidades a Plazo Vencido
Igual, como con el FAS, la fórmula del FRC solamente funciona para cuotas a plazo vencido, por lo
que tomando como ejemplo los ejercicios anteriores, tendríamos resuelto el problema.
Ejemplo:
Convertir $ 1500 en un flujo de 6 cuotas bimestrales a plazo adelantado, a una tasa de interés de
5% bimensual
Solución:
Ayudémonos del siguiente esquema
R R R R R R
- - - - -
0” 0 1 2 3 4 5 6
La línea punteada a la izquierda indica que hemos “incrementado” un período más al
esquema, pero al hacerlo tenemos que actualizar un período a $ 1500 ( mediante el FSA). Por eso
que en el “nuevo momento” que hemos representado como 0”, P es igual a 1500(1 + i)-1 ó lo que es
lo mismo: )i1(
1500
De esta manera ya podemos aplicar el FRC, pues las cuotas R ahora si están a plazo vencido
R = 1500(1 + 0.05)-1 x 1)05.01(
)05.01(05.06
6
R = $ 281.45
Nota: en algunos textos la fórmula del FRC se presenta como sigue:
FRC = n)i1(1
i
Practique
1. En el proceso de adquisición de una maquinaria se recibieron las siguientes propuestas:
a) al contado por 10000 nuevos soles
b) a crédito con una cuota inicial de 4000 nuevos soles y seis cuotas mensuales de 110 nuevos
soles
¿Qué opción aceptaría si el costo del dinero es 4% efectivo mensual y no tiene restricción de
capital?
2. Un crédito bancario que devenga una TNA de 36% capitalizable trimestralmente se pactó para
cancelarla en el plazo de 5 años con cuotas trimestrales uniformes vencidas de S/. 250. El cliente
cumplió puntualmente con sus pagos y al vencimiento de la duodécima cuota decide cancelarla
conjuntamente con las cuotas insolutas, con la condición que estas sean descontadas con la
misma tasa pactada, ¿Cuál es el importe a pagar en esa fecha?
3. Una máquina se vende con una cuota inicial de S/. 2000 y 12 cuotas de S/. 300 cada una a
pagarse cada 30 días. Calcule su respectivo valor presente equivalente con una TET de 9%
4. Calcule el valor presente de unja anualidad compuesta de 20 rentas uniformes vencidas de S/.
2000 cada una, con una TEM de 4%. La primera renta se pagará dentro de 3 meses y las
siguientes en períodos de 3 meses cada una
5. La empresa Alfa alquila un local comercial durante años por una merced conductiva de S/. 3000
por trimestre vencido. Alfa recibe como alternativa del arrendatario la propuesta de efectuar un
único pago de S/. 17000 al inicio del contrato por cinco años. Dado que Alfa puede invertir el
importe de los alquileres y que percibirá una TEM de 5%. ¿Le conviene la alternativa propuesta?
6. Un préstamo de S/. 5000 debe amortizarse en el plazo de un año con cuotas uniformes
mensuales con una TNA de 36% capitalizable mensualmente. Calcule el importe de esa cuota
constante.
7. La empresa Equipos S.A. vende sus máquinas al contado en S/. 10000 pero debido a que
consiguió un financiamiento del exterior está paleando efectuar ventas a crédito con una cuota
inicial de S/. 5000 y seis cuotas uniformes con vencimiento a 30 días cada una. Si la TEA por
cargar al financiamiento es 25%. Calcule el importe de las cuotas de la venta a plazos.
8. Una empresa solicita a una entidad financiera un préstamo de S/. 20000 para ser reembolsado
en 2 años con cuotas uniformes cada 90 días, con una TEM de 2%. Durante el primer año, las
cuotas deben ser equivalentes a 60% del préstamo. Calcule el importe de las cuotas durante el
primer y segundo año
9. Una persona deposita en una cuenta de ahorros al final de cada trimestre un importe constante
de S/. 2000, ¿Qué monto acumulará en el plazo de dos años al percibir una TNA de 24%
capitalizable trimestralmente?
10. ¿Qué monto puede acumularse durante 3 años consecutivos si se depositan S/. 1000 cada fin
de mes si se percibe una TNA de 24% con capitalización mensual?
11. ¿Cuál será el importe capitalizado al final del sexto mes al efectuar depósitos de S/. 1000 al
final de cada 30 días en una institución bancaria que paga una TNA de 36% con capitalización
semestral?
12. Calcule el importe de una renta constante que colocada al final de cada trimestre durante 4
años permita constituir un monto de S/. 20000. La TNA aplicable es de 36% con capitalización
mensual.
13. La empresa Productos Industriales S.A. planea adquirir dentro de 6 meses un equipo de
cómputo de conexión en red para toda su empresa a un precio de US$ 10000. Con este objetivo, la
gerencia financiera puede colocar sus excedentes mensuales de caja (estimados en US$3000) en
una institución financiera que paga una TEM de 2%, ¿Qué importe constante a fin de mes deberá
ahorrar para acumular los US$10000 al final del sexto mes
Proceso por el cual una obligación es pagada en cuotas, las mismas que incluyen el interés cargado
al Principal.
En ello se refleja la forma en que se pagará un crédito o un préstamo obtenido, por eso veremos de
manera práctica como es que se calcula una amortización y para ello utilizaremos una corrida
financiera.
Ejemplo:
Suponga un préstamo de $ 10000 que se deberá devolver en 18 cuotas mensuales, a una tasa de
interés de 15% efectivo anual. Se pide calcular la cuota mensual y elaborar la corrida financiera
respectiva
Solución:
Calculamos la tasa efectiva para el mes:
imensual = (1 + 0.15)1/12 – 1
imensual = 0.01171492
Calculamos la cuota R aplicando la FRC
R = P ( FRC ) (0.01171494, 18)
R = 10000 1)01171494.01(
)01171494.01(01171494.018
18
R = $ 619.42
Para efectuar la corrida financiera, nos valdremos del conocido programa de Microsoft Office,
EXCEL
Veamos algunos conceptos antes de comenzar:
Capital ó Principal, es el valor del préstamo ó stock inicial que vamos a convertir en n cuotas
iguales ( 18 en este caso)
Plazo, es el número de períodos en el que se repagará o devolverá el préstamo
Amortización
TEA, es la tasa efectiva anual que indica el ejemplo que estamos desarrollando
TEM, es la tasa efectiva mensual, o la tasa equivalente con el período de devolución del préstamo.
Como los períodos son mensuales la tasa también es mensual ( 1.171492% es lo mismo que
0.01171492)
La corrida tiene 5 columnas ( En Excel)
Cuota (Columna 1) indica a qué período del préstamo corresponde las cifras de la derecha.
Capital (Columna 2) es el capital que se adeuda a comienzos del respectivo período; por ejemplo $
8475.46 es el capital que se adeuda a comienzos del mes 4
Amortización ( Columna 3) es la parte del capital adeudado que se pagará a fines del período
respectivo. Así, $ 520.13 es lo que se pagará a fines del mes 4 del total adeudado a comienzos del
mes 4 ($ 8475.46)
Interés ( Columna 4) es el interés que se pagará en el período respectivo por el capital que se
adeuda a comienzos del mismo. En el ejemplo $ 99.29 es el interés que se pagará por el período 4,
correspondiente al capital adeudado. ( $ 8475.46)
Cuota ( Columna 5) es la cuota mensual que se pagará mensualmente, de acuerdo al cálculo que
hemos hecho, anteriormente empleando el FRC. Esta cifra, lógicamente será igual para todos los
períodos.
En la parte final, resaltado en negritas y en cuadrículas se encuentran las sumas de las columnas
3, 4 y 5. La suma de la columna 3 es exactamente el Capital o Stock Inicial, si este total difiere del
capital, entonces no hemos hecho bien los cálculos y algo anda mal.
Centrémonos en la Cuota 1
A comienzos del mes 1 (fecha en la que se desembolsa el préstamo) lógicamente lo que se debe al
acreedor es $ 10000
A fines de este mes se pagará $ 619.42 pero esta cifra tiene dos componentes, capital e intereses.
Teniendo en cuenta la tasa de interés mensual de 1.171492% los intereses del mes serán:
10000 x 0.01171492 = $ 117.15
Si la cuota a pagar es $ 619.42 y los intereses del mes son $ 117.15 entonces la diferencia entre
estas cifras será el capital que, en ese mes se está devolviendo, es decir:
619.42 – 117.15 = $ 502.27
En el segundo período ( Cuota 2), el capital adeudado disminuye, puesto que en la cuota 1 se pagó
$ 502.27 entonces el nuevo capital que se adeuda a inicios del período será:
10000 – 502.27 = 9497.73
Analicemos la cuota 18:
Capital adeudado: 612.25
Intereses: 612.25 x 0.01171492 = 7.17
Amortización: 619.42 – 7.17 = 612.25
Deuda mes 18: 612.25 – 612.25 = 0
1 2 3 4 5 6
Cuota Capital Amortización Interés IGV – Int. Cuota
1 10000.00 492.61 117.15 22.26 632.01
2 9507.39 499.47 111.38 21.16 632.01
3 9007.92 506.44 105.53 20.05 632.01
4 8501.48 513.50 99.59 18.92 632.01
5 7987.98 520.66 93.58 17.78 632.01
6 7467.33 527.91 87.48 16.62 632.01
7 6939.41 535.27 81.29 15.45 632.01
8 6404.14 542.74 75.02 14.25 632.01
9 5861.40 550.30 68.67 13.05 632.01
10 5311.10 557.97 62.22 11.82 632.01
11 4753.12 565.75 55.68 10.58 632.01
12 4187.37 573.64 49.05 9.32 632.01
13 3613.73 581.64 42.33 8.04 632.01
14 3032.09 589.75 35.52 6.75 632.01
15 2442.35 597.97 28.61 5.44 632.01
16 1844.38 606.30 21.61 4.11 632.01
17 1238.08 614.76 14.50 2.76 632.01
18 623.33 623.33 7.30 1.39 632.01
10000.00 1156.53 219.74 11376.27
Corridas Financieras con Cuotas No Uniformes
Cuando se contrata un crédito no siempre las cuales se devuelve dicho crédito deben ser iguales.
Por ejemplo, si se contrata un crédito para financiar un proyecto ( ampliación de fábrica,
modernización de maquinaria, lanzamiento de un nuevo producto, etc. ) aparte de solicitar que el
crédito sea diferido por un determinado período ( Período de Gracia), es probable que el empresario
quiera comenzar a devolver el crédito con cuotas pequeñas, para ir incrementándolas de acuerdo
con la maduración y desarrollo del proyecto. Por supuesto que previamente se ha debido elaborar
el Flujo de Caja respectivo.
Al contrario, si una institución financiera concede un préstamo para financiar un proyecto
que conlleva cierto riesgo, es probable que el banco o la financiera quieran comenzar a recuperar
su capital lo más antes posible para minimizar su riesgo, por lo tanto comienzan cobrando cuotas
altas para irlas después reduciéndolas.
Puede suceder que quien recibe el crédito pueda tener períodos de mayor liquidez, por lo
que puede pagar cuotas dobles, triples, etc. como el caso de las gratificaciones de julio y diciembre.
El Factor de Capitalización de la Serie ( FCS )
Como ya sabemos, el Factor de Capitalización de la Serie ( FCS) nos permite transformar una serie
uniforme de pagos ( R ) en un Stock Final ( S )
Tenga en cuenta siempre que la serie de pagos a transformar corresponde a anualidades ciertas a
plazo vencido
Fórmula del FCS:
FCS = i
1)i1( n
De aquí S = R ( FCS )
Ejemplo:
En un banco que paga un interés de 11% efectivo anual, se deposita durante 30 meses la suma de
$ 3000, acto que se realiza los fines de cada mes. Calcular a cuánto ascenderá lo ahorrado a fines
del mes 31.
Solución:
Obsérvese que los depósitos son mensuales y la tasa de interés es anual. Por tanto tenemos que
encontrar la tasa efectiva mensual ( TEM).
TEM = (1 + 0.01)1/12 – 1
TEM = 0.00873459
S = 3000 x 00873459.0
1)00873459.01( 30
S = $ 102385.26
Operaciones con Anualidades a Plazo Adelantado
Ejemplo:
Tenemos 4 cuotas semestrales de S/. 30000 cada una que se depositan en una institución
financiera que paga 50% efectivo semestral. Estos depósitos se hacen a comienzos de cada
semestre, ¿A cuánto ascenderá el stock final a fines de 4to semestre?
Solución:
Primero hagamos un diagrama de tiempo valor para visualizar mejor el tema:
R R R R
0 1 2 3 4
S = ?
Como podrá observarse el diagrama varía con relación a los anteriores que hemos graficado. En
este diagrama la primera anualidad está en el momento cero, es decir al comienzo del mes 1 y las
demás al comienzo del respectivo mes.
En los diagramas anteriores la última anualidad coincidía siempre a fines del último período, en
éste la última anualidad se encuentra al inicio del último período.
Correr las anualidades un período hacia la derecha, para convertirlas en cuotas a plazo vencido.
Observe la primera R. Nosotros podemos correr esta R un período hacia la derecha; obviamente
capitalizándola a la tasa de interés respectiva, utilizando la fórmula del FSC, con la cual tendremos
una cuota equivalente que denominaremos R1
R R1
0 1
Como todas las cuotas son iguales, nuestro nuevo diagrama quedará de la siguiente manera:
i = 0.05
R1 R1 R1 R1
0 1 2 3 4
S = ?
Y ahora si podemos aplicar el FCS
Bien; calculemos R1:
R1 = R x FSC(0.05, 1)
R1 = 30000 x (1 + 0.05) = 31500
Cálculo de S:
S = R1 x FCS(0.05, 4)
S = 31500 x 05.0
1)05.01( 4 S = S/. 135768.94
El Factor del Fondo de Amortización ( FDFA)
Con el FCS transformamos una serie uniforme ( R) en un Stock Final ( S). Ahora podemos
plantearnos la pregunta: ¿Cómo transformar un Stock Final ( S) en una Serie Uniforme ( R)?
Tome nota que si quisiéramos disponer de una suma futura de dinero dentro de n meses
podríamos lograr dicho objetivo si realizamos n depósitos mensuales iguales a un fondo ( ahorros)
que ganarían sus respectivos intereses, con lo cual podremos amortizar o cubrir el capital deseado.
El FDFA nos permitirá calcular esa suma mensual tendríamos que amortizar o depositar para
alcanzar cierto stock final.
La fórmula es:
FDFA = 1)i1(
in
De aquí se tiene que:
R = S x FDFA
Ejemplo:
Cuánto se deberá depositar durante 18 semestres, a plazo vencido, en una cuenta bancaria que
paga 9% anual convertible semestralmente, para obtener un stock final de S/. 75000
Solución:
R = 75000 x 1)045.01(
045.018
R = S/. 2792.77
Operaciones con Anualidades a Plazo Adelantado
Ejemplo:
¿Cuánto habrá que depositar a comienzos de cada mes durante 2 años en un banco que paga una
tasa efectiva mensual de 0.05% para obtener un stock final de S/. 30000?
Solución:
Como ya vimos anteriormente, cuando tratamos del FCS con cuotas a plazo adelantado, vamos a
realizar nuestro diagrama de tiempo valor pata visualizar el problema:
R R R R R R ………. R R R R
0 1 2 3 4 5 …….. 20 21 22 23 24 S = S/.
30000
Vamos a capitalizar un mes cada cuota R, para convertir el flujo en uno a plazo vencido; con lo
cual tendremos:
R1 = R(1 + i)
Con esto ahora tendremos el siguiente diagrama:
R R R R R ………. R R R R R
0 1 2 3 4 5 …….. 20 21 22 23 24
S= S/. 30000
R1 = S x FDFA(i, n)
R( 1 + 0.03) = 30000 x 1)03.01(
03.024
R( 1 + 0.03) = 30000 x 0.02904742
R = )03.01(
02904742.0x30000
R = S/. 846.04
1. Durante 5 años se deposita bimensualmente la suma de $ 600 en un banco, cuya tasa de
interés pasiva es de 8% efectivo anual. A partir de esa fecha la suma depositada se incrementa a $
900. Si los depósitos se realizan a plazo vencido. Calcular el stock final al cabo de 8 años
2. En el lapso de un año se han efectuado 12 depósitos consecutivos. Los 4 primeros de $ 1000
c/u, los 4 siguientes de $ 1250 y los 4 últimos de $ 2000. Si el banco receptor paga una tasa de
interés de 12% anual, capitalizable mensualmente y los depósitos se hacen a fin de mes, calcular el
stock a fines del mes 12.
3. ¿Cuántos depósitos de $ 852 debe de realizar una persona cada fin de mes, en un banco que
paga 4% de interés mensual, para reunir la suma de $ 21850?
4. ¿Cuántas cuotas mensuales de S/. 2772 a plazo vencido debe de depositarse en un banco que
paga 16.04% efectivo anual, para alcanzar un stock final de S/. 125000?
En esta semana se debe evaluar a través de una Práctica Calificada, lo correspondiente a las
semanas 15 y 16, sobre el FCS y el FDFA.
Concepto de Descuento
Una operación de escuento es una de las formas de créditos que consiste en obtener el pago
anticipado (adelantado) de TITULOS VALORES, letras, pagarés, u otro documento, mediante la
cesión del mencionado título a otra persona, generalmente una institución de crédito, la cual
adelanta el importe del valor del título deduciendo los intereses anticipadamente, por el tiempo que
falta para el vencimiento de la obligación:
Practique
Intereses Adelantados de Pagarés y Letras
El descuento constituye la diferencia entre el valor nominal o monto de una deuda a su
vencimiento y su respectivo importe recibido en el presente: D = S – P
Es necesario distinguir los diferentes conceptos del término descuento aplicado en el sistema
financiero y en las actividades comerciales y mercantiles.
Racional
Bancario
Comercial
Simple
Compuesto
Simple
Compuesto
Unitario
Sucesivo
Descuento Racional
El descuento racional aplicado a un título de crédito que vence en el futuro es el interés deducido
anticipadamente calculado con la tasa i sobre el importe que verdaderamente recibe el
descontante; este importe es el respectivo valor presente del valor nominal del título. De este modo,
el interés y el descuento racional calculados para el mismo plazo y aplicando la misma tasa
producen iguales resultados.
Descuento Racional Simple
D = S
in1
11
El descuento en esta ecuación puede interpretarse como el interés aplicado a un Valor Futuro (
Sin) traído a Valor Presente al dividirlo por 1 + in
Ejemplo (1):
Una letra de S/. 3000 con vencimiento el 26 de febrero es descontada el 18 de enero a una tasa de
interés simple anual del 24%. Calcule el importe del descuento racional
Solución:
D = 3000
360/39x24.01
11 D = 96.30
Ejemplo (2):
Una letra de cambio de S/. 20000 con vencimiento dentro de 60 días se descuenta hoy a una tasa
nominal anual del 24%. a) Calcule el descuento racional simple, b) Su valor presente, c) El interés
que se cobrará sobre el importe realmente desembolsado
Solución:
a) Cálculo del descuento
Clases de Descuento
D = 20000
360/60x24.01
11 D = 769.23
b) Cálculo del valor presente
P = in1
S
P =
360/60x24.01
20000
P = 19230.77
c) Cálculo del interés sobre el importe realmente desembolsado
I = Pin I = 19230.77 x 0.24 x 60/360 I = 769.23
Descuento Racional Compuesto
D = S 1 – ( 1 + i) –n
Ejemplo (1):
Calcule el descuento racional compuesto a practicarse a un pagaré con valor nominal de S/. 10000
y vencimiento a 60 días. Utilice una tasa efectiva mensual del 4%
Solución:
D = 10000 1 – (1 + 0.04)-2 D = 754.44
Ejemplo (2):
La empresa COMSA, comercializadora de útiles de escritorio, ha efectuado compras de mercadería
por un importe total de S/. 40500 incluido el 19% de IGV, ¿Qué importe de la factura puede
utilizar para el crédito fiscal?
Solución:
D = 40500 1 – ( 1 + 0.19)-1 D = 6466.39
Descuento Racional Simple
1. Calcule el descuento racional de un pagaré al día 26 de abril cuya fecha de vencimiento es el 30
de mayo, su valor nominal es S/. 10000 y la tasa de interés simple anual es del 30%
2. Un pagaré con valor nominal de S/. 10800 es descontado racionalmente el 6 de junio,
obteniéndose un valor presente de S/. 10000. Halle la fecha de vencimiento del documento
considerando una tasa mensual de interés simple del 4%
3. Dos letras de S/. 5000 y S/. 8000 cada una con vencimiento a 30 y 45 días son descontadas
aplicando una tasa de interés simple del 12% y 15% anual respectivamente. Calcule el importe
total del descuento simple racional
Practique
4. Faltando 50 días para su vencimiento, se descuenta una letra cuyo valor nominal es de S/.
7200. Calcule el importe del descuento racional simple aplicando una tasa nominal anual del 24%
Descuento Racional Compuesto
5. Calcule el importe del descuento racional compuesto de un pagaré de S/. 8000 el cual vence
dentro de 4 meses, si es descontado mensualmente a la tasa nominal anual del 18%
6. Calcule el descuento racional compuesto a practicarse hoy a dos pagarés con vencimiento a 30 y
60 días cada uno y cuyos valores nominales son S/. 4000 y S/. 5000 respectivamente. La
institución financiera cobra una tasa nominal anual del 12% con capitalización trimestral
7. Calcule el descuento racional efectuado a un pagaré faltando 60 días para su vencimiento
aplicando una tasa nominal anual del 36% con capitalización mensual.
8. Un pagaré cuyo valor nominal es S/. 7000 y cuya fecha de vencimiento es el 11 de julio fue
descontado racionalmente faltando 180 días para su vencimiento, aplicando una tasa nominal del
36% anual con capitalización cada 30 días. Calcule el descuento realizado en el tercer y quinto
período de descuento.
Descuento Bancario
El descuento bancario constituye el interés calculado sobre el Valor Nominal o Valor Futuro ( S ) de
un título valor, importe a deducir del monto del documento para encontrar un valor líquido, el cual
va a representar el verdadero importe financiado. La tasa de interés aplicada es conocida como
tasa adelantada o tasa de descuento “d”, la cual se diferencia de la tasa vencida “i” en que ésta se
aplica sobre P, y aquella sobre S, lo que origina un importe líquido menor al valor presente del
documento.
Descuento Bancario Simple
D = Sdn
Ejemplo (1):
Calcule el descuento bancario simple al 3 de marzo, sobre un documento con valor nominal de S/.
5000 y fecha de vencimiento el 15 de abril. La tasa de descuento mensual es del 5%
Solución:
D = 5000 x 0.05 x 43/30 D = 358.33
Cálculo del valor líquido
P = S ( 1 – dn)
Ejemplo:
¿Cuál será el valor líquido a obtener por el descuento bancario de una letra con valor nominal de
S/. 2000? La letra se descontó 38 días antes de su vencimiento con una tasa de descuento simple
mensual.
Solución:
P = 2000(1 – 0.05 x 38/30) P = 1873.33
Cálculo del valor nominal
S = P
dn1
1
Ejemplo:
¿Porqué monto deberá girarse una letra originada por una venta de un artículo al crédito cuyo
precio de contado es de S/. 1500?. La financiación es a 60 días y sin cuota inicial. La letra se
someterá al descuento bancario simple a una tasa de descuento mensual del 4%
Solución:
S = 1500 (1/ 1 – 0.04 x 2) S = 1630.43
Descuento Bancario Compuesto
El descuento bancario compuesto consiste en una serie de cálculos de descuentos simples donde,
en primer término, se aplica el descuento por un período sobre el valor nominal de la deuda a su
vencimiento, encontrando su valor líquido al final del período ( evaluando de derecha a izquierda),
o al comienzo del segundo período. A este valor obtenido se aplica el descuento por segunda vez
encontrando su valor líquido pagadero dentro de dos períodos y así sucesivamente para todos los
períodos del horizonte temporal comprendido entre la fecha que se hace efectivo el abono del
importe del descuento y la fecha del vencimiento de la deuda.
Cálculo del Valor Líquido
P = S (1 – d)n
Ejemplo:
El 7 de marzo la empresa Entursa, correntista del banco Wiesse aceptó un pagaré de S/.9000 con
vencimiento a 90 días, ¿Cuál fue el valor líquido que Entursa recibió en esa fecha si la tasa
nominal anual de descuento fue 48%, con período de descuento bancario cada 30 días?
Solución:
P = 9000(1 – 0.04)3 P = 7962.62
Cálculo del Valor Nominal
S = P(1 – d)-n
Ejemplo:
La empresa Tecnor requiere disponer de un valor líquido de S/. 5000. Para tal efecto utiliza su
línea de descuento de pagarés, ¿Cuál debe ser el valor nominal del documento con vencimiento a
60 días y a una tasa de descuento anual del 48% con período de descuento bancario mensual?
Solución:
S = 5000(1 – 0.04)-2 S = 5425.35
Cálculo del Descuento Bancario Compuesto
D = S 1 – (1 – d)n
Ejemplo:
Halle el descuento bancario compuesto de una letra cuyo valor nominal es S/. 7000 y vence dentro
de 45 días. La tasa nominal anual es 36% con período de descuento mensual
Solución:
D = 70001 – (1 – 0.03)1.5 D = 312.63
Descuento Bancario Simple
1. Una letra con valor nominal de S/. 5000 se descuenta aplicando una tasa de descuento del 12%
anual faltando 38 días para su vencimiento. Halle el descuento bancario simple.
2. El descuento bancario simple de un título valor, faltando 43 días para su vencimiento ha sido de
S/. 425 a una tasa de descuento anual del 15%, ¿Cuál fue su valor nominal?
3. A una letra cuyo valor nominal es de S/. 5000 y que vence dentro de 52 días se le ha efectuado
un descuento bancario simple de S/. 260. Calcule la tasa mensual de descuento aplicada
4. ¿Por cuántos días se ha efectuado el descuento bancario de una letra de S/. 5000 por la cual se
recibió S/. 4860?. La tasa mensual de descuento simple fue del 2%
5. Calcule el valor líquido de un pagaré de S/. 9000 sometido a descuento bancario simple faltando
65 días para su vencimiento y aplicando una tasa de descuento anual del 12%
6. ¿Por qué monto deberá girarse una letra que vencerá el 27 de febrero, para obtener un monto
líquido de S/. 5000 el 19 de enero, descontándola bancariamente a una tasa de descuento simple
anual del 18%?
7. Un pagaré con valor nominal de S/. 5000 y que vence dentro de 4 meses; ha sido descontado
bancariamente aplicando una tasa de descuento anual con período de descuento mensual del 36%
para el primer mes y del 48% para los últimos 3 meses, ¿Cuál será su valor líquido?
Descuento Bancario Compuesto
8. Un pagaré con valor nominal de S/. 5000 se somete a descuento bancario compuesto aplicando
una tasa del 24% anual con período de descuento mensual, 3 meses antes de su vencimiento.
Calcule los descuentos de cada mes. Prepare el cuadro de los descuentos periódicos
9. Calcule el descuento bancario compuesto efectuado en una letra con valor nominal de S/. 2500
faltando 37 días para su vencimiento, si a este título – valor se le aplicó una tasa anual del 18%
con período de descuento mensual.
10. ¿Cuál será el importe del descuento bancario compuesto de un pagaré de S/. 7000 con
vencimiento a 110 días si se aplicó una tasa de descuento anual del 12% con período de descuento
trimestral?
Practique