matemÁtica finaciera aplicada con excel · 2017-08-30 · matemática financiera aplicada con...

MATERIAL

DE

MATEMÁTICA FINACIERA APLICADA CON EXCEL

AUXILIAR CONTABLE

EDICIÓN 2013

2 Matemática Financiera Aplicada con Excel

Matemática Financiera Aplicada Con Excel 3

Consideraciones

Puntualidad para el inicio de clases.

Ante llegadas tardías, y una vez iniciadas

la clases, favor ingresar discretamente.

Celulares en silencio por favor.

Ante la necesidad de responder una

llamada telefónica, favor hacerlo fuera

del aula.

Objetivos

Dotar de técnicas e instrumentos que

permitan conocer la aplicabilidad de las

matemáticas financieras en las actividades

diarias de las empresas.

Demostrar como estas herramientas, pueden ser

aplicadas en la toma de decisiones financieras.

Metodología

Exposición con ayuda audiovisual, la

teoría se ejemplifica con ejercicios, análisis

de resultados grupales, y con la participación

activa individual.

Aplicación de ejercicios prácticos en Excel

Contenido

INTERES SIMPLE

Definición, Variables que intervienen,

Formulas de calculo, ejercicios.

INTERES COMPUESTO

Definición, Variables que intervienen, Fórmulas

de cálculo, Tasa Nominal y Efectiva de interés,

Equivalencia entre tasas de interés simple y

compuesto, ejercicios.


Contenido

INTERES VENCIDO Y ANTICIPADO

Interés vencido, Interés anticipado, Relación

entre la tasa de interés anticipado y la tasa de

interés vencido, ejercicios.

VALOR PRESENTE Y DESCUENTO

Definición, variables que intervienen,

descuento simple y compuesto, formulas

de calculo, resolución de casos.

Contenido

AMORTIZACIONES

Definición, Sistema Francés, Sistema Alemán,

Sistema Americano, ejercicios, Cuadros del

servicio de la deuda para los sistemas.

Matemática Financiera

Las Matemáticas Financieras tienen como

objetivo fundamental el estudio y análisis de

todas aquellas operaciones y planteamientos en

los cuales intervienen las magnitudes de:

Capital, Interés, Tiempo y Tasa.

Matemática Financiera Objetivo básico: estudiar la variación de las sumas

de dinero en el tiempo.

Dichas variaciones pueden ser hacia atrás o hacia

adelante

Se debe tener en cuenta:

El TIEMPOdurante el cual dicho capital permanece

colocado.

La TASA DE INTERES que nos pagan por facilitar

dicho capital a terceros.

El MONTOes la suma del capital mas los intereses.


Capitalización

Es el proceso de pasar del Valor Actual, o

Valor Presente, al Valor Futuro.

El valor futuro es la cantidad de dinero

que alcanzara una inversión en una fecha

futura al ganar intereses a alguna tasa.

El valor que el capital adquiere luego del

tiempo transcurrido recibe el nombre de

capital final de la operación o monto

(capital inicialmente + intereses producidos).

Co Cn

Modificar la suma original de dinero debido

a la acción del tiempo y de la tasa de

interés, recibe el nombre de capitalización.

Capitalización A mayor tasa de interés y a mayor tiempo de

colocación, corresponde mayor monto.

Si el capital inicial permanece colocado

más tiempo, producirá un monto mayor aunque

la tasa de interés siga igual.

Si el capital permanece colocado igual cantidad

de tiempo, pero se aumenta la tasa de interés,

producirá un monto mayor.

Capitalización Variables financieras:

Capital C

Tiempo t

Tasa en% i

Interés I

Cuota c

Monto M


Valor del dinero en el tiempo Nunca se deben sumar valores en fechas diferentes

Interés

Es lo que se paga o se recibe por cierta

cantidad de dinero tomada o dada en

préstamo o invertida

Formas usuales de cálculo de intereses En una operación financiera se denomina interés

al beneficio que recibe una de las partes por haber

dado en préstamo o inversión a la otra, una

determinada suma de dinero, durante un cierto tiempo.

Formas usuales de cálculo de intereses Interés Simple: es el interés ganado sobre el capital

inicialmente invertido. La acumulación significa que

solamente hay un periodo en el que se calculan los

intereses.


Formas usuales de cálculo de intereses

Interés Compuesto: interés ganado sobre el

monto al final del periodo anterior (sobre el

capital formado = suma inicial depositada + los

intereses producidos).

En el interés compuesto los intereses se calculan

sobre el monto reunido hasta el final del periodo

anterior, y dado que monto es la acumulación

de capital e interés, resulta que en el régimen de

capitalización a interés compuesto los intereses

se calculan no solo sobre el capital inicial, sino

que también se computan los intereses producidos

por dicho capital en los periodos anteriores.

Los intereses serán:

Una cantidad constante en el régimen de

interés simple, ya que se calculan

siempre sobre la misma suma de dinero

que es el capital inicial o capital originario.

Una cantidad variable en el régimen de

interés compuesto, ya que se calculan

sobre el monto reunido hasta el final del

periodo anterior, y el monto varia con cada

periodo que transcurre.

CAPITAL INICIAL + INTERES = MONTO

Interés Simple

Es aquel interés que se genera sobre un

capital que permanece constante en el tiempo.

Formula general de la tasa de interés:

i = I / C

Si condicionamos esta fórmula a la expresión de

unidades de tiempo se obtiene la siguiente ecuación:

I = C. i . t


Interés Simple

Clasificación del interés simple

Interés simple comercial:

360 días al año, 180 días al semestre, 90 días

al trimestre, 30 días al mes

Interés simple exacto:

365 días al año

Interés Simple

Valor futuro a interés simple:

También conocido como monto. Se deduce

de la suma entre el capital y los intereses

que se generan durante determinado período

de tiempo

M = C + I

M = C + ( C. i . t ), luego por factorización

M = C ( 1 + i . t )

Interés Simple

Equidad entre el tiempo y la tasa:

La tasa y el tiempo siempre deben ir

expresada en la misma unidad de base.

La tasa es la que condiciona la expresión

de tiempo.


Interés Simple

Series uniformes a interés simple:

Series vencidas:

o Valor presente

o Valor futuro

Series anticipadas

o Valor presente

o Valor futuro


Interés Simple

VA: Valor Presente (Capital inicial). Valor actual

de la inversión.

i: Tasa de Interés Nominal, Expresada en

porcentaje anual.

n: Número de años.

I: Interés Simple

VF: Valor Futuro (Monto). Valor Futuro de

la inversión.

I= VA x i x n

VF = VA x (1+i)

Interés Simple

Muestra el valor que una inversión actual va

a tener en el futuro

Ejemplo:

VA:G.10.000.000.-

i: 10% anual

n: un año.

I = G. 10.000.000 x 0,10 = G. 1.000.000

VF = G. 10.000.000 x (1+0,10) = G. 11.000.000

Interés Compuesto

Es el interés que se genera sobre intereses.

Los intereses que se generan en el primer

período de capitalización se convierte en

capital para generar más intereses para el

segundo periodo de capitalización y

así sucesivamente.


Interés Compuesto

Formula General

M = C ( 1 + i )t

Interés Compuesto

Interés ganado sobre un interés ya obtenido

VA: Valor Presente (Capital inicial).

i: Tasa de interés nominal, expresada en

porcentaje anual.

n: Numero de años.

q: Periodos de capitalización

I: Interés Compuesto

VF : Valor Futuro (Monto).

I= VA((1+i)n-1)

VF = VA x (1+i)n

Interés Compuesto

Factor de capitalización: (1 + i)n= factor de valor

futuro

Ejemplo:

o VA : G. 10.000.000.-

o I : 10% anual

o N : tres años

VF=10.000.000 x (1+0,10)x(1+0,10) x(1+0,10) = G.13.310.000

VF=10.000.000 x (1+0,10)3= G.13.310.000


Relación entre Interés Simple y Compuesto

¿Cuál es el valor futuro de G.20.000.000, al cabo

de cinco años, a una tasa de interés del 10% anual?

VF=G.20.000.000x1,1x1,1x1,1x1,1x1,1=G.20.000.000

(1,1)5= G.32.210.200

El valor futuro de G. 20.000.000 a una tasa de interés

del 10% anual durante cinco años es de G. 32.210.200.

El interés total ganado durante los cinco años es de

G.12.210.200, del cual el interés simple es:

I: G.20.000.00x0,10x5= G.10.000.000.-

Por lo tanto interés total -interés simple resulta que

el interés compuesto es: G. 2.210.200

Interés Compuesto

Comparativo entre el interés simple y el interés compuesto


Interés Compuesto (Excel)

Capital o valor presente : VA

Tasa de interés : TASA

Monto o valor futuro : VF

Tiempo : NPER

Cuota : PAGO

La frecuencia de la Capitalización

Tasa Porcentual Anual (TPA): Tasa de

interés sobre los préstamos y las cuentas

de ahorro.

Tasa Anual Efectiva (TAE): Es la tasa

de interés que capitalizada en sub-periodos

con la tasa nominal anual, resulta una tasa

superior al final del periodo. Es igual a la

tasa nominal si la capitalización se hiciera

solo una vez al año.

La frecuencia de la Capitalización

TAE = (1+TPA)m

- 1

m

m = Número de periodos de capitalización

en el año (q).

Ejemplo:

Tasa de interés nominal anual = 6%(TPA)

Capitalización mensual = 12

TAE = ( 1 + 0,06)12

– 1 = 6,17

12


Tasas de Interés

Tasa Proporcional: es aquella que capitalizada

en forma sub periódica, nos da al final del plazo

de colocación un monto mayor al que se obtiene

con la tasa nominal periódica. se utiliza la tasa

proporcional de interés cuando en cada sub-

periodo se toma una tasa igual a la anual dividida

por el numero de sub-periodos.

Ejemplo: si tenemos una tasa anual del 24% que

se capitaliza trimestralmente, la tasa proporcional

trimestral es el 6%.

Tasas de Interés

TP = ( 1 + i )m.n

- 1

m

Ejemplo:

Tasa Proporcional: 0,24 / 4 = 0,06

TP = ( 1 + 0,24 )4-1

= 0,2624 * 100 = 26,24%

4

Tasas de Interés

Tasa equivalente: es la que capitalizada

en forma subperiódica, nos da al final del

plazo de colocación un monto igual al que

se obtiene con la tasa nominal periódica.

1

m

TE = (1+ i) - 1


Tasas de Interés

Ejemplo:

Tasa Nominal 24%, capitalización mensual = 12

1

12

TE = ( 1 + 0,24 ) - 1

0,018 x 100 = 1,808 x 12 = 21,696%

Tasas de Interés

Tasa Efectiva Adelantada: es la que indica la

tasa efectiva sobre una tasa nominal adelantada.

m= periodo de adelanto

m

1 - 1

TA = (1 - i )

M

Tasas de Interés

Ejemplo:

Tasa de interés nominal 47%, mensual adelantada

TA= ( 1 / ( 1 -0,47 / 12 )12-1

TA= 0,6151 * 100 = 61,51%


Valor Presente y Descuento

Calcular valores presentes es la contrario a

calcular valores futuros.

Al calculo de los valores presentes se le

llama descuento, y la tasa de interés

con que se obtiene a menudo recibe el nombre

de tasa de descuento.

VF

VA=

(1+i) n

Factor de actualización: 1 / (1+i)n

Valor Presente y Descuento

Ejemplo:

Valor presente de G.100,000.000 en un lapso de

5 años, y una tasa del 10%.

G. 100.000.000

VA = = G. 62.092.132

(1+0,10) 5

Descuento Comercial

En el descuento comercial los intereses se

calculan sobre el valor nominal.

D = N x i x n

VA = N (1-in)

N = Valor nominal del documento.


Descuento Comercial

En el descuento racional los intereses se cobran sobre el valor actual.

N

VA =

( 1 + in)

N= Valor Nominal del documento

Descuento Comercial

La diferencia entre el descuento comercial y

el descuento racional, es el importe cobrado

de más por quien recibe un documento en

descuento.

El descuento comercial se utiliza frecuentemente

para las operaciones realizadas a corto plazo,

con intereses no muy elevados, porque de lo

contrario puede darse el caso de obtener un

valor actual nulo o negativo.

Descuento Compuesto

En las operaciones a largo plazo los descuentos

suelen hacerse aplicando el régimen de interés

compuesto.

Siendo N el valor nominal de un documento y

VA el valor actual, el descuento a interés

compuesto será la diferencia entre ambos

valores y representa el interés que se paga por

el dinero que se recibe antes que el documento venza.

N

VA =

(1 + i ) n.m


Amortización

Es el proceso de pagar gradualmente el capital del

préstamo a lo largo de su plazo, para extinguir

una deuda.

La palabra amortizacióntiene dos acepciones:

una contable y otra financiera; desde el punto

de vista financiero, se llama amortización

al procedimiento que permite extinguir una deuda.

Pueden ser:

A interés simple o compuesto: según el régimen de

capitalización de pagos.

Vencidas o adelantadas: según se paguen las cuotas

al final o al principio de cada periodo.

Con cuotas constantes o variables: según coincidan

o no las cuotas entre sí.

Amortización

Amortización Vencida

(1+i)n

- 1

V = c

i (1+i)n

Amortización

Amortización Adelantada

(1+i)n - 1

V = c(1+i)

i (1+i)n


Amortización

Saldo de la deuda en un periodo cualquiera

(1+i)n – (1+i)p

V = V.i.

(1+i)n - 1

V.i. = Deuda inicial

P = periodo al final del cual se considera el

total amortizado.

Sistemas de Amortización

Sistema de Amortización Progresivo o Francés:

se abona periodo a periodo una cuota constante.

La parte del capital es creciente, y la cuota de intereses

es decreciente.

Los intereses se calculan sobre el saldo de la

deuda y sumados al capital dan una cuota

constante.

V= Monto del préstamo = G.1.000.000

n = periodo de tiempo = 12 meses

i = tasa de interés = 20% anual

c = cuota del préstamo = ¿


Cuadro de la Deuda


Sistema de Cuota Capital Constante

o Alemán: se basa en pagos de cuotas de capital

constante, y la cuota de intereses es decreciente.

Los intereses se calculan sobre el saldo de la

deuda decreciente.

V= Monto del préstamo = G.1.000.000.-

n= periodo de tiempo =12 meses

i= tasa de interés =20% anual

c= cuota del préstamo =G.1.000.000/12

o =G.83.333,33.-


Cuadro de la Deuda


Sistema Americano de Amortización:

consisten en pagos periódicos que solo cubren

los intereses, el total de la deuda se abona al

vencimiento del plazo estipulado con un solo pago.

V= Monto del préstamo =G.1.000.000.-

n= periodo de tiempo =12 meses

i= tasa de interés =20% anual


Cuadro de la Deuda


EJERCITARIO

Matemática Financiera Aplicada al Excel

MATEMATICA FINANCIERA APLICADA CON EXCEL EJERCICIOS

PRÁCTICOS

EJERCICIO 1 (Interés Simple Comercial)

Jorge deposita UM 2,300, en una caja de ahorros al 9% anual, ¿cuánto tendrá después de 9

meses?. 1º Expresamos la tasa en meses: 0.09/12 = 0.0075, mensual:

Solución:

VA = 2,300; i = 0.0075; n = 9; VF = ?

2º Aplicamos la fórmula [2] y Excel:

[2] VF = 2,300 [1 + (0.0075*9)] = UM 2,455.25

Respuesta: El valor futuro es UM 2,455.25

EJERCICIO 2 (Interés Simple Exacto)

Un pequeño empresario, con utilidades por UM 5,000 los deposita en una caja de ahorros en

un banco al 9.7% anual. Calcular cuanto tendrá al final de 8 meses.

1º Expresamos el plazo en años: (8 meses por 30 días = 240 días) 240/365 = 0.6575 años

Solución:

VA = 5,000; i = 0.097; n = 0.6575; VF = ?

2º Aplicamos la fórmula (2) y Excel:

[2] VF = 5,000 *[1 + (0.097*0.6575)] = UM 5,318.89

Respuesta: El pequeño empresario tendrá al final de los 8 meses UM 5,318.89

EJERCICIO 3 (Calculando el VF) Calcular el VF al final de 5 años de una inversión de UM

20,000 con un costo de oportunidad del capital de 20% anual.

Solución: VA = 20,000; n = 5; i = 0.20; VF = ?


Respuesta: El VF al final de los 5 años es UM 49,766.40

EJERCICIO 4 (Calculando el VF a partir del VA)

Yo tengo un excedente de utilidades de UM 1,000 y los guardo en un banco a plazo fijo, que

anualmente me paga 8%; ¿cuánto tendré dentro de 3 años?

Solución:

VA = 1,000; n = 3; i = 0.08; VF = ? Indistintamente aplicamos la fórmula y la función

financiera VF:

Respuesta: El monto al final de los 3 años es UM 1,259.71

EJERCICIO 5 (Calculando el VA a partir del VF)

Inversamente, alguien nos ofrece UM 5,000 dentro de 3 años, siempre y cuando le

entreguemos el día de hoy una cantidad al 10% anual. ¿Cuánto es el monto a entregar hoy?

Solución:

VF = 5,000; n = 3; i = 0.10; VA = ? Aplicamos la fórmula y/o la función financiera VA:

Respuesta: El monto a entregar el día de hoy es UM 3,757.57


EJERCICIO 6 (Calculando el tipo de interés i)

Determinar la tasa de interés aplicada a un capital de UM 25,000 que ha generado en tres

años intereses totales por UM 6,500.

Solución:

(VF = 25,000 + 6,500) i = ?; VA = 25,000; n = 3; I = 6,500; VF = 31,500 Aplicando la fórmula

[13] o la función TASA, tenemos:

Respuesta: La tasa de interés aplicada es de 8% anual.

EJERCICIO 7 (Calculando el tiempo o plazo n) Calcular el tiempo que ha estado invertido un capital de UM 35,000, si el monto producido fue UM 56,455 con un interés de 9 %. Solución: VA = 35,000; VF = 56,455; i = 0.09; n = ? Aplicando la fórmula [14] o la función NPER, tenemos:

Respuesta: El tiempo en que ha estado invertido el capital fue de 5 años, 6 meses y 17 días. EJERCICIO 8 (Tasa nominal y tasa efectiva anual) Tenemos una tarjeta de crédito cuya tasa de interés es 2.5% mensual. Determinar la tasa anual que realmente me cuesta. Solución: i = 0.025; n = 12; j = ?; TEA = ?


Por demostración calculamos la tasa periódica a partir de la tasa nominal y TEA:

Aplicando las funciones financieras de Excel:

Respuesta: El costo nominal de la tarjeta de crédito es 30% y el costo real o Tasa Efectiva Anual (TEA) es

34.49%. Caso típico de tasas equivalentes, 30% de tasa nominal es equivalente a 34.49% de

tasa efectiva anual.

EJERCICIO 9 (Pagaré) Tenemos un pagaré por UM 185,000, girado el 15/09/08 y con

vencimiento al 15/11/08, con una tasa de descuento de 50% anual. Determinar el descuento y

el valor actual del documento.

Solución:

VN = 185,000; n = 2 meses; d = (0.50/12) = 0.0417; D = ?; VA = ?

Respuesta: El descuento es de UM 15,416.64 y el valor actual del documento es de UM

169,583.33.

EJERCICIO 10 (Descuento de pagaré)

Una empresa descuenta un pagaré y recibe UM 20,000. Si la tasa de descuento es del 66%

anual y el vencimiento es en tres meses después del descuento. ¿Cuál era el valor nominal del

documento en la fecha de vencimiento?.

Solución:

VA = 20,000; d = (0.66/12) = 0.055; n = 3; VF = ? [


[7] VF = 20,000 + 3,300 = UM 23,300

Respuesta: El valor nominal (VF) del documento en la fecha de vencimiento es UM 23,300.

EJERCICIO 11 (Calculando el VA)

Determinar el valor actual de UM 100 a ser recibido dentro de 3 años a partir de hoy si la tasa

de interés es 9%.

Solución:

VF = 100; n = 3; i = 0.09; VA = ?

Aplicando al flujo la fórmula 12 o la función financiera VA, tenemos:

Respuesta:

El VA al final de los 3 años es UM 77.22

EJERCICIO 12 (Calculando el VA de un flujo variable de caja)

Calcule el valor actual del siguiente flujo de caja considerando una tasa de descuento de 15%:

Solución: (Aplicamos sucesivamente la fórmula:

Aplicando la función VNA tenemos:

Respuesta: El valor actual del flujo de caja es UM 1,938.92

EJERCICIO 13 (Calculando el VA de una anualidad)

Tenemos una anualidad de UM 500 anual, durante cinco años vencidos. Si la tasa de

descuento es igual a 13%, ¿cuál es el VA de la anualidad?

Solución:

C = 500; n = 5; i = 0.13; VA = ?

Aplicando la fórmula o la función VA, tenemos:


Respuesta:

El VA de los cinco pagos iguales es UM 1,758.62.

EJERCICIO 14 (Calculando la tasa de interés de una anualidad)

Una inversión de UM 120,000 hoy, debe producir beneficios anuales por un valor de UM 45,000

durante 5 años. Calcular la tasa de rendimiento del proyecto.

Solución:

VA = 120,000; C = 45,000; n = 5; i = ?

Respuesta: La tasa anual de rendimiento del proyecto es 25.41%

EJERCICIO 15 (Calculando la cuota uniforme)

La mejora de un proceso productivo requiere una inversión de UM 56,000 dentro de dos años.

¿Qué ahorros anuales debe hacerse para recuperar este gasto en siete años, con el primer

abono al final del año en curso, si contempla una tasa de interés del 12% anual?

Solución:

VF2 = 56,000; n = 2; i = 0.12; VA = ?;

1º Calculamos el VA de la inversión dentro de 2 años, aplicando indistintamente la fórmula o

la función VA:

2º Luego determinamos la cuota periódica ahorrada a partir de hoy, aplicando la fórmula o la

función pago: VA = 44,642.86; n = 7; i = 0.12; C = ?


Respuesta: Los ahorros anuales que deben hacerse son UM 9,782.07

EJERCICIO 16 (Préstamo)

Un sector de trabajadores que cotiza para su Asociación tiene un fondo de préstamos de

emergencia para los asociados cuyo reglamento establece que los créditos serán al 9% anual y

hasta 36 cuotas. La cantidad de los préstamos depende de la cuota. a) Si el préstamo es de

UM 3,000 ¿cuáles serán las cuotas? b) Si sus cuotas son UM 120 ¿cuál sería el valor del

préstamo?

Solución (a)

VA = 3,000; n = 36; i = (0.09/12) = 0.0075; C = ?

Para el cálculo de la cuota aplicamos indistintamente la fórmula o la función PAGO:

Solución (b)

C = 120; n = 36; i = 0.0075 (0.09/12); VA =?

Para el cálculo de la cuota aplicamos indistintamente la fórmula o la función VA:

Respuesta: (a) Las cuotas serán UM 95.40 y (b) Valor del préstamo UM 3,773.62

EJERCICIO 17 (Calculando la cuota mensual de un préstamo)

Lilian toma un préstamo bancario por UM 3,000 para su liquidación en 6 cuotas mensuales con

una tasa de interés del 4.5% mensual. Calcular el valor de cada cuota y elabora la tabla de

amortización.

Solución: VA = 3,000; n = 6; i = 0.045; C = ?

1º Calculamos la cuota a pagar mensualmente:


2º Elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION FRANCES del préstamo:

SALDO INICIAL = SALDO FINAL

INTERES = SALDO INICIAL POR TASA DE INTERES

PAGO = FORMULA O BUSCAR OBJETIVO

AMORTIZ. = PAGO – INTERES

SALDO FINAL = SALDO INICIAL – AMORTIZACION

Respuesta: La cuota mensual a pagar por el préstamo es UM 581.64, contiene la amortización

del principal y el interés mensual.

EJERCICIO 18 (Préstamo con amortización constante)

Una persona toma un préstamo de UM 4,000 para su liquidación en 24 amortizaciones

mensuales iguales, con una tasa de interés del 3.85% mensual. Calcular el valor de cada cuota

y elabore el cronograma de pagos.

Solución:

VA = 4,000; i = 0.0385; n = 24; C = ?


Elaboramos el CUADRO DE AMORTIZACION ALEMAN DE LA DEUDA:

INTERES = SALDO FINAL POR TASA DE INTERES

AMORTIZ. = PRESTAMO / Nº DE CUOTAS

PAGO = INTERES + AMORTIZACION

SALDO FINAL = SALDO INICIAL – AMORTIZACION

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