matematica iii

RESOLUCIN DE PROBLEMAS MATEMTICOS

PRACTICA N1

I) Verificar que la funcin y=xdt ,satisface la ecuacin diferencial :

Hallando :

Multiplicar por x:

(si cumple).

II) Verificar que la funcin y= , satisface a la ecuacin diferencial .SolucinHallando yY =Y= y +Ahora restar yY y= y + yIII) dada la funcin H(a) = dt , a 0 probar que H(a) satisface a la ecuacin diferencial H(a) + H(a) + H(a) = 0Solucin: H(a) = - dt & H(a) = - dt ReemplazandoH(a) + H(a) + H(a) = dt dt + dt H(a) + H(a) + H(a) = dt dtH(a) + H(a) + H(a) = dt dt ..(1)Integrando por parte dt dt = + dt .(2)Remmplazando (2) en (1) H(a) + H(a) + H(a) = + dt dtH(a) + H(a) + H(a) = = 0 0 H(a) + H(a) + H(a) = 0

IV. Verificar que la funcin y=arcsen(xy) satisface la ecuacin diferencial

Solucin

Es lo mismo a decir: (cumple)V) comprobar que la funcin : x=y , satisface a la ecuacin diferencial :

Derivando con respecto a x:

.()

Pero: = .()

Reemplazando () en ():

Mulplicando por y a esta expresin se tiene :

(si cumple).

VI) Comprobar que la funcin , satisface a la ecuacin diferencial .Solucin Reemplazando en la ecuacin.

(NO CUMPLE).VII)sea , x>0 . hallar los valores de a tal que la funcin por talque la funcin f definida por , satisface a la ecuacin

Solucion: & ahora derivamos la funcin y reemplazando a la ecuacin diferencial

Simplificando

por identidad

8. Verificar que la funcin x=y+Ln(y) ,satisface a la ecuacin diferencial

SolucionHallando (y) y (y)

Reemplazando en la ecuacin diferencial

(cumple)

IX) Si x(t)= , calcular el valor de :

() () ()Ahora () ,() y () reemplazar en la ecuacin diferencial:

X) Probar que la funcin , x>0 , satisface a la ecuacin diferencial : . SolucinHallemos la primera derivada.

Ahora hallar la segunda derivada.

Ahora reemplazar en la ecuacin.

(Cumple).XI)probar que la funcin x>0 , satisface a la ecuacin diferencial:

Solucion: & Reemplazando valores en la ecuacin diferencial.

Operando paso a paso notamos que se simpifican, obtenindose

12.Dada la funcin , x>0 ,satisface la ecuacin diferencial

Solucin:

Reemplazamos (a) y (b) en la ecuacin diferencial:

Simplificando:

(No cumple)XIII) , x>0, satisface a la ecuacin diferencial: =0

()( )Reemplazar () y () en la ecuacin diferencial: +Simplicando:=0

XIV) Dada la funcin , x>0 , satisface a la ecuacin diferencial: SolucinDerivamos:

Ahora seguimos derivando:

(No cumple).

XV)demostrar que la funcin y= , satisface la ecuacin diferecnial

Solucion;y= (1) (2)Es lo mismo decir que , se deriva esta expresin

, entonce y= es solucion

16. Probar que la funcin x(t) definida ,satisface a la ecuacin diferencial:

Solucin:Operando x(t):

Lo mismo es decir:

Derivando respecto a t

Despejando: .. (Cumple)17)XVIII) Probar que la funcin , satisface a la ecuacin diferencial: Solucin

Ahora derivamos:

Dar forma: (Cumple)

XIX)probar que , satisface a la ecuacin diferencial

Solucion: & Reemplazando valores en la ecuacin diferencial.

Resolver porparte

haciendo limites

Luego

por patrtes

Resolviendo nos da 20.Verificar que las funciones y1= satisfacen a la ecuacin diferencial:

Solucion: Primero con y1=

Reemplazando a la ecuacin:===0 (cumple)

Segundo con

Reemplazando a la ecuacin:

XXI)Demostrar que la funcin y= , satisface a la ecuacin diferencial :(1+

y

y

reemplazando en la ecuacin diferencial :(1++y= (1++(1+x)(+

(las condiciones dadas no satisfacen a la ecuacin diferencial).

XXII) Encontrar la ecuacin diferencial cuya solucin general es la familia de circunferencias en el plano xy donde h, k y r son constantes arbitrarias.SolucinDerivamos:

Segunda derivada: Despejemos (y-k) Tercera derivada:

XXIII)hallar la ecuacin diferencial correspondiente a la cisoides Solucion: derivando

Resolviendo

24. Hallar la ecuacin diferencial correspondiente a las rectas con pendiente e intercepciones con el eje x iguales.SolucionEc L :Si Nos dice que la pendiente (m) y la interseccin con el eje x son iguales

Interseccin= pendiente

Sabemos retornamos a la ecuacin:

Rpta

XXV)Hallar la ecuacin diferencial de la familia de rectas cuyas pendientes e intercepcin con el eje y son iguales.

Ecuacion L: y=mx+bSi : x=0y=bcomo nos dice que m y y son iguales entonces : b=ypor lo tanto la ecuacion ser:y=yy=y

XXVI) Hallar la ecuacin diferencial de la familia de rectas cuya suma algebraica de sus intercepciones con los ejes coordenados es igual a k.Solucin

Si Si Por lo tanto: pero sabemos que: m=y'

Operando:

XXVII)hallar la ecuacin diferencial de los estrofoides Solucion:Despejando a se obtiene .()Redivando () con respecto a x

, operando se da la forma

28. Hallar la ecuacin diferencial cuya solucin general es la familia de circunferencias

XXIX)Hallar la ecuacion diferencial cuya solucin general es:

1) y=C1cos2x+C2sen2x

Derivando:y=-2C1sen2x + 2C2cos2xDerivando:y=-4C1cos2x -4C2sen2x

E.D : y+ 4y =0

2) Solucin derivamos a ambos lados.

3)Solucion:A la ecuacin se le multiplica por

4)y=x+C1+ C2

y=1-C1-2 C2y C1+ 4C2 resolveremos el sistema de ecuaciones :

=

simplificando=0

2x-2

5) Solucin

= 0 = 0 = 0 = 0

6)

7) y= (C1+ C2

y=2xC1+2x C2+ C2 y 4C1+ 4C2 C2

Encontrando una relacin entre las ecuaciones dadas se tiene : x(2xy+ y)- y

8)

11) y=A()+B() , Ay B son constantes.

y=A y A(

Resolveremos el sistema de ecuaciones:

= 0

= 0

x( ) = 0

Hallando la determinante se tiene:)()-2()(=0)(2x sin x +y-y-2xy-2x sin x +2y)=0

Nos quedara: y-y-2xy+2y=0

12) Solucin

15) Hallar la ecuacin diferencial de la familia de circunferencias cuyo radio es 1 y cuyo centro esta en la recta X=Y. Centro (h, k)Derivamos: h=k

14) y=A

y=A+B y A()

Resolveremos el sistema de ecuaciones:

=0

-y-x(-+y)+y=0

y()-y+-x y=0

15) Hallar la ecuacin diferencial de la familia de circunferencias cuyo radio es 1 y cuyo centro esta en la recta X=Y. Centro (h, k)Derivamos: h=k

17) Hallar la ecuacin diferencial de la familia de circunferencias tangentes al eje x

En general :

Para (a,0) :

Pero como a=h Entonces: k=r

Derivando se tiene:2(x-h)+2(y-k)y=0y= ()

y=

y=

k-y= ()

De () en ():x-h= Ahora reemplazando en la ecuacin general:+=

18) Hallar la ecuacin diferencial de la familia de circunferencias con centro en la recta en la recta X+Y=0 y que pasa por el origen de coordenadas.

Derivamos:

20) Hallar la ecuacin diferencial con vrtice sobre el eje y eje paralelo al eje X y cuya distancia del vrtice al foco es a.

La ecuacin general es:

Si la d(F,V)=a 4p=a

=4pDerivando :

y-k=2xy ()

Reemplazando () en la ecuacin general:x=16px=4a ()

como d(v,f)=a

()

Reemplazando () en ():x=4k-x=4(y-2xy)-22x=4x=22+x=0

21) Hallar la ecuacin diferencial de la familia de parbolas con eje focal paralelo al eje x y con distancia del vrtice al foco es igual a a.

23) Halar la ecuacin diferencial de las rectas tangentes a la parbola X2=2Y+1.

L es la recta tangente a la parbola en el punto P(x0,y0). LT : y-y0=y(x-x0) (1)

y= y= x , y=x0

En (1): y - =y(x - x0) y0 = y=x0

E.D: 2xy y2-2y=1

24) Hallar la ecuacin diferencial de la familia de circunferencias que pasan por los puntos (a,0) y (-a,0). P(a,0) P(-a,0) 4ah=0 h=0 Por lo tanto:

Y(=

XXX) Hallar la solucin general : 2) dr=e(r

dr=e r1= e r

1+=e r

(E.V.S)

Las soluciones implcitas sern:

+k ; k cte arbitraria

Ln(r()=lnC ; C cte arbitraria La solucin general sera:r+er cos =C

3)

u(x)=u(x)=

y=y=y=

5) (xy+x)dx=)dy

x(y+1)dx=

Las soluciones implcitas sern:+k-(y+1-2)+k

=2)+k

La solucin general es:- ; k cte arbitraria

6)

8)


dx +k

La solucin general es:

4 ; C cte arbitraria

9)

ln

11)

(E.V.S)


+k


=k

12)

14


+k

-=-y+k


y-=k ; k cte arbitraria

15)

ln

17) y=x ; y(0)=0

= x

-2x=

x - 2x=

x(dx=dv

xdx= (E.V.S)Las soluciones implcitas sern:

+ku=du=

.()

Utilizando la condicin inicial y(0)=0 reemplazando en ()

0=k=0

Por lo tanto la solucin particular del problema ser:

PRACTICA N2I.

1) (3+2x)y=y3 (3+2x)dy=dx y3

=c

2) Dividimos entre

Integramos para hallar la solucin general

3)

Dividimos entre

4)

Dividimos entre

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)(

Haciendo:

Entonces:

Reemplazando a (2), (3) en (1):

21)

Haciendo:

Entonces:

22)

Haciendo:

Entonces:

23)

Haciendo:

Entonces:

Haciendo:

Entonces:

Reemplazando (4), (5) y (6) en (1):

24.-

Haceiendo:

Entonces:

Haciendo:

Reemplazando (3) y (5) en (1):

II. Encontrar la solucin particular que satisfaga las condiciones de frontera indicada.1) Cuando Entonces:

2) 2xyy=1+y2 2yx = 1+y2 U=1+y2 du=2ydy - = C = C = C3) xyy=1+y2 yx = 1+y2 U=1+y2du=2ydy - = C = C = C

4) y =x = x dy = dx dy) = -2( dx) = -2 +C-1= -2 +C1 = C

5) (2a2 r2)dr = r3send dr - dr = send - =-cos + C - + cos = C-1 - + 1 = C = C

6) v = g V dv=gdx gx = C - g = C

III.

1) (x +2y)dx + (x-3y)dy = 0 ux = y xdu + udx = dy

(x +2ux)dx + (x+3ux) (xdu + udx) = 0(1+2u)dx + (1- 3u)(xdu+ udx) = 0(1+2u+u-3u2)dx + (x-3ux)du = 0(1+3u-3u2)dx + x(1-3u) du = 0

+ du = 0 + du = 0 + + = C2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) -------->

9) ------>

10) ----------->

11) ---------------->

12) --------

IV. Si:. Probar que podemos resolver cualquier ecuacin de la forma:

donde H(x,y) es homognea.

-----

V. Obtener la solucin general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

1) Sea la forma de la ecuacin Como , entonces: Del sistema: , reemplazando en la ecuacin:

Hacemos: , y reemplazando:

Dividimos a ambos miembros para obtener ecuaciones de variable separada:

Ahora integramos ambos miembros:

Reemplazando con los valores originales:











4) Sea la forma de la ecuacin Como , entonces:

Del sistema: , reemplazando en la ecuacin:





5) Sea la forma de la ecuacin Como , entonces:

Del sistema: , reemplazando en la ecuacin:










Donde son funciones homogneas de orden 2Hacemos Entonces tenemos

multiplicando por

Si

Donde son funciones homogneas de orden 3 Hacemos Entonces tenemos

multiplicando por

Si

Donde son funciones homogneas de orden2Hacemos Entonces tenemos

multiplicando por

Si

Donde son funciones homogneas de orden 3Hacemos Entonces tenemos

multiplicando por

Si

VI.

1)Sea:

Hallamos interseccin:

Hacemos: de donde Entonces

Donde sfunciones homogneas de orden 1Hacemos

Entonces tenemos

multiplicando por

2)Sea:

Hallamos interseccin:

Hacemos: de donde Entonces

Donde funciones homogneas de orden 1

Hacemos Entonces tenemos

multiplicando por

=0

5)

Si 0

Entonces:Desarrollando el Sistema de Ecuaciones

Tambin:

Reemplazando en (1):

Reemplazando en Datos Originales:

6)

Si

Desarrollando el sistema de Ecuaciones

Tambin:

Reemplazando en (*)

7)

Reemplazando:

8)

Si EntoncesDesarrollando el sistema de Ecuaciones

9)

RESOLUCIN DE PROBLEMAS MATEMTICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS22

Reemplazando x e y por u y v respectivamente, en la ecuacin (I):

Reemplazando (*) en trminos de x e y:

10)



11)

De la ecuacin (I):

Reemplazando (i) y (ii) en la ecuacin:

Reemplazando z en trminos de x e y:

12)



13)



14)



VII.

1)

. (1)Resolvemos el siguiente sistema:

Hacemos un cambio de coordenadas: Reemplazamos x e y en (1) . (2)Tenemos en (2) una ecuacin homognea de grado 0Hacemos

Retornamos a las variables originales:

Solucin generalTenemos que Hallamos la solucin particular:

Entonces: Solucin particular2) (1)Resolvemos el sistema de ecuaciones:

Resolviendo obtenemos: Hacemos un cambio de coordenadas: Reemplazamos x e y en (1) (2)

Tenemos en (2) una ecuacin homognea de grado 0Hacemos

Retornamos a las variables originales:

(3)

Reemplazamos en (3) Solucin general

3) Solucin: (1)Resolvemos el siguiente sistema:

De Tenemos que Reemplazamos en Donde Reemplazamos en (1) (2)Tenemos en (2) una ecuacin homognea de grado 0Hacemos

Retornamos a las variables originales: ... (3)

Reemplazamos a u y v en (3) Solucin generalTenemos que Hallamos la solucin particular: Entonces la solucin particular es:

VIII. 1) Tenemos: Como entonces la ecuacin diferencial es exacta. Esto implica que existe una funcin tal que:

Pero (1) (2)En (1) integramos con respecto a x manteniendo constante la variable y (3)Derivamos con respecto a y: Como entonces:

Entonces De donde (4)Reemplazamos (4) en (3) Solucin general

2) Tenemos: Como entonces la ecuacin diferencial es exacta. Esto implica que existe una funcin tal que:

Pero (1) (2)En (1) integramos con respecto a x manteniendo constante la variable y (3)Derivamos con respecto a y: Como entonces:

Entonces De donde (4)Reemplazamos (4) en (3) Solucin general

3) Solucin:

Tenemos: Como entonces la ecuacin diferencial es exacta. Esto implica que existe una funcin tal que:

Pero (1) (2)En (1) integramos con respecto a x manteniendo constante la variable y (3)Derivamos con respecto a y: Como entonces: Entonces De donde (4)Reemplazamos (4) en (3) Solucin general

IX. 4) Son iguales, por lo tanto es una ecuacin diferencial exacta

------- (I) ------- (II) Integramos (II) con respecto a y, manteniendo constante x Ahora:

5) Son iguales, por lo tanto es una ecuacin diferencial exacta

-------------------- (I) ------------- (II) Integramos (I) con respecto a u, manteniendo constante a v.

Ahora:


------- (I) ------- (II)

Integramos (I) con respecto a x, manteniendo constante y Ahora:


------- (I) ------- (II) Integramos (I) con respecto a x, manteniendo constante y Ahora:


------- (I) ------- (II) Integramos (I) con respecto a x, manteniendo constante y

Ahora:

2 2

9. Son iguales, por lo tanto es una ecuacin diferencial exacta

------- (I) ------- (II) Integramos (I) con respecto a w, manteniendo constante z Ahora:

16)

ES EXACTA:

Cogemos la ecuacin (*) y mantenemos la variable y=CTE. Posterior a esto integramos en funcin de la variable x:

Derivamos en funcin de la variable y, posteriormente comparamos:

Luego, de la ecuacin: I. Obtener la solucin particular:

1) ES EXACTA:



Ecuacin Particular

Luego, de la ecuacin:

2)

ES EXACTA:

Cogemos la ecuacin (*) y mantenemos la variable x=CTE. Posterior a esto integramos en funcin de la variable y:

Derivamos en funcin de la variable x, posteriormente comparamos:

Luego, de la ecuacin: Ecuacin Particular

3) ES EXACTA:




Ecuacin Particular

4)

ES EXACTA:




Ecuacin Particular

6)

Si y(0)=1

Pero:

Entonces:

Por ultimo usando los datos y(0)=1

PRACTICA N3

I. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:1)

Entonces:

2)

*).

Entonces:

3)

4)

*).

Entonces:

5)

De la forma: Hallando el factor integrante: Multiplicando por el factor integrante:

Ahora la ecuacin diferencial es exacta

6)



Remplazando en la funcin: 7)



Remplazando en la funcin:

8)

De la forma: Hallando el factor integrante:

Multiplicando por el factor integrante:



9)




13)

Hacemos: M= , N=Talque: ,

No es exacta. ^_^Multiplicando por

,

Y como m=n:

Existe:

yTomamos a:

Integrando:

Derivando en funcin a y:

Integrando:

Integrando:

Reemplazando:

14)


No es exacta.

Por lo tanto:

Existe: yTomamos a:

Integrando:


Ahora Reemplazando:

15)


No es exacta.

Es exacta:

yTomamos a:

Integrando:

Derivando en funcin a x:

16)

Hacemos: M=1 , N=Talque: ,

No es exacta.

Es exacta :

yTomamos a:

Integrando:


Integrando:

Entonces

17)

Hacemos: M= , N=Tal que: ,

No es exacta.

Es exacta :

yTomamos a:

Integrando:


Integrando:

18)


No es exacta.

yTomamos a:

Integrando:

Derivando en funcin de x:

Integrando:

19) (

Como: Multiplicamos a la ecuacin dada por:

Reemplazando en la ecuacin (1) :

= c

20) ( (Derivadas parciales: Como: Determinaremos el factor de integracin segn:

u = Multiplicamos a la ecuacin diferencial dada :

(

Derivamos con respecto a Y e igualamos a N :

Reemplazando en (1)

21)

Puesto que: Este factor toma la forma:

Multiplicamos a la ecuacin diferencial por este factor y la volvemos exacta :

Derivamos con respecto a X e igualamos a M :

Reemplazando en (1)

22)

Derivadas parciales: Como: Determinaremos el factor de integracin segn:

Multiplicamos a la ecuacin diferencial dada :

(

Derivamos con respecto a X e igualamos a N :

Reemplazando en (1)

23) (2

(2

Como:

Multiplicamos a la ecuacin dada por:

(2

Derivamos con respecto a X e igualamos a M :

Reemplazando en la ecuacin (1) :

24)

Como:

Multiplicamos a la ecuacin dada por:

Derivamos con respecto a y e igualamos a N :

Reemplazando en la ecuacin (1):

25)

26)

27)

Integrando por partes

- Integrando por partes

- )Reemplazando:) + C]

28) ( (

29)

30)

Integrando por partes:

Reemplazando:

31) No es Exacta

Buscamos el factor integrante: Es factor integrante Es Exacta (1)(2)En (2) integramos a la variable Y manteniendo constante a la variable X: Solucin General

32) No es ExactaBuscamos el factor integrante: Es factor integrante Es Exacta (1)(2)En (2) integramos a la variable Y manteniendo constante a la variable X: Solucin General

33)

34) No es ExactaBuscamos el factor integrante: Es factor integrante Es Exacta (1)(2)En (2) integramos a la variable X manteniendo constante a la variable Y: Solucin General

35) No es ExactaBuscamos el factor integrante: Es factor integrante Es Exacta (1)(2)En (2) integramos a la variable X manteniendo constante a la variable Y: Solucin General

36) No es ExactaBuscamos el factor integrante: Es factor integrante Es Exacta (1)(2)En (2) integramos a la variable Y manteniendo constante a la variable X: Solucin General

II.

7)

Ecuacin Lineal

8)

;

Ecuacin Lineal:

9)

;

Ecuacin Lineal:

10)

;

Ecuacin Lineal

11)

;

Ecuacin Lineal:

Por sustitucin geomtrica

12)

;

Ecuacin Lineal:

III. 19)

20)

22)

23)

24)

25)

(Ecuacin diferencial lineal de primer orden)

Hallando la integral:

26)

Integracin por partes:


27)

Hallando

28)

Hallando

29)


30)

31) Z=tagydz=dyEntonces:Usando la ecuacin lineal

dz+2xzdx=xP(x)=2xQ(x)=x==z=Q(x)+cz=x+cResolviendo la parte integral:tany=+cSolucin de la ecuacin diferencial es:tany=+c

32) dy+dxdyUsando la ecuacin linealP(x)=senxQ(x)===+cSolucin de la ecuacin diferencial es:=+c

33)

dy+P(x)=Q(x)=Usando la ecuacin de diferencial de Bernoulli

n=-11-(n)=2Z=dz=2dyDz+2z()dx=2dx=z=+cResolviendo la parte integral es:Z=2[]+cRemplazando la z la solucin final es:=2[]+c

34) (1+2xctgy)dy+2xctgydy=dxUsando la ecuacin lineal:dx-2xctgydy=dyP(y)=-2ctgyQ(y)=1=x=Q(y)+cLa solucin final es:

35) x()dyResolviendo la ecuacin lineal:P(x)=Q(x)==y=Q(x)+cy=+cLa solucin final es:y=37) (cos2y-senx)-(2tgxsen2y) (cos2y-senx) dx-(2tgxsen2y)=-2sen2y=-2[sen2y])=-tangxUsando factor integrante:U(x)==(cos2y-senx) dx-2senxsen2ydy=0=-2sen2y=-2sen2yCumple la ecuacin diferencial homognea:=cosx(cos2y-secx)= (cosxcos2y-1)F(x,y)=senxcos2y-x+A(y)=-2senxsen2y+=-2senxsen2y=0Integrando la constante se obtiene:A(y)=k;Entonces:F(x,y)=senxcos2y-x+A(y)F(x,y)=senxcos2y-x+k

37) x* + y = , .x* + y = x* + y* = * + * = * = = = == x = + = = + .. (1) Como ..reemplazando en (1)= + ..despejando = obteniendo podemos reemplazarlo en (1) = +

38) + = , ; + =

= = = = = + = + = + . (1) Como ..reemplazando en (1) = + despejando

= - obteniendo podemos reemplazarlo en (1) = -

39) - = x+1 ; . - =

= = = = + = * + = - + = - + (1) Como ..reemplazando en (1)0 = - + = obteniendo podemos reemplazarlo en (1) = - +

40) - = , . - = - =

= = = -

(1) Como .reemplazando en (1) obteniendo podemos reemplazarlo en (1)

41) , .

= = + = + + + (1) Como .reemplazando en (1) = 0obteniendo podemos reemplazarlo en (1) +

42) , .

= = = = + = + (1) Como .reemplazando en (1) obteniendo podemos reemplazarlo en (1)

43) 2 y es acotada cuando x 2

= = + + integrando por partes

+ =

= = = - + = == +

44) y es acotada cuando x

45) y 0 cuando x

IV. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

Hacemos la siguiente sustitucin (Bernoull)




6) Resolver: 3 y + - 8(x+1) = 0

Reducimos esta expresin a una ms simple: 3(x+1)dy +( - 8dx = 0M= - 8 = 3 N=3(x+1) = 3 , eso quiere decir que la ec. diferencial es exacta.Sea z=f(x,y):f(x,y) = = +g(y) = x - + g(y)(I)

Derivamos respecto de y: = (x - + g(y)) = 3 x + g(y) , pero = N , entonces:3 x + g(y) = 3(x+1) , resolviendo: g(y) = Luego en (I): f(x,y) = x - + , entonces la solucin es:

7) Resolver: dy + y dx = 3 dxAgrupando y reduciendo tenemos: (y - 3)dx + xdy = 0Sea el factor integrante u(x,y) = , multiplicamos u(x,y) a la ecuacin obtenindose: ( - 3)dx + ()dy = 0 (I)se supone que esta ecuacion ya es exacta por lo que: = , entonces: = 3(m+2) - (m+1) = (n+1) (n+1) = - (m+1) n= 0 3(m+2) = 0 m=-2

Reemplazando los valores de m y n en (I) : ( - 3)dx +)dy = 0

Sea z=f(x,y):f(x,y) = = + g(y) = - + g(y) (I) derivamos respecto de y: = = - + g(y) , pero = N , entonces:- + g(y) = , resolviendo g(y) = - Luego en (I) :f(x,y) = - + g(y) , entonces la solucin es: 8) Resolver: dy + ydx = 2Sea el factor integrante u(x,y) = f(x)g(y) , lo hallamos de la siguiente manera: - = N - M 1 - 4 = - (y - 4) deducimos que: = -1 y = - , entonces: f(x) = y g(y) = y u(x,y) = Reemplazando el valor de u(x,y ) en la ecuacin se tiene: - 2x)dx + dy = 0Sea z=f(x,y):f(x,y) = = + h(y) = - - + h(y) (I)derivamos respecto de y: = = + h(y) , pero = N , entonces: + h(y) = , resolviendo h(y) = K Luego en (I) :f(x,y) = - - + K , entonces la solucin es:

9) Resolver : 3y + 3 = 2Agrupando y reduciendo tenemos: (3y - 2 ) dx + 3xdy = 0Sea el factor integrante u(x,y) = f(x)g(y) , lo hallamos de la siguiente manera: - = N - M 3 - 8 - 3 = 3x - (3y - 2) , deducimos que: = - y = - , entonces f(x) = y g(y) = y u(x,y) = Reemplazando el valor de u(x,y ) en la ecuacin se tiene:( - 2x)dx + dy = 0 Sea z=f(x,y):f(x,y) = = + h(y) = - - + h(y).(I)derivamos respecto de y: = = + h(y) , pero = N , entonces: + h(y) = , resolviendo h(y) = K Luego en (I) :f(x,y) = - - + K , entonces la solucin es:

10) Resolver : = (xseny - 1)dyAgrupando y reduciendo tenemos: dx + (x - )dy = 0Sea el factor integrante u(x,y) = f(x)g(y) , lo hallamos de la siguiente manera: - = N - M 0 (1 2xseny) = (x - ) - , deducimos que: = - y = -1 , entonces f(x) = y g(y) = y u(x,y) = Reemplazando el valor de u(x,y ) en la ecuacin se tiene: dx + ( - seny ) = 0Sea z=f(x,y):f(x,y) = = + h(y) = - + h(y) (I)derivamos respecto de y: = = + h(y) , pero = N , entonces: + h(y) = - seny , resolviendo h(y) = Luego en (I) :f(x,y) = - + , entonces la solucin es:

11) Resolver: = Agrupando y reduciendo tenemos: 3dx ( )dy = 0Sea el factor integrante u(y) , lo hallamos de la siguiente manera: = dy , por lo que :u(y) = = = Reemplazando el valor de u(y) en la ecuacin se tiene:3 dx ( )dy = 0Sea z=f(x,y):f(x,y) = = + g(y) = + g(y)(I)Derivamos respecto de y: = = + g(y) , pero = N , entonces: + g(y) = ( ) , resolviendo g(y) = Luego en (I) :f(x,y) = + , entonces la solucin es:

12) Resolver: 8xy - y = Agrupando y reduciendo tenemos: (1 - )dx + ( 8x)dy = 0Sea el factor integrante u(x) , lo hallamos de la siguiente manera: = dx , por lo que :u(x) = = = Reemplazando el valor de u(x) en la ecuacin se tiene:( - )dx + dy = 0Sea z=f(x,y):f(x,y) = = + g(y) = -2 - + g(y)(I)

Derivamos respecto de y: = = - + g(y) , pero = N , entonces: + g(y) = , resolviendo g(y) = Luego en (I) :f(x,y) = -2 - + ,entonces la solucin es:

PRACTICA N4

I. Problemas de enfriamiento:

1) Una barra metlica a una temperatura de 100 F se pone un cuarto a una temperatura constante de 0 F. Si despus de 20 minutos la temperatura es 50 F. Hallar:a) El tiempo que necesitar la barra para llegar a la temperatura de 25 F.b) La temperatura de la barra despus de 10 minutos.Ley de enfriamiento de Newton:

Integrando:

Condiciones iniciales: en t = 0, T = 100:

En t = 20, T = 50

a)

b)

2) Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en un cuarto que se mantiene a una temperatura constante de 30 F. Si despus de 10 minutos la temperatura del cuerpo es 0 F y despus de 20 minutos la temperatura del cuerpo es de 15 F. Hallar la temperatura inicial desconocida del cuerpo.

Ley de enfriamiento de Newton:

Integrando:

Condiciones iniciales: en t = 10, T = 0:

En t = 20, T = 15:

Dividimos (I) entre (II) :

Reemplazamos k en (I):

En t = 0, T = ? :

3) Al sacar un lechn del horno su temperatura es 300 F, 3 minutos despus la temperatura es 200 F. Cunto tiempo demorar en enfriarse hasta una temperatura de 70 F?

Ley de enfriamiento de Newton:

Integrando:

Condiciones iniciales: en t = 0, T =300:

En t = 20, T = 50:

Para T = 70 F, t = ?:

II. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

1) Un cultivo tiene inicialmente una cantidad Po de bacterias. Para t=1 hora el nmero de bacterias es 1Po/2. Si la rapidez de multiplicacin es proporcional al nmero de bacterias presente. Determinar el tiempo necesario para que el nmero de bacterias se triplique.De acuerdo ley de crecimiento, sabemos lo siguiente:

Para t=o, S=A=Po, entonces: Ahora utilizamos el dato para t=1 hora:

Ahora que hallamos k, determinamos el tiempo para cuando el nmero de bacterias se triplique.

2) Un reactor transforma el uranio 238 que es relativamente estable en el istopo plutonio 239. Despus de 15 aos se determina que el 0,043% de la cantidad inicial A de plutonio se ha desintegrado. Determinar la vida media de este istopo si la rapidez de desintegracin es proporcional a la cantidad.Sea A(t) la cantidad de plutonio presente en el tiempo t. La ecuacin para este problema es:

Si 0,043% de los tomos de A se ha desintegrado, entonces queda 99,957% de A para t=15. Entonces:

Por lo que nuestra ecuacin sera:

Para calcular la vida media, A(t)=A/2

3) Se sabe que un material radioactivo se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente en cualquier instante. Si inicialmente hay 100 mg de material y, despus de dos aos, se observa que el 5% de la masaoriginal se desintegr, determinar:a) Una expresin para la masa al momento t.b) El tiempo necesario para que se desintegre el 10% de la masa original.Si M(t) es la cantidad presente (en miligramos) de material radioactivo al cabo de t aos, entonces M(t) est dada por la solucin: a) Tenemos que Mo= 100 mg. Por otro lado, considerando que se tiene, para t =2:

Entonces la expresin solicitada es: Cuando se desintegra el 10% de la masa quedan 90 mg de la misma, entonces:

7) Se sabe que un material radiactivo se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad presente. Si despus de 1 hora se observa que 10% del material se ha desintegrado. Hallar la vida media del material.

8) Se sabe que la poblacin de un pas crece a una velocidad proporcional al nmero de habitantes que vive actualmente en el pas. Si despus de 10 aos la poblacin se ha triplicado y despus de 20 aos la poblacin es de 150,000 habitantes. Hallar el nmero de habitantes que habr inicialmente en el pas.

9) La poblacin de una ciudad pequea crece en un instante cualquiera con una rapidez proporcional a la cantidad en dicho instante. Su poblacin inicial de 500 habitantes aumenta el 15% al cabo de 10 aos Cunto ser la poblacin dentro de 30 aos?

III. Disoluciones4) Un tanque de 50 galones contiene inicialmente 10 galones de agua pura para t=0, una salmuera que contiene 1lb/gal ingresa al tanque a la velocidad de 4gal/min y simultneamente una bien mezclada sale fuera del tanque a la velocidad de 2gal/min. Hallar:a) La cantidad de tiempo necesaria para que se llene el tanque b) La cantidad de sal que hay en el tanque en el momento que se llene

a=0 para t=0b=1e=4f=2

Para t=0

a)

Entra: 4 galonesSale: 2galones/min entra 2galones/min

b)

5.- Un tanque contiene 400 litros de salmuera que contiene 25kg de sal. Supongamos que ingresas al tanque salmuera que contiene kg/litro a razn de 12 litros/min. Y simultneamente la mezcla uniforme sale a funcin del tanque a razn de 8 litros/min. Encuentre la cantidad de sal en el tanque si t=30min.

cantidad de que hay en el tanque en cualquier instante t

Para

Para min

6) A un tanque que contiene 400 litros de agua pura se le agrega salmuera que contiene kg/litros de sala razn de 8 litros/min. Y simultneamente la mezcla uniforme sale fuera del tanque a razn de 4litros/min. Hallar:a) La cantidad de sal en el tanque, si el tanque contiene 500 litros de salmuera.b) La cantidad de sal en el tanque al cabo de una hora.

: Cantidad de sal en el tanque en cualquier t

Para:

a)

b)

IV. Circuitos elctricos1. Un circuito elctrico R-L tiene una f.e.m de 5 voltios, una resistencia de 50 ohmios y una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inicial. Hallar la corriente elctrica en el circuito en cualquier instante t.Los datos son:E=5 voltios, R=50 ohmios, L=1 henrio; pide I (t)=?Aplicando para el circuito R-L:

Entonces:

Su factor de integracin es:

Por tanto:

2. Un circuito elctrico R-L tiene una f.e.m dada en voltios por 3sen2t, una resistencia de 10 ohmios y una inductancia de 0.5 henrio y una corriente inicial de 6 amperios. Hallar la corriente elctrica en el circuito en el tiempo t.Los datos son:E=3sen2t voltios, R=10 ohmios, L=0.5 henrio, I (0)=6 amperios; pide I (t) = ?Aplicando para el circuito R-L:

Entonces:


Por tanto:

Pero, I (0) = 6 amperios, entonces:

Por lo tanto tenemos que:

3. Un circuito elctrico simple contiene una resistencia de 10 ohmios y una inductancia de 4 henrios en serie con una f.e.m aplicada de 100sen2t voltios. Si la corriente I=0 cuando t=0. Encontrar la corriente cuando t=0.01 s.Los datos son:E=100sen2t voltios, R=10 ohmios, L=4 henrio, I (0)=0 amperios; pide I (t)=?Aplicando para el circuito R-L:

Entonces:


Por tanto:

Pero, I (0) = 0 amperios, entonces:

Por lo tanto tenemos que:

PRACTICA N5

I. Resolver:9) Sea la ecuacin auxiliar:

Sea la ecuacin auxiliar:

Sea la ecuacin auxiliar:

15) Su polinomio caracterstico es: Factorizamos:

Entonces: Por lo tanto:

16) Polinomio caracterstico: Entonces:

Por lo tanto: 27) (D2 + K2) Y = 0m2 +K2 = 0m1 = +Kim2 = -KiY = C1cosKx +C2 sen Kx

28) (D2 -2D + 4)Y = 0m2 2m+4 = 0m1 = 1+ im2 = 1- iY = C1cosx +C2 sen x

33)

34)

35)

36) Hallar la solucin general de: ( - 5 + 4)y = 0Expresamos la ecuacin diferencial en funcin de un parmetro r: - 5 + 4 = 0. Factorizando se obtiene: (r + 2)( r - 2)(r + 1)(r - 1) = 0 , de donde:r = -2,-1,1,2 por lo que la solucin general seria: = + + +

37) Hallar la solucin general de: ( - 3 + 3 - 1)y = 0Expresamos la ecuacin diferencial en funcin de un parmetro r: - 3 + 3 1 = 0.Factorizando se obtiene: = 0 , de donde:r = 1 (multiplicidad: 3) , -1(multiplicidad: 2) , por lo que la solucin general seria: = + + + +

38) Hallar la solucin general de: ( - 3 + 3 - 3 + 2D)y = 0Expresamos la ecuacin diferencial en funcin de un parmetro r: - 3 + 3 3 + 2r = 0.Factorizando se obtiene: r ( r - 2)(r + 1)(r - 1) = 0 , de donde:r= 0,-1,1,2 por lo que la solucin general seria:

= + + +

42)(4D3 - 3D + 1) y=0La ecuacin auxiliar es: P(r):4r3-3r+1 = 0P(r):4r3-3r+1 = 0P(r):(r+1) (4r2-4r+1) =0P(r):(r+1)(2r-1)2 = 0Las races de la ecuacin auxiliar es:r1 = -1r2 = r3 = La ecuacin general de la ecuacin diferencial original es:

43)(4D4 - 4D3 -23D2 +12D + 36) y=0La ecuacin auxiliar es: P(r):4r4 - 4r3 23r2+12r+36 = 0P(r):4r4 - 4r3 23r2+12r+36 = 0P(r):(r-2) (4r3+4r2-15r-18) =0P(r):(r-2)2(2r+3)2 = 0Las races de la ecuacin auxiliar es:r1 = r2 = r3 = 2r4 = 2La ecuacin general de la ecuacin diferencial original es:

44)(D5 - D3) y =0La ecuacin auxiliar es: P(r):r5 - r3 = 0P(r):(r-1) (r+1)(r)3 = 0Las races de la ecuacin auxiliar es:r1 = -1r2= 0r3 = 0r4 = 0 r5 = 1 La ecuacin general de la ecuacin diferencial original es:

45)(D4 - 2D3 -3D2 +4D + 4) y=0La ecuacin auxiliar es: P(r):r4 - 2r3 3r2+4r+4 = 0P(r):r4 - 2r3 3r2+4r+4 = 0P(r):(r+1)2 (r2-4r+4) =0P(r):(r+1)2(r-2)2 = 0Las races de la ecuacin auxiliar es:r1 = -1 r2 = -1 r3 = 2r4 = 2La ecuacin general de la ecuacin diferencial original es:

58) (D4 +10D2+9) y = 0Ec. auxiliar: m4+10m2+9 = 0m1 = 1m2 = 3m3 = -2m4 = -5 Y = c1ex + c2e 3x + c3e-2x + c4 e -5x

59) (D5-3D4+3D3-3D2+2D) y=0Ec. Auxiliar: m5 3m4 + 3m3 3m2 + 2m = 0m5 3m4 + 3m3 m2 - 2m2 +2m = 0m2 (m3 3m2 +3m -1) -2m (m-1) = 0m2 (m-1)3 2m (m-1) = 0m (m-1) [(m-1)2 m - 2] = 0m (m-1) [(m2+1)( m 2)] = 0m ( m-1)(m-2)(m2+1) = 0m1 = 0 m3 = 2 m5 = im2 = 1 m4 = -iy1 = eoxy2 = ey3 = e2xy4 = sen xy5 = cos x Y = c1eox + c2ex + c3e2x + c4 sen x + c5 cos x Y = c1 + c2ex +c3e2x + c4senx + c5cosx

60) (D3-D2+D-1) y=0Ec. Auxiliar: m3-m2+m-1 = 0m2(m-1)+m-1 = 0(m2+1)(m-1) = 0m1 = 1m2 = im3 = -i

Y1 = exY2 = cos xY3 = sen x Y = c1ex + c2cosx + c3senx

61) (D3+D) y=0Ec. auxiliar: m3+m = 0m(m2 + 1) = 0m1 = 0m2 = im3 = -i

Y1 = eoxY2 = cosxY3 = senx Y = c1eox + c2cosx + c3senx Y = c1 + c2cosx + c3senx70) Creando el polinomio caracterstico de la funcin tenemos:

Cuyas races son : , de donde el sistema fundamental de soluciones es:

La solucin general ser:

71)

Sea la ecuacin caracterstica:

Cuyas races son : , de donde el sistema fundamental de soluciones es: .


72)

Sea la ecuacin caracterstica:



73) Creando el polinomio caracterstico de la funcin tenemos:



74) Hallando :

Hallando :Mtodo de coeficientes indeterminados

La solucin ser:

75.

Hallando :

Hallando :Mtodo de variacin de parmetros:

76.

Hallando :

Hallando :Mtodo de variacin de parmetros:

77)

Hallando :Mtodo de coeficientes indeterminados

La solucin ser:

78) Su ecuacin auxiliar es: El conjunto solucin es: Luego, la solucin ser:



II. ; Su ecuacin auxiliar es: El conjunto solucin es: Luego, la solucin ser: Adems:

Para x=0:

Entonces:

La solucin es:

19) ;

Sacando derivada:(Xy-y)/x2 + 1/x=0

20) ; Le sacamos ln a todo:

=0

21) ;

22. ;

Sacamos la derivada:

Dividiendo todo entre 3xy:

Hallar la ecuacin diferencial de la familia de circunferencias cuyos centros estn en el eje x.X=0 La ecuacin de la circunferencia:

Sacamos la derivada:

(1)Sacamos segunda derivada:

.(1)Ahora reemplazamos en 1:

(2)Ahora sumamos (1)+ (2):

II. Resolver6) [D4 +3D3+2D2 ] y = 0 : Cuando x = 0 ; y = 0 ; yI= 4; yIi= -6m4+3m3+2m2 = 0 (m2) (m+1)(m+2) = 0 m = 0 ,0 ; m = -1,m=-2 y1 =c1 ; y2 = c2x, y3=c3e-x , y4=e-2x y = c1 + c2x + c3 e-x +e-2x Para x = 0 ; y = y00=c1+c2x+c3e-x+c4e-2x ..I Para x = 0 y = 4 y' = c2-c3e-x-2c4e-2x 0 = c2 - c3 e-x-2c4e-2x II Para x = 0 y = -6 y' = c3e-x+4c4e-2x -6 = c3+4c4 II

8) [D3 +D3-D1-1 ] y = 0 : Cuando x = 0 ; y = 1 ,x = 2 ; y = 0m3+m2-m -1 = 0 (m +1) (m+1)(m-1) = 0 m = -1 ,-1 ; m = 1 y1 =c1ex ; y2 = c2e-x, y3=xc3e-x y = c1ex + c2e-x + xc3e-x Para x = 0 ; y = 11=c1e+c2e-1+c3-1..I Para x = 2 y = 00 = c2-c3e-x-2c4e-27) [D3 +2D2 ] y = 0 : Cuando x = 0 ; y = -3 ; yI= 0; yII= 12 m3 +2m2 = 0 (m2) (m+2) = 0 m = -2 ; m = 0,0 y1 =1 ; y2 = x; y3 = e-2x y = c1 + c2x+c3e-2x Para x = 0 ; y = -3 -3 = c1 + c3 ..I Para x = 0 y = 0 y' = c2 -2 c3e-2x 0 = c2 -2c3 II Para x = 0 y = 12 y' = 4c3e -2x 12 =4c3 IIIDe I y II y IIIC2 = 6C3 = 3 C1 = -6 y = -6+ 6x+3e-2x9) [D2 -1 ] y = 0 : Cuando x = 0 ; y = y0 ; yI= 0m2 -m = 0 (m) (m-1) = 0 m = 0 ; m = 1 y1 =1 ; y3 = ex y = c1 + c2ex Para x = 0 ; y = y0 y0 = c1 + c2 ..I Para x = 0 y = 0 y' = c2ex 0 = c2 -2c3 II De I y II C2 = 0 10) y+y=0 0m= +- iy= c1cosx +c2 semxy=c1=yoy=-c1senx +c2cosx0=-c1senx +c2cosxc2=yo tgxy=yo cosx + yo tgx .senx11) y+5y+17y+13y =0m3+5m2+17m +13 = 0m(m2+17)+4m2+m2+13=0(m+1) (m2+13+4m)=0m=-1m=-218iy=c1 +c2cos18x+ c3sen18x12) +k2x = 0 , k R X +k2x = 0 m2=k2m=x= coski +sen ki

13) y+y+4y +4y = 0 m3+m2++4m+4 = 0m2(m+1)+4(m+1) =0(m+1)(m1+1)=0M=-1M=Y=

14)= *= 15) cuando x = 0, y=1, ; ,=

-2 = -2 =

16) ==

-

17)==

-

18) ; si x=0, y=1; y=-1, y=2El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial.De donde Y1 , Y2 , Y3=Y(x)=C1+C2+C3Y(x)=-C1+ C2+C3(+Y(x)= C1+ C2+C3(2+Evaluando en x=0;1=Y(0)=C1+C2+C3-1=Y(0)=-C1+ C2+C3(+2=Y(0)= C1+ C2+C3(2+Luego1=C1+C2+C3-1=-C1+C2+C32=C1+C2+2C3

Hallando las constantes arbitrarias por CRAMER==2

C1= ; C2= ; C3=

Resolviendo: C1=0, C2=1 , C3=1Por lo tanto:Y(x)=1+1

19) 4y-3y+y=0 si x=0, y=0; y=1, y=-1El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial.(r+1)(2r-1)(2r-1)=0De donde Y1 , Y2 , Y3=

Y(x)=C1+C2+C3Y(x)=-C1+ + )Y(x)= C1+ + )Evaluando en x=0;0=Y(0)=C1+C2+C31=Y(0)=-C1+ + )-1=Y(0)= C1+ + )Luego0=C1+C2+C3-1=-C1+C2+C31=C1+C2+C3Hallando las constantes arbitrarias por CRAMER

==1.5

C1= ; C2= ; C3=

Resolviendo: C1=5/6, C2=-4/3 , C3=1/2Por lo tanto:Y(x)= 5/6+-4/3+1/2

20) y+6y+9y=0El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial.(r)(r)(r+3)(r+3)=0De donde Y1 , Y2= , Y3=1, Y4=xY(x) + C2 C3x+ C4Y(x) + C2 +xY(x) + C2 +1Y(x) + C2 Evaluando en x=0;0=Y(0) + C2 +x 2=Y(0) + C2 +1-3= Y(0) + C2Luego0=-3C1+C21=9C1+C2-3=-27C1+C2

Hallando las constantes arbitrarias por CRAMER=C1= ; C2= ; C3=

Resolviendo: C1=5/6, C2=-4/3 , C3=1/2Por lo tanto:Y(x)= 5/6+-4/3+1/2

21) y-6y+12y-8y=0El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial.(r-2)( r-2)(r-2)=0De donde Y1 , Y2= , Y3=Y(x) + C2 C3Y(x) + C2 + C3)Y(x) + C2 + C3)Y(x) + C2 + C3)Evaluando en x=0;-1=Y(0) + C2 + C3)2=Y(0) + C2 + C3)-3=Y(0) + C2 + C3Luego-1=2C1+C2+2 C32=4C1+C2+2 C3-3=8C1+C2+3 C3

Hallando las constantes arbitrarias por CRAMER==12

C1= ; C2= ; C3=Resolviendo: C1=1/2, C2=-3 , C3=-5Por lo tanto:Y(x)= -3

22.y-6y+11y-6y=0Solucin:El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial.(r-2)( r-3)(r-1)=0De donde Y1 , Y2= , Y3=Y(x) + C2 C31=Y(x) + 3C2 C32=Y(x) + 9C2 C30=Y(x) + 27C2 C3

Evaluando en x=0;Y(0) + C2 C31=Y(0) + 3C2 C32=Y(0) + 9C2 C30=Y(0) + 27C2 C3Luego1=2C1+3C2+ C32=4C1+C2+ C30=8C1+C2+ C3Hallando las constantes arbitrarias por CRAMER

==12

C1= ; C2= ; C3=Resolviendo: C1=5/2, C2=-2/3 , C3=-2Por lo tanto:Y(x) -2/3

SEGUNDA PARTE

PROBLEMAS DE MATEMATICA III

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

*TEMAS: SUCESIONES SERIES SERIES DE POTENCIA TRANSFORMADA DE LAPLACE

PRACTICA N1.2

I. Determinar si las siguientes sucesiones de nmeros reales son convergentes o divergentes, si es convergente encontrar su lmite.

1)

6)

*Sea Sn = Sn+1 = Sn = Sn+1 = *Entonces por el criterio de la razn:

*Aplicando la regla practica de los lmites al infinito: ==1 1 = 0 < 1Por lo tanto la sucesin es convergente

7)

*Sea Sn = Sn+1 = Sn = Sn+1 = *Entonces por el criterio de la razn:

=1 1 = 0 < 1Por lo tanto la sucesin es convergente

8)

= Es divergente

10)

10)

11)

12)

II. Determinar el lmite de la sucesin

III. Si y . Hallar *Entonces:

IV. Determinar si las siguientes series convergen o divergen.1.

*Aplicamos teorema de la raz

2.

V. Determinar si las siguientes series convergen o divergen.1) *Para determinar la convergencia utilizamos el criterio de la razn:

*Entonces:

:

Como el lmite es menor a 1, La serie converge.

*Para determinar la convergencia utilizamos el criterio de la razn:

*Entonces:

:


3)

*Para determinar la convergencia utilizamos el criterio de la razn:

*Entonces:


4)*Para determinar la convergencia utilizamos el criterio de la razn:

*Entonces:

:

Como el lmite es mayor a 1, La serie diverge.

*Sabemos: ...... Le sumamos n .. Elevamos al cuadrado ambos miembros . Invertimos *Ahora analizaremos la convergencia de: *Tenemos una serie p, donde *Sabemos que la serie converge cuando p>1*Por lo tanto la serie es convergente*Por Criterio de Comparacin tenemos 2 series: Y

*Hemos deducido que es convergente y entonces por criterio de comparacin la serie Es convergente.

6)

*Sabemos: .. Le sumamos 1 a cada miembro .. Multiplicamos ambos miembros por .. Invertimos

*Ahora analizaremos la convergencia de ------Es una serie geomtrica de y sabemos que la serie converge cuando y esto se cumple con:

*Por lo tanto la serie es convergente*Por Criterio de Comparacin tenemos 2 series: Y

*Hemos deducido que es convergente y entonces por criterio de comparacin la serie es convergente.

7) *Como *Ahora analizaremos la convergencia de (serie cannica)*Tenemos una serie p, donde *Sabemos que la serie diverge cuando

*Por lo tanto la serie es divergente.*Por Criterio de Comparacin tenemos 2 series: Y *Hemos deducido que es divergente y entonces por criterio de comparacin la serie es divergente.

8)

*Sabemos: Y Entonces (1)*Aplicamos la inversa a (1):

*Ahora analizaremos la convergencia de (serie cannica)*Tenemos una serie p, donde *Sabemos que la serie diverge cuando *Por lo tanto la serie es divergente

*Por Criterio de Comparacin tenemos 2 series: Y *Hemos deducido que es divergente y entonces por criterio de comparacin la serie es Divergente.

*Aplicamos el Criterio de la raz Entonces

*Calculamos el lmite

*Hemos deducido que es menor que 1 entonces la serie es convergente.

PRACTICA N2.2

I. En los siguientes ejercicios determinar si la serie alternada dada es convergente y divergente o condicionalmente convergente.

1)

*Utilizando el teorema de la razn:

*Como sale 1 no se puede decir nada sobre la sumatoria as que utilizamos el criterio de comparacin.

*Como el lmite es igual a 1 y la razn dada es y esta diverge entonces toda la serie diverge.

Diverge

*Por el teorema de Leibniz n> 2

*Entonces:;

Converge

3)

*Por el criterio de comparacin:; Como converge, entonces;

Converge

4)

*Por el criterio de la integral:

Diverge

*Por el teorema de comparacin directa:

*Como:

6)

n+, n < n+1 =>

*Y adems

Es convergente

7)

* Donde: por el criterio de la integral la serie , es divergente, por lo tanto la serie , no es absolutamente convergente.*Ahora aplicaremos el criterio de Leibniz, es decir:*Como , de donde y adems 0 Luego la serie Es condicionalmente divergente.

8)

*Como ,* Luego:

9)

*Como ,

*Luego:

Divergente

10)

*Como:

: , es divergente 11)

*

12)

**Y e

13)

,

14)

15).an=an+1=

= = 0 =p

*P

matematica iii

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