1) Las curvas de oferta y demanda del mercado de un bien vienen dadas, respectivamente, por las siguientes expresiones: y .

a. Determine el valor del excedente del consumidor y del productor y represntelos grficamente.

Las ecuaciones son:

Oferta:

Demanda:

Graficamos y en ella ubicamos el punto de equilibrio:

Hallamos el intercepto

De la ecuacin :

Si:

* Ahora calculamos el EC:

EC: rea del tringulo:

* Ahora, calculamos

b. Suponga que, como consecuencia de un incremento en los costes de produccin, la nueva curva de oferta del mercado es . Calcule la variacin que experimenta el excedente del consumidor e identifique grfica y numricamente sus componentes, explicando brevemente su significado.

Lo que vara es la curva de oferta:

La curva de demanda es igual que (a) o sea:

* Como nos pide la variacin del EC, hallamos el nuevo valor del EC, EC= rea del tringulo:

* Debido al cambio de la curva de oferta, sufri una variacin en el EC, el EC reduci en 100.8

2) Suponga que las curvas de demanda y oferta del mercado de gasolina vienen dadas, respectivamente, por las siguientes expresiones: y .

a) Calcule el excedente del consumidor y del productor en el equilibrio de este mercado y refljelos grficamente.

Nos pide los excedentes:

Demandas:

Oferta

:

Hallamos el equilibrio:

b) El Gobierno, con el propsito de reducir el consumo de gasolina, establece un impuesto de S/. 5 por unidad vendida. Calcule el nuevo equilibrio del mercado y represntelo grficamente.

Se establece con impuesto de S/. 5 por cada unidad vendida, esta S/. 5 lo pagar el consumidor:

Como el precio aumenta en S/. 5

Hallamos el nuevo equilibrio, para ello:

3) Para las elecciones de 1974 , el porcentaje republicano R del voto republicano-democrtico en un distrito esta dado (aproximadamente ) por

Aqu, son los gastos de campaa (en unidades de $10000) de los republicanos y demcratas, respectivamente. el nmero de periodos en los que han estado en el congreso, mas uno, para los candidatos republicano y demcrata, respectivamente, y N es el porcentaje del voto presidencial de los dos partidos que Richard Nixon obtuvo en el distrito en 1968. La variable N da una medida de la fuerza de los republicanos en ese distrito.

Er y Edgastos de campaa (10,000)

Jr y Jd Numero de periodo + 1

N es el porcentaje del voto presidencial

1968 entre D + R = N

1974 (188,000

a) En el Acta de 1974 de la Campaa Federal de elecciones, el congreso impuso un lmite de $188000 para los gastos de campaa. Analizando habra aconsejado usted a un candidato republicano con nueve periodos en el congreso, gastar $188000 en su campaa?

R = 2,5945 0,161 ErR = 2,5495 0,161 (188000)

R = 2,5945 30268

R = - 30265,40

No habla aconsejado por que saldra perdiendo

b) Encuentre el porcentaje por encima del cual el voto de Nixon tuvo un efecto negativo sobre R; esto es, encuentre N cuando de su respuesta al porcentaje entero ms cercano.

b) /*/*

0,8579 0,012 N

0,8579 0,012 N < 0

0,8579 < 0,012 N

71, 49 < N

71,55% < N

4) Para las funciones de produccin en (a) y (b), encuentre las funciones de produccin marginal y .

a)

b) .

Resolucin

a) P = 20 lk 2 l2 4 k2 + 800

= 20 l 8 k

= 20 k 4 l

b) P 1,58 l0,192 k0,764

= 0,764 (1,58) k0,764-1 l 0,192

= 1,207 k-0,236 l 0,192

= 1,58 (0,192) l-0,808 k 0,764

0,303 l-0,008 k 0,764

5) En los siguientes problemas encuentre las derivadas parciales indicadas.

a)

b)

a) f(x , y) = ln (x2 + y2) + 2 e2xfx(x , y) = . 2 x + 4 e2xfx(x , y) = + 4 e2xfxy(x , y) = ln (x2 + y2). 2 e2xfx(x , y) = ln + 2 e2x y/y + 2 e2/y

/*/*

b) f(x , y) = (x + y)2 (x y )

fxx(x , y) = (x2 + 2xy + y2) x y

= xxxy + 2xxy2 + x y3fxx(x , y) = x y + 2y2fxx(x , y) = x3 y + 2xy2 yy + xy yy

= 2x2 + x y

6) En el problema siguiente, las variables y denotan los precios de venta de los productos A y B, respectivamente. Adems, q y q denotan cantidades de A y B producidas y vendidas durante algn perodo. En todos los casos se supondr que las variables usadas son unidades de produccin, insumo, dinero, etc.

PROBLEMA:

Una empresa produce dos tipos de dulces, A y B, para los cuales los costos promedios constantes de produccin son 60 y 70 centavos por libra, respectivamente. Las funciones de demanda para A y B estn dadas por:

y

Encuentre los precios de venta y que maximicen la ganancia de la empresa.

= (PA - 60)1 5(PB - PA) + (PA - 60) [5(PB - PA)]1+ (PB 70)1 (500 + 5 PA 2 PB) + (PB - 70) (500 + 5 (PA 2 PB)1

= 5 PB 5 A + (PA - 60) (-5) + (PB 70) (5)

= 5 PB 5 PA 5 PA + 300 + 5 PB + 350

= 10 PB 10 PA 50 = 0

10 PB 16 PA = 50

PB - PA = 5

= (PA - 60)1 5(PB - PA) + (PA - 60) 5(PB - PA)1 ++ (PB 70)1 (500 + 5 (PA 2 PB) + (PB - 70) (500 + 5 (PA 2 PB)1(PA 60) 5 + ( 500 + 5 (PA 2 PB) + (PB -70) (-10)

5 PA 300 + 500 + 5 PA 10 PB 10 PB + 700

10 PA 20 PB + 90/0 = 0PA 2 PB = - 90

PB PA = 5

-PB = - 85

PB = 85

PA = 80

Los precios son para PB = 85

Los precios son para PA = 80

PARTE II

7) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) x - y = y3, Distribuimos convencionalmente:

b) = x3 y2 + y2. : Factorizando convenientemente.

c) dx +dy = 0

d) =

e) (x2y x2 + y - 1)dx + (xy + 2x 3y - 6)dy = 0

Factorizando convenientemente, tenemos:

8) El valor de cierto modelo de automvil se deprecia un 30% en el primer ao despus de su compra. La razn de depreciacin posterior es proporcional a su valor. Suponga que un automvil se compr nuevo el 1 de julio de 1999 en $30000, y se valu en $18900 el 1 de enero del 2001.

a) Determine una frmula que exprese el valor V del automvil en trminos de t, el nmero de aos despus del 1 de julio del 2000.

La razn de depreciacin es:

Resolvemos la EDOPO

Donde: t = tiempo en aos

Condicin: 01 de enero del 2000

Est valuado en 21000

01 de enero del 2001 esta valuado en 18900

Es decir:

Reemplazando estas condiciones en (1) tenemos:

b) Use la formula en la parte (a) para determinar el ao y mes en que el automvil tiene un valor de exactamente $14000.

Nos pide: t = ???; cuando V(t) = 14000

de (a):

En este tiempo (t = aos) su valor ser de 14000.

9) En la siguiente tabla se da la interaccin entre los dos sectores de una economa hipottica.

AgriculturaBienes manufacturadosDemandas

FinalesProduccin

Total

Agricultura

Bienes

manufacturados240

300270

9090

60600

450

Mano de obra6090

a) Encuentre la matriz insumo-producto A.

Para encontrar el insumo A debemos de dividir la agricultura entre el total de produccin, luego los bienes manufacturados entre el total de produccin de 450.

Entonces la matriz de insumo ser de A es:

b) Suponga que en 3 aos la demanda de productos agrcolas decrece a 63 unidades y se incrementa a 105 unidades para bienes manufacturados. Determine el nuevo vector de produccin que satisfaga estas nuevas demandas.

Para eso debemos hallar la matriz identidad menos la matriz de insumos

) I

I A =

Haciendo la matriz Inversa, tenemos:

5/3 x f 1 =

2x f 2

f 1+f 2 =

5/3 f 2+ f 1 =

5/3 x f 2

Si N representa al nuevo vector de demanda esto es:

N = y B la nueva matriz de produccin, tenemos que:

B = (I A)-1 x N =

=

Por consiguiente la agricultura debe producir 630 unidades y los bienes manufacturados deben producir 525 unidades a fin de satisfacer las nuevas demandas finales.

c) Cules sern los nuevos requerimientos de mano de obra para cada sector?c) En el caso de la agricultura, deben producir con una mano de obra de 60 unidades de insumos primarios para general una produccin total de 600 unidades. Esto es, los insumos primarios son 240/600 = 0,4 de la produccin total.

As, C, 4 de la nueva produccin, 630 de los nuevos insumos primarios de la agricultura. Los insumos primarios de la agricultura son 0,4 (630) = 252 unidades. En forma anlogas los insumos primarios en el caso de los bienes manufacturados son 90/450 = 0,2 de la produccin total, de modo que son iguales a 0.2 (525) = 105 unidades. En consecuencia los nuevos insumos primarios para los dos aspectos sern de 525 y 105 unidades respectivamente.

10) Analizar y resolver los siguientes casos:

a) Un fabricante produce tres artculos A, B y C. La utilidad por cada unidad vendida de A, B y C es $1, $2 y $3, respectivamente. Los costos fijos son de $17000 por ao y los costos de produccin por cada unidad son $4, $5 y $7, respectivamente. El ao siguiente se producirn y vendern un total de de 11000 unidades entre los tres productos y se obtendr una utilidad total de $25000. Si el costo total ser de $80000, Cuntas unidades de cada producto debern producirse el ao siguiente?

(UTILICE el mtodo de eliminacin de Gauss para dar respuesta.)

a) La produccin de cada artculo es:

Artculo A = x unidades

Artculo B = y unidades

Artculo C = z unidades

Cantidad producida: x + y + z = 11000 (1)

Utilidad total: x + 2 y + 3z = 25000(2)

Coto de produccin: 4x + 5y + 7z = 63000..(3)

Costo de produccin = costo total costo fijo

Esto quiere decir el costo de produccin es de:

80000-17000 = 63000

Resolviendo pro el mtodo de eliminacin de GAUSS

(2) (1). y + 2z = 14000 ...(4)

(3) 4(1): y + 3z = 19000.. (5)

Ahora restamos (5) (4)

Z = 5000

Z = 5000 reemplazamos en (4)

Y = 2(5000) = 14000

Y = 4000

Finalmente; y = 4000, z = 5000, reemplazamos en (1)

X + 4000 + 5000 = 11000

X = 20000

Se deben producir cada ao:

Artculo A = x = 2000 unidades

Artculo B = y = 4000 unidades

Artculo C = z = 5000 unidades

b) Un grupo de inversionistas decide invertir $50000 en las acciones de tres compaas. La compaa D vende en $60 una accin y tiene un rendimiento esperado de 16% anual. La compaa E vende en $80 cada accin y tiene un rendimiento esperado de 12% anual. La compaa F vende cada accin en $30 y tiene un rendimiento esperado de 9% anual. El grupo planea comprar cuatro veces ms acciones de la compaa F que de la compaa E. Si la meta del grupo es 13.68% de rendimiento anual.

Plantear el sistema de ecuaciones.

Representar el sistema en forma matricial.

Utilizar el mtodo de Gauss para determinar el nmero de acciones de cada compaa que se deben comprar. (UTILICE el mtodo de eliminacin de Gauss para dar respuesta.)

Total inversin = 50000

Compaa D: venta $ 60 c/accin y tiene un rendimiento 16% anual

Compaa E: venta $ 80 c/accin y tiene un rendimiento 12% anual

Compaa F: venta $ 30 c/accin y tiene un rendimiento 9% anual

Otra condicin: planea comprar 4 veces ms acciones de F que de E o sea:

F = 4E

i) Planteamos el sistema de ecuaciones:

Total inversin: 60 D + 80E + 30 F = 50000

Total rend.- anual: 16%D + 12% E + 9% F = 13,68%

Planes compra: -4E + F = 0

ii) Representamos en forma matricial

Artculos D E F Totales

iii) Resolvernos pro mtodo de eliminacin de GAUSS, el sistema de ecuaciones:

60D + 80E + 30F = 50000

( 6D + 8E + 3F = 5000. (1)

16% D + 12% E + 9% F = 13.68%

( 16D + 12E + 9F = 13.68. (2)

-4E + F = 0

( F = 4E.(3)

(3) reemplazamos en (1) y (2) entonces:

6D + 8E + 3(4E) = 5000

( 6D + 20E = 5000. (4)

16D + 12E + 9(4E) = 13.68

( 16D + 48E = 13.68. (5)

A (4) multiplicamos por 8 y a (5) por 3, entonces:

48 D + 160 E = 40000 (6)

48 D + 144 E = 41,04 (7)

Restamos: (6) (7)

16E = 39958,96

E = 2497,435 acciones

F = 4 E = 9989,74

Acciones de la compaa F

F = 9989,74

Reemplazamos en (1)

6 D + 8(2497,435) + 3(9989,74) = 5000

D = - 7491,45 ( acciones de la compaa D

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