matemática i mafp 2012
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7/21/2019 Matemtica I MAFP 2012
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ESTUDIOS GENERALES (CICLO BSICO)
CTEDRA DE MATEMTICAASIGNATURA: MATEMTICA I
PROF. MARA NGELA FLORES P.Octubre, 2012
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Unidad N 1. Lmites y Continuidad
Nunca consideres el estudio comouna obligacin, sino como una
oportunidad para penetrar en el belloy maravilloso mundo del saber.
Albert Einstein
El conjunto de los nmeros reales est formado por elementos de los conjuntos de los nmeros enteros,
racionales e irracionales, en adelante lo vamos a denotar por ; grficamente se puede representarpor una recta en la que fijamos un origen y una unidad, que hace que a cada punto de la recta le
corresponda un nmero real y a cada nmero real le corresponda un punto de la recta. A esta recta la
denominamos la recta real
As mismo, es importante recordar el concepto de funciones reales de variable real. Primeramente
una funcin es una relacin biunvoca entre dos conjuntos, donde a todos y cada uno de los
elementos del primer conjunto, llamado conjunto de partida o dominio de la funcin, tiene una
imagen en el segundo conjunto, llamado conjunto de llegada. Al conjunto de todas las imgenes se
le denomina rango de la funcin. Cuando el conjunto de partida o dominio de la funcin y el
conjunto de llegado es el conjunto de los nmeros reales la funcin se denomina funcin real de
variable real. De tal manera que, al analizar las siguientes grficas:
1.- 1)();( 23 xxxfxfy
-3 -2 -1 0 1 2 3
| | | | | | |
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2.- 224 xxy
Obsrvese que al usar la prueba de la recta vertical (recordar) en el primer caso tenemos una funcin
real de variable real y en el segundo caso no hay funcin puesto que hay elementos del dominio que
tienen ms de una imagen
Las funciones se clasifican en algebraicas y trascendentes segn el suguiente cuadro
)3(cos)(
)14log()(
2)(
ricasTrigonomt
asLogartmic
sleExponencia
tesTrascenden
15)(
32
2)(
35)(
:esIrracional
:Racionales
:sPolinmica
sAlgebraica
Funciones
2
3
3
2
24
xxf
xxf
xf
xxxf
xx
xxf
xxxf
x
Otro concepto importante a destacar es el de intervalos reales, es decir definidos sobre la recta real:
Cerrado bxaxxba /,
Semi abierto
bxaxxba
bxaxxba
/,
/,
Abierto bxaxxba /,
En este punto se introducen tres nuevos conceptos:Entorno de un punto: Dados los nmeros reales a y siendo >0, se llama entorno de centro a
y radio al conjunto axxxaN /)( . El entorno como intervalo se escribe:
aaaN ,)(
Grficamente:
Cada una de estasfunciones tienecondiciones propiaspara la determinacinde su dominio.Igualmente, puedenidentificarse por elcomportamiento de susgrficas. (Recordar)
a b
a b
a b
a b
a a + a -
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Entorno Reducido:Se llama entorno reducido a un entorno que excluye al centro a y se denota
como conjunto axxxaN 0/)(* . El entorno reducido de centro a y radio seescribe como intervalo de la siguiente manera: aaaaaN ,,)(
*
Grficamente:
Punto de Acumulacin:Se dice que x = a es punto de acumulacin del conjunto A, si todo entorno
reducido con centro en a y radio contiene al menos un elemento de A.
a es P. A. de A )(/:)( ** aNxAxxaN
a es P. A. de A )(:)( ** aNAaN
Ejemplo 1:
Construya el entorno de centro en x = 2 que contenga el conjunto: 0)2(3/ xxxxA Solucin:
1. Verificar que elementos se tienen y que elementos hacen falta para la construccin del
entorno:
2. a = 2: = ? A = ?
3.
A= ? Para encontrar A es necesario resolver la inecuacin: 0)2(3 xx
2 2 2 3 0; 2 3 0
3 1 0
Desarrollando x x x x
Factorizando x x
4. En este punto hay 3 caminos: resolver la inecuacin, graficar usando la expresin como
definicin de una funcin o estudiar los signos.
5. Graficamos y = 322 xx
a a + a -
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La solucin se visualiza en la parte donde la ordenada toma valores negativos.6. A = [-3,1].7. Para encontrar es necesario graficar A y a en una recta real.8. Graficamos
Como el extremo izquierdo, en este caso, del intervalo est cerrado hay que desplazarse hasta elinmediato anterior, pues se busca el menor radio posible.9. Como: a= -4; despejando:
= 6; sustituyendo: a + = 8
10.Respuesta: 8,462/)2(6 xxxN
Ejemplo 2:
Construya el entorno reducido con centro en x =1 que contenga la solucin de:
173
232
xx
xx
Solucin:Escribe las respuestas en el sitio indicado y recuerda que el centro del entorno reducido se excluye.
1. a = _____________
2. = ____________
3. N ( ) = _____________________________________ = _________________
Ejemplo 3:
Para el conjunto
x
xfxfyyyA1
21
1)()(;/ x =
2
1, es puno de acumulacin?
1. Solucin: Para verificar si x =2
1es punto de acumulacin de un conjunto, se debe construir
un entorno reducido con centro en x =2
1, se intercepta con el conjunto y en caso de ser
diferente de vaco es punto de acumulacin.2. En este caso se necesita el rango de la funcin el cual es 1,,0)(
21
21 xRgof , como puede
apreciarse en la grafica siguiente.
3. Por ejemplo el entorno 23
21
21
21
21*
1 , N al interceptarse con el conjunto A es diferente de
vaco. De tal manera que x =2
1 si es punto de acumulacin del conjunto A:
21*
1N )(xRgof = )(xRgof
| | | | | | | | |
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
a
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4. Grafica:
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-2
0
2
Actividades
1. Construya el entorno de centro en x = 2 que contenga el conjunto:
0)23(/ 2 xxxxA
2. Construya el entorno reducido con centro en x =2 que contenga la solucin de:
225
242
xx
xx
3. Escriba, si es posible, como entorno reducido de menor radio posible y de centro en el origen,
los siguientes conjuntos:
23/;12/;51/ xxxCxxxBxxxA
4. Dado el conjunto, diga si los valores indicados son puntos de acumulacin del mismo.
2;1;1,21
3/
0;4;27
1
2/
5;3;2
1;32
1/
xxxx
xxxC
xxxxx
xxB
xxxxxxA
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Idea de Lmite
Si se revisan algunos ejemplos cotidianos comoson:Al caminar por un pasillo que termina en una
puerta, Cul es el lmite?
Si camina por el borde de un precipicio, Cules el lmite?
En los dos primeros casos no puedes avanzar despus del lmite o pararte sobre l. Pero en el terceropuede pararte sobre l y seguir ms adelante. De manera que el lmite es un punto al cual tiendes (teacercas) independientemente si puedes ubicarte o no sobre dicho punto.
Analiza la siguiente tabla y grfica:
Definicin Formal de Lmite:
Para que L sea el lmite de la funcin f(x), cuando x tiende a un punto de acumulacin x0, la condicin
necesaria y suficiente es que a cada >0 corresponda un N* (x0) tal que, los valores de la funcin
para los valores de x pertenecientes a dicho entorno, difieran de L, en valor absoluto, una cantidadmenor que.
X f(x)3 9
3,6 10,23,9 10,83,99 10,983,999 10,889
4,001 11,0024,01 11,024,1 11,24,8 12,65 13
Valores desalida quetienden
a11
Valores deentrada que
tienden a 4por la
izquierda
Valores deentrada que
tienden a 4por laderecha
11
4
f(x) = 2x+3
X0 3 5
9
13
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Formalmente:
LxfaxxDfxLxflmax
)(0:)(/0,0)(
Grficamente:
Ejercicio
1. Analice la siguiente Tabla de datos y grfico de la funcin:1
1)(
2
x
xxf
Tabla de datos
x 0,75 0,9 0,99 0,999 1,001 1,01 1,1 1,25
f (x) 1,75 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 2,25
Grfico
2.Demostrar por definicin que 7543
xx
lm
Demostracin
75430:)(/0,07)54(3
xxxDfxxxlm
Obsrves
e que se ha sustituido en la definicin formal: = 3; f(x) = 4x5 y L = 7 ;
X
Y
0 a
L
y = L +
y = L
L +
L
a a +
(0,0)
1
( )
(
)
X
Y
2
3
2
1(0,0)
1
( )
(
)
X
Y
2
3
2
1
Qu puede concluir acerca de la
existencia del lmite y la noexistencia de la funcin en x = 1?
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Ahora bien:
Esto es, que
Ello sugiere que: ;
Luego se comprueba que funciona, para ello:
De donde, segn la definicin: 7543
xx
lm
3. Demostrar por definicin que 93
2
x
xlm
Ya es conocido que demostrar un lmite equivale a proponer la relacin entre y.Al aplicar la definicin queda:
930:)(/0,09 223
xxxDfxxlmx
Ahora bien:
Puede escribirse:De donde resulta:Se puede restringir a C y queda:Quedando:
Esto significa que, dado que se quiere trabajar en el entorno reducido de 3, queda 2 < x < 4, de donde: 5< x + 3 < 7, por consiguiente
donde
Verificando:
Si es el mn y ; < 7 y, quedando demostrado que: 9
3
2
x
x
lm
Actividades.
El principio de transitividad
Para cualquier numero a, b,y c
Si a < b y b < c, entonces a < c
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Demuestre los siguientes lmites aplicando la definicin:
a.6
13
3
53
2
1
x
x
lm c.5
1
5
23
2
x
xlm
b.2
3)32(
4
3
x
x
lm d. aax
ax
lm
2
Propiedades
1.
bmbmabmxlmax
,;
2. bblmax
3. axlmax
4.
Si: Lxflmax
)( k0; kLxflmkxkflmaxax
)()(
Algebra de Lmites
Si : Lxflmax
)( ; Mxglmax
)( ML,
1. MLxglmxflmxgxflmaxaxax
)()()()(
2. MLxglmxflmxgxflmaxaxax
)()()()(
3.
0;)(
)(
)()(
MML
xglm
xflm
xgxflm
ax
axax
4. 0;)()()(
)(
LLxflmxflm M
xglm
ax
xg
ax
ax
5. :0;)(
LLLxflmax
Lxflmax
log)(log
6. :0;)(
LLLxflmax
;)( mmax
Lxflm
si m es par
7.
LLxflmax
;)( ;)( mm
axLxflm
si m es impar
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f(x)
X
Y
a - x a a +
L
L1+
L1-
(0,0) X
Y
(a - ) x a (a + )
L1
L1+
L1-
f(x)
(0,0) X
Y
(a - ) a x (a + )
L2+
L2-
L2f(x)
(0,0) X
Y
(a - ) a x (a + )
L2+
L2-
L2f(x)
Limites Laterales:
Lmite por la izquierda: Se dice que L1es el lmite por la izquierda de f(x), si para cualquier 0,
existe 0, tal que |f(x)L1|
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Ejemplos:
1. Determine si el 10
5
1 2x
x
lm
En primer lugar hay que calcular los laterales para verificar si son iguales.
a) 1 10
5
1 2x
x
L lm
; por Algebra de lmites se tiene que:
00
1 1
0 0
5
1 2 x
x
lmx
x x
lmL
lm lm
por propiedades
se tiene que: 15
1 2L
como L1 = 5.
b) 1 10
5
1 2x
x
L lm
por Algebra de lmites se tiene que:
00
2 1
0 0
5
1 2 x
x
lmx
x x
lm
L
lm lm
por propiedades
se tiene que: 15
1 2L
como L2 = 0.
c) Como L1 L2, se dice que no existe el 10
5
1 2x
x
lm
Decida si existen los lmites en los puntos donde de particin de la funcin
Como la funcin tiene dos puntos particin, hay que estudiar cada uno de ellos:
a. En
Si ; ;3
( 2) 1x
lm x
; donde L1=1
Si ; ;3
3 2(1 1) 1x
l xm
; donde L2=1
Como L1 = L2; ( ) = 13
lm f x
x
b. En
Si ; 34
2 31 1 15 1,461x
l xm
; donde L1= 1,46
Si ; ;4
2 2
4 0xlm
x
; donde L2=
Como L1 L2; no existe ( )4
lm f xx
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Actividades:
1. Si
56
531
31
)(
xsi
xsix
xsi
xf , decida la existencia de )(
5
y)(
3
xf
x
lmxf
x
lm
2. Si , decida la existencia de
)(6
y)(2
xfx
lmxfx
lm
3. Calcule los siguientes lmites aplicando lgebra de lmites.
a. 3
172
5
x
xlm b.
4
3
0 x
xe
xlm
Limites infinitos y Lmites al infinito.
Definicin: kxfaNxxkxflmax
)()())(0)(0()( *
0
Grfica: Figura 1
Definicin: kxfaNxxxflmax
)()())(0)(0()( * Grfica: Fig. 2
Figura 1 Figura 2
Definicin: )()())(0)(0()( LNxfMxxMLxflmx
Grfica Figura 3
Definicin: )()())(0)(0()( LNxfMxxMLxflmx
Grfica: Figura 4
Figura 3 Figura 4
0
L
F(x)
L -
M xX
Y
(a) a x (a+) X
Y
f(x)
k
0
0
k
f(x)
a a a+ Xx
0
L
F(x)
L -
x M
-X
Y
-
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X
Y
a - x a
k0
f(x)
Definicin: kxfMxxMkxflmx
)())(0)(0()( Grfica: Figura 5
Definicin: kxfMxxMkxflmx
)())(0)(0()( Grfica: Figura 6
Definicin: kxfMxxMkxflmx
)())(0)(0()( Grfica: Figura 7
Definicin: kxfMxxMkxflmx
)())(0)(0()( Grfica: Figura 8
Figura 7 Figura 8Definicin: kxfaxxkxflm
ax
)(0))(0)(0()(
Definicin: kxfxaxkxflmax
)(0))(0)(0()(
Ejercicio.Trazar la grfica de la definicin anterior.
0
k
f(x)
Y
M xX
Y
f(x)
k
0 X x M
Y
f(x)
k
0
M x X
0
k
f(x)
Y
x M
X
Figura 5 Figura 6
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X
Y
a x a +0
f(x)
k
kxfaxxkxflmax
)(0))(0)(0()( Definicin:
Definicin: kxfxxxkxflmoxx
)(0))(0)(0()(0
Ejercicio.Trazar la grfica de la definicin anterior.
Teoremas sobre Lmites
1.
x
lmx
1
0 2.
x
lmx
1
0
3. 0
1
xlmx 4. 0
1
xlmx
Propiedades de los Lmites
1.Sean 0)(
xflmax
; Mxglmax
)( ; si M0 y 0)(xf :
)(
)(
xf
xglm
ax
5.Sean
)(xflmax
; Mxglmax
)( ; M ;
)()( xgxflmax
6.Sean 0)(
xflmax
; Mxglmax
)( ; si M>0 y 0)(xf :
)(
)(
xf
xglm
ax
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7.Sean 0)(
xflmax
; Mxglmax
)( ; si M>0 y 0)(xf :
)(
)(
xf
xglm
ax
8.Sean
)(xflmax
; Mxglmax
)( ; M ;
)()( xgxflmax
9.
Sean )(xflmax ; Mxglmax )( ; M ; )()( xgxflmax
10. Sean
)(xflmax
; Mxglmax
)( ; M ;
11. 0Msi ;
)()( xgxflmax
;
12. 0Msi ;
)()( xgxflmax
13. Sean
)(xflmax
; Mxglmax
)( ; M ;
14. 0Msi ;
)()( xgxflmax
;
15. 0Msi ;
)()( xgxflm
ax
Ejercicio: Usa la informacin de la grfica para responder.
Nota:la resolucin de este tipo de ejercicios requiere construir el par ordenado para ello se
ubica el valor de x, se llega a la grfica y luego se ubica el valor L, si son iguales por la izquierda ypor la derecha, el lmite existe, si no, no existe.
-3 0 1 X
Y
32
y = -2-1-1
1. )(xfx
lm
= _____-2_____
2. )(
3
xf
x
lm
= ___2______
3. ( )3
lm f xx
=___3_______
4. )(
0
xf
x
lm
= ____-1______
5. ( )
0
lm f x
x
= ____0______
6. ( )lm f xx
= ____+_____
7. ( )lm f xx
= ____-2______
8. )(
1
xf
x
lm
= __ ______
9. )(
1
xf
x
lm
= ___ ______
10. )(0
xfx
lm
= ___No existe__
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Actividades: Analice el siguiente grfico y complete las igualdades que se presentan.
Lmites indeterminados
Cuando se intenta evaluar lmites de cocientes y diferencias, puede ocurrir que:
a) Si
)(
)(
xQ
xPlm
axsiendo a una raz de los polinomios )(xP y )(xQ , el lmite conduce a una
indeterminacin de la forma0
0.
b)
Si
)(
)(
xQ
xPlmx , conduce a una indeterminacin de la forma
c) Si )()( xQxPlmx
,
)(
)(
)(
)(
2
1
2
1
xQ
xQ
xP
xPlm
x
)(
)(
)(
)(
2
1
2
1
xQ
xQ
xP
xPlm
ax, conduce a una
indeterminacin de la forma
En estos casos, debe procederse a hacer el tratamiento adecuado.
- En el primer caso, implica usar procesos y artificio matemticos que permitan lafactorizacin de ambos polinomios para proceder a reescribir la expresin y a su
simplificacin y as resolver la indeterminacin.
- En el segundo caso, se hace necesario el trabajo con la partcula que genera el mayor delos grandes nmeros, factorizar por tal expresin, simplificar y evaluar.
En el tercer caso, debe procederse con las operaciones adecuadas por la expresin, a llevar la
indeterminacin a la expresin0
0o
, y proceder segn sea el caso.
1. ___________)(1
xflmx
2. ___________)( xflmx 3. ___________)(
1
xflm
x
4. ___________)(1
xflmx
5. ___________)(
xflmx
6. ___________)(1
xflmx
Y
X
x =1
2
1
2
1
y=f(x )
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1. Evale los siguientes lmites
d)
4
21
22 x
xlmx
e) 122
xxxlmx
f)
3 126
24
2782
145
xx
xxlm
x
g)
x
x
xlm
4
42
h)
2
22
2 x
xx
xlm
i) 3 233 1 xxxx
lm
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Continuidad.
La idea de continuidad est asociada a una trayectoria que no muestra o presenta "baches" o roturas.Pudiera asociarse a:
Geomtricamente: una lnea recta. Fsicamente: una trayectoria sin interrupciones, intuitivamente: una carretera ideal que no tiene
"huecos" Una curva que se traza sin levantar el lpiz.
Si consideramos la siguiente grfica
En ella podemos observar cmo podemos irininterrumpidamente del punto P al punto Q,pasando por R.
Que implicaciones tiene esto cuando pasamos porR:
1. Existe la imagen del punto a2. Los limites laterales en a son iguales3. El lmite en x = a es igual a la imagen de a
A diferencia del concepto de lmite de una funcinen un punto (la variable tiende a un punto deacumulacin) donde dicho punto no se llega a tocar,en el concepto de continuidad se agrega que el
punto debe existir para completar el trazo de la curva (asumido de manera emprica) (Braschi, 2000,p.69)Definicin
Para que una funcin, sea continua en un punto x = a, de un intervalo, son necesarias las siguientescondiciones:
1. Que la funcin exista en dicho punto, lo que es lo mismo que la funcin est definida en elpunto.
2. Que la funcin tenga lmite y sea finito.3. Que el valor de la funcin en x = a, sea igual al lmite en a
Definicin Formal: Una funcin f(x) es continua en x = a si se cumplen las tres condiciones
siguientes:
)()()
)()()()
)()
afxflmiii
xflmxflmxflmii
afi
ax
axaxax
Continuidad en un intervalo
Una funcin es continua en un intervalo abierto (a,b) si lo es en cada uno de sus puntos.
Y
X
f (x)
x1 x x2
R
P
Q
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-1 0 3 5 8 12
X
Y
Una funcin es continua en un intervalo cerrado [a,b] si lo es en cada uno de los puntos de (a,b) yadems es continua por la derecha en a y por la izquierda en b
Actividades.En el siguiente grfico los conceptos estudiados se ponen de manifiesto
En l puede observarse como la funcin es continua.
1. a la derecha de -1,2. a la izquierda de 8, y3. en los intervalos [-1,5), (5,8) y [8,12)
Responde las siguientes cuestiones:
Cules son las razones por las cuales no se incluyen x = 3 y x = 8?
Ocurre algo especial en x = 1?
Discontinuidad
Definicin: Si una funcin deja de cumplir con alguna de las condiciones establecidas, entonces lafuncin es discontinua. Este tipo de funciones presentan tres variantes:
Discontinuidad Evitable
)()()3
)()2
)()()1
afxflm
xflm
afaf
ax
ax
Discontinuidad de Salto:
)()2
)()()1
xflm
afaf
ax
~
~
-
7/21/2019 Matemtica I MAFP 2012
21/51
PROF. MARA NGELA FLORES P. 21. Octubre, 2012
Discontinuidad Infinita1) ( ) ( )f a f a 2) Al menos uno de los lmites laterales es infinito
EjemploEn el grfico se observa como en x = 5 la funcin presenta discontinuidad evitable, en x = 1
discontinuidad de salto, en x = - 2 discontinuidad infinita y en x = 3 discontinuidad infinita slo por la
izquierda.
En el grfico puede observarse como la funcin es continua.
1. a la derecha de -1,2. a la izquierda de 8, y3. en los intervalos [-1,5), (5,8) y [8,12)
Ejemplo:
Estudiar la continuidad de la funcin
En este caso hay que ir comprobando las tres condiciones de la continuidad en un punto.
i. Existe )?
ii. Existe )(2
xflmx
?
Si existe el2
( )xlm f x
, los lmites laterales (L1y L2) son iguales. As:
Si ; y L1=2
(2 )x
lm x
; L1= 0
Si ; y L2= 2
2( 2 )
xlm x x
; L2= 0
Como L1= L2= 0;2
( ) 0xlm f x
~
-
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22/51
PROF. MARA NGELA FLORES P. 22. Octubre, 2012
iii.2
( ) (2)?xlm f x f
Verificando, se tiene:2
( ) 0xlm f x y
, entonces2
( ) (2) 0xlm f x f
Respuesta: es continua en
De igual manera en los distintos ejercicios, verificando las condiciones en caso de que no sea
continua.
Actividades
1. Cules son las razones por las cuales no se incluyen x = 3 y x = 8?2. Ocurre algo especial en x = 1?3. Estudia la continuidad de las siguientes funciones
35
3211
32
)(
xsi
xsix
xsix
xf
105
012
13
)(
2
xsix
xsi
xsix
xf
23
432
24
4
022
cos
0sen
)(
xsi
xsi
xsix
xsix
xf
)3(
1)(
xxxf
16
4)(
2
2
x
xxxf
-
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23/51
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Unidad II. Clculo Diferencial. Parte I.
Incrementos y Tasas.
Introduccin.Las nociones de variable, funcin y lmite, marcan el inicio de cuatro siglos de avance continuo delClculo, an no se agota el inmenso caudal de aplicaciones en la solucin de problemas fsicos,geomtricos, de ingeniera y sociales, por su gran aplicabilidad como herramienta de modelacin. Destas nociones se desprende el concepto de derivada, el cual se explica por dos vas: el problema de lavelocidad y la definicin de recta tangente. Ambos conducen al mismo clculo: el lmite del cocientede los incrementos cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero.
Incrementos:
Dada la funcin )x(fy , se define como la variacin o incrementode la variable x a la diferencia de
los valores que toma en dos instantes consecutivos y se denota: 01 xxx
Dada la funcin )x(fy , se define como la variacin o incrementode la variable y a la diferencia de
los valores que toma en dos instantes consecutivos y se denota: 01 yyy
Grficamente:
De acuerdo a lo conocido si se realiza el cociente del incremento de las variables dependiente eindependiente el conduce al concepto de Pendiente de una recta. Esta indica el incremento de la
abscisa (x) en relacin a la ordenada (y). Cabe preguntarse, entonces, como interpretar los incrementosde las variables para una curva. El siguiente ejemplo muestra el caso de la relacin de cmo seextiende un rumor en un grupo humano de 10.000 personas, Tal como muestran la grfica y la tabla devalores.
)x(fy
x
y
Y
Xx0 x1
y0
y1
x
y
Y
X
)x(fy
x0 x1
y1
y0
0y 0y
-
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Propagacin de un rumor
01000200030004000500060007000
80009000
10000
t= tiempo en das
N(t)=Nmerode
personas
quehanoidoe
lrumor
N(t)
N(t) 1 6 40 245 1368 5000 8631 9754 9960 9994 9999
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Puede observarse como el nmero de personas que oye el rumor aumenta cada da, pero entre los das 3y 7, lo hace ms rpidamente que en los primeros y los ltimos al calcular las pendientes en esta serie
de datos en perodos de dos das, tendremos:t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
N(t) 1 6 40 245 1368 5000 8631 9754 9960 9994 9999
m 5 34 205 1123 3632 3631 1123 206 34 5
Se ve como entre los das 4 y 7 se extendi el rumor a ms personas, entre los primeros y ltimos dosdas fue cuando menos se extendi. Si se compara esto con el trazo de la curva se evidencia como enstos das cuando menos personas supieron del rumor la curva es casi horizontal y, en los que seenteraron ms, es ms inclinada. De tal manera que, en la inspeccin de la grfica, la interpretacincoincide con los valores de las pendientes de las rectas trazadas entre dos puntos consecutivos de lacurva (recordar que el concepto intuitivo de la pendiente de una recta indica su grado de inclinacin)
Al revisar este otro ejemplo, sobre el nivel del agua en un tanque en un conjunto residencial, seevidencia otro caso.
Consumo de agua en galones
27000
27500
28000
28500
29000
29500
30000
30500
t=tiempo
N(t)=Niveleneltanqueenel
tiempo
N(t)
N(t) 30000 29600 29200 28800 28400 28000
0 1 2 3 4 5
-
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Si se procede ahora a calcular la pendiente, se obtendr:
t 0 1 2 3 4 5
N(t) 30000 29600 29200 28800 28400 28000
m -400 -400 -400 -400 -400
Por tratarse de una recta, la pendiente es una constante (recordar que corresponde al coeficiente de lavariable independiente) En este caso el volumen en el tanque disminuye, Obsrvese como a medida quepasan los das el volumen es menor; esta relacin inversa est representada por el signo menos de lapendiente.
La pendiente de una recta tiene varias propiedades importantes de recordar:1. Si ambas variables (independiente y dependiente) se incrementan, la pendiente es positiva.2. Si la variable independiente se incrementa y la dependiente disminuye, la pendiente es negativa.3. Si la variable dependiente no vara, la pendiente es cero (0)
4. Rectas paralelas tienen la misma pendiente.5. EL producto de las pendientes de las rectas perpendiculares es 1.
La razn de haberse detenido a recordar estos detalles es que la Tasa Promedio de Cambio es,geomtricamente, la pendiente de la recta secante entre dos puntos de una curva y la Derivada de unafuncin en un punto es la pendiente de la recta tangente a su curva en dicho punto.
Tasa Promedio de Cambio. (Razn de Cambio o Razn Promedio de Cambio)Dada la funcin )x(fy , la razn de cambiodesdex0ax1se define como el cociente del cambio de lavariable dependiente entre el cambio de la variable independiente. Se denota:
x
xfxxfTPC
xx
xfxfTPC
xx
yyTPC
x
yTPC
)()(
;)()(
;
;
00
01
01
01
01
Trabajo:1. Conformar equipo de 2 personas2. Seleccione el indicador de su inters de las pgina s
http://www.ine.gov.ve/documentos/see/sintesisestadistica2010/index.htmhttp://www.bcv.org.ve/c2/indicadores.asp
3. Seleccione el tema de su inters en la ventana que se abre.4. Seleccione 2 series de los datos.5. De contexto y realice las TPC entre los valores consecutivos y entre el inicial y el final6. Interprete losa resultados
http://www.ine.gov.ve/documentos/see/sintesisestadistica2010/index.htmhttp://www.ine.gov.ve/documentos/see/sintesisestadistica2010/index.htmhttp://www.bcv.org.ve/c2/indicadores.asphttp://www.bcv.org.ve/c2/indicadores.asphttp://www.bcv.org.ve/c2/indicadores.asphttp://www.ine.gov.ve/documentos/see/sintesisestadistica2010/index.htm -
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Tasa Instantnea de CambioLa Tasa Instantnea de Cambio (TIC) de f(x) se define como el lmite de las razones promedio del
cambio en un intervalo xxx 00, cuando x tiende a 0.
Cuando 0x , es decir con incrementos muy pequeos, y suponiendo que el lmite exista, la TasaPromedio de Cambio (TPC) se aproxima a la Tasa Instantnea de Cambio de y respecto a x, sedenota:
x
xfxxflmTICx
)()( 000
La interpretacin geomtrica de estos conceptos se muestra en el siguiente grfico:
Derivada por definicin.
Sea f una funcin definida en un intervalo abierto y x0 un punto cualquiera de dicho intervalo, la
funcinf tiene una derivada en el punto x0, si y slo si existe el
0
0
xx xx
)x(f)x(flm
0
.
Si el lmite existe (es un nmero real) la derivada es finita y se designa f(x0) =
0
0
xx xx
)x(f)x(flm
0
.
El valor def (x0) considerado como imagen de cada punto del dominio, donde fes derivable, permitedefinir una nueva funcin fque se llama funcin derivada. El dominio de f est formado portadoslos puntos del dominio de fpara los cuales existef (x0), por lo tanto Df (x)Df (x).
Igualmente, la existencia del lmite implica que las derivadas laterales deben ser iguales.
1. La TPC se corresponde con la pendientede la recta secante (RS)
2. La TIC se corresponde con la pendientede la recta tangente (RT)
3. Geomtricamente se define la derivada deuna funcin en un punto como lapendiente de la recta tangente en esepunto.
4. Se denota (segn Leibnitz) )(xfdx
dy
5. La TIC en x0 es igual a la derivada en
dicho punto. )( 0xfTIC 6. dy = (TIC)(x)7. E = | y - dy |
x0 x1 X
Y
y1
)x(fy RS
RT
dy
E
y
dx= x
-
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Teorema de la Derivabilidad.
Toda funcin es derivable en un punto x0si existe el lmite del cociente incremental, por la derecha ypor la izquierda y adems estos son iguales.
Formalmente: 0 0 0 00 00 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( );x x
f x x f x f x x f xf x f xx x
lm lm
Teorema
Si una funcin )x(fy tiene derivada en x0, entonces es continua en x0.Esto significa que para una funcin la propiedad de ser derivable es ms fuerte que la de ser continua.
El recproco del teorema no se cumple, existen funciones continuas en un punto y no derivables en l.
DerivabilidadimplicaContinuidadContinuidad no implicaDerivabilidad
Ejercicios1) Para cada una de las siguientes funciones determine, para los cambios indicados: a)Tasa Promedio
de Cambio (TPC); b) Tasa Instantnea de Cambio (TIC) y c) Error
a) 0152212 103 ,xyx;xx)x(f
b) 250002522 ,xy,x;x)x(f
c) 2132
110
xyx;x
)x(f
2) Resuelva los siguientes problemas:a) Un estudio de productividad del turno matinal en cierta fbrica revela que un obrero medio
que llega al trabajo a las 8:00 a.m. habr ensamblado xxx)x(f 156 23 radios xhoras ms tarde.
i) Deduzca la frmula para encontrar la razn a la cual el trabajador ensamblar radiosdespus dexhoras.
ii) A las 9:00 a.m. A qu razn ensambla radios el trabajador?iii)Cuntos radios ensamblar el trabajador realmente entre las 9:00 a.m. y las 10:00
a.m.?b) Se estima que dentro de t aos la poblacin de cierta comunidad suburbana ser
1
620
t)t(P miles de habitantes.
i) Obtenga la frmula para encontrar la razn a la cual cambiar la poblacin, conrespecto al tiempo, dentro de t aos.ii) A qu razn cambiar la poblacin dentro de t aos?iii)Cunto cambiar la poblacin realmente en el segundo aos?iv)A qu razn cambiar la poblacin dentro de 9 aos?v) Qu suceder con la razn de crecimiento de la poblacin a largo plazo?
-
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c) Las ganancias anuales brutas de cierta compaa fueron 201010 3 tt,)t(G miles deU.M. t aos despus de su formacin en 1997 A qu razn crecieron las ganancias anualesbrutas de la compaa respecto al tiempo en 2001?
d) El Producto Nacional Bruto (PBN) de cierto pas era 65
2
tt)t(N miles de millonesde dlares t aos despus de 1980 A qu razn cambi el PNB con respecto al tiempo para1988?
3) A partir de las siguientes grficas determine:a) Intervalos de continuidad de la funcin y de derivabilidad de la funcin.b) Puntos en los cules la funcin es continua pero no derivable y donde no es continua ni
derivable.a)
b)
4) Para las siguientes funciones, determine si )(xf es continua y derivable.
a)
xsix
xsix)x(f
273
223 b)
xsix
xsix)x(f22
242 c)
331 xsix)x(f
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
Y
X
X
Y
a b c d e f g
-
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d) 113 xsix)x(f e)
xsix
xsix)x(f
0
0
32
32
f)
xsixxsix)x(f052
05
2
e) Compruebe que la funcin 24 x)x(f es continua en el intervalo 22, y que )(f 2 y)(f 2 no existen.
f) Dada
bxsix
bbxsix
)x(f072
i. Para qu valor de b es )x(f continua?
ii. Es derivable en el valor encontrado?
Funcin Derivada
La derivada de una funcin f es aquella funcin, denotada por )( xfdx
dy y est dada por:
x
)x(f)xx(f)x(f
x 0
lm
Si este lmite existe
La funcin derivada es la expresin quepermite calcular la derivada en cualquierpunto del su dominio. Como puede observarseen el grfico la recta tangente tiene distintaspendientes dependiendo del punto donde secalcule.
Y
-
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Ejercicios:
5) Determine la funcin derivada por definicin y la pendiente de las rectas tangente y normal en parael valor indicado.
a) 12 x;cbxax)x(f b) 46
2
x;
x
)x(f c) 24
12
x;
x
x)x(f
d)2
3
x)x(f ; x = 4 e) 542 x;x)x(f f) 215 x;x)x(f
Algebra de Derivadas
1) 0)k( 2) 1)x(
3) )x(g)x(f)x(g)x(f
4) )x(g)x(f)x(g)x(f)x(g)x(f
En consecuencia:
kkx
)x(fk)x(kf
5) 2)x(g
)x(g)x(f)x(g)x(f
)x(g
)x(f
. En consecuencia:
2)x(f
)x(fk
)x(f
k
k
)x(f
k
)x(f
6) 1 nn nx)x( . En consecuencia: 1 nn knx)kx(
7) )x(f
)x(f)x(f
2
. En consecuenciax
)x(2
1
8) )x(fa)a(lna )x(f)x(f . En consecuencia xx a)alna y xx ee
9) )x(f
)x(f)x(fln
. En consecuencia
x
elog)x(log
xxln
1
10) )x(fcos)x(f)x(fsen . En consecuencia: )xcos()x(sen
11) )x(fsen)x(f)x(fcos . En consecuencia: )x(sen)xcos(
12) )x(fsec)x(f)x(ftg 2 . En consecuencia: )x(sec)x(tg 2
13) )x(fcsc)x(f)x(fctg 2 . En consecuencia: )x(csc)x(ctg 2
14) )x(ftg)x(fsec)x(f)x(fsec . En consecuencia: )x(tg)xsec()xsec(
15) )x(fctg)x(fcsc)x(f)x(fcsc . En consecuencia: )x(ctg)xcsc()xcsc(
-
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Derivada de la Funcin compuesta y Regla de la Cadena
Sea y = )u(f ; u = )x(g , entonces y = )x(gf y su derivada es )x(g)x(gf
dx
dy o
dx
du
du
dy
dx
dy
Ejercicios:
6) Derive las siguientes funcionesa) 312 x)x(f b) x)x(g 68
c) 424 45 xxx)x(h d)x
xx)x(f 1
33 2
e)24
4 tt)t(g f)2
2
7
10 435 y
yy)y(h
g) 1223 32 zzz)z(f h)43
12
x
x)x(g
i)3
24 352
x
xxx)x(h
j) 13
52
12
tt
t)t(f
k) xex)x(f 2 l)x
e)x(g
x
31
3
m) xex)x(h 21 n) xlne)x(h x
) xcos)x(f 23 o) tcos)t(g 2
p)zsec
)z(f3
4 q)
23 xe.x)x(f
r) xex
xg .31
)(
s)
1
3
x
xe)x(h
x
t) )x()x(f 75ln u)
1ln
x
xe)x(g
x
v) x)x(h lnln w))x(
e)t(f 1ln2
x) yey)y(g 2ln y) te.t)t(h 22 z) x).x()x(f 31 2lny)y(f)
4
2
91
1000
t
)t(g) xcos)x(f) 23
-
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xcos)x(g) 2ln xcose)x(h) x 2
)x(y) tgln
x
xy)
sen1
sen1ln
24
x
ey)
x xcos.xy) sen2
)x(cosy) 1ln
1ln 2xxy)
Derivada de la funcin inversa: La derivada de la inversa de una funcin es igual al recproco de laderivada de la funcin. Formalmente:
11 111)x(f
)x(ff;)x(f)x(ff;x)x(ff:x
7) Derive aplicando la Regla de la Cadena y obtengadydx
dxdy y :
a)x
z,zy 214 2 e)
xb
xbt,
ta
tay
b) 13
3 2
xw,w
wy f) xp,
p
py
1
1
c) xu,uy 216 g) 12ln xz,senzw,wy
d) xxu,uuy 322 h) 31ctg xs,s
t,ew,wy t
Derivadas Implcitas. La funcin )x(fy se encuentra en forma explcita, cuando se escribe0)y,x(f , se dice que est escrita en forma implcita. Para derivarla se aplican las reglas de
derivadas considerando a y como una funcin como una funcin de x, y despejando luego en la
ecuacin resultante la derivadadx
dy .
Derivacin Logartmica. Se aplica en expresiones que involucran operaciones combinadas deproductos, cocientes y radicales con un trabajo muy pesado y en caso de expresiones de funcionesexponenciales de base funcional. El proceso se ejecuta en cuatro fases:
i) Aplicar funcin logartmica en ambos miembros.ii) Aplicar propiedades de los logaritmos
iii)Derivar implcitamenteiv)Despejar
dx
dy
v) Sustituir la expresin original.
-
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Ejercicios.
Derive las siguientes funciones en forma implcita:
a) 53 3151515 yyyx f)
x
yxy ln2
b) 3 yyx g) ylnxyxln 22 c) ayxyx 2 h)
45
2
234
5
xx
xxy
d) yx xeycose i)x
xy
22
1
e) xcosy)yxcos( j) xcos)ax(seny
Derivadas sucesivas (Derivadas de orden superior). Si )x(fy es una funcin derivable, )x(f se
denomina derivada de primer orden de )x(fy . Si )x(f es una funcin derivable, )x(f sedenomina derivada de segundo orden de )x(fy . En general, si )(xfy tiene derivada de orden
(n 1) y )x(fn 1 es a su vez una funcin derivable, )x(fn es la derivada de orden ensimo de)x(fy
Notacin: Ejemplo de la 5ta derivada: )y(D),x(fD,dx
yd,y),x(f x
v 555
55
8) Determine la expresin de ny :
a)x)x(f
1
1 d)x)x(f 31
2
g)
432
12
)x()x(f
b)xe)x(f 5 e)
23
1
x)x(f h)
x
x)x(f
32
21
c)x
x)x(f
1
1 f) xy 2sen
9) Verifique que las funciones dadas satisfacen la ecuacin indicada:
04cos
663
0coslnsenln
1
233
2
yyxey)iv
xxxy'''y''y'yyxy)iii
y'xy''yxxxy)ii
y)x('xy,xey)i
ivx
iv
x
-
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34/51
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Aplicacin Geomtrica de la Derivada. Recta Tangente y Recta Normal.Consideraciones:
La derivada de una funcin en un punto es por definicin la pendiente de la rectatangente en dicho punto
La recta normal es la perpendicular a la recta tangente en el punto en estudio. La ecuacin de la recta ax es tangente vertical al grfico defen el punto )a(f,a si
y slo si
ax
)a(f)x(f
axlm
La ecuacin de la recta ax es tangente horizontal al grfico defen el punto )(, afa
si y slo si 0lmax
ax
)a(f)x(f
Ecuacin de la recta punto pendiente: )xx(myy 11 Relacin de paralelismo:
21 LL , 21 mm
Relacin de perpendicularidad:
21 LL ,2
1
1
mm
Ejercicios.
10)Resuelva los siguientes problemas:a) Hallar la ecuacin de las rectas: tangente y normal, a las siguientes curvas en el punto indicado:
i) (2,2)33 ,xxy ii) (2,5)3
12,
x
xy
iii) (3,2)016222
,yxyx b) Hallar los puntos de contacto de las tangentes horizontales y verticales de cada una de las
siguientes curvas:
i) 225 xxy ii) 063 2 xyy iii) 81258 22 yxyx
c) Hallar la ecuacin de la recta normal a la parbola 25 xxy que forma un ngulo de45 con el eje de las abscisas.
d) Hallar las ecuaciones de las tangentes al crculo 5822 yx que son paralelas a larecta 1973 yx
e) Encontrar la ecuacin de la recta tangente a la curva xlny 1 , que pasa por el punto
(0,3)f) Encontrar la ecuacin de la recta tangente a la grfica de la funcin definida por
134 x)x(f ; que es perpendicular a la recta 0112 yx g) Encuentre la ecuacin de la recta tangente y de la recta normal a la grfica de
3 22 4 5 3y x x x en los siguientes puntos: P(0,5); P(-1,4) y P(1,-2)
h) Encuentre los puntos sobre la grfica de3 22 4 5y x x x para los cuales la recta
tangente es 1)Horizontal, 2) Paralela a la recta 2y + 8x5 = 0
-
7/21/2019 Matemtica I MAFP 2012
35/51
PROF. MARA NGELA FLORES P. 35. Octubre, 2012
i) Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 11
yx
que son
perpendiculares a la recta 4 2 0x y
j) Determine los puntos de tangencia horizontales y verticales de2 24 16 27x xy y
k) Determine los puntos en los cuales la curva3 5y x su tangente es: 1) Paralela a la
recta 12 17x y ; 2)Perpendicular a la recta 3 2x y
-
7/21/2019 Matemtica I MAFP 2012
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Unidad III
Teoremas del Valor Medio. Aplicaciones
Teorema de Rolle: Si f es una funcin continua en el intervalo ,a b y derivable en el intervalo
,a b y adems ( ) ( ) 0f a f b entonces existe al menos un x c en el intervalo ,a b tal que( ) 0f c
Hiptesis:
i) f es continua en ,a b
ii) f es derivable en ,a b iii) ( ) ( ) 0f a f b
Tesis:
, / ( ) 0c a b f c
Grficamente:
CorolarioSi f es una funcin que cumple las condiciones (i) y (ii) del Teorema de Rolle y si (iii) ( ) ( )f a f b ,
entonces existe al menos un x c en el intervalo ,a b tal que ( ) 0f x Grficamente:
0 a c b X
Y
y = f(x)
0 a c b X
Y
y = f(x)f(a)=f(b)
RT; m= 0
RT; m= 0
-
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37/51
PROF. MARA NGELA FLORES P. 37. Octubre, 2012
Interpretado geomtricamente, el Teorema de Rolle significa que si una curva alcanza el mismo valor
en dos puntos, entonces debe poseer una tangente horizontal en algn punto intermedio.
Teorema de Lagrange: Si f una funcin continua en el intervalo cerrado ,a b y derivable en todopunto del intervalo abierto ,a b , entonces existe al menos un punto c donde ( ) ( )( ) f b f af c
b a
Hiptesis:
i) f es continua en ,a b
ii) f es derivable en ,a b Tesis
( ) ( )
, / ( ) f b f a
c a b f c b a
Grficamente:
Geomtricamente, la pendiente de la recta tangente y la secante que pasa por los puntos , ( )A a f a y
, ( )B b f b son iguales. Entonces, el teorema expresa que existe al menos un punto en el intervalo
,a b donde la tangente a la curva es paralela a la recta que pasa por A y B.
La Ecuacin de la recta tangente queda:
( ) ( )y f c f c x c
La Ecuacin de la recta secante queda: usando , ( )A a f a : ( ) ( )y f a f c x a
La ecuacin de la recta normal queda:
1
( )( )
y f c x c f c
0 a c b X
Yy = f(x)
f(a)
f(b)RT
RS
B
A
-
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PROF. MARA NGELA FLORES P. 38. Octubre, 2012
Teorema de Cauchy Si f y g son funciones continuas en el intervalo ,a b y derivables en el
intervalo ,a b y adems ( ) 0g x para todo valor de x en dicho intervalo (esto es equivalente a
afirmar que ( ) ( )g a g b ); entonces existe un valor c en el intervalo ,a b
, tal que
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f c f b f a
g c g b g a
Hiptesis:
i) f y g son continuas en ,a b
ii) f y g son derivables en ,a b
iii) ,( ) ( ) ( ) 0 a bg a g b g x x Tesis:
( ) ( ) ( )
. /( ) ( ) ( )
f c f b f ac a b
g c g b g a
Regla de LHopital Sean f y g funcionesderivables en todo el intervalo ,a b , excepto posiblemente
en c. Si ( ) 0g x para x c y si( )
( )
f x
g xtiene forma indeterminada 0o
0
en x c , entonces:
( ) ( )lim lim
( ) ( )x c x c
f x f x
g x g x
Siempre que( )
( )
f x
g x
tenga lmite o tienda a o a
Para trabajar las otras formas indeterminadas ;0;1 ; 0 y 00 deben transformarse a las
indeterminaciones 0o0
a fin de poder aplicar la Regla de lHpital.
Ejercicios (Teoremas del Valor Medio)
1. Compruebe el Teorema de Rolle y hallar en cada caso los valores de x para los que f(x ) yf (x ) se anulan
a. 3 2( ) 3f x x x
b.2 3( ) 6f x x x
c. ( )f x senx d. ( ) lnf x x x 2. Compruebe el cumplimiento de las hiptesis del Teorema de Rolle, determine el valor en el cual
hay una tangente horizontal y grafique las siguientes funciones:
a. 3 4 3( ) 3f x x x ; 0,3
b.2 6
( )3
x xf x
x
; 2,3
-
7/21/2019 Matemtica I MAFP 2012
39/51
PROF. MARA NGELA FLORES P. 39. Octubre, 2012
c. 3 6 1
( ) ; 2,44 1
x si xf x
x si x
d.2 3( ) 3cos ; ,
2 2
f x x
3. Si 3 21y x , entoncesy= 0 cuando x = -1 y cuando x = +1. Segn el Teorema de Rolle
Puede asegurar que f (x ) se anula para algn valor del intervalo 1,1 ? Argumente surespuesta.
4. Verifique si se cumplen las hiptesis del Teorema del Valor medio de Lagrange para las
funciones dadas en el intervalo 1,1 y justificar su respuesta.
a. 1( )f xx
b. 3 2( )f x x
5. Verifique si se cumplen las hiptesis del Teorema del Valor medio de Lagrange para lasfunciones dadas en los intervalos indicados en cada caso y escriba la ecuacin de la recta
tangente en el punto , ( )c f c .
a. 3 2( ) ; 2,1f x x x x
b. ( ) 1 cos ; ,2 2
f x x
c. 2 4
( ) ; 2,67
x xf x
x
d. 2 1
( ) ; 1,22 5
xf x x
e. 2 3 3
( ) ; 1,515 2 3
x si xf x
x si x
6. Obtenga todos los valores que satisfacen en el intervalo indicado la conclusin del Teorema deCauchy.
a. 3 2( ) , ( ) ; 0,2f x x g x x
b. 2
2 2
2 1( ) , ( ) ; 0,2
1 1
x xf x g x
x x
c. ( ) cos2 , ( ) ; 0, 2f x x g x senx
d. ( ) 5, ( ) 3; 4, 1f x x g x x
-
7/21/2019 Matemtica I MAFP 2012
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PROF. MARA NGELA FLORES P. 40. Octubre, 2012
Ejercicios (Regla de lHopital)
7. Evale los siguientes lmites:
a.
2
3coslm
2 5x
x
x
b.0
lmx
tgx x
x senx
c.0
coslm
x
x
e x
xsenx
d.2
2
ln( )lm
(1 2 )x
senx
x
e.0
2 3lm
6
x x
x x
f.2
lm2
x
x
e
x
g.
2
ln(cos )lm
ln(tg )x
x
x
h.0
1 1lm
senx x x
i. 1
lm 1 ln( 1)x
x x
j.1
0lm x
xxe
k. 2 4 2lm 2x
x x x
l. 2
lm xx
xe x
m. ln
0lm 1
x
xx
n.0
2
1lm 1
2
x
x x
o.tg
0
1lm
x
x x
p. 21
2 1lm
11x xx
q. 20
14lm 2x
x
xe x
r. 0
lm sen ln(sen )x
x x
s. 22
lm 1x
xex
t.
1
0lm cos x
xx
-
7/21/2019 Matemtica I MAFP 2012
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PROF. MARA NGELA FLORES P. 41. Octubre, 2012
Unidad IV
Parte I: Aplicaciones de la Derivada en el Estudio de Curvas.
Crecimiento y Decrecimiento.Crecimiento. Definicin: Una funcin es creciente en elintervalo ba, si:
baxx
xfxxfxbax
,para
)()(:0,,
Teorema 1. Si una funcin f es estrictamente creciente (ocreciente) en un intervaloI, entonces en cada punto de dichointervalo dondefes derivable la derivada es positiva.
Decrecimiento. Definicin: Una funcin )(xfy es
decreciente en el intervalo ba, si:
baxxxfxxfxbax
,para
)()(:0,,
Teorema 2. Si una funcin fes estrictamente decreciente (odecreciente) en un intervalo I, entonces en cada punto dedicho intervalo dondefes derivable la derivada es negativa
Las funciones estrictamente crecientes o decrecientes se
denominan, en general, montonas.Las funciones estrictamente crecientes o decrecientes se denominan, en general, montonas.
Valor Crtico (VC).
Seafuna funcin definida en un intervalo (abierto-cerrado) el
puntox0( Dfx 0 ) es unpunto crticode fen dicho intervalo
si se cumple una de las siguientes condiciones:
a. Ix 0 y 0)( 0 xf (pto. estacionario)
b. Ix 0 y )( 0xf (pto. singular; no hay derivada finita)c. 0x es uno de los extremos deI(pto. de frontera )
Extremos Relativos y Absolutos.Extremos de una funcin: Se llaman valores extremos de una funcin los mximos o mnimoslocales (relativos) o absolutos de una funcin.
)()( xfxxf
)()( xfxxf
i
0 x x+ x X
Y
f(x)
f(x+x)
0 x x+ x X
Y
f(x+x)
f(x)
)(xfy
)(xfy
0 X
Y
a
b
c
)(xfy
-
7/21/2019 Matemtica I MAFP 2012
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PROF. MARA NGELA FLORES P. 42. Octubre, 2012
Extremos Locales (Relativos)
Criterio. Sif es derivable y 0x es un VC def, entonces )( 0xf es:
Un mximo local si existe un intervalo (a,b) que contenga a 0x tal que )( 0xf es el mximo
valor def en (a.b) Un mnimo local si existe un intervalo (a,b) que contenga a 0x tal que )( 0xf es el mnimo
valor def en (a.b)Criterio de la Primera Derivada
Sif es una funcin derivable, Dfx 0 y 0)( 0 xf , si existe un entorno de 0x tal que para todo
xen el semientorno a la izquierda de 0x )(xf es positiva y para todoxen el semientorno a la
derecha de 0x )(xf es negativa, entonces )( 0xf es un mximo local def.
Si f es una funcin derivable, Dfx 0 y 0)( 0 xf , si existe un entorno de 0x tal que para
todoxen el semientorno a la izquierda de 0x )(xf es negativa y para todoxen el semientorno
a la derecha de 0x )(xf es positiva, entonces )( 0xf es un mnimo local def.
Criterio de la Segunda Derivada
Sif es una funcin derivable, Dfx 0 , 0)( 0 xf y existe )( 0xf , entonces si:
)( 0xf 0, )( 0xf es un mnimo local.
X
Y
Mnimo RelativoMnimo Relativo
Mximo Relativo
y = f (x)
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PROF. MARA NGELA FLORES P. 43. Octubre, 2012
Ejercicios
A. Extremos relativos. Criterio de la 1 Derivada. Halle los extremos relativos cada una de lassiguientes funciones, ubique su imagen y escriba su respuesta como un punto.
63)(2)
361)(1)3
2
xxxf
xxxf xxxf
senxxf
ln)(4)
2,2;)(3)
xexf
xxxxxf
1)()6
4432)(5) 234
B. Intervalos de: crecimientos y decrecimiento. Determine los intervalos de crecimiento ydecrecimiento de las siguientes funciones.
2
2
1)(7)
)2)(1()(6)
xxxf
xxxf
)1ln()(9)
52
3
3
2
4)(8) 23
4
xxxf
xxx
xf
x
exf
x
)(10)
C. Extremos relativos. Criterio de la 2 Derivada. Use el criterio de la 2 Derivada para determinarlos extremos relativos de las siguientes funciones.
2
24
4)(12)
6)(11)
xxxf
xxxf
2
2
4
5ln)(14)
1
)(13)
xxf
x
xxf
1)1()(15) 31 xxf
Extremos Absolutos.
Para determinar los extremos absolutos de una funcinf est definida en: Un intervalo cerrado I, se determinan los extremos locales por el criterio ms conveniente y
las imgenes de los puntos de frontera del intervalo para proceder a decidir cules son losextremos absolutos de la funcin enI. Se usa el criterio de la Primera Derivada.
En caso de tratarse de un intervalo abierto el valor extremo absoluto coinciden con el valorlocal que corresponda en dicho intervalo. Se usa el criterio de la Segunda Derivada.
y = f(x)
MnimoAbsoluto
MnimoAbsoluto
X
Y
MnimoAbsoluto
y = f(x)
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PROF. MARA NGELA FLORES P. 44. Octubre, 2012
Ejercicios
D. Extremos Absolutos. Determine los extremos absolutos de c/funcin en los intervalos que seindican
,0;72
2)(18)
2,1;9)(17)
1,8;4
)(16)
2
xxxf
xxf
xxxf
2
1;
2
1;
1
1)(20)
10,10;23)(19)
2
2
xxf
xxxf
Concavidad y Convexidad.
Concavidad de una curva. La curva correspondiente a una
funcin derivable f es cncava en un punto )(, 0xfxo si
existe un entorno reducido del punto 0x donde la curva estpor encima de la recta tangente a la misma en dicho punto.Convexidad de una curva. La curva correspondiente a una
funcin derivable f es convexa en un punto )(, 0xfxo si
existe un entorno reducido del punto 0x donde la curva est
por debajo de la recta tangente a la misma en dicho punto.
Criterio de la Segunda Derivada.
Si una funcin f tiene derivada segunda positiva en un
punto 0x y existe derivada finita en un entorno de 0x ,
entonces el grfico de f es cncavo en el punto
)(,0
xfxo .
Si una funcin f tiene derivada segunda negativa en un
punto 0x y existe derivada finita en un entorno de 0x ,
entonces el grfico de f es convexo en el punto
)(, 0xfxo .
Punto de Inflexin.
El punto )(, 0xfxo del grfico de una funcinderivable f es unpunto de inflexin si y slo si en el mismola curva el sentido de su concavidad y se anula la segundaderivada.
0 x0 X
Y
( )y f x
RT
RT
( )y f x
0 x0 X
Y
f(x0)>0f(x0)
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PROF. MARA NGELA FLORES P. 45. Octubre, 2012
Ejercicios
E. Intervalos de concavidad y puntos de inflexin. Determine los intervalos de concavidad y lospuntos de inflexin de las siguientes funciones
3
23
1)(22)
4126)(21)
xxf
xxxxf
xxxf
xxxf
ln)(24)
12)(23)
2
2
3
xxxf )3()(25)
Elementos de un estudio completo de curvas.
I. Dominio de la funcinII. Interceptos
III. Asntotas: (Vertical, Horizontal y Oblicua)IV. Estudio de la Primera Derivada (Mximos y Mnimos, Crecimiento - Decrecimiento)V. Estudio de la Segunda Derivada (ConcavidadConvexidad, Punto de Inflexin
VI. Grfica
Asntotas Horizontales y Verticales
Cuando la grfica de una funcin se comportan de la siguiente manera:
Cuando la grfica de una funcin se comportan de la siguiente manera:
Asntota Vertical. Definicin.
La recta x = a es una Asntota Vertical de la grfica de la funcin )(xfy si se verifica al menos uno de losiguientes lmites
)(xflmax
)(xflmax
)(xflmax
)(xflmax
Observacin: Si se cumplen los lmites por la izquierda y l
derecha la asntota se denomina total y si se cumple slo ulmite lateral se denomina parcial.
)(xfy
X
x=a
y = b
Puede observarse que la grfica se lavariable independiente (X) puede tomarvalores por la izquierda y la derecha dea y la grfica se tiende hacia y
. Mientras que cuando se toman loslmites hacia y , la funcin tomavalores que se acercan a b. En estoscasos se dice que tantox = a, comoy = bson asntotas de )(xfy
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7/21/2019 Matemtica I MAFP 2012
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PROF. MARA NGELA FLORES P. 46. Octubre, 2012
Asntota Horizontal. Definicin.
La recta y = b es una Asntota Horizontal de la grfica de la funcin ( )y f x si se verifica al menos uno d
los siguientes lmites: ( )xlm f x b , o ( )xlm f x b Observacin: Si se cumplen ambos lmites la asntota se denomina total y si se cumple slo un lmite laterase denomina parcial.
Asntota Oblicua. Definicin
La rectay= ax+ b es la Asntota Oblicua de la grfica de y = f (x) si:
( )limx
f xa
x
, supuesto que el lmite exista y sea diferente de cero (0), y
lim ( )xb f x a x
Colorario:Las funciones racionales en las cuales tanto numerador como denominador son polinomiosen IR, se presenta la asntota horizontal o la oblicua, si grado P(x) = grado Q(x) +1.
Esto ocurre porque el( )
lim 0x
f x
x
, por consiguiente el lim ( )x
f x
existe o es infinito
XX
Y
( )y f x
( )y f x
A. O.
Y
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PROF. MARA NGELA FLORES P. 47. Octubre, 2012
Ejercicios
A. Estudio de curvasRealice el estudio de las siguientes funciones y trace su grfica
2
2
2
4
2
26) ( ) 4 3
227) ( )
1
28) ( ) 12
f x x x
xf x
x
xf x x
2
2
2
2
829) ( )1
430) ( )
5 6
31) ( ) x
xf xx
xf x
x x
f x x e
B. Problemas diversos
36) Si la funcin )(xf tiene como derivada xxxf 4)( 2
a) En qu intervalos )(xf es creciente?, y decreciente?
b) En qu intervalos )(xf es cncava?, y convexa?c) Cules son las coordenadas x de los extremos relativos y de los puntos de inflexin?
37) Dibuje la grfica posible de una funcin )(xf que tenga las siguientes propiedades:
I. a) )(xf >0; x5
b) )(xf
-
7/21/2019 Matemtica I MAFP 2012
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PROF. MARA NGELA FLORES P. 48. Octubre, 2012
38)Responda razonadamente:
a) Todo valor crtico de 1 especie es un extremo relativo?
b) Si 3 21)( xxf es continua en Por qu no es derivable enx= 1?
c) En la funcin
1ln)( 2xxxf )(xf >0, para todo valor de x en el dominio de la
funcin, qu ocurre enx= 0?, cmo se denomina dicho punto?
40) En la grfica especifique los intervalos en los cules la 1 y 2 derivada es positiva y dnde esnegativa.
A BY
+ 1
+ 2 + 3
Y
X
4 + 4
X
-
7/21/2019 Matemtica I MAFP 2012
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PROF. MARA NGELA FLORES P. 49. Octubre, 2012
Aplicaciones de la Derivada
Parte II: Aplicaciones en la Economa
Concepto Smbolo y Frmulas DefinicinCosto Marginal C(x) Se define como el aumento del costo total necesariopara producir una unidad adicional de un bien
Costo Promedio ( )( )
C xC x
x
Es el total de los desembolsos efectuados paraproducir o vender una serie de artculos, divididoentre el nmero de unidades fabricadas o vendidas.
Ingreso Marginal I(x) El ingreso marginal es el aumento de los ingresostotales cuando se vende una unidad de producto ms.
Ingreso promedio( )
( ) I x
I x x Los ingresos medios son el resultado de dividir losingresos totales entre el nmero de unidadesproducidas; si todas las unidades se han vendido almismo precio es evidente que el ingreso medio serigual al precio. Para las empresas que actan enmercados de libre competencia, el ingreso medio esigual al ingreso marginal e igual al precio.
Utilidad U(x) =I(x)C(x) En economa se llama utilidad a la capacidad quetiene una mercanca o servicio de dar satisfaccin auna necesidad. La ciencia econmica haceabstraccin de consideraciones ticas o morales encuanto a definir lo que es una necesidad: se considerapor tal cualquier deseo de bienes o servicios quetenga de hecho el consumidor. En un sentido msamplio utilidad es equivalente a bienestar,satisfaccin, etc.
Utilidad Marginal U(x) =I(x)C(x) La Teora Marginalista resulta crucial para la cienciaeconmica, tanto es as que est en la base, y ha dadoel nombre, a toda una corriente de pensamiento. Lautilidad marginal se refiere al aumento o disminucinde la utilidad total que acompaa al aumento odisminucin de la cantidad que se posee de un bien oconjunto de bienes y es, matemticamente, igual a laderivada de la curva que describe la funcin deutilidad a medida que aumentan los bienes adisposicin del consumidor.
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7/21/2019 Matemtica I MAFP 2012
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PROF. MARA NGELA FLORES P. 50. Octubre, 2012
Algunas consideraciones.El modelo de optimizacin se realiza aplicando el criterio de la segunda derivada para mximos ymnimos.
El costo promedio por unidad se minimiza cuando iguala al costo marginal: aaCaC )()( , donde a es
el valor para donde el costo promedio se hace mnimo.
Cuando una compaa opera en competencia perfecta, no puede alterar el precio incrementando laproduccin, esto significa que el precio de la mercanca es constante y la grfica de la funcindemanda es una recta horizontal.
En un monopolio, lo cual significa que slo existe un fabricante, de cierta mercanca, el precio, y porlo tanto la demanda, pueden controlarse mediante la regulacin de la cantidad de producto fabricado.
Optimizacin restringida: Se aplica cuando se desea maximizar una funcin (funcin objetivo)sujeta a una limitacin (funcin restriccin) Por ejemplo, al tratar de minimizar los costos de cercarun terreno, la funcin objetivo es el permetro y la restriccin es el rea, esto lleva a usar el rea paraexpresar una variable en funcin de la otra, para luego sustituirla en el permetro.
Ejercicios:
1. Una compaa que fabrica y vende escritorios opera en competencia perfecta y puede vendersu producto a un precio unitario de 200 BsF toda su produccin. Si fabrican x escritorios cada
semana, y C(x) BsF es el costo total de produccin semanal, entones2
( ) 40 3000C x x x .Determine cuntas unidades deben producirse a la semana para que el fabricante obtenga lamxima utilidad Marginal. Cul es la utilidad total de la semana?
2. La ecuacin de la demanda de un monopolista es2100 (100 )p x , donde se demandan x
unidades cuando el precio unitario es p BsF. La funcin del costo total est dada por24( ) 55
5C x x x donde ( )C x es el costo total de produccin de x unidades. (a) Calcule el
precio que el monopolista debe fijar a fin de obtener la mxima utilidad total; (b) Si elgobierno grava al monopolista un impuesto de 9 BsF de valor agregado por cada unidad quese produce, determine el precio unitario para obtener la mxima utilidad; (c) contraste losvalores obtenidos en (a) y (b) y concluya al respecto. Nota: en estos casos el impuesto agravar se carga a los costos, es decir al costo total se agrega 20x.
3. Suponiendo que los costos totales de un fabricante estn dados por2
( ) 1600 20 0, 01C x x x ; con 0x siendo x la cantidad de unidades de producto. Paraqu nivel de produccin el costo promedio por unidad es mnimo?
4. Con motivo de la reciente celebracin de la entrega de un premio literario una empresadedicada a las artes grficas recibe el encargo de encuadernar 200.000 ejemplares de undeterminado libro dicha empresa cuenta con 30 trabajadores con un sueldo de 1125 UM/horacada uno. Para poder hacer frente a dicho encargo la empresa deber comprar un nmero
-
7/21/2019 Matemtica I MAFP 2012
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determinado de mquinas de encuadernacin a un precio unitario de 1.500.000 UM. Cadamquina de encuadernacin puede encuadernar 500 libros en una hora. Los gastos de gestiny administracin del encargo ascienden a 300.000 UM. Determine: (a) la funcin del Costototal del encargo; (b) el nmero de mquinas de encuadernacin que se deben comprar para
minimizar los costos totales.5. Para cercar un terreno rectangular a la orilla de un ro se emplean dos tipos de materiales. El
material para cercar los dos costados perpendiculares a la ribera del ro cuesta Bs 800 el metroy el material para cercar el lado paralelo al ro cuesta Bs 1.200; si la ribera del ro no necesitacerca y se disponen de Bs 36.000 para los gastos materiales, Cules sern las medidas delterreno de rea mxima que se puede cercar?
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1. ARYA Y LARDNER, Matemticas Aplicadas a la Administracin y a la Economa.2. AYRES Y MENDELSON. Clculo Diferencial e Integral. Coleccin Schaum.3. BITTINGER, MARVIN L. Clculo. Para Ciencias EconmicoAdministrativas.4. GALLO, Csar. Matemticas. Para Estudiantes de Administracin y Economa. Tomo II.5. HAEUSSLER Y PAUL. Matemtica para Administracin y Economa.6. HOFFMANN Y BRADLEY. Clculo. Aplicado a Administracin, Economa, Contadura y
Ciencias Sociales.7. LARSON, HOSTETLER Y EDWARDS. Clculo. Volumen I.8. LEITHOLD. Louis. El Clculo con Geometra Analtica.9. LEITHOLD. Louis. Clculo. Para Ciencias Administrativas, Biolgicas y Sociales.10. PURCELL Y VARBERG. Clculo con Geometra Analtica111. WEBER, JEAN E. Matemticas para Administracin y Economa.