Matemtica I

Gua de Seminarios yclases de TallerLic. Victoria Benavente LlorenteLic. Natalia Esteves LpezLic. Ezequiel FerreroLic. Beln FranzoniDra. Jimena Olmos AsarDra. Ma. Beln OviedoDr. Alexis PazDr. Luis ReinaudiDr. Cristin G. Snchez

Universidad Nacional de CrdobaFacultad de Ciencias QumicasDepartamento de Matemtica y Fsica

Introduccin

Prolegmenos de la asignatura Matemtica I

La asignatura Matemtica I del Ciclo Bsico Comn de la Facultad de Ciencias Qumicas de laUNC desarrolla los conceptos fundamentales del anlisis diferencial de funciones de una variabley sus aplicaciones. Adems de los objetivos relacionados con los contenidos especcos de laasignatura, se espera que los estudiantes logren durante el desarrollo de la misma una serie dehabilidades relacionadas con la resolucin de problemas y la aplicacin de razonamientos lgicosa la justicacin de procedimientos.La asignatura se desarrolla en tres tipos de clases que se dictan semanalmente durante el primercuatrimestre:

Clases Tericas:

Las clases tericas son no obligatorias y desarrollan los conceptos del

programa de clases tericas detallado ms adelante. Estas clases se dictan en dos mdulossemanales de 1:20 hora de duracin. Si bien las clases tericas no son obligatorias se recomienda fuertemente que los alumnos asistan a las mismas ya que all se desarrollan losfundamentos de la asignatura.

Seminarios:

Durante las clases de seminario el docente ejemplica la aplicacin de los

conceptos tericos a situaciones problemticas tpicas desarrollndolas para los estudiantesen la pizarra. Los ejercicios a ser desarrollados durante el seminario estn indicados expresamente en la gua de trabajos prcticos. Estas clases consisten en un mdulo semanal de1:00 hora de duracin.

Clases de taller:

Las clases de taller son de 2:00 horas de duracin y tienen la nalidad de

que los alumnos trabajen en grupos o junto con el docente en la resolucin de los ejerciciosde la gua de trabajos prcticos, en la cul se destacan aquellos problemas que se considerenclave en la adquisicin de conceptos bsicos.

Contenidos Curriculares BsicosLos siguientes temas corresponden a los contenidos curriculares bsicos del rea temtica matemtica exigidos por el Ministerio de Educacin de la Nacin para las carreras de Bioqumica yFarmacia:1.

Funciones lineales, cuadrticas, polinmicas, exponenciales y trigonomtricas.

2. Vectores en el plano y en el espacio.3.

Lmites, derivadas, diferenciales.

4. Integrales indenidas y denidas.5. Derivadas parciales.6. Integrales curvilneas y mltiples.7. Ecuaciones diferenciales ordinarias.8.

Aplicaciones.

En el transcurso de la asignatura Matemtica I se desarrollan los puntos destacados en negrita.

1

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2

ObjetivosAl terminar el curso de Matemtica I, el alumno:1. Denir en lenguaje simblico, grco y verbal los conceptos de funcin, lmite, continuidady derivada.2. Resolver ecuaciones e inecuaciones en una variable conteniendo funciones trascendentes.3. Calcular lmites de funciones polinomiales, racionales y trascendentes en un punto dado.4. Dada una funcin arbitraria, determinar dominio, imagen, asntotas, lmites laterales,puntos de discontinuidad, intervalos de crecimiento y decrecimiento y recta tangente en unpunto.5. Calcular derivadas de funciones arbitrarias de una variable.6. Enunciar en lenguaje simblico, grco y verbal los teoremas de Rolle y de Valor Medio,y los aplicar a la resolucin de situaciones problemticas.7. Gracar funciones arbitrarias de una variable.8. Calcular puntos extremos relativos y absolutos de una funcin en un intervalo dado.9. Aplicar los conceptos de derivada y funciones trascendentes a la resolucin de situacionesproblemticas.Adems, adquirir a lo largo del curso las siguientes habilidades:1. Ante una situacin problemtica dada, disear una estrategia de solucin, obtendr unasolucin apropiada y justicar en forma correcta la eleccin de la estrategia y la coherencialgica de su planteo.2. Presentar los resultados correctamente en forma verbal, simblica y grca.3. Comunicar los resultados y procedimientos prolija y ordenadamente.4. Calcular correctamente resultados algebraicos.

Programa de clases tericas1. Repaso: Nmeros naturales, enteros, racionales e irracionales. Nmeros reales. Representacin de los nmeros en la recta real. Conjuntos: denicin, pertenencia, Interseccin yunin. Desigualdades: Relacin de mayor o menor en trminos del orden del conjunto delos reales, reglas para las desigualdades, desigualdades continuas.2. Intervalos: Finitos e innitos, abiertos y cerrados, semiabiertos, expresin de soluciones deinecuaciones en trminos de intervalos.3. Valor absoluto: Denicin, solucin de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto, propiedades del valor absoluto (producto y cociente), desigualdad triangular.4. Coordenadas cartesianas, distancia en el plano, ecuacin de la circunferencia, rectas, ecuacin de la recta, rectas paralelas y perpendiculares.

Introduccin

3

5. Funciones: Denicin del concepto de funcin, dominio e imagen, grcos de funciones,diferencia entre grcos de funciones y relaciones, paridad, evaluacin, composicin y combinacin (suma, producto y cociente) de funciones, grcos de composiciones simples (traslacin, estiramiento, reexin). Dominio de la funcin compuesta. Funciones elementales.Polinomios.6. Funciones trigonomtricas: denicin en trminos de la circunferencia trigonomtrica. Funciones peridicas, solucin de ecuaciones que contienen funciones peridicas.7. Funciones inversas, Funciones uno a uno, Cmo encontrar la inversa, Grco de la funcininversa.8. Funcin Exponencial, Extensin intuitiva de la exponenciacin racional a exponentes irracionales, propiedades de la exponencial, denicin de logaritmo como inversa de la funcinexponencial, propiedades del logaritmo.9. Lmites: Denicin intuitiva, denicin formal, clculo del lmite de una funcin lineal enun punto por medio de la denicin formal, ejemplos de funciones que no poseen lmite enun punto, lmites laterales. Reglas para el clculo de lmites. Lmites en el innito. Asntotasverticales y horizontales. Teorema del Sndwich.10. Continuidad, discontinuidad evitable, discontinuidad innita, continuidad lateral, continuidad en un intervalo, continuidad de funciones combinadas.11. Derivada: denicin, relacin con la recta tangente al grco, diferenciabilidad, relacinentre diferenciabilidad y continuidad, notaciones para la derivada, reglas de derivacion,regla de la cadena.12. Derivadas de funciones trigonomtricas, limites notables, diferenciacin implcita, derivadasde orden superior, derivadas de funciones trigonomtricas inversas, derivadas de exponenciales y logaritmos, derivada de la funcin inversa.13. Mximos y mnimos locales y absolutos, teorema del valor extremo, teorema de Fermat,puntos crticos, relacin entre extremo local y punto crtico, recetas para encontrar extremos absolutos en un intervalo cerrado, teorema de Rolle, teorema del valor medio, regla dela derivada primera, funciones crecientes y decrecientes, concavidad, punto de inexin, criterio de la derivada segunda. Utilizacin de la informacin obtenida para gracar funcionesarbitrarias.

Programa de clases prcticas1. Lenguaje matemtico, estrategias de solucin y operaciones bsicas.2. Conjuntos: Unin, interseccin, representaciones y nomenclatura.3. Funciones I: Denicin, composicin, combinacin y grcas.4. Funciones II: Desplazamiento, estiramiento y reejo de grcas. Funciones Trigonomtricas.5. Funciones III: Funciones uno a uno, funcin inversa, exponenciales y logaritmos.6. Lmites.7. Continuidad.

Introduccin

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8. Derivadas I: Reglas de derivacin, recta tangente, derivacin implcita.9. Derivadas II: Funciones Trigonomtricas, Exponenciales y Logartmicas.10. Extremos en intervalos cerrados: Determinacin de mximos y mnimos en intervalos cerrados.11. Anlisis completo de funciones: Valor medio, crecimiento, decrecimiento, direccin de laconcavidad.

1 - Lenguaje matemtico, estrategias de solucin yoperaciones bsicas

En este prctico se repasarn los conceptos bsicos de la matemtica, aplicando tcnicas de manejo algebraico y analizando cmo evitar los errores ms comunes. Estas habilidades son de sumaimportancia para cualquier razonamiento lgico, tal como se muestra en la siguiente cita:

Contrariar las reglas de la lgica matemtica slo trae calamidades. Basta una premisa matemtica falsa para poder probar cualquier disparate.En serio? A ver, si 2+2=5, demustreme que yo soy el PapaSi 2+2=5, entonces 5=4 restmosle 3 y tendremos que 2=1, si usted y el Papa son dos el Papay usted son uno, por lo tanto, usted es el Papa

Bertrand Rusell

ObjetivosAl nalizar este prctico, el alumno:Se expresar correctamente en lenguaje matemtico y evitar cometer errores comunes(prdida de soluciones, divisin por cero, . . . ) en el manejo algebrico.Realizar demostraciones matemticas simplesResolver correctamente inecuaciones, ecuaciones y sistemas de ecuaciones.Aplicar cuando sea necesario tcnicas de manejo algebraico, tales como completar cuadrados, factorizar, simplicar, racionalizar, etc.

Temas TericosNmeros naturales, enteros, racionales e irracionales. Nmeros reales.Propiedades de las operaciones.Lenguaje matemtico. Demostraciones.Manejo Algebraico: Factorizacin, racionalizacin, completar cuadrados, etc.Funciones cuadrticas: forma polinmica, cannica y factorizada.

BibliografaMichael Spivak. Calculus. Segunda Edicin. Captulo 1 Propiedades bsicas de los nmeros (pg. 3-26) y 2 Distintas clases de nmeros (pg. 27-45).Ciclo de Nivelacin FCQ UNC. Introduccin al estudio de las Ciencias Qumicas. Ao 2014.Nmeros Reales (pg. 43-80).

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Lenguaje matemtico

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Adrin Paenza. Matemtica. . . Ests ahi? - Episodio 2. Monedas en carretilla (pg. 4348).http://www.acertijos.net

Ejercicios SeminarioS1.

Discuta brevemente qu signica demostrar algo matemticamente y demuestre las siguientes armaciones:(a) El cuadrado de un nmero par es par.

(b)

S2.

2

no es un nmero racional. (Ayuda: Dena qu es un nmero racional, escriba

2

mo una fraccin irreducible y utilice las dos demostraciones anteriores para llegar aabsurdo). Con esta demostracin, Queda demostrada la existencia del nmero 2?.

coun

Graque y resuelva las siguientes ecuaciones:(a)

x2 = 2 + x

(b)

x2 < 2 + x

x = 2yy = x2

(c)

S3.

Resuelva las siguientes ecuaciones (Ayuda: realice un anlisis cuidadoso de los signos de

cada miembro o factor) :

(a)

x2 + 2 = yy = 2 + 3x2

(b)

(2 + 2 + 1) = 0

(c)

x20(x2 4x + 4)( 7 + 13x4 )

S4.

Convierta la expresin polinmica

x2 x + 2 en su forma cannica (completando cuadrados)

y factorizada (encontrando las races) y graque. Es siempre posible encontrar la formafactorizada de un polinomio cuadrtico?

Ejercicios TallerT1.

Al igual que el producto, la suma es una operacin entre dos elementos de un conjuntoque resulta en otro elemento del mismo conjunto. Estas operaciones quedan completamentedenidas por sus propiedades. Responda:(a) Qu propiedades son necesarias para extender el producto y la suma para ms de doselementos?(b) Qu propiedades son necesarias para denir las operaciones de resta y divisin?

T2.

Tome una calculadora y realice las siguientes operaciones:(a) Piense un nmero entero (llmese

),

sume

1030 ,

luego reste

y por ltimo divida por

1030 . Qu resultado obtiene? Escriba las operaciones realizadas en una expresin algebraica y resulvala. Puede explicar lo ocurrido, y en qu momento se introdujo el error?Considera que puede conar en la calculadora para realizar cualquier operacin?

Lenguaje matemtico

T3. (*)

7

Dado el siguiente razonamiento matemtico:

Sean

a

y

b

nmeros distintos de cero, adems

a = b,

a = ba

2

entonces:

multiplicando por a:

= ab

sumando

(a2 2ab) :

a2 + (a2 2ab) = ab + (a2 2ab)2a2 2ab = a2 ab

sacando factor comn:

2a(a b) = a(a b)

simplicando (a-b):

2a = a

simplicando a:

2 = 1(a) Dnde se encuentra el error?(b) Qu operacin involucra simplicar en ambos miembros?

T4.

Qu error encuentra en el siguiente razonamiento matemtico?

12 = (1)2p12 =(1)2

tomando razsimplicando

1 = 1Exprese con generalidad la forma correcta de tomar la raz a un cuadrado y viceversa.

T5.

Exprese con palabras o con notacin matemtica (segn corresponda) las siguientes deniciones:(a)

a, b R : a b (b a) R+

(b) Para todo nmero entero par, existe un nmero entero impar, tal que el cociente entre elprimero y dos veces el segundo sea igual a uno.

T6. (*)

Partiendo de que

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 :

Deduzca una expresin equivalente paraReduzca a expresiones del tipo

h, a, b y c4 + 4y + y 23 + 2 3d + d22 3d + d2

valores de(a)(b)(c)

T7.

h (a + b)2 + c

(b)(c)

y

(a + b)3

(completar cuadrados) indicando los

en las siguientes expresiones:

Simplique las siguientes expresiones:(a)

(a b)2

16x5 + 64x4 9x 36 (4 4x2 )2x+4

1g3g92g(g 8/4 g)4g 2 g 3g 9/2 g 1/2 g 10 + (g 2 ) g 5(2a b)(2a + b) (2b a)(b + a)

(d)

9 + 6t + 3t2

(e)

4 + 2t + t2 /2

Lenguaje matemtico

T8.

8

Lleve a la mnima expresin:

(a)

(b)

(c)

105 32122+ 8

T9. (*)

(d)

Graque y resuelva (obtenga todas las soluciones) las siguientes ecuaciones:(c)

(a)

x2 = x

(b)

(r 2)r = (r 2)

T10. (*)

(x 1)(x 3) > 0

(b)

x2 2x + 2 > 0

(c)

2 < x2 + x + 1x10x 1xx1>0x+1r(x2 4x + 4)20x2 + 7

Demuestre las siguientes armaciones:(a)

(*)

El cuadrado de un nmero impar es impar.

(b) La factorial de un nmero natural mayor a

1 es par. (Nota: la factorial de un nmero natural

es el producto de todos los nmeros naturales entre 1 y dicho nmero).(c) Si(d)

a0entoncesac < bc.Qu pasara siLa media geomtrica entre dos nmeros (c < 0?ab)tiene un valor intermedio a ellos.(e) El promedio entre dos nmeros tiene un valor intermedio a ellos.(f )(*)Sia>1entoncesa2 > ay si01Dada una curva en el plano cartesianogrca de una funcin?(d)xyr1 u2g(u) =2u 7g(r) =sisiu2u>2Cmo es posible saber si sta representa o no laFunciones IT7. (*)17Determine en cada caso si la curva es la grca de una funcin dexo no. En casoarmativo dena dominio e imagen.-2yyy22200x2-2-2-202x-2-200(b)(c)yyy22200x2-2002x-2-2(d)2x2x-2(a)-2T8.000-2(e)(f)Cundo se dice que una funcin es par? Cundo impar? Qu sabemos en cada casorespecto de su simetra?T9.(a) Si el punto(5, 3)est sobre la grca de una funcin par, Cul otro punto tambindebe estar sobre la grca?(b) Si el punto(5, 3)est sobre la grca de una funcin impar, Cul otro punto tambindebe estar sobre la grca?T10. (*)Determine sifes par, impar o ninguno de los dos casos. Si es par o impar, trace sugrca haciendo uso de la simetra.(a)f (x) = x2(c)f (x) = x2 + x(b)f (x) = x5(d)f (x) = x3 xT11. (*)Graque las siguientes circunsferencias(a)(x)2 + (y 1)2 = 4(b)(4x + 4)2 + (4y 4)2 = 8(c)x2 x + y 2 + 2y 314=0Ayuda: completar cuadradosFunciones IT12.18A partir del grco, deduzca una ecuacin para la circunsferenciay4(-1,3)20-2T13. (*)(a)(b)T14. (*)Determinef + g, f g, f gyf /g2xy dena sus dominios:f (x) = x3 + 2x2 , g(x) = 3x2 1f (x) = 2 + x, g(x) = 2 xDadasf (x) =1xdominios. Evale lag(x) = x3 + 2x, determine las siguientes funcionescomposicin en x = 0, 1, 1, 2 cuando sea posible.ycompuestas y sus(a)f g(c)f f(e)f (f g)(b)gf(d)gg(f )f (f + g)T15. (*)Una ventana normanda tiene la forma de un rectngulo rematado por un semicrculo.Si el permetro de la ventana es deT16.0900Se ina un globo esfrico. Si su radiovolmen en funcin del tiempotcm, exprese su rea como funcin de su ancho.raumenta con la rapidez de1en segundos.Ayuda: Recuerde que el volumen de la esfera se calcula comoV = 34 r3cm/s, exprese suFunciones IT17.19El propietario de una casa corta el csped en verano cada mircoles por la tarde. Traceuna grca aproximada de la altura del csped como funcin del tiempo durante el mes defebrero.4 - Funciones IIDesplazamiento, estiramiento y reejo de grcas. Funciones TrigonomtricasHaremos una clasicacin de los principales tipos de funciones con los que se encuentra uno en elClculo. Aprenderemos los procedimientos de desplazamiento, estiramiento y reejo de grcasde funciones. Pondremos especial hincapi en las funciones trigonomtricas y sus aplicaciones.stas ltimas aparecen en muchos aspectos de nuestra vida cotidiana: Por ejemplo, en todotipo de problemas que involucren geometra, como los problemas a los que se enfrentan lostopgrafos, en la navegacin, en la Astronoma; tambin en todo tipo de fenmenos peridicos,como el movimiento de un pndulo, el de un cuerpo unido a un resorte, en la descripcin de lasondas acsticas, electromagnticas, etc.ObjetivosAl nalizar ste prctico, el alumno:Gracar funciones arbitrarias de una variable, escalando y desplazando a partir de funciones elementales conocidas.Denir en lenguaje simblico, grco y verbal funciones peridicas y trigonomtricas.Enunciar de modo correcto las soluciones de las ecuaciones que involucren dichas funciones.Temas TericosFunciones elementales. Polinomios.Grco de composiciones simples (traslacin, estiramiento, reexin).Funciones Trigonomtricas:Denicin en trminos de la circunsferencia trigonomtrica.Funciones peridicas.Solucin de ecuaciones que contienen funciones peridicas.BibliografaJ. Stewart, Clculo diferencial e integral, International Thompson Editores: Captulo 1Funciones y Modelos, seccin 1.2 (pg. 26-41); ApndiceCTrigonometra (pg. A19-A31).J. Stewart, Introduccin al Clculo, International Thompson Editores: Captulo 7 Fun-ciones Trigonomtricas, secciones: 7.1 y 7.2 (pg. 378-392), 7.4 y 7.5 (pg. 402-417), 7.8 y7.9 (pg. 427-446) .20Funciones II21Ejercicios SeminarioS1.Graque la funcinf (x) = 1 (x 1)2en el intervalo[0, 2].la cual proviene y las modicaciones realizadas para obtenery = x use transformacionesy = x, y = 2 x, y = 2x e y = x.S2.Dada la grca deS3.Graque tres copias de la circunsferencia de radio unidad:Identique la funcing(x)def (x).para trazar la grca dey =x 2,(a) en la primera: dena la medicin de ngulos en base a la longitud de arco. Ubique losvalores ms usuales. Exprese la relacin entre grados ( ) y radianes.(b) en la segunda: dena seno y coseno de un ngulomente la tangente del ngulo (sin()ycos()).Exprese grca-, tan().(c) en la tercera: indique los signos que toman las funcionessin(), cos() y tan() en cadacuadrante.S4.Trace las grcas de las siguientes funciones. En cada caso describa con palabras en qu sediferencian de la grca deS5.sin(x):(a)y = sin(2x)(c)y = 2 sin(x)(b)y = 1 sin(x)(d)y = sin(x + 3 )Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones:(a)| sin(t)| = 1(b)sin(2x) cos(x) = 0Ejercicios TallerT1.Qu tipos de funciones conoce? D ejemplos de cada una de ellas.T2.Determine si cada una de las siguientes funciones es un tipo de funcin de potencias, funcinraz, funcin polinomial (deniendo su grado), funcin racional, funcin algebraica, funcintrigonomtrica, funcin exponencial o funcin logartmica:(a)f (x) =(b)g(x) =T3. (*)5x(c)1 x2(d)h(x) = x9 + x4 x2 + 1r(x) = 3x +1(e)s(x) = tan(2x)(f )t(x) = log10 (x)D las recetas para las siguientes transformaciones de funciones:a ) Desplazamientos verticales y horizontales.b ) Estiramientos y compresiones verticales y horizontales.c ) Reexiones verticales y horizontales.Funciones II22Identique qu operaciones fueron realizadas sobre la funcinf (x) = x3para obtener lastransformaciones que se muestran en los siguientes grcos:(a)T4.(b)(c)Trace la grca de la funcin(d)(e)y = |x2 1|.T5. (*) Graque cada funcin, no por medio de la ubicacin de puntos, sino a partir de la grcade alguna de las funciones estndares conocidas y aplicando transformaciones apropiadas.(a)(b)(c)T6.y = 2 cos(x)y = (x 1)3 + 2y = | cos(2x)|12x+43(d)y=(e)y = sin(|x|)(f )y = sin(x + 2 )A la grca de qu funcinconocida resulta idntica?Enuncie la denicin de funciones peridicas. Dena el perodo.3 53x = 0, 6 , 4 , 3 , 2 , 23 , 4 , 6 , , 2 , 2 .2Sabiendo que 1 = sin (x) + cos (x) incorpore a la tabla los valores de cos(x) para los x'sdados. A partir de los datos anteriores, complete la tabla con los valores de tan(x).T7. (*)Realice una tabla con los valores desin(x)para2T8. (*)(a)(b)T9. (*)Derive las siguientes identidades a partir de las frmulas de adicin de senos y cosenos:sin 2 + x = cos(x)sin(2) = 2 sin() cos()(c)cos(2) = cos2 () sin2 ()Dadas las siguientes grcas, deduzca a qu funciones pertenecen:542/4-/43/4--2-502-2(f)T10.0Verique que las siguientes expresiones tienen valorla expresin est denida:(g)1para cada nmero realtpara el cualFunciones II(a)(b)T11.2312[tg(t) cosec(t) cos(t) + cotg(t) sec(t) sin(t)]sec(t) cosec(t)tg(t) + cotg(t)Suponga que las ventas de pasajes de una aerolnea estn dadas (en miles de pesos) pors(t) = 330 + 6t + 45 sin( 16 t),en dondetes el tiempo medido en meses. Qu fenmenoreal podra causar la uctuacin en la venta de pasajes modelada por el trmino del seno?Basado en su respuesta, Qu mes corresponde at = 0?Despreciando las uctuacionesestacionales, En cunto estn creciendo anualmente las ventas de pasajes de la aerolnea?T12. (*)Un nio que toca la guitarra se encuentra con que una de las cuerdas est desanada,y la nota Do suena como la nota Re. La funcin que representa estas notas viene dada porh(t) = A sen (t/B).Sabiendo que la frecuencia es la cantidad de ciclos por unidad detiempo y que la de Re es mayor que la de Do, graque cualitativamente las funciones querepresentan ambas notas y compare. Identique y analice el parmetro que vara entre lasfunciones cuando la cuerda esta anada y desanada.5 - Funciones IIIFunciones uno a uno, funcin inversa, exponenciales y logaritmos.Llegado este punto en el desarrollo de la asignatura, tenemos un conocimiento acabado del concepto de funcin. Sabemos que una funcin es bsicamente una regla que permite asignar, aun nmero en un conjunto denominado dominio, un nico nmero en otro conjunto que hemosdenominado imagen. El concepto de funcin permite describir, utilizando lenguaje matamtico,situaciones fsicas en las que diversos factores determinan el comportamiento de un sistema. Elvolumen y la temperatura de un gas determinan su presin, la dosis de una medicacin administrada ocasionar una determinada respuesta teraputica. Es una evolucin natural del conceptoel preguntarse si es posible invertir el procedimiento en el caso de los ejemplos mencionados:Qu dosis de frmaco debo administrar a un paciente para lograr una respuesta determinadade antemano? Qu temperatura debe tener un gas a un determinado volumen para lograr unadada presin? La respuesta a estas preguntas viene dada por las funciones inversas, las cualesser posible determinar bajo ciertas condiciones. En sta gua desarrollaremos el concepto defuncin inversa y a su vez los conceptos de funcin exponencial y logartmica. Estas dos funciones trascendentes son ubicuas en la aplicacin del lenguaje de la matemtica a las cienciasnaturales.ObjetivosAl nalizar el desarrollo del presente prctico el alumno:Determinar en forma grca o simblica la existencia de la funcin inversa de una funcindada y la calcular si sta existe.Gracar funciones logartmicas y exponenciales simples.Aplicar las propiedades de las funciones logaritmo y exponencial a la solucin de ecuacionesy situaciones problemticas.Temas TericosFunciones inversas, Funciones uno a uno, Cmo encontrar la inversa, Grco de la funcininversa.Funcin Exponencial, Extensin intuitiva de la exponenciacin racional a exponentes irracionales, propiedades de la exponencial, denicin de logaritmo como inversa de la funcinexponencial, propiedades del logaritmo.BibliografaJ. Stewart, Clculo: Trascendentes Tempranas, Thompson/Brooks/Cole, sexta edicin.2007. Captulo 1: Funciones y modelos, seccin 1.5 (pg. 52), seccin 1.6 (pg. 59).24Funciones III25Ejercicios SeminarioS1.Dada la funcinx2determinar un dominio restringido en el que sea una funcin uno a unoy encuentre grca y simblicamente su inversa en ese dominio restringido.S2.Graque en un mismo sistema de ejes las funcionesln(x)S3.Graque en un mismo sistema de ejes las funcionesax , bxS4.Graque en un mismo sistema de ejes las funcionesS5.Demuestre queS6.Encuentre las soluciones a las siguientes ecuaciones:loga (x) =yexycxconc < a < b.loga (x), logb (x) y logc (x) con c < a < b.ln(x)ln(a)(a)log2 (x) = 3(c)ex = 16(b)2x5 = 3(d)ln(x) = 1Ejercicios para el tallerT1.Enuncie las deniciones de funcin uno a uno y funcin inversa de una dada.T2.Cmo es posible saber a partir del grco de una funcin si sta es uno a uno?T3. (*)Seaf (x)una funcin uno a uno tal quef (3) = 9,Cul es el valor def 1 (9)?T4. (*) Dadas los siguientes funciones, denidas en forma grca, simblica o verbal, determinarcules de ellas son uno a uno y en tal caso construir su inversa.21-21.01-10.52-1-1.0-2a)-30.5-0.5-0.5b)-1.01.0Funciones III2654321.010.5-21-12-21-12-1-0.5c)d)-2e)g(x) = 1/xf)A(T )g)h(t)-1.0es el crecimiento de una poblacin de bacterias en funcin de la temperatura.es la altura de un proyectiltsegundos luego de ser disparado a un ngulo de 45grados respecto de la vertical.h)T5. (*)T6.p(d) es el cambio promedio en la presin arterial de un grupo de pacientes en respuestaa una dosis d de enalapril.Encontrar una frmula para las inversas de las siguientes funciones3(a)f (x) = ex(b)f (x) =4x12x+3Gracar las funcionesexyex1+2ex(c)y=(d)y = ln(x + 3)ln(x). Cmo se comportan estas funciones cuando su argumentocrece indenidamente? Cul es la ventaja de utilizar escalas logartmicas para gracarcantidades grandes?T7.Dadas las siguientes funciones, calcule su logaritmo y simplifquelo:a)f (x) = a5 x5xb)g(x) =T8. (*)34(x+5)6ex x1Expresar las siguientes cantidades como un nico logaritmo:a)ln(5) + 5 ln(3)b)ln(a + b) + ln(a b) 2 ln(c)c)ln(1 + x2 ) + 12 ln(x) ln sin(x)T9. (*)Encontrar los valores dexque satisfacen las siguientes ecuaciones:Funciones III27(a)e3x4=2(d)ln x2 = 2 ln(4) 4 ln(2)(b)3x+2 = m(e)ln x + ln(x + 1) = 1(f )ln(e2x1 ) = 5log5 (2x)(c) 5T10. (*)Encuentre el dominio de las siguientes funciones y graque: a)y = ln(x)T11. (*)=6c)y = ln(x)Dadas las funcionesd)y = ln |x|f (x) =e)3 e2xy = log(x + 5)b)y = log(cos(x))yf (x) = ln(2 + ln x)encontrar su dominio y eldominio de su funcin inversa.T12.Qu grco de escala logartmica utilizara para gracar la funcinque se vea como una recta? Y para la funcinT13.Dadas las funcionessen(x)ycos(x),y=y = Aexde forma talaxb ?encuentre un dominio restringido en el cual poseaninversa.T14.Encontrar el valor exacto de las siguientes expresiones: a)arc cos(1/2)T15. (*)1 (d) senarc tg(1)b)sen1 (sen(7/3))c)3/2)Cuando el ash de una cmara se dispara, las bateras inmediatamente comienzan arecargar el capacitor del ash, el cual almacena una carga elctrica dada porQ(t) = Q0 (1 et/a )DondeQ0es la mxima capacidad de carga yt(1)se mide en segundos.a ) Encontrar la inversa de esta funcin y explicar verbalmente su signicado.b ) Cunto tiempo es necesario para recargar el capacitor al 90 % de su capacidad sia = 2?T16.[H3 O+ ] de una solucin de cido ascrbico (vitamina C)analtica CA y su constante de disociacin ka est dada por:p[H3 O+ ] = ka CA(2)La concentracin de iones hidronioen funcin de su concentracina ) Calcular elpH = log[H3 O+ ]de la solucin en funcin de la concentracin analticaCA .b ) Encontrar la concentracin analtica que hace que el5 .la ka = 1,75 10pHde la solucin sea igual a 5 si6 - LmitesLos inicios del clculo se encuentran en las determinaciones de reas y volmenes hechas porlos escolsticos de la Grecia antigua, como Eudoxio y Arqumedes. Aunque en sus mtodosde agotamiento estn implcitos los aspectos de la idea de lmite, ni Eudoxio ni Arqumedesformularon este concepto en forma explcita. De igual modo, matemticos como Calaveri, Fermaty Barrow, precursores inmediatos de Newton en el desarrollo del clculo innitesimal, en realidadno usaron lmites. Fue Isaac Newton el primero en hablar claramente de los lmites. Explic quela idea principal con respecto a los lmites es que las cantidades se acercan ms de lo que se puedeexpresar con cualquier diferencia dada. Newton present en 1687 en sus Principia Mathematicasu versin del clculo innitesimal y la emple para investigar en la mecnica, dinmica de uidosy el movimiento ondulatorio, as como a n de explicar el movimiento de los planetas y cometas.extrado de Clculo, J. StewartObjetivosAl nalizar este prctico, el alumno:Determinar grca y analticamente la existencia de lmites y lmites laterales.Calcular lmites por denicin de manera analtica y los representar grcamente.Utilizar las propiedades algebraicas de los lmites para clculos generales.Dada una funcin, determinar dominios y asntotas verticales y horizontales, y esbozarla grca aproximada.Temas TericosLmites: Denicin intuitiva, denicin formal.Clculo del lmite de una funcin lineal en un punto por medio de la denicin formal.Ejemplos de funciones que no poseen lmite en un punto. Lmites laterales.Reglas para el clculo de lmites.Lmites en el innito. Asntotas verticales y horizontales.Teorema del Sndwich.BibliografaJ. Stewart, Clculo, Trascendentes Tempranas 3ed., International Thompson Editores.Captulo 1 Lmites y Razones de Cambio, secciones: 1.1-1.4 (pg. 46-79), seccin: 1.6 (pg.90-101).28Lmites29Ejercicios SeminarioS1.Dada la siguiente funcinf (x),determine los siguientes lmites observando el grco acontinuacin:a)b)c)lm f (x)d)lm f (x)e)x2+x2lm f (xf)x2lm f (x)g)x4+lm f (x)x3lm f (x)x4lm f (x)x4y1,00,80,60,40,20,01,52,02,53,03,54,0-0,24,5x-0,4-0,6-0,8a ) Guindose con el siguiente grco de1 0,5 < 0,2,xsiempre quef (x) =1x , encuentre un valor deque cumpla:|x 2| < .1,00,90,80,7YS2.0,60,50,40,30,21,01,52,02,53,03,54,0Xb ) Encuentrede manera analtica la forma general que debe cumplirpara que1 0,5 < xc ) Demuestre, haciendo uso de la denicin de lmite, quelm 4x 3 = 5x2|x 2| 0 y f 00 (x) < 0 x, cuntas races tiene f (x)?= 1? por qu?0es posible que f (0)T14. (*)El grco siguiente corresponde a la derivada de la funcin continuaf (x)determine:(a) puntos crticos def (x)(b) intervalos de crecimiento y decrecimiento de(c) puntos de inexin def (x)f (x)(d) intervalos de concavidad y convexidad decules son los puntos crticos def (x)f 0 (x)?Con estos datos, esbozar un grco aproximado deT15. (*)f (x)y def 00 (x)Para cada una de las siguientes funciones, determine: dominio, asntotas, intervalos decrecimiento, mximos y mnimos, intervalos de concavidad y convexidad. Realice un grcoaproximado de cada una.exp(x)f (x) =1 + exp(x)g() = cos(2) + T16.h(y) =x2 + 4f (t) = t2 + 4t 3Cuntos puntos de inexin tiene, como mximo, el polinomio de grado n denido comof (x) = axn + bxn1 + ... + cx2 + dx,cona, b,...,cyddistintos de cero? Demuestre