guia de nivelación matemática

Universidad Tecnolgica Metropolitana

GUA DE NIVELACIN MATEMTICA

Mrida,Yucatn, Mxico 2009

UNIVERSIDAD TECNOLGICA METROPOLITANA Rector Ing. Ricardo Bello Bolio Coordinadora acadmica Lic. Genny Gonzlez Ortiz

Gua de nivelacin matemtica Autores Ing. Alma Ravell Pech IQI Jos David Vrguez Lope LEM Limberth Mndez Chan Mtra. Silvia Leonor Martnez Quijano Consultores IQI Jssica Canto Maldonado IQI Anglica Herrera Lugo M en C Mara Guadalupe Ordaz Arjona, Facultad de Matemticas, UADY D.R. Universidad Tecnolgica Metropolitana, 2009 calle 115, Circuito Colonias Sur, Nm. 404, colonia Santa Rosa, CP 97279, Mrida,Yucatn, Mxico tels. (999) 940 61 00 al 29 www.utmetropolitana.edu.mx correo electrnico: [email protected] Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin permiso escrito del titular de los derechos.

Coordinacin de la edicin de la obra Genny Gonzlez Ortiz Cuidado de edicin y correccin de textos Alejandrina Garza de Len Diseo de interiores y de portada Luciana Lpez y Riccardo Errichi (Msa, interactive media and design) Correccin de pruebas Adrin Rolando Ramos Garza

Editado e impreso en Mrida,Yucatn, Mxico Made and printed in Merida,Yucatan, Mexico

NDICEPRESENTACIN INTRODUCCIN ARITMTICA Nmeros reales Leyes de los signos Operaciones con nmeros reales Enteros -Suma y resta de nmeros enteros -Multiplicacin de nmeros enteros -Divisin de nmeros enteros -Operaciones indicadas de multiplicacin en que no hay signos de agrupacin Racionales (fracciones) -Mximo comn divisor -Mnimo comn mltiplo -Signos de agrupacin Operaciones indicadas de multiplicacin en que hay signos de agrupacin Operaciones combinadas Orden de las operaciones -Leyes de los exponentes FUNDAMENTOS DE LGEBRA Introduccin a la aritmtica y los fundamentos del lgebra Trminos semejantes Operaciones con polinomios -Sumas y restas -Producto de monomios -Producto de monomio por polinomio Productos notables Factorizacin ECUACIONES Introduccin a las ecuaciones Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de primer grado con signos de agrupacin Ecuaciones de primer grado con productos indicados Ecuaciones de primer grado fraccionarias simples y complejas (Numerador o Denominador o ambos fraccionarios) Ecuaciones cuadrticas -Solucin de una ecuacin cuadrtica. Mtodos algebraicos Factorizacin de una ecuacin del tipo ax 2 + bx = 0 Factorizacin de una ecuacin del tipo ax 2 + c = 0 Factorizacin de una ecuacin del tipo x 2 + bx + c = 0 5 7 9 9 10 10 11 11 13 14 15 16 19 21 22 22 23 25 27 31 31 31 31 31 33 33 34 36 39 39 41 47 48 50 53 53 54 56 58

Resolucin de una ecuacin cuadrtica por frmula general Problemas de aplicacin SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Mtodo de suma o resta Mtodo de igualacin Mtodo de sustitucin Mtodo de determinantes -Determinantes -Solucin de un sistema de 2 ecuaciones con 2 incgnitas. Regla de Kramer Mtodo grfico (Punto de interseccin) Problemas de aplicacin FUNCIONES Y SUS GRFICAS Funcin lineal -Mtodo de tabulacin -Mtodo de puntos de corte Funcin cuadrtica -Mtodo de tabulacin -Mtodo de puntos de corte Funcin cbica -Definicin Funciones polinomiales -Funciones algebraicas -Clasificacin de funciones polinomiales Funcin lineal Funcin identidad Funcin constante Funcin cuadrtica Funcin cbica Caractersticas de las funciones polinomiales Problemas de aplicacin de funciones y sus grficas BIBLIOGRAFA

60 61 65 65 66 68 69 69 70 72 73 77 77 77 78 81 81 82 89 89 96 96 96 96 96 97 98 100 101 101 103

PRESENTACINUn rea crtica de la formacin de los estudiantes que ingresan a la UTM son las matemticas. Durante aos se han intentado diversas estrategias para nivelar a los estudiantes de nuevo ingreso con la intencin de homogenizar, en medida de lo posible, los conocimientos en matemticas de quienes inician su vida universitaria, y as afrontar en la Universidad, en las mejores condiciones, las exigencias de esta importante disciplina en la formacin superior. Con ese fin, me permito presentar este trabajo desarrollado por un destacado grupo de profesores de la UTM, que tiene la intencin de ser la plataforma mnima que se requiere para iniciar los estudios de las matemticas universitarias. Un componente adicional es el hecho de que esta Gua de nivelacin matemtica es un recurso para el autoestudio, lo que implica que en este proceso de nivelacin, la voluntad y responsabilidad del estudiante es el factor ms importante para el xito. Los temas seleccionados, as como los niveles de dificultad en el que son presentados los ejercicios, se prepararon con el cuidado necesario para que puedan ser desarrollados por los estudiantes de manera individual u organizados en grupos de aprendizaje cooperativo. Esperando que sta sea una herramienta til para quienes inician su estudios universitarios, no me resta ms que agradecer a este grupo de profesores comprometidos con la formacin de nuestros alumnos, a los asesores externos y a la Coordinacin Acadmica por su trabajo y su inters en la realizacin de esta propuesta para mejorar el desempeo de quienes empiezan este maravilloso viaje que es la formacin profesional universitaria. Con nuestro agradecimiento sincero. RICARDO BELLO BOLIO

Rector

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INTRODUCCINAl tomar en cuenta la importancia que tienen las ciencias bsicas y especficamente el rea de las matemticas dentro de los programas de carreras de la Universidad Tecnolgica Metropolitana, se elabor este documento con la finalidad de ofrecer los conocimientos previos que son necesarios en los alumnos que cursarn las asignaturas de matemticas del primer cuatrimestre en cada programa de carrera. Cabe sealar que la presente compilacin terica y prctica est estructurada para guiar al alumno en la solucin de ejercicios partiendo de los simples hasta llegar a los ms complejos. En cada uno de los temas se podr encontrar una breve explicacin de cada caso y al menos un ejemplo resuelto, as como una serie de ejercicios para que el alumno refuerce sus conocimientos matemticos. El primer apartado se enfoca a los conceptos aritmticos, considerando las cuatro principales operaciones (suma, resta, multiplicacin y divisin), el clculo del mximo comn divisor y el mnimo comn mltiplo, principalmente. La segunda parte seala los fundamentos del lgebra, como operaciones con polinomios, productos notables y factorizacin, para posteriormente llegar al tercer tema en el que se hace una introduccin a las ecuaciones y se clasifican los diferentes tipos de ecuaciones, como por ejemplo ecuaciones de primer grado, ecuaciones de primer grado con signos de agrupacin, ecuaciones de primer grado con productos indicados, ecuaciones de primer grado fraccionarias simples y complejas (Numerador o Denominador, o ambos fraccionarios) y ecuaciones cuadrticas. Siguiendo con la secuencia, el cuarto apartado aborda los problemas relacionados con los sistemas de ecuaciones lineales y los principales mtodos para resolverlos. Finalmente, el quinto tema describe las funciones y sus grficas, incluyendo la funcin lineal, la funcin cuadrtica y la funcin cbica, principalmente. Todos estos temas se conjuntan en esta gua tomando en cuenta la importancia y las necesidades de los alumnos, por lo que se espera que sta sea una herramienta que les ayude a generar esos conocimientos previos que les sern de utilidad en las asignaturas relacionadas con la matemtica que cursarn en el programa de carrera que elijan.

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ARITMTICALa aritmtica se puede definir, segn Baldor (1983) en su libro titulado lgebra, como las cantidades que se representan por nmeros y stos expresan valores determinados. Por ejemplo, 20 expresa un solo valor especfico y para expresar un valor, mayor o menor que ste, habr que escribir un nmero distinto de 20. Tambin se encuentra que muchos diccionarios digitales tienen como definicin que la aritmtica es la ciencia que estudia las propiedades de los nmeros y las operaciones que con ellos pueden realizarse (sentido clsico), o que contempla la teora de los nmeros que intervienen en los mtodos de la geometra algebraica y la teora de grupos (sentido moderno).

Nmeros realesEl sistema de nmeros reales est conformado tanto por los nmeros racionales como por los irracionales.

E + Racionales(Q) E Reales(R) a , b0 b Irracionales( I ) : 2 , 3 ,

Enteros Positivos Enteros Negativos Fraccionarios

Un nmero es racional cuando es posible expresarlo como la razn de dos enteros, con denominador distinto de cero. Ejemplos de nmeros racionales

8 5 0 6 , , ,6 = . 3 7 3 1

Como puede observarse, dentro de estos nmeros quedan contemplados los nmeros enteros (positivos y negativos), el cero y las fracciones. Un nmero es irracional cuando no es posible expresarlo como la razn de dos enteros. Por ejemplo, 2 = 1.4142135623 y = 3.1415926535 No importa con cuntos decimales expresemos estos nmeros, nunca presentarn un patrn repetitivo, en contraste con los patrones que ocurren en el caso de los nmeros racionales que, o los decimales terminan, o presentan un patrn repetitivo. Por ejemplo,

1 93 4 1 = 0.25, = 1.1625, = 0.1666..... = 0.5714285714285... etc. 4 80 7 6

Geomtricamente, los nmeros reales se pueden representar por los puntos sobre una lnea recta denominada recta numrica. Con el fin de hacer esto, se selecciona un punto arbitrario 0 sobre una lnea que represente al nmero cero. Los nmeros positivos se representan entonces por los puntos a la derecha de 0 y los negativos por los puntos a la izquierda de 0. De esta forma, todo nmero real (racional o irracional) puede representarse por un punto sobre la recta numrica. As, cada punto sobre la recta numrica corresponde a uno y slo un nmero real.9


La recta numrica: - (Negativos) + (Positivos)

12 3

1 3

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Leyes de los signosPara la multiplicacin se cumple que: signos iguales dan un resultado positivo

(a )(b) = ab ( a )(b) = abSignos diferentes dan un resultado negativo

(a )(b) = ab ( a )(b) = abPara la divisin se cumple que: signos iguales dan un resultado positivo

a a = b b a a = b bSignos diferentes dan un resultado negativo

a a = b b a a = b b

Operaciones con nmeros realesLas operaciones fundamentales del lgebra son la adicin, la sustraccin, la multiplicacin y la divisin. Dichas operaciones poseen una serie de propiedades que se presentan a continuacin. Propiedades conmutativas: Si a y b son dos nmeros reales cualesquiera, entonces a + b = b + a y ab = ba

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Propiedades asociativas: Si a, b y c son tres nmeros reales cualesquiera, entonces (a + b) + c = a + (b + c) y (ab)c = a(bc) Propiedades distributivas: Si a, b y c son tres nmeros reales cualesquiera, entonces a(b + c) = ab + ac y (b + c)a = ba + ca Elementos identidad: Si a es un nmero real cualquiera, entonces a + 0 = a y (a)(1) = a Inversos: Inverso aditivo de a: Si a es un nmero real arbitrario, entonces existe un nico nmero real denominado el negativo de a (denotado por a) tal que a + (-a) = 0 Inverso multiplicativo de a: Si a no es cero, entonces existe un nico nmero real denominado el recproco de a (denotado por a -1 ) tal que (a)(a -1 ) = 1

EnterosSuma y resta de nmeros enterosCuando se hacen operaciones de suma y resta, existen dos posibilidades: Si tenemos nmeros de igual signo, debemos sumar las cantidades y al resultado anteponerle el mismo signo. Si tenemos nmeros de signos diferentes, restamos el nmero mayor menos el nmero menor y al resultado anteponerle el signo del nmero que tenga mayor valor absoluto.

Ejemplos:9 + 5 + 3 = +17 -3 -5 -6 = -14 (3) - 9 + 6 = - 3 (4) - 15 + 3 = - 12

Una expresin compuesta de sumas y restas combinadas recibe el nombre de suma algebraica, y para resolverla se procede de la siguiente forma: Sumando por separado los positivos, sumando por separado los negativos y restando despus los valores absolutos de las dos sumas, al resultado se le antepone el signo del que tenga mayor valor absoluto.

Ejemplos:3 1 + 4 5 9 + 6 7 = 13 22 = 9 14 + 5 8 + 2 7 6 + 4 = 25 21 = 4

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EjercicioEfectuar las siguientes sumas algebraicas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

9 3 14 + 5 10 23 = 14 + 6 25 + 12 32 = 30 + 6 18 10 15 = 15 + 12 7 + 23 20 = 7 14 + 38 62 + 27 5 = 9 6 + 23 + 27 35 = 11 + 5 24 + 43 + 14 36 = 32 + 43 13 + 15 12 = 25 + 12 34 + 7 + 52 = 15 + 12 23 26 + 17 19 + 28 = 32 43 + 5 + 24 + 21 15 = 22 + 15 + 12 23 12 10 =

m) 23 + 34 + 14 53 16 + 45 = n) o) p) q) r) s) t) u) v)

24 34 17 + 36 19 + 18 = 34 + 15 + 23 18 10 + 24 = 13 + 53 12 + 65 18 + 21 = 32 15 + 17 13 + 38 34 + 1 = 12 + 9 16 + 32 16 + 17 = 9 + 62 12 + 5 2 + 19 28 =

14 26 + 34 10 + 8 12 + 5 =

( 7 + 2) + ( 7 2) = (8 + 3) + (8 3) =12


w) ( 4 + 7) + (7 4) = x) y)

(10 + 30) (30 10) = (8 + 5) (8 5) =

Multiplicacin de nmeros enterosPara multiplicar dos o ms nmeros enteros, lo primero que debemos hacer es multiplicar los nmeros sin importar los signos que stos tengan. Una vez que hemos determinado el resultado, colocaremos el signo que corresponda con la ley de los signos. Leyes de los signos para la multiplicacin: (+) (+) = + (+) () = () () = + () (+) =

EjercicioEfectuar las siguientes multiplicaciones: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

(3)( 4)(5)(6) = (8)( 4)(6)(2) = (4)(7)(4)( 8) = (1)(6)(8)(4) = (6)(2)(4)( 5) = (2)( 4)(6)(12) = (4)(9)(5)(10)( 2) = (9)(14)( 8)( 5)( 4)(2) = (5)(8)( 4)(5)(3)(1) = (12)(8)(4)(3)(2) = (2)(2)( 2)(2)(2)( 2) = (8)( 5)( 3)( 4)(5)(7) =

m) 234 56 = n)

1,228 315 =13


o) 444 917 = p) 12,345 6,432 = q) 324 100 = r) 1215 1000 = s) 20 30 = t) 198,654 100,000 =

Divisin de nmeros enterosPara dividir nmeros enteros, lo primero que tenemos que hacer es dividir los nmeros sin importarnos el signo que tengan. Obtenido el resultado, colocamos el signo que corresponda con la ley de los signos. Leyes de los signos para la divisin:

( +) =+ ( +) ( ) =+ ( )

(+ ) = ( ) ( ) = (+ )

EjercicioEfectuar las siguientes divisiones: a) b) c)

15 = 3 25 = 5 12 = 3

d) 20 =

5

e) 10 f) g)

2 6

= =

12

28 = 1414


h) 28 i) j) k) l)

7 8

= =

24

18 = 3 24 = 6 30 = 6

Operaciones indicadas de multiplicacin en que no hay signos de agrupacinLas operaciones de este tipo deben efectuarse en el siguiente orden: primero, los productos indicados y luego las sumas o restas.

Ejemplos:Efectuar 5 + 3 x 4 2 x 7 = 5 + 12 14 = 17 14 = 3 Efectuar 8 2 x 3 + 4 x 5 6 x 3 = 8 6 + 20 18 = 28 24 = 4

EjercicioEfectuar las operaciones indicadas: a) 9 + 2 3 = b) 9 + 6 4 5 = c) 5 4 2 = d) 30 7 3 = e) 15 5 3 + 4 = f)

3 2 + 7 4 21 =

g) 5 1 + 6 2 + 7 3 = h) 3 4 + 5 6 =

15


i) j) k) l)

5 7 3 + 8 2 = 24 2 3 5 4 6 = 75 3 4 + 6 5 3 = 49 3 2 5 + 8 4 2 =

m) 8 2 2 + 6 + 7 3 3 4 + 16 = n) o) p) q)

2 7 5 4 + 3 6 2 11 + 13 = 5 4 + 3 2 4 3 + 8 6 = 50 + 5 6 4 7 2 + 4 = 3 9 + 4 8 5 3 + 6 4 2 =

Racionales (fracciones)Si dividimos un objeto o unidad en varias partes iguales, a cada una de ellas, o a un grupo de esas partes, se les denomina fraccin. Las fracciones estn formadas por dos nmeros: el numerador y el denominador.

En sentido amplio se llama nmero racional o FRACCIN comn a todo NMERO que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de CERO; el trmino racional alude a racin o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional, para no confundir este trmino con un atributo del pensamiento humano. El conjunto de los racionales se denota por Q, que significa quotient, cociente en varios idiomas europeos. Los nmeros racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de nmeros racionales existe otro nmero racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los nmeros enteros, por lo que los nmeros racionales son densos en la recta de los nmeros reales.16


Tipos de fracciones

1 13 2 = 26 + 1 = 27 , entonces 1 27 13 = 13 = 2 2 2 2

Las fracciones mixtas son slo otra manera de escribir una fraccin impropia; del ejemplo de la grfica 7 se puede escribir como 1 1 . Ahora el mecanismo para convertir una fraccin mixta en impropia es 6 6 multiplicar el entero por el denominador y al resultado se le suma el numerador y a la nueva fraccin se le conserva el denominador:

Definicin de suma, resta, multiplicacin y divisin en Q Se define a la suma o a la resta con el siguiente teorema:

a c ad bc = b d bd a c ac = b d bd

Se define a la multiplicacin con el siguiente teorema:

Se define a la divisin con el siguiente teorema:

a c ad = b d bc

Algunas reglas bsicas en la escritura de fracciones Los nmeros de tipo a son denotados por ab b

Las sumas de tipoa c bd

a c + b d

son denotadas pora c b d

a c b d

se denota como

o tambin

ac bd

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GUA DE NIVELACIN MATEMTICAa b c d

se denota comop 1

ad bc

o tambin como

a c b d

Todo nmero

se denota simplemente por P.

Ejemplos:Reducir a su mnima expresin, realizando las operaciones correspondientes. a. 5 7 = 12 = 12 Como tienen el mismo denominador, entonces slo se suman o restan, segn el caso, los numeradores y se conserva el mismo denominador. b. 9 + 12 = 36 = 36 En este ejemplo, las fracciones a sumar no tienen el mismo denominador, por lo que hay que buscar un denominador que sea comn a ambas, es decir, para este caso, un nmero que sea divisible entre 9 y 12 (un mcm) y ese valor es 36, esto a fin de que ambas tengan el mismo denominador y slo se sumen los numeradores 19 57 como en el ejemplo anterior, ya que 4 = 16 y = . El procedimiento para encontrar las equivalencias es 12 36 9 36 el siguiente: Se divide el mcm entre el denominador de la fraccin a convertir y luego se multiplica por el numerador de esa misma fraccin, en nmeros es 36 9 = 4, luego 4 x 4 = 16, ahora para la otra fraccin se sigue el mismo procedimiento, 36 12 = 3, luego 3 x 19 = 57. c. 6 7 = 42 Se multiplican numerador con numerador y denominador con denominador, independientemente de cuantas fracciones se tengan para multiplicar como en el ejemplo d. d. 2 5 7 = 70 Se multiplican los numeradores 1 x 3 x 4 = 12, luego se multiplican los denominadores 2 x 5 x 7 = 70 e.2 3 = 10 4 12 51 3 4 12 5 4 204 19 16 + 57 73

8

8

8

8

El producto de los medios va al denominador y el de los extremos al numerador.

EjercicioI- Decida en cada una de la siguientes expresiones si son verdaderas, en caso de ser falsas, reemplcela por una verdadera. a) b) c) d)

3 4 7 + = 2 2 2 1 1 1 + = 3 4 7 1 1 __- 3 -2 -1 = 1 __ = _ = _ 6 2 6 6 3 15 1 = 15 3 1 318


II- Evaluar las siguientes expresiones escribiendo la respuesta en los trminos ms simples. e) f) g) h) i)

2 6 = 9 5

12 15 20 = 25 7 71 1 = 6 2

14 6 = 3 15 1 2 1 1 4 5 2 51 1 2 3= 1 1 + 4 5

j)

Mximo comn divisorEl mximo comn divisor (m.c.d.) de dos o ms nmeros es el mayor de los divisores comunes. Para hallar el mximo comn divisor de dos o ms nmeros, por ejemplo, m.c.d. (12, 18), se siguen estos pasos: Se descompone cada nmero en producto de factores primos. El producto de estos factores comunes elevados al menor exponente es el mximo comn divisor de los nmeros dados.

Ejemplo:12 6 3 1 2 2 3 18 9 3 1 2 3 3

12 = 22 x 3 18 = 2 x 32

m.c.d. (12, 18) = 2 x 3 = 6

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EjercicioHalla el mximo comn divisor de los siguientes pares y series de nmeros:

a) 40 y 60

b) 35 y 48

c) 70 y 62

m.c.d. (40, 60) = d) 100 y 150

m.c.d. (35, 48) = e) 225 y 300

m.c.d. (70, 62) = f) 415 y 520

m.c.d. (100, 150) = g) 280 y 840

m.c.d. (225, 300) = h) 315 y 945

m.c.d. (415, 520) =

m.c.d. (280, 840) = Es 840 mltiplo de 280? Cul es el m.c.d. (280, 840)? i) 180, 252 y 594

m.c.d. (315, 945) = Es 945 mltiplo de 315? Cul es el m.c.d. (315, 945)? j) 924, 1,000 y 1,250

m.c.d. (180, 252, 594) =

m.c.d. (924; 1,000; 1,250) =20


Mnimo comn mltiploEl mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de dos o ms nmeros es el menor mltiplo comn distinto de cero. Para hallar el mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros, por ejemplo, m.c.m. (30, 45), se siguen estos pasos: Se descompone cada nmero en producto de factores primos. El producto de estos factores comunes elevados al mayor exponente y de los no comunes es el mnimo comn mltiplo de los nmeros dados.

Ejemplo:30 15 5 1 2 3 5 45 15 5 1 3 3 5

30 = 2 x 3 x 5 45 = 32 x 5 m.c.m. (30, 45) = 2 x 32 x 5 = 90

EjercicioHalla el mnimo comn mltiplo de las siguientes series de nmeros: a) 32 y 68 b) 52 y 76 c) 84 y 95

m.c.m. (32 y 68 ) = d) 105 y 210

m.c.m. (52 y 76 ) = e) 380 y 420

m.c.m. (84 y 95 ) = f) 590 y 711

m.c.m. (105 y 210 ) =

m.c.m. (380 y 420 ) =21

m.c.m. (590 y 711 ) =


Halla el mnimo comn mltiplo de las siguientes series de nmeros:

g) 320 y 640

h) 420 y 1,260

m.c.m. (320, 640) = Es 640 mltiplo de 320? Cul es el m.c.m. (320, 640)? i) 140, 325 y 490

m.c.m. (420, 1,260) = Es 1,260 mltiplo de 420? Cul es el m.c.m. (420, 1,260)? j) 725, 980 y 1,400

m.c.m. (140, 325, 490)=

m.c.m. (725, 980, 1,400)=

Signos de agrupacinOperaciones indicadas de multiplicacin en que hay signos de agrupacinLas operaciones de este tipo deben efectuarse en el siguiente orden: primero, las operaciones encerradas en los parntesis, y luego, las operaciones que queden indicadas.

Ejemplos:Efectuar (5 + 3) 2 + 3 (6 - 1) = (8) 2 + 3 (5) = =16 + 15 = 31 Efectuar (8 2) 5 3 (6 4) + 3 (7 2) (5 + 4) = = (6) 5 3 (2) + 3 (5)(9) = = 30 6 + 135 = 159 Nota: En la prctica se suele suprimir el signo x entre un nmero y un parntesis o entre dos parntesis.

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EjercicioEfectuar las operaciones indicadas: a) (6 + 5 + 4)3 = b) (3 + 2)(4 + 5) = c) (20 14)(8 6) = d) (8 + 5 + 3)(6 4) = e) ( 20 5 + 2)(16 3 + 2 1) = f)

(8 + 6 + 4)2 =

g) (20 15 + 30 10)5 = h) (5 2)3 + 6( 4 1) = i) j)

3(8 1) + 4(3 + 2) 3(5 4) = (7 5)4 + 3(4 2) + (8 2)5 2(11 10) =

k) 6[ + (5 1) 2] = 3

Operaciones combinadasAl efectuar operaciones combinadas se debe tener presente el orden en que se resuelven, para ello se establece que: primero se realizan las multiplicaciones y divisiones, y despus, las sumas y restas, a menos que los smbolos de agrupacin establezcan otro orden.

Ejemplos: (3)(5) (12) (4) 15 (3) +3 = +3 6 (2)(3) 15 + 3 = +3 6 12 = +3 6 = 2 + 3

=1

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EjercicioEfectuar las operaciones indicadas:

a)

(3)( 4) +2= 0 6

b)

7 + (4) = 11/72 (9)(8)

c)

(3)(5) (2)(4) = (8)(7)

(9)(9)( 3) d) +5= 9

e)

3(+1) 5(2) = (2)(3)

f)

2(2) 2 = + 1 (3)

g)

(3)(4)(2) + 4 = (5)(10)

h)

(3)(6)(8) + 4 = (5)( 2)

i) 3 + 5[2 + (3)( 2) + 4] 5(2) =

j) 5 + 2{ 6[4 (3)( 2) + 1] 4}+ 3 = 3

24


Orden de las operacionesAl tratar de resolver problemas donde usemos operaciones combinadas debemos estar seguros de que conocemos el orden en que deben efectuarse las distintas operaciones. Al resolver o simplificar expresiones que envuelvan varias operaciones el orden que debemos seguir es: Parntesis: si un parntesis incluye otro debe resolverse primero el parntesis de adentro. Exponentes Multiplicacin y divisin: en el orden que aparezcan de izquierda a derecha. Suma y resta: en el orden que aparezcan de izquierda a derecha.

Ejemplo:3 + 2 4 + (3 2 2 ) 6 == 3 + 2[4 + (3 4) 6] = 3 + 2[4 + 12 6] = 3 + 2[ 6] 16 = 3 + 2[ ] 2 10 = 3 + 2[ ] 100 = 3 + 200 = 2032 2 2

[

]

2

solucin del parntesis

solucin del exponente solucin de la multiplicacin solucin de la suma

EjercicioEfectuar las operaciones indicadas:

4 2(3) + 5(6) a) 2 4= ( 7)

3[2 + 3(1) + 4(2)] 5 b) 1 + 6 = 2

25


8 5 2[ (2)(3) + 7(1)] c) 4 2 5 = 5

8 6 2[ (2)(3) + 7(2)] d) 3 1 9 = 3

3[6 + 3(1) + 4(2)] 5 e) 4 + 2 = 2

4 3(2 + 1) 5 f) 2 + 5 = 5

[5 4(2) 3(2)]+ 5 g) 4 + 2 +2= 4

2 + 3(1)( 2) + 5 h) 4 + 6 = 3

2 5[ (2)( 1) + 6] 3 i) 7 + 4 4 = (13)( 2)

[ 4 + 3( 2)(1) + 6] 2 j) 3 + 2 +5= ( 6) ( 2)

26


Leyes de los exponentesEl producto de un nmero real que se multiplica por s mismo se denota por a x a o bien, aaa a x a x a aaa. Para simplificar este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notacin abreviada, tal que: a x a = a a x a x a = a a x a x a x a x a = a5 donde a es llamada base y el nmero escrito arriba y a la derecha del mismo es llamado exponente.

Ejemplo:Exponente o potencia an

BaseEl exponente indica el nmero de veces que la base se toma como factor. Producto de dos potencias de la misma base

a xa=am n

m +n

El cociente de dos potencias de la misma base Elvese la base a una potencia igual al exponente del numerador menos el exponente del denominador.

a=a am n

mn

x =x x16 6

10

La potencia de una potencia Elvese la base a una potencia igual al producto de dos exponentes.

(a ) = am n

mn

(a ) = a5 2

10

La potencia del producto de dos factores Encuntrese el producto de cada factor elevado a la ensima potencia

(ab) = a . bn n

n

(xy) = x . y3 3

3

La potencia de cociente de dos factores Encuntrese el cociente de cada factor elevado a la ensima potencia.

an a = n b b

n

a5 a = 5 b b

5

27


Ejercicioa)

b 3 xb 4 =

b)

x5 = x3

c)

(x ) =4 5

d)

y 15 = y 10

e)

x3 y 2 = x2 y

f)

(1 + i) 3

(1 + i )5 =

g)

( 2a 3 ) 4 =

x3 h) 2 y

=

2

i)

(2xy )3 =

28


Exponente cero: Si a es un nmero real diferente de cero, a elevado a la cero es igual a 1. a0 = 1. Esta aseveracin puede demostrarse aplicando la regla del cociente de dos potencias de la misma base. Considrese el siguiente cociente:

am = a m m = a 0 = 1 m a1 an

50 = 1

Exponente negativo: Si n es un nmero entero positivo y a diferente de cero, por lo tanto:

a n =

Exponente fraccionario: Sea a la base de una potencia y m/n el exponente al cual se encuentra elevada dicha base, entonces un exponente fraccionario indicar un radical: de un nmero 0. Una regla muy til para convertir un radical a forma exponencial es la siguiente:n

a

m

=a

m n

Las siguientes reglas son tiles en la radicacin para realizar operaciones o simplificaciones:n

abc = n a.n b.n c .

Para poder sumar o restar radicales, stos deben ser semejantes, es decir, que tengan las mismas races y nmeros y letras dentro de sta. Los siguientes radicales son semejantes:3

a + 33 a = 4 3 am=2 n=3 Entonces 82 3

Sea: a = 8

= 3 8 2 = 3 64 = 3 4 3 = 4

EjercicioEscribe las siguientes expresiones en forma de radicales: j) a1

3

=

k) x

1

2

=

l) y

1

n

=

m) 64 =3

2

29


n) 27 - =1 3

a2 o) 3 a

1

2

=

EjercicioRealiza las siguientes operaciones con exponentes y radicales: p)

(y ) =1 2 2 3

q)

a2 = a -2

r)

( a3 )3 =

s)

2

x6 y4 =

t) 3 4 + 4 4 =

30

FUNDAMENTOS DE LGEBRAIntroduccin a la aritmtica y los fundamentos del lgebraEs la rama de la Matemtica que estudia la cantidad considerada del modo ms general posible. En lgebra, para lograr la generalizacin, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar cualquier valor.

Trminos semejantesCada una de las cantidades que estn conectadas con otra por el signo + o , o la cantidad que est sola en un miembro dentro de una ecuacin se le conoce como trmino. Por lo general un trmino consta de tres partes bsicas:

a : Coeficiente ax x : Incgnita, base, literal, variable n : Exponenten

A los trminos que constan de las mismas incgnitas elevadas a los mismos exponentes, respectivamente, se les conoce como trminos semejantes. Obsrvese que los trminos semejantes se encuentran seleccionados dentro de figuras geomtricas iguales.

12ax3

1 2 y 3

143,125a3 x

362ax3

7

15y 2

Operaciones con polinomiosSumas y restasRecuerda que slo podemos sumar y restar cosas iguales, por ejemplo, manzanas ms manzanas ms manzanas ms manzanas ms...; metros + metros + metros...; pesos + pesos + pesos +...; kilogramos + kilogramos + kilogramos; etctera. Los ejemplos anteriores se relacionan con el hecho de que slo se pueden sumar o restar trminos que sean semejantes.31


El procedimiento que seguimos para sumar y restar el siguiente: Eliminamos parntesis, si hay (+) se deja el signo que tenga, si es resta () se cambia. Identificamos trminos semejantes Reducimos trminos semejantes

Ejemplo:1) Realiza la siguiente suma: Eliminando parntesis. . . . Identificando trminos semejantes Reduciendo trminos semejantes 2) Realiza la siguiente resta: Eliminando parntesis. . . . Identificando trminos semejantes Reduciendo trminos semejantes

(3a + 4ab 2b) + (5b ab + a 3c ) = 3a + 4ab 2b + 5b ab + a 3c = 3a + a + 4ab ab 2b + 5b 3c = 2a + 3ab + 3b 3c

(3a + 4ab 2b) (5b ab + a 3c) = 3a + 4ab 2b 5b + ab a + 3c = 3a a + 4ab + ab 2b 5b + 3c = 4a + 5ab 7b + 3c

3) Realiza las sumas y restas indicadas en la siguiente expresin: Eliminando parntesis Identificando trminos semejantes Reduciendo trminos semejantes

2a + (3b) (5a) + (2b) (6b) = 2a 3b 5a 2b + 6b = 2a 5a 3b 2b + 6b = 3a + b

EjercicioRealiza las operaciones indicadas:a) ( x + 6 y 50) (3x + 2 y 10) = b) (2a + 3b) (3c + 5d ) =

c) (7m 2n) + (5 x 3 y )

d) (4 x 5 y + z ) + (2 x y 2 z ) =

e) (5a 8b + 3c) (5a 8b + 3c) =

f)

(9m + 7n + 12) + (7m n 8) =

32


g) (3x 4 y ) + (5 x + y ) (3 x 6 y ) =

h) (2a 2 3a + 2) (3a 2 a + 5) + (a 2 10) =

i)

(3 x 2 y 2 xy + y 2 ) + (2 x 2 y + 4 y 2 ) (2 x 2 y 2 ) =

j)

(2 x 2 + 3 x 5) + (3 x + 5) (2 x 2 1) =

Producto de monomiosPara realizar productos de monomios se toman en cuenta las siguientes consideraciones: Se multiplican los coeficientes aplicando la ley de los signos Al multiplicar potencias de bases iguales se suman sus exponentes Si hay potencias que no se repiten, se escriben como estn

Ejemplo:1) Multiplicar: 2) Multiplicar: 3) Multiplicar:

( xy )(3 z ) = (1)(3)( xy )( z ) = 3 xyz (2t )(tu ) = (2)( 1)(t )(tu ) = 2t 2u (3ab)(2a 2 ) = (3)(2)(ab)(a 2 ) = +6a 3b

Cuando no est explcito el coeficiente, no se escribe, le corresponde el nmero 1 con el signo que tiene, por ejemplo:

1xy = xyEn cuanto a la literal que no tiene exponente, recuerda que le corresponde el nmero 1, pero que tampoco se escribe, por ejemplo:

m1 = m

Producto de monomio por polinomioPara multiplicar monomios por un polinomio hay que tomar en cuenta las siguientes consideraciones: Se identifican los trminos del polinomio El monomio se multiplica por cada uno de los trminos del polinomio, considerando todo lo sealado en el punto anterior.

Ejemplo:1) Multiplicar:

a 2b (3a + 5ab 2 c) =monomio polinomio

( a 2b)(3a) + ( a 2b)(+5ab 2 ) + (a 2b)( c) =33


(+3a 2 +1b) + (5a 2 +1b1+ 2 ) + (+ a 2bc ) =

+ 3a 3b 5a 3b3 + a 2bc

EjercicioRealiza las operaciones indicadas: a) ( 6 x 3 y 4 z )(4 x 2 yz 3 ) = b) ( 4a b )(2c d ) = c) ( 4m 2 n3 )(3mn3 ) = d) (2m n )(3mn + 5m n) = e) (2a 2b)(3a 3 + 4ab 2 5) = f)2 4 2 3 5 2 7

( x 2 y 8 z 6 )( xy 3 z 2 + 3 x 2 z 5 y 4 z 2 ) =

g) (3x 2 + 2 x 2 )( 4 x 2 + 3x ) = h) ( 2a + 5b )( 2a + 5b ) = i) j)2 3 2 3

(5 x 2 + 3 y )(5 x 2 3 y ) = (3a 3 4a 2 a)( 5a 2 + 3a 2) =

Productos notablesLos productos notables son ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccin. Es decir, sin verificar la multiplicacin. A continuacin se presentan los principales: Binomio al cuadrado

(a b)2 = a 2 2ab + b 2Es un polinomio de dos trminos elevado al cuadrado. El resultado de su producto es un trinomio: el cuadrado del primer trmino + el doble producto del primer trmino por el segundo + el cuadrado del segundo trmino. Por ejemplo: (x + 2)(x + 2) = (x + 2) = x + 2(x)(2) + 2 = x + 4x + 42 2 2 2

34


Binomios conjugados

(a + b)(a b) = a 2 b 2Son dos binomios con los mismos trminos slo que uno de los trminos es positivo en un binomio y negativo en el otro. El resultado de su producto es un binomio: el cuadrado del trmino que tiene el mismo signo en ambos binomios el cuadrado del trmino que tiene signo diferente en ambos binomios. Por ejemplo: (x + 2)(x 2) = x 2 = x 4 Binomios con trmino comn2 2 2

( x + a)( x + b) = x 2 + [ax + bx ]+ ab (ax + b)(cx + d ) = acx 2 + [adx + bcx ]+ bdSon dos binomios que tienen un trmino comn (igual) y el otro trmino diferente. El resultado de su producto es un trinomio: El cuadrado del trmino comn ms la suma algebraica de los trminos no comunes multiplicada por el trmino comn ms el producto de los trminos comunes. Por ejemplo: (x + 2)(x 5) = x + (2 5)x + (2)(5) = x 3x 10 Binomio al cubo2 2

(a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3Es un binomio que est elevado al cubo. El resultado de su producto es un cuadrinomio: El cubo del primer trmino ms el triple producto del cuadrado del primer trmino por el segundo ms el triple producto del cuadrado del segundo trmino por el primero ms el cubo del segundo trmino. Por ejemplo: (x + 3) = x + 3(x )(3) + 3(x)(3 ) + 3 = x + 9x + 27x + 27 Cocientes notables Los cocientes notables son ciertos cocientes que obedecen reglas fijas y que pueden ser escritos por simple inspeccin. 1. Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades. Las reglas son:3 3 2 2 3 3 2

a2 b2 =ab a+b

a2 b2 =a+b a b

2. Cociente de la suma diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades: Las reglas son:

a3 + b 3 = a 2 ab + b 2 a+b

a3 b 3 = a 2 + ab + b 2 a b

35


EjercicioRealiza los siguientes productos y cocientes notables: a) (2x+3) = b) (2x+3)(2x-3) = c) (2x+3) 3 = d) e) f)2

9x 2 y 2 3x + y 8x 3 + y 2 2x + y

(m + 3)2 =

g) ( x + y )( x y ) = h) ( x + y z )( x + y z ) = i) j)

(1 a 2 )3 = (3x + 2)(5 x 1) =

k) ( a 11)( a + 10) = l)

(a + 2)3 =

m) (n + 1)(n 1) = n) ( xa +1

+ y x 2 ) 2 =

o) ( y 2 3 y )( y 2 + 3 y ) = p) (2m 6)(3m 5) = q) (3a 3 8b 4 )2 =

FactorizacinLa factorizacin es convertir una expresin algebraica en el producto expresado de sus factores. Existen varios casos de factorizacin que se vern a continuacin:

36


Trminos con factor comn Son trminos en los cuales existe uno o ms factores comunes, como por ejemplo a 2 + a. Para factorizar se escribe el factor comn como coeficiente de un parntesis dentro del cual estarn los trminos originales divididos entre el factor. Por ejemplo: a 2 + a = a(a + 1) Trinomio cuadrado perfecto El trinomio cuadrado perfecto es resultado de elevar un binomio al cuadrado por lo que su factorizacin es un binomio al cuadrado. Para comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto, ste se ordena con relacin a una letra y se sacan las races cuadradas de los trminos de los extremos. Luego, se multiplican las races entre s y por 2, si el resultado es igual al trmino de en medio, si es un trinomio cuadrado perfecto y su factorizacin es igual a la suma o resta de las races elevada al cuadrado. Por ejemplo: a 2+4ab + 4b 2 = (a + 2b)2 Diferencia de cuadrados Cuando se tienen dos trminos elevados al cuadrado que se estn restando, se dice que es una diferencia de cuadrados. Para factorizarla, se extrae la raz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas races cuadradas por la diferencia entre la raz del minuendo y la del sustraendo. Por ejemplo: 1 a 2 = (1+a)(1-a) Trinomio de la forma x 2 + bx + c x2 + c Trinomio de la forma x2 + bx + c es como: x2 + 5x + 6 o m 2 + 5m 14 Para factorizar un trinomio de m2 + 5m 14. x 2 + 5x este tipo se debe encontrar dos nmeros cuya suma algebraica sea el coeficiente del trmino de en medio y cuyo producto sea el trmino final. Una vez encontrados los dos nmeros, la factorizacin ser un binomio formado por la raz del trmino cuadrtico ms uno de los dos nmeros, multiplicando a otro binomio formado por la raz del trmino cuadrtico ms el otro nmero. Por ejemplo: x 2+ 5x + 6 = (x+2)(x+3) Trinomio de la forma ax 2 + bx + c ax 2 bx + c Trinomio de la forma ax2 + bx + c es como: 2x2 + 11x + 5 o 6x2 -7x -3 Para factorizar un trinomio de 2x 2 + 5 6x 2 -7x -3. este tipo, se debe descomponer los trminos de los extremos, dos factores cada uno. Despus se multiplica un factor de los del primer trmino con uno de los del ltimo trmino y los factores sobrantes se multiplican entre s. La suma de esos productos debe dar el trmino de en medio. Si no es as se prueba otra combinacin u otros factores. Una vez encontrada la combinacin correcta la factorizacin es el producto de dos binomios cada uno formado por un factor del primer trmino sumado con el factor del segundo trmino con el que no se multiplic. Por ejemplo: 6x 2 -7x -3 = (2x - 3)(3x +1) Suma o diferencia de cubos perfectos Para factorizar una suma o diferencia de cubos se siguen las siguientes reglas:

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) a 3 b 3 = (a b)(a 2+ ab + b 2 )

37


Ejemplo:Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:

3ax -3a 1)3ax2-3a . Se factoriza el factor comn y queda 3a(x -1) . Despus se factoriza la diferencia de cuadrados 3a(x2-1) 3a(x+1)(x-1). y queda 3a(x+1)(x-1)2 2

x + 4 +4 2) x2 + 4x +4. Se sacan las races cuadradas de los extremos (x y 2) y se observa que el doble del producto de las dos es el trmino de en medio, por tanto es un trinomio cuadrado perfecto y la factorizacin es (x+2) 2 (x+2)2.2

a - a -30. 3) a2 - a -30 Primero se comprueba si es un trinomio cuadrado perfecto. Si se observa que no es entonces se buscan dos nmeros cuya suma sea -1 y el producto sea -30. Esos nmeros son -6 y 5. Entonces la factorizacin es (a-6)(a+5).2

4) 5a + a Se busca el factor comn que es a y la factorizacin queda a (5+1). 5a2+ a.2

(x +4x+16).2

x 64. 5. x3 64 Se observa una diferencia de cubos por lo que usando la frmula la factorizacin queda (x-4)2

Ejercicioa) a + ab = b) b + b = c)2 2

x2 + x =3 2

d) 3a a = e) x 4 x = f)3 4

a3 + a 2 + a =2

g) 4 x 8 x + 2 = h) 15 y + 20 y 5 y = i) j)3 2

a 3 a 2 x + ax 2 = 2a 2 x + 2ax 2 3ax =38

ECUACIONESMurray (1998) define una ecuacin como una igualdad entre dos expresiones que se denominan miembros de la misma. Una ecuacin que se verifique para ciertos valores de las letras (o incgnitas) recibe el nombre de ecuacin condicional o simplemente ecuacin, por ejemplo x + 8 = 5 se verifica solo para x = 3. Una ecuacin que se verifique para todos los valores permitidos de sus letras (o incgnitas) recibe el nomy) bre de identidad, por ejemplo x 2 y2 = (x + y) (x y) se verifica para todos los valores de x e y. x2 y 2 = (x + Las soluciones de una ecuacin son los valores de las incgnitas que transforman la ecuacin en una identidad, es decir, se igualan ambos miembros.

Introduccin a las ecuacionesExpresin algebraica es una sucesin de trminos constituidos de nmeros y letras, cada trmino es separado del otro por un signo + o -

Ejemplos: Ejemplos:

-a

- 5x

4a

2

(a + b)c

(5x 3y)

Igualdad es la expresin de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor. a=b+c 3x = 4x + 15 y = 2x + 3

Ecuacin es una igualdad entre expresiones algebraicas en las que intervienen una o ms letras, llamadas incgnitas o variables, cuyo valor hay que averiguar y que slo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incgnitas. Una ecuacin se escribe utilizando el signo = entre las cantidades iguales, por tanto, una ecuacin se divide en dos miembros, el izquierdo y el derecho. Las incgnitas se representan por las letras del alfabeto, usualmente se utilizan las ltimas: x, y, z, u, v, w. De manera que, 5x + 2 = 17 Es una ecuacin, porque es una igualdad en la que hay una incgnita, la x, y esta igualdad slo se verifica, o sea que slo es verdadera, para el valor de x = 3. 5 (3) + 2 = 17 17 = 17 Clases de ecuaciones Las ecuaciones se pueden clasificar de acuerdo con el grado de la expresin: Primer grado: son aquellas en las que la(s) incgnita(s) tiene(n) exponente es 1. Tambin se les llama simples o lineales.

Ejemplos:

4x 6 = -1,

x + 3y = 2x y + 1

Segundo grado o cuadrticas: son aquellas ecuaciones cuyo mayor exponente en una o ms incgnitas es 2.

Ejemplos:

2 2x + 7 = 0,

2 2 xy - x + y = 5

39


La solucin de una ecuacin es hallar sus races, o sea, el valor o los valores de las incgnitas que satisfacen las ecuaciones. La totalidad de las soluciones es llamada el conjunto de soluciones. Una ecuacin puede tener ninguna, una o varias soluciones. Ejemplos: 5x 9 = 1 es una ecuacin con una incgnita con una solucin, x = 2 x 4 = 0 es una ecuacin con una incgnita con dos soluciones, x = + 2 y x = 2 1 2 2x + 3y = 15 es una ecuacin con dos incgnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = 15. En la resolucin de ecuaciones se consideran los siguientes argumentos algebraicos: a) La transposicin de trminos consiste en cambiar los trminos de una ecuacin de un miembro al otro: Sea la ecuacin 5x + 3 = 2 El trmino 3 se puede cambiar a otro lado, quedando 5x = 2 3 b) Los signos de todos los trminos de una ecuacin se pueden cambiar sin que la ecuacin vare: Sea la ecuacin - 4x = 8 Con un cambio de signos la ecuacin queda: 4x = 8 Grfica de una ecuacin lineal El trmino lineal proviene de la palabra lnea. La ecuacin de una lnea recta en el plano (x, y) es cualquier ecuacin que puede escribirse en la forma: ax + by = c donde x, y son incgnitas y a, b, c son constantes. Dos lneas rectas x, y que se cortan en el punto 0 formando ngulo recto (Fig 1.) constituyen un sistema de ejes coordenados rectangulares. La lnea x se llama x o eje de las abscisas y la lnea y se llama eje de las y o eje de las ordenadas. El punto 0 se llama origen de coordenadas. Los ejes dividen al plano del papel en cuatro partes llamadas cuadrantes (I, II, II y IV). El origen 0 divide cada eje en dos semiejes, uno positivo (cuadrantes I y IV) y otro negativo (cuadrantes II y III). Cualquier distancia medida sobre el eje de las x de 0 hacia la derecha es positiva y de 0 hacia la izquierda es negativa. Cualquier distancia medida sobre el eje de las y de 0 hacia arriba es positiva y de 0 hacia abajo es negativa.

Positivo y II Negativo x III y Negativo O IV I x Positivo

Figura 1. Sistema de ejes coordenados rectangulares.40


Para determinar el grado de una ecuacin se requiere verificar el mayor exponente de las incgnitas o variables.

Ejemplos:

Determinar el grado de la siguiente ecuacin: Incgnita: x Mayor exponente: 2 Grado: 2 (ecuacin cuadrtica) Determinar el grado de la siguiente ecuacin: Incgnitas: x, y Mayor exponente: 1 Grado: 1 (ecuacin lineal)

3x 2 2 = 2x

x y = 2x 6y + 9

EjercicioIndica cules ecuaciones en la siguiente tabla son lineales y cules no lineales

ECUACIN

ES LINEAL

NO ES LINEAL

a) b) c) d) e)

2x 3y = 0 x2 y2 = 1

x1 x 2 xd = 6 x2 3 = y2

Ecuaciones de primer gradoPasos generales para la resolucin de ecuaciones lineales: Se efectan las operaciones indicadas, si las hay. Se hace la transposicin de trminos, reuniendo en un miembro todos los trminos que contengan la incgnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas. Se reducen trminos semejantes en cada miembro. Se despeja la incgnita dividiendo ambos miembros de la ecuacin por el coeficiente de la incgnita.

Ejemplos:

1. Resolver la ecuacin 9y 11 = 10 + 12y Pasando 12y al primer miembro y 11 al segundo miembro con los respectivos cambios de signo tenemos: 9y 12y = 10 + 1141


Reduciendo los trminos -3y = 1 Despejando la incgnita y= Verificando la respuesta 9( ) 11 = 10 + 12 ( ) 3 11 = 10 4 14 = 14 2. Resolver la ecuacin x (2x +1) = 8 (3x + 3) Eliminando los signos de agrupacin: x 2x 1 = 8 3x 3 Pasando todos los trminos con x al primer miembro y los trminos independientes al segundo miembro, con los respectivos cambios de signo tenemos: x 2x + 3x = 8 3 + 1 Reduciendo los trminos 2x = 6 Despejando la incgnita x= 6 2 Simplificando x=3 Verificando la respuesta (3) 2(3) 1 = 8 3(3) 3 361 = 893 4 = 4 3. Resolver la ecuacin 3x

Pasando todos los trminos con x al primer miembro y los trminos independientes al segundo miembro, con los respectivos cambios de signo, tenemos:

2x x 7 = 5 10 4

3x

2x x 7 = 5 10 4

Reduciendo los trminos, utilizando el mnimo comn mltiplo:

30 x 4 x x =

70 4

4(25 x ) = 70 100 x = 70Despejando la incgnita

x=x=

70 100 7 10

Simplificando

42


Existen problemas expresados con palabras que conducen a ecuaciones lineales, las cuales al resolverse originan la respuesta de dicho problema. La ecuacin en cada problema se encuentra a partir de las relaciones descritas entre los nmeros conocidos y los nmero desconocidos. Pasos generales para la resolucin de problemas que emplean ecuaciones lineales: Leer varias veces el problema, hasta comprender con claridad cules son los datos proporcionados y cules son las variables que se requiere obtener. Expresar cada nmero desconocido en trminos de una sola letra. Encontrar las cantidades, que comprenden a los datos proporcionados y a las variables a obtener, que resultan en una igualdad. Formar la ecuacin con esta igualdad. Resolver la ecuacin y verificar el resultado.

Ejemplos:

1. La suma de dos nmeros es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los nmeros. Sea x = nmero ms pequeo. Entonces: x + 8 = nmero ms grande. La suma de ambos nmeros es: x + x + 8 = 106 Resolviendo la ecuacin: 2x + 8 = 106 x = 106 8 2 x = 49, nmero menor. x + 8 = 49 + 8 = 57, nmero mayor. 2. La edad de Pedro es el triple de la de Juan y ambas edades suman 40 aos. Hallar la edad de Pedro y de Juan. Sea J = edad de Juan Entonces 3J = edad de Pedro La suma de ambas edades es: J + 3J = 40 Resolviendo la ecuacin: 4J = 40 J = 40 4 J = 10 aos, edad de Juan 3J = 3(10) = 30, edad de Pedro. 3. Un padre pone 16 problemas a su hijo con la condicin de que por cada problema que resuelva el muchacho recibir $12 y por cada problema que no resuelva perder $5. Despus de trabajar en los problemas, el muchacho recibe $73. Cuntos problemas resolvi y cuntos no resolvi? Sea Entonces x = problemas resueltos 16 x = problemas no resueltos

43


El dinero por obtener es 12x Y el dinero perdido es 5(16 x) El total recibido es 12x 5(16 x) = 73 Resolviendo la ecuacin: 12x 80 + 5x = 73 x = 73 + 80 17 x = 9, problemas resueltos 16 x = 16 9 = 7, problemas no resueltos.

EjercicioEncontrar el valor de la incgnita que hace vlida cada una de las siguientes ecuaciones: a) 5x = 8x 15 b) y 5 = 3y 25 c) 5x + 6 = 10x + 5 d) 21 6x = 27 8x e) 11x + 5x 1 = 65x 36 f) 8x 4 + 3x = 7x + x + 14 g) 8x + 9 12x = 4x 13 5x i) x +

5 x = 1 6 3

j)

3x 2 x 1 + =0 5 3 5 x x x 5 +2 = 2 12 6 4 3x 1 5 3x + 2x = 4 5 4 20 x 7 =0 3 444

k)

l)

m)


EjercicioResolver los siguientes problemas: a) Un alambre de 21 m se divide en dos partes, de tal modo que la longitud de una de ellas es las tres cuartas partes de la longitud de la otra. Hallar la longitud de cada parte. b) Encontrar tres nmeros enteros consecutivos cuya suma sea igual a 21. c) Hallar dos nmeros cuya suma sea 24 y cuya diferencia sea 6. Representacin de la grfica de una ecuacin lineal Para obtener la grfica de una ecuacin lineal, es decir, de una lnea recta, basta obtener dos puntos cualesquiera y unirlos por medio de una lnea recta. Si la funcin carece de trmino independiente, uno de los puntos es el origen, por tanto slo se requiere un punto adicional para unirlo y formar la lnea recta. Si la funcin tiene trmino independiente, es mas cmodo hallar las intersecciones con los ejes, haciendo x = 0 e y = 0, y unir los dos puntos que se obtienen.

Ejemplo:

Obtener la grfica de la ecuacin x + 3y = 6 dado que la ecuacin tiene trmino independiente, si x = 0 se obtiene: 3y = 6 y = 6/3 = 2 primer punto (0, 2) si y = 0, se obtiene x=6 segundo punto (6, 0) graficando los dos puntos y unindolos:3 2 1 0 -2 -1 -2 0 2 4 6 8 x y

45


EjercicioGraficar las siguientes ecuaciones lineales: q) y = x

r) y = 2x 4

s) 2x = 3y

t) 4x + y = 8

46


Ecuaciones de primer grado con signos de agrupacinEn este tipo de ecuaciones se eliminan los signos de agrupacin contenidos uno en el interior del otro, efectuando las operaciones correspondientes con los signos positivos o negativos que se encuentran delante de los mismos.

Ejemplo:

Resuelve correctamente la siguiente ecuacin que contiene signos de agrupacin:

{ x + 8 [ 15 + 6 x ( 3 x + 2) (5 x + 4)] 29}= 5 3 { x + 8 [ 15 + 6 x + 3 x 2 5 x 4] 29}= 5 3 { x + 8 + 15 6 x 3 x + 2 + 5 x + 4 29}= 5 3 { x}= 5 x = 5

EjercicioResuelve correctamente cada una de las siguientes ecuaciones con signos de agrupacin:

a)

y

(2y + 1) = 8

(3y + 3)

b)

16x

[3x

(6

9x )] = 30x + [ (3x + 2) (x + 3)]

47


d)

9x

(5x + 1)

{2 + 8x

(7x

e)

71 + [ 5 x + ( 2x + 3)] = 25

Ecuaciones de primer grado con productos indicadosEjemplo:Resuelve correctamente la siguiente ecuacin que contiene productos indicados.(3x 9x 2 9x 2 9x 2 7)2 5(2x + 1)(x 2) = x 2 2) = x 2

42x + 49 (10x + 5)(x

42x + 49 (10x 2

20 x + 5 x 10) = x 2 + 3 x 1 x2 27x + 59 = x 2 + 3 x 1 27x 3x = 1 5948

42x + 49 10x 2 + 15x + 10 = x 2 + 3 x 1

[

c)

y

[5 + 3 y {5y

(6 + y )} = 3

5)}+ 9x = 0

[

(3 x + 4) (4x + 3)]

[ [

(3x 1)] 3x + 1]


30x = 60 x= x =2 60 30

La comprobacin se realiza sustituyendo en los dos miembros de la ecuacin la incgnita por el valor obtenido, y si ste es correcto, la ecuacin dada se convertir en identidad. De acuerdo con el ejemplo presentado, la comprobacin sera la siguiente: El valor obtenido fue x = 2, as que se sustituye la incgnita por este valor, de la siguiente manera:(3x 7)22

5(2x + 1)(x 5 (2(2) + 1)(22

2) = x 2 2 ) = (2)2

[

(3x 1)]

(3(2)

7)

(6

7)

5 (2(2) + 1)(0 ) = 4

( 1)

2

0= 4 1 =1

[ (3(2) 1)] [ (6 1)] [ 5]

1= 4 +5

EjercicioResuelve correctamente cada una de las siguientes ecuaciones con productos indicados.

a)

x + 3(x 1) = 6

4(2x + 3)

b)

5(x 1) + 16(2x + 3) = 3(2x

7) x

49


c)

(x + 1)(2x + 5) = (2x + 3)(x

4) + 5

d)

(a

2)2

(3

a)2 = 1

e)

7(x

4)2

3(x + 5)2 = 4(x + 1)(x 1) 2

Ecuaciones de primer grado fraccionarias simples y complejas (Numerador o Denominador o ambos fraccionarios)Cuando se presenta una ecuacin que contiene fracciones se transforma en otra equivalente que tenga forma entera, multiplicando los dos miembros por el mnimo comn mltiplo de los denominadores.

Ejemplo:

1. Encuentra la solucin de la siguiente ecuacin 3x 35 = 100 3x 5 Multiplicando por el MCM de los denominadores: 4

3x 3x 20 35 = 20100 5 4 50


Resolviendo: 20

3 x 140 500 3x = 20 4 5

5(3x 140 ) = 4(500 3x )

15 x 700 = 2,000 12 x 15 x + 12 x = 2,000 + 700 27 x = 2,700 2,700 x= 27 x = 100

EjercicioEncuentra la solucin de las siguientes ecuaciones fraccionarias:

a)

x 2x +3= +4 5 2

b)

7x x +9= +6 8 2

c)

2w 3 = w3 3

d)

3w + 4 2

= 3w 4

e)

4x 1 3x 2 +3= 3 5

f)

3x + 2 2x 3 +1 = 5 3

51


g)

2x 9 x 3 2 = 3 3

h)

5x + 1 3x + 1 +3= 8 2

i)

3t + 7 2t + 3 t 7 = 2 5

j)

3t + 6 3t + 10 t 4 = 4 2

k)

5t + 7 3t + 5 = + 2t + 3 2 4

l)

4t + 5 3t 15 = + 2t 5 5 2

m)

4 3 8 = x 2 x + 1 (x 2 )(x + 1)

n)

1 3 3 = 2 x + 3 x 3 (2 x + 3)(x 3)

o)

2 3 6z + 1 = 2 z + 1 2z 3 2 z z 3

p)

5 3z 1

1 5z 7

=

11 z 1 15 z 26 z + 72

52


q)

5 4 12 z + 16 = 2 2z + 1 z 1 2z z 1

r)

4 5 3 + = 2 x 3 5x 4 x + 2

s)

9 2 z+9 = 2 2z + 3 z 1 2 z + z 3

t)

8x 9 4x + 9 x+7 = (2 x 3)(x + 1) 2 x 3 x + 2

u)

3x + 8 x + 3 2x + 3 = (x + 1)(x + 3) x + 1 2 x + 5

v)

5 x + 20

(3 x 5 )(x + 1)

=

2x 7 x5

6x 6 3x 5

Ecuaciones cuadrticasSolucin de una ecuacin cuadrtica. Mtodos algebraicosUna ecuacin de segundo grado con una incgnita se expresa por:

ax 2 + bx + c = 0 , a 0Donde a, b y c son constantes y x es la incgnita que tiene a 2 como su mayor exponente; ax es el trmino cuadrtico, bx es el trmino de primer grado o lineal y c es el trmino independiente o constante. Si en la ecuacin ax 2 + bx + c = 0, b = 0 entonces se anula el trmino lineal y la ecuacin queda ax 2 + c = 0 Si en la ecuacin ax 2 + bx + c = 0, c = 0, entonces la ecuacin se reduce a ax 2 + bx = 0 Estas dos expresiones corresponden a ecuaciones de segundo grado con una incgnita que son incompletas. Resumiendo:2

ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + c = 0 ax 2 + bx = 053

Cuadrtica completa Cuadrtica incompleta Cuadrtica incompleta


Recuerda que resolver una ecuacin significa encontrar los valores que la satisfacen. A este respecto se debe observar que: Este tipo de ecuaciones tienen dos races o soluciones. Si el producto de dos factores es cero, entonces por lo menos uno de ellos es cero. Los mtodos algebraicos comnmente utilizados para resolver las cuadrticas son: (1) Por factorizacin (2) Por frmula general

Factorizacin de una ecuacin del tipo ax 2 + bx = 0Una ecuacin de segundo grado con una incgnita se puede expresar como el producto de los factores, a este proceso se le llama factorizacin. Como el producto de los dos factores es igual a cero, se iguala cada uno de ellos con cero para obtener las dos races o soluciones de la ecuacin.

Ejemplo:

1. Resolver la ecuacin 3x 2 x = 0 La ecuacin se puede escribir x (3 x 1) = 0 , siendo el factor comn Igualando cada factor con cero x = 0 3x 1 = 0 de donde

x1 = 0

x2 =

Comprobacin: Sustituir los valores de las races en la ecuacin original Para x = 0 Para x = 1

1 3

3(0) 2 0 = 0 3(0) 0 = 0 0=0

3 2 1 1 3 = 0 3 32

1 1 3 = 0 9 3 3 1 =0 9 3 1 1 =0 3 3

EjercicioResuelve las siguientes ecuaciones por el mtodo de factorizacin:

a) 5 x 2 + 10 x = 0

b) 3x 2 12 x = 0

54


c) 3x 2 12 x = 0

d) x 2 + 3 x = 0

e) 3x 2 6 x = 0

f) x 2 + 3 x = 0

g) x 2 5 x = 0

h) x 2 + 7 x = 0

i) 2 x 2 + 8 x = 0

j) 5 x 2 15 x = 0

k) 3x 2 5 x = 0

l) 2 x 2 4 x = 0

m) 2 x 2 + 5 x = 0

n) 3x 2 + x = 0

55


Factorizacin de una ecuacin del tipo ax 2 + c = 0Una ecuacin de segundo grado del tipo ax 2 + c = 0 se puede resolver simplemente despejando la incgnita y encontrando el valor resultante de las operaciones.

Ejemplo:

1. Resolver la ecuacin x 2 49 = 0 Trasponiendo el trmino independiente: de donde: o sea: por tanto:

x 2 = 49 x = 7 x1 = 7 x 2 = 7

2. Resolver la ecuacin 3x 2 108 = 0 Trasponiendo el trmino independiente: 3x 2 = 108 Despejando la incgnita: de donde: o sea: por tanto:

x2 =

108 3 x = 36 x1 = 6 x 2 = 6


a) x 2 49 = 0

b) 3x 2 108 = 0

c) x 2 12 = 0

d) x 2 4 = 0

56


e)

x2 9 = 0

f) 3x 2 12 = 0

g) 2 x 2 72 = 0

h) 3x 2 147 = 0

i) 9 x 2 4 = 0

j) 4 x 2 100 = 0

k)

x2

1 =0 4

l)

x 2 0.25 = 0

m)

x 2 0.0196 = 0

n) 5 x 2 25 = 0

57


Factorizacin de una ecuacin del tipo x 2 + bx + c = 0Una ecuacin de segundo grado del tipo ax 2 + bx + c = 0 se puede expresar como el producto de dos factores binomios. El primer trmino de cada binomio son los factores x y y de x 2 . Para determinar los segundos trminos de cada binomio se buscan dos nmeros cuyo producto sea c y cuya suma sea bx.

Ejemplo:

1. Resolver la ecuacin x 2 7 x + 12 = 0 Factores de x 2 : 2 nmeros cuyo producto sea 12 y que sumen 7: Formando los binomios: Despejando x en cada binomio: 2. Resolver la ecuacin x 2 4 x 21 = 0 Factores de x 2 : 2 nmeros cuyo producto sea 21 y que sumen 4: Formando los binomios: Despejando x en cada binomio:

xx(4)( 3) = 12 4 3 = 7 ( x 4)( x 3) = 0 x1 = 4 x2 = 3

xx(7)(3) = 21 7 + 3 = 4 ( x 7)( x + 3) = 0 x1 = 7 x2 = 3


a) x 2 + 8 x + 15 = 0

b) x 2 x 12 = 0

c) x 2 4 x 21 = 0

d) x 2 6 x + 9 = 0

58


e) x 2 4 x + 3 = 0

f) x 2 + 6 x 27 = 0

g)

x 2 3 x 40 = 0

h) x 2 + 7 x + 10 = 0

i) x 2 2 x + 1 = 0

j) x 2 2 x 8 = 0

k)

x 2 + 10 x + 25 = 0

l) x 2 12 x + 36 = 0

m)

x 2 20 x + 100 = 0

n) x 2 + 16 x + 64 = 0

o) x 2 14 x + 49 = 0

p) x 2 + 3 x 18 = 0

59


Resolucin de una ecuacin cuadrtica por frmula generalUna ecuacin de segundo grado del tipo ax 2 + bx + c = 0 se puede resolver utilizando la frmula general

Ejemplo:

x=

b b 2 4ac 2a

donde los valores de a, b y c son sustituidos de la ecuacin cuadrtica dada.

1. Resolver la ecuacin x 2 7 x + 12 = 0 Donde a=1 b = 7 c = 12 Sustituyendo los valores en la frmula general:

(7) (7)2 4(1)(12) 7 49 48 7 1 b b 2 4ac = = = = x= 2(1) 2 2 2aPor tanto:

x1=

Nota: Es importante recalcar que para obtener los valores a, b y c, la ecuacin cuadrtica ha de ser ordenada en su forma bsica. Es decir, colocar en primer trmino el cuadrtico, seguido del lineal y por ltimo el trmino independiente.

7 +1 8 = =4 2 2

x2 =

7 1 6 = =3 2 2

EjercicioResuelve las siguientes ecuaciones utilizando la frmula general:

a)

x 2 + 8 x + 15 = 0

b) x 2 x 12 = 0

c)

x 2 x 20 = 0

d)

x 2 7 x 18 = 0

60


e) x 2 + 11x + 24 = 0

f)

x 2 2 x + 24 = 0

g)

x 2 + 7 x + 10 = 0

h)

x2

4 4 x+ = 0 3 9

i) 6 x 2 + 5 x 6 = 0

j) 2 x 2 + 6 x + 4 = 0

k) 5 x 2 + 10 x + 5 = 0

l) 3x 2 + 3 x 18 = 0

Problemas de aplicacinLos mtodos algebraicos a menudo son tiles en la solucin de problemas aplicados en diversos campos. En general, tales problemas se establecen en forma verbal; antes de que podamos utilizar nuestras herramientas algebraicas, es necesario cambiar las declaraciones verbales a proposiciones algebraicas correspondientes. Ejemplos de aplicaciones sobre ecuaciones de primer grado Costos 1. El precio total al comprar unos tenis, un short y una camisa, fue de $1740. La camisa cost $100 ms que el short y $400 menos que los tenis.Cul es el valor de cada uno de ellos?61


Solucin: Denotemos a x el precio de la camisa, entonces como la camisa cost $100 ms que el short, el precio del short se expresa: x 100, es decir, el short cost $100 pesos menos que la camisa. Por otro lado, la camisa cost $400 menos que los tenis, es decir que los tenis costaron $400 ms que la camisa: x + 400. Finalmente, como el costo de los tres artculos fue de $1740, obtenemos la ecuacin: Camisa + Short + Tenis = $1740 x + x 100 + x + 400 = 1740 Resolviendo obtenemos: 3x = 1440 x = 480 Conclusin: La camisa cost $480, el short cost $380 y los tenis costaron $880 Ingresos mensuales 2. Una vendedora gana un salario base de $600 por mes ms una comisin de 10% de las ventas que haga. Descubre que, en promedio, le toma 1 horas realizar ventas por valor de $100. Cuntas horas deber trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2,000? Solucin: Trabaja x horas por mes. Cada 3/2 horas, efecta ventas por $100, de modo que cada hora promedia dos terceras partes de esto, es decir, $(200/3) en ventas. Su comisin es de 10% de esto, de modo que su comisin promedio por hora es 20/3. Por tanto, en x horas ganar una comisin de (20/3)x pesos. Agregando su salario base se obtiene un ingreso mensual total de 600 + (20/3)x. Esto debe ser igual a $ 2,000, de modo que se obtiene la ecuacin: 20 600 + x = 2000 3 20 x = 2000 600 Resolviendo obtenemos: 3 20 x = 1400 3 3 x= (1400) 20 x = 210 Conclusin: La vendedora deber trabajar 210 horas por mes, en promedio, si desea alcanzar el nivel de ingreso deseado. Utilidades 3. Un comerciante de ganado compr 1,000 reses a $150 dlares cada una.Vendi 400 de ellas obteniendo una ganancia de 25%. A qu precio deber vender las restantes 600 si la utilidad promedio del lote completo ha de ser de 30%? Solucin: Su ganancia por cada una de las 400 reses ya vendidas es de 25% del precio de costo, que es el 25% de $150, o bien $37.50. En 400 reses, su ganancia fue de $37.50 x 400 = $15,000. Sea x dlares el precio de62


venta de las restantes 600 reses. Entonces su utilidad por res es x 150 y su ganancia por las restantes es 600 (x 150) dlares. Por tanto su ganancia total por la venta completa es: 15,000 + 600 (x 150) dlares. Esta ganancia deber ser el 30% del precio que l pag por las 1,000 reses, es decir, el 30% del precio de $150,000. Esto es igual a $[(3/10)(15,000)], o bien $45,000. As, se obtiene la ecuacin: 15,000 + 600 (x 150) = 45,000 Resolviendo obtenemos: 15,000 + 600 x 90,000 = 45,000

600 x = 45,000 15,000 + 90,000 600 x = 120,000 x = 200

Conclusin: El comerciante debe vender las restantes reses a $200 cada una para lograr una ganancia de 30%. Inversiones 4. Cierta persona va invertir $70,000. Ella quiere recibir una ganancia anual de $5,000. Puede invertir sus fondos en bonos del gobierno a 6% o, con un riesgo mayor, a 8.5% de los bonos hipotecarios. Cmo debera invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga $5,000? Solucin: Sea la cantidad invertida en bonos de gobierno x pesos. Entonces la cantidad invertida en bonos hipotecarios es (70,000 x) pesos. El ingreso recibido por los bonos gubernamentales al 6% es de 0.06x pesos. El ingreso percibido por los bonos hipotecarios al 8.5% es 0.085 (70,000 x). Dado que el ingreso total recibido por los dos tipos de bonos debe ser de $5,000, 0.06x + 0.085 (70,000 x) = 5,000 0.06x + 5,950 0.085x = 5,000 0.025x = 950 950 x= 0.025 x = 38,000 Conclusin: La persona debera invertir $38,000 en bonos del gobierno y los restantes $32,000 en bonos hipotecarios. Problemas propuestos a) Un padre es tres veces mayor que su hijo. En 12 aos, l tendr el doble de la edad de su vstago. Qu edades tienen el padre y el hijo ahora?

63


b) Un colegio destina $60,000 a un fondo a fin de obtener ingresos anuales de $5,000 para becas. Parte de esto se destinar a inversiones en fondos del gobierno a razn de 8% y el resto a depsitos a largo plazo a 10.5%. Cunto debern invertir en cada opcin con objeto de obtener el ingreso requerido?

c) Se ha comprado un coche, un caballo y sus arreos por $35,000. El coche cost el triple de los arreos, y el caballo, el doble de lo que cost el coche. Hallar el costo de los arreos, del coche y del caballo.

d) Una persona invirti $2,000 ms al 8% que al 10% y recibi un ingreso total por intereses de $700 por un ao. Cunto invirti a cada tasa?

e) Durante una venta de liquidacin un reloj tiene marcada una rebaja de 20%. Si su precio de liquidacin es $80, cul era su precio de original?

f) Un comerciante ofrece 30% de descuento sobre el precio marcado de un artculo, y an as obtiene una ganancia de 10%. Si al comerciante le cuesta $35 el artculo, cul debe ser el precio marcado?

64

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESEn este captulo se presentan los mtodos algebraicos y grficos para la solucin de sistemas de ecuaciones lineales con 2 incgnitas, que nos sirven para la resolucin de problemas de la vida cotidiana. Los mtodos algebraicos que se contemplan son: Suma y resta Igualacin Sustitucin Determinantes Mtodo grfico Al final se proponen problemas que se pueden plantear por medio de un sistema de ecuaciones que se resuelve por alguno de los mtodos citados.

Mtodo de suma o restaEn este mtodo buscamos que en ambas ecuaciones una de las variables tenga coeficientes opuestos (mismo valor, pero con diferente signo) para que sea eliminada al sumarlas.

Ejemplo:

2x + 3y = 5 5x + 6y = 42x + 3y = 5 5x + 6y = 4 4x 6y = 10 5x + 6y = 4 4x 6y = 10 5x + 6y = 4 = 6 1x 1x = 6 x=6

Este es el sistema de dos ecuaciones con dos variables que queremos resolver. Nos damos cuenta que para la variable y, tanto en la primera como en la segunda ecuacin, el coeficiente es mltiplo de 3. Para hacer que la variable y tenga coeficientes opuestos, multiplicamos todos los trminos de la primera ecuacin por 2. Sumamos (o restamos. segn sea el caso) la primera ecuacin con , la segunda ecuacin.

Hemos encontrado el valor de la variable x. Seleccionamos una de las ecuaciones y en ella r eemplazamos el valor de la variable x. Ntese que el valor de x (que en este caso era 6) lo hemos mul, tiplicado por el coeficiente de esta misma letra. El trabajo que viene a continuacin es similar al de cualquier ecuacin de primer grado. Finalmente, hallamos el valor de la variable y.

2x + 3y = 5 2( 6) + 3y = 5 12 + 3y = 5 3y = 5 + 12 3y = 17 y = 17 3

65


EjercicioResuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el mtodo de suma o resta:

a) 6x 5y = 9 4x + 3y = 13

b) 7x 15y = 1 x 6y = 8

c) 3x 4y = 41 11x + 6y = 47

d) 9x + 11y = 14 6x 5y = 34

e) 3x + y = 11 2 x+y=7 2

Mtodo de igualacinEste mtodo consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones y luego igualarlas.

Ejemplo:

2x + 3y = 5 5x + 6y = 42x + 3y = 5 3y = 5 2x y = 5 2x 3 5x + 6y = 4 6y = 4 5x y = 4 5x 6

Trabajar por separado la primera ecuacin y la segunda ecuacin. En ambas busca el valor de y. Resuelto para y la primera ecuacin. El resultado o valor obtenido se emplear ms adelante.

Resuelto para y la segunda ecuacin. El resultado o valor obtenido se emplear ms adelante.

66


5 2x = 4 5x 3 66(5 2x) = 3(4 5x) 30 12x = 12 15x 15x 12x = 12 30 3x = 18 x = 18 = 6 3 5( 6) + 6y = 4 y = 17 3

Se procede a igualar ambas ecuaciones. Ahora atencin: los trminos que estn dividiendo pasarn a multiplicar.

Resolver la ecuacin como si se tratase simplemente de una ecuacin de primer grado. Hallar el valor numrico de la variable x.

Reemplazar el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones. Finalmente, encontrar el valor de la variable y.

EjercicioResuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el mtodo de igualacin:

a) 6x 5y = 94x + 3y = 13

b) 7x 15y = 1 x 6y = 8

c) 3x 4y = 41

11x + 6y = 47

d) 9x + 11y = 146x 5y = 34

e) 3x + y = 112 x+y=7 2

67


Mtodo de sustitucinPara resolver un sistema de ecuaciones con este mtodo debemos despejar una de las variables en una de las ecuaciones, y reemplazar la expresin obtenida en la otra ecuacin.

Ejemplo:

Veamos el mismo ejemplo anterior:

2x + 3y = 5 5x + 6y = 42x + 3y = 5 2x + 3y = 5 3y = 5 2x y = 5 2x 3 5x + 6(5 2x) = 4 3 5x + 10 4x = 4 5x 4x = 4 10 1x = 6 x=6 5( 6) + 6y = 4 y = 17 3

Del sistema de dos ecuaciones con dos variables, escoge una de ellas, por ejemplo, la primera de ellas. En la ecuacin, escoge una varible para despejar. Tomar por ejemplo la variable y, para ello, deja los trminos con y a un lado y lleva los dems al otro lado. Hallando el valor de la variable y. Se reemplaza el valor obtenido para y en la segunda ecuacin (recuerda que estars multiplicando al coeficiente). Resolviendo el producto, coloca los trminos que tienen variable x a un lado de la igualdad y los trminos independientes al otro lado de la igualdad. Se reducen trminos semejantes. Al realizar todo este trabajo se obtiene el valor de la variable x. Se reemplaza el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones. Finalmente, se encuentra el valor de la variable y.

EjercicioResuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el mtodo de sustitucin:

a) 6x 5y = 94x + 3y = 13

b) 7x 15y = 1x 6y = 8

c) 3x 4y = 41

11x + 6y = 47

68


d) 9x + 11y = 146x 5y = 34

e) 3x + y = 112 x+y=7 2

Mtodo de determinantesDeterminantesSean a, b, c y d nmeros reales. Si del producto ab restamos el producto cd obtenemos ab cd. Este arreglo puede expresarse en forma rectangular de la siguiente manera:

ab

cd =

a d c b

Cuyo resultado, que es una cantidad numrica, se conoce como determinante. Generalmente se asocia a una matriz. Las columnas de un determinante estn constituidas por las cantidades que estn en una misma lnea vertical. En el ejemplo anterior

a d es la primera columna y la segunda columna. c b

Los renglones estn constituidos por las cantidades que estn en una misma lnea horizontal. En el ejemplo dado, a d es el primer rengln y c b el segundo. En el determinante diagonal secundaria. Desarrollo de un determinante de segundo orden Un determinante de segundo orden equivale al producto de los trminos que pertenecen a la diagonal principal, menos el producto de los trminos que pertenecen a la diagonal secundaria.

a d c b

la lnea que une a con b es la diagonal principal y la lnea que une c con d es la

Ejemplos:1. 2.

3 2 5 4 3 1

= (3)( 4) 5 2

( 5)( 2) = 12 10 = 2 (1)( 5) = 6 + 5 = 1

= ( 3)( 2)

69


EjercicioDesarrolla los siguientes determinantes:

a) 4 5 2 3

b) 2 73 5

c) 2 54 3

d) 15 1 13 2

e) 12

1

f) 10

3

13 9

17 13

g)

5

8

h)

8

2

i)

31 20

85 43

19 21

3 0

Solucin de un sistema de 2 ecuaciones con 2 incgnitas. Regla de CramerLa regla de Cramer recibe su nombre en honor del matemtico suizo Gabriel Cramer (1704 1752). Kramer public la regla en 1750 en su libro Introduction to the Analysis of Lines of Algebraic Curves. La regla de Cramer es uno de los resultados ms conocidos en la historia de las Matemticas. Durante casi doscientos aos fue fundamental en la enseanza del lgebra y de la teora de ecuaciones.

70


Regla de Cramer. Dado un sistema de ecuaciones n x n, y suponiendo que el determinante de los coeficientes , es diferente de cero, entonces la solucin nica del sistema est dada por:

x =

y x z n , y = , z = ... n =

Ejemplo 1. Solucin de un sistema de 2 x 2 usando la regla de Kramer.

5x + 3y = 5 4 x + 7 y = 27Hallemos el determinante del sistema utilizando los coeficientes: =

5 3 4 7

= 23

Hallamos x , sustituyendo la columna de los coeficientes de las x por la columna de las constantes. Lo mismo para y .

x =

5

3

27 7

= 46

y =

5

5

4 27

= 115

Para hallar el valor de las incgnitas aplicando la regla de Kramer tendremos:

x =

x 46 = = 2 23

y=

y

=

115 =5 23

EjercicioHalla correctamente, si la tienen, las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones:

7 x + 8y = 29 a) 5x + 11y = 26

5x 5 y = 15 b) 2 x 2 y = 10

13a 31b = 326 c) 25a + 37b = 146

15p 44q = 6 d) 27p + 32q = 1

8x 5 = 7 y 9 e) 6 x = 3y + 6

3( x + 2) = 2 y f) 2( y + 5) = 7 x

71


3m 4n = 41 g) 11m + 6n = 47

9x + 11y = 14 h) 6 x 5y = 34

x ( y 2) y ( x 3) = 14 i) y ( x 6) x ( y + 9) = 54

Mtodo grfico (Punto de interseccin)Consiste en trazar, en un sistema de coordenadas dado, las dos rectas que presentan las ecuaciones. La solucin del sistema viene dada por las coordenadas (x, y) del punto de interseccin de ambas. De la figura (a) se deduce que la solucin del sistema formado por: 2x y = 4 x + 2y = 3 Es x = 1, y = 2, o bien (1, 2)

2x

y

=4

x+

2y

=

3

(a)

Si las rectas son paralelas como se observa en la figura (b), el sistema de ecuaciones es incompatible, es decir, no tiene solucin. Por ejemplo, el sistema formado por: x+y=2 x+ 2x + 2y = 8 y=22x + 2y

=

8

(b)

Las ecuaciones dependientes, figura (c), estn representadas por una misma recta. Por consiguiente, todos los puntos de la recta constituyen una solucin y, por consecuencia, el sistema tendr infinitas soluciones. Por ejemplo: x+y=1 x+ y= 4x + 4y = 4 22x + 2y

=

8

(c)

72


EjercicioHalla los valores de x y y resolviendo las ecuaciones grficamente:

a) x + y = 6 5x 4y =12

b) 3x = 4y 5x 6y = 38

c) x 2y = 10 2x + 3y = 8

d) x y = 1 2 3 6 x+y=7 3 4 12

Problemas de aplicacinResuelve correctamente los siguientes problemas: a) Un tercio de la diferencia de dos nmeros es 11 y los 4/9 del mayor equivalen a los del menor. Hallar los nmeros.

73


b) En un cine, 10 entradas de adulto y 9 de nio cuestan $512.Asimismo, 17 entradas de nio y 15 de adulto cuestan $831. Hallar el precio de la entrada de un nio y de un adulto.

c) La suma de dos nmeros 190 y 1/9 de su diferencia es 2. Hallar los nmeros.

d) La suma de las edades de una seora y su hija es 44 aos. Hace 7 aos la edad de la seora era 5 veces la edad de su hija. Cul es la edad actual de cada una?

e) Hallar las dimensiones de un terreno rectangular sabiendo que si el ancho se aumenta en 2 metros y el largo en 5 metros, su rea aumenta en 190 metros cuadrados, y si el ancho se disminuye en 3 metros y el largo en 2 metros, su rea disminuye en 154 metros cuadrados.

f) Juan tiene 8 aos ms que Pedro. Hallar sus edades actuales si dentro de 5 aos la edad de Juan ser el doble de la que tena Pedro hace 2 aos.

74


g) La suma de dos nmeros es 1,529 y su diferencia es 101. Hallar los nmeros.

h) Se tienen $175.00 en 26 monedas de $5.00 y $10.00, cuntas monedas son de $5.00 y cuntas son de $10.00?

i) Un comerciante emple $6,720.00 en comprar trajes a $375.00 y sombreros a $45.00. Si la suma del nmero de trajes y el nmero de sombreros que compr es 54. Cuntos trajes compr y cuntos sombreros?

j) Un cuarto de la suma de dos nmeros es 45 y un tercio de su diferencia es 4. Hallar los nmeros.

k) Los de la suma de dos nmeros es 74 y los 3/5 de su diferencia es 9. Hallar los nmeros.

l) En un corral hay 15 animales entre gallinas y conejos. La suma de sus patas es 44. Cuntas gallinas y conejos son?

75


m) Los 3/10 de la suma de dos nmeros exceden 6 a 39 y los 5/6 de su diferencia son 1 menos que 26. Hallar los nmeros.

n) La suma de dos nmeros es 50 y su diferencia es 14. Cules son estos nmeros?

o) 5 trajes y 3 sombreros cuestan $4,180, y 8 trajes y 9 sombreros $6,940. Hallar el precio de un traje y de un sombrero.

p) Un hacendado compr 4 vacas y 7 caballos por $514.00. Ms tarde, a los mismos precios, compr 8 vacas y 9 caballos por $818.00. Hallar el costo de una vaca y de un caballo.

q) La diferencia de dos nmeros es 40 y 1/8 de su suma es 11. Hallar los nmeros.

r) Se tienen $120.00 en billetes de a $5 y de a $2. Cuntos billetes son de $5 y cuntos son de $2?

76

FUNCIONES Y SUS GRFICASFuncin linealMtodo de tabulacinEste mtodo consiste en despejar la variable y en trminos de la variable x, y asignar valores a la variable x, en general se toman los primeros valores enteros positivos y negativos. Dicho proceso se ejemplifica en el siguiente ejercicio.

Ejemplo:Traza la grfica de la siguiente ecuacin: 2x + y 4 = 0 por el mtodo de tabulacin. Despejamos la variable y, de donde obtenemos: y = 2x + 4 Asignamos valores a la variable x, por medio de una tabla, y sustituimos el primer valor asignado a las x en la ecuacin despejada. x 3 2 1 0 1 2 3 y 10 8 6 4 2 0 2

y = 2 x + 4 y = 2(3) + 4 y=6+4 y = 10

y = 2 x + 4 y = 2(2) + 4 y=4+4 y =8

Realizamos el mismo procedimiento con los dems valores asignados, con lo cual llenamos la tabla. Dichos valores tomados por pares representan puntos en el plano cartesiano. Procedemos a trazarlos.y 6 5 4 3 2 1

6 5 4 3 2 1

1 2 1 2 3 4 5 6

3 4

x 5 6

Teorema. La grfica de toda Funcin Lineal representa una Lnea Recta.77


Mtodo de puntos de corteEste mtodo consiste en igualar a cero cada una de las variables (por separado) y despejar la otra, con el fin de obtener los puntos en donde la grfica de la ecuacin corta a los ejes coordenados. Dicho proceso se ejemplifica en el siguiente ejercicio.

Ejemplo:Traza la grfica de la siguiente ecuacin 2x + 3y 12 = 0 por el mtodo de puntos de corte. Asignamos el valor 0 a la x y sustituimos en la ecuacin, luego realizamos el mismo procedimiento con la y:

2 x + 3 y 12 = 0 x=0 2(0) + 3 y 12 = 0 3 y 12 = 0 12 y= 3 y=4 (0, 4)

2 x + 3 y 12 = 0 y=0 2 x + 3(0) 12 = 0 2 x 12 = 012 2 x=6 x=(6, 0)

De donde obtenemos los puntos (0, 4) y (6, 0). Procedemos a trazarlos.y 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 1 2 1 2 3 4 5 6 3 4

x 5 6

Este mtodo es especialmente til por la sencillez y rapidez con la cual permite el trazo de una funcin lineal.

78


EjercicioTraza correctamente la grfica de cada una de las siguientes funciones lineales: Mtodo de tabulacin Mtodo de puntos de corte

a)

y=x+2

f)

y = 3x + 4

b)

y = 2 x

g)

y=

x +4 2

79


Mtodo de tabulacin

Mtodo de puntos de corte

c)

y=

x+6 2

h) 12 x 4 y = 6

d) 2 x + y = 10

i) 9 x 5 y = 7

e)

y=

5x 4

j) 4 x + y = 8

80


Funcin cuadrticaLas ecuaciones de segundo grado representan figuras llamadas parbolas. Una funcin de la forma:

y = ax 2 + bx + c

a0

Todas las parbolas tienen forma de U, abriendo hacia arriba si a 0 y hacia abajo si a 0, El pico o valle de una parbola se denomina vrtice y est determinado por vrtice de la parbola queda de la siguiente manera:

x=

b y 2a

y=

4ac b 2 . Por lo tanto, el 4a

V(

b 4ac b 2 , ). 4a 2a b 2a

Obsrvese que para lograr un trazo o grfico de la parbola y = ax 2 + bx + c, se necesitan tres puntos clave: Localizacin del vrtice x =

Si la parbola abre hacia arriba: a > 0 Si abre hacia abajo: a < 0 Determinar intersecciones de la ecuacin con los ejes Las siguientes figuras muestran los trazos de parbolas con distintos comportamientos:

y = ax 2 + bx + cy 54 3 2 1 5 4 3 2 1 1 1 2 3 4 5 2 3 4

y 54 3 2 1 5 4 3 2 1 1 1 2 3 4 5 2 3 4

x5

x5

y = ax 2 + bx + ca) Parbola vertical hacia arriba Punto mnimo

y = ax 2 + bx + cb) Parbola vertical hacia abajo Punto mximo

Mtodo de tabulacinEl proceso es similar al utilizado en la funcin lineal, teniendo cuidado de aplicar primero la potencia cuadrada.

Ejemplo:

Traza la grfica de la siguiente ecuacin f ( x) = 5 2 x 2 por el mtodo de tabulacin.81


Asignamos valores a la variable x, por medio de una tabla, y sustituimos el primer valor asignado a las x en la ecuacin despejada. x 2 1 0 1 2 y 3 3 5 3 3

y = 5 2x 2 y = 5 2( 2) 2 y = 5 2( 4) y = 58 y = 3

y = 5 2x 2 y = 5 2(1) 2 y = 5 2(1) y = 5 2 y=3

Realizamos el mismo procedimiento con los dems valores asignados, con lo cual llenamos la tabla. Dichos valores tomados por pares representan puntos en el plano cartesiano. Procedemos a trazarlos:y 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 1 2 1 2 3 4 5 6 3 4

x 5 6

Podemos observar que la funcin representa una parbola vertical abierta hacia abajo, con vrtice en el punto (0, 5).

Mtodo de puntos de corteEste mtodo es especialmente til cuando observamos que la funcin cuadrtica es factorizable. El proceso es similar al utilizado en la funcin lineal.

Ejemplo:Traza la grfica de la siguiente ecuacin f ( x) = x 4 x 5 por el mtodo de puntos de corte.y = x 2 4x 5 x=02

y=0 y = x2 4x 50 = x2 4x 5 0 = ( x + 1)( x 5) x +1 = 0

Hallamos el vrtice:y = x 2 4x 5 a =1b = 4

y = x 2 4x 5 y = ( 0) 2 4( 0) 5 y = 5 (0,5)

y = x 2 4x 5 y = ( 2 ) 2 4( 2) 5 y = 485 y = 9

x = 1 (1,0) x5 = 0 x=5 (5,0)82

b x= 2a (4) x= 2(1) x=2

V (2,9)


y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8

x 10

Este mtodo se aplica en situaciones cuando es posible observar que la funcin cuadrtica es factorizable, o bien si se decide utilizar la frmula general de segundo grado para hallar las races que grficamente representan los puntos de corte de la funcin con el eje de las X.

EjercicioTraza correctamente la grfica de cada una de las siguientes funciones cuadrticas. Mtodo de tabulacin Mtodo de puntos de corte

a)

y = x2

f) y = 2 x 2 3 g) y = x 2 + 7 x + 10 h) y = 12 x 2 7 x 12 i)y = 21x 2 + 11x 2

b) y = 2 x 2 + 1 c)y = x 2 + 5

d) x 2 y = 0 e) x 2 + 3 y = 1

j) y = x 2 12 x + 11

83


Ejercicioa) y = x 2

y 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 1 2 1 2 3 4 5 6 3 4

x 5 6

b) y = 2 x 2 + 1

y 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 1 2 1 2 3 4 5 6 3 4

x 5 6

84


Ejercicioc) y = x 2 + 5

y 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 1 2 1 2 3 4 5 6 3 4

x 5 6

d) x y = 0

2

y 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 1 2 1 2 3 4 5 6 3 4

x 5 6

85


Ejercicioe) x + 3 y = 12

y 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 1 2 1 2 3 4 5 6 3 4

x 5 6

f) y = 2 x 2 3y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1086

x 2 4 6 8 10


Ejerciciog) y = x 2 + 7 x + 10y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 x 10

h) y = 12 x 2 7 x 12y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1087

x 2 4 6 8 10


Ejercicioi) y = 21x 2 + 11x 2y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 x 10

j) y = x 2 12 x + 11y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1088

x 2 4 6 8 10


Funcin cbicaDefinicinLa funcin cbica se define como un polinomio de tercer grado; tiene la forma f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d , donde a 0 . El contradominio de la funcin cbica es R. Para graficar una funcin cbica es necesario nicamente asignarle un intervalo de valores arbitrarios a la variable x e inmediatamente sustituir esos valores en la funcin para obtener los valores de la variable y.

Ejemplo:

Sea la funcin f ( x) = 2 x 3 + 12 x 2 18 x + 1, graficar. Asignando valores arbitrarios a la variable x, y sustituimos en la funcin:x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4f ( x) = 2 x 3 + 12 x 2 18 x + 1 f ( x) = 2(5)3 + 12(5)2 18(5) + 1 = 141 f ( x) = 2(4)3 + 12(4)2 18(4) + 1 = 137 f ( x) = 2(3)3 + 12(3) 2 18(3) + 1 = 109 f ( x) = 2(2)3 + 12(2) 2 18(2) + 1 = 69 f ( x) = 2(1)3 + 12( 1) 2 18(1) + 1 = 29 f ( x) = 2(0)3 + 12(0) 2 18(0) + 1 = 1 f ( x) = 2(1)3 + 12(1) 2 18(1) + 1 = 3 f ( x) = 2(2)3 + 12(2) 2 18(2) + 1 = 29 f ( x) = 2(3)3 + 12(3)2 18(3) + 1 = 109 f ( x) = 2(4)3 + 12(4) 2 18(4) + 1 = 249

89


Con los valores obtenidos procedemos a realizar la grfica:y 160 140 120 100 80 60 40 20 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 2 3 4 5

x 6

90


Ejercicioa) f ( x) = 2 x + 24 x 72 x + 5y 160 140 120 100 80 60 40 20 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 2 3 4 53 2

x 6

b) f ( x) = x 3 9 x 2 10 xy 160 140 120 100 80 60 40 20 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 2 3 4 5

x 6

91


Ejercicioc) f ( x) = x 3 8y 160 140 120 100 80 60 40 20 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 2 3 4 5

x 6

d) f ( x) = x 3 + 3x 2 + 3 x + 1y 160 140 120 100 80 60 40 20 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 2 3 4 5

x 6

92


Ejercicioe) f ( x) = 2 x 3 + x 2 + 2y 160 140 120 100 80 60 40 20 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 2 3 4 5

x 6

f) f ( x) = 2 x 3 + x 2 + 2y 160 140 120 100 80 60 40 20 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 2 3 4 5

x 6

93


Ejerciciog) f ( x) = x 3 + 5 x 3y 160 140 120 100 80 60 40 20 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 2 3 4 5

x 6

h) f ( x) = x 3 + 5 x 3y 160 140 120 100 80 60 40 20 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 2 3 4 5

x 6

94


Ejercicioi)

f ( x) = 3 x3 + 2 x 2 1y 160 140 120 100 80 60 40 20 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 2 3 4 5

x 6

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Funciones polinomialesFunciones algebraicasLas funciones algebraicas son aquellas cuya regla de correspondencia es una expresin algebraica. Una expresin algebraica es una combinacin de nmeros y letras relacionados a travs de las operaciones de suma (+), resta (-), multiplicacin ( ), divisin (/), potenciacin o radicacin. Dentro de las funciones algebraicas tenemos un conjunto de funciones llamadas polinomiales.

Clasificacin de funciones polinomialesSon funciones polinomiales aquellas cuya regla de correspondencia es un polinomio. Recordando que el grado de un polinomio es el exponente mayor de la variable, podemos hablar de una funcin polinomial de grado n. Un polinomio es una expresin algebraica que no contiene divisiones entre letras ni radicales. Llamamos a una funcin polinomial de grado n, si tiene la forma f ( x) = a0 x n + a1 x n 1 + a2 x n 2 + ..... +

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