matemática docente 2° medio

med

io2Guía didáctica del docente

MatemáticaLorna Jiménez MartínezProfesora de MatemáticaLicenciada en MatemáticaPontificia Universidad Católica de Chile

Pedro Rupin GutiérrezProfesor de MatemáticaLicenciado en MatemáticaPontificia Universidad Católica de Chile

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MateMática 2.° MeDiO GUÍa DiDáctica DeL DOceNte

Dirección editorialFelipe Muñoz Gómez

Coordinación editorialDaniela Cienfuegos Fernández

EdiciónPedro Rupin Gutiérrez

AutoríaLorna Jiménez MartínezPedro Rupin Gutiérrez

Corrección de estiloAna Saavedra Segura

Coordinación de diseñoGabriela de la Fuente Garfias

Diseño y diagramaciónAnghela Badiola Sanhueza

Diseño de portadaAnghela Badiola Sanhueza

ProducciónAndrea Carrasco Zavala

Este texto corresponde al Segundo año de Enseñanza Media y ha sido elaborado conforme al Decreto Supremo N° 254/2009, del Ministerio de Educación de Chile.

©2013 – Ediciones SM Chile S.A. – Coyancura 2283 piso 2 – ProvidenciaISBN: 978-956-349-543-0 / Depósito legal: 235591Se terminó de imprimir esta edición de 4800 ejemplares en el mes de enero del año 2014.Impreso por xxxxxxxxxxxxx

Quedan rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

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Índice

Presentación de la unidad ........................................... 11

Marco curricular ............................................................... 12

Plani� cación de la unidad ............................................ 13

Sugerencias metodológicas ........................................ 17

Información complementaria .................................... 38

Actividades complementarias fotocopiables ...... 39

Evaluación fotocopiable ............................................... 42

Solucionario ....................................................................... 47

Banco de preguntas ....................................................... 50

Bibliografía ......................................................................... 52

NúmerosNúmeros1Presentación de la unidad ........................................... 97



Sugerencias metodológicas ......................................103

Información complementaria ..................................129

Actividades complementarias fotocopiables ....130

Evaluación fotocopiable .............................................133

Solucionario .....................................................................139

Banco de preguntas .....................................................142

Bibliografía .......................................................................144

ÁlgebraÁlgebra3

Presentación de la unidad ...........................................53



Sugerencias metodológicas ........................................ 58

Información complementaria .................................... 75

Actividades complementarias fotocopiables ...... 76

Evaluación fotocopiable ............................................... 79

Solucionario ....................................................................... 84

Banco de preguntas ....................................................... 87

Bibliografía ......................................................................... 89

GeometríaGeometría2Presentación de la unidad ........................................145

Marco curricular .............................................................146

Plani� cación de la unidad ..........................................147

Sugerencias metodológicas ......................................150

Información complementaria ..................................169

Actividades complementarias fotocopiables ....170

Evaluación fotocopiable .............................................173

Solucionario .....................................................................178

Banco de preguntas .....................................................181

Bibliografía .......................................................................183

Datos y AzarDatos y Azar4

Fundamentación del diseño instruccional ...........................................................................................................................................4

Estructura del Texto del estudiante ..........................................................................................................................................................6

Estructura de la Guía didáctica del docente ........................................................................................................................................8

Índice temático ...........................................................................................................................................................................................190

Bibliografía .....................................................................................................................................................................................................192

Mini ensayo PSU ...................................................................... 90 Mini ensayo PSU ....................................................................162

3ÍNDICE

4

Fundamentación del diseño instruccional

El texto Matemática 2.º Medio es una propuesta didáctica elaborada a partir de los siguientes lineamientos fundamentales:

Organización de contenidos El texto recoge la propuesta del Marco curricular y el Programa de Estudio proponiendo una unidad

por eje de contenido. Cada unidad se divide en secciones que la organizan y potencian la importancia de los diferentes objetivos que abordan.

evaluación permanente Una característica distintiva del texto es asumir la evaluación como un proceso continuo y al servicio

del aprendizaje. Matemática 2.º Medio recoge este enfoque y lo potencia con páginas destinadas a la evaluación inicial, integradora y final. Se incluyen, además, instancias de evaluación tipo PSU con el fin de preparar a los estudiantes en este tipo de procedimientos evaluativos.

aprendizaje significativo Las nuevas tendencias didácticas promueven el aprendizaje de los contenidos en contextos significati-

vos. Matemática 2.º Medio asume este postulado explicitando los conceptos que están detrás de esas actividades significativas, como una manera de integrar el aprender con entretención, conocimiento de su entorno y contenidos de la disciplina.

Desarrollo de habilidades El enfoque didáctico de Matemática 2.º Medio asume el desarrollo de habilidades ligado a los con-

tenidos. Es por ello que se incluyen páginas especiales, destinadas a profundizar el trabajo de las habilidades con un enfoque de enseñanza explícito y ligado a los contenidos conceptuales; junto con el trabajo continuo en cada una de las lecciones.

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Para cumplir estos lineamientos, las unidades y secciones del texto Matemática 2.º Medio se componen de:

§ Páginas de inicio que presentan los contenidos de la unidad a estudiar por medio de una imagen. Además, se proponen preguntas destinadas a activar los conocimientos previos de los estudiantes. Cada sección incluye además una página De esto se trata, para presentar los contenidos a los estudiantes y relacionarlos con contextos significativos, y ¿Qué debes saber?, para diagnosticar sus conocimientos previos.

§ Lecciones que presentan y trabajan los contenidos y actividades propios del nivel educacional. Cada lección estimula a los estudiantes a verificar su propio aprendizaje por medio de preguntas y actividades de reflexión, personal y grupal.

§ Dos páginas de evaluación integradora que se insertan entre las secciones. En ellas se invita al estudiante a realizar variadas actividades que evalúan el grado de comprensión de los contenidos tratados hasta el momento.

§ Cada sección incluye una página de Resolución de problemas desarrollados paso a paso, y una página Para no cometer errores, que permite a los estudiantes detectarlos y corregirlos.

§ Dos páginas de Diario Mural, que relacionan el contenido de la unidad con la historia de la disciplina o con otras áreas del conocimiento.

§ Dos páginas de Síntesis, para fortalecer y sintetizar los aprendizajes, y recoger lo presentado en las páginas de inicio.

§ Tres páginas de Refuerzo y una de Profundización, destinadas a los estudiantes con distintas necesidades.

§ Cuatro páginas de evaluación final, para evaluar en forma global los contenidos tratados en la unidad.

FundaMentación

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Estructura del texto

El Texto Matemática 2.º Medio se compone de 4 unidades: Números, Geometría, álgebra y Datos y azar. Cada unidad se compone de secciones, y cada sección de lecciones.

estructura de las unidades

1. inicio de unidadEn estas páginas podrás activar tus ideas previas, conocer las palabras claves de la unidad, y recordar lo que ya sabes. Te presentaremos lo que aprenderás y su objetivo, en un contexto relacionado con los contenidos que se estudiarán.

2. Diario MuralAl final de cada unidad encontrarás una interesante aplicación de lo estudiado, en diversos contextos.

3. Para sintetizarAquí podrás organizar y resumir los contenidos abordados. Además, retomaremos la situación presentada en el inicio y podrás relacionarla con tus aprendizajes.

4. Reforzar y profundizarEstas páginas te permitirán reforzar los contenidos antes de la evaluación, como también profundizar tus aprendizajes.

5. evalúo mis aprendizajesTe proponemos una evaluación de alternativas, en la que podrás medir tus logros en la unidad.

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6. De esto se trata y ¿Qué debes saber?Activarás tus ideas previas y reflexionarás sobre la importancia de los contenidos y el propósito de la sección, a partir de una situación real. Además, podrás evaluar tus conocimientos previos y repasar lo que necesites con la ayuda de Internet.

7. LecciónEstas son las páginas de contenido en las que recordarás tus aprendizajes previos y desarrollarás tus habilidades. Te proponemos actividades para que razones, comentes y reflexiones con tus compañeros, y ejercicios de repaso, práctica y aplicación.

8. Resolución de problemas y Para no cometer erroresPodrás analizar estrategias de resolución de problemas, y analizar errores para no cometerlos.

9. integrando lo aprendidoPodrás evaluar tus aprendizajes de la sección y analizar si has logrado el propósito de ella.

estructura de las secciones

Páginas finales

10. Solucionario, Índice temático y BibliografíaAquí encontrarás la solución a los ejercicios planteados, un Índice temático de los contenidos abordados y la Bibliografía del Texto, además de material que te sugerimos para profundizar tus conocimientos.

estructura del texto

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Estructura de la Guía didáctica del docente

Una Presentación de la Unidad, en la que se explicita:

• el Propósito de la misma brindando una mirada global del proceso que han seguido los estudiantes.

• los conocimientos Previos necesarios para ella.

• las Palabras clave de los contenidos que se abordarán.

• los contenidos específicos, determinados por el Marco curricular.

• las Habilidades y actitudes a desarrollar.

La Guía Didáctica del Docente del texto Matemática 2.º Medio está organizada siguiendo las unidades del texto.

Para ello, presenta los siguientes elementos:

Una Planificación de cada sección, que el docente podrá utilizar

como referencia para relacionar los Objetivos Fundamentales transversales, los contenidos Mínimos Obligatorios y los apren-dizajes esperados, relacionados con cada lección específica de

la sección. Se explicitan además las páginas de evaluación corres-

pondientes y una sugerencia de tiempo estimado, tanto para cada

sección como para las actividades finales de cada Unidad.

Sugerencias metodológicas

Para cada sección de la unidad, el docente podrá encontrar orienta-

ciones para trabajar la página de inicio De esto se trata, y sugerencias

para cada indicador de la evaluación inicial Esto debes saber. Dentro

de las lecciones correspondientes, se presenta al docente:

• El título y Propósito de cada lección.

• Las palabras clave del contenido a abordar.

• Los prerrequisitos específicos para la lección, que ya habrán sido trabajados en la evaluación inicial de la sección.

• Sugerencias para la activación de ideas previas de los estudiantes, por medio de actividades, preguntas, presentación de situaciones, etc.

• Orientaciones didácticas que permiten complementar los contenidos presentados en el texto, por medio de sugerencias de actividades, cuidados específicos relacionados con actividades del texto, tips orientados a los estudiantes que puedan presentar mayores dificultades y, de manera general, todo lo que pueda apoyar la labor del docente estimulando el aprendizaje de los estudiantes.

• Algunos errores frecuentes específicos del contenido de la lección, con sugerencias para prevenirlos y corregirlos.

• actividades complementarias, que apuntan a un mejor aprendizaje de los estudiantes con diversas necesidades, ya sea de mayor refuerzo o profundización.

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Al final de cada sección, podrá encontrar sugerencias para el trabajo con las páginas Resolución de problemas y Para no cometer errores, además de una tabla correspondiente a la Evaluación Integrando lo aprendido, que

presenta al docente remediales sugeridos para los estudiantes que no alcancen el nivel de logro deseado.

Sugerencias para el trabajo con las páginas Diario Mural, para estimular en los estudiantes el establecimiento de conexiones entre el contenido estudiado y algún contexto de la vida cotidiana; y Síntesis, para establecerlas entre los conceptos estudiados en cada sección.

Una tabla de especificaciones de la evaluación de la Unidad, que establece los indicadores de cada pregunta y remediales para cada caso.

información complementaria sobre algún aspecto interesante para el docente que le permitirá profundizar en contenidos de la Unidad.

Una evaluación fotocopiable con preguntas de alternativas y desarrollo, y su respectiva rúbrica.

Bibliografía de la Unidad, que le permitirán profundizar y actualizarse en temas de matemática y didáctica de la matemática.

Cada dos Unidades podrá encontrar dos

Mini ensayos PSU, adecuados a los contenidos

específicos de las Unidades correspondientes.

Tres actividades complementarias para los estudiantes, que les permitirán reforzar o profundizar un contenido relacionado con cada sección.

Para finalizar, encontrará un Índice temático de los contenidos trabajados en la guía, y Bibliografía de

consulta general.

Un Banco de preguntas para el docente, organizadas por contenido.

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unid

ad1Propósito

Números

En esta unidad se recogen los aprendizajes que los estudiantes ya tienen sobre números racionales y sus propiedades, para introducir ahora los números irracionales y posteriormente los reales. Se espera que comprendan las características y propiedades de los nuevos números y sean capaces de ordenarlos, ubicarlos en la recta numérica, aproximarlos y operar con ellos.

En esta unidad se incorporan, además, las potencias de exponente racional y el estudio de sus propiedades, las raíces enésimas y los logaritmos. Será importante que los estudiantes realicen conjeturas sobre propiedades, las verifiquen y apliquen los contenidos aprendidos anteriormente en la resolución de problemas.

¿Qué sé?

• Realizar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones entre números racionales.

• identificar propiedades de la operatoria entre números racionales.

• calcular y aplicar propiedades de las potencias de base racional y exponente entero.

¿Qué aprenderé?

• identificar números irracionales y sus propiedades.

• comprender el conjunto de los números reales, sus propiedades y operaciones.

• Relacionar potencias de exponente racional y raíces enésimas.

• aplicar propiedades de las potencias de exponente racional y las raíces enésimas.

• comprender el concepto de logaritmo y su relación con raíces y potencias.

• aplicar propiedades de logaritmos.

• Resolver problemas que involucran raíces enésimas y logaritmos.

¿Para qué?

• Para resolver problemas en distintos contextos, que involucran distintos tipos de números.

• Para conjeturar y demostrar propiedad es de los números y sus operaciones.

Ruta de aprendizaje

11Unidad 1 • números

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Marco curricular

Conocimientos previos Habilidades

• Operaciones de números racionales.

• Potencias de base racional y exponente entero.

• Propiedades de las potencias de base racional y exponente entero.

• Reconocer si un problema puede o no tener soluciones en los números racionales.

• Identificar los números irracionales como aquellos que tienen un desarrollo infinito no periódico y que no se pueden escribir como fracción.

• Aproximar números irracionales mediante algún método.

• Ubicar raíces en la recta numérica, usando alguna estrategia.

• Conjeturar acerca del valor a obtener al sumar, restar, multiplicar o dividir dos números racionales.

• Resolver situaciones en las que es necesario operar con números reales.

• Demostrar propiedades de las raíces enésimas a partir de las propiedades de las potencias de exponente racional.

• Transformar raíces enésimas a notación de potencias y viceversa.

• Demostrar propiedades de los logaritmos a partir de las propiedades de las potencias.

• Relacionar potencias, raíces enésimas y logaritmos.

• Resolver situaciones en las que es necesario operar con raíces enésimas y logaritmos.

Palabras clave

Números irracionales, números reales, potencias de exponente racional, raíces enésimas, logaritmos.

Contenidos

• Números irracionales y propiedades.

• Números reales y propiedades.

• Operaciones aritméticas con números reales.

• Potencias de exponente racional.

• Propiedades de las potencias de exponente racional.

• Raíces enésimas.

• Propiedades de las raíces enésimas.

• Logaritmos.

• Propiedades de los logaritmos.Actitudes

• Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos.

MateMática 2.º Medio - GuÍa didáctica del docente 12 13Unidad 1 • números

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Sección 1: Números realesOF CMO AE Lecciones Evaluaciones

Comprender que los números irracionales constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números racionales, y los números reales como aquellos que corresponden a la unión de los números racionales e irracionales.

Utilizar los números reales en la resolución de problemas, ubicarlos en la recta numérica, demostrar algunas de sus propiedades y realizar aproximaciones.

Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar los números racionales a los números reales; reconocimiento de algunas de las propiedades de los números y de las operaciones y su uso para resolver diversos problemas.

Comprender que los números irracionales permiten resolver problemas que no tienen solución en los números racionales.

Lección 1: Números irracionales y problemas geométricos.

4 horas.

• Evaluación diagnóstica ¿Qué debes saber?, pág. 9.

2 horas.

• Evaluación integradora integrando lo aprendido, págs. 28 y 29.

2 horas.Aproximación del valor de un número irracional por defecto, exceso y por redondeo.

Aproximar números irracionales por defecto, por exceso y por redondeo.

Lección 2: Aproximación y construcción de números irracionales.

4 horas.

Ubicación de algunas raíces en la recta numérica; exploración de situaciones geométricas en que ellas están presentes; y análisis de la demostración de la irracionalidad de algunas raíces cuadradas.

Ordenar números irracionales y representarlos en la recta numérica.

Lección 3: Números irracionales en la recta numérica y orden.

4 horas.

Conjeturar y verificar propiedades de los números irracionales.

Lección 4: Números reales.

4 horas.Comprender que los números reales corresponden a la unión de los números racionales e irracionales.

Demostrar algunas propiedades de los números reales.

Resolver problemas en contextos diversos relativos a números reales, raíces y logaritmos.

Páginas finalesActividad Páginas Tiempo estimado

Resolución de problemas 26 1 hora

Para no cometer errores 27 1 hora

Tiempo estimado: 26 horas pedagógicas

Planificación de la unidad


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Sección 2: RaícesOF CMO AE Lecciones Evaluaciones

Establecer relaciones entre potencias, logaritmos y raíces en el contexto de los números reales, demostrar algunas de sus propiedades y aplicarlas en la resolución de problemas.

Análisis de la existencia de la raíz enésima en el conjunto de los números reales, su relación con las potencias de exponente racional y demostración de algunas de sus propiedades.

Analizar la existencia de las raíces en el conjunto de los números reales.

Lección 5: Raíz enésima.

4 horas.


2 horas.


2 horas.

Utilizar relaciones entre las potencias y raíces para demostrar propiedades de las raíces.

Lección 6: Raíces y operaciones.

4 horas.

Lección 7: Potencias de exponente racional.

4 horas.


Lección 8: Racionalización.

4 horas.

Lección 9: Raíces enésimas, problemas y ecuaciones.

4 horas.






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Sección 3: LogaritmosOF CMO AE Lecciones Evaluaciones

Establecer relaciones entre potencias, logaritmos y raíces en el contexto de los números reales, demostrar algunas de sus propiedades y aplicarlas en la resolución de problemas.

Interpretación de logaritmos, su relación con potencias y raíces, deducción de sus propiedades y aplicaciones del cálculo de logaritmos a la resolución de problemas en diversas áreas del conocimiento.

Establecer relaciones entre los logaritmos, potencias y raíces.

Lección 10: Logaritmos.

4 horas.


2 horas.


2 horas.

Deducir propiedades de los logaritmos.

Lección 11: Propiedades de los logaritmos.

4 horas.


Lección 12: Aplicaciones de logaritmos.

4 horas.






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Páginas finalesActividad Página Tiempo estimado

Diario mural. 74 y 75 1 hora

Para sintetizar. 76 y 77 1 hora

Reforzar antes de evaluar – Para profundizar. 78 – 81 4 horas

Evaluación de la unidad. 82 – 85 2 horas

Tiempo total estimado para la unidad: 80 horas pedagógicas


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Sección 1Números reales

De esto se trata

Es complejo para los estudiantes comprender que un número decimal periódico no es una aproximación. Para ellos, la idea de que un número se repita infinitamente sin acabar jamás no calza con la noción de “precisión” que de-biera dar un número.

Por lo mismo, la existencia de números irracionales pue-de ser aun más compleja de comprender, y más todavía considerando que se trata de números exactos, precisos, no de aproximaciones.

Es interesante que puedan vislumbrar, desde el princi-pio de esta sección, que muchas cosas en matemática se desprenden de la realidad tangible para teorizar, y luego no necesariamente se corresponden con la realidad y pueden no representar situaciones de ella. El mismo uso de aparatos tecnológicos no puede responder a cabalidad a la teoriza-ción matemática de los números reales, y esto es un buen punto de partida para que los estudiantes puedan reflexio-nar respecto de la naturaleza del estudio matemático, en ocasiones por pura satisfacción intelectual.

¿Qué debes saber?

Identificar y realizar operaciones entre números racionales

Para este indicador, recuerde a los estudiantes los tipos de números decimales (finitos, infinitos periódicos e infini-tos semiperiódicos) y como transformarlos en fracción, así como el procedimiento de división para transformar una fracción en número decimal.

Refuerce a los estudiantes las prioridades de las ope-raciones en los números racionales presentando distintos casos y los diferentes resultados que se pueden obtener si estas prioridades no se respetan.

Aproximar, ordenar y ubicar números racionales en la recta numérica

Para este indicador, recuerde las posiciones decimales y sus nombres; también los métodos de aproximación por redondeo y truncamiento.

Para ordenar números decimales, puede presentar di-versos listados de números racionales de distinto tipo y que en conjunto encuentren estrategias para ordenarlos, por ejemplo expresar todos los números como fracción o como decimal. Pueden discutir además sobre la efectividad de las técnicas utilizadas en cada caso.

Para ubicar números racionales en la recta numérica se recomienda enfatizar la necesidad de graduarla adecuada-mente según los números que están involucrados, consi-derando todos los números que se ubicarán y analizando cuidadosamente los denominadores antes de comenzar a ubicar los números, a fin de evitar problemas posteriores. Para números decimales periódicos o semiperiódicos es imprescindible expresarlos como fracción; primero observe la forma en que proceden los estudiantes para luego corre-gir en el caso que hayan intentado ubicar directamente los números en forma de número decimal periódico. De esta manera, el aprendizaje puede ser más significativo.

Recuerde también a los estudiantes que el conjunto de los números racionales es un conjunto denso, es decir, siempre entre dos números racionales podemos encontrar otro racional, es más, se pueden encontrar infinitos números racionales. Puede mostrarles cómo intercalar varios números racionales entre dos números racionales dados, partiendo por intercalar solo uno utilizando el promedio entre los extremos.

Conviene finalmente aclarar que la densidad no se pre-senta en los números naturales ni en los números enteros.



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1 Números irracionales y problemas geométricos

Págs. 10 a 13

PropósitoIdentificar números irracionales y sus propiedades, y operar con ellos en problemas geométricos.

Palabras claveNúmeros racionales, irracionales, reales, conjuntos nu-méricos, números infinitos, cifras decimales, fracciones, propiedades, operaciones, problemas geométricos, área, perímetro

Prerrequisitos § Orden en los números racionales. § Cálculos que involucran números racionales. § Identificación y aplicación de propiedades de las ope-raciones con números racionales.

§ Cálculo de áreas y perímetros de diversas figuras planas.

Activación de ideas previasPara el trabajo de esta lección es importante que los alum-nos trabajen correctamente con los números racionales y de esta forma se puedan aproximar de buena forma al estudio de los números irracionales.

Para activar los conocimientos previos de sus estudiantes, plantee las siguientes preguntas.

• ¿Qué es un número racional? ¿Cuáles son sus carac-terísticas? Da algunos ejemplos de ellos.

• ¿Todo número se puede escribir como fracción? Da un ejemplo.

• ¿Cuáles no se pueden escribir como fracción? ¿Cómo se llaman? Ejemplifica.

• ¿Qué conjuntos numéricos conoces? ¿Qué caracterís-ticas tienen estos conjuntos? ¿Habrá otros conjuntos? ¿Qué números incluirían estos conjuntos? ¿Tienen elementos en común estos conjuntos?

Orientaciones didácticasEn esta lección se introduce el estudio de los números irra-cionales a partir de problemas geométricos que no tienen solución en el conjunto de los números racionales. Los estu-diantes han debido aplicar en cursos anteriores el teorema

de Pitágoras con resultados que no son “raíces exactas”, pero hasta el momento no se les ha precisado que los números de este tipo inducen a la necesidad de ampliar el conjunto numérico utilizado hasta el momento.

Explicite la relación entre los números irracionales y la no-ción de medida como comparación, como se presenta en la lección. En este sentido, puede recalcar que un número irracional es aquel para el cual no es posible determinar una unidad con la cual pueda ser comparado dividiendo dicha unidad una cantidad finita de veces.

La demostración de la irracionalidad de 2 por reducción al absurdo es clásica en matemáticas, pero el argumento utili-zado es difícil de comprender en principio por los estudian-tes. Para una mejor comprensión, precise a los estudiantes que en matemáticas no se permiten contradicciones, por lo tanto, si una afirmación las genera, esta necesariamente debe ser falsa.

Demostración de la irracionalidad de 2

Supongamos que 2 no es irracional. Si no es irracional debe ser obligatoriamente racional, es decir, debe ser igual a una fracción:

2pq

=

Podemos suponer que el máximo común divisor de p y q es 1, es decir son primos relativos. Elevamos al cuadrado y operando queda:

2pq

2q p2

22 2= = =

Por tanto p² debe ser múltiplo de 2, lo que implica que p también es un múltiplo de 2. Es decir,

p 2k, k N= ∈

Sustituimos este valor de p en la expresión anterior y sim-plificamos un 2 de esa igualdad:

2q (2k) q 2k2 2 2 2= → =

Esta expresión asegura que q² es múltiplo de 2, y por tanto también lo es q. Aquí está el absurdo, habíamos supuesto que p y q no tenían factores comunes y hemos llegado a que los dos son múltiplos de 2, es decir, que tienen al 2 como factor común, y por tanto su mcd debe ser al menos 2. Esa es la contradicción que buscábamos.


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Es posible que los estudiantes apliquen de manera incorrecta el teorema de Pitágoras, ya sea en el planteamiento de este (identificar erróneamente catetos e hipotenusa) o en el desa-rrollo del mismo para encontrar un valor requerido. En este sentido, se sugiere explicitar las siguientes relaciones:

( )

+ ≠ +

+ ≠ +

x y x y

a b a b2 2 2

Errores frecuentes

Actividades complementariasPresente una figura compuesta como la siguiente y pida que la completen con las medidas de los lados, de manera tal que el perímetro y el área de ella sea un número irracional. Puede pedir que calculen el área y el perímetro resultan-te y que expongan sus respuestas al curso. De este modo podrán ver que existen infinitas opciones.

Puede además combinar algunas posibilidades, por ejemplo:

• una figura con algunos lados de medida racional y otros de medida irracional, pero cuya área sea irracional.

• una figura cuya área sea irracional y el perímetro, racional.

En cada caso, se puede estimular el análisis de los resultados posibles de obtener, aunque esto se realizará de manera más detallada en la lección 4.

2 aproximación y construcción de números irracionales

Págs. 14 a 17

PropósitoAproximar números irracionales.

Palabras claveAproximación, redondeo, truncamiento, exceso, defecto, diferencia, error relativo, error absoluto

Prerrequisitos § Aproximación de números racionales por redondeo y truncamiento.

Activación de ideas previasPor contenidos vistos en años anteriores, se espera que los estudiantes comprendan que una aproximación es un valor parecido al real y que sean capaces de determinar algunas. Para confirmar esto, plantee las siguientes preguntas:

• ¿Qué es aproximar un número?

• ¿Cuál es la diferencia entre redondear y truncar?

• El número racional 3,1456 se puede aproximar a 3,15, ¿esta aproximación fue por truncamiento o redondeo?

Orientaciones didácticasComience esta lección reiterando que, en situaciones co-tidianas, no es posible trabajar con números irracionales. Por ello, es preciso contar con mecanismos que permitan obtener aproximaciones adecuadas para cada situación. El cálculo del error permite juzgar el grado de exactitud de las aproximaciones; dependiendo del contexto, será aceptable un error determinado. Asimismo, el uso del error absoluto o relativo debe analizarse específicamente según lo que se quiera obtener.

Es interesante también plantear a los estudiantes que, por más poderosos que sean un computador o una calculadora nunca pueden dar un valor exacto de un número irracional, ya que necesitarían en la práctica una memoria infinita.

Conviene recalcar, en el análisis de la aproximación del número π, que las raíces no contemplan todos los números irracionales, es decir, que los números reales no se forman solo “agregando” las raíces no enteras a los números reales.


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En este sentido, precise que los números irracionales no solo se relacionan con problemas geométricos, aunque ese haya sido el punto de partida para su estudio.

Actividades complementariasPlantee a los estudiantes la siguiente actividad para profun-dizar en la aproximación de números irracionales:

a) Calculen separadamente en la calculadora 10 y 12y aproximen por redondeo cada raíz a la centésima. Luego, con estas aproximaciones estimen el valor de

10 + 12.

b) Calculen en la calculadora 10 + 12 . Aproximen el resultado por redondeo a la centésima.

¿Cuál de los métodos para aproximar esta suma es me-jor? ¿Cuál entregará un menor error? Justifica.

Respuesta:

En el primer caso obtendrán 6,62, mientras que en el segundo se obtiene 6,63. La actividad les puede permi-tir constatar que, en general, se debe aproximar como último paso.

c) Una empresa de productos en conserva debe etique-tar 70 000 tarros cilíndricos para un nuevo producto que lanzará al mercado. La etiqueta debe quedar a 0,3 cm de las bases del tarro, como se muestra en la figura. Si el radio de la base del tarro mide 5 cm y el alto del tarro es 13 cm, ¿qué dimensiones deben tener las etiquetas?

R: 10 π x 12,4 cm

3 Números irracionales en la recta numérica y orden

Págs. 18 a 21

PropósitoOrdenar y ubicar números irracionales.

Palabras claveOrden, ubicación, raíces cuadradas, cantidades subradi-cales, recta numérica, teorema de Pitágoras.

Prerrequisitos § Orden de números racionales y ubicación en la recta numérica.

§ Aplicación del teorema de Pitágoras.

Activación de ideas previasSe sugiere recordar junto a sus alumnos la forma correc-ta de construir una recta numérica. Puede poner especial énfasis en el segmento unidad que utilizarán, ya que ge-neralmente suelen usar unidades distintas durante toda la recta. Puede hacerles notar que si no existe esta unidad, la recta se invalida.

Además, es necesario que les recuerde cómo comparar números racionales para luego poder ordenarlos y represen-tarlos en la recta numérica. Luego, a través de preguntas y respuestas, se les puede consultar respecto de los números naturales que son cuadrados perfectos y cubos perfectos, con la finalidad de recordar el concepto de raíz cuadrada y raíz cúbica.

Orientaciones didácticasPara comparar y ordenar raíces y números racionales, pida a los estudiantes que expresen números racionales como raí-ces, o las raíces como números racionales elevando al cua-drado, y así comparar números del mismo tipo. Por ejemplo, para comparar 8 y 3 se puede usar 8 y 9 , por lo tanto

8 < 9. Del mismo modo para comparar 2 y 3 se puede elevar al cuadrado cada número obteniendo 4 y 3, y deducir que 2 > 3 pues 4 > 3.


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En cursos anteriores, los estudiantes han realizado cons-trucciones geométricas con regla y compás, y es posible que se hayan preguntado, por ejemplo, qué sentido tiene construir geométricamente una bisectriz de un ángulo si es posible medirlo con transportador y con él dividir su medida en dos. Este contenido da una buena posibilidad de apreciar que este tipo de construcciones son necesarias pues son las únicas matemáticamente correctas; hacerlo de otra manera nos obliga a trabajar solo con aproximaciones.

Analice con los estudiantes formas de ubicar raíces en la recta numérica sin necesidad de construir siempre toda la espiral. Para ello, es importante que los desafíe a ubicar raí-ces de números grandes, estimulándolos a que encuentren valores adecuados que permitan construir menos triángulos y obtener resultados más rápidamente.

Los alumnos pueden presentar dificultades al ordenar números irracionales del tipo a + b, interpretando en forma inco-

rrecta que a + b a + b2( ) = . Supervise cuidadosamente

un correcto manejo de la operatoria.

Errores frecuentes

Actividades complementariasPida a los estudiantes que determinen el valor de las si-guientes raíces utilizando una calculadora.

0,1, 0,4, 0,16, 0,25

Luego, solicíteles que las ubiquen en la recta numérica y analicen en busca de alguna regularidad. Puede inducirles a que constaten que, en el caso de las raíces de números menores que 1, el valor de la raíz es mayor que el de la can-tidad subradical.

4 Números reales

Págs. 22 a 25

PropósitoIdentificar y caracterizar el conjunto de los números reales.

Palabras claveConjuntos numéricos, subconjuntos, elementos, perte-nencia, números reales, racionales e irracionales

Prerrequisitos § Identificación y aplicación de propiedades de la opera-toria con números racionales.

§ Identificación de números irracionales.

Activación de ideas previasSe sugiere recordar junto a sus alumnos la forma correcta de construir una recta numérica. Puede poner especial énfasis en el segmento unidad que utilizarán, ya que generalmente suelen usar unidades distintas durante toda la recta. Puede hacerles notar que si no existe esta unidad, la recta se invalida.

Además, es necesario que les recuerde cómo comparar números racionales para luego poder ordenarlos y represen-tarlos en la recta numérica. Luego, a través de preguntas y respuestas, se les puede consultar respecto de los números naturales que son cuadrados perfectos y cubos perfectos, con la finalidad de recordar el concepto de raíz cuadrada y raíz cúbica.

Orientaciones didácticasEn esta lección se analizan las operaciones entre números racionales e irracionales y la naturaleza de los resultados obtenidos. Para que los estudiantes comprendan esto es importante ejemplificar cada uno de los casos con elemen-tos sencillos que permitan ilustrar fácilmente lo que sucede.

Es fundamental enfatizar que, a diferencia de lo que ocurre entre los naturales y los enteros, y los enteros y los racio-nales, entre los números racionales e irracionales no hay elementos en común, sino que son conjuntos disjuntos. Además, el conjunto de los números irracionales es distinto de los conjuntos antes estudiados porque no posee estruc-tura de grupo, es decir, no de definen en él las operaciones usuales de adición y multiplicación pues no contienen ni al 0 ni al 1 (neutros para ambas operaciones).


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Es posible que los estudiantes generalicen erróneamente algunas propiedades o no consideren los casos particu-lares al hacer generalizaciones. Por ejemplo, si se les pide que juzguen veracidad de la afirmación: “si a es un núme-ro racional y b es irracional, entonces ab es irracional”, es probable que digan que es cierta sin considerar el caso a = 0. Insista a los estudiantes en la necesidad de analizar los casos posibles y verificarlos, antes de emitir juicios sobre afirmaciones como esta.

Errores frecuentes

Actividades complementariasPara determinar la antigüedad de una roca, la ciencia ac-tualmente ha podido desarrollar una técnica basada en la concentración de material radiactivo en su interior. Cuanto menos antigua es la roca, mayor concentración de material radiactivo se encontrará. La fórmula que se utiliza es:

C(t) = k ∙ 3 –t, donde c representa la concentración del ma-terial radiactivo, t el tiempo transcurrido medido en cientos de años y k la concentración del elemento en el momento de formarse la roca.

Si k = 4500:

a) ¿Cuánto tiempo debe haber pasado para que hallemos una concentración de 1500?

R: 100 años

b) ¿Qué concentración tendríamos al cabo de dos siglos?

R: 500 concentración

c) ¿En qué tiempo se acabaría este material?

R: El material no se acabará nunca, pues en este caso la concentración debiera ser cero y la función no está definida para 0.

Luego, solicite a sus estudiantes que escriban una explica-ción, si así lo amerita, sobre los errores que han cometido.

Resolución de problemas

Página 26

Las estrategias de resolución de problemas permiten tra-bajar con los estudiantes diversos tipos de pensamiento y fomentar en ellos su capacidad de análisis, creatividad, rigurosidad y flexibilidad para adaptarse a nuevos métodos y validar formas distintas de realizar las tareas.

Es muy importante que estimule a los estudiantes a parti-cipar activamente en la resolución de problemas. Para esto, puede solicitarles que intenten resolver el problema plan-teado sin mirar la resolución propuesta, para luego discutir en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla.

Para el problema propuesto en esta sección, pida a los es-tudiantes que resuelvan el problema asignando valores numéricos para a y b según corresponda, y de esta forma podrán verificar de forma más sencilla, cuáles de las expre-siones serán siempre números irracionales.

A continuación, para promover el análisis matemático, pída-les que analicen cada una de las expresiones sin asignarles valores para a y b, y que lleguen a las mismas conclusiones obtenidas numéricamente.

Para no cometer errores

Página 27

El análisis de errores permite, de manera efectiva y concre-ta, detectarlos y corregirlos. Es importante que el docente estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y desarrollar la capacidad de análisis y au-tocrítica respecto de los errores cometidos.

Es importante hacer notar a los alumnos que hacer una aproximación a un número ya aproximado generará un error adicional, por eso siempre es importante aproximar el número original. Aproveche de mencionar que cuando se realiza una secuencia de operaciones siempre se debe trabajar con los valores exactos, sin aproximar los resultados obtenidos en medio del proceso; si es necesario, se aproxi-ma el resultado final, y de esta forma el error de aproxima-ción será menor.


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integrando lo aprendido

Págs. 28 y 29

Indicador Preguntas asociadas Remedial

Identificar números irracionales y sus propiedades, y operar con ellos en problemas geométricos.

1, 2 y 3 Los estudiantes pueden presentar dificultades al aplicar conceptos geométricos y calcular en forma incorrecta los perímetros y áreas, lo que puede llevar a errores en sus respuestas que no permitan detectar si operan correctamente con los números dados. De ser necesario, repase las fórmulas involucradas con los estudiantes y que luego analicen los errores que hayan cometido.

Aproximar números irracionales. 4, 5 y 6 Los errores más frecuentes se deben a una confusión entre los conceptos de redondeo y truncamiento o una incorrecta identificación de la cifra a la que se desea aproximar. Refuerce la asociación entre los conceptos de "truncar" y "cortar"·, utilizando otros contextos en que se utilizan estas palabras. Para identificar las cifras, supervise que los estudiantes con más dificultades empleen siempre procedimientos escritos, ordenados y metódicos.

Ordenar y ubicar números irracionales. 7, 8, 9, 10 y 11 Los errores más frecuentes provienen de la operatoria de raíces, por lo que es importante que permita a los estudiantes rehacer los ejercicios en los que hayan cometido errores las veces que sea necesario, a fin de que la práctica permita ir evitándolos paulatinamente.

Identificar y caracterizar el conjunto de los números reales.

12, 13 y 14 Para completar el esquema de los conjuntos numéricos es posible que los estudiantes no recuerden los nombres o las letras asociadas a cada conjunto. Para evitarlo puede hacer un breve resumen para aclarar dudas previas.

Es posible que los estudiantes presenten dificultades para determinar si las expresiones dadas son números racionales e irracionales pues no tienen el manejo necesario con operatoria con raíces. Para no perder el sentido del ítem, que es identificar qué tipo de número es, permítales usar calculadora en los casos que sea necesario. Recuérdeles además los conceptos de producto y cociente para que puedan realizar correctamente el ítem.


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Sección 2Raíces

De esto se trata

En esta sección se generaliza el concepto de raíz cuadra-da para introducir el de raíz enésima, ampliando la pregunta relacionada con la raíz cuadrada (“¿qué número elevado a 2 da como resultado…?”) al caso general (“¿qué número ele-vando a n da como resultado…?”)

Una de las aplicaciones comunes de las raíces enési-mas se relaciona con situaciones modeladas por la función exponencial, presentes en diversos ámbitos y de manera especial en las comunicaciones. Se presenta a los estudian-tes la posibilidad de reflexionar respecto del crecimiento de estas funciones de maneras insospechadas, incluso con bases pequeñas, lo que hace fundamental tener un gran cuidado en el uso, por ejemplo, de las redes sociales.

¿Qué debes saber?

Calcular potencias de base racional y exponente entero

Para este indicador, recuerde a los estudiantes cada una de las propiedades de las potencias y trabaje diversos ejem-plos relacionados. Si han olvidado las propiedades, una ma-nera efectiva de recordarlas es deducirlas nuevamente o justificarlas, lo que les permite comprender el porqué de ellas.

Para reforzar el aprendizaje y la capacidad de análisis, muestre algunos ejercicios resueltos donde las propiedades estén aplicadas incorrectamente, y pida a los estudiantes que identifiquen el error y corrijan.

Resolver operaciones que involucran potencias

Para este indicador, se sugiere recordar a los estudiantes las prioridades de las operaciones, ahora incluyendo el lugar que ocupan las potencias en ellas.

Muestre ejemplos que presenten algún error en el pro-cedimiento, y pida a los estudiantes que lo identifiquen y corrijan. Puede además presentar secuencias de operacio-nes y solicitarles que ubiquen paréntesis entre ellas, para que la expresión tenga un valor determinado.

5 Raíz enésima

Págs. 32 a 35

PropósitoDefinir raíces y calcularlas aplicando su definición.

Palabras claveRaíz, potencia, exponente, base, subradical, racional

Prerrequisitos § Operaciones con números racionales. § Concepto de potencia en la notación de expresiones numéricas.

§ Cálculo de potencias de base racional y exponente entero.

§ Aplicación de propiedades de la operatoria de po-tencias

Activación de ideas previasPara comenzar, presente situaciones aritméticas en las que sea posible apreciar operaciones inversas entre sí como la resolución de ecuaciones, donde para despejar la incógnita se utiliza la operación inversa a la que se está aplicando en ella

(si está siendo multiplicada por 5, por ejemplo, se multiplica

por 15

; lo que es equivalente a dividir por 5). Es importante

activar en los estudiantes este pensamiento relacional que permite responder preguntas en distintos sentidos.

Orientaciones didácticasEl estudio de esta lección comienza presentando los pro-blemas insolubles de la geometría clásica, entre ellos la duplicación del cubo que involucra la construcción de la raíz cúbica de 2. Para los estudiantes puede resultar curioso que, siendo posible construir 2, no sea posible hacer lo mismo con 23 . Puede pedir a los estudiantes que intenten hacerlo para experimentar.

Para el estudio de las raíces enésimas es importante siempre ver la equivalencia con potencias hasta que estén absoluta-mente familiarizados con esto. Si es preciso, se recomienda insistir en que escriban siempre la potencia equivalente a una raíz dada, hasta que realicen el proceso con soltura.


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Para el análisis de los signos de la cantidad subradical insista sistemáticamente en la relación con potencias, solicitando a los estudiantes que cada vez que analicen, escriban la potencia equivalente a la raíz y a partir de ello se pregunten por la existencia del valor y su signo. Se recomienda realizar variados ejercicios de este tipo para consolidar este impor-tante contenido, hasta que se consolide.

Esta lección es fundamental para los siguientes temas que serán trabajados; dedique el tiempo que sea necesario para verificar la correcta comprensión de los estudiantes.

Gran parte de los errores asociados a este contenido tienen re-lación con el deseo de los estudiantes de resolver los ejercicios rápidamente, y muchas veces en forma mental. Por lo mismo, la corrección de dichos errores pasa por el trabajo sistemático y escrito que se mencionó anteriormente.

Además, los estudiantes podrían presentar problemas en aque-llos ejercicios combinados que implican varias operaciones y cálculo de raíces. Muestre a los estudiantes la forma de resolver este tipo de ejercicios y enfatice en la importancia del orden en la resolución.

Existe una posibilidad de confusión al utilizar la expresión “multiplicar por sí mismo”: si decimos que x3 corresponde a “x multiplicado por sí mismo 3 veces”, entonces x2 corresponde a “x multiplicado por sí mismo 2 veces”, y x1 necesariamente corresponde a “x multiplicado por sí mismo una vez”, es decir x • x. Por lo mismo, se recomienda aclarar este punto y utilizar de preferencia la expresión “elevado a” en lugar de “multiplicado por sí mismo”, tal como se hace en esta lección.

Errores frecuentes

6 Raices y operaciones

Págs. 36 a 39

PropósitoRealizar operaciones con raíces.

Palabras claveRaíz enésima, índice, subradical, operatoria, términos se-mejantes, propiedades

Prerrequisitos § Operaciones con expresiones algebraicas. § Aplicación de propiedades de las potencias. § Cálculo de raíces enésimas por definición.

Activación de ideas previasLas ideas previas más directas para este contenido tienen relación con las propiedades de potencias, por lo que no está de más recordarlas aquí pese a haberlo hecho en la lección anterior.

Es importante también retomar la idea vista en la sección anterior respecto de que los números irracionales —particu-larmente las raíces— solo pueden ser expresadas en forma exacta como raíces, por ejemplo 2. Esto es fundamental para comprender que luego, al realizar operaciones, las raíces de igual índice y cantidad subradical pueden consi-derarse como términos semejantes, y con ello se pueden sumar y restar.

Orientaciones didácticasEn esta lección, algunas de las propiedades de las opera-ciones con raíces se demuestran y otras sencillamente se enuncian; es recomendable de todas formas que estimule a los estudiantes a demostrarlas o verificarlas, buscando comprender en cada caso lo que están haciendo. Si bien el objetivo principal es que sean capaces de realizar cálculos con soltura, la comprensión por parte de los estudiantes de lo que está realizando suele ser una gran ayuda para recordar las propiedades, además de entregar herramientas de análisis en otro tipo de ejercicios.

El uso de raíces en la operatoria puede resultar complejo y algunos estudiantes presentan una tendencia a expresarlas con decimales, para poder considerarlas como “números”. Puede sugerirles como estrategia que, en estos casos,


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reemplacen las raíces por letras y realicen la reducción de términos semejantes como ya han hecho en cursos anteriores. Por ejemplo, para el caso:

5 – 2 2 + 7 5 + 3 3 + 5 23 3 3

Se puede asignar las constantes a 53= , b 2= , c 33= . De esta manera, se tiene que:

5 – 2 2 + 7 5 + 3 3 + 5 2

a – 2b + 7a + 3c + 5b

8a + 3b + 3c

3 3 3

==

Remplazando a, b y c por sus valores originales, se obtiene la expresión reducida.

Actividades complementariasPara fomentar y desarrollar el uso del lenguaje natural y el lenguaje matemático, puede solicitar a los estudiantes que expresen en lenguaje matemático los siguientes enunciados:

• la raíz enésima de un producto es igual a las raíces enésimas de cada uno de los factores. ( ab = a bn n n )

• la raíz enésima de un cociente es igual al cociente entre la raíz enésima del dividendo y la raíz enésima

del divisor. (ab

= a : bn n n )

Puede, asimismo, plantear la pregunta inversa, enunciando la propiedad descrita en lenguaje algebraico, por ejemplo:

a b a bnn n=

En este caso, preste especial atención a la forma en que los estudiantes se refieren a cada término involucrado, si utilizan las palabras precisas tanto para las operaciones como para las relaciones entre los términos.

7 Potencias de exponente racional

Págs. 40 a 43

PropósitoInterpretar las raíces como potencias de exponente racio-nal y deducir propiedades de ellas.

Palabras claveRaíz enésima, índice, subradical, operatoria, exponente, racional, propiedades

Prerrequisitos § Aplicación de propiedades de potencias. § Cálculo de raíces enésimas por definición. § Aplicación de propiedades de la operatoria con raíces.

Activación de ideas previasComo se plantea en la lección, es conveniente introducir la interpretación de las potencias de exponente racional relacionándolas con otras situaciones que los estudiantes hayan visto en las que es necesario ampliar definiciones “na-turales”, es decir, fácilmente interpretables desde lo intuitivo.

Orientaciones didácticasEste contenido brinda una interesante posibilidad de estructu-rar una forma de trabajo en matemática que es característica de la disciplina: extender una definición, verificar su coheren-cia y extender posteriormente las propiedades que habían sido deducidas. Esto se puede observar especialmente en el Paso 1 de la página 40, donde se utiliza la división de poten-cias de igual base —sin aplicar la propiedad, sino la definición de potencia— para interpretar el exponente negativo. En el estudio de las raíces enésimas, la extensión de las potencias de exponente entero a exponente racional se realiza justifi-cando su coherencia, y su uso permite deducir propiedades de la operatoria de raíces que, de otra manera, resultarían más difíciles y menos directas.

Por lo anterior, incentive a los estudiantes a que sean siste-máticos en la verificación de las propiedades que se enun-cian en la página 41, mediante los siguientes pasos:

• Escribir las raíces como potencias.

• Escribir las raíces como potencias de base racional.

• Aplicar propiedades de potencias.


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Para que los estudiantes comprendan bien los contenidos de esta lección es imprescindible presentarles ejemplos va-riados que permitan integrar y fijar lo aprendido, por medio de la observación y la ejercitación.

Es importante explicitar claramente qué operaciones tienen propiedades específicas que permiten una reducción de los términos involucrados y cuáles operaciones no las tienen. En particular, es necesario mencionar que no existen fórmulas para la suma o resta de raíces ni de cantidades subradicales:

5 + 7 5 + 73 3 3≠

5 – 7 5 – 73 3 3≠Es conveniente además presentar intencionadamente ejemplos de este tipo y, cuando se produzcan errores, repetir que no todas las operaciones tienen fórmulas asociadas, registrando esta insistencia en forma verbal y simbólica (algebraica).

Errores frecuentes

8 Racionalización

Págs. 44 a 47

PropósitoRacionalizar expresiones fraccionarias.

Palabras claveRaíz enésima, índice, subradical, operatoria, amplificar, exponente, racionalizar, expresiones

Prerrequisitos § Aplicación de productos notables: en el cálculo de ex-presiones algebraicas.

§ Aplicación de propiedades de las potencias. § Cálculo de raíces enésimas por definición. § Aplicación de propiedades de la operatoria de raíces enésimas.

Activación de ideas previasConviene recordar con los estudiantes situaciones en las que se privilegian ciertas formas de presentar resultados en matemáticas frente a otras que, aun siendo correctas, no son las preferidas. Para esto se pueden explicitar los criterios utilizados, por ejemplo:

• las fracciones se presentan simplificadas, hasta su for-ma irreductible: 6

834

→ .

• los polinomios se ordenan según su grado, en ge-neral en forma descendente respecto a una letra: ab + a b – 2 – a b a b – a b + ab – 23 2 2 7 3 2 2 7→

En el caso de la simplificación de fracciones puede ser más directo para los estudiantes comprender por qué (es más sencillo trabajar con números más pequeños); respecto del orden de los polinomios este tiene como objetivo identificar más fácilmente las regularidades que pueda haber además de definir de manera más estandarizada algunas fórmulas (al ordenarlos de acuerdo a alguna convención, es posible hablar de “el segundo término”, por ejemplo).

Orientaciones didácticasEl proceso de racionalización es, en general, complejo y requiere de un cuidadoso análisis en cada caso para no cometer errores. Es normal que a los estudiantes les resulte complicado raciona-lizar raíces con índices más altos, para lo cual puede sugerirles que las expresen primero como potencias de exponente frac-cionario. De esta forma les será más fácil ver la potencia por la cual conviene amplificar, pues deben conseguir que ambas fracciones sumen 1. En el ejercicio presentado en la página 44, el cuadro de ayuda explica este punto: al resolver racionaliza-ciones de este tipo sugiera a los estudiantes volver a él y aplicar lo que se plantea.

Si lo considera necesario y pertinente para el nivel del curso, puede discutir con los estudiantes respecto del sentido de racionalizar una expresión, es decir, por qué es necesario hacerlo. Si bien no existe una respuesta única al respecto, puede mostrar que si se considera una fracción como una división, el algoritmo de la división que conocemos solo considera el caso en que el divisor sea un número entero (cuando realizamos una división por un número decimal, amplificamos por potencias de 10 para que no lo sea o bien se expresa como fracción, si es un decimal periódico). Así, la racionalización permite encontrar una división equivalente a la dada, que tenga un número entero en el denominador.

Errores frecuentesEs común que los estudiantes se queden con el primer pro-cedimiento de racionalización y posteriormente empleen siempre raíces cuadradas, sin importar el índice de la raíz presente en el denominador. Para evitar esto, es preciso que se enfrenten a ejercicios variados y alternando su tipo, de ma-nera que en cada caso deban analizar la situación y aplicar la estrategia más adecuada. En la resolución de estos ejercicios es fundamental que supervise el trabajo de los estudiantes hasta que adquieran la soltura necesaria.


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Cuando deben racionalizar expresiones con binomios en el denominador los estudiantes suelen amplificar por la misma expresión que está en el denominador y no por la “conjuga-da”, o bien amplifican por la expresión que corresponde al numerador. Una constante ejercitación y revisión de errores permitirá paulatinamente ir corrigiéndolos.

Actividades complementariasPuede plantear a los estudiantes, a modo de desafío, casos de racionalización como los siguientes:

• a

b + c + d

• a

b + c + d

En cada caso, se puede discutir si es posible llegar a una fór-mula general, y juzgar si el enunciado de esta es lo suficien-temente sencillo como para que valga la pena aprenderla.

9 Raíces enésimas, problemas y ecuaciones

Págs. 48 a 51

PropósitoResolver problemas que involucran raíces.

Palabras claveEcuaciones, radicales, problemas, resolución, raíces, solu-ciones, verificar

Prerrequisitos § Aplicación de productos notables: en el cálculo de ex-presiones algebraicas.

§ Aplicación de propiedades de las potencias. § Aplicación de propiedades de la operatoria de raíces enésimas.

§ Planteo y resolución de ecuaciones, y verificación de sus soluciones.

Activación de ideas previasLos estudiantes, hasta el momento, no se han enfrentado a ecuaciones en las que se deban verificar condiciones que validen la solución encontrada, pero sí han podido analizar la pertinencia de ellas en la resolución de problemas. Se sugiere retomar esta idea para introducir el estudio de las ecuaciones radicales, especialmente por la necesidad que se presentará de comprobar las soluciones.

La resolución de ecuaciones radicales se basa, esencialmen-te, en “sacar” la incógnita de las cantidades subradicales elevando a una potencia adecuada. Es pertinente, por lo mismo, recordar a los estudiantes que de manera general la resolución de ecuaciones se basa en la aplicación de opera-ciones inversas, y en este caso incluiremos a las ya utilizadas anteriormente, la elevación a exponentes determinados.

Orientaciones didácticasLas ecuaciones radicales suelen presentar dificultades para los estudiantes por la operatoria que está involucrada en ellas y el análisis de la existencia de una solución. Por esto es fundamental que recalque la importancia de verificar las soluciones en la ecuación planteada o según el contexto del problema dado.

Recuerde a los estudiantes que para verificar la solución de una ecuación deben reemplazar el valor obtenido en la misma: en este tipo de ecuaciones no basta con que estén seguros de haber realizado bien cada paso de la resolución. Es fundamental abordar en conjunto los casos 1 y 3 para que los estudiantes puedan constatar este hecho. En el caso 1 la solución encontrada no es válida por las restricciones de la raíz y en el caso 3 por restricciones de una fracción. Puede retomar este ejemplo en la unidad 3, cuando se analicen restricciones de fracciones algebraicas.

Para facilitar la resolución de las ecuaciones, plantee a los estudiantes situaciones en las que sea conveniente reali-zar algún manejo algebraico de los términos para que la operatoria sea más sencilla, como se hace en el caso 2 de la lección. Por ejemplo, en la ecuación

x +1– x + 2 + x – 5 x – 7=

si se eleva al cuadrado directamente, en uno de los miem-bros de la ecuación tendremos un trinomio al cuadrado; en cambio, si se utiliza la ecuación equivalente

x +1 x + 2 x – 7 – x – 5− =

al elevar al cuadrado se obtienen dos cuadrados de bino-mio, cuyo desarrollo ya es conocido.


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Los alumnos suelen olvidar verificar la solución encontrada en una ecuación radical o simplemente evitarla. En ocasiones, también, no realizan la verificación en la ecuación original sino en algún paso intermedio de la resolución, lo que puede haber eliminado restricciones (como se observará en la página Para no cometer errores). Supervise, hasta que los estudiantes la hayan incorporado plenamente, la realización de todos los pasos de resolución de las ecuaciones radicales.

Errores frecuentes

Actividades complementariasSi el volumen (V) de una esfera es 864 cm3 y π = 3, ¿cuál es la medida del radio (r) de la esfera? Recuerda que el volumen (V) de una esfera de radio (r) se puede calcular

utilizando V43

r3= π .

Respuesta:

Plantea, a partir de la fórmula entregada, la ecuación que permite calcular el radio (r) de la esfera conociendo el vo-lumen (V) de esta. Es decir:

864 cm =43

• 3 • r3 3

Luego, despeja correctamente la incógnita r, con lo que calcula el radio pedido: r = 6 cm.


Página 52


Es muy importante que estimule a los estudiantes a parti-cipar activamente en la resolución de problemas. Para esto, puede solicitarles que intenten resolver el problema plan-teado sin mirar la resolución propuesta, para luego discutir en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla.

Para el problema propuesto en esta sección, se pide encon-trar una expresión equivalente a la dada pero más simple, es decir, con una sola raíz.

Para simplificar esta expresión se procede desde adentro hacia afuera, introduciendo términos a una raíz o simplifi-cando exponentes o índices, según corresponda, y luego se continúa con las raíces y términos más exteriores hasta dejar todo expresado en una sola raíz.

Para promover el trabajo matemático proponga a sus alum-nos resolver el mismo problema pero de manera inversa, de afuera hacia adentro. ¿Qué método de resolución les resulta más fácil?

En el texto se propone verificar con una calculadora lo ob-tenido asignando diversos valores a x en la expresión resul-tante. Pida a los estudiantes que realicen esta actividad con una calculadora científica, pues muchas calculadoras básicas no disponen de las funciones necesarias para trabajar con una expresión como la planteada en el problema.


Página 53

El análisis de errores permite, de manera efectiva y concreta, detectarlos y corregirlos. Es importante que estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos.

En la primera situación se pide encontrar el valor de una expresión radical cuando a = 3. El error presentado es muy frecuente, pues los alumnos suelen aplicar propiedades o evaluar sin verificar si es posible hacerlo. En este caso al reemplazar se obtienen raíces cuadradas y cuartas de núme-ros negativos, lo cual no está definido en los números reales.

Algo similar se presenta en la segunda situación, donde se resuelve una ecuación radical siguiendo los procesos matemáticos correspondientes y se obtiene una respuesta numérica. Sin embargo, no se consideró que en una parte del desarrollo de esta resolución se presenta una raíz cua-drada igualada a un número negativo, lo que por definición indica, que no existe solución, ya que esta se define como un valor positivo o nulo.


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Págs. 54 y 55


Definir raíces y calcularlas aplicando su definición.

1, 2 y 3 Es posible que los estudiantes presenten dificultades para determinar las restricciones de a, para que la raíz dada sea un número real. Para evitar este inconveniente recuerde a los estudiantes que las cantidades subradicales deben ser mayores o iguales a cero, mediante ejemplos. Con esto en cada caso forman una sencilla inecuación y encuentran los valores buscados.

Realizar operaciones con raíces. 4, 5, 6 y 7 Algunos estudiantes pueden presentar problemas para operar con raíces, ya que no manejan bien las propiedades involucradas. Para evitar este tipo de posibles inconvenientes, revise detalladamente los procesos que realizan para resolver los ejercicios, cómo aplican las propiedades, cómo reducen, etc. Si es preciso, pídales resolver ejercicios personalmente frente a usted. De este modo podrán corregir a tiempo y estarán preparados para aprender otras propiedades más complejas.

Interpretar las raíces como potencias de exponente racional y deducir propiedades de ellas.

8, 9, 10 y 11 Se pueden presentar dificultades relacionadas exclusivamente con la aplicación de propiedades de las raíces vistas en la sección. Para ayudar a los estudiantes con estos inconvenientes puede realizar un repaso y cuadro resumen junto a todo el curso, empleando ejemplos sencillos que ilustren cada propiedad.

Racionalizar expresiones fraccionarias.

12 y 13 Como se mencionó en la lección correspondiente, algunos alumnos pueden presentar problemas al determinar el índice y exponente apropiados de la raíz y la cantidad subradical por la que se debe amplificar, o bien cuando deben racionalizar expresiones con binomios en el denominador amplifican por la misma expresión que está en él y no por la “conjugada”. A los estudiantes que cometan estos errores, solicíteles repetir los ejercicios de la lección, utilizando los ejemplos dados en ella como guía. Luego, pídales que identifiquen los errores cometidos y los expliquen con sus palabras.

Resolver problemas que involucran raíces.

14 y 15 Nuevamente, los errores cometidos por los estudiantes pueden deberse a falta de sistematicidad en los procedimientos aprendidos, tanto en la resolución como en la verificación de sus soluciones. Pídales repasar el contenido, detectar sus errores y corregirlos.

Conviene además que supervise un correcto manejo de la calculadora en la última pregunta, ya que puede haber estudiantes que realicen bien los procedimientos pero fallen en este paso.


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Sección 3Logaritmos

De esto se trata

El desarrollo de las ciencias, desde la Antigüedad hasta nuestros días, ha requerido de herramientas que permitan simplificar tanto la manipulación de los objetos de estudio (los números y operaciones, en el caso de la matemática) como la forma de presentar los resultados. En la medida en que se puede trabajar con expresiones más manipulables, números más pequeños y relaciones más intuitivas, es posi-ble que este desarrollo se produzca de manera más efectiva.

Uno de los ejemplos más notables de esto en la historia es la creación de los logaritmos, que permitieron abordar la multiplicación de números muy grandes como una suma de números pequeños, además de utilizar escalas logarít-micas para representar cantidades difícilmente manejables. Es interesante transmitir a los estudiantes las necesidades de los científicos en el contexto de cada época, para que puedan valorar los aportes realizados con las herramientas que tenían a disposición.

¿Qué debes saber?

Relacionar raíces y potencias

Previo al inicio de esta unidad es primordial que los estudiantes manejen con soltura las raíces y potencias, es-tableciendo las relaciones entre el valor de la potencia (o de la raíz), la base (o cantidad subradical) y el exponente (o índice). Por motivos de organización, los ejercicios se pre-sentan por separado pero conviene también que, a partir de una misma expresión, puedan representar la relación de distintas maneras. Por ejemplo:

27 = 128

• 128 es la séptima potencia de 2.

• 2 es la raíz séptima de 128.

• 7 es el exponente al que se debe elevar 2 para ob-tener 128.

• 128 elevado a un séptimo es igual a 2.

Calcular raíces y potencias aplicando propiedades

Para complementar este indicador, presente a los es-tudiantes diversos ejercicios resueltos donde se aplican las propiedades de las potencias y raíces, y pida que re-visen si están correctamente aplicadas y corrijan cuando sea necesario.

10 Logaritmos

Págs. 58 a 61

PropósitoIdentificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias.

Palabras clavePotencia, raíz, base, exponente, logaritmo, argumento, propiedades

Prerrequisitos § Relación entre potencias y raíces. § Cálculo de potencias y aplicación de propiedades. § Cálculo de raíces y aplicación de propiedades.

Activación de ideas previasPregunte a los estudiantes si conocen las siguientes palabras y su significado:

• algoritmo.

• guarismo.

• logos.

Consulte además si han visto la tecla “log” en la calculadora. Puede pedirles que realicen algunos cálculos al azar, lo que les permitirá ver que en ocasiones se advierte un error.

Orientaciones didácticasComo una forma de motivar a los estudiantes, comience el estudio de esta lección conversando con ellos sobre la im-portancia que han tenido históricamente los logaritmos en distintas áreas. Puede consultar para esto en http://catedu.es/matematicas_mundo/HISTORIA/historia_logaritmos.htm

Puede además mencionar el uso de las tablas de logarit-mos para contextualizar y realzar la importancia histórica de ellos, y que pueden haber oído mencionar de sus padres o abuelos.


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Esta lección es la base para las siguientes, pues aquí se pre-senta el concepto de logaritmo. Por esto es importante que comprendan y expresen correctamente un logaritmo como una ecuación exponencial, y viceversa. Para ello, presente a los estudiantes diversas situaciones en las que deban calcu-lar la base, el argumento y el valor de un logaritmo, hasta que adquieran soltura en la aplicación de su definición.

En un comienzo, asociar un logaritmo con una ecuación exponencial permitirá a los estudiantes calcular más direc-tamente los valores pedidos. Por esto es importante que, para comenzar, les exija que realicen el procedimiento co-rrespondiente para integrar adecuadamente el concepto. En las siguientes lecciones, cuando adquieran más práctica, este proceso puede ser omitido.

Es fundamental que cuando los estudiantes trabajen con expresiones más complejas sean ordenados y rigurosos en sus desarrollos, para evitar así los errores. Supervise cuida-dosamente este aspecto.

Es imprescindible enfatizar que los logaritmos están defini-dos solo para valores positivos del argumento y de la base. Mientras antes comprendan los estudiantes la necesidad de establecer restricciones y definir correctamente, menor posibilidad tendrán de cometer errores a futuro relaciona-dos con esto.

En operaciones combinadas con logaritmos, es posible que los estudiantes no sepan cómo abordar las expresiones plan-teadas. Pídales que calculen los logaritmos por separado y que luego los reemplacen en los ejercicios dados. De esta forma podrán ver con mayor facilidad las operaciones que deben realizar, según las prioridades de las operaciones que ellos ya conocen.

Errores frecuentes

Actividades complementariasPida a los estudiantes que investiguen sobre el logaritmo natural (logaritmo en base e) y sus aplicaciones.

Entregue a los estudiantes un listado de ejercicios resueltos y solicite que identifiquen las propiedades utilizadas. Pre-gunte si es posible resolverlos utilizando otras propiedades, ínstelos a que los resuelvan aplicando otra estrategia (pro-piedad) si es posible.

11 Propiedades de los logaritmos

Págs. 62 a 65

PropósitoDeducir y aplicar propiedades de logaritmos.

Palabras claveLogaritmo, propiedades, potencias, ecuaciones exponenciales

Prerrequisitos § Propiedades de las potencias. § Relación entre potencias y logaritmos. § Resolución de ecuaciones exponenciales. § Cálculo de logaritmos.

Activación de ideas previasPara activar las ideas previas de los estudiantes, puede reto-mar la idea vista en la sección anterior: luego de definir las raíces enésimas e interpretarlas como potencias, se deducen las propiedades. Se puede recordar la relación entre poten-cias y raíces y mostrar nuevamente algunas propiedades de raíces, a partir de las de las potencias. Algo similar se hará en esta lección con los logaritmos.

Orientaciones didácticasPara que los estudiantes comprendan mejor las propiedades de los logaritmos, es conveniente que muestre cada una de estas propiedades con ejemplos numéricos sencillos y lue-go formalice cada una de ellas matemáticamente. Esto les permitirá trabajar desde lo particular a lo general, y ayudará a desarrollar su intuición. Por ejemplo, para el logaritmo de una potencia puede mostrar que

= → =

=

=

=

log 2 x 10 2

10 2

log 2 3x

log 2 3log 2

x

3x 3

3

3

Es importante recalcar que, aplicando un par de propiedades y conociendo el valor de los logaritmos de los números pri-mos, es posible obtener los logaritmos de todos los números racionales pues se realizan descomposiciones en factores primos. Esta es la gran “maravilla” de los logaritmos que se


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menciona en el texto, ya que es lo que permitió elaborar las tablas y con ellas simplificar los cálculos. En el mismo sentido, se puede plantear la propiedad de cambio de base.

Hoy parecen inútiles estos cálculos y los procedimientos asociados, pero permiten estimular habilidades de pensa-miento en los estudiantes.

Puede encontrar ejemplos de aplicaciones, históricas y actuales, en http://sapimates.blogspot.com/2008/04/logaritmos.html

Es posible que los alumnos tengan dificultades para operar con el logaritmo de una raíz. Sugiérales expresar la raíz en potencia y de este modo aplicar la propiedad del logaritmo de una potencia.

Tal como se planteó en la sección de raíces, puede ocurrir que los estudiantes asuman y apliquen propiedades inexistentes, por ejemplo, logaritmos de adiciones y sustracciones. Para evi-tarlo, pida permanentemente a los estudiantes que enuncien las propiedades, y que al resolver ejercicios declaren siempre la propiedad que están utilizando.

Pueden además presentar problemas para descomponer lo-garitmos, especialmente con expresiones más complejas que contienen multiplicaciones y divisiones, por lo cual suelen tener errores de signos. Como ha sido la tónica en toda la unidad, exija a los estudiantes orden y sistematicidad en sus desarrollos, sin permitir que salten pasos o los abrevien hasta que esté completamente seguro que dominan el contenido.

Cuando se pide escribir como un solo logaritmo una expre-sión que incluye adiciones y sustracciones, los estudiantes podrían tener dificultades para determinar cuáles términos se están multiplicando y cuales se están dividiendo. Para evitar este inconveniente se recomienda agrupar todos los términos positivos y por otro lado todos los términos negativos.

Errores frecuentes

Actividades complementariasPlantee la siguiente pregunta:

¿Existen valores de a y b que hagan cumplir las siguientes igualdades?

• log (a • b) = log a • log b

• log (a + b) = log a + log b

• log (a : b) = log a : log b

• log (a – b) = log a – log b

Es importante observar que se pregunta por posibles valo-res, por lo que es válido que los estudiantes prueben con

ellos. En caso de no encontrarlos, puede analizar con ellos por qué no hay, o si no hay más que algunos casos triviales (por ejemplo, en el primer caso, a = b = 1. Verifique además si los valores determinados cumplen las restricciones de los logaritmos.

12 aplicaciones de logaritmos

Págs. 66 a 69

PropósitoResolver problemas aplicando logaritmos.

Palabras claveLogaritmo, propiedades, potencias, ecuaciones logarítmicas, aplicaciones, problemas

Prerrequisitos § Cálculo de logaritmos. § Aplicación de propiedades de logaritmos.

Activación de ideas previasPuede retomar lo visto al inicio de la sección —y de la uni-dad— para motivar a los estudiantes, ya que se analizarán aplicaciones de los logaritmos. Tal como se presenta en el inicio de la unidad, puede ser muy cercano para los estu-diantes el tema de la música y el sonido, por lo que esto sería una buena introducción. Pregunte a los estudiantes, por ejemplo:

• ¿qué es el sonido?, ¿cómo se mide?

• ¿cómo se clasifican los sonidos?

Orientaciones didácticasDe la misma manera que al resolver ecuaciones radica-les, conviene insistir a los estudiantes en la aplicación de procedimientos inversos y la definición, en este caso, de logaritmo. Asimismo, es importante que las soluciones en-contradas siempre sean verificadas en la ecuación original. No basta con que se cumpla la igualdad, se debe revisar el contexto del problema y si consideran las restricciones del logaritmo.


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Se recomienda especialmente que, a partir de la situación expuesta en la lección, aborde con los estudiantes el uso de dispositivos de sonido, y el cuidado que debe tenerse con ellos. Si existe la posibilidad, se puede realizar una actividad en conjunto con la clase de física para medir la intensidad en audífonos, parlantes o incluso el ruido ambiental, para tomar conciencia de los riesgos que corren día a día y reflexionar respecto de los cuidados necesarios.

Es fundamental recalcar que para aplicar las propiedades se debe asegurar que los logaritmos están bien definidos, y no se estén obviando sus restricciones. En los ejercicios planteados en la lección anterior esto no se establece, ya que solo se trabaja con términos numéricos, pero en la re-solución de ecuaciones se debe cuidar que no se supriman eventuales restricciones al aplicar las propiedades.

Igual que como sucede con las ecuaciones radicales, puede ocurrir que los estudiantes no verifiquen la solución obtenida o no lo hagan en la ecuación original, sino en otra donde ya han aplicado propiedades y eliminado restricciones. Para evitar este tipo de inconvenientes, supervise el trabajo de los estudiantes y solicíteles que, de ser necesario, declaren por escrito cada uno de los pasos que realizan, hasta que lo hagan correctamente.

También podría ocurrir que los alumnos se equivoquen en los procedimientos y soluciones debido a que no son ordenados y además omiten pasos. Para evitar estos problemas, revise cuidadosamente la forma de resolver los ejercicios e impida que resuman los procedimientos, pues el nivel de complejidad de estas ecuaciones requiere de procesos claramente escritos.

Errores frecuentes

Actividades complementarias

Puede proponer situaciones que se resuelvan por medio del cálculo de logaritmos, como por ejemplo:

La fórmula de la magnitud para la escala de Richter es:

M23

logEE0

=

, donde e es la energía liberada por el terremoto (en joule) y E0 = 104 joule es la energía liberada por un terremoto pequeño de referencia, empleado como un estándar de medición. El terremoto de 1906 en San Fran-cisco liberó aproximadamente 5 •1016 joule de energía, ¿cuál fue su magnitud en la escala de Richter?

R: 23

(0,7 12) 8,5+ = . La magnitud en escala Richter es 8,5.


Página 70

En esta parte de la sección, los alumnos tienen la oportunidad de aplicar los contenidos aprendidos. Para eso se presenta un problema resuelto donde se requiere calcular y aplicar las propiedades de los logaritmos. Esta situación permite mostrar a los estudiantes un contenido matemático diferente: el de las progresiones geométricas.

Puede profundizar respecto de este contenido planteando también la existencia de progresiones aritméticas. Gracias a los logaritmos, una progresión geométrica se puede trabajar como una aritmética, lo que fue también en su momento uno de los grandes aportes de los logaritmos a la ciencia.


Página 71

El análisis de errores permite, de manera efectiva y concre-ta, detectarlos y corregirlos. Es importante que el docente estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y a desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos.

En la primera situación, se aplican incorrectamente las pro-piedades de los logaritmos, asumiendo que el logaritmo de una diferencia es equivalente a la diferencia de los lo-garitmos. Para desarrollar este tipo de expresiones se debe expresar la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia y ahí aplicar la propiedad del logaritmo de un producto. Recalque a los estudiantes que no existe propie-dad para la adición y sustracción de logaritmos.

En la segunda parte se observa una ecuación logarítmica correctamente resuelta en relación a los procedimientos realizados, pero el error está en verificar la solución encon-trada en otra ecuación y no en la original, pues esto nos lleva a conclusiones erróneas. Este error es muy frecuente, debido a que los alumnos suelen verificar el resultado en la ecuación que les parece más fácil.

Se debe recordar que si las expresiones no están definidas no se les puede aplicar propiedades de los logaritmos. En-fatice que la solución de una ecuación logarítmica se debe verificar en la ecuación original.


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Págs. 72 y 73


Identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias.

1, 2 y 3 Las dificultades que se pueden presentar tienen directa relación con una comprensión inadecuada del concepto de logaritmo, o falta de sistematicidad en el desarrollo de los ejercicios.

Para corregir estos errores, conviene que los resuelvan nuevamente utilizando una pauta con los pasos necesarios. Para la pregunta 1, por ejemplo, pueden establecer que primero se identifica la base, el argumento y el valor del logaritmo. Luego se expresa en palabras qué es un logaritmo y finalmente se escribe la expresión pedida. Puede realizar algo similar para las preguntas 2 y 3.

Deducir y aplicar propiedades de logaritmos.

4, 5 y 6 Los estudiantes pueden presentar dificultades al reducir o desarrollar las expresiones logarítmicas. Para evitar esto, repase con ellos las propiedades de los logaritmos, y en la resolución de los ejercicios pídales que identifiquen la situación (“hay dos logaritmos que se están sumando”) para luego identificar la propiedad que se debe utilizar.

Para manejar expresiones más complejas, como las que se proponen en la pregunta 6, los estudiantes pueden presentar dificultades fruto de las notaciones y la longitud de las expresiones. Si necesitan corregir los ejercicios, sugiérales utilizar paréntesis en cada caso; aunque no parezcan necesarios para la operatoria, sí lo pueden ser para facilitar el orden.

Resolver problemas aplicando logaritmos.

7, 8 y 9 En la pregunta 7, algunos errores se pueden deber a la aplicación incorrecta de propiedades en expresiones que no estén definidas (logaritmos con argumentos negativos). Recuerde a los estudiantes que deben verificar sus respuestas en la ecuación original.

En la pregunta 8, nuevamente el uso de la calculadora puede provocar errores. Es conveniente que realice una corrección grupal de estos problemas para que los estudiantes puedan constatar si sus errores obedecen a un planteamiento incorrecto o son de cálculo.

La pregunta 9 presenta una dificultad especial pues no se pide la solución, sino que se solicitan los valores de a para los que la ecuación tiene solución o no. Puede ser un problema interesante para revisar en conjunto y verificar los métodos utilizados por los estudiantes.


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Diario muralPágs. 74 y 75

Se presentan aquí herramientas tecnológicas comunes para todos en la actualidad, como los computadores y las calcu-ladoras, los cuales han manifestado importantes cambios a través de la historia.

Es importante señalar a los estudiantes que, si bien existen aparatos que simplifican los cálculos, en el fondo todos ellos se basan en operaciones elementales, es decir, apli-can estas propiedades. Las personas que programan estos aparatos deben darles instrucciones precisas para que pue-dan realizar los cálculos, considerando que un computador solo obedece instrucciones simples. El proceso de contar con máquinas que realizan cálculos mecánicamente es un gran testimonio del ingenio humano y la dedicación; es fundamental un profundo análisis para determinar las regularidades en las operaciones, lo que permite que luego las realice un mecanismo sin intervención humana.

Es importante tener presente el valor de los descubrimien-tos que han hecho la humanidad al cálculo y a la ciencia, pues gracias a ellos todo ha evolucionado y contamos con dispositivos cada vez más completos que nos simplifican la vida en muchos ámbitos.

Para sintetizarPágs. 76 y 77

Es de gran importancia, al concluir una unidad, recoger los elementos esenciales de ella y permitir que los estudiantes puedan apreciar los contenidos como conjunto, conside-rando sobre todo la naturaleza progresiva e integradora de la disciplina.

Por lo mismo, se sugiere prestar especial atención a la ela-boración de la síntesis de la unidad, permitiendo un trabajo individual, grupal y con todo el curso, dando también la posibilidad de resolver las últimas dudas que puedan que-dar, poner en común las dificultades y verificar la adecuada comprensión de los conceptos.

En estas páginas se retoma, además, el tema presentado en el inicio de la unidad, con el objetivo de que puedan analizarlo nuevamente incorporando los conocimientos adquiridos. Si hay estudiantes interesados especialmente en la música, solicite la ayuda de ellos para abordar este tema. Puede pedirles incluso que interpreten las notas musicales en diferentes instrumentos, para que todos puedan apreciar las diferencias entre ellas y cómo se forman.

Reforzar y profundizarPágs. 78 a 81

Para los ejercicios de refuerzo, se recomienda especialmente prestar atención a que los estudiantes puedan explicar los procedimientos empleados en la resolución de los ejercicios y no solo a los resultados obtenidos, con el objetivo de garantizar la comprensión de los conceptos involucrados. Se sugiere por lo mismo al docente revisarlos en conjunto con el curso, permitiendo que los estudiantes resuelvan algunos de ellos en la pizarra con la colaboración de sus compañeros. Mediante esto se pretende que puedan re-troalimentarse mutuamente de manera más significativa, al provenir de sus propios pares.


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Evalúo mis aprendizajesPágs. 82 a 85

Sección Indicador Preguntas asociadas Remedial

1

Identificar números irracionales y sus propiedades, y operar con ellos en problemas geométricos.

1, 2, 3 y 10 Verifique que los estudiantes apliquen correctamente las fórmulas de cálculos geométricos (áreas y perímetros) y el teorema de Pitágoras, para evitar errores. Conviene además repasar la aproximación de números racionales y las construcciones geométricas.

Para la caracterización de los números reales, permita que los estudiantes primero utilicen sistemas de ayuda-memoria para realizar los ejercicios, hasta que puedan aplicar las propiedades sin necesidad de ello.

Aproximar números irracionales.

4 y 5

Ordenar y ubicar números irracionales.

9, 11 y 12

Identificar y caracterizar el conjunto de los números reales.

6, 7 y 8

2

Definir raíces y calcularlas aplicando su definición.

14 y 15 Repase con los estudiantes las propiedades de las potencias de exponente entero y justifique nuevamente la interpretación de la potencia de exponente racional. Luego, pida a los estudiantes que resuelvan nuevamente los ejercicios transfiriendo estas propiedades a las raíces.

Para la racionalización y la resolución de problemas, es conveniente que realicen nuevamente las actividades de las lecciones correspondientes.

Realizar operaciones con raíces.

16, 18, 19 y 20

Interpretar las raíces como potencias de exponente racional y deducir propiedades de ellas.

13 y 22

Racionalizar expresiones fraccionarias.

17 y 21

Resolver problemas que involucran raíces.

23

3

Identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias.

24 y 25 Pida a los estudiantes que presenten dificultades que resuelvan nuevamente los ejercicios indicando en cada caso:

• Situación presentada (¿qué se quiere obtener?)

• Propiedades involucradas (suma de logaritmos, logaritmo de un producto, etc).

• Justificación de cada paso.

Deducir y aplicar propiedades de logaritmos.

26, 27, 28, 29, 30, 31 y 32

Resolver problemas aplicando logaritmos.

33, 34, 35, 36, 37 y 38


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Información complementaria

Hipaso de Metaponto

Hipaso de Metaponto fue un filósofo presocrático, miembro de la escuela pitagórica. Como muchos de su época, no dejó ningún escrito. Nació en torno al año 500 a. C. en Metaponto, ciudad griega de la Magna Grecia situada en el Golfo de Tarento, al sur de lo que actualmente es Italia.

Sobre él se han dicho muchas cosas, por ejemplo, se le acredita la construcción de un dodecaedro como aproxima-ción a una esfera y el descubrimiento de la inconmensurabilidad.

Se cree también que Hipaso de Metaponto fue también maestro de Heráclito de Efeso, y como este, pensaba que el “arché” o principio de todas las cosas, era el fuego, metáfora del cambio, a diferencia de los pitagóricos, que situaban ese principio de todo en los números. Además de los trabajos sobre matemáticas, que incluyen el descu-brimiento de la irracionalidad de 2, hizo estudios sobre acústica y resonancia. Pocos de sus trabajos originales han llegado hasta nuestros días, aunque se tiene constancia de experimentos suyos con discos de bronce del mismo diámetro, pero de diferente grosor (el grosor del primero era un tercio mayor que el del segundo, una vez y media mayor que el del tercero, y el doble que el del cuarto disco), que al ser golpeados sonaban con cierta armonía. Se cree que fue quien probó la existencia de los números irracionales, en un momento en el que los pitagóricos pensaban que los números racionales podían describir toda la geometría del mundo. Hipaso de Metaponto habría roto la regla de silencio de los pitagóricos revelando en el mundo la existencia de estos nuevos números. Eso habría hecho que estos lo expulsaran de la escuela y erigieran una tumba con su nombre, mostrando así que para ellos, él estaba muerto.

Los documentos de la época dan versiones diferentes de su final. Parece ser que murió en un naufragio de circuns-tancias misteriosas; algunos dicen que se suicidó, inflingiéndose un autocastigo, liberando de este modo a su alma para ir a buscar la purificación en otro cuerpo; otros dicen que un grupo de pitagóricos lo mató, e incluso se dice que Pitágoras en persona lo condenó a muerte. Otras versiones apuntan a que precisamente habría sido la rivalidad entre Hipaso y Pitágoras la que finalmente le costó la vida al primero, que en algunos aspectos habría superado a su maestro. Incluso, se cree que él podría haber sido verdaderamente quien demostró el “teorema de Pitágoras”.

Más allá de sus descubrimientos, si algo nos dejó Hipaso es un gusto amargo: la idea de que Pitágoras seguramente estaba muy equivocado y que la mayoría de nuestras creencias se encuentran basadas en esas equivocaciones; poco y nada sabemos de los muchos Hipasos que habrán existido y que seguramente tuvieron una tumba con su nombre antes de su muerte.

Fuente: http://interesante-saber.lacoctelera.net/post/2011/09/17/hipaso-metaponto


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Actividad complementaria Nº1 / Raíces irracionales

Nombre: curso: Fecha:

Lee atentamente y realiza las siguientes actividades.

1. Considera los siguientes números naturales y su descomposición en factores primos:

36 = 22 • 32 100 = 22 • 52 144 = 24 • 32 400 = 24 • 52

a) Calcula la raíz cuadrada de cada número y escribe su descomposición en factores primos. Compárala con la descomposición de los números anteriores. ¿Qué similitudes observas? ¿Qué diferencias?

b) La descomposición de un número en factores primos es x = p4q6r2, donde p, q y r son números primos. Determi-na x . ¿Cómo lo calculaste? ¿Es x un número natural? Justifica.

c) La descomposición de un número en factores primos es y = p5q4r8, donde p, q y r son números primos. Determi-na y . ¿Puede ser y un número natural? Justifica.

2. Utiliza lo anterior para discutir la siguiente afirmación: la raíz de todo número primo es un número irracional.


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Mate

rial f

otoc

opia

ble

Actividad complementaria Nº 2 / Propiedades de la combinatoria

Nombre: Curso: Fecha:

Actividad complementaria Nº 2 / Aproximación de raíces enésimas



Otra forma de aproximar raíces cuadradas es mediante la fórmula

nx 6nx n

4x x n

4 2 2

2( )≈

+ ++

Donde n es el número al cual queremos calcular su raíz, y x es la menor aproximación entera de ella.

1. Para aproximar raíces cúbicas, podemos utilizar la fórmula

nn

n x2x

2n x

2x

3

3

2

3

3

2

2≈+ +

+

Donde n es el número al cual queremos calcular su raíz, y x es la menor aproximación entera de ella.

Verifica esta fórmula para 103 y 153 . Comprueba con calculadora los resultados obtenidos.

2. A partir de esta fórmula, ¿podrías deducir una para aproximar raíces cuartas? Justifica y compruébala para 1204 .

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Unidad 1 • números



Actividad complementaria Nº 3 / Progresiones geométricas



Se llama progresión geométrica (PG) a una secuencia de números, de manera tal que un término cualquiera de ella se obtiene multiplicando el anterior por un valor constante llamado razón. Por ejemplo, en la progresión geométrica:

2, 6, 18, 54, 162…

el primer término es a1 = 2, y la razón es r = 3.

1. Determina una expresión algebraica que permita, dado el primer término a1 y su razón r, encontrar el término que se encuentra en la posición n.

2. Considerando la fórmula encontrada anteriormente, realiza las siguientes actividades:

a) En una PG, su primer término es 5 y su razón es 2. Si un término de ella es an = 20 480, ¿cuál es el valor de n?

b) Determina una fórmula para determinar, en general, el valor de n de la actividad anterior.

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Evaluación de la unidadMa

teria

l fot

ocop

iabl

e

Nombre: Curso:

I. Marca en cada caso la alternativa correcta.

Analizar y resolver situaciones que involucran números reales

1. ¿Cuál de los siguientes números es irracional?

a. 64

B. 9

c. 16

D. 27

e. 0,25

2. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)?

i. 3 • 12

ii. 2 + 2 2

iii. 5125

a. Solo I

B. Solo II

c. Solo III

D. I y III

e. II y III

3. Sea A = 28

, B = 36

y C = 510

. ¿Cuál de las siguientes

alternativas presenta estos números de menor a mayor?

a. A, B, C

B. B, C, A

c. A, C, B

D. C, A, B

e. B, A, C

4. Si 2 y 3 redondeados a la centésima son 1,73 y 2,23 respectivamente, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

i. 2 + 3 + 3, redondeado a la unidad es 16

ii. 2 – 3 redondeado a la unidad es 0

iii. 6 aproximado a la centésima es 3,86

a. Solo I

B. Solo III

c. I y III

D. II y III

e. I, II y III

5. ¿Cuánto mide la diagonal de un cubo de lado a2?

a. a 32

B. a 33

c. a 34

D. a 4a +14

e. a 4a +16

6. ¿Cuál(es) de la(s) siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

i. siempre el producto entre dos números irracionales es otro número irracional.

ii. La suma de dos números irracionales es siempre otro número irracional.

iii. El cociente entre dos números irracionales siempre es otro número irracional.

a. Solo I

B. Solo II

c. I y III

D. Todas

e. Ninguna

7. A y B son dos números reales. Se puede determinar que A : B es irracional si se sabe que:

(1) A es racional. (2) B es irracional.

a. (1) por sí sola.

B. (2) por sí sola.

c. Juntas, (1) y (2).

D. Cada una por sí sola, (1) o (2).

e. Se requiere información adicional.

8. Si b es un número real positivo, entonces x2 – 2ax + b representa un número real no negativo si se sabe que:

(1) x = 5 (2) a = b



c. Juntas, (1) y (2).

D. Cada una por sí sola, (1) ó (2).


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Evaluación de la unidadMaterial fotocopiable


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9. Se puede determinar si los elementos del conjunto

a, 2a, ab , 2b ,

ab2

son mayores o iguales que a y menores o iguales que b si se sabe que:

(1) a = b – 2 y b = 5(2) b = a + 2 y a = 3



c. Juntas, (1) y (2).



10. Sean r = x 2 y s = x + 2 . Se puede afirmar que los números r y s son racionales si se sabe que:

(1) x es un número irracional negativo.(2) x es el inverso aditivo de 2.



c. Juntas, (1) y (2).



Realizar operaciones con raíces

11. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa un número real?

i. 2 5 – 5

ii. 4 3 – 3 5

iii. 9 – 4 5

a. Solo I

B. Solo II

c. Solo III

D. II y III

e. Todas ellas.

12. La expresión 5 – x corresponde a un número real para:

i. Cualquier valor de x.ii. x = 5iii. x < 5

a. Solo I

B. Solo II

c. I y II

D. II y III

e. Ninguna de las anteriores.

13. ¿Cuál de las siguientes expresiones se obtiene al

reducir 264

+ 24 – 54?

a. 0

B. 1

c. –1

D. 6 + 2 – 3

e. 6 + 2 – 3 5


reducir 16 + 54250

3 3

3?

a. O

B. 1

c. 625

3

3

D. 25

3

3

e. 725

3

15. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente

a 2 434 ?

a. 242

B. 2

c. 2

D. 257

e. 25

12

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teria

l fot

ocop

iabl

e

16. Dado el número N = a 2 – b 3 , con a y b enteros positivos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

i. N es real si a es múltiplo de b.ii. N es real si a es primo y b = 1iii. N es real si a = 3 y b = 2.

a. Solo I

B. Solo II

c. Solo III

D. II y III

e. I, II y III

17. Dada la ecuación

x n –1+ 5 = n + 2x, siendo x la incógnita, ¿cuál de las siguientes opciones es siempre verdadera?

a. Si n = 5, la ecuación tiene solución.

B. Si n = 1, la ecuación no tiene solución.

c. Si n ≠ 5, la ecuación tiene infinitas soluciones.

D. Si n = 2, la ecuación tiene como solución un número irracional.

e. Si n = 10, la ecuación tiene una solución negativa.

18. ¿Cuál de las siguientes expresiones es

equivalente a 7 + 57 – 5

?

a. 6 + 35

B. 6 – 35

c. 2

D. –2

e. 1


equivalente a ( ) ( )2 – 2 + 3 – 32 2

a. 2 + 3 – 5

B. 2 – 3 –1

c. 3 – 2 +1

D. 5– 2 – 3

e. 5– 5

20. Si a y b son enteros positivos, ¿cuál de las siguientes

expresiones es equivalente a ba + b – b

?

a. ( )a + b + a b

b + 2a

B. b + 2a

c. b + aa + b

D. b

e. ( )a + b + b b

a

21. ¿Cuál es el(los) valor(es) de x en la ecuación

irracional 2x + 5 –1= x?

a. 1

B. –1

c. 2

D. 2 y –2

e. 4

Aplicar propiedades de logaritmos

22. ¿Qué valor(es) puede tomar x en la ecuación loga-rítmica log x = log 2 – log (x + 1)?

a. x = 0

B. x = 1

c. x = 1; x = –2.

D. x = –2

e. x = –1; x = 2

23. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a log5125 = 3

a. =3 1255

B. =5 12513

c. =5 1253

D. =125 313

e. =−12515

3

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45



3 41 2


con logm + m

m +1m

2

?

a. 2m

B. m + 1

c. m

D. 1

e. 0

25. Si 4log a = 1, ¿cuál es el valor de log a?

a. 116

B. 18

c. 14

D. 12

e. 2

26. Si log m – log n = 52 2 , ¿cuál es el valor de mn

?

a. 10

B. 25

c. 32

D. 64

e. 128

27. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a log 24?

a. ( )( )log 12 log 2

B. log 20 + log 4

c. 2log 12

D. ( )( )( )log 2 log 3 log 4

e. log 8 + log 3


equivalente alog 16 – log

127

log 36

2 3

6

?

a. 72

B. 76

c. 176

D. 112

e. 12


equivalente a ( )log 16 • 414

3 ?

a. 73

B. –73

c. 13

D. –13

e. 23

30. Si log1

16= 2x , ¿cuál es el valor de x?

a. 132

B. –1

32

c. 14

D. –14

e. 162

31. Se tiene que log a + log b = c – log b. Entonces, ¿cuál de las siguientes expresiones es equivalente a a?

a. 102b

c

B. 2b •10c

c. 10b

c

2

D. b •102 c

e. 2 •10b

c

32. Se puede determinar el valor numérico de la expre-

sión log a log cbd

b d si se sabe que:

(1) a = 1 y bd ≠ 0(2) b = 100 y d = 1000



c. Juntas, (1) y (2).



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Mate

rial f

otoc

opia

ble

evaluación de la unidad

33. Se puede determinar el valor numérico de la expre-

sión log alog b

=32

log c si se sabe que:

(1) a = 1000, b = 100 y c = 10(2) b = 10b y b = 10c

a. (1) por sí sola

B. (2) por sí sola

c. Ambas juntas, (1) y (2)

D. Cada una por sí sola, (1) o (2)

e. Se requiere información adicional

II. Resuelve los siguientes problemas.

34. Un padre reparte entre sus dos hijos un terreno de la siguiente manera: al primero le entrega un terreno de forma rectangular cuyo largo es 18m y cuyo ancho es 12m, mientras que al segundo le regala un terreno cuyas dimensiones son 15m de largo y 6m de ancho. ¿Cuál es el área de cada uno de los terrenos que reciben sus hijos? Aproxima por defecto los resultados a la milésima.

35. Los lados de un rectángulo miden 3 3 cm y 4 3 cm. ¿Cuánto mide su diagonal?

36. Las soluciones de diferentes compuestos pueden clasificarse, según el valor del pH, en ácidas, básicas o neutras. El pH de una sustancia se calcula mediante la expresión pH = –log (H+), donde (H+) es su concentración de protones.

• Si pH < 7 la solución es ácida.

• Si pH = 7 la solución es neutra.

• Si pH > 7 la solución es básica.

¿Cuáles deben ser las concentraciones de protones para que una sustancia sea ácida, neutra y básica?

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47Unidad 1 • números 47Unidad 1 • números

3 41 2SolucionarioActividad complementaria Nº1 Raíces irracionales

1. a) 36 = 6 = 2 • 3

100 =10 = 2 • 5

144 =12 = 2 • 3

400 = 20 = 2 • 5

2

2

Se puede observar que la descomposición prima de la raíz tiene los mismos factores que la del número original, pero los exponentes se han dividido por 2.

b) x = p q r2 3 . Para calcularlo, se divide por 2 cada exponente de la descomposición prima de x. El número obtenido es un número natural, ya que es producto de números naturales.

c) No puede ser un número natural pues no todos sus factores primos tienen exponentes pares.

2. La raíz de un número primo p no puede ser un número natural, pues esto implicaría que tiene factores distintos de 1 y de sí mismo. Por lo tanto,

si es racional debe ser de la forma p =xy

, con

xy

=xy

= p2 2

2 , x e y sin factores comunes entre sí.

Con ello, x2 = py2 • p está en la descomposición prima de x2, por lo tanto debe estar en la de x. Luego x = pq, para algún valor q.

Luego, x2 = p2q2 = py2 → pq2 = y2

Por lo tanto p está en la descomposición prima de y2, y debe estar en la de y también, lo que contradice la suposición de que x e y no tienen factores comunes.

Actividad complementaria Nº2 Aproximación de raíces enésimas

1. Con fórmula, 10 ≈ 2,1133 .

Con calculadora, 10 ≈ 2,1543

Con fórmula, 15 ≈ 2,3453 .

Con calculadora, 15 ≈ 2, 4663

2. La fórmula es

n ≈n+

n+ x2x

2n+ x

2x

4

4

3

4

4

3

3 .

Para 1204 se obtiene aproximadamente 3,025

Actividad complementaria Nº3 Progresiones geométricas

1. a = a rn 1n-1

2. a) n = 13

b) n =log a –log a

log r+ 1n 1

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Evaluación de la unidad (Pág. 42)

i. Preguntas de alternativas

Indicador Pregunta Clave

Analizar y resolver situaciones que involucran números reales.

1 D2 B3 A4 D5 A6 E7 C8 E9 D

10 ERealizar operaciones con raíces. 11 C

12 D13 A14 B15 E16 D17 E18 A19 A20 E21 C

Aplicar propiedades de logaritmos. 22 B23 C24 D25 D26 C27 E28 A29 B30 C31 C32 A33 D

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3 41 2

ii. Preguntas de desarrollo

Problema 34 Problema 35 Problema 36CorrectaInterpreta correctamente los valores y los multiplica, reduce las expresiones y finalmente las aproxima. Obtiene 6 6 ≈ 14,697 y 3 10 ≈ 9, 489 .

CorrectaInterpreta correctamente los datos y plantea correctamente la relación

( ) ( )d = 3 3 + 4 3

= 27 + 48

= 75

= 5 3

2 2

CorrectaDetermina los valores pedidos, planteando la ecuación e interpretándolos

pH = 7 = –log(H+) → 10–7 = H+

Luego, para concentraciones menores que 10–7 la solución es ácida, y para mayores es básica.

Parcialmente correctaInterpreta correctamente los datos pero aproxima las raíces antes de multiplicar.

Parcialmente correctaPlantea la relación correctamente, pero reduce las raíces antes de elevar al cuadrado, o al elevarlas lo hace incorrectamente.

Parcialmente correctaPlantea la ecuación pero no despeja H+, o interpreta incorrectamente los valores obtenidos.

IncorrectaNo interpreta correctamente los datos, o multiplica en forma incorrecta.

IncorrectaNo plantea la relación indicada por el teorema de Pitágoras.

IncorrectaNo logra interpretar correctamente la información.

Banco de preguntas (Pág. 50)

Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Clave B E C E C D D D D A D

12. 32

13. ( )log a – b

14. loga

bc2

15. x = 2

16. 18,35 minutos aproximadamente

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Analizar y resolver situaciones que involucran nú-meros reales

1. Analizar y resolver situaciones que involucran números reales¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)?

i. 18 • 2

ii. 2 5 + 3 5

iii. 606 • 10

a. Solo I

B. Solo II

c. Solo III

D. I y III

e. II y III

2. ¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa?

a. La suma entre un racional y un irracional siempre es irracional.

B. El producto de dos irracionales puede ser irracional.

c. El inverso aditivo de un irracional es irracional.

D. La suma de dos irracionales puede ser racional.

e. El producto de un racional por un irracional siem-pre es irracional.

3. ¿A qué conjunto(s) numérico(s) pertenece el número 0,2468101214161820...?

i. Racionales

ii. Irracionales

iii. Reales

a. Solo III

B. I y II

c. II y III

D. I y III

e. I, II y III

Realizar operaciones con raíces


reducir al máximo la expresión 4 5 + 45 – 20?

a. 4 30

B. –4 70

c. 9 5

D. – 5

e. 5 5


con a a23 ?

a. a36

B. a35

c. a56

D. a a6

e. a

6. Sean n = 212 y m = 7 . ¿Cuál de las siguientes

expresiones es equivalente con (n + m)(n – m)?

a. 2 – 7

B. 2 72

c. 14

D. –5

e. 5

Banco de preguntas

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3 41 2

7. ¿Cuál es la solución de la ecuación 5x – 3 = 3x +1?

a. –2

B. 0

c. 1

D. 2

e. 4

Aplicar propiedades de logaritmos

8. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente con log4 32 – log8 16?

a. –1

B. 12

c. 16

D. 76

e. 6

9. Se sabe que log2 (x + 2) =3. Entonces, ¿cuál de las siguientes expresiones es equivalente con log x?

a. 1

B. log 5

c. log 7

D. 2log 2

e. log 2 + log 3

10. Se sabe que 1+ a

b=1. Entonces, cuál de las siguientes

expresiones es equivalente con log (b – a)?

a. 0

B. 1

c. 10

D. log b

e. log 2b

11. ¿Cuál es la solución de la ecuación 2 + log x2log x

= 2 ?

a. 10

B. 100

c. 10

D. 1003

e. 23

12. Si a y b son números reales positivos, ¿cuál es el valor de log a – log ba

2b ?

13. Si (a > b > 0), determina una expresión equivalente a log (a2 – b2) – log (a + b).

14. Enuncia en un solo logaritmo la expresión log a – log b – 2 log c.

15. Resuelve la ecuación log (3x – 2) – log (2x) = 0.

16. En un cultivo de bacterias, inicialmente había tres y por cada minuto que transcurre se duplican. ¿Cuántos minutos hay que esperar para que haya un millón de bacterias?

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Bibliografía

• Álvarez, R. (2013). Conjuntos numéricos y aritmética. Colombia: Universidad de Medellín.

• Baker, A. (1986). Breve introducción a la teoría de números. Madrid: Editorial Alianza.

• Brown, D. (2003). El Código Da Vinci. Barcelona: Ediciones Urano, S.A.

• Corbalán, F. (1995). La matemática aplicada a la vida cotidiana. Barcelona: Graó.

• Chuaqui, R. (1980). ¿Qué son los números? Santiago de Chile: Editorial Universitaria.

• Lipschutz, S. Teoría de conjuntos y temas afines. Colección Shawm. Editorial McGraw Hill.

• Livio, M. (2002). La proporción áurea: La historia de Phi, el número más sorprendente del mundo. Madrid: Editorial Ariel.

• Smullyan R.M. (1995). Satán, Cantor y el infinito. Barcelona: Editorial Gedisa.

• Stewart, I. (1998). De aquí al infinito. Madrid: Drakontos.

Sitios web

• Ejercicios de aproximaciones:

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros7.htm

• Ejemplos de racionalización

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/racionalizar/racionalizar.htm

• Ejemplos y ejercicios de concepto y propiedades de los logaritmos

http://www.vitutor.com/al/log/log.html

http://www.ematematicas.net/logaritmo.php?a=5

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unid

ad2Propósito

Geometría

En esta unidad, los estudiantes conocerán la semejanza de figuras planas, retomarán el teorema de Pitágoras y estudiarán los teoremas de Thales y Euclides. Además, aplicarán la semejanza en la construcción de modelos a escala.

Por otro lado, identificarán los ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia y los teoremas relacionados con ellos.

¿Qué sé?

• Identificar y calcular ángulos en polígonos.

• Calcular áreas y perímetros de figuras planas.

• Aplicar criterios de congruencia de triángulos.

• Resolver problemas utilizando propiedades de proporciones.

• Aplicar el teorema de Pitágoras.

• Identificar elementos de la circunferencia y sus propiedades.

¿Qué aprenderé?

• Aplicar criterios de semejanza de triángulos en el análisis de figuras planas.

• Identificar y construir trazos proporcionales.

• Identificar y analizar propiedades de los modelos a escala.

• Aplicar el teorema de Thales.

• Demostrar y aplicar el teorema de Euclides.

• Demostrar el teorema de Pitágoras y su recíproco.

• Verificar y aplicar relaciones entre ángulos y segmentos en la circunferencia.

¿Para qué?

• Para resolver problemas en distintos contextos, que involucran segmentos proporcionales, figuras de igual forma, segmentos y ángulos en la circunferencia.

Ruta de aprendizaje

53Unidad 2 • Geometría

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Marco curricular


• Ángulos en polígonos.

• Área de polígonos.

• Perímetro de polígonos.

• Congruencia de figuras planas.

• Criterios de congruencia.

• Proporciones.

• Teorema de Pitágoras.

• Circunferencia.

• Construir modelos a escala.

• Resolver problemas, aplicando semejanza de figuras planas.

• Demostrar el teorema de Pitágoras.

• Demostrar el teorema de Euclides.

• Aplicar el teorema de Thales.

• Aplicar el teorema que relaciona las medidas de los ángulos del centro y de los ángulos inscritos en una circunferencia.

Palabras clave

Semejanza, criterios de semejanza, proporcionalidad de trazos, modelos a escala, teorema de Thales, teorema de Euclides, ángulo del centro, ángulo inscrito.

Contenidos

• Semejanza de figuras planas.

• Criterios de semejanza de figuras planas.

• Trazos proporcionales.

• Propiedades invariantes en modelos a escala.

• Teorema de Pitágoras.

• Teorema de Thales.

• Teorema de Euclides.

• Ángulo del centro en la circunferencia.

• Ángulo inscrito en una circunferencia.

Actitudes

• Perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos.

matemática 2.º medio - GUía didáctica del docente 54

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3 421

Sección 1: Semejanza de figuras planasOF CMO AE Lecciones Evaluaciones

Comprender conceptos, propiedades, identificar invariantes y criterios asociados al estudio de la semejanza de figuras planas y sus aplicaciones a los modelos a escala.

Exploración de diversas situaciones que involucran el concepto de semejanza y su relación con formas presentes en el entorno.

Comprender el concepto de semejanza de figuras planas.

Lección 13: Semejanza y figuras a escala.

6 horas.


2 horas.

• Evaluación integradora Integrando lo aprendido, págs. 106 y 107.

2 horas.

Identificación y utilización de criterios de semejanza de triángulos para el análisis de la semejanza en diferentes figuras planas.

Identificar los criterios de semejanza de triángulos.

Lección 14: Criterios de semejanza de triángulos.

4 horas.

Aplicación de la noción de semejanza a la demostración de relaciones entre segmentos en cuerdas y secantes en una circunferencia y a la homotecia de figuras planas.

Utilizar los criterios de semejanza de triángulos para el análisis de la semejanza de figuras planas.

Lección 15: Homotecia y semejanza.

4 horas.

Demostrar teoremas relativos a la homotecia de figuras planas.







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Sección 2: Teoremas de semejanzaOF CMO AE Lecciones Evaluaciones

Comprender conceptos, propiedades, identificar invariantes y criterios asociados al estudio de la semejanza de figuras planas y sus aplicaciones a los modelos a escala.

Aplicación del teorema de Thales sobre trazos proporcionales. División interior de un trazo en una razón dada y uso de un procesador geométrico para verificar relaciones en casos particulares.

Comprender el teorema de Thales sobre trazos proporcionales y aplicarlo en el análisis y la demostración de teoremas relativos a trazos.

Lección 16: Teorema de Thales.

4 horas.


2 horas.


2 horas.

Resolver problemas relativos a: a. el teorema de

Thales sobre trazos proporcionales

b. la división interior de un trazo

c. teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos

Lección 17: División de trazos.

2 horas.

Demostración de los teoremas de Euclides relativos a la proporcionalidad de trazos en el triángulo rectángulo; demostración del teorema de Pitágoras y del teorema recíproco de Pitágoras.

Demostrar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos.

Lección 18: Teorema de Euclides.

4 horas.

Demostrar el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras.

Lección 19: Teorema de Pitágoras y recíproco.

2 horas.






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3 421

Sección 3: Ángulos y segmentos en la circunsferenciaOF CMO AE Lecciones Evaluaciones

Identificar ángulos inscritos y del centro en una circunferencia, y relacionar las medidas de dichos ángulos.

Identificación de ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia; demostración del teorema que relaciona la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito.

Identificar ángulos inscritos y del centro en una circunferencia y relacionar las medidas de dichos ángulos.

Lección 20: Ángulo inscrito y del centro en una circunferencia.

6 horas.


2 horas.


2 horas.Aplicación de la noción de semejanza a la demostración de relaciones entre segmentos en cuerdas y secantes en una circunferencia y a la homotecia de figuras planas.

Demostrar relaciones que se establecen entre trazos determinados por cuerdas y secantes de una circunferencia.

Lección 21: Cuerdas y secantes en la circunferencia.

4 horas.









Evaluación de la unidad. 156 - 159 2 horas



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Sección 1Semejanza de figuras planas

De esto se trata

La semejanza de figuras planas está presente en la vida cotidiana y, de manera especial, en las artes plásticas. Si bien la reproducción de figuras en un cuadro depende mucho del talento y la habilidad personal de los artistas, es claro que hay elementos matemáticos presentes en las técnicas utilizadas, aunque no se empleen de manera tan intencio-nada o consciente.

Es importante estimular a los alumnos desde estos con-textos cercanos que les permitan reflexionar, a medida que se avance en la unidad y se vayan incorporando nuevos conteni-dos, respecto de la forma en que realizan este tipo de tareas.

Para complementar este inicio de sección, muestre a los estudiantes distintos dibujos, pinturas o fotografías que incluyan elementos desproporcionados, tales como figuras humanas, objetos de uso cotidiano, etc. De esta manera, los estudiantes podrán introducirse de manera paulatina en contenidos fundamentales de la unidad.

¿Qué debes saber?

Plantear razones y resolver ecuaciones con proporciones

Plantee en forma oral algunos problemas que involucren las ecuaciones planteadas, del tipo “para preparar tres tortas necesitamos ocho huevos, ¿cuántos huevos se necesitan para seis tortas?” Puede hacer énfasis en las cantidades para que los estudiantes comprendan que, para el doble de tor-tas, es natural que se necesite el doble de huevos. A partir de ello, puede resultar más inmediato deducir y luego la propiedad fundamental de las proporciones.

Calcular medidas de ángulos y segmentos en polígonos

Realice con los estudiantes un cuadro resumen con las características y propiedades de las figuras planas: triángu-los, cuadriláteros —y en especial, paralelogramos—. Luego, los estudiantes que hayan presentado mayores dificulta-

des pueden realizar nuevamente los ejercicios utilizando el cuadro realizado.

Identificar y aplicar congruencia de figuras planas

Proponga a los estudiantes actividades que les permi-tan deducir nuevamente los criterios de congruencia de triángulos, juzgando qué elementos son necesarios para determinar un único triángulo. Es crucial que se asegure del dominio de estos criterios por parte de los estudiantes, dada la estrecha relación entre ellos y los criterios de semejanza que se abordarán en la sección.

13 Semejanza y figuras a escala

Págs. 90 a 95

PropósitoIdentificar y caracterizar polígonos semejantes en diversos contextos.

Palabras claveSemejanza, proporción, escala, forma, correspondencia, razón, homólogo

Prerrequisitos § Planteamiento y cálculo de proporciones en contextos diversos.

§ Identificación y caracterización de figuras planas. § Cálculo de medidas de lados y ángulos de figuras pla-nas, a partir de sus propiedades.

§ Aplicación de criterios de congruencia de triángulos.

Activación de ideas previasComo se ha mencionado para la sección ¿Qué debes saber? puede activar las ideas previas de los estudiantes presen-tando diferentes reproducciones de figuras, y analizando junto a ellos sus similitudes y diferencias.

El uso de escalas puede haber sido abordado en otras asigna-turas, en especial en ciencias sociales para la lectura de mapas. Puede ser interesante para ellos analizar el uso del término “esca-la” en otros ámbitos, por ejemplo las escalas de notas, el diseño de un programa “a escala humana”, etc. Posteriormente, podrán comparar estos usos con el que se le dará en esta lección.



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3 421

Orientaciones didácticasLa lección presenta la actividad de construcción de la ban-dera de Nepal, que presenta una forma distinta a otras ban-deras del mundo. Esto permite un análisis más interesante de las diferentes formas y dimensiones que pueden tomar las figuras. Inste a los estudiantes a que realicen la actividad y puedan comparar sus resultados para experimentar, con material concreto, las diferencias que se pueden producir. Así, los estudiantes pueden comprobar que no basta utilizar triángulos rectángulos en la construcción, sino que estos deben cumplir condiciones determinadas relativas a las medidas de sus lados y sus ángulos.

Recalque que la escritura de la semejanza de dos figuras considerando el orden de los vértices permite referirse con mayor comodidad a los elementos de las figuras, pero en sí mismo no define la relación de semejanza. Es decir, que dos figuras sean semejantes no depende del orden en que se escriban sus vértices, sino que se trata de una convención que facilita las tareas.

Puede profundizar en el análisis de las relaciones entre las figuras planas explicando los conceptos de equivalencia, semejanza y congruencia, a saber:

• dos figuras son equivalentes si sus áreas son iguales, sin importar su forma ni si se trata del mismo tipo de figuras. Así, se puede determinar el cuadrado cuya área es igual a la de un triángulo dado (lo que llama-mos “cuadrar” el triángulo), y se obtiene un cuadrado equivalente al triángulo.

• dos figuras son semejantes si sus “formas” son iguales. En el caso de los polígonos, esto se refleja en que sus lados son proporcionales y sus ángulos son congruen-tes. Es importante destacar que no solo los polígonos pueden ser semejantes, sino también figuras formadas por líneas curvas, como las circunferencias.

• dos figuras son congruentes si son, simultáneamente, equivalentes y semejantes.

Las precisiones anteriores permiten aclarar uno de los erro-res frecuentes detallados a continuación.

Dado que no se abordan en forma conjunta los conceptos de congruencia y semejanza, puede ocurrir que los estudiantes no los integren de manera adecuada, y piensen que si dos figuras son congruentes no pueden ser semejantes. Es impor-tante que refuerce la idea de que dos figuras congruentes son semejantes con razón de semejanza igual a 1.

En ocasiones resulta confuso para los estudiantes determinar la razón de semejanza entre dos figuras ya que, en rigor, puede hablarse de dos razones dependiendo de cuál de las figuras se considera primero. Así, por ejemplo, si una figura A está en razón 2 : 1 con otra figura B, la figura B está en razón 1 : 2 con la A. Es importante que, en cada caso precise el orden que se utilizará para calcular la razón, y acuerde con sus estudiantes la forma de hacerlo.

Errores frecuentes

Actividades complementariasPuede pedir a los estudiantes que, utilizando solo una huin-cha de medir (de no más de un metro y medio), una vara y la colaboración entre ellos, midan la altura del techo del colegio (sin subir), o del hasta de una bandera, etc. Para aprovechar adecuadamente esta actividad, es necesario que luego presenten su estrategia y puedan discutirla con sus compañeros.

14 Criterios de semejanza de triángulos

Págs. 96 a 99

PropósitoComprender y aplicar los criterios de semejanza de trián-gulos.

Palabras claveCriterio, semejanza, correspondencia, homólogo, razón, demostración

Prerrequisitos § Concepto de semejanza de figuras planas. § Aplicación de criterios de congruencia de triángulos. § Aplicación del teorema de los ángulos interiores de un triángulo (la suma de sus medidas es 180°).

§ Aplicación de propiedades de proporciones.


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Activación de ideas previasLa referencia más directa para los estudiantes para esta lección son los criterios de congruencia de triángulos. Es importante que los manejen con soltura y sean capaces de identificarlos y aplicarlos. Además, conviene recordar con ellos que un triángulo es el polígono más pequeño (de me-nos lados) que se puede construir, y todo polígono puede descomponerse en triángulos trazando sus diagonales.

Orientaciones didácticasPropicie las condiciones para que los estudiantes deduz-can los criterios, por medio de las actividades sugeridas. Es importante darles la posibilidad de analizar por qué no son necesarios todos los elementos, y a partir de ellos ser capaces de deducir cuáles sí lo son, para que de esta manera los conceptos se fijen de manera más sólida.

Además, relacione permanentemente los criterios de con-gruencia y los de semejanza, señalando sus similitudes y diferencias.

Es posible que los estudiantes, al relacionar los criterios de semejanza y los de congruencia, terminen por confundirlos y utilizarlos de manera indistinta. La deducción de los criterios de semejanza puede hacer que la integración y diferenciación de los mismos se realice de manera adecuada, pero debe estar atento a que este tipo de errores no se produzca.

Es preciso aclarar a los estudiantes, además, que los criterios de semejanza de triángulos no son extrapolables en forma directa a otro tipo de figuras. Por ejemplo, es fácil verificar que dos cuadriláteros cuyos lados son congruentes entre sí pueden ser uno un cuadrado y otro un rombo, por lo que no son seme-jantes y no cabe hablar de criterio “lado – lado – lado – lado."

Errores frecuentes


a) Para realizar dos construcciones que están separadas por 25 m, se instalan dos pilares de manera perpen-dicular al suelo. La altura de uno de ellos es de 3,5 m, mientras que la del otro es de 7 m. Si en cada uno de sus extremos se ata una lienza, las que a su vez son fijadas en el suelo en un punto común, y los ángulos de inclinación de la lienza con los pilares son iguales, ¿cuáles son las distancias entre el punto en que la lien-za fue fijada al piso y los pilares? Utiliza un dibujo si es necesario.

Respuesta:

Verifica que los triángulos del problema son semejan-tes, luego realiza correctamente los cálculos obtenien-do las distancias en forma correcta, las cuales son:

253

m y 253

m. BA

7 m3,5 m

b) Un criterio de congruencia —y de semejanza— que muchas veces se omite es el lado – lado – ángulo (LLA), que establece que dos triángulos son congruentes (o semejantes) si poseen dos pares de lados respectiva-mente congruentes (o proporcionales), y los respec-tivos ángulos opuestos a los lados de mayor medida son congruentes.

Puede abordar con los estudiantes este criterio (primero como criterio de congruencia) mostrando que, si se conocen las medidas de dos lados de un triángulo y la medida del ángulo opuesto al menor de ellos, en realidad es posible construir dos triángulos. Es útil realizar esta actividad con un procesador geométrico, que permita cambiar las medidas de los lados y del ángulo para analizar lo que sucede.

15 Homotecia y semejanza

Págs. 100 a 103

PropósitoAnalizar y construir homotecias.

Palabras claveSemejanza, razón, factor, escala, paralelo, proporcional

Prerrequisitos § Concepto de semejanza de figuras planas. § Identificación y caracterización de ángulos entre rectas paralelas.

Activación de ideas previasMotive el análisis de la homotecia de las figuras planas uti-lizando conceptos que los estudiantes puedan haber estu-diado en la asignatura de física, respecto de lentes y espejos.


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La formación de una imagen a través de un lente es un ejemplo de homotecia, ya que este genera una imagen homotética a la original que puede ser una ampliación o una reducción. Si se aleja el lente hasta superar la distancia focal la imagen se invierte, lo que permite comprender el concepto de homotecia inversa.

Orientaciones didácticasNo es posible analizar detalladamente la construcción de homotecias sin estudiar antes el teorema de Thales, pero el uso de un procesador geométrico permite a los estudiantes observar las regularidades que se presentan, respecto de las relaciones entre las medidas de los seg-mentos como el paralelismo entre los lados de la figura original y la homotética.

Es recomendable que los estudiantes puedan realizar las actividades sugeridas en forma individual o en parejas. Sin embargo, si por falta de computadores disponibles esto no fuera posible, puede realizar la actividad con la ayuda de un proyector y estimular la participación de los estudian-tes, procurando que en lo posible todos puedan modificar las figuras, las razones de homotecia y los centros. No se recomienda realizar trabajos en grupos muy numerosos, para evitar la distracción de los estudiantes que quedan sin actividad cuando otro utiliza el procesador.

Analice con los estudiantes la construcción de homotecias en forma manual, es decir, con regla y compás. Esto en principio no será fácil de hacer ya que los estudiantes aun no conocen la división de trazos en una razón dada, pero pueden realizar homotecias considerando razones corres-pondientes a números enteros.

Un error muy frecuente en la construcción de homotecias es la interpretación incorrecta de la razón a partir de las longitudes de los segmentos que se determinan en ella. Por ejemplo, en la homotecia que se presenta a continuación

A

O

A′

suele ocurrir que los estudiantes consideran que la razón entre la figura original y la homotética corresponde a OA : AA’,

Errores frecuentes

cuando en realidad es OA : OA’. Para poder fundamentar a los estudiantes la forma correcta de calcular la razón es preciso utilizar el teorema de Thales, que se abordará en la siguiente sección.

Es posible además que los estudiantes cometan errores al inter-pretar una razón de homotecia negativa, ya sea considerando que es errónea —por su estrecha relación con la razón de se-mejanza, donde no parece natural un valor negativo— , o bien que la consideren necesariamente como una reducción de la figura original. Para esto, recuerde a los estudiantes que existen muchos ámbitos en los que el uso de números negativos no es signo de una menor magnitud, sino de una magnitud en un sentido distinto a un punto o valor de referencia.


a) Para complementar el trabajo realizado en las páginas, puede proponer a sus estudiantes que determinen el centro y la razón de homotecia para cada una de las siguientes figuras:

Una vez realizadas las actividades, revise con sus alum-nos y alumnas los resultados obtenidos, de manera que todos puedan verificar que lo realizado fue correcto.

b) Aprovechando el uso del procesador geométrico, analice con los estudiantes la manera de determinar las coordenadas de la figura que resulta al aplicar una homotecia a un polígono cuyas coordenadas de los vértices son conocidas. A partir de ello, los estudian-tes podrán relacionar con lo aprendido en primer año medio respecto de las transformaciones isométricas en el plano cartesiano. Podrán verificar así que, al apli-car una homotecia de razón k, la imagen del punto (a, b) es (ka, kb).


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Página 104


Es muy importante que estimule a los estudiantes a participar activamente en la resolución de problemas. Para esto, puede solicitarles que intenten en primer lugar resolver el problema planteado sin mirar la resolución propuesta, luego discutan en grupos, analicen la forma planteada en el libro y realicen aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla.

Para el problema propuesto en esta sección, se recomienda especialmente que explicite que la semejanza de figuras planas es utilizada en diversas disciplinas como la topogra-fía, la agrimensura y, en general, cada vez que es necesario realizar mediciones de objetos grandes, largas distancias o longitudes que atraviesen lugares inaccesibles.


Página 105

El análisis de errores permite, de manera efectiva y concreta, detectarlos y corregirlos. Es importante que estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos.

El primero de los errores planteados es común cuando los es-tudiantes intentan resolver los problemas rápidamente, inten-tando evitar pasos o realizar un análisis detenido. La segunda situación ha sido abordada en la lección correspondiente, por lo que se espera que los estudiantes ya estarán prevenidos.

Integrando lo aprendido

Págs. 106 y 107


Identificar y caracterizar polígonos semejantes en diversos contextos.

1, 2 y 3 Las dificultades en estas preguntas pueden corresponder a errores tanto en la medición (pregunta 1) como en la comprensión del concepto de semejanza. Se recomienda que los estudiantes que presenten estas dificultades describan paso a paso sus procedimientos para que así pueda detectar cuáles son los errores específicos que están cometiendo.

Comprender y aplicar los criterios de semejanza de triángulos.

4, 5 y 6 Las dificultades en estas preguntas pueden deberse tanto a falencias en los contenidos previos como en la aplicación de los criterios de semejanza estudiados en la lección 14. Para lo primero, se recomienda que los estudiantes realicen nuevamente la evaluación inicial ¿Qué debes saber? y realicen un cuadro resumen. Lo mismo se recomienda respecto de los criterios de semejanza; en este caso se recomienda que además de resumirlos, los ejemplifiquen. Con estas herramientas pueden realizar nuevamente los ejercicios de la lección y, cuando consideren que ya están suficientemente preparados, vuelvan a los ejercicios de esta evaluación.

Analizar y construir homotecias.

7 y 8 Las dificultades en estas preguntas pueden deberse a no haber comprendido correctamente la relación de homotecia entre dos figuras, especialmente respecto de la razón de homotecia. Se sugiere que los estudiantes que hayan obtenido un mejor rendimiento puedan acompañar como tutores a quienes presentan problemas, explicando los métodos que utilizan para asociar y recordar correctamente estas relaciones.


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Sección 2Teoremas de semejanza

De esto se trata

Cuando observamos rectas paralelas en nuestro entor-no, es fácil comprobar que parecen concurrir en un punto, pese a que sabemos que esto en realidad no ocurre. Basta mirar a lo lejos en una calle para apreciar cómo las aceras aparentemente se juntan, pese a que si avanzamos por la calle podemos confirmar que mantienen su separación.

Lo que ocurre con las aceras es que, en realidad, cuando miramos a gran distancia las cosas nos parecen de menor tamaño, manteniendo sus proporciones. Esta información es interpretada por nuestro cerebro y luego es transferida a otras situaciones, provocando ilusiones ópticas como las que se presentan. Observándolas, los estudiantes podrán constatar que el teorema de Thales —que se analizará en esta sección— está muy presente en nuestra vida cotidiana.

¿Qué debes saber?

Identificar y calcular ángulos entre paralelas cortadas por una transversal

Para este indicador, se sugiere analizar las rectas con los estudiantes y utilizar su intuición para identificar los ángulos congruentes que se forman. Para ello, puede apoyarse en relaciones de paralelismo que se dan en la misma sala de clase (el piso y el techo, líneas de baldosas en el piso, etc). Respecto de los nombres de estos ángulos, es convenien-te resaltar que las dos rectas paralelas definen un espacio “interior” y otro “exterior”, mientras que es natural que los ángulos ubicados a distintos lados de la transversal se de-nominen “alternos”.

Aplicar el teorema de Pitágoras

Para este indicador, se sugiere recordar especialmente que la suma de los cuadrados de las medidas los catetos no es igual al cuadrado de la suma de ellas. Es importante también que los estudiantes identifiquen correctamente los catetos y la hipotenusa, asociando esta última al lado de mayor medida.

Aplicar propiedades de proporciones

Invite a los estudiantes a justificar las propiedades apli-cadas, que ya deben haber sido estudiadas en años ante-riores. Se sugiere recalcar la necesidad de ser cuidadosos y ordenados al aplicarlas, para no cometer errores producto de distracciones

16 Teorema de Thales

Págs. 110 a 115

PropósitoComprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales.

Palabras claveProporcionalidad, paralelas, transversal, recíproco, corres-pondiente

Prerrequisitos § Aplicación de los criterios de semejanza de triángulos. § Identificación y caracterización de las propiedades de las rectas paralelas.

Activación de ideas previasEs fácil observar, en la vida cotidiana, situaciones en que tres o más líneas o superficies paralelas son cortadas por una transversal: las repisas de un mueble, los escalones de una escalera, cables de electricidad, etc. Podrá incluso en-contrar material audiovisual en internet (por ejemplo, en http://catedu.es/matematicas_mundo/FOTOGRAFIAS/ fotografia.htm) al respecto.

Puede comenzar esta lección haciendo una analogía con la situación planteada de la montaña, pensando en escaleras que llegan a un mismo piso, pero con escalones de distintos tamaños. Así, una de las escaleras tendrá menos peldaños que la otra, pero si subimos la mitad de ellos, por ejemplo, es lógico que nos encontraremos a la misma altura.

Luego plantee a sus estudiantes la siguiente actividad:

La figura muestra un trapecio en el cual se ha trazado una recta paralela a la base de tal forma que divide al segmen-to AB y al segmento DC en la razón 2 : 3. ¿Cómo podrías calcular la longitud de EF?


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B

A

C

D

F

6 cm

14 cm

5 cm5 cm

Dé tiempo para que los estudiantes exploren y establezcan sus propias conjeturas y estrategias para resolver el proble-ma. Si en el desarrollo de la actividad no surge de manera natural el teorema de Thales, puede pedirles (a modo de devolución) que prolonguen los lados del trapecio y apli-quen semejanza de triángulos para resolver el problema.

Orientaciones didácticasEl estudio del teorema de Thales permite desarrollar inte-resantes aspectos matemáticos. Si bien en la lección no se aborda la demostración del teorema (que se presenta en la sección Para profundizar, al final de la unidad), se puede hacer énfasis en los siguientes puntos:

La formulación de un teorema puede presentar casos par-ticulares, que deben ser consistentes con el caso general. Para el teorema de Thales, se plantean tres rectas paralelas que son cortadas por dos transversales. Los casos particu-lares, aunque se vean distintos, en rigor son situaciones producidas por la posición relativa entre las rectas paralelas, es decir, siempre puede decirse que en el teorema de Tha-les hay tres rectas paralelas involucradas, pero en los casos particulares una de ellas pasa por el punto de intersección de las transversales, como se muestra:

Es interesante abordar con los estudiantes el concepto de recíproco, y de manera más general, analizar que dada una proposición condicional (“si a entonces b”) existe asociada a ella su recíproco y su contra recíproco:

Recíproco: si b, entonces a.

Contrarrecíproco: si no b, entonces no a.

Es interesante que los alumnos puedan constatar que el contrarrecíproco es equivalente a la proposición original,

mientras que el recíproco no lo es y, más aun, no necesa-riamente tiene el mismo valor de verdad.

Conviene considerar que, en rigor, es el teorema de Thales el que fundamenta los criterios de semejanza y no estos los que permiten demostrar aquél. Si bien a los estudiantes se les puede solicitar que verifiquen el teorema de Thales utilizando semejanza, conviene aclararles este punto para que en el futuro no incurran en errores conceptuales.

Es común que los estudiantes confundan las rectas paralelas o asuman que siempre se presentan horizontalmente. Presente a los estudiantes situaciones diversas en las que se deba iden-tificar las rectas paralelas involucradas y los segmentos que determinan sobre las transversales. Además, es importante recalcar que no deben asumir el paralelismo de dos o más rectas en un problema si no está declarado en forma explícita en el enunciado de este.

Errores frecuentes


a) Dos edificios se encuentran separados por una distan-cia de 25 m, en forma perpendicular al suelo, el edificio de menor tamaño tiene 28 m de altura. Si una persona a 14 metros de distancia observa el edificio de menor tamaño y detrás de este al otro edificio, ¿cuál es la altu-ra del edificio de mayor tamaño?

Respuesta:

28 m

25 m 14 m

x m

Realiza un acertado dibujo de la situación, utilizando correctamente los datos entregados.Infiere que los edificios se encuentran en posición pa-ralela, aplica el teorema de Thales y calcula la altura del edificio, que es 78 m.

b) Como se mencionó, al final de la unidad se encuen-tra la demostración formal de teorema de Thales, que puede ser analizada en este momento. Si parece muy compleja de seguir formalmente, puede apoyarse en recursos visuales que puede encontrar en internet, ya que la complejidad viene dada más por la escritura de los pasos que por la demostración en sí misma.


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17 División de trazos

Págs. 116 a 119

PropósitoDividir trazos en una razón dada.

Palabras claveDivisión, razón, segmento

Prerrequisitos § Aplicación del teorema de Thales para el cálculo de medidas de segmentos.

Activación de ideas previasEn la lección se plantea la situación de un carpintero que debe dividir una viga para instalar escalones, y necesita reali-zarlo en forma exacta. Conviene relacionar con lo estudiado en la unidad 1 respecto de la ubicación de raíces en la recta numérica para volver a la discusión sobre la exactitud de los cálculos y procedimientos en matemática, especialmente cuando tienen aplicaciones en la vida cotidiana.

Orientaciones didácticasDestine un tiempo de la clase a que los estudiantes se fa-miliaricen con el uso de la regla y el compás, y supervise el correcto uso de estos instrumentos.

Es posible que los estudiantes confundan los conceptos de razón y de fracción, y por lo mismo realicen cálculos equi-vocados de la razón de división de un segmento. Conviene aclararles este punto estableciendo claramente que fracción corresponde a una comparación entre un número (parte) y lo que consideramos como el todo, mientras que razón corres-ponde siempre a una comparación entre partes.

Errores frecuentes


La división en media y extrema razón o división áurea

Analice con los estudiantes la relación áurea o divina, que corresponde al número de oro φ (phi). Se le llama también “división en media y extrema razón”, dado que en un trazo

AB, si el punto C lo divide en razón áurea se cumple que

ACCB

=ABAC

=1+ 5

2=φ

La definición del número phi está dada a partir de la media y extrema razón, pero para calcular este valor es necesario utilizar la ecuación de segundo grado. De todos modos, co-nocido el valor puede pedir a los estudiantes que investiguen maneras de dividir un trazo en razón áurea utilizando regla y compás, y sus principales usos en obras de arte y cons-trucciones clásicas, además de su presencia en la naturaleza.

División de segmentos en el plano cartesiano

La división de segmentos en el plano cartesiano puede anali-zarse junto a los estudiantes, empleando el teorema de Thales. Para ello, se considera un segmento cuyos extremos son los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2). El problema consiste en determinar las coordenadas (x, y) del punto C que lo divide en razón p : q.

A(x1, y1)

C(x, y)

B(x2, y2)

Para determinarlas, se trazan rectas horizontales por los puntos A y C, y una recta vertical por el punto B, que de-terminan los puntos D y E.

A(x1, y1)

C(x, y)B(x2, y2)

D(x2, y)

E(x2, y1)

Se puede observar que:

ED = y – y1 DB = y2 – y

Ya que las rectas AE y CD son paralelas, por teorema de Thales se tiene que:

ACCB

=EDDB

=pq

Por lo tanto:

EDDB

=y – yy – y

=pq

q y – y = p y – y

qy – qy = py – py

y p + q = py + qy

y =py + qy

p + q

1

21 2

1 2

2 1

2 1

( ) ( )

( )


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De manera análoga, trazando una recta vertical por el punto C, se puede deducir que

x =px + qx

p + q2 1

Por lo tanto, las coordenadas del punto C son

px + qxp + q

,py + qy

p + q2 1 2 1

18 Teorema de Euclides

Págs. 120 a 123

PropósitoDemostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos.

Palabras claveTeorema, semejanza, proyección, altura, segmentos, hipo-tenusa, catetos, triángulo rectángulo

Prerrequisitos § Aplicación de los criterios de semejanza de triángulos. § Identificación de triángulos semejantes y sus elemen-tos correspondientes.

Activación de ideas previasConviene recordar con los estudiantes qué es un triángulo rectángulo, y sus principales características. Deben ser ca-paces de observar y/o deducir que la hipotenusa siempre es el lado de mayor medida, que los ángulos agudos siempre son complementarios y que los catetos también son alturas del triángulo. Además, y como parte de la nomenclatura de cualquier tipo de triángulos, sus lados se nombran utilizando la letra minúscula correspondiente al vértice opuesto.

Orientaciones didácticasLa deducción de este teorema es relativamente sencilla y brinda resultados interesantes que permiten una gran cantidad de aplicaciones.

Presente a los estudiantes distintas formulaciones de este teorema, con triángulos rectángulos en distintos vértices, de manera que no siempre los catetos sean a y b sino también a y c, y b y c. Se pueden modificar también los nombres de

las proyecciones sobre la hipotenusa, de manera que los estudiantes puedan identificar los elementos y plantear las relaciones no solo de memoria, sino que analizando en cada caso las figuras y los valores dados. No se debe perder de vista que en matemática, si bien suelen reservarse algunos nombres, esto es solo una convención, y lo importante es la relación que muestra el teorema más que los símbolos utilizados para describir los elementos involucrados.

Como se mencionó, es posible que los estudiantes piensen erró-neamente que las relaciones dadas por el teorema de Euclides siempre corresponden a los elementos dados por las letras a, b, c, p y q, sin analizar que dichas letras están cumpliendo un papel, en tanto c es la hipotenusa del triángulo.

Errores frecuentes

19 Teorema de Pitágoras y recíproco

Págs. 124 a 127

PropósitoDemostrar y aplicar el teorema de Pitágoras y su recíproco.

Palabras claveTeorema, recíproco, hipotenusa, catetos, triángulo rec-tángulo

Prerrequisitos § Comprensión y aplicación del teorema de Euclides.

Activación de ideas previasEl teorema de Pitágoras es conocido por los estudiantes desde cursos anteriores, por lo que su uso es ya habitual para ellos.

Lo que es menos conocido es su recíproco, que se de-muestra en esta lección. Sin embargo, esto era utilizado por los egipcios hace miles de años para construir ángu-los rectos. Para esto, utilizaban una cuerda con 12 nudos equidistantes, con la que se forma un triángulo con lados de 3, 4 y 5 nudos. Al tensar la cuerda, los lados más cortos forman un ángulo recto. Esta técnica, utilizada en cons-trucción y división de terrenos, aun está vigente y permite presentar a los estudiantes un contexto interesante para abordar este tema.


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Orientaciones didácticasExisten distintas formas de demostrar el teorema de Pitá-goras; en el texto se presenta una, pero puede investigar en Internet y observar otras que le puedan parecer más adecuadas para sus estudiantes.

Puede ser difícil para los estudiantes pensar en demostrar el teorema de Pitágoras considerando que siempre les ha sido presentado como un resultado dado, por lo que en la demostración del mismo puede que tiendan a utilizar pre-cisamente lo que quieren demostrar. La demostración de este teorema —y su recíproco— da una buena oportunidad para formar en los estudiantes el pensamiento matemático distinguiendo hipótesis y tesis.

De la misma manera en que el uso de las letras habituales puede prestarse para confusiones y errores, en el caso del teorema de Pitágoras la formulación usual de a2 + b2 = c2 es, en ocasiones, mecanizada por los estudiantes que la aplican sin reparar en que esta es correcta solo si la hipotenusa es c. Plantee a los estudiantes distintas situaciones con diferentes nombres para los vértices y los lados, y de esta manera propicie la comprensión correcta del teorema.

Errores frecuentes


Página 128

Las estrategias de resolución de problemas no se limitan solo a una serie de pasos estandarizados que luego son me-canizados por los estudiantes —lo que es, esencialmente, todo lo contrario a un problema—, sino que deben pre-sentar a los estudiantes nuevas situaciones, desafiantes y novedosas. Se busca en esta sección que los estudiantes puedan aplicar el teorema de Thales en el plegado de una hoja, procedimiento muy ligado a las artes plásticas a través del origami o papiroflexia. Estimule de manera especial a los estudiantes en la realización de esta actividad, que puede resultar de gran interés para ellos.


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El análisis de errores permite, de manera efectiva y concreta, detectarlos y corregirlos. Es importante que estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y a desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos.

En los casos presentados en esta sección, los errores co-metidos ya han sido abordados en las sugerencias corres-pondientes a las respectivas lecciones, pero es interesante observar si los estudiantes incurren en ellos (o los mantie-nen). Esto podría revelar apresuramiento en la resolución o un deseo de resolver las cosas sin analizar detalladamente, lo que puede constituir una práctica habitual en ellos a la que debe estar atento para corregir.


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Págs. 130 y 131


Comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales.

1, 2 y 3 Los errores más frecuentes en la aplicación del teorema de Thales tienen que ver con la incorrecta identificación de los segmentos proporcionales, en ocasiones confundiendo los casos. Los estudiantes que han obtenido mejores resultados puedan ayudar a los que presentan dificultades, para transmitirles de manera más cercana las estrategias que utilizan para evitar errores.

Dividir trazos en una razón dada.

4 y 5 Verifique si los errores cometidos corresponden a la interpretación incorrecta de la razón de división de un segmento, o bien se deben a errores de procedimiento tanto geométrico como aritmético (en los cálculos de la pregunta 5). Para los errores conceptuales, se recomienda que los estudiantes puedan repasar y resolver nuevamente los ejercicios de la lección. En el caso de los errores procedimentales, se sugiere que el estudiante analice y detecte sus errores, los explique y luego realice nuevamente las actividades.

Demostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos.

6, 7 y 8 Los errores más típicos en la aplicación de los teoremas de Euclides y Pitágoras tienen que ver con una incorrecta identificación de los segmentos involucrados. Se sugiere que el estudiante se enfrente a ejercicios de este tipo en los que los elementos estén nombrados de distintas maneras, y el estudiante describa los pasos que sigue en su resolución, partiendo por la identificación de los datos y de lo que se quiere averiguar.

Demostrar y aplicar el teorema de Pitágoras y su recíproco.

9, 10 y 11


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Sección 3Ángulos y segmentos enla circunferencia

De esto se trata

El estudio de la circunferencia ofrece interesantes po-sibilidades de análisis y aplicaciones en diversos ámbitos, como se muestra en el inicio de esta sección respecto de la formación del arcoíris. Los diversos tipos de ángulos que se forman cuando un rayo de luz ingresa a una gota de agua (y por extensión, el comportamiento de la luz con diversos tipos de lentes) pueden ser analizados y conectados con la asignatura de física, dando a los estudiantes una interesante oportunidad de integrar sus conocimientos.

¿Qué debes saber?

Identificar los elementos lineales de la circunferencia

Solicite a los estudiantes que expliquen las similitudes y diferencias entre los respectivos elementos. Para ello, les puede plantear preguntas del tipo:

• ¿Cuál es la diferencia entre un arco y una cuerda?

• ¿En qué se parecen una secante y una tangente? ¿En qué se diferencian?

• ¿Cuál es la diferencia entre una cuerda y una secante?

Calcular ángulos en triángulos

Solicite a los estudiantes justificar los resultados obte-nidos, para verificar que aplican correctamente las propie-dades de las figuras que se presentan. Es importante que los estudiantes sean capaces de elaborar razonamientos del tipo “dos lados del triángulo son radios de una circunfe-rencia, por lo que sus medidas necesariamente son iguales. Entonces, se trata de un triángulo isósceles y sus ángulos basales tienen igual medida”. Esto es crucial, ya que en la sección deberán realizar demostraciones, que requieren fundamentar adecuadamente cada paso.

20 Ángulo inscrito y del centro en una circunferencia

Págs. 134 a 139

PropósitoIdentificar y relacionar los ángulos inscritos y del centro en una circunferencia.

Palabras claveÁngulo, arco, centro, circunferencia, medida, grado

Prerrequisitos § Identificación de elementos de la circunferencia y sus propiedades.

§ Cálculo de ángulos en triángulos. § Identificación y medición de ángulos.

Activación de ideas previasAnalice junto a los estudiantes la forma en que se miden los ángulos, y por qué no se utilizan medidas lineales para ello. Ya que en las lecciones anteriores han discutido acerca de la semejanza entre las circunferencias, es posible mostrarles que utilizar una circunferencia para medir los ángulos garan-tiza que, sin importar las medidas de los lados del ángulo, siempre se obtiene la misma medida angular.

Orientaciones didácticasLos estudiantes han analizado demostraciones de teoremas y propiedades relacionadas con la congruencia de triángu-los en primer año de Enseñanza Media, por lo que se sugiere repasar con ellos lo que se entiende por demostración en matemática, como secuencia de argumentos conectados lógicamente que permiten llegar a una conclusión (tesis) a partir de la información que se tiene (hipótesis).

La demostración del teorema del ángulo inscrito requiere, además, analizar la existencia de múltiples casos que con-forman, en conjunto, el enunciado general. Enfatice este as-pecto, ya que en ocasiones una de las labores más complejas en la disciplina es identificar adecuadamente los casos que componen una situación determinada. No hacerlo puede inducir a pensar, erróneamente, que un teorema está de-mostrado cuando en realidad solo se ha confirmado con un caso particular.


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Pese a que no forma parte de los contenidos mínimos, puede abordar la deducción de los teoremas del ángu-lo semiinscrito, del ángulo exterior y del ángulo interior, puesto que se desprenden directamente del teorema del ángulo interior y los estudiantes ya cuentan con todas las herramientas para demostrarlos.

Puede ocurrir que los estudiantes se confundan con la idea de que si dos ángulos subtienden un mismo arco entonces tienen la misma medida, y consideren que, por ejemplo, los ángulos α y β de la figura son congruentes:

αβ

En este sentido, es importante que enfatice en la necesidad de identificar el tipo de ángulo que se está analizando, y a partir de ello aplicar las relaciones entre su medida y el o los arcos que subtiende.

Errores frecuentes

Actividades complementariasAnalice junto a los estudiantes la demostración de que la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que se interseca con ella en el punto de tangencia. Para hacerlo, se puede proceder por reducción al absurdo o proceder de manera más intuitiva analizando la siguiente figura:

αA

BB'

B''O

A partir de ella, considerando que la recta trazada es tan-gente a la circunferencia en el punto A, puede observar con los estudiantes que, para un ángulo α, el triángulo AOB es isósceles, y por ende sus ángulos basales son congruentes. Luego, se puede apreciar que si la medida de α disminuye cada vez más, estos ángulos basales se aproximan cada vez más a un ángulo recto, hasta serlo en el caso que los puntos A y B coinciden.

21 Cuerdas y secantes en la circunferencia

Págs. 140 a 143

PropósitoDeterminar relaciones entre trazos y secantes de una circunferencia.

Palabras claveCircunferencia, segmento, recta, cuerda, tangente, secante, proporción

Prerrequisitos § Identificación y relación entre ángulos inscritos y del centro en una circunferencia.

§ Aplicación de criterios de semejanza de triángulos. § Relación entre medidas de elementos de triángulos semejantes.

Activación de ideas previasEn esta sección se aplican muchos de los contenidos que se han estudiado en las secciones anteriores, por lo que es fundamental verificar que los estudiantes los recuerden y sean capaces de aplicarlos adecuadamente.

Orientaciones didácticasComo se mencionó, la deducción de los teoremas de las cuerdas y de las secantes permite aplicar los contenidos estudiados en toda la unidad, por lo que conviene explicitar estas relaciones al revisar las deducciones con los estudian-tes. Esto les permitirá repasar los contenidos abordados y constatar las relaciones entre ellos, lo que es de gran im-portancia en la construcción y desarrollo del pensamiento matemático.

Es esencial que los estudiantes sean capaces de decir, por ejemplo, que “el producto de las medidas de los segmentos que se generan al cortarse dos cuerdas es igual para cada una de las cuerdas”. El objetivo de esto es que el estudiante tome consciencia de lo que está realizando, lo que permite evitar confusiones posteriores.


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3 421

Como ha sido en toda la unidad, muchos errores cometidos por los estudiantes pueden deberse a una incorrecta identificación de los elementos relacionados, y por ello se los utiliza en forma errónea. Para evitar esto, plantee a los estudiantes problemas diversos en que se den los datos y/o se pregunte por la medida de distintos elementos (cuerdas, segmentos, secantes, etc.), verificando que los estudiantes analicen cada situación antes de aplicar los teoremas vistos y las reglas de cálculo asociadas.

Errores frecuentes

Actividades complementariasEn una circunferencia, la cuerda MP se prolonga más allá de P, hasta intersectar un segmento tangente TA, en el punto A. Sabiendo que T es el punto de tangencia, PA = 4 cm y TA = 8 cm, ¿cuál es la longitud de MP? Realiza un dibujo si es necesario.

Respuesta:

A

TP

M

O

Utiliza la relación AT AM PA2( ) = ⋅ , reemplazando con los datos dados y obteniendo como resultado MP = 12 cm.


Página 144


Es muy importante que estimule a los estudiantes a parti-cipar activamente en la resolución de problemas. Para esto, puede solicitarles que intenten en primer lugar resolver el problema planteado sin mirar la resolución propuesta, para luego discutir en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla.

La actividad presentada en esta sección permite integrar contenidos de la sección 2 (el teorema de Euclides) y la ubicación de raíces en la recta numérica, estudiada en la Unidad 1. Enfatice que en matemática los conocimientos no se encuentran aislados, y que en ocasiones un cambio en el enfoque acostumbrado para la resolución de un pro-blema puede darnos soluciones igualmente correctas, pero en menos pasos.


Página 145

El análisis de errores permite, de manera efectiva y concreta, detectarlos y corregirlos. Estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y desarrollar la capaci-dad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos.

Los errores planteados en esta sección apuntan tanto al uso incorrecto de las propiedades por haberlas aprendido mal (Ej.: asignar la misma medida al ángulo del centro y al inscrito) como a una asignación errónea de los segmentos involucrados en el teorema de las secantes. Para ambos casos, verifique si los estudiantes que cometen estos errores resuelven los ejercicios con el orden necesario y verifican, paso a paso, si sus procedimientos son correctos. Los errores en este tipo de ejercicios suelen suceder por apresuramien-to en la determinación del resultado, que una ejercitación consciente y reiterada debiera ser capaz de corregir.


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Págs. 146 y 147


Identificar y relacionar los ángulos inscritos y del centro en una circunferencia.

1, 2 y 3 Los errores más frecuentes para estos indicadores tienen relación con la incorrecta identificación de los elementos involucrados (ángulos y segmentos) en cada caso, y de las relaciones que se establecen entre ellos. Permita a los estudiantes que han presentado dificultades que elaboren cuadros resumen que apoyen la resolución de ejercicios. Se sugiere, además, preguntar permanentemente a los estudiantes:

¿Qué ángulos hay en la figura?

¿De qué tipo son?

¿Qué datos tenemos?

¿Cómo se relacionan estos datos?

Refuerce la necesidad de referirse a los elementos involucrados en forma correcta, utilizando la nomenclatura adecuada.

Determinar relaciones entre trazos y secantes de una circunferencia.

4, 5 y 6


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3 421


En estas páginas se pretende mostrar un tema relacionado con la unidad de manera amena y original, considerando aspectos sociales, artísticos o históricos de la disciplina.

La observación de los astros por motivos religiosos, la me-dición del tiempo para determinar las estaciones y una simple admiración por la naturaleza fue el motor para mu-chas construcciones formidables de la Antigüedad. En este sentido, Stonehenge es un testimonio de la búsqueda de los seres humanos por conocer y ampliar su mirada del mundo que los rodea.

En ocasiones, el desarrollo de las ciencias por parte de las civilizaciones antiguas es sobredimensionado o mal inter-pretado. Por esta razón, conviene aclarar a los estudiantes que muchas de las teorías que se elaboran respecto de ello son tentativas y difícilmente comprobables. Puede ser interesante complementar el análisis de la infografía con la asignatura de ciencias sociales, lo que permitirá enriquecer la cultura de los estudiantes.



Por lo mismo, se sugiere prestar especial atención a la ela-boración de la síntesis de la unidad, permitiendo un trabajo individual, grupal y con todo el curso, dando también la posibilidad de resolver las últimas dudas que puedan que-dar, poner en común las dificultades y verificar la adecuada comprensión de los conceptos.

En estas páginas se retoma, además, el tema presentado en el inicio de la unidad, con el objetivo de que puedan analizarlo nuevamente incorporando los conocimientos adquiridos en ella. Si es posible, resultaría muy interesante la realización de un proyecto conjunto con la asignatura de Artes visuales, aplicando y/o investigando más en profun-didad la técnica estudiada.


Para los ejercicios de refuerzo, se recomienda especialmente prestar atención a que los estudiantes puedan explicar los procedimientos empleados en la resolución de los ejerci-cios y no solo a los resultados obtenidos, con el objetivo de garantizar su comprensión de los conceptos involucra-dos. Por la misma razón, se sugiere al docente revisarlos en conjunto con el curso, permitiendo que los estudiantes resuelvan algunos de ellos en la pizarra con la colaboración de sus compañeros. Mediante este sistema se pretende que puedan retroalimentarse mutuamente de manera más significativa, al provenir de sus propios pares.


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1

Identificar y caracterizar polígonos semejantes en diversos contextos.

1, 2, 3, 4, 5, 6 y 9 Verifique que los estudiantes identifican correctamente las figuras involucradas en el análisis, las nombran correctamente y emplean luego la información dada.

Analizar y construir homotecias.

7 y 8

2

A comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales.

10, 11, 12, 13 y 21 Permita a los estudiantes que presenten dificultades que corrijan sus errores utilizando un cuadro-resumen o esquema —puede ser el elaborado en la síntesis de la unidad—, para verificar que comprenden los teoremas y procedimientos involucrados y los aplican correctamente.

A dividir trazos en una razón dada.

14 y 15

A demostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos.

16, 17 y 18 Supervise a los estudiantes que presenten dificultades especialmente en la identificación de los datos de cada pregunta, de modo que asocien correctamente los segmentos involucrados con las relaciones que plantea cada teorema y así puedan resolver en forma correcta.

A demostrar y aplicar el teorema de Pitágoras y su recíproco.

19 y 20

3

Identificar y relacionar los ángulos inscritos y del centro en una circunferencia.

22, 26, 27, 28, 29, 30 y 31 Solicite a los estudiantes que presenten dificultades que expongan la forma en que resuelven cada problema, explicitando los elementos involucrados (cuerdas, secantes, ángulos, arcos) y las relaciones entre ellos. Así podrá detectar en forma precisa los errores cometidos y tomar las acciones necesarias para enmendarlos.

Determinar relaciones entre trazos y secantes de una circunferencia.

23, 24, 25, 32 y 33

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La cámara oscura

Una contextualización inmediata para el análisis de la semejanza de figuras es la fotografía. Por lo mismo, es intere-sante conocer algo de la historia de ella y, en general, de las formas que han existido en la historia para reproducir imágenes semejantes a las que observamos a nuestro alrededor. El antecedente más preciso es la cámara oscura.

Posiblemente nunca se sabrá con precisión quién y cuándo se descubrió la cámara oscura.

Fue en la Antigua Grecia donde surgió la preocupación por encontrar una explicación del fenómeno lumínico, que condujo a los filósofos a observar los efectos de la luz en todas sus manifestaciones. Aristóteles sostuvo que los ele-mentos que constituían la luz se trasladaban de los objetos al ojo del observador con un movimiento ondulatorio. Para comprobar su teoría, construyó la primera cámara oscura de la que se tiene noticia en la historia.

Una de las paradojas de la historia de la fotografía tuvo lugar en el siglo VI d. C., cuando el alquimista árabe Abd-el-Kamir descubrió una emulsión fotosensible, aunque nunca la aplicó a la cámara oscura —que ya existía— porque no tenía conocimiento de ella. Por su parte, el mago Merlín (539 d.C.) justamente en la misma época utilizaba la cámara oscura con fines estratégicos y de observación en la guerra que sostuvo el rey Arturo contra los sajones. En sus escritos se habla de la necesidad de utilizar el “cuerno de unicornio” para hacer el orificio de entrada de luz en ella. En el tiempo en que se difundió el uso de este aparato, la magia era una práctica que se mezclaba con el estudio de los fenómenos naturales, por lo que el hecho de relacionar al unicornio con la cámara oscura ocasionó que durante siglos esta recibiera el nombre de “caja mágica”. Pero no fue sino hasta la segunda mitad del siglo XV cuando se volvió a tener noticia de la cámara oscura a través de Leonardo da Vinci, quien redescubrió su funcionamiento y le adjudicó una utilidad práctica, motivo por el cual se le ha otorgado el crédito de su descubrimiento.

Da Vinci y el alemán Alberto Durero emplearon la cámara oscura para dibujar objetos que en ella se reflejaban. A partir de ese momento se utilizó como herramienta auxiliar del dibujo y la pintura, extendiéndose rápidamente en Europa. La cámara oscura renacentista tenía las dimensiones de una habitación, para que el pintor pudiera introducirse en ella y dibujar desde su interior lo que se reflejaba Para lograrlo, colocaba un papel translúcido en la parte posterior, justo enfrente del orificio por el que pasaba la luz. Es importante recordar que la formación de la imagen es invertida, por lo que el dibujante debía ser muy hábil para hacer las correcciones necesarias al copiar la imagen sobre el papel.

Para conseguir que la imagen se formara era necesario que el orificio fuera muy pequeño, de lo contrario la calidad de la imagen no podía ser muy nítida ni detallada. En el siglo XVI un físico napolitano, Giovanni Battista Della Porta, antepuso al orificio una lente biconvexa (lupa) y con ella obtuvo mayor nitidez y luminosidad en la imagen. A partir de este avance, varios científicos se dedicaron a perfeccionarla. Esta aportación fue fundamental para el desarrollo de la fotografía, ya que marcó el principio de lo que hoy conocemos como el objetivo de la cámara, el cual permite la captura de imágenes a diferentes distancias y ángulos obteniendo como resultado imágenes nítidas y luminosas.

Fuente: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/luces_de_la_ciudad/Memorias/fotografia/camaraos.htm

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Mate

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otoc

opia

ble

Actividad complementaria Nº 1 / El pantógrafo



Un pantógrafo es una herramienta que permite dibujar figuras homotéticas en forma mecánica, es decir, punto por punto. Para utilizarlo, el punto A se fija mediante un clavo o alfiler en un punto, y con un lápiz en el punto B se recorre el dibujo del cual se quiere construir la homotecia. Un lápiz ubicado en el punto C dibuja la figura homotética al moverse.

F

ED

A B C

Para su funcionamiento, es necesario que se cumplan las siguientes relaciones:

AF = CF DB = FE BE = DF

1. Construye un pantógrafo con las instrucciones dadas. Utiliza una medida de AF = 30 cm, y traza diferentes homotecias variando la medida de AD.

a) ¿Cuáles son las razones de homotecia de las figuras obtenidas, en los siguientes casos?

AD = 10 cm AD = 15 cm AD = 20 cm

b) ¿Qué relación existe entre las medidas de AD, AF y la razón de homotecia? Explica.

2. En un pantógrafo, es posible intercambiar el punto fijo (A), el lápiz que recorre la figura original (B) y el lápiz que traza la figura homotética (C). Si AD = 15 cm y AF = 30 cm, determina el tipo de homotecia que se obtiene si:

a) se utiliza B como punto fijo y la figura se recorre con el punto C.

b) se utiliza C como punto fijo y la figura se recorre con el punto B.

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77


Unidad 2 • Geometría

Actividad complementaria Nº 2 / Rectas perpendiculares



En cursos anteriores has aprendido a calcular y analizar la pendiente de una recta. Ahora, analizaremos la relación entre las pendientes de dos rectas perpendiculares entre sí.

En la figura, las rectas L1 y L2 son perpendiculares y se intersecan en el punto A. Por este punto se traza una recta vertical L3, y además se traza otra recta horizontal L4.

L3

L4

L2 L1

A

CDB

1. Considerando que el triángulo ABC es rectángulo en A, ¿qué relación hay entre las medidas de los segmentos BD, DC y AD? Escribe una fórmula que los relacione.

2. La recta L1 tiene pendiente positiva, mientras que la de L2 es negativa. Determina la pendiente de cada una con-siderando las medidas de los segmentos BD, DC y AD.

3. ¿Qué relación se cumple entre las pendientes de dos rectas perpendiculares? Justifica utilizando los resultados anteriores.

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Mate

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ble


Actividad complementaria Nº 3 / El arco capaz



En la sección has visto que dos o más ángulos inscritos que subtienden un mismo arco son congruentes entre sí. Anali-zaremos ahora el problema opuesto a partir de una cuerda, es decir, dado un segmento construiremos la circunferencia que pasa por sus extremos, de manera que los ángulos inscritos que se construyan subtendiendo dicha cuerda tengan una medida dada.

Consideraremos para esto el segmento AB, y el ángulo α.

αA B

Copia el segmento AB, y sobre él el ángulo BAC, de medida α.

αA

C

B

Construye el rayo AD, perpendicular a AC.

αA

C

B

D

Traza la simetral del segmento AB, que se interseca con el rayo AD en el punto O. Este punto es centro de la circunferencia que pasa por A y B.

α

D

BA

C

O

1. Construye ángulos inscritos en esta circunferencia, de manera que subtiendan los ángulos AB y BA. ¿Cuáles de ellos tienen medida igual a α?

2. Justifica la construcción del arco capaz, es decir, el que contiene a los vértices de los ángulos inscritos de medi-da igual a α .

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79



Evaluación de la unidad 3 421


Identificar y caracterizar polígonos semejantes

1. ¿Cuáles de los siguientes tipos de figuras son siem-pre semejantes entre sí?

A. Triángulos isósceles.

B. Rectángulos.

C. Circunferencias.

D. Pentágonos.

E. Trapecios.

2. En la figura hay dos triángulos semejantes. ¿Cuál es el perímetro del triángulo de menor tamaño?

E

D F

15 cm

C

A B

24 cm 8 cm 6 cm

A. 5 cm

B. 14 cm

C. 19 cm

D. 39 cm

E. 57 cm

3. Un plano está construido en la razón 1 : 50 y las medidas de una ventana son 4 x 2 cm. ¿Cuáles son las medidas de la ventana en la realidad?

A. 4 x 2 m

B. 40 x 20 cm

C. 2 x 1 m

D. 20 x 10 cm

E. 8 x 4 m

4. Si el perímetro de un triángulo de menor tamaño semejante a otro es de 15 cm y la razón entre sus alturas es 7 : 21, ¿cuál es el perímetro del triángulo de mayor tamaño?

A. 90 cm

B. 75 cm

C. 60 cm

D. 45 cm

E. 30 cm

5. Si la razón entre la medida de los lados de dos triángu-los semejantes es 2 : 5, ¿cuál es la razón entre sus áreas?

A. 2 : 7

B. 5 : 2

C. 2 : 5

D. 25 : 4

E. 4 : 25

6. La medida de los lados de un triángulo de vértices ABC son 4, 5 y 6 cm respectivamente. ¿Cuál es la medida del lado FG si el perímetro del triángulo EFG es 60 cm y ∆ABC ~ ∆EFG?

A. 4 cm

B. 16 cm

C. 20 cm

D. 24 cm

E. 60 cm

7. De acuerdo a la figura, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

D

A

B C

F

E

I. ∆BDC ~ ∆BEAII. ∆DCB ~ ∆EFCIII. ∆EFC ~ ∆DAF

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. I y III

E. I, II y III

8. Si a un polígono se le aplica una homotecia de razón 3 : 4 y uno de sus lados mide 8 cm, ¿cuál es la medida de este lado luego de aplicada la homotecia?

A. 2 cm

B. 6 cm

C. 12 cm

D. 24 cm

E. 32 cm

Lee y luego responde las preguntas 9, 10 y 11.

A un cuadrado de área 25 cm2 se le aplica una ho-motecia de razón 3 : 5.

9. ¿Cuál es el perímetro del nuevo cuadrado?

A. 9 cm

B. 12 cm

C. 15 cm

D. 18 cm

E. 21 cm

Nombre: Curso:

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Evaluación de la unidad

10. ¿Cuál es el área del nuevo cuadrado?

A. 3 cm2

B. 9 cm2

C. 25 cm2

D. 64 cm2

E. 75 cm2

11. ¿Cuál es la medida del doble de la diagonal del nuevo cuadrado?

A. 12

B. 2 12

C. 24

D. 2 18

E. 36

Aplicar los teoremas de Thales, Euclides y Pitágoras.

12. Si AB//ED , BC = 5 cm, AC = 3 cm, CD = 20 cm y EC = 2k + 6, ¿cuál es la medida de AE?

A

D

C

B

E

A. 3 cm

B. 6 cm

C. 9 cm

D. 12 cm

E. 15 cm

Considera la siguiente figura para responder las preguntas 13, 14 y 15.

AB //CD // EF, AC = 2x – 10, CE = 6 + x, FB : DB = 2 : 1

A

D

F

C

B

E

13. ¿Cuál es la medida de AC?

A. 11 cm

B. 22 cm

C. 33 cm

D. 44 cm

E. 46 cm

14. ¿Cuál es la medida de CE?

A. 11 cm

B. 22 cm

C. 33 cm

D. 44 cm

E. 46 cm

15. ¿Cuál es la medida de AE?

A. 11 cm

B. 22 cm

C. 33 cm

D. 44 cm

E. 46 cm

16. En la figura, AD = 20 cm, CD = 12 cm y BE = 9 cm, ¿cuál es el doble de la medida de BC?

D

A B C

E

A. 1 cm

B. 2 cm

C. 4 cm

D. 8 cm

E. 12 cm

17. En la siguiente figura, L1 // L2 // L3.¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s)?

ML1

L2

L3

T

X

Q

P

W

I. MQ : QW = XT : TPII. MQ : TQ = QW : PTIII. MQ : PT = QW : TX

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. II, y III

E. I, II y III

18. Un trazo AB de 24 cm es dividido interiormente por el punto Q en la razón 5 : 7. ¿Cuál es el doble de la medida de AQ?

A. 5 cm

B. 10 cm

C. 20 cm

D. 40 cm

E. 48 cm

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81




19. Un trazo de 27 cm se divide interiormente en la razón 1 : 3 : 5. ¿Cuál es la suma de las medidas de los trazos mayor y menor que se forman?

A. 3 cm

B. 9 cm

C. 18 cm

D. 27 cm

E. 36 cm

20. Si un trazo se divide en la razón 5 : 4 y el segmento de menor medida que se forma es de 16 cm, ¿cuál es la medida del trazo original?

A. 9 cm

B. 16 cm

C. 20 cm

D. 25 cm

E. 36 cm

Aplicar relaciones entre ángulos y segmentos en la circunferencia.

21. En la circunferencia, PT es una tangente en P. ¿Qué tipo de ángulo es β?

Q β

O

A

P

T

A. del centro.

B. interior.

C. exterior.

D. inscrito.

E. semi-inscrito.

22. En la figura, si el ángulo MPN mide 40º, ¿cuál es el valor de α?

O

P

MN

A. 280º

B. 160º

C. 100º

D. 80°

E. 40°

23. En la circunferencia los arcos BA, AC y CB están en la razón 3 : 7 : 2. ¿Cuál es la medida del ángulo BCA?

A

B

C

A. 120º

B. 90º

C. 60º

D. 45°

E. 30°

24. Si en la circunferencia BA es tangente en B y el arco CD mide un tercio de la circunferencia, ¿cuál es la medida del ángulo ABC?

BO

70º

A

D

C

A. 120º

B. 100º

C. 60º

D. 50°

E. 25°

25. En la circunferencia se ha inscrito el triángulo equilá-tero ABC. Si BD es tangente en B, ¿cuál es la suma de las medidas de los ángulos AOB y ABD?

B

O

A

D

C

A. 360º

B. 240º

C. 180º

D. 120°

E. 60°

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Evaluación de la unidad

26. En la figura, DF es tangente, el ángulo CAB = 40º y el ángulo EDF = 45º. ¿Cuál es la medida del arco CB?

B

O

A

D

F

E

C

A. 95º

B. 80º

C. 45º

D. 40°

E. 10°

Observa la figura. Luego, responde las preguntas 27 y 28.

En la circunferencia, las cuerdas PM y AH se cortan en el punto L, HL = 15 cm, LA = 6 cm y LM = 9 cm.

M

H

O

APL

27. ¿Cuál es la medida de PM?

A. 5 cm

B. 9 cm

C. 10 cm

D. 15 cm

E. 19 cm

28. ¿Cuál es la mitad de la medida de PL?

A. 5 cm

B. 10 cm

C. 15 cm

D. 20 cm

E. 25 cm


En la figura, PT es diámetro, MT mide el triple que el radio, BA = 22 cm y MB = 27 cm.

B

O

A

MT

P

29. ¿Cuál es la medida del diámetro de la circunferencia?

A. 27 cm

B. 18 cm

C. 9 cm

D. 6 cm

E. 3 cm

30. ¿Cuál es la medida de MA?

A. 18 cm

B. 9 cm

C. 6 cm

D. 5 cm

E. 3 cm


En la figura, BD = 10 cm, AC = 2 cm y BC : CD = 2 : 3.

DO

AB

C

31. ¿Cuál es la medida del diámetro de la circunferencia?

A. 24 cm

B. 20 cm

C. 14 cm

D. 10 cm

E. 7 cm

32. ¿Cuál es la medida del radio de la circunferencia?

A. 14 cm

B. 12 cm

C. 10 cm

D. 7 cm

E. 5 cm

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83





En la figura, PW = 6 cm, WZ = 5 cm y ZY = 5 cm.

OY

Z

X

WP

33. ¿Cuál es la medida de XZ?

A. 30 cm

B. 11 cm

C. 6 cm

D. 5 cm

E. 1 cm

34. ¿Cuál es la medida de XY?

A. 30 cm

B. 11 cm

C. 6 cm

D. 5 cm

E. 1 cm


35. Si la razón entre las áreas de dos triángulos seme-jantes es 50 : 32 y el perímetro del triángulo de ma-yor área es 15 cm, ¿cuál es el perímetro del triángulo de menor área?

36. En la figura, AX // RY //CZ. AB = 3m – 1, BC = 3m + 1, XY = 10 cm y XZ = 2 cm. ¿Cuál es la cuarta parte de la medida de AC?

A

C

B

X Y Z

37. En la figura, los arcos ZX, WY y ZY miden 130º, 180º y 50º, respectivamente. ¿Cuál es la medida de α + β?

Y Z

X

W

O

β

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SolucionarioActividad complementaria Nº1 El pantógrafo

1. a) 1 : 4, 1 : 2 y 2 : 3

b) La razón de homotecia es ADAF

.

2. a) Homotecia de razón –1.

b) Homotecia de razón 1 : 2.

Actividad complementaria Nº2 Rectas perpendiculares

1. AD2 = BD • CD

2. L : m =ADBD1 1 , L : m = –

ADCD2 2

3. =

=−

=−

=−

m •mADBD

• –ADCD

AD • ADBD • CD

ADBD • CD

1

1 2

2

Actividad complementaria Nº3 El arco capaz

1. Los ángulos pedidos son los que subtienden el arco BA.

2. La respuesta depende de cada estudiante. Al trazar la perpendicular AD, cualquier punto sobre AD que sea centro de la circunferencia buscada y pase por A tendrá a AC como tangente. El centro de la cir-cunferencia debe ser equidistante de A y de B, por lo que se construye la simetral del segmento.

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3 421


I. Preguntas de alternativas


Identificar y caracterizar polígonos semejantes.

1 C2 C3 C4 D5 E6 C7 D8 B9 B

10 B11 D

Aplicar los teoremas de Thales, Euclides y Pitágoras.

12 E13 B14 B15 D16 B17 C18 C19 C20 E

Aplicar relaciones entre ángulos y segmentos en la circunferencia.

21 E22 A23 D24 D24 C25 E26 E27 E28 B29 D30 D31 C32 D33 B34 C

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II. Preguntas de desarrollo

Problema 35 Problema 36 Problema 37CorrectaDeduce correctamente que la razón entre

los perímetros debe ser 5032

=2516

=54

Aplica luego la proporción y determina que

→54

=15x

x = 12.

CorrectaPlantea la proporción correctamente y verifica que el valor obtenido para m es negativo, por lo que la solución no es pertinente.

CorrectaDetermina correctamente las medidas de los ángulos y concluye que el valor buscado es 105º.

Parcialmente correctaInterpreta incorrectamente la relación entre las áreas como razón de semejanza, o la interpreta correctamente pero no como relación entre los perímetros.

Parcialmente correctaPlantea la proporción, calcula quem = –2, y con ello que

AC = 3(–2) – 1 + 3(–2) + 1 = –6 – 1 – 6 + 1 = –12

Deduce así que el valor pedido es –3, pero no interpreta que no es pertinente.

Parcialmente correctaInterpreta incorrectamente la información, asociando las medidas de los arcos con los ángulos.

IncorrectaNo logra relacionar la expresión entregada en el enunciado del problema.

IncorrectaNo plantea la proporción, o lo hace en forma incorrecta.



Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Clave A C E E A D C D E A A D

13.

a) 24 cm

b) 2 cm

c) 6,4 cm

d) 4 cm

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3 421

Identificar y caracterizar polígonos semejantes

1. Un rectángulo de lados 6 x 3 cm se amplía en razón 3 : 4. ¿Cuál es el área del rectángulo ampliado?

A. 32 cm2

B. 18 cm2

C. 16 cm2

D. 12 cm2

E. 9 cm2

2. En un mapa, dos ciudades están separadas por 3 cm. Si su escala es de 1 : 200 000, ¿cuántos metros separan a ambas ciudades en la realidad?

A. 60 m

B. 600 m

C. 6 000 m

D. 60 000 m

E. 600 000 m

3. En la siguiente figura donde AB // HK. ¿Cuál es la pareja de triángulos semejantes?

A

H

B

K

M

A. ∆AMH ~ ∆BMK

B. ∆ABH ~ ∆BAK

C. ∆ABM ~ ∆AMH

D. ∆BKM ~ ∆MKH

E. ∆ABM ~ ∆KHM

4. Si al aplicar una homotecia a un cuadrilátero la nue-va figura se sitúa dentro del cuadrilátero original, ¿qué valor toma la razón de homotecia?

A. Menor que –1

B. Cero

C. Mayor que 1

D. 1

E. Entre 0 y 1

Aplicar los teoremas de Thales, Euclides y Pitágoras

5. En la figura L1 // L2, BD = 5 cm, DE = 3 cm y CD = 4 cm. ¿Cuál es la cuarta parte de la medida de AB?

L1A

C

E

B

DL2

A. 2, 6 cm

B. 6 cm

C. 10,6 cm

D. 12 cm

E. 15 cm

6. En la figura, las rectas AB, CD y EF son paralelas. ¿Cuánto mide el segmento BD?

A CE

B F2x

5 3

2x – 4

D

A. 4

B. 6

C. 10

D. 16

E. 20

Banco de preguntas

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7. De los siguientes triángulos, ¿cuál(es) es(son) rectángulo(s)?

828

16

4

12

36

4

I. II. III.

10

A. Solo I

B. I y II

C. II y III

D. I y III

E. I, II y III

Aplicar relaciones entre ángulos y segmentos en la circunferencia

8. El ángulo cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son dos cuerdas se denomina ángulo:

A. del centro.

B. interior.

C. exterior.

D. inscrito

E. semi-inscrito.

9. Si O es el centro de la circunferencia, ¿cuál es el valor del ángulo x?

A. 30º

B. 30,5º

C. 37,5º

D. 45º

E. 60º

10. En la circunferencia de centro O, se han dibujado tres diámetros. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

A. 20º

B. 35º

C. 70

D. 75º

E. 110º

11. La medida angular del arco DA es igual a la medida angular del arco CD, el arco BC mide 2x y el arco AB mide (3x + 10). ¿Cuál es el valor de x e y respectivamente?

A. x = 50º e y = 55º

B. x = 55 e y = 50

C. x = 110º e y = 55º

D. x = 55º e y = 110º

E. x = 50º e y = 110º

12. Si PT es tangente a la circunferencia en P,

PA = 16 cm y =ABPA4

, ¿cuál es la medida del

segmento PT?

A. 8 cm

B. 4 3 cm

C. 8 2 cm

D. 8 3 cm

E. 4 48 cm

13. En la figura, AD es diámetro, la tangente AB mide 6 cm y CB = 3,6 cm.

D

BO

A

C

Calcula:

a) el perímetro del triángulo ABD.

b) el área del triángulo ABD.

c) la medida de DC.

d) el radio de la circunferencia.

30°

60°

xOC

B

D

E

A

20°35°

xO

E D

B

C

A

A

D

C

B

E

O

y

x

PT

B

A

O12 cm

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3 421Bibliografía

• Alsina Catalá, C.; Fortuny Aymeni, J. M.; Burgués Flamerich, C. Invitación a la didáctica de la geometría. Madrid: Ed. Síntesis.

• Araya, R, Matus, C. (2008). Buscando un orden para el azar. Proyecto Enlaces Matemática. 2ª ed. Ed. Centro Comenius. Santiago: Universidad Católica de Chile

• Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1994). Retorno a la geometría. Libro de consulta. Madrid: Ed. Euler.

• Oteíza, F; Zamorano A, L; Baeza, O. (2008). La circunferencia y un par de rectas en el plano. Ángulos en el plano. Santiago: Centro Comenius, Universidad de Santiago de Chile

• Oteíza, F; Zamorano A, L; Baeza, O. (2008). La geometría de los modelos a escala. Semejanza de figuras planas. Santiago: Centro Comenius, Universidad de Santiago de Chile.

• Rich, B. Geometría. Colección Shawm. Editorial McGraw Hill.

• Spiegel, M. Análisis Vectorial. Colección Shawm. Editorial McGraw Hill.

• Villanueva, F.; Masjuan, G.; Arenas, F. (1993). Geometría elemental. Santiago: Universidad

Sitios web

• Figuras semejantes:

http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1224

• Ejemplos y actividades de homotecia:

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Semejanza_y_homotecia/Homote1.htm

• Teorema de Euclides

http://www.geometriadinamica.cl/guias/ejemplo.php?mode=count&c=1&id=35

• Representaciones y demostración de teorema de Pitágoras:

http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/teoremapitagoras.htm

• Elementos de la circunferencia y el círculo:

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/CirculoCircunfelementos.htm

• Ángulos en la circunferencia:

http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/circunf/inscrito.htm

• Relaciones métricas en la circunferencia:

http://www.dmae.upct.es/~pepemar/angulo/home.htm

http://www.dmae.upct.es/~pepemar/angulo/home.htm

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MateMática 2.º Medio - Guía didáctica del docente 90


Mate

rial f

otoc

opia

ble

Mini ensayo PSU

Marca en cada caso la alternativa correcta.

1. ¿Cuál(es) de los siguientes enunciados representa(n) un número racional?

I. El perímetro de una circunferencia de radio

1π

cm.

II. La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 2 cm.

III. El área de un rectángulo cuyos lados miden 6 cm y 2 6 cm.

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. II y III

E. I, II y III

2. Si las medidas de un rectángulo son log3 27 cm

y – –643 cm, su perímetro y su área son respectivamente:

A. 12 cm y 14 cm

B. 12 cm y 14 cm2

C. 14 cm y 12 cm

D. 14 cm y 12 cm2

E. E. 14 cm2 y 12 cm2

3. ¿Cuál es el resultado al escribir la expresión 2 2 23 como una sola raíz?

A. 24

B. 234

C. 237

D. 257

E. 2512


a 12 – 2

?

A. 2

B. 1+ 2

C. 2 + 22

D. 2 – 22

E. 2 – 22

5. Si log3 (2a – 3) = 1, ¿cuál es el valor de log3 (a3)?

A. 3

B. 6

C. 9

D. 27

E. 81

6. ¿En qué caso se muestran los números ordenados de menor a mayor?

A. 2 3, 13,3 2

B. 13,2 3,3 2

C. 3 2, 13,2 3

D. 2 3,3 2, 13

E. 3 2, 13,2 3

7. ¿Qué se obtiene al reducir términos semejantes en

la expresión 18 + 2 12 + 2 – 2 3 + 75 ?

A. 11 6

B. 4 2 + 3 3

C. 7 3 + 4 2

D. 4 3 + 7 2

E. 4 2 – 3 3

8. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a

( )2 – 2 32?

A. –46

B. 14 + 4 6

C. 14 – 4 6

D. 14 – 2 6

E. 4 6 –14

9. ¿Cuál de los siguientes logaritmos es equivalente a la expresión log6 3 + log6 4 – log6 2?

A. log6 5

B. log 10

C. log 100

D. log6 50

E. log6 0,5

MiniPSU1_GD_MAT_2M_javy.indd 90 09-01-14 15:30

91Mini Ensayo PsU


10. Al resolver la ecuación log (log (2x – 1)) = 0, ¿cuál es el valor del doble de x?

A. 11

B. 112

C. 22

D. 101

E. 1012

11. Respecto de la siguiente figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

A

B

C E G

F

I

HD

I. AB = AEII. Todos los triángulos rectángulos dibujados son

semejantes por el criterio AA.III. La razón entre los catetos del triángulo ABC es

igual a la de los lados homólogos de cada uno de los otros triángulos.

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. II y III

E. I, II y III

12. Si L1 // L2, AE = 10 cm, CE = (3x + 4) cm, ED = (x + 1) cm y EB = 3 cm, ¿cuál es el valor de x?

A

D

L1

L2

C

B

E

A. 2

B. – 2

C. 2741

D. 4127

E. –2741

13. Respecto del triángulo ABC, ¿cuál(es) de las siguien-tes afirmaciones es(son) falsa(s)?

DA B

C

a

c

bh

q p

I. a2 = p2 + pq

II. h2 = p(c • p)

III. (p + q)2 – a2 = b2

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I, II y III

E. Ninguna es falsa.

14. En la figura, L1 // L2. ¿Cuál(es) de las siguientes afir-maciones es (son) verdadera(s)?

L2

L1

A

D

CB

E

I. CB = DA

II. EAD = EBC

III. AD = kBC, k ∈ .

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. II y III

E. I, II y III



Mini ensayo PSUMa

teria

l fot

ocop

iabl

e

15. En la figura, BD // CE , AB = 5 cm, BC = 10 cm y CE = 8 cm. ¿Cuánto mide BD?

A

BC

E

D

A. 3 cm

B. 4 cm

C. 6 cm

D. 38

cm

E. 83

cm

16. ¿Cuál de las siguientes series de números no forma un trío pitagórico?

A. 3, 4 y 5

B. 5, 12 y 13

C. 8, 15 y 17

D. 7, 24 y 25

E. 13, 35 y 37

17. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide

25 cm y la proyección de uno de sus catetos 4925

cm.

¿Cuánto miden sus catetos?

A. 7 cm y 24 cm

B. 8 cm y 15 cm

C. 6 cm y 23 cm

D. 13 cm y 35 cm

E. 15 cm y 20 cm

18. Una recta AB forma un triángulo rectángulo AOB con el origen (O) del plano cartesiano, cuyos catetos son segmentos contenidos en los ejes. ¿Cuáles son las coordenadas de sus vértices?

(1) A(0, 3).

(2) Su hipotenusa mide 5 cm.

A. (1) por sí sola.


C. Juntas, (1) y (2).


E. Se requiere información adicional.

19. ¿Cuál es la medida del área de la región encerrada por los gráficos de las rectas y = x, y = 4 y el eje Y del plano cartesiano?

A. 2 unidades2

B. 4 unidades2

C. 8 unidades2

D. 16 unidades2

E. Faltan datos.

20. En la figura, DBC es isósceles con base CD. Si BC = 4 cm

y AD= 43

CD, ¿cuál es el área del triángulo ABD?

D A

BC

A. 2 23

cm

B. 4 23

cm

C. 8 23

cm

D. 16 23

cm

E. 32 23

cm


93Mini Ensayo PsU


21. En la circunferencia de centro O se ha inscrito un cuadrilátero. ¿Cuál es el valor de x?

O110º

x

A. 35°

B. 55°

C. 70°

D. 110°

E. 220°

22. En la circunferencia de centro O, m(<BDC) + m(<BOC) + m(<BAC) = 240°. ¿Cuál es la medida del arco BC?

OA

B C

D

A. 30º

B. 60º

C. 80º

D. 120º

E. 240º

23. En la figura, L1 es tangente a la circunferencia de centro O en el punto T. ¿Cuál es el valor de α?

O26º

T

L1

A. 64°

B. 116°

C. 132°

D. 142°

E. 154°

24. En la circunferencia que se muestra a continuación, la medida del arco AB es el doble de la del arco CD, y el ángulo AEB mide 15°. ¿Cuánto mide el ángulo CPD?

P

DE

A

B

C

A. 15°

B. 30°

C. 45°

D. 60°

E. 75°

25. En la circunferencia, ¿cuál es la medida del ángulo CAB?

50º

D

A

BC

(1) DC = CB

(2) DC es diámetro.



C. Juntas, (1) y (2).





Mini ensayo PSUMa

teria

l fot

ocop

iabl

e

26. Si en la circunferencia con centro en O que se muestra a continuación AB y BC son cuerdas y m(<BAO) = 18°, ¿cuál es el valor de α?

O

A

B

C

A. 18°

B. 24°

C. 36°

D. 144°

E. No se puede calcular.

27. En la figura, la recta L1 es tangente a la circunferen-cia de centro O y m(<CBA) = 65°. Si B es el punto de tangencia, ¿cuál es la medida del ángulo ABP?

O35º

B

CA

P

L1

A. 35°

B. 45°

C. 80°

D. 100°

E. 135°

28. En la semicircunferencia de centro O, DC // AB. ¿Cuál es la medida del ángulo ADC?

C

O BA

D

50º

A. 40°

B. 90°

C. 110°

D. 130º

E. 140º

29. En la circunferencia de centro en O, los segmentos AB y CD son cuerdas, m(<AOC) = 52° y m(<BOD) = 48°. ¿Cuál es la medida del ángulo BED?

O

C

D

E

A

B

A. 25°

B. 50°

C. 75°

D. 100º

E. 125º

30. ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero circunscrito a la circunferencia de centro O?

2 cm

7 cm 3 cm

3 cm

O

B

C

D

A

A. 15 cm

B. 20 cm

C. 27 cm

D. 30 cm

E. 33 cm


95Mini Ensayo PsU


Tabla de especificaciones

Pregunta Eje Contenido Habilidad Respuesta correcta

1 Números Números reales Analizar E

2 Números Raíces y logaritmos Aplicar D

3 Números Raíces Aplicar B

4 Números Raíces Aplicar C

5 Números Logaritmos Aplicar A

6 Números Raíces Comprender A

7 Números Raíces Aplicar C

8 Números Raíces Comprender C

9 Números Logaritmos Aplicar B

10 Números Logaritmos Aplicar A

11 Geometría Semejanza Evaluar B

12 Geometría Semejanza Aplicar A

13 Geometría Teorema de Euclides Evaluar E

21 Geometría Semejanza de triángulos Evaluar D

22 Geometría Semejanza de triángulos Analizar E

23 Geometría Tríos pitagóricos Comprender E

24 Geometría Teorema de Euclides Aplicar A

25 Geometría Teorema de Pitágoras Evaluar C

14 Geometría Área de figuras geométricas Analizar C

15 Geometría Área de figuras geométricas Aplicar E

16 Geometría Circunferencia y ángulos Aplicar D



19 Geometría Circunferencia y ángulos Analizar C

20 Geometría Circunferencia y ángulos Analizar E



28 Geometría Circunferencia y ángulos Analizar D

29 Geometría Circunferencia y ángulos Analizar B

30 Geometría Circunferencia y ángulos Evaluar D


41 2 3

unid

ad3Propósito

Álgebra

Los estudiantes han estudiado en años anteriores el concepto de función y, en particular, la función lineal y afín. En esta unidad se introducen las funciones exponencial, logaritmo y raíz cuadrada en diversos contextos y las respectivas representaciones gráficas con la ayuda de herramientas tecnológicas.

Por otra parte, se enseña la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, estrechamente ligada a la resolución de problemas. Además, se puede apoyar la representación gráfica de estos sistemas con herramientas tecnológicas.

Con respecto a las expresiones algebraicas, los estudiantes generalizarán las estrategias que usaban en las operaciones de números fraccionarios para operar con expresiones algebraicas fraccionarias e identificarán los valores para los cuales se indefine una fracción algebraica.

¿Qué sé?

• Realizar operaciones con fracciones y aplicar propiedades de la operatoria entre números racionales. • Resolver ecuaciones de primer grado. • Realizar operaciones con expresiones algebraicas. • Realizar operaciones y aplicar propiedades de raíces, potencias y logaritmos.

¿Qué aprenderé?

• Realizar operaciones con fracciones algebraicas.

• Analizar gráficamente las funciones raíz cuadrada, exponencial y logarítmica.

• Resolver y analizar sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

¿Para qué?

• Para resolver problemas en distintos contextos.

• Para analizar y aplicar propiedades en distintos contextos matemáticos.

Ruta de aprendizaje

97Unidad 3 • Álgebra

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Marco curricular


• Función.

• Dominio.

• Recorrido.

• Función lineal.

• Función afín.

• Ecuación de primer grado con una incógnita.

• Expresiones algebraicas.

• Operaciones de fracciones.

• Identificar las funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada en contextos diversos.

• Modelar situaciones diversas a través de las funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada.

• Representar gráficamente las funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada.

• Argumentar respecto de las variaciones que se producen en la representación gráfica de las funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada, al modificar los parámetros.

• Resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Representar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Resolver problemas que involucren expresiones algebraicas fraccionarias.

• Relacionar las operaciones de fracciones con las operaciones de expresiones algebraicas fraccionarias.

• Argumentar respecto de los valores permitidos del denominador de una expresión algebraica fraccionaria.

Palabras clave

Función exponencial, función logarítmica, función raíz cua-drada, sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, expresiones algebraicas fraccionarias.

Contenidos

• Función exponencial y representación gráfica.

• Función logarítmica y representación gráfica.

• Función raíz cuadrada y representación gráfica.

• Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Gráfica de un sistema de ecuaciones.

• Expresiones algebraicas fraccionarias.

• Operaciones de expresiones algebraicas fraccionarias.

Actitudes

• La perseverancia, el rigor, la flexibilidad y la originalidad al resolver problemas matemáticos.

MateMÁtica 2.º Medio - gUía didÁctica del docente 98 99Unidad 3 • Álgebra

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41 2 3

Sección 1: Fracciones algebraicasOF CMO AE Lecciones Evaluaciones

Interpretar la operatoria con expresiones algebraicas fraccionarias como una generalización de la operatoria con fracciones numéricas, establecer estrategias para operar con este tipo de expresiones y comprender que estas operaciones tienen sentido solo en aquellos casos en que estas están definidas.

Establecimiento de estrategias para simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas simples, con binomios tanto en el numerador como en el denominador y determinación de aquellos valores que indefinen una expresión algebraica fraccionaria.

Analizar la validez de una expresión algebraica fraccionaria.

Lección 22: Fracción algebraica.

2 horas.


2 horas.


2 horas.

Lección 23: Fracciones algebraicas y fórmulas.

4 horas.

Lección 24: Mcd y mcm de expresiones algebraicas.

4 horas.

Lección 25: Amplificación y simplificación de fracciones algebraicas.

2 horas.

Establecer estrategias para operar fracciones algebraicas simples, con binomios en el numerador y en el denominador, y determinar los valores que indefinen estas expresiones.

Lección 26: Multiplicación y división de fracciones algebraicas.

2 horas.

Lección 27: Adición y sustracción de fracciones algebraicas.

4 horas.

Lección 28: Resolución de problemas que involucran ecuaciones fraccionarias.

4 horas.







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Sección 2: Función exponencial, logarítmica y raízOF CMO AE Lecciones Evaluaciones

Utilizar las funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada como modelos de situaciones o fenómenos en contextos significativos y representarlas gráficamente en forma manual o usando herramientas tecnológicas.

Uso de un software gráfico en la interpretación de funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada; análisis de las situaciones que modela y estudio de las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros.

Analizar gráficamente la función exponencial en forma manual y con herramientas tecnológicas.

Lección 29: Funciones, tablas y gráficos.

2 horas.


2 horas.


2 horas.

Analizar gráficamente la función logarítmica, en forma manual y con herramientas tecnológicas.

Lección 30: Función raíz cuadrada.

4 horas.

Analizar gráficamente la función raíz cuadrada, en forma manual y con herramientas tecnológicas.

Lección 31: Función exponencial.

4 horas.

Modelar y aplicar la función exponencial, raíz cuadrada y logarítmica en la resolución de problemas, y resolver problemas que involucren sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Lección 32: Función logarítmica.

4 horas.

Páginas finales





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41 2 3

Sección 3: Sistemas de ecuaciones linealesOF CMO Indicadores Lecciones Evaluaciones

Modelar situaciones o fenómenos cuyos modelos resultantes sean sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Reconocimiento de sistemas de ecuaciones lineales como modelos que surgen de diversas situaciones o fenómenos.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, gráfica y algebraicamente.

Lección 33: Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

2 horas.


2 horas.


2 horas.

Lección 34: Sistemas de ecuaciones lineales y gráficos.

4 horas.Resolución de problemas asociados a sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, en contextos variados; representación en el plano cartesiano usando un software gráfico y discusión de la existencia y pertinencia de las soluciones.

Lección 35: Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

4 horas.

Lección 36: Existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

4 horas.

Lección 37: Resolución de problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales.

6 horas.

Páginas finales




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Evaluación de la unidad. 254 – 257 2 horas



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41 2 3

Sección 1Fracciones algebraicas

De esto se trata

Una de las primeras dificultades conceptuales de los estudiantes al comenzar a trabajar con números racionales es la tendencia a pensar que una fracción no representa, propiamente, un número racional, sino que debe expresarse en forma decimal. Así, si se les pregunta por el número “tres cuartos” es menos común que lo identifiquen como tal; en cambio sí identificarán 0,75.

La manipulación y análisis de fracciones permite esta-blecer restricciones y estudiar el comportamiento de sus valores cuando se modifican su numerador o denomina-dor. El problema planteado en el inicio de esta sección se puede plantear con otras cantidades —como se pide hacer a los estudiantes—, lo que requiere estudiar con detención cuáles son las condiciones que hacen que el problema “funcione”.

Plantee el problema a los estudiantes como motivación, y pídales si es necesario verificar la solución utilizando ma-terial concreto —y con este buscar también otras posibles fracciones o cantidades de camellos que permitan obtener un problema similar—. Por lo sorprendente del resultado, puede resultar una interesante motivación para ellos.

¿Qué debes saber?

Identificar y operar expresiones algebraicas

Para este indicador, realice con los estudiantes los ejer-cicios y pídales que expliciten en cada caso la forma de llegar a la respuesta. Para las dos primeras preguntas, dé la importancia necesaria al uso correcto de los términos invo-lucrados, ya que en la unidad será necesario formalizar pro-cesos que requieren un adecuado vocabulario matemático.

Calcular productos notables y factorizaciones

Permita que los estudiantes realicen los ejercicios y luego comparen la forma que utilizó cada uno para desarrollarlos. Es posible que algunos estudiantes, por desconocimiento o por inseguridad, calculen los productos término a término.

La factorización suele ser un contenido complejo para los estudiantes, por lo que conviene repasar el concepto mismo —es decir, aclarar qué es lo que se quiere obtener: las expresiones que fueron multiplicadas para obtener el resultado dado— como también los productos notables que permiten identificar cada caso.

Realizar operaciones y ordenar fracciones

Para este indicador, verifique que los estudiantes manejen con soltura la operatoria de fracciones, no solo logrando llegar a los resultados pedidos sino también empleando los métodos más eficientes en cada caso. Es posible que algunos estudiantes no simplifiquen las fracciones o no determinen el mcm de los denominadores; si bien los ejercicios propuestos no llevan a números tan grandes, es fundamental que aproveche esta oportunidad para enfatizar que, si bien los resultados obteni-dos pueden ser correctos, en la medida que las expresiones se complejicen será necesario simplificar las tareas.

22 Fracción algebraica

Págs. 164 a 165

PropósitoDefinir una fracción algebraica y sus restricciones.

Palabras claveFracción, expresión algebraica, denominador, letras, frac-ción algebraica

Prerrequisitos § Concepto de fracción. § Concepto de término y expresión algebraica.

Activación de ideas previasPara activar los conocimientos previos de los estudiantes, pregúnteles por definiciones algebraicas realizadas en cur-sos anteriores, por ejemplo:

• término algebraico.

• expresión algebraica.

• monomio.

• polinomio.

• grado.

• coeficiente.

Pida a los estudiantes que definan cada uno de ellos y ex-pliciten las diferencias y similitudes. Es importante que, al



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iniciar esta lección, los estudiantes sean capaces de com-prender que en ocasiones las definiciones en matemática no son taxativas sino que sirven para organizar el estudio. Por ello, por ejemplo, es posible decir que un monomio es un polinomio de un término, aunque generalmente utilizamos nombres distintos en cada caso.

Orientaciones didácticasPlantee a los estudiantes el trabajo propuesto en el taller para que ellos mismos vayan estableciendo sus propias conclusiones, aunque para finalizar se hace necesaria una puesta en común que les aclare los conceptos involucrados.

En rigor, una expresión algebraica como 16+x3

tiene un nume-

rador y un denominador, por lo que se la podría considerar en propiedad una fracción algebraica. Sin embargo, nos centramos en el estudio de las expresiones que contienen expresiones lite-rales en el denominador pues estas presentan particularidades no analizadas hasta ahora, como las restricciones.

En ocasiones, los estudiantes confunden las situaciones en las que el numerador o el denominador de la fracción algebraica se anula. Para corregir estos errores, pida a los estudiantes que cada vez que los cometan apelen a las primeras definiciones de fracciones que conocen:

El denominador de una fracción no puede ser igual a 0, pues no es posible dividir por 0.

Si el numerador de una fracción es igual a 0 y su denominador es distinto de 0, el valor de la fracción es 0. Así, por ejemplo, puede ejemplificar con “cero cuartos”, “cero quintos”, etc.

Una fracción cuyo numerador es distinto de cero, no puede ser igual a cero.

Es importante también que explicite el caso 00

: así como la

fracción a0

, con a ≠ 0 no está definida, la fracción 00

podría

ser cualquier número real, ya que si = → = → =00

x 0 0x 0 0, lo

cual siempre es cierto. Sin embargo, exigimos que cada frac-ción represente un único número real, por lo que tampoco se permite este caso.

Errores frecuentes


a) Pida a los estudiantes que den 4 ejemplos de fraccio-nes algebraicas y 4 ejemplos de expresiones literales que no sean fracciones algebraicas en el sentido defi-nido en esta lección.

b) Invite a los estudiantes a determinar las restricciones de las siguientes expresiones algebraicas.

16+4x4x –16

16+4x2x+5 3x – 7( )( )

16+4x3x – 27

Respuesta:

En cada caso, verifique que los estudiantes planteen primero las condiciones para las que cada fracción se indefine, y luego las características propias de cada condición. En el primer caso basta con resolver una ecuación de primer grado. En el segundo, deben ob-servar que cada uno de los factores debe ser cero, por lo que hay dos soluciones. Para la tercera fracción, es preciso que la cantidad subradical no sea cero y tam-poco negativa, lo que puede no ser observado en prin-cipio por los estudiantes.

c) El IMC (índice de masa corporal) de una persona se

calcula mediante la fórmula IMCmh2= , donde m es la

masa y h la estatura. ¿Cuál es el IMC de una persona de 72 kg y 1,65 m de estatura?,

R: 26,45, aproximadamente.

23 Fracciones algebraicas y fórmulas

Págs. 166 a 169

PropósitoAnalizar una fracción algebraica.

Palabras claveFracción algebraica, variable, valor, fórmulas

Prerrequisitos § Distinguir fracciones algebraicas. § Evaluación de expresiones algebraicas.

Activación de ideas previasPara activar las ideas previas de sus estudiantes, pregún-teles qué fórmulas conocen en diferentes ámbitos (puede pedirles que se refieran a contenidos que estén abordando actualmente en física, por ejemplo). Escríbalas en el piza-rrón y distinga aquellas que tienen fracciones algebraicas y cuáles no. En estas últimas, muéstreles que escritas de otra forma (despejando otra variable) en algunos casos es posible obtener fórmulas con fracciones algebraicas. Por ejemplo muestre la fórmula del volumen de un cilindro o cono y pida que encuentren una expresión para la altura.


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Orientaciones didácticasEn esta lección se trabaja con aplicaciones de fracciones al-gebraicas, es decir, con fórmulas que provienen de diversos contextos. Por ello es fundamental recordar a los estudiantes que siempre deben verificar si la solución encontrada es coherente con la situación problemática involucrada.

Recuerde a sus estudiantes la regla de los signos para la división, pues será necesaria para determinar la naturaleza positiva o negativa de una fracción algebraica.

SI los estudiantes presentaran dificultades en este con-tenido, puede pedirles que comiencen comparando los siguientes grupos de fracciones. En cada caso, pídales que calculen su valor:

d) 110

,2

10,

310

,4

10,

510

e) 23

,24

,25

,26

,27

Luego, pídales establecer conclusiones respecto del com-portamiento de una fracción según las variaciones del nu-merador y el denominador.


a) Pida a los estudiantes que investiguen respecto de alguna otra fórmula que utilice fracciones algebraicas (que no hayan visto en clases), y expongan al curso de qué se trata, cuáles son las variables involucradas y pre-senten algunos ejemplos.

b) Resolver los siguientes problemas:

• La altura de un cilindro, de radio r y volumen V está

dada por la siguiente formula: π

h =Vr2 . Determi-

na la altura h de un cilindro de volumen 54 cm³ y radio 3 cm.

R: 6π

• La altura de un cono recto, de radio r y volumen V

está dada por siguiente fórmula: π

h =3V

r2 . Determina

la altura h de un cono recto de volumen 100 cm³ y radio 5 cm.

R: 12π

24 Mcd y mcm de expresiones algebraicas

Págs. 170 a 173

PropósitoCalcular mcm y mcd de expresiones algebraicas.

Palabras claveMúltiplo, divisor, factores, potencia, base, exponente

Prerrequisitos § Factorización prima. § Cálculo de mínimo común múltiplo. § Cálculo de máximo común divisor.

Activación de ideas previasPara activar las ideas previas de los estudiantes, puede re-pasar con ellos las técnicas que hayan empleado para de-terminar la factorización prima de un número, y a partir de ello la forma en que pueden calcularse todos sus divisores. Es importante que los estudiantes recuerden los métodos de cálculo del mcm y el mcd entre números naturales, pues permanentemente se hará analogía con ellos.

Orientaciones didácticasEn la lección se plantea el cálculo del mcm y el mcd de ex-presiones algebraicas utilizando analogías con los métodos empleados para números naturales. Plantee permanente-mente esta relación a los estudiantes, para poder realizar adecuadamente el tránsito desde lo numérico a lo algebraico.

Para los estudiantes puede resultar confuso distinguir en qué casos cabe hablar de una “expresión prima” en álgebra. Dado que no corresponde a un contenido del curso, no es posible plantearles el análisis de trinomios de segundo grado para determinar si pueden factorizarse o no en binomios con coeficientes reales. Por lo mismo, verifique siempre que si hay trinomios de segundo grado involucrados, estos siempre sean factorizables, o declárelo en el caso de que no lo sean.

Es posible que los estudiantes no factoricen completamente las expresiones, ya que en ocasiones es necesario aplicar más de un método de factorización. Explicite permanentemen-te este error y solicíteles realizar los ejercicios tantas veces como sea necesario para garantizar la correcta aplicación de los procedimientos.

Errores frecuentes


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Actividades complementariasPara las siguientes actividades, verifique que los estudian-tes analicen el enunciado de cada caso y, a partir de ello, determinen lo que deben realizar, evitando que se use el ensayo y error.

Resuelve los siguientes problemas:

a) Tres cables que miden 30ac, 50bc y 70 ab metros se di-viden en el menor número de trozos de igual longitud. ¿Cuál es la longitud de cada trozo?

R: 10

b) Un maestro debe colocar cerámicas cuadradas en un piso cuyas dimensiones son 15x2y3cm y 25x2y3cm. ¿Cuántas cerámicas enteras se ocuparán si deben ser del mayor tamaño posible?

R: 5a²y³

c) Un ganadero tiene entre 6000p2q3 y 8000p2q3 anima-les. Se pueden agrupar de 15pq en 15pq, de 18pq3 en 18pq3 y de 24p2q en 24p2q sin que sobre ninguno, ¿cuántos animales tiene el ganadero?

R: 360p2q3

25 Amplificación y simplificación de fracciones algebraicas

Págs. 174 a 177

PropósitoAmplificar y simplificar fracciones algebraicas.

Palabras claveAmplificar, simplificar, multiplicar, dividir, fracciones equi-valentes, fracciones irreductibles

Prerrequisitos § Amplificación y simplificación de fracciones numéricas. § Cálculo de mcm y mcd de expresiones algebraicas.

Activación de ideas previasLa actividad propuesta en el inicio de la lección está espe-cialmente diseñada para la activación de los conocimientos previos de los estudiantes, por lo que conviene que la realice con ellos, analizando detalladamente cada paso. Puede enfatizar en el hecho de que, en general, no se determina

el mcd de los términos de la fracción antes de simplificarla, sino que se la va simplificando sucesivamente por distintos factores hasta obtener la fracción irreductible.

Orientaciones didácticasMuestre a los estudiantes que se puede verificar si la am-plificación o simplificación es correcta si se revisa que los productos cruzados entre la fracción algebraica original y la amplificada o simplificada son equivalentes.

El análisis de las restricciones es fundamental en la simpli-ficación de fracciones algebraicas, para no dividir por cero. De la misma manera, cada vez que se amplifica por una expresión es necesario declarar que esta debe ser distinta de cero. Es posible que para los estudiantes esto no resulte relevante en principio, pero será de gran importancia en la resolución de problemas y ecuaciones, por lo que deben adquirir esta costumbre desde el principio.

Dedique el tiempo que sea necesario al análisis del tercer caso de simplificación, que involucra los signos de las expre-siones algebraicas. Antes de analizar el ejemplo planteado, puede proponer a los estudiantes los siguientes ejemplos de fracciones equivalentes:

–ab

–ab

a–b

–a–b

= = =−

En general, es posible suprimir o añadir signos negativos en cantidad par, sin que se altere con ello el valor de la fracción.

Los estudiantes suelen simplificar fracciones algebraicas de ma-nera errónea al eliminar términos iguales que se encuentren en el numerador y el denominador sin fijarse que estos términos están separados por adiciones o sustracciones y no están expresados como productos. Para evidenciar lo erróneo de estos procedimien-tos, puede mostrar los siguientes ejemplos numéricos:

• = =32

1+22

2 • = =7

125+27+5

27

Errores frecuentes


a) Analiza las igualdades y determina la expresión por la que se amplificó la expresión de la izquierda para obtener la de la derecha.

• 2xy4x

x y2x y

2

5

2 3

6= R: 12

xy

• q 1p

pq q p qp p q2

2

3 2

+=

− + −−

R: p – q


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• 4(x y)4x 4y

(x y)

2 2

− =−+

R: x + y

b) Para reforzar la necesidad de establecer las restriccio-nes al amplificar o simplificar una fracción algebraica, plantee a los estudiantes las siguientes expresiones:

x –1x –1

2

x+1

• Solicite evaluarlas para distintos valores de x. ¿Puede decirse que las expresiones son equivalentes?

• Pídales que factoricen la primera expresión y com-paren. ¿Son equivalentes?

Es importante que los estudiantes observen que la primera expresión tiene una restricción mientras que la segunda no, por lo que en rigor no son equivalentes.

26 Multiplicación y división de fracciones algebraicas

Págs. 178 a 181

PropósitoMultiplicar y dividir fracciones algebraicas.

Palabras claveFracciones algebraicas, multiplicar, dividir, factorizar, simplificar

Prerrequisitos § Multiplicación y división de fracciones numéricas. § Factorización de expresiones algebraicas. § Simplificación de fracciones algebraicas.

Activación de ideas previasLos estudiantes suelen mecanizar el procedimiento para multiplicar y dividir fracciones, aunque la mayoría de las veces lo hacen sin comprenderlo completamente. En el inicio de la lección, se presenta el cálculo del área de un rectángulo cuyos lados tienen medidas fraccionarias para justificar la multiplicación; puede comenzar planteando esta discusión y buscar que ellos justifiquen por qué, al dividir por una fracción, se la invierte.

Orientaciones didácticasUna vez que haya trabajado la aplicación de la multiplica-ción en el cálculo del área de una parte del rectángulo, se

sugiere trabajar la multiplicación de fracciones algebraicas con monomios y luego el caso propuesto en el texto con binomios y trinomios.

Por ejemplo = =7w y10ab

•20a

21w7w y10ab

•20a

21w2y3b

3

3

3

3

Enfatice la simplificación previa a la multiplicación ya que facilita el cálculo.

Los mismo se sugiere para el caso de la división.

Por ejemplo = =5f

4b:

f8b

5f4b

•8b

f10b2 3 2

3

Establezca permanentemente la relación entre la multi-plicación y división de fracciones algebraicas y numéricas, presentando ambos casos paralelamente para mayor cla-ridad de los estudiantes.

Tal como se planteó en la simplificación de fracciones, es imprescindible declarar las restricciones que estas presenten ya que en la operatoria suelen “perderse”. En el caso de la división, enfatice —como se plantea en el texto— que tanto el numerador como el denominador de la fracción divisor deben ser distintos de cero: en el desarrollo del ejemplo se simplifica por a – 1 y, por ello, no se observa esta restricción en el resultado final, pese a que es una condición para que efectivamente la operación pueda realizarse.

Mencione que siempre es mejor entregar como resultado una fracción algebraica simplificada hasta obtener su frac-ción irreductible equivalente, pues esta es su forma más simple y además, eventualmente, les será más fácil si es que nuevamente hay que operar con ellas.

Los estudiantes suelen factorizar de forma incorrecta, por lo cual las simplificaciones y posteriores operaciones resultan erróneas. Para evitar esto, repase nuevamente cada uno de los métodos de factorización, especialmente el de trinomio con factor común, cuadrado de binomio y suma por diferencia.

Como se mencionó, algunos errores provienen de no haber establecido claramente las restricciones de las fracciones an-tes de operar. Solicite a los estudiantes que analicen siempre y declaren por escrito las restricciones, y que contrasten los resultados obtenidos con ellas.

Errores frecuentes

Actividades complementariasTrabaje los siguientes problemas que permiten aplicar las operaciones de multiplicación y división de fracciones algebraicas.


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a) Si los lados de un rectángulo miden h 22h 6++

cm y 2

h 42− cm, ¿cuál es su área?

R: 1h h- 62+

cm²

b) Si la altura y la base de un triángulo son 2x 4x 1−−

cm

y x 1x 2

2−−

cm respectivamente, ¿cuál es su área?

R: (x + 1) cm²

c) ¿Qué fracción algebraica al ser dividida por x 2x 2−+

resulta x 42( )− ?

R: x 6x 8x 2

2− ++

27 Adición y sustracción de fracciones algebraicas

Págs. 182 a 185

PropósitoSumar y restar fracciones algebraicas.

Palabras claveFracciones algebraicas, sumar, restar, mínimo común múl-tiplo, simplificar, amplificar

Prerrequisitos § Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas. § Amplificación de fracciones algebraicas. § Simplificación de fracciones algebraicas. § Adición y sustracción de fracciones numéricas.

Activación de ideas previasPresente a los estudiantes ejemplos numéricos de adición y sustracción de fracciones de distinto denominador, en los que deban aplicar el método de igualación de denominadores. Puede ser conveniente además analizar algunos procedi-mientos erróneos y justificar por qué lo son, por ejemplo:

•ab

+cd

a+cb+d

= •ab

+cd

ab+cdbd

=

En los casos anteriores, puede reemplazar a, b, c y d por valores numéricos.

En la lección se plantean las expresiones mixtas, es decir, adiciones o sustracciones de expresiones algebraicas no fraccionarias con otras que sí lo son. Recuerde a los estu-diantes la interpretación de un número mixto, y la expresión de un número mixto como fracción impropia y viceversa.

Orientaciones didácticas Antes de trabajar los casos propuestos en el texto para frac-ciones algebraicas con binomios y trinomios, se sugiere comenzar con monomios.

Por ejemplo, + =5

6wmm

2wm2

mcm = 6wm²

Igualamos denominadores y luego sumamos,

+= =

5m 3m6wm

8m6mw

43wm2 2

Es posible que los estudiantes quieran utilizar el méto-do de multiplicar cruzado para sumar o restar fracciones algebraicas, pues es una forma más mecánica y menos engorrosa que el método del mínimo común múltiplo. Muestre que este método, si bien, es fácil tiene la desven-taja de que puede entregar fracciones con numeradores y denominadores muy amplificados, por lo cual la respuesta final siempre debería ser simplificada, lo cual en ocasiones resulta más complicado pues las expresiones a factorizar no son tan sencillas.

En la sustracción de fracciones algebraicas, explicite que la línea de fracción actúa como signo de agrupación (pa-réntesis), por lo que deben cambiarse todos los signos del numerador cuando se resta. Este es un error muy frecuente, por lo que es imprescindible que lo recalque cada vez que se resuelvan ejercicios de este tipo.

Para sumar o restar fracciones, en ocasiones los estudiantes su-man o restan numeradores con numeradores y denominadores con denominadores. Como este error está arraigado desde la suma y resta de fracciones numéricas, ahora este error se podría presentar con mayor frecuencia. Para evitarlo, revise constante-mente los procedimientos realizados por los estudiantes.

Como se mencionó anteriormente, los estudiantes suelen cometer errores con los signos negativos cuando preceden a una fracción algebraica. Es esperable que una ejercitación constante y posterior revisión de los resultados permita sub-sanar estas equivocaciones..

Errores frecuentes


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41 2 3

Actividades complementariasPlantee las siguientes situaciones a sus estudiantes.

a) Al restar dos fracciones algebraicas se obtiene

a 2a 1a 1

2

2

− −−

. Si el minuendo es a 1a 1−+

, ¿cuál es el sustraendo?

R: 3 2n p4np

2 3

5

−

b) La suma de dos expresiones algebraicas es a 2a

3

2

+ . Si

uno de los sumandos es 2a2

, ¿cuál es el otro?

R: 1 aa

2+

28 Resolución de problemas que involucran ecuaciones fraccionarias

Págs. 186 a 191

PropósitoResolver problemas que involucran ecuaciones algebraicas.

Palabras claveEcuación fraccionaria, expresión, fracción algebraica, igual-dad, soluciones

Prerrequisitos § Resolución de ecuaciones de primer y segundo grado. § Cálculo de mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas.

§ Factorización de expresiones algebraicas. § Amplificación y simplificación de fracciones algebraicas. § Adición y sustracción de fracciones algebraicas.

Activación de ideas previasSi ha trabajado con los estudiantes en cursos anteriores, o para contenidos anteriores, pasos determinados para la re-solución de problemas, recuérdelos al inicio de esta lección, con el fin de enfatizar que existen mecanismos que nos permiten verificar la corrección de los métodos empleados, más allá de la obtención de la respuesta. Puede preguntar a los propios estudiantes qué pasos siguen ellos en cada caso, y discutir respecto de la conveniencia de aplicar pro-cedimientos sistemáticos en la resolución de problemas.

Orientaciones didácticasEn la lección se presenta un método paso a paso para la resolución de problemas que involucran fracciones alge-braicas. Es importante que los estudiantes sistematicen sus procedimientos como una forma de trabajar ordenadamente y que les garantice la obtención de una solución correcta y pertinente. Sin embargo, es conveniente que no imponga un único método de resolución. Permita que los estudiantes utilicen distintos procedimientos para resolver una ecuación fraccionaria y problemas asociados a ella, pues de esta forma los estudiantes podrán aplicar y desarrollar sus conocimientos adquiridos y también podrán descubrir nuevas relaciones y formas de resolver según las características particulares de cada ecuación. Al finalizar, sintetice los pasos y converse con ellos respecto a la validez de los métodos empleados.

Es fundamental que enfatice que un problema puede estar bien planteado y, aun así, presentar soluciones que no son pertinentes. Plantee a los estudiantes que una ecuación se resuelve matemáticamente con independencia de la situa-ción que esté modelando, y a partir de ello puede analizarse si tiene solución o no. Esto es distinto a que el problema tenga solución o no, lo que puede estar determinado por las condiciones específicas de este.

Es posible que los estudiantes tengan dificultades para traducir un enunciado verbal a una ecuación fraccionaria, problema que puede ser arrastrado desde años anteriores o remitirse específicamente a enunciados que involucran fracciones. Para ayudarlos puede recordar con ellos algunos términos como aumento, disminución, sucesor, inverso, opuesto, producto, cociente, etc. Además, puede pedirles que lean en voz alta algunos enunciados y en conjunto con el curso descubrir la ecuación correspondiente. Con esta ayuda les puede resultar más fácil plantear este tipo de ecuaciones.

Errores frecuentes


a) Discuta con los estudiantes la segunda pregunta planteada en la sección Razona y comenta: ¿Por qué es importante restringir la solución en una ecuación fraccionaria? ¿Por qué no se realiza lo mismo en las ecuaciones lineales de primer grado? ¿Cuál es la diferencia? Puede resultar interesante para los estudiantes verificar que una ecuación de primer grado no tendrá restricciones, aunque sí puede ocurrir que la solución obtenida no sea pertinente. Al incluir las ecuaciones fraccionarias —y posteriormente las de segundo grado— el análisis deberá realizarse tanto a partir de las restricciones como de la pertinencia.


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b) Para profundizar puede plantear los siguientes problemas con incógnita.

• Una llave llena un estanque en 2 horas y otra lo hace en 5 horas. ¿Cuántos minutos demoran estas dos llaves juntas en llenar el estanque?

R: 1 hora 26 minutos aproximadamente.

• El denominador de una fracción es mayor en 4 unida-des que su numerador. Si el numerador de la fracción se multiplica por 2 y el denominador se aumenta en una unidad, resulta el neutro multiplicativo en los nú-meros enteros. ¿Cuál es la fracción?

R: 59

• Si el doble de un número aumentado en 3 unidades se divide por el mismo número aumentado en 2 uni-dades, resulta el cociente entre el doble del número y su antecesor. ¿Cuál es la mitad del número original?

R: 12

−


Página 192


Para el problema propuesto en esta sección, se recomienda que el docente enfatice a los estudiantes que deben buscar una expresión equivalente a la dada, pero más sencilla, pues con una fracción algebraica más simple se facilita la búsqueda de condiciones para que esta expresión sea positiva. La forma propuesta por el libro consiste en desarrollar las sustracciones de fracciones algebraicas presentes en el numerador y en el denominador de la fracción dada. Con ello se obtienen

expresiones idénticas que pueden ser simplificadas, redu-ciendo notablemente la complejidad de la fracción original. A continuación es posible determinar la condición para que la expresión b/a sea un número positivo. El cociente será positi-vo si tanto numerador como denominador tienen igual signo.

Tal como se propone en el texto, es importante que los estudiantes verifiquen la conclusión obtenida asignando diversos valores que cumplan la condición encontrada, así como también valores que hagan que la expresión alge-braica sea negativa.

Para complementar la actividad del texto, proponga a los estudiantes nuevas expresiones algebraicas y que determi-nen condiciones para que, por ejemplo, la expresión sea un número negativo. Recuérdeles verificar sus conclusiones asignando valores a las letras involucradas.


Página 193


En la primera situación presentada en esta página, el signo ne-gativo previo a una expresión algebraica altera todos los signos de ella. Los estudiantes suelen cambiar solo el primero y mante-ner los demás, obteniendo con esto resultados finales erróneos. Para evitar este tipo de errores, recomiende a sus estudiantes utilizar paréntesis, pues de esta forma les será más fácil visualizar y posteriormente hacer el cambio de signos correctamente.

En la segunda situación se requiere cambiar el signo de una expresión para poder simplificar, pero es posible que los es-tudiantes no noten que una expresión al cuadrado equivale al producto de dos expresiones, por lo que hay dos signos involucrados en ella. Para evitar este tipo de dificultades sugiérales descomponer el cuadrado como un producto para que sea más fácil visualizar dichas expresiones y los signos correspondientes.


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41 2 3

Actividades complementariasAnaliza la siguiente resolución e identifica el o los errores que se cometen. Luego, escribe la solución correcta.

2ax 1

a 1ax 1

1a x 1

/ (ax 1)(ax 1)

2(ax 1) (a 1)(ax 1) 1

2ax 2 a x a ax 1 1

3ax a x a 1 1 / 1 a

3ax a x a

x(3a a ) a / : (3a a )

xa

(3a a

x 3 a

2 2

2

2

2

2 2

2)

−−++=

−− +

+ − + − =

+ − − + − =

− − + = − +

− =

− = −

=−

= −

Respuesta:

En el segundo paso se omite el paréntesis que agrupa a los términos de la expresión (a²x – a + ax – 1). Además en el último paso se comete el error de dejar como numerador la expresión 3 – a, siendo denominador de la fracción con numerador 1.

El cálculo correcto es: 2ax 1

a 1ax 1

1a x 1

2(ax 1) (a 1)(ax 1) 1

2ax 2 (a x a ax 1) 1

2ax 2 a x a ax 1 1

ax a x a 2

x(a a ) 2 a

x2 a

a(1 a)

2 2

2

2

2

2

−−++=

−+ − + − =

+ − − + − =

+ − + − + =

− + =−

− =− −

=− −−


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Págs. 194 y 195


Definir una fracción algebraica y sus restricciones.

1 y 2 Si los estudiantes presentan problemas para determinar las restricciones de una fracción algebraica, establezca junto e ellos los pasos necesarios para determinarlo, asegurándose que comprenden este concepto. Puede plantearles para ello las siguientes preguntas:

• ¿Qué NO puede ocurrir nunca en una fracción?

• En esta fracción, ¿cómo se puede determinar cuando el denominador es igual a cero?

Respecto de la segunda pregunta de este indicador, puede remplazar las letras por valores numéricos y pedir a los estudiantes que resuelvan. Cuando lo hayan hecho, pueden volver a las expresiones algebraicas y responder nuevamente, siguiendo el ejemplo de su respuesta anterior.

Analizar una fracción algebraica. 3, 4 y 5 Las principales dificultades de los estudiantes pueden deberse a que no han acabado de comprender el papel que cumplen los términos de una fracción algebraica. Para ello, puede repasar las actividades planteadas en la lección correspondiente utilizando los ejemplos numéricos planteados, a fin de que observen el comportamiento de una fracción numérica cuando cambian sus términos, o en qué casos es positiva o negativa.Para el cálculo del valor numérico de las fracciones planteadas, los errores pueden deberse a un manejo poco cuidadoso de las expresiones y a no respetar las prioridades de las operaciones, lo que puede solucionarse con una permanente ejercitación.

Calcular mcd y mcm de expresiones algebraicas.

6 y 7 Para evitar que los estudiantes confundan los procedimientos para calcular el mcm y mcd de las expresiones dadas, plantee la relación con los métodos utilizados en números naturales, para ayudar a su comprensión.En la resolución de problemas, los estudiantes pueden confundir cuál de los dos cálculos deben hacer para encontrar la solución al problema planteado. Puede pedirles que remplacen las letras por valores numéricos e intenten resolver el problema, para así deducir cuál es el cálculo adecuado.

Amplificar y simplificar fracciones algebraicas.

8, 9, 10 y 11 Las dificultades respecto de estos indicadores son comunes, y pueden deberse tanto a un desorden o descuido en la operatoria como a una incorrecta comprensión de los conceptos involucrados.Para lo primero, revise los procedimientos que hayan seguido los estudiantes para detectar así sus errores específicos; si es necesario solicíteles que expliquen cada uno de los pasos. Para lo segundo, pídales que vuelvan a los ejemplos propuestos en las lecciones correspondientes y los reproduzcan en su cuaderno, para propiciar la comprensión de cada paso.

Multiplicar y dividir fracciones algebraicas.

12, 13 y 14

Sumar y restar fracciones algebraicas. 15, 16 y 17

Resolver problemas que involucran ecuaciones fraccionarias.

18 y 19 Es posible que los estudiantes tengan inconvenientes al plantear la ecuación correspondiente a los problemas dados. Evite estas posibles dificultades haciendo un listado de enunciados verbales y sus correspondientes representaciones algebraicas. Recuérdeles además que deben verificar las respuestas obtenidas según el contexto del problema dado.


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Sección 2Función exponencial, logarítmica y raíz

De esto se trata

En ocasiones, el desarrollo de la matemática se ha visto impulsado por formas novedosas de enfrentar los proble-mas, de maneras que hasta el momento no habían sido exploradas.

Para los estudiantes ha sido natural, desde cursos an-teriores, relacionar funciones con su gráfica. Lo han hecho con la función afín, identificándola con una línea recta y analizando sus variaciones según cambien los parámetros involucrados en ella. Sin embargo, esta forma de trabajar es reciente históricamente hablando, y se debe al aporte de René Descartes.

Los griegos habían estudiado algunas curvas en la anti-güedad, y lograron determinar muchas de sus características esenciales. Sin embargo, no fue sino hasta Descartes que se comenzó a asociar una curva a una ecuación, que descri-biera la relación entre el incremento horizontal (variable x) y el vertical (variable y). La fusión de dos miradas (analítica y geométrica) significó el avance que hoy nos permite mo-delar situaciones diversas y predecir comportamientos de fenómenos de manera mucho más intuitiva y clara.

¿Qué debes saber?

Caracterizar funciones y calcular valores con ellas

Para este indicador, conviene que repase con los estu-diantes el concepto de función explicitando los nombres de los elementos involucrados (dominio, recorrido, imagen, etc.). Puede apoyarse en ejemplos y preguntas sencillas para reforzar, por ejemplo:

A cada alumno del curso se le asigna un número entre 1 y 36 (o el número de estudiantes del curso). ¿Es una fun-ción? ¿Cuál es su dominio y su recorrido? ¿Cuál es la imagen de Martínez (u otro estudiante)?

Se consideran los números del 0 al 120, y se asigna a cada uno los habitantes de una ciudad, según si tienen esa edad en años. ¿Es una función? ¿Por qué?

Analizar y graficar funciones

Para este indicador, verifique que los estudiantes distin-guen las funciones lineal y afín. Supervise además que, para una función dada, son capaces de identificar su variable independiente, dependiente y sus parámetros. Además, deben ser capaces de construir adecuadamente una tabla de valores y representarlos en un gráfico.

Es conveniente que realice con ellos alguno de los ejer-cicios y, observando el proceso de construcción de un grá-fico, analicen una función a partir del gráfico, “deshaciendo” mentalmente el trabajo realizado. Dedique el tiempo que estime necesario para garantizar un correcto manejo de estos procedimientos por parte de los estudiantes, ya que serán fundamentales en esta sección.

29 Funciones, tablas y gráficos

Págs. 198 a 201

PropósitoAnalizar gráficas de funciones y sus variaciones.

Palabras claveRelación, función, dominio, recorrido, tabla de valores, grá-ficos, evaluación, traslación vertical, traslación horizontal, ejes coordenados

Prerrequisitos § Concepto de función. § Evaluación de expresiones algebraicas. § Dominio y recorrido de una función.

Activación de ideas previasPara activar las ideas previas de los estudiantes puede recor-darles el concepto de función, con los ejemplos utilizados en la sección Qué debes saber. A continuación, presénteles una función afín y construya su tabla de valores, su gráfica e identifique sus parámetros, recordando la función que cumple cada uno. Procure hacer preguntas a los estudiantes, para que sean ellos mismos quienes aporten las respuestas y recuerden este contenido.

Orientaciones didácticasRecalque a los estudiantes que deben ser cuidadosos y ordenados al confeccionar una tabla de valores, pues suelen


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cometer errores al evaluar funciones especialmente cuando hay involucrados signos negativos.

Los estudiantes deben saber que para graficar rectas solo se requieren dos puntos, por lo que les puede parecer in-necesario realizar una tabla de valores. Mencione que es preciso hacerlo, ya que en esta sección se deberá analizar el comportamiento de otras funciones, de las que aun no se conocen sus características.

Por otro lado, enfatice que las transformaciones al gráfico de una función f(x) (traslaciones verticales y horizontales) son válidas para cualquier función.

Una dificultad frecuente para los estudiantes es que la traslación vertical sigue un comportamiento esperable (si se suma un valor positivo, se desplaza hacia los positivos), mientras que para la traslación horizontal opera de manera inversa, es decir, si se suma un valor positivo la traslación se da hacia los negativos. Para que comprendan mejor este punto, puede plantear el siguiente ejemplo:

Considere la función f(x), y supongamos que

f(a) = b.

Si tomamos ahora la función f(x + p), con p > 0, el valor de x para el cual f(x + p) = b es a – p, pues:

f((a – p) + p) = f(a + p – p) = f(a) = b

a – p es un valor menor que a, es decir, la función toma el valor b “antes”. Si es necesario, puede utilizar este ejem-plo asignando valores numéricos a a, b y p, por ejemplo a = 1, b = 2 , p = 3.

Es posible que los estudiantes cometan errores en las tablas de valores, ya que no respetan las prioridades de las opera-ciones. Para evitar este inconveniente, corrija en el momento estas equivocaciones, y enfatice en la necesidad de un trabajo ordenado y metódico.

En ocasiones, los estudiantes confunden el eje respecto del cual se realiza la reflexión; al comparar las funciones f(x) y f(–x), puede ser que al ver el signo negativo junto a la x asuman que la reflexión correspondiente es respecto del eje X. Para evitarlo, procure que hagan el razonamiento análogo al que se explicó para las traslaciones, es decir, si para f(x), f(a) = b, entonces para f(–x), f(–a) = b pues:

f(–(–a)) = f(a) = b

–a es el valor simétrico de a respecto del eje Y, por lo que la reflexión de la gráfica es respecto del eje Y.

Errores frecuentes

Es posible que los estudiantes cometan errores en las tabl

30 Función raíz cuadrada

Págs. 202 a 203

PropósitoAnalizar la gráfica de la función raíz cuadrada.

Palabras claveRaíz cuadrada, cantidad subradical, gráfica, números reales, dominio, recorrido, contracción, dilatación

Prerrequisitos § Concepto y cálculo de raíz cuadrada. § Dominio y recorrido de una función. § Resolución de ecuaciones radicales.

Activación de ideas previasPara activar los conocimientos previos de los estudiantes, plantéeles las siguientes actividades:

• Calcular el valor de las siguientes raíces cuadradas:

16 125 4a b2 6 36a b8

• Dadas las siguientes expresiones, ¿qué condiciones debe cumplir x para que correspondan a un número real?

x x – 2 x+5 7x – 3

Orientaciones didácticasEl marco curricular establece en forma explícita el uso de software para el análisis de funciones, por lo que conviene que, en la medida de lo posible, se privilegie el uso de esta herramienta tecnológica y se permita a los estudiantes fami-liarizarse con el programa escogido, destinando un tiempo prudente a verificar que lo utilizan adecuadamente.

Considerando la función f (x) a x – b= , es importante que los estudiantes comprendan que, contrario a lo que podría decir su intuición, un valor absoluto de a entre 0 y 1 produce una dilatación (se abre con respecto al eje Y), en cambio un valor absoluto de a mayor que 1 produce una contracción (se cierra con respecto al eje Y) de la función f (x) x – b= . Además, tal como aprendieron en la lección anterior, para un valor de b mayor que 0 la función f (x) a x – b= corres-ponde a una traslación horizontal hacia los positivos de f (x) a x= , y lo contrario ocurre si el valor de b es negativo.


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Cuando a los estudiantes se les pide determinar el punto de intersección con los ejes les cuesta deducir qué deben hacer para determinarlo. Muéstreles gráficamente por qué para en-contrar la intersección con el eje X igualamos la función a 0, y por qué para encontrar la intersección con el eje Y reemplaza-mos x por 0; al observar el sistema cartesiano es inmediato que el eje X corresponde a los puntos para los cuales la ordenada es igual a 0, mientras que el eje Y se compone de aquellos que tienen abscisa nula. Enfatice además que la respuesta es un punto y no solo un valor.

Errores frecuentes


a) Puede mostrar a los estudiantes que, al analizar la función f (x) a x – b= , implícitamente se está analizando la función g(x) cx – b= , ya que pueden expresarse en forma equivalente:

g(x) cx – b

cx – cbc

c x –bc

=

=

=

Es decir, la función g(x) puede manipularse algebraicamente de manera que consista en una

constante c multiplicando a la raíz, de la variable

más o menos una constante bc

. Por esta razón, solo

analizamos una de las funciones.

Puede plantear también los siguientes problemas.

b) Si el perímetro de un cuadrado mide 16a2 cm, ¿cuál es la medida de su diagonal?

R: 4 2a cm2

c) En el triángulo rectángulo de la figura, el cateto AC mide 6 cm. Si el cateto BC aumenta su tamaño, ¿cuál es la función que relaciona la medida x del cateto BC con la medida correspondiente a su hipotenusa?

A

C B B B

R: h(x) 36 x2= +

31 Función exponencial

Págs. 206 a 209

PropósitoAnalizar la gráfica de la función exponencial.

Palabras clavePotencia, crecimiento, decrecimiento, gráfica, dilatación, contracción, traslación, asíntota, dominio, recorrido

Prerrequisitos § Concepto de potencia, propiedades y operatoria. § Resolución de ecuaciones exponenciales. § Determinación del dominio y recorrido de una función.

Activación de ideas previasPara dar inicio a esta lección y poder activar los conocimien-tos previos de los estudiantes, puede retomar las aplicacio-nes de logaritmos vistas en la unidad 1. Como se vio allí, la energía liberada por un temblor (en ergios, E) y su magnitud en grados Richter se relacionan mediante la fórmula

log E = 1,5R + 11,8

Esta relación se puede expresar en forma exponencial

log E = (1,5R + 11,8)10log E = 10(1,5R + 11,8)

E = 1011,8•(101,5)R

Así expresada, puede recordar con los estudiantes que un aumento de 1 grado Richter equivale a multiplicar la ener-gía liberada por 101,5, es decir, un aumento enorme. Puede comenzar con esto para mostrar a los estudiantes que las funciones exponenciales modelan situaciones en que el crecimiento o decrecimiento de una variable es muy rápido.

Orientaciones didácticasEn el problema inicial presentado en el texto, es importante que los estudiantes noten que en el primer cultivo la po-blación se triplica cada minuto, en cambio en el segundo cultivo se reduce cada minuto a la tercera parte. Conside-rando estos aspectos haga notar a los estudiantes que si el proceso continúa sucesivamente en el primer cultivo puede haber, teóricamente, tantas bacterias como se quiera, en cambio en el segundo cultivo no se podrían extinguir las bacterias. Explíqueles que las funciones utilizadas para


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modelar situaciones tienen a veces estas limitaciones a la hora de representar lo que ocurre en casos límite, por lo que requieren de una adecuada interpretación según el contexto en el que se esté trabajando.

Después de analizar la situación presentada en el texto, puede preguntar a los estudiantes cuáles serían las fun-ciones asociadas si ahora el experimento se realiza con dos poblaciones iniciales de 5000 bacterias cada una, y una de ellas se duplica cada un minuto mientras la otra disminuye a la mitad.

En esta lección los estudiantes se enfrentan por primera vez al concepto de asíntota. Para reforzar la idea de que una curva se acerca cada vez más a la asíntota pero sin intersecarse nunca con ella, puede plantear otros ejemplos vistos anteriormente en el texto, por ejemplo:

• En la fracción 5x

, si el valor de x aumenta el valor de

la fracción se acerca cada vez más a 0, pero nunca es

igual a 0.

• Para 2 podemos tener aproximaciones con cientos de miles de decimales… pero podríamos seguir “has-ta el infinito” sin tener una expresión decimal exacta para 2.

Es muy importante que, si no utiliza el software sugerido en el texto, utilice otro que incluya herramientas como el deslizador, que permite variar los parámetros de manera sencilla y con ello visualizar fácilmente las modificaciones de la gráfica.

Dependiendo del software que se utilice, es posible que los gráficos presenten errores aparentes, especialmente por la asíntota de la función que puede aparecer cortada por la curva. Aclare a los estudiantes que los posibilidades del software son limitadas y sirven solo para hacernos una idea del compor-tamiento de la función y facilitar su estudio, pero es preciso interpretar los resultados que nos entrega y contrastarlos con el análisis teórico.

Errores frecuentes


a) Inventa una situación problemática que se pueda modelar a través de una función exponencial. Define cada uno de los parámetros y expón al curso.

b) Grafica las siguientes funciones, determina su dominio, recorrido e intersección con los ejes.

• f (x) 3 – 2x=

• f (x) –2 +5x=

• f (x) 4 –1x–3=

En el primer caso, puede permitir que los estudiantes in-vestiguen primero respecto de situaciones que involucran la función exponencial, y a partir de ello identifiquen el rol de los parámetros en ella y su relación con la situación.

Para los gráficos, supervise la construcción de ellos si-guiendo los pasos analizados en la lección, y luego si desean pueden verificar con un procesador geométrico.

32 Función logarítmica

Págs. 210 a 213

PropósitoAnalizar la gráfica de la función logarítmica.

Palabras clavePotencia, crecimiento, decrecimiento, gráfica, dilatación, contracción, traslación, asíntota, dominio, recorrido

Prerrequisitos § Concepto de logaritmo, propiedades, operatoria y su relación con las potencias.

§ Resolución de ecuaciones exponenciales.

Activación de ideas previasSi bien los estudiantes no han realizado un análisis algebrai-co de las funciones inversas —ni es parte de los contenidos de este curso— puede ser muy útil para relacionar las fun-ciones exponencial y logarítmica establecer las relaciones entre ellas. Especialmente, repase el cálculo de logaritmos por definición y las restricciones de ellos. Es imprescindible, para esta lección, que los estudiantes se hayan familiarizado adecuadamente con estos procedimientos.

Orientaciones didácticasEn el texto, el análisis de las tres funciones se realiza a partir de un taller, para propiciar la experimentación de los estu-diantes y que de esta manera puedan obtener conclusiones por sí mismos. La utilización de una misma estructura de trabajo puede permitir a los estudiantes captar más fácil-mente las similitudes y diferencias en cada caso, por lo que es recomendable que al trabajar en esta lección retome


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los pasos que se siguieron en el análisis de las funciones anteriores, y los aplique nuevamente aquí.

Muchos errores de los estudiantes pueden provenir de una incorrecta aplicación de las propiedades de los logaritmos, tal como se vio en la unidad 1. Repase con ellos estas propiedades y, si es necesario, repita algunos ejercicios de dicha unidad antes de abordar esta lección.

Errores frecuentes


a) Grafique, en un mismo sistema, las funciones f(x) = 10x y g(x) = log x. Utilizando el deslizador, establezca un mismo valor para la base de la potencia y del logaritmo, y modifíquelos. Al hacerlo, analice con los estudiantes las similitudes y diferencias entre las gráficas obtenidas.

b) Evalúa si cada afirmación es verdadera o falsa, para ello escribe V o F según corresponda.

• La función f(x) = loga x es decreciente si a < 0.

R: Falso

• Los gráficos de las funciones de la forma f(x) = loga x intersectan al eje X en el punto (1, 0).

R: Verdadero

• Los gráficos de la funciones de la forma f(x) = ax son siempre crecientes.

R: Falso

• El recorrido de la función f(x) = ax + 1 con a > 1 corres-ponde al conjunto ]1, +∞ [.

R: Verdadero


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Es muy importante que estimule a los estudiantes a parti-cipar activamente en la resolución de problemas. Para esto, puede solicitarles que en primer lugar intenten resolver el problema planteado sin mirar la resolución propuesta, luego discutan en grupos, analizando la forma planteada en el libro y realizando aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla.

El problema propuesto en el texto es una aplicación de la función exponencial en el ámbito de las ciencias biológicas. Para la resolución de este problema es fundamental que los estudiantes comprendan el enunciado, los datos que tienen, lo que necesitan encontrar así como la función que modelaría esta situación. Además es importante que comprendan cada uno de los pasos en el procedimiento propuesto para poder responder la pregunta planteada. En la unidad 1 han resuelto problemas de este tipo, pero tienen ahora la posibilidad de integrar en el análisis la gráfica e la función.

Para complementar la actividad del texto, proponga a sus alumnos inventar nuevas situaciones similares que puedan ser resueltas a través de una función exponencial, luego que intercambien sus problemas con otros compañeros y los resuelvan siguiendo los pasos propuestos en el texto.


Página 215


La primera situación planteada le permitirá detectar si los estudiantes comprendieron adecuadamente la traslación horizontal de una función. En caso de ser necesario, so-licíteles que vuelvan a la lección 29 y repasen este pro-cedimiento. En la segunda situación, el error es un poco más difícil de detectar, pero tiene que ver con la correcta interpretación de cuál es el argumento de una función. En este sentido, la variable x cumple este rol y es a ella a la que se le debe sumar o restar el valor respectivo, para posteriormente considerar el signo o los coeficientes que puedan acompañarla. Para reforzar esto, puede plantear a los estudiantes los siguientes ejemplos:

Sea f(x) = –3x + 2

f(x – 1) = –3(x – 1) + 2 = –3x + 3 + 2 = –3x + 5

f(–2x + 1) = -3(–2x + 1) + 2 = 6x – 3 + 2 = 6x – 1

Para complementar la actividad del texto, plantee a los es-tudiantes nuevas funciones a graficar y dónde deban aplicar transformaciones similares a las presentadas. Con esto, ellos podrán aplicar lo aprendido y usted podrá observar cómo las grafican, y según esto podría realizar un repaso si aun presentan dificultades o siguen cometiendo los mismos tipos de errores.


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Págs. 216 y 217


Analizar gráficas de funciones y sus variaciones.

1 y 2 Para este indicador, permita a los estudiantes que presenten dificultades que realicen los ejercicios con ayuda de la lección correspondiente, para poder identificar las variaciones que se producen en la gráfica. En la medida que verifique un mayor dominio por parte de los estudiantes, estimúlelos a realizar nuevamente los ejercicios de la lección sin ayuda.

Analizar la gráfica de la función raíz cuadrada.

3 y 4 Para los estudiantes que presenten mayores dificultades, realice un repaso de raíces, potencias y logaritmos, estableciendo en cada caso sus propiedades y restricciones. Puede ser útil para esto que vuelvan a las secciones 2 y 3 de la unidad 1, y realicen nuevamente los ejercicios propuestos que tienen que ver con propiedades.

Es conveniente que repase con los estudiantes la manera de determinar las intersecciones con los ejes y el dominio y recorrido de una función. Refuerce los conceptos involucrados, para evitar que los estudiantes apliquen procedimientos mecánicos sin pensar en lo que están haciendo. De esta manera, sus conocimientos se fijarán de manera más sólida.

Si es necesario, además, ínstelos a construir los gráficos propuestos en los ejercicios de las lecciones en forma manual, considerando las características de cada función.

Analizar la gráfica de la función exponencial.

5, 6, 7 y 8

Analizar la gráfica de la función logarítmica.

9, 10, 11 y 12


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Sección 3Sistemas de ecuaciones lineales

De esto se trata

La resolución de problemas en matemática supone, muchas veces, una abstracción de la vida real que “aísla” las situaciones, sin considerar las interacciones entre las múltiples variables que intervienen en un fenómeno. Así, cuando planteamos una ecuación, estamos representando solo una relación (o quizás dos, a lo más) entre las variables involucradas.

Sin embargo, muchas veces es necesario satisfacer simul-táneamente un gran número de condiciones en un proble-ma, lo que obliga a encontrar métodos para determinar la respuesta y verificar que cumple con los requisitos. A esto apuntan los ejemplos planteados aquí, como el horario es-colar o la distribución de fechas de un campeonato depor-tivo. Si consideramos una sola condición tenemos muchas opciones (en ocasiones, infinitas), pero en la medida que se integran más, la discusión ya puede centrarse respecto de la más conveniente de las soluciones, o incluso respecto de la existencia de una solución.

Los sistemas de ecuaciones lineales constituyen un primer paso en la resolución de este tipo de problemas, y se puede motivar su estudio a partir de estas situaciones. Dedique un tiempo a la motivación de este contenido a partir de sus interesantes aplicaciones.

¿Qué debes saber?

Plantear y resolver problemas con ecuaciones de primer grado

Se espera que los estudiantes no tengan problemas en la resolución de ecuaciones de primer grado, aunque no siempre sean capaces de explicar formalmente los meca-nismos utilizados para resolverlas. Verifique que manejan el vocabulario adecuado y aplican los procedimientos co-rrectos, evitando descripciones coloquiales, ya que en esta sección deberán formalizar procedimientos.

Es importante también que verifique que los estudian-tes manejan adecuadamente el lenguaje algebraico y son

capaces de representar proposiciones simbólicamente. Revise con el curso estos ejercicios enfatizando la relación entre expresiones y operaciones de uso común (la mitad y dividir por 2, el triple y multiplicar por 3, etc.)

Identificar, graficar y analizar funciones afines

Para este indicador, recuerde a los estudiantes cómo se grafican rectas utilizando los conceptos de pendiente y punto de intersección con el eje Y. Enfatice también, espe-cialmente, que un punto pertenece a una recta determinada si sus coordenadas satisfacen la ecuación de la recta; y a la inversa se puede afirmar que si satisfacen la ecuación entonces pertenecen a la recta.

33 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Págs. 220 a 221

PropósitoIdentificar y plantear un sistema de ecuaciones lineales.

Palabras claveSistemas de ecuaciones, incógnitas, variables, coeficientes, términos libres, soluciones, tablas de valores

Prerrequisitos § Resolución de ecuaciones de primer grado. § Traducción de lenguaje natural a lenguaje algebraico. § Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado.

Activación de ideas previasPara activar las ideas previas, presente a los estudiantes una ecuación de primer grado con dos incógnitas, por ejemplo 2x + 3y = 5, y pídales que asignen valores a x e y que cum-plan la igualdad. La idea es que descubran que este tipo de ecuaciones tiene infinitas soluciones, pero se podrían acotar si se plantea un contexto específico. Pregunte a los estudiantes otras situaciones que ellos plantean y resuelven por tanteo.

Orientaciones didácticasInicie esta lección conversando sobre el concepto de ecua-ción lineal con dos incógnitas a partir de la situación presen-tada en el texto. Para los estudiantes puede parecer extraño, en principio, llamarla ecuación si no es posible determinar


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una solución única, ya que a eso están acostumbrados. Enfatice que se puede restringir el conjunto de soluciones dependiendo del contexto de un problema determinado.

Es importante aclarar a los estudiantes que en una ecuación de dos incógnitas y en un sistema de ecuaciones la solución es un par ordenado de valores, pero no es que se trate de dos soluciones.

Explique también que, si bien suelen seguirse algunas con-venciones tales como el orden alfabético, no siempre es evidente el orden escogido para expresar el par ordenado. Por ejemplo, si se tiene un sistema como

3x – 2y 4

y + 4x 9

==

es necesario explicitar que la solución se escribirá en la for-ma (x, y), es decir, primero el valor de x. Para evitar confu-siones, puede pedir a los estudiantes que expliciten siempre cada incógnita de la que están dando el valor; en el caso anterior, que escriban la solución como x = 2, y = 1.

En esta lección se pide utilizar el método de tabla de va-lores para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. No es necesario que hagan una tabla para cada ecuación, sino que es suficiente que formen una y que verifiquen qué valores de esa tabla satisfacen la segunda ecuación del sistema de ecuaciones


a) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, utilizando el procedimiento visto en la lección.

•3x – 2y 1

2x+ 4y 6

== • –x+3y 9

3x – y 5

==

R: 1,1 R: 3,4

b) Plantea y resuelve los siguientes sistemas de ecuacio-nes, utilizando el procedimiento visto en la lección.

• El promedio de dos números es 150 y su diferencia es 50. ¿Cuáles son los números?

R: 175 y 125

• El doble de la diferencia entre dos números es 44. Si el triple de uno de los números es el cuádruple del otro. ¿Cuáles son los números?

R: 352 y 264

34 Sistemas de ecuaciones lineales y gráficos

Págs. 222 a 225

PropósitoInterpretar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales.

Palabras claveFunción afín, sistemas de ecuaciones, pendiente, coeficien-te de posición, puntos, gráfica, tabla de valores, intersec-ción, variable, solución, rectas secantes, rectas paralelas, rectas coincidentes, compatible, incompatible, determi-nado, indeterminado

Prerrequisitos § Identificar la pendiente y el coeficiente de posición de rectas.

§ Calcular la pendiente de una recta. § Construir gráficos de rectas a partir de su ecuación. § Identificar funciones afines y sus gráficos. § Resolver sistemas de ecuaciones con tablas de valores.

Activación de ideas previasEn la historia de la matemática abundan ejemplos en los que, ante un problema determinado, se ha buscado ince-santemente la solución hasta que alguien se pregunta si, efectivamente, el problema puede tener solución o no. La búsqueda de la resolvente de la ecuación de quinto grado es un ejemplo de ello, cuando los matemáticos buscaban una fórmula para ella y Galois se dedicó a demostrar (y lo consiguió) que era imposible encontrarla.

La determinación de las características de la eventual solución de un problema (incluso antes de encontrarla) ha sido una forma clásica de trabajo en matemática. Para los sistemas de ecuaciones, asociar sus ecuaciones a rectas nos permitirá saber si efectivamente existe una solución, y si esta es única.

Orientaciones didácticasLos estudiantes ya han construido gráficos de rectas en el plano cartesiano y, además, cuentan con la experiencia necesaria en el uso de software desde la sección anterior, por lo que no deberían producirse mayores dificultades a este respecto. Lo que nos interesa ante todo es analizar un sistema de ecuaciones por medio de un gráfico, más que construirlo o utilizarlo para resolver (que puede ser un método muy engorroso y hasta poco eficiente).


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Es importante mencionar a los estudiantes que no todos los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas están formados por funciones afines; en muchos casos estarán formados por funciones lineales del tipo y = ax o por ecua-ciones de la forma x = a o y = b. Enfatice que aunque no sean funciones afines es posible graficarlas y determinar la solución de un sistema de ecuaciones compuesto por alguna de estas rectas. Muestre a los estudiantes las características de este tipo de rectas, es decir, cuáles rectas que pasan por el origen, cuáles son verticales o cuáles son horizontales.

Es importante señalar a los estudiantes que, al tratarse de dos rectas, no pueden darse casos de intersección en, por ejemplo, dos puntos: las soluciones o son infinitas, o es única o inexis-tente. Recalque esto para reforzar la utilidad del análisis gráfico.

En esta lección los estudiantes podrían tener problemas para graficar, si es que interpretan de forma errónea las pendientes y coeficientes de posición de las ecuaciones que forman un sistema de ecuaciones. Para evitar estas dificultades pida a los estudiantes que expresen cada ecuación en su forma principal, y luego determinen los valores de los parámetros involucrados.

Respecto de lo anterior, conviene de todos modos explicar a los estudiantes que en una función se distingue una variable dependiente y otra independiente, pero en el caso de una ecuación con dos incógnitas, no hay una que pueda consi-derarse dependiente de la otra por derecho propio, es decir, cada una podría considerarse en propiedad como variable independiente.

Errores frecuentes


a) Sin resolver los siguientes sistemas, determina si cada uno de ellos es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

•–2x – 5y 10

4x+10y –10

==

•–2(x+ y) 30

x+ y3

–5

=

=

R: Incompatible R: Compatible indeterminado

Verifique que los estudiantes escriban cada sistema de una forma conveniente para observar los coeficientes y analizarlos.

b) Inventa 3 sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas: uno compatible determinado, uno com-patible indeterminado y uno incompatible.

35 Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Págs. 226 a 231

PropósitoResolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales.

Palabras claveSistemas de ecuaciones, despejar, remplazar, sustitución, incógnita, variable, igualación, reducción, solución

Prerrequisitos § Resolver ecuaciones de primer grado. § Evaluación de expresiones algebraicas. § Reducción de términos semejantes y eliminación de paréntesis en expresiones algebraicas.

Activación de ideas previasPara iniciar el estudio de esta lección, mencione a los estudiantes que resolver un sistema de ecuaciones a través de tablas de valores o gráficos es un método vá-lido para cualquier sistema de ecuaciones, pero podría resultar un procedimiento largo y engorroso en algunos casos. Para que los alumnos comprendan con mayor fa-cilidad esta idea, presénteles un ejemplo de un sistema de ecuaciones cuyos coeficientes sean valores altos o números decimales, y resuelva utilizando tabla de valores y gráficos, y muéstreles que ambos procesos resultaron largos y poco eficientes.

Orientaciones didácticasEn esta lección los alumnos deben aprender tres métodos de resolución algebraica y ser capaces de decidir cuál de ellos es más apropiado para un sistema determinado, de-pendiendo de las características que tiene cada ecuación que lo compone. De todos modos, es importante destacar a los estudiantes que todo sistema de ecuaciones puede ser resuelto con cualquiera de los métodos algebraicos apren-didos, y que cualquier método utilizado correctamente, permite obtener la misma solución del sistema.

Procure que los estudiantes lean detalladamente la descrip-ción de cada método ya que en ella se encuentra contenida también la descripción del tipo de sistema en el que es más adecuado utilizarlo.


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Es importante mencionar que en algunos casos será con-veniente amplificar o simplificar las ecuaciones de un sis-tema para poder operar mejor con ellas y encontrar con mayor facilidad las soluciones. Al amplificar o simplificar se obtienen ecuaciones equivalentes a las originales, por lo cual cuando queremos verificar una solución podemos reemplazar los valores de las incógnitas en alguna de las ecuaciones del sistema original o del sistema modificado.

En los ejercicios propuestos, el ejercicio 10 presenta el método de Cramer. Realícelo en conjunto con el curso y muestre la utilidad que tiene para resolver sistemas cuyos coeficientes pueden ser incluso números irracionales. El método de Cramer es, además, de gran importancia pues constituye la forma más general de resolución aplicable a sistemas de n ecuaciones y n incógnitas

Actividades complementariasPlantee a sus estudiantes las siguientes actividades de de-tección de errores en el uso de métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.

Detecta el método utilizado, el error cometido y luego en-trega la respuesta correcta al sistema.

a) Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

(1) x 2y 5

(2) x 3y 20

− =+ =

• Despejando la incógnita x en ambas ecuaciones, se tiene que: (1) x 5 2y

(2) x 10 – 3y

= +=

• Igualando ambas expresiones, se obtiene:

5 + 2 = 10 + 3y

5 – 10 = 3y –2y

–5 = y

• Reemplazando y = –5 en la ecuación (1), resulta:

x – 2 (–5) = 5

x – 10 = 5

x = 15

Respuestas:

Se pueden observar 3 errores en los cálculos propuestos:

• Al despejar la incógnita x en las ecuaciones el resul-tado de la segunda ecuación debe ser x = 20 – 3y.

• Al igualar las expresiones que representan el valor de x debe resultar 5 + 2y = 10 – 3y.

• Al remplazar el valor calculado para y se debe obte-ner la expresión x + 10 = 5.

La solución del sistema es x = 11 e y = 3.

b) Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

(1) x 2y 10

(2) 3x 4y 20

+ =+ =

• Al despejar x de la ecuación (1), resulta:

x + 2y = 10 x = 10 + 2y.

• Luego, reemplazando x = 10 + 2y en la ecuación (2) y despejando y, se obtiene:

(2) 3x 4y 20

3(10 2y) 4y 20

30 2y 4y 20

30 6y 20

6y 10 y106

53

+ =+ + =+ + =+ =

=− =− =−

• Finalmente, reemplazando y53

=− en la ecuación (1), resulta:

x 253

10

x 10103

203

+ − =

= − =

Respuestas:

Se pueden observar 3 errores en los cálculos propuestos:

• Al despejar x de la ecuación (1), resulta:

x = 10 – 2y

• Al aplicar la propiedad de distribución sobre la expresión 3(10 + 2y) + 4y = 20 resulta

30 + 6y + 4y = 20.

• Al despejar el valor de x de la expresión

x 2 –53

10+ = resulta x403

= .

La solución del sistema es x = 0 e y = 5.


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41 2 3

36 Existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales

Págs. 232 a 235

PropósitoAnalizar algebraicamente la existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

Palabras claveSistema de ecuaciones, compatible, incompatible, consis-tente, inconsistente, solución, variables, incógnitas, deter-minado, indeterminado

Prerrequisitos § Identificación de tipos de sistema de ecuaciones: com-patible determinado, compatible indeterminado e incompatible.

§ Representación gráfica de sistemas de ecuaciones. § Identificación de pendiente y coeficiente de posición en funciones afines.

Activación de ideas previasPara activar las ideas previas de los estudiantes, plantéeles que en la primera lección se definió lo que es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y se resolvió mediante tabla de valores, método que se revela rápidamente como poco eficiente y motiva a encontrar métodos de resolución algebraicos. La representación gráfica del sistema ayuda a determinar a priori si el sistema tiene solución única, infinitas o ninguna, pero nuevamente nos topamos con algunas di-ficultades propias al construir el gráfico; además, dos rectas dibujadas pueden parecer paralelas a simple vista pero no serlo realmente. Esto motiva a analizar algebraicamente la naturaleza de los sistemas.

Orientaciones didácticasLea junto a los estudiantes la situación planteada para que ellos mismos puedan descubrir las características algebrai-cas de un sistema compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. La situación enlaza además con el lenguaje natural, de manera que el análisis puede realizarse en forma contextualizada.

En el sentido anterior, los estudiantes saben que una ecua-ción se puede multiplicar a ambos lados por un mismo número sin que la igualdad se altere, pero no es tan in-mediato deducir que, en el fondo, la ecuación obtenida

es esencialmente la misma que la original, es decir, que entrega la misma información. En la actividad propuesta en la lección esto se hace evidente; recalque a los estudiantes que en ocasiones el análisis algebraico se puede apoyar en el lenguaje natural.

Para el caso de los sistemas incompatibles, también es fá-cil ver que las informaciones dadas son contradictorias. Al seguir este ejercicio se construye un sistema sabiendo que no tendrá solución ya que no es razonable que la tenga; luego es posible verificarlo algebraicamente.

Puede pedir a los estudiantes que diseñen técnicas para memorizar y asociar correctamente los coeficientes a ana-lizar para determinar la naturaleza de un sistema de ecua-ciones. De todos modos, mientras no adquieran la soltura necesaria, verifique que analicen lo que están realizando permanentemente.

Puede asimismo mostrar los resultados obtenidos al aplicar alguno de los métodos de resolución a un sistema compa-tible indeterminado o a uno incompatible. Para ello, pídales que apliquen estos métodos a los sistemas obtenidos en los pasos 2 y 3.

Es importante hacer la distinción de que, en el primer caso, se obtiene una información verdadera pero imprecisa, es decir, algo que se cumple siempre, independiente de las condiciones del problema. Esto no quiere decir que, para ese sistema, cualquier par de valores sea solución, sino que tiene infinitas soluciones. En el caso del sistema incompati-ble, la aplicación de un método de resolución llevará a algo que no puede ocurrir, es decir, un absurdo.

Actividades complementariasPlantee a sus estudiantes las siguientes preguntas:

a) ¿Es posible resolver un sistema de ecuaciones con tres incógnitas y dos ecuaciones? Da un ejemplo que justifique tu respuesta.

b) ¿Es posible resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas y tres ecuaciones? Da un ejemplo que justifique tu respuesta.

Esta actividad puede permitirle analizar con los estudiantes que, si hay más incógnitas que ecuaciones, no es posible determinar el valor de cada una de ellas, mientras que si hay más ecuaciones que incógnitas necesariamente las ecuaciones adicionales aportan la misma información que las dos iniciales (y la naturaleza del sistema no cambia), o bien hacen incompatible el sistema.


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37 Resolución de problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales

Págs. 236 a 241

PropósitoPlantear y resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales.

Palabras claveProblemas, sistema de ecuaciones, contexto, resolución, solución, incógnitas, variables, pertinencia.

Prerrequisitos § Resolución de sistemas de ecuaciones lineales de pri-mer grado.

§ Planteamiento de problemas que involucran ecuacio-nes de primer grado con dos incógnitas.

Activación de ideas previasPara activar las ideas previas de sus estudiantes, converse con ellos nuevamente sobre la aplicabilidad que tienen los sistemas de ecuaciones en distintos contextos reales. Men-cione que es una herramienta que ofrece variadas formas de resolución, que nos llevarán siempre a la misma solución. Ahora ellos están capacitados para decidir cuál método es el más apropiado según el contexto del problema y las ecuaciones que estén involucradas en el sistema.

Orientaciones didácticasPara plantear problemas utilizando sistemas de ecuaciones, los pasos a seguir son esencialmente los mismos que han seguido en otras ocasiones, e incluso es probable que los estudiantes ya lo hayan hecho en otras asignaturas. De cual-quier manera, sea sistemático en la aplicación de los pasos propuestos, especialmente en la verificación de la existencia de una solución al problema como en la pertinencia de la solución obtenida. Insista a los estudiantes que primero determinen la naturaleza del sistema y luego resuelvan, para tener así garantía de que efectivamente la solución existe.

Es importante que, si va a utilizar ejercicios que provengan de otras fuentes, declare en qué casos la solución obtenida se considerará pertinente. Puede ser que para los estudiantes, cuando se habla, por ejemplo, de edad, solo sean admisibles valores enteros, aunque también pueden ser racionales.

En la resolución de problemas, el principal error radica en que los estudiantes no verifican la pertinencia de las soluciones encontradas. Enfatice que esta parte es fundamental en cual-quier tipo de problemas, más allá del tema de sistemas de ecuaciones vistos en esta sección.

Errores frecuentes


a) Si la suma de dos números es 17 y la diferencia entre triple del primero y la mitad del segundo es 23, ¿cuáles son los números?

R: Los números son 9 y 8.

b) Si en un corral hay conejos y gallinas, que en conjunto suman 36 ojos y 110 patas, ¿cuántos animales hay?

R: El problema está mal planteado. El problema original considera 36 orejas y 110 patas y como las gallinas no tienen orejas, hay 18 conejos y 19 gallinas.

c) Al sumar los dígitos que componen un número de dos cifras resulta 12. Si se invierten los dígitos del número, este aumenta en 54 unidades. ¿Cuál es la unidad del número?

R: La unidad del número es 9.

d) Amanda compró en una tienda 5 lápices y 2 cuadernos por $ 2 900. Javiera compró en la misma tienda 6 lápices y 3 cuadernos por $ 4 050. ¿Cuánto valen los lápices y los cuadernos en la tienda?

R: Los lápices valen $ 200 y los cuadernos $950 cada uno.


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41 2 3


Página 242


Es muy importante que estimule a los estudiantes a parti-cipar activamente en la resolución de problemas. Para esto, puede solicitarles que intenten en primer lugar resolver el problema planteado sin mirar la resolución propuesta, para luego discutir en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla.

El problema propuesto en esta sección vincula la mate-mática con la física, pues trabaja con la rapidez, tiempo y distancia recorrida por un automóvil y un ciclista. Aquí es importante conocer la fórmula que conecta estos tres conceptos físicos. En el texto se sugiere hacer un dibujo de la situación, lo cual es muy apropiado pues clarifica bastante y permite obtener con mayor facilidad las ecuaciones del sistema. Con la información entregada en el texto, los es-tudiantes deben definir las variables involucradas, formar las ecuaciones y el sistema correspondiente. Cada ecuación se forma con la información del ciclista y del automovilista,

acompañada de la fórmula v =dt

. Una vez formado el siste-

ma, se debe resolver por alguno de los métodos aprendidos en la unidad. El texto no muestra el proceso de resolución, solo las soluciones. Pregunte a los estudiantes cuál método sería más conveniente para resolver este sistema, y pida que lo resuelvan por el método elegido.


Página 243

El análisis de errores permite, de manera efectiva y concreta, detectarlos y corregirlos. Estimule a los estudiantes a ana-lizar sus procedimientos constantemente y desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos.

En la primera situación presentada, cuando utilizan el mé-todo de reducción despejan una de las variables de una de las ecuaciones del sistema pero la reemplazan en la misma ecuación, por lo cual llegan erróneamente a una igualdad del tipo 0 = 0, por lo cual el sistema tendría infinitas solu-ciones (compatible indeterminado). Para evitar este tipo de errores, recuerde a los estudiantes que si despeja una varia-ble de la primera ecuación, esta variable debe reemplazarla en la segunda ecuación, para poder resolver correctamente el sistema. En caso contrario, se estaría utilizando solo una ecuación, que necesariamente tiene infinitas soluciones.

En la segunda situación, se muestra que probar determi-nados valores para ver si satisfacen ambas ecuaciones no es suficiente, pues no se está analizando la naturaleza del sistema. Muestre a los estudiantes con este ejemplo la necesidad de determinar esto en forma algebraica, para garantizar una resolución correcta.


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Págs. 244 y 245


Identificar y plantear un sistema de ecuaciones lineales.

1 y 2 Los estudiantes podrían presentar dificultades al trabajar con tablas de valores, ya que cometen errores al reemplazar, no aplican bien las prioridades de las operaciones o cometen errores de signos. Supervise que realicen un trabajo metódico y ordenado para evitar estos errores.

Interpretar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales.

3 y 4 Las dificultades relativas a este indicador pueden deberse a una inadecuada comprensión de la función afín y sus parámetros. Repase este contenido instando a los estudiantes a deducir el rol que cumple cada parámetro, observando la tabla de valores y el gráfico respectivo.

Resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales.

5, 6 y 7 Para el ejercicio 5, verifique que los estudiantes son capaces de seleccionar adecuadamente el método más conveniente de resolución, y aplicarlo. Si bien depende de ellos la elección, sugiérales utilizar los más eficientes en cada caso para evitar operaciones algebraicas más complejas que los puedan llevar a errores.

Para los ejercicios 6 y 7, pueden presentarse complicaciones derivadas de la operatoria algebraica, al realizar cambios de variable. Verifique que realizan un trabajo ordenado anotando el cambio realizado, y que luego comprueban la validez de la solución obtenida.

Analizar algebraicamente la existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

8, 9 y 10 Para este indicador, verifique que los estudiantes sean capaces de analizar qué se les está preguntando, y a partir de ello plantear la estrategia para responder.

Si no han comprendido bien, solicíteles que repasen la lección correspondiente y analicen en ella los ejemplos propuestos.

Plantear y resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales.

11 y 12 Es posible que los estudiantes presenten problemas al plantear las situaciones por escaso dominio del lenguaje algebraico. Verifique este punto y, si es necesario, solicíteles que ejerciten este aspecto representando algebraicamente distintos enunciados.

Supervise que verifiquen la solución obtenida, comprobando primero que el sistema planteado tiene solución, y que la solución obtenida es pertinente al contexto del problema.


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41 2 3


En estas páginas se describe parte del desarrollo del álgebra, específicamente el lenguaje algebraico y sus símbolos, a lo largo de la historia.

Siempre es sorprendente para los estudiantes constatar que la matemática ha tenido una evolución como disciplina tan-to en sus objetos de estudio como en las herramientas para abordarlos, específicamente los símbolos. Los estudiantes han aprendido desde sus primeros cursos a trabajar con símbolos, por lo que puede resultarles difícil comprender que sea posible estudiar matemática sin ellos.

Este tema ofrece una buena oportunidad para reflexionar con los estudiantes respecto de la evolución de las ciencias, y como en ocasiones su desarrollo depende tanto de sus objetos de estudio como de la obtención de herramientas adecuadas para abordar dicho estudio.



Por lo anterior, se sugiere prestar especial atención a la ela-boración de la síntesis de la unidad, permitiendo un trabajo individual, grupal y con todo el curso, dando también la posibilidad de resolver las últimas dudas que puedan que-dar, poner en común las dificultades y verificar la adecuada comprensión de los conceptos.

En estas páginas se retoma, además, el tema presentado en el inicio de la Unidad, con el objetivo de que puedan anali-zarlo nuevamente incorporando los nuevos conocimientos que ahora tienen. Si es posible, resultaría muy interesante investigar en internet respecto de la ocurrencia de los fenó-menos astronómicos descritos, su frecuencia y los métodos actuales de investigación respecto de ellos.


Para los ejercicios de refuerzo, se recomienda especialmente prestar atención a que los estudiantes puedan explicar los procedimientos empleados en la resolución de los ejercicios y no solo a los resultados obtenidos, con el objetivo de garantizar su comprensión de los conceptos involucrados. Se sugiere al docente revisarlos en conjunto con el cur-so, permitiendo que los estudiantes resuelvan algunos de ellos en la pizarra con la colaboración de sus compañeros. Mediante esto, se pretende que puedan retroalimentarse mutuamente de manera más significativa, al provenir de sus propios pares.


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1

Definir una fracción algebraica y sus restricciones.

1 y 2 Solicite a los estudiantes, en cada caso, explicitar verbalmente el procedimiento empleado para responder, y a partir de ello, verifique si existen errores conceptuales involucrados. Una vez solucionados, plantee nuevamente los ejercicios.

Analizar una fracción algebraica. 3 y 4

Calcular mcd y mcm de expresiones algebraicas.

5 y 6 Permita a los estudiantes revisar los ejercicios utilizando la tabla resumen realizada en la síntesis de la unidad. La colaboración de los pares puede ser significativa en estos indicadores, compartiendo sus métodos de resolución y las formas de comprenderlos y aplicarlos.

Amplificar y simplificar fracciones algebraicas.

7 y 8

Multiplicar y dividir fracciones algebraicas.

9, 10, 11 y 12

Sumar y restar fracciones algebraicas.

13

Resolver problemas que involucran ecuaciones fraccionarias.

14 y 15

2

Analizar gráficas de funciones y sus variaciones.

16 Permita que los estudiantes resuelvan nuevamente los ejercicios apoyándose en el cuadro resumen realizado en la síntesis de la unidad.

Analizar la gráfica de la función raíz cuadrada.

17 y 18 Solicite a los estudiantes realizar nuevamente o revisar el desarrollo de los ejercicios 5, 7 y 9 de las páginas 216 y 217. Luego, que realicen nuevamente los ejercicios de esta evaluación.Analizar la grafica de la función

exponencial.19, 20 y 21

Analizar la gráfica de la función logarítmica.

22 y 23

3

Identificar y plantear un sistema de ecuaciones lineales.

24 Solicite a los estudiantes que expliquen detalladamente sus procedimientos frente a usted, a fin de identificar sus errores. Luego, ínstelos a corregirlos guiándose con las lecciones respectivas.Interpretar gráficamente un

sistema de ecuaciones lineales.25 y 26

Resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales.

27 y 28 Permita que los estudiantes pongan en común sus procedimientos con sus compañeros, solicitando a aquellos que hayan obtenido mejores resultados que expliquen cómo lo lograron, y sus estrategias en cada caso para recordar los procedimientos y plantear los problemas. Solicite finalmente a los estudiantes con mayores dificultades realizar nuevamente los ejercicios con el apoyo de sus compañeros.

Analizar algebraicamente la existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

29

Plantear y resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales.

30 y 31


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129Unidad 1 • núMeros 129Unidad 3 • Álgebra

41 2 3Información complementaria 41 2 3

El álgebra en la antigua Babilonia

La principal fuente de información sobre la civilización y la matemática babilónica procede de textos grabados con inscripciones cuneiformes en tablillas de arcilla. Los textos se escribían sobre las tablillas cuando la arcilla estaba aún fresca. Después podían borrarse y usarse otra vez o también cocerse en hornos o simplemente se endurecían al sol. Las tablillas más antiguas que se conservan son del 2000 a.C. Varios miles de tablillas esperan todavía ser descifradas.

Estas tablillas han proporcionado abundante información sobre el sistema numérico y los métodos de cálculo que usaban. También las hay con textos que contienen problemas algebraicos y geométricos. Los babilonios disponían de fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas. No conocían los números negativos, por lo que no se tenían en cuenta las raíces negativas de las ecuaciones. Su sistema de numeración era de base 60 y ha llegado hasta nosotros en la medida del tiempo y de los ángulos. Llegaron a resolver problemas concretos que conducían a sistemas de cinco ecuaciones con cinco incógnitas e incluso se conoce un problema astronómico que conduce a un sistema de diez ecuaciones con diez incógnitas. Tampoco conocían el cero, lo que lleva a problemas de interpretación de las cantidades. Para evitar el problema, reducían el tamaño de las cifras adyacentes.

A partir del siglo VI a.C., sin embargo, fue utilizado un signo de omisión interior, es decir una especie de cero. Por supuesto, en esta fase el álgebra es retórica, es decir no se usan símbolos especiales. Sí aparecen palabras como por ejemplo us (longitud) usadas como incógnitas, posiblemente porque muchos problemas algebraicos surgen de situaciones geométricas y esto hizo que esa terminología se impusiera. También usaban antiguos pictogramas sumerios para designar las incógnitas de una ecuación.

Un ejemplo de la manera en que aparecen formulados los problemas podría ser: “He multiplicado la longitud por la anchura y el área es 10. He multiplicado la longitud por ella misma y he obtenido un área. El exceso de longitud sobre la anchura lo he multiplicado por sí mismo y el resultado por 9. Y este área es el área obtenida multiplicando la longitud por ella misma. ¿Cuáles son la longitud y la anchura?”

Hoy traduciríamos este problema a lenguaje algebraico así:

xy = 10

9(x– y)² = x²

Resolver esto lleva a una ecuación bicuadrada.

Fuente: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~29700989/departamentos/departamentos/departamento_de_ matemat/recursos/apuntes/histalg.pdf


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MateMÁtica 2.º Medio - gUía didÁctica del docente130

Mate

rial f

otoc

opia

ble

Actividad complementaria Nº 1 / Fracciones egipcias



Para los egipcios, las fracciones no representaban números propiamente tales, sino repartos por realizar. Las únicas frac-ciones que admitían eran las de numerador igual a 1, por lo que otro tipo de fracciones las descomponían en sumas de fracciones unitarias de distinto denominador utilizando algoritmos. Algunos de ellos se encuentran resumidos en tablas, en el llamado Papiro Ahmes (s. XVI a.C.)

Un método para transformar fracciones comunes a fracciones egipcias es el algoritmo de Sylvester, que se describe a continuación, para fracciones a

b con a < b.

• La primera fracción es

p =1

1+ba

, donde

ba

corresponde a la parte entera de la división b : a.

• Se calcula q =ab

– p. Si q es una fracción unitaria, el proceso ha concluido. Si no, se le aplica el mismo procedimiento anterior.

1. Utiliza el algoritmo de Sylvester para escribir las siguientes fracciones como fracciones egipcias:

a) 1319

b) 1120

c) 815

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131


Unidad 3 • Álgebra

Actividad complementaria Nº 2 / Función racional



Se llama función racional a aquella que está definida por una fracción algebraica, del tipo:

( )f x =ax+bcx+d

1. Considera la función racional ( )f x =5x – 43x+2

y determina su dominio, recorrido, asíntotas, intersecciones con los ejes y esboza un gráfico.

2. Considera la función ( )f x =ax+bcx+d

.

a) Demuestra que su dominio es x ≠dc

, y su recorrido es y ≠ac

.

b) Justifica que x =ac

es asíntota de la función. ¿Qué ocurre cuando x toma valores cada vez más grandes en valor absoluto?

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Mate

rial f

otoc

opia

ble

Actividad complementaria Nº 3 / Sistemas de 3 ecuaciones y 3 incógnitas



En los ejercicios propuestos de la lección 35 se presenta la resolución de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, que puede hacerse utilizando el método de reducción.

1. Utiliza el procedimiento visto para resolver los siguientes sistemas.

2x – y+3x 1

x+2y – z 4

5x+y+z 8

===

2x – y+3x 1

x+2y – z 4

x – 3y+4z –3

===

2x – y+3x 1

x+2y – z 4

4x+3y+z 5

===

2. Responde

a) ¿De qué tipo es cada uno de los sistemas? Justifica.

b) ¿Qué debe ocurrir para que un sistema de este tipo sea compatible indeterminado o incompatible? Justifica.

c) Construye un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas que sea compatible indeterminado, y otro que sea incompatible.

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133



41 2 3


Realizar operaciones con fracciones algebraicas.

1. Durante un entrenamiento, un ciclista debe reco-rrer A km, de los cuales B son de ascenso y C son de descenso. Su entrenador, que lleva un registro de sus tiempos, sabe que su rapidez en zona de ascenso es de m km/h y en zona de descenso n km/h. ¿Cuánto tiempo tomará el entrenamiento del ciclista?

A. nB+mCmn

B. B+CnB+mC

C. A –B – Cmn

D. mnA+B+C

E. (m+n)(B+C)m+n

2. De las siguientes expresiones, ¿cuál(es) es(son) factor(es) de a2b – a2 – b + 1?

I. a + 1II. b – 1

III. a2 – 1

A. Solo I

B. I y II

C. I y III

D. II y III

E. I, II y III

3. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a la factorización de a2 – b2 – (a + b)2?

A. (a + b)(a – b)

B. (a + b)(a + b)

C. (a – b)(a – b)

D. 2b(a + b)

E. –2b(a + b)

4. ¿Cuál es el máximo común divisor entre x2 – 2x + 1 y x2 + 2x – 3?

A. x – 1

B. x2 + 2x – 3

C. (x – 1)(x + 3)

D. (x – 1)2(x + 3)

E. (x2 -2x + 1)(x2 + 2x – 3)

5. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo entre x2 – 8x + 12; x2 – 6x + 8 y x2 – 10x + 24?

A. (x – 2)(x – 4)

B. (x – 2)(x – 6)

C. (x – 4)(x – 6)

D. (x – 2)(x – 4)(x – 6)

E. (x – 2)2(x – 4)2(x – 6)2

6. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo entre 5m2nr y 25mn3?

A. 5mn

B. 25mn

C. 25mnr

D. 25m2nr

E. 25m2n3r

7. En una sala hay m + n personas. El promedio de puntos obtenidos por las m personas fue a y el pro-medio de puntos obtenidos por las n personas fue b. ¿Cuál fue el promedio de puntos obtenidos por las m + n personas?

A. ma+nbm+n

B. m+a+n+bm+n

C. a+bm+n

D. a + b

E. a+b2

Nombre: Curso:

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teria

l fot

ocop

iabl

e


reducir la fracción x +x y – xy – yx+yx – y

3 2 2 3?

A. x + y

B. (x + y)(x – y)2

C. (x + y)2(x – y)2

D. x yx y−+

E. (x – y)x+y

2

9. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son)

siempre igual(es) a mc+m+bc

?

I. m+m+b

c( )

II. 2m+b

III. m+bc

+mc

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. I y III

E. I, II y III


simplificar la fracción ( )

( )a – x +ax a – x

4 a – x

3 3

2 2?

A. a+x4

B. a – x4

C. x – a4

D. a+xa – x

E. a – xa+x

11. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones(son)

verdadera(s) para la expresión A =1x

+1y

?

I. –A = –x – y

xyII. A – 1 = x + yIII. A•A–1=2

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. I y III

E. II y III


a x +x – 2x –1

2

2?

A. x + 2B. x – 2

C. x+2x+1

D. x – 2x –1

E. x – 2x+1

13. ¿Cuánto mide el largo de un rectángulo si su ancho está dado por (k + 2) y su área por (k2 + 7k + 10)?

A. (k + 8)

B. (k + 7)

C. (k + 6)

D. (k + 5)

E. (k + 4)

14. Al restar c de ab

se obtiene ba+2

. Entonces ¿cuál es

de las siguientes expresiones es equivalente a c?

A. a – bb

2

B. a +2a – bb(a+2)

2 2

C. a +2a – bb(a – 2)

2 2

D. a +2a+bb(a+2)

2 2

E. (a – b)b(a+2)

2

U3_GD_MAT_2M_ok.indd 134 09-01-14 16:33

135



41 2 3

15. ¿Cuál de las siguientes expresiones se obtiene al reducir la fracción 1

1–1

1–12

?

A. 1

B. 12

C. 0

D. –12

E. – 1

16. Se sabe que x = 13a

, y = 14a

, z = 16a

. ¿Cuál de las siguien-

tes expresiones es equivalente con xyz

?

A. 12a

B. 14a

C. 18a

D. 112a

E. 172a


con x +x4x +4

3

2?

A. x4

B. x4

2

C. x8

D. x8

2

E. x(x 1)4

2+

18. Se puede afirmar que la fracción xy

es negativa si se sabe que:

(1) x > 0(2) x – y > 0



C. Juntas, (1) y (2).

D. Cada una por si sola, (1) ó (2).


Analizar gráficamente las funciones raíz cuadrada, ex-ponencial y logarítmica.

19. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor al gráfico de f(x) = x+1?

A.

1

2

3

4

− 1

− 2

− 3

− 4

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

B.

1

2

3

4

− 1

− 2

− 3

− 4

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

C.

1

2

3

4

− 1

− 2

− 3

− 4

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

D.

1

2

3

4

− 1

− 2

− 3

− 4

1 2 3 4 5 6− 1− 2− 3− 4− 5− 6

X

Y

E. Ninguno de los anteriores.

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teria

l fot

ocop

iabl

e

20. Respecto de la función

f(x) =

13

x

se cumple que:

I. Su dominio es .II. Es creciente.III. Se interseca con el eje de las ordenadas en el

punto (0,1).

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y III

E. I y III

21. De la función f(x) = x – 5 se puede afirmar que:

I. Está definida para todos los números reales.II. f(6) = 1III. El punto de coordenadas (8, 3) pertenece al

gráfico de f(x).

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. II y III

E. I, II y III

22. Respecto de la función f(x) =4 – log (x – 5), ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A. Su gráfica es simétrica respecto del eje X a la de la función g(x) = 4 + log (x – 5).

B. Su gráfica es simétrica respecto del eje Y a la de la función h(x) = 4 + log (–x – 5).

C. Su gráfica está desplazada horizontalmente 5 unidades hacia los negativos respecto de la gráfica de la función j(x) = 4 + log (x).

D. Su gráfica está desplazada verticalmente 4 unida-des hacia los positivos respecto de la gráfica de la función k(x) = log (x – 5).

E. Su gráfica es idéntica a la de la función l(x) = log (4x – 20).

23. ¿Cuál es la función correspondiente a la siguiente gráfica?

1

− 1

− 2

− 3

1 2 3 4 5− 1

X

Y

A. f(x) = x –1– 2

B. f(x) = x+1+2

C. f(x) = x –1+2

D. f(x) = x+2 –1

E. f(x) = x+1– 2

24. Respecto de la función f(x) = 2(0,5)x ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. f(1) = 1II. Se interseca con el eje X en el punto (2, 0).III. f es decreciente.

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. I y III

E. I, II y III

Plantear, resolver y analizar sistemas de ecuaciones lineales.

25. Si (x,y) es solución del sistema 3x – y =1x+2y = 5 , ¿cuál es el

valor de x + y?

A. 1

B. 2

C. 3

D. –1

E. 2

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137



41 2 3

26. ¿Con qué sistema de ecuaciones se representa el gráfico de la figura?

1

2

3

4

− 1

− 2

− 3

− 4

1 2 3 4− 1− 2− 3− 4

X

Y

A. x+y 1

x+y –2

==

B. 2x – 2y –1

2x+y –2

==

C. x – y –1

x – y –2

==

D. 4x – 2y –1

4x+2y –2

==

E. x – y –1

2x+y –2

==

27. Dado el sistema x+2y = m+nx – 2y = m – n

, ¿cuál es el valor de y?

A. n4

B. n2

C. n

D. –n2

E. –n4

28. Si (x, y) es solución del sistema x+2y = 82x – y =1

, ¿cuál es el

valor de x – y?

A. 1

B. 2

C. 3

D. –1

E. –3

29. Se puede afirmar que el sistema 2x – y = 84x – 2y = 4

tiene:

A. dos soluciones.

B. una única solución.

C. infinitas soluciones.

D. ninguna solución.

E. no se puede determinar el tipo de soluciones.

30. Pablo tiene 3 años más que Javier (J) y en tres años más las edades estarán en la razón 5 : 4. ¿Con cuáles ecuaciones se pueden determinar las edades de Pablo y Javier?

A. P – 3 J

4P 5J

==

B. P 3 J

4P 5J

+ ==

C. P – 3 J

4J 5P

==

D. P 3 J

5P 15 4J 12

+ =+ = +

E. P – 3 J

4P 12 5J 15

=+ = +

31. Un estudiante compró en el casino del colegio una bebida y dos hot dog en $2100, y al otro día compró un hot dog y dos bebidas del mismo tipo en $1800. ¿Cuánto debe pagar por 3 hot dog?

A. $ 500

B. $ 800

C. $ 1500

D. $ 2400

E. $ 3900

32. Se compraron 50 dulces; unos de $70 y el resto de $40 cada uno. Si en total se pagó $2150. ¿Cuántos dulces de $70 se compraron?

A. 5

B. 6

C. 44

D. 45

E. No se puede determinar.

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MATEMÁTICA 2.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE138


teria

l fot

ocop

iabl

e

33. La cantidad total de manzanas en dos cajas es de 36. Si de una de ellas se sacan 5 manzanas y se colocan en la otra, ambas quedan con la misma cantidad. ¿Cuántas manzanas tenía inicialmente la caja de mayor cantidad?

A. 23

B. 25

C. 30

D. 32

E. Ninguna de las anteriores.

34. Se puede determinar el valor de un MP3 si se sabe que:

(1) 2 MP3 + 1 MP4 = $ 71 980(2) 5 MP3 - 1 MP4 = $ 74 950

A. (1) por si sola.

B. (2) por si sola.

C. Juntas, (1) y (2).



35. Se puede afirmar que el sistema x+ky =1kx+y =1

tiene una

única solución si se sabe que:

(1) k = 1 (2) k = –1



C. Juntas, (1) y (2).



II. Analiza el enunciado y evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda.

f : {0} {0}, g : y

h : , con f(x) x , g(x) x 1

y h(x) x

� ∪ � ∪ � �

� �

→ →

→ = = +

=

+ + + +

A. la función g es creciente.

B. los puntos (4,2) y (4,-2) pertenecen al gráfico de f.

C. Si x ∈+, entonces ∀ x se tiene que g(x) > f(x).

D. Si w(x) = f(x) –2, entonces Dom(w) ⊆ Dom(f ).

E. Para cualquier x ∈, se tiene que f (x2) < h(x).

III. Resuelve los siguientes problemas.

36. La suma de las edades de Andrea y Alex es 29 años. Alex es 3 años mayor que Andrea. ¿Qué edades tienen Alex y Andrea, respectivamente?

37. Tres amigos establecen un negocio aportando respectivamente $ a, $ b y $ c. Al término de un año ganan $ g y deciden invertir $ h, y el resto retirarlo proporcionalmente según sus aportes. ¿Cuánto retiró la persona que aportó $ a?

139Unidad 1 • núMeros 139Unidad 3 • Álgebra

41 2 3SolucionarioActividad complementaria Nº1 Fracciones egipcias

1. a) 1319

=12

+16

+1

57

b) 1120

=12

+1

20

c) 815

=12

+1

30

Actividad complementaria Nº2 Función racional

1. Dom f = R – –23

,Rec f = R -53

, Asíntotas: x = –23

,

y =53

. Intersección eje X: 53

,0

. Intersección eje Y: (0, –2).

X

Y

− 2

− 2

2

4

6

8

−

−

−

6 82 4− 4− 6− 8

4

6

8

2. a) Para determinar el dominio, se analizan las restriccio-

nes de la fracción: ax +bcx + d

cx + d ≠ 0 x ≠ –dc

→ →

Para determinar el recorrido, se despeja la variable x:

y =ax +bcx + d

cxy + dy = ax +b

cxy – ax = b – dy

x cy – a = b – dy

x =b – dycy – a

( )

→

→→

→

Luego, para que la fracción no se indefina debe

ocurrir que y ≠ac

.

b) Cuando x toma valores cada vez más grandes en valor absoluto, ax y cx son mucho mayores que b

y que d, por lo que el valor de la fracción ax +bcx + d

se

va haciendo cada vez más cercano a axcx

=ac

, pero

sin ser nunca igual a dicho valor.

Actividad complementaria Nº3 Sistemas de 3 ecuaciones y 3 incógnitas

1. En el primer sistema, x = 5, y = -6, z = -11. El segun-do sistema tiene infinitas soluciones, mientras que el tercero no tiene solución.

2. a) El primer sistema es compatible determinado, el segundo es compatible indeterminado y el terce-ro es incompatible.

b) Para que sea compatible indeterminado, se debe llegar a una igualdad del tipo 0 = 0. Para que sea incompatible, se debe llegar a un absurdo.

c) La respuesta depende de cada estudiante.

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Realizar operaciones con fracciones algebraicas.

1 A2 D3 E4 A5 D6 E7 A8 B9 D

10 A11 A12 C13 D14 B15 E16 A17 A18 E

Analizar gráficamente las funciones raíz cuadrada, exponencial y logarítmica.

19 A20 E21 B22 C23 E24 D

Plantear, resolver y analizar sistemas de ecuaciones lineales.

25 C26 E27 B28 D29 D30 A31 D32 A33 A34 C35 E

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141UNIDAD 3 • ÁLGEBRA

41 2 3


A. VB. FC. VD. V

E. F

III. Preguntas de desarrollo

Problema 36 Problema 37CorrectaPlantea el sistema de ecuaciones correspondiente y obtiene que Alex tiene 16 años y Andrea 13.

CorrectaInterpreta correctamente la información y la traduce en

una fracción, obteniendo a + ab+ ac + ag – aha+b+ c

2

Parcialmente correctaPlantea el sistema pero lo resuelve en forma incorrecta, no responde la pregunta o la responde en forma incorrecta por no interpretar las variables correctamente.

Parcialmente correctaPlantea la fracción en forma incorrecta, obteniendo

expresiones como a + ab+ aca+b+ c

+ g – h2




Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Clave E C E C B D C D A

10. 168

11. 5a2a+5

12. x+y 850

1200x+2900y 1649 000

==


Realizar operaciones con fracciones algebraicas

1. Si c > a > b, entonces, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número negativo?

I. c – ac – b

II. a – bb – c

III. b – cc – a

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y III

E. II y III


con b +bb +b

4 5

2?

A. b2

B. b +b3b

4 3

C. bb

7

4

D. b11

E. 2b2


simplificar la fracción x – 6x+8x – 4

2

2?

A. x – 4

B. –6x – 2

C. x+4x+2

D. x – 4x – 2

E. x – 4x+2

4. ¿Cuál de las siguientes expresiones se obtiene al realizar la operación x

x+1+

xx –1

, suponiendo que x ≠ 1?

A. xx –1

2

B. 2xx –12

C. 2xx –1

2

2

D. x – 2x –12

E. 2x +2xx –1

2

2

5. Se tiene que p = x + xy, q = 2x. ¿Cuál de las siguien-tes expresiones es equivalente con p

q?

A. 1+xy2

B. 1+y2

C. 1+yx

D. 1+xyx


Analizar gráficamente las funciones raíz cuadra-da, exponencial y logarítmica

6. Respecto de la función f(x) = log2 (x+2), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. Si x = –2, f(x) = 1

II. Si x = 0, f(x) = 1

III. Si f(x) = 2, x = 2

A. Solo II

B. Solo III

C. I y II

D. II y III

E. I, II y III

Banco de preguntas

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143Unidad 3 • Álgebra

41 2 3

7. ¿Cuál de las siguientes funciones corresponde al gráfico?

1

− 1

1 2 3 4 5 6

X

Y

A. log (x – 2) – 1

B. log (x + 2) – 1

C. log (x – 2) + 1

D. log (x – 1) – 2

E. log (x – 2) – 1

Plantear, resolver y analizar sistemas de ecuacio-nes lineales

8. José y Ana compraron en el mismo lugar. José compró 1 kg de paltas y 1 kg de plátanos por $1200 y Ana compró 2 kg de paltas, que le costaron lo mismo que 3 kg de plátanos. ¿Cuánto cuesta 1 kg de paltas y 1 kg de plátanos, respectivamente?

A. $ 300 y $ 900

B. $ 400 y $ 800

C. $ 480 y $ 720

D. $ 720 y $ 480

E. $ 800 y $ 400

9. Si (x, y) es solución del sistema 3x – y –1= 0x+2y – 5 = 0

, enton-ces ¿cuál es el valor de (x, y)?

A. (1, 2)

B. (2, 1)

C. (1, 0)

D. (0, 2)

E. (0, 1)

Resolver problemas

10. La suma de dos números es 20 y su diferencia es 4. ¿Cuál es el triple del número menor más el cuadrado del mayor?

11. ¿Por qué fracción se debe multiplicar 12a – 5

, para

que el resultado sea equivalente a 5a4a – 252

?

12. Una librería ofrece la siguiente oferta:

- Libros infantiles a $ 1200.

- Novelas a $ 2900

Durante el mes se venden 850 de estos libros, re-caudando un total de $ 1 649 000. Si x representa la cantidad de libros infantiles e y el de novelas, ¿cuál es el sistema que representa la situación?

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Bibliografía

• Carreño, X. (2008). Álgebra. Capítulo I, II y III. Santiago de Chile, Editorial Arrayán.

• Miranda, H, Moya, M. (2008). Álgebra. El poder generalizador de los símbolos. Santiago: Centro Comenius, Univer-sidad de Santiago de Chile.

• Rodríguez, G. y escalante, M. (2008). Unidad función cuadrática y raíz cuadrada. Santiago: Centro Comenius, Universidad de Santiago de Chile.

• Spiegel, M.; Moyer, R. E. (2006). Álgebra Superior. Schwam. Mc Graw Hill

Sitios web

• Análisis de funciones exponenciales.

http://www.educar.org/enlared/planes/paginas/funcionexponencial.htm

• Actividades y ejemplos relacionados con la función logarítmica y su representación gráfica.


Información complementaria acerca de la historia de las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones lineales.

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/historia.html

• Ejemplos y actividades de los distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.


• Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales con solución única, con infinitas soluciones y sin solución, asociados a la relación entre las rectas que representan las ecuaciones.

http://descartes.cnice.mec.es/descartes2/previas_web/materiales_didacticos/Resolucion_grafica_sistemas_ecuaciones/Resolucion_grafica_sistemas.htm

• Archivo con los pasos en detalle de cómo utilizar las hojas de cálculo para resolver ecuaciones o sistemas de ecuaciones.

http://www.eduteka.org/HojaCalculo1.php

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unid

ad4Propósito

Datos y AzarUno de los objetivos de esta unidad es que los estudiantes comprendan que, para analizar la dispersión de datos, es razonable considerar las desviaciones respecto de la media, y se introduce el concepto de desviación estándar como herramienta para realizar ese análisis. Es conveniente que los estudiantes utilicen las medidas de tendencia central y las de posición para resumir bien la información, especialmente cuando hay un conjunto numeroso de datos.

Se incorpora el concepto de variable aleatoria y los alumnos la identifican como una herramienta fundamental para entender resultados de probabilidad y de estadística, y aplicar dichos resultados. Es el caso de la ley de los grandes números, en la cual se basa gran parte de la probabilidad y de la estadística y que los estudiantes trabajan de manera central.

También se busca que los alumnos caractericen eventos independientes, utilizando la medida de probabilidad, generen resultados donde intervienen este tipo de eventos y los apliquen para resolver problemas asociados al cálculo de probabilidades.

¿Qué sé?

• Los conceptos de población, muestra y experimento aleatorio. • El concepto de equiprobabilidad de eventos. • El principio multiplicativo y su uso para determinar el espacio muestral asociado a un experimento

aleatorio y la probabilidad teórica de un evento. • Calcular y determinar medidas de tendencia central y de posición.

¿Qué aprenderé?

• Calcular medidas de dispersión de un conjunto de datos. • Comparar muestras de datos usando medidas de dispersión y de posición. • Definir y aplicar variables aleatorias. • Calcular medias muestrales, inferir sobre la población y relacionar con la Ley de los grandes números. • Identificar eventos mutuamente excluyentes o independientes. • Calcular probabilidades de eventos independientes o mutuamente excluyentes.

¿Para qué?

• Para juzgar respecto a la representatividad del promedio de un conjunto de datos, y comparar dos o más de ellos entre sí.

• Para escoger muestras al azar de una población, que permitan realizar inferencias sobre ella. • Para distinguir tipos de sucesos asociados a un experimento, y mediante ello calcular su probabilidad. • Para resolver problemas que involucran conjuntos de datos y experimentos.

Ruta de aprendizaje

145Unidad 4 • datos y azar

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Marco curricular


• Población y muestra.

• Experimento aleatorio.

• Muestreo aleatorio simple.

• Equiprobabilidad de eventos.

• Principio multiplicativo.

• Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.

• Probabilidad teórica de un evento.

• Medidas de tendencia central.

• Medidas de posición: cuartiles y percentiles.

• Analizar información, utilizando la desviación estándar.

• Organizar datos, usando cuartiles y percentiles.

• Caracterizar variables aleatorias.

• Determinar medias maestrales.

• Conjeturar acerca de la relación entre la media muestral y la media de una variable aleatoria y verificar las conjeturas formuladas.

• Resolver problemas acerca de las probabilidades de sucesos independientes o mutuamente excluyentes.

Palabras clave

Rango, varianza, desviación estándar, medidas de posición, medidas de dis-persión, medidas de tendencia central, muestreo aleatorio, variable aleatoria, media muestral, media de la población, probabilidad.

Contenidos

• Medidas de dispersión: desviación estándar.

• Variables aleatorias.

• Media muestral.

• Ley de los grandes números.

• Pruebas independientes.

• Eventos independientes.

• Eventos mutuamente excluyentes.

• Cálculo de probabilidades de eventos independientes y mutuamente excluyentes.

Actitudes

• Interés por conocer la realidad al trabajar con información cuantitativa de diversos contextos.

MateMática 2.º Medio - GUía didáctica del docente 146


32 41

Sección 1: Dispersión y comparación de datosOF CMO AE Lecciones Evaluaciones

Comprender el concepto de dispersión y comparar características de dos o más conjuntos de datos, utilizando indicadores de tendencia central, de posición y de dispersión.

Determinación del rango, varianza y desviación estándar, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando, en forma manual y mediante el uso de herramientas tecnológicas.

Determinar el rango, la varianza y la desviación estándar de conjuntos de datos.

Lección 38: Medidas de dispersión de datos.

4 horas.


2 horas.


2 horas.Análisis de las características de dos o más muestras de datos, haciendo uso de indicadores de tendencia central, posición y dispersión.

Comparar características de dos o más conjuntos de datos, utilizando medidas de tendencia central, de posición y de dispersión.

Lección 39: Comparación de conjuntos de datos.

4 horas.








Sección 2: Muestreo y variable aleatoriosOF CMO AE Lecciones Evaluaciones

Comprender el concepto de variable aleatoria y aplicarlo en diversas situaciones que involucran experimentos aleatorios. Comprender que la media muestral de pruebas independientes de un experimento aleatorio se aproxima a la media de la población a medida que el número de pruebas crece.

Empleo de elementos básicos del muestreo aleatorio simple, en diversos experimentos, para inferir sobre la media de una población finita a partir de muestras extraídas.

Emplear elementos del muestreo aleatorio simple para inferir sobre la media de una población.

Lección 40: Muestreo aleatorio simple.

4 horas.


2 horas.


2 horas.Aplicación del concepto de variable aleatoria en diferentes situaciones que involucran azar e identificación de esta como una función.

Comprender el concepto de variable aleatoria y aplicarlo en diversas situaciones que involucran experimentos aleatorios.

Lección 41: Variable aleatoria.

4 horas.

Calcular medias muestrales.

Exploración de la ley de los grandes números, a partir de la repetición de experimentos aleatorios, con apoyo de herramientas tecnológicas y su aplicación a la asignaciónde probabilidades.

Verificar que, a medida que el número de pruebas crece, la media muestral se aproxima a la media de la población.

Lección 42: Medias muestrales.

4 horas.







32 41

Sección 3: Eventos excluyentes, independientes y probabilidadesOF CMO AE Lecciones Evaluaciones

Aplicar propiedades de la suma y producto de probabilidades, en diversos contextos, a partir de la resolución de problemas que involucren el cálculo de probabilidades.

Resolución de problemas de cálculo de probabilidades aplicando las técnicas del cálculo combinatorio, diagramas de árbol, lenguaje conjuntista, operatoria básica con conjuntos, propiedades de la suma y producto de probabilidades.

Resolver problemas en contextos diversos, aplicando las propiedades de la suma y el producto de probabilidades.

Lección 43: Conjuntos y probabilidades.

2 horas.


2 horas.


2 horas.

Lección 44: Producto y suma de probabilidades.

4 horas.

Lección 45: Eventos independientes.

2 horas.

Lección 46: Combinatoria y probabilidades.

4 horas.









Evaluación de la unidad. 320 - 323 2 horas




Sección 1Dispersión y comparación de datos

De esto se trata

Los estudiantes han trabajado en cursos anteriores, y en situaciones cotidianas de su vida, con indicadores de conjuntos de datos, de los que se busca “tener una idea”. Sus promedios de notas, particularmente, son una forma de resumir un proceso que puede tener altos y bajos, pero que se sintetiza en una sola nota que lo representa.

En otros ámbitos, como en la economía y las ciencias sociales en general, se trabaja también con promedios, pero se sabe que no siempre son suficientes por su sensibilidad frente a valores extremos. Esto hace que, como se muestra en el ejemplo planteado, algunos valores mucho más altos que los demás distorsionen el promedio, alejándolo de “la mitad” que se esperaría generalmente.

El tema planteado como inicio es actual y contingente en nuestro país, y puede dar pie a una interesante discusión con los estudiantes que pueden aportar e investigar. La es-tadística se considera una disciplina en un punto intermedio entre la matemática y las ciencias sociales, lo que puede ser una oportunidad interesante para motivar a los estudiantes que suelen tener más interés en ellas.

¿Qué debes saber?

Calcular y determinar medidas de tendencia central

Verifique que los estudiantes aplican correctamente las fórmulas (para el cálculo del promedio y la mediana) y comprendan el concepto de moda, para poder deter-minarlo. Si es necesario, repase sobre todo la mediana, considerando los casos en que la cantidad de datos es par o impar.

Calcular y determinar medidas de posición

Recuerde a los estudiantes el significado de cada indica-dor de posición y su notación, y relaciónelos con la mediana (que es un caso particular de cuartil). Haga especial énfasis

en la necesidad de proceder ordenadamente, escribiendo primero los datos de menor a mayor y luego determinando los indicadores. Si es preciso, pida a los estudiantes que trabajen en una hoja aparte y verifique que, al traspasar cada dato a la hoja, lo tachan en el libro para no repetirlo en el conteo.

38 Medidas de dispersión de datos

Págs. 262 a 265

PropósitoDeterminar indicadores de dispersión de un conjunto de datos.

Palabras clavePromedio, dispersión, rango, máximo, mínimo, homogé-neo, heterogéneo

Prerrequisitos § Cálculo de promedio e indicadores de tendencia central. § Operatoria con raíces, fracciones y valor absoluto.

Activación de ideas previasEn el texto se presenta una situación de análisis del rendi-miento académico durante un semestre, lo que es bastante cotidiano para los estudiantes. Puede pedirles que consi-deren las calificaciones obtenidas en alguna asignatura du-rante el semestre anterior y que a partir de ellas respondan preguntas como las siguientes:

• ¿Cuál fue mi promedio?

• ¿Hay pruebas en las que me fue muy bien y otras en las que me fue muy mal? ¿Me fue siempre bien? ¿Me fue siempre mal?

• ¿Cómo comencé el semestre? ¿Cómo lo terminé?

• ¿Hay una nota en especial que me subió o bajó el promedio?

A partir de ello, pueden ir comprendiendo que el promedio da una información, pero que también oculta otras que pueden ser interesantes para realizar la evaluación de una situación o de un proceso.




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Orientaciones didácticasEn esta lección se presenta paso a paso la forma de cal-cular el rango, la varianza y la desviación estándar, pero es necesario que los estudiantes no solo calculen sino que comprendan lo que están haciendo.

Lo anterior es complejo en el caso de la desviación están-dar, ya que sin poder realizar aun una comparación entre conjuntos de datos (que se abordará en la lección siguiente) no es posible para los estudiantes comprender qué quiere decir exactamente el valor de la desviación estándar, ni juzgar si es alto o bajo. Para ello, puede resumir el proceso presentado en la lección al final de ella, pero presentándolo en el siguiente orden:

• Se plantea que la dispersión indica “qué tan lejanos o distintos” son los valores al promedio. Para ello, lo natural es fijarnos en la diferencia entre cada dato y el promedio.

• Se calcula el promedio de las diferencias de los datos al promedio. Como este valor será igual a 0, no sir-ve como indicador, por lo que se debería considerar el valor absoluto. Esto justifica el cálculo de la desvia-ción media.

• Otra forma de asegurarnos de que la diferencia siem-pre sea positiva es elevarla al cuadrado. Así obtenemos la varianza.

• Si los valores se elevan al cuadrado, sus unidades tam-bién. Por lo mismo, se extrae la raíz para obtener la desviación estándar.

Algunos errores de los estudiantes pueden provenir de un manejo inadecuado de la operatoria de raíces y fracciones algebraicas, pese a que han sido abordadas en unidades ante-riores. Se recomienda, de cualquier manera, presentar algunas fórmulas de repaso y verificar su aplicación por parte de los estudiantes.

Un error frecuente es asumir que los indicadores estadísticos tienen un valor en sí mismos, es decir, que se puede hablar de un promedio o desviación estándar “alto” o “bajo” por sí solos. Para evitarlo, comente los ejercicios una vez realizados y compare los diversos contextos en los que se presentan.

Errores frecuentes

.

Actividades complementariasPuede encontrar información complementaria respecto de la desviación estándar en http://www.cca.org.mx/cca/cursos/ estadistica/html/m11/desviacion_estandar.htm. La distri-bución normal no es contenido del curso y requiere más he-rramientas de análisis, pero pueden abordarse intuitivamente algunos aspectos como la distribución de la población en forma cercana al promedio, con presencia de menos casos al alejarse de este valor tanto por exceso como por defecto.

39 Comparación de conjuntos de datos

Págs. 266 a 269

PropósitoComparar dos o más conjuntos de datos utilizando dis-tintos indicadores.

Palabras claveComparación, indicador, homogéneo, heterogéneo, dis-perso, posición

Prerrequisitos § Cálculo de indicadores de posición y de dispersión.

Activación de ideas previasLa lección presenta una situación relacionada con el deporte que puede ser cercana para los estudiantes, ya que el uso de indicadores estadísticos es común para analizar rendi-mientos de deportistas individuales o de equipos.

Puede analizar junto con los estudiantes el rendimiento deportivo reciente de algún equipo o deportista, compa-rándolo a través del tiempo en distintas etapas. Utilizando los indicadores calculados en la lección anterior, los estu-diantes pueden determinar si ha sido variable o constante, sus altos y bajos, etc.

Orientaciones didácticasLa comparación de conjuntos de datos es lo que da sentido al cálculo de indicadores de dispersión, como se mencionó en la lección anterior, por lo que es fundamental que los estudiantes sean ahora capaces de aplicar lo aprendido y comprendan el valor de estos indicadores y su utilidad.



Es fundamental que integre el uso de indicadores estadís-ticos en el análisis y comparación de conjuntos de datos, sin utilizarlos por separado. Enfatice que, para comparar los datos de ambas jugadoras, no tiene sentido solo fijarse en el rango o en el promedio, sino lo que ambos indicadores nos muestran y, podemos seguir complementando el análisis con los indicadores de posición.

Verifique que los estudiantes comprenden el concepto de cuartil y lo aplican correctamente. Para ello, cada vez que se mencione por ejemplo, el primer cuartil, señale que un 25% de los datos es menor o igual que dicho valor.

La lección presenta la necesidad de escoger a una jugadora u otra. Es importante que plantee la pregunta a los estu-diantes y ellos puedan dar sus opiniones, lo que permitirá dar mayor sentido a la conclusión: la decisión final de la DT dependerá de lo que se esté buscando.

El punto anterior es importante de destacar pues en esta-dística rara vez las respuestas a preguntas de este tipo son únicas, sino que hay muchos elementos en el contexto que las determinan. Recalque esto para mostrar la profunda re-lación entre la estadística y las ciencias sociales, presentada en el inicio de esta sección.

Entre los ejercicios propuestos se presenta el cálculo del coeficiente de variación (CV), que se utiliza para comparar la dispersión entre conjuntos de datos que no utilizan las mismas unidades de medida o que se encuentran en rangos muy distintos. Es importante que presente a los estudiantes, en todo caso, sus limitaciones, especialmente cuando el promedio es cercano a 0 y distorsiona la división.

Algunos errores cometidos por los estudiantes pueden de-berse a un manejo incorrecto de fracciones algebraicas y de raíces. Repase la operatoria en estos casos para corregirlos.

Un error frecuente es la utilización de un indicador de dis-persión para comparar dos conjuntos de datos, por ejemplo, considerar solo que el rango es suficiente para juzgar el grado de dispersión. En los ejercicios propuestos para esta lección y la anterior se presentan casos en los que se pide a los es-tudiantes construir un conjunto de datos con indicadores de dispersión determinados; utilícelos para mostrar que puede haber muchos conjuntos y por lo tanto, en general, siempre es necesario considerar los indicadores más ampliamente.

Errores frecuentes


a) Para reforzar el uso del CV, presente a los estudiantes la siguiente situación:

• Pablo estudia en Chile, y sus notas en un semestre son

2 – 3,4 – 4,7 – 4,9 – 5,3 – 6 - 6

• Isabel estudia en Argentina, donde las notas van de 0 a 10. Sus calificaciones han sido las siguientes:

3,3 – 4 – 4,2 – 6,1 – 6,5 – 8,7 – 9,2

¿Quién tiene un rendimiento más heterogéneo?

Puede presentar la situación anterior antes del ejercicio propuesto, para que los estudiantes la analicen y lleguen a la conclusión de que es necesario definir indicadores para estos casos.

b) En cierto aeropuerto, se ha generado un serio conflicto debido a los tiempos (en minutos) que los aviones de-moran en despegar los días de alto tráfico. La siguiente tabla registra el tiempo de duración del despegue de los vuelos en las dos últimas semanas.

Tiempo de duración, en minutos, del despegue de vuelos en las últimas dos semanas

Semana 1 Semana 2

Lunes 4 6,9

Martes 4,6 7,9

Miércoles 8 11,8

Jueves 10 8,1

Viernes 5,9 9,7

Sábado 6,8 8,4

Domingo 9,9 8,7

• ¿Cuál es el rango de los tiempos de duración del despegue de los vuelos en cada semana?

R: Semana 1: 6 minutos; semana 2: 4,82 minutos.

• ¿En qué semana los tiempos del despegue fueron más homogéneos? Justifica.

R: En la semana 2, ya que su coeficiente de variación es menor. Además, el rango es menor que en la semana 1.



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Página 270


Es muy importante que estimule a los estudiantes a participar activamente en la resolución de problemas. Para esto, puede solicitarles que intenten en primer lugar resolver el problema planteado sin mirar la resolución propuesta, para luego discu-tir en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla.

El problema planteado para esta sección involucra e integra los contenidos abordados, y se presenta en forma distinta a otros al pedir que se evalúe la afirmación realizada. Puede utilizar esta actividad para reforzar en los estudiantes la idea de que lo homogéneo o heterogéneo de un conjunto de datos se analiza a partir de su dispersión.


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El análisis de errores permite, de manera efectiva y concreta, detectarlos y corregirlos. Es importante que estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y así desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos.

El primer error presentado tiene que ver con un incorrecto aprendizaje de fórmulas; puede servir para detectar si los estudiantes las han integrado adecuadamente y las aplican. Si observa que muchos estudiantes cometen este tipo de errores, permítales usar un formulario hasta que adquieran la costumbre y resuelvan sin él, ya que habrán memorizado adecuadamente.

El segundo error fue mencionado anteriormente: considerar solo un indicador (el rango) para comparar la dispersión de dos conjuntos. Puede analizar este error volviendo al tema inicial de la sección, mostrando que en ocasiones los valores extremos distorsionan los datos y nos pueden conducir a conclusiones erradas.


Págs. 272 y 273


Determinar indicadores de dispersión de un conjunto de datos.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Repase con los estudiantes la definición de cada indicador, verificando si los distinguen y conocen los mecanismos y/o fórmulas para calcularlos.

Considere que algunas preguntas incluyen análisis y comprensión de los conceptos involucrados para, por ejemplo, crear un conjunto de datos que cumplan condiciones determinadas. Es muy conveniente que ponga en común con los estudiantes los métodos empleados y analice junto a ellos su pertinencia, efectividad y corrección.

Comparar dos o más conjuntos de datos utilizando distintos indicadores.

10, 11 y 12 Este indicador está directamente ligado con el anterior, por lo que incluso puede pedir a los estudiantes que realicen la evaluación en forma separada, primero el cálculo de los indicadores y luego la comparación de datos, con el fin de verificar que cuentan con las herramientas necesarias para analizar y las aplican correctamente.

Inste a los estudiantes que hayan tenido buen desempeño que expliquen a los estudiantes que presenten dificultades, las técnicas empleadas, ya que en este contenido el apoyo de los pares puede ser más significativo y eficiente.



Sección 2Muestreo y variable aleatorios

De esto se trata

Los estudiantes han visto en cursos anteriores la dife-rencia entre población y muestra, y probablemente han reflexionado también en su vida cotidiana respecto de la imposibilidad de conocer los datos de un conjunto total de personas, y por ende la conveniencia de escoger un grupo de estudio que conocemos como muestra.

Sin embargo, uno de los principales problemas en la estadística es precisamente la selección correcta de una muestra, o dicho con mayor precisión, de una muestra que permita efectivamente extrapolar lo observado en ella a toda la población. Es claro que si la muestra solo responde a algunas características de la población, extender lo ob-servado en ella puede no ser correcto.

Para graficar en lo que consiste el muestreo, suele utili-zarse la analogía de la olla de sopa: la persona que cocina la revuelve, prueba una cucharada y con ello puede saber si, por ejemplo, está bien de sal. Pero en el caso de una po-blación, nunca estamos completamente seguros de hasta qué punto hemos logrado “revolverla”, y por lo mismo de si la “cucharada” extraída es la más representativa. Esto es lo que, finalmente, confiamos al azar: se espera que si no hay intencionalidad en la extracción de la muestra, esta realmente será representativa. Por supuesto, esto requiere de algunas hipótesis sobre cómo se distribuye la población, pero el análisis al respecto está fuera de las posibilidades de este curso.

¿Qué debes saber?

Definir población y muestras, y extraerlas

Es preciso que aclare a los estudiantes que una misma población puede tener diversas muestras, y que una situa-ción de estudio determina una población (sobre quienes nos interesa saber algo) y a partir de ella, una muestra.

Para la pregunta 2, puede ser necesario repasar el cálculo del tamaño de la muestra (combinación de elementos), e insistir a los estudiantes en que primero calculen la cantidad

de muestras y luego las determinen, para poder verificar que efectivamente las han encontrado todas.

Definir espacios muestrales, eventos, y calcular probabilidades

Puede ser necesario, en este caso, recordar el concepto de espacio muestral y la regla de Laplace para el cálculo de probabilidades. Es también la ocasión de enfatizar en la necesidad de seguir procedimientos sistemáticos para el cálculo, como se presenta en la pregunta 5: determinar la cardinalidad del espacio muestral, los casos favorables y luego aplicar la regla.

40 Muestreo aleatorio simple

Págs. 276 a 279

PropósitoUtilizar métodos de muestreo aleatorio simple.

Palabras claveMuestra, población, aleatorio, escoger, azar

Prerrequisitos § Definición de población y muestra. § Definición de experimento aleatorio.

Activación de ideas previasConsulte a los estudiantes por diversas situaciones que re-quieran extraer una muestra, y plantee las preguntas ¿cómo garantizar que la muestra se extrae realmente al azar?, ¿qué podemos hacer para que efectivamente lo sea?

Considere las ideas que planteen los estudiantes y estimule el debate. La conversación puede apuntarse especialmente a la imposibilidad de considerar a las personas como “fichas” o “bolitas”, y por lo mismo también puede asociarse el pro-blema de la identificación de cada persona.

Orientaciones didácticasEn la lección se plantea la diferencia entre media muestral y poblacional. A pesar de que la diferencia entre ambas es evidente (conceptualmente), es importante que en cada ocasión insista a los estudiantes que identifiquen siempre de cuál de ellas se está hablando, para evitar confundirse y caer en interpretaciones incorrectas (sobre todo, si se interpreta la media muestral como poblacional).



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En el trabajo con calculadora, es ideal que se pueda contar con un modelo similar de ellas para cada estudiante, y que puedan trabajar individualmente. Si no es posible, verifique los distintos modelos y si es necesario permítales explorar un momento, utilizando la calculadora para distintas opera-ciones hasta asegurarse de que la emplean adecuadamente.

Si va a usar planilla de cálculo, las distintas versiones de software pueden presentar complicaciones. Por ello, aun-que es conveniente que la utilicen ellos mismos, realice un resumen final buscando abarcar todas las formas posibles, recalcando que los procedimientos en cada caso pueden ser diferentes.

Considere las preguntas planteadas en la sección Razona y comenta, y permita que los estudiantes las discutan. Pueden quedarse con la idea de que lo único que se debe conside-rar en un muestreo es que sea aleatorio, siendo que —como en muchas cosas relacionadas con la estadística— es la necesidad particular y la situación que se estudia lo que determina qué es más adecuado.

En ocasiones, los estudiantes utilizan métodos para escoger números aleatorios que, en realidad, no son aleatorios. Por ejemplo, si deciden elegir un número al azar y a partir de él contar, por ejemplo, de tres en tres, este procedimiento puede parecer aleatorio ya que el número inicial lo es, pero el proce-dimiento posterior es sistemático.

Errores frecuentes


a) Para los alumnos con mayor dificultad trabaje la si-guiente actividad.Interpreta cada situación. Luego, marca con una X en cada caso dependiendo si se describe una población o una muestra.

Enunciado Muestra PoblaciónEstatura de todos los estudiantes de un colegio XLas calificaciones de 5 estudiantes de un curso con un total 30.

X

Edades de los hijos de los trabajadores de una empresa. XDeporte favorito de 40 estudiantes de los colegios de una comuna.

X

Enfermedades crónicas de un grupo de pacientes de un consultorio.

X

Salario promedio de los habitantes de una ciudad. XNúmero de llamadas diarias realizadas por los clientes de una compañía de telefonía móvil.

X

b) Dentro de los ejercicios propuestos, y a final de la uni-dad (en la sección de profundización) se presentan otros tipos de muestreo.

Plantee a los estudiantes la discusión, ¿será siempre lo más adecuado extraer la muestra completamente al azar?, si no, ¿en qué casos no lo será?

En los casos en que lo conveniente no es extraer la mues-tra en forma aleatoria, se puede discutir con los estudian-tes respecto de los criterios para establecer la forma de extraerla, y si estos criterios no son efectivamente un sesgo. Por ejemplo, puede plantear la situación de una empresa que realizará una encuesta y debe decidir si realizarla por medio de alguna red social o por teléfono.

Si escoge hacerla por teléfono, puede abarcar a más personas —los más adultos, por ejemplo, es más proba-ble que utilicen el teléfono a las redes sociales—, pero responder una encuesta telefónica no permite elegir el momento de hacerlo, lo que puede constituir un sesgo. Si se hace por medio de las redes sociales se llegará a un público más joven, acostumbrado a dar su opinión por este medio.

Puede pedir a los estudiantes que investiguen respecto de la forma en que se extraen las muestras de encuestas nacionales, y comparen su confiabilidad.

Otro aspecto interesante del muestreo aleatorio es la posibilidad de repetición. Al escoger los números al azar, existe la posibilidad de escoger un número deter-minado más de una vez, lo que implica que un mismo valor se cuenta dos veces y nos hace tener una visión distorsionada de la población.

Frente a esto, es preciso aclarar que si la población se considera muy grande (en términos prácticos, infinita), la posibilidad de repetición se torna cada vez menor, y en caso de ocurrir genera una distorsión casi despreciable, por lo que no vale la pena preocuparse. En caso de que la población sea muy pequeña, conviene resguardarse de esto, para obtener resultados más confiables.



41 Variable aleatoria

Págs. 280 a 283

PropósitoDefinir y aplicar una variable aleatoria asociada a un ex-perimento.

Palabras claveExperimento aleatorio, espacio muestral, probabilidad, función, dominio, recorrido

Prerrequisitos § Determinación de espacio muestral de un experimen-to aleatorio.

§ Cálculo de probabilidad de un suceso. § Determinación de una función, su dominio y recorrido.

Activación de ideas previasEl contenido que se aborda en esta lección es nuevo para los estudiantes, por lo que la activación de ideas previas puede realizarse a partir del concepto de función.

Puede preguntar a los estudiantes por situaciones que se han modelado en cursos anteriores por medio de funciones. A partir de ello, señale que a varios elementos del dominio se les puede asignar un mismo valor del recorrido. Por ejem-plo, si considera la función que asigna a cada estudiante del curso el número de hermanos que tiene habrá algunos de ellos a los que les corresponde el valor 0 (no tienen hermanos), a otros les corresponderá el 1, etc. En el estudio de las variables aleatorias se enfrentarán, especialmente, a este tipo de funciones.

Orientaciones didácticasUna variable aleatoria es una función que nos permite ana-lizar la probabilidad de sucesos compuestos. En particular, define un valor numérico asociado a ciertos casos del es-pacio muestral, de los cuales se calcula su probabilidad.

Para explicar este contenido, utilice la representación con-juntista de función que se presenta; el apoyo gráfico suele ser de gran utilidad para los estudiantes.

Desde un principio, recalque a los estudiantes que, al rea-lizar un experimento, podemos observar distintos tipos de resultados. En el caso de los dados, podría considerarse la

diferencia entre los valores obtenidos, la diferencia en valor absoluto, el producto, o cuántos dados indican el 5, por ejemplo. Esto induce a otras variables aleatorias, con dis-tinto dominio y recorrido, que se pueden analizar. Si desea, a partir del mismo ejemplo presentado puede analizar los descritos anteriormente.


a) Analiza cada situación. Luego, define la variable aleatoria correspondiente y represéntala en un diagrama sagital.

• Se elige al azar un número entre 1 y 9, ambos inclusive, y se cuenta el número de letras que tiene al escribirlo con palabras.

• Se lanza un dado de seis caras y se calcula la diferencia entre el número de puntos obtenidos y el número 6.

b) Se elige al azar una de las letras de la palabra MURCIÉLAGO y se observa si esta es vocal o consonan-te. Plantea una variable aleatoria y escribe la función de probabilidad asociada.

c) Para el experimento aleatorio A: elegir al azar un núme-ro natural nde tal forma que 10 < n < 20, se cuenta la cantidad de divisores que tiene. Escribe la función de probabilidad asociada.

Respuestas:

a)

123456789

3

4

5

6

123456

0

1

2

3

4

5

b) Se asigna 0 a una vocal. Se asigna 1 a una consonante.

MURCIELAGO

0

1

f (0) = 12

f (1) = 12



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c)

111213141516171819

2

4

5

6

f (2) = 49

f (4) = 29

f (5) = 19

f (6) = 29

Como se mencionó, algunos errores de los estudiantes pueden provenir de una inadecuada comprensión del concepto de función. Repase cuidadosamente antes de abordar esta unidad.

Puede ser confuso para los estudiantes llamar “variable” a una función; si bien se presta efectivamente para errores señáleles que el valor de la variable independiente es el resultado de un experimento aleatorio, por eso se utiliza ese nombre.

Errores frecuentes

42 Medias muestrales

Págs. 284 a 287

PropósitoCalcular y analizar el comportamiento de las medias muestrales.

Palabras claveVariable aleatoria, muestra, población, Ley de los grandes números, probabilidad

Prerrequisitos § Determinación de una variable aleatoria asociada a un experimento aleatorio.

§ Estimación de resultados a partir de la ley de los gran-des números.

§ Cálculo de probabilidades teóricas y experimentales utilizando regla de Laplace.

Activación de ideas previasLos estudiantes han analizado y explorado en cursos ante-riores la ley de los grandes números en distintos casos y para distintos tipos de experimentos aleatorios, por lo que ya de-ben estar interiorizados en esto. No está de más recordarles

la naturaleza experimental de la ley de los grandes números, es decir, reiterar que describe una tendencia esperable en los resultados y no garantiza que deba cumplirse en cada caso en particular.

Orientaciones didácticasComo se mencionó, los estudiantes han visto en cursos anteriores la ley de los grandes números en distintos casos, pero siempre asociada directamente al resultado directo o individual de un experimento (“a la larga, un sexto de las tiradas de un dado serán un 6”). Un aspecto central de esta lección es que esta ley puede analizarse también a partir de los medios muestrales.

La formulación de la ley de los grandes números conoci-da por los estudiantes plantea que, por ejemplo, luego de muchos lanzamientos de una moneda, la mitad de ellos aproximadamente serán "cara". Existe también la formu-lación estadística, que afirma que la media de las medias muestrales se aproxima a la media poblacional. Se busca aquí enlazar ambas formulaciones estimando que los re-sultados posibles de un experimento pueden considerarse una población infinita, de manera que cada conjunto de resultados constituye una muestra. Recalque estos aspectos en el análisis de la situación presentada.

Actividades complementariasProfundice y conecte con otras áreas por medio de la si-guiente actividad.

Si tomamos un texto cualquiera, se puede definir la variable aleatoria “frecuencia de cada letra”. Cada texto puede ser considerado una muestra de la población correspondiente a todos los textos escritos en castellano.

a) Averigua la frecuencia de cada letra, en un texto cual-quiera en castellano.

b) Calcula la frecuencia de cada letra en un texto que consigas (de preferencia de algún libro) de más de 300 palabras. Puedes utilizar un procesador de texto. ¿Coin-ciden tus valores obtenidos con los teóricos? Explica.

c) En el cuento “El escarabajo de oro”, de Edgar Allan Poe, un investigador descifra un mensaje encriptado utili-zando la frecuencia de cada letra en un texto.

Si se considera un texto cualquiera en castellano (lo su-ficientemente extenso), las letras en él suelen tener las siguientes frecuencias aproximadas:



Letra frec Letra frec Letra frec

A 12,53 J 0,44 R 6,87

B 1,42 K 0,01 S 7,98

C 4,68 L 4,97 T 4,63

D 5,86 M 3,15 U 3,93

E 13,68 N 6,71 V 0,90

F 0,69 Ñ 0,31 W 0,02

G 1,01 O 8,68 X 0,22

H 0,70 P 2,51 Y 0,90

I 6,25 Q 0,88 Z 0,52

Un texto en castellano constituye una muestra de la “pobla-ción infinita” que constituyen todos los textos en castellano existentes o por existir.

En el texto encriptado del cuento de Allan Poe, cada letra había sido remplazada por otra cualquiera (por ejemplo, se remplaza la A por la F, la B por la Q, la C por la N, etc). Sa-biendo esto, se puede contar la frecuencia de las letras en el texto encriptado y compararlas con las de la tabla anterior; probablemente la letra que más se repite corresponderá a la E, la segunda con mayor frecuencia, a la A, y así para cada letra (aunque en el texto original, Allan Poe lo realiza en inglés, el razonamiento es el mismo). Otras letras pueden, además, deducirse mediante razonamientos lógicos

Puede acceder a este relato completo en:

http://es.wikisource.org/wiki/El_escarabajo_de_oro_(Versi%C3%B3n_para_imprimir)


Página 288


Es muy importante que estimule a los estudiantes a participar activamente en la resolución de problemas. Para esto, puede solicitarles que intenten en primer lugar resolver el problema planteado sin mirar la resolución propuesta, para luego discu-tir en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla.

El problema presentado en esta sección tiene como obje-tivo modelar situaciones que involucran variable aleatoria, aunque en este caso puntual podría resolverse sin ella. Con-viene que ejerciten con problemas de este tipo ya que la verificación de la solución obtenida es sencilla, lo que les permite adquirir mayor seguridad. De todos modos, ínste-los a poner en común las estrategias que hayan seguido y valorar las de cada uno en cuanto apunten correctamente a la resolución del problema.


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El análisis de errores permite, de manera efectiva y concreta, detectarlos y corregirlos. Es importante que estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y a desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos.

El primer caso que se aborda se relaciona con la correcta identificación de los casos favorables y los casos totales, es-pecialmente cuando deben diferenciarse o no los casos. Esta confusión es común entre los estudiantes, especialmente porque hacerlo no depende de una regla matemática sino de una adecuada comprensión del problema.

El segundo caso constituye un error conceptual, como es asumir que la media muestral es igual, necesariamente, a la poblacional. Es necesario que insista en este punto siempre, al abordar los contenidos y en el análisis de este tipo de problemas, ya que al constatar el error puede quedar más clara la diferencia entre ambas.



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Págs. 290 y 291


Utilizar métodos de muestreo aleatorio simple.

1, 2 y 3 Las dificultades asociadas a este indicador provienen esencialmente de una incorrecta comprensión del muestreo aleatorio simple y, especialmente, de las condiciones necesarias que deben cumplirse para que lo sea. Al revisar los resultados con los estudiantes, enfatice que en el muestreo aleatorio los elementos escogidos en la muestra deben haber sido seleccionados con un método homologable al lanzamiento de un dado, sin condiciones iniciales ni nada que limite su posibilidad de elección.

Definir y aplicar una variable aleatoria asociada a un experimento.

4, 5, 6 y 7 Para este indicador conviene que repase el proceso de definición de una variable aleatoria, desde la observación de un experimento, la determinación de su espacio muestral, la asignación de valores numéricos a los resultados y sus probabilidades.

Enfatice en el tratamiento gráfico de la variable aleatoria, utilizando la representación mediante un diagrama sagital. Facilitará mucho la comprensión de los estudiantes.

Calcular y analizar el comportamiento de las medias muestrales.

8, 9 y 10 Verifique que los estudiantes no confundan la media muestral y la poblacional, y distingan que su similitud es probabilística en la medida que el número de repeticiones del experimento aumenta.

Para las preguntas 9 y 10, supervise la correcta determinación de la variable aleatoria involucrada, repasando si es preciso las preguntas del indicador anterior.



Sección 3Eventos excluyentes, independientes y probabilidades

De esto se trata

En muchas situaciones de nuestra vida cotidiana, utiliza-mos las probabilidades pero sin la regla de Laplace, sino a partir de la observación de ciertas regularidades. Así, lo que no nos ocurre frecuentemente (encontrar a una persona a la que no vemos hace mucho tiempo, por ejemplo), lo consideramos algo poco probable, mientras que estimamos el tiempo empleado en desplazarnos desde nuestra casa a nuestro lugar de estudio en forma probabilística, según lo que nos solemos demorar. Por lo mismo, suponemos que si alguien tarda más de lo esperado puede haber tenido algún inconveniente.

Un segundo paso es establecer relaciones entre los su-cesos que observamos y sus probabilidades. Este procedi-miento fue, en la historia de la humanidad, el primer paso en el uso del método científico, al intentar establecer causas y efectos. El ser humano en las cavernas poco a poco fue asociando el aspecto del cielo y su color, la velocidad del viento y la temperatura con las lluvias, por ejemplo, lo que le permitió preverlas. Día a día hacemos estas asociaciones, pero muchas veces que dos sucesos ocurran a la vez no im-plica, necesariamente, que estén directamente relacionados o que uno influya en la probabilidad del otro. Nuestro afán de anticiparnos a los hechos para prever sus consecuencias muchas veces nos puede llevar a conclusiones equivocadas producto de un análisis apresurado, o de una incorrecta interpretación de las probabilidades involucradas.

¿Qué debes saber?

Definir casos, eventos y calcular probabilidades

Para este indicador, se sugiere repasar los conceptos de caso y evento —considerando que ya dominan los de experimento aleatorio y espacio muestral—. Es importante que aclare a los estudiantes que, en general, se utiliza “caso” para determinar un resultado individual y “evento” o “suceso” para señalar un conjunto de casos. Debe aclararse que dicho conjunto puede tener un solo elemento (por lo que en rigor

un caso también es un evento), ser igual al espacio muestral o ser el conjunto vacío. Puede apoyarse con el ejemplo del lanzamiento de un dado, estableciendo que:

• los casos de este experimento (es decir, los posibles resultados son 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

• el evento “sale un número par” es el conjunto {2, 4, 6}

• el evento “sale un número primo par” es {2}.

Utilizar el principio multiplicativo para calcular probabilidades

Para este indicador, se sugiere utilizar apoyos gráficos en la resolución de los ejercicios, que les permitan a los estudiantes visualizar este principio y con ello recordarlo y aplicarlo. Una forma sencilla de hacerlo es mediante tablas de doble entrada, que permiten observar fácilmente que la operación involucrada es una multiplicación. Así, por ejem-plo, para el ejercicio 4, puede mostrar que:

Dado

1 2 3 4 5 6

MonedaC (1, C) (2, C) (3, C) (4, C) (5, C) (6, C)

S (1, S) (2, S) (3, S) (4, S) (5, S) (6, S)

Donde ya es fácil ver que hay 6 • 2 = 12 casos

43 Conjuntos y probabilidades

Págs. 294 a 297

PropósitoUtilizar conjuntos y su operatoria en el cálculo de proba-bilidades.

Palabras claveConjunto, unión, intersección, complemento, espacio muestral, disjunto

Prerrequisitos § Aplicación de la regla de Laplace para el cálculo de probabilidades.



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Activación de ideas previasEs posible que los estudiantes no hayan visto la repre-sentación y la operatoria de conjuntos de manera formal en cursos anteriores, pero sí cabe esperar que tengan un conocimiento intuitivo de ellos. Plantee especialmente situaciones como las siguientes, para que comiencen a di-ferenciar algunas expresiones relacionadas con la operatoria de conjuntos:

• En un curso, los alumnos practican básquetbol o vo-leibol (unión).

• En el curso, hay alumnos que practican básquetbol y voleibol (intersección).

• En el curso, hay alumnos que practican básquetbol pero no voleibol (diferencia).

Orientaciones didácticasAnalice la situación planteada junto a los estudiantes, si-guiendo cada uno de los pasos. Si es necesario, copie el esquema en la pizarra y complételo junto con ellos, ha-ciendo énfasis en la zona respectiva con la que se identifica cada proposición.

Es fundamental que los estudiantes sean capaces de re-lacionar proposiciones en lenguaje de conjuntos con su representación en diagramas de Venn. Por lo tanto, presente a los estudiantes ejercicios en los que deban representar en un dibujo una situación planteada, y ejercicios en los que a partir de la representación en el diagrama deban escribir-la en lenguaje de conjuntos. En los ejercicios propuestos (ejercicio 5) se le pide representar gráficamente; puede com-plementar esta actividad utilizando las representaciones realizadas por los estudiantes y preguntarles qué situación está dibujada en cada caso.

Puede ocurrir que los estudiantes, en primera instancia, asu-man que la disyunción “o” es excluyente, pues así suele ser en el lenguaje natural. Así, pueden pensar que si decimos que una persona tiene corderos o vacas significa que solo tiene un tipo de animal, no ambos.

Conviene aclarar este punto con ellos y mostrarles que la disyunción puede ser incluyente y de hecho lo es en ma-temática. Existen casos en que la disyunción es excluyente por la naturaleza de la situación (por ejemplo, si hablamos de hombres o mujeres no habrá personas que sean “hombre y mujer”), pero esta no es la norma en el lenguaje matemático.

Errores frecuentes


a) Analiza la información entregada en la tabla y luego responde.

Detalle de los estudiantes asistentes al ensayo PSU

Cursos 3º A 3º B 4º A 4º B Total

Mujeres 16 20 21 21 78

Hombres 20 18 17 19 74

Total 36 38 38 40 152

• ¿Cuál es la probabilidad de que esta corresponde a la de un estudiante de tercero medio?

• ¿Cuál es la probabilidad de que esta corresponde a la de una mujer?

• ¿Cuál es la probabilidad de que de un estudiante que cursa cuarto medio?

• ¿Cuál es la probabilidad de que no sea de un estu-diante del 3° B?

• ¿Cuál es la probabilidad de que no sea de un estudiante?

R: 74152

; 78152

; 78152

; 114152

; 0; 5798

b) Puede extender las propiedades de la operatoria de conjuntos y probabilidades a casos con más conjuntos involucrados y deducir por ejemplo que:

P AUBUCUD P A + P A + P A + P A

–P A B –P A C –P A D

–P B C –P B D –P C D

+ P A B C + P A B D

+ P A C D + P B C D

–P A B C D

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

=

∩ ∩ ∩

∩ ∩ ∩

∩ ∩ ∩ ∩

∩ ∩ ∩ ∩

∩ ∩ ∩

Para este caso, puede apoyarse con transparencias que se superpongan, lo que permitirá una mejor compren-sión. Se puede observar que las sumas y restas se van alternando en cada caso, lo que se conoce como prin-cipio de inclusión y exclusión.



44 Producto y suma de probabilidades

Págs. 298 a 301

PropósitoResolver problemas utilizando suma y producto de pro-babilidades.

Palabras clavePrincipio multiplicativo, árbol, probabilidad, secuencia

Prerrequisitos § Aplicación del principio multiplicativo para el cálculo de probabilidades.

§ Identificación de elementos en conjuntos.

Activación de ideas previasPese a que se utiliza ahora como método para representar situaciones relacionadas con probabilidades, es posible que los estudiantes hayan utilizado antes diagramas de árbol. Puede comenzar de una manera intuitiva pidiéndoles que representen situaciones en las que, en cada paso, puedan distinguirse diferentes alternativas o resultados. La opción más natural resulta ser un árbol, que muestra una suerte de camino con diferentes bifurcaciones.

Orientaciones didácticasSi bien la representación de la situación por medio de un árbol es bastante natural, como se mencionó, en el tercer punto del taller se da un paso importante de abstracción al dejar de representar gráficamente todo el árbol para comenzar a asignar probabilidades a las distintas ramas. Reitere este proceso tantas veces como sea preciso, hasta que pueda verificar que los estudiantes comprenden qué están haciendo y cómo se determina cada una de dichas probabilidades.

Realice una puesta en común del taller propuesto escuchan-do los procedimientos de los estudiantes, especialmente para repasar el quinto punto del taller donde se llega al resultado buscado: la utilización del “árbol resumido” su-mando o multiplicando las probabilidades según corres-ponda. Es esencial modelar en los estudiantes el uso de esta herramienta, por lo que conviene exigirles que apliquen los siguientes pasos en la resolución de un problema de este tipo:

• construir el árbol asociado a la situación.

• asignar la probabilidad de cada rama.

• identificar los casos favorables.

• calcular la probabilidad de los casos favorables, multi-plicando las probabilidades involucradas desde la raíz del árbol hasta la “hoja” (el caso señalado).

Se espera que los estudiantes adquieran cada vez mayor soltura, pero hasta entonces es imprescindible un desarrollo sistemático.

La mayoría de los errores al utilizar un diagrama de árbol tienen relación con la complejidad que este adquiere cuando tiene muchos casos y por ende muchas ramas que representar. Para evitarlos, pida a los estudiantes que, en cada paso de su cons-trucción, expliciten en qué caso están, y lleven un registro de ellos para asegurarse que los están considerando todos, sin excluir ni repetir alguno.

Errores frecuentes

Actividades complementariasAnaliza la siguiente tabla, complétala y luego calcula las probabilidades.

Detalle de los estudiantes de ingeniería asistentes a un exámen de cáculo

Especialidad Informática Electricidad Construcción Total

Mujeres 25 17 54

Hombres 15

Total 36 110

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y de inge-niería eléctrica?

R: 522

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre, pero no de ingeniería en informática?

R: 41110

c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer o de inge-niería en construcción?

R: 73110



32 41

45 Eventos independientes

Págs. 302 a 303

PropósitoIdentificar sucesos independientes en experimentos aleatorios.

Palabras claveEvento, probabilidad, árbol, disjunto

Prerrequisitos § Utilización de diagramas de árbol en el cálculo de pro-babilidades.

§ Aplicación de la regla de la suma y del producto en el cálculo de probabilidades.

Activación de ideas previasPuede retomar el tema con el que se inicia esta sección, analizando la relación entre dos o más sucesos, y si la ob-servación simultánea o secuencial de ellos permite supo-ner que están relacionados o no. Puede comenzar la clase comentando la actividad relacionada en dicha ocasión.

Para enlazar más directamente con el contenido de esta lección, plantee a los estudiantes preguntas sencillas rela-cionadas con la independencia de sucesos, asociadas a la repetición de un experimento. Por ejemplo:

• Si se lanza un dado y sale 6, ¿cuál es la probabilidad de que en el segundo lanzamiento salga un 6?

• Si se lanza una moneda 5 veces y se obtiene "cara" en todas ellas, ¿cuál es la probabilidad de obtener un "sello" en el siguiente lanzamiento?

Es posible conversar con los estudiantes respecto de algunas creencias erróneas sobre los juegos de azar, pero que suelen considerarse ya sea por ignorancia o superstición. Por ejem-plo, si en un juego de azar se gana al acertar a 6 números es-cogidos de entre 36, puede plantear las siguientes preguntas:

• Si se apuesta a la combinación 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6, ¿es más o menos probable ganar que con cualquier otra combinación?

• Jorge apuesta a la combinación 6 – 12 – 18 – 24 – 30 – 36, mientras que Elisa apuesta a 10 – 11 – 20 – 21 – 30 – 31. ¿Cuál de los dos tiene mayor probabilidad de ganar?

Aclare que en cada caso las probabilidades son las mismas, ya que las bolitas numeradas del sorteo no “saben” lo que ocurre en este.

Orientaciones didácticasEn rigor, lo que se plantea en esta lección no puede ser considerado realmente como independencia entre sucesos, pues se trata esencialmente de experimentos distintos. Pero sí nos permite aproximarnos a este concepto.

Si se extrae una bolita en el experimento descrito y esta no se repone, la extracción de la segunda bolita es en realidad otro experimento. Ahora, si la bolita es repuesta sí se trata del mismo experimento por lo que se puede afirmar que existe independencia.

En este sentido, es conveniente centrarse en el concepto de independencia (que es más evidente) y dejar aparte el de dependencia (solo mencionándolo como opuesto), ya que entrar en él puede provocar problemas y ambigüedades en las definiciones, además de que se requiere de otro tipo de herramientas matemáticas para abordarlo.

Actividades complementariasAl final de la unidad, en la sección Diario Mural (página 312), se presenta el caso de Sally Clark, víctima de un juicio erróneo a causa de una incorrecta interpretación de las probabilidades y, específicamente, de la independencia de sucesos. Puede aprovechar esta lección para abordar el tema, leer el texto y realizar las actividades sugeridas.

46 Combinatoria y probabilidades

Págs. 304 a 307

PropósitoUtilizar herramientas de combinatoria en el cálculo de probabilidades.

Palabras claveOrden, permutación, combinación, variación

Prerrequisitos § Utilización de diagramas de árbol en el cálculo de pro-babilidades.

§ Aplicación de la regla de la suma y del producto en el cálculo de probabilidades.



Activación de ideas previasRecuerde con los estudiantes algunos problemas de pro-babilidades que hayan resuelto en casos anteriores (por ejemplo, el ejercicio 3 de la página 300), y verifique con ellos si contaban con métodos sistemáticos para el conteo de casos totales. A partir de ello, puede plantear las preguntas:

• ¿Cómo estar seguros de que se han contabilizado todos los casos?

• ¿Qué cuidados se debe tener respecto del orden?

Los estudiantes plantearán formas de calcular que, en oca-siones, pueden parecer útiles pero muy difíciles de utilizar cuando se requiere trabajar con números más grandes. Esto constituye un buen punto de partida para abordar el contenido.

Orientaciones didácticasLa situación presentada en la lección muestra una secuencia de razonamiento que permite a los estudiantes comenzar desde el orden de elementos en fila hasta la deducción de la fórmula de un número combinatorio. Conviene seguir estos pasos junto a los estudiantes para aclarar en conjunto las dudas que puedan surgir, además de escuchar sugerencias y métodos empleados por los propios estudiantes.

Puede presentar a los estudiantes la siguiente secuencia a modo de resumen:

• 7 elementos pueden ordenarse de 7 • 6 •5 • 4 • 3 • 2 •1= 7! formas.

• Si solo escogemos 4 de esos 7 y los ordenamos, hay

7 • 6 •5 • 4 =7 • 6 •5 • 4 • 3 • 2 •1

3• 2 •1=

7!3!

=7!

7 – 4 !( ) formas de

hacerlo.

• Esos 4 elementos pueden ordenarse de 4! formas, por lo que si el orden no es relevante cada uno de esos casos ordenados corresponde en realidad a solo un caso. Por lo tanto, la expresión anterior se divide por 4!:

7!7 – 4 !

4!=

7!7 – 4 ! • 4!

( )( )

Si a algunos de ellos les resultara más difícil de seguir el razonamiento, puede realizarlo con números algo más pequeños y apoyándose en un diagrama de árbol (que de cualquier manera será grande). Mediante él, puede ser más sencillo que observen las ramas que son iguales si no se considera el orden, y con ello comprender la necesidad

de dividir por n! la cantidad de variaciones para obtener la de permutaciones.

Para el cálculo de variaciones y combinaciones es conve-niente que los estudiantes busquen siempre utilizar núme-ros más pequeños. Por ello, muéstreles que al desarrollar uno de estos números conviene realizar primero todas las simplificaciones posibles, en lugar de calcular el numera-dor y el denominador y luego simplificar. Por ejemplo, para

calcular

185

, se tiene que:

( )

185

=18!

18 – 5 ! • 5!

=18!

13! • 5!

=13! •14 •15 •16 •17 •18

13! • 5!

=14 •15 •16 •17 •18

1• 2 • 3 • 4 • 5

Esta es la simplificación más sencilla. Las demás dependen de los factores involucrados. En este caso, se puede des-componer así:

185

=14 •15 •16 •17 •18

1• 2 • 3 • 4 • 5

=2 •7 • 3 • 5 • 4 • 4 •17 •18

1• 2 • 3 • 4 • 5= 7 • 4 •17 •18

= 8 568

Es frecuente que los estudiantes confundan los casos en los que el orden debe considerarse y en los que no, lo que produ-cirá errores en sus cálculos. En la resolución de problemas, haga que los estudiantes expliciten sus razonamientos en cada caso, para lo cual puede plantearles preguntas como las siguientes:

• ¿es lo mismo escoger como compañeros de trabajo a Isabel y Emilio, que a Emilio e Isabel?

• ¿es lo mismo usan pantalón café y polera negra que pantalón negro y polera café?

Puede ocurrir también que los estudiantes, por la premura de resolver rápidamente los ejercicios, confundan la fórmula de variación y de combinación. Para ello, permítales calcular ambas y constatar que, si el orden no es relevante, es evidente que habrá menos casos en que sí lo es. Por lo mismo, la fór-mula para la combinación es la misma que para la variación, pero dividida por n!, pues necesariamente son menos casos.

Errores frecuentes



32 41


a) ¿Cuántas palabras distintas, con o sin sentido, que co-miencen con la letra Zse pueden formar al reordenar las letras de la palabra CALABAZA?

R: Si se consideran solo las palabras de 8 letras se podrían formar 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 2 = 1260 palabras.

b) Se dispone en una mesa redonda a 4 amigos, ¿de cuántas formas distintas se pueden ordenar si se fija a una de ellas en un puesto?

R: 3! = 6 formas

1

4

2

3

1

3

2

4

1

2

3

4

1

4

3

2

1

3

4

2

1

2

4

3

c) De un grupo de 8 profesores y 20 estudiantes, se constituirá un equipo de 2 profesores y 7 estudiantes. ¿Cuántos equipos diferentes se pueden constituir?

R: 21 705 600

d) La clave de un maletín de seguridad está compuesto por 5 dígitos. A su dueño se le olvidó la clave, solo sabe que comienza con un número primo. ¿Cuál es la probabilidad de que, al tratar de abrir el maletín, su dueño acierte con la clave al primer intento?

R: 14000


Página 308


Es muy importante que estimule a los estudiantes a parti-cipar activamente en la resolución de problemas. Para esto,

puede solicitarles que intenten en primer lugar resolver el problema planteado sin mirar la resolución propuesta, para luego discutir en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla.

El problema que se presenta en esta sección busca desa-rrollar la capacidad de análisis en los estudiantes, pues para responder la pregunta se debe razonar e interpretar qué es lo que se está pidiendo; no se trata de una respuesta directa. Por lo mismo, puede pedir a los estudiantes que, antes de analizar la resolución propuesta, experimenten con la situación y elaboren sus propias estrategias.

Es esencial que los estudiantes comprendan que no todas las situaciones serán directas, es decir, no siempre tendrán datos para calcular una probabilidad sino que en ocasiones a partir de probabilidades será necesario determinar datos. Considerando este ejercicio, puede reforzar esto pidiéndoles que inventen situaciones similares y las presenten a sus compañeros.


Página 309

El análisis de errores es una potente herramienta de apren-dizaje, ya que permite analizar procesos y reconocer en ellos posibles equivocaciones y las formas de abordarlos para corregirlos. Es importante que estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos.

La primera situación apunta a la confusión producida al no considerar que los sucesos presentados no son exclu-yentes, por lo que debe considerarse la probabilidad de su intersección. Aproveche esta oportunidad para recordar este hecho y verificar si los estudiantes cometen este error.

En la segunda situación, el error se produce por una inco-rrecta interpretación en la operatoria de conjuntos. Si los estudiantes la cometen, repase esto mediante diagramas, pidiendo a los estudiantes que representen gráficamente la situación y puedan así constatar el error.




Págs. 310 y 311


Utilizar conjuntos y su operatoria en el cálculo de probabilidades.

1, 2, 3, 4, y 5 Verifique que en cada caso los estudiantes leen y comprenden correctamente las situaciones, y aplican correctamente el cálculo de probabilidades.

Solicite a los estudiantes que representen las situaciones gráficamente, dibujando los conjuntos e identificando las zonas asociadas a cada probabilidad.

Resolver problemas utilizando suma y producto de probabilidades.

6, 7 y 8 La representación gráfica es, nuevamente, muy útil para este indicador. Procure que especialmente los estudiantes con más dificultades la utilicen, sin perjuicio que para todos la utilización de diagramas de árbol es imprescindible en ocasiones.

Repase nuevamente, si es necesario, la interpretación de la conjunción (“y”) y de la disyunción (“o”) en situaciones de probabilidades. Si revisa los ejercicios con el curso, pregunte siempre lo que implica cada una antes de decirlo usted directamente, para fijar la capacidad de los estudiantes de distinguir ambos casos.

Identificar sucesos independientes en experimentos aleatorios.

9, 10 y 11 Repase la definición de sucesos independientes con los estudiantes, y pídales dar ejemplos de ello con distintos experimentos. Luego, pida a los estudiantes que hayan presentado dificultades que realicen nuevamente loes ejercicios.

Utilizar herramientas de combinatoria en el cálculo de probabilidades.

12, 13 y 14 Verifique si las dificultades de los estudiantes se deben a una incorrecta comprensión de los problemas y/o de los conceptos de permutación, combinación y variación, o bien si se debe a problemas de operatoria.

En el primer caso, solicíteles repasar la lección 46 y realizar paso a paso el ejemplo dado. Si se trata de problemas de operatoria, verifique que dominan las técnicas de cálculo planteadas en las orientaciones didácticas de dicha lección.



32 41


En esta sección, se presenta un caso judicial en el que el análisis de probabilidades tuvo vital importancia, primero porque condenó a la cárcel a la madre de dos niños y luego porque fue un académico de matemáticas quien reveló los fallos en el caso.

Puede analizar esta situación al trabajar la lección 45, como se sugirió, o bien al final de la unidad, a modo de reflexión sobre los contenidos. Esta actividad presenta interesantes conexiones con otras disciplinas como el Derecho —por la necesidad de apelar a las probabilidades para establecer la culpabilidad o inocencia de alguien— y la Filosofía —por el análisis de argumentos y la refutación de los mismos por constituir falacias—.

En este sentido, puede plantear a los estudiantes que la matemática está presente en muchas áreas, en ocasiones insospechadas, no solo para realizar cálculos sino como forma de pensamiento analítico, y en ocasiones con mucha menor rigidez que otras disciplinas.



Por lo mismo se sugiere prestar especial atención a la ela-boración de la síntesis de la unidad, permitiendo un trabajo individual, grupal y con todo el curso, dando también la posibilidad de resolver las últimas dudas que puedan que-dar, poner en común las dificultades y verificar la adecuada comprensión de los conceptos.

En estas páginas se retoma, además, el tema presentado en el inicio de la Unidad, con el objetivo de que puedan analizarlo nuevamente incorporando los conocimientos adquiridos.

El tema específico de esta unidad —los experimentos de Mendel— es estudiado en ciencias naturales, por lo que los estudiantes pueden tener ideas previas o bien lo aprendido en esta unidad les puede permitir comprenderlo mejor posteriormente. Si es posible, verifique con el docente res-pectivo si ya lo han estudiado o no.


Para los ejercicios de refuerzo, se recomienda especialmente prestar atención a que los estudiantes puedan explicar los procedimientos empleados en la resolución de los ejercicios y no solo a los resultados obtenidos, con el objetivo de garantizar su comprensión de los conceptos involucrados. Se sugiere por lo mismo al docente revisarlos en conjunto con el curso, permitiendo que los estudiantes resuelvan algunos de ellos en la pizarra con la colaboración de sus compañeros. Mediante esto se pretende que puedan re-troalimentarse mutuamente de manera más significativa, al provenir de sus propios pares.






1

Determinar indicadores de dispersión de un conjunto de datos.

1, 2, 3, 4, 5, 6. Permita a los estudiantes con mayores dificultades utilizar formularios para realizar los cálculos, y rehacer los ejercicios en los que hayan tenido errores con esta ayuda.

Comparar dos o más conjuntos de datos utilizando distintos indicadores.

7, 8 y 9

2

Utilizar métodos de muestreo aleatorio simple.

11 Solicite a los estudiantes que presenten errores el desarrollo de sus respuestas, para identificar la naturaleza de ellos y encontrar estrategias para remediarlos.

Verifique, de todos modos, que utilicen las representaciones gráficas para analizar una variable aleatoria, y que comprendan los conceptos de muestreo aleatorio y media muestral. Para ello, puede solicitarles realizar un resumen de las lecciones 41, 42 y 43, y que luego resuelvan los ejercicios nuevamente.

Definir y aplicar una variable aleatoria asociada a un experimento.

10, 12, 13, 14

Calcular y analizar el comportamiento de las medias muestrales.

15 y 16

3

Utilizar conjuntos y su operatoria en el cálculo de probabilidades.

17, 18, 19, 20, 21, 22, Pida a los estudiantes que presenten dificultades que resuelvan nuevamente los ejercicios y los expliquen detalladamente, paso a paso. De esta manera podrá detectar cuáles son los errores cometidos.

Verifique que los estudiantes hayan realizado a conciencia el cuadro resumen presentado en la página 315, y permítales utilizarlo para resolver nuevamente los ejercicios.

Resolver problemas utilizando suma y producto de probabilidades.

23, 24, 25

Identificar sucesos independientes en experimentos aleatorios.

26 y 27

Utilizar herramientas de combinatoria en el cálculo de probabilidades.

28 y 29



Historia de las encuestas en Chile

Las primeras encuestas de opinión pública realizadas en nuestro país estuvieron encabezadas por el sociólogo de la Universidad de Chile, Eduardo Hamuy.

Él, junto a Raúl Samuel, preguntó en 1957 a los chilenos qué les parecía el Sputnik, primer satélite ruso en órbita, y por cierto, en 1958, año de elecciones presidenciales, les consultó por las posibilidades de los candidatos a la presidencia Salvador Allende, Eduardo Frei Montalva, Luis Bossay y Jorge Alessandri.

Casi un mes antes del proceso eleccionario, Hamuy vaticinó que el ganador sería Alessandri, quien obtuvo la victoria con el 31,6 % de los votos. Claro que entonces sus encuestas fueron conocidas solo por unos cuantos académicos e investigadores.

Así, Hamuy dio inicio a un programa de encuestas de opinión pública que se extendió hasta 1973 con más de 40 sondeos referidos al ámbito político, la movilidad social, el comportamiento electoral y percepciones sobre la con-tingencia nacional.

En 1970 Gallup-Chile, el Centro de Estudios Socioeconómicos (CESOC) y el Centro de Opinión Pública (CEDOP) fueron los principales institutos que midieron las intenciones de voto de los chilenos. La Gallup chilena predijo un amplio triunfo para el comando alessandrista. Hamuy, que dirigía entonces el CEDOP fue el único que adelantó el triunfo de Allende, quien obtuvo el 36,3% de los votos. Alessandri alcanzó un 34,9% y Tomic un 27,8%.

Tras el golpe de Estado, las encuestas tuvieron un receso hasta mediados de los años ochenta. Entonces, comenza-ron a realizarse los primeros intentos por fotografiar la realidad política y social a través de sondeos que pretendían dilucidar las preferencias electorales frente al plebiscito de 1988, en que los chilenos debieron manifestarse frente a la continuidad del general Augusto Pinochet en el poder.

Las primeras instituciones dedicadas a analizar la realidad chilena de entonces, mediante las encuestas, fueron la Facultad Latinoamericana de Ciencias Sociales (FLACSO), el Centro de Estudios Públicos (CEP) y el Centro de Estudios de la Realidad Contemporánea (CERC).

A comienzos de 1990, las encuestas se tornaron una poderosa herramienta para la política. En la actualidad, en Chile se realizan un promedio de 20 encuestas por mes a cargo de diversas empresas y universidades.

Fuente: http://www.fundacionfuturo.cl/index.php?Itemid=54




Mate

rial f

otoc

opia

ble


El box-plot es un tipo de gráfico que permite representar la dispersión de un conjunto de datos. En él se indican los valores máximo y mínimo además de la mediana y los cuartiles, como se muestra:

0 5 25 50 8015 35 60 9010 30 55 8520 45 7540 7065

Min Max

Q1 Med Q3

1. Construye un box-plot para cada uno de los siguientes conjuntos de datos.

A 5 10 10 15 20 20 30 35 35 40 40 55

B 10 10 10 15 20 20 25 25 30 30 40 60

2. Observa los gráficos anteriores:

a) ¿Cuál de los dos conjuntos es más homogéneo? ¿Por qué?

b) En general, si comparas los box-plot de dos conjuntos, ¿cómo puedes determinar cuál de ellos es más homogéneo? Explica.

Actividad complementaria Nº 1 / Comparación de datos y box-plot






Para realizar un muestreo aleatorio simple que permita estimar la media de una población, es importante determinar el tamaño adecuado de la muestra, según la precisión que se desee obtener. Para ello, se utilizan algunas suposiciones y valores establecidos:

• Se supone que la población se distribuye en forma simétrica respecto de la media.

• Se estima la varianza S2 de la población, o se la supone igual a 0,5.

• Se asigna un coeficiente de confianza K a la muestra, que se establece a partir de la probabilidad de que los datos de la muestra se ajusten a los valores de la población. Estos coeficientes se encuentran estandarizados en tablas, y algunos de ellos son:

Nivel de confianza Coeficiente (K)

99% 2,576

95% 1,96

90% 1,645

• Se asigna un margen de error e permitido.

A partir de ello, se calcula el tamaño n adecuado de la muestra que se debe tomar de una población de tamaño N, me-diante la fórmula

n =K NS

Ne +K S

2 2

2 2 2

Por ejemplo, si se desea estimar la media de la edad de una población de 1 000 habitantes, con un margen de error de 0,5 años, y un nivel de confianza del 95%, el tamaño adecuado de la muestra es (se supone S2 = 0,5):

n =1,96 •1000 • 0,5

1000 • 0,5 +1,96 • 0,5=

1920,8250 +1,9208

=1920,8

251,9208≈ 7,6

2

2 2

Este valor se redondea al entero superior (8). Por lo tanto, si se extrae una muestra de tamaño 8 y se calcula su media x( ) podrá asegurarse con un 95% de certeza que la media poblacional es x ± 0,5.

1. Si se supone una población fija de 5 000 personas, y los valores de S2, e y K varían, ¿en qué casos el tamaño de la muestra aumenta? ¿En cuáles disminuye? Ejemplifica.

Actividad complementaria Nº 2 / Tamaño de una muestra




Mate

rial f

otoc

opia

ble


Sabemos que si se tiene un conjunto de m elementos, y se quieren escoger n de ellos sin importar el orden, existen

( )

mn

=m!

m–n !n!maneras de hacerlo.

1. Pamela debe escoger, de entre sus 30 compañeros de curso, a 22 de ellos para invitarlos a su cumpleaños y de-sea saber de cuántas formas puede hacerlo. Su mamá le dice que cuente la cantidad de formas en que puede descartar a los 8 que no invitará.

a) ¿Son equivalentes las maneras de calcular? Explica.

b) Demuestra que en general, de un conjunto de m elementos, la cantidad de maneras de escoger n de ellos sin importar el orden es igual a la cantidad de maneras de escoger m – n elementos.

2. Explica con palabras —y mediante un ejemplo— la siguiente igualdad, y demuéstrala

m +1n

=mn

+m

n –1






32 41

Nombre: Curso:


Calcular e interpretar medidas de dispersión de conjuntos de datos.

1. ¿Cuál es el valor de la varianza de los datos 2, 5, 3, 6, 4 y 3? Redondea a la milésima.

A. 1,806

B. 2,173

C. 2,474

D. 4,709

E. 6,101

2. ¿Cuál es el rango de la siguiente distribución de datos?

2 – 7 – 9 – 5 – 4 – 10 – 5 – 7

A. 2

B. 5

C. 7

D. 8

E. 10

3. La varianza de un conjunto de datos es 49 m2. ¿Cuál es su desviación estándar?

A. 2 401 m4

B. 49 m2

C. 7 m

D. 7 m2

E. 7 m

4. Un técnico computacional compara el rendimien-to de dos equipos para ejecutar ciertos grupos de instrucciones. El tiempo promedio que demoraron los equipos fue el mismo, sin embargo, el primer equipo tuvo una desviación estándar menor que el segundo. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmacio-nes son correctas?

I. En promedio, el primer equipo fue mejor que el segundo.

II. El desempeño del primer equipo fue más ho-mogéneo que el del segundo.

III. El segundo equipo realizó las algunas tareas más rápido y otras más lento que el primero.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y II

E. II y III

Para responder las preguntas 6, 7 y 8 considera las siguientes tablas que representan las ventas de dos empresas en un período de 5 meses.

Empresa 1

Meses Ventas

1 7

2 18

3 4

4 9

5 26

6 25

Empresa 2

Meses Ventas

1 13

2 23

3 29

4 12

5 19

6 39

5. ¿Cuál es el coeficiente de variación de la empresa 1?

A. 39 %

B. 43 %

C. 45,6 %

D. 54,6 %


6. ¿Cuál es el coeficiente de variación de la empresa 2?

A. 29 %

B. 41,67 %

C. 69,3 %

D. 71 %






teria

l fot

ocop

iabl

e

7. ¿Cuál presenta mayor dispersión?

A. La empresa 1.

B. La empresa 2.

C. No hay información.

D. Ambas presentan la misma dispersión.


Comprender y aplicar elementos del muestreo aleatorio simple y variable aleatoria.

8. ¿Cuál es el valor de k para que la tabla represente una función de probabilidad?

X 0 1 2

P(X = x) 13

25

k

A. 415

B. 2615

C. 0,3

D. 0,4


(DEMRE, 6/6/2013)

9. En el experimento de lanzar tres monedas, se define una variable aleatoria como el número de caras que se obtienen. Si p es la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor 0 y q es la proba-bilidad de que la variable aleatoria tome el valor 2, entonces (p + q) es

A. 38

B. 34

C. 12

D. 23

E. Ninguno de los valores anteriores.

DEMRE 28/10/2010

10. Una urna contiene cinco fichas rojas y tres negras, todas del mismo tipo. Se extrae al azar una ficha, se anota su color y se devuelve a la urna. Este experi-mento se repite diez veces. Si la variable aleatoria X asigna la cantidad de fichas rojas obtenidas, enton-ces los valores que puede tener X son:

A. 1, 2, 3, 4 y 5

B. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10

C. 0, 1, 2, 3, 4 y 5

D. solo el 5

E. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10

11. Respecto del experimento aleatorio “elegir un nú-mero entre los 8 primeros números naturales pares”, se define la variable aleatoria X: número de divisores. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

I. P(6) = 38

II. P(impar) = 38

III. P(X = 12) = 34

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. II y III

E. I, II y III

12. Considera la siguiente variable aleatoria discreta con función de probabilidad f(x):

f x P X xx

15,x 1,2,3,4,5

0, en otro caso( ) ( )= = =

=

¿Cuál es el valor de ( )P x ≤ 3 ?

A. 615

B. 45

C. 315

D. 25





32 41

Modelar sucesos asociados a experimentos utilizando conjuntos, operaciones y herramientas de combinatoria.

13. La tabla muestra las respuestas de 200 alumnos(as) de cuarto medio de distintos colegios ante la pre-gunta "¿Fumas?"

Fuman No fuman

Hombres 68 32

Mujeres 74 26

Con esta información se puede afirmar que:

I. El 32% de los hombres encuestados fuman.II. Si se extrae un individuo al azar, la probabilidad

de que fume es 0,71.III. Si se extrae un individuo al azar, la probabilidad

de que fume sabiendo que es mujer es 0,37.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. II y III

E. I, II y III

14. Un club de adultos mayores está compuesto por hombres y mujeres, de los cuales algunos(as) están jubilados(as). Si se sabe que 20 de los hombres están jubilados, 10 de las mujeres aún no jubilan y que el grupo está compuesto de 100 personas de las cuales 45 son hombres, ¿cuál es la probabilidad de que al elegir una persona al azar de este grupo esta sea mujer y que esté jubilada?

A. 911

B. 913

C. 1320

D. 1120

E. 920

15. Si se escoge una carta de un mazo de 52, ¿cuál es la probabilidad de escoger un corazón o un diamante?

A. 0,3

B. 0,4

C. 0,5

D. 0,75

E. 0,8

16. En una habitación se encuentran 20 personas adultas y 12 adolescentes. De los adultos, 1 es mujer y de los adolescentes 4 son hombres. Si se escoge una persona al azar, ¿cuál(es) de las afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. La probabilidad de que esta persona sea un

adulto es 58

.

II. La probabilidad de que esta persona sea un

hombre es 516

.

III. La probabilidad de que esta persona sea una

mujer adolescente es 23

.

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. II y III

E. I, II y III

17. De una tómbola se saca una de 30 bolitas numera-das del 1 al 30. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la bolita extraída sea múltiplo de 4?

A. 2330

B. 430

C. 730

D. 307

E. 3023

18. ¿Cuántos números naturales menores que 1 000 se pueden formar con los dígitos menores que 6?

A. 90

B. 100

C. 120

D. 180

E. 215

19. Se lanzan dos monedas simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un "sello"?

A. 14

B. 13

C. 12

D. 23

E. 34




teria

l fot

ocop

iabl

e

20. Se lanzan dos dados simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus resultados sea mayor que 10?

A. 14

B. 118

C. 112

D. 312

E. 136

21. En una bolsa hay 12 bolitas cafés, 20 bolitas ama-rillas y 30 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar, sin reposición, primero una ficha café, luego una amarilla y luego una roja?

A. 162

+161

+1

60

B. 1262

+2061

+3060

C. 162

•161

•1

60

D. 112

•1

20•

130

E. 1262

•2061

•3060

22. En una caja hay bolitas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y mayor que 6?

A. 15

B. 320

C. 12

D. 310

E. 0

23. Al lanzar 4 veces una moneda ¿Cuál es la probabili-dad de obtener al menos una cara?

A. 116

B. 12

C. 416

D. 14

E. 1516

24. Se ha lanzado 10 veces un dado y en 7 de ellas ha salido el número 5, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar el dado nuevamente se obtenga un 5?

A. 56

B. 57

C. 710

D. 510

E. 16

25. Si se lanzan dos dados comunes, ¿cuál es la proba-bilidad de que ambos sean números primos?

A. 536

B. 14

C. 12

D. 59

E. 712

26. En una caja hay 3 poleras, una de color verde, una roja y una amarilla y 3 pantalones, uno de color café, otro negro y uno blanco. Si se saca un pantalón y una polera, ¿cuál es la probabilidad de que la combina-ción sea polera amarilla, pantalón negro?

A. 6

B. 9

C. 16

D. 19

E. 69

27. En una caja hay bolitas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una de ellas se obtenga un número par o menor que 3?

A. 12

B. 15

C. 35

D. 710

E. 310

28. Se lanza un dado y se obtiene 3. ¿Qué probabilidad hay de que al lanzarlo nuevamente sume con el primer resultado un número menor que 8?

A. 19

B. 23

C. 56

D. 736

E. 49




32 41

29. Se puede determinar el porcentaje de mujeres que son médicos en un país si se sabe que:

(1) El 52% de la población del país son mujeres.(2) El 0,5% de la población son médicos



C. Juntas, (1) y (2).



30. Sean A y B sucesos de un experimento aleatorio donde P(A) = 0,3 y P(B) = 0,2. ¿Cuál es la probabili-dad de P(A U B)?

(1) #(A U B) = 3(2) P(A ∩ B) = 0,1



C. Juntas, (1) y (2).



31. Los sucesos A y B son excluyentes si se sabe que:

(1) P(A) + P(B) = 1(2) P(A) = P(B)



C. Juntas, (1) y (2).




32. ¿Cuál es la desviación estándar de los datos repre-sentados en la siguiente tabla?

Asistencia de 40 personas a tratamiento médico al mes

Asistencia 0 1 2 3 4 5 6

Frecuencia 4 9 7 6 8 4 2

33. ¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos 3, 4, 5 y 6 sin que estos se repitan?



SolucionarioActividad complementaria Nº1 Comparación de datos y box-plot

1.

0 5 25 50 8015 35 60 9010 30 55 8520 45 7540 7065

Min Max

Q1 Med Q3

0 5 25 50 8015 35 60 9010 30 55 8520 45 7540 7065

Min Max

Q1 Med Q3

A

B

2. a) El conjunto B es más homogéneo, pese a que presenta un dato extremo (60).

b) Los box-plot con una caja más pequeña corres-ponden a conjuntos de datos menos dispersos.

Actividad complementaria Nº2 Tamaño de una muestra

1. Si S2 aumenta, el tamaño de la muestra aumenta. Si K aumenta, el tamaño de la muestra disminuye.

Actividad complementaria Nº3 Propiedades de la combinatoria

1. a) Son equivalentes, pues al escogerlos separa dos grupos disjuntos, por lo que escoger un grupo de compañeros que asistirán al cumpleaños hace que haya otro grupo de los que no irán.

b) ( )( ) ( )( )

mn

=m!

m-n ! •n!=

m!m – n ! • m – m – n !

=m

m – n

c) Si de un grupo de 6 personas (m + 1 = 6) que-remos escoger a 4 de ellas (n = 4), tenemos dos formas de hacerlo:

• de entre las cinco primeras, escoger a 4 (hay

54

maneras de hacerlo), y no escoger a la

última persona.

• de entre las cinco primeras, escoger a 3 (hay

53

maneras de hacerlo), y escoger a la última

persona.

Algebraicamente:

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )

( )( )

( )( )( )

( )

=

=

=−

+⋅

=+

+

=+ +

=

=

= =

mn

+m

n –1m!

n! m – n !+

m!n –1 ! m – n –1 !

m!n! m – n !

+m!

n –1 ! m – n +1 !

m – n +1 m!

n! m – n +1 m n !n m!

n • n –1 ! m – n +1 !

m – n 1 m!

n! m – n +1 !n •m!

n! m – n +1 !

m •m! – n •m! m! n •m!n! m – n +1 !

m •m! + m!n! m – n +1 !

m! m +1

n! m +1 – n !

m +1 !

n! m +1 – n !m +1

n



32 41



Indicador Pregunta ClaveCalcular e interpretar medidas de dispersión de conjuntos de datos.

1 A2 D3 C4 E5 E6 B7 A

Comprender y aplicar elementos de muestreo aleatorio simple y variable aleatoria.

8 A9 C

10 B11 E12 A

Modelar sucesos asociados a experimentos utilizando conjuntos, operaciones y herramientas de combinatoria.

13 D14 E15 C16 A17 C18 E19 E20 C21 E22 A23 E24 E25 B26 D27 C28 B29 E30 B31 E





Problema 32 Problema 33CorrectaInterpreta correctamente los datos de la tabla, comprendiendo que se muestra su frecuencia. Calcula con ello da desviación estándar, y obtiene s ≈ 2, 43

CorrectaPlantea el problema interpretando que se trata de un problema de variaciones, obteniendo como resultado 12.

Parcialmente correctaCalcula sin considerar la frecuencia de los datos, calcula la varianza o comete errores de operatoria.

Parcialmente correctaInterpreta correctamente el problema, pero comete errores de operatoria.


IncorrectaNo considera el orden de los números y calcula utilizando una combinación, obteniendo como resultado 6.


Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Clave A B D D C D D D B A

11. 2

12. 18



32 41

Calcular e interpretar medidas de dispersión de conjuntos de datos

1. El percentil 25 es equivalente al:

I. primer cuartil.

II. segundo quintil.

III. tercer decil.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y II

E. I y III

2. Dadas las edades de 8 personas: 25 años, 22 años, 24 años, 23 años, 24 años, 25 años, 22 años y 24 años. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. La moda es 25 años.

II. La mediana es menor que el promedio.

III. La mediana es 24.

A. Solo II

B. Solo III

C. I y II

D. I y III

E. II y III

3. Para el conjunto de datos:

21 39 35 24 25 35

39 43 29 37 43

¿Cuáles son, respectivamente, su varianza y su des-viación estándar?

A. 50,23 y 8,56

B. 48,19 y 10,15

C. 54,23 y 12,76

D. 54,23 y 7,36

E. 15,67 y 7,36

Comprender y aplicar elementos de muestreo aleatorio simple y variable aleatoria

4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

I. En un muestreo aleatorio simple, cada elemen-to de la población tiene igual probabilidad de ser escogido en la muestra.

II. Al calcular el promedio de una muestra, se obtiene el promedio de la población.

III. Para escoger una muestra con muestreo alea-torio simple, pueden numerarse los elementos de la población y escogerlos utilizando núme-ros aleatorios.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y III

E. II y III

5. Se realiza el experimento “Lanzar dos dados” y se de-fine la variable aleatoria X = diferencia positiva entre los números obtenidos. Si se considera la función de probabilidad asociada a esta variable, ¿cuál es el valor de f(X = 2)?

A. 636

B. 1036

C. 836

D. 436

E. 236

Banco de preguntas



Modelar sucesos asociados a experimentos uti-lizando conjuntos, operaciones y herramientas de combinatoria

6. Pablo tiene 2 libros de lenguaje y 3 de matemá-tica, los cuales ordena en una biblioteca. Si los ordena en una misma fila ¿Cuál es la probabilidad de que los libros de lenguaje queden juntos?

A. 248

B. 2448

C. 2120

D. 24120

E. 48120

7. De un grupo de 6 cartas numeradas del 1 al 6 se saca una y luego sin, reponer la carta extraída, se saca otra. ¿Cuál es la probabilidad de ambas cartas sean un número impar?

A. 12

B. 13

C. 14

D. 15

E. 16

8. En un proceso de control de calidad de cierto producto, se sabe que el 90% de ellos no tiene ningún tipo de falla. ¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar sucesivamente tres productos, sean los tres defectuosos?

A. 0,1

B. 0,9

C. 0,01

D. 0,001

E. 0,729

9. ¿Cuántos números pares de cuatro cifras se pue-den formar con los dígitos menores que 8?

A. 1024

B. 1792

C. 2240

D. 2560

E. 2048

10. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener suma menor o igual a 10?

A. 1112

B. 56

C. 34

D. 518

E. Otro valor.

Resolver problemas

11. Determina una expresión para la varianza de 5 números naturales consecutivos.

12. Se lanzan dos dados y se define la variable alea-toria X: producto entre los números obtenidos. ¿Cuántos elementos tiene el recorrido de X?



32 41Bibliografía

• Govinden Portus, L. (1998). Introducción a la estadística. Mc Graw Hill

• Saavedra, E. (2005). Contenidos básicos de estadística y probabilidad. Colección ciencias. Santiago: Universidad de Santiago.

• Spiegel, M. (2006). Estadística. Colección Shawm. Editorial McGraw Hill.

Sitios web

• Documento que explica los distintos tipos de muestreo

http://minnie.uab.es/~veteri/21216/TiposMuestreo1.pdf

• Ejemplos y ejercicios de probabilidad

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html

• La relación entre la probabilidad, el juego y otros contextos reales

http://w3.cnice.mec.es/recursos/bachillerato/matematicas/probabilidad/index.html



Mini ensayo PSUMa

teria

l fot

ocop

iabl

e


Marca en cada caso la alternativa correcta.

1. ¿Para qué números reales la fracción algebraica 2

a – a3 no es indefinida?

A. a – 0 { }∈

B. a – 1 { }∈

C. a – –1 { }∈

D. a – 1,–1 { }∈

E. a – –1,0,1 { }∈

2. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente con (x2 – 2xy + y2 – z2)?

A. (x – y + z)(x + y + z)

B. (x – y + z)(x + y – z)

C. (x + y + z)(x – y – z)

D. (x – y + z)(x – y – z)

E. (x – y – z)(x – y – z)


a 1– pp –14

?

A. 1p +1

B. –1

p +13

C. 1p +1 p +12( )( )

D. –1

p +1 p +12( )( )

E. –1

p +1 p –12( )( )


con

1p

–p4

p – 2p

?

A. p + 24

B. 42 – p

C. p – 24

D. –p – 24

E. 4– p + 2( )


con 2x y6x y

2 –3

–3?

A. 13

x y5 4

B. 13

x y–1 –4

C. 13

x y5 –2

D. 13

x y5 –4

E. 13

x y–1 –2

6. Si el área de un rectángulo está dada por la expre-sión (2x2 – 5x – 3) cm2 y uno de sus lados mide (x – 3) cm, ¿cuál de las siguientes expresiones repre-senta su perímetro?

A. (x – 3) cm

B. (2x + 1) cm

C. (3x – 2) cm

D. (6x – 2) cm

E. (6x – 4) cm


con 1–1

1–a

1–1a

?

A. aa – a +1

2

2

B. a–a + a –1

2

2

C. –a + a +1a

2

2

D. a – a +1a

2

2

E. aa – a +12

8. En la ecuación 21– x

=1x

–2

x –1, ¿cuál es el valor de x?

A. –2

B. –1

C. 1

D. 2

E. La proposición es falsa.


185Mini Ensayo PsU

9. Si una llave llena un estanque en 8 horas y otra lo hace en 5 horas, ¿cuánto tiempo se demorarían juntas en llenarlo?

A. 1340

horas.

B. 1540

horas.

C. 1640

horas.

D. 4013

horas.

E. 4016

horas.

10. Sea f(x) = 2a + x, donde el punto A(2, 8) pertenece a su gráfico. ¿Cuál es el valor de a?

A. – 1

B. 0

C. 1

D. 2

E. 3

11. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos corresponde(n) a una función logarítmica?

I.

1

2

3

− 1

− 2

− 3

1 2 3 4 5 6− 1

X

Y

II.

1

2

3

− 1

− 2

− 3

1 2 3 4 5 6− 1

X

Y

III.

1

2

3

− 1

− 2

− 3

1 2 3 4 5 6− 1

X

Y

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. II y III

E. I, II y III

12. ¿En qué punto del plano cartesiano el gráfico de la

función ( )

f x =

12

+ 3x

se interseca con el eje Y?

A. (0, 3)

B. (0, 4)

C. (3, 0)

D. (4, 0)

E. En ningún punto.

13. ¿Cuál es el dominio de la función ( )f x = 1– 2x ?

A. –12

B. – –12

C. x / x12

∈ =

D. x / x12

∈ >

E. x / x12

∈ ≤

14. Sean f(x) = x y ( )g x = x, ¿cuál(es) de los siguientes

puntos es(son) intersecciones entre sus gráficas?

I. (0, 0)

II. (1, 0)

III. (1, 1)

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. I y III

E. II y III

185Mini ensayo Psu



Mini ensayo PSU

15. ¿Cuál(es) de los siguientes pares de valores es (son) soluciones de la ecuación lineal con dos incógnitas 12

x – 2y = 5 ?

I. x = 1 e y = -2

II. x = 2,5 e y = 0

III. x = 0 e y = -2,5

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y III

E. I, II y III

16. ¿Qué valor debe tener k para que las coordenadas del punto A(–2, –1) sean solución de la ecuación

lineal con dos incógnitas 12

xk + 3y = 0 ?

A. 3

B. 6

C. –3

D. –6

E. 1,5

17. La diferencia de las edades de Roberto y su hija es 29 años. Si en 5 años más el doble de la edad de su hija será igual a la edad que tendrá Roberto dismi-nuida en 3 años, ¿cuáles son sus edades?

A. 18 y 47 años.

B. 19 y 48 años.

C. 20 y 49 años.

D. 21 y 50 años.

E. 22 y 51 años.

18. ¿Cuál de los siguientes puntos es intersección de las

rectas del sistema 12

x – 2y = –4

3y – x = 5

?

A. (3, 4)

B. (4, 3)

C. (–3, 4)

D. (–4, 3)

E. (–4, –3)

19. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa el siste-

ma de ecuaciones 2x + 3y = –9x – y = –2

?

A.

1

2

3

4

5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4 5− 1− 2− 3− 4− 5

X

Y

B.

1

2

3

4

5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4 5− 1− 2− 3− 4− 5

X

Y

C.

1

2

3

4

5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4 5− 1− 2− 3− 4− 5

X

Y

D.

1

2

3

4

5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4 5− 1− 2− 3− 4− 5

X

Y


187Mini Ensayo PsU

E.

1

2

3

4

5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4 5− 1− 2− 3− 4− 5

X

Y

20. ¿Para qué valor de k el sistema 2x – ky =1y – 3x = 4

no tiene

solución?

A. –32

B. –23

C. –13

D. 23

E. 32

21. Valeria tiene $ 1450 entre monedas de $ 50 y de $ 100. Si en total tiene 17 monedas, ¿cuántas tiene de cada valor?

A. 5 de $ 50 y 12 de $ 100.

B. 7 de $ 50 y 10 de $ 100.

C. 10 de $ 50 y 7 de $ 100.

D. 12 de $ 50 y 5 de $ 100.

E. 14 de $ 50 y 3 de $ 100.

22. Respecto del experimento aleatorio “lanzar un dado de 6 caras”, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. Un suceso seguro es obtener 6 puntos en su cara superior.

II. Un suceso posible es obtener un número par de puntos en su cara superior.

III. Un suceso posible es obtener un número de pun-tos en su cara superior que sea divisible por 15.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y II

E. II y III

23. La siguiente tabla muestra el tiempo que demoran dos modelos de automóviles en alcanzar los 100 km/h. ¿Cuál es la desviación estándar (S) para cada caso? Redondea a la milésima.

Tiempo que demora el modelo A y B en alcanzar los 100 km/h

Nº de pruebaTiempo

Modelo A Modelo B

1 7 52 6 93 8 94 9 85 7 6

A. SA = 1,3 y SB = 3,3

B. SA = 1,02 y SB = 1,625

C. SA = 1,625 y SB = 1,02

D. SA = 1,14 y SB = 2,64

E. SA = 1,299 y SB = 1,817

24. Respecto de los tiempos logrados por el modelo A de la pregunta anterior, ¿cuál es su coeficiente de variación? Redondea a la décima.

A. 0,2%

B. 1,38%

C. 13,8%

D. 138,01%

E. No se puede calcular.



Mini ensayo PSU

25. ¿Cuántos números pares de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos menores que 8?

A. 1024

B. 1792

C. 2240

D. 2560

E. 2048

26. Se lanza un dado 30 veces, obteniéndose los si-guientes puntajes:

2, 3, 4, 3, 3, 2, 1, 6, 5, 5, 6, 1, 2, 5,

6, 4, 3, 3, 4, 1, 1, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 2, 1, 1.

¿Cuál es la frecuencia relativa del suceso A: obtener un número de puntos mayor que 3?

A. 0,5

B. 0,6

C. 0,43

D. 0,46

E. 0,63

27. Si se lanza 100 veces una moneda no cargada, obte-niéndose cara en los últimos 5 lanzamientos, ¿cuál es la probabilidad de que en el siguiente lanzamien-to se obtenga cara?

A. 0

B. 0,2

C. 0,5

D. 0,8

E. 1

28. Si dado un experimento aleatorio los sucesos A y B son mutuamente excluyentes, ¿cuál(es) de las siguien-tes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. A ∩ B = 0

II. #A + #B = #(A ∪ B)

III. #A – #B = #(A ∩ B)

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y II

E. I, II y III

29. Se confeccionará una bandera con tres franjas hori-zontales de colores. Si estos serán elegidos entre 5 colores sin que se repita ninguno, ¿cuántas bande-ras distintas se pueden confeccionar?

A. 10

B. 30

C. 60

D. 100

E. 120

30. Si la probabilidad de que ocurra el suceso A es 0,4 y la probabilidad de que ocurra el suceso B, indepen-diente de A, es 0,3, ¿cuál es la probabilidad de que ocurran ambos sucesos simultáneamente?

A. 0,1

B. 0,5

C. 0,6

D. 0,9

E. 0,12


189Mini Ensayo PsU

Tabla de especificaciones

Pregunta Eje Contenido Habilidad Respuesta correcta

1 Álgebra Expresiones algebraicas Analizar E

2 Álgebra Factorización Aplicar B

3 Álgebra Fracciones algebraicas Comprender D

4 Álgebra Fracciones algebraicas Aplicar D

5 Álgebra Fracciones algebraicas Aplicar A

6 Álgebra Fracciones algebraicas Comprender E

7 Álgebra Fracciones algebraicas Aplicar A

8 Álgebra Ecuaciones racionales Analizar E

9 Álgebra Ecuaciones racionales Aplicar D

10 Álgebra Funciones Analizar C

11 Álgebra Funciones Recordar D

12 Álgebra Funciones Aplicar B

13 Álgebra Funciones Analizar E

14 Álgebra Funciones Analizar D

15 Álgebra Ecuaciones lineales con dos incógnitas Evaluar C

16 Álgebra Ecuaciones lineales con dos incógnitas Analizar C

17 Álgebra Sistemas de ecuaciones lineales Aplicar D

18 Álgebra Sistemas de ecuaciones lineales Aplicar B

19 Álgebra Sistemas de ecuaciones lineales Comprender D

20 Álgebra Sistemas de ecuaciones lineales Analizar D

21 Álgebra Sistemas de ecuaciones lineales Aplicar A

22 Datos y azar Probabilidad Evaluar B

23 Datos y azar Desviación estándar Aplicar D

24 Datos y azar Coeficiente de variación Aplicar C

25 Datos y azar Combinatoria Analizar B

26 Datos y azar Frecuencia relativa Comprender D

27 Datos y azar Probabilidad Comprender C

28 Datos y azar Probabilidad Evaluar D

29 Datos y azar Combinatoria Aplicar C

30 Datos y azar Probabilidad Comprender E



A

Amplificación 105, 106, 108, 109

Ángulo del centro 69, 71

Ángulo inscrito 69

Aproximación 17, 19, 20, 22, 40

Argumento 30, 31, 69, 117

Asíntota 115, 116, 131

C

Cantidad subradical 21, 25, 31, 114

Circunferencia 69, 70, 79

Coeficiente 117, 119, 120, 121, 123

Combinatoria 163, 172

Compatible 120, 123

Congruencia 58, 59, 60, 69

Conjuntos numéricos 18, 21

Contracción 114, 115, 116

Crecimiento 115, 116

Cuerdas 69, 70, 71

D

Decrecimiento 115, 116

Defecto 19

Determinado 120, 121, 123, 125

Diagrama de árbol 162, 164

Dilatación 114, 115, 116

Dispersión 150, 151, 152, 153

División de trazos 61, 65

Dominio 112, 113, 114, 116, 156

E

Ecuaciones exponenciales 32, 115

Ecuaciones lineales 119, 120, 121, 123, 124

Ecuaciones logarítmicas 33

Ecuaciones radicales 28, 34, 114

Error absoluto 19

Escala 58, 60

Espacio muestral 154, 156, 160

Evento 160, 163

Exceso 19

Experimento aleatorio 154, 156, 157

Exponente 24, 26, 27, 105

Expresión algebraica 103, 110

F

Fracción algebraica 103, 104, 106, 107, 108, 109

Función afín 112, 120

Función exponencial 24, 112, 115, 117

Función logarítmica 116

Función racional 131

Función raíz cuadrada 114

H

Heterogéneo 150, 151, 153

Homogéneo 150, 151, 153

I

Incompatible 120, 123

Indeterminado 120, 121, 123, 125

L

Ley de los grandes números 157

Logaritmo 31, 32, 33, 34, 116

M

Máximo 150

Máximo común divisor 105

Medias muestrales 157

Medidas de dispersión 150

Método de igualación 121

Método de reducción 121, 123

Contenido Página Contenido Página

Indice temático

Finales_mat_2M_tex_javy.indd 190 09-01-14 15:33

191

Contenido PáginaPágina Contenido Página

Método de sustitución 121, 123

Mínimo 150

Mínimo común múltiplo 105

N

Números irracionales 17, 18, 19, 20

Números racionales 17, 18, 20, 32

Números reales 17, 21, 114

P

Pantógrafo 76

Paralelas 60, 63, 120

Pendiente 119, 120

Permutación 163

Población 154, 157

Potencia 24, 25, 26, 27, 31, 32, 115, 116

Principio multiplicativo 160, 162

Probabilidad 154, 156, 157, 160, 162, 163

Problemas geométricos 18

Progresión geométrica 34, 41

Promedio 150, 151

Propiedades de las potencias 24, 25, 27, 31, 32

Propiedades de los logaritmos 32

Proporción 58, 63, 70

R

Racionalizar 27

Raíz cuadrada 24, 29, 114

Raíz enésima 24, 27

Rango 150, 152

Razón 58, 59, 60, 65

Recorrido 112, 113, 114, 115, 116, 156

Recta numérica 17, 20

Redondeo 17, 19

S

Secantes 70, 71, 120

Semejanza de triángulos 58, 59, 60, 63, 66 75

Simplificación 106, 164

Sistema de ecuaciones lineales 119, 120, 121, 123

Suceso 160, 163, 163

T

Teorema de Euclides 66

Teorema de Pitágoras 63, 66

Teorema de Thales 63, 65, 67

Teoremas de semejanza 63, 65, 67

Términos semejantes 25

Transversal 63

Truncamiento 17, 19

V

Variable aleatoria 156, 157

Variación 163

Varianza 151

índice teMático



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matemática docente 2° medio

Education