cuadernillo matemÁtica para docente

COMPROBAMOS NUESTROS

APRENDIZAJESCUADERNILLO DE EVALUACIÓN

DE MATEMÁTICA PARA DOCENTES

COMPROBAMOS NUESTROS APRENDIZAJESCUADERNILLO DE EVALUACIÓN DE MATEMÁTICA PARA DOCENTES

Ministerio de EducaciónAv. De la Arqueología, cuadra. 2. San BorjaLima, PerúTeléfono 615-5800www.minedu.gob.pe

Primera edición 2015Tiraje: ejemplares

Elaboración de contenidos:Elvis Flores MostaceroLuis Hurtado Mondoñedo

Revisión Pedagógica:Pedro Collanqui Díaz Diagramación:Hungria Alipio S.

Impreso por……………………………

©Ministerio de Educación – 2015 – Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores.

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú No. 2015-....Impreso en Perú / Printed in Peru

*El presente material se ha elaborado con base en los ítems liberados de PISA

3

ÍNDICE

Manual para el uso pedagógico de los cuadernillos de evaluación

Introducción

Prueba de matemática

Preguntas seleccionadas de matemática

pág. 7

pág. 5

pág. 13

pág. 37

5

Estimado(a) docente:

El presente cuadernillo de evaluación debe convertirse en un instrumento para desarrollar competencias y capacidades en tus estudiantes. A través de este material, es importante que ellos descubran maneras diferentes de aprender matemática, a partir de situaciones problemáticas y en contextos que se relacionan con la vida real.

Las preguntas tipo PISA que se trabajarán en este material deben ser un reto no solo para tus estudiantes sino también para ti como docente, ya que deberás motivarlos a enfrentarse con la mejor disposición a preguntas que desafíen su competencia matemática.

Si bien el desarrollo de este cuadernillo de evaluación servirá para familiarizar a tus estudiantes con la prueba PISA, también debe ser un instrumento que te permita refl exionar sobre tu práctica pedagógica, a partir de los avances o difi cultades que irás observando en tus estudiantes cuando lo desarrollen.

Al inicio de este cuadernillo encontrarás un pequeño manual que será de utilidad para comprender la fi nalidad del material y la manera en la que puedes aprovecharlo. Luego, presentamos una prueba para tus estudiantes con el solucionario respectivo. Cabe señalar que existen varias formas de llegar a las respuestas, pero alcanzamos una propuesta que servirá de referencia. Finalmente, encontrarás preguntas seleccionadas tipo PISA para que sean trabajadas en clase, de manera que tus estudiantes se familiaricen con cada tipo de pregunta.

¡Te animamos a asumir el reto y a apoyar a tus estudiantes en el logro de mejores aprendizajes! ¡Con tu ayuda lograremos mejores resultados en la prueba PISA de este año!

INTRODUCCIÓN

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MANUAL PARA EL USO PEDAGÓGICO DE LOS CUADERNILLOS DE EVALUACIÓN

1. Propósito del manual El presente documento tiene por fi nalidad brindar orientaciones y sugerencias para el

uso de los cuadernillos de evaluación distribuidos a las instituciones educativas del país, de tal modo que se aproveche al máximo sus posibilidades pedagógicas. Por lo tanto, antes de utilizar las pruebas o las preguntas seleccionadas que contienen los cuadernillos, los profesores deberán asegurarse de haber leído este manual para utilizarlo de la mejor manera, según lo planifi cado en sus unidades didácticas y sesiones de aprendizaje.

2. Descripción de los cuadernillos de evaluación Es un conjunto de documentos que serán distribuidos a estudiantes y profesores de un

grupo de instituciones educativas del país. Según los destinatarios, los materiales serán los siguientes:

Para el estudiante: un cuadernillo con una simulación de prueba y a continuación, preguntas seleccionadas para trabajar en clase.

Para el profesor: un manual de uso pedagógico, una simulación de prueba con solucionario y un conjunto de preguntas seleccionadas con solucionario.

3. Propósito de los cuadernillos de evaluación Los cuadernillos de evaluación tienen como propósito familiarizar a los estudiantes con el

tipo de ítems que se utilizará en la próxima prueba PISA y su forma de resolución. Se debe tener claro que no se persigue preparar al estudiante para rendir una prueba, que puede ser un acto circunstancial, sino que se apropie de un conjunto de estrategias que le permitan potenciar al máximo el desarrollo de sus competencias en múltiples circunstancias.

Estos cuadernillos tienen sentido en la medida que nuestros estudiantes necesitan comprender los procedimientos que se utilizan en la mencionada evaluación internacional. En las escuelas del país no tenemos una experiencia acumulada en la resolución de pruebas en línea. Por ello, atendiendo a la transparencia con que se debe realizar todo

8

acto de evaluación, a nuestros estudiantes les asiste el derecho de tener la oportunidad de experimentar este proceso y así afrontar este reto en igualdad de condiciones con los estudiantes de otros países.

4. Uso pedagógico del cuadernillo de evaluación El cuadernillo de evaluación no tiene un fin en sí mismo. Es un medio para desarrollar

las competencias y capacidades de los estudiantes. Por lo tanto, más importante que el estudiante responda bien o mal es que se empodere de los procedimientos y de las estrategias para responder con éxito a este tipo de situaciones. Esto quiere decir, que los materiales se deben incorporar como parte de las actividades pedagógicas planificadas por el docente, según como se explica a continuación.

4.1. Uso pedagógico de la prueba

a. Para diagnosticar el desarrollo de la competencia evaluada. La prueba se puede utilizar como una evaluación de entrada para identificar si los estudiantes

desarrollaron una determinada competencia. Si es así, los resultados de la evaluación solo se utilizarán para calcular el porcentaje de estudiantes que lograron responder uno u otro ítem, pero no tendrán efectos en los calificativos de unidad y período. Si se decide utilizarla como una evaluación de entrada, se debe pensar en la elaboración de una prueba de salida con características similares. Para ello, se puede utilizar como referencia el cuadernillo de preguntas seleccionadas. Este material, al igual que la prueba, permitirá seleccionar preguntas del mismo tipo y de similar extensión y complejidad.

Si se aplica una prueba de salida, es necesario que entre la primera y la última prueba haya una etapa en la que el estudiante se apropie de las técnicas para comprender el tipo de preguntas utilizadas en la prueba y, de igual modo, se familiarice con la resolución de los ítems planteados. Para ello, se puede utilizar el cuadernillo de preguntas seleccionadas u otras actividades que el profesor proponga. Cualquiera de las decisiones que tome el profesor se deben ejecutar en el marco de las actividades planificadas en la unidad o las sesiones de aprendizaje.

b. Para evaluar el desarrollo de una competencia en una unidad determinada.

Si los textos seleccionados o situaciones problemáticas en la prueba son similares a los desarrollados por el profesor en su unidad didáctica y los ítems responden a los indicadores planteados, el instrumento se puede utilizar para la evaluación final de la competencia. En este caso, los resultados de la evaluación sí tienen efectos en el calificativo que obtenga el estudiante en la unidad. Si se toma esta decisión, previamente se familiarizará al estudiante con los mecanismos para resolver el tipo de ítems de la prueba.

9

Si la prueba se utiliza para la evaluación final de la competencia, terminada su aplicación, debe ser resuelta en forma conjunta con los estudiantes. Para ello, se puede utilizar el siguiente procedimiento:

c. Para identificar las dificultades que tienen los estudiantes en laresolución de este tipo de ítems.

Esta es la actividad que se relaciona más con la próxima prueba PISA, pues brinda la oportunidad para que los estudiantes se familiaricen con la forma de plantear los ítems y el modo de resolverlos. Para identificar en qué ítems los estudiantes tienen más dificultades se debe realizar una tabulación de los datos para calcular el porcentaje de estudiantes que responde bien y el porcentaje que no logra hacerlo. Para ello, pueden tomar como referencia la siguiente tabla:

Nro. de

ítem

Respuestas correctas

% de respuestas correctas

Respuestas incorrectas

% de respuestas incorrectas

Principales dificultades

0102030405

Pedir a los estudiantes que expliquen el procedimiento que utilizaron para responder las preguntas, que compartan las dificultades que tuvieron y la estrategia que utilizaron para superarlas.

Promover un diálogo para que los estudiantes expliquen por qué consideran que es correcta o no una determinada pregunta.

Corroborar y complementar el procedimiento para responder los ítems planteado por los estudiantes. En caso de que el procedimiento no sea el adecuado, demostrar cómo hacerlo y, además, explicar por qué la respuesta es la correcta.

Esta tabulación permitirá focalizar las actividades pedagógicas en la superación de las dificultades detectadas. Además de resolver la prueba conjuntamente con los estudiantes, el docente deberá incorporar en su unidad didáctica estrategias para comprender el tipo de preguntas utilizadas en la prueba, además de actividades de comprensión similares a las planteadas en la prueba.

10

4.2. Uso pedagógico de las preguntas seleccionadas

a. Para desarrollar de manera específica algunas capacidades de lacompetencia.

Algunas sesiones de aprendizaje pueden estar orientadas al desarrollo específico de una o más capacidades. En este caso, las preguntas seleccionadas se pueden utilizar para desarrollar las capacidades para las que fueron planteadas. Para que ello suceda se puede seguir el siguiente procedimiento:

Pedir a los estudiantes que identifiquen la capacidad que se evalúa mediante el ítem y conversar sobre lo que ella significa. Por ejemplo, si el ítem responde a la capacidad “Infiere significados de los textos escritos”, los estudiantes deben entender claramente que consiste en obtener información nueva a partir de los datos explícitos del texto.

Realizar actividades de comprensión en las que se ejerciten formas de desarrollar la capacidad. Por ejemplo, si se desea inferir significados, se puede utilizar estrategias para identificar el propósito del texto, interpretar el doble sentido, la ironía, etc.

Conversar con los estudiantes sobre la forma de evidenciar que la capacidad se está desarrollando. Para ello, se puede tomar como referencia los indicadores propuestos en las rutas de aprendizaje respectivas.

Resolver las actividades planteadas en el cuadernillo de preguntas seleccionadas, siguiendo las estrategias aprendidas. La resolución de las preguntas se puede realizar en forma individual y en conjunto analizar cómo se llegó a la respuesta correcta. También se puede hacer en parejas para compartir los procedimientos utilizados. Cada integrante puede realizar un ejercicio y luego compartir procedimientos y resultados o entre los dos integrantes pueden resolver el mismo ejercicio. En otras ocasiones se puede hacer en pequeños grupos o con todos los estudiantes, verbalizando cada paso que se da para llegar a la respuesta correcta.

Reflexionar con los estudiantes sobre cómo se llegó a la respuesta correcta, las dificultades que surgieron y la forma como fueron superadas.

b. Para la evaluación formativa de algunas capacidades de la competencia.

Los ítems propuestos en el cuadernillo de preguntas seleccionadas responden a determinadas capacidades e indicadores, por lo tanto, pueden ser utilizadas durante las sesiones de aprendizaje para corroborar si la capacidad se está desarrollando o no, con la finalidad de aplicar mecanismos de mejoramiento. Esto requiere que previamente se identifique la capacidad y los indicadores a los que responde el ítem para saber en qué sesión de aprendizaje utilizarlo. Como es de esperar, en estos casos la intención solo es regular el proceso de aprendizaje, por lo tanto, no es necesario colocar calificativo alguno. Lo que sí se debe hacer es aplicar mecanismos de devolución adecuados, mediante los cuales se comunique al estudiante lo que ha logrado y lo que le falta lograr en función de los aprendizajes previstos. No basta señalar el error y explicar cómo superarlo, el estudiante debe ser consciente de lo que se espera de él y cómo debe alcanzarlo.

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b. Paralaevaluacióndelacompetenciaplanificadaenlaunidad. En cada unidad didáctica el estudiante obtiene un calificativo que representa el nivel de

desarrollo de la competencia. Estos calificativos son insumos para el reporte que en cada periodo se brinda a estudiantes y padres de familia. En los instrumentos que se utilice para evaluar la competencia se puede utilizar alguno de los ítems propuestos en el cuadernillo de preguntas seleccionadas, siempre y cuando respondan a las capacidades e indicadores que el profesor haya previsto al planificar la evaluación. La diferencia con lo planteado en el literal anterior es que en este caso la evaluación sí se realiza con la finalidad de colocar un calificativo. Se debe garantizar, además, que el ítem incorporado en el instrumento de evaluación permita evaluar la competencia en toda su dimensión y no se reduzca solo a la evaluación de una capacidad específica. Esto quiere decir que el conjunto de ítems que se incluya en el instrumento tengan unidad y en su conjunto permitan evaluar la competencia en toda su dimensión. Se debe recordar que la competencia no es la suma de capacidades sino la combinación armónica de todas ellas.

c. Como insumo para elaborar otras preguntas. En las unidades didácticas y en las sesiones de aprendizaje se necesita evaluar

permanentemente, ya sea para regular el aprendizaje o para comprobar si se han alcanzado los logros previstos, por lo tanto, los ítems propuestos en el cuadernillo de preguntas seleccionadas no serán suficientes para evaluar las capacidades y competencias en las distintas unidades didáctica. Por ello, el profesor puede plantear sus propios ítems, según los indicadores seleccionados en la unidad, y teniendo en cuenta las características de las preguntas seleccionadas. Al igual que en el caso anterior, al elaborar los ítems se debe garantizar la evaluación de la competencia mediante la movilización armónica de todas sus capacidades y no a partir de la evaluación aislada de cada una de ellas. Para plantear ítems con características similares a los del cuadernillo, el profesor deberá analizar la tipología de las preguntas, la estructura del ítem y los distintos niveles de demanda cognitiva.

Estas son algunas sugerencias que cada profesor deberá adecuar y enriquecer según las condiciones de la institución educativa y las características de los estudiantes, pero sin perder de vista el propósito fundamental del cuadernillo de evaluación: empoderar al estudiante de las estrategias que le permitan desarrollar las competencias lectora y matemática, y afrontar las exigencias que ello demande, de acuerdo con los requerimientos de las evaluaciones nacionales e internacionales. Es bueno recordar que no se trata de preparar para un examen, a modo de una academia, sino de brindar herramientas para que los estudiantes tengan desempeños eficientes en múltiples circunstancias.

PRUEBA DE MATEMÁTICA

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Pregunta 1Identifi ca a los corredores que ganaron las medallas de oro, plata y bronce en esta carrera. Completa la tabla siguiente con su número de calle, su tiempo de reacción y su tiempo fi nal.

TIEMPO DE REACCIÓN

Medalla Calle Tiempo de reacción (s) Tiempo fi nal (s)OROPLATABRONCE

Calle Tiempo de reacción (s) Tiempo fi nal (s)1 0,147 10,092 1,136 9,993 0,197 9,874 1,180 No acabó la carrera5 0,210 10,176 0,216 10,047 0,174 10,088 0,193 10,13

Pregunta 1:

Observando la tabla vemos que los tres menores tiempos fi nales corresponden a los corredores de la calle 3 (9,87 s), calle 2 (9,99 s) y calle 6 (10,04 s). De aquí que la medalla de oro corresponde al corredor de la calle 3, la medalla de plata al corredor de la calle 2 y la medalla de bronce al corredor de la calle 6. Completamos la tabla para cada uno de los corredores señalados.

Resolución

Medalla Calle Tiempo de reacción (s) Tiempo fi nal (s)ORO 3 0,197 9,87PLATA 2 0,136 9,99BRONCE 6 0,216 10,04

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Pregunta 2

Pregunta 3

Mei-Ling se enteró de que el tipo de cambio entre el dólar de Singapur y el rand sudafricano era de:

1 SGD = 4,2 ZAR

Mei-Ling cambió 3000 dólares de Singapur en rands sudafricanos con este tipo de cambio. ¿Cuánto dinero recibió Mei-Ling en rands sudafricanos?

Respuesta:

Al volver a Singapur, tres meses después, a Mei-Ling le quedaban 3900 ZAR. Los cambió en dólares de Singapur, dándose cuenta que el tipo de cambio había cambiado a:

1 SGD = 4,0 ZAR

¿Cuánto dinero recibió en dólares de Singapur?

Respuesta:

EL TIPO DE CAMBIO

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Pregunta 2: La respuesta es 12600 rands sudafricanos

Pregunta 3: La respuesta es 975 dólares de Singapur.

Se sabe que el tipo de cambio entre el dólar de Singapur (SGD) y el rand sudafricano (ZAR) era de:

1 SGD = 4,2 ZAR

Esto significa que por cada SGD que se cambia, a este tipo de cambio, se reciben 4,2 ZAR. De aquí que si Mei-Ling cambió 3000 SGD, con este tipo de cambio, entonces recibió ZAR.

Otra forma sería plantear una regla de tres:

1 SGD ______________________ 4,2 ZAR

3000 SGD ______________________ x

la misma que nos da por resultado x = 12600 ZAR.

Al volver a Singapur, tres meses después, el tipo de cambio había cambiado a:

1 SGD = 4,0 ZAR

A Mei-Ling le quedaban 3900 ZAR y los cambió en SGD según este nuevo tipo de cambio. La cantidad recibida se puede calcular siguiendo una regla de tres:

1 SGD _________________________ 4,0 ZAR

x _________________________ 3900 ZAR

la misma que nos da por resultado x = 975 SGD.

Resolución

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Pregunta 4Estás preparando tu propio aliño para la ensalada.He aquí una receta para 100 mililitros (ml) de aliño.

¿Cuántos mililitros (ml) de aceite para ensalada necesitas para preparar 150 ml de este aliño?

Respuesta: ml

SALSAS

Aceite para ensalada: 60 ml

Vinagre: 30 ml

Salsa de soja: 10 ml

Pregunta 4: La respuesta es 90 ml

De acuerdo a la información para preparar 100 ml de aliño se necesita 60 ml de aceite para ensalada. De aquí se tiene que para 50 ml de aliño se necesitarían 30 ml de aceite para ensalada. Por tanto para preparar 150 ml de aliño se necesitará 90 ml de aceite para ensalada.

Resolución

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Pregunta 5

Pregunta 6

¿Cuánto dura el periodo de la secuencia de este faro?

¿Durante cuántos segundos emite este faro destellos de luz a lo largo de un minuto?

2 segundos

3 segundos

5 segundos

12 segundos

4 segundos

12 segundos

20 segundos

24 segundos

a)b)c)d)

a)b)c)d)

EL FARO

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Pregunta 7Mario comienza a observar el faro 1 segundo después que este inicia una secuencia. Durante los siguientes 8 segundos, ¿cuántos destellos de luz verá?

2 destellos

3 destellos

4 destellos

5 destellos

a)b)c)d)

Pregunta 5: La respuesta es 5 segundos.

Pregunta 6: La respuesta es 24 segundos.

Pregunta 7: La respuesta es 3 destellos.

De acuerdo al enunciado, periodo de la secuencia es el tiempo que dura un ciclo completo antes de que comience a repetirse.

Hemos encontrado el ciclo “2O, 1L, 1O, 1L” y en este ciclo el faro emite 2 segundos de destellos

de luz. El ciclo dura 5 segundos, por tanto en 1 minuto (60 segundos) tendremos 605 = 12 ciclos.

Dado que en 1 ciclo el faro emite 2 segundos de destellos de luz, entonces en 12 ciclos emitirá 24

segundos de destellos de luz.

De acuerdo con el enunciado Mario comienza a observar el faro 1 segundo después que este inicia una secuencia. Luego, durante los siguientes 8 segundos, él observará los últimos 4 segundos de la secuencia y los 4 primeros segundos de la secuencia siguiente. Esto es,

1O, 1L, 1O, 1L - 2O, 1L, 1O

De aquí que Mario verá 3 destellos de luz.

Resolución

Periodo Periodo

De la fi gura vemos las siguientes ocurrencias: 2 segundos de oscuridad (2O), 1 segundo de luz (1L), 1 segundo de oscuridad (1O), 1 segundo de luz (1L), 2 segundos de oscuridad (2O), 1 segundo de luz (1L), 1 segundo de oscuridad (1O), 1 segundo de luz (1L), 2 segundos de oscuridad (2O) y 1 segundo de luz (1L). Esto es la secuencia: 2O, 1L, 1O, 1L; 2O, 1L, 1O, 1L; 2O, 1L, ...

Podemos reconocer el ciclo “2O, 1L, 1O, 1L” en esta secuencia. De aquí se desprende que después de 5 segundos el ciclo vuelve a repetirse.

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Pregunta 8¿Consideras que la afi rmación del presentador es una interpretación razonable del gráfi co? Da una explicación que fundamente tu respuesta.

ROBOS

Pregunta8:Larespuestaesquelainterpretaciónnoesrazonable.

Señalaremos algunas razones que respalden nuestra respuesta. Si se mostrara el gráfi co completo y comparamos las alturas de las barras se vería que se

trata de un aumento ligero del número de robos. La información del gráfi co muestra que de 1998 a 1999 el número de robos aumentó en

9, aproximadamente. No se trata de un enorme aumento del número de robos.

Al comparar el aumento del número de robos de 1998 a 1999 con respecto al número

de robos registrados en 1998 obtenemos 9

508 = 0,0177 . En términos porcentuales,

representa un aumento del 2% aproximadamente. Esto indica que no se trata de un

enorme aumento del número de robos.

Resolución

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Pregunta 9Rodea con un círculo la fi gura que se ajusta a la descripción anterior

TRIÁNGULOS

P

M

QR

N

SA

PM

QS

R

N

D

P

M

Q

SRNB

P

M

Q

S

RN C

P

M

Q

S

R

N

E

Descripción

El triángulo PQR es un triángulo rectánguloCon el ángulo recto en REl segmento RQ es menor que el segmento PRM es el punto medio del segmento PQN es el punto medio del segmento QRS es un punto dentro del triánguloEl segmento MN es más grande que el segmento MS

P

M

QR

N

S

A

PM

QS

R

N

D

P

M

Q

SRN

B P

M

Q

S

RN

C

P

M

Q

S

R

N

E

Pregunta 9: La respuesta es la Opción D

Construiremos un cuadro que nos permita verifi car si las diferentes opciones cumplen con la descripción dada. Basta que alguna opción no cumpla una de las características dadas para descartarla. De aquí que la primera opción en ser descartada es la E; luego la C; de ahí la A y fi nalmente la B. Vemos que la D es la única opción que cumple con todas las características descritas. Con fi nes didácticos presentamos la comparación completa.

Resolución

23

Pregunta 10: La respuesta es 1276 ladrillos.

Tenemos un patio rectangular cuyas dimensiones son 5,25 m de largo y 3,00 m de ancho. De aquí que el área de dicho patio es (5,25 m)(3,00) = 15,75 m2.

Se sabe que Nicolás necesita 81 ladrillos por metro cuadrado. De aquí que para pavimentar todo el patio necesita (15,75 m2)(81 ladrillos/m2) = 1275.75 ladrillos. Esto es 1276 ladrillos.

Resolución

Pregunta 10Calcula cuántos ladrillos necesita Nicolás para pavimentar todo el patio.

EL PATIO

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Pregunta 11

Pregunta 12

Completa la tabla:n = Número de manzanos Número de coníferas12345

En el planeamiento descrito anteriormente, se pueden utilizar dos fórmulas para calcular el número de manzanos y el de coníferas:

Número de manzanos = n2

Número de coníferas = 8n

Donde “n” es el número de fi las de manzanos.Existe un valor de “n” para el cual el número de manzanos coincide con el de coníferas. Hallar este valor de “n”.

Respuesta:

MANZANOS

25

n = Número de manzanos Número de coníferas1 1 82 4 163 9 244 16 325 25 40

Pregunta 13Supongamos que el agricultor quiere plantar un huerto mucho mayor, con muchas filas de árboles. A medida que el agricultor vaya aumentando el tamaño del huerto, ¿qué se incrementará más rápidamente: el número de manzanos o el de coníferas?

Explica cómo has hallado la respuesta.

Pregunta 11: La respuesta es

Resolución

26

Pregunta 12: La respuesta es 8.

El enunciado presenta dos fórmulas para calcular el número de manzanos y el de coníferas:

Número de manzanos = n2

Número de coníferas = 8n

Donde “n” es el número de fi las de manzanos.

El número de manzanos coincidirá con el número de coníferas cuando:

n2 = 8n n2 – 8n = 0 n(n – 8) = 0 n = 0 n = 8

Dado que “n” representa el número de fi las de manzanos, entonces n ≠ 0. Luego, el valor de “n” para el cual el número de manzanos coincide con el de coníferas es 8.

Al observar la imagen dada podemos contar, para cada valor de “n”, el número de manzanos (•) y el número de confi teras (×). Por ejemplo tenemos que para n=1, el número de manzanos es 1 y el número de confi teras 8. Así, por observación directa, podemos completando la tabla hasta para n=4.

De esta tabla vemos que:

En la columna del número de coníferas tenemos 8; 16; 24; 32. Notamos que el número aumenta de 8 en 8. De aquí que podemos predecir que para n=5 el número de coníferas será 32+8=40.

La columna del número de manzanos corresponde al cuadrado de los primeros números naturales: 1=12; 4=22; 9=32; 16=42. De aquí que podemos predecir que para n=5 el número de manzanos será 52=25.

MANZANOS

n = Número de manzanos Número de coníferas1 1 82 4 163 9 244 16 32

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Pregunta13:Larespuestaeselnúmerodemanzanos.

Una forma de argumentar la respuesta anterior sería apelando a las características del modelo matemático que corresponde a cada uno. El número de manzanos está dado por un modelo cuadrático, n2, y el número de coníferas por un modelo lineal 8n. Para n>8, a medida que n aumenta, la cuadrática se incrementa n2 más rápido que la lineal 8n.

Otra forma de argumentar sería apelando a una gráfica. Podemos construir en un mismo sistema bidimensional la gráfica del modelo cuadrático de los manzanos y el modelo lineal de las coníferas. Si bien la variable n es discreta, la suponemos continua con n≥0 y tendremos, en el 1er cuadrante para la cuadrática la rama derecha de una parábola convexa de vértice en el origen (azul) y para la lineal una recta de pendiente 8 que pasa por el origen (rojo).

El punto de corte de la recta y la parábola corresponde a n=8. Observamos que para n>8 la gráfica de azul está por encima de la gráfica de rojo. Esto indica que, para n>8, a medida que n aumenta el número de manzanos se incrementa más rápidamente que el número de coníferas.

Mostramos una tercera forma. Del análisis hecho en la pregunta 12 vimos que:

El número de coníferas 8; 16; 24; 32; 40 aumenta en forma constante.

Al pasar de n=1 a n=2 el incremento es de 16-8=8 coníferas.




En todos los casos el incremento es de 8 coníferas. Los números correspondientes al incremento de coníferas forman una sucesión constante cuyo valor constante es 8.

El número de manzanos 1; 4; 9; 16; 25 no aumenta en forma constante.

Al pasar de n=1 a n=2 el aumento es de 4-1=3 manzanos.




Vemos que el incremento va en aumento: 3; 5; 7; 9. Los números correspondientes al incremento de manzanos forman una sucesión creciente dada por la progresión aritmética de razón 2.

De aquí podemos concluir que, a medida que el agricultor vaya aumentando el tamaño del huerto, el número de manzanos se incrementará más rápidamente que el número de coníferas.

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ResoluciónPregunta 14: La respuesta es 20%

Pregunta 14¿Cuál es la probabilidad de que Roberto extraiga un caramelo rojo?

Con la información de la fi gura, considerando la escala del eje vertical, encontramos el número de caramelos de cada color. Organizamos esta información en una tabla:

Color N°Rojo 6Naranja 5Amarillo 3Verde 3Azul 2Rosa 4Violeta 2Marrón 5

caramelos de cada color. Organizamos esta información en una tabla:

El número total de caramelos es 30 y de ellos 6 son rojos. De aquí que la probabilidad de que Roberto coja un caramelo rojo es 6/30, esto es 1/5 o del 20%.

CARAMELOS DE COLORES

10%

20%

25%

40%

a)b)c)d)

Roj

o

Nar

anaj

a

Am

arill

o

Verd

e

Azu

l

Ros

a

Viol

eta

Mar

rón

29

Pregunta 15A continuación figuran tres afirmaciones sobre la producción diaria en la empresa Electrix ¿Son correctas dichas afirmaciones?Rodea con un circulo “Si” o “No” según corresponda a cada afirmación.

REPRODUCTORES DEFECTUOSOS

ResoluciónPregunta 15: La respuesta es No, No, Si.Afirmación: Un tercio de los reproductores fabricados diariamente son reproductores de video.

La afirmación no es correcta. La información proporcionada muestra que se fabrican al día 2.000 reproductores de vídeo y 6.000 reproductores de audio. De aquí que el número total de reproductores fabricados al día es 8.000. La tercera parte de los reproductores fabricados diariamente es 2.666 y no los 2.000 del número que corresponde a los reproductores de vídeo como señala la afirmación.

Afirmación: En cada lote de 100 reproductores de vídeo fabricados habrá, exactamente, 5 defectuosos.

La afirmación no es correcta. La información proporcionada señala que, para el caso de los reproductores de vídeo, el porcentaje medio de reproductores defectuosos al día es 5%. Esto es que de cada 100 reproductores de vídeo fabricados habrá, en promedio, 5 defectuosos. Se trata de una proporción media y no exacta.

Afirmación: Si de la producción diaria se elige un reproductor de audio al azar para probarlo, la probabilidad de que tenga que ser reparado es de 0,03.

La afirmación es correcta. La información proporcionada señala que, para el caso de los reproductores de audio, el porcentaje medio de reproductores defectuosos al día es 3%. Esto indica que si se elige al azar un reproductor de audio la probabilidad de que este sea defectuoso es 3%, o en forma equivalente 0,03.

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Pregunta 17

DADOS

Pregunta 16A la derecha se pueden ver tres dados colocados uno encima del otro. El dado 1 tiene cuatro puntos en la cara de arriba. ¿Cuántos puntos hay en total en las cinco caras horizontales que no se pueden ver (cara de abajo del dado 1, caras de arriba y de debajo de los dados 2 y 3)?

Respuesta:

Puedes construir un dado sencillo cortando, doblando y pegando cartón. Estos dados se pueden hacer de muchas maneras. En el dibujo siguiente puedes ver cuatro recortes que se pueden utilizar para hacer cubos, con puntos en las caras.¿Cuál de las siguientes figuras se pueden doblar para formar un cubo que cumpla la regla de que la suma de caras opuestas sea 7? Para cada figura, rodea con un círculo “Sí” o “No” en la tabla de abajo.

31

ResoluciónPregunta 16: La respuesta es 17 puntos

Para la resolución debemos tener en cuenta la regla mencionada para un dado regular: el número total de puntos en dos caras opuestas es siempre siete.

De esta regla y lo mostrado en la imagen, tenemos:

Dado 1: Debido a que la cara de arriba del dado 1 tiene 4 puntos, entonces la cara horizontal de abajo tiene 3 puntos.

Dado 2: Independientemente de los puntos de las caras laterales, los puntos de la cara horizontal de arriba y de la cara horizontal de abajo del dado 2, al ser caras opuestas suman 7.

Dado 3: Independientemente de los puntos de las caras laterales, los puntos de la cara horizontal de arriba y de la cara horizontal de abajo del dado 3, al ser caras opuestas suman 7.

Luego, en total las cinco caras horizontales que no se pueden ver (cara de abajo del dado 1, caras de arriba y de debajo de los dados 2 y 3) suman 3+7+7=17 puntos.

Pregunta 17: Las respuestas son Forma I No; Forma II Sí; Forma III Sí; Forma IV No

Considerando la plantilla del desarrollo de un cubo mostrada en la figura notamos que al construir el cubo las caras opuestas serían A y C; B y E; D y F.

C

B F

C

F E D B

A

Observando los recortes de la figura vemos que solo las formas II y III cumplen la regla de que la suma de los números de las caras opuestas es 7.

32

ELENA, LA CICLISTA

Pregunta 18

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

Durante un trayecto, Elena hizo 4 km durante los 10 primeros minutos y luego 2 km durante los 5 minutos siguientes.

a) La velocidad media de Elena fue mayor durante los 10 primeros minutos que durante los 5 minutos siguientes.

b) La velocidad media de Elena fue la misma durante los 10 primeros minutos que durante los 5 minutos siguientes.

c) La velocidad media de Elena fue menor durante los 10 primeros minutos que durante los 5 minutos siguientes.

d) No se puede decir nada sobre la velocidad media de Elena a partir de la información facilitada.

33

Pregunta 18: La respuesta es la opción B.

Pregunta 19: La respuesta es la opción A.

Resolución

De acuerdo a la información proporcionada tenemos:

Durante los 10 primeros minutos Elena hizo 4 km. Entonces, durante los 10 primeros minutos, la velocidad media fue 4 km

10 min 0,4 km/min

Durante los 5 minutos siguientes Elena hizo 2 km. Entonces, durante los 5 minutos siguientes, la velocidad media fue 2 km

5 min 0,4 km/min.

Luego, podemos afirmar que la velocidad media de Elena fue la misma durante los 10 primeros minutos que durante los 5 minutos siguientes.

De los datos se sabe que Elena recorrió 6 km hasta la casa de su tía y el velocímetro marcó una velocidad media de 18 km/h para todo el trayecto. Si representamos con el tiempo que le llevó a Elena llegar a casa de su tía podemos plantear:

Luego, podemos afirmar que a Elena le llevó 20 minutos llegar a casa de su tía.

6 kmt

kmh

= 18 →→

13t =

t = 20 min.

h

Pregunta 19Elena recorrió 6 km hasta la casa de su tía. El velocímetro marcó una velocidad media de 18 km/h para todo el trayecto.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta?a) A Elena le llevó 20 minutos llegar a casa de su tía.

b) A Elena le llevó 30 minutos llegar a casa de su tía.

c) A Elena le llevó 3 horas llegar a casa de su tía.

d) No se puede decir cuánto tiempo le llevó a Elena llegar a casa de su tía.

34

TARIFAS POSTALES

Pregunta 20¿Cuál de los siguientes gráficos es la mejor representación de las tarifas postales en Zedlandia? (El eje horizontal muestra el peso en gramos y el eje vertical muestra el precio en zeds?)

35

Pregunta 20: La respuesta es Gráfi co C

Resolución

La tabla muestra que:

Si el peso del paquete está comprendido entre los 501 g y 1000 g, la tarifa es 3,20 zeds.

Entre 501 y 1000 la tarifa es constante (segmento horizontal) e igual a 3,20.





El único gráfi co que presenta estas característi cas es el C. Nótese que si bien para los otros intervalos de la tabla también tenemos tarifas constantes, la escala usada no permite disti nguir los segmentos horizontales y estos se ven como si fueran puntos aislados.

C6543210

0 1000 2000 3000 4000

PREGUNTASSELECCIONADAS DE MATEMÁTICA

39

La respuesta es 5 segundos.

Nos piden: ¿Cuánto dura el periodo de la secuencia?

De la fi gura vemos las siguientes ocurrencias: 2 segundos de oscuridad (2O), 1 segundo de luz (1L), 1 segundo de oscuridad (1O), 1 segundo de luz (1L), 2 segundos de oscuridad (2O), 1 segundo de luz (1L), 1 segundo de oscuridad (1O), 1 segundo de luz (1L), 2 segundos de oscuridad (2O) y 1 segundo de luz (1L). Esto es la secuencia: 2O, 1L, 1O, 1L; 2O, 1L, 1O, 1L; 2O, 1L, ...

Podemos reconocer el ciclo “2O, 1L, 1O, 1L” en esta secuencia. De aquí se desprende que después de 5 segundos el ciclo vuelve a repetirse.

De acuerdo al enunciado periodo de la secuencia es el tiempo que dura un ciclo completo antes de que comience a repetirse.

Pregunta 1

Resolución

Periodo Periodo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Los faros son torres con un foco luminoso en la parte superior.Los faros ayudan a los barcos a seguir su rumbo durante la noche cuando navegan cerca de la costa.

Luz

Oscuridad

Tiempo (segundos)

EL FARO

Un faro emite destellos de luz según una secuencia regular fi ja.Cada faro tiene su propia secuencia.

En el diagrama de abajo se puede ver la secuencia de un faro concreto. Los destellos de luz alternan con periodos de oscuridad.

Se trata de una secuencia regular. Después de algún tiempo la secuencia se repite.Se llama periodo de la secuencia al tiempo que dura un ciclo completo, antes de que comience a repetirse. Cuando se descubre el periodo de la secuencia, es fácil ampliar el diagrama para los siguientes segundos, minutos o incluso horas.

40

La respuesta es 24 segundos.

Nos piden: ¿Durantecuántossegundosemiteestefarodestellosdeluzalolargode1minuto?

Hemos encontrado el ciclo “2O, 1L, 1O, 1L” y en este ciclo el faro emite 2 segundos de destellos de luz. El ciclo dura 5 segundos, por tanto en 1 minuto (60 segundos) tendremos 60

5 = 12 ciclos.

Dado que en 1 ciclo el faro emite 2 segundos de destellos de luz, entonces en 12 ciclos emitirá 24 segundos de destellos de luz.

Pregunta 2

Resolución

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Los faros son torres con un foco luminoso en la parte superior.Los faros ayudan a los barcos a seguir su rumbo durante la noche cuando navegan cerca de la costa.

Luz

Oscuridad

Tiempo (segundos)

EL FARO

Un faro emite destellos de luz según una secuencia regular fi ja.Cada faro tiene su propia secuencia.

En el diagrama de abajo se puede ver la secuencia de un faro concreto. Los destellos de luz alternan con periodos de oscuridad.

Se trata de una secuencia regular. Después de algún tiempo la secuencia se repite.Se llama periodo de la secuencia al tiempo que dura un ciclo completo, antes de que comience a repetirse. Cuando se descubre el periodo de la secuencia, es fácil ampliar el diagrama para los siguientes segundos, minutos o incluso horas.

41

La respuesta es 20 000.

Nos piden: ¿Cuál de las siguientes cifras constituye la mejor estimación del número total de asistentes al concierto?

Se trata de un terreno rectangular con dimensiones de 100 m por 50 m por lo que su área es de 100 x 50 = 5 000 m2. Considerando que, aproximadamente, en 1 m2 pueden caber 4 fans de pie. Podemos estimar en 5 000 x 4 = 20 000 fans el número de asistentes al concierto.

Pregunta 3

En un concierto de rock se reservó para el público un terreno rectangular con dimensiones de 100 m por 50 m. Se vendieron todas las entradas y el terreno se llenó de fans, todos de pie.

EL CONCIERTO DE ROCK

42

Pregunta 4

Las tarifas postales de Zedlandia están en basadas en el peso de los paquetes (redondeado al gramo más cercano), como se muestra en la tabla siguiente.

TARIFAS POSTALES

TARIFAS POSTALES

6

6

6

6

5

5

5

5

44

4

4

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1000

1000

1000

50 10020

2000

2000

2000

200 350 500100020003000

3000

3000

30004000

4000

4000

A

C

B

D

43

LarespuestaesGráficoC.

Nos piden: ¿Cuál de los siguientesgráficos es lamejor representaciónde las tarifaspostales en Zedlandia?

La tabla muestra:







El único gráfi co que presenta estas características es el C. Nótese que si bien para los otros intervalos de la tabla también tenemos tarifas constantes, la escala usada no permite distinguir los segmentos horizontales y estos se ven como si fueran puntos aislados.

Resolución

C6543210

0 1000 2000 3000 4000

44

La respuesta es 20%

Nos piden: ¿CuáleslaprobabilidaddequeRobertocojauncaramelorojo?

Con la información de la fi gura, considerando la escala del eje vertical, encontramos el número de caramelos de cada color. Organizamos esta información en una tabla:

El número total de caramelos es 30 y de ellos 6 son rojos. De aquí que la probabilidad de que Roberto coja un caramelo rojo es 6/30, esto es 1/5 o del 20%.

Color N°Rojo 6Naranja 5Amarillo 3Verde 3Azul 2Rosa 4Violeta 2Marrón 5

Pregunta 5

Resolución

La madre de Roberto le deja coger un caramelo de una bolsa. Él no puede ver los caramelos. El número de caramelos de cada color que hay en la bolsa se muestra en el siguiente gráfi co.

Roj

o

Nar

anaj

a

Am

arill

o

Verd

e

Azu

l

Ros

a

Viol

eta

Mar

rón

CARAMELOS DE COLORES

Roj

o

Nar

anaj

a

Am

arill

o

Verd

e

Azu

l

Ros

a

Viol

eta

Mar

rón

45

La respuesta es la Opción C

Nos piden: ¿Cuáldelassiguientesopcionesreflejamejorelsignificadodelaafirmacióndel geólogo?

Según el enunciado el geólogo dijo “En los próximos veinte años, la posibilidad de que ocurra un terremoto en la ciudad de Zed es dos de tres”. Notamos que la afi rmación del geólogo está referida a “posibilidad de ocurrencia” que la expresa numéricamente como una probabilidad de 2/3.

La probabilidad que no ocurra ningún terremoto es 0. Dado que 2/3 es mayor que 0, entonces podemos decir que la probabilidad de que haya un terremoto en algún momento en los próximos 20 años es mayor que la probabilidad de que no haya ningún terremoto.

Pregunta 6

Resolución

Se emitió un documental sobre terremotos y la frecuencia con que estos ocurren. El documental incluía un debate sobre la posiblidad de predecir los terremotos. Un geólogo dijo: “En los próximos veinte años, la posiblidad de que ocurra un terremoto en la ciudad de Zed es dos de tres”.

TERREMOTO

OPCIÓN A: 23 x 20 = 13,3; por lo que entre 13 y 14 años a partir de ahora un terremoto en la ciudad de Zed.

OPCIÓN B: 23 es más que

12 , por lo que se puede estar

seguro de que habrá un terremoto en la ciudad de Zed en algún momento, en los próximos 20 años.

OPCIÓN C: La posiblidad de que haya un terremoto en la ciudad de Zed en algún momento en los próximos 20 años es mayor que la probabilidad de que no haya ningún terremoto.

OPCIÓN D: No se puede decir lo que sucederá, porque nadie puede estar seguro de cuándo tendrá lugar un terremoto.

46

La respuesta es la Opción D

Nos piden: Seleccionarlaúnicafiguraquerepresenteladescripcióndada.

Construiremos un cuadro que nos permita verifi car si las diferentes opciones cumplen con la descripción dada. Basta que alguna opción no cumpla una de las características dadas para descartarla. De aquí que la primera opción en ser descartada es la E; luego la C; de ahí la A y fi nalmente la B. Vemos que la D es la única opción que cumple con todas las características descritas. Con fi nes didácticos presentamos la comparación completa.

Descripción

El triángulo PQR es un triángulo rectánguloCon el ángulo recto en REl segmento RQ es menor que el segmento PRM es el punto medio del segmento PQN es el punto medio del segmento QRS es un punto dentro del triánguloEl segmento MN es más grande que el segmento MS

Pregunta 7

Resolución

TRIÁNGULOS

P

M

QR

N

S

A

PM

QS

R

N

D

P

M

Q

SRN

B

P

M

Q

S

RN

C

P

M

Q

S

R

N

E

47

La respuesta es 32 mg

Nos piden: ¿Cuánta cantidad de fármaco permanece activa en la sangre de Pedro al finaldelprimerdía?

La gráfi ca muestra que la cantidad de fármaco que permanece activa en la sangre de Pedro va disminuyendo a medida que pasan los días. Los puntos rojos indican la cantidad presente después de uno, dos tres o cuatro días.

Observamos:

Inicialmente (t=0) había 80 mg de fármaco presente en la sangre. Después de 1 día (t=1) había un poco más de 30 mg de fármaco,

pero no llega a los 40 mg. Después de 2 días (t=2) había un poco más de 10 mg de fármaco,

pero no llega a los 20 mg. Después de 3 días (t=3) había un poco menos de 10 mg de fármaco. Después de 4 días (t=4) había muy poca cantidad de fármaco, casi

0 mg.

De lo anterior y de acuerdo a las opciones de respuesta, podemos señalar que 32 mg es la cantidad de fármaco que permanece activa en la sangre de Pedro al fi nal del primer día.

Pregunta 8

Resolución

Pedro tiene que tomar 80 mg de un fármaco para controlar su presión sanguínea.El siguiente gráfi co muestra la cantidad inicial del fármaco y la cantidad que permanece activa en la sangre de Pedro después de uno, dos, tres y cuatro días.

Cantidad de fármaco activo (mg)

Tiempo (días) desde que se ha tomado el fármaco

80

60

40

20

00 1 2 3 4 5

FÁRMACOCONCENTRACIÓN DE UN FÁRMACO



80

60

40

20

00 1 2 3 4 5

48

La respuesta es 40%

Nos piden: Alfinaldecadadía,¿cuáleselporcentajeaproximadodefármacodeldíaanteriorquepermaneceactivo?

Los estudiantes pueden observar del gráfi co que la cantidad del medicamento que permanece activa es un poco menos que la mitad de la cantidad activa el día anterior. De aquí que la opción más plausible es 40%.

Analizando con mayor cuidado diremos que el enunciado señala que cada día permanece activa en la sangre de Pedro aproximadamente la misma proporción de fármaco con relación al día anterior. Así tenemos que inicialmente había 80 mg y al fi nal del primer día había 32 mg (considerando la respuesta de la pregunta anterior). La proporción de fármaco que permanece activa es 32/80, esto es 2/5 o en forma equivalente 40%.

Otra forma sería plantear una regla de tres:

la misma que nos da por resultado x = 40%.

De aquí que la respuesta sea 40%.

80 mg 100 %32 mg x %

Pregunta 9

Resolución

Pedro tiene que tomar 80 mg de un fármaco para controlar su presión sanguínea.El siguiente gráfi co muestra la cantidad inicial del fármaco y la cantidad que permanece activa en la sangre de Pedro después de uno, dos, tres y cuatro días.



80

60

40

20

00 1 2 3 4 5

FÁRMACOCONCENTRACIÓN DE UN FÁRMACO

En el gráfi co de la pregunta puede verse que, cada día, permanece activa en la sangre de Pedro aproximadamente la misma proporción de fármaco con relación al día anterior. Al fi nal de cada día, ¿cuál de las siguientes cifras representa el porcentaje aproximado de fármaco del día anterior que permanece activo?

49

La respuesta es No es muy probable

Nos piden: ¿CuánprobableesqueDanielaganeunpremio?

De acuerdo a la pregunta para ganar el premio Daniela debe sacar una canica negra. Pero, de acuerdo al enunciado, esto supone que en primer lugar la ruleta se detuvo en un número par.

La ruleta consta de seis números de los cuales cinco de ellos son pares. De aquí que la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número par es 5

6 .

Hay 20 canicas en la bolsa, de ellas seis son negras. De aquí que la probabilidad de sacar una canica negra de la bolsa es 6

20.

De lo anterior se desprende que la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número par y sacar una canica negra es 5

6 × 620. Esto es 1

4 , una probabilidad del 25%, por lo que concluimos que no es muy probable que Daniela gane un premio.

Pregunta 10

Resolución

En un juego de una caseta de feria se utiliza en primer lugar una ruleta. Si la ruleta se detiene en un número par, entonces el jugador puede sacar una canica de una bolsa. La ruleta y las canicas de la bolsa se representan en los dibujos siguientes.

FERIA

50

LarespuestapuedeserDiseñoA,DiseñoCoDiseñoD

Nos piden: Seleccionarlosdiseñosconloscualessepuedeconstruirelcercoutilizandolos 32 m de madera

De acuerdo al enunciado el carpintero tiene 32 m de madera para construir el cerco. Esto indica que el perímetro del diseño debe ser igual (o menor) que 32 m. Si bien se indica que se seleccione una respuesta, podemos encontrar tres respuestas al problema. El diseño D es la respuesta más evidente debido a que corresponde a un rectángulo de 10 m de base y 6 m de altura y por tanto su perímetro es 32 m. Sin embargo los diseños A y C también cumplen la condición. Esto debido a que la suma de las longitudes horizontales de los escalones es igual a la longitud horizontal total de 10 m y, al mismo tiempo, la suma de las longitudes verticales de los escalones es igual a la longitud vertical total de 6 m.

El diseño D corresponde a un rectángulo de 10 m de base y 6 m de altura. Su perímetro es 32 m.

Pregunta 11

Resolución

Un carpintero tiene 32 metros de madera y quiere construir un pequeño cerco alrededor de un parterre (terreno sembrado de césped y fl ores) en el jardín.Está considerando los siguientes diseños del parterre.

CARPINTERO

51

El diseño A es una figura simétrica respecto a la vertical que pasa por el punto medio de su base de 10 m de longitud.

Considerando las longitudes de los pasos y alturas de los peldaños tenemos a + 2b + 2c = 10 y x + y + z = 6. El perímetro del diseño está dado por a + 2b + 2c + 2 (x + y + z) + 10, lo que es igual a 32 m.

Considerando las longitudes de los pasos y alturas de los peldaños tenemos a + 2b + 2c = 10 y x + 2y + 2z = 6. El perímetro del diseño está dado por 2 (a + 2b + 2c) + 2 (x + y + z), lo que es igual a 32 m.

El diseño C es una figura simétrica respecto a la vertical y horizontal que pasa por su centro.

El diseño B no siempre cumple la condición del perímetro 32 m. Tomemos como ejemplo el caso de un paralelogramo de base 10 m y altura 6 m como el que se muestra en la figura.

En el triángulo rectángulo de lados 8 m, 6 m y x, aplicando el teorema de Pitágoras, resulta x = 10. De aquí que el paralelogramo tendría perímetro 40 m. Este diseño no cumple con la condición.

52

Larespuestaes3.8millonesdezeds.

Nos piden: ¿CuálfueelvalordelasexportacionesdezumodefrutadeZedlandiaenelaño 2000?

Observando el gráfi co de barras de las exportaciones anuales de Zedlandia vemos que exportó 42.6 millones de zeds en el año 2000.

Pregunta 12

Resolución

Otros 21%

Tejidos de algodón

26%

Lana 5%Tabaco

7%Zumo de fruta

9%Arroz 13%

Té 5%

Carne 14%

DISTRIBUCIÓN DE LAS EXPORTACIONES DE

ZEDLANDIA EN EL AÑO 2000

Esto es el 9% de 42.6 millones de zeds, es decir 3.834 millones de zeds.

Observando el diagrama circular de la distribución de exportaciones de Zedlandia vemos que el 9% del total de las exportaciones del año 2000 correspondió a zumo de fruta.

Los siguientes diagramas muestran información sobre las exportaciones de Zedlandia, un país cuya moneda es el zed.

TOTAL DE LAS EXPORTACIONES ANUALES DE ZEDLANDIA EN MILLONES

DE ZEDS, 1996 - 2000

1996 1997 1998 1999 2000Año

0

5

101520

25

3035

4045

42.6

37.9Otros 21%

Tejidos de algodón

26%

Lana 5%Tabaco

7%Zumo de fruta

9%Arroz 13%

Té 5%

Carne 14%

27.125.4

20.4

DISTRIBUCIÓN DE LAS EXPORTACIONES DE

ZEDLANDIA EN EL AÑO 2000

EXPORTACIONES

TOTAL DE LAS EXPORTACIONES ANUALES DE ZEDLANDIA EN MILLONES

DE ZEDS, 1996 - 2000

1996 1997 1998 1999 2000Año

0

5

101520

25

3035

4045

42.6

37.9

27.125.4

20.4

53

La respuesta es 1.5 km

Nos piden: ¿Cuálesladistanciaaproximadadesdelalíneadesalidahastaeliniciodelarecta más larga del trayecto?

El análisis del gráfi co indica que el recorrido presenta tres trayectos rectos y tres trayectos curvos. Podemos inferir esto debido a que es razonable pensar que:

En los tramos rectos la velocidad del coche aumenta, llega a su valor máximo, la mantiene en su máximo durante el recorrido recto y empieza a disminuirla cuando ingresa a un tramo curvo.

Pregunta 13

Resolución

Este gráfi co muestra cómo varía la velocidad de un auto de carreras a lo largo de una pista llana de 3 km durante su segunda vuelta.

VELOCIDAD DE UN AUTO DE CARRERAS

Velocidad de un auto de carreras durante un trayecto de 3 km (segunda vuelta)

Velocidad (km/h)

Salida

180160140130100806040200 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0

2,51,50,5

Distancia recorrida en la pista (km)

54

La velocidad del coche alcanza su mínimo valor en el punto más extremo de la curva. Al cruzar estos puntos la velocidad aumenta hasta salir del tramo curvo y empezar el tramo recto.

El coche empieza a acelerar desde el inicio del tramo recto.

De acuerdo a la información del gráfico y el análisis anterior podemos decir que:

1) El primer trayecto recto inicia en las cercanías del punto A, llega hasta el punto B y tiene una longitud aproximada de 0.6 km.

2) El segundo trayecto recto inicia en las cercanías del punto C, llega hasta el punto D y tiene una longitud aproximada de 0.8 km.

3) El tercer trayecto recto inicia en las cercanías del punto E, pasa por la salida y, hasta este punto, tiene una longitud aproximada de 0.4 km.

De lo anterior y de acuerdo a las opciones de respuesta, decimos que la distancia aproximada desde la línea de salida hasta el inicio de la recta más larga del trayecto es 1.5 km.

55

Pregunta 14

La respuesta es la opción B

Nos piden: ¿Encuáldelostrayectosmostradosviajóelautodelqueseobtuvolagráficaanterior?

El análisis del gráfi co indica que el recorrido presenta tres trayectos rectos. En estos tramos la velocidad alcanza su máximo valor y es sostenida durante todo el tramo recto. Los tramos donde la velocidad del coche es baja corresponden a trayectos curvos del recorrido. El punto donde la velocidad es la mínima sería el punto extremo de la curva. Luego tenemos tres tramos rectos y tres curvos.

Resolución

A continuación, se muestra los dibujos de cinco trayectos:

S: Línea de Salida

LA VELOCIDAD DE UN AUTO DE CARRERAS

AB

C

D

E

56

Dado que la pista tiene 3 km de recorrido, observando el gráfi co vemos que el primer tramo recto pasa por el punto de salida y es el más corto. De aquí que la B sería la opción más plausible.

Pregunta 15




Velocidad (km/h)

Salida

180160140130100806040200 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0

2,51,50,5


57

Larespuestaesalos1.3kmaproximadamente

Nos piden: ¿Dónde se registró la velocidad más baja durante la segunda vuelta?

Del gráfi co notamos que la velocidad más baja ocurre en el punto P, esta es cercana a los 70 km/h y se registró aproximadamente a los 1.3 km de la línea de salida.

P

Resolución

58

La respuesta es la velocidad del auto aumenta

Nos piden: ¿Qué puedes decir sobre la velocidad del auto entre las marcas de los 2.6 km y 2.8 km?

Del gráfi co notamos que entre las marcas de los 2.6 km y 2.8 km, la velocidad del coche aumenta.

Entre los puntos E y F la gráfi ca es creciente lo que indica que el coche acelera y por tanto la velocidad aumenta.

E

F

Pregunta 16

Resolución




Velocidad (km/h)

Salida

180160140130100806040200 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0

2,51,50,5


59

La respuesta es 12

Nos piden: ¿Cuántos monopatines distintos puede construir Marcos?

De acuerdo a la información de los precios de los productos ofrecidos por la tienda tenemos 3 opciones para la tabla, 2 opciones para el juego de ruedas, 1 opción para el juego de 2 ejes y 2 opciones para el juego de accesorios. De aquí que Marcos puede construir monopatines distintos.

Pregunta 17

Resolución

Marcos es un gran afi cionado del monopatín. Entra en una tienda llamada PATINADORES para mirar algunos precios.En esta tienda, puedes comprar un monopatín completo; o puedes comprar una tabla, un juego de 4 ruedas, un juego de 2 ejes y un juego de accesorios para armar y montar tu propio monopatín.Los precios de estos productos de la tienda son:

MONOPATÍN

Producto

Patineta armada 82 u 84

40, 60 o 65

14 o 36

16

10 o 20

Tabla

Un juego de 4 ruedas

Un juego de 2 ejes

Un juego de accesorios (cojinetes, hules, tornillos y tuercas)

Precio en zends

60

Las respuestas son Forma II y Forma III

Nos piden: ¿Cuáldelasfigurassepuededoblarparaconstruiruncuboquecumplalaregladequelasumadecarasopuestases7?

Considerando la plantilla del desarrollo de un cubo mostrada en la fi gura notamos que al construir el cubo las caras opuestas serían A y C; B y E; D y F.

Observando los recortes de la fi gura vemos que solo las formas II y III cumplen la regla de que la suma de los números de las caras opuestas es 7.

La suma de caras opuestas, una vez

construido el cubo, es 7

La suma de caras opuestas, una vez

construido el cubo, no es 7

C

B F

C

F E D B

A

Pregunta 18

Resolución

A la derecha, hay un dibujo de dos dados.

Los dados son cubos con un sistema especial de numeración en los que se aplica las siguiente regla:

El número total de puntos en dos caras opuestas es siempre siete.

Puedes construir un dado sencillo cortando, doblando y pegando cartón. Estos dados se pueden hacer de muchas maneras. En el dibujo siguiente puedes ver cuatro recortes que se pueden utilizar para hacer cubos, con puntos en las caras.

CUBOS CON NÚMEROS

61

Pregunta 19

Un depósito de agua tiene la forma y dimensiones que se muestran en el dibujo. Inicialmente el depósito está vacío. Después se llena con agua a razón de un litro por segundo.

Depósito de agua

DEPÓSITO DE AGUA

DEPÓSITO DE AGUA

Altura

TiempoA

Altura

TiempoD

Altura

TiempoE

Altura

TiempoB

Altura

TiempoC

62

LarespuestaesGráficoB

Nos piden: ¿Cuáldelosgráficossiguientesmuestracómovacambiandolaalturadelagua en el depósito en función del tiempo?

El depósito de agua tiene la forma de un cuerpo geométrico formado por un cono unido a un cilindro. El cono, ubicado en la parte inferior, tiene una altura de 1.5 m y radio 1.0 m; el cilindro de igual radio, ubicado en la parte superior, tiene una altura de 1.5 m.

Supondremos que la velocidad con la que se llena el tanque es constante.

Debido a la forma cónica de la parte inferior, la altura del agua aumentará más rápido al comienzo y luego irá disminuyendo. Esto se interpreta como que la gráfi ca tiene una forma creciente cóncava “achatándose” a medida que la atura alcanza los 1.5 m.

Debido a la forma cilíndrica de la parte superior, la altura del agua aumentará en forma constante. Esto se interpreta como que la gráfi ca tiene una forma de un segmento de recta creciente hasta alcanzar la atura de 1.5 m.

Del análisis anterior vemos que la opción B es la forma más plausible para la gráfi ca de la altura en función del tiempo.

Resolución

Altura

TiempoB

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LarespuestaesGráficoA

Nos piden: ¿CuáldeestosgráficosrepresentamejorlaalturadelospiesdeManoloporencima del suelo mientras se columpia?

El enunciado señala que Manolo, sentado en un columpio, empieza a columpiarse intentando llegar tan alto como le sea posible. Esto indica que en cada ciclo del columpio “ida y vuelta” y con respecto al suelo la altura máxima de sus pies aumenta mientras que la altura mínima de sus pies es siempre la misma.

Cada ciclo de ida y vuelta comprende un continuo de subidas y bajadas, lo que se traduce en una gráfi ca continua con picos cada vez más altos y valles a una misma altura. De aquí que la opción más plausible es la gráfi ca A.

Resolución

Pregunta 20

COLUMPIO

Manolo está sentado en un columpio. Empieza a columpiarse. Está intentando llegar tan alto como le sea posible.

Altura de los pies

Tiempo

Tiempo

Tiempo

Tiempo

Altura de los pies

Altura de los pies

Altura de los pies

A

C

B

D

Altura de los pies

TiempoA

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La respuesta es NO para todas las conclusiones

Nos piden: ¿Pueden las siguientes conclusiones deducirse de la información brindada en esta pantalla?

Tenemos la siguiente información:

1) Se mide la estatura de todos los alumnos.

2) La estatura media de los chicos es de 160 cm.

3) La estatura media de las chicas es de 150 cm.

4) Elena ha sido la más alta, mide 180 cm.

5) Pedro ha sido el más bajo, mide 130 cm.

Dos estudiantes faltaron a clase ese día, pero fueron a clase al día siguiente. Se midieron sus estaturas y se volvieron a calcular las medias. Sorprendentemente, la estatura media de las chicas y la estatura media de los chicos no cambió.

Resolución

Pregunta 21

ESTATURA DE LOS ALUMNOSUn día, en clase de matemática, se mide la estatura de todos los alumnos. La estatura media de los chicos es de 160 cm y la estatura media de las chicas es de 150 cm. Elena ha sido la más alta: mide 180 cm. Pedro ha sido el más bajo: mide 130 cm.Dos estudiantes faltaron a clase ese día, pero fueron a clase al día siguiente. Se midieron sus estaturas y se volvieron a calcular las medias. Sorprendentemente, la estatura media de las chicas y la estatura media de los chicos no cambió.

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La condición anterior podría deberse a varias posibilidades:

I. Dado que la estatura media de las chicas no cambió, entonces los dos estudiantes fueron chicas con la misma estatura media que su grupo, esto es 150 cm.

II. Dado que la estatura media de los chicos no cambió, entonces los dos estudiantes fueron chicos con la misma estatura media que su grupo, esto es 160 cm.

III. Dado que la estatura media de las chicas y chicos no cambió, entonces los dos estudiantes fueron una chica y un chico, cada uno con estatura igual a la media de su grupo, esto es 150 cm y 160 cm respectivamente.

IV. Dado que la estatura media de las chicas no cambió, entonces los dos estudiantes fueron chicas cuya media de estaturas es igual que la media de su grupo, esto es 150 cm.

V. Dado que la estatura media de los chicos no cambió, entonces los dos estudiantes fueron chicos cuya media de estaturas es igual que la media de su grupo, esto es 160 cm.

Justificaremos por que las conclusiones presentadas no se pueden deducir de las condiciones dadas en el enunciado.

La conclusión “los dos estudiantes son chicas” no se deduce necesariamente de las condiciones dadas. Solo se cumpliría en la posibilidad I, pero no para II o III.

La conclusión “uno de los estudiantes es un chico y el otro es una chica” no se deduce necesariamente de las condiciones dadas. Solo se cumpliría en la posibilidad III, pero no para I o II.

La conclusión “los dos estudiantes tienen la misma estatura” no se deduce necesariamente de las condiciones dadas. Solo se cumpliría en la posibilidad I o II, pero no para III.

La conclusión “la estatura media de todos los estudiantes no cambió” no se deduce de las condiciones dadas. Ninguna de las posibilidades permite llegar a esta conclusión.

La conclusión “Pedro sigue siendo el más bajo” no se deduce necesariamente de las condiciones dadas. Se cumpliría para las posibilidades I, II y III, pero no para la IV o V.

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Pregunta 22

Las siguientes imágenes son vistas laterales del edifi cio retorcido.

EL EDIFICIO RETORCIDOEn la arquitectura moderna, los edifi cios a menudo tienen formas inusuales. La imagen siguiente muestra un modelo diseñado por computadora de un “edifi cio retorcido” y un plano de la planta baja. Los puntos cardinales muestran la orientación del edifi cio.

En la planta baja del edifi cio está la entrada principal y un espacio para tiendas. Por encima de la planta baja hay 20 plantas de viviendas.El plano de cada planta es similar al de la planta baja, pero la orientación de cada planta es ligeramente distinta a la de la planta inmediatamente inferior. En el cilindro se encuentran el hueco del ascensor y un vestíbulo para cada planta.

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La respuesta es Desde el este

Nos piden: ¿Desdedóndesehaobtenidolavistalateral1?

La vista de la planta baja nos permite considerar el plano mostrado como la composición de un rectángulo y un círculo. De acuerdo con el enunciado, el plano de cada planta es similar pero su orientación es ligeramente distinta a la de la planta inmediata inferior.

El modelo por computadora muestra que esta composición rota de modo que el lado AB de la base del rectángulo pasa de perpendicular a paralela con respecto a la orientación este-oeste.

Vista desde el sur Vista desde el sureste Vista desde el este

La siguiente imagen simula las distintas rotaciones de la composición vista desde arriba. En la vista lateral 1 vemos, en su tamaño original, el canto de la composición ubicada en la parte superior. Además la vista lateral 1 muestra los cortes del cilindro siempre al frente. Lo anterior nos permite concluir que la vista lateral 1 está tomada desde el este.

Resolución

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La respuesta es Desde el sureste

Nos piden: ¿Desdedóndesehaobtenidolavistalateral2?

Seguiremos una estrategia similar a la de la pregunta anterior.

La imagen simula las distintas rotaciones de la composición vista desde arriba. En la vista lateral 2 vemos el canto de la composición, en su tamaño original, ubicada en la parte central. Además la vista lateral 2 muestra los cortes del cilindro siempre al frente. Lo anterior nos permite concluir que la vista lateral 2 está tomada desde el sureste.

Pregunta 23

Resolución

Las siguientes imágenes son vistas laterales del edifi cio retorcido.

cuadernillo matemÁtica para docente

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