1

Cuadernillo 1 - Eje números

Matemática

Nombre

Rut

Est. educacional

PACE-UACh

Cuadernillo Pedagógico para estudiantes

Ciclo PACE-UACh – 2020

Producción a cargo: Higinia Ríos Riquelme - Matias Zárate Carrasco.

Diseño y diagramación: Daniela Díaz G. y Loreto Espinoza L. (www.inquieta.cl)

1

Junto con saludar afectuosamente te damos la bienvenida a este desafío que vas a emprender

junto al Programa PACE-UACh y que pondrá a prueba tu ingenio a lo largo de las actividades de

Preparación Académica Temprana.

PACE-UACh

El Programa de Acompañamiento y Acceso Efectivo a la Educación Superior, PACE-UACh,

realiza un trabajo temprano e integral con estudiantes de enseñanza media, porque busca

potenciar tus expectativas de formación y fortalecer el desarrollo de habilidades y destrezas

que te permitan enfrentar con éxito el proyecto de vida que decidas. Parte de ese trabajo

son el desarrollo de las PAT.

Estimadas y estimadosestudiantes

¿De qué se trata PAT?

Preparación Académica Temprana (PAT)

es un conjunto de actividades que tienen

por objetivo, reforzar competencias y

habilidades en Lenguaje, Matemática

y fortalecer habilidades personales

relevantes en la ideación de un proyecto

de vida en Gestión Personal.

¿Quiénes participan de este programa?

TODOS los estudiantes de 4° medio que

pertenecen a la red de establecimientos

PACE-UACh.

Por ahora, te invitamos a iniciar este

viaje donde aprenderás más de lo que

imaginas. Te invitamos a ser parte de

nuestra comunidad PACE-UACh, por

medio de este material que es un viaje

de aprendizaje del área de Lengua y

Literatura.

¡¡Comencemos!!

2

La Universidad Austral de Chile a través del Programa de Acompañamiento y Acceso Efectivo (PACE),

plantea entre sus objetivos: “Desarrollar una instancia de Preparación Académica Temprana (PAT)

para los estudiantes de 4° Medio de los Liceos adscritos al programa de las regiones de Los Ríos,

Los Lagos y Coyhaique”.

En el contexto actual, en que el mundo vive una pandemia, el PACE se replantea y ofrece la Preparación

Académica a través del estudio y desarrollo de guías de aprendizaje que recibes por los medios más

adecuados al sitio geográfico en que vives.

En Matemática, el objetivo es proporcionar a las y los estudiantes los contenidos considerados

necesarios tanto por el currículum nacional, como por el equipo de matemática, con el fin de

construir mediante el aprendizaje significativo, herramientas sólidas que sirvan como base para

cursar asignaturas matemáticas en los primeros niveles de Educación Superior

El programa de Matemática considera el reforzamiento en los Ejes Números y Álgebra teniendo

como objetivos:

1. Fortalecer conocimientos básicos, necesarios para un buen desempeño en la disciplina de

matemática.

2. Fortalecer habilidades relacionadas con el pensamiento matemático, necesarias para un

mejor desempeño tanto a nivel académico como en la toma diaria de decisiones.

3. Resolver problemas mediante el uso de diversas técnicas, trabajando en forma individual y en

equipo.

Estimados jóvenes participantes del Programa, tenemos muchas esperanzas en el buen

uso que ustedes darán a este Material de Trabajo, ya que será un requisito de habilitación para

optar a un cupo PACE.

Estimados y estimadasestudiantes:

3

Guía 1: eje números

4

I. Conjunto de los Números Naturales

Los números Naturales son los que normalmente ocupamos para contar, se representa por el símbolo (IN) y sus elementos son:

{ 2,4,6,8,10,12,…∞} estos los podemos representar como:

2n ∀ n ∈ IN.

{1,3,5,7,9,11,… ∞} los cuales los podemos representar como:

(2n +1) o (2n – 1) ∀ n ∈ IN

Son aquellos números que tienen solo dos divisores: el mismo y la unidad;

Ejem. {2,3,5,7,11,13,17 … ∞}.

Son todos aquellos que NO son primos;

Ejem. 36, 24, 18 etc ...tienen varios divisores.

Algunos de sus subconjuntos son:

Los números pares

Los números impares

Los números primos

Los números compuestos

SIMBOLOGÍA:

∀ : para todo ∈ : pertenece a ∞ : infinito

> : mayor que…≥ : mayor e igual< : menor que…≠ : distinto

5

Es el primer conjunto numérico construido y estudiado por el hombre.

El conjunto de los IN es un conjunto con un primer elemento = 1.

Ordenado e infinito.

Este conjunto es “cerrado” bajo la suma y la multiplicación, es decir, para todo par de números en IN, su suma y multiplicación también es un número natural.

Este conjunto NO es “cerrado” bajo la resta y la división, ya que para todo par de números en IN, su diferencia y división NO es necesariamente un número natural, puede pertenecer a otro conjunto.

El 2, es el único número PAR que es PRIMO.

Características de los números naturales

II. Conjunto de los números cardinales:

Cuando en el conjunto de los números naturales incluimos el “0”, se denomina Conjunto de los Números Cardinales, se representa por el símbolo IN

0 y sus elementos son:

IN0 = {0,1,2,3,4,5,6,7… ∞}

Subconjunto de cardinales

Los números Naturales: ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,∞)

Los dígitos: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

6

¿Conoces estos términos?

Factores, son elementos de la multiplicación

Ejem. 5 · 8 son factores y = 40 es el producto

Múltiplos de un número, contienen a dicho número una cantidad exacta de veces

Ejm. 24 es múltiplo de 3 y 8 porque 3 · 8 = 24

El mínimo común múltiplo (mcm) es el menor de los múltiplos comunes entre

dos o más números.

Ejm: mcm entre 4 y 6

M(4)= {4,8,12,16,24,32,36…}; M(6)= {6,12,18,24,30…}; mcm = 12

Divisores de un número natural, son los números naturales que lo pueden dividir en forma

exacta.

Ejm.: 3 es divisor de 36, porque 36 : 3 = 12

El máximo común divisor (mcd) es el mayor de los divisores comunes entre dos

o más números.

Ejm: mcd entre 24 y 8

D(24) ={ 1,2,3,4,6,8,12,24} ; D(8) = { 1,2,4,8} ; mcd = 8

Reglas de Divisibilidad, son reglas que nos permiten saber, de forma más o menos

rápida, si un número es divisible entre otro, sin la necesidad de dividir.

7

Observa a continuación un resumen de reglas más usadas.

Resumen de los criterios de divisibilidad

Divisible por Criterio Ejemplo

2Su último dígito es un nº par o cero.

452; 657894; 5600.

3La suma de sus dígitos es múltiplo de 3.

453 (4+5+3=12); 96 (9+6=15)

4Sus dos últimos dígitos son múltiplos de 4 o terminan en 00.

700; 604; 724; 1236

5 Su último dígito es 5 ó 0 50; 870; 545; 125.

6Sea divisible por 2 y 3 a la vez.

642; 864; 540

8Sus 3 últimas cifras forman un múltiplos de 8 o terminen en 000.

7064; 54000 ; 4120;

9La suma de sus dígitos es múltiplo de 9.

7461 (7+4+6+1=18); 9981 ( 9+9+8+1= 27).

10 Su último dígito sea cero. 450; 9840.

8

Practicando lo aprendido n° 1

1. Responder según corresponda

a) Si a + b + c = 41 y a + c =19 ¿cuál es el valor de b?

Respuesta

b) Si p - q + r - t = 125 y r – t = 76 ¿cuánto es el valor de p – q?

Respuesta

2. Escribir los 5 primeros múltiplos de :

a) 4

b) 19

c) 55

d) 91

e) 200

f) 1001

¡Ahora te

toca a ti!

9

3. Completar la tabla determinando la divisibilidad de los números de la primera fila. Marca con X o √

Divisible por 234 680 1791 540 6000 345 902

2

3

4

5

6

8

9

10

10

III. Conjunto de los números enteros

Se designan con letra Z que viene del alemán ZAHLEN (número)

Definición:

Z = {…∞…,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…∞}

Subconjuntos de Z:

Números Naturales, sus inversos aditivos y el neutro aditivo

Te invito a revisar el video del PPT que explica las operaciones con números enteros o buscar en el sitio: https://www.youtube.com/channel/UC5xRHjYb-z03ZiBD5UpKjew

Operaciones con números enterosAdición, Sustracción , Multiplicación y división

Recuerda: El valor absoluto de un número a es el mayor entre a y -a Simbólicamente |a| = a

Ejemplos:

Si a = -4, entonces |-4|= 4Si a = +8, entonces |+8|=8

11

Regla de signos de la Adición:

Ejemplos

(+) + (+) = Suma (+)Suma de enteros

positivos(+2) +(+4) = (+6)

(-) + (-) = Suma (-)Suma de enteros

negativos(-6) + (-5) = ( -11)

(+) + (-) = Resta Signo del mayor valor

absoluto(+7) + (-3) = (+4)

(-) + (+) = Resta Signo del mayor valor

absoluto(-10) + (+8) = (-2)

Restar un número es lo mismo que sumar el número, pero éste con signo contrario, es decir si tenemos la operación (+4) – (+6) es lo mismo que realizar (+4) + (-6), como también si tenemos la operación (-9) - (-6) es lo mismo que realizar (-9) + (+6).

Regla de signos de la Multiplicación y División

Para las operaciones de Multiplicación y División se debe tener claro que:

SIGNOS IGUALES resultados positivos y SIGNOS DISTINTOS resultados negativos.

Ejms. (-7) • ( -6) = (+42) ó 42 no es necesario poner el signo (+) si es positivo.

5 • ( -3) = (-15) (-12): (-4) = 325: ( -5) = (-5)

Multiplicación

(+) • (+) = (+)

(-) • (-) = (+)

(+) • (-) = (-)

(-) • (+) = (-)

División

(+) ÷ (+) = (+)

(-) ÷ (-) = (+)

(+) ÷ (-) = (-)

(-) ÷ (+) = (-)

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Propiedades de la adición y multiplicación en Z

Propiedad Adición Multiplicación

Clausura Si a, b ϵ a Z a + b ϵ Z Si a, b ϵ a Z a • b ϵ ZSi 3,6 ϵ a Z 3 • 6 ϵ Z

Conmutativa a + b = b + aa • b = b • a

-5 • 8 = 8 • -5

Asociativa (a + b) + c = a + ( b + c ) (a • b) c = a (b • c)

(4 • 7) • -3 = 4 • (7 • -3)

Elemento neutro a + 0 = a a • 1 = a 8 • 1 = 8

Elemento inverso a + -a = 0 a ∙• 1/a = 1 ó a • a-1

6 • 1 /6 = 1 ó 6 • 6-1

Distributiva ---------------------a (b + c) = (a • b) + (a • c)5 (4 +2) = (5 • 4) + (5 • 2)

Absorbente -------------------- a • 0 = 0 15 • 0 = 0

13

Orden de prioridades o jerarquía de las operaciones Para resolver ejercicios combinados debes seguir el siguiente orden:

40 : {-2+[12 : (-7+3)] + 12 – [(-45) : ((-3) • 5 )]} = 1. Se resuelven los paréntesis ( )

40 : { -2 + [ 12 : (-4)] + 12 – [ (-45): (-15)]} =2. Se resuelven las divisiones dentro del paréntesis [ ]

40 : { -2 + [-3]+ 12 – [ +3] } =3. Se cambian los signos para poner re-alizar la operación.

40 : {- 2 – 3 + 12 – 3} =4. Se resuelven las adiciones y sustrac-ciones del paréntesis { }

40 : 4 = 5. Se resuelve la división

10 6. Se obtiene el resultado

Se quiere resolver 40 : {-2+[12: (-7+3)] + 12 – [( -45) : ((-3) • 5 )]} =

Observa el ejemplo:

1º Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y

llaves.

(*) En el caso de este ejercicio, luego de obtener el resultado de las adiciones y sustracciones del paréntesis, se realiza la división (5), para obtener el resultado (6).

2º Calcular las potencias y raíces.

3º Efectuar los productos y cocientes o cocientes y productos, según aparezca de

izquierda a derecha.

4º Realizar las sumas y restas o restas y sumas.

5º Resultado

14

Practicando lo aprendido n° 2

Actividad 1 Demuestra con un ejemplo si la afirmación es verdadera o falsa. a. El producto de dos números enteros negativos cualesquiera es un número entero positivo.

b. La diferencia entre dos números positivos cualesquiera es un número positivo

Actividad 2

a. Ordena de mayor a menor los siguientes números enteros 23; -11; -25; 0; 9; - 39; -54.

b. Resuelve el siguiente ejercicio 24 + [ 7 – ( -6 • 8) + (45 : -9) ] + 18 =

15

Actividad 3

Para cada situación problemática, plantea el problema con notación de números enteros, resuélvelo y escribe su respuesta

a. Una piscina tiene una capacidad de 3.460 lt. de agua. Para llenarla, el salvavidas abre tres llaves que vierten 85 lt. de agua por minuto, entre las tres. ¿Cuántos litros de agua habrá en la piscina al cabo de 30 minutos? ¿En cuánto tiempo se llenará la piscina?

b. En un laboratorio dental se investiga la resistencia de un material para amalgamas. Se somete el material a distintas temperaturas. Para ello, lo colocan en un congelador que disminuye la temperatura 3°C cada 2 horas. Si la temperatura inicial del material es de 15°C ¿En cuántas horas la temperatura habrá disminuido 12°C?

16

Juegos y acertijosa. ¿Qué número entero corresponde a cada figura?

b. El juego consiste en ordena en los círculos de la estrella los 12 primeros números naturales. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.

+

-

+

-

= 2

= 4

= 6

= 8

= = =

Condiciones:

• No se debe repetir ningún número de la serie.

• Los 4 círculos que están en la línea, sumen siempre lo mismo.

• Los 6 círculos de las puntas deben sumar lo mismo que las líneas.

• Los 3 círculos que forman las puntas de las estrellas deben sumar igual que la punta opuesta.

Resultado

17

c. Un campesino, su señora y sus dos hijos deben cruzar un río, para ello tienen un bote que solo puede trasladar hasta 85 kg. . Cada uno de los padres pesa 80 kg. y cada hijo pesa 40 kg.

¿Qué hacen para cruzar el río todos y que el bote no se hunda?

Resultado

544216954

+

914356984

+

18

Guía n° 2: eje números

19

Iv. Conjunto de los números racionales (q)

Es un conjunto infinito y ordenado, se define como:

a = numerador b= denominador

El conjunto de los números racionales (Q) tiene como subconjunto:

Los números Naturales (IN), los Cardinales (IN0) y los Enteros(Z)

Números Racionales de forma fraccionaria en la recta numérica:

Números Racionales de forma decimal en la recta numérica

Diagrama

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

ZIN

0,555...0,51666...0,2

-52

Q

-23

23

52

-52

-12

32

72

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

0,2 0,7 3,3 3,8 4,7 6,4

0 31 2 4 5 6 7

E F A B C D

20

Características de los números racionales:

Se pueden presentar de:

Forma Fraccionaría: 46 ; 10

5Forma Decimal: 0,5; 0,33.

Forma Mixta: 2 13 ; 6 3

4

Todo número entero (Z) se puede representar como Racional.

Ejemplo: 84

= 2 o 5 = 15

Los Números Q tienen propiedades como:

AMPLIFICAR: Es multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número

Ejm.: amplificado por 4 es 3 . 45 . 4

= 1220

;

SIMPLIFICAR: Es dividir el numerador y el denominador por un mismo divisor

Ejm.: 159

son números divisible por 3, 15 : 39 : 3 = 5

3 esta es una fracción irreductible.

Dos fracciones son equivalentes si se cumple que:Al multiplicar cruzado las fracciones el resultado es 1.

Ejm. 27 6

21 = 4242 = 1 a

b cd si ad = bc

Se pueden clasificar en Fracciones Propias e Impropias

La Fracción Propia. Ejm.: 68 = 0,75 es menor que 1.

La Fracción impropia. Ejm.: 146 = 2,33… es mayor que 1.

La fracción impropia se puede expresar como número mixto: 146 = 2

26 = 2

213

34

El numerador es menor que

el denominador, por lo tanto

la fracción es menor que la

unidad

El numerador es mayor que

el denominador, por lo tanto

la fracción es mayor que la

unidad.

Fracción propia Fracción impropia

118

> 168

< 1

21

Orden en los números racionales

Para determinar qué fracción es mayor o es menor, hay varias formas:

Amplificar ambas fracciones para igualar denominadores.

Ejm.: 73

y 35

¿Cuál es mayor?

Como 73

= 7 . 53 . 5

= 3515

y 35 =

3 . 35 . 3 =

915 entonces

73 >

35

Otra forma de comparar es:

35 > 9 multiplicas la fracción cruzada y escribes el producto encima73

35

luego comparas 35 > 9 entonces 73 >

35

Otra forma es transformar la fracción a decimal y luego comparas

Ejm. 73 = 2,33 y

35 = 0,6 entonces

73 es mayor que 3

5

22

Practicando lo aprendido n° 3

1. Ubica en la recta numérica las siguientes fracciones

34 ;

-14 ;

28 ;

-58

Ejemplo:

2. Coloca el signo > , < , o = en cada pareja de números racionales.

3. Completa el esquema con lo solicitado

Fracción Se lee ¿Fracción Propia? ¿Fracción Impropia?

Dos sextos si no

83

tres quintos

1051

1) 27 3

8 2) 35

23 3)

58

1524

4) -53

-74

5) 49

25 6) 1

2 5

9

-2 0-1 1 258-

23

Operaciones en el conjunto de los números racionales (Q)

1.- Sumas y restas de números racionales.

Para sumar o restar dos o más fracciones es condición necesaria que tengan el mismo denominador. Si tuvieran distintos denominadores lo primero que hay que hacer es obtener fracciones equivalentes con igual denominador.

a) Para sumar o restar fracciones con igual denominador se suman o restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador:

b) Para sumar o restar fracciones con distinto denominador (igualamos denominadores)

• Una forma es: calcular sus fracciones equivalentes

• Otra forma es: multiplicar los denominadores y luego multiplicar cruzado.

Otro procedimiento es el cálculo del mínimo común múltiplo (mcm)

2. Multiplicación de números racionales.

Se multiplican sus numeradores y sus denominadores.

46 •

73 =

2828 luego se simplifica =

149

3. División de números racionalesSe multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda.

Ejemplo: 53

: 74

= 5 . 45 . 4

= 2021

23 +

53 +

73 =

2+5+73 =

143

45 + 2

3 =

45 +

23 =

12+1015 =

2215

45 ={ 4

5` , 810` ,

1215` , 16

20 ...}

45 + 2

3 = 1215 + 10

15 = 2215

23 = { 2

3` , 46` , 6

9` , 812` , 10

15 , ...}

24

Números decimales

Existe otra forma de representar los números racionales y a ésta se le conoce como número decimal.

Se denomina número decimal aquellos que poseen, además de su parte entera, una parte decimal. Los números enteros no poseen parte decimal.

Para obtener del número racional m/n su expresión decimal, se debe realizar la siguiente operación (m : n)

Ejm. -10

3 = -10:3 = -3,3333… ;

3790

= 37:90 = 0,41111… ; 25

= 2: 5 = 0,4.

Clasificación de Decimales:

Decimales finitosDecimales periódicos

(puros)Decimales semi- periódicos

(mixtos)

En su parte decimal tiene un

número finito de dígitos

Toda su parte decimal se repite

infinitamente

Solo algunos de su parte decimal se

repiten infinitamente. El decimal tiene

un ante-período

Ejm.2,8

-15,3523,976

Ejm.1,4444…2,7777…6,1414…

Ejm.4,23555…

7,2333.-54,5623232323…

Transformados a fracción:

2,8 = 2810

1 cifra decimal 1 cero

15,35 = 1535100

2 cifra decimal 2 ceros

El numerador es el número sin

comas y el denominador es una

potencia de 10. Depende del

número de decimales.

Transformados a fracción

1,444… = 14 -19

= 139

Período de 1 cifra (4) 1 nueve

6,1414… = 614-699

= 60899

Período de 2 cifras (14) 2 nueves

El numerador corresponde al

número sin comas y se resta

la parte entera de éste, el

denominador está formado por

tantos 9 como dígitos tenga el

periodo.

Transformados a fracción

4,23555... = 4235 - 423

900 = 3812

900

Período de 1 cifra -> un 9 ; anteperíodo de 2 cifras

(23),dos ceros

7,2333 = 723 - 72

90 =

65190

Período de 1 cifra -> un 9; anteperíodo de 1 cifras (2),

un cero

El numerador es el decimal completo

sin coma, se resta la parte entera

incluyendo los decimales que no son

periodo. El denominador son tantos 9

como dígitos del periodo, seguido de

tantos ceros como el ante-período.

25

Practicando lo aprendido n° 4

Ordena las fracciones según lo solicitado realizando los ejercicios al costado, luego selecciona la respuesta

correcta.

1. Dados los racionales: a = 3911

, b = 72

= y c = 7922

, entonces se cumple que:

A) a < c < b

B) a < b < c

C) b < a < c

D) c < a < b

E) b < c < a

2. Resuelva cada ejercicio y escriba el resultado.

1) 35

. -27

= 2) -49

. -73

=

3) 58

. 73

= 4) 2 35

. 3 12

=

5) 3345

. 2555

. 34

= 6) -3681

. -2741

. 4918

=

26

3. Clasifique las fracciones en decimales finitos, periódicos o semiperiódicos. Complete

Fracciones Decimal Clasificación

103

3, 25

Decimal semi-periódicos

5

12

0,6666…

Decimal finito

4. Resuelve el problema paso a paso y responde la pregunta.

Una familia ha consumido en un día de verano:

Dos botellas de litro y medio de agua, 5 botellas de 1/4 de litro de jugo de manzana. 4 botellas de 1/4 de litro de limonada.

¿Cuántos litros de líquido han bebido? Expresa el resultado con un número mixto.

27

5. Resuelve el ejercicio paso a paso.

( 3 + 14

) - (2 + 16

) =

28

Guía 3: eje números

29

Guía 3: eje números

V. Conjunto de los números irracionales (I)

El conjunto de los números irracionales está formado por todos los números que no pueden ser expresados con una expresión fraccionaria.

La expresión decimal de los números irracionales es un decimal infinito no periódico.

√2=1,414213… es un número irracional.

√7=2,645751… es un número irracional.

Ejemplos:

Ejemplos:

Los números irracionales más utilizados en matemática y que destacan por su presencia en numerosos contextos , son , y . El número (pi): La relación entre la longitud (L) de una circunferencia y su diametro (d) está dado por el número . Esta relación corresponde a : =

Ld

El valor de es 3,14 15 92 65 35 … con infinitas cifras decimales no periódicas.

El número :El número debe su nombre al matemático suizo Leonhard Euler . Este número se define como el límite de la sucesión ( 1 + 1

n ) cuando tiende a infinito.

El valor de = 2,7182818284 …. con infinitas cifras decimales no periódicas

El número (fi)El número , también conocido como el número de oro o razón áurea, es considerado el número de las proporciones perfectas, muy utilizado por artistas de todas las épocas, tanto en arquitectura, en pintura, esculturas y fotografía.

El valor de = (1+ √5)

2 = 1,618033989 …

30

VI. Conjunto de los números reales: (IR)

La unión del conjunto de los números racionales (Q) con el conjunto de los números irracionales (I) forman el conjunto de los números reales (R)

Te invito a ver las cápsulas de apoyo al conjunto de los números irracionales y reales https://www.youtube.com/

watch?v=EbAi41oF2Cc&list=PLlEF5zLfyOuxqEdSSAzHDrbrjy8fUw7X3&index=6

Relación de orden de los números reales

Considerando que todo número real se puede expresar como un número decimal, se puede establecer un orden para dos o más números reales comparando cifra a cifra.

Ejemplo: Al comparar 0,482 y 0,4815 se tiene: los enteros son iguales 4 = 4 los décimos son iguales 8 = 8 los centésimos son iguales 2 > 1 la milésima 2 es mayor que 1

Entonces 0,482 es el número mayor.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

ZIN

0,555...0,51666...0,2

-52

Q

-23

23

52

I

√17-√3

-√53

31

Aproximación de números realesPara facilitar cálculos y operaciones con números reales se puede utilizar la aproximación de su expresión

como número decimal, por el método de TRUNCAMIENTO o por REDONDEO.

A) Aproximación por truncamiento: para truncar un número en cierta cifra decimal se eliminan las cifras decimales que le siguen:

Ejemplos:

5,87162 truncado a la milésima resulta 5, 87123,67239 truncado a la décima resulta 23,6

B) Aproximación por redondeo: para redondear un número en una cierta cifra decimal hay que fijarse en el valor de la cifra siguiente; si es mayor o igual a 5, sumamos 1 a la cifra a redondear, de lo contrario, la cifra se mantiene igual.

Ejemplos:

3,24578 redondeado a la milésima resulta 3,246 7,15469redondeado a la centésima resulta 7,15

Recuerda el nombre y orden de los números decimales

8 , 3 5 6 7 9 3

entero , décimo centésimo milésimo diez milésimos cien milésimos millonésimo

3/10 5/100 6/1000 7/10.000 9/100.000 3/1.000.000

32

Operaciones con números reales Para resolver operaciones combinadas de números reales, debes respetar el orden de prioridades:

1. Paréntesis ( ), [ ] , { }

2. Potencias y Raíces

3. Multiplicación y división (según sea su orden de izquierda a derecha)

4. Adiciones y sustracciones.

Ejercicios desarrollados

simplificas 814

por 28 2 314 3 8

A) ( ( =

resuelve el paréntesis, resta de fracciones=

multiplica los denominadores y luego cruzado47

16 924

( ( =

simplifica cruzado, luego multiplica=47

747 .24724

( ( =

16

= resultado

47

2 33 8

( (

1 1

1 6

=

33

Practicando lo aprendido n° 5

1. Los siguientes números irracionales responden a un patrón. Descubrir el patrón y escribir las cinco cifras decimales que siguen en cada caso.

a. 0,102103210

b. 10,212031304140

c. 5,15253545

d. 1,1010010001

e. 7,1011121314

2. Aproxima por truncamiento y por redondeo los siguientes números:

3. Resuelve este ejercicio paso a paso.

Número decimal Aprox. Truncamiento Aprox. Redondeo

a) 45, 6752 a la centésima 45,67 45,68

b) 9, 23568 a la décima

c) 18, 20543 a la diez milésima

d) 3, 154 a la décima

e) 0, 34576 a la milésima

12 + 3 2 1 36 4

. - -3 4 6( ( =:} }

34

4. Resuelve el siguiente problema presentando la estrategia utilizada. No olvides escribir la respuesta

a) Por la compra de 15 litros de leche con frutilla y 12 litros de leche con chocolate se canceló $15.210. Si

un litro de leche con frutilla cuesta $550, ¿Cuánto cuesta el litro de leche con chocolate?

35

Ejemplos y aplicación.a) Sea n un número natural, a y b racionales. Para multiplicar potencias de igual exponente se multiplican las bases y se conserva el exponente. an · bn = (a · b)n.

Te invito a revisar el canal Youtube con explicación de potenciashttps://www.youtube.com/watch?v=Gzt4I2aaHzMhttps://www.youtube.com/watch?v=vu1NadKrRxY

multiplicamos lo del paréntesis, se conserva el exponente

simplificamos la fracción por 7

elevamos a la potencia cada término.

7 3

21-( (=

1 1-7 -73 33

21 21. .( ((( (( =

Potencias

El siguiente contenido muy importante que debes reforzar trata de las POTENCIAS y las RAÍCES.

(1 1 1 1 13

3 3 3 3 27- - - - -( ((= = =. .

36

c) Todo decimal como base, actúa igual que un entero

Ejemplo: (-0,3)4 = (-0,3) · (-0,3) · (-0,3) · (-0,3) = 0,0081 Es como multiplicar los números y contar el total de decimales.

Un dato: a) Cuando la base es negativa y el exponente par, el resultado es positivo.

b) Cuando la base es negativa y el exponente impar, el resultado es negativo.

Ejemplo:

a) 2 2 2 162 24

5 5 5 6255 5- - - - -( ( ( (( (( ( ( (( (= =. . .

3 3 3 2733

4 4 4 644- - - -( ( ( ((( ( ( ((= =b) . . -

b) Para obtener el resultado de la potencia de una potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

5 5 2 . 42 4

4 4-(( ( (=][

5 8

4-( (=

-

37

Cuando el índice de la raíz es 2, se omite este número. Ejm, √9=3

Propiedades de las raíces

Raíces

Las raíces son casos más generales de las potencias, ya que corresponde a una potencia, pero de exponente racional.

Una raíz se compone de cuatro partes:

• La raíz “b” • La cantidad subradical “ a”• El índice de la razón “n” , n ∙ IN

• El radical, que es representado por el símbolo √

a b=

1n a b=n a b= n

a b=n

Índice de la raíz

raíz

Cantidad subradical

38

Ejemplos explicando

8 8 62727 = = =3 3 3

· · 2 . 3 8 27;2 3= =3 3

=4 6255

=4 813= =4

44 625 5625

8181 3

= ==3

939 32 2 2 8

= ==3

64 64 64 22 . 3 6 26 64=

Se simplifica 9/3=

Revisa la cápsula de You Tube sobre raíces

https://www.youtube.com/watch?v=5rK0t_GgwS8&list=PLlEF5zL-fyOuxqEdSSAzHDrbrjy8fUw7X3&index=9

https://www.youtube.com/watch?v=avqARnjEfi4&list=PLlEF5zLfyOux-qEdSSAzHDrbrjy8fUw7X3&index=10

39

Operatoria con raíces inexactas:

b)

C)

108

4.9.3

108

54

27

9

31

2

2

3

3

3

descomponemos

entonces

22

23

= =2 . 3 63 3

=6108 3

=108 27 75+ -

=75 20 12 80- - -

2 . 3 =3 9 . 3 25 . 3+ - se descompone cada raíz

=3 3 36 3 5+ - ahora se reúnen términos semejantes

= 33 46+3-5( )

= - - -25 . 3 4 . 5 4 . 3 16 . 5

= -3 53 6

= - - -3 5 3 55 2 2 4

Te invito a observar en tutorial para resolver algoritmos del cálculo de raíces https://www.youtube.com/watch?v=Bp8bdcjJJ6E

a)

40

Practicando lo aprendido n° 6

1. Una caja tiene 9 rollos de género, cada uno con 9 metros de género. Expresar, utilizando potencias, la cantidad de metros de género que hay en 9 cajas.

2. Resuelve los ejercicios aplicando las propiedades de las potencias

2 35 5· =a)

3 3 4 34 2 7 7· =( )

+ :b)

2 28 5 =

(][

)-c)

3 64 5-( (( (

4 4· =d)

25-( (

4- =e)

41

3. Usando la definición y las propiedades de potencia, completa la siguiente tabla, como en el ejemplo de la primera fila.

4. Resuelve los siguientes ejercicios:

Potencia Base Expo-nente Desarrollo Se lee

(-4)3 -4 3 (-4) · (-4) · (-4) =

-64 Menos cuatro elevado a 3 o al cubo

(-0,5)3

Dos quintos elevado a menos tres

8 · 8 · 8 · 8 =

(-2) -1

=80 180 45+ -

32 =162 512+ -

42

Guía 4: Resolución de problemas

43

Pasos para resolver un problema

1. ENTIENDE

Leer 3 veces el problema y entender

¿Qué tienes que averiguar?

¿Qué me pide el problema?

2. PLANIFICA

Analizar ¿Cómo puedes resolver el

problema?¿Qué operación es

necesaria?

3. RESUELVE

Manos a la obra.Realizar las operaciones

necesarias para encontrar los resultados.

4. REVISA

Comprobar el resultado y ser

capaz de explicarlo.

Veamos un problema:

Un automóvil se desplaza a una velocidad constante de 80 Km por hora, pasa por una ciudad X,

noventa minutos después, llega a una ciudad Y ¿A qué distancia se ubican ambas ciudades? 1. Entiende

2. Planifica: 80 km en 60 minutos

x km en 90 minutos

3.- Resuelve: por regla de tres simple

4.- Revisa: el auto recorre 80 km en una hora, en media hora más recorre

la mitad de Km más, es decir 80+40=120 Respuesta: ambas ciudades se ubican a 120 km.

80 120 km60 80 . 90 7.200x 90 60 60

= = = =

Ejemplo 2:

Las dos quintas partes de las 60 personas que viajan en un avión son niños. ¿Cuántos adultos viajan

en el avión?

60 – 24 = 36 adultos

Respuesta: En el avión viajan 36 personas adultas.

2 2 60 120de 60 24 niños5 5 1 5

= ==.

44

Practicando lo aprendido n° 7

Ahora te toca a ti. No olvides resolver los ejercicios paso a paso y responder las preguntas

1. Ana María llega a su casa y lee durante 34 de hora, utiliza

23 de hora para realizar su tarea

de matemática y dedica 12

hora a escribir. ¿Cuánto tiempo empleo en total?

2. La Señora Pepa dijo a sus hijos Francisco, Camila y Antonio, que saque cada uno 13 de

caramelos que hay en un frasco. Francisco va al frasco y saca su tercio sin contarle a sus hermanos, luego va Camila y saca su tercio sin decirle a nadie, por último, va Antonio y saca su tercio. Al final en el frasco quedan 48 caramelos ¿Cuántos caramelos había comprado la Sra. Pepa?

45

3. Un camión transporta tres bloques de piedra de 1,23 toneladas cada uno y dos vigas de acero de 0,63 toneladas cada una ¿Cuántas toneladas lleva en total el camión?

4. Una tienda está liquidando sus productos por el cierre del local, de forma que cada semana se vende la mitad del stock, sin reponer ningún artículo. ¿Cuántas semanas transcurren hasta que se agotan todos los productos, si en un principio había 512 artículos?

5. El doctor más viejo del que se tenga noticias, cuyo nombre fue IM-HOPET, vivió en Egipto alrededor del año 2980 a.C. En el año 1849, Elizabeth Blackwell recibió su título de doctora, siendo la primera mujer en obtenerlo en E.E.U.U. ¿Cuántos años transcurrieron entre estos dos eventos? ¿Qué opinas sobre el tema?

46

1. Piensa en un número. 2. Calcula el doble del número.3. Súmale seis.4. Calcula la mitad.5. Resta el número que habías pensado.

La respuesta es 3

Una ranita cae a un pozo de 30 metros de profundidad. En su intento por salir, sube en el día 3mt. pero en la noche resbala y cae 2 metros.

¿Cuántos días tardará la ranita en salir del pozo?

¿Cuál es la respuesta?

3 + 3 x 3 + 3 = ? a) 21b) 36c) 15

Los enigmas de Grin Soy un número de 3 cifras.

La suma de las 3 cifras es 18.La primera cifra es la mitad que la segunda y un tercio de la tercera.

¿Qué número soy?

Una madre y un padre tienen 6 hijos varones y cada hijo varón tiene una hermana.

¿Cuántas personas componen la familia?

La respuesta:

Veamos qué tan imaginativo son:Toga, Notar, Rubor, Gloria, Precio, Tribuno, Neuralgica

En cada palabra hay un animal, son 7. A ver despierten esas neuronas.

La respuesta:

La respuesta: La respuesta:

La respuesta: La respuesta:

3º MEDIO

4º Medio

4º MEDIO

PATMayo a Julio

• Lengua y literatura• Matemáticas

PATAgosto a Sept.

Gestión Personal

Para aprobar el PAT debes:• 100% de asistencia actividades presenciales.• % de logro académico en los tres módulos.

• Lenguaje • Matemáticas• Electivo (de acuerdo a la carrera que quieras estudiar)

y habilitados PACE

Serás Habilitado PACE si cumpliste con todos los requisitos que indica el MINEDUC.1. Egresar dentro del 15% de mayor rendimiento o tener 703 puntos de ranking.2. Cursar 3º y 4º medio en un liceo PACE.3. Rendir PSU.4. Aprobar las actividades indicadas por la Universidad (P.A.T.)

Inscripción PSU

Postulación FUAS

Ingreso a la UACh

Intensivo nivelación

ACOMPAÑAMIENTO EN EDUCACIÓN SUPERIOR DURANTE 2 AÑOS

Tutorías académicas

Mentorías

Talleres Psicoeducativos

Acompañamientosocio afectivo

• Campo laboral

Universidades consejo

de rectores

PSU*

Resultados PSU

Resultadosadmisión

Matrículas

PREP

ARA

CIÓ

N E

N E

NSE

ÑA

NZA

MED

IARuta PACE - UACh

Talleres en Gestión Personal

en aula Talleres en exploración vocacional

TITULACIÓN

Postulación Ed. Superior

*“Pruebas de Admisión Transitorias” *“Preparación Academica Temprana”

*

• CFT• Otras

Universidades• IP

Puedes ser seleccionado

por PACE o PSU

48

pace.uach.cl