asignatura: matemÁtica bÁsica. docente: ing. rafael

Asignatura: MATEMÁTICA BÁSICA.

Docente: Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz

Semestre: Segundo

Matemática Básica

2 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz

G U I A D E E S T U D I O S

I. DATOS INFORMATIVOS

CARRERA: Técnico Superior en Secretariado Ejecutivo

Tecnología en Secretariado Ejecutivo

NIVEL: Tecnológico

TIPO DE CARRERA: Tradicional

NOMBRE DE LA SIGNATURA: Matemática Básica

CÓD. ASIGNATURA: BM-S2-MATE

PRE – REQUISITO: CO – REQUISITO:

TOTAL DE HORAS: Componente docencia: 36

Componentes prácticas de aprendizaje: 0

Componente aprendizaje autónomo: 25

SEMESTRE: Segundo PARALELO: A

PERIODO ACADÉMICO: Mayo – Noviembre 2020

MODALIDAD: Presencial

DOCENTE RESPONSABLE: Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz

Copyright©2020 Instituto Superior Tecnológico Ismael Pérez Pazmiño. All rights reserved.

Matemática Básica

Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 3

Í N D I C E

G U I A D E E S T U D I O S ........................................................................... 2

PRESENTACION. ...................................................................................................... 7

SYLLABUS DE LA ASIGNATURA ............................................................................. 8

I. DATOS INFORMATIVOS .................................................................................... 8

II. FUNDAMENTACIÓN .......................................................................................... 8

III. OBJETIVO GENERAL. ...................................................................................... 9

IV. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................. 9

V. CONTENIDOS ................................................................................................. 10

Sistema General de Habilidades ........................................................................... 10

Sistema General de Valores ................................................................................. 10

VI. PLAN TEMÁTICO ............................................................................................ 11

VII. SISTEMA DE CONTENIDOS POR UNIDADES DIDÁCTICAS ....................... 11

VIII. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Y DE ORGANIZACIÓN DE LA

ASIGNATURA. ..................................................................................................... 14

IX. RECURSOS DIDÁCTICOS ............................................................................. 17

X. SISTEMA DE EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA ......................................... 17

XI. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Y COMPLEMENTARIA ............................................ 18

ORIENTACIONES PARA EL USO DE ESTA GUIA. ... ¡Error! Marcador no definido.

DESARROLLO DE ACTIVIDADES .......................................................................... 22

Unidad Didáctica I. ...................................................................................... ALGEBRA

22

INTRODUCCION. ................................................................................................. 22

Objetivo de la unidad didáctica I ........................................................................... 22

Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica I. ................................................ 22

Desarrollo de contenidos: ........................................ ¡Error! Marcador no definido.

Fracciones ............................................................................................................ 23

Signos de una fracción ......................................................................................... 23

Simplificación de Fracciones ................................................................................. 23

Simplificación de Fracciones cuyos términos sean monomios .............................. 23

Simplificación De Fracciones Cuyos Términos Sean Polinomios .......................... 24

Reducir Una Expresión Mixta A Fraccionaria ........................................................ 24

Reducir Fracciones Al Mínimo Común Denominador ............................................ 24

Operaciones con Fracciones ........................................................................ 25

Suma Y Resta Combinadas De Fracciones .......................................................... 25

Multiplicación De Fracciones ................................................................................ 26

División De Fracciones ......................................................................................... 26

Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica I. .......................................... 27

Potencia ................................................................................................................ 27

Base ..................................................................................................................... 27

Matemática Básica


Exponente .............................................................................................................27

Exponente Fraccionario ........................................................................................28

Factorización .........................................................................................................28

Unidad Didáctica II.Ecuaciones ................................................................................32

Introducción. .........................................................................................................32

Objetivo de la unidad didáctica II ...........................................................................32

Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica II. ................................................32

Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica II. ..........................................32

Igualdad ................................................................................................................32

Ecuación ...............................................................................................................32

Identidad. ..............................................................................................................33

Miembros de una Ecuación ...................................................................................33

Transposición de términos ....................................................................................33

Resolución de Ecuaciones ....................................................................................33

Ecuaciones De Primer Grado Con Signos De Agrupación ....................................34

Ecuaciones Fraccionarias De Primer Grado .................................................34

RESOLUCION DE PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO .........35

ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS .36

Ecuaciones Simultaneas .......................................................................................36

Ecuaciones Equivalentes ......................................................................................36

Ecuaciones Independientes ..........................................................................37

Ecuaciones Incompatibles .....................................................................................37

Sistemas de Ecuaciones .......................................................................................37

Sistema de dos Ecuaciones con dos Incógnitas ....................................................37

Método de Igualación ............................................................................................37

Método de Sustitución ...........................................................................................38

Método de Determinantes .....................................................................................39

Método Grafico......................................................................................................40

Punto de Intersección............................................................................................40

DESARROLLO DE ACTIVIDADES.............................. ¡Error! Marcador no definido.

Unidad Didáctica III. ................................ DESIGUALDADES Y SUS APLICACIONES

42

Objetivo de la unidad didáctica III ..........................................................................43

Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica III. ...............................................43

Propiedades de las desigualdades ........................................................................44

Desigualdad lineal con una variable ......................................................................44

Aplicación de la Desigualdad lineal .......................................................................45

Valor Absoluto ..............................................................................................46

Desigualdades de Valor Absoluto .........................................................................47

Solución De Las Desigualdades Cuadráticas: ..............................................47

Actividad de Auto Evaluación de la Unidad III .......................................................48

EVALUACION DEL PRIMER PARCIAL ................................................................49

DESARROLLO DE ACTIVIDADES. ............................. ¡Error! Marcador no definido.

Matemática Básica


Unidad Didáctica IV. ...................................................................................... La Recta.

50

Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica IV. .............................................. 50

Distancia entre dos puntos.................................................................................... 51

Representación gráfica de la línea recta ............................................................... 52

Pendiente de la Recta ........................................................................................... 52

Pendiente de la recta que pasa por dos puntos cualquiera ................................... 52

La Pendiente De La Recta Cuando Se Tiene Una Ecuación. ............................... 53

Ecuación de la línea Recta ................................................................................... 55

Formas de la Ecuación de la Recta. ..................................................................... 55

Ecuación de la Recta que pasa por dos puntos cualquiera ................................... 55

Ecuación de la recta de la forma punto-pendiente ................................................ 56

Ecuación de la recta de la forma con intersecciones ............................................ 57

Ecuación de la recta de la forma pendiente intersección ...................................... 57

Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad IV. ................................... 60

Actividad Final Unidad IV. ..................................................................................... 60

DESARROLLO DE ACTIVIDADES ............................. ¡Error! Marcador no definido.

Unidad Didáctica V.................................................................................. Progresiones

60

INTRODUCCION .................................................................................................. 61

Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica V. ............................................... 62

Progresión Aritmética ............................................................................................... 62

Termino Enésimo .................................................................................................. 62

Suma de términos ................................................................................................. 62

Taller. ................................................................................................................... 63

Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica V.......................................... 63

Progresiones Geométricas ....................................................................................... 63

................................................................................................................................. 63

Termino Enésimo .................................................................................................. 63

Suma de términos ................................................................................................. 64

ORIENTACIONES TAREA ................................................................................... 65

Taller .................................................................................................................... 65

Actividad final de la unidad V ................................................................................ 66

Unidad Didáctica VI.................................................................. Matemática Financiera

67

INTRODUCCION. ................................................................................................. 67

Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica VI.......................................... 68

Interés Simple .......................................................................................................... 68

Tasa de Interés ..................................................................................................... 68

Interés Simple Calculo .......................................................................................... 68

ORIENTACIONES PARA LA TAREA ................................................................... 71

Foro ...................................................................................................................... 71

Cálculo del Capital ................................................................................................ 71

Cálculo De la tasa de interés ................................................................................ 71

Matemática Básica


Cálculo Del Monto a interés Simple.......................................................................72

Taller .....................................................................................................................72

Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica VI. ........................................72

Interés Compuesto ...................................................................................................72

Cálculo del Tiempo ...............................................................................................73

Cálculo de la tasa de interés .................................................................................73

ORIENTACIONES PARA LA TAREA ....................................................................74

Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad V. ...............................................74

Actividad Final de la Unidad VI ..............................................................................74

EVALUACION DEL SEGUNDO PARCIAL ...............................................................75

Bibliografía. ..............................................................................................................76

Matemática Básica


PRESENTACION.

Señores estudiantes, de parte del INSTIPP reciban nuestro saludo y deseándoles

de antemano se sientan a gusto en nuestra institución. El preparar este material, es

para poder contribuir en alguna manera a la mejora del proceso enseñanza

aprendizaje, consta de elementos básicos que lo orientaran en este proceso, como

son principios básicos de Algebra, un recorrido por las ecuaciones de primer grado

y las desigualdades e inecuaciones de la teoría matemática, problemas y

aplicaciones en el área, la línea recta y las progresiones, para finalizar con dos

temas interesantes de la Matemática Financiera.

La guía plantea lecturas, trabajos prácticos y el respaldo conceptual de los autores

que se citen.

Tratamos de hacer más fácil el proceso de enseñanza – aprendizaje, pero es

necesario interactuar. Para esto estamos Considerando seis unidades didácticas:

Sistema General de conocimientos

Unidad I: Algebra.

Unidad II: Ecuaciones.

Unidad III: Desigualdades y sus aplicaciones.

Unidad IV: Líneas Rectas.

Unidad V: Progresiones.

Unidad VI: Matemática Financiera.

Matemática Básica


SILABO DE LA ASIGNATURA

INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO

ISMAEL PÉREZ PAZMIÑO

SYLLABUS DE LA ASIGNATURA

I. DATOS INFORMATIVOS

CARRERA: Técnico Superior en Secretariado Ejecutivo

Tecnología en Secretariado Ejecutivo

NIVEL: Técnico

Tecnológico

TIPO DE CARRERA: Tradicional

NOMBRE DE LA SIGNATURA: Matemática Básica

CÓD. ASIGNATURA: BM-S2-MATE

PRE – REQUISITO: CO – REQUISITO:

TOTAL DE HORAS: Componente docencia: 36

Componentes prácticas de aprendizaje: 0

Componente aprendizaje autónomo: 25

# CRÉDITOS: TOTAL HORAS: 61

SEMESTRE: Segundo PARALELO: A

PERIODO ACADÉMICO: mayo-noviembre 2020

MODALIDAD: Presencial

DOCENTE RESPONSABLE: Ing. Rafael Salcedo Muñoz

II. FUNDAMENTACIÓN

La matemática es una asignatura Teórica- Práctica, que busca que el estudiante use

el razonamiento lógico y crítico en soluciones de problemas empresariales en la vida

cotidiana, el desarrollo de estas habilidades en la Carrera de Secretariado Ejecutivo,

son de gran importancia, pues constituye una herramienta fundamental para el análisis

y toma de decisiones de las actividades que realizará el futuro profesional.

La propuesta de ejes, objetivos, políticas y metas contenidas en este plan parten de

una evaluación previa de los planes anteriores, tanto en gestión como en resultados.

Desde este punto se reconocen las transformaciones estructurales que han ocurrido

durante la última década. La asignatura Matemática Básica se alinea al Plan Nacional

de Desarrollo 2017-2021 ya que se ha tomado en cuenta las oportunidades y

capacidades generadas para el desarrollo social y el fortalecimiento del talento

humano nacional, mejorando los servicios públicos de educación superando las

capacidades competitivas de los estudiantes con respecto a la asignatura antes

mencionada.

Temas como operaciones algebraicas, casos de productos notables y factorización,

ecuaciones de primer grado con sus diferentes métodos e incógnitas, desigualdades

las características de una línea recta (monotonía), tipos de progresiones y matemática

financiera son el temario que nos ayuda a comprender la realidad de eventos

cotidianos resueltos matemáticamente.

Matemática Básica


El estudiante obtiene una visión general y práctica de la Teoría Matemática. Asimismo,

aprende a sistematizar los conocimientos adquiridos para usarlos como instrumentos

de razonamiento lógico crítico, en las asignaturas relacionadas y en el ejercicio de la

profesión de Secretariado Ejecutivo. También adquiere criterios de precisión, equidad,

trabajo en equipo, dentro del campo del Secretariado.

Por lo que, la asignatura Matemática Básica toma como objeto de estudio las

propiedades y principios matemáticos básicos para su respectiva aplicación en el

campo laboral.

III. OBJETIVO GENERAL.

Resolver problemas matemáticos propuestos sobre las bases matemáticas

fundamentales, mediante la utilización de conceptos, leyes y principios generales de

la asignatura, permitiendo la consolidación de la información financiera de una

empresa demostrando un alto grado de responsabilidad en el manejo de las cuentas

dentro de la misma.

IV. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Identificar lenguaje algebraico, a partir de la resolución de problemas de la vida

cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos

donde se aplican conocimientos y conceptos algebraicos, demostrando

honestidad en los trabajos autónomos.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, aplicando leyes

o principios fundamentales para un dominio adecuado en la resolución de

sistemas con ecuaciones, demostrando criticidad y creatividad en el desarrollo

de ejercicios.

Determinar las inecuaciones, sus propiedades, principios, clasificación y las

formas de resolverlas, mediante la base teórica y la resolución de ejercicios

prácticos, para el planteamiento propio de situaciones descriptivas con

desigualdades, incentivando de esta manera la responsabilidad frente a las

diferentes situaciones que se presenten en la vida cotidiana.

Determinar las características de una línea recta, a través del estudio de

geometría básica, para la resolución de ecuaciones de la recta y su correcta

grafica en el plano cartesiano, demostrando de esta manera constancia y

exactitud en la resolución de ecuaciones sobre el tema revisado.

Resolver progresiones aritméticas y geométricas, aplicando los principios y la

formulación para la resolución de progresiones aplicadas a la vida cotidiana,

desarrollando habilidades de razonamiento lógico, demostrando puntualidad en

la entrega de trabajos y actividades encomendadas a su cargo.

Desarrollar ejercicios prácticos referentes a matemática financiera, mediante el

estudio de operaciones financieras simples y compuestas, para el análisis de

Matemática Básica


viabilidad o factibilidad económica y financiera, demostrando ética investigativa

en proyectos, trabajos, tareas que son medios para su profesionalización.

V. CONTENIDOS

Sistema General de conocimientos

Unidad I: Algebra.

Unidad II: Ecuaciones.

Unidad III: Desigualdades Y Sus Aplicaciones

Unidad IV: Líneas Rectas.

Unidad V: Progresiones

Unidad VI: Matemática Financiera

Sistema General de Habilidades

Unidad I: Identificar lenguaje algebraico, a partir de la resolución de problemas

de la vida cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático.

Unidad II: Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas,

aplicando leyes o principios fundamentales.

Unidad III: Determinar las inecuaciones, sus propiedades, principios,

clasificación y las formas de resolverlas.

Unidad IV: Determinar las características de una línea recta, a través del

estudio de geometría básica, para la resolución de ecuaciones de la recta y su

correcta grafica en el plano cartesiano.

Unidad V: Resolver progresiones aritméticas y geométricas, aplicando los

principios y la formulación para la resolución de progresiones aplicadas a la

vida cotidiana.

Unidad VI: Desarrollar ejercicios prácticos referentes a matemática financiera,

mediante el estudio de operaciones financieras simples y compuestas.

Sistema General de Valores

Unidad I: Honestidad en los trabajos autónomos.

Unidad II: Criticidad y creatividad en el desarrollo de ejercicios.

Unidad III: Responsabilidad frente a las diferentes situaciones que se

presenten en la vida cotidiana.

Unidad IV: Constancia y exactitud en la resolución de ecuaciones sobre el tema

revisado.

Unidad V: Puntualidad en la entrega de trabajos y actividades encomendadas

a su cargo.

Unidad VI: Ética investigativa en proyectos, trabajos, tareas que son medios

para su profesionalización.

Matemática Básica


VI. PLAN TEMÁTICO

DESARROLLO DEL PROCESO CON TIEMPO

EN HORAS

TEMAS DE LA ASIGNATURA C CP S CE T L E THP TI THA

Algebra. 1 4 - - 2 - 1 8 4 12

Ecuaciones. 1 3 - - 2 - - 6 4 10

Desigualdades y sus

aplicaciones

1 1 - - 1 - 1 4 4 8

Líneas rectas. 1 4 1 1 7 4 11

Progresiones 1 3 1 1 6 4 10

Matemática financiera 1 3 1 - 5 5 10

EXAMEN FINAL

Total de horas 6 18 - - 8 - 4 36 25 61

Leyenda:

C – Conferencias. S – Seminarios. CP – Clases prácticas. CE – Clase encuentro. T – Taller. L – Laboratorio. E - Evaluación. THP – Total de horas presenciales. TI – Trabajo independiente. THA – Total de horas de la asignatura.

VII. SISTEMA DE CONTENIDOS POR UNIDADES DIDÁCTICAS

Unidad I: ALGEBRA.

Objetivo: Identificar lenguaje algebraico, a partir de la resolución de problemas de la

vida cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos

donde se aplican conocimientos y conceptos algebraicos, demostrando honestidad en

los trabajos autónomos.

Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de

Valores

Operaciones básicas (suma

resta multiplicación, división,

potenciación y radicación) de

expresiones algebraicas.

Propiedades de la suma,

resta, multiplicación y

división entre expresiones

algebraicas.

Identificar la simbología de

las operaciones básicas.

Diferenciar las propiedades

entre las expresiones

algebraicas.

Honestidad en los

trabajos autónomos.

Matemática Básica


Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de

Valores

Productos Notables y

Factorización

Resolver casos de

productos notables y

factorización aplicando

conocimientos básicos del

algebra.

Unidad II: ECUACIONES.

Objetivo: Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, aplicando

leyes o principios fundamentales para un dominio adecuado en la resolución de

sistemas con ecuaciones, demostrando criticidad y creatividad en el desarrollo de

ejercicios.

Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores

Ecuaciones: definición,

concepto de: identidad,

miembro, término, clases y

grado de una ecuación.

Resolución de ecuaciones de

primer grado lineales,

fraccionarias y con signo de

agrupación.

Sistema de dos ecuaciones

con dos incógnitas.

Desarrollar lógica

matemática para la

resolución de problemas.

Resolver ecuaciones de

primer grado, aplicando

leyes y principios

fundamentales.

Resolver ejercicios

propuestos en sistemas de

dos ecuaciones con dos

incógnitas.

Criticidad y

creatividad en el

desarrollo de

ejercicios.

Unidad III: DESIGUALDADES Y SUS APLICACIONES

Objetivo: Determinar las inecuaciones, sus propiedades, principios, clasificación y las

formas de resolverlas, mediante la base teórica y la resolución de ejercicios prácticos,

para el planteamiento propio de situaciones descriptivas con desigualdades,

incentivando de esta manera la responsabilidad frente a las diferentes situaciones que

se presenten en la vida cotidiana.


Desigualdad

Reglas y propiedades

Comparar números

reales, usando los signos

de desigualdad.

Identificar las

propiedades que

Responsabilidad

frente a las diferentes

situaciones que se

Matemática Básica



Operaciones entre

desigualdades

Grafica.

relacionan el orden con la

suma y el producto.

Resolver operaciones

entre desigualdades.

Expresar las soluciones

gráficamente.

presenten en la vida

cotidiana.

Unidad IV: LÍNEAS RECTAS.

Objetivo: Determinar las características de una línea recta, a través del estudio de

geometría básica, para la resolución de ecuaciones de la recta y su correcta grafica

en el plano cartesiano, demostrando de esta manera constancia y exactitud en la

resolución de ecuaciones sobre el tema revisado.


Expresión matemática y

grafica de una función lineal

Pendiente de la recta.

Monotonía (Creciente,

Decreciente)

Formas de ecuación de la

recta.

Identificar los diferentes

conceptos de pendiente y

recta.

Identificar la pendiente

creciente y decreciente.

Resolver ecuaciones de la

recta que pasa por dos

puntos, intersección y gráfica.

Constancia y

exactitud en la

resolución de

ecuaciones sobre el

tema revisado.

Unidad V: PROGRESIONES

Objetivo: Resolver progresiones aritméticas y geométricas, aplicando los principios y

la formulación para la resolución de progresiones aplicadas a la vida cotidiana,

desarrollando habilidades de razonamiento lógico, demostrando puntualidad en la

entrega de trabajos y actividades encomendadas a su cargo.

Matemática Básica



Progresiones

Tipos de progresiones.

Progresiones aritméticas

Progresiones geométricas

Definir conceptos generales

de las progresiones.

Diferenciar entre una

progresión aritmética y una

geométrica.

Resolver problemas de

progresiones aritméticas.

Resolver Problemas de

progresiones geométricas.

Puntualidad en la

entrega de trabajos y

actividades

encomendadas a su

cargo.

Unidad VI: MATEMÁTICA FINANCIERA

Objetivo: Desarrollar ejercicios prácticos referentes a matemática financiera, mediante

el estudio de operaciones financieras simples y compuestas, para el análisis de

viabilidad o factibilidad económica y financiera, demostrando ética investigativa en

proyectos, trabajos, tareas que son medios para su profesionalización.


Conceptos generales.

Interés simple.

Interés compuesto.

Definir conceptos generales

con respecto a la matemática

financiera.

Calcular el interés simple de

un monto aplicando la

formulación de dicho interés.

Calcular el interés

compuesto de un monto

aplicando la formulación de

dicho interés.

Ética investigativa al

desarrollar proyectos,

trabajos, tareas que

son medios para su

profesionalización.

VIII. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Y DE ORGANIZACIÓN DE LA

ASIGNATURA.

Las clases se desarrollarán, tomando en cuenta el siguiente proceso:

Controles de lectura: Se indica la temática a trabajarse al estudiante, el mismo

que tiene que revisar el sustento teórico para compartir en la sala de clase.

Matemática Básica


Resúmenes de clase: El estudiante en cada clase tomará apuntes de las partes

esenciales, las mismas que serán validadas la clase siguiente mediante

preguntas simples por participación voluntaria.

Actividades extra clase: Consisten en resolución de sistemas de ejercicios o

problemas propuestos por cada temática.

Talleres o actividades intra clase: Se entregará un material de apoyo teórico el

mismo que se lo debe de resolver con el direccionamiento del docente,

respetando los niveles de asimilación: Familiarización, Reproducción,

Producción y Creación.

Participación activa en la pizarra: Esta se desarrollará de acuerdo a la temática,

por participación voluntaria o elección al azar, para la validación de procesos y

algoritmos de resolución.

Trabajos de investigación: Consiste en procesos de carácter investigativo en el

cual el estudiante pone de manifiesto su creatividad al proponer organizadores

gráficos, con ejemplos y caracterizaciones del sustento teórico de la temática

consultada.

Trabajos colaborativos: Se formarán grupos de trabajo para la solución de

problemas propuestos usando a mediación tecnológica para la consecución de

los informes.

Portafolio: Será revisado por evaluaciones tomadas a los estudiantes

(parciales, finales y supletorias) y servirá como material de apoyo teórico, en el

mismo se acumulará todos los trabajos desarrollados dentro y fuera de clase.

Correos electrónicos: Se pedirá según lo amerite la temática, él envió de

trabajos vía plataforma Amauta en las fechas establecidas para la verificación

de resultados de los proyectos integradores.

Los métodos utilizados son:

Método Científico: Cumple procesos sistémicos y sistemáticos desde la observación

en el tratamiento del fenómeno, validación de las hipótesis y verificación desde la

praxis en relación a las variables estudiadas.

Método Reproductivo: Con la referencia base se propone la reproducción situaciones

problémicas con algoritmos de resolución sencillos, se da las ayudas respectivas por

niveles de asimilación.

Método Explicativo y Método Ilustrativo: El alumno se apropia de conocimientos

elaborados y los reproduce mediante modos de actuación. El docente explica y dirige

la clase mientras el estudiante atiende y asimila los conocimientos. El estudiante

ilustra a través de ejemplos la temática inferida.

Método de Exposición Problemática: Es un método intermedio, pues supone la

asimilación de la información elaborada y de elementos de la actividad creadora. Se

establecen grupos de trabajo, facilita cierta información y permite al estudiante que

contribuya con su creatividad, ejemplifica los algoritmos de resolución de problema y

se colabora con el estandarte para la creación de su propio ejercicio.

Matemática Básica


Método Productivo: El que permite luego de reproducir situaciones con algoritmos

sencillos producir sus algoritmos de resolución frente a problemáticas en las que no

se den por completo las directrices para su desarrollo y que ponen de manifiesto

algoritmos a la par de los explicados con sus aportes personales y muy particulares.

Método Heurístico o de Búsqueda parcial de Método Investigativo.- Permite al

estudiante alcanzar conocimientos nuevos, como resultado de la actividad creadora.

El docente estimula a la investigación, y con dicha información realiza talleres de

producción textual y estimula al mismo a crear sus propios ejercicios.

Las Técnicas de Enseñanza se detallan a continuación:

Del interrogatorio: En el uso de preguntas y respuestas para obtener información y

puntos de vista de aplicación de lo aprendido, mediante esta técnica se pretende

despertar y conservar el interés, se exploran experiencias, capacidad, criterio de los

estudiantes y comunicación de ellos.

Del redescubrimiento: Realizar un aprendizaje satisfactorio y efectivo en el cual el

estudiante observa, piensa y realiza.

De la discusión dirigida: Realizar un análisis, una confrontación, una clasificación de

hechos, situaciones, experiencias, problemas, con presencia de docente. Se centra

en la discusión, en el cual se obtienen conclusiones positivas o valederas.

Operatoria: Consiste en realizar actividades de operaciones que permitan el

razonamiento y la comprensión facilitando el aprendizaje

De la resolución de problemas: Permite solucionar problemas matemáticos mediante

un orden lógico, secuencial, práctico y de razonamiento.

Lluvia de ideas: El grupo actúa en un plano de confianza, libertad e informalidad y sea

capaz de pensar en alta voz, sobre un problema, tema determinado y en un tiempo

señalado.

Diálogos simultáneos: Lograr la participación de un gran grupo, dividido en parejas,

respecto a un tema de estudio, trabajo, tarea o actividad.

Conversatorio Heurístico: Busca la participación de los estudiantes desde sus

perspectivas, lo que conocen o pueden conocer a través de un proceso de

investigación en el sitio. Provoca reflexiones socio cognitivas en función del contexto

de la problemática abordada.

Del informe o trabajo escrito: En elaborar pasos para trabajos escritos con estilo

propio.

Habrá tres documentos pedagógicos básicos que permiten evidenciar los resultados

de las actividades del trabajo autónomo y de grupos, desarrollados a partir del sílabo

de la asignatura.

Carpeta con trabajos extractase e intraclase, grupales (hasta 3 a 5 alumnos).

Desarrollo de ejercicios aplicados a la teoría.

Carpeta de trabajos autónomos. En especial consultas sobre temas especiales

y que hayan sido sustentados demostrando su dominio.

Registro de avance académico. Revisión de trabajos extractase, trabajos

autónomos, lecciones orales en el aula, pruebas escritas y exámenes escritos.

Evidencia el cumplimiento y la calidad del trabajo.

Matemática Básica


IX. RECURSOS DIDÁCTICOS

Básicos: marcadores, borrador, pizarra de tiza líquida.

Audiovisuales: Computador, proyector, celulares inteligentes, tabletas, laptops y

laboratorio de computación.

Técnicos: Materiales de apoyo complementarios, Sistemas de ejercicios de

aplicación práctica, Documentos de apoyo, Separatas, texto básico, guías de

observación, tesis que reposan en biblioteca.

X. SISTEMA DE EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA

El sistema de evaluación será sistemático y participativo, con el objetivo de adquirir

las habilidades y destrezas cognitivas e investigativas que garanticen la calidad e

integridad de la formación profesional.

Para la respectiva evaluación se valorará la gestión de aprendizaje propuestos por el

docente, la gestión de la práctica y experimentación de los estudiantes, y la gestión

de aprendizaje que los estudiantes propondrán mediante la investigación.

Se tomó como referencia el Reglamento del Sistema Interno de Evaluación Estudiantil

para proceder a evaluar la asignatura, de esta manera se toma como criterio de

evaluación la valoración de conocimientos adquiridos y destrezas evidenciadas dentro

del aula de clases.

Cada alumno deberá demostrar lo aprendido en cada una de las unidades

académicas, y de esta manera esté apto para desenvolvimiento profesional.

Por ello desde el primer día de clases, se presentará las unidades didácticas y los

criterios de evaluación del proyecto final. Se determinará el objeto de estudio, que en

este caso son las teorías de la matemática básica y todos los puntos que ésta conlleva

para su aprobación. La asignatura dentro del proyecto establece los cálculos

realizados para la optimización de la gestión administrativa dentro de las instituciones

públicas.

Se explica a los estudiantes que el semestre se compone de dos parciales con una

duración de diez semanas de clases cada una, en cada parcial se evaluará sobre

cinco puntos las actividades diarias de las clases, trabajos autónomos, trabajos de

investigación, actuaciones en clases y talleres; sobre dos puntos un examen de parcial

que se tomará en la semana diez y semana veinte. De esta manera cada parcial tendrá

una nota total de siete puntos como máximo. El examen final compone un proyecto

integrador de asignaturas en donde se expondrá un proyecto que tiene una valoración

de tres puntos. Por consiguiente, el alumno podrá obtener una nota total de diez

puntos.

Una vez que el estudiante exponga su proyecto integrador y defienda las preguntas

propuestas por el tribunal, será notificado en ese momento la nota obtenida y se

procederá a la respectiva firma de constancia.

Dentro de las equivalencias de notas se clasifican de la siguiente manera:

- 10,00 a 9,50: excelente

- 9,49 a 8,50: muy bueno

- 8,49 a 8,00: bueno

- 7,99 a 7,00: aprobado

- 6,99 a menos: reprobado

Matemática Básica


Los estudiantes deberán alcanzar un puntaje mínimo de 7,00 puntos para aprobar la

asignatura, siendo de carácter obligatorio la presentación del proyecto integrador.

Si el estudiante no alcance los 7,00 puntos necesarios para aprobar la asignatura,

deberá presentarse a un examen supletorio en la cual será evaluado sobre diez puntos

y equivaldrá el 60% de su nota final, el 40% restante corresponde a la nota obtenida

en acta final ordinaria de calificaciones.

Aquellos estudiantes que no podrán presentarse al examen de recuperación son

quienes estén cursando la asignatura por tercera ocasión, y aquellos que no hayan

alcanzado la nota mínima de 2,50/4 en la nota final, o aquellos que hubiesen

reprobado por faltas del 25% o más en la asignatura impartida.

Los parámetros específicos de evaluación del presente proyecto o actividad de

vinculación de la asignatura son los siguientes:

- Expresión de ideas y relaciones matemáticas 0,50

- Terminología y notación apropiada. 0,50

- Elaboración y aplicación correcta de operaciones 0,50

Los parámetros generales

- Dominio del tema 0,50

- Redacción, coherencia y desarrollo del Proyecto integrador 1,00

TOTAL 3,00

La calificación obtenida en la asignatura sobre el proyecto o actividad de vinculación

que en este semestre se denominara Manual de redacción de documentos que

optimice la gestión administrativa en las instituciones públicas de la provincia del Oro,

año 2020; será la suma de los parámetros antes mencionados y se sumara

directamente al promedio antes obtenido sobre 7 puntos, obteniendo de esa manera

una calificación total sobre 10 puntos.

El estudiante no conforme con la nota del proyecto integrador podrá solicitar mediante

oficio una recalificación y obtendrá respuesta del mismo en un plazo no mayor a tres

días hábiles.

El docente tendrá un plazo de 48 horas para socializar las calificaciones obtenidas

luego se asentará en las actas finales y se procederá a recoger la firma de los

estudiantes.

Los proyectos presentados serán sometidos a mejoras o corrección si el caso lo

amerita con la finalidad de ser presentadas en la feria de proyectos científicos que el

Instituto Superior Tecnológico Ismael Pérez Pazmiño lanzará cada año.

XI. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Y COMPLEMENTARIA

ARMAS, W., Baquerizo, G., Ramos, M. y Noboa, D. Fundamentos de Matemáticas.

Segunda Edición. ICM Espol. 2006.

ARREOLA, J. y ARREALA, A. Programación lineal: una introducción a la toma de

decisiones cuantitativas. Editor Thomson. 2003. 502 pp

ARYA, J. y LARDNER, R. “Matemáticas aplicadas a la administración y a la

economía”. México. Quinta Edición. Pearson educación. 2009. 8 32pp.

BALDOR AURELIO. Algebra. 2da edición. México. Grupo Editorial Patria. 2007.

576 p.

Matemática Básica


BALDOR AURELIO. Geometría y Trigonometría. 2da edición. México. Grupo

Editorial Patria. 2007. 624p.

CHARLES H LEHMANN. Geometría Analítica. 5ta edición, México Editorial Limusa.

2012. 512p.

DAVID C. LAY. Algebra lineal y sus aplicaciones. Segunda edición. México.

Editorial Pearson Prentice Hall. Addison Wesley Longman., 1999. 750p.

ERNEST F. HAEUSSLER, JR. / RICHARD S. PAUL. Matemáticas para

Administración y Economía. Décima Edición. México. Editorial Pearson Prentice

Hall., 2003. 915p.

GONZÁLEZ, M y MANCILL, J. Algebra elemental y moderna. Editorial Kapelusz.

HANDY, T. “Investigación de operaciones”. México, Novena edición. Pearson

Educación. 2012. 824 pp.

HERNANDEZ, M. Introducción a la programación lineal. UNAM. México. 2007. 215

pp.

HILLIER, F. y LIEBERMAN, G. “Introducción a la Investigación de Operaciones”.

México. Quinta Edición. Mc Graw Hill. 2010. 978pp.

LEHMANN CHARLES H. ALGEBRA. México. Primera edición. Editorial Limusa –

Wiley. S. A. 1964. 473p

LEHMANN, Ch. Algebra. Editorial Limusa – Wiley. S. A. primera edición 1964.

LOUIS LEITHOLD. Cálculo para ciencias administrativas, biológicas y sociales. 2da

edición. México. Editorial Alfaomega. 2006. 672p.

MOROCHO, B. Guía de estudio de Matemática Básica. 2018

MURRAY R. SPIEGEL-SEYMOUR LIPSCHUTZ-DENNIS SPELLMAN. Análisis

Vectorial. México. 2da edición. Editorial McGraw-Hill. 2011. 253p.

SOO T. TAN. Matemáticas aplicadas a los negocios, las ciencias sociales y de la

vida. 5ta edición. México. Editorial Cengage Learning, inc. 2011. 925p.

SWOKOWSKI, E. y COLE, J. “Álgebra y trigonometría con geometría analítica”.

México. 12ª. Edición. Edamsa Impresiones. 2009. 902 pp.

WEBER JEAN E. Matemáticas para Administración y Economía. 4ta edición.

México. Editorial Mexicana, 2003. 836 pág.

WILLIAM ANTHONY GRANVILLE. Cálculo Diferencial e Integral. 11va edición.

México. Editorial Limusa S.A. 2009. 704p.

Ing. Rafael Salcedo Muñoz

DOCENTE

Matemática Básica


ORIENTACIONES PARA EL USO DE LA GUÍA DE ESTUDIOS

Antes de empezar con nuestro estudio, debes tomar en cuenta lo siguiente:

1. Todos los contenidos que se desarrollen en la asignatura contribuyen a tu desarrollo profesional,

ética investigativa y aplicación en la sociedad.

2. El trabajo final de la asignatura será con la aplicación de la metodología de investigación científica.

3. En todo el proceso educativo debes cultivar el valor de la constancia porque no sirve de nada tener

una excelente planificación y un horario, si no eres persistente.

4. Para aprender esta asignatura no memorices los conceptos, relaciónalos con la realidad y tu

contexto, así aplicarás los temas significativos en tu vida personal y profesional.

5. Debes leer el texto básico y la bibliografía que está en el syllabus sugerida por el docente, para

aprender los temas objeto de estudio.

6. En cada tema debes realizar ejercicios, para ello debes leer el texto indicado para después desarrollar

individual o grupalmente las actividades.

7. A continuación te detallo las imágenes que relacionadas a cada una de las actividades.

ÍCONOS DESCRIPCIÓN

SUGERENCIA

TALLERES

REFLEXIÓN

TAREAS

Matemática Básica


APUNTE

FORO

RESUMEN

EVALUACIÓN

8. Ánimo, te damos la bienvenida a este nuevo periodo académico.

Ing. Rafael Salcedo Muñoz.

Docente.

Matemática Básica


DESARROLLO DE ACTIVIDADES

Unidad Didáctica I. ALGEBRA

INTRODUCCION.

En esta etapa matemática, ocurre una transición de conocimientos ya que ahora

manejaremos cantidades numéricas y cantidades que son representadas por letras

en las diferentes expresiones algebraicas, por lo que el estudiante tendrá que hacer

uso ya de un conocimiento abstracto, realizar con agilidad operaciones aritméticas,

tanto con números naturales y enteros, manejar operaciones con fracciones,

potencias y sus propiedades, productos notables y factorización, y el valor numérico,

harán que se genere la capacidad de realizar operaciones y problemas más complejos

y con sus respectivas aplicaciones a la vida cotidiana y profesional.

Objetivo de la unidad didáctica I

Identificar lenguaje algebraico, a partir de la resolución de problemas de la vida

cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos donde

se aplican conocimientos y conceptos algebraicos, demostrando honestidad en los

trabajos autónomos.

Algebra

Fracciones

simplificacion operaciones

exponentes

reglas operaciones

Factorizacion

casosProductos notables

Matemática Básica


Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica I.

Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica I.

Fracciones

Los primeros números que aparecieron fueron los números

naturales, se los simboliza con la letra N (1,2,3,4,5,6,) mayúscula,

se los usaba para contar y para realizar operaciones de suma y

multiplicación.

Para resolver operaciones con fracciones, debemos observar los

siguientes teoremas o propiedades :

Signos de una fracción

Una fracción tiene tres signos:

Del numerador.

De la raya de fracción y

Del denominador.

𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟

𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟𝑟𝑎𝑦𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛

Foro.

Fracciones Algebraicas.

Simplificación de Fracciones

es convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entre sí .

Simplificación de Fracciones cuyos términos sean monomios

se puede convertir las cantidades numéricas en factores y proceder a simplificar o

comprobar si el numerador y denominador tienen: mitad, tercera, quinta etc., por

ejemplo:

68𝑎5𝑏4𝑥7𝑦3

32𝑎3𝑏5𝑥4𝑦6=

22 ∗ 17𝑎5𝑏4𝑥7𝑦3

25𝑎3𝑏5𝑥4𝑦6=

17𝑎5−3𝑥7−4

25−2𝑏5−4𝑦6−3=

17𝑎2𝑥3

23𝑏𝑦3=

17𝑎2𝑥3

8𝑏𝑦3

En este ejercicio hemos:

1.- Descompuesto las cantidades numéricas en factores.

2.- Reducimos términos de la misma base, identificando el exponente mayor para

restar el exponente menor y así evitar que el resultado nos dé exponentes negativos,

que es lo que debemos evitar.

Matemática Básica


La otra forma es que empecemos a simplificar la parte numérica, sacando la mitad

tanto al 68 y al 32, quedándonos 34 y 16, volvemos a sacar la mitad y tenemos: 17 y

8, como observamos que las cantidades ya no se las puede seguir dividiendo para

factores comunes ahí paramos, de igual manera se procede con las cantidades

literales, pero manejando la teoría de los exponentes.

Orientaciones tarea :

Resolver los ejercicios del 12 al 16 del ejercicio 118 del algebra

de Baldor

Simplificación De Fracciones Cuyos Términos Sean Polinomios

Para estos casos se procede a descomponer en factores cada expresión y luego

proceder a simplificar, así: 𝑥2+4𝑥+4

(2𝑥2+4𝑥)=

(𝑥+2)2

2𝑥(𝑥+2)=

𝑥+2

2𝑥.

Como observamos se realizó lo siguiente:

1.- Se factorizo en este caso numerador y denominador y.

2.- Se simplifica.

Cabe recalcar que todas las expresiones no tienen el mismo trato.



de Baldor

Reducir Una Expresión Mixta A Fraccionaria

En este caso tenemos una o varias partes enteras y fraccionarias, por lo que

primeramente encontramos un: m.c.m (un denominador común), y luego la reducción

y simplificación. Por ejemplo: 𝑥 − 2 +𝑥2−10𝑥+25

𝑥−5=

(𝑥 − 2)(𝑥 − 5) + 𝑥2 − 10𝑥 + 25

𝑥 − 5=

𝑥2 − 7𝑥 + 10 + 𝑥2 − 10𝑥 + 25

𝑥 − 5

=2𝑥2 − 17𝑥 + 35

𝑥 − 5=

(𝑥 − 5)(2𝑥 − 7)

𝑥 − 5= 2𝑥 − 7



de Baldor

Reducir Fracciones Al Mínimo Común Denominador

Se trata de convertir en fracciones equivalentes ósea que tengan el mismo

denominador, así:

𝟐𝒙 − 𝟑

𝒙𝟐 − 𝟑𝟔;

𝟒𝒙

𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟔;

𝟓𝒙 − 𝟑

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒

Se procede a encontrar el m.c.m, factorizando los denominadores, así:

𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 = (𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟔)

𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟔 = (𝒙 + 𝟔)𝟐

Matemática Básica


𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒 = (𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟒)

por lo que el m.c.m. de estas tres expresiones seria: (𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟔)𝟐

Ahora dividimos el m.c.m para cada denominador y lo multiplicamos por el respectivo

numerador:

𝟐𝒙 − 𝟑

𝒙𝟐 − 𝟑𝟔=

(𝟐𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟔)

(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟔)𝟐

𝟒𝒙

𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟔=

𝟒𝒙(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟔)

(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟔)𝟐

𝟓𝒙 − 𝟑

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒=

(𝟓𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟔)𝟐

(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟔)𝟐



de Baldor

Operaciones con Fracciones

Para operar fracciones se debe tener en cuenta lo siguiente:

1) Se simplifican las fracciones dadas si es posible.

2) Se reducen las fracciones dadas al mínimo común

denominador, si son de distinto denominador.

3) Se efectúan las multiplicaciones indicadas.

4) Se suman los numeradores de las fracciones que resulten y se parte esta suma por

el denominador común.

5) Se reducen términos semejantes en el numerador .

6) Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.

Suma Y Resta Combinadas De Fracciones

Resolver la siguiente suma y resta de fracciones:

𝟓

𝒙𝟐 − 𝟏𝟔+

𝟓

𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒−

𝟕

𝒙 − 𝟒=

𝟓

(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒)+

𝟓

(𝒙 + 𝟐)𝟐−

𝟕

𝒙 − 𝟒

𝟓(𝒙 + 𝟐)𝟐 + 𝟓(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒) − 𝟕(𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟐)𝟐

(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟐)𝟐

=𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 + 𝟐𝟎 + 𝟓𝒙𝟐 − 𝟖𝟎 − 𝟕𝒙𝟑 − 𝟓𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 − 𝟏𝟏𝟐

(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟐)𝟐

=−𝟕𝒙𝟑 − 𝟒𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟕𝟐

(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟐)𝟐

Resolver la siguiente suma y resta de fracciones:

𝒙 + 𝟐

𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔−

𝟒

𝒙 − 𝟑+

𝒙 + 𝟒

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔=

𝒙 + 𝟐

(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐)−

𝟒

𝒙 − 𝟑+

𝒙 + 𝟒

(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟐)=

(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟐) − 𝟒(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐) + (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟒)

(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟑)

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 − 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 − 𝟐𝟒 + 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐

(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟑)=

Matemática Básica


−𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 − 𝟏𝟖

(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟑)

=−𝟐(𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟗)

(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟑)

Taller.

Resolver los ejercicios del 29 al 35 del ejercicio 0.8, página

32 del libro de Matemáticas Para Administración y

Economía de: Ernest F. Haeussler, Jr. • Richard S. Paul

Multiplicación De Fracciones

Se procede de la siguiente manera:

1. Se descompone en factores, tanto el numerador como el denominador.

2. Se simplifica, eliminando factores comunes del numerador y denominador.

3. Se multiplica lo que queda en el numerador y el denominador queda en

factores.

Por ejemplo, multiplicar:

𝒙𝟑 − 𝟏

𝟒𝒙 − 𝟏𝟐∗

𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓

𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏∗

𝒙𝟐 − 𝟗

𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓

=(𝒙 − 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏)

𝟒(𝒙 − 𝟑)∗

(𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟑)

𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏∗

(𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟑)

(𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟏)

Como observamos se elimina un factor del numerador con otro del denominador, lo

que queda en el numerador se multiplica, mientras lo del denominador queda

expresado en factores, así:

𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 − 𝟐𝟕

𝟒(𝒙 + 𝟓)


Resolver los ejercicios del 7 al 10 del ejercicio 0.8, página 31 del

libro de Matemáticas Para Administración y Economía de: Ernest

F. Haeussler, Jr. • Richard S. Paul

División De Fracciones

Se procede igual que la multiplicación, con la diferencia de que a la expresión afectada

por la operación de división se la invierte, convirtiendo la división en multiplicación,

así:

𝒙𝟑 − 𝟏

𝟒𝒙 − 𝟏𝟐÷

𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏

𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓=

𝒙𝟑 − 𝟏

𝟒𝒙 − 𝟏𝟐∗

𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓

𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏

=(𝒙 − 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏)

𝟒(𝒙 − 𝟑)∗

(𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟑)

(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏)

= 𝒙𝟐+𝟒𝒙−𝟓

𝟒


Resolver los ejercicios del 10 AL 15, del Algebra de Baldor, del

ejercicio 136

Matemática Básica


Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica I.

Potencia

Es el resultado de elevar una cantidad llamada base a un

exponente

Base

Es la cantidad que se multiplica por si misma las veces que

indique el exponente.

Exponente

indica cuantas veces se multiplica por sí misma la base

EXPONENTE

𝟓𝟐 = 𝟐𝟓 POTENCIA

BASE 𝟓𝟐 = 𝟓 ∗ 𝟓 = 𝟐𝟓


Para la resolución correcta del trabajo extra clase, debemos partir

de las propiedades de los exponentes.

Resolver el ejercicio: 1-3, página 22 del libro de Matemáticas

Aplicadas a la Administración y Economía. Quinta edición de: Arya

– Lardner – Ibarra

A continuación, se detallan las propiedades que se deben seguir

para la resolución de operaciones con exponentes.

Matemática Básica


Exponente Fraccionario

El exponente fraccionario se forma al expresar una cantidad afectada por una raíz en

forma de potencia

Taller.

Resolver el ejercicio 05 del texto guía, pagina 16 y 17 los

siguientes problemas:

del 1 al 8 los pares. Del 5 al 28 los impares.

Del 29 al 40 los 5 últimos. Del 41 al 52. los 5 primeros

Del 53 al 58 todos del 59 al 68. 4 a su elección.

Del 69 al 90 7 a su elección

Foro.

Aplicación de los exponentes, en la vida profesional

Actividad De Aprendizaje III De La Unidad Didáctica I.

Factorización

Cuando se realiza la multiplicación de dos números, éstos se llaman factores de un

producto. El proceso de plasmar una expresión dada como el resultado del producto

de sus factores, se denomina factorización

Matemática Básica


A continuación, se detallan las propiedades que se deben seguir

para la factorización de términos algebraicos.

Factor común Diferencia de cubos

ax + ay + az = a(x + y + z) a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma

x2 - 2ax + x2 = (x – a)2 x2 + bx + c = (x + a)(x - b)

Diferencia de cuadrados Trinomio de la forma

a2 – b2 = (a + b) (a – b) 6x2 + 7x + 2 = (2x + 1)(3x + 2)

Suma de cubos Factor común por agrupación

a3 + b3 = (a +b) (a2 – ab + b2) ax + bx + ay + by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)

a) Factorizar

Formando grupos con términos que tengan factores comunes:

Aplicando Factor Común a cada grupo:

Formando dos factores (comunes y no comunes):

Solución.

4a2b2 - 9x2y4

Raíz cuadrada 4a2b2 = 2ab

Raíz cuadrada 9x2y4 = 3xy2

Entonces

4a2b2 - 9x2y4 = (2ab + 3xy2)(2ab - 3xy2)

Taller:

Resolver los siguientes ejercicios:

Del Algebra de Baldor.

Ejercicio N° 127, paginas 212, 213, los ejercicios: 12 y 25.

Matemática Básica


Ejercicio N° 128, paginas 215, los ejercicios: 9.

Ejercicio N° 130, paginas 218, los ejercicios: 8 y 26.

Ejercicio N° 136, paginas 225, los ejercicios: 9 y 14.

Del libro de Matemáticas aplicadas a la administración y

economía de: Arya, Ladner, Ibarra, del ejercicio: 1-6,

página 46 los siguientes: 13 y 37

Los términos algebraicos se encuentran formados por números y

letras, debiendo realizar al inicio de su resolución una agrupación

de términos para simplificar la factorización.

Para desarrollar la factorización de términos algebraicos, se debe

considerar todos los casos de factorización existentes, poner

mucha atención a los signos de cada término.

Las fracciones se componen por un numerador, ubicado en la

parte superior, un denominador, ubicado en la parte inferior y la

raya de fracción, que divide a ambos.

Para resolver operaciones de fracciones se debe partir de los

teoremas o propiedades anteriormente indicadas, pues

consideran todas las posibles situaciones a presentarse.

El proceso de operar fracciones, es muy frecuente en la vida

cotidiana y profesional de toda área.

Toda base elevada al exponente cero es igual a uno.

Por ejemplo: 𝟕𝟎 = 𝟏.

A excepción de cero elevado a la cero no es igual a uno:

𝟎𝟎 ≠ 𝟏

Toda base elevada al exponente 1 es igual a la misma cantidad,

así: 𝟕𝟏 = 7

Para la resolución de ejercicios de exponentes fraccionari0os,

también se debe acudir, a las propiedades de las fracciones y de

ser necesario, a las propiedades de los exponentes, estudiados

en el apartado anterior.

Actividad de Auto Evaluación de la Unidad I

Se elabora reactivos para evaluar el rendimiento en la unidad I de

los estudiantes.

Actividad final de la Unidad I

Matemática Básica


Resolver cinco ejercicios de cada caso del texto guía:

Fracciones: página 17 y 18

Exponentes: página 23 y 24

Exponentes fraccionarios: página 28 y 29

Factorización; los pares de la página 46

Matemática Básica


Unidad Didáctica II. Ecuaciones

Introducción.

En esta guía manejaremos algunas partes importantes de las ecuaciones, recordando

que hace muchos años que surge el desarrollo de esta disciplina de las ciencias

exactas, y se define a la ecuación como una igualdad en la que hay una o varias

cantidades conocidas y otras desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica

o es verdadera para determinados valores de las incógnitas, las cuales generalmente

se representan por las últimas letras del alfabeto x, y, z.

Por esto en este contenido del presente trabajo sobre las ecuaciones vamos a ver el

término ecuación sus diferentes definiciones, clasificación, su importancia y su

aplicación en la vida diaria.

Objetivo de la unidad didáctica II

Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, aplicando leyes o

principios fundamentales para un dominio adecuado en la resolución de sistemas con

ecuaciones, demostrando criticidad y creatividad en el desarrollo de ejercicios.

Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica II.

Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica II.

Igualdad

Se produce cuando en una expresión algebraica, ambos miembros tienen el mismo

valor y están ligados por el signo igual. Por ej.: 13x + 15 = 17

2p + 3q = 70

Ecuación

Es toda igualdad donde hay cantidades llamadas incógnitas, que se las representa

por las últimas letras del alfabeto y por cantidades constantes o conocidas.

Por ejemplo: 5x – 16 = 34

Entonces: x = 10

Si reemplazamos este valor de (x) en la ecuación original tenemos lo siguiente:

Ecuaciones

Ecuaciones de Primer Grado con

una Incognita

Definiciones Basicas

Tipos de Ecuaciones

ejercicios

sistema de dos Ecuaciones con dos Incognitas

Metodos Ejercicios

https://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtml

https://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

Matemática Básica


5(10) – 16 = 34 ósea: 34 = 34

Por lo tanto, es una ecuación porque tiene una incógnita (x), y es una igualdad por

que se comprueba que: 34 = 34.

Identidad.

Es una igualdad y es verdadera para todo valor de las

variables, por ejemplo:

(𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)𝟐 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙𝒚 + 𝟗𝒚𝟐

cómo es una identidad se la escribe así:

(𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)𝟐 ≡ 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙𝒚 +

𝟗𝒚𝟐

Que se lee: (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)𝟐

idéntico a: 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙𝒚 + 𝟗𝒚𝟐.

Miembros de una Ecuación

Una ecuación t iene dos miembros, uno a la izquierda del signo igual,

donde van las incógnitas y el ot ro miembro a la derecha del s igno igual,

donde van las constantes o valores conocidos.

Por ejemplo: 5x – 7 = 3 - 2x.

En donde: 5x - 7, es el primer miembro,

y: 3 - 2x es el segundo miembro.

Transposición de términos

Un término o un factor puede ir de un miembro a otro cambiando de

operación, teniendo en cuenta de que si se trata de una ecuación todas

las incógnitas quedaran en e l pr imer miembro.

Resolución de Ecuaciones

Recuerda.

En forma general se considera que las incógnitas son

las ult imas letras del alfabeto.

En una ecuación el objetivo es encontrar el valor de la

incógnita o variable.

Le puedes cambiar el signo a toda la ecuación y esta no se altera

Proceso Para La Resolución De Ecuaciones Enteras De Primer Grado Con Una Incógnita:

Real izar operaciones algebraicas si hubiera.

Real izamos la transposición de términos.

Reducimos los términos semejantes.

Se encuentra el valor de la incógnita.

la transposición de términos: 11x - 3x - 2x - 7x = - 1 – 4 - 2

Reducimos términos semejantes: - x = - 7

Cambiamos de signo a los dos miembros y

Encontramos el valor de la incógnita x = 7.

Foro:

Que aplicaciones tienen las ecuaciones en las diferentes áreas de

nuestro entorno laboral

Matemática Básica



Resolver las siguientes ecuaciones:

1.- 6x - 8x + 3 = 8 - 5x + 1

2.- 11x – 1 = 3x + 7

3.- 1 – x + 16x + 35 = 16x + 35

4.- 19x - 3x + 34 = 11 - 13

5.- 2 - x - 25 - 11x + 4 = 1 + 2x - 65

6.- 15x - 36x + 54x – 18 + 7x = 6 + 19x - 3

7.- 25-10x+15+9x-25= - 17 + 47x - 16

8.- 112x-58+54x-16x-34+36x-111=42x+87-x

Ecuaciones De Primer Grado Con Signos De Agrupación

Debemos eliminar los signos de agrupación iniciando desde el centro hacia afuera.

Importante respetar la ley de los signos

Resolver la ecuación:

𝟑𝒙 − {−𝟐 + [𝟓𝒙 − 𝟒 − (𝒙 − 𝟏 + 𝒙 − 𝟏 − 𝟕) + 𝟒𝒙 − 𝟗] − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟑} = 𝟐 − 𝟒𝒙

Iniciamos destruyendo el paréntesis:

𝟑𝒙— 𝟐 + [𝟓𝒙 − 𝟒 − 𝒙 + 𝟏 − 𝒙 + 𝟏 + 𝟕 + 𝟒𝒙 − 𝟗] − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟑 = 2 - 4x

Ahora el corchete: 𝟑𝒙— 𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟒 − 𝒙 + 𝟏 − 𝒙 + 𝟏 + 𝟕 + 𝟒𝒙 − 𝟗 − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟑=2-4x

Y por último la llave: 3x + 2 - 5x + 4 + x – 1 + x – 1 – 7 - 4x + 9 + 11x – 3 = 2 - 4x

Ahora ubicamos las incógnitas en el primer miembro reduciendo términos semejantes:

7x + 4x = - 3 + 2 11x = - 1 𝒙 = −𝟏

𝟏𝟏

Realizamos la transposición de términos: 16x + 3x + x - 5x - 9x = 2 + 6 + 7 + 15.

Reducimos términos semejantes: 6x = 30.

Despejamos la incógnita: x = 5

Ecuaciones Fraccionarias De Primer Grado

Para resolver estas ecuaciones seguimos el siguiente

procedimiento

1. La transformamos en entera, para ello debemos sacar el:

mcm, que es el que nos permite eliminar todos los

denominadores de la ecuación.

2. Luego procedemos en los mismos términos que las ecuaciones anteriores. Por

ejemplo:

𝟐𝒙 − 𝟑

𝟓+

𝟕 − 𝟓𝒙

𝟏𝟓−

𝟏𝟐𝒙 + 𝟓

𝟐𝟓= 𝟔 −

𝒙 + 𝟐

𝟐𝟎

En este caso para sacar el m.cm. entre: 5, 15, 25 y 20. Descomponemos en factores

así: 5 15 25 20 2

5 15 25 10 2

5 15 25 5 3 Por lo tanto el m.c.m

5 5 25 5 5 es el producto de:

1 1 5 1 5 2*2*3*5*5 = 300.

1 m.c.m = 300.

Matemática Básica


Ahora procedemos a dividir el m.c.m para cada denominador de la ecuación, y el

resultado lo multiplicamos por su respectivo numerador, respetando signos,

quedándonos lo siguiente:

𝟔𝟎(𝟐𝒙 − 𝟑) + 𝟐𝟎(𝟕 − 𝟓𝒙) − 𝟏𝟐(𝟏𝟐𝒙 + 𝟓) = 𝟑𝟎𝟎 ∗ 𝟔 − 𝟏𝟓(𝒙 + 𝟐)

Efectuamos los productos indicados y tenemos:

𝟏𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟖𝟎 + 𝟏𝟒𝟎 − 𝟏𝟎𝟎𝒙 − 𝟏𝟒𝟒𝒙 − 𝟔𝟎 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 − 𝟏𝟓𝒙 − 𝟑𝟎

Realizando la transposición de términos queda:

𝟏𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟎𝟎𝒙 − 𝟏𝟒𝟒𝒙 + 𝟏𝟓𝒙 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 − 𝟑𝟎 + 𝟏𝟖𝟎 − 𝟏𝟒𝟎 + 𝟔𝟎

Reduciendo términos semejantes: −𝟏𝟎𝟗𝒙 = 𝟏𝟖𝟕𝟎

Despejando la variable y cambiando de signo: 𝒙 = −𝟏𝟖𝟕𝟎

𝟏𝟎𝟗.

Que es el valor que satisface a la ecuación.

Otro ejemplo: 𝟑

𝒙−𝟒=

𝟐

𝒙−𝟑+

𝟖

𝒙𝟐−𝟕𝒙+𝟏𝟐

En esta ecuación identificamos un trinomio en el denominador, se observa que si es

factorable quedando la ecuación de la siguiente manera:

𝟑

𝒙 − 𝟒=

𝟐

𝒙 − 𝟑+

𝟖

(𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟑)

Sacamos el m.c.m, en este caso estará formado por todos los factores comunes y no

comunes, quedando así: 𝒎. 𝒄. 𝒎 = (𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟑).

Ahora dividimos el m.c.m para cada denominador y lo multiplicamos por su respectivo

numerador, quedando así:

𝟑(𝒙 − 𝟑) = 𝟐(𝒙 − 𝟒) + 𝟖

Efectuando los productos tenemos:

𝟑𝒙 − 𝟗 = 𝟐𝒙 − 𝟖 + 𝟖

Transponiendo términos queda: 𝟑𝒙 − 𝟐𝒙 = −𝟖 + 𝟖 + 𝟗

Reduciendo nos da: 𝒙 = 𝟗

ORIENTACIONES TAREA:

Resolver 3 ecuaciones de cada uno de los siguientes ejercicios

del Algebra de Baldor. Ejercicios N°: 79; 82 y 142

No te olvides hacerlo paso a paso

RESOLUCION DE PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Para resolver un problema mediante ecuaciones de primer grado con una incógnita debemos Considerar lo siguiente:

Leer y comprender el enunciado

Designar la incógnita

Plantear la ecuación

Resolver la ecuación

Discusión e interpretación de los resultados

Matemática Básica


Marta tiene 15 años, que es la tercera parte de la edad de su madre. ¿Qué edad

tiene la madre de Marta?

Llamamos x a la edad de la madre.

La tercera parte de la edad de la madre es la misma que la de Marta, es decir, 15.

Escrito matemáticamente:

x/3 = 15

Por tanto, la edad de la madre es: x = 45.


Resolver el ejercicio N° 82 del Algebra de Baldor.


Taller:

Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado:

1. 2x – 14 + 17x – 40 = 5x + 11.

2. 𝟑 − {−𝟒𝒙 + [𝟓 − (𝒙 + 𝟕) + 𝟐𝒙] − 𝟏𝟒} = 𝟐𝒙 − 𝟓.

3. 𝟕(𝒙 − 𝟑)𝟐 − 𝟓(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒) = 𝟐𝒙(𝒙 + 𝟕).

4. 𝒙−𝟑

𝒙−𝟒−

𝒙−𝟐

𝒙−𝟑=

𝒙+𝟐

𝒙+𝟏−

𝒙+𝟑

𝒙+𝟐

5. La diferencia entre dos números es 17 y el doble del

menor de estos es 26. ¿Qué números son? Y si 26 es

el doble del mayor, ¿Qué números son?

Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica II.

ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS

Introducción: Revisaremos los cinco métodos conocidos para resolver sistemas de

dos ecuaciones con dos incógnitas, y son: De Igualación, De Sustitución, De

Reducción, De Determinantes, y Grafico.

Ecuaciones Simultaneas

Toman este nombre cuando las ecuaciones del sistema se satisfacen para los valores

de las incógnitas.

Por ej.: 3x + 5y = 11

2x + 3y = 7

Las dos ecuaciones se satisfacen para: x = 2 e y = 1, por lo tanto, son ecuaciones

simultaneas.

Ecuaciones Equivalentes

Son ecuaciones que si a una de ellas le sumamos o le restamos una cantidad o la

multiplicamos o dividimos para una determinada cantidad, se obtiene la otra ecuación.

Estas ecuaciones tienen infinitas soluciones comunes.

Por ejemplo:

3x + 5y = 11

15x + 25y = 55

Matemática Básica


Nos damos cuenta que la segunda ecuación se la obtuvo

multiplicando la primera por 5

Ecuaciones Independientes

Estas ecuaciones no se obtienen la una de la otra, y cuando

t ienen una solución común son simultáneas. Por ej .:

x + 5y = 6

5x + 2y = 7

Estas ecuaciones son independientes ya que ninguna de las dos se ha generado de

la otra, y además son simultaneas por que el valor de “x = 1” e “y = 1”, son los únicos

que satisfacen el sistema.

Ecuaciones Incompatibles

Estas ecuaciones son independientes y no t ienen una solución común y

son incompatibles porque no hay valor que compruebe o verif ique a las

dos ecuaciones.

Por ejemplo: 3x + 5y = 8

9x + 15y = 2

No t ienen soluciones comunes, por lo tanto, son incompatibles.

Sistemas de Ecuaciones

Es el conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más

incógnitas.

En nuestro caso trataremos sistemas de dos ecuaciones

con dos incógnitas.

Sistema de dos Ecuaciones con dos Incógnitas

Los métodos para resolver este t ipo de sistemas son los siguientes:

Método de igualación

Método de reducción.

Método de sustitución.

Método de determinantes.

Método gráfico.

Método de Igualación

Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una

incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes,

con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las

siguientes:

Matemática Básica


Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación.

Lineal de una incógnita que resulta.

Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las

ecuaciones despejadas de primer paso.

Por ejemplo:

Resolver El Siguiente Sistema De Dos Ecuaciones Con Dos Incógnitas Por El Método

De Igualación.

1 despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda

ecuación.

2 igualamos ambas expresiones:

3 resolvemos los productos indicados:

4 sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las

que tenemos despejada la x:

5 solución:




Foro.

Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones

Método de Sustitución

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

Matemática Básica


2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación,

obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

3. Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía

la incógnita despejada.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Resolver el siguiente sistema por el método de sustitución

1. despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones.

Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo

2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5. Solución: x=2 e y=3




Método de Determinantes

El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único

número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el

determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por (las barras

no significan valor absoluto).

Resuelve el sistema utilizando los determinantes.

SOLUCIÓN CALCULAMOS primero el determinante del sistema.

Ahora calculamos el valor de x sustituyendo los valores de la primera columna del

determinante del sistema por los valores de los términos independientes y divididos

entre el determinante del sistema

Matemática Básica


Para calcular el valor de y sustituimos los valores de la segunda columna del

determinante del sistema por los valores de los términos independientes y dividimos

entre el determinante del sistema.

COMPROBACIÓN

Sustituimos los valores: x = - 8 y y = 5 en las

ecuaciones

Primera ecuación: 5x + 6y = 5(-8) + 6(5) = -10

Segunda ecuación 2x + 3y = 2(-8) + 3(5) = -1


Resolver el ejercicio N° 180 del Algebra de Baldor. Página

327,del 14 al 18

Método Grafico

Este método tiene como objetivo encontrar la solución a un sistema de dos ecuaciones

con dos incógnitas, y esta solución se da en la intersección de las dos rectas, este

punto de intersección lo proyectamos al eje de las abscisas y encontramos el valor de

x, y hacemos también la proyección al eje de las ordenadas y así encontramos el valor

de y, este par de valores constituye el conjunto solución del sistema de ecuaciones.

Punto de Intersección

El punto de intersección de dos rectas y viene dado por la solución del sistema

de dos ecuaciones con dos incógnitas de la forma:

𝑨𝟏𝒙 + 𝑩𝟏𝒚 + 𝑪𝟏 = 𝟎 RECTA 1

𝑨𝟐𝒙 + 𝑩𝟐𝒚 + 𝑪𝟐 = 𝟎 RECTA 2

Matemática Básica


En donde las rectas de la forma: deben transformarse a expresiones

que cumplan con: . Esto es:

Resolver el siguiente sistema por el método gráfico: {𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟕𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝒚

observamos en la gráfica que el punto de intersección es: x = 2 y y=3, que

es la solución al sistema propuesto.


Resolver el ejercicio N° 180 del Algebra de Baldor. Página 327,

del 4al 9

Las escalas deben estar bien definidas

Taller:

1.- Resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos

incógnitas por los cinco métodos

Ecuación 1

x y

0 7

3,5 0

Ecuación 2

x y

0 -1

1,5 0

PUNTO DE INTERSECCION

PUNTO DE INTERSECCION

Matemática Básica


{𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 = −𝟔𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏𝟔

2.- Resolver las siguientes ecuaciones:

.

3.- La edad de Alberto es 14 y la de su primo es 22. ¿Cuántos

años deben pasar para que las mitades de sus edades sumen 30?

4.- Resolver el siguiente sistema por los diferentes métodos.

Una ecuación te ayuda a resolver problemas de la vida diaria y de

tu profesión.

Lo importante es trabajar detalladamente.

Identifica cada término y ubícalo en su respectivo miembro,

respetando la ley de los signos.

La transposición de términos de un miembro a otro hace que pase

un término que este sumando o restando a efectuar la operación

contraria en el otro miembro.

Y un factor o divisor pasara al otro miembro a multiplicar o dividir

según sea el caso.

Cada método de resolución de un sistema de ecuaciones te lleva

a los mismos resultados.

Siempre trabajar ordenadamente.

Y buscar la aplicación adecuada en nuestro diario vivir

Actividad de Auto Evaluación de la Unidad I

Se elabora reactivos para evaluar el rendimiento en la unidad I de

los estudiantes.

Resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones con

dos incógnitas por todos los métodos.

{𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟒𝟏

−𝟐𝒙 + 𝟕𝒚 = −𝟑𝟓

Actividad Final de la Unidad II

Resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos

incógnitas por todos los métodos.

{𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟐𝟏𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟑

Matemática Básica


Unidad Didáctica III. DESIGUALDADES Y SUS APLICACIONES

INTRODUCCION.

Se Dice que las inecuaciones son desigualdades algebraicas porque no aparece el

signo igual " = " entre sus miembros, sino que sus expresiones matemáticas suelen

estar separadas por los signos > (mayor que), < (menor que), mayor o igual que y

menor o igual que. Para tu tranquilidad, tienes que saber que se resuelven de manera

casi idéntica a las ecuaciones que has visto hasta ahora. Sólo tienes que tener en

cuenta que:

"Si multiplicamos o dividimos los 2 miembros de una inecuación por un número

negativo, la desigualdad cambia de sentido"

Objetivo de la unidad didáctica III

Determinar las inecuaciones, sus propiedades, principios, clasificación y las formas de

resolverlas, mediante la base teórica y la resolución de ejercicios prácticos, para el

planteamiento propio de situaciones descriptivas con desigualdades, incentivando de

esta manera la responsabilidad frente a las diferentes situaciones que se presenten

en la vida cotidiana.

Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica III.

Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica III.

una desigualdad nos permite establecer que un número es menor

que otro.

Recordemos que si: a > 0, el número es positivo.

a < 0, el número es negativo.

Desigualdades

Aplicaciones

Valor Absoluto

EJERCICIOS

Matemática Básica


Si a y b son dos números reales distintos,

Escribimos: a > b si la diferencia: a - b es positiva y

a < b si: a - b es negativa.

Por ejemplo:

9 > 6 porque : 9 – 6 es positivo y 6 < 9 dado que : 6 – 9 es negativo.

Propiedades de las desigualdades

1.- si: a > b, entonces: a + c > b + c y a - c > b - c.

por ejemplo: 8 > 5, entonces: 8 + 3 > 5 + 3 y 8 – 3 > 5 - 3

Por lo que se cumple que, si a una desigualdad le sumamos o le restamos una

cantidad igual en ambos lados, la desigualdad se mantiene y tendrá el mismo sentido.

Otro ejemplo:

12 < 15, al sumarle la misma cantidad en ambos miembros

tenemos: 12 + 7 < 15 + 7 y 12 – 7 < 15 - 7

2. Si: a > b y b > c entonces: a > c.

por ejemplo:

8 > 6 y 6 > 4 entonces: 8 > 4

5. Si: a > b y c > 0 entonces: ac >bc y 𝒂

𝒄>

𝒃

𝒄

6.

8 > 5 y 3 > 0 entonces: 8.3 > 5.3 y 𝟖

𝟑>

𝟓

𝟑

4. Si:a > b y c < 0 entonces: ac < bc y 𝒂

𝒄<

𝒃

𝒄.

Por ejemplo:

6 > 5 y -2 < 0 entonces: 6(-2) < 5(-2) y 𝟔

−𝟐<

𝟓

−𝟐

Desigualdad lineal con una variable

el procedimiento es igual como si se tratara de una ecuación lineal, despejamos

primeramente la variable y de ahí se aplican las propiedades de las desigualdades.

Vamos a practicar.

Resolver las siguientes desigualdades.

7x - 4 > 2x + 7 como: x > 𝟏𝟏

𝟓, tiene la forma: x > a, el conjunto

solución seria:

7x – 2x > 7 + 4 (𝟏𝟏

𝟓,∞) y la grafica quedaría:

5x > 11

𝟓𝒙

𝟓>

𝟏𝟏

𝟓

x > 𝟏𝟏

𝟓

𝟏𝟏

𝟓 ∞

Matemática Básica


12x + 11 < 6x – 7 el conjunto solución sería: ( - ∞, - 3)

12x – 6x < -7 – 11

6x < -18

X < -3


Del algebra de Conamat de Pearson, resolver del ejercicio 133,

los impares del 1 al 13

Aplicación de la Desigualdad lineal

El costo total de producción de (x) unidades de un determinado producto está dado

por: C(x) = 2800 + 22x, si cada unidad se vende a $ 35, cuantas unidades se deberían

producir y vender para obtener una utilidad de al menos $ 2500.

Entonces: P(x) = R(x) – C(x) Utilidad total.

R(x) = 35x Ingreso Total

C(x) = 2800 + 22x costo total de producción

Por lo que: P(x) = 35x – (2800 + 22x) = 35x – 2800 – 22x = 13x – 2800.

Y si se desea obtener una utilidad de al menos $ 2500, tendríamos que:

P(x) ≥ 2500, o: 13x – 2800 ≥ 2500 13x ≥ 2500 + 2800 13x ≥ 5300 x ≥ 𝟓𝟑𝟎𝟎

𝟏𝟑

Observamos que para obtener al menos $2500 de utilidad se deberán producir y

vender al menos 407,69 unidades


Del libro de matemáticas aplicadas a la administración y

economía de Arya, resolver el ejercicio 3-2,página 104, del 27 al

32

Existen desigualdades cuadráticas.

Ahora estudiaremos un poco de ellas.

Son desigualdades en las que la variable esta al cuadrado y

generalmente tienen la siguiente forma:

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 > 𝟎 o 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 < 𝟎

O también: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≥ 𝟎 o 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≤ 𝟎

Pero: a, b y c son constantes determinadas y: a ≠ 0

Para resolver este tipo de desigualdades procedemos idéntico a la resolución de

ecuaciones de segundo grado, iniciamos igualando la desigualdad y encontrando las

raíces de la ecuación. Estas raíces dividen a la recta en intervalos, en cada intervalo

escogemos un punto y se prueba si la desigualdad es cierta o falsa en dicho punto, si

Matemática Básica


es cierta en ese punto será cierta para todos los puntos del intervalo y si llegare a ser

falsa será para todos los puntos del intervalo.

Ejemplo.

1.- Resolver la siguiente desigualdad: 𝒙𝟐 + 𝒙 < 𝟐.

Ahora escribimos la desigualdad con todos los términos en el primer miembro.

𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 < 𝟎

Luego la igualamos a cero, transformándola en una ecuación de segundo grado, así:

𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 = 𝟎

Factorizando tendríamos: (x + 2)(x - 1) = 0

Cada factor lo igualamos a cero y luego despejamos la variable, así:

X + 2 = 0 de donde se tiene que: x = - 2

X – 1 = 0 de donde se tiene que: x = 1.

La grafica quedaría:

-2 0 1

Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo: (-2,1)

2.- Resolver la siguiente desigualdad: 𝟓𝒙 ≤ 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟒)

Resolvemos el producto notable indicado 𝟓𝒙 ≤ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐

Transponemos todos los términos al primer miembro: 𝟓𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟐 ≤ 𝟎

Ordenamos la desigualdad: −𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟏𝟐 ≤ 𝟎

Es preferible que el primer término sea positivo 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟏𝟐 ≥ 𝟎

Factorizamos: (x - 3)(3x + 4) = 0

Igualamos los factores a cero y despejamos las variables:

Primer factor: x – 3 = 0 x = 3 segundo factor: 3x + 4 = 0 𝒙 = −𝟒

𝟑

−𝟒

𝟑 0 3

Conjunto solución de la desigualdad es: (−𝟒

𝟑, 𝟑)

Foro:

Que aplicaciones tienen las desigualdades en la vida profesional

Valor Absoluto

Ecuaciones de Valor, en la recta numérica, la distancia desde x

hasta un valor se le llama valor absoluto de equis, se lo

representa: |𝒙| por ejemplo: |𝟒| es 4 y el de: |−𝟒| es 4

también, ya que tanto el 4 y el -4, están a 4 unidades del cero

4 unidades 4 unidades

-4 0 4

Matemática Básica


Por ejemplo: |𝒙 − 𝟒| =3, lo que nos dice que: 𝒙 − 𝟒, esta a 3 unidades del cero.

Por lo tanto: 𝒙 − 𝟒 = 𝟑 ; 𝒙 = 𝟕 𝒐 𝒙 = 𝟏

Desigualdades de Valor Absoluto

Cumple la misma regla anterior, pero con los signos mayor que o menor que, la

presenta tabla nos ayuda en las soluciones:

|𝒙 − 𝟑| < 𝟓 por lo que: −𝟓 < 𝒙 − 𝟑 < 𝟓

−𝟓 + 𝟑 < 𝒙 < 𝟓 + 𝟑

−𝟐 < 𝒙 < 𝟖

Por lo tanto, la solución es el intervalo: (-2,8), lo que significa que todos los números

entre -2 y 8, satisfacen la desigualdad original.

−𝟐 < 𝒙 < 𝟖


Del algebra de Conamat de Pearson, resolver del ejercicio 133,

los impares del 1 al 10

Solución De Las Desigualdades Cuadráticas:

1. Escribir la desigualdad en la forma estándar.

2. Reemplazar el signo de desigualdad por un signo y resolver la

ecuación cuadrática resultante.

Las raíces dividen la recta numérica en intervalos.

3. En cada intervalo elegir un punto y probar la desigualdad dada

en ese punto.

Si es verdadera (falsa) en ese punto, entonces es verdadera

(falsa) en todos los puntos de ese intervalo.

4. Para una desigualdad estricta, en el conjunto solución no se

incluyen los puntos extremos de los intervalos. Para una

desigualdad no estricta sí se incluyen esos puntos extremos.

Taller

Matemática Básica


Resolver:

1. 𝟐𝒙 + 𝟑 > 𝒙 − 𝟒

2. 𝟕 + 𝟒𝒙 < 𝟏𝟎 + 𝟑𝒙.

3. 𝟑(𝟐𝒙 − 𝟑) < 𝟓(𝒙 − 𝟏)

4. La compañía Davis fabrica un producto que tiene un

precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de

$15.Si los costos fijos son de $600,000, determine el

número mínimo de unidades que deben venderse para

que la compañía tenga utilidades.

5. Un fabricante de cartuchos para juegos de vídeo, vende

cada cartucho en $19.95. El costo de fabricación de

cada cartucho es de $12.92. Los costos fijos mensuales

son de $8000.Durante el primer mes de ventas de un

nuevo juego, ¿cuántos cartuchos debe vender el

fabricante para llegar al punto de equilibrio (esto es,

para que el ingreso total se igual al costo total)?

Actividad de Auto Evaluación de la Unidad III

Se elabora reactivos para evaluar el rendimiento en la unidad III

de los estudiantes.

1. Resolver la siguiente desigualdad:12x - 14 > 8x + 10

2. El costo total de producción de (x) unidades de un determinado

producto está dado por: C(x) = 3754 + 18,50x, si cada unidad

se vende a $ 22,45, cuantas unidades se deberían producir y

vender para obtener una utilidad de al menos $ 2125.

3. Resolver las siguientes desigualdades cuadráticas:

𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 < 𝟏𝟓.

𝟗𝒙 ≤ 𝟐(𝒙𝟐 − 𝟏𝟔)

4. Resolver la siguiente desigualdad de valor absoluto:

|𝒙 − 𝟏𝟐| < 𝟕

5. Un fabricante de routers, vende cada uno en $35. El costo de

fabricación de cada routers es de $12.92. Los costos fijos

mensuales son de $3500.¿cuántos routers debe vender el

fabricante para llegar al punto de equilibrio (esto es, para que

el ingreso total sea igual al costo total)?

Actividad Final Unidad III.

Resolver la siguiente desigualdad:17x - 24 > 18x - 10

6. El costo total de producción de (x) unidades de un determinado

producto está dado por: C(x) = 1542 + 7,30x, si cada unidad

se vende a $ 2,45, cuantas unidades se deberían producir y

vender para obtener una utilidad de al menos $ 754.

7. Resolver las siguientes desigualdades cuadráticas:

𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 < 𝟐𝟓.

Matemática Básica


𝟐𝒙 ≤ 𝟓(𝒙𝟐 − 𝟑𝟔)

8. Resolver la siguiente desigualdad de valor absoluto:

|𝟐𝒙 − 𝟕| < 𝟏𝟕

9. Un fabricante de un determinado producto, vende cada uno en

$3,50. El costo de fabricación de cada producto es de $1,20.

Los costos fijos mensuales son de $350. ¿cuántos productos

debe vender el fabricante para llegar al punto de equilibrio

(esto es, para que el ingreso total sea igual al costo total)?

EVALUACION DEL PRIMER PARCIAL

Matemática Básica


Unidad Didáctica IV. La Recta.

Introducción:

Bien, una recta es aquello que entendemos como el ente ideal que se extiende en

una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está

compuesta de infinitos segmentos. De forma más sencilla, podemos describir la recta

como: la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, no posee

principio ni fin.

Teniendo en cuenta que los puntos están alineados, podemos encontrar la recta

mediante dos puntos, considerando esta idea de lo que es una recta, plantearemos

cuatro formas de encontrar la ecuación de la recta y su pendiente.

Objetivo: Determinar las características de una línea recta, a través del estudio de

geometría básica, para la resolución de ecuaciones de la recta y su correcta grafica

en el plano cartesiano, demostrando de esta manera constancia y exactitud en la

resolución de ecuaciones sobre el tema revisado.

Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica IV.

Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica IV.

El sistema de ejes coordenados está formado por dos rectas

numéricas, una horizontal y otra vertical llamadas ejes. El eje

horizontal (eje x) se denomina eje de las abscisas y el eje

vertical (eje y) se denomina eje de las ordenadas.

La Recta

Pendiente de la recta.

Que pasa por dos puntos

Cuando se tiene una Ecuacion

Ejercicios

Ecuaciones de la Recta

Formas de la Ecuacion de la Recta

Paralelismo Perpendicularidad

Ejercicios.

Matemática Básica


Sobre el sistema de ejes coordenados se pueden

ubicar todos los pares ordenados de la forma (a, b),

como lo muestra la figura.

Tarea:

Graficar en un sistema de coordenadas rectangulares los

siguientes puntos:

(-2,-4) (3,4) (-2,5) (4,-6) (9,-1) (3,-4) (5,-7) (2,5)

Distancia entre dos puntos

Supongamos que:

P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 )

Son dos puntos del plano tal como se observa en la figura.

La distancia entre P1 y P2 se puede determinar, por ejemplo, mediante el teorema de

Pitágoras, de la siguiente manera:

) y - (y ) x - (x PP 212

212

2

21

Así la distancia de P1 a P2 es: 𝑷𝟏𝑷𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)𝟐

Foro.

La pendiente de la recta, aplicaciones

Ejemplo: Calcular La distancia entre los puntos A(-4, 7) y B(3, -5) es:

x x

y

y

x2 –

x

y

P

P

Matemática Básica


) 7 - (-5 ) (-4) - (3 AB 22

144 49

193 AB = 13,89

Orientaciones Tarea:

Encontrar la distancia entre los puntos dados a continuación. Y

graficarlos

(-2,-3) y (-7,-8) (5,8) y (3,4) (-2,5) y (-3,8) (5,-1) y (4,-6)

(9,-1) y (6,-3) (3,-4) y (5,-7) (2,5) y (7,-5)

Representación gráfica de la línea recta

En toda igualdad de la forma: ax + by = c , donde a,b,c R, representa una ecuación

lineal con dos incógnitas, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y).

Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano.

Ejemplo: Graficar la ecuación: x + y = 4

A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas

Le corresponde gráficamente una recta.

Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las

coordenadas de un punto que es solución de la ecuación

dada, es decir satisface esta ecuación .

Los puntos que cada par ordenado representa pertenecen a La recta correspondiente.

Pendiente de la Recta

Pendiente de la recta que pasa por dos puntos cualquiera

Se denomina pendiente “m” de una recta al ángulo

x y (x, y)

2 2 (2, 2)

1 3 (1, 3)

0 4 (0, 4)

-1 5 (-1, 5)

Matemática Básica


de inclinación “” que tiene respecto Del eje de las

abscisas (eje x)-

𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

Recuerda que la pendiente nos indica si la

recta es creciente o decreciente.

La pendiente positiva indica que la recta es creciente.

La pendiente negativa nos indica que la recta es decreciente.

Si la pendiente es cero, la recta es horizontal.

Si la pendiente es infinita, es una recta vertical paralela a “y”

Ejemplo: calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos: (2,5) y (3,2); e

indicar si la recta es creciente o decreciente y por qué?

𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏=

𝟐 − 𝟓

𝟑 − 𝟐=

−𝟑

𝟏= −𝟑

Es una recta decreciente ya que la

Pendiente es negativa.

Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos, dados a

continuación, graficar e indicar si la recta es creciente o decreciente

y por qué.

(-2,5) y (-3,8) (5,-1) y (4,-6) (9,-1) y (6,-3) (3,-4) y (5,-7)

La Pendiente De La Recta Cuando Se Tiene Una Ecuación.

Cuando se tiene una ecuación y se desea encontrar la pendiente debemos aplicar la

siguiente formula: 𝒎 = −𝑨

𝑩

Matemática Básica


Donde:

A es el coeficiente de equis (x).

B es el coeficiente de ye (y).

Calcular la pendiente de la recta si tenemos la siguiente ecuación: 2x + 3y = 5.

Aquí: A = 2; B=3, entonces: 𝒎 = −𝑨

𝑩= −

𝟐

𝟑= −𝟎, 𝟔𝟕.

Como observamos la pendiente salió negativa por lo tanto la recta es decreciente.

Para este caso se presenta un pequeño problema al graficar sin embargo se puede

aplicar la graficacion por condiciones o por el método tradicional darles cualquier valor

a las variables.

Entonces en la ecuación: 2x + 3 y = 5, planteamos las condiciones:

Cuando: x = 0; nos queda: 2(0) + 3y = 5; despejamos y, en este caso: 𝒚 =𝟓

𝟑= 𝟏, 𝟔𝟕

Cuando: y = 0; tendríamos: 2x + 3(0) = 5; despejamos x, y se tiene: 𝒙 =𝟓

𝟐= 𝟐, 𝟓𝟎

Y si lo hacemos por el método tradicional, debemos despegar (y).

𝒚 =𝟓 − 𝟐𝒙

𝟑

Elaboramos la tabla tradicional, damos valores a (x) para encontrar los de (y), así:

𝒚 =𝟓−𝟐𝒙

𝟑=

𝟓−𝟐(−𝟐)

𝟑=

𝟓+𝟒

𝟑=

𝟗

𝟑= 𝟑

𝒚 =𝟓 − 𝟐𝒙

𝟑=

𝟓 − 𝟐(−𝟏)

𝟑=

𝟓 + 𝟐

𝟑=

𝟕

𝟑= 𝟐, 𝟑𝟑

𝒚 =𝟓−𝟐𝒙

𝟑=

𝟓−𝟐(𝟏)

𝟑=

𝟓−𝟐

𝟑=

𝟑

𝟑= 𝟏

𝒚 =𝟓−𝟐𝒙

𝟑=

𝟓−𝟐(𝟐)

𝟑=

𝟓−𝟒

𝟑=

𝟏

𝟑= 𝟎, 𝟑𝟑

Encontrar la pendiente de la recta de las siguientes

ecuaciones, indicar si son crecientes o decrecientes y

porque, además realice el respectivo gráfico.

3x – 2y = 4, 5x – 3y = 2, x + y = 0,

x y

-2 3,00

-1 2.33

1 1,00

2 0,33

Matemática Básica


-2x + y = 7, 9x – 3y = 15, -2x – 3y = 4

Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica IV.

Ecuación de la línea Recta

Toda igualdad de la forma: ax + by = c , donde a,b,c R, también se puede escribir

en la forma: y = mx + b , es decir como una función, donde m es la pendiente o

coeficiente de dirección y b es la intersección de la recta con el eje y , llamada también

coeficiente de posición.

Formas de la Ecuación de la Recta.

Ecuación de la Recta que pasa por dos puntos cualquiera

Los puntos tienen cualquier valor, pueden ser positivos o negativos, la fórmula que

permite encontrar esta ecuación es:

𝒚 − 𝒚𝟏 =𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏(𝒙 − 𝒙𝟏)

Dónde:

𝒙𝟏 y 𝒙𝟐 son las abscisas de los puntos dados.

𝒚𝟏 y 𝒚𝟐 son las ordenadas de los puntos dados.

x e y son las incógnitas o variables de la ecuación a encontrar.

Con los mismos puntos dados al inicio encontrar la ecuación de la recta.

Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos a (-2,-3) y

b (-5,-6), ¿indicar si la recta es creciente o decreciente y por qué?

𝒚 − 𝒚𝟏 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

(𝒙 − 𝒙𝟏)

𝒚 − (−𝟑) =−𝟔 − (−𝟑)

−𝟓 − (−𝟐)[𝒙 − (−𝟐)]

𝒚 + 𝟑 =−𝟔 + 𝟑

−𝟓 + 𝟐(𝒙 + 𝟐)

𝒚 + 𝟑 =−𝟑

−𝟑(𝒙 + 𝟐)

𝒚 + 𝟑 = 𝒙 + 𝟐

x – y = 1

Que es la ecuación de la recta

y es creciente por que la pendiente

es positiva.

Matemática Básica


Tarea:

¿Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos

dados a continuación e indicar si es creciente o decreciente y

por qué?

(-2,-3) y (-7,-8) (5,8) y (3,4) (-2,5) y (-3,8) (5,-1) y (4,-6)

(9,-1) y (6,-3) (3,-4) y (5,-7) (2,5) y (7,-5)

Ecuación de la recta de la forma punto-pendiente

Tiene una relación con el primer caso, la diferencia está en que se nos da el punto y

la pendiente. La fórmula que permite encontrar esta ecuación es:

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)

Dónde:

𝒙𝟏 La abscisa del punto dado.

𝒚𝟏 La ordenada del punto dado.


m es la pendiente dada

Ejemplo: encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,5), y cuya

pendiente m=4.

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)

𝒚 − 𝟓 = 𝟒(𝒙 − 𝟐)

𝒚 − 𝟓 = 𝟒𝒙 − 𝟖

𝟒𝒙 − 𝒚 = 𝟑

Para realizar el grafico encontramos un punto más por lo menos para poder graficar

Taller:

¿Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos

dados a continuación e indicar si es creciente o decreciente

y por qué?

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

Matemática Básica


(2,-8); m=4 (5,5) m=2 (-5,8) m=1

(-7,-6) m=8 (6,-3) m=-2 (2,-7) m=-3 (4,-5) m=-7

Ecuación de la recta de la forma con intersecciones

Esta recta se caracteriza por que tiene un punto interceptando el eje de las “x” y otro

punto interceptando el eje de las “y”.

Sus puntos tienen la forma: (a,0) y (0,b).

Dónde:

a.- es el valor diferente de cero que corresponde a “x” de los puntos dados.

b.- es el valor diferente de cero que corresponde a “y” de los puntos dados.

La fórmula para encontrar dicha ecuación es: 𝒙

𝒂+

𝒚

𝒃= 𝟏

Ejemplo: ¿encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (4,0) y (0,2) e

indicar si es creciente o decreciente y por qué?

𝒙

𝒂+

𝒚

𝒃= 𝟏

𝒙

𝟒+

𝒚

𝟐= 𝟏

Como podemos observar un punto esta sobre

cada eje

Calculamos la pendiente para determinar si es

creciente o decreciente:

𝒎 =𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏=

𝟐−𝟎

𝟎−𝟒=

𝟐

−𝟒= −

𝟏

𝟐

Por lo tanto, determinamos que la recta es

decreciente por que la pendiente es negativa.

Tarea:

¿Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados

a continuación e indicar si es creciente o decreciente y por qué?

(-2,0) y (0,-8) (2,0) y (0,5) (-2,0) y (0,8)

(5,0) y (0,-6) (9,0) y (0,-3) (3,-0) y (0,-7)

(2,0) y (0,-5)

Ecuación de la recta de la forma pendiente intersección

Se caracteriza por que el punto dado esta sobre el eje de las “y” y

tiene una determinada dirección dada por la pendiente, sin

embargo, es necesario encontrar el otro punto para poder graficar.

La fórmula que permite encontrar esta ecuación es: y = mx + b y el punto dado

tiene la forma: (0,b)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4 5

Matemática Básica


Dónde:


b es el valor diferente de cero que corresponde a “y” de los puntos

dados.

m es la pendiente dada

Ejemplo: encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto: (0,4) y cuya

pendiente m=5.

y = mx + b

y = 5x + 4 esta es la ecuación.

Para graficar encontramos el otro punto,

Por ej. cuando x=1 y=9

Tarea:

¿Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados

a continuación e indicar si es creciente o decreciente y por qué?

(0,-8); m=4 (0,5) m=2 (0,8) m=1 (0,-6) m=8

(0,-3) m=-2 (0,-7) m=-3 (0,-5) m=-7

Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente o si

ambas son verticales u horizontales.

O sea se cumple que: 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐.

Por ejemplo, si tenemos la recta: 2x – 3y = 1, esta recta tiene como pendiente: 𝒎 =𝟐

𝟑,

si queremos encontrar una recta paralela a ella debera tener la misma pendiente.

Entonces yo quiero encontrar la recta paralela a: 2x – 3y = 1, con otra recta que pasa

por el punto (4,-1), para que sea paralela la pendiente es la misma de la ecuación

ósea: 𝒎 =𝟐

𝟑; aplicamos la formula punto pendiente y encontramos dicha ecuacion:

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)

𝒚 − (−𝟏) =𝟐

𝟑(𝒙 − 𝟒)

𝒚 + 𝟏 =𝟐

𝟑(𝒙 − 𝟒)

𝟑𝒚 + 𝟑 = 𝟐𝒙 − 𝟖)

Quedándonos: 2x - 3y = 11. Como observamos analíticamente esta recta es

paralela a la recta: 2x – 3y = 1.

0

2

4

6

8

10

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Matemática Básica


Gráficamente tenemos lo siguiente:

Rectas Perpendiculares. Para que dos rectas sean perpendiculares se debe cumplir

la siguiente condición: 𝑚1 = −1

𝑚2. o 𝑚2 = −

1

𝑚1.

Si lo aplicamos al ejemplo anterior, se tiene la ecuación: 2x – 3y = 1 y 𝑚 =2

3, si

necesitamos encontrar la recta perpendicular que pasa por el punto: (4,-1), primero

calculamos: . 𝑚2 = −1

𝑚1= −

12

3

= −3

2.

Al multiplicar: 𝒎𝟏. 𝒎𝟐 = −𝟏 condicion de perpendicularidad.

Entonces: 𝟐

𝟑(−

𝟑

𝟐) = −𝟏, vemos que se cumple.

Entonces la ecuación perpendicular a: 2x – 3 y = 1 será:

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)

𝒚 − (−𝟏) = −𝟑

𝟐(𝒙 − 𝟒)

𝟐𝒚 + 𝟐 = −𝟑𝒙 + 𝟏𝟐

𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟎

Gráficamente.

Encontrar las rectas paralelas y perpendiculares de la siguiente información:

Matemática Básica


tarea

1) 3x – 4y = - 4; (-2,6) 4) 4x – y = 5; (3,-1).

2) x – 3y = 1; (1,-2) 5) 7x + 2y = 9 (-4,3).

3) - 2x + 3y = -4 (1, 8) 6) 9x + 5y = 10 (2,0)

Apoyándose en GeoGebra realizar cada gráfico.

Entonces la pendiente de la recta nos indica si tenemos una

recta creciente o decreciente.

Hay que aplicar la forma correcta para encontrar la ecuación de

la recta

La condición de paralelismo es que: 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐

La condición de perpendicularidad es: 𝒎𝟏𝒎𝟐 = −𝟏

Si no se cumple que: 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 y que: 𝒎𝟏𝒎𝟐 = −𝟏, entonces

esas rectas no son ni paralelas ni perpendiculares.

Además, siempre que se intercepten una recta horizontal y una

vertical, cumplen la condición de ser perpendiculares.

Foro:

La Recta, aplicaciones.

Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad IV.

Encontrar la ecuación y la pendiente de la recta que tiene la

siguiente información, realice el respectivo grafico e indique si es

creciente o decreciente y porque, según sea el caso.

1. que pasa por los puntos: (2,-7) y (5,2).

2. que pasa por el punto: (-3,5) y cuya pendiente es: m = - 4.

3. por los puntos: (2,0) y (0,-8).

4. que pasa por el punto: (0,-4) y m = - 5.

Actividad Final Unidad IV.

Encontrar la ecuación y la pendiente de la recta que tiene la

siguiente información, realice el respectivo grafico e indique si es

creciente o decreciente y porque, según sea el caso.

1) que pasa por los puntos: (8,-9) y (-4,-7).

2) que pasa por el punto: (-8,6) y cuya pendiente es: m = 7.

3) por los puntos: (5,0) y (0,8).

4) que pasa por el punto: (0,-9) y m = 5.

Matemática Básica


Unidad Didáctica V. Progresiones

INTRODUCCION.- Las progresiones son una sucesión o serie de números que tienen

algo de común, estas pueden ser: aritméticas y geométricas, tienen un propósito

fundamental en la matemática común y en la aplicada de manera específica en las

matemáticas financieras.

Esta serie de número se puede formar al sumar o restar una cantidad o al multiplicar

por una cantidad constante.

En el mundo microscópico existen multitud de seres que influyen en nuestra vida.

Unos de esos seres son las bacterias.

En concreto, podemos referirnos a la bacteria Eschericia Coli, más conocida en los

medios de comunicación como E. Coli. Esta provocó la muerte de algunas personas

en Alemania, y en un primer momento se indicó que habían aparecido en los pepinos

españoles exportados a dicho país.

Aunque después se demostró que no era cierto; las primeras declaraciones de los

responsables alemanes provocaron un gran revuelo, que ocasionó grandes pérdidas

a la exportación de frutas y verduras de nuestro país y hasta pudo provocar un

conflicto diplomático.

Las bacterias tienen la característica de que se reproducen por bipartición. Es decir,

una bacteria se divide en dos pasado un determinado tiempo. Es el comportamiento

que desarrollan las progresiones.

Objetivo de la unidad didáctica V

Resolver progresiones aritméticas y geométricas, aplicando los principios y la

formulación para la resolución de progresiones aplicadas a la vida cotidiana,

desarrollando habilidades de razonamiento lógico, demostrando puntualidad en la

entrega de trabajos y actividades encomendadas a su cargo.

Progresiones

Aritmeticas

Partes Ejercicios

Geometricas

Partes Ejercicios

Matemática Básica


Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica V.

Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica V.

Progresión Aritmética

una serie de números están en progresión aritmética cuando cada

uno de ellos (excepto el primero) es igual al anterior más una

cantidad constante llamada diferencia (d) de la progresión.

EJEMPLO: 1, 4, 7, 10 ..... Es una progresión cuya diferencia es 3.

30, 25, 20, 15... Es una progresión cuya diferencia es –5

Tarea.

Realiza 4 progresiones aritméticas, cuyas diferencias sean:2,4.5

y 1 y el primer término sea:-3, -8, 7 y 11 respectivamente

Termino Enésimo

El término n-ésimo, también llamado TÉRMINO GENERAL, de

una progresión aritmética se obtiene sumando al primer término

la diferencia multiplicada por (n -1):

𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅.

Suma de términos

Suma de “n” términos de una progresión aritmética La suma de

los términos de una progresión aritmética es igual a la semisuma

de los términos extremos multiplicada por el número de términos

que se suman.

𝑺 =𝒂𝟏 + 𝒂𝒏

𝟐∗ 𝒏 𝒐 𝑺 =

𝟐𝒂𝟏 + (𝒏 + 𝟏)𝒅

𝟐∗ 𝒏

Donde:

𝒂𝟏 es el primer termino d es la diferencia

𝒂𝒏 es el ultimo termino 𝒏 es el numero de

terminos

S es la sumatoria de términos.

Ejercicio.

Hallar el termino 48 de la progresión aritmética de diferencia 3 y primer término 11.

𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅

𝒂𝟒𝟖 = 𝟏𝟏 + (𝟒𝟖 − 𝟏)𝟑 = 𝟏𝟏 + (𝟒𝟕)𝟑 = 𝟏𝟏 + 𝟏𝟒𝟏 = 𝟏𝟓𝟐

Ejercicio.

Los ángulos de un triángulo están en progresión aritmética, hallar el valor de cada

Angulo si el mayor mide 100°.

Un triángulo tiene 3 ángulos , entonces el mayor es: 𝒂𝟑 = 𝟏𝟎𝟎°

Si formamos la progresión quedaría: 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑..

Matemática Básica


𝒂𝟏 = 𝟏𝒆𝒓 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 = 𝒂; 𝒂𝟐 = 𝟐𝒅𝒐 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 = 𝒂 + 𝒅; 𝒂𝟑 = 𝟑𝒆𝒓 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 = 𝒂 + 𝟐𝒅,

Entonces: 𝒂 + 𝒂 + 𝒅 + 𝒂 + 𝟐𝒅 = 𝟏𝟖𝟎°

Que es la suma de los tres ángulos de un triángulo.

Reduciendo la expresión nos queda: 𝟑𝒂 + 𝟑𝒅 = 𝟏𝟖𝟎°

Dividiendo para 3: 𝒂 + 𝒅 = 𝟔𝟎°

Despejo a: 𝒂 = 𝟔𝟎° − 𝒅

Pero: 𝒂 + 𝟐𝒅 = 𝟏𝟎𝟎°

Reemplazando (a) 𝟔𝟎° − 𝒅 + 𝟐𝒅 = 𝟏𝟎𝟎°

Reduciendo y transponiendo: 𝒅 = 𝟏𝟎𝟎° − 𝟔𝟎° = 𝟒𝟎°

Por lo que el primer Angulo seria: 𝒂 = 𝟔𝟎° − 𝟒𝟎° = 𝟐𝟎°

El segundo seria: 𝒂 + 𝒅 = 𝟐𝟎° + 𝟒𝟎° = 𝟔𝟎°

La progresión aritmética: ÷ 𝟐𝟎𝟎, 𝟐𝟎𝟏, 𝟐𝟎𝟐 + ⋯ … … … … … . +𝟐𝟗𝟗. Tiene 100 terminos

y una diferencia de 1, calcular la suma de los 100 terminos.

𝑺 =𝒂𝟏 + 𝒂𝒏

𝟐∗ 𝒏 =

𝟐𝟎𝟎 + 𝟐𝟗𝟗

𝟐∗ 𝟏𝟎𝟎 =

𝟒𝟗𝟗

𝟐∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟒𝟗𝟓𝟎

Taller.

1. Una progresión aritmética de 50 términos empieza por 9 y

termina por 200. Calcular su diferencia y la suma de sus

términos.

2. Calcula la suma de los mil primeros números pares y de

los mil primeros números impares. ¿Cuál es mayor?

3. Calcula el valor de 1+2+3+4+ ... + n

4. Si la suma de los n primeros términos es 2550, halla n.

5. En una progresión aritmética la suma de los 10 primeros

términos es 140 y la suma de los diez primeros términos

impares es 125. ¿Cuánto vale a6?

Foro.

Progresiones Aritméticas, aplicaciones en la vida real

Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica V.

Progresiones Geométricas

Se dice que una serie de números están en progresión geométrica

cuando cada uno de ellos (excepto el primero) es igual al anterior

multiplicado por una cantidad constante llamada razón de la

progresión.

Ejemplo: 1, 3, 9, 27, 81..... Es una progresión cuya razón es 3.

8, 4, 2 , 1 , ½ , ¼ ,....Es una progresión cuya razón ½

Termino Enésimo

Matemática Básica


Si a1 , a2 , a3 ,... an-1 , an son los sucesivos términos de una progresión geométrica

cuya razón es “r”.

El término n-ésimo, también llamado TERMINO GENERAL, de una progresión

geométrica se obtiene multiplicando el primer término por la razón elevada a (n -1)

así:

𝒂𝒏 = 𝒂𝟏𝒓𝒏−𝟏

Suma de términos

Suma de “n” términos de una progresión geométrica Sea la progresión geométrica de

n términos: a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an . Si Sn representa la suma de los n términos,

se tiene:

𝑺𝒏 =𝒂𝒏𝒓𝒏 − 𝒂𝟏

𝒓 − 𝟏 .

Fórmula que permite hallar la suma de los términos de una progresión geométrica

limitada, conociendo el primer término, el último y la razón.

Otra fórmula que podemos utilizar es:

𝑺 =𝒂𝟏

𝟏−𝒓

Suma de infinitos términos de una progresión geométrica de razón

r (siendo r un número tal que -1 < r < 1 )

La suma de los términos de una progresión geométrica ilimitada

decreciente es igual al primer término dividido por (1 -r).

Matemática Básica



Determina el término general de cada una de las siguientes

progresiones geométricas:

(a) -1, ½, -¼ , 1/8, ....

(b) 2, 3, 3 2, ...

(c) -32, 16, -8, 4, ..

encontrar la suma de suma de los 8 términos de una progresión

cuyo primer término es 5 y la razón es 4

Concluimos que:

las progresiones aritméticas se originan al sumar o restar una

cantidad constante llamada diferencia.

Las progresiones geométricas en cambio se orinan al multiplicar

por una cantidad constante llamada razón.

Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de

sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos

particularmente interesantes por el principio de regularidad que

permite sistematizar la definición de sus propiedades: las

progresiones aritméticas y geométricas.

Taller.

Se elabora reactivos para evaluar el rendimiento en la

unidad II de los estudiantes.

1.- Crear una progresión aritmética de 12 términos,

cuya diferencia es 2 y su primer término es 3.

2.- Crear una progresión geométrica de 7 términos,

cuya razón es 3 y el primer término es 1.

3.- Encontrar la suma de términos del primer ejercicio.

Matemática Básica


4.- Encontrar el último término de una progresión

aritmética cuyo primer término es 2, la razón 4 y el número

de términos es 9.

Foro.

Progresiones Geométricas, aplicaciones en el diario vivir.

Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad V.

1. Realiza un breve resumen de las aplicaciones de las

progresiones en la vida cotidiana.

2. Escribe una progresión aritmética de 9 términos donde el

primero sea 8 y la diferencia -2.

3. Encontrar la suma de los 65 términos de una progresión

aritmética donde el primer término es -5, y el ultimo 300.

4. Crear una progresión geométrica de 7 términos, cuya razón es

3, el primer término 2.

5. Encontrar la suma de los 12 términos de una progresión

geométrica cuyo primer término es -3, la razón: -2 .

Actividad final de la unidad V

1) Haga un resumen de la diferencia entre progresión aritmética

y geométrica.

2) Escribe una progresión aritmética de 12 términos donde el

primero sea -8 y la diferencia -2.

3) Encontrar la suma de los 45 términos de una progresión

aritmética donde el primer término es 4, y el ultimo 250.

4) Crear una progresión geométrica de 8 términos, cuya razón es

-4, el primer término 3.

5) Encontrar la suma de los 22 términos de una progresión

geométrica cuyo primer término es 2, la razón: 3.

Matemática Básica


Unidad Didáctica VI. Matemática Financiera

INTRODUCCION.

Nos dice Michael Parkin, en su obra Macroeconomía: «El dinero, el fuego y la rueda,

han estado con nosotros durante muchos años. Nadie sabe con certeza desde cuándo

existe -el dinero-, ni de cuál es su origen».

En forma similar nos acompaña la matemática financiera, cuya génesis está en el

proceso de la transformación de la mercancía en dinero. el valor solo existe de forma

objetiva en forma de dinero. Por ello, la riqueza se tiene que seguir produciendo como

mercancía, en cualquier sistema social. Como el sistema financiero está íntimamente

ligado a las matemáticas financieras.

Por el año 1,368 - 1,399 D.C. aparece el papel moneda en China y luego en la Europa

medieval, donde fue muy extendido por los orfebres y sus clientes. Siendo el oro

valioso, los orfebres lo mantenían a buen recaudo en cajas fuertes. Como estas cajas

de seguridad eran amplias los orfebres alquilaban a los artesanos y a otros espacios

para que guardaran su oro; a cambio les giraban un recibo que daba derecho al

depositante para reclamarlo a la vista.

Estos recibos comenzaron a circular como medio de pago para comprar propiedades

u otras mercancías, cuyo respaldo era el oro depositado en la caja fuerte del orfebre.

En este proceso el orfebre se dio cuenta que su caja de caudales estaba llena de oro

en custodia y le nace la brillante idea, de prestar a las personas "recibos de depósitos

de oro", cobrando por sus servicios un interés; el oro seguiría en custodia y solo

entregaba un papel en que anotaba la cantidad prestada; tomando como previsión el

no girar recibos que excedieran su capacidad de respaldo. Se dio cuenta de que

intermediando entre los artesanos que tenían capacidad de ahorro en oro y los que lo

necesitaban, podía ganar mucho dinero. Así es la forma en que nació el actual

mercado de capitales, sobre la base de un sistema financiero muy simple, de carácter

intermediario.

Objetivo de la unidad didáctica VI

Desarrollar ejercicios prácticos referentes a matemática financiera, mediante el

estudio de operaciones financieras simples y compuestas, para el análisis de

viabilidad o factibilidad económica y financiera, demostrando ética investigativa en

proyectos, trabajos, tareas que son medios para su profesionalización.

Matemática Básica


Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica VI.

Interés Simple

el interés está directamente relacionado con la utilización del

dinero, que está siempre produciendo más dinero, en función del

tipo de interés y del tiempo.

En consecuencia, se puede decir que interés es el valor que se paga por el uso del

dinero.

Por ejemplo: si por invertir $ 100 se obtienen $ 15, se dice que se está ganando el

15% de interés.

Tasa de Interés

Es el cociente entre el interés generado y el capital en la unidad de tiempo

establecido.

La fórmula que nos permite su cálculo es:

𝒊 =𝑰

𝑪

Donde:

𝒊 es la tasa de interés.

I Interés generado.

C Capital.

Interés Simple Calculo

𝑰 = 𝑪. 𝒊. 𝒕.

Matematica Financiera

Interes Simple

formulas Ejercicios

Interes Compuesto

Formulas Ejercicios.

Matemática Básica


Como podemos apreciar, el interés más alto se da en el segundo caso, con el tiempo

exacto y el año comercial y equivale a 255, mientras que el más bajo está dado en el

tercer caso, con el tiempo aproximado y el año calendario, y es igual a 246,5753. Para

operaciones bancarias, es el segundo caso en el que más se utiliza.

Debemos recordar que el número de días puede cambiar de acuerdo a lo siguiente:

Año comercial: 360 días. Año calendario: 365 días. Año bisiesto: 366

días

Por lo tanto, el interés ganado puede ser aproximado o exacto.

Tiempo aproximado.

Queremos calcular el tiempo aproximado que hay del 17 de enero al 24 de agosto,

para lo cual procedemos de la siguiente manera:

Enero 17 días.

Febrero 30 días.

Marzo 30 días.

Abril 30 días.

Mayo 30 días.

Junio 30 días.

Julio 30 días.

Agosto 6 días.

Total 203 días.

Tiempo exacto.

Enero 17 dias.

Matemática Básica


Febrero 28 dias.

Marzo 31 dias

Abril 30 dias

Mayo 31 dias.

Junio 30 dias.

Julio 31 dias.

Agosto 7 dias.

Total 205 dias

por lo tanto el interes tambien puede ser exacto u ordinario, se

considera exacto cuando se toma el año de 365 o 366 dias, si la

tasa de interes es anual. Y por lo tanto sera ordinario cuando se

considera el año de 360 dias.

Ejemplo:

El interes exacto y ordinario de un capital de 20000 al 9% de

interes

anual, desde el 10 de abril hasta el 15 de septiembre del presente

año, se calcula así:

mes Tiempo exacto

(dias)

Tiempo aproximado

(dias)

Abril 20 20

Mayo 31 30

Junio 30 30

Julio 31 30

Agosto 31 30

Septiembre 15 15

total 158 155

Interes exacto con tiempo exacto

𝑰 = 𝑪. 𝒊. 𝒕 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟗 ∗𝟏𝟓𝟖

𝟑𝟔𝟔= 𝟕𝟕𝟕, 𝟎𝟓

Interes exacto con tiempo aproximado

𝑰 = 𝑪. 𝒊. 𝒕 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟗 ∗𝟏𝟓𝟓

𝟑𝟔𝟔= 𝟕𝟔𝟐, 𝟑𝟎

Interes ordinario con tiempo exacto

𝑰 = 𝑪. 𝒊. 𝒕 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟗 ∗𝟏𝟓𝟖

𝟑𝟔𝟎= 𝟕𝟗𝟎

Interes ordinario con tiempo aproximado

𝑰 = 𝑪. 𝒊. 𝒕 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟗 ∗𝟏𝟓𝟓

𝟑𝟔𝟎= 𝟕𝟕𝟓.

Matemática Básica


Como podemos darnos cuenta el mayor interés se genera en

tiempo exacto ano comercial.

ORIENTACIONES PARA LA TAREA

De la página 63 del libro de Matemáticas Financieras de:

Armando Mora resolver todos los ejercicios.

Entre las tasas de interés más empleadas se hallan la anual,

semestral, quimestral, cuatrimestral, trimestral, bimestral,

mensual o diaria.

a) La tasa de interés anual se utiliza para el tiempo exacto o

aproximado: 365 o 360 días, respectivamente

b) La tasa de interés semestral se utiliza para el tiempo de 180,

181, 182 o 184 días del semestre (primer o segundo semestre

del año)

c) La tasa de interés trimestral se utiliza para el tiempo de 90,

91 o 92 días.

d) La tasa de interés mensual se utiliza para el tiempo de 30 o

31 días del mes.

e) La tasa de interés diaria se utiliza directamente.

la tasa de interés siempre debe estar en relación con el tiempo;

generalmente, si la tasa es anual, el tiempo estará dividido en

360 días; si es semestral, 180 días; si es trimestral, 90 días; si es

mensual, 30 días, y si es diario, un día. Es necesario hacer esta

relación tasa de interés/tiempo para evitar errores de cálculo.

Foro.

Aplicaciones más frecuentes del Interés simple.

Cálculo del Capital

Para el cálculo del capital inicial (C), se toma como base la fórmula del interés

simple:

I = Cit

y se despeja C: 𝑪 =𝑰

𝒊∗𝒕

Cálculo del capital cuando: la tasa es anual y el tiempo en años.

Para calcular el capital cuando el tiempo es en días y la tasa es anual.

𝑪 =𝟑𝟔𝟎𝑰

𝒊 ∗ 𝒕

Calcular qué capital produjo un interés de $ 18.000 a una tasa de interés del 20%

anual en 180 días.

𝑪 =𝟑𝟔𝟎𝑰

𝒊∗𝒕=

𝟑𝟔𝟎∗𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎

𝟎.𝟐𝟎∗𝟏𝟖𝟎= 𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒐𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔.

Cálculo De la tasa de interés

Matemática Básica


Cuando la tasa de interés es anual y el tiempo en años se

despeja de la formula inicial del interés y se tiene:

𝒊 =𝑰

𝑪 ∗ 𝒕

A que tasa de interés se coloca un capital de 10000 dólares para

que produzca 3000 dólares de intereses en 3 años.

𝑖 =𝐼

𝐶 ∗ 𝑡=

3000

10000 ∗ 3∗ 100 = 10%

Cálculo Del Monto a interés Simple

Para esto aplicamos la formula siguiente:

M = C + I

Pero como el interés es igual a: I = C.i.t.

reemplazamos en la fórmula de monto y nos queda:

M = C + C.i.t M = C(1 + i.t)

Calcular el monto de un capital de 10000 dólares al 10% de

interés durante 3 años.

M = 10000(1 + 0,10*3) = 10000*1.30 = 13000 Dólares.

Taller.


Armando Mora resolver todos los ejercicios

Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica VI.

Interés Compuesto

El interés compuesto se caracteriza porque el interés generado,

en una unidad de tiempo, se suma al capital y este valor

nuevamente gana intereses y se acumula al nuevo capital, y así

sucesivamente, tantas veces como períodos de capitalización se

hayan establecido.

Calculemos el monto, el interés simple y el interés compuesto de un capital de $

4.000.000 a una tasa de interés del 10% durante 6 años.

Cálculo a interés simple:

I = Cit = 4.000.000(0,10)(6) = $ 2.400.000

M = C(1 + it) = 4.000.000[1 + 0,10(6)] = $ 6.400.000

Cálculo a interés compuesto:

(Para el primer año)

M = 4.000.000[1 + 0,10(1)] = $ 4.400.000

(Para el segundo año)

M = 4.400.000[1 + 0,10(1)] = $ 4.840.000

(Para el tercer año)

Matemática Básica


M = 4.840.000[1 + 0,10(1)] = $ 5.324.000

(Para el cuarto año)

M = 5.324.000[1 + 0,10(1)] = $ 5.856.400

(Para el quinto año)

M = 5.856.400[1 + 0,10(1)] = $ 6.442.040

(Para el sexto año)

M = 6.442.040[1 + 0,10(1)] = $ 7.086.244

Puede notarse la diferencia, en el mismo tiempo y con la misma tasa de interés, del

monto total que producen.

Monto con interés simple: $ 6.400.000

Monto con interés compuesto: $ 7.086.244

Aplicando la formula general para el monto tendríamos:

𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛

Para el caso del ejercicio anterior tendríamos:

𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 = 4000000(1 + 0,10)6 = 4000000(1,10)6

= 7.086.244

Como observamos nos da el mismo valor calculado por el

método

Taller.

Calculemos el monto, el interés simple y el interés compuesto de

un capital de $ 4.680.000 a una tasa de interés del 16,50 %

durante 9 años.

Cálculo del Tiempo

Para este cálculo de la formula del monto despejamos (n), pero

como esta en forma de exponente aplicamos logaritmos,

quedándonos lo siguiente:

𝑛 =𝑙𝑜𝑔𝑀 − 𝑙𝑜𝑐𝐶

log (1 + 𝑖)

Si aplicamos al ejercicio anterior quedaría:

𝑛 =𝑙𝑜𝑔𝑀−𝑙𝑜𝑐𝐶

log (1+𝑖)=

𝑙𝑜𝑔7086244−𝑙𝑜𝑔4000000

log (1+0.10)=

6,8504−6,6021

0,0041=

0,2484

0,0414=6

Cálculo de la tasa de interés

Para esto utilizamos la siguiente formula:

Matemática Básica


𝑖 = √𝑀

𝐶

𝑛

− 1

Para el caso del ejemplo anterior tendríamos:

𝑖 = √𝑀

𝐶

6− 1 = √

7086244

4000000

6− 1 = √1,77166 – 1 = 1,10 – 1 = 1,00*100 = 10%

ORIENTACIONES PARA LA TAREA


Armando Mora resolver todos los ejercicios

Como se observa, la diferencia entre el monto a interés simple y

el monto a interés compuesto radica en que este último se va

acrecentando en función del tiempo, debido a la acumulación de

los intereses al capital por período de capitalización.

El interés compuesto crece en función del nuevo capital por

período, mientras que el interés simple es constante durante todos

los períodos. Mientras más períodos se capitalice, mayor será la

diferencia entre el interés simple y el interés compuesto.

La diferencia del tiempo comercial y el tiempo exacto, hacen que

la banca principalmente se beneficie de este juego del tiempo.

Es importante aplicar de la manera adecuada las fórmulas.

Hay que recalcar que, para cálculos de aprendizaje, se trabaja

con dos decimales, pero cuando se trata de dinero real, debemos

utilizar la mayor cantidad de decimales y si es posible todos, ya

que se trata de dinero y cada decimal marca la diferencia.

Foro:

Qué tipo de interés aplica la banca comercial-

Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad V.

1. Calcular el interés simple que gana un capital de 15000

dólares al 14% anual, desde el 5 de enero al 24 de octubre del

presente año.

2. Calcular qué capital produjo un interés de $ 18.000 a una tasa

de interés del 20% anual en 180 días.

3. A que tasa de interés se coloca un capital de 10000 dólares

para que produzca 3000 dólares de intereses en 3 años.

4. Calculemos el monto, el interés simple y el interés compuesto

de un capital de $ 4.000.000 a una tasa de interés del 10%

durante 6 años.

5. Calcular el tiempo exacto que hay desde el 5 de febrero al 7

de diciembre del presente año.

Actividad Final de la Unidad VI

Matemática Básica


6. Calcular el interés simple que gana un capital de 45000

dólares al 12,50% anual, desde el 5 de enero al 24 de octubre

del presente año.

7. Calcular qué capital produjo un interés de $ 7.500 a una tasa

de interés del 16% anual en 280 días.

8. A que tasa de interés se coloca un capital de 154650 dólares

para que produzca 3456 dólares de intereses en 5 años.

9. Calculemos el monto, el interés simple y el interés compuesto

de un capital de $ 4.682.000 a una tasa de interés del 14,50%

durante 6 años.

10. Calcular el tiempo exacto que hay desde el 15 de mayo al 7 de

diciembre del presente año.

EVALUACION DEL SEGUNDO PARCIAL.

Matemática Básica


BIBLIOGRAFÍA.

AGUILAR, M, ARTURO. BRAVO, V, FABIAN,V. GALLEGOS, R, HERMAN,

A. CERON, V, MIGUEL. REYES, F, RICARDO. Algebra. Editorial Pearson

Prentice Hall. Primera Edición, 2009.

ARYA, J y LARDNER, R. Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la

Economía. Editorial Pearson Prentice Hall. Cuarta Edición, 2002.

BALDOR, A. Algebra. Grupo Editorial Patria. Segunda edición, 2007.

BALDOR, A. Aritmética. Grupo Editorial Patria. Segunda edición, 2007.

BALDOR, A. Geometría y Trigonometría. Grupo Editorial Patria. Segunda

edición, 2007.

GONZÁLEZ, M y MANCILL, J. Algebra elemental y moderna. Editorial

Kapelusz.

LEHMANN, Ch. Algebra. Editorial Limusa – Wiley. S. A. primera edición

1964.

MORA ZAMBRANO, A. Matemáticas Financieras. Editorial Alfaomega.

Tercera Edición, 2009.

asignatura: matemÁtica bÁsica. docente: ing. rafael

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