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MatemáticaMaría antonieta Santis ávalosLicenciada en Matemáticas Pontifi cia Universidad Católica de Chile

Estadístico

Pontifi cia Universidad Católica de Chile

Verónica Muñoz correaProfesora de Estado en Matemáticas Pontifi cia Universidad Católica de Chile

Magíster en Educación con mención en Evaluación (c)

Pontifi cia Universidad Católica de Chile

Guía didáctica del docente

MateMática 1.° GUÍa DiDáctica DeL DOceNte

Dirección editorialFelipe Muñoz Gómez

Coordinación editorialMaría José Martínez

EdiciónMaría Antonieta Santis Ávalos

AutoríaVerónica Muñoz CorreaMaría Antonieta Santis Ávalos

Corrección de estiloAlida Montero de la Fuente

Coordinación de diseñoGabriela de la Fuente Garfias

Diseño y diagramaciónYanira Fuentes Pérez

Diseño de portadaYanira Fuentes Pérez

ProducciónAndrea Carrasco Zavala

Este texto corresponde al Primer año de Enseñanza Media y ha sido elaborado conforme al Decreto Supremo N° 254/2009, del Ministerio de Educación de Chile.

© 2013 – Ediciones SM Chile S.A. – Coyancura 2283 piso 2 – ProvidenciaISBN: 978-956-349-547-8 / Depósito legal: 235593Se terminó de imprimir esta edición de 5.000 ejemplares en el mes de enero del año 2014.Impreso por Quad/Graphics Chile S.A.

Quedan rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

Índice

Planifi cación ............................................................................... 12

Sugerencias metodológicas ............................................ 15

Información y bibliografía complementaria .......... 36

Actividades complementarias fotocopiables ....... 38

Evaluación fotocopiable ..................................................... 42

Banco de preguntas.............................................................. 47

Números racionales y potenciasNúmeros racionales y potencias1Planifi cación ............................................................................... 96


Información y bibliografía complementaria ........118

Actividades complementarias fotocopiables .....120

Evaluación fotocopiable ...................................................124

Banco de preguntas............................................................129

GeometríaGeometría3

Planifi cación ............................................................................... 50


Información y bibliografía complementaria .......... 75

Actividades complementarias fotocopiables ....... 76

Evaluación fotocopiable ..................................................... 80

Banco de preguntas.............................................................. 85

Álgebra y funcionesÁlgebra y funciones2Planifi cación .............................................................................132

Sugerencias metodológicas ..........................................135

Información y bibliografía complementaria ........154

Actividades complementarias fotocopiables .....155

Evaluación fotocopiable ...................................................158

Banco de preguntas............................................................163

Estadística y probabilidadesEstadística y probabilidades4

Fundamentación del diseño instruccional ...........................................................................................................................................4

Estructura del Texto ........................................................................................................................................................................................6

Estructura de la Guía didáctica del docente ........................................................................................................................................8

Índice temático ...........................................................................................................................................................................................171

Bibliografía .....................................................................................................................................................................................................173

Mini ensayo PSU ...................................................................... 87 Mini ensayo PSU ............................................................... 165

3ÍNDICE

4

Fundamentación del diseño instruccional

El texto Matemática 1.º Medio es una propuesta didáctica elaborada a partir de los siguientes lineamientos funda-mentales:

Organización de contenidos: El texto Matemática 1.º Medio recoge la propuesta del Marco curricular y el Programa de estudio,

proponiendo una Unidad por eje de contenido. Cada Unidad se divide en lecciones que la organizan y potencian la importancia de los diferentes objetivos que abordan.

Evaluación permanente: Una característica distintiva del texto es asumir la evaluación como un proceso continuo y al servicio del aprendizaje. Matemática 1.º Medio recoge este enfoque evaluativo y lo potencia aún más con páginas destinadas a las evaluaciones: inicial, integradora y final. Se incluyen además instancias de evaluación tipo PSU para ir preparando a los estudiantes en este tipo de proce-dimientos evaluativos.

Aprendizaje significativo: Las nuevas tendencias didácticas promueven el aprendizaje de los contenidos en contextos significati-

vos. Matemática 1.º Medio asume este postulado y lo fortalece explicitando los conceptos que están detrás de esas actividades significativas, como una manera de integrar el aprender con entretención, conocimiento de su entorno y contenidos de la disciplina.

Desarrollo de habilidades: El enfoque didáctico de Matemática 1.º Medio asume el desarrollo de habilidades ligado a los conteni-

dos. Es por ello que los textos incluyen páginas especiales, destinadas a seguir profundizando el trabajo de las habilidades con un enfoque de enseñanza explícito y ligado a los contenidos conceptuales.

MATEMÁTICA 1.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE

5

Para cumplir estos lineamientos, las unidades y secciones del texto Matemática 1.º Medio se componen de:

§ Páginas de inicio que presentan los contenidos de la unidad a es-tudiar por medio de una imagen y de los aprendizajes esperados. Además, se proponen actividades y preguntas destinadas a activar los conocimientos previos de los estudiantes

§ Lecciones que presentan los conte-nidos y actividades propios del nivel educacional. Cada lección estimula a los estudiantes a verificar su propio aprendizaje por medio de preguntas y actividades de reflexión, personal o grupal.

§ Dos páginas de evaluación integradora que se insertan entre las lecciones. En ellas se invita al estudiante a realizar variadas actividades que evalúan el grado de com-prensión de los contenidos tratados hasta el momento.

§ Se incluyen páginas de resolución de problemas llamadas aplico mis aprendizajes donde se desarrolla, paso a paso, una estrategia de reso-lución de problemas. En esta sección también se incluye la biografía de un matemático o matemática famosa. Dos páginas para el estudio mis posibles errores que permite a los estudiantes detectarlos y corregirlos.

§ conecto con…, relaciona el contenido de la Unidad con otras áreas del conocimiento y recoge lo presentado en las páginas iniciales.

§ Síntesis, para fortalecer y sintetizar los aprendizajes utilizando organizadores grá-ficos y resúmenes de los procedimientos.

§ Se incluyen páginas de Refuerzo destinadas a los estudiantes con distintas necesidades.

§ La evaluación final evalúa en forma global los contenidos tratados en la unidad. Al final se incluye un desafío lúdico para cualquier estudiante que se atreva a realizarlo.

FUNDAMENTACIÓN

6

Estructura del texto

1. Páginas de inicio de unidadContiene una línea de tiempo, cuya finalidad es conectar lo que ya sabes, lo que vas aprender y el uso que darás a estos conocimientos.

A través de las Palabras cla ve podrás centrarte en los conceptos más relevantes de la unidad.

Señales para aprender más… Cápsulas destinadas a complementar los contenidos tratados en cada lección.

2. Páginas de evaluacionesDestinadas a medir tus conocimientos y habi-lidades adquiridas a lo largo de la unidad.

existen tres momentos de evaluación:

Repaso mis conocimientos previos (Evalua-ción inicial), Integro mis aprendizajes (Evalua-ción intermedia) y Evalúo mis aprendizajes (Evaluación final).

3. Páginas de desarrollo de contenidos y habilidadesLecciones en las que activarás tus ideas previas, desarrollarás tus habilidades a través de un Taller o un Paso a Paso y reflexio-narás acerca de lo aprendido a través de la cápsula Razona y Comenta. Finalmente, en la sección En resumen encontrarás un resumen de los contenidos más relevantes de la Lección. En la Practica, te proponemos actividades de Repaso, práctica guiada con ejercicios jerarquizados y de aplicación en la reso-lución de problemas de los aprendizajes adquiridos por medio de la sección Aplico.

tu texto del estudiante se compone de cuatro unidades. en cada una de ellas encontrarás las siguientes secciones:

§

Ü Ü Ü

MATEMÁTICA 1.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE

7

4. Páginas de estrategiasDestinadas a la resolución de problemas, mediante la apli-cación de diversas estrategias, y al tratamiento de los erro-res más frecuentes en el desarrollo de procedimientos.

Complementadas con reseñas de matemáticos famosos(as) y Tips para prevenir posibles errores.

6. Páginas de reforzamientoContienen actividades para reforzar todos los aprendi-zajes esperados de la unidad, complementados con cápsulas de repaso de los contenidos tratados en cada lección.

7. Páginas AnexasEl texto también contiene evaluaciones de integra-ción de las unidades, un solucionario para monito-rear tu aprendizaje y una bibliografía adicional para que profundices o refuerces los contenidos del nivel.

5. Páginas de conexión y de síntesisDestinadas a conectar la matemática con su aplicación en otras áreas del conocimiento y sintetizar, a través de organizadores gráficos y actividades, los distintos apren-dizajes de la unidad. Aparecen complementadas con in-formación adicional acerca de temas de la actualidad y Tips para mejorar técnicas de estudio.

ESTRUCTURA DEL TEXTO

MATEMÁTICA 1.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE 8 MATEMÁTICA 1.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE 8

Estructura de la Guía didáctica del docente

Una Presentación de la Unidad, en la que se explicita:

• el Propósito de la misma brindando una mirada global del proceso que han seguido los estudiantes.

• los conocimientos Previos necesarios para ella.

• los Objetivos fundamentales determinados por el Marco curricular.

• los contenidos mínimos determinados por el Marco curricular.

• las actitudes que se pretende desarrollar.

La Guía Didáctica del Docente del texto Matemática 1.º Medio está organizada siguiendo las unidades del texto

y presenta los siguientes elementos:

Una Planificación que el docente podrá utilizar como referencia

para relacionar los aprendizajes esperados, el propósito de cada

lección, las habilidades y los indicadores de evaluación relacio-

nados. Se sugiere además un tiempo estimado para cada lección.

Sugerencias metodológicas

En cada unidad el docente podrá encontrar orientaciones para trabajar la página de inicio y sugerencias para cada indicador de la evaluación inicial. Dentro de las lecciones correspondientes, se presentan al do-cente:

• El título y Propósito de cada lección.

• Las palabras clave del contenido que se va a abordar.

• Los prerrequisitos específicos para la lección, que ya habrán sido trabajados en la evaluación inicial de la sección.

• Orientaciones didácticas que permiten complementar los contenidos presentados en el texto, por medio de sugerencias de actividades, cuidados específicos relacionados con actividades del texto, tips orientados a los estudiantes que puedan presentar mayores dificultades y, de manera general, todo lo que pueda apoyar la labor del docente estimulando el aprendizaje de los estudiantes.

• Algunos errores frecuentes específicos del contenido de la lección, con sugerencias para prevenirlos y corregirlos.

• actividades complementarias que apuntan a un mejor aprendizaje de los estudiantes con diversas necesidades, ya sea de mayor refuerzo o de profundización, incluyendo las soluciones de estas.

de la misma brindando una mirada global del proceso que han

específicos para la lección, que ya habrán sido trabajados en la evaluación inicial

MATEMÁTICA 1.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE 8

9UNIDAD 1 • NÚMEROS

3 41 2

9UNIDAD 1 • NÚMEROS

Al final de cada unidad podrá encontrar sugerencias para el trabajo con las páginas aplico mis aprendizajes y estudio mis posibles errores, orientaciones para la página conecto con …, estimulando el establecimiento de conexiones entre el contenido estudiado y la vida cotidiana; y Síntesis, para establecerla entre los conceptos tratados en cada lección, además de una tabla de especificaciones correspondiente a evalúo mis aprendizajes, que presenta al docente remediales sugeridos para los estudiantes que no alcancen el nivel de logro deseado.

información complementaria sobre algún aspecto interesante para el docente relativo a la Unidad.

Una evaluación fotocopiable con preguntas de alternativas y desarrollo, y su respectiva rúbrica..

Bibliografía específica y complementaria para el docente sobre los temas de la Unidad.

Cada dos Unidades podrá encontrar dos Mini ensayos PSU, adecuados a los contenidos específicos de las Unidades correspondientes.

Tres actividades complementarias fotocopiables para los estudiantes, con el fin de reforzar o profundizar un contenido relacionado con cada sección.

Para finalizar, encontrará un Índice temático de los contenidos trabajados en la guía, y Bibliografía de consulta general.

Un Banco de preguntas para el docente, organizadas por contenido.

, adecuados a los contenidos específicos

ESTRUCTURA DE LA GUÍA 9

Números racionalesun

idad

unid

ad111 unid

ad1 unid

ad Números racionalesy potencias

11UNIDAD 1 • NÚMEROS RACIONALES Y POTENCIAS

Objetivos fundamentales Contenidos mínimos Actitudes• Comprender que los números

racionales constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números enteros y caracterizarlos como aquellos que pueden expresarse como un cociente de dos números enteros con divisor distinto de cero.

• Representar números racionales en la recta numérica, utilizar la representación decimal y de fracción de un racional justificando la transformación de una en otra, aproximar números racionales, aplicar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números racionales en situaciones diversas y demostrar algunas de sus propiedades.

• Comprender el significado de potencias que tienen como base un número racional y exponente entero y utilizar sus propiedades.

• Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar el conjunto de los números enteros al conjunto de los números racionales y caracterización de éstos últimos.

• Representación de números racionales en la recta numérica, verificación de la cerradura de la adición, sustracción, multiplicación y división en los racionales y verificación de la propiedad: “entre dos números racionales siempre existe otro número racional”.

• Justificación de la transformación de números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos a fracción.

• Sistematización de procedimientos de cálculo escrito y con ayuda de herramientas tecnológicas de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números racionales y su aplicación en la resolución de problemas.

• Aproximación de racionales a través del redondeo y truncamiento, y reconocimiento de las limitaciones de la calculadora para aproximar decimales.

• Extensión de las propiedades de potencias al caso de base racional y exponente entero y aplicación de ellas en diferentes contextos.

• Resolución de problemas en contextos diversos que involucran números racionales o potencias de base racional y exponente entero, enfatizando el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en diversos contextos.

Conocimientos previos• Caracterización de los

números enteros.

• Relaciones de orden en números enteros.

• Operatoria de números enteros.

• Potencias de base entera y exponente natural.

• Propiedades de las potencias de base natural, fraccionaria y decimal con exponente natural.

Tiempo destinado a la unidad

68 horas pedagógicas

PropósitoEsta unidad tiene por objetivo introducir los números racionales a partir de los aprendizajes logrados en años anteriores acerca de números enteros, fracciones y decimales positivos. Se espera que los alumnos comprendan sus características y propiedades, y sean capaces de ordenarlos, representarlos en la recta numérica, transformar de fracciones a números decimales y viceversa, justi� cando la transformación realizada, y operar con ellos. En esta unidad también se introducen las potencias de base racional y exponente entero, con el objeto que los alumnos comprendan sus propiedades y las apliquen en la resolución de problemas.

MATEMÁTICA 1.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE12

AE1Distinguir problemas que no admiten solución en los números enteros y que pueden ser resueltos en los números racionales.

Leccion 1 (2h) Propósito lección Habilidades Indicadores de evaluación

¿Qué problemas no tienen solución en los números enteros, pero sí en los nú-meros racionales?

Ampliar el ámbito nu-mérico que conocen los estudiantes y así resolver problemas que no tienen solución en los números enteros, pero sí en los nú-meros racionales.

• Reconocer si un problema puede tener solución en los números enteros.

• Identificar los números racionales como un cociente de dos números enteros, con denominador distinto de cero.

Indican si la solución de una ecua-ción de primer grado pertenece o no al conjunto de números enteros.

Reconocen cuando un problema contextualizado puede o no tener soluciones en el conjunto de los números enteros.

Establecen condiciones para que al dividir dos números enteros, el cociente sea un número entero, y condiciones para que sea un nú-mero decimal positivo o negativo.

Dan ejemplos de la vida cotidiana en los que la información numérica corresponde a números racionales negativos.

Identi� can los números raciona-les como aquellos que pueden expresarse como un cociente de dos números enteros, con denomi-nador distinto de cero.

AE2Justi� car matemáticamente que los decimales periódicos y semiperiódicos son números racionales.


Los números decimales periódicos y semiperiódicos, ¿son números racionales?

Reconocer los números decimales in� nitos periódi-cos y semiperiódicos como números racionales y expre-sarlos como fracción.

• Aplicar los procedimientos para transformar números de notación decimal a fracción y viceversa.

• Justificar los procedimientos anteriores.

Citan características del conjunto de los números racionales.

Justi� can los pasos de un procedi-miento para expresar como cocien-te de enteros un número decimal periódico o semiperiódico.

Conjeturan acerca de la existencia de números que, expresados como decimales, no tengan periodo.

Conjeturan acerca de la existencia de números que no pueden ser expresados como cociente de enteros.

Plani� cación

AE3Establecer relaciones de orden entre números racionales.


¿Cómo comparar números racionales?

Establecer relaciones de orden y resolver problemas que involucren comparar y ordenar números racionales.

• Conjeturar acerca de las propiedades de los números racionales.

Formulan estrategias para comparar números decimales semiperiódicos.

Comparan números periódicos.

Ordenan números racionales de manera creciente.

UNIDAD 1 • NÚMEROS RACIONALES Y POTENCIAS 13

1 432

AE4Representar números racionales en la recta numérica.


¿Cómo representar núme-ros racionales en la recta numérica?

Representar en la recta nu-mérica, números racionales y comprender la noción de intervalo que hay detrás de este proceso para poste-riormente utilizarlo en otros contenidos.


Formulan estrategias para ubicar en la recta numérica números decimales periódicos.

Ubican en la recta numérica nú-meros racionales de acuerdo con restricciones dadas. Por ejemplo, ubican 5 números que se encuen-tren entre 0,01 y 0,02 de manera que la cifra de las milésimas sea un número par.

AE5Utilizar la calculadora para realizar cálculos, reconociendo sus limitaciones.

AE6

Veri� car la densidad de los números racionales.AE7

Veri� car la cerradura de las operaciones en los números racionales.Leccion 5 (6h) Propósito lección Habilidades Indicadores de evaluación

¿Cómo resolver operaciones con números racionales?

Calcular en forma escrita y utilizando la calculadora, operaciones con núme-ros racionales. Utilizar la aproximación de manera pertinente y cuando sea necesario. Trabajar con cifras signi� cativas y analizar las limitaciones que tiene la calculadora al trabajar con estos números.

Veri� car que entre dos números racionales existen in� nitos números racionales, es decir, la propiedad de la densidad en el conjunto de los números racionales.

• Resolver situaciones en las que es necesario operar con números racionales.


Sistematizan procedimientos de cálculo escrito las cuatro operacio-nes con números racionales con ayuda de la calculadora.

Aproximan los resultados obtenidos, mediante redondeo y truncamiento.

Reconocen las limitaciones de la cal-culadora para aproximar decimales.

Proponen algoritmos que permiten intercalar números entre dos núme-ros racionales dados. Por ejemplo, el promedio de los números dados.

Emplean el valor posicional para mostrar que, por ejemplo, entre 0,1 y 0,2 se encuentran: 0,11, 0,12,…

Leccion 6 (2h)

¿Qué es la propiedad de clausura?

Leccion 7 (2h)

¿Por qué los números racionales son densos?

Leccion 8 (4h)

¿Cómo aproximar números racionales?

Leccion 9 (4h)

¿Cuáles son las limitaciones de la calculadora al realizar cálculos con números racionales?


AE8

Comprender el signi� cado de las potencias de base racional y exponente entero.


¿Qué es una potencia de base racional y exponente entero?

Identi� car situaciones que pueden ser representadas por medio de potencias de base racional y exponente entero. Conjeturar y veri� car acerca de sus propiedades.

• Representar situaciones utilizando las potencias de base racional y exponente entero.

Identi� can situaciones que pueden ser representadas por medio de potencias de base racional y expo-nente entero.

Realizan operaciones de multipli-cación y división de potencias de base racional y exponente entero, utilizando sus propiedades.

Resuelven problemas utilizando potencias de base racional y expo-nente entero.

Leccion 11 (6h)

¿Qué propiedades se pueden utilizar para operar con potencias?

AE9

Resolver problemas en contextos diversos que involucran números racionales o potencias de base racional y expo-nente entero.


¿Cómo resolver problemas que involucran operaciones combinadas con números racionales y potencias?

Resolver problemas que involucren otras áreas del conocimiento utilizando operaciones combinadas de números racionales y potencias.

• Resolver situaciones en las que es necesario operar con números racionales.

• Representar situaciones utilizando las potencias de base racional y exponente entero.

Explican los procedimientos em-pleados para resolver problemas que involucran números racionales.

Evalúan las soluciones de proble-mas con números racionales en función del contexto.

Aplican propiedades de las po-tencias de base racional y expo-nente entero en la resolución de problemas.

Emplean más de una estrategia para resolver problemas referidos a potencias de base racional y expo-nente entero.

Plani� cación


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Inicio de unidad Págs. 6 y 7

PropósitoEl propósito de estas páginas es introducir los conteni-dos que se verán en la unidad a través de una imagen que muestra un entierro colectivo de una familia per-teneciente a la cultura Chinchorro, muestra que fue realizada en el centro cultural del Palacio la Moneda. Esta fotografía es el inicio para comentar la idea central: el Carbono 14, ya que su vida media tiene un patrón de decrecimiento exponencial, es decir, relaciona números racionales con potencias.

Prerequisitos § Operaciones con enteros, fracciones y decimales po-sitivos. Decrecimiento exponencial.

Orientaciones didácticasPregunte a los estudiantes si han escuchado hablar del Carbono 14. Si no es así, explique que es un método para datar fósiles. Pídales que en parejas lean la sección «Ideas previas» y respondan las preguntas. Complemente el tra-bajo con las siguientes preguntas:

• ¿Qué relación piensas que existe entre el carbono 14 y los números racionales y las potencias?

• ¿Qué otro tipo de fósiles han sido datados con la prueba del Carbono 14? Investiga, por ejemplo en la página http://www.actionbioscience.org/esp/evolucion/benton.html

Repaso mis conocimientos Págs. 8 y 9

PropósitoEsta instancia tiene como objetivo hacer un diagnóstico del dominio que poseen los estudiantes con respecto a los prerrequisitos necesarios para trabajar la unidad.

Orientaciones didácticasPida a sus estudiantes que realicen la evaluación en el cuaderno registrando su desarrollo. Indique que pueden consultar en los laterales el repaso de los conceptos que necesitan para enfrentar los ejercicios. Luego pueden intercambiar sus respuestas con su compañero de ban-co y revisarlas utilizando el solucionario que está al final del texto.

Actividades complementariasRepaso

1. Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes.

a) 24y36

b) 49y818

2. Simplifica cada fracción.

a) 832

b) 81243

c) 50150

d) 180300

3. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.

a) 36,34y56

b) 517

,511

y513


Tabla de especifi caciones repaso mis conocimientos

Indicadores de evaluaciónPreguntas asociadas

Remedial

Caracterizan números enteros. 1 Utilizar la recta numérica para recordar el concepto de valor absoluto.Ordenan y comparan números enteros. 2 y 3 Comparar números enteros presentes en contextos de la vida cotidiana.Representan números enteros.

4Representar números enteros en rectas numéricas a partir de intervalos y subdivisiones.

Operan con números enteros.5

Recordar la regla de los signos y que describan paso a paso la resolución de los ejercicios.

Calculan potencias de base entera y exponente natural.

6Expresar potencias como multiplicación iterada y viceversa.

Calculan potencias utilizando sus propiedades. 7 Identi� car las propiedades de las potencias y dar un ejemplo de cada una.Resuelven problemas que involucran números enteros y potencias.

8Revisar los pasos de la estrategia utilizada y comprobar los resultados utilizando una estrategia diferente.


Lección 1: ¿Qué problemas no tienen solución en los números enteros, pero sí en los números racionales? Págs. 10 y 11

PropósitoAmpliar el ámbito numérico para extender las aplicacio-nes y problemas que los estudiantes pueden resolver.

Palabras clave § Números racionales.

Prerrequisitos § Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita con coeficiente enteros. Transformación de números decimales a fracción.

Orientaciones didácticasInicio

Recuerde con sus estudiantes lo que sucedía con la sus-tracción cuando solo conocían los números naturales, reconociendo con ellos que a medida que aumenta la complejidad de los problemas, se desarrollan nuevas herramientas matemáticas y una de ellas es un nuevo conjunto numérico.

Desarrollo

Utilizando el esquema de la página 10, pida a sus es-tudiantes que ubiquen en cada conjunto ejemplos de números que pertenecen a él.

Haga hincapié en la relación de conjunto y subconjun-to. Para esto trabaje con algunos conceptos ejemplos geométricos, por ejemplo, un subconjunto de los rombos es el conjunto de los cuadrados, puesto que los cuadra-dos cumplen con todas las condiciones necesarias para ser rombos, pero no todos los rombos son cuadrados, de igual manera todo natural es entero pero no todo entero es natural.

Cierre

Para finalizar, utilice la cápsula «Reflexiono» de la página 11 del texto y comente con sus estudiantes la necesidad de ampliar el ámbito numérico para resolver problemas ya sea matemáticos o reales, como es el caso de los números racionales.

A continuación se presentan actividades complementarias de refuerzo para aquellos alumnos menos aventajados, y de profundización para aquellos más aventajados.

Actividades complementariasRefuerzo

1. Indica todos los conjuntos a los que pertenece cada número dado.

Número

Otro3

–57

74

–126

2. Ubica los números: 7; –8; 3,85; –3,21; –23

; 3,2 ∙

102, en el menor conjunto al que pertenecen.

Profundización

3. Para cada ecuación presentada en el taller de la página 10 del texto inventa un problema.

4. Considerando los números c = 35 001; d = 2 • 10–³ y e = 2,345678 encierra en un círculo las afirmacio-nes correctas.

a) c ∈

b) d ∈

c) d – e ∈

d) e ∈

e) c + d ∈

f) c • d ∈

Respuestas

1. Número

Otro3 x x x

–5 x x

7 x74

x–12

6x x

2. : 7; 85; 3,2 • 102; : –8; 3,85; –3,21; –233. Pregunta abierta.

4. c ∈; d – e ∈.

El recurso que aparece a continuación les permitirá a sus estu-diantes clasificar los diferentes tipos de números que conocen hasta el momento: http://www.genmagic.net/mates5/numeros_reales/gmat411c.html

Link de interés



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Lección 2: Los números decimales periódicos y semiperiódicos, ¿son números racionales? Págs. 12 a 15

PropósitoEn esta lección se justifican los procedimientos para convertir decimales periódicos y semiperiódicos en fracción.

Palabras clave § Decimales periódicos y semiperiódicos § Número irracional

Prerrequisitos § Transformación de un número decimal finito a frac-ción.

§ Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Operaciones con ecuaciones.


Antes de comenzar con la transformación de decima-les a fracciones realice el proceso inverso, por ejemplo, convirtiendo las fracciones 1

6 o 3

7 a sus expresiones de-

cimales, de esta forma, al obtener decimales periódicos partiendo de una fracción, cobrará sentido estudiar el proceso inverso.

Desarrollo

Algunos estudiantes se sienten cómodos memorizan-do el método de transformación, contando el número de 9 o 0 que deben colocar, mientras que otros acep-tan reproducir el algoritmo completo. Para ayudar a estos estudiantes haga hincapié en la lógica detrás de la amplificación de los decimales. Estudie la conversión de, por ejemplo, x = 0,573573573…, preguntando ¿qué sucede si multiplican por diferentes potencias de 10? Para comprender la justificación de la transformación, recuerde a los estudiantes que las ecuaciones pueden sumarse o restarse. También que a ambos miembros de una ecuación se puede restar o sumar el mismo número o expresión conservando la igualdad.

Cierre

Finalice la clase proponiendo la segunda pregunta que aparece en la cápsula «Reflexiono» al final de la lección. Invite a sus estudiantes a analizar la importancia que tiene justificar los procesos para la comprensión de los procedimientos y algoritmos en Matemáticas.

Preste atención a dos errores típicos que cometen los estu-diantes: el primero, confundir un decimal semiperiódicos con uno periódico y aplicar el método de conversión equi-vocado. El 2º, muy visto en este contenido, es no considerar las cifras enteras del decimal que se quiere convertir.

Errores frecuentes


1. Identifica con una P o una S si cada número decimal es respectivamente periódico o semiperiódico.

a) 4,357 b) 2,053 c) 0,18

2. Convierte cada fracción a decimal e indica si es finito, periódico o semiperiódico.

a) 37

b) 85

c) 1499

3. Convierte cada decimal a fracción.

a) 0,25

b) 0,6c) 0,23

d) 0,12

e) 0,12

f) 0,1235

Profundización

4. Se quiere transformar el decimal periódico –2,777… a su equivalencia fraccionaria. A pesar de ser negativo, ¿se puede emplear el mismo mé-todo? Justifica tu respuesta.

5. Se divide un número p por 3 y se obtiene un deci-mal finito. ¿Qué condición debe cumplir p?

Respuestas

1. a) P b) S c) P

2. a) P: 0,428571 b) F: 1,6 c) S: 0,14

3. a) 14

c) 730

e) 1190

b) 23

d) 325

f ) 12239900

4. Sí porque el número dado es igual a (–1) •2,7, por lo tanto, el decimal periódico puede conver-tirse a fracción y luego se puede multiplicar por menos uno.

5. Debe ser un decimal múltiplo de 3.


Lección 3: ¿Cómo comparar números racionales? Págs. 16 a 19

PropósitoEstablecer relaciones de orden entre elementos del conjunto de los números racionales.

Palabras clave § Orden, mayor, menor e igual y las combinaciones: mayor o igual y menor o igual

§ Creciente, decreciente

Prerrequisitos § Relación de orden en el conjunto de los naturales y enteros.


En esta lección es importante que los estudiantes comprendan que no hay conocimientos nuevos, solo generalizarán los estudiados anteriormente.

Desarrollo

Los estudiantes deben comprender que al ampliar el ámbito numérico a los números racionales no cambian las reglas ya vistas, tanto al tratarse de comparar y orde-nar, como en este caso, o con las operaciones definidas en los antiguos ámbitos numéricos.

En la página 17 se muestran tres métodos de comparar fracciones, respecto al tercero que considera multiplicar cruzado los términos de las fracciones, es conveniente mostrar a los estudiantes que este método es igual al segundo método solo que no se escriben los denomina-dores, ya que es necesario comparar los numeradores de las fracciones cuando tienen igual denominador.

Cuando se comparan fracciones y decimales, ambos se pueden convertir a fracciones o ambos a decimales. Cada estudiante debe elegir aquella expresión con que se sienta más seguro para trabajar.

Cierre

Utilice las preguntas de la sección «Reflexiono», comente la importancia de que existan distintas estrategias para resolver los problemas presentados en Matemáticas y el hecho de que los estudiantes deben aprender a manejar estas estrategias y crear las propias, lo que implica una profunda interiorización de los conocimientos.

A menudo los estudiantes, cuando comparan decimales, pasan por alto el signo de los números. Por lo tanto, es reco-mendable que antes de comparar u ordenar los estudiantes determinen si están comparando cantidades negativas, positivas o combinadas.

Para diagnosticar este tipo de error resuelva con los estu-diantes los ejercicios 5. b) y e) de la página 18 del texto.

Errores frecuentes


1. Ordena de menor a mayor los números dados.

a) 2,34 b) 138

c) –5,6

2. Para cada número, escribe uno mayor y uno menor.

a) –0,17 b) –37

c) 2,02

3. Patricia corrió 100 metros en 2,27 minutos. Si se sabe que Alicia ganó la carrera, ¿cuánto podría haberse demorado en correr los 100 metros?

Profundización

4. Se tiene el número racional p163n–1

= .

a) Determina dos valores de n, de manera que p sea un número natural.

b) Determina un valor de n de tal manera que p sea el mayor entero negativo.

Respuestas

1. c), b) y a)

2. Respuestas variadas, un ejemplo es:

a) –1,8 y 0 b) –0,5 y –0,4 c) 2 y 2,1

3. Se demoró 2 minutos.

4. a) 3 y 53

b) –5

Algunos datos interesantes sobre la evolución de los con-juntos numéricos: http://goo.gl/vaifA

http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica1/orden_en_los_nmeros_racionales.html

Link de interés



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Lección 4: ¿Cómo representar números racionales en la recta numérica? Págs. 20 a 23

PropósitoRepresentar los elementos de en la recta numérica.

Palabras clave § Recta numérica

Prerrequisitos § Representación de números enteros, decimales y fracciones positivas en la recta numérica.

§ Comparación y orden de números racionales.


Cuando los estudiantes ubicaron números enteros en la recta numérica, probablemente el razonamiento fue ubicar un número positivo y luego ubicar su opuesto a igual distancia del 0. Siguiendo la misma lógica se les puede preguntar si, ubicando el número 3,5 saben dón-de colocar el racional –3,5.

Desarrollo

Muestre los contenidos de esta lección como una forma de completar lo que los estudiantes ya conocen.

Comente que el objetivo final es asociar cada punto de la recta numérica con un número y viceversa. Además, aproveche que ellos ya conocen algunos irracionales como π o 2 y explique que con la unión de los racio-nales y de los irracionales se completa la recta numérica y que luego, en 3° medio, completarán los puntos del plano con los números complejos.

Cuando se ubican varios racionales, algunos representa-dos como fracción y otros como decimal, los estudiantes deben darse un momento para pensar cuál de las dos representaciones le resulta más fácil de trabajar, y con-vertirlos luego a esa representación. Discuta este punto con la sección «Razona» de la página 21.

Cierre

Finalice la lección, trabajando en conjunto con sus es-tudiantes las secciones que se encuentran al final de la página 23.

Los errores más comunes y que debe monitorear son, por una parte, no dividir la recta numérica en intervalos de igual medida, y por otra ignorar los signos de los números y trabajar con racionales negativos como si fueran positivos. Para evitar estos errores trabaje la sección «Razona» de la página 20 del texto.

Errores frecuentes


1. Si se coloca cada trío de números en una recta numérica, ¿cuál de ellos se ubicaría a la izquierda de los otros?

a) 2,36; 2,36; 2,36

b) –1,8;–1,8;–1,78

c) 3,23 ; 3,23 ; 3,23

d) –5,12 ; –5,12 ; -5,12

2. Al ubicar los números racionales –35

y 1,18 , ¿estos

deben escribirse como fracción o decimal? Justifi-ca tu respuesta.

3. Ubica un número decimal periódico y uno semi-periódico en la recta numérica dada.

2,6 3

Profundización

4. Los racionales a y b se multiplican y su producto M se ubica en la recta numérica como muestra la figura. ¿Qué puedes decir de estos valores?

–1 0M

1

Respuestas

1. a) 2,36

b) –1,8c) 3,23

d) –5,12

2. Como fracciones si se los quiere ubicar con exactitud.

3. Pregunta abierta, pueden ser: 2,7;2,84

4. Uno de ellos es positivo y otro es negativo, am-bos se ubican en el intervalo (–1, 1).

En este link se encuentra un Power Point que puede ser de utilidad al momento de preparar una clase. http://goo.gl/R26Dt .

Link de interés


Integro mis aprendizajes Págs. 24 y 25

PropósitoHasta el momento los estudiantes han recorrido la terce-ra parte de la unidad de números racionales, por lo tanto, es conveniente que realicen una evaluación, integrando los contenidos vistos hasta el momento.

Tabla de especifi caciones integro mis aprendizajes


Remedial

Reconocen problemas que tienen solución en .

1 Resolver ecuaciones con soluciones racionales y asociarlas a un problema.

Identi� can los elementos de los conjuntos numéricos.

2 y 3 Representar en un diagrama los conjuntos , y y ubicar elementos en ellos.

Transforman decimales a fracción. 4, 5, 6 y 7 Verbalizar los métodos de transformación de decimales a fracciones sean estos � nitos, periódicos o semiperiódicos.

Ubican números racionales en la recta numérica.

8, 10 y 12 Representar rectas numéricas, dados intervalos y subdivisiones.

Ordenan y comparan números racionales. 9 y 11 Asociar cantidades expresadas, utilizando números racionales como distancias y masas, y responder preguntas de comparación.

Orientaciones didácticasAntes de realizar la evaluación integradora pida a sus estudiantes que repasen, haciendo un resumen de los contenidos vistos, para ello completando el esquema y respondiendo luego las preguntas que se presentan.

1. Explica a un compañero cómo convertir decimales periódicos y semiperiódicos a fracción.

2. Para comparar dos números racionales, ¿qué características debes tomar en cuenta?

3. ¿Qué características debe tener una recta numérica correctamente construida?

4. Describe los pasos a seguir para ubicar varias fracciones en la misma recta numérica.

Números racionales

Decimales y fracciones

Finitos

Está compuesto por

Los decimales pueden ser



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Lección 5: ¿Cómo resolver operaciones con números racionales? Págs. 26 a 31

PropósitoGeneralizar las operaciones básicas aplicadas a los nú-meros racionales.

Palabras clave § Operaciones con números racionales.

Prerrequisitos § Operaciones básicas en los números naturales, ente-ros, decimales y fracciones positivas.


El primer problema que se resuelve en esta lección pre-senta una situación fácilmente comprensible en la cual se induce naturalmente a la operatoria en los racionales; es conveniente que los estudiantes tengan la posibilidad de utilizar los conocimientos sobre operatoria antes de y los apliquen en esta situación.

Desarrollo

Nuevamente en esta lección permita que los estudiantes apliquen sentido común o intuición respecto a las reglas de la operatoria en los racionales, ya que al construir la matemática, como es el caso de ampliar los ámbitos nu-méricos, no se puede contradecir a los conocimientos y reglas anteriores.

Independientemente de que se trabaje en este nue-vo ámbito numérico, es importante que los estudiantes desarrollen el sentido de número, tomando decisiones de como operar con decimales o fracciones según sea conveniente en cada caso, simplificar antes de multiplicar fracciones, determinar el orden de magnitud de un resul-tado cuando se opera con decimales, entre otras.

En la página 27 se presenta un problema que se desarro-lla operando fracciones primero y luego como decimales. Aproveche esta instancia para que los estudiantes discutan las ventajas y desventajas de cada método y la convenien-cia de trabajar con el que se sientan más seguros.

Cierre

Al finalizar retome el concepto de inverso multiplicativo, utilizando las cápsulas que se encuentran al final de la página 31.

Un error común ocurre al determinar el signo del resulta-do, en el caso de la adición y sustracción, presente a los estudiantes desafíos en los que deban determinar el signo del resultado comparando los términos del ejercicio antes de efectuarlo.

En el caso de multiplicaciones y divisiones acostumbre a los estudiantes a que antes de efectuar las operaciones, declaren qué signo tendrá el resultado.

Otro error común se produce al multiplicar o dividir deci-males, sobre todo cuando alguno de los términos contiene ceros, que los estudiantes tienden a ignorar. Realice proce-dimientos paralelos con decimales y fracciones. El ejercicio 14 de la página 31 es una buena instancia para repasar la prioridad de las operaciones y evitar este tipo de errores.

Errores frecuentes


1. Coloca paréntesis en la operación que debe realizarse en primer lugar.

–2,84 3,2 •25–6,48+

2. Si tuvieras que realizar el ejercicio anterior, ¿lo resolverías empleando decimales o fracciones? Justifica.

3. Resuelve el ejercicio 1, expresándolo como fracción y como decimal.

Profundización

4. Simplifica la siguiente expresión:

( ) ÷–2,3k –5k 3–2,08 3

Respuestas

1. –2,84 3,2 •25

–6,48+

2. Fracciones, porque involucra un decimal periódico.

3. –8,031;–1807225

4. –617k270

Un resumen de las operaciones con números racionales y sus propiedades se encuentra en http://goo.gl/gaMkJ.

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Lección 6: ¿Qué es la propiedad de Clausura? Págs. 32 y 33

PropósitoConocer una de las propiedades que poseen las opera-ciones en el conjunto de los números racionales.

Palabras clave § Clausura

Prerrequisitos § Operaciones básicas en el conjunto de los racionales. § Propiedades de las operaciones en los distintos con-juntos numéricos.


Realice una breve reseña de las propiedades estudiadas en años anteriores en los cojuntos numéricos correspon-dientes.

Desarrollo

Destaque que esta propiedad está asociada a una opera-ción definida en y no solo al conjunto numérico.

Esta es una buena ocasión para discutir con los estu-diantes la lógica de los ejemplos y contraejemplos en Matemática. Para demostrar que una propiedad no se cumple, basta con un solo contraejemplo, es decir, la sustracción en no es conmutativa, ya que 3 – 2 ≠ 2 – 3. Pero no se puede decir que se demuestra una propiedad dando un caso particular, por ejemplo que la división en es conmutativa porque 2 ÷ 2 = 2 ÷ 2.

Cierre

Como término de la lección reflexione con sus estudian-tes utilizando la cápsula que aparece al final de la página 33. Refuerce que la adición en los números naturales es cerrada, pero no la sustracción, y, a su vez, que la sustrac-ción en los números enteros es cerrada, no así la división.

El error que normalmente cometen los alumnos es asignar las propiedades al conjunto y no a la operación en el con-junto dado. No es propiamente un error, pero son pocos los estudiantes que comprenden la importancia de las propie-dades y lo que ellas permiten realizar.

Errores frecuentes


1. En el ejercicio 6 de la página 32 se define la operación ♥, ¿para qué conjunto la operación es cerrada?

2. Marca en la tabla las propiedades que se cumplen con cada operación y conjunto.

Propiedad, + , ∙ , ÷

ClausuraConmutatividad

AsociatividadElemento neutro

3. Si se agregan otras operaciones en los racionales, como potencias y raíz cuadrada, ¿cumplen con la clausura?

4. Se define la operación a ♠ b = ab

ba

+ . ¿Es cerrada esta operación en ?

Profundización

5. Lee el problema 8 de la página 33 del texto, ¿qué condición deben cumplir los números para que Claudia tenga razón?

Respuestas

1. En .2. Propiedades

, + , ∙ , ÷

Clausura x x xConmutatividad x x

Asociatividad x xElemento neutro x x x

3. Solo las potencias.

4. No, porque si b = 0, la operación queda indefinida.

5. El dividendo debe ser múltiplo del divisor.

Un resumen de las propiedades de las operaciones en se encuentra en http://numerosracionales.com/

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Lección 7: ¿Por qué los números racionales son densos? Págs. 34 y 35

PropósitoConocer algunas propiedades de los números raciona-les, en este caso la densidad.

Palabras clave § Densidad de un conjunto numérico

Prerrequisitos § Operaciones en los números racionales. § Promedio.


Recuerde que se han estudiado algunas propiedades de las operaciones realizadas en diferentes conjuntos numéricos, de igual forma, los conjuntos en sí cumplen propiedades como la que se verá en esta lección.

Desarrollo

En el currículo actual no se considera el estudio de las estructuras algebraicas, por lo tanto, es difícil explicar a los estudiantes la importancia de esta propiedad.

Un problema interesante que puede analizarse es el cálculo del área de un cuadrado de lado 1 metro, con el siguiente método: ir sumando el área de la mitad del cuadrado, luego la mitad de lo que queda y así sucesiva-mente, como muestra la figura.

En un lado del cuadrado se pueden encontrar infinitos números racionales que representan la mitad de la me-dida anterior.

Para los alumnos más aventajados resulta interesante discutir que la serie geométrica infinita

12

14

1…+ + = .

Cierre

Como cierre de la lección trabaje en conjunto con sus estudiantes la pregunta 7 de la página 35, para luego en plenario analizar las preguntas que aparecen en la cáp-sula «Reflexiono».

Cuando se ve la densidad en la recta numérica los estudian-tes tienden a pensar que si entre dos decimales se pueden ubicar infinitos decimales, entonces toda la recta numérica puede ser ocupada solo por racionales. Presente la situación de que entre 1,4 y 1,5 se pueden ubicar infinitos decimales que pertenecen a los racionales, pero que también se ubica el número 2 que no puede ser expresado por un racional.

Un error común es que al calcular el promedio entre dos números negativos, en lugar de sumar se reste, por eso es importante que los estudiantes ubiquen los números en la recta numérica, de esa forma verán el error y podrán rectificar.

Errores frecuentes


1. Calcula el promedio entre –2,5 y 3,4.

2. Se tienen los números, 8,5 y –8,6, sin realizar cálcu-los, ¿el promedio es positivo o negativo? Justifica.

3. Escribe tres decimales ubicados entre los números –2,7 y –2,8.

4. Se sabe que el promedio entre dos números es 0. ¿Qué características deben tener esos números?

Profundización

5. Sea 12n

con ∈. ¿Para qué valor de n se obtiene el

máximo valor de la expresión?

Respuestas

1. 0,45.

2. Negativa, porque 8,5 > –8,6

3. Pueden ser –2,75; 2,79 y –2,79

4. Deben ser opuestos.

5. n = 0

En este link se puede encontrar más información sobre la densidad: http://goo.gl/ujF7w .

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Lección 8: ¿Cómo aproximar números racionales? Págs. 36 a 39

PropósitoEn esta lección se trabajará con la aproximación de nú-meros racionales.

Palabras clave § Aproximación de números racionales

Prerrequisitos § Valor posicional. § Aproximación de números naturales.


La necesidad de redondear no depende solamente de la necesidad de operar con números racionales, sino también de necesidades reales, por ejemplo, el períme-tro de un cuadrado mide 177,9 cm, el lado entonces, mide 44,475 cm. Si se quiere construir el cuadrado con listones de madera, ¿se puede medir hasta la milésima de milímetro?

Desarrollo

Las dos ideas centrales de esta lección son los dos mé-todos de aproximar que se presentan: truncamiento y redondeo, y la información que se debe entregar al aproximar; el valor al que se aproximó o la cantidad de cifras significativas.

Una tercera idea que es importante discutir es la del error que se comete al utilizar cualquier método de aproxima-ción. En la página 36 del texto se muestra la fórmula del error absoluto, también se podría hablar del error relati-vo o porcentual, cuya fórmula es:

error absolutovalor exacto

•100%

Los estudiantes no tienen el hábito de Reflexionor sobre cómo entregar sus resultados cuando resuelven proble-mas, por eso es necesario prestar especial atención en este punto cuando se vean los contenidos respecto a cifras significativas en la página 37 del texto.

Cierre

Retome el concepto de cifra significativa contestando en conjunto con sus estudiantes la tercera pregunta de la sección «Reflexiono» de la página 39 del texto, analice su utilidad en el trabajo práctico con medidas.

Un error común que cometen los estudiantes es ignorar los ceros, por ejemplo, al redondear 1,7069 a dos dígitos decimales no cuentan el 0 como uno de ellos. Realice algún ejercicio utilizando una tabla de valor posicional.

Otro error frecuente es redondear todos los dígitos, por ejemplo, 1,347 a un dígito decimal: primero redondean a 1,35 y luego a 1,4. Sugerir tachar los dígitos que no se utilizarán.

El tercer tipo de error es cambiar el orden de magnitud del número, por ejemplo 354 a la centena más cercana, su respuesta sería 4 y no 400.

Errores frecuentes


1. Redondea al dígito decimal subrayado.

a) 3,845

b) 14,38

c) 1,456

d) 25,37

e) 324,7

f) 12, 45

2. Aproxima los siguientes números a tres cifras significativas.

a) 3542

b) 8,2768

c) 3,4507

d) 4,6

e) 12,34

f) 57,75

Profundización

3. Las dimensiones de un prisma recto son: 8,2 cm, 3,1 cm y 1,8 cm.

a) Calcula el volumen del prisma.

b) Aproxima el resultado a 3 c. s.

c) Calcula el error porcentual cometido al redon-dear a 3 c. s.

Respuestas

1. a) 3,85 c) 1,46 e) 324,8

b) 14 d) 25,4 f) 12,5

2. a) 3540 c) 3,45 e) 12,3

b) 8,28 d) 4,67 f) 57,8

3. a) 45,756 cm³ b) 45,8 cm³ c) 0,0952%

En este artículo se presenta un resumen los contenidos de esta lección. http://es.slideshare.net/profesoralexanders/aproximacin-de-nmeros-decimales

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Lección 9: ¿Cuáles son las limitaciones de la calculadora al realizar cálculos con números racionales? Págs. 40 a 43

PropósitoUtilizar la calculadora en forma correcta y eficiente.

Palabras clave § Calculadora y aproximar

Prerrequisitos § Aproximación de números racionales. § Prioridad de las operaciones.


Proponga a los estudiantes listar las herramientas que apo-yan su trabajo en Matemáticas y que describan su uso.

Desarrollo

Es conveniente que cada estudiante tenga su calculado-ra, en caso contrario, si se cuenta con algunas para el uso del curso, es conveniente que todas sean del mis-mo tipo. Muchas veces los estudiantes piden prestada una calculadora para una evaluación desconociendo sus funciones y por lo tanto, cometen errores o no pueden aprovecharla como corresponde.

Para conocer la calculadora lo primero es realizar un ejercicio muy sencillo, calcular por ejemplo 1 ÷ 6, si el resultado termina en 6 entonces la calculadora trunca, si termina en 7, entonces está redondeando.

Muchas calculadoras científicas tienen una función que define la cantidad de dígitos decimales con la que se quiera operar.

Indique a sus estudiantes que en aquellos ejercicios que tengan más de un paso, se debe trabajar algebraica-mente y realizar todos los cálculos de una sola vez en la calculadora, como por ejemplo resolver la ecuación 2,3x + 7,5 = 3,85 ÷ 1,4. Se espera que los estudiantes despejen la incógnita y luego hagan los cálculos corres-pondientes en la calculadora:

x3,85 1,4 –7,5

2,3–2,07

( )=÷

= (Tres c. s.)

De esta manera se evita el error de las aproximaciones prematuras.

En el ejemplo mostrado anteriormente queda claro que una de las funciones que los estudiantes deben saber utilizar es la de paréntesis. La mayoría de las calculadoras científicas trabajan con la misma lógica de la prioridad de las operaciones que los alumnos conocen y, utilizan-do el mismo ejemplo se puede mostrar a los estudiantes la importancia de los paréntesis, ya que si no se utilizan la calculadora llegará a:

3,85 ÷ 1,4 – 7,5 ÷ 2.3 = –0,511 (Tres c. s.)

Otra de las funciones de las calculadoras científicas que raramente los alumnos utilizan es la de memoria. Es muy útil cuando se quiere realizar operaciones repetitivas uti-lizando el resultado de otro cálculo, por ejemplo en el siguiente problema:

El precio de un dólar es 458 pesos chilenos y 4530 gua-ranís paraguayos.

a) ¿Cuál es el precio de 1 peso chileno en guaranís?

b) El precio de la locomoción colectiva en Asunción es 2000 guaranís, ¿a cuántos pesos chilenos corresponde este valor?

La respuesta de a) es 9,890829694, ese número se debe utilizar sin redondear para obtener la respuesta de b), en este caso 202,2075055 pesos chilenos.

La primera respuesta puede ser guardada en la memo-ria, y luego utilizarla como divisor en la segunda parte.

También los estudiantes deberían explorar la función que se refiere a trabajar con potencias, en este caso es importante que identifiquen claramente en qué orden se introducen los términos. Algunas calculadoras usan la notación “xy”, otras simplemente “^”.

En todas las calculadoras científicas también se puede trabajar con notación científica, nuevamente los estu-diantes deben explorar en la propia calculadora, pero generalmente la tecla “E” indica exponente, es decir, “E3” se considera como 10³.

Finalmente, la función que los estudiantes podrán usar frecuentemente es la de fracciones, que se muestra en las actividades del texto en la página 42.

Volviendo a la propuesta entregada en el inicio, los es-tudiantes deben tener claro que la calculadora es una herramienta de gran utilidad, pero no remplaza los co-nocimientos matemáticos que determinan qué pedirle y cómo pedírselo.


Sugerencias metodológicasCierre

Comente en plenario las preguntas que aparecen en la sección «Reflexiono» de la página 43, para dar término a esta lección. Pida a sus estudiantes que concluyan acer-ca del rol de la calculadora y la aproximación al resolver problemas reales.

Una frase común entre los estudiantes es “usé la calcula-dora, por lo tanto, tiene que estar bien”. Desarrolle en los estudiantes el hábito de comprobar sus resultados, aunque “hayan usado la calculadora”.

Los alumnos deben distinguir entre la nomenclatura utili-zada por las calculadoras y el lenguaje matemático, puesto que al trabajar con esta herramienta tienden a entregar sus respuestas con símbolos que no corresponden, como por ejemplo “2E5” en vez de “2 • 10⁵”.

Algunas calculadoras tienen la tecla “(–)” para el cambio de signo, en ese caso, es común confundir esa tecla con la de la operación de sustracción produciendo los errores correspondientes.

Como se planteó en las orientaciones metodológicas, una fuente de errores es no saber utilizar los paréntesis y no apli-car la prioridad de las operaciones.

Errores frecuentes


Resuelve los siguientes problemas.

1. El área de un rectángulo es 18,765 cm2 y su ancho mide 2,24 cm, ¿cuánto mide su largo?

2. Para resolver el siguiente problema puedes utilizar una sola vez la calculadora: escribe lo que debes digitar en ella y entrega la respuesta. El promedio de 5 notas es 3,78. Si se agrega una sexta nota: 6,36, ¿cuál será el nuevo promedio?

3. Alicia compró 3,5 kg de plátano, 35

kg de

frambuesas y 1,25 kg de manzanas. Esa

noche su familia consumió 13

de la fruta, ¿qué

cantidad de fruta consumieron?

4. Un frutero tiene 150 kg de naranjas. Vende 35

por

la mañana y 13

por la tarde.

a) ¿Cuánto ha vendido por la mañana?

b) ¿Cuánto por la tarde?

c) ¿Qué fracción de kilogramos de naranjas le que-da para el día siguiente?

5. Una empresa ha comprado una parcela rectan-gular en un polígono industrial. El edificio de la

empresa ocupa los 25

del largo por 14

del ancho, y

tiene 300 metros cuadrados de planta. ¿Cuántos metros tiene la parcela?

6. Dibuja un rectángulo cuadriculados de 3 x 4. Pinta

de amarillo los 23

del rectángulo. Luego pinta de

verde los 34

de la zona amarilla.

a) ¿Qué fracción del rectángulo representa la región verde?

b) ¿Es la misma que 23•34

?

Profundización

7. Utilizando la calculadora realiza el siguiente ejercicio: 3,28 • 10-7 • 1,21 • 103 ÷ 1,1 • 10-5

8. Resuelve la siguiente ecuación.

1,8 2,1x 8,3 7,8•2,4( )+ =

Respuestas

1. El largo mide 8,377232143 cm

2. (5 • 3,78 + 6,36) ÷ 6 = 4,21

3. Consumieron 1,783 kg de fruta.

4. a) Ha vendido por la mañana 90 kg de naranjas.

b) Ha vendido por la tarde 50 kg de naranjas.

c) La fracción de kilogramos de naranjas que le

quedan por vender 115

.

5. La parcela tiene 3000 m².

6. a) La región verde representa 612

12

= del rec- tángulo.

b) Sí es la misma ya que 23•34

612

12

= = .

7. 36,08

8. x = 1,070175439

Este artículo muestra un resumen del uso de la calculadora: http://goo.gl/KFetH

Si se buscan actividades entretenidas e interesantes para el uso de calculadora se puede visitar el siguiente link: http://goo.gl/Et9WX

Link de interés


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Aplico mis aprendizajes Págs. 46 y 47

PropósitoAplicar los contenidos vistos hasta el momento en la resolución de problemas.

Orientaciones didácticasLa situación óptima para los estudiantes es contar con un abanico de estrategias de resolución de problemas, que cada alumno debe elegir y desarrollar aquella que se adecue más a la situación o aquella con la que se sien-ta más seguro.

Conozca más sobre el papiro de Ahmes o Rhind consul-tando la página: http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/papiro_rhind.htm

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PropósitoProponer una instancia de evaluación para que los es-tudiantes determinen los contenidos en que muestren fortalezas y debilidades.

Orientaciones didácticasEsta segunda evaluación integradora, tiene por defecto evitar que los estudiantes acumulen vacíos en los conte-nidos vistos.

Los contenidos de las últimas lecciones se pueden graficar en el siguiente esquema. Entréguelo a sus estudiantes para que realicen un pequeño resumen de los conteni-dos, y también la tabla de especificaciones.

Números racionales

Aproximaciones

Densidad

Operaciones

Clausura


Indicadores de evaluación Preguntas asociadas

Remedial

Calculan operaciones en . 1 Utilizar la recta numérica y la calculadora para realizar las operaciones.

Aproximan resultados en . 2 y 3 Asociar las aproximaciones a contextos con magnitudes.

Resuelven problemas que involucran operatoria en . 4 Revisar si los problemas se deben a la operatoria o la estrategia elegida.

Comprenden la propiedad de clausura. 5 Revisar las propiedades de las operaciones vistas anteriormente.Comprenden el concepto de densidad. 6 a 10 Revisar la operatoria del cálculo del promedio.


Lección 10: ¿Qué es una potencia de base racional y exponente entero? Págs. 48 a 51

PropósitoComprender que las potencias de exponente entero y base en se utilizan para representar diversas situa-ciones.

Palabras clave § Exponente, base, potencia.

Prerrequisitos § Potencias de base entera y exponente natural.


Se puede presentar una aplicación de potencias en para comenzar a discutir el tema, por ejemplo puede ser la siguiente: Un club deportivo tiene que diseñar un nue-vo uniforme, puede elegir entre 3 colores para la polera, 3 colores para el pantalón y 3 colores para los calcetines. ¿Cuántos uniformes se pueden diseñar?

Desarrollo

Como se ha dicho, este contenido no es nuevo, es solo la ampliación de lo que los estudiantes ya saben sobre potencias.

En la página 49 del texto, en la sección «En resumen», se presenta la definición de potencia de exponente entero y base racional. Esta definición puede presentar confusiones en los estudiantes porque cuando ven la expresión (–n) piensan que su valor es negativo inde-pendientemente del valor de n. Sea enfático en que si n es negativo, (–n) es su opuesto, por lo tanto, positivo.

Con el problema e) de la página 51 introduzca el con-cepto de interés compuesto. Puede complementar con la siguiente situación: Se depositan $1000 a un interés anual del 6%. ¿Cuánto se tendrá al finalizar 1 año, 2 años, …, n años? Utilizando potencias, los estudiantes verán que la solución es 1000(1,06)n.

Cierre

Al final de la lección profundice en el concepto de po-tencia con la última pregunta de la sección «Reflexiono» de la página 51. Oriente a que concluyan que la opera-ción de potencias de base racional y exponente entero es cerrada en el conjunto .

Los errores más comunes que los estudiantes cometen se relacionan con el uso de paréntesis. Uno de ellos se refiere a la necesidad del uso de paréntesis cuando la base de la potencia es negativa. Para evitar este tipo de error dedique tiempo a la sección «Repasa» de la página 49 del texto.

El segundo de los errores es el empleo de paréntesis cuando la base es una fracción. Recurra a la pregunta de la sección «Reflexiono» de la página 51 para discutir este error con sus estudiantes. Use la calculadora.

Errores frecuentes


1. Expresa la multiplicación iterada como potencia y la potencia como multiplicación iterada.

a) 32

•32

•32

•32

•32

b) (–0,4)3

2. ¿Qué signo tiene el resultado de la potencia (–1,7)3? Justifica.

3. Calcula las siguientes potencias.

a) (–1,6)2 b) (0,4)3

Profundización

4. Un edificio tiene 7 pisos, en cada piso hay 7 departamentos y cada uno de ellos tiene 7 ven-tanas. Si un envase de limpia vidrios es suficiente para 30 ventanas, ¿cuántos envases como mínimo se necesitan para limpiar todas las ventanas del edificio?

Respuestas

1. a) 32

5

b) (–0,4) • (–0,4) • (–0,4)

2. Negativo, el exponente es impar.

3. a) 2,56 b) 0,064

4. Necesitará 12 envases como mínimo.

Para leer algo más sobre fractales, puede visitar el link: http://goo.gl/0pOSC

Link de interés



1 432

Lección 11: ¿Qué propiedades se pueden utilizar para operar con potencias? Págs. 52 a 57

PropósitoSimplificar los cálculos que involucran potencias utilizan-do sus propiedades.

Palabras clave § Multiplicación y división de potencias, potencia de una potencia.

Prerrequisitos § Propiedades de las potencias con base entera y expo-nente natural.


Pídales a sus estudiantes que preparen un resumen, con ejemplos, de las propiedades de las potencias en , de esa forma estarán mejor preparados para generalizar esas propiedades.

Desarrollo

Utilice calculadoras científicas, especialmente en la resolución de problemas, asegurándose de que los estu-diantes utilicen paréntesis cuando sea necesario.

Cuando se leen las propiedades, generalmente se hace de izquierda a derecha, por tanto, los estudiantes tienen claro, por ejemplo, que ap • aq = ap + q, pero no compren-den que la propiedad puede ser utilizada “de derecha a izquierda”, es decir, que a7 es equivalente a a⁵ • a², lo cual puede ser utilizado para simplificar expresiones, sobre todo cuando se está trabajando con fracciones. En los ejercicios de la página 55 se trabaja esto.

Cierre

Para finalizar el trabajo, reflexione con sus estudiantes utilizando las cápsulas finales de la página 57. Haga no-tar que las propiedades simplifican la operatoria. Analice que son recíprocas porque la igualdad en cada una, es para ambos lados, y por lo tanto, así como se pueden re-ducir a una potencia también se pueden descomponer a una operación.

Algunos estudiantes tienden a “crear” propiedades, por ejemplo al resolver 2³ • 5⁶ multiplican las bases y suman los exponentes o cualquier otra combinación. En esos casos, plantéeles un ejercicio como 72 = 9 • 8 = 3² • 2³, y que prue-ben que no hay combinación posible para llegar a 72. Otro error común es aplicar las propiedades de la multiplicación de potencias cuando deben resolver una suma de poten-cias, mostrar con ejemplos que necesariamente deben resolver las potencias antes de sumar.

Errores frecuentes


1. Expresa cada racional como una potencia de ex-ponente negativo.

a) 136

b) 181

c) 4 d) 0,01

2. Escribe cada término como un número por una potencia de 10 y simplifica.

4000 • 0,0000060,00008

3. Simplifica la siguiente expresión.

25

•25

25

4 –5 –3

÷

Profundización

4. Supongamos que todas las propiedades también se cumplen cuando el exponente de una potencia

es una fracción, por ejemplo, 3612 . Entonces, la

expresión 36 3612

2

1

= sería correcta. Utilizando

lo anterior, ¿cuál sería una forma equivalente de

escribir 3612 ? ¿Cuál sería su valor?

Respuestas

1. a) 6–² b) 3–4 c) 12

–2

d) 110

–2

2. 4 •10 • 6 •10

8•10300

3 –6

–5 =

3. 25

2

4. 6 ;6212( )


Lección 12: ¿Cómo resolver problemas que involucran operaciones combinadas con números racionales y potencias? Págs. 58 a 63

PropósitoResolver ejercicios y problemas utilizando operaciones combinadas y potencias.

Palabras clave § Operaciones combinadas de números racionales

Prerrequisitos § Operaciones con números enteros. § Propiedades de las potencias de base racional y ex-ponente entero.

§ Prioridad de las operaciones.


Los estudiantes pueden presentar dificultades en las operaciones con números racionales. Por ello, primero se dispondrán a resolver los ejercicios, y una vez resuel-tos, pasar a las aplicaciones.

Pídales que previo a todo hagan un pequeño esquema con la prioridad de las operaciones.

Desarrollo

En el caso de las fracciones compuestas, como la presen-tada en la página 59 del texto, introduzca un primer paso, en el cual los estudiantes escriban los paréntesis corres-pondientes comenzando desde abajo y hacia arriba.

En los ejercicios que contienen decimales periódicos, como el 5. k) y l) de la página 60 del texto, recuerde a sus estudiantes que para operar primero deben ser con-vertidos a fracciones.

Los estudiantes tienden a olvidar que antes de mul-tiplicar o dividir fracciones deben buscar formas de simplificarlas puesto que esto les permitirá realizar las operaciones con números menores. Un ejemplo de esto es el ejercicio 3. b) de la página 60 del texto, muéstreles que solo efectuando las operaciones llegan a la fracción 4,978179058 •102,89254655 •10

18

11, sin embargo, si utilizan algo de tiempo,

podrían convertir el ejercicio a 2 •72 •7

4 3

2 2

5

= 28⁵ = 17 210 368.

En este ejercicio también se puede utilizar la calculadora, pero la idea es que primero apliquen las propiedades de las potencias.

Aproveche el ejercicio 5. b) para mostrar que una suma de dos fracciones al cuadrado es diferente que la suma de los cuadrados de las fracciones, esto servirá como apresto para los productos notables que verán más adelante.

Cierre

Termine la lección, Reflexionondo con sus estudiantes acerca de las ventajas de utilizar las propiedades de las operaciones en la resolución de operaciones combina-das. Para ello, pídales que respondan las cápsulas que aparecen al final de la página 63.

Como se dijo en la lección anterior, algunos estudiantes tienden a tener una gran imaginación al momento de utili-zar las propiedades de las potencias, especialmente cuando se involucran adiciones y sustracciones, si algún estudiante comete este tipo de error es conveniente hacer algunos ejercicios demostrando que los resultados son erróneos.

Errores frecuentes


1. Completa las siguientes igualdades.

a) __ 4 42 52 8( )( ) ÷ = b) 1

5•0,2 1__

=( )

2. Utilizando las propiedades de las potencias, escri-be dos expresiones equivalentes a bn + ³.

Profundización3. Las dimensiones de un prisma recto son 1

2

4

cm,

13

4

cm y 0,754 cm. Calcula el volumen y

exprésalo como potencia.

Respuestas

1. a) 4. b) –1.

2. Podrían ser: bn • b³; b²n + 7÷ bn + 4.

3. El volumen es 2–¹² cm³.

El siguiente link contiene una amplia gama de ejercicios que involucran operaciones con potencias:http://goo.gl/u9Nbkn

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1 432

Aplicaciones Págs. 61 a 63

PropósitoAplicar todos los contenidos vistos a la geometría, la física y la resolución de problemas.


En la primera página, de aplicaciones geométricas se presentaron las fórmulas correspondientes a los contex-tos de cada una, de manera que no interfirieran con el objetivo de la sección.

Desarrollo

Permita el uso de la calculadora, como en la sección anterior, solo para los cálculos finales, después que los es-tudiantes han utilizado las propiedades de las potencias.

En la sección de aplicaciones a la física tómese un tiem-po para revisar con los estudiantes la unidades de las respuestas, por ejemplo en el ejercicio 7.c), ya que estas pueden no resultar familiares para ellos.

Finalmente, para la sección de resolución de problemas revise con los estudiantes los pasos enunciados en las páginas 46 y 47 del texto.

Dependiendo de la dinámica del curso, trabaje estas páginas en grupos pequeños, de no más de tres es-tudiantes, para que luego se discuta en plenario las distintas estrategias utilizadas para resolver todas las si-tuaciones presentadas.

Cierre

Al finalizar el trabajo compruebe que los estudiantes en-treguen sus respuestas en forma completa y coherente con la pregunta del problema.

Frente a los problemas como los presentados en estas pági-nas existen dos clases de errores, de operatoria y de estra-tegia. Para los primeros resulta adecuado que el estudiante haga un pequeño resumen de las propiedades y trabaje con él, revisando los ejercicios que resuelven el problema. Para los errores de estrategia, en cambio, se recomienda pedirle al es-tudiante que utilice el esquema de los cinco pasos, se ayude con esquemas, dibujos, plantee ecuaciones y de esta manera logre definir su propia estrategia de resolución de problemas. Para estos casos es muy provechoso trabajar en grupo.

Errores frecuentes


1. Luis tiene 26 llaveros, Pedro tiene 27 y Andrés tiene 128 llaveros. Si los tres amigos forman una sola colección de llaveros, ¿cuántos tienen en total?

2. Inicialmente se tienen 8 bacterias y su número se duplica cada media hora. ¿Cuántas bacterias se tendrá después de 3 horas?

3. ¿Cuánto es la tercera potencia de la segunda potencia de 8?

4. Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. Si la luz recorre 300 000 km en un segundo, ¿cuántos kilómetros recorre la luz en un año? Exprésalo en notación científica.

5. La distancia de la Tierra al Sol es de unos 150 millones de kilómetros, y la distancia de la Tierra a la Luna de unos 400 000 kilómetros. ¿Cuántas veces es mayor la distancia de la Tierra al Sol que la distancia de la Tierra a la Luna?

Profundización

6. Un estudio concluye que la población de una localidad se duplica cada 40 años. Si al momento del estudio la población era de 100 000 habitantes, ¿cuál será la población después de 160 años?

7. Juan deposita $300 000 en un banco que entrega un 5% de interés anual. ¿Cuánto dinero tendrá Juan después de 5 años?

8. La masa de la Tierra es 5,98 • 1024 kg, y la masa de la Luna, 7,34 • 1022 kg. ¿Cuántas Lunas se podrían formar con la masa de la Tierra?

Respuestas

1. Tienen en total 320 llaveros.

2. Habrá 512 bacterias.

3. 46 656.

4. La luz recorre 9,4608 • 1012 kilómetros en un año.

5. Es mayor 3,75 • 102 veces.

6. Será de 1 600 000 habitantes.

7. Tendrá $382 884.

8. Se podrían formar aproximadamente 81 Lunas.



PropósitoInstancia de evaluación para determinar fortalezas y debilidades respecto a los contenidos estudiados.

Orientaciones didácticasEn las últimas lecciones se trabajó con una gran canti-dad de aplicaciones de las potencias de base racional y exponente entero, por lo tanto, dese el tiempo necesario para realizar una última evaluación integradora antes de la evaluación final de la unidad.

Los temas tratados en estas lecciones pueden ser re-presentados por el siguiente esquema que puede ayudar a los estudiantes al momento de estudiar antes de la evaluación.

Potencias

Base: Exponente:

Operatoria Propiedades

Aplicaciones


PropósitoUn objetivo transversal en el aprendizaje de las Matemá-tica es que los estudiantes sean capaces de aplicar los nuevos conocimientos en el desarrollo de estrategias de resolución de problemas. Estas páginas pretenden colaborar con lo anterior.

Orientaciones didácticasEn esta ocasión la estrategia utilizada es la completación de una tabla, esto será de gran utilidad cuando se trabaje la unidad de álgebra. De los cinco pasos presentados en la primera sección de resolución de problemas solo varía el de la estrategia utilizada, mientras que los otros son constantes a todo tipo de problema.

Revise el trabajo de otros profesores de manera de enrique-cer la propia práctica. Conozca el material web del profesor Danny Perich en el sitio http://dannyperich.cl/ .

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Indicadores de evaluación

Preguntas asociadas Remedial

Comprenden las potencias de base racional y exponente entero.

1 y 4 Repasar las semejanzas y diferencias con las potencias estudiadas anteriormente.

Operan con potencias. 2 y 3 Reforzar operatoria con decimales y fracciones.Utilizan las propiedades de las potencias. 5 y 6 Resumir las propiedades cada una con un ejemplo.Resuelven ejercicios que involucran operaciones combinadas. 7 Utilizar paréntesis y enumerar los pasos en cada una.Resuelven problemas que involucran potencias. 8 Revisar los pasos de la estrategia utilizada.



1 432

Estudio mis posibles errores Págs. 68 y 69

PropósitoAnalizar los errores más comunes en la operatoria de números racionales y potencias.

Orientaciones didácticasEsta es una buena instancia para repasar, no solo los ejer-cicios presentados en estas páginas, sino también otras situaciones que los estudiantes consideren especial-mente complicadas o difíciles de resolver.

Antes de comenzar a trabajar los estudiantes deben estudiar los contenidos de la unidad, realizando resúme-nes y dando ejemplos de cada uno de los contenidos, de esa forma el trabajo será más eficiente.

Trabajar estas páginas en grupos de dos a tres estudian-tes tiene la ventaja, además de facilitar la atención del docente, de permitir que los estudiantes se apoyen entre ellos, detectando y corrigiendo errores. En los ejemplos desarrollados solo se muestran algunos errores, pero al trabajar en parejas pueden aparecer muchos otros que se detectarán mutuamente.

El uso de la calculadora también puede ser de gran ayu-da: un estudiante resolverá el ejercicio con lápiz y papel y el otro con la calculadora. Si llegan a diferente resultado, ambos deberán revisar el trabajo del otro.

En las actividades complementarias se agregaron algunos ejercicios más y algunos problemas simples con números racionales que pueden ser útiles para detectar otros pro-blemas de operatoria que puedan tener los estudiantes.

El estudio de los errores es una valiosa herramienta pe-dagógica que puede ayudar a muchos estudiantes a que logren los objetivos de aprendizaje propuestos.

Actividades complementarias

1. Evalúa las siguientes afirmaciones.

a) Todo número natural es entero.

b) Todo número entero es racional.

c) Siempre que multiplicamos dos números racio-nales obtenemos otro racional.

d) Entre dos números racionales existe siempre un entero.

2. Cecilia presentó la siguiente igualdad: (–6)³ = (3)² • (–2)¹ ¿Qué error cometió?

3. Explica el error cometido en 29 = 2³ • 2³.

4. Escribe cada número como un producto de potencias de base 2, 3 y 5, según sea necesario.

a) 75 b) 120

5. Calcula el valor de: 1–1

1–1

1–12

.

6. Hace algunos años Javier tenía 36 años que

representan los 23

de su edad actual. ¿Cuál es la

edad actual de Javier?

7. En las últimas elecciones de alcalde de un pueblo, 311

de los votos fueron para el partido del

antiguo edil, 2335

de los votos; para el partido

de su oponente y el resto fueron los votos de los independientes. En total, votaron 15 400 personas.

a) ¿Cuántos votos obtuvo cada partido?

b) ¿Cuántos votos obtuvieron los independientes?

c) Se supone que solo 78

de la población

capacitada para votar lo hizo, ¿cuántas personas se abstuvieron?

Respuestas

1. a) V b) V c) V

d) F, ya que entre 0 y 0,5 no existe ningún entero.

2. Multiplicó las bases y sumó los exponentes.

3. Mantuvo la base y multiplicó los exponentes.

4. a) 5² • 2 b) 2³ • 3 • 5

5. 2

6. Javier tiene 54 años en la actualidad.

7. a) 4200 y 10 120, respectivamente.b) 1080 votos. c) 17 600 personas.

El siguiente recurso le permitirá trabajar con sus estudiantes de forma interactiva el concepto de potencias y sus propie-dades: http://goo.gl/u8pTC3

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Conecto con la Química Pág. 70

PropósitoEn esta página se ofrece una conexión con otra disciplina, la química, a través de una aplicación del Car-bono-14.

Orientaciones didácticasEs importante notar que la estrategia del problema es plantear nuevamente una tabla de valores como se hizo en la última sección de resolución de problemas, por lo tanto, se puede reforzar esa estrategia.

En la sección «Reflexiono» se pide a los estudiantes que planteen otras situaciones similares a la mostrada en esta página, esto puede ser aprovechado para repasar creci-miento y decrecimiento exponencial visto el año pasado.

En las generalizaciones de situaciones que corresponden a crecimientos y decrecimientos exponenciales el error al que se debe prestar atención es el valor inicial, cuando el expo-nente es 0, ya que generalmente los estudiantes comienzan contando desde el 1.

Errores frecuentes


1. El perro de Javier volvió de un paseo con 10 pulgas en su cuerpo. Si estos parásitos se duplican cada 6 días y, considerando que ninguno muere, ¿cuántas pulgas tendrá el perro dentro de 12 días y de 24 días?

2. Si una población de bacterias se triplica cada 30 mi-nutos y además se estima que cierto alimento debe tener al menos 1 968 300 de estas bacterias para que se determine como contaminado, determine:

a) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 3 horas si inicialmente había 100?

b) Si inicialmente el alimento tiene 100 bacterias, ¿cuánto tiempo debió pasar para que el alimento estuviera contaminado?

Respuestas

1. El perro de Javier tendrá 40 pulgas dentro de 12 días y 160 pulgas dentro de 24 días.

2. a) Habrán 72 900 bacterias.

b) Debieron transcurrir 4 horas y media.


Sintetizo mis aprendizajes Pág. 71

PropósitoAntes de responder la evaluación final se propone esta sección de síntesis de la unidad.

Orientaciones didácticasEstá ampliamente comprobado que los apoyos visuales, como el presentado en esta sección son de gran ayuda para el aprendizaje. Es recomendable que en el momento de completarlo los estudiantes expliquen y ejemplifiquen cada concepto. En paralelo se desarrolla el contenido y la correspondiente ejemplificación de su aplicación, de esta forma aumenta la posibilidad de que los estudiantes lo comprendan y sean capaces de aplicarlo.


1. ¿Es correcto afirmar que todo número racional es entero?

2. Transforma a fracción los siguientes decimales.

a) 0,26 b) 0,26

3. ¿Cuál es el resultado de 3–

14

125–1810

?

4. El volumen de un prisma de base cuadrada es 2²4 cm³, si el lado de la base mide 4³ cm, ¿cuánto mide el alto del prisma?

Respuestas

1. No, pero todo número entero es racional.

2. a) 2699

b) 415

3. 5512

4. El alto del prisma mide 2¹² cm.

En el siguiente link encontrará problemas que involucran números racionales: http://goo.gl/3AV81t

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1 432

Refuerzo mis aprendizajes Págs. 72 y 73

PropósitoOrganizar el estudio de los alumnos y alumnas para en-frentar la evaluación de la unidad de forma preparada y seguros de sus conocimientos.

Orientaciones didácticasEn esta sección se continúa con el sistema de presentar ejercicios y problemas en forma paralela a los conteni-dos que permiten resolverlos. Presente a sus estudiantes las ventajas de estudiar de esta manera.

También es importante que cada estudiante verbalice los contenidos, así promoverá una comprensión más profunda de estos.

En los siguientes liks puede encontrar más ejercitación para sus estudiantes: http://goo.gl/dUCHb y http://goo.gl/OXzP0

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Evalúo mis aprendizajes Págs. 74 a 77

Orientaciones didácticasSe recomienda que los estudiantes respondan la eva-luación en forma individual, la corrección puede ser en forma grupal. Esta evaluación puede ser considerada por los estudiantes como un desafío final de la unidad, sin las consecuencias de una calificación y al enfrentarla de esa forma puede ser una instancia de consolidación de los conocimientos. Una forma práctica de realizar la co-rrección es que cada pareja de estudiantes intercambien el trabajo, discutiendo los errores o dudas de cada uno.

Cada ítem de la evaluación tiene indicado el objetivo de este, de esta manera los estudiantes tienen claro qué lec-ción del texto deben repasar si enfrentaron problemas al responder las preguntas.

Se considera que si un estudiante responde el 60% o más de las preguntas en forma correcta, aprueba la uni-dad, pero se recomienda que todos revisen sus errores y los corrijan.

Tabla de especifi caciones refuerzo mis aprendizajes


RemedialI II

Caracterizan los números racionales. 1, 2 y 3 1 Repasar la lección y relacionar los racionales con situaciones reales.

Comparan y ordenan números racionales. 4, 5 y 6 Ubicar números racionales en la recta numérica.Ubican números racionales en la recta numérica. 7 y 8 Determinar un número entero menor y uno mayor del

racional dado.Calculan operaciones que involucran números racionales. 9 a 15 2 Realizar ejercicios explicando los pasos que deben

efectuarse.Comprenden propiedades de los números racionales y sus operaciones.

16 3 Determinar un ejemplo en donde se aplica cada una de las propiedades.

Resuelven problemas que involucran números racionales. 22 a 26 4 y 5 Realizar esquemas y dibujos de los problemas.

MATEMÁTICA 1.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE 36 37UNIDAD 1 • NÚMEROS RACIONALES Y POTENCIAS

Información complementarias

APROXIMACIÓN A LA EVOLUCIÓN HISTÓRICA DEL NÚMERO IRRACIONALLa aproximación de la evolución histórica del número irracional se hace desde su aparición intuitiva mediante el estudio entre segmento inconmensurable (Edad Antigua), hasta su reconocimiento como número en el siglo XIX en virtud de la aritmetización del Análisis (Edad Contemporánea).

Edad Antigua “Origen de los segmentos inconmensurables”

En la cultura antigua (cultura egipcia, cultura mesopotámica, cultura china y la cultura griega) se reflejan el estudio temprano de segmentos inconmensurables, a través de la búsqueda del área de un círculo o la relación existente entre los elementos de un cuadrado, lo que lleva a las primeras aproximaciones de los números irracionales π y 2 .

Aproximación de π = 3,16

(Cultura egipcia)

8 unidades

9 unidades

Aproximación de π = 3 (Cultura china)

31071< < 3

1070

π

Arquímides de Siracusa

Origen de los segmentos inconmesurable

Hipaso de Metaponto (Cultura griega)

Sección

Aproximación de 2(Cultura mesopotámica)

42; 25, 351; 24, 51, 1030


1 432

Edad Media “hacia el reconocimiento del irracional como número”

Los estudios de los matemáticos Brahmagupta (628 d.C.), Omar Khayyam (1050 d. C), Al-Kashi (1436 d.C.) y Leon-ardo de Pisa (1180 d.C.) revelan nuevos aportes en el estudio intuitivo del número irracional. Determinan valores más exactos para el número irracional π y ϕ. Es importante resaltar, que para este período, en la cultura hindú “se utilizaron los números enteros y racionales, además del número irracional, introduciendo nuevas reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir con estos números” (Boyer, 2003; p. 285).

Renacimiento «reconocimiento del irracional como número mediante aproximaciones a números racionales»

Jerónimo Cardano (1501 d.C) y Chuquet (1450 d.C) aceptaron los números irracionales con naturalidad, «a pesar de que no estaban fundamentados de una manera rigurosa, puesto que se les podía aproximar a un número racional»(Edwards, 1979; p. 94).

Edad Moderna y Contemporánea: «el irracional como un número».

Se acepta y se define en este período el irracional como número a través de las contribuciones de Méray (1836 d.C), Weierstrass (1815 d.C), Dedekind (1831 d.C) y Cantor. Méray «consideraba que una sucesión convergente determinaba o bien un número racional como límite o un número ficticio»(Boyer, 2003; p. 694). Para Weierstrass los números irracionales eran conjuntos de racionales y no meras sucesiones ordenadas de racionales (Edwards, 1979; Cantoral y Farfán, 2004). Por su parte, Dedekind, define la construcción de un sistema numérico completo (conjunto de los números reales) a través del concepto de cortadura. Este estudio de las cortaduras permite “de finir formalmente al número irracional” (Boyer, 2003, p. 695; Edwards, 1979, p. 331; Berge y Sessa, 2003, p. 182).

Bibliografía complementariaAlgunos Links de interés con las que se puede complementar el material para esta unidad pueden ser:

• Sobre conjuntos numéricos:http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=133202

• Sobre series geométricas y se presenta, como aplicación de ellas, los decimales periódicos y su conversión a fracciones:http://www.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/series/pag7.htm

• Sobre conjuntos numéricos y sus propiedades:http://www.mendomatica.mendoza.edu.ar/nro18/Losnrosracionales_S1_18.pdf

• Sobre conjuntos numéricos, propiedades, operaciones y sus propiedades:http://www.fi.unsj.edu.ar/descargas/ingreso/Unidad1.pdf

• Sobre números racionales y sus operaciones:http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasA/4quincena1/impresos/4quincena1.pdfhtt p://es.scribd.com/doc/16237905/Guia-Decimales-a-Fracciones


Mate

rial f

otoc

opia

ble

Actividades complementarias 1

Números Racionales

Nombre: Curso: Fecha:

Resuelve las siguientes actividades en tu cuaderno.

1. Determina si los siguientes números son racionales o no.

a) 2

b) 2,02

c) 2,2222

d) 2,020202…

e) 2,020020002…

f) 2,022222222…

2. Calcula las siguientes operaciones a partir de los números racionales =a 54

y =b15

a) a + b

b) a – b

c) a • b

d) ab

e) ba

f) 2 • a – b

3. Calcula las siguientes operaciones con números racionales.

a) –3+75–12

b) 625•12

+

c) 35–13

23•45

d) 2

12

212

++

e)

23–56

23+56

f) 35+54

32–25

4. Transforma cada decimal a fracción.

a) 0,235

b) 0,16

c) 0,23

d) 0,87

e) 0,87

f) 0,03

5. Según la recta numérica, ¿cuál es el resultado de y – x?

–2

x y

3210–1

6. Ubica cada número en el menor conjunto al que pertenece.

1,8 –5 6 0,45

0 –3,8 462


1 432Material fotocopiable


Resolución de problemas con números racionales



1. Una lata de bebida contiene 13

de litro. Carolina, para celebrar su cumpleaños, ha comprado 30 latas.

¿Cuántos litros ha comprado?

2. Un vaso de leche contiene 18

de litro. ¿Cuántos vasos de leche son necesarios para llenar una botella de

leche de litro y medio?

3. Un viticultor vende 13

de su cosecha de vino, y luego 47

de lo restante. Si le quedan aún 130 hectolitros, ¿cuánto cosechó?

4. Celia gana $430 000 al mes, 25

lo utiliza para pagar el arriendo, con 14

de lo que le queda paga las cuentas

y con el resto del dinero vive el resto del mes. ¿Con cuánto dinero vive el resto del mes?

5. Un depósito está lleno de agua. Se saca 16

y luego 14

para el riego de una huerta. Por la noche se recupera la mitad de lo que se ha gastado.

a) Emplea una operación combinada para expresar el agua recuperada por la noche.

b) Calcula la operación del apartado a).

6. Julio invierte 12

de su dinero en un depósito que entrega un interés del 6% mensual, 13

del dinero tiene

un 9% de interés mensual y el resto a un interés del 5% mensual. Si en total recibe $36 800 de ganancia, ¿cuánto depositó inicialmente? Aproxima al peso más cercano.

7. Se deja caer una pelota desde una ventana que está a 27 metros de altura. Después de cada bote en el

suelo la pelota alcanza una altura igual a 23

del anterior.

a) Expresa la altura de los tres primeros botes.

b) Calcula la altura del segundo y tercer botes.

8. La masa de mi perro es 10 kg, redondeado al kilogramo más cercano, ¿cuál podría ser la masa de mi perro? Entrega 2 ejemplos.

9. Una madre ballena está a 234,6 metros de su ballenato. Si la madre lo llama, el sonido llega al ballenato después de 1,8 segundos, aproximadamente, ¿cuál es la rapidez del sonido bajo el mar?

10. Desafío: En un colegio hay tres niveles de francés: el primer nivel reúne la tercera parte de los alumnos; el segundo nivel, la cuarta parte, y el tercer nivel, 20 alumnos. ¿Cuántos alumnos estudian francés?


Mate

rial f

otoc

opia

ble



1. Calcula las siguientes operaciones con potencias.

a) 23

•23

2 2

−

b) –23

• –94

• –13

5 5 –5

c) (3 3 ) : 33 3•

•

2 –1 3

–1 5 =

d) (4,5 ) : 2

92

3•

–1 3

32

=

e) (13 ) : 13(–13) 13•

–1 3

–3 5 =

f) 1,3 3

0,319

•

•

–1 2

–2=

2. El cuadrado de la imagen mide 1 m de lado.

a) ¿Cuáles serían las áreas de las divisiones, si siempre son cuadrados correspondientes a un cuarto del área anterior?

b) Escribe una fórmula que relacione el área del enésimo cuadrado con su lado.

c) Con el resultado de b), ¿cuál sería el área del cuadradito número 20? Expresa tu resultado como potencia.

3. Un alimento se considera contaminado si tiene más de 16 000 bacterias por centímetro cúbico de alimen-to. Una bacteria se reproduce de tal manera que su número se duplica cada media hora, si inicialmente el alimento tiene 1000 bacterias, ¿después de cuánto tiempo se considera contaminado?

4. En un laboratorio se manejan 100 gramos de una sustancia radioactiva que disminuye el 3% de su masa cada 6 horas.

a) ¿Cuánta sustancia hay después de 12 horas?

b) ¿Cuántos gramos de la sustancia hay después de un día?

5. En una plaza se colocan 5 troncos para que los niños jueguen. Si el más alto mide 100 cm y cada uno de los siguientes mide cuatro quintos de la medida del anterior, ¿Cuánto mide cada uno de los otros 4 troncos?

Potencias y resolución de problemas




§ Actividades complementarias 1

1. a) Sí

b) Sí

c) Sí

d) Sí

e) No

f) Sí

2. a) 1 920

b) 1 120

c) 14

d) 6 14

e) 425

f) 2 310

3. a) –2 110

b) 6 15

c) 12

d) 2 15

e) – 19

f) 11522

4. a) 235999

b) 16

c) 730

d) 7990

e) 8799

f) 130

5. 4,4

6. = {0, 6, 42

}, = {–5, 4 }, = {1,8; –3,8; 0, 45}


1. Ha comprado 10 litros.

2. Son necesarios 12 vasos de leche.

3. Cosechó 27

de su viñedo.

4. El resto del mes vive con $193 500.

Solucionario Actividades complementarias

5. a) 16+ 14

• 12( )

b) Se recupera 524 del depósito de agua.

6. Inicialmente depositó $538 537.

7. a) La altura de los tres primeros botes es: 2

3• 27; 2

3• 23• 27; 2

3• 23• 23• 27

b) La altura del segundo bote es 12 m y la del tercer bote 8 m.

8. La masa del perro podría ser 9,5 kg o 9,67 kg.

9. La rapidez del sonido es 130,3 m/seg.

10. Estudian francés 48 alumnos.


1. a) 1

b) –5904932

c) 1729

d) 259049

e) 14826809

f) 274

2. a) 14, 116

, 164

b) 14

n–1( )c) 1

4

19( )3. Después de 2 horas se considera contaminado.

4. a) Hay 94,09 g de la sustancia.

b) Hay 88,53 g después de un día.

5. Los troncos miden 80 cm, 64 cm, 51,2 cm y 40,96 cm.


Mate

rial f

otoc

opia

ble


I. Lee atentamente y marca la alternativa correcta.

Representa números racionales y comprende sus propiedades.

1. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa al conjunto de los números racionales?

A. x / xab,a y b� � �= = ∈ ∈

B. x / xab,a y b ;b 0� � �= = ∈ ∈ ≠

C. x / xab,a y b ;a 0� � �= = ∈ ∈ ≠

D. x / xab,a y b ;a 0� � �= = ∈ ∈ ≠

E. x / xab,a y b ;b 0� � �= = ∈ ∈ ≠

2. ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a 0,6666…?

A. 13

B. 16

C. 23

D. 26

E. 36

3. Si el número ab

es un número racional negativo,

¿cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA?

A. a = 0 o b = 0

B. a y b tienen distinto signo

C. a y b son números enteros positivos

D. a y b son números enteros negativos

E. Ninguna de las anteriores

4. Si el numerador de una fracción es mayor que su denominador, ¿cuál de las siguientes afirmacio-nes es FALSA?

A. La fracción podría ser 0

B. La fracción podría ser un número decimal

C. La fracción podría ser mayor que 1

D. La fracción podría ser menor que –1

E. La fracción podría ser un decimal entre 0 y 1

5. ¿Cuál de las siguientes operaciones cumple con la propiedad de clausura en ?

I. Adición

II.Sustracción

III. Multiplicación

IV. División

A. Solo I

B. Solo II

C. I y III

D. I, II y III

E. I, II, III y IV

6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA?

A. Si a ∈ , entonces a ∈ .

B. Si a ∈ , entonces a ∈ .

C. Si a ∈ , entonces a ∈ .

D. Si a es un número irracional, entonces a ∈ .

E. Si a ∈ , entonces a es un número irracional.

7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA?

A. Entre dos racionales existe un solo racional

B. Entre dos racionales existen infinitos racionales

C. Entre dos números naturales distintos siempre existe otro natural

D. Entre dos números enteros negativos distintos siempre existe otro número entero

E. Entre dos números enteros de distinto signo existen a lo menos dos números enteros

8. ¿Qué número está entre 1,1 y 0,9?

A. 0,1

B. 0,11

C. 0,89

D. 1

E. Ninguna de las anteriores.

9. ¿Cuál de los siguientes números es el menor?

A. –0,122

B. –0,12

C. –0,120

D. –0,12333

E. –0,119

Evaluación



10. ¿Qué fracción es equivalente al número decimal 1,315 ?

A. 1302990

B. 1315990

C. 1302900

D. 1315900

E. 131599

Calcula operaciones en los números racionales y utiliza la aproximación.

11. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa a 2,17 redondeado a la diezmilésima?

A. 2,172

B. 2,171

C. 2,1717

D. 2,17171

E. 2,17172

12. ¿Cuál es el resultado al truncar a la cienmilésima el número 1,38?

A. 1,3838

B. 1,3839

C. 1,38383

D. 1,38384

E. 1,38388

13. El resultado de 43–93

0,3+ es:

A. 1

B. 2

C. 23

D. 53

E. –43

14. El resultado de 0,05 2,17–790

+ es:

A. 9745

B. 9845

C. –9645

D. –9745

E. –9845

15. Si a, b y c son números racionales, ¿cuál(es) de las proposición(es) es(son) FALSA(S)?

I. a – b ∈

II. a + b = b + a

III. a – 0 = 0 – a = a

IV. (a + b) + c = a + (b + c)

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I, II y III

E. I, II, III y IV

16. El antecesor del resultado de 23• –

34

• –2( )

es:

A. 0

B. 1

C. 2

D. –1

E. –2512

17. En relación a la recta numérica: si a, b y c son nú-meros racionales, ¿cuál de las siguientes expre-siones representa a un número racional positivo?

b a 0 c

A. ab•cb

B. ac•cb

•a

C. ac •c

•c

b •a

D. bb •a

•a •cb •a

E. ca•ab•a •cb

18. Si a, b ∈ con a < b, ¿cuál de las siguientes afir-maciones es VERDADERA?

A. El resultado de (b – a) • b es un número racio-nal positivo

B. El resultado de (a – b) • a es un número racional negativo

C. El resultado de (a – b) • (b – a) es un número racional negativo

D. El resultado de (a – b) • (a – b) es un número racional negativo

E. El resultado de (b – a) • (b – a) es un número racional negativo


Mate

rial f

otoc

opia

ble

19. El resultado de ( )

+

23• –2 –0,6

312

es:

A. –7

B. 47

C. 74

D. –47

E. –74

Comprende el concepto de potencias y aplica sus propiedades.

20. ¿Qué resulta al resolver

–

1020

–4

?

A. –16

B. –8

C. 8

D. 16

E. 18

21. El resultado de 0,5–³ es:A. 8

B. 12

C. 18

D. 0,25

E. 0,125

22. ¿Cuál es el valor de 0,16–2

– 0,125–² + 0,01–¹?

A. 36

B. 64

C. 72

D. 100

E. 120

23. ¿Cuál es resultado de

32

•23

4 4

?

A. 94

B. 32

C. 23

D. 0

E. 1

24. ¿Cuál es el valor de la expresión 2,5–4 : 7,5–4?

A. 12

B. 27

C. 81

D. 243

E. 343

Resuelve problemas que involucran potencias de base racional y exponente entero.

25. Si el largo de un rectángulo mide

45

–2 km y el

ancho 0,8–3 km, ¿cuál es su área?

A. 45

–5

km²

B. 45

–3

km²

C. 45

–2

km²

D. 45

km²

E. 325

6

km²

26. ¿Cuál es el volumen de un cubo de arista 0,2–4 cm?

A. 5 cm³

B. 54 cm³

C. 57 cm³

D. 512 cm³

E. 564 cm³

27. Si k = 6 • 10–5 entonces, ¿cuál es el valor de k²?

A. 62

B. 360–⁵

C. 62 • 10¹⁰

D. 62 • 10–¹⁰

E. 36 + 10¹⁰

28. ¿Cuál es el resultado de ( )( )÷–0,2 5

0,04 • –5

–3 4

2?

A. 5

B. –5–¹

C. –5–7

D. –5¹²

E. –5¹³

29. Si =

x –ab

–1 a

y a, b son números enteros posi-

tivos, se puede determinar que x es un número natural, si:

(1) b es múltiplo de a.

(2) a es un número par.

A. (1) por sí sola

B. (2) por sí sola

C. Juntas, (1) y (2)

D. Cada una por sí sola, (1) o (2)

E. Se requiere información adicional

Evaluación



30. ¿Cuál es el resultado al simpli� car la expresión

÷2 • 4 •3 33 •2 •3 •2

–3 3 –2 –4

–5 –7 6 8?

A. 72

B. 36

C. 24

D. 12

E. 6

31. ¿Cuál(es) de las siguientes a� rmaciones es (son) FALSA(S)?

I. Si n ∈ entonces, 0n = 0

II. 1n = 1, con n ∈

III. Si el área de un cuadrado es 2–¹⁶ m², su perí-metro mide 2–⁶ cm

A. Solo I

B. I y II

C. I y III

D. II y III

E. I, II y III

32. Un tipo de bacteria se triplica cada 10 minutos. Si en un principio hay 6 bacterias de este tipo, ¿cuántas habrá al cabo de tres horas?

A. 6 • 3¹⁰

B. 3 • 6³⁰

C. 6 • 3¹⁸

D. 3 • 10⁶

E. 10 • 6³

33. Respecto a la igualdad =PR –6Q

2

, ¿cuál es el

valor de R si P = 12,5 y Q = 6?

A. 75

B. 25

C. 12,5

D. 9

E. 5

34. Para calcular el área (A) de un triángulo equilá-

tero aplica la fórmula =Aa 34

2

. Si se conoce

sólo la medida del lado a, ¿cuál es el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 2,4 cm?

A. 3 cm²

B. 4 cm²

C. 1,44 3

D. 4,8 34

E. 5,76 34

II. Resuelve los siguientes problemas.

35. Un campesino reparte 514

de semillas en 4

terrenos de 1000 m² de super� cie. ¿Qué fracción representa la cantidad de kilogramos de semillas utilizó para cada terreno?

36. Un estudiante debe leer un libro con 300 pági-nas. Si el día lunes lee la tercera parte del total de las páginas, el martes, la quinta parte de lo que le quedaba y el miércoles lee el resto, ¿cuántas páginas lee el día miércoles?

37. Si un terreno se vende en $ 1 024 000 000 y cada año disminuye su valor de venta en una cuarta parte, ¿cuál es el valor del terreno al transcurrir 2 años? ¿Qué expresión permite calcular el valor de venta del terreno luego de n años?

38. El área (A) de un triángulo equilátero se calcula

aplicando la fórmula =Aa 34

2

, donde (a) es la

medida de cada lado del triángulo equilátero.

Si se utiliza =3 1,73, ¿cuál es el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10² cm? Si A = 6,92 cm², ¿cuál es la medida del perímetro de dicho triángulo?


Mate

rial f

otoc

opia

ble

Preguntas de alternativas PSU (Pág. 42)

Indicador Pregunta Clave Indicador Pregunta Clave

Representa números racionales y comprende sus propiedades.

1 E

Comprende el concepto de potencias y aplica sus propiedades.

20 D2 C 21 A3 B 22 C4 E 23 D5 D 24 C6 A7 B8 D9 D

10 A

Resuelve problemas que involucran potencias de base racional y exponente

entero.

25 A

Calcula operaciones en los números racionales y utiliza la aproximación.

11 C 26 B12 D 27 D13 E 28 B14 A 29 C15 C 30 D16 A 31 A17 D 32 C18 C 33 D19 D 34 C

Preguntas de desarrollo

Problema 35 Problema 36 Problema 37 Problema 38CorrectaInterpreta que 5

14

se utilizan

en 4 terrenos todos de igual super� cie. Por lo tanto, la cantidad de kilogramos de semillas que debe utilizar para cada terreno

está dado por: 514÷4 . Luego

responde: 2116

de semillas.

CorrectaEscribe la expresión que permite determinar la fracción que el estudiante deberá leer el día miércoles:

1–13–23•15

Luego, obtiene que la fracción es 815

. Por lo tanto, el estudiante lee

el día miércoles 300 • 815

= 160 páginas.

CorrectaDetermina que el precio de venta del terreno: luego de n años es:

n

$1024 000 000 •34

CorrectaCalcula que el área (A) del triángulo es:

102

A =•1,734

Luego, responde la segunda utilizando la siguiente igualdad:

2

6,92 =a •1,734

Por lo tanto, el perímetro mide 12 cm.

Parcialmente correctaEscribe correctamente la expresión que permite determinar la fracción pedida, pero en la resolución comete algún error por lo que obtiene un resultado � nal incorrecto.

Parcialmente correctaEscribe la expresión que permite determinar la fracción del total de páginas que el estudiante deberá leer el día miércoles, pero comete errores de cálculo y no llega al resultado correcto.

Parcialmente correctaRealiza los cálculos que le permiten responder la primera pregunta, pero no establece la relación que hay entre esta respuesta y la expresión para calcular el precio de venta del terreno luego de n años.

Parcialmente correctaDetermina que el lado del triángulo equilátero mide 4 cm, pero no logra establecer que para responder a la segunda pregunta debe calcular el perímetro.

IncorrectaNo logra relacionar la expresión entregada en el enunciado del problema.

IncorrectaInterpreta en forma incorrecta lo planteado en el problema.

IncorrectaNo logra interpretar correctamente la información.

IncorrectaNo logra interpretar correctamente la información.

Solucionario evaluación



Caracterización de números racionales

1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A. =26

13

B. 36<26

C. =1 1010

D. 25>27

E. 24>

410


A. Redondear y truncar un número no son proce-sos equivalentes.

B. Al redondear a la cienmilésima el racional 83

se obtiene el número 2,6667.

C. Al redondear a la décima 2,45 se obtiene un número equivalente a la fracción 5

2.

D. Truncar a la milésima el número 2,0563 es equi-valente a redondear a esta misma cifra.

E. Al truncar a la diezmilésima el número 0,097 se obtiene un número equivalente a la fracción 979

10 000.

3. ¿Cuál de los siguientes números racionales es equivalente a un decimal finito?

A. 13

B. 15

C. 25

D. 23

E. 56

4. ¿Cuál de los siguientes decimales es semiperiódico?

A. 3,12

B. 2,17

C. 0,256

D. 2,2222

E. 1,3333…

Operaciones con números racionales

5. ¿Cuál de las siguientes propiedades se cumple en la sustracción de números racionales?

A. Clausura

B. Asociativa

C. Distributiva

D. Conmutativa

E. Elemento neutro

Banco de preguntas

6. Si S = + +214

18

1100

, ¿cuál es el valor de S?

A. 477100

B. 47750

C. 95450

D. 950100

E. 954200

7. ¿Cuál es el elemento neutro para la multiplica-ción en ?

A. 0

B. 1

C. –1

D. 1–1

E. –11

8. Resuelve el siguiente ejercicio.

( )+ ÷

23–14• –2

23

–25

Sol: –1,5

9. Sean a, b, c, d, e, f ∈ con b, d, f ≠ 0. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la distributivi-dad en ?

A. ab•cd

∈

B. ab•cd

cd•ab

=

C. ab•1 1•

ab

ab

= =

D. ab•cd•ef

ab•cd

•ef

=

E. ab•cd

ef

ab•cd

ab•ef

+

= +

MATEMÁTICA 1.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE 48 MTUNIDAD 1 • NÚMEROS RACIONALES Y POTENCIAS

Mate

rial f

otoc

opia

ble

Concepto de potencia

10. El resultado de (–4)² + (–4)² + (–4)² + (–4)² es:

A. –64

B. –32

C. 32

D. 64

E. 128

11. ¿Cuál es el valor de la potencia de base –5 y exponente 4?

A. 625

B. 125

C. –20

D. –625

E. –3125

12. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)?

I. Si n = 0, an = 1; con a ≠ 0.II. Al calcular una potencia de exponente

negativo y base positiva, resulta un número negativo.

III. Al calcular una potencia de base negativa y exponente negativo impar, resulta un núme-ro positivo.

IV. Al calcular una potencia de base negativa y exponente par negativo, resulta un número positivo.

A. Solo I

B. I y III

C. II y III

D. I y IV

E. I, III y IV

13. ¿Cuál es el resultado de +5 42

–2 –1

–3?

A. 29800

B. 2825

C. 21425

D. 21625

E. 31225

14. ¿Cuál es el valor de la expresión

–

43

–1

?

A. –1,3

B. –0,75

C. 0,75

D. 1,3

E. 1,8

Operaciones con potencias

14. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalen-te a 3²x + ²?

I. 3²x + 3² II. 3² • 3²x

III. 3²x • 9A. Solo I

B. I y II

C. II y III

D. I y III

E. I, II y III

16. ¿Qué expresión resulta al simplificar a •bb •a

3 5

6 2?

A. ab

B. a–¹b

C. ab–¹

D. a–¹b–¹

E. N. A

17. Si m = 2 y p = 0,5, ¿cuál es el valor de 3m² – p–1?

Sol: 10

Álgebraun

idad

unid

ad222unid

ad2unid

ad Álgebray funciones

49UNIDAD 2 • ÁLGEBRA Y FUNCIONES

Objetivos fundamentales Contenidos mínimos Actitudes• Transformar expresiones

algebraicas no fraccionarias utilizando diversas estrategias y utilizar las funciones lineales y afines como modelos de situaciones o fenómenos y representarlas gráficamente en forma manual o empleando herramientas tecnológicas.

• Comprender los conceptos y propiedades de la composición de funciones y utilizarlos para resolver problemas relacionados con las transformaciones isométricas.

• Aplicar modelos lineales que representan la relación entre variables, diferenciar entre verificación y demostración de propiedades y analizar estrategias de resolución de problemas de acuerdo con criterios definidos, para fundamentar opiniones y tomar decisiones.

• Establecimiento de estrategias para transformar expresiones algebraicas no fraccionarias en otras equivalentes, empleando productos notables y factorizaciones.

• Resolución de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones literales de primer grado.

• Análisis de las distintas representaciones de la función lineal, su aplicación en la resolución de diversas situaciones problema y su relación con la proporcionalidad directa.

• Estudio de la composición de funciones, análisis de sus propiedades y aplicación a las transformaciones isométricas.

• Utilización de un software gráfico en la interpretación de la función afín, análisis de las situaciones que modela y estudio de las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros.

La perseverancia, el rigor, la � exibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos.

Conocimientos previos• Concepto de variable.

• Dependencia e independencia de variables.

• Variación proporcional directa e inversa.

• Concepto de función.

• Dominio y recorrido de una función.

• Representación gráfica de funciones.

• Ecuación de primer grado con una incógnita.



PropósitoEsta unidad tiene como propósito lograr que los estudiantes exploren contextos multiplicativos de expresiones algebraicas y desarrollen productos, productos notables y factorizaciones, priorizando la comprensión de los procedimientos y el descubrimiento de reglas y propiedades a través de la formulación y veri� cación de conjeturas. Por otra parte, se introduce el estudio de las funciones lineal y afín. Se propone a los alumnos identi� car y representar dichas funciones por medio de tablas, grá� cos y algebraicamente. Finalmente, en este nivel se trabaja la composición de funciones para, posteriormente, conectarlo con la unidad de Geometría, la cual se trata desde la perspectiva de las transformaciones isométricas.


AE1

Identi� car patrones en multiplicaciones de expresiones algebraicas no fraccionarias.


¿Para que se utiliza el lenguaje algebraico?

El propósito de estas leccio-nes es que los estudiantes traduzcan el lenguaje natural al algebraico reconozcan, va-loricen y reduzcan expresiones algebraicas para luego resolver problemas que involucran ecuaciones.Por último, que multipliquen expresiones algebraicas para establecer productos notables.

• Establecer los productos notables a través de la búsqueda de regularidades en la multiplicación de expresiones algebraicas.

Multiplican expresiones alge-braicas y reducen el resultado.

Establecen expresiones para sumas por diferencias y cua-drados de binomios.

Reconocen regularidades en multiplicaciones de expresio-nes algebraicas.

Por ejemplo, en los productos (a + b) (a – b), (a² – b²) (a² + b²), (a³ – b³) (a³ +b³).

Leccion 14 (4h)

¿Qué son la expresiones algebraicas?

¿Cómo evaluarlas? ¿Cómo reducirlas?

Leccion 15 (4h)

¿Cómo multiplicar expresio-nes algebraicas?

Leccion 16 (4h)

¿Qué son los productos notables?

AE2

Factorizar expresiones algebraicas no fraccionarias.


¿Qué es factorizar? ¿Cómo se factorizan ex-presiones algebraicas?

El propósito de la lección es que los estudiantes apli-quen el procedimiento de la factorización para transformar expresiones algebraicas que cumplen ciertas regularidades en productos.

• Factorizar expresiones algebraicas, empleando los productos notables.

Sacan factor común en expre-siones algebraicas.

Factorizan expresiones alge-braicas, utilizando productos notables.

Expresan trinomios como el producto de dos binomios.

AE3

Establecer estrategias para resolver ecuaciones lineales.


¿Cómo plantear y resolver ecuaciones lineales con una incógnita con coe� -cientes racionales?

El objetivo de estas lecciones es que los estudiantes repa-sen el planteamiento de las ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita, para posteriormente plantear y resolver ecuaciones literales.

• Resolver problemas mediante ecuaciones literales.

Emplean técnicas algebraicas para expresar ecuaciones literales de primer grado en la forma ax = b.

Resuelven ecuaciones literales de primer grado.

Veri� can las soluciones obte-nidas.

Leccion 19 (4h)

¿Cómo plantear y resolver ecuaciones literales?

Plani� cación

UNIDAD 2 • ÁLGEBRA Y FUNCIONES 51

2 431

AE6

Resolver problemas asociados a situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales de primer grado.


¿Cuáles son las restriccio-nes en la solución de una ecuación literal?

El objetivo de esta lección es profundizar en la resolución de ecuaciones literales analizando las restricciones que pueden tener las soluciones de una ecuación de este tipo.

• Resolver problemas mediante ecuaciones literales.

Identi� can ecuaciones literales de primer grado en diversos contextos.

Reconocen situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales.

En situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales:

- plantean la ecuación

- la resuelven

- la evalúan en función del contexto

AE4

Analizar representaciones de la función lineal y de la función afín.


¿Qué es una función? Estas lecciones tienen como propósito que los estudiantes logren modelar situaciones a través de funciones lineales o afínes y que las representen a través de una expresión algebraica, de una tabla o de un grá� co. En este última representación los estudiantes analizarán los cambios que se producen en la grá� ca al variar los parámetros de estas funciones.

• Modelar situaciones o fenómenos en diferentes contextos, utilizando funciones lineales.

• Representar gráficamente funciones lineales y afines.

• Argumentar respecto de las variaciones que se producen en la representación gráfica de funciones lineales y afines, al modificar los parámetros.

Reconocen la proporcionali-dad directa como un caso de la función lineal.

Reconocen como funciones lineales relaciones de la física como F = ma

(Newton), V = Ri (en circuitos eléctricos) y F = kx (ley de Hooke), señalando variables y constantes.

Organizan en una tabla pares ordenados de una función.

Generan el grá� co cartesiano a partir de una tabla de valores.

Utilizan un procesador simbólico para registrar diversos valores de y = kx, variando los valores de k.

Leccion 22 (2h)

¿Qué es la pendiente de una recta?

¿Cómo se calcula?

Leccion 23 (4h)

¿Cuándo una función es lineal?

Leccion 24 (6h)

¿Cuándo es afín una función?


AE5

Realizar composiciones de funciones y establecer algunas propiedades algebraicas de esta operación.


¿Qué es una composición de funciones?

Estas lecciones tienen como objetivo lograr que los estu-diantes compongan funciones algebraicamente, establecien-do algunas de sus propiedades para que posteriormente pue-dan realizar la composición de transformaciones isométricas.

• Resolver problemas que involucren composición de funciones.

• Identificar el dominio y recorrido de funciones que son el resultado de la composición de otras.

Demuestran que la composi-ción de funciones cumple la propiedad de clausura.

Dadas algunas funciones, rea-lizan composiciones de ellas y determinan el dominio y reco-rrido de la función resultante.

Discuten acerca de la conmu-tatividad de la composición de funciones.

Analizan el caso en que las fun-ciones son transformaciones isométricas.

Verifican que la composición de funciones es asociativa.

Veri� can que la función iden-tidad en un conjunto opera como elemento neutro para la composición de funciones.

Leccion 26 (4h)

¿Qué propiedades cum-ple la composición de funciones?

Plani� cación


2 431


PropósitoIntroducir la modelación a través de las funciones y las variables involucradas en ellas en el contexto de las cen-trales hidroeléctricas.

Prerrequisitos § Definición de variables. § Relación de dependencia entre variables. § Concepto de función, dominio, y recorrido. § Representación gráfica de una relación entre variables.

Orientaciones didácticasOriente a sus estudiantes para que determinen la rela-ción de dependencia entre la energía eléctrica generada por la central y las variables involucradas, pregúnteles: ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Cuáles serían las va-riables independientes?

Inste a que concluyan en la importancia de las funciones en el modelamiento de situaciones de la vida real. Aclá-reles que previo al trabajo con funciones es necesario el manejo algebraico y que será lo primero que se trabajará en la unidad.

Póngase de acuerdo con el docente de Física y trabajen el tema de las centrales hidroeléctricas. Pueden realizar algún trabajo de investigación utilizando la información que aparece en la página 160 del Texto del Estudiante.

Para mayor información sobre centrales hidroeléctricas visite el link:www.profesorenlinea.cl/fisica/CentralesHidroelectricas.htm

Link de interés


PropósitoDiagnosticar los conocimientos previos que manejan los estudiantes y que son necesarios para el trabajo de la unidad.

Orientaciones didácticasEs importante que los estudiantes trabajen estas pági-nas con el objetivo de no detener la fluidez del trabajo una vez iniciado el estudio de la unidad. Es también una buena instancia para detectar posibles errores que los estudiantes pueden traer de años anteriores.

Los ejercicios 3 y 4 son importantes, ya que las relacio-nes directamente proporcionales son un apresto para la función lineal. Deténgase en estos ejercicios y en la inter-pretación de la constante de proporcionalidad.

Al trabajar los ejercicios 7 y 8, aprovechando los diagra-mas sagitales se puede repasar también cuándo una relación no es función.

En el repaso de variables dependientes e independien-tes es interesante que discuta con los estudiantes que esta categoría puede ser definida arbitrariamente.

En el ejercicio 9 indique a sus estudiantes que la pregun-ta determina cuál es la variable independiente y cuál la dependiente.

En los problemas que pueden ser resueltos por medio de relaciones proporcionales, los estudiantes pueden confun-dir los dos tipos de proporcionalidad que han estudiado, en ese caso, muchas veces resulta de gran ayuda hacer un dibujo de la situación.

Para los estudiantes a los que se les dificulta la compren-ción del concepto de función, el diagrama de una máquina representando una función es una metáfora que ayuda y además, facilita la distinción del dominio y el recorrido de una función.

Errores frecuentes



Lección 13: ¿Para qué se utiliza el lenguaje algebraico? Págs. 82 a 85

PropósitoTraducir del lenguaje común al lenguaje algebraico, y viceversa.

Palabras clave § Lenguaje algebraico

Prerrequisitos § Traducir del lenguaje natural al algebraico. Resolver problemas utilizando ecuaciones.


Los estudiantes han utilizado lenguaje algebraico desde hace varios años, resolviendo problemas por medio de ecuaciones o aplicando fórmulas en geometría, por lo tan-to, utilice el ejemplo que aparece al inicio de la página 82 para introducir la lección.

Desarrollo

En la primera actividad se llega a la relación 4b + 3c = 10 890 (donde b es el número de blusas y c el número de calcetines). De esa ecuación se desprenden otras dos que son equiva-

lentes: b10 890 3c

4y c

10 890 4b3

= − = −, en la lección 18

se verán ecuaciones literales, pero en este momento se puede revisar la relación entre variable independiente y variable dependiente, así mostradas las dos versiones de la misma fórmula, se ve en forma natural las relaciones de dependencia entre las variables.

Cierre

En la sección «Refuerza», en el ejercicio 2 plantéeles a sus estudiantes la suma de Gauss:S = 1 + 2 + 3 +…+ 100 S = 100 + 99 + 98 +…+ 1Si se suma verticalmente, término a término se ob-tiene 2S = 100 • 101, por lo tanto, la suma buscada es

S100 •101

25050100 = = . Conociendo el procedimiento, ellos

deberán llegar a la generalización Sn(n 1)

2n =+

.

Los estudiantes tienden a utilizar como x las incógnitas cuando resuelven una ecuación, pero cuando escriben la respuesta no tienen claro que significaba esta x en el contexto del problema. Para evitar esto, es una buena costumbre nombrar la incógnita con una letra que tenga sentido en el contexto, como en el ejercicio revisado en el desarrollo de las orientaciones didácticas.

Errores frecuentes


1. Une cada frase de la primera columna con su co-rrespondiente expresión algebraica de la segunda columna.

Frase ExpresiónEl triple de un número aumentado en 2. 2x + 1Dos disminuido en 7 veces un número. 6(x – 5)La suma de dos números consecutivos. 2 – 7xSeis veces la diferencia de un número y cinco. 3x + 2

2. Traduce las siguientes frases a lenguaje algebraico.

a) El cuadrado de la mitad de un número más tres.

b) El cuadrado de la suma de un número más tres.

c) El doble de la edad de Fernando dentro de diez años.

d) Dentro de diez años la edad de Fernando será el doble de la que tiene ahora.

Profundización

3. Escribe en lenguaje usual las siguientes igualda-des algebraicas.a) (a + b)² = a² + 2ab + b²

b) (a – b) = a² – 2ab + b²

c) (a + b) (a – b) = a² – b²

Respuestas

1. Frase ExpresiónEl triple de un número aumentado en 2. 2x + 1Dos disminuido en 7 veces un número. 6(x – 5)La suma de dos números consecutivos. 2 – 7xSeis veces la diferencia de un número y cinco. 3x + 2

2. a) x2

32

+ b) x 3

2

2+

c) 2(x + 10) d) (x + 10) = 2x

3. a) La suma de dos números al cuadrado es igual al primer número al cuadrado más el doble del primero por el segundo más el segundo número al cuadrado.b) La diferencia de dos números al cuadrado es igual al primer número al cuadrado menos el do-ble del primero por el segundo más el segundo número al cuadrado.c) el producto entre la suma de dos números y su diferencia es igual al primer número al cuadrado menos el segundo número al cuadrado.



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Lección 14: ¿Qué son las expresiones algebraicas? ¿Cómo valorizarlas? ¿Cómo reducirlas? Págs. 86 a 89

PropósitoIntroducir expresiones algebraicas, evaluarlas y reducirlas.

Palabras clave § Expresiones algebraicas, reducción y valorización de ellas.

Prerrequisitos § Traducción de frases al lenguaje algebraico. Aplica-ción de fórmulas en el modelamiento de situaciones.


En el último año los estudiantes aprendieron a calcular

el volumen de un cono utilizando la fórmula: Vh•A3

b= ,

por lo tanto, podrían resolver el problema: “Si la altura (h) mide 30 cm y el área de la base (Ab) mide 3π cm, ¿cuál es el volumen del cono?” Al trabajar ese problema reco-nozca con los estudiantes el trabajo algebraico que ya han realizado.

Desarrollo

Los estudiantes deben tener en mente que una expre-sión algebraica representa números y, como tal, debe responder a sus mismas reglas, operaciones y propieda-des. Discuta esto a partir del ejercicio 6 c) de la página 84, uvw + vwu puede reducirse, ya que son términos semejantes porque la multiplicación es una operación conmutativa, por lo tanto, también lo es cuando se trata de variables.

En la sección «En resumen» de la página 86 insista en que al decir: iguales factores literales, esto incluye varia-bles y exponentes. Esto, para evitar errores frecuentes en la reducción de términos semejantes.

Cierre

En la sección «Reglexiono» plantee a los estudiantes que, entre otras cosas, sin álgebra no se podrían resolver ecuaciones ni utilizar fórmulas.

Otro error que se debe diagnosticar rápidamente es que muchos estudiantes ignoran el signo al considerar el coeficiente en una expresión algebraica, error que se puede detectar en ejercicios como el número 3 de la página 88.

Errores frecuentes


1. Observa las expresiones del cuadro y selecciona las que se piden.

3x2 –7x 2xy –5x2

xyz 2x + 3y 3x + 2y – z

a) Con coeficiente igual a 1.

b) Dos expresiones cuyos términos sean semejantes.

c) Con coeficientes negativos.

2. Reduce términos semejantes en las siguientes expresiones.a) 4x + 2x – 5x

b) 6x² – x² – 4x²

c) x³ – 6x³ – 4x³

d) 5x4 + x4 – 3x4

Profundización

3. Observa la siguiente expresión:3(x + 4) – 6(x + 4)2 + 5(x + 4) – 6x

a) Sin desarrollar los paréntesis, ¿puede reducirse? Justifica.

b) Si tu respuesta fue afirmativa, reduce sin desarro-llar el paréntesis.

4. Determina el valor numérico si x = 2 de la expre-sión algebraica 3x4 – 5x² + 3x – x4 + 6x² – 1 de las siguientes formas:

a) Sustituyendo el valor directamente.

b) Reduciendo la expresión y luego sustituyendo el valor.

c) ¿Cuál es más conveniente?

Respuestas

1. a) xyz, b) 3x²; –5x² c) –7x; –5x²

2. a) x b) x² c) -9x² d)3x4

3. a) Sí, porque se puede considerar (x + 4) como una variable.

b) 8(x + 4) – 6(x+4)² – 6x.

4. a) 3 • 2⁴ – 5 • 2² + 3 • 2 – 2⁴ + 6 • 2² – 1 = 41

b) 2x⁴ + x² + 3x – 1 = 2 • 2⁴ + 2² + 3 • 2 – 1 = 41

c) Evaluar en la forma reducida.

Una breve historia del desarrollo del álgebra se puede encontrar en: http://goo.gl/j15f2t

Link de interés


Lección 15: ¿Cómo multiplicar expresiones algebraicas? Págs. 90 a 93

PropósitoMultiplicar expresiones algebraicas.

Palabras clave § Multiplicación § Expresiones algebraicas

Prerrequisitos § Propiedades de las potencias. Clasificación de expre-siones algebraicas.


Si algunos estudiantes no comprenden las actividades iniciales, remplace las variables por números y realice las mismas operaciones. Recuérdeles que las variables representan números, por lo tanto, deben respetar las mismas reglas y además, poseen las mismas propieda-des que las operaciones vistas con números.

Desarrollo

En el ejercicio 2 de la página 92, en la segunda colum-na, existen términos con exponentes negativos, realice estos ejercicios paso a paso para asegurarse de que los estudiantes recuerdan las propiedades de las potencias y de las operaciones con enteros.

Por otra parte, en los ejercicios 5 a 7, recuerde a los es-tudiantes que la tarea no termina al multiplicar sino al reducir los términos semejantes del producto, eso los ayudará en la lección siguiente cuando trabajen los pro-ductos notables.

Cierre

En el «Refuerzo», ejercicio 1, pídales a los estudiantes que calculen factor por factor, preguntando qué núme-ro multiplicado por –3 resulta 1 hasta formar la respuesta completa. En los ejercicios 2 y 3 indíqueles que si lo con-sideran necesario dibujen cada una de las figuras.

Generalmente los estudiantes al multiplicar un factor negati-vo por un polinomio ignoran el signo menos o lo consideran solo en el primer término del polinomio. Para evitar esta situación acostumbre a los estudiantes a escribir los factores completos al momento de distribuir, por ejemplo: –2(3 – x) = (–2 • 3) – (–2 • x) = –6 + 2x. Esto se encuentra claramente propuesto en los ejercicios resueltos del texto.

Errores frecuentes

Actividades ComplementariasRefuerzo

1. Escribe como monomio las siguientes potencias.a) x² • x³

b) (x²)5

c) ((–a)³)4

d) (a² • b²)⁷

2. Escribe como monomios los siguientes productos.a) 3x² • 3xy² • 5xy³

b) 2xy • 6x²y² • 3x³y³

c) 3a² • 2ab • b²

d) 2uv • (–3v²) • u²v³

3. Calcula.a) x³ • (2x + 7)

b) x⁴ • (3x – 6)

c) x² • (4x³ + 6x + 1)

4. Completa las siguientes igualdades.a) x • xy =

b) • ab = ab²

c) 2(x – 3) = – 6

d) (x – 8)(x + ) = x² – 5x – 24

5. Si la base de un triángulo mide 5x cm y su altura mide 8x cm, ¿cuál es el área del triángulo?

6. Si x = 2 e y = –1, ¿cuál es el valor de la expresión (x – 8)(y – 4)? Para resolver este ejercicio, ¿qué resulta más fácil, valorizar o multiplicar primero?

Profundización

7. Simplifica la siguiente expresión:–12 – 2[–3(x – 7) – 4(1 – x)]

Respuestas

1. a) x5 b) x¹0 c) a¹² d) a¹4b¹4

2. a) 45x4y5 b) 36x6y6 c) 6a³b³ d) –6u³v5

3. a) 2x4 + 7x³ b) 3x5 – 6x4 c) 4x5 + 6x³ + x²

4. a) x²y b) b c) 2x d) 3

5. El área del triángulo es 20x² cm².

6. 30. Es más fácil valorizar primero y luego multi-plicar.

7. 4x – 46.



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Lección 16: ¿Qué son los productos notables? Págs. 94 a 99

PropósitoReconocer productos notables y utilizarlos para resol-ver problemas.

Palabras clave § Suma por diferencia § Cuadrado de binomio § Binomios con término común

Prerrequisitos § Reducción de términos semejantes. Multiplicación de expresiones algebraicas.


La búsqueda de los patrones involucrados en los pro-ductos notables se realiza a través de representaciones geométricas de manera que los estudiantes tengan una herramienta visual con que trabajar.

Desarrollo

Muéstreles a los estudiantes que todos los productos no-tables se desprenden del binomio con término repetido, por ejemplo, en (a + b)² = (a + b)(a + b), puede conside-rarse que se repite el término a, entonces el producto se traduce en: el término que se repite al cuadrado a², la suma de los que no se repiten por el que se repite 2ab, finalmente, el producto de los que no se repiten, b², tenemos entonces: a² + 2ab + b². De igual manera se puede desarrollar la suma por diferencia.

Trabaje el ejercicio 4 de la página 96, agrupando los tér-minos de manera que se puedan aplicar los productos notables.

En el problema 17, además de estudiar la regularidad en el triángulo de Pascal, discuta el uso práctico, por ejem-plo, para calcular (a + b)²5.

En el ejercicio 16 e) extienda el problema a la variación del área del rectángulo, insistiendo en la conveniencia de dibujar primero la situación.

Cierre

Los ejercicios de la sección «Refuerzo» son interesantes porque en el primero podrá captar si los estudiantes han internalizado el cuadrado del binomio, desarrollándolo para luego evaluarlo y llegar a la respuesta de: 161.

En el ejercicio 2 se introduce la dificultad del coeficiente fraccionario. Pídale a sus estudiantes que se guíen por el modelo desarrollado en el ejercicio 10 de la página 97 del texto.

Finalmente, el tercer ejercicio es útil para comprobar si los estudiantes están utilizando correctamente las pro-piedades de las potencias para llegar al resultado a²n – 2anbn+¹ + b²n+².

Los estudiantes de forma natural tienden a desarrollar (a + b)² como a² + b². Para evitar ese error, desarrolle algu-nos cuadrados como 12² = 144, pero (10 + 2)² ≠ 100 + 4.

Errores frecuentes


1. Elige el producto notable más adecuado para calcular los siguientes productos.

a) 57 • 63 b) 29² c) 102 • 982. Completa los siguientes ejercicios

a) (x – 7)(x + 7) = – 49

b) (x – )² = x² – 6x +

Profundización

3. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) (x + 2)² – (x – 3)² = 25

b) (x + 7)(x – 7) – (x + 7)² = 28

Respuestas

1. a) Suma por diferencia (60 – 3)(60 + 3), 3591.

b) Cuadrado de binomio (30 – 1)², 841.

c) Suma por diferencia (100 + 2)(100 – 2), 9996.

2. a) x² b) 3 y 9

3. a) x = 3 b) x = –9

Este link puede resultar de utilidad para responder el ejercicio 21 de la página 99: http://goo.gl/LHSTuh

Link de interés


Lección 17: ¿Qué es factorizar? ¿Cómo se factorizan expresiones algebraicas? Págs. 100 a 107

PropósitoRealizar la operación inversa a multiplicar, encontrando las factorizaciones primas de los productos.

Palabras clave § Factor § Factorización

Prerrequisitos § Productos notables. Factorización prima de números.


Al inicio de la lección debe insistir en la frase “un par de posibles lados”, explicando que la solución encontra-da no es la única. Esta idea puede ser reforzada con un ejemplo numérico: el área de un rectángulo es 18 cm2, los lados pueden medir 9 cm y 2 cm, 18 cm y 1 cm, 36 cm y 0,5 cm, etc.

Desarrollo

En este caso es muy importante que los estudiantes realicen los ejercicios de «Repaso» de la página 102, de manera que tengan claridad sobre los productos nota-bles que utilizarán para realizar las factorizaciones.

A muchos estudiantes les resulta de gran ayuda un apo-yo gráfico para el proceso de factorizar.

El ejercicio 16 de la página 105 se trata de una aplicación de las factorizaciones. A primera vista los estudiantes pueden no saber por dónde comenzar, indíqueles que deben factorizar de manera que logren la expresión que tiene un valor dado.

En el ejercicio 18 de la página 107, sugiérales la siguien-te tabla de valores:

Lado C. rojos C. blancos3 5 (1 + 4) 44 8 (4 + 4) 85 13 (9 + 4) 12

… … …n ¿? ¿?

De esta manera se hace más fácil visualizar el patrón de formación.

Cierre

La sección «Reflexiono» de la página 107 es impor-tante para integrar los nuevos contenidos. La primera pregunta está focalizada en la comprensión de los pro-cedimientos reversibles. En la segunda pregunta pídales que investiguen sobre quién fue Fermat y cuál fue su aporte a la matemática.

Errores comunes en las factorizaciones son los problemas con signos. Por ejemplo, al factorizar x² + 5x – 6, hágalos discutir que el –6 implica que los números buscados tienen distinto signo y, que el +5 implica que el mayor es positivo.

Errores frecuentes


Refuerzo

1. A partir de las áreas de los rectángulos más pequeños determina cuánto miden los lados del rectángulo mayor.

2. Factoriza las siguientes expresiones.

a) x² + 2x + 1

b) 4x² – 4x + 1

c) 9x² + 6xt + t²

d) x4 + 2x²y² + y4

e) x² – 49

f) 4x² – 25

g) 64 – 4x²

h) x4 – y²

Profundización

3. Si a • b = 0 ⇒ a = 0 o b = 0 o ambos son 0. A partir de lo anterior resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x² – 6x + 9 = 0 b) x² – 5x – 14 = 0

Respuestas

1. Los lados miden (2x + 3) y (2x + 1)

2. a) (x + 1)² e) (x + 7)(x – 7)

b) (2x + 1)² f ) (2x + 5)(2x – 5)

c) (3x + t) g) (8 – 2x)(8 + 2x)

d) (x² + y²)² h) (x² – y)(x² + y)

3. (2x + 7)(x – 2)

4. a) x = 3 b) x = 7 o x = –2

Para factorizar siempre se puede dividir los polinomios dados. Información sobre este tema se puede encontrar en:http://www.aulafacil.com/algebra/curso/Lecc-15.htm

Link de interés


4x²

2x

6x

3


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PropósitoEsta instancia ayuda a los estudiantes a realizar un resumen de los contenidos vistos hasta el momen-to, ordenarlos y resolver las dudas que puedan tener.Posteriormente pueden contrastar sus respuestas para determinar posibles errores.

Orientaciones didácticasPermita que los estudiantes tengan el tiempo suficiente para estudiar los contenidos antes de realizar la evalua-ción, este trabajo es más efectivo si trabajan en grupos de dos o tres estudiantes.

Puede ser útil para los estudiantes completar la siguiente tabla:

Objetivo Lección ¿Qué necesito saber?

Multiplicar expresiones Lección 15

Utilizar productos notables Lección 16

Factorizar expresiones Lección 17

También pueden utilizar ciertos esquemas de trabajo para realizar los ejercicios, por ejemplo:

Tabla de especifi caciones Integro mis aprendizajes


Remedial

Multiplican expresiones algebraicas utilizando productos notables y otras regularidades.

1, 2, 3 y 4 Verbalizar los patrones que se observan en los productos notables.

Factorizan expresiones algebraicas. 7 Descomponer cada término del polinomio a factorizar.

Resuelven problemas utilizando productos y factorizaciones.

5, 6 y 8 Apoyar la resolución de problemas con dibujos y esquemas.

Ejercicio

Sí No

Para multiplicar

¿Corresponde a un producto notable?

Utilizar el patrón correspondiente

Utilizar la distributividad

Ejercicio

No Sí

Para factorizar

¿Tiene un factor común?

Comparar con cada uno de los patrones, factorizar y revisar si está completa-mente factorizado.

Factorizar y revisar si está completamente factorizado.


Lección 18: ¿Cómo plantear y resolver ecuaciones lineales con una incógnita con coe� cientes racionales? Págs. 110 a 113

PropósitoPlantear y resolver ecuaciones lineales.

Palabras clave § Ecuaciones lineales o de primer grado con una incógnita.

Prerrequisitos § Operaciones con números racionales. Operaciones con expresiones algebraicas.

§ Traducción del lenguaje común al algebraico.


Coloque ejemplos simples en la pizarra con coeficientes enteros: 5x + 1 = –9; 2x + 3 = 3x – 8. Pregúnteles si se utili-zarán o no las mismas estrategias cuando los coeficientes sean racionales.

Desarrollo

En el problema 2 de la página 112, probablemente deberá recordar con la siguiente figura, que la apotema co-rresponde a la altura del triángulo que se puede formar en el hexágono. Con el problema 3 se puede discutir si es necesario o no escribir una ecuación para resolverlo.El problema a) del ejercicio 5, puede generar dificultades. Por ello plantéelo como “el tercio de un número, sumado con el número es igual a 5,5”.

Cierre

En el «Refuerzo» de la página 113, ejercicio 1, los alumnos deberán discutir la conveniencia de convertir el decimal a fracción para poder buscar un común denominador y resolver. En el segundo problema, recuerde a sus estudiantes que v • t = d y que si el tiempo del primer automóvil es t entonces, el del segundo es (t – 1).

En las ecuaciones con coeficientes racionales el error más común es multiplicar por el mínimo común denominador solo alguno de los términos de la ecuación (generalmente se multiplican solo aquellos términos fraccionarios y no los que tienen coeficientes enteros), para lo cual se recomienda que, al menos en los prime-ros ejercicios, escriban la multiplicación y luego distribuyan. Para evitar este error se debe trabajar el ejercicio 11 de la página 113.

Errores frecuentes


1. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) (x + 3)(x – 3) = (x + 6)2

b) x + 1,3 = –2,6

c) 2(x – 1) = 4 – x

d) 4x + 3(7 – 2x) = 19

e) 4(x + 1) = 6 – 2(1 – 2x)

f) 7 + 3(x – 4) = 11x – 6(x – 2)

g) x2

17 x –x3–x4–x5

+ =

h) 11– x8

2(5– x)6

+ =

i) x –93

3x – 44

2x 33

+ = +

2. Se tiene la ecuación x18

18

− = . ¿Por qué la solución no es 0?

3. Un libro de tapas dura cuesta $25 000, el mismo libro, pero en versión de tapas blandas cuesta $17 000. ¿Cuántos libros de tapas duras se deben vender para llegar a la misma cantidad de dinero que si se venden 30 libros de tapa blanda?

Profundización

4. Juan compró un auto a $3 000 000, dio un pie de $480 000 y pagó mensualmente, durante dos años $115 000. ¿Qué porcentaje de interés pagó?

5. Un caminante realiza las 23

partes de un viaje en

bicicleta, 14

del resto en autobús y los 10 km restan-

tes andando. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido?

Respuestas

1. a) x154

= − b) x = –3,9 c) x23

=

d) x = 1 e) x–75

= f) x–172

=

g) x = 60 h) x135

=

i) x = 12

2. Porque los octavos tienen distinto signo.

3. Se deben vender 21 libros.

4. Pagó un 8% de interés.

5. Ha recorrido 40 km.



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Lección 19: ¿Cómo plantear y resolver ecuaciones literales? Págs.114 a 117

PropósitoPlantear y resolver ecuaciones literales.

Palabras clave § Ecuación literal

Prerrequisitos § Resolución de ecuaciones lineales. Traducción del lenguaje natural al algebraico. Operaciones con ex-presiones algebraicas.


Recuerde la situación de la compra del papá de Isidora, que se ha trabajado en lecciones 14 y 18, y anticipe que en esta ocasión los estudiantes podrán definir una varia-ble en función de otra.

Desarrollo

Los alumnos deben darse cuenta de que para resolver una ecuación literal deben despejar la variable determi-nada a través de operaciones algebraicas, en muchos casos, factorizando además de dividir o multiplicar.

En el problema 8 de la página 116, los estudiantes deben entender que una ecuación puede ser reescrita de tantas maneras como el número de variables que contiene y to-das ellas se llaman ecuaciones o fórmulas asociadas.

Algunos problemas, por ejemplo, 10 c) y 10 d) de la página 117 puede trabajarlos con el profesor de Física y pedirles que averigüen cuál es la dilatación lineal ¿Qué otros tipos de dilatación existen? ¿Qué relación existe entre las cargas y la corriente eléctrica? ¿En qué unidad de medida se miden las cargas?

Cierre

En la sección «Reflexiono», es importante que los estudian-tes al terminar la lección concluyan que las ecuaciones o fórmulas son útiles para describir y modelar situaciones y resolverlas.

Hay estudiantes que se sienten todavía incómodos con el trabajo algebraico, por lo que cometen errores como restar cuando deben dividir. Hasta que aumente su confianza deben escribir paso a paso cada resolución de ecuaciones, también resulta útil pedirles que verbalicen los procesos, como explicar-le a un compañero la manera como lo resolvió.

Errores frecuentes

Actividades Complementarias

Refuerzo

1. Se tiene la ecuación 3a + 5b = 7 y se pide dejar a en función de b. ¿Cuál variable hay que despejar? ¿Cuál es la nueva expresión?

2. La tabla muestra los precios (p) de los tomates (t).

t (kg) 3 6 12p ($) 1500 3000 6000

a) Escribe una forma que relacione las variables.

b) Si se escribe p = 500t, ¿qué significado tiene 500?

c) Si se escribe t = 0,002p, ¿qué significado tiene 0,002? (Considera que 1 : 500 = 0,002)

3. Encuentra los valores de x que satisfacen las si-guientes ecuaciones:

a) 6x + 5a = 4x + 9a

b) 17a + 7x = 29a + 4x

c) 8x – 5a + 7b = 5x – 2a + 10b

d) 17x + 14a – 19b = 14x + 23a – 13b

e) 2(3x + 4a + 2) = 5(x + 2a + 1)

f) 7(x + 2a + 1) = 5(x + 4a + 3)

Profundización

4. Resuelve la ecuación, considerando x como incógnita.x st

2x ts

− = − −

Respuestas

1. a, a7 5b3

= −

2. a) pt

500=

b) El precio de 1 kg de tomates.

c) Los kilogramos de tomate que se pueden comprar con 1 peso.

3. a) x = 2a b) x = 4a c) x = a – b

d) x = 3a + 2b e) x = 2a + 1 f) x = 3a + 4

4. x = s + t


Lección 20: ¿Cuáles son las restricciones en la solución de una ecuación literal? Págs. 118 a 121

PropósitoAnalizar los posibles valores de las variables involucra-das en una ecuación literal para que tenga solución en los números racionales.

Palabras clave § Restricción § Ecuaciones literales

Prerrequisitos § Resolución de ecuaciones literales.


Para iniciar el tema utilice contextos concretos o geomé-tricos como el que aparece al inicio de la lección, ya que en este caso, para que exista realmente el rectángulo; b no puede ser 0, pues entonces sería un cuadrado, y tam-poco b > a porque la medida sería negativa.

Desarrollo

Probablemente en el ejercicio 5 los estudiantes necesita-rán bastante ayuda. En primer lugar deben entender que como el valor de la variable a pertenece a los enteros, el número de posibles soluciones es finito. En segundo lugar deben tener claro cómo, en el ejemplo resuelto se llegó a los valores de a. Guíelos preguntando cuál es el menor número impar, luego se plantea una nueva ecua-

ción: a 12

3− = , al resolverla se obtiene 7. Repitiendo este

método se llega a la regla de formación 7 + 4n, con n natural.

El ejercicio 8 resulta de utilidad para discutir con los es-tudiantes la importancia de los signos: si la ecuación se

resuelve correctamente se obtiene x10 2b3a 2

= −−

, por lo

tanto, la restricción ahora es a23

≠ .

Cierre

En la sección «Reflexiono» discuta si en una ecuación literal existe alguna restricción matemática diferente a que el denominador de una fracción sea distinto de cero.

En el ejercicio d. de la sección «Refuerzo», recuerde las fórmulas para desarrollar el cubo de una suma y de una diferencia, es un buen ejercicio de habilidad algebraica para llegar al resultado x = 2a.

Determinar las restricciones de las ecuaciones de un problema requiere una gran cantidad de análisis, por lo que más que errores, los estudiantes pueden cometer omisiones. Una forma de evitar esto es que antes de comenzar a resolver analicen el enunciado del problema.

Errores frecuentes


1. En la página 120, revisa los ejercicios 2 y 3 y luego responde.

a) ¿Hay restricciones matemáticas?

b) ¿Hay restricciones de contexto?

Profundización

2. ¿Qué valores de x elevados al cuadrado dan 4?

3. En la fracción x

x 92 −, ¿qué restricción se le debe

imponer a x?

4. Si la fracción fuera xx 92 +

, ¿habría restricciones? Justifica.

5. En la ecuación 2x – 6 = 4x + M, ¿cuál debe ser el valor de M para que x sea igual a 2?

6. Una planta mide 30 cm de altura, y crece en pro-medio n cm por día, ¿cuántos días deben transcu-rrir para que mida z cm?

Respuestas

1. a) No hay restricciones matemáticas.

b) Las restricciones de contexto, por tratarse de medidas, deben ser mayores que cero.

2. 2 y –2

3. El valor de x debe ser distinto de 3 y –3.

4. No porque x2 + 9 es siempre mayor que 0.

5. M = –10

6. Deben transcurrir (z –30)n

.

Sobre la historia de las ecuaciones lineales se puede encontrar en: http://goo.gl/82HFka.

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Orientaciones didácticasEsta evaluación integradora contiene los objetivos de las lecciones 18 a 20, es decir, ecuaciones lineales, literales y análisis de las restricciones en una ecuación literal.

Un esquema para que los estudiantes trabajen antes de resolver la evaluación puede ser el siguiente:


PropósitoAprender nuevas estrategias de resolución de problemas.

Orientaciones didácticasLos cinco pasos de la resolución de problemas se man-tienen constantes. La estrategia utilizada en este caso es la construcción de una tabla luego de encontrar la ecua-ción que representa la situación dada.

Realizar el primer paso correctamente es relevante por-que la única forma en que se puede resolver el problema es: primero, comprendiéndolo. Igualmente importante es el quinto paso, ya que al comunicar el resultado se debe revisar la coherencia de este con la pregunta del problema.

Este artículo presenta información sobre estrategias de resolución de problemas.http://platea.pntic.mec.es/jescuder/prob_int.htm

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Tabla de especifi caciones Aplico mis aprendizajes


Remedial

Resuelven ecuaciones lineales de primer grado en el ámbito de los números racionales.

1 Repasar la operatoria numérica y algebraica.

Resuelven ecuaciones literales y analizan las restricciones de las soluciones.

3 y 4Despejar cada una de las variables involucradas en una ecuación literal. Analizar restricciones que se relacionen con el contexto, para luego complejizar a restricciones matemáticas.

Resuelven problemas utilizando ecuaciones lineales y literales.

2, 5 y 6Revisar el planteamiento de la ecuación y su resolución en parejas, comprobando las respuestas.

Ecuaciones

Ecuaciones

Lineales

Enteros o racionales

Literales

Restricciones


Lección 21: ¿Qué es una función? Págs. 126 a 131

PropósitoComenzar el estudio de funciones recordando los con-ceptos vistos en cursos anteriores para profundizarlos.

Palabras clave § Función § Representación gráfica de una función

Prerrequisitos § Relación entre dos variables. Imágenes y pre imáge-nes. Gráfico de una tabla de valores.


El concepto de función fue trabajado en 8° Básico, por lo que recuerde estos contenidos utilizando las preguntas que aparecen al inicio de la página 126.

Verifique que sus estudiantes relacionen la abscisa y la ordenada con la pre imagen y la imagen, respectiva-mente, eso facilitará la comprensión cuando utilicen la notación de función como y = f(x).

Desarrollo

Para trabajar la sección «En resumen», los estudiantes deben tener claro que en la definición de función se encuentran dos condiciones: la primera se refiere a que todos los elementos del dominio deben tener una ima-gen, y la segunda condición es que esa imagen sea única.

La secuencia presentada en el texto debe guiar a los es-tudiantes a formar un esquema de interrelación entre la expresión algebraica, la numérica y la gráfica de una fun-ción, como muestra el siguiente esquema.

Expresión algebraica ↔ Tabla ↔ Gráfico

↓ ↓ ↓ Álgebra Datos Figura

Cierre

El objetivo final del estudio de las funciones es mostrar-les a los estudiantes esta herramienta de modelamiento matemático, por esto los problemas planteados en la ac-tividad 9 de la página 130 tratan de la interpretación de situaciones utilizando funciones.

Los estudiantes tienen problemas en determinar cuál de las variables es la dependiente. Para trabajar en ello ínstelos a que lean la pregunta del problema, eso puede aclararlo, de lo contrario, pídales que escriban las dos relaciones, las lean y vean cuál les resulta coherente con la situación. Por ejemplo, en el problema 9 a) de la página 130, se puede plantear:

• La disminución de la temperatura depende del transcur-so del tiempo.

• El transcurso del tiempo depende de la disminución de la temperatura.

La que debiera tener mayor coherencia para los estudiantes es la primera relación de dependencia.

Errores frecuentes


1. Se tiene la función f(x)x 32x 4

= −+

.

a) ¿Cuál es el valor de f(2)?

b) Si f(a) = 0, ¿cuál es el valor de a?

c) ¿Qué valor no puede tomar x?

2. Si A(n) representa el enésimo término de la suce-sión 1, 4, 7, 10, …

a) Encuentra una expresión para A(n).

b) Describe el conjunto de las preimágenes de esta relación.

Profundización

3. Se define g(x) = | x |. Aproximadamente, ¿qué for-ma tendrá su gráfico?

Respuestas

1. a) f (2)18

= − b) a = 3 c) x = –2

2. a) A(n) = 3n – 2 b) Los números naturales.

3. Y

X

Más sobre funciones se puede encontrar en http://goo.gl/bHpdTl

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Lección 22: ¿Qué es la pendiente de una recta? ¿Cómo se calcula? Págs. 132 a 133

PropósitoIntroducir el concepto de pendiente de una recta y cal-cularla a partir de dos puntos que pertenezcan a ella.

Palabras clave § Pendiente de una recta.

Prerrequisitos § Plano cartesiano, pares ordenados.


Trabaje con el gráfico que aparece en la página 132 para introducir el concepto de pendiente como la variación que se produce entre las ordenadas y las abs-cisas, muéstrelo contando las unidades que se debe avanzar a la derecha y luego hacia arriba y cómo se va formando la recta.

Desarrollo

Es importante hacer hincapié que la pendiente se puede calcular con cualquiera par de puntos que pertenezcan a la recta y que solo basta con 2 puntos. Por ejemplo realice un ejercicio en que se conocen tres puntos de una recta, muestre que al elegir dos cualquiera de ellos se puede encontrar la pendiente, luego elija otro par distinto y muestre que obtiene la misma pendiente.

Diríjase a la sección «En resumen» de la página 132, y dé ejemplos para cada una de las posiciones relativas de una recta. Se sugieren los siguientes:

• Para m < 0 los puntos A(–4, 3) y B(5, –2). • Para m = 0 los puntos A(5, 2) y B(7, 2). • Para m no definida A(6, 4) y B(6, –2).

Cierre

En la sección «Reflexiono» guíe a los estudiantes para que respondan en el primer punto que las abscisas de-ben ser diferentes para que la recta no tenga pendiente indefinida. Y en el segundo punto guíelos para que res-pondan que las ordenadas deben ser diferentes también.

Una de las posibles dificultades que pueden presentar los estudiantes es cuando se les da más de dos puntos para calcular la pendiente y se complican porque piensan que deben usarlos todos. Se sugiere hacer hincapié y mostrar que para cualquiera par de puntos que pertenezcan a la recta la pendiente es la misma.Un error frecuente es que los estudiantes invierten el orden de las diferencias de las coordenadas obteniendo el inverso multiplicativo de la pendiente. También presentan dificultades cuando las coordenadas de los puntos son negativas, se sugiere incluir ejercicios de este tipo.

Errores frecuentes


1. Sean A(–1, 1), B(0, 3), C(1, 1), D(1, –1) y E(0, 0). Deter-mina si m = 0, m < 0, m > 0 o m no está definida.

a) mAB� �� b) m

AC� �� c) m

DA� �� d) m

BC� �� e) m

EB�� f) m

AE� ��

2. Dibuja las rectas anteriores en el plano cartesiano.

3. Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda.

a) La pendiente de la recta que pasa por los puntos (0, 3) y (9, 3) es cero.

b) Una recta que tiene pendiente m = 0 siem-pre pasa por el origen O(0, 0).

c) La recta que pasa por los puntos P(0, 7) y Q(7, 0) tiene pendiente m = 7.

d) Si una recta pasa por los puntos C(a, b) yD(a + 1, b – 1), entonces tiene pendiente negativa.

e) Si la pendiente (m) de una recta es 3, enton-ces esta recta pasa por los puntos (3, 2) y (4, 1).

f) La recta y = 2x + 1 intersecta al eje X en el punto (2, 0).

Respuestas

1. a) mAB� �� > 0 c) m

DA� �� < 0 e) m

EB�� No esta definida

b) mAC� �� = 0 d) m

BC� �� < 0 f) m

AE� �� < 0

2.

BA C

E

Dx–1 8–4 5–2 7–5 4–3 6–6 3–7 2–8 1

y

0

5

–1

4

–2

3

–3

2

–4

1

–5

3. a) V b) F c) F d) V e) F f) F



Lección 23: ¿Cuándo una función es lineal? Págs. 134 a 137

PropósitoPresentar formalmente la función lineal y analizar situa-ciones que pueden ser modeladas por ella.

Palabras clave § Función lineal § Gráfico de la función lineal

Prerrequisitos § Proporción directa. Constante de proporcionalidad.


Recuerda lo visto en 8° Básico acerca de la proporcionali-dad directa, el cálculo e interpretación de la constante y el gráfico correspondiente. Este año revisarán esos conte-nidos relacionando la pendiente de la recta en el gráfico como la constante de proporcionalidad.

Desarrollo

Los estudiantes deberán comprender que toda propor-cionalidad directa se modela por una función lineal y toda función lineal representa una proporción directa.Respecto al gráfico: este debe cumplir con dos condicio-nes, el punto (0, 0) debe pertenecer al gráfico y además debe ser una recta. Discuta con sus estudiantes el hecho de que cada una por separado es necesaria, pero no suficiente.Muestre a los estudiantes que para graficar la recta necesi-tan calcular un solo punto ya que el segundo siempre será (0, 0) y dados dos puntos solo una recta se puede trazar por ellos. Otra forma de graficarla es partir del punto (0, 0) e ir trasladándose según lo que indica la pendiente como se muestra en la sección «En resumen» de la página 135.

Cierre

En el ejercicio 2 de la sección «Refuerzo» de la página 137 discuta el significado de la constante, en este caso la rapidez del automóvil. Resulta muy claro, si se tiene el gráfico de ambas funciones, que a mayor pendiente, más inclinada hacia el eje Y se ubica la recta.

Los estudiantes tienden a mal interpretar la pendiente de la recta, es decir, confunden qué dirección toma la recta con respecto al eje Y, y con respecto al eje X. Esto refleja una insuficiente comprensión de la relación de dependencia de las variables.

Errores frecuentes


1. Un avión vuela a una velocidad aproximadamente constante de 500 km/h.

a) Completa la siguiente tabla de valores:

Tiempo (Horas) 1 2 3 4 5 … xEspacio recorrido (km) 500 1000

b) ¿Son directamente proporcionales las magnitu-des tiempo y espacio recorrido?

c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

2. Una estufa eléctrica gasta $900 por cada hora que está encendida. Una estufa a parafina gasta $1200 cada 1,5 horas que está encendida.

a) Escribe las funciones que modelan ambas rela-ciones.

b) Según la información dada, ¿qué tipo de calefac-ción es más barata?

c) Sin graficar, ¿cuál de las rectas forma un menor ángulo con el eje X?

Profundización

3. Se tienen las funciones y = 5x e y15x= , grafica

ambas y además la recta x = y. Observando los tres gráficos, ¿qué puedes concluir?

Respuestas

1. a) Tiempo (Horas) 1 2 3 4 5 … xEspacio recorrido (km) 500 1000 1500 2000 2500 500x

b) Las magnitudes son directamente proporcionales.

c) La constante de proporcionalidad es 500.

2. a) y = 900x, y = 800x

b) La parafina.

c) La recta que modela el gasto de la parafina.

3. Las gráficas son simétricas respecto a la recta x = y.

La Educación Secundaria Obligatoria (ESO) del sistema educativo español tiene esta publicación sobre función lineal, afín y temas relacionados.http://www.vadenumeros.es/tercero/funcion-afin.htm

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Orientaciones didácticasOrganice el curso en grupos de dos o tres estudiantes y entrégueles la tarea de hacer un resumen de los conte-nidos de las lecciones 21 a la 23. Luego pídales a uno de los grupos que escriba en la pizarra uno de los temas, los demás grupos revisarán si está correcto y lo corregirán y completarán si es necesario, así, tema por tema. Esta

actividad preparará a los estudiantes para la evaluación y además, considere que las correcciones entre pares son las más efectivas.

El siguiente esquema puede ayudar para comenzar con el resumen de los contenidos.

Tabla de especifi caciones Integro mis aprendizajesLa siguiente tabla muestra los objetivos a lograr y algunas ideas para remediar los problemas que pudiesen tener los estudiantes.


Remedial

Comprenden y caracterizan el concepto de función. 1, 2 y 5Revisar las secciones «En resumen» de la lección 21 y los ejercicios resueltos.

Reconocen el dominio y recorrido de una función. 3 y 4Dibujar diagramas sagitales y marcar con distintos colores los elementos del dominio y del recorrido.

Reconocen una función lineal y la representan grá� camente.

6 Resolver problemas que involucran proporcionalidad directa.

Resuelven problemas aplicando función lineal. 7, 8 y 9Resolver problemas equivalentes más simples utilizando los 5 pasos de la resolución de problemas.

Si desea recomendar algunos links para el reforzamiento de sus estudiantes puede examinar los siguientes:http://goo.gl/rvIR8L www.x.edu.uy/lineal.htm

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Dominio

Expresión algebraica

Preimágenes

y = kx

Recorrido

Gráfico

Imágenes

Recta que pasa por el origen

Relaciones

Funciones

Función lineal


Lección 24: ¿Cuándo es afín una función? Págs. 140 a 145

PropósitoAmpliar el estudio de la función lineal a la función afín, aplicándola a una variedad de contextos.

Palabras clave § Función afín § Pendiente e intercepto

Prerrequisitos § Función lineal. Pendiente de una función lineal. Gráfi-co de una función lineal.


En la situación inicial se presentan en paralelo una si-tuación que corresponde a una función afín y una que corresponde a una función lineal. La única diferencia en-tre ambas condiciones es el cargo fijo del plan que se convertirá en el intercepto del eje Y de la función afín.

Desarrollo

Es importante que los estudiantes revisen cuidado-samente la sección «En resumen» de la página 141, puesto que en ella se encuentra toda la información ne-cesaria para comprender la función afín.

Después de la presentación de la función afín los estu-diantes podrán comprender que la función lineal es un caso especial de la afín, o que es una función afín con intercepto igual a 0.

El trabajo que deben realizar los estudiantes es principal-mente de deducción, dados los gráficos de las funciones. Tenga especial cuidado en el ejercicio 6, en el cual se muestra un método para calcular la pendiente de la rec-ta. También son importantes los problemas 7 y 10 en los cuales se pide investigar en el programa GeoGebra.

Cierre

En la sección «Reflexiono» se presentan dos ideas ya ex-puestas, por una parte, el que una función lineal es una función afín con intercepto 0, y por otra, se muestra la interrelación entre la gráfica, la expresión algebraica y la tabla de valores.

En la sección «Refuerzo», ejercicio 2, los estudiantes de-ben asumir que el segundo punto es (0, 0).

En la función lineal la constante de proporcionalidad es la pendiente de la recta, en el caso de la función afín esta debe calcularse. Muchos estudiantes suelen confundirse y colocar las dos coordenadas de un punto en el numerador y las del otro en el denominador. Para evitar esto, pídales que lo hagan gráficamente.

Otro error común es pensar que la función afín representa una proporción directa entre sus variables, lo cual puede desmentirse con algunos ejemplos.

Errores frecuentes


1. ¿Cuál es la pendiente de una recta paralela al eje X?

2. ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (–4, 8) y (1, 3)?

3. Un árbol se trasplanta cuando mide 20 cm, desde entonces crece 6 cm cada 6 meses. Encuentra la función afín que describe el crecimiento del árbol anualmente.

4. En un depósito a medio llenar, la altura del agua es de 5 metros. Se quiere llenar del todo con un grifo que consigue subir la altura 50 cm cada hora. Es-cribe la fórmula de la función que permite calcular la altura del agua en función del tiempo que pasó desde que se abrió el grifo.

Profundización5. La pendiente de una recta que pasa por el punto

(3, 4) es 2. Se sabe que (2, y) también pertenece a la recta, ¿cuál es el valor de y?

Respuestas

1. m = 0

2. m = –1

3. C(t) = 12t + 20

4. f(x) = 50x + 5; donde x: cantidad de horas trans-curridas desde que se abrió el grifo.

5. y = 2

Para preparar material de clase puede revisar el link http://goo.gl/D5NkkQ. http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Recta_Ecuacion_de.html

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Lección 25: ¿Qué es una composición de funciones? Págs. 146 a 149

PropósitoPreparar a los estudiantes para comprender de mejor manera la composición de transformaciones isométri-cas que se verán más adelante.

Palabras clave § Composición de funciones

Prerrequisitos § Evaluación de funciones. Dominio y recorrido de una función.


Una composición de funciones se puede entender como una función en que la variable independiente es otra función. Aproveche la sección «Repasa» de la página 146 y proponga el ejercicio: si f(x) = 3x. ¿Cuál es la expresión que corresponde a f(2a + 1)? El resultado es 6a + 3, pero si se define g(x) = 2x + 1, el resultado tam-bién corresponde a f(g(a)), es decir f o g(a) = 6a + 3.

Desarrollo

La primera parte de la práctica de esta lección trata de ejercicios para utilizar la definición de la composición de funciones y la determinación de dominios y recorridos. Esta parte será de utilidad para la próxima lección.

La segunda parte, página 149, consiste en aplicaciones de la composición de funciones a situaciones en contexto.

El ejercicio 10 b) de la página 149, aprovéchelo para re-visar nuevamente el orden en que deben ser escritas las funciones. Como esto puede ser bastante confuso, siga el siguiente método:

f(x) g(x)

Entra → Máquina Matika → Máquina Zuki → Sale

Se debe completar ( (x)), la primera función que se aplicó fue f(x), luego esa se escribe en segundo lugar, de manera que la solución es g(f(x)).

Cierre

La sección «Reflexiono» prepara a los estudiantes para los contenidos de la siguiente lección donde se estudia-rá la clausura en la composición de funciones.

Para evitar confusiones respecto al orden en que se debe desarrollar la composición de funciones, sus estudiantes deben acostumbrarse a escribir f o g(x) = f (g(x)) y luego recordar que los paréntesis siempre se desarrollan de adentro hacia afuera.

Errores frecuentes


1. Para f(x) = 3x + 2 y g(x) = x2, encuentra

a) f o g(3)

b) g o f(–1)

2. h(x) = (2x – 1)³, escribe dos funciones f(x) y g(x) tal que f o g(x) = h(x).

3. Dadas las funciones f(x) y g(x) encuentra la expre-sión de f(g(x)).

f(x) 3x 1 g(x)=x 13

= + +

Profundización4. Se sabe que f(g(x)) = x y que g(x) = 4x – 3 encuen-

tra la función f(x).

Respuestas

1. a) 29 b) 1

2. Pueden ser f(x) = x3 y g(x) = 2x – 1

3. f(g(x)) = x + 2

4. f(x)x 34

= +


Lección 26: ¿Qué propiedades cumplen la composición de funciones? Págs. 150 a 153

PropósitoCompletar el estudio de la composición de funciones mostrando algunas de sus propiedades.

Palabras clave § Clausura § Asociatividad

Prerrequisitos § Composición de funciones. Dominio y recorrido de una composición de funciones. Valorización de una composición de funciones.


Recuerde con sus estudiantes las propiedades de las operaciones numéricas que ellos ya conocen: clausura, elemento neutro, asociatividad, elemento opuesto y conmutatividad. Luego, durante la lección haga un para-lelo entre estas propiedades y las que se cumplen en la composición de funciones.

Desarrollo

En el problema 5 de la página 152 se propone otra regularidad de la composición de funciones, si f(x) = k, entonces g(f(x)) = g(k)

Lo mismo sucede con el problema 6, el resultado siem-pre será igual a 0. Demuestre esta regularidad utilizando el siguiente procedimiento: Sean f(x) = ax, función lineal, g(x) = b – x, función afín, g(f(x)) = g(ax) = b – ax. Entonces,

g(f(x)) = 0 = b – ax. De donde x = ba

que es la condición

de todos los ejemplos dados en el problema.

Explore con los estudiantes otras operaciones de funcio-nes, como por ejemplo:

• (f + g)(x) = f(x) + g(x) • (f – g)(x) = f(x) – g(x) • (f • g)(x) = f(x) • g(x)

• fg(x)

f (x)g(x)

=

• (a • f )(x) = a • f(x) a ∈

Cierre

La lección termina con aplicaciones para volver a insistir que tanto las funciones como la composición de ellas son herramientas para modelar situaciones.

Los ejercicios propuestos en la sección «Refuerzo» de la página 153 desafiarán a los estudiantes a resolver ecua-ciones que involucran composición de funciones, por ejemplo el primer ejercicio tendrán que resolverlo de la siguiente manera:

f o g o h(x) = 24x – 6f o g(4x – 1) = 24x – 6f(12x – 3) = 24x – 6

24x – 6 + b = 24x – 6b = 0

Con respecto a las propiedades, los estudiantes deberán tener cuidado de no aplicar propiedades que están demostradas solo para las funciones lineales o afines.

Errores frecuentes


1. Si f(x) = 2x + 3 y g(x) = 3

x 4− encuentra:

a) una expresión para f o g(x).

b) una expresión para g o f(x).

c) el valor de g o g(2).

d) el valor de f o f(8).

Profundización

2. Con las funciones dadas en el ejercicio 1 deter-mina los valores que deben restringirse para que pueda definirse f o g(x).

Respuestas

1. a) f g(x)3x 6x 4

� = −−

c) 611−

b) g f(x)3

2x 1� =

− d) 41

2. x = 4



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Orientaciones didácticasEsta evaluación integradora es la última de la unidad, y abarca las lecciones 24 a 26. Como se ha dicho con anterioridad, acerca del estudio entre pares ha sido am-pliamente demostrado que es muy efectivo, por lo tanto, se recomienda que las lecciones sean preparadas por grupos pequeños.

Un método de estudio es que los estudiantes hagan un glosario con los conceptos involucrados en estas leccio-nes, se puede organizar una tabla que los estudiantes completen y corrijan entre ellos. La tabla podría ser como la siguiente:

Concepto Explicación

Función afín

InterceptoPendiente… …


PropósitoUno de los objetivos de estas secciones, a lo largo del libro, es que los estudiantes no pierdan de vista que cada contenido que estudien puede ser aplicado a una variedad de situaciones.

Orientaciones didácticasAunque los cinco pasos de la resolución de problemas se mantienen constantes, las estrategias se van adaptan-do a los contenidos específicos, por tanto, déles tiempo para analizar las estrategias antes de aplicarlas a los pro-blemas propuestos.

Para revisar más información sobre la resolución de problemas en matemáticas se recomienda la siguiente página: www.unizar.es/ttm/2007-08/ESTRATEGIASI.pdf

Link de interés

Tabla de especifi caciones Integro mis aprendizajes


Remedial

Reconocen una función afín. 1Describir semejanzas y diferencias entre las funciones a� nes y las funciones lineales.

Analizan grá� cos de la función afín. 2 y 3 Identi� car los pares ordenados de un grá� co.

Determinan dominio y recorrido de la función afín. 5Representar en diagramas sagitales las preimágenes e imágenes de una función.

Resuelven problemas que involucran una función afín. 4

Utilizar los cinco pasos de la resolución de problemas y describir cada uno de ellos.

Valorizan composiciones de funciones. 6 y 7 Valorizar funciones lineales y a� nes.Determinan dominio y recorrido de una composición de funciones.

8Representar en diagramas sagitales las preimágenes e imágenes de una composición de funciones.

Reconocen las propiedades de la composición de funciones.

9 Veri� car las propiedades de las operaciones con números.


Conecto con la Física Pág. 160

PropósitoRelacionar los contenidos vistos en la unidad con un tema interesante y en boga para los estudiantes.

Orientaciones didácticas El tema presentado en estas páginas representa un con-flicto en nuestro país, por lo que es importante que los estudiantes planteen sus opiniones fundamentadas. Por ello se presenta la tabla de ventajas y desventajas, que puede ser ampliada y discutida por los estudiantes. Desde el punto de vista del aprendizaje matemático se puede abordar por dos caminos: el primero es la habi-lidad de razonamiento, el segundo, que cada fila de la tabla puede ser interpretada como una variable, y, en conjunto, todas ellas o combinaciones de ellas son las estudiadas por ingenieros y economistas para dar viabi-lidad a un proyecto como una hidroeléctrica.


PropósitoSintetizar los aprendizajes de la unidad para que los estudiantes asienten los nuevos conocimientos y apli-quen las habilidades desarrolladas.

Orientaciones didácticasEn esta sección se presenta un mapa conceptual que re-sulta una gran herramienta de estudio, pero que además permite a los estudiantes establecer las relaciones entre los contenidos y no considerarlos en forma de cápsulas aisladas.

El esquema que presenta esta página debería ser completado por los estudiantes con cada uno de los contenidos de la unidad, esto es, en formato de tabla, el tema que se va a trabajar, cómo se trabaja y uno o dos ejemplos. Algunos de estos temas se muestran en las si-guientes actividades complementarias.


1. Productos notables

¿Cómo se hace?

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

(a + b)(a – b) = a² – b²

(a + b)(a + c) = a² + a(b + c) + bc

Calcula:

a) (3 – x)²

b) (2y + x)²

c) (x2 + 5y)(x2 – 5y)

d) (x + 2y)(x – 2y)

e) (x – 3)(x – 7)

f) (2x² + 5y)(2x² – 8y)

Respuestas

1. a) 9 – 6x + x²

b) 4y² + 4xy + x²

c) x4 – 25y²

d) x² – 4y²

e) x² – 10x + 21

f) 4x4 – 3x²y – 40y²

Algo más sobre mapas conceptuales para el aprendizaje de las Matemáticas se puede encontrar en el siguiente link:

http://www.sinewton.org/numeros/numeros/27/Articulo04.pdf

Link de interés


PropósitoDiagnosticar los errores que podrían estar cometiendo los estudiantes.

Orientaciones didácticasQue los estudiantes corrijan paso a paso los distintos ejercicios tiene como ventaja no solo encontrar el error, sino descubrir también otros errores que el estudiante puede estar cometiendo en el proceso.

Los errores ilustrados son reducción de paréntesis y asociatividad en la parte de álgebra y en composición de funciones se confunde f o g(x) con g o f(x), pero se puede aplicar este mismo sistema a otros errores típicos, como, por ejemplo, con los productos notables o con el orden de los pares ordenados y de la pendiente cuando se grafican rectas en el plano.



2 431

Tabla de especifi caciones Refuerzo mis aprendizajes


RemedialI II

Multiplican expresiones algebraicas. 1, 2 y 3 1, 2 y 3Repasar las propiedades de las potencias y/o los productos notables.

Factorizan expresiones algebraicas. 4, 5 y 6 4Repasar productos notables y la factorización prima de números.

Resuelven ecuaciones lineales y literales y analizan las restricciones de las soluciones.

7, 8, 9, 10 y 11

5Repasar operatoria con expresiones algebraicas y resolución de ecuaciones.

Reconocen una función lineal y afín y analizan su grá� ca al variar sus parámetros.

12 a 19 6, 7, 8 y 9Describir semejanzas y diferencias entre las funciones lineal y afín.

Realizan composiciones de funciones y analizan las propiedades que cumplen.

20 10Repasar el orden en que se debe evaluar una composición y sus propiedades.


PropósitoRepasar los contenidos de la unidad antes de enfrentar la evaluación final.

Orientaciones didácticasAntes de enfrentar una evaluación, para que sea efectiva, los estudiantes deben sentirse seguros de lo que saben y de lo que pueden realizar, para ello deben repasar con ejercicios tipo de cada uno de los contenidos.

El esquema presentado pretende recordar a los estudian-tes cada contenido específico antes de que se enfrenten a los ejercicios, de manera que ellos sepan exactamente qué deben repasar en cada caso.

Se debe insistir que cada estudiante verbalice los con-tenidos, y que explique con sus palabras los diferentes procedimientos. Esto ayudará a su compresión y conso-lidación.

En el siguiente link puede encontrar algunos consejos sobre hábitos de estudio que pueden ser útiles para sus estudiantes.http://www.ugr.es/~ve/pdf/estudio.pdf

Link de interés


Orientaciones didácticasLa evaluación debe ser realizada en forma individual para que cada estudiante reconozca sus fortalezas y de-bilidades.

El proceso de corrección es muy importante, por lo tanto, asegúrese de que los estudiantes dispongan del tiempo necesario para esta tarea.

Utilizando la siguiente tabla con los indicadores en el mismo texto, los estudiantes tendrán claro qué conte-nidos deberán repasar y en qué lección se encuentran.

Para reforzar funciones lineales puede visitar el link:http://www.sectormatematica.cl/media/NM2/ECUACIONES%20DE%20LA%20RECTA%20EN%20EL%20PLANO%20CARTESIANO.pdf

Link de interés

MATEMÁTICA 1.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE 74 75UNIDAD 2 • ÁLGEBRA Y FUNCIONES

Evaluación


Integro mis aprendizajes Págs. 168 a 171

Orientaciones didácticasLos estudiantes han trabajado dos de las cuatro unida-des de este año, por esto es conveniente darles tiempo para que consoliden los conocimientos y habilidades que han adquirido. Esta actividad debería ser realizada en tres momentos: el primero corresponde a un repa-

Tabla de especifi caciones Integro mis aprendizajesPara organizar la revisión de las respuestas de los estudiantes se puede utilizar la siguiente tabla, recomendando los remediales para aquellos estudiantes que puedan haber mostrado algún problema.


Remedial

Caracterizan los números racionales. 1, 2 y 3Proponer algunas divisiones tales que los cocientes sean decimales � nitos, periódicos y semiperiódicos.

Formulan estrategias para comparar y representar en la recta numérica números racionales.

4, 5 y 6Ubicar dos números enteros consecutivos en la recta numérica y buscar el punto medio entre ellos, de esa manera construir la recta numérica comparando los números racionales.

Resuelven problemas utilizando operatoria en los números racionales.

7, 8 y 9Revisar los cinco pasos de la resolución de problemas, propuestos a lo largo del texto.

Conjeturan acerca de las propiedades de los números racionales.

10 y 11Hacer un resumen de las propiedades de los números enteros y estudiar las semejanzas y diferencias con las propiedades de los racionales.

Comprenden las potencias de base racional y exponente entero y utilizan sus propiedades

12 y 13Realizar una tabla con las propiedades de las potencias con ejemplos para cada una de ellas.

Resuelven problemas que involucran números racionales y potencias.

14, 15 y 16Revisar los cinco pasos de la resolución de problemas, propuestos a lo largo del texto.

Multiplican expresiones algebraicas. 17, 18, 19 y 20 Repasar los productos notables y las propiedades de las potencias.

Factorizan expresiones algebraicas. 21Realizar un cuadro con las fórmulas de los productos notables que se utilizan en las factorizaciones.

Resuelven ecuaciones lineales y literales y analizan las restricciones de las soluciones.

22, 23, 24, 25, 26 y 27

Repasar la operatoria algebraica y con números racionales.

Reconocen una función lineal y afín y analizan su grá� ca al variar sus parámetros.

28 y 29Repasar la proporcionalidad directa y el signi� cado de la constante de proporcionalidad.

Valorizan composiciones de funciones. 30Valorizar funciones y determinar el orden en que se aplican las funciones en la composición de ellas.

so de los principales contenidos de las dos unidades, luego un trabajo en forma individual respondiendo la evaluación y, por último, un tercer momento para revisar su trabajo en forma grupal, todos ellos son im-portantes para que esta actividad resulte efectiva.



2 431Información complementaria

En el texto se trabajan tres propiedades para la composición de funciones afines, si estima conveniente ver las restantes, a continuación se muestran las siguientes:

Elemento opuesto (o inverso) • En el conjunto de los números enteros y la operación de adición existe la propiedad del elemento opuesto

que dice que para todo número entero existe otro número tal que la suma es 0 (elemento neutro). En lenguaje de funciones se podría plantear el siguiente problema: Si f(x) es una función afín, encontrar una función g(x) tal que f o g(x) = l(x).

Sean f(x) = ax + b y g(x).f(g(x)) = xa(g(x)) + b = x

g(x)x ba

= − → g(x)1ax

ba

= −

ConmutatividadOtra propiedad que no siempre se cumple en la composición de funciones es la conmutatividad. Puede seguir la siguiente demostración para probar que la composición de funciones lineales es conmutativa.

• Sean f(x) = ax + b y g(x) = cx + df(g(x)) = a(cx + d) + b = (ac)x + (ad + b)

Por otra parte, se tiene que:g(f(x)) = c(ax + b) + d = (ac)x + (ac + d)

Si se comparan los términos independientes, estos son diferentes, sin embargo, si se comparan los coeficientes de x, en ambos casos son iguales, por lo tanto, se puede afirmar que la composición de funciones afines no es conmutativa.

Composición de funciones en el grá� coOtro trabajo interesante que puede realizar con los estudiantes es encontrar gráficamente la composición de funciones de un valor dado.

• Por ejemplo, se da el gráfico de dos funciones cuya expresión algebraica los estudiantes no conocen, y se pide encontrar f º g(2). Los estudiantes primero encontrarán g(2) = 4 y luego f(4) = 8,5, como se muestra en la figura.

g(x)

f(x)

X0–1–3 –2–4 1 42 753 6

Y

0

2

45

789

1011

6

1

3

–1

A

B C

Bibliografía complementariaPara más información sobre estos temas se pueden consultar los siguientes recursos:

• http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Algebra1ReducirTermSemej.htm

• http://www.sectormatematica.cl/pruebas/NM1/prod%20notables.pdf

• http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/4.4.html

• http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuacion-linea-recta.html

• http://www.slideshare.net/maruja1945/ecuacin-principal-de-la-recta-13494785

• http://mmpchile.c5.cl/pag/productos/indus_recta/los%20originales/conc1.htm

• CARREÑO, Ximena. Álgebra. Editorial Arrayán. 2008Se recomiendan los siguientes capítulos; Capítulo I: lenguaje algebraico. Capítulo II: Ecuaciones lineales.

Capítulo III: Relaciones y funciones.

• BROWN, Richard, et al. Álgebra, Structure and Method, Book 1 and 2. Houghton Mifflin.Aunque este libro está en inglés, es fácil seguirlo, tiene muy buenos ejemplos y ejercicios.

• TAHAN, Malba El hombre que calculaba.Un libro clásico del autor brasileño, que muestra innumerables problemas y anécdotas matemáticas. Se puede descargar gratuitamente el pdf en internet.

• STEWART, Ian. De aquí al infinito. Editorial Crítica, Barcelona. 2005Explica en forma clara y comprensible diferentes temas de matemáticas, hasta la demostración del teorema de Fermant.

Por ejemplo, si f(x) = 2x + 3, entonces g(x)12x

32

= − sería el elemento opuesto o inverso.En un estudio más profundo se puede probar que f(x) y g(x) son funciones inversas.


Mate

rial f

otoc

opia

ble

Multiplicación y factorización de expresiones algebraicas



1. Dadas las siguientes expresiones algebraicas A = 5x³ – 2x² – 5x + 1, B = 2x³ – 3x + 5 y C = x² – 1 calcula:

a) A + B – C

b) C – A + B

c) B + A – B

d) 2A – B + C

2. Calcula las siguientes multiplicaciones.

a) 5x² • 7x⁴

b) 3x²y³ • x⁴y

c) – 2xy² • 5x²y³ • 3xt

d) 3x² • (7x³ + 5xy)

e) 2xy² • (3x – 2y + 4)

f) 2 • (3x² – 2y + 4)

g) (2xy – 3x²)(2x + 5)

h) (x³ + 1)(4x + 3)

i) (x4 – x2)(2x – 4)

j) (x³ + x²)(2x³ + 4x – 2)

k) 2x³(1 – 4x)(3x² + x)

l) (x³ – 2x + 1)(5x + 6) • 4x³

3. Calcula los siguientes productos notables.

a) (a + 3)(a – 3)

b) (3x + 2)(3x – 2)

c) (6x + 2y)(6x – 2y)

d) (x² – 4)(x² + 4)

e) (3x + a)²

f) (–5x + y)²

g) (7x – 2t)²

h) (–5y – 4z)²

i) (x + y)³

j) (x – y)³

4. Determina el factor común de las siguientes expresiones.

a) 2x²y – 3xy³ – x

b) x²yz³ + 3xy³ – 5xy²z

c) 2u²v³z5 – 6uv³z4 – 12u³v²z³

d) 6a25

4ab5

2a b15

2 3

+ −

e) 5u v w2

u v w4

3u vw8

3 2 2 2 2 5 2

− +

f) 2x³ + 2x² – 40x

5. Factoriza las siguientes expresiones.

a) 9t² + 12t + 4

b) 25x² – 30xt + 9t2

c) 9x² – 12xz + 4z²

d) 16 – 25y²

e) 25x² – 4y²

f) –1 + z4

g) 4m³ – 100m

h) a³ – 27b³ + 27ab² – 9a²b

6. Loreto le propone a Luis las siguientes igualdades y le pide que las demuestre sin hallar los cuadrados:

a) 99² + 20² = 101²

b) 9999² + 200² = 10 001²

Veri� ca la veracidad de estas relaciones utilizando productos notables.




Ecuaciones lineales y literales



1. Une cada expresión de la columna A con la correspondiente en la columna B.

Columna A Columna B

5 menos que el doble de un número. 3x + 5

5 – x

Un número disminuido en 5. 2x – 5

x – 5

Dos veces un número, aumentado en 5 más que el número. 5 – 2x

2. Plantea la ecuación que calcula la edad de una persona para los siguientes casos.

a) Si al doble de su edad se le resta la edad que tiene actualmente, resulta la edad que tendrá dentro de 3 años.

b) Si al triple de su edad se le resta 3 años, resulta el triple de la edad que tenía el año pasado.

c) La edad que tendrá dentro de 15 años excede en 3 años al doble de su edad actual.

3. Resuelve las siguientes ecuaciones con coeficientes racionales.

a) 3– xx 13

= +

b) x –34

=x –56

+x –19

c) 2– x4

+3x =5+ x6

d) 2x15

–3x –520

=x5–3

e) 2x –1–3x –13

–53=x+26

+ x –3

f) x –23

+x+16

=x –14

+1

4. Despeja p en la ecuación k52p 18= + .

5. Dada la fórmula ax bc

= −, ¿qué expresión representa x?

6. ¿Para qué valor de x la fracción x 43x 6+−

NO está definida?

7. El peso de un objeto en la Luna varía directamente al peso en la Tierra, de tal forma que un objeto que en la tierra pesa 45 kg, en la luna pesará 7,2 kg. Si Tamara pesa 48 kg, ¿cuánto pesará en la Luna?


Mate

rial f

otoc

opia

ble

Función lineal y afín



Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.

1. El dominio de la función y = x² – 1 es {0, 1, 2}, ¿cuál es el recorrido?

2. ¿Qué par ordenado pertenece a la función y = 3x – 1?

3. Se define = −−f(x) x 1

3x 1 en el conjunto de los números racionales, ¿qué valor no puede estar en el dominio

de la función?

4. Un pastelero fabrica unas barras de chocolate con forma de prisma, cuya base es un triángulo de 3 cm2 de área. Los diferentes tamaños solo varían en altura.

a) Completa la siguiente tabla.

Altura en cm 4 5 6 7 8 9Volumen en cm³ 12

b) Las magnitudes altura y volumen de la barra de chocolate ¿se relacionan a través de una función lineal?

c) ¿Cuál es la pendiente de la recta que representa la función lineal?

5. Conocido el radio de una circunferencia, la longitud de la misma viene dada por la fórmula L = 2πr. El área del círculo viene dada por la fórmula A = pπ².

a) Completa la siguiente tabla tomando 3 como valor aproximado de π.

Medida del radio en cm r 1 2 3 4 5 6 7Longitud de la circunferencia en cm L = 2πr 6 12 18Área del círculo en cm² A = πr2 3 12 27

b) Las magnitudes radio y longitud, ¿se relacionan a través de una función lineal?

c) Las magnitudes radio y área del círculo, ¿se relacionan a través de una función lineal?

6. Dos compañías privadas de correo tienen las siguientes tarifas:• Compañía La Veloz: $150 por kg más $320 de cargo fi jo.• Compañía La Segura: $120 por kg más $380 de cargo fi jo.

a) Escribe v(x) y s(x) las funciones correspondientes al costo de enviar x gramos por las compañías La Veloz y La Segura respectivamente.

b) Grafica en tu cuaderno ambas funciones.

c) Si tuvieras que recomendar la compañía más económica, ¿qué podrías decir?

7. Un banco recibe envíos de dinero desde Europa. Si un cliente recibe euros, el banco los convierte a dó-lares, (1 euro equivale a 1,5 dólares) y si el cliente quiere el envío en pesos, el banco da $506 por dólar y cobra una comisión de $5600.

a) Escribe la función que convierte euros en pesos.

b) Escribe la función que modela la cantidad de pesos que recibe el cliente al cambiar dólares.

c) Utilizando la composición de funciones, escribe una función que modele la cantidad de pesos que recibe el cliente cuando convierte x euros a través del banco.



§ Actividades complementarias 11. a) 7x³ – 3x² – 8x + 7

b) –3x³ + 3x² + 2x + 3

c) 5x³ – 2x² – 5x + 1

d) 8x³ – 3x² – 7x – 4

2. a) 35x6

b) 3x6y4

c) –30x4y5t

d) 21x5 + 15x³y

e) 6x²y² – 4xy³ + 8xy²

f) 6x² – 4y + 8

g) 4x²y + 10xy – 6x³ – 15

h) 4x4 + 3x³ + 4x + 3

i) 2x5 – 4x4 – 2x³ + 4x²

j) 2x6 + 4x4 + 2x³ + 2x5 – 2x²

k) –24x6 – 2x5 + 2x4

l) 20x⁷ + 24x⁶ – 40x⁵ – 28x⁴ + 24x³

3. a) a² – 9

b) 9x² – 4

c) 36x² – 4y²

d) x4 – 16

e) 9x² + 6xa + a²

f) 25x² – 10 xy + y²

g) 49x² – 28 xt + 4t²

h) 25y² + 40 yz + 16z²

i) x³ + 3x²y + 3xy² + y³

j) x³ – 3x²y + 3xy² – y³

4. a) x

b) xy

c) 2uv²z³

d) 2a5

e) 12u vw2

f) 2x

5. a) (3t + 2)²

b) (5x – 3t)²

c) (3x – 2z)²

d) (4 – 5y)(4 + 5y)

e) (5x – 2y)(5x + 2y)

f) (z² – 1)(z² + 1)

g) m(2m – 10)(2m + 10)

h) (a – 3b)³

6. a) 99² + 20² = 101² = (99 + 2)² = 99²² + 2 • 99 • 2 + 2² = 99² + 400 = 99² + 20²

b) 9 999² + 200² = 10 001² = (9 999 + 2)² = 9 999² + 2 • 9 999 • 2 + 2² = 9 999² + 40 000 = 9 999² + 200²


1. • 5 menos que el doble de un número: 2x – 5.• Un número disminuido en 5: x – 5.


• Dos veces un número, aumentado en 5 más que el número: 3x + 5.

2. a) 2x – x = x + 3

b) 3x – 3 = 3(x – 1)

c) x + 15 = 2x – 3

3. a) x = 2

b) x = 7

c) x431

=

d) x = 15

e) x = 2

f) x315

=

4. = −p

2k 365

5. ac + b

6. x = 2

7. Laura pesará 7,68 kg en la luna.


1. {–1, 0, 3}2. (1, 2)

3. =x 13

4. a) 5 6 7 8 915 18 21 24 27

b) Sí, ya que son directamente proporcionales.

c) La pendiente es 3.

5. a) 4 5 6 724 30 36 4248 75 108 147

b) Sí, ya que son directamente proporcionales de función lineal f(x) = 6x.

c) No son directamente proporcionales.

6. a) v(x) = 150x + 320 s(x) = 120x + 380

b) y

v(x)v(x)

x

(2, 620)

c) Para paquetes de menos de 2 kg es más con-veniente La Veloz y sobre ese peso conviene contratar a La Segura.

7. a) f(x) = 1,5x b) g(x) = 506x – 5600

c) g º f(x) = 506(1,5x) – 5600 = 759x – 5600


Mate

rial f

otoc

opia

ble



Identificar patrones en multiplicaciones de expresiones algebraicas no fraccionarias y factorizarlas.

1. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa al-gebraicamente el enunciado “el triple de la mitad de la suma de dos números”?

A. +3a2

b

B. +3a b2

C. +3(a b)2

D. +

3

a2

b

E. +

3•1

2 • (a b)

2. ¿Cuál de los siguientes enunciados representa la

expresión algebraica + −3(n 1)(n 1)4

?

A. La tercera parte de dos números.

B. Las tres cuartas partes de la suma de dos números.

C. El triple de un número aumentado en uno y disminuido en uno.

D. Las tres cuartas partes de un número aumenta-do en uno y disminuido en uno.

E. La cuarta parte del triple del producto entre el sucesor y el antecesor de un número.

3. ¿Qué expresión algebraica representa “el produc-to del doble de m por el doble de n, aumentado en el quíntuplo de p?

A. 2m (5n + 2p)

B. 2m + 2n + 5p

C. m² (n² + p5)

D. m (n + p)

E. 2m • 2n + 5p

4. ¿Qué expresión algebraica representa el término enésimo en la siguiente secuencia numérica?

5, 8, 11, 14, 17,…

A. 2n + 3

B. 3n + 1

C. 2n – 1

D. n² + 4

E. 3n + 2

5. Si a = 2 y b = 3, ¿cuál es el valor de 2ab2?

A. 16

B. 36

C. 24

D. 48

E. 52

6. Si 3m – 4p = w, ¿cuál es el valor de w si =m23

y

= −p32

?

A. 0

B. 8

C. 9

D. –6

E. 43

7. Al reducir términos semejantes de la expresión

− − −

− −0,2m

34n

25m ( 2,5n), ¿qué expresión se

obtiene?

A. 0,6m + 3,25n

B. 0,6m – 1,75n

C. –0,2m – 3,25n

D. –0,2m + 1,75n


8. ¿Cuánto mide el perímetro de la siguiente figura?

4b²cm

7a cm(3a² – 4b²) cm

(a² – b) cm

(2a – 5b) cm

A. (9a – 6b + 4b2) cm

B. (9a – 6b – 4a2) cm

C. (9a + 6b + 4a2) cm

D. (9a – 6b + 4a2) cm

E. (5a – 6b + 4a2 – 8b2 ) cm

9. ¿Qué expresión resulta al reducir 0,5a – (0,03b – 0,4a) + (–0,2b + 0,05a) – a?

A. 0,95a + 0,28b

B. 0,95a – 0,23b

C. –0,05a – 0,23b

D. –0,05a + 0,27b


Evaluación



10. ¿Qué expresión representa el producto de 3ab2 con –6ab2?

A. –3ab²

B. –3a²b4

C. –18ab4

D. –18a²b²

E. –18a²b4

11. ¿Cuál es el área de la siguiente figura?

2x cm

2x cm

2x cm

(x + 3y) cmy cm y cmy cm

2y cm

A. 10xy cm2

B. 6x² + 8xy + 2y² cm²

C. 6x² + 12xy + 2y² cm²

D. 6x² + 18xy + 2y² cm²

E. 6x² + 20xy + 6y² cm²

12. ¿Qué término permite completar la expresión x2 + – 20 para que corresponda al producto (x – 5)(x + 4)?

A. x

B. 9x

C. –x

D. –9x

E. 10 x

13. ¿Cuál de las siguientes alternativas muestra el desarrollo del producto notable (4a – b)2?

A. 4a² – 8ab + b²

B. 16a² – 8ab + b²

C. 16a² + 8ab – b²

D. 16a² – 9ab + b²


14. ¿Cuál de los siguientes cubos de binomio corres-ponde a la expresión 0,125x6 – 1,5x4 + 6x² – 8?

A. (0,25x³ – 2)³

B. (0,5x² – 4)³

C. (0,5x4 – 4)³

D. (0,5x2 – 2)³

E. (0,5x – 2)³

15. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa una factorización para m² + 5m – 6?

A. (m – 6)(m + 1)

B. (m – 6)2

C. (m + 6)(m – 1)

D. (m – 3)(m + 2)

E. (m + 3)(m – 2)

16. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa una factorización de b³ – 27?

A. (b – 3)³

B. (b – 3)(b + 9)

C. (b + 3)(b² – 9)

D. (b – 3)(b² + 3b + 9)

E. (b + 3)(b² – 3b + 9)

17. ¿Cuál de las siguientes alternativas es un factor común de 5uw³ + 0,3w²xyz³ – 2pw?

A. 1

B. w

C. w²

D. w³

E. 2pw

18. Si el área de un cuadrado es (p² – 14p + 49) cm², ¿cuál es el perímetro del cuadrado?

A. (p – 7) cm

B. (p2 – 49) cm

C. (2p + 14) cm

D. (4p – 28) cm

E. (8p – 56) cm

Resolver problemas asociados a situaciones cuyos modelos son ecuaciones lineales y literales de primer grado.

19. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo entre los denominadores de la siguiente ecuación

− = −25x 3

x15

110

?

A. 5

B. 10

C. 15

D. 30

E. 60


Mate

rial f

otoc

opia

ble

Evaluación20. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) ecuacion(es) NO

tienen solución en ?

I. 2x – 1 = 5

II. + =12x 3 x

III. −

=2 • x

12

4x

IV. + = −

23(x 1) 2

13

x

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. III y IV

E. I, III y IV

21. Para determinar la solución de la ecuación

− − = −14x 0,6b 2(0,2x 3a) , se debe conocer:

(1) El valor de a.(2) El valor de b.

A. (1) por sí sola.

B. (2) por sí sola.

C. Juntas 1 y 2.

D. Cada una por sí sola (1) o (2).

E. Se requiere información adicional.

22. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) ecuaciones literales?

I. − + = +2x12x 2

2x3

6,3

II. − + = −x a32

2ax 1

III. 2ax + b – 2

A. Solo II

B. Solo III

C. I y II

D. I y III

E. II y III

23. Si a ≠ 0, ¿cuál es la solución de la ecuación 2ax – 3 = a – 2?

A. x = –a + 1

B. = +x

a 1a

C. = −x

a 52

D. = −x

a 52a

E. = +x

a 12a

24. ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones tiene como solución x = 2a – 1?

I. x – 3a = –a –1

II. 2x = 4a – 2

III. + = +x2

2 a32

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y II

E. I, II y III

25. Respecto de la siguiente fórmula, ¿qué resultado se obtiene al despejar q2?

=F k •q •qd1 22

A. =qF •dk •q2

2

1

B. =qk •qF •q2

1

2

C. =qk •dF •q2

2

1

D. =qF •qk •d2

12

E. =qF •k •d

q2

2

1

26. La fórmula =E12mvC

2, donde Ec es la energía

cinética, m es la masa, y v la rapidez, ¿cuál es la

masa m si =E 3,5kg •msC

2

2 y =v 0,3ms

?

A. 7,7 kg

B. 77,7 kg

C. 7,7 kg

D. 777,7 kg

E. 77,7 kg

Analizar representaciones de la función lineal y de la función afín y realizar composiciones de funciones.

27. ¿Cuál es el dominio de la función f = {(2, 3); (3, 5); (4, 7); (5, 9)}?

A. Dom f = {2, 3, 5, 7}

B. Dom f = {2, 3, 5, 9}

C. Dom f = {3, 5, 7, 9}

D. Dom f = {3, 4, 5, 7}

E. Dom f = {2, 3, 4, 5}

28. Si g(x) = x2 – 3x, ¿cuál es el valor de g(–1) + g(2)?

A. –6

B. –2

C. 2

D. 4

E. 6



29. ¿Cuál(es) de la(s )siguiente(s )es (son) función(es) lineal(es)?

I. g(x) = 2x³

II. m(x) = 0,04x

III. = −k(x)210

x 3

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y II

E. II y III

30. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmacion(es) es (son) FALSA(S)?

I. La función y = k· x, representa proporciona-lidad directa entre las variables x e y.

II. El gráfico de una función lineal es una recta que pasa por el punto (0, 0).

III. La función h(x) = 3x – 0,4 es una función lineal.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y III

E. I, II y III

31. Un club deportivo tiene una promoción en la que, con una inscripción de $ 6.000 mensuales, las entradas a los partidos tienen un valor de $ 500. ¿Qué función permite modelar la situación?

A. f(x) = 500x

B. f(x) = 6000

C. f(x) = 6000x

D. f(x) = 6000 + 500x

E. f(x) = 6000x + 500

32. ¿A qué función corresponde el siguiente gráfico?

A. f(x) = 2x – 4

x0–1–2–3 1

y

0

1

2

4

3

–1

B. f(x) = 2x + 4

C. f(x) = –2x – 4

D. f(x) = –2x + 4

E. N. A.

33. Si = −f(x)

2 x3

y g(x) = x2 – 2, ¿cuál es el valor de

(g o f ) (0,5)?

A. 12

B. 112

C. –2

D. –1,5

E. − 74

34. ¿Cuál es el valor de (f o g)(–4)?

(1) f(x) = 5 (2) g(x) = 3x + 7



C. Juntas 1 y 2.

D. Cada una por sí sola, (1) ó (2).


II. Resuelve los siguientes problemas en una hoja aparte.

35. Si el área del siguiente rectángulo es: (3x3 + x2 + 6x + 2) cm2, ¿cuál es la medida del lado AB?

(3x + 1) cm DA

B C

36. Se repartirán 6210 hectáreas en 3 sectores. El primer sector será las dos terceras partes del segundo sector y el tercero será un cuarto del segundo sector. ¿Cuántas hectáreas correspon-den a cada sector?

37. En una empresa de arriendo de automóviles el cobro para un tipo de automóvil es $ 40 por cada kilómetro recorrido, más un pago inicial de $ 10 000. ¿Qué función representa la situación descrita?


Mate

rial f

otoc

opia

ble

Preguntas de alternativas PSU (Pág. 42)


Identi� car patrones en multiplicaciones de expresiones algebraicas no fraccionarias y

factorizarlas.

1 C

Resolver problemas asociados a situaciones cuyos modelos son

ecuaciones literales de primer grado.

19 D2 E 20 C3 E 21 C4 E 22 A5 B 23 E6 B 24 E7 A 25 A8 D 26 E9 C

Analizar representaciones de la función lineal y de la función afín y realizar

composiciones de funciones.

27 E10 E 28 C11 D 29 B12 C 30 C13 B 31 D14 D 32 B15 C 33 E16 D 34 C17 B18 D


Problema 35 Problema 36 Problema 37Determina que para saber la medida del lado AB, puede factorizar la expresión que relaciona el área del rectángulo con la medida de los lados. Una manera de resolver el problema puede ser la siguiente:

3x3 + x2 + 6x + 2 = x2 (3x + 1) + 2(3x + 1)= (x2 + 2) (3x + 1)

Por lo tanto, factores obtenidos son: (x2 + 2)(3x + 1).

Luego responde que el lado AB mide: (x2 + 2) cm.

CorrectaPlantea correctamente la ecuación siendo x el número de hectáreas del segundo sector y plantea:

x+23x+

14x = 6210

Luego, resuelve la ecuación:

x+23x+

14x = 6210 12x+8x+3x = 74 520

23x = 74 520x = 3240

Por último, con el valor de x obtiene las hectáreas de cada sector y responde:23x =

23• 3240= 2160 1

4x =

14• 3240= 810

El primer sector tendrá 2160 hectáreas, el segundo; 3240 hectáreas y el tercero; 810.

CorrectaAnaliza e interpreta correctamente la información que entrega el enunciado del problema y con ello concluye que si un automóvil recorre x kilómetros se deberán pagar $ (40 • x).Luego, si se suma el pago inicial responde: $ 10 000 + $ 40 • xFinalmente responde que:f(x) = 10 000 + 40x.

Parcialmente correctaFactoriza la expresión, pero no logra asociar que uno de los factores es un lado del rectángulo y el otro factor es el otro lado, por lo que no resuelve correctamente el problema.

Parcialmente correctaPlantea correctamente la ecuación, calcula el número de hectáreas que le corresponde al segundo sector, pero se equivoca en los cálculos que permiten obtener el número de hectáreas para los otros dos sectores.

Parcialmente correctaAnaliza e interpreta correctamente la información del problema, pero no logra determinar la función y solo responde f(x) = 40 • x.

IncorrectaNo realiza la factorización adecuada y plantea una expresión errónea respecto a la situación planteada.

IncorrectaNo plantea correctamente la ecuación relacionada con los datos del problema, con lo que obtiene resultados incorrectos para la cantidad de hectáreas de cada sector.

IncorrectaNo logra interpretar correctamente la información, por lo que no determina la función que de� ne el problema.

Expresiones algebraicas, valorización, reducción





A. El perímetro de un cuadrado de lado 1 m es 4 m.

B. Para cualquier n ∈ , n – 1 representa un nú-mero impar.

C. Dos números pares consecutivos se puede representar como 2n y 2n + 2.

D. El producto de un número por su sucesor se puede representar como n · (n + 1).

E. Si n ∈ , la suma de tres números consecutivos se puede representar por n + (n + 1) + (n + 2).

2. Si = −a (0,3) 2 y = −−

b315

1

, ¿cuál es el valor nu-

mérico de la expresión a2 – b2?

A. 9

B. 25

C. 56

D. 81

E. 106

3. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado de lado (5a – 2) dm?

A. (20a – 16) cm

B. (20a – 8) dm

C. (20a – 8) dm

D. (4a – 8) cm

E. (8a – 4) dm

4. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmacion(es) es (son) VERDADERA(S)

I. Si un signo negativo antecede a un parén-tesis, se elimina el paréntesis y se cambian todos los signos de los términos que están en su interior.

II. Para reducir una expresión algebraica se resuelven primero las adiciones y las sustracciones y luego las multiplicaciones y divisiones.

III. Los términos semejantes de una expresión algebraica son todos aquellos que tienen el mismo factor literal.

A. Solo I

B. I y II

C. I y III

D. II y III

E. I, II y III

5. ¿Qué expresión resulta al reducir

Banco de preguntas

3h² + 3k(2h – 5k²) – (7h³ – 3kh – 15k³)?

Sol: 3h² + 9kh – 7h³

Multiplicación de expresiones algebraicas

6. ¿Qué expresión resulta de la multiplicación a • (a2 + a3)?

A. a6

B. a7

C. 2a6

D. a2 + a3

E. a3 + a4

7. El producto +

−

35m 0,16n

35m 0,16n2 2 , ¿a cuál

de las siguientes expresiones es equivalente?

A. −35m 0,16n4 2

B. −95m 256n4 2

C. −925

m136

n2 2

D. −925m

136n4 2

E. −925

m136

n4 2

Factorización

8. Según la cantidad de términos del factor co-mún de la expresión a(y – x) + b(y – x), ¿cómo se clasificaría?

A. Monomio

B. Binomio

C. Trinomio

D. Polinomio

E. N. A.

Ecuaciones lineales y literales

9. ¿Cuál de las siguientes igualdades es una iden-tidad?

A. 6x = 8x – 2

B. 3x + 2 = 5x

C. 8x – 5 = 4x – 1

D. 3x + 2x = 9x – 4x

E. 3(2x – 3) = 6x – 9

MATEMÁTICA 1.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE 86 MTUNIDAD 2 • ÁLGEBRA Y FUNCIONES

Mate

rial f

otoc

opia

ble

10. El largo de un rectángulo excede a su ancho en 5 metros. Si su perímetro mide 78 m, ¿cuáles son las medidas de sus lados?

A. 12 m y 17m.

B. 17 m y 22 m.

C. 22 m y 27 m

D. 29 m y 34 m

E. 34 m y 39 m

11. ¿Cuál es el valor de la mitad de x que satisface la ecuación 2x – (3x – 2) = 5(–2 – x)?

A. –3

B. 3

C. 12

D. − 32

E. 32

12. Si 1a–b2=1x

, ¿cuál es el valor de incógnita x?

A. −2a

2 ab

B. −2 aba

C. −2 ab2a

D. −2 b2a

E. −2a

ab 2

Funciones lineales y afines

13. Si g(x) =1

2– x, ¿cuál de los siguientes valores NO

pertenece al dominio de la función?

A. –2

B. –1

C. 0

D. 1

E. 2

14. ¿Cuál de las siguientes funciones asigna a cada elemento de su dominio la cuarta parte de su valor?

A. g(x) = x + 4

B. g(x) = 4x

C. =g(x)x4

D. g(x) = x4

E. N. A.

15. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor

la gráfica de la función f(x) =25x –2?

A. Y

X

B. Y

X

C. Y

X

D. Y

X

E. Y

X

Sol: Gráfico letra C

16. Si f(x) = 3x2 – 2 y g(x) = 2x + 5 entonces, ¿a qué expresión corresponde (f o g)(x)?

Sol: (f o g)(x) = 12x2 + 60x + 73

17. Por el costo de reparación C de un artículo eléc-trico se cobran $ 10 000 de costo fijo y $ 3000 por pieza nueva utilizada como repuesto. Si se reponen x piezas en un artículo, ¿qué expresión permite calcular el costo C de reparación de este?

Sol: C(x) = 10 000 + 3000x

Banco de preguntas

Mini ensayo

MATEMÁTICA 1.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE MT 87EVALUACIÓN MINI ENSAYO PSU

INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS

1. Esta prueba consta de 46 preguntas.

2. A continuación encontrará una serie de símbolos, que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.

3. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.

4. Antes de responder las preguntas nº 44 a nº 46 de esta prueba, lea atentamente las instrucciones. ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS.

Símbolos matemáticos

< menor que

> mayor que

≥ menor o igual que

≤ mayor o igual que

ángulo recto

∡ ángulo

log logaritmo en base 10

∅ conjunto vacío

[ x ] parte entera de x

≅ congruente con

∼ semejante con

⊥ perpendicular a

≠ distinto de

�� paralelo a

∊ pertenece a

AB segmento AB

� x � valor absoluto de x

n! factorial de n

EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS

Instrucciones para las preguntas nº 44 a nº 46En las siguientes preguntas no se pide la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en

el enunciado más los indicados en las a� rmaciones (1) y (2) son su� cientes para llegar a esa solución.

Usted deberá marcar la letra:

A. (1) por sí sola, si la a� rmación (1) por sí sola es su� ciente para responder a la pregunta, pero la a� rma-ción (2) por sí sola no lo es,

B. (2) por sí sola, si la a� rmación (2) por sí sola es su� ciente para responder a la pregunta, pero la a� rma-ción (1) por sí sola no lo es,

C. Ambas juntas, (1) y (2), si ambas a� rmaciones (1) y (2) juntas son su� cientes para responder a la pre-gunta, pero ninguna de las a� rmaciones por sí sola es su� ciente,

D. Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es su� ciente para responder a la pregunta,

E. Se requiere información adicional, si ambas a� rmaciones juntas son insu� cientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

PSU

Mini

ensa

yo

MATEMÁTICA 1.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE 88 89EVALUACIÓN MINI ENSAYO PSU

PSU1. ¿Cuál es el valor de la expresión

23

– 0,3 : –43

?

A. 13

B. –14

C. 1

12

D. –13

E. 14

2. ¿Cuál es el valor de la expresión 2 –1

2 –1

2 –12

?

A. 23

B. 34

C. 43

D. 45

E. 54

3. ¿Qué número se debe multiplicar por –213

para obtener 3

14

?

A. 2839

B. –3928

C. 3928

D. –3920

E. –2839

4. Una botella con capacidad 34

L contiene agua

hasta la mitad de su capacidad. Si se le agrega 18

L , ¿cuánta agua contiene la botella finalmente?

A. 14

L

B. 12

L

C. 58

L

D. 34

L

E. 32

L

5. Si hay tres quintos de 334

docenas de huevos,

¿cuántos huevos faltan para tener tres docenas?

A. 9 huevos

B. 18 huevos

C. 21 huevos

D. 27 huevos

E. 30 huevos

6. Sean =a23

y =b12

. ¿Cuáles de las siguientes ex-

presiones representan un número entero?

I. (a + b)²

II. 12abIII. 3a

b

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. II y III

E. I, II y III

7. Carlos demora 1,25 horas en llegar desde el co-legio a su casa. Él encuentra una ruta alternativa

con lo que disminuye a 34

el tiempo del trayecto.

¿Cuántas horas, redondeando a la centésima, ahorra al utilizar esta nueva ruta?

A. 0,31 horas

B. 0,32 horas

C. 0,63 horas

D. 0,93 horas

E. 0,94 horas

8. ¿Qué fracción representa al número racional 2,017?

A. 1816900

B. 2000900

C. 2015900

D. 2016900

E. 2017900

9. ¿Cuántas veces 0,02 es igual a 12

?

A. 15

B. 25

C. 30

D. 35

E. 40

Mini ensayo


10. Si a y b son números racionales, ¿cuáles de las siguientes expresiones SIEMPRE representan un número racional?

I. a + b

II. ab

III. a² + b²

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. I y III

E. I, II y III

11. Si a =12

y b = –3, ¿cuál es el valor de a–¹ – b–¹?

A. 2

B. 53

C. 73

D. –53

E. –73

12. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalen-

te a 2 • 63 • 2

3 5

2 –1?

A. 2³ • 3⁹

B. 2⁷ • 3³

C. 2⁷ • 3⁸

D. 2⁹ • 3²

E. 2⁹ • 3³

13. En determinado momento una población de bacterias varía su tamaño p según la expresión p = 40 000 • 2–t, siendo t el tiempo transcurrido en horas. ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 5 horas?

A. 625

B. 1250

C. 2500

D. 5000

E. 10 000

14. ¿Cuál es el valor de

8 •

46

–1

?

A. 12

B. –12

C. 23

D. 163

E. –163

15. ¿Cuál es el valor de la expresión 3 – 3• 33• (–3)

0 2

2?

A. –1

B. 2627

C. 2827

D. –2627

E. –8081

16. ¿Qué expresión representa el promedio entre 3x + ¹, 3x y 3x + ²?

A. 13

B. 3x

C. 3x + ¹

D. 3x + 3

E. 13 • 3x – ¹

17. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalen-te a (–2)x – ² : (–2)–³?

A. 2x

B. 2x – 6

C. (–2)x

D. (–2)x – 6

E. (–2)x + 6

18. ¿Cuál es el valor de la expresión +3 – 33

p 2 p

p?

A. 5

B. 7

C. 8

D. 3p

E. 3²p

19. Si en la fórmula F = K(L – L0), se despeja la varia-ble L0, ¿cuál es el resultado?

A. LL – FKL0 =

B. LKL – F

K0 =

C. LKL F

K0 =+

D. LKL – K

F0 =

E. LF – KL

K0 =

Mini

ensa

yo


PSU20. ¿Qué resulta al despejar la incógnita x de la ecua-

ción ax + 3 = 2a(x – 1) – 2x?

A. x2a 3a– 2

= +

B. x–2a– 3

2a=

C. x2a 32 – a

= +

D. x2a– 32 – a

=

E. x2a 3

2a= +

21. Si x = –2 es solución de la ecuación 2x + 3k = 3(kx – 1), ¿cuál es el valor de k?

A. 19

B. 13

C. –13

D. –19

E. –59

22. Actualmente, Rodrigo tiene r años y Pablo, p + 2. Si Rodrigo hubiera nacido 3 años antes y Pablo 5 años después, ¿cuál de las siguientes expresio-nes, hoy representaría la suma de sus edades?

A. r + p

B. r + p – 6

C. r + p – 4

D. r + p + 10


23. Las edades de Pamela y Sandra se diferencian en 6 años. Si hace cuatro años el doble de la edad de Sandra era dos años más que la edad actual de Pamela, ¿cuánto suman sus edades?

A. 12

B. 16

C. 22

D. 30

E. 38

24. La base y la altura de un triángulo miden (a + 1) cm y a cm respectivamente. Si su altura aumenta en 1 cm y su base disminuye en 2 cm, se forma un nuevo triángulo, ¿cuál es la diferen-cia entre sus áreas?

A. 2 cm²

B. –2 cm²

C. a 12+

cm²

D. a–1

2

cm²

E. a 12

2 +

cm²

25. Si p12

= y 1p

2q q 2+ = + , ¿cuál es el valor de q?

A. 0

B. –1

C. –2

D. 12

E. –12

26. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación

–13

x 2x2

–23

+ = ?

A. 6

B. 16

C. 65

D. 85

E. 165

27. El área de un triángulo es 18 cm². Si su altura mide (2x + 1) cm y su base mide 4 cm, ¿cuántos centímetros mide su altura?

A. 3

B. 6

C. 9

D. 74

E. 178

Mini ensayo


28. ¿Qué expresión representa el valor de x en la

igualdad ax –1 x –1b

= ?

A. 1a

B. b –1

b(a –1)

C. b –1

b(a 1)+

D. b –1a(b –1)

E. b 1b(a –1)

+

29. El área basal de un cono es 6 cm² y su volumen 16 cm³, ¿cuál es la longitud de su altura?

A. 2 cm

B. 4 cm

C. 8 cm

D. 12 cm

E. 16 cm

30. Se define a # b –23

a b2= + , entonces, ¿cuál es el

valor de 2–¹ # –3?

A. 263

−

B. 283

−

C. 326

−

D. 326

E. 263

31. Si a – b = 2 y a = –3, ¿cuál es el valor de la expre-

sión –a – b

b

2 2

?

A. 165

B. 516

C. –5

16

D. –165

E. –166

32. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde

a los dos tercios del resultado de 2a b

2a

+ + ?

A. 4a b

3+

B. 4a b

2+

C. 4a 2b3+

D. 2a 4b3+

E. 3a b2+

33. ¿Cuál es la diferencia entre 12

a – b y la expresión 0,3a – 2b – 1?

A. 14

a – b –1

B. 15

a b 1+ +

C. 15

a – 3b –1

D. 16

a b 1+ +

E. 16

a – 3b –1

34. Si x –23

= , ¿cuál es el valor numérico de la expre-

sión 3x [x(x – 1) – 6x + 3]0 – 2x?

A. 43

B. 23

C. –23

D. –43

E. –1489

35. Si 3m12

n= , ¿cuál es el valor numérico de m – 3n

m?

A. 5

B. 17

C. 12

D. –12

E. –17

Mini

ensa

yo


PSU36. Camilo debe a una tienda comercial $p. Si paga

$5000 y el resto lo pacta en 5 cuotas iguales sin interés, ¿cuál de las siguientes expresiones repre-senta el valor que deberá pagar por cada cuota?

A. 5000p

5

B. +p 5000

5

C. +5000 p

5

D. p – 50005


37. Si el punto A –2,12

=

pertenece al gráfico de la

recta cuya ecuación es 3x –23

ky 2 0+ = , ¿cuál es el valor de k?

A. 6

B. 12

C. 24

D. –12

E. –24

38. ¿Cuál es el dominio de la función f(x)2

2x – 3= ?

A.

B. – {0}

C. – {2}

D. + 32

E. – –32

39. ¿Cuáles de los siguientes gráficos corresponde a una función afín?

I.

x

y

II.

x

y

III.

x

y

A. Solo I

B. Solo III

C. I y III

D. II y III

E. I, II y III

40. El gráfico que se muestra a continuación corresponde a la función f(x) = x2. ¿Cuál es su recorrido?

x0–5 5

y

0

5

A.

B. +

C. + ∪ – {0}

D. + – {0, 5}

E. + – {5}

Mini ensayo


41. Si f(x)x 3

3= +

y g(x)x

x –1= , ¿cuál es el valor de

(f o g)(–2)?

A. 12

B. 23

C. 119

D. –12

E. –119

42. Respecto del siguiente gráfico, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son VERDADERAS?

I. La pendiente de la recta es menor que cero

II. El punto (–2, 6) pertenece a la recta gra� cada

III. La ecuación de la recta gra� cada es 2y = –3x + 9

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. II y III

E. I, II y III

43. ¿Cuál de los siguientes diagramas NO representa una función?

A.

1

2

3

4

5

6

7

8

A B

B.

1

2

3

4

5

6

7

8

A B

C.

1

2

3

4

5

6

7

8

A B

D.

1

2

3

4

5

6

7

8

A B

E.

1

2

3

4

5

6

7

8

A B

44. Si a es un número entero y n un número natural, la expresión An es un número positivo cuando:

(1) n es par.(2) a es positivo.

A. (1) por sí sola

B. (2) por sí sola

C. Juntas (1) y (2)

D. Cada una por sí sola (1) ó (2)


45. El valor de la potencia ab es un número natural par si:

(1) a es par.(2) b es par.

A. (1) por sí sola

B. (2) por sí sola

C. Juntas (1) y (2)



46. El área de un triángulo se puede representar por la expresión algebraica (x2 – 3x – 18) cm2. Si la lon-gitud de su altura está expresada por (x + 3) cm, ¿cuánto mide su base?

(1) x = 7(2) La expresión que representa la longitud

de la base del triángulo es 2(x – 6) cm.

A. (1) por sí sola

B. (2) por sí sola

C. Juntas (1) y (2)



Mini

ensa

yo

MATEMÁTICA 1.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE 94 MTEVALUACIÓN MINI ENSAYO PSU

PSUTABLA DE ESPECIFICACIONES

MINI ENSAYO 1 MATEMÁTICA 1° MEDIO

Ítem Eje Contenido Habilidad Clave1 Números Números racionales Aplicar E2 Números Números racionales Aplicar E3 Números Números racionales Aplicar D4 Números Números racionales Aplicar B5 Números Números racionales Aplicar A6 Números Números racionales Comprender D7 Números Números racionales Aplicar A8 Números Números racionales Comprender A9 Números Números racionales Comprender B

10 Números Números racionales Evaluar D11 Números Potencias Aplicar C12 Números Potencias Aplicar E13 Números Potencias Aplicar B14 Números Potencias Aplicar A15 Números Potencias Aplicar D16 Números Potencias Comprender E17 Números Potencias Comprender C18 Álgebra Expresiones algebraicas Aplicar C19 Álgebra Expresiones algebraicas Comprender B20 Álgebra Ecuaciones Aplicar A21 Álgebra Ecuaciones Analizar A22 Álgebra Expresiones algebraicas Comprender A23 Álgebra Ecuaciones Aplicar E24 Álgebra Expresiones algebraicas Aplicar C25 Álgebra Expresiones algebraicas Aplicar A26 Álgebra Ecuaciones Aplicar E27 Álgebra Expresiones algebraicas Aplicar C28 Álgebra Ecuaciones Aplicar D29 Álgebra Ecuaciones Aplicar C30 Álgebra Expresiones algebraicas Aplicar E31 Álgebra Expresiones algebraicas Analizar A32 Álgebra Expresiones algebraicas Comprender A33 Álgebra Expresiones algebraicas Aplicar B34 Álgebra Expresiones algebraicas Aplicar C35 Álgebra Expresiones algebraicas Aplicar E36 Álgebra Expresiones algebraicas Comprender D37 Álgebra Ecuaciones Aplicar D38 Álgebra Funciones Aplicar D39 Álgebra Funciones Evaluar B40 Álgebra Funciones Aplicar C41 Álgebra Funciones Aplicar C42 Álgebra Funciones Evaluar C43 Álgebra Funciones Evaluar A44 Números Números racionales Evaluar B45 Números Potencias Evaluar C46 Álgebra Expresiones algebraicas Evaluar A

Geometríaun

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95UNIDAD 3 • GEOMETRÍA

Objetivos fundamentales Contenidos mínimos Actitudes

• Identificar regularidades en la realización de transformaciones isométricas en el plano cartesiano, formular y verificar conjeturas respecto de los efectos de la aplicación de estas transformaciones sobre figuras geométricas.

• Conocer y utilizar conceptos y propiedades asociados al estudio de la congruencia de figuras planas, para resolver problemas y demostrar propiedades.

• Identificación del plano cartesiano y su utilización para representar puntos y figuras geométricas manualmente, haciendo uso de un procesador geométrico.

• Notación y representación gráfica de vectores en el plano cartesiano y aplicación de la suma de vectores para describir traslaciones de figuras geométricas.

• Formulación de conjeturas respecto de los efectos de la aplicación de traslaciones, reflexiones y rotaciones sobre figuras geométricas en el plano cartesiano y verificación, en casos particulares, de dichas conjeturas mediante el uso de un procesador geométrico o manualmente.

• Relación del concepto de congruencia de figuras planas con las transformaciones isométricas; formulación y verificación de conjeturas, en casos particulares, acerca de criterios de congruencia en triángulos; y, utilización de estos criterios en la resolución de problemas y en la demostración de propiedades en polígonos.

• Perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos.

• Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos.

Conocimientos previos

• Transformaciones isométricas en el plano euclidiano.

• Recta numérica.

• Ángulos y lados en polígonos.

• Composición de funciones.



PropósitoEsta unidad ofrece a los alumnos la posibilidad de trabajar la geometría en el plano cartesiano, donde estudian las transformaciones isométricas y la congruencia de � guras. De esta manera se les presenta la oportunidad de obtener resultados geométricos y de profundizar los ya adquiridos, relativos a estas transformaciones en 8° básico de manera analítica. Especí� camente, los estudiantes trabajan los elementos básicos del plano cartesiano, transforman � guras del plano a través de la aplicación de traslaciones, rotaciones y re� exiones, desarrollan el concepto de congruencia a partir del concepto de transformación isométrica, establecen los criterios de congruencia en triángulos, y los aplican en la resolución de problemas y en el establecimiento de propiedades en polígonos.


AE1

Identi� car y representar puntos y coordenadas de � guras geométricas en el plano cartesiano, manualmente o usando un procesador geométrico.


¿Qué es el plano cartesiano?

¿Cómo representar � guras en él?

Identi� car y representar puntos y � guras en el plano cartesiano, para posterior-mente estudiar las transfor-maciones isométricas en el plano cartesiano.

• Caracterizar el plano cartesiano.

Identi� can puntos y coordenadas de vértices de polígonos y de elementos de la circunferencia en el plano cartesiano.

Dibujan puntos, polígonos y cir-cunferencias en el plano cartesiano en forma manual o usando un procesador geométrico.

AE2

Representar en el plano, adiciones, sustracciones de vectores y multiplicaciones de un vector por un escalar.


¿Qué es un vector? ¿Cómo representar vectores en el plano cartesiano?

Representar vectores en el plano cartesiano para trasladar � guras en el plano cartesiano. A sumar, restar y multiplicar vectores por un escalar en el plano para trabajar con composición de transformaciones isomé-tricas.

• Caracterizar el plano cartesiano.

Representan grá� camente vectores en el plano cartesiano, dados sus componentes.

Identi� can vectores y encuentran las componentes resultantes de adiciones y sustracciones entre ellos.

Encuentran las componentes de vectores que resultan de la multi-plicación de vectores por escalar.

Leccion 29 (4h)

¿Cómo multiplicar un vector por un escalar? ¿Cómo re-presentar el vector resultan-te en el plano?

Leccion 30 (4h)

¿Cómo sumar y restar vectores?

Plani� cación

UNIDAD 3 • GEOMETRÍA 97

2 431 33333

AE4

Identi� car regularidades en la aplicación de transformaciones isométricas a � guras en el plano cartesiano.AE5

Formular y veri� car conjeturas acerca de la aplicación de transformaciones isométricas a � guras geométricas en el plano cartesiano.


¿Cómo plantear y resolver ecuaciones lineales con una incógnita con coe� cientes racionales?

Trasladar, re� ejar y rotar � guras planas en el plano cartesiano, para compren-der la congruencia de � guras planas.

• Realizar transformaciones isométricas en el plano cartesiano.

Identi� can regularidades al aplicar composiciones de re� exiones a � guras en el plano cartesiano.

Identi� can regularidades al aplicar sucesivas composiciones de traslaciones a � guras del plano cartesiano.

Conjeturan acerca de la aplicación de composiciones de transforma-ciones isométricas a � guras del plano cartesiano.

Conjeturan acerca de la conmutati-vidad de transformaciones isomé-tricas y veri� can las conjeturas formuladas en casos particulares.

Veri� can, en casos particulares, conjeturas formuladas acerca de la aplicación de sucesivas traslaciones a � guras en el plano cartesiano, en forma manual o usando un proce-sador geométrico.

Leccion 32 (4h)

¿Cómo re� ejar � guras en el plano cartesiano?

Leccion 33 (4h)

¿Cómo rotar � guras en el plano cartesiano?

AE3

Aplicar composiciones de funciones para realizar transformaciones isométricas en el plano cartesiano.


¿Cuál es el resultado de la composición de transfor-maciones isométricas en el plano cartesiano?

Componer transformaciones isométricas, para aplicar el concepto de composición de funciones a la compo-sición de transformaciones isométricas.

• Realizar transformaciones isométricas en el plano cartesiano.

Efectúan composiciones de transformaciones isométricas en el plano cartesiano.

Reconocen las � guras resultantes al aplicar composiciones de transfor-maciones isométricas a � guras en el plano cartesiano.


AE6

Establecer el concepto de congruencia a partir de las transformaciones isométricas.


¿Cuándo dos � guras son congruentes?

Reconocer dos � guras congruentes para establecer criterios de congruencia en triángulos, resolver proble-mas y demostrar propieda-des de los polígonos.

• Caracterizar la congruencia de figuras a partir de las transformaciones isométricas.

Reconocen que dos � guras son congruentes cuando existen transformaciones isométricas que, aplicadas en una de ellas, permiten obtener la otra � gura.

Identi� can las transformaciones iso-métricas que transforman una � gura en otra que es congruente a ella.

AE7

Formular y veri� car conjeturas acerca de criterios de congruencia en triángulos.


¿Cuál es la mínima informa-ción para concluir que dos � guras son congruentes?

Establecer criterios de con-gruencia en triángulos, para determinar la congruencia de dos � guras sin tener que medir y comparar todos sus elementos.

• Utilizar el concepto de congruencia en la resolución de problemas.

Conjeturan acerca del criterio lado-ángulo-lado.

Conjeturan acerca de criterios de congruencia en triángulos y dan ideas geométricas para veri� car esas conjeturas.

Calculan trazos en triángulos aplicando criterios de congruencia veri� cados.

AE8

Resolver problemas relativos a cálculos de vértices y lados de � guras geométricas del plano cartesiano y a la congruencia de triángulos.


¿Cómo se realiza una demostración utilizando congruencia?

Analizar la lógica que hay detrás de una demostración matemática, demostrar pro-piedades de los polígonos y utilizar estas propiedades en la resolución de problemas.

• Aplicar el concepto de congruencia en la resolución de problemas.

Resuelven problemas relativos a la congruencia en triángulos utilizan-do los criterios establecidos.

Demuestran propiedades de congruencia en polígonos utilizan-do los criterios de congruencia en triángulos.

Resuelven problemas relativos a cálculos de medidas de segmentos en el plano cartesiano.

Resuelven problemas relativos a coordenadas de vértices de � guras en el plano cartesiano.

Leccion 38 (4h)

¿Cómo demostrar propieda-des de algunos polígonos?

Plani� cación


2 431 33333


PropósitoIntroducir los contenidos que se trabajarán en esta uni-dad, los cuales se resumen en dos grandes temas: las transformaciones isométricas en el plano cartesiano y el concepto de congruencia.

Prerrequisitos § Transformaciones isométricas en el plano. § Polígonos y sus propiedades. § Composición de funciones.

Orientaciones didácticasSe presenta la imagen de un domo construido en la Antártica Chilena, estructura cada día más popular como habitación ecológica, en campings, para alma-cenamiento y otros muchos usos. La idea es que los estudiantes relacionen la composición de la estructura con la aplicación de sucesivas transformaciones isomé-tricas aplicadas al triángulo equilátero que es la base de esta figura tridimensional. Para que concluyan lo ante-rior dibuje la red de un icosaedro, no es necesario que la reproduzca completamente, solo un bosquejo para que los estudiantes se hagan la idea, luego pregunte, ¿Qué figura forma el icosaedro? ¿Qué características tiene este triángulo? ¿Quién podría mencionar dos transfor-maciones isométricas diferentes que se le han aplicado al triángulo equilátero para formar la red del icosaedro? ¿Qué sucedería si cada triángulo se dividiera en dos partes iguales? ¿Y si nuevamente se dividiera en dos? La idea es que con esto último concluyan que mientras más divisiones se haga al triángulo más esférica es la es-tructura que se formará.

En esta unidad, se utilizará el programa GeoGebra, esto permitirá hacer ejercicios y conjeturar generalizaciones sin utilizar gran cantidad de tiempo. Recuerde que este programa es gratuito, es de fácil descarga y contiene una excelente biblioteca de actividades que pueden ser rea-lizadas con los estudiantes.


PropósitoAntes de comenzar el trabajo de la unidad los estu-diantes deben sentirse seguros de los conocimientos y habilidades que han trabajado con anterioridad.

Orientaciones didácticasEl repaso se organiza en paralelo: los contenidos que los estudiantes necesitan recordar, y ejemplos de dichos contenidos. Esta disposición debe ser aprovechada por los estudiantes, no tienen que ir a buscar los conoci-mientos necesarios para hacer los ejercicios, los leen con cuidado y luego los aplican. Haga que los estudiantes lean en voz alta los contenidos, y preferiblemente los parafraseen, eso ayuda a la comprensión de los mismos.

Es conveniente que los estudiantes se familiaricen con los nombres de los polígonos más usados, puede ser una actividad buscar en Internet la clasificación de los polígonos según sus lados.

En la actividad 4 pida a sus estudiantes que copien las cuadrículas en el cuaderno para que puedan reflejar de manera más cómoda.

En los ejercicios 7 y 8 recuérdeles a los estudiantes que para la composición de funciones, primero se evalúa la segunda función, puede decir que es la que está más cerca de la variable. También deberán recordar que la función I(x) es llamada función identidad y se define como I(x) = x y su propiedad es actuar como elemen-to neutro para la composición de funciones, esto es l o f(x) = f o l(x) = f(x).

El error más común en las rotaciones es seguir el sentido dado, para muchos de los estudiantes la frase “en contra de las manecillas del reloj” carece de sentido, consiga un reloj de ese tipo, al menos para el comienzo de la lección de rotaciones.

Errores frecuentes



Lección 27: ¿Qué es el plano cartesiano? ¿Cómo representar figuras en él? Págs. 176 a 179

PropósitoFormalizar el plano cartesiano, los pares ordenados y la ubicación de puntos, segmentos y figuras en él.

Palabras clave § Plano cartesiano

Prerrequisitos § Ubicación de un par ordenado. § Representación de números en la recta numérica.


En la unidad anterior los estudiantes graficaron funcio-nes lineales y afines. Se puede recordar con ellos algunos de los conceptos como pares ordenados y qué signifi-caba cada componente de él para el caso de la función f(x) = 2x que aparece en la página 127 del texto del es-tudiante.

Desarrollo

Probablemente resulta nuevo para los estudiantes el nombre de los cuadrantes. Es importante que conozcan las combinaciones de signos de los puntos de cada cua-drante, por lo tanto, pregunte: ¿Qué signos tendrán las coordenadas de un punto ubicado en el tercer cuadran-te? La idea es que respondan que ambos serán negativos, pregunte de la misma manera para los otros cuadrantes.

También es importante que los estudiantes resuelvan el ejercicio 8 propuesto para GeoGebra, que aparece en la página 179 para que vayan familiarizándose con el programa, de hecho podrían realizar el ejercicio 6 de la página 178, en el mismo programa, utilizando la herra-mienta punto y segmento.

En el problema 11 de la página 179, se discute si la solución del problema es única, esa es una discusión interesante cuando se les pide a los estudiantes que jus-tifiquen sus respuestas, también se puede hacer con los ejercicios del problema 10.

Cierre

En la sección «Reflexiono», la idea es que los estudiantes concluyan que los puntos que están sobre el eje X tiene la coordenada y igual a 0, por lo tanto, esta respuesta

permite responder a la siguiente pregunta. También es importante que los estudiantes se den cuenta de que a cada par ordenada le corresponde un único punto en el plano.

En la sección «Refuerzo», los estudiantes rápidamen-te descubrirán que la figura es un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 unidades, y recordando el Teorema de Pitágoras podrán calcular la hipotenusa y responder las preguntas.


1. Forma un par ordenado, cuya abscisa sea la solu-ción de la primera ecuación, y la ordenada sea la solución de la segunda ecuación.a) x + 4 = 5; y – 3 = –4

b) 3 – x = 8; 5 – y = 3

2. Determina el punto que cumple las siguientes condiciones:El valor de la abscisa es (–8 + 4 – 1) y la ordenada es 5 unidades mayor que la abscisa.

3. Evalúa si los siguientes puntos se ubican en el cuarto cuadrante.(5, 4) (–5, –3) (–3, 8) (4, –2)

4. Grafica los puntos (0, 5), (9, 4) y (0, 0) y comprueba si forman un triángulo en el plano cartesiano.

Profundización

5. Calcula el perímetro aproximado del cuadriláte-ro cuyos vértices son: A(–3, –1); B(0, 3); C(3, 4) y D(4, –1). (Ayuda: recuerda el teorema de Pitágoras.)

Respuestas

1. a) (1, –1); b) (–5, 2)

2. (–5, 0)

3. (4, –2)

4. Sí forman un triángulo.

5. El perímetro es 20,26 unidades aproximadamente.

Utilice el link http://goo.gl/4dnH3 para practicar en el plano cartesiano.

Link de interés



2 431 33333

Lección 28: ¿Qué es un vector? ¿Cómo representar vectores en el plano cartesiano? Págs. 180 a 183

PropósitoIntroducir los vectores y sus operaciones para el trabajo con transformaciones isométricas.

Palabras clave § Vectores § Componentes

Prerrequisitos § Plano cartesiano. § Puntos en el plano cartesiano.


El concepto de vector puede ser complicado para los estudiantes; se podrían discutir algunas ideas que son cercanas a ellos, como la diferencia entre velocidad y rapidez, ya que la velocidad es una magnitud vectorial porque posee, dirección y sentido, en cambio, la rapidez tiene solo magnitud.

Desarrollo

Aclare que un vector en el plano tendrá siempre un pun-to inicial y final. Cuando el punto inicial es el origen se denomina vector posición. Siempre un vector se puede trasladar para que su punto inicial quede en (0, 0) man-teniendo su dirección, sentido y magnitud.

Los ejercicios y problemas propuestos se dirigen a que los estudiantes se centren en las características que se utilizarán en las traslaciones.

Si se considera necesario mostrar la forma de calcular la magnitud del vector, aunque no es necesario para lo-grar el objetivo descrito, se puede hacer fácilmente en la sección Formaliza de la página 181, en la figura se ve claramente que, aplicando el teorema de Pitágoras se puede calcular la magnitud del vector y esta es igual a las 5 unidades como está indicado. En los problemas propuestos, 10 a) y b) de la página 183, es importante que los estudiantes dibujen las situaciones y de esa for-ma manipulen los vectores, además de percibirlos como herramientas muy útiles al momento de describir des-plazamientos.

Cierre

En la sección «Reflexiono» es importante que los estu-diantes solo identifiquen el paralelismo con dirección, a través de contraejemplos, dibujando vectores sobre rectas paralelas de diferente magnitud y sentido. Este ejercicio puede ser efectuado en GeoGebra para que se familiaricen con las funciones “vector entre dos puntos” y “vector desde un punto”. De hecho, con este último pue-den dibujar vectores equivalentes.

En el ejercicio 11 se ilustra el error más común cometido con vectores, confundir como equivalentes AC

� �� con CA� ��

, este error se puede resolver poniendo en palabras cada vector, por ejemplo, parte del punto A y llega a C, lo cual no es lo mismo que parta del punto C y llegue a A.

Errores frecuentes


1. La figura muestra el recorrido de Camila haciendo sus trámites; cada unidad del gráfico equivale a una cuadra.

x0–1

y

0

–1

123

1 4 72 5 83 6 9

A

B C

D

a) Describe los vectores de cada parte de la trayectoria. b) ¿Cuáles son las componentes de AD

� ��?

c) Si tuviera que ir desde D hasta el origen, ¿qué vector describiría ese desplazamiento?

Profundización

2. En el ejercicio anterior, ¿cuántas cuadras caminó Camila? Aproxima tu respuesta.

Respuestas

1. a) AB 3,2 ; BC 3,0 ; CD 2, 1� ��

( ) ( ) ( )= = = −b) (8, 1)c) (–9, –2)

2. Caminó aproximadamente 9 cuadras.

En el link http://goo.gl/yNNg1X encontrará actividades inte-ractivas para esta y las siguientes lecciones.

Link de interés



Lección 29: ¿Cómo multiplicar un vector por un escalar? ¿Cómo representar el vector resultante en el plano? Págs. 184 a 187

PropósitoMultiplicar vectores por un escalar como herramienta que se utilizará en la composición de transformaciones isométricas.

Palabras clave § Escalar y vector § Multiplicación de un vector por un escalar

Prerrequisitos § Adición y sustracción de vectores. § Vectores en el plano.


Recuerde a los estudiantes que en un momento se quiso abreviar el cálculo de ab + ab + ab en álgebra, y ahora se debe buscar un método para abreviar v v v

� � �+ + ,

trabajando con vectores.

Desarrollo

Los estudiantes deben tener claro en la actividad intro-ductoria que los vectores que representan los saltos de Esteban y Matilde tienen igual dirección y sentido, lo cual lo pueden comprobar dibujando los vectores. Pída-les que comparen ambos vectores: e 6,3

� ( )= y m 2,1� ( )=

y pregunte: ¿Qué harían para convertir el vector Matilde (m�

) en el vector Esteban (e�

)? ¿Qué sería necesario hacer con m�

si Matilde decide saltar en la misma dirección que Esteban pero en sentido contrario? Al final, los estudian-tes deben concluir que el multiplicar un escalar por un vector puede cambiar sentido o magnitud, pero nunca dirección.

En el ejercicio 3 de la página 186, al final se plantea una pregunta sobre la unicidad del producto de un escalar por un vector, esta pregunta puede resultar importan-te discutirla para que los estudiantes comprendan de mejor manera la composición de traslaciones en las lec-ciones posteriores.

En el ejercicio 9 a) y c), de la página 187 es recomendable que los estudiantes reconozcan que están trabajando la distributividad y el elemento neutro de la multiplicación de un escalar por un vector.

Cierre

En la sección «Reflexiono» se insiste en el elemento neu-tro de la multiplicación de un escalar por un vector. En la segunda pregunta enfatice en la posibilidad de cam-biar el sentido del vector dado a través de un escalar por ejemplo el –1.

Cuando los estudiantes realizan la ponderación de un vector, asegúrese que realizan la multiplicación en ambos compo-nentes del vector.

Errores frecuentes


1. Con los vectores de la figura encuentra el vector resultante de:

a) 2AB� ��

b) 3EF��

−

c) 0,5CD� ��

d) 3AB� ��

x0–1–3–6 –2–5 –4–7

y

0

–1

12345

1 2 3

AB

D

C

F

E

Profundización2. Con los vectores de la figura del problema

anterior, se realizó la siguiente operación: pAB qEF CD� ��

+ = . Encuentra los escalares p y q.

Respuestas

1. a) (4, 2) b) (9, –6) c) (–2,5; 2) d) (6, 3)

2. p = –22 y q = 13

Si le interesa revisitar el producto punto y el producto cruz de vectores, se puede revisar el link http://goo.gl/z1YBdL

Link de interés


2 431 33333

Lección 30: ¿Cómo sumar y restar vectores? Págs. 188 a 191

PropósitoOperar con vectores para posteriormente trabajar con composiciones de transformaciones isométricas.

Palabras clave § Adición y sustracción de vectores

Prerrequisitos § Características del paralelogramo. § Vectores en el plano cartesiano.


Cuando los estudiantes vieron la composición de fun-ciones, aprendieron que se podían realizar operaciones con elementos que no necesariamente eran números, eso puede ser el punto de partida de las operaciones con vectores.

Desarrollo

En la lección se muestra la forma geométrica de la suma y la sustracción solo para que los estudiantes deduzcan las fórmulas correspondientes. Es importante hacer notar a los estudiantes que la suma de vectores se define como la suma de sus componentes respectivos, los cuales son números, por lo tanto, tienen todas las propiedades de estos. La sustracción se define como la suma del vector opuesto.

El ejercicio 4 de la página 191 muestra, en la forma de verdadero/falso, algunas propiedades de los vectores. Se puede pedir que los alumnos deduzcan otras, como el elemento neutro y la asociatividad.

Disponga del tiempo necesario para resolver el ejercicio 6 a) de la misma página, no debería resultar complicado para los estudiantes, pero muestra la potencialidad de esta herramienta cuando se la utiliza, por ejemplo, a la física.

Cierre

En la sección «Reflexiono» se insiste en hacer un paralelo entre las operaciones numéricas y las operaciones entre vectores, en este caso, con la relación entre la adición del opuesto y la sustracción.

Los errores más comunes a los que se debe estar atento para corregir son: considerar la diferencia como conmuta-tiva, no mantener el orden correcto de los componentes al sumar o restar y al usar el método gráfico, no ubicar correc-tamente los vectores.

Errores frecuentes


1. Muestra que (–1, 9) + (3, –7) – (2, 2) = (0, 0)

2. Con la información de la figura encuentra:

a) AB CD� ��

+ b) AB CD� ��

−

x0–1–3 –2–4

y

0

–1

1234

1 42 3

ADC

B

Profundización

3. Se tiene que a x (2,5)� �− = con a ( 1,2)

�= − . El vector

x (p,q)�

= , escribe y resuelve las ecuaciones que permiten calcular los valores de p y q.

Respuestas

1. (–1 + 3 – 2, 9 – 7 – 2) = (0. 0)

2. a) (0, 3) b) (6, 1)

3. 1 + p = –2, p = –3; 2 – q = 5, q = –3

Para más información sobre vectores puede revisar la pági-na http://matematica1.com/category/vectores/

Link de interés



Orientaciones didácticasEsta evaluación de proceso está programada para que los estudiantes la realicen en 2 horas pedagógicas. Como es de desarrollo, es importante que queden sus registros en el cuaderno. Pídales que revisen sus respuestas en el solucionario al final del texto.

Una forma de organizar el estudio puede ser a través de un glosario realizado por los mismos estudiantes, pidién-doles que lean las lecciones 27 a 30 y completen una tabla con todos los términos que ellos consideren que

deben manejar y la completen con las realizadas por sus compañeros y compañeras, es importante que den las explicaciones con sus propias palabras y sea el resto del curso el que las corrija o complete.

La tabla puede ser como la que se propone a continuación.

Término Definición Ejemplo

Plano Cartesiano … …Punto … …Componente … …Cuadrante … …… … …

Tabla de especificaciones integro mis aprendizajesLa parte más importante de una autoevaluación es que los estudiantes tengan la posibilidad de corregir su traba-jo, asegúrese que ellos tienen el tiempo suficiente para ello y que realicen esta tarea, generalmente resulta más eficiente que lo efectúen en grupos pequeños.


Remedial

Identifican y representan puntos, figuras y vectores en el plano cartesiano.

1 al 7 Revisar el orden en que nombraron los puntos o los vectores.

Representan en el plano cartesiano, adiciones, sustracciones de vectores y multiplicaciones de un vector por un escalar.

8 al 12Determinar si los errores se cometieron por operatoria de racionales o por errores de los contenidos que involucran vectores. Una vez realizado ese diagnóstico corregir el trabajo realizado.

Resolver problemas que implican vectores y sus operaciones.

13Revisar si fue un error en el planteamiento del problema, en su procedimiento o en la respuesta entregada y luego corregir lo que corresponda.



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Lección 31: ¿Cómo trasladar figuras en el plano cartesiano? Págs. 194 a 197

PropósitoAplicar traslaciones en el plano cartesiano utilizando vectores.

Palabras clave § Traslación § Transformación isométrica

Prerrequisitos § Representación de puntos y vectores en el plano car-tesiano.

§ Concepto de función y sus propiedades.


Si se dibujan un par de triángulos idénticos en la pizarra, siempre es posible describir uno de ellos como el otro que cambió de posición, pero ¿cuál es la información que se debe tener para describir exactamente ese cam-bio de posición? Discutiendo la situación anterior, los estudiantes traerán en forma natural el plano cartesiano y los vectores.

Desarrollo

Los recuadros “Razona” y «Formaliza» contienen una gran cantidad de información que debe ser trabajada cuida-dosamente para que los estudiantes la comprendan y la puedan aplicar, tanto en esta lección como las siguien-tes. Por una parte se considera que Tu� es la notación para la función que traslada un punto (x, y) según el vector u

�.

Representar una traslación con un diagrama sagital como el siguiente, puede ayudar a los estudiantes a reconocer una traslación como función, y como tal, posee todas las propiedades de estas y se pueden realizar operaciones como la composición.

(a, b)

(x, y) (x + a, y + b)

T

En los ejercicios 7 y 8 de la página 196, pida a los estudiantes que traten de generalizar los resultados pre-guntándoles sobre traslaciones sucesivas y pidiendoles que traten de relacionar sus resultados con la composición de funciones.

Cierre

En la sección «Reflexiono», se retoma la discusión de las transformaciones como función y además se muestra que los vectores u

� y u�

− determinan dos transformacio-nes inversas.

Por lo menos al comienzo del trabajo insista que los estudiantes escriban todos los pasos al hacer una transfor-mación, de esta manera si no llegan a la respuesta correcta, podrán revisar paso a paso su trabajo.

Errores frecuentes


Refuerzo

1. Se tiene un pentágono cuyos vértices son los puntos A(1, 4), B(4, 5), C(5, 2), D(4, 0) y E(1, 1). Se aplica una traslación bajo el vector (2, 3). Dibuja el pentágono, el vector y la imagen del pentágono.

Profundización

2. Considerando los datos del ejercicio anterior, ¿qué vector se debe aplicar si se requiere que C' corresponda al punto D?

Respuestas

1.

x0–1 1 3 62 54 7

y

01

456

32

789

–1

AB

CDE

A'B'

C'

D'E'

2. (–2, –1)

Para más información sobre transformaciones isométricas visite el link http://goo.gl/U02tdv

Link de interés


Lección 32: ¿Cómo reflejar figuras en el plano cartesiano? Págs. 198 a 201

PropósitoEl objetivo de la lección es llevar a reflexiones introdu-ciendo funciones y plano cartesiano.

Palabras clave § Reflexión axial § Eje de simetría

Prerrequisitos § Rectas en el plano cartesiano.


Utilizando la figura de la sección «Repaso» de la página 198, se puede discutir con los estudiantes sobre cuál puede ser la más completa descripción de la reflexión, sin in-cluir el plano cartesiano y las coordenadas de los puntos de las figuras.

Desarrollo

En la lección se presentan algunos casos de reflexión, tomando como ejes de simetría los ejes coordenados y como centro de simetría, el origen. Es conveniente que los resultados obtenidos los resuman, como en el siguiente cuadro.

Reflexión ImagenRX(x, y) (x, –y)RY(x, y) (–x, y)R(0, 0)(x, y) (–x, –y)

En el ejercicio 8 de la página 201 se recomienda que los estudiantes utilicen el programa GeoGebra, de esta manera podrán usar las funciones polígonos regulares y reflexiones. En la misma página, (problema 9 a), se puede aprovechar el resultado para preguntar a los estudian-tes si era necesario dibujar todo el cuadrado original o si se puede utilizar la propiedad de las reflexiones que nos permite asegurar que el resultado de una reflexión es una figura idéntica a la original.

Cierre

En la sección «Reflexiono» se retoma el tema de las fun-ciones, recuerde que las dos condiciones que permiten

afirmar que una relación corresponde a una función son: que toda preimagen debe tener una imagen y que esta debe ser única.

En la simetría, respecto al origen, es importante que los estudiantes dibujen las rectas considerando dos puntos, el que se desea reflejar y el origen, las distancias entre el origen y el punto deben medir lo mismo, generalmente los errores se cometen en ese proceso.

Errores frecuentes


1. Encuentra las imágenes requeridas en cada caso.

a) R(0, 0)(3, –1) b) RX(–2, 1)

2. Los vértices de un cuadrado son (5, 3), (7, 5), (5, 7) y (3, 5). Determina las ecuaciones de las rectas que son ejes de simetría en el cuadrado.

Profundización

3. Utilizando GeoGebra grafica la recta x = y, y dibuja un triángulo cualquiera. Refleja el triángulo sobre la recta y analiza la regularidad que presentan las coordenadas de las imágenes. Luego, generaliza tus resultados.

Respuestas

1. a) (–3, 1) b) (–2, –1)

2. y = 5, x = 5

3. Rx = y(x, y) = (y, x)

x0–1–3 –2–4

y

0

–1–2–3–4

123

1 2 3

A

C

B

A'

C'

B'

Más sobre reflexiones en el link http://goo.gl/VGgVch

Link de interés



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9 3

12

6

Lección 33: ¿Cómo rotar figuras en el plano? Págs. 202 a 205

PropósitoRotar figuras en el plano cartesiano e interpretar las ro-taciones como funciones.

Palabras clave § Rotación en el plano cartesiano § Centro y ángulo de rotación

Prerrequisitos § Representación de puntos y rectas en el plano car-tesiano.


Al igual que en la lección anterior, será adecuado apro-vechar la figura de la sección «Repaso», de la página 202, y discutir con los estudiantes la información necesaria para realizar una rotación y comparar la pre imagen y la imagen rotada.

Desarrollo

En la lección se generalizan los resultados de las rotacio-nes con centro en el origen y ángulo en 90° y múltiplos de ese ángulo.

Tómese el tiempo necesario para asegurarse de que los estudiantes tienen claro el signo del ángulo según la dirección de la rotación. Muestre un resumen de la equi-valencia de estos como el que sigue:

–90° 270°–180° 180°–270 90°α° 360° + α°

Si la diferencia entre dos ángulos es 360°, entonces los resultados de la rotación será la misma, esto se ve en la tabla: 90 – (–270) = 360, esta regularidad se puede utili-zar en el ejercicio 5 de la página 204.

Muchos de los ejercicios y problemas pueden ser tra-bajados con el programa GeoGebra, por ejemplo el ejercicio 7 l) de la página 205.

Cierre

Al igual que en las lecciones anteriores, la sección «Reflexiono» fomenta la discusión de la naturaleza de función de las transformaciones, ya que, a cada punto de la figura original (preimagen) le corresponde un úni-co punto en la figura rotada (imagen). Por otra parte, al ser una función existe su inversa, es decir, la posibilidad de invertir siempre una transformación.

El error más común que cometen los estudiantes en las rotaciones es en la dirección del ángulo de rotación. De ser posible, permita a los estudiantes tener la imagen de un reloj analógico. El ejercicio 1 de refuerzo ayuda a superar este error.

Errores frecuentes


1. Observando la imagen responde el menor ángulo, incluyendo el signo para rotar la manecilla como se indica en cada caso.

a) Desde la 1:00 a las 8:00.

b) Desde las 10:00 a las 4:00.

c) Desde las 2:00 a las 11:00.

d) Desde las 4:00 a las 6:00.

2. Se quiere construir un octógono regular rotando un triángulo isósceles. ¿Qué ángulos debe tener ese triángulo?

Profundización

3. El punto (2, 4) se rota con respecto al origen en 50°, luego en 60° y finalmente en 70°. ¿Cuáles son las coordenadas finales del punto?

Respuestas

1. a) 150° b) 180° c) 90° d) –60°

2. Ángulos de la base 67,5°; el otro ángulo 45°.

3. El punto (–2, –4).

En el link http://goo.gl/uQOGnp podrá encontrar ejercicios interactivos de rotaciones.

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Lección 34: ¿Cuál es el resultado de la composición de transformaciones isométricas? Págs. 206 a 209

PropósitoAplicar composición de transformaciones isométricas haciendo un paralelo con la composición de funciones.

Palabras clave § Composición de transformaciones

Prerrequisitos § Composición de funciones. § Aplicación de transformaciones isométricas.


Recuerde la composición de funciones y pregunte: Al componer dos funciones lineales, ¿qué función se obtie-ne? ¿Qué propiedades se cumplen en la composición de funciones lineales? Estas propiedades, ¿se cumplen para cualquier función? La idea es que recuerden que depen-de del tipo de función que se componga la propiedad se cumple.

Desarrollo

El Programa de Estudios del Ministerio de Educación recomienda que los estudiantes efectúen algunas trans-formaciones con regla y compás y también realicen otras utilizando un software geométrico. Debido a lo anterior las actividades del texto no especifican de qué forma deben ser realizadas, sin embargo se recomienda organizar el curso en grupos pequeños y que, alternadamente, traba-jen tanto con regla y compás y en el computador y luego comparen sus resultados. Por ejemplo, la actividad 3 de la página 209 es más adecuada para trabajarla con regla y compás, en cambio la actividad 5 de la misma página es más conveniente trabajarla en un software geométrico. También puede resultar interesante que al finalizar discu-tan las ventajas y desventajas de ambos métodos.

En las construcciones con regla y compás se recomienda, si es posible, el uso de papel milimetrado para garantizar resultados correctos.

Existe un gran número de softwares geométricos, como Cabri, Geometer’s Sketchpad, GEUP5 y muchos otros, por su facilidad de uso y descarga gratuita, en el texto y en esta guía se utiliza GeoGebra.

Otra de las ventajas de GeoGebra es la gran cantidad de

materiales de apoyo que puede ser revisado y descarga-do en http://www.geogebra.org.

En las transformaciones que se piden en las actividades del texto es importante graficar en forma exacta las coor-denadas de los puntos dados, por lo que los estudiantes no deberían usar la herramienta “punto” del programa si no que graficarlos directamente como muestra el esquema.

Esto garantizará que los resultados obtenidos sean tam-bién exactos.

Tomaría mucho tiempo realizar un estudio exhaustivo de la composición de transformaciones isométricas, por lo tanto, en el tratamiento del contenido se priorizó la composición de dos o más traslaciones, dos o más re-flexiones y dos o más rotaciones, generalizando algunos resultados para, posteriormente, en las actividades pro-puestas de la sección «Practica» se combinan distintas transformaciones.

Algunos estudiantes son muy propensos a generalizar resultados a partir de un caso particular, por ejemplo, en el caso de la composición de reflexiones, en la ge-neralización dada en «Formaliza», página 207, se debe recalcar que los ejes de simetría deben ser paralelos a los ejes coordenados, si alguno propone que se cumple en cualquier caso, puede mostrar como contraejem-plo la siguiente imagen, donde claramente se ve que AA'' BB'' CC''� ��

≠ ≠ por lo tanto no hay traslación.

x0–1 1 3 6 9 112 5 84 7 10 12

y

01

456

32

789

–1

A

B

C A'

B'

C'

A''

B''C''

Para los estudiantes que se muestren más interesados, les puede proponer utilizar rectas paralelas entre ellas pero no a los ejes e investiguen los resultados que ob-tengan. (Esta actividad está propuesta en las Actividades Complementarias de Profundización).



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En el ejercicio 2 de la página 208 y 209, recomiéndeles a los estudiantes que comiencen tratando de reconocer traslaciones, luego reflexiones y finalmente, rotaciones; así, de lo más fácil a lo más difícil y en forma sistemática pueden simplificar el trabajo.

En los ejercicios 3, 4 y 5 de la página 209, es convenien-te que los estudiantes realicen más de una figura para responder la última pregunta de cada uno de ellos, la cual corresponde a resultados generales o prueba de propiedades de la composición de transformaciones.

Cierre

Antes de finalizar la lección es conveniente hacer un resumen de los resultados obtenidos utilizando el voca-bulario de funciones y de composición de funciones. Por ejemplo, se podría comenzar con:

Composición de… Se obtiene… Notación

Traslaciones Traslación � � � �T oT (A) T (A)v u u v

= +

En la sección «Reflexiono», guíe la discusión, por ejemplo, para composición de traslaciones de la siguiente mane-ra: ¿Qué elementos están involucrados en este tipo de transformación? Dado un vector cualquiera, por ejem-plo, (3, 8), este vector ¿puede ser el resultado de sumar los vectores (1, 5) y (2, 3)? ¿Esta suma es conmutativa? Entonces, si cada uno de estos vectores representa una traslación, ¿la composición de traslaciones es conmuta-tiva? En la misma línea, los estudiantes deben reconocer, por ejemplo, que la composición de reflexiones no es conmutativa, y en este caso solo es necesario encontrar un contraejemplo de ello.

Al momento de construir las transformaciones, los estudian-tes deben ser muy cuidadosos, sea que trabajen con regla y compás o computador porque en la calidad de las figuras hay grandes posibilidades de llegar a resultados y conclu-siones erróneas.

En la composición de funciones algunos alumnos no respetaban el orden en que debían efectuar las operaciones con las expresiones que representaban las funciones. En esta lección puede perpetuar ese error, por lo que debe enfatizarles este orden.

Errores frecuentes

Actividades complementarias Refuerzo

1. Dado el punto A(2, 4) realiza las siguientes trans-formaciones.

a) T(1, 3) o Rx (A) b) T0, 90º o T(2, –2) (A)

Profundización

2. En GeoGebra dibuja el triángulo A(2, 3), B(5, 2) y C(4, 4), la recta y = –x +10 y una recta paralela a la anterior. Refleja el triángulo sobre cada una de la rectas y determina qué transformación puede describir la relación entre el primer triángulo y el tercero.

Respuestas

1.

x0–1

y

0

–1–2–3–4–5

1234

1 2 3 4

A

A''

A'

x0–1–3 –2

y

0

–1–2

12345

1 2 3 4 5

A'' A

A'

2. Las rectas paralelas son y = mx + a e y = mx + b, la transformación es una traslación cuyo vector es (b – a, b – a).

x0–1 1 3 6 9 112 5 84 7 10 12 13

y

01

456

32

78

1011

9

–1

A

A'A''

B

B'

B''

CC'

C''



Orientaciones didácticasEn estas páginas se presenta una evaluación de las lec-ciones que involucran transformaciones isométricas. Un buen ejercicio es responder preguntas como por ejemplo: ¿Qué se necesita para realizar una traslación? La respues-ta: una figura y un vector de traslación debe ser lo más completa posible, en este caso podría ser una figura de vértices A(x1, y1)… y el vector � � � �T oT (A) T (A)

v u u v= + . También

es necesario que realicen un resumen con las generaliza-ciones que realizaron en el trabajo de las lecciones y de igual forma con las propiedades de las composiciones de transformaciones vistas.


PropósitoResolver problemas que involucran aplicaciones del plano cartesiano.

Orientaciones didácticasSe mantiene el método de resolución de problemas de los cinco pasos, pero en este caso la estrategia utilizada es el plano cartesiano, ubicando la información entre-gada y completando lo necesario para la resolución del problema.

En algunos problemas deberán recordar algunas pro-piedades o características de las figuras geométricas y, aunque no han estudiado la distancia entre dos puntos, la pueden calcular aplicando el Teorema de Pitágoras.

Un artículo con información bastante completa sobre el plano cartesiano se puede encontrar en http://goo.gl/Ydcpfo

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Tabla de especificaciones Integro mis aprendizajes


Remedial

Identifican los elementos de las transformaciones isométricas en el plano cartesiano.

1, 2 y 3 Representan puntos, rectas y vectores en el plano cartesiano.

Aplican transformaciones isométricas. 5, 6 y 7 Reforzar los elementos que componen cada transformación.

Componen transformaciones isométricas. 8 a 14 Representar en diagramas sagitales las transformaciones pedidas.

Resuelven problemas que involucran transformaciones isométricas.

4 y 15 Reforzar los cinco pasos de la resolución de problemas.



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Lección 35: ¿Cuándo dos figuras son congruentes? Págs. 214 a 217

PropósitoIntroducir el concepto de congruencia a partir de las transformaciones isométricas.

Palabras clave § Congruencia. § Transformaciones isométricas. § Lados o ángulos homólogos.

Prerrequisitos § Transformaciones isométricas en el plano cartesiano.


Pregunte a sus estudiantes ¿Qué significan en mate-mática palabras como igual? ¿Equivalente? ¿Idéntico? ¿Estas palabras se pueden aplicar al comparar dos fi-guras geométricas? La idea es que se concluya que no sirven y por lo tanto es necesario introducir un nuevo concepto; el de congruencia.

Desarrollo

Aplicando transformaciones isométricas, los estudiantes deben concluir que la imagen de una figura tiene igual forma y tamaño que esta, y que en geometría esa carac-terística se denomina congruencia.

Pídales a los estudiantes que busquen el significado de la palabra isometría y que definan la diferencia entre igual y congruente.

Elija algunos ejercicios propuestos para que los estudian-tes los realicen en GeoGebra, por ejemplo el número 3 y el número 5 a) o b) de las páginas 216 y 217. En la página 217, en el ejercicio 5 c) es importante que los estudiantes justifiquen por qué descartan una figura, de esa manera se verán obligados a repasar las dos condi-ciones de la congruencia, tamaño y forma.

Cierre

En la sección «Reflexiono», recuérdeles a los estudiantes que un contraejemplo basta para probar que una afirma-ción es falsa, por ejemplo un rectángulo de lados 12 cm y 3 cm, tiene igual área que un cuadrado de lado 6 cm, pero no son congruentes.

Para la sección «Refuerzo» insista en que la respuesta debe contener los dos criterios, las figuras son congruen-tes porque ambos son cuadrados (misma forma) y sus lados miden lo mismo (igual tamaño).

Los estudiantes tienden a confundir igual con congruente, pero deben acostumbrarse que el igual se emplea para valores numéricos, y congruente, para figuras.

Otro error común es considerar lados o ángulos homólogos a aquellos que están en el mismo orden en las figuras y no aquellos que miden lo mismo.

Errores frecuentes


1. Identifica los lados y ángulos homólogos de los triángulos congruentes de la figura.

2. Si ∆ABC ≅ ∆DEF, encuentra el valor de x según la información de la figura.

Profundización

3. Se realizó la transformación RA, 180(∆ABC) como muestra la figu-ra. Identifica dos pares de ángulos congruentes.

Respuestas

1. AD ≅ AB, AE ≅ AC, DE ≅ BCA ≅ A, D ≅ B, E ≅ C

2. x = 3

3. C ≅ C, A ≅ A', B ≅ B'

B

C

D

E

A

59º

42º

59º

42º

A

C

B D

F

E

2x – 4 3x – 7

A

B

C A'

B'


Lección 36: ¿Cuál es la mínima información para concluir que dos figuras son congruentes? Págs. 218 a 223

PropósitoDeterminar la mínima información necesaria y suficien-te para determinar que dos triángulos son congruentes.

Palabras clave § Congruencia de triángulos

Prerrequisitos § Construcción de triángulos.


Recordar de 7° básico la construcción de triángulos, pregun-tando: Si les diera la medida de los tres lados de un triángulo, ¿podrían construirlo con esta información? ¿Todos cons-truirían el mismo triángulo? ¿Y si les dier a las medidas de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos? ¿Y la me-dida de dos ángulos y el lado comprendido entre ellos? La idea es que concluyan que con la información entregada es posible construir el triángulo y que todos los estudiantes construían exactamente el mismo triángulo.

Desarrollo

Por lo estudiado en la lección anterior se sabe que dos triángulos son congruentes si sus tres ángulos y sus tres lados son respectivamente congruentes, pero en esos seis datos hay información que sobra, por lo que esta lección muestra la información necesaria y suficiente para construir triángulos congruentes.

El problema puede ser parafraseado como: si le damos información sobre un triángulo a dos personas, cómo nos aseguramos que construyan exactamente el mismo triángulo.

Cuando se escribe la congruencia entre dos triángulos no es necesario escribir los vértices en el orden corres-pondiente, pero es un buen hábito que los estudiantes se acostumbren a ello para que les resulte más fácil defi-nir los lados y ángulos homólogos.

Cierre

En la sección «Refuerzo» insista en que la solución correc-ta no es única; es cualquiera que incluya algún criterio de congruencia.

Algunos estudiantes piensan que si dos triángulos tienen los tres ángulos correspondientes de igual medida, enton-ces los triángulos son congruentes, para enmendar este error pídales que construyan en GeoGebra un triángulo cualquiera, luego copien los ángulos y construyan con ellos otro triángulo con los lados de distinta medida, así podrán comprobar que es posible construir otro triángulo que NO es congruente al original.

Errores frecuentes


Refuerzo

1. El triángulo de la figura es isósceles y su altura CD, ¿qué puedes concluir sobre los triángulos resultantes?

A B

C

D

2. ¿Qué triángulos son congruentes en la figura? Justifica.

B

FA

D E

C47º

3 cm 3 cm

1 cm1 cm 47º

Profundización

3. Los triángulos de la figura son rectángulos. Con la información entregada, ¿se puede afirmar que los triángulos son congruentes?

A

C B

A'

C' B'

Respuestas

1. ∆ADC ≅ ∆BDC2. ∆ABE ≅ ∆CDB, ALA; ∆AFD ≅ ∆CFE, ALA3. Sí, por ALA.

En el link http://goo.gl/vRR9Fg encontrará material sobre congruencia de triángulos.

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Lección 37: ¿Cómo se realiza una demostración utilizando congruencia? Págs. 224 y 225

PropósitoMostrar los pasos de una demostración y los elementos que la constituyen.

Palabras clave § Hipótesis § Tesis § Demostración

Prerrequisitos § Elementos secundarios del triángulo.


Algunas lecciones atrás los estudiantes concluyeron que la composición de dos funciones lineales era conmuta-tiva, recordando eso se les puede plantear las siguientes situaciones y discutir con ellos cuál es la diferencia entre ellas, entre una verificación y una demostración.

1. f(x) = 2x y g(x) = 3x, f(g(x)) = 6x, g(f(x) = 6x

2. f(x) = ax y g(x) = bx, f(g(x)) = abx = bax = g(f(x))

Desarrollo

Les puede pedir a sus estudiantes que investiguen que significan las letras Q. E. D

(Quod erat demonstrandum), “lo que se quería demos-trar”, es decir, partiendo de la o las hipótesis se llegó a la tesis o q. e. d.

Es importante que los estudiantes comprendan que al de-mostrar una cierta propiedad esta puede convertirse en una hipótesis en la demostración de otra propiedad, for-mándose una cadena en que cada afirmación puede ser respaldada con alguna de las demostraciones realizadas.

Cierre

Al momento de llegar a la sección «Reflexiono», los estudiantes deberían llegar a la conclusión que la ma-temática se construye partiendo de algunas hipótesis consideras verdaderas y demostrando todo el resto.

Uno de los errores comunes que cometen los estudiantes es no distinguir la o las hipótesis de la tesis, para evitar este problema es importante revisar con ellos la sección «Obser-va» de la página 225, tratando de convertir el enunciado en la forma p → q.

Otro error común que debe monitorearse para que los estudiantes no lo cometan es utilizar la tesis en alguno de los pasos de la demostración.

Errores frecuentes


1. Analiza la siguiente afirmación y responde.Si 2(3x + 4) = 4(2x – 3) entonces x = 8

a) ¿Cuál es la hipótesis?

b) ¿Cuál es la tesis?

c) ¿Cómo demostrarías la afirmación?

2. Demuestre que si EAD ≅ CAB, entonces EAC ≅ BAD.

C

ED

A

B

Respuestas

1. a) Hipótesis: 2(3x + 4) = 4(2x – 3)

b) Tesis: x = 8.

c) Resolviendo la ecuación.

2. EAC = DAC + EAD (Por construcción)

= DAC + CAB (Por hipótesis)

= BAD (Por construcción)

Un libro dedicado a estudiantes y profesores sobre las de-mostraciones en matemática se puede ver en http://goo.gl/NaSYGo

Diapositivas con los diferentes métodos de demostración en matemática en http://goo.gl/m9kup3

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Lección 38: ¿Cómo demostrar propiedades de algunos polígonos? Págs. 226 a 229

PropósitoAplicar los criterios de congruencia de triángulos para demostrar algunas propiedades de los polígonos.

Palabras clave § Cuadriláteros

Prerrequisitos § Caracterización de los cuadriláteros. § Caracterización de los paralelogramos.


En la lección anterior se ilustró un método para demos-trar propiedades en geometría, ese método se puede utilizar también para demostrar propiedades de los cua-driláteros y paralelogramos.

Desarrollo

En el primer ejercicio de la página 226, se utilizan las propiedades de los ángulos entre paralelas cortadas por una transversal que fue demostrada en años anteriores.

Puede haber estudiantes que se confundan al leer una demostración y no comprendan los pasos intermedios, por lo cual es conveniente hacer un preámbulo antes de comenzar el trabajo.

En el ejercicio de la página 227, primero presentar lo que se quiere demostrar.

A

D

B

C

A B

D C

B A

Así se puede ver que esos segmentos son partes de triángulos, y si se demuestra que esos triángulos son congruentes, entonces los lados correspondientes serán congruentes.

Cierre

Finalmente, en la sección «Reflexiono» se debe discutir con los estudiantes el hecho de que los criterios de con-gruencia de triángulos no solo se aplican a problemas de triángulos, sino también de otras figuras geométricas.

También es importante que los estudiantes tengan claro que el método de demostración mostrado en estas pá-ginas no es el único.

No se puede considerar como error, pero una situación que se da comúnmente es que los estudiantes no saben por dónde comenzar una demostración, por eso es importan-te que verbalicen qué es lo que quieren demostrar y qué propiedad usarán para llegar a la tesis.

Errores frecuentes


1. Las diagonales de un paralelogramo se dimidian.

A

D

B

C

E

a) Escribe la hipótesis del enunciado.

b) Escribe la tesis que se propone.

c) Identifica los triángulos a los cuales pertenecen los segmentos involucrados en la tesis.

d) Demuestra que esos triángulos son congruentes.

e) Si los triángulos son congruentes, ¿se demuestra la tesis?

Respuestas

1. a) Hip.: #ABCD es paralelogramo.

b) Tesis: AE ≅ EC y DE ≅ EB

c) ∆AEB y ∆CED (o ∆AED y ∆CEB)

d) Demostración:

AB ≅ DC (Lados opuestos en un paralelogramo)

ABD ≅ CDB, CAB ≅ ACD (Propiedades de los paralelogramos.)

∆AEB ≅ ∆CED (Por ALA q. e. d.)

e) Sí, porque AE y EC son lados homólogos, de igual manera BE y ED.



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Demostración

Triángulos congruentes


Orientaciones didácticasEsta autoevaluación contiene los objetivos de las lec-ciones 35 a 38, con los contenidos correspondientes a congruencia, criterios de congruencia y sus aplicaciones.Se ha trabajado en estas lecciones con tres ideas básicas, por lo que se recomienda que los estudiantes las refuer-cen respondiendo preguntas como las que se muestran a continuación.


PropósitoAprender nuevas estrategias de resolución de problemas.

Orientaciones didácticasLos cinco pasos de la resolución de problemas se man-tienen constantes, pero la estrategia, en este, caso es aplicar los criterios de congruencia de triángulos. Es im-portante en estas páginas trabajar con los estudiantes que los criterios de congruencia de triángulos no solo se aplican a demostraciones de propiedades geométricas sino también a situaciones reales.

Un estudio sobre resolución de problemas de matemáticas se muestra en la página http://www.cimeac.com/images/2a_parte_reporte_final_inide.pdf

Link de interés

Tabla de especificaciones Integro mis aprendizajesLa tabla está pensada para que los estudiantes traten de diagnosticar sus errores y que los puedan resolver por sí mismos.


Remedial

Comprenden el concepto de congruencia y reconocen figuras congruentes a partir de los criterios de congruencia de triángulos.

1 a 6Revisar los criterios de congruencia y buscar el que se aplica, por sus elementos, a la situación dada.

Resuelven problemas que involucran el cálculo de medidas en figuras planas y demostraciones de propiedades en polígonos a partir de los criterios de congruencia,

7 y 8Revisar el o los pasos en que se detectan errores, si es parte de la estrategia o pasos de una demostración y revisar los contenidos correspondientes.

¿Qué significa congruente?

¿Dónde se pueden producir dos figuras con-gruentes?

¿Cuáles son los criterios de congruencia de triángulos? Explícalos.

¿Cuáles son los componen-tes de una demostración?

¿Cómo se realiza una de-mostración?

Demostración


Conecto con la Arquitectura Pág. 160

PropósitoRelacionar los contenidos de la unidad con algún cam-po del saber fuera de la Matemática, en este caso, la Arquitectura.

Orientaciones didácticasLa segunda pregunta de la sección «Reflexiono» une el contenido de transformaciones isométricas con la red de un domo. Pídales a los estudiantes que reconozcan en la red, las rotaciones, reflexiones y traslaciones del triángulo equilátero que se utilizaron. En internet los es-tudiantes pueden investigar las ventajas que posee este tipo de construcción y también sobre las redes de los sólidos regulares, reconociendo en ellos las trasforma-ciones que se utilizan para formar su construcción.


PropósitoResumir y organizar los contenidos de la unidad.

Orientaciones didácticasAntes del refuerzo y la evaluación final de la unidad los es-tudiantes tienen la posibilidad de repasar los contenidos, estableciendo las conexiones entre ellos y detectando posibles debilidades que deben ser corregidas en las pá-ginas de refuerzo. Al igual que en las unidades anteriores esta página comienza con un mapa conceptual que ayu-dará a los estudiantes a ordenar los contenidos vistos, en la sección «Reflexiono» se motiva a los estudiantes a complementar dicho mapa.


1. Dibuja el triángulo de vértices A(1, 1) B(2, 3) y C(2, 5) y realiza lo siguiente.

a) Traslada el triángulo según el vector (–1, 2).

b) Refleja el triángulo respecto al eje Y.

c) Rota el triángulo con respecto al origen y en –60°.

2. Dibuja el mismo triángulo ABC de la pregunta anterior y realiza las siguientes composición de trasformaciones.

a) Rx = 4 o T(2, 4) b) T(2, 4) o Rx = 4

Respuestas

1.

2.

A

B

CA''

C''

B''

A'

C'

B'

A

B

C


PropósitoIlustrar algunos errores comunes en los contenidos de la unidad.

Orientaciones didácticasAl finalizar las lecciones de esta unidad se muestran algu-nos errores comunes en los estudiantes como confundir el método del paralelogramo de la adición y sustracción de vectores o el utilizar la figura (sin datos) particular para una demostración. Es importante que los estudian-tes realicen estos ejercicios, no solamente para descubrir el error en el desarrollo de él, sino también para diagnos-ticar otros errores que puedan estar cometiendo.



2 431 33333

Tabla de especificaciones Refuerzo mis aprendizajes


RemedialI II


1 y 2 1 y 2Utilizar GeoGebra y luego revisar sus resultados confrontados con los del software.

Representan en el plano cartesiano, operaciones con vectores.

3 3Utilizar GeoGebra y luego revisar sus resultados confrontados con los del software.

Identifican las regularidades al aplicar transformaciones isométricas en el plano cartesiano.

4 a 8Realizar transformaciones utilizando un software y revisar los parámetros y la imagen de cada una de ellas.

Realizan composiciones de transformaciones isométricas en el plano.

9 a 12 Repasar la composición de funciones.

Comprenden el concepto de congruencia y reconocen figuras congruentes a partir de los criterios de congruencia de triángulos.

13 a 15 5 y 6Medir los lados y comparar la forma de una figura y sus imágenes.

Resuelven problemas geométricos. 16 a 19 7 Revisar los pasos de la resolución de problemas.



Orientaciones didácticasRecuerde a sus estudiantes que en el refuerzo están organizados, paralelamente, contenidos y actividades, para que lean primero los conceptos involucrados y lue-go realicen los ejercicios propuestos. Si presentan algún error, deben volver a la lección correspondiente y repa-sar en forma más profunda. La manera más efectiva es que los estudiantes trabajen en parejas, motívelos de manera que uno de ellos, alternadamente, le explique los contenidos o los ejercicios al otro.

Si desea más actividades para sus estudiantes sobre trans-formaciones isométricas puede revisar el link http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/transformacio-nes.htmlEsta página entrega actividades interactivas con vecto-res, desde los conceptos más básicos. http://www.xtec.cat/~jbartrol/vectores/manual/vectores.html

Link de interés


Orientaciones didácticasLos estudiantes deben contar con 2 horas pedagógicas para realizar la evaluación final y también para corregirla y despejar las dudas y errores que puedan presentar.

MATEMÁTICA 1.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE 118 119UNIDAD 3 • GEOMETRÍA

Información complementaria

El tema de vectores se trabajó en esta unidad en su representación gráfica, operaciones básicas, adición, sustrac-ción y ponderación, debido a que es lo necesario para desarrollar el tema de las transformaciones isométricas en el plano cartesiano.

Pero los vectores vuelven a trabajarse en 4° año de Educación Media, en el eje de geometría, pero en tres dimen-siones. Los temas que se tratan son representación y módulo de un vector para terminar con la ecuación vectorial de la recta y su relación con la ecuación cartesiana.

La representación y el cálculo del módulo de un vector en tres dimensiones, solo generaliza estos conceptos tra-bajados en dos dimensiones, por ejemplo el vector que muestra la figura sería: =v (2,3,5)

� o utilizando los vectores

unitarios su expresión sería = + +v 2i 3j 5z�

x

z

y

P (2, 3, 5)

0 32

5

ˆ ˆ ˆv = 2i +3j +5z�

Para calcular su módulo, aplicando dos veces el teorema de Pitágoras, se obtiene:

( )= + + = + + ≈v 2 3 5 2 3 5 6,162 22

2 2 2 2�, en general, para el vector (a, b, c), su módulo sería + +a b c2 2 2 .

Respecto a la ecuación vectorial de la recta en el espacio, se necesita un punto de ella, representado por el vector a�

y un vector en la recta, v�

que representa su dirección, de esta forma, cualquier punto en la recta podrá ser repre-sentado por la suma del vector a

� y del ponderado λv

� con λ un escalar real, por lo tanto la ecuación de la recta será

= +λr a v� � �

.

X

z

A

Y0


2 431 33333


• http://vectores-enriquehuaman.blogspot.com/p/vectores-en-tres-dimensiones-teoria.html

Incluye la representación de un vector en tres dimensiones y las operaciones bási-cas de vectores, como el producto punto y cruz.

• http://amolasmates.es/pdf/Temas/2BachCT/Ecuaciones%20de%20la%20recta%20y%20el%20plano%20en%20el%20espacio.pdf

Trabaja la ecuación vectorial de la recta y del plano.

• http://www.vadenumeros.es/segundo/ecuaciones-de-la-recta.htm

Trabaja la ecuación vectorial de la recta y su relación con la ecuación cartesiana.

• RICH, Barnett. Geometría. Colección Shawm. Editorial McGraw Hill.

Libro de consulta.

• CARREÑO, Ximena. Álgebra. Editorial Arrayán. 2008

El capítulo 10 es sobre vectores.

• CARREÑO, Ximena. Geometría. Editorial: Mc Graw Hill

Se recomiendan los capítulos sobre transformaciones isométricas y propiedades de los polígonos.

• SPIEGEL, Murray. Análisis Vectorial. Colección Shawm. Editorial McGraw Hill.

Libro de consulta.


Mate

rial f

otoc

opia

ble

Plano cartesiano


1. En el plano cartesiano están dibujados los puntos A(3, 4) y B(–1, 1). Encuentra la distancia entre los pun-tos. (Ayuda: utiliza el teorema de Pitágoras)

x0–1–3 –2–4

y

0

–1

1234

1 2 3

A

B

2. Grafica los puntos dados y describe el cuadrilátero A(–2, 1), B(1, 2), C(5, 0), D(–4, –3)

x0–1–3–5 –2–4–6

y

0

–1

–3–2

–4–5

12345

1 42 53 6

3. Resuelve los siguientes problemas graficando los puntos dados.

a) Si A(–2, 1), B(5, 1) y C(5, 3), ¿cuál es el área del triángulo ABC?

b) Si A(–4, 2) y B(2, 2), encuentra las coordenadas del punto C de tal manera que ABC sea un triángulo isósceles de

base AB y cuya altura mide 12

AB.

c) Si D(–1, –2) y E(2, 2), encuentra las coordenadas del punto F tal que el triángulo DEF sea rectángulo en con hipote-nusa DE.

x0–1–3–5 –2–4–6

y

0

–1

–3–2

–4–5

12345

1 42 53 6



Material fotocopiable2 431 33333

Transformaciones isométricas


Desafío

La imagen muestra la teselación llamada Cairo, aparentemente porque muchas calles de la ciudad del mismo nombre están pavimentadas de esa forma.

La � gura básica es un hexágono formado por 4 pentágonos cuyos ángulos miden 120°, 120°, 90°, 120°, 90°, en ese orden, el tamaño del pentágono no es relevante.

Este desafío consiste en que dibujes un pentágono en GeoGebra y luego, por medio de trasformaciones dibujes el hexágono.

Para dibujar el pentágono ABCDE sigue los siguientes pasos:

Paso 1: En GeoGebra, construir el segmento AB, con punto medio M.

Paso 2: Construir dos ángulos de 45° con vértice M, llámales AMX y BMY.

Paso 3: Dibuja un círculo con centro en B y radio AB y marca el punto C donde el rayo

� ��MY y el círculo se intersectan.

Paso 4: Dibuja un círculo con centro en A y marca el punto E donde el rayo

� ��MX y el círculo se intersecan.

Paso 5: Localiza D, la intersección del círculo con centro C y radio AB y el círculo con centro en E y radio AB, llegando al pentágono de la � gura.

Ahora que tienes el pentágono aplícale las transformaciones necesarias para construir el hexágono, deberías llegar a la siguiente � gura.

D

CE

BA 1

2

3

Describe las transformaciones del pentágono para lograr los pentágonos 1, 2 y 3

Ahora puedes realizar la teselación, ¿con qué transformaciones?

¡Sé creativo con los colores!

x0–1 1 3 6 9 112 5 84 7 10 12 13 14

y

01

456

32

78

1011

9

–1

A

D

B

CE



Mate

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otoc

opia

ble

Congruencia


1. De acuerdo a la información dada en cada pareja de triángulos, marca el criterio que asegura la congruencia de ellos.

a)

Congruentes: LAL, LLL, ALA No hay suficiente información

b)

Congruentes: LAL, LLL, ALA No hay suficiente información

2. Explica por qué ∆ABE ≅ ∆DCE (incluye el criterio de congruencia utilizado).

B C

E

DA

3. El triángulo ABC es isósceles y CD es altura. Se quiere demostrar por LLL que ∆ADC ≅ ∆BDC, ¿qué otra información necesitarías?

D

C

BADesafío

4. La persona que está en el punto J tiene un sextante (medidor de ángulos), HJ es la orilla de una playa frente a la cual hay un islote. Esta quiere medir la distancia HI utilizando congruencia de triángulos. ¿Cómo debería hacerlo? Utiliza el dibujo.

HJ

I




§ Actividades complementarias 2Construcción del pentágono:

D

CE

BA

X Y

M45º 45º

Las respuestas pueden variar, por ejemplo:Pentágono 1. RC , 90º ABCDEPentágono 2. RAB ABCDEPentágono 3. RE , –90º ABCDEPara realizar la teselación se pueden utilizar reflexiones y traslaciones.


1. a) Congruente, ALA.b) No hay suficiente información.

2. ABE ≅ DCE, porque son suplementarios de los ángulos basales de un triángulo isósceles. ALA.

3. D es punto medio de AB.

4. Mide los ángulos HJI y JHI y los copia en la playa, encontrando el punto I', por ALA, los triángulos son congruentes, por lo tanto la distancia HI es igual a la distancia H'I'.

56.16º 26.5º

56.16º 26.5º

H' J'

I'

I

H J


1. La distancia entre A y B es de 5 unidades.

2. El cuadrilátero es un trapecio isósceles.

x0–1–3 –2–4–5

y

0

–1

–3–2

–4

12

1 2 3 4FG = 4.47

EH = 4.47

F

G

H

–1–1–3–3 –2–2 00

–1–1–2–2

1

–2–2

11 22 33

= 4.47

–3

1

33

= 4.47

–3

1

33

= 4.47

3. a) A∆ABC = 7u²

x0–1–3 –2

y

0

–1

123

1 2 3 4 5

AB

C

11111

b) C(–1, 5)

x0–1–3–4 –2

y

0

–1

12

43

5

1 2

A B

C

2

4433443322

4

2222

4

22

c) C(2, –2) o C’(–1, 2)

x0–1–2

y

0

–1–2

123

1 2 3

A C

BC'

0–1–1–2

11 2

–2–2–2–2

22–1–1–2–2–2–2

2–1–10

–1–1

112233223

–1

3333

–1–1–1–1–1–1

–1–1

33

–1–1



Mate

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opia

ble

1. Respecto del plano cartesiano, ¿cuál(es) de la(s) afirmacion(es) es(son) VERDADERA(S)?

I. La intersección entre los ejes coordenados es el punto (0, 0).

II. El eje horizontal recibe el nombre de eje X o eje de las ordenadas.

III. El eje vertical recibe el nombre de eje Y o eje de las abscisas.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. II y III

E. I, II y III

2. ¿Cuál de las afirmaciones es FALSA?

A. Las coordenadas de los puntos que pertenecen al cuadrante I son positivas.

B. Las coordenadas de los puntos que pertenecen al cuadrante III son negativas.

C. Los puntos pertenecientes al eje X tienen como segunda coordenada 0.

D. Los puntos del IV cuadrante cumplen con que su 1° coordenada es mayor que la 2°.

E. En los puntos pertenecientes al eje Y la 1° coor-denada es menor que la 2°.

3. ¿Cuáles son las coordenadas de los A y B repre-sentados en el plano cartesiano?

x0–1–3–5 –2–4

y

0

–1

–3–2

–4–5–6

1234

1 42 53

A

B

A. A(3, 5) y B(5, 6).

B. A(–5, 3) y B(–6, 5).

C. A(3, –5) y B(5, –6).

D. A(–5, 3) y B(5, –6).

E. A(3, –5) y B(–6, 5).

4. Sean los vectores = −�u (3, 7) y =

�v (2, 4), ¿cuál es el

vector = +�� w u v?

A. =w (5,3)��

B. = −w (5, 3)��

C. = −w ( 5,3)��

D. = − −w ( 5, 3)��

E. = −w (5, 11)��

5. Si � �u (0, 9) y v ( 3, 1)= = − − , ¿cuál es el vector = −

� � �a u v?

A. =a (3,9)�

B. = −a (3, 9)�

C. = − −a ( 3, 10)�

D. =a (3,10)�

E. N. A


A. El vector opuesto del vector = −e (2, 3)�

es el vector = −e ( 2,3)

�.

B. La adición de vectores cumple con la propiedad de asociatividad.

C. La adición de vectores cumple con la propiedad de conmutatividad.

D. El elemento neutro para la adición de vectores es el vector =e (0,0)

�.

E. La sustracción de vectores cumple con la pro-piedad de conmutatividad.

7. ¿Cuál es la imagen al reflejar el punto A(2, –5) respecto del eje X?

A. A’(2, 5)

B. A’(2, –5)

C. A’(–2, 5)

D. A’(–2, –5)

E. N. A.

8. ¿Cuál(es) de las afirmaciones es FALSA(S)?

I. Al reflejar el punto (x, y) respecto al eje Y se obtiene el punto (–x, y).

II. Al reflejar el punto (x, y) respecto al origen se obtiene el punto (–x, –y).

III. Al reflejar un punto del primer cuadrante res-pecto al eje Y resulta un punto perteneciente al cuarto cuadrante.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y III

E. II y III

Evaluación





9. Al trasladar el punto A (2, –6) respecto del vector = −�a ( 7,9), ¿qué punto del plano cartesiano se obtiene?

A. A’ (5, 3)

B. A’ (–5, 3)

C. A’ (–5, –3)

D. A’ (–9, 15)

E. A’ (–9, –15)

10. ¿Cuál es el vector traslación que permite trasla-dar el punto A(0,5; –2) y obtener A’(4, –6)?

A. =v (3,5; 8)�

B. =v (3,5; 4)�

C. =v (4,5; 4)�

D. = −v (3,5; 4)�

E. = −v (4,5; 4)�

11. Si al punto

A 2,

1x

se traslada respecto al vector

=�a (2y, 3) y se obtiene A’(3, 6) entonces, ¿cuál es el valor de x e y respectivamente?

A. x = 3 e y = –2.

B. x = 3 e y = 2.

C. x = –3 e y = 2.

D. = =x13e y

12

.

E. = = −x13e y

12

.

12. Si se le aplica una rotación al punto A(x, y), res-pecto al origen en un ángulo de 90°, ¿qué punto se obtiene?

A. A’(x, y)

B. A’(–y, x)

C. A’(–x, y)

D. A’(x, –y)

E. A’(–y, –x)

13. Si se rota en 180° el punto A (2, –6) respecto al origen O y luego se traslada según el vector

−�u(0, 4), ¿cuál es la imagen A’?

A. A (2, –2)

B. A’(–2, 2)

C. A’(0, –2)

D. A’(–2, 0)

E. A’(–2, –2)


A. Rotar una figura en 0° es equivalente a rotar la misma figura en 360°.

B. Rotar una figura en 90° es equivalente a rotar la misma figura en –180°.

C. Rotar una figura en 270° es equivalente a rotar la misma figura en –90°.

D. Rotar una figura en 360° es equivalente a rotar la misma figura en –360°.

E. Rotar una figura en un ángulo α es equivalente a rotar la misma figura en –(360° – α).

15. Se aplicaron sobre A (x, y), con x ≠ 0 e y ≠ 0 la composición de dos rotaciones. ¿Qué es necesa-rio saber para que la imagen sea A’(x, y)?

(1) El centro de rotación en ambas rotaciones fue el mismo.

(2) Los ángulos considerados para las rotacio-nes suman 360°.

A. (1) por sí sola

B. (2) por sí sola

C. Ambas juntas, (1) y (2)



16. ¿Cuándo dos polígonos son congruentes?

A. Si tienen la misma área

B. Si tienen lados proporcionales

C. Si tienen la misma forma y el mismo tamaño

D. Si tienen lados correspondientes de igual medida

E. Si tienen ángulos correspondientes de igual medida

17. En el cuadrado ABCD se ha dibujado el trián-gulo equilátero ABE. Si AF y BG son alturas del triángulo, ¿cuántos pares de triángulos con-gruentes hay?

A

G

E

F

B

D

C

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5


Mate

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ble


A. Si dos polígonos son congruentes, entonces son equivalentes.

B. Si dos polígonos son equivalentes, entonces son congruentes.

C. Si dos polígonos son equivalentes, entonces tienen igual área.

D. Si dos polígonos son congruentes, entonces las medidas de sus lados son proporcionales.

E. Si dos polígonos son congruentes, entonces sus ángulos correspondientes son proporcionales.

19. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)?

I. Al aplicar una traslación sobre un polígono, la figura resultante es equivalente a la figura original.

II. Al aplicar una rotación sobre un polígono, la figura resultante es congruente a la figura original.

III. Al aplicar una simetría axial sobre un po-lígono, la figura resultante tiene sus lados correspondientes distintos y no proporcio-nales.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y II

E. I y III

20. ¿Cuál de los siguientes postulados NO corres-ponde a la congruencia de triángulos?

A. Lado – Lado – Lado

B. Lado – Ángulo – Lado

C. Ángulo – Lado – Ángulo

D. Ángulo – Ángulo – Ángulo

E. Todas las anteriores corresponden

21. En relación con la figura, ¿cuál de las siguientes alternativas es CORRECTA?

3 cm

3 cm

30ºA

E

B

D

C

30º

A. ED ≅ AC

B. ∡CAB ≅ ∡EDC

C. ∡ABC ≅ ∡CED

D. ∆ABC ≅ ∆EDC

E. CB ≅ CE

22. ¿Cuál de las siguientes alternativas es CORRECTA?

A BD

C

A. ∆ADC ≇ ∆BDC

B. ∆ADC ≅ ∆BDC

C. ∡ADC ≅ ∡CBD

D. AC ≅ BC

E. DB ≅ DA

23. En el triángulo ABC isósceles, de base AB, se ha dibujado la transversal de gravedad CD. ¿Cuál de las siguientes alternativas es CORRECTA?

A BD

C

A. ∆ADC ≇ ∆BDC

B. ∆ADC ≅ ∆ABC

C. ∡ACD ≅ ∡BCD

D. ∡ADC ≅ ∡CBD

E. ∡DAC ≅ ∡BCD

24. Sea ABC un triángulo equilátero, ∆ADC ≅ ∆BDC si:

A BD

C

(1) D es punto medio del segmento AB.(2) Si ADC ≅ BDC.

A. (1) por sí sola

B. (2) por sí sola




Evaluación



25. Para demostrar que la bisectriz de un trián-gulo equilátero también es altura. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es(son) VERDADERA(S)?

A BD

C

I. Hipótesis: ∆ABC equilátero y CD bisectriz.II. Tesis: CD es altura del triángulo ABC.III. El postulado ALA se puede utilizar en la

demostración.

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. I y III

E. I, II y III

26. Se puede demostrar que en el siguiente triángu-lo m(Sa) = m(Sb), sí:

A BD E

C

α β

(1) Si ABC es isósceles.(2) Si CDB ≅ CEA y AD ≅ EB.

A. (1) por sí sola

B. (2) por sí sola




27. En el ∆ABC isósceles de base AB, se dibujan las transversales de gravedad CD y AE ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A. ABC ≅ ACB

B. CAB ≅ CBA

C. ADC ≅ BDC

D. ACD ≅ BCD

E. CD es simetral del lado AB

28. Respecto del romboide ABCD, ¿cuál(es) de las afirmaciones es(son) FALSA(S)?

A

B

C

D

E

I. Los lados opuestos son congruentes.

II. E es punto medio de ambas diagonales.

III. No se puede determinar la suma de sus ángulos interiores.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y III

E. II y III

II. Resuelve los problemas en tu cuaderno.

29. Aplica sobre el siguiente cuadrilátero la compo-sición de una rotación con centro en R(2, –6) y en un ángulo de –270°, y la simetría central respec-to del eje X.

x0–2–6 –4–8

y

0

–4

–2

–6

–8

2

4

6

8

2 4 86

E

B

C

A

D

30. Demuestra que en un triángulo equilátero la transversal de gravedad corresponde también a su altura.

31. Si el cuadrilátero ABCD es un trapecio, los trián-gulos AED y EBC son equiláteros, y E es punto medio del segmento AB, ¿es el triángulo ECD equilátero y congruente a los otros dos? Justifica.

A E B

D C


Mate

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opia

ble

Preguntas de alternativas


Identificar regularidades en la realización de transformaciones isométricas en el plano cartesiano, formular y verificar conjeturas

respecto de los efectos de la aplicación de estas transformaciones sobre figuras geométricas.

1 A

Conocer y utilizar conceptos y propiedades asociados al estudio

de la congruencia de figuras planas, para resolver problemas y demostrar

propiedades.

15 C2 E 16 C3 D 17 D4 B 18 B5 D 19 D6 E 20 D7 A 21 D8 C 22 A9 B 23 C

10 D 24 D11 D 25 E12 B 26 B13 B 27 A14 B 28 C


Problema 29 Problema 30 Problema 31Si aplicas correctamente la composición de transformaciones pedida sobre la figura ABCD.

CorrectaIdentifica correctamente la hipótesis y la tesis.Hipótesis: ∆ABC equilátero, CD transversal de gravedad.Tesis: CD altura.Como una altura de un triángulo une un vértice con el lado opuesto, solo se debe demostrar que:m(ADC) = m(BDC) = 90º.Demostración:Como DABC es equilátero, entonces AC ≅ BC. Además CD es transversal de gravedad, entonces AD ≅ BD. Luego como CD es lado común de ∆ADC y ∆BDC se tiene que: utilizando el postulado LLL, por lo que m(ADC) = m(BDC). Por lo tanto, m(ADC) + m(BDC) = 180º, entonces m(ADC) = m(BDC) = 90º.

CorrectaResponde afirmativamente la pregunta y justifica. Por ejemplo, como los ∆AED y ∆EBC son equiláteros y E es punto medio de AB, entonces estos triángulos son congruentes. A raíz de esto desprende que m(AED) + m(BEC) = 60º + 60º = 120º, con lo que puede afirma que: m(DEC) = 60º.Como AD ≅ CE, DE es lado común entre ∆AED y ∆CDE, y m(ADE) + m(CED) = 60º. Entonces, ∆AED ≅ ∆CDE por el postulado LAL. Finalmente, el ∆ECD es equilátero y congruente a los otros dos.

Parcialmente correctaSi aplica solo una de las transformaciones isométricas en forma correcta sobre la figura ABCD.

Parcialmente correctaSi identifica correctamente la hipótesis y la tesis, pero su demostración no es coherente.

Parcialmente correctaSi responde afirmativamente la pregunta, justifica que ∆AED ≅ ∆EBC, pero no justifica que elDECD es equilátero y congruente a los otros dos.

IncorrectaNo aplica correctamente ninguna de las dos transformaciones pedidas sobre la figura ABCD.

IncorrectaNo determina correctamente la hipótesis y la tesis, por lo que su demostración no tiene sentido.

IncorrectaNo responde la pregunta, ni justificas correctamente que los ∆AED y ∆EBC son congruentes.




Transformaciones isométricas

1. ¿Cuál de las siguientes figuras representa de me-jor forma una simetría respecto del origen?

1

x0–2–6 –4

y

0

–4

–2

–6

2

4

6

2 4 6

2

x0–2–6 –4

y

0

–4

–2

–6

2

4

6

2 4 6

3

x0–2–6 –4

y

0

–4

–2

–6

2

4

6

2 4 6

4

x0–2–6 –4

y

0

–4

–2

–6

2

4

6

2 4 6

Sol: Gráfico N° 2

2. ¿Cuál de los siguientes dibujos muestran la composición de una simetría respecto del eje X seguida de una rotación de –90° con centro en el origen del punto A(–3, 5)?

1

x0–2–6 –4

y

0

–4

–2

–6

2

4

6

2 4 6

A''

A'

A

2

x0–2–6 –4

y

0

–4

–2

–6

2

4

6

2 4 6

A''

A'A

3

x0–2–6 –4

y

0

–4

–2

–6

2

4

6

2 4 6

A''

A'A

4

x0–2–6 –4

y

0

–4

–2

–6

2

4

6

2 4 6

A''

A'

A

Sol: Gráfico N° 3

Banco de preguntas

3. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es (son) VERDADERA(S)?

I. Una traslación se realiza respecto de un vector.

II. Una simetría central se realiza respecto de una recta.

III. Una rotación se realiza solo a un ángulo.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo I y II

D. Solo I y III

E. I, II y III

4. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es (son) VERDADERA(S)?

I. En una traslación la figura original y la figura resultante pueden NO intersectarse.

II. En una traslación la figura original y la figura resultante pueden intersectarse en un solo punto.

III. Para trasladar la figura resultante luego de una traslación y obtener la figura original se puede aplicar una traslación respecto del mismo vector pero con distinto sentido.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. Solo I y II

E. I, II y III

5. Aplica una rotación de 60° con centro en O sobre el cuadrilátero ABCD. Para ello, utiliza regla y compás.

0

AB

C

D

1

A

A'

B

B'

C C'D

D'

0

2

Sol: Figura N° 2

MATEMÁTICA 1.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE 130 MTUNIDAD 3 • GEOMETRÍA

Mate

rial f

otoc

opia

ble

8. Se quiere demostrar que las diagonales de un cuadrado son congruentes entre sí. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es (son) VERDADERA(S)?

I. Hipótesis: ABCD cuadrado, AC y BD sus diagonales

II. Tesis: AC ≅ BE.

III. El postulado LAL se puede utilizar en la de-mostración.

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. I y III

E. I, II y III

9. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmacion(es) se (son) necesita(n) para demostrar que el trapecio ABCD es isósceles?

I. AC // DC

II. CAB ≅ DBA

III. AB = 2 • CD

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. I y III

E. II y III

10. La figura está formada por dos triángulos equi-láteros congruentes ∆ABC y ∆DEF, donde G y F son puntos medios de los segmentos AB y CB respectivamente. Si el área del triángulo GBF es 12 cm², ¿cuál es el área del triángulo ABC?

ABG

C

D E

F

Sol: 48 cm²

Congruencia de figuras planas

6. ¿Cuál(es) de los siguientes casos se representa(n) pares de triángulos congruentes?

I. α

α

II.

III.

A. Solo I

B. Solo II

C. I y III

D. II y III

E. I, II y III

7. Se puede demostrar que el cuadrilátero ABCD es un rombo si:

A

B

D

C

(1) E es el punto medio de sus diagonales.(2) m(AED) = 90º

A. (1) por sí sola

B. (2) por sí sola

C. Juntas, 1 y 2



A

D

B

C

A

E

B

D

C

Banco de preguntas

unid

ad444 unid

ad4 unid

ad

131UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Objetivos fundamentales Contenidos mínimos Actitudes• Interpretar y producir información,

en contextos diversos a través de gráficos que se obtienen desde tablas de frecuencia cuyos datos están agrupados en intervalos.

• Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos en experimentos aleatorios finitos, aplicando más de una estrategia y aplicarlo al cálculo de probabilidades en diversas situaciones.

• Comprender la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población.

• Interpretar y producir información, en contextos diversos mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando.

• Seleccionar la forma de obtener la probabilidad de un evento, ya sea en forma teórica o experimentalmente, dependiendo de las características del experimento aleatorio.

• Obtención de información a partir del análisis de los datos presentados en histogramas, polígonos de frecuencia y de frecuencias acumuladas, considerando la interpretación de medidas de tendencia central y posición.

• Organización y representación de datos extraídos desde diversas fuentes, empleando histogramas, polígonos de frecuencia y frecuencias acumuladas, construidos manualmente y con herramientas tecnológicas.

• Análisis de una muestra de datos agrupados en intervalos, a través el cálculo de medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y medidas de posición (percentiles y cuartiles), en diversos contextos y situaciones.

• Empleo de técnicas combinatorias para resolver diversos problemas que involucren el cálculo de probabilidades.

• Aplicación y establecimiento de estrategias para determinar el número de muestras de un tamaño dado, que se pueden extraer desde una población de tamaño finito, con y sin reemplazo.

• Formulación y verificación de conjeturas en casos particulares sobre la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población, con y sin reemplazo.

• Resolución de problemas en contextos de incerteza, aplicando el cálculo de probabilidades mediante el modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del problema.

• Interés por conocer la realidad al trabajar con información cuantitativa de diversos contextos.

Conocimientos previos• Población y muestra.

• Experimento aleatorio.

• Gráficos de frecuencia.

• Tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos.

• Media aritmética y moda para datos agrupados en intervalos.

• Muestreo aleatorio simple.

• Equiprobabilidad de eventos.

• Principio multiplicativo.

• Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.

• Probabilidad teórica de un evento.

• Modelo de Laplace.

• Condiciones del modelo de Laplace: finitud del espacio muestral y equiprobabilidad.



PropósitoEn el ámbito del tratamiento de datos, los alumnos comienzan el estudio de representaciones grá� cas para datos agrupados en intervalos tales como histogramas y polígonos de frecuencia. El propósito es que al � nalizar la unidad, los estudiantes sean capaces tanto de interpretar como de producir información a través de estos grá� cos. Asimismo, se espera que interpreten y produzcan información utilizando medidas de tendencia central y de posición, considerando el tipo de datos involucrados. Respecto de los conceptos de población y muestra, se pretende que reconozcan relaciones entre la media aritmética de una población � nita y la media aritmética de las medias muestrales cuando se extraen muestras de igual tamaño desde la misma población. En cuanto al ámbito del manejo del azar, en esta unidad continúa el trabajo con la probabilidad desde un punto de vista teórico (modelo de Laplace) y desde lo experimental (frecuencias relativas). Además, se incorporan las técnicas combinatorias que constituyen verdaderas herramientas para ayudar en el conteo de los elementos de un espacio muestral.

Estadísticay probabilidad


AE2

Producir información, a través de grá� cos obtenidos desde tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, manualmente o mediante herramientas tecnológicas en contextos diversos.


¿Cómo representar datos agrupados?

Organizar datos en tablas con datos agrupados en intervalos y grá� cos en for-ma manual y utilizando un software computacional.

• Organizar y representar datos utilizando histogramas, polígonos de frecuencia y frecuencias acumuladas, construidos manualmente y con herramientas tecnológicas

Determinan el número de intervalos para organizar un conjunto de datos.

Construyen tablas de frecuencias con datos agrupados.

Representan un conjunto de datos agrupados en intervalos mediante un histograma.

Construyen, a partir de un histo-grama, el polígono de frecuencia asociado.

Construyen un histograma o polí-gono de frecuencia, utilizando una herramienta tecnológica.

Leccion 45 (4h)

¿Cómo realizar un análisis estadístico utilizando una planilla de cálculo?

AE1

Obtener información a partir del análisis de datos presentados en grá� cos, considerando la interpretación de medi-das de tendencia central.


¿Cómo interpretar grá� cos y tablas de datos agrupados?

Interpretar histogramas, polígonos de frecuencia y tablas de datos agrupados.

• Obtener información a partir del análisis de los datos presentados en histogramas, polígonos de frecuencia y de frecuencias acumuladas, considerando la interpretación de medidas de tendencia central y posición.

Explican la pertinencia y ventajas de representar un conjunto de datos, a través de un histograma o polígono de frecuencia.

Obtienen información mediante el análisis de datos presentados en his-togramas y polígonos de frecuencia.

Interpretan datos agrupados en intervalos y organizados en tablas de frecuencia.

AE7

Producir información, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central, aplicando criterios referi-dos al tipo de datos que se están utilizando en contextos diversos.

AE8

Utilizar el cálculo de medidas de tendencia central y de posición para analizar muestras de datos agrupados en intervalos.


¿Cómo calcular medidas de tendencia central?

Calcular las medidas de ten-dencia central y de posición para analizar un conjunto de datos y obtener conclu-siones.

• Analizar una muestra de datos agrupados en intervalos, mediante el cálculo de medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y medidas de posición (percentiles y cuartiles), en diversos contextos y situaciones.

Comunican información estadísti-ca, utilizando medidas de posición, por ejemplo, cuartiles.

Construyen un polígono de fre-cuencias acumuladas, e interpretan medidas de posición.

Determinan el valor de la media muestral, la mediana, cuartiles y percentiles de datos agrupados en intervalos.

Leccion 43 (4h)¿Cómo calcular medidas de posición?

Plani� cación

UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 133

2 31 4

AE6

Interpretar información, en diversos contextos, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando.


¿Cómo interpretar medidas de tendencia central?

Interpretar las medidas de tendencia central y de posición a partir de grá� cos de frecuencia acumulada y diagramas de caja para analizar un conjunto de datos y comparar con otros conjuntos.

• Analizar una muestra de datos agrupados en intervalos, mediante el cálculo de medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y medidas de posición (percentiles y cuartiles), en diversos contextos y situaciones.

Interpretan información estadística, expresada en cuartiles o quintiles.

Evalúan la pertinencia del uso de medidas de posición o tendencia central de acuerdo al tipo de datos involucrados.

Extraen información respecto de medidas de posición, a partir de un polígono de frecuencias acumuladas.

Comparan información respecto a dos o más conjuntos de datos, utilizando medidas de tendencia central y de posición.

Leccion 44 (4h)

¿Cómo se interpretan las medidas de posición?

AE3

Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en experimentos aleatorios � nitos, usando más de una estrategia.


¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?

Calcular la cardinalidad del espacio muestral en experi-mentos aleatorios mediante técnicas de conteo para calcular la probabilidad en diversas situaciones.

• Resolver diversos problemas que involucren técnicas combinatorias para el cálculo de probabilidades.

Determinan la cardinalidad de un espacio muestral utilizando el principio multiplicativo en diversos experimentos aleatorios.

Obtienen el número de muestras aleatorias posibles de un tamaño dado que se pueden extraer, sin re-posición, desde una población de tamaño � nito, aplicando el número combinatorio.

Seleccionan la técnica combinato-ria apropiada para resolver pro-blemas que involucren el cálculo de probabilidades, acorde a los requerimientos de cada problema.

Leccion 47 (4h)¿De cuántas formas se pue-den ordenar una cantidad de objetos?

Leccion 48 (4h)¿Cuántas combinaciones se pueden hacer?


AE4

Calcular la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño, extraídas desde una población.AE5

Formular conjeturas y veri� carlas en casos particulares acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño � nito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño, extraídas de dicha población


¿Qué relación existe entre el promedio de las medias muestrales y la media de la población?

Reconocer relaciones entre la media aritmética de una población � nita y la media aritmética de las medias muestrales para compren-der la relación entre el promedio de las medias muestrales y la media de la población.

• Utilizar y establecer estrategias para determinar el número de muestras de un tamaño dado, que se pueden extraer desde una población de tamaño finito, con y sin reemplazo.

• Formular y verificar conjeturas en casos particulares acerca de la relación existentes entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población, con y sin reemplazo.

Establecen estrategias para deter-minar el número de muestras de un tamaño dado, con o sin reem-plazo, que se pueden extraer desde una población de tamaño � nita.

Calculan el promedio de cada una de las muestras de igual tamaño extraídas desde una población.

Calculan el promedio de todos los promedios de muestras de igual ta-maño extraídas desde una población.

Realizan diferentes comparaciones entre la media de una población con la media de cada uno de los prome-dios de muestras de igual tamaño extraídas desde una población.

Conjeturan acerca de la relación existente entre la media de una población y el promedio de cada uno de los promedios de muestras de igual tamaño extraídas desde una población.

Veri� can, utilizando herramientas tecnológicas, la conjetura formulada.

AE9

Resolver problemas referidos a cálculos de probabilidades, aplicando el modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las características del experimento aleatorio.


¿Cómo calcular la probabili-dad teórica?

Calcular la probabilidad teórica y experimental de experimentos aleatorios para resolver problemas aplicando el cálculo de probabilidades.

• Resolver problemas en contextos de incerteza, aplicando el cálculo de probabilidades mediante el modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del problema.

A partir de diferentes experimentos aleatorios identi� can resultados equiprobables.

Identi� can experimentos aleatorios que permiten asignar probabilida-des a sus eventos en forma teórica mediante el modelo de Laplace y mediante las frecuencias relativas.

Asignan probabilidades de ocu-rrencia a eventos, mediante el mo-delo de Laplace o las frecuencias relativas, de acuerdo a las caracte-rísticas del experimento aleatorio.

Leccion 51 (4h)¿Cómo calcular la probabili-dad experimental?

Plani� cación


2 31 4


Propósito La unidad correspondiente al eje Datos y Azar comien-za con la presentación de los datos de recién nacidos y se retoma al finalizar la unidad con una aplicación a la sociología.

La unidad tiene dos grandes secciones: la primera tiene como objetivo la interpretación de datos agrupados, y la segunda, el cálculo de probabilidades desde el pun-to de vista teórico y experimental.

Prerrequisitos § Interpretación de tablas. § Media aritmética de datos agrupados. § Población y muestra. § Probabilidades.

Orientaciones didácticas El contexto presentado como introducción a la unidad corresponde a los parámetros (percentiles) con que se comparan las medidas del peso y talla de los recién naci-dos. Pregunte a sus estudiantes: ¿Han escuchado hablar de que el peso de un bebé está en el percentil 75? ¿Qué creen que significa esto? Si el peso de un bebé está en el percentil 50, ¿pesa más o menos que el bebé cuyo peso está en el percentil 75?

En las gráficas están representados el peso y la talla (estatura) de un recién nacido, y están marcados los percentiles más importantes como lo son el 25 (primer cuartil), 50 (segundo cuartil o mediana) y 75 (tercer cuartil) Pida a sus estudiantes que determinen entre qué percentiles se encuentran los recién nacidos que aparecen en la tabla. Pregúnteles: ¿Conocen algún re-cién nacido? ¿Recuerdan cuánto pesó y midió? ¿Entre qué percentiles se encuentra?


PropósitoAntes de comenzar el trabajo de la unidad los estudian-tes deben repasar algunos contenidos que utilizarán, tanto en lo que se refiere a estadística como a proba-bilidades.

Orientaciones didácticasEl repaso se organiza con el contenido que se va a estudiar y el ejercicio correspondiente, por lo que se re-comienda que los estudiantes se organicen en parejas, lean cuidadosamente la materia, consulten y resuelvan dudas y luego realicen el ejercicio cuyos resultados se encuentran al final del texto.

En la fórmula de la media aritmética, página 246, pue-de que los estudiantes no estén familiarizados con el símbolo de sumatoria, si es así, sería conveniente desa-rrollarla como:

f • x f • x ... f • xi i 1 1 n ni 1

n

∑ = + +=

Donde cada sumando es el producto de la frecuencia por la marca de clase de cada fila de la tabla.

El ejercicio 5 d. (página 247) puede servir para evitar erro-res al determinar el espacio muestral de un experimento y para identificar los eventos que son equiprobables.

Muchos estudiantes pueden responder que si la cardinali-dad del espacio muestral de lanzar un dado es 6, entonces el de dos dados sería 12. Hay que mostrar que eso solo cuenta en los casos en que ambos dados tienen igual resultado y están perdiendo todos las combinaciones. Es preferible que hagan una tabla de doble entrada donde se darán cuenta que el total de casos son 36.

Aprovechando la misma tabla pueden ver que el experi-mento muestra eventos que no son equiprobables.

Errores frecuentes



Lección 39: ¿Cómo representar datos agrupados? Págs. 248 a 251

PropósitoRepresentar datos agrupados en tablas o en gráficos.

Palabras clave § Datos agrupados en intervalos § Histograma § Polígono de frecuencia, § Polígono de frecuencia acumulada

Prerrequisitos § Rango de un conjunto de datos. § Amplitud y marca de clase de un intervalo. § Frecuencia absoluta y frecuencia acumulada.


Discuta con los estudiantes la importancia de contar con los datos adecuados para diseñar distintas políticas pú-blicas. Pregunte: Si quisiéramos saber cuántas escuelas son necesarias en una localidad, ¿qué variable debería-mos investigar? ¿Cómo podríamos saber cuántos niños hay en la localidad? ¿Qué deberíamos hacer con la información recolectada? ¿Para qué? La idea es que con-cluyan que no es suficiente recolectar solo los datos, sino que es necesario organizarlos y definir estadígrafos con los que se los pueda analizar.

Desarrollo

Observando los datos del cuadro, página 248, y lue-go la tabla, pregunte: ¿Están representados los mismos datos? ¿En cuál de los organizadores se muestra más información?

Al mostrar el histograma es importante que los estudian-tes los distingan de los gráficos de barra. Pregúnteles: ¿Qué diferencia hay entre el histograma y el gráfico de barras? La idea es que concluyan que en el histograma las barras no pueden estar separadas y que normalmen-te se utilizan para variables continuas.

En el ejercicio 1 de la página 251 se pide organizar los datos en una tabla de de datos agrupados en intervalos, normalmente para calcular el número de intervalos se utiliza la regla de Sturges: N = 1 + 3, 32log(n), donde N es el número de intervalos y n el número total de datos,

pero esta fórmula queda fuera de las posibilidades ac-tuales de los estudiantes. En las tablas pedidas podrían agrupar los datos en 6 intervalos, en general no deberían ser menos de 5 o más de 12 porque la distribución de los datos se puede distorsionar.

Cierre

En la sección «Refuerzo» la idea es proponer a los estu-diantes el ejercicio inverso, es decir, que a partir de un gráfico se obtenga la tabla de frecuencias. Pregúnteles: ¿Cuáles son los intervalos en que está organizado el con-junto de datos? ¿Cuántos son? ¿Cuántas filas tendrá la tabla? ¿Cuál es la frecuencia de cada intervalo? De esta manera podrán responder a las preguntas.

Al pasar de una lista de datos a una tabla los estudiantes pueden perder algún dato, para evitar esto deben siempre chequear el total de estos y tener sistemas como ir borran-do cada dato que contabilizan. Uno de los hábitos que deben desarrollar es el orden, de manera que si cometen algún error pueden revisar hasta encontrarlo.

Errores frecuentes


1. Compara el polígono de frecuencias con el histo-grama. ¿Qué ventajas o desventajas encuentras entre ambos?

2. Javier tiene una lista de 35 datos y decide definir 20 intervalos para agruparlos. ¿Qué le aconsejarías a Javier respecto de la cantidad de intervalos a definir?

Respuestas

1. Pregunta abierta. Es importante que justifiquen que el polígono de frecuencias es más fácil de dibujar, pero muestra menos información que el histograma.

2. Son muchos intervalos y no habría diferencia con una tabla de datos corriente.

Para tener más información sobre graficar utilizando Excel, visite: http://goo.gl/YuXmvO.

Link de interés



2 31 4

Lección 40: ¿Cómo interpretar gráficos y tablas de datos agrupados? Págs. 252 a 255

PropósitoInterpretar distintas organizaciones de datos como los son tablas y gráficos.

Palabras clave § Interpretación de gráficos

Prerrequisitos § Organización de tablas y gráficos de datos agrupados. § Lectura de tablas y gráficos de datos agrupados.


Recuerde a los estudiantes que los datos fueron reco-lectados porque había una pregunta que necesitaba respuesta. Por lo tanto, una vez que fueron organizados, ya sea en tablas o gráficos, debemos interpretarlos de forma que sirvan para llegar a la respuesta buscada.

Desarrollo

Antes de comenzar a interpretar un gráfico o una tabla hay que asegurarse que los estudiantes pueden leerlo, por eso es importante el paso 1 de la actividad de la página 252; partir de una lectura adecuada para luego seguir con la interpretación.

En la página 255, ejercicio 5 b. aparece un gráfico que quizás sea nuevo para los estudiantes. Dé unos minu-tos para analizar su construcción antes de desarrollar el ejercicio. Es interesante ver con los estudiantes que en realidad el gráfico está entregando información sobre tres variables: población, edad y género y que puede ser leído por separado el histograma correspondiente a hombres o mujeres y además sirve para comparar sobre el género, por ejemplo se puede observar que las muje-res son más longevas que los hombres.

Cierre

En la sección «Reflexiono» se produce nuevamente una ocasión para discutir que el proceso de recolectar datos se realiza con un objetivo.

Respecto a la sección «Refuerzo», pregunte: ¿A qué distri-bución se parece más el histograma? Esto es importante para cuando se estudien distribuciones probabilísticas en años posteriores.

Los errores que cometen los estudiantes muy frecuente-mente tienen que ver con que no saben leer tablas y gráfi-cos, por lo que se les debe recomendar responder el paso 1 (página 252) al comenzar cada ejercicio o problema.

Errores frecuentes


1. Utilizando el gráfico responde las preguntas.

454035302520151050

5 10 15 20 25 30

a) Inventa variables que puedan ser representadas por el gráfico.

b) Según tus variables, ¿cómo podrías interpretar la barra más alta del gráfico?

Profundización

2. Respecto al gráfico de la página 255, ejercicio 5 b, ¿cuántas personas jubiladas había ese año?

Respuestas

1. Pregunta abierta, puede ser edad de jóvenes y niños que asisten a un consultorio de una mu-nicipalidad, las personas que más asisten está entre 15 y 20 años.

2. Aproximadamente, 1 300 000.

Más ejercicios sobre este tema se pueden encontrar en http://goo.gl/6FcbYi

Link de interés


Lección 41: ¿Cómo calcular medidas de tendencia central? Págs. 256 a 259

PropósitoFamiliarizar a los estudiantes con las fórmulas utilizadas para calcular medidas de tendencia central.

Palabras clave § Media § Moda § Mediana

Prerrequisitos § Medidas de tendencia central para datos no agrupados.


Los estudiantes han conocido y calculado las medidas de tendencia central por varios años, primero con una lista de datos y luego en tablas de frecuencia. Los métodos para realizar los cálculos van cambiando, pero el concepto no varía, por lo tanto, los estudiantes deben sentirse seguros al trabajar con la media, moda y mediana.

Desarrollo

En esta lección se recomienda que los estudiantes uti-licen calculadora científica, las fórmulas que conocerán no son simples y es conveniente que se concentren en el manejo de estas y no en los cálculos.

Es importante que los estudiantes comprendan que al tener los datos agrupados en intervalos no se conocen los datos exactos, por tanto, los cálculos que se realizan son estimaciones y no valores exactos.

El objetivo de la lección es que los estudiantes puedan calcular las medidas de tendencia central, por tanto, que memoricen las fórmulas no tiene sentido en ese contex-to. Es conveniente que cuenten con las fórmulas en todo momento de práctica o evaluación.

En la actividad del cálculo de la moda, página 257, dis-cuta el resultado obtenido con los estudiantes, la moda es menor que la media; esto significa que muchos va-lores están por debajo de la media, es decir, hay valores muy altos de distorsionan la media.

Cierre

En la sección «Reflexiono» puede concretizar la dis-cusión diciéndoles, por ejemplo, que ellos son los

encargados del presupuesto de algún ministerio como educación o salud.

Ayude a sus estudiantes diciéndoles que coloquen en el intervalo central uno que tenga como marca de clase 23,5 y luego distribuyan las frecuencias en las superiores en forma similar a las inferiores.

El empleo de las fórmulas presenta dificultad para muchos estudiantes, por eso es importante que, por una parte, cuenten con el tiempo necesario para practicar con ellas y, por otra parte, trabajen en forma muy ordenada para evitar confusiones. Si utilizan calculadora deben recordar el uso de los paréntesis.

Errores frecuentes

Actividades ComplementariasRefuerzo y Profundización

1. El siguiente cuadro muestra los datos de las eda-des de 24 personas.

7 13 21 18 9 12 36 2121 35 5 8 26 32 21 1625 11 17 39 6 16 24 14

a) Calcula la media, moda y mediana.b) Los mismos datos se organizaron en la siguiente

tabla.

Edad (años) Frecuencia[0; 10[ 5

[10; 20[ 8[20; 30[ 7[30; 40[ 4

Calcula nuevamente las medidas de tendencia central.

c) Compara los resultados. ¿Qué puedes concluir?

Respuestas

1. a) Media: 18,875, moda: 21 y mediana: 17,5.

b) Datos agrupados: media: 19,17; moda: 17,5 y mediana: 18,75.

c) Al comparar los resultados se puede concluir:

En los datos sin agrupar la moda es mayor que las otras medidas de tendencia central, en cam-bio, en los datos agrupados, es la media mayor. Al inferir sobre la distribución de los datos esto provoca una diferencia en la traza de las curvas.



2 31 4

Lección 42: ¿Cómo interpretar medidas de tendencia central? Págs. 260 a 263

PropósitoInterpretar medidas de tendencia central para datos agrupados.

Palabras clave § Interpretación de medidas de tendencia central

Prerrequisitos § Cálculo de medidas de tendencia central con datos agrupados.


Guíe la discusión con las siguientes preguntas: ¿Para qué nos sirve calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos? ¿Qué información nos entre-ga la media de los datos? ¿Y la moda? ¿Y la mediana? Enfatice que ante cualquier procedimiento de cálculo existe una problemática detrás y que los resultados siempre se deben interpretar en función de lo que se quiere solucionar.

Desarrollo

Al analizar el caso 1 de la página 260 se ve que las medidas de tendencia central se pueden utilizar para in-terpretar los datos, pero en el caso 2 de la página 261, esto no es posible porque los datos son muy heterogé-neos como se puede ver en el histograma. Se puede simplificar este ejemplo planteándoles a los estudiantes que se quiere describir a dos alumnos, las notas de uno son 1, 1, 1, 7, 7, 7 y las del otro son 4, 4, 4, 4, 4, 4, ambos alumnos tienen promedio 4, pero en el primer caso esa nota no describe el comportamiento del rendimiento del estudiante.

En el ejercicio 4 a. de la página 263 la decisión de elegir una u otra línea de buses depende también del objetivo de la persona: si quiere un bus que se atrase lo menos posible o uno que garantice estabilidad respecto a sus horarios. Con este ejercicio también se puede discutir que existen otros estadígrafos que apoyan o comple-mentan las medidas de tendencia central, estos son los de posición que se estudiarán en las próximas lecciones y las de dispersión que se estudiarán el próximo año.

Cierre

La conclusión a la que deben llegar los estudiantes des-pués de esta lección es que las medidas de tendencia central son útiles para describir una población o muestra en que esta sea relativamente homogénea.

Al interpretar los resultados los estudiantes pueden afirmar conclusiones sin antes contrastar esos resultados con la homogeneidad o falta de esta en los datos, por lo tanto es conveniente que primero analicen los gráficos o tablas y luego, basándose en estos, incluyan las medidas de tenden-cia central.

Errores frecuentes


1. Determina si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Si es falsa, justifícala.

Si en una muestra hay datos con valores muy por debajo del resto, lo mejor es usar la me-dia para describirla.

Tendencia central significa a un punto me-dio de la distribución.

Profundización2. Relaciona cada una de estas ventajas con su o sus

respectiva(s) medida(s) de tendencia central.

a) No se ve afectada por valores extremos.b) Se puede utilizar para valores cualitativos ordinales.

c) Cada conjunto de datos tiene una que es única.

Respuestas

1. Falso, es mejor utilizar la moda o la mediana. Verdadero.

2. a) y b) Moda y Mediana.

c) Media y Mediana.

Para tener más información sobre la interpretación de estos estadígrafos http://goo.gl/8ZbDlv

Link de interés


Lección 43: ¿Cómo calcular medidas de posición? Págs. 264 a 267

PropósitoEn esta lección se introducen por primera vez algunos estadígrafos de posición.

Palabras clave § Percentiles § cuartiles § quintiles

Prerrequisitos § Frecuencias acumuladas y relativas de un conjunto de datos.


Inicie comentando que, en general, las medidas de ten-dencia central se utilizan para describir un conjunto de datos o para comparar dos conjuntos de datos, mientras que con los estadígrafos de posición se pueden compa-rar datos dentro de un mismo conjunto.

Desarrollo

Nuevamente se recomienda que los estudiantes utilicen la calculadora científica para determinar los valores de percentiles, cuartiles y quintiles, esto teniendo cuidado al introducir los valores de la fórmula con los correspon-dientes paréntesis:

P I a •kn100

F / fk I I I 1 I= + −

−

Hágale ver a los estudiantes que la mediana coincide con el segundo cuartil y con el percentil 50.

También en este momento se puede introducir un grá-fico fácil de construir y muy ilustrativo, llamado de caja y bigote, como el que muestra la figura. Este gráfico es muy útil cuando se quiere comparar dos distribucio-nes de datos. Normalmente se dibuja bajo él una recta numérica para leer los valores correspondientes. Este gráfico se utilizará en la próxima lección de interpreta-ción de las medidas de posición.

Cuartiles

Valor mínimo

Valor máximo

El gráfico que se utiliza en el ejercicio 6 c., llamado curva de frecuencia acumulada, es muy útil para estimar la me-diana y, en general, las medidas de posición.

Cierre

Para guiar la discusión de la sección «Reflexiono», indíque-les a los estudiantes que los datos deben ser ordenados, y que eso restringe el tipo de variable con que se pueden trabajar las medidas de posición.

En cuanto al ejercicio del «Refuerzo», los estudiantes solo deben ordenar los datos y calcular los porcentajes dados sobre el total de datos para ubicar los resultados.


1. Una mamá vuelve con su bebé del control de los 3 meses y dice: “mi hijo está en el percentil 75 de peso y en el 80 de estatura”. ¿Qué significa eso?

Profundización

2. La curva de frecuencia acumulada muestra los resultados de una prueba para seleccionar integrantes de un coro.

500

400

300

200

100

010 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Puntajes de la prueba de habilidad musical

Frecu

encia

acum

ulada

Puntaje

a) Todos los participantes que están bajo el primer quintil se consideran “duros de oído”. ¿Cuántas personas caen en esa categoría?

b) Las personas que se encuentran sobre el percen-til 80 pasan a la segunda prueba. ¿Qué puntaje se necesita para llegar a esa etapa?

Respuestas

1. El 75% de los bebés de 3 meses pesa menos que la suya y el 80% mide menos.

2. a) 100 personas. b) 60 puntos.



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Lección 44: ¿Cómo se interpretan las medidas de posición? Págs. 268 a 271

PropósitoInterpretar las medidas de posición para un conjunto de datos.

Palabras clave § Percentiles § quintiles § cuartiles

Prerrequisitos § Calculo de medidas de posición. § Calculo de porcentajes.


Al iniciar esta lección es importante conversar con los estudiantes que, por ejemplo, el número 9 no dice nada, mientras que si al 9 le agregamos la palabra “años”, en-trega información que podemos utilizar. De igual forma, cuando se calculan las medidas de posición, el número en sí mismo no entrega información, sino que debemos interpretar esos números.

Desarrollo

Para las comparaciones presentadas en el texto se uti-liza el gráfico de caja y bigote o boxplot, este gráfico es muy útil por ser muy fácil de construir y leer, además de contener mucha información. En la función docente, por ejemplo, si se quiere comparar el rendimiento de varios cursos con una prueba de nivel, resulta muy ilustrativo tener este tipo de gráfico.

Aunque no está en el objetivo específico de la lección, plantee la pregunta de las ventajas y desventajas de cada tipo de gráfico que aparecen en los ejercicios y pro-blemas y cuál usarían en qué casos.

Un proyecto que puede resultar interesante para los es-tudiantes es que averigüen en qué campos se utilizan los percentiles, quintiles y cuartiles, como por ejemplo, en psicología, en las pruebas de coeficiente intelectual o en economía.

Cierre

Antes de responder la sección «Reflexiono», pregún-teles: ¿Por qué creen que unas medidas se llaman de tendencia central y otras de posición? Esto les ayudará a responder la pregunta planteada.

En la sección «Refuerzo», recuérdeles a sus estudiantes que, por construcción, siempre habrá un 50% de los da-tos entre el primer y el tercer cuartil.

Compruebe que todos sus estudiantes puedan calcular porcentajes de cantidades dadas y que lean correctamente gráficos, puesto que la mayor cantidad de errores se ubican en esas dos situaciones.

Errores frecuentes


1. Dada la siguiente información, construye un gráfico de caja y bigote.

Mínimo: 18 Q1: 22Q3: 35

Máximo: 40 Me: 30

Si se contó con 350 datos, ¿cuántos se encuentran fuera de la caja? ¿Y dentro de la caja?

Profundización

2. Observa el gráfico de la pregunta 3 b) de la página 270. Si a todos los sueldos se les aplica un reajuste de acuerdo al IPC, ¿qué sucede con el gráfico?

Respuestas

1.

15 20 25 30 35 40

175 y 175

2. El gráfico se mantiene igual pero la escala se mueve a la derecha en el equivalente al IPC.

Para más información y ejemplos sobre las medidas de posición, se puede consultar en http://goo.gl/1Xdsam

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Lección 45: ¿Cómo realizar un análisis estadístico utilizando una planilla de cálculo? Págs. 272 a 275

PropósitoCalcular los estadígrafos aprendidos utilizando una pla-nilla de cálculo.

Palabras clave § Planilla de cálculo

Prerrequisitos § Medidas de tendencia central y de posición.


Inicie la lección con la siguiente reflexión: El comien-zo del desarrollo de la estadística moderna se ubica a mediados del siglo 18, época en que no existían ni las calculadoras ni los computadores. ¿Cómo se analizaban los datos?

Desarrollo

Es conveniente que los estudiantes sepan que la planilla de cálculo no es el único software para procesar datos estadísticos, existen otros pagados como el SPSS (sigla en inglés para paquete estadístico para ciencias sociales) o R, procesador gratis muy popular entre los estudiantes de estadística puesto que puede programarse en él.

El Ministerio de Educación es muy específico en cuan-to a que los estudiantes aprendan a utilizar diferentes softwares relacionándolos con los contenidos específi-cos y debe tratarse como un contenido más.

Otra función bastante útil de la planilla de cálculo, sobre todo para el trabajo de probabilidades, es “aleatorio” o “aleatorio.entre”, la que generará datos al azar en la canti-dad que se estime conveniente para que los estudiantes los procesen.

El otro punto importante para discutir con los estudian-tes es que al utilizar herramientas tecnológicas se debe comprender muy bien lo que se le está pidiendo a la herramienta, puesto que esta no piensa, solo ejecuta ór-denes.

Cierre

En la sección «Reflexiono» se puede comentar sobre la cantidad de datos que, por ejemplo, arroja un censo nacional y lo que significaría procesarla sin contar con herramientas tecnológicas.

Cuando los estudiantes utilizan herramientas tecnológicas, como la calculadora por ejemplo, tienden a pensar que no se cometen errores porque la máquina, o en este caso, el software no los comete, pero esos errores se pueden come-ter al introducir los datos o cuando se dan las instrucciones al programa.

Errores frecuentes


1. Realiza el mismo análisis estadístico que se realizó en el texto para el siguiente conjunto de datos.

10 13 11 10 12 12 11 1211 12 12 13 10 12 10 1211 13 11 10 12 11 10 12

2. Investiga si la planilla de cálculo permite calcular quintiles. Si no lo hace, averigua cómo se podrían calcular utilizando las funciones que sí posee.

Profundización

3. En la planilla de cálculo se pueden encontrar las funciones “percentil.inc” y “percentil.exc”. ¿Cuál es la diferencia entre ellas?

Respuestas

1. Respuestas variadas dependiendo del número de intervalos que se agrupen los datos.

2. Se puede utilizar la función percentil, ya que los quintiles son iguales al percentil 20, 40, 60 y 80.

3. En la primera se puede pedir los percentiles 0 y 100, en la segunda no.

Para saber más sobre las funciones de Excel se puede con-sultar en http://goo.gl/UiMRON

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Orientaciones didácticasCon las lecciones anteriores se terminó el estudio de las medidas de tendencia central y de posición para datos agrupados en intervalos, por esto es importante que los estudiantes realicen una evaluación de lo visto hasta este momento.

Los estudiantes primero deberán repasar los conteni-dos, esto se puede realizar por parejas y haciendo un resumen que incluya ejemplos, para luego responder en forma individual la evaluación, y a continuación revisar los resultados con un compañero o compañera.


1. El promedio entre 8 números es 12. Al agregar dos números más, 12 y P, ¿cuál debe ser el valor de P para que el promedio entre todos los números sea 13?

A. 8 B. 12 C. 13 D. 18 E. 22

2. Los siguientes datos indican la cantidad de veces que un ejecutivo de cuentas bancarias revisa su correo electrónico diariamente, en un periodo de 9 días:

22 – 28 – 18 – 30 – 22 – 28 – 22 – 10 – 10

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)?

I. La moda es mayor que la media.II. La mediana es igual a la moda.III. La media es menor que la mediana.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y II

E. I, II y III



Remedial

Representar un conjunto de datos mediante tablas con datos agrupados y gráficos, y calcular medidas de tendencia central.

1 a 4Hacer un paralelo en cómo se organizan y calculan las medidas de tendencia central con datos en tablas de frecuencia.

Obtener información mediante el análisis de datos presentados en tablas y gráficos a partir de la interpretación de medidas de tendencia central y de posición.

5 a 7Verificar si se calcularon correctamente los porcentajes, asociar el percentil 50 con la mediana.


PropósitoEl objetivo de esta sección es mostrar a los estudian-tes la amplia gama de problemas a los que se pueden aplicar los contenidos vistos en las lecciones anteriores.

Orientaciones didácticasEn esta sección siempre se presenta el mismo esquema de cinco pasos, de la resolución de problemas, de mane-ra que estos al final se realicen en forma casi automática, variando solo el paso 2, Planifico, que se adapta cada vez a las herramientas recién vistas y que, a su vez, deter-mina el paso 3, resuelvo. Recuerde que el objetivo es la resolución de los problemas, no los cálculos numéricos, por lo tanto se recomienda el uso de la calculadora.

Es muy importante que los estudiantes puedan revisar su trabajo y eso es posible siempre y cuando este haya sido desarrollado en forma ordenada, por lo que se debe crear el hábito en ellos de escribir los pasos uno a uno. La forma de comprobar que esto se logró es cuando ellos pueden explicar su estrategia a otros.

Hacer una mención especial del lateral asignado al personaje famoso estadístico como fue Florence Nig-thtingale. Pida a sus estudiantes que averigüen más acerca de sus aportes a esta rama de las matemáticas.

Más sobre resolución de problemas de matemáticas se pue-de encontrar en el link http://goo.gl/eSMCNJ

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Lección 46: ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? Págs. 280 a 283

PropósitoPara calcular probabilidades se necesita la cardinalidad del espacio muestral y el número de casos favorable, por ello los estudiantes necesitan aprender técnicas de conteo.

Palabras clave § Diagrama de árbol § Principio multiplicativo

Prerrequisitos § Espacio muestral de un experimento aleatorio. § Cardinalidad de un espacio muestral.


Al plantear el siguiente problema: Si se lanzan tres dados, cuántos resultados posibles se pueden tener. Puede que sus estudiantes respondan desde 6 hasta 216, pasando por 18, si piensan que es lo mismo un dado que tres, si piensan que es 6 por cada dado y los que correctamente piensan que el resultado es 6 • 6 • 6, lo que queda claro es que se necesita una forma de sistematizar el conteo de casos.

Desarrollo

En la primera actividad de la página 280 se presenta el diagrama de árbol que tiene gran cantidad de aplicacio-nes. También se puede mostrar los posibles resultados en una tabla de doble entrada como la siguiente.

B1 B2 B3 B4A1A2A3

Incluso antes de completarla los estudiantes sabrán cuántos casos posibles hay. La limitación que tiene la tabla es que solo sirve cuando se tiene 2 variables.

El inconveniente que tiene el árbol es que se convierte en una tarea muy tediosa cuando se tienen muchos po-sibles casos en cada etapa, esto se puede evitar cuando se encuentran simetrías entre las distintas ramas, enton-ces basta con completar una de ellas y luego multiplicar por el número de ramas.

Cierre

En la sección «Refuerzo» se puede indicar a los estudian-tes que lo resuelvan llenando casilleros, de la siguiente manera:

Número de 7 dígitos:

El primero se pude llenar de 7 maneras diferentes, pero el segundo solo de 6, ya que uno de los dígitos fue uti-lizado, por lo tanto, se tiene: 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1, por el principio multiplicativo se deben multiplicar para obte-ner 5040.

Las técnicas de conteo es un contenido difícil de trabajar para los alumnos porque cuando aprenden las diferentes maneras (permutación, variación, combinación, etc.) tratan de encajar el problema en alguna de ellas sin analizarlo debidamente. Por lo tanto, se sugiere insistir en que listen los resultados y que apliquen sus propias estrategias de conteo, la tabla de doble entrada, el diagrama de árbol u otras que a ellos les facilite la comprensión, sin importar si podrán contabilizarlos todos con la estrategia elegida, sino para vislumbrar qué tipo de técnica es la más adecuada.

Errores frecuentes


1. En el banco de una plaza caben 4 personas. Si un grupo de 11 personas llegan al banco, ¿de cuántas formas diferentes se pueden sentar?

2. Un visitador médico debe ir a 8 consultorios en un día. ¿De cuántas maneras puede organizar las visitas?

Profundización

3. Se tienen 5 puntos no colineales, ¿cuántos trián-gulos diferentes se pueden formar?

Respuestas

1. Se pueden sentar de 7920 maneras.

2. Las puede organizar de 40 320 maneras.

3. Se pueden formar 10 triángulos distintos.

Más sobre el diagrama de árbol se puede encontrar en http://goo.gl/2kkYbQ

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Lección 47: ¿De cuántas formas se pueden ordenar una cantidad de objetos? Págs. 284 a 287

PropósitoEsta lección se da en el marco del cálculo de la cardina-lidad de un conjunto, para ello se debe discriminar los casos en que se deben ordenar objetos.

Palabras clave § Permutaciones. § Variaciones. § Factorial.

Prerrequisitos § Principio multiplicativo. § Diagramas de árbol.


Es importante que los estudiantes discutan si hay dife-rencia entre las siguientes situaciones:

• Seleccionar 5 libros de un grupo de 8 para leer en el verano.

• Seleccionar los 5 libros y determinar el orden en que se quieren leer.

La idea es que se den cuenta en que en el segundo caso influye el orden en las distintas maneras de realizar la se-lección.

Desarrollo

En el desarrollo de la lección se van resumiendo los ca-sos y determinando la respectiva fórmula, hasta que los estudiantes se sientan cómodos utilizándolas siempre pueden volver al principio multiplicativo y los diagramas de árboles.

Es aconsejable mostrar a los estudiantes lo importante del lenguaje utilizado en cada una de las situaciones, ya que una palabra puede significar un caso completa-mente diferente, esto además será muy útil cuando se trabajen los problemas de probabilidades.

El problema 5 a) de la página 287 es muy adecuado para preparar a los estudiantes a una situación de pro-babilidades, calculando primero todos los números que pueden escribirse y luego aquellos de los anteriores que cumplen con una condición.

Cierre

En la sección «Refuerzo» se deben responder primero preguntas antes de que el problema, como si los libros de matemática deben estar juntos, si son iguales o di-ferentes, y posteriormente, cómo varían los resultados según cada una de las respuestas.

Los estudiantes tienden a tratar de aplicar las fórmulas sin pensar mucho en los problemas, deben leer con cuidado los problemas y diseñar una estrategia y finalmente ver si pueden ayudarse con una fórmula.

Errores frecuentes


1. Crea un problema que pueda resolverse por medio de permutaciones y otro con elementos repetidos.

2. En una bolsa hay 3 bolas rojas, 2 bolas negras y 4 amarillas. Se quiere saber de cuántas formas diferentes se pueden sacar las bolas. ¿Qué ob-servaciones se deben hacer antes de resolver el problema?

3. Con los números 1, 2, 3, 4 se quieren formar todos los números de 3 dígitos sin repetición. ¿Por qué este problema se resuelve como 3! y no 4!?

Profundización

4. En una carrera de postas participan 5 equipos de 3 participantes cada uno. ¿De cuántas maneras diferentes pueden terminar los equipos la carrera?

Respuestas

1. Pregunta abierta.

2. Las bolas de igual color no producen diferencia en el orden.

3. Porque de los cuatro dígitos solo se utilizarán tres.

4. Los equipos la pueden terminar de 168 168 000 maneras diferentes.

En los links http://goo.gl/bQqa3U y http://www.vitutor.com/pro/1/a_b.html se muestra una calculadora para combina-ciones y permutaciones.

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Lección 48: ¿Cuántas combinaciones se pueden hacer? Págs. 288 a 291

PropósitoDeterminar la cantidad de maneras en que se puede se-leccionar un grupo de elementos sin importar el orden.

Palabras clave § Combinación

Prerrequisitos § Permutaciones y variaciones. § Factorial de un número.


Para introducir el tema para esta lección en que se verán combinaciones, pregunte a sus estudiantes: Si se tiene p objetos y se quieren ordenar t de ellos, ¿qué técnica se utiliza? Guíelos para que respondan permutaciones o variaciones. Luego, pregunte: ¿Es ese es el mismo pro-blema que tener p objetos y seleccionar t de ellos?

Desarrollo

Las lecciones anteriores estaban dirigidas a resolver pos-teriores problemas de probabilidades, el tema de esta lección se relaciona más con cómo seleccionar muestras de una población.

En la página 289, en la sección «En resumen» se pre-senta la fórmula de las combinaciones, pero como en ocasiones anteriores, lo importante es que los estu-diantes comprendan que están resolviendo los mismos problemas de la lección anterior, pero en este caso, eliminando todas las ordenaciones que contienen los mismos elementos.

Para enfrentar los ejercicios y problemas de esta lección es importante que los estudiantes respondan primero la pregunta: ¿Es necesario ordenar los objetos o no? Tam-bién es importante que recuerden que se apoyen con dibujos y que no traten inmediatamente de aplicar una fórmula que no necesaria comprenden.

En el problema 4 f ) de la página 291, el profesor de Fí-sica no está pidiendo que los estudiantes respondan la prueba en un orden determinado, por lo tanto, es claro

que se trata de una caso de combinaciones, pero algu-nos estudiantes pueden confundirse cuando se les dice que algunas de las preguntas son obligatorias. Es impor-tante que piensen cuál sería la diferencia si la prueba tuviera 17 preguntas, de las cuales tuvieran que elegir 7.

Cierre

En la sección «Refuerzo» se puede comparar claramen-te las situaciones y concluir que en el primer caso no importa el orden, en cambio, en el segundo sí importa. También se puede discutir con los estudiantes si es posi-ble ordenar objetos que no se pueden distinguir entre sí.


1. Según los criterios de selección, orden y repeti-ción, determina qué tipo de técnica combinatoria (permutación, variación o combinación) se debe aplicar en cada caso.a) Se seleccionan todos los objetos, importa el

orden y no se repiten.b) Se seleccionan algunos objetos, no importa el

orden y no se repiten.

Profundización

2. Un grupo de 8 personas están postulando a 4 puestos en una empresa.a) ¿De cuántas maneras se puede formar el nuevo

equipo?b) ¿Y si cada una de las personas puede desempe-

ñarse en 2 puestos a la vez?

Respuestas

1. a) Permutación

b) Combinación

2. a) Se puede formar de 70 maneras.

b) Se puede formar de 28 formas distintas.

Para repasar los contenidos de estas lecciones visite http://goo.gl/MkqnYI

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Lección 49: ¿Qué relación existe entre el promedio de las medias muestrales y la media de la población? Págs. 292 y 293

PropósitoEn años anteriores se han visto los conceptos de pobla-ción y muestra, en esta lección se trabaja una propiedad que relaciona estos dos conceptos.

Palabras clave § Media § Población y muestra

Prerrequisitos § Media aritmética. § Combinaciones.


Comente con sus estudiante que cuando se realiza un estudio estadístico es muy difícil trabajar con la pobla-ción completa, y, por lo tanto, se utilizan muestras de dicha población, pero ¿qué efectos produce esto en los resultados?

Desarrollo

El objetivo de la lección es conjeturar acerca de la rela-ción que existe entre la media de las medias muestrales extraídas de una población con respecto a la media po-blacional. Luego de establecer la conjetura (por ejemplo que es una estimación) la idea es verificarla extrayendo muestras de tamaño finito de una población, para esto se utilizará la técnica combinatoria recién aprendida. Por lo tanto, en el taller de la página 292 los estudiantes elegirán 20 de las 15 504 muestras posibles, pero es im-portante que los estudiantes comprendan que en una investigación real basta con calcular la media de una muestra representativa de la población para que sea un buen estimador de la media poblacional.

Trabaje paralelamente esta lección utilizando una plani-lla de cálculo, produciendo primero una lista de números al azar, con la función “aleatorio.entre” y luego eligiendo muestras extraídas de esos números para calcular la me-dia muestral y la media poblacional y compararlas.

Cierre

Reflexione acerca de que cuando se trabaja en esta-dística, los estudiantes, deben ser conscientes de la variabilidad y de la incertidumbre que posee cualquier estudio o medida estadística.

Los errores más comunes son las confusiones entre las fór-mulas de la combinatoria que son aplicadas en esta lección por lo que es conveniente que trabajen con un resumen de esa lección.

Errores frecuentes


1. ¿Qué condiciones debe cumplir una muestra estadística?

2. Si la media de la población es 3,8, ¿cuál es la me-dia muestral?

3. Se midió el tiempo de atrasos de las líneas de buses de varios recorridos. Para ello se escogie-ron todos los buses de un recorrido, se calculó la media y el resultado fue 8,3 minutos. ¿Cuál es el atraso promedio de todos los recorridos?

4. Si una población tiene 300 datos, se escogen todas las muestras de 100 datos y se calcula la media muestral de ellas, ¿se llegará a una buena estimación?

Respuestas

1. Debe ser de un tamaño adecuado y no puede ser sesgada.

2. La media es 3,8 si las muestras fueron escogidas adecuadamente.

3. No se puede determinar porque la muestra es sesgada.

4. No, porque si se puede tener los datos de todas las muestras entonces es más fácil trabajar con toda la población.

Para tener información sobre muestreo visite http://goo.gl/ww7qus.

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Lección 50: ¿Cómo calcular la probabilidad teórica? Págs. 294 a 297

PropósitoAbordar las probabilidades desde el punto de vista teó-rico, es decir, utilizando la regla de Laplace.

Palabras clave § Probabilidad de un evento § Equiprobable

Prerrequisitos § Concepto de probabilidad.


Comente con sus estudiantes que generalmente les re-sulta muy fácil y natural aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad de un evento, pero que no se puede olvidar que la condición de que para ocupar esta regla se necesita que el experimento sea equiproblable. Pregúnteles: Se define el experimento de sacar una carta del mazo. Si se quiere calcular la probabilidad de sacar una carta al azar y una de ellas está doblada, ¿es posible calcular esa probabilidad utilizando la regla de Laplace? ¿Por qué?

Desarrollo

El ejercicio 3 que está resuelto (página 296) puede ser-vir para plantear la pregunta: ¿Qué modificaciones, sin cambiar los colores, debería hacerse en la tómbola para que sea un experimento equiprobable?

El problema 5 d) de la página 297, es interesante de analizar con los estudiantes, ya que conociendo las probabilidades de los distintos eventos, se pueden determinar los datos que normalmente son dados.

En los problemas planteados en la página 297, se les puede pedir a los estudiantes que antes de resolver-los se discuta que método (combinatoria, diagrama de árbol, tabla de doble entrada) resulta más útil en cada caso para determinar el espacio muestral. En el ejerci-cio 6 b) de la misma página, revise con los estudiantes las definiciones de números primo y compuesto; los estudiantes tienden a considerar el número 1 como primo y el 2 como compuesto.

Cierre

La pregunta de la sección «Reflexiono» es importante, puesto que para resolver muchos problemas es más fácil considerar que la suma de todas las probabilidades es 1 y restar el complemento.

A veces los estudiantes confunden el concepto de eventos equiprobables, por ejemplo si en una bolsa hay 15 bolitas rojas y 1 negra, piensan que no es equiprobable porque hay más rojas que negras. Se debe recordar que el experimen-to es sacar una bolita y, si todas son del mismo material y tamaño, es un experimento equiprobable.

Errores frecuentes


1. A partir de los 10 dígitos se quiere formar números de tres dígitos, sin repetirlos.a) ¿Cuántos números es posible formar? Recuerda

que no pueden comenzar con 0.b) ¿Cuántos de ellos son pares?c) ¿Cuál es la probabilidad de elegir uno que sea

impar y comience con 3?

2. En un cajón hay 10 calcetines, se abre el cajón y, sin mirar, se sacan 2 calcetines. La probabilidad de

sacar un par del mismo color es 25

.

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar un par de distin-to color?

b) ¿Qué puedes concluir sobre los calcetines del cajón?

Respuestas

1. a) Se pueden formar 648 números.b) De ellos, son pares 360 números.c) La probabilidad es 4

81.

2. a) La probabilidad es 35

.

b) No todos los calcetines forman parejas del mismo color.

Recomiende a los estudiantes que visiten http://goo.gl/hgE3tI

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Lección 51: ¿Cómo calcular la probabilidad experimental? Págs. 298 a 301

PropósitoRelacionar la probabilidad con la frecuencia relativa en experimentos aleatorios cuyos resultados no necesaria-mente son equiprobables.

Palabras clave § Probabilidad experimental § Frecuencia relativa

Prerrequisitos § Frecuencia relativa en una tabla de frecuencias.


Si la probabilidad de un evento se calcula escribiendo la razón entre los casos favorables y los casos totales, en-tonces ¿qué información se necesita?

Desarrollo

En esta lección hay dos ideas importantes para los estu-diantes, la primera es que se puede asociar la frecuencia relativa con la probabilidad de un evento; la segunda es que al tener las frecuencias relativas solo se puede pre-guntar sobre la probabilidad de los eventos cuyos datos están registrados. Puede ejemplificar lo anterior de la si-guiente manera: Un dado cargado, luego de lanzarlo 500 veces, produce una cierta tabla de frecuencias. ¿Se pue-de obtener la probabilidad de todas las caras del dado? Esto se puede discutir con los estudiantes a partir de la sección «Razona» de la página 299.

Los problemas 3 y 4 de la página 300 implican el uso de la planilla de cálculo para crear modelos de experimen-tos aleatorios. Es una manera rápida y fácil de realizar experimentos para mostrar a los estudiantes como la fre-cuencia relativa, probabilidad experimental, se aproxima a la probabilidad teórica, utilizando la regla de Laplace, esto valida el usar la frecuencia relativa como método para calcular la probabilidad de un evento.

En el ejercicio 5 b. de la página 301, en que se presenta la tabla de doble entrada, se deben identificar las celdas como la intersección de dos eventos, este tipo de ejer-cicio es muy importante como apresto al estudio de la probabilidad condicionada.

Cierre

Las secciones «Reflexiono» y «Refuerzo» se pueden tra-bajar combinadamente, puesto que para poder resolver las preguntas sobre las bebidas solo se puede utilizar la frecuencia relativa como aproximación al cálculo de la probabilidad.

Asegúrese de que los estudiantes no cometan errores al calcular las frecuencias relativas a partir de las frecuencias absolutas.

Errores frecuentes


1. La probabilidad de tener un hijo asmático cuando uno de los padres sufre esa enfermedad es de 0,5. Cecilia es asmática, ella afirma que el hermano que está esperando su mamá no puede ser asmá-tico. ¿Estás de acuerdo con ese razonamiento?

2. Se realizó una encuesta telefónica sobre la inten-ción de voto y, de 8000 encuestados, 586 res-pondieron que no iban a votar. Si en la localidad en que se hizo la encuesta hay 50 000 personas inscritas, ¿cuántas no van a ir a sufragar?

Respuestas

1. Está equivocada porque cada vez que nace un hijo la probabilidad es 0,5.

2. Aproximadamente, 3663 personas.

En el link http://www.vitutor.com/pro/2/a_g.html encontrará ejercicios de estos contenidos.

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Orientaciones didácticasEn esta unidad se ha recomendado permitir el uso de la calculadora porque el acento debe ponerse en la resolu-ción de problemas y no en los cálculos que en algunas ocasiones son largos y se trabajan números grandes. Se sugiere lo mismo para las evaluaciones. La recomenda-ción es que se repase y se trabaje en grupos de no más de 4 estudiantes.


• Al hacer girar la flecha de la ruleta con forma de circunferencia, ¿cuál es la probabilidad de que apunte hacia el 1?

(1) Todos los resultados son equiprobables.

(2) Cada resultado abarca una región circular cuyo ángulo del centro es:



C. Ambas juntas, (1) y (2).

D. Cada una por sí sola, (1) ó (2).



PropósitoAplicar los contenidos de las últimas lecciones en la re-solución de problemas.

Orientaciones didácticasNuevamente en el momento de resolver estos pro-blemas, los estudiantes deberán decidir qué tipo de condiciones impone el problema, para utilizar permu-taciones o combinaciones. Para llegar a la respuesta correcta es aconsejable que los estudiantes discutan con sus compañeros y compañeras, podrán de esa manera desarrollar su capacidad para argumentar matemática-mente y aprender métodos diferentes usados por los otros.En esta página se hace una mención importante al mate-mático suizo Jacob Bernoulli y su aporte con el número combinatorio. Para que los estudiantes investiguen más acerca de este personaje pueden visitar http://goo.gl/UKwkuA .

Esta investigación se trata de la resolución de problemas para niños más pequeños, pero también puede ser útil para tener mayor información sobre métodos de resolución de problemas http://platea.pntic.mec.es/jescuder/prob_int.htm

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Remedial

Determinan la cardinalidad de un espacio muestral utilizando técnicas combinatorias.

1 Repasar las técnicas combinatorias. Utilizar diagramas de árbol.

Relacionan la media de una población y el promedio de cada uno de los promedios de muestras de igual tamaño extraídas de la población.

2 a 4 Reforzar el cálculo de la media de un conjunto de datos.

Resuelven problemas que involucren el cálculo de probabilidad a partir de la frecuencia relativa o Laplace.

5 y 6Antes de aplicar las fórmulas revisar los espacios muestrales y casos favorables.

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Conecto con la Sociología Pág. 308

PropósitoEn esta página se revisita la situación expuesta al inicio de la unidad.

Orientaciones didácticasAl reexaminar el problema inicial de la unidad, los es-tudiantes podrán verla con los conocimientos que han adquirido a través de las lecciones.

Además podrán ver una aplicación directa, de las he-rramientas estadísticas estudiadas, a otro campo de estudio, en este caso la sociología.

En el siguiente link podrá encontrar datos estadísticos acer-ca de la nutrición de recién nacidos para profundizar en el análisis de las medidas de posición. http://www.deis.cl/wp-content/uploads/2013/12/IBS-2013.pdf

Link de interés


PropósitoQue los estudiantes formen una imagen completa de los contenidos de la unidad y establezcan conexiones entre ellos.

Orientaciones didácticasLos teóricos de la educación han determinado que los mapas conceptuales son un ejercicio que fomenta la re-flexión, el análisis y la creatividad, además de que sirve para que los estudiantes repasen los contenidos de la unidad.El mapa conceptual puede ir acompañado de preguntas como: ¿Qué conceptos o procedimientos me resultaron más difíciles?; si los estudiantes pueden responder esa pregunta, obviamente tendrán claro cuales lecciones tendrán que repasar con más cuidado.Como en las unidades anteriores, los ejercicios están organizados en forma paralela con los contenidos co-rrespondientes, puede pedir a sus estudiantes que completen los contenidos con ejercicios.

Actividades complementarias1. Explica la relación entre percentiles, quintiles y

cuartiles.2. Explica la diferencia entre permutaciones y combi-

naciones.3. Explica la diferencia entre las medidas de tenden-

cia central y las de posición.4. Si quisieras elegir el mejor candidato para un traba-

jo, ¿usarías la media de las pruebas que hizo para postular o su percentil?

Respuestas

1. Los datos se dividen en 100, 5 y 4 intervalos respectivamente.

2. Si se pide orden en los elementos se trata de per-mutaciones, si no entonces son combinaciones.

3. Básicamente las medidas de tendencia central describen a un grupo, las medidas de posición comparan los individuos dentro de un grupo.

4. Su percentil, porque informaría como es su ren-dimiento comparado con los otros candidatos.

Para construir mapas conceptuales se puede visitar: http://goo.gl/Tbm1E5

Link de interés


PropósitoConocer posibles errores que los estudiantes pudiesen cometer.

Orientaciones didácticasUna forma de trabajar esta sección es que los estudiantes realicen los ejercicios y problemas propuestos y luego comparen sus métodos y resultados con los mostrados en el texto, de esta manera no solo leerán los ejercicios y además necesitarán desarrollar su trabajo en forma or-denada para luego poder compararlo con el texto. Si los resultados de los estudiantes no coinciden con los del texto, los pueden comparar con los de sus compañeros, para así determinar otros posibles errores.


Tabla de especificaciones Refuerzo mis aprendizajes


RemedialI II

Representan un conjunto de datos mediante tablas con datos agrupados y gráficos.

1 a 3 1Utilizar tablas de conteo, de frecuencia y finalmente de datos agrupados.

Obtienen información, mediante el análisis de datos presentados en tablas y gráficos.

4 a 7 2Leer gráficos, identificando sus elementos y relacionando estos con las preguntas.

Comparan información respecto a dos o más conjuntos de datos.

8 y 9 3 Utilizar las medidas de tendencia central y de posición.

Determinan la cardinalidad de un espacio muestral utilizando técnicas combinatorias.

10 a 13Determinar si el experimento requiere orden o no y si tiene reposición o no.

Relacionan la media de una población y el promedio de cada uno de los promedios de las muestras

14 Repasar si hay errores al calcular la media de un conjunto de datos.

Resuelven problemas que involucren el cálculo de probabilidades.

15 a 18 4 y 5 Repasar los cinco pasos de la resolución de problemas.



Orientaciones didácticasUna forma de trabajar estas páginas es que los estu-diantes, en forma individual hagan un resumen de los contenidos de la unidad, luego la completen comparán-dola con la de un compañero o compañera y, finalmente, la comparen con la del texto.

Una vez realizado el estudio se deben trabajar los ejerci-cios y problemas del texto, entre parejas de manera que se puedan discutir los métodos y los resultados, hay que tener en mente que esa discusión entre compañeros es muy valiosa como experiencia de aprendizaje.

Ejercicios resueltos de combinatoria se pueden encontrar en: http://goo.gl/IwDNVi

Link de interés


PropósitoEvaluar los aprendizajes de la unidad.

Orientaciones didácticasRecuerde planificar el tiempo necesario para que los es-tudiantes resuelvan, en forma individual la evaluación y también el tiempo necesario para que, en grupos de dos o tres estudiantes puedan corregir y discutir los errores que puedan haber cometido. Este proceso no debería tomar más de dos horas pedagógicas.


• ¿Cuál es la probabilidad de que, al preguntar la simpatía futbolística de un chileno, éste escoja Colo-Colo?

(1) En Chile hay 17 millones de habitantes.(2) El 26% de la población es hincha de la Uni-

versidad Católica.

A. (1) por sí sola

B. (2) por sí sola


D. Cada una por sí sola, (1) ó (2)




2 31 4


Orientaciones didácticasLuego de la segunda mitad del texto se presenta una evaluación de las unidades 3 y 4. Primero los estudian-tes deberán repasar los contenidos, tener tiempo para realizar la evaluación individualmente y luego corregir su trabajo con uno o dos compañeras o compañeros.



Remedial


1 y 2Identificar y relacionar la abscisa y la ordenada con los ejes correspondientes.

Realizan operaciones con vectores 3 y 4 Graficar los vectores y realizar las operaciones en forma gráfica.Reconocen regularidades al aplicar transformaciones isométricas.

5 a 10Realizar un resumen con las distintas transformaciones isométricas estudiadas.

Utilizan los criterios de congruencia de triángulos. 11 a 14 Repasar las condiciones necesarias para construir triángulos.

Obtienen información mediante el análisis de datos. 15 a 19 Repasar las medidas de tendencia central y la lectura de gráficos.

Determinan la cardinalidad de un espacio muestral. 20 a 23 Hacer un resumen de los casos vistos en combinatoria.Relacionan la media de una población y la media muestral.

24 Repasar el concepto de media y calcular la media de datos agrupados.

Resuelven problemas que involucren el cálculo de probabilidades a partir de la frecuencia relativa o la regla de Laplace.

25 a 27 Repasar los cinco pasos de la resolución de problemas.

MATEMÁTICA 1.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE 154 155UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Información complementaria

La resolución de problemas que involucran el cálculo de probabilidades se retoma en 3° de educación media con el contenido mínimo obligatorio: Resolución de problemas en diversos contextos que implican el cálculo de pro-babilidades condicionales y sus propiedades.

La definición de la probabilidad condicionada es, simplemente, calcular la probabilidad de un evento A cuando

sucede un suceso B, normalmente se presenta a los estudiantes la fórmula P A /BP A BP B

( ) ( )( )=∩

, pero más allá de la

aplicación de esta fórmula los estudiantes deben comprender, desde la regla de Laplace, que los casos favorables, P A B( )∩ son aquellos que simultáneamente cumplen con A y B, y los casos totales son aquellos que cumplen B, que es la condición dada, es decir, se restringe el espacio muestral a B.

Para trabajar este contenido es recomendable enfrentarlo, utilizando los diagramas de Venn, las tablas de doble entrada y los diagramas de árbol. A continuación se muestran algunos ejemplos.

• Diagrama de Venn El diagrama muestra los conjuntos A y B achurando el conjunto B

puesto que se quiere calcular P(A/B).

El sector A y B son todos los elementos de A que cumplen también con B. Por lo tanto si P(A) = 0,7 P(A y B) = 0,2 y P(B) = 0,5, entonces:

P(A/B) = 0,2 : 0,5 = 0,4

• Tabla de doble entrada Se quiere saber la probabilidad de que al elegir una

persona de la muestra, utilice anteojos, dado que es mujer. En gris se lista a todas las mujeres, que será nuestro espacio muestral, y en gris oscuro está la casi-lla que representa a las mujeres que usan anteojos, es decir los casos favorables. Entonces:

P(usa anteojos/es mujer) = 15 : 40 = 0,375

• Diagrama de árbol ¿Cuál es la probabilidad de que llovió ese día si Juan salió de paseo?

Dado que Juan salió de paseo se incluyen todas las ramas que indican “paseo” y con una flecha se indica la rama que incluye lluvia y paseo. Por tanto se tiene:

P(lluvia/paseo)= 0,6 •0,2

0,6 •0,2 0,4 0,70,180,46

0,39+ ⋅

= ≈


• http://goo.gl/3idcz y http://goo.gl/dRj8ar

• SPIEGEL, Murray. Estadística. Colección Shawm. Editorial McGraw Hill.

• SPIEGEL, Murray. Probabilidad y Estadística. Colección Shawm. Editorial McGraw Hill.

• LIPSCHUTZ, Seymour. Probabilidad. Colección Shawm. Editorial McGraw Hill.

Estos tres libros son de consulta, tienen buenos ejercicios propuestos y numerosos problemas y ejercicios resueltos.Aunque no es un libro se recomienda los artículos de la Facultad de Matemáticas, Pontificia Universidad Cató-lica de Chile, Departamento de Estadística, Serie Docencia, que pueden descargarse de internet.

A y BA B

Usan anteojos No usan anteojos Totales

Hombres 12 28 40

Mujeres 15 25 40

Totales 27 53 80

lluviano paseo

paseo y lluviapaseo

paseo

no paseosol

0,6

0,4

0,2

0,8

0,7

0,3


Exploración: El triángulo de Pascal y probabilidades


Blaise Pascal (19 de junio 1623 a 19 de agosto de 1662) fue un matemático y físico francés que hizo numerosos aportes a las ciencias, especí� camente en matemática trabajó en la teoría de las probabilidades y formó el triángulo numérico que se muestra a continuación.

1. Descubre el patrón y completa las filas que están en blanco.

1

2 11

1 1

31 3 1

4 61 4 1

2. Observa los resultados de un lanzamiento de monedas:

1 moneda → Posibles resultados: C o S → 1 caso con 0 caras y 1 caso con 1 cara.

2 monedas → Posibles resultados: CC, CS, SC, SS → 1 caso con 0 caras, 2 casos con 1 cara y 1 caso con 2 caras.

3. Los resultados anteriores se organizaron en la siguiente tabla. Completa las dos últimas filas de la tabla.

N° de monedasNúmero de casos en que aparece el número de caras indicado

0 1 2 3 4 5 61 1 1 - - - - -2 1 2 1 - - - -3 1 3 3 1 - - -4 1 4 6 4 1 - -56

4. ¿Qué relación hay entre los números en la tabla y el triángulo de Pascal?

5. Si se lanzan 5 monedas, ¿cuántos posibles resultados se pueden tener? ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 sellos y 2 caras en cualquier orden?

6. Si se lanzan 6 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que salga el mismo número de caras y sellos?

7. Si se lanzan 7 monedas, ¿qué combinación de caras y sellos es más probable que salga?

Actividades complementarias 1 2 31 4


Mate

rial f

otoc

opia

ble

Diagrama de caja (Box plot)


Una tienda tiene dos sucursales y se piensa que a cada una de ellas van clientes de edades muy diferentes, lo cual es importante para decidir qué tipo de ropa vender en cada una y cómo arreglar las vitrinas. Para comprobarlo deciden anotar la edad de 21 clientes que entren a cada tienda en tres intervalos de tiempo diferentes. Los resultados se muestran a continuación.

Sucursal A: Sucursal B:

23 27 26 23 32 34 29 45 28 39 42 40 29 4918 34 37 36 34 34 26 45 49 25 47 38 39 4226 33 20 30 35 26 35 29 40 44 46 26 32 27

1. Ordena los valores y completa los siguientes datos:

Sucursal A: Q1 = ; Q2 = ; Q3 = ; Máximo ; Mínimo

Sucursal B: Q1 = ; Q2 = ; Q3 = ; Máximo ; Mínimo

2. Con los datos obtenidos en 1 construye un diagrama de caja para cada muestra.

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

3. Observando los gráficos responde las preguntas.

a) ¿Se confirma la hipótesis

b) ¿Cuál es el rango intercuartil de ambas muestras?

c) Escribe dos conclusiones comparando las distribuciones de las edades:

d) Escribe dos recomendaciones a los encargados de las tiendas:





1. 1, 5,10, 5, 1; 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

3. 1, 5,10, 5, 1; 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

4. Son los mismos.

5. Las probabilidades son: 32 y 0,3125.

6. La probabilidad es 0,3125.

7. Las combinaciones son 3 caras y 4 sellos o 4 caras y 3 sellos.


1. Sucursal A: Q1 = 26; Q2 = 30; Q3 = 34; Máximo 37; Mínimo 18.

Sucursal B: Q1 = 29; Q2 = 40; Q3 = 45; Máximo 49; Mínimo 25

2.

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

3. a) Sí, a la Sucursal B va gente mayor que a la sucursal A.

b) El rango intercuartil de la sucursal A es 8 y el de B es16.

c) Un ejemplo: Las edades de los clientes en B son más heterogéneas que en A.

d) Un ejemplo: La tienda B necesita mayor variedad de ropa.



Mate

rial f

otoc

opia

ble Material fotocopiable



Representa e interpreta datos a partir de tablas y gráficos.

1. En una comuna hay 4 colegios en los que la distribución por género de sus estudiantes se representa en el siguiente gráfico. Utilizando esta información, ¿cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmacion(es) es (son) VERDADERA(S)?

Colegio 1 Colegio 2 Colegio 3 Colegio 4

500

400

300

200

100

0

Cant

idad d

e estu

diant

es

Colegios

MujeresHombres

I. En esta comuna hay más alumnas que alumnos.

II. En solo un colegio hay más hombres que mujeres.

III. Ninguno de los colegios de esta comuna tiene más de 900 estudiantes (entre hombres y mujeres).

A. Solo III

B. I y II

C. I y III

D. II y III

E. I, II y III

2. En el siguiente gráfico se representan las tempe-raturas de una ciudad durante un año. Utilizando estos datos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmacio-nes es (son) VERDADERA(S)?

30

25

20

15

10

5

0

(ºC)

EneroMayo

SeptiembreMarzo Julio

NoviembreFebrero

JunioOctu

breAbril

Agosto

Diciembre

Temperatura en el año

I. El mes en que se registró la temperatura más baja fue Agosto.

II. El mes de mayor temperatura fue Febrero.

III. La temperatura no baja de los 15 grados.

A. Solo I

B. I y II

C. I y III

D. II y III

E. I, II y III

3. En relación al gráfico anterior, ¿entre qué meses se produce una mayor variación de la temperatura?

A. Entre Junio y Julio

B. Entre Febrero y Marzo

C. Entre Diciembre y Enero

D. Entre Septiembre y Octubre

E. Entre Noviembre y Diciembre

Utilizando la información de la tabla responde las preguntas 4, 5 y 6.

Notas de 1° medio f F

[6,0; 7,0] 14 14[5,0; 6,0[ 15 29[4,0; 5,0[ 8 37[3,0; 4,0[ 2 39[2,0; 3,0[ 1 40[1,0; 2,0[ 0 40

4. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron al menos una nota 4,0?

A. 14

B. 29

C. 37

D. 39

E. 40

Evaluación


Mate

rial f

otoc

opia


2 31 4

5. ¿Cuántos estudiantes tiene el curso?

A. 35

B. 37

C. 39

D. 40

E. 50

6. ¿Qué porcentaje de los estudiantes tiene una nota menor que 4,0?

A. 3%

B. 5%

C. 7,5%

D. 8,3%

E. 9,6%

7. En un colegio se realizó un ensayo PSU, cuyos puntajes se representan en el siguiente histo-grama.

4035302520151050

300 400 500 600 700 800 850

Puntajes ensayo PSU

Cant

idad d

e estu

diant

es

Puntajes

¿Entre qué puntajes se concentró la mayoría de los puntajes de los estudiantes?

A. Entre 300 y 400 puntos

B. Entre 400 y 500 puntos

C. Entre 500 y 600 puntos

D. Entre 600 y 700 puntos

E. Entre 700 y 800 puntos

8. De acuerdo con la información de la pregun-ta anterior, ¿cuál de las siguientes alternativas representa con mayor exactitud la cantidad de estudiantes que obtuvo más de 800 puntos en el ensayo PSU?

A. 15 estudiantes

B. 12 estudiantes

C. 10 estudiantes

D. 8 estudiantes

E. 5 estudiantes

9. Se realizó una encuesta a personas que habían comprado una pantalla LCD durante el último trimestre, en ella se les preguntó cuánto pagaron. Los resultados se representan en el siguiente polígono de frecuencias.

Cant

idad d

e per

sona

s

Precio (miles de $)[100-200[ [200-300[ [300-400[ [400-500[ [500-600]

50454035302520151050

Distribución de precios

¿Entre qué precios se concentró la mayoría de las ventas?

A. Entre $500 000 y $ 600 000

B. Entre $400 000 y $ 500 000

C. Entre $300 000 y $ 400 000

D. Entre $200 000 y $ 300 000

E. Entre $100 000 y $ 200 000

Calcula e interpreta medidas de tendencia central y de posición.

10. Un estudiante obtuvo las siguientes calificacio-nes 5,7; 6,2; 4,6 obteniendo aproximadamente un promedio 5,7. Si en total se promediaron 5 calificaciones, ¿qué nota obtuvo en la última prueba si esta es de coeficiente 2?

A. 5,0

B. 5,4

C. 5,7

D. 6.0

E. 6,5


Mate

rial f

otoc

opia


11. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmacion(es) es (son) VERDADERA(S)?

7 8630

2

4

8

10

Cant

idad d

e niño

s

Edades (años)

Edades de un grupo de niños

I. El 25% de los niños tiene 3 años.

II. La moda es 7 años.

III. La mediana es igual al promedio.

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

A. II y III

B. I, II y III

12. Si los siguientes datos están ordenados de me-nor a mayor son: (x – 1); x; x + 5; 2x, ¿cuál es el valor x?

(1) La media aritmética es 16

(2) La mediana de los datos es 14,5

A. (1) por sí sola

B. (2) por sí sola

C. Juntas 1 y 2



Utilizando la información entregada en el siguien-te histograma responde las preguntas 13 a 17.

4035302520151050

200 300 400 500 600 700 800

Distribución de sueldos

Cant

idad d

e per

sona

s

miles de $

1518

36

2419

16

13. ¿Cuál es la mediana de los sueldos de esta em-presa aproximada al entero?

A. $497 654

B. $486 111

C. $485 321

D. $479 359

E. $480 000

14. ¿Cuál es el percentil 35 aproximado al entero?

A. $367 997

B. $418 665

C. $423 557

D. $430 000

E. $432 778

15. ¿Cuál es el tercer quintil?

A. $532 500

B. $532 000

C. $531 675

D. $530 000

E. $531 000

16. ¿Cuál es el valor de Q1 aproximado al entero?

A. $400 000

B. $397 333

C. $396 578

D. $394 444

E. $392 777

17. ¿Qué sueldo es el más común en la empresa?

A. $430 000

B. $460 000

C. $465 000

D. $470 000

E. $480 000

Evaluación


Mate

rial f

otoc

opia


2 31 4

Resuelve problemas que involucra el cálculo de la cardinalidad de un espacio muestral y el cálculo de probabilidades.

18. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 5 puntos al lanzar un dado de 6 caras?

A. 0,1

B. 0,15

C. 0,16

D. 0,5

E. 0,6

19. Si en una caja hay 6 bolas amarillas y 3 bolas ro-jas, ¿cuál es la probabilidad de extraer una bola roja?

A. 14

B. 25

C. 13

D. 56

E. 12

20. Pedro compró 6 números en una rifa que tiene un total de 75 números, mientras que María compró 4 números de una rifa de 50 números. ¿Quién es más probable que gane?

A. Pedro

B. María

C. No se puede determinar

D. Tienen la misma probabilidad


21. ¿Cuántas patentes distintas se pueden formar si se ocupan 2 letras y 4 dígitos?

A. 676 000

B. 967 000

C. 1 245 000

D. 6 760 000

E. 729 000 000

22. ¿Cuál es el valor de P5?

A. 15

B. 24

C. 60

D. 96

E. 120

23. ¿Cuál es valor de C48 ?

A. 70

B. 210

C. 420

D. 840

E. 1680

24. De un total de 25 personas de una empresa se va a tomar una muestra para realizar un estudio. ¿Cuántas muestras de tamaño 5 pueden elegirse, sin reposición?

A. 142 506

B. 303 600

C. 6 375 600

D. 12 751 200

E. 12 800 090

II. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.

25. Utilizando los siguientes datos.

Notas de 1° medio en matemática

2,5 3,4 6,8 3,5 1,9 7 5,4 6,55,7 4,4 5,4 1,8 5,5 3,6 4,7 5,43 2,7 5,1 6 3,9 2,6 4,9 5,5

3,8 4,7 6,5 4,9 5 5,1 3,5 4,7

a. Construye una tabla de datos agrupados.

b. Calcula las medidas de tendencia central.

26. Se tiene un tablero de forma circular formado por tres sectores A, B y C.

A C

B

45º

140º

Suponiendo que todos los lanzamientos de los dardos caen en el tablero, responde:

a. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dardo, caiga en el sector A?

b. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dardo, caiga en el sector B?

c. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dardo, caiga en el sector C?


Mate

rial f

otoc

opia


Preguntas de alternativas



1 B

Calcula e interpreta medidas de tendencia central y de posición.

13 B2 D 14 E3 B 15 A4 C 16 D5 D 17 B6 C 18 C7 C

Resuelve problemas que involucran el cálculo de la cardinalidad de un espacio muestral y el cálculo de probabilidades.

19 B8 D 20 D9 D 21 E

10 D 22 E11 A 23 A12 D 24 C


Problema 25 Problema 26CorrectaSi comprende el problema, aplica correctamente los procedimientos y calcula correctamente las medidas de tendencia central y completa la tabla de manera adecuada.

Notas f Marca de clase f[1,0; 2,0[ 2 1,5 2[2,0; 3,0[ 3 2,5 5[3,0; 4,0[ 7 3,5 12[4,0; 5,0[ 6 4,5 18[5,0; 6,0[ 9 5,5 27[6,0; 7,0] 5 6,5 32Total 32

x = 4,5, M0 ≈ 5,43 (aproximado a la centésima) y eM = 4,6 .

CorrectaSi analiza la situación descrita en el problema. Luego, determina que el ángulo interior correspondiente al sector A mide 175°. Por lo tanto, responde que:

P(A)=175360

=3572= 0,4861

P(B)=45360

=18= 0,125

P(C)=140360

=718= 0,38

Parcialmente correctaSí comprende el problema, aplica correctamente los procedimientos y calcula correctamente los valores para completar la tabla que se pide,pero comete errores al calcular las medidas de tendencia central.

Parcialmente correctaSí analiza e interpreta correctamente la información del problema y determina que para saber cuáles son las probabilidades de que el dardo caiga en un sector determinado, es necesario realizar la división entre el ángulo de cada sector circular y 360°. Luego comete un error en los cálculos y no logra responder las preguntas.

IncorrectaNo logra aplicar de manera correcta los conceptos que le permitirían calcular los valores representados en la tabla y con esto entrega valores erróneos para las medidas de tendencia central.

IncorrectaNo logra interpretar correctamente la información, por lo que no determina los procedimientos a seguir y plantea una expresión errónea respecto a la situación planteada.



Mate

rial f

otoc

opia


2 31 4


1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) VERDADERA(S)?

I. A través de las encuestas es posible recopilar mucha y variada información.

II. Una encuesta es un conjunto de preguntas tipificadas, dirigidas a una muestra represen-tativa.

III. Son pasos necesarios de una encuesta: diseñar la encuesta, recopilar la información y analizar los resultados.

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. II y III

E. I, II y III

2. ¿Cuál de los siguientes conceptos corresponde al “número de veces que se repite un dato”?

A. Intervalo

B. Frecuencia relativa

C. Frecuencia absoluta

D. Frecuencia relativa porcentual

E. Frecuencia absoluta acumulada

3. La tabla de frecuencias muestra el tiempo de reacción, en minutos, de 40 personas luego de aplicarles un medicamento. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son FALSAS?

Tiempo de reacción al medicamento

X f F f%

[10 – 15[ 8 8 20

[15 – 20[ 9 17 22,5

[20 – 25[ 12 29 30

[25 – 30[ 11 40 27,5

I. La marca de clase del tercer intervalo es 25.

II. El 30% de las personas reacciona entre los 20 y 30 minutos.

III. El 42,5% de las personas reacciona antes de los 20 minutos.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y II

E. I, II y III

Calcula e interpreta medidas de tendencia cen-tral y de posición.

4. Respecto a la tabla de la pregunta anterior, ¿cuál es el valor aproximado del percentil 28?

Sol: Tiene un valor aproximado de 16,78.

5. El siguiente histograma muestra los tiempos, en segundos, que demoran 40 automóviles en alcanzar los 100 km/h. ¿Cuál es el promedio de los tiempos?

6 8 10420

2

6

10

14

Núm

eros

de au

tos

Tiempo en segundos

Sol: El promedio de los tiempos es 4,4 segundos.

Banco de preguntasBanco

MATEMÁTICA 1.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE 164 MTUNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Mate

rial f

otoc

opia


6. En un colegio se quiere conocer la cantidad de hermanos que tienen los estudiantes. Para ello se eligieron las siguientes muestras. ¿Cuál es la media aritmética de las medias aritméticas de las muestras?

3 4 2 34 5 6 42 3 1 24 6 3 25 3 1 31 2 2 4

A. 3

B. 3,125

C. 3,25

D. 3,5

E. 4

Resuelve problemas que involucran el cálculo de la cardinalidad de un espacio muestral y el cálcu-lo de probabilidades.

7. De un grupo de 7 mujeres y 5 hombres se quie-re elegir otro grupo de 3 hombres y 4 mujeres. ¿Cuántos grupos distintos se pueden formar?

Sol: Se pueden formar C •C47

35 = 350 grupos.

8. En un curso de 30 estudiantes se quiere elegir la directiva. ¿Cuántos grupos distintos de 3 estu-diantes pueden formarla?

Sol: Pueden formarla 4060 estudiantes.

9. Una persona tiene dos distintas chaquetas, 3 camisas distintas, 4 pantalones distintos y 3 pares de zapatos distintos. ¿De cuántas formas diferen-tes puede vestirse?

Sol: Puede vestirse de 72 formas distintas.

10. ¿Cuántos números pares de 4 cifras se pueden formar con los dígitos del 1 al 9?

Sol: Se pueden formar 2916 números pares.

Banco de preguntasBanco

Mini ensayo

MATEMÁTICA 1.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE MT 165EVALUACIÓN MINI ENSAYO PSU

PSUINSTRUCCIONES ESPECÍFICAS

1. Esta prueba consta de 26 preguntas.

2. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.

3. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.

4. Antes de responder las preguntas nº 25 y nº 26 de esta prueba, lea atentamente las instrucciones. ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS.

Símbolos matemáticos

< menor que

> mayor que

≥ menor o igual que

≤ mayor o igual que

ángulo recto

∡ ángulo

log logaritmo en base 10

∅ conjunto vacío

[ x ] parte entera de x

≅ congruente con

∼ semejante con

⊥ perpendicular a

≠ distinto de

�� paralelo a

∊ pertenece a

AB segmento AB

� x � valor absoluto de x

n! factorial de n

EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS

Instrucciones para las preguntas nº 25 y nº 26En las siguientes preguntas no se le pide la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en

el enunciado más los indicados en las a� rmaciones (1) y (2) son su� cientes para llegar a esa solución.

Usted deberá marcar la letra:A. (1) por sí sola, sí la a� rmación (1) por sí sola es su� ciente para responder a la pregunta, pero la a� rmación

(2) por sí sola no lo es,

B. (2) por sí sola, sí la a� rmación (2) por sí sola es su� ciente para responder a la pregunta, pero la a� rmación (1) por sí sola no lo es,

C. Juntas, (1) y (2), sí ambas a� rmaciones (1) y (2) juntas son su� cientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las a� rmaciones por sí sola es su� ciente,

D. Cada una por sí sola, (1) ó (2), sí cada una por sí sola es su� ciente para responder a la pregunta,

E. Se requiere información adicional, sí ambas a� rmaciones juntas son insu� cientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

Evalu

ación


PSU1. Si a un punto en el plano se le aplica una simetría

axial respecto de uno de los ejes cartesianos y sobre la imagen obtenida se aplica una nueva si-metría respecto del otro eje, ¿cuál de las siguien-tes afirmaciones es FALSA?

A. La imagen se puede obtener con una rotación

B. La imagen se puede obtener con una traslación

C. La imagen se puede obtener con una simetría central

D. La imagen se puede obtener con una sola sime-tría axial

E. La imagen tiene las coordenadas intercambia-das respecto del punto original

2. La siguiente figura muestra la rotación del pen-tágono ABCDE respecto del punto O. ¿Cuál es el ángulo de rotación utilizado?

C B

D E A'

A O E' D'

B' C'

A. 45°

B. 90°

C. 180°

D. 270°

E. 360°

3. Al aplicar una traslación considerando el vector �=t (–4, 5) sobre el cuadrado ABCD se genera la

figura A’B’C’D’. Si A(2, 3), B(6, –1), C(10, 3) y D(6, 7). ¿En qué cuadrante queda ubicado el punto C’?

A. Cuadrante I

B. Cuadrante II

C. Cuadrante III

D. Cuadrante IV

E. En el origen

4. Si se aplica sobre el punto M(–2, 5) una simetría axial respecto a uno de los ejes cartesianos, ¿cuál de los siguientes puntos puede ser su imagen?

I. M’(2, 5)

II. M’(2, –5)

III. M’(–2, –5)

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. I y III

E. II y III

5. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son VER-DADERAS?

I. La composición de dos o más traslaciones en un mismo sentido se puede reducir a una sola traslación.

II. Una simetría central o puntual es equivalente a una rotación de 180° en torno al centro de simetría.

III. Si se aplica la composición de dos rotaciones sobre una � gura es equivalente a aplicarle una sola rotación con un ángulo que es la suma de los otros dos.

A. Solo I

B. I y II

C. I y III

D. II y III

E. I, II y III

6. ¿Qué se obtiene al aplicarle una simetría central a un hexágono regular, considerando uno de sus vértices como centro de simetría?

A. Un rombo

B. Un cuadrado

C. Un romboide

D. Un hexágono regular

E. Un heptágono regular

7. Si sobre el punto P(2, –3) se aplica una rotación en 180º con centro en el punto H(1, –1) y sobre la ima-gen resultante se aplica una simetría respecto del eje x, ¿cuál es el la imagen resultante de la combi-nación de estas transformaciones isométricas?

A. (0, 0)

B. (0, 1)

C. (1, 0)

D. (0, –1)

E. (–1, 0)

8. ¿Cuáles de las siguientes transformaciones isométricas se pueden aplicar a la figura A para obtener la figura B?

I. Rotación

II. Simetría axial

III. Simetría central

A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. I y III

E. I, II, y III

A

B

Evaluación


9. ¿En cuáles de los siguientes casos se representa la suma de los vectores t

� y v�

?

I. �v

�t

II. �t

�v

III.

�t

�v

A. Solo I

B. Solo III

C. I y II

A. I y III

B. I, II y III

10. Sea el vector �=

v p,1q

y el punto

A –

23

, 5 . Si

se aplica una traslación, respecto de �v, al punto

A se obtiene +

A'

32

p 1, 3 . ¿Cuáles son respecti-

vamente los valores de p y q?

A. 103

y 12

B. 12

y 103

C. 103

y –12

D. –103

y 12

E. –103

y –12

11. El triángulo ABC de la figura es equilátero. Si DA y ED son bisectrices de los ángulos BAC y ADB res-pectivamente, ¿cuál es la medida del ángulo DEA?

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 75°

E. 105°

12. En un triángulo ABC isósceles de base AB, D es punto medio de la base y m(BAC) = 35°. ¿Cuán-to mide el ángulo DCB?

A. 35°

B. 55°

C. 75°

D. 90°

E. 110°

13. En el triángulo ABC de la figura: D, E y F son pun-tos medios de sus respectivos lados. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son FALSAS?

I. CF ≅ DE

II. ∆AED ≅ ∆FDE

III. FDC ≅ ADE

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y II

E. I, II y III

14. Si en la figura, ABCD es un cuadrado y ECD es un triángulo equilátero, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son VERDADERAS?

I. La medida del ángulo CFD es 75°.

II. La medida del ángulo ADC es 45°.

III. La medida del ángulo AFC es 105°.

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo III

D. I y II

E. I, II y III

15. En la figura, los puntos A, B y E son colineales, m(EBC) = 100° y m(BCF) = 120°. Si A, C y F son colineales, ¿cuál es el valor de α?

A. 10°

B. 40°

C. 50°

D. 80°

E. 130°

16. Considerando el siguiente paralelogramo, ¿qué alternativa representa la congruencia entre los triángulos formados?

A. ∆ABD ≅ ∆BCD

B. ∆ADB ≅ ∆DCB

C. ∆DAB ≅ ∆BCD

D. ∆BDA ≅ ∆BDC

E. ∆DBA ≅ ∆DBC

C

DB

E

A

A

Cα

F

DB

E

E C

D

A B

F

A E B

F

C

D

AB

C D

Evalu

ación


PSU17. En el triángulo ABC, H es su ortocentro. Si

m(SACB) = 70°, ¿cuál es el valor de a?

A. 20º

B. 35º

C. 70º

D. 110º

E. 140º

18. Si el paralelogramo ABCD es un rombo, ¿cuál es el valor de x?

A. 15°

B. 30°

C. 45°

D. 60°

E. 90°

19. ¿Cuál es el valor de PC

8

58

?

A. 56

B. 360

C. 720

D. 20 160

E. 40 320

20. ¿Cuántas palabras distintas, con o sin sentido, se pueden formar al reordenar las letras de la palabra EXPLORA?

A. 49

B. 343

C. 420

D. 2 401

E. 5 040

21. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento aleatorio “lanzar una moneda y un dado de 6 caras”?

A. 6

B. 12

C. 14

D. 24

E. 36

22. Al lanzar 3 monedas, ¿cuál es la probabilidad de obtener menos de 3 sellos?

A. 12

B. 18

C. 38

D. 58

E. 78

23. Al lanzar 2 dados de seis caras, ¿cuál es la proba-bilidad de que la suma de los puntos obtenidos en sus caras superiores sea menor que 7?

A. 16

B. 512

C. 536

D. 736

E. 1136

24. De un curso de 35 estudiantes se elegirá un grupo de 5. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el total de grupos distintos que se pueden formar?

A. P530

B. P535

C. C355

D. C530

E. C535

25. En el romboide ABCD, ¿cuál es la medida del ángulo BEC?

A

D

B

C

E

(1) m(SECB) + m(SBEC) = 110°(2) m(SADC) = 110°

A. (1) por sí sola

B. (2) por sí sola

C. Juntas (1) y (2)



26. En la siguiente figura, ¿cuál es la medida del ángulo ADE?

A D

E

B C

(1) El triángulo BCE es equilátero.(2) El cuadrilátero ABCD es un cuadrado.

A. (1) por sí sola

B. (2) por sí sola

C. Juntas, (1) y (2)

D. Cada una por sí sola, (1) ó (2)


α

A B

C

H

CD

A B

x

2x

Evaluación


TABLA DE ESPECIFICACIONES MINI ENSAYO 2 MATEMÁTICA 1° MEDIO

Ítem Eje Contenido Habilidad Clave1 Geometría Transformaciones isométricas Evaluar E2 Geometría Transformaciones isométricas Comprender C3 Geometría Transformaciones isométricas Analizar A4 Geometría Transformaciones isométricas Evaluar D5 Geometría Transformaciones isométricas Evaluar E6 Geometría Transformaciones isométricas Evaluar D7 Geometría Transformaciones isométricas Analizar D8 Geometría Transformaciones isométricas Evaluar D9 Geometría Transformaciones isométricas Evaluar B

10 Geometría Transformaciones isométricas Analizar E11 Geometría Triángulos y congruencia Aplicar E12 Geometría Triángulos y congruencia Aplicar B13 Geometría Triángulos y congruencia Evaluar C14 Geometría Triángulos y congruencia Evaluar E15 Geometría Triángulos y congruencia Aplicar C16 Geometría Triángulos y congruencia Recordar C17 Geometría Triángulos y congruencia Aplicar D18 Geometría Triángulos y congruencia Aplicar B19 Datos y azar Permutación y combinatoria Aplicar C20 Datos y azar Permutación y combinatoria Aplicar E21 Datos y azar Probabilidad Recordar D22 Datos y azar Probabilidad Aplicar E23 Datos y azar Probabilidad Aplicar B24 Datos y azar Permutación y combinatoria Aplicar E25 Geometría Triángulos y congruencia Evaluar E26 Geometría Triángulos y congruencia Evaluar E

MATEMÁTICA 1.º MEDIO - GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE 170 171

Hoja de respuestas

IDENTIFICACIÓN DEL POSTULANTE

APELLIDO PATERNO

APELLIDO MATERNO

NOMBRES

NÚMERO

Buenas

Malas

Omitidas

NÚMERO DE IDENTIFICACIÓN

0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 9

0123456789

0123456789

0123456789

0123456789

0123456789

0123456789

0123456789K

RESPUESTAS1 A B C D E 41 A B C D E

2 A B C D E 42 A B C D E








































Contenido Página

A

Adición y sustracción de vectores 98

Aproximación por defecto 20

Aproximación por exceso 20

C

Calculadora cientí� ca 21

Cardinalidad 140

Cifra signi� cativa 20

Clausura 24

Coe� ciente de posición 64

Coe� ciente numérico 56

Combinación 142

Componentes de un vector 97

Composición de funciones 65

Congruencia de polígonos 107

Conjunto de los números racionales 14

Conjunto de los números reales 61

Coordenada 96

Criterio 108

Cuadrante 96

Cuartil 136

D

Demostración 109

Densidad 23

Diagrama de árbol 140

Diagrama de cajas o Boxplot 137

Diagrama sagital 61

Dirección de un vector 97

Distribución 133

Dominio 61

E

Ecuación literal 57

Eje 96

Índice temático

Error de aproximación 20

Escalar 99

Espacio muestral 140

Evento o suceso 144

Experimento aleatorio 144

Expresión algebraica 50

F

Factor literal 50

Factorial 141

Factorizar 54

Frecuencia absoluta 132

Frecuencia acumulada 132

Frecuencia relativa 145

Función 60

Función afín 64

Función lineal 62

G

GeoGebra 64

H

Histograma 132

Homólogo 107

I

Imagen 60

Intervalo 132

L

Lenguaje algebraico 50

M

Marca de clase 132

Media aritmética (o media 134

Media muestral 143

Media poblacional 143

Mediana 134

Medida de posición 136

ÍNDICE TEMÁTICO


Medida de tendencia central 134

Moda 134

Módulo de un vector (o magnitud 97

Muestra 143

Multiplicación de expresiones algebraicas 52

Multiplicación de un vector por un escalar 99

N

Número decimal in� nito periódico 15

Número decimal in� nito semiperiódico 15

O

Origen del plano cartesiano 97

P

Par ordenado (o coordenada cartesiana) 96

Pendiente 62

Percentil 136

Permutación 141

Plano cartesiano 96

Población 135

Polígono de frecuencia acumulada 132

Polígono de frecuencia 132

Polinomio 54

Potencia de base racional y exponente entero 26

Preimagen 60

Principio multiplicativo 140

Probabilidad experimental 145

Probabilidad teórica (o modelo de Laplace). 144

Producto notable 53

Q

Q.e.d 109

Quintil 136

R

Rango 132

Recorrido 61

Re� exión en el plano cartesiano 102

Relación 60

Restricción de la solución 58

Rotación en el plano cartesiano 103

S

Sentido de un vector 97

T

Tabla de frecuencia de datos agrupados 132

Traslación en el plano cartesiano 101

Truncar 20

V

Valor máximo 136

Valor mínimo 136

Valorizar expresiones algebraicas 50

Variable dependiente 60

Variable independiente 60

Variable 50

Vector 97


Bibliografía de consulta

1. Matemática Programa de Estudios, Primer año Medio. Ministerio de Educación, República de Chile. Santiago de Chile. 1998.

2. ARAYA S., Roberto. Inteligencia Matemática. Editorial Universitaria. Santiago de Chile. 2000.

3. Potter, Lawrence. A jugar con las matemáticas. Libros Aula Magna. 2008

4. DE GUZMÁN, Miguel. Tendencias Innovadoras en Educación Matemática. Edipubli. Buenos Aires. 1992.

5. Chile y el Aprendizaje de las matemáticas y ciencias según TIMSS. Unidad de Currículo y Evaluación. Ministerio de Educación. Santiago de Chile. 2004.

6. Juan D. Godino, et al. Didáctica de las Matemáticas para Maestros. Proyecto Edumat-Maestros, Gami, Granada, España. 2002

7. Actividades prácticas de matemática y su didáctica. Editorial CCS. España. 2013

8. Liping Ma. Conocimiento y enseñanza de las matemáticas elementales. Academia Chilena de Ciencias.

Bibliografía

BIBLIOGRAFÍA

texto 1 medio matemática profesor

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