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Funciones

Pedro Godoy GomezProfesor de matemática

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GRÁFICAS

Las gráficas son medios potentes para tratar gran número de problemas. Se utilizan en todas las disciplinas: física, biología, economía, sociología, psicología, etc.

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RELACIÓN ENTRE LA HORA DEL DÍA Y LA SOMBRA

TIEMPO T LONGITUD DE LA SOMBRA

9:00 21 M

9:30 19 M

10:00 15,5 M

10:30 13 M

11:00 11 M

11:30 9 M

12:00 8 M

12:30 7 M

13:00 6 M

14:00 7 M

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Grafique la tabla anterior

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VEA ESTO

¡Cuidado con los medicamentos!

En las instrucciones de un medicamento, que hay que administrar a un diabético, se establece que la dosis del mismo, expresada en mg, está en función del peso del paciente según la gráfica.

¿QUÉ CONLUSIONES PUEDES OBTENER DEL GRAFICO?

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Observa que a una persona de 50 Kg le corresponde una dosis de 20 mg. Diremos que 20 es la imagen de 50 o que 50 es un original de 20 y escribiremos 50 Kg   →  20 mg.

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a.   ¿Cuál es la imagen de 75?, es decir, ¿qué dosis hay que suministrar a una persona de 75Kg?

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b.   ¿Se puede administrar a bebés?¿Y a personas obesas?.

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c.   ¿Qué peso tenía una persona a la que suministraron 40 mg?

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d.   ¿Para qué peso la dosis es máxima?

Diremos que la variable dosis depende (o es función) de la variable peso: Peso  →  Dosis

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Después de bañarse en su casa, Ana dibuja un esbozo de gráfica que muestra lo que ocurre con el volumen de agua de su baño en función del tiempo transcurrido.

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a.   Si ambos grifos (caliente y frío) se abrieron al principio, ¿qué puede haber ocurrido en A?b.   Cuando el baño se está vaciando, Ana pone el pie en el agujero del desagüe. ¿Qué parte de la gráfica muestra esto?

c.   ¿Cuándo aumenta el volumen del agua? ¿Cuándo disminuye?d.   ¿Cuándo se alcanza el volumen máximo de agua? ¿Y el mínimo?

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Vamos de Graneros a unas clases en Rancagua. La distancia aproximada es de unos 10 Km. La clase comienza a las 8:15 y salimos de casa a las 7:30. Las siguientes gráficas muestran cómo las cosas son bastante distintas para Antonio, Bernabé, Carlos y Alicia.

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Antonio: Salgo con calma. En el camino comienzo a pedalear más fuerte.Bernabé: Acababa de salir cuando me di cuenta de que olvidé las zapatillas y tuve que volver.Carlos: Fui en moto, pero por el camino me quedé sin gasolina. Así que pie al suelo y andando.

¿Qué grafica corresponde a cada uno?

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Conclusiones

Cada una de las situaciones anteriores nos muestra que siempre existe una dependencia

Existe una variable independiente y otra dependiente

Algunas de estas dependencias se pueden representar algebraicamente

X cm

Por ejemplo el área del cuadrado depende De la longitud de su lado

2xA

X cm

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Un grifo vierte 15 litros por minuto. Es evidente que Tiempo y Volumen son en este caso dos magnitudes directamente proporcionales. Si construimos una tabla y dibujamos la gráfica obtendremos:

Observa que la magnitud volumen V es igual a la magnitud tiempo t multiplicada por 15, que es la razón de proporcionalidad.

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Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de razón a dan lugar a gráficas del tipo anterior que son rectas que pasan por el origen de coordenadas, cuya ecuación es y = a · x. Al número a se le llama pendiente.

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¿Qué hace variar la inclinación de la recta?

Si y = a x, el parámetro a será la pendiente de la recta

Pendiente : Grado de inclinación que tiene una recta respecto del eje x.

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omPendiente de una recta

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Pendiente

Pendiente también se define como la razón entre la elevación de un punto y el avance del mismo punto

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Pendiente

Hagamos la grafica de la función lineal x7

4y

4 elevación

7 avance

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om¿Qué es una Función?

Una función es una relación entre dos variables , donde cada elemento del dominio posee una única imagen en el recorrido.

-1-2012345

-2-4-5-1005

1012152025

y = 5x

Dominio Codominio

Recorrido

-5, -10, 0, 5, 10, 15, 20, 25

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Funciones

Algunas cuestiones especialmente importantes

Toda función vive gracias al DOMINIO

DOMINIO : Conjunto de números reales que generan una imagen en la función.

RECORRIDO: Es el conjunto de números reales que se obtiene a partir de cada elemento del dominio

El recorrido depende del dominio y de la función que se tenga.

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Notaciones importantes

Cuando queramos indicar una función y distinguirla de otra la anotaremos f(x), g(x), H(x), etc

f(x) se lee f de x, o también imagen de x en f

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Función

Cada función señala una relación de dependencia entre dos variables.

Consideremos la siguiente situación

Un cilindro de radio r y

altura h. Asi el volumen se

convierte en una función en

dos variables

hr)h,r(V 2

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Pero si dejamos la radio fijo, y solo variamos la altura nos queda una función que depende en una sola variable, y si consideramos que el radio mide 10 cm. El volumen queda

Lo cual nos lleva a la forma anterior y = ax

h100)h(V

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¿Cuál será el volumen de un cilindro cuya altura mida 12 cm?

Osea h = 12 cm, reemplacemos

V(12) = 100 12 = 3768 cm3

A este proceso lo llamamos calcular la imagen de 12

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Detalles a considerar, Solo se pueden calcular volumen de

números positivosh 0El volumen es siempre positivoA pesar que es posible calcular el

valor cuando h = -20, este carece de absoluto sentido.

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Los elementos reflexionados anteriormente los conocemos como DOMINIO Y RECORRIDO

DOMINIO CONTIENE A LOS Números REALES QUE PODEMOS REEMPLAZAR

RECORRIDO LOS RESULTADOS OBTENIDOS

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EL DOMINIO DEPENDE DE DOS COSAS FUNDAMENTALES

EL CONTEXTO

LA EXPRESION ALGEBRAICA

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Considera la función

pero si x representa ellado de un cuadrado y f(x)representa su áreaentonces el dominio serán los números reales positivos

2x)x(f x

x

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Quitemos el contexto, y pensemos que no tiene un contexto necesariamente, en ese caso, la expresión algebraica manda y nos señala que no existe dificultad para elevar un número al cuadrado, en ese caso el dominio serán los números reales.

Dom f = R

2x)x(f

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Cálculo de imágenes

3x

2x f(x) si

Calcular el valor de f( 6)

Se reemplaza el 6 en cada lugar donde esta x

3

2 f(x)

6

6 3

4

9

12

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Dom f = R – {-3}

3x

2x f(x)

¿Qué números no podemos

reemplazar en la x?

No olvides que la división por cero NO EXISTE

Esto nos indica que podemos reemplazar cualquier valor excepto el -3

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Dadas las siguientes funciones calculen en cada una las Imágenes que se indican

4)()7

4

3)()6 )()5

3)()4

3)()3 63)()2 23)()1

xxf

xxfxxf

xxf

xxfxxfxxf

)1()

)4()

)0()

)8()

)5()

)3()

ff

fe

fd

fc

fb

fa

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ACTIVIDAD GRUPAL

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ACTIVIDAD 2

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ACTIVIDAD 3

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ACTIVIDAD 4

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ACTIVIDAD 5

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Pedro Godoy Gómez