matemática cuaderno de estudio de 7º 8º y 9º años

En las provincias donde el Nivel de Educación Primaria es de 7 años, este material está destinado a 7° año.

La presente publicación se ajusta a la cartografía oficial establecida por el PoderEjecutivo Nacional a través del Instituto Geográfico Militar por Ley 22.963 y fue aprobada en agosto de 2007 con número de expediente GG07 1427/5.

Ministerio de Educación Ciencia y Tecnología de la NaciónCuadernos de estudio 1: matemática - 1a ed. - Buenos Aires:

Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, 2007.208 p. ; 27x20 cm.

ISBN 978-950-00-0602-6

1. Material Auxiliar de Enseñanza. 2. Matemática.CDD 371.33

© Ministerio de Educación, Ciencia y TecnologíaPizzurno 935, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, ArgentinaImpreso en la ArgentinaHecho el depósito que marca la ley 11.723ISBN 978-950-00-0602-6

Se terminó de imprimir en Quebecor World Pilar en el mes de noviembre de 2007.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN, CIENCIA Y TECNOLOGÍA 3

AUTORIDADES NACIONALES

Presidente de la Nación

Dr. Néstor Kirchner

Ministro de Educación, Ciencia y Tecnología

Lic. Daniel Filmus

Secretario de Educación

Lic. Juan Carlos Tedesco

Subsecretaria de Equidad y Calidad Educativa

Lic.Alejandra Birgin

Directora Nacional de Gestión Curricular y Formación Docente

Lic. Laura Pitman

MATEMÁTICA 14

Serie HorizontesCiclo Básico de Educación Secundaria

Escuelas Rurales

Área de Educación RuralGuillermo Golzman, coordinadorOlga Zattera, coordinadora pedagógicaViviana Fidel, coordinadora de materiales impresos

Desarrollo de contenidosNorma Sanguinetti de Saggese, coordinadora del área de Matemática Alicia Susana Hevia, Graciela Inés Daroca, María Cristina Bisbal de Labato, autores

Producción editorialGonzalo Blanco y Raquel Franco, coordinación editorialDoris Ziger, ediciónNorma Sosa, correcciónAdriana Llano, dirección de arteMariela Camodeca, diseño de tapaFlorencia Obregón, diagramaciónMartín Bustamante, ilustraciónMiguel Forchi, cartografíaRafael Blanco y María Celeste Iglesias, documentación fotográfica

Agradecemos especialmente a las instituciones que han autorizado en forma gratuita la reproducción de las imágenes y los textos incluidos en esta obra.


Estudiar Matemática

Este material que llega a tus manos te acercará al conocimiento de la Matemática y susposibilidades de uso en la vida cotidiana, en el arte y hasta en el juego. Vas a aprendernuevos conceptos y procedimientos que seguramente despertarán tu curiosidad y conlos cuales podrás valorar la importancia que tiene la Matemática tanto en el desarrollodel pensamiento como en las acciones cotidianas, en el trabajo, en el hogar y en la vidapersonal de cada uno de nosotros.

El proyecto anual de trabajo en el área presenta una selección de temas organizadosalrededor de: los números y las operaciones, la Geometría y los procesos de medicióny el tratamiento de la información. Del mismo modo, los temas que estudiarás el año queviene amplían y profundizan estas temáticas e incorporan el estudio de otros que se rela-cionan con los que aquí se presentan.

En cada una de las 16 unidades de este Cuaderno de estudio 1 se desarrolla un temaa través de una secuencia de actividades. Siempre partirás de los conocimientos que yatenés para que puedas alcanzar nuevos conocimientos. En algunas oportunidades, laextensión de los temas conectados permite que en una unidad se consideren más de uno.En este caso, la unidad se organiza en temas siempre vinculados entre sí numerados a par-tir del Tema 1.

Las actividades propuestas pueden ser muy diversas. En algunas unidades te sugerimosque busques información o hagas observaciones fuera de la escuela, para desarrollar elconocimiento matemático más allá de lo escolar. En la mayoría de los casos, las actividadesremiten a trabajos escritos que irás resolviendo en una carpeta. Esa carpeta es un ins-trumento que te permitirá organizar tu tarea, revisar lo que vayas aprendiendo, notarlos progresos que vas a ir alcanzando en el trabajo con cada una de las unidades.

En muchas actividades te pedimos que escribas reflexiones y comentarios acerca de latarea, que los compartas con tus compañeros y se los muestren al docente. Para que estosea posible, es necesario que cada vez que trabajes en tu carpeta, indiques la fecha,el número y el título de la actividad y la letra de la consigna que estés resolviendo. Laprolijidad con la que realices la tarea te facilitará la búsqueda cuando más adelantenecesites recurrir a tus respuestas anteriores.

Algunas actividades tendrás que resolverlas en forma individual y otras, indicadas conllll, en forma grupal, con tus compañeros del año o del ciclo.

Cuando encuentres este símbolo lll, tendrás que recolectar algunos materiales parapoder realizar las actividades señaladas.

Al finalizar cada unidad encontrarás una sección denominada "Desafíos matemáticos".Se trata de una serie de enunciados que pueden contener relatos, juegos, curiosidades,adivinanzas o rompecabezas, relacionados o no con los temas que estudiaste en launidad; son para que los encares libremente. De todos modos, al llegar a ese puntoconversá con tu docente acerca de la conveniencia de resolver todos o algunos, en tucasa o en la escuela.

A medida que avances en el trabajo con las unidades podrás elaborar síntesis propiasacerca de lo que aprendiste y plantearte nuevos interrogantes para seguir aprendiendoy disfrutando de la Matemática.

MATEMÁTICA 16

U n i d a d 1 . E l n ú m e r o y l a s o p e r a c i o n e s 9TEMA 1: ¿PARA QUÉ SE USAN LOS NÚMEROS? A1. ¿Cuándo se usan los números? 10A2. Diferentes problemas 12TEMA 2: OPERACIONES CON FRACCIONESA3. Para saber lo que sabés 14A4. Fracciones en un rompecabezas 15TEMA 3: EL ORDEN AL EFECTUAR LAS OPERACIONESA5. ¿Cómo se indica el orden en las operaciones? 18DESAFÍOS MATEMÁTICOS 20

Unidad 2. Proporcionalidad 2 3TEMA 1: CORRESPONDENCIAS NUMÉRICASA1. Correspondencias 23A2. Tablas y gráficos 25TEMA 2: LA PROPORCIONALIDAD DIRECTAA3. Una familia de rectángulos 28A4. Otra familia de rectángulos 30A5. La familia de los cuadrados 31A6. Multiplicaciones y proporciones 33A7. La proporcionalidad en la naturaleza 34A8. Analizando correspondencias 35DESAFÍOS MATEMÁTICOS 37

Unidad 3. Proporcionalidad inversa 3 9TEMA 1: SITUACIONES DE CORRESPONDENCIAA1. “Alambrar y sembrar” 39TEMA 2: RAZONES Y PROPORCIONES. LOS MEDIOSY LOS EXTREMOSA2. Razones y proporciones 43TEMA 3: PROPORCIONALIDAD INVERSAA3. La misma área y distinta forma 44A4. Otros problemas para pensar 46A5. Rectángulos, repartos y proporciones 46A6. Un rompecabezas 47DESAFÍOS MATEMÁTICOS 49

Unidad 4. Escalas en mapas y planos.Porcentaje 51TEMA 1: ESCALASA1. Un plano a escala 51A2. Mapas y escalas 54TEMA 2: PORCENTAJEA3. La proporción en las mezclas 57A4. Ampliaciones y reducciones 59A5. La utilidad de calcular e interpretar porcentajes 62A6. Lo grande y lo pequeño 63A7. El porcentaje en situaciones cotidianas 64DESAFÍOS MATEMÁTICOS 66

Unidad 5. Estadística 6 7A1. Préstamo de libros 67A2. La moda 69A3. Frecuencia relativa 71A4. El promedio y la mediana 72A5. Representaciones gráficas 75A6. Organización de datos 76DESAFÍOS MATEMÁTICOS 78

Unidad 6. Triángulos 7 9TEMA 1: LOS TRIÁNGULOS Y SUS ELEMENTOSA1. Suma de los ángulos interiores 80A2. Clasificación de triángulos según sus lados 82A3. Familia de triángulos 82A4. Clasificación de triángulos por sus ángulos 84A5. Clases de triángulos 84TEMA 2: CON TRES SEGMENTOS, ¿SIEMPRE SE PUEDECONSTRUIR UN TRIÁNGULO? A6. Relación triangular 85A7. Rompecabezas triangular 87A8. ¿Cómo construir un triángulo igual a uno dado? 88DESAFÍOS MATEMÁTICOS 92


Unidad 7. Cuadriláteros 9 3A1. Construcción de cuadriláteros a partir de sus diagonales 93A2. Propiedades de los cuadriláteros 96A3. Caracterización de cuadriláteros 97A4. Diagonales y romboides 99DESAFÍOS MATEMÁTICOS 100

Unidad 8. Cuerpos y figuras 1 0 1A1. Formaedro 101A2. Poliedros regulares 103A3. Relación de Euler 105A4. Un panal de abejas 107A5. Los cuerpos redondos 109A6. Exploración geométrica de un objeto 111A7. Unidades cúbicas 111DESAFÍOS MATEMÁTICOS 114

Unidad 9. Simetría 1 1 5A1. Reflejos en el espejo 116A2. Cómo construir elementos simétricos 118A3. Figuras con puntos en el eje 121A4. Más de una simetría 122A5. Análisis de la guarda 124DESAFÍOS MATEMÁTICOS 126

Unidad 10. Medida de ángulos 1 2 7TEMA 1: LOS ÁNGULOS SE PUEDEN MEDIRA1. Los puntos cardinales 127A2. ¿Cómo medir ángulos? 129A3. El sistema sexagesimal 132TEMA 2: LOS ÁNGULOS SE PUEDEN ORDENARA4. Relaciones de orden entre ángulos según su amplitud 135A5. Instrumentos de Geometría: el transportador y el compás 136TEMA 3: SUMA GEOMÉTRICA DE ÁNGULOSA6. Pares de ángulos 140A7. Mosaicos 141DESAFÍOS MATEMÁTICOS 143

Unidad 11. Medición de volumen, capacidad y peso 1 4 5TEMA 1: MEDIDAS DE CAPACIDAD Y VOLUMENA1. ¿Es lo mismo medir capacidades que medir volúmenes? 146TEMA 2: RELACIÓN ENTRE VOLUMEN, CAPACIDAD Y PESOA2. ¿Qué volumen ocupa un litro de agua? 148A3. El peso y el volumen de un objeto 150TEMA 3: MEDIDAS JUSTAS, MEDIDAS APROXIMADASA4. Situaciones en las que hay que hacer mediciones 151A5. Consumo de agua en nuestro planeta 152A6. Para revisar las medidas de capacidad, peso y volumen 154DESAFÍOS MATEMÁTICOS 155

U n i d a d 1 2 . Perímetros y áreas en cuerpos y figuras planas 1 5 7TEMA 1: PERÍMETRO DE FIGURAS Y CUERPOSA1. Longitudes de contornos 157TEMA 2: ÁREAS EN CUERPOS Y FIGURASA2. Área de los rectángulos 160A3. Área de triángulos 161A4. Área de prismas 163A5. Áreas de pirámides 165A6. Perímetros y áreas 166A7. Más perímetros para calcular 166DESAFÍOS MATEMÁTICOS 168

Unidad 13. Equivalencia de figuras 1 6 9A1. Figuras equivalentes 169A2. Embaldosados 171A3. Unidades de área 171A4. Fórmulas para calcular el área de algunos cuadriláteros 173A5. Otras teselaciones 176DESAFÍOS MATEMÁTICOS 178

MATEMÁTICA 18

Unidad 14. La circunferencia y el círculo 1 7 9TEMA 1: ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULOA1. Trazado de circunferencias 179A2. Posiciones relativas de dos circunferencias 180A3. Arcos y ángulos 181A4. Tres puntos no alineados determinan una circunferencia 182TEMA 2: EL NÚMERO π A5. Relación entre el diámetro y la circunferencia 183A6. Área del círculo 185A7. Problemas redondos 186DESAFÍOS MATEMÁTICOS 187

Unidad 15. Polígonos 1 8 9TEMA 1: ELEMENTOS Y CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOSA1. Poligonales y polígonos 189A2. Polígonos convexos 191TEMA 2: POLÍGONOS REGULARESA3. Construcción de polígonos regulares 192A4. Áreas de polígonos regulares 194A5. Polígonos y diagonales 195A6. Ángulos interiores y exteriores de los polígonos 196A7. Polígonos estrellados 197DESAFÍOS MATEMÁTICOS 198

Unidad 16. Poliedros 1 9 9TEMA 1: ELEMENTOS DE LOS POLIEDROSA1. Construyendo poliedros 199A2. Ángulos diedros y poliedros 200TEMA 2: PROPIEDADES DE LOS POLIEDROSA3. Poliedros regulares 201A4. La relación de Euler v 202A5. Poliedros semirregulares 203A6. Diagonales en un cubo 204DESAFÍOS MATEMÁTICOS 206


A medida que avances en las actividades de este Cuaderno de estudio descubrirás algunas curiosidadeshaciendo operaciones con números; verás la importancia de escribir las operaciones de modo que quedebien claro para todos el orden en que deben resolverse; adquirirás mayor fluidez en los cálculos, mentaleso por escrito; ampliarás tus conocimientos acerca de los diferentes significados de las fracciones como par-tes de un todo o bien relacionadas con la operación de división, las formas de escribirlas y operar con ellas.

A partir de aquí comienza la tarea con las actividades de la primera unidad. Vas a usar conocimientos queya tenés para resolver nuevas situaciones que te permitan revisar tus ideas acerca del uso de los númerosy el significado de las operaciones. Para resolverlas en forma ordenada y para poder recurrir a tus respuestascuando necesites revisarlas, cada vez que trabajes en tu carpeta, indicá la fecha, el número, el título de laactividad y la letra de la consigna que estés resolviendo.

Muchas veces, en las actividades de todos los días, es necesario dar respuesta a preguntas relacionadas con

cantidades: cuántos chicos se necesitan para jugar un partido de fútbol, cuánta lana hay que comprar para tejer

una prenda, cuánta azúcar se agrega para preparar un dulce, cuántos kilómetros hay que recorrer para llegar al

pueblo próximo, etcétera.

A veces esas preguntas se pueden responder usando solamente los números naturales: 1 caramelo, 2 alumnos,

3 cucharadas; en otras oportunidades, se usan fracciones: l de leche, kg de azúcar; o números decimales:

el pizarrón tiene 1,45 m de ancho y 1,30 m de alto. Muchas veces hay que hacer cálculos para encontrar la

respuesta, en algunas ocasiones es suficiente hacerlos mentalmente y en otras es necesario tomar lápiz y papel

y resolverlos por escrito.

En la actividad 1 vas a analizar el uso de los números en distintas situaciones. Consultá con tu maestroel tiempo que podrás destinar a resolverlas.

TEMA 1: ¿PARA QUÉ SE USAN LOS NÚMEROS?

UNIDAD 1 El número y las operaciones

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1. ¿Cuándo se usan los números?

a) Leé las preguntas que siguen. En esta primera lectura no trates de responderlas por escrito,solamente pensá las respuestas.

1. ¿Cuántos alumnos de 7º año hay en tu escuela?

2. La biblioteca, ¿es tan ancha como la mesa en la que está apoyado este libro?

3. ¿Estás sentado más cerca de la ventana o de la puerta?

4. ¿Cuántos días hay en un siglo?

5. ¿Alguno de tus compañeros es más alto que vos?

6. ¿Qué ancho tiene la tapa de tu carpeta?

7. ¿Cuántas botellas de litro se pueden llenar con 1 litro de agua?

8. ¿Cuántas horas hay en 90 minutos?

9. ¿Cuántos pasos tenés que dar para ir desde donde estás en este momento hasta la puerta?

b) Poné como título en tu carpeta “¿Cuándo se usan los números?”.

1. Seleccioná entre las preguntas anteriores las que se contestan con números y copialas en la carpeta.

2. Escribí las respuestas; si es necesario efectuá las operaciones que creas convenientes.

A lo largo de las unidades encontrarás textos como el siguiente que aportan información relacionada con eltema. Leelos atentamente y, si tenés alguna dificultad, consultá con tu maestro.

Algunas situaciones se pueden contestar sin emplear números; hay otras que se resuelven

usando números enteros, fracciones o expresiones decimales, y en algunos casos es necesario

hacer cálculos.

Cuando se comparan cantidades teniendo en cuenta alguna propiedad, como el peso o la

altura, no siempre es necesario hacer uso de los números; se pueden usar expresiones del

tipo: “…es más alto que…”, “…es más bajo que…”, o bien “…es tan alto como…”. Lo

mismo ocurre para indicar que un objeto está más o menos cerca que otro, o que una per-

sona es más delgada que otra.

Los números naturales se usan para contar colecciones de objetos; en cambio, para expresar la

medida de una cantidad, generalmente es necesario usar fracciones. Por ejemplo, si se trata de

medir una distancia es necesario usar una cantidad como unidad y un número para indicar cuán-

tas veces está comprendida la unidad en esa longitud. Así, la distancia entre el banco y la puerta

es de 14 pasos y medio, donde 14 es la cantidad y el paso, la unidad.

Cuando en una medición la unidad no está contenida un número exacto de veces en la canti-

dad, es necesario utilizar fracciones o sus expresiones decimales, por ejemplo 2 , o bien 2,5 veces.

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UNIDAD 1

Para resolver la consigna que sigue necesitarás conversar con personas de tu familia o vecinos de tucomunidad, por eso vas a resolverla fuera de la escuela. En otras unidades encontrarás propuestas comoesta. A través de ellas verás que las ideas sobre la Matemática sirven más allá de la escuela. Para resolverla segunda parte será necesario que compartas las respuestas con tus compañeros; será una forma de inter-cambiar y comparar esas ideas. Reunite con ellos o consultá con tu maestro para decidir cómo organizar eltrabajo y cuánto tiempo podrás destinar a su resolución.

c) Resolvé las siguientes actividades sobre el uso de los números en la vida cotidiana. Conversácon otras personas acerca del uso que dan a los números. Si podés, proponé las siguientes preguntasa algún comerciante, o un agricultor u otra persona que no pertenezca a la escuela. Para recordarlas respuestas anotá quién responde, qué trabajo hace y sus respuestas ordenadas. Podés copiar laguía de preguntas que sigue a modo de “ficha” para que las recuerdes cada vez que necesites.

d) De nuevo en el aula, comentá con tus compañeros las respuestas que obtuviste. Por ejemplo:

1. ¿Cuántas actividades diferentes realizan los encuestados?

2. ¿En qué situaciones se usan más frecuentemente los números?

3. ¿Qué cuentas y qué tipo de herramientas matemáticas son las más usadas?

e) Discutí con tu grupo. ¿Cuándo necesitan usar los números y cuándo necesitan hacer cuentas?¿Qué números utilizan más frecuentemente?

f) ¿Imaginás alguna persona que no necesite usar conocimientos matemáticos en su vida diaria?

La actividad que sigue te permitirá revisar tus ideas acerca de la multiplicación y la división resolviendo unaserie de problemas; esto te será muy útil para estudiar el tema que sigue: las operaciones con fracciones.

En la actividad 4 vas a necesitar un cuadrado de papel glacé o de cartulina de 10 cm de lado. Andábuscando el material.

Nombre:

Trabajo en:

1. ¿Tiene necesidad de usar los números en su trabajo? ¿En qué situaciones?

2. ¿Necesita hacer cuentas? ¿Para qué?3. ¿Qué cuentas hace?4. ¿Resuelve sus cuentas con lápiz y papel o mentalmente?5. ¿Usa calculadora? ¿En qué casos?


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2. Diferentes problemas

Seguramente conocés las tablas de multiplicar que siempre resultan útiles para resolver situaciones quese nos pueden presentar dentro o fuera de la escuela. En esta actividad vas a encontrar una serie deproblemas para poner en juego lo que ya sabés sobre las tablas. Todas están planteadas a partir de losnúmeros: 47 y 6 o 7.

a) Leé esta serie de problemas para ver en qué se parecen y en qué se diferencian. Si necesitásescribir, hacelo en tu carpeta y no olvides indicar fecha y número de actividad, así como la letradel ítem y el número de problema. El secreto está en descubrir cuál es la operación que hay quehacer para resolver cada situación. Cuando te parezca que estás seguro de cuál es la operación,anotala junto con otras cosas que necesites escribir, como resultados, procedimientos, preguntas.Estas anotaciones te van a servir para contestar al ítem b.

1. Francisco tiene como tarea escribir la serie de números menores que 50, a partir de 0 y de 6en 6. El último que escribió es 47; ¿cometió algún error?

2. En cada caja caben 6 huevos. ¿Cuántas cajas harán falta, como mínimo, para colocar 47 huevos?

3. María cuenta de atrás para adelante a partir del 47, y de 6 en 6; ¿cuál será el último númeroque diga?

4. Con una cinta de 47 centímetros de largo, ¿cuántos trozos de 6 cm se pueden cortar?

5. Tengo un listón de madera de 47 cm de largo y quiero cortarlo en 6 trozos de la mismalongitud haciendo el mínimo de cortes posibles; ¿cuál será el largo de cada trozo?

6. Un colocador tiene 47 azulejos decorados para formar un zócalo en un pasillo. Si la altura quese desea es de 6 azulejos, ¿cuántas hileras de azulejos podrá poner?

7. En una caja hay 47 dulces. Si se la damos a un grupo de 6 niños, ¿cuántos dulces puede recibircada niño?

8. Queremos repartir, lo más equitativamente posible, 47 figuritas entre 6 niños dándole a cadauno el máximo número posible; ¿cuántas nos quedarán sin distribuir?

9. Queremos repartir, lo más equitativamente posible, 47 bolitas entre 7 niños; ¿cuántas lecorresponden a cada uno? ¿Cuántas quedan sin entregar?

10. Un señor quiere envasar 47 litros de vino en recipientes de 6 litros; ¿cuántos recipientesnecesita?

11. Los 6 hijos del señor García heredan conjuntamente un terreno de 47 hectáreas que decidendividir en lotes con la misma área; ¿cuál será el área de cada lote?

MATEMÁTICA 112

UNIDAD 1


12. Se lanzan 47 granos de maíz a un jaulón donde hay 6 pollos; ¿cuántos granos picará cada unode ellos?

13. Un depósito tiene una capacidad de 47 m3. Si tiene una altura de 6 m, ¿cuánto mide lasuperficie de su base?

14. Si se multiplica un número por 6 se obtiene como producto 47; ¿cuál es ese número?

15. Si en una calculadora tecleamos sucesivamente: ¿qué aparece en el visor?¿Se parece al número que obtuviste en el problema anterior?

16. Por día de trabajo, un operario cobra como bonificación $47. Si trabaja 6 horas al día,¿cuánto aumenta su salario en cada hora?

17. Un micro recoge 47 pasajeros en 6 paradas; ¿cuántos pasajeros ha recogido en cada parada?

b) Respondé las siguientes preguntas en tu carpeta. Poné el número de la actividad y como título“Diferentes problemas”.

1. De los enunciados anteriores, ¿cuáles corresponden a problemas que se pueden resolvermediante la división 47 : 6? ¿Todos tienen la misma respuesta? ¿En cuáles la división 47 : 6 notiene sentido? ¿Por qué?

47 6 Cada elemento de la división tiene un nombre: Dividendo divisor5 7 resto cociente

2. ¿En qué casos la respuesta al problema no coincide con el cociente de la división ni con el resto?¿Por qué ocurre eso?

Consultá con tu maestro para saber si la escuela dispone de calculadoras elementales. Si las hay podrásresolver algunas actividades utilizándolas.

En Matemática los temas están muy relacionados; siempre usás algo que ya sabés para aprender algonuevo. Por ejemplo, para poder hacer operaciones combinadas con fracciones, que es el tema que sigue enesta unidad, necesitás revisar lo que ya sabés de fracciones y las operaciones con ellas. Seguramente yaaprendiste sobre el tema de fracciones más de lo que se presenta en el recuadro que sigue. Aquí vasa encontrar la información que no podés desconocer para seguir adelante. Consultá con tu maestro si esnecesario que realices la siguiente actividad o si podés pasar directamente a la actividad 4. Si tenés que rea-lizarla, recordá que necesitarás el material que te fuera pedido en la página 11.

TEMA 2: OPERACIONES CON FRACCIONES

M 1

4 7 : 6 =

3. Para saber lo que sabés

a) Leé todos los títulos del cuadro siguiente.

• • • Fracciones equivalentes

Las familias de fracciones equivalentes a una dada se construyen multiplicando el numeradory el denominador por un mismo número, por ejemplo:

223 = 426

= 629= 82212

= …

• • • Adición y sustracción

Para sumar o restar fracciones buscamos fracciones equivalentes que tengan el mismodenominador. Por ejemplo

123 + 122

= 226 + 326

= 526 – 124

= 42212– 32212

= 12212

• • • Multiplicación de fracciones

El producto entre dos fracciones es otra fracción: el numerador es el producto de los nume-radores y el denominador es el producto de los denominadores.

223 x 324

= 62212

324 x 225

= 62220= 32210

Cuando se multiplican dos fracciones y se obtiene como resultado 1, ambas fracciones soninversas:

223 x 322

= 626= 1 entonces 223 es la fracción inversa de 322 ;

122 es la fracción inversa de 2.

• • • División de fracciones

Dividir es equivalente a multiplicar por el número inverso:

10 : 2 = 10 x 122 6 : 3 = 6 x 1235 = 5 2 = 2

Dividir por una fracción equivale a multiplicar por la fracción inversa:

MATEMÁTICA 114

23

45

23

54

1012

56

: = x = = 12

37

12

37

76

16

: = x = = 1

UNIDAD 1

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23

15

15

15

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• • • Expresiones decimales de las fracciones

En el texto siguiente, a partir de la escritura de las fracciones se presentan las expresiones

decimales, exactas o periódicas, como formas de escritura equivalentes a las fracciones.

Las fracciones se pueden expresar en forma decimal, basta con dividir el numerador por el

divisor. Por ejemplo: 5 8 122240 = 4,625; este cociente es un número decimal exacto porque después

de varios pasos el resto de la división es 0.

Pero no ocurre siempre así, por ejemplo: 123 = 0,333… se repite el 3 indefinidamente; 7 92211 = 8,818181… se repite el 81 indefinidamente; 3 2226 = 3,8333… se repite el 3 indefini-

damente; 2 5 6 1222 22825 = 2,00242424… se repite el 24 indefinidamente.

En ninguno de estos casos el resto de la división llega a ser 0; en la parte decimal del cocientese repiten una o más cifras, por eso: son números decimales periódicos. Los dos primeros sonperiódicos puros porque toda la parte decimal es periódica. Los otros dos se llaman periódi-cos mixtos porque su parte decimal comienza con cifras que no forman parte del período. Losnúmeros periódicos se escriben dibujando un arco sobre el período. Por ejemplo: 3,8X.

b) Señalá los títulos del cuadro que nombren temas que ya estudiaste.

c) Consultá con tu maestro si es necesario que realices alguna actividad referida a esos temas y también a alguno de los que no marcaste.

d) Según lo que te diga tu maestro:

1. Buscá en la biblioteca libros que contengan temas de Matemática.

2. Leé los índices y fijate si están los temas que necesitás revisar.

3. Preguntale a tu maestro qué tareas realizar de las que encuentres en los libros.

Todo número decimal puede expresarse como número decimal exacto o periódico.

4. Fracciones en un rompecabezas

En esta actividad vas a construir, paso a paso, un rompecabezas cuadrado. Con él podrás ver representa-das diferentes fracciones de una unidad y esto te ayudará a repasar las operaciones con ellas.

• Una longitud equivalente a diez centímetros se llama decímetro. En símbolos: 10 cm = 1 dm. • La superficie de un cuadrado de 1 dm de lado se llama decímetro cuadrado y se escribe 1 dm2.

M 1

MATEMÁTICA 116

a) Dibujá en tu carpeta un cuadrado de 10 cm de lado (1 dm2).

1. Trazá una de sus diagonales.

2. Trazá el segmento paralelo a la diagonal dibujada que tiene por extremos los puntos medios dedos lados consecutivos. Quedó trazado otro triángulo, más pequeño que el anterior; llamalo A.

• Pensá: ¿cuántos triángulos como A se necesitarían para cubrir todo el cuadrado? ¿Cómolo calculaste?

El triángulo A es rectángulo porque tiene un ángulo recto, y es isósceles porque tiene dos lados iguales que se llaman catetos; el tercer lado se llama hipotenusa.

3. Trazá la otra diagonal hasta la hipotenusa del triángulo A. Quedaron formados dos triángulosB y C; cada uno de ellos es la cuarta parte de 1 dm2.

4. Trazá un segmento paralelo al lado del cuadrado y con un extremo en el punto de intersecciónde la hipotenusa de A y la diagonal del cuadrado. Quedó así dibujado un paralelogramo, llamaloD, y un triángulo pequeño; llamalo E.

5. Por el extremo de la hipotenusa de A trazá una paralela a la diagonal de modo que se formeun cuadrado, llamalo F, y otro pequeño triángulo, llamalo G. Fijate que te haya quedado comose muestra en la figura.

El rompecabezas que acabás de construirse llama tangram o tangrama, es de origenchino y se conoció en Europa a principiosdel siglo XIX. Probablemente el nombre detangrama proviene de tang que en idiomacantonés significa “chino”, y la partículagram, que significa “escrito” o “gráfico”. Eltangram está formado por siete piezas: uncuadrado, un paralelogramo, dos triángu-los grandes, uno mediano y dos pequeños.

b) Reproducí el tangram en el cuadrado de papel glacé o de cartulina y cortá las siete piezas.Cada pieza representa una fracción de 1 dm2.

C

E

G

B

FA

D

UNIDAD 1


c) Construí en tu carpeta una tabla como la siguiente y completala con las fracciones que corres-ponden a cada una de las piezas del rompecabezas en relación con el decímetro cuadrado. Ubicála letra que nombra cada fracción sobre el dibujo del rompecabezas.

d) Con las piezas recortadas del rompecabezas, usando sólo algunas de las 7 o todas ellas, se puedenformar diferentes figuras. Te mostramos algunas y te proponemos que inventes otras.

e) Usá las piezas del tangram como moldes, dibujá las figuras creadas, recortalas y pegalas en unpapel afiche para exhibirlo en la pared de tu aula. Debajo de cada figura, escribí el cálculo que tepermite decir qué fracción de decímetro cuadrado se usó para construirla.

Por ejemplo, para construir el pescadito que se ve en el dibujo de arriba, se usó:

124 +124 +

12216 + 12216 + 128 =42216 +

42216 +12216 + 12216 + 22216 =

212216 =324

.

Pieza

Fracción 18

18

A B C D E F G

116

M 1

MATEMÁTICA 118

f) De todas las figuras recortadas, indicá la que tiene menor superficie, la que tiene mayorsuperficie y señalá un par de figuras de diferente forma que tengan la misma superficie.

Guardá las piezas de este rompecabezas juntas en un sobre para seguir armando nuevas figuras en otromomento. Tené en cuenta que con tus compañeros podrán destinar un espacio a guardar este tipo demateriales para conservarlos y tenerlos disponibles en nuevas oportunidades.Si disponés de una calculadora consultá con tu maestro si resolvés ahora actividades que él te proponga oseguís con el tema 3. En él se presentan cálculos que combinan diferentes operaciones con fracciones ynúmeros decimales. Verás que a veces en Matemática, para indicar por escrito el orden en que debenefectuarse las operaciones es necesario el uso de paréntesis.

5. ¿Cómo se indica el orden en las operaciones?

Para escribir cálculos entre varios números, es decir, cálculos combinados, se usan signos que indican el orden en que deben efectuarse las operaciones.

a) Copiá en tu carpeta el siguiente problema y los cálculos que lo acompañan.

Adela prepara naranjas para vender en bolsas de 3 kg cada una. Primero colocó en su carretilla 9 bolsas y luego agregó otras 7; ¿cuánto pesa la carga de la carretilla?

9 + 7 x 3 = 28 3 x 9 + 7 = 34 (9 + 7) x 3 = 48 9 x 3 + 7 x 3 = 48

b) Revisá la escritura de los cálculos, decidí si están bien hechos y si alguno resuelve correcta-mente el problema de Adela. Explicá por escrito tus decisiones.

En cuanto a la jerarquía de las operaciones y el orden en que deben hacerse, habrás obser-vado que si no hay paréntesis, los signos 1 y – separan términos y obligan a resolver dentrode cada término las multiplicaciones y/o divisiones indicadas. Podés notar que, por ejemplo,

(8 + 7) x 5 no es lo mismo que 8 + 7 x 5pues 15 x 5 = 75 no es lo mismo que 8 + 35 = 43

En el primer caso se trata del producto de una suma por un número y en el segundo se tratade la suma de un número y un producto.

Los paréntesis son una señal que se usa en Matemática para permitir la lectura correcta delorden en que deben hacerse las operaciones.

TEMA 3: EL ORDEN AL EFECTUAR LAS OPERACIONES

UNIDAD 1


Si en un cálculo hay paréntesis, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones se resuelven:1. Primero las operaciones entre paréntesis.2. Donde no hay paréntesis, las multiplicaciones y las divisiones.3. Por último, las sumas y las restas.

c) Resolvé las siguientes operaciones en tu carpeta.

1. (13 + 12) x 4,5 = 2. 13 + 12 x 4,5 =3. 60 : 4 + 2 = 4. 60 : (4 1 2) =

5. 3,2 x (20 – 8) = 6. 3,2 x 20 – 8 =

7. 54 : 9 – 6 = 8. 54 : (9 – 6) =

d) Copiá estas expresiones en tu carpeta y colocá paréntesis para que el resultado sea correcto.

3 + 4 x 5 = 35 12 : 6 – 2 = 3 5 – 1 : 5 + 3,2 = 8

Si disponés de una calculadora, consultá con tu maestro qué actividades resolver.

Para finalizarEn esta unidad exploraste situaciones en las que se pueden comparar cantidades sin usar números,

revisaste el significado de la división y descubriste que a veces la solución del problema requiereaumentar una unidad en el cociente entero.

También hiciste cálculos con suma y resta de fracciones de igual y distinto denominador y reflexio-naste sobre la importancia del uso de los paréntesis para destacar el orden en que deben efectuarse lasoperaciones.

Como ya se anticipó en la presentación de este material, al finalizar cada unidad y con el título “Desafíosmatemáticos” encontrarás una selección de enunciados, relatos, juegos, problemas, curiosidades, adivi-nanzas o rompecabezas que pueden estar relacionados con los temas que estudiaste o no. Conversá contu maestro acerca de la conveniencia de resolver todos o algunos, en tu casa o en la escuela. En todos los casosresolvelos en tu carpeta, indicando fecha y título. Esperamos que los disfrutes.

M 1

MATEMÁTICA 120

1. Se busca un número- Es mayor que 9.999 y menor que 11.000.

- Es impar.

- La cifra de las centenas es 5.

- Tiene dos cifras iguales.

- La suma de sus cifras es 15.

Inventá otras búsquedas similares, intercambiá tus hallazgos con otros compañeros.

Pueden escribirlas en tarjetas y guardarlas en un sobre para ir formando una juegoteca.

2. Cuadrados mágicosUn cuadrado mágico es una tabla cuadrada subdividida en cuadraditos en los que se ubican números,

sin repetir, de modo que la suma de cada fila, cada columna y cada diagonal da el mismo resultado.

Por ejemplo: el número mágico de este cuadrado es 15.

- Si sumás 1 a cada número del cuadrado, ¿resultará otro cuadrado mágico? ¿Por qué?

- Si multiplicás todos los números de un cuadrado mágico por un mismo número, ¿se obtiene otro

cuadrado mágico? ¿Por qué?

- Copiá este cuadrado mágico y completá los números que faltan. Podés usar la calculadora.

- Construí otro cuadrado mágico y explicá cómo lo hiciste.

- Inventá otros cuadrados mágicos con espacios para completar. Tené en cuenta qué datos necesitaste

para poder resolver el cuadrado anterior. Construí los cuadrados inventados en cartulina o cartón,

y podrás incorporarlos a la juegoteca del aula para que los resuelvan otros compañeros.

2 9 4

7 5 3

6 1 8

4 16 9

14 11 7

8 13 12

15 10 3 6

UNIDAD 1

3. Un juego con puntajePueden participar dos o más jugadores. Se necesita un dado y lápiz y papel para hacer cálculos y anotar

los puntajes.

Instrucciones para jugar:

• Cada jugador, a su turno, arroja un dado y anota el número que salió.

Se repite hasta que cada jugador haya anotado 4 números.

• Utilizando sólo esos números, cada uno escribe los cálculos posibles y elige

el cálculo que le dé un resultado mayor; lo escribe en su papel.

Se puede usar calculadora.

Por ejemplo: Tomás sacó , , y ;

escribió en su papel: 6 x (1+1) = 12

63 = 216 36 = 729 36(1+1) = 1.296

Tomás eligió el último cálculo.

Martina sacó , , y ;

escribió en su papel: (2 x 5) + (2 x 4) = 18

2 x 2 x 4 x 5 = 80

22 x 45 = 4 x 1.024 = 4.096

42 x 52 = 16 x 25 = 400

(42 x 5)2 = 802 = 6.400

a) ¿Qué cálculo habrá elegido Martina?

• Por cada cálculo correcto se asigna 1 punto. Y el participante que encontró el mayor resultado

tiene 1 punto extra.

• Por último, se revisan los cálculos de todos y se anotan los puntajes. Al cabo de cinco partidas,

gana el que haya obtenido más puntos.


M 1

MATEMÁTICA 122

4. Una caja de fósforos¿Cuántos fósforos se necesitan para construir 14 cuadrados en línea de modo que el lado de cada

cuadrado sea un fósforo, como en la sucesión del dibujo?

¿Encontraste algún procedimiento que te permita calcular cuántos fósforos necesitás para cualquier

sucesión de cuadrados? ¿Para cuántos cuadrados en línea te alcanzarán los fósforos de una caja?

5. Un anciano bromistaUn anciano avisó a sus hijos que encontrarían la clave de su caja fuerte en uno de los tres sobres

de distinto color que dejó sobre una mesa. Les dijo que uno solo de los mensajes era verdadero. En

el sobre blanco escribió: “La clave está en este sobre”; en el sobre celeste escribió: “La clave no

está aquí” y en el sobre amarillo: “La clave no está en el sobre blanco”. ¿En cuál de los sobres

estaba la clave?

UNIDAD 1

Muchas veces habrás escuchado decir que el precio de la fruta depende de la producción en cadatemporada, que la cantidad de baldosas para hacer un piso depende de la superficie a cubrir o que la creciente del río depende de la lluvia caída. Todas estas expresiones están relacionadas con laMatemática y a través de las actividades que te invitamos a realizar podrás descubrir por qué. Para elloaplicarás al conocimiento de razones y proporciones, temas de la unidad 1 en los que trabajaste confracciones y en particular aquellos en los que analizaste familias de fracciones equivalentes. También enesta unidad vas a tener oportunidad de analizar un tipo particular de relaciones: las que se refieren asituaciones de proporcionalidad directa. Aprenderás a representar los datos en tablas y a construir gráficosque te servirán para interpretar esas relaciones.

Las actividades 1 y 2 constituyen el tema 1. A través de ellas vas a encontrar distintos ejemplos de relacionesnuméricas, vas a reflexionar sobre las operaciones que intervienen en ellas y vas a enterarte de por qué aeste tipo de relaciones se las denomina de correspondencia. Consultá con tu maestro cuánto tiempo destinara resolver estas actividades. Es posible que puedas hacerlo en no más de una semana. Resolvé las actividadesque siguen en tu carpeta. No olvides escribir la fecha y el título.

En muchos aspectos de la vida cotidiana se observan situaciones en las que a objetos o personas se lesatribuye un determinado número. Por ejemplo, a cada artículo que se vende en el almacén le correspondeun número que es su precio. También a cada persona le corresponde un número en su DocumentoNacional de Identidad. En los dos ejemplos anteriores hay una correspondencia entre elementos de lavida real y los números. Así también en situaciones en las que sólo intervienen números, se pueden establecerrelaciones de correspondencia. Te presentamos a continuación algunas de esas relaciones.

1. Correspondencias

a) Respondé las preguntas de estas situaciones. Hacé todos los cálculos que necesites.

1. De una pieza de tela de 35 m corto una parte para usarla y guardo el resto. El número demetros que guardo depende del número de metros que corto.

• Si corto 10 metros: ¿cuántos me quedan? • ¿Y si corto 15 metros? • ¿Y si corto 21 m?


TEMA 1: CORRESPONDENCIAS NUMÉRICAS

UNIDAD 2 Proporcionalidad

MATEMÁTICA 124

2. Una empresa se dedica al alquiler de mesas y sillas para la organización de fiestas y reuniones.Ofrecen mesas redondas alrededor de las cuales se pueden sentar 5 personas. El número de mesas depende de la cantidad de personas que asistirán.

• Si las personas son 30, ¿cuántas mesas se necesitarán? • ¿Y si son 45? • ¿Y si son 60?

3. La distancia que debe existir entre las filas de una plantación de ajos es 50 cm. El número defilas depende de las cabezas de ajo que se quieran plantar.

• ¿Cuántas filas será necesario formar si en cada una entran 25 cabezas de ajo y queremosplantar 200 cabezas?

4. Para plantar 60 frutales en un monte en filas de igual número de árboles, el número de filasdepende del número de árboles en cada fila y, recíprocamente, el número de árboles de cadafila depende del número de filas.

• Si se plantan filas de 15 árboles, ¿cuántas filas resultan? • Si se hacen 15 filas, ¿cuántos árboles tendrá cada una?

Con los resultados de la situación 4 del punto anterior se puede organizar una tabla comola siguiente, en la que los datos se muestran en correspondencia.

Las tablas son una posibilidad de mostrar en cada situación qué número de la segundacolumna corresponde a cada número de la primera.

b) Organizá una tabla como la anterior para cada una de las situaciones que resolviste en a) ycompletála con los valores que encontraste.

Las tablas que hiciste en el punto b) muestran que dos cantidades varían de tal manera que los valores de una dependen de los valores de la otra. Entonces se puede decir que entre los valores de las dos cantidades hay una correspondencia.

Tabla de una plantación de 60 árboles

Número de filas

4

15

Número de árboles en cada fila

15

4

UNIDAD 2


c) Leé el siguiente enunciado, resolvelo y luego respondé las preguntas en tu carpeta.

Para pintar las 4 aulas de una escuela hacen falta 20 litros de pintura. ¿Cuánta pintura habráque comprar si se quiere pintar las paredes de 9 aulas iguales?

1. Explicá cómo hallaste el resultado.

2. Copiá la siguiente tabla y completála con los litros de pintura que corresponde comprar paracada número de aulas.

En la actividad 1, analizaste situaciones en las que ciertas cantidades dependen de otras. Para resolver losproblemas planteados necesitaste aplicar operaciones aritméticas: adición, multiplicación y división. Tambiénconstruiste tablas para analizar las relaciones entre las cantidades en las situaciones de correspondencia.

Para las actividades 3 y 4 vas a necesitar: • papeles de cualquier tipo, • una tijera,• lápiz, • escuadra.Andá buscando los materiales.

2. Tablas y gráficos

• • • La variación de la temperatura en una localidad a lo largo de los días

Las situaciones que se plantearon en la actividad anterior no son las únicas de correspondencia.Ahora vas a considerar otras que también pueden analizarse por medio de tablas y gráficos. Enesta oportunidad vas a encontrar cantidades que se corresponden aunque no se trate de datos quese puedan obtener a través de cálculos con operaciones aritméticas.

Las temperaturas máximas que se registraron día por día en la ciudad de San Carlos deBariloche durante la primera semana de abril fueron 8, 14, 13, 12, 15, 9 y 10 grados centí-grados (°C). Las mínimas en esos días fueron 5, 3, 0, 8, 2, 5 y 3. Para organizar esos datostambién puede construirse una tabla como la que sigue.

UNIDAD 2 M 1

Litros de pintura

20

Número de aulas

4

1

9

3

2

6

MATEMÁTICA 126

Si bien a cada día le corresponde un valor para la temperatura máxima y otro para la míni-ma, la diferencia entre las temperaturas de dos días distintos no tiene relación con la fecha.Este es un caso en el que los datos resultan de registros de observaciones y no pueden obte-nerse como resultado de cálculos entre los diferentes días.

Como ves:• En una tabla como la anterior quedan establecidas dos correspondencias: una, entre la

fecha y los grados de temperatura máxima; y otra, entre la fecha y los grados de temperaturamínima.

• En la columna de la izquierda se escriben los días, en la columna de la derecha se escribenlas temperaturas.

• En cada correspondencia, los valores que quedan escritos en un mismo renglón de la tablase llaman correspondientes.

Los datos también pueden organizarseen un gráfico.

En este gráfico, en el eje horizontal semarcan los días y en el eje vertical, las tem-peraturas en grados centígrados. De estemodo, el punto donde coinciden la verticalque pasa por 1 (que expresa el día) y lahorizontal que pasa por 8 ºC representa elpar de números que son correspondientesen la tabla de temperaturas máximas (1; 8).Del mismo modo se determinan los demáspuntos del gráfico.

UNIDAD 2

Temperaturas de San Carlos de BarilochePrimera semana de abril

DÍA

1

2

3

4

5

6

7

GRADOS CENTÍGRADOS

8

14

13

12

15

9

10

DÍA

1

2

3

4

5

6

7

GRADOS CENTÍGRADOS

5

3

0

8

2

5

3

Máximas Mínimas


a) Escribí en tu carpeta como título: “Actividad 2: Tablas y gráficos”. Realizá un gráfico como elanterior y agregale con otro color la representación de los puntos de temperaturas mínimas.

b) A continuación te damos los registros de las temperaturas máximas y mínimas en otras ciudadesde nuestro país durante la misma semana. Esta vez no hemos escrito los días en las tablas.

1. Elegí dos de las ciudades mencionadas en el cuadro.

2. Construí para cada una, la tabla de temperaturas máximas y la tabla de temperaturas mínimas.Numerá los días de 1 a 7.

3. Construí los gráficos correspondientes a las temperaturas mínimas con un color y en el mismográfico marcá, con otro color, los puntos que representan las temperaturas máximas. Podéshacerlo en hojas cuadriculadas. Al realizar los gráficos, tené en cuenta que en cada eje es necesario determinar una distancia que se mantenga constante entre cada uno de los puntosque señales.

c) Observá las tablas y los gráficos y respondé:

1. ¿Cuántas temperaturas corresponden a cada día?

2. ¿En cuál de esas ciudades se registró la mayor diferencia de temperatura entre la máxima y lamínima de un mismo día? ¿Dónde se observan mejor esas diferencias, en las tablas o en los gráficos?

En las tablas, la diferencia entre la temperatura máxima y la mínima varía según los días:los valores dependen de los días.

d) Para esta actividad vas a tomar de la tabla anterior sólo los datos de Córdoba. Construí otratabla que muestre, para cada día, la diferencia entre la temperatura máxima y la temperatura mínima.Por ejemplo, para el día 1, la diferencia es 2 grados centígrados.

M 1

Mín.

16

11

16

16

19

19

20

Máx.

15

23

24

29

20

20

26

Mín.

13

7

14

16

14

14

19

Máx.

11

10

13

7

8

7

8

Mín.

0

3

6

–2

4

3

1

Máx.

27

26

24

23

27

17

29

Mín.

17

15

16

16

19

15

19

Máx.

18

22

23

29

18

24

32

Mín.

12

7

17

16

10

11

14

Máx.

20

21

25

26

26

26

29

Buenos Aires Córdoba Ushuaia Jujuy Bahía Blanca

MATEMÁTICA 128

e) Representá en un gráfico estas diferencias de temperatura marcando los días en el eje horizontaly las diferencias de temperatura en el vertical.

1. ¿Hay diferencias de temperatura que sean iguales?

f) En las actividades anteriores trabajaste con tablas construidas con registros de temperaturas ytablas construidas con resultados de cálculos. Volvé a mirar los dos tipos de tablas y fijate en lasrelaciones entre los datos en cada una de ellas. ¿Encontrás alguna diferencia?

Si una correspondencia se obtiene aplicando operaciones aritméticas, el resultado de lasegunda columna es único para cada valor de la variable en la primera columna.

En cambio, cuando los datos no se calculan a través de esas operaciones, las tablas y los grá-ficos pueden servir para asignar a cada número de la primera columna uno o más valores enla segunda columna.

g) Pensá nuevos ejemplos donde puedas trabajar con tablas construidas con registros y otrosdonde las tablas se construyan con resultados de cálculos.

Hasta ahora viste relaciones de correspondencia y las formas gráficas de representarlas. En las actividadesdel tema 2, vas a explorar un tipo especial de relaciones numéricas de correspondencia, las de proporcio-nalidad directa, y vas a conocer sus características y propiedades. Trabajarás con rectángulos que tienenalgo en común y por eso forman una familia de rectángulos. Usarás tablas y gráficos para observar cómovaría la correspondencia entre las medidas del ancho y del alto de los rectángulos y aprenderás a caracte-rizar correspondencias de proporcionalidad.Consultá con tu maestro qué actividades del tema 2 vas a resolver en la escuela y cuáles en tu casa.También decidan en cuánto tiempo resolver las actividades 3 y 4.

3. Una familia de rectángulos

a) En la tabla siguiente te damos las medidas del alto y del ancho de diez rectángulos.

1. Dibujá rectángulos con esas medidas y recortalos. Cuando los hayas recortado dibujales unadiagonal y ordená los rectángulos de mayor a menor.

TEMA 2: LA PROPORCIONALIDAD DIRECTA

R1

2

3

R2

3

4,5

R3

4

6

R4

5

7,5

R5

6

9

R6

7

10,5

R7

8

12

R8

9

13,5

R9

10

15

R10

11

16,5

Rectángulo

Alto en cm

Ancho en cm

UNIDAD 2


b) Trabajá en tu carpeta. Poné como título: “Actividad 3: Una familia de rectángulos”.

1. Pegá el rectángulo más grande y luego pegale encima los demás en orden, de manera que coincidansus vértices inferiores y las diagonales como te muestra el dibujo. Seguramente observaste que losvértices de las diagonales quedaron alineados.

c) Escribí en tu carpeta las respuestas a las preguntas que siguen y anotá tus cálculos. A medidaque vayas avanzando verás que cada respuesta te sirve para seguir adelante. Si necesitás ayudaconversá con tu maestro.

1. Volvé a mirar los datos de la tabla con mucha atención. Elegí el ancho de un rectángulo y dividilopor la medida de su correspondiente alto para calcular el cociente. ¿Qué número se obtiene?

2. Hacé lo mismo con el ancho y el alto de otro rectángulo de la tabla. ¿Cómo son los cocientesque calculaste? ¿Ocurre lo mismo en todos los casos?

3. Recortá otro rectángulo que también pertenezca a esta familia y tenga 11,25 cm de ancho.Explicá cómo calculás el alto.

d) Leé la siguiente situación y respondé las preguntas que siguen.

Mario y Paula tenían que construir un rectángulo de la misma familia. Se les pidió que explicarancómo lo podían hacer y esto es lo que respondieron:

M 1

MATEMÁTICA 130

1. ¿Con quién estás de acuerdo? ¿Por qué?

2. Compará tus respuestas con las de tus compañeros y comenten similitudes y diferencias.Consulten las conclusiones con tu maestro.

e) Imaginá que una persona necesita aprender un procedimiento para construir otros rectángulosde la misma familia.

1. Escribí en una hoja un mensaje con instrucciones para indicarle cómo proceder.

2. Dale el mensaje a un compañero para probar si puede hacerlo. También mostráselo a tu maestro.

Podés observar nuevamente la familia de rectángulos que pegaste en tu carpeta y ver que losanchos están alineados en una dirección, los altos están alineados en la dirección perpendiculary los vértices correspondientes a las diagonales quedan alineados sobre una recta oblicua. Aldividir el ancho y el alto de cualquier rectángulo de la misma familia habrás encontrado queel cociente es el mismo número. El cociente entre el ancho y el alto de cualquier rectángulo deuna misma familia es constante. Se llama constante de proporcionalidad y representa estacorrespondencia.

4. Otra familia de rectángulos

a) Dibujá en cualquier papel una familia de ocho rectángulos que tengan las medidas que se indi-can en la siguiente tabla y recortalos. Escribí en tu carpeta como título: “Actividad 4: Otra familiade rectángulos” y realizá lo que está indicado en cada punto.

1. Ordená los rectángulos de mayor a menor.

2. Pegá el rectángulo más grande y luego pegá los demás sobre él en orden, de manera quecoincidan sus vértices inferiores como hiciste en la actividad anterior.

b) Observá los números de la tabla. Copiá en tu carpeta las tres fórmulas que siguen y recuadrála que corresponde a todos los rectángulos de esta familia.

Alto = ancho + 3 Ancho = alto + 3 Ancho = alto – 3

R1

2

5

R2

3

6

R3

4

7

R4

5

8

R5

6

9

R6

7

10

R7

8

11

R8

9

12

Rectángulo

Alto en cm

Ancho en cm

UNIDAD 2

c) Compará el rectángulo R1 con el último (R8) y resolvé las consignas que siguen en tu carpeta.

1. Los rectángulos R1 y R8, ¿tienen la misma forma?

2. Dividí el ancho por el alto de estos rectángulos elegidos. ¿Se obtiene el mismo número?

3. Elegí otro par de rectángulos. Compará los cocientes entre el largo y el ancho. ¿Ocurre lomismo con el ancho y el alto de cualquier par de rectángulos de esta familia?

d) Observá la familia de rectángulos de la actividad 3 y la familia de rectángulos de esta actividad.Contestá en la carpeta: ¿se puede decir para alguna de las dos que todos los rectángulos quepertenecen a la misma familia tienen la misma forma? ¿Por qué?

Seguramente observaste que los rectángulos de la actividad 3 tienen igual forma pero dis-tinto tamaño. En cambio, en la familia de rectángulos de la actividad 4 se ve que el primeroes mucho más alargado que el último, que se parece a un cuadrado.

Conversá con tu maestro sobre cómo te vas a organizar para resolver las actividades siguientes.

5. La familia de los cuadrados

En esta actividad vas a trabajar con una familia de rectángulos muy particular: la familia de los cuadrados.Vas a estudiar la relación que vincula el lado del cuadrado con su perímetro.

El perímetro de una figura es la medida de su contorno.

a) Copiá la tabla en tu carpeta y completala.

En la primera fila se encuentran las medidas de los lados de los cuadrados que en general llamamos x. En lasegunda fila, con la letra y, están los perímetros de los cuadrados C1 y C2.


C1

1

4

C2

2

8

C3

3

C4

4

C5

5

C6

6

C7

7

C8

8

C9

9

C10

10Medida del lado en cm (x)

Perímetro en cm (y)

M 1

b) Copiá también las siguientes fórmulas y recuadrá la que corresponde a esta tabla.

x + 4 = y y . x = 4 y = 4 . x

En esta actividad hemos usado la letra x para identificar la medida del lado del cuadrado y la letra y parael perímetro.

De ahora en adelante usaremos siempre la letra x para nombrar la cantidad variable cuyos datos se conocen y que denominamos variable independiente, y la letra y para la variable cuyo valor esdependiente de x.

c) Copiá sobre papel cuadriculado un par de ejes como los de este gráfico donde las medidas delos lados de los cuadrados (x) se representan en el eje horizontal y los perímetros (y) en el ejevertical. Marcá en el gráfico los puntos que indican los pares (lado; perímetro) correspondientes.Los puntos marcados, ¿están alineados?

d) Observá nuevamente la tabla anterior y dividí el perímetro de cada cuadrado por la medida desu lado. ¿Cómo son los resultados obtenidos? Compará tus resultados con los de tus compañeros.¿Qué conclusiones podés sacar?

Habrás observado que al dividir el perímetro de cualquier cuadrado por la medida de sulado, el resultado siempre es 4 y en el gráfico los puntos indicados por pares correspondientesestán alineados sobre una recta a la que también pertenece la intersección de los ejes.

Hasta ahora usaste tablas y gráficos para analizar correspondencias en familias de rectángulos.En algunos casos identificaste la fórmula correspondiente.

Estableciste un tipo de correspondencia en el que el cociente es constante para cualquierpar de la tabla, como en el caso de la primera familia de rectángulos y en la relación entreel lado y el perímetro del cuadrado, y también pudiste observar que hay otras correspon-dencias en las que eso no sucede.

MATEMÁTICA 132

UNIDAD 2


• Si en una tabla, al dividir cada valor de y por su correspondiente x se obtiene siempre el mismo número, llamado constante de proporcionalidad, diremos que la tabla representa una correspondenciadirectamente proporcional. • Si en el gráfico, todos los puntos pertenecen a una misma recta que pasa por la intersección de losejes, diremos que el gráfico representa una correspondencia directamente proporcional.

Para realizar la actividad 7 tenés que ir consiguiendo entre 6 y 10 hojas de distinto tamaño de una mismaplanta del lugar en que vivís y una hoja de papel milimetrado o cuadriculado. Recordá preparar este materialantes de comenzar con esa actividad.

6. Multiplicaciones y proporciones

En la siguiente actividad vas a explorar las tablas de multi-plicar. Imaginá esta situación: Martín observa a su hermano quecompleta tablas de multiplicación y se pregunta: ¿estará usandotablas de proporcionalidad? Veamos cómo puede contestarMartín a su pregunta.

a) Trabajá en tu carpeta, copiá las tablas de multiplicar por 7 y por 12 y completalas.

b) Respondé las siguientes preguntas.

1. En cada tabla, ¿qué ocurre con los números de la segunda columna cuando aumentan los dela primera?

2. En la tabla del 7, si sumás 4 y 5 de la primera columna, da 9; ¿le corresponde el resultado de28 + 35 en la otra? En cualquier tabla de multiplicar ¿sucede lo mismo con todas las sumas?Comprobalo.

3. En todas las tablas, a 8, ¿le corresponde el doble que a 4? Y a 9, ¿le corresponde el triple que a 3?

4. Elegí una tabla de multiplicar. Dividí cualquier número de la segunda columna por el que lecorresponde en la primera y probá con otros números de la misma tabla. ¿Se obtiene siempre el mismo número?

5. De acuerdo con lo que observaste acerca de las tablas, ¿cuál pensás que será la respuesta deMartín? Escribila en tu carpeta y explicá por qué.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

7

14

21

x 7

1

2

3

4

5

6

7

8

9

12

24

36

x 12

M 1

MATEMÁTICA 134

c) Vas a seguir explorando correspondencias de proporcionalidad directa. Recordá que unafracción indica el cociente entre dos números enteros. Escribí en tu carpeta las respuestas alas actividades siguientes.

1. Elegí dos números de la primera columna de cualquier tabla de multiplicar y escribí en

forma de fracción el cociente entre esos dos números. Formá otra fracción con los números

correspondientes de la segunda columna de la tabla, en el mismo orden. Por ejemplo, si traba-

jaste con la tabla del 7: 528 y 5 32256 . Las dos fracciones que formaste con los números que elegiste,

¿son equivalentes? ¿Por qué?

Dos fracciones son equivalentes si indican el mismo cociente.

2. Hacé lo mismo con otro par de números de una columna y sus correspondientes en la otra.Las fracciones que obtuviste, ¿son equivalentes? Explicá por qué.

d) ¿Sucede lo mismo en todas las tablas de multiplicar, con cualquier par de números y suscorrespondientes? Probá con los números de la tabla del 12. Compará tus respuestas con lasde otros compañeros y comenten similitudes y diferencias. Después muestren sus conclusio-nes al maestro.

En las actividades anteriores trabajaste con formas geométricas y con tablas de multiplicar. A continuaciónanalizarás ejemplos de situaciones que podés encontrar en la naturaleza. Vas a estudiar las correspondenciaslargo-ancho de las hojas de una misma planta. Tendrás que trabajar con el material que se te solicitara paraesta actividad. Consultá con tu maestro si vas a trabajar solo o con algún compañero.

7. La proporcionalidad en la naturaleza

a) Ordená las hojas de la planta que elegiste de menor a mayor. Pégalas o dibujá el contorno sobrela hoja de papel milimetrado. Tratá de no superponerlas para poder trabajar sobre el dibujo.

b) Medí, con la mayor precisión posible, el ancho máximo de cada hoja y la respectiva altura.Registrá esos datos en tu carpeta, en una tabla como esta. Recordá que tenés que escribir elnúmero de actividad y un título adecuado.

Altura x (cm)

Ancho y (cm)

UNIDAD 2

c) Usá una hoja cuadriculada para representar, en un gráfico de ejes perpendiculares, los datos de la tabla y respondé las consignas.

Si necesitás consultar el tema de los gráficos y las tablas, recurrí a la actividad 2 de esta unidad.

1. Los puntos del gráfico, ¿están aproximadamente alineados?

2. Para cada una de las hojas que mediste, dividí la altura por el ancho. El cociente, ¿es aproxima-damente el mismo para todas las hojas?

Al hacer las preguntas anteriores se usó la palabra “aproximadamente” porque se trata demediciones experimentales que nunca pueden ser exactas porque están influidas por la precisióndel instrumento que se use para medir y la habilidad de quien hace las mediciones.

8. Analizando correspondencias

Antes de empezar, si te parece necesario revisá en las actividades anteriores cuáles son las características quediferencian las correspondencias de proporcionalidad directa y qué se puede hacer para reconocerlas.

Como actividad de cierre de esta unidad, te proponemos que analices oralmente con tus compa-ñeros y tu maestro las siguientes correspondencias e identifiques las que son de proporcionalidaddirecta y las que no lo son.

• El peso y el precio (a mayor peso, mayor precio).

• El número de metros que restan de una soga de 25 m cuando se la corta según cierta longitud (a corte más largo, menor resto).

• El tiempo de trabajo y el sueldo de un trabajador (a mayor tiempo, mayor sueldo).

• El espacio con la velocidad (recorremos mayor distancia si vamos a mayor velocidad).

• El espacio con el tiempo (recorremos mayor distancia en mayor tiempo).

• El largo y el ancho de rectángulos semejantes (el cociente ancho-largo es constante).


Corto (m)

Restan (m)

10

15

15

10

17

8

20

5

M 1

Para finalizarA medida que fuiste realizando las actividades habrás aprendido que existen relaciones de correspondencia

y que todas pueden ser representadas en tablas y gráficos. Entre ellas, estudiaste las correspondenciasde proporcionalidad directa, a través del caso de los rectángulos o de las tablas de multiplicar. En esasactividades se explicó cómo identificarlas, interpretando las tablas y gráficos que las representan.

Estas relaciones ocupan un lugar importante en el desarrollo de la Matemática. En las unidades siguientesverás que se encuentran en otros temas. Para centrar la atención en algunos aspectos muy importantes tepresentamos este cuadro síntesis. Leelo con atención, analizalo y comentalo con tus compañeros y tumaestro. Si encontraras partes que no entendés, consultalas y comentalas con ellos.

Es posible que en próximas unidades necesites recurrir a este cuadro para recuperar las características queen él se sintetizan. Podés organizar con el maestro y tus compañeros cómo hacer para tenerlo disponible enotras ocasiones.

MATEMÁTICA 136

al dividir, en la tabla, cada valor de ypor su correspondiente valor de x, seobtiene siempre el mismo número

todos los puntos del gráfico pertenecen a una misma recta que pasa por la intersección de los ejes,

al doble, triple, cuádruple, etc., de cualquier valor de x le corresponde el doble, triple, cuádruple, etc., de su correspondiente valor de y

a la suma (diferencia) entre dos valoresde x le corresponde la suma (diferencia)de los valores correspondientes de y

dos valores cualesquiera de xy sus correspondientes valores de y,constituyen una proporción

entonces

es una correspondenciadirectamenteproporcional

Si

Frente a una correspondencia entre los valores de la variable xy los valores de otra variable y.

i

Si i

Si i Sii

Si i

Si i

i

i

entoncesi

i

entoncesi

i

entoncesi

i

entoncesi

i

UNIDAD 2

1. Etiquetas rectangulares

Aquí se presentan las formas y medidas de las etiquetas adhesivas más usuales.

a) Dividí el ancho por el alto para calcular la relación en cada caso. Esa relación te permitirá distinguir

cuántas formas diferentes hay.

b) Completá la tercera columna de la tabla.

c) Analizá qué parejas de etiquetas se pueden unir por un lado para obtener otra etiqueta.

d) Recortá rectángulos con las medidas de las etiquetas cuyas razones sean iguales y colocalas una

sobre otra de modo que coincidan uno de sus vértices y un par de lados consecutivos. Trazá la diagonal

que pase por ese vértice y observá qué sucede con ellas.

2. Números capicúasLos números capicúas son los que se leen igual de izquierda a derecha y de derecha a izquierda.

Por ejemplo, 151 es un número capicúa.

Antes del siglo IX en la India ya conocían la escritura posicional de los números. Esta escritura permite

escribir números capicúas, cosa que no sucede con otros sistemas numéricos, como el de los romanos.

Observá este número: 12.345.654.321. Este podría ser el primer número capicúa del cual se ha

encontrado documento. En una de las obras del matemático indio Mahaviracharya, escrita hacia

850 d.C., aparece este número como resultado de unos cálculos con el nombre de “el número que

comienza por 1, aumenta hasta 6 para luego disminuir ordenadamente”.


A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Etiqueta Relación

8

12

15

18

22

24

33

40

31

50

12

18

22

27

32

38

47

60

85

100

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Medidas (mm)

M 1

MATEMÁTICA 138

Se pueden formar números capicúas a partir de uno dado, sumando a un número el que resulta

de invertir sus cifras. Si no te resultara en la primera prueba, al resultado sumale su forma inversa.

Este es un ejemplo:

Probá con otros números y proponé a tus compañeros escribir la cantidad que decidas de números

capicúas, ordenados de forma creciente. Vean al final cuántos les quedaron.

3. Palabras y frasesAsí como hay números que se pueden leer igual de izquierda a derecha como de derecha a izquierda

también hay palabras y frases que se pueden leer en los dos sentidos Son los palíndromos.

Los primeros palíndromos se atribuyen al poeta griego Sótades (siglo III a.C.) y muchos escritores

los han usado en algunas de sus obras, como Julio Cortázar, gran escritor argentino del siglo XX,

quien comienza su cuento “Lejana” con el siguiente palíndromo:

Las siguientes palabras son palíndromos: reconocer, rodador, ananá. Neuquén, abatataba.

Comprobá si también son palíndromos las siguientes frases:

Busquen más palabras y frases que sean palíndromos, y chequeen que cumplan verdaderamente con las

características de un palíndromo.

152 251 403

No es capicúa

403 304 707

¡Este sí!

+

+

UNIDAD 2


En la unidad anterior analizaste relaciones de correspondencia y en particular aprendiste a reconocerrelaciones de proporcionalidad directa. Su característica es el crecimiento según una constante deproporcionalidad. En esta oportunidad vas a profundizar en el estudio de otras situaciones crecientes obien decrecientes que no siempre son proporcionales. Mediante el uso de tablas y gráficos vas a distinguirotro tipo particular de correspondencias: las relaciones de proporcionalidad inversa. A través de las seisactividades que te ofrece esta unidad, vas a poder explorar distintas situaciones en las que se dan rela-ciones de decrecimiento inverso y proporcional, analizarás sus características y también aprenderás arepresentar gráficamente este tipo de relaciones. Como siempre, al final la unidad vas a encontraralgunos desafíos matemáticos para que resuelvas cuando decidas.

No dejes de consultar con tu maestro cómo organizar la tarea en esta unidad y cuánto tiempo podésdedicarle a cada actividad. Tampoco te olvides de ordenar los trabajos en la carpeta, escribiendo siempreel número y nombre de la actividad.

1. “Alambrar y sembrar”

Para profundizar en el estudio sobre las situaciones de proporcionalidad, vas a empezar considerando lacomparación entre perímetro y área de una figura. En esta primera actividad podrás explorar si dos parcelasrodeadas por la misma cantidad de alambre tienen necesariamente la misma superficie disponible para sembrar.

Para responder al problema del punto d) hace falta que tengas preparado: un piolín que no sea elástico,papel cuadriculado y 25 cuadrados de papel de 1 dm2. Podés utilizar cualquier papel. Recordá tener listoeste material antes de comenzar con esa actividad.

a) Teniendo en cuenta que en los alrededores del lugar donde vivís tal vez hay terrenos sembradosy que al mirarlos habrás notado que en general los terrenos no tienen todos la misma forma niel mismo tamaño, dibujá alguna huerta que hayas visto y registrá todo lo que observaste: ¿cuántomide aproximadamente?, ¿tiene alambre alrededor? Si no pudiste observar una huerta real, pensácómo se podría hacer una huerta en el terreno de la escuela y dibujá el plano en tu carpeta.

TEMA 1: SITUACIONES DE CORRESPONDENCIA

UNIDAD 3 Proporcionalidad inversa

b) Pensá en la siguiente situación y luego respondé en tu carpeta las preguntas que siguen.

Una escuela tiene dos espacios disponibles para construir una huerta. Un vecino donó un rollode alambre y la directora lo hizo cortar en dos partes iguales para que los alumnos, organizadosen dos grupos, trazaran sus propias huertas y usaran todo el alambre que recibieron para rodearla.

1. ¿Te parece que las dos huertas van a quedar iguales?

2. Explicá si usar la misma cantidad de alambre para rodearlas asegura que las huertas sean del

mismo tamaño.

3. Comentá lo que pienses con el maestro o con otros compañeros.

c) Para estudiar la relación entre el contorno de un terreno y su superficie, te proponemoscomenzar por este problema:

• Los rectángulos de igual perímetro, ¿tienen la misma área?

• La medida de una cantidad es el número que indica las veces que entra la unidad en la cantidad a medir. Por ejemplo, cuando decimos que una chacra tiene 5 hectáreas significa que la medida es elnúmero 5 y se ha tomado como unidad la hectárea.• El perímetro de una figura es la medida de su contorno y todo contorno encierra una superficie.• Cuando se ha elegido una unidad de superficie adecuada, la medida de la superficie de una figura es un número que se llama área. Por ejemplo, el área de la chacra es 5.• El área de un rectángulo se obtiene multiplicando el largo por el ancho.

d) Buscá el piolín y anudalo para observar cómo varían las superficies de los rectángulos que tienenel mismo perímetro.

e) Seguí investigando el mismo problema.

1. Usá los cuadrados de papel de 1 dm de lado que preparaste para armar rectángulos en los quela suma del alto y el ancho sea siempre de 10 dm. Dibujá en papel cuadriculado los rectángulosque se pueden obtener así.

MATEMÁTICA 140

Con los dedos índice y pulgar de ambas manos, tal como muestran las imágenes, se puede generar una familia de rectángulosque tiene el mismo perímetro. Probá esta experiencia y luego pensá si todos los rectángulos que armaste tienen la misma área.

UNIDAD 3

xancho

9

8

yalto

1

2

La suma del alto y el ancho de un rectángulo es la mitad del perímetro y se llama semiperímetro.

2. En tu carpeta, armá y completá el siguiente cuadro. Te damos dos ejemplos, agregale los otros.

3. Copiá y completá en tu carpeta esta tabla de correspondencia extrayendo los datos del cuadroanterior.


A

B

A: El ancho es de 9 cmy el alto mide 1 cm.B: El ancho es de 8 cm y el alto,2 cm.

Rectángulo

A

B

Semiperímetro

10

10

10

10

10

10

10

10

Ancho dmx

9

8

Alto dmy

1

2

Área dm2

9

16

M 1

4. Mostrá la relación entre el alto y el ancho de los rectángulos de la tabla anterior marcando lospuntos que faltan en un gráfico como este:

5. De las tres fórmulas que siguen, elegí la que representa esta correspondencia y escribila debajodel gráfico.

x + y = 20 y = 10 + x y = 10 – x

6. Observá la tabla y el gráfico, escribí las respuestas en tu carpeta:

• ¿Cuál es el alto y el ancho del rectángulo de mayor área?• ¿Existe un rectángulo de la familia cuyo ancho sea 11? ¿ Y 10? ¿Por qué?• La correspondencia que analizaste, ¿es de proporcionalidad directa? ¿Por qué? Si necesitás

recordar las características de la proporcionalidad directa, revisá el tema 2 y la síntesis de la unidad 2.

f) Ahora revisá la primera respuesta que diste al problema del punto c) y si es necesario escribí la respuesta correcta teniendo en cuenta lo que aprendiste en el punto d) de la actividad.

En la siguiente actividad vas a profundizar tus conocimientos sobre las relaciones de proporcionalidad, explo-rando los elementos que las caracterizan. Conocerlos te va a ser muy útil para aprender a identificarlas,comprenderlas mejor y realizar muchos cálculos necesarios en la vida cotidiana.

Para realizar la actividad 3 vas a necesitar hojas de papel cuadriculado. Andá buscando los materiales y recordá tenerlos preparados antes de comenzar con esa actividad.

MATEMÁTICA 142

UNIDAD 3

MINISTERIO DE EDUCACIÓN, CIENCIA Y TECNOLOGÍA

2. Razones y proporciones

a) Leé esta información paso a paso y aplicala para analizar los casos de proporcionalidad con los que trabajaste en esta unidad y en la anterior.

En la unidad anterior estudiaste correspondencias de proporcionalidad directa y viste que

en cada una de ellas se puede determinar un coeficiente de proporcionalidad o constante

de proporcionalidad que se indica por un número k, tal que si a y a’ son dos números corres-

pondientes, a’ resulta de multiplicar a x k. En las correspondencias de proporcionalidad directa,

para identificar al coeficiente de proporcionalidad, basta con conocer un único par de

correspondientes, al que podemos llamar (s, s’) porque si k x s = s’ entonces k = .

La expresión que indica un cociente recibe el nombre de razón.

Por ejemplo, en la siguiente tabla, los números 9 y 13,5 son un par de correspondientes y su

cociente 13,5 : 9 = 1,5 recibe el nombre de razón; entonces, la razón o constante de propor-

cionalidad es k = 1,5.

Dado que la constante tiene el mismo valor numérico para todos los pares de una misma

correspondencia, entonces el cociente entre los elementos de dos pares cualesquiera es el mismo

y puede expresarse, en general, como la igualdad entre dos cocientes: = , expresión que se

denomina proporción.

En toda proporción a’ y b se denominan extremos y a y b’ son los medios.

Una propiedad característica de las proporciones es que el producto de los medios es igual al

producto de los extremos. En símbolos a’ x b = a x b’.

Volviendo a los valores de la tabla anterior, dos pares cualesquiera de correspondientes

constituyen una proporción, por ejemplo (2;3) y (7;10,5) corresponden a razones iguales y se

pueden escribir como proporción: = .

b) Para aplicar lo que aprendiste acerca de la formación de proporciones construí la tabla demultiplicar por 11 y escribila en tu carpeta.

1. Usando los valores de esa tabla, escribí dos proporciones. Mostráselas a tu maestro.

TEMA 2: RAZONES Y PROPORCIONES. LOS MEDIOS Y LOS EXTREMOS

43

R1

2

3

R2

3

4,5

R3

4

6

R4

5

7,5

R5

6

9

R6

7

10,5

R7

8

12

R8

9

13,5

R9

10

15

R10

11

16,5

Rectángulo

Alto en cm

Ancho en cm

s’s

s’s

a’a

b’b

23

710,5

M 1

MATEMÁTICA 144

En la actividad 1 de esta unidad trabajaste con una familia de rectángulos del mismo perímetro, para explorarla correspondencia ancho-alto. Ahora tomarás la familia de los rectángulos de la misma área para haceralgo similar. Consultá con tu maestro si la actividad que sigue la vas a hacer solo o con algún compañero.

3. La misma área y distinta forma

Se llama área de una figura a la medida de la superficie que encierra su perímetro.

a) Recortá en papel cuadriculado todos los rectángulos posibles, diferentes entre sí, cuya superficiesea de 36 cuadraditos.

b) Completá en tu carpeta una tabla como esta para anotar las medidas de la familia de rectángulosque recortaste y después respondé las preguntas que figuran a continuación:

1. Si multiplicás cualquier valor de x por su correspondiente y, ¿qué resultado se obtiene?

2. Simbólicamente podemos escribir: x x y = 36 o bien y = 36 : x; ¿se te ocurre otra fórmula más?

c) Ahora vas a escribir una razón en forma de fracción. Para ello, elegí dos números cualesquieraentre las medidas de las alturas de los rectángulos de la tabla anterior y escribí la razón, comoen el ejemplo que sigue.

Si elegís el 18 y el 3, la razón es . Al 18 le corresponde el 2 y al 3 le corresponde el 12. La

razón entre ellos, respectivamente, es .

1. ¿La fracción es equivalente a ?

2. Y la inversa de , que es , ¿es equivalente a ?

3. Tomá otro par de números de la primera fila de la tabla y repetí lo hecho.

4. Compará las razones entre los correspondientes tomados en orden inverso; ¿son razones

equivalentes?

5. ¿Sucede lo mismo con todos los pares de la tabla?

6. Anotá los resultados de tu exploración.

TEMA 3: PROPORCIONALIDAD INVERSA

183

183 18

3

212 2

12122

212

Alto

Ancho

x

y

36

1

18

2 3

1

36

UNIDAD 3


Como resultado de esta actividad habrás podido observar que en la relación entre el alto y elancho de los rectángulos de la misma área, si se invierte la razón entre los datos correspon-dientes, se forma una proporción. Por eso este tipo de relaciones es de proporcionalidad inversa.

d) Ahora vas a hacer el gráfico con los valores de la tabla que hiciste en el punto b) realizando los siguientes pasos:

1. Dibujá sobre papel cuadriculado unpar de ejes perpendiculares, unohorizontal (x) y otro vertical (y).

2. Pegá cada rectángulo de tu colecciónhaciendo coincidir uno de sus vértices con el origen de ambassemirrectas y dos lados con los ejesx e y, respectivamente, como se veen la figura.

3. Señalá con color los vértices delos rectángulos que son los opues-tos a los que están sobre el origen.

4. Esos puntos ¿se pueden unir conuna línea recta?

5. Dibujá una línea que pase por lospuntos remarcados. Asegurate de obtener un gráficocomo este. La línea curva a la quepertenecen esos puntos se llamahipérbola.

6. Pegá en tu carpeta la hoja cuadricu-lada en la que trabajaste, con eltítulo de la actividad.

M 1

4. Otros problemas para pensar

a) Resolvé en tu carpeta los siguientes problemas. Podés usar tablas, gráficos o explorar razonesy proporciones.

1. Para un juego hay que repartir las 48 cartas de un mazo entre todos los jugadores por igual,sin que sobre ninguna carta. ¿Pueden entrar a ese juego 5 jugadores? ¿Y 6? Anotá todos loscasos posibles de 2 o más jugadores y cuántas cartas le tocan a cada uno.

2. Con la producción de fruta de su huerta, una familia prepara una cierta cantidad de dulce. Si loenvasa en cajoncitos de 3 kilos necesita 30 cajoncitos. Si con esa cantidad de dulce llena 90frascos, ¿qué cantidad de dulce contiene cada uno? Y si en cambio usa frascos de medio kilo,¿cuántos puede llenar? ¿Y con frascos de un cuarto kilo?

b) Mostrale tu trabajo al maestro y conversá con él sobre lo que observaste.

La actividad que sigue te va a servir para repasar todo lo que trabajaste sobre proporciones. Como en todaslas actividades que te proponen revisar lo que aprendiste, podés ver si realizaste todas las actividades,completarlas, volver a leer los textos destacados, analizar tus respuestas...

Para realizar la actividad 6, necesitás: útiles de Geometría, cartón o cartulina y tijeras. Andá buscando losmateriales y recordá prepararlos antes de comenzar con esa actividad.

5. Rectángulos, repartos y proporciones

a) En el siguiente cuadro se presenta una síntesis de lo que aprendiste hasta ahora. Leéloatentamente.

MATEMÁTICA 146

en la tabla, al multiplicar cada valor de y por su correspondiente x se obtiene siempre el mismo número,

en la tabla, cualquier par de valores dex forma proporción con los correspon-dientes valores de y tomados en elorden inverso,

en el gráfico resultan puntos que pertenecen a una hipérbola,

entonces

es una

correspondencia

inversamente

proporcional

Si i

Si i

Si i

Sii

i

i

entoncesi

i

entoncesi

i

UNIDAD 3


b) Respondé en tu carpeta la pregunta que está a continuación del siguiente texto.

En la familia de todos los rectángulos de área 36, viste que los anchos son inversamente pro-porcionales a los altos. También en el reparto de cartas del primer problema de la actividad 4hay una relación de proporcionalidad inversa entre el número de jugadores y el número decartas que le corresponde a cada uno. La representación de los puntos correspondientes aambas situaciones pertenece a una curva llamada hipérbola.

• La relación entre el alto y el ancho de la familia de los rectángulos del mismo perímetro queexploraste en la actividad 1, ¿es una correspondencia de proporcionalidad inversa? ¿Por qué?

Consultá con tu maestro cómo organizarte con tus compañeros para hacer la siguiente actividad, que teva a permitir aplicar los conocimientos que adquiriste sobre relaciones proporcionales.

6. Un rompecabezas

Aquí te proponemos construir figuras cambiando el tamaño del modelo original que te damos. Se trataráde ampliarlo o reducirlo según se pida. Si es posible, trabajá en grupo con otros compañeros.

a) El problema consiste en construir un rompecabezas cuyas piezas tengan la misma formaque las de la figura pero de mayor tamaño: las que en la figura miden 6 cm deben medir 8 cmen el rompecabezas ampliado. Numerá las piezas de la figura para poder identificarlas y repartíla tarea con tus compañeros de modo que cada uno tenga que construir por lo menos laampliación de una pieza. Cuando estén construidas todas las piezas, intenten armar el nuevorompecabezas ampliado.Pueden ocurrir dos cosas:

1. Que lo puedan armar correctamente. Si estopasa, describan en la carpeta cómo procedieronpara ampliar las piezas. Pongan como título“Actividad 6”.

2. Que tengan dificultades para armarlo porque hayapiezas defectuosas. En ese caso, conversen con elmaestro para ver cómo solucionar el problema.

b) Elegí una pieza del rompecabezas ampliado y comparala superponiéndola con la pieza corres-pondiente en la figura original. Respondé las siguientes preguntas.

1. ¿Qué tienen igual?

2. ¿En qué se diferencian?

3. ¿Cómo son los ángulos?

M 1

MATEMÁTICA 148

c) Medí cada lado de una pieza original y de su ampliada y respondé:

1. ¿Hay proporcionalidad directa entre sus medidas?

2. ¿Cómo lo podés comprobar?

3. Ocurre lo mismo entre cada pieza y su correspondiente?

4. ¿Qué condiciones cumplen los lados de dos figuras que tienen la misma forma y distinto tamaño?

¿Y los ángulos de esas figuras?

d) Dibujá en una hoja lisa dos rectángulos A y B que tengan la misma forma, y en los que la relaciónentre sus lados sea de 1 a 2, y respondé:

1. Las superficies de esos pares de rectángulos, ¿están también en la relación 1 a 2? ¿Por quéocurre eso?

El trabajo con figuras de la misma forma y distinto tamaño, como las de estos rompecabezasrectangulares, seguramente les permitió llegar a una conclusión muy importante:

Dos figuras de la misma forma tienen ángulos iguales y lados directamente proporcionales.

La siguiente es la actividad final de la unidad y para resolverla vas a trabajar en tu carpeta. Acordate de quepodés revisar, siempre que lo necesites, las anotaciones de tu carpeta y también este Cuaderno de estudio.

Para finalizarComo cierre de esta unidad y para que puedas comprobar cuánto aprendiste te pedimos que analices

con tus compañeros las siguientes situaciones y digas si son de proporcionalidad o no y expliques turespuesta. En caso afirmativo, especificá si se trata de proporcionalidad directa o inversa.

a. El número de cajas y el número de alfajores en cada una cuando se tiene que envasar una mismacantidad, por ejemplo, 24 alfajores.

b. El número de botellas iguales de gaseosa y la cantidad de vasos iguales que pueden servirse con ellas.c. El combustible que resta en el tanque de un motor y el tiempo de funcionamiento. d. El número de partes en que se divide una unidad y el tamaño de cada parte.e. La edad de una persona y el aumento de su peso.

Después de haber trabajado con estas actividades pueden iniciar una colección de juegos y entretenimientossi es que no la iniciaron antes. Pueden incorporar estos a la juegoteca que hayan armado resolviendo losdesafíos matemáticos. Guarden las piezas de cada juego en un sobre y dibujen en el frente el rompecabezasreducido del modelo que allí guardan. Los tendrán disponibles para cuando quieran jugar entre todos.

UNIDAD 3


1. Rompecabezas - dominó

El dominó sólo

tiene una pieza.

El triminó, dos.

El tetraminó tiene

cuatro piezas.

• ¿Cuántas piezas tendrá el pentaminó?

• ¿Cuál será su forma?

• ¿Cuántas piezas tendrá el hexaminó?

• Con este rompecabezas se puede plantear un problema interesante: “formar un rectángulo con

todas las piezas del pentaminó”. Hay muchas soluciones para rectángulos de 10 x 6 que se pueden

formar con 12 pentaminós diferentes, a pesar de lo cual no es nada fácil obtenerlos. ¿Te animás

a intentarlo?

2. Colocar números1. En las casillas de una figura como la de la derecha, colocá los núme-

ros del 1 al 8, de manera que no haya dos números consecutivos en

las casillas que tienen un lado o un vértice común.

M 1

2. Copiá en tu carpeta esta cuadrícula y completá los números que le faltan de manera que sumados

en dirección vertical u horizontal su suma sea 20.

3. AdivinanzasSe busca un número par de cuatro cifras:

- Menor que 5.000.

- La cifra de las centenas es igual a la de las unidades de mil más 1.

- La cifra de las unidades de mil es el doble de la cifra de las decenas.

- La suma de sus cifras es 11.

¿Cuál es ese número?

Reunite con otros compañeros, inventen otras adivinanzas numéricas, escríbanlas en tarjetas

y guárdenlas en un sobre para incorporarlas a la juegoteca.

4. La familia de ocho proporcionesA partir de una proporción formada por 4 números a, b, c y d, alguien se entretuvo en escribir otras

7 proporciones. El desafío consiste en que le des valores a los 4 números a, b, c y d de modo que

formen una proporción (por ejemplo: 6 , 9, 5 y 7,5, respectivamente) y verifiques que todas las

otras igualdades también constituyen proporciones.

MATEMÁTICA 150

ab

= cd

ca

= db

dc

= ba

bd

= ac

ba

= dc

ac

= bd

cd

= ab

db

= ca

6 4 5

7 7

9 3

7 6

UNIDAD 3

Cuando trabajaste sobre proporcionalidad en la unidad 2 estudiaste cómo caracterizar las correspon-dencias de proporcionalidad directa.

En esta unidad vas a explorar otras aplicaciones de la proporcionalidad directa: la interpretación de planosy mapas mediante el análisis de la escala con que fueron hechos y el cálculo de porcentajes como una relaciónentre una parte de una cantidad y la cantidad total.

Una vez que resuelvas el conjunto de actividades de la unidad vas a ser capaz de interpretar mapas yplanos con mayores conocimientos acerca de lo que representan.

En la última parte de la unidad, vas a encontrar, como siempre, una serie de desafíos matemáticos paraque los abordes cuando quieras.

En las actividades de este tema vas a trabajar sobre planos y mapas y vas a hacer cálculos sobre ellos.Consultá con tu maestro cómo organizar el trabajo, qué parte de las actividades podés hacer junto con otrocompañero y cuánto tiempo le podés dedicar a cada tarea.

Para esta primera actividad vas a necesitar hojas blancas de papel sin renglones, regla o escuadra yalgún instrumento para medir del tipo cinta métrica o metro de carpintero. Para la actividad 2, hojasde papel cuadriculado, hojas de papel transparente o de calcar. Andá buscando los materiales.

1. Un plano a escala

Vas a trabajar sobre el plano de unaescuela rural de Entre Ríos.

TEMA 1: ESCALAS


UNIDAD 4Escalas en mapas y planos.Porcentaje

El aula más grande mide 4 m x 7 m; dentrode ella hay un escritorio, un armario, una bibliotecay 20 mesitas para los alumnos.

MATEMÁTICA 152

a) A continuación vas a hacer un plano de esa aula con sus muebles.

1. Dibujá en un papel un rectángulo de 4 cm x 7 cm.

2. Dentro de él ubicá los muebles. Si te hace falta, medí los muebles de tu aula para darte unaidea de las proporciones.

3. Al finalizar el dibujo, revisá si las medidas del aula y de los muebles guardan relación con lasmedidas reales. Mostrale el dibujo al maestro.

b) En el punto a) trabajaste sobre el plano de otra escuela; ahora vas a hacer el plano de tu aulacon los muebles que en ella se encuentren.

1. Buscá una hoja de papel en blanco, que no tenga renglones. Tomá las medidas que necesites, tanto del aula como de los muebles. Para que las proporcionesse conserven en el dibujo, usá una escala como la siguiente, en la que cada metro de la realidadse representa por un segmento de 1 cm.

2. Ahora hacé en otra hoja un plano de tu aula diferente usando otra escala, por ejemplo: 1 cmdel dibujo representa a 25 cm de la realidad, como muestra la figura.

c) Compará tu trabajo con el de tus compañeros. Conversá con ellos sobre el tamaño de hojaque necesitaste y piensen juntos por qué un plano es más grande que el otro.

d) Resolvé en tu carpeta estas consignas y preguntas.

1. ¿En cuál de los dos planos de tu aula podés dibujar los muebles con más detalle?

2. ¿Cuál es el ancho de tu aula en la realidad? ¿Y en el plano 1:100? ¿Y en el plano 1:25?

3. ¿Cuántas veces entra el ancho del plano más pequeño en el ancho del plano más grande?

4. Calculá la razón entre las medidas de seis segmentos del plano pequeño y las correspondientesdel plano más grande. Si no te acordás cómo averiguarlo, volvé a leer las características de unacorrespondencia directamente proporcional que viste en la unidad 2.

5. Esa razón que calculaste, ¿es una constante? ¿Podrías decir que hay una correspondencia directamente proporcional entre las medidas de los dibujos? ¿Por qué? Anotá la respuesta.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 2,5

1 cm: 1 m 1:100

1 cm: 25 cm 1:25

UNIDAD 4


Seguramente observaste que entre las medidas de uno y otro plano hay una relación de proporcionalidad directa.

Para representar superficies o terrenos respetando las proporciones utilizamos escalas.• La escala gráfica se representa mediante un segmento graduado.

• La escala numérica se expresa con una fracción. El numerador es la medida de una unidad en el dibujo

(1 cm o 1 mm) y el denominador es la medida real sobre el terreno, con la condición de que las dos

estén expresadas en la misma unidad. Por ejemplo, la escala 1:1.000.000 ( ) indica

que si dos puntos del plano están a 1 cm de distancia, les corresponde en la realidad una distancia

de 1.000.000 cm, o sea, 10 km.

e) Observá este plano de un galpón, que fue dibujado con una escala 1:250, y resolvé las consignasque se plantean a continuación.

1. Hacé los cálculos que necesites para completar en tu carpeta las siguientes expresiones. Si disponés de una calculadora hacé los cálculos con ella.

• El largo del galpón es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• El ancho del galpón es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. ¿Qué operación hiciste para completar el punto 1?

3. Compará tus resultados con los de algún compañero.

En la actividad 1 viste que entre las medidas representadas y las reales hay una relación de proporcio-nalidad directa. Las escalas gráficas y las escalas numéricas muestran esa relación. En esta segunda actividadvas a calcular distancias trabajando sobre mapas.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11.000.000

M 1

MATEMÁTICA 154

2. Mapas y escalas

a) En tu carpeta poné como título: “Actividad 2. Mapas y escalas”, hacé los dibujos y escribí loscálculos que necesites para resolver las siguientes situaciones.

1. En el mapa de la Argentina, medí en centímetros la distancia entre Santa Rosa y Córdoba, yusá la escala para calcular, aproximadamente, la distancia real entre esas dos ciudades.

Wal

ter

Cab

anill

as /

Age

ncia

Cór

doba

Tur

ism

oSe

cret

aría

de

Tur

ism

o de

la N

ació

nUNIDAD 4

55

2. Calculá ahora a partir del mapa otra distancia real entre dos ciudades. En lo posible elegí dosciudades de las cuales puedas obtener datos para verificar si tu cálculo es correcto.

3. Usá el mapa de la Argentina y calcá sobre papel transparente el contorno de tu provincia. Pegáese calco sobre papel cuadriculado.

4. Trazá en tu carpeta una cuadrícula ampliada en la que el lado de un cuadrado sea una vez ymedia el del papel cuadriculado, de tal modo que a cada cuadradito del papel le corresponda uncuadrado mayor en la trama ampliada.

5. Dibujá el mapa ampliado de tu provincia, siguiendo el trazado, cuadro por cuadro, como semuestra en la figura para el mapa de Sudamérica.

6. Contestá debajo del mapa que realizaste:

• ¿Cuál es la escala del mapa de la República Argentina sobre el que trabajaste?• ¿Cuál es la escala que usaste para armar el mapa de tu provincia?

7. En el mapa ampliado de tu provincia, ubicá la localidad en la que vivís.Tomá las medidas que necesites y aplicá la escala para calcular, aproximadamente, la distanciaentre tu localidad y la capital de tu provincia. Anotá la respuesta debajo del mapa.

b) La distancia real entre la ciudad de Buenos Aires y la de Ushuaia es de aproximadamente 3.496 km.Como recodarás, en Matemática, la distancia entre dos puntos se mide sobre una línea recta.Representá en tu carpeta la escala gráfica que corresponde al mapa de la Argentina y escribí laescala numérica.


M 1

MATEMÁTICA 156

c) Observá los siguientes mapas de la provincia de La Pampa y escribí en tu carpeta la escala queles corresponda, indicando cada uno con un número para ordenarlos.

Escalas a) 1:7.400.000 b) 1:11.000.000c) 1:5.000.000

d) Escribí en tu carpeta una breve síntesis acerca de qué aprendiste sobre escalas. ¿Cómo serelacionan las escalas con la proporcionalidad directa? Leé lo que escribiste a tus compañerosy tu maestro.

En el segundo tema vas a encontrar referencias a situaciones conocidas, porque para resolver muchos aspectosde la vida cotidiana es preciso calcular porcentajes. Como este tema tiene varias actividades, volvé aconsultar con tu maestro cómo organizarte para resolverlas y cuál es el tiempo disponible para com-pletarlas. En ellas vas a tener que usar lo que sabés sobre fracciones y división de números enteros. Si tenésdudas sobre alguno de estos temas, revisá la unidad 1 o buscá los temas en manuales que encuentres enla biblioteca. Pedile ayuda a tu maestro.

Esquema 1 Esquema 2

Esquema 3

UNIDAD 4


En las actividades del tema 1 se pusieron en evidencia las relaciones de proporcionalidad que se aplicanen la construcción e interpretación de las escalas de mapas y planos. En las actividades que siguen abor-darás otra aplicación de la proporcionalidad directa: el cálculo de porcentajes.

Cuando en una situación particular a la totalidad considerada se le atribuye un valor cien,

hablamos de porcentaje. Usamos esta noción en muchas situaciones de la vida diaria cuando

las partes se expresan en el tanto por ciento correspondiente.

Por ejemplo, cuando se trata de preparar una mezcla de pintura con un cuarto de color rojo

y tres cuartos de color amarillo y se expresa por fracciones del total sobre 100 partes iguales,

se habla de “tanto por ciento” o “porcentaje”. No importa si se prepara un balde o una lata

pequeña, siempre = vale decir, el 25% (se lee veinticinco por ciento) corresponde al

rojo y el 75% restante de pintura al amarillo.

3. La proporción en las mezclas

Muchos productos se elaboran combinando materia prima de distintas calidades o tratada con diferentesprocedimientos. Tal es el caso de las mezclas para obtener diferentes tipos de café. Comercialmente, a cadatipo de café corresponde una mezcla de cantidades determinadas de distintos granos y hay que manteneresa misma proporción al elaborar cualquier cantidad de ese tipo de café. Como ves, la proporcionalidadtambién está presente en este caso.

a) Leé detenidamente el texto que sigue y resolvé en tu carpeta la consigna que está al final.

Una mezcla de café contiene granos de dos clases: granos tostados sin azúcar y granos tostadoscon azúcar. Si tenés oportunidad de ver alguna mezcla de café, podrás reconocer los granostostados sin azúcar por su color claro y los granos tostados con azúcar por su color oscuro. Paraobtener distintos sabores, los distribuidores combinan diferentes cantidades de las dos clases.

Una manera de indicar en qué proporción están mezclados los granos de las dos clases distintasconsiste en decir, por cada 100 granos, cuántos son de una clase y cuántos son de otra. Así:

TEMA 2: PORCENTAJE

14

25100

Por cada 100 granos

MEZCLA A

MEZCLA B

MEZCLA C

MEZCLA D

Con azúcar

0

20

65

50

Sin azúcar

100

80

35

50

M 1

MATEMÁTICA 158

Otra forma de indicar la composición de la mezcla consiste en decir “por ciento” (y quedasobreentendido que es lo que corresponde por cada 100 granos):

Como es de esperar, la suma de las cantidades es siempre 100. Cien “por ciento” equivale altotal. Cincuenta “por ciento” equivale a la mitad. En símbolos, “por ciento” se indica con %.

Por ejemplo: la mezcla C contiene 65% de granos tostados con azúcar y 35% de granostostados sin azúcar.

La proporción entre los granos con azúcar y sin ella se mantiene para cualquier cantidad degranos de la misma mezcla.

b) ¿Cuántos granos de cada clase corresponden a 200 granos de la mezcla B? ¿Y a 300 y a 450granos? No te olvides de escribir los cálculos que tuviste que hacer para responder las preguntas.

c) Copiá estas tablas en tu carpeta y luego completalas con los valores correspondientes a lasmezclas C y D.

Habrás visto que al completar las tablas usaste el “tanto por ciento” o el porcentaje como una corres-pondencia de proporcionalidad directa.

Por cada 100 granos

MEZCLA A

MEZCLA B

MEZCLA C

MEZCLA D

Con azúcar

0 por ciento

20 por ciento

65 por ciento

50 por ciento

Sin azúcar

100 por ciento

80 por ciento

35 por ciento

50 por ciento

MEZCLA C

Cantidad total de granos

200

300

450

520

Cantidad de granos con azúcar Cantidad de granos sin azúcar

MEZCLA D

Cantidad total de granos

200

300

450

520

Cantidad de granos con azúcar Cantidad de granos sin azúcar

UNIDAD 4


4. Ampliaciones y reducciones

En esta actividad vas a trabajar sobre otros ejemplos de porcentaje y proporcionalidad. Tal vez leyendo alguna información hayas encontrado el signo % después de un número tal como aparece

en la publicidad que se reproduce en esta página.Para comprender lo que anuncia este aviso de fotocopiadoras, hay que analizar uno a uno los datos

que ofrece. Por ejemplo, “AMPLÍE” y “REDUZCA” son palabras que nos informan acerca de lo que estamáquina es capaz de hacer: copiar aumentando o disminuyendo el área.

Pero ¿qué significa ampliar al 200%? ¿Y reducir al 50%? Vas a poder responder esas preguntas despuésde realizar las tareas siguientes.

a) Trabajá en tu carpeta. Respondé las preguntas siguientes:

1. ¿Qué nombre y qué símbolo tiene un cuadradito de 1 cm de lado?

2. ¿Cuántos cuadraditos de 1 cm de lado contiene el decímetro cuadrado?

3. Si necesitás hacer la prueba, dibujá los cuadraditos cuidando de medir con la mayor precisión y respondé: en la mitad de un decímetro cuadrado, ¿cuántos cuadraditos de 1 cm2 hay?, ¿y enla cuarta parte?, ¿y en la quinta parte?

4. ¿Qué parte del decímetro cuadrado es uno de los cuadraditos de 1 cm de lado?

b) Después de este trabajo con las unidades de superficie estás en condiciones de analizar el casodel aviso de la máquina fotocopiadora. Ahora se trata de ver cómo se interpretan la reducción yla ampliación de una hoja de papel medidas por el tanto por ciento.

M 1

MATEMÁTICA 160

Calculá la medida de la superficie de las siguientes hojas, registralas en tu carpeta y respondé laspreguntas que siguen:

• Hoja 1: 60 cm x 40 cm.• Hoja 2: 30 cm x 20 cm.• Hoja 3: 120 cm x 80 cm.

1. ¿Cuántos cm2 abarca de la hoja 1?

2. ¿Qué parte de la hoja 1 es la hoja 2?

3. ¿Que porcentaje de la hoja 1 es la hoja 2?

4. Observá que la hoja 3 es mayor que la 1. Indicá qué porcentaje de la hoja 1 es la hoja 3.

5. ¿Cuál de las referencias que siguen corresponde a cada una de las hojas?

• Hoja 25%.• Hoja 100%.• Hoja 400%.

6. ¿Qué hoja es la unidad? ¿Cuál es una reducción de la unidad? ¿Cuál es una ampliación?

c) Veamos cómo interpretar el aviso de la máquina fotocopiadora: se indica que un original puede llegar a tener 30 cm de ancho y 43 cm de largo.

1. ¿Qué área tiene una hoja de esas medidas?

2. ¿Qué área debe tener la hoja aumentada al 200%?

3. ¿Y la reducida al 50%?

d) Si disponés de una calculadora, usala para comprobar que si la hoja tiene 42,4 cm x 60,8 cm suárea es aproximadamente de 2.580 cm2, y que si tiene 21,2 cm x 30,4 cm, su área es aproximada-mente de 645 cm2.

e) Dibujá en una hoja grande de papel afiche los siguientes rectángulos:

• 30 cm x 43 cm • 42,4 cm x 60,8 cm • 21,2 cm x 30,4 cm

1. Aproximadamente, el original y las copias que menciona el aviso tienen esas dimensiones.Explicá su significado debajo de cada uno, para que otros puedan saber de qué se trata.

2. Ponele un título y colgá el afiche en la pared del aula.

Consultá con tu maestro si vas a resolver la actividad f) o seguís avanzando con las posteriores.

1100

UNIDAD 4


f) En una calculadora con tecla aparecen las siguientes instrucciones.

• Para hallar el 20% de 150; o sea 150 x :

• Para aumentarle 20% a 150; o sea 150 + 20% de 150:

• Para quitarle 20% a 150; o sea 150 – 20% de 150:

g) Explorá una calculadora siguiendo estas instrucciones y registrá en tu carpeta todo lo que observes.

h) Este es un buen momento para pensar en expresiones de la vida cotidiana. Respondé en tucarpeta: ¿cómo aumentan o disminuyen las cantidades en estos casos?

• “El precio del trigo subió un 2%.”• “El comerciante hace un 15% de descuento.”• “La población aumentó en un 0,8%”.

i) Copiá en tu carpeta las siguientes tablas y completalas con cuatro datos que sean posibles, porejemplo, $340 para una tonelada de trigo o $86 para un artículo que vende un comerciante, y calculálo que resulta después de la transformación. Conversá con el maestro sobre los resultados.

200100

%

1 05 x 02 =%

1 05 + 02 =%

1 05 – 02 =%

M 1

Aumento de la población

Población antes del aumento

Habitantes

135.000

Población después del aumento

Habitantes

135.675

Precio del trigo

Antes del aumento

Pesos por tonelada

Después del aumento

Pesos por tonelada

Descuento del comerciante

Precio sin descuento

Pesos

Precio con descuento

Pesos

MATEMÁTICA 162

Si disponés de una calculadora, podés realizar la actividad que sigue, si no, consultá con tu maestro si pasásdirectamente a la actividad 6.

5. La utilidad de calcular e interpretar porcentajes

a) En las informaciones que publican libros y periódicos es frecuente encontrar expresionesreferidas a porcentaje. Leé el siguiente párrafo del libro Cálculos en agricultura y horticultura, deG. Boatfield e I. Hamilton y respondé en tu carpeta las preguntas que están a continuación.

“No todas las semillas sembradas germinarán o emergerán, ya sea por ser infértiles o por no habersido enterradas correctamente (demasiado profunda o superficialmente, en tierra demasiado húmedao seca). Algunas son sacadas por pájaros o por insectos nocivos, y en las siembras de otoño habrá algunoscasos de muerte invernal de plantas debido a las rigurosas condiciones del clima y otros riesgos.

La mayoría de las semillas vendidas en este país tiene un porcentaje de germinación garantido, porejemplo: 95% de germinación, lo que significa que hasta un 5% de las semillas pueden no germinar.A medida que el sembrado va creciendo, puede esperarse una pérdida ulterior de alrededor de 7,5% delo originalmente sembrado; esto es lo conocido como pérdida por siembra.”

1. ¿Cómo interpretás la expresión “5% de las semillas pueden no germinar?” ¿Y la expresión “pérdidade alrededor de 7,5% de lo originalmente sembrado”? Explicá con tus palabras el significado.

2. Si un agricultor siembra 500 semillas por metro cuadrado, ¿qué rendimiento puede esperar,teniendo en cuenta las pérdidas que se mencionan en el texto citado? Resolvé y mostrá cómoaveriguaste los resultados.

b) Leé la siguiente situación y resolvé las preguntas que hay a continuación.Los resultados de las pruebas de Matemática que se tomaron en una escuela a alumnos de 1° a 7°fueron los siguientes.

Cuando se enteraron, los alumnos de 7° hicieron las cuentas con sus calculadoras y comentaron:

—Hay mucha diferencia entre mujeres y varones: aprobó el 50% de las niñas y el 40%de los varones.—No estoy de acuerdo; yo veo que el 80% de los varones aprobaron.—Mis resultados dan otra cosa: 38% para los varones y 46% para las chicas, o sea, unadiferencia del 8%.

Aprobados

No aprobados

Ausentes

Total

Niños

89

8

6

103

Niñas

73

10

8

91

Total

162

18

14

194

UNIDAD 4


Pero una alumna preguntó:

—No puede haber tantas diferencias. ¿Sobre qué total hicieron los cálculos?

La pregunta de la última alumna se debe a que los chicos hablan del porcentaje sin indicar cuál es el total alque se refieren: el de los alumnos que dieron examen; el de los niños, el de las niñas o el de todos losalumnos de la escuela.

1. Tomá la calculadora y tratá de responder la pregunta de la última alumna.

2. Escribí los resultados en tu carpeta. No olvides que los chicos pueden estar dando cifrasredondeadas; es decir, sólo la parte entera, sin los decimales.

Las dos actividades que siguen, 6 y 7, te permitirán aplicar lo que aprendiste sobre escalas y porcentajes en esta unidad y, al mismo tiempo, comprobar cuánto sabés ahora sobre estos temas.

6. Lo grande y lo pequeño

a) Copiá en tu carpeta dos tablas como las siguientes y completalas.

1. Escribí en metros la longitud real que representan 1 cm y 1 mm del papel, en cada una de lassiguientes escalas.

2. La siguiente tabla relaciona el tamaño real de un objeto con el tamaño de un dibujo de eseobjeto y la escala en la que fue realizado. Completá en cada caso el cuadro correspondiente.

Escala

1 cm

1 mm

1:1

0,01 m

1:100

1 m

1:1.000 1:5.000 1:10 1:104 1:106

Objeto

Tamaño real

Tamaño en el dibujo

Escala

Gato

50 cm delargo

1:10

Tanque deagua

1 m de

altura

5 cm

Jardín

25 cm defondo

1:50

Sol

4 cm de diámetro

1:0,00025

Ciudad

10 km delargo

1:40.000

Insecto

0,5 mm

5 cm delargo

M 1

MATEMÁTICA 164

b) A veces se usan escalas que reducen el tamaño del objeto a representar y otras lo amplían.A partir de lo que completaste, pensá las respuestas a las siguientes preguntas y conversá con tuscompañeros y tu maestro acerca de tus conclusiones.

1. ¿Qué caracteriza los valores numéricos de las escalas de ampliación?

2. ¿Qué caracteriza los valores de las escalas que reducen el tamaño del objeto?

7. El porcentaje en situaciones cotidianas

a) Resolvé las siguientes situaciones de la vida diaria con porcentajes.

1. El precio de una mercadería es de $46. Este precio sufre un recargo por IVA del 21% y des-pués otro recargo de 2% por transporte.

• ¿Cuál es el precio final de la mercadería?• ¿Cuál fue el aumento total?• El aumento que se le aplicó, ¿a qué porcentaje del precio inicial corresponde?

2. En la Puna jujeña, la mina El Aguilar desarrolla una intensa actividad desde hace más de 60años. Produce aproximadamente 37.500 toneladas mensuales de mineral y 14.000 toneladas de “colas” o residuo. Por cada tonelada de mineral se obtienen 77 toneladas de plata, 6,55% de cinc y 3,46% de plomo.

• ¿Qué porcentaje de lo que se extrae de la montaña corresponde al mineral y qué porcentajea los residuos?

• ¿Cuántos kilogramos de plata se producen en un mes?• ¿Cuántos kilogramos de cinc y de plomo produce la mina mensualmente?

3. En un diario se publica este descuento para anunciantes de empresas pequeñas.

- PUBLICANDO MARTES Y VIERNES, EL DESCUENTO SERÁ DEL 15%

PUBLICANDOMARTES, VIERNES Y SÁBADO,

EL DESCUENTO SERÁ DEL 20%

UNIDAD 4


Se desea repetir un aviso que, publicado el lunes; costó $400.

• ¿Cuánto costará publicarlo según las ofertas de dos y de tres días?• ¿De cuánto sería el ahorro en cada caso?• ¿Da lo mismo calcular el descuento por día que sobre el total de dos o tres días?

4. La segunda semana de agosto de 1996, se anunció un aumento del gasoil de 12 centavos porlitro, que significa un aumento del 46% sobre el precio anterior. ¿Cuál es el precio que tenía el litro de gasoil antes del aumento?

Para finalizar

En esta unidad trabajaste con escalas y porcentajes.

Viste que las escalas se utilizan para representar objetos de la realidad que por sus dimensiones no

pueden dibujarse en tamaño real. En algunos casos se usan escalas que reducen (expresadas con razones

menores que uno) y en otros, que amplían (expresadas con razones mayores que uno). Escribiste las escalas

como la constante de proporcionalidad directa que existe entre la medida de la longitud de la represen-

tación y la medida de la longitud del objeto representado, cuidando que las dos estén tomadas en la misma

unidad. Por ejemplo, si en un plano la escala es 1: 200.000, o sea , esto significa que lo que mide

1 cm en el dibujo tiene 200.000 cm en la realidad, y un sendero de 400 m, en el plano, tiene 2 mm, ya que

400 m = 400.000 mm y tomar de 400.000 es x 400.000 = 2.

Aprendiste que cuando tomamos un todo unitario y le asignamos el valor 100, expresamos las partes de

ese todo, como los correspondientes numeradores de las fracciones de denominador 100 que son equi-

valentes a esas partes. Por eso hablamos de tanto por ciento. En lugar de decir la quinta parte pensamos

en y hablamos del 20%. Es decir que dar un porcentaje es dar una fracción con denominador 100 que

muestra una relación de proporcionalidad directa.

En los ejemplos analizados en las actividades: 65% de granos tostados con azúcar significa que por

cada 100 granos, 65 están tostados con azúcar, o sea de la mezcla son granos tostados con azúcar.

Una hoja reducida al 25% es una hoja que abarca de la superficie de la hoja original; es equivalen-

te a de ella.

Esperamos que lo que estudiaste te ayude a resolver situaciones y decodificar las muchas informaciones quehabitualmente te llegan expresadas tal como aprendiste en esta unidad.Como siempre, al finalizar la unidad, encontrarás problemas para seguir desarrollando tu pensamientomatemático. Hablá con tu maestro para ver cuándo los vas a ir resolviendo.

1200.000

1200.000

1200.000

20100

6510025

10014

M 1

MATEMÁTICA 166

1. Las pesasClaude Gaspar Bachet de Méziriac (1581-1638), considerado en su época el hombre más sabio de

toda Francia, era un lingüista brillante, poeta y estudioso de los clásicos. A Bachet le apasionaban

los acertijos matemáticos. Su primera publicación fue una compilación de acertijos: Problèmes plaisans

et délectables qui se font par les nombres (Entretenidos problemas que se plantean con los números) publicada

en 1612. En este libro Bachet propone el problema de las pesas, cuyo enunciado es el siguiente:

Resolvé el acertijo.

Una cuestión importante es que las pesas pueden colocarse tanto en el platillo de las pesas como en

el platillo de las cargas de modo que se pueden sumar o restar al peso de los objetos a pesar.

2. Clavijas alineadasEn un tablero de madera hay 11 agujeros alineados. El central está vacío y hay 5 clavijas negras a la

izquierda y 5 clavijas blancas a la derecha.

El desafío consiste en intercambiar de lugar las clavijas, pero en cada paso sólo se puede mover una

clavija a un agujero vacío contiguo o saltar sobre una sola clavija a un agujero vacío; ¿es posible hacer

el intercambio? ¿Por qué?

3. Los días1. ¿En qué día de la semana será (o fue) tu cumpleaños de este año? ¿En qué día de la semana será

el año próximo? ¿Por qué?

2. En cierto mes, tres domingos son días pares. ¿Qué día de la semana será el 15 de ese mes?

4. Todos unosAl multiplicar 12.345.679 por un número de una cifra, se obtiene otro número cuyas cifras son

todos unos. ¿Por qué número se multiplicó?

Un mercader tenía una pesa de 40 kg que al caer al piso se rompió y sedividió en 4 partes desiguales. Llevó estos pesos a una balanza y com-

probó que cada uno tenía un peso que era igual a un número entero dekilogramos y al emplearlas para pesar observó que con estas 4 pesas podíapesar cargas de objetos cuyo peso fuera un número entero cualquiera dekilogramos entre 1 y 40. ¿Cuántos kilogramos pesa cada una de las 4 pesas?

*

UNIDAD 4


A través de esta unidad te acercarás a una forma particular de analizar la información que se construyea partir de cantidades y datos numéricos, es decir, informaciones cuantitativas. En la unidad 4 del Cuadernode Estudio 1 Ciencias Sociales se estudian diferentes aspectos de la población del mundo considerandodatos cuantitativos: el número total de habitantes, la cantidad de ellos que son varones o mujeres, cuántosnacieron en el lugar donde viven y cuántos no. Por otra parte, en muchas profesiones es necesario dispo-ner de información sobre sucesos que ocurrieron en el pasado para fundamentar las decisiones que setomen hacia el futuro.

Pensá, por ejemplo, en la situación que podría ocurrirle a un fabricante de ropa. Cada vez que inicia unanueva etapa de producción necesita tener datos acerca de las ventas anteriores: cuántas prendas quedaronsin vender, qué talles fueron los más vendidos y muchos otros datos que le permitirán decidir cuántasprendas confeccionará para la siguiente temporada. Esos datos le resultarán útiles si contienen informa-ción sobre la mayor cantidad posible de casos.

Para disponer de información como la que necesitaría el fabricante de ropa, hay que utilizar diferentesprocedimientos que consisten en recoger, clasificar, resumir, analizar datos y elaborar conclusiones apartir de ellos. Estos son los temas de los que se ocupa la Estadística. La información recogida de estamanera permite estudiar el comportamiento de alguna característica de cierto conjunto que se denominapoblación o universo y esa información se reúne en tablas o series estadísticas y se muestra en forma degráficos u otro tipo de representaciones.

Con la producción de esas herramientas de información, la Estadística contribuye al estudio de algunosproblemas que afectan a gran número de personas, como el control de las enfermedades o la disminuciónde las superficies forestadas.

En esta unidad se presentan algunas nociones de Estadística que te permitirán:- Interpretar la información presentada en tablas y gráficos que aparece en libros y periódicos.- Calcular y comunicar información numérica de manera adecuada.- Aplicar conocimientos matemáticos a otras ciencias como las Ciencias Sociales y Naturales.

1. Préstamo de libros

Para iniciar tu contacto con las nociones de Estadística y con su aplicación a distintas situaciones de lavida cotidiana, tomarás como ejemplo la organización de la información sobre el movimiento de libros enuna biblioteca escolar.

UNIDAD 5 Estadística

MATEMÁTICA 168

a) Leé el siguiente caso:

En la escuela de Marisa se prestan, a domicilio, los libros de la biblioteca. Algunos chicos pidenlibros por un día, otros se prestan por dos o tres días o por una semana.Los préstamos se anotan en un cuaderno donde se escribe el nombre del libro, el nombre delalumno que lo recibe en préstamo, la fecha, el número de días por el que se lo lleva y la fecha enque lo devuelve. En el cuaderno la información está organizada en un cuadro como este:

Hasta el momento, la tarea es realizada por un alumno en forma rotativa, pero como esta tareaimplica disponer de mucho tiempo, la maestra de Marisa está pensando en la conveniencia denombrar un ayudante para manejar los préstamos y registrarlos en el cuaderno. Antes de tomaresa decisión revisó los registros de préstamos anotados y armó una tabla. En la columna de laizquierda puso el número de días por el que se hicieron los préstamos y en la de la derecha,la cantidad de préstamos que tuvieron la misma duración.

La tabla le quedó así:

Después, pensó en una forma de comparar gráficamente la relación entre la cantidad de préstamosy los días de duración. Para representarlo hizo el gráfico que corresponde a la tabla.

Nombre del libro Alumno Fecha de préstamo Fecha de devolución Cantidad de días

Duración del préstamo(variable)

Un día

Dos días

Tres días

Cinco días

Siete días

Número de préstamos de lamisma duración (frecuencia)

8

4

19

3

8

UNIDAD 5


El gráfico de barras muestra para cada valor de la variable en estudio (en este caso “Duracióndel préstamo”) un rectángulo cuya altura es proporcional a la frecuencia con que aparece cadavalor y cuya base es el número de días de duración del préstamo.

• Se llama variable a una característica que se quiere estudiar y que puede variar por algún motivo,es decir que puede tener distintos “valores”. • Se llama frecuencia a la cantidad de casos que se registran para cada valor de la variable.En Estadística se llama tabla de frecuencias a la tabla donde se registra el número de veces queaparece un mismo dato.

En el ejemplo de la biblioteca, la frecuencia es el número de veces que se prestaron libros por elmismo número de días y que figura en la segunda columna de la tabla.

b) Observá nuevamente la tabla de frecuencias y el gráfico de barras y respondé en tu carpeta las siguientes preguntas. Poné como título “Préstamo de libros”.

1. ¿Cuántos libros se devolvieron al día siguiente de llevarlos?

2. ¿Cuántos libros se prestaron por una semana?

3. ¿Cuál es la duración de los préstamos que tiene la mayor frecuencia?

4. ¿Por qué creés que hay tantos préstamos que se hacen por esa cantidad de días?

5. Revisando el cuaderno de préstamos, la maestra vio que casi todos los pedidos por tres días

correspondían a los viernes y pensó que era necesario un ayudante para controlar los préstamos

y las devoluciones. ¿Creés que el ayudante tendría que colaborar todos los días de la semana

o sólo algunos? ¿Por qué?

c) Comentá con tu maestro y tus compañeros tus respuestas a las preguntas del punto anterior.

En esta segunda actividad, vas a trabajar con los datos de una tabla que puede ser útil para organizar la infor-mación que se requiere en un análisis estadístico y vas a calcular un valor importante en estos casos: la moda.

2. La moda

a) Leé la siguiente situación.

Un fabricante de zapatillas para jóvenes necesita organizar su futura producción. Quiere saber elnúmero de calzado del que le conviene fabricar mayor cantidad de pares de zapatillas.

Al fabricante le informan que puede recurrir a una tabla de valores en la que se encuentra regis-trada la mayor cantidad de estudiantes que usan un mismo número de calzado. En este caso latabla corresponde a 1.000 entrevistados.

M 1

MATEMÁTICA 170

En estudios de este tipo no se puede entrevistar a toda una población porque implicaría entrevistara demasiada gente y resultaría muy costoso. Por eso se han creado métodos estadísticos quepermiten elegir una muestra, es decir, sólo una parte representativa del total de la población,suficientemente confiable para “mostrar” cómo está formada esa población. Por ejemplo, en estecaso, la muestra fue un grupo de 1.000 estudiantes.En la primera fila de la tabla está el número del calzado que usan las personas encuestadas quepertenecen a la muestra de la población de jóvenes y en la segunda fila el número de esas personasque usa cada tamaño de calzado, vale decir, la frecuencia con la que aparece ese tamaño en los1.000 estudiantes a los que se les preguntó por su número de zapatillas.

b) Vas a construir ahora un gráfico de barras con los datos de esta tabla. Para ello te será deayuda volver a mirar el ejemplo de la biblioteca. Trabajá en tu carpeta o en una hoja de papelcuadriculado. Poné como título “La moda” y seguí las instrucciones.

1. Trazá una semirrecta horizontal y otra vertical con el mismo origen.

2. Escribí los números de calzado, del 34 al 46, debajo de la semirrecta horizontal, separadospor 1 cm.

3. Sobre la semirrecta vertical poné los números que corresponden a las frecuencias. Te proponemosque uses una escala 1:10, es decir, 1 cm cada 10 personas, u otra que te parezca conveniente.

4. Pintá una barra vertical para la frecuencia de cada número de calzado.

Se llama gráfico de barras a aquel gráfico que para cada valor de la variable en estudio muestra unrectángulo con base en una línea con los valores considerados y altura proporcional a la frecuencia.

c) Observá el gráfico que dibujaste y respondé:

1. ¿Qué número de calzado aparece con mayor frecuencia?

2. Si tuvieras que aconsejar al fabricante, ¿de qué número le convendría producir la mayor cantidadde zapatillas?

Ya viste que las tablas y los gráficos estadísticos contienen todos los valores de la muestra que seestudió, desde el más elevado al más pequeño. Como es mucha información, en general se busca un solo número que sirva para describir mejor la población estudiada. Los númerosque pueden cumplir esa función se llaman “valores centrales”. Uno de ellos es el valor queaparece con mayor frecuencia, denominado moda. Cuando se han organizado los datos enun gráfico de barras se puede ver claramente cuál es la moda en esa colección, porque estárepresentado por la barra de mayor altura.

Número de calzado

Frecuencia

34

10

35

17

36

32

37

52

38

120

39

160

40

180

41

200

42

120

43

60

44

34

45

12

46

3

UNIDAD 5


El dato que corresponde a la mayor frecuencia se llama moda. Si en una muestra hay más de un datocon la mayor frecuencia, hay más de una moda.

En este caso, la mayor de las frecuencias es 200 y corresponde al número de estudiantes queusan calzado 41; es decir que el calzado 41 es la moda. Entonces, conociendo este valor, el fabri-cante sabe el número del que seguramente se venderá mayor cantidad de zapatillas y, por lotanto, de qué medida tiene que fabricar más pares.

d) En la actividad 1 trabajaste sobre los libros de una biblioteca escolar; en ese caso, ¿cuál fue lamoda en la duración de los préstamos?

Además de la moda, hay otras medidas de posición que son “valores centrales” de una muestra y estosvalores facilitan obtener información sobre una serie de datos mediante un único número; son ellos elpromedio y la mediana.Antes de avanzar en su estudio verás la importancia de calcular la frecuencia relativa de un dato para tomardecisiones lo más acertadas posible.

3. Frecuencia relativa

La observación de las tablas permite descubrir las características de diferentes poblaciones.

a) Leé estas tablas con las edades de los niños de las escuelas de Juana y de Dardo y observá losgráficos correspondientes.

Escuela Nº 15

5

2

Edad en años

Frecuencia

6

2

7

1

11

1

13

3

14

1

M 1

MATEMÁTICA 172

b) Copiá las preguntas que siguen y respondélas en tu carpeta. Poné como título “Frecuenciarelativa”.

1. ¿Cuántos alumnos asisten a cada escuela?; ¿cómo encontraste la respuesta?

2. ¿Cuál es la moda para las edades en cada escuela?; ¿dónde encontraste la moda?

3. Si se pueden comprar solamente 10 libros para cada escuela y se decide que 2 de esos librossean para los niños de 5 años, ¿creés que es una buena decisión para la compra en las dosescuelas? ¿Por qué?

c) Leé la siguiente información que permite profundizar lo que estudiaste.

La frecuencia con la que aparece un dato muestra alguna característica del conjunto que seestudia. Pero es importante relacionar esta frecuencia con el total de datos recogidos para des-cubrir en qué relación se encuentran.

El cociente entre la frecuencia y el número total de datos se llama frecuencia relativa. Este númeromuestra en qué proporción se repite cada dato respecto del total. La frecuencia relativa se puede anotarcomo un porcentaje.

Por ejemplo: - Para los alumnos de la Escuela Nº 15 del Nivel Inicial (5 años), la frecuencia relativa se calcula:

frecuenciatotal de datos

210= = 0,20; o sea, frecuencia relativa = 20%.

Escuela Nº 17

5

2

Edad en años

Frecuencia

6

3

7

1

9

3

10

4

11

4

12

1

13

1

14

1

UNIDAD 5


- Para los alumnos de la Escuela Nº 17 del Nivel Inicial (5 años), la frecuencia relativa se calcula:

Aunque la cantidad de alumnos del Nivel Inicial es la misma en las dos escuelas, en la Nº 15representa el 20%; en cambio, en la Escuela Nº 17 es sólo el 10%, o sea la mitad que en laotra escuela. Por eso lo que podría ser una compra adecuada para una escuela no lo sería parala otra.

Ya sabés cómo encontrar la moda de una serie de datos. Seguramente en alguna oportunidad calculaste unpromedio. En la actividad que sigue vas a retomar el estudio de los valores centrales de una muestra.Además de la moda y el promedio aprenderás a determinar la mediana de una serie y descubrirás la utilidadde cada uno de esos datos.

4. El promedio y la mediana

Es posible que hayas escuchado hablar de “promedios” asociados a las calificaciones escolares. Por ejemplo,cuando el maestro toma una prueba, puede sacar el promedio entre las notas de todos los alumnos.También un agricultor puede estar interesado en conocer el promedio de la cantidad de lluvia que cae oel número de días de sol que hay en determinado lugar en un año. ¿Cómo se obtiene un promedio y paraqué sirve saberlo? Un ejemplo podría ser averiguar cuál es la cantidad “promedio” de días de sol que es pro-bable que haya en tu localidad a lo largo de un año, para prever el uso de un panel de energía solar. Unaalternativa sería considerar los datos del número de días de sol que hubo en cada uno de los últimos 10años; esos datos son diferentes para cada año, pero si los sumás todos y dividís el resultado por 10, obtenésel promedio, es decir, el valor que te permite saber lo que necesitás.

a) En esta actividad, para calcular el promedio de las edades de los estudiantes de una escuelatenés que sumar las edades de todos los alumnos y dividir el total obtenido por la cantidad dealumnos. Respondé en tu carpeta:

1. ¿Cuál es el promedio de edad en las escuelas N° 15 y Nº 17 de la actividad 3? ¿Corresponde ala edad de alguno de los alumnos?

2. Compará los promedios de las edades de los alumnos de cada escuela. Seguramente notarásque casi no hay diferencia. ¿Eso quiere decir que los chicos que asisten a las dos escuelastienen edades parecidas? ¿Por qué?

3. Revisá con tus compañeros la respuesta a esta última pregunta. Lean después el texto quesigue donde se vuelve a considerar el tema.

frecuenciatotal de datos

220= = 0,10; o sea, frecuencia relativa = 10%.

M 1

MATEMÁTICA 174

En el caso analizado, seguramente calculaste el promedio o media de las edades de los niñosde la Escuela Nº 15 de este modo:

Como habrás observado, si bien el promedio de edades de los alumnos de la Escuela Nº15es mayor que 9 años y menor que 10, ninguno de los alumnos tiene esa edad.

En el caso de los alumnos de la Escuela Nº 17, el cálculo del promedio se puede hacer conla siguiente cuenta:

( 5 x 2 + 6 x 3 + 7 x 1 + 9 x 3 + 10 x 4 + 11 x 4 + 12 x 1 + 13 x 1 + 14 x 1) : 20 = 9,25

Aunque los promedios son bastante parecidos para las dos escuelas eso no significa que lasedades de los alumnos sean similares ni que el promedio corresponda a la edad de algún alumno.

El promedio o media aritmética es el valor central más utilizado en los trabajos de Estadísticadebido a la facilidad de su cálculo y la inmediata interpretación de su significado. Lo másvalioso del promedio es que para calcularlo se utilizan todos los valores de la serie; al ser con-siderados todos, no se pierde ninguna información.

En cambio, en algunos casos, conviene establecer cuál es el valor que corresponde al centrode la serie, es decir, aquel dato que está exactamente en el lugar del medio. De tal modo estevalor central, llamado mediana, separa la serie en dos partes de igual número de términos.

El promedio o media aritmética de un conjunto de datos numéricos es la suma de esos datos dividida por la cantidad de sumandos.

El valor ubicado en el centro de una serie de datos recibe el nombre de mediana.

Volviendo al ejemplo de las zapatillas de la actividad 2, los estudiantes encuestados fueron1.000, y la mediana de esa muestra es 40 porque, como se trata de un número par, los queocupan el lugar central son los encuestados en el lugar 500 y el 501, calzan el 40 y tienen a498 jóvenes que calzan menos que 40 y 498 que calzan más.

b) Ahora vas a revisar los conceptos de moda, promedio y mediana. Respondé en tu carpeta:

1. En la actividad 3, en el caso de las edades de los alumnos de la Escuela Nº 15, ¿cuál es lamediana? ¿Coincide con la moda?

2. ¿Y cuál es la mediana en las edades de los alumnos de la Escuela Nº 17? ¿Coincide con la moda?

3. En el caso de los préstamos de libros de la actividad 1, ¿qué número de días corresponde ala mediana? Para tomar la decisión de nombrar o no un ayudante, ¿tiene sentido calcular elpromedio?

5 + 5 + 6 + 6 + 7 + 11 + 13 + 13 + 13 + 1410

= 9,3

UNIDAD 5


En síntesis, a través de estas actividades aprendiste a calcular la media aritmética o promedio,la moda y la mediana, que en términos estadísticos se denominan valores centrales y repre-sentan la serie de datos que se considera. En los tres casos se trata de valores numéricos perotienen distinta aplicación.

El promedio o media aritmética es el valor central más utilizado en los trabajos deEstadística debido a la inmediata interpretación de su significado y a la facilidad de su cálculoque resulta de considerar todos los valores de la serie.

Sin embargo, en algunos casos, el valor del promedio puede estar fuertemente influidopor los valores extremos de la serie en estudio. Esto ocurre cuando esos valores extremosestán muy alejados del promedio. Por ejemplo, en una familia donde la abuela tiene 78años, la madre 40, el padre 45, la tía 43 y los hijos 5, 8 y 11, los extremos que son 5 y78 años están muy alejados del promedio que es de 33 años. En este caso, el promediode edades de los miembros de esa familia carece de representatividad.

La mediana y la moda no dependen de todos los valores particulares como en el caso delpromedio, sino del orden en que aparecen, y resultan de gran interés porque tienen un sig-nificado claro que las hace útiles al estudiar la estructura de la serie.

Además de tablas y gráficos de barras, la información que brinda una serie de datos también puede comu-nicarse mediante gráficos circulares o de sectores. Con el propósito de establecer diferencias entre ellosy poder decidir cuándo usar cada uno, la actividad que sigue te propone compararlos.

5. Representaciones gráficas

a) Observá los siguientes gráficos: el de la izquierda corresponde a las edades de los alumnos dela Escuela Nº 15 y el de la derecha a los de la Nº 17. Respondé las siguientes preguntas con algúncompañero. No olviden colocar un título adecuado al trabajo.

M 1

MATEMÁTICA 176

1. Los sectores correspondientes a cada edad, ¿tienen una superficie proporcional a la frecuenciade ese dato? ¿Cómo podés verificarlo?(Recordá lo que estudiaste de proporcionalidad en la unidad 2).

2. Cuando hay que representar una gran variedad de datos, ¿te parece que los gráficos circularesson una buena elección? ¿Por qué? (Para ayudarte a responder pensá, por ejemplo, en unaescuela que tuviera alumnos con edades entre los 4 y los 20 años.)

b) Observá nuevamente los gráficos de barras con los que trabajaste en las actividades anteriores ylos gráficos circulares y respondé las siguientes preguntas. Si podés, también para estas respuestas,intercambiá tus ideas con un compañero:

1. ¿Cuántos niños menores de 8 años hay en las escuelas Nº 15 y Nº 17? ¿En qué gráfico sepuede obtener esa información?

2. Los gráficos circulares, ¿muestran la misma información que los de barra? ¿Por qué?

3. ¿Qué información “se ve mejor” en cada tipo de gráfico?

4. Si ingresan dos alumnos nuevos a una de las escuelas, ¿qué gráfico te parece más fácil paramodificar? ¿Por qué?

5. En la unidad 4 de Ciencias Sociales se estudia la población mundial a través de datos estadís-ticos y utilizando diferentes formas de representación de la información. ¿Coincide lo allípresentado con tu análisis de los gráficos de las actividades anteriores de esta unidad?

Los ángulos de los sectores circulares son directamente proporcionales a las frecuencias. Los gráficos circulares son útiles para mostrar cuál es la proporción entre cada sector y el total, por eso tambiénpueden representarse en porcentajes. Los gráficos de barras permiten leer cantidades fácilmente yagregar información, modificando el total sin necesidad de rehacer todo el gráfico.

En la actividad siguiente, tendrás oportunidad de aplicar todo lo que estudiaste en esta unidad de Estadística.Vas a poder comprobar cuánto aprendiste acerca de las distintas formas de organización y representaciónde datos y de los valores centrales de una serie. No dudes en volver sobre las actividades que resolviste ylas explicaciones que se desarrollan a lo largo de la unidad.

6. Organización de datos

a) Resolvé esta situación realizando las consignas que aparecen debajo de la tabla.

UNIDAD 5


Una docente midió la altura de los 30 niños de su clase y obtuvo los siguientes resultados en metros:

1. Organizá en tu carpeta una tabla de frecuencias. Calculá la frecuencia relativa de cada valor yexpresalo en porcentaje.

2. Observá la tabla y respondé:

• ¿Hay más de una moda?• ¿Cuál es la mediana?• ¿Cuál es el promedio?• ¿Te parece que el promedio es representativo de la población? ¿Por qué?• Si tuvieras que representar la serie de datos gráficamente, ¿qué tipo de representación elegirías?

¿Por qué?

b) Si es posible, trabajá con un compañero. En la biblioteca de tu escuela seguramente hay librosy revistas donde aparecen gráficos estadísticos. Tal vez, investigando algún tema de CienciasSociales o Naturales, hayas considerado alguno. Elijan algunos de esos gráficos y obsérvenlos conatención para responder a estas preguntas, cada uno en su carpeta.

1. ¿Qué información brindan los gráficos?

2. ¿En qué unidades está expresada la información en cada gráfico?

3. A partir de un gráfico, ¿siempre se puede elaborar una tabla de valores? ¿Por qué?

4. ¿En qué casos tiene sentido calcular el promedio de los valores? ¿Por qué?

Para finalizarEn esta unidad exploraste algunas diferencias entre distintas formas de representar series de datos:

tablas, gráficos de barras y gráficos circulares. Habrás observado que, aunque la información sea lamisma, para mostrarla se la puede organizar de maneras diferentes. Toda representación permite descubrirvisualmente lo que se desea comunicar, por eso; para elegir qué tipo de representación es más convenientepara una determinada población, hay que tener en cuenta los aspectos que se quieren analizar.

La frecuencia con la que aparece un dato muestra algunas características del conjunto que se estudia.Pero es importante relacionar esta frecuencia con el total de datos recogidos, vale decir que la frecuenciarelativa permite ver la incidencia de una parte en el todo.

También aprendiste a organizar datos y poder así encontrar la moda y el promedio o media aritméticacomo valores centrales y pudiste observar que no siempre coinciden.

Como habrás podido observar, la moda, el promedio y la mediana de una serie de datos pueden nocoincidir y pueden tener diferentes aplicaciones según el propósito de quien se interesa en investigar losdatos de una población. De la comparación de los tres valores centrales surgirá un criterio para juzgar larepresentatividad del promedio en cada caso particular.

1,21 1,28 1,27 1,21 1,22 1,29

1,30 1,24 1,27 1,29 1,23 1,26

1,31 1,21 1,27 1,30 1,22 1,25

1,20 1,28 1,21 1,29 1,26 1,22

1,28 1,27 1,26 1,23 1,22 1,21

M 1

MATEMÁTICA 178

1. Un número curiosoEn 1321, un libanés llamado Malba Tahan escribió un hermoso libro que hoy se conoce con el título

de El hombre que calculaba. En el capítulo XXIII presenta un curioso número: el 142.857. Te sorpren-

derá observar las cifras de los siguientes productos y compararlas con las del primer factor:

142.857 x 2 = 285.714

142.857 x 3 = 428.571

142.857 x 4 = 571.428

142.857 x 5 = 714.285

142.857 x 6 = 857.142

142.857 x 7 = 999.999

142.857 x 8 = 1.142.856

142.857 x 9 = 1.285.713

El desafío consiste en que encuentres las particularidades de los productos de 142.857 multiplicado

por 10, por 11, por 12 y por 13. Seguramente querrás seguir investigando la serie.

2. Otro problema de Malba Tahan“La quinta parte de un enjambre de abejas se posó en una flor de Kadamba; la tercera parte, en una

flor de Silinda; el triple de la diferencia entre estos dos números voló sobre una flor de Krutaja, y

una abeja quedó sola en el aire, atraída por el perfume de un jazmín y de un pandinus. Dime, bella

niña, ¿cuál es el número de abejas que formaban el enjambre?”

3. Alimentos para animalesUna empresa elabora alimentos para animales y envasa su producción en bolsas de 3 kg, 5 kg, 10 kg,

15 kg y 20 kg. En esta oportunidad dispone de 15 toneladas a granel y decide envasar la misma

cantidad de alimento por cada tipo de bolsa. ¿Cuántas bolsas de cada tipo venderá la empresa?

4. Con las cuatro operacionesColocá, entre las nueve cifras siguientes, los signos de las cuatro operaciones aritméticas (+, –, x, :)

en los lugares adecuados, para que resulte una igualdad:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100

• Hay más de una solución. Jugá con tus compañeros para ver cuántas encuentran.

UNIDAD 5


Con esta unidad se inicia una serie dedicada a la Geometría, la parte de la Matemática que estudia lasformas y las medidas de las figuras, los cuerpos y los espacios.

Los objetos de estudio de la Geometría constituyen elementos e ideas abstractas que sirven para estudiarlos objetos reales. Así, una figura plana como el círculo se puede asociar con la imagen que vemos de laluna llena, y un cuerpo como el cilindro, con la forma del tronco de un árbol.

Los primeros conocimientos geométricos se remontan a la Antigüedad, y surgieron a partir de la observación del cielo y de la naturaleza. En las unidades 1 y 2 de Ciencias Naturales, dedicadas a laAstronomía, pudiste ver cómo interviene la Geometría en el estudio de los astros y planetas, y las relaciones entre ellos.

La palabra geometría quiere decir “medida de la Tierra”, y viene del griego: geo, tierra y metro, medida.Los pueblos antiguos usaron la Geometría para resolver problemas de la vida cotidiana, como medir ydividir la tierra para cultivar, construir viviendas y edificios sagrados, inventar diferentes clases de objetoscomo medios de transporte, utensilios, armas para la guerra, y también crear coreografías para las dan-zas rituales. Por ejemplo, los babilonios y los egipcios tenían conocimientos prácticos acerca de los temasque vas a ver en esta unidad: los triángulos y los ángulos. Con posterioridad, esos conocimientos pasaron alos griegos, que dieron a la Geometría su carácter de ciencia.

En Geometría, como en otras áreas del conocimiento matemático, es tan importante el proceso de razona-miento que lleva a la solución de un problema como su resultado final. En esta unidad encontrarás algunoscaminos para la exploración de figuras geométricas en la seguridad de que el diálogo con tus compañeros ytus maestros te llevará a descubrir otros procedimientos posibles. Vas a realizar actividades para descubrir laspropiedades de las figuras triangulares.

En la actividad 1 estudiarás algunas propiedades de los ángulos de un triángulo. Necesitarás papel, tijeras,útiles de Geometría.

a) Si observás qué tipo de construcciones hay en el lugar donde vivís, podrás ver que algunas tienen formas triangulares. ¿Qué otros objetos o construcciones conocés que contengan figurastriangulares? ¿Dónde están? ¿Por qué será que en las grandes construcciones que muestran las fotos,los arquitectos e ingenieros que las diseñaron decidieron usar estructuras en forma de triángulos?

UNIDAD 6 Triángulos

TEMA 1: LOS TRIÁNGULOS Y SUS ELEMENTOS

06 Matematica 7-Unidad 6 9/13/07 7:18 PM

MATEMÁTICA 180

A medida que avances en la resolución de las actividades de esta unidad vas a encontrar las respuestas a estasy otras preguntas a través del conocimiento de las propiedades de los triángulos. Por ejemplo, si se unen tresvarillas formando un triángulo, la rigidez de su forma lo hace tan sólido y tan fuerte que se torna indeformable.Entre las actividades propuestas a continuación, algunas requieren dibujar o construir. En algunas ocasionestendrás que colocar figuras; es importante que lo hagas para que puedas moverlas libremente.

Si se quiere limitar una superficie plana con trazos rectos es necesario considerar por lo menos tres lados.

En cualquier triángulo EST, se pueden reconocer:

- tres lados: ES, ST, ET - tres vértices: E, S, T- tres ángulos interiores: EST, STE, TES - seis ángulos exteriores: α, β, δ, γ, σ, φ

En la actividad 2 vas a usar hojas de papel transparente o de calcar, hilo y algunos sorbetes. Separá algunossorbetes para otras actividades.

1. Suma de los ángulos interiores

a) Dibujá en una hoja de papel grueso un triángulo PRQ cualquiera y recortalo.

1. Usalo como molde para dibujar otro triángulo PRQ igual en tu carpeta.

2. Ponele letras a los vértices del triángulo dibujado y las mismas letras en los ángulos del triángulo de papel.

T

E αβ

γ

σφ

δ

S

UNIDAD 6

Secr

etar

ía d

e Tu

rism

o de

la N

ació

n

Min

iste

rio

de E

duca

ción

y C

ienc

ia d

e Es

paña



3. Rompé en tres pedazos el triángulo de papel de modo que cada trozo contenga uno de losángulos y pegá los trozos en tu carpeta, uno a continuación del otro, haciendo coincidir los vértices de los ángulos, como muestra la figura 2.

b) Respondé en tu carpeta:

1. La suma de los ángulos interiores del triángulo PQR, ¿a cuántos ángulos rectos equivale?

2. Compará tu respuesta con las de otros compañeros y cada uno escriba en su carpeta unaconclusión general.

c) ¿Creés que es verdadero o falso que en cualquier triángulo STL el ángulo exterior φ con vérticeen L es igual a la suma de los ángulos interiores T y S?

1. Para comprobarlo, dibujá el triángulo en una hoja y recortalo. Usá el recurso de romper entres trozos el triángulo recortado como hiciste en la parte a) de esta actividad y de esta maneracompará la suma de los ángulos interiores T y S con el ángulo exterior en L.

2. Hacé lo mismo con los otros ángulos exteriores y repetí tu exploración con dos o mástriángulos diferentes. Compará tu trabajo con el de otros compañeros.

3. Pegá en tu carpeta las figuras con las que trabajaste en esta actividad, en el orden que quieras;luego copiá y completá el texto siguiente:

• En cualquier triángulo, uno de sus ángulos exteriores es equivalente a la suma d…

R

QP

P

Q R

αβ

γ δ

φσ

T

S L

figura 1 figura 2

M 1


MATEMÁTICA 182

En las cuatro actividades que siguen vas a aprender diferentes formas en las que se pueden clasificar los trián-gulos y las vas a aplicar. Para eso trabajarás con distintos tipos de triángulos y vas a conocer un sistema paraclasificarlos.

2. Clasificación de triángulos según sus lados

a) Prepará una colección de sorbetes recortados: 3 largos (aproximadamente de 8 cm), 3 cortos(aproximadamente de 4 cm) y tres medianos.

b) Tomá 3 sorbetes de diferente longitud (comprobá que son diferentes poniéndolos en escalera)y pasales el hilo para que se forme un contorno triangular. Copiá el contorno en tu carpeta. Ponécomo título: “Clasificación de triángulos según sus lados”.

Los triángulos que tienen sus tres lados diferentes se llaman escalenos.

c) Cambiando un solo sorbete de tu triángulo escaleno y usando los sorbetes que tenés recortados,formá un triángulo que no sea escaleno. Observá que esta vez los lados no son todos diferentesentre sí.

d) Escribí en tu carpeta qué relación hay entre las longitudes de los lados de este nuevo triángulo. El triángulo que construiste y los que construyeron tus compañeros, no son escalenos: tienendos lados iguales.

Los triángulos que no son escalenos se llaman isósceles.Los triángulos isósceles que tienen tres lados iguales se llaman equiláteros.

3. Familia de triángulos

a) Calcá los triángulos de la siguiente colección de fichas en papel de calcar y después recortálas fichas.

b) Para explorar los triángulos dibujados en las fichas que recortaste, medí con la regla cada ladode los triángulos. Anotá la medida sobre cada lado.

UNIDAD 6



c) Elegí un triángulo cualquiera de la colección, por ejemplo el ABC, y recorré con él el siguientediagrama. Al terminar el recorrido anotá en la ficha si se trata de un triángulo escaleno, isóscelesequilátero o isósceles no equilátero. Repetí la tarea con todos los triángulos de las fichas.

PM

N

P

A

B

C

M 1


MATEMÁTICA 184

4. Clasificación de triángulos por sus ángulos

En la actividad anterior clasificaste los triángulos por sus lados. Ahora los vas a clasificar por sus ángulos.

Para clasificar los triángulos por sus ángulos es necesario que tengas presente esta información:Los ángulos menores que un recto se llaman agudos. Los mayores que un recto se llaman obtusos.Los triángulos, según cómo sean sus ángulos interiores, se denominan: acutángulos, si todos sus ángulosson agudos, es decir, menores que un ángulo recto; rectángulos, si tienen un ángulo recto y obtusángulos, si uno de sus ángulos es obtuso.

a) Usá las fichas con triángulos que recortaste en la parte a) de la actividad 3. Observá cada unode ellos y escribí en cada ficha si se trata del dibujo de un triángulo rectángulo, acutángulo u obtu-sángulo. Para decidir qué clase de triángulo es, vas a tener que comparar sus ángulos con un ángulorecto. Un método práctico para hacerlo consiste en usar como instrumento un ángulo recto depapel que podés obtener haciendo un doblez en un papel cualquiera y luego otro haciendo coincidirlos bordes del doblez anterior. Si abrís el papel verás que han quedado formados 4 ángulos rectos.Cuando está doblado te sirve para decidir si otro ángulo es mayor, menor o igual que un recto.

b) Péga las fichas en tu carpeta. Los triángulos ya están clasificados según sus lados pues lo reali-zaste en la actividad 3 y también, por sus ángulos.

c) Respondé en tu carpeta:

1. ¿Se puede dibujar un triángulo rectángulo equilátero? ¿Por qué?

2. ¿Se puede dibujar un triángulo que resulte obtusángulo equilátero? ¿Por qué?

3. Conversá sobre estas respuestas con tu maestro y tus compañeros.

5. Clases de triángulos

a) Reunite con un compañero para confeccionar un afiche que muestre cómo se pueden clasificarlos triángulos según la medida de sus lados y de sus ángulos.Una posibilidad consiste en completar una tabla como la siguiente, con un dibujo adecuado encada caso. Pero no es la única, pueden elegir otra forma de hacerlo.

UNIDAD 6



En el tema 1 trabajaste con distintas clases de triángulos observando y comparando los lados o los ángulos.En el tema 2, vas a profundizar en las relaciones que existen entre los lados de un mismo triángulo y segu-ramente vas a poder comprobar si la respuesta que pensás ahora para la pregunta del próximo título escorrecta.

Para realizar la actividad 7 necesitás cartulina, tijeras y los útiles de Geometría.

6. Relación triangular

a) Elijan 3 sorbetes de cualquier longitud para formar un triángulo y clasificarlo por sus lados y sus ángulos. Prueben con distintos sorbetes. Luego respondan en la carpeta.

1. Con cualquier terna de segmentos; es decir, con cualquier conjunto de tres sorbetes, ¿se puede construir un triángulo que los tenga como lados?

2. Pablo tomó un sorbete de 12 cm, otro de 5 cm y el tercero de 6 cm; ¿por qué no pudo cerrarun triángulo?

TEMA 2: CON TRES SEGMENTOS, ¿SIEMPRE SE PUEDE CONSTRUIR UN TRIÁNGULO?

Clasificación según

Lados

Ángulos

Acutángulos

Rectángulos

Obtusángulos

EscalenosEscalenos

Isósceles no equiláteros

No escalenos: isósceles

Isósceles equiláteros

M 1


MATEMÁTICA 186

3. ¿Qué condición tienen que cumplir los lados para que se pueda formar un triángulo?

La relación entre la medida de los lados de un triángulo es muy importante, ya que es sucondición de existencia y se la conoce como propiedad triangular.

Según la propiedad triangular, en todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

En símbolos:a < b + c a > b + cb < a + c b > a + cc < b + a c > b + a

(las letras a, b y c representan la medida de cada uno de los lados)

b) Copiá la siguiente tabla en la carpeta y respondé las siguientes preguntas:

1. ¿Se pueden construir triángulos con las medidas de los lados indicadas en cada renglón?

2. En los casos en que sea posible realizar la construcción, háganla con regla y compás.

c) Clasifiquen los triángulos que dibujaron en acutángulo, rectángulo u obtusángulo. Para ello,anoten la cualidad de cada ángulo (agudo, recto u obtuso) en las figuras realizadas.

a b

c

Lados

a

2,5 cm

7 cm

3,4 cm

7 cm

4,5 cm

b

5 cm

8 cm

9 cm

3,5 cm

4,5 cm

c

8 cm

4 cm

2 cm

3,5 cm

3 cm

UNIDAD 6



En la actividad 7 vas a construir las piezas de un rompecabezas. Todas las piezas estarán construidastomando como base un triángulo equilátero de 2 cm de lado (“triángulo base” del rompecabezas).

7. Rompecabezas triangular

a) Realizá las siguientes consignas.

1. Recortá un triángulo equilátero de cartulina de 2 cm de lado, el “triángulo base”.

2. Sobre un papel, dibujá las otras piezas del rompecabezas (que después recortarás en cartulina)

utilizando como molde el “triángulo base”. Deberás construir cada nueva pieza buscando que

la superficie del “triángulo base” sea , , , y de la superficie de cada una de las nuevas

piezas, sin cortar el triángulo base. Por ejemplo, para construir la primera deberás utilizar dos

“triángulos base”. Solamente trabajarás con figuras cuyos bordes no presenten “hundimientos”,

como sucede en este caso:

Si tenés alguna dificultad para formar estas piezas, pedile ayuda a tu maestro.

3. Recortá las piezas del rompecabezas.

b) Con las piezas que obtuviste deberás armar un triángulo equilátero de 10 cm de lado usandosiete piezas diferentes: un triángulo base, un rombo, un triángulo equilátero, dos trapecios, unparalelogramo y un hexágono.

c) Dibujá en tu carpeta el rompecabezas armado y pintá con distintos colores las diferentes piezas.Compará tu rompecabezas armado con los que hicieron otros compañeros; te sorprenderá verque hay más de una solución.

d) Copiá en tu carpeta la siguiente tabla y completala. Luego, respondé las preguntas.

12 1

2

13

14

15

16

M 1


1. ¿Creés que la variación entre el número de “triángulos base” de cada pieza del rompecabezas ysu perímetro es directamente proporcional? ¿Por qué? Explicalo en tu carpeta.

La siguiente actividad es para que la realicen entre dos o más compañeros. Podrán analizar con qué datoses indispensable contar para construir un triángulo. Necesitarán hojas, lápices y los útiles de Geometría.

8. ¿Cómo construir un triángulo igual a uno dado?

a) Cada uno de los compañeros dibuje en una hoja un triángulo cualquiera y luego junten todaslas hojas.

b) Repartan los dibujos de los triángulos entre todos, uno para cada uno. Controlen que lestoque uno diferente al que cada uno dibujó.

c) Escriban en otra hoja las instrucciones para que cualquier otro compañero dibuje un triánguloque pueda superponerse exactamente con el que ustedes recibieron.

MATEMÁTICA 188

UNIDAD 6

Pieza del rompecabezas de10 cm de lado

Fracción de triángulo

1

2

125

225

425

425

6

8

Número de “triángulos base”

Perímetro (en cm)



d) Intercambien los mensajes entre ustedes y dibujen el triángulo siguiendo las instruccionesrecibidas, sin pedir aclaraciones orales. Pueden emplear los procedimientos de construcciónque quieran, por ejemplo, usar regla y transportador, o regla y compás.

e) Superpongan colocando al trasluz, los dibujos y discutan sobre los resultados obtenidos.

Para finalizarA lo largo de esta unidad, clasificaste triángulos según sus lados y sus ángulos, y estudiaste propiedades

que tienen muchas aplicaciones en el estudio de otras figuras:- La suma de los ángulos interiores de un triángulo es equivalente a la suma de dos ángulos rectos.- En todo triángulo, un ángulo exterior es equivalente a la suma de los otros dos ángulos interiores.- En todo triángulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.En otras unidades volverás sobre estos conceptos cuando estudies temas de Geometría.

En la unidad 8 vas a trabajar sobre cuerpos geométricos. En esa oportunidad usarás un material que esconveniente que vayas preparando con tiempo. Se trata de construir con cartón (no cartulina) una colecciónde figuras que se conoce como formaedro, por lo menos 6 de cada una, según los modelos que se muestrana continuación. Consultá con tu maestro cómo construirlo y en qué tiempo.Para orientarte en la construcción de la figura, observá las fotos de la unidad 8, páginas 101 y 102.

M 1


MATEMÁTICA 190

UNIDAD 6



M 1


MATEMÁTICA 192

Consultá con tu maestro en qué momento conviene que resuelvas estos problemas de ingenio, curiosida-des y juegos; podrás resolver todos o algunos, en tu casa o en la escuela.

1.Construcción de un triánguloa) Dibujá un triángulo isósceles con un ángulo igual a la mitad de un recto.

b) Hallá la medida de los otros dos ángulos. Compará tus respuestas con las de tus compañeros.

¿Cuántas soluciones creen que se pueden obtener al resolver este problema? ¿Por qué?

2. Pares y nones¿Puede ser la suma de los quince primeros números naturales impares igual a la suma de los quince

primeros números naturales pares? ¿Por qué?

3. Triángulos en triángulos a) Dibujá en una hoja un triángulo cualquiera. Recortalo. Marcá un segmento que tenga por extremos

los puntos medios de dos lados. Doblá el recorte por ese segmento. ¿Cómo son los triángulos que

quedaron formados? ¿Por qué?

b) ¿Cuántos triángulos como el más pequeño se necesitan para cubrir el más grande? ¿Cómo se

puede comprobar?

UNIDAD 6



En la unidad anterior trabajaste sobre triángulos y observaste que una de sus características es que no sedeforman. Las figuras con las que trabajarás en esta oportunidad, los cuadriláteros o figuras de cuatrolados, no poseen esa propiedad; una forma de comprobarlo es observando que con cuatro varillas articuladasse puede formar más de un cuadrilátero.

Si mirás a tu alrededor encontrarás muchos objetos que se pueden dibujar representándolos con figurasde cuatro lados: tu carpeta, la tapa de la mesa, la puerta, la ventana, el pizarrón, un barrilete.

Los cuadriláteros, al igual que los triángulos, tienen ángulos y vértices, y además tienen otro elemento quelos distingue: las diagonales.En las actividades de esta unidad vas a explorar cuadriláteros a través de sus diagonales. Vas a analizar,por ejemplo, su longitud, el punto en que se cortan, y si lo hacen o no perpendicularmente. Estas particu-laridades te permitirán clasificar a los cuadriláteros y reconocer sus propiedades.Te recordamos que en la unidad anterior empezaste a construir el formaedro; es importante que sigashaciéndolo, porque lo necesitarás en la unidad siguiente.

Para realizar la actividad 1 necesitás tener a mano materiales que te permitan construir cuadriláteros:sorbetes, palillos, tiras de papel y broches mariposa y papel punteado. Si tenés dudas sobre alguno deestos materiales, consultá con tu maestro.

1. Construcción de cuadriláteros a partir de sus diagonales

En cualquier cuadrilátero MCBL, podés reconocer: - cuatro lados: MC, CB, BL, LM- lados opuestos: por ejemplo, MC y BL- lados consecutivos: por ejemplo, MC y CB- cuatro ángulos interiores: MCB, CBL, BLM, LMC- cuatro vértices: M, C, B, L - dos diagonales MB, CL

a) Vas a construir 8 cuadriláteros a partir de sus diagonales. Las indicaciones que figuran a conti-nuación describen las condiciones que cumplen las diagonales de cada uno. Tenés que dibujar cadacuadrilátero y ponerle nombre a sus vértices. Si es posible, trabajá en estas construcciones con uncompañero, hagan una por vez y luego dibuje cada uno el cuadrilátero en su carpeta.

L

M B

C

UNIDAD 7 Cuadriláteros

Dos segmentos son perpendiculares cuando al cortarseforman un ángulo recto.

Indicaciones: antes de dibujar, es conveniente que construyas las figuras con los materiales: sorbetes,palillos, tiras de papel y broches mariposa, o papel punteado usando los datos que se enumeran acontinuación.Las diagonales del cuadrilátero son...

1. Dos segmentos de 6 cm que se cortan perpendicularmente en su punto medio.

2. Dos segmentos de 6 cm que se cortan perpendicularmente pero en el punto medio de unosolo de ellos.

3. Un segmento de 6 cm y otro de 4 cm que se cortan perpendicularmente en su punto medio.

4. Un segmento de 6 cm y otro de 4 cm que se cortan perpendicularmente pero no por el puntomedio de ninguno de ellos.

5. Dos segmentos de 6 cm que se corten no perpendicularmente por su punto medio.

6. Un segmento de 6 cm y otro de 4 cm que se cortan perpendicularmente por el punto mediode uno solo de ellos.

7. Un segmento de 6 cm y otro de 4 cm que se cortan no perpendicularmente por el puntomedio de ambos.

8. Dos segmentos de 6 cm que se cortan no perpendicularmente ni por el punto medio dealguno de ellos.

b) Observá todos los cuadriláteros que te quedaron dibujados y comentá con tus compañeros ytu maestro en qué se parecen y en qué se diferencian entre ellos.

c) Dibujá en cartulina 8 cuadriláteros como los que obtuviste anteriormente y recortalos. Siquerés, podés calcarlos. Escribí en ellos el número que le corresponde según las indicaciones.

d) Observá los lados y los ángulos de las figuras recortadas y hacé circular cada cuadrilátero porlas ramas de cada uno de los siguientes diagramas con forma de árbol que se llaman “árboles dedecisión”. Anotá, en el lugar de la tabla que le corresponde, qué nombres recibe a medida quecircula por el primero de los árboles y luego por el otro.

MATEMÁTICA 194

UNIDAD 7


Diagrama 1

M 1

MATEMÁTICA 196

Por ejemplo, en el caso 5 escribirás trapecio, paralelogramo y rectángulo. El camino para llegar aesa conclusión fue:

- Ingresó por tener cuatro lados n cuadrilátero- Tiene lados paralelos n trapecio- Tiene dos pares de lados paralelos n paralelogramo- Los lados consecutivos son perpendiculares n rectángulo

En la actividad anterior para clasificar los cuadriláteros utilizaste diferentes criterios que te permitieronnombrarlos y distinguirlos. Ahora vas a estudiar sus propiedades.

2. Propiedades de los cuadriláteros

a) Reunite con tus compañeros y respondan entre todos las siguientes preguntas referidas a lasfiguras con las que trabajaron en la actividad 1. Amplíen la lista formulando ustedes mismos otraspreguntas. Para hacerlo, pueden consultar algún libro o manual de Matemática que tengan en labiblioteca. Escriban las preguntas y sus respuestas en la carpeta:

Diagrama 2

UNIDAD 7


1. ¿Cuáles de los cuadriláteros tienen un par de lados paralelos?; ¿y dos pares de lados paralelos?

2. ¿Cuáles tienen lados perpendiculares?

3. ¿Cómo son los lados opuestos de un paralelogramo?

4. ¿Qué se puede asegurar de los ángulos opuestos de un paralelogramo?

5. ¿Qué cuadriláteros tienen sus diagonales iguales?

6. ¿Qué cuadriláteros tienen sus diagonales perpendiculares?

7. ¿En qué cuadriláteros las diagonales se cortan mutuamente en partes iguales?

b) Dibujen los cuadriláteros que cumplan con las siguientes condiciones:

1. dos lados de 5 cm y dos lados de 7 cm,

2. todos sus lados de 4 cm,

3. dos ángulos de la mitad de un recto, un lado de 6 cm y otro lado de 3 cm.

c) Observen los dibujos y piensen, en cada caso, si otro cuadrilátero puede reunir las mismascondiciones y ser de distinta clase. Si es así, hagan los diferentes dibujos y escriban qué clase decuadrilátero es cada uno.

En las actividades anteriores clasificaste cuadriláteros y analizaste algunas de sus propiedades. Para quepuedas revisar lo que aprendiste y hacer una síntesis, te proponemos realizar la siguiente actividad.

3. Caracterización de cuadriláteros

a) Algunas propiedades de los cuadriláteros se pueden resumir en el siguiente cuadro. Copialo entu carpeta y escribí sí o no, según corresponda.

Figura

Propiedad

Los lados opuestos son iguales

Los ángulos opuestos son iguales

Las diagonales son iguales

Las diagonales son perpendiculares

Las diagonales se cortan mutuamenteen su punto medio

M 1

b) Copiá en tu carpeta la descripción de cada uno de los siguientes doce elementos y escribí concolor el nombre que corresponde a cada uno de ellos.

1. Paralelogramo que tiene 4 lados iguales y 4 ángulos rectos.

2. Paralelogramo que tiene 4 ángulos rectos y diagonales no perpendiculares.

3. Cada uno de los segmentos que limitan un cuadrilátero.

4. Segmento que une dos vértices no consecutivos de un cuadrilátero.

5. Ángulos que forman las diagonales del rombo al cortarse.

6. Puntos extremos de cada lado del cuadrilátero.

7. Cuadrilátero con dos pares de lados opuestos paralelos e iguales.

8. Cantidad de lados de un trapecio.

9. Cuadrilátero con un par de lados opuestos paralelos.

10. Los lados del cuadrado son perpendiculares e...

11. Paralelogramo con 4 lados iguales no perpendiculares.

12. Los rectángulos son paralelogramos.

c) Para controlar tus respuestas, fijáte si los nombres que escribiste podrían colocarse en elsiguiente acróstico.

La actividad siguiente te permitirá avanzar un poco más en el estudio de los cuadriláteros; está rela-cionada con una propiedad de los romboides. Consultá con tu maestro para que te indique si la vas ahacer y cuándo.

MATEMÁTICA 198

CC

UU

AA

DD

RR

II

LL

ÁÁ

TT

EE

RR

OO

11

22

33

44

55

66

77

88

99

1100

1111

1122

UNIDAD 7


4. Diagonales y romboides

a) En esta actividad te proponemos explorar la siguiente propiedad: “la diagonal mayor de unromboide es bisectriz de los ángulos cuyos vértices une”.

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice que lo divide en dos ángulos iguales.

b) En una hoja hacé dibujos de distintos romboides, entre ellos un rombo y un cuadrado.Recortalos y plegalos por sus diagonales. Observá en cada caso si se cumple la propiedad que estáenunciada más arriba.

c) En tu carpeta escribí sintéticamente cómo llevaste a cabo tu exploración y qué conclusiónobtuviste. No olvides considerar los casos “especiales”, el rombo y el cuadrado.

Para finalizarA través de las actividades de esta unidad exploraste colecciones de cuadriláteros para examinar sus

características. Comenzaste por analizar las diagonales según su longitud, la posición del punto deintersección entre ambas y si al cortarse determinan ángulos rectos o no . Como resultado de esa explora-ción aprendiste que las diagonales de los cuadriláteros pueden ser iguales o distintas en longitud, se puedencortar en el punto medio de ambas, o en el punto medio de una de ellas, o no cortarse en el punto medio deninguna, y que pueden hacerlo perpendicularmente o no .

Cada una de esas características determina que un cuadrilátero pertenezca a una clase con una deno-minación propia: cuadrado, rectángulo, paralelogramo, rombo, romboide, trapecio, trapezoide. Esas clasesno son excluyentes, es decir que un cuadrilátero puede pertenecer a más de una clase, por ejemplo, uncuadrado es un rombo y un rectángulo.

Usaste diagramas con forma de árbol como una interesante herramienta para analizar ordenadamentelas propiedades comunes y las que distinguen a cada clase de cuadriláteros. Estos conocimientos deGeometría son de mucha utilidad no sólo para aprender más Matemática sino para aplicarlos en el diseñode artesanías, la confección de muebles y enseres, y en la creación de objetos artísticos.

Como en todas las unidades, a continuación vas a encontrar diferentes problemas matemáticos para queacuerdes con el maestro cuándo los vas a encarar.

M 1

MATEMÁTICA 1

1. ¿Qué número borraste?• Elegí un número cualquiera y multiplicalo por 9. Anotá el resultado.

• Borrá una cifra cualquiera del resultado que no sea un cero.

• Sumá las otras cifras y anotá la suma.

• ¡¡¡Yo te puedo decir qué cifra borraste!!! ¿Cómo lo pude saber?

• Explorá con muchos ejemplos hasta que lo descubras.

2. Embaldosar cuadradosEl problema de embaldosar una superficie cuadrada con baldosas cuadradas es bastante reciente.

No hablamos del caso común en arquitectura de usar mosaicos cuadrados del mismo tamaño, sino

de un problema con otra condición: todos los cuadrados deben ser de diferente tamaño. En 1962,

el matemático holandés A. W. J. Duivestijn probó que el menor número de cuadrados de diferente

tamaño que pueden cubrir una superficie cuadrada es 21. En 1978 encontró esa superficie y, además,

demostró que esa solución era única.

Estas son algunas pistas para que intentes construirla:

- el lado del cuadrado es de 112 unidades,

- uno de los lados está formado por los lados de cuadrados de 50, 35 y 27 unidades,

- otro lado está formado por los lados de cuadrados de 27, 19, 24 y 42 unidades,

- el tercero está formado por los lados de cuadrados de 42, 37 y 33 unidades,

- el cuarto lado está formado por los lados de tres cuadrados diferentes.

Te falta encontrar los 12 cuadrados diferentes que ajusten en la parte central. No es tan difícil como

parece ni tan sencillo que no valga la pena ponerse a pensar.

3. Embaldosar rectángulos con cuadradosEl problema que presentamos es parecido al anterior. Se trata de

embaldosar un rectángulo de 75 x 112 unidades con 13 baldosas

cuadradas diferentes.

Te damos algunas pistas para que busques dos soluciones distintas de

este problema. Son diferentes en el modo de ubicar los cuadrados,

pero las baldosas son las mismas para ambas soluciones.

- En una solución se encuentran en las cuatro esquinas del rectángulo,

cuadrados de 39, 42, 33 y 36 unidades de lado.

- En la otra solución se encuentran en las cuatro esquinas del rectán-

gulo, cuadrados de 39, 31, 24 y 36 unidades de lado.

Ya tenés los datos de seis cuadrados, sólo te faltan siete. ¡Ánimo!, que la

satisfacción de haber resuelto el rompecabezas es grande.

100

UNIDAD 7


En las unidades anteriores estudiaste en detalle las características y propiedades de dos tipos de figurasplanas: los triángulos y los cuadriláteros. Esas y todas las figuras planas limitadas por segmentos se llaman engeneral polígonos, que quiere decir “con muchos ángulos”. La palabra poli, en griego, significa “muchos”, yla vas a encontrar varias veces usada en Geometría. En los polígonos, como ya viste en el caso de lostriángulos y los cuadriláteros, la cantidad de ángulos coincide con la cantidad de lados y de vértices. Porejemplo, un hexágono tiene seis ángulos, seis lados y seis vértices. Los polígonos pueden tener diversacantidad de lados, y pueden ser, junto con otras figuras planas, como el círculo, las “caras” de los cuerpos.

Hay cuerpos de muy variadas formas, tantas como las de los objetos que nos rodean. La forma de losobjetos construidos por el hombre, en general, está relacionada con el uso que se le da. La tapa de la mesaes plana para poder apoyar cosas sobre ella. Los lápices son largos para que se puedan tomar con la mano,algunos son redondeados y otros con seis caras planas; los redondeados pueden rodar fácilmente, losotros se pueden apoyar mejor.

En esta unidad vas a realizar actividades que te ayuden a descubrir regularidades en las formas de los objetosy a comprender propiedades de algunos cuerpos geométricos. Para trabajar en esta unidad es muy importante que construyas algunos cuerpos. En la unidad 6 comenzastea construir el formaedro. Llegó el momento de utilizarlo en las construcciones que se te indican en estaprimera actividad. Si no lo tenés disponible, consultá con tu maestro cómo superar esta dificultad.

1. Formaedro

a) Trabajen con las piezas de formas geométricas que comenzaron a construir en la unidad 6.Este conjunto de figuras se llama formaedro.

1. Si eligen convenientemente algunas de ellas podrán armar distintos cuerpos. Para ello, lasaletas dibujadas se doblan hacia afuera y se unen a otras usando banditas elásticas. Observencómo quedan:

UNIDAD 8 Cuerpos y figuras

MATEMÁTICA 1102

b) Elijan las figuras necesarias y armen con ellas el cuerpo que quieran.

c) Lean esta explicación sobre la construcción que acaban de hacer.

Mientras armaron un cuerpo cualquiera, habrán observado que dos figuras unidas con unabandita se pueden abrir o cerrar con distinta amplitud como si fueran las páginas de un libro.El espacio que determina forma parte de distintos ángulos diedros. En la exploración de figu-ras planas observaron ángulos planos, su vértice y sus lados. En el espacio, los ángulos diedrostienen arista y caras. Si seguimos con el ejemplo del libro, el lomo pertenecería a la arista ylas páginas, a las caras. De la misma manera se pueden visualizar ángulos triedros, con tresfiguras unidas por un vértice mediante banditas elásticas, o bien ángulos poliedros, si se unenmás de tres figuras por un vértice.

Ángulos diedros

Ángulotriedro

Ángulopliedro

UNIDAD 8


d) Tomen del formaedro una colección de triángulos equiláteros y formen con ellos:

1. Un ángulo diedro.

2. Un ángulo triedro.

3. Un ángulo poliedro de cuatro caras.

e) Responda cada uno en su carpeta: ¿se puede formar un ángulo poliedro con 6 triángulosequiláteros? ¿Por qué?

2. Poliedros regulares

En la actividad 1 aprendiste que los ángulos en el espacio se denominan diedros, triedros, en general,ángulos poliedros. En esta actividad estudiarás cuerpos “especiales” que están limitados por polígonos ytambién se llaman poliedros o cuerpos poliédricos.

A diferencia de los ángulos, los cuerpos poliédricos tienen:• caras, que son las superficies que los limitan;• aristas, que son los segmentos comunes a dos caras y • vértices, o puntos en los que concurren más de dos caras.

En la actividad anterior construiste libremente con las piezas del formaedro algún cuerpo a tu elección. Enesta actividad vas a explorar las características de los cuerpos que permiten clasificarlos.

a) Leé atentamente el siguiente recuadro.

Los poliedros o cuerpos poliédricos son cuerpos que tienen todas sus caras planas. Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares y en cada vértice se reúne igual número de aristas.

b) Reunite con un compañero y usen los triángulos equiláteros de su formaedro para armarpoliedros regulares diferentes.

1. Cuenten en cada uno de ellos cuántas caras tiene, cuántas caras y aristas se unen en cada vérticey cuántas caras tiene el ángulo poliedro que se forma en cada vértice.

2. Al finalizar la tarea comparen sus observaciones con la siguiente información y memoricen losnombres de estos poliedros:

vértice

aristacara

M 1

MATEMÁTICA 1104

- El tetraedro tiene cuatro caras triangulares regulares.- El octaedro tiene ocho caras triangulares regulares.- El icosaedro tiene veinte caras triangulares regulares.

c) Construyan un poliedro regular sólo con cuadrados: se llama cubo.

d) Construyan un poliedro regular usando 12 pentágonos de su formaedro: se llama dodecaedro.

e) Para sintetizar lo realizado en esta actividad, copiá el siguiente cuadro en tu carpeta y completalo.

TETRAEDRO OCTAEDRO CUBO

ICOSAEDRO DODECAEDRO

Cubo

Tetraedro

Octaedro

Icosaedro

Dodecaedro

¿Cuántas caras tiene? ¿Cuántos vértices tiene? ¿Cuántas aristas ycaras se unen en cadavértice?

¿Cuántas caras tiene elángulo poliedro que seforma en cada vértice?

UNIDAD 8


f) Respondé en tu carpeta:

1. El icosaedro, ¿es una pirámide o un prisma recto? ¿Por qué?

2. El tetraedro, ¿es una pirámide en la que cualquier vértice puede ser la cúspide? ¿Por qué?

En la actividad anterior observaste características de los cuerpos, especialmente de los llamados poliedrosregulares. En la actividad 3 explorarás una propiedad característica de los poliedros que se relaciona con elnúmero de sus caras, vértices y aristas.

3. Relación de Euler

a) En el cuadro siguiente, el primer renglón está referido a un prisma rectangular, que tiene 12 aris-tas, 8 vértices y 6 caras. Construí en tu carpeta un cuadro como este y completá de la misma maneralos demás renglones con las características de otros 4 cuerpos que elijas de la siguiente colección.

M 1

Poliedro ¿Cuántos aristas tiene?

12

¿Cuántas caras tiene?

6

¿Cuántas vértices tiene?

8

b) ¿Qué relación encontrás entre el número de caras y el número de vértices comparado con elnúmero de aristas? Esa relación, ¿se repite en todos los cuerpos que analizaste?

En cada fila del cuadro que completaste, el número de caras sumado al número de vértices esigual al número de aristas más 2. Esta característica de los poliedros se conoce con el nombrede relación de Euler en homenaje al científico que encontró esta relación. Leonhard Euler(1707-1783) es posiblemente el científico que ha publicado el mayor número de trabajos origi-nales en toda la historia.

La relación de Euler se puede escribir simbólicamente mediante la siguiente expresión:

C + V = A + 2

C es el número de caras, V el número de vértices y A el número de aristas de un mismopoliedro.

Euler utilizó esta idea para demostrar que no existían más poliedros regulares que losconocidos hasta entonces.

c) Armá, con las figuras del formaedro, dos pirámides de bases diferentes y dos prismas de basesdiferentes. Verificá si se cumple la relación de Euler.

La actividad siguiente te propone seguir explorando el mundo de la Geometría y utilizar lo que viste hastaahora sobre los poliedros para analizar un ejemplo de construcción en la naturaleza. Consultá con tu maestrosi la vas a hacer en la escuela o en tu casa y cuándo, o si pasás directamente a la actividad 5. Recordá quesi vas a realizar la actividad siguiente, necesitás los materiales que ya te fueran solicitados.

Si vas a hacer la actividad 4 vas a necesitar cartulina, tijera y goma de pegar.

MATEMÁTICA 1106

UNIDAD 8


4. Un panal de abejas

Es asombroso pensar que las abejas construyen su panal con celdas de tal forma que les permite almacenarcon la mínima cantidad de cera, la mayor cantidad de miel. Conociendo algunas propiedades de las figurasy de los cuerpos geométricos podrás comprender mejor esa maravilla de la naturaleza.

a) Vas a construir un modelo de celda de un panal de abejas.

1. Armá sobre cartulina una figura como la siguiente, formada por 3 rombos consecutivos. Si querés, la podés calcar. Recortála. Doblá la aleta y las aristas que se unen en el vérticede modo que se forme un ángulo triedro. Queda así construido el fondo de la celda de un panal.

Para doblar las aletas es mejormarcar el doblez pasando con fuerzael canto de una uña sobre la línea.

Ale

xand

er Z

.

M 1

MATEMÁTICA 1108

2. Para formar las paredes de la celda, tenés que recortar sobre cartulina una tira de 6 trapeciosconsecutivos como la siguiente:

3. Doblá por las aristas comunes y pegá la aleta.

4. Para terminar, pegá las demás aletas al fondo que armaste.

5. Cuando cada uno de ustedes haya construido más de una celda, pueden reunirlas para darse cuenta de cómo se forma un panal.

Las celdas de las abejasobreras tienen aproximadamente11 mm de alto y 5 mm de abertura.

UNIDAD 8


b) ¿Pensás que en lugar de construir la base de la celda con tres rombos, las abejas podrían utilizarcuatro rombos iguales? ¿Por qué?

c) Cuando la celda está llena de miel, se forma un poliedro: la cara superior es un hexágono,tiene seis caras laterales y la base está formada por tres rombos.

1. ¿Se trata de un poliedro regular?, ¿por qué?

2. Contá el número de caras, aristas y vértices de ese poliedro e indicá si cumple con la relaciónde Euler o no.

Hasta ahora analizaste las propiedades de los cuerpos que tienen sus caras planas unidas por las aristas.Hay otros cuerpos que se pueden obtener haciendo girar una figura alrededor de uno de sus lados. Son loscuerpos redondos como el cilindro, el cono y la esfera, de los que te ocuparás en esta actividad.

5. Los cuerpos redondos

a) Recortá un rectángulo de cartulina y pegale con cinta adhesiva, en uno de sus lados, un sorbeteo un palito. Usando el sorbete como eje, hacelo girar lo más rápido que puedas. El cuerpo que sevisualiza haciendo girar la cartulina es un cilindro.

b) Escribí en tu carpeta una lista de los objetosque conocés que tienen forma cilíndrica, porejemplo, un tronco de árbol.

Como se ve en la figura, las bases del cilindro soncírculos y la cara está formada por el rectángulogirado. Para conocer el tamaño de un cilindrosólo es necesario saber la medida de los doselementos que están marcados en el dibujo: elradio de la base y la altura de la cara.

Cilindro

M 1

rectángulo

MATEMÁTICA 1110

El radio de un círculo es una línea que se mide desde el centro del círculo a cualquier punto del contorno.

c) Elegí un objeto de forma cilíndrica, tomá las medidas del radio de la base y de la altura. Describíel cilindro en tu carpeta indicando las medidas de los dos elementos, pero sin decir de qué objetose trata. Mostrale la descripción a un compañero o al maestro para que ellos, teniendo en cuenta eltamaño, decidan qué puede ser.

d) Repetí lo que hiciste en a) haciendo girar un triángulo. Para ello recor-tá un triángulo de cartulina y pegale con cinta adhesiva, en uno de sus lados,un sorbete o un palito. Usando el sorbete como eje, hacelo girar lo másrápido que puedas. El cuerpo que se visualiza es un cono. Escribí una listade objetos que tengan forma cónica, por ejemplo, la punta de un lápiz.

e) ¿Qué datos te hacen falta para saber qué dimensiones tiene un cono?¿Son los mismos que necesitaste para conocer el tamaño del cilindro?

f) Repetí lo que hiciste en a) haciendo girar la mitad de un círculo. Paraello recortá la mitad de un círculo de cartulina y pegale con cinta adhesiva,un sorbete o un palito en el diámetro. Usando el sorbete como eje, hacelogirar lo más rápido que puedas. El cuerpo que se visualiza es una esfera.Escribí una lista de objetos conocidos que tengan forma esférica, porejemplo, una pelota.

El cilindro, el cono y la esfera se llaman cuerpos de revolución.

A lo largo de esta unidad estudiaste distintos tipos de cuerpos: los poliedros regulares y los cuerpos redondos.Aprendiste a construirlos, exploraste sus elementos y analizaste sus propiedades. En la actividad que siguevas a tener oportunidad de revisar y aplicar todos esos conocimientos.

UNIDAD 8

unidad


6. Exploración geométrica de un objeto

a) Elija cada uno algún objeto de la vida diaria que tenga una forma geométrica que puedareconocer.

b) Dibujen en su carpeta el objeto y escriban todo lo que aprendieron en esta unidad acerca desu forma y características. Las siguientes son algunas preguntas que los ayudarán en la tarea.

1. ¿Todas sus caras son planas?

2. ¿Todas sus aristas son rectas?

3. Si tiene vértices, ¿en cada uno de ellos se unen igual número de aristas?

4. ¿Tiene cúspide?

5. ¿Tiene un par de caras paralelas e iguales?

6. ¿Tiene un vértice que pertenece a todas las caras menos a una?

7. ¿Verifica la relación de Euler?

c) Confeccionen un afiche con los objetos seleccionados por cada uno indicando sus característicasprincipales. Tengan en cuenta el número de caras, de aristas y de vértices, la forma de sus caras ycómo se apoya.

La actividad que sigue te permitirá comprender cómo se puede medir el espacio que ocupan los cuerpos.Para hacerla es conveniente disponer de “cubitos unidad”. Consultá con tu maestro para saber si las vas arealizar y en qué momento.

7. Unidades cúbicas

a) Escribí en tu carpeta las respuestas a las siguientes preguntas, indicando cómo procediste parahacerlo. Compará tu procedimiento con los de tus compañeros.

1. ¿Cuántos “cubitos unidad” se pueden guardar en cada caja?

M 1

MATEMÁTICA 1112

2. ¿Cuántos bloques como estos, todos iguales, se necesitan como mínimo para construir uncubo? Sus dimensiones son 4 x 8 x 2.

b) A continuación se muestran los desarrollos planos de cuatro cubos “desarmados”.

• Sus caras están coloreadas de naranja, verde, amarillo o azul. Ponete de acuerdo con tus com-pañeros para construir los cubos y armar con ellos una columna de modo que en cada una desus caras laterales se vean los cuatro colores.

UNIDAD 8


Para finalizarEn esta unidad aprendiste muchas cosas acerca de los cuerpos y de sus propiedades a través de la

resolución de estas actividades:Actividad 1: Formaedro.Actividad 2: Poliedros regulares.Actividad 3: Relación de Euler.Actividad 4: Un panal de abejas.Actividad 5: Los cuerpos redondos. Actividad 6: Exploración geométrica de un objeto.Actividad 7: Unidades cúbicas.

En todas las unidades que estudiaste hasta ahora se presentó al final una síntesis de los contenidostrabajados. Esta vez la síntesis la vas a hacer vos. Releé los títulos de las actividades y, tomando comomodelo las síntesis finales de las unidades anteriores, explicá con tus palabras, en forma breve, lo queaprendiste en cada una. Es bueno que vayas haciendo anotaciones de los temas más importantes queestudiaste en cada actividad para ayudarte a elaborar después la síntesis. Podés conversar con un com-pañero antes de escribirla. Estos conocimientos que ahora vas a sintetizar te van a ser muy útiles cuandomás adelante estudies las medidas de los cuerpos.

A continuación, como siempre, encontrarás problemas para resolver por tu cuenta cuando quieras.

M 1

MATEMÁTICA 1114

1. 6.174, un número mágico

2. Un proceso curioso de repeticionesTomá la calculadora para hacer las cuentas.

1. Elegí un número cualquiera.

2. Si es par, dividilo por dos.

3. Si es impar, multiplicalo por tres y sumale 1 al resultado. Así obtenés un número par; dividilo por dos.

4. Aplicá el mismo proceso al resultado.

5. Otra vez, otra vez, .........

• Por ejemplo, si empezaste con el 53, los sucesivos resultados son

53, 80, 40, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1, 2, 1, .........

• Si lo hacés con unos cuantos números observarás que acabás siempre con 2, 1, 2, 1...

3. Cajas de fósforos Normalmente, las cajas de fósforos tienen su largo, su ancho y su alto de diferentes longitudes. Tres de

estas cajas se pueden ensamblar para formar un bloque rectangular, con las tres cajas paralelas entre sí,

de tres formas distintas. ¿De cuántas maneras se pueden ensamblar 36 cajas de forma análoga?

4. Un rompecabezas hexagonal De las siguientes figuras: rombo, cuadrado, trapecio,

triángulo equilátero, ¿cuál no aparece en el rompecabezas

del dibujo?

1. Escribí un número cualquiera de 4 cifrasque no sean todas iguales, por ejemplo 5.734.

2. Ordená sus cifras de mayor a menor yformá así otro número 7.543.

3. Ordená las cifras de 7.543 de menor amayor. Se forma así 3.457.

4. Restá 7.543 – 3.457, da 4.086.

5. Repetí el procedimiento con 4.086.8.640 – 0468; da 8.172.

6. Repetí una vez más.8.721 – 1.278; da 7.443.

• Y otra:7.443 – 3.447; da 3.996.

• Y otra:9.963 – 3.699; da 6.264.

• Y otra:6.642 – 2.466; da 4.176.

• Y otra7.641 – 1.467; da 6.174.

7. Hacé lo mismo ahora empezando conotro número. Anotá tus observaciones.

UNIDAD 8


En esta unidad vas a trabajar nuevamente con figuras geométricas. Experimentando con elementossimples como papeles y espejos, vas a descubrir transformaciones, es decir, movimientos de figuras en elplano que permiten producir diseños a partir de formas y figuras conocidas.

La producción de guardas y dibujos decorativos en telas, tejidos, cerámicas, mosaicos y otros tipos demateriales, en las que se aplican transformaciones, muestran que la Geometría está presente en lascreaciones humanas.

A través de las actividades verás cómo obtener diseños con la misma técnica: la aplicación a las figurasde una transformación llamada simetría. Profundizando en ella, vas a conocer interesantes propiedadesgeométricas y al mismo tiempo vas a aprender procedimientos para componer diseños sin modificar laforma o el tamaño de las figuras.

Consultá con tu maestro cómo te vas a organizar para realizar las actividades de la unidad y cuánto tiempole vas a poder dedicar a completar cada una de ellas.

Para realizar las actividades 1 y 2 de esta unidad necesitás un espejo de mano plano de forma rectangular,papel de calcar y los útiles de Geometría.

Nuevamente, las figuras geométricas te permitirán descubrir algunas propiedades que se presentan en lavida diaria. Si observás con atención la guarda mapuche que aparece más abajo, podrás ver que hay un dibujoque se repite a lo largo de ella. Ahora bien, si mirás con atención ese dibujo, vas a identificar una serie defiguras geométricas conocidas. ¿Cuáles son?

UNIDAD 9 Simetría

1. Reflejos en el espejo

En esta actividad vas a comprobar qué pasa con las figuras al reflejarlas en un espejo.

a) Para empezar, aquí van algunas figuras.

1. Apoyá el borde del espejito rectangular sobre la línea marcada y observá cómo se completanlas figuras con su reflejo en el espejo. Anotá tus observaciones.

b) Leé las siguientes preguntas. Pensá primero las respuestas y luego comprobalas colocando elespejo sobre la figura.

1. ¿Cómo se debe colocar un espejo sobre este triángulo para que se veaun cuadrado?

2. ¿Y para que se vea un rombo no cuadrado? Si no obtuviste el resultadoesperado, ensayá otras posiciones hasta que encuentres la correcta.

c) Pensá cuál es la imagen de cada uno de estos dibujos en un espejo apoyado sobre una rectahorizontal.

1. Copiá las figuras en papel cuadriculado y dibujá las imágenes como se las vería apoyando elespejo.

2. Después de haberlas dibujado, controlá el resultado con un espejo.

MATEMÁTICA 1116

UNIDAD 9


d) Observá estos tres puntos A, B y C:

1. Trabajá con un espejo, apoyalo sobre la recta e para obtener las imágenes reflejadas de A y B.Vas a observar que A’ y B’ (se lee A prima y B prima) no coinciden con las imágenes de A y deB que brinda el espejo. (Observá que el punto A se diferencia de A’ ya que A indica el nombrede un punto y A’ el de su representación.) ¿Cómo modificarías la ubicación de A’ y B’ para quesí coincidan? En el caso de C’ no hay nada que modificar: C’ es la imagen simétrica de C.

2. Explicá cómo se relaciona el segmento AA’ con la línea e.

e) Tomá una hoja de papel de calcar y realizá paso a paso lo que se indica:

1. Hacele un doblez. Llamá e a la recta que contiene el doblez.

2. Dibujá algunas líneas en el frente de la hoja. Vas a poder ver los dibujos a través del papeldoblado. Calcalos y, al abrir la hoja de papel, vas a encontrar tus primeros dibujos y su imagen;¿qué relación hay entre ellos?

3. Compará la imagen con el reflejo de los dibujos en un espejo apoyado de canto sobre la marcadel doblez.

La imagen simétrica de un punto P respecto del eje e es el punto P' (P prima) tal que el segmento PP'es perpendicular al eje e y lo corta en O de modo que PO = OP'.Si un punto pertenece al eje, es imagen de sí mismo.

Se llama simetría axial a la transformación que a cada punto le hace corresponder su simé-trico respecto de una recta tomada como eje de simetría.

Las simetrías axiales invierten el sentido en que se nombran los puntos. Por ejemplo, si senombran los vértices según el sentido en que se mueven las agujas de un reloj, el triánguloABC se nombra ABC; en cambio, al leer los vértices de la imagen simétrica se nombran en elsentido contrario.

f) Para comprobar que la simetría axial invierte el sentido en que se nombran los puntos, nombráen voz alta los dos triángulos que aparecen en la figura.

C´C

B

B´

A´A

e

M 1

MATEMÁTICA 1118

g) Hacé la siguiente experiencia para entender mejor cómo funciona la simetría axial.

1. Apoyá las palmas de tus manos sobre una misma hoja de papel, una al lado de la otra, y marcácon un lápiz el contorno de cada una para que quede dibujada su forma.

2. Observá tus dibujos. ¿Son simétricos?

3. Si se deslizara uno sobre otro sin salirse del papel, ¿coincidirían exactamente?

4. ¿Qué tendrías que hacer para que coincidieran los dos dibujos?

Esta sencilla experiencia te muestra que para que dos figuras simétricas se puedan superponerexactamente es necesario “salir” del plano en el que están dibujadas, es decir,“dar vuelta” unade ellas.

h) Revisá lo que hiciste hasta ahora desde el comienzo de la unidad y anotá en tu carpeta lasideas más importantes que estudiaste en esta actividad 1.

Es conveniente que vayas comentando con tus compañeros y tu maestro las respuestas a todas las acti-vidades siguientes, las observaciones y las conclusiones a las que llegues. Si encontrás dificultad en laresolución de alguna de las actividades no dudes en consultar con tu maestro.

2. Cómo construir elementos simétricos

En esta actividad vas a profundizar tu conocimiento sobre los ejes de simetría y vas a explorar los proce-dimientos para construir las imágenes simétricas de distintas figuras.

a) Calcá en un papel las siguientes figuras y segmentos de a uno por vez. Para cada uno trazá unalínea que elijas como eje de simetría.

A´

B´

C´

B

C

A

UNIDAD 9


1. Tratá de construir, con regla y escuadra, la imagen simétrica de cada figura y cada segmentorespecto de la recta eje.

2. Comprobá con el espejo si lo hiciste bien.

3. Explicá tu procedimiento.

b) Observá las siguientes figuras en las que se ha construido un segmento y su simétrico por unasimetría axial de eje x.

Observá que, para construir la imagen simétrica de un segmento, hay que hallar las imá-genes simétricas de sus extremos: son los extremos del segmento imagen.

Si el segmento es perpendicular al eje, su imagen también lo es, y si el segmento es paraleloal eje, su imagen también lo es.

c) Calcá estos dos cuadriláteros, nombrá los vértices simétricos y dibujá el eje de simetríaque se usó.

Para construir la imagen simétrica de un polígono se hallan las imágenes simétricas de sus vértices: sonlos vértices del polígono imagen.

d) En cada una de estas figuras se han trazado dos rectas a y b, como ejes de simetría. Explorácon un espejo las imágenes que se obtienen.

D

A

B

C

M 1

1. ¿En qué figura y en relación con qué eje la imagen simétrica se puede superponer exactamentecon la original?

Si en una figura se encuentra una línea tal que la imagen simétrica respecto de ella al superponerse coincide exactamente con la original, esa línea es el eje de simetría de la figura.

e) Calcá estas figuras y pegalas en tu carpeta.

1. ¿Cuántos ejes de simetría tiene cada una de ellas? Para averiguarlo, trazá los ejes que te parezcany explorá si se comprueba la propiedad explicada en el recuadro al final del punto d).

f) Escribí tu nombre con letra de imprenta. A una distancia de aproximadamente 1 cm debajode él, trazá una línea horizontal. Tratá de construir la imagen simétrica de tu nombre respecto dela línea que trazaste. Comprobá con un espejo si tu dibujo es correcto.

g) Explorá las letras mayúsculas de imprenta de nuestro alfabeto. Escribí un listado de las quepresentan ejes de simetría.

h) Explorá las cifras numéricas del 0 al 9. Escribí un listado de las que presentan ejes de simetría.

i) Repasá los puntos de esta actividad 2.

1. Anotá en tu carpeta las ideas nuevas que viste sobre la simetría y realizá un breve comentariosobre lo que descubriste acerca de esas ideas.

MATEMÁTICA 1120

UNIDAD 9


2. Conversalo con un compañero y mostrale tus anotaciones al maestro.

Ahora que ya sabés de qué se trata la simetría en general vas a estudiar algunos casos especiales, de impor-tancia para la Geometría. En todas las actividades que siguen vas a necesitar hacer construcciones y dibujosen papel. Aseguráte de tener siempre a mano los útiles de Geometría.

Para la actividad 4 vas a necesitar hojas de papel cuadriculado, hojas de papel de calcar, lápices, algunosalfileres y los útiles de Geometría. Empezá a buscar los materiales.

3. Figuras con puntos en el eje

En la actividad anterior tuviste que encontrar los ejes de simetría en distintas figuras; ahora vas a estudiarlas propiedades de algunos ejes de simetría particulares.

a) Dibujá un ángulo y buscá su eje de simetría.

1. Trazá el eje encontrado.

2. Describí todo lo que observes sobre él, por ejemplo, cómo está ubicado respecto de los lados,del vértice y, si hay puntos del ángulo sobre el eje, cuáles son.

El eje de simetría de un ángulo, o sea la semirrecta con origen en su vértice y cuyos puntos están a la misma distancia de ambos lados, recibe el nombre de bisectriz.

b) Dibujá un triángulo cualquiera en una hoja y recortalo.

1. Marcá la bisectriz de cada uno de sus ángulos.

2. Si trabajaste bien podrás observar que las tres bisectrices tienen un punto en común. ¿Pensásque ese punto está a la misma distancia de los tres vértices?, ¿por qué? Comprobá tu estima-ción midiendo los segmentos desde el punto de unión de las bisectrices hasta cada vértice yanotá las mediciones.

3. Pegá el recorte en tu carpeta y escribí una breve explicación acerca de lo que observastesobre el punto de intersección de las bisectrices.

c) Obtené las imágenes simétricas de las figuras, puntos y segmentos dibujados a continuaciónsegún el eje de simetría marcado. Para hacerlo, imagináte que cada figura está dividida en dos partes,una a cada lado del eje, y encontrá la imagen de cada parte. Tomá una por vez. Recordá que tenésque hacerlo en tu carpeta.

M 1

MATEMÁTICA 1122

En la actividad 4 vas a explorar casos más complejos de construcciones a partir de la simetría. Para eso vasa tener que hacer varias figuras y trabajar con ellas. Es importante que vayas siguiendo las instrucciones conatención para asegurarte de obtener los resultados esperados. Recordá traer los materiales que te fueransolicitados para esta actividad.

4. Más de una simetría

Ahora que ya sabés qué es un eje de simetría y conocés la manera de obtener y analizar imágenes simé-tricas de distintas figuras, vas a aplicar todos esos conocimientos para estudiar casos más complejos en losque se combinan varias simetrías al mismo tiempo.

a) Primero trabajarás con dos simetrías sucesivas de ejes paralelos. Seguí los pasos que se indican acontinuación.

1. Dibujá en papel cuadriculado, cerca del margen izquierdo, unaletra F como la de este dibujo.

2. Trazá a la derecha, a unos 2 cm de la letra F, un eje vertical ey construí la imagen simétrica de F. Llamála Z’ (se lee “zprima”). Observá si tiene la misma orientación que la letraoriginal o si está invertida.

3. Trazá otro eje vertical e’ a unos 8 cm a la derecha de e yconstruí la imagen simétrica de Z’ en relación con el eje e’.Llamala Z” (se lee “z segunda”).

4. Observá tus dibujos y respondé: la imagen Z”, ¿tiene la mismaorientación que la figura original? Explicá con tus palabras porqué ocurre eso.

UNIDAD 9


Al aplicar una simetría a una figura y después otra simetría a la imagen que se obtuvo, resultauna tercera figura que es la transformada de la inicial a través de dos simetrías.

Si a una figura se le aplican sucesivamente dos simetrías de ejes paralelos, se obtiene elmismo resultado que si se la hubiera trasladado a una distancia doble de la que separa los ejes,deslizándola sin cambiar su orientación. Ese tipo de movimiento se denomina traslación.

5. En la unidad 2 de Ciencias Naturales estudiaste sobre los movimientos de traslación de losplanetas como la Tierra. ¿Cómo es ese movimiento? Comparalo con la transformación queacabás de hacer.

b) Aplicando dos simetrías de ejes paralelos se obtiene una traslación. Ahora analizarás el resultadode aplicar dos simetrías de ejes no paralelos. Seguí estos pasos para obtener imágenes simétricasde la casita.

1. Calcá el dibujo de la casita y ponéle una letra A.2. Doblá la hoja del papel de calcar según una recta oblicua que no pase por el dibujo A pero que

te permita verlo por transparencia y volvé a calcar la casita. 3. Desplegá la hoja, remarcá con lápiz la línea del doblez y ponéle una letra e. 4. Observá cómo quedó el dibujo de la casita. Seguramente lo encontrarás en el revés de la hoja.5. Pasá el lápiz por el dibujo para que te quede en el frente de la hoja, llamalo A' (se lee “A prima”).

M 1

MATEMÁTICA 1124

6. Una vez que el dibujo está terminado, observá, pensá y respondé estas preguntas:

• Los dibujos A y A’ ¿son exactamente iguales?, ¿por qué?• La chimenea de la casita que en A estaba a la derecha, ¿está en la misma posición en A’?

c) Ahora realizá este procedimiento:

1. Doblá la hoja por una recta horizontal e' que no sea paralela a e y que no pase por A ni A'.

2. Calcá A' usando el mismo procedimiento que usaste antes en el punto b).

3. Pasá el lápiz para que el dibujo te quede en el frente de la hoja. A esta nueva figura llamala A''(se lee “A segunda”).

4. Observá A, A' y A'' y escribí en qué se parecen y en qué se diferencian.

5. Aplicá el papel de calcar donde dibujaste A, A' y A'' sobre el dibujo con la casita de modo queel original coincida con A. Pinchá con un alfiler en el punto de intersección de e y e' y hacégirar el calco hasta que A'' coincida con A. ¿En qué ángulo giró el papel?

6. Si hubieras hecho un giro en sentido contrario con el mismo ángulo, ¿habrías obtenido elmismo efecto?, ¿por qué?

Si observás el resultado del procedimiento que hiciste hasta aquí, podés comprobar quela composición sucesiva de dos simetrías produce el mismo efecto que un giro o rotacióncon centro en el punto de intersección de los ejes. Los términos giro y rotación se usanindistintamente.

7. En la unidad 2 de Ciencias Naturales analizaste un modelo de la Tierra, viste el eje terrestre y sumovimiento de rotación. Revisá lo que estudiaste en este punto y pensá si el eje terrestre es uneje de simetría y qué tienen en común el movimiento de rotación de la Tierra con los que acabásde producir en el plano.

8. Anotá tus observaciones y conclusiones en la carpeta y conversalas con tu maestro.

Hasta aquí estudiaste distintos elementos de la simetría. Con esta actividad de cierre de la unidad vas apoder revisar e integrar esos conocimientos.

5. Análisis de la guarda

a) Para completar el trabajo con esta unidad aplicá lo que aprendiste al análisis de las transforma-ciones que dieron origen a la guarda mapuche que está al comienzo. Identificá el motivo original ylas sucesivas transformaciones que se le aplicaron para construir la guarda y respondé:

UNIDAD 9


1. ¿Dónde se ubican los ejes de simetría en el motivo original?

2. ¿Y en la guarda completa?

3. Compará tu análisis con el de otros compañeros: ¿eligieron como motivo original la mismaparte del diseño completo? ¿Usaron solamente simetrías? ¿Le aplicaron otras transformacionescomo traslaciones o giros?

b) Aplicando diferentes transformaciones, ¿se pueden obtener los mismos resultados?

c) Revisá las respuestas a las preguntas anteriores y después escribí un breve resumen de tusobservaciones usando como guía esas preguntas.

Para finalizarLas actividades de esta unidad te permitieron ampliar tus conocimientos geométricos mediante explora-

ciones e investigaciones en las que usaste materiales cotidianos como espejos y papeles transparentes quepudiste plegar y desplegar convenientemente.

Con la ayuda de esos elementos aprendiste que la simetría es una transformación que aplicada a lasfiguras no cambia su forma ni su tamaño, pero las “da vuelta”, es decir que cambia la orientación de suspuntos, y lo que en la figura original está en una posición, en la simétrica está en la posición opuesta. Poreso te dio tanto trabajo escribir tu nombre “al revés” para que en el espejo se leyera “al derecho”.

Aprendiste no sólo a construir figuras simétricas sino también a encontrar el eje de simetría entre dosfiguras o en una misma figura.

La aplicación sucesiva de dos transformaciones de ejes paralelos te permitió comprender mejor qué esuna traslación y también que la aplicación sucesiva de dos simetrías de ejes no paralelos da por resultadouna rotación.

La simetría en los ángulos y el concepto de bisectriz te va a ser de mucha utilidad cuando trabajes en launidad siguiente con la medida de ángulos.

En la última actividad aplicaste lo aprendido al reconocimiento, la descripción y la prueba experimentalde las simetrías y otras transformaciones que presentan los diseños artesanales que encontramos a diario.

M 1

MATEMÁTICA 1126

1. Suma de imparesLa tarea consiste en sumar todos los números impares desde el 1 al 101, ambos inclusive. Despuésde finalizar la cuenta, ¿habrá un procedimiento fácil para calcular, por ejemplo, la suma de losimpares del 1 al 201? Si encontrás la fórmula, como aplicación, calculá la suma de los imparesdesde el 1 al 101, del 1 al 201 y del 1 al 343.

2. Un teléfonoCuando le pregunté el número de teléfono a un compañero, me dijo: “Mi número tiene cinco cifras.Si le ponés un 4 adelante obtenés un número que es el cuádruple del que se obtiene si le ponés el 4detrás”. ¿Cuál es el número de teléfono de mi compañero?

3. Cortar una maderaUna plancha de madera tiene esta forma de rectángulo al que le falta un cuarto y hay que cortarla encuatro trozos de la misma forma. No es un problema fácil, pero tiene solución.

4. Los aprobadosEn un curso de 35 alumnos, exactamente el 95% de los aprobados obtuvo más de 7 puntos, ¿cuántosaprobaron?

5. El adivino infalibleEste juego nunca falla. Pedile a un amigo que piense un número mayor que 10 y menor que 99 yno te lo diga. Luego, decile que piense sólo en la cifra de las decenas y la multiplique por 2. A ese resultado debesumarle 5, después multiplicarlo por 5 y luego sumale la cifra de las unidades.Ahora, pedile que diga el número que obtuvo y restale 25. El resultado será el número en el quepensó tu amigo.¿Por qué este juego no puede fallar?

UNIDAD 9


Los puntos cardinales sirven como orientación para muchos otros fenómenos. Todos los días en los noti-cieros se escuchan informaciones como “El viento soplará en dirección Norte rotando al Este”, “Hoy hayviento del Sur rotando al Sudoeste”. ¿Cómo se hace para determinar la dirección del viento? En la actualidadse utilizan aparatos sofisticados, pero el más sencillo y que seguramente viste en muchas casas es laveleta. ¿Pensaste alguna vez cómo funciona una veleta?

Con los conocimientos sobre la formas de medir ángulos que vas a adquirir a lo largo de esta unidad podráscomprender mejor el funcionamiento y la utilidad de aparatos como la veleta. También vas a enterarte por quéla medición de ángulos fue tan importante en la historia de la humanidad y cuáles son sus aplicaciones en laactualidad. Todo esto te va a permitir profundizar lo que ya sabés acerca de las figuras geométricas.

1. Los puntos cardinales

En la unidad 2 de Ciencias Naturales aprendiste a distinguir, en cualquier lugarde la Tierra, los cuatro puntos cardinales: Este, Oeste, Norte y Sur. Si te parásseñalando con tu brazo derecho hacia el Este y con el izquierdo al Oeste, tendrásel Norte hacia adelante y el Sur hacia atrás. La dirección Este-Oeste es perpendicular a la dirección Norte-Sur.

Para indicar la dirección de los vientos se suele usar una veleta. Con frecuencia es una pieza de metal, generalmente en forma de flecha, que se coloca en lo alto de losedificios de modo que al girar, impulsada por el viento, marque su dirección.

a) Dibujá en tu carpeta un par de ejes perpendiculares igual a los de la figura como si mirarasla veleta desde arriba y resolvé lo siguiente:

1. Completá con los demás puntos cardinales. Cada eje une dos puntos cardinales.

TEMA 1: LOS ÁNGULOS SE PUEDEN MEDIR

Norte

UNIDAD 10 Medida de ángulos

MATEMÁTICA 1128

2. Ahora imaginate la flecha de la veleta impulsada por el viento girando sobre esos ejes quemarcan los puntos cardinales y pensá en cuál de las siguientes rotaciones la flecha gira más:¿cuando lo hace de Norte a Este o cuando gira de Oeste a Este?

3. Comprobalo extendiendo un brazo hacia la primera dirección y haciéndolo girar hasta señalarla segunda en los dos casos. Escribí la respuesta en tu carpeta.

b) Si la veleta gira de Norte a Este sin pasar por el Oeste, ¿gira más o menos que si lo hacepasando por el Oeste?

1. En cada caso, ¿qué parte de un giro completo realiza?

2. Utilizá varillas articuladas, sorbetes y alfileres como muestra la figura para representar los ángulosy hacer los giros antes de contestar en tu carpeta y hacer los dibujos correspondientes.

Todo cambio de dirección en un giro o rotación determina un ángulo.

Un ángulo se puede representar mediante dos semirrectas, los lados del ángulo, que tie-nen como origen el mismo punto, el vértice del ángulo, y determinan la región angularcorrespondiente.

c) Determiná la abertura de los ángulos de giro entre las direcciones mencionadas en el punto b)y expresalas en forma de fracciones comparándolas con un ángulo recto o con un giro completo.

Por ejemplo: de un ángulo recto, de un giro completo. Usá el vocabulario específico: lados,

vértices, región angular.

varillas

34

14

UNIDAD 10


d) En el dibujo del par de ejes que hiciste con lasdirecciones Oeste-Este y Norte-Sur, dibujá ahora las direcciones Noroeste (NO), Noreste (NE),Sudeste (SE) y Sudoeste (SO). Poneles las iniciales.Te quedó algo parecido a una rosa de los vientos,que contiene los puntos intermedios entre los cuatro principales.

e) Revisá la figura de los ejes con las nuevas direcciones y respondé en tu carpeta:

1. ¿Cuántos ángulos quedaron dibujados al agregar esas direcciones?

2. ¿Qué parte de un ángulo recto es cada uno?

3. ¿Y qué parte de un giro completo?

¿Para qué se miden los ángulos? ¿Cómo se miden? ¿Con qué instrumentos? A través de esta actividad encon-trarás algunas respuestas a estos interrogantes que ampliarán lo que ya sabés sobre el tema.

Para la actividad 3 vas a necesitar el haz de rectas de la actividad 2, transportadores y hojas.

2. ¿Cómo medir ángulos?

Desde la Antigüedad, astrónomos y navegantestuvieron la necesidad de medir ángulos para localizar las estrellas en el cielo y orientarse segúnsu posición.

En la actualidad, a través de algunos instrumentosmodernos, se pueden calcular distancias –inaccesibles para medirlas en forma directa– a partir de la medición de ángulos.

La rosa de los vientos es una figuraque se usa en navegación para representarlas direcciones de los puntos cardinales.

M 1

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MATEMÁTICA 1130

a) Tomá una hoja de papel transparente y marcá un doblez por la mitad. Abrí la hoja y en unaparte dibujá un ángulo agudo y en la otra, un ángulo obtuso.

b) Reunite con tus compañeros y comparen los ángulos obtusos que dibujaron.

1. ¿Quién de ustedes dibujó el ángulo obtuso mayor?, ¿y el menor?

2. Registren cómo los compararon.

3. Ordenen de mayor a menor sus ángulos obtusos y escriban en una hoja los nombres de cada unode ustedes en el mismo orden que resultaron colocados los ángulos obtusos de mayor a menor.

c) Trabajá con tus compañeros. Cada uno mida su ángulo obtuso usando como unidad su propioángulo agudo y anote las veces que el agudo cabe en el obtuso. Si la unidad no cabe un númeroexacto de veces, usen fracciones para expresar la medida con la mayor precisión posible.Recuerden que en la unidad 3 aprendieron que la medida de una cantidad es el número que indicalas veces que entra la unidad en la cantidad a medir. Por ejemplo, cuando decimos que una chacratiene 5 hectáreas significa que la medida es el número 5 y se ha tomado como unidad 1 hectárea.

Pabl

o A

lber

to S

algu

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Min

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l Oce

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Adm

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trat

ion

Sextante. Goniometro.

Teodolito.

UNIDAD 10


d) Con tus compañeros, hagan en una hoja una tabla de tres columnas. En la primera escriban losnombres de todos los que participaron en la experiencia. En la segunda registren las medidas queobtuvo cada uno y escriban en la cabecera de la columna “Medido con mi ángulo agudo”.

1. Si las medidas se ordenan de mayor a menor, ¿corresponden los nombres al mismo orden queobtuvieron en b)? ¿Por qué?

2. Conversen entre ustedes y comenten sus ideas con el maestro

3. Para que todos midan sus ángulos obtusos con las mismas unidades, usen como unidad losángulos de este haz de rectas. Para eso, cada uno tiene que superponer su ángulo obtusosobre el haz, de manera que un lado del ángulo coincida con alguna recta del haz.

• ¿Cuál es la medida del ángulo obtuso de cada uno de ustedes? Exprésenla en un número de unidadesdel haz por ejemplo “13 ángulos del haz”.

• Observen si en todos los casos es posible expresar la medida con un número exacto. Si no fuera así,tomen la mejor aproximación que puedan y escriban en la cabecera de la tercera columna de la tablarealizada en c) “Medido con ángulos del haz”. Cada uno anote la medida que obtuvo.

• Si ordenan las medidas de sus ángulos obtusos que obtuvieron ahora, de mayor a menor, ¿el orden,es el mismo que tenían los ángulos en b)? ¿Por qué ocurre eso?

En la actividad anterior aprendiste a medir ángulos usando como unidad los ángulos del haz de rectas.Ahora vas a analizar el uso del transportador, que te permitirá mayor precisión al medir.

Para la actividad 4 vas a necesitar una varilla o un sorbete y un alfiler, además de papel y elementosde escritura.

Haz de rectas.

M 1

MATEMÁTICA 1132

3. El sistema sexagesimal

a) ¿Cómo medir ángulos con mayor precisión que con el haz de rectas? Sigan los siguientes pasos:

1. Observen los transportadores que tienen en el aula. Coloquen un transportador sobre el hazde modo que las marcas principales coincidan con los lados de los ángulos del haz. ¿Cuántas delas marcas pequeñas del borde curvo abarca un ángulo del haz?

2. Las marcas pequeñas del borde del transportador, ¿también pertenecen a lados de ángulos?¿Por qué?

Los ángulos que en el transportador son apenas perceptibles se llaman grados. El ángulo deun grado es la unidad que se elige para medir ángulos con el transportador.

b) Respondé las preguntas en la carpeta:

1. Un ángulo del haz de rectas, ¿a cuántos grados equivale?

2. ¿Cuántos grados hay que girar para hacer un giro de un ángulo recto?

3. ¿Y de un ángulo llano?

4. ¿Y para un ángulo de un giro completo?

c) Para comparar la organización del sistema decimal con la del sistema sexagesimal, leé las expli-caciones, seguí las indicaciones y resolvé las consignas.

UNIDAD 10


En el punto a) trabajaste, con la red de ángulos y con el transportador, sobre algunos ángu-los para conocer su amplitud, es decir cuánto miden.

Viste que sobre el transportador hay marcas pequeñas y para llegar desde una hasta lasiguiente hay que efectuar un giro de un ángulo de un grado. Un ángulo de 1 grado es muypequeño para apreciarlo cuando se dibuja con lápiz y papel o con tiza en un pizarrón. Altrabajar con el transportador se pueden ver en el borde curvo las divisiones que correspondena una diferencia de un grado.

Como ya sabés, para medir hay que comparar la cantidad a medir con una unidad de medida.Al usar el haz de rectas como instrumento de comparación viste que un ángulo de la redequivale a 10°. También observaste que un ángulo recto es de 90°, un ángulo llano es de 180°y un ángulo de un giro completo tiene 360°.

Ahora, respondé en tu carpeta:

1. ¿Cuántos grados mide un ángulo cuya amplitud es la mitad de un recto?

2. ¿Cuántos grados mide un ángulo cuya amplitud es de un recto?

Seguramente tu respuesta fue que un ángulo de de un

recto mide “veintidós grados y medio” o bien 22,5º.

El sistema de medición de ángulos que tiene como unidad

1 grado no es decimal. Se parece al que se usa para medir el

tiempo en horas, minutos y segundos. Ambos sistemas divi-

den la unidad en 60 subunidades y por eso reciben el nombre

de sexagesimales. Así como una hora se divide en 60 minu-

tos y 1 minuto en 60 segundos, un ángulo de 1 grado se

divide en 60 ángulos de 1 minuto y un ángulo de 1 minuto,

en 60 ángulos de 1 segundo. Estas divisiones hay que imaginárselas porque si un ángulo de

1 grado es tan pequeño que no se lo puede dibujar, ¡pensá cómo es de pequeño un ángulo

de 1 minuto que es de 1 grado! Y qué decir de un ángulo de 1 segundo, o sea de 1

minuto o bien de 1 grado.

La notación que se usa para expresar grados, minutos y segundos es convencional. Por ejemplo,

la medida del ángulo que debe girar una nave se puede escribir: 3º 32’ 20” NE y se lee “3 grados,

32 minutos, 20 segundos en dirección Noreste”.

Si bien en la escuela no usamos estas subunidades, los astrónomos y los agrimensores las

usan en su trabajo y te viene bien saber de qué se trata. También en navegación se expresan

ángulos con minutos y segundos.

Otro ejemplo interesante del uso del sistema sexagesimal de medición de ángulos es la loca-

lización geográfica de un lugar en la superficie de la Tierra. En la unidad 2 de Ciencias

Naturales aprendiste la posición de paralelos y meridianos terrestres. La ciudad de Buenos

Aires, por ejemplo, está localizada a 34º 36’ de latitud Sur y 58º 26’ de longitud Oeste. En el

caso de la latitud, el vértice de cada ángulo que se considera está ubicado en el centro de la

Tierra; en cambio la longitud corresponde al ángulo que forman dos meridianos.

14

14

160

1601

360

M 1

1 NNE Norte Noreste

2 NE Noreste

3 ENE Este Noreste

4 E Este

5 ESE Este Sudeste

6 SE Sudeste

7 SSE Sur Sudeste

8 S Sur

9 SSO Sur Sudoeste

10 SO Sudoeste

11 OSO Oeste Sudoeste

12 O Oeste

13 ONO Oeste Noroeste

14 NO Noroeste

15 NNO Norte Noroeste

16 N Norte

22,50º

45,00º

67,50º

90,00º

112,50º

135,00º

157,00º

180,00º

202,50º

225,00º

247,50º

270,00º

292,50º

315,00º

337,50º

360,00º

MATEMÁTICA 1134

3. Observá la siguiente tabla que acompaña a la rosa de los vientos y respondé: ¿qué punto cardinalrepresenta al ángulo de 0º? La medida de los ángulos, ¿aumenta en el sentido que giran las agujasde un reloj o en sentido contrario?

4. Indicá, usando notación sexagesimal, la medida de los ángulos que en la tabla están expresadas concifras diferentes de cero en los décimos. No olvides poner la abreviatura y el nombre del ángulo.

Si un ángulo ha sido generado por una rotación en el mismo sentido que la de las agujas del reloj, se le adjudica signo negativo; en caso contrario el signo del ángulo es positivo.Por ejemplo, el ángulo E-ESE es de –22º 30’, y el ángulo S-SSE es de 22º 30’.

d) Ahora vas a consultar cuál es la localización en latitud y longitud del lugar donde vivís. Podésbuscar información en los libros de Geografía de la biblioteca. Te sorprenderá saber que, porejemplo, dos puntos ubicados sobre un mismo meridiano terrestre, que tienen una diferencia deun minuto entre sus respectivas latitudes, distan entre sí, aproximadamente 1,85 km. Intentá bus-car algún ejemplo de lugares que conozcas y que sepas las distancias que existen entre ellos.

En esta unidad estuviste trabajando en cómo medir ángulos. Ahora, en el tema 2, lo vas a aplicar a distintostipos de ángulos y así poder compararlos entre sí. Consultá con tu maestro cómo organizarte con lasactividades de este tema y planear el tiempo que le podés dedicar a cada una. También pedile indicacionessobre qué actividades vas a resolver en la escuela y cuáles, en tu casa.

UNIDAD 10


4. Relaciones de orden entre ángulos según su amplitud

a) Resolvé las consignas que siguen.

1. Doblá un papel formando cuatro ángulos rectos y volvé a doblarlo de modo que se formenocho ángulos iguales con el vértice común.

2. Escribí en los extremos correspondientes las iniciales de los cuatro puntos cardinales y lasdirecciones: Noreste-Sudoeste y Noroeste-Sudeste.

3. Tomá una varilla y fijá uno de sus extremos en el vértice común clavando un alfiler. Movélagirando siempre en el mismo sentido que las agujas del reloj para mostrar los ángulos que senecesitan en cada caso y completá con: “es igual a”, “es menor que” o “es mayor que” segúncorresponda.

• El giro de S a NO ……………………… el giro de E a SE.• El giro de O a N …………………………el giro de So a S.• El giro de SO a NE ……………………… el giro de O a E.• El giro de E a SE ………………………… el giro de S a NO.

4. Revisá cada ángulo mencionado en el punto 3 e indicá si es agudo, recto, obtuso, llano o mayor queun llano.

Hasta acá exploraste distintas maneras para medir los ángulos y viste que el transportador, como lo indicasu nombre, permite comparar ángulos transportando uno sobre otro. Esta actividad te va a dar la oportu-nidad de revisar todos esos conocimientos y ver de qué modo también el compás puede transportar ángulos.

En la parte b) de la actividad 5 vas a usar el compás para construir ángulos centrales en una circunferencia.Para hacerlo te facilitará la construcción de polígonos regulares inscriptos en circunferencias, tal como loverás más adelante en las unidades 14 y 15.

TEMA 2: LOS ÁNGULOS SE PUEDEN ORDENAR

M 1

5. Instrumentos de Geometría: el transportador y el compás

a) Para resolver con el haz y el transportador y responder en tu carpeta.

1. Si un ángulo coincide con 3 ángulos de la red del haz, ¿cuántos grados mide?

2. Un ángulo que mide 63° está comprendido entre dos ángulos de la red del haz, ¿cuáles son?

3. ¿Cuántos ángulos de la red del haz caben en un ángulo de 75°? ¿Qué error cometemos si deci-mos que la medida de ese ángulo es de 7 ángulos de la red del haz?

4. ¿Qué parte de un ángulo recto es un ángulo de 60°?

5. Un abanico está compuesto por 24 varillas iguales y se abre totalmente formando un ángulollano. ¿Cuánto mide el ángulo que cubren cuatro varillas?

6. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj cuando indican que son exactamente las 3? ¿Y cuandoson las 5? ¿Y cuando son las seis y cuarto?

7. Doblá un cuadrado de papel de aproximadamente 10 cm de lado, formando 4 ángulos rectos.Volvé a doblarlo de modo que se formen ocho ángulos iguales. Desplegá la hoja y pintá condiferentes colores un ángulo de 135° y un ángulo de 180°. Escribí sobre los ángulos sus medidasy pegá el cuadrado en tu carpeta.

8. Hacé una tabla de equivalencias entre las medidas de ángulos dadas en el sistema de la red delhaz y en el sistema de grados. Escribí por lo menos 10 equivalencias.

MATEMÁTICA 1136

UNIDAD 10


b) Para trabajar con el compás.

1. Usando el compás, dibujá una circunferencia y conservá en el compás la abertura con que latrazaste. Marcá un radio. ¿Qué relación tiene ese radio con la abertura del compás?

2. Con esa misma abertura, apoyá la punta seca del compás en un punto cualquiera de la circunfe-rencia y con la otra punta hacé una marca sobre ella. Ahora apoyá la punta seca en esa marca yrepetí la acción. ¿Cuántas marcas se podrán hacer? Verificá tu estimación marcando claramentelos puntos en los que vas apoyando la punta del compás.

3. Uní cada marca con el punto O, centro del círculo. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos quetienen vértice en O?

4. En un círculo recortado, al hacer dos dobleces de modo que se superpongan exactamente laspartes iguales del círculo, quedan marcados otros ángulos con vértice en el centro. ¿Qué clasede ángulos son? ¿Cuánto mide cada uno?

5. ¿Cómo podés obtener un ángulo con vértice en el centro de un círculo que mida 30°? ¿Y paraobtener uno que mida 45°? Para responder podés ayudarte con papel transparente y los dibujosque hiciste en 1 y 2.

El ángulo que tiene su vértice en el centro del círculo es un ángulo central.

M 1

MATEMÁTICA 1138

c) Calculá el ángulo central que corresponde a cada uno de los siguientes polígonos regulares ycompletá en tu carpeta una tabla como esta.

Con lo que estudiaste sobre medida y comparación de ángulos, vas a resolver en el tema 3 actividades quepermiten combinar ángulos y hacer cálculos con ellos.En la actividad 1 de la unidad 6 tuviste oportunidad de sumar geométricamente los ángulos interiores deun triángulo. Ahora aprenderás los diferentes nombres que reciben pares de ángulos según la suma de losdos elementos del par o bien por la posición que tiene un ángulo del par con relación al otro del mismo par.Ampliarás tu vocabulario y podrás expresarte con mayor precisión cuando tengas que describir situacionesreferidas a ángulos.

Si se toman pares de ángulos, según las características que ellos tengan se pueden definir:

Ángulos complementariosSi al sumar dos ángulos, forman un ángulo recto, se dice que los ángulos son comple-

mentarios.

TEMA 3: SUMA GEOMÉTRICA DE ÁNGULOS

Polígono regular

Triángulo equilátero

Cuadrado

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octógono

Nonágono

Decágono

Dodecágono

Número de lados

3

Valor del ángulo central

120º

UNIDAD 10

Si se conocen sus medidas es fácil reconocerlos: la suma debe dar 90°.Por ejemplo, un giro de N a NE es un ángulo complementario de un giro de S a SO.

Ángulos suplementariosSi dos ángulos, al ser reunidos, forman un ángulo llano, se dice que los dos ángulos son

suplementarios. La suma debe dar 180°.

Por ejemplo, un giro de O a NE es un ángulo suplementario del giro de SE a S.

Ángulos consecutivosSi dos ángulos sólo tienen el vértice y un lado común se dice que son ángulos consecutivos.

Por ejemplo, un giro de NO a NE y otro de NE a SE son ángulos consecutivos.


NO N NE

E

SESSO

O

NO N NE

E

SESSO

O

NO N NE

E

SESSO

O

M 1

Ángulos adyacentesSi dos ángulos son a la vez consecutivos y suplementarios, se dice que son adyacentes.

Por ejemplo, un giro de SO a O y otro de O a NE son dos ángulos adyacentes.

6. Pares de ángulos

a) Resolvé las siguientes consignas utilizando la información anterior.

1. Un ángulo es la mitad de su complementario. ¿Cuánto mide en grados? ¿Cuánto mide el com-plementario? ¿Y el suplementario?

2. Observá el conjunto de semirrectas que tienen el punto O como origen común y que verifican:las semirrectas OA y OD son opuestas, las semirrectas OC y OF, también; las rectas AD y FCson perpendiculares, el ángulo BOC y el ángulo DOE son iguales. Nombrá un par de ángulossuplementarios no adyacentes, un par de ángulos consecutivos no adyacentes y un par de ángulosadyacentes.

MATEMÁTICA 1140

NO N NE

E

SESSO

O

Si dos ángulos son suplementarios perono consecutivos, no son adyacentes.

Si dos ángulos son consecutivos pero nosuplementarios, no son adyacentes.

UNIDAD 10


3. Dibujá un par de ángulos adyacentes de modo que uno sea 40° mayor que el otro. ¿Cuántodebe medir cada uno de ellos?

Consultá con tu maestro si vas a hacer la actividad siguiente o pasás directamente a la síntesis de launidad. Si deciden hacerla, necesitás contar con algunas piezas de formas geométricas conocidas: trián-gulos equiláteros, cuadrados, pentágonos regulares, hexágonos regulares, octógonos regulares, todas con lados de la misma medida. Si podés, reunite con otros chicos y construyan en común el material concartulina o cartón.

Para trabajar con las formas geométricas recién mencionadas, van a usar papel, pegamento, tijeras y colores.

7. Mosaicos

En esta oportunidad vas a aplicar la suma geométrica de ángulos consecutivos a la construcción de mosaicos.Los antiguos romanos llamaban tesela a cada una de las piezas de un mosaico. Por eso, los mosaicos también sellaman teselaciones y por la misma razón, teselar el plano es recubrirlo con mosaicos. La única condición es quelas piezas no se superpongan y que no queden huecos.

a) Trabajá con tus compañeros con un conjunto de polígonos iguales (triángulos de cualquierforma, cuadrados, rectángulos, rombos, trapecios, pentágonos regulares, hexágonos regulares).Traten de cubrir una hoja de papel, sin dejar espacios, como si fueran albañiles cubriendo un pisocon mosaicos.

Esta actividad, repetida cada vez con una colección diferente de figuras iguales, les dará oportunidad paraconversar acerca de la posibilidad de teselar o no una superficie según los ángulos del polígono empleado ytambién sobre la búsqueda de posiciones determinadas para lograrlo.

M 1

MATEMÁTICA 1142

Para finalizarA continuación encontrarás un índice de los

temas y las actividades sobre ángulos con los quetrabajaste en esta unidad. Como en la unidad 8,esta vez te toca a vos hacer una síntesis.

Para eso, releé toda la información que acom-paña las actividades que realizaste hasta aquí,revisá los textos, las conclusiones, las palabrasnuevas que aprendiste y escribí un breve comentariosobre las ideas que te parecieron más importantes.

Tema 1: Los ángulos se pueden medirActividad 1: Los puntos cardinales

Actividad 2: ¿Cómo medir ángulos? Actividad 3: El sistema sexagesimal

Tema 2: Los ángulos se pueden ordenarActividad 4: Relaciones de orden entre ángulossegún su amplitud.Actividad 5: Instrumentos de Geometría: el trans-portador y el compás

Tema 3: Suma geométrica de ángulosActividad 6: Pares de ángulos Actividad 7: Mosaicos

b) Respondé en tu carpeta:

En una teselación,

1. ¿Cuánto mide la suma de los ángulos consecutivos que tienen el vértice común?

2. ¿Cuáles de los polígonos regulares permiten recubrir el plano con un mosaico?

3. ¿Qué sucede con los ángulos de los pentágonos regulares?

Se llaman mosaicos regulares a los formados por triángulos equiláteros, o cuadrados o hexágonos regulares.

Es curioso el hecho de que ningún otro polígono regular tenga la propiedad de teselar. Encambio, cualquier triángulo, cuadrilátero o hexágono, por muy irregulares que sean, poseenesa propiedad.

c) Conversen con el maestro acerca de los resultados que obtuvieron al resolver esta actividad.

Como siempre, a continuación vas a encontrar desafíos matemáticos para resolver cuando lo decidas juntocon el maestro.

UNIDAD 10


1. Un juego sobre cuadrículaEste es un juego para dos jugadores: A y B.

Hay que preparar una cuadrícula rectangular con un número fijo de filas y

columnas. El juego empieza en la esquina inferior izquierda, donde el jugador A

escribirá su letra. En cada turno, uno de los jugadores escribe su letra en un

cuadrado que esté, en relación con la última letra escrita por su oponente:

- directamente encima,

- directamente a la derecha,

- en diagonal encima y a la derecha.

El juego continúa de esta forma y gana el jugador que consiga escribir su letra en la esquina supe-

rior derecha.

El desafío consiste en encontrar una estrategia ganadora. ¿Te da lo mismo ser vos el que empieza o

que empiece tu oponente? ¿Tiene importancia el número de cuadrados del tablero? ¿Y la forma del

rectángulo en el que jueguen?

2. Otro problema sobre cuadrículaEn un rectángulo formado por tres cuadrados de alto por cinco cuadrados de ancho hay que

dibujar la diagonal. Sin hacer el dibujo, ¿podés decir cuántos cuadrados atraviesa? Comprobá si

hiciste una buena estimación.

Pensá: ¿qué hubiera ocurrido si los lados del rectángulo no fueran números enteros?

¿Y qué ocurriría si las líneas de la cuadrícula no estuvieran igualmente espaciadas?

3. Mosaicos semirregularesEn una teselación, ¿qué combinaciones de polígonos regulares se pueden situar en torno de un

punto, si se puede repetir alguno de ellos? Por ejemplo: dos octógonos y un cuadrado, dos dodecá-

gonos y un triángulo, dos hexágonos y dos triángulos, dos cuadrados y tres triángulos…

Intentá recubrir todo el plano disponiéndolos regularmente. Hay muchas posibilidades. Las teselacio-

nes que resultan de combinar dos o más polígonos regulares se llaman mosaicos semirregulares: son

de ocho tipos. ¡Descubrílos!

A

M 1

MATEMÁTICA 1144

4. Dar vuelta los vasosManuel abrió una caja de copas y puso algunas boca arriba y otras boca abajo. Si da vuelta de a dos

cada vez, ¿puede ponerlas todas al derecho? El problema tiene más de una solución; ¿de qué depen-

de la solución? ¿Por qué?

5. Más triángulos equiláterosa) Copiá en tu carpeta la tabla siguiente y después completala dibujando los triángulos equiláteroscorrespondientes.

b) Analizá la correspondencia entre las dos últimas columnas de la tabla y decidí si se trata de unacorrespondencia proporcional o no.

Triángulo equilátero formado con “triángulos base” del rompecabezas

Lado (en cm)

2

4

9

16

25

1 6

Número de “triángulos base” Perímetro (en cm)

UNIDAD 10


En Matemática no siempre se trabaja con valores exactos. A veces hacemos cálculos numéricos exactosy otras veces nos basta con estimaciones. En cambio, los resultados de mediciones son siempre aproxi-mados; los valores que se obtienen dependen de la habilidad de la persona que mide y de la precisióndel instrumento del que se disponga.

La realización de las actividades de esta unidad ampliará tus conocimientos acerca de las unidadesconvencionales para medir el peso, la capacidad y el volumen de los cuerpos que tienen múltiplesaplicaciones en la vida cotidiana.

En esta unidad vas a experimentar con distintos objetos. Recordá que es muy importante que registresprolijamente las observaciones que vas haciendo en esas experiencias, porque a partir de ellas vas a estudiarlas medidas de peso, volumen y capacidad. Algunas actividades las vas a hacer con otros compañeros.Asegúrense de tener los materiales necesarios antes de empezar a trabajar en cada actividad.

Para este primer tema de la unidad vas a necesitar reunir una colección de por lo menos cinco envasesde diferentes tamaños de distintos productos de uso cotidiano, llenos o vacíos. Y para la primera actividaddel tema 2 vas a necesitar cartulina o cartón fino, un pan de jabón blanco, un poco de harina de maíz,arena o tierra seca, hojas de papel de diario y pegamento. Podés buscar en tu casa o en la escuela oconversar con el maestro si va a hacer falta conseguir algunas cosas en otros lugares.

Cuando se desea realizar una medición, es necesario elegir las unidades de medida adecuadasy también los instrumentos que permitan obtener la precisión requerida. Por ejemplo, nopodrías decidir cuánto mide de largo el aula usando como unidad un kilogramo ni cuántopesa una res si lo querés medir en litros o en metros. Del mismo modo, si un joyero quieresaber el peso de un anillo de oro necesita una aproximación mucho más fina que la delvendedor que pesa una bolsa de papas.

La forma de algunos objetos les permite contener sustancias; esos objetos se llaman reci-pientes y de ellos se puede medir tanto su capacidad como su volumen. También se puedeconocer el volumen de su contenido. Por ejemplo, una taza vacía tiene un volumen, ocupaun lugar en el espacio y, como es un recipiente, también se puede medir su capacidad y elvolumen del líquido que contenga. En cambio, de otros objetos, por ejemplo una piedra,sólo se puede medir su volumen. La piedra no es un recipiente.

Tanto las unidades de capacidad como las de volumen, indican de manera diferente cuál esel tamaño de un recipiente. Es importante que sepas que todos los objetos tienen un volumenya que todos ocupan un lugar en el espacio.

TEMA 1: MEDIDAS DE CAPACIDAD Y VOLUMEN

UNIDAD 11Medición de volumen, capacidad y peso

MATEMÁTICA 1146

1. ¿Es lo mismo medir capacidades que medir volúmenes?

a) En esta actividad vas a trabajar con unidades de volumen y su relación con las unidades decapacidad, y así aprender a diferenciar qué mide cada una.Para contestar la pregunta: ¿cuál es la diferencia entre capacidad y volumen?, buscá en el diccionariode la biblioteca las definiciones de “capacidad”, “volumen” y “magnitud”.

1. Copialas en tu carpeta.

2. Compará las definiciones de capacidad y de volumen y escribí como conclusión un brevecomentario sobre el significado de las dos palabras; compartilo con tus compañeros.

b) En la mayoría de los envases aparece información sobre su capacidad o el volumen de sucontenido y las unidades en que se han medido.

1. Para descubrir cuáles son estas unidades, vas a observar los envases de los distintos productosque pudiste reunir. Anotá cuáles son las unidades con las que se indica su contenido.

2. Completá en tu carpeta una tabla como la siguiente con los datos que hayas recogido. Comoejemplo, en los dos primeros renglones ya están registrados los datos de dos envases. Si tenésdudas respecto de la magnitud de que se trata, consultá con tus compañeros o con tu maestro.

UNIDAD 11


3. Observá las anotaciones que hiciste y en particular la de las tres últimas columnas. En ellasaparecen los items “valor de la cantidad”, “unidad de medida” y “magnitud”.

La medida de una cantidad es el número de veces que esa cantidad contiene la unidad elegida. La medidase obtiene eligiendo una unidad de medida, que es la cantidad tomada como referencia para medir.Cada magnitud tiene sus propias unidades de medida. Luego se compara la cantidad a medir con launidad elegida y se obtiene el valor de la cantidad, o sea el número de unidades que contiene esacantidad.Por ejemplo: en el primer caso, la magnitud medida es el volumen, la unidad elegida es el centímetrocúbico y el valor de la cantidad medida es 473 cm3.

4. ¿Cómo te parece que se midieron los contenidos de los envases que registraste en la tabla?

c) Tomá algunos objetos de los que te rodean y seleccioná los que por su forma pueden serrecipientes.

1. Compará la capacidad de ellos con la de algunos envases en los que esté indicado el contenido.

2. Respondé en tu carpeta: ¿puede ser que un recipiente con menor volumen exterior tenga máscapacidad que otro que tiene más volumen exterior?; ¿por qué?

d) Compará las expresiones “volumen del contenido de un recipiente” y “capacidad del recipiente”.Escribí en tu carpeta lo que pensás y luego consultálo con tus compañeros y tu maestro.

La capacidad indica cuánto puede contener o guardar un recipiente. Generalmente se expresaen litros (l) y mililitros (ml). El volumen indica cuánto espacio ocupa un objeto. Generalmente se expresa en metroscúbicos (m3) y centímetros cúbicos (cm3).Un cubito de 1 cm de arista ocupa un volumen de 1 cm3.

Producto

Gaseosa

Gaseosa

Tipo de envase

Lata

Botella

Valor de la cantidad

475 cm3

1,5 litros

Unidad de medida

Centímetro cúbico

Litro

Magnitud

Volumen

Capacidad

M 1

MATEMÁTICA 1148

2. ¿Qué volumen ocupa un litro de agua?

Antes de responder la pregunta ¿qué volumen ocupa un litro de agua?, es preciso que realices algunasexperiencias con distintas unidades de volumen. Para ello vas a construir algunas cajas o “cubos sin tapa.”

a) Copiá el molde en cartulina o cartón fino y prepará varios recipientes con forma de cubo:hacé uno de 5 cm de arista, otro de 10 cm de arista y otro un poco más grande.

Si podés, armá un cubito de 1 cm de arista. Si no, hacé uno cortando un trocito de jabón blancoque, aunque no quede perfecto, te va a dar una idea aproximada. Además, conseguí algún recipientede un litro.

b) ¿En cuál de los recipientes que preparaste creés que entra un litro de agua?

1. Anotá en tu carpeta lo que pensaste y después comprobalo. Podés hacerlo trasvasando aguarápidamente desde un recipiente que contenga un litro. Para que no se arruinen tus cubos,podés hacer los trasvasamientos usando harina de maíz, arena o tierra seca.

TEMA 2: RELACIÓN ENTRE VOLUMEN, CAPACIDAD Y PESO

UNIDAD 11


c) Calculá cuántos cubitos de 1 cm de lado puede contener cada uno de los cubos sin tapa queconstruiste. Anotá las respuestas en la carpeta y respondé la pregunta del título de esta actividad.

Las relaciones que observaste entre la capacidad y el volumen están resumidas en el cuadroque sigue. Antes leé estas explicaciones:

• Un cubo de un decímetro de lado o un decímetro cúbico (1 dm3) de volumen puedecontener un litro.

• Un decímetro cúbico equivale a 1.000 centímetros cúbicos (1.000 cm3). A partir de una unidad de longitud lineal (u) se puede construir un cuadrado de una unidad

u de lado; se llama unidad cuadrada y se simboliza u2. A partir de ella se puede construir uncubo de una unidad de arista; se llama unidad cúbica y se simboliza u3.

d) Para formarte una idea clara del espacio que ocupa un cubo de 1 metro de arista, trabajá conotro compañero. Peguen las hojas de papel de diario necesarias para armar dos o tres cuadradosde 1 metro de lado. Pueden usar las paredes de un rincón del salón para armar un cubo de unmetro de lado, sosteniendo convenientemente con las manos los cuadrados de papel. Lo queimporta es que puedan apreciar el espacio que ocupa un metro cúbico.

e) Construyan con el procedimiento anterior un cubo de medio metro de arista y luego hagan lascomparaciones necesarias para contestar la pregunta: ¿es lo mismo medio metro cúbico que uncubo de medio metro de arista?

u u2 u3

Símbolo

m3

dm3

cm3

mm3

l

ml

Equivalencias

Unidad

metro cúbico

decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

litro

mililitro

1 l = 1 dm3

Magnitud

Volumen

Capacidad

1 ml = 1 cm3

M 1

MATEMÁTICA 1150

Para eso piensen las respuestas a estas preguntas:

1. ¿Cuántos cubos de 1 dm3 se necesitan para llenar un volumen de un cubo de 1 metro de arista?

¿Cómo podrían verificar tu estimación?

2. ¿Cuántos litros puede contener un cubo de 1 m de arista? ¿Y un cubo de metro de arista?

f) Anote cada uno las conclusiones en la carpeta y conversen con el maestro sobre ellas.

En la siguiente actividad realizarás una experiencia para la que se necesita una balanza. Conversá con tu maes-tro sobre cómo conseguirla. También necesitarás: bolsas de papel o de plástico, dos cajas o latas iguales ymateriales diferentes para llenarlas, por ejemplo semillas, frutos secos, tierra seca, arena, clavos o tuercasy tornillos, ramas y maderas de diferente tamaño, un paquete de 1 kg de cualquier producto.

3. El peso y el volumen de un objeto

a) Llenen dos cajas o latas iguales con distintos materiales. Piensen si una de las cajas pesa másque la otra y luego compruébenlo con la balanza.

1. ¿Qué pueden decir acerca del peso y del volumen de esas latas o cajas?

2. Anoten en tu carpeta lo que pensaron entre todos.

b) Busquen un paquete de 1 kg de cualquier producto que lo tenga indicado en el envase. Tomenvarias bolsitas de papel o de plástico y llenen cada una con un tipo de material diferente: piedritas,frutos, tierra seca, arena o tuercas y tornillos hasta que estimen que cada una pesa 1 kg.

1. Comprueben con la balanza si hicieron buenas estimaciones.

2. ¿Cómo son los pesos y los volúmenes de las bolsitas?

3. Vuelvan a leer las respuestas que dieron a las preguntas de a) y b) y escriban como conclusión

un breve comentario acerca de si el peso y el volumen de los objetos se pueden relacionar.

Comentenlo entre todos y con el maestro.

c) Ahora compararán pesos y volúmenes de ramas y maderas.

1. Tomen dos ramas de distintos árboles y comparen su tamaño y luego sus pesos.

2. ¿Siempre una rama más grande es más pesada que otra más pequeña? ¿Por qué?

3. Si pueden contar con la colaboración de algún carpintero, comparen por su peso dos tablas

de madera de diferentes árboles y del mismo volumen y registren sus observaciones.

12

UNIDAD 11


Habrás observado que:Objetos con el mismo volumen, o recipientes con la misma capacidad, no siempre tienen elmismo peso. Esto depende de la clase de material que se compara.

Por ejemplo: 1 litro de agua pesa aproximadamente 1 kilo y ocupa 1 dm3.Con otras sustancias no sucede lo mismo que con el agua. Así:• 1 litro de petróleo pesa unos 750 gramos.• 1 dm3 de aluminio pesa 2,7 kilogramos.• 1 dm3 de plomo pesa 11,3 kilogramos.

En las siguientes actividades vas a poder experimentar cómo se procede para realizar distintos tipos demediciones que son necesarias en situaciones de la vida cotidiana.

4. Situaciones en las que hay que hacer mediciones

A continuación encontrarás tres situaciones con datos referidos a cantidades que fueron medidas usandomuchas de las unidades con las que estuviste trabajando en las actividades anteriores.

a) Leé cada situación y respondé las preguntas en tu carpeta. Si tenés alguna duda en cuanto aluso de las unidades o sus equivalencias, volvé a leer las informaciones que figuran en las actividadesanteriores o consultá con tu maestro.

Cosecha de melonesEn un cultivo de invernadero, en Tucumán, se producen melones. Se realizan dos cosechas al año,una en otoño y otra en primavera.

• La plantación se realiza en un invernadero de 8 m por 10 m del siguiente modo: la distanciaentre líneas es de 1,10 m y entre dos plantas de una misma línea, 30 cm. ¿Qué producciónes mayor, la que se obtiene sembrando en líneas de 10 m de largo o sembrando en líneas de8 m de largo?

• En otoño se cosecha un melón por planta y en primavera se cosechan de 2 a 3 melones porcada planta. En un invernadero de 250 plantas, ¿cuál es la cosecha anual que puede esperarse?Tu respuesta, ¿es un valor exacto o aproximado?

• Cada melón maduro pesa entre 1 kg y 1,5 kg. Si los cajones que se usan para embalarloscontienen de 10 a 12 kg, indicá entre qué valores aproximados –máximo y mínimo– estará elnúmero de melones que se embalen en cada cajón. Para determinar el peso del cajón,¿importa la forma de los melones? ¿Por qué?

• Explicá y justificá cada una de tus respuestas y discutilas con tus compañeros.

TEMA 3: MEDIDAS JUSTAS, MEDIDAS APROXIMADAS

M 1

MATEMÁTICA 1152

Producción lecheraEn las proximidades de una ciudad de la cuenca lechera se estima que la producción diaria deleche alcanza los 60.000 litros.

• Si la producción es buena, cada vaca puede dar entre 17 y 19 litros de leche por día. ¿A quécantidad de vacas corresponde la producción de 60.000 litros?

• En un tambo grande de 360 vacas, ¿cuántos litros diarios de leche se pueden producir?¿Cuántos m3 ocupan, como mínimo, los tanques de acero inoxidable que se usan paraalmacenarlos?

• Si se tratara de un único tanque, ¿cabría en tu aula?

Un frasco de vitaminasUn frasco de vitaminas contiene 50 ml. A los bebés y niños de hasta 3 años, el médico les indicótomar 1,5 ml por día y a los niños mayores de 3 años, el doble.

• Marcela tiene 4 hijos: Juan, que es un bebé de 10 meses; Andrea que tiene 4 años y mellizosde 6 años. Si todos toman las vitaminas, ¿cuánto tiempo dura el frasco?

En la unidad 5 de Ciencias Naturales estudiaste sobre la importancia del agua para la vida humana. Estaactividad te va a permitir obtener datos precisos sobre las necesidades y la distribución de agua potable enel mundo y así completar tu panorama sobre este tema. Para hacerlo vas a usar lo que aprendiste sobrelas medidas de capacidad.

5. Consumo de agua en nuestro planeta

a) Leé la siguiente información extraída de un artículo publicado en la Revista Ambientum, deseptiembre de 2005 y respondé en tu carpeta las preguntas que están al final.

[…] Se entiende por consumo doméstico

de agua por habitante a la cantidad de agua de que

dispone una persona para sus necesidades diarias

de consumo, aseo, limpieza, riego, etc. y se mide en

litros por habitante y día (l / hab.-día). Es un valor

muy representativo de las necesidades y/o consumo

real de agua dentro de una comunidad o población

y, por consiguiente, refleja también de manera indi-

recta el nivel de desarrollo económico y social de

esa comunidad. El destino aplicado al agua dulce

consumida varía mucho de una región a otra del

planeta, incluso dentro de un mismo país. Por

regla general, el consumo elevado de agua potable

se da en países ricos y, dentro de estos, los consumos

urbanos duplican a los consumos rurales. A nivel

mundial, se extraen actualmente unos 1.800

litros/hab-día de agua dulce para consumo humano,

de los cuales, aproximadamente la mitad no se

consume (se evapora, infiltra al suelo o vuelve a

algún cauce) y de la otra mitad se calcula que el

65% se destina a la agricultura, el 25% a la

industria y, tan solo el 10% a consumo doméstico.

UNIDAD 11


1. Observá las dos columnas de la tabla; ¿qué cálculo hay que hacer para pasar de un dato de lacolumna de la derecha a su correspondiente en la otra? ¿Por qué? ¿Cómo se pueden obtenerlos valores de la “media mundial”?

2. A partir de la información que leíste acerca de que se extraen 1.800 litros/hab.-día de aguadulce, calculá para cada área geográfica indicada en la tabla anterior, la cantidad de agua enlitros/hab.-día que se destina a la agricultura, la que va a la industria y cuánto se emplea en elconsumo doméstico.

3. Escribí un breve comentario acerca de lo que pensás sobre la “nueva cultura del agua”.Comentálo con tus compañeros y tu maestro.

La siguiente actividad de cierre de la unidad te va a permitir revisar lo trabajado sobre las magnitudes y susunidades de medida.

Ahora bien, la Organización Mundial de la Salud

estima como razonable un consumo de agua de

200 litros por día y por persona que habita en una

vivienda urbana.

En la tabla de la derecha se aprecia el consumo en

diferentes zonas del planeta (datos 1996).

En conclusión, no parece muy descabellado

aseverar que, a pesar de que la cantidad de agua

disponible en el planeta es suficiente para cubrir

las necesidades de la población, su consumo exce-

sivo e incorrecto en muchos países y su escasez en

otros podría provocar la falta de recursos dentro

de pocos años. Ante esta situación es necesario un

cambio en las tendencias actuales de consumo

según la denominada “nueva cultura del agua”,

basada en el ahorro de agua, la optimización de su

gestión, el respeto y la sensibilización hacia este

recurso, su reparto equitativo y la valoración como

activo ecológico y social […].

Área geográficaConsumo

m3/hab.-año

l/hab.-año

América de Norte y Central

1.874 5.134

Europa 1.290 3.534

Oceanía 887 2.430

Asia 529 1.449

América del Sur 485 1.329

África 250 685

Media Mundial 657 1.800

Revista Ambientum, (fragmento).septiembre de 2005.

M 1

MATEMÁTICA 1154

6. Para revisar las medidas de capacidad, peso y volumen

En esta unidad trabajaste con medidas y magnitudes que es preciso recordar y diferenciar. Es bueno quepuedas tener a la vista para repasar, recordar y pensar las situaciones que fuiste resolviendo.

a) Completá una tabla como esta con todas las cantidades que aparecen, tanto en los enunciadoscomo en tus respuestas a cada una de las actividades. Los dos primeros van como ejemplo.

Para finalizarEn esta unidad exploraste la medición del peso y del volumen de un objeto cualquiera y de la capacidad

de un recipiente. Estudiaste el significado de los términos volumen, capacidad y peso y comprobaste ladiferencia entre estas magnitudes.

Con las actividades de medición que realizaste seguramente ahora tenés más claros los conceptos deunidad y de medida de una cantidad de capacidad, de una cantidad de peso o de una cantidad de volumen.

Observaste que en numerosas circunstancias de nuestra vida de todos los días es necesario realizarestimaciones. También comprobaste que la práctica de hacer estimaciones de mediciones te ayuda aanticipar la razonabilidad de los cálculos que realizás.

Actividad

1

1

1

Cantidad medida

Volumen de una lata

Capacidad de una botella

...

Valor de la cantidad

473 cm3

1,5 l

...

Medida

473

1,5

...

Unidad

cm3

litro

...

Magnitud

volumen

capacidad

...

UNIDAD 11


1. Adivinar la edadPodés adivinar fácilmente la edad de una persona y el mes en que nació. Para eso, pedile que piense

en el número del mes de nacimiento (enero = 1, febrero = 2, ...) pero que no te lo diga, que lo

multiplique mentalmente por 2 y al resultado le sume 5. Después debe multiplicar el resultado

obtenido por 50 y sumarle su edad.

Pedile que te diga el resultado final de todos estos cálculos y, mentalmente, restale 250. El número

obtenido tendrá 3 o 4 cifras. Las dos cifras de la derecha son las de la edad, y las de la izquierda son

el número del mes de nacimiento.

Probálo. ¿Por qué no puede fallar?

2. El abuelo RamónEl médico que atiende al abuelo Ramón le recetó dos tipos de pastillas: un frasco de 20 pastillas (A)

y un frasco de 20 pastillas (B) y le recomendó que hiciera el siguiente tratamiento durante 30 días:

- En los primeros 10 días debe tomar cada noche una pastilla de cada frasco.

- En los 20 días siguientes debe bajar la dosis y tomar cada noche media pastilla de cada frasco.

Las pastillas A y B son idénticas a la vista y el médico le aconsejó al abuelo que para que el tratamiento

resultara efectivo tuviera mucho cuidado y no las confundiera.

La primera noche, el abuelo pensó sacar una pastilla de cada frasco y dejarlas preparadas sobre la

mesita de luz para tomarlas luego con un vaso de agua. Cuando volvió para tomarlas vio que se

había equivocado y sobre la mesita había 3 pastillas.

Contando las pastillas que quedaban en cada frasco, el abuelo descubrió que se trataba de 2 pastillas

A y una B, pero no sabía cuál era cuál.

Sin embargo, luego de pensar un poco, ideó una manera de seguir las instrucciones del médico sin

riesgo de errores, como efectivamente hizo, y al cabo de los 30 días no tuvo más dolores. ¿Cómo

hizo el abuelo Ramón?

M 1

MATEMÁTICA 1156

3. Ubicar númerosHay que ubicar dentro de las figuras los números del 4 al 10 de tal manera que la suma de los números

adentro de cualquier figura sea 30, y la suma de todos los que están afuera de una figura dada sea 25.

4. DominóEl juego del dominó surgió hace mil años, en China. Los italianos lo introdujeron en Europa en el

siglo XVIII. El nombre del juego es de origen francés y fue tomado de una capucha negra por fuera

y blanca por dentro, los mismos colores que presenta el juego.

El desafío consiste en que diseñes las fichas de un juego de dominó. El juego completo tiene 28

fichas todas diferentes. Cada ficha es rectangular y está formada por dos cuadrados blancos en los

que se ubican puntos negros: 0, 1, 2, 3, 4, 5 o 6 puntos.

Una vez diseñadas las fichas, podés construirlas con madera o cartón grueso e incorporar el juego

a la colección de la juegoteca de la escuela.

Reglas para jugar al dominó

Pueden participar 2 o 4 jugadores.

Gana el juego el participante que puede colocar primero todas sus fichas, con la única restricción de

que dos piezas sólo pueden colocarse, una a continuación de la otra, cuando los cuadrados adyacentes

son del mismo valor.

Antes de empezar a jugar, las fichas se colocan boca abajo sobre la mesa y se revuelven para que los

jugadores las recojan al azar en igual número cada uno.

Empieza el juego quien tiene el doble seis y continúa el jugador situado a su derecha. En las siguientes

rondas, empezará el jugador ubicado a la derecha del que comenzó en la ronda anterior y podrá

poner cualquier ficha, no necesariamente una doble.

En caso de cierre, es decir, cuando a pesar de quedar fichas en juego, ninguna pueda colocarse, ganará

el jugador cuyas fichas sumen menos puntos.

1

2

3

UNIDAD 11


En muchas oportunidades es necesario conocer la longitud de un contorno, por ejemplo, de una cerca,para saber cuántos listones de madera harán falta para construirla; la cantidad de alambre que se debecomprar para alambrar un campo; el largo de una cinta para hacer el reborde de un mantel o de una prendade vestir. En otras ocasiones, si se trata de comprar semillas para sembrar un terreno, hay que conocer elárea disponible a tal fin o bien, si se está pensando en alfombrar y pintar una habitación, es necesarioconocer el área del piso y de las paredes. Esta unidad presenta una serie de actividades que te permitiránresolver situaciones como estas. Trabajarás con figuras y cuerpos ya conocidos: triángulos, cuadriláteros,prismas y pirámides y aplicarás sus propiedades para aprender a calcular áreas y perímetros.

En la actividad 1 vas a necesitar algunos sorbetes o varillas y un papel afiche, fibras o crayones.Para trabajar en las actividades del tema 2 vas a necesitar hojas de papel cuadriculado. Recordá llevarlasen el momento de comenzar a trabajar en ese tema.

1. Longitudes de contornos

Cuando estudiaste proporcionalidad inversa en la unidad 3 trabajaste sobre una situación vinculada conalambrar y sembrar una huerta en la que aplicaste conocimientos matemáticos como el perímetro, la super-ficie y el área de figuras. En esta oportunidad retomarás esos temas empezando a calcular el perímetro deuna figura. Recordá que el perímetro de una figura es la medida de su contorno.

a) Si construís el contorno de figuras con varillas, podés obtener el perímetro averiguando el largodel segmento que se obtiene al colocar todas las varillas usadas, una a continuación de la otra.

1. Escribí en tu carpeta: “Actividad 1: Longitudes de contornos” y construí con varillas trestriángulos, uno de ellos equilátero.

• Medí la longitud de sus lados y calculá su perímetro (en centímetros).• Escribí cómo lo hiciste.

TEMA 1: PERÍMETRO DE FIGURAS Y CUERPOS

UNIDAD 12Perímetros y áreas en cuerpos y figuras planas

MATEMÁTICA 1158

2. En el caso del triángulo equilátero, ¿podés expresar el cálculo del perímetro de dos formasdiferentes?, ¿cuáles?

• Nombrá con a cada uno de sus lados y completá la siguiente expresión:

P = ……………=……………, en la que P representa perímetro.

3. ¿Qué sucede en el caso de los cuadriláteros? ¿Podrías anticipar una manera de calcular susperímetros? Anotála en tu carpeta.

b) Observá los siguientes cuadriláteros, medí sus lados en centímetros y calculá su perímetro.

1. ¿Pudiste comprobar si la manera que pensaste en el punto 3 de la actividad anterior eracorrecta? Escribí en tu carpeta el nombre de cada figura y la forma simbólica en que hallaste superímetro, usando las letras que están sobre sus lados.

c) Toda vez que necesites calcular el perímetro de una figura es suficiente que sumes los ladospero también podrás usar la expresión matemática que la representa. Por ejemplo, en el caso delrectángulo:

P = r + t + r + t o P = 2 x r + 2 x t o P = (r + t) x 2, donde r y t representan las longitudesde los lados.

1. Si conocés la medida de r y t, lados consecutivos del rectángulo, reemplazá las letras en una delas expresiones o fórmulas anteriores por esas medidas, resolvé las operaciones y así encontrarásel perímetro de la figura que elegiste. Tené presente que las longitudes deben estar expresadasen la misma unidad de medida, por ejemplo, en centímetros, decímetros, metros, etcétera.

2. Escribí la fórmula del perímetro del cuadrado.

UNIDAD 12


d) Ya viste en la unidad 8 que los cuerpos geométricos cuyas caras son planas tienen un esqueletoformado por el conjunto de todas sus aristas.

1. Elegí un cuerpo de los que hayas construido y calculá la longitud de su esqueleto. En tu carpetaescribí cómo lo hiciste.

2. Buscá un cubo y tomá la medida de una arista, anotá la medida de la longitud del esqueleto yexplicá cómo pensaste el cálculo.

3. Tratá de escribir una fórmula que te permita calcular directamente la longitud del esqueletodel cubo.

e) Como síntesis de lo que aprendiste sobre perímetro completá en tu carpeta, con tus compañeros,las tablas que siguen. Las letras a, b, c, y d representan los lados.

1. Muéstrenle las tablas al maestro y vean si tienen que corregir algo.

2. Cuando estén seguros de que las tablas están bien, cópienlas en un afiche y déjenlo colgado enla pared del aula.

Ya viste en la unidad 3 que el contorno de una figura encierra una superficie y viste la forma de encontrar elárea de los rectángulos mediante el uso de cuadrados del mismo tamaño o bien usando papel cuadriculado.A continuación, en el tema 2, profundizarás tus conocimientos sobre superficies de figuras planas. Trabajaráscon áreas de rectángulos, triángulos, prismas y pirámides y vas a encontrar otras formas de calcularla sinnecesidad de recurrir a material auxiliar. También establecerás relaciones entre perímetros y áreas. Vasa necesitar las hojas cuadriculadas que te fueran pedidas anteriormente.

Perímetro de triángulos

Cálculo del perímetro

a + b + c

Número del triángulo

Escaleno

Isósceles

Equilátero

1

2

3

Perímetro de cuadriláteros

1

2

3

4

5

6

7

Cálculo del perímetro

a + b + c + d

Número del cuadrilátero

Trapezoide

Paralelogramo

Rectángulo

Trapecio isósceles

Romboide

Rombo

Cuadrado

M 1

MATEMÁTICA 1160

2. Área de los rectángulos

a) Trabajá en tu carpeta, escribí “Actividad 2: Áreas de los rectángulos” y realizá lo que se indicaa continuación.

1. Dibujá un cuadrado de 2 cm de lado y luego dividilo en cuatro cuadrados iguales.

2. Cada nuevo cuadrado tiene como lado 1 cm por lo que su área es de 1 cm2. Esta será la unidad

de medida que usarás para medir el área de las figuras. Como en el cuadrado hay 4 cuadraditos

de 1 cm2, el área total del cuadrado ABCD es de 4 cm2.

3. Dibujá un rectángulo e indicá cuál es, en cm2, su área.

4. Escribí en tu carpeta la operación que permite llegar a ese resultado.

5. Pensá en los rectángulos cuyos datos figuran en esta tabla, copiala en tu carpeta y completala.

6. Si a los lados de cada rectángulo se los llama a y b, expresá en símbolos el área del rectángulo.

Los lados de un rectángulo frecuentemente se denominan largo y alto. El área del rectángulo se obtienemultiplicando la longitud del largo por la longitud del ancho, ambas expresadas en la misma unidad.

b) Si observás el rectángulo de la actividad 2, el largo es a y el alto es b. A estos lados también selos llama base y altura. Escribí en tu carpeta y completá la siguiente expresión:

El área del rectángulo es igual a …………………………………

1. Expresá con tus palabras cómo se determina el área de un cuadrado y escribí la fórmula

correspondiente.

2. Tomá una hoja de tu carpeta y hallá su perímetro y su área. Hacé lo mismo con una puerta o

una ventana de tu aula. ¿Cuáles son las unidades que te conviene usar en cada caso?

En la actividad anterior analizaste la fórmula del área de un rectángulo. Ahora verás la de los triángulos.En primer lugar vas a distinguir las alturas de un triángulo.

TEMA 2: ÁREAS EN CUERPOS Y FIGURAS

Medida del lado 2 (cm)

7

10

5,25

Medida del área 2 (cm2)

21

45

11,25

Medida del lado 1 (cm)

3

2,5

UNIDAD 12


3. Área de triángulos

a) Dibujá en un papel un triángulo escaleno cualquiera y recortalo.

1. Usando el recorte de papel como molde, dibujá en tu carpeta el triángulo en distintas posi-ciones; en cada uno de los dibujos, colocá en posición horizontal un lado distinto. Por ejemplo:triángulos ABC, BCA y CAB.

En todo triángulo, la distancia entre un lado y el vértice opuesto se llama altura correspondiente a ese lado.

b) Leé atentamente la definición de altura.

1. Trazá las alturas de tu triángulo.

2. Observá cada una de las alturas del triángulo escaleno en sus distintas posiciones y verás queson diferentes para cada lado.

3. Respondé en tu carpeta:

• ¿Cuántas alturas diferentes tiene un triángulo isósceles? • ¿Y un triángulo equilátero? ¿Por qué?

c) En tu carpeta escribí “Actividad 3: Área de triángulos” y dibujá un triángulo cualquiera.

1. Copiá en un trozo de papel el triángulo que dibujaste.

2. Recortá el triángulo de papel por la línea que representa una altura: te quedan dos triángulosrectángulos. Pegálos junto al triángulo que dibujaste como está indicado en la figura siguiente.

M 1

MATEMÁTICA 1162

3. Observá la figura que ha quedado formada, nombrála y compará su área con la del triángulo ABC.

• Seguramente te has dado cuenta de que el área del AMNC es el doble del área del triánguloABC.

Área AMNC = 2 x área ABC. Entonces, el área del ABC es la mitad del área del rectánguloAMNC por lo que

Área del triángulo ABC = AC x AM.

• Como AC es la base del rectángulo y AM su altura, igual a la del triángulo (h) resulta que Área del triángulo ABC = (base x altura) : 2.

Área del triángulo =

d) Explicá con tus palabras la fórmula que permite calcular el área de un triángulo.

e) Calculá el valor del área coloreada en cada uno de los casos.

f) Construí todos los rectángulos cuyos lados midan un número entero de centímetros y superímetro sea de 24 cm. Calculá el área de cada uno. Copiá en tu carpeta los enunciados yresolvélos explicando el procedimiento que elegiste. Luego mostráselo a tu maestro.

La siguiente actividad te permitirá ver qué es necesario conocer para calcular las áreas de los cuerposque ya estudiaste en la unidad 8.

base x altura2

12

UNIDAD 12


4. Área de prismas

a) Trabajando con tus compañeros, lean esta situación:

En la escuela de Carmen están planificando un proyecto de producción de dulce de membrilloartesanal hecho con la fruta que se produce en la escuela. Los chicos discuten cómo envasarlo ycada uno expone sus ideas. Juan dice que es posible envolver el dulce con papel o plástico, cerrarlobien y luego ponerlo en cajitas de madera.Marta señala que primero hay que decidir de cuánto serán los paquetes y qué moldes habrán de usar.Alicia dijo: –Yo estuve investigando con mi papá y cuando fuimos a la ciudad vimos que en unnegocio tenían paquetes de medio kilo y de un kilo, de dos marcas diferentes en cajitas de cartón.También había dulce en latas y en barras que se cortan y se venden por peso. Todos se quedaron pensando y Juan preguntó cómo eran los paquetes de medio kilo. Alicia lecontestó que uno era del tamaño de su mano y de unos tres dedos de alto, mientras que el otroera un poco más chico pero más alto. Por lo que Alicia dijo sus compañeros entendieron que esos dos paquetes que contenían mediokilo no eran iguales aunque tenían la misma cantidad de dulce.

b) Redacten entre todos las respuestas a las preguntas siguientes. (Anoten las ideas que se lesocurran en una hoja borrador.)

1. Si los paquetes tienen la misma cantidad de dulce, ¿se necesita la misma cantidad de papel parael envoltorio, aunque tengan distinta forma?

2. La cantidad de madera que hace falta para hacer la caja de 1 kilo, ¿es el doble de la que se usapara la caja de medio kilo?

c) Las preguntas anteriores se relacionan con estos problemas geométricos:

• Los prismas de igual volumen, ¿tienen la misma área?• Si el volumen de un prisma aumenta al doble, ¿su área también aumenta el doble?

Para resolver estos problemas necesitan identificar la superficie lateral y total de un cuerpo, y tener clara ladiferencia entre algunas unidades de medida. Tengan a mano las anotaciones que hicieron sobre las solu-ciones a estos problemas; las próximas actividades los ayudarán a descubrir si lo que pensaron es correcto.

d) Lean la siguiente información:

El volumen de un cuerpo indica cuánto espacio ocupa y se expresa en unidades cúbicas: m3, cm3,mm3. Un cubito de 1 cm de arista ocupa un volumen de 1 cm3 y cada una de sus caras cuadradastiene un área de 1 cm2.

M 1

MATEMÁTICA 1164

El área total de un prisma es la suma de las áreas de sus caras. Si al área total le quitamos lasáreas de las bases obtenemos el área lateral del prisma.

Mírenlo en este ejemplo:

e) Ahora van a construir dos prismas distintos con 24 cubitos cada uno, para resolver el primerproblema: Prismas de igual volumen, ¿tienen la misma área?

1. Tomen una hoja de papel cuadriculado de 1 cm de lado y dibujen todas las caras de cada unode los prismas.

2. Registren en la carpeta el volumen, el área de cada una de las caras, el área total de cadaprisma en una tabla para que después puedan comparar los datos. ¿Es posible construir otrosprismas de 24 cm3 de volumen y distinta forma que los anteriores? Si es así, constrúyanlos ycalculen su área total.

3. Comparen sus anotaciones y respondan la pregunta del problema. Anoten, cada uno en sucarpeta, la resolución.

f) Ahora vas a investigar el segundo problema solo: ¿Cómo varía el área total de un prisma cuando se duplica su volumen?

1. Copiá el enunciado del segundo problema en tu carpeta.

2. Armá un prisma con cubitos de 1 cm de lado. Dibujá su base, anotá su volumen y su área total.Organizá una tabla para ir anotando todos los datos de tus construcciones, igual que hicistepara el problema anterior.

3. Construí otro prisma que tenga el doble de volumen que el anterior. Dibujá la base, anotá elvolumen y el área total.

4. Compará los valores que encontraste y respondé la pregunta del problema: Si el volumen de un prisma aumenta al doble, ¿su área también aumenta el doble?

5. Con los valores de la tabla que construiste tratá de averiguar si el área total del prisma esdirectamente proporcional a su volumen. Respondé en tu carpeta.

Volumen: 3 cm3 Área total: 14 cm2 Área lateral: 12 cm2

UNIDAD 12

g) Lée la siguiente información y comparala con las anotaciones que hiciste en tu carpeta. Si esnecesario, modificá tus respuestas.

Hay cuerpos que tienen el mismo volumen pero distinta forma y área.

h) Conversá con tus compañeros y con el maestro acerca de lo que aprendieron en esta actividad.

Tanto el volumen como el área de un prisma dependen de sus tres dimensiones; largo, ancho y alto. Si aumenta una de las dimensiones de un prisma también aumentan el volumen y el área, pero no necesariamente en la misma relación.

5. Áreas de pirámides

a) Elegí una pirámide de una caja de cuerpos y sobre una hoja de papel marcá cada una de lascaras y su base.

1. ¿Qué necesitás hacer para calcular el área lateral y total?

2. Escribí en tu carpeta los cálculos y el procedimiento que realizaste. Mostrále el trabajo a tu maestra.

b) Con tus compañeros elegí otras pirámides y prismas rectos.

1. Analicen sus elementos y luego de discutir, como lo hicieron en las actividades anteriores, busquenuna expresión matemática que les permita calcular áreas laterales y totales de esos cuerpos.

2. Entre todos, busquen una manera de que las conclusiones puedan ser conocidas por todoslos compañeros.

En la próxima actividad vas a tener la oportunidad de revisar lo que aprendiste en esta unidad sobreperímetros y áreas y lo vas a aplicar para resolver algunos problemas. Volvé a revisar los temas y acti-vidades que necesites y las anotaciones de tu carpeta. Guiáte por los títulos, los textos destacados y los“Para recordar” y así ubicar dónde está la información o la explicación que necesitás volver a leer.


Volumen: 12 cm2

Área total: 32 cm2

Volumen: 12 cm2

Área total: 38 cm2

M 1

6. Perímetros y áreas

a) El perímetro de la figura es de 96 cm. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo sombreado?

b) La figura ABC es un triángulo equilátero de 18 cm de perímetro;CD = AC y el cuadrilátero ACDE tiene 20 cm de perímetro. ¿Cuál esel perímetro del ABCDE?

c) Este dibujo corresponde al desarrollo de la superficie de un cuerpo:

1. Describí el cuerpo del que se trata. Para lograrlo, tomá las medidas que consideres necesarias,las varillas necesarias para armar el “esqueleto” del cuerpo, y calculá el área total del cuerpo.¿Qué unidades de área usarás para expresarla?

2. Si en lugar de estar formada por cuatro triángulos, la superficie lateral tuviera tres triángulos,¿de qué cuerpo se trataría? Dibujá en tu carpeta su desarrollo, calculá la longitud del esqueletoy el área total del cuerpo.

Consultá con tu maestro si vas a hacer la actividad 7 o pasás a leer la síntesis de la unidad.

7. Más perímetros para calcular

En una cadena de figuras iguales, por ejemplo, de triángulos equiláteros o de rectángulos, ¿cómo se puedecalcular el perímetro de la cadena?

MATEMÁTICA 1166

E

D

C

B

A

UNIDAD 12

a) Observá esta cadena de triángulos:

1. El perímetro total, ¿será el perímetro de la figura multiplicado por el número de triángulos quecontenga la cadena? Para averiguarlo tomá un triángulo, luego dos y por último tres como losde la figura. Calculá el perímetro de cada una de las figuras que se han formado.

P = 1 + 1 + 1 = 3 P = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 P = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

2. Continuá completando una tabla como la siguiente:

3. Observá la relación entre el número de triángulos y el valor del perímetro. Expresála con tuspalabras y tratá de hacerlo con símbolos matemáticos, por ejemplo usando P para el perímetro,n como el número de triángulos y l como la longitud del lado.

b) Podés hacer lo mismo con una cadena de rectángulos.

1. ¿Cuál es el perímetro de una cadena de 8 rectángulos, donde cada rectángulo mide 2 cm delargo y 1 cm de ancho?

Para finalizarLas diferentes actividades que realizaste tienen el propósito de que aprendas a calcular perímetros yáreas de figuras y cuerpos ya conocidos, sobre la base de lo que viste en otras unidades, y puedasexpresar mediante fórmulas las relaciones matemáticas que se dan entre los elementos de esas figurasy cuerpos.

Aprender a expresar relaciones abre el camino hacia otros conocimientos matemáticos como también amostrar que existe un lenguaje propio de la Matemática que permite simplificar las comunicaciones. Entre las relaciones que ya conocés están las de proporcionalidad directa. En una de las actividades anali-zaste algunas de las magnitudes que aparecieron: longitudes, áreas y volúmenes, para verificar en quécasos se presentan este tipo de relaciones en la vida real.


Nº de triángulos

Perímetro

1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 40 50

M 1

MATEMÁTICA 1168

1. De rectángulos y triángulosImaginá que la tapa de una revista está sobre la de otra revista tapándola parcialmente, tal como se

puede ver en la siguiente figura:

A’ coincide con B y D’ está en el lado AD.

En la revista ABCD, ¿hay más parte visible o más parte tapada?

Fijate en A’C D’, ¿qué relación tiene su área con la del rectángulo ABCD?

¿Qué relación tienen la parte tapada y la parte visible?

2. El pastor y su rebañoCon las provisiones de forraje que tiene, un pastor puede alimentar durante el invierno a un reba-

ño de 36 cabezas durante tres meses. ¿Cuántos animales debe vender para poder alimentar a su

rebaño durante 5 meses con esa misma cantidad de forraje?

3. Cubos pintadosHay ocho cubos iguales pintados de diferentes colores: 2 están pintados de rojo, 2 de blanco, 2

de azul y 2 de verde. Se quiere formar con ellos un cubo más grande, de modo que en cada cara

aparezcan todos los colores. ¿De cuántas formas distintas se pueden colocar los cubos?

4. Un dado que ruedaConseguí un dado y una hoja de papel. Colocá el dado en el centro de la hoja con la cara del 1 hacia

arriba y pasá el lápiz por el borde de la base. Te quedó marcado un cuadrado, ponéle el número 1.

Colocá de nuevo el dado y hacélo girar 90º sobre una de sus aristas. Repetí la operación hacia

uno y otro lado, arriba y abajo, escribiendo siempre el número de la cara superior. Te quedará

formado un tablero rectangular. ¿Cuál es el camino más corto para ir desde el primer cuadrado, con

el número 1 a un cuadrado fijo con un cierto número? ¿Qué números se pueden obtener yendo

siempre en vertical hacia arriba del tablero?

UNIDAD 12


La variedad de situaciones de la vida cotidiana en las que está presente la noción de superficie esprácticamente ilimitada. Estas son algunas de las más frecuentes: una lámina o un pliego de cartulina ouna hoja de papel, un corte de tela, una cancha de fútbol o una piscina, el territorio de una provincia, lasuperficie de un lago o un mar, una pared para ser pintada, un piso para ser cubierto de baldosas, la salidade un hueco que hay que tapar, un campo que hay que cosechar, un techo para cubrir con tejas, una pantallade cine o de un televisor y una huella.

En esta unidad podrás profundizar en la idea de superficie. A través de sus actividades estarás encondiciones de responder preguntas como esta: ¿pueden dos figuras de diferente forma tener igualsuperficie?

Al iniciar el trabajo con esta unidad, te conviene tener a mano algunas unidades de Geometría que yaresolviste para revisar lo que necesites en relación con el tema de superficies y áreas. Especialmente tepuede servir la unidad 12.

Para realizar la siguiente actividad, necesitarás cartulina, útiles de Geometría y tijeras.

1. Figuras equivalentes

En la unidad 1 trabajaste con un tangram cuadrado para sumar y restar fracciones. Como ya viste, untangram es un rompecabezas constituido por varias piezas geométricas que, juntas, forman un cuadrado oun rectángulo o un triángulo. En esta oportunidad vas a construir uno distinto, que también podrás agregara tu colección de rompecabezas.

a) Dibujá en cartulina el siguiente tangram.

1. Observá qué figuras lo componen. Está formado por un cua-drado grande (C), un cuadrado pequeño (c), dos triángulosgrandes (T), dos triángulos pequeños (t) y un paralelogramo (p).

2. Antes de dibujarlo, decidí qué escala es conveniente usar paraampliarlo adecuadamente a un cuadrado de 10 cm x 10 cm.

b) Cortá las piezas del rompecabezas, usalas como moldes y con ellas armá libremente las formasque quieras.

UNIDAD 13 Equivalencia de figuras

MATEMÁTICA 1170

c) ¿Podés formar 1p con 2t y 1c?

d) ¿Podés sustituir 1C por 2T?

e) ¿Ocupan la misma superficie 1c y 2t? En este caso diremos que 1c y 2t son figuras equivalentes.

Dos o más figuras son equivalentes si ocupan la misma superficie.

f) Copiá en la carpeta las siguientes afirmaciones y explicá para cada una si es verdadera o no ypor qué. Podés usar las figuras recortadas para justificar tus respuestas.

1. El cuadrado C es la cuarta parte del tangram.

2. T es la mitad de C.

3. 1/2 T = t.

4. C + T + T = del tangram.

g) Copiá las siguientes preguntas en la carpeta y respondelas.

1. ¿Cuántas piezas t necesitás para obtener la pieza T?

2. Teniendo en cuenta la parte o fracción del tangram que es la pieza C, ¿con cuántas piezas Cse puede formar el tangram?

3. Elegí pares de piezas del rompecabezas y analizá qué relación se puede establecer. Organizáun cuadro que muestre la equivalencia entre cada uno de los pares y mostraselo a tu maestro.

h) Usando todas o solamente algunas de las piezas del tangram como molde dibujá, en papelesque puedas recortar, pares de figuras equivalentes que tengan distinta forma.

1. Compará tu producción con la de otros compañeros.

2. Elaboren un afiche para el aula: peguen los pares de figuras e indiquen para cada par por quéson equivalentes.

En la actividad 5 de la unidad 10 estudiaste diferentes teselaciones para indagar de qué modo los ángulosque concurren en un vértice pueden o no completar un giro. En esta oportunidad vas a teselar superficiesusando diferentes unidades de medida.

Para trabajar en la actividad 3, vas a usar los útiles de Geometría, lápices, papeles de diario u otro tipode papeles, goma de pegar o cinta adhesiva y una tijera. Andá buscando los materiales con anticipación.

12

UNIDAD 13


2. Embaldosados

a) Dibujá en tu carpeta un rectángulo de 4 cm de ancho y 3 cm de alto. Nombralo A.

b) Dibujá en tu carpeta otro rectángulo de 2 cm de ancho y 1 cm de alto. Nombralo B.

c) Ahora tenés que “cubrir” o “embaldosar” el rectángulo A con rectángulos B.

1. Para hacerlo podés recortar varios rectángulos A y B, o directamente dibujar en tu carpeta.En ese caso, trazá las subdivisiones interiores que necesites para mostrar tu trabajo.

d) Copiá las preguntas y respondé en la carpeta:

1. ¿Cuántas figuras B necesitaste?

2. ¿Hay una única forma de pavimentar el rectángulo A?

3. Compará las respuestas con tus compañeros y controlen con el maestro.

Dada una unidad, el número que expresa la medida de una superficie es el área.

La figura B es la unidad con la que se midió el área de A. Diremos que la medida de la superficiede la figura A, con respecto de B, es 6. Quiere decir que se necesitan 6 figuras B para cubrir lafigura A, o bien que A equivale a 6 figuras B.

Consultá con el maestro cómo vas a encarar la actividad siguiente. Acordá cómo te vas a organizar paratraer el material necesario. Si es posible, en esta actividad trabajá con un compañero. Si no es posible,consultá con tu maestro/a cómo organizarte para trabajar.

Para realizar la actividad 4 vas a usar cm2 recortados en papel o cartulina, u hojas cuadriculadas en cm2. Preparalo antes de comenzar con esa actividad.

3. Unidades de área

a) Organícense en dos grupos para realizar dos tareas diferentes y luego compararlas.

M 1

MATEMÁTICA 1172

Grupo 1: 1. Dibujen un rectángulo de 8 cm x 3 cm.

2. Recorten un cuadradito de 2 cm x 2 cm.

3. Midan la superficie del rectángulo tomando como unidad el cuadradito.

Grupo 2:1. Dibujen un rectángulo de 7 cm x 3 cm.

2. Recorten un rectángulo de 3 cm x 1 cm.

3. Midan la superficie del rectángulo dibujado tomando como unidad el rectángulo que recortaron.

b) Comparen la superficie de ambos rectángulos. ¿Cuál es mayor? Los resultados de las medi-ciones ¿lo ratifican? ¿Por qué?

Para poder comparar las medidas de las superficies de dos figuras, es necesario calcular elárea usando la misma unidad de medida.

La unidad de medida acordada puede ser cualquiera; acá usarás una de las unidadesconvencionales más conocidas: la que cubre un cuadrado de 1 cm de lado, y por eso sellama “centímetro cuadrado” y se escribe simbólicamente así: 1 cm2.

c) Efectúen nuevamente la medición de la superficie de cada rectángulo tomando como unidad1 cm2 y decidan cuál es mayor.

1. Expliquen el porqué de su decisión; escriban las observaciones cada uno en su carpeta.

d) Recorten un cuadrado de 10 cm de lado, o tomen un papel glacé, y midan su superficie usando1 cm2 como unidad.

Un cuadrado de 10 cm de lado, o lo que es lo mismo, de 1 dm de lado, cubre una superficie de 100 cm cuadrados, o de 1 decímetro cuadrado; se escribe simbólicamente así: 1dm2 y es equivalente a 100 cm2.

e) Tomen hojas de papel de diario, peguen las que sean necesarias para construir un cuadrado de1 m de lado.

1. Midan el cuadrado usando como unidad 1 dm2.

2. Calculen cuánto mediría si se usara como unidad 1 cm2.

UNIDAD 13


f) Respondé estas preguntas en la carpeta.

1. ¿Cómo definirías 1 metro cuadrado?

2. ¿A cuántos dm2 equivale?

3. ¿Y a cuántos cm2?

4. Consultá con tu maestro/a para comprobar si respondiste bien.

Cuando se mide una cantidad, es importante seleccionar la unidad de medida adecuada. Porejemplo, ya sabés que para medir la distancia entre dos ciudades se usan los kilómetros, parainformar el largo de un lápiz, los centímetros, y para expresar la longitud de un insecto, losmilímetros. También para medir el área de un papel glacé conviene usar cm2; en cambio, parael piso de una habitación, los m2.

En la siguiente actividad vas a aplicar la noción de equivalencia entre superficies para construir las fórmulasútiles para calcular el área de distintos cuadriláteros. El hallazgo de una fórmula es uno de los hechos máspotentes de la Matemática.Encontrar fórmulas en Matemática permite registrar brevemente y de modo preciso las relaciones entre lasvariables que intervienen en la solución de un problema. Una vez que se ha encontrado una fórmula, esmás fácil generalizar ideas, aplicar dichas ideas a diversas situaciones y facilitar la comunicación deresultados en situaciones parecidas.

4. Fórmulas para calcular el área de algunos cuadriláteros

a) ¿Qué fórmula permite hallar el área de un rectángulo con base b y alto a? Escribila en tucarpeta y recuadrala. Para pensarla, podés consultar en la unidad 12 la manera en que seobtiene la fórmula para calcular el área del triángulo.

b) Para obtener las fórmulas que permiten hallar el área de otros cuadriláteros, se los puedetransformar en figuras equivalentes, es decir, con la misma superficie y la misma área. Lassiguientes figuras muestran esas transformaciones. Recorré cada fila de figuras y hacé lo queindican las consignas hasta que obtengas las fórmulas correspondientes.

M 1

MATEMÁTICA 1174

UNIDAD 13


M 1

MATEMÁTICA 1176

A lo largo de estas unidades de Geometría desarrollaste procedimientos para entender cómo se calculan losperímetros y las áreas de distintas figuras. Los mismos procedimientos te llevaron a encontrar formasabreviadas de realizar los cálculos. Esas formas se expresan en fórmulas que pueden aplicarse a las figurascualquiera sea su tamaño. Por eso es importante que las recuerdes para tenerlas presente en losmomentos que necesites obtener perímetros o áreas. Recordar cada fórmula te va a orientar a buscar o pedirlos datos necesarios para realizar los cálculos. Las actividades siguientes te van a ayudar a hacerlo. Tené encuenta consultar con tu maestro/a cuándo resolver el punto d y qué vas a hacer en la escuela o en tu casa.

c) Con tus compañeros, realizá un afiche para colocar en el aula, con todas las fórmulas obtenidasen esta actividad y sus correspondientes figuras. Podrán recurrir a ellas cuando lo necesiten.Conversen con su maestro/a y con sus compañeros para decidir cuál es el diseño más adecuado.

d) Buscá en la biblioteca o pedile a tu maestro un libro de Matemática que contenga problemasde superficie y área.

1. Copiá en la carpeta los enunciados de los problemas que te indique el maestro.

2. Resolvé los problemas mostrando claramente los procedimientos que usaste.

En la actividad 5 de la unidad 10 descubriste que se pueden hacer teselaciones usando como piezasbásicas triángulos o cuadriláteros o hexágonos, sean o no figuras regulares. En esta oportunidad aprenderása construir vistosas formas no poligonales, equivalentes a una dada, que teselan el plano.

5. Otras teselaciones

El secreto para cubrir el plano con mosaicos sin superponerlos ni dejar huecos es partir de un polígonoque tenga esa propiedad y transformarlo convenientemente.

a) Seguí paso a paso las siguientes instrucciones; usá las figuras para orientarte.

1. Recortá una parte del cuadrado, a lo largode una línea.

2. Pegá la parte recortada del lado opuestoal que fue cortada.

UNIDAD 13


3. Repetí este proceso cuantas veces quieras.

4. Una vez que hayas obtenido una figuraque te guste, utilizala como molde paracopiarla en una hoja las veces que quierasde manera que las líneas de los bordesestén en contacto, es decir sin dejar huecosy sin superposiciones, como muestra lafigura de los peces.

Para finalizarCuando se trata de profundizar y relacionar los conocimientos sobre Geometría, la noción de e q u i-

v al e n c i a es una de las más importantes. A partir de las tareas geométricas efectuadas, las experienciasque realizaste consisten en describir, relacionar y razonar.

Investigaste relaciones dibujando, midiendo, observando, comparando, transformando y clasificandoobjetos geométricos. En particular trabajaste comparando las superficies de las figuras y descubriste quedos figuras pueden ser equivalentes en superficie y tener diferente forma. En tal caso, tienenla misma área y se pueden transformar unas en otras recortándolas y componiéndolas de diferente forma.Tal vez lo más representativo de las actividades que realizaste en esta unidad es aplicar esta posibilidad detransformar unas figuras en otras equivalentes cuya fórmula ya conocés y establecer así las diferentesfórmulas para el cálculo del área de cuadriláteros.

Pero no menos valioso es el conocimiento de que la equivalencia entre figuras te permite crear diseñosde mosaicos que podés aplicar libremente a otro tipo de creaciones artesanales y artísticas.

A continuación, como siempre, encontrarás distintos problemas para seguir desarrollando tu pensamientomatemático. Consultá con el maestro cuándo los podés resolver.

M 1

1. Un número secretoPedí a un amigo que escriba en secreto un número de dos cifras, que lo multiplique por 10 y del

resultado reste un múltiplo de 9 inferior o igual a 81. Pedile el resultado. Si es de tres cifras, tomá

las dos primeras y sumale la última; si es de dos, sumalas entre sí. El resultado que dé es el número

secreto.

2. SudokuEl juego es muy simple: hay una cuadrícula de 81 cuadrados, organizados en 9 bloques de 3 x 3, vale

decir, de 9 cuadrados cada uno. Algunos de estos cuadrados, como máximo 30, ya vienen con una

cifra escrita.

El objetivo del juego es colocar en los cuadrados vacíos los números que faltan de modo que en

cada cuadro de 3 x 3 estén todos los números del 1 al 9, con la condición de que cada número

aparezca solamente una vez en cada fila horizontal y en cada columna vertical del cuadro 9 x 9.

Este rompecabezas numérico ideado por Howard Games se

publicó por primera vez en Nueva York en 1979 con el nom-

bre de “Number Place” (El lugar de los números). En 1984 la

idea fue introducida en un periódico japonés con el nombre

de “Suji wa dokushin ni kagiru” (Los números deben estar

solos), y posteriormente se abrevió esta nomenclatura al

nombre por el que hoy se lo conoce en casi todo el mundo:

Sudoku (Números sólos).

Completen el siguiente sudoku.

3. Otro sudokuSi la resolución del sudoku anterior te dejó con ganas

de intentar otro, te presentamos uno con el mismo grado de

dificultad: también trae 30 casillas ocupadas.

MATEMÁTICA 1178

UNIDAD 13

6

4

18

6 3

7

34 55

482

75 2

7 6

1

9 1 4

5 82 6 9

6

1

9

8

6

89 7 58

6

37

37

4 6

6

416

9

14

82

5 3

2

8


En esta unidad vas a seguir profundizando en temas de Geometría para conocer nuevas propiedades delas figuras, en particular de la circunferencia y el círculo. Desde la más remota antigüedad, la relación entrela longitud del contorno de un círculo y su diámetro fue una preocupación de filósofos y matemáticos. Esedato, muy importante en todos los cálculos astronómicos, para la construcción de objetos o la delimitaciónde parcelas circulares de tierra, era un enigma. Si bien era sabido que la razón entre la circunferencia y eldiámetro de un círculo es una constante para todas las figuras circulares, cada vez que la calculabanobtenían como resultado un número que no conocían; no era un número entero. El Papiro Egipcio de Rhind,que data del 1650 a.C., muestra que los egipcios le atribuían a ese número el valor 3,16 y en la Bibliafigura con valor de 3. La aparición de las calculadoras en el siglo XX revolucionó el conocimiento acerca deese número. En esta unidad vas a explorar esa relación y su valor enigmático.

A lo largo de toda la unidad vas a necesitar trabajar con los útiles de Geometría; asegurate de tener a manocompás, regla y escuadra. También podés ir reuniendo cintas o piolines y una cinta métrica.

Además de los elementos de Geometría, para la actividad 1 vas a necesitar unos palitos o estacas, un trozode soga, dos latas u otro objeto de base circular, tijera, papel.

1. Trazado de circunferencias

a) Tomá el compás y dibujá en tu carpeta distintas circunferencias; no te olvides de marcar elcentro antes de trazarla.

b) Dibujá dos o tres segmentos que tengan por extremos el centro y un punto cualquiera de lacircunferencia. Esos segmentos se llaman radios.

c) Respondé estas preguntas.

1. ¿Cómo son las medidas de los radios de una misma circunferencia?

2. ¿A qué distancia del centro está cada uno de los puntos de la circunferencia?

d) En cada circunferencia, dibujá:

TEMA 1: ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO

UNIDAD 14 La circunferencia y el círculo

MATEMÁTICA 1180

1. Un segmento que tenga sus extremos en dos puntos cualesquiera de ella. Se llama cuerda.

2. Un segmento que tenga sus extremos en dos puntos de ella y pase por el centro; se llama

diámetro y es la mayor de las cuerdas. ¿Qué relación tiene un diámetro con el radio?

En el punto e) se propone una tarea para hacer junto con tus compañeros en el terreno de la escuela.Consultá con tu maestro cómo la vas a resolver.

e) Los jardineros saben trazar canteros circulares usando dos palitos o estacas y una soga.Reunite con otro compañero y realicen las siguientes consignas.

1. Piensen cómo pueden trazar canteros circulares.

2. Busquen los materiales y tracen una circunferencia en el terreno de la escuela.

3. Para trazar una circunferencia en una hoja de papel, ¿usarían el método del jardinero? ¿Por qué?

f) Ahora vas a trabajar con círculos. Recordá que un círculo es la superficie limitada por unacircunferencia.

1. Tomá dos latas vacías u otro objeto de base circular.

2. Apoyalas sobre un papel y contorneá el borde con el lápiz.

3. Recortá los círculos de papel limitados por las circunferencias y explorá por plegado cómo se

obtiene un diámetro y cómo se obtiene el centro.

2. Posiciones relativas de dos circunferencias

a) Observá las posiciones de los siguientes pares de circunferencias.Como podés observar, dos circunferencias pueden tener dos, uno o ningún punto en común.

Secantes. Tangentes interiores. Tangentes exteriores.

Exteriores. Interiores. Concéntricas.

Las del par de arriba, a la izquierda, son secantes. Las de arriba, en el centro, son tangentes interiores. Las de arriba, a la derecha son tangentes exteriores. Las del par de abajo, a la izquierda, son exteriores. Las de abajo,en el centro, son interiores. Las de abajo, a la derecha, son concéntricas.

UNIDAD 14


b) Dibujá en tu carpeta pares de circunferencias de igual o de distinto radio en las mismas posi-ciones que las de la imagen anterior. No te olvides de marcar el centro en cada una. Escribí, debajode cada pareja de circunferencias, el nombre que indica su posición relativa.

c) En cada par de circunferencias, medí la distancia entre los centros y respondé las preguntas.

1. ¿En qué casos la distancia entre sus centros es cero?

2. ¿En qué casos la distancia entre sus centros es la suma de los radios?

3. ¿En qué casos la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios?

4. ¿En qué casos la distancia entre sus centros es menor que la suma de los radios?

d) Trazá otra circunferencia, marcá en ella dos puntos P y Q y luego hacé los siguientes trazados.

1. Dibujá una recta que pase por los puntos P y Q; es una recta secante. ¿Algún otro punto de la

circunferencia pertenece a esa recta?

2. Dibujá el radio de la circunferencia que tiene por extremos el centro y el punto P. Trazá la

recta perpendicular al radio que pasa por P.

3. Marcá un punto E, exterior a la circunferencia. Una recta que pase por E, ¿cuántos puntos

comunes con la circunferencia puede tener?

4. Dibujá una recta que represente cada una de tus respuestas.

Como habrás podido notar, una recta y una circunferencia pueden tener dos, uno o ningún

punto en común.

Una recta puede ser secante, tangente o exterior a una circunferencia.

3. Arcos y ángulos

a) Seguí las siguientes instrucciones de trazado.

1. Con tu compás marcá un centro y, en lugar de hacer un giro completo para trazar una circun-

ferencia, hacélo girar un ángulo menor. El trazo que se obtiene se llama arco.

2. Usando el mismo radio, hacé algunos arcos de distinta amplitud, pintá con azul el arco mayor y

con rojo el arco menor.

3. Para cada arco dibujá los segmentos que unen sus extremos con el centro o punto de apoyo

de la punta seca del compás. La figura que se forma se llama sector circular. El ángulo con

vértice en el centro es el ángulo central correspondiente a ese arco.

M 1

MATEMÁTICA 1182

b) Dibujá una circunferencia y en ella trazá un ángulo central recto, otro ángulo central agudo yotro obtuso.

1. Usá el transportador, medilos y escribí sobre ellos su medida en grados.

c) Trazá una circunferencia.

1. Apoyá la punta seca del compás en un punto de la circunferencia y, con una abertura igual al

radio, trazá un arco interior que pase por el centro.

2. Haciendo centro en uno de los extremos del arco, trazá otro arco y repetí el procedimiento

hasta que quede formada una estrella curva de seis puntas.

3. Seguí explorando con el compás las posibilidades de crear efectos decorativos.

Preguntale a tu maestro si vas a hacer ahora el punto d) o pasás directamente a la actividad 4.Ya que practicaste el uso de instrumentos de Geometría, podés emplear segmentos, circunferencias o arcospara confeccionar guardas o mosaicos que muestren efectos interesantes.

d) Hacé algún trabajo decorativo como un friso, un mosaico u otro diseño.

1. Escribí al pie qué tipo de elementos usaste para hacerlo.

2. Pegá tu trabajo sobre un papel afiche para exhibirlo junto con los trabajos de tus compañeros.

Para trabajar en la actividad 5 vas a necesitar diez objetos de bases circulares de diferentes tamaños: latas,vasos, tubos, cacerolas, baldes y otros que puedas conseguir. Buscá también una tira de papel milimetrado.

4. Tres puntos no alineados determinan una circunferencia

a) En una hoja de papel, dibujá un punto y usando el compás dibujá circunferencias que pasen porél. Variá los radios y los centros según te parezca, siempre que las circunferencias que tracespasen por el punto que marcaste al principio.

1. ¿Cuántas circunferencias podrías hacer?

2. Comentá esta observación con tu maestro.

b) Hacé trazados según estas indicaciones.

1. Marcá dos puntos y dibujá una circunferencia que pase por los dos. Si te hace falta, agregá a la

figura algún segmento que te ayude a encontrar el centro y la abertura adecuada del compás.

2. Trazá algunas otras circunferencias que pasen por el mismo par de puntos.

3. ¿Dónde están ubicados los centros de las circunferencias que pasan por esos dos puntos fijos?

UNIDAD 14


Como habrás observado, todos los centros de la circunferencia que pasan por dos puntospertenecen a la mediatriz del segmento que determinan esos puntos. La mediatriz de unsegmento es una recta perpendicular a él que lo corta en su punto medio y que tiene la siguientepropiedad: cualquiera de sus puntos es equidistante de los dos extremos de ese segmento.

4. Comprobalo en tu dibujo.

c) Dibujá sobre una hoja de papel tres puntos que no pertenezcan a la misma recta y trazá unacircunferencia que pase por los tres. Para determinar el centro de esa circunferencia te convienetrazar por lo menos 2 segmentos que tengan por extremos los puntos marcados y construir susrespectivas mediatrices.

1. ¿Hay alguna otra circunferencia que pase por los tres puntos que marcaste?

Hasta aquí revisaste los elementos de las circunferencias y los círculos. A continuación, vas a profundizar enlas relaciones que hay entre algunos de ellos. Si es posible, sería conveniente que esta actividad la resuelvasjunto con tus compañeros. Consultá con tu maestro cómo te vas a organizar.

Para la actividad 6 vas a necesitar papeles, tijera y goma de pegar. Recordá preparar el material en elmomento de empezar con esa actividad.

5. Relación entre el diámetro y la circunferencia

a) Para averiguar si hay proporcionalidad entre el contorno de una circunferencia y su diámetro,construí en tu carpeta una tabla como la siguiente y registrá en ella la medida del contorno circulary su respectivo diámetro de los diferentes objetos que buscaste. Si se trata de objetos pequeños,para facilitar la tarea usá como instrumento de medición una tira de papel milimetrado.

TEMA 2: EL NÚMERO π

Objeto

Circunferencia encm

Diámetro en cm

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 O9 O10

M 1

R

L = 2 π R

1. Calculá para cada objeto el cociente entre la circunferencia y su diámetro.

2. Compará tus resultados con los de otros compañeros. Anotá tus observaciones. ¿Qué número

resultó en los cocientes que calculaste?

3. Respondé: ¿hay proporcionalidad entre el contorno de una circunferencia y su diámetro?

A continuación vas a encontrar la explicación de lo que acabás de descubrir.

A medida que el diámetro de un círculo aumenta, la longitud de su circunferencia tambiénaumenta:

El cociente entre la medida de la longitud de la circunferencia y su diámetro es una cons-tante de proporcionalidad; es un número que se simboliza con la letra griega ππ (se lee “pi”) ytiene un valor superior a 3: aproximadamente 3,14.

El número ππ no se puede identificar con un número natural ni con una fracción decimal;es una sucesión infinita de cifras decimales.

Aproximadamente se puede expresar: 3,13,143,1413,14163,14159, etcétera, según la precisión requerida.

En un círculo, el perímetro es directamente proporcional asu diámetro y se calcula: longitud de la circunferencia = ππ x medida deldiámetro.

O bien en símbolos: L = ππ x d o también L = ππ x 2 x r

Con esta actividad vas a poder encontrar una manera simple de calcular el área de un círculo y asícomprender cómo se obtiene una fórmula abreviada para hacerlo.

MATEMÁTICA 1184

UNIDAD 14

6. Área del círculo

a) Dibujá en tu carpeta un círculo de radio aproximadamente igual a 3 cm y dividilo en 8 sectoresequivalentes.

1. Recortá en un papel otro círculo del mismo radio y cortalo para obtener 8 sectores.

2. Pegá en tu carpeta los 8 sectores recortados como se indica en la figura.

b) Repetí el procedimiento seguido en a) con un círculo del mismo radio dividido en 16 sectoresiguales.

1. ¿Cuál de las dos figuras que formaste es más cercana a un rectángulo?

c) Pensá qué forma tendría la figura formada si repitieras el procedimiento más de una vez.

d) Respondé las siguientes preguntas.

1. ¿A qué elementos de la circunferencia corresponde la base b del rectángulo que se forma?

2. ¿A qué elemento del círculo corresponde la altura h del rectángulo que se forma?

3. Escribí la fórmula del área del rectángulo reemplazando b y h en función de los elementos

del círculo.

4. Escribí con tus palabras la expresión del área del círculo.

Como habrás visto, a medida que aumenta el número de sectores en que se divide el círculo,la figura que se forma es un rectángulo cuya base es la mitad de la longitud de la circunferenciay su altura es el radio. Por lo tanto, el área del círculo es el producto de la mitad de la longi-tud de la circunferencia por el radio.

En símbolos: área del círculo =

Área del círculo = π x r2

El área del círculo es el producto del número π por el cuadrado del radio.


L x r = π d x r = π x 2 x r x r2 2 2

M 1

MATEMÁTICA 1186

7. Problemas redondos

a) Copiá los siguientes problemas y resolvélos en tu carpeta.

1. Las ruedas de un vehículo tienen 60 cm de diámetro. ¿Cuántos cm recorren cada vez que dan

una vuelta completa? • ¿Si el vehículo recorre 3 km, ¿cuántas vueltas han dado las ruedas?

2. Medí el diámetro de una moneda. Si la hacés rodar sobre una superficie plana, ¿cuántas vueltas

dará para recorrer 1 m?

3. La forma de la Tierra es aproximadamente la de una esfera de 6.378 km de radio, ¿cuánto

mide aproximadamente el Ecuador terrestre?

4. ¿Qué radio tendrá una circunferencia para que su longitud sea aproximadamente 1 m?

5. Dibujá una circunferencia de 5 cm de diámetro. Trazá dos diámetros perpendiculares. ¿Cuánto

mide cada ángulo central? ¿Cuánto mide cada arco?

6. Dibujá una circunferencia y en ella un ángulo central de 60º y otro de 120º. ¿Cómo son entre

sí los arcos correspondientes? Explicá qué relación existe entre los ángulos y los respectivos

arcos en una circunferencia.

7. En un parque hay una superficie sembrada de césped de 1 metro de ancho, alrededor de una

fuente de 2 metros de radio. Hacé un croquis que represente la situación y calculá el área de

la parte sembrada.

b) Reunite con tus compañeros, comparen los resultados y los procedimientos que emplearon enla resolución de los problemas y muéstrenselos al maestro.

Para finalizarEn esta unidad comprobaste que la posición relativa de dos circunferencias muestra que pueden

tener un punto de contacto, dos o ninguno y que pueden ser interiores o exteriores entre sí. Tambiénaprendiste que una recta puede ser exterior, tangente o secante a una circunferencia y pudiste ubicarpares de circunferencias.

Indagaste, además, en la relación que existe entre dos elementos lineales, uno recto y otro curvo talescomo el diámetro de una circunferencia, que es un segmento de recta, y la longitud de su perímetro, que esuna línea curva cerrada con características propias, y aprendiste que existe un numero llamado pi (π) queindica la razón constante entre la longitud de la circunferencia y su respectivo diámetro.

Pudiste observar también que la longitud de un arco está directamente relacionada con la amplituddel ángulo central correspondiente siempre que se trabaje con el mismo radio. A partir de ahora estásen condiciones de verificar estas relaciones en objetos circulares de distinto tamaño, desde los muygrandes hasta los muy pequeños.

UNIDAD 14


1. Un cinturón para la TierraSi rodeáramos la Tierra con una soga, necesitaríamos una cierta

longitud de soga. ¿Cuánto tendríamos que aumentar la longitud

de la soga si el radio de la Tierra creciera 1 metro? Recordá

que el radio de la Tierra es de aproximadamente 6.378 km.

2. Un triángulo equiláteroAl trazar las bases medias de un triángulo equilátero de área 1,

se forman 4 triángulos también equiláteros cuya área es

del área del triángulo. Al repetir el mismo procedimiento

muchas veces con los triángulos que se van formando, ¿cuánto

vale la suma de todas las áreas obtenidas?

3. Más triángulos equiláterosCon dos triángulos equiláteros dibujá una estrella como la de la imagen.

En las seis puntas de la estrella y en los seis vértices del hexágono interior, colocá los números del 1

al 12 de modo que la suma de los cuatro números ubicados en los lados de cada triángulo grande

den el mismo resultado.

14

M 1

NA

SA Je

t Pr

opul

sion

Lab

orat

ory

(NA

SA-JP

L)

4. La bodeguitaEsta bodeguita contiene 13 botellas de radio 1.

La base de la bodeguita es de 7,4 unidades. En la

primera fila sólo caben 3 botellas. Al seguir colo-

cando botellas, la A y la C se pegan a las paredes

y la B queda en cualquier posición. En la segunda

fila entran 2, la D y E, luego 3 en la tercera fila,

2 en la cuarta y 3 en la quinta y última.

El desafío es que pruebes que en la quinta fila de

botellas, los centros K, L y M pertenecen a una

recta horizontal como en la primera fila de abajo.

MATEMÁTICA 1188

UNIDAD 14


Como ya sabés, las figuras geométricas son parte de nuestra vida cotidiana, están en las señales decalles y caminos, en los embaldosados de los pisos, en los cubrimientos de paredes y en muy diversos tiposde objetos. Los artistas de todos los tiempos han utilizado figuras geométricas en sus trabajos, y en el artedel siglo XX alcanzaron gran importancia con el pintor español Pablo Picasso. Basando sus obras enelementos geométricos, Picasso inició un nuevo movimiento artístico de gran influencia en la arquitecturay las artes decorativas llamado “cubismo”.

En esta unidad vas a seguir indagando sobre las figuras geométricas. En las unidades 6 y 7 comenzaste atrabajar con algunas de ellas: triángulos y cuadriláteros. Estudiaste sus propiedades, aprendiste a calcularperímetros y áreas y aplicaste todo esto en la resolución de problemas. En esta unidad ampliarás tus cono-cimientos considerando otras figuras planas con más de cuatro lados que, junto con triángulos y cuadriláteros,constituyen el universo de los polígonos. A lo largo de toda la unidad vas a necesitar hacer construcciones y mediciones de figuras con instrumentosde Geometría. Es importante que tengas siempre a mano regla, escuadra, compás y transportador.

1. Poligonales y polígonos

Uno de los elementos de los triángulos y cuadriláteros que ya conocés son los lados: son segmentos derecta que también se consideran figuras geométricas.

a) Dibujá en tu carpeta, con regla o escuadra, varios segmentos consecutivos de modo que unsegmento no esté incluido en la misma recta que su consecutivo. La figura que queda formada esuna poligonal. Copiá esta afirmación a modo de epígrafe de tu dibujo.

b) Observá estos ejemplos y comparalos con tu dibujo: en unos hay segmentos de igual longitudo con la misma dirección, en otros, no. En todos los casos forman una poligonal.

TEMA 1: ELEMENTOS Y CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS

A B C D

UNIDAD 15 Polígonos

MATEMÁTICA 1190

En algunos casos la poligonal es cerrada porque todos los segmentos tienen extremos comunescon otros de la misma poligonal. Si la poligonal no presenta segmentos cruzados, se dice quela poligonal es simple. Si no, es una poligonal cruzada.

1. Anotá al lado de tu dibujo de poligonal si es abierta o cerrada y si es simple o cruzada.

2. Tomando en cuenta esa misma clasificación, decidí qué clase de poligonal es cada una de lasdibujadas en la página anterior (A, B, C y D). Escribí la respuesta en tu carpeta.

c) Imaginá una poligonal simple cerrada y, a la vez, todos sus puntos interiores. La figura formadaes un polígono. Dibujá varias poligonales cerradas y sombreá con diferente color cada uno de lospolígonos formados.

Un polígono está formado por una poligonal simple cerrada y todos los puntos interiores a ella. Lapoligonal es la frontera del polígono.

d) Dibujá en tu carpeta polígonos como estos.

1. Elegí un lado de cada polígono y trazá una recta que incluya a ese lado. El plano en el que estásdibujando quedó dividido por esa recta en dos semiplanos, uno a cada lado de la recta.Observá el polígono, y respondé: ¿queda totalmente del mismo lado, es decir en un mismosemiplano, respecto de la recta?

2. Repetí la experiencia con los otros lados del polígono. ¿En algún caso el polígono queda atrave-sado por la recta que contiene al lado? Explicá tus respuestas. Mostraselas a tu maestro.

Si al trazar todas las rectas a las que pertenecen los lados, en todos los casos, el polígono quedatotalmente en un solo semiplano y ninguna de las rectas trazadas determina un segmento con puntosinteriores a la figura, se trata de un polígono convexo. En cambio, si en algún caso parte de la figurapertenece a un semiplano y parte al otro, el polígono es cóncavo.

3. Debajo de cada uno de los polígonos que dibujaste escribí si es convexo o cóncavo según loconsideres.

4. Observá la amplitud de los ángulos interiores en los polígonos convexos y en los cóncavos. Enlos polígonos cóncavos, ¿hay ángulos mayores que un ángulo llano? Escribí el resultado de tusobservaciones.

UNIDAD 15


Hasta aquí has explorado propiedades de los polígonos en general y reconociste una clasificación enconvexos o cóncavos aplicando dos criterios: la inclusión total en uno de los semiplanos o bien la amplitudde sus ángulos interiores. En la actividad siguiente vas a trabajar solamente con polígonos convexos ydescubrirás algunas de sus propiedades.

2. Polígonos convexos

a) Los polígonos adquieren su nombre según el número de lados que ellos tengan. En tu carpetahacé una tabla como la siguiente y completala. Buscá ayuda en libros y diccionarios o bienpreguntale a tu maestro.

b) En la unidad 6 aprendiste que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 2ángulos rectos, o sea 180º. Ahora vas a usar esta propiedad para calcular la suma de los ángulosinteriores de polígonos convexos con mayor número de lados.

1. Dibujá un cuadrilátero, un pentágono, un hexágono y un octógono. En cada uno de ellos elegíuno de sus vértices. Trazá desde él todas las diagonales posibles.

2. Observá cuántos triángulos se formaron en cada polígono. Copiá la tabla que está a continuacióny registrá en la primera fila el número de triángulos que se formaron. En la última columnaconsiderá “n” el número de lados.

Polígonos

Nombre

TRIÁNGULO

CUADRILÁTERO

OCTÓGONO

HEXÁGONO

HEPTÁGONO

DODECÁGONO

Número de lados

3

5

10

7

15

Polígono

Número detriángulosformados

Suma de losángulos interiores

Triángulo

1

180º

Cuadrilátero

2

360º

Pentágono Hexágono Octógono Decágono Polígono den lados

n – 2

M 1

MATEMÁTICA 1192

3. Copiá el siguiente recuadro y explicá con tus palabras la escritura simbólica.

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es igual a (n – 2) x 2 R.

4. Respondé: ¿cuánto mide cada ángulo interior de un polígono regular de 15 lados? ¿Qué cálculote permite resolver el problema?

En las construcciones de polígonos que has realizado hasta aquí usaste regla y escuadra. Para construirpolígonos regulares se usan también otros elementos como el compás y el transportador. Aseguráte tener todos los elementos antes de comenzar con el tema siguiente.

3. Construcción de polígonos regulares

a) Buscá o dibujá un triángulo equilátero y un cuadrado, obsérvalos y respondé las preguntas.

• ¿Cómo son entre sí los ángulos en cada uno de ellos? • ¿Cómo son entre sí los lados de cada uno?

Cuando al llevar una figura sobre otra, ambas coinciden exactamente, se dice que soncongruentes entre sí. ¿Cuándo se dice que un polígono es regular? Cuando los lados y losángulos interiores del polígono son congruentes. Los triángulos equiláteros y los cuadradosson ejemplos de polígonos regulares.

b) Buscá la escuadra y el compás y realizá la siguiente construcción.

1. Dibujá una circunferencia y con la escuadra trazá dos diámetros perpendiculares AC y BD.Obtendrás una figura como la que se observa.

TEMA 2: POLÍGONOS REGULARES

D

B

CA

UNIDAD 15


2. Trazá en ella los segmentos determinados por los puntos A y B; B y C; C y D; D y A.

3. ¿Cómo es la figura que se formó? ¿Por qué?

El punto de intersección de las diagonales es el centro de la circunferencia circunscripta yes el centro del polígono. En un polígono regular, la distancia del centro al punto medio deuno de sus lados es un segmento llamado apotema.

c) De una manera semejante a la anterior podés construir un octógono regular.

1. Dibujá una circunferencia de centro O.

2. Trazá dos diagonales perpendiculares.

3. Trazá las bisectrices de los ángulos determinados. ¿Cuál es la amplitud de cada nuevo ángulo

central que se ha formado? ¿Cómo lo calculaste?

4. Uní los puntos consecutivos marcados en la circunferencia. El polígono que has dibujado es un

octógono regular.

Un polígono está inscripto en una circunferencia si sus lados son cuerdas de dicha circunferencia.

d) De acuerdo con esta información, respondé estas preguntas.

1. ¿El cuadrado que dibujaste está inscripto en la circunferencia?

2. ¿Y el octógono que dibujaste?

3. En los polígonos regulares inscriptos, ¿qué posición tiene la apotema en relación con el lado?

e) Observá los dos polígonos que dibujaste y resolvé las siguientes consignas.

1. ¿Cuál es la amplitud del ángulo central del cuadrado? ¿Y la del ángulo central del octógono?

2. Explicá en un texto breve cómo hiciste para calcular esas amplitudes.

La amplitud de cada ángulo central de un polígono regular se puede calcular dividiendo 360º por elnúmero de lados.

f) Usando esta propiedad podrás construir cualquier polígono regular. Construí con compás ytransportador un triángulo y un hexágono regular inscriptos en una circunferencia aplicando lapropiedad anterior.

Las construcciones que hiciste te facilitarán encontrar el cálculo del área de polígonos regulares y suexpresión mediante una fórmula general.

M 1

MATEMÁTICA 1194

4. Áreas de polígonos regulares

a) Buscá los polígonos regulares inscriptos en circunferencias que has dibujado en tu carpeta.

1. Observálos y en cada uno de ellos trazá los radios correspondientes a cada vértice.

2. Revisá si cada polígono ha quedado descompuesto en triángulos. ¿Cómo son entre sí los trián-

gulos de un mismo polígono regular? Escribí la respuesta en tu carpeta y explicá por qué.

3. ¿Cómo podrías hallar el área de cada polígono a partir de su descomposición en triángulos?

Explicalo en tu carpeta.

4. Medí lo que sea necesario para calcular el área y calculala escribiendo el procedimiento para

cada polígono dibujado.

El área de un polígono regular es la suma de las áreas de todos los triángulos cuyos lados son dos radiosy un lado del polígono.

b) Ya observaste que todo polígono regular se puede descomponer en triángulos congruentes.Descomponé de ese modo los siguientes polígonos. Para ello, calcalos en tu carpeta y nombrácada vértice.

c) Para descomponer los polígonos en triángulos congruentes es necesario encontrar su centro.En la unidad 14 referida a “Circunferencia y círculo” aprendiste que los centros de las circunfe-rencias que pasan por dos puntos se encuentran en la mediatriz del segmento determinado porellos. Encontrá el centro de cada polígono aplicando esa propiedad. Explicá cómo lo hiciste y quéinstrumentos de Geometría utilizaste.

1. ¿Qué necesitás medir para calcular el área de cada triángulo? Tomá las medidas correspondientes

y calculá el área de los polígonos que dibujaste.

2. Escribí todos los cálculos que hiciste y mostraselos a tu maestro.

d) La forma habitual de presentar el cálculo del área de un polígono regular es la fórmula siguiente:

Área de un polígono regular = n x l x ap2

UNIDAD 15


1. Aplicá esta fórmula para calcular las áreas de los polígonos anteriores y compará los resultados

que obtuviste. Al finalizar mostraselo a tu maestro.

2. Realizá, con tus compañeros, un afiche que presente las dos formas en que hallaron las áreas

de cada uno de los polígonos.

Como ya viste en la unidad 13, las fórmulas son muy útiles porque permiten expresar de manera generalla relación entre distintas variables. Para contar con ellas cuando las necesiten, pueden elaborar un listadode las fórmulas para hallar el área de los polígonos en un afiche que quede en algún lugar visible del aulay completarlo a medida que vayan teniendo fórmulas nuevas. Consultá con tu maestro si vas a hacer las actividades del apartado siguiente, dónde y cuándo o si vas aleer a continuación la síntesis final de la unidad.

5. Polígonos y diagonales

a) Observá la posición de los segmentos trazados en los polígonos siguientes: en los dos pentá-gonos de la izquierda, los segmentos marcados son diagonales; en los tres polígonos de la derecha,los segmentos marcados no son diagonales.

1. Escribí con tus palabras qué es una diagonal.

b) Dibujá en tu carpeta dos polígonos como los siguientes.

1. Trazá, en cada uno, todas las diagonales y luego realizá en tu carpeta las consignas que siguen.

• ¿Cuál de los dos polígonos tiene más diagonales?• ¿De qué depende el número de diagonales de un polígono convexo?• Construí en tu carpeta una tabla como la siguiente y completala.

M 1

2. Observá si cuando el número de lados de un polígono crece, crece el número de diagonales.Esta relación de crecimiento, ¿es de proporcionalidad directa? ¿Por qué?

6. Ángulos interiores y exteriores de los polígonos

a) Recordá el valor de la suma de los ángulos interiores de un triángulo. A partir de esa propiedad,calculá la medida de los ángulos señalados con letras en la figura siguiente.

b) Anotá los procedimientos que seguiste.

En unidades anteriores viste que para recubrir un plano con polígonos regulares de un solo tipo y tamaño, lasuma de los ángulos que concurren en un vértice debe ser 360º. Por ello, para poder hacerlo la medida delos ángulos interiores de esos polígonos debe ser un divisor de 360. Realizá ahora la actividad que sigue.

c) ¿Cuáles son los únicos polígonos regulares con los que se puede recubrir el plano? Pensá larespuesta teniendo en cuenta la información anterior.

d) Cuando hayas averiguado cuáles son, escribí sus nombres en tu carpeta y explicá por qué los elegiste.

MATEMÁTICA 1196

Nombre del polígono Número de diagonalesNúmero de lados

3

4

5

6

7

8

10

UNIDAD 15


7. Polígonos estrellados

La estrella de cinco puntas, frecuentemente llamada pentagrama, fue elegida por su especial belleza comosímbolo sagrado por la Sociedad Pitagórica de la Antigua Grecia.

Esta estrella, al igual que el pentágono regular, puede construirse con 5 puntos igualmente separados enuna circunferencia. Para hacerlo hay que marcar en una circunferencia cinco arcos iguales, unir los puntosde división de dos en dos, recorriendo la circunferencia en un mismo sentido hasta llegar al punto inicial.La estrella obtenida es un polígono que se llama polígono estrellado de 5 puntas. Existen otros polígonosestrellados que podrás construir.

a) Reuníte con tus compañeros y en un extremo de un papel afiche construyan la estrellade 5 puntas.

b) Lean la siguiente información.

Para obtener un polígono regular estrellado de n lados, la circunferencia deberá estardividida en n partes iguales. Luego, se unen las divisiones de a en a; para ello es necesarioy suficiente que a y n sean números primos entre sí. Se unen los puntos de división de dosen dos, de tres en tres, etcétera, recorriendo la circunferencia en un mismo sentido. Alcerrarse la poligonal se obtiene un polígono regular estrellado.

c) Considerando la información leída construyan en el lugar disponible del afiche otros polígonosestrellados.

Para finalizarEn unidades anteriores aprendiste muchos contenidos de Geometría, trabajaste sobre situaciones en las

que relacionaste propiedades y clasificaste figuras según diferentes criterios. En la unidad 7, en particular,razonaste sobre las posibilidades de construcción de cuadriláteros según las propiedades de sus diagonales.

En esta oportunidad seguiste desarrollando tus habilidades en cuanto a la clasificación de polígonos conmayor número de lados y pudiste distinguir las figuras cóncavas de las convexas. Aunque ya sabías cuándose dice que un polígono es regular, ampliaste también tus conocimientos acerca de ellos y aprendiste unprocedimiento que permite construir un polígono regular de cualquier número de lados inscripto en unacircunferencia, y podés ahora también calcular su área midiendo un lado y la apotema.

M 1

MATEMÁTICA 1198

1. ¿Cuántas figuras?Marcá en una hoja de papel 7 puntos no alineados. ¿Cuántos triángulos podés obtener uniendo esos

puntos de a 3 de todas las formas posibles? ¿Cuántos cuadriláteros, uniendo los puntos de a 4?

2. Tres superficies de igual áreaTres personas tienen que distribuirse un campo cuadrado que se divide como lo indica la figura,

pues en el punto A existe un molino que todos necesitan usar. ¿Dónde deben estar M y N para que

las 3 superficies ABM, AMCN y AND tengan igual área?

3. Un reparto justoTres amigos tienen 21 botellas, 7 de ellas están llenas de líquido, 7 vacías y 7 llenas hasta la mitad

exactamente. ¿Cómo deben repartirse las botellas para que los tres amigos se lleven el mismo

número de botellas y la misma cantidad de líquido? Una aclaración: no se puede trasvasar líquido de

una botella a otra.

4. Muchas partes con pocos cortes¿Cómo te las ingeniarías para cortar en 8 trozos iguales un disco de papel dando sólo tres

cortes rectos?

M

NC

B A

D

UNIDAD 15


En esta unidad seguirás trabajando con cuerpos poliédricos, en particular con los poliedros regularesque ya conocés, revisando sus elementos y propiedades y averiguando en qué se diferencian de otro tipode poliedros, los semirregulares. En particular vas a explorar el prisma recto rectangular y vas a usar larelación de Euler que conociste en la unidad 8 para calcular algunos datos de poliedros.

Con esta unidad termina tu trabajo en Matemática de 7º año, por eso integra muchos contenidos que yafuiste estudiando a lo largo del año, especialmente en la unidad 8 y las siguientes dedicadas a la Geometría.

Para resolver las actividades de esta unidad vas a volver a usar piezas poligonales del formaedro con lasque trabajaste en la unidad 8 y nuevamente, banditas de goma. Necesitarás también cubos de madera, deplastilina o de cartulina para utilizarlos como unidad. Para trabajar en la actividad 2 vas a necesitar unacaja de cartón de las que se usan como envases de alimentos, remedios, artículos de perfumería u otrosobjetos de uso cotidiano. Andá buscando el material.Consultá con su maestro para decidir con qué material trabajarán.

1. Construyendo poliedros

En la unidad 8 usaste las piezas del formaedro para explorar las posibilidades de construcción de poliedrosregulares cuyas caras son polígonos regulares. En esta actividad vas a usar esas piezas para construir libre-mente, los cuerpos que se te ocurran. Si es posible, trabajá con otro compañero.

a) Con las piezas del formaedro y banditas de goma construyan libremente cuerpos que no seanpoliedros regulares. Pueden tomar piezas diferentes y proceder de distintas modos, por ejemplo:

1. juntando polígonos de a dos y luego ensamblar esas partes hasta lograr unaforma cerrada, o

2. partiendo de una esquina y probando launión de piezas diferentes.

A modo de ejemplo: estos dos cuerpos sepueden construir con el formaedro.

TEMA 1: ELEMENTOS DE LOS POLIEDROS

UNIDAD 16 Poliedros

MATEMÁTICA 1200

• Los polígonos que limitan los cuerpos son las caras;• los lados comunes a cualquier par de caras son las aristas; • los puntos donde se unen más de dos caras son los vértices.

b) Observen los cuerpos que construyeron, organícenlos de a pares según alguna característicaen común e identifiquen qué similitudes y qué diferencias presentan.

c) Escriban en sus carpetas una lista lo más completa posible de las propiedades que observaronen los cuerpos. Para eso, tengan en cuenta la forma de sus caras, el número de vértices, aristasy/o caras, el número de caras que se unen en un vértice, la igualdad de caras o aristas, el paralelismoo la perpendicularidad de las caras o aristas, etcétera.

Buscá la unidad 8. Allí podés revisar lo que aprendiste sobre cuerpos poliédricos convexos y ángulos polié-dricos. Podés releer los textos y consultar las respuestas a las consignas en tu carpeta.Consultá con el maestro para decidir si es necesario que realices algunas construcciones antes de resolveresta parte de la actividad. Recordá que necesitás el material que te fuera solicitado.

2. Ángulos diedros y poliedros

a) Una caja como las que se usan con frecuencia para envasar alimentos o artículos de tocadoro de farmacia es la representación o el “modelo” de uno de los poliedros más “conocidos”: elprisma recto rectangular. Buscá una de esas cajas, apoyala sobre la mesa, observala conatención y respondé en tu carpeta las siguientes preguntas.

1. ¿Por qué este cuerpo es un poliedro?

2. ¿Qué tienen en común la base y una de las caras laterales?

3. ¿Cómo son entre sí dos caras laterales no consecutivas?

4. ¿Qué tienen en común la base y dos caras laterales consecutivas?

5. ¿Forman un ángulo diedro la base y una de las caras laterales?

6. ¿Cuántos ángulos diedros se distinguen en la caja?

7. ¿Y cuántos ángulos triedros?

8. ¿Por qué al nombre de “prisma” se agregan los calificativos “recto” y “rectangular”?

b) Compará tus respuestas con las de tus compañeros y consulten con el maestro para asegurarsede que las respuestas sean correctas.

UNIDAD 16


3. Poliedros regulares

a) Tomá las figuras del formaedro para resolver las siguientes situaciones.

1. Para construir las caras que se reúnen en un vértice de un poliedro con los triángulos equiláterosdel formaedro, ¿cuántos triángulos podés poner consecutivamente? Escribí todas las posibilidades.

2. Si considerás los cuadrados, ¿hasta cuántos de ellos se pueden colocar en un vértice de unpoliedro? ¿Por qué no se puede agregar otro cuadrado?

3. ¿Qué sucede con los pentágonos? ¿Y con los hexágonos?

b) Observá la amplitud de los ángulos que coinciden en un vértice. ¿Suman 360º?

c) Copiá el siguiente enunciado y completálo con lo que comprobaste: Los ángulos de los polígonos que se encuentran en un vértice de un poliedro regular...

d) Pensá las respuestas a las siguientes preguntas para cada uno de los poliedros regulares.

1. Una (cualquiera) de sus caras, ¿qué polígono es?

2. ¿Cuántas caras tiene el poliedro?

3. ¿Cuántos vértices?

4. ¿Cuántas aristas?

5. ¿Cuántas aristas en cada vértice?

TEMA 2: PROPIEDADES DE LOS POLIEDROS

M 1

MATEMÁTICA 1202

e) Respondé las preguntas anteriores organizando un cuadro. Ubicá en la primera columna elnombre del poliedro y en las siguientes: cantidad de caras, cantidad de vértices, cantidad de aristas,cantidad de aristas por vértice.

4. La relación de Euler

En la unidad 8 aprendiste que en todos los poliedros convexos el número de caras sumadoal número de vértices es igual al número de aristas aumentado en 2. Recordá que esa caracte-rística de los poliedros se conoce con el nombre de relación de Euler.

a) En la figura siguiente hay dibujados algunos cuerpos. Obsérvalos. Respondé en tu carpeta:

1. ¿Son todos poliedros? ¿Por qué?

2. ¿Son todos convexos?

3. ¿Alguno es regular? ¿Por qué?

4. ¿Todos cumplen con la relación de Euler?

b) En la tabla siguiente se dan algunos datos de poliedros convexos. Completá los datos que faltan.

Número dePoliedro

A

B

C

D

caras

4

6

5

vértices

8

5

6

aristas

6

12

UNIDAD 16


c) Un poliedro tiene dos caras hexagonales y todas las demás son triángulos. Llamamos c alnúmero de caras triangulares.

1. Escribí una expresión para el número de aristas del poliedro.

2. Usá la fórmula de Euler para calcular el número de vértices.

En esta actividad vas a explorar algunos poliedros para saber por qué se llaman semirregulares.

5. Poliedros semirregulares

a) Elegí uno de los siguientes poliedros. Copiá en tu carpeta el número que le corresponde ycontestá las siguientes preguntas.

1. Las caras del poliedro ¿son todas iguales? ¿Qué clase de polígono son? ¿Cuántos lados tiene

cada cara?

2. ¿Cuántas caras tiene el poliedro? ¿Tiene caras paralelas?

3. ¿Cuántos vértices tiene?

4. ¿Cuántas aristas?

5. ¿Tiene igual número de aristas en cada vértice?

6. ¿Cumple la relación de Euler?

M 1

MATEMÁTICA 1204

7. Releyendo tus respuestas a los puntos anteriores, ¿cómo harías para identificar un poliedrosemirregular? ¿En qué se diferencia de uno regular?

b) En la unidad 8 viste la definición de un poliedro regular. Con los datos que obtuviste en lospuntos anteriores, escribí en tu carpeta una definición de poliedro semirregular . Podés empezarasí: “Un poliedro es semirregular cuando…”.

Consultá con tu maestro si vas a hacer las actividades del apartado que sigue o vas a leer directamentela síntesis final de la unidad.

6. Diagonales en un cubo

a) Pensá en el cubo que se construiría plegando el desarrollo que muestra la figura y respondé en tucarpeta las preguntas.

1. ¿Cuáles son los vértices de la figura plana que coincidirían al construir el cubo?

2. ¿Cuáles son los segmentos de la figura plana que quedarían superpuestos al construirlo?

3. Nombrá, si es posible, una cara o un plano en el que, una vez construido el cubo, resulten

incluidos cada uno de los siguientes pares de segmentos. No es necesario que los planos con-

tengan caras del cubo. Pueden designar un plano con el nombre de tres puntos no alineados

que le pertenezcan.

AB y CD; AN y CL; AN y ML; DE y BM; DE y HL

4. Nombrá dos planos que no tengan puntos comunes.

L N M

K J I H

DCBA

UNIDAD 16


Para finalizarEsta es la última unidad de Geometría de 7º año y por eso recupera muchas de las ideas que habías

desarrollado en unidades anteriores. Trabajaste con modelos de cuerpos poliédricos, en general conpoliedros convexos, y utilizaste tus conocimientos sobre polígonos regulares cuyas característicasestudiaste en la unidad 15. Comprobaste las diferencias entre los poliedros regulares y los semirregulares.Todos los temas de Geometría que aprendiste en el año te permitirán comprender algunos desarrollos que hicieron los matemáticos desde la Antigüedad y que han sido fundamentales para lahistoria de la humanidad. ¿Escuchaste hablar de Tales y de Pitágoras? Te vas a encontrar con informaciónsobre ellos cuando sigas estudiando Geometría en 8º año.

Como todas las unidades anteriores, esta termina con la propuesta de algunos problemas matemáticos.Podés resolverlos cuando decidas.

M 1

MATEMÁTICA 1206

1. Diagonales de un poliedroLa diagonal de un poliedro es el segmento que une vértices del poliedro que no pertenecen a una

misma cara.

• ¿Cuántas diagonales tiene un cubo?

• ¿Cuántas diagonales tiene un prisma de base pentagonal?

• Las pirámides, ¿tienen diagonales? ¿Por qué?

2. Cortar paralelogramosUna propiedad importante y curiosa en la Geometría plana es la que se refiere a los paralelogramos

y dice: si se hace un corte por un segmento que contenga al punto de intersección de las diagonales,

el paralelogramo queda dividido en dos figuras congruentes.

• Comprobá esta propiedad ¿Es válida también para los trapecios? ¿Por qué?

3. Un genio de la Física y la MatemáticaIsaac Newton, uno de los más grandes genios de la ciencia, nació en el siglo XVII y murió en el siglo

XVIII. Si querés saber el año de su nacimiento y de su muerte, acá están los datos necesarios.

El número formado por las cifras de las decenas y unidades del año de su nacimiento, aumentado en 12, es

el doble del número formado por las decenas y unidades del año de su muerte que, aumentado en 1, es dos

tercios del primero.

4. Un problema de númerosLa suma de los cien primeros números naturales es 5.050; ¿cuál es la suma de los primeros doscientos

números naturales? El desafío consiste en que encuentres una manera breve de resolverlo.

UNIDAD 16

Serie Horizontes

CUADERNO DE ESTUDIO

Ciclo Básicode Educación Secundaria

Escuelas Rurales

MATEMÁTICA

En las provincias donde el Nivel de Educación Secundaria es de 5 años, este material está destinado a 1° año.

Mate 2-Preliminares 17/7/08 10:52 Página 1

La presente publicación se ajusta a la cartografía oficial establecida por el PoderEjecutivo Nacional a través del Instituto Geográfico Militar por Ley 22.963 y fueaprobada en diciembre de 2007 con número de expediente GG07 2039/5.

Ministerio de Educación Ciencia y TecnologíaCuaderno de estudio 2: Matemática. - 1a ed. - Buenos Aires: Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, 2007.192 p. ; 27x20 cm.

ISBN 978-950-00-0649-1

1. Libro de Textos . 2. Matemática. 3. Educación Secundario. I. TítuloCDD 510.712

© Ministerio de Educación, Ciencia y TecnologíaPizzurno 935, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, ArgentinaImpreso en la ArgentinaHecho el depósito que marca la ley 11.723ISBN 978-950-00-0649-1

Se terminó de imprimir en Quebecor World Pilar en el mes de diciembre de 2007.


AUTORIDADES NACIONALES

Presidente de la Nación

Dr. Néstor Kirchner

Ministro de Educación, Ciencia y Tecnología

Lic. Daniel Filmus

Secretario de Educación

Lic. Juan Carlos Tedesco

Subsecretaria de Equidad y Calidad Educativa

Lic.Alejandra Birgin

Subsecretario de Coordinación Administrativa

Lic. Gustavo Iglesias

Directora Nacional de Gestión Curricular y Formación Docente

Lic. Laura Pitman

Directora General Unidad de Financiamiento Internacional

A.G. María Inés Martínez


Serie HorizontesCiclo Básico de Educación Secundaria

Escuelas Rurales

Área de Educación RuralGuillermo Golzman, coordinadorOlga Zattera, coordinadora pedagógicaViviana Fidel, coordinadora de materiales impresos

Desarrollo de contenidosNorma Sanguinetti de Saggese, coordinadora del Área de MatemáticaAlicia Susana Hevia, Graciela Inés Daroca, María Cristina Bisbal de Labato, autores

Producción editorialGonzalo Blanco, coordinaciónoDoris Ziger, ediciónNorma Sosa, correcciónSantiago Causa, dirección de arteMariela Camodeca, diseño de tapa y diagramaciónMartín Bustamante, ilustraciónMiguel Forchi, cartografíaMaría Celeste Iglesias, documentación fotográfica

PROMER - Proyecto de Mejoramiento de la Educación RuralPréstamo BIRF 7353-ARLeonardo D. Palladino, coordinador general Martín Sabbatella, responsable de adquisiciones y contratacionesMaría Cavanagh, especialista delegada

Agradecemos especialmente a las instituciones que han autorizado en forma gratuitala reproducción de las imágenes y los textos incluidos en esta obra.


ESTUDIAR MATEMÁTICA El proyecto anual de trabajo en el Cuaderno de estudio 2. Matemática presenta una selección de temas organi-

zados alrededor de los números y las operaciones, la geometría y los procesos de medición, y el tratamiento dela información. Seguramente tenés conocimientos de estos temas por haberlos explorado en años anteriores.

El Cuaderno de estudio 2 está organizado en dieciséis unidades. Cada una consta de una secuencia de activida-des que, con la guía de tu docente y la colaboración de tus compañeros, te permitirán aprender nuevas ideas yformas de expresión. En ellas encontrarás las informaciones y explicaciones que te ayudarán a resolverlas. Laserie de actividades de cada unidad está pensada para que la resuelvas en dos semanas de clase; consultá con tudocente cómo vas a organizar la tarea. Siempre podrás volver sobre los temas y unidades cuando necesites con-sultar o repasar algo.

A medida que avances en el estudio de las unidades irás aprendiendo el lenguaje que se usa en Matemática paradescribir situaciones reales, experiencias y fenómenos relacionados con los números y las formas geométricas.La experiencia es, en buena medida, la base del conocimiento matemático. Al hacer experimentos con los datosde un problema, verás que se te ocurrirá más fácilmente la forma de resolverlo.

También, a medida que vayas trabajando, tendrás oportunidad de practicar una cantidad de juegos y de crearotros para compartir con tus amigos y tu familia, aún más allá de la escuela, en los ratos que decidas destinar aresolverlos.

Sugerencias para el trabajo con este cuadernoLas actividades propuestas pueden ser muy diversas: en algunas unidades te sugerimos que busques informa-

ción o hagas observaciones fuera de la escuela, para desarrollar el conocimiento matemático más allá de lo esco-lar. Algunas actividades están pensadas para que las resuelvas en forma individual. Otras, que tienen este ícono

, deberás resolverlas en forma grupal con tus compañeros. Tu docente decidirá en esos casos cómo orga-nizar la tarea. Cuando necesites buscar y tener preparados algunos materiales, antes de empezar la actividad vasa encontrar una lista con la descripción de ellos junto al ícono .

En la mayoría de los casos, las actividades incluyen trabajos escritos que irás resolviendo en tu carpeta. De esemodo podrás organizar tu tarea, revisar lo que vayas aprendiendo, notar los progresos que vayas alcanzando enel trabajo con cada una de las unidades.

Vas a encontrar algunos textos destacados que contienen conclusiones o reglas matemáticas importantes, algu-nas nuevas y otras conocidas: prestá especial atención en ellos. Los que aparecen enmarcados, con un signo deadmiración al costado, son conceptos fundamentales que hace falta que retengas para el futuro.

Al finalizar cada unidad encontrarás una sección denominada “Desafíos matemáticos”. Se trata de una serie deenunciados que pueden contener relatos, juegos, curiosidades, adivinanzas o rompecabezas, relacionados o nocon los temas que hayas estudiado en la unidad; son para que los encares libremente. De todos modos, al llegara ese punto conversá con tu docente acerca de la conveniencia de resolver todos o algunos, en tu casa o en laescuela.

A medida que avances en el trabajo con las unidades podrás elaborar síntesis propias acerca de lo que apren-diste y plantearte nuevos interrogantes para seguir aprendiendo y disfrutando de la matemática.

En muchas actividades te pedimos que escribas reflexiones y comentarios acerca de la tarea, que los compar-tas con tus compañeros y se los muestren al docente. Para que esto sea posible, es necesario que cada vez quetrabajes en tu carpeta, indiques la fecha, la unidad, el número y título de la actividad y la letra de la consigna queestés resolviendo. La prolijidad con la que realices la tarea te facilitará la búsqueda cuando, más adelante, nece-sites recurrir a tus respuestas anteriores.

Deseamos que no sólo aprendas, resolviendo por escrito actividades en tu carpeta, sino que descubras la pre-sencia de la Matemática en cuanto te rodea y que disfrutes sintiendo que tenés cada vez mayores posibilidadespara pensar y comprender el mundo.


MATEMÁTICA 26

UUnniidd aadd 11.. NNúúmmeerr ooss eenn tteerr ooss 99TEMA 1: CONTAR EN DOS SENTIDOSA1. “Tomo o pongo” 10A2. Números con signo 12A3. El orden de los números enteros 13TEMA 2: LAS OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROSA4. Valor absoluto de los números enteros 15A5. Resta de números enteros 16A6. Otras operaciones con números enteros: multiplicar y dividir 18DESAFÍOS MATEMÁTICOS 21

UUnniidd aadd 22.. NNúúmmeerrooss rraa cciioonnaa lleess 22 33TEMA 1: ¿QUÉ SON LOS NÚMEROS RACIONALES?A1. Fracciones opuestas y equivalentes 23A2. ¿Cómo darse cuenta cuando dos fracciones son equivalentes? 26TEMA 2: CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS RACIONALESA3. El orden en los números racionales 29A4. Ordenando racionales 30TEMA 3: VALOR ABSOLUTO Y OPERACIONESCON NÚMEROS RACIONALESA5. ¿Cómo saber el valor absoluto de un número racional? 30A6. Sumar y restar números racionales 31DESAFÍOS MATEMÁTICOS 34

UUnniidd aadd 33.. PPoottee nncciiaacciióónn yy rraadd iiccaacciióónn..NNoottaa cciióónn cciieenntt ííffiiccaa 33 55TEMA 1: LA POTENCIACIÓNA1. Potenciación con exponente natural 35A2. Las propiedades de la potenciación 40TEMA 2: LA RADICACIÓNA3. ¿Qué es la raíz cuadrada? 42TEMA 3: NOTACIÓN CIENTÍFICAA4. Números muy grandes o muy chicos 45DESAFÍOS MATEMÁTICOS 47

UUnniiddaadd 44.. CCoommbbiinnaattoorriiaa yy eessttrraatteeggiiaass ddee ccoonntteeoo 44 99TEMA 1: COMBINACIONESA1. Organizar la información, un primer paso 49A2. Los diagramas arbolares en la combinatoria 52TEMA 2: PERMUTACIONESA3. Cambios en el orden 54A4. Combinaciones y permutaciones 56DESAFÍOS MATEMÁTICOS 57

UUnniidd aadd 55.. PPrr oobbaa bbiilliiddaa dd 55 99TEMA1: CÁLCULO DE PROBABILIDADESA1. Imposible, 0; Seguro, 1 59A2. Cuatro situaciones 61A3. Otros experimentos 66DESAFÍOS MATEMÁTICOS 68

UUnniiddaa dd 66 .. TTrraann ssffoorrmmaa cciioonn eess ggee oommééttrriiccaass 66 99TEMA 1: TRANSFORMACIONES EN EL PLANOA1. ¿Qué movimientos se usan para hacer guardas? 69A2. ¿Cómo se indican las traslaciones? 73A3. ¿Cómo se indican las rotaciones? 75TEMA 2: SIMETRÍAA4. ¿Cómo se indican las simetrías? 77A5. Diseños, simetrías y movimientos 80DESAFÍOS MATEMÁTICOS 81



UUnniiddaa dd 77.. CCuuaa dd rriilláá tteerr ooss yy ss iimmeettrrííaa 88 33TEMA1: CUADRILÁTEROS Y SIMETRÍASA1. Características de los cuadriláteros 83A2. ¿Cuándo una figura es simétrica? 85TEMA 2: CUADRILÁTEROS SIMÉTRICOSA3. Ejes de simetría en los cuadriláteros 87A4. Propiedades de los cuadriláteros simétricos 89A5. Cuadriláteros: propiedades y simetría 89DESAFÍOS MATEMÁTICOS 91

UUnniiddaa dd 88 .. ÁÁ nngguullooss .. PPooss iicciioonn eess rreellaa ttiivvaa ss 99 33A1. Rectas en el plano 93A2. Ángulos formados por dos rectas secantes 95A3. Trabajando con varillas 96A4. Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante 97A5. Para revisar lo aprendido 99A6. A modo de síntesis 99DESAFÍOS MATEMÁTICOS 101

UUnniidd aadd 99.. MMáá ss ttrr aannss ffoorrmmaacc iioonn eess:: hhoommoo tteecciiaa yy ss eemmeejjaa nnzz aa 11 00 33TEMA 1: ¿QUÉ ES LA HOMOTECIA?A1. Puntos correspondientes 103A2. Imágenes homotéticas 105A3. El centro y la razón de homotecia 106TEMA 2: LA SEMEJANZAA4. Figuras semejantes 107A5. Análisis de figuras semejantes 109A6. Homotecias, semejanzas y símbolos 111DESAFÍOS MATEMÁTICOS 113

UU nniiddaa dd 11 00.. LLaa rreellaa cciióónn ppiittaa ggóórriiccaa 11 11 55A1. Un rompecabezas 115A2. La demostración de Leonardo 116A3. Aplicaciones de la propiedad pitagórica 117A4. Las ternas de números pitagóricos 119A5. La diagonal del cuadrado 120DESAFÍOS MATEMÁTICOS 122

UU nniiddaa dd 1111 .. VV oolluummeenn yy áárree aa dd ee pprriiss mmaassyy pp iirráá mmiidd ee ss 11 22 55TEMA 1: VOLUMEN DE UN CUERPOA1. ¿Qué espacio ocupa un metro cúbico? 126A2. Estimación de volúmenes 126A3. Volumen de una familia de cuerpos 127A4. Volumen de otra familia de cuerpos 128TEMA 2: SUPERFICIE LATERAL Y TOTALA5. Prismas pintados 129A6. El área de una pirámide 131TEMA 3: CÁLCULO DEL VOLUMEN DE PRISMAS Y PIRÁMIDESA7. Volumen de un prisma 132A8. Volumen de una pirámide 133A9. Áreas y volúmenes 135DESAFÍOS MATEMÁTICOS 137

UU nniiddaa dd 11 22.. RReellaa cciioonneess mmééttrr iiccaa ss 11 33 99TEMA 1: RELACIONES MÉTRICAS EN POLÍGONOSA1. Ángulos interiores de un polígono 139A2. Ángulos exteriores de un triángulo 141A3. Perímetro y área de cuadrados 142TEMA 2: LA RELACIÓN ÁUREAA4. Una relación métrica especial 144A5. La división áurea de un segmento 146A6. El pentágono pitagórico y el Partenón 147DESAFÍOS MATEMÁTICOS 149


MATEMÁTICA 28

UUnniidd aadd 1133 .. ÁÁ llggeebbrr aa (( II)) 11 55 11TEMA 1: ECUACIONES E INECUACIONESA1. Las figuritas 151A2. Incógnitas y variables 152A3. La edad de Jimena 154A4. Las inecuaciones en la recta numérica 155TEMA 2: EL ÁLGEBRA COMO INSTRUMENTOA5. Proceso de generalización 156 A6. Expresiones algebraicas equivalentes 156 A7. Para resolver con ayuda del Álgebra 157DESAFÍOS MATEMÁTICOS 159

UUnniidd aadd 1144.. ÁÁ llggeebbrraa ((IIII)).. EE ccuuaa cciioonneess ddee pprriimmeerr ggrr aadd oo ee iiddee nnttiidd aadd eess 11 66 11TEMA 1: ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITAA1. Cálculos mágicos 161A2. Del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico 163A3. ¿Todas las expresiones algebraicas son ecuaciones? 164A4. Despejar la incógnita 164TEMA 2: IDENTIDADES ALGEBRAICASA5. Los cuadrados de lados a, b y a + b 166A6. El cuadrado de la diferencia 167A7. La diferencia de dos cuadrados 169A8. Fórmulas equivalentes 171DESAFÍOS MATEMÁTICOS 172

UUnniidd aadd 1155 .. FFuu nncciioonn eess 11 77 33A1. Correspondencias entre medidas de figuras 173A2. Imágenes y dominio de una correspondencia 176A3. ¿Qué correspondencias son funciones? 177A4. Funciones definidas por fórmulas 178A5. Algo más sobre funciones 180DESAFÍOS MATEMÁTICOS 182

UUnniiddaa dd 1166.. LLuu ggaa rr ggeeoomméé ttrriiccoo 11 88 55A1. El perro atado 185A2. Lugares geométricos en espacios reales 187A3. Otros problemas con lugares geométricos 189DESAFÍOS MATEMÁTICOS 191



M 2

9

En numerosas ocasiones en que necesitamos representar numéricamente cambios y otras situacio-nes cotidianas para las que no alcanzan los números naturales empleamos números enteros. Con ellosindicamos la temperatura del invierno antártico, la profundidad a la que se encuentra una fosa marina,la fecha en que se fundó Roma, anterior a Cristo. Así decimos, respectivamente, -40 grados; -10.000m, y año -73. También los usamos cuando se nos presentan fenómenos que exigen contar en dos sen-tidos, por ejemplo, el dinero ganado y, en sentido contrario, el que se ha perdido.

En todas estas situaciones se hace referencia a un origen o punto de partida convencional que repre-sentamos con el número cero: 0 grados de temperatura, para que el agua se transforme en hielo;0 metros la altura correspondiente al nivel del mar; año 0, el nacimiento de Cristo como el inicio paraseñalar fechas. Así, con respecto a un origen se representan datos empleando los signos “+” y “— ”,para codificar y/o decodificar situaciones relativas.

Esta unidad está destinada a que avances en el conocimiento de los números enteros, sus usos y lasoperaciones que es necesario hacer con ellos. Verás que los números enteros se pueden sumar, res-tar, multiplicar o dividir respetando las reglas de las operaciones en ese campo numérico.

A partir de aquí comienza la tarea con la primera unidad. Para resolver las actividades en forma ordenada ypara poder recurrir a tus respuestas cuando necesites revisarlas, cada vez que trabajes en tu carpeta indicá lafecha, el número y título de la actividad y la letra de la consigna que estés resolviendo.

Para realizar la siguiente actividad vas a necesitar alrededor de 60 semillas, piedritas, fichas u otros elemen-tos que sirvan para contar. Leé las instrucciones de cómo preparar el resto del material en la misma actividad.

Los números enteros son números con signo: hay enteros positivos y enteros negativos. Cada númeronegativo es el opuesto de un número natural. En el campo de los números enteros, los naturales se escri-ben anteponiéndoles el signo +.

Consultá con tu docente cómo organizar la tarea en la próxima actividad.

UNIDAD 1 Números enteros

TEMA 1: CONTAR EN DOS SENTIDOS

Matematica 8-unidad1-4as 17/7/08 10:53 Página 9

1. “Tomo o pongo”

aa)) Vas a jugar con tus compañeros a “Tomo o pongo”. Para ello deberán construir entre todos el mate-rial para poder jugar.

1. Preparen:

• Las semillas, piedritas, fichas u otros elementos que sirvan para contar. Los llamaremos “contadores”.

• Una colección de tarjetas formada por cinco ejemplares de cada una con las siguientes inscripciones:

2. Lean las instrucciones:

• Pueden participar 2, 3 o 4 jugadores. Antes de empezar a jugar hay que poner 20 contadores sobrela mesa en un montón, mezclar bien las cartas, ponerlas boca abajo formando un mazo y repartir losotros contadores entre los jugadores de modo que a cada uno le toque la misma cantidad.

• El juego consiste en que cada jugador, por turno, extrae una carta del mazo: si es un 0, pierde el turno;si es un número con signo + toma del montón tantos contadores como indica el número; si es un núme-ro con signo – entrega al montón tantos contadores propios como indica el número. Las tarjetas extraí-das se colocan aparte.

• El juego termina cuando no hay más tarjetas para completar una vuelta con todos los jugadores.

• Gana el participante que tiene más contadores.

• Para variar el juego se pueden fabricar otras tarjetas con inscripciones del tipo: “toma el pozo com-pleto”, “entrega todo lo que tiene”, “le pasa la mitad de lo que tiene al jugador que sigue”, “toma lamitad de lo que tiene el jugador anterior”, “toma lo que tienen los demás jugadores”.

• Si un jugador se queda sin contadores se le puede permitir ir sacando tarjetas a su turno y cumplirsus consignas o quedar en deuda hasta que pueda cumplirlas.

3. Jueguen entre todos los integrantes del grupo a “Tomo o pongo”.

b) Marcos, Pablo y Andrés jugaron cada día de la semana un partido de “Tomo o pongo” usando 65 fichascomo contadores. Marcos comenzó con 15 fichas y anotó cada día cuántas fichas más o cuántas fichasmenos había logrado. Este es un registro.

-4-20 +1 +3

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 1

10

lunes martes miércoles jueves viernes sábado domingo

+8 -6 +12 +10 0 -11 -9


1. Trabajá en tu carpeta. Poné como título “Actividad 1: Tomo o pongo”. Escribí los resultados deMarcos ordenados desde el peor hasta el mejor.

2. Respondé las siguientes preguntas:

• ¿Qué indica el signo + delante de los números? ¿Y el signo –?

• ¿Qué día tuvo Marcos su mejor resultado? ¿Y el peor?

3. Dibujá en tu carpeta una recta numérica como esta. Marcá sobre la recta numérica cada resultadode Marcos y escribí debajo el día en que se produjo.

–15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

c) Resolvé en tu carpeta la pregunta que plantea la siguiente situación.

El 2 de abril de 1997, la Selección Argentina de Fútbol debía enfrentar a Bolivia en la ciudad de LaPaz. El periódico Olé publicó la tabla de posiciones de los equipos que jugaban las eliminatorias parael Mundial ´98.

Observá que hay varios pares de equipos que tienen el mismo puntaje. Sin embargo están orde-nados según la diferencia de goles. (Gf – Gc). Por ejemplo: Colombia (14 – 6 = 8) está más arri-ba que Paraguay (10 – 4 = 6).

• ¿Por qué Bolivia está en mejor posición que Uruguay?


M 2

11

En este cuadro figuran:

• los equipos (Equipo)

• los puntos que obtuvieron (Pts)

• los partidos jugados (J)

• los partidos ganados (G)

• los partidos empatados (E)

• los partidos perdidos(P)

• los goles a favor (Gf)

• los goles en contra (Gc)

Posiciones

Equipo

Colombia

Paraguay

Argentina

Ecuador

Bolivia

Uruguay

Chile

Perú

Venezuela

Pts J G E P Gf Gc

17 8 5 2 1 14 6

17 8 5 2 1 10 4

13 8 3 4 1 11 7

12 8 4 0 4 12 9

10 8 2 4 2 12 8

10 8 3 1 4 6 10

9 8 2 3 3 11 12

9 8 2 3 3 9 11

1 8 0 1 7 5 23


2. Números con signo

Cuando es necesario distinguir situaciones que se producen en un sentido y en el sentido opuesto se recu-rre a los números con signo.

a) Escribí en tu carpeta los números con signo que corresponden a los siguientes hechos:

1. Adelgazar 3 kg.

2. Perder 9 figuritas.

3. Subir 9 escalones de una escalera.

4. Ganar 30 alfajores en una rifa.

5. Bajar 2 puestos en una tabla de clasificación.

6. Ascender una montaña de 600 m partiendo desde el nivel del mar.

7. Descender 200 m desde la cima de una montaña.

b) Leé el siguiente texto. En él se registran los distintos significados que tienen las situaciones en las quees necesario usar dos series numéricas para contar en dos sentidos opuestos.

Un número con signo más (+) o con signo menos (-) sirve para representar distinto tipo de situaciones:Una acción que transforma; por ejemplo, modificar la cantidad de contadores de un jugador

entregando o tomando contadores.Una cantidad que tiene sentido contrario a otra; por ejemplo, contadores ganados o conta-

dores perdidos, como en las anotaciones de Marcos.Una ubicación en el orden de una recta numérica; por ejemplo, el puntaje en un juego como “Tomo o pongo”.Las diferencias entre dos cantidades tomadas en un cierto orden; por ejemplo, la diferencia

entre goles a favor y goles en contra.Los cambios en un proceso; por ejemplo, escalar 9 metros y descender 10 metros.

c) Respondé las siguientes preguntas.

1. ¿Qué significa 0 en cada uno de los cinco ejemplos anteriores?

2. ¿Qué significa +2 en cada uno de los cinco ejemplos?

3. ¿Qué significa –3 en cada uno de los cinco ejemplos?

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 1

12

En general, si los goles en contra son más que los goles a favor se dice que la diferencia de goleses negativa. En caso contrario, se dice que es positiva. Para poder identificarla, los números que indi-can una diferencia negativa llevan un signo menos y los que tienen una diferencia positiva, un signomás. Por ejemplo: Bolivia (12 – 8 = +4) y Uruguay (6 –10 = –4).

Los signos + y – delante de un número entero describen situaciones opuestas entre sí.


3. El orden de los números enteros

Las situaciones que analizaste en la actividad 1 pueden servir como ejemplo para ayudarte a comprenderla relación de orden que caracteriza a los números enteros.

En una recta numérica, el 0 es un punto equidistante de cada par de números enteros opuestos que sólose diferencian por el signo. Asimismo, si dos números enteros sólo se diferencian por el signo, se represen-tan en la recta numérica en puntos simétricos respecto de 0.

a) Copiá la tabla que sigue y completala: a cada número le corresponde en la recta numérica el que estáubicado en el punto simétrico respecto del 0.

1. Copiá las siguientes rectas numéricas en tu carpeta y marcá con color, en cada una, los números que seindican. En la primera recta, los de la primera columna y en la segunda recta, los de la segunda columna.


M 2

13

De ahora en adelante recordá que los números con signo se llaman números enteros y que todonúmero natural es equivalente a un número entero positivo o cero. Por ejemplo, 3 es equivalente a +3.El conjunto de los números enteros está formado por los números enteros positivos, los númerosenteros negativos y el cero.

5 –5

–4 4

0 0

1

–6

3

–2

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

Números de la primera columna

Números de la segunda columna

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 1

14

2. Uní con flechas cada número de la primera columna con su correspondiente en la otra. Por ejem-plo: el 5 de la recta de la primera columna con el —5 de la recta de la segunda columna.

3. Leé la siguiente afirmación y respondé las preguntas.

La tabla y el diagrama de flechas muestran una correspondencia en la que a cada número lecorresponde su opuesto.

• ¿Cuál es el opuesto de +9?

• ¿Cuál es el opuesto de –1?

• ¿Cuál es el opuesto de 0?

b) Respondé en tu carpeta.

1. Si se toman dos números cualesquiera sobre la recta numérica y vemos que uno queda ubicado a laizquierda del otro, ¿cuál es el mayor?

2. Sobre la recta numérica dibujada en el punto a, la punta de la flecha indica un sentido. En el sentidode la flecha, ¿los números enteros crecen o decrecen?

c) Escribí las siguientes expresiones en tu carpeta y completalas escribiendo “es mayor que”, “es menorque” o “es igual a”.

3 ……………… –8 3 – 7 …………………… 3 – 3

–6 ……………… 2 6 – 8 …………………… 11 – 15

4 + 5 ……………… 12 – 3 6 – 5 …………………… 12 – 4

d) Repetí usando “<” en lugar de “es menor que”; “>” en lugar de “es mayor que”; e “=” en lugar de “esigual a”.

El conjunto de los números enteros está ordenado en dos sentidos: uno, el de la relación “esmenor que”, y el otro, el de la relación “es mayor que”.

e) Escribí en tu carpeta, de mayor a menor, los números enteros que siguen.

12, –8, –15, 3, 10, –9, 0, –20, 15.

Cualquier entero positivo es mayor que cualquier entero negativo. El 0 no es positivo ni negativo;es menor que cualquier número entero positivo y mayor que cualquier negativo.

f) El termógrafo es un instrumento que registra las distintas temperaturas. Si se grafican en forma conti-nua las temperaturas que marca el termógrafo, se obtiene un gráfico que se llama un termograma.Observá el siguiente termograma y respondé en tu carpeta.


1. ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima que se registraron?

2. ¿Cuál ha sido la variación de temperatura entre las 17 y las 20 horas?, ¿y entre las 13 y las 15?, ¿yentre las 22 y las 24?

3. ¿Entre qué horas la temperatura ha aumentado 3°?

4. ¿Entre qué horas el cambio de temperatura fue de –17°?

5. ¿A qué horas no ha cambiado la temperatura?

6. ¿A qué horas se dio la mayor variación de temperatura?

Hasta aquí exploraste situaciones en las que cobra sentido el uso de números enteros. En las actividadessiguientes trabajarás con las operaciones entre esos números: la suma, la resta, la multiplicación y la división.

4. Valor absoluto de los números enteros

a) Copiá en tu carpeta estas expresiones y completalas de modo que la igualdad sea verdadera. Si haymás de una solución anotalas todas. Si no hay ninguna, escribí al lado “no tiene solución”.

| –7 | = … | … | = 2 | 1 | = …

| … | = –3 | 0 | = … | … | = 0


M 2

15

TEMA 2: LAS OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

Un número entero tiene dos partes: el signo y el valor absoluto. El valor absoluto indica su distan-cia al 0; cualquier número entero y su opuesto tienen el mismo valor absoluto porque son simétricoscon respecto a 0. Por ejemplo, el número entero –5 tiene signo negativo y valor absoluto 5. Su opues-to +5 tiene el mismo valor absoluto y el signo contrario positivo.

El valor absoluto se indica escribiendo entre dos barras el número con su signo, por ejemplo: |–8| = 8 y |+8| = 8Recordá que en la recta numérica los números positivos están a la derecha del 0 y los negativos a la izquier-

da del 0. El 0 no es positivo ni negativo; sumar o restar 0 no cambia un resultado.

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

20

15

10

5

-5

Temperaturas(ºC)

Horas del día

Q


b) En las siguientes expresiones, ¿qué números enteros puestos en lugar de las letras hacen verdadera laigualdad o la desigualdad? Si no hay ninguno, explicá por qué. Si hay una cantidad finita de números posi-bles anotalos todos. Si existen infinitos, anotá algunos que muestren la tendencia de los demás.

Por ejemplo: Si |a | > 1 , entonces a puede ser 2, -2, 3, -3, …..8, -8, ….95, -95, ….

1. x < –6 5. y > –6

2. z = 0 6. | w | < 2

3. a + (–8) = 12 7. –x = 3

4. –y < –1 8. –b + (-3) = – 6

En la siguiente actividad vas a poder aplicar lo que aprendiste sobre el valor absoluto de los números ente-ros y las sumas y restas entre ellos.

5. Resta de números enteros

a) Durante los días de la semana en que se desarrolló la feria del plato en una Asociación de Fomentohubo ingresos y se efectuaron gastos. Los organizadores decidieron redondear las cifras a pesos para faci-litar la tarea de registro.

1. Copiá una tabla como esta en la que se registra la cantidad de dinero, en pesos, que se recibió y laque se gastó cada día.

2. Escribí en la última columna la ganancia o la pérdida, usando para las ganancias el signo + y para laspérdidas, el signo –.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 1

16

Día Ingresos Gastos Cantidadmayor

Resultadofinal del día

Lunes 120 180 Gastos –60

Martes 132 82

Miércoles 150 160

Jueves 156 70

Viernes 290 141

Sábado 360 197

TOTALES


3. Luego de analizar los datos de la tabla, respondé:

• ¿Cuál fue el día de mayores ingresos?

• ¿Cuál fue el día de mayores gastos?

• ¿Cuál fue el día de mayor ganancia?

• ¿Cuál fue el día de mayor pérdida?

• En total, ¿ganaron o perdieron? ¿Cuánto?

b) Escribí cada una de las operaciones que hiciste para completar la última columna del cuadro.

c) Luego de leer el texto, respondé las preguntas.

No olvides que cada número tiene su signo y que, como además se trata de la reunión de dos resultados,se usa el signo de la operación suma o adición “+”. Por ejemplo: –180 + (+120) = –60. Como podés ver,cuando aparecen dos signos juntos es necesario usar paréntesis para no confundir el signo de la operacióny el signo propio del número entero. En el cuadro anterior escribiste el importe en pesos de las ganancias(positivas) y de las pérdidas (negativas). Cada una de ellas se escribe con un signo y un número.

En esta actividad restaste números enteros. Como recordarás, en la operación de sustracción, elnúmero del que se parte es el minuendo y el número que quitás es el sustraendo.

1. ¿Qué sucede cuando se quita un número negativo?

2. ¿Qué sucede cuando se quita un número positivo?

Observá que hay casos en que el número que restaste es negativo y otros en los que es un núme-ro positivo. Cuando se tiene que restar un número negativo se obtiene el mismo resultado que si sesuma el opuesto de ese número; por ejemplo: –2 – (–5) = –2 + (+5) = +3.

d) ¿Podés restarle a un número otro que sea menor? Si lo hiciste, da el ejemplo y comentalo con tu docente.

e) Copiá una tabla como esta, completala e inventá los ejemplos que faltan.


M 2

17

a b a – b Opuesto de b a + opuesto de b

+5 +3 2 –3 +5+(–3)= +2

–7 +2

+6 -9

+11 –11

–10 –23


1. ¿Cómo resultan las columnas a – b y a + opuesto de b? ¿Qué conclusiones podés sacar?

Restar dos números enteros da el mismo resultado que sumarle al primero el opuesto del segundo.

Consultá con tu docente cómo organizarte para realizar las actividades que siguen y de cuánto tiempo disponés para ello.

6. Otras operaciones con números enteros: multiplicar y dividir

Los chicos inventaron una variante con las tarjetas del juego “Tomo o pongo”. La llamaron “Tarjetas repe-tidas”. Toman en cuenta sólo los resultados repetidos. Es decir, si un jugador tenía la tarjeta (–2) y no vol-vía a sacar el mismo puntaje, tenía que ceder el turno al siguiente, ya que sólo podía considerar otra tarjetaigual a la primera. Además, acordaron que no era obligatorio empezar con la tarjeta del primer turno, sinoque cada uno podía esperar para elegir su tarjeta. El ganador es el que saca el menor puntaje.

a) Cuando jugaron Daniel y Juan, Daniel sacó 3 veces –4 mientras que Juan obtuvo 3 veces +4. Daniel, para calcular su puntaje, se dio cuenta de que con la suma (–4) + (–4) +(–4) = –12 había hechouna multiplicación, y escribió: 3 x (– 4) = –12 porque 3 veces (–4) es –12. Juan dijo que había hecho: 3 x (+4) = +12 y que se había olvidado de que ganaba el número menor; poreso no esperó otro turno para elegir su tarjeta. Vieron que gracias a la distracción de Juan tenían ejem-plos de cuentas de multiplicar con números positivos y negativos.

1. ¿Es correcto lo que dijo Daniel?

Los chicos vieron que el producto de 3 que es positivo por (–4) que es negativo da un resulta-do negativo, –12. En cambio, el producto de dos positivos como 3 x (+4) da +12 y es positivo.

2. Completá los resultados de sacar:

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 1

18

Tarjetas Operación Resultado

4 tarjetas (+3)

5 tarjetas (–4)

3 tarjetas (–5)

Reglas de los signos de la multiplicaciónCuando se multiplica un número positivo por otro

positivo, da un resultado positivo y cuando se multi-plica un número positivo por uno negativo, da unresultado negativo. ¿Qué pasará cuando los dos facto-res son negativos? La regla para los signos de los resul-tados de las multiplicaciones de números enteros es:

+ –+ + –– – +

Segundo factorPrimer factor


Cuando se multiplican dos números enteros de distinto signo el resultado es negativo. Si los dosnúmeros tienen igual signo el resultado es positivo. Esto constituye la regla de los signos de lamultiplicación de números enteros.

Como ya aprendiste al trabajar con números naturales, la división es la operación inversa de lamultiplicación. Responder a la pregunta ¿cuál es el resultado de 12 : 3? es lo mismo que averiguar¿cuál es el número que multiplicado por 3 da 12? La respuesta es 4. Hasta aquí no encontrás nadanuevo a lo que conocías acerca de números positivos. Si trabajás con enteros tendrás que tomar cadanúmero con su signo y su valor absoluto. A la pregunta ¿cuánto es (–12) : (+3)? tendrás que res-ponder con el número x que haga verdadera la relación (+ 3) . x = (–12).Busquemos x:

• su valor absoluto será 12 : 3 = | 4|, • respecto de su signo, para decidir si un producto de dos factores es negativo, se usa la regla delos signos de la multiplicación,• la regla dice que los dos deben tener distinto signo. En forma abreviada se dice que “más pormenos da menos”, • el resultado de dividir los valores absolutos del dividendo y del divisor tendrá que ser |x| = 4 yel signo de x por la regla de los signos es –.

Entonces, comprobás que, en efecto, (+ 3) . (–4) = (–12). Así ves que la regla de los signos de la divi-sión de números enteros es la siguiente:

Cuando se dividen dos números enteros, el cociente tiene por valor absoluto el cociente delos valores absolutos del dividendo y del divisor. Si los dos números tienen distinto signo, el resultado es negativo, y si tienen igual signo,el resultado es positivo.

b) Comprobá la regla de los signos de la división completando un cuadro con ejemplos numéricos.


M 2

19

Dividendo

+ –+ + –– – +

Divisor


Los textos que leés al finalizar cada unidad recuperan los temas que trabajaste en ella. A veces, como en el quesigue, es conveniente que revises la síntesis a través de algún ejemplo.

Para finalizarEn esta unidad trabajaste con el conjunto de los números enteros que incluye los positivos, los negativos

y el cero.Aprendiste que los números enteros se usan para representar situaciones opuestas; tienen dos compo-

nentes: el signo y el valor absoluto. A cada entero le corresponde su opuesto, que tiene el mismo valorabsoluto y distinto signo, por lo que, al representarlos en la recta numérica, ambos se ubican en puntossimétricos con respecto a 0.

El 0 es opuesto de sí mismo y no es positivo ni negativo.Los números enteros hacen posible realizar restas en las que el minuendo es menor que el sustraendo,

que no se pueden efectuar entre números naturales; por ejemplo, 3 – 5 = -2. Efectuaste sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números enteros. Para operar con estos

números aprendiste que hay que considerar su signo y su valor absoluto.El cuadro siguiente sintetiza todo lo expresado al tomar dos números enteros a y b. La resta de ente-

ros equivale a la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo, por lo que sólo está la columnade sumas, ya que a – b = a +(-b).

El signo + indica que el número es positivo y el –, que es negativo. • Para mostrar todo lo que aprendiste completá una tabla como la anterior tomando, por ejemplo:

a = 5 y b = -7. Resolvé las operaciones indicadas en los casilleros y anotá los resultados.

Al llegar a este punto conversá con tu docente acerca de la conveniencia de resolver todos o algunos de los siguien-tes desafíos matemáticos en tu casa o en la escuela.

signovalor

absoluto

+ |a| + |b|

– |a| + |b|

el del númerode mayor

valor absoluto|a| - |b|

a b

+ +

– –

+ –

– +

signovalor

absoluto

+ |a| . |b|

+ |a| . |b|

– |a| . |b|

signovalor

absoluto

+ |a| : |b|

+ |a| : |b|

– |a| : |b|

Signo Suma a + b Multiplicación a . b División a : b

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 1

20



1. Sistemas de numeración y un poco de historiaLos mayas pertenecían a un pueblo que vivió en el sur de México y América Central con una rica histo-ria de unos 3000 años. La civilización maya fue una de las culturas más importante de Centroamérica antesde la llegada de los españoles. Crearon un notable sistema de numeración que usaba la notación posicio-nal y el importante concepto del cero, aproximadamente mil años antes de la invención del sistema “ará-bigo” en la India y casi 2000 años antes de que este se empleara en Europa. La numeración maya es de base 20, pero sólo requiere tres signos: el que corresponde al cero, el “punto”(el 1) y la “raya” (el 5, probablemente derivado de cinco puntos tachados). En la figura se muestran lossignos del 0 al 19.

a) Si los mayas hubieran conocido nuestro calendario, ¿cómo hubieran escrito el día de tu cumpleaños?

2. Temperaturas extremasEn diversos puntos de la Tierra se han registrado temperaturas extremas:

• En el Gran Cañón del Colorado, en los Estados Unidos: 57 °C.

• En San Petersburgo, en Rusia: –32 ºC.

• En la Puna, a 4000 metros de altura: –15 °C.

• En Ushuaia, en Tierra del Fuego –18 °C.

a) ¿Cuál es la mayor de las temperaturas?, ¿y la menor?

b) Ordená las temperaturas de mayor a menor.

21

DESAFÍOS MATEMÁTICOS

M 2


3. Pares y nones¿Puede ser que la suma de los veinte primeros números naturales impares sea igual a la suma de losveinte primeros números naturales pares? ¿Por qué?

4. Una fascinante familia de cuadradosTe presentamos varias igualdades que muestran números elevados al cuadrado.Observalas y tratá de encontrar alguna regularidad que te permita continuar la serie.

42 = 16

342 = 1156

3342 = 111556

33342 = 11115556

333342 = 1111155556

a) Escribí otras dos igualdades de la colección.

5. Una curiosidadSe llaman números perfectos a los que son iguales a la suma de sus divisores, con excepción de sí mismo.El más pequeño es el 6 : 6 = 1 + 2 + 3.

El siguiente es el 28 : 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Después del 28, no aparece ningún número perfecto hasta el 496. El desafío consiste en que pruebes que496 es un número perfecto.

El cuarto número perfecto es el 8.128, el quinto perfecto es 33.550.336. Se observa que cada número per-fecto es mucho mayor que el anterior. Euclides descubrió la fórmula para obtener números perfectos:

2n–1 x (2n – 1) siempre que (2n – 1) sea un número primo, es decir que solo sea divisible por 1 y por símismo.

¡Este Euclides era un genio!

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 1

22


Los números enteros que estudiaste en la unidad 1 se crearon por la necesidad de resolver proble-mas que implican contar en dos sentidos opuestos, como las temperaturas sobre cero y bajo cero o lasalturas sobre el nivel del mar y por debajo de ese nivel. En esta nueva unidad ampliarás el conoci-miento matemático de los campos numéricos explorando el conjunto de los números racionales queincluye, además de los números enteros, las familias de fracciones equivalentes, tanto positivas comonegativas. Vas a emplear los números racionales expresados como una fracción o como una expresióndecimal. Como en la unidad anterior, usarás la recta numérica como un recurso para aprender y tam-bién para representar e interpretar situaciones reales. Además, aplicarás todos esos conocimientos enla resolución de problemas.

Al final de la unidad, igual que en todas las unidades de este cuaderno, encontrarás algunos desafí-os matemáticos que seguramente te van a entretener y pondrán a prueba tu creatividad.

Esta actividad tiene partes que vas a resolver solo y otras en las que sería bueno que trabajes con tus com-pañeros. Consultá con tu docente para que te ayude a organizar la tarea.

1. Fracciones opuestas y equivalentes

En muchas situaciones se presenta la necesidad de contar en dossentidos opuestos con relación a cantidades que no son enterassino fraccionarias. A continuación vas a analizar algunas de estassituaciones, y con ellas aparecerá con mayor claridad la necesidadde introducir una nueva clase de números.

a) Si en la escuela o en sus alrededores se han registrado tem-peraturas negativas, anotá en tu carpeta aquellas que incluyandécimas de grado. Si no fuese así, buscá en la biblioteca algunasreferencias sobre temperaturas medias y extremas en diferentesprovincias o en otros países, y cuando encuentres ejemplos detemperaturas bajo cero que incluyan décimos de grado, escribi-los. Recordá anotar como título: Actividad 1: “Fracciones opues-tas y equivalentes”.


UNIDAD 2 Números racionales

M 2

TEMA 1: ¿QUÉ SON LOS NÚMEROS RACIONALES?


c) Teniendo en cuenta la información anterior y el significado de los signos, localicen las zonas del mapaen las que se encuentran puntos que cumplen con las condiciones descritas en las siguientes referencias:

x: está a una profundidad de –150 m,y: está a una altura de 495 m,z: está a una profundidad de –3,8 km,w: está a –1,5 km de profundidad.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 2

24

Este mapa muestra alturas y profundida-des en América del Sur. Las referencias indi-can la cantidad de metros sobre o debajo delnivel del mar que corresponde a cada color.

Por ejemplo:• En la parte superior de la escala decolor, 1000 significa más de 1000 metrosde altura sobre el nivel del mar ymenos de 3000 m.

• En la parte inferior de la escala de color,2000 significa más de 2000 metros deprofundidad bajo el nivel del mar y menosde 4000 m.

En cambio, cuando se escribe un texto, losmetros de altura se indican con un signo +(positivo) y los metros de profundidad seindican con un signo – (negativo).

80˚ 70˚ 60˚ 50˚ 40˚

10˚

0˚Ecuador

10˚

20˚

30˚30˚

40˚

50˚

30˚40˚50˚50˚

20˚

10˚

10˚

0˚

60˚70˚80˚90˚

1 - Límite del lecho y subsuelo.2 - Límite exterior del Río de la Plata.3 - Límite lateral marítimo argentino-uruguayo.

1

2

3

Trópico de Capricornio

(Arg.)

(Arg.)

(Arg.)

(Arg.)

5.000

3.000

1.000

500

200

0

200

2.000

4.000

6.000

metros

0 500Escala en Km

1000

N

S

EO

NE

SE

NO

SO

b) Observen el siguiente mapa de América del Sur y el texto que lo acompaña.

Observen que, según la unidad, en ocasiones es necesario usar expresiones decimales, como –3,8 km y–1,5 km. Del mismo modo, en algunos lugares, las marcas en los termómetros ambientales desciendenpor debajo de 0 ºC de temperatura. Esas marcas se registran como temperaturas negativas. Así –2,7 ºCindica 2 grados y 7 décimos de grado bajo 0.


Las temperaturas se pueden representar sobre una recta numérica. Lo primero que podés observares que algunas temperaturas no se indican con números enteros sino decimales porque el aumentoo la disminución de la temperatura no se produce por saltos sino en forma gradual. En efecto: –2,7 ºCo 3,5 ºC son temperaturas con parte entera y parte decimal que corresponden a fracciones con deno-minador 10: , respectivamente.

Entre las marcas correspondientes a una diferencia de un grado entero hay que marcar diez par-tes iguales o sea, diez décimas de grado. Para contarlas hay que fijarse en los espacios entre dos mar-cas: cada espacio es una décima de grado. Para marcar +3,5 ºC hay que desplazarse desde el punto0 de origen, 3 enteros hacia la derecha y 5 décimos más en el mismo sentido. Para marcar –2,7 ºChay que trasladarse desde 0 a 2 grados enteros negativos y 7 décimos más hacia la izquierda.

d) Dibujá en tu carpeta una recta como la siguiente.

1. Hacé una marca con color, sobre la recta que dibujaste, en el punto +3,5 y anotá la temperaturarepresentada.

2. Marcá con color el punto –2,7 y anotá la temperatura representada.

3. Marcá sobre una recta numérica todas las temperaturas que encontraste al principio de la consignaa de esta actividad.

e) En la consigna b de esta actividad localizaste en el mapa puntos a los que les corresponden númerospositivos y negativos. Algunos de ellos no son enteros. Observá en qué unidad de longitud está expre-sado cada ejemplo.

1. Para unificar las unidades, expresá todos valores en kilómetros aunque tengas que usar números decimales.

2. Dibujá en tu carpeta una recta numérica que abarque desde –4 km hasta +4 km. Ubicá el punto–720 m = –0,72 km y compará con otros compañeros si lo ubicaste bien. Si tienen dificultades consulten conel docente.

3. Entre dos números enteros, positivos o negativos, es posible señalar sobre la recta numérica fraccionesque no sean décimos. Por ejemplo, el pico de una montaña como el Famatina tiene una altura de aproxima-damente 6 km o un océano como el Atlántico tiene – 3 km de profundidad media.

Observá la recta numérica y decidí cuál de las marcas indica 6 km y cuál indica 3 km .

4. Compará tus resultados con los de otros compañeros. Si no están de acuerdo, consulten con su docente.

31

41

31

41

1035

1027

y−


M 2

25

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

A

–5 0 1 2 3 4–7 –6 –4 –3 –2 –1 5 6 7B C D E F G H


La recta numérica de la figura está dibujada sobre papel cuadriculado para poder leer subdivisio-nes de la unidad que, como ves, abarca diez lados de cuadraditos.

f) Respondé en tu carpeta las preguntas que siguen.

En la recta:

1. ¿Qué fracción representa 1 cm?, ¿y 1 mm?

2. ¿A qué distancia de 0, en cm, está ?, ¿y ?

3. ¿Qué longitud en cm tiene ? ¿y ?

4. ¿A qué distancia de 0 está ? ¿y ?

g) Usá tu regla para averiguar qué número fraccionario corresponde a cada uno de los puntos M, N, P, Q yR. Escribilos en tu carpeta, expresalos con más de una fracción, usando fracciones equivalentes.

Para corroborar tu trabajo podés consultar la información proporcionada en la actividad que sigue. Revisala juntocon el docente para ir comprobando qué es lo que ya sabés y qué es lo nuevo que tenés que aprender.

2. ¿Cómo darse cuenta cuando dos fracciones son equivalentes?

Para decidir si dos fracciones son equivalentes se puede hacer uso de la siguiente regla: Multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número seobtienen fracciones equivalentes.

a) Leé el siguiente texto.

1. A veces, el numerador y el denominador de una de las fracciones puede obtenerse multiplicandoo dividiendo el numerador y el denominador de la otra por un mismo número.

Por ejemplo:

, entonces es equivalente a .

; entonces es equivalente a .52

31536

156 =:

:= 52

31536

156 =:

:=52

31536

156 =:

:=42

2221

21 =×

×= 42

2221

21 =×

×=42

2221

21 =×

×=

129–4

3–204

51

42

21

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 2

26

-1 0 1R Q N MP


2. En todos los pares de fracciones puede explorarse la equivalencia haciendo las siguientes operaciones:• multiplicar los denominadores entre sí para obtener un denominador común;• multiplicar cada numerador por el mismo número que se usó para multiplicar su denominador;• comparar los resultados; si se obtiene la misma fracción, las fracciones originales son equivalentes.

Por ejemplo, explorar .

Producto de los denominadores 12 y 15 = 180.

Entonces es equivalente a y su expresión decimal es 0,666…

3. A toda una familia de fracciones equivalentes le corresponde una única expresión decimal, comomuestra este ejemplo: .

4. Dos fracciones de distinto signo, por ejemplo , no pueden ser equivalentes; una esta-rá a la derecha del cero y la otra a la izquierda:

• Una fracción indica el cociente entre dos números enteros.

• El denominador de una fracción no puede ser cero.

Después de resolver estas actividades habrás visto que, además de los naturales y los enteros, exis-te otro tipo de números a los que llamamos números racionales.

Estos números indican un conjunto de fracciones equivalentes y se representan sobre la rectanumérica de tal modo que a un mismo punto le corresponden infinitas fracciones pero un solonúmero racional.

Por ejemplo: 5 pertenece al conjunto de los números naturales y por eso sirve para contar. En elmismo punto representamos el +5 que pertenece al conjunto de los enteros; es decir, está orientadoen un cierto sentido con respecto a los demás números. La expresión + también se representa enel mismo punto que el natural 5 y es un número racional; está orientado y le corresponde el mismopunto que al entero +5 ya que es equivalente a una colección de fracciones ( , ...) cuyaexpresión más simple es 5.

De igual forma, –2 es entero, y en consecuencia, como número racional, equivalente a la familiade fracciones, – 2

4 = 48 = …–

210 ; 4

20

210 ; 4

20

2821

43 −y

75,02821

43 ==

1510

128 y15

10128 y

180120

1512158 =×

× y 12151210

×× = 180

120

1510

128 y


M 2

27

–1 0 12821

43–


Un número racional representa toda la clase de fracciones equivalentes a una dada. Habrás vistoque a dos puntos simétricos respecto de 0 les corresponden dos números racionales que llamamosopuestos.

b) Dibujá una recta numérica como esta y marcá, además del 0 y del punto P, el punto simétrico de P conrespecto a 0. Llamálo P’.

–1 P 0 1

1. ¿Qué número racional corresponde a P? ¿y a P’?

2. Indicá los números racionales P y P’ con una serie de fracciones equivalentes.

3. Escribí alguna expresión decimal exacta o aproximada que corresponda a P y otra, que correspon-da a P´.

4. Comentá con tu docente tus respuestas.

En este primer tema viste de qué se tratan los números racionales trabajando con conjuntos de fracciones equi-valentes y también qué son los números opuestos usando la recta numérica. En las próximas dos actividades vasa estudiar algunas características de los números racionales, a partir de tener presentes las características que yaconocés de los números enteros. Comenzarás en el próximo tema a decidir cuándo un número racional es mayor,menor o igual que otro.Como estás más o menos en la mitad de esta unidad, consultá con tu docente cómo usar el tiempo para la tareaque te queda por resolver.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 2

28

–3 –2 –1 0 1 2

1–3

3–2 = 0,6

10 1,5

2–6

3–9

4–12

6–4

12–8

15–10

20

30

23

46

2–3

–1,5

4–6


3. El orden en los números racionales

Como ya sabés, el conjunto de los números enteros es un conjunto ordenado. Este nuevo conjunto queacabás de explorar, el de los racionales, ¿también estará ordenado como el de los enteros?

a) Anotá en tu carpeta cuál es la mayor temperatura registrada y cuál es la menor de las encontradas enla consigna a de la actividad 1.

Temperatura mayor. . . . . . . . . . ; ¿dónde se registró?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Temperatura menor. . . . . . . . . . ; ¿dónde se registró?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) En una representación de las temperaturas sobre la recta numérica, si nos trasladamos de izquierda aderecha, ¿las temperaturas aumentan o disminuyen? Respondé en tu carpeta y explicá por qué.

c) Copiá los siguientes pares de números y escribí el signo que corresponde. (Recordá que “<” se lee“es menor que”, “>” se lee “es mayor que”.)

3,5 ºC ……… –6 ºC –2,7 ºC ……… 0 ºC

1,5 ºC ……… 0,5 ºC –0,5 ºC ……… -1.5

d) En el ejemplo de la consigna a de la actividad 1 se pueden ordenar los puntos geográficos desde el queestá a mayor profundidad hasta el que está a más altura. Su representación se puede hacer en una rectanumérica. Construí una que te ayude a decidir si las siguientes desigualdades son falsas o verdaderas.

1. Escribilas en tu carpeta poniendo en el recuadro F (falso) o V (verdadero) según corresponda.

–1,5 km > 0,495 km 0,495 km < 0 km

1,5 km < –3,8 km –3,8 km > –0,150 km

La representación en la recta numérica muestra que todos los números racionales están ordenados.Podemos concluir que:

El conjunto de los números racionales es un conjunto ordenado.


M 2

29

TEMA 2: CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS RACIONALES


4. Ordenando racionales

a) Aplicá lo que has aprendido resolviendo en tu carpeta los siguientes ejercicios. Copiá y completá con<, > o = según corresponda.

b) Escribí las siguientes expresiones completando cada afirmación con un número racional de modo queresulte verdadera.

1. ¿Cuántos números racionales podés elegir en cada caso? (Recordá que dos fracciones equivalentesde distinta escritura indican el mismo número racional.) Respondé caso por caso.

En los temas 1 y 2 de esta unidad conociste el conjunto de los números racionales y también cómo estáordenado. En el tema siguiente verás cómo se considera el valor absoluto de los números racionales, y luego,aplicando esta noción, aprenderás a resolver operaciones de suma y resta entre ellos.

5. ¿Cómo saber el valor absoluto de un número racional?

Una noción importante respecto de los números racionales es la de valor absoluto. En la unidad 1 traba-jaste con el valor absoluto de los números enteros como una forma que indica la distancia entre un núme-ro y el 0 sobre la recta numérica. Hablar de distancia es hablar de una medida de longitud que es siemprepositiva.

En la unidad anterior aprendiste a distinguir la función del valor absoluto de los números enteros desu correspondiente signo. En esta oportunidad verás cómo funciona esto en el campo de los númerosracionales.

–7, 1 < < 0

34 > < 0,5

–5 = = 1

…………

…………

…………

…………

…………

…………

51 . . . . . . . . . . . .. 0,2

730 4

51

43

39 –1,5. . . . . . . . . . . ..

. . . . . . . . . . . ..

. . . . . . . . . . . ..

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 2

30

TEMA 3: VALOR ABSOLUTO Y OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES


a) Observá la figura y respondé en tu carpeta: ¿cuál es la distancia al punto 0 de cada uno de los siguien-tes puntos: A, B, C, D, E?

Para representar simbólicamente el valor absoluto de x se usa ıxı.Por ejemplo: valor absoluto de 3 se anota ı3ı y, como su valor es 3, se escribe ı3ı = 3; valor abso-luto de –3 se anota ı–3ı y, como su valor es 3 se escribe ı–3ı = 3.

6. Sumar y restar números racionales

En la unidad 1 aprendiste a sumar y restar números enteros. Ahora podrás resolver estas operaciones connúmeros racionales. En el caso particular de la resta, recordá que se considera como la suma del minuendoy el opuesto del sustraendo.

a) Copiá en tu carpeta un cuadro como el que sigue y completalo.

1. Fijate que a y b tienen los valores indicados en las primeras columnas. Para completar la última filaelegí vos un valor.


M 2

31

a b a + b a – b –b a + (–b)–2 5

2 –5

–2 –5

5 –2

–5 –2

–2 –5

3,4 1,8

–3,4 1,8

3,4 –1,8

–3,481 –

031 –

031 –

31 – 0

31 –

31 –

0 1–3 –2 –1

D EA B3

–2,254

–5

C

21 2

2,253,5


b) Observá el cuadro y respondé en tu carpeta:

1. ¿Qué operación da siempre el mismo resultado que a – b?

2. ¿Cuál es el resultado de sumar 0 a un número racional?

3. ¿Cuál es el resultado de una resta en la que el minuendo es 0?

4. ¿Cuál es el resultado de una resta en la que el sustraendo es 0?

c) Buscá los casos del cuadro en los que los dos números racionales a y b cumplan con la condiciónenunciada:

• tienen distinto signo,

• el valor absoluto del positivo es mayor que el valor absoluto del negativo.

1. Anotalas en un cuadro como el que sigue en tu carpeta; si quedan filas en blanco completalas inven-tando otros ejemplos que cumplan las condiciones indicadas.

2. ¿Cuál es el signo de la suma?

3. ¿Qué relación hay entre los valores absolutos de la suma y los de los sumandos?

d) Buscá los casos del primer cuadro en el que los dos números racionales cumplan con la condiciónenunciada:

• tienen distinto signo,

• el valor absoluto del positivo es menor que el valor absoluto del negativo.

e) Construí una tabla como la anterior y respondé las mismas preguntas de los puntos 2 y 3 de la consigna c.

f) Observá todos los casos del cuadro en que los dos números tienen signo positivo y analizá qué signotiene la suma y cómo se relaciona el valor absoluto de la suma con los valores absolutos de los suman-dos. Anotá tus observaciones en la carpeta.

g) Hacé lo mismo con todos los casos del cuadro que construiste en los que los dos números tienensigno negativo.

h) Compará tus anotaciones con las informaciones que siguen y conversá con tu docente sobre lo queobserves.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 2

32

a ıaı Sg a b ıbı Sg b a + b ıa + bı Sg (a + b)


Para restar dos números racionales a – b se puede hacer la suma: a + opuesto de b.

En símbolos a – b = a + (–b).

Por ejemplo –3,4 – 1,8 = –3,4 + (–1,8) = –5,2.

3,4 – (–1,8) = 3,4 + 1,8 = 5,2.

Así, la resta es la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo y resultan válidas las propie-dades de la suma.

Hasta aquí estuviste explorando los procedimientos para resolver operaciones de adición y sustracción de números raciona-les. A continuación encontrarás algunas conclusiones sobre los resultados de las operaciones que hiciste. Volvé a mirarlas ypensá en los ejemplos a medida que vayas leyendo las conclusiones, para que te queden más claras cada una de ellas.

Conclusiones sobre los resultados de la suma de números racionales: • Caso de dos números positivos: el resultado es positivo y el valor absoluto de la suma es la suma

de los valores absolutos de los sumandos.Ejemplo: 3,4 + 1,8 = 5,2 y ı3,4 + 1,8ı = ı3,4ı + ı1,8ı.• Caso de dos números negativos: el resultado es negativo y el valor absoluto de la suma es la

suma de los valores absolutos de los sumandos.Ejemplo: –3 + –5 = –8 y ı–3 + –5ı = ı–3ı + ı–5ı.• Caso de dos números de distinto signo y tales que el valor absoluto del positivo es mayor

que el del negativo: el resultado es positivo y el valor absoluto de la suma es la diferencia del valorabsoluto del positivo menos el valor absoluto del negativo.

Ejemplo: –3 + 5 = 2 y ı–3 + 5ı = ı5ı – ı–3ı.• Caso de dos números de distinto signo y tales que el valor absoluto del positivo es menor

que el del negativo: el resultado es negativo y el valor absoluto de la suma es la diferencia del valorabsoluto del negativo menos el valor absoluto del positivo.

Ejemplo: –3,4 + 1,8 = –1,6 y ı–3,4 + 1,8ı = ı–3,4ı – ı1,8ı.

Para finalizarA partir de la revisión de las características del conjunto de los enteros que viste en la unidad anterior, en

esta unidad ampliaste tu conocimiento acerca de los campos numéricos estudiando los números raciona-les. Seguramente, la representación de los números racionales sobre la recta numérica te ha facilitadovisualizar que a un número racional le corresponde una colección de fracciones equivalentes que se ubi-can en un único punto de la recta. Cuando se trabaja sobre la recta numérica también las relaciones deorden entre los números de este conjunto se ven facilitadas porque los racionales negativos se ubican a laizquierda del cero y los positivos, a la derecha. La distancia de un número racional al punto cero es su valorabsoluto y por tratarse de una distancia es siempre positivo.

En esta unidad analizaste con mayor detenimiento las operaciones de adición y sustracción entre losnúmeros racionales.

En la unidad siguiente trabajarás sobre las operaciones de multiplicación, potenciación y radicación.

Como al finalizar cada unidad de trabajo, aquí van algunas situaciones interesantes para que las resuelvas comoun “desafío matemático”. Conversá con tu docente acerca de la conveniencia de resolver todos o algunos de lossiguientes desafíos matemáticos en tu casa o en la escuela.


M 2

33



MATEMÁTICA 2

UNIDAD 2

34

1. El número desconocido

Si A 0 3 C es un número de cuatro cifras y sabemos que es múltiplo de 6 pero no de 18, determinálos posibles valores de ese número. ¿Será ese número múltiplo de 9? ¿Y de 3? Justificá tus respuestas.

2. La herencia del campesino

Un campesino tenía tres hijos, y toda sufortuna la constituían 11 ovejas. Un díallamó a sus tres hijos para repartir esos ani-males. Al mayor le dijo que le daba la mitadde las ovejas; al segundo, que le daba lacuarta parte del rebaño, y al menor, sólo lasexta parte. Los hijos extrañados vieronque no se podía cumplir con el pedido desu padre. Fue entonces que un vecino aña-dió una oveja para que en total fueran 12 yasí pudiera repartirlas. ¿Podés indicar qué sucedió y cuántas ovejasrecibió cada uno?

3. Una relación matemática

En vinculación con el problema anterior te informamos que hay una relación matemática que dice quetodo número es igual a la suma de su mitad más su tercera y su sexta partes. Elegí un número y comprobácon él si esta relación se verifica. Luego probá si esa relación te sirve para conocer la cantidad de ovejasque le tocó a cada uno de los hijos del campesino.

4. Los hermanos de Marcelo

Cuando a Marcelo le preguntaron cuántos hermanos tenía, respondió de un modo bastante raro: “Notengo muchos, un cuarto de esa cantidad es tres cuartos de hermano”. ¿Podés descubrir cuántos herma-nos tiene Marcelo?


Hasta ahora estudiaste figuras geométricas definiéndolas a partir de determinadas relaciones entre suselementos característicos: puntos, segmentos, ángulos. Pero, ¿alguna vez se te ocurrió pensar que los puntosde una recta, de un cuarto de círculo y de la bisectriz de un ángulo tienen algo en común? La pregunta te puedeparecer extraña porque se refiere a elementos muy diferentes, pero a medida que avances en el estudio deesta unidad podrás comprender un concepto matemático, el de lugar geométrico, que comprende de modogeneral figuras del plano que a primera vista no parecen tener nada en común.

Es probable que nunca antes hayas oído mencionar la expresión lugar geométrico como un contenidomatemático escolar. Se trata de un concepto muy amplio en el que cobran nuevo significado casi todos lostemas de Geometría que viste hasta ahora y, además, te va a permitir definir espacios, gráfica y simbóli-camente, que de otro modo no podrían identificarse con la misma precisión.

Para estudiar lugares geométricos, en esta unidad realizarás actividades relacionadas con figuras formadas porpuntos que cumplen determinadas condiciones referidas a su posición.El lugar geométrico es un concepto cuyo significado y aplicación irás comprendiendo a través de las actividades deesta unidad. Pero como pasa con muchos conceptos generales en Matemática, es conveniente precisar a qué nosreferimos. Por eso, en la primera actividad vas a encontrar la definición de lugar geométrico a partir de un ejemplo,y a continuación las actividades te van a ir guiando hacia un análisis en profundidad para entender sus característi-cas y su utilidad.

Para realizar estas actividades necesitarás útiles de Geometría, tijera, papel en blanco, piolín, algunas chinches.

1. El perro atado

Para definir qué es un lugar geométrico vas a pensar en una situación familiar: si en un terreno rectangularun perro está atado a una estaca con una soga de 8 m de longitud, y la pregunta es cuál es la zona del terre-no por la que el perro puede corretear, indudablemente la respuesta depende del lugar en el que esté la esta-ca. Si se halla sobre el contorno, o en el centro del terreno, o en una esquina, quedarán determinadas distin-tas zonas por las que el perro se podrá mover. En este ejemplo, la condición determina para esas zonas que lospuntos deben estar dentro del terreno y a una distancia de la estaca igual o menor que 8 m. Los puntos quecumplen esa condición constituyen un “lugar geométrico”. La manera de definir la propiedad, en este caso,la distancia a la estaca, determina el lugar geométrico y todos los puntos que la cumplen, es decir, los que estána 8 m o menos, pertenecen a él. Para ayudarte a visualizar esta situación podés dibujarla en tu carpeta. Luegoprofundizarás sobre esta situación y sus posibles soluciones.

Para abordar el “problema del perro atado” realizarás algunas construcciones que te ayuden a comprender queun lugar geométrico es un conjunto de puntos del plano que satisfacen una propiedad determinada.


UNIDAD 16 Lugar geométrico

M 2


a) Trabajá en tu carpeta. Marcá sobre tu hoja un punto O.

1. Dibujá 4 puntos que se encuentren a 3 cm de O y luego respondé las preguntas.

• ¿Hay otros puntos que estén a esa misma distancia de O?

• ¿Podés usar el compás para marcarlos a todos? ¿Por qué?

• ¿Hay algún punto que esté a 3 cm de O y no pertenezca a la circunferencia que dibujaste?

Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran a la misma dis-tancia de otro, llamado centro. Si un punto del plano está a esa misma distancia del centro, enton-ces pertenece a la circunferencia. El radio de la circunferencia es la distancia de cualquiera de lospuntos de la circunferencia al centro.Este enfoque, que define a la circunferencia como un “lugar geométrico”, presta especial atenciónal hecho de que todos los puntos que pertenecen al lugar tienen la misma propiedad y, recíproca-mente, que todo punto que tenga esa propiedad pertenece al lugar.

b) Resolvé el siguiente problema.

Si en un terreno rectangular de 20 m por 40 m se ata un perro a un poste con una soga de 8 mde largo, ¿cuál es la zona del terreno por la que el perro puede corretear?

1. Para resolverlo hacé un croquis a escala para tres posiciones diferentes en las que se puede colocarel poste, por ejemplo:

• en un vértice del terreno,

• sobre uno de los lados del terreno,

• en el centro del terreno.

2. Describí con tus palabras los lugares geométricos que determinaste en cada caso y luego comparátus croquis con los de tus compañeros.

3. Escriban entre todos un párrafo que dé cuenta de la solución del problema.

c) Copiá en tu carpeta la siguiente observación debajo del párrafo anterior.

Establecida una condición referida a distancias, se llama lugar geométrico a la figura cuyos pun-tos cumplen con la condición dada y, a la vez, si un punto cumple con la condición, ese punto per-tenece al lugar geométrico.

d) Ahora que ya sabés qué es un lugar geométrico, vas a aplicar ese concepto a la definición de figurasque ya estudiaste. Los siguientes listados se refieren a lugares geométricos que ya conocés. Están desor-denados. Copiá en tu carpeta cada definición completándola como corresponde e ilustrá cada una conuna construcción apropiada.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 16

186


En las actividades que siguen vas a aplicar el concepto de lugar geométrico a situaciones de la vida cotidiana. Debésusar los útiles de Geometría con la mayor precisión posible.

2. Lugares geométricos en espacios reales

a) Teniendo en cuenta el siguiente problema, realizá lo que se indica.

Los alumnos de una escuela han decidido ubicar una planta en una maceta para observarla en elrincón de ciencias. Para que reciba suficiente luz, la pueden colocar hasta a 2 m de distancia de laventana. El siguiente es el plano del aula:

Escala: 1,5 cm = 1 m

1. Copiá el dibujo en tu carpeta y resolvé el problema gráficamente.

2. Sombreá la zona en la que los chicos pueden colocar la planta.

3. Dibujala con la mayor precisión posible.

4. Describí el lugar geométrico que queda determinado.


M 2

187

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento…

…es la base media.

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de uno llamado centro…

…es la bisectriz.

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados de un ángulo…

…es la mediatriz.

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados opuestos de un rectángulo…

…es una circunferencia.

ventana puerta


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 16

188

b) Buscá la solución para el siguiente problema.

¿Dónde debe colocarse una antena para que esté a la misma distancia de las rutas provinciales 23,35 y 18, que unen los tres pueblos A, B y C representados en el esquema?

• Copiá el dibujo en tu carpeta y resolvé el problema gráficamente. Dibujá con la mayor precisión posible.

• Explicá detalladamente cómo resolviste el problema y describí el lugar geométrico que quedódeterminado.

c) ¿En qué punto de una ruta hay que ubicar una estación de servicio de modo que se encuentre a lamisma distancia de los pueblos A y B?

A

Ruta 18

Ruta 23

Ruta

35

B

C

A x

B x

Ruta


1. Copiá el dibujo en tu carpeta y resolvelo gráficamente. Dibujá con precisión.

2. Explicá en detalle cómo resolviste el problema y describí el lugar geométrico que quedó determinado.

3. Otros problemas con lugares geométricos

a) Resolvé la siguiente situación.

Juan está dibujando un plano en un papel rectangular de 12 cm de largo por 8 cm de ancho. A cadavértice le puso un nombre, A, B, C y D. Juan dibujó el lugar geométrico de los puntos que están ala misma distancia de AD que de BC. Luego, dibujó el lugar geométrico de los puntos queestán a la misma distancia de AB que de AD.

1. Dibujá el rectángulo, con una escala adecuada.

2. Mostrá los dibujos que hizo Juan. Describí los lugares geométricos que determinó con susdibujos.

3. Indicá con color, claramente, el punto P del rectángulo ABCD que equidista de los lados AB,AD y BC y respondé:

• El punto P ¿equidista de todos los vértices del rectángulo? ¿Por qué?

4. Medí AP y escribí su medida aproximada al milímetro. Comparala con la mitad de unadiagonal de ABCD.

5. El punto de intersección de las diagonales ¿a qué lugares geométricos pertenece?

b) Dibujá un rectángulo ABCD, de 8 cm . 12 cm.

1. Marcá el lugar geométrico de los puntos que están a 5 cm del punto D.

2. Señalá el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia del lado AB que del lado DC.

3. Sombreá el lugar geométrico que contiene los puntos que están a más de 5 cm de D y más cerca deDC que de AB.

4. Nombrá un punto del rectángulo que no pertenezca a ese lugar geométrico y explicá por qué noposee la propiedad característica de ese lugar.

c) Trazá una circunferencia y luego un segmento tangente a la circunferencia de modo que su puntomedio sea el punto de tangencia.

1. Hallá el lugar geométrico de los extremos de los segmentos que cumplen la misma condición de tan-gencia y tienen igual longitud que el segmento que dibujaste.

2. Explicá paso a paso cómo resolviste el problema y describí el lugar geométrico que quedó determinado.


M 2

189


A través de las actividades que realizaste pudiste vincular muchos conocimientos de Geometría que ya poseías conproblemas que se presentan en la vida real y con otros nuevos problemas geométricos. Ahora leé la sección “Parafinalizar” para estar seguro de haber comprendido todos los conceptos.

Para finalizarEn esta unidad aprendiste que un lugar geométrico es un conjunto de puntos del plano que satisfacen

una propiedad determinada. Por lo tanto, si L es un lugar geométrico definido por la propiedad P, se veri-fica que:

• Todo punto de L posee la propiedad P.• Todo punto que posee la propiedad P pertenece a L.La segunda condición se puede sustituir por otra expresión equivalente:• Todo punto que no pertenece a L no posee la propiedad P.

Establecida una propiedad y para determinar cuál es el lugar geométrico, esto es, cuál es el conjunto depuntos que satisface esa propiedad, juega un rol muy importante la construcción con útiles de Geometría.Para solucionar problemas referidos a lugares geométricos, tené presente siempre realizar la tarea con lasiguiente secuencia:

1. Comprender bien la condición que se debe satisfacer.2. Trazar cuatro o cinco puntos que satisfacen esa condición.3. Predecir la figura geométrica cuyos puntos satisfacen la condición.4. Constatar si esa predicción es verdadera o no.5. Restringir, si fuera necesario, la figura encontrada a las condiciones del problema; por ejemplo, limi-tar la recta a un segmento o la circunferencia, a un arco.

La aplicación de esta secuencia te habrá permitido encontrar, por ejemplo, que el lugar geométrico delos extremos de los segmentos de igual longitud que son tangentes a una circunferencia es otra circunfe-rencia exterior que tiene el mismo centro.

Con esta unidad termina tu trabajo con los temas del Cuaderno de estudio 2; muchos de ellos se reto-marán en el Cuaderno de estudio 3 para que, sobre la base de lo que ya sabés, puedas ampliar tus conoci-mientos de Matemática y así comprender y explicar mejor el mundo que te rodea, encontrar soluciones aproblemas prácticos que tengas que resolver y mejorar tu capacidad para comunicar situaciones en lenguajesimbólico.

A continuación, podrás resolver los últimos desafíos de este año. Volverás sobre lugares geométricos y tam-bién encontrarás juegos con números y letras.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 16

190



1. El gatoUna escalera está situada sobre el piso, apoyada en la pared y se desliza hacia abajo. ¿Por qué línea semueve el gato sentado en el centro de la escalera? El esquema muestra los apoyos A en la pared, B en el suelo y la posición G del gato. El desafío consisteen encontrar la trayectoria del gato.

2. TriángulosConsiderá un segmento AB de 4,5 cm. Dibujá un punto R tal que el triángulo ARB tenga área 9 cm2; ¿cuáles el lugar geométrico de los puntos que cumplen con esa condición?

3. Un juego con númerosEste es un juego para jugar con un amigo. Cada uno escribirá en un papel, sin que el otro lo vea, un númerode 4 cifras diferentes (del 0 al 9) en cualquier orden. El objetivo del juego es descubrir el número que escribióel otro. El jugador que empieza intenta adivinar y dice, o escribe, un número de 4 cifras. Si acierta alguna de lascifras en el lugar en que está, el oponente le contesta “1 (2, 3 o 4) bien”; si alguna cifra está, pero en otra posi-ción, le dirá “1(2, 3 o 4) regular”. Si no hubiera acertado ningún número, le dirá “todos mal”. Los jugadoressiguen escribiendo, a su turno, números de 4 cifras hasta que alguno tenga “todos bien”.

El juego termina cuando uno de los dos acierta el número del otro, pero tengan en cuenta que si aciertael que empezó primero, el segundo tiene todavía un turno y puede empatar.


M 2

191

A

G

B



M 2

35

La potenciación es una operación que permite escribir de manera abreviada una multiplicación defactores iguales. En el desarrollo de esta unidad vas a trabajar con potencias estudiando sus elementos—la base y el exponente— sus propiedades y las situaciones en las que es necesario encontrar la ope-ración inversa, es decir, la radicación. Observarás también que esas propiedades son la base de lanotación que se usa para escribir números muy grandes o muy pequeños.

En esta unidad se desarrollan tres temas; consultá con tu docente para ver cómo te vas a organizar en el tiem-po para resolver las actividades correspondientes a cada uno. Si disponés de una calculadora, su uso te hará más fácil la tarea y podrás hacer muchos cálculos más rápida-mente. Al final, como en todas las unidades, vas a encontrar un apartado con desafíos matemáticos para quete entretengas y al mismo tiempo desarrolles tu creatividad.

En esta primera actividad vas a trabajar con la potenciación aplicada a números enteros y racionales,negativos y positivos, y en la actividad 2 analizarás las propiedades de esta operación.

1. Potenciación con exponente natural

En muchos casos es útil emplear los llamados diagramas arbolares para contar elementos sin escribirlosuno por uno. Para realizar esos diagramas, los matemáticos se inspiraron en la naturaleza, en la disposi-ción de las ramas de los árboles a partir del tronco y luego de las hojas y de las flores:

• La disposición de las flores es una característica de cada especie; la de algunas plantas constituyenuna inflorescencia que es un sistema de ramificación cuyos vástagos terminan en flores.

UNIDAD 3 Potenciación y radicación.Notación científica

TEMA 1: LA POTENCIACIÓN


a) Observá el siguiente esquema que corresponde a una inflorescencia.

b) Respondé: ¿qué cálculo te permite encontrar fácilmente el número de flores de la inflorescencia?

El cálculo 2 x 2 x 2 x 2 x 2 puede abreviarse usando la operación de potenciación. En símbolos seescribe 25 donde 2 es la base y 5, el exponente. El resultado de la operación es 32 y se llama poten-cia. El exponente indica el número de veces que se multiplica la base por sí misma.

c) Copiá este cuadro en tu carpeta y completalo con la expresión que es equivalente a cada potenciacióny su resultado.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 3

36

Una de las aplicaciones más interesantes de la potenciación es el cálculo del área de un cuadrado,conocido el lado.

Potenciación Multiplicación Resultado

(–6)5 (–6) (–6) (–6)(–6) (–6) –7776

(–0,5)2

3

52

−

54 . −

54 . −

54 . −

54

(3,6) . (3,6) . (3,6)

81



M 2

37

d) Mirá las figuras y realizá la consigna que está a continuación:

1. La siguiente tabla te permitirá observar cómo varían el área y el perímetro de un cuadrado al variarla longitud de su lado. Copiala y completá en tu carpeta los valores de las columnas de área y períme-tro para cada una de las medidas del lado de la primera columna.

e) Reflexionando en la relación de los valores de la tabla, respondé:

1. ¿Entre qué números enteros está la medida del lado de un cuadrado de área 72,25?

2. Si el lado del cuadrado mide n, ¿cuál es el área? y ¿cuál es el perímetro?

Lado (cm) Área (cm2) Perímetro (cm)

1 1 4

2

3

4

5

6

7

8

9

10


3. Y si el lado se duplica, es decir, si el lado mide 2n, ¿cuál es el área? y ¿cuál es el perímetro?

4. La relación lado - perímetro, ¿es de proporcionalidad directa? ¿Por que?

5. Y la relación lado - área, ¿es proporcional? ¿Por qué?

f) Construí en tu carpeta la siguiente tabla con las primeras seis potencias de los números del 1 al 10 ycompletála. Si tenés una calculadora, podés usarla.

Para resolver operaciones combinadas es necesario incluir la potenciación en el orden jerárquicode las operaciones y respetar que: - Siempre rige la regla de que los paréntesis separan operaciones que deben ser resueltas previamente.

Si no hay paréntesis:- Las sumas y restas separan más que las multiplicaciones y divisiones.- Las multiplicaciones y divisiones separan más que las potenciaciones.

g) Analizá los siguientes cálculos, resolvélos y luego explicá el orden en que los resolviste:

1. 72 + 24 x 54 =

2. (0,3 + 2,8) x 43 + 132 =

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 3

38

Las potencias se leen así: “3 elevado al cuadrado es igual a 9”, “3 elevado al cubo es igual a 27”,“3 elevado a la cuarta es igual a 81”, y así sucesivamente.

1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 1 1

2 2 4

3 3 9 27

4 4 16

5 5 25

6 6 36

7 7 49

8 8 64 262.144

9 9 81

10 10 100 1.000.000

exponente

base



M 2

39

h) Ahora tendrás que copiar y completar en tu carpeta el siguiente cuadro de potencias con base ente-ra y exponente natural. Si disponés de calculadora, usala para encontrar los valores de los casilleros vacíos.En la línea horizontal están escritas las bases y en la vertical, los exponentes.

Por ejemplo: (–2)5 = (–2) . (–2) . (–2) . (–2) . (–2)

= 4 . (–2) . (–2) . (–2)

= (–8) (–2) . (–2)

= 16 . (–2)

= –32

¡Atención! No trabajarás por ahora en el estudio de la potenciación con exponente 0 o exponentesque no sean enteros positivos. El análisis de esas situaciones requiere un estudio más complejo de lapotenciación.

i) Observá los resultados de las potencias con base negativa y respondé:

1. ¿En qué casos son positivos?

2. ¿En qué casos son negativos?

j) Copiá en tu carpeta y completá las siguientes reglas según tus observaciones:

Las potencias de base negativa y exponente par dan resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . Las potencias de base negativa y exponente impar dan resultados . . . . . . . . . . . . . . . .

1 6

5

81 4 81

–8 –1 3 1 8

36 2

1 6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

Exponentes

Bases


2. Las propiedades de la potenciación

a) Copiá y completá en tu carpeta cada una de las siguientes igualdades, poniendo los exponentes quecorresponden para hacerlas verdaderas:

1. (-3)2 . (-3) . (-3)... = (-3)... (-3)... = (-3)4

2.

b) Observen el primer miembro de cada igualdad de la consigna a y respondan.

1. ¿Con qué operación se combina la potenciación?

2. ¿Cómo son las bases de las potencias?

3. ¿Cómo organizaron los exponentes que faltan para obtener la igualdad?

4. Escriban una conclusión sobre el significado de estas igualdades. Si pueden, antes de escribirla en suscarpetas, conversen con sus compañeros sobre las conclusiones que sacaron.

c) Compará el texto que escribiste en el punto anterior con la información dada a continuación y, siencontrás diferencias, con tu docente.

Cuando se multiplican dos o más potencias de igual base, el resultado es una potencia de la mismabase con un exponente que es la suma de los exponentes de los factores. En símbolos: ax . ay . a7 = ax+y+z

Recordá que la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma se expresa:

a (m + n) = a . m + a . n y también: a (m + n) = a m + a n.

La acción de pasar de a (m + n) a su equivalente a . m + a . n se llama distribuir.

La propiedad distributiva del producto sobre la suma permite cambiar el orden de las operaciones y obte-ner el mismo resultado. Vas a considerar si la potenciación es distributiva sobre la suma.

d) Elegí dos números positivos como valores de a y b.

1. Dibujá en tu carpeta un cuadrado de lado (a + b).

2. Recortá en un papel de color un cuadrado de lado a y un cuadrado de lado b.

3. ¿Con qué cálculo se obtiene el área de cada cuadrado? Anotalo sobre cada uno. Por ejemplo, en elcuadrado de lado L hacés la cuenta y anotás: área L2.

63 2 ...

21

21.

21.

21 =

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 3

40

L



M 2

41

A medida que vayas pensando en las consignas siguientes anotá en tu carpeta lo que necesites para terminar deresolverlas.

e) Trabajá con los cuadrados que construiste para ver si juntando los dos cuadrados a2 y b2 cubrís lamisma superficie que con el cuadrado de lado igual a la suma (a + b) o sea (a + b)2.

f) Trabajá con los cuadrados de los números a y b que elegiste como medida de los lados de tus figuraspara efectuar dos operaciones diferentes:

1. Suma de cuadrados. a2 + b2 =

2. Cuadrado de la suma. (a + b)2 =

3. ¿Dan el mismo resultado?

g) ¿Qué relación hay entre la experiencia geométrica y esta comprobación aritmética?

h) Leé la información siguiente y conversá con tus compañeros y con tu docente sobre las conclusiones.

No es lo mismo el cuadrado de la suma de dos números que la suma de sus cuadrados.Ejemplo: 32 + 42 ≠ (3 + 4)2

9 + 16 ≠ 72

ya que 25 ≠ 49Dados dos números cualesquiera a y b no es cierto que a2 + b2 es igual a (a + b)2.

i) Copiá en tu cuaderno y completá cada igualdad para hacerla verdadera poniendo los números quecorrespondan en el lugar de los puntos suspensivos.

23 . 33 = 6...

(-0,2)2 . 42 = (…)2

1. ¿Cómo son los exponentes de las potencias en cada producto?

2. ¿A qué es equivalente el resultado de multiplicar dos o más potencias de igual exponente?

3. Compará tu respuesta con la información que sigue. Si encontrás diferencias, conversá con tu docente.

Cuando se multiplican dos o más potencias con el mismo exponente, el resultado es igual a otrapotencia que tiene:

• como exponente, el mismo de los factores,• como base, el producto de las bases.En símbolos: (a . b . c)x = ax . bx . cx

Esta es la propiedad distributiva de la potenciación sobre el producto.


j) Reunite con tus compañeros para leer el siguiente texto.

Una operación entre dos elementos es conmutativa si cambiando el orden de los elementos se

obtiene el mismo resultado. Por ejemplo, la adición es conmutativa porque a + b = b + a; la mul-

tiplicación es conmutativa porque a . b = b . a; la división no es conmutativa porque .

Cuando en matemática se muestra con un ejemplo que una propiedad no se cumple se lo llama

contraejemplo. En este caso es un contraejemplo que permite afirmar que la división no

es conmutativa.Averiguar si la potenciación es una operación conmutativa o no es lo mismo que preguntarse: ¿se

puede cambiar el orden entre la base y el exponente sin que cambie la potencia? O a través de unejemplo: ¿23 es lo mismo que 32? Y en general, ¿ax es lo mismo que xa? Un contraejemplo permiteafirmar que: La potenciación no es una operación conmutativa. Por no ser una operación conmutativa, la potenciación tiene dos operaciones inversas:

1. Conocida la potencia y el exponente se puede encontrar la base; la operación que permite estabúsqueda es la radicación. Por ejemplo, dada la potencia 8 y el exponente 3, la radicación indi-ca que la base es 2 porque 23 = 8.2. Conocida la potencia y la base se puede encontrar el exponente llamado también logaritmo;la operación que permite encontrarlo es la logaritmación. Por ejemplo, dada la potencia 8 y labase 2, el logaritmo de 8 en base 2 es 3 porque 23 = 8.

De igual modo que en la actividad anterior, en la siguiente vas a tener que seguir algunos razonamientos. En ellos,lo que se explica en cada paso es indispensable para entender el siguiente y todos juntos te llevan a comprenderel concepto que estás estudiando. Para poder seguir el razonamiento sin perderte nada, detenete donde veas quealgo no te quedó claro y volvé a leer, hacé todas las cuentas, esquemas, gráficos que necesites para darte una ideade lo que se está diciendo con ejemplos y hacé anotaciones en tu carpeta que te sirvan para ir acordándote de lospasos que fuiste siguiendo.

3. ¿Qué es la raíz cuadrada?

Tal como acabás de ver, la consecuencia de que la potenciación no sea una operación conmutativa es quetiene dos operaciones inversas. En la actividad 3 trabajarás sobre una de ellas: la radicación.

a) Leé el siguiente texto.

32 ≠ 2

3

ba ≠ a

b

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 3

42

TEMA 2: LA RADICACIÓN



M 2

43

Si tomamos como punto de partida un número y le aplicamos una operación llegamos a un resul-tado. Para volver al número inicial partiendo del resultado, se aplica la operación inversa.

Aplicar a un número la operación raíz cuadrada consiste en encontrar los dos factores iguales quedan como producto ese número.

La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado, y se indica con el signo .

Aplicar la operación inversa significa obtener como resultado el número primitivo, es decir, elnúmero al que se aplicó la operación directa. Si conocemos el cubo de un número y queremos sabercuál es ese número tenemos que buscar la raíz cúbica, que es la operación inversa de elevar al cubo.Por ejemplo, encontrar la raíz cúbica de 8 es buscar un número n tal que n . n . n = 8. En símbo-los, 3 8= 2.

En 3

8= 2: 8 es el radicando, 3 es el índice, 2 es la raíz y el signo se llama signo radical.

Por ejemplo, si nos dicen que un cuadrado tiene 25 cm2 de superficie y queremos conocer la medida dellado, pensamos cuál es el número que elevado al cuadrado da 25, o sea, 25 y como

25 = 5, el lado del cuadrado mide 5 cm. Aquí 25 es el radicando, y 5, la raíz.

4 16

16 4

+ 12

– 12

4 16

16 4

x 4

÷ 4

42 = 16 y 16 = 4

Númerooriginal

n

Númeroelevado alcuadrado

n2

Númerooriginal

n2 = n


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 3

44

Por convención, el índice 2 no se escribe y en ese caso la raíz cuadrada queda expresada por elsigno radical sin anotar el índice.

Hay números cuyas raíces cuadradas son exactas como 49 = 7 y 100 = 10; a estos númerosse los llama cuadrados perfectos. Podés ver cuáles son algunos cuadrados perfectos en la tabla depotencias que completaste en la actividad 1, ítem d.

Para los números que no son cuadrados perfectos se puede encontrar una raíz cuadrada aproxi-mada. Por ejemplo, si lo que buscamos es la 40, es decir, el lado de un cuadrado cuya área sea 40,no hay ningún número entero que elevado al cuadrado dé 40. Sin embargo –siempre que se traba-je con las mismas unidades de medida– sabemos que un cuadrado de área 40 es más grande que unode área 36 y más pequeño que otro de área 49. Luego podemos ordenar los lados de los tres cua-drados de la misma manera que sus áreas. Es decir que, como el cuadrado de área 36 es menor queel cuadrado de área 40, y que este es menor que el cuadrado de área 49, entonces el lado del cua-drado de área 36 es menor que el lado del cuadrado de área 40, y que este es menor que el lado delcuadrado de área 49.

En símbolos: cuadrado de área 36 < cuadrado de área 40 < cuadrado de área 49

6 < lado del cuadrado de área 40 < 7

6 < 40 < 7

De este modo no se obtiene un valor exacto pero sí aproximado. Si tenés oportunidad de usar unacalculadora podés encontrar que 6,3 < 40 < 6,4 y seguir aproximando.

b) Resolvé en tu carpeta:

c) Dibujá un cuadrado de 45 mm de lado; si es posible usá papel milimetrado.

1. Calculá su área.

2. Comprobá el resultado con el dibujo que hiciste.

3. Escribí las operaciones que permiten obtener para este cuadrado:

• el área, conociendo el lado;

• el lado, conociendo el área.

= 2 porque 23

= 8

= .... porque ....

= .... porque ....

3

83

1253

16

= .... porque ....

= .... porque ....

4

81

144

12.... < < ....

•

•

•

•

•

•


4. Números muy grandes o muy chicos

a) En algunas ocasiones expresar un número puede presentar dificultades por tener una gran cantidadde cifras, ya sea por ser muy grande, como la distancia entre planetas, o muy pequeño, como las medidasmicroscópicas. En el siguiente texto se explica cómo los científicos expresan esos números.

Las potencias de 10 permiten escribir números con su valor exacto o aproximado, en la modalidaddenominada notación científica.

Así, el radio de la Tierra se indica con 6,37 . 106 metros; si hacemos los cálculos resulta: 6,37 . 1.000.000 metros = 6.370.000 metros

El exponente:• positivo, indica el número de ceros escritos a la derecha de 1;• negativo, indica el número de ceros escritos a la izquierda de 1.

En la notación científica, un número se expresa con una sola cifra en la parte entera y hastados cifras en la parte decimal, multiplicado por la potencia de 10 correspondiente.

b) Escribí en tu carpeta usando notación científica:

1. Treinta mil millones de pesos.

2. La distancia de la Tierra a la Luna que es aproximadamente 60 veces el radio de la Tierra.

3. La distancia del Sol a la Tierra que es aproximadamente 149.000.000.000 metros. Expresala en kiló-metros.

4. La milésima parte de un mes.

5. La razón entre el peso de un virus que es 10–21 kg y el de un niño de un año que pesa 8 kilogramos.


M 2

45

TEMA 3: NOTACIÓN CIENTÍFICA

10.000

104

1000

103

100

102

10

101

1

100

0,1

10–1

0,01

10–2

0,001

10–3

0,0001

10–4


Para finalizarEn esta unidad estudiaste dos operaciones: la potenciación, como operación directa, y la radicación,

como la inversa de la potenciación que permite hallar la base conociendo el exponente y la potencia.Aprendiste que hay propiedades que tienen validez en algunas operaciones y no tienen sentido en otras;

por ejemplo, tiene sentido la distributividad de la multiplicación con respecto a la suma y la resta, pero noocurre lo mismo con la potenciación ni la radicación.

Para expresar números que por ser muy grandes o muy pequeños requieren muchas cifras en su escri-tura en el sistema decimal se usa la notación científica, que muchas veces aparece en las calculadoras ycomputadoras.

Tanto la potenciación como la radicación se emplean para resolver problemas geométricos y calcularmedidas de superficies y volúmenes.

A continuación van algunos desafíos matemáticos para que los resuelvas, acordando previamente con tudocente cuándo y dónde realizarlos.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 3

46


1. Balas como naranjas

En el siglo XVIII, las balas de cañón eran esféricas y se apilaban formando pirámides de base triangular ocuadrada, como se hace hoy con las naranjas en los mercados. En un regimiento de artillería tenían susbalas formando una pirámide. Una tormenta empapó las balas y el coronel ordenó colocarlas en el suelopara secarlas. Cuando lo hicieron formaban un cuadrado perfecto. ¿Cuántas balas había? ¿Cómo era lapirámide?, ¿cuántos pisos tenía?

2. ¿Será cierto?

Si los enteros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ..., se elevan al cuadrado, se obtiene 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,81, y se observa la siguiente ley:

3. Un problema para pensar

Veamos un ejemplo de la utilidad de la “notación científica”: es un problema en el que se puede pensar ycalcular pero, si tuviéramos una hoja de papel suficientemente grande, ¿se podría efectuar la solución enla práctica?

Supongamos una hoja de papel muy fino, papel de seda, de un grosor de tan solo un milésimo de centí-metro. Si la dobláramos 4 veces, tomando siempre la hoja plegada por los dobleces que ya hicimos; el gro-sor del cuadernillo formado sería: 24 = 16 milésimas de cm. Si la dobláramos 10 veces; el grosor del cua-dernillo formado sería: 210 = 1024 milésimas de cm = 1 cm aproximadamente. Si el número de veces quela dobláramos fueran 17: 217 = 131 072 milésimas de cm = 1,31 m. Si pudiéramos doblarla 27 veces:227 = 134 217 728 milésimas de cm = 1342 m.Y puestos a imaginar, si pudiéramos hacerle sucesivamente 50 dobleces a la hoja de papel de seda, la pilade papel obtenida alcanzaría una altura sorprendente: 250 = 1 125 899 906 842 624 milésimas de cm = 11258 999 068 m. ¡Más de 11 millones de kilómetros!¿Se podría practicar esa cantidad de dobleces?


M 2

47


La cifra de las unidades de estos cuadrados forman un período simétrico:

0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0


4. El calendarioSe trata de sumar los nueve números contenidos en un cuadrado seleccionado en el calendario, solo conque nos digan el número menor del cuadrado.

En este caso se trata del número 7.

Para averiguar la suma, debemos sumar 8 al número menor que nos dieron y después multiplicar por 9:(7 + 8) . 9 = 135.

Esta “receta” ¿vale para cualquier cuadrado de nueve números en el calendario de cualquier año y de cual-quier mes? ¿Por qué?

5. Un panal de rica mielPara almacenar la miel, las abejas construyen sus panales con celdas individuales, que forman un mosaicohomogéneo sin huecos desaprovechados. Eso se puede conseguir con celdas triangulares, cuadradas yhexagonales.

Veamos cuáles son las superficies de un triángulo, un cuadrado, un hexágono y un círculo, todos de igual perí-metro: 12 cm:

La opción empleada por las abejas es la más favorable por ofrecer mayor superficie con igualdad de perí-metro sin dejar huecos entre celdas. ¿Cuál es esa opción? ¿Por qué?

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 3

48

Lu Ma Mi Ju Vi Sa Do

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31


En esta unidad y la siguiente vas a conocer algunas nociones matemáticas que te permitirán relacionardatos para hacer predicciones sobre diferentes fenómenos.

El tema de esta unidad, la combinatoria, es el estudio de todas las formas en que pueden presentarse loselementos, es decir, las variables que intervienen en un mismo fenómeno, caso o problema. Por ejemplo,cómo hacer para saber de cuántas maneras diferentes se pueden acomodar 8 libros en un estante o cuán-tas comisiones diferentes de 3 alumnos se pueden formar con 4 niñas y 3 varones si en cada una debe haberpor lo menos una niña y un varón son problemas de los que se ocupa la combinatoria.

En esta unidad aprenderás algunas estrategias para contar fácilmente el número de resultados posiblesde experimentos como los de los ejemplos, en los que se combinan más de una variable. Para introducirteen el tema, analizarás el caso de una familia que está dispuesta a comenzar un negocio.

1. Organizar la información, un primer paso

En esta actividad trabajarás sobre cómo organizar los datos de un problema para obtener las soluciones.

a) Leé con tus compañeros la siguiente situación.

La familia Ocampo ha decidido abrir una casa de comidas sobre la ruta, junto a la estación de servi-cio. Doña Marcela está haciendo cálculos para ofrecer a los clientes la posibilidad de elegir librementeentre 3 platos fríos como entradas, 4 platos calientes y 3 postres. Todos los miembros de la familiaaportan ideas para colaborar con parte del trabajo, atraer clientela y ofrecer un buen servicio. Don José propone colocar un pizarrón con la oferta de un menú compuesto por un plato frío,uno caliente y un postre a muy bajo precio, y agrega que pueden armarse 7 menúes diferentes,uno para cada día de la semana. A los hijos del matrimonio –Leandro, Ariel y Delfina– les pareceuna buena idea pero creen que pueden armar más de 7 menúes diferentes con la misma cantidadde platos.

1. Discutan entre ustedes cómo podrían ayudar a los Ocampo en el cálculo de cuántos menúes dife-rentes compuestos por una entrada, un plato caliente y un postre se pueden ofrecer si cuentan con 3entradas, 4 platos calientes y 3 postres. Escriban las opciones que vayan encontrando.


UNIDAD 4 Combinatoria y estrategias de conteo

CN 2

TEMA 1: COMBINACIONES


2. Después de haber intercambiado ideas entre ustedes, lean qué hicieron los hermanos Ocampo.

Leandro escribió en un papel:

Luego dibujó algunos trazos para ayudarse a buscar las combinaciones posibles:

Y dijo: “Esto es muy complicado, pero ¡hay más que siete menúes!”.

Ariel propuso: “Es mejor organizar las opciones así”

E1 C1 P1 E1 C2 P1 E1 C3 P1 E1 C4 P1

E1 C1 P2 E1 C2 P2 E1 C3 P2 E1 C4 P2

E1 C1 P3 E1 C2 P3 E1 C3 P3 E1 C4 P3

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 4

50

E 1 E 2 E 3

C1 C2 C3 C4

P 1 P 2 P 3

E 1E2

E 3

C1 C2 C3

C4

P 1 P 2P 3


En Matemática, muchas veces es útil representar situaciones haciendo diagramas. Los diagramasson formas de representación mediante esquemas que sirven para organizar una situación matemá-tica, visualizar más fácilmente las relaciones entre sus elementos y facilitar así su resolución.

b) Ahora que conocen cómo organizó el problema cada uno de los chicos, ¿qué procedimiento elegiríanustedes para calcular cuántos menúes diferentes se pueden formar con 3 entradas, 4 platos y 3 postres?Responda cada uno en su carpeta y entre todos escriban un breve comentario explicando cómo lo resol-vieron. Muéstrenselo al docente. ¿Se parece al que discutieran en el apartado 1 de la consigna a?

c) Este esquema corresponde a la solución que propuso Delfina. Analícenlo y expliquen el procedimien-to que lleva a la solución.

En la actividad siguiente vas a explorar las características de los diagramas del tipo que viste aquí y cómo se pue-den obtener fórmulas para calcular combinaciones posibles a partir de ellos. En la unidad 3 ya estuviste trabajan-do con este tipo de diagramas, los diagramas arbolares.


M 2

51

Delfina propuso dibujar un diagrama como este para contar más rápido.


2. Los diagramas arbolares en la combinatoria

Los diagramas arbolares brindan la posibilidad de indicar cómo combinar los elementos de unconjunto con los elementos de otros, sin omitir ni repetir ninguno. Los extremos finales de las ramaspermiten contar el número de combinaciones posibles que difieren por lo menos en un elemento.

a) Analizá este otro ejemplo con la ropa de Javier.

Javier tiene 4 camisas, 2 pantalones y 2 camperas ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir?

Para saberlo, se puede construir un diagrama arbolar como este:

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 4

52

Javier


Ahora, según el diagrama, escribí en números de cuántas maneras diferentes puede vestirse Javier.

b) Resolvé en tu carpeta, dibujando diagramas arbolares, los siguientes problemas.

1. El viaje de la ciudad de Buenos Aires a la de Mar del Plata se puede hacer en avión, en tren oen micro. Cada uno se ofrece en categoría “turista”, “servicio plus” o “servicio ejecutivo”. ¿Decuántas maneras se puede viajar?

2. Para elegir una comisión en la Junta Vecinal se propusieron 4 candidatos para presidente y 2candidatos para secretario. Ninguna persona se propuso para los dos cargos; ¿de cuántas mane-ras diferentes puede hacerse la elección?

3. Para ir desde el pueblo Arsenal hasta Robles se pueden tomar 2 caminos diferentes: uno de tie-rra y otro consolidado. Para ir desde Robles hasta Valdemosa se puede elegir entre 3 carrete-ras: la costera, la de la loma y la autopista. ¿Cuántos trayectos diferentes se pueden recorrerpara ir desde Arsenal hasta Valdemosa pasando por Robles?

c) Compará los diagramas arbolares que hiciste para resolver los problemas anteriores. ¿En qué se pare-cen? ¿En qué se diferencian?

1. En los diagramas, ¿cómo se puede contar el número total de combinaciones posibles? ¿Cómo sepuede calcular ese número?

2. Escribí las respuestas en tu carpeta, comparalas con las de tus compañeros y mostraselas al docente.

En los diagramas arbolares se ve que, para calcular el número de combinaciones posibles entrelos elementos de dos o más conjuntos diferentes, tomados en cierto orden, se multiplica elnúmero de elementos del primer conjunto por el número de elementos del segundo conjun-to y así sucesivamente.Por ejemplo, en el caso de Javier, la respuesta es que se puede vestir de 16 maneras diferentes porque:

4 x 2 x 2 = 16

camisas pantalones camperas combinaciones


M 2

53


Si llamamos n1 al número de maneras diferentes en que se puede hacer una elección, y a conti-nuación se puede realizar otra elección de n2 maneras distintas, entonces las dos elecciones com-binadas dan n1 • n2 combinaciones diferentes.

En símbolos:n1

. n2. n3 = C donde n1 es el número de elementos del primer conjunto,

n2 es el número de elementos del segundo, n3 es el número de elementos del tercero y C es el número de combinaciones posibles.

En estas actividades trabajaste combinando los elementos de distintos conjuntos (entradas - platos - postres:3 . 4 . 3) (remeras - pantalones - camperas: 4 . 2 . 2) (medios de transporte-categorías: 3 . 3) (candidatos-cargos:4 . 2) (caminos - carreteras: 2 . 3) y usaste diagramas arbolares para simplificar el conteo de casos numerosos.

El tema siguiente te va a permitir explorar una estrategia de conteo que se aplica para resolver otro tipode situaciones.

Cuando lo que se quiere estudiar son los ordenamientos posibles de los elementos de un único conjuntose habla de permutaciones. Por ejemplo, las maneras diferentes en que se pueden distribuir los cargos de pre-sidente, secretario y tesorero entre 3 personas que fueron elegidas para formar una comisión vecinal es unproblema de permutaciones. Los diagramas arbolares también ayudan a contar las diferentes maneras en quese pueden presentar esos ordenamientos.

3. Cambios en el orden

a) Resolvé en tu carpeta los siguientes problemas y, al concluir, conversá con tus compañeros sobre lasformas que encontró cada uno para resolverlos.

1. ¿Cuántos números diferentes de 4 cifras se pueden formar con las cifras 2, 4, 5 y 9? Escribilostodos.

2. Luis, Miguel, Javier y Agustín se van a sentar en un tablón para ver un partido de fútbol entrevecinos. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar?

3. Si resolviste los problemas anteriores dibujando diagramas arbolares, comparalos: ¿en qué separecen?, ¿en qué se diferencian? Si no usaste diagramas, explicá cómo resolviste los problemas.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 4

54

TEMA 2: PERMUTACIONES


b) Leé la siguiente información sobre las maneras de nombrar un triángulo.

• • • Triángulos

Para identificar un triángulo se mencionan sus 3 vértices.Se puede comenzar por cualquiera y mencionarlos en

diferente orden.

Por ejemplo, comenzando por P: PQR o bien PRQ;comenzando por Q: QPR o bien QRP;comenzando por R: RPQ o bien RQP.

En total hay seis maneras diferentes de nombrar al triángulo.

En el caso de cualquier terna de objetos, por ejemplo, loslados de un triángulo o lanas de tres colores para tejer unabufanda a rayas, si llamamos n1, n2 y n3 a los tres elementos, elsiguiente diagrama arbolar muestra el número de permutacio-nes posibles:

Observando las ramas del gráfico se puede escribir que el número de permutaciones de 3 ele-mentos es 3 . 2 . 1 = 6.

Para calcular el número de permutaciones de 4 elementos, se multiplica: 4 . 3 . 2 . 1 = 24, y paracalcular el número de permutaciones de 5 elementos: 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120.

Cuando se trabaja con n elementos, dos permutaciones se consideran diferentes si por lo menosdos de los n elementos están dispuestos en distinto orden.

c) Respondé en tu carpeta:

• Los problemas 1 y 2 de la consigna a de esta actividad ¿se pueden resolver mediante el cálculo de per-mutaciones? Justificá tu respuesta.


M 2

55

R

Q

p

n2 n3 (n1 n2 n3)

n3 n2 (n1 n3 n2)n1

n1 n3 (n2 n1 n3)

n3 n1 (n2 n3 n1)n2

n1 n2 (n3 n1 n2)

n2 n1 (n3 n2 n1)n3

Si llamamos n al número de elemen-tos disponibles, las posibles disposi-ciones diferentes en las que se tomantodos con distinto orden se llamanpermutaciones de n elementos.


4. Combinaciones y permutaciones

Los problemas que siguen te permitirán aplicar lo que aprendiste en esta unidad. En ellos, el uso de los diagramas arbo-lares y la realización de cálculos a partir de las fórmulas estudiadas te facilitará la obtención de las posibles soluciones.

a) Resolvé en tu carpeta los siguientes problemas.

1. Si usás las diez cifras desde el 0 hasta el 9, ¿cuántos números de 3 cifras diferentes se podríanformar? Explicá cómo lo podés calcular y respondé si se podría usar 0 en la cifra de las cente-nas? ¿Por qué?

2. En cada página de un cuaderno hay 28 renglones. Si en cada renglón escribieras 12 de los núme-ros del problema anterior, ¿cuántas páginas de cuaderno necesitás para escribir los 648 núme-ros posibles?

3. Ponele letras a los cuatro vértices del tetraedro.

• Nombrá los vértices de la base de todas las formas distintas que sea posible.

• Nombrá al tetraedro de todas las formas distintas que sea posible, sinolvidarte ninguna.

4. Los siguientes esquemas corresponden a especies florales distintas. Representan inflorescencias, esdecir, sistemas de ramificación de los tallos que terminan en flores y que son características decada especie floral. Escribí, en cada caso, el cálculo que permite conocer el número de flores de cadainflorescencia.

Para finalizarEn esta unidad, analizaste situaciones en las que se pueden hacer sucesivas elecciones y utilizaste dia-

gramas arbolares para resolverlas. Esta es una estrategia que te facilita el cálculo del número decombinaciones entre los elementos de diferentes conjuntos y también del número de permutaciones enlos elementos de un único conjunto.

Te preguntarás si en alguna profesión hay quienes trabajan con estas estrategias. A propósito, es buenoque sepas que la combinatoria está muy vinculada con el cálculo de probabilidad y estadística que es elestudio de los mejores modos de acumular y organizar la información para poder inferir conclusiones. Yese es justamente el tema de la próxima unidad.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 4

56

Tetraedro

Umbela deumbelas

Racimo deracimos

Umbela formada porumbelas más pequeñas




M 2

57

1. En la cancha de bochasDiez amigos se reúnen a jugar a las bochas. Juegan tres partidos y al final de cada uno anotan en una pla-nilla el nombre del ganador. ¿De cuántas maneras diferentes pudieron completar la planilla?

2. Cuadriláterosa) Analizá qué cuadrilátero se forma según que lasdiagonales sean:

1. iguales o distintas,

2. se corten o no en el punto medio,

3. se corten o no perpendicularmente.

b) Armá un diagrama arbolar con todas las alternati-vas. ¿Por qué al recorrer algunas de las ramas seobtienen cuadriláteros del mismo tipo que en otras?

3. Números y mása) ¿Cuántos números mayores que 10 y menores que 100 no tienen cero? ¿Cómo pensás que se puedeaveriguar?

b) Formá todos los productos posibles de dos números eligiéndolos entre 2, 3, y 5.

1. Sin repetir los factores.

2. Repitiendo factores.

3. ¿Cuál es el producto mayor? ¿Y el menor?

4. A ordenar¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar seis libros en una estantería?


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 4

58

5. Los caballeros de la mesa redondaLos señores Pérez, Salinas, González y Rizzo y sus esposas compartieron una mesa redonda. Se sentaronde forma que:

a. ninguna mujer se sentó junto a su marido,

b. no había dos mujeres juntas,

c. enfrente de Salinas se sentó Rizzo y,

d. a la derecha de la esposa de Salinas, se sentó González.

¿Quién se sentó entre Salinas y Pérez?

6. Cuadrados en cuadradosEn un cuadrado se pueden insertar otros cuadrados. De entre ellos, considerá aquellos cuyos vértices sonpuntos de intersección de las cuadrículas con los lados del cuadrado inicial.

1. En un cuadrado como este, ¿cuántos cuadrados con esas condiciones se pueden dibujar?

2. ¿Y en cuadrados de 4 x 4?, ¿y de 5 x 5?, ¿y de 6 x 6? Ampliá tu estudio a cuadrados con dimensio-nes diferentes.


Es frecuente leer o escuchar expresiones como “el precio de un producto está en función de la deman-da” o “la cantidad necesaria de forraje está en función del número de animales que hay que alimentar”. Encada una de estas expresiones se hace referencia a que una variable depende de la otra.

Detrás de estas expresiones tan comunes está presente un significado matemático que estudiarás enesta unidad. Verás qué condiciones deben cumplirse entre dos variables para que la relación entre ellaspueda ser considerada función.

En esta unidad revisarás los conocimientos que tenés acerca de correspondencias y su representaciónen coordenadas cartesianas para llegar a la definición de funciones.

En las actividades de esta unidad vas a trabajar con figuras geométricas conocidas para analizar las característi-cas de algunas correspondencias y aprender a representarlas en un gráfico. En ellas deberás calcular perímetrosy áreas de figuras que ya estudiaste en las unidades de Geometría: triángulos, cuadriláteros, polígonos en general.Anotá en tu carpeta antes de comenzar las fórmulas de los cálculos que necesitar realizar. También vas a poneren juego tu conocimiento sobre proporcionalidad directa e inversa y su representación en gráficos cartesianos. Site hace falta, consultá las unidades de Geometría del Cuaderno de estudio 1, o buscá en los libros de Matemáticade la biblioteca.

1. Correspondencias entre medidas de figuras

En esta actividad te mostramos las figuras A, B, C, D y E dibujadas sobre un papel cuadriculado con cua-drados de 1 cm2, o sea de 1 cm de lado.


UNIDAD 15 Funciones

M 2

AB

D E

C

Matematica 8-unidad 15-4as 17/7/08 11:41 Página 173

a) ¿Cuál es el área y cuál el perímetro de cada figura? Completá con los resultados una tabla como la siguiente.

b) Imaginá que las mismas figuras se hubieran hecho sobre un papel tramado con cuadrados de 2 cm delado. Dibujá esas nuevas figuras. ¿Creés que el área y el perímetro resultan el doble de los que figuran enel cuadro de la consigna a? Anotá en tu carpeta qué te parece y comentáselo a tus compañeros.

c) Calculá las áreas en cm2 y los perímetros en cm de las figuras que dibujaste en la conigna b. Con los resul-tados de los cálculos construí una tabla como la anterior y comprobá si tu predicción resultó cierta.

d) Averiguá ahora cómo varían el área y el perímetro de las figuras si se las dibuja en papel tramado concuadrados de 3 cm de lado, y luego, de 4 cm de lado. Hacé los cálculos y anotá los resultados en una tabla.Compartí tus conclusiones con las de tus compañeros.

Consultá con tu docente cómo organizar la realización del siguiente punto, si no es posible trabajar con otroscompañeros.

e) Reunite con otros compañeros y distribuyan las figuras A, B, C, D y E de la página anterior. Cada unodeberá completar dos tablas como las siguientes para cada una de las figuras que le toque.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 15

174

Área en cm2 Perímetro en cm

A

B

C

D

E

Lado del cuadrado de la trama en cm

Area de la figura en cm2

1

2

3

4

Lado del cuadrado dela trama en cm

Perímetro de lafigura en cm

1

2

3

4


Como recordarás, los datos reunidos en tablas como estas también pueden representarse median-te gráficos cartesianos. Seguramente ya tuviste oportunidad de observar que estos gráficos seconstruyen de la siguiente manera.1. Se trazan dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto considerado 0 u origen. El eje ver-tical se denomina y o eje de ordenadas, y el horizontal es el x o eje de abcisas.2. Sobre ellos se marcan graduaciones con valores numéricos ordenados de manera que aumentanhacia la derecha en x y hacia arriba en y, partiendo del punto 0. Así se pueden encontrar puntosen el plano por la asociación de un par ordenado de puntos, como los pares que surgen de las tablasanteriores. • Recordá que los números de la primera columna en la tabla son las abscisas y se representansobre el eje x. Los de la segunda son las ordenadas y se representan sobre el eje y.

f) Tomá los datos de cada tabla que completaste en el punto anterior y representá los puntos corres-pondientes en un gráfico cartesiano. Recordá hacerlo sobre papel cuadriculado; podés orientarte por lasiguiente figura.

g) Reúnan todos los gráficos que hicieron a partir de las cinco figuras. Sepárenlos en dos grupos: los quetienen puntos que pertenecen a una línea recta y los que tienen puntos que pertenecen a una misma líneacurva.

1. Observen los gráficos y respondan las preguntas.

¿Pueden asegurar que los gráficos de algún grupo representan correspondencias directamente propor-cionales? ¿E inversamente proporcionales? ¿Y no proporcionales? Justifiquen las respuestas.

2. Escriban en sus carpetas cómo varían las áreas y los perímetros de las figuras cuando se duplica, tri-plica y cuadriplica la longitud del lado del cuadrado de la trama sobre la que se dibujan las figuras.

En la actividad siguiente vas a analizar las producciones que acabás de realizar y a reconocer dos elemen-tos que te servirán para identificar tipos de correspondencias: las imágenes y el dominio.


M 2

175

5

4

3

2

1(0;1)

(2;3)

(5;1)

1 2 3 4 5x

y


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 15

176

2. Imágenes y dominio de una correspondencia

En varias oportunidades has usado las palabras “correspondencia” y “corresponde”. Toda tabla que asocie valores de una cierta clase a valores de otra clase o de la misma, establece dos corres-

pondencias: una que se lee de izquierda a derecha y otra que se lee en sentido contrario.En la tabla de la actividad a de la página 174, la correspondencia 1, de izquierda a derecha, asocia los perí-

metros a las áreas, y la correspondencia 2, inversa, de derecha a izquierda, asocia las áreas a los perímetros.Ambas correspondencias también se pueden mostrar mediante pares ordenados de números y, a su vez, esospares se pueden representar en gráficos cartesianos.

a) Elegí una de esas correspondencias y expresá con palabras qué pares de elementos se corresponden.

b) Escribilos como pares ordenados de la forma (x; y). Por ejemplo, en la figura a el par (x; y) sería (20;24).

Cuando un valor de y corresponde a un valor de x, se dice que ese valor de y es una imagendel valor de x.Por ejemplo, en la correspondencia 1 (en símbolos C1), los valores 20 y 28 son imágenes de 13;20 es imagen de 24.El conjunto de las imágenes de C1 se escribe, en símbolos, IC1 = { 20, 28, 10, 8}

c) ¿Cuál es la imagen de 24 en la correspondencia 1?

• ¿De qué valores es imagen 4 en la correspondencia 2?

d) Escribí todos los pares de la correspondencia 2 entre los perímetros y las áreas de las figuras y res-pondé las preguntas.

1. ¿Cuántas imágenes tiene 8 en esa correspondencia?

2. ¿Cuántas imágenes tiene 20?

3. Representá la correspondencia 2 en un gráfico cartesiano y observá cómo se ubican los puntos querepresentan dos áreas correspondientes a un mismo perímetro.


Se llama dominio de una correspondencia al conjunto de valores que toma la variable x.Por ejemplo: cada correspondencia de la consigna a tiene un dominio que se puede enunciar explí-citamente: el dominio de la correspondencia 1 es el conjunto formado por 4, 13, 24.En símbolos: DC1 = {4, 13, 24}

e) Escribí en símbolos el dominio de la correspondencia 2.

f) Elegí dos de las tablas que construiste el punto a de la actividad 1, indicá el dominio de cada una y escri-bí como pares ordenados los pares de valores que se corresponden.

Como viste, existen diferentes tipos de correspondencias. En la siguiente actividad vas a usar estos doselementos: dominio e imagen para caracterizar un tipo especial de correspondencias: las funciones.

3. ¿Qué correspondencias son funciones?

a) Copiá en tu carpeta las tablas de estas cuatro correspondencias y escribí el dominio y el conjunto deimágenes de cada una.

b) Observá las tablas en cada correspondencia y respondé: ¿hay algún elemento del dominio con más deuna imagen? Si es así, decí cuál es. ¿Hay algún elemento que es imagen de varios elementos del dominio?Si lo hubiera, indicá cuál es.

c) Revisá las correspondencias 1 y 2 de la actividad anterior.

1. ¿Hay alguna en la que se puede afirmar que “a cada elemento del dominio le corresponde una únicaimagen”? Si es así, decí cuál es la correspondencia.

2. Si alguna de esas correspondencias no cumple la afirmación, decí en qué falla.


M 2

177

x y

1 4

3 6

5 8

6 9

Ax y

6 40

8 30

8 20

10 10

Bx y

6 8

7 8

8 8

9 8

Cx y

1 2

2 3

3 5

4 2

D


d) Buscá en tu carpeta las representaciones en coordenadas cartesianas de las correspondencias de laactividad 1 y observá cómo se puede reconocer en un gráfico de correspondencias cada una de las siguien-tes propiedades:

1. A cada elemento del dominio le corresponde una sola imagen.

2. A algún elemento del dominio le corresponde más de una imagen.

e) Escribí tus observaciones y leé la siguiente definición de función.

Una correspondencia es una función si el dominio es un conjunto formado por determinados ele-mentos y cada elemento del dominio tiene una y solo una imagen.

f) Hacé una lista de las correspondencias que viste en esta unidad y escribí a su lado SÍ o NO, según seanfunciones o no. Justificá las respuestas.

En Matemática, las funciones que más interesan son aquellas que a cada número de un conjunto numéri-co le hacen corresponder otro número. Por ejemplo la función “doble de”, le hace corresponder a cadanúmero natural otro número también natural. Las funciones numéricas pueden expresarse mediante fór-mulas y esto es lo que verás en la siguiente actividad.

En la siguiente actividad vas a tener que construir polígonos. Si no te acordás cómo se hace, consultá con tu docen-te. Decidí con él si vas a revisar las unidades de Geometría o buscar el procedimiento en un libro de Matemática.

4. Funciones definidas por fórmulas

a) Recordá que un polígono es regular cuando todos sus lados y sus ángulos son congruentes. Por ejem-plo, los triángulos equiláteros y los cuadrados son polígonos regulares. Dibujá en tu carpeta polígonosregulares de 3, 4, 5, 6 y 8 lados, y luego realizá lo que indican las consignas.

1. Imaginá que cada lado de esos polígonos mide 2 cm y completá la tabla siguiente.

2. Explicá con tus palabras cómo le dirías a un compañero qué cálculos tiene que hacer para averiguarel perímetro de cualquiera de estos polígonos regulares de 2 cm de lado. Escribilo en tu carpeta.

3. Expresá esas instrucciones en lenguaje simbólico mediante una fórmula. Usá la letra p para el perí-metro, y n para indicar “número de lados del polígono”. Recordá que una fórmula es una igualdadescrita en lenguaje simbólico como una expresión de relación entre variables.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 15

178

Número delados

del polígonoPerímetro

34568


b) Completá una tabla como la siguiente para comprobar que la fórmula que escribiste en el punto ante-rior se verifica para cualquier polígono regular de 2 cm de lado. Revisá tus respuestas a las preguntasanteriores y, si es necesario, modificalas.

1. ¿Esta correspondencia entre el perímetro de un polígono y el número de sus lados es una función?¿Por qué?

c) Leé esta información acerca de algunas ideas sobre las que estuviste trabajando y comprobá si la fór-mula se verifica para el caso anterior de los polígonos.

En esta familia de polígonos regulares de lado 2 cm podemos afirmar que el perímetro es funcióndel número de lados. Como la cantidad de lados de una figura es un número natural mayor o igualque 3, el dominio de esta función es el conjunto de los números naturales mayores o iguales que 3.

Las imágenes se obtienen multiplicando los valores del dominio por 2; ellas también son núme-ros naturales.

En este caso podemos indicar esta función con una fórmula : p = n . 2 = 2 n

d) En el ejemplo anterior, la longitud elegida para el lado de los polígonos ha sido 2 cm; ¿qué ocurre si lamedida de los lados de los polígonos es 4,5 cm?

1. Analizá la función, con dominio en el conjunto de los naturales, que relaciona el número de lados deun polígono regular con su perímetro.

2. Anotá la fórmula e indicá si sus imágenes son siempre números naturales.

3. Construí una tabla en la que aparezca, en la columna de la izquierda, el número de lados de los polí-gonos, y en la derecha, el perímetro, expresado en cm.

4. Representá gráficamente la función en un sistema de ejes coordenados y observá la posición de lospuntos obtenidos. Escribí tu conclusión.


M 2

179

Número de ladosdel polígono

Perímetroen cm Cálculos

3 6 2 . 3

4 8

5 10

6

7

8

10

15

20

n


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 15

180

En la actividad final de esta unidad vas a aplicar a otros casos de correspondencias lo que estudiaste sobrelas características de las funciones. Te va a servir para revisar los elementos de las funciones y la manera sim-bólica de representarlas, y vas a comprobar que podés identificarlas con lo que sabés sobre ellas.

5. Algo más sobre funciones

a) Si es posible, trabajá con uno o más compañeros, y con la ayuda de tu docente busquen ejemplos decorrespondencias de proporcionalidad directa e inversa. Por ejemplo, el número de kilogramos de unproducto y el precio al que se vende (manteniendo el mismo precio unitario), el número de latas de pin-tura que hay que comprar para cubrir una misma superficie y la cantidad de litros que tiene cada lata.También pueden encontrar numerosos ejemplos revisando las unidades anteriores. A continuación, rea-lizá lo siguiente.

1. Escribí en tu carpeta cada una de las correspondencias que pensaste.

• Hacé tablas dando valores a la variable independiente y calculá los valores que le correspondencomo imágenes.

• Determiná si son funciones o no. Justificá tus respuestas.

• En el caso en que lo sean, indicá el dominio y el conjunto imagen.

• Representá en un gráfico cartesiano cada función y explicá qué particularidades tienen esas gráficas.

• Indicá con palabras y símbolos, es decir, mediante una fórmula, las funciones encontradas.

2. La correspondencia que a cada número racional le hace corresponder su opuesto ¿es función condominio en el conjunto de los números racionales? ¿Por qué?

3. Observá las siguientes fórmulas:

• y = x + 1

• y = 2x – 1

• y = 4x + 4

Cada una de estas fórmulas establece una correspondencia entre valores enteros; ¿son funciones? Si loson, ¿cuál es el dominio? Representá las correspondencias en gráficos cartesianos.

b) Escribí tus conclusiones y compartilas con los demás compañeros.



M 2

181

Para finalizarEn esta unidad viste que hay correspondencias que son funciones siempre que cumplan con ciertas

condiciones. Las funciones se expresan mediante fórmulas que indican la relación que hay entre lasvariables, según el dominio elegido. Estas funciones las encontrarás no sólo en la vida cotidiana sinotambién en otras ciencias como, por ejemplo, Física o Economía.

El método cartesiano que te facilitó el análisis de las variaciones entre cantidades fue ideado en elsiglo XVIII por René Descartes. Sus ideas vincularon por primera vez la Geometría con fórmulas yecuaciones, dando inicio a una época muy importante para el desarrollo de la Matemática. Desdeentonces, para resolver un problema geométrico es posible analizar gráficos cartesianos y aplicarfórmulas. Si la respuesta es numérica, se la puede interpretar gráficamente, y si la solución se obtuvoa partir de un gráfico, la respuesta se puede expresar numéricamente.

Entre los problemas que se pueden resolver de este modo están los que se plantean usando este tipoespecial de correspondencias que son las funciones.

Como siempre, aquí encontrarás problemas matemáticos interesantes. Esta vez, entre ellos fabricarás lafamosa cinta de Moebius y harás una comprobación sorprendente, que aún sigue apasionando a matemáti-cos y físicos.


1. Proporcionalidad en la circunferenciaSi dos cuerdas de una circunferencia se interceptan en un punto P, el producto de los segmentos deter-minados en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la otra cuerda.

PA . PC = PB . PD

¿Esa afirmación es siempre cierta? Justificá tu respuesta.

Escribí la relación en forma de proporción.

2. La cinta de MoebiusPara construir esta cinta necesitarás una tira de papel de aproximadamente 7 cm por 30 cm. Lo impor-tante es que la cinta que elijas sea un rectángulo largo y angosto.

Pintá las caras de la cinta con dos colores diferentes. Llamá con A, B, C y D las esquinas de la cinta, comose ve en la figura.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 15

182


A

BC

D

A

B

CD

P


Uní los extremos de la cinta de manera que la esquina A quede unida a la esquina D y la esquina B, a laC. Para lograr esto, antes de unir los extremos deberás darle media vuelta a la cinta.

Con un color trazá un camino que vaya por el centro de la cinta.

Una cinta común tiene claramente dos caras y dos orillas. ¿Qué pasa con la de Moebius? Recorré lenta-mente el borde y verás que, sin levantar el dedo, podés recorrerla toda de una sola vez. ¿Qué te sor-prende? En efecto, la cinta de Moebius tiene una sola cara y una sola orilla.

Ahora recortala siguiendo el camino que dibujaste. ¿Qué ocurre? Así es, has obtenido otra parecida a laque tenías, pero más larga.

Cortá la cinta por el centro, todo a lo largo. ¿Qué crees que sucederá? ¿Obtendrás una cinta parecidapero más larga? No, lo que ocurre no es lo que esperabas.

Intentalo otra vez: construí muchas cintas de Moebius y recortalas varias veces por su línea central. ¿Quésucedió? ¿Cómo podrías explicarlo?

Un poco de historia August Möbius o Moebius, nació en Alemania, en 1790 y murió en 1868.En 1816 comenzó a formar parte del cuerpo de profesores de la Universidad de Leipzig y a partirde entonces se fue convirtiendo en un importante matemático. Su nombre quedó ligado a variosobjetos matemáticos de distinta especie, como la cinta de Möbius y la función de Möbius. Al igualque la mayoría de los científicos de su época, no se dedicó únicamente a la investigación enMatemática. Fue miembro del observatorio de Leipzig y a él se le encargó su remodelación, queduró de 1818 a 1821. Tuvo un profundo interés por la topología, área de la Matemática en la que fue pionero y a la quededicó muchos años. Particularmente hizo estudios muy serios sobre las propiedades de las superfi-cies de una sola cara, que incluyen la famosa “cinta de Möbius”, descubierta por él en 1858.


M 2

183


3. Los cordones de los zapatosExisten múltiples maneras de anudarse los cordones de los zapatos. Entre estas podemos diferenciar tres:la manera europea, la manera americana y la manera en que los suelen anudar en las zapaterías.

¿Sabrías decir cuál de estas requiere los cordones más largos? ¿Te atreverías a conjeturar cuál, de entretodas las maneras posibles de anudarse los cordones, es la que necesita los cordones menos largos?

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 15

184


En esta unidad vas a introducirte en el mundo del cálculo de probabilidades, es decir, vas a enterarte de cuá-les son las estrategias matemáticas que permiten predecir cuándo un acontecimiento va a ocurrir siempre dela misma manera, cuándo es seguro que no ocurrirá o cuándo es probable que pase de un modo o de otro.

A medida que avances en el desarrollo de esta unidad distinguirás los sucesos inciertos — o aleatorios —de los que son imposibles y los sucesos seguros de los que son inciertos, y verás cómo se puede calcular laprobabilidad de que ocurra un suceso.

Para realizar los experimentos de la actividad 2 vas a necesitar: una moneda y dos dados. Andá buscando losmateriales con anticipación.

1. Imposible, 0; Seguro, 1

a) ¿ Podrías afirmar que hay cosas que jamás se puede esperar que sucedan?

1. Probá tu respuesta con el siguiente listado de experimentos y de sucesos que se pueden esperarcomo resultado de ellos.

• Arrojar un dado y obtener un número mayor que 6.

• Arrojar dos dados y obtener como suma un número menor que 13.

• Arrojar dos dados, restar los resultados y obtener como diferencia 6.

• Arrojar una moneda y obtener cara.

• Encontrar entre los renglones de esta página uno que tenga 150 letras.

• Arrojar un dado y que salga un número par.

• Encontrar una persona que tenga 3 m de altura.

• Dar vuelta un tazón con piedrecillas y que no caiga ninguna.

• Arrojar una piedra hacia arriba y que luego caiga.

• Esconder una piedra en un puño y que otra persona adivine en qué mano está.

• Observar que el Sol se pone por el Este.

• Colocar un trozo de hielo en agua tibia y que se derrita.

• Calentar agua a 100 ºC y que no hierva.


UNIDAD 5 Probabilidad

M 2

TEMA 1: CÁLCULO DE PROBABILIDADES


2. Examiná cada uno de los experimentos de la lista, seleccioná aquellos que considerás como “suce-sos imposibles”.

3. Copiá el listado en tu carpeta y agregá otros dos ejemplos que se te ocurran.

b) Releé el listado anterior, seleccioná y copiá de la lista los que consideres “sucesos seguros” y agregáotros dos ejemplos que se te ocurran.

c) Releé los listados que escribiste en tu carpeta. Compáralos con los de un compañero. Si tienen algu-na diferencia, analicen en cada caso si los experimentos están correctamente seleccionados como suce-sos imposibles o como sucesos seguros. Mostraselos a tu docente.

d) Volvé a mirar el listado y fijate en los experimentos que no copiaste en los puntos anteriores. Esosson ejemplos de sucesos probables pero no seguros.

No hay ninguna duda acerca de cuántos días va a tener cada uno de los meses del año o de queel primer día de un nuevo año es el 1º de enero. Tampoco se duda de que el día posterior a un sába-do será domingo.

Cuando se puede afirmar con toda certeza que algo va a ocurrir, como en el caso de los hechosanteriores, se dice que se trata de un suceso seguro. En cambio, hay otros acontecimientos cuyoresultado no se puede predecir con certeza porque dependen del azar. Por ejemplo, si se arroja alaire una moneda, no se puede asegurar si quedará cara o ceca hasta que haya caído. En los estu-dios de probabilidad se habla de experimentos y de sucesos. Son experimentos las experiencias quese hacen para obtener resultados y son sucesos los distintos resultados que se obtienen haciendolos experimentos. Por ejemplo, el experimento que consiste en arrojar una moneda tiene dosresultados o sucesos posibles: cara y ceca.

En Matemática, la probabilidad de que ocurra un suceso se puede medir asignándole un número. Alos sucesos imposibles les corresponde la probabilidad 0 y a los sucesos seguros, la probabilidad 1.Los demás sucesos posibles pero no seguros tienen una probabilidad comprendida entre 0 y 1.

Al efectuar un experimento es importante considerar la probabilidad de ocurrencia (éxito) y deno ocurrencia (fracaso) de determinado resultado.

Se llama probabilidad de un suceso (P(s)) a la razón entre el número de casos favorables (f) yel número total de casos posibles (t). En símbolos, P(S) = . Por ejemplo, la probabilidad deobtener un 3 al arrojar un dado es la razón entre 1 (caso favorable) y 6 (casos posibles); o seaque P(3) = .

61

tf

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 5

60


En la siguiente actividad vas a calcular la probabilidad de un suceso a partir de experiencias cuyo resultado no esseguro ni imposible porque dependen del azar, por ejemplo: arrojar una moneda al aire, el lanzamiento de undado, o de dos dados simultáneamente, y el juego “Piedra, papel y tijera”. Es posible que parte de esta actividad la resuelvas en tu casa y que para otras necesites reunirte con un compa-ñero. Consultá con tu docente cómo organizar la tarea.

2. Cuatro situaciones

Esta actividad consiste en la resolución de cuatro experimentos diferentes que te van a permitir analizardistintas situaciones de probabilidad.

a) Primer experimento: arrojar una moneda al aire

Seguramente habrás jugado muchas veces al “cara o ceca” con una moneda. La tirás al aire y la monedacae con alguna de sus dos caras hacia arriba: solo hay dos opciones, “cara” o “ceca”.

a) Realizá la experiencia, registrá las veces que sale cara y anotá las respuestas en tu carpeta:

1. Tirá la moneda al aire 10 veces; ¿cuántas veces resulta cara?

2. ¿Y cuando la arrojás 20 veces?

3. ¿Y cuando la arrojás 50 veces?

4. Si la tiraras 100 veces, ¿cuántas veces creés que resultarácara?, ¿y si la tiraras 1000 veces?

5. ¿Creés que el número de “cecas” será muy distinto alnúmero de caras? ¿Por qué?

6. ¿A qué fracción se aproxima la razón, es decir, el cocien-te, entre el número de “cecas” y el número de tiros?

En esta experiencia, el número de casos posibles es 2: cara y ceca.


M 2

61

La probabilidad de que al lanzar una moneda resulte cara es:

P(cara) = = = 0,5.

La probabilidad de que en el mismo lanzamiento no resulte cara es: P(no cara) = = 0,5.

La suma de ambas probabilidades es P(éxito) + P(fracaso) = 1, o sea 0,5 + 0,5 = 1.21

21número de casos favorables

número de casos posibles


b) Segundo experimento: lanzamiento de un dado1. Tirá el dado 50 veces y registrá en tu carpeta, en una tabla como esta, los númerosque aparecen en la cara superior. Podés dibujar un palito cada vez que obtengasel número. Cuando hayas hecho 4 palitos dibujá el quinto atravesando losanteriores. Así, te van a quedar dibujados grupos de 5 palitos que te faci-litarán el conteo al final.

2. Si tenés oportunidad de trabajar con otros compañeros, sumen los resultados de todos, cara por cara,y escríbanlos en una tabla como esta:

3. Fijáte si los números que indican el total de veces que apareció cada cara del dado son muy diferentes.

4. ¿Cuál es la conclusión de esta experiencia?

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 5

62

Cara del dado 1 2 3 4 5 6Palitos que registran

las tiradas

TOTAL

Cara del dado 1 2 3 4 5 6Suma de los resultados

En el lanzamiento de un dado, las seis caras tienen la misma probabilidad de caer hacia arriba;de este tipo de observaciones surge la siguiente relación:

Si queremos que al lanzar un dado resulte el número 2, su probabilidad es: P(2) = porqueel dado tiene una sola cara con el número 2 y tiene seis caras diferentes.

61

Cara del dado

1 2 3 4 5 6

Probalidad P(1) = 61 P(2) =

61 P(3) =

61 P(4) =

61 P(5) =

61 P(6) =

61

Lanzamiento de un dado

Al observar el cuadro que sintetiza el lanzamiento de un dado, se comprueba que las 6 caras tie-nen la misma probabilidad de caer hacia arriba.


Dos o más sucesos que tienen la misma probabilidad de ocurrir se llaman equiprobables.

Si una experiencia se repite pocas veces, los resultados suelen parecer caprichosos. En cambio, amedida que se la reitera un número importante de veces, se puede observar que los resultadosadquieren cierta regularidad vinculada con la probabilidad del suceso.

Después de un número suficientemente alto de pruebas, la probabilidad de un suceso se identifi-ca con la frecuencia relativa. Se trata de una estimación que se considera más fiable a medida queaumenta el número de pruebas. La frecuencia relativa es un número que muestra en qué proporciónse repite cada caso favorable con respecto al total. Suele expresarse como porcentaje.

Se llama frecuencia relativa de un suceso al cociente entre el número de éxitos y el númerototal de experiencias.

c) Tercer experimento: lanzamiento de dos dados1. Para que esta experiencia te resulte más fácil utilizá dos dados de distinto color o de diferente tama-ño. Para calcular el número de casos posibles, completá una tabla como la que aparece abajo y que indicaen las columnas los resultados posibles de uno de los dados y en las filas, los del otro dado. Escribí en cadacasilla la suma de las dos caras posibles: la que encabeza la fila y la que encabeza la columna.

2. ¿Cuántas sumas posibles registraste en el cuadro?


M 2

63

+ 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6 10


3. Para analizar si alguna suma tiene más probabilidad de salir que otras, completá una tabla como lasiguiente en la que se muestran todas las posibilidades. Vas a indicar las sumas del cuadro anterior quedan el mismo resultado. Te damos como ejemplo las sumas 1, 2, 3, 4 y 12.

4. Observá la tabla anterior y respondé las preguntas en tu carpeta.

• Cuando se tiran simultáneamente dos dados, ¿cuántos resultados distintos puede tener la suma?

• ¿Cuántos casos dan como suma 7?



• ¿Todos estos sucesos tienen la misma probabilidad?

• ¿Cuál de todas las sumas tiene mayor probabilidad de ocurrencia?

5. Copiá la siguiente tabla y completala con la probabilidad de cada una de las sumas. Para calcularlarecordá la definición.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 5

64

Resultado de la suma Formas distintas de obtener elmismo resultado Número de formas distintas

1 Suceso imposible 0

2 1 + 1 1

3 1 + 2; 2 + 1 2

4 1 + 3; 2 + 2; 3 + 1 3

5

6

7

8

9

10

11

12 6 + 6 1

Total de sucesos distintos: …… Total de formas distintas:……

Suma 2 3 4 5 6 7 8 3 10 11 12

Probabilidad 361

365

361

365



M 2

65

6. Leé el siguiente problema y escribí en tu carpeta todos los comentarios que te sugiera la situación.

Dos jugadores, A y B juegan a arrojar simultáneamente dos dados y a calcular la suma. Si la sumaes 6, 7 u 8, el jugador A se anota un punto. Si la suma es distinta de esos números, el jugador Bse anota un punto.

7. ¿Considerás que A y B tienen la misma probabilidad de ganar? ¿Por qué?

d) Cuarto experimento: “Piedra, papel y tijera”

1. Si ya conocés el juego, jugá con algún compañero. Si no lo conocés, leé el recuadro siguiente y luegopracticá con otro chico o con algún familiar.

2. Si dos personas, A y B juegan a “Piedra, papel y tijera” puede suceder que ambas muestren lo mismoal mismo tiempo, o bien, que no coincidan. Hacé un diagrama arbolar para analizar las posibilidades deljuego y respondé en tu carpeta las consignas siguientes.

• ¿Cuántos empates pueden producirse?

• ¿En cuántos puede ganar el jugador A?

• ¿En cuántos puede ganar el jugador B?

• Que gane el jugador A, que gane el jugador B y que se produzca un empate ¿son sucesos equipro-bables? ¿Por qué?

Ahora que ya hiciste algunos experimentos en los que se ponen en juego cálculos de probabilidad, seguíanimándote con otros más complicados para profundizar en el tema.

• • • Piedra, papel o tijera

Dos jugadores empiezan el juego cada uno con una mano escondida tras la espalda. A la voz de "¡Ya!"muestran al mismo tiempo la mano que tenían tras la espalda, en una de las siguientes posiciones:

La mano cerrada representa la piedra.

Todos los dedos extendidos representan el papel.

Dos dedos extendidos representan la tijera.

Se gana según las siguientes reglas:- La piedra rompe la tijera. - La tijera corta el papel. - El papel envuelve a la piedra.Dicho en otras palabras, la piedra le gana a la tijera, la tijera le gana al papel y el papel le gana a la piedra.


3. Otros experimentos

a) Hacé un diagrama arbolar en tu carpeta para analizar los sucesos esperables cuando se arrojan al airedos monedas al mismo tiempo. Si es posible, para resolver las preguntas, conversá con un compañero.

1. ¿Cuántos son los sucesos posibles?

2. ¿Qué suceso es más probable: una cara y una ceca, dos caras o dos cecas? ¿Por qué?

b) Hacé otro diagrama arbolar para registrar cuando se tiran al aire tres monedas juntas y respondé:

1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 cecas?

2. ¿La probabilidad de obtener 3 caras es igual que la de obtener una cara y dos cecas?

3. Si se tratara de tirar una sola moneda, ¿vale la pena hacer un diagrama arbolar?

4. Mostrale tu cuaderno al docente y conversá con él sobre la utilidad de los diagramas de árbol.

c) El cuadro que sigue resume el análisis de los juegos de azar con los que estuviste trabajando. Leeloatentamente, volvé a leer lo que escribiste en tu carpeta y hacé las correcciones que sean necesarias.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 5

66

Experimentos Sucesos posibles Probabilidad

Arrojar una monedaCara – ceca

Ambos sucesos tienen la mismaprobabilidad

P(cara) = P(ceca) = 21

Arrojar un dado1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6

son sucesos equiprobablesLa probabilidad de cada

suceso es 61

Arrojar dos dados

La suma puede ser

2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 -11 - 12

No todos son sucesosequiprobables

La probabilidad de que la suma sea

2 o 12 es

3 u 11 es

4 o 10 es

5 o 9 es

6 u 8 es

7 es 6136591

12118161

“Piedra, papel y tijera” Gana A, gana B, empate.

Son sucesos equiprobables

La probabilidad de cada suceso es

31

Arrojar dos monedas Cara-cara; Cara-ceca = Ceca-cara;

ceca-ceca

P(cara-cara) = P(ceca-ceca) =

P(cara-ceca) = 21

41



M 2

67

Para finalizarEn el desarrollo de esta unidad aprendiste a calcular las probabilidades de éxito en juegos relacionados

con el azar. Estás en condiciones de aplicar lo que aprendiste a la revisión de los juegos matemáticos quefuiste armando con tus compañeros. Por ejemplo, podés analizar en “Tomo o pongo”, en la unidad 1, sitodos los sucesos posibles tienen la misma probabilidad de ocurrir.

En sus comienzos, el cálculo matemático de probabilidades estuvo muy vinculado con el estudio de losjuegos de azar. Más adelante, su evolución facilitó la inducción científica que permite plantear conclusio-nes con cierta generalidad sobre un tema de interés, a partir de los registros de hechos y observacionesexperimentales, como en el caso de la Estadística. Cuando se dispone de una cantidad importante de infor-mación acerca de algún objeto en estudio, la teoría de la probabilidad ayuda a la Estadística y a sus aplica-ciones en las ciencias. Esto ocurre por ejemplo cuando se quiere estudiar la propagación de una epidemia,probar un medicamento, calcular la cantidad de agua potable o el número de escuelas necesarias parauna población en los próximos años o estimar cuántas semillas deben sembrarse para obtener un deter-minado número de plantas.

Ahora preparate para enfrentar los desafíos matemáticos de la página siguiente con los que descubriráscasos interesantes de cálculos de probabilidad y de otro tipo de cálculos.


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 5

68

1. El juego del caosNecesitás un dado, una regla que tenga los números marcados, un lápiz rojo y... mucho tiempo.Toma una hoja de papel tamaño oficio, o una cartulina o un pliego de papel afiche, y marcá tres puntoscualesquiera que no estén alineados, como si fueran los vértices de un triángulo. Indicalos con (1,2), (3,4)y (5,6).

• Elegí arbitrariamente un punto “negro” de partida y arrojá un dado.• Marcá el punto medio de la distancia que existe entre el punto “negro” de partida y el punto que tengael número que ha salido en el dado que arrojaste. Este será el nuevo punto “negro” de partida. • Arrojá el dado de nuevo y repetí el procedimiento para encontrar un nuevo punto “negro”.• Así otra y otra y otra vez...Este juego no termina nunca... Jugá cada vez que puedas, invitá a otros chicos para aumentar las tiradasdel dado, guardá la hoja de papel para observar qué va ocurriendo a medida que pasa el tiempo y las tira-das del dado.El diseño resultante es asombroso.


(1,2) •

(5,6)•

(3,4)•


En la unidad 13 comenzaste tu estudio del Álgebra a través de considerar qué es una variable y qué, unaincógnita. También tuviste oportunidad de reconocer ecuaciones e inecuaciones -igualdades y desigual-dades algebraicas-. Viste también que son herramientas especialmente útiles en la resolución de proble-mas en los que se puede aplicar una fórmula general a situaciones particulares, como en muchos cálculosgeométricos que ya conocés, por ejemplo cálculos de perímetros y áreas.

En esta unidad continuarás ampliando tus conocimientos sobre temas de Álgebra trabajando con ecua-ciones y unas igualdades muy especiales que se cumplen para cualquier valor de las variables y por eso selas denomina identidades.

En las actividades de este tema abordarás algunos problemas que se pueden expresar simbólicamentemediante ecuaciones que contienen una sola incógnita. Si esa incógnita tiene exponente 1, como en las ecua-ciones que vas a resolver en esta parte de la unidad, se dice que la ecuación es de primer grado.

1. Cálculos mágicos

a) A continuación vas a leer una situación que describe un juego realizado en un aula entre los alumnosy su maestro. Está presentada en dos etapas. Resolvé las consignas de cada etapa, y así podrás desarro-llar el juego en tu aula. Probálo con algún compañero de otro año. Acordá con tus compañeros de añopara que todos puedan probar el juego con diferentes personas.

1. Aníbal le propuso a otro compañero que piense un número menor que 50 y lo escriba en unpapelito sin mostrárselo a él porque lo iba a adivinar. Le dio las siguientes órdenes para que hicie-ra cálculos mentales sin decir los resultados hasta que él se lo indicara:

• Sumale 10.

• Multiplicá por 3.

• Restá 6.

• Dividí por 3.

• Restá 6.

• Ahora decime, ¿qué número te dio?

Aníbal le restó 2 a ese número y, en efecto, acertó.


UNIDAD 14 Álgebra (II). Ecuaciones de primer grado e identidades

M 2

TEMA 1: ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA


2. El maestro pidió a los chicos que explicaran el truco, y Aurora lo hizo por escrito, escribiendoecuaciones:

• Copiá en tu carpeta la explicación de Aurora, analizála y respondé, ¿es correcta?, ¿por qué?

b) En el siguiente cuadro encontrarás una síntesis de los pasos seguidos para llegar a la solución de lasecuaciones con una sola incógnita, como las que escribió Aurora en su explicación del truco. A medidaque vayas leyendo los pasos, marcálos en la explicación que copiaste.

1. Si tenés algún compañero con el que puedas trabajar, repitan el truco entre ustedes eligiendo otrosnúmeros para las instrucciones y escriban en ecuaciones el procedimiento para llegar a la solución.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 14

162

• • • La incógnitaSe comienza por designar el número buscado con una letra que puede ser x, y, z o la que uno quie-ra elegir. Esa letra es la incógnita del problema.

• • • La ecuaciónPara plantear la ecuación hay que escribir una igualdad en la que esté comprendida la incógnita.

• • • La resoluciónPara resolver la ecuación se la va transformando en ecuaciones equivalentes cada vez más sencillas,hasta encontrar el valor (o los valores) de la incógnita. A este proceso se lo llama “despejar” la incóg-nita. Las soluciones de la ecuación son los valores de la incógnita.

• • • La verificaciónEn la ecuación planteada, se reemplaza la incógnita por el valor hallado.Si se cumple la igualdad, la solución de la ecuación es la respuesta del problema.

Pensá un número x

Sumále 10 x + 10

Multiplicá por 3 3 . (x + 10) = 3 . x + 30

Restá 6 3 . x + 30 - 6 = 3 . x + 24

Dividí por 3 83243 +=+ xx

Restá 6 x + 8 – 6 = x + 2

¿qué número te dio? 42

Si x + 2 es 42, entonces x = 42 - 2 y el número escrito es 40.


2. Preguntale a tu docente acerca de los textos que presentan problemas para resolver mediante ecua-ciones con una sola incógnita. Seleccioná una situación y resolvela siguiendo los pasos propuestos.Mostrale al docente tu trabajo.

2. Del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico

En la actividad anterior viste el planteo de una situación en la que se necesita descubrir algo, y se expresa con lossímbolos propios del lenguaje algebraico. No tenés que olvidar que al escribir una expresión simbólica hay que indi-car qué es lo que significa cada letra: por ejemplo si la expresión “el triple de la cantidad de lápices que tengo enmi cartuchera” se simboliza por 3x, el número de lápices es x.

a) Copiá las siguientes expresiones del lenguaje coloquial y traducílas al lenguaje algebraico.

1. El doble de un número m.

2. Un número a, más su doble.

3. El número d menos su mitad aumentada en 3,5.

4. El triple de un número x más 4.

5. El número anterior al número natural r.

6. El número siguiente al número natural r.

7. La suma de tres números naturales consecutivos.

8. La mitad de a más el doble de t.

9. El doble del resultado de sumar 3 al número s.

b) Los siguientes listados están desordenados. Copialos haciendo corresponder a cada expresión simbó-lica su enunciado verbal.


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(x + y) (x – y) El área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura.

(x + y)3 El triple de la suma de 3 números.

x + 15 = 2x El cuadrado de una suma.

4x – 3 La suma de dos números por su diferencia.

3 (x + y + z) El área de un cuadrado es el cuadrado del lado.

(a + b)2 La suma de dos números cuadrados.

Área = x2 El cuádruple de un número menos 3.

a2 + b2 El cubo de la suma de dos números.

Área = b . h21 La edad actual de un persona que dentro de 15 años tendrá el doble.


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 14

164

3. ¿Todas las expresiones algebraicas son ecuaciones?

a) Muchas veces trabajás con enunciados o con igualdades en las que intervienen letras, pero eso no es sufi-ciente para que sean ecuaciones. Copiá las siguientes expresiones o enunciados, analizálos y decidí cuáles sonecuaciones. Explicá por qué. Para hacerlo transformá primero los enunciados en expresiones algebraicas.

• 2 (3x + 4y).

• 5 (3b - 2) = 7(b + 2).

• La suma de un número con su mitad es 15.

• 12a +15a – r.

• Un número y su cuarta parte.

• Tengo 87 pesos y los gasto todos menos 17. ¿Cuántos me quedan?

• La base de un rectángulo es 5 cm mayor que su altura y su perímetro es 36 cm.

• Un bolígrafo cuesta 2 pesos más que un lápiz.

• x = .

• 13 + 7 = 20.

• 2 (z - 1) = 0.

• a + b = b + a.

b) ¿Qué podés decir acerca de las expresiones anteriores que no son ecuaciones?

4. Despejar la incógnita

1813

En la actividad 6 de la unidad 13 aplicaste diferentes estrategias para transformar una ecuación en expre-siones equivalentes cada vez más sencillas.

Cuando se trata de encontrar el valor de la incógnita x, hay que despejarla cuidando que los dos miem-bros de la igualdad no se desequilibren y sigan siendo efectivamente iguales. Para asegurar ese equilibrio esnecesario proceder paso a paso, aplicando a ambos miembros de la igualdad las mismas transformaciones,como verás a continuación.

En esta oportunidad aplicarás dos procedimientos que ya usaste muchas veces para despejar la incógnita: 1. La reducción de términos, es decir hacer las sumas y restas en las que figura la incógnita.2. La transposición de algún término o factor de un miembro a otro de una igualdad, como consecuen-

cia de hacer una misma operación en los dos miembros de la igualdad.Al operar con ecuaciones tené en cuenta que si escribís, por ejemplo, 30 + x = 35 no estás tratando de

sumar la x al 30, sino de encontrar cuándo esa suma, 30 + x, toma el valor 35.


a) Trabajá en tu carpeta. Hallá el valor de x en las siguientes ecuaciones efectuando primero, si fuera posi-ble, las sumas y restas indicadas. Recordá que cuando hay paréntesis primero se deben efectuar las ope-raciones que permitan quitarlos.

1. 7 x – 3 x = 5 + x + 4

2.

b) Para resolver una ecuación disponés de distintas opciones. Después de haber resuelto las ecuacionesplanteadas en a), leé las siguiente síntesis del “paso a paso” de posibles registros de diferentes procedi-mientos de resolución y comparálos con los procedimientos que usaste. Si podés trabajar con un com-pañero hagan juntos esta comparación y corrijan lo que sea necesario.

1. Para resolver la ecuación 7 x – 3 x = 5 + x + 4

2. Para resolver la ecuación xxx 21221

2 =

−+

xxx 21221

2 =

−+


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Reducir términos al efectuar la resta y la suma 7 x – 3 x = 4 x

7x – 3x = 5 + x + 4 equivale a 4x = x + 9

Transponer x por la operación inversa de la suma restando x en ambos miembros

4x – x = x + 9 – x

4x = x + 9 equivale a 3x = 9

Transponer x por la operación inversa de la multiplicación dividiendo ambos miembros por 3 3

93

3 =x

3x = 9 equivale a x = 3

Quitar paréntesis distribuyendo el factor xxx 221

42 =−+ xxx 221

42 =−+

Quitar denominadores multiplicando los dos miem-bros de la igualdad por el mismo múltiplo común de

los denominadores: 4( ) = 4 x xxx 22

142 =−+21

42 −+ xx

equivale axxx 221

42 =−+ 2x + x - 2 = 8x

Agrupar los términos con x en un miembro y los términos sin x en el otro miembro mediante

la aplicación en ambos miembros de las operacionesinversas correspondientes

2x – 8x + x – 2 + 2 = 8 x – 8x + 2

Realizar las operaciones y hallar el valor de x5x = 2

52

55x

−−− ⇒ x =

52−

−=


Hasta aquí trabajaste fundamentalmente con ecuaciones de primer grado con una incógnita. Pero notodas las situaciones algebraicas se resuelven planteando el uso exclusivo de la incógnita x con el exponente1. En el tema siguiente trabajarás con otros casos en los que se emplean otras potencias y más de una letracomo variable.

A medida que realices las actividades de este tema descubrirás fórmulas algebraicas en las que se empleanletras para designar pares de números que cumplen la igualdad. En particular, las igualdades que se cumplenpara cualquier par de números se llaman identidades.

5. Los cuadrados de lados a, b y a + b

El desarrollo de esta actividad te permitirá encontrar una relación matemática de gran importancia en laque las letras a y b representan algebraicamente las medidas de los lados de dos cuadrados.

a) Tomá, por ejemplo, 2 cm como valor de a y 5 cm como valor de b, dibujá y recortá:

1. un cuadrado de lado a.

2. un cuadrado de lado b.

3. un cuadrado de lado a + b.

b) Escribí sobre cada uno la medida de su respectiva área.

Seguramente habrás escrito: a2 en el cuadrado de lado a, b2 en el cuadrado de lado b y (a + b)2 en el cua-drado de lado a + b.

c) Ubicá los cuadrados de lado a y de lado b dentro del cuadrado de lado a + b, de manera que un vérti-ce de a2 coincida con un vértice de (a+ b)2 y un vértice de b2 coincida con el vértice opuesto de (a + b )2.Observá que los dos cuadrados más chicos solo tienen un vértice en común. Pegalos en tu carpeta en esaposición.

d) El cuadrado de lado a + b está formado por cuatro figuras. Respondé usando las letras a y b para des-cribirlas, ¿cuáles son cada una de esas figuras? Dibujalas y escribí sus nombres.

e) Expresá el área del cuadrado de lado (a + b) de dos modos diferentes:

1. Mediante un cálculo numérico.

2. De modo geométrico, usando letras para nombrar las figuras.

• Como respuesta a la consigna c habrás hecho dibujos similares a estos.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 14

166

TEMA 2: IDENTIDADES ALGEBRAICAS


• Como cálculo numérico habrás escrito alguna expresión equivalente a las siguientes:

(2 + 5)2 = 22 + 2(2 x 5) + 52 = 4 + 20 + 25 = 49.

f) Repetí la experiencia con otros pares de números.

El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de tres términos: el cuadrado del pri-mero, el doble del producto entre el primero y el segundo y el cuadrado del segundo. En símbolos: (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2

6. El cuadrado de la diferencia

a) En esta actividad volverás a trabajar con dos números a y b, como medidas de los lados de dos cua-drados. Tomá, por ejemplo, a = 5 cm y b = 2 cm . Dibujá y recortá.

1. Un cuadrado de lado a.

2. Un cuadrado de lado b.

3. Un cuadrado de lado a – b.

b) Escribí sobre cada uno la medida de su respectiva área y ubicá dentro del cuadrado de lado a, el cuadra-do de lado b de modo que uno de los vértices de ambos coincida. Dibujálos en tu carpeta en esa posición.


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167

a

a

b

b

b

b

ba

a

a

Como experiencia geométrica que confirma los resultados aritméticos pudiste encontrar la fór-mula que permite generalizar el procedimiento a cualquier par de números.


Seguramente habrás escrito: a2 en el cuadrado de lado a, b2 en el cuadrado de lado b y (a – b)2 en el cua-drado de lado a – b.

c) En el cuadrado de lado a, que contiene al de lado b, trazá las prolongaciones de los lados de b2, hastaque el cuadrado de lado a quede dividido en dos cuadrados y dos rectángulos. Para nombrarlos usá lasletras a y b y anotá lo que corresponda sobre cada lado de los cuadrados y cada lado de los rectángulos.

d) Escribí sobre cada una de las cuatro figuras que componen el cuadrado de lado a, el área correspondiente.

Seguramente tus dibujos son similares a estos.

e) Observá la figura. Para obtener el área del cuadrado de lado a – b, ¿qué áreas se deben restar a la delcuadrado de lado a? Escribí las operaciones que permiten obtener (a – b)2 a partir de a2, b2 y las áreas delos dos rectángulos b . (a – b). Tené en cuenta que si se efectúa el producto entre el largo y el ancho delrectángulo se obtiene el área b . (a – b) y por aplicación de la distributividad del producto, esta área sepuede escribir también como b . a – b2.

f) Efectuá las operaciones necesarias para obtener una expresión de (a - b)2 lo más simple posible.

Seguramente esta experiencia geométrica te permitió encontrar la fórmula que generaliza este procedi-miento a cualquier par de números.

El cuadrado de la diferencia de dos números es igual a la suma del cuadrado del primero y el cua-drado del segundo menos el doble del producto entre el primero y el segundo.En símbolos: (a – b)2 = a2 + b2 – 2 ab.

a

(a – b)2

b2

b(a – b)

b(a – b)

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 14

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a2



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Como habrás notado, para obtener el área (a - b)2 hay que plantear que:

(a – b)2 = a2 – (2ba – 2 b2) – b2 = a2 – 2ba + 2 b2 – b2 y por este camino geométrico se obtienecomo resultado que (a – b)2 = a2 – 2 ab + b2.

El camino algebraico consiste en el cálculo del cuadrado de la diferencia como una potencia de base(a - b) y exponente 2. Es decir que (a – b)2 = (a – b) . (a – b) y distribuyendo ordenadamente losproductos se obtiene a2 – a b – b a + b2 = a2 – 2 a b + b2.

g) Compará el resultado de estas operaciones algebraicas con el resultado que obtuviste por el caminogeométrico, ¿qué observás? Proponé otros ejemplos numéricos para aplicar las igualdades anteriores ycomprobar geométricamente los resultados.

7. La diferencia de dos cuadrados

En la actividad anterior aprendiste a calcular el cuadrado de la diferencia de dos números (a – b)2. Ahora vasa restar dos números cuadrados (a2 – b2).

¡Poné mucha atención! Se trata de dos problemas bien diferentes. En la actividad anterior restaste a y b paraobtener el lado de un cuadrado, en cambio en este caso se trata de los cuadrados de dos números y restarlos.

¡No te confundas! los resultados de estos procedimientos son diferentes porque la potenciación no es una opera-ción distributiva con respecto a la suma ni a la resta como ya viste la unidad 3. Vas a trabajar primero con númerosy luego con figuras geométricas, para comparar los resultados de operar con dos números a y b de modo diferente.

Calcularás los cuadrados de a y de b y luego la diferencia entre esos cuadrados.

Para realizar este trabajo necesitás lápiz, papel cuadriculado y regla graduada. Aunque podés hacerlo sin calcula-dora, si disponés de una, podés usarla. Te va a facilitar las operaciones con números decimales para plantearmayor cantidad de ejemplos.

a) Copiá la siguiente tabla y completala. Trabajá con distintos pares de números racionales a y b, natura-les y también decimales, proponiendo otros ejemplos.

a b a + b a – b (a + b) (a – b) a2 b2 a2 – b2

5 2 7 3 21 25 4 21

0,5 0,3

15 4,5


b) Compará los resultados de la columna del producto (a + b) (a – b) con los de la última donde está ladiferencia de cuadrados a2 – b2. ¿Qué observás? ¿Ocurre lo mismo con cualquier par de números?

El objetivo de la parte que sigue de esta actividad es que verifiques mediante un procedimiento geomé-trico, lo que antes descubriste numéricamente en el cuadro del punto a). Vas a trabajar geométricamen-te con la igualdad: a2 – b2 = (a + b) (a – b), para lo cual dibujarás dos segmentos a y b, por ejemplo, delongitudes a = 5 cm y b = 3 cm.

c) Representá el segmento suma a + b. ¿Cuánto mide?

d) Representá el segmento diferencia a – b. ¿Cuánto mide?

e) Recortá dos cuadrados de lados a y b. ¿Cuánto mide el área de cada uno?

f) Ubicá los cuadrados superponiéndolos de tal modo que coincida uno de sus vértices. El de lado b resul-ta interior al de lado a. Escribí junto a cada lado su medida según corresponda. Dibujá los cuadrados enesa posición y sombreá la figura que resulta de quitar al cuadrado de lado a, el cuadrado de lado b.Obtendrás una figura con forma de L.

g) Trazá la prolongación de un lado de b2 hasta que la figura sombreada quede dividida en 2 rectángulos.

En el dibujo que hiciste siguiendo los pasos indicados, tendrás un cuadrado de lado a, dentro del cualhay un cuadrado de lado b, un rectángulo (R1) de a x (a – b) y un rectángulo (R2) de b . (a – b).

h) Expresá simbólicamente el área de la figura sombreada, comparála con lo que descubriste en la con-signa b y redactá brevemente tus observaciones.

i) Si podés, reunite con otro compañero para comparar lo que escribieron y muéstrenle sus produccionesal docente. Seguramente habrán llegado a una fórmula equivalente a la siguiente: a2 - b2 = (a + b) (a – b).

Lo que comprobaste en esta actividad se puede enunciar de esta manera:

La diferencia de los cuadrados de dos números a y b, se puede obtener multiplicando la suma deesos números por su diferencia.

j) Hacé con tus compañeros un afiche con los cálculos numéricos y los respectivos dibujos geométricosque ilustren las identidades algebraicas que aprendieron en este tema. No dejen de plantear ejemplos connúmeros decimales. Si disponen de calculadora es conveniente que la usen para hacer los cálculos.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 14

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8. Fórmulas equivalentes

a) En la actividad 5 de la unidad 13 de álgebra trabajaste con una familia de rectángulos con lados rela-cionados. La base mide x y la altura x + 2. Obtuviste una fórmula para calcular el área de esta familia derectángulos partiendo de un único dato: la longitud de su base. Respondé:

1. ¿Cuáles de las siguientes fórmulas sirven para calcular el área de los rectángulos de esa familia? Si tehace falta dibujá algunos de esos rectángulos.

• A = x (x + 2)

• A = x2 + 2

• A = x2 + 2 x

• A = x . v + 2

• A = 2 x + v . x

• A = x2 + x + 2

• A = 2 x + x2

• A = 2 x + x +1

b) Si obtuviste más de una respuesta correcta operá a partir de una de ellas con procedimientos alge-braicos, haciendo los cálculos para llegar a la otra y comprobar que son expresiones equivalentes.

Consultá con tu docente acerca de tu trabajo en esta unidad y si es conveniente que consultes algún texto de matemáticapara resolver otras situaciones. En la próxima unidad dedicada a funciones profundizarás acerca de estos temas de álgebra.

Para finalizarEn esta segunda unidad dedicada al álgebra analizaste los posibles pasos a seguir para resolver una

ecuación que tiene una única incógnita, comenzando por el planteo hasta llegar a la verificación. El traba-jo algebraico sobre expresiones que vinculan números y letras -constantes y variables- permite operarcon ellas para determinar los valores de las variables que verifican una igualdad.

Este tipo de trabajo cobra sentido cuando la expresión algebraica resulta de la formulación de un problema plan-teado en lenguaje coloquial y se la va transformando en otras expresiones equivalentes hasta despejar la incógnita.

En particular en la primera parte trabajaste con ecuaciones de primer grado con una incógnita y en lasegunda abordaste procedimientos geométricos para vincularlos con los caminos algebraicos en los quelas letras representan las medidas de figuras. Este tipo de trabajo algebraico permite establecer relacionesde orden general que por cumplirse para todo par de números se denominan identidades. La potencia delálgebra se pone de manifiesto al tratar diversas situaciones que se comportan del mismo modo y puedenser comunicadas mediante una misma expresión algebraica. Tal es el caso de las fórmulas que respondena procesos de generalización, por ejemplo el agrandamiento de figuras según determinado criterio.

En las unidades siguientes referidas al tratamiento de funciones aplicarás muchos de los conocimientosque adquiriste en esta unidad. Como siempre, los desafíos matemáticos que siguen te proponen situacionesinteresantes, en este caso problemas curiosos para resolver mediante el Álgebra.


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MATEMÁTICA 2

UNIDAD 14

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1. Las fichasTenés una serie de disposiciones de fichas como las que te mostramos aquí:

Éstas son las primeras tres figuras. Encontrá una expresión para saber el número de fichas que tiene unafigura según el lugar que ocupa en la serie. Continuá dibujando más arreglos de fichas de esta serie y hacéuna tabla registrando los resultados.

¿Hay más de una fórmula que resuelva la situación? Si podés discutilo con tus compañeros y tu docente.

2. Pitágoras en acción Esta es una propuesta de trabajo a partir del genial teorema de Pitágoras. En lugar de tomar la hipotenu-sa y cada cateto de un triángulo rectángulo para emplearlos como lados de cuadrados, repetí el procedi-miento construyendo triángulos equiláteros en vez de cuadrados. Los tres triángulos equiláteros tienenque tener como lado, respectivamente, la hipotenusa y cada cateto del triángulo rectángulo. Entre lasáreas de los triángulos, ¿se cumple la misma relación que con los cuadrados? O sea, ¿es verdad que: Elárea del triángulo equilátero construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los trián-gulos equiláteros construidos sobre cada cateto?.

¿Qué pasará si tomás las longitudes de los catetos y la hipotenusa y las empleás como lados de otros polí-gonos regulares? ¿Podés probar con hexágonos y octógonos regulares? ¿Por qué?

3. ¿Qué es 365?Todos saben que es el número de días del año pero también presenta otras particularidades. 365 se puedeexpresar como la suma de los cuadrados de tres números consecutivos y también como la suma de loscuadrados de los dos números siguientes a esa terna. ¿cuáles son esos números?



Ya habrás descubierto que en muchas de las creaciones humanas se encuentra presente laGeometría. Desde la antigüedad se puede ver la existencia de esta ciencia en los dibujos y diseñoshechos por el hombre, donde se aprecian cálculos de relaciones espaciales. Te asombrará saber quecasi toda la Geometría que estudiás en la escuela sigue la misma teoría que escribió el matemáticogriego Euclides hacia el año 300 a.C.

En esta unidad, que es la primera de este año en la que tratarás contenidos de Geometría, trabajaráscon las figuras geométricas que ya conocés para descubrir transformaciones que no modifican la formani el tamaño y que permiten no sólo resolver problemas sino también producir bellos diseños. Una deesas creaciones son las guardas que habrás observado, por ejemplo, en telas, tejidos, piezas de alfa-rería, decoración de edificios y monumentos. Las hay de variados diseños y en ellas se encuentranfiguras geométricas que se repiten como si se hubiesen puesto en movimiento.

Los temas que vas a ir descubriendo a lo largo de la unidad —las transformaciones (movimientos ysimetría) y los movimientos en el plano (traslación y rotación)— te van a ir dando las claves para com-prender la construcción de esos diseños.

Las actividades de este tema te ofrecen la posibilidad de conocer movimientos que permiten desplazar figurasen el plano sin cambiar su forma ni sus dimensionesConsultá con tu docente cómo te vas a organizar para realizar estas actividades y cuánto tiempo le vas a dedi-car a completar cada una de ellas.

Para realizar las actividades de esta unidad necesitás un espejo de mano plano con un borde recto, papel decalcar, papel cuadriculado, cartulinas y los útiles de Geometría.

1. ¿Qué movimientos se usan para hacer guardas?

En las imágenes de esta actividad se han combinado distintos desplazamientos de figuras para construirguardas.


UNIDAD 6 Transformaciones geométricas

M 2

TEMA 1: TRANSFORMACIONES EN EL PLANO


1. ¿Cuál creés que es la guarda más fácil de dibujar?, ¿y la más difícil? ¿Por qué?

2. Anotá lo que pienses. Registrá en qué se parecen y en qué se diferencian las guardas.

b) Para comprobar tus ideas vas a dibujar tres guardas con otro motivo de base al que le aplicarás losmismos desplazamientos que observaste en a.

1. Calcá el motivo siguiente y recortalo en cartulina para usarlo como molde.

2. Pasá un lápiz por el contorno las veces que sean necesarias para dibujar guardas con movimientossimilares a los que aparecen en A, B y C. Realizá cada una de los motivos en una hoja grande.

3. Anotá para cada uno qué movimientos tuviste que hacer con el molde para construirlos.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 6

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A

B

C

a) Observá estas guardas A, B y C.


En la guarda C, al girar el molde y dibujar las nuevas figuras, realizaste una rotación. Esta trans-formación tampoco modificó la forma ni el tamaño de la figura original, sólo cambió su ubicación.

Al realizar una traslación o una rotación se obtiene una nueva figura que es la imagen de la pri-mera. Esta imagen se puede superponer sobre el modelo original y coincide exactamente con él, puesno se modificaron su forma ni su tamaño.


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Para formar las tres nuevas guardas hubo que trasladar el molde. En un caso fue suficientecon realizar giros; en cambio, en otro fue necesario dar vuelta el molde en el aire y dibujar elmodelo como si se lo viera en un espejo.

Al mover el molde deslizándolo según una dirección, sin girarlo, se obtiene una imagen de lafigura inicial de la misma forma y el mismo tamaño. En matemática se dice que se ha aplicadoun movimiento de traslación. Se lo denota mediante una flecha que indica la dirección y el sen-tido del desplazamiento.

c) Leé la siguiente información y comparala con tus anotaciones:


Cuando dos figuras que se superponen coinciden exactamente se dice que son congruentes.Por

ejemplo, si dos triángulos ABC y DEF son congruentes anotamos ABC = DEF. Los lados de estos

triángulos son congruentes AB = DE; AC = DF; CB = FE. Y también son congruentes sus ángu-

los .

En el caso de la guarda B, antes de hacer traslaciones para completar la guarda, fue necesario dibu-jar la imagen como si estuviera reflejada en un espejo. Esa transformación también mantiene laforma y el tamaño, pero cambia el sentido de la figura. Es una simetría.

En este caso, la figura original y su imagen no resultan congruentes sino simétricas.

Las traslaciones y las rotaciones son movimientos directos del plano porque las imágenes tie-nen el mismo sentido que las figuras originales, es decir que resultan congruentes. En cambio, lasimetría si bien es una transformación que no modifica las dimensiones, no se puede considerarun movimiento en el plano porque, para obtener la imagen simétrica de una figura, es necesario“darla vuelta” y cambiar su sentido.

d) Observá estas figuras e imaginá qué transformaciones hay que aplicarle al modelo que ya usaste en laconsigna b para formarlas. ¿Identificás traslaciones? ¿Creés que será necesario hacer rotaciones?, ¿y sime-trías? Anotá tus observaciones.

A = D ; B = E y C = F

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 6

72

A

C

D

F

EB


Para verificar tus notas podes reproducir las figuras en papel de calcar.

En las actividades que siguen verás cómo definir con precisión estas transformaciones: los movimientos detraslación y rotación, y además, la simetría. Vas a tener oportunidad de expresar vos mismo tus observacio-nes y después compararlas con formas de expresarlas simbólicamente a través del lenguaje matemático.

Recordá tener a mano los materiales que te fueran pedidos con antelación.

2. ¿Cómo se indican las traslaciones?

En la actividad anterior aprendiste a mover figuras para obtener imágenes sucesivas. Ahora aprenderáscómo se indican esos movimientos.

a) Calcá los siguientes triángulos en una hoja de papel de calcar y descubrí qué figuras son el resultadode aplicar traslaciones a la figura sombreada. Marcálas con un color.


M 2

73


b) Señalá mediante flechas en tu dibujo calcado en qué dirección y sentido se hicieron las traslaciones. Laflecha debe partir de un punto del triángulo original y llegar al punto correspondiente en la imagen queresulta de aplicar el movimiento.

c) Dibujá una figura, llamala A y otra I que sea una transformación de A. Copiá la figura A en una hojacuadriculada y recortá en cartulina la figura I; luego seguí los siguientes pasos.

1. Entregále la hoja con el dibujo A y el recorte de cartulina I a un compañero. Dale instrucciones porescrito para que este compañero, sin ver tu carpeta, pegue la figura de cartulina de modo que las figu-ras A e I en su hoja puedan superponerse exactamente con las figuras A e I dibujadas en tu calco. Paraeso es necesario que las instrucciones sean muy precisas.

2. Si las figuras no quedaron como en tu calco, tratá de descubrir qué falló y revisá con tu compañerolas instrucciones y el dibujo.

3. En cualquier caso, comentá el resultado de esta experiencia con tu docente.

d) En la figura siguiente, tres de los puntos marcados son los vértices del triángulo que se obtiene al rea-lizar una traslación del triángulo ABC.

1. El punto C’ es el trasladado que corresponde al punto C. ¿Cuáles son los que corresponden a losvértices A y B por la misma traslación? Descubrilos y señalalos con las letras A’ y B’.

2. Anotá cómo te diste cuenta y después compará tu explicación con la información siguiente; si teparece necesario, modificá tu explicación.

Para trasladar una figura se necesita indicar con precisión el movimiento que se desea aplicar.Por ejemplo, si se trabaja sobre un papel cuadriculado se puede indicar una traslación señalando

que cada punto de la figura se desplazará 5 unidades a la derecha y 1 en sentido vertical hacia abajo.Si se tiene como referencia un par de ejes perpendiculares x e y se anota: T = 5 i +(–1) j. En esa nota-ción la letra i indica las unidades del desplazamiento en la misma dirección del eje de las x, y la letraj indica las unidades del desplazamiento vertical en la dirección del eje y.

e) Antes de iniciar la próxima actividad escribí en tu carpeta una síntesis de lo que aprendiste sobre tras-laciones. Anotá las ideas que consideres más importantes y mostrale tu trabajo al docente.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 6

74

A

B

C C’


3. ¿Cómo se indican las rotaciones?

Tal como se planteó en la actividad anterior, una traslación se puede indicar gráficamente por medio deuna flecha y también algebraicamente mediante una expresión que es la suma de dos términos: el númerode unidades que un punto se debe trasladar en el sentido del eje x (i) y el número de unidades que se debetrasladar en el sentido del eje y (j). Ahora vas a estudiar cómo se indican las rotaciones.

Para las actividades del tema siguiente vas a necesitar nuevamente un espejo rectangular y los útiles de Geometría.

a) Revisá las anotaciones que hiciste en la actividad 1 al realizar la guarda C. ¿Qué considerás que es nece-sario anotar para describir una rotación?

b) Observá estas rotaciones. Los giros se hicieron siempre en el mismo sentido que las agujas del reloj.Escribí en qué se parecen y en qué se diferencian.

1. Si no observás la diferencia, calcá sobre papel transparente una figura como la del modelo. Parahacerla girar, pinchá con un alfiler o una chinche sobre una madera para obtener la imagen de la figurasombreada por las rotaciones R1, R2 y R3. Observá con atención el lugar en que pinchás el papel y elgiro que realiza la figura original sombreada para superponerse con la imagen.

c) Compará ahora R1 con R4, R5 y R6. ¿Qué se mantiene igual y qué cambia en cada caso?


M 2

75

R1 R2 R3

R4 R5 R6


d) Leé la siguiente información y comparala con tus notas.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 6

76

Como habrás notado, hay un punto alrededor del cual giran las figuras. Este punto que queda fijo sellama centro de rotación. En este caso, el centro de rotación es un punto A de la figura, y por lo tantocoincide con su imagen A´. La distancia de cualquier punto de la figura original al centro es la mismaque la de su correspondiente por la rotación. Por ejemplo BA = B´A y CA = C´A.

A veces, el centro de rotación es un punto que no pertenece a la figura, como en R6, o que no corres-ponde a ninguno de sus vértices, como en R5.

Además del centro hay que definir la amplitud del ángulo de giro y el sentido enque se realiza. Si el sentido de la rotación es el de las agujas del reloj, se considera posi-tivo y se indica con el signo +; en caso contrario, el sentido es antihorario, se conside-ra negativo y se indica con el signo –.

Para medir el ángulo de rotación hay que considerar el ángulo quetiene como vértice el centro de la rotación y además, a sus lados perte-nece un punto cualquiera de la figura inicial y su correspondiente enla imagen.

Por ejemplo, para estas rotaciones consideramos el punto A como vértice y centro derotación, y los puntos B y su correspondiente B´ pertenecientes a los lados del ángulo.

En símbolos, una rotación de centro O y ángulo BAB' en sentido positivo se indi-ca:

R(O, + ) o bien R(O, ) porque se puede omitir el signo + delan-te del ángulo.

'ˆBAB'ˆBAB

A

B

C’

B’

C

A

B

B’



M 2

77

En las actividades anteriores utilizaste lenguaje matemático para indicar simbólicamente las traslaciones ylas rotaciones. En el caso de las traslaciones es suficiente con indicar el desplazamiento de cada puntomediante un par de coordenadas x e y; en cambio, una rotación queda bien determinada indicando el cen-tro, el ángulo y el sentido (positivo o negativo) en el que se hace la rotación.

En la actividad que sigue vas a identificar simetrías. Recordá traer los materiales solicitados anteriormente.

4. ¿Cómo se indican las simetrías?

a) Apoyá el borde de un espejo rectangular sobre cualquiera de las líneas marcadas en el dibujo siguiente.

1. Observá la imagen que se refleja y comparala con la parte del dibujo que queda oculta por el espe-jo. Fijate si coincide.

2. Anotá tus observaciones en la carpeta.

b) Copiá los dibujos de la página siguiente sobre una hoja cuadriculada de la siguiente manera.

1. Dibujá sobre la cuadrícula las imágenes que se ven al apoyar el espejo sobre las líneas marcadas.

TEMA 2: SIMETRÍA

A

E

B

F

CD


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 6

78

2. Para comprobar si tu dibujo es correcto, calcá los contornos de las figuras y las líneas remarcadas.

3. Si al doblar el papel de calco por la línea las figuras coinciden y el dibujo muestra la imagen del espe-jo, tu dibujo está bien realizado.

4. Si al doblar el papel los dibujos no coinciden, tratá de descubrir cómo modificarlo para que coincidan.

5. En cualquier caso, mostrale tu trabajo al docente.

c) Leé esta explicación y buscá los elementos que se describen en la figura que realizaste en el puntoanterior.

A cada punto de la figura le corresponde un puntoque es su simétrico con respecto al eje:

H es el simétrico del punto G con respecto al eje e;T es el simétrico del punto M con respecto al eje e.En este caso, decimos que la figura es simétrica con

respecto a esa línea que llamamos eje de simetría.


d) Reconocé en la figura siguiente para cada uno de los puntos A, B y C cuál de los puntos marcados essu simétrico con respecto al eje e. Indicalo con A´, B´ y C´ en cada caso. Compará tu trabajo con el de uncompañero. Anotá en tu carpeta las conclusiones de esta experiencia.

e) Leé atentamente la información siguiente que define el simétrico de un punto usando el lenguaje mate-mático y comparala con las conclusiones que escribiste.

Dos puntos son simétricos respecto de un eje si se encuentran sobre una misma recta perpendicularal eje y a la misma distancia de él. Para expresar en símbolos una simetría de eje e, se indica S(e).

La distancia de un punto a una recta se toma en la dirección perpendicular a la recta. Si bien esposible medir con regla las distancias OA y OA’, esta medida es aproximada y la lectura en la reglapuede introducir un error no deseado. El uso del compás es más preciso porque no es necesariomedir, basta verificar que las distancias sean iguales.

f) ¿Cómo encontrarías el simétrico de un segmento? ¿Y el de un triángulo?

1. Comentá con un compañero o tu docente la manera que pensaste e intentá verificarla. Si no se teocurre una forma para hacerlo, volvé a observar las imágenes que dibujaste usando el espejo. Marcá losvértices de las figuras y relacioná esos dibujos con la información anterior.

En la actividad siguiente podrás aplicar lo que aprendiste en esta unidad. Antes de resolverla, seguramente teserá útil revisar las actividades anteriores. Podés releer los textos destacados y también volver a analizar losgráficos.


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A

e

e

eB

C


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 6

80

5. Diseños, simetrías y movimientos

a) Volvé a observar las guardas de la actividad 1. Elegí alguna, identificá la figura original y describí lastransformaciones sucesivas que se le aplicaron para construirla usando la notación que aprendiste.

b) Te proponemos un ejercicio divertido: “¿Qué dice aquí?”. Podés usar un espejo para explorarlo y des-pués resolvé las consignas que siguen.

1. ¿Cómo lo descubriste? Explicalo en tu carpeta.

2. Escribí tu nombre u otras palabras en un papel y sorprendé a tus compañeros con el “lenguaje delos espejos”.

Para finalizarComo se planteó en el texto que presenta la unidad, esta fue la primera unidad de este año en la que tra-

bajaste sobre contenidos de Geometría. Los temas que en ella se desarrollan te habrán resultado familia-res porque ya los abordaste en la unidad 9 del Cuaderno de estudio 1. En esta oportunidad se trata de queamplíes tu capacidad de producir imágenes que ilustren o representen determinados conceptos y tambiéntu capacidad de realizar ciertas lecturas visuales a partir de representaciones.

Resolviendo estas actividades profundizaste tus conocimientos acerca de las transformaciones en elplano. Por un lado —traslaciones y rotaciones— que dejan invariantes la forma y el tamaño de las figuras yreciben el nombre de movimientos directos porque no alteran el sentido de las formas orientadas. Lasimágenes que se obtienen a partir de estos movimientos directos son congruentes con las figuras origina-les, vale decir que pueden superponerse exactamente mediante un deslizamiento que no salga del plano.Por otro lado, estudiaste también otras transformaciones, las simetrías, que si bien conservan el tamaño yla forma de las figuras, cambian su orientación de modo que de una figura y su imagen por una simetría nose puede decir que sean congruentes sino simétricas.

Al trabajar sobre rotaciones reafirmaste la importancia de tener en cuenta la orientación de los ángulos,en sentido positivo cuando su amplitud aumenta en el mismo sentido que las agujas del reloj, o bien en elsentido contrario, llamado también negativo. Además, tuviste oportunidad de apreciar otra vez el uso delcompás en la determinación de distancias iguales.

No hay duda de que al terminar tu trabajo con esta unidad estás en condiciones de realizar creativosdiseños, resolver problemas y expresar lo que aprendiste sobre las figuras y los movimientos utilizando ellenguaje matemático adecuado.

S U E R T E


1. Una estrella de seis puntasSe trata de construir, en cartón o cartulina, un rom-pecabezas para que a partir de un triángulo equilá-tero puedas armar una estrella de seis puntas.

Aquí van algunos datos:

• L es el punto medio de AB.

• Q es el punto medio de AL.

• G es el baricentro.

Cuando muevas las piezas, anotá qué movimientosles aplicás.

2. Un rompecabezas en cruzConstruí un rompecabezas como este haciendo dos cortes perpendiculares y usá las cinco piezas comomoldes para formar un cuadrado, un rectágulo o un triángulo rectángulo.

En cada caso, anotá los movimientos que le aplicás a las piezas.


M 2

81


AI S J

C

P

K

B

G

L

Q

1

24 5

3

5

1


3. Con dos cuadradosConstruí un rompecabezas cuadrado de cuatro piezas como se indica en la figura y con esas piezas armádos cuadriláteros diferentes.

Algunos datos:

• El cuadrado es de un dm2.

• El cateto menor del triángulo rectángulo mayor mide 7,5 cm.

• La hipotenusa del triángulo rectángulo más pequeño mide 2,5 cm.

Anotá los movimientos que aplicás a las piezas.

4. A pensarTres pueblos necesitan construir un pozo para abastecerse de agua. Cada intendente desea que las con-ducciones de agua hasta su pueblo no sean más largas que las de cualquiera de sus vecinos; por ello handecidido perforar en un lugar que se encuentre exactamente a la misma distancia de los tres. ¿Cuál seríala ubicación?

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 6

82

P2

P1

P3


En unidades anteriores estudiaste fórmulas en las que se usan letras para simbolizar cantidades varia-bles, como el perímetro de figuras o el largo y el ancho de rectángulos. Esas letras, a las que se denominavariables, tienen un papel muy importante en Matemática, porque facilitan la descripción de relacionesque se verifican en un tipo general de casos y, una vez obtenidas, pueden ser aplicadas a muy diferentessituaciones particulares. Es el caso, por ejemplo, de la fórmula para calcular el área del triángulo enla que b y h pueden reemplazarse por las medidas de la base y la altura de cualquier triángulo del que senecesite medir la superficie. El Álgebra es la parte de la Matemática que se ocupa de estas expresionessimbólicas en las que intervienen letras con las que se puede operar como si fueran números. Estas expre-siones se usan tanto en igualdades, llamadas ecuaciones, como en desigualdades llamadas inecuaciones,que estudiarás en esta unidad. También aprenderás a usar procedimientos del Álgebra como instrumentoen la resolución de problemas.

1. Las figuritas

a) Leé la siguiente situación y luego respondé en tu carpeta las preguntas que hay intercaladas en el relato.

Paula y Mariana coleccionan figuritas. Martín le preguntó a Paula cuántas figuritas tenía. La respues-ta de Paula fue: “Con 6 más voy a tener cuatro veces lo que tiene Mariana”. Martín pensó un ratoy razonó así: Si Paula tiene 2 figuritas, con 6 más son 8 y entonces Mariana tiene 2 figuritas. Pero siMariana tuviera 5, Paula debería tener 14 figuritas.

1. ¿Es correcto el razonamiento de Martín?

2. Expresá con símbolos esa situación.

3. Comprobalo y escribí otro par de números que puedan dar solución al problema.

Martín resolvió hablar con Mariana, pero, para no olvidarse, y pensando que p es el número de figu-ritas de Paula y m el número de figuritas de Mariana, anotó: p + 6 = 4 . m. Cuando se encontraronMariana le dijo que tenía 10 figuritas. Miguel, que no sabía cuál era el problema, vio escrita la igual-dad de Martín y pensó: “Si en lugar de p se pone 6, también hay que cambiar m, y para que la igual-dad se cumpla, hay que poner 3”.

2hb .


UNIDAD 13 Álgebra (I)

M 2

TEMA 1: ECUACIONES E INECUACIONES


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 13

152

4. ¿Cuántas figuritas tiene, entonces, Paula?

5. Ensayá otra sustitución de p y averiguá cuál es la sustitución de m que corresponde para que laigualdad: p + 6 = 4 . m sea verdadera.

6. ¿Se puede poner cualquier número en lugar de p? Hacé una tabla y explorá distintos valores de p.

7. Los números que hacen verdadera la igualdad tienen una característica común; ¿cuál es?

En la siguiente actividad y en otras de esta unidad, vas a encontrar la explicación de un proceso en el cual se partede una expresión y se recorre un camino en el que esa expresión se va transformando en algo equivalente. Aquí ycada vez que te enfrentes con este tipo de desarrollo, te conviene ir anotando los pasos sucesivos e ir haciendo loscálculos para entender qué sucede en cada paso y cómo se llega al resultado. Esto es muy importante cuando setrabaja con ecuaciones y también en las transformaciones geométricas o en distintos tipos de cálculos combinados.

2. Incógnitas y variables

En esta actividad se presentan los elementos que componen una ecuación; ellos te permitirán aproximar-te al Álgebra.

a) Leé la siguiente información y tomá nota de todo lo que te parezca necesario para acordarte de quées una incógnita y cómo se descubre.

• • • ¿Cómo se halla el valor de una incógnita?

La igualdad p + 6 = 4 . m que surgió en la actividad anterior es un ejemplo de una ecuación. Estenombre viene del verbo æquare, que en latín significa igualar.

La igualdad en la ecuación p + 6 = 4 . m no se cumple para cualquier número p y cualquier núme-ro m, sino sólo para algunos valores determinados (como pudiste observar en la actividad anterior). Lomismo sucede en todas las ecuaciones: hay una incógnita, es decir una expresión cuyo valor numéricono se conoce y hay que descubrirlo. Cuando se lo encuentra, se reemplaza la incógnita por ese núme-ro y se resuelve la ecuación, como ya viste en el caso de las figuritas.

Generalmente se usa una letra x para representar al valor desconocido, pero también se pueden usarotras letras, como las letras p y m en el caso anterior. Para hallar el valor de una incógnita se hacen lasoperaciones inversas de las que permitieron llegar al resultado.

Cuando en una ecuación hay varias operaciones, para hallar la incógnita hay que aplicar las opera-ciones inversas respetando el “orden inverso”, como si recorriéramos el mismo camino en sentidocontrario. Por ejemplo, para hallar el valor de x en la ecuación x . 5 – 3 = 32 y como el orden correc-to de las operaciones es primero la multiplicación y después la resta, la expresión simbólica indicaque, partiendo de x, hay que multiplicar por 5 y restar 3 para obtener como resultado 32. Entonces,para resolver la ecuación y encontrar el valor de x se parte de 32 y se aplica la operación inversa dela resta y después la inversa de la multiplicación, en ese orden. Vale decir que, partiendo de 32,sumamos 3 y al resultado lo dividimos por 5. Por lo tanto, x = 7.


Las ecuaciones son igualdades en las que hay que descubrir un número, llamado incógnita.

b) Leé esta explicación sobre los elementos a los que se denomina variables y tomá nota de lo que teparezca necesario para acordarte de qué es una variable.

c) Observá esta situación y resolvé las consignas.

En la inecuación x < 3, como se trata de encontrar los valores de x iguales o menores que 3, laletra x puede tener distintos valores.

1. Escribí tres valores que satisfagan esa inecuación, es decir que al reemplazarlos se convierta en unaexpresión correcta.

2. Probá si los siguientes valores hacen verdadera la inecuación mencionada y justificá tus respuestas.

2 –3 0 5 22 1,5 32 122 1227

21


M 2

153

Cuando es necesario indicar que las operaciones se resuelven en un orden distinto del quemarcan los términos (indicados por los signos + o –) se usan paréntesis. Por ejemplo, la expre-sión (x – 3) . 5 = 45 indica que primero se resuelve la operación dentro de los paréntesis y des-pués se multiplica por 5; y para averiguar el valor de x, a 45 se lo divide por 5 y al resultadose le suma 3. Por lo tanto, x = 12.

Para verificar si el resultado es correcto basta reemplazar en la primera expresión a x por el valorobtenido y resolver el cálculo: (12 – 3) . 5 = 9 . 5 = 45.

• • • Variables y valores

Las relaciones numéricas que se expresan con los signos mayor (>) y menor (<) se llaman des-igualdades, y las relaciones algebraicas correspondientes se llaman inecuaciones.

En algunos casos se usan los signos mayor o igual (>) o menor o igual (<) para indicar que en esoscasos, además de la desigualdad, también es válida la igualdad. En las inecuaciones, igual que en lasecuaciones, se usan letras para indicar las incógnitas o variables.

Cada letra representa una variable o sea que algunas veces puede tener más de un valor y repre-sentar más de un número. Por ejemplo, en la ecuación x2 + 5 = 9, el número 5 no varía, es una cons-tante, pero la letra x puede valer +2 o bien –2 porque (+2)2 = 4 y también (–2)2 = 4. En cambio, enla ecuación x + 5 = 19, al encontrar la solución x = 14 y reemplazar la x por 14, se cumple la igual-dad 14 + 5 = 19, y 14 es el único número posible.


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 13

154

En la siguiente actividad podrás usar las notas que tomaste sobre inecuaciones e incógnitas.

3. La edad de Jimena

a) Copiá el siguiente problema en tu carpeta y revolvé las consignas.

Dentro de cinco años, Jimena será mayor de 18 años. ¿Qué edad tiene actualmente Jimena?

1. Planteá el problema en forma simbólica y luego realizá las operaciones correspondientes parahallar el valor de la incógnita.

2. Con los datos que tenés, ¿podés saber la edad actual de Jimena?

3. Compará lo que escribiste con la explicación que sigue y, si te parece necesario, reescribí tus respuestas.

Si la letra x representa la edad actual de Jimena, x + 5 es la edad de Jimena dentro de 5 años.Entonces, x + 5 >18.

Resolver la inecuación significa partir de 18 para encontrar x. Se trata de despejar x como en elcaso de las ecuaciones, para lo que se puede hacer la operación inversa de +5 que es –5 en ambosmiembros de la desigualdad x + 5 > 18:x + 5 –5 > 18 –5x > 18 –5x > 13

Ahora se sabe que la edad de Jimena es mayor de 13 años.

La inecuación expresada en forma simbólica tiene como respuesta un número infinito de solucio-nes. Pero, de acuerdo con el problema que estamos resolviendo, por tratarse de una edad, de esasinfinitas soluciones sólo se considerarán las que corresponden a números naturales.

Una inecuación queda resuelta cuando se encuentra el o los números que puestos en reemplazo de

una letra llamada incógnita hacen verdadera la expresión.

En este caso, seguramente encontraste que 22, y no satisfacen la inecuación porque son

números mayores que 3. Además de los valores que ya viste que satisfacen la inecuación, hay infi-

nitos valores que también hacen verdadera esta desigualdad, pero como es imposible escribirlos

todos, uno por uno, es útil representar las soluciones de las inecuaciones sobre una recta numérica.

En la recta están presentes los infinitos puntos que corresponden a números racionales e irraciona-

les y mediante ese recurso es posible representarlos a todos.

1227

0 1 2 3


Más adelante, al avanzar en tus conocimientos matemáticos, te enfrentarás a casos en los que, en lugarde hacer operaciones con números naturales, necesitarás operar con otra clase de números. En particu-lar, en la actividad siguiente podrás aplicar lo que aprendiste sobre las distintas clases de números.

4. Las inecuaciones en la recta numérica

a) Leé la situación y revolvé las consignas.

En la quebrada del río Pinturas, en la provincia de Santa Cruz, está la Cueva de las Manos, en cuyasparedes y aleros se encuentran pinturas rupestres realizadas por los tehuelches. Esas pinturas hansoportado el paso de siete, ocho o nueve mil años según los casos. Fueron descubiertas en 1941por el padre salesiano Alberto de Agostini.

1. Copiá en tu carpeta la siguiente recta numérica que representa una línea histórica. Está gradua-da en milenios, o sea que cada unidad corresponde a 1000 años.

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

2. Marcá con un punto D la fecha del descubrimiento de las pinturas.

3. ¿Qué número en milenios corresponde a una pintura que al finalizar el segundo milenio tenía7000 años de existencia? ¿Y una de 8000? ¿Y una de 9000 años?

4. Representá con puntos P, Q y R las fechas posibles de realización de esas pinturas rupestres.¿Qué clase de números les corresponde?

5. Marcá con color, sobre la recta, la época de realización de esas pinturas.

6. Llamando x a cada punto, racional e irracional, de la recta que sustenta la línea histórica dibu-jada, ¿cómo podés escribir la relación que representa la época en que fueron realizadas esas pin-turas rupestres?

7. ¿Cuál es la inecuación que representa la época posterior al descubrimiento de las pinturas?

8. Dibujá otras rectas numéricas para representar las siguientes inecuaciones:

x < -1 x + 3 > 0 x – 2 < 2 2 x > 2

A partir del tema 2, vas a estudiar en qué procedimientos el Álgebra ayuda a resolver problemas mate-máticos.


M 2

155


5. Proceso de generalización

a) Respondé en tu carpeta las siguientes preguntas.

1. ¿Cuál es el área de un rectángulo de 3 m de base y 5 m de altura?; ¿y la de uno de 4 m por 6 m?; ¿yla de uno de 5 m por 7 m?; ¿y la de uno de lados de 8 m y 10 m?

2. La colección de rectángulos anterior tiene una característica común que es la relación entre sus ladosa y b. Escribí simbólicamente esa relación.

3. Ahora dibujá uno de esos rectángulos y usá b como lado para dibujar un cuadrado dentro del rec-tángulo. Describí las dos figuras en las que ha quedado dividido el rectángulo.

4. Escribí el área de cada rectángulo expresada como la suma del área del cuadrado más el área de laotra figura.

5. Si llamás x a la base del rectángulo, ¿qué fórmula permite calcular la superficie total teniendo comoúnico dato la medida x de la base? Esa fórmula ¿es válida para cualquier rectángulo de esta familia?

6. ¿Pensás que la fórmula que hallaste tiene una única expresión simbólica? Comparala con la de otrocompañero y consultá con tu docente sobre los resultados.

El uso de letras para las variables del ejercicio te permitió realizar un procedimiento propio del Álgebra. Tomastela característica común a todos los rectángulos cuya altura mide 2 unidades más que su base y la empleaste paralograr una fórmula de cálculo del área de cualquier elemento de esta familia de rectángulos, partiendo de su basecomo único dato. En este proceso de generalización dejaste de lado la medida específica de los lados, que es unacaracterística particular de cada rectángulo de esta familia, y tampoco te fue necesario dibujarlos a todos ya queconsideraste lo que les ocurre por pertenecer a esa familia y no lo referido a sus particularidades.

6. Expresiones algebraicas equivalentes

Desde hace mucho tiempo venís trabajando con el signo igual.Ahora también aparece en las ecuaciones. Ese signo igual ya no es sólo la indicación que escribís cuando

resolvés un cálculo, como 3 + 2 = 5, sino que relaciona dos expresiones equivalentes, o sea que tienen elmismo significado. Para el mismo valor de una incógnita, las expresiones del primero y del segundo miem-bro de la igualdad son iguales porque tienen el mismo valor numérico, y eso debe suceder siempre.

Si escribís 20 + x = 25 no estás tratando de sumar la x al 20, sino de encontrar cuándo esa suma, 20 + x,toma el valor 25.

Cuando quieras despejar x para encontrar su valor, tenés que cuidar que siempre se mantenga el equili-brio entre los dos miembros de la igualdad. Para asegurar ese equilibrio es necesario proceder paso a paso,aplicando a ambos miembros de la igualdad las mismas transformaciones.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 13

156

TEMA 2: EL ÁLGEBRA COMO INSTRUMENTO


a) De la siguiente lista de ecuaciones, copiá en tu carpeta las equivalentes a 20 + x = 25.

b) Si en la consigna a contestaste que algunas son equivalentes a la ecuación propuesta, respondé:

1. ¿Qué transformaciones se hicieron en 20 + x = 25 para llegar a ellas?

2. ¿Cuándo tuviste que emplear operaciones inversas para contestar? Escribí los ejemplos y cómolos resolviste.

c) Conversá con tu docente y con tus compañeros para ver si están de acuerdo con tus respuestas.

En la actividad siguiente aplicarás los conocimientos de Álgebra que ya lograste para resolver algunas situaciones.Volvé a mirar tus anotaciones en la carpeta o las explicaciones del cuaderno siempre que lo necesites.

7. Para resolver con ayuda del Álgebra

a) A continuación se presentan cuatro situaciones con consignas para realizar en cada una. Resolvelas entu carpeta aclarando la letra y el nombre de la situación. Si podés, comentá con tus compañeros las res-puestas que cada uno fue encontrando.

1. En dos sectores de una estantería hay guardados autos de juguete. Todos los autos son iguales.El sector izquierdo de la estantería mide lo mismo que el derecho.

• Expresá con símbolos esta situación.

• Calculá, empleando la ecuación que escribiste, cuánto mide cada auto.

• ¿Cuál es el largo de cada sector de la estantería?


M 2

157

1. 25 – x =20

2. 18 + x = 23

3. x – 2 = 7

4. x = 25 – 20

5. 25 + x = 20

6. 20 + x – 25= 0

7. 20 x = 25

8. = 1

9. 2 x + 15 = 25

10. 20 + x = 15

5x

70 cm40 cm


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 13

158

2. Los siguientes diseños corresponden a marcos hechos con placas cuadradas.

• Calculá la cantidad de cuadrados nece-saria para dos diseños que le sigan entamaño a estos primeros tres.

• Escribí una fórmula general para calcularel número de placas cuadradas que bor-dean el cuadrado central según el númerode orden de la figura. (Sugerencia: llamá xal número de placas del marco y n alnúmero de orden del diseño.)

3. Un comercio vende alfajores en cajas de distinto tamaño. Cada caja contiene los alfajores dedulce de leche envueltos con papel dorado, y los de fruta, con papel plateado, según lo muestranlas tres cajas rectangulares que ves en la figura de abajo, siempre con tres filas en cada una.

• ¿Cómo podés expresar la relación entre la cantidad de alfajores de una y otra clase que hay en cada caja?

• Si sabés cuántos alfajores de dulce de leche hay en una caja, ¿podés decir cuántos hay de fruta ycuántos en la totalidad de la caja?

• Si sabés que una caja tiene 36 alfajores en total, ¿podés averiguar cuántos de cada clase contiene?

4. La suma de cuatro números consecutivos es 98; ¿cuáles son los números? (Ayuda: llamá x al pri-mero, x + 1 al siguiente y así sucesivamente.)

Para finalizarVos mismo podés escribir el texto final de esta unidad. Para ello tendrás que revisar lo estudiado en cada

tema. Desde las primeras actividades estuviste tomando nota a modo de síntesis para acordarte de lascaracterísticas de incógnitas y variables. También respondiste preguntas y anotaste conclusiones. Todosesos textos te servirán para escribir la síntesis. Procedé de la siguiente manera: escribí el título del tema yun breve texto sobre cada uno.

El texto que escribas te servirá para revisar lo que aprendiste cuando en la próxima unidad sigas traba-jando sobre temas de Álgebra, en particular sobre las ecuaciones.

Los desafíos que aparecen a continuación te ofrecen una buena ocasión para que pienses situaciones de lavida cotidiana, algunas planteadas por matemáticos famosos, usando los elementos de Álgebra que acabás deaprender. También podrás utilizar los números que ya conocés.

1 2 3




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159

1. El epitafio de Diofanto Diofanto fue un matemático griego del siglo lll que tuvo gran influencia entre los matemáticos árabes.Entre sus obras se conservan tratados sobre los números y seis de sus trece libros de Aritmética, queconstituyen el primer tratado de álgebra griega. Es muy notable porque, en general, los matemáticos grie-gos de esa época estaban dedicados al estudio de la Geometría y no del Álgebra.

a) Leé atentamente y tratá de resolver el problema planteado.

El desafío consiste en calcular los años que vivió Diofanto y los que vivió su hijo.

2. Pirámides numéricasAgregá una o dos filas más a estas curiosas pirámides.

Seguramente, al efectuar las operaciones respetaste el orden indicado por los paréntesis. Si disponés decalculadora, explorá cómo se comporta la pirámide cuando un resultado tiene más de ocho cifras.

12 = 1

112 = 121

1112 = 12321

11112 = 1234321

111112 = 123454321

1111112 = 12345654321

11111112 = 1234567654321

(0 . 9) + 8 = 8

(9 . 9) + 7 = 88

(98 . 9) + 6 = 888

(987 . 9) + 5 = 8888

(9876 . 9) + 4 = 88888

(98765 . 9) + 3 = 888888


3. Cuadrados con números¿Sabés que un cuadrado mágico es una disposición de igual número defilas y de columnas en cuyos cuadros se ubican números de modo quelas sumas de los números de cada fila, de cada columna y de cada dia-gonal sean iguales?

En el mundo islámico, los cuadrados mágicos se desarrollaron en lossiglos IX y X hasta que alcanzaron su apogeo en el siglo XII. Los cua-drados mágicos llegaron a Europa en el siglo XIV en textos traducidosdel árabe. Su denominación árabe original fue disposición armoniosade los números.

a) Te presentamos un cuadrado mágico 4 x 4. Su número mágico es34 y además posee otra propiedad: sumando 4 números que estén en casillas que formen un cuadradotambién se obtiene la misma suma. Comprobalo.

b) Si trasladás la columna de la izquierda a la derecha, ¿se mantiene esa propiedad? ¿Ocurre lo mismo simovés una línea de abajo hacia arriba? ¿Por qué?

4. Un símbolo griegoEste signo está ligado a ciertas inscripciones de antiguos monumentos conmemorativos encontrados enGrecia, y funciona de algún modo como un sello o una firma. Resulta agradable descubrir que el símbolo,formado por un triángulo equilátero inscripto en una circunferencia puede trazarse con una sola línea con-tinua, sin volver a pasar por ninguna línea. Pero si nos permitimos pasar sobre algunas líneas todas lasveces que deseemos, sin levantar el lápiz, con la menor cantidad posible de cambios de dirección en eltrazo, la tarea se convierte en el mejor acertijo de este tipo que se haya inventado nunca.

El símbolo griego puede dibujarse con una sola línea contínua con trece cambios de dirección. Te desafia-mos a que lo pruebes.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 13

160

4 5 16 9

14 11 2 7

1 8 13 12

15 10 3 6


En esta unidad vas a volver a considerar el tema de los cuadriláteros, que seguramente ya trabajaste enla escuela; por ejemplo, cuáles son, en qué se diferencian de otras figuras, cómo identificar algunas de suspropiedades a partir de analizar sus diagonales. Ahora vas a realizar actividades que te permitirán justi-ficar, tanto experimentalmente como de manera formal, otras propiedades de los cuadriláteros. Muchasde esas propiedades vas a poder estudiarlas aquí, porque se ponen en evidencia al aplicar las transfor-maciones que estudiaste en la unidad anterior. Por lo tanto, vas a volver a estudiar los movimientos detraslación, rotación y simetrías, para analizar los cuadriláteros.

Esas transformaciones se denominan también isometrías; esta palabra proviene del griego (isos: igual)y significa igual medida. En este caso, es posible llamarlas así porque se trata de transformaciones queconservan las medidas de las longitudes, de los ángulos y de las superficies de las figuras del plano.

En la próxima actividad vas a necesitar varios sorbetes o varillas y hojas de papel liso.

Antes de avanzar en el análisis de las transformaciones, vas a revisar propiedades de los cuadriláteros apartir de comparar sus lados.

1. Características de los cuadriláteros

Así como en la unidad 7 del Cuaderno de estudio 1 estudiaste algunas propiedades de los cuadriláterosa partir de las propiedades de sus diagonales, ahora vas a estudiar nuevamente los cuadriláteros, pero apartir de observar la congruencia de sus lados y sus ángulos. También vas a ver si las rectas a las que per-tenecen los lados son paralelas o no. Para todo ello trabajarás con sorbetes o varillas.

a) Tomá cuatro sorbetes o varillas y colocalos sobre una hoja de manera que se corten formando losbordes de un cuadrilátero cualquiera, cuyos lados no sean congruentes ni paralelos ni perpendiculares.

b) Dibujá en tu carpeta cuadriláteros del mismo tipo del que formaste con las varillas.


UNIDAD 7 Cuadriláteros y simetría

M 2

TEMA 1: CUADRILÁTEROS Y SIMETRÍAS


Dos figuras son congruentes cuando al superponerlas coinciden exactamente.

El símbolo › se lee: “es distinto que” o bien “no es congruente con”.

El símbolo // se lee “es paralelo a”.

c) Volvé a tomar los sorbetes y ahora colocalos de manera que el cuadrilátero que se forme tenga todossus lados no congruentes y dos de ellos sean paralelos.

d) Dibujá un cuadrilátero como el mencionado en tu carpeta, ponele nombres a los vértices, escribí cómose llama y, en símbolos, sus particularidades con relación a los lados y los ángulos.

e) Volvé a tomar los sorbetes y colocalos sobre una hoja de papel tratando de copiar la posición de esetrapecio. Mové un solo sorbete de modo que quede paralelo al opuesto.

f) Dibujá en tu carpeta un paralelogramo y escribí simbólicamente sus propiedades.

g) Continuarás construyendo cuadriláteros. Para ello, colocá sobre la hoja los cuatro sorbetes o varillasde modo que cumplan las siguientes condiciones:

1. dos varillas son perpendiculares y,

2. cada una de las otras dos es paralela a una de las anteriores.

h) Dibujá en tu carpeta un cuadrilátero como el que se formó.

1. Observá si los lados consecutivos son iguales o no. ¿Cómo son los ángulos?

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 7

84

Pudiste haber dibujado un cuadrilátero como este: En este cuadrilátero, las rectas m y n que contienen ados de los lados son paralelas. El cuadrilátero dibuja-do es un trapecio.

Puede haberte quedado un cuadrilátero como este:En este caso los lados son paralelos dos a dos. El cua-drilátero formado se llama paralelogramo.

m

n


2. Escribí el nombre del cuadrilátero y sus propiedades. Si te hace falta, consultá la clasificación en launidad 7 del Cuaderno de estudio 1 o bien recurrí a tu docente para que te ayude en la búsqueda de losnombres.

3. ¿Qué cambiarías en la posición de las varillas para que se forme un rombo no cuadrado?

• Hacelo. ¿Cómo son sus ángulos?

• Escribí simbólicamente las propiedades del rombo que podés observar.

i) A partir de la formación de un rombo, ¿cómo cambiarías la posición de las varillas para formar un romboide?

1. ¿Cómo son sus lados?, ¿y sus ángulos?

2. Dibujá el romboide y describí sus propiedades.

A través de la actividad anterior, revisaste algunas clases de cuadriláteros a partir del análisis de sus lados; ahora vasa avanzar en el análisis a partir de las transformaciones. Empezarás por considerar la simetría. Consultá con tu docen-te cuáles de las consignas de la actividad siguiente vas a resolver, y si lo harás solo o con tus compañeros.

Para realizar todas las actividades de esta unidad que siguen es necesario que cuentes con hojas de papel liso,algunas de papel de calcar y cuadriculadas, los útiles de Geometría y una tijera.

2. ¿Cuándo una figura es simétrica?

Como ya viste en la unidad anterior, la simetría es una transformación que vincula los puntos del planode acuerdo con la siguiente definición: dos puntos de un plano son simétricos respecto de un eje si seencuentran sobre una recta perpendicular al eje y a la misma distancia de él.

a) Tomá una hoja de papel de calcar y marcá un punto cualquiera T. Doblá la hoja en dos partes por unalínea a la que no pertenezca T. Calcá el punto T y llamá T’ a la imagen T. Luego remarcá el doblez con lápizde color:

1. Trazá el segmento determinado por esos dos puntos: T y T’.

2. ¿Cómo son entre sí la recta que contiene el doblez y el segmento determinado por los puntos T y T’?

3. Compará las distancias que hay entre cada uno de los puntos y el eje.4. Observá el siguiente gráfico y leé el recuadro. Te permitirá revisar el gráfico que realizaste y reto-mar la definición anterior.


M 2

85

P P´

e


Una simetría de eje e transforma un punto P del plano en otro punto P´ del plano, tal que elsegmento PP´ es perpendicular a la recta e y la distancia del punto P al eje e es igual a la dis-tancia del punto P´ al eje.

5. Verificá si la recta e es perpendicular al segmento PP´, comprobando que los cuatro ángulos que seforman son congruentes.

Si la recta e es perpendicular al segmento y las distancias de los puntos a dicha recta son iguales,la recta es el eje de simetría y los puntos marcados son simétricos respecto de dicho eje.

b) Para seguir estudiando el eje de simetría resolvé en tu carpeta las siguientes consignas.

1. Dibujá un segmento AA´, determiná su punto medio y marcá el eje e de simetría del segmento.

2. Elegí otro punto que pertenezca al eje y llamalo M.

3. Trazá las distancias de M a los extremos del segmento AA´ y medilas.

4. Marcá otro punto que pertenezca al eje de simetría y hacé lo mismo.

5. Compará las distancias que hay desde cada punto del eje a los extremos del segmento AA´ deter-minado por pares de puntos simétricos.

Habrás comprobado que estas distancias son iguales y, como aprendiste en la consigna a, el eje desimetría es perpendicular al segmento que tiene como extremos dos puntos simétricos.

Recordá que la recta perpendicular a un segmento que lo corta en su punto medio es el eje de sime-tría y se llama mediatriz del segmento.

Con estos elementos, es posible dar una nueva definición de puntos simétricos:Dos puntos son simétricos respecto de un eje si la mediatriz del segmento determinado por

dichos puntos es el eje de simetría del segmento.

c) Para aprender a construir figuras simétricas con papel y tijera seguí las siguientes instrucciones:

1. Tomá una hoja de papel y doblala por la mitad.

2. Pensá en la figura que querés que salga recortada. Dibujá la mitad de esa figura en una de las superficies dela hoja doblada y recortá la hoja doblada siguiendo tu dibujo. Considerá como ejemplo el siguiente dibujo.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 7

86


3. Abrí la figura recortada y marcá un punto cualquiera. Dibujá el simétrico con respecto a la recta quecontiene al doblez.

4. Observá la ubicación de esos puntos. ¿Ocurre lo mismo con otros puntos de la figura?

Ahora que ya sabés cuándo una figura es simétrica, vas a profundizar en el estudio de los elementos y laspropiedades de los cuadriláteros en relación con la simetría. En la siguiente actividad aprenderás a encontrarcuadriláteros simétricos y determinarás aquellos elementos que son sus ejes de simetría.

3. Ejes de simetría en los cuadriláteros

a) Comenzá trabajando con rectángulos, según las siguientes consignas.

1. Dibujá y recortá dos rectángulos.

2. A cada uno doblalo en dos, tratando que las partes que se forman coincidan. En caso de lograrlo, lalínea del doblez es eje de simetría y los rectángulos resultan simétricos con respecto a ese eje.

3. Pegá en tu carpeta estos rectángulos y marcá el o los ejes de simetría que hayas encontrado.

b) Observá la ubicación de los ejes de simetría del rectángulo, leé esta definición y respondé a las preguntas.

El segmento determinado por los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrilátero se llamabase media.


M 2

87

Si tal como observaste el simétrico de cualquier punto de la figura pertenece a ella se puedeenunciar que una figura es simétrica respecto de un eje cuando todo punto de ella tiene comosimétrico otro punto de la misma figura. Y también que una figura es simétrica si se puede deter-minar una línea que la divida en dos partes de modo que al doblarla por ella ambas partes se pue-den superponer exactamente.

TEMA 2: CUADRILÁTEROS SIMÉTRICOS


1. Las bases medias de un rectángulo ¿pertenecen a las mediatrices de los lados? ¿Son sus ejes de sime-tría? ¿Por qué?

2. Las diagonales de un rectángulo ¿son sus ejes de simetría? ¿Por qué?

3. Tomá uno de los rectángulos con los que trabajaste, dibujalo en tu carpeta y llamálo ABCD.

4. Marcá uno de sus ejes de simetría, llamalo e. En la simetría de eje e, ¿qué punto es el simétrico delvértice A? ¿Qué punto es el simétrico de B? ¿Dónde están ubicados los puntos simétricos de los pun-tos que pertenecen al eje?

Cuando en una trasformación un punto coincide con su imagen se dice que es un punto dobleen esa transformación. O bien: si un punto se transforma en sí mismo, se dice que es un puntodoble o invariante.

5. En las simetrías del rectángulo, ¿dónde se localizan los puntos dobles?

6. Al aplicar las simetrías de un cuadrado, ¿qué puntos son invariantes?

c) Dibujá y recortá dos paralelogramos cualesquiera que no sean rombos. Trazá sus diagonales y dobla-los por cada diagonal. Escribí en tu carpeta las respuestas a estas preguntas y mostraselas a tu docente.

1. ¿Son coincidentes las partes que se forman? ¿Por qué?

2. Volvé a tomar esos paralelogramos e intentá, haciendo otros dobleces, que las partes en que los divi-dís sean coincidentes.

3. Las bases medias de un paralelogramo ¿son sus ejes de simetría? ¿Por qué?

4. Las diagonales de un paralelogramo ¿son sus ejes de simetría? ¿Por qué?

d) Además de rectángulos y paralelogramos hay otros cuadriláteros particulares. Para averiguar si algu-nos de ellos son simétricos, y en el caso de serlo determinar cuál o cuáles son sus ejes de simetría, dibu-já y recortá en papel dos trapecios isósceles, dos romboides, dos rombos y dos cuadrados.

1. Doblá cada uno de ellos buscando que las partes en que los dividiste coincidan exactamente una conotra.

2. Cuando así suceda, marcá el doblez (eje de simetría) de la figura con la que estás trabajando.

3. ¿Cuáles de las figuras nombradas tienen ejes de simetría?

4. En cada una de ellas indicá, cuando sea posible, si esos ejes son elementos de la figura, por ejemplo,bases medias y/o diagonales.

5. Pegá los cuadriláteros en tu carpeta, explicá lo que hiciste y escribí tus conclusiones.

6. Compará tus conclusiones con las de otro compañero y muéstrenselas a su docente.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 7

88


4. Propiedades de los cuadriláteros simétricos

En las actividades anteriores trabajaste recortando figuras dibujadas en papel liso. Ahora vas a trabajar conun par de ejes cartesianos x e y dibujados sobre papel cuadriculado para explorar las relaciones entre las coor-denadas de puntos del plano, simétricos con relación a esos ejes.

a) Trabajá sobre papel cuadriculado. Trazá un par de ejes perpendiculares x e y. En el cuadrante inferiorizquierdo dibujá un paralelogramo con sus vértices en puntos de la cuadrícula. Llamalo ABCD y anotá lascoordenadas de los vértices.

b) Pensá: ¿en qué cuadrante se ubicaría el paralelogramo A´B´C´D´ simétrico de ABCD con respectoal eje y? ¿Qué coordenadas tendría? Escribilas. Verificá tu anticipación dibujando A´B´C´D´. ¿En qué cua-drante estaría ubicado el paralelogramo simétrico de ABCD con respecto al eje x? ¿Cuáles serían suscoordenadas?

c) Seguí trabajando sobre papel cuadriculado, marcá tres puntos no alineados P, Q y R, anotá sus coor-denadas. ¿Qué coordenadas tendrá un punto T tal que el cuadrilátero PQRT sea un paralelogramo? ¿Lasolución es única? ¿Por qué?

d) Escribí en tu carpeta un comentario sobre lo que aprendiste y mostráselo a tu docente.

5. Cuadriláteros: propiedades y simetría

Para poner en práctica lo que aprendiste en esta unidad, resolvé esta actividad porque te permitirá haceruna síntesis de lo aprendido.

a) Plegá un papel de modo que puedas obtener un cuadrado haciendo un solo corte.

b) Doblando y recortando convenientemente una hoja de papel, construí figuras simétricas que poseandos ejes de simetría. Indicá los ejes y pegalas en tu carpeta.

c) ¿Hay cuadriláteros con cuatro ejes de simetría? ¿Con sólo tres? ¿Con sólo dos? ¿Con sólo uno? ¿Cuálesno son simétricos?


M 2

89


d) Completá en tu carpeta el siguiente cuadro escribiendo SÍ o NO en cada casilla.

Para finalizarEn esta unidad exploraste la posición de las rectas a las que pertenecen los lados de los cuadriláteros y

vinculaste las propiedades de sus lados y sus ángulos con la posibilidad de establecer si son figuras simé-tricas o no.

Descubriste que existen algunos cuadriláteros con uno, dos o cuatro ejes de simetría, y que ellos son ele-mentos geométricos particulares de esas figuras.

En el caso del cuadrado habrás encontrado que posee cuatro ejes de simetría, las dos diagonales y lasdos bases medias, mientras que el rectángulo tiene dos ejes de simetría que son sus bases medias.

Habrás descubierto que sólo los trapecios isósceles tienen un eje de simetría que es la recta perpendicu-lar a los lados paralelos trazada por los puntos medios de ellos. Esa recta es la mediatriz del lado.

Has comprobado también una propiedad importante: los puntos que pertenecen al eje de simetría sonlos únicos puntos dobles, vale decir que son simétricos de sí mismos. Por último, pudiste observar la rela-ción que existe entre las coordenadas de puntos simétricos ubicados en diferentes cuadrantes.

En las unidades siguientes aplicarás estos conocimientos al estudio de otros temas geométricos.

A continuación, podrás practicar varios de los temas que estudiaste a lo largo del año en relación connúmeros, combinatoria y Geometría, y comprobar algunas curiosidades aritméticas resolviendo estos desa-fíos matemáticos.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 7

90

PROPIEDADES Trapecioisósceles Paralelogramo Rectángulo Rombo Cuadrado

Por lo menos unadiagonal es eje

de simetría

Cada diagonal eseje de simetría

Por lo menos unabase media es eje

de simetría

Cada base media es eje de simetría



M 2

91

1. Los relojes Si tenés dos relojes de arena, uno de 3 minutos y otro de 8 minutos, ¿cómo podés usarlos para contro-lar la cocción de una comida que debe estar cociéndose exactamente durante 13 minutos?

2. Los librosEn la biblioteca hay libros de todo tipo. Gabriel quiere sacar 10 libros de tres tipos diferentes –policiales,aventura y ciencia ficción– para distribuirlos entre sus compañeros. Su elección incluye por lo menos unlibro de cada tipo.

¿De cuántas maneras distintas pudo elegir los libros?

3. Divisiones exactasElegí un número de tres cifras y formá otro de seis cifras repitiendo el primero. Por ejemplo: 145.145.

Dividí este número entre 7; después dividí el cociente entre 11 y, por último, el nuevo cociente entre 13.

Comprobá si las divisiones parciales que has encontrado son exactas y al final obtenés tu número inicial.

Respondé: ¿por qué sucede eso con cualquier número de tres cifras?

4. Con un poco de historiaPara calcular el área de un triángulo siempre has buscado como datos la longitud de uno de los lados y lade la altura correspondiente a ese lado. Sin embargo, hay otra forma de calcularla, conociendo la longitudde los tres lados. Consiste en aplicar la fórmula de Herón.

Herón de Alejandría fue un ingeniero griego que vivió posiblemente en el siglo I después de Cristo.Describió un gran número de máquinas sencillas y generalizó el principio de la palanca de Arquímedes.En Matemática pasó a la historia sobre todo por la fórmula que lleva su nombre y que permite cal-cular el área de un triángulo conocidos sus tres lados, aparecida por primera vez en su obra LaMétrica.

La fórmula de Herón es la siguiente en la que A es el área de un triángulo;

a, b y c los lados y p el semiperímetro: p = .

Con toda la información sobre la fórmula de Herón que aparece en esta página, dibujá dos trián-gulos cualesquiera, medí sus lados, la altura correspondiente a uno de ellos y calculá sus áreas delas dos formas que conocés.

a) Compará los resultados.

b) ¿Cómo podés hacer para calcular la altura de un triángulo conociendo las longitudes de sus lados?

2cba ++

A = p(p-a) (p-b)(p-c)



UNIDAD 7

5. FraccionesEn la siguiente figura, B y D son los puntos medios de los lados del cuadrado, y los vértices del rectángu-lo central son los puntos medios de los lados del rombo ABCD.Calculá qué parte del área del cuadrado representa el área del rectángulo central.

6. La escuela pitagóricaSe dice que cuando le preguntaban a Pitágoras (célebre matemático nacido en Grecia, en la isla deSamos, a mediados del siglo IV a.C.) la cantidad de personas que frecuentaban su escuela daba como res-puesta:

“La mitad estudia sólo matemática; la mitad del resto se interesa nada más que por la música;una séptima parte asiste pero no participa y, además, vienen tres ancianos.”

1. ¿Cuántas personas concurrían a su escuela?

2. ¿Cuántas se dedicaban a la matemática y cuántas a la música?

MATEMÁTICA 292

A

D

C

B


La naturaleza, el arte y las ciencias proporcionan oportunidades para la observación y la explora-ción de conceptos y patrones geométricos. Desde que iniciaste el Cuaderno de estudio 1 y en lo que vadel Cuaderno de estudio 2 estudiaste algunas relaciones métricas características de las figuras y loscuerpos a partir de la medición de sus elementos: lados, diagonales, contornos rectos o curvos, ángu-los, áreas, volúmenes, desplazamientos y distancias entre unos y otros. El estudio de esas relacionesmétricas es parte de la geometría métrica, llamada así por su vinculación con los procesos de medida.

La medida de estas relaciones se expresa mediante un número constante. Por ejemplo, la relaciónentre la longitud de una circunferencia y su diámetro está expresada por el número π (pi).

En esta unidad vas a trabajar con otras relaciones métricas, por ejemplo, las que expresan la sumade los ángulos de un polígono. Conocerás, además, una relación métrica definida entre las dimensio-nes, el largo y el ancho de los rectángulos de una familia de características peculiares. Esta relación esconocida desde la Antigüedad a tal punto que el número que corresponde a su valor se simboliza conuna letra griega φ (se lee fi). Tanto φ como π pertenecen a una clase de números –los irracionales–cuyas características estudiarás.

En esta unidad vas a encontrar una serie de actividades referidas a las relaciones métricas entre distintas figu-ras geométricas. En cada actividad se desarrolla una relación métrica diferente que se obtiene siguiendo cier-tos razonamientos con los que vas a tener que analizar elementos de figuras, compararlos, hacer cálculos yhallar e interpretar fórmulas que expresan esos cálculos en símbolos. Por eso, al finalizar cada una de las acti-vidades, te conviene hacer una breve síntesis de la relación tratada y escribir las fórmulas y los conceptos quela definen. Organizá esas síntesis en una hoja aparte, para que puedas tenerlas cada vez que las necesites.

1. Ángulos interiores de un polígono

a) Dibujá en tu carpeta cinco polígonos no regulares de 4, 5, 6, 7 y 8 lados, respectivamente. En cadauno elegí un vértice y trazá desde él todas las diagonales posibles. Escribí al pie de cada figura cuántostriángulos se formaron.


UNIDAD 12 Relaciones métricas

M 2

TEMA 1: RELACIONES MÉTRICAS EN POLÍGONOS


b) Todos los polígonos se pueden descomponer en una suma de triángulos y, como ya conocés cuántovale la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, copiá la tabla que sigue y completala con lasuma de los ángulos interiores de un polígono según el número de sus lados.

1. Como pudiste observar, la suma de los ángulos interiores de un polígono depende del número detriángulos en que se lo pueda descomponer, que a su vez depende del número de lados del polígono.Para calcularla, conviene pensar el problema respondiendo a las siguientes preguntas.

• ¿Cuántos lados tiene el polígono?

• ¿En cuántos triángulos se puede descomponer?

• La suma de los ángulos interiores de un polígono ¿a cuántas veces el valor de dos ángulos rectosequivale?

2. Respondelas en tu carpeta.

Suma de los ángulos interiores de un polígonoSe puede generalizar esta regla a los polígonos de cualquier número de lados. La suma de los ángu-los interiores de un polígono de n lados = (n – 2) . 180º, donde la letra n representa la cantidadde lados del polígono.

c) Calculá la amplitud de cada ángulo interior de un pentágono regular y de un decágono regular. Un ángu-lo interior del decágono ¿es el doble del ángulo interior del pentágono? ¿Por qué?

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 12

140

Polígono Número de lados Número de triángulos Valor de la suma de los ángulos interiores

Triángulo 3 1 2 ángulos rectos

Cuadrilátero 4 2 4 ángulos rectos

Pentágono 5 3

Hexágono 6

Eptágono 7

Octógono 9


2. Ángulos exteriores de un triángulo

En la unidad 6 del Cuaderno de estudio 1 se te propuso recortar y unir los ángulos de un triángulo para encon-trar el valor de la suma de sus ángulos interiores. Si no lo recordás podés volver a comprobarlo, y verás que encualquier triángulo esa suma es igual a 180º. Ahora vas a descubrir otras propiedades usando otros recursos mate-máticos que ya conocés.

a) Dibujá un triángulo cualquiera y prolongá los lados para que queden dibujados los ángulos exteriores.Poné las letras (alfa), (beta) y (gamma) a los ángulos interiores.

b) Observá que a cada ángulo interior de un triángulo le corresponden dos ángulos exteriores según seconsideren las semirrectas opuestas a uno u otro lado del ángulo interior. Ponele la letra (delta) a unode los ángulos exteriores a .

c) Copiá en tu carpeta las siguientes expresiones completando los espacios en blanco.

• Por ser ángulos suplementarios, la suma de un ángulo interior y su adyacente es igual a...

+ = … o sea = 1800 – … ( 1 )

• Además, como en todo triángulo: + + = 1800 y por eso = 1800 – ( … + …) (2)

d) Compará las expresiones anteriores y escribí el valor de δ.

El razonamiento que hiciste es válido para cualquier triángulo; por lo tanto, puede generalizarseenunciando:

En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes.

e) Resolvé los siguientes problemas usando la propiedad que acabás de comprobar.

1. Un ángulo exterior de un triángulo isósceles mide 120º; ¿cuánto miden sus ángulos interiores?¿Cómo son sus lados?

2. En un triángulo isósceles, el ángulo opuesto a la base mide 48º. Calculá la amplitud de cada unode los ángulos exteriores.

3. En un triángulo isósceles oblicuángulo, un ángulo mide 100º. Calculá la amplitud del ángulo for-mado por la bisectriz de un ángulo agudo y la bisectriz del correspondiente ángulo exterior.

4. Repetí la experiencia con el ángulo formado por la bisectriz del ángulo de 100º y la bisectrizcorrespondiente al ángulo exterior adyacente. ¿Te parece que ocurrirá lo mismo en cualquier clasede triángulo? Explicá tu respuesta.


M 2

141


3. Perímetro y área de cuadrados

a) Relée la consigna c de la actividad 1 de la unidad 3, en la que trabajaste con el perímetro y el área decuadrados y respondé al siguiente planteo.

El lado de un cuadrado mide 4 cm; calculá su perímetro y su área.

1. ¿Se puede decir que “los resultados son iguales”?

2. Explicá con tus palabras en qué se parecen y cuál es la diferencia. Si es necesario, ayudate con un dibujo.

b) Copiá una tabla de cuadrados como la que sigue, en la que n representa la medida del lado. Usá una cal-culadora para completarla y luego, observando los resultados, respondé a las preguntas que están al pie.

1. Si se duplica el lado de un cuadrado, ¿se duplica también su perímetro?, ¿se duplica su área?

2. Usá papel cuadriculado y dibujá un cuadrado de 5 unidades de lado; ¿cuál es su área? Repetí la expe-riencia con un cuadrado de 6 unidades de lado; ¿cuál es su área? ¿Cuál es el área de un cuadrado de 5,5unidades de lado?

3. ¿Entre qué números enteros está comprendida el área de un cuadrado de 8,25 cm de lado?

c) Resolvé la situación que se presenta a continuación.

El docente les pidió a sus alumnos que calculen el lado de un cuadrado cuya área es de 2 cm2. Manuelase dio cuenta de que debía ser un número mayor que 1 y menor que 2. Probó con 1,5, lo multiplicó porsí mismo y obtuvo 2,25. Probó con 1,4 y obtuvo 1,96. Entonces se preguntó cómo encontrar un núme-ro que fuera a la vez mayor que 1,4 y menor que 1,5 y que al elevarlo al cuadrado diera 2.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 12

142

n n2 n n2 n n2 n n2

1 1 11 121 21 441 31 961

2 4 12 22 32

3 9 13 23 33

4 16 14 24 34

5 25 15 25 35

6 16 26 36

7 17 27 37

8 18 28 38

9 19 29 39

10 20 30 40


1. Usá la calculadora para resolver el problema de Manuela, es decir encontrar un valor aproximadopara : 1,4 < < 1,5.

2. Usá el mismo procedimiento para encontrar una expresión aproximada de la raíz cuadrada de 3 condos cifras después de la coma decimal.

La raíz cuadrada de un número que no es un cuadrado perfecto no es un número racional (no se lo puedeexpresar con un decimal exacto ni periódico) y por eso recibe el nombre de número irracional.

Son ejemplos de números irracionales: , el número π. En cambio, ; 2; ; 3; 4; 0,5; –1,2; son números racionales.

d) Escribí otros dos ejemplos de números racionales que provengan del cálculo de raíces cuadradas y dosejemplos que también provengan de raíces cuadradas y sean números irracionales. Compará tus ejemploscon los de otros compañeros y conversá sobre este tema con tu docente.

e) Respondé a cada una de las siguientes consignas. Copiá las dos tablas en tu carpeta.

1. En la fila superior de esta tabla está el perímetro, medido en centímetros, de diferentes cuadrados. Completala con las respectivas áreas.

• Los números de la tabla ¿son racionales o no? ¿Por qué?

2. En la fila superior está el área, en centímetros cuadrados, de diferentes cuadrados. Completala conla medida de los respectivos lados.

• Los números de la tabla ¿son racionales o no? ¿Por qué?

3. Conversá con tus compañeros y con tu docente sobre este trabajo.

31 ; 0, 6

)3 4 5 7 8 92 3 4 5 7 8 923 4 5 7 8 92

55


M 2

143

Perímetro (cm) 22 40 30 32,4 82 108

Área (cm2) 100

Área (cm2) 16 100 49 36 81 4

Lado (cm) 10


Tanto en la naturaleza como en el arte se ponen de manifiesto principios proporcionales muy interesan-tes. Uno de ellos es la relación métrica que se establece entre los lados de los rectángulos que se considerancon mejores proporciones. A esta relación se la conoce como número de oro, divina proporción, relaciónáurea o regla dorada. Si bien se la usó en la práctica desde la Antigüedad, sigue vigente hasta hoy entre arqui-tectos, diseñadores y artesanos.

4. Una relación métrica especial

En esta actividad trabajarás sobre una relación métrica identificada con otro número irracional: el núme-ro de oro.

a) Para empezar a ver de qué se trata esta relación, realizá la siguiente experiencia.

1. Dibujá en un papel un rectángulo de las dimensiones que prefieras, ni muy angosto ni exagerada-mente ancho. Si podés trabajar con otros compañeros, comparen los rectángulos que dibujaron. Si notenés compañeros de tu año, pedile al tu docente y a otros chicos de la escuela que cada uno dibujecon regla un rectángulo que no sea ni muy angosto ni muy ancho.

2. Comparen todos los rectángulos dibujados; ¿les parecen que son rectángulos semejantes? Recórtenlosy péguenlos en un afiche para colgar en el aula. Midan lo necesario en cada rectángulo para averiguar larazón entre el lado mayor y el menor, y escríbanla en el afiche debajo de cada uno.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 12

144

Te parecerá curioso observar que los rectángulos que a la mayoría de las personas nos parecen de“buena forma” son muy semejantes, vale decir que la razón entre el ancho y el largo es prácticamentela misma en todos. Casi siempre el lado menor es el 62% del lado mayor.

Te sorprenderá, también, saber que la mayoría de los documentos de identidad –DNI (DocumentoNacional de Identidad), Cédula de Identidad, Registro de Conductor, Tarjetas de crédito o de débi-to emitidas por los bancos– tienen aproximadamente la misma forma y que, además, estas formasse encuentran en el formato de muchos libros.

Esta relación métrica entre los lados de los rectángulos de “buena forma” es conocida desde laAntigüedad y se la puede encontrar en la construcción de los templos griegos, como verás más ade-lante en esta unidad.

Conocedor de esta relación, un monje italiano, Fray Paciolo di Borgo, enunció en 1509 una fór-mula matemática para obtener el número constante, razón característica de esta relación a la queLeonardo Da Vinci denominó Divina Proporción. El valor de esa razón constante es un número irra-cional denominado número de oro al que se simboliza con la letra griega φ (se lee fi) en homenajeal arquitecto Fidias que la puso en práctica en el diseño del Partenón (siglo V a.C.). Algo similar ocu-rrió con la relación métrica que ya estudiaste entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.También era conocida desde la Antigüedad, pero recién en 1796 un matemático inglés, WilliamJones, denominó a ese número irracional con la letra griega π (pi) por ser la inicial de “perisferia”.

TEMA 2: LA RELACIÓN ÁUREA


En el punto siguiente vas a aprender cómo se calcula el número de oro φ.

b) Copiá en tu carpeta las siguientes figuras. Fijate que para dibujar el rectángulo tenés que hacer centrocon el compás en el punto medio del lado del cuadrado y trazar el arco indicado con la flecha.

1. Observá tus dibujos y respondé las preguntas.

• ¿Qué relación permite afirmar que la hipotenusa del triángulo de los catetos 1 y 2 mide ? Escribila.

• Escribí el cociente entre las medidas del lado mayor y el menor del rectángulo, llamalo φ ya que estecociente es el número de oro.

• Calculá el valor de φ con tres cifras decimales. Tené en cuenta que 2,236… (el signo signi-

fica aproximadamente).

Se denominan rectángulos áureos aquellos cuyos lados están en relación aproximada a 1,618,conocido como número de oro y simbolizado con la letra griega (se lee fi).

c) En la unidad 9 aprendiste que para que dos figuras sean semejantes deben tener ángulos congruentesy lados proporcionales. ¿Todos los rectángulos áureos son semejantes entre sí? ¿Por qué?

d) Calculá el valor de con tres cifras decimales; escribilo.

e) Restá del valor de ; ¿cuál es la diferencia?

Te sorprenderá saber que el número de oro es el único número cuyo inverso es él mismo dis-

minuido en 1: – = 1.

En efecto, = = 0,618, es decir que = 1 + .

A la vez = 1,618 = .

f) Comprobá estas relaciones usando la calculadora.

618,11

1618,111

1

1

1

5

5


M 2

145

225

1 1 1 + 5


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 12

146

5. La división áurea de un segmento

En esta actividad verás una importante aplicación de la relación áurea que permite dividir un segmentoen otros dos que guardan con él una curiosa relación de proporcionalidad.

a) Una propiedad interesante de los rectángulos áureos es que si se colocan dos rectángulos iguales,como en la figura que se muestra a continuación, se forma otro rectángulo más grande. Para ver si estenuevo rectángulo es o no áureo, seguí los siguientes pasos.

1. Copiá en tu carpeta esta figura. Los rectángulos ABCD y BEFG son áureos porque fueron dibujadosen escala tomando como unidad el segmento AD.

2. Completá una tabla como esta con las medidas del lado mayor y el menor de cada uno de los rectángulos.

3. Observá tu figura. El rectángulo ABGH ¿es un cuadrado? ¿Por qué?

4. Si agregás a la derecha de tu figura un rectángulo EIJK de las mismas dimensiones que AEFH, ¿qué relación tieneel rectángulo AIJL con los demás rectángulos dibujados? ¿Por qué? El rectángulo AEKL ¿es un cuadrado? ¿Por qué?

5. A partir de tus dibujos anteriores habrás podido observar que a cualquier rectángulo áureo se lepuede añadir por su lado mayor un cuadrado, y el resultado también es un rectángulo áureo. ¿Creésque si a un rectángulo áureo se le quita un cuadrado de lado igual al del lado menor del rectángulo lafigura que resta es un rectángulo áureo? ¿Por qué?

Los dibujos que hiciste te ayudarán a descubrir otra relación métrica vinculada con el número de oro.

6. Observá nuevamente tu dibujo inicial y tené en cuenta que en él AD = BC = BE. Además, el seg-mento AE es la suma de AB y BE. El punto B divide el segmento AE en dos partes tales que sus respec-tivas medidas son 1,618 y 1; ¿cuál es la medida de AE? Calculá la razón entre las medidas de AE y AB, yla razón entre las medidas de AB y BE. Compará ambas razones; ¿qué resultado obtuviste?

H

A

F

D C

E

G

B

Rectángulo Lado mayorUnidad AD

Lado menorUnidad AD

Razón ladomayor/lado

menor

ABCD 1,618 1 1,618

BEFG

AEFH



M 2

147

6. El pentágono pitagórico y el Partenón

En esta actividad verás otra aplicación del número de oro en la construcción del pentágono regular.

Cuando llegaron a la conclusión de que esta relación no se podía expresar como cociente de dos númerosenteros les pareció algo tan contrario a su lógica que lo llamaron número irracional. Este es el primer núme-ro irracional del que históricamente se tuvo conciencia.

Con posterioridad, los griegos consideraron que el rectángulo cuyos lados a y b estaban en la relación

era especialmente armonioso y lo llamaron rectángulo de oro pues para ellos la armonía era consi-

derada como una virtud. • Un ejemplo de la aplicación práctica de la relación áurea se encuentra en el diseño del Partenón griego.

ba =

Los griegos pitagóricos encontraron el número de oro alhallar la relación entre la diagonal de un pentágono y el lado.

C

BA

618,1=ABAC

Dado que todos los rectángulos áureos guardan la misma proporción entre sus lados se puede enun-ciar que:

En todos los rectángulos áureos la razón entre la suma de los dos lados y el lado mayor es lamisma razón que existe entre sus lados.

En este caso: se ve que AB es el divisor en la primera razón y el dividendo de la

segunda, por eso se dice que AB es medio proporcional entre la suma AE y el lado menor BE.Dicho de otro modo, cuando la parte mayor AB de un segmento AE es

medio proporcional entre el segmento total AE y la parte menor BE se diceque el punto B divide el segmento AE en media y extrema razón.

Para generalizar, si se llama a+b al segmento total y constituye el segmento x, a es la parte mayor

y b es la menor, se puede enunciar que si se verifica la siguiente proporción: , enton-

ces la parte mayor a recibe el nombre de segmento áureo de x.ba

aba =+

BEAB

ABAE =

a

a+b

b

BA

C

E

D


a) En la figura del Partenon podés comprobar midiendo con cuidado que . Investigá la razón entre

CD y AC y comparala con la razón entre AC y AD. El segmento AC ¿es el segmento áureo de CD? ¿Por qué?

b) Otra aplicación de esta relación descubierta por los pitagóricos es la que posibilita la construcción deun pentágono regular usando regla y compás. Construí un pentágono de 3 cm de lado aplicando la rela-ción áurea. Explicá paso a paso cómo lo construís.

Para concluir la unidad leé unos versos que el poeta Rafael Alberti (1902-1999) dedicó a este tema.

A LA DIVINA PROPORCIÓN

Para finalizarEn Geometría existe un gran número de relaciones métricas que fueron descubiertas y formuladas por

los matemáticos a lo largo de la historia. Algunas han sido superadas a través de los tiempos y hoy soloconservan un valor histórico para los especialistas. Otras —como la relación pitagórica, el número o elnúmero — siguen vigentes porque son de imprescindible aplicación práctica y contribuyen al avance dela ciencia, la tecnología y el arte.

Revisá la hoja con las síntesis parciales que fuiste haciendo para ver si están claras y si no te olvidaste dealgo importante. Por ejemplo, la revisión acerca de la naturaleza de los números irracionales que no sepueden expresar como cociente entre dos enteros. En las unidades siguientes, que se refieren a Álgebra yfunciones, retomarás el estudio de muchas de las relaciones que analizaste en estas actividades.

A continuación, en los desafíos vas a encontrar problemas sobre el tema de la unidad, pero también algu-nos que te van a permitir revisar lo que sabés sobre proporcionalidad y volumen.

φ=CDAB

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 12

148

A ti, maravillosa disciplina,media, extrema razón de la hermosura,que claramente acata la clausuraviva en la malla de tu ley divina.

A ti, cárcel feliz de la retina,áurea sección, celeste cuadratura,misteriosa fontana de mesuraque el Universo armónico origina.

A ti, mar de los sueños, angulares,flor de las cinco formas regulares,dodecaedro azul, arco sonoro.Luces por alas un compás ardiente.Tu canto es una esfera transparente.A ti, divina proporción de oro.



1. Estrella pitagóricaLos pitagóricos adoptaron como símbolo para reconocerse entre ellos el pentágono regular estrellado

como el del dibujo. Su propiedad característica es que todos los segmentos están en relación áurea.Observá los datos de la figura y calculá la longitud de la diagonal del pentágono convexo que quedó for-mado en el centro.

2. El número mEn la figura aparece una construcción geométrica con regla y compás del número m, valor que los griegosobtuvieron del inverso del número de oro. El desafío consiste en justificar razonadamente que EF = m.


M 2

149

D G C

BH

E

F1/

1

1

A


3. Los vasos cónicos Se vierten diferentes cantidades de agua en un vaso cónico. En cada vertido se mide la altura del agua ysu volumen.

Teniendo en cuenta los datos de la figura, ¿podés responder si el volumen es directamente proporcionala la altura?

4. Un problema de tablas De las siguientes tablas, ¿cuáles pueden pertenecer a una proporcionalidad directa?

5. Construcción de la espiralA cualquier rectángulo áureo se le puede restar por su lado menor o bien añadir por su lado mayor uncuadrado, y el resultado sigue siendo un rectángulo áureo. Esta propiedad se ilustra frecuentemente coneste dibujo similar a una espiral.

Para construirla usá una hoja de papel milimetrado. En el centro de la hoja dibujá un cuadrado de 1 cmde lado. Con el compás marcá un arco de un cuarto de circunferencia que tenga por radio el lado del cua-drado. Y seguí construyendo la espiral según el modelo hasta salirte de la hoja.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 12

150

2 7 3

3 10,5 2

3 4 –7

6 -8 14

4 12 10

3 9 7,5

2 7 3

3 10,5 2

3 4 –7

6 –8 14

4 12 10

3 9 7,5

5 cmAltura 8 cm 11 cm 12 cm 14 cm

8 cm3Volumen 32 cm3 83 cm3 108 cm3 172 cm3


En esta unidad trabajarás con ángulos, es decir, con elementos geométricos que ya conocés. Veráslas diferentes posiciones que pueden tomar las rectas que los forman y las relaciones métricas queexisten entre ellos.

Realizarás construcciones geométricas que te permitan descubrir esas relaciones como tambiénresolver problemas apoyándote en los conocimientos que ya poseés. Tené presente que primero hayque pensar cómo se pueden resolver los problemas y luego comprobar si lo que habías pensado escorrecto.

Una vez resuelta cada actividad, reunite con tus compañeros para discutir las posibles soluciones que cadauno proponga y las conclusiones presentadas. Ello les permitirá comparar, revisar, corregir y aclarar lo quepiensa cada uno. Los temas que se desarrollarán son: ángulos formados por dos rectas que se cortan, ángu-los entre dos rectas cortadas por una transversal, propiedades de los ángulos determinados por dos rectasparalelas cortadas por una transversal. Comenzarás viendo cuáles son las posiciones que pueden tomar lasrectas incluidas en un plano y los símbolos que se usan para indicarlas.

1. Rectas en el plano

Como sabrás, el hombre en muchas ocasiones necesita representar los lugares en que vive o lo que nece-sita construir. En el primer caso, esa representación la hace mediante un plano, ya sea de su vivienda, unaciudad o un pueblo, o bien de un mapa para extensiones más amplias como provincias o países.

En el Cuaderno de estudio 1 estudiaste escalas y su aplicación en mapas y planos; eso te ayudará a inter-pretar el plano que se presenta en la página siguiente. Observalo y verás que las calles y las avenidas sepresentan como segmentos de recta.

a) Buscá en el plano que aparece en la página siguiente, dos calles o avenidas paralelas y dos calles o aveni-das que se corten. Dibujalas en tu carpeta,

1. Nombrá con a y b las rectas paralelas, con c y d las que se cortan y que desde ahora llamarásrectas secantes.

2. Expresá simbólicamente a // b (a es paralela a b), c d (c es secante con d). Las rectas secantesse cortan en un punto; nombrá el punto con una letra mayúscula.


UNIDAD 8 Ángulos. Posiciones relativas

M 2


b) Buscá en el plano dos avenidas que sean secantes y dibujá en tu carpeta las rectas que las representan.

1. Como todas las rectas que has dibujado están en el mismo plano, se las llama coplanares. Dibujá,ahora, varias rectas coplanares, mostráselas a un compañero y pedile que indique pares de rectas para-lelas y pares de rectas secantes.

2. Nombralas con letras y escribí las relaciones utilizando símbolos.

c) Tomá una hoja de papel, doblala en dos partes. Volvé a doblarla de modo que coincidan los bordes delprimer doblez. Abrí la hoja y observá las líneas que han quedado marcadas. Para verlas mejor, pasá unlápiz sobre ellas.

1. Observá los ángulos que determinaron esas dos rectas al cortarse y comparalos. Seguramente verásque son congruentes.

2. Nombrá cada ángulo con letras griegas: α (alfa), β (beta), γ (gamma) y δ (delta) e indicá en símbolosesa congruencia.

3. Indicá, de acuerdo a su amplitud, qué tipo de ángulos son los que se han formado. Si te parece nece-sario consultá con tu docente o buscá el tema en el Cuaderno de estudio 1.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 8

94

La Plata

Plaza M.Moreno

PlazaSan Martín

PlazaD. Rocha

PlazaMáximo Paz

ParqueSaavedra

PlazaV. Alsina

ParqueGrl.San

Martín

Plaza Cnel.Brandsen

PlazaJ. J. Castelli

PlazaSarmiento

PlazaEspaña

PlazaMatheu

Plaza M. deAzcuénaga

Plaza19 deNoviembre

PlazaJ. J. Paso

Plaza Grl.Belgrano

Plaza M.Güemes

PlazaM. Alberti

PlazaItaliaPlaza Grl. Olazábal

PlazaA. Alsina

Bv.83 Diag.114

Diag.80

Diag.74Diag

.77

Av.

72Av. 31

Av.1

Av.25

Av.19

Av.13

Av.7

Diag.73

Diag.75

Diag.78

Diag.76

Diag.79

Bv.82 Bv.81

PlazaRivadavia

Diag.74

Diag.73

Av.1

Av.25

Av.19

Av.13

Av.7

Ruta Provincial Nº 11

Diag. 115

Circ

unva

lació

n

Diag.

107Diag

.

108

Diag.

106Diag

.

105

Circunvalación

Diag.

96Diag

.

95Diag.

93Diag

.

94

Diag.

110Diag

.

109

Diag.

112Diag

.

111

Circun

valac

ión

120

Av.

44

Av.

60

Av.

66

Av.

51A

v.52

Av.

53

Av.

44 Av.

60

Av.

66

3232

N

SE

O

NE

SENO

SO


d) Leé esta información y comentala con tus compañeros.

“Cuando dos rectas secantes determinan cuatro ángulos congruentes, dichas rectas son per-pendiculares. El símbolo usado para indicar que a es perpendicular a b es .”

Habrás visto que los cuatro ángulos congruentes tienen una amplitud de 90º, es decir, son rectos.Como los lados de estos ángulos están incluidos en rectas perpendiculares es posible concluir que: la con-dición suficiente para que dos rectas sean perpendiculares es que incluyan los lados de un ángulo recto.

2. Ángulos formados por dos rectas secantes

En esta actividad continuarás estudiando las rectas. Ya viste que dos rectas del plano pueden ser paralelaso secantes y que las rectas perpendiculares son un caso particular de las rectas secantes.

a) En tu carpeta escribí como título “Actividad 2: Ángulos formados por dos rectas secantes” y dibujá dosrectas secantes no perpendiculares. Nombralas con letras minúsculas, y con una letra mayúscula, el puntoen que ellas se cortan.

1. Estas rectas determinan varios ángulos. ¿Cuántos son? Para ayudarte usá lápices de colores.

2. Entre ellos habrás encontrado pares de ángulos que tienen un lado común y en los que los otros dosson semirrectas opuestas. A estos ángulos se los llama adyacentes.

3. Copiá en tu carpeta la siguiente figura. Observala y señalá un par de ángulos adyacentes.

4. Nombralos con letras griegas y sumalos gráficamente. ¿Qué tipo de ángulo has obtenido como suma?Expresá en símbolos la suma que realizaste.

5. Hacé lo mismo con otro par de ángulos adyacentes y escribí en tu carpeta la conclusión a la que lle-gaste. Comentala con tus compañeros y tu docente.

b) Leé esta información y luego respondé las consignas en tu carpeta.

• Dos ángulos son suplementarios cuando su suma es un ángulo llano.• Dos ángulos son complementarios cuando su suma es un ángulo recto.

.


M 2

95

ba


1. De acuerdo con las afirmaciones anteriores, ¿qué propiedad tienen los ángulos adyacentes?

2. Como la amplitud de un ángulo llano es de 180º, si la suma de las amplitudes de dos ángulos es 180º,uno de ellos es el suplemento del otro. Elegí un ángulo de la figura e indicá cuál es su suplemento.

3. Pensá y escribí en tu carpeta: ¿cuándo un ángulo es el complemento de otro? Compará tu res-puesta con la de tus compañeros.

4. Respondé las siguientes preguntas y justificá tus respuestas.

• Si la amplitud de es 45º, ¿cuál es la de su suplemento?, ¿y la de su complemento?

• Si la amplitud de es 120º, ¿cuál es la de su suplemento?

• Si el ángulo es nulo, ¿cuál es su suplemento? ¿Y su complemento?

• ¿Cuándo dos ángulos suplementarios son congruentes?

Hasta aquí has trabajado con ángulos en tu carpeta, a partir de las representaciones que dibujaste. Las acti-vidades que siguen te permitirán analizar otros ángulos a partir de construirlos usando varillas.

3. Trabajando con varillas

Para realizar esta actividad vas a usar dos varillas o sorbetes.

a) Ubicá una varilla sobre otra, hacelas girar y observá los ángulos que ellas forman. Anotá en tu carpetalas diferentes posiciones que le podés dar a tus varillas y nombrá qué tipo de ángulos se formaron en cadacaso. Elegí una de las posiciones y en ella dos ángulos que cumplan con estas condiciones:

Tienen el mismo vértice y los lados de uno de ellos son las semirrectas opuestas de los lados del otro.

1. Dibujá los ángulos en esa posición en la carpeta y marcalos utilizando letras griegas.

Los ángulos que cumplen con la condición de tener el mismo vértice y de que los lados de uno sonlas semirrectas opuestas de los lados del otro se llaman ángulos opuestos por el vértice.

b) Retomá las varillas y formá otros pares de ángulos opuestos por el vértice.

1. Dibujalos en tu carpeta y comparalos usando papel de calcar o bien midiendo su amplitud con untransportador.

2. Escribí tu conclusión y comparala con la de tus compañeros. Comenten este trabajo con el docente.

Hasta aquí has visto ángulos formados por dos rectas que se cortan, a través de representaciones gráficas yde la construcción con dos varillas. Ahora trabajarás con tres varillas para estudiar nuevos pares de ángulos.

(alfa), (beta), (gamma) y (delta)

(alfa), (beta), (gamma) y (delta)

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 8

96


4. Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante

a) Tomá tres varillas o sorbetes del mismo tipo de los que usaste en la actividad anterior. Ubicá dos,representando rectas paralelas. Con la tercera, probá diferentes posiciones de modo que en todos loscasos la posición sea secante respecto de las otras dos.

b) Observá en las diferentes posiciones: ¿cuántos ángulos se forman? Comparalos por pares.

c) Seguramente, en algunas de las posiciones quedó determinada una situación como la siguiente.Observala y leé la información que aparece a continuación.

Son:

Ángulos correspondientes

,

Ángulos alternos externos

Ángulos alternos internos


M 2

97

1

3

5

7

4

6

8

2

62

51

y

y

84

73

y

y

72

81

y

y

54

63

y

y


1. Observá cuáles son los pares de ángulos formados por las varillas y nombrados en la clasifica-ción anterior.

2. En tu carpeta, dibujá rectas en la posición en las que aparecen dibujadas y señalá los pares deángulos correspondientes con un mismo color.

3. Hacé lo mismo con los ángulos alternos internos y alternos externos.

4. Compará, ahora, los pares de ángulos nombrados y escribí en tu carpeta las conclusiones.Compartilas con tus compañeros y mostráselas a tu docente.

d) Dibujá en tu carpeta un paralelogramo como el siguiente.

1. El lado AB es paralelo al CD. Tomá el lado BC como la secante y, de acuerdo con lo que ya viste,indicá, si los hubiera, pares de ángulos correspondientes, alternos internos y alternos externos colo-cándoles las letras que quieras.

2. Marcá con un color los ángulos interiores A y D.

3. ¿Qué relación existe entre estos ángulos? Escribila en tu carpeta y explicá cómo hiciste para encon-trarla. Estos ángulos se llaman conjugados internos.Buscá en el paralelogramo otro par de ángulos conjugados internos y marcalos con otro color.

e) En tu representación de las dos rectas paralelas cortadas por una transversal, señalá un par de ángu-los conjugados internos como los que viste en el paralelogramo ABCD.

1. ¿Habrá ángulos conjugados externos? Marcá los pares de ángulos que a tu criterio sean conjugadosexternos y explicá por qué así lo creés. Compará tu respuesta con la de tus compañeros.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 8

98

A B

CD


5. Para revisar lo aprendido

a) Como finalización de esta unidad reunite con tus compañeros y completá este cuadro con las obser-vaciones que registraste en tu carpeta.

Las diferentes actividades que realizaste te han llevado a observar que los ángulos pueden referirse a las posicio-nes particulares de las rectas que los forman.Estos ángulos cumplen con propiedades que habrás descubierto a medida que fuiste trabajando en tu carpeta. Laspropiedades son muy importantes y te permitirán encontrar otras relaciones a medida que avances en el estudiode la Geometría, como también resolver diferentes problemas.

6. A modo de síntesis

Para que te queden claros los conceptos realizá la siguiente actividad.

a) Dibujá pares de rectas como las de las figuras 1 y 2.

Figura 1 Figura 2


M 2

99

Ángulos formados por dos rectas secantes

Propiedades En símbolos

Opuestos por el vértice

Adyacentes

Ángulos formados por dos rectasparalelas cortadas por una secante

Propiedades En símbolos

Correspondientes

Alternos (internos o externos)

Conjugados (internos o externos)


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 8

100

1. Compará los ángulos que se han formado en cada figura y marcá con un color los ángulos congruentes.

2. Elegí pares de ángulos que están en un mismo semiplano respecto de cada recta. ¿Cuánto sumanesos pares de ángulos?

3. Si se movieran las rectas, ¿qué pasaría con los ángulos que antes eran congruentes? ¿Y con los ángu-los que antes sumaban 180º? Comprobalo dibujando las rectas.

4. Explicá por qué la relación entre los ángulos se mantiene, aunque las rectas se muevan y por consi-guiente cambien las amplitudes de los ángulos.

b) Dibujá dos ángulos adyacentes y las bisectrices de cada uno. ¿Qué propiedad tienen esas bisec-trices? Enunciala.

c) ¿Qué propiedad tienen las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice?

Para finalizarLas diferentes actividades que realizaste te han llevado a observar que los ángulos se pueden referir a

las posiciones particulares de las rectas que los forman.Es de interés especial el análisis de las relaciones que vinculan los ocho ángulos que se forman cuando

se trata de una recta secante a dos rectas paralelas. En tal caso, cada uno de esos ángulos guarda una rela-ción particular con los otros de modo que:

– es adyacente de otros dos;– es el opuesto por el vértice con relación a otro ángulo;– es el correspondiente a otro ángulo formado por la recta secante con la otra recta paralela;– es alterno interno o externo de otro de los ángulos, según su posición.La conclusión más importante es que en virtud de la congruencia entre estos pares de ángulos, o bien de

su condición de suplementarios, es suficiente conocer la medida de uno de los ángulos que se forman parapoder determinar la medida de todos los otros.

Estos ángulos cumplen con propiedades que habrás descubierto a medida que fuiste trabajando en tucarpeta. Los vínculos que pudiste establecer entre los pares de ángulos según su posición te permitiránencontrar otras relaciones a medida que avances en el estudio de la Geometría. La comprobación de estasrelaciones métricas te permitirá la justificación de conjeturas para avanzar, de ahora en más, en el cami-no de la demostración en Matemática.




M 2

101

1. A mirar bienEn este triángulo ABC hay más triángulos y también cuadriláteros. Escribí el nombre correspondiente acada uno sabiendo que AC // FG // DE; AB // EH // IG; BC // DI // FH.

a) Marcá con un color todos los ángulos correspondientes con el ángulo A y señalá las paralelas y lasecante que has elegido.

2. Los ángulos en la Antigüedad Desde la Antigüedad, los hombres observan el cielo y los cuerpos que en él aparecen. Uno de esos hom-bres fue el sabio Aristarco de Samos, llamado así por haber nacido en ese lugar de Grecia tres siglos antesde Cristo.

Él estableció que el Sol, la Luna y la Tierra forman un triángulo rectángulo en el momento del cuarto cre-ciente o cuarto menguante. Calculó que β, el ángulo opuesto al cateto mayor, era de 87º, y de esta formapudo concluir que la distancia Tierra - Sol es mayor que la distancia Tierra - Luna.

Este descubrimiento le llevó a decir que la Tierra giraba alrededor del Sol. Esta idea fue muy criticada porentonces porque no se podía pensar que la Tierra se moviera ya que estaba en contradicción con el senti-do común. ¿Podés decir cuál es la propiedad geométrica por la cual Aristarco pudo llegar a esa conclusión?

S

T

A H I

B

F

D

C

G

E

α

β


3. Para seguir pensando a) Si dos ángulos tienen el mismo complemento, ¿qué podés decir de esos ángulos? Justificá tu respuestay da un ejemplo.

b) Si dos ángulos tienen el mismo suplemento, ¿qué podés decir de esos ángulos? Justificá tu respuesta yda un ejemplo.

c) Registrá las respuestas en tu carpeta.

4. El tablero de ajedrezAlguien dijo una vez que el tablero de ajedrez (8 casillas de ancho y 8 de largo) tenía 294 cuadrados.¿Podés explicar si es cierta esta afirmación?

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 8

102


En muchas ocasiones de la vida cotidiana se presentan problemas prácticos como los siguientes: quérelación se puede establecer entre la forma de ciertos objetos y su volumen para estimar cuántos deellos caben en un determinado lugar, o si la forma de dos recipientes de la misma capacidad influye enla cantidad de papel que se necesita para embalarlos. En ambos casos se trata de considerar conceptoscomo el volumen y la capacidad. Esos conceptos tienen significados diferentes: mientras el volumen serefiere a un espacio ocupado, la capacidad lo hace a un espacio vacío con posibilidad de ser llenado. Apesar de eso, habrás advertido que muchas veces la capacidad de un recipiente y el volumen que ocupael líquido que contiene se usan como expresiones equivalentes. De hecho, se sabe que no se trata desituaciones totalmente independientes y que, si una sustancia llena un recipiente de un litro de capaci-dad, ocupa un volumen de un decímetro cúbico.

Cuando se tratan problemas como estos, se requiere reflexionar acerca de las relaciones entre lasuperficie y el volumen de los cuerpos, tema que se tratará especialmente en esta unidad.

En esta unidad trabajarás especialmente con el cálculo de las áreas y los volúmenes de prismas y pirámides.Para eso, relacionarás el cálculo del volumen de un prisma recto con sus dimensiones lineales –ancho, largo yalto– y también aprenderás a calcular el área y el volumen de las pirámides en función de sus dimensiones. Para encarar las actividades, necesitás tener presente qué forma tienen los prismas y las pirámides, y tambiéncuáles son las unidades de medida que se usan para medir las longitudes, las áreas, el volumen y la capacidad.Para revisar esos temas podés consultar las unidades de Geometría del Cuaderno de estudio 1, especialmen-te las 9, 11 y 12, o buscar libros de Matemática en la biblioteca en cuyos índices identifiques estos temas.

Para resolver las actividades de esta unidad vas a necesitar papel de diario, cartulina y papel cuadriculado oisométrico (que es un papel con puntitos que forman cuadros o triángulos). También necesitarás utilizar “cubosunidad” de 1 cm de arista (que podrán ser de madera, de plastilina o de cartulina). Consultá con tu docentepara decidir de qué material serán los cubos con los que vas a trabajar.

En este primer tema vas a trabajar sobre procedimientos para el cálculo de volúmenes y vas a revisar las uni-dades de medida que se usan.Para realizar parte de las actividades 1 y 2 vas a necesitar trabajar junto con otro compañero. Si tus compa-ñeros que están trabajando con el Cuaderno de estudio 1 están resolviendo la unidad 11, es conveniente quete reúnas con ellos. Si así no fuera, consultá con tu docente para decidir con quién podés realizar la tarea ycómo organizarte.


UNIDAD 11 Volumen y área de prismas y pirámides

M 2

TEMA 1: VOLUMEN DE UN CUERPO


Para empezar a trabajar con los contenidos de esta unidad, es importante que recuerdes que: el volumen de un cuerpo indica cuánto espacio ocupa y se expresa habitualmente en m3, dm3 o cm3.Un cubito de 1 cm de arista ocupa un volumen de 1centímetro cúbico (1 cm3), y cada una desus caras tiene una superficie de 1 centímetro cuadrado (1 cm2).

11 ccmm 11 ccmm22 11 ccmm33

1. ¿Qué espacio ocupa un metro cúbico?

a) Construyan un espacio de un metro cúbico (1 m3). Para poder lograrlo sigan estas instrucciones.

1. Peguen hojas de papel de diario para armar dos o tres cuadrados de 1 metro de lado.

2. Para delimitar un cubo de un metro de lado pueden ayudarse con las paredes y el piso de un rincóndel aula. Si dos personas sostienen convenientemente con las manos los cuadrados de papel, el pisopuede representar la base del cubo y las paredes, dos de las caras laterales. Lo importante es que pue-dan apreciar el espacio que ocupa un metro cúbico.

3. Escriban en sus carpetas cómo construyeron ese espacio y estimen cuántas personas caben en él.

b) A partir del volumen del metro cúbico que acaban de construir hagan una estimación acerca de cuántosmetros cúbicos mide el espacio del aula. Anótenlo y consulten con su docente para controlar sus resultados.

El espacio que ocupa un cubo de un decímetro de arista es 1 dm3. En 1 m3 caben 1000 dm3.

2. Estimación de volúmenes

a) Estimá el volumen aproximado de los siguientes objetos. Tus estimaciones te van a servir para com-pletar la tabla siguiente. Copiala en tu carpeta y después completá las filas con el nombre de los objetosde esta lista que correspondan.

• Una caja de zapatillas • Un escritorio• Una calculadora • Una goma de borrar• Un cuaderno • Una caja de fósforos• Una lenteja • Una caja de arroz• Un zapallo • Una pelota de fútbol• Una naranja • Un armario del aula• Una heladera comercial • Un diccionario

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 11

126


b) Agregá a cada una de las columnas tres objetos que te resulte interesante mencionar.

Uno de los objetivos de esta unidad es que aprendas a calcular el área y el volumen de los prismas y laspirámides en función de sus dimensiones. Para eso vas a empezar por analizar una familia de cuerpos en laque cada uno se construye agregando cubos al anterior. De ese modo podrás observar cómo la variación enlas dimensiones influye en el aumento del volumen.

La actividad 3 está vinculada con la construcción de escaleras simples o dobles a partir de cubos. Como vas a nece-sitar dibujarlas, te va a resultar más fácil si usás papel isométrico o papel cuadriculado.

3. Volumen de una familia de cuerpos

En esta actividad encontrarás una fórmula que permite calcular el volumen de cualquier cuerpo de la fami-lia sin necesidad de dibujarlo ni contar los cubos uno por uno.

a) El volumen de los sucesivos cuerpos de esta familia de escaleras crece cuando se pasa de uno cualquie-ra al siguiente. El aumento de 2 cm en el ancho y de 1 cm en el alto provoca un aumento del volumen. Observá las siguientes figuras que son escaleras dobles de 1, 2 y 3 escalones construidas con cubos de 1 cm3.


M 2

127

Mayor que 1 dm3 Menor que 1 dm3 Mayor que 1 m3

b) Dibujá en tu carpeta una o dos escaleras más de este tipo, por ejemplo, con una altura de cuatro, cincoo seis cubos.


c) Copiá la siguiente tabla en tu carpeta y completá los espacios en blanco. En la columna n escribí unaexpresión general, es decir, una fórmula, para calcular el volumen (en cm3) de las escaleras dobles de cual-quier altura, que podemos llamar altura n.

Seguramente habrás observado que la fórmula para calcular el volumen de un cuerpo es el cuadra-do de un número: V = n2. En este caso, el número n2 no expresa la medida de una superficie sino elnúmero de cubos que se usan en la construcción del cuerpo, vale decir, la medida de su volumen.

En la actividad anterior trabajaste con la variación en el ancho y el alto de los cuerpos. Para seguir viendo cómoinfluyen las dimensiones en el cálculo del volumen, en la actividad 4 trabajarás con una familia de cuerpos en losque varían el ancho, el largo y el alto.

Vas a necesitar cubos unidad, pero, si no los tenés disponibles, podés dibujarlos.

4. Volumen de otra familia de cuerpos

a) El dibujo muestra un cuerpo en forma de torre construido con tres cubos de 1 cm3. Susdimensiones son: 1 cm de ancho, 1 cm de largo y 3 cm de alto. Dibujá una torre semejante ala de este dibujo, pero duplicá todas sus dimensiones: ancho, largo y alto. ¿Cuántos cubos de1 cm3 la forman?

b) ¿Y si triplicás todas las dimensiones de la primera torre? Dibujá la nueva construcción.¿Cuántos cubos contiene?

c) Construí en tu carpeta una tabla como esta y registrá en ella los datos obtenidos.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 11

128

Altura de cada escalera doble 1 2 3 4 5 6 n

Número de cubos en cadaescalera doble 1 4 9

T1 T2 T3 T4 T5 Tn

Largo(cm) 1 2 3 4 5 n

Ancho(cm) 1 2 n

Alto(cm) 1 6 3 • n

Volumen(cm3) 3 24


d) Continuá este proceso dos veces más para formar nuevas torres.

e) ¿Cuántos cubos contiene una torre de dimensiones 9 . 9 . 27? Explicá claramente cómo procedéspara responder.

En oportunidades anteriores viste que, si se duplica el lado de un cuadrado, el área de la nuevafigura no es el doble de la anterior sino su cuádruple. En símbolos, si el lado del cuadrado es n:área n = n2 y área 2n = (2 n)2 = 4 n2.

Cuando se trata del volumen de un prisma, si se multiplican por n todas sus dimensiones seproduce un aumento del volumen de n3 unidades cúbicas. Por ejemplo, para calcular el númerode centímetros cúbicos necesarios para formar un cubo de 10 cm de arista es: 1 dm3 = 10 cm de ancho . 10 cm de largo . 10 cm de alto, o sea, 10 cm . 10 cm . 10 cm = 103 cm3 = 1000 cm3.

En el tema 2 vas a empezar a relacionar área y volumen trabajando con prismas y pirámides. A lo largo de este tema y del siguiente, vas a ir aprendiendo las expresiones simbólicas, es decir, las fórmulas

para encontrar áreas y volúmenes. Una vez que las hayas descubierto, podrás escribirlas en una hoja aparte detu carpeta o en un afiche en el aula para tenerlas disponibles. A medida que trabajes con ellas, es importanteque las recuerdes, porque luego las vas a poder aplicar al cálculo de volúmenes de cualquier prisma o pirámide.

Ahora vas a trabajar sólo con prismas y pirámides, para ver las relaciones entre dimensiones y áreas de sus caras.

5. Prismas pintados

a) Suponé que deseas pintar toda la superficie exterior de un cubo de 1 cm de arista. Dicha super-ficie es la superficie total del cubo. Dibujá en tu carpeta la superficie que tendrías que pintar.¿Cuánto mide en cm2?

El área total de un cuerpo es la suma de las áreas de todas sus caras. Si no se considera la super-ficie de la o las bases, se trata del área lateral del cuerpo.

b) Seguí el siguiente razonamiento y hacé en tu carpeta las cuentas que necesites para verificar los resultados.


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TEMA 2: SUPERFICIE LATERAL Y TOTAL


1. Con 24 cubitos de 1 cm de arista se puede construir, por ejemplo, un prisma de 3 cm de altura, cuyabase sea un rectángulo de 4 cm de largo y 2 cm de ancho. Recordá que la base del prisma es la cara enla que está apoyado.

3 cm

2 cm

4 cm

2. Ya sabés que su volumen es 24 cm3, pero ¿cómo calcular su superficie total? Se puede imaginar alprisma como una caja de cartón e ir desarmándola para mostrar sus caras. Considerá las seis caras yhacé los cálculos necesarios para averiguar su área.

• Primero la base y la cara superior.

• Después, dos caras laterales de 2 cm . 3 cm.

• Por último, dos caras laterales de 4 cm . 3 cm.

• Si sumaste bien las áreas de todas las caras habrás obtenido el área total, que es de 52 cm2.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 11

130

2 cm

4 cm

2 cm

4 cm

3 cm

2 cm

3 cm

2 cm

3 cm

4 cm

3 cm

4 cm


Es decir que la superficie lateral de un prisma recto rectangular se puede calcular como el área de unsolo rectángulo de base igual al perímetro de la base del prisma y altura igual a la del prisma. La super-ficie de este rectángulo es la superficie lateral del prisma. En este caso, el área lateral es de 36 cm2.

c) Mediante el procedimiento desarrollado en b, u otro que resulte equivalente, hallá la superficie total ylateral de otro prisma diferente del anterior que también se pueda construir con 24 cubitos. Dibujá en lacarpeta todas las figuras que necesites y escribí las cuentas correspondientes.

d) Comentá lo que hiciste con tus compañeros y con tu docente, y piensen entre todos una fórmula quepermita obtener el área lateral de un prisma recto de base rectangular.

e) Hacé lo mismo para el área total. Escribí y recuadrá las fórmulas en tu carpeta.

f) Explicá por qué el área total de un cubo de 6 cm de arista es 216 cm2 y calculá su área lateral.

6. El área de una pirámide

a) ¿Cómo procederías para obtener el área lateral de una pirámide recta de base triangular? ¿Y el áreatotal? Te conviene trabajar con una pirámide construida en cartulina. Podés copiar el desarrollo siguiente.


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131

Las caras laterales se pueden pensar una a continuación de otra formando un solo rectángulo,como se ve en la siguiente figura.

4 cm 2 cm 4 cm 2 cm

3 cm


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 11

132

Recordá que la altura de una cara de la pirámide es su apotema.

b) Generalizá el procedimiento que usaste y escribí una fórmula que permita calcular el área total de unapirámide recta cuya base sea un polígono regular de n lados.

c) Compará tu trabajo con el de tus compañeros y muéstrenle al docente sus conclusiones.

Ahora que ya tenés presente el cálculo de las áreas, vas a avanzar en el cálculo del volumen de prismas y pirámides.

Para realizar la actividad 7 necesitás 24 cubitos unidad de 1 cm de arista de madera, cartulina o plastilina, segúnlo que hayan acordado utilizar con tu docente.

7. Volumen de un prisma

a) Construí distintos prismas rectos de base rectangular con 24 cubitos unidad. Cualquiera de esos pris-mas ocupa un espacio equivalente a 24 cm3, porque en su construcción se usan todos los cubitos. Pero,¿cómo se puede obtener ese volumen a partir de conocer las dimensiones lineales de esos prismas?

b) La siguiente tabla muestra las dimensiones (en cm) de seis prismas distintos: A, B, C, D, E y F, que fue-ron construidos con 24 cm3. Al nombrar las aristas se menciona el ancho, el largo y el alto. Copiá la tablaen tu carpeta y completala.

TEMA 3: CÁLCULO DEL VOLUMEN DE PRISMAS Y PIRÁMIDES

PrismaLargocm(l)

Anchocm(a)

Altocm(h)

Perímetrocm

Áreacm2

Área lateralcm2

Área totalcm2

Volumencm3

A 24 1 1 50 24 50 98 24

B 12 2 1

C 6 2 2

D 6 4 1

E 3 8 1

F 3 4 2

Base



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133

c) A partir de la observación de la tabla, respondé las siguientes preguntas con tus palabras y escribí lasoperaciones correspondientes en símbolos.

1. ¿Qué operación hay que realizar entre el ancho y el largo del prisma para obtener el área de la base?

2. ¿Cómo se obtiene el perímetro de la base del prisma conociendo el largo y el ancho?

3. ¿Qué operaciones hay que efectuar para obtener el área lateral? ¿Y para obtener el área total?

4. ¿Qué operación hay que realizar entre el área de la base y la altura para obtener el volumen del prisma?

5. ¿Qué operación hay que efectuar entre el largo, el ancho y el alto para obtener el volumen del prisma?

6. La fórmula volumen del prisma = a . l . h, en la que a es la longitud del ancho del prisma, l esla longitud del largo, profundidad o fondo del prisma, y h es la longitud de la altura, ¿es equivalentea la fórmula volumen del prisma = área de la base . altura? ¿Por qué? Explicalo en la carpeta.

d) Ahora que conocés las fórmulas para el cálculo del volumen de un prisma, respondé las preguntas.

1. ¿Qué ancho, qué largo y qué alto puede tener un prisma de 36 cm3 de volumen?

2. ¿Y otro de 64 cm3?

3. En cada caso, ¿la respuesta es única? Compará la tuya con la de tus compañeros.

8. Volumen de una pirámide

Para resolver esta actividad realizarás una experiencia con dos cuerpos armados con cartulina: un prismarecto de base triangular y una pirámide recta de la misma base y la misma altura.

a) Construí los dos cuerpos en cartulina siguiendo los esquemas que representan el desarrollo de ambos.Usá los dibujos de la página siguiente como modelo; para ampliarlos, les podés aplicar una homotecia derazón 2. Después, recortalos y uní sus aristas pegando las aletas. Tené la precaución de dejarlos “desta-pados”, es decir, de no pegar la base.


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 11

134


b) Llená la pirámide con arena seca o harina de maíz y volcá su contenido dentro del prisma.

1. Repetí esa acción las veces necesarias hasta que el prisma quede lleno.

2. Respondé estas preguntas en tu carpeta.

• De acuerdo con lo realizado, ¿qué relación existe entre los volúmenes del prisma y de la pirámi-de? ¿Por qué es así?

3. Compará tus respuestas con las de tus compañeros y consultá con tu docente para escribir la fórmulaque permita hallar el volumen de una pirámide recta de base rectangular. Después, copiala en la carpeta.

Volumen de una pirámide recta de base rectangular = .....................................................

La siguiente actividad te permitirá revisar y aplicar lo que aprendiste sobre la relación entre áreas y volúmenes deprismas y pirámides. Volvé a mirar lo que resolviste en las actividades anteriores y repasá las fórmulas que hallas-te. Te conviene escribirlas todas en una tabla - resumen que te ayudará a recordarlas cada vez que las necesites.

9. Áreas y volúmenes

a) Copiá en tu carpeta el siguiente cuadro y completalo. En cada caso, se trata de prismas o pirámides debase rectangular nombrados en la primera columna cuyas dimensiones y volumen se dan en las restantes.

b) Resolvé las siguientes situaciones.

1. Se desea envasar 1000 cm3 de dulce de batata en una caja de madera. ¿Cuáles pueden ser lasdimensiones de la caja? Elegí, entre las posibles respuestas, las que resulten adecuadas para que lacaja pueda guardarse en una alacena.

2. Imaginate que tenés 8 cubos de madera de 1 cm de arista. Podés pintar algunas caras de colorrojo y otras, de azul. Explicá cómo se podrían pintar de manera que los 8 cubos puedan reunirsepara formar otro cubo de 2 cm de arista, todo de color rojo o todo de color azul.

3. Si tuvieras 27 cubos de 1 cm de arista, ¿podrías colorearlos de manera que puedan formar otrocubo de 3 cm de arista que se viera todo rojo o todo azul o todo amarillo?


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Ancho (cm) Profundidad (cm) Alto (cm) Volumen (cm3)

Prisma 6 5 90

Pirámide 3,5 6 2

Prisma 6 24

Pirámide 2 5 4


Para finalizarHabrás observado que, si bien la unidad convencional para medir volúmenes es 1 m3, su gran tamaño

hace que en la vida cotidiana su uso no resulte cómodo. Es más frecuente el uso diario de submúltiplos delmetro cúbico: el decímetro cúbico (1 dm3) para recipientes que contienen uno o más litros, y el centímetrocúbico (1 cm3) para la medición del volumen de objetos más pequeños.

Las experiencias en medición de áreas y volúmenes y el registro en tablas seguramente te ayudaron acomprender las relaciones entre los atributos de los cuerpos en estudio y el uso de las unidades apropia-das para medirlos. En tal sentido, estudiaste que, si se conoce el volumen de un cubo, se puede determinarel área de su superficie, por ejemplo, si el volumen de un cubo es 64 unidades cúbicas, entonces el área desu superficie es de 96 unidades cuadradas. Pero esa relación no es cierta en prismas rectangulares o, engeneral, para otros cuerpos porque hay muchos cuerpos diferentes que tienen el mismo volumen.

Las tablas te permitieron observar la gran variabilidad que existe en la superficie lateral y total de pris-mas que tienen el mismo volumen. La construcción de diferentes prismas rectangulares usando cubos api-lables ayuda a visualizar que los prismas más parecidos a un cubo (sus dimensiones son bastante simila-res) tienen menor superficie que los muy alargados.

En esta unidad pudiste establecer muchas fórmulas que volverás a analizar con mayor profundidad en lasunidades siguientes que tratan temas de Álgebra y funciones.

En los desafíos que siguen, vas a encontrar situaciones relacionadas con el tema de esta unidad y un inte-resante juego con números.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 11

136



1. El prisma de LucasMariana construyó un prisma rectangular. Lucas construyó otro, duplicando sólo las medidas de sus aris-tas en el ancho y el largo. ¿Cuál es la relación entre los volúmenes de ambos prismas? ¿Por qué?

Pablo quiso llenar con arena el prisma de Lucas y para hacerlo usó el prisma de Mariana cargado exacta-mente hasta la mitad. ¿Cuántas veces tuvo que volcarlo en el prisma de Lucas para llenarlo? ¿Por qué?

2. Un juego con númerosEs un juego sencillísimo para multitudes de tres a un millón de personas. Las reglas son las siguientes.

• Cada uno elige, en secreto, un número entero positivo y lo escribe en un papel. Todos los númerosse revelan al mismo tiempo. Gana quien haya elegido el número más bajo que no esté repetido.

• Por ejemplo, si los números elegidos fueran 1, 1, 3, 5, 8, gana quien eligió el 3. El 1 es menor que 3,pero está repetido. El 5 no está repetido, pero es mayor que 3.

• El juego es muy desconcertante. Al probarlo conviene hacer varias rondas seguidas para detectar ten-dencias y evaluar estrategias.


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3. Una variante del juego anteriorNo se conoce con exactitud el origen de este juego. Tampoco se sabe si tiene un nombre estandarizado.Sborochan remite a Andrés Sborovsky y Rodolfo Kurchan, quienes lo propusieron en la lista Snark* hacemuchos años. Allí se practicó con fruición y surgieron muchas variantes. Una de ellas es ligeramente para-dójica. Fue bautizada “San Segundo” y sólo tiene un pequeño cambio en las reglas: gana el segundo núme-ro más bajo que no esté repetido. ¿Qué número conviene elegir? Evidentemente no el 1: jamás podría serel segundo número más bajo. Queda descartado. ¿Y el 2? Bueno, si nadie elegirá el 1, el 2 no podrá sernunca el segundo número más bajo. También queda descartado. Si nadie elige ni el 1 ni el 2, tampoco esrazonable elegir el 3; de la misma manera se descartan el 4, el 5, el 6 y todos. Conclusión: no convieneelegir ningún número. Y sin embargo, al jugar, habrá alguno que gane.

Una variante más permite elegir más de un número. Otra, propuesta por Salva, sirve para torneos: elganador de cada ronda obtiene tantos puntos como el número que eligió. De esta manera se da la ten-sión entre elegir números bajos (pues el más bajo no repetido sigue ganando) y números altos (parasumar más puntos).

4. Los cuatro cuatros En la siguiente serie de cálculos hay un error en el orden de los resultados. El desafío es encontrar elerror.

* Snark es una lista de juegos de ingenio.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 11

138

a) 4

444 −f)

4

44 −

b) 4 + 4 + 4

4 g)

4

444 +×

c) 4 + 4 + 4 – 4 h)4

444 ++

d) 4

44- 4 i)

4

4 +

4

4

e) 4

44 + + 4 j)

44

44


En unidades anteriores estudiaste transformaciones geométricas en las que permanecen invarian-tes la forma y las dimensiones de las figuras. Recordarás que las traslaciones y las rotaciones sonejemplos de transformaciones que, además de dejar invariante la forma, conservan la orientación delas figuras, por eso se dice que son movimientos que no salen del plano. En cambio, la simetría es unatransformación en la que las figuras se “dan vuelta” y cambian su orientación: lo que en el original estáa la izquierda, en la imagen queda a la derecha. La naturaleza nos permite observar elementos simé-tricos, por ejemplo, las alas de una mariposa; cuando están cerradas se superponen exactamente ycuando están abiertas pertenecen a un mismo plano.

A partir de esta unidad y en las siguientes vas a profundizar en la proporcionalidad entre segmentosa través del estudio de otras transformaciones. Ahora se tratará de casos en los que se conserva laforma, pero puede variar el tamaño de las figuras. Estudiarás la homotecia y la semejanza.

Estos conceptos son de fundamental importancia porque, gracias a ellos, los antiguos griegos pudie-ron estimar las dimensiones de la Tierra, el Sol y la Luna y las distancias entre ellos, con la simple ayudade un aparato para medir ángulos.

1. Puntos correspondientes

a) Dibujá en tu carpeta dos figuras como las que se muestran. Si te parece necesario, calcalas.

1. Ponele letras a los vértices. Si observás con atención, verás que al poner letras a los vértices,podrás considerar que a cada vértice de la primera figura corresponde uno de la segunda. Por lotanto, al poner las letras podés representar esa correspondencia usando la forma que ya conside-raste en otras transformaciones: A y A´.


UNIDAD 9 Más transformaciones: homotecia y semejanza

M 2

TEMA 1: ¿QUÉ ES LA HOMOTECIA?


2. Si es posible, trazá con color líneas rectas uniendo vértices que se correspondan entre sí, es decir, lasrectas que pasan por A y A’, B y B’, C y C’, D y D’. Estas rectas se cortan en algún punto; buscalo, marcaloy llamalo O. Compará tu trabajo con el de tus compañeros y controlá con tu docente antes de continuar.

3. Respondé: ¿dónde está ubicado el punto O?

b) Dibujá y recortá tres triángulos equiláteros distintos entre sí, por ejemplo, con lados de 2 cm, 4 cm y6 cm, respectivamente. Nombralos ABC, A’B’C’ y A’’B’’C’’.

1. Intentá ubicarlos en una hoja de carpeta de modo que los vértices correspondientes se puedan unirentre sí con líneas rectas, y de manera que esas rectas se corten en un punto. Cuando lo logres, pega-los en la carpeta en esa posición y trazá con color esas rectas.

2. Nombrá P el punto donde se cortan. Observá dónde está ubicado.

c) Reiterá lo que hiciste en la consigna b, con las siguientes figuras:

1. dos rectángulos, uno de 2 cm x 4 cm, y otro de 3 cm x 6 cm;

2. dos rombos, uno con diagonal mayor de 8 cm y diagonal menor de 6 cm, y otro con diagonal mayorde 16 cm y diagonal menor de 12 cm.

d) Leé el recuadro siguiente y confirmá si observaste lo que allí se expresa.

Hay pares de figuras, o a veces más de dos, que tienen:• igual forma,• distinto tamaño,• vértices correspondientes alineados según rectas que se cortan en un único punto o centro,• ángulos correspondientes iguales y• lados correspondientes paralelos.

e) Volvé a la consigna b: el centro de esa transformación es el punto P y, para caracterizarla, tendrás quehacer mediciones y algunos cálculos. Copiá esta lista de segmentos en la hoja donde pegaste los triángu-los ABC, A’B’C’ y A’’B’’C’’. Medí cada segmento y completá la lista con las medidas correspondientes:

PA = ……… PA’ = ……… PA’’ = ………

PB = ……… PB’ = ……… PB’’ = ………

PC = ……… PC’ = ……… PC’’ = ………

AB = ……… A’B’ = ………

BC = ……… B’C’ = ………

CA = ……… C’A’ = ………

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 9

104


1. Realizá los cocientes entre las medidas de los siguientes pares:

PA’ y PA; PB’ y PB; PC’ y PC; A’B’ y AB; B’C’ y BC; C’A’ y CA.

2. Compará tu trabajo con el de tus compañeros, controlá las respuestas con tu docente y escribí todastus observaciones.

En estos casos se dice que una de las figuras es la imagen de la otra por una transformación lla-mada homotecia (del griego homós, semejante), en la que puede variar el tamaño de la figura. Lahomotecia queda caracterizada por un centro y un número. Ese número es la razón que vincula lalongitud de los segmentos correspondientes en esa transformación.

Por ejemplo, la homotecia que transforma el triángulo ABC en el triángulo A’B’C’ es la homote-cia de centro P y razón 2.

f) Observá los triángulos que dibujaste en b. Respondé estas preguntas relativas a cada par de figurascorrespondientes. ¿Cuál es el centro y la razón de la homotecia que transforma el triángulo ABC en eltriángulo A’’B’’C’’? ¿Y el A’B’C’ en el A’’B’’C’’?

2. Imágenes homotéticas

a) Para hallar la imagen del triángulo VYZ según una homotecia de centro O y razón 3, seguí las siguien-tes instrucciones.

1. Dibujá un triángulo VYZ y un punto exterior O, como se muestra en la figura.


M 2

105

El punto en el que concurren las rectas quedeterminan los puntos de una figura y suscorrespondientes es el centro de homotecia.La razón de homotecia, que se llama k, secalcula hallando el cociente entre OA y OA’.O es el centro; A un punto cualquiera y A’ sucorrespondiente imagen. El signo de la razóndepende de la posición de O respecto de A yA’. Si la razón es positiva, A y su imagen A’ seencuentran sobre una misma semirrecta deorigen O. En cambio, si A y A’ pertenecen asemirrectas opuestas de origen O, la razón es negativa y el centro se encuentra entre A y A’, como en la figu-ra en la que al triángulo ABC se ha aplicado una homotecia de centro O y razón –2.

•• VO

Y

Z

A´

C´

C

B

AoB´


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 9

106

2. Trazá desde el punto O, con línea punteada, tres semirrectas que pasen por V, Y y Z, respectivamente.

3. Tomá la medida de OV y marcá V’ sobre la semirrecta de manera que el segmento OV’ sea el triplede OV.

4. Hacé lo mismo para encontrar Y’ y Z’. Para lograr más precisión en las medidas podés usar el compás.

5. Uní V’ con Y’ y con Z’. Ha quedado así dibujada la imagen de VYZ, según la homotecia de centro O yrazón 3. Resaltá con colores el triángulo VYZ y su imagen V’Y’Z’.

b) En una hoja en blanco, dibujá un cuadrado ABCD de 4 cm de lado y escribí las instrucciones necesariaspara hallar la imagen del cuadrado según una homotecia, de modo que uno de tus compañeros o tu docen-te puedan hacerlo. No olvides tener en cuenta que deben cumplirse las relaciones que observaste en laactividad 1, consigna d.

c) Intercambiá la hoja con la de algún compañero. Cada uno dibujará la imagen siguiendo las instruccio-nes. Controlen si los dibujos son correctos. Ante cualquier duda consulten con el docente.

3. El centro y la razón de homotecia

a) Dibujá con color en tu carpeta un cuadrilátero ABCD, un punto exterior X y un punto interior W.Dibujá A’B’C’D’, imagen de ABCD, por la homotecia de centro X y razón 2.

b) Dibujá con otro color A”B”C”D”, imagen del cuadrilátero ABCD por la homotecia de centro W y razón 2.

c) Respondé en tu carpeta.

1. ¿Cómo es el tamaño de cada una de las imágenes obtenidas respecto del tamaño de la figura original?

2. ¿Cómo es la forma de las dos imágenes obtenidas respecto de la forma de la figura original?

3. ¿Qué relación hay entre los lados de la figura original y sus correspondientes en las respectivas imáge-nes?, ¿y acerca de los ángulos en la figura original y sus correspondientes en las respectivas imágenes?

4. Compará tus respuestas con la de tus compañeros y consúltenlas con su docente.

d) ¿Cuál es el centro de la homotecia que transforma ABC en A’B’C’? Explicá en tu carpeta cómo proce-diste para responder.

W

X

AB

CD


C

A

A´´

B

A´ B´

C´

A continuación avanzarás en el estudio de las transformaciones. En el tema siguiente explorarás la seme-janza y verás de qué manera está relacionada con la homotecia. En la primera actividad analizarás las condi-ciones para que dos figuras sean consideradas semejantes.

4. Figuras semejantes

a) Observá los triángulos ABC y A’’B’C’. Para obtener el segundo a partir del primero, se le aplicó al trián-gulo ABC una homotecia de centro C y razón 2 y se obtuvo A’B’C, y a esa imagen A’B’C se la rotó 90º ensentido horario con centro en B’.


M 2

107

B

A

C

A’

B’

C’

Como habrás podido observar a través de estas actividades, al aplicar este tipo de transformacionesse obtienen figuras de la misma forma que la original, pero que pueden no tener el mismo tamaño.

Las homotecias son transformaciones conformes porque conservan la forma de las figuras, perono necesariamente su tamaño. En cambio, las rotaciones, las simetrías y las traslaciones, que yaestudiaste en la unidad 6 del Cuaderno de estudio 2, además de conformes son transformacionesisométricas (del griego isos, igual) del plano porque conservan las medidas de las figuras.

TEMA 2: LA SEMEJANZA


b) En el mismo orden, las siguientes tablas muestran las medidas de los ángulos, en grados, y las medidasde los lados, en centímetros. Respondé en tu carpeta si la relación entre las medidas de los lados de ABCy A”B’C’ es directamente proporcional y por qué.

Dicho de otro modo, dos figuras son semejantes si una se puede obtener a partir de la otra poraplicación sucesiva de una homotecia y alguna de las trasformaciones isométricas; o sea, traslacio-nes, giros o simetrías.

En el ejemplo anterior, la igualdad de los ángulos es evidente y la proporcionalidad de los lados

correspondientes se observa en la igualdad de los cocientes ; ; .

Si realizás los cálculos, verás que en todos los casos el cociente es 2; entonces, la razón de seme-janza de A”B’C’ con respecto a ABC es 2.

24

2,14,2

15,23,4

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 9

108

Para expresar simbólicamente que al triángulo ABC se le ha aplicado primero la homotecia yluego una rotación se escribe:

R (B’; 90º) °H (C; 2) ABC = A”B’C’.

Si leés la fórmula de izquierda a derecha, parece que las transformaciones están al revés del orden enque fueron hechas. Esto es así porque el símbolo de la operación que primero se aplica, se escribe en lafórmula siempre a la izquierda de la figura y junto a ella. En este caso se le aplicó al triángulo ABC unahomotecia de centro C y razón 2, es decir: H(C;2) ABC. La segunda operación en la que a esa imagenA’B’C se la rotó 90º en sentido horario con centro en B’, se aplica al resultado de H (C;2) ABC, por eso queda escrita más a laizquierda:

R (B’; 90º) °H(C; 2) ABC.Las siguientes tablas expresan la transfor-

mación resultante; una muestra la corres-pondencia entre los ángulos y la otra, entrelos lados.

ABC A'B'C

A A'

B B'

C C'

ABC A'B'C

AB A' B'

BC B' C'

CA C' A'

Dos figuras son semejantes si cumplen simultáneamente las dos condiciones siguientes:• sus ángulos correspondientes son iguales;

• sus lados correspondientes tienen medidas que se vinculan por una función directamenteproporcional.

Ángulos Lados

ABC A'B'C

80º 80º

65º 65º

35º 35º

ABC A'B'C

2,15 4,3

1,2 2,4

2 4

Ángulos Lados


c) Considerá los triángulos, ABC y A´B´C´ que aparecen a continuación para resolver las siguientes consignasen tu carpeta.

1. Realizá todas las mediciones necesarias para verificar que se trata de dos triángulos semejantes.

2. Elaborá las tablas de medidas de los ángulos y de los lados correspondientes.

3. Hallá la razón de semejanza.

4. Indicá qué triángulo tomaste como original y cuál, como imagen.

En las siguientes actividades seguirás trabajando sobre transformaciones y figuras semejantes. Acordá con tudocente cuándo resolverlas.

5. Análisis de figuras semejantes

a) La siguiente tabla muestra las medidas de los lados de dos triángulos semejantes; el triángulo MNP esla imagen del triángulo RST:

Copiá la tabla en tu carpeta y respondé.

1. ¿Cuáles son los pares de lados correspondientes?

2. ¿Qué medida tienen los lados de la figura considerada como original?

3. ¿Cuál es la razón de semejanza?

4. La figura imagen ¿se agrandó o se achicó con respecto a la original?


M 2

109

RST MNP

RS = 3 MN = 4,5

ST = 2 NP = 3

TR = 2,5 PM = 3,75

A´

B´

C´A

B

C


b) Hacé lo mismo que en a considerando la siguiente tabla en la que RST es la imagen de MNP.

c) ¿En qué se parecen y en qué se diferencian las situaciones planteadas en a y b?

d) La siguiente tabla está incompleta. Para que puedas hallar las medidas de los lados BC y PM tené encuenta que el triángulo ABC es la imagen del triángulo MNP por una semejanza. Hacé lo siguiente:

1. Copiá la tabla en tu carpeta.

2. Encontrá las medidas que faltan para completarla. Seguramente, podrásusar lo que ya aprendiste sobre razones y proporciones.

3. Explicá paso a paso cómo lo hacés.

e) Observá el siguiente dibujo.

La expresión: R (P;-50º)°H(O; 2) ABC = A3B3C3, significa que al triángulo ABC se le ha aplicado sucesivamenteprimero una homotecia de centro O y razón 2 y luego un giro de centro P y ángulo –50º y que el resulta-do de aplicar esas operaciones, en ese orden, es el triángulo A3B3C3.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 9

110

MNP ABC

MN = 3 AB = 12

NP = 2 BC =

PM = CA = 16

C2

B2

A2

O

A3

A1

B1

C1

B3

C3

A´

B´

C´

C

VECTO

RD

ETR

ASLACIÓ

N

P

A

B

e

MNP RST

MN = 6 RS = 3

NP = 4 ST = 2

PM = 4,5 TR = 2,25


1. Copiá en tu carpeta la expresión anterior que representa todas las transformaciones.

2. Completá las siguientes expresiones y explicá con tus palabras el significado de cada una:

T ( ) °H(O; 2) ABC =

S (e) °H(O; 2) ABC =

3. Nombrá todos los triángulos que son semejantes.

Con la siguiente actividad tendrás la oportunidad de revisar los contenidos de esta unidad y también podrás con-siderar cuánto sabés sobre estas nuevas transformaciones, sus características, cómo aplicarlas a distintas figuras ycómo expresarlas simbólicamente. Revisá los dos temas de esta unidad y, si no lo hiciste antes, copiá en tu car-peta las definiciones o explicaciones más importantes y los “Para recordar”. Prestá especial atención a la expre-sión simbólica de las transformaciones y asegurate de entender cómo se formula y cómo se lee. Practicalo con lasfiguras de las actividades.

6. Homotecias, semejanzas y símbolos

a) Completá el siguiente cuadro acerca de un rombo VXYZ al que se le han aplicado homotecias de dis-tintas razones. Tené en cuenta que un rombo es un paralelogramo con sus lados iguales.

b) En una hoja en blanco dibujá un rectángulo MNPQ, de 4 cm por 2 cm. Hallá su imagen según una homo-tecia de centro O (O es un punto cualquiera exterior al rectángulo) y razón –2.

1' BB


M 2

111

Medida del lado XY Medida del lado X’Y’ Razón de la homotecia

3 cm 12 cm

6 cm 1,5

2 cm 4

En este caso, la razón es un número entero negativo, ¡hay que tener cuidado! Cuando busques la imagen de M, por ejemplo, en vez de hacerlo sobre la semirrecta OM, debés

hallarla sobre la semirrecta opuesta de OM. En ese caso, el centro O de la homotecia queda entre lafigura original y su imagen.

En cambio, si la razón de la homotecia es positiva, las dos figuras, la original y su imagen, que-dan “del mismo lado” respecto del centro de la homotecia.


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 9

112

c) Decidí si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera (V) o falsa (F). Si es verdadera, explicácómo lo justificás.

1. Todos los rectángulos son semejantes entre sí.

2. Todos los cuadrados son semejantes.

3. Dos rombos iguales son semejantes.

4. Si dos triángulos isósceles tienen los ángulos opuestos a la base respectivamente congruentesson semejantes.

Para finalizarA lo largo de esta unidad aprendiste que una figura y su imagen homotética siempre cumplen con lassiguientes condiciones:

• sus lados respectivos son paralelos;• las longitudes de los lados son respectivamente proporcionales;• sus ángulos respectivos son iguales entre sí; • su forma es la misma.

Y también que si dos figuras son semejantes:• sus ángulos correspondientes son iguales;• sus lados correspondientes son proporcionales, es decir tienen medidas que se vinculan por una fun-

ción directamente proporcional;• pueden estar ubicadas en cualquier localización del plano.

A continuación, como siempre, algunos problemas interesantes para que resuelvas solo. En este caso, sobretemas de Geometría y una incursión al mundo maravilloso de Gulliver.



1. Las esferas Una caja cúbica de 8 cm de arista contiene una esfera de 8 cm de diámetro. Otra caja cúbica, también dearista de 8 cm, contiene 512 esferitas de 1 cm de diámetro. Todas las esferas son macizas y del mismomaterial. ¿Qué caja pesará más?

2. Triángulos ¿Puede un triángulo isósceles ser semejante a un triángulo rectángulo? ¿Por qué?

3. Gulliver y la semejanza (*)Las historias de Gulliver y sus viajes al país de los enanos (Liliput) y al de los gigantes (Brobdingnag) sonmuy conocidas. Según cuenta su autor, Jonathan Swift, en el fantástico Liliput las dimensiones largo, anchoy alto de todas las cosas, animales, plantas y personas, eran 12 veces menores que las nuestras, mientrasque en Brobdingnag todas las dimensiones eran 12 veces mayores.

En un pasaje de la obra, Gulliver cuenta cómo los liliputienses prepararon la cama para su gigantesco huésped:

“600 colchones con dimensiones liliputienses fueron traídos en carretas a mi casa. De 150colchones cosidos entre sí, salió uno en el que cabía libremente a lo largo y a lo ancho.Pusieron uno encima de otro 4 colchones como este, pero aún así, ese lecho era tan duropara mí como una piedra”.

a) ¿Cuántas capas debían poner para lograr un colchón normal para Gulliver?

En otro momento del viaje, el autor explica que, para alimentar a Gulliver, “le será entregada diariamen-te una ración de comestibles y bebidas suficiente para alimentar a 1728 súbditos de Liliput”.

b) Si un cocinero puede preparar comida para unos 10 liliputienses, ¿cuántos cocineros harán falta paraalimentar a Gulliver?

Las cosas cambian al llegar a Brobdingnag, donde el pobre Gulliver se queja de un travieso escolar que“me tiró una avellana a la cabeza y por poco me da, y la había lanzado con tal fuerza que me hubiera des-calabrado inevitablemente, porque la avellana era poco menor que una calabaza nuestra”.

c) ¿Cuánto pesará una avellana en Brobdingnag?

d) Si el diámetro de una avellana es aproximadamente de 1,5 cm, ¿cuál es el diámetro de una en el paísde los gigantes?

(*) Camus, N. y Massara, L., Matemática 3, Buenos Aires, Aique.


M 2

113


4. Cercando terrenosEn la colonización de un pueblo se utilizó el siguiente procedimiento para la distribución de tierras:todos los colonos podían quedarse con el terreno que fueran capaces de alambrar con 3.000 m dealambrado.

¿Cuál es el mayor terreno que se puede cercar si todas las parcelas tienen que tener forma rec-tangular?

Algunas personas buscaron terrenos al lado de los ríos. No sólo se aseguraban la provisión deagua sino que ahorraban uno de los lados del terreno a cercar. ¿Cuál es ahora la respuesta?

5. Tornillos, tuercas y clavosHay tres cajas: una contiene tornillos, otra tuercas y la otra clavos. El que ha puesto las etiquetasde lo que contienen se ha confundido y no acertó con ninguna. Abriendo una sola caja y sacandouna sola pieza, ¿cómo se puede conseguir poner a cada caja su etiqueta correcta?

6. Prendas y botonesMaría dice que si pone dos botones a cada prenda le faltan dos botones y si pone uno a cadauna, le sobra un botón. ¿Cuántas prendas y cuántos botones tiene María? ¿La respuesta es única?¿Por qué?

7. SudokuEs un juego de ingenio japonés, muy popular en el resto del mundo, y con bastantes adeptos aquí.Es fácil de entender y de jugar, y sólo requiere un poco de lógica.

Hay un cuadro de 9 por 9, dividido en 9 cuadros de 3 por 3. La clave está en completar los casille-ros con números del 1 al 9, sin repetirlos ni en la hilera, ni en la fila, ni en la cuadrícula menor.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 9

114


En esta unidad vas a explorar algunas relaciones entre las medidas de los lados, y los ángulos de lostriángulos y de otros polígonos. En particular, vas a trabajar sobre lo que se conoce como relación pita-górica, que es una característica de los triángulos rectángulos y tiene muchas aplicaciones en cons-trucciones de todo tipo. Se la llama así en honor a Pitágoras, un eminente filósofo griego que vivió en laprimera mitad del siglo VI a.C.

Vas a trabajar con propiedades que ya conocés de triángulos y cuadriláteros, y necesitás tener presente la fór-mula para calcular sus áreas. También vas a trabajar con potenciación. Si es preciso recurrí a las unidades enlas que se tratan estos temas en el Cuaderno de estudio 1 y 2 o consultá un libro de Matemática de la biblio-teca. Podés hacer anotaciones en tu carpeta sobre algunas de estas cosas que repases, para tenerlas a manocuando avances con las actividades.

1. Un rompecabezas

En esta actividad vas a descubrir relaciones matemáticas a partir de algunas construcciones en papel.

a) Construí, en una hoja de cartulina, dos rectángulos congruentes; recortalos, trazales una diagonaly cortalos por ella para que resulten cuatro triángulos rectángulos congruentes. Llamá a a la hipote-nusa del triángulo rectángulo; b, al cateto mayor, y c, al cateto menor.

b) Trabajá en tu carpeta. Usá como moldes los cuatro triángulosque recortaste: colocalos como se muestra en la figura y trazá loslados del cuadrilátero que se forma.

1. Observá tu dibujo y respondé. El cuadrilátero que contiene loscuatro triángulos ¿qué forma tiene? ¿Cómo son sus lados? ¿Cuál esel área?

2. ¿Cuál es el área del cuadrado interior pequeño? ¿Cuál es el áreadel otro cuadrado interior?

c) Construí un cuadrado de lado b + c y colocá en él los cuatrotriángulos como se muestra en la figura, ¿cuál es el área del cuadra-do interior?


UNIDAD 10 La relación pitagórica

M 2

c

b

b c


d) Compará los dos cuadrados de lados b + c y andá comprobando este razonamiento:

1. En el primer cuadrado, el área es: 4 áreas del triángulo ABC + b2 + c2.

2. En el segundo cuadrado, su área es: 4 áreas del triángulo ABC + a2.

Como ambas áreas son iguales por tratarse de cuadrados de lados congruentes, resulta que

a2 = b2 + c2.

e) Reunite con tus compañeros y comparen sus trabajos. Piensen qué conclusiones pueden obtener deesta comprobación que acaban de hacer y escríbanlas con sus palabras en la carpeta.

Propiedad pitagóricaEn todo triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la sumade las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.En símbolos: a2 = b2 + c2

Esta fórmula vincula los números que resultan de elevar al cuadrado (es decir, a la segunda poten-cia) las medidas de los catetos y de la hipotenusa. Es la propiedad más importante de los triángulosrectángulos y constituye también una propiedad de los números cuadrados.

Para avanzar en la actividad que sigue sobre la relación pitagórica necesitás recordar la rotación y otras transfor-maciones en el plano, que estudiaste a partir de la unidad 6. Tenelas a mano para consultar lo que no recuerdes.

2. La demostración de Leonardo

Vas a revisar una demostración muy interesante de la propiedad pitagórica que data del siglo XV y se atri-buye a Leonardo da Vinci. Para ello trabajá en tu carpeta. Tené en cuenta las orientaciones que te ofrecenlas consignas. Para resolverlas, seguí cada paso, observándolo en la figura que se presenta en el punto b.

a) Dibujá un triángulo rectángulo cualquiera ABC y colocá las letras de modo que a sea la hipotenusa; b,el cateto mayor, y c, el cateto menor.

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 10

116

Esta propiedad de los cuadrados construidos sobre los lados de cualquier triángulo rectángulo seconoce como teorema de Pitágoras en honor a Pitágoras de Samos, que vivió en el siglo VI a.C.en una colonia griega del sur de Italia. Pitágoras fue el primero en elaborar una demostración for-mal de esta propiedad. Mucho antes de que él naciera, en el tercer milenio a.C., se encontraronmanifestaciones de esta propiedad en tablillas babilónicas, y los egipcios ya sabían que los triángu-los cuyos tres lados guardan la relación 3-4-5 son triángulos rectángulos.


b) Dibujá un cuadrado sobre cada lado del triángulo.

1. Marcá el punto O, centro del cuadrado construido sobre lahipotenusa.

2. Aplicá al triángulo ABC una rotación de centro O y ángulode 180° para construir la imagen de ABC, y llamala A’’B”C”.

3. Trazá los segmentos B’C’, DE y AA” como se indica en lafigura.

4. Respondé: ¿qué rotación hay que aplicarle al cuadriláteroABC”A” para que se superponga con A”B’’CA?

5. ¿Cómo podés justificar que los hexágonos BCEC’B’D yA”B”CABC” tienen áreas equivalentes?

6. Observá las siguientes igualdades y escribí tus conclusiones:

Área BCEC’B’D = 2 área ABC + c2 + b2

Área A”B”CABC” = 2 área ABC + a2

c) ¿Por qué este desarrollo demuestra la propiedad pitagórica que aprendiste en la actividad 2?Explicalo en tu carpeta.

Las aplicaciones de la propiedad pitagórica son innumerables. En esta actividad analizarás algunas.

Para realizarla vas a necesitar un rollo de piolín.

3. Aplicaciones de la propiedad pitagórica

Por ejemplo, si la inclinación deseada es del 40%, eso significa que por cada metro en la dirección hori-zontal corresponde 0,40 m en la viga vertical central.

a) Conocido el ancho de la cumbrera, explicá cómo calcularías la longitud de la viga inclinada.


M 2

117

En primer lugar, vas a estudiar cómo se relaciona con la propiedad pitagórica el armado de la cumbreraen los techos a dos aguas en los que la altura de la viga central depende de la inclinación que quiera dárseleal tejado.

BB

B´

B´´C´´

C´

O

B

D

A

C

E

A´´


MATEMÁTICA 2

UNIDAD 10

118

C

Q

4 m

A 3 m P B

b) También se aplica esa propiedad en la construcción de paredes “a escuadra”, es decir que formen ángu-lo recto. Para analizarlo, resolvé la siguiente situación.

Don José quiere construir un galpón para guardar el tractor, las herramientas y armar un taller.El albañil que contrató limpió el terreno y usó piolín, estacas, un martillo y una cinta métrica paramarcar los cimientos. Para asegurarse de que el ángulo formado fuera recto, el albañil plantó una estaca en A. Luegomidió 3 metros sobre el lado AB y plantó una estaca en P. Desde A hacia C midió 4 metros yplantó otra estaca en Q. Tensó un piolín entre P y Q y al medirlo obtuvo 4,85 m. Tuvo que des-clavar una estaca y corregir su posición hasta que PQ midiera exactamente 5 metros.

1. Explicá por qué procedió de ese modo.

c) Otras aplicaciones pueden observarse en la construcción de rectángulos. Continuá analizando la situa-ción anterior.

Don José aprendió del albañil a construir ángulos rectosusando estacas, piolín y una cinta métrica. Quiere marcarun cantero rectangular de 50 cm por 120 cm, ¿cuánto debemedir PA para que PQ y AQ formen un ángulo recto?

d) Observá la relación en el uso práctico de la “escuadra egipcia”.

Los egipcios, mucho antes de que naciera Pitágoras, ya sabían que los triángulos cuyos lados guar-dan la relación: 3-4-5 son rectángulos. Este conocimiento les permitió la construcción de un ins-trumento útil y sencillo: la escuadra egipcia.

1. Para construirla tomá un rollo de piolín y, con mucha paciencia, hacele nudos de modo que entreellos queden 12 espacios exactamente iguales. Para eso cerrá el piolín atando el primer nudo con el últi-mo. Con esta escuadra egipcia de 12 espacios podés verificar si las paredes de tu casa o las de la escue-la están realmente “en escuadra”.

2. Explicá con tus palabras por qué la escuadra egipcia permite obtener ángulos rectos.

P

QA


4. Las ternas de números pitagóricos

a) El siguiente esquema representa cinco triángulos superpuestos. Copialo en tu carpeta y completá unatabla como la que aquí se presenta con sus respectivas medidas.

En la tabla se han formado ternas de números (3-4-5), (6-8-10), (9-12-15), (12-16-20),(15-20-25) que representan la relación que estás estudiando.

Las ternas de números naturales que expresan las medidas de los lados de un triángulo rectángu-lo se llaman ternas de números pitagóricos.

b) Respondé en tu carpeta las preguntas que siguen.

1. ¿Te parece que 4-5-6 son números pitagóricos? Verificá tu respuesta usando la calculadora.

2. Repetí el procedimiento con 8-5-17.

3. Proponé ejemplos de una terna pitagórica y de otra terna que no lo sea.


M 2

119

Cateto menor Cateto mayor Hipotenusa

3 4 5

6

9

12

15

8 12 16 20

15

4

Desde el tercer milenio a.C., los pueblos babilonios escribieron sobre tablillas de arcilla que aúnhoy se conservan. En más de 500 de ellas aparecen expresiones matemáticas que nos han permitidoconocer su sistema de numeración en base 60 y su dominio sobre la relación pitagórica.

La tablilla conocida como Plimpton 322 se conserva en la Universidad de Columbia y fue escritapor los babilonios hacia el año 1800 a.C. En esa tabilla aparecen las ternas de números pitagóricosque pueden calcularse a partir de operar con dos números enteros, por ejemplo m y p.


c) Elaborá una tabla como la siguiente en tu carpeta y completala. Inventá otras ternas pitagóricas.Controlá tus resultados usando la calculadora.

5. La diagonal del cuadrado

En la actividad 3 viste algunas aplicaciones prácticas de la propiedad de Pitágoras en la construcción degalpones y edificios. Ahora verás una aplicación muy importante para el conocimiento matemático: vas acalcular la medida de la diagonal de un cuadrado conociendo su lado.

a) Dibujá un cuadrado y trazale la diagonal. Llamá l al lado del cuadrado, y d, a la diagonal.

b) Leé el siguiente recuadro y, teniendo en cuenta la lectura, respondé la pregunta que le sigue.

Aplicando la propiedad pitagórica: d2 = l2 + l2. Es decir que: d2 = 2 l2. Se puede buscar la raíz cua-drada en los dos miembros de la igualdad y escribir: d = o bien d = l .

1. ¿Cuánto mide la diagonal de un azulejo cuadrado de 15 cm de lado? Hacé los cálculos y comprobáel resultado midiendo con una regla la diagonal en un cuadrado de papel del tamaño del azulejo.

c) Resolvé las siguientes situaciones.

1. Si el lado de un cuadrado mide 1 dm, ¿cuánto mide su diagonal?

2. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de 1 cm de lado?

3. Dibujá un cuadrado ABCD y trazá las diagonales. Por cada uno de los vértices trazá las parale-las a las diagonales. ¿Cómo es el área del nuevo cuadrado con respecto al primero?

22 l 22 l

MATEMÁTICA 2

UNIDAD 10

120

m pa

(m2 + p)b

(m2 – p)c

2mpa2 = b2 + c2

2 1 5 3 4 52 = 32 + 42

3 1 10 8 6 102= 82 +62

3 2

4 1

4 2

4 3

5 1


4. El procedimiento del problema anterior te permite calcular rápidamente el área de un cua-drado conocida la diagonal. Explicá con tus palabras por qué es así.

5. ¿Cuál es el área de un cuadrado cuya diagonal mide 6 cm?

6. Observá la figura y calculá la longitud del segmento DB.

d) Usando papel cuadriculado, construí un cuadrado de lado 8 y trazá las dos diagonales. Construí otrocuadrado dentro del anterior uniendo los puntos medios de las mitades de las diagonales. ¿Qué relaciónhay entre los perímetros de los dos cuadrados? ¿Y entre sus áreas?

1. Respondé en tu carpeta: ¿por qué es importante esta aplicación de la relación pitagórica?

2. ¿En qué situaciones es útil?

Para finalizarEn esta oportunidad vas a realizar vos mismo la síntesis de la unidad. Para ello:

1. Elaborá un índice con el nombre de las actividades.2. Escribí el o los conceptos más importantes que estudiaste en cada una de ellas. Incluí definiciones ofórmulas si corresponde.3. Terminá tu síntesis con las respuestas a estas preguntas:

• ¿A qué se llama relación pitagórica?• ¿En qué consiste?

En los siguientes desafíos podrás reconstruir algunos de los problemas que se plantearon sobre la relaciónpitagórica a lo largo de la historia de la Matemática. Verás las situaciones ingeniosas que propusieron mate-máticos chinos e hindúes y tendrás la posibilidad de resolverlas por tu cuenta.


M 2

121

D

1

1

1A B



MATEMÁTICA 2

UNIDAD 10

122

1. Un matemático indioBashara, un matemático de la India medieval que vivió entre 1114 y 1185, dejó en su obra este desafío:

Observando las figuras, imaginá en qué consiste el desafío.

2. Más desafíos de Bashara“Lilavati” quiere decir hermosura. Ese es el nombre de una obra de Bashara que contiene una serie deproblemas, entre los cuales figuran los dos siguientes que se plantean para que los resuelvas.

a) El bambú roto

Si un bambú de 32 codos de altura ha sido roto por el viento de tal manera que su extremo superiorqueda apoyado en el suelo a una distancia de 16 codos de su base, ¿a qué altura del suelo se rompió?

b) El pavo real y la culebra

Un pavo real se encuentra posado en el extremo de un poste vertical en cuya base hay un agujeroque es la entrada de la cueva de una culebra; observando la culebra a una distancia del pie del posteigual a tres veces su altura, el pavo real se lanza sobre ella en línea recta mientras la culebra intentaganar su agujero. Si el pavo real captura a la culebra cuando ambos han recorrido exactamente lamisma distancia, ¿a cuántos codos de distancia del agujero se produjo la captura?

B´B´

BB


3. Un desafío chinoUno de los primeros libros chinos dedicados a la Matemática y la Astronomía es el Chou Pei, de unaantigüedad aproximada a los 300 a.C. En él se hace referencia al teorema de Pitágoras en un caso parti-cular: si a partir de un cuadrado de 7 unidades de lado se sacan de las esquinas 4 triángulos rectángulosde catetos 3 y 4 (vale decir 24 unidades cuadradas) queda un cuadrado de 25 unidades cuadradas y, porlo tanto, su lado es 5.

El desafío es que a partir de las figuras justifiques con tus palabras la siguiente expresión:

(3 + 4)2 – 2 (3 . 4) = 32 + 42 = 52

4. El junquillo chino que fue loto indioEl siguiente problema pertenece al libro chino Chu Chang Suan Shu o Arte matemático en nueve secciones.Ese libro probablemente sea del siglo II a.C., su autor es desconocido y contiene 246 problemas divididosen 9 capítulos.

“Crece en medio de una laguna circular de 3 m de diámetro un junquillo que sobresale 30cm del agua. Cuando se inclina hasta que lo cubre el agua alcanza justamente la orilla de lalaguna. ¿Qué profundidad tiene el agua?”


M 2

123

x + 30

150

x

3

4 5

D

G

a

A H B

F C

E

b

c K J

L I

D

G

a

A H B

F C

E

b

c K J

L I


Posiblemente el libro haya pasado de la China a la India porque Bashara en su Lilavati expone este pro-blema con algunas modificaciones, por ejemplo, toma una planta familiar en su entorno como es el loto ylo presenta así:

“En cierto lago repleto de gansos rosados y grullas se podía ver la parte superior de una florde una planta de loto, un palmo arriba de la superficie del agua. Forzado por el viento, avan-zó gradualmente y fue sumergido por el agua a una distancia de 4 palmos. Calcula, ¡deprisamatemático!, la profundidad del agua.”

Con la ayuda de los dibujos te será fácil resolver estos desafíos.

5. Se busca un número a) Tenés que encontrar un número de cuatro cifras tal que:

La cifra de las centenas sea menor que la de las unidades.

La cifra de las unidades sea de la de las unidades de mil.

La cifra de las unidades de mil sea de las decenas.

La cifra de las decenas sea el triple de las centenas.

b) Inventá otras búsquedas y probalas con tus compañeros.

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MATEMÁTICA 2

UNIDAD 10

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matemática cuaderno de estudio de 7º 8º y 9º años

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