1. Grupo: Compartiendo Matemticas http://www.facebook.com/groups/558531030824110/MATEMTICA Unidad 1nmeros enteros y medidas de longitud del Sistema Internacional de medidas (SI) Objetivos de la unidad: Resolvers con inters las operaciones bsicas de los nmeros enteros, utilizando las reglas y propiedades que permitan realizar correctamente dichas operaciones, para aplicarlas en la resolucin de situaciones numricas del entorno. Utilizars con seguridad unidades de medida de longitud del sistema Internacional de Medidas (SI).55Grupo: Compartiendo Matemticas http://www.facebook.com/groups/558531030824110/

2. Losnmeros enteros serepresentanseutilizanen Unidadesde longituddelS.I.GrficamenteOperaciones espararepresentarElmetro deElordendelos nmerosDivisinyseestudiaranElopuestode losnmeros MultiplicacinSumaLosmltiplosRestaDescripcin del proyecto Una micro empresa que se dedica a la produccin de pollo de engorde, necesita cercar el terreno donde se halla ubicada. Para ello, el gerente cotiza el precio de la cerca en varias ferreterias. En base a las ofertas presentadas, debe decidirse por la que le ofrece mejor precio; ayuda al gerente a tomar la mejor decisin.56 Matemtica - Sptimo GradoSubmltiplos 3. Leccin 1Primera UnidadConoces los nmeros ENTEROS? MotivacinR ecuerdas qu nmeros utilizas para contar o escribir cantidades enteras? Para contar o escribir cantidades enteras utilizas los nmeros naturales y el cero: {0, 1, 2,3,}Indicadores de logro: Identificars con confianza las caractersticas de los nmeros enteros y su utilidad en la vida diaria. Ubicars grficamente y con seguridad los nmeros enteros en la recta numrica.Aplicars con confianza el valor absoluto en nmeros enteros. Resolvers con confianza ejercicios y problemas aplicando el valor absoluto.De los naturales a los enteros Con los nmeros naturales resuelves diversos problemas, por ejemplo, de adicin y sustraccin. Imagina ahora que en un invierno en la ciudad de New York la temperatura es de 4 C. Si baj siete grados ms, cul es la nueva temperatura? La resta 4 7 no tiene solucin en los nmeros naturales y el cero. Esto significa que necesitas tener otros nmeros que te permitan realizar ese tipo de operaciones.Ejemplo 1 Cmo representas dieciocho grados bajo cero con un solo nmero? Probablemente lo haces as: 18, el cual se lee menos 18.Solucin: Para poder representar este nmero es necesario considerar otro conjunto de nmeros, el que incluye los nmeros positivos, negativos y el cero, y se denomina conjunto de los nmeros enteros. El conjunto de los nmeros enteros se denotan con una z y estn representados as: z = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2,3.}Sptimo Grado - Matemtica 57 4. UNIDAD 1Representacin grfica de los nmeros enteros Una recta esta formada por puntos que esta uno a continuacin del otro y se extienden indefinidamente hacia la izquierda y derecha. Esta situacin se representan por flechas que aparecen en los extremos. Para representar los nmeros, se marcan puntos de la rectas, que se encuentran a la misma distancia uno del otro, a estas marcas se le hace coincidir nmeros, 1, 2, 3, .... A esta recta se llama recta nmerica. La recta numrica de la representacin del conjunto de los nmeros enteros es la siguiente: -5-4-3-2-1012345El conjunto de los nmeros enteros, que aparecen a la derecha de cero son los positivos, y a la izquierda son los negativos. -5-4-3-2-101Nmeros negativos (-)2345Nmeros negativos (+)El conjunto de los nmeros enteros esta formado por: Enteros positivos z+ Enteros negativos z Cero {0} El conjunto de los nmeros enteros, facilita la representacin de situaciones que en el conjunto de los nmeros naturales, es ms difcil. Por ejemplo la representacin de situaciones que deben realizarse con nmeros negativos, como las siguientes: a) La representacin de temperatura bajo cero. b) La prdida obtenida al efectuar cuentas. c) La distancia vertical bajo el nivel del mar. d) Los goles en contra que un equipo de ftbol obtuvo en un partido. Nmeros opuestos En la recta tambin podemos observar nmeros que estn a la misma distancia del cero, pero en lados contrarios. A estos se les llama, nmeros opuestos o aditivos inversos.58 Matemtica - Sptimo Grado 5. UNIDAD 1 Son opuestos 5 y 5 Los dos estn a cinco lugares del 0. Opuestos-5-4-3-2-101234...51Actividad 1.Copia y resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios: En el grfico se presentan los estados de cuenta de la cooperativa El Esfuerzo. Desde el ao 2000 hasta el 2006. Considerar las barras hacia arriba de la recta como valores positivos y hacia abajo como valores negativos. 200020012002 2003200420052006 De cunto ha sido la ganancia o las perdidas en los seis aos representado en la grfica?2. Escribe en tu cuaderno en cada caso el tipo de nmero entero que lo representa: P si le corresponde un entero positivo; N si es negativo; C si es cero. a)Las ganancias de una fbrica . b) La temperatura en San Miguel. c) Un equipo tiene igual nmero de goles a favor que en contra. d) La cantidad de goles en contra. e) Gastar ms de lo que se gana . f) Ahorrar en una cooperativa . 3.Escribe en tu cuaderno el nmero opuesto de: a) 7b) 5c) 1d) 0e) 2374. Escribe en tu cuaderno dentro de cada cuadro el nmero que falta. 1 -425-1Sptimo Grado - Matemtica 59 6. UNIDAD 1 Valor absoluto El valor absoluto de un nmero es la distancia que hay entre el nmero y cero en la recta numrica. As, el valor absoluto de 5, que se representa como | 5 |, es 5, ya que se halla a 5 unidades del 0 en la recta numrica. De igual forma, el valor absoluto, de 5, denotado por | 5 |, tambin es 5 , porque 5 est a 5 unidades de 0: 5 =5-55 Unidades-4-3-25 =55 Unidades-1012345El valor absoluto te permite encontrar la distancia, sin importar si los espacios que existen desde cero al nmero estn en los nmeros positivos o negativos, es decir, si esa distancia es hacia la izquierda o hacia la derecha.Ejemplo 2 Cul es el valor absoluto de 7, 8 y 0? Nmero 7Valor absoluto |7| =78| 8 | = 80|0| =060 Matemtica - Sptimo GradoObserva El resultado del valor absoluto de un nmero, siempre es positivo o cero. 7. UNIDAD 12Actividad 1. Determina el valor absoluto de cada nmero: a) | 9 |c) | 8 + 4 |b) | 4 |d) | 15 |2. Escribe en forma de valor absoluto las distancias sealadas en tu cuaderno los grficos siguientes. Recuerda que el valor absoluto de un nmero es la distancia que hay entre el nmero y cero: a) d0 b) -107 -9dc)d0d)d0083. Qu nmeros estn a 6 unidades de 0 en la recta numrica? 4. Qu nmeros estn a 10 unidades de 0 en la recta numrica? 5. a) Dibuja en tu cuaderno una recta numrica y representa los nmeros encontrados en el ejercicio 3. b) Encuentra la distancia entre los nmeros representados en el literal a) 6. a) Dibuja en tu cuaderno otra recta numrica y representa los nmeros encontrados en el ejercicio 4. b) Encuentra la distancia entre los nmeros representados en el literal a)Ejemplo 3 Cmo puedes ordenar el conjunto {0, 1, 2, 3, 6, 3, 5 }?Solucin: Toma como base y escribe primero los nmeros negativos ms alejados de cero: As -6,-3. Luego el cero y por ltimo los nmeros positivos de menor a mayor. El conjunto ordenado queda as: { 6, 3, 2, 0, 1, 2, 3} y ubicados en la recta numrica as: -6-3-20123Sptimo Grado - Matemtica 61 8. UNIDAD 13ActividadCopia en tu cuaderno y resuelve los siguientes ejercicios: 1. Ordena los siguientes conjuntos de nmeros enteros de menor a mayor: a) {5, 3, 6, 8, 0, 2} b) {0, 1, 2, 3, 4, 6, 3}2. En un da del mes de enero, se registran en la localidad de Las Pilas, departamento de Chalatenango, las siguientes temperaturas: Hora1 a.m. 3 a.m. 4 a.m. 10 a.m. 4 a.m.Temperatura (C)342712a) A qu hora se registra la menor temperatura? b) A qu hora se registra la mayor temperatura? c) Ordena las temperaturas de mayor a menor.3. Rene un equipo de amigas y amigos y juega. Traza en el piso la siguiente figura . 20 cmrea del lanzamiento1m-2-10123mLas reglas del juego son: Cada persona lanza 5 monedas u objetos desde el rea de lanzamiento. Debe apuntar al rea sombreada.Si las monedas caen en el rea 1, el jugador o jugadora pierde un punto. Si cae en el rea 2, pierde 2 puntos.Si una moneda cae fuera del rectngulo puede lanzarla otra vez. Si vuelve a caer fuera, l o ella pierde.Gana la persona que acumule menos puntos de prdida. El equipo puede agregar otras reglas.62 Matemtica - Sptimo Grado 9. UNIDAD 1 Ejemplo 4 Jorge gusta de practicar el alpinismo. Descendi a un can una distancia de 520 m. Despus, escal 132 m y descans. A qu distancia de la parte superior del can se encuentra Jorge?Solucin: Como descendi 520 m, esto es 520 m. Al ascender 132 m, esto es + 132 m = 132 m. Luego |520| |132| = 520 132 = 388 m es la distancia a la parte superior del can.Resumen El conjunto de los nmeros enteros est formado por los enteros positivos, los enteros negativos y el cero. z = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3} Si tienes dos nmeros, el mayor es el que se ubica a la derecha del otro en la recta numrica. Los nmeros que en una recta nmerica ubicados a la misma distancia de cero pero en lados contrarios, se llaman nmeros opuestos. La distancia que tienen los nmeros desde cero,en la recta nmerica sin importar si es hacia la izquierda o a la derecha; es decir, si es positiva o negativa se llama valor absoluto del nmero. El valor absoluto de un nmero siempre es positivo. Se denota por el smbolo | |.Sptimo Grado - Matemtica 63 10. UNIDAD 1AutocomprobacinDe los siguientes nmeros, el mayor que 3 es: 7 b) 5 c) 4 d) a y b son ciertas a)a)44 b) 4 c) 0 d) 2 a)Cul de los siguientes casos representa un nmero positivo?El valor absoluto de 7 es: 8 b) 7 c) 7 d) 7 y 7Gastar ms de lo que que se gana b) La temperatura bajo cero en los polos c) Ahorrar en un banco local d) Distancia vertical bajo el nivel del mar a)1. b.2. c.3. b.23El nmero opuesto de 4 es:Soluciones14. c.CALENTAMIENTO DE LA TIERRA Segn los cientficos expertos en el tema, de seguir las emisiones de gases como el bixido de carbono (CO2), producido por el ser humano, la Tierra seguir calentndose. La temperatura promedio actual que es de 15 C, se incrementara a 20 C o ms en los prximos 25 aos. T puedes ayudar a que esto no suceda por ejemplo no quemando basura. Gases, como el que expelen los vehculos particularmente los buses, las fbricas, los aerosoles, los aparatos de refrigeracin, etc., son los responsables del recalentamiento de nuestro planeta.64 Matemtica - Sptimo Grado 11. Leccin 2Primera UnidadSuma y resta de nmeros enteros MotivacinLa cafetera del Centro Escolar Repblica de Argentina introdujoen su men la venta de frutas y jugos naturales. Los encargados llevaron registros de ganancias y prdidas. Lunes P = $ 20 Martes G=$5Mircoles G = $ 10P = prdidasJueves Viernes P = $ 15 G = $ 25 G = gananciasIndicadores de logro: Determinars y explicars con seguridad la ley de los signos para la suma y resta de enteros. Resolvers ordenadamente ejercicios de suma y/o resta de nmeros enteros (aplicando la ley de los signos).Resolvers con orden problemas de suma o resta de nmeros enteros.Suma de nmeros enteros Cuando hablamos de prdidas y ganancias, significa que se utilizarn nmeros positivos y negativos, para saber si la cafetera gan o perdi se plantea la siguiente suma: PO : 20 + 5 + 10 + ( 15) + 25Ejemplo 1 Si ngela le debe $7 a Luisa y le abona $ 3, cunto le queda debiendo?Solucin: Como la deuda se representa por enteros negativos, caso contrario son ganancias como los ahorros, abonos, etc., se representa por un entero positivo. PO: 7 + 3-7-6 -5-4 -3 -2 -1 -7 + 3 = 4012Observa La segunda flecha comienza a partir de la primera. Observa que para representar la deuda en la recta se hace con una flecha cuyo origen est en cero y llega a 7; pero el abono se hace con otra flecha que va desde 7 tres espacios hacia la derecha y el nmero que seala es la respuesta.Sptimo Grado - Matemtica 65 12. UNIDAD 1 Ejemplo 2 Qu nmero se debe sumar a 5 para obtener 3?Solucin: 5+=3El problema lo podemos plantear as: Crees que el sumando que falta puede ser menor que alguno de los valores dados? Para poder contestar, se utilizar la recta numrica. 5 -2 -2-10123456Puedes ver que la segunda flecha tiene dos espacios hacia la izquierda, ya que representa a 2, que es negativo. El nmero que se debe sumar a 5 para obtener 3 es 2 Cul es el resultado de 5 + ( 2) ? Puedes ver en el grfico que 5 + ( 2) = 3.Observa Observa que la primera flecha va hacia la derecha, cuando el nmero es positivo. Y si es negativo hacia la izquierda. El resultado ser el ltimo nmero que seala la segunda flecha.Ejemplo 3 Manuel tiene $ 5 y gana $ 3, cuntos dlares posee?Solucin: Como este caso se trata de tener y de ganar, ambos nmeros son positivos. Esto lo representas por medio de la suma 5 + 3. Al representar esta suma en la recta numrica, tendremos: 3501234 5 5+3=8R: Manuel posee un total de $ 866 Matemtica - Sptimo Grado6789El resultado tiene el signo comn de los sumandos. 13. UNIDAD 1 Ejemplo 4 Observa ahora como sumamos 4 + ( 3) en la recta numrica.Solucin:-3 -7-6-4 -5-4 -3 -2 4 + (3) = 7-101Por qu ambas flechas van a la izquierda?2Para sumar dos nmeros enteros de igual signo: se suman el valor absoluto de los nmeros y se escribe el signo comn. 4 + ( 4)Punto de apoyoSolucin:Si los sumandos son opuestos el resultado es cero. 210123456La suma de dos nmeros enteros opuestos es igual a cero.4 + (4) = 0De lo estudiado en las situaciones anteriores, puedes ver que: Para sumar dos nmeros enteros de distinto signo: Se obtienen los valores absolutos de cada nmero. Se resta el menor valor absoluto del mayor valor absoluto. El resultado lleva el signo del nmero que tiene mayor valor absoluto.Ejemplo 5 Resuelve las siguientes sumas: a) 7 + ( 5)Solucin:Observa 01234567Observa que la respuesta tiene el signo del mayor valor absoluto de los sumandos.87 + (5) = 2 b) 5 + 3Solucin: 765432101La respuesta tiene el signo del nmero mayor en valor absoluto.5 + (3) = 2Sptimo Grado - Matemtica 67 14. UNIDAD 1 Ejemplo 6 Efectua las siguientes sumas:Solucin: a) 2 + 7-10123456789102+7=9 b) 6 + ( 2)-9-8-7-6-5-4-3-2-101-6 + (-2) = -8Para sumar dos enteros con signos iguales, se suman los valores absolutos de los nmeros y se escribe el signo comn.1Actividad1. Copia en tu cuaderno las siguientes afirmaciones y escribe a la par de cada suma una C si es cierta o F si es falsa. Puedes escribir un ejemplo que refuerce tu respuesta: a) b) c) d) e)La suma de dos nmeros enteros negativos el resultado siempre es un nmero negativo. La suma de dos nmeros enteros positivos, el resultado siempre es un nmero positivo. La suma de un entero positivo con un entero negativo, el resultado siempre es un nmero positivo. La suma de un entero negativo con un positivo el resultado es negativo cuando el mayor valor absoluto de uno de los sumandos es negativo. La suma de un entero positivo con un entero negativo el resultado es positivo cuando el mayor valor absoluto de uno de los sumandos es negativo.68 Matemtica - Sptimo Grado2. Encuentra el resultado de las siguientes sumas: a)3 + 8g) 2 + ( 1)b)5 + 9h) 2 + (9)c) 4 + 5i) 5 + 7d)5 + ( 4)j) 4 + ( 10)e) 3 + ( 4)k) 2 + ( 8)f)2 + 1l) 9 + 2 15. UNIDAD 1 3. Copia en tu cuaderno las siguientes tablas. Suma los elementos de la primera columna con los de la sexta fila. As el nmero 2 sumado con 1 es igual a 1. Este resultado lo escribirs en la fila donde esta el 2 y la columna del 1. Ahora completa las tablas. a) 2 1 0 1 2 1 + 1 2b)5345Sexta fila2 2 1 0 3 1 4 2 3 + 1 2 3 4 5Primera columna4. Un ostrero se sumerge 11 pies. Despus se sumerge otros 3 pies. Determina la profundidad final del ostrero con respecto al nivel del mar.5. Mirna debe $ 25 en su tarjeta de crdito, y compra alimentos por $ 20. Cul es su nuevo saldo?6. Con la debida precaucin Maritza desciende 7 m en un terreno para cortar caf. Despus sube 5 m. Encuentra la distancia de Maritza al punto de partida.Resta de nmeros enteros Has odo hablar de los trminos dficit y supervit? Para encontrar si una empresa o un pas tienen dficit o supervit, hay que restar los egresos de los ingresos. Por ejemplo, el principal rubro de ingresos de El Salvador son las remesas familiares. Entre los egresos estn, por ejemplo, la factura por compra de petrleo. Ingresos Egresos = + (supervit) Ingresos Egresos = (dficit)Sptimo Grado - Matemtica 69 16. UNIDAD 1 Ejemplo 7 Ejemplos para la operacin resta:a) De 5 restar 7Solucin: P0=57Observa 5 es minuendo y 7 sustraendo. El sustraendo se identifica porque es el que le antecede la palabra "restar". La solucin se puede obtener en la recta nmerica: -7 5 -3-2-1012Sustraendo Minuendo 3456785 - 7 = -2De donde 5 7 = 2, porque 2 + 7 = 5 b) De 6 restar 4Solucin:P 0 = 6 ( 4)La solucin se puede obtener en la recta nmerica: Minuendo -16 0123Sustraendo4 5 6 6 - (-4) = 1047891011Se puede observar que el desplazamiento del sustraendo se inicia a partir de donde termina el desplazamiento del minuendo, pero en sentido contrario. Luego: 4 ( 6) = 10, porque 10 + ( 6) = 4Ejemplo 8 a) Restar 9 de 4Solucin:b) Restar 7 de 3Solucin:49= -9 43 ( 7) = 37 8 9 10 11-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 4 - 9 = -5-1 0 1 2 3 4 5 6 7 3 - (-7) = 10Luego 4 9 = 5 porque 5 + 9 = 4Luego 3 ( 7) = 10 porque 10 + ( 7) = 370 Matemtica - Sptimo Grado 17. UNIDAD 12Actividad 4. Resuelve los siguientes problemas:1. Escribe en tu cuaderno el opuesto de: a) 7c) 3e) 2b) 8d) 1f) 42. Copia en tu cuaderno y completa el siguiente cuadro. RestaMinuendo73 4 (3 ) 8 9 57 ab y ( z) 7 ( 4)7a) Un submarino se sumerge 20 metros, despus se sumerge 15metros ms. Halla la profundidad del submarino respecto al nivel del mar, si las profundidades por debajo del nivel del mar se representan por nmeros negativos.Sustraendo Opuesto del sustraendo 35 b) El punto ms alto de la Tierra, el monte Everest, est a 8,850metros sobre el nivel del mar. El punto ms bajo de la Tierra, la Fosa de las Marianas, est a 11,036 metros debajo del nivel del mar. Cul es la distancia entre ambos?43. Efecta las siguientes restas, escribiendo en tu cuaderno la suma equivalente y su respectiva respuesta. Resta a) 7 2 b) 5 7 c) 9 4 d) 9 ( 4) e) 5 0Suma equivalente 7 + ( 2)=Resultado 5Resumen En esta leccin estudiaste la suma y resta de nmeros enteros. Para sumar nmeros enteros de igual signo, se suman sus valores absolutos y se escribe el signo comn. Para sumar nmeros enteros de diferente signo, se restan sus valores absolutos y el signo del resultado es el del sumando con mayor valor absoluto. Para restar dos nmeros enteros al minuendo le sumas el opuesto del sustraendo.Sptimo Grado - Matemtica 71 18. UNIDAD 1Autocomprobacin $ 10 b) $ 10 c) $ 60 d) $ 60 a)4Un buzo se sumerge 8 pies, y luego asciende 6 pies. A qu distancia est el buzo de la superficie:En una noche la temperatura en Vancouver, Canad, descendi de 3 C a 5 C. Cuntos grados descendi la temperatura? 2 C b) 8 + 6 = 2 c) 8 C d) 8 C a)2 . b. 14 pies b) 2 pies c) 2 pies d) 14 pies a)17 b) 3 c) 17 d) 3 a)Omar tiene $ 25 en su cuenta de cheques, y gira uno por $ 35. Decimos que Omar se sobregira con:1. c.23La suma 7 + ( 10) es igual a:Soluciones13. a.4. d.MQUINAS QUE EFECTUABAN OPERACIONES Carlos Babbage descubri que se daban grandes errores en el clculo de tablas matemticas, entonces intento encontrar un mtodo por el cual pudieran ser calculadas automticamente por una mquina. Esta idea la tuvo en 1812. Carlos Babbage es llamado El padre de la computacin ya que en el siglo XIX diseaba mquinas que efectuaban operaciones. Una de ellas tena mecanismos de entrada y salida que podan almacenar mil nmeros de cincuenta dgitos. Ada Byron Lovelace trabaj con Babbage y estableci los principios de programacin, por lo cual el lenguaje ADA lleva su nombre.72 Matemtica - Sptimo Grado 19. Leccin 3Primera UnidadMultiplicacin y divisin de enteros MotivacinMarina y Juan pescan juntos en un lago. El anzuelo de Juan se halla a 2 m con respecto al nivel del lago. El anzuelo de Marina se halla sumergido tres veces ms que el de Juan. A qu profundidad se halla el anzuelo de Marina? Qu operacin te sugiere la pregunta? Para calcular a qu profundidad se halla el anzuelo de Marina, debes encontrar a que es igual 3 veces 2 o sea: (2)+(2)+(2)=6 Lo cual se abrevia as: 3 ( 2) = 6 El anzuelo de Marina se halla a 6 m, o sea a 6 m bajo el nivel del lago. Indicadores de logro: Deducirs, utilizars y explicars con inters la ley de los signos en la multiplicacin de nmeros enteros. Resolvers con inters problemas aplicando la multiplicacin de nmeros enteros. Deducirs, utilizars y explicars con seguridad la ley de los signos en la divisin de nmeros enteros. Resolvers con inters problemas aplicando la divisin de nmeros enteros.Resolvers con seguridad problemas aplicando la suma y resta de nmeros enteros sin y con signos de agrupacin. Resolvers con orden problemas de productos y divisiones combinadas de nmeros enteros. Resolvers con inters problemas de divisin combinada con la suma, resta y producto de nmeros enteros.Multiplicacin de nmeros enteros Sabes que la multiplicacin se considera como una suma repetida. Por ejemplo 6 3 significa 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18. Luego, 6 3 = 18. Aplica esta interpretacin para copiar y completar la siguiente tabla. Qu conclusiones sacas de ellas?Factor Factor Suma repetida 3 4 3+3+3+3 3 5 3+3+3+3+3 3 2 3 1 3 1 3 2 ( 3)+ ( 2) 3 3 ( 3) +( 3) + ( 3) 3Multiplicacin 3 4 = 12 3 5 = 153 ( 2) = 6 3 (3) = 96Sptimo Grado - Matemtica 73 20. UNIDAD 1 Multiplicacin de un entero positivo por un entero negativo Ejemplo 2 Efecta los siguientes productos: a) 4 ( 7)c) ( 2) 8b) 20 ( 5)d) ( 4) 4Solucin: a) 4 ( 7) = 28c) ( 2) 8 = 16b) 20 ( 5) = 100d) ( 4) 4 = 16De acuerdo a los resultados obtenidos se puede deducir la regla siguiente: La multiplicacin de dos nmeros enteros distintos de cero, es otro nmero entero cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores y cuyo signo es menos, si los factores tienen signos diferentes.1Actividad1. Copia y efecta los siguientes productos: a) ( 2) 4c) ( 7) 3e) ( 1) 8g) 9 ( 10)b) 5 ( 8)d) 9 ( 7)f) 2 ( 9)h) ( 9) (10)2. Un submarino se halla a 15 m con respecto al nivel del mar. Se sumerge el cudruplo de esa profundidad para realizar trabajos de investigacin. Cul es su nueva ubicacin del submarino respecto al nivel del mar?74 Matemtica - Sptimo Grado 21. UNIDAD 1 Multiplicacin de dos nmeros enteros negativos Ejemplo 3Ejemplo 4 Efecta los siguientes productos:Solucin:Solucin:b) 5 ( 10) 5 ( 10) = 50 9 ( 5) = 45d) 8 ( 6)Por ejemplo: 3 ( 5) 4 ( 2) = 8c) 9 ( 5)Cul es el resultado de multiplicar dos nmeros negativos? a) 4 ( 2) 8 ( 6) = 48Bueno, . . sera razonable decir que 3 ( 5) es igual al opuesto de 3 ( 5). Como 3 ( 5) = 15. Luego, 3 ( 5) = 15 (el opuesto de 15).ObservaActividad Copia y efecta los siguientes productos. e) 4 ( 9)b) 5 ( 5)f) 7 ( 5) g) 5 ( 7)d) 3 ( 7)De manera similar:a) 7 ( 8)c) 2 ( 10)Opuesto de 15 se escribe ( 15) = 152h) 9 ( 10) 4 ( 3) = opuesto de 4 ( 3) = 12 2 ( 6) = opuesto de 2 ( 6) = 12 7 ( 3) = opuesto de 7 ( 3) = 21 9 ( 4) = 36 5 ( 2) = 10 7 ( 4) = 28 Los resultados anteriores te sugieren la siguiente regla: Para multiplicar un nmero entero negativo por otro negativo, multiplicas sus valores absolutos. El signo del producto es ms (cantidad positiva). En general se dice: La multiplicacin de dos nmeros enteros distintos de cero es otro nmero entero cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores y cuyo signo es ms, si los factores tienen signos iguales. As, por ejemplo:Completa:(10) (4) = 40 ( 10) ( 4) = 40( 30) ( 10) = (30) (10) =Multiplicacin por cero Cuando uno de los factores es 0, el producto es igual a 0: a) 5 0 = 0c) 3 0 = 0b) 0 8 = 0d) 0 7 = 0Todo nmero multiplicado por cero (0) es igual a cero.Sptimo Grado - Matemtica 75 22. UNIDAD 1 Las diversas posibilidades que se pueden presentar al multiplicar dos nmeros enteros, se resumen en el siguiente diagrama para que lo analices: Dadosdos nmerosenterosSisondeigual signoSisonde diferentesigno(+)(+) (-)(-)(+)(-) (-)(+)Semultiplicansus valoresabsolutosSemultiplicansus valoresabsolutosElproductoes positivoElproductoes negativoEjemplo 5 Analiza por medio del siguiente ejemplo las posibilidades para multiplicar dos nmeros.Solucin: 5 4 = 20 ( 5) ( 4) = 20 (5) ( 4) = 20 ( 5) 4 = 20Signo de los factores (+) (+) () () (+) () () (+)Signo del producto + + Ejemplo 6 El sptimo grado del Centro Escolar Repblica de Chile ahorra $ 20 semanales en su venta de panes. Cul de las siguientes operaciones representa mejor el dinero ahorrado hace 3 semanas comparando con el que tiene ahora dicho grado? a) 20 (3) c) 20 ( 3)b) 20 (3) d) 20 ( 3)Solucin: Como ahorra $ 20 semanales, esto es + 20. El tiempo tres semanas atrs lo representamos por 3 luego, la operacin que mejor representa el dinero ahorrado hace tres semanas es c) 20 ( 3) = $ 60. Esto significa que hace tres semanas tenan ahorrado $ 60 menos que ahora.76 Matemtica - Sptimo Grado 23. UNIDAD 13Actividad Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla: Multiplicas los elementos de la primera columna por los elementos de la primera fila. As el nmero 3 multiplicado por 4 da 12. Este resultado lo escribirs en la fila donde est el 3 y la columna donde est el 4. 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 120 Primera Fila0162 363Primera ColumnaDivisin de nmeros enteros Armando tiene 56 naranjas y coloca 8 naranjas en una bolsa. Cuntas bolsas se necesita? P0: 56 8 Recordars que cuando trabajaste con los nmeros naturales y el cero se tiene una divisin exacta si el residuo es 0 por ejemplo: a)56 08 7Observaporque 7 8 = 56R: Se necesita 7 bolsas.Ejemplo 7 Qu nmeros pondras en los cuadros y cul es su signo? a) 14 7 =b) 16 2 =c) 14 7 =La colocacin de los nmeros en el clculo vertical: Dividendo divisor Residuo cociented) 56 8 =Solucin: a) Cmo 7 2 = 14 entoncesb) Cmo 2 8 = 16 entonces14 02 716 02 8 R=7 d) Cmo 8 9 = 56 entonces R=812 03 4 5680c) Cmo 3 4 = 12 entonces9R =4R=9Sptimo Grado - Matemtica 77 24. UNIDAD 1 Solucin: Los ejemplos anteriores sugieren la siguiente regla:Puedes ver que: a)b)c)14 14 0 7 Comprobacin: 14 = 2 ( 7) 2La divisin entre dos nmeros enteros distintos de cero, es otro nmero entero cuyo valor absoluto es el cociente que resulta de dividir el valor absoluto del dividendo por el divisor: 16 2 Ya que: 8 ( 2) = 16 16 8 0 Cuyo signo es ms si el dividendo y el divisor tienen signos iguales. Cuyo signo es menos si el dividendo y el divisor tienen signos contrarios.12 3 Ya que: ( 4) 3 = 12 12 4 0Las posibilidades que se presentan al dividir un nmero entero entre otro, se resumen en el siguiente diagrama.Dadosdos Nmerosenteros Sisonde igualsigno: (+)(+)o(-)(-)Sisonde diferentesigno: (+)(-)o(-)(+)Sedividensusvalores absolutos. Elcocientees+(+) (+) () () (+) () () (+)+ + Sedividensusvalores absolutos. Elcocientees-Signo del dividendo y divisorEjemplo 8 En cierto mes, el premio mayor de la Lotera Nacional fue de $ 200,000 para el billete ganador. Si ste posee veinte pedacitos o vigsimos, cunto gana cada uno?Solucin: Como el premio es de $ 200,000 y ste se reparte entre 20 vigsimos a cada uno le toca 200,000 20, o sea $ 10,000. 200 ,000 20 porque 20 10,000 = 200,000 00000 10 ,000R: Cada vigsimo tiene un premio de $ 10,000.78 Matemtica - Sptimo GradoSigno del cociente 25. UNIDAD 14Actividad Encuentra el cociente de las siguientes divisiones: a) 36 ( 9)e) 42 ( 6)i) 20 ( 4)b) 30 ( 6)f) 20 5j) 35 7c) 48 ( 6)g) 32 ( 8)k) 35 ( 7)d) 18 3h) 54 ( 9)l) 35 7En un torneo de ftbol se reparten $ 10,500 entre 10 equipos, cunto recibe cada equipo?Resumen Si tienen signos opuestos su producto y su cociente es negativo. Comprobaste que si dos enteros tienen igual signo, su producto y su cociente es positivo.Cuadro resumen de la ley de los signos en las cuatro operaciones bsicas Signos de los nmeros Cuando los nmeros son positivos. Ejemplos 6y2 2y6SumaRestaMultiplicacinDivisinLa suma siempre es positivaLa resta puede ser positiva o negativaEl cociente siempre es positivo6+2=8 2+6=862=4 2 6 = 4El producto siempre es positivoCuando los nmeros La suma puede ser son signo contrario. positiva o negativa Ejemplos de acuerdo al 6y2 signo del mayor 6y2 valor absolutoAmbos nmeros son negativos. Ejemplos 6y2 2y6La resta puede ser positiva o negativa 6 ( 2) = 8 6 ( 2) = 86 + ( 2) = 4 6+2=4 La suma siempre es negativaDe acuerdo al mayor valor absoluto 6 + ( 2) = 8 2 + ( 6) = 8 6 ( 2) = 4 2 ( 6) = 4La resta puede ser positiva o negativa6 2 = 12 2 6 = 12 El producto siempre es negativo 6( 2) = 12 6( 2) = 12 El producto siempre es positivo 6( 2) = 12 2( 6) = 1262=3 2 6 no se puede realizar en los enteros. El cociente siempre es negativo 6 ( 2) = 3 62=3El cociente siempre es positivo 6 ( 2) = 3 2 ( 6) No se puede realizar en los enterosSptimo Grado - Matemtica 79 26. UNIDAD 1Autocomprobacin El cociente de dos nmeros enteros negativos es positivo. b) El producto de un nmero entero positivo y uno negativo es negativo. c) El cociente de un nmero entero positivo y uno negativo es positivo. d) El producto de dos nmeros enteros positivos es positivo. a)3El nmero que hace falta en la igualdad: 15 = 3 es:a)5 b) 45 c) 45 d) 54Al multiplicar 7 3, el resultado es: a)21 b) 14 c) 14 d) 21En cul de las siguientes divisiones el resultado es positivo? 35 ( 7) b) 63 (9) c) 72 ( 9) d) 15 ( 6) a)1 .c.2. d.3. d.2De las siguientes afirmaciones la nica que es falsa es:Soluciones14 .c.EL PAPIRO DE RHIND En 1858 el egiptlogo escocs A. Henry Rhind de visita en Egipto por problemas de salud, compr en la ciudad de Luxor el papiro que hoy lleva su nombre. Su antigedad data de unos cuatro mil aos. El papiro de Rhind es un documento escrito en un papiro de unos seis metros de longitud y 33 cm de anchura, en un buen estado de conservacin, con escritura hiertica y contenido matemtico. Se cree que podra ser un documento con intenciones pedaggicas. Contiene 87 problemas matemticos de resta, multiplicacin, bsqueda de nmeros y geometra. En la actualidad se halla en el museo Britnico de Londres.80 Matemtica - Sptimo Grado 27. Leccin 4Primera UnidadOperaciones combinadas de nmeros enteros MotivacinA diario necesitas efectuar un conjunto de operaciones combinadas, tal como te lo muestra el siguiente ejemplo.El laboratorio Viva sano produce un medicamento. La siguiente frmula proporciona la cantidad de medicina que debe tomar un nio de edad (e) si la dosis o cantidad para un adulto es (D). Calcula la dosis (d) para un nio de 6 aos de edad, si la dosis para adulto es 4 ml (mililitros). eD d= e + 12 Indicadores de logro: Resolvers con seguridad problemas aplicando la suma y resta de nmeros enteros sin y con signos de agrupacin. Resolvers con orden problemas de productos y divisiones combinadas de nmeros enteros.Resolvers con inters problemas de divisin combinada con la suma, la resta y el producto de nmeros.Signos de agrupacin Qu diferencia encuentras entre estas dos expresiones? 5 + (4 3)(5 + 4) 3Puedes ver que en la primera de ellas, el parntesis te indica que primero debes efectuar la multiplicacin 4 3. En la segunda expresin, el parntesis indica que primero debes efectuar la suma 5 + 4, por lo tanto los resultados son diferentes.Los signos de agrupacin ms usados son: Signos de agrupacin El parntesis Lo corchetes Las llaves Las barras de divisin( [ {) ] }Los signos de agrupacin son aquellos que te indican la forma en que debes efectuar un conjunto de operaciones indicadas.Sptimo Grado - Matemtica 81 28. UNIDAD 1Suma y resta combinadas de nmeros enteros sin y con signos de agrupacin Mario y Gloria juegan al ms o menos. Este juego consiste en lo siguiente. Cada uno tira dos dados de diferente color al mismo tiempo. El puntaje del dado rojo tiene signo positivo, y el del azul signo negativo. Gana el que despus de cinco lanzamientos hace ms puntos.suma al siguiente nmero y as sucesivamente hasta operar con el ltimo. 4 2 = 2; 2 + 5 = 7; 7 5 = 2; 2 + 3 = 5; 5 1 = 4; 4 + 1 = 5; 5 4 = 1; 1 + 6 = 7; 7 2 = 5 Gloria obtuvo un puntaje de + 5. De manera similar calculas el puntaje de Mario. 1 2 + 5 1 + 2 3 + 4 6 + 5 5 significa: 1 2 = 1; 1 + 5 = 4; 4 1 = 3; 3 + 2 = 5; 5 3 = 2; 2 + 4 = 6; 6 6 = 0; 0 + 5 = 5; 5 5 = 0 Luego, como 5 > 0, Gloria gan el juego.1 2 3 4 54 5 3 1 62 5 1 4 21 5 2 4 52 1 3 6 5Puntos de Gloria: (4 2)+(5 5)+(3 1)+(1 4)+(6 2)= 2 + 0 + 2 +( 3)+ 4 = 4 + 1 Lanzamiento Gloria Mario nmero Dado rojo Dado azul Dado rojo Dado azulUtiliza parntesis para obtener los resultados parciales de cada lanzamiento as:Estos son los resultados de los lanzamientos de Gloria y Mario. Quin gan el juego?Otra forma en que puedes efectuar las operaciones anteriores es la siguiente:=5Puntos de Mario:(1 2)+(5 1)+(2 3)+(4 6)+(5 5)= ( 1)+ 4 +( 1) + ( 2) + 0 = 3 + ( 3) =0Adems puedes hacerlo as: Agrupando todos los positivos y todos los negativos: Para averiguarlo, debes efectuar las operaciones de suma y resta para cada uno. Puntos de Gloria: 4 2 + 5 5 + 3 1 + 1 4 + 6 2 Estas operaciones se efectan en el orden en que se encuentran. El resultado de la primera operacin se82 Matemtica - Sptimo GradoPuntos de Gloria: (4 + 5 + 3 + 1 + 6)+( 2 5 1 4 2)= 19 + (14) Utiliza esta ltima forma para Mario.=5 29. UNIDAD 1 Ejemplo 1 Efecta las operaciones indicadas de: 5 7 10 + 8 + 2.Solucin: Ordena los valores positivos y negativos:{{5 7 10 + 8 + 2= (5 + 8 + 2) + (7 10) Sumando positivos y negativos: = 15 17 = 2Actividad1Efecta las siguientes operaciones en tu cuaderno: a) 7 8 + 9 10 4 + 5e) 3 8 + 2 5 + 4 3b) 4 2 + 3 5 + 10f) 4 + 9 8 + 10 5 + 7c) 10 + 8 + 4 + 5 8g) 10 8 5 3 7d) 10 8 4 5 + 7h) 20 + 4 + 3 + 10 + 5Inventa un problema en la que se encuentra el puntaje de nmeros positivos y los nmeros negativos. Resuelve con y sin signos de agrupacin. Francisco hace depsitos en una alcanca: uno de $ 7 y otro de $ 2. Despus extrae primero $ 3 y luego $ 5. Cul de las siguientes expresiones representa lo anterior? Expresin a 7 (2 3 + 5)Expresin b (7 + 2) (3 + 5)Como Francisco deposita $ 7 + $ 2 = $ 9, y luego saca de la alcanca $ 3 + $ 5 , la diferencia entre lo que deposita y extrae es $ 9 $ 8 = $ 1. Esto se representa as en una sola expresin: (7 + 2) (3 + 5). Por el contrario, puedes ver que: 7 (2 3 + 5) = 7 4 = 3 Expresin a Expresin b 7 (2 3 + 5) (7 + 2) (3 + 5) 7 (4) 98 7 4 1 11 El ejemplo anterior te dice que, en una expresin matemtica, la posicin en que se encuentran los signos de agrupacin es importante. Porque si escribes los parntesis en cualquier lugar los resultados son diferentes. Cuando en una expresin aparece uno o ms parntesis, primero operas lo que aparece dentro de ellos. Despus efectas las operaciones que queden indicadas como lo has venido haciendo.Sptimo Grado - Matemtica 83 30. UNIDAD 1 Ejemplo 2Ejemplo 3Encuentra el resultado de:Simplifica las siguientes expresiones.a) (10 15) (30 50)b) (9 6 + 7) 2 (8 7 + 4)a) [3 (7 + 3)]a) (10 15) (30 50)c) 30 + {[84 (7 2)] 3}10 2 5 = 10 7 =3 [3 10] 7b) 8 [9 (12 + 5)] 8 [9 17] {{ {{b) (9 6 + 7) 2 (8 7 + 4)a) [3 (7 + 3)]{= 5 ( 20) = 5 + 20 = 15Solucin:{{b) 8 [9 (12 + 5)]{Solucin:2ActividadDetermina el valor de: a) 18 (9 + 3) (4 7) + 5 b) 15 + (10 15) (10 15) c) 15 + (7 10) (8 12) 8 [ 8] 8+8 16c) 30 + {[84 (7 2)] 3} 30 + {[84 5] 3}d) (13 10) + (4 7) + (10 30) 30 + {79 3}e) (4 7) + (8 12) + (7 + 3) 30 + 76f) (15 20) 10 g) (5 + 2) + (8 10) 20 h) (3 2 1) (5 2 4)Algunas expresiones tienen ms de un signo de agrupacin. Como ya lo sabes, los parntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves { } son signos de agrupacin que se usan en matemtica. Cuando una expresin tiene ms de un signo de agrupacin, debes efectuar primero los clculos de los signos ms interiores, siguiendo en orden hacia el exterior.84 Matemtica - Sptimo Grado106 31. UNIDAD 13Actividad Simplifica las siguientes expresiones: a) (6 + 4) { 2 [ 3 (2 1)]}d) 40 + [(5 3) (7 10)]b) 5 {3 + [6 5 + (4 7)] + 1} e) 35 {6 + [4 (3 5)] + 2}c) 30 + {[84 (7 2)] 1}f) 37 { 5 + [ 2 ( 4 3)] 2}Multiplicacin y divisin combinadas de nmeros enteros Cierto producto se empaqueta de la forma que te mostramos. Cuntos cubos hay en cada paquete?Puedes ver que el paquete A contiene: 4 3 cubos = 12 cubos Mientras que el paquete B contiene: 4 3 2 cubos = 24 cubos Al igual que en la suma y resta, cuando en la multiplicacin hay ms de dos factores, la efectas tomndolos de dos en dos y de izquierda a derecha. Es decir: 423={ { 83= 24Ejemplo 4 Ahora efecta los siguientes productos. a) 3 4 ( 5) b) 2 ( 2) ( 3)Solucin: a) 3 4 ( 5) = 12 ( 5) = 60 b) 2 ( 2) ( 3) = 4 ( 3) = 12Sptimo Grado - Matemtica 85 32. UNIDAD 1 Solucin: Al representar cunto gan Nidia en una sola expresin, tendremos: 3 8 + 5Cmo evalas esta expresin?Cuando no hay signos de agrupacin que te indique como operar, debes seguir la jerarqua de las operaciones: Primero, efectas las operaciones de multiplicacin y divisin de izquierda a derecha.a) 2 3 ( 6) b) 3 4 5 c) 5 ( 2) 4 3Jerarqua de las operaciones 8 + 12 3+ 2 Otra forma de escribir esta expresin es: Simplifica la expresin:(8 + 12) (3 + 2)En este sentido la barra de divisin tambin es un signo de agrupacin. Las operaciones que estn arriba y debajo de ella debes efectuarlas primero: 8 + 12 20 = =4 3+ 2 5Ejemplo 5Solucin a 38+5 3 13 R = $ 39Solucin b 38+5 24 + 5 R = $ 29 Concluyes que la correcta es $ 29 Es decir Nidia gan $ 29 ese da.Ejemplo 6 Cmo encuentras el resultado de la siguiente expresin: 3 + 8 3 4 + 2 5?Solucin: Con seguridad lo haces as: 3+834+25 3 + 24 4 + 10 = 33{Nidia gana $ 3 la hora. Si un da trabaj ocho horas e hizo una hora extra por la cual le pagaron $ 5, cunto gan Nidia?De acuerdo a esto, cul de las siguientes soluciones es la correcta?86 Matemtica - Sptimo Grado{Efecta los siguientes productos:{Actividad{4 Segundo, sumas y restas de izquierda a derecha. 33. UNIDAD 1 Ejemplo 7 Cul es el valor de w para que se cumpla la igualdad? 3 w + 7 = 11 2Solucin:Supn que el valor de w es 7. 3 7 + 7 21 + 7 28 = = =14 2 2 2Verificacin:Como 14 es mayor que 11, entonces: 7 es muy grande o muy pequeo? Intenta con 3.Actividad5Practica el juego adivinar, cotejar y corregir y encuentra el nmero que falta: 4 12 3 + 19 a) = 8 c) = 20 2 2 b)+ 182 4=6 d)58+ = 12 4Asume que el valor de w es 3. 3 3 + 7 9 + 7 16 = = =8 2 2 2 Como 8 es menor que 11, 3 es muy grande o muy pequeo? Intenta con 5. Verificacin:Ahora toma w = 5 3 5 + 7 15 + 7 22 Verificacin: = = =11 2 2 2 El nmero que buscas es 5.Observa{{3+834+25{{3 + 24 4 + 10 27 + 6{Se realiza primero la operacin multiplicacin primero, luego la suma y resta.33Resumen Las operaciones de suma y resta combinadas se realizan de izquierda a derecha. Si hay signos de agrupacin, primero se resuelven los ms interiores. Cuando no hay signos de agrupacin, siempre operas de izquierda a derecha, resolviendo antes las multiplicaciones y divisiones y luego las sumas y restas. En una divisin indicada, primero resuelves el numerador luego el denominador y por ltimo divides.Sptimo Grado - Matemtica 87 34. UNIDAD 1Autocomprobacin a)4 b) 10 c) 10 d) 4318 + 9 es igual a: 6+3 6 b) 3 c) 15 d) 4 a)4La expresin 5 + 3 4 equivale a: a)8 b) 2 c) 7 d) 7El nmero que falta en la expresin , 4 12 = 8 es : 214 b) 6 c) 2 d) 7 a)1 . b.2 .c.3 .b.2El resultado de efectuar 3 7 + 4 10 es:Soluciones14 .d.VELOCIDAD DE UN AVIN SUPERSNICO La velocidad de un avin supersnico, es decir, que viaja ms rpido que el sonido se expresa como nmeros Mach un nmero Mach (M) es el cociente de la velocidad (a) del avin entre la velocidad (s) del sonido: a M= s La utilidad del nmero mach reside en que permite expresar la velocidad de un objeto no de forma absoluta en km/h m/s, sino tomando como referencia la velocidad del sonido, algo interesante desde el momento en que la velocidad del sonido cambia dependiendo de las condiciones de la atmsfera.88 Matemtica - Sptimo Grado 35. Leccin 5Primera UnidadUnidades de longitud del SI MotivacinUn avin vuela a 2 km sobre el nivel del mar, mientras que unsubmarino se halla a 600 m, bajo el nivel del mar. Qu distancia separa al avin y el submarino? Para resolver este problema necesitas conocer las equivalencias entre el kilmetro y el metro.Indicadores de logro: Utilizars con seguridad las unidades de medida de longitud, unidades mtricas de superficie y unidades agrarias, aplicando sus equivalencias al resolver problemas del entorno. Identificars con seguridad los mltiplos y submltiplos del metro. Convertirs con seguridad unidades mtricas de longitud.Resolvers con perseverancia problemas de conversin de unidades mtricas de longitud. Identificaras y determinaras con seguridad los mltiplos y submltiplos del metro cuadrado. Identificars con destreza las unidades mtricas de superficieEl metro. Sistema internacional de medidas SI El sistema mtrico decimal se cre en el siglo XVIII, el cual fue utilizado hasta principios del siglo pasado. Para satisfacer nuevas exigencias de medidas, el 3 de mayo de 1961 se legaliza el Sistema Internacional de Medidas, aprobado en 1960. Este fue adoptado en casi todos los pases del mundo. En El Salvador se adopt mediante decreto legislativo del 10 de mayo de 1992. La primera definicin de metro (m) se dio en 1799.Se midi la longitud del meridiano entre Dunkerque y Barcelona. Se le dio el nombre de metro a diez millonsima partes del cuadrante de ese meridiano. En 1889 se defini el metro patrn como la distancia entre dos finas rayas de una barra de aleacin platino iridio. ste se halla en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas, en Pars, Francia. Es una barra de platino e iridio, a 0C de temperatura a una presin de una atmsfera.Sptimo Grado - Matemtica 89 36. UNIDAD 1 Ejemplo 1 Determina, cules de estas longitudes puedes medir en metros? Las dimensiones de una cancha de ftbol.AnchoLargo Altura de una persona La altura de una monedaSolucin: Se pueden medir en metros las dimensiones de una cancha de ftbol y la altura de una persona. Pero, la altura de una moneda, se utiliza una unidad de medida diferente.Observa Puedes observar que no todas las longitudes pueden medirse en metros. As, para medir la altura de una moneda, mejor utilizas el milmetro.Punto de apoyo Para medir longitudes menores que el metro se crearon los submltiplos de ste: el decmetro, el centmetro y el milmetro. Para medir longitudes mayores que l, se crearon los mltiplos del metro: el decmetro, el hectmetro y el kilmetro.90 Matemtica - Sptimo Grado 37. UNIDAD 1Mltiplos del metro MltiploAbreviaturaDecmetro Hectmetro Kilmetrodam hm kmEquivalencias en metros 10 m 100 m 1,000 mObserva Observa que los mltiplos del metro forman un sistema posicional, donde cada mltiplo equivale a diez unidades del mltiplo inmediato inferior.Ejemplo 2 Cuntos kilmetros (km), hectmetros (hm) y decmetro (dam), se pueden encontrar en 4,231 m?Solucin: Al descomponer 4,235 se pueden obtener los valores correspondientes a los mltiplos del metro, y al hacerlo se puede hacer coincidir con las casillas del cuadro de equivalencia de los mltiplos del metro, tal como se muestra a continuacin: 4 0 0 0 2 0 0 3 1 1 km hm dam m 4 2 3 1Existen 4.231 km Existen 42.31 hm Existen 423.1 dam Existen 4,231 mSptimo Grado - Matemtica 91 38. UNIDAD 1 Ejemplo 3 Expresa 70 dam en hectmetros (hm), kilmetros (km) y metros (m).Solucin: a) 70 dam a hm:km hm 7dam 0mhm 7dam 0mhm 7dam 0m 070 dam = 7 hm70 dam = 0.70 km1 km 70 dam = 0.7 km 100 dam 70 dam = 700 m70 dam 10 m = 700 m 1 dam b) 70 dam a km:km 0c) 70 dam a m:km Otra forma: 1 hm 70 dam = 7 hm 10 dam Ejemplo 4 Expresa 8 m en km.Solucin: Para convertir 8 m a km lo haces as: km hm dam m 0 0 0 88 m = 0.008 kmO sea, 8 m = = km = 0.0 0 8 km El punto se corre tres lugares a la izquierda.92 Matemtica - Sptimo GradoOtra forma: 1 km 8 8 m = km = 0.008 km 1000 m 1000 39. UNIDAD 1 Ejemplo 5 Expresa 8 km en hectmetros (hm), decmetros (dam)y metros (m).Solucin: Compara tu solucin con la siguiente. a) 8 km a hm:km hm dam m 8 0 8 km = 80 hmOtra forma: 10 hm 8 km = 80 hm 1 km O sea, 8 km = 8 10 hm = 80 hm b) 8 km a dam:km hm dam m 8 km = 800 dam 8 0 0 O sea, 8 km = 8 100 dam = 800 dam100 dam 8 km = 800 dam 1 km c) 8 km a m:km hm dam m 0 8 0 08 km = 8,000 mO sea, 8 km = 8 1,000 m = 8,000 m1000 m 8 km = 8000 m 1 km En los ejemplos anteriores puedes observar que para multiplicar abreviadamente por la unidad seguida de ceros, corres el punto decimal hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad.Ejemplo 6 Expresa 7.6 hm en dam y m.Solucin: kmhm 7dam 6Otra forma:m 7.6 hm = 76 dam7.6 hm 10 dam = 76 dam 1 hm 7.6 hm 100 = 760 m 1 hm O sea: 7.6 hm = 7.6 10 dam = 76 dam El punto decimal se corre un lugar a la derecha. O sea: kmhm 7dam 6m 7.6 hm = 760 mO sea: 7.6 hm = 7.6 100 m = 760 m El punto decimal se corre dos lugares a la derecha.Sptimo Grado - Matemtica 93 40. UNIDAD 11Actividad1. En tu cuaderno responde las siguientes preguntas:2. Expresa en metros:a) Qu significa deca? Qu significa hecto? Qu significa kilo?a) 28 kmc) 3 damb) A cuntos metros est la iglesia de tu comunidad delb) 52 hmd) 4.25 kmcentro escolar? c) A cuntos decmetros est el parque de tu comunidad del centro escolar?3. Expresa en hm: a) 3.5 kmc) 350 mb) 0.3 damd) 13.28 damSubmltiplos del metro SubmltiplosAbreviaturasEquivalencias en metrosDecmetro Centmetro Milmetrodm cm mm0.1 m 0.01 m 0.001 mLos submltiplos del metro tambin forman un sistema posicional, donde cada submltiplo equivale a diez unidades del submltiplo inmediato inferior.Ejemplo 7 1. Cmo conviertes 23 cm a dm, mm y m?Solucin: a) 23 cm a dm:mdm 2cm 3mmdm 2cm 3mm 0dm 2cm 3mm23 cm = 2.3 dmOtra forma: 0.01 m 10 dm = 2.3 dm a) 23 cm 1 cm 1 m b) 23 cm a mm:m 23 cm =23 cm = 230 mm 0.01 m 10 mm = 230 mm b) 23 cm 1 cm 0.001 m c) 23 cm a m:23 cm =m 094 Matemtica - Sptimo Grado23 cm = 0.23 m 0.01 m = 0.23 m c) 23 cm 1 cm 41. UNIDAD 1 3. Cmo lees el nmero representado en el casillero?2. Cmo expresas 3.84 m en dm, cm y mm?Solucin: m 3dm 8cm 4km 5mm 3.84 m = 38.4 dmO sea: 3.84 m= 3.84 10 dm = 38.4 dmhm 3dam 8m 7dm 6cm 2mm 9Solucin: Puede leerse de varias maneras:De manera similar encuentras que:5 km, 3 hm, 8 dam 7 m, 6 dm, 2 cm y 9 mm3.84 m = 384 cm ; 3. 84 m = 3840 mm= 53,87629 hm = 538,7629 dam = 5387, 629 m = 53876, 29 dm = 538 762,9 cmPunto de apoyo Observa que: para pasar de una unidad mayor a una menor multiplicas por una potencia de 10; mientras que al pasar de una unidad menor a una mayor divides por una potencia de 10.Resumen La unidad de medida de longitud es el metro. Para medir distancias grandes se utilizan los multiplos del metro. km hm dam kilmetro hectmetro decmetro11 01 0 0m metro1 0 0 0Para distancias pequeas se emplean los submultiplos del metro. dm cm mm decimetro centmetro milmetro 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Los mltiplos y submultiplos son unidades decimales del metro, puesto que cada una es 10 veces mayor que la anterior. 1 dm = 10 dm, 1 cm = mm Para pasar de una unidad mayor a una menor, se multiplica por potencia de 10 que tenga tantos ceros como casillas hay de una unidad a otra.Sptimo Grado - Matemtica 95 42. UNIDAD 1Autocomprobacin3Expresa la longitud del rbol en cm:a)34 cm. b) 340 cm. c) 3400 cm. d) 34000 cm.3.2 dm b) 32,000 dm c) 320 dm d) 3200 dm4El prefijo kilo significa: a)Cien veces. b) Diez veces. c) La milsima parte. d) Mil veces.El equivalente de 48.3 cm a m: a)0.483 m b) 483 m c) 4.83 m d) 483 m2. b.a)2El equivalente de 32 hm a dm es:1. c.Soluciones13. b.4. a.EVOLUCIN DEL METRO La primera adopcin oficial de un sistema de medidas fue en Francia en 1791. Se propuso como unidad fundamental el metro (en griego medida). El sistema mtrico original se adopt internacionalmente en 1889 y deriv en el sistema internacional de medidas. La definicin de metro ha evolucionado con el tiempo. Una de las definiciones actuales es la longitud del trayecto recorrido en el vaco por la luz durante el tiempo de 1 entre 299 792 458 de segundo. O sea de 3.34 ao segundos! Como vez, la definicin de metro es cada ves ms precisa. Interfermetro de Michelson96 Matemtica - Sptimo Grado 43. Solucionario Leccin 1 Actividad 1 1. a) Progresab) 2000, 2001 y 2002c) 2004, 2005 y 2006d) 20032. a) Pb) Pc) Cd) Ne) N3. a) 7b) 5c) 1d) 0e) 237f) P4. {5, 3, 2, 0, 3, 4}Actividad 2 1. a) 9b) 4c) 12d) 152. a) |7|b) |+ 9| c) | 10|d) |8|3. 6, 64. 10, 105. b) 126. b) 1Actividad 3 1. a) { 8, 6, 3, 0, 2, 5}b) { 4, 3, 2, 0, 1, 3, 6}2. a) 3 a.m.b) 4 p.m.c) 12, 7, 2, 3, 4Leccin 2 Actividad 1 1. a) c b) c c) fd) ce) c2. c) 1 d) 1 e) 7g) 3h) 113. 23 1 2 0 1 1 0 2 1 + 14 3 2 1 0 25 4 3 2 1 36 5 4 3 2 47 6 5 4 3 54. 11 + ( 3)= 14 m2 1 0 1 2 +1 0 1 2 3 10 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 2 3 4 55. 25 + ( 20)= 456. 7 + 5= 2 Maritza se halla a 2 m hacia abajo del punto de partida.Actividad 2 1. a) 7b) 8c) 3d) 1,e) 2f) 4Sptimo Grado - Matemtica 97 44. Solucionario Leccin 43. b) 5 7 = 5 + ( 7) = 12 c) 9 4= 9 + ( 4) = 13Actividad 1d) 9 ( 4) = 9 + 4= 5a) 1c) 27e) 5 0 = 5b) 2d) 27 f) 94. a) 35 m bajo el nivel del mar 35 me) 7 g) 13 h) 2Actividad 2b) 8,850 ( 11,036) = 8,850 + 11,036 = 19,886 ma) 14c) 16Leccin 3b) 15d) 20 f) 1Actividad 1Actividad 31. a) 8d) 63g) 90a) 8b) 40e) 8h) 90Actividad 4c) 21f) 18b) 3a) 36 b) 602. 4 ( 15) = 60 m: se halla a 60 m bajo el nivel del mar.Actividad 2 a) 56c) 20e) 36d) 21f) 35e) 21f) 25c) 120Actividad 5 a) 7b) 3c) 7d) 8Leccin 5g) 35b) 25c) 108 d) 45h) 90Actividad 1 1. a) Diez, cien, milActividad 3 3 2 1 01 3 2 1 02 6 4 2 03 9 6 3 04 12 8 4 05 15 10 5 06 18 12 6 07 21 14 7 08 24 16 8 09 27 18 9 010 30 20 10 011234567891022468101214161820336912151821242730Actividad 4 a) 4d) 6g) 4j) 5b) 5e) 7h) 6,k) 598 Matemtica - Sptimo Gradol) 5b) 90 mc) 20 dam2. a) 28,000 m c) 30 m b) 5,200 m3. a) 35 hm b) 0.03 hmd) 4,250 m c) 3.5 hm d) 1,328 damActividad 2 2. a) 300 cm b) 50 cmc) 80 mm d) 500 cme) 700 mm 45. Proyecto La micro empresa "El ave" necesita construir una cerca de malla cicln a su alrededor. Los precios por metro lineal de malla que cotiza el gerente en cuatro ferreteras son mostrados en el cuadro siguiente: Ferretera A B C DLongitud de malla cicln 2 km 1,500 m 3,500 m 3 kmPrecio $ 11,400 $ 6,750 $ 16,625 $ 18,000Cul de las ferreteras presenta el mejor precio, si todas proporcionan la misma altura de malla? En base al mejor precio, cunto gasta la microempresa si necesita 1,200 m de malla cicln?Sptimo Grado - Matemtica 99 46. Recursos BALDOR, Aurelio. Aritmtica. Edicin Cultural Centroamericana. Primera edicin 1968, Guatemala LEHMAN, Charles, Algebra. Limusa, Noriega editores, primera edicin. Mxico, 1996. MURILLO, Soto y Anaya, Matemtica bsica con aplicaciones. Editorial Universidad Estatal a Distancia. Segunda Reimpresin, Costa Rica, 2003http://es.wikipedia.org/wiki/Marie_Curie100 Matemtica - Sptimo Grado 47. MATEMTICA Unidad 2Unidades de superficie. Fracciones Objetivos de la Unidad: Utilizars con seguridad las unidades de medidas de longitud, unidades mtricas de superficie y unidades agrarias, aplicando su equivalencia para resolver problemas del entorno. Aplicars las operaciones de nmeros fraccionarios comunes, utilizando las reglas y procedimientos para realizar correctamente dichas operaciones al resolver situaciones problemticas de tu entorno.55 48. Las medidas de superficie se consideran enLas medidas agrariasEl Sistema Internacionalpueden serse estudiaran El metro cuadrado (m2)Caballera(cab)Vara cuadrada (v2) rea (a)Manzana (mz) HectreaFraccionespueden ser PropiasImpropias se transformase representan en lase realizanRecta numricaOperacionesparadeMixtas SumaOrdenarlos SimplificarlosRestaDivisin MultiplicacinDescripcin del proyecto Mara Ins estudia sptimo grado. De lunes a viernes y en poca normal de estudio distribuye en promedio, las 24 horas del da de acuerdo a las actividades que realiza. Se desea averiguar a qu actividad dedica ms tiempo, a cul dedica menos tiempo, en qu orden dedica su tiempo a las diversas actividades, adems de otras respuestas.56 Matemtica - Sptimo Grado 49. Leccin 1Segunda UnidadUnidades de superficie del Sistema Internacional. (SI) MotivacinEl seor Benavides tiene un terreno de2 km de largo y 100 m de ancho a la orilla de la playa; y quiere vender lotes que tengan 40 m de ancho a la orilla de la playa y 100 m de largo, cuntos lotes tendr el terreno? Qu rea tendr cada lote en m 2?Indicadores de logro: Identificars y determinars con seguridad los mltiplos y submltiplos del metro cuadrado. Identificars con destreza las unidades mtricas de superficie.Convertirs con confianza unidades mtricas de superficie. Resolvers problemas de conversin de unidades mtricas de superficie.Superficie y reas Las lneas que limitan algunas figuras como la pizarra, la puerta y la cartula de un libro, definen una caracterstica de los cuerpos. Esta caracterstica se llama superficie. A la medida de una superficie se llama rea.Sptimo Grado - Matemtica57 50. UNIDAD 2 Para determinar el rea de una regin o superficie lo haces de cualquiera de estas formas. a)Utilizas una unidad de superficie arbitraria. Por ejemplo:Unidad de superficieComparacin de la regin con su unidad de superficierea de la regin 4 Unidades31 24Aproximadamente 12 unidadesEl metro cuadrado es un cuadrado que mide 1 m de lado. Dispone de una cinta mtrica o de una regla de longitud 1 m y mide el patio de tu casa o del centro escolar. Ahora dibuja en tu cuaderno el centmetro cuadrado. Lo haces as? Cul es el rea de esta regin o superficie?1 cm 1 cmPara calcular el rea de una regin, colocando unidades en su interior, no siempre se calcula de forma exacta. Por ejemplo, cul es el rea de los siguientes tringulos?rea aproximada por defecto: 6 cm258 Matemtica - Sptimo Gradorea aproximada por exceso: 15 cm2 51. UNIDAD 2 Ejemplo 1 Encuentra el rea de cada regin. Para ello, utiliza como unidad de superficie el cuadrado que forma parte de la cuadrcula.A2A1A4 A3 Solucin: Llamando A1, A 2, A 3 y A4 a las reas indicadas tienes: a) A1 = 16 unidades cuadradas (u 2)c) A 3 = Unas 17 18 u2b) A 2 = 10 unidades cuadradas (u 2)d) A4 = Unas 19 u2Ejemplo 2 Calcula el rea de las figuras del ejemplo anterior aplicando la frmula respectiva.Solucin: En las figuras A i representa el rea, b la base y h la altura. b h a) A1 = b h c) A 3 = 2 66 = 4 4 = 16 = = 18 2 R = 16 u2 = 18 u 2 b) A 2 = b h = 5 2 = 10 R = 10 u2d) Puedes ver que la figura indicada con A4est compuesta por un rectnguloy una circunferencia formada por dos semicircunferencias. Luego: A4 = b h + r 2A4 = 2 3 + (3.14 1) = 6 + 3.14 = 9.14 R = 9.14 u2Sptimo Grado - Matemtica59 52. UNIDAD 21Actividada)En el plano de un invernadero se observan las reas dedicadas a cada tipo de flor.1m Determina su valor contando los cuadros y mediante su respectiva frmula. Cul es la unidad de superficie que utilizas?1m b)Copia en tu cuaderno y encuentra el rea de las figuras siguientes. Hazlo contando los cuadros ymediante su respectiva frmula.A1 A2 A3A5 A4 1 cm 1 cm60 Matemtica - Sptimo Grado 53. UNIDAD 2Unidades de superficie del Sistema Internacional de unidades, SI Cul de los dibujos de superficie se expresa en m2? La de una moneda de $ 0.25El mapa de El SalvadorObserva que no todas las superficies deben medirse en metros cuadrados (m 2), aunque se pueda. As, para determinar el rea de nuestro pas utilizas el kilmetro cuadrado (km2). Para determinar el rea de una moneda de $ 0.25 utilizas el centmetro cuadrado (cm 2). Recuerdas las unidades de longitud del Sistema Internacional de unidades, SI? kmhmdammdmcmmmPara convertir una unidad de longitud en la inmediata inferior, multiplicas por 10. Y para convertirla en la inmediata superior divides entre 10. Ahora observa lo que sucede con las unidades de superficie.Si dibujas en el suelo 1 m2, cada subdivisin de ste es el de 1 dm2 . 2 2 1dm2 Luego, cuntos dm contiene el m ?1mPuedes ver que 1m2 = 100 dm21m1dmComo este mismo razonamiento lo llevas a las otras unidades, concluyes que para convertir una unidad de superficie a la inmediata inferior, multiplicas por 100. Y para convertirla a la inmediata superior, divides entre 100.Sptimo Grado - Matemtica61 54. UNIDAD 2 Es decir, con los submltiplos del metro cuadrado o m2, tienes: 1 m2 = 100 decmetros cuadrados o dm2 1 m2 = 10,000 centmetros cuadrados o cm2 1 m2 = 1 000,000 milmetros cuadrados o mm2 .Ejemplo 6 Un rectngulo mide 30 cm de ancho y 60 cm de largo. Expresa su rea en cm2, mm2, m2 y dm2 .Solucin:Con los mltiplos del metro cuadrado, tienes: 30 cm1 km2 = 100 hectmetros cuadrados o hm2 . 1 km2 = 1,000 decmetros cuadrados o dam2 . 1 km2 = 1 000,000 metros cuadrados o m2 . 60 cmPuedes ver que las unidades de superficie del SI forman un sistema posicional, donde cada unidad es igual a 100 unidades del submltiplo inmediato inferior.Al rea del rectngulo es: A = b h A = 60 cm 30 cmEjemplo 3A = 1,800 cm2Cuntos hm hay en 5,000 m ? 22Luego: 1,800 cm2 = 1,800 100 = 180,000 mm2Solucin: 1 hm = 100 dam 21 hm 2 = 100 x 100 m 2 = 10,000 m 25 ,000 Luego, 5,000 m 5 ,000 m = hm 2 = 0.5 hm 2 10 ,000 22Ejemplo 4Si la superficie de El Salvador tiene un rea aproximada de 21,000 km2, cuntos dam2, hm2 y m2 hay? 21,000 km2 = 21,000 100 = 2 100,000 dam2 = 2 100,000 100 = 210 000,000 hm2= 210 000,000 100 = 21 000 000,000 m2Ejemplo 5 Si el rea de una moneda de $ 0.25 es de 4.52 cm , cmo podemos expresarlo en m2? 2 1,800 cm2 = 1,800 100 = 18 dm221,800 cm2 = 18 100 = 0.18 m2Ejemplo 7 Retomando el problema del seor Benavides, como el terreno mide 2 km de largo, en metros tiene 2,000 m de playa y se divide entre 40 lotes para obtener el total de lotes: P0: 2,000 40 = 50 En total son 50 lotes, a la orilla de la playa.Solucin: Para obtener el rea tenemos: = 40 100 = 4,000 m24.52 cm2 = 4.52 100 = 452 mm2100 m R: En total son 50 lotes y cada lote mide 4,000 m24.52 cm 2 4.52 cm = = 0.0452 100 0.0452 dm 2 2 0.0452 cm = = 0.000452 m 2 100 240 m62 Matemtica - Sptimo GradoA = base por altura (b h) 55. UNIDAD 22Actividad 1. Completa la columna de la derecha en las siguientes tablas: a)Mltiplo del m2Abreviaturas Equivalencia en m2Decmetro cuadradodam2Hectmetro cuadradohm2Kilmetro cuadradokm2b)Submltiplo del m2Abreviaturas Equivalencia en m2Decmetro cuadradodm2Centmetro cuadradocm2Milmetro cuadradomm21 1002. Convierte: a) 2 m2 a cm2c) 1.2 cm2 a mm2e) 5 km2 a dam2 b) 4 m2 a dm2d) 0.75 cm2 a mm2g) 250 cm2 a m2f) 0.35 km2 a hm 23.Un cuadrado tiene un rea de 7,169 cm2, y el rea de otro cuadrado es de 256 dm2. Cul tiene mayor rea?Resumen La unidad de medida del rea es el metro cuadrado. km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 kilometro hectmetro decmetro metro decmetro centmetro milmetro cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado 1 1 00 1 00 00 1 00 00 00 1 00 00 00 00 1 00 00 00 00 00 1 00 00 00 00 00 00 1 m2 = 1000000 mm2 Para pasar de una unidad mayor a una menor se multiplica por 100 por cada casilla que haya de una unidad a otra. 1 dm2 = 0.0001 dam2 Para pasar de una unidad menor a una mayor se divide por una potencia de 100 por cada casilla que haya de una unidad a otra.Sptimo Grado - Matemtica63 56. UNIDAD 2Autocomprobacin13La unidad bsica de superficie del SI es: El km2 b) El cm2 c) El m2 d) El hm2 a)Expresa la siguiente rea en m2: 0.33 b) 0.033 c) 0.0033 d) 0.00033 a)330 mm2 Para convertir cm2 a dam2: Multiplicas por 100 b) Divides entre 100 c) Divides entre 1 000,000 d) Multiplicas por 1 000,000 a)2. d.1 m2 b) 0.01 m2 c) 0.10 m2 d) 0.001 m2 a)1. c.4Diez centmetros cuadrados equivalen a:Soluciones3. d.24. c.CALCULANDO EL REA DE UN TRINGULO La figura de la derecha muestra un piso de baldosas hechas de superficies triangulares. Cada uno de los cuadrados pequeos est formado por dos baldosas, mientras que el cuadrado mayor est formado por cuatro. Esta figura pudo haber sugerido a un personaje annimo de la India una de las demostraciones que existen del famoso teorema de Pitgoras, el cual estudiars posteriormente. Este teorema sirve de base para la demostracin de la frmula de Hern para calcular el rea de un tringulo de lados a, b y c: A = s ( s a )( s b )( s c ) donde s es el semipermetro del tringulo.64 Matemtica - Sptimo Grado 57. Leccin 2Segunda UnidadUnidades agrarias MotivacinLa urbanizacin La Hacienda se ubica en San Jos Villanueva, departamento de La Libertad. La primera etapa se inici con un rea de 10 manzanas. Sabes cules son las equivalencias de esta unidad de superficie? Esa rea es mayor o menor que 10 hectreas?Indicadores de logro: Identificars y convertirs con inters las unidades agrarias.Resolvers con seguridad problemas de conversin de unidades agrarias.Un legado espaol: la vara cuadrada Ejemplo 1Vendo terreno 1,500 v230 varas30 varas50 varas50 varas Expresa las reas del rectngulo en metros cuadrados.En El Salvador el rea de un terreno se mide por lo general en varas cuadradas. Cmo haces para convertir varas a metros? Por cunto multiplicas? Cmo haces para convertir metros a varas? 1 vara = 0.836 mO sea que: 1 metro =1 varas = 1.196 varas 0.836 Por cunto multiplicas? Por cunto divides para convertir varas a metros? A la vara la representas as: 1 vara = 1 vSolucin: Como 1 v = 0.836 m entonces: 0.836 m 50 v = 50 v = 41.8 m 1v 0.836 m 30 v = 30 v = 25.08 m 1v Como: 50 v = 41.8 m de base (b) 30 v = 25.08 m de altura (h) El rea en m2 es A = b h A = (41.8 m)(25.08 m) = 1048.34 m2 R: El rea del rectngulo es 1048.34 m2Sptimo Grado - Matemtica65 58. UNIDAD 2Equivalencia metro cuadrado vara cuadrada Cmo encontrar el equivalente de una vara cuadrada y el metro cuadrado? Como 1 v = 0.836 m, entonces una vara cuadrada (v2) equivale a: 1 v2 = (0.836 m) (0.836 m) = 0.698896 m2 1 v2 = 0.698896 m2 Aproximando: 1 v2 = 0.70 m21 v2 = 0.70 m2 1 v = 0.836 1 v = 0.836 mCunto equivale 1 m2 a v2?Solucin: 1 v2 = 1.42857 v 2 0.70 m 2 1 m2 = 1 m2 Ejemplo 2Aproximando 1 m2 = 1.43 v2Don Jenaro tiene dos terrenos. El terreno norte mide 1,500 m 2 y el sur 2,000 v2 . a) Cul es ms grande? b) Cul es la diferencia entre ambos?Solucin: Convertir 1500 m2 a v2 Como 1 m2 = 1.43 v2 1.43 v 2 1500 m = 1500 m = 2145 v 2 2 1m 2 Al comparar las reas 2145 v > 2000 v2 donde el terreno norte es mayor que el del sur. 22La diferencia entre los dos es: 2,145 v2 2,000 v2= 145 v2 . De qu otra manera resuelves este problema? Con seguridad observas que la forma de resolverlo es convirtiendo las varas cuadradas a metros cuadrados; o sea: 2 2 0.70 m 2 2 2,000 v = 2000 v 2 = 1400 m 1v En este caso, la diferencia en metros cuadrados es: 1,500 m 2 1,400 m2 = 100 m2 Entonces: 1500 m2 > 1400 m2 El terreno norte es mayor que el del sur.66 Matemtica - Sptimo Grado 59. UNIDAD 2 Ejemplo 3 En el proyecto urbanstico "El frutal", se venden terrenos de 2,500 v2 con casas de 150 m2 . El rea resultante ser de jardinera y rboles frutales, lo cual contribuir a la ecologa del pas. Cul es esa rea?Solucin: Convertir los metros cuadrados que mide la casa a varas cuadradas: 1.43 v 2 150 m 2 = 214.54 v 2 1 m2 Luego, el rea verde es:2,500 v2 214.5 v2 = 2,285.5 v2 El rea de jardinera y rboles frutales es 2,285.5 v2El rea y la hectrea El rea (a)Entonces, de qu otra manera defines la hectrea?Otra unidad de superficie se llama rea. El rea es la unidad de superficie equivalente a: 100 m 2 1 rea = 100 m2 Hectrea (ha) La hectrea es la unidad de superficie agraria equivalente a cien reas (1 hectrea = 100 rea), luego: Como 1 rea = 100 Entonces: 1 ha = (100)(100) 1 ha = 10,000 m2 En otras palabras, cunto mide el lado del cuadrado que tiene por rea 10,000 m2? Para que el rea mida 10,000 m2, el lado del cuadrado debe medir 100 m de lado.Observa La hectrea es la unidad de superficie que equivale a un cuadrado de 100 m de lado. Representando grficamente a la hectrea, tienes:1 ha = 10,000 m2 100 m100 mSptimo Grado - Matemtica67 60. UNIDAD 2 Ejemplo 4 Un terreno rectangular mide 6 km de largo por 3 km de ancho. Calcula a cuntas reas (a) y a cuntas hectreas (ha) equivale.Solucin: Convertir km a hm: 1 km2 = 1,000,000 m2 1 ,000 ,000 m 2 2 18 km 2 2 = 18 ,000 ,000 m 1 km 18 km 2 = 18 ,000 ,000 m 2Para calcular las reas (a): 1a 18 ,000 ,000 m 2 = 180 ,000 a 100 m 2 18 km 2 = 180 ,000 aPara calcular las hectreas (ha): 1 ha 18 ,000 ,000 m 2 = 1 ,800 ha 10 ,000 m 2 18 km 2 = 1800 ha1Actividada) Dionisio va a comprar un terreno, y elige entre dos: uno a $35 v2 y el otro a $40 m2 . Si estn en lamisma zona y presentan las mismas ventajas, por cul de los dos se decide Dionisio?b) Una propiedad mide 50 ha, y otra mide 600,000 m2 cul es mayor? c) Un terreno mide 15,256 v2 . Calcula a cuntas hectreas equivale.68 Matemtica - Sptimo Grado 61. UNIDAD 2La Manzana (mz) Se le llama manzana a la medida de superficie equivalente a la que posee un cuadrado de 100 varas de lado.10,000 v2100 v1 manzana = 100 v 100 v 1 mz = 10,000 v2100 vEjemplo 5 La familia Estrada Lpez tiene un terreno sembrado de rboles frutales y maderables. Su rea es de cinco manzanas. Cuntas hectreas mide el terreno?Solucin: 10 ,000 v 2 2 5 mz = 50 ,000 v 1 mz 5 mz = 50,000 v 2Como: 1 v2 = 0.70 m2 0.70 m 2 2 50 ,000 v 2 2 = 35 ,000 m 1v 50 ,000 v 2 = 35 ,000 m 2Como: 1 ha = 10,000 m2 1 ha 35 ,000 m 2 = 3.5 ha 10 ,000 m 2 Entonces 5 mz = 3.5 ha. El terreno mide 3.5 haSptimo Grado - Matemtica69 62. UNIDAD 2 Ejemplo 6 Encuentra la equivalencia de la manzana con la hectrea. Cuntas manzanas (mz) tiene 1 hectrea?Solucin: 1ha = 10,000 m2 y 1 m2 = 1.43 v2 1.43 v 2 1ha = 10,000 1.43 v2 1000 m 2 = 14300 v 2 2 1m 1ha = 14,300 v2 1 mz = 10,000 v2 1 ha = 14,300 v2 1 mz 1 ha = 14,300 v2 10 , 000 v 2 1 ha = 1.43 mz2Actividada)Un terreno rectangular mide 200 m por 150 m cuntas manzanas tiene el terreno? b) Calcula cuntas manzanas tiene un terreno de 40 ha. c) A cuntas manzanas equivale el kilmetro cuadrado? d) Ahora puedes contestar la pregunta al inicio de esta leccin. Qu es mayor, 10 hectreas 10 manzanas?La Caballera (cab) La caballera es otra unidad agraria que equivale a 64.34 manzanas. Con el crecimiento urbano de El Salvador, su uso es cada vez menor.Ejemplo 7528 cab = 8.21 cab 64.34 Se concluye que el terreno de 528 mz es mayor que el de 6.5 cab.Una hacienda mide 528 manzanas y otra mide 6.5 caballeras. Cul es mayor?Si la comparacin se hubiera hecho en relacin a la manzana entonces:Solucin:6.5 cab = 6.5 64.34 mzEncuentra las caballeras que tienen 528 mz.6.5 cab = 418.21 mzComo 1 cab = 64.34 mz, entonces:Luego el terreno que mide 528 mz es el mayor.70 Matemtica - Sptimo Grado 63. UNIDAD 23Actividada)Una hacienda tiene una superficie de 2.3 cab. Si se cultivan diariamente 4.5 mz, cunto falta porcultivar despus de una semana?Resumen Las unidades agrarias sirven para medir superficies de terrenos. En el SI, se miden en reas y hectreas. En nuestro pas tambin se miden en unidades heredadas de la colonia, stas son la vara cuadrada, la manzana y la caballera. El siguiente cuadro te muestra la equivalencia entre unidades agrarias: mz1 7 , 0001 10 , 0001 701.431ha1 10 , 0000.000071 10010.70a1 1000.0071100701.43 1 m21 0.70 v2143 100 a214,300 10,000 ha10,000 7,000 mzv2 m2 Por ejemplo, si quieres saber cuntas v2 hay en 1 m2, ubicas al m2 en la fila de abajo y subes hasta llegar a v2: 1 m2 = 1.43 v2. De igual forma obtienes que 1 ha = 14,300 v2 = 100 a, etc.Sptimo Grado - Matemtica71 64. UNIDAD 2Autocomprobacinmz b) cab c) ha d) km2 a)El rea de un terreno de 1.5 mz, es: 15,000 v2 b) 105 ha c) 105,000 m2 d) Todas las anteriores a)2. a.4De las siguientes reas, la menor es:10,000 v2 b) 10,000 m2 c) 100 reas d) b y c son correctas a)15 ha b) 9 mz c) 50 a d) 5,000 v2 a)Una hectrea equivale a:1. a.3. d.23De las siguientes reas, la mayor es:Soluciones14. a.LA MANZANA Las medidas de superficie se estandarizan con el Sistema Internacional de unidades, SI, aunque en algunos pases todava se usan otras medidas, por ejemplo en Estados Unidos, se usa con frecuencia el Acre (4,046.8 m2) en El Salvador, an se utiliza la manzana y cada vez se usa con menor frecuencia la caballera. Durante la fundacin de las ciudades espaolas en Hispanoamrica, las construcciones se erigan dentro de cuadrados de 100 varas por lado, a este espacio se llamo manzana. Coloquialmente, como una reminiscencia colonial se llama manzana al rea delimitada por cuatro calles sin importar la longitud de las calles ni la figura que stas hagan.72 Matemtica - Sptimo Grado 65. Leccin 3Segunda UnidadNmeros racionales MotivacinPara el da de la madre se compraron carretes de listn para las chongas de los regalos teniendo las siguientes medidas y la cantidad de chongas por listn. a) Carrete de 5 metros para 3 chongas b) Carrete de 4 metros para 7 chongas c) Carrete de 10 metros para 9 chongas d) Carrete de 8 metros para 7 chongas e) Carrete de 6 metros para 7 chongas f) Carrete de 3 metros para 3 chongas g) Carrete de 10 metros para 6 chongas h) Carrete de 12 metros para 14 chongas Representar en fracciones las medidas de los listones utilizados para cada chonga. Hay chongas que ocuparn la misma cantidad de listn. Cules son? Indicadores de logro: Identificars y presentars con precisin y seguridad diferentes nmeros racionales positivos y negativos en la recta numrica. Identificars con seguridad fracciones equivalentes positivas y negativas.Obtendrs con inters fracciones equivalentes positivas y negativas aplicando los procesos de ampliacin y simplificacin.Ejemplo 1Ejemplo 2Un entrenador decide que en su equipo 2 de los 11 jugadores jueguen la posicin de carrileros. Qu fraccin del equipo representan los 2 jugadores? 2 Solucin: son carrileros 11De una pizza, Milena se comi 3 de las 8 partes que est dividida. Qu fraccin de la pizza se comi Milena? 3 de la pizza. 8 En los ejemplos anteriores, las cantidades son representadas en forma de fracciones, las cuales pueden ser propias, cuando el numerador es menor que la unidad o impropia, cuando el numerador es mayor que la unidad. La fraccin impropia puede transformarse en fraccin mixta o la fraccin mixta a impropia.Solucin:Sptimo Grado - Matemtica73 66. UNIDAD 2Fracciones Fracciones menores que la unidad.1 2 1 2Fracciones iguales a la unidad.2 21 1 4 3 1 3 1 1 3 43 31 4 1 51 Los nmeros: 5 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , ......etc. 1 2 3 4 5 6 5 2 4 6 8 11 ...........etc. 1 3 , 5 , 7 , 10 , 14 , 5 son ejemplos de fracciones menores que la unidad.1 1 5 4Los nmeros: 2 3 4 5 6 7 , , , , , , .......etc. 6 2 3 4 5 6 7 6 son ejemplos de fracciones iguales a la unidad.4 4Fracciones mayores que la unidad. 3 25 311 127 4Los nmeros: 3 5 7 11 , , , , ........etc. 2 3 4 12 son ejemplos de fracciones mayores que la unidad.Nmeros mixtos 7 3 En el ejemplo anterior, observas que equivale a 1 + 4 4 7 3 3 o sea 1 . Luego = 1 4 4 4 3 El nmero 1 se llama mixto. Por qu?, cmo 4 7 conviertes la fraccin en nmero mixto? 4 4 374 Matemtica - Sptimo Grado7 4 17 3 =1 4 4 67. UNIDAD 2 Cmo conviertes un nmero mixto a fraccin? Por ejemplo, si tienes la fraccin, Cmo la conviertes a nmero mixto? 2 1 = 35 = 3+Observa que se divide el entero en las partes que indica el denominador. Despus, cuentas el total de partes. 2 3 2 5 1 = + = 3 3 3 3 Tambin lo puedes representar de la siguiente forma: 2 3 2 (1 3 ) + 2 5 1+ = + = = 3 3 3 3 3 2 (1 3 ) + 2 5 Es decir: 1 = = 3 5 31Actividad Dibuja en tu cuaderno, la bandera de El Salvador y colorala Qu fraccin le corresponde a cada color? 1. Escribe una fraccin que represente cada una de las siguientes situaciones. a)En todo el mundo, por cada 100 nias nacen 105 nios. b) En Costa Rica se preservan ocho de cada diez de sus bosques. c) Si la superficie de la tierra se divide en 5 partes, 3 de ellas la ocupan los ocanos. d) Una persona de 60 aos ha dormido en promedio un total de 20 aos. 2. Copia y completa el siguiente cuadro. Y presenta los nmeros mixtos como fracciones y viceversa. Nmero mixto Fraccin2 18 71 53 15 42 78 12 55 94 7 22 353 417 3Sptimo Grado - Matemtica75 68. UNIDAD 2Representacin geomtrica de las fracciones Dos vehculos salen de San Salvador hacia San Miguel. Acompaan a la familia Snchez Lara, que asistir a una boda. Luego de 30 minutos el vehculo A recorre las dos terceras partes del total, y el B ha avanzado la mitad. En qu orden van los vehculos?Para representar a1 . 0 1/2 1 2 Puedes ver que el vehculo A, ha avanzado mayor distancia que B, Cul de las dos fracciones es menor? 2 1 Cul es mayor? Como est a la derecha de 3 2 2 1 2 1 decimos que es mayor que ; es decir: > 3 2 3 2 iguales y marcasPara contestar la pregunta, se representan las fracciones 2 divides la 3 2 unidad en tres partes iguales y marcas . 3 en la recta numrica. Para representar a02/31 divides la unidad en dos partes 212/3 1/201Ejemplo 3 Ubica las fraccionesSolucin:5 5 y en la recta numrica. 7 75 divides la unidad en siete partes iguales y luego cuentas 7 cinco partes hacia la derecha. Para ubicar a 5 lo haces de forma similar, 7 pero trabajas a la izquierda del cero. Para ubicar a-15 - 776 Matemtica - Sptimo Grado05 71 69. UNIDAD 22Actividad En tu cuaderno dibuja la recta numrcia y localiza las siguientes fracciones, ordnalas de menor a mayor. 1 2 3 4 5 1 2 5 a) , , , , , c) , , 2 2 2 2 2 2 3 6 b)4 5 2 1 7 , , , , , 3 3 3 3 3d)1 5 1 2 , 1 , 1 , ,1 2 2 2Equivalencia de fracciones Las fracciones que representan la misma porcin en los rectngulos, son fracciones equivalentes. 1 2 5 representan la Observa que las regiones , y 2 4 10 misma porcin.Copia la figura en tu cuaderno, colorea de izquierda a derecha la fraccin correspondiente a cada rectngulo. 1 2Por lo tanto, esas fracciones son equivalentes, es decir: 1 2 5 = = son iguales. 2 4 10 Tambin observas que:1 31 2 ; 1 1 2 2 ; 1 1 3 3 = = = = = 3 6 2 2 2 4 2 23 6 1 1 4 4 = = 2 2 4 82 41 1 5 5 = = 2 2 5 10Puedes ver que dada una fraccin, obtienes fracciones equivalentes si multiplicas el numerador y el denominador por el mismo nmero.2 6 5 10 Ahora en sentido inverso, si en lugar de multiplicar dividimos entre la misma cantidad, tenemos: 4 4 2 2 2 22 1 = = = = 8 82 4 4 42 2 Al dividir ambos miembros de una fraccin entre un mismo nmero se ha reducido o simplificado.Sptimo Grado - Matemtica77 70. UNIDAD 2 Ejemplo 4 Simplifica la fraccin:Solucin:48 7248 48 2 24 24 24 2 12 = ; = = = 72 72 2 36 36 36 2 18 12 12 2 6 6 6 3 2 48 es equivalente a 2 = Entonces: = = = 18 18 2 9 9 93 3 72 32 ? Decimos que una fraccin est en su mnima 3 expresin cuando el numerador y el denominador slo pueden dividirse entre la 2 unidad. En este caso, la fraccin es irreductible; as, la fraccin es irreductible. 3 sta propiedad te sirve para convertir fracciones a un comn denominador, por 3 5 ejemplo, convertir al comn denominador las fracciones y . 4 6 Para ello, encuentras el mnimo comn mltiplo de los denominadores 4 y 6. Puedes continuar simplificando aSi denotas por M4 a los mltiplos de 4 y por M6 a los mltiplos de 6, tienes:Punto de apoyo El mnimo comn mltiplo de 4 y 6 es 12. M4 = {0, 4, 8, 12, 16. . } M6 = {0, 6, 12, 18, 24. } Como el mnimo comn mltiplo de 4 y 6 es 12, entonces hay que convertir 3 y 5 4 6 a fracciones equivalentes con denominador 12. 3 33 9 5 5 2 10 para = Para = = ; = 4 4 3 12 6 6 2 12 Se observa que el menor nmero comn mltiplo de los denominadores es 12. 3 5 multiplicas sus dos trminos por 3, en la fraccin multiplicas 4 6 ambos trminos por 2. Observa que enAhora, ya estamos listos para responder a las preguntas de la actividad de motivacin. Al observar los carretes y la cantidad de chongas se puede decir que: 10 10 5 6 a) A = C = G= E = 6 9 3 778 Matemtica - Sptimo Grado 71. UNIDAD 2 3 12 8 F = H= 3 14 7 b) Las chongas que tendrn la misma cantidad de listn son: 10 5 10 5 6 12 A = y G = porque son equivalentes = y E = con H = porque 6 3 3 6 7 14 6 12 tambin son equivalentes = 7 14 B=7 4D=3Actividad Efecta en tu cuaderno: 1. Escribe 4 fracciones equivalentes a: 3 2 1 7 a) b) c) d) 5 3 4 7 2. Encuentra el nmero que falta para que las fracciones sean equivalentes: 4 12 3 1 7 2 8 a) = b) = c) = d) = 27 4 16 2 3 3. Reduce cada fraccin a su mnima expresin: 15 40 18 7 a) b) c) d) 30 60 24 14 4. Reduce las siguientes fracciones al comn denominador (cd) que te indicamos: 3 2 3 y 2 ; cd = 24 y ; cd = 12 b) 4 3 4 3 5. Reduce las siguientes fracciones a un comn denominador: 3 3 5 1 4 5 a) y b) y c) y 5 4 7 2 7 21 a)c)42 352 3 y ; cd = 15 3 5d)e)3 1 y 14 21Resumen En esta leccin repasaste la nocin de fraccin, sus elementos y las clases de fracciones que hay: menores, iguales o mayores que la unidad, cuando una fraccin es mayor que la unidad, puede representarse como nmero mixto, adems, un nmero mixto puede escribirse como una fraccin. Cuando representas una fraccin en la recta numrica, esto se llama representacin geomtrica. Esta te permite decir cual de las fracciones es mayor o menor que otra. Dos fracciones son equivalentes si corresponden al mismo punto en la recta numrica, una aplicacin de la equivalencia de fraccin, es la ampliacin y la reduccin de stas, reducir una fraccin es lo mismo que simplificarla, adems, las equivalencias de fracciones te permiten convertirlas a un comn denominador.Sptimo Grado - Matemtica79 72. UNIDAD 2Autocomprobacinb)24 9d) 3 4 4 b) 49 15 9 244 11b)11 4d) 2 4 1 d)4c) Una fraccin equivalente a3 es: 46 8a)15 20d)4 a 103. b.a)43 es: 4 10 c)4La fraccin equivalente a 2a)Todas son equivalentes2. b.c) b) 15 93 4 2 1 , , , la mayor es: 4 4 4 4De las siguientes fracciones:c) 1. c.a)23En un departamento de una empresa de 15 personas, 9 son mujeres, la fraccin que representa esta situacin es:9 12Soluciones14. d.ORIGEN DE LAS FRACCIONES El nombre de fraccin se le debe a Juan de Luna, quin us la palabra fractio para traducir el vocablo rabe al-kasr que significa quebrar o romper. El origen de las fracciones o quebrados es muy remoto. Ya eran conocidas por los babilonios, egipcios y griegos. Los babilonios las utilizaron teniendo como nico denominador al nmero 60. Los egipcios por su parte las emplearon con slo el 1 como numerador. Por5 1 escriban y 8 4 2 1 1 considerando que equivale a . Los griegos 2 8 8 ejemplo si queran representarmarcaban con un acento el numerador, y con 2 el denominador.80 Matemtica - Sptimo Grado 73. Leccin 4Segunda UnidadSuma y resta de fracciones MotivacinLa biblioteca escolar est organizada en 6 reas:Qu parte del rea total ocupa Ciencias y Deportes?M: Matemtica C: Ciencias E: Estudios Sociales L: Lenguaje I: Ingls D: Deportes Qu parte del rea total ocupa Matemtica y Ciencias? Puedes ver que matemtica y ciencias ocupan: 2 2 4 + = del total. 8 8 8L IMEn el grfico observas que Ciencias y Deportes 2 1 3 ocupan: + = del total 8 8 8 Qu parte ocupa Lenguaje y Estudios Sociales? 1 1 2 Lenguaje y Estudios Sociales ocupan + = 8 8 8 del total.CE DIndicadores de logro: Realizars adiciones y sustracciones de nmeros racionales positivos y negativos con igual y/o diferente denominador.Resolvers con seguridad problemas aplicando las operaciones fundamentales de los nmeros fraccionarios positivos y negativos.Continuando con la introduccin puedes concluir que: Para sumar fracciones con igual denominador, sumas los numeradores y colocas el mismo denominador.Ejemplo 1 Un pastel se divide en 16 partes iguales. Milena toma 2 partes y Juanita 3. Cuntas partes del pastel tomaron entre las dos?Sptimo Grado - Matemtica81 74. UNIDAD 2 Solucin: Como Milena tom 2 de las 16 partes y Juanita 3, en total tomaron: 2 3 2+3 5 + = = partes. 16 16 16 16a c y son fracciones comunes, donde b 0 entonces, b b a c a +c + = b b bEn general, siEjemplo 2Cul es la diferencia entre las partes del pastel que tomaron Juanita y Milena?Solucin: 3 2 del pastel y Milena , la diferencia entre ambas partes es: 16 16 3 2 1 = del pastel. 16 16 16Como Juanita tom En general, si a c y son fracciones comunes, donde b 0 entonces, b b a c a c = b b bEjemplo 3 Roberto y Amanda trabajan en el departamento de produccin de una fbrica. Cierto 7 5 da, Roberto realiza de una obra, y Amanda . Sin embargo, debido a un corte 24 24 1 de energa elctrica se perdi del trabajo. Qu parte del trabajo realizaron ese da 24 Roberto y Amanda?82 Matemtica - Sptimo Grado 75. UNIDAD 2 Solucin: 5 7 de la obra y Amanda , 24 24 1 en total realizaron 5 + 7 . Como se perdi , la parte de la obra que realizaron 24 24 24 5 7 1 5 + 7 1 11 fue: + = = . 24 24 24 24 24Como Roberto realizEn total, Roberto y Amanda realizaron 11 de la obra. 24Ejemplo 4 Efecta:1 7 + 4+ +3 10 10Solucin:Cuando en una suma o resta de fracciones aparecen nmeros enteros, sumas primero las fracciones y enteros por aparte y luego sumas ambos resultados. Es decir: 1 7 1+ 7 8 4 + = = = 10 10 10 10 5 4 +3= 7 4 4 Luego: +7=7 5 5 Otra forma de hacerlo es sumando primero los enteros y convertir la suma a fraccin. 7 7 10 70 O sea, 4 + 3 = 7 ; pero 7 = = = 1 1 10 10 Luego,1 7 70 78 8 4 + + = =7 =7 10 10 10 10 10 51Actividad Efecta mentalmente las siguientes operaciones. Anota la respuesta y simplifica si es necesario: a)1 2 + 4 4c)4 1 6 6e)3 1 + 5 + 8 8b)1 3 + 4 4d)3 2 5 5f)3 45 2 1 + 9 9 9g)2+Sptimo Grado - Matemtica83 76. UNIDAD 2Suma de Fracciones con distinto denominador Ejemplo 5Solucin:2 3 Fjate ahora en la suma: + 3 4 Cmo son los denominadores?3 2 2 + 5 3Solucin: Comn denominador. Encontramos el mnimo comn mltiplo de 3 y 4. M3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ....}13 2 + 5 3 39 10 + 15 15M4 = {0, 4, 8, 12, 56, ....}49 15El mnimo comn mltiplo de 3 y 4 es 12. La fraccin equivalente de: 2 2 2x 4 8 = = 3 3 3x 4 12 De8 9 17 + = 12 12 125 3 Encuentra el resultado de la resta 3 8Solucin:=Para sumar fracciones con diferente denominador, primero las expresas con un comn denominador y luego las sumas. De preferencia, el comn denominador ser el mnimo comn mltiplo de los denominadores.Ejemplo 6 3 2 Resuelve la suma 2 + 5 323 5 5 3 3 82 3 17 Entonces: + = 3 4 12ObservaRecuerda:+13 52 2 49 2 + = 3 3 15Ejemplo 73 3 x3 9 = = 4 4 x3 123 4Fracciones equivalentes con denominadores comunes.2 5 + 3 = 1384 Matemtica - Sptimo Grado20 9 24 2440 9 = 24 31 = 24Fracciones equivalentes con igual denominador. Se restan los numerandos. 77. UNIDAD 2Operaciones de fracciones con signo Para mejorar su conduccin fsica y su figura, Lorena practica gimnasia.Para averiguar cules son las nuevas medidas necesitas efectuar las siguientes sumas: a) Medidas del brazo 1 35 + 1 2b) Medidas de la Cintura 3 80 + 5 4 c) Medidas de la pantorrilla Despus de un tiempo cambia algunas medidas de su cuerpo como lo indica la tabla de la izquierda. Medidas Antes Grosor del brazo: 35 cm Cintura: 80 cm3 5 4Pantorrilla: 27 cm21 4Qu parte del cuerpo aument de medida? Qu partes del cuerpo disminuyeron de medida? Cules son sus medidas despus de un tiempo?1 4Para efectuar estas operaciones con fracciones negativas aplicars las leyes de los signos de operaciones con nmeros enteros. Y para hacerlo con fracciones positivas, el procedimiento que acabas de estudiar. As: 1 1 35 3 70 3 67 a) 35 + 1 = + = + = = 33 2 1 2 2 2 2 2Cambio en cm1 1 227 + 2b) 3 80 23 80 + 5 = + 4 1 4 320 + ( 23 ) 4 320 23 297 1 = = = 74 4 4 4 =c)1 27 9 108 + 9 117 1 27 + 2 = + = = = 29 4 1 4 4 4 41 Lorena disminuy el grosor del brazo a 33 cm, tambin 2 1 1 la cintura a 74 cm y aument la pantorilla a 29 cm. 4 4 Observa otor ejemplo: Cmo restas3 2 ? De seguro lo haces as: 2 73 2 3 2 21 + 4 25 11 = + = = =1 2 7 2 7 14 14 14Sptimo Grado - Matemtica85 78. UNIDAD 2 Ejemplo 8 En el receso de la clase de Educacin Fsica, Rebeca se tom la mitad del agua de una 1 botella, y al final de la clase se tom del agua de una botella. Qu parte del agua 3 bebi en total? Qu parte del agua sobr?Solucin: La parte que se tom es: 1 1 (1 3 ) + (1 2 ) 3 + 2 5 + = = = 2 3 6 6 6Luego, la parte del agua que sobr es: 5 6 5 1 = 6 6 6 1 R: El agua que sobro es 1 6 = 6 6 Observa que representamos por 1 = el total del agua que estaba en la botella. 6Ejemplo 9En una tarea en equipo, Ricardo digit la tercera parte de sta, y Ana digit dos quintas partes. Si Marina digit el resto. Qu parte de la tarea le toc digitar a Marina?Solucin: La parte de la tarea que digitaron Ricardo y Ana es: 1 2 (1 5 ) + ( 2 3 ) 5 + 6 11 + = = = 3 5 15 15 15Luego, la parte de la tarea que digit Marina es: 11 15 11 4 1 = = 15 15 15 15 4 R: La parte que le toc digitar a Marina es. 1586 Matemtica - Sptimo Grado 79. UNIDAD 22Actividad1. Efecta las operaciones siguientes y si es necesario simplifica las respuestas, hasta su mnima expresin. 3 2 7 4 2 1 2 3 3 1 2 a) + c) + e) + + g) 2 2 i) 4 3 5 2 10 5 3 5 4 2 3 b)1 3 + 2 4d)5 1 + 7 2f) 3 7h)4 7 5 102 4 2 de metro de listn rojo, de listn verde y de amarillo. Cuntos metros de 3 3 3 listn compr Patty? Expresa tu respuesta como nmero mixto.2. Patty compr3. El seor Jimnez tiene una tabla de 3 m para hacer los entrepaos de un estante. Corta dos pedazos 5 3 de 3 m cada uno y otro de m. Necesita otro pedazo que mida m. Le alcanza la madera que 6 4 4 an le queda? Da una explicacin de tu respuesta. 3 1 4. Una lmina tiene una longitud de 4 m. Se le cortan dos pedazos: uno de 2 de longitud, y otro 4 2 de 1 1 m. Cul es la longitud de la lmina que sobra? 3 5. Efecta las operaciones indicadas. 1 1 1 3 + 4 + 5 2 3 4 1 2 1 b) 5 + 7 3 6 5 3 1 2 c) 33 + 66 100 3 3 a)d) 5 5 3 7 + 6 8 6 4e) 1 1 27 1 3 1 + 2 5 2 10 4f)7 10 3 2 4 3 2 h) 4 5 3 1 1 i) 2 3 2 2 g)Resumen Para sumar o restar fracciones de igual denominador ste se mantiene y slo se suman o restan los numeradores: a c a +c a c a c a) + = b) = para b 0 b b b b b b Para sumar o restar fracciones con diferente denominador, se convierten a un comn denominador en base a la equivalencia de fracciones. El menor de los denominadores comunes es su mnimo comn mltiplo.Sptimo Grado - Matemtica87 80. UNIDAD 2Autocomprobacind)45 1 + es el resultado de: 8 4 7 1 a) 1 b) 8 7c) 8 7a y c son correctas.1 3Joseph compr una barra de chocolate y le dio a uno de sus 1 hermanos 1 de ella, 1 a otro y a una hermana. 3 4 6 La parte de la barra que le qued a Joseph es: a)1 22. b.3. a.d)c) Ninguna de las anteriores.b) Todas son correctas.d)210 4c) 2 1 1 1 es igual a: 3 2 1 1 a) b)1 6 61 3c) 1 41. d.33 7 + es el resultado de: 4 4 5 1 a) b)2 2 2d) 1 6Soluciones14. c.SUMANDO FRACCIONES CON RESULTADO 1 1 21 21 6 1 121 41 121 41 61 6 1 121 31 31 31 121 121 41 6 1 1 1 12 12 121 41 61 6 1 121 121 121 121 0.0 0.10.20.30.40.50.688 Matemtica - Sptimo Grado0.70.80.9 1.0En la ilustracin, la unidad se ha dividido en partes iguales. Comprueba las siguientes igualdades: 1 1 + =1 2 2 1 1 1 + + =1 3 3 3 1 1 1 1 + + + =1 4 4 4 4 1 1 1 Adems + + = 1 2 4 4 Qu otras sumas dan uno, en el dibujo? 81. Leccin 5Segunda UnidadMultiplicacin y divisin de fracciones MotivacinPara una presentacin en el Auditrium de la FeriaInternacional, se habilitaron 300 asientos de palco y 2 540 de general. Si se ocuparon de los asientos de 3 5 palco y de general. Cuntos asientos sobraron? 6 Este tipo de situaciones se resuelven mediante la multiplicacin de fracciones.Indicadores de logro: Realizars multiplicaciones y divisiones de nmeros racionales positivos y negativos, valorando tu trabajo individual. Resolvers ejercicios con operaciones combinadas de nmeros fraccionarios.Resolvers con seguridad problemas aplicando las operaciones fundamentales de los nmeros racionales, positivos y negativos.Multiplicacin de entero por fraccin Observa como sumamos varias mitades de naranja:1 + 2 Nota que si sumas 2 mitades, obtienes la unidad:1 2+1 21 2= 2x+1 2Fjate que si tienes 3 mitades, obtienes una unidad ms2 1 = =1 2 2=3x1 3 1 = =1 2 2 21 2Sptimo Grado - Matemtica89 82. UNIDAD 2 1 2+1 21 + 2+1 1 4 = 4x = = 2 2 2 2Observa que 4 mitades, obtienes 2 unidades:1 2+1 2+1 21 + 2+1 21 5 1 = 5 = = 2 2 2 21 2 En base a los ejemplos anteriores, Cmo multiplicas un entero por una fraccin? 1 5 1 3 Multiplica 5x . Lo haces as: 5 = = 2 2 2 2 2 1 Ahora resuelve la operacin 6 x = 2 3 Claro! con 5 mitades obtienes 2 unidades msMultiplicacin de fracciones Cunto mide el rea de un rectngulo cuyo largo mide 1mSolucin: 1m4m 55 4 m y su ancho mide m? 8 55 4 5x 4 20 x = = 8 5 8x5 40 20 2020 1 Simplificando: = = 40 4040 2 1 2 m 2 Otra forma: 1 1 5 4 5 4 1 x Simplificando x = 8 5 8 5 2 2 1 1 R: m2 2 R: El rea del rectngulo es5m 8Este ejemplo comprueba que, en general, el producto de dos fracciones es otra fraccin que tiene por numerador al producto de los numeradores; y por denominador al producto de los denominadores. a c a c con b y d diferentes de cero. Es decir: = b d b d90 Matemtica - Sptimo Grado 83. UNIDAD 2 Ejemplo 1Ejemplo 3Efecta los siguientes productos y simplifica cuando sea necesario. 3 2 a) x 4 31 Un filtro purifica agua a razn de 15 litros por hora. 2 Cuntos litros purifica en 2 horas y quince minutos?Solucin:1 horas. Luego, como 4 1 1 purifica 15 litros por hora, en 2 horas purifica 2 4 1 1 15 = 2 litros. Luego: 2 43 2 3 2 6 1 = = = 4 3 4 3 12 2 b)2 5 x 3 6Solucin:2 5 2 5 10 5 = = = 3 6 3 6 18 9c)16 3 x 3 4Solucin:16 3 16 3 48 = = =4 3 4 3 4 12d) 8x11 2Solucin: Dos horas quince minutos son 27 1 1 31 9 279 = 34 15 2 = = 2 4 2 4 8 8Ejemplo 4 Para una presentacin en el Auditrium de Feria Internacional, se habilitaron 300 asientos de palco y 540 2 de general. Si se ocuparon de los asientos de palco y 3 5 de general. cuntos asientos sobraron? 6Solucin:1 8 3 8 3 24 8 1 = = = = 12 2 1 2 1 2 2Ejemplo 2 Para preparar jaleas, la mezcla ideal es: por cada kg de 3 fruta, agregar kg de azcar. Si Lorena quiere preparar 4 mermelada con 4 kg de mango. cuntos kg de azcar necesita agregar?Solucin: Por cada kg de fruta agrega 3 kg de azcar. Como son 4 4 kg de mango, necesita agregar: 3 3 4 3 4 12 4= = = = 3 kg de azcar. 4 4 1 4 4Solucin: El nmero de asientos ocupados de palco es: 2 300 600 2 = = 200 ( 300 ) = 3 1 3 3 El nmero de asientos ocupados de general es: 5 ( 540 ) = 5 540 = 2 , 700 = 450 6 6 1 6 Luego