2017

Matemática 3° Año

EPET N° 9 - Plottier

Eduardo Víctor Gatti

Plottier

Material Teórico

PROGRAMA DE MATEMATICA - 3º AÑO – EPET Nº 9 - AÑO 2017

UNIDAD Nº 1: NUMEROS REALES

Revisión de conjuntos numéricos. Irracionales. Algunos números especiales: (pi). Reales, propiedades. Representación en la recta numérica, intervalos.

Radicales, concepto, propiedades, radicales semejantes. Extracción de factores del radical. Reducción a común índice. Operaciones con radicales: suma, resta, producto, cociente. Exponente racional

UNIDAD Nº2: NUMEROS COMPLEJOS

Número complejo, definición, propiedades. Gráfica de nº complejos. Operaciones: suma algebraica, producto, cociente, potencias de “i”, operaciones combinadas.

Formas de expresión: par ordenado, binómica, polar, trigonométrica, exponencial. Operaciones con los números expresados en forma trigonométrica y polar.

UNIDAD Nº 3: FUNCION POLINOMICA DE PRIMER GRADO

Concepto de relación, conjunto de partida y conjunto de llegada, función dominio e imagen. Formas de definir una función. Casos particulares: funciones: lineal, de proporcionalidad, nula, identidad, constante.

Función Lineal: Definición, parámetros. Gráfica. Ecuación de la recta definida por su pendiente y un punto. Ecuación de la recta definida por dos puntos. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Distancia entre puntos; y entre un punto y una recta. Función Módulo.

UNIDAD Nº 4: FUNCION POLINOMICA DE SEGUNDO GRADO

Función cuadrática. Definición. Forma polinómica. Raíces reales y complejas; propiedades de las raíces, forma factoreada. Eje de simetría y vértice. Gráfica. Forma canónica. Pasajes entre las tres formas. Gráfica. Problemas.

UNIDAD Nº 5: SISTEMAS DE ECUACIONES

Sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas, resolución gráfica y analítica. Métodos de resolución

UNIDAD Nº 6: TRIGONOMETRIA

Ángulos. Signos. Sistemas de medición: pasaje de un sistema a otro. Las funciones dentro del círculo trigonométrico. Signo de las funciones en los cuadrantes. Relaciones entre funciones para: un mismo ángulo. Valores de funciones trigonométricas de ángulos especiales.

Funciones trigonométricas: Gráficos, determinación del dominio, imagen, período, pulsaciones, máximo, mínimo. Representación y variación por parámetros. Relaciones para ángulos complementarios, suplementarios, que difieren en 90º y en 180º.

Teoremas: del seno, del coseno y de superficie. Resolución de triángulos oblicuángulos.

UNIDAD Nº 7: LOGARITMACION

Logaritmo, concepto, propiedades. Logaritmo decimal y logaritmo natural. Cambio de base. Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Función exponencial y función logarítmica, gráficas.

OBJETIVOS PROMOCIONALES:

Resolver ejercicios con Nº Reales. Aplicar números Complejos en operaciones combinadas. Graficar Recta y Parábola por parámetros. Resolver sistemas de ecuaciones cuadrática – lineal: analítica y gráficamente. Graficar funciones trigonométricas por parámetros. Aplicar propiedades de logaritmo en ejercicios y ecuaciones.

BIBLIOGRAFÍA: Matemática Polimodal – 1 y 2 – (varios) – Ed. Puerto de Palos Matemática 4 De Simone –Turner (Ed AZ) Matemática 1 Polimodal (Martinez-Rodriguez) Ed. Mc Graw Hill Matematica 1 Polimodal (Varios) Ed.Santillana Matematica 1 Polimodal (Camuyrano-Net-Aragón) (Ed. Estrada)

Firma Alumno Firma Padre Firma Profesor

MATEMÁTICA - EPET Nº 9 – Plottier – Año 2017

Pautas de trabajo para desarrollar el proceso de enseñanza- aprendizaje

1) El cuaderno es un elemento fundamental para el trabajo en el aula y para el estudio de la materia, por lo tanto debe estar al día ,completo, prolijo y ordenado siempre. El docente la revisará y controlará periódicamente. Al comenzar el año, el alumno/a deberá tener un cuaderno tamaño A4 cuadriculado de 80 a 100 hojas, preferentemente de tapa dura.

2) La primera hoja se destina a carátula (según la consigna del profesor/a , incluyendo por lo menos la siguiente información: Nombre y apellido del alumno/a, Asignatura, Establecimiento, Curso , Año lectivo y Apellido y Nombre del Profesor/a ); en las siguientes hojas se pegaran estas Pautas , el Programa de cursado del año .y los Criterios de Acreditación de la materia , todos firmadas por el alumno/a, padre, madre y profesor/a.

3) Todas las clases, el alumno/a debe:

mantener un ambiente cordial de trabajo; por lo tanto, está prohibido el uso de aparatos electrónicos (teléfono celular, mp3, etc.) en el aula;

respetar las indicaciones del profesor/a; tener los elementos necesarios en clase: lápiz , lapicera , goma, regla y todo otro elemento necesario según los temas a

estudiar; Posibilitar el vinculo entre los padres y el profesor/a. Para ello debe hacer firmar por los padres o el tutor/a toda

comunicación que se realice en el cuaderno de comunicaciones y/o de clase , como asi debe hacer firmar las evaluaciones apenas le son entregadas.

4) En el cuaderno, el alumno/a desarrollará todos los temas vistos en clase y las tareas solicitadas (Si falta, deberá copiar el trabajo desarrollado antes de la siguiente clase, y/o resolver las tareas encomendadas); así podrá estudiar para la siguiente clase, y pedir nueva explicación en caso de ser necesario. El alumno tratará de realizar las tareas encomendadas aun con errores para permitirle mejorar, a partir de la corrección de la ejercitación principal-tipo que se hará en el pizarrón, en la carpeta o en las mismas evaluaciones. De esta manera llegará a la evaluación suficientemente preparado

5) Las evaluaciones escritas serán avisadas con siete días de anticipación como mínimo al igual que las entregas de los trabajos prácticos. Dichas evaluaciones serán sobre temas y ejercicios similares a los dados en clase previéndose dentro de la misma distintos tipos de dificultad.

6) Los procesos de enseñanza aprendizaje y los objetivos propios del año son reforzados a través del armado curricular propio del año y de todo el ciclo por lo que el alumno puede tratar de superar sus dificultades retomando los contenidos en forma continua y preguntando cuando sea necesario o participando de las clases de consulta.

7) El alumno no debe faltar a las evaluaciones avisadas. En caso de faltar deberá traer certificado médico dentro de las 24 horas, pudiéndose tomar luego la evaluación en forma oral o escrita.

8) El respeto y la solidaridad por cada uno de los compañeros, por los profesores y la institución forman parte del proceso enseñanza aprendizaje y serán tenidos en cuenta.

9) El alumno debe realizar los esfuerzos necesarios para crecer en forma autónoma, responsable y creativa. Para ello deberá organizar sus tiempos tanto en la casa como en la escuela.

10) La calificación de cada trimestre será el resultado de las evaluaciones, el cumplimiento de las tareas, ,los trabajos prácticos encomendados –ya sea grupal o individualmente- la confección de la carpeta y la actitud frente a la asignatura y el respeto y solidaridad como fuera indicado anteriormente. (Ver criterios de acreditación de la materia)

11) El alumno cuenta con Clases de Consulta gratuitas, dictadas por la Jefe de Departamento en los siguientes horarios (completar con horarios que brinden los jefes de depto ):

Prof. Prof.

( Asistir con el cuaderno de clases y la guía de ejercitación)

Agradecido por su atención y quedando a su disposición.

Firma Alumno Firma Padre/ Madre/ Tutor Profesor de Matemática

MATEMÁTICA - EPET Nº 9 – Plottier – Año 2017

Criterios para Acreditación de la materia:

Aprobará la materia el alumno que tenga todos los objetivos promocionales (incluidos en el programa de cursado) aprobados.

Para aprobar los objetivos promocionales el alumno deberá aprobar las evaluaciones de cierre de los temas/unidades correspondientes a dicho objetivo. La forma de evaluación será propia de cada curso y tema, y será indicada durante el año. Los objetivos que contengan más de una unidad/tema y cuyos contenidos hayan sido diseñados en forma espiralada, serán aprobados al aprobar el último de los temas/unidades incluidas en los objetivos promocionales. (Las Unidades 3 y 4 serán integradas en la Unidad 5 funcionando esta como cierre de las anteriores. En caso de no llegar a darse dicha unidad se conservarán los objetivos separados de las unidades 3 y 4) . No se forzarán integraciones que dificulten los aprendizajes ni se tomará integradora final para aprobar.

Las notas utilizadas durante el trimestre serán : No contesta, Insuficiente/Mal, Regular, Bien Muy Bien y Sobresaliente, correspondiendo solo nota numérica al cierre de los trimestres.

Las notas trimestrales son el resultado del cierre de los objetivos de cada trimestre complementadas por el desempeño y participación en clase, las tareas extra áulicas, todo tipo de trabajo complementario , la carpeta y el comportamiento del alumno. Se tomarán en cuenta, entre otros valores, a la responsabilidad, el esfuerzo, la solidaridad y el respeto del alumno con sus compañeros e institución. Si los tiempos y el nivel de participación lo permiten o ameritan se harán recuperatorios antes del cierre del trimestre. Será condición para poder rendir dichos recuperatorios tener la carpeta completa. En caso de tener en el trimestre alguna/s unidad aprobada y otra/s desaprobadas la nota será menor a 7 pero el alumno no deberá los temas aprobados a fin de año.(POEC)

Si el alumno no alcanza (con rendimiento regular) uno o más objetivos promocionales a fin de año , se prevee que pueda recuperar uno de ellos, quedando (en caso de tenerlos) los demás objetivos para recuperar en el POEC. No participan de esta instancia los alumnos que a fin de año tengan desarrollos insuficientes.

Participan del POEC los alumnos que:

Tengan al menos un objetivo aprobado y no tengan insuficiente en el resto de los objetivos.

Forma de evaluación del POEC: Después de la semana de orientación, se tomarán evaluaciones de cada objetivo de manera similar a como fueron

evaluados en el año.

Se reservará un tiempo para una instancia de cierre del examen en forma oral.

Participan de la instancia de evaluación de Febrero: Aquellos alumnos que durante el año no hayan aprobado todos los objetivos promocionales o que tengan insuficiente la

mayoría de ellos.

Criterios de evaluación:

Jerarquización e integración de conceptos y procedimientos relativos a cada objetivo, teniendo en cuenta los temas anteriores relacionados y a través de un ….

…. adecuado y suficiente nivel de operatoria numérica en el campo de los Q - R de acuerdo al programa de cada año y lo visto en años anteriores.

Nivel alcanzado en el desarrollo de la verificación y autocontrol de producciones y/o errores

Integración a través de la interpretación e interacción de los lenguajes numérico, algebraico y gráfico en los temas

pertinentes

Uso calculadora y TIC (tecnologías de la información y comunicación):

Se buscará el mayor desarrollo en los alumnos a través de la aplicación de reglas, procedimientos y algoritmos

específicos para cada tema. Para fomentar ello en las evaluaciones ( a menos que el tema lo requiera

indefectiblemente) no se usará calculadora. Sin embargo, el uso de la misma y de TIC son importantes, y muy útiles en

todas las etapas del aprendizaje. Ya sea para desarrollo de contenidos, verificación de resultado o integración de

lenguajes se tratará de mostrar su uso al alumno. En caso de permitirse estos instrumentos en las evaluaciones, las

mismas deberán contemplar efectivamente los criterios de evaluación, sobre todo en los dos últimos.

Firma Alumno Firma Padre Firma Profesor

MATEMÁTICA 3º Año - EPET Nº 9 – Plottier – Año 2017

INDICE:

CONJUNTOS NUMERICOS: Lectura (Material de Wikipedia) : Número: definición, Tipos ,clasificación. Historia. Descubrimiento del 0, números negativos, números complejos

1 a 4

Unidad Nº 1 : NUMEROS REALES:

o Concepto, Representación. Intervalos en la recta numérica 5 a 6

o Conjuntos numéricos ( N , Z, Q, R y C ): representación y operaciones posibles en cada caso

7 a 8

o Propiedades de la potenciación y la radicación 9

o Simplificación y ampliación de índices. Extracción de factores fuera de un radical 10

o Radicales semejantes . Adición y sustracción de radicales 10 a 11

o Multiplicación y división de radicales: De igual índice o distinto índice. Operaciones combinadas

11 a 13

o Racionalización de denominadores 13 a 14

UNIDAD Nº 2 : NUMEROS COMPLEJOS

o Introducción, definición 15

o Formas de expresión y representación gráfica de números complejos: Expresión cartesiana, expresión binomica, expresión polar o trigonométrica. Pasajes entre las distintas formas.

15 a18

o Complejos conjugados y opuestos 18

o Adición y sustracción de números complejos. Suma y resta de complejos conjugados 19 a 20

o Potencias de la unidad imaginaria. Cuadrado y cubo de un número complejo 20

o Multiplicación de complejos. Producto de complejos conjugados. División de complejos. Multiplicación y división de números complejos en forma trigonometrica

21 a 22

UNIDAD Nº 3 : FUNCION LINEAL

o Repaso: Función de proporcionalidad. Ejes cartesianos 23 a 24

o Relación. Conjunto de partida, conjunto de llegada. Dominio, Imagen. Formas de expresar una relación

24 a 25

o Función. Función Numérica. Función polinómica. Intersecciones con los ejes cartesianos : Ordenada al origen, raíz

26 a 27

o Función lineal: formula general. Pendiente. Casos particulares de funciones lineales. Gráfica de funciones lineales sin tabla de valores.

28 a 30

o Rectas paralelas y perpendiculares 30 a 31

o Ecuación de la recta dada la pendiente y un punto de la misma 31 a 32

o Ecuación de la recta que pasa por dos puntos 32 a 34

o Distancia en el plano 34

UNIDAD Nº 4 : FUNCION CUADRATICA

o Introducción: Situación: patio a embaldosar 35

o Definición. Gráficas para análisis de a , b , c 35 a 36

o Grafica general. Parámetros : Ordenada al Origen, Raíces (forma factorizada) , Vértice (forma canónica) Eje de simetría

36 a 38

o Posiciones de la función respecto del eje de abscisas (discriminante) 38

o Maneras de expresar una función cuadrática: forma de cálculo y ventajas en cada caso

38

o Reconstrucción de la forma polinómica a través de las raíces 38

UNIDAD Nº 6 : FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

o Introducción: Angulo, arco , sistema sexagesimal. Ejemplo : “Vuelta al mundo” : Análisis de los distintos parámetros.

39 a 42

o Funciones periódicas . Período, frecuencia. Angulos orientados en un sistema cartesiano. Sistema circular. Radián

43 a 45

o Circunferencia trigonométrica. Valores usuales de seno, coseno y tangente para los cuatro cuadrantes

46 a 48

o Análisis de las funciones trigonométricas : Seno, coseno y tangente. Estudio de las funciones seno y coseno a través de sus parámetros : Analisis de la formula general, graficas para cada caso en la función seno.

49 a 54

UNIDAD Nº 7 : LOGARITMACION

o Función exponencial: Ejemplo para introducción: Deposito Bancario 55 a 56

o Función exponencial : definición, fórmula general, características 56 a 57

o Logaritmación , logaritmo : definición. Logaritmo decimal. Logaritmo natural 57 a 58

o Cambio de base , casos particulares de logaritmos 58

o Propiedades de los logaritmos 59

o Función logarítmica 60

o Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 61 a 62

o Lectura: “De los números y su historia” – Isaac Asimov – “Ese es su tamaño aproximado”

62 a 63

Bibliografía

Matemática Polimodal – 1 y 2 – (varios) – Ed. Puerto de Palos

Matemática 4 De Simone –Turner (Ed AZ)

Matemática 1 Polimodal (Martinez-Rodriguez) Ed. Mc Graw Hill

Matematica 1 Polimodal (Varios) Ed.Santillana

Matematica 1 Polimodal (Camuyrano-Net-Aragón) (Ed. Estrada)

Matemática 8 y 9 EGB (Margarita Rodrigues-Miguel Martinez Ed. Mc Graw Hill)

Matemática 2 ( Tapia y otros / Ed Kapeluz)

Matemática 2 (Amenedo y otros)/ Ed. Santillana)

Bachillerato 1 - M. De Guzmán - J. Colera - A. Salvador. (Ed. Anaya

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Conjuntos Númericos -

1

Número

Un número, en ciencia, es un concepto que expresa una cantidad en relación a su unidad. También puede

indicar el orden de una serie (números ordinales). También, en sentido amplio, indica el carácter gráfico

que sirve para representarlo, dicho signo gráfico de un número recibe el nombre de numeral o cifra. El que

se escribe con un solo guarismo se llama dígito.1

En matemática moderna, el concepto de número incluye abstracciones tales como números fraccionarios,

negativos, irracionales, complejos (todos ellos con correlatos físicos claros)

Tipos de números

Los números más conocidos son los números naturales, denotados mediante , son conceptualmente los más simples y los que se usan para contar unidades discretas. Éstos, conjuntamente

con los números negativos, conforman el conjunto de los enteros, denotados mediante (del alemán Zählen 'números'). los números negativos permiten representar formalmente deudas, y permiten generalizar la resta de cualesquiera dos números naturales.

Otro tipo de números ampliamente usados son números fraccionarios, y tanto cantidades inferiores a una unidad, como números mixtos (un conjunto de unidades más una parte inferior a la unidad). Los números fraccionarios pueden ser expresados siempre como cocientes de enteros, el conjunto de todos los números fraccionarios es el conjunto de los números racionales (que usualmente se definen para que incluyan tanto a los racionales positivos, como a los racionales negativos y el cero). Este

conjunto de números de designa como .

Los números racionales permiten resolver gran cantidad de problemas prácticos pero desde los griegos se conoce que ciertas relaciones geométricas (la diagonal de un cuadrado de lado unidad) es un número no entero que tampoco es racional. Igualmente la solución numérica de una ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales, usualmente es un número no racional. El conjunto de todos

los números racionales y los irracionales es el conjunto de los números reales . Durante un tiempo se pensó que toda magnitud física existente podía ser expresada en términos de números reales exclusivamente. Ejemplos famosos de los números reales son el número π (Pi) y el número e (este último base de los logaritmos naturales), los cuales están relacionados entre sí por la identidad de Euler.

Uno de los problemas de los números reales es que no forman un cuerpo algebraicamente cerrado, por lo que ciertos problemas no tienen solución planteados en términos de números reales. Esa

es una de las razones por las cuales se introdujeron los números complejos , que son el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a los números reales. Además algunas aplicaciones prácticas así como en las formulaciones estándar de la mecánica cuántica se considera útil introducir los números complejos. Al parecer la estructura matemática de los números complejos refleja estructuras existentes en problemas físicos, por lo que en física teórico y en diversas aplicaciones los números complejos se usan en pie de igualdad con los números reales, a pesar de que inicialmente fueron considerados únicamente como un artificio matemático sin relación con la realidad física. Todos los

conjuntos de números fueron de alguna manera "descubiertos" o sugeridos en conexión con problemas planteados en problemas físicos o en el seno de la matemática elemental y todos ellos parecen tener importantes conexiones con la realidad física.

Enumeración de los tipos de números

La teoría de los números trata básicamente de las propiedades de los números naturales y los enteros. Mientras que las operaciones del álgebra y el cálculo permiten definir la mayor parte de los sistemas numéricos, entre los cuales están:

Números naturales , Número primo , Números compuestos , Números perfectos , Números enteros,

Números negativos , Números pares, Números impares , Números racionales , Números reales ,

Números irracionales Número Irracionales algebraicos , Números trascendentes: π , e , Números

complejos

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Conjuntos Númericos -

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Clasificación de números

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales

Naturales primos

Naturales compuestos

Cero

Enteros negativos

Fraccionarios

Fracción propia

Fracción impropia

Irracionales

Irracionales algebraicos

Trascendentes

Imaginarios puros

Números naturales especiales

El estudio de ciertas propiedades que cumplen los números ha producido una enorme cantidad de tipos de números, la mayoría sin un interés matemático específico. A continuación se indican algunos:

Narcisista: Número de n dígitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dígitos.

Ejemplo: 153 = 1³ + 5³ + 3³.

Omirp: Número primo que al invertir sus dígitos da otro número primo. Ejemplo : 1597 y 7951 son primos.

Vampiro: Número que se obtiene a partir del producto de dos números obtenidos a partir de sus dígitos. Ejemplo:

2187 = 27 x 81.

Historia del concepto de número

Cognitivamente el concepto de número está asociado a la habilidad de contar y comparar cual de dos conjuntos de entidades similares es más numeroso. Las primeras sociedades humanas se toparon muy pronto con el problema de determinar cual de dos conjuntos era "mayor" que otro, o de conocer con precisión cuantos elementos formaban una colección de cosas. Esos problemas podían ser resueltos simplemente contando. La habilidad de contar del ser humano, no es un fenómeno simple, aunque la mayoría de culturas tienen sistemas de cuenta que llegan como mínimo a centenares, algunos pueblos con una cultura material simple, sólo disponen de términos para los números 1, 2 y 3 y usualmente usan el término "muchos" para cantidades mayores, aunque cuando es necesario usan recursivamente expresiones traducibles como "3 más 3 y otros 3" cuando es necesario.

El conteo se debió iniciar mediante el uso de objetos físicos (tales como montones de piedras) y de marcas de cuenta. En cuanto al origen ordinal algunas teorías lo sitúan en rituales religiosos. Los sistemas numerales de la mayoría de familias lingüísticas reflejan que la operación de contar estuvo asociado al conteo de dedos (razón por la cual los sistemas de base decimal y vigesimal son los más abundantes), aunque están testimoniado el empleo de otras bases numéricas además de 10 y 20.

El paso hacia los símbolos numerales, al igual que la escritura, se ha asociado a la aparición de sociedades complejas con instituciones centralizadas constituyendo artificios burocráticos de contabilidad en registros impositivos y de propiedades. Su origen estaría en primitivos símbolos con diferentes formas para el recuento de diferentes tipos de bienes como los que se han encontrado en Mesopotamia inscritos en tablillas de arcilla que a su vez habían venido a sustituir progresivamente el conteo de diferentes bienes mediante fichas de arcilla (constatadas al menos desde el 8000 a. C.) Los símbolos numerales más antiguos encontrados se sitúan en las civilizaciones mesopotámicas usándose como sistema de

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Conjuntos Númericos -

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numeración ya no solo para la contabilidad o el comercio sino también para la agrimensura o la astronomía como, por ejemplo, registros de movimientos planetarios.

Los números como expresión de cantidades aparecen en todas las culturas humanas. El advenimiento de la escritura también comportó la búsqueda de sistemas de representación gráfica para los números, estos sistemas van desde sistemas muy simples basados en rayas a sistemas elaborados que permiten expresar números elevados.

En conjunto, desde hace 5.000 años la mayoría de las civilizaciones han contado como lo hacemos hoy aunque la forma de escribir los números (si bien todos representan con exactitud los naturales) ha sido muy diversa. Básicamente la podemos clasificar en tres categorías:

1. Sistemas de notación aditiva. Acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas, centenas,...

necesarios hasta completar el número. Aunque los símbolos pueden ir en cualquier orden, adoptaron siempre una determinada posición (de más a menos). De este tipo son los sistemas de numeración: Egipcio, hitita, cretense, romano, griego, armenio y judío.

2. Sistemas de notación híbrida. Combinan el principio aditivo con el multiplicativo. En los anteriores 500 se

representa con 5 símbolos de 100, en éstos se utiliza la combinación del 5 y el 100. El orden de las cifras es ahora fundamental (estamos a un paso del sistema posicional). De este tipo son los sistemas de numeración: Chino clásico, asirio, armenio, etíope ymaya. Este último utilizaba símbolos para el "1", el "5" y el "0". Siendo este el primer uso documentado del cero tal como lo conocemos hoy (Año 36 a.C) ya que el de los babilonios solo se utilizaba entre otros dígitos.

3. Sistemas de notación posicional. La posición de las cifras nos indica si son unidades, decenas,

centenas,... o en general la potencia de la base. Solo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo: El sistema Chino (300 a. C.) que no disponía de 0, el sistema Babilónico (2000 a. C.) con dos símbolos, de base 10 aditivo hasta el 60 y posicional (de base 60) en adelante, sin "0" hasta el 300 a. C.

Descubrimiento del 0

En cualquier sistema de numeración posicional surge el problema de la falta de unidades de determinado orden. A veces, se utilizó la posición vacía para evitar este problema _ _ _; pero los escribas debían tener mucho cuidado para no fallar.

Hacia el siglo III a. C., en Grecia, se comenzó a representar la nada mediante una "o" que significa oudos 'vacío', y que no dio origen al concepto de cero como existe hoy en día. La idea del cero como concepto matemática parece haber surgido en la India mucho antes que en ningún otro lugar. La única notación ordinal del viejo mundo fue la sumeria, donde el cero se representaba por un vacío.

En América, la primera expresión conocida del sistema de numeración vigesimal prehispánico data del siglo III a. C. Se trata de una estela olmeca tardía, la cual ya contaba tanto con el concepto de "orden" como el de "cero". Los mayas inventaron cuatro signos para el cero; los principales eran: el corte de un caracol para el cero matemático, y una flor para el cero calendárico (que implicaba, no la ausencia de cantidad, sino el cumplimiento de un ciclo).

Números negativos

Brahmagupta, en el 628 de nuestra era, considera las dos raíces de las ecuaciones cuadráticas, aunque una de ellas sea negativa o irracional. De hecho en su obra es la primera vez que aparece sistematizada la aritmética (+, -, *, / , potencias y raíces) de los números positivos, negativos y el cero, que él llamaba los bienes, las deudas y la nada. Así por ejemplo para el cociente establece:

Positivo dividido por positivo, o negativo dividido por negativo, es afirmativo. Cifra dividido por cifra es nada (0/0=0). Positivo dividido por negativo es negativo. Negativo dividido por afirmativo es negativo. Positivo o negativo dividido por cifra es una fracción que la tiene por denominador (a/0=¿?)

No solo utilizó los negativos en los cálculos, sino que los consideró como entidades aisladas, sin hacer referencia a la geometría. Todo esto se consiguió gracias a su despreocupación por el rigor y la fundamentación lógica y su mezcla de lo práctico con lo formal.

Sin embargo el tratamiento que hicieron de los negativos cayó en el vacío, y fue necesario que transcurrieran varios siglos (hasta el renacimiento) para que fuese recuperado.

Al parecer los chinos también poseían la idea de número negativo, y estaban acostumbrados a calcular con ellos utilizando varillas negras para los negativos y rojas para los positivos.

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Conjuntos Númericos -

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Trasmisión del sistema indo-arábigo a Occidente

Varios autores del siglo XIII contribuyeron a esta difusión, destacamos a: Alexander de Villedieu (1225), Sacrobosco (1200-1256) y sobre todo Leonardo de Pisa (1180-1250). Este último, conocido como Fibonacci, viajó por Oriente y aprendió de los árabes el sistema posicional hindú. Escribió un libro, El Liber abaci, que trata en el capítulo I la numeración posicional, en los cuatro siguientes las operaciones elementales, en los capítulos VI y VII las fracciones: comunes, sexagesimales y unitarias (¡no usa los decimales, principal ventaja del sistema!), y en el capítulo XIV los radicales cuadrados y cúbicos. También contiene el problema de los conejos que da la

serie: con .

No aparecen los números negativos, que tampoco consideraron los árabes, debido a la identificación de número con magnitud (¡obstáculo que duraría siglos!). A pesar de la ventaja de sus algoritmos de cálculo, se desataría por diversas causas una lucha encarnizada entre abacistas y algoristas, hasta el triunfo final de éstos últimos.

Primera formulación de los números complejos

Los números complejos eran en pocos casos aceptados como raíces o soluciones de ecuaciones. Estos números se llamaron inicialmente ficticii 'ficticios' (el término "imaginario" usado actualmente es reminiscente de estas reticencias a considerarlos números respetables).

En la resolución de ecuaciones cúbicas con la fórmula de Cardano (1501-1576) –Tartaglia (1499 – 1557), aunque las raíces sean reales, aparecen en los pasos intermedios raíces de números negativos. En esta situación Bombelli (1526-1573) dice en su Álgebra que tuvo lo que llamó "una idea loca", esta era que los radicales podían tener la misma relación que los radicandos y operar con ellos, tratando de

eliminarlos después. En un texto posterior en 20 años utiliza p.d.m. para y

m.d.m. para dando las reglas para operar con estos símbolos añadiendo que siempre que aparece una de estas expresiones aparece también su conjugada, como en las ecuaciones de 2º

grado que resuelve correctamente. Da un método para calcular .

Generalización de las fracciones decimales

Aunque se encuentra un uso más que casual de las fracciones decimales en la Arabia medieval y en la Europa Renacentista, y ya en 1579 Vieta (1540-1603) proclamaba su apoyo a éstas frente a las sexagesimales, y las aceptaban los matemáticos que se dedicaban a la investigación, su uso se generalizó con la obra que Simón Stevin publicó en 1585 De Thiende (La Disme). En su definición 1ª dice que la Disme es un especie de aritmética que permite efectuar todas las cuentas y medidas utilizando únicamente números naturales.

La interpretación geométrica de los números complejos

Esta interpretación suele ser atribuida a Gauss (1777-1855) que hizo su tesis doctoral sobre el teorema fundamental del álgebra, enunciado por primera vez por Harriot y Girard en 1631, con intentos de demostración realizados por D’Alembert, Euler y Lagrange, demostrando que las pruebas anteriores eran falsas y dando una demostración correcta primero para el caso de coeficientes, y después de complejos.

También trabajó con los números enteros complejos que adoptan la forma ,

con y enteros. Este símbolo para fue introducido por primera vez por Euler en 1777 y difundido por Gauss en su obra “Disquisitiones arithmeticae” de 1801.

La representación gráfica de los números complejos había sido descubierta ya por Caspar Wessel (1745-1818) pero pasó desapercibida, y así el plano de los números complejos se llama “plano de Gauss” a pesar de no publicar sus ideas hasta 30 años después.

Desde la época de Girard (mitad siglo XVII) se conocía que los números reales se pueden representar en correspondencia con los puntos de una recta. Al identificar ahora los complejos con los puntos del plano los matemáticos se sentirán cómodos con estos números, ver es creer.

.

Bibliografía: Material resumido de diferentes entradas de Wikipedia.

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES

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El Conjunto de los Números Reales.

Hemos repasado el concepto de número y como fue necesario ampliar los tipos de números de

manera de resolver todas las operaciones (Ver cuadro anexo). Así a los números naturales les

agregamos los negativos para resolver restas con sustraendo mayor que minuendo. Formamos así el

conjunto de los números enteros (Z). Para poder expresar las partes de un todo incorporamos las

fracciones formando los números racionales (Q) indicando la misma como el cociente entre dos números

enteros. Vimos que el conjunto Z era discreto (Entre dos números enteros cualesquiera existe un

conjunto finito de números enteros) mientras que el conjunto de Q era denso (Entre dos números

racionales cualesquiera se pueden intercalar otros de modo que la distancia entre dos de ellos sea tan

pequeña como se quiera).

Los números racionales pueden expresarse de dos maneras : Como fracción (a/b) o en forma

decimal. Las dos maneras designan exactamente al mismo número. Las expresiones decimales de un

número racional tiene un número finito de cifras decimales (decimal exacto) o puede tener infinitas cifras

decimales que se repiten en algún momento (pudiéndose clasificar en decimales periódicos puros o en

decimales periódicos impuros o mixtos)

Ejemplos:

Todas las raíces no exactas de base entera son números irracionales:

Ejemplos:

Hay números irracionales que se determinan a partir de una ley de formación:

Ejemplos:

Los números reales al igual que los anteriormente mencionados se representan sobre la recta

numérica. El conjunto de los números irracionales es denso al igual que el de los racionales y entre los

dos conjuntos completan la recta numérica.

Representación de los números Reales.

Ya hemos visto como representar a los números enteros y los racionales. Los irracionales también

tienen asociado un punto sobre la recta real. Si el número real es de la forma a recurrimos al teorema

de Pitágoras. Tomemos como ejemplo a 2 :

Los Números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como un

cociente entre dos números enteros por tener infinitas cifras decimales no periódicas.

Los números irracionales no pueden ser expresados por lo tanto como fracciones

Decimos entonces que el conjunto de los números reales ( R ) esta formado por la

unión de los números racionales ( Q ) e irracionales (I)

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES

6

Se determina un triangulo isósceles cuyos catetos midan 1 en cuyo caso el valor de la hipotenusa

es 211 22 valor que podemos trasladar a la recta mediante compás

Si queremos representar 3 determinamos un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1 y

2 y por Pitágoras obtendremos: 321212

2

Un caso distinto sería representar al número áureo : para ello partiremos del

número 1 , construiremos un triángulo cuyos catetos midan 1 y 2 de manera que la hipotenusa medirá

5 . Llevaremos ese punto sobre la recta obteniendo1 + 5 . Para terminar haremos la mediatriz

obteniendo a .

Intervalos sobre la recta numérica.

Se denomina intervalo a todo segmento o semirrecta de la recta real. Estos se designan por

sus extremos, los cuales pueden ser paréntesis o corchetes. Para la notación de los intervalos se utiliza

paréntesis si el número no pertenece al intervalo, y corchete, si los números pertenecen al intervalo.

DESIGUALDADES INTERVALO TIPO DE INTERVALO REPRESENTACION EN LA RECTA

a < x < b bax ; Abierto

a < x < b bax ; Cerrado

a < x < b bax ; Semiabierto

a < x ;ax infinito

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES

7

N

Naturales

Z

Enteros

Q

Racionales

R

Reales

C

Complejos

Tipo de conjunto Discreto Discreto Discreto Denso Denso

Representación Punto en la Recta Numérica

(Incompleta)

Ej: 2 , 5 , 1001, …

Punto en la Recta Numérica

(Incompleta)

Ej: 0, -2 , 5 , -128 , 1001, ….

Punto en la Recta Numérica

(Incompleta)

Ej: 0, ½, - 5 , -3/4, ….

Punto en la Recta Numérica

(Completa)

Ej: 0, -7/2, 5, 3 , -100, 22 …

Punto en el Plano

(eje x parte R, eje y parte Im)

(Completo)

Se estipula i² = -1

Ej: 0, -3, 2i +4 , 120i, i2 ,…

Suma

a + b

Siempre

7 + 8 = 15

Siempre

- 3 – 8 = - 11

Siempre

4

5

4

3

2

1

Siempre

2222

Siempre

3i – 4 + 2i – 1 = 5i - 5

Resta

a - b

Solo si a ≥ b

10 – 6 = 4

N 73

Siempre

8 - 14 = - 6

Siempre

2

5

2

71

Siempre

353833

Siempre

4i – 7i -2 = - 3i - 2

Multiplicación

a . b

Siempre

12 . 4 = 48

Siempre

-3 . 6 = - 18

Siempre

6

1

9

4.

8

3

Siempre

2010.2

Siempre

2279.3 iii = -27

División

a : b

Solo si a es múltiplo de b

Y solo si b ≠ 0

8 : 4 = 2

Solo si a es múltiplo de b

Y solo si b ≠ 0

- 16 : 2 = - 8

Z3:4

Siempre

si b ≠ 0

6

1

3

10:

9

5

Siempre

si b ≠ 0

65:30

Siempre

si b ≠ 0

3432:6 iii = - 3i

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES

8

La potencia y la radicación son distributivas respecto de la multiplicación y división y no lo son respecto de la suma y de la

resta

N

Naturales

Z

Enteros

Q

Racionales

R

Reales

C

Complejos

Potenciación

ban

baaa ......

Siempre

NnaCon ,

Excepto 00

8134

Siempre

NnCon

ZaCon

Excepto 00

823

Z2

3

Siempre

ZnCon

QaCon

Excepto 00

25

4

5

22

8

27

3

23

Q 2

1

22

Siempre

QnCon

RaCon

Excepto 00

3 23

2

22

32

32

3

222

1

Siempre

QnCon

CaCon

Excepto 00

iii 2727333

2

2 i

iii 43442

Radicación

ban

abn

Siempre

NnaCon ,

3273

2164

N 2

Siempre

NnCon

ZaCon

2164

283

Z 9

Siempre

ZnCon

QaCon

2

5

8

1253

Q 33 5422

Q9

4

Siempre

QnCon

RaCon

4

3

4 34 3327

R 8

Siempre

QnCon

RaCon

i24

Propiedades de la

potenciación y la

radicación

pnpnpnpnpnpnaaaaaaaaa

.0:.1

rr

a

b

b

a

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES

9

n

m

n m aa

Propiedades de la potenciación: Potencia de exponente cero :

Potencia de exponente negativo:

Producto de potencias de igual base

Cociente de potencias de igual base

Potencia de otra potencia

Propiedad distributiva respecto a la multiplicación

Propiedad distributiva respecto a la división

Propiedades de la radicación: La radicación se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario: Recordemos que se denomina Radical a la raíz indicada de un número o expresión. Ejemplos: De esta manera podemos plantear las propiedades en forma análoga con las de la potenciación: Propiedad distributiva respecto a la multiplicación:

Propiedad distributiva respecto a la división: Raíz de raíz:

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES

10

12 17x

3 832 x

56

243

128a

zyx 3675

Simplificación de Índices:

Amplificación de Índices:

Extracción de factores fuera de un radical:

Usando las propiedades de la potenciación y radicación existen factores dentro del radical que

pueden ser extraídos siempre que el exponente de los mismos sea mayor o a lo sumo igual que el índice

de la raíz.

Veamos algunos ejemplos:

Radicales semejantes:

Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y el mismo radicando.

Ejemplos de términos con radicales semejantes:

Ejemplos de términos con radicales no semejantes:

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES

11

2587

2427436433 4

112.34

2

52

36.36

Adición y sustracción de radicales:

Solo es posible la adición o sustracción de términos que contienen radicales semejantes.

Debemos llevar siempre los radicales a su mínima expresión descomponiendo los mismos y extrayendo

factores fuera del radical en caso de ser posible, pudiendo operar entonces con los radicales que sean

semejantes.

Ejemplos:

Multiplicación y división de radicales:

Radicales de igual índice:

Para realizar la operatoria entre radicales aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación y

la división respecto de la suma y de la resta.

Debemos recordar también como desarrollar ciertos productos especiales:

Cuadrado de un binomio: Diferencia de cuadrados

Ejemplos:

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES

12

3 3.3

4 23 2 . yy

6 33 2 8.2 aa

6 52

2

p

p5 4

Radicales de distinto índice:

Hasta ahora hemos operado con radicales de índice igual. En el caso de que los índices sean

diferentes para poder operar debemos calcular el Mínimo común Múltiplo de los índices de los

radicales dados , obteniendo de esta manera el mínimo común índice

Ejemplos:

Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice , primero se debe sacar el mínimo común

índice de todos los radicales y los radicandos con el nuevo índice. Posteriormente se puede

operar como hacíamos antes teniendo en cuenta las propiedades de la potenciación y radicación.

Ejemplos:

Operaciones combinadas

Para resolver operaciones combinadas con radicales operamos con todas las reglas ,

procedimientos y propiedades que hemos usado anteriormente .

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES

13

33 2 .. xxx

5

1

25.5 3

3

1

3 4

2

4 32

2

ba

a

a3

b)

c)

Racionalización de denominadores_

Racionalizar el denominador de una fracción es transformar dicho denominador en un número

racional. Por lo tanto si en el denominador de una expresión aparecen radicales irracionales se

procede para hallar una fracción equivalente a la dada pero con denominador racional.

Pueden presentarse los siguientes casos:

En el denominador hay un solo radical:

Ejemplos:

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES

14

62

12

23

23

53

515

En el denominador hay una suma o resta de uno o dos radicales de índice dos:

En este caso aprovechando que tenemos una suma o resta de dos términos multiplicamos por el

binomio conjugado , de tal manera que en el denominador nos queda el producto de binomios

conjugados que es a su vez la diferencia de cuadrados de los términos de los binomios, pudiendo

así racionalizar el denominador.

Ejemplos:

b)

c)

d)

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números COMPLEJOS

15

Introducción:

Si buscamos la resolución de distintas ecuaciones con mayor grado de dificultad podemos ver

como eso nos lleva a la creación de los distintos conjuntos numéricos.

Así: 68 x Justifica el paso de N a Z

25 x Justifica el paso de Z a Q

022 x Justifica el paso de Q a R

042 x Justifica el paso de R a C

Podemos ver que la solución de raíces de radicando negativo e índice par no tienen solución en el

conjunto de los números reales.

442242

y también 442242

Definición:

Definimos entonces un número i tal que:

Llamamos entonces i a la unidad imaginaria en el conjunto de los número complejos.

Ahora podemos hacer: 4.2221.41.44 222 iii

4.22 222 ii

De esta manera con los Números Reales mas los Números Imaginarios formamos los Números

Complejos

Forma de expresión y representación gráfica de números complejos:

Usando coordenadas cartesianas representamos a cada número complejo con un punto en el

plano.

Expresión cartesiana de un número complejo – Representación gráfica en el plano.

x= parte real

y= parte imaginaria

Por lo tanto todo z= (x ; 0 ) es un número real

Todo z= (0 ; y) es un número imaginario puro

i = (0; 1)

11 2 ii

yxz ;

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números COMPLEJOS

16

4;3431 iz

8;082 iz

Expresión binómica de un número complejo

Ejemplos de pasaje entre forma binómica y cartesiana:

Expresión polar o trigonométrica de un número complejo

Coordenadas polares : Para indicar un punto en el plano podemos usar en vez de las

coordenadas cartesianas a las coordenadas polares. Se asocia en este

caso a cada número complejo con un vector cuyo origen es el origen de

coordenadas y el extremo esta en el número complejo. De esta manera

identificaremos al número complejo con el modulo del vector y el angulo

que forma con el eje de los números reales al cual denominamos

argumento

Expresión polar de un número complejo:

umento

ulor

arg

mod

Entonces el módulo del complejo ( modulo de vector) es :

r =

rz

rz

;

iyxz

0;223 z

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números COMPLEJOS

17

Ej: 4;3431 iz

el modulo es 52543 22 r

Expresión trigonométrica de un número complejo:

Teniendo en cuenta que

Podemos despejar a ambas componentes del número complejo obteniendo:

Y así reemplazando en la expresión binomica a x e y obtenemos la expresión

trigonométrica

Ejemplos de pasaje entre forma polar a trigonométrica y de trigonométrica a binomica:

iiisenz 493,65.0866,08º30º30cos88 º301

5015º0º0cos55 º02 iisenz

iiisenz 3103º90º90cos33 º903

iiisenz 83,283,2707,0707,04º45º45cos44 º451

iyxz

senzizz cos

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números COMPLEJOS

18

Ejemplos de pasaje entre forma binomica a trigonométrica y de trigonométrica a polar:

º311

22

1

83,5º31º31cos83,535

83,53492535

º31º96,306,05

3

35

isenizEntonces

r

arctgarctg

iz

Complejos Conjugados y opuestos:

Hemos definido al complejo como de la forma :

Definimos entonces a su conjugado como :

Es decir que tiene igual parte real , siendo su parte imaginaria opuesta al complejo original

Y definimos como opuesto a :

Es decir que tanto su parte real como imaginaria son opuestas al complejo original.

Ejemplo: izopuestoizconjugadoiz 4343431

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números COMPLEJOS

19

iiiiizzz

zzz

iz

iz

37425425

3;741;254;21;5

424;2

51;5

21

21

2

1

iiiiizzz

zzz

iz

iz

6542234223

6;542;234;22;3

424;2

232;3

21

21

2

1

Adición y sustracción de números complejos:

Para sumar o restar números complejos en forma

binomica o cartesiana sumamos o restamos las partes reales

entre sí y las partes imaginarias entre sí obteniendo con dichas

sumas o restas el resultado.

Ejemplos:

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números COMPLEJOS

20

ii

i

ii

i

3

2

1

0

1

1

Suma y resta de Complejos Conjugados:

SUMA:

822442424

2

iiii

abibiaabiabia

La suma de dos complejos conjugados es igual al doble de su parte real.

RESTA:

iiiii

bibibiaabiabia

633663636

2

La resta de dos complejos conjugados es igual al doble de su parte imaginaria.

Potencias de la unidad imaginaria:

Para averiguar el valor de las potencias de unidad imaginaria aplicamos propiedades de la

potenciación:

11..1 2340 iiiiiii

iiiiiii .1. 3251

1..1 23362 iiiiiii

iiiiiiiiii .1..1. 34723

Como podemos observar se repiten los resultados cada cuatro potencias ( 1; i ; -1 ; -i )

Por lo tanto para saber el resultado de cualquier potencia de i dividimos dicha potencia por cuatro

y el resto de la división (un número que valdrá 0; 1 ; 2 o 3) es el exponente que corresponde , y teniendo

en cuenta la primera columna vista resolvemos dicha potencia.

Ejemplo 24:781278 restotieneii

34:23323 restotieneiii

Cuadrado y Cubo de un numero complejo:

Desarrollamos según el caso obteniendo el Trinomio cuadrado Perfecto (TCP) o el Cuatrinomio

Cubo Perfecto (CCP)

iiiiiiiz 1259124912433.2.2232 2222

1

iiiiiiiz 6816969.3.233 2222

2

i

ii

iii

iiiiz

1616

824248

84.62.4.38

22.2.32.2.3222

32

32233

3

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números COMPLEJOS

21

Multiplicación de complejos:

Para la multiplicación de complejos aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación

respecto de la suma y de la resta.

i

i

iiiii

1116

10116

10154623.52 2

Producto de complejos conjugados:

22

222

22..

ba

iba

biabiabiabiabiazz

2925452.52 ii

División de complejos:

Para dividir dos números complejos en forma binómica se multiplica al dividendo y divisor por el

conjugado del divisor, y se resuelven las operaciones planteadas.

iii

i

iii

i

i

i

i

i

i

2

5

2

1

2

51

11

352

1

3322

1

1.

1

32

1

3222

2

421

4242.

42422

2

i

i

i

ii

i

i

i

i

i

i

Multiplicación de complejos en forma trigonométrica:

Sean :

El producto de ambos complejos en forma trigonométrica es igual a :

El producto de dos complejos en forma trigonométrica es otro complejo cuyo modulo es el

producto de los módulos y su argumento es la suma de los argumentos de los complejos dados.

Ejemplo: º30º30cos22 º301 isenz

º60º60cos33 º602 isenz

i

i

isen

isenzz

6

1.0.6

º90º90cos.6

º60º30º60º30cos3.2. 21

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números COMPLEJOS

22

Verifiquemos la operación realizada pasando de polar a trigonométrica y luego a binomica.

iiisenz

3

2

1

2

3.2º30º30cos22 º301

2

33

2

3

2

3

2

1.3º60º60cos33 º602 iiisenz

iiii

ii

iii

iiii

iizz

62

12

2

3

2

9

32

3

2

33.

2

33

2

3

32

3

2

33

2

33

2

3

2

33.

2

3

2

33.3

2

33

2

33

2

3.3.

22

21

División de complejos en forma trigonométrica:

Sean : 1111 cos isenz

2222 cos isenz

El cociente de ambos complejos en forma trigonométrica es igual a :

2121

2

1

2

1 cos

isen

z

z

El cociente de dos complejos en forma trigonométrica es otro complejo cuyo modulo es el

cociente de los módulos y su argumento es la resta de los argumentos de los complejos dados.

Ejemplo: º90º90cos44 º901 isenz

º60º60cos22 º602 isenz

i

i

isen

isenz

z

3

2

1.

2

3.2

º30º30cos.2

º60º90º60º90cos2

4

2

1

Podríamos también verificar este ejemplo pasando la forma trigonométrica a binomica y

realizando el cociente en dicha forma , obteniendo el mismo resultado

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCION LINEAL

23

Magnitudes

´`piygtdsdgfyh

ip+ç78ç+97u5

34

INTRODUCCION - REPASO PREVIOS:

Función de proporcionalidad:

Recordemos lo visto el año pasado. Si teníamos dos magnitudes relacionadas entre sí podíamos

clasificarlas en :

Luego de analizar los casos particulares de MDP y MIP resolvimos variados problemas mediante

la regla de tres y porcentajes.

Luego extendimos dichos conceptos vistos tratando de encontrar una manera más amplia de

expresar la relación entre diferentes cantidades de magnitudes relacionadas en forma proporcional

Expresamos esa relación en forma coloquial , y en algunos casos con determinados valores

hemos armado las tablas de valores que relacionan dichas magnitudes, y representamos gráficamente

dicha relación.

Por último nos detuvimos en una forma mucho más sintética que nos permitirá expresar la

relación para cualquier cantidad de ambas magnitudes y además analizarla : esto es mediante una

FORMULA . También vimos que graficar esos valores nos permite obtener una información visualmente

más rápida y global.

La idea era entonces, por ejemplo, no solamente hallar cuanto cuestan 3 kg de manzanas si 2 kg

cuestan 5 $ ( para eso usaríamos la regla de tres) sino hablar ,representar y calcular el costo de las

manzanas en relación con su peso.

El año pasado entonces , hablamos de magnitudes proporcionales en un sentido mas amplio.

Estudiamos como se relacionaban las magnitudes a través de una fórmula : kxy para las MDP,

xky para las MIP.

Recordemos entonces los conceptos involucrados y amplíemelos luego a casos más generales.

Ejes Cartesianos:

Usaremos como veníamos haciendo anteriormente un sistema de ejes cartesianos para

representar las funciones. Para la representación de puntos llamaremos :

Eje de abscisas : es el eje horizontal . (Eje de las x)

Eje de ordenadas : es el eje vertical: (Eje de las y)

Origen de coordenadas: punto donde se cortan ambos ejes.

Proporcionales

Directas (MDP)

No Proporcionales

Inversas (MIP)

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCION LINEAL

24

RELACION

RELACION Una relación entre dos conjuntos A y B es

una ley que vincula o liga a los elementos del primer

conjunto con los elementos del segundo conjunto

Alberto

Juan

María

Julia Pablo

Mar del Plata

Bariloche

Las Grutas

Mendoza

Las coordenadas de un punto se indican : ( 4 , 3 )

Primero se coloca el valor en el eje horizontal : la abscisa ( La x)

Luego se coloca el valor del eje vertical : la ordenada ( la y)

Cuando trabajamos con MDP y MIP hemos confeccionado tablas de valores y realizado gráficos donde

vimos que entre los valores de un tipo / magnitud (conjunto A) representados en el eje x y los valores del otro

tipo / magnitud ( conjunto B) representados en el eje y existe un vinculo . Matemáticamente a este vinculo lo

llamamos relación.

Hagamos un ejemplo sencillo : (completar en clase con los datos que se dan)

El primer conjunto ( Conjunto A , de donde salen las flechas) es el conjunto de los “Alumnos” y se llama conjunto de partida, mientras que el segundo conjunto (Conjunto B , adonde llegan las flechas) es el conjunto de “lugares de veraneo” llamado conjunto de llegada. Las flechas que unen ambos conjuntos son el vinculo que indica que tal alumno veraneo en tal lugar.

Por lo tanto la relación se escribe como:

R = ......veraneo en .......

A los conjuntos que intervienen los podemos definir por compresión o extensión .Llamamos entonces :

alumnosA De esta manera el conjunto esta definido por comprensión . Es decir que una frase / palabra o

una fórmula en otros casos define al conjunto.

PabloJuliaMaríaJuanAlbertoA ,,,, De esta manera hemos definido al conjunto por extensión, es

decir que nombramos a todos y cada uno de sus elementos.

Dominio: Llamamos dominio al conjunto formado por los elementos relacionados del primer conjunto

En nuestro ejemplo sería :

JuliaMaríaJuanAlbertoDm ,,, Es la parte de las x que usamos

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCION LINEAL

25

Imagen : Conjunto formado por los elementos relacionados del segundo conjunto. Es decir los elementos a los cuales llegan flechas.

En nuestro ejemplo sería:

GrutasLasMendozaBarilochePlatadelMarI ,,, Es la parte de las y que usamos

Formas de expresar una relación:

Coloquial : Alberto veraneo en Mar del Plata

Simbólica : Alberto R Mar del Plata

Diagrama de Venn : Es el dibujado al principio del ejemplo.

Par Ordenado : Como lo dicen las palabras par es por ser dos elementos y ordenado por

respetarse siempre el mismo orden de los elementos.

GrutasLasJuliaMendozaJuliaBarilocheMaríaBarilocheJuanPlatadelMarAlbertoR ,;,;,;,;,

Tabla de valores: Podemos expresar los pares ordenados anteriores como una tabla de

valores:

Alumno Lugar de

Veraneo

Alberto Mar del Plata

Juan Bariloche

María Bariloche

Julia Mendoza

Julia Las Grutas

Graficos Cartesianos: Usando la tabla podemos representar los pares ordenados como

puntos en un sistema de coordenadas cartesianas

Resumiendo los términos usados tenemos :

Conjunto de partida: Son todos los elementos del primer conjunto . Se representan sobre el eje x

Conjunto de llegada: Son todos los elementos del segundo conjunto . Se representan sobre el eje y

Dominio: Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de partida que estàn relacionados con algún elemento del conjunto de llegada. Puede o no coincidir con el conjunto de partida.

Imagen : Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de llegada que tienen relaciòn con alguno del conjunto de partida. Puede o no coincidir con el conjunto de llegada.

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCION LINEAL

26

FUNCION

xfy

Función Numérica

yxf :

Función: Una relación es función si se cumplen las dos siguientes condiciones:

El dominio coincide con el conjunto de partida.

Cada elemento del dominio tiene una sola imagen en el conjunto de llegada

Dicho de otra manera cada x esta relacionada una sola vez , o también podríamos decir que de

cada x sale una y solo una flecha .

A los elementos del dominio (Las x relacionadas) se las llama variable independiente : Es el

conjunto al cual le doy valores.

A los elementos de la Imagen (Las y relacionadas) se las llama variables dependientes : Es

el conjunto cuyos valores los calculo mediante su relación con la variable independiente.

En forma genérica decimos: Esto significa que y depende de x a través de un

vinculo

Otra forma de expresar la notación de una función es En este caso se lee f

aplica x en y

El año pasado en la unidad de función polinomica definimos como expresión algebraica a toda

expresión que contenga letras y números. Estas expresiones permiten expresar en diversos ámbitos

de las ciencias fórmulas (economía, física, química, ...) que reflejan la dependencia de ciertos valores

/ variables respecto de otros.

Por ejemplo: Volumen de un cilindro: hrV .. 2

Teorema de Pitágoras 222 cba

Espacio recorrido en MRUV. 2.

2

1. tatve i

Ley de masa (o 2º Ley de Newton) m

Fa

Interés 100

.. TRCI

Ley de Coulomb: 2

2.1.

d

qqkF

En matemática estudiamos el comportamiento de estas expresiones y la dependencia de unas variables respecto de otras analizando casos típicos o particulares y pudiendo luego extrapolarlos a cualquier situación.

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCION LINEAL

27

01

2

2

3

3

1

1 ..... axaxaxaxaxaxf n

n

n

n

Así podemos expresar las siguientes funciones: 3 xy Lineal (*)

xy sen Trigonometrica seno

12 xy Cuadrática (*)

133

2

x

xy Racional

3

2

1xy Cúbica (*)

xy 2 Exponencial

Las funciones (*) tienen la forma de polinomios y por ello se llaman funciones polinómicas. La forma general

de las mismas es :

De ahora en adelante trabajaremos con el conjunto de los números reales (R) que como vimos a

principio de año incluyen a todos los números estudiados hasta el momento ( N, Z , Q , I ) y que

completan la recta numérica.

A menos que hagamos alguna consideración en contrario consideraremos que nuestro Dominio

coincide con el conjunto de partida. No haremos por lo tanto diferencia entre el conjunto de partida y

el dominio de las funciones que analizemos por ahora.

Estudiaremos entonces las funciones que llamaremos :

Intersecciones con los ejes cartesianos.

Grafiquemos por tabla de valores ( para x = -3 a x = 3 ) las siguientes funciones numéricas:

xy5

4 3 xy 3

2

3 xy 1

3

2 xy

12 xy 22 2 xy 3

2

1xy xxy 3

Analicemos ahora las gráficas. Estas funciones cortan al eje y siempre en un solo valor que

llamaremos ordenada al origen. (ordenada por estar ubicada en el eje de ordenadas y al origen

por corresponder a x= 0)

En cambio las funciones pueden cortar al eje x en ningún punto , uno , dos o más puntos de

acuerdo a la fórmula que sea.

Los puntos en los que una función corta al eje x se llaman raíces o ceros de la función ( Ceros porque allí la variable dependiente y se hace 0) Para calcular las raices se hace la función igual a cero (es decir que se hace y=0) y se despeja el valor de x correspondiente calculando el punto de encuentro con el eje x.

FUNCIONES NUMÉRICAS : Son las funciones que

relacionan números a través de una fórmula.

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCION LINEAL

28

PENDIENTE: Es el cociente entre la variación de las coordenadas “y” y las coordenadas “x”

En forma general

12

12

xx

yy

x

ya

Función Lineal:

Nos abocaremos ahora al estudio en detalle de las funciones polinomicas de primer grado ( es

decir cuando la x esta elevada a la primera potencia ) también llamadas FUNCIONES LINEALES, por ser su representación es una recta.

Formula general : donde a y b pertenecen a los Reales

a = pendiente

b = ordenada al origen

Comencemos a estudiar una función lineal usando la tabla de valores

Graficar 12

3 xy

x Y

-4 -5

-2 -2

0 1

2 4

4 7

6 10

Vemos que al aumentar 2 unidades en el eje x aumenta 3 unidades en el eje y. Comparemos los triangulos cuyos

lados son:

( x1, y1) y (x2,y2)

y armemos las razones

2

3

1

1 x

y

4

6

2

2 x

y

Como vemos las razones se mantienen constantes e guales a 3/2 , coincidiendo dicho número

con el número que llamamos pendiente de la fórmula general.

baxy

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCION LINEAL

29

axy 0y

xy ay xy

Casos particulares de funciones lineales:

Función de proporcionalidad Función nula

Rectas que pasan por el origen Recta que coincide con el eje x

Función identidad Función constante Función Modulo

Recta que forma 45º con los dos ejes Recta paralela al eje x con valor y= a Rectas simétricas respecto eje y

Gráfica de Funciones Lineales sin tabla de valores

Analizaremos ahora la función 33

2 xy

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCION LINEAL

30

Regla Práctica:

Sea baxy siendo p

ma

Se marca la ordenada al origen sobre el eje y (b)

A partir de dicho punto nos desplazamos tantas unidades a la derecha como lo indica el denominador de a (p)

Luego , desde el último punto obtenido subimos ( si a es positiva) o bajamos ( si a es negativa) tantas unidades como lo indica el numerador de a (m)

Unimos el punto de la ordenada al origen con el ultimo punto obtenido en el apartado anterior resultando asi la gráfica de la recta buscada.

Generalizando podemos decir que si la pendiente es :

positiva Negativa Cero

la funcion es creciente la función es decreciente la función es constante

Rectas paralelas y perpendiculares

Graficar cada conjunto de las siguientes funciones sin tabla de valores en un mismo sistema de

ejes cartesianos

3 xy 32

3 xy 2

4

3 xy 14 xy

32 xy 22

3 xy 1

3

4 xy 3

4

1 xy

33 xy xy2

3

De todos los gráficos anteriores podemos deducir que:

En el primer gráfico vemos que todas las gráficas poseen la misma Ordenada al origen con diferente pendientes (haz de rectas que pasa por un punto)

Condición de paralelismo

En el segundo gráfico podemos ver que dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son

iguales

aa

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCION LINEAL

31

Condición de perpendicularidad

En el tercer y cuarto gráficos podemos ver que dos rectas son perpendiculares cuando sus

pendientes son inversas y opuestas

Ecuación de la recta dada la pendiente y punto de la misma

Supongamos un móvil que se mueve con MRU a 80 km/hora y debe estar a las 8 horas en

una localidad ubicada a 400 km de otra , en donde se comienza a mover. Queremos armar una función

que me indique la posición del móvil en cualquier instante dadas las condiciones antedichas , de manera

de poder interpretar , calcular y graficar dicha situación.

Podemos ver que la distancia recorrida depende del tiempo transcurrido. Por lo tanto la

variable independiente es el tiempo (t=x) y la variable dependiente la distancia (d=y)

La variación del recorrido en el tiempo es la velocidad y matemáticamente sabemos que

representa a la pendiente de la función que buscamos , por lo tanto:

0

0

xx

yy

x

ya

siendo (x , y) un punto cualquiera de la recta

Y siendo a , y ( x0 , y0 ) la pendiente y el punto dado

Reemplazamos en la formula los datos y obtenemos

24080

4008.80

8

40080

xy

yx

x

y

Representemos esta función y analicemos si cumple las condiciones dadas por los datos

, como así también interpretemos el significado de la Ordenada al Origen y la raíz de esta función lineal

aa

1

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCION LINEAL

32

En forma general podemos deducir que :

axx

yy

x

y

0

0

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Ejemplo: Escalas termométricas : Sabemos que existen diferentes escalas para medir las

temperaturas. Las dos mas conocidas son:

Celsius º C 0º C son 32º F

donde la equivalencia entre ellas es

Fahrenheit º F 100º C son 212º F

Podemos pensar que a cada valor de una escala le corresponde un valor en la otra escala, y esos valores dependen uno de otros. Podemos por tanto buscar una formula que nos vincule ambas escalas.

Armemos entonces una función (que será lineal) para representar como varía el valor de una

escala en función de la otra. Para nuestros cálculos suponemos que la x son los º C e y son los º F

Tenemos entonces dos puntos de la gráfica que son A ( 0 ; 32 )

B ( 100 ; 212 )

Representemos dichos puntos gráficamente y dibujemos la recta que los une, podemos leer

gráficamente la recta que hemos dibujado quedando:

00 . xxayy Que es la ecuación de la recta

dada un punto de la misma y

conocida su pendiente

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCION LINEAL

33

Si hacemos x = 0 encontramos la ordenada al origen que vale 32 , y a partir de allí la

pendiente estaría formada por los incrementos de x, e y que son 100 y 180 respectivamente

Teniendo en cuenta lo anterior podemos reconstruir la función que sería:

32º5

9º32º

100

180º CFndosimplificaoCF

Para hallar analíticamente dicha función partimos de la formula de la recta dada la pendiente

y conocido un punto de la misma y reemplazando a la pendiente como la diferencia entre los dos puntos

0

01

01

0

00

.

.

xxxx

yyyy

xxayy

Ordenado los términos quedaría la siguiente proporción:

Veamos ahora como se aplica dicha ecuación en nuestro ejemplo recordando que x= º C e y = º F :

325

9

100

18032

100180

32

0100

0

32212

32

xy

xy

xy

xy

Que es la expresión que habíamos interpretado gráficamente

Observación: Otra manera de encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos sería:

1. Primero averiguamos la pendiente aplicando la formula de la misma entre los dos puntos dados como datos

2. Con la pendiente y uno de los puntos reemplazamos en la ecuación general de la recta averiguando la Ordenada al origen.

En nuestro ejemplo sería

1. axx

yy

5

9

100

180

0100

32212

01

01

2. Reemplazamos en la ecuación general de la recta obteniendo bxy 5

9

01

0

01

0

xx

xx

yy

yy

Expresión de la recta conocidos

dos puntos de la misma

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCION LINEAL

34

20

²2²4

²2

5

2

9²15

²²

²²²

1212

ab

ab

ab

yyxxab

bcacab

Ahora calculamos con el punto (0,32)

b

b

32

0.5

932 obteniendo b

Finalmente reemplazamos en la ecuación de la recta es la que habíamos calculado antes y

obtenemos la ecuación que venimos manejando desde el principio: 325

9 xy

Distancia en el plano

La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que tiene a dicho puntos por extremos.

Para resolverla usamos el teorema de Pitágoras

Tomemos como ejemplo la función 22

1 xy y calculemos la distancia entre los

puntos de la función correspondientes a x=1 hasta x=5. Grafiquemos la función y veamos

el triangulo que se forma. Alli podemos aplicar Pitágoras y tendríamos:

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCION CUADRATICA

35

FUNCION CUADRÁTICA

Introducción

El patio de una escuela tiene en su centro una superficie de 8 metros de largo por 6 metros de

ancho con piso de cerámicos, quedando varios metros alrededor sin piso colocado. La cooperadora de la

escuela consigue una donoción de 200 m² de cerámicos y se desea saber cual sería el ancho máximo

uniforme alrededor del patio en que se podrían colocar cerámicos.

Planteemos gráficamente el problema llamando x a el ancho del nuevo piso a colocar

El área donde se colocarían los cerámicos es la zona sombreada, y puede calcular como la

superficie total , menos el rectángulo de piso existente (8m . 6m = 48 m²) .

¿Cuál sería entonces la fórmula que relaciona los datos con la incógnita buscada (x)?

(trabajo en clase)

Una vez obtenida la formula nos podríamos plantear las siguientes preguntas:

¿Podemos resolver esta fórmula – ecuación con lo que sabemos hasta ahora?

Supongamos que el ancho fuese de 1 m ¿Usaríamos los 200 m², alcanzan o sobran?

Y si adoptásemos 2 m ¿Qué sucedería?

Y si en cambio el ancho fuesen 5 m ¿Qué pasa en este caso?

¿Cuál es el valor exacto?

En el problema planteado la incógnita tiene la forma de un polinomio de segundo grado.

Nos abocaremos por lo tanto ahora al estudio en detalle de las funciones polinómicas de segundo grado también llamadas FUNCIONES CUADRÁTICAS , siendo su representación geométrica una parábola.

Fórmula general : donde a , b y c pertenecen a los Reales

a = término cuadrático (debe ser ≠ 0)

b = término lineal

c = término independiente

8 m

6 m x

x

x

x

cbxaxy 2

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCION CUADRATICA

36

Comencemos a estudiar las particularidades de las funciones cuadráticas calculando como

hicimos en el tema anterior tabla de valores

Función y= x² y= 1/2 x² y= 2x² y= -2x² y= x² + 2 y= x² - 3 y= x² + 2x y= -x² - 2x y= x² - 2x y= -x² + 2x

Tabla 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-3

-2

-1

0

1

2

3

Ahora realicemos los siguientes gráficos:

Grafico 1 : Usar tablas 1 , 2 , 3 y 4

Grafico 2 : Usar tablas 1 , 5 y 6

Grafico 3 : Usar tablas 1 , 7 y 8

Grafico 4 : Usar tablas 1 , 9 y 10

Gráfica de la parábola

cbxaxy ²

Añadir conclusiones al lado

de cada gráfico

Punto simetrico

Eje de simetria

Vertice

X2 X1

OO

Raíz Raíz

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCION CUADRATICA

37

a

acbbx

2

4²2,1

vv yxxay 2

vv yxxay 2

Para realizar el gráfico de una parábola debemos calcular los siguientes parámetros:

Ordenada al Origen:

Tal como definimos para toda función la Ordenada al Origen es el punto donde la función corta al eje y ( es decir donde el valor de x=0) En la fórmula de la cuadrática coincide con el valor del término independiente ( c )

Raices:

En la unidad anterior llamamos raíces a el/los puntos donde la función corta al eje x ( es decir donde el valor de y=0). La función lineal tenía siempre una raíz. La función cuadrática pude tener dos, una o ninguna raíces.

La formula general para el calculo de las raíces de una función cuadrática es:

Casos particulares para el cálculo de raíces:

Si la función es del tipo ²axy o caxy ² podemos calcular las raíces

directamente por despeje.

Si la función en cambio es de la forma bxaxy ² podemos sacar factor común

x (siendo entonces una raíz igual a 0) y obtenemos la otra despejando el paréntesis obtenido al hacer factor común

Con las raíces se puede armar la forma factorizada de la función cuadrática:

Vértice:

La parábola tiene un punto de inflexión que determina el valor máximo o mínimo , según sea el caso de la función. Para su calculo podemos seguir las dos formas indicadas debajo:

xv = 2

21 xxx v

a

bx v

2

yv = vv xfy

a

bcy

4

2

Con el vértice se puede armar la forma canónica de la función cuadrática:

Si no hay raíces Reales tenemos que usar la

fórmula

a

bx v

2 Podría usarse siempre, pero

es más simple y conceptual usar la semisuma

de las raíces para el calculo de xv

Reemplazo en la ecuación de la cuadrática con

x = xv y calculo yv

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCION CUADRATICA

38

Eje de simetría:

En el valor de x = xv determinar una recta imaginaria paralela al eje y que es eje de

simetría de la función. Es decir que a igual distancia (medida en el eje x) de este eje los valores

de la función son los mismos.

Posiciones de la función respecto del eje de abscisas (Discriminante) Podemos analizar la posición de la función respecto del eje de abscisas , y mediante ello el número

de raíces reales que tiene la función, analizando la raíz de la formula que calcula las raíces de la misma

Llamamos Discriminante el radicando de dicha formula , es decir a: acb 42

Si analizo el discriminante () puedo tener las siguientes posibilidades:

> 0 2 raíces reales

= 0 1 raíces reales

< 0 No tiene raíces R

MANERAS de EXPRESAR la FUNCIÓN CUADRÁTICA

Aplico propiedad

distributiva

Desarrollo el cuadrado

del binomio

Busco las raíces Busco el vértice

POLINÓMICA

cbxaxy ²

CANÓNICA

vv yxxay 2

FACTORIZADA

21 . xxxxay

Ventaja: Veo fácilmente el

vértice y el eje de simetría

Ventaja: Veo fácilmente las

raíces

Reconstrucción de la forma polinómica con las raíces

a

bxx 21

a

cxx 21 .

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

39

^

Introducción

Antes de hacer un ejemplo de introducción repasemos algunos conceptos de geometría vistos en

años anteriores.

Angulo : Un ángulo es la región del plano determinada por

dos semirrectas cuyo origen es el mismo punto.

Elementos : Lados ba y bc ( Semirrectas)

Vértice b ( punto)

Amplitud abc ( estudiada en grados sexagesimales )

Arco : Es la porción de circunferencia entre dos radios de la misma.

Tomamos como origen al punto de encuentro de 2 diámetros

Cualesquiera. Si elegimos dos diámetros perpendiculares podemos

considerarlos en esa circunferencia como ejes de abscisas (x) y de

ordenadas (y)

Consideramos que el sentido positivo para la medición de ángulos

en dicha circunferencia es el que corresponde a los ángulos que

recorren la circunferencia en el sentido contrario a las agujas del

reloj, mientras que el sentido negativo será aquel que recorre la

circunferencia en el mismo sentido que las agujas del reloj.

Sistema sexagesimal: Para la medición de ángulos, se pueden utilizar varios sistemas de medición (

sexagesimal, centesimal, radianes). En años anteriores hemos estudiado el más usual que es el sistema

sexagesimal. En este sistema la circunferencia (que es un giro completo) se divide en 360 partes iguales (

grados ) , a su vez cada grado esta dividido en 60 partes iguales (1 minuto = 1´ ) y cada minuto en otras

60 partes iguales ( 1 segundo = 1¨ ). Los 360º se dividen en cuatro partes de 90º cada una llamados

cuadrantes

Ahora estudiemos una situación sencilla :“En el dibujo adjunto se muestra una Vuelta al

mundo de un parque de diversiones. El radio de la misma es de 18 metros y tarda 24 segundos en

dar una vuelta completa. ¿Cómo ira variando la altura de una persona que se encuentra en la

cabina A a medida que la cabina recorra una vuelta?”

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

40

Ubiquemos nuestro centro de coordenadas en el punto Z y tratemos de sacar la altura para

diferentes puntos. Podríamos completar en forma fácil la siguiente tabla

Y podríamos darnos cuenta que estas posiciones se vuelven a repetir cada giro, 360º o cada 24

segundos en forma periódica

¿Podríamos calcular otras posiciones intermedias? A través de una regla de tres sencilla

podríamos determinar el ángulo para cada tiempo transcurrido.

24 seg 360º

t seg α =

Por ejemplo para 6 seg verificamos 15º . 6= 90º, y podemos calcula α para cualquier valor

intermedio. Pero ahora que podemos calcular el ángulo en función del tiempo, podemos calcular la

altura en función del tiempo usando conocimientos de trigonometría vistos en años anteriores.

Tomando un ángulo cualquiera dentro de la circunferencia se forma triángulo indicado al lado; y

en dicho triángulo podemos ver que:

Hemos encontrado una formula que relaciona la altura con el ángulo girado. Si ahora

combinamos ambas formulas reemplazando al ángulo por su relación con el tiempo obtenemos:

Siendo y la altura que se encuentra la persona en la cabina, t el tiempo transcurrido, y los 20

metros que se adicionan la diferencia para considerar como origen al punto Z.

Ahora podemos realizar una tabla con los valores que querramos (por ejemplo variando el

tiempo cada segundo) y luego representar la altura en función del tiempo.

Posición Tiempo Angulo Altura

Tiempo tº.15º tsen .º15 mtsenmmy 20.º15.18

tseg

segtº.15

24

º360.º

º.18

18º

senmmy

m

ysen

mtsenmmy 20.º15.18

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

41

Estamos observando una relación que se da en numerosos fenómenos de la

naturaleza donde los sucesos se repiten cíclicamente (periódicamente) . Podríamos

hablar de Día-Noche (implicando las fases lunares y las mareas) O podríamos verlo

en las estaciones, en el pulso de una persona (latidos), en las ondas sonoras, en

parámetros eléctricos (corriente alterna), en el movimiento de un péndulo , ect… 24 seg

La representación tendría la siguiente forma:

Verificar los puntos calculados en la grafica anterior.

a) ¿Cómo se podrían determinar las distancias en horizontal?

b) ¿Qué sucedería si el radio de la vuelta fuesen 27 m? Hacer un nuevo gráfico donde

figuren la gráfica con el radio de 18 m, y la grafica con el nuevo radio de 27 m. ¿Qué

diferencias podes observar entre ambas graficas?

c) ¿Qué sucedería si la vuelta fuese completada en 12 seg? ¿Y si en cambio la vuelta fuese

completada en 48 segundos? Hacer un nuevo grafico donde figuren la grafica original

para la vuelta en 24 seg juntos a dos nuevas graficas donde la vuelta dure 12 seg o 48 seg

¿Qué diferencias podes observar entre las graficas?

d) ¿Cómo sería la grafica si la parte inferior de la vuelta al mundo estaría separada 5 m del

suelo en vez de 2 m? Hacer un nuevo gráfico donde figuren la grafica original y la nueva

con la rueda separada 5 m. ¿ Qué diferencias podes observar entre ambas graficas?

e) ¿Cómo sería la grafica si el centro de referencia estuviese ubicado en el centro de la

rueda? Hacer un nuevo grafico donde figure la grafica original y la grafica con origen en el

centro de la rueda ¿Qué diferencias observas entre ambas graficas?

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

42

Grafica para realizar el punto b)

Grafica para realizar el punto c)

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

43

Llamamos a estas funciones : FUNCIONES PERIODICAS y tienen algunos parámetros particulares:

Período:

Llamamos periodo de una función periodica al intervalo del dominio en el que se cumple el ciclo

completo (duración de un ciclo). En el ejemplo visto son 24 segundos, pero también podemos decir que

el ciclo se cumple al completar 360º (o 2 π como veremos más adelante).

Por lo tanto se cumple que si p es el periodo 243030

ff

ptftf

Las funciones trigonométricas son funciones periódicas y sirven para representar estos

fenómenos. Las graficas de las funciones seno y coseno se llaman SINUSOIDES.

Frecuencia:

Llamamos frecuencia a la cantidad de ciclos que cumple la función en un segundo (se mide en

Hertz – Hz) y en el caso de las funciones trigonométricas es la cantidad de ciclos que se cumplen en 360º

o 2 π

Otros parámetros que se pueden analizar son la AMPLITUD, y los desplazamientos respecto de

los ejes cartesianos. Más adelante se verá en detalle a estos parámetros.

Ángulos orientados en un sistema cartesiano:

A través del ejemplo podemos ver las características de un ángulo en un sistema de ejes

cartesianos. Hemos definido al principio de la unidad que es un ángulo y adoptamos los sentidos positivo

y negativo de acuerdo a como se desplazaban en el plano. Al ver sistema sexagesimal dividimos al plano

en cuatro cuadrantes y decimos que un ángulo pertenece a un cuadrante determinado de acuerdo a la

posición final de la semirecta después del giro. Así tenemos:

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

44

Decimos que dos ángulos son iguales cuando son generados por la misma rotación.

Sistema circular:

Como hemos dicho al principio en los cálculos

cotidianos usamos el sistema sexagesimal. Pero para

estudiar las funciones trigonométricas es conveniente el

uso de un sistema basado en la representación de los

distintos ángulos que se generan sobre un circulo . Este

sistema se llama SISTEMA CIRCULAR y se construye a partir

de la proporcionalidad de arcos y radios de cualesquiera

circunferencia que se adopten para un mismo ángulo.

Tomemos como ejemplo dos circunferencias de radios r 1 y r2 , un ángulo de 90º en ambas, y

consideremos los arcos que se forman :

Podemos observar que : 44

21 LCD

LAB

Siendo L1 y L2 las longitudes de las circunferencias

Entonces: 4

2

4

2 21 rCD

rAB

Si hacemos la proporción entre arcos y radios vemos que se cumple que :

21 r

CD

r

AB

2

2

1

1

4

2

4

2

r

r

r

r

Simplificando nos queda: 22

La medida del angulo en este caso se mantiene independientemente del tamaño de la

circunferencia y por lo tanto también la relación entre arcos y radios. Tenemos una nueva manera de

medir donde la unidad se deriva de las unidades utilizadas para medir arcos y radios (cm , m , Dam …) y al

hacer la relación nos quedaría Dam

Damo

m

mo

cm

cm

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

45

A esta nueva unidad se le da el nombre de RADIAN.

En nuestro ejemplo decir que un ángulo dentro de una circunferencia tiene radianes2

significa

que el cociente entre la medida de su arco y la medida del radio es 2

y como hemos visto corresponde a

un ángulo sexagesimal de 90º.

Por lo tanto 1 radian es un ángulo que abarca un arco de igual medida que

el radio.

Para 360º el arco formado es la longitud total de la circunferencia . Por lo tanto:

º36022

1

1 radianesr

r

Y entonces

Veamos la equivalencia entre los dos sistemas:

Sexagesimal 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

Circular 0 6

4

3

2

3

2

4

3

6

5

6

7

3

4

2

3

3

5

6

11 2

Pasaje de un sistema a otro: Aplicamos la regla de tres y calculamos el ángulo que sea necesario.

Expresar en radianes un ángulo de 135º 180º

135º

4

3

º180

º.135x

Expresar en grados un ángulo de 3

4 180º

3

4 º240º180.

34

x

º572

º3601

radian

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

46

Por último , antes de entrar de lleno en el tema de la circunferencia trigonométrica repasemos

los conceptos de trigonometría vistos en años anteriores:

a = ángulo recto

En el triangulo abc bc = A = Hipotenusa (H) (lado opuesto al ángulo recto

ac = B = Cateto opuesto al ángulo α (CO)

ab = C = Cateto adyacente al ángulo α (CA)

senanotasesenoH

CO

A

B

coscos anotaseenoH

CA

A

C

tganotasegenteCA

CO

C

Btan

Circunferencia trigonométrica:

Se llama circunferencia trigonométrica (o circunferencia goniométrica, o circulo unitario) a la que

tiene radio igual a uno representándose en un sistema de ejes cartesianas , y siendo el centro de

los ejes el centro de la circunferencia.

Así si tomamos un punto cualquiera de la

circunferencia (x , y) podemos ver que:

por Pitágoras se cumple que 122 yx

senyyy

sen 1

cos1

cos xxx

x

ytg

Por lo tanto 1cos 22 sen

SOH CAH TOA

cbxaxy ²

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

47

Teniendo en cuenta lo anterior podemos saber el signo de cada función en cada cuadrante. La proyección

en el eje x nos dara el signo del coseno, la proyección en el eje y el signo del seno y el signo de la tangente

será el cociente y/x o sea de seno/coseno para cada cuadrante. Resumiendo:

Cuadrante Sen α cosα Tg α

1 + + +

2 + - -

3 - - +

4 - + -

Si quisiéramos saber el valor de la tg α deberíamos prolongar la semirecta final del angulo hasta la

proyección vertical del punto S (1;0) obteniendo el punto R (1, y1) donde el valor de y1 representa el valor de

la tg α ya que en el triángulo ORS se cumple: 1

1

11y

yRS

OS

RStg

Valores más usuales de las funciones trigonométricas:

Observemos en el siguiente circulo que

independientemente de los signos que corresponden

a cada cuadrante los valores de las funciones para:

Oº deben ser iguales a 180º y a 360º

30º deben ser iguales a 150º , 210º y 330º

45º deben ser iguales a 135º ,225º y 315º

60º deben ser iguales a 120º, 240º y 300º

90º debe ser igual a 270º

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

48

Es por ello que es importante el cálculo de los valores del primer cuadrante.

Sexagesimal Circular Sen α cosα Tg α

0º 000 0 1 0

30º 6

2

1 2

3 3

3

45º 4

2

2 2

2 1

60º 3

2

3 2

1 3

90º 2

1 0 ind

120º 3

2 2

3 2

1 3

135º 4

3 2

2 2

2 -1

150º 6

5 2

1 2

3

3

3

180º 0 -1 0

210º 6

7 2

1

2

3

3

3

225º 4

5 2

2

2

2 1

240º 3

4 2

3

2

1 3

270º 2

3 -1 0 ind

300º 3

5 2

3

2

1 3

315º 4

7 2

2

2

2 -1

330º 6

11 2

1

2

3 3

3

360º 2 0 1 0

Regla nemotécnica para el armado de los valores: En los valores de la función seno correspondientes a los

ángulos del primer cuadrante colocar en el numerador 4;3;2;1;0 y en el denominador a

todos el valor 2 . Realizar los cocientes y se obtiene el valor del seno. Para el coseno invertir los

numeradores. Y para la tangente realizar el cociente entre seno/coseno

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

49

Graficas de las funciones trigonométricas:

Realizamos el análisis sobre un solo periodo

Dm: R (función continua)

Im 1;1

V. Max absoluto

1;

2

V. Min absoluto

1;

2

3

Raices 0;2,0;,0;0

Periodo 2

Función Creciente

2;

2

3,

2;0

Función Decreciente

2

3;

2

C+ (conjunto positividad) ;0

C- (conjunto positividad) 2;

xseny

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

50

Realizamos el análisis sobre un solo periodo

Dm: R (función continua)

Im 1;1

V. Max absoluto 1;2,1;0

V. Min absoluto 1;

Raices

0;

2

3,0;

2

Periodo 2

Función Creciente 2;

Función Decreciente ;0

C+ (conjunto positividad)

2;

2

3,

2;0

C- (conjunto positividad)

2

3;

2

xy cos

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

51

Realizamos el análisis sobre un solo periodo

Dm: R -

2

3

2 (función no continua)

Im R

V. Max absoluto No tiene

V. Min absoluto No tiene

Raices 0;2,0;,0;0

Periodo 2

Función Creciente R -

2

3

2

Función Decreciente -

C+ (conjunto positividad)

2

3;,

2;0

C- (conjunto positividad)

2;

2

3,;

2

xy tan

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

52

Estudio de las funciones trigonométricas seno y coseno:

(*) Si tenemos el gráfico , para leerlo debemos leer el periodo , leer x y calcular BxC

DCBxsenAy DCBxAy cos

D: desplazamiento sobre el eje y

D + desplaza hacia arriba

D – desplaza hacia abajo

Bx-C: desplazamiento sobre el eje x

Para calcular un ciclo se hace:

B

CxCBx 0 ANGULO de FASE

(Caso particular: Si B=1 entonces x= C)

Si x + desplaza hacia la derecha

Si x – desplaza hacia la izquierda (*)

P: Para calcular el periodo se haceB

P2

A: Amplitud (semidistancia entre el valor máximo y

mínimo de la función)

Modifica la amplitud de la función, o de la onda.

Puede ser + o – variando el sentido de la grafica

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

53

Grafica Función Amplitud (A) Imagen

sen (x) 1 1;1

2sen (x) 2 2;2

0.5sen (x) 0.5 5.0;5.0

-sen (x) -1 1;1

Grafica Función (B) Periodo

sen (x) 1 2π

sen (2x) 2 π

sen (0.5x) 0.5 4π

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

54

Grafica Función (D) Desplazamiento eje y

sen (x) 0 No se desplaza

sen (2x) 1 1 arriba

sen (0.5x) -2 2 abajo

Grafica Función (C/B) Angulo Fase

sen (x) 0 0 (no se desplaza)

sen (x+π/4) -π/4 π/4 (a la izquierda)

sen (x-π/4) π/4 π/4 (a la derecha)

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – LOGARITMACION

55

FUNCION EXPONENCIAL

Las funciones exponenciales sirven para describir la relación entre magnitudes que crecen o

disminuye en forma muy rápida. Podemos encontrar muchos ejemplos en Física , Medicina ,Biología y

Economía entre otras disciplinas. Las funciones logarítmicas , tal como veremos completan el análisis de

las funciones exponenciales , y el análisis de ambas permite abordar cualquier situación de las disciplinas

mencionadas desde todos los puntos de vista.

Ejemplo : Depósito Bancario (Gráfico Nº 1)

Se coloca un capital de 10.000 $ al 10 % de interés compuesto anual. Calcular el monto que

se acumularía al cabo del primer año , al segundo , al tercero y así sucesivamente.

Al primer año :

11.01000.10000.111,1000.101,01000.101,0000.10000.10 C

Al segundo año :

21.01000.10100.121,1000.111,01000.111,0000.11000.11 C

Al tercer año :

31.01000.10310.131,1100.121,01100.121,0100.12100.12 C

En forma general para el año n tendríamos : nC 1.01000.10

Armemos la tabla de valores y verifiquemos con la grafica adjunta

Años (x) Capital(y)

0 10.000

1 11.000

2 12.100

3 13.310

4

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – LOGARITMACION

56

Hasta ahora habíamos analizado funciones polinomicas ( de primer o segundo grado). En ellas la variable independiente estaba relacionada con operaciones de suma resta, multiplicación o división. Al principio , al analizar las funciones correspondientes a las magnitudes proporcionales pudimos ver en las MIP, que si la variable dependiente estaba en el denominador se producía un “salto” , una discontinuidad en el dominio. Por ultimo hemos visto que las funciones trigonométricas se repiten “periódicamente”y que pueden en algunos casos tener “saltos”. Distintos tipos de funciones , distintos tipos de modelizaciones para diferentes situaciones.

Ahora se nos presenta un nuevo caso. La variable dependiente se encuentra como exponente y por lo tanto llamaremos a estas relaciones “funciones exponenciales”.

Volvamos a la situación planteada. En primer lugar podríamos hacernos la pregunta ¿al 10 % de interés cuanto tardará el capital en duplicarse? ¿Serán 10 años? ¿Serán más o menos años? Pero dejemos esa respuesta para un poco más adelante.

Primero analicemos otras preguntas:

¿Tiene sentido usar en este ejemplo números negativos?

Tomemos n= -1 90,090.911

10000.101,1000.101.01000.10

11

C

Esto quiere decir que 9.090,90$ puesto a interés hace un año nos permitirían obtener hoy

10.000$. Los números negativos nos indican períodos anteriores.(Verificar en la grafica)

¿Tiene sentido usar números fraccionarios?

Tomemos n= 3/2 537.111,1000.101,1000.101.01000.10 2 32/32/3C

Esto es el capital acumulado entre el primer y segundo año, ya que 3/2 =1,5 años

(Verificar en la gráfica)

Hemos visto dos comportamientos de magnitudes relacionadas en forma exponencial , En

la situación planteada están relacionadas con comportamiento creciente, pero podrían plantearse

situaciones donde estén relacionadas en forma decreciente.

La función que hemos visto responde a la forma: f(x) = k . ax

Donde x : variable independiente

y : variable dependiente

a : base con a > 0 y a 1

k : constante R y k 0

En forma general para todo tipo de situaciones las funciones exponenciales responden a la

fórmula:

y = k . a x - b + c Donde b y c R

El análisis de estas funciones no se desarrollara en este curso, pero cabe mencionar algunas

consideraciones:

Si 0 <a < 1 la función será decreciente , Si a > 1 la función será creciente

El Dominio son todos los Reales, por lo tanto es una función continua

La imagen en el ejemplo visto son los R+, en otros se debe determinar dependiendo de

cada función

Todas las funciones tienen Ordenada al origen

Las funciones del tipo y= k . ax no tienen raíz , en otros casos se deben calcular

mediante el uso de logaritmos (tema a ver a continuación)

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – LOGARITMACION

57

Todas tienen una asíntota horizontal, El valor c determina la asíntota, y en el caso de ser c=0 el eje x es la asíntota horizontal

Observación: Una recta horizontal ( y = k ) es asíntota horizontal de una función f (x) , si a medida que x aumenta, la variable dependiente se acerca a k.

Si k es positivo la función sera creciente si a es mayor que 1 , y decreciente

si 0 < a < 1 . Si k es negativo, cambia el crecimiento / decrecimiento de la

función respecto del valor de a

Si b > 0, la función se desplaza hacia la izquierda sobre el eje x b unidades. Si b < 0 , la función se desplaza hacia la derecha sobre el eje x b unidades

Algo más…. Para realizar una potencia con la calculadora, se utiliza la tecla que dice xy. Por ejemplo, para hacer 0,53,4 se pone 0,5, se aprieta !a tecla xy, luego 3,4. Al apretar tecla = se obtiene el resultado. En este caso es, aproximadamente, 0,09473.

Recordemos las propiedades que vimos en años anteriores y este año en Reales para la potenciación:

ax . ay = ax+y ax : ay = ax-y (ax)y = ax.y

Volvamos a la pregunta que habíamos dejado planteada:

¿al 10 % de interés cuanto tardará el capital en duplicarse?

Recordemos que la función era: xyC 1,1000.10

Como el capital se duplico y = 20.000 x1,1000.10000.20

Pro lo tanto x1,12

¿Cómo hacemos para determinar el valor de x? Podríamos hacerlo en forma aproximada ,

pero para hacerlo en forma exacta debemos introducir una nueva operación, la logaritmación.

Se llama logaritmación a la operación por la cual se calcula el exponente al que se

tiene que elevar un número a positivo y distinto de 1 para obtener otro número b. Esto se escribe:

loga b y se lee logaritmo en base a de b.

Podemos definir entonces:

LOGARITMO: bacb c

a log a y b R,

siendo a la base y b el argumento

Con a > 0 , a 1 y b > 0

Ejemplos sencillos : log2 8 = 3 pues 23 = 8

log2 1/4 = - 2 pues 2-2 = 1/4

log9 3 = 1/2 pues 91/2 = 3

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – LOGARITMACION

58

La logaritmación es la operación inversa de la potenciación que

nos permite calcular es exponente conociendo la base.

En otras palabras la función f(x) = logax es la inversa de g(x) = ax, ya

que g calcula el resultado de una potenciación sabiendo el exponente, y f

calcula el exponente sabiendo el resultado

Al ser estas funciones inversas, sus gráficos serán simétricos respecto de la recta y = x.

(Ejercicio : Graficar en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones : y = x

; y = log2 x ; y = 2x y obsérvese lo mencionado en el párrafo anterior)

Si observan la calculadora, podrán ver que hay dos teclas que tienen que ver con el

logaritmo..

quiere decir log10 ; se simboliza log10 b = log b

significa logaritmo natural o logaritmo en base e, donde e es un

número irracional que está entre 2 y 3. Para encontrar aproximaciones de

ese número se le van dando valores naturales, cada vez mayores, a n en

la expresión:

Si tomáramos, por ejemplo, n = 3000, tenemos que e 2,7178289.

se simboliza ln b

Veamos ahora algunas casos particulares y propiedades que nos permitirán operar con logaritmos:

Cambio de base:

Para calcular log en los cuales el argumento no es potencia de la base, se debe recurrir a

un cambio de base, se utilizan log con base 10, y para resolverlos utilizamos la calculadora

científica.

a

bba

log

loglog 3

2log

8log8log 2

Casos particulares de los logaritmos

loga 1 = 0 pues a0 = 1

loga a = 1 pues a1 = a

xa x

a log pues ax = a

x

xaxa

log

log

ln

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – LOGARITMACION

59

Propiedades de los logaritmos

Estas propiedades son usadas para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas

yxyx aaa loglog.log Ejemplo: 8log2log8.2log 222

3116log 2

44

yxyx aaa loglog:log Ejemplo: 9log27log9:27log 333

233log 3

11

xyx a

y

a log.log Ejemplo: 4log.34log 2

3

2

2.364log 2

66

Generalizando esta ultima propiedad podemos decir :

bm

nbb a

m

n

am n

a log.loglog

Ejemplo: 3

6

23

2 2log64log

2log.3

64log 22

1.22

22

Con todo lo que hemos visto podemos volver adonde habíamos dejado nuestra pregunta

¿al 10 % de interés cuanto tardará el capital en duplicarse?

Habíamos llegado a la expresión x1,12

Para resolver usamos logaritmos x2log 1,1

Hacemos cambio de base añosx 3,7041,0

301,0

1,1log

2log

Habíamos comenzado el tema con la función exponencial, veamos ahora su simétrica , la

función logarítmica.

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – LOGARITMACION

60

FUNCION LOGARÍTMICA

Siguiendo con el ejemplo del depósito bancario,

Veamos ahora si quisiéramos obtener el triple del capital: x1,13

Resulta entonces x3log 1,1

añosx 6,11041,0

477,0

1,1log

3log

Y si quisiéramos saber el plazo desde el que fue puesto un capital igual a la mitad del actual , para que con la tasa del 10 % obtengamos el monto actual deberíamos plantear:

x1,15,0

Resulta entonces añosx 3,7041,0

301,0

1,1log

5,0log

Podríamos también trabajar con números fraccionarios que nos indicarían periodos parciales de tiempo que no son múltiplos de un año.

En forma general podemos plantear: xy alog

En nuestro ejemplo sería xy 1,1log Siendo: x : Capital buscado

y : período necesario

Armemos una tabla de valores y verifiquemos los mismos en la grafica adjunta

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – LOGARITMACION

61

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Vamos a plantear la resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas y para ello

utilizaremos algunos ejemplos. Nos proponemos hallar los valores de x que verifican las siguientes

igualdades:

a) 2x. 8x+1 : 42x = (16x)x-1

b) 2x . 3x-1 = 5X: 2x-2

c) Iog3(x - 1) = 2

d) Iog2x + log2(x - 1) = log220

Estas ecuaciones servirán para poner en práctica todas las propiedades de los logaritmos y las

potencias que se trabajaron en esta unidad.

a) Para trabajar con la ecuación 2x. 8x+1 : 42x = (16x)x-1 podemos observar que todas las bases

de las potencias de esta ecuación se pueden escribir como potencias de 2 (8 = 23, 4 = 2

2, 16

= 24). Por lo que nos quedaría :

2x. (23)x+1 : (22)2x = [(24)x]x-1

Si usamos las propiedades de la potenciación que vimos anteriormente , tenemos:

2x + 3x+1 : 22.2x =24x. (x-1)

Como el resultado de la potencia es único, al ser las bases de ambos miembros iguales, sus

exponentes también se pueden igualar.

x + 3 (x + 1) – 2 . 2x = 4 . x . (x – 1)

Esto se transformó en una ecuación cuadrática de fácil resolución:

b) Para la ecuación planteada en b: 2x . 3x-1 = 5X: 2x-2 como no podemos escribir cada base

fácilmente como de un mismo número, la forma de resolver es distinta. Dado que entre las

potencias sólo tenemos multiplicaciones y divisiones, tomamos logaritmos de ambos lados de

la igualdad. Usamos alguno de los dos logaritmos que están en la calculadora

log (2x . 3x-1) = log (5X: 2x-2)

Aplicamos las propiedades de los logaritmos vimos en la página .

log 2x + log 3x-1 = log 5x – Iog 2x-2

x log 2 + (x -1) log 3 = x log 5 - (x - 2) log 2

0,30103 x + 0,47712 (x - 1) = 0,69897 x – 0,30103 (x – 2)

0,30103 x + 0,47712 x – 0,47712 0,69897 x – 0,30103 x + 0,60206

Queda así una ecuación con números "un poco feos”, pero de resolución sencilla.

Utilizando la calculadora obtenemos:

0,38021 . x = 1,07918

x = 2,8384

c) Para resolver la ecuación planteada en c: Iog3(x - 1) = 2 solamente tenemos que recordar

la definición del logaritmo.

En este caso, 2 es la potencia a la que hay que elevar el 3 para que de x - 1

log3 (x-1) = 2 x - 1 = 32

Resulta una ecuación muy simple, cuya solución es: x = 10

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – LOGARITMACION

62

d) Para resolver la ecuación planteada en d : Iog2x + log2(x - 1) = log220

Utilizamos las propiedades de logaritmos pero en sentido inverso, o sea, la propiedad dice:

loga (b . c) = loga b + loga c siempre que b y c sean positivos.

Esto también indica que si b y c son positivos:

loga b + loga c = loga (b . c)

Si lo aplicamos en esta ecuación, queda:

log2 x + log2 (x – 1) = log2 20 log2 [x(x – 1)] = log2 20

Como la base es la misma, podemos igualar los argumentos:

x (x - 1) = 20 x2 – x - 20 = 0

Sus soluciones son: x = - 4 ó x = 5

Pero en este caso tanto x como x - 1 deben ser positivos (para calcular el logaritmo); por lo

tanto la única solución posible es: x = 5

Por más que repitamos que la calidad es lo que cuenta, siempre nos dejaremos impresionar por el tamaño.

En cualquier zoológico las dos especies de animales más populares son los monos y los elefantes, los primeros por su

inquietante parecido con respecto a nosotros y los últimos simplemente porque son enormes. De los monos nos

reímos, pero ante el elefante permanecemos quietos y en silencio….

Esta manía por lo grande hace que naturalmente el ser humano se sienta pequeño y hasta diminuto. Por ello el hecho de haber alcanzado la humanidad una posición de dominio sin igual sobre nuestro planeta se presenta muy a menudo como una leyenda épica al estilo de la de David y Goliat, donde nosotros jugamos el papel de David.

Y sin embargo esta imagen que solemos atribuirnos no es muy exacta, como podemos ver si analizamos los datos correctamente.

Comencemos por analizar la porción superior de la escala. Acabo de mencionar al elefante como ejemplo de animal de gran tamaño, con lo cual he apelado a una frase gastada. Decir "grande como un elefante" no es más que recurrir a un lugar común.

Pero por supuesto que el elefante no posee ningún récord absoluto. Como no lo posee ningún animal terrestre. En tierra firme los animales deben vencer la aceleración de la gravedad sin ninguna ayuda. Aunque nos olvidemos del problema de levantar el cuerpo varios metros por encima del suelo y de moverlo con mayor o menor rapidez, esta lucha contra la gravedad impone serias limitaciones al tamaño. Si nos imaginamos a un animal que permanece tirado en el suelo y que se pasa la vida tan inmóvil como una ostra, cada vez que respire este animal tendrá que desplazar sus masas de tejido en forma vertical. Una ballena encallada se muere por diversas razones, una de las cuales consiste en que su propio peso le aplasta los pulmones lentamente hasta matarla.

Pero en el agua la fuerza denominada empuje anula el efecto de la gravedad, haciendo que una masa que en tierra puede significar la muerte por compresión, en el agua sea sostenida sin dificultad.

Por esa razón, las criaturas de mayor tamaño de toda la Tierra, tanto en el presente como en el pasado, deben buscarse entre las ballenas. Y la especie de ballena que retiene el récord es la ballena azul, que también se conoce como "ballena de vientre amarillo". Se ha registrado un ejemplar de este gigante entre gigantes cuya longitud era de 33 metros y cuyo peso alcanzaba las 120 toneladas métricas.

Ya sabemos que la ballena azul es un mamífero, lo mismo que nosotros. Si queremos saber qué lugar ocupamos entre los mamíferos en lo que a tamaño se refiere tenemos que ver qué hay en el otro extremo.

Los mamíferos más pequeños son los musgaños o musarañas, criaturas que a primera vista se parecen al ratón, pero que no son ni ratones ni siquiera roedores. En realidad son insectívoros, y por cierto que están más relacionados con nosotros que con los ratones. La más pequeña de las musarañas adultas pesa 1,5 gramo como mínimo.

Para terminar realicemos la siguiente lectura que nos puede aportar datos interesantes y una visión diferente del tema que estamos tratando:

Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – LOGARITMACION

63

Entre estos dos extremos de mamíferos se extiende una compacta legión de animales. Por debajo de la ballena azul están las otras especies más pequeñas de ballenas., y luego siguen criaturas como los elefantes, las morsas, los hipopótamos, sin olvidarnos de los ciervos, los osos, bisontes, caballos, leones, lobos, castores, conejos, ratas, ratones y musarañas. En esta larga lista que va desde la más grande de las ballenas a la más pequeña de las musarañas ¿dónde se ubica el hombre?

Para evitarnos complicaciones, y también debido a que mi peso alcanza al número lindo y redondo de noventa kilos, me voy a tomar a mí mismo como ejemplo.

Así las cosas, podremos considerar al hombre ya como gigante o bien como pigmeo, según el marco de referencia que adoptemos. En comparación con la musaraña no cabe duda de que es un gigante, ni de que es un pigmeo si lo comparamos con la ballena. ¿Qué punto de vista habremos de elegir?

En primer lugar, como no es sencillo comparar toneladas americanas, libras y onzas, reduciremos todos los pesos a una unidad común. Para evitar las fracciones (al menos al principio) elegiremos al gramo como la unidad común. (Para los lectores norteamericanos digamos que una onza equivale a cerca de 28,35 gramos, una libra es igual a unos 453,6 gramos y una tonelada común equivale a cerca de 907.000 gramos.)

Nuestro peso supera en decenas de miles de gramos al de la musaraña, pero una ballena tiene decenas de millones de gramos más que un hombre, lo cual podría reforzar la idea de que somos mucho más pigmeos que gigantes y que tenemos todo el derecho a conservar esa imagen de David contra Goliat.

Pero el sentido común y la capacidad de juicio de los hombres no sólo analizan las diferencias empleando la resta; también lo hacen utilizando la división. La diferencia entre una pesa de dos kilos y otra de seis kilos nos parece mayor que la que existe entre una pesa de seis kilos y otra de doce kilos, aun cuando en el primer caso la diferencia sólo llega a los cuatro kilos, mientras que en el segundo alcanza a los seis. Parece que lo que importa es que seis dividido por dos da tres, mientras que doce dividido por seis no da más que dos. Lo que buscamos es un cociente, y no una diferencia.

Hay que reconocer que esto de dividir es bastante fastidioso. Cualquier niño de cuarto grado (y muchos adultos también) podrá decir que la división es un tema de matemática avanzada. De modo que sería agradable obtener los cocientes sin hacer otra cosa más que restar. Para lograrlo no tomemos los números, sino sus logaritmos. Por ejemplo, los logaritmos comunes están construidos de tal manera que 1 es el logaritmo de 1 ; y 2 es el logaritmo de 100; y 3 es el logaritmo de 1000, etcétera.

Si usamos los números directamente indicaremos la igualdad de los cocientes diciendo que 1000/100 es igual a 100/10, como se ve al dividir. Pero si empleamos los logaritmos, podremos indicar la misma igualdad entre los cocientes diciendo que 3 menos 2 es igual a 2 menos 1, empleando así nada más que restas.

También podemos ver que 1000/316 es aproximadamente igual a 316/100 (verifíquelo). Como el logaritmo de 1000 vale 3 y el logaritmo de 100 vale 2, podemos decir que el logaritmo de 316 es igual a 2,5 después de lo cual, empleando logaritmos, podemos expresar la igualdad de los cocientes diciendo que 3 menos 2,5 es igual a 2,5 menos 2.

De esta manera daremos los extremos de peso de los mamíferos empleando el logaritmo del número de gramos. Los 120.000.000 de gramos de la ballena azul se pueden representar en forma logarítmica como 8,08, en tanto que los 1,5 gramo de la musaraña equivalen a 0,18. Al hombre de 90.000 gramos le corresponde el 4,95.

Como se puede apreciar el hombre y la musaraña están separados por 4,8 unidades logarítmicas, pero la separación que hay entre el hombre y la más grande de las ballenas sólo se aproxima a las 3,1 unidades logarítmicas. Es decir que somos mucho más gigantes que enanos.

Por si acaso usted piensa que todo esto no es otra cosa que puro palabrerío matemático y que estoy exagerando las cosas, le diré que todo lo anterior equivale simplemente a esto: Un hombre pesa 45.000 veces más que una musaraña, mientras que una ballena azul sólo pesa 1.300 veces más que un hombre. O sea que a una musaraña le habremos de parecer mucho más grandes que lo que nos parece a nosotros una ballena.

En realidad, la masa que se encuentra justamente a mitad de camino entre la musaraña y la ballena debe tener un logaritmo igual al promedio aritmético de 0,18 y 8,08, o sea 4,13. Este logaritmo representa una masa de 13.500 gramos, o sea trece kilos y medio. Según este razonamiento un mamífero de tamaño mediano deberá tener las dimensiones aproximadas de un niño de cuatro años, o las de un perro de peso razonable.

Extracto de : “De los números y su Historia – Isaac Asimov – Parte 5- Los Números y la biología : Ese es

su tamaño aproximado…”