matemática 1

DR. ADOLFO GUTIÉRREZ SOSA ALGEBRA 1

ÁLGEBRA I

(MATEMÁTICA 1)

UNIDAD 1

Expresiones algebraicas

Lenguaje común y algebraico

Lee acerca de la ideaEl lenguaje con que las matemáticas expresan ideas es el Álgebra. Su simbología comprende:

Números:

Letras:

Signos de operación:

Signos de agrupación:

Signos de relación:

Mediante esa simbología y la creación humana, la matemática ha obtenido los logros espectaculares realizados hasta hoy desde que el matemático francés Francisco Vieta, en el siglo XVI, elaboró la primera simbología algebraica sintética eficiente.

Expresiones matemáticas algebraicas se usan para resolver problemas de Física, Química, Biología, Economía, Finanzas, Psicología, Educación, Astronomía, Informática, Probabilidad, etcétera. Por ejemplo, si se quiere calcular la velocidad que necesita adquirir un cuerpo atrapado por la gravedad de un planeta, se puede hacer usando la ecuación siguiente:

En ella: V es la velocidad de escape, G es la constante de la gravitación universal, M es la masa del planeta del que se escapa y R es el radio del planeta del que se escapa. Esta fórmula comprende constantes (2, G) y variables (V, M, R); signo de igualdad (=) y operación (multiplicaciones y raíz cuadrada); la expresión es algebraica y puede leerse usando lenguaje común:

“La velocidad de escape de un planeta, V, por un cuerpo que se encuentra atrapado en él, es igual a la raíz cuadrada del cociente del doble del producto de la constante de la gravedad universal, G, y la masa M del planeta, entre el radio del planeta, R.”

1


Resulta evidente, pues, que el lenguaje simbólico del Álgebra supera por mucho en brevedad al lenguaje común e informa igual siempre y cuando el lector entienda el significado de cada signo usado.

En el Álgebra, tanto constantes como variables pueden escribirse usando letras, del alfabeto normal o de otro alfabeto, específicamente el griego. La ecuación para calcular el área de un círculo se escribe . La letra es la letra griega “pi”. Esa letra representa una cantidad constante: 3.14159…

La deficiencia del lenguaje común respecto al algebraico es obvia: el lenguaje común no es conciso.

Diferencias entre expresiones aritméticas y algebraicas.

Los objetos con que desarrolla su lenguaje la Aritmética son números (constantes definidas), signos de operación (+, -, x, ÷, √ C, etc.) y de igualdad y orden (como =, <, >). Las letras no se usan en la Aritmética. El Álgebra, que usa letras para representar cantidades, es una generalización de la Aritmética. En seguida se muestran ejemplos de expresiones aritméticas y algebraicas.

Expresiones aritméticas Expresiones algebraicas(1) 2[ -3(1 – 8) + 3] – 1(2) 32 – 52 = 9 – 25

(3)

(4)

(5)

(6)

(7) s = 2 gt2 – 4t + 1(8) F = ma

Las expresiones algebraicas son aquéllas que se enuncian mediante números, letras que pueden ser constantes, incógnitas o variables, y signos de operación como la suma, la multiplicación o potencias racionales.

Una ecuación es una expresión matemática que declara que dos o más cantidades son iguales, por eso implican al signo de igualdad: “=”. También se les llama igualdades, fórmulas o identidades. Las expresiones (2), (7) y (8) son igualdades o ecuaciones, pero en la expresión (2) no hay variables, las que sí existen en las expresiones (7) y (8).

Actividad de aprendizaje

Reúnete a trabajar con dos compañeras o compañeros y resuelvan los ejercicios siguientes. Comparen al final sus resultados con los de otros compañeros. Si tienen alguna duda, acudan con su maestra(o).

A. Escriban con lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas.

(1) ________________________________________________________

(2) _____________________________________________________

(3) ________________________________________________________

(4) ________________________________________________________

2


(5) ________________________________________________________

(6) ________________________________________________________

(7) ________________________________________________________

(8) ________________________________________________________

(9) ________________________________________________________

(10) ________________________________________________________

(11) ________________________________________________________

(12) ____________________________________________________

B. Escriban la expresión algebraica que corresponde a cada enunciado siguiente:

(1)La suma de los cuadrados de dos variables diferentes:___________________________

(2)El triple de una variable disminuido el resultado en 10:__________________________

(3)El cociente de la suma de dos cantidades cualesquiera entre el cubo de x:___________

(4)La raíz cuadrada de la suma de dos cantidades.:____________________________

(5)El producto de dos variables más la diferencia de ellas__________________________

(6)La suma de dos variables elevada al cubo:______________________________

(7)Una variable disminuida en 5 es igual a la tercera parte de esa variable:____________

(8)El cociente del triple de la segunda potencia de una variable entre esa misma variable añadida en cuatro:____________________________________________

(9)La diferencia del cuadrado de cada una de dos variables elevada toda a la tercera potencia:______________________________________________________

(10)El cubo de la cuarta parte de una variable:__________________________

(11)El inverso del cuadrado de una variable:____________________________

(12)La quinta potencia del cociente de 2 entre el triple de una variable

3


sumada en 2:_________________________________________________

(13)La raíz cúbica del inverso del cuadrado de la diferencia de dos variables:_______________________________________________

(14)La suma de la raíz cuarta de una variable y la raíz cuadrada del inverso de la variable:__________________________________________________________

C. Describan cuáles son las diferencias que existen entre una expresión algebraica y una aritmética.____________________________________________________________

______________________________________________________________________

D. En seguida se les ofrecen varias ecuaciones que corresponden a la física. Calculen lo que se les pide usando exclusivamente su calculadora. Validen sus resultados comparándolos con los de otros compañeros.

(1)La aceleración media de un cuerpo se expresa por: , donde v es la

velocidad final, es la velocidad inicial y t el tiempo recorrido entre esos dos casos. Calculen lo siguiente para los valores dados.(a) , y .

(b) , y .

(c) , y .

(2)La distancia recorrida en la Tierra por un cuerpo con movimiento uniformemente

acelerado en caída libre se expresa por: , donde es la altura

inicial del cuerpo, la velocidad inicial, g es la constante fuerza de gravitación en la Tierra (9.8m/s2) y t es el tiempo transcurrido desde que se lanza el cuerpo, en segundos. Calcular la distancia para los datos siguientes.

4


(a) , y .

(b) , y .

(c) , y .

¿Qué sucede con la distancia recorrida a medida que pasa el tiempo? Expliquen:_____

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

(3)El periodo T de un péndulo depende de su longitud, L, de acuerdo a la siguiente

ecuación: , donde g es la constante fuerza de gravitación en la Tierra

(9.8m./seg2). Calculen el periodo para los valores siguientes.(a)L=1 m.

5


(b)L=5 m.

(c)L=10 m.

Expliquen qué sucede al periodo a medida que se incrementa la longitud:____________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________

(4)Una expresión algebraica que se deduce como parte de la teoría de la relatividad

de Albert Einstein (1897-1955), es la siguiente: . Esta expresa la energía

cinética de una partícula, y en ella: m es la masa de la partícula, c es la velocidad de la luz (300 mil km./seg.) y v es la velocidad de la partícula. Calcular para los valores siguientes la cantidad de la energía simétrica.(a) y .

(b) y .

6


(c) y .

¿Qué sucede con la energía cinética a medida que la velocidad de la partícula se acerca a la velocidad de la luz? Explique___________________________________________

______________________________________________________________________

Variables y constantes

Lee acerca de la idea

El lenguaje algebraico usa letras para representar variables, generalmente, se usan las últimas letras del alfabeto: En tal caso, esas deben poder tomar dos o más valores diferentes. Las variables, pues, pueden representar números, cantidades.

Ejemplos

Si x es la altura de los alumnos de tu grupo, es obvio que x podría tomar varios valores: 1.59 m, 1.75m, etc.

Si n es el número de viajeros en un vuelo México- España los cuales piden un refresco durante el viaje, entonces, p = 0, 1, 2, 3,...,n. Donde n es el número total de pasajeros en el vuelo.

Einstein descubrió que la energía (E) es igual al producto de la masa de un cuerpo (m) por la velocidad de la luz elevada al cuadrado

(c=300 000 km/s): E= mc2. Aquí, E es una variable que depende de otra, m.

Una constante o parámetro es un número definido, invariable, y que por tanto no cambia en un contexto matemático, por ejemplo en una expresión algebraica.

Ejemplos

En la ecuación , 2 y 4 son constantes, parámetros.

El volumen de una esfera se calcula mediante , donde en 3, 4 y son

constantes y, V y r, son variables. En este caso se dice que el volumen de la esfera depende del radio de ella.

La ecuación son los parámetros o constantes, y determinan hacia donde abre la parábola: arriba-abajo (a) o dónde corta una parábola al eje y. En la Figura 1, se muestran varias parábolas y su ecuación.

7


Figura 1. Parábolas y diferentes valores de un parámetro

Contesta y descubre¿Qué efecto tiene el valor del término independiente, c, en la ecuación de una parábola?

Respuesta:______________________________________________________________

______________________________________________________________________

Es costumbre en Álgebra escribir las constantes o parámetros (cantidades conocidas) con las primeras letras del alfabeto: a, b, c, ... y las variables o cantidades desconocidas, con las últimas letras: p, q, r, ... Aunque se usan también letras de otro alfabeto, generalmente el griego:

Una expresión algebraica es aquélla que se construye con números, letras y operaciones. Una ecuación, es una consecuencia de la generalización algebraica.

8


UNIDAD 2Monomios y Polinomios.

Lee y aprende el conceptoLa expresión algebraica más simple se llama monomio. Un monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término, por ejemplo: 7x2y

En seguida se definen los elementos del monomio anterior:

Ejemplos de monomios

-t 4xyz

Contesta y descubre

(a) ¿Cuál es el coeficiente numérico en la expresión –t?__________________________

(b) ¿Cuál es el exponente de t en la expresión algebraica –t?______________________

Cuando una expresión algebraica se construye con varios monomios separados por operaciones de suma o resta, entonces se tiene un polinomio: -2ty2 + 4y – 1. Este polinomio tiene tres términos, cada uno es un monomio.

Ejemplos de polinomios -12mn2 – 10

Grado de un polinomio

9


El grado de un polinomio se refiere a los exponentes que afectan a las variables en él. En la tabla siguiente se ejemplifica.

Polinomio Grado Causax + 2 1 El exponente de la variable x es 1-2pq2 3 La suma de los exponentes de p y q.

es 1 + 2 = 36a2b4 – 4ab3 + 2 6 La suma de los exponentes de a y b en

6a2b4 es 6s – 12s2t3 + 7s5t3u 9 La suma de los exponentes de 7s5t3u

es 9

Término numérico independiente de un polinomio

Cuando se construye u obtiene mediante algún proceso matemático un polinomio, es posible que exista un término sin variable o letra, por ejemplo, en –3x4y –2x + 7, ese término sin variable, el 7, se llama término independiente.

Actividad de aprendizaje

Trabaja en equipo con dos compañeras(os) o más y resuelvan los ejercicios siguientes. Comprueben sus respuestas con las de algún otro equipo.

1. Describan cuál es la diferencia entre variable y constante: _____________________

______________________________________________________________________2. ¿Cuál de las dos letras siguientes representa una variable y por qué?

y=4m=0, 1

Respuesta:______________________________________________________________

______________________________________________________________________

3. En seguida se dan dos gráficos.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-120

-100

-80

-60

-40

-20

20

40

60

80

100

120

x

y

A-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

3.5

4.0

4.5

5.0

x

y

B

Uno representa la relación de una variable y una constante y el otro la relación de dos variables. ¿Cuál es cada cual? ¿Por qué?______________________________________

______________________________________________________________________

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4. Estudien la tabla siguiente:

x 1 2 3 4 5 6 7y -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3

(a)Dibujen la relación entre x y y.

(b)¿La letra x es una variable? ¿Por qué?___________________________________

(c)¿La letra y es una variable? ¿Por qué? Explica_____________________________.

(d)Escriban la ecuación que defina la relación entre x y y: _____________________

5. Determinen el grado de los siguientes monomios. Identifiquen los diferentes coeficientes en cada monomio. Cada letra es una variable. Escriban con lenguaje común el significado de cada expresión.

(a) :_________ (b) __________ (c) ___________

(d) ________ (e) __________ (f) ____________

6. Determinen el grado de los polinomios siguientes. Cada letra corresponde a una variable.

(a) ; ____________ (b) ______________(c) ___________

(d) ________________(e) _____________

7. ¿Cuál es o podría ser el término independiente en cada expresión algebraica siguiente? ¿Por qué? Expliquen.

(a) mx + 5: __________________________________________________________

(b) a – ay:___________________________________________________________

(c) 3ax2 + 2a2x – 3b ___________________________________________________

8. Escriban tres ecuaciones:A) de primer grado:

11


1) ___________________ 2)_______________________ 3)_____________________

B) tres ecuaciones de segundo grado:

1) ___________________ 2)_______________________ 3)_____________________

Operaciones con términos semejantes

Lee acerca de la ideaDos términos son semejantes si tienen la misma variable o variables (como coeficientes literales), o parámetros, elevadas al mismo exponente, sin importar los coeficientes numéricos.

Ejemplos

x y –2x: la variable es x y su exponente es 1. 14xyz3 y –2xyz3: las bases son x, y, z3, y son idénticas en ambos monomios.

y : la variable es .

y : la variable es .

y son términos semejantes, pues los parámetros “2” están elevados al mismo exponente.

Si a es un parámetro: y son términos semejantes.

Contesta y descubre

Contraejemplos. Los siguientes no son términos semejantes. ¿Por qué? Expliquen.

1. 2x y 2x2 _________________________________________________________

2. -mn5 y -3mn4 _____________________________________________________

3. (x + 1)2 y (x – 1)2 __________________________________________________

4. Si a es parámetro: y __________________________________

Los términos semejantes se pueden sumar o restar:

1. 4x3y + 16x3y = 20x3y

2. 10(m4 – 2n)3 – 6(m4 – 2n)3 = 4(m4 – 2n)3

3.

4.

Este proceso se llama reducción.

12


Actividad de aprendizajeReúnete a trabajar con otros dos compañeros y resuelvan los ejercicios siguientes. Comprueben sus respuestas con las de otros equipos. Si tienen duda, pregunten a su maestro.

A. Reduzcan las operaciones siguientes.(1) =

(2) =

(3) =

(4) =

(5) =

(6) =

(7) =

(8) =

(9) =

(10) =

(11) =

(12) =

(13) =

(14) =

13


(15) =

(16) =

(17) =

(18) =

(19) =

(20) =

(21) =

(22) =

B. Digan cuáles de las siguientes operaciones se han realizado de forma correcta y cuáles de forma incorrecta. En este último caso, expliquen el por qué.

1. ________________________________________________________

______________________________________________________________________2. __________________________________________________

______________________________________________________________________

3. __________________________________________________

______________________________________________________________________

14


4. ________________________________________________________

______________________________________________________________________

5. __________________________________________________________

_____________________________________________________________________

6. ___________________

______________________________________________________________________

7. ____________________________________________________

______________________________________________________________________

8.

________________________________________________________

______________________________________________________________________

9. ______________________________

______________________________________________________________________

10. _________________________

______________________________________________________________________

Multiplicación y división de monomiosMultiplicación de monomios

Los monomios se pueden multiplicar, los conceptos importantes para comprender cómo son los que se mencionaron antes, y que reproducimos ahora:

15


Lee y aprende el significado de un exponente

(a)En la expresión p4, el exponente 4 significa lo siguiente: la variable p se multiplica 4 veces por si misma: p4=p · p · p · p.

(b)La expresión (-a)(-a)(-a)(-a)(-a) es la forma multiplicativa de la expresión algebraica (-a)5. Esta última expresión se llama potencia de (-a).

Observa y comprende los conceptosPotencia Forma multiplicativa de (2x)7

(2x)7 (2x) (2x) (2x) (2x) (2x) (2x) (2x)

Observa y comprende el conceptoSi se multiplican los monomios 3p3 y 7p4, se tiene:

3p3(7p4) = 3(7)p3p4 = 21 p · p · p · p · p · p · p = 21p7

Multiplicación de monomios: reglaLa multiplicación de dos o más monomios, se obtiene multiplicando aritméticamente los coeficientes numéricos entre si, y algebraicamente las variables iguales entre si, sumando los exponentes.

Ejemplos

a)

b)

c)

d)

e)

f) . Esta es la representación de la

multiplicación de un binomio con exponente 4. Un caso más general que el de la multiplicación de monomios pero que se resuelve de forma similar.

División de monomios

La operación inversa de la multiplicación es la división, entonces, debe aplicarse como tal a la división de monomios.

16


Observa y aprende el concepto. Ejemplos

a)

b)

c)

Si no se trata de monomios:

División de monomios: reglaLa división de dos monomios, se obtiene dividiendo aritméticamente los coeficientes numéricos entre si, y algebraicamente los coeficientes literales, variables o constantes, que sean iguales entre si, restando los exponentes.

Exponentes negativos

De acuerdo al proceso para dividir monomios, la siguiente expresión es correcta, y corresponde a una representación algebraica:

Aprende la definición

, donde r es un número cualquiera.

Actividad de aprendizajeTrabaja en equipo con dos compañeros ó más y resuelvan los ejercicios siguientes. Comprueben sus respuestas con las de algún otro equipo.(A) Escriban en forma de una única potencia las multiplicaciones siguientes:

a) =___________________________

b) =_________________

c) =___________________

d) =_______________

e) =_______________

17


f) =_________________

g) =_________________

h) =_____________________

i) =________________

j) =____________________________

k) = _______________________________

l) =__________________________

m) =___________________________________

(B) Escriban en forma multiplicativa las potencias siguientes:

a) =_______________________________________________

b) =_____________________________________________

c) =_____________________________________________

d) =__________________________________________________

e) =___________________________________________________

f) =_________________________________________________

g) =_________________________________________________

h) =____________________________________________________

(C) Expresen en lenguaje común las expresiones siguientes.a) ____________________________________________________________

18


b) ____________________________________________________________

c) ____________________________________________________________

d) ____________________________________________________________

____________________________________________________________

(D) Reduzcan las multiplicaciones siguientes:1. =

2. =

3. =

4. =

5. =

6 =

7. =

8. =

9. =

10. =

11. =

12. =

13. =

14. =

19


15. =

16. =

17. =

18. =

19. =

20. =

21. =

22. =

23. =

24. =

25. =

26. =

27. =

28. =

20


29. =

30. =

31. =

32. =

(E) Expliquen, escribiendo, por qué ael multiplicar dos monomios con coeficientes literales o parámetros iguales, se suman sus exponentes:_______________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

(F) Reduzcan las expresiones algebraicas siguientes. Pueden usar su calculadora. En la reducción algebraica, nunca dejen exponentes negativos.

1. =

2. =

3. =

4. =

5. =

6. =

7. =

21


8. =

9. =

10. =

11. =

12. =

13. =

14. =

15. =

16. =

17. =

18. =

19. =

22


20. =

21. =

22. =

23. =

24. =

25. =

26. =

27. =

28. =

29. =

23


30. =

Conexiones matemáticas

(F) Resuelvan los problemas siguientes. Comparen sus soluciones con las de otros equipos de trabajo.

1. Un cubo tiene arista de tamaño . Hallar su volumen.

2. El área de un cuadrado es . Hallar (a) la medida de su lado y (b) su perímetro.

3. Un triángulo tiene altura igual a y base igual a . Hallar su área.

4. Un trapecio isósceles tiene lado mayor igual a cm. Lado menor igual a cm., y altura igual a cm. Hallar (a) su perímetro y (b) su área.

5. El largo de un rectángulo mide cm y es igual al doble que su ancho. ¿Cuál

es la longitud del ancho?

6. Una roca marciana vista a través de una señal de televisión, tiene volumen

. La x es una variable que debe calcularse. Si se determina que

a) x toma el valor 12, ¿cuántos metros cúbicos mide la roca?

b) ¿Podría ser x igual a 2? ¿Por qué?

7. El volumen de maíz almacenado en una bodega es . La bodega puede almacenar hasta . Veinte camiones traen maíz para almacenarlo en la bodega, cada uno transporta .(a)¿Cuál es el volumen de maíz que transportan los camiones?

(b)¿Cuánto maíz faltará para llenar la bodega?

(c)¿Cuántos camiones más con igual volumen de maíz deben comprarse para llenar la bodega?

8. Una esfera tiene radio cm. Otra tiene radio cm. ¿Cuál es la razón

del volumen al volumen de las esferas?

24


Aprueba o desaprueba(G) Di si son verdaderas o falsas las igualdades siguientes, explicando en cada caso

negativo el motivo.1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

(H) Geometría. Resuelvan los siguientes problemas.

1. El contorno del techo de una casa se muestra en seguida. Calculen (a) el perímetro y (b) el área del techo.

25


2. ¿Cuál es el área total de los dos cuadrados que se muestran en seguida?

4

x

3. De acuerdo a las dimensiones del siguiente rectángulo.

x+2

x

a) Obtén una ecuación para calcular P, su perímetro.

b) Obtén una ecuación para calcular A, su área.

c) Si x toma el valor 2 metros, ¿cuál es el perímetro y el área del rectángulo?

d) Si x toma el valor 5 metros, ¿cuál es el perímetro y el área del rectángulo?

26


4. Un arquitecto dibuja sobre papel lo que será una pequeña cancha para practicar básquet. A su lado traza otra para practicar tenis. El dibujo se muestra en seguida.

a+4

a a

a

a) ¿Cuál es el perímetro de las canchas juntas?

b) ¿Cuál es el área de las dos canchas?

c) ¿Cuántas veces cabe la cancha chica en la grande?

5. En este cuadrado se han trazado segmentos de recta que lo dividen en tres regiones.

a) ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?

b) ¿Cuál es el área del cuadrado?

c) ¿Cuál es el área de la región interna más grande al cuadrado?

d) ¿Cuál es el área de la región sombreada y en “L” que se observa en el gráfico?

27


6. La siguiente figura es un modelo de un campo donde se siembra maíz y trigo.

maíz trigo

A C

F D

B

E

Algunas de las dimensiones del campo son AB=10x, BC=2x y CD=4x.

(a) ¿Qué figuras geométricas están representadas en el campo?

(b) ¿Cuál es el perímetro del campo total?

© ¿Cuál es el área total del campo?

(d) ¿Cuál es el área donde se siembra maíz?

(e) ¿Qué porcentaje representa el área donde se siembra trigo respecto al área total?

(f) ¿Qué porcentaje representa el área donde se siembra trigo respecto al área donde se siembra maíz?

28


7. Una planta de una casa se ha dividido como se observa en la figura siguiente.

8x

sala comedor

3x 4x 3xx

2x

recámara

a) ¿Cuál es la superficie de la casa?

b) ¿Cuál es la superficie de la recámara?

c) ¿Cuál es la superficie de la sala-comedor?

d) ¿Qué porcentaje de la casa es la superficie de la sala-comedor?

e) Si los muros se levantaron a 2.2 metros y cada metro cuadrado costó 100 pesos, ¿cuál es el costo total de levantar los muros?

8. Una cisterna tiene forma de caja con tapa, y las dimensiones que se observan en la siguiente figura.

5x metros

x metros

3x metros

(a) ¿Cuál es su capacidad?

(b) ¿Cuál es su superficie total?

29


(c) Si la cisterna se llena con agua a la tercera parte, ¿qué volumen de agua habrá en ella?

(d) Quince cisternas iguales, ¿qué volumen tienen en total?

(e) Cada metro cuadrado de construcción cuesta 80 pesos, ¿cuál es el costo total al construir una cisterna?

(f) Si x es igual a 10 metros, ¿cuál es el volumen de la cisterna?

(g) Si x es igual a 10 metros, ¿cuál es el costo de construir una cisterna?

9. Un cuadrado de lado x se coloca sobre otro de lado y, coincidiendo en un vértice y un lado como se ve en la figura. ¿Cuál es el área del cuadrado grande no cubierta por el pequeño?

y

x

30


10. Un cuadrado de lado x se corta en dos partes formando una especie de rompecabezas, según se ve en la figura. Calcula el área de las dos piezas.

x/2

x/2

11. En un cuadrado se trazan dos diagonales formando así tres triángulos. Como se ve en el dibujo siguiente donde DE mide x/4.

x

x/4

A

D

B

CE

a) ¿De qué tipo es el triángulo?

b) ¿Cuál es la longitud del segmento EC?

c) ¿Cuál es el área del triángulo ACE?

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Uso de la calculadora

La calculadora es una herramienta para calcular, pero debe conocerse para usarla con corrección. Para realizar operaciones aparentemente simples, como multiplicaciones o divisiones, los paréntesis son fundamentales, y es necesario saber programarlos: organizarlos. Si no, obtendrás operaciones incorrectas. Antes, debes recordar el orden de las operaciones:

Orden de las operaciones:

1. Ejecuta primero todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupamiento, comenzando con los émbolos de agrupamiento más internos. Allí, primero con las potencias, luego multiplicaciones o divisiones, luego sumas o restas. Una raíz, es como un paréntesis.

2. Ejecuta luego todas las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

3. Ejecuta finalmente todas las sumas y substracciones de izquierda a derecha.

Ejemplos

a) . Programa:

b) . Programa: . El símbolo del exponente 2 puede ser x2 en tu calculadora.

c) . Programa:

d) Programa:

e) . Programa: . Observa la necesidad del

doble paréntesis.

f) . Programa: . Estudia estos dos últimos

casos.

g) . Programa:

.

La tecla , realiza las operaciones de fracciones. Una cantidad mixta como

se convierte a fracción con la instrucción Shift.

Actividad de aprendizajeTrabaja en equipo con dos compañeros ó más y resuelvan los ejercicios siguientes. Comprueben sus respuestas con las de algún otro equipo.

32


(A) Calculen lo siguiente, usando su calculadora.

1. =

2. =

3. =

4. =

5. =

6. =

7. =

8. =

9. =

10. =

11. =

12. =

13. =

14. =

15. =

33


16. =

17. =

18. =

(B) Si a =-3 y b =-5, evalúen las siguientes expresiones algebraicas. Pueden usar la calculadora. Planeen qué hacer antes de actuar.

(1) =

(2) =

(3) =

(4) =

(5) =

34


UNIDAD 3

Suma y resta de polinomios

Conexiones

Geometría analítica

Estudiarás polinomios y sus operaciones porque son útiles, se aplican en la ciencia en general como modelos para aproximar y explicar fenómenos naturales y en la matemática permiten describir formas matemáticas importantes para su estudio teórico. Por ejemplo, en seguida se muestra una tabla de ecuaciones formadas con polinomios que se estudian en Geometría Analítica. Esos polinomios, conforman ecuaciones.

Ecuación Grado Gráfico Tipo1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

Recta

2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

10

20

30

40

50

60

x

y

Parábola

2

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

Circunferencia

2

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Elipse

2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

Hipérbola

35


TrigonometríaEn la trigonometría, la medida de un lado de un triángulo oblicuángulo (que no es rectángulo. Ver figura.), se mide según la ecuación:

Los lados del triángulo se expresan mediante letras minúsculas, y los ángulos con letras mayúsculas; cos A, es la medida del coseno del ángulo A. Se calcularía con tu calculadora.

FísicaEn la física, el movimiento de un proyectil que se lanza con cierta velocidad inicial vertical , se describe mediante la ecuación:

, donde como ya se mencionó, g es la fuerza debida a la gravedad y t

es el tiempo transcurrido.

FinanzasLos bancos cobran intereses por los préstamos que hacen. También pagan intereses por las inversiones que se hacen en ellos. Esos pagos, o intereses, pueden acumularse. El interés acumulado, A, por una cantidad P, invertida en pesos, se

calcula por la ecuación . Donde t es el tiempo y r es la tasa

de interés por año, por ejemplo, 4% (0.04).

PoblaciónLa población, P, de una ciudad, en el transcurso del tiempo, x, se modeló mediante una ecuación polinomial. Las unidades de P son cientos de miles y las de

x años, el polinomio

representado en el gráfico siguiente, representa ese crecimiento.

Matemática superiorUno de los números más importantes en la matemática es e, la base de los logaritmos naturales (ln en tu calculadora). Ese número, puede escribirse como una suma infinita de términos aritméticos:

Si el número e se eleva el exponente x, se obtiene una suma infinita de monomios algebraicos:

36

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.97

0.98

0.99

1.00

1.01

x

y


Definiciones

Lee acerca de la ideaUn polinomio es una suma o resta algebraica de monomios.

Un monomio es un polinomio con un solo término.Un binomio es un polinomio con dos términos.Un trinomio es un polinomio con tres términos.

Los polinomios son de varias clases:

(a) Polinomios enteros: no contienen en término alguno variables en un denominador ni en raíces. Ejemplos:

(b) Polinomios fraccionarios: algún monomio tiene variable en un denominador, pero no dentro de alguna raíz. Ejemplos:

(c) Polinomios irracionales: los que poseen algún término algebraico con una raíz, cuadrada, cúbica, etc. Ejemplos:

Actividad de aprendizajeReúnete con dos compañeros y resuelvan las situaciones siguientes. Comenten los resultados con otros compañeros o con su maestro si tienen alguna duda.

A. De los siguientes polinomios o representaciones de polinomios, digan cuál es su clase.

1. : _______________________________________________________________

2. : ___________________________________________________

3. : _________________________________________________________

37


4. : _________________________________________________________

5. : _________________________________________________________

6. : __________________________________________________________

7. : ___________________________________________________

8. : _____________________________________________________________

B.1. Escriban dos binomios enteros de grado tres._____________________________

______________________________________________________________________

2. Escriban dos polinomios fraccionarios con tres términos cada uno.___________

______________________________________________________________________

3. Escriban dos trinomios fraccionarios con una variable de grado 5.___________

______________________________________________________________________

4. (a) Grafiquen en su cuaderno la siguiente ecuación con un lado correspondiente

a un polinomio fraccionario: . Primero construyan una tabla.

(b) ¿Qué valor no puede tomar la variable x? ¿Por qué? Expliquen. Usen su calculadora.Tabla.

x

38


(c)¿Se pueden unir todos los puntos que encontraron con una línea continua? ¿Por qué? _____________________________________________________________

____________________________________________________________________

(d)Describan el comportamiento de la curva encontrada._______________________

____________________________________________________________________

C. Escriban en lenguaje algebraico los siguientes polinomios y digan a cuál clase pertenecen.

1) La suma de tres variables diferentes cada una elevada a un exponente par diferente:______________________________________________________

2) El cociente de dos variables menos la tercera potencia de otra variable:_________

___________________________________________________________________

3) La raíz cuadrada del producto de tres variables, todo ello menos la raíz cuarta de la suma de dos de ellas:________________________________________________

4) La potencia cuatro del cociente de dos variables:__________________________

5)La potencia dos de la suma del doble de una variable menos la potencia cuatro de la otra:_____________________________________________________________

6) El producto de la cuarta parte de la suma de dos variables, por otra variable elevada al cubo:______________________________________________________

7) El producto de un polinomio entero de grado 4 por uno fraccionario:__________

___________________________________________________________________

8) La suma de un polinomio fraccionario y otro irracional:____________________

___________________________________________________________________

Propiedad distributiva

Un polinomio puede multiplicarse por un monomio u otro polinomio, por ejemplo:

39


Para obtener el resultado algebraico de tales productos, es conveniente aplicar la propiedad distributiva del producto:

Un factor “a” que multiplica a una suma o resta de variables o constantes, multiplicará a cada término de la suma o resta.

Ejemplos

: ningún resultado se

escribe con exponentes negativos.

Siempre quedará una variable en el denominador o el numerador, según donde haya más multiplicándose.

Actividad de aprendizajeTrabajando en equipo, resuelvan las operaciones siguientes donde se multiplica un monomio por un polinomio. Si deben reducir, háganlo. Usen su calculadora para resolver las operaciones con fracciones. No dejen exponentes negativos. Si tienen alguna duda, comenten primero con los miembros de algún otro equipo. Al final con su maestro.

1. = ___________________________________________________________

2. = ___________________________________________________________3. = ________________________________________________________

4. =_________________________________________________________

5. = __________________________________________________________

6. = _____________________________________________________

7. = ______________________________________________________

8. = _________________________________________________

9. = ___________________________________________

10. = ____________________________________________

40


11. = ________________________________________

12. = ______________________________________

13. = _________________________________

14. = ________________________________________

15. = ___________________________________________

16. = _____________________________________

17. = ____________________________________________________

18. = _____________________________________

19. = ________________________________________________

20. = ____________________________________________

21. = _____________________________________

22. = ___________

______________________________________________________________________

23. = ___________________

______________________________________________________________________

41


24. = ___________________________________________________

25. = _____________________________________________

______________________________________________________________________

26. = ____________

______________________________________________________________________

27. = _____________________________

______________________________________________________________________

28. = ________________________________________________

29. = _______________________________________________________

30. = ___________________________________________________

31. = __________________________________________________

42


32. = ________________________________________________________

33. = __________________________________________________

34. = _________________________________________________

35. = _________________________________________

Suma y resta de polinomiosLee acerca de la idea

Suma. Dado que los polinomios se componen con monomios que se suman o restan, dos o más polinomios pueden sumarse o restarse en sus términos semejantes. Por ejemplo, sumar y puede hacerse agrupando los términos semejantes en paréntesis con su signo y efectuar la suma algebraica:

Suma de fracciones. La suma de los polinomios y requiere

que se resuelvan operaciones con fracciones. Se puede usar la calculadora si se propone

. En la calculadora, como ya saben, se usa la tecla

y se obtiene primero: 4 5+8 7=68/35. Después sigue (-2 3)-(6 7)=-

32/21. Por lo tanto, la respuesta es:

.

Suma y propiedad distributiva. Otra suma que requiere desarrollo especial: sumar

y . Primero debe resolverse mediante la propiedad distributiva el

producto del monomio por el binomio: . Posteriormente, se

realiza la suma: .

Resta. La resta de polinomios requiere un tratamiento especial, que determine que un polinomio se resta de otro.

43


Si se resta de M, se tiene: , entonces, cada término del polinomio S deberá multiplicarse por -1, esto es, cada signo de cada monomio en S cambiará, y después se sumarán M y S.

En tal relación, M se llama minuendo y, S, sustraendo.

Aprende la idea

Restar de .

I. Se multiplica S por -1:

II. Se suman :

Restar de

I. Se multiplica por -1: . Simplemente, se cambian

los signos.

II. Se suma: .

La resta de dos polinomios también puede representarse haciendo uso de paréntesis:

Restar de :

Actividad de aprendizajeEn compañía de otros compañeros, resuelvan las sumas y restas de polinomios siguientes. Pueden ir comprobando sus respuestas al compararlas con los de otros compañeros. Si tienen alguna duda, consulten con su maestro.

A. Sumen los polinomios siguientes, separados por un punto y coma (;).

1. ; = ___________________________________________________2. ; =______________________________________________________3. ; = _________________________________________________

4. ; = _____________________________________________

5. ; = ___________________________________

44


6. ; = _____________________________________________

7. ; = _____________________________________________

8. ; = _________________________________________

9. ; = ______________________________________

10. ; = ___________________________

______________________________________________________________________

11. ; = ___________________________________

______________________________________________________________________

12. ; = _______________________

______________________________________________________________________

13. ; = _____________________________

______________________________________________________________________

14. ; = ______________________________

______________________________________________________________________

15. ; ; = _________________________________________

______________________________________________________________________

16. ; ; = _________________________________________

______________________________________________________________________

17. ; ; = _______________________

______________________________________________________________________

45


18. ; = ___________________________________

______________________________________________________________________

19. ; = ________________________

20. ; ; = _________________________

______________________________________________________________________

21. ; ; = _________________________

______________________________________________________________________

22. ; = __________________________________

______________________________________________________________________

23. ; = _______________________________________

______________________________________________________________________

24. ; = ___________________________________

______________________________________________________________________

25. ; = ________________________________

______________________________________________________________________

26. ; = ___________________________

______________________________________________________________________

27. ; = ____________________________________

______________________________________________________________________

28. ; = __________________________________________

______________________________________________________________________

46


29. ; = _________________________________________________

______________________________________________________________________

30. ; = ____________________________________________

31. ; = ____________________________

______________________________________________________________________

32. ; = ____________________________

______________________________________________________________________

33. ; = ___________________________________________

______________________________________________________________________

34. ; = ____________________________________

______________________________________________________________________

B. Resten las cantidades o polinomios siguientes según se indica. Identifiquen el minuendo y el sustraendo.

1. de = _________________________________________________

______________________________________________________________________

2. de = ____________________________________________________

______________________________________________________________________

3. de =_______________________________________________

______________________________________________________________________

4. de = ___________________________________________

______________________________________________________________________

5. de = _________________________________

______________________________________________________________________

47


6. de = ___________________________________________

______________________________________________________________________

7. de = ____________________________________________

______________________________________________________________________

8. de = _______________________________________

______________________________________________________________________

9. de = _____________________________________

______________________________________________________________________

10. de = _________________________

______________________________________________________________________

11. de = _________________________________

______________________________________________________________________

12. de = _____________________

______________________________________________________________________

13. de = ___________________________

______________________________________________________________________

14. de = ____________________________

______________________________________________________________________

15. de = ________________________________________________

______________________________________________________________________

16. de = _________________________________________________

48


______________________________________________________________________

17. de = ___________________________________

______________________________________________________________________

18. de = _________________________________

______________________________________________________________________

19. de = ______________________

______________________________________________________________________

20. de = ____________________________________

______________________________________________________________________

21. de; = __________________________________

______________________________________________________________________

22. de = ________________________________

______________________________________________________________________

23. de = _____________________________________

______________________________________________________________________

24. de = _________________________________

______________________________________________________________________

25. de = ______________________________

______________________________________________________________________

26. de = _________________________

______________________________________________________________________

49


27. de = ___________________________________

28. de = ________________________________________

______________________________________________________________________

29. de = _______________________________________________

______________________________________________________________________

30. de = __________________________________________

______________________________________________________________________

31. de = __________________________

______________________________________________________________________

32. de = ___________________________

______________________________________________________________________

33. de = _________________________________________

______________________________________________________________________

34. de = __________________________________

______________________________________________________________________

C. Resten las expresiones algebraicas siguientes.

1. de = ______________________________

______________________________________________________________________

2. de = _________________________

______________________________________________________________________

50


3. de = ________________________

______________________________________________________________________

4. de = _____________________

______________________________________________________________________

D. Si a=2, b=03 y c=-2, evalúen las expresiones siguientes. Usen la calculadora programando las operaciones.

1. = ___________________________________________________

______________________________________________________________________

2. = ___________________________________________________

______________________________________________________________________

3. = __________________________________________________

______________________________________________________________________

4. = ______________________________________________

______________________________________________________________________

5. = __________________________________________________________

______________________________________________________________________

6. = ________________________________________________________

______________________________________________________________________

7. = ________________________________________________

______________________________________________________________________

8. = ___________________________________________________

______________________________________________________________________

51


9. = _____________________________________

10. = _______________________________________________________

______________________________________________________________________

Ecuaciones que se suman o restanLos polinomios que forman parte de una ecuación, suelen expresar algo importante, por ejemplo, los ingresos de un negocio, los gastos, los costos; la altura de un niño al pasar el tiempo; los tiempos olímpicos en la carrera de los 100 metros planos, etcétera.

EjemploLa empresa ABC se compone, entre otras, de dos fábricas de papel: A y B. Las utilidades anuales, en millones de pesos, de la empresa A, se representan por la ecuación . Las utilidades anuales de la empresa B se representan por

. ¿Cuál será la utilidad anual de la empresa ABC considerando estas dos empresas?

Debe ser que las utilidades anuales se obtienen sumando: . En seguida se muestran los gráficos de esta situación.

Actividad de aprendizajeReunidos en equipos, resuelvan los problemas siguientes. Comparen sus soluciones con las obtenidas por otros equipos. Si existe alguna diferencia, argumenten al respecto.

1. Las ventas mensuales, “y”, de dos aparatos telefónicos están dadas por las ecuaciones siguientes donde la “x” representa el mes.

Modelo A: : línea continua.

Modelo B: .

52


Los gráficos de las ventas mensuales, dadas en cientos de teléfonos, se muestran en seguida.

(a) Calculen la ecuación de las ventas totales de los dos modelos.

(b) Grafiquen la ecuación de las ventas totales.

53

0 10 20 30 40 500

500

1000

1500

2000

2500

x

y


(c) ¿Qué forma tienen las ventas, y qué significado tiene? ________________________

______________________________________________________________________

2. El desplazamiento en metros, “y”, de un cuerpo lanzado al espacio desde una misma altura, es observado en dos ocasiones, A y B. Las ecuaciones de ese desplazamiento, en el tiempo, “x”, en segundos, son las siguientes:

: línea punteada.

Se desea hallar el promedio del desplazamiento del cuerpo.

(a) Hallen la ecuación del promedio.

(b) Grafiquen la ecuación promedio hallada.

54


(c) Describan la forma en que se desplaza el cuerpo : ____________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

3. Según la mercadotecnia, se supone que las ventas pueden ser influenciadas por la publicidad. Una empresa determina que su programa de publicidad funcionará según la

regla , donde P representa las ventas en millones de pesos anuales y

“x” son cientos de miles de pesos gastados en publicidad (x>0). (a) Tracen el gráfico de las ventas contra la inversión.

(b) Interpreten el contenido del gráfico. ¿Hasta qué valor puede asumir x? ¿Por qué?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

4. El precio del kilogramo de fríjol en dos supermercados diferentes de ciudad de Aguascalientes, y , en relación al tiempo, “x”, en meses, se muestran en seguida.

(a) En los primeros 15 meses, ¿cómo se representa el precio promedio del fríjol considerando los dos supermercados?

(b) ¿Dónde debe comprarse fríjol según el mes?

55


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

(c) Resten: y y grafiquen cada resultado. Den el significado del término independiente en cada resultado y de cada gráfico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

y

56


UNIDAD 4

Potencias y Exponentes Radicales

Como se mencionó anteriormente, la potencia de una expresión algebraica es el resultado simbólico que indica mediante un exponente cuantas veces se multiplica una cantidad numérica o una expresión algebraica por sí misma. En seguida se muestran algunos ejemplos dados en su forma multiplicativa.

Aprende el conceptoEl segundo caso anterior, es una potencia de potencia, y es obvio que el resultado de la

operación es: . Otros ejemplos ilustrativos acerca de cómo

aplicar la potencia de potencia son estos:

Regla de la potencia de potenciaPara resolver una potencia de potencias, el exponente de la expresión algebraica multiplica a cada exponente de cada coeficiente de esa expresión.

Estudia y aprende el caso siguiente

.

Actividad de aprendizajeTrabajando con dos de tus compañeros, resuelvan los ejercicios siguientes. Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y resuelvan las diferencias argumentando al respecto.

57


A. Escriban de forma multiplicativa las potencias siguientes separando sus factores en la potencia respectiva.

1. = ____________________________________________________________

2. = ___________________________________________________________

3. = _______________________________________________________

4. = ___________________________________________________________

5. = _________________________________________________________

6. = _________________________________________________________

7. = __________________________________________________________

8. = __________________________________________________________

B. Obtengan el resultado de aplicar la potencia respectiva a las potencias siguientes, dejando los resultados en potencias.

1. = _____________________________________________________________

2. = ____________________________________________________________

3. = __________________________________________________________

4. = _____________________________________________________________

5. = ___________________________________________________________

58


6. = ___________________________________________________________

7. = _________________________________________________________

8. = ______________________________________________________________

9. = ___________________________________________________________

10. = ___________________________________________________________

11. = _________________________________________________________

12. = __________________________________________________________

13. = _________________________________________________________

14. = ________________________________________________________

15. = _________________________________________________________

16. = ________________________________________________________

17. = _______________________________________________________

18. = ______________________________________________________

19. = ______________________________________________________

59


20. = ______________________________________________________

21. = ____________________________________________________

22. = __________________________________________________

23. = _____________________________________________________

24. = _________________________________________________

25. = _______________________________________________________

26. = __________________________________________________________

27. = _____________________________________________________

28. = ____________________________________________________

29. = _________________________________________________________

30. = ____________________________________________________

31. = ___________________________________________________

32. = ________________________________________________

33. = __________________________________________________

60


34. = __________________________________________________

35. = _________________________________________________________

36. = _________________________________________________

37. = ____________________________________________________

38. = ___________________________________________________

39. = ___________________________________________________

40. = _____________________________________________________

41. = ______________________________________________

C. Aprueben o desaprueben la verdad de cada igualdad siguiente. En caso de desaprobar, digan en qué consiste el error.

1. = ________________________________________________

2. = __________________________________________________

61


3. = __________________________________________________

4. = ____________________________________________

5. = _____________________________________

6. = _________________________________

Exponentes

Lee acerca de la ideaLos exponentes pueden ser números enteros, racionales o de otro tipo.

Exponentes fraccionarios

Lee, conoce y estudia definiciones:

1.

2.

3.

Esta es la naturaleza de los exponentes fraccionarios: corresponden a las raíces de índice el que determina el denominador en la fracción, y el exponente de la expresión algebraica es el numerador.

Ejemplos

62


= : sólo puede hacerse si el índice de la raíz es el

mismo.

¿Por qué?: ___________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Elementos de un radicalObsérvese en el gráfico siguiente los elementos de un radical en relación a su forma con exponente:

Reducción de radicales

Lee acerca de la ideaCuando el índice de la raíz es un múltiplo del exponente de la cantidad subradical o de los exponentes de coeficientes numéricos o literales en esa cantidad, entonces se puede reducir un radical.

Ejemplos

63


Exponente 0

Lee y estudia la idea

Se divide , Entonces: , pues todo número dividido entre sí

mismo es igual a 1. Y en general:

Todo número elevado al exponente 0, es igual a 1.

Actividades de aprendizajeReúnanse a trabajar en equipo y resuelvan los ejercicios siguientes. Consulten con otros equipos o con su maestro si tienen alguna duda.

A. Escriban con signo radical las siguientes expresiones.

1. = ________________________________________________________________

2. = ________________________________________________________________

3. = ________________________________________________________________

4. = _____________________________________________________________

5. = ___________________________________________________________

6. = _________________________________________________________

7. = _________________________________________________________

8. = ____________________________________________________________

9. = _____________________________________________________________

10. = ________________________________________________________

64


11. = _________________________________________________________

12. = ____________________________________________________

13. = _____________________________________________________

14. = _________________________________________________________

B. Escriban con exponente fraccionario las siguientes expresiones radicales:

1. = _______________________________________________________________

2. = ______________________________________________________________

3. = ______________________________________________________________

4. = ____________________________________________________________

5. = _____________________________________________________________

6. = _______________________________________________________________

7. = ______________________________________________________________

8. = __________________________________________________________

9. = ____________________________________________________________

10. = ___________________________________________________________

65


11. = ___________________________________________________________

12. = ___________________________________________________________

13. = __________________________________________________________

14. = __________________________________________________________

15. = ___________________________________________________________

16. = ________________________________________________________

17. = ________________________________________________________

18. = ____________________________________________________________

19. = ___________________________________________________________

20. = ____________________________________________________________

21. = _____________________________________________________________

22. = ____________________________________________________________

23. = _____________________________________________________________

24. = _____________________________________________________________

25. = ____________________________________________________________

26. = _____________________________________________________________

C. Reduzcan los radicales siguientes.

1. = _____________________________________________________________

66


2. = ______________________________________________________________

3. = ______________________________________________________________

4. = ______________________________________________________________

5. = _______________________________________________________________

6. = ____________________________________________________________

7. = ____________________________________________________________

8. = _____________________________________________________________

9. = _________________________________________________________

10. = ___________________________________________________________

11. = _________________________________________________________

12. = _________________________________________________________

13. = ________________________________________________________

14. = _______________________________________________________

15. = ________________________________________________________

16. = _________________________________________________________

17. = _______________________________________________________

18. = _____________________________________________________

19. = ___________________________________________________________

20. = _________________________________________________________

21. = ________________________________________________________

22. = __________________________________________________________

67


23. = _________________________________________________________

24. = _____________________________________________________________

25. = _____________________________________________________________

25. = __________________________________________________________

26. = __________________________________________________________

27. = ___________________________________________________________

28. = ________________________________________________________

29. = _______________________________________________________

30. = __________________________________________________________

31. = _________________________________________________________

32. = _________________________________________________________

68


33. = _________________________________________________________

34. = ____________________________________________________________

35. = ____________________________________________________________

36. = ________________________________________________________

37. = ____________________________________________________________

38. = ____________________________________________________________

39. = ___________________________________________________________

40. = ________________________________________________________

41. = ___________________________________________________________

42. = ________________________________________________________

43. = ________________________________________________________

44. = ____________________________________________________________

69


45. = _____________________________________________________________

D. Efectúen las operaciones con radicales dadas en seguida y reduciendo completamente.

1. = _____________________________________________________________

2. = _____________________________________________________________

3. = __________________________________________________________

4. = _____________________________________________________

5. = _________________________________________________________

6. = ___________________________________________________

7. = ____________________________________________________

8. = _________________________________________________________

9. = _____________________________________________________

10. = __________________________________________

11. = __________________________________________

12. = ___________________________________________________________

13. = _________________________________________________________

14. = __________________________________________________________

70


15. = _______________________________________________________

16. = _______________________________________________________

17. = _______________________________________________________

18. = _________________________________________________

19. = __________________________________________

20. = ________________________________________________

E. Multipliquen las expresiones algebraicas con exponentes fraccionarios siguientes y escriban el resultado con radical. Puede usar su calculadora para hallar las respuestas.

1. = ______________________________________________________________

2. = ______________________________________________________________

3. = ______________________________________________________________

4. = ______________________________________________________________

5. = ______________________________________________________________

6. = ______________________________________________________________

7. = ______________________________________________________________

71


8. = ____________________________________________________________

9. = _____________________________________________________________

10. = ____________________________________________________________

11. = _______________________________________________________

12. = _______________________________________________________

13. = _______________________________________________________

14. = ____________________________________________________

15. = ____________________________________________________

16. = ___________________________________________________

17. = ________________________________________________________

18. = _____________________________________________________

19. = _____________________________________________________

20. = ____________________________________________________

21. = ___________________________________________________

72


F. Ya antes se ha visto que , donde r es un número cualquiera. Escribe con

exponente positivo cada expresión algebraica siguiente:

Aprende la definición

, donde r es un número cualquiera.1. =

________________________________________________________________

2. = _______________________________________________________________

3. = _____________________________________________________________

4. = _____________________________________________________________

5. = ___________________________________________________________

6. = __________________________________________________________

7. = ______________________________________________________________

8. = _______________________________________________________________

9. = _______________________________________________________________

10. = ______________________________________________________________

73


11. = __________________________________________________________

12. = _________________________________________________________

13. = _________________________________________________________

14. = __________________________________________________________

Multiplicación y división de polinomios

Multiplicación de polinomios

Extiende la idea

Propiedad distributivaIgual que en caso de la multiplicación de un monomio por un polinomio, la propiedad distributiva se aplica a la multiplicación de dos polinomios con dos o más términos cada uno: cada término de un polinomio multiplica a cada término del otro y al final se reduce la expresión sumando o restando los términos semejantes.

Ejemplos

74


ReglaCada monomio de uno de los términos de un polinomio, se multiplica por el otro polinomio. Se inspecciona el resultado parcial y se reduce sumando o restando términos semejantes.

Actividad de aprendizajeRealicen en grupo de tres alumnos, las operaciones siguientes de forma particular y después comparen sus resultados con los de otros compañeros. Verifíquenlas si hubiese alguna diferencia. Si tienen alguna duda consulten con tu maestro.

A. Desarrollen y reduzcan cada vez que sea posible las multiplicaciones de polinomios siguientes.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

75


9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

76


21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

77


32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

78


45.

46.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

79


52.

53.

54

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

80


68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81.

81


82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

91.

92.

93.

94.

95.

96.

97.

82


98.

99.

100.

101.

102.

103.

104.

105.

106.

107.

108.

109.

83


B. Analicen los resultados incorrectos de las multiplicaciones siguientes y digan dónde está el error o errores.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

C. Usando el conocimiento adquirido hasta aquí, haciendo uso de su calculadora, evalúen las expresiones algebraicas siguientes si a=2, b=-4 y c=10.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

84


UNIDAD 5

División de Polinomios

Lee acerca de la ideaLa operación de dividir dos cantidades enteras, como 35 (dividendo) entre 16 (divisor), permite entender el objeto que se persigue al dividir dos polinomios. El procedimiento es el de la división estándar:

Se halla el cociente: 2, más un residuo, 3. Así: .

Igualmente, al dividir dos polinomios se hallará el cociente más un residuo, aplicando el algoritmo de la división.

EjemploDividir (dividendo) entre (divisor):

Procedimiento:

85


Se divide , y se multiplica por x+3, colocando el resultado con signo

cambiado donde corresponda a algún término semejante en el dividendo. Se reducen las expresiones dejando un 0 donde corresponda. Se toma el término con coeficientes literales de mayor grado y se divide entre x:

. El Resultado con signo cambiado se multiplica por x+3 y se

coloca donde corresponda cada caso a un término semejante. Se reducen las expresiones dejando un 0. Si el residuo es sólo un número, ese es el residuo.

Nota: cuando no es posible cancelar términos semejantes para reducir, se escribe el término hallado a un lado de los que restan para trabajar en la división.

EjemploDividir entre :

Actividad de aprendizajeA. Efectúen las divisiones siguientes de trinomio entre binomio y escriban el residuo hallado. Usen la calculadora cuando se requiera.

1. entre 2. entre 3. entre 4. entre 5. entre 6. entre x+27. entre 8. entre 9. entre 10. entre

11. entre 12. entre 13. entre 14. entre 15.

16. entre 17. entre 18. entre 19. entre 20. entre 21. entre 22. entre 22. entre

23. entre 24. entre 25. entre 26. entre

86



31. entre 32. entre

33. entre 34. entre

35. entre 36. entre

37. entre

38. entre


Productos notables

Lee acerca de la ideaAlgunos productos de polinomios ocurren tan frecuentemente en el trabajo matemático que se les ha dado un nombre propio. Además, esos productos se pueden obtener de forma correcta mediante una regla simple y fija que proviene del resultado mismo de multiplicar.

Es conveniente que aprendas esas reglas, pero que no debes perder de vista la esencia de la multiplicación que consiste en aplicar, por ejemplo, la propiedad distributiva para hallar el producto.

Binomio al cuadrado

Un binomio al cuadrado tiene la forma: . Si se aplica la

propiedad distributiva para desarrollar la multiplicación, se obtiene:

La regla que ocurre cuando se multiplican dos binomios iguales, un binomio al cuadrado, es:

El cuadrado del primer término:

87


Más: el doble del producto del primero por el segundo término:

Más: el cuadrado del segundo término:

Cuidado: la regla es sólo un apoyo para obtener rapidez, no es el algoritmo algebraico de la multiplicación, aunque lo suple. Memorizar la regla por sí misma no es conveniente. La memoria a corto plazo la retendrá unas cuantas semanas. Es necesario practicar eventualmente con ella pero también aplicar la propiedad distributiva para validar cualquier resultado.

La propiedad de la regla anterior puede observarse y recordarse si se estudia el gráfico geométrico siguiente.

Contesta y descubre

(a) ¿Cuántos cuadrados se observan en la figura? Descríbelos y explica por qué lo son.(b) ¿Cuántos rectángulos hay en la figura y cuál es el área de cada uno de ellos?(c) De acuerdo a la figura, explica por qué

.

EjemplosAplicando la regla para multiplicar binomios:

1.

2.

3.

Actividades de aprendizajeA. Desarrollen trabajando en grupos los productos siguientes. Háganlo aplicando la regla del producto de binomios al cuadrado y luego aplicando la propiedad distributiva.

88


1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24.

25. 26. 27. 28.

29. 30. 31. 32.

33. 34. 35. 36.

37. 38. 39. 40.

41. 42. 43. 44.

45. 46. 47.

48. 49. 50.

51. 52.

53. 54. 55.

56. 57.

58. 59.

59. 60.

B. Escriban en el cuadro el número o la expresión algebraica que falte para hacer verdadera la igualdad.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

89


C. Para cada figura siguiente y dada la información en ella, escriban la expresión algebraica que representa el área de la figura y la de la región sombreada.

4 2x

4

2x

3x 10

3x

10

2x 4a

2x

4a

2x

2x

y

y

x

x

D. Halla el área de la región blanca dentro del círculo mayor.

R10

Binomios conjugados


90


Dos binomios se llaman conjugados cuando sólo difieren en un signo: y

son binomios conjugados. El producto de dos binomios conjugados se realiza

mediante la aplicación de la propiedad distributiva:

Así, surge un patrón o regla para hallar, sin practicar la multiplicación mediante la aplicación de la propiedad distributiva, el resultado de la multiplicación de binomios conjugados:

El resultado de multiplicar dos binomios conjugados es igual a: El cuadrado del primer término: Menos: – E l cuadrado del segundo término:

Ejemplos

Actividades de aprendizajeDesarrollen trabajando en grupos los productos siguientes. Háganlo aplicando la regla del producto de binomios conjugados y luego aplicando la propiedad distributiva.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15.

91


16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

Binomios con término numérico independiente diferente

Lee acerca de la ideaOtra expresión de producto de binomios, común en matemática, es la siguiente:

, donde b y c son constantes diferentes. Si se aplica la propiedad

distributiva para obtener la multiplicación, se obtiene:

La regla para obtener el resultado de una multiplicación de este tipo es:

El cuadrado del primer término:

Más: la suma de los términos constantes por la variable:

Más el producto de los términos constantes: bc.

Ejemplos

92


Actividades de aprendizajeReúnanse a trabajar en equipos y resuelvan los productos siguientes. Háganlo aplicando la regla del producto de binomios respectiva y luego aplicando la propiedad distributiva. Reduzcan siempre que sea posible. Pueden usar la calculadora si lo requieren.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

6. 9. 10. 11.

12. 13. 14.

15. 16. 17.

18. 19. 20.

21. 22. 23.

24. 25. 26.

27. 28. 29.

30. 31. 32.

33. 34.

34. 35.

36. 37.

38. 39.

40. 41. 42.

43. 44. 45.

93


46. 47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

Cubo de un binomio

Lee acerca de la ideaLa potencia de un binomio pude ser cualquiera, sin embargo, es de interés el desarrollo

de un binomio al cubo: .

Se puede resolver ese producto por el método que aplica la propiedad distributiva:

La regla para hallar el producto representado por un binomio al cubo es:

El cubo del primer término:

Más: tres veces el cuadrado del primer término por el segundo:

Más: tres veces el primer término por el cuadrado del segundo:

Más: el cubo del segundo término:

Ejemplos

Actividades de aprendizajeResuelvan los ejercicios siguientes trabajando en equipos. Háganlo aplicando la regla del producto de binomios conjugados y luego aplicando la propiedad distributiva.

A. Desarrollen los binomios al cubo:

94


1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19.

20. 21. 22. 23.

24. 25.

26 27. 28. 29.

30. 31. 32.

B. Decidan si cada desarrollo de los binomios al cubo siguientes es correcto o incorrecto. SI no, digan dónde se cometió el error y escriban el resultado correcto.

1.

2.

3.

4.

5.

Conexiones. Problemas geométricos

1. Un cuadrado tiene lado igual a .(a) Realicen un dibujo de este cuadrado con las partes que corresponden.(b) Calculen el perímetro del cuadrado.(c) Calculen el área del cuadrado.

2. Dado el rectángulo siguiente, calculen:

(a) El perímetro de todo el rectángulo.(b) El área de todo el rectángulo.(c) El perímetro del rectángulo A.(d) El área del rectángulo A.

95

2x + 5 3

x+7BA


3. Se corta de un rectángulo un triángulo como se ve en la figura siguiente.

(a) ¿Cuál es el área del trapecio T?Si x=4 cm., y y=7 cm.:(b) ¿cuál es el área del rectángulo?(c) ¿Cuál es el área del trapecio T?(d) ¿Cuántos centímetros mide el perímetro del

rectángulo?

4. Sobre un triángulo equilátero se inscribe un cuadrado según se observa en la siguiente figura. El lado del triángulo mide x, y la distancia AE mide y.

a) ¿Cuántos triángulos se observan en la figura? ¿De qué tipo son?b) Escriban una fórmula para calcular el área del cuadrado.c) Escriban una fórmula para calcular el área de cada uno de los triángulos AFE y CDG.d) ¿Cuál es el área del trapecio AFGC? Esa área se define

por la fórmula: .

Si x=10 cm., e y=2 cm.:(e) Calculen el área del triángulo ABC.(f) Calculen el área del cuadrado DEFG.(g) Calculen el área del trapecio AFGC.

5. José recortó de un trozo de cartulina un rectángulo que es 5 veces más largo que ancho. De él, habrá que cortar tres triángulos como se ve en la figura, donde A es el punto medio del lado mayor cuya medida es x – 2.

6. Una circunferencia se inscribe en un cuadrado según se observa en la figura. ¿Cuál es el área del cuadrado no cubierta por el círculo?

y

96

y

yx

T

A C

B

GF

E D

a) ¿Cuál es el valor del ancho del rectángulo?b) ¿Cuál es el área del rectángulo?c) Cuál es el área del triángulo no recto?d) ¿Cuál es el área de cada triángulo rectángulo?

A


7. Sobre una hoja cuadrada de dibujo de lado x se traza una línea inclinada que parte a la hoja en dos regiones, como se observa en la figura que sigue.

x

y

8. En el siguiente cuadrado, de lado , los triángulos en blanco son iguales e isósceles.

(a) ¿Cuál es el área del cuadrado, su ecuación?(b) ¿Cuál es la ecuación para calcular el área sombreada?Si x=12 cm.:(c) ¿Cuál es el valor del área sombreada?(d) ¿Cuál es el área de uno de los triángulos en blanco?

9. Una bandera cuadrada se cruza con dos líneas diagonales como se observa en la figura. El punto E parte el lado de la bandera en un segmento de longitud x y otro de longitud y. Cada triángulo se construirá con un color diferente. Para calcular la tela necesaria para construir una bandera es necesario calcular lo siguiente.

x y

A

D

B

CE

10. Traza un triángulo de altura x, y cuya base sea igual a la mitad de la altura menos una unidad. a) Escribe las dimensiones donde correspondan.b) Calcula el área del triángulo.

11. El radio de una circunferencia es 10x. Otra circunferencia concéntrica pero menor se halla en el interior de la primera, como se observa en la figura siguiente.

(a) ¿Cuál es el radio de la circunferencia menor?(b) ¿Cuál es el área de la circunferencia mayor?

97

a) Obtén una ecuación para calcular el área total.b) Obtén una ecuación para calcular el área de cada triángulo.c) Demuestra que la suma de las tres ecuaciones que hallaste para calcular el área de cada triángulo, es igual al área total de la bandera.

a) ¿De qué tipo es e triángulo?b) ¿Cuál es el área del triángulo formado?c) ¿Cuál es el área no cubierta por el triángulo?d) ¿Cuántas veces cabe el triángulo en la hoja?e) Si x es igual a 20 cm., e y=4 cm., ¿cuántas veces cabe el triángulo en la hoja?

5


(c) ¿Cuál es el área de la sección de la circunferencia mayor no cubierta por la menor?

Si x=8 cm.: (d) ¿cuál es el área de la sección de la circunferencia mayor no cubierta por la menor?

12. Un triángulo isósceles se utiliza para simular la punta de un para-rayos. La figura siguiente muestra algunas de las dimensiones. La longitud IJ es ax. L y K son los puntos

medios de los respectivos lados. La altura del triángulo que va de H a IJ es

Factorización

Lee acerca de la ideaFactorizar es representar por factores una suma o resta. Por ejemplo, la suma 4+10, se puede representar como 2(2 + 5). Los factores son 2 y (2+5).

La factorización algebraica es igualmente posible: la expresión se representa en factores tomando el máximo divisor común de las cantidades numéricas o las letras:

Esta factorización se llama por factor común.

Otras factorizaciones se obtienen del desarrollo de productos notables. Obsérvese la siguiente de un binomio al cuadrado, , la parte izquierda es la factorización del trinomio de la derecha. Sucede igual para los otros productos notables estudiados antes: el desarrollo de su multiplicación se puede factorizar.

En esta parte del curso, se estudiarán diversas formas de factorizar polinomios. La primera es la factorización por factor común.

Factorización por factor común

En esta factorización de un polinomio, se inspecciona el polinomio en cada uno de sus términos, y se deducen los máximos comunes divisores de los coeficientes numéricos y los literales respectivamente.

98

2ax

ax

H

I JK

L

(a) Calcula el perímetro de la punta.(b) Calcula el área de la punta. (c) Calcula el área del triángulo JKL.


Ejemplos

Al desarrollar la multiplicación del resultado factorizado, debe obtenerse el polinomio original: .

La factorización permite, en ocasiones, reducir expresiones algebraicas:

Se acostumbra extraer un factor común negativo para que la expresión dentro del paréntesis asuma signos positivos.

Regla para factorizar literalesSe puede ver que, se toma la variable con el exponente más pequeño de las literales comunes. Ese es el máximo divisor común para las literales.

Actividades de aprendizajeA. Resuelvan los ejercicios siguientes reuniéndose en grupos. Comparen sus resultados con los de algunos otros compañeros. Si tienen alguna duda, acudan con su maestra o maestro.

Factoricen cada expresión siguiente mediante un factor común.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10.

11. 12. 13.

14. 15. 16.

17. 18. 19.

20. 21.

99


22. 23.

24. 25.

26.

27.

28.

29.

30.

31. 32. 33.

34. 35.

36.

37.

38.

39.

40.

41. 42. 43.

44. 45. 46.

47. 48.

49. 50. 51. 52. 53. 55. 55.

B. Aplicando factorización reduzcan las fracciones algebraicas siguientes.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18.

100


19. 20.

Factorización en productos notables

Lee acerca de la ideaFactorizar. Como se dijo, factorizar o factorar una expresión algebraica es convertirla en un producto de factores. El desarrollo de los productos notables genera polinomios que tienen también nombre propio, y que se factorizan en productos notables:

Producto notable Producto Polinomio notableBinomio al cuadrado

Trinomio al cuadrado perfecto

Binomios conjugados

Diferencia de cuadrados

Binomio con término diferente

Trinomio suma/producto

Binomio al cubo Cuatrinomio combinatorio de un cubo

Suma y diferencia de cubos

De tal manera, cuando se reconoce un polinomio notable, se puede factorizar en un producto notable.

EjemplosFactorizar los polinomios siguientes:

: trinomio al cuadrado perfecto

: trinomio al cuadrado perfecto

: diferencia de cuadrados

: diferencia de cuadrados

: trinomio suma/producto

: trinomio suma/producto

: cuatrinomio combinatorio de un cubo

: cuatrinomio combinatorio de un cubo

La cuestión es cómo reconocer cada caso para factorizar correctamente. Nosotros proponemos la siguiente.

Regla para factorizar algunos trinomios o diferencias de cuadrados:Se busca que existan dos números que sumados o restados den el coeficiente del término lineal (o central), y que multiplicados arrojen el término independiente:

101


-5x+3x=-2x Dos números sumados/restados dan -2-5(2)=-10 Dos números multiplicados dan -10

Dos números sumados/restados dan 0 Dos números multiplicados dan 100

-9-9=-18 Dos números sumados/restados dan -18-9(-9)=81 Dos números multiplicados dan 81

Además: un trinomio al cuadrado perfecto tiene dos cuadrados perfectos:

, implica: y . Esta información debe

revisarse para saber de qué trinomio se trata y saber qué resultado deberá suceder.

Para factorizar el cuatrinomio combinatorio de un cubo, se revisa lo siguiente. Suponer: :

Deben existir dos cubos perfectos: y -27.

Se extrae la raíz cúbica de cada uno de ellos: y

Se escribe el binomio al cubo con esos resultados respetando su signo: . Se comprueba la respuesta desarrollando el cubo: . Si coincide con el cuatrinomio, se ha factorizado correctamente.

Actividades de aprendizajeResuelvan los ejercicios siguientes reuniéndose en equipos. Comparen sus resultados con los de algunos otros compañeros. Si no concuerdan revisen su procedimiento. Ante alguna duda, acudan con su maestra o maestro.

A. Factoricen los siguientes trinomios o binomios y digan en cada caso de qué tipo notable es.

1. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.

102


24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.

41. 42. 43. 44.45. 46. 47. 48.

49. 50. 51. 52.

53. 54. 55. 56.

57. 58. 59. 60.

61. 62.

63. 64. 65.

66. 67. 68.

69. 70.

71. 72. 73.

74. 75. 76.

B. Factoricen los polinomios siguientes.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15.

16. 17.

18. 19.

103


20.

C. Factoricen las sumas o restas de cubos que se les dan e seguida.1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10.

11. 12. 13.

14. 15. 16.

17. 18. 19.

20. 21. 22.

D. Reduzcan las expresiones algebraicas siguientes aplicando factorización.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

Factorización especial

Descomposición de factores de la forma

Lee acerca de la ideaComo no todos los trinomios o cuadrinomios proceden de productos notables fácilmente detectables, es necesario conocer otras técnicas de factorización para otros casos. Eso es lo que se enseña ahora.

Ejemplo: factorizar .

Técnica: Se multiplica el trinomio por el coeficiente de :

104


o

Ésta expresión se factoriza buscando dos números que sumados den 13 y multiplicados 12: 1 y 12.

Entonces: Como se alteró el trinomio original multiplicando por 2, debe dividirse el

resultado entre 2:

Conclusión:

Actividades de aprendizajeResuelvan los ejercicios siguientes reuniéndose en equipos. Comparen sus resultados antes de dar la respuesta definitiva. Si tienen alguna duda, acudan con su maestra o maestro.

Factoricen los trinomios siguientes.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

105


UNIDAD 6

Ecuaciones lineales


Una ecuación lineal es aquélla cuyo grado es 1. Por ejemplo, la ecuación de una recta: . Igualmente, la ecuación de un plano, como , es una

ecuación de primer grado; el motivo ya se ha mencionado: cada término con literales es de grado 1.

En éste curso, se estudiará el comportamiento de ecuaciones de primer grado pero sólo con una o dos variables:

Sobre ese comportamiento de las ecuaciones de primer grado, es nuestro objetivo calcular las incógnitas, hallar las soluciones de las ecuaciones.

Solución de una ecuación. Es el valor de la o las variables que hacen verdadera o correcta la igualdad en una ecuación.

Ejemplos de solución de una ecuación Si se resuelve la ecuación , x=2 es la solución de la ecuación, pues se

cumple que La solución de la ecuación es x=4, porque sólo así la igualdad

es correcta: : . Las soluciones del sistema de ecuaciones y , son x=6 y y=4,

porque y .

Miembro de una ecuación. Toda ecuación tiene dos miembros: izquierdo y derecho. Por ejemplo, en la ecuación , el miembro de la izquierda es , y es el miembro derecho.

106


Grado de una ecuación. Es el mayor exponente de una incógnita en una ecuación. Por ejemplo, es una ecuación de segundo grado, pero es una ecuación de tercer grado. Por eso, una ecuación como es una ecuación de primer grado, aunque con dos variables.

Ecuaciones lineales. A las ecuaciones de primer grado se les llama lineales.

En seguida se dan varios ejemplos de casos en que ocurren ecuaciones lineales.

Perímetro. La ecuación del perímetro, P, del terreno de una granja.

, es una ecuación lineal.

Planteos. La edad de Elena, e, es 5 veces mayor que la edad de Miguel, m, pero ambas

suman 60 años: . Las dos ecuaciones son lineales.

Relaciones proporcionales. El litro de aceite cuesta en un expendio 8.90 pesos, entonces, cualquier cantidad en pesos, p, por cualquier volumen de compra en litros, l, se escribe como .

Líneas rectas en el plano. La ecuación de una recta en el plano tiene la forma , donde m representa una medida de su inclinación y b es la ordenada del

punto de la recta que corta al eje y. Véase el gráfico siguiente.

Despeje de la incógnita

Lee acerca de la idea Cuando una ecuación es de primer grado, o de un grado mayor con una o varias incógnitas, se sigue el procedimiento llamado despeje para calcular la solución.

La técnica del despeje de una incógnita se basa en el uso de operaciones inversas. Las operaciones inversas “se anulan” mutuamente. Por ejemplo, para “anular” la adición,

107

2x

4.5x

3x

6x

200

180


hay que restar, para anular la multiplicación hay que dividir, etcétera. En seguida se muestra una tabla en que se comparan las operaciones inversas.

Comparación de operaciones inversasOperación Inversa

Suma + - RestaResta - + SumaMultiplicación DivisiónDivisión MultiplicaciónPotencia dos Raíz cuadrada

Raíz cuadrada Potencia 2

Potencia n Raíz n-ésima

Raíz n-ésima Potencia n

Al aplicar las operaciones inversas en el proceso de despeje de una incógnita, se usan las propiedades de la igualdad, que expresan que una igualdad es verdadera si sus miembros son idénticos, y si algo se hace en un lado, para que la igualdad permanezca debe hacerse en el otro lado, así sea sumar una cantidad real o una variable, restarla, multiplicar o dividir, elevar a una potencia o extraer una raíz.

Ejemplos1. Hallar la solución de la ecuación lineal .Se restan cuatro unidades a ambos lados de la igualdad: , entonces:

y .

En la secundaria se suele enseñar de la manera siguiente, mediante el método de transposición.

Dada , “como 4 suma a la izquierda, pasa restando a la derecha porque esa es la operación inversa de la suma”, y por tanto: “ .” A este proceso se le llama transposición.

2. Hallar la solución de la ecuación lineal .

, está sumando, y se transpone al miembro de la izquierda restando: la operación de suma se deshace del miembro de la izquierda mediante la resta; y se transpone a la derecha restando. Así se obtiene:

Como multiplica a x, se deshace esa operación mediante la división. Por ello la

solución de la ecuación es .

Comprobación: ; ; -1=-1.

108


3. La fórmula se usa para calcular la temperatura en grados Fahrenheit

cuando se conoce la temperatura en grados Celsius. Cuando la temperatura es la misma

en ambas escalas, . Sustituyendo por da como resultado la ecuación

: una ecuación lineal con una sola incógnita. En , aparece

en ambos lados del signo de igualdad. Usa las propiedades de la igualdad y operaciones inversas para eliminar la variable de cada lado, se obtiene:

: se restó de cada lado.

Interpretación: °C=°F, en -40°C.

La técnica de despeje se aplica también, como se mencionó, para hallar las soluciones de ecuaciones de grados mayores que 1.

4. Hallar la o las soluciones de la ecuación .Esta ecuación es cuadrática, de grado 2, y tiene dos soluciones:Como , la x puede ser x=2 o x=-2. Por eso, aplicando la operación inversa de la potencia 2, la raíz cuadrada, para despejar x, se obtiene:

Estas son las soluciones matemáticas.

5. Hallar la o las soluciones de la ecuación .

La ecuación es lineal. Primero, el 5 que divide, se deshace multiplicando por 5 el miembro de la derecha, luego se desarrollan las operaciones naturales que ocurren. Se puede transponer al miembro de la derecha la x:

109


De tal manera: x=8.

6. Resolver .

Para eliminar la raíz cúbica en ambos lados de la igualdad, se elevan ambos miembros a la potencia 3:

.

La potencia 3 deshace a la raíz cúbica. En seguida, se resuelve la ecuación :

La forma como se obtienen las soluciones de estas ecuaciones se estudiará posteriormente.

7. Despejar la variable x en la ecuación .

Actividades de aprendizajeReúnanse e trabajar en equipos, y resuelvan lo que se les pide en seguida. Si tienen alguna duda, pregunten a su maestra o maestro.

A. Resuelvan, mediante la técnica del despeje, las ecuaciones lineales siguientes y comprueben el resultado.

110


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12. 13. 14.

15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

22. 23. 24. 25.

26. 27. 28. 29.

30. 31. 32.

33. 34. 35.

36. 37. 38.

39. 40. 41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

B. Hallen el valor de la incógnita x en los casos siguientes. Apliquen la técnica del despeje. 1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

111


9. 10. 11. 12.

C. Resolver las siguientes ecuaciones aplicando la técnica del despeje.1. : ¿se debe escribir el ?2. : ¿se debe escribir el ?

3. 4. 5.

6. 7. 8.

9. 10. 11.

12. 13.

14. 15. 16.

17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25.

26. 27.

28. 29. 30.

D. Despejen la variable x de las siguientes ecuaciones.1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

112


16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25.

Sistemas de ecuaciones linealesEcuaciones simultáneas de primer grado


Ecuaciones lineales con dos variables y su gráficoUna ecuación puede tener dos incógnitas, y ser lineal:

1. : ecuación implícita2. : ecuación explícita

La ecuación 1 se llama implícita, porque no hay variable despejada. La segunda ecuación se llama explícita, porque la variable y se ha despejado y se ve cómo la variable x la explica.

Estas ecuaciones, al graficarlas, producen líneas rectas. Para graficar una línea recta, sólo hacen falta dos puntos para graficar en el plano cartesiano o sistema de coordenadas rectangulares. Por ejemplo, si se quiere graficar la recta , se dan a x valores arbitrarios, por ejemplo:

Valor arbitrario Sustitución Par ordenadox=-1

x=3

Los pares ordenados se dibujan en el sistema de ejes y se traza la recta que pasa por los puntos A y B:

113


Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas

Lee acerca de la ideaDos ecuaciones lineales con dos incógnitas son simultáneas si tienen la misma solución. Por ejemplo, el siguiente sistema de dos ecuaciones:

Representa un sistema de ecuaciones simultáneas porque si x=7 y y=4, las dos igualdades son verdaderas:

La solución de ese sistema es, pues: x=7 y y=4.

La solución de un sistema simultáneo de dos ecuaciones con dos incógnitas es el par de valores de esas incógnitas que hacen verdaderas a ambas igualdades o ecuaciones.

Dos ecuaciones de primer grado que tienen dos incógnitas, se pueden resolver o hallar su solución siempre y cuando:

a) No sean paralelasb) No sean coincidentes.

Si dos rectas son paralelas, nunca se cruzan, por eso no tienen solución alguna.

Si dos rectas son coincidentes o equivalentes, o sea, si está una sobre la otra en todos sus puntos, las rectas tienen un infinito de soluciones.

114


Para que dos rectas tengan solución debe suceder que se cortan en un único punto. Las coordenadas de ese punto, son la solución, esto es:

La solución del sistema de ecuaciones siguiente:

Se puede obtener de dos formas:

a) Gráficamente: trazando las rectas y observando dónde se cruzan. Pero este método no es exacto.b) Analíticamente: utilizando un proceso algebraico.

En seguida se muestra el gráfico de las dos rectas:

La solución del sistema está, al parecer en P (-2, 3).

Métodos analíticos de resolución de ecuaciones

Lee acerca de la ideaExisten varios métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones, entre ellos:

a) Por sustituciónb) Por igualaciónc) Por suma o resta.

En seguida se muestra el primer caso.

Resolución de ecuaciones simultáneas por sustitución

Aprende la idea

115


Resolver el sistema de ecuaciones: , utilizando el método de sustitución,

implica:

Paso 1. Se inspecciona el sistema de ecuaciones y se decide despejar una incógnita en caso de que no esté así, ya despejado en alguna: se desea tener al menos una ecuación en forma explícita.Paso 2. Se sustituye el valor despejado en la otra ecuación, para obtener una ecuación con una sola incógnita.Paso 3. Se resuelve la ecuación y se obtiene el valor de una de las incógnitas.Paso 4. Se sustituye el valor hallado de la incógnita en una de las dos ecuaciones, de preferencia en la que se ha despejado una variable. Se resuelve y se halla el valor de la otra incógnita.

. De la ecuación 1: se despeja y:

Se sustituye en la ecuación 2: : .

Se resuelve: . El valor de x es -2.

Se sustituye en la ecuación 3: : .

La solución del sistema es: x=-2 y y=3.

Comprobación

Actividades de aprendizajeReúnanse a trabajar en equipos de tres personas y contesten o resuelvan lo que se les pide en seguida. Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y si tienen alguna duda acudan con su maestra o maestro.

A. Escriban en forma explícita cada recta siguiente y grafíquenlas. Pueden usar un solo sistema de ejes coordenados.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

116


7. 8. 9.

B. Grafiquen cada siguiente par de rectas en un sistema de coordenadas rectangulares y obtengan sus soluciones gráficamente.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

C. Resuelvan analíticamente los sistemas de ecuaciones anteriores, aplicando el método de sustitución y comprueben sus resultados.

D. Para cada sistema de ecuaciones siguiente, determinen si tienen o no soluciones y cuántas. Digan si las rectas son paralelas, equivalentes o simultáneas. Si son simultáneas, hallen su solución. Contesten además lo siguiente:

a) Cuando son paralelas, ¿en qué son diferentes? ¿En qué son iguales?b) Cuando son equivalentes, ¿en qué son diferentes? ¿En qué son iguales?c) Cuando son simultáneas, ¿en qué son diferentes? ¿En qué son iguales?

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

Resolución de ecuaciones simultáneas por igualación

Aprende la ideaEn este método, igual que en el anterior, se aplica el principio de sustitución que dice:

Si a=b entonces a puede sustituirse por b cada vez que se halle b.

117


Resolver el sistema de ecuaciones por el método de igualación implica lo

siguiente:

Paso 1. Se despeja una de las variables de las dos ecuaciones.Paso 2. Se iguala x=x o y=y.Paso 3. Se resuelve la ecuación de una incógnita que se produce.Paso 4. El valor hallado se sustituye en alguna de las ecuaciones despejadas para encontrar el valor de la otra variable.

Despejamos la incógnita x de ambas ecuaciones:

Igualamos x=x: .Resolvemos:

Sustituimos en :

Solución: y .

Comprobación: Sustituimos la solución en las dos ecuaciones:

Actividades de aprendizajeTrabajando en equipo, resuelvan los sistemas de ecuaciones lineales siguientes por el método de igualación. Comprueben sus soluciones. Si tienen alguna duda, pregunten a su maestra o maestro.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

118


7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 13. 14.

15. 16. 17.

18.

Resolución de ecuaciones simultáneas por el método de suma o resta

Aprende la ideaEn este método, la reducción del sistema de ecuaciones se realiza como sigue. Supongamos que se desea hallar la solución del sistema:

Entonces, se observa que en la ecuación 1 la incógnita x es el doble de la x en la ecuación 2. Por tanto, se puede multiplicar la ecuación 2 por -2 y sumar esa ecuación a la 1:

Por tanto: y = -1.

Sustituyendo en la otra ecuación: :

Por tanto: x=2. La solución es: x=2, y=-1.

El método de suma o resta puede resumirse como sigue:

119


Paso 1. Se inspeccionan las dos ecuaciones y se decide multiplicar una de ellas por un factor que permita, al sumar o restar las dos ecuaciones, hacer un cero.Paso 2. Se resuelve la ecuación lineal resultante.Paso 3. Se sustituye el valor de la incógnita hallada en alguna de las dos ecuaciones, se resuelve y se halla el valor de la otra incógnita.

Actividades de aprendizajeResuelvan los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de suma o resta. Comprueben sus respuestas.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20.

Planteamientos con ecuaciones lineales

Lee acerca de la ideaSe pueden plantear problemas cuya información conduzca a situaciones sencillas construidas con ecuaciones lineales. Eso es lo que se hará aquí mediante algunos ejemplos.

1. Dos números sumados dan 43, pero la diferencia entre ellos es 3. ¿Cuáles son esos números?

PlanteamientoLos números son: x y y.La suma es 43: (1) .La diferencia entre ellos es 3: (2) .

120


Entonces, despejando x de (2): . Aplicando el principio de sustitución y sustituyendo en (1): . De aquí: y ,

obteniéndose: y . Por lo tanto, sustituyendo en , se

obtiene:

Comprobación: y .

2. La suma de tres números enteros consecutivos es 159. Hallar el valor de esos números.

El primer número es x, entonces los otros dos son: x+1 y x+2. Por lo tanto la suma es: x+x+1+x+2=3x+3=159.

Por lo cual, los otros números son 53 y 54.

Comprobación: 52+53+54=159.

3. La edad de Luis es tres veces la de Juan. Las dos edades suman 72 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?

L es la edad de Luis, y J es la edad de Juan. Por eso:

Por lo tanto: , y sustituyendo en la otra ecuación:

La edad de Luis es 54 años, y la de Juan 18.

Comprobación: 3(18)=54; 54+18=72.

Actividades de aprendizajeReúnanse a trabajar en equipo y resuelvan los problemas siguientes. Comprueben sus resultados y compárenlos con los de sus compañeros. Si tienen alguna duda, acudan con su maestra o maestro.

1. La suma de dos números es 510 y su diferencia es 100. Calculen esos números.2. Juan y Manuel tienen 3230 pesos entre ambos. Manuel tiene 1200 pesos más que Juan. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

121


3. Dividir el número 842 en dos partes tales que el menor exceda al mayor en 18 unidades.4. La edad de José es 55 años menor que la de Miguel. Las edades suman 115 años. Hallar las edades.5. Benito repartirá 1430 pesos entre sus dos hijos. El hijo A recibirá 70 pesos más que el hijo B. ¿Cuánto obtendrá cada uno?6. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 189.7. Tres números enteros consecutivos suman 312. Hallen esos números.8. Cuatro números enteros consecutivos suman 98. Hallen esos números.9. Se paga por el corte de un césped y el corte de las flores del jardín 1525 pesos. Por el corte de las flores del jardín se pagaron 400 pesos más que por el corte. ¿Cuánto se pagó por cada cosa.10. La suma de tres números es 1580 pesos. El número mayor excede al del medio en 70 pesos y al menor en 150 pesos. ¿Cuáles son esos números?11. Para terminar tres trabajos, Israel requirió 250 minutos. El primero necesitó 105 minutos y excede al primero en 40 minutos y al otro en 25. ¿Cuánto tiempo hizo para terminar cada trabajo?

12. La edad de María es cuatro veces la de Nina. Las edades suman 80 años. Calcúlenlas.13. Se compra un patín, una bicicleta y un Ipot para regalar en navidad. Todo cuesta 3500 pesos. El Ipot costó el doble de la bicicleta y 4 veces lo que el patín. ¿Cuánto costó cada cosa?14. Se repartirán 2450 pesos entre tres personas. La que manos recibe, tendrá 4 veces menos que la que más. La otra, recibirá la mitad que la que más. Calculen las cantidades que recibe cada una.15. El mayor de dos números es 8 veces el menor. Si ambos se suman se obtiene 153. Calculen esos números.16. La suma de dos números es 1278. Uno es 5 veces el otro. Calculen los números.17. El triple de un número es igual a ese número aumentado en 1040. ¿Cuál es el número?18. La edad de Alejandra es igual al cuádruplo de la edad de Juanita más 14 años. La suma de las edades es 84 años. Hallar las edades.19. La edad de Luis es la mitad de la de Ramón; la de Pedro es 5 veces mayor que la de Luis. La suma de las edades de Pedro y Ramón es de 112 años. Calcular las edades.20. Dividir 240 pesos en tres cantidades, tales que la primera sea un tercio la segunda y la segunda sea mayor en 40 pesos la tercera.21. Se compra una mesa, un florero y un mantel por un total de 5200 pesos. La mesa cuesta 10 veces más que el florero y el mantel 150 pesos menos que el florero. Hallar el precio de cada uno.22. La suma de tres números es 530. El segundo es tres veces mayor que el primero. El tercero es igual al doble del segundo aumentado en 30. Hallar los números.23. Entre A y B tienen 670 pesos. B tiene el cuádruplo de A, más 20 pesos. Hallar el dinero que tiene cada uno.24. Repartir 127 pesos entre A, B y C de tal forma que la parte de B sea 4 pesos menos que el doble de lo que tiene A, pero 30 pesos más que lo de C.25. Ruiz recibe un pago de 400 pesos, y así, logra tener seis veces lo que traía en la bolsa más 25 pesos. ¿Cuánto traía en la bolsa?26. Un rollo de tela se divide en dos largos. Uno de ellos es 4 metros menos largo que el resto. Halla la longitud de ambas partes si el rollo medía 55.5 metros.

122


27. Las edades de un padre y su hijo suman 145 años. La edad del padre excede a la del doble del hijo por 35 años. Hallar las edades.28. Dos ángulos suman 180°. Un ángulo es igual a las tres quintas partes del otro. Hallen las medidas de los ángulos.29. La suma de dos números es 1024 y el mayor excede al triple del menor en 120. Hallen los números.30. La diferencia de dos números es 47. Si el mayor se disminuye en 11 se tiene trece veces el menor. Hallar los números.31. En una clase hay 60 alumnos entre hombres y mujeres. El número de mujeres excede en 15 al doble de los hombres. ¿Cuántas mujeres y hombres hay?32. La suma de dos números es 506 y el triple del menor excede al mayor en 50 aumentado en 100. Hallar los números.33. La edad de un padre es el triple de la edad de su hijo. La edad que tenía el padre hace 5 años era el doble de la edad que tendrá su hijo dentro de 10 años. Hallar las edades actuales.34. Enrique tiene 5 veces lo que tiene su hermano. Si Enrique le diera a su hermano 50 centavos, ambos tendrían lo mismo. ¿Cuánto tiene cada uno?35. Compré doble número de sombreros que de trajes por 702 pesos. Cada sombrero costó 2 y cada traje 50. ¿Cuántos sombreros y cuántos trajes compré?36. Un padre pone 16 problemas a su hijo con la condición de que por cada problema que resuelva el muchacho recibirá 12 pesos, y por cada problema que no resuelva perderá 5 pesos. Después de trabajar en los 16 problemas el muchazo recibe 73 pesos. ¿Cuántos problemas resolvió y cuántos no?37. Un capataz contrata un obrero por 50 días pagándole $3 pesos por cada día de trabajo con la condición de que por cada día que el obrero deje de asistir al trabajo perderá $2. Al cabo de 50 días el obrero recibe $90. ¿Cuántos días trabajó y cuántos no?38. Un comerciante compró trajes de dos calidades por 1624 dólares. De la calidad mejor compró 32 trajes y de la calidad inferior 18. Si cada traje de la mejor calidad le costó 7 dólares más que cada traje de la calidad inferior, ¿cuántos trajes de cada clase compró?39. Pagué $582 por cierto número de sacos de azúcar y de frijoles. Por cada saco de azúcar pagué $5 y por cada saco de frijoles $6. Si el número de sacos de frijoles es el triple del número de sacos de azúcar más $5, ¿cuántos sacos de azúcar y cuántos de fríjol compré?40. Dividir el número 1050 en dos partes tales que el triple de la parte mayor disminuido en el duplo de la parte menor equivalga a 1825.

123


UNIDAD 7Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

Lee acerca de la ideaUn sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas tiene la forma del siguiente:

Un sistema como este, puede resolverse aplicando las técnicas que se usaron para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo, por igualación:

Se despeja x de cada ecuación:

Se igualan dos de las ecuaciones despejadas, por ejemplo y , pues x = x:

En seguida se reduce la expresión practicando

operaciones (se multiplica por ejemplo por 4 para desaparecer los denominadores) y se despeja una de las variables. Seleccionamos y:

Se igualan otras dos ecuaciones, por ejemplo y , y se procede como en al caso

anterior:

124


Ahora resultan dos ecuaciones con dos incógnitas que se pueden igualar pues y=y, y resolver para hallar el valor de z:

Sustituyendo en : .

Sustituyendo en :

La solución del sistema es: x=3, y=-2 y z=4.

Actividades de aprendizajeReúnanse a trabajar en equipo y resuelvan los ejercicios siguientes. Comparen sus respuestas y si tienen alguna duda pregunten a su maestra o maestro.

A. Resuelvan los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas siguientes.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

RespuestasEj. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x 1 2 -3 -2 5 -3 4 -3 3 10 0.5 -.4y 1 -2 2 3 1 -2 2 -2 -4 20 1 -.5z 1 3 -1 1 -2 -1 1 3 2 -30 1.5 -2

Sistema de dos ecuaciones resuelto por determinantes (opcional)

125


Lee acerca de la ideaLos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas pueden resolverse por determinantes. Un determinante es un arreglo de números que define una operación.

Cuando se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, como el siguiente:

Si se resuelve mediante los temas vistos hasta ahora, se obtienen las soluciones:

y .

Se observa un patrón en los productos y las diferencias, que puede representarse mediante un determinante que defina las operaciones mostradas allí:

: Que es el numerador que define el valor de x en la ecuación

. Por lo tanto, el denominador se puede escribir con un determinante como sigue:

. En consecuencia:

Y de igual manera:

Con estas fórmulas, se puede calcular cada una de las soluciones de un sistema de ecuaciones simultáneas 2X2.

EjemploObtener las soluciones del sistema de ecuaciones:

.

En este caso: , y ; , y . Entonces, las soluciones del sistema se obtienen calculando los determinantes anteriores:

126


La solución del sistema es x = 3 y y = -4.

Actividades de aprendizajeResuelvan trabajando en equipo los siguientes sistemas de ecuaciones que resolvieron antes, pero usando determinantes. Comprueben sus respuestas usando los resultados obtenidos.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20.

127


UNIDAD 8Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado

Lee acerca de la ideaLas ecuaciones de segundo grado, se manifiestan cuando la suma de los exponentes de las variables en cada término es a lo más 2. Los siguientes son ejemplos:

: la ecuación de una parábola.

: la ecuación de una elipse.

: la ecuación de una hipérbola. : el área de un círculo.

: la tensión de una cuerda, donde V es la velocidad de las ondas en la cuerda que vibra, y es la densidad de la cuerda.

La forma de las ecuaciones cuadráticas que nos interesa y estudiaremos en este curso es la siguiente: , donde a no puede ser 0, y que representa una parábola.

De manera concreta, un ejemplo es , cuya gráfica se puede ver en seguida:

Los sitios dónde y=0, representan las soluciones de las ecuaciones cuadráticas que son parábolas. Soluciones: donde

Las soluciones pueden ser: (a) Ninguna, si la parábola esta toda abajo o arriba del eje X (b) Una, si la parábola es tangente al eje X(c) Dos, si la parábola es cortada por el eje X en dos puntos.

128


El coeficiente del término cuadrático, a, determina si la parábola abre sus ramas hacia arriba o hacia abajo:

Si a es positivo, la parábola es convexa: abre sus ramas hacia arriba. Tiene un mínimo.

Si a es negativo, la parábola es cóncava: abre sus ramas hacia abajo. Tiene un máximo.

Obsérvense las figuras siguientes:

ParábolaConvexa: a>0 Cóncava: a<0

Estas dos parábolas tienen dos soluciones: dos diferentes valores de x donde la parábola cruza el eje X.

Solución de ecuaciones cuadráticasPara hallar las soluciones de una ecuación cuadrática, se puede proceder de dos formas:

1. Factorizando (si es posible).

2. Aplicando la fórmula general:

En este caso, a, b y c son constantes o parámetros en .

Soluciones mediante factorizaciónSupongamos que se nos da la ecuación , si se observa, se puede

factorizar el lado derecho: . Entonces, para hallar las soluciones cada

binomio se iguala a 0 y se resuelve:

129


Las soluciones son: x =-6 y x= 2. La parábola corta al eje X en esos sitios y es convexa. Además, tiene su eje en x= -2, y el mínimo en y=-16. Obsérvese el gráfico siguiente.

Para hallar el punto donde se halla el eje, se toma el centro entre -6 y 2:

: se obtiene la media o promedio. Para hallar el máximo o

mínimo, se sustituye E en la ecuación de la parábola:

.

Si no se tienen dos soluciones, es más complicado hallar el máximo o mínimo de la ecuación. Ese tema lo estudiarás en tu curso de Cálculo.

Actividades de aprendizajeReúnanse en grupos de tres personas y resuelvan los ejercicios siguientes. Si tienen alguna duda, coméntenla con algunos otros compañeros o con su maestra o maestro.

A. Hallen las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas. Digan si son cóncavas o convexas, hallen su eje y su máximo o mínimo. Comprueben sus respuestas.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

130


B. Determinen las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas. Expliquen si son cóncavas o convexas. Grafíquenlas y especifiquen el máximo o mínimo respectivo.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

Soluciones usando la fórmula generalUna ecuación cuadrática como , puede resolverse aplicando la llamada fórmula general:

: a, b y c son constantes o parámetros.

Así pues: a=1, b=-5 y c=-6. Sustituyendo se tiene:

Entonces, las soluciones son: y

Propiedades de la fórmula general

Dado que la fórmula general tiene un radical, el subradical puede adquirir tres valores posibles que determinan cuántas soluciones existen:

Si , la solución es sólo una: : la parábola es tangente al

eje X.

Si , hay dos soluciones: y

, la parábola corta al eje X en dos puntos.

Si , la parábola no corta al eje X, y por tanto no hay soluciones.

Actividades de aprendizajeReúnanse en grupos de tres compañeros y resuelvan los ejercicios siguientes. Si tienen alguna duda, coméntenla con algunos otros compañeros o con su maestra o maestro.

131


A. Resuelvan las ecuaciones siguientes usando la fórmula general, y determinen sus ecuaciones o bien si no existen. Además, determinen hacia dónde abren las parábolas, y si son cóncavas o convexas.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas se aplican en muchas situaciones de la vida real. Por ejemplo, en el estudio del lanzamiento de proyectiles, como pelotas, cohetes, etcétera. En seguida se muestra un ejemplo.

1. Pelota. Una pelota se lanza al aire desde un edificio de 8 metros de alto. Ella describe un recorrido parabólico, como se ve en la figura siguiente.

a) ¿Cuál es la ecuación del movimiento de la palota?

132


b) ¿Cuándo la pelota alcanza su máxima altura?c) ¿Cuál es la máxima altura alcanzada?d) ¿Cuánto tiempo dura la pelota en el aire?e) ¿Cuál es la altura de la pelota cuando han pasado 2 segundos?f) ¿Cuánto tiempo ha pasado si la pelota tiene una altura de 14 metros? Expliquen.

2. Un cohete se lanza desde la Tierra, y describe la trayectoria siguiente:

a) ¿Cuál es la ecuación que asocia la altura y el recorrido de la palota?b) ¿Cuándo el cohete alcanza su máxima altura?c) ¿Cuál es la máxima altura alcanzada por el cohete?d) ¿Cuál fue la distancia total recorrida por el cohete?e) ¿Cuál es la altura del cohete cuando ha recorrido 400 metros a partir de su despegue?f) Si el cohete ha recorrido 1 kilómetro, ¿cuál es su altura? Expliquen.

3. Las ventas de una compañía contra el tiempo se comportan como se ve en la figura siguiente. Se sabe que la curva es una parábola tangente al eje x en x=3.

133


a) Describe el comportamiento de las ventas contra el tiempo.b) Construye la ecuación que permite explicar las ventas en función del tiempo.c) Calcula las ventas esperadas en el mes 6.

4. Un arquitecto construirá un arco con forma de parábola como entrada a una biblioteca. Él proyecta su figura apoyándose en la ecuación metros.

a) Grafiquen el arco.b) ¿Cuántos metros tiene la base de la entradac) Cabrá por el arco una base de 10 metros de altura? ¿Por qué?d) ¿Se podrán colocar en la entrada, debajo del arco, dos plataformas de exhibición de 2 metros de ancho y de altura 20 cm. cada una y dejar aún un pasillo de 3 metros para la gente?e) ¿Cuál es la altura del arco a dos metros del piso, desde cualquier poste?

5. a) Construyan las ecuaciones para diseñar dos arcos parabólicos, uno junto al otro, y que tengan luz (distancia entre sus bases: longitud de la entrada) igual a 4 metros cada uno.b) Calculen la altura de cada arco.c) Grafiquen los arcos.

6. Obtengan la ecuación de cada parábola siguiente. Son cinco en total.

7. Traza en un sistema coordenado rectangular cada parábola siguiente, sin tabular.

a) b) c)

d) d) e)

f) g) h)

134


i) j) k)

Apéndice:

HISTORIA DEL ALGEBRA

La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia,

donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas

(ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con

varias incógnitas. Los anticuados babilonios resolvían cualquier ecuación

cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se

enseñan. También fueron hábiles de solucionar ciertas ecuaciones

indeterminadas.

Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la

tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es

de suficiente más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para

ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución

de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde

se le llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al-jabru que

significa ‘reducción’, es el origen de la palabra álgebra. En el siglo IX, el

matemático al-Jwrizm; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra,

una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con

ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático

egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades

del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar la x, y, z

que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.

En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas

utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media,

los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la

incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque

sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y

extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del

teorema del binomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Omar

135


Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando

los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no

fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del

Álgebra de al-Jwrizm fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el

matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una

aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica x3 + 2x2 + cx = d.

Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó el

método arábigo de aproximaciones sucesivas.

A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro,

Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en

función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari,

alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de

cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos

posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de

quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático

noruego Abel Niels y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia

de dicha fórmula.

Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI,

de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias

algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito

por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un

texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de

Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica,

que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de

problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los

fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el

propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces

verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. Durante el siglo

XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el

matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda

ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo.

136


En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa

moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al

estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas

estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los

números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las

ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y

las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas

numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los

grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones de

las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más

importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los

matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y

los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a

su estudio. Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo

irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los

números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos

son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.

Después del descubrimiento de Hamilton el matemático alemán

Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su

carácter abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el

álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo

que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este

enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sobre las

leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica.

Desde entonces, el álgebra moderna también llamada álgebra abstracta ha

seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han

encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas

otras ciencias.

PERSONAJES DEL ALGEBRA

Abel Henrik Niels (1802-1829): Probó la imposibilidad de resolver

algebraicamente ecuaciones de quinto grado.

137


La vida de Abel estuvo dominada por la pobreza. Después de muerto su

padre, quien era un ministro protestante, Abel tuvo que aumir la

responsabilidad de mantener a su madre y familia, en 1820.

El profesor de Abel, Holmboe, reconoció su talento para las

matemáticas, debido a su falta de dinero para asistir a una colegiatura para

ingresar a la universidad de Christiania, ingresó a la universidad en 1821, diez

años después de que la universidad fuera fundada, y se graduó en 1822.

Abel publicó en 1823 escritos de ecuaciones funcionales e

integrales. En esto Abel dio la primera solución de una ecuación integral. En

1824 probó que era imposible resolver algebraicamente ecuaciones de quinto

grado y de su propio costo realizó publicaciones con la esperanza de obtener

reconocimiento por su trabajo.

Eventualmente ganó un premio de escolaridad del gobierno para viajar al

extranjero, visitó Alemania y Francia.

Abel fue el instrumento que le dio estabilidad al análisis matemático

sobre bases rigurosas. Su mayor trabajo "Recherches sur les fonctions

elliptiques" fue publicado en 1827 en el primer volumen del diario Crelle, el

primer periódico dedicado enteramente a las matemáticas. Abel visitó este

periódico en su visita a Alemania.

Después de su visita a París, retornó a Noruega bastante débil. Mientras

estuvo en París visitó a un doctor quién le informó que padecía de tuberculosis.

138


A pesar de su mala salud y la pobreza, continuó escribiendo sus escritos y la

teoría de la ecuación y de las funciones elípticas de mayor importancia en el

desarrollo de la teoría total.

Abel revolucionó el entendimiento de las funciones elípticas por el

estudio de la función inversa de esa función.

Abel ganó El Gran Premio De Las Matemáticas del instituto de Francia,

por su trabajo de las ecuaciones elípticas.

Abel viajó muy enfermo a visitar a su familia para la Navidad de 1828 en

Froland. El comenzó a decaer y estuvo seriamente enfermo y murió a los pocos

meses después.

Leonardo Fibonacci (1170-1240): Jugó un rol muy importante al revivir las

matemáticas antiguas y realizó importantes contribuciones propias.

Fibonacci nació en Italia pero fue educado en Africa del Norte

donde su padre ocupaba un puesto diplomático. Viajó mucho acompañando a su padre, así conoció las enormes ventajas de los sistemas matemáticos usados en esos países. Liber abaci, publicado en el 1202 después de retornar a Italia, esta basado en trozos de aritmética y álgebra que

Fibonacci había acumulado durante sus viajes. Liber abacci introduce el sistema decimal Hindú-Arábico y usa los números arábicos dentro de Europa. Un problema en Liber abaci permite la introducción de los números de Fibonacci y la serie de Fibonacci por las cuales Fibonacci es recordado

139


hoy en día. El Diario Trimestral de Fibonacci es un moderno periódico dedicado al estudio de las matemáticas que llevan estas series.

Herón de Alejandría (20-62 D.C.), matemático y científico griego. Su nombre

también podría ser Hero (aproximadamente 18 escritores griegos se llamaron

Hero o Herón, creándose cierta dificultad a la hora de su identificación).

Herón de Alejandría nació probablemente en Egipto y realizó su trabajo

en Alejandría (Egipto). Escribió al menos 13 obras sobre mecánica,

matemáticas y física. Inventó varios instrumentos mecánicos, gran parte de

ellos para uso práctico: la aelípila, una máquina a vapor giratoria; la fuente de

Herón, un aparato neumático que produce un chorro vertical de agua por la

presión del aire y la dioptra, un primitivo instrumento geodésico. Sin embargo,

es conocido sobre todo como matemático tanto en el campo de la geometría

como en el de la geodesia (una rama de las matemáticas que se encarga de

la determinación del tamaño y configuración de la Tierra, y de la ubicación de

áreas concretas de la misma).

Herón trató los problemas de las mediciones terrestres con mucho más

éxito que cualquier otro de su generación. También inventó un método de

aproximación a las raíces cuadradas y cúbicas de números que no las tienen

exactas. A Herón se le ha atribuido en algunas ocasiones el haber

desarrollado la fórmula para hallar el área de un triángulo en función de sus

lados, pero esta fórmula, probablemente, había sido desarrollada antes de su

época.

Diofante: (325-409 D.C.), matemático griego perteneciente a la escuela de

Alejandría. Vivió en Egipto, donde se ocupó principalmente del análisis

diofántico, siendo merecedor del título de padre del álgebra. Escribió Las

aritméticas, obra de la que sólo quedan 6 libros de los 13 que la componían.

Fue sin embargo el primero en enunciar una teoría clara sobre las ecuaciones

de primer grado. También ofreció la formula para la resolución de las

ecuaciones de segundo grado.

140


Al-Jwarizmi (780-835), matemático árabe, nacido en Jwrizm (actualmente

Jiva, Uzbekistán). Fue bibliotecario en la corte del califa al-Mamun y

astrónomo en el observatorio de Bagdad. Sus trabajos de álgebra, aritmética

y tablas astronómicas adelantaron enormemente el pensamiento matemático

y fue el primero en utilizar la expresión al jabr (de la que procede la palabra

álgebra) con objetivos matemáticos. La versión latina (por el traductor italiano

Gerardo de Cremona) del tratado de al-Jwrizm sobre álgebra fue responsable

de gran parte del conocimiento matemático en la Europa medieval. Su trabajo

con los algoritmos (término derivado de su nombre) introdujo el método de

cálculo con la utilización de la numeración arábiga y la notación decimal.

Omar Jayyam o Omar Khayyam: (1050-1122), matemático y astrónomo

persa, autor de uno de los poemas más famosos del mundo. Nació en

Nishapur (actual Irán). Su nombre significa ‘Omar el tendero’. Como

astrónomo de la corte, participó con otros científicos en la reforma del

calendario; a partir de entonces se adoptó una nueva era, conocida como

jalaliana o el Seliuk. Como escritor de álgebra, geometría y temas afines,

Omar fue uno de los más destacados matemáticos de su época. Sin

embargo, es conocido ante todo por el poema Rubaiyyat, del que se le

atribuyen unas 1.000 estrofas epigramáticas de cuatro versos que hablan de

la naturaleza y el ser humano.

Évariste Galois (1811-1832) Matemático Francés. Despues de

realizar estudios en un liceo, ingresa en una escuela normal. Su actividad

141


científica, de un lustro escaso de vida, se entremezcló con una actividad

política de ardiente revolucionario en los turbulentos días del París de 1830. A

los 16 años, buen conocedor de la matemática de entonces, sufre su primera

decepción al fracasar en su intento de ingreso en la Escuela Politécnica.

Siguen las decepciones cuando una memoria, presentada a la Academia y

puesta en manos de Cauchy se extravía, y cuando un segundo fracaso le

cierra las puertas de la Politécnica.

En 1829 y 1830 hace conocer sus primeros trabajos sobre fracciones

continuas, cuestiones de análisis, teoría de las ecuaciones y teoría de

números, así como un resumen de una segunda memoria presentada a la

Academia para optar al gran premio de matemática, el que también se pierde.

En 1831, envuelto en los acontecimientos políticos, se le expulsa de la

escuela normal, donde entonces estudiaba, y con el propósito de dedicarse a

la enseñanza privada, anuncia un curso de álgebra superior que abarcaría

“Una nueva teoría de los números imaginarios, la teoría de las ecuaciones

resolubles por radicales, la teoría de números y la teoría de las funciones

elípticas, tratadas por álgebra pura”. El curso no tuvo oyentes y Galois

ingresa en el ejército, a la vez que redacta una memoria, la última, hoy

llamada “Teoría de Galois”, que remite a la Academia y que poisson califica

de “incomprensible “.

Más tarde es acusado de peligroso republicano y fue apresado.

Acabado de salir de la carcel muere de un pistolazo en un duelo, cuando

apenas tenia 21 años de edad.

En vísperas del duelo, al legar a un amigo en notas apresuradas su

testamento científico, le pide que, si su adversario vence, haga conocer sus

descubrimientos a Gauss o Jacobi para que den una opinión “no respecto de la

verdad, sino de la importancia de los teoremas”. Espero que más tarde alguien

encuentre provechoso descifrar todo este lío. Este lío es hoy la “Teoría de

Grupo”.

Sólo en 1846 se conoció gran parte de los escritos de Galois por obra de

Joseph Liouville , y completó la publicación de sus escritos Jules Tannery a

comienzos de este siglo (1908). En ellos asoma ya la idea de “cuerpo”, y que

luego desarrollan Rieman y Richard Dedekind, y que Galois introduce con

142


motivo de los hoy llamados “imaginarios de Galois”, concebidos con el objeto

de otorgar carácter general al teorema del número de raíces de las

congruencias de grado n de módulo primo. Es en estos escrito donde aparecen

por primera vez las propiedades más importantes de la teoría de grupos

(nombre que él acuño) que convierten a Galois en su cabal fundador.

Sin duda que la noción de grupo, en especial de grupo de substituciones

que constituye el tema central de Galois, estaba ya esbozada en los

trabajos de Lagrange y de Alexandre Théophile Vendermonde del siglo

XVIII, y en los de Gauss, Abel ,Ruffini y Cauchy del XIX, implícita en

problemas de teoría de las ecuaciones, teoría de números y de

transformaciones geométricas, pero es Galois quién muestra una idea clara

de la teoría general con las nociones de subgrupo y de isomorfismo.

143


Augustin Louis Cauchy (1789-1857): pionero en el análisis y la teoría de

permutación de grupos. También investigó la convergencia y la divergencia de

las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y

física matemática

Cauchy, trabajó como un ingeniero militar y en 1810 llegó a Cherbourg a

trabajar junto a Napoleón en la invasión a Inglaterra. En 1813 retornó a París y

luego fue persuadido por Laplace y Lagrange para convertirse en un devoto de

las matemáticas.

Él ayudó ocupando diversos puestos en la Facultad de Ciencia de París, El

Colegio de Francia y La Escuela Politécnica. En 1814 él publicó la memoria de

la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones

complejas.

Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal adquiere bases sólidas.

Numerosos términos matemáticos llevan su nombre: el teorema integral de

Cauchy, la teoría de las funciones complejas, las ecuaciones de Cauchy-

Riemann y Secuencias de Cauchy.

Cauchy, produjo 789 escritos, pero fue desaprobado por la mayoría de sus

colegas. El mostró una obstinada rectitud a sí mismo y un agresivo fanatismo

religioso. Como un apasionado del realismo pasó algún tiempo en Italia

después de rechazar tomar un juramento de lealtad. Dejó París después de la

Revolución de 1830 y después de un corto tiempo en Suiza aceptó una oferta

144


del Rey de Piedmont para realizar una cátedra en Turín donde estuvo hasta

1832. En 1833 se marchó de Turín a Praga en atención de acompañar a

Charles X y ser el tutor de su hijo.

Cauchy retornó a París en 1838 y retomó su cargo en la academia pero no su

posición de profesor por haber rechazado tomar el juramento de lealtad.

Cuando Louis Philippe fue destronado en 1848 Cauchy retomó su cátedra en

Sorbonne. El ayudo en los postgrados hasta la hora de su muerte.

Carl Friedeich Gauss(1777-1855): Matemático alemán llamado El Príncipe De

Las Matemáticas.

Hijo de un humilde albañil, Gauss dio señales dio señales de ser un

genio antes de que cumpliera los tres años. A esa edad aprendió a leer y hacer

cálculos aritméticos mentales con tanta habilidad que descubrió un error en los

cálculos que hizo su padre para pagar unos sueldos. Ingresó a la escuela

primaria antes de que cumpliera los siete años.

Cuando tenía doce años, criticó los fundamentos de la geometría euclidiana; a

los trece le interesaba las posibilidades de la geometría no euclidiana. A los

quince, entendía la convergencia y probó el binomio de Newton. El genio y la

precocidad de Gauss llamaron la atención del duque de Brunswick, quien

dispuso, cuando el muchacho tenía catorce años, costear tanto su educación

145


secundaria como universitaria. Gauss, a quien también le interesaban los

clásicos y los idiomas, pensaba que haría de la filología la obra de su vida, pero

las matemáticas resultaron ser una atracción irresistible.

Cuando estudiaba en Gotinga, descubrió que podría construirse un polígono

regular de diecisiete lados usando sólo la regla y el compás. Enseñó la prueba

a su profesor, quién se demostró un tanto escéptico y le dijo que lo que sugería

era imposible; pero Gauss demostró que tenía la razón. El profesor, no

pudiendo negar lo evidente, afirmó que también él procedió de la misma

manera. Sin embargo, se reconoció el mérito de Gauss, y la fecha de su

descubrimiento, 30 de Marzo de 1796, fue importante en la historia de las

matemáticas. Posteriormente, Gauss encontró la fórmula para construir los

demás polígonos regulares con la regla y el compás.

Gauss se graduó en Gotinga en 1798, y al año siguiente recibió su doctorado

en la Universidad de Helmstedt. Las matemáticas no fueron el único tema que

le interesó a este hombre; fue también astrónomo, físico, geodesta e inventor.

Hablaba con facilidad varios idiomas, e inclusive dominó el ruso a la edad de

sesenta años. En 1807 fue nombrado director del observatorio y profesor de

astronomía en la Universidad de Gotinga.

A principios del siglo XIX, Gauss publicó sus Disquisiciones aritméticas, que

ofrecían un análisis lúcido de su teoría de números, comprendiendo las

complicadas ecuaciones que confirmaban su teoría y una exposición de una

convergencia de una serie infinita.

Estudió la teoría de los errores y dedujo la curva normal de la probabilidad,

llamada también curva de Gauss, que todavía se usa en los cálculos

estadísticos.

En 1833 inventó un telégrafo eléctrico que usó entre su casa y el observatorio,

a una distancia de unos dos kilómetros. Inventó también un magnetómetro

bifiliar para medir el magnetismo y, con Weber, proyectó y construyó un

observatorio no magnético. Tanto Gauss como Rieman, que fue discípulo suyo,

pensaban en una teoría electromagnética que sería muy semejante a la ley

universal de la gravitación, de Newton. Empero, la teoría del

electromagnetismo fue ideada más tarde, en 1873, por Maxwell, aunque Gauss

ya poseía los cimientos matemáticos para la teoría. En 1840, las

investigaciones de Gauss sobre la óptica tuvieron especial importancia debido

146


a sus deducciones por lo que toca a los sistemas de lentes.

A la edad de setenta y siete años, Gauss falleció. Se ha dicho que la lápida que

señala su tumba fue escrita con un diagrama, que construyó el mismo Gauss,

de un polígono de diecisiete lados. Durante su vida, se reconoció que era el

matemático más grande de los siglos XVIII y XIX. Su obra en las matemáticas

contribuyó a formar una base para encontrar la solución de problemas

complicados de las ciencias físicas y naturales.

George Boole (1815-1864): recluyó la lógica a una álgebra simple. También

trabajó en ecuaciones diferenciales, el cálculo de diferencias finitas y métodos

generales en probabilidad.

Boole primero concurrió a una escuela en Lincoln, luego a un colegio

comercial. Sus primeras instrucciones en matemática, sin embargo fueron de

su padre quién le dio también a George la afición para la construcción de

instrumentos ópticos. El interés de George se volvió a los idiomas y recibió

instrucción en Latín de una librería local.

A la edad de 12 años había llegado a ser tan hábil en Latín que provocaba

controversia. Él tradujo del Latín una Oda del poeta Horacio de lo cual su padre

estaba tan orgulloso que tenía su publicación. No obstante el talento era tal que

un maestro de escuela local cuestionaba que nadie con 12 años podría haber

escrito con tanta profundidad.

Boole no estudió para un grado académico, pero a la edad de 16 años fue un

profesor auxiliar de colegio. Él mantuvo su interés en idiomas e intentó ingresar

a la Iglesia. Desde 1835, sin embargo, pareció haber cambiado de idea ya que

abrió su propio colegio y empezó a estudiar matemáticas por si mismo. Tardó

en darse cuenta que había perdido casi cinco años tratando de aprender las

materias en vez de tener un profesor experto.

En ese periodo Boole estudió los trabajos de Laplace y Lagrange, tomando

apuntes, los cuales llegaron a ser más tarde las bases para sus primeros

papeles matemáticos. De cualquier modo el recibió estímulos de Duncan

Gregory quién se encontraba en Cambridge por ese tiempo y del editor

"Cambridge Mathematical Formal" recientemente fundado.

147


Boole fue incapaz de tomar los consejos de Duncan Gregory y estudiar

cursos en Cambridge; ya que necesitaba los ingresos de su colegio para cuidar

a sus padres. No obstante él comenzó a estudiar álgebra. Una aplicación de

métodos algebraicos para la solución de ecuaciones diferenciales fue publicada

por Boole en el "Transaction of the Royal Society" y por este trabajo recibió la

medalla de la Real Sociedad. Su trabajo matemático fue el comienzo que le

trajo fama.

Boole fue nominado para una cátedra de matemática en el Queens College,

Cork en 1849. Él enseñó allí por el resto de su vida, ganándose una reputación

como un prominente y dedicado profesor.

En el 1854 publicó Una investigación de las leyes del pensamiento sobre las

cuales son basadas las teorías matemáticas de Lógica y Probabilidad. Boole

aproximó la lógica en una nueva dirección reduciéndola a una álgebra simple,

incorporando lógica en las matemáticas. Agudizó la analogía entre los símbolos

algebraicos y aquellos que representan formas lógicas. Comenzaba el álgebra

de la lógica llamada Algebra Booleana la cual ahora encuentra aplicación en la

construcción de computadoras, circuitos eléctricos, etc.

Boole también tradujo en ecuaciones diferenciales, el influyente "Tratado en

Ecuaciones Diferenciales" apareció en 1859, el cálculo de las diferencias

finitas, "Tratado sobre el Cálculo de las Diferencias Finitas" (1860), y métodos

generales en probabilidad. Publicó alrededor de 50 escritos y fue uno de los

148


primeros en investigar las propiedades básicas de los números, tales como la

propiedad distributiva que fundamento los temas del álgebra.

Muchos honores le fueron concedidos a Boole, fue reconocido como el genio

en su trabajo recibió grandes honores de las universidades de Dublín y Oxford

y fue elegido miembro académico de la Real Sociedad (1857).

Su trabajo fue elogiado por De Morgan quién dijo:El sistema de lógica de Boole es una de las muchas pruebas de genio y paciencia combinada. Esta el proceso simbólico del álgebra, inventado como herramienta de cálculos numéricos, sería competente para expresar cada acto del pensamiento, y proveer la gramática y el diccionario de todo el contenido de los sistemas de lógica, no habría sido creíble hasta probarlo. Cuando Hobbes publicó su "Computación ó Lógica" él tenía un remoto reflejo de algunos de los puntos que han sido ubicados en la luz del día por Mr. Boole.

149


BIBLIOGRAFIA

TEXTO: ALGEBRA

AUTOR: A. BALDOR

EDIORIAL: PUBLICACIONES CULTURAL

TEXTO: ALGEBRA ELEMENTAL

AUTOR: ALFONSO GOBRAN

EDIORIAL: GRUPO EDITORIAL IBEROAMERICA

TEXTO: ALGEBRA ELEMENTAL

AUTOR: GORDON FULLER

EDIORIAL: CIA. EDITORIAL CONTINENTAL, S.A. DE C.V. MEXICO

TEXTO: MATEMATICAS III

AUTOR: HUMBERTO CANTU SALINAS

HECTOR PAZ ESTRADA

EDIORIAL: SEP

150

matemática 1

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