práctica matemática 1 uni

rea de Ciencias Bsicas Lic. Adriana Valverde Caldern

PRIMERA PRCTICA DE MATEMTICA I - AA-211 FIA-UNI (08 / 09/ 2008)

1. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones, justificando cada una de

sus respuestas: a) b) ;x xx0 es un entorno de 0xc) ;max d) existe un nmero racional anterior y posterior a ;Qx x Resolucin

a) Es falso que , pues si 0 se debe tener b) Verdadero. Pues si ;x xx0 se tiene, 0x x

0 0x x x Lo que significa que, 0 0;x x x xx0 es un entorno 0( , )E x

c) Verdadero. Pues si 0 y max ; si 0 y max ;

En ambos casos ;max

d) Falso. Pues es un conjunto denso y nunca sabremos cual el anterior y el siguiente de x.

Q

2. a) Considere la sucesin ,....,...,, 21 nn xxxa de nmeros racionales que se define

mediante la siguiente relacin:

n

nn x

xx 11

Nn ; 1x (dado), siendo 0 1

Pruebe que la sucesin esta acotada y halle las cotas superiores e inferiores. na Prueba

Usando un mtodo directo se tiene: 110 1

1 1n n

nn n

x xxx x

cotas inferiores = ,0 y cotas superiores = 1,

1


Usando un mtodo indirecto (Mtodo de induccin matemtica)

Si se tiene: 1n 1 121 1

10 11 1

x xxx x

; es ac

k

otada

Asumimos que la serie es acotado para n : 1 10 11 1k k

kk k

x xxx x

1n k

: 1 121 1

10 11 1

k kk

k k

x xxx x

Probamos que cumple para cotas inferiores = ,0 y cotas superiores = 1,

b) Sea la sucesin de nmeros reales definida por ny 1

1 2)2(

n

nnn y

yyy para

; ,... y3,2n a1 ; ; (con by 2 ba 0 ). Obtenga en funcin de . 1ny ny

Resolucin

Una forma de resolucin Observando cmo se comporta la sucesin segn el algoritmo dado:

Si n se tiene 2 2 231

22

y yy

y


22

y yy

y


22

y yy

y

Se observa que un factor del numerador de ny es igual al denominador de 1ny , entonces, si multiplicamos todos los elementos de la sucesin miembro a miembro, se tiene:

21

1

22

nn

y yy

y

Simplificando: 211

22

nn

y yy

y

Asignando los valores dados: ay 1 ; by 2 en la ltima expresin, se obtiene en funcin de .

1ny

ny

1

22

nn

b yy

a

Otra forma de resolucin Sustituyendo ay ; 1 by 2 desde la primera iteracin:

2


3

22

b by

a

4 32 2

22 2 2

2 22 2 2 2

b b b ba a b bb by y

b a a a

5 42 2 2 22 2 2 2b b b by b y

a a a a

..

1

22

nn

b yy

a

3. a) Resuelva la siguiente relacin: xxxxxx 2323 2323

Resolucin Extraer el factor comn: 2 23 2 3 2x x x x x x Simplificar el factor comn: 2 23 2 3 2x x x x Factorizar cada miembro: 2 1 2x x x x 1 Formar una inecuacin: 2 1 2 1x x x x 0 (1) Determinar los puntos crticos: x = 0 ; x = 2 ; x = 1

Resolver la inecuacin (1), usando la definicin de valor absoluto, en cada intervalo separado por los puntos crticos:

Si entonces 0x 0x Si 0 1x entonces x Si entonces 1 21 x 2 x Si entonces 2 x x Conjunto solucin: ,0 1, 2x

b) Halle el conjunto solucin 2

1 1 4x

Resolucin

La desigualdad se puede expresar 2 21 1 2x

Extraer la raz cuadrada a cada miembro: 1 1 2x

3


4

Aplicando la propiedad de valor absoluto: 2 1 1x 2 Luego, los valores x que satisfacen la inecuacin deben satisfacer las siguientes condiciones:

1 0x 1 1 1 1 1 0 1 1 1x x x Usando la definicin de mximo entero de un nmero real:

1 1 1x1x 2 0 1x 3 es decir: 0 1x 1 3x 1x 1 9x 9 1x 9 8 1x 0 Intersectando los conjuntos: 1x ; 1x ; 8 x 10 se tiene: Conjunto solucin: 1 , 10x

4. Grafique la interseccin de las siguientes relaciones: 4/),( 2221 yxyxR y 2R , esta ltima es una regin cerrada de manera que se cumpla: rea( 21 RR ) > 216u

Grfica Una posibilidad es considerar la regin: 2 2 22 , /R x y x y 9 pues 21 RR tiene un rea mayor a 16 . 2u

X

Y

Grfica de R1 y R2

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6R2

R1

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