matemáatica básica

Matemtica Bsica I - Unidad V Eduardo Alcntara B. / Flix Pea P.

241 Sistema a Distancia

UNIDAD V

LECCION 9

RELACIONES BINARIAS

Par ordenado y producto cartesiano.- relaciones binarias.- definicin.- dominio rango.- relacion inversa.- tipos de relaciones.- relaciones definidas en los reales.- grafica de relaciones.- discusin de la grafica de una relacion.

PARES ORDENADOS Y PRODUCTO CARTESIANO

Al escribir un conjunto por extensin, sealamos cada uno de sus elementos, cualquiera que sea el orden elegido para sealar los elementos, el conjunto ser el mismo. As tenemos por ejemplo: {5,6,7} = {6,7,5} Pero a veces interesa el orden en que se consideran los elementos de un conjunto. En tal caso decimos que se tiene un conjunto ordenado y podramos indicarlo encerrando sus elementos entre parntesis y anotndolos en ese orden. As: (5,6,7) es el conjunto ordenado , cuyo primer elemento es 5; segundo elemento 6 y tercer elemento 7.

Un conjunto ordenado de dos elementos se llama PAR ORDENADO, as tenemos por ejemplo: (1,3) ; el primer elemento es 1 y el segundo elemento 3 (3,1) ; el primer elemento es 3 y el segundo elemento 1 Estos pares ordenados no son, pues iguales. Es decir son diferentes o no iguales y escribimos as:

(1,3) (3,1) Por lo tanto al par ordenado lo definimos as: Definicin: Un par ordenado es un conjunto formado por dos elementos considerados en determinado orden, en el que se establece cual es el primer elemento y cual el segundo. Se denota as: (a,b) se lee: "El par ordenado a, b "

donde: "a" es la primera componente o primera proyeccin o abscisa "b" es la segunda componente o segunda proyeccin u ordenada



NOTA:

Como en el par ordenado, necesariamente se tiene que tener en cuenta el orden, entonces el

par (a,b) (b,a) IGUALDAD DE PARES ORDENADOS

El par ordenado (a, b) es igual al par ordenado (c, d), si las primeras componentes "a" y "c" son iguales entre s, y las segundas componentes "b" y "d" son iguales entre s. Es decir:

(a, b) = (c, d) a = c b = d

Ejemplo 1 1) (a, b) = (5, 3) a = 5 b = 3 2) (6, 9 ) = (4+2, 10-1) 6 = 4+2 9 = 10 - 1

Ejemplo 2 Hallar los valores "x" e "y" de los siguientes pares ordenados, si: (2x+1, y-3) = (3, 9) Solucin:

Si (2x+1, y-3) = (3, 9) 2x + 1 = 3 y - 3 = 9

Resolviendo: 2x + 1 x = 1

y - 3 y = 6

Rpta: x = 1, y = 6

Ejemplo 3 Hallar los valores "x" e "y" , si se cumple que: (2x-y, 4x+2y) = (x-3, y+4) Solucin:

Si (2x-y, 4x+2y) = (x-3, y+4) 2x-y = x-3 x - y = -3 ....................... (1) 4x+2y = y+4 4x + y = 4 ........................ (2) Resolviendo (1) y (2): 5x = 1

x = 1/5

Donde sustituyendo en (1), tenemos:

y = x+3 y = 1/5 + 3 y = 16/3 Luego : x =

1/5 ; y = 16/3



PRODUCTO CARTESIANO

Definiremos ahora una nueva operacin entre conjuntos, cuyo resultado es otro conjunto

DEFINICIN Si A y B son dos conjuntos diferentes al vaco; llamaremos "PRODUCTO CARTESIANO de A por B" y denotamos por AxB al conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados cuyas primeras componentes pertenecen al conjunto A y segundas componentes pertenecen al conjunto B. Es decir:

AxB = { (a, b) / aA bB}

A y B se llaman respectivamente, primer factor y segundo factor del producto cartesiano AxB. Cada elemento de AxB es un par ordenado cuyo primer elemento pertenece al primer factor A y cuyo segundo elemento pertenece al segundo factor B.

Ejemplo 1 Si A = {a, b, c} y B = {x, y} AxB = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)} AxB tiene en total 3 x 2 = 6 elementos ; o sea n(AxB) = 6

En general si los conjuntos A y B son finitos y tienen "m" y "n" elementos respectivamente, entonces, el producto cartesiano de AxB tienen mxn elementos. Para facilitar la obtencin de los pares ordenados del producto AxB, podemos utilizar una tabla de doble entrada, as:

Elementos de B

Por x y

a (a, x) (a, y) b (b, x) (b, y)

Elem

ento

s de

A

c (c, x) (c, y)

Cada elemento de A encabeza una lnea horizontal o fila, y cada elemento de B encabeza una lnea vertical o columna. El par ordenado (a, x), se encuentra en la intersecin de la fila encabezada por "a" y la columna encabezada por "x". Para la obtencin de estos pares ordenados de AxB, suele utilizarse tambin con frecuencia el Diagrama de Arbol, que se grafica del siguiente modo:



A B AxB x .................... (a, x) a y .................... (a, y)

x .................... (b, x) b y .................... (b, y)

x ..................... (c, x) c y ..................... (c, y)

Representado en el sistema Rectngular de coordenadas cartesianas, sera tambin as:

y

x

a b c Elementos del primer factor A

Ejemplo 2 Sean los conjuntos M = {2, 5, 7} y N = {m, n, p, q} Hallar: a) MxN b) NxM Solucin: a) MxN = {(2, m), (2, n), (2, p), (2, q), (5, m), (5, n), (5, p), (5, q), (7, m), (7, n), (7, p), (7, q)}

En total MxN tiene 3 x 4 = 12 pares ordenados. b) NxM = {(m, 2), (m, 5), (m, 7), (n, 2), (n, 5), (n, 7), (p, 2), (p, 5), (p, 7), (q, 2), (q, 5), (q, 7)}

En total NxM tiene 4 x 3 = 12 pares ordenados.

De los ejemplos (a) y (b) deducimos que MxN NxM a menos que M=N NOTA: El producto cartesiano no es en general conmutativo. Es decir AxB es distinto de BxA, segn se ha visto, el par (2, m) no es igual al par (m, 2), etc. La definicin de producto cartesiano se extiende al caso de varios conjuntos. As por ejemplo, si tenemos 3 conjuntos, donde:

(c, x)

(b, x) (a, x)

(c, y)

(b, y)

(a, y)

Elementos del

Segundo factor B



Si : A = {a, b} ; B = {1, 2, 3} ; C = {m, n} Hallar: AxBxC

Tenemos que AxBxC tendr como elementos a ternas ordenadas, donde la 1era. componente pertenecer al conjunto de A; la 2da componente ser elemento de B y la 3era. componente ser elemento de C. Por lo tanto:

AxBxC = {(a,1,m), (a,1,n), (a,2,m), (a,2,n), (a,3,m), (a,3,n), (b,1,m), (b,1,n), (b,2,m), (b,2,n), (b,3,m), (b,3,n)} En total tenemos 2 x 3 x 2 = 12 ternas ordenadas. Utilizando el Diagrama de Arbol, ser:

m ............ (a,1,m) 1

n ............. (a,1,n) m ............ (a,2,m)

a 2 n ............. (a,2,n) m ............ (a,3,m)

3 n ............. (a,3,n)

m ............ (b,1,m) 1

n ............. (b,1,n) m ............ (b,2,m)

b 2 n ............. (b,2,n) m ............ (b,3,m)

3 n ............. (b,3,n)

Si A = B, el producto cartesiano AxA suele indicarse por A2 , este conjunto contiene en particular los elementos de la forma (x, x), siendo xA. El conjunto formado slo por estos pares ordenados de la forma (x, x) se llama Diagonal del Producto Cartesiano

DEFINICIN Se llama diagonal del producto cartesiano de AxA, al subconjunto formado por los pares del tipo (x, x).

Diag (A2) = { (x, x) / xA} Ejemplo: Sea A = {p, q, r} AxA = {(p, p), (p, q), (p, r), (q, p), (q, q), (q, r), (r, p), (r, q), (r, r)} La diagonal de A2 se denota por: Diag (A2) = {(p, p), (q, q), (r, r)}



Donde: Diag (A2) AxA cuya grfica es:

r

q

p

p q r

PROPIEDADES 1) A x (BC) = (AxB) (AxC) 2) A x (BC) = (AxB) (AxC) 3) Si MA NB MxN AxB 4) (AxB)' = (A' x B) (AxB') (A' x B') 5) (A-B) x C = (AxC) - (BxC) 6) A' x B' (AxB)' 7) AxB BxA a menos que A=B 8) AxB = A= B = NOTA: Si los componentes de A y B son subconjuntos de los reales, de la forma :

A = {xR / a x b} y B = {yR / c y d} El producto cartesiano AxB est dado por:

AxB = {(x,y)R2 / a x b c y d} Cuya grfica en el sistema de coordenadas cartesianas, estara representado por la superficie sombreada. y

d A x B

c

x

a b

(p, p)

(r, r)

(q, q)



Ejemplo: Sea A = {xR / -2 < x 5}

B = {yR / -5 y < 8} AxB = {(x,y)RxR / -2< x 5 -5 < y < 8}, cuya grfica es: y

8

AxB

-2 5 x

-5

RELACIONES BINARIAS La idea de establecer una relacin entre dos o ms objetos es utilizada en matemtica y en la vida cotidiana con mucha frecuencia. Es comn establecer relaciones mediante frases como "es hermano de ...", "es mayor que..", "es semejante a...", "es paralelo a...", "es divisor de ...", etc. Nuestro acontecer diario est lleno de ejemplos de esta naturaleza que a menudo lo empleamos.

Este vnculo, este enlace que relaciona a dos elementos, se llama Relacin Binaria; si vincula a tres elementos se llamar Relacin Ternaria, o si vincula n elementos se llamar Relacin n-aria. Por lo tanto una Relacin Binaria establece un vnculo o un nexo entre dos elementos de dos conjuntos, no necesariamente diferentes, y segn sea el tipo de conexin se tienen las distintas clases de relaciones. Esto sugiere naturalmente la consideracin del producto cartesiano de dos conjuntos y la determinacin de los pares ordenados que se vinculan a travs de un enunciado. As por ejemplo: Sean los conjuntos A={1, 3, 6} y B={2, 8} y la relacin R definido por "menor que".

En primer trmino, hallamos los elementos de AxB y tenemos: AxB = {(1, 2), (1, 8), (3, 2), (3, 8), (6, 2), (6, 8)} De este conjunto, escogemos los pares ordenados que cumplan la condicin de que el 1er. componente "es menor que", el 2do. componente, y son: (1, 2), (1, 8), (3, 8), (6, 8) que constituirn los elementos de la relacin R definido de A en B y escribimos: R = {(1, 2), (1, 8), (3, 8), (6, 8)}; graficando: R



tambin: y

R

8

2

x

1 3 6 En consecuencia, se dice que dado 2 conjuntos A y B no vacos y una relacin R definida de A en B; la relacin R ser un subconjunto de AxB o sea R AxB.

DEFINICIN Dados dos conjuntos A y B no vaco, R es una relacin entre A y B, s y slo si, R es un subconjunto del producto cartesiano de AxB y escribimos as:

R es una relacin de A en B R AxB

Para indicar que un par ordenado (a, b), pertenece a una relacin R, se escribe tambin as:

a R b , lo que equivale a (a, b) R

NOTA:

1) Si A es un conjunto de m elementos y B un conjunto de n elementos, el conjunto de AxB tiene mn elementos. Existen, 2mn subconjuntos de AxB, o sea, 2mn posibles relaciones entre los elementos de ambos conjuntos.

2) Si los conjuntos A y B son iguales, entonces R es una relacin entre los elementos del conjunto A o simplemente R es una relacin en A, y se denota:

R : A A

Ejemplo: Sean los conjuntos : A={1, 2, 5, 6} y B={2, 3, 7} y la relacin R definida por:

A B

1 3

6

2 8



R={(x,y)AxB / x+y 6}. Determinar R por extensin y representar grficamente. Solucin:

Si A={1, 2, 5, 6} y B={2, 3, 7} donde R={(x,y)AxB / x+y 6}. Del producto cartesiano de AxB, escogemos los pares ordenados que emplean la

condicin x+y 6 (la suma de la 1era. componente, ms la 2da. componente de cada par sea menor o igual a 6) donde R ser:

R = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)} Su grfico cartesiano es:

7

R

3 2

1 2

Su grfico en la forma de Diagrama de Venn es: R

A B

Su grfico de matriz binario es:

R 2 3 7

1 1 1 0 2 1 1 0 5 0 0 0 6 0 0 0

Esta forma de representar a una relacin se llama Representacin mediante Matriz Binaria, que consiste en anotar sobre una columna los elementos de A y sobre una fila los elementos de B. En el ngulo superior izquierdo, el significado de la relacin. Se asigna a cada

1

2

5

2

3

7



elemento del producto cartesiano AxB el numeral 1 (uno), si hay relacin ; o bien el numeral 0 (cero), si no existe relacin.

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIN Sea una relacin R definida de A en B, es decir R : A B; entonces:

EL DOMINIO de R es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares (x, y) que pertenecen a R. Simblicamente denotamos:

Dom(R) = {xA / yB (x,y)R} EL RANGO de R es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares (x, y) que pertenecen a R.

Simblicamente denotamos:

Rang(R) = {yB / xA (x,y)R} Al conjunto de elementos del Rango se le llama tambin IMAGEN de R : Im(R)

NOTA:

1. Si R es una relacin de A en B, donde (x, y)R, entonces, se dice que, "y" es una imagen de "x" a travs de R y que "x" es un antecedente o preimagen de "y" por R.

2. Si R es una relacin de A en B, entonces al conjunto de A se llama CONJUNTO DE PARTIDA, y al conjunto B se llama CONJUNTO DE LLEGADA.

R

A B

Conjunto de Partida RAxB Conjunto de llegada Dom(R) : Dominio de R Im(R) : Imagen de R, o Rango de R, Rang(R)

Ejemplo: Sean los conjuntos A={1, 2, 5, 7} y B={2, 4, 6, 8} y la relacin R={(x,y)AxB / y=x+1} Determinar R por extensin y dar el dominio y rango de R.

Solucin:

Dominio

Ran

go



Para hallar los elementos de R, estos deben cumplir la condicin de que y = x + 1. (La 2da componente igual a la 1era. componente ms 1) Si , y = x + 1 , tabulando tenemos:

x y = x+1

1

2

5 7

2 V

3 F

6 V

8 V

Luego: R = {(1, 2), (5, 6), (7, 8)} Dom(R) = {1, 5, 7} Dom(R) A Rang(R) = {2, 6, 8} Rang(R) B

R

A B

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS Ahora estudiaremos tres importantes propiedades que tienen algunas relaciones: la reflexividad, la simetra, y la transitividad. Las relaciones que tienen a la vez estas tres propiedades, son las llamadas relaciones de equivalencia, y tienen mucha importancia en matemtica.

Sea R una relacin definida en A, es decir RA2. Dicha relacin puede clasificarse de

acuerdo a las siguientes propiedades:

REFLEXIVA

2

1

5

4

2

6



R es reflexiva x : xA (x, x)R

La reflexividad de R se caracteriza porque todo elemento de A forma pareja consigo mismo, y el par obtenido pertenece a la relacin

Si recordamos que Diag(A2) = {(x, x) / xA} ................ La reflexividad se traduce en el hecho siguiente: La diagonal de A2 est contenida en la relacin, es decir:

R es reflexiva Diag(A2) R Ejemplo:

Sea A = {2, 3, 4, 5} y las relaciones definidas en AxA R1 = {(2,3) (2,2), (3,3), (4,4), (3,4), (5,5)} R2 = {(2,2), (3,3), (4,5), (5,5)} Observando las relaciones decimos que:

R1 es reflexiva, pues (x, x)R1 ; xA R2 no es reflexiva, pues si 4A observamos que (4,4)R2 ; Es decir falta el par (4,4) para que R2 sea reflexiva.

Otros ejemplos: Al paralelismo entre rectas es reflexiva, pues toda recta r verifica r // r (r es paralela

consigo mismo). La relacin de entre nmeros reales, es reflexiva pues para todo nmero real verifca x

x , por ejemplo 3 3, pues 3 = 3 (recordemos que a b significa a < b a = b: ) La relacin < entre dos nmeros reales no es reflexiva, porque no verifica x < x.

La relacin "x es divisor de y" si es reflexiva, porque verifica x es divisor consigo

mismo para xN (en este caso N es el conjunto de los naturales: N = {1, 2, 3, ..........} )

SIMETRA

En alguna relaciones se tiene, que si un par ordenado (x, y) la satisface, entonces el par ordenado (y,x) tambin la satisface. Dichas relaciones se llaman simtricas .

En smbolos:



R es simtrica x, y A : (x, y)R (y, x)R

Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3} y las relaciones en A: R1 = ((1,2), (2,2), (3,2), (2,3), (2,1)} R2 = {(2,3), (1,3), (3,2)} R3 = {(1,1), (2,3), (3,2)} Las relaciones R1 y R3 son simtricas.

La relacin R2 no es simtrica porque (1,3)R pero (3,1)R.... (falta el (3,1) en R2).

TRANSITIVA Una relacin R en A se llama transitiva si decimos:

R es transitiva x, y, z : (x, y)R (y, z)R (x, z)R

Es decir: si un elemento est relacionado con otro (no necesariamente distinto), y ste est relacionado con un tercero, entonces el primero est relacionado con el tercero. Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3, 4} y la relacin R1 = {(1,2), (2,1), (2,2), (1,1)} R2 = {(1,2), (1,3), (2,3), (3,1), (1,1)} Observando las relaciones R1 y R2 tenemos: i) La relacin R1 es transitiva, porque cumple lo siguiente : (1,2) R1 (2,1)R (1,1)R1 (2,2) R1 (2,1)R1 (2,1)R1 (1,1) R1 (1,2)R1 (1,2)R1

Luego R1 es transitiva.

ii) La relacin R2 no es transitiva, porque no cumple para: (2,3)R2 (3,1)R2 (2,1)R2 pese a que se cumple para las otras posibilidades. En general, los ejemplos de: La relacin < entre nmeros reales es transitiva, pues : si x < y y < z x < z.

La relacin de inclusin entre conjuntos es transitiva. La relacin de igualdad es transitiva, etc.

RELACIONES DE EQUIVALENCIA



Una relacin R en A, se llama relacin de equivalencia si es simultneamente reflexiva, simtrica y transitiva. Es decir:

R es de equivalencia si y solo si

xA (x, x)R x, y A : (x, y)R (y, x)R x, y, z A : (x, y)R (y, z)R (x, z)R

Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3} y la relacin definida en A por: R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)} Determinar si R es una relacin de equivalencia.

Solucin: Como A = {1, 2, 3} y R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)} observamos que: xA se cumple (x, x)R, es decir existen en R los pares (1,1), (2,2) y (3,3), luego R es reflexiva.

As mismo, para un (x, y)R existe un (y, x)R entonces R es simtrica . Verificamos si cumple la transitividad:

(1,1)R (1,2)R (1,2)R (2,1)R (1,2)R (2,2)R (1,2)R (2,1)R (1,1)R (2,2)R (2,1)R (2,1)R

luego : R es transitiva

Por lo tanto: Si R es reflexiva, es simtrica y transitiva; R es una Relacin de Equivalencia.

Una ilustracin grfica de este ejemplo es como sigue: A

R

3 1 2 2

1 3 1 2 3

Ejemplo:



Sea M = {a, b, c, d} y la relacin de R en M; R = {(a,b), (a,a), (b,a), (b,b), (c,c), (d,d), (b,c)} Determinar si R es una realcin de equivalencia.

Solucin: Observando la relacin R={(a,b), (a,a), (b,a), (b,b), (c,c), (d,d), (b,c)} R es reflexiva.

R no es simtrica, porque para el par : (a,b)R (b,a)R (b,c)R (c.b)R , no existe el par (c,b)

Luego R no es simtrica, por lo tanto R no es una relacin de equivalencia. Otros ejemplos de relacin de equivalencia son: La relacin de "paralelismo" es una relacin de equivalencia

La relacin de "identidad" es una relacin de equivalencia.

La relacin de "identidad" es una relacin de equivalencia.

La relacin de "congruencia mdulo m" es una relacin de equivalencia. (ver nota siguiente)

NOTA: CONGRUENCIA ARITMTICA La relacin de congruencia aritmtica se define en un subconjunto de los nmeros enteros, de la siguiente forma: Sea AZ ; aA bA son congruentes mdulo "m", si y slo si a-b es divisible por "m" .

Esta solucin se escribe as:

a b mod. M (donde M le llamaremos "mdulo") Es decir;

a b mod, M kZ tal que: a-b = kM

As por ejemplo: 13 3 mod 5, porque 13-3 = 2(5) 19 4 mod 5, porque 19-4 = 3(5) -7 3 mod 5, porque -7-3 = -2(5) 12 2 mod 5, porque 12-2 = 2(5), etc.

Ejemplo: Dado el conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4} y la relacin R definido del siguiente modo: R = {(a,b)AxA / a b mod. 3} Determinar si R es una relacin de equivalencia.

Solucin:



Determinamos los elementos de R, segn la definicin "a congruente a b" mdulo 3, y tenemos.

R={(0,0), (0,3), (3,3), (3,0), (1,1), (1,4), (4,4), (4,1), (2,2)} Por simple inspeccin observamos que: R es reflexiva

R es simtrica y R es transitiva

NOTA:

La relacin a b tambin se puede expresar como: a b mod. M , si y slo si al dividir a

y b por m se obtiene el mismo residuo.

Luego R es una relacin de equivalencia.

CLASES DE EQUIVALENCIA Y CONJUNTO COCIENTE En el ejemplo anterior se verific que la relacin de congruencia mdulo "m" definida sobre el conjunto Z de los enteros, es una relacin de equivalencia. Si se considera en el conjunto de los enteros Z la congruencia mdulo 3, esta relacin separa a los nmeros enteros en 3 clases no vacas y disjuntos; as: Los enteros congruentes mdulo 3: de residuo 0 : Z0 = { ......, -9, -6, -3, 0, 3, 6, .....} de residuo 1 : Z1 = { ......, -8, -5, -2, 1, 4, 7, .....} de residuo 2 : Z2 = { ......, -7, -4, -1, 2, 5, 8, .....} Observamos que: Z0 , Z1 y Z2 son subconjuntos de Z. Adems observamos que : a) Cada nmero entero pertenece a uno y slo uno de estos subconjuntos de Z. b) La unin de Z0 , Z1 y Z2 es el subconjunto Z, o sea : Z0 Z1 Z2 = Z c) En los subconjuntos Z0 , estn todos los nmeros enteros que al ser divididos entre el

mdulo 3 tienen residuo 0; en Z1 , estn todos los nmeros enteros que al ser divididos entre el mdulo 3 tienen residuo 1, y en Z2 , estn todos los nmeros enteros que al ser divididos entre 3, tienen residuo 2.

Los conjuntos Z0 , Z1 y Z2 se llaman clases de equivalencia, determinados por la congruencia mdulo 3 sobre Z. El conjunto formado por estas 3 clases de equivalencia es el conjunto cociente de Z sobre la congruencia mdulo 3, y se indica por Z/, es decir::

(Z/) = { Z0 , Z1 y Z2 }



grficamente representamos como sigue:

Z1

Z0 Z2

NOTA:

Las clases de equivalencia constituyen una particin de Z , en el sentido siguiente: i) Z0 , Z1 y Z2 son diferentes al nulo o vaco. ii) Z0 , Z1 y Z2 son disjuntos dos a dos, es decir, sin elementos comunes. iii) Z0 Z1 Z2 = Z Tomaremos estas propiedades como base para definir en general una Particin de un conjunto .

PARTICIN DE UN CONJUNTO DEFINICIN: Diremos que un conjunto C1 , C2 , C3 , ..... es una particin de un conjunto C , si sus elementos C1 , C2 , C3 ........ i) son conjuntos no vacos ii) Son dos a dos disjuntos: Ci Cj = donde i j iii) Su unin es C: C1 C2 C3 ...... = C Ejemplos: 1.- Sea Z un conjunto de nmeros enteros y los conjuntos:

P = {x/x Z ; x es par}; M = {x/x Z ; x es impar} Son elementos de una particin de Z : {P, M}

2.- El conjunto C de los alumnos de un Colegio mixto se pueden clasificar segn su sexo, tal como N conjunto de nias y V conjunto de varones; entonces N y V son elementos de la particin de C: {N, V}

V N C

NOTA:



Toda relacin de equivalencia definida en un conjunto no vaco determina una particin de ste en clases de equivalencia. Precisamente las clases de equivalencia son los elementos de la particin.

RELACIN INVERSA Toda relacin R de A en B tiene una relacin inversa de B en A , denotado por R-1 y definida por :

R-1 = { (y, x) /(x, y) R}

En otras palabras, los pares ordenados de R-1 son aquellos que resultan de intercambiar los componentes de los pares ordenados de la relacin R.

Ejemplo 1: Sean A={a, b} y B={1, 2, 3} y la relacin R de A en B, donde : R = {(a,1), (a,2), (b,3)} La relacin inversa de R ser :

R-1 = {(1,a), (2,a), (3,b)}

Ejemplo 2: Dado A={2, 3, 5, 6} y la relacin R definido como sigue: R = {(2,3), (2,5), (3,6), (5,6)} La relacin inversa de R ser:

R-1 = {(3,2), (5,2), (6,3), (6,5)} Si observamos el dominio y rango de R ser:

Dom(R) = {2, 3, 5} Rang(R) = {3, 5, 6}

Del mismo modo, el dominio y Rango de R-1 ser: Dom(R-1) = (3, 5, 6} Rang(R-1) = {2, 3, 5}

Por lo tanto enunciamos la: Propiedad Fundamental de las relaciones inversas:

Dada una relacin R de A en B, y su inversa R-1 de B en A, entonces:

Dom(R-1) = Rang(R) Rang(R-1) = Dom(R)

NOTA: Otra forma de denotar a una relacin inversa es R*



Ejemplo: Dado el conjunto de A={1, 2, 3, 4, 5} y la relacin R de A en A, donde: R = {(x, y)AxA / y = 2x-1} Determinar: a) R por extensin

b) R-1 y dar su dominio y rango c) Graficar R y R-1

Solucin:

Si R={(x,y)AxA / y = 2x-1} , tabulando: x y 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9

a) R = {(1,1), (2,3), (3,5)} ; Dom(R) = {1, 2, 3} Rang(R) = {1, 3, 5}

b) R-1 = {(1,1), (3,2), (5,3)} , escribiendo R-1 por comprensin, escribimos::

R-1 = {(x, y)AxA / x = 2y-1} = {(x, y)AxA / y = 2

1+x }

Dom(R-1) = (1, 3, 5} Rang(R-1) = {1, 2, 3}

y = x

R

5

4

3 R-1

2

1

En la figura se han ubicado los puntos de las relaciones R y R-1 . Vemos que estos puntos estn distribuidos a uno y otro lado de la recta simtrica y = x que es la recta que biseca al ngulo X O Y. Luego concluiremos diciendo que :



La grfica de la relacin R es simtrica a la grfica de R-1 con respecto a la recta y = x.

RELACIONES DE LOS REALES EN LOS REALES DEFINICIN R es una relacin definida de los reales en los reales y escribimos as: R: RR

" Si R RxR"

que se lee: "R es un subconjunto del producto cartesiano de RxR"

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIN DE lR en lR El dominio de una relacin R se define as:

Dom(R) = {xlR / ylR (x, y)R} El dominio es un intervalo o reunin de ellos, teniendo en cuenta que un punto es un intervalo. {x} = [x, x] .... El Rango de una relacin R se define as:

Rang(R) = {ylR / xR (x, y)R}

El Rango tambin es un intervalo o reunin de ellos El producto cartesiano RxR, grficamente representa todo el plano cartesiano, por lo que una relacin R, que representa a una recta, a una curva o a una figura plana, se podr graficar en el plano cartesiano.

Algebraicamente, las rectas y las curvas son ecuaciones algebraicas con las variables "x" e " de la forma:

F(x, y) = 0 En el que "x" se llama variable independiente, "y" se llama variable dependiente.

Algebraicamente, los planos y los semiplanos son desigualdades con 2 variables que pueden ser de la forma:

F(x, y) > 0 ; F(x, y) < 0 ( Semiplanos sin borde) F(x, y) 0 ; F(x, y) 0 ( Semiplanos con borde)

GRFICA DE UNA RELACIN DE R en R Como una relacin de R definido de R en R, est representado en el plano cartesiano, entonces, toda grfica que se dibuje en dicho plano, ser una relacin definido de R en R .Algebraicamente, si la relacin est representado por una ecuacin de forma F(x, y) = 0,



entonces, su grfica es una recta o una curva ( Si la ecuacin es lineal , la grfica es una recta ; si la ecuacin no es lineal, la grfica es una curva). Si la relacin est representada por una inecuacin de las formas: F(x, y) < 0 F(x, y) > 0, F(x, y) 0 , F(x, y) 0 entonces, la grfica ser un semiplano sin borde o con borde, respectivamente.

Semiplano con borde Semiplano sin borde

Por los estudios realizados de lgebra elemental, el procedimiento para el trazado de grficas, consiste en hallar un cierto nmero de puntos y luego unir con una lnea continua dichos puntos. Muchas veces, este procedimiento puede llevar a errores y obtener grficas que no corresponden a la relacin. Para evitar errores de este tipo, debemos hacer una investigacin preliminar de la ecuacin que defina la relacin, buscando ciertas caractersticas tales como : su extensin, su simetra con respecto a los ejes coordenados, sus asntotas, sus intersecciones con los ejes coordenados, para luego, recin hallar ciertos puntos y luego unir dichos puntos. Todo esto proceso toma el nombre de DISCUSIN DE LA ECUACIN.

DISCUSIN DE LA GRFICA DE UNA RELACIN En general, para trazar el grfico de una relacin F(x, y) = 0, se siguen los siguientes pasos:



I.- INTERSECCIONES Son los puntos donde la curva corta a los ejes coordenados. Para hallar la interseccin con

los ejes se procede del siguiente modo: a) Con respecto al eje x: En la ecuacin F(x, y) = 0, se hace y = 0 y se resuelve la

ecuacin F(x, 0) = 0. b) Con respecto al eje y: En la ecuacin F(x, y) = 0. Se hace x = 0 y se resuelve la

ecuacin F(0, y) = 0 c) Con respecto al Origen: En la ecuacin F(x, y) = 0. Si para x = 0, existe un y = 0

II. SIMETRA Se dice que dos puntos son simtricos con respecto a una recta, si la recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio (se dice que dos puntos son simtricos con respecto a un punto 0 , si 0 es el punto medio del segmento que los une). Luego procedemos del siguiente modo: a) Simetra con respecto al eje x: En la ecuacin F(x, y) = 0. Debe cumplirse la

proposicin: F(x, -y) = F(x, y). Es decir; si en la ecuacin se reemplaza "y" por "-y" y la ecuacin no vara, entonces, la curva es simtrica con respecto al eje x.

b) Simetra con respecto al eje y: Debe cumplirse la proposicin : F(-x, y) = F(x, y). Es decir; si en la ecuacin se reemplaza "x" por "-x" y la ecuacin no vara, entonces la curva es simtrica con respecto al eje y.

c) Con respecto al origen: Debe cumplirse la proposicin F(-x, -y) = F(x, y). Es decir; si la ecuacin no altera al reemplazar "x" por "-x" e "y" por "-y", entonces, la curva es

simtrica con respecto al origen.

III. EXTENSIN Con este trmino se quiere expresar la determinacin de los intervalos de variacin para los cuales los valores de "x" e "y" son valores reales; es decir, como su nombre indica, nos permite determinar el recorrido de la grfica a lo largo del eje x, o a lo largo del eje y Esta informacin es til por dos razones: a) Da la localizacin general de la curva en el plano coordenado. b) Indica si la curva es cerrada o si es de extensin indefinida. Para determinar la extensin de una curva se procede as: Al resolver la ecuacin dada, para determinar el Dominio de la grfica, se despeja "y" en trminos de "x", luego se observa la variacin de "x" . Del mismo modo, para hallar el Rango de la grfica, se despeja "x" en trminos de "y", luego se observa la variacin de "y".



IV. ASNTOTAS Si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama ASNTOTA de la curva. Esto significa que si una curva tiene asntota, la curva no es cerrada y se extiende indefinidamente. Las asntotas pueden ser: Asntota Vertical (x = K), Asntota Horizontal (y = K) y Asntota Oblicua (y = mx+b).

X= K

y y y

y = K

y = mx+b x x x

Para hallar las asntotas, procederemos como sigue: Para obtener las ecuaciones de las asntotas verticales, se resuelve la ecuacin dada y se despeja "y" en trminos de "x"; si en el denominador se encuentra la variable "x", esta expresin del denominador se iguala a cero, cuyos valores obtenidos, representarn a las ecuaciones de las Asntotas Verticales que sern rectas de la forma: x = K : (K = constante). Para obtener las ecuaciones de las asntotas horizontales, se resuelve la ecuacin dada y se despeja "x" en trminos de "y", si en el denominador se encuentra la variable "y", esta expresin del denominador se iguala a cero, cuyos valores obtenidos, representarn a las ecuaciones de las asntotas horizontales, que sern rectas de la forma y = K : (K = constante) .( si en el despeje efectuado, la expresin resultante no presenta denominadores literales, entonces no hay asntota ni vertical ni horizontal ) Para obtener las ecuaciones de las asntotas oblicuas, se reemplaza en la ecuacin conocida "y" por y = mx+b; se efectan las operaciones indicadas, luego se ordena la ecuacin resultante en trminos de "x" y se iguala a cero el coeficiente de la variable x afectados a su mayor exponente, donde se obtendrn los valores de "m" y de "b", que sern sustituidos en la ecuacin de la recta y = mx+b; esta expresin resultante representar la asntota oblicua.



V. TABULACIN Se calcula el nmero suficiente de puntos para obtener una grfica adecuada.

VI. TRAZADO DE CURVA Es la unin de los puntos encontrados en el paso anterior, mediante una lnea contnua.

Ejemplo 1: Discutir el grfico de la relacin R, si : R = {(x, y)RxR / xy-2x-2y+2 = 0} Solucin: I) INTERSECCIONES

a) Con el eje x Se hace y = 0 sustituyendo en la ecuacin xy-2x-2y+2 = 0 tenemos :

-2x + 2 = 0 x = 1

P1 (1, 0)

b) Con el eje y Si se hace x = 0 -2y+2 = 0 y = 1

P2 (0. 1) c) Con el Origen No existe

II) SIMETRA En la ecuacin xy-2x-2y+2 = 0 a) Con respecto al eje x:

Si reemplazamos y por -y , tenemos x(-y) - 2x - 2(-y) + 2 = 0 -xy - 2x + 2y + 2 = 0 como la ecuacin vara, luego no existe simetra con respecto al eje x.

b) Con respecto al eje y Si se reemplaza x por -x , observamos que la ecuacin vara, luego, no existe simetra

con el eje y. c) Con respecto al Origen

Si se reemplaza x por -x e y por -y, la ecuacin xy-2x-2y+2 = 0 vara, luego de curva no es simtrica con respecto al origen.

III) EXTENSIN xy - 2x - 2y + 2 = 0



2x - 2 despejando y: y = , Igualando a cero el denominador: x-2=0 ; x= 2

x - 2 la variable "x" puede tomar todos los valores reales excepto x = 2 ; por lo tanto el dominio de la relacin ser:

Dom(R) : R-{2} Para el rango: despejamos x :

2y - 2 x = , donde si y-2 = 0 , y = 2

y - 2

Del mismo modo "y" toma todos los valores excepto y = 2, luego, el rango de la relacin es:

Rang (R) = R-{2} La grfica, por lo tanto es una curva abierta toma todos los valores reales excepto x = 2 ; y = 2

IV ASNTOTAS De la ecuacin: xy-2x-2y+2 = 0 Para la asntota vertical:

Despejamos "y", tenemos: 2x - 2

y = , entonces, igualando a cero el denominador: y - 2

x -2 = 0 x = 2 Asntota Vertical

Para obtener la asntota horizontal: Despejamos "x" , tenemos:

2y - 2 x = ; igualando a cero el denominador y - 2

y -2 = 0

y = 2 Asntota Horizontal.

Para obtener la asntota oblcua: En la ecuacin: xy - 2x - 2y + 2 = 0

Si: y = mx + b x(mx+b) - 2x - 2(mx+b) + 2 = 0



mx2 + (b-2-2m)x + (-2b+2) = 0 donde: m = 0 m = 0

b-2-2m = 0 b = 2

Luego y = mx + b y = 0x + 2 y = 2 (recta horizontal)

V) TABULACION De la ecuacin xy-2x-2y+2 = 0 :

2x - 2 y =

x - 2

x -3 -2 -1 0 1 1.5 1.7 2.5 3 4 5 6 y 8/5 3/2 4/3 1 0 -2 -4.66 6 4 3 2.66 2.5

VI) TRAZADO

2

2

Ejemplo 2: Discutir la grfica de la relacin R, si R={(x,y)RxR / x3 +xy2-y2=0}

Solucin: I) INTERSECCIONES:

Con el Eje x: Si y = 0 x = 0 ; P(0,0)



La curva interseca al origen.

Con el eje y: Si x = 0 y = 0 ; P(0,0) Por lo tanto el nico punto de interseccin es con el origen.

II) SIMETRA Con respecto al Eje x: En la ecuacin x3 + xy2 y2 = 0

Si y = -y x3 + x(-y)2 - (-y)2 = 0 La ecuacin no vara, luego, la curva es simtrica con respecto al eje x. Con respecto al Eje y: Al reemplazar x por -x, la ecuacin: (-x)3 + (-x)y2 y2 = 0 vara, luego no es simtrico. Con respecto al origen: Al reemplazar x por -x e y por -y, tenemos: (-x)3 + (-x)(-y)2 - (-y)2 = 0 La ecuacin vara, luego, la curva no es simtrica.

III) EXTENSIN

De la ecuacin: x3+ xy2 y2 = 0 despejando y: y = x

x

1

3

01

3

x

x , 0

1

3

x

x , x = 0 , x - 1 = 0 ; x = 1

Por lo tanto de esta expresin vemos que "y" es compleja cuando "x" es negativa; por tanto todos los valores de "x" negativos quedan excludos; segn esto no hay curva a la izquierda del eje y; as mismo si x = 1, la curva no est definida y para valores mayores que 1, no existe la curva.

Por lo tanto, el dominio de la relacin ser :

Dom(R) = {xR / 0 x < 1}

Para obtener el rango, simplemente observamos que "y" toma todos los valores, positivos y

negativos cuando x toma los valores comprendidos en el intervalo 0 x < 1, luego:

Rang(R) = R IV. ASNTOTAS

Al despejar "y" en la ecuacin propuesta tenemos: y = x

x

1

3



igualando a cero el denominador:

1 - x = 0 x =1 Asntota Vertical, recta que corta perpendicular al eje x en : x = 1

Para la asntota horizontal despejamos "x", como vemos, no podemos despejar "x", no podemos investigar la posible existencia de una o ms asntotas horizontales, tan rpidamente como la asntota vertical; sin embargo, se puede investigar las asntotas

horizontales dando valores a "x" cada vez mayores, en este caso 0 x < 1; lo cual es muy

restringido. Por tanto no hay asntotas horizontales.

V) TABULACIN Para x3 + xy2 y2 = 0

Donde: x

xy

=1

3

x 0 0.3 0.5 0.7 0.8 0.9 1

y 0 0.3 0.5 1.06 1.6 2.7

VI) TRAZADO y

0 x

Ejemplo 3: Discutir la grfica de la relacin R = {(x,y)RxR / xy-x2-1 = 0} Solucin: I) INTERSECCIN



Con el eje x: Si y = 0 -x2 - 1 = 0

x = 1 ; no existe Con el eje y: Si x = 0 la expresin no existe

Con el origen : No existe.

II) SIMETRA Con el eje x: Si y = -y ; la ecuacin vara ; no hay simetra Con el eje y: Si x = -x ; la ecuacin vara ; no hay simetra Con el origen: Si x = -x e y = -y, la ecuacin no vara, luego hay simetra con respecto al origen.

III) EXTENSION De la ecuacin: xy x2 - 1 = 0

x2 + 1

y = x

x 0 , luego : Dom(R) = R - {0}

Para el rango; despejamos x : x = 2

42 yy

Resolviendo: Y2 - 4 0 y 2 y -2

Rang (R): y

IV) ASNTOTAS De la ecuacin conocida: xy - x2 -1 = 0 ; despejando "y" :

x2 + 1

y = x = 0 Asntota vertical. x

No hay asntota horizontal (ver paso IV: extensin). Asntota Oblicua: De la ecuacin: xy x2 - 1 = 0 , si hacemos que: y = mx + b Sustituyendo en la ecuacin principal, tenemos: x (mx + b) - x2 -1 = 0 mx2 + bx x2 - 1 = 0 (m-1)x2+ bx - 1 = 0 m-1 = 0 m = 1 Luego: como y = mx + b, reemplazando:

bx = 0 b = 0 y = x Asntota Vertical



V) TABULADO: x

2 + 1

De la ecuacin: y = x

x -3 -2 -1 -1/2 -1/4 1/4 1/2 1 2 3 y -10/3 -5/2 -2 -5/2 -17/4 17/4 5/2 2 5/2 10/3

VI) TRAZADO y

GRFICA DE RELACIONES LINEALES Toda ecuacin lineal con 2 variables es de la forma Ax + By + C = 0, cuya representacin grfica es una recta. En la ecuacin : Ax + By + C = 0 ; (A, B y C son nmeros reales) Si A = 0 By + C = 0 donde y = - C/B ....... (fig. a) , que corresponde a una recta paralela al eje x Si B = 0 Ax + C = 0 donde x = - C/A ....... (fig. b) , que corresponde a una recta paralela al eje y Si C = 0 Ax + By = 0 es una recta que no es paralela a ninguno de los ejes coordenados y pasa por el origen.

NOTA: Para graficar una recta se necesita slo dos puntos pertenecientes a la recta.



y y y

y = K x=k Ax+By=0

x x x

Ejemplo 1: Graficar la relacin R={(x,y)RxR / 5x-3y+2 = 0} Solucin: La relacin R definida en los reales est representado por la ecuacin

5x - 3y + 2 = 0

5x + 2 Despejando "y", luego tabulando : y =

3

x -1 2 (asignamos valores arbitrarios para x)

y -1 4

4

-1

-1 2 X

Ejemplo 2: Graficar la relacin: R={(x,y)RxR / 3x-2y-2 = 0 ; -1 x 5} y dar su dominio y rango.

Solucin: 3x - 9

La expresin que define la relacin R es: 3x-2y-9 = 0 y = 2



Para tabular asignamos valores para "x" con preferencia aquellos que son los extremos del intervalo -1 x 5 ; Asignamos estos extremos con el fin de encontrar el dominio y rango Por lo tanto, tenemos: 3

x -1 5

y -6 3 -1 5

Dom(R) = {xR / -1 x 5 } Rang (R) = {yR / -6 x 3} -6

GRFICA DE DESIGUALDADES: En temas anteriores, hemos visto que las desigualdades representadas por las inecuaciones:

F(x,y) > 0 ; F(x,y) 0 ; F(x,y) < 0 ; F(x,y) 0, grficamente representan a planos o a semiplanos.

Toda inecuacin lineal con dos variables representa grficamente un semiplano, donde son de las formas: Ax+By+C > 0

Ax+By+C 0 ; Ax+By+C < 0 ; Ax+By+C 0

En el que la ecuacin Ax+By+C = 0 viene a ser la recta que limita el semiplano y las

inecuaciones Ax+By+C > 0 Ax+By+C < 0 representan las regiones (semiplanos). Ejemplo 1: Graficar la relacin R={(x,y)RxR / 3x-2y+6 0} Solucin: La relacin R est representada por 3x-2y+6 0.

Para graficar, primero consideramos la ecuacin 3x-2y+6 = 0 , esto lo hacemos con el objeto de encontrar el trazo de la recta lmite. La parte sombreada del plano es la que representa a la inecuacin 3x-2y+6 > 0 , cuyos puntos pertenecientes a la parte sombreada, satisfacen la

desigualdad 2

63 + 0}

R = R1 = recta R2= semiplano sombreado

Por lo tanto un mtodo prctico para graficar una inecuacin expresado en las formas :

F(x,y) < 0 ; F(x,y) > 0 ; F(x,y) 0 ; F(x,y) 0 es el siguiente: i) Graficar la recta o curva que limita el plano o al semiplano, haciendo F(x,y) = 0

ii) "Sombrear la regin que satisfaga a la relacin R propuesta. Para ello se busca un punto (xo, yo) perteneciente a uno de los semiplanos (que no pertenezca a la lnea que separa) y se reemplaza en la expresin de la relacin R conocida.:

Si (xo ,yo) R entonces, se sombrea la regin donde se encuentra el punto (xo, ,yo)

Si (xo,yo) R entonces, se sombrea la regin donde no est el punto (xo,yo).

Ejemplo 2: Graficar la relacin R={(x,y)R / 5x-3y-1 < 0} Solucin: La inecuacin que representa a R es : 5x-3y-1 < 0 Primero graficamos la lnea que separa el semiplano haciendo que 5x-3y-1 = 0 o sea:

5x-1 y = 2

x - 1 2

y - 2 3

Esta recta 5x-3y-1 = 0 ha dividido el plano en 2 regiones, tales como la regin A y la regin B.

A



(1,0)

Para saber qu regin sombrear, consideremos un punto cualquiera, tal como el punto (1,0) y verificamos en la inecuacin:

5x-3y-1< 0 5(1) - 3(0) -1 < 0 5 < 0 Proposicin Falsa. Luego, el punto (1,0) que pertenece a la regin B no pertenecer a la regin sombreada; por lo tanto sombreamos la regin A ( parte superior a la recta) Adems, la lnea que separa es una lnea que lo representamos por una lnea punteada por no pertenecer a la relacin.

Ejemplo 3: Graficar la relacin R={(x,y)RxR / x2+y2 4} Solucin: La inecuacin que representa a R es: x2+y2 4 , determinamos la curva que limita al plano

haciendo: x2+y2 = 4 y = 24 x ; donde 04 2 x , lo cual se tiene que: -2 x 2

Tabulando:

x -2 - 1 0 1 2

y 0 1,73 2 1,75 0

Graficando la curva:

2

-2 2 (3,0)

-2 Verificamos que la regin (interior o exterior) es la que cumple con la relacin x2+y2 4, para el efecto, consideramos el punto (3,0), entonces, sustituyendo en x2+y2 4 :

(3)2 + (0)2 4 9 > 4 (verdadero)

Por lo tanto, los puntos que estn fuera de la circunferencia verifican la desigualdad y sombreamos la regin exterior al crculo, as mismo cumplen la relacin R, los puntos que pertenecen a la curva, por lo que trazamos la curva con una lnea continua.



-3

Ejemplo 4: Graficar la relacin R={(x,y)RxR / x2+y2 9 y x-3}. Dar su dominio y rango. Solucin: Graficando cada una de las inecuaciones que expresan la relacin R, tales como:

x2 + y2 9 y x-3

y verificando como en los casos anteriores, tenemos la grfica: si y = 29 x

x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3

y 0 2,23 2,82 3 2,82 2,23 0

si y = x-3

x 0 3

y - 3 0

La regin doblemente sombreada corresponde a la grafica R pedida. Para determinar su dominio y rango; resolvemos el sistema formado por las inecuaciones:

Resolviendo el sistema x

2+y2 = 9 .................. (1) (representan las lneas que limitan cada grfica) x - y = 3 ..................(2)

de la ecuacin (2) y = x - 3 sustituyendo en ecuacin (1), se tiene: x2 + (x-3)2 = 9 x

2 + x2 - 6x + 9 = 0



2x2 - 6x = 0 2x(x-3) = 0 x = 0 y = -3 P1 (0,-3) x = 3 y = 0 P2 (3, 0)

Luego : el Dom(R) = {xR / 0 x 3} el Rang(R) = {yR / -3 y 0}

GRAFICA DE RELACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Para graficar relaciones con valor absoluto basta hacer uso de la definicin de valor absoluto

Ejemplo 1: Graficar la relacin R={(x,y)RxR / y = 3x-1} , y dar su dominio y rango. Solucin: La relacin R est definido por la ecuacin y =3x-1; entonces por definicin:

3x - 1 si 3x -1 0 (resolviendo estas inecuaciones) y = | 3x - 1 | =

- (3x - 1) si 3x - 1 < 0

3x - 1 si x 31

y =

-3x + 1 si x < 31

De donde, tenemos dos ecuaciones, cada una de ellas con sus condiciones, lo cual tabulamos as:

y = 3x - 1 si x 31

( tomamos valores para x mayores o iguales a 31

)

x 31

1

y 0 2

y = -3x + 1 si x < 31

( tomamos valores para x menores a 31

)

x 0 - 1



y 0 4

ahora graficando: y

4

2

-1 1/3 1 x

Para hallar su dominio y rango, basta observar la grfica y tenemos que: Dom(R) = R ............... (la grfica se extiende indefinidamente a lo largo del eje x) Rang(R) = {yR / y 0} .....(la grfica se extiende a partir del eje x, hacia arriba

indefinidamente) Ejemplo 2: Graficar la relacin R = {(x,y)RxR / y = x2 - 4} y dar su dominio y rango. Solucin: La ecuacin que define la relacin R es:

y = x2 - 4 ; por definicin de valor absoluto:

x2 - 4, si x2 - 4 0

y = x2 - 4 = - (x2 - 4), si x2 - 4 < 0

resolviendo las inecuaciones indicadas, tenemos:

x2 - 4 , si x

y = -x

2 + 4 , si x

Segn estas condiciones, graficamos cada una de las ecuaciones:



y = x2 - 4 ; si y = -x2 + 4 ; si Observando la grfica tenemos que:

-2 2

Dom(R) = R ; Rang(R) = { yR / y 0 } = [0 , > Ejemplo 3: Graficar la relacin R = {(x,y)RxR / x2 - y 1} Solucin: Por definicin: x2 - y 1 -1 y 1 x

2 - y 1 x2 - y 1

y x2 + 1 y x2 1 Para graficar cada una de estas inecuaciones , procedemos como en los casos anteriores; es

decir primero obtenemos una lnea que divide el plano, luego verificamos la regin que debe sombrearse.

As ; para : y x2 + 1 Si y = x2 +1 ;

x - 2 - 1 0 1 2

y 5 2 1 2 5

para : y x2 1 si y = x2 - 1

x - 2 - 1 0 1 2

y 3 0 -1 0 3

graficando, se tiene:



1

x

-1

Dom (R ) = R y Rang(R) = [ + ,1

8.18.- EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Hallar los valores, si existen, de "x" e "y" sabiendo que (x - y, xy) = (0, 1) Solucin: Si (x - y, xy) = (0, 1) entonces: x - y = 0 ........................... (1) xy = 1 .......................... (2) De ecuacin (1), tenemos que : x = y , sustituyendo en (2) x

2 = 1 x = 1 y = 1

Rpta: Valores de x : {-1, 1} Valores de y : {-1, 1} 2.- Dado los conjuntos A = {2x / xN ; 1 x 3}

B = {2x-1/ xN ; 2 x 5}

Hallar y dar su representacin grfica de : a) A x B; b.-) B x A ; c.-) Determinar el nmero de elementos de P(AxB) Solucin:

Si A = {2x / xN; 1 x 3} ; B = {2x-1 / xN; 2 x 5} Escribimos estos conjuntos por extensin y tenemos: A={2, 4, 6} ; B={3, 5, 7, 9}Entonces a) AxB = {(2,3),(2,5),(2,7),(2,9),(4,3),(4,5),(4,7),(4,9),(6,3),(6,5),(6,7),(6,9)} b) BxA = {(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),(7,2),(7,4),(7,6),(9,2),(9,4),(9,6)}

9 (2,9) (4,9) (6,9)

7 (2,7) (4,7) (6,7)



B 6 (3,6) (5,6) (7,6) (9,6)

5 (2,5) (4,5) (6,5) A 4 (3,4) (5,4) (7,4) (9,4)

3 (2,3) (4,3) (6,3) 2 (3,2) (5,2) (7,2) (9,2)

A B c) El nmero de elementos de AxB es: n(AxB) = 3 x 4 = 12 elementos

Entonces el nmero de elementos del conjunto Potencia de AxB es: n[P(AxB)] = 2n = 212

.

3.- Dado los conjuntos en los reales: M = {xR / -4 x < 2} ; N = {yR / 1 < y < 5 } y P ={zR / z >-1} Hallar y graficar:

a) M x N b) N x P Solucin:

a) MxN = {(x,y)MxN / -4 x < 2 1< y < 5} b) NxP = {(x,z)NxP / 1 < y < 5 z > -1} graficando en el Sistema de Coordenadas Cartesianas:

5

MxN NxP

x 1 5 x -4 2 4.- Sea el conjunto A={xZ / -4 < x 6} y la relacin R definido de A en A; donde: R = {(x,y)AxA / 3x-2y = 8}, se pide: a) Determinar R por extensin y dar su representacin grfica. b) Hallar el Dominio y Rango de R. c) Hallar R-1 Solucin: a) Si A={xZ / -4 < x 6} = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

-1



Para escribir los elementos de R que satisfacen la relacin 3x-2y = 6 de manera que estn definidos en AxA, recurrimos a la tabulacin del siguiente modo: Despejando "y" de la ecuacin propuesta 3x-2y = 6

y = 2

63 x

x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6

y -15/2 - 6 - 9/2 - 3 - 3/2 0 - 3/2 3 - 9/2 6

los pares ordenados que satisfacen R : A A son: a) R = {(0,-3) (2,0) (4,3) (6,6)}

(6,6)

(4, 3)

(2,0)

(0,-3)

b) Dom(R) = {0, 2, 4, 6} Rang(R) = {-3, 0, 3, 6}

c) R-1 = {(-3,0) (0,2) (3,4) (6,6)} donde Dom(R-1) = {-3, 0, 3, 6}

Rang(R-1) = {0, 2, 4, 6} R-1 podemos determinar por comprensin del siguiente modo:

x

y



R-1 = {(x,y)A2 / 3y-2x = 6} = {(x,y)AxA / y = 3

62 +x }

Ejemplo 5.- Dado el conjunto A={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} y la relacin R={(x,y)AxA / x y mod. 4} a) Determinar R por extensin. b) Determinar si R es una relacin de equivalencia. c) Determinar la particin de A. d) Determinar el conjunto cociente de A segn R. Solucin: a) Para escribir R por extensin, primero separamos los subconjuntos de A cuyos elementos sean congruentes con el mdulo 4 y tengan residuo cero. Luego, aquellos que tengan residuo 1; luego aquellos que tengan residuo 2 y finalmente aquellos que tengan residuo 3. (empezando de -4 sumarle 4 sucesivamente, estos elementos tienen residuo 0; luego empezando de -3 sumarle sucesivamente 4, estos elementos tienen resto 1; luego empezando de -2 sumarle sucsivamente 4, estos elementos tienen residuo 2; finalmente empezando de -1 sumarle sucesivamente 4 y habremos obtenido el subcontenido de elementos que tienen residuo 3) A0 = {-4, 0, 4 } A1 = {-3, 1} A2 = {-2, 2} A3 = {-1, 3} Entonces R = {A0xA0, A1xA1, A2xA2, A3xA3} es decir: R = {(-4,-4) (-4,0) (-4,4) (0,-4) (0,0) (0,4) (4,-4) (4,0) (4,4) (-3,-3) (-3,1) (1,-3) (1,1) (-2,-2) (-2,2) (2,-2) (2,2) (-1,-1) (-1,3) (3,-1) (3,3)} b) Observando los elementos de R, tenemos que: R es reflexiva porque xA (x, x)R R es simtrica porque x, y A (x, y)R (y, x)R R es transitiva porque x, y, z : (x, y)R (y, z)R (x, z)R Luego R es una relacin de equivalencia. c) Los subconjuntos encontrados en la parte (a), vendran a ser una forma de encontrar la particin de A; luego los subconjuntos A0, A1, A2 y A3 son la particin de A. Luego la particin de A son los subconjuntos: A0 = {-4, 0, 4} ; A1 = {-3, 1} ; A2 = {-2, 2} ; A3 = {-1, 3} A



A0 A1 A2 A3 -4 -3 -2 -1 0 4 1 2 3

d) El conjunto cociente de A segn R, ser A/R = {A0, A1, A2, A3} Ejemplo 6.- Dada la relacin R={(x,y)RxR / y = x2-1 ; 0 x 2} Encontrar R-1 ; dar su dominio, su rango y representado grficamente.

Solucin: Como R={(x, y)RxR / y = x2-1 ; 0 x 2} , como el Dom(R) = {xR / 0 x 2} , hallamos el rango de R del siguiente modo:

0 x 2 0 x2 4 1 x2-1 3 -1 y 3

luego: Rang(R)={yR / -1 y 3} Para encontrar la ecuacin que define a R-1, de la ecuacin que define R, hacemos el cambio

de variables, entonces, la ecuacin para R-1 es: x = y2-1 y2 = x+1

El Dominio de R-1 es el rango de R, y el Rango de R-1 es el dominio de R . Luego:

R-1 ={(x, y)RxR / y2 = x+1 ; -1 x 3} Por lo tanto

Dom(R-1) = {xR / -1 x 3} Rang(R-1) = {yR / 0 y 2}. Finalmente, graficando R y R-1

3 R-1 2

R

-1 2 3 -1

Ejemplo 7.- Graficar la relacin R={(x,y)RxR / x - y = 4} Solucin: Por definicin : x - y = 4 x - y = 4 x - y = - 4

Tabulando cada una de las ecuaciones: x - y = 4

y = x



x 0 4

y - 4 0

x y = - 4

x 0 -4

y 4 0

Graficando las 2 ecuaciones

Ejemplo 8.- Graficar y dar su dominio y rango de la relacin R={(x,y)RxR / x2+y2 5 y x2-1}

Solucin: Como, R={(x,y)RxR / x2+y2 5 y x2-1} Para graficar las relaciones : x2+y2 5 y x2-1 ; primero encontramos las lneas que limitan las regiones, para el cual hacemos:

x2 + y2 = 3 y = x2-1 despejamos y en la primera ecuacion

y = 23 x

Tabulando:

x y

-1,73 0

-1 1,41

0 1,73

Y

X O

4

- 4 4

- 4

x - y = - 4

x + y = 4



1 1,41

1,73 0

y = x2-1

tabulando

x y

-2 3

0 -1

1 0

2 3

Verificando en ambas desigualdades tomando puntos interiores o exteriores a las curvas trazadas, del cual tenemos la siguiente grfica.

y

3 )1,2(1 P -------- 1 ------- )1,2(2P

x

-3 -2 2 3 -1

-3

Para determinar su dominio y rango, resolvemos el sistema:

x2 + y2 = 3 ........................................ (I)

y = x2 - 1 x2 = y + 1 ............ (II)

sustituyendo (II) en (I)

y + 1 + y2 = 3



y2 + y - 2 = 0

(y + 2) (y - 1) = 0 y = -2 x2 = -1 No existe

y = 1 x2 = 2 x = 2

Los puntos de introduccin son )1,2(,),1,2( 21 PyP Observando la grfica, tenemos que:

Dom(R) = {xR / -2 x 2} Rang(R) = {yR / -1 y 3}

9.- Dado los conjuntos : A = x Z / - 15 < x + 3 12

B = x Z / 100 x2 < 625

Cuntos elementos tiene el conjunto A x B ? Solucin a. Hallamos los elementos de A

- 15 < x +3 12 - 18 < x 9 n( A ) = 27 b. Hallamos los elementos de B

100 x2 < 625 100 x2 x2 < 625

(x 10 x - 10) (- 25 < x < 25 ) n( B ) = 16 + 16 = 30 n(A x B ) = 27 x 32 = 810 10.- Dado el conjunto A = 2 , 5 , 7 , 9 , encontrar los valores de m y n , para que la

siguiente relacin sea reflexiva .

R = (2 , 2) , (5 , n +3) , (7 , m - 1) , (9 , 9) Solucin Por definicin de relacin reflexiva

R AxA , R es reflexiva xRx , x A , comprobando: 2 R2

5 R (n + 3) 5 = n + 3 n = 2 7 R ( m - 1) 7 = m - 1 m = 8 9 R 9

Por lo tanto m = 8 n = 2

11. Hallar el valor de x e y , para que la relacin

R = (4 , a) , (x , 8b) , (7y , 6) , (5 , b - 3) , sea una relacin simtrica.



Solucin

El par ordenado (4 , a) R (a , 4) R , por ser simtrico. Observando tenemos que (5 , b-3) es el nico par que puede ser simtrico de (4 ,a), por lo tanto : (5 , b-3) = (a , 4) a = 5 , b - 3 = 4 b = 7 Los pares (x , 8b) y (7y , 6) , deben ser simtricos para que R sea simtrica, luego :

(x , 8b) = (6 , 7y) x = 6 8b = 7y , b = 7 8(7) = 7y y = 8 Luego la relacin es R = (4 , 5) , (6 , 56) , (56 , 6) , (5 , 4) 12. Sea R , una relacin de los nmeros naturales , definida por : y2 + 2 = 3x

x < 10 ; determinar R por extensin y hallar R-1 .

Solucin Para una mejor tabulacin despejemos y y2 + 2 = 3x y = 23 x , se debe recordar que :

y N , x N , x < 10

Luego tabulando obtenemos :

R = (1 , 1) , (2 , 2) , (6 , 4) , (9 , 5) R-1 = (1 , 1) , (2 , 2) , (4, 6) , (5 , 9) 13. Hallar el Dominio y Rango de la relacin inversa de :

R = (x , y) AxB / 2x = y sabiendo que A = 1 , 2 , 3 y B = 2 , 6 , 7 Solucin:

A x B = (1,2) , (1, 6) , (1,7) , (2,2) , (2,6) , (2,7) , (3,2) , (3,6) ,(3,7) R = (1 , 2) , (3 , 6) Para encontrar la relacin inversa (R-1 ) de R , solamente se invierten (conmutan),

todo los pares ordenados de R, es decir :

R-1 = (2 , 1) , (6 , 3) Luego : Dom(R) = 1 , 3 Dom(R-1 ) = 2 , 6 Rang(R) = 2 , 6 Rang(R-1 ) = 1 ,3 Dom(R) = Rang(R-1 ) , Rang(R) = Dom(R-1 )

14. Hallar la relacin inversa de R = (x , y) R2 / 2x + y = 8 x [-1 , 4] encontrar su dominio y rango , graficar ambas relaciones en el mismo plano.

Solucin



En R , tomamos : 2x + y = 8

de donde y = 8 - 2x tabulando:

x y -1 10 4 0

De R, hallamos R-1 si 2x + y = 8 ,intercambiamos las variables

2y + x = 8 , luego despejamos y y = 2

x8

tabulando: x y

0 4 10 -1

Dom(R) = [-1 , 4] Dom(R-1 ) = [0 , 10] ; Rang(R) = [0 , 10] Rang(R-1 ) = [-1 , 4]

15. Dada la relacin R = (x , y) R2 / x < y 3 a. Graficar y determinar el dominio y rango de R b. Determinar y graficar la inversa de R.

Solucin

a. Como x < y 3 y > x y 3 x2 < y2 -3 y 3

x2 - y2 < 0 -3 y 3

(x + y)(x - y)< 0 -3 y 3

y

x o

-1 10

4

4

10

-1



x y x yv

x y x yy

+ >

0 0

0 03 3

^

^

^

x y x yv

x y x yy

>

^

^

^ 3 3

y

- 3 0 3 x

x = y x = -y

3

b. Para hallar la inversa de R , hacemos cambio de variable y tenemos:

R-1 = (x , y ) R2 / y < x 3 es decir: y < x 3 x > y x 3 x 2 > y2 -3 x 3

x 2 - y2 > 0 -3 x 3

(x + y)(x - y) > 0 -3 x 3 [x + y > 0 x - y< 0] [x + y < 0 x - y > 0] -3 x 3 [x > -y x < y] [x < -y x > y] -3 x 3

y

y = x

-3 0 3 x

y = - x

-3

3



16. Hallar el dominio , rango y trazar el grfico de la relacin

R= (x , y ) R2 / x + 1 3 y - 2 > 1 Solucin x + 1 3 -3 x + 1 3 -4 x 2 y - 2 > 1 y - 2 > 1 y - 2 < -1 y > 3 y < 1 Luego:

Dom (R) = [-4 , 2] Rang (R)= < 3 , +>

y

3 333333 3 1

-4 0 2 x

17. Graficar, hallar dominio y rango de :

R= (x , y ) R2 / 4 < x2 + y 2 25 Solucin

4 < x2 + y 2 25 4 < x2 + y 2 x2 + y 2 25

x2 + y 2 = 25

x2 + y 2 = 4

5

Y

X 5



Dom ( R ) = [-5 , 5] Rang( R ) = [-5 , 5]

18. Dada las relaciones definidas en R.

R1 = (x , y ) / (x - h)2 + (y - 3)2 = r2 , r >0

R2 = (-2 , 3) , (0 , 3+2 5 ) , (4 , 9) , (5 , 3+ 35 ) Hallar h + r , Si R2 R1

Solucin Como R2 R1 , los pares ordenados de R2 satisfacen la regla de

correspondencia de R1 ; por lo tanto :

(-2 , 3) R1 x = -2 , y = 3 estos valores reemplazamos en R1

(-2 - h)2 + (3 - 3)2 = r2 4 + 4h + h2 = r2 h2 + 4h = r2 - 4 ....() (0 , 3+2 5 ) R1 x = 0 , y = 3+2 5 estos valores reemplazamos en R1

(0 - h)2 + (3+2 5 - 3)2 = r2 h2 + 20 = r2 h2 = r2 - 20 ..........() (4 , 9) R1 x = 4 , y = 9 estos valores reemplazamos en R1

(4 - h)2 + (9 - 3)2 = r2 16 +8h + h2 + 36 = r2 h2 - 8h = r2 - 16 .......() (5 , 3+ 35 ) R1 x = 5 , y = 3+ 35 estos valores reemplazamos en R1

(5 - h)2 + (3+ 35 - 3)2 = r2 25 - 10h + h2 + 35 = r2 h2 - 10h = r2 - 60 .....() Escogemos dos cualquiera de las cuatro ecuaciones y resolvemo, simultneamente , obteniendo : h = 4 y r = 6 , por lo tanto h + r = 10



RESUMEN

Un par ordenado es un conjunto formado por 2 elementos considerados en un orden estricto, en el que se establece, cual es el primer elemento y cual el segundo elemento.

El Producto Cartesiano de 2 conjuntos, tales como A y B, es el conjunto formado por pares ordenados, cuyas primeras componentes de cada par son elementos de A, y cuyas segundas componentes de cada par son elementos del conjunto B. As:

AxB = {(x,y) / xA yB} Se llama Diagonal del producto cartesiano de AxA, al subconjunto formado por los pares

ordenados del tipo (x, x) R es una relacin binaria definida de A en B, s y slo si R es un subconjunto del

producto cartesiano de AxB.

Si la relacin R : AB; el Dominio de R es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares (x, y)R ; el Rango de R es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares (x, y)R.

Una relacin R es de equivalencia, si es reflexiva, simtrica y transitiva.

Dada una relacin R : AB , la inversa de R denotamos por R-1 por R*, donde los

pares ordenados de R-1 son aquellos que resultan de intercambiar las componentes de los pares ordenados de la relacin R. Es decir:

R-1={(y,x)) / (x,y)R} R es una relacin de R en R si R RxR (R es un subconjunto del producto

cartesiano de RxR). Para trazar el grfico de una relacin de la forma F(x,y) = 0, se siguen los siguientes

pasos; Interseccin con los ejes coordenados y con el origen; Simetra con respecto a cada uno de los ejes coordenados y con respecto al origen; Extensin de la curva, que consisten en obtener su dominio y rango; Asntotas, que consiste en estudiar si existe una recta tal que a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero; Tabulado, que consiste en calcular un nmero suficiente de puntos; Trazado que consiste en reunir los puntos obtenidos en el paso anterior.

En general, para trazar la grfica de una relacin, es necesario tener en cuenta, que si la relacin est representado por una ecuacin tal como: F(x,y)=0, entonces la grfica es una recta o una curva Si la relacin est representado por una inecuacin de las formas:

F(x,y)0 , o F(x,y,) 0 , o por F(x,y) 0 , entonces la grfica es un



semiplano, sin borde o con borde , segn se trate de una simple desigualdad o de una desigualdad acompaado de su igualdad.



EJERCICIOS PROPUESTOS:

.1 .- Dado el conjunto A = 1 , 2 , 3 ,4 , 5 ,6 , 7 , 8 , R A xA : (a , b) R a es divisor de b . Hallar n(R). 2. En A = 1 , 2 , 3 ,4 , 5 , se define una la relacin

R = (1 , 1) , (2 , 2) , (3 , 3) , (5 , 1) , (2 , 4) , (5 , 4) , (5 , 2) , (4 , 3) , (3 , 5) Si M = x A / (x , 2) R Si N = y A / (3 , y) R Si P = x A / (x , 5) R Hallar (M N) P 3.- Dado los conjuntos A, B, C, donde A={2x / xN; 2 < x < 8} ; B={2x-1 / xZ ; -2 x 5} y C={-1, 0, 3, 5, 7}

Hallar:

a) AxB b) AxC c) BxC d) AxBxC e) CxAxB

4.- Hallar el dominio y rango de las relaciones en A, siendo A={1, 2, 3, 4, 5}, donde: R1={(x,y)AxA / x + y = 7} R2={(x,y)AxA / x + y < 4} R3={(x,y)AxA / x < 2y} Resp:

Dom(R1) = {2, 3, 4, 5} ; Rang(R) = {2, 3, 4, 5} Dom(R2) = {1, 2, 3} = Rang(R2) Dom(R3) = {2, 3, 4} ; el Rang(R) = {1, 2}

5.- Sea A={xN / x 9} y las relaciones: R1 = {(x,y)A2 / y = x} R2 = {(x,y)A2 / y = 2x} R3 = {(x,y)A2 / x < 4 y > 7} Hallar:

a) n(R1) + n(R2) + n(R3) b) [n(R1) n(R2)] - n(R3) c) [Rang(R1) Rang(R2)] Rang(R3) Resp:

a) 17 b) 12 c) {0, 4, 8, 9}



6.- Dado los conjuntos A={1, 2, 3, 4}; B={1, 3, 5} y la relacin RAxB, donde R={(x,y)AxB / x < y} y las suficientes proposiciones: I) Dom(R) Dom(R-1) = II) R R-1 tiene 12 elementos III) La relacin T definida por (x,y)T sA / (x,s)R-1 (s,y)R ; no es simtrica Cules de stas proposiciones son verdaderas?

Resp:

F V V

7.- Para las siguientes relaciones en Z:

R1 = {(x,y) / x-y = 3k ; kZ} R2 = {(x,y) / x+y = 2h ; hZ} R3 = {(x,y) / x y} Analice qu tipo de relaciones representa cada una de ellas.

Resp:

R1 es reflexiva, simtrica y transitiva R2 es reflexiva, transitiva y simtrica R3 no es simtrica es transitiva

8- Sea A={1, 2, 3, 4} y la relacin R: AA ; donde R={(2,2) (2,1) (1,1) (4,4) (3,z) (x,y) (x,z) (2,3) (z,y) (3,1)} Si R es una relacin de equivalencia en A. Hallar el valor de: 3x+2y-z

Resp: 4

9.- Sea R={(x,y)NxN / x2-2x = y ; x



Hallar n(R) . 12.- Dado A = x N / 3 < x + 1 < 7

B = x Z / x < 3 Tabular las siguiente relaciones definidas en AxB

R1 = (x , y) AxB / x > y + 3

R2 = (x , y) AxB / x + y = 6

R3 = (x , y) AxB / y + 1 x2

R4 = (x , y) AxB / x2 - y2 = 1

R5 = (x , y) AxB / 2x - 3y > 2 13.- Hallar dominio y rango de cada relacin real y grafique

R1 = (x , y) R2 / y = 5x

R2 = (x , y) R2 / y = 56 2 xx

14.- Dada las relaciones R1 = (x ,y) R2 / | x | 4 , y -3

R2 = (x ,y) R2 / 5x - 4y + 12 0 hallar el rea de R1 R2

15.- Sea A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 y R = (x , y) A2 / x - y + 1 = 0 Si a es el producto de los elementos del dominio de R y b el producto de

los elementos del rango, hallar el valor de a

2b

16.- Hallar la inversa de la siguientes relaciones

R1 = (x , y) N2 / y + 2 8

R2 = (x , y) R2 / 2y - x -8

R3 = (x , y) R2 / y = x2 - 2x - 3

R4 = (x , y) R2 / y = 2+x

R5 = (x , x2 ) Z2 / 2x - 1 3 17.- Dada las siguientes relaciones. Graficar indicando dominio y rango.

R1 = (x , y) R2 / x + y 2 y < x



R2 = (x , y) R2 / x 1 y 4 18. Si R1 = (x , y) R2 / y x2 - 4x

R2 = (x , y) R2 / y - x

Graficar R1 R2 , indicando dominio y rango.

19.- Si R1 = (x , y) R2 / x > 0 y < 9

R2 = (x , y) R2 / x + y < 10

a. Hallar R1 R2

b. Hallar Dominio y rango de R1 R2

20.- Graficar la siguiente relacin, dar dominio y rango.

R = (x , y) R2 / y2 4x , x2 + y2 4 21 -. Hallar el rango de la siguiente relacin.

R = (x , y) R2 / y2 4x , 2x + y 4

22.- Graficar, hallar dominio y rango de la siguiente relacin

R1 = (x , y) R2 / y + 2 53 +x

R2 = (x , y) R2 / y - 3 - x2

23.- Si R = (x , y) A2 / x + 1 y2 , A = 2 , 3 , 9 Hallar n(R) .

24.- Hallar dominio y rango de cada relacin real y grafique

R1 = (x , y) R2 / y = 5x

R2 = (x , y) R2 / y = 56 2 xx

25.- Dada las relaciones R1 = (x ,y) R2 / | x | 4 , y -3

R2 = (x ,y) R2 / 5x - 4y + 12 0 hallar el rea de R1 R2

26.- Dada las relaciones

R1 = (x , y) R2 / 3x -2y + 5 < 0



R2 = (x , y) R2 / -x - y + 3 > 0

Hallar dominio y rango de R1 R2

27.- Construir el grfico de las siguientes relaciones definidas en R.

R1 = (x , y) / x 2y y [-2 , 1]

R2 = (x , y) / x2 + y2 9 x 0

R3 = (x , y) / x + y= 4 28.- Hallar el dominio y rango de las siguientes relaciones definidos en los reales y trazar su

grfica correspondiente:

a) R1 = {(x,y)R2 / 3x-2y+6 = 0 ; -4 < x < 4} b) R2 = {(x,y)R2 / x[-3,5> ; y[-2,4]} c) R3 = {(x,y)R2 / x2+y2 = 9} d) R4 = {(x,y)R2 / 2x+y 4} e) R5 = {(x,y)R2 / y2-2y-3 < x} f) R6 = {(x,y)R2 / x+1 3 ; y-2>1 } x-2 g) R7 = {(x,y)R2 / y = } 2-x h) R8 = {(x,y)R2 / y x2-9 y 3-x } i) R9 = {(x,y)R2 / x+y 4 }

29.- Si R1={(x,y)R2 / x > 0 ; xy > 9} y R2={(x,y)R2 / x+y < 10} Hallar el rango de R1R2

Resp: 30- Bosqueje y discuta las grficas de las siguientes curvas definido en los reales a) y = 18 - 8x - 2x2 b) x + 2y2 + 8y - 8 = 0 c) x2 + y2 + 6x - 2y + 1 = 0 d) x3 - x2y - xy + y2 = 0 e) xy2 - x2 = y2 31.- Dada la relacin R={(x,y)R2 / y2 = x+1 ; -1 x 3}. Encontrar R-1, dar su dominio y rango, y trazar sus grficas correspondientes.

Resp: Dom R-1 = x[0, 2] Rang R-1 = y[-1, 3]



AUTOEVALUACIN

1.- En el Conjunto A={1, 2, 3, 4} se definen las siguientes relaciones: R1={(x,y) / x+y = 15} R2={(x,y) / y < x} R3={(x,y) / y x} Cules de stas relaciones es reflexiva y transitiva. A) Slo R1 B) Slo R2 C) Slo R3 D) R1 y R3 E) N.A

2.- Sean los conjuntos A={1, 2, 3, 4}; B={1, 3, 5} y la relacin RAxB, donde R={(x,y)AxB / x < y} y las siguientes afirmaciones: I) Dom(R) Dom(r-1) = II) RR-1 tiene 12 elementos A) Slo I es correcta B) Slo II es correcta C) I y II son Falsas D) I y II son correctas E) N.A

3.- Dada la relacin R={(x,y)R2 / y = x2+y2 ; -3 x 3}. El Dominio de R-1 es: A) [-3,6] B) [0,6] C) D) [0,6] E) N.A

4.- En la relacin R={(x,y)R2 / x2+y2 9 x-y-3 0}. El Dominio y Rango de R es: A) Dom(R) = [-3,3] ; Rang(R) = [0,3] B) Dom(R) = [-3,0] ; Rang(R) = [0,3] C) Dom(R) = [-3,0] ; Rang(R) = [-3,3] D) Dom(R) = [-3,3] ; Rang(R) = [0,3] E) N.A

5.- La grfica de la relacin R={(x,y)RxR / xy2-3y2-1 = 0} es:

A) y B) y

x x



C) y D) y

x

x

E) N.A

SOLUCIONARIO

1 2 3 4 5

C B A B C



BIBLIOGRAFIA

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matrices.Mxico.Edit. Limusa - Ayra J.- Lardner R.2003 Matemticas aplicadas a la administracin y a la

economa.Mxico. Edit. Prentice Hall Hispanoamericano - Trejo C.- Bosch J. 2000. Matemtica Moderna Bs.As. Edit. EUDEBA. - Pinzn Alvaro. 2002. Conjuntos y estructura.Mxico. Edit Harla SA. - Hernandez R.-Rojo Armando.2002- Conceptos bsicos de matemtica

moderna.BS:AS. Edit. Codex SA.

UNIDAD III - Dolciani M. Beckenbach E. 2005. Introduccin al anlisis moderno

Mexico.Publicaciones Cultural.SA. - Spivack Micha

matemáatica básica

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