mate

Nombre de la asignatura: Matemática I

Parcial de estudio: Primero

Introducción

La Matemática en las Ciencias Administrativas, Ciencias Sociales y Tecnológicas y en muchos otros campos científicos es la herramienta fundamental para adquirir y consolidar el conocimiento. Uno de los objetivos es que aprenda a analizar los principios básicos

relacionándolos con los hechos reales, en vez de solo acumular información sobre conceptos y teoremas.

En este primer parcial, se estudiarán los conceptos básicos de límites y continuidad, que son una introducción a la teoría de la diferenciación. El estudio de este tema le capacitará en la aplicación de teoremas, leyes y propiedades referentes a la derivación de una función, será capaz de entender la definición de una derivada, así como también la interpretación geométrica de la misma para que pueda resolver problemas de aplicación que se presentan en su entorno

laboral de acuerdo a su perfil profesional. Esta teoría es el fundamento para cursos más avanzados de matemáticas. Se comenzará con definiciones, principios y teoremas pertinentes utilizando ejemplos diversos y problemas resueltos de aplicación.

En el primer capítulo se realizará una introducción a los límites, en donde se toparán tópicos como definiciones y propiedades de los límites, y se estudiará cómo determinar los límites laterales, límites infinitos y al infinito, y límites de funciones definidas por intervalos.

En el segundo capítulo se estudiará la continuidad de una función, su definición sus

propiedades, la determinación de la continuidad de una función en un punto y en un intervalo; las funciones discontinuas y la continuidad aplicada a desigualdades.

En el tercer capítulo se estudiarán los conceptos básicos de la derivada, su interpretación geométrica, la definición de derivada y las reglas básicas de derivación de funciones.

Finalmente, en el cuarto capítulo se estudiarán las aplicaciones de la derivada a problemas de administración y economía, para lo cual se estudiará: la derivada como razón de cambio; el significado de “marginal” y su relación con la derivada; aplicaciones de costo, ingreso, consumo,

utilidad.

Previa a la resolución de los problemas planteados en esta guía, y valiéndose del texto guía revise los aspectos conceptuales que se sugieren a continuación.

Asesoría didáctica 1

Estudie la sección 10.1 LÍMITES (desde la página 449 hasta la página 456 del texto guía) en donde le guiarán a través de la idea intuitiva de lo que es un límite, mediante un ejemplo donde analizan una función paso a paso, usando para ello tablas de valores y la gráfica de la función.

Una vez que haya comprendido la idea de lo que es un límite, revise la definición y los ejemplos que se presentan a continuación. En el ejemplo 1 se hace una estimación de un límite a partir de una gráfica y el ejemplo 2 se refiere a límites que no existen. Estudie el tema propiedades de los límites y haga énfasis en los ejemplos que allí se presentan, porque son ejemplos de aplicación de cada una de las propiedades, lo cual le

capacitará para determinar el límite de cualquier función racional. Haga hincapié en los ejemplos 7, 8 y 9 que son límites que se presentan con frecuencia. El ejemplo 9 introduce la idea de cociente de diferencias cuyo límite es la esencia del cálculo diferencial. Revise el tema Un límite especial de la pág. 456, que es uno de los límites más importantes y puede ser considerado como la definición del número e. Este límite será utilizado en “Temas adicionales sobre diferenciación” de la guía 2.

Estudie la sección 10.2 LÍMITES (CONTINUACIÓN), revise con detenimiento todos los ejemplos que en ella se presentan porque con ellos entenderá la definición de límites laterales, cuándo se presentan los límites infinitos, cómo se encuentra el límite al infinito de una función



racional y de una función polinomial. Lea el ejemplo 6 que se refiere a límites de funciones

definidas por partes, con lo cual comprenderá qué es una función definida por partes, cómo

hallar el límite de este tipo de funciones.


Estudie la sección 10.3 CONTINUIDAD (desde la página 466 hasta la página 475 del texto guía) en donde encontrará un ejemplo que compara dos funciones, y sus límites en un punto, este ejemplo da una idea intuitiva de lo que es la continuidad. Luego revise la DEFINICIÓN de continuidad y los ejemplos del 1 al 5, que le explican cómo aplicar la definición de continuidad, la continuidad de funciones polinomiales, la discontinuidad, la localización de discontinuidades

para funciones racionales, la localización de discontinuidades en funciones definidas por partes. En la sección 10.4 (página 472) estudie el tema CONTINUIDAD APLICADA A

DESIGUALDADES en donde le explica cómo desarrollar técnicas para resolver desigualdades no lineales y a través de los ejemplos 1 a 4 le indican la resolución de una desigualdad cuadrática, la resolución de una desigualdad polinomial, la resolución de una desigualdad con función racional y la solución de desigualdades no lineales.

Asesoría didáctica 3 Estudie la sección 11.1 LA DERIVADA (desde la página 481 hasta la página 488 del texto guía), en esta sección le indican la idea de lo que es la recta tangente a una curva, se define la pendiente de una curva y en el ejemplo 1 le enseñan la determinación de la pendiente de una recta tangente. Una vez que haya comprendido estos conceptos básicos, revise la definición de la derivada y los

ejemplos 1 a 5 que se presentan, que le indican el uso de la definición para encontrar la derivada, la determinación de la ecuación de la recta tangente, la determinación de la pendiente de una curva en un punto, es conveniente además que vea otras variables involucradas en los problemas, el ejemplo 6 le proporciona el uso de otras variables que no sean “x” y ”y”.

En la sección 11.2 REGLAS PARA LA DIFERENCIACIÓN (desde la página 489 hasta la 495

del texto guía) estudie las reglas básicas de diferenciación, que son fórmulas para la derivada de funciones elementales: derivada de la función constante “y” derivada de una potencia constante de ”x”, y la derivada de una suma o de una diferencia de funciones.

Luego revise la sección 11.5 LA REGLA DEL PRODUCTO Y LA REGLA DEL COCIENTE (desde la página 506 hasta la 513) y la sección 11.6 LA REGLA DE LA CADENA Y LA REGLA DE LA POTENCIA (desde la página 515 hasta la 520 del texto guía) que le sirve para encontrar la

derivada del producto y del cociente de dos funciones, la derivada de una función compuesta y la derivada de una función elevada a una potencia constante. Ponga especial atención a la regla de la cadena porque es quizá la regla más importante de derivación.


Estudie la sección 11.3 LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO (desde la página 497 hasta la 504 del texto guía). Se ha visto que la derivada es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado, pero también se la puede interpretar como una velocidad de cambio en un instante, a lo que se le llama razón de cambio. En esta sección usted aprenderá

otra de las aplicaciones de la derivada que es la velocidad promedio y la velocidad instantánea, se hará un análisis de la razón de cambio aplicada a cualquier función y = f(x) y se verá las

aplicaciones de la razón de cambio a la economía. Revise con detenimiento los ejemplos 1 al 6, ponga especial atención al ejemplo 4 que le explica cómo calcular la razón de cambio del precio con respecto a la cantidad.



Revise el tema Aplicaciones de la razón de cambio a la economía (p. 501), donde se define

la función de costo total, el costo marginal, ingreso marginal y las razones de cambio relativas y

porcentuales. Revise los ejemplos 7 al 9. Revise el ejemplo 8 de la página 512 que se refiere al ingreso marginal, luego estudie la FUNCIÓN DE CONSUMO que es una función muy importante en el análisis económico y una vez que haya comprendido este ejemplo, lea con atención la definición de la propensión marginal al consumo y al ahorro. Revise el ejemplo 9 (p. 513).

Actividades de aprendizaje

Actividad de aprendizaje 1.1.

Planteamientos

1. Del capítulo 10, Problemas 10.1 (p. 457-458), realice los problemas 1, 6, 29, 44.

1) Utilice la gráfica de f para estimar cada límite, si existe.

(a) )(lim0

xfx

(b) )(lim1

xfx

(c) )(lim2

xfx

6) Utilice su calculadora para completar la tabla y use los resultados para estimar el límite dado.

3

9lim

2

3

x

x

x

H -3,1 -3,01 -3,001 -2,999 -2,99 -2,9

f(x)

29) Encuentre 43

209lim

2

2

4

xx

xx

x

44) Encuentre la constante c tal que 65

lim2

2

3

xx

cxx

xexista. Para ese

valor de c, determine el límite (Una pista: Encuentre el valor de c

para el cual x – 3 es un factor del numerador).



2. Del capítulo 10, Problemas 10.2 (p. 465-466), realice los

problemas 31, 55, 58, 64.

Encuentre los límites indicados. Si no existe, especifique o utilice el símbolo ∞ o -∞ donde sea apropiado.

31) 9

3lim

23

x

x

x

55)

21

22)(

xsi

xsixf

(a) )(lim2

xfx

(b) )(lim2

xfx

(c) )(lim2

xfx

(d) )(lim xfx

(e)

)(lim xfx

58)

0

0)(

2

xsix

xsixxg

(a) )(lim0

xgx

(b) )(lim0

xgx

(c) )(lim0

xgx

(d) )(lim xgx

(e)

)(lim xgx

64) Si

2)1(

22)(

2 xsixkx

xsixxf , determine el valor de la

constante k para la cual )(lim2

xfx

existe.

Objetivos

1. Comprender el concepto de límite mediante el estudio de sus

propiedades básicas. 2. Aplicar estrategias metodológicas para la resolución de límites de

funciones racionales, polinomiales y funciones definidas por partes.

Orientaciones didácticas

Para realizar la presente actividad debe seguir las sugerencias dadas

en la asesoría didáctica 1, respecto a los temas y páginas que debe estudiar. La comprensión de los temas presentados en el texto guía le proporcionará una completa visión de los conceptos a utilizar. Por favor, incluya el desarrollo completo de los ejercicios.

Se sugiere utilizar el editor de ecuaciones.

Criterios de evaluación

Nivel de conocimientos y destrezas adquiridas durante la unidad didáctica.

Aplicación de conceptos en la solución de ejercicios.

Desarrollo completo del problema.



Verificación de coherencia de resultados en problemas prácticos.


Planteamientos

1. Del capítulo 10, Problemas 10.3 (p. 471-472), realice los problemas 2, 12, 20, 31.

Utilice la definición de continuidad para demostrar que la función dada es continua en el punto indicado

2) x

xxf

5

3)(

; x = -3

12) Determine si la función es continua en los puntos dados.

1,0;

00

01

)(

xsi

xsixxf

Encuentre todos los puntos de discontinuidad.

20) 4

43)(

2

2

x

xxxf

31)

11

10)(

xsix

xsixf

2. Del capítulo 10, Problemas 10.4 (p. 475), realice los

problemas 17 y 22.

Resuelva las desigualdades por medio de la técnica estudiada en esta sección.

17) 092

x

x

22) 023

542

2

xx

xx

3. Del capítulo 10, Problemas de repaso (p. 477), realice los problemas 37 y 42.

Encuentre los puntos de discontinuidad (si los hay) para cada función.

37) 3

)(2

x

xxf

42) xx

xxf

3

62)(

Objetivos

1. Comprender el concepto de continuidad y discontinuidad. 2. Aplicar estrategias metodológicas para determinar si una función

es continua.

3. Encontrar puntos de discontinuidad.

4. Aplicar los conceptos a la solución de desigualdades.




Para realizar la presente actividad debe seguir las sugerencias dadas en la asesoría didáctica 2, respecto a los temas y páginas que debe

estudiar. La comprensión de los temas presentados en el texto guía le proporcionará una completa visión de los conceptos a utilizar. Por favor, incluya el desarrollo completo de los ejercicios. Se sugiere utilizar el editor de ecuaciones.


Nivel de conocimientos y destrezas adquiridas durante la unidad didáctica.

Aplicación de conceptos en la solución de ejercicios.

Desarrollo completo del problema. Verificación de coherencia de resultados en problemas prácticos.


Planteamiento

1. Del capítulo 11, Problemas 11.1 (pp. 488-489), realice los problemas 17, 18, 27.

En los problemas 17 y 18, emplee la definición de la derivada para encontrarla en cada caso.

17) 2)()( xxfsixf

18) 2

3)()(

xxHsixH

27) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado.

)3,2(;1

3

xy

2. Del capítulo 11, Problemas 11.2 (p. 496), realice los problemas 67, 68.

En los problemas 67 y 68, diferencie las funciones

67) 5)( 32

xxxv

68) )117()( 253

xxxxf

3. Del capítulo 11, Problemas 11.4 (p. 513-514), realice los problemas 15 y 36.

Usando las reglas de producto y cociente, diferencie las funciones de los problemas 15 y 36.

15) 13252

3)( pppF



36) x

xy

8

5

4. Del capítulo 11, Problemas 11.5 (p. 521), realice el problema 59.

Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto

dado.

59) 1,3;83 22 xy

Objetivos

1. Capacitar al estudiante en la aplicación de teoremas, leyes y

propiedades referentes a la derivación de una función.

2. Entender la definición de una derivada y su interpretación geométrica.


Para realizar la presente actividad debe seguir las sugerencias dadas en la asesoría didáctica 3, respecto a los temas y páginas que debe estudiar. La comprensión de los temas presentados en el texto guía le proporcionará una completa visión de los conceptos a utilizar. Por favor, incluya el desarrollo completo de los ejercicios.

Se sugiere utilizar el editor de ecuaciones.


Nivel de conocimientos y destrezas adquiridas durante la unidad

didáctica. Desarrollo completo del problema. Verificación de coherencia de resultados en problemas prácticos.


Planteamientos

1. Del capítulo 10, Problemas 10.1 (p. 457-458), realice el problema 51.

51) Purificación de agua: El costo de purificar agua está dado por

650050000

p

C donde p es el porcentaje de impurezas que

quedan después de la purificación. Grafique esta función y determine

Cp 0lim

. Analice el significado de dicho límite.

2. Del capítulo 10, Problemas 10.3, (p. 471-472), realice el problema 35.

35) Tarifas telefónicas: Suponga que la tarifa telefónica de larga distancia para una llamada desde Hazleton, Pennsylvania, a Los Ángeles, California, es de $0,10 por el primer minuto y de $0,06 por

cada minuto o fracción adicional. Si )(tfy es una función que

indica el cargo total y por una llamada de t minutos de duración,



haga el bosquejo de la gráfica de f para 2

140 t . Utilice esta

gráfica para determinar los valores de t en los cuales ocurren

discontinuidades, donde 2

140 t .


28) Administración forestal: Una compañía maderera posee un

bosque de forma rectangular, de 1x2 millas. La compañía quiere cortar una franja uniforme con árboles a lo largo de los lados externos del bosque. ¿Qué tan ancha debe ser la franja si se quiere

conservar al menos 16

51 mi2 de bosque?

4. Del capítulo 11, Problemas 11.3 (p. 504), realice los problemas 18, 22 y 39.

18) Se da la función de costo, donde c es el costo de producir q unidades de un producto. Encuentre la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo marginal para el valor o valores dados de q?

1000,25,5;75004,45,004,0 23 qqqqqqc .

22) En la función dada a continuación, c representa el costo

promedio por unidad, que es una función del número q de unidades producidas. Encuentre la función de costo marginal y el costo marginal para los valores indicados de q.

25,15;7000

605,0002,0 2 qqq

qqc .

39) Función de costo: Para la función de costo 95,33,0 2 qqc

(a) ¿Qué tan rápido cambia c con respecto a q cuando q = 10? (b) Determine la razón de cambio porcentual de c, con respecto a q

cuando q=10.


66) La ecuación representa una función de consumo. Encuentre la propensión marginal al consumo y al ahorro para el valor dado de I.

25;34

36 I

IIC .

6. Del capítulo 11, Problemas de repaso (p. 524), realice el

problema 52.

52) Un fabricante determina que m empleados producirán un total de

q unidades por día, donde mmq 50 . Si la función de demanda



está dada por 901,0 qp , encuentre el producto del ingreso

marginal cuando m=10.

Objetivos

1. Comprender e interpretar el concepto de “razón de cambio”

mediante la aplicación de este concepto en la solución de problemas prácticos que se presentan en situaciones cotidianas.

2. Aplicar estrategias metodológicas para la solución de problemas

referentes a costo marginal, ingreso marginal y utilidad marginal relacionándolos con el concepto de razón de cambio y de derivada.

3. Determinar las propensiones marginales al consumo y al ahorro

como parte de las aplicaciones de la teoría de derivadas. 4. Analizar la importancia de esta teoría y formular conclusiones y

recomendaciones de solución de problemas de la vida diaria.

Orientaciones

didácticas

Para realizar la presente actividad debe seguir las sugerencias dadas en la asesoría didáctica 4, respecto a los temas y páginas que debe estudiar. El estudio de los temas presentados en el texto guía le proporcionará una completa visión de los conceptos a utilizar.

Por favor, incluya el desarrollo completo de los ejercicios. Se sugiere utilizar el editor de ecuaciones.


Nivel de conocimientos y destrezas adquiridas durante la unidad didáctica. Aplicación de conceptos en la solución de ejercicios.

Desarrollo completo del problema. Verificación de coherencia de resultados en problemas prácticos.

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Puntaje por actividad

El tutor de la asignatura

Actividades de aprendizaje

Puntaje

Actividad de aprendizaje 1.1. 4




SUMAN 20

“En caso de que en el examen sea estrictamente necesaria

la consulta de tablas, fórmulas, esquemas o gráficos, estos serán incluidos como parte del examen o en un anexo”.

EL EXAMEN SERÁ SIN CONSULTA.

mate

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