manual básico para el diseño y revisión de vigas de
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Trabajo Diploma
HORMIGÓN
PRETENSADO
Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas
Facultad de Construcciones
2009-2010Curso:
Pensamiento
Nada hay que nos pueda impedir elevarnos y mejorarnos, y nadie puede
detener nuestro progreso más que nosotros mismos.
Hamblin.
Dedicatoria
Quiero dedicarle no solo este trabajo, sino toda mi carrera universitaria
y quien soy hoy, a quien me dio la vida y me enseñó a ir por el camino
correcto: mi mamá María Delvis Castañeda Valdivia; por estar siempre
ahí cuando la he necesitado y por el inmenso amor que me ha dado.
Agradecimientos
A mi familia:
Muchos son los nombres, pero a todos les quiero, especialmente a mi mamá María
Delvis Castañeda Valdivia, a mi hermana Dianelys Álvarez
y a mi padrastro René Carvajal Sánchez, gracias por
ayudarme con mis problemas y sacarme de apuros cada vez que
necesitaba algo. Los adoro.
A mi Tutor: Dr. Ing. Alexis Negrín Hernández,
por brindarme sus conocimientos y experiencias, por su certera
conducción ,por dedicarme el tiempo que fue necesario para atender las dudas e
incertidumbres que tuve durante el desarrollo del trabajo y por hacerme
comprender que sí podía alcanzar los objetivos propuestos en este proyecto de
tesis.
A mi novia Celia Sánchez,
por darme aliento y no perder la esperanza de compartir momentos felices por
difíciles que sean las circunstancias.
A la Universidad Central de Las Villas
por haberme abierto sus puertas y darme la posibilidad de realizar esta superación
profesional.
Al Colectivo de Profesores
de la carrera de “Ingeniería Civil” de la Facultad de Construcciones por la
dedicación, profesionalidad y esmero que entregaron para nuestra formación
académica.
A los compañeros del grupo,
que juntos compartimos el apoyo espiritual y fraternal que necesitábamos para
enfrentar las tareas asignadas durante el tiempo lectivo.
Y a todo aquel que incursionó en la cruzada de creer, que por difícil que fuese el
momento, los sueños se pueden hacer realidad.
Por su apoyo incondicional:
Muchas gracias.
Resumen
Resumen
En este Trabajo de Diploma: “Manual Básico para el diseño y revisión de vigas de
Hormigón Pretensado”; desarrollado en el Departamento de Ingeniería Civil y el
Centro de Investigación y Desarrollo de Estructuras y los Materiales (CIDEM), de la
facultad de Construcciones de la UCLV, en el curso 2009-2010, se presenta una
metodología para el cálculo completo (diseño y revisión) de vigas de Hormigón
Pretensado. La estructuración del manual sigue un formato docente con los clásicos
temas de: Conceptos y Principios Básicos, Equipos Usados, Propiedades de los
Materiales, Diseño en Etapa Elástica, Chequeo del Estado Último de Resistencia a
Flexión , Diseño por Cortante, Trazado de Cables, Valoración de las Pérdidas y
Chequeo de Estados de Servicio (deflexión).
Se desarrollan ejemplos de cálculos sobre la base de problemas reales que se
presentan en el diseño y revisión de estructuras pretensadas (Vigas del Puerto de
Cienfuegos) y se anexan hojas de cálculo en Excel como herramienta adicional al
Manual Básico, que dan respuestas a los problemas planteados.
Para su confección se siguió como norma de cálculo el ACI 2002 (totalmente
compatible con la ACI 2005), ya que la futura Norma Cubana basa su enfoque en la
misma, aunque se tuvo en cuenta otras normas y criterios de autores “clásicos” de la
temática, que enriquecen el trabajo y aportan todas las experiencias acumuladas,
desde el inicio del uso del pretensado como técnica, hasta nuestros días.
Indice
Indice
Introducción……………………………….………………………………………………. I
Capítulo I. Revisión bibliográfica……………………………………………………… I
1.1 Introducción………………………………………….……………………………. 1
1.2 Breve reseña de la literatura consultada……….……………………………… 1
1.3 Historia y evolución del Hormigón Pretensado………….……………………. 12
1.3.1 Cronología histórica……………..……………………………………………. 12
Capítulo II. Manual Básico para el diseño y revisión de vigas de
Hormigón Pretensado. Ejemplos……………………………………………………… 16
Tema I. Conceptos y Principios Básicos…………………………………………….. 16
2.1.1 Introducción…………………………………………….………………………. 16
2.1.2 Clasificación………………...…………………………..………………………. 17
2.1.3 Etapas de trabajo de una viga pretensada…………..………………………. 20
2.1.4 Estados de esfuerzos…………………………………………………..………. 20
2.1.5 Estados de Cargas……………………………….…………………………….. 25
2.1.6 Variación de la fuerza de pretensado………….…………………………….. 26
2.1.7 Comparación entre el Hormigón Armado y el Pretensado….….………….. 27
2.1.8 Ejemplo Ilustrativo…………………………………………….………………... 28
Tema II. Métodos y equipos de hormigón pretensado......................................... 34
2.2.1 Introducción…………….……………………………………………………….. 34
2.2.2 Postesado o Postensado…….……….…………………………………........... 34
2.2.2.1 Conductos……………..…………………………………………………….. 35
2.2.2.2 Dispositivos de anclaje……….…..………………………………………… 36
2.2.2.3 Aparatos de tesar. Gatos……….….…………………………………….…. 39
2.2.2.4 Equipos de inyección……….……..…………………………………….….. 40
2.2.3 Pretesado o Pretensado…………….……….………………………….………. 40
2.2.4 Otros sistemas……………………….……………………………………….…. 41
Tema III. Materiales………………………………………………………………………. 42
2.3.1 Introducción…………………………….……………………………………….. 42
2.3.2 Hormigón……………….……………….……………………………………….. 42
2.3.2.1 Calidades requeridas…………….………………………………............... 42
Indice
2.3.2.2 Características mecánicas del hormigón……………..…………………. 43
2.3.2.3 Diagramas de comportamiento ζ – ε del hormigón………...…………… 43
2.3.2.4 Deformaciones diferidas del hormigón. Retracción y fluencia………… 47
2.3.2.5 Coeficiente de Poisson………………………..…………………………… 47
2.3.2.6 Coeficiente de dilatación térmica……....…………………………………. 47
2.3.3 Aceros…………………….……………….……………………………………… 47
2.3.3.1 Importancia del acero de alta resistencia……..…………………………. 47
2.3.3.2 Tipos de acero preesforzado………..…………………………………….. 50
2.3.3.3 Refuerzo no preesforzado……….……………………………………….. 53
2.3.3.4 Propiedades de esfuerzo-deformación del acero…………..…………... 55
2.3.2.5 Relajamiento del acero………………………..…………………………… 57
Tema IV. Métodos de Estados Límites. Principios………………………………... 61
2.4.1 Criterios diversos de seguridad. Factores de incertidumbre……………... 61
2.4.1.1 Métodos de tensiones admisibles……..………………………………… 61
2.4.1.2 Método de rotura………………….……………………………………….. 62
2.4.1.3 Factores de incertidumbre……………..…………………………………. 63
2.4.1.4 Método de los estados límites…………..………………………………… 64
2.4.2 Definición del método de los estados límites……….….……………………. 64
2.4.3 Categoría de los estados límites…….………………………………………… 65
2.4.4 Principios básicos……………………….……………………………………… 65
Tema V. Flexión…………………………………………………………………………... 69
2.5.1 Introducción…………………………………………………………….. ……… 69
2.5.2 Esfuerzos en el centroide. Expresiones analíticas…………………………. 69
2.5.3 Centro de presiones………………….………………………………………… 71
2.5.4 Esfuerzos límites admisibles………….……………………………….……… 72
2.5.5 Puntos límites: núcleo límite y núcleo central…….……….………………… 76
Tema VI. Diseño de secciones a flexión……………………………………………… 80
2.6.1 Hipótesis de cargas……………………….……………………………………. 80
2.6.2 Método de diseño………..……………………………………………………… 80
2.6.3 Tipo de diseño……….…………………………………………………………. 82
Indice
2.6.4 Determinación de la sección………………………………….………………. 82
2.6.5 Criterios para la elección de la forma de la sección…….…………………. 83
2.6.6 Diseño en etapa elástica con sección fijada………………….…………….. 86
2.6.7 Determinación de esfuerzos elásticos en el acero de preesfuerzo
para secciones no agrietadas…………………………………………………103
2.6.8 Capacidad última a la flexión……………………….………………………… 103
2.6.9 Límites del refuerzo…………………….……………………………………… 113
2.6.10 Refuerzo adherido mínimo…………….………….…………………………. 113
Tema VII. Trazado de cables………………………………………………………….. 114
2.7.1 Introducción……………………………………………………………………. 114
2.7.2 Trazados límites………..….…………………….……………………………... 114
2.7.2.1 Trazado límite inferior…………………………………………………….. 115
2.7.2.2 Trazado límite superior…………………………………………………… 116
2.7.2.3 Huso límite…………….……….…………………………………………… 116
2.7.3 Ejemplo ilustrativo…………………………….……………………………….. 117
Tema VIII. Pérdidas…………………………………………………………………….. 124
2.8.1 Introducción…………….……………………………………………………… 124
2.8.2 Pérdidas instantáneas……………………….………………………………… 125
2.8.3 Pérdidas diferidas…………………………………………………................. 134
2.8.4 Ejemplos de determinación de pérdidas……….…..………………………. 139
Tema IX. Diseño a cortante……………………………………………………………. 154
2.9.1 Introducción……………………………………………….……………………. 154
2.9.2 Cortante y tensión diagonal en vigas sin agrietar…….……………………. 155
2.9.3 Agrietamiento diagonal producido por cortante…..……...………………… 160
2.9.4 Refuerzo en el alma por cortante……………………………………………. 166
2.9.5 Criterios de diseño por cortante según el ACI……………………………… 170
2.9.6 Ejemplo. Diseño del refuerzo del alma por cortante………………………. 177
Tema X. Deflexión…………………………………………………………………….... 181
2.10.1 Introducción…….……………………………………………………………. 181
Indice
2.10.2 Deflexiones a corto plazo………………………………………................. 182
2.10.3 Deflexiones a largo plazo………………………………………................. 183
2.10.4 Deflexiones en vigas agrietadas………………………………………….. 186
2.10.5 Deflexiones permisibles…………….……………………………………… 188
Conclusiones…………………………….……….……………………………………… 189
Recomendaciones…………………….….…………………………………………….. 190
Bibliografía………….…….……………………………………………………………… 191
Anexos…………………………….……………………………………………………… 192
Introducción
I
Introducción
El hormigón posee una buena resistencia a la compresión y resulta un material
versátil para su uso en estructuras. Su principal inconveniente, no obstante, es su
desigual resistencia entre la compresión y la tracción: es muy pequeña a tracción.
Este motivo obliga a suplir esta carencia mediante armaduras que tomen las
tensiones de tracción resultando de esta manera el conocido material hormigón
armado.
Normalmente la escasa resistencia a la tracción del hormigón convencional es muy
inferior a su resistencia a la compresión, del orden de 10 veces menor. Teniendo esto
presente, es fácil notar que si deseamos emplear el hormigón en elementos, que bajo
cargas de servicio, deban resistir tracciones, es necesario encontrar una forma de
suplir esta falta de resistencia a la tracción, esto se logra colocando acero de refuerzo
en las zonas de los elementos estructurales donde pueden aparecer tracciones. Esto
es lo que se conoce como hormigón armado convencional. Esta forma de
proporcionar resistencia a la tracción puede garantizar una resistencia adecuada al
elemento, pero presenta el inconveniente de no impedir el agrietamiento para ciertos
niveles de carga.
Se denomina Hormigón Pretensado a un hormigón al que, antes de ser utilizado, se
le produce un estado de tensión, previo a la carga de la estructura, de manera tal que
anule, o disminuya, las tensiones de tracción en el hormigón. Esto se logra al colocar
acero en el interior del elemento, el cual es estirado hasta alcanzar una determinada
tracción, para posteriormente anclarlo en los extremos. De esta manera, el cable
produce compresión sobre la viga y esta tracción sobre el cable. Integralmente estas
fuerzas están en equilibrio. De esta última forma es como se utiliza el pretensado en
estructuras de hormigón. El cable o barra a tensar se ubica en la parte inferior del
elemento, si la viga es simplemente apoyada. La contra flecha que adquiere la viga al
recibir la tensión del acero en su parte inferior, permite que al recibir la carga las
deformaciones se compensen recuperando la forma recta. Normalmente al aplicar
esta técnica, se emplea hormigón y acero de altas resistencias para resistir los
enormes esfuerzos inducidos.
Introducción
II
Su diferencia con el hormigón armado es que en este la armadura es pasiva y
trabaja cuando las cargas exteriores actúan sobre ella, mientras que en cambio la
armadura en el precomprimido es activa y se tensa previamente a la actuación de las
cargas que va a recibir la estructura.
El principio básico del pretensado fue aplicado hace siglos, cuando se ataban cintas
o bandas metálicas alrededor de duelas de madera para formar los barriles. Cuando
se apretaban los cinchos, estaban bajo una fuerza que creaba un esfuerzo de
compresión entre las duelas y las habilitaban para resistir la tensión en arco,
producida por la presión interna del líquido.
Aunque a través del tiempo se han hecho diversos intentos para disminuir el
agrietamiento del hormigón bajo tracción, la contribución más importantes a su
solución suelen atribuirse al ingeniero francés Eugène Freyssinet (1879-1962), quien
convirtió en realidad práctica la idea de pretensar los elementos de hormigón, siendo
su principal aporte darse cuanta del efecto de la retracción y la fluencia en las
pérdidas del esfuerzo pretensado. Según Freyssinet, pretensar un elemento
estructural consiste en crear en él, mediante algún procedimiento específico, antes o
al mismo tiempo que la aplicación de las cargas externas, esfuerzos de tal magnitud
que al combinarse con los resultantes de dichas fuerzas externas, anulen los
esfuerzos de tensión o los disminuyan, manteniéndolos bajo las tensiones admisibles
que puede resistir el material.
Entre las ventajas que ofrece el uso del hormigón pretensado pueden nombrarse:
Permite aprovechar materiales de alta resistencia, lo que conduce a estructuras
más esbeltas y livianas, es decir, de menor sección.
Presenta una alta resistencia a la fatiga. La fatiga depende de la relación entre
la variación de tensiones y las tensiones medias. Mientras la tensión es la
misma ya sea pretensado o no (depende de la variación de cargas externas),
el valor de las tensiones medias aumenta, con lo que la relación tensiones/
tensiones medias disminuye en el acero.
Introducción
III
Menor deformación: Esto posibilita que bajo cargas de servicio el hormigón
permanezca en estado de no fisurado.
Mayor densidad e impermeabilidad.
Menor fisuración: Reduce las fisuras y aumenta la durabilidad de la estructura,
por lo que soporta mejor excesos de carga sin sufrir daños permanentes. Las
fisuras se cierran bajo la fuerza P una vez que desaparece la sobrecarga que
las produjo.
Adecuado a sistemas de prefabricación.
Adecuado a grandes luces.
Al ser el Hormigón Pretensado ideal para la prefabricación, su puesta en práctica es
eficaz, en el sentido de que los tiempos de construcción en obra se disminuyen, lo
que abarata costos. Sus ventajas deben hacer que este proceso se lleve a cabo en
las condiciones actuales de nuestro país, aunque en la realidad casi no se está
usando por una u otra razón. En la opinión de la mayoría de los especialistas cubanos
es que se debe volver a los niveles de producción de estructuras de hormigón
pretensado que había antes del Período Especial.
Desgraciadamente toda la tecnología y experiencia constructiva, y de diseño, que
había en ese campo se ha perdido y es imprescindible retomar esa práctica. Para
enfrentar ese volumen productivo, primero que todo, hay que estructurar, de nuevo,
las metodologías de cálculo de elementos pretensados.
Con el presente trabajo se pretende presentar en forma de manual, de una
manera estructurada, todo el cálculo de una viga de hormigón pretensado. Se
seguirá como norma de cálculo el ACI 2002 porque la futura Norma Cubana
basa su enfoque en la misma.
La estructuración del manual seguirá un formato docente con los clásicos
capítulos sobre propiedades de los materiales, diseño elástico, diseño en
estado límite último, trazado de cables, cortante, pérdidas, etc.
Introducción
IV
Cada capítulo será ilustrado con algunos ejemplos reales de cálculos hechos
por el autor o el tutor en la prestación de servicios científico-técnicos hechos en
el CIDEM, como por ejemplo la revisión de las vigas del Puerto de Cienfuegos.
Para la gran mayoría de los capítulos de revisión y diseño estructurales se
prepararán hojas de cálculo en Excel, con la mayor información posible para los
proyectistas estructurales.
Antecedentes:
El uso del hormigón pretensado en Cuba, como técnica generalizada, se remonta al
principio de los años 50 del siglo pasado, lo que quiere decir que desde esos tiempos
se hicieron los primeros cálculos estructurales.
Bajo régimen estrictamente científico en Cuba se trabajó el pretensado al aparecer la
referencia Guyón (1965), un libro de texto y consulta que resume toda la teoría y la
práctica creada por la escuela francesa de Pretensado fundada (a finales de la
década del 20) por el ingeniero Eugène Freyssinet y de la cual Guyón fue su
continuador y el primero que introdujo estas cuestiones en la docencia.
El pretensado como asignatura de pregrado se introduce en los planes de estudio A
en los años 60 y continúa así hasta desaparecer como asignatura en los planes de
estudio C (iniciados en 1990). Se debe destacar que en Hormigón Estructural II solo
se estudia el diseño de pretensado en etapa elástica y chequeo del momento último,
solo obteniéndose el número de cables en un diseño o el momento máximo que
soporta una viga en un problema de revisión, pero nada se trata sobre trazado de
cables, pérdida, cortante, etc.
Para impartir la asignatura en los años 70 los profesores Miguel Poggio y Ernesto
Valdés hicieron su manuscritos para la preparación de las clases y luego fueron
resumidas, en una especie de texto, referenciado en Poggio M. M., Valdés A. E.,
Vázquez R. J. (1983). Por largo tiempo este fue el texto básico de impartición de la
asignatura hormigón pretensado, tanto en pregrado como posteriormente en
postgrado.
Introducción
V
A pesar de desaparecer como asignatura en el plan de estudios, en el departamento
de Ingeniería Civil de la facultad de Construcciones de la UCLV, se continuó
investigando en el tema, resultados que se resumen totalmente en la referencia
Bermúdez (2000) que presenta un coherente proceso de cálculo unificado de vigas
pretensadas válido, incluso, no sólo para las condiciones cubanas. Todo este trabajo
era compatible con la antigua Norma Cubana, la cual está en proceso de
actualización y estará más acorde con la del ACI.
Para la impartición de la asignatura Pretensado en la maestría de Estructuras (sobre
todo para países latinoamericanos, que tienen como norma de cálculo directamente la
aplicación del ACI) se preparó la referencia Negrín (2007) que es muy útil siempre y
cuando la norma que se usa sea la del ACI versiones de 1999 ó 2002. El autor de
este material usó fundamentalmente como literatura de consulta las referencias:
Poggio M. M., Valdés A. E., Vázquez R. J. (1983) y Lin, T.Y. (1984) además del ACI
2002. Se debe señalar que esta referencia solo usa el sistema de unidades inglés por
lo que a veces usarlo directamente en Cuba se hace muy difícil.
En resumen: en Cuba hay bastante literatura de autores cubanos para la
impartición de la asignatura (que puede servir de antecedente y fuentes de
consulta para futuros trabajos), pero los más actualizados con la norma de
cálculo ACI se basan en el sistema inglés y se centran mucho en el problema
docente y no ingenieril.
Planteamiento del problema:
Para el diseño y revisión de elementos pretensados por ACI en Cuba, existe
escasa o ninguna literatura al alcance del proyectista medio, contrastando con la
abundante información que existe sobre el tema en el ámbito internacional, pero a la
que no todos tienen alcance debido a las dificultades que nos impone la era de la
informatización y la globalización de los conocimientos por Internet, es decir, se hace
imprescindible una herramienta actualizada, interactiva, didáctica y asequible, tanto
para funciones docentes como para el fácil manejo y aplicación de esta técnica en la
producción. Es evidente que se hace necesario hacer un manual más accesible al
proyectista medio.
Introducción
VI
Preguntas de investigación:
1. ¿Se han desarrollado en el extranjero, en los últimos años, algunos manuales
de cálculo de pretensado que sean compatibles con la realidad cubana?
2. ¿De no existir dichos manuales, qué tratamiento se le debe hacer a la
literatura existente para hacer un Manual Básico accesible al proyectista medio
y con valor metodológico para aplicar a la docencia?
Hipótesis:
1. No existe en la literatura internacional un Manual Único para el Proyectista de
estructuras de hormigón pretensado totalmente compatible con las condiciones
cubanas.
2. Con toda la literatura existente, como fuente de consulta y adaptándola a la
propuesta de Norma Cubana de cálculo de estructuras de hormigón armado y
pretensado, se puede redactar un Manual Básico Unificado.
Objetivos Generales:
1. Elaborar un Manual Básico para el Diseño y Revisión de vigas de hormigón
pretensado, basado en la futura Norma Cubana (compatible con la actual ACI
2002) con el fin de que el proyectista medio lo pueda usar como herramienta
de cálculo.
2. Elaborar hojas de cálculo en Excel como herramienta adicional al Manual
Básico.
Objetivos Específicos:
1. Realizar la actualización de la revisión y análisis crítico de la bibliografía.
2. Desarrollar los ejemplos de cálculos, manualmente, sobre la base de
problemas reales que se presentan en el diseño y revisión de estructuras
pretensadas.
3. Hacer las hojas de cálculo y resolver los problemas planteados.
4. Redactar el Manual Básico en formato accesible al proyectista medio, pero que
también pueda ser utilizado como material docente.
Introducción
VII
Aportes:
1. Actualización de la revisión bibliográfica sobre diseño y revisión de estructuras
de hormigón pretensado que existen en el Departamento.
2. Manual de cálculo para proyectistas, también con aporte a la docencia.
3. Hojas de cálculo en Excel.
Tareas Científicas:
1. Elaboración del Diseño de Investigación.
2. Estudio de bibliografía básica existente del tema.
3. Búsqueda de nueva bibliografía.
4. Escritura del Primer Capítulo.
5. Primera defensa parcial en la Línea de Investigación.
6. Metodología de solución de problemas de diseño y revisión de vigas de
Hormigón Pretensado.
7. Ejemplos y solución de problemas de diseño y revisión.
8. Escritura del Segundo Capítulo.
9. Ordenamiento del manual.
10. Predefensa en la Línea de Investigación.
11. Escritura definitiva.
12. Defensa.
En base a lo descrito anteriormente, esta tesis se compone de 2 capítulos,
conclusiones generales, recomendaciones, bibliografía, anexos. Los capítulos están
descritos de la siguiente forma:
Capítulo # 1: Revisión Bibliográfica.
Capítulo # 2: Metodología de solución de problemas de diseño y revisión de vigas de
Hormigón Pretensado. Ejemplos.
0
Capítulo I: Revisión bibliográfica
1
1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
1.1 INTRODUCCIÓN
En este Trabajo de Diploma se pretende presentar un Manual para el cálculo
completo de una viga de hormigón pretensado. La estructuración del manual seguirá
un formato docente con los clásicos capítulos de: conceptos básicos y equipos
usados, propiedades de los materiales, diseño en etapa elástica, chequeo del estado
último de resistencia a flexión y cortante, trazado de cables, valoración de las
pérdidas y chequeo de estados de servicio.
Se seguirá como norma de cálculo el ACI 2002 (totalmente compatible con la ACI
2005), ya que la futura Norma Cubana basa su enfoque en la misma, pero se tendrán
en cuenta otras normas y criterios de autores, que enriquecen el trabajo y aportan
todas las experiencias acumuladas, desde el inicio del uso del pretensado como
técnica hasta nuestros días. Se valorarán las antiguas normas usadas en Cuba,
algunos criterios de diseño basados en la norma de los años 80 de la antigua URSS
(que fueron muy populares en Cuba), se valorarán algunos criterios del Eurocódigo y
algunos otros autores “clásicos” de la temática de pretensado.
En esta parte de la revisión bibliográfica, por las características particulares de esta
Tesis, más que comentar el estado del arte de la temática que se aborda, se hará una
breve explicación de las características de la literatura usada como consulta y al final
se hará una breve reseña histórica del pretensado, para luego comenzar el primer
capítulo del Manual.
1.2 BREVE RESEÑA DE LA LITERATURA CONSULTADA
Se desarrollará, referencia a referencia, por el orden alfabético en que se ha ordenado
la bibliografía.
Código ACI 318-02.
En los EE.UU. no existe un código de diseño único oficial para el cálculo de
estructuras de hormigón armado y pretensado, no obstante el principal y más
reconocido es el American Concrete Institute (ACI) que existe desde 1904 con
Capítulo I: Revisión bibliográfica
2
actualizaciones cada 4 ó 5 años. Es este trabajo se usará el correspondiente al año
2002, compatible con el del 2005 y sin grandes variaciones con respecto al del año
1995 en lo referente a los aspectos de Hormigón Pretensado. Una segunda
publicación del ACI: Commentary on Building Code Requirements for Structural
Concrete contiene todo el material de apoyo e interpretación de las disposiciones de
ACI. Para su mejor compresión debido a que está escrito en español en esta tesis se
ha usado el PCA ACI 318-02.
El Código ACI presenta la siguiente distribución:
Capítulo I. Los requisitos generales: Donde se definen los requisitos
generales de la norma y su alcance.
Capítulo II y III. Especificaciones de los materiales: Se describen todas las
características que cumplen los materiales usados. para el hormigón
armado y pretensado: hormigón y acero.
Capítulo IV. Control de calidad del hormigón: Enuncia los criterios a tener
en cuenta para desarrollar el control de calidad de las resistencias del
hormigón.
Capítulo V. Propiedades del hormigón fresco: Enumera las propiedades
que debe tener el hormigón fresco.
Capítulo VI. Sistema de encofrados: Se dan los detalles para desarrollar
los sistemas de encofrados.
Capítulo VII. Detalles de armado: Detalla la forma de armar los elementos.
Capítulo VIII. Requisitos generales de análisis y diseño: Enuncia los
requisitos generales que debe cumplir un correcto diseño de elementos
de hormigón armado y define las expresiones de cálculo.
Capítulo IX. Resistencia y comportamiento en servicio: Define los estados
de utilización que deben cumplir los elementos de hormigón armado y
como se realizan dichos cálculos.
Capítulo X. Cargas axiales y flexión: Analiza el caso particular de flexión
con carga axial.
Capítulo I: Revisión bibliográfica
3
Capítulo XI. Cortante y torsión: Analiza el caso de esfuerzo cortante y el
comportamiento del hormigón ante dicho esfuerzo, además trata el caso
de la torsión.
Capítulo XII. Longitudes de anclaje y empalmes: Se refiere a todos estos
detalles constructivos que se deben tener en cuenta al fabricar un
elemento de hormigón armado.
Capítulo XIII. Losas en dos direcciones: Trata el caso particular de losas
armadas en dos direcciones y sus disposiciones de cálculo.
Capítulo XIV. Tabiques: Trata el caso particular de tabiques y sus
consideraciones generales.
Capítulo XV. Zapatas y cabezales de pilotes: Trata el caso particular de
estos elementos y sus disposiciones de cálculo.
Capítulo XVI. Hormigón prefabricado: Enuncia las características que
deben cumplir los elementos de hormigón armado prefabricados y sus
distintos usos.
Capítulo XVII. Elementos de hormigón construidos en etapas.
Capítulo XVIII. Hormigón pretensado: Capítulo totalmente dedicado al
hormigón pretensado: notación, alcance, consideraciones y expresiones
de diseño en etapa elástica y de agotamiento, estados de servicio,
cortante, trazado de cables, pérdidas, etc.
Capítulo XIX. Cáscaras y placas plegadas: Trata el caso particular de
estos elementos y sus disposiciones de cálculo.
Capítulo XX. Evaluación de la resistencia de las estructuras existentes:
Trata la forma de proceder ante cálculo y revisiones de estructuras a
rehabilitar estructuralmente.
Capítulo XXI. Diseño sismorresistente: Detalla los criterios de diseño a
cumplir cuando se proyecta y construye en zona sísmica.
Capítulo XXII. Hormigón estructural simple: Capítulo especial que trata
sobre los criterios de diseño y fabricación de este tipo de material.
El capítulo XVIII es el más usado en este trabajo donde viene muy bien detallado y
en un orden casi igual al que se pretende dar a este Manual. Los aspectos tratados
son, entre otros: la simbología usada, el campo de aplicación, los requisitos generales
Capítulo I: Revisión bibliográfica
4
de diseño resistente y de servicio, tensiones admisibles en el acero, pérdidas en el
pretensado, resistencia a flexión, límites para la armadura de los elementos
solicitados a flexión, armadura adherente mínima, trazado de cables, etc.
Bases de cálculo de estructuras de hormigón armado y pretensado (2003).
Basado en Eurocódigo. UNE-EN 1990.
En este documento se presentan las bases de cálculo para elementos de hormigón
armado sometidos a cualquier solicitación y los elementos pretensados a flexión. Es la
interpretación que da la Norma Española al Eurocódigo. De forma general la parte de
pretensado la presenta con su simbología, en esta versión del 2003, más acorde con
la del ACI pero respetando los métodos de cálculo de anteriores Códigos donde el
diagrama del hormigón se sigue tomando la clásica parábola-rectángulo y los
preceptos del pretensado los clásicos: cálculo de los cables en etapa elástica y
revisión de la etapa de agotamiento para carga máxima y mínima. Analiza los casos
también de trazado de cables, detalles constructivos, pérdidas, cortante y chequeo de
deformación.
Hay tendencia a usar más los cables pretensados (tecnología Freyssinet) que los
alambres, criterio coincidente más con los franceses y distinto a los usuales usados
por los norteamericanos.
Baykov, V. y E. Sigalov. (1986). “Estructuras de Hormigón Armado”
Este es un libro de Hormigón Armado usado como texto básico en la antigua URSS
hasta los años 90. Como texto clásico trae todo lo referente a propiedades de los
materiales, diseño a carga axial, flexión, cortante, chequeo de estados de servicio,
detalles constructivos y diseño de distintos elementos de hormigón armado. No trae
un capítulo en específico de hormigón pretensado, pero en la parte de vigas a flexión
analiza la metodología para el chequeo del estado último de vigas pretensadas,
también en el capítulo de estados de utilización trata el caso de las vigas pretensadas:
su chequeo a deformación y fisuración.
Bermúdez M., M. (2000). “Método Unificado para diseño de secciones
pretensadas”.
Se aborda el diseño de vigas pretensadas a partir de un procedimiento que se ha
definido como “Diseño Unificado”, el cual basa su esencia en el cumplimiento de
Capítulo I: Revisión bibliográfica
5
todos los estados que caracterizan el diseño completo de una sección,
superponiéndolos en forma gráfica a modo de restricciones, en términos de la fuerza
necesaria a aplicar a los cables o alambres y la posición que estos deben ocupar en
la misma. Sobre este mismo concepto se ha trabajado la eficiencia en el diseño, luego
de establecer una interpretación sobre los principios que determinan el menor costo
de la misma.
Se presenta además un estudio del comportamiento de tales secciones desde el
punto de vista teórico - práctico, el cual se ha acompañado del resultado de ensayos
que en buena medida avalan las principales conclusiones a que se ha podido arribar.
Se concluye con la evaluación de las posibilidades prácticas de aplicación de vigas
pretensadas en la conformación de entrepisos, constituyendo éstas el elemento
resistente principal de la estructura, a partir de lo cual se establece un análisis en
términos de Índices Técnico Económicos de Valor y Consumo de Materiales, que
caracterizan y justifican el empleo de tales soluciones.
En el Capítulo I sobre los Antecedentes y estado actual del diseño de vigas
pretensadas según criterios de eficiencia. En este capítulo se presenta un análisis del
estado actual de la temática en el ámbito nacional e internacional asociado a los
aspectos:
Comportamiento de secciones de vigas pretensadas frente a las cargas y la
incidencia de los principales factores que pueden determinarlo.
La teoría del diseño de vigas pretensadas de diferentes Códigos y autores.
La evaluación de procedimientos en torno a diseños eficientes.
Las posibilidades de aplicación de vigas pretensadas, asociado a la
conformación de estructuras como las que han motivado el desarrollo de esta
tesis.
Destaca aquí la adecuada interpretación dada a un trabajo de vital importancia y
significación para el diseño de pretensado como el presentado por N. Kachaturian
que permite posteriormente hacer el enfoque unificado del diseño de una viga
pretensada, objetivo supremo de esta tesis Doctoral.
Capítulo I: Revisión bibliográfica
6
En el Capítulo 2 “Diseño unificado de vigas pretensadas” se desarrolla el diseño de
secciones pretensadas, dentro de una etapa de “comportamiento no fisurado”, a
partir de definir la llamada “zona útil”, como aquella que enmarca todas las posibles
combinaciones de fuerza de tesado (P) y su posición (e0) tal que se satisfaga las
condiciones impuestas. Aquí se desarrolla la teoría de diseño unificado de vigas
pretensadas dada una sección conocida en cuanto a forma y dimensiones y se
soluciona el problema interno del diseño eficiente.
En el Capítulo 3 “Diseño Eficiente de Secciones Pretensadas” se presenta la
metodología de diseño eficiente de secciones. Los procedimientos descritos tanto
para secciones rectangulares como para trapezoidales se implementaron en el
software “DIVIPRET”, lo cual permitió, además de validar todo lo que en términos
teóricos se plantea, arribar a importantes conclusiones, sobre todo definir la relación
entre las variables que conforman la sección eficiente ante un problema específico.
En el Capítulo 4 “Criterios de Aplicación” donde se resuelven ejemplos reales que
permiten determinar las posibilidades prácticas de empleo de secciones pretensada
en la conformación de entrepisos de viviendas o estructuras similares, en cuanto a
luces y cargas se refiere, justificando su competitividad técnico – económica.
Se debe destacar lo novedoso de este procedimiento unificado para el diseño de
vigas pretensadas, que significa llevar a grado supremo de aplicación todos los pasos
de un diseño correcto de viga pretensada, sobre la base de lo inicialmente planteado
por Khachaturian. Muy ingenioso la definición de “zona útil” para todos los pasos del
diseño de una viga pretensada.
Guyón, Y. (1965). “Hormigón Pretensado”. Madrid: Editorial Doss.
Aunque ya no tiene una aplicación directa este sigue siendo un texto fundamental
para el estudio de las estructuras de hormigón pretensado. Se puede considerar el
primer texto básico escrito sobre hormigón pretensado, su autor es el alumno y
continuador de los primeros trabajos sobre hormigón pretensado sobre bases
científicas realizados por Eugène Freyssinet.
Capítulo I: Revisión bibliográfica
7
El prólogo del libro está escrito, precisamente por E. Freyssinet, espacio que
aprovecha para expresar su opinión sobre un libro cuyo autor había sido su
colaborador desde hacía muchos años y en el cual se trataban principios e ideas a
cuya aplicación había consagrado su vida. Considera a Guyón, especialmente
calificado para esclarecer una parte del campo del pretensado, cosa que no había
sido lograda con gran interés por otras publicaciones en aquel entonces.
Representa, por tanto, un excelente material en el momento preciso para hacer
realidad una idea que defendía Freyssinet desde hacía tantos años, redactado a
fuerza de trabajo y de conciencia, por una inteligencia clara y precisa, dotada de una
gran cultura matemática, con la fe en el valor y el porvenir del pretensado.
Este texto trata fundamentalmente temas que parecen muy limitados y que en sí
mismos encierran una parte muy restringida del campo del pretensado. Pero en
cuanto se profundizan surgen problemas y cuestiones, cuyas soluciones o
respuestas, sí pueden ser halladas, serán aplicables a muchos otros sistemas de
construcción. Se abordan problemas generales que pueden considerarse una parte
común válida para muchas aplicaciones. De sus problemas generales, están algunos
prácticamente resueltos, mientras que otros están muy lejos de estarlo, puesto que
pueden ser solo resueltos en colaboración con otros especialistas en ciencias.
Evidentemente no siempre pueden esperarse que todos los problemas estén
completamente resueltos pues cada uno de ellos en sí, persiguen objetivos
específicos. Tratan en todo momento de aumentar el margen de seguridad en la
solución de problemas. Se caracteriza constantemente por la aplicación de teorías de
la Resistencia de Materiales a las construcciones prefabricadas. Es distintivo el uso
constante de múltiples ensayos necesarios para precisar las leyes de estos
fenómenos para poder aplicarlos con completa seguridad.
Para representar el primer texto básico de Hormigón Pretensado, trata temas como;
Generalidades comunes a las principales construcciones pretensadas y Nociones
Preliminares apoyadas en ejemplos sencillos, Materiales utilizados para la ejecución
de las construcciones pretensadas como conos de anclajes Freyssinet, cuñas
metálicas, barras roscadas y tuercas y diversos sistemas de ejecución, Materiales del
Capítulo I: Revisión bibliográfica
8
Hormigón Pretensado (hormigones y aceros), Influencia de los rozamientos de los
cables en sus vainas en el momento de realizarse el tesado. Pérdidas de tensión que
resultan de esto. Pérdidas en las curvas, Resistencia al fuego, Esfuerzos en los
extremos de las piezas en las zonas próximas a las caras en las que se activan las
fuerzas de pretensado, Anclaje por adherencia en las vigas pretensadas por medio de
alambres tesados previamente, Esfuerzos en los extremos de las piezas pretensadas
por medio de alambres tesados previamente. Zunchados.
En una segunda parte aborda el Cálculo elástico de las vigas isostáticas con sección
constante pretensadas por cables de sección uniforme y sometidas a flexión simple,
Fórmulas diversas relativas a las vigas isostáticas de sección constante y de
armadura uniforme, con sección constante provista de alambres paralelos tesados
antes del hormigonado, de sección constante provista de cables levantados, Vigas
isostáticas de canto variable sometidas a flexión simple y una tercera parte con
ensayos realizados, resúmenes de los resultados de los ensayos realizados,
indicaciones referente a los coeficientes de seguridad y al cálculo elastoplástico de las
vigas isostáticas de hormigón pretensado.
Hormigón Pretensado (2009). Propuesta de Norma Cubana (según ACI 2005).
Capítulo 27 según PCI (versión 14 de julio 2009)
Como de costumbre, en las distintas normas de hormigón armado y pretensado, no es
una norma particular si no que forma parte de un capítulo de la norma general, en
este caso el capítulo 27 de la futura Norma Cubana.
Se definen muy claramente los siguientes aspectos:
Notación: Totalmente acorde con la históricamente usada por el ACI
Alcance: Hace varias aclaraciones donde compatibiliza los epígrafes de la norma
ACI 2005 que esta actual propuesta de norma
Generalidades: Define los requisitos de resistencia, las hipótesis de cargas, los
conceptos de secciones brutas de hormigón, fisuradas y no fisuradas, etc.
Consideraciones de diseño: estados tensionales para cada hipótesis de carga,
definición de elementos clase U (elemento no fisurado), C (elemento fisurado) y T
(transición entre elemento no fisurado y fisurado) y presenta los requisitos de
diseño para cada tipo de elemento en cada estado límite
Capítulo I: Revisión bibliográfica
9
Requisitos de Funcionamiento. Elementos sometidos a Flexión: se dan los
esfuerzos admisibles a alcanzar en etapa elástica y las tensiones en los estados
de carga 1 y 2.
Esfuerzos admisibles en el acero pretensado: se dan los esfuerzos de tracción
límite en el acero.
Pérdidas de preesfuerzo: Se definen las pérdidas y la manera de calcularlas de
forma detallada.
Resistencia a Flexión. Estado Límite Último: Se definen los chequeos de estados
últimos bajo carga máxima y mínima y las expresiones para hacer ese chequeo.
Límites de cuantía para la armadura pretensada en elementos solicitados a flexión:
Se dan todos los valores de cuantía mínima para cada uno de los casos que se
presenten.
Se analizan otros casos particulares como: Estructuras estáticamente
indeterminadas, elementos comprimidos, combinación de cargas axiales y de
flexión, sistemas de losas, zona de anclaje de los tendones postesados, conductos
para postesado, mezcla o mortero de inyección para tendones de pretensado no
adheridos y aplicación y medición de la fuerza de tesado.
Lin T., Y. (1984). “Diseño de Estructuras de Concreto Preesforzado”. México:
Editorial Continental, S.A.
Esta referencia es un texto clásico de hormigón pretensado, se basa en la norma ACI
del año 1983. Como texto clásico trata una serie de capítulos ordenados de manera
metodológica para la enseñanza del pretensado dentro de los que podemos
mencionar: generalidades, equipamiento, propiedades de los materiales, diseño en
etapa elástica, estados últimos y de utilización, trazado de cables, disposiciones
constructivas, etc. Además tiene algunos capítulos de aplicación de distintos
elementos de hormigón pretensado como; losas planas, estructuras continuas, etc.
Esta bibliografía sirvió de base para la referencia Negrín (2007) que a su vez es la
referencia fundamental de este Trabajo de Diploma.
Capítulo I: Revisión bibliográfica
10
Negrín, A. (2007). “Hormigón Pretensado”. Folleto para la impartición de la
Maestría en Estructuras. UNITEC, Tegucigalpa, Honduras.
Este material fue confeccionado para la impartición de la asignatura Hormigón
Pretensado de la Maestría de Estructuras. Es un material estructurado
metodológicamente como un texto docente. Para su confección se consultó mucho la
referencia Lin T. (1984), pero todos los temas fueron actualizados basándose en los
criterios del ACI 2002.
Contiene todos los capítulos necesarios para un texto básico y que seguiremos, casi
textualmente, en este trabajo de diploma: Conceptos y Principios Básicos, Métodos y
equipos, Materiales, Diseño de vigas a flexión, chequeo de estados límites últimos,
trazado de cables, cortante, pérdidas y detalles constructivos.
También consta de una introducción destinada a una breve reseña histórica del
pretensado que se usa como referencia en el siguiente epígrafe.
Nilson, H. A. (2000). “Diseño de Estructuras de Concreto Preesforzado”. México:
Ed. Limusa.
Esta referencia fue usada como material de consulta sobre todo para definir la
metodología de diseño de vigas pretensadas. Fue un texto básico para la enseñanza
del Hormigón Armado en los EE.UU. (por lo menos hasta el año 2002; en su 13ra
edición) y lo sigue siendo en Latinoamérica.
Como texto básico trata todos los temas que se enseñan en las asignaturas
Hormigón Armado I y II: Generalidades, Materiales, Criterios de Diseño, Diseño a
Flexión, Cortante, Estados de Servicio, Detalles Constructivos, Columnas cortas y
esbeltas, losas, uniones, etc. Además cuenta con un detallado Capítulo sobre
Hormigón Pretensado (Capítulo 19) donde se analiza: materiales y equipos, análisis
de la flexión, selección de la forma, pérdidas, cortante, detalles constructivos, etc.
Palacios, M. (2004). “Hormigón Pretensado”. Folleto para la impartición de la
asignatura Hormigón Pretensado. UNITEC, Tegucigalpa, Honduras.
Al igual que el texto de Negrín (2007) es un material preparado para la impartición de
la docencia, en este caso de pregrado, para la asignatura Estructuras de Concreto II
(Hormigón Pretensado) de la Universidad Tecnológica Centroamericana.
Capítulo I: Revisión bibliográfica
11
Es un texto clásico que desarrolla los temas de: Conceptos y Principios Básicos,
Métodos y equipos, Propiedades de los materiales, Métodos de Estados Límites,
estado de flexión en etapa elástica y agotamiento, trazado de cables, evaluación de
las pérdidas y chequeo de estados de utilización, además de otros aspectos de
carácter práctico-constructivos aplicables a la realidad hondureña.
Se puede considerar un buen material para apuntes de un libro de textos, tiene mucha
influencia de la norma ACI 1995 y de Nilson (2000).
Poggio M., M., Valdés A., E. y Vázquez R., J. (1983). “Hormigón Pretensado”.
El colectivo de autores; Miguel Poggio Morillo, Ernesto Valdés Avellaneda y José
Vázquez Rodríguez, perteneciente a la Facultad de Ingeniería Civil del I.S.P.J.A.E,
editaron en 1983, “Hormigón Pretensado”, el cual consistía en reflejar algunos
apuntes con el interés de que el estudiante pudiera disponer de un material de
estudio, de carácter transitorio, hasta tanto se contase con el texto oficial
correspondiente. El mismo representó un gran aporte al estudio del pretensado, pues
en ese momento no se contaba con la literatura suficiente que pudiese ser consultada
y que reflejase la forma particular de diseñar y tratar el pretensado en Cuba.
Comienza haciendo un recuento de nociones generales; historia, conceptos
fundamentales y su formulación, definiciones y clasificaciones para adentrarnos en el
mundo del pretensado. Luego da a conocer aquellos dispositivos de uso generalizado
en Cuba así como otros cuyas particularidades sean de interés técnico o constructivo.
Resalta las calidades requeridas para los materiales componentes del hormigón
pretensado con el hecho de aprovechar al máximo sus capacidades. Define los
diversos criterios de seguridad que ha seguido el cálculo de estructuras de acuerdo al
método utilizado para el diseño de las secciones, así como su desarrollo. Se exponen
una serie de ejercicios para lo cual será necesario tener en cuenta disposiciones
constructivas, factores económicos, lo cual ya no es un problema de cálculo, sino de
experiencias y sentido constructivo. Se desarrollan temas de gran importancia como
el trazado de los cables a lo largo de la viga, el cálculo de las pérdidas en la fuerza de
pretensado, el cálculo del refuerzo a cortante y de flechas. Se hacen algunas
recomendaciones para el proyecto y la construcción de elementos pretensados que
resultan de gran interés e importancia.
Capítulo I: Revisión bibliográfica
12
De forma general, cumple muy bien los objetivos para lo cual fue concebido, pues
emplea un vocabulario asequible al estudiante y abordan ejercicios prácticos que
logran el desarrollo y la ampliación del conocimiento del pretensado, adaptándolos
cada uno de ellos a nuestras condiciones y estilos. Se usará como una de las
referencias fundamentales.
1.3 HISTORIA Y EVOLUCIÓN DEL HORMIGÓN PRETENSADO
Como material de consulta para este epígrafe se usan las referencias [6, 7, 12 y 13].
Haciendo un análisis retrospectivo en torno a la aparición de este material se puede
señalar que la idea de la precompresión data de las civilizaciones Egipcias, los
cuales pretensaban longitudinalmente sus barcos, como se ha podido deducir de las
representaciones funerarias de la quinta dinastía, (Poggio, 1983), y cuando se ataban
cintas o bandas metálicas alrededor de duelas de madera para formar los barriles.
Cuando se apretaban los cinchos, estaban bajo una fuerza que creaba un esfuerzo de
compresión entre las duelas y las habilitaban para resistir la tensión en arco,
producida por la presión interna del líquido contenido.
Aunque este concepto, según Cowan (1983), no fue revelado durante varios siglos,
sólo fue en 1870 el ingenio de Castigliano lo que hizo obtener la solución teórica de
este fenómeno, aunque sus investigaciones en este sentido no duraron mucho
tiempo, pues falleció a los treinta años, diez años después de haberse graduado.
A través del tiempo se han hecho diversos intentos para disminuir el agrietamiento
del hormigón bajo tracción, la contribución más importante a su solución suelen
atribuirse al ingeniero francés Eugène Freyssinet, quien convirtió en realidad práctica
la idea de pretensar los elementos de hormigón. Según Freyssinet, pretensar un
elemento estructural consiste en crear en él, mediante algún procedimiento
específico, antes o al mismo tiempo que la aplicación de las cargas externas,
esfuerzos de tal magnitud que al combinarse con los resultantes de dichas fuerzas
externas, anulen los esfuerzos de tensión o los disminuyan, manteniéndolos bajo las
tensiones admisibles que puede resistir el material.
1.3.1 CRONOLOGÍA HISTÓRICA
1886: La principal ventaja del pretensado radica en su uso en el hormigón, al
superponer una compresión excéntrica es posible eliminar los esfuerzos de tracción
Capítulo I: Revisión bibliográfica
13
debido a la flexión, aspecto que fue verificado en este año por C. W. Dohëring, quien
patentó en Alemania un método para fabricar losas de mortero con refuerzo de
alambre de acero.
1886: También en este año es aplicado el principio anterior al hormigón cuando P. H.
Jackson, un ingeniero de San Francisco, California, obtuvo las patentes para atar
varillas de acero en piedras artificiales y en arcos de hormigón que servían como
losas de pisos y específicamente a pavimentos mediante tirantes, según Cowan
(1983).
1888: Hacia este año, C. E. W. Dohëring en Berlín construye placas y viguetas
dejando embebidos en el hormigón alambres tesados y el propio Jackson obtiene una
patente en EE.UU. para inducir esfuerzos preliminares de compresión en arcos y
estructuras de pisos de hormigón a través de tensar tirantes mediante torniquetes o
gatos hidráulicos (Estos últimos más a posteriori), siendo la armadura el elemento
tesado antes de aplicar cualquier carga, demostrándose así el aumento de la
capacidad de carga de la estructura. Esta forma de pretensar se usó mucho en las
primeras armaduras pero generalmente sobre bases empíricas a las cuales
Castigliano había dado una solución como se mencionó anteriormente.
1907: Ya en este año se publica el primer tratado fundamental del problema gracias a
K. Koenen.
1908: Al año siguiente y luego del fracaso de las primeras tentativas pues se
desconocía la verdadera índole de los fenómenos de fluencia y retracción,
perdiéndose en aquellos elementos más de la mitad de la fuerza de pretensado sólo
por retracción y en otra buena medida por fluencia sin conocerse el por qué de estos
acontecimientos, C. R. Steiner, en California, propone un método de retesado
posterior con el objeto de recuperar algunas de las pérdidas, sin embargo Eugène
Freyssinet analizaba por primera vez este problema en 1920, comenzando a realizar
experimentos con hormigón de muy alta resistencia pretensado con cuerdas de piano.
Cowan (1983).
1925: Con preesfuerzos diez veces mayores a los empleados previamente, Freyssinet
logró reducir las pérdidas a poco más del diez por ciento, siendo así el empleo de
acero de alto límite elástico (Alta resistencia a tracción), una necesidad vital del
hormigón pretensado y ya en este año, R. E. Dill, de Nebraska, ensayó barras de
acero, de alta resistencia, cubiertas para evitar la adherencia con el hormigón.
Capítulo I: Revisión bibliográfica
14
Después de colocar el hormigón, se tensaban las varillas y se anclaban al hormigón
por medio de tuercas en cada extremo y menciona las ventajas de usar acero de alto
límite elástico y alta resistencia.
1926: En este año se publican los experimentos de Plongastel, los cuales no son más
que el resultado de prolongadas investigaciones sobre el esclarecimiento definitivo e
irrefutable del fenómeno del pretensado, Guyón (1968). Fue gracias a esto que
Eugène Freyssinet, nacido en Francia en 1879, discípulo del pionero del hormigón
armado Charles Rabout y destacado por el desarrolló en el ámbito de la construcción
de cáscaras y bóvedas además de percatarse de las dificultades del encofrado en la
ejecución de formas curvas en el hormigón por su laboriosidad y alto costo, proponga
lo mismo en 1928.
1928: Se inicia el desarrollo moderno del hormigón pretensado en la persona de
Eugène Freyssinet, de Francia, quien empezó usando alambres de acero de alta
resistencia para el pretensado. Tales alambres contaban con una resistencia a la
ruptura tan elevada como 18,000 kg/cm², y un límite elástico de más de
12,600 kg/cm².
Algunos autores, entre ellos, Poggio, Valdés y Vázquez (1983) afirman que sus
trabajos para con el pretensado se originan en 1911, dedicándose a estudiar los
fenómenos de retracción y fluencia del hormigón y de aquí el mérito de que sea él
quien basó el principio del pretensado en una sólida fundamentación y experiencia en
lo relacionado a las pérdidas diferidas de la fuerza de pretensado. En estas
investigaciones se destacaron además Guyón y Losier en Francia, Mijailov y Gvozdiev
de la URSS, Magnel de Bélgica, y Leonard de Alemania, entre otros muchos que
aportaron elementos importantes para el desarrollo de esta teoría.
1939: Freyssinet produjo cuñas cónicas para los anclajes de los extremos y diseñó
gatos de doble acción, los cuales tensaban los alambres y después presionaban los
conos machos dentro de los conos hembra para anclarlos a las placas de anclaje.
Este método consiste en estirar los alambres entre dos pilares situados a varias
decenas de metros, poniendo obturadores entre las unidades, colocando el hormigón
y cortando los alambres después de que el hormigón adquiera una resistencia de
diseño específica.
1945: La escasez de acero en Europa durante la Segunda Guerra Mundial le dio
ímpetu al desarrollo del hormigón pretensado, puesto que se necesitaba mucho
Capítulo I: Revisión bibliográfica
15
menos acero para este tipo de construcción con respecto a las convencionales en
hormigón armado.
Si bien Francia y Bélgica encabezaron el desarrollo del hormigón pretensado,
Inglaterra, Alemania, Suiza, Holanda, Rusia e Italia rápidamente lo continuaron. Cerca
del 80% de todos los puentes que se construyen en Alemania son de hormigón
pretensado.
En 1945 Pacadar prefabrica la primera viga pretensada en España.
1949: Se empieza a trabajar en Estados Unidos con el pretensado lineal al llevarse a
cabo la construcción del afamado puente Filadelfia Walnut Lane Bridge. La Bureau of
Public Roads (Oficina de caminos públicos), ha investigado y mostrado que durante
los años 1957-1960 se autorizaron para la construcción 2052 puentes de hormigón
pretensado, totalizando una longitud de 68 millas, con un costo total de 290 millones
de dólares.
1951: Se construye el primer puente pretensado en México. Siendo la ciudad de
Monterrey la madrina de tal acontecimiento, al llevarse a cabo la construcción del
puente "Zaragoza" que cuenta con 5 tramos de 34 m cada uno y cuya finalidad es la
de proporcionar circulación a través del río Santa Catarina.
1952: Hay una reunión en Cambridge, en la cual se crea una sociedad internacional
bajo el nombre de Federación Internacional de la Précontrainte (FIP). El objetivo
principal de este grupo de ingenieros visionarios era diseminar el mensaje e iluminar
al mundo acerca del concepto relativamente desconocido de la construcción con
hormigón pretensado, lo cual se llevaría a cabo alentando la integración de grupos
nacionales en todos los países que tuviesen particular interés en el asunto y
facilitando un foro internacional para el intercambio de información.
1958: Se construye el puente Tuxpan (carretera México - Tuxpan) con una longitud
total de 425 m. Estructura principal de tres luces de 92 m de hormigón pretensado,
construidos con el procedimiento de doble voladizo (primer puente de este tipo en
América Latina).
1962: Se construye el puente Coatzacoalcos con una longitud total de 996 m. Tramos
de vigas pretensadas de 32 m y un tramo de armadura metálica levadizo de 66 m de
luz, apoyados en pilas de hormigón armado.
16
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
16
2. MANUAL BÁSICO PARA EL DISEÑO Y REVISIÓN DE VIGAS DE HORMIGÓN
PRETENSADO
CONCEPTOS Y PRINCIPIOS BÁSICOS
2.1.1 INTRODUCCIÓN
El hormigón pretensado consiste en crear una serie de esfuerzos permanentes los cuales, superpuestos con los esfuerzos a que está sometido el elemento, da como resultado un diagrama de esfuerzo total que no sobrepasa los esfuerzos permisibles que soporta el hormigón. En esencia, el hormigón es un material que trabaja a compresión. Su resistencia a la tracción es mucho más baja que a la compresión, y en muchos casos, al diseñar, se deja fuera de consideración la resistencia a tracción. Por tanto, el pretensado del hormigón implica la aplicación de una carga compresiva, previa a la aplicación de las cargas anticipadas de diseño, en forma tal que se reduzcan o eliminen los esfuerzos de tracción que de otra forma ocurrirían. El concepto original del hormigón pretensado consistió en introducir en vigas suficiente precompresión axial para que se eliminaran en el miembro cargado todos los posibles esfuerzos de tracción que obraran en el hormigón. Sin embargo, a medida que se ha desarrollado el conocimiento de esta forma de construcción, se ha visto claramente que esta concepción es innecesariamente restrictiva, y en la práctica actual de diseño se permite que haya esfuerzos de tracción en el hormigón, y hasta cierto agrietamiento limitado. Haciendo variar la magnitud del preesfuerzo compresivo puede limitarse al grado deseado el número y el ancho de las grietas, igualmente puede controlarse la deflexión del miembro. El pretensado no mejora el comportamiento resistente del elemento, mejora su comportamiento ante la deformación y el agrietamiento. Según definición de E. Freyssinet, referenciado por Negrín (2007),pretensar una
construcción es: “crear en ella artificialmente, con anterioridad a la aplicación de las cargas externas o simultáneamente con ellas, unos esfuerzos permanentes tales que,
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
17
superpuestos a los esfuerzos debidos a las cargas exteriores, los esfuerzos totales permanezcan en todos los puntos y para todas las hipótesis consideradas de cargas exteriores, comprendidas entre los esfuerzos límites que el material puede soportar indefinidamente”.
2.1.2 CLASIFICACIÓN
Desde el punto de vista constructivo existen dos tipos de hormigón pretensado: el hormigón pretensado y el hormigón postensado. Una vez construido el elemento pretensado, desde el punto de vista del comportamiento estructural, no hay ninguna diferencia entre uno y otro. La técnica del pretensado está ideada para desarrollarse en una planta o fábrica de elementos precolados y preesforzados. Uno de los factores que más han impulsado el desarrollo del hormigón pretensado es el económico, es decir, el tratar de que las obras resulten menos costosas. Obviamente, la estandarización hace posible la fabricación en serie de un producto con el consiguiente abaratamiento de la mano de obra y mejor control de la calidad del mismo. Para esto es necesario todo un proceso fabril que solo lo puede proporcionar una planta o fábrica. En la técnica del pretensado, como su mismo nombre lo sugiere, básicamente primero se tensa el acero estirándolo y anclándolo en unos "muertos" y después se "cuela" el hormigón en el cual quedan embebidos los cables que constituyen el acero de preesfuerzo (ver figura 1.1). Una vez que el hormigón se ha endurecido lo suficiente se sueltan los cables de sus anclajes transmitiendo la fuerza al hormigón, básicamente por adherencia, al tratar el acero de recuperar su longitud inicial (antes de ser estirado).
Figura 1.1 La técnica del pretensado.
El postensado es una técnica apropiada para fabricar los elementos “in situ” o cerca de la obra. En los casos en que se requiera un elemento estructural o viga fuera de lo usual y que la cantidad no amerite el cambio en las líneas de producción en una planta de pretensado, entonces el postensado es la solución. Otras veces el tamaño
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
18
y peso de las componentes estructurales hace imposible o muy costoso su traslado de la planta al lugar de la obra, de nueva cuenta el postensado viene a ser la solución. La técnica del postensado, como su nombre lo sugiere, básicamente consiste en fabricar el elemento estructural dejando ductos embebidos en el hormigón para introducir por ellos el acero de preesfuerzo a base de cables o alambres (ver figura 1.2). Una vez que el hormigón ha endurecido lo suficiente se introducen los cables o alambres por los ductos. Generalmente, el acero se acuña en un extremo (extremo pasivo) y en el otro se sujeta a un "gato" hidráulico (extremo activo) que lo estira apoyándose en el hormigón y que lo ha estirado lo suficiente lo acuña y se retira. Acto seguido, se lechada el conducto para proteger el acero contra la corrosión, con la ventaja de que se puede considerar que el acero queda adherido al hormigón. En el postensado la transferencia de la fuerza de pretensado del acero al hormigón se efectúa por medio de los dispositivos de anclaje, la adherencia (cuando la hay) ayuda a mejorar el comportamiento en la falla como si fuera una viga de hormigón reforzado. Una ventaja del hormigón postensado es que se le puede dar al conducto el perfil que se desee, siendo éste por lo general parabólico, que es el ideal para balancear cargas distribuidas uniformemente, que son las más comunes en las estructuras. La principal desventaja es el costo pues los herrajes de los dispositivos de anclaje quedarán embebidos en el hormigón. Sin embargo, aun así representa una solución más viable, desde el punto de vista económico, en muchos casos (comparado con perfiles de acero).
Figura 1.2 La técnica del postensado
Existe una gran variedad de sistemas patentados para postensar, un gran número de ellos trabajan a base de cuñas y otros a base de tuercas, el esquematizado en la
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
19
figura 1.2 es el Sistema Freyssinet que trabaja a base de una cuña troncocónica que, una vez que los cables o alambres han sido estirados lo suficiente, es empujada por un pistón interior que tiene el "gato" y "muerde" los cables o alambres contra el barril. El pretensado y el postensado se pueden usar combinados para obtener grandes ventajas (como en el empleo de elementos prefabricados que son pretensados para soportar la carga muerta y que también son postensados para soportar la carga viva). El hormigón pretensado puede clasificarse también en: Centrado: Es aquel en que la fuerza de pretensado actúa en el centroide de la sección. Excéntrico: Cuando la fuerza de pretensado no actúa en el centroide, sino, que tiene cierta excentricidad. Total: Cuando no ocurren tensiones al actuar el pretensado conjuntamente con las cargas. Parcial: Cuando se admite cierto valor de tracción permisible que se supone pueda tomar el hormigón sin fisurarse. Cuando estas tensiones sobrepasan los límites permitidos puede utilizarse acero de refuerzo para controlar el exceso de tracción hasta ciertos límites. Negrín (2007).
En resumen podemos decir: Elementos pretensados: Los esfuerzos del preesfuerzo se producen antes de la fundición del elemento. Características:
a) El acero de preesfuerzo se tensa antes del colado. b) El acero se ancla inicialmente en los muertos de anclaje, por lo general, en el
patio de prefabricado. Aunque en algunos casos la mesa de colado se localiza en la obra.
c) El hormigón se cura a vapor durante lapso menor a un día. d) Al soltar de sus anclajes el acero pretensado, el hormigón recibe una
compactación previa, por medio de la transferencia de esfuerzos y a través de la adherencia entre el acero y el hormigón. Por consiguiente los cables quedan necesariamente adheridos.
Elementos postensados: Los esfuerzos del preesfuerzo se producen después de fundido el elemento. Características:
a) El acero de preesfuerzo se coloca en conductos y se tensa una vez que el hormigón ha fraguado.
b) Los elementos se pueden construir como unidades prefabricadas ya sea en patio colado, en la obra, o bien, pueden ser colocados en obra.
c) El acero se ancla en un extremo y se tensa por medio de un gato en el otro extremo. Al hormigón se le aplica previamente una fuerza de compresión por medio de anclajes en los extremos de la viga.
d) Inicialmente el acero no está adherido, pero se puede inyectar una lechada en los conductos después del postensado, de manera que el acero quede entonces adherido, para así mejorar el comportamiento de la deflexión y de la resistencia última.
e) Con frecuencia, al acero se la da una forma de curva parabólica.
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
20
2.1.3 ETAPAS DE TRABAJO DE UNA VIGA PRETENSADA
ETAPA I (ETAPA ELÁSTICA)
Corresponde al comportamiento elástico, a incrementos iguales de P hay incrementos proporcionales de Δ. Se cumple la ley de Hooke de proporcionalidad de esfuerzos con las deformaciones. Mientras que la carga sea menor que la que produce las fisuras (grietas), se puede considerar que la teoría elástica es válida. Esto permite usar las fórmulas de la Resistencia de Materiales.
W
M
A
P (1.1)
y
IW (1.2)
6
2bhW (1.3)
En pretensado el convenio de signo es (-) para la tracción y (+) para la compresión.
ETAPA II (ETAPA DE AGOTAMIENTO)
Cuando la carga es mayor que PFIS no hay comportamiento elástico (no hay proporción directa entre P y Δ (ζ y ε)). El material trabaja en estado elástico plástico o mejor aun dentro del estado de agotamiento. No se pueden usar las fórmulas de la Resistencia de Materiales, hay que usar la teoría del hormigón armado. El principio fundamental del diseño de elementos pretensados es que bajo cargas de servicio la viga se encuentra en ETAPA I. además, debe verificarse que exista una seguridad adecuada al agotamiento por lo cual se debe comprobar que la carga de agotamiento del elemento sea mayor que las cargas actuantes (cargas mayoradas).
2.1.4 ESTADOS DE ESFUERZOS
Estados de Esfuerzos en Etapa I
Figura 1.3 Diagrama de Estados de Esfuerzos en Etapa I.
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Expresión de Navier:
W
M
Ac
P (1.1)
Donde: P = Fuerza de pretensado. AC = área de la sección de hormigón. MP = momento del pretensado =P*e e= excentricidad de la fuerza de pretensado. W1= Módulo de resistencia correspondiente a la fibra extrema superior de la sección de hormigón. W2= Módulo de resistencia correspondiente a la fibra extrema inferior de la sección de hormigón.
1
0W
Pe
A
P
c
(1.4)
2
'
0W
Pe
A
P
c
(1.5)
1W
SS (1.6)
2
'
W
SS (1.7)
Note que se considera (-) la tracción y (+) la compresión. Hay libros y códigos que lo consideran al revés, el Nilson por ejemplo.
11
0WW
e S
C
Sn (1.8)
22
''
0
'
WW
e S
C
Sn (1.9)
0'
n Pretensado Total (Clase I)
0n Pretensado Parcial (Clase II)
Esto es de forma más general, luego lo veremos más detallado. M = M1 + M2 MT = MPP + MD + ML M1 = Momento de carga externa En el momento del tesado Donde: MPP = Momento de peso propio Estado I -> inicial o en vacío MD = Momento de carga muerta M2 = Momento de carga externa ML = Momento de carga viva después del tesado. Estado II -> en carga
Capítulo II: Manual Básico
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22
Otra forma de análisis consiste en hacer uso de los conceptos de: Centro de Presión y núcleo de la sección. Centro de Presión: es el punto de la sección donde estaría aplicada la fuerza resultante para que se genere un estado de esfuerzo dado.
Figura 1.4 Diagrama de Estados de Esfuerzos en Etapa II para pretensado
excéntrico. Núcleo de la sección: zona dentro de la cual debe quedar la fuerza resultante para lograr un estado de esfuerzo que cumple ciertos límites impuestos. - Cuando actúa solo el pretensado (estado virtual) la resultante de los esfuerzos será P pero lo más importante es que el centro de presión coincida con la posición del cable, con una excentricidad e. - Al actuar la carga se produce el momento M, la resultante de los esfuerzos también será P, pero trasladada una magnitud M / P hacia arriba cuando M es positivo. El centro de presión será en (M = P*en). - Si se considera un estado de esfuerzo en que ζ‟n = 0 esto quiere decir que el centro de presiones coincide con el borde superior del núcleo central (zona dentro de la cual debe quedar la fuerza resultante para que no haya tensiones en la sección).
ceP
M
Siendo:
CC
C
A
W
Ac
I
c
AI
c
rc 2
222
2 /
022
'
W
M
W
Pe
A
P
C
n → 22 W
M
W
Pe
A
P
C
22
1*
W
M
W
e
AP
C
→ P
M
W
e
AW
C 2
2
1
2
2
1
W
e
AWce
C
→ 2
22
W
eW
A
Wce
C
Capítulo II: Manual Básico
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23
eeA
Wc
C
2
CA
Wc 2 (1.10)
En caso de pretensado céntrico:
Figura 1.5 Diagrama de Estados de Esfuerzos en Etapa I para pretensado céntrico.
1
0WC
Sn
2
''
0
'
WC
Sn
Sí 0'n
2
0WC
→ 2W
M
A
P
C
cA
W
P
M
C
2
c
MP (1.11)
En cable excéntrico:
ce
MP (1.12)
Por lo tanto, P debe ser mayor en cable céntrico que excéntrico, se aprovecha menos el efecto de pretensado. Negrín (2007).
Capítulo II: Manual Básico
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24
Estado de Esfuerzo en Etapa II Existe la posibilidad de que las cargas sean superiores a las de servicio o que el material tenga calidades inferiores a las especificadas, por esta razón el proyectista debe revisar el elemento en la etapa de agotamiento. Para esta etapa II la sección se analiza en la rotura con la solicitación mayorada. En esta etapa se supone que el hormigón en la zona de tensión esta fisurado y no aporta nada, tal como se hace en hormigón armado, Palacios (2004). El estado deformacional de la sección, considerando la hipótesis de las secciones planas, alcanza en la fibra superior una deformación de acortamiento ε‟c en el hormigón y una deformación de alargamiento εps = εpo + εp2 en el acero pretensado. La deformación debida al pretensado previo (εpo) y la deformación εp2 es la correspondiente al alargamiento que sufre el acero pretensado cuando la sección de hormigón se deforma y arrastra consigo el acero.
Figura 1.6 Diagrama de Estado de Esfuerzos en Etapa II.
pspp AN * (1.13)
pspp E* (1.14)
Haciendo sumatoria de fuerzas en “x” y sustituyendo en sumatoria de momentos obtenemos:
'
0
cp NN
Fx
zNzNM
M
cp **
0
'
Tal y como se hace en hormigón armado; este chequeo en etapa II consiste en comprobar que: M* (momento mayorado de las cargas) ≤ Mn (que soporta la sección)
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25
2.1.5 ESTADOS DE CARGAS
En el hormigón pretensado podemos diferenciar los siguientes estados de carga: En etapa I (cargas de servicio) SIN MAYORAR: a.- Estado de pretensado solo (estado 0) b.- Estado inicial o en vacío (estado 1) c.- Estado en carga (estado 2) En etapa II cargas máximas y mínimas (Mayoradas o minoradas): d.- Estado de agotamiento bajo cargas máximas. e.- Estado de agotamiento bajo cargas mínimas. Estado 0 Ocurre en casos muy especiales como vigas prefabricadas con pretensado centradas y fundición horizontal. Por lo demás es solo un estado “virtual” puesto que la viga entra en carga bajo la acción del peso propio al mismo tiempo que el tesado. Estado 1 (Inicial o en vacío) Corresponde a la superposición de los estados de esfuerzo debidos al pretensado y a las cargas actuantes en el momento del tesado. Las cargas actuantes son generalmente debidas al peso propio del elemento, sin embargo pueden incluir cargas permanentes (cargas muertas) de acuerdo con el proceso de ejecución. En este estado la fuerza de pretensado es desfavorable porque puede producir la rotura del elemento por la cara superior, si es excesiva, por tanto la carga de peso propio ayuda a contrarrestar este efecto. En esta situación se presentan esfuerzos de compresión en la cara inferior y tracción en la superior. Estado 2 (en carga) Corresponde al momento en que la viga esta sometida a la carga total de servicio. Se obtiene de la superposición de los estados I y los esfuerzos debidos a la carga de servicio. En este estado, la carga total de servicio, es desfavorable porque puede producir la rotura del elemento por la cara inferior, si es excesiva, por tanto la fuerza de pretensado ayuda a contrarrestar este efecto. En esta situación se presentan esfuerzos de compresión en la cara superior y tracción en la inferior. Estado de Agotamiento bajo Carga Máxima Corresponde al estado en que actúan las mayores cargas previsibles cuando además el hormigón y el acero tienen las peores calidades esperadas. Es un estado cuya probabilidad de ocurrencia es pequeña, aunque posible. Se produce la rotura en la cara inferior. Estado de Agotamiento bajo Carga Mínima Corresponde al estado en que actúan las cargas mínimas previsibles cuando el hormigón tiene la peor calidad esperada mientras que el pretensado tiene su valor máximo de fuerza. Se produce la rotura en la cara superior.
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26
En los dos estados de la etapa II la fuerza de pretensado tiene variaciones notables que han de ser tenidas en cuenta, es decir, no puede considerarse constante. Negrín (2007).
2.1.6 VARIACIÓN DE LA FUERZA DE PRETENSADO
La magnitud de la fuerza de pretensado en un miembro de hormigón no es constante, sino que toma diferentes valores durante la vida del miembro. Algunos de los cambios son instantáneos o casi instantáneos, otros dependen del tiempo, y otros mas suceden en función de la carga superpuesta. Deben considerarse todos estos cambios en el diseño. En particular el desentendimiento de las pérdidas dependientes del tiempo explica el fracaso de todos los primeros intentos de pretensar el hormigón. Con excepción de las condiciones que prevalecen bajo sobrecarga severa, la mayor fuerza que actúa ocurre durante la operación de los gatos. La fuerza aplicada por los gatos se citara en lo que sigue como PJ. Para un miembro postensado, esta fuerza se aplica como una reacción directamente sobre el miembro de hormigón, mientras que con el pretensado, la fuerza del gato reacciona contra anclajes externos y no actúa sobre el hormigón en absoluto. - Pérdidas iniciales (instantáneas) => * Deslizamiento de anclaje * Rozamiento * Estiramiento no simultáneo de los cables * Estiramiento elástico del hormigón - Pérdidas Diferidas en el tiempo => * Retracción del hormigón * Fluencia del hormigón * Relajamiento del acero En el momento de transferencia de la fuerza de pretensado del gato a los accesorios de anclaje que sujetan el tendón, hay una reducción inmediata en la fuerza. Inevitablemente existe un deslizamiento pequeño al sentarse las cuñas o grilletes en el tendón de acero, y el acortamiento resultante del tendón se caracteriza por una pérdida de esfuerzo y deformación por tensión. Este es siempre un factor a considerar en las vigas postensadas. En el pretensado ocurre también una pérdida correspondiente por deslizamiento, ya que se emplean grilletes temporales normalmente en el apoyo de aplicación del gato para sostener el torón mientras se vacía el hormigón. Sin embargo, en las vigas pretensadas por el método de la línea larga, la pérdida por deslizamiento puede ser insignificante por la gran longitud del tendón sobre la que se distribuye el deslizamiento. Hay una perdida instantánea de esfuerzo por el acortamiento elástico del hormigón, al pasar a este la fuerza de pretensado. Esto ocurre siempre en el pretensado, pero ocurre en el postensado solamente si hay dos o más tendones, y si estos se tensan en secuencia. Otra fuente de pérdida inmediata de fuerza de pretensado, que ocurre solo en los miembros postensados, es la fricción entre el acero y el conducto por el que pasa este, al ser estirado el tendón. La fuerza de tracción que obra en el gato, siempre será mayor que la que obra en el extremo lejano, en el que esta anclado el tendón. Esta pérdida puede minimizarse sobreestirando ligeramente el acero en caso necesario, y reduciendo luego la fuerza aplicada por el gato al valor deseado. En algunos casos,
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27
se aplica la acción de gato a los tendones desde ambos extremos con el objeto de minimizar las pérdidas por fricción, particularmente cuando el perfil del tendón tiene varias inversiones de curvatura. Como consecuencia de todas las pérdidas instantáneas, incluyendo las debidas al deslizamiento en el anclaje, el acortamiento elástico y la fricción, la fuerza aplicada por al gato, PJ, se reduce a un valor menor, Pi, que se define como la fuerza inicial de pretensado. Con el paso del tiempo, se reduce aun más el esfuerzo en el acero. Los cambios que ocasionan esta reducción ocurren más bien con rapidez al principio, pero el régimen de cambio del esfuerzo pronto decrece. Se aproxima a un nivel de esfuerzo casi constante, pero solo después de muchos meses, o hasta varios años. Las causas principales de la pérdida dependiente del tiempo son la contracción del hormigón y el escurrimiento plástico del mismo bajo el esfuerzo sostenido de compresión. Ambas producen acortamiento del miembro, el cual se traduce a su vez en una reducción del esfuerzo y deformación del acero. Adicionalmente, el acero experimenta un relajamiento gradual de esfuerzo al mantenerse bajo una deformación casi constante. El resultado de todos los efectos dependientes del tiempo, incluyendo la contracción del hormigón y su escurrimiento plástico, así como el relajamiento del acero, es que la fuerza inicial de preesfuerzo se reduce gradualmente a lo que se conoce como la fuerza efectiva de pretensado, Pe. Según Lin (1984) la suma de todas las pérdidas, inmediatas y dependientes del
tiempo, puede ser del orden del 20 al 35% de la fuerza original aplicada por el gato. Todas las pérdidas tienen que tomarse en consideración en el diseño del hormigón pretensado. La carga de una viga pretensada produce generalmente un incremento del esfuerzo que obra en el tendón. Mientras el miembro permanezca sin agrietarse, el incremento es tan pequeño que generalmente se deprecia en el diseño. Sin embargo, el agrietamiento del hormigón se caracteriza por un incremento instantáneo del esfuerzo que obra en el acero, a medida que la fuerza de tensión soportada anteriormente por el hormigón es transferida al acero. Si aumenta aun más la carga, el miembro se comporta prácticamente como si fuera de hormigón armado ordinario, y el esfuerzo en el acero aumenta toscamente en proporción a la carga hasta que se alcanza el intervalo no lineal del material, seguido por la falla eventual del miembro. El acero puede alcanzar su resistencia máxima a la tensión al fallar el miembro, aunque no siempre es este el caso.
2.1.7 COMPARACIÓN ENTRE EL HORMIGÓN ARMADO Y EL PRETENSADO
El hormigón pretensado se compone, al igual que el armado, de dos materiales: hormigón y acero (en el caso de la precomprensión se efectúa con armaduras tesadas). El primero trabaja a compresión y el otro a tracción. La analogía en el régimen normal de utilización termina ahí. En el hormigón armado el acero es parte integrante de la sección que toma las tensiones al fisurar el hormigón en su régimen normal. La fisuracion es permanente, incluso si desaparecen las cargas. Es necesario, además, limitar el esfuerzo de trabajo del acero para controlar el ancho de grieta. En el hormigón pretensado, el acero, en su régimen de servicio, no es una armadura sino una fuerza que precomprime el hormigón. Si se crea esta fuerza por cualquier otro medio (gatos planos, cemento expansivo, etc.) el resultado es el mismo que si se
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usan cables para ello. La viga se comporta elásticamente, como un material homogéneo, bajo las cargas de utilización, y se utiliza, pues, toda la sección. Por la tanto, no hay necesidad de limitar el esfuerzo del acero ni la del hormigón; tiene sentido, desde el punto de vista económico, el aumento de la calidad del
hormigón. [7]
2.1.8 EJEMPLO ILUSTRATIVO
Para visualizar todos los conceptos anteriores hagamos un diseño sencillo de una viga de sección rectangular, ejemplo muy ilustrativo que aparece en Poggio, Valdés y Vázquez (1983) y Negrín (2007):
Datos - Viga simplemente apoyada - Luz = 9.00m - Pretensado céntrico y excéntrico. - Soportará una carga de 1.48 T/m - Esfuerzos permisibles para cualquier estado de carga entre 0 y 120 Kg/cm2 ó 1200 T/m2 - Suponer que puede o no actuar el peso propio. - b = 0.30m Incógnitas: h, P y e.
1) Pretensado céntrico. a) Peso propio nulo.
- Determinación del peralte h: Como se desprecia el peso propio tenemos; en etapa de vacío.
bh
P
A
P
C
'
1
'
010
En etapa de carga:
SS
SW
M
6
2bhW
Figura 1.7 Diagrama de Estado de Esfuerzos en Etapa II con pretensado céntrico.
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29
- Para que ζ‟n = 0, ζ‟o debe ser igual en valor absoluto a ζ‟s ζo = ζ‟o e igual a cualquier valor en la sección, en el centroide el valor de G que hace Ms =0, luego ζo = ζ‟o debe ser igual al valor medio del esfuerzo final que es dato => ζo = ζ‟o = 1200/2 = 600 T/m2 .
Sn 0
2
1
/1200 mTW
M
bh
P Sn
02
''
0
'
W
M
bh
P SSn
mTmqlM S .985.14)9(*48.1*8/18/1 22
2
0 /600 mTW
M SS
3025.0600
985.14
600m
MW S
mh
hm
bhW
707.0
6
*3.0025.0
62
3
2
Fuerza de Pretensado:
bh
P0
TmmmTbhP 3.127707.0*3.0*/600* 2
0
Excentricidad e = 0
b) Considerando el peso propio. Suponiendo una sección de 0.845m * 0.3m:
mTmTmmqPP /63375.0/5.2*845.0*3.0 3
mTmqlM PP .417.6)9(*63375.0*8/18/1 22
Capítulo II: Manual Básico
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30
mTMMM SPPT .402.21417.6985.14
2
0 /600 mTS
W
MTS
3
20357.0
/600
402.21m
mT
MW
S
mh
hm
bhW
845.0
6
*3.00357.0
62
3
2
Fuerza de Pretensado:
bh
P0
TmmmTbhP 1.152845.0*3.0*/600* 2
0
Excentricidad e = 0
2) Pretensado Excéntrico. a) Peso Propio nulo.
Para que no haya tensiones el cable resultante debe estar en el borde inferior del núcleo límite.
CA
WCC 2' =
CA
W2 = 6
6/1 2 h
bh
bh
Figura 1.8 Diagrama de Estado de Esfuerzos en Etapa II con pretensado excéntrico.
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31
Para lograr los límites compuestos:
2/1200 mTS y 2' /1200 mTS
2/1200 mTW
M SS
30125.01200
985.14
1200m
MW S
mh
hm
bhW
50.0
6
*3.00125.0
62
3
2
mmhe 8333.06/5.06/
2
2
2
'
0
/1200125
0833.0
15.0
/1200
mTPP
mTW
Pe
A
P
C
TP
mTPP
90
/120067.667.6 2
b) Considerando el Peso Propio.
Al igual que el caso anterior hay que suponer un h para calcular el peso propio. Supongamos h = 57cm:
mTmTmmqPP /4275.0/5.2*57.0*3.0 3
mTmqlM PP .328.4)9(*4275.0*8/18/1 22
mTMMM SPPT .313.19328.4985.14
2/1200 mTW
MTS
Capítulo II: Manual Básico
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32
30161.01200
313.19
1200m
MW T
mh
hm
bhW
567.0
6
*3.00161.0
62
3
2
mmhe 0945.06/567.06/
TmmmTbhP 1.102567.0*3.0*/600* 2
0
2. Considerar ahora el caso de sección 0,5m * 0,3m y la fuerza de pretensado de 90T ¿Qué excentricidad debe tener para que se cumplan los estados de esfuerzo en cada una de las etapas?
mTmTmmqPP /3750.0/5.2*5.0*3.0 3
mTmqlM PP .8.3)9(*3750.0*8/18/1 22
mTM S .985.14
322
2 0125.06
)5.0(*3.0
6m
bhW
2/12000125,0
985,14mTS
2/3040125,0
8,3mTPP
Figura 1.9 Diagrama de Estado de Esfuerzos en Etapa II con pretensado excéntrico.
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33
2
2'
0
/1504*7200600
/15040125,0
90
15,0
90
mTe
mTe
me 1255,07200
6001504
Se puede concluir que con la excentricidad calculada de 0.1255m se cumplen los estados de esfuerzo en cada una de las etapas según se muestra en la figura 1.9.
Capítulo II: Manual Básico
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34
MÉTODOS Y EQUIPOS DE
HORMIGÓN PRETENSADO
2.2.1 INTRODUCCIÓN En el tema anterior se ha clasificado al hormigón pretensado atendiendo el proceso de fabricación y tesado de los elementos en postensados y pretensados. Cada uno de los sistemas requiere de equipos y dispositivos especiales para tesar los cables en posición, etc. En este tema se darán a conocer aquellos dispositivos de uso generalizado en Cuba así como otros cuyas particularidades sean de interés técnico o constructivo. Referenciando directamente de Poggio, Valdés y Vázquez (1983).
2.2.2 POSTESADO O POSTENSADO Hormigón Postensado El hormigón postensado consiste en hormigonar el elemento en un cofre de madera o metálico dejando los conductos por donde se insertaran los cables de acero de alto límite elástico. Una vez que el hormigón ha adquirido 2/3 de la resistencia a los 28 días o más, la armadura es tesada mediante los llamados “gatos” hasta alcanzar el alargamiento correspondiente a la fuerza de pretensado necesario. El siguiente paso es anclar los cables mediante los dispositivos de anclaje de modo que se asegure la transmisión de la fuerza de pretensado al elemento con carácter permanente. Por último, para proteger el acero del ambiente y asegurar la adherencia en toda la longitud del cable, se rellena el espacio que queda en el interior del conducto con una inyección de mortero la cual se efectúa con el equipo de inyección. Cuando se hace el pretensado por postesado, generalmente se colocan en los moldes o formas de la viga conductos huecos que contienen a los tendones no esforzados, y que siguen el perfil deseado, antes de vaciar el hormigón, como se ilustra en la figura 2.1a. Los tendones pueden ser alambres paralelos atados en haces, cables torcidos en torones, o varillas de acero de Alto Límite Elástico (ALE). Además de la armadura de refuerzo se necesitan dispositivos de anclaje, los gatos con su correspondiente bomba que suministra la presión y el equipo que inyecta el mortero en el interior de los conductos.
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
35
(a)
(b)
(c)
Figura 2.1 Métodos de postensado. a) Viga con conducto hueco embebido en el
hormigón. b) Viga celular hueca con diafragmas intermedios. c) Losa continua con tendones envueltos, revestidos con asfalto.
2.2.2.1 CONDUCTOS El conducto o vaina debe ser replanteado en la pieza, correspondiendo al trazado que el proyectista ha obtenido del diseño. En una viga existirán varios conductos de modo que el acero pretensado en su conjunto tenga como resultado una fuerza de pretensado igual a la requerida en el diseño. En Guyón (1965) se recomienda que el número de cables este comprendido, entre el mínimo de 5 y un máximo de 30 cables, preferiblemente no más de 24.
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36
El conducto consiste en un tubo metálico o plástico con cierta flexibilidad longitudinal que permita conformar los trazados de los cables, con gran rigidez transversal para que no se apaste por el peso del hormigón, el vibrado, etc., y que sea estanco para evitar su destrucción. Otra forma de lograr el conducto es mediante mangueras inflables que dejan en al masa de hormigón el espacio para colocar el cable. La elección del diámetro del conducto puede estar indicada por el fabricante, sin embargo una regla muy sencilla permite escoger el diámetro de este. La regla en cuestión establece que el área interior del conducto debe ser 2 ó más veces el área de la sección transversal del acero del cable pretensado y que el diámetro interior sea 7mm mayor que el diámetro del cable para facilitar la inyección de mortero. El conducto metálico consiste en una cinta de acero que es doblada en espiral alrededor del eje longitudinal. Una vez colocada queda embebida dentro de la masa de hormigón permanentemente. El conducto plástico es utilizado en Cuba. Consiste en un tubo propiamente dicho de espesor constante. La manguera inflable consiste en un tubo de goma que se coloca en el elemento antes de hormigonado. Mediante una bomba de aire se infla de modo que su diámetro aumenta hasta su valor deseado, según las especificaciones del fabricante. Se procede al hormigonado del elemento, cuando endurece el hormigón se procede a desinflar la manguera reduciendo su diámetro y extrayéndola del interior del elemento. Queda conformado un conducto en el que la pared es el propio hormigón de la pieza. La manguera puede ser utilizada repetidas veces aunque tiene el inconveniente de que en ocasiones se ponchan. Es importante señalar que cada tipo de conducto presenta diferente coeficiente de fricción entre el cable y el conducto (acero, plástico u hormigón).
2.2.2.2 DISPOSITIVOS DE ANCLAJE
En los elementos postesados, el gato se apoya en el propio elemento para aplicar la fuerza al acero pretensado. Cuando se alcanza la fuerza requerida, es necesario que los cables queden anclados a la pieza para retirar el gato y así asegurar la acción permanente del pretensado. Existen gran variedad de dispositivos de anclaje para elementos postesados los cuales se basan en principios similares. Estos principios son:
a) Efecto de cuña. b) Mediante roscas. c) Otros.
Entre los anclajes de cuña tenemos el anclaje Freyssinet de hormigón que ha sido y es muy utilizado en Cuba. Consiste en un cono hembra y un cono macho. El cono hembra queda embebido en la masa de hormigón en el extremo del conducto. Una vez tasados los alambres, se introduce el cono macho con cierta presión de modo que las ranuras coincidan con los alambres. Al soltar los dispositivos de agarre de los alambres que poseen los gatos, la fricción entre los conos y el alambre es de tal magnitud que impide que el cable recupere su longitud inicial. Se consigue pues anclar el cable en los extremos mediante la fricción que se ejerce por el efecto de cuña entre el cono macho y el cono hembra y los alambres.
Capítulo II: Manual Básico
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37
En la figura 2.2 se muestran los anclajes de hormigón tipo Freyssinet así como algunos detalles de su colocación en los extremos de la pieza. Es de notar que el cono macho presenta un orificio central por el cual se inyectará el mortero. Las dimensiones señaladas en la figura son mínimas y se recomienda para los conos de fabricación nacional aumentarla en 1 ó 2 cm.
Figura 2.2 Conos Freyssinet. El anclaje metálico Freyssinet tiene el mismo principio de cuña que el de hormigón. Se utiliza para cables de mayor fuerza con tensores. En la figura 2.3 se muestra este tipo de anclaje.
Figura 2.3 Anclaje metálico Freyssinet.
Otros tipos de anclaje de cuña es el C.C.L. en este caso el anclaje es individual por torón o alambre, sobre una plancha de modo que una vez tesado trabaja todo el conjunto. En la figura 2.4 se muestra este tipo de anclaje.
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Figura 2.4 Anclaje C.C.L. En el caso de pretensado para anclar cada alambre el banco de tesado se utilizan anclajes de cuña individuales que resultan reemplazables no así en hormigón postesado que los anclajes quedan embebidos en la masa de hormigón. El otro tipo de anclaje se basa en el uso de la rosca y tuerca. En el extremo del cable se le hace una rosca, este es estirado hasta que su deformación alcance el valor deseado, se pone una tuerca que aprisione la plancha u otro apoyo. La gran ventaja de este sistema es que el cable puede ser elaborado con la longitud exacta. Figura 2.5.
Figura 2.5 Anclaje de rosca.
Los tipos de anclajes por cuña o rosca son los más usuales. Existen diversos diseños patentados por los fabricantes aunque su principio es el mismo. Entre otros sistemas se encuentra el de anclaje por el propio cable mediante la adherencia, el anclaje con bolas en los extremos del alambre, mediante piezas de hormigón que se introducen en el espacio que abren los gatos, etc. En la figura 2.6 se esquematiza algunos de los tipos señalados.
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Figura 2.6 Anclajes diversos.
2.2.2.3 APARATOS DE TESAR. GATOS
Entre los aparatos de tesar, el más común es el llamado gato. El gato es accionado por pistones mediante la presión de un fluido, generalmente aceite, inyectado a presión por las mismas bombas. El gato Freyssinet es uno de los más usuales en Cuba. En la figura 2.7 se muestra el funcionamiento de este gato en el proceso de tesado.
Figura 2.7 Gato Freyssinet. Los demás gatos tienen principios similares. El gato Freyssinet y otros, tesan los alambres de un cable simultáneamente; existen otros que estiran varios individualmente y otros que estiran un solo alambre o torón. Este es el caso del gato C.C.L. Existen otros sistemas tales como gatos planos, etc., que pueden encontrarse en la literatura especializada. Las bombas son equipos compresores que producen la presión en el aceite para ocasionar los pistones de los gatos. Este equipo accesorio no es de interés para los fines que se persigue en el manual.
CONO DE
ANCLAJE
PISTÓN
INTERIOR
ALAMBRE
PISTÓN
PRINCIPAL
PRESIÓN
PRESIÓN
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2.2.2.4 EQUIPOS DE INYECCIÓN
El equipo de inyección es en esencia una mezcladora para elaborar el mortero de inyección y un equipo compresor que inyecta a presión el mortero en los conductos o vainas. También es un equipo accesorio con características especiales.
2.2.3 PRETESADO O PRETENSADO
Hormigón Pretensado: La mayor parte de las construcciones que se hacen en EEUU es de hormigón pretensado. Los tendones, que generalmente son de cable torcido con varios torones de varios alambres cada uno, se estiran o tensan entre apoyos que forman parte permanente de las instalaciones de la planta. Se mide el alargamiento de los tendones, así como la fuerza de tensión aplicada con los gatos. Con la cimbra en su lugar, se vacía el hormigón en torno al tendón esforzado. A menudo se usa hormigón de alta resistencia a corto tiempo, a la vez que curado con vapor de agua, para acelerar el endurecimiento del hormigón. Después de haberse logrado suficiente resistencia, se alivia la presión de los gatos. Los torones tienden a acortarse, pero no lo hacen por estar ligados por adherencia al hormigón. En esta forma, la fuerza de preesfuerzo es transferida al hormigón por adherencia, en su mayor parte cerca de los extremos de la viga, y no se necesita de ningún anclaje especial. La figura 2.2 muestra el marco de aplicación de los gatos en el extremo de un lecho de vaciado en uso para el pretensado de muchos cables de acero, simultáneamente.
Figura 2.2 Gatos en el extremo de un lecho de vaciado en uso para el Hormigón
Pretensado.
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Figura 2.3 Tazado poligonal en pretensado.
2.2.4 OTROS SISTEMAS
El pretensado puede lograrse por otros sistemas además de los indicados anteriormente, entre ellos se tienen:
a) Tesado por desplazamientos transversal de los cables. b) Por calentamiento. c) Por medio del cemento expansivo. d) Devanado bajo tensión (tanques). e) Por procedimiento elástico, etc.
En Cuba no se han utilizado los métodos señalados más arriba, requieren equipamientos especiales o materiales no usuales en la práctica común. Pueden encontrarse descripciones en textos especializados.
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MATERIALES
2.3.1 INTRODUCCIÓN
Desde el desarrollo del hormigón como un material con fines estructurales se vio la necesidad de combinarlo con otro material que tomara las fuerzas de tensión desarrolladas por las cargas y que el hormigón mismo no era capaz de resistir. Tradicionalmente se ha usado el acero como ese otro material, que junto con el hormigón forman elementos estructurales capaces de resistir tanto fuerzas de compresión (por medio del hormigón) como de tracción (por medio del acero), permitiendo así la formación de un par resistente, cuando éste se requiere, para soportar las cargas. En el caso del hormigón pretensado, como ya se vio en el tema anterior, el acero se usa en una forma diferente que en el hormigón reforzado aunque el fin es el mismo. En el hormigón reforzado el acero toma directamente las fuerzas de tracción, mientras que en el pretensado el acero se usa para precomprimir el hormigón y que éste se comporte (al descomprimirse) como si resistiera tracción. Obviamente, no se trata de sustituir el hormigón reforzado con el pretensado, sino de que éste venga a ser la solución cuando el otro no resulta económico o es estructuralmente imposible su solución. En resumen, pues, dos son los componentes básicos del hormigón pretensado: El hormigón y el acero. Solo que tanto el hormigón como el acero tendrán ciertas características propias que lo distinguirán del hormigón y el acero usados en el hormigón reforzado y que analizaremos en este tema.
2.3.2 HORMIGÓN
2.3.2.1 CALIDADES REQUERIDAS
En el hormigón pretensado es conveniente usar calidades de hormigón superiores a las normalmente empleadas para el hormigón armado. Las razones fundamentales para el uso, de estas altas resistencias son entre otros, que se puede aprovechar al máximo la capacidad de compresión del hormigón, con lo cual se reduce la sección del elemento y por tanto su peso propio. Además el
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hormigón de alta resistencia tiene menores deformaciones de retracción y de fluencia por lo cual las pérdidas de pretensado resultan menores. En el pretensado los esfuerzos a que se somete el hormigón durante el tesado resultan una prueba de resistencia, ya que en esa etapa constructiva los esfuerzos que ha de soportar, alcanzar valores que no ocurrirán durante la etapa de utilización normal. Es para ello que se debe garantizar una buena calidad en la elaboración del hormigón. En la práctica actual, se especifican resistencia a la compresión a los 28 días entre 4000 y 6000 lb/pulg2 (28-41 MPa, 280-410 kg/cm2) para miembros de hormigón pretensado, aunque se han llegado a emplear resistencias de 10000 lb/pulg2 (69 MPa, 690 kg/cm2). Poggio, Valdés y Vázquez (1983).
2.3.2.2 CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DEL HORMIGÓN
a) - Resistencia a la compresión. Depende de varios factores: - Calidad de los materiales y relación agua-cemento. - Condiciones de fabricación y conservación (curado, etc.). - Estado de tensiones (axial, bioxial, triaxial). - Velocidad, duración y repetición de las cargas. - Condiciones climáticas. Otros factores: - Tipo de probeta. - Excentricidad de la carga. - Velocidad y tiempo de aplicación del ensayo. - Edad del hormigón. b)- Variación de la resistencia a compresión con la edad del hormigón. El proceso de fabricación de los elementos pretensados y en especial de los que se requiere que sean tesados a la más temprana edad. Es por ello que debe conocerse la variación de la resistencia con la edad del hormigón para establecer a que edad puede tesarse el elemento sin que produzca efectos desfavorables. c)- Resistencia a la tracción. La resistencia a la tracción pura se deduce de ensayos a los 28 días de edad sobre probetas cilíndricas de 15*30cm sometidas a hendimiento por aplicación de fuerzas según dos generatrices diametralmente opuestas (método brasileño). Aunque la resistencia a tracción pudiera determinarse mediante una expresión, puede admitirse que está ligada a la resistencia a compresión, es decir, aproximadamente un 10% de esta última. d)- Porosidad. Lograr hormigones poco porosos garantizan que los elementos pretensados sean empleados en múltiples funciones sin dificultad de ser afectados por ambientes agresivos, como son; los iones cloruro, aerosol marino, etc. y así evitar la corrosión del acero de preesfuerzo.
2.3.2.3 DIAGRAMAS DE COMPORTAMIENTO σ – ε DEL HORMIGÓN En los ensayos realizados sobre probetas de hormigón sometidos a cargas instantáneas o de corta duración y en los cuales la carga aplicada es centrada con un
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incremento constante de la tensión, el diagrama de tensiones-deformaciones presenta la forma mostrada por la figura 3.1.
Figura 3.1 Diagramas ζ – ε bajo carga rápidamente variable. El diagrama ζ-ε presenta una primera zona casi recta (aproximándose hasta 0.4*f´c) que puede admitirse como de comportamiento elástico con resultados suficientemente aproximados hasta 0.6*f´c. Después se inclina rápidamente hasta alcanzar el valor de rotura f´c que ocurre aproximadamente para un mismo valor de deformación 0.2% para todas las calidades de hormigón. En presencia de cargas instantáneas o rápidamente variables el módulo de deformación en el origen, Ecj, a los j días de edad puede evaluarse según la expresión:
'*12000 cjcj fE [kg/cm²] (3.1)
Válido en la medida que las tensiones no sobrepasan el 10% de f´cj y
'*19000 cjcj fE [kg/cm²] para tensiones de servicio del 30 al 50% de f´c. Poggio,
Valdés y Vázquez (1983). En el comportamiento real de los elementos no siempre la distribución de tensiones resulta uniforme. Las investigaciones han mostrado que los ensayos realizados con carga excéntrica sobre probetas con una distribución de tensiones no uniforme difieren de los diagramas hallados con carga centrada. El diagrama de tensiones tienen una curvatura más fuerte, no siendo el máximo en el borde sino en una fibra interior así como que deformación máxima alcanza valores mayores que 0.2% según la forma de la sección. Un diagrama esquemático se muestra en la figura 3.2.
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Figura 3.2 Variación de tensiones con carga excéntrica. b) Ensayos bajo carga mantenida. En los ensayos en los que la carga se mantiene durante un intervalo de tiempo t constante para distintos valores de ζ se observa que la fluencia del hormigón altera el diagrama de tensiones-deformaciones como se muestra en la figura 3.3.
Figura 3.3 Efecto de la fluencia. Dependiendo del tiempo que se ha mantenido la pensión resultará un diagrama ζ-ε que se estabiliza para t=∞. En la figura 3.4 se muestra los diagramas para dos estados distintos del hormigón a la hora de la puesta en carga.
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Figura 3.4 Acortamiento del hormigón. De esto diagramas se deduce:
1. Bajo cargas mantenidas la resistencia disminuye a valores entre (0.72 ~ 0.82) f‟c para t=∞.
2. Las deformaciones en el hormigón se ven incrementadas notablemente sobre todo cuando la edad de puesta en carga es menor.
3. Estos diagramas se refieren a cargas centradas, en otras situaciones bajo cargas mantenidas no existe experimentación.
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2.3.2.4 DEFORMACIONES DIFERIDAS DEL HORMIGÓN. RETRACCIÓN Y FLUENCIA
a) Fluencia del hormigón.
La fluencia es un fenómeno que ocurre cuando al aplicar cargas mantenidas el elemento de deforma sin incrementar las cargas. La deformación por fluencia puede expresarse en una función lineal de la deformación instantánea a través de la ecuación.
ε = φ*εi (3.2)
El valor φ depende de muchos factores. En la norma se establece un método para obtener este valor e indica que de forma aproximada puede tomarse φ=2.
b) Retracción del hormigón.
La retracción del hormigón es el acortamiento que ocurre en la masa de hormigón debido al secado. Al igual que la fluencia depende de varios factores además del tiempo. La norma establece un método similar al cálculo de la fluencia. Como promedio pueden utilizarse los siguientes valores (tabla 3.1). En la norma se plantea un valor de: 2.5*10^-4. Poggio, Valdés y Vázquez (1983).
Tabla 3.1 Valores de retracción del hormigón.
Atmósfera Humedad Templada Seca Desértica
εr *10^-4 1.5 2.0 3.0 4.0
2.3.2.5 COEFICIENTE DE POISSON
El coeficiente de Poisson referente a las deformaciones elásticas para tensiones normales de utilización se toma igual a 0.17 como promedio. Para ciertos cálculos puede despreciarse el efecto de la dilatación transversal.
2.3.2.6 COEFICIENTE DE DILATACIÓN TÉRMICA
Cuando el hormigón es sometido a temperaturas entre 0° y 150°C se aceptan para el hormigón un coeficiente de dilatación térmica de 1*10^-5 en hormigones de áridos normales.
2.3.3 ACEROS
2.3.3.1 IMPORTANCIA DEL ACERO DE ALTA RESISTENCIA
La razón para el fracaso de la mayoría de los primeros intentos en hormigón pretensado fue la falla de emplear aceros con inadecuado nivel de esfuerzo– deformación. Los cambios de longitud, función del tiempo, ocasionados por la contracción y el escurrimiento plástico del hormigón, fueron de tal magnitud que
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eliminaron el preesfuerzo en el acero. La importancia de una deformación inicial elevada y como consecuencia esfuerzos iniciales elevados en el acero se puede mostrar con un simple ejemplo. En la figura 3.5 (a) se muestra un miembro corto de hormigón al cual se preesforzará axialmente usando un tendón de acero. En el estado sin preesfuerzo el hormigón tiene una longitud lc y el acero sin preesfuerzo tiene una longitud ls. Después de tensar el acero y de que se transfiera la fuerza al hormigón a través de los anclajes extremos, la longitud del hormigón se acorta hasta l‟c y la longitud del acero estirado es l‟s. Estos valores, por supuesto deben ser idénticos, tal como se indica en la figura.
Figura 3.5 Efecto de la contracción y escurrimiento plástico del hormigón en la
reducción de la fuerza de pretensado. a) Miembros de hormigón axialmente pretensados. b) Esfuerzo en el acero. Pero el hormigón sufre una deformación por contracción εsh con el paso del tiempo y adicionalmente, si se le mantiene bajo compresión sufrirá una deformación por escurrimiento plástico εcu. El cambio total en longitud del miembro vale:
ccushc ll
(a)
Y puede ser tal que exceda el estiramiento en el acero que produjo el esfuerzo inicial, esto resultaría en la pérdida total de la fuerza pretensora. La importancia de la contracción y la deformación por escurrimiento se puede minimizar utilizando deformaciones iniciales muy altas y esfuerzos iniciales en el acero altos. Esto es así debido a que la reducción en el esfuerzo del acero por estas causas depende solamente de las deformaciones unitarias en el hormigón
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relacionadas con la contracción y la deformación por escurrimiento y del modo de elasticidad del acero Es.
scushs Ef (b)
y es independiente del esfuerzo inicial en el acero. Es informativo estudiar los resultados de los cálculos para valores representativos de los diversos parámetros. Supóngase primero que el miembro se preesfuerza empleando acero ordinario de refuerzo hasta un esfuerzo inicial fsi de 30 klb/pulg2. El módulo de elasticidad Es para todos los aceros es más o menos constante y aquí se tomara como 29,000 klb/pulg2. La deformación inicial en el acero es:
31003.1000,29
30
s
si
siE
f
y el alargamiento total del acero es:
sss ll 31003.1 (c)
Pero una estimación conservadora de la suma de las deformaciones debida a la contracción y al escurrimiento plástico del hormigón es alrededor de 0.90 x 10-3 y su correspondiente cambio en longitud es:
cccush ll 31090.0 (d)
Como ls y lc son casi iguales, resulta claro al comprar (c) y (d) que los efectos combinados de la contracción y el escurrimiento plástico del hormigón equivalen casi a la total pérdida del esfuerzo en el acero. El esfuerzo efectivo remanente en el acero, después de que ocurren los efectos dependientes del tiempo sería:
fse = (1.03 – 0.90)*10-3 *29*103 = 4 kilolibras/pulg2 Alternativamente, supóngase que el preesfuerzo se aplica usando acero de alta resistencia con un esfuerzo inicial de 150 kilolibras/pulg2. En este caso, la deformación inicial sería:
εsi = 310*17.529000
150 (e)
y alargamiento total εsls = 5.17*10-3 ls (f) El cambio en la longitud debido a los efectos de la concentración y el escurrimiento plástico, serían igual que anteriormente:
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(εsh + εcu) lc = 0.90*10-3 lc y el esfuerzo efectivo en el acero fse después de ocurridas las pérdidas por contracción y escurrimiento plástico serían:
fse = (5.17 – 0.90)10-3 * 29*103 = 124 kilolibras/pulg2 En este caso la pérdida es alrededor de 17% del esfuerzo inicial en el acero, comparada con la pérdida de 87% que ocurriría al emplear acero suave.
2.3.3.2 TIPOS DE ACERO PREESFORZADO
Existen tres formas comunes en las cuales se emplea el acero como tendones en hormigón pretensado: alambres redondos estirados en frío, cable trenzado y varillas de un acero de aleación. Los alambres y los cables trenzados tienen una resistencia a la tensión de más o menos 250000 libras/pulg2 (1720 N/mm2), en tanto que la resistencia de las varillas de aleación está entre los 145000 lb/pulg2 y 160000 lb/pulg2 (1000 N/mm2 y 1100N/mm2) dependiendo el grado. Referenciado en Negrín (2007) y Palacios (2008). A. Alambres Redondos Los alambres redondos que se usan en la construcción de hormigón pretensado postensado y ocasionalmente en obras pretensadas se fabrican en forma tal de que cumplan con los requisitos de la especificación ASTM A-421, “alambres sin revestimiento, relevados de esfuerzo, para hormigón pretensado”. Los alambres individuales se fabrican laminando en caliente lingotes de acero hasta obtener varillas redondas. Después del enfriamiento, las varillas se pasan a través de troqueles para reducir su diámetro hasta el tamaño requerido. En el proceso de esta operación de estirado, se ejecuta trabajo en frío sobre el acero, lo cual modifica grandemente sus propiedades mecánicas e incrementa su resistencia. A los alambres se les libera de esfuerzo después de estirado en frío mediante un tratamiento continuo de calentamiento hasta obtener las propiedades mecánicas prescritas. Los alambres se consiguen en cuatro diámetros tal como se muestra en la tabla 3.2 y en dos tipos. El alambre de tipo BA se usa en aplicaciones para las que las deformaciones de los dos extremos del alambre en frío se usan como medio de anclaje (anclaje de botón), y el tipo WA se usa para aplicaciones en los cuales los extremos se anclan por medio de cuñas y no se encuentra involucrada ninguna deformación de extremo del alambre en frío (anclaje de cuña). En el apéndice B se muestran ejemplos de tendones con anclaje de botón, los cuales son de uso más frecuente en lo Estados Unidos. También se puede conseguir alambres de bajo relajamiento, a veces conocidos como estabilizados, mediante pedido especial. Se emplea cuando se quiere reducir al máximo la pérdida de preesfuerzo. Los tendones están compuestos normalmente por grupos de alambres, dependiendo el número de alambres por cada grupo del sistema particular usado y de la magnitud de la fuerza pretensora requerida. Los tendones para prefabricados postensados
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pueden consistir de 8 a 52 alambres individuales. Se pueden emplear tendones múltiples, cada uno de ellos compuestos de grupos de alambres para cumplir con los requisitos. Tabla 3.2 Propiedades de Alambres sin Revestimiento Relevados de Esfuerzo (ASTM A-421).
Diámetro nominal pulg.
(mm)
Mínima resistencia de Tensión1
Mínimo Esfuerzo para una Elongación
Lb/pulg2 (N/mm2) de 1% lb/pulg2 (N/mm2)
Tipo BA Tipo WA Tipo BA Tipo WA
0.192 (4.88) a 250,000 (1,725)
a 200,000 (1,380)
0.196 (4.98) 240,000 (1,655)
250,000 (1,725)
192,000 (1,325)
200,000 (1,380)
0.250 (6.35) 240,000 (1,655)
240,000 (1,655)
192,000 (1,325)
192,000 (1,325)
0.276 (7.01) a 235,000 (1,622)
a 188,000 (1,295)
a Estos tamaños no se suministran comúnmente para el alambre tipo BA.
B. Cable Trenzado El cable trenzado se usa casi siempre en miembros pretensados, y a menudo se usa en construcción postensada. El cable trenzado se fabrica de acuerdo con la especificación ASTM A-416, “Cable trenzado, Sin Revestimiento, de Siete Alambres, Relevados de Esfuerzos, Para Hormigón Pretensado”. Es fabricado con siete alambres firmemente torcidos alrededor de un séptimo de diámetro ligeramente mayor. El paso de la espiral del torcido es de 12 a 16 veces el diámetro nominal del cable. Para los cables trenzados se usa el mismo tipo de alambres relevados de esfuerzo y estirados en frío que los que se usan para los alambres individuales de preesfuerzo. Sin embargo, las propiedades mecánicas se evidencian ligeramente diferentes debido a la tendencia de los alambres torcidos a enderezarse cuando se les sujeta a tensión, debido a que el eje de los alambres no coincide con la dirección de la tensión. Al cable se le releva de esfuerzos mediante tratamiento térmico después del trenzado. Los cables de bajo relajamiento o estabilizados se pueden conseguir mediante pedido especial.
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Tabla 3.3 Propiedades del Cable de Siete Alambres sin Revestimiento (ASTM A-416).
Diámetro Nominal
pul. (mm)
Resistencia a la Ruptura Lb (kN)
Área Nominal del Cable
pulg2 (mm2)
Carga Mínima para una
Elongac. del 1% Lb (kN)
Grado 250
0.250 (6.35) 9,000 (40.0) 0.036 (23.22) 7,650 (34.0)
0.313 (7.94) 14,500 (64.5) 0.058 (37.42) 12,300 (54.7)
0.375 (9.53) 20,000 (89.0) 0.080 (51.61) 17,000 (75.6)
0.438 (11.11) 27,000 (120.1) 0.108 (69.68) 23,000 (102.3)
0.500 (12.70) 36,000 (160.1) 0.144 (92.90) 30,600 (136.2)
0.600 (15.24) 54,000 (240.2) 0.216 (139.35) 45,900 (204.2)
Grado 270
0.375 (9.53) 23,000 (102.3) 0.085 (54.84) 19,550 (87.0)
0.438 (11.11) 31,000 (137.9) 0.115 (74.19) 26,350 (117.2)
0.500 ()12.70 41,300 (183.7) 0.153 (98.71) 35,100 (156.1)
0.600 (15.24) 58,600 (260.7) 0.217 (140.00) 49,800 (221.5)
Los cables pueden obtenerse entre un rango de tamaños que va desde 0.250 pulg. Hasta 0.600 pulg. De diámetro, tal como se muestra en la tabla 3.3. Se fabrican dos grados: el grado 250 y el grado 270 los cuales tienen una resistencia última mínima de 250,000 y 270,000 lb/pulg2. (1720 y 1860 N/mm2) respectivamente, estando estas basadas en el área nominal del cable. C. Varillas de Acero de Aleación En el caso de las varillas de aleación de acero, la alta resistencia que se necesita se obtiene mediante la introducción de ciertos elementos de ligazón, principalmente manganeso, silicón y cromo durante la fabricación del acero. Adicionalmente, se efectúa trabajo en frío en las varillas al fabricar estas para incrementar aun más su resistencia. Después de estirarlas en frío, a las varillas se las releva de esfuerzos para obtener las propiedades requeridas. Las varillas se fabrican de manera que cumplan con los requisitos de la especificación ASTM A-722, “Varillas de Acero de Alta Resistencia, sin Revestimientos, para Hormigón Pretensado”. Tabla 3.4 Propiedades de las Varillas de Acero de Aleación
Diámetro Nominal pul.
(mm)
Área Nominal de la Varilla pulg2
(mm2)
Resistencia a la Ruptura lb (kN)
Mínima Carga para una
Elongación de 0.7% lb (kN)
Grado 145
1/2 (12.70) 0.196 (127) 28,000 (125) 25,000 (111)
⅝ (15.88) 0.307 (198) 45,000 (200) 40,000 (178)
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¾ (19.05) 0.442 (285) 64,000 (285) 58,000 (258)
⅞ (22.23) 0.601 (388) 87,000 (387) 78,000 (347)
1 (25.40) 0.785 (507) 114,000 (507) 102,000 (454)
1 ⅛ (28.58) 0.994 (642) 144,000 (641) 129,000 (574)
1 ¼ (31.75) 1.227 (792) 178,000 (792) 160,000 (712)
1 ⅜ (34.93) 1.485 (958) 215,000 (957) 193,000 (859)
Grado 160
1/2 (12.70) 0.196 (127) 31,000 (138) 27,000 (120)
⅝ (15.88) 0.307 (198) 49,000 (218) 43,000(191)
¾ (19.05) 0.442 (285) 71,000 (316) 62,000 (276)
⅞ (22.23) 0.601 (388) 96,000 (427) 84,000 (374)
1 (25.40) 0.785 (507) 126,000 (561) 110,000 (490)
1 ⅛ (28.58) 0.994 (642) 159,000 (708) 139,000 (619)
1 ¼ (31.75) 1.227 (792) 196,000 (872) 172,000 (765)
1 ⅜ (34.93) 1.485 (958) 238,000 (1059) 208,000 (926)
Las varillas de acero de aleación se consiguen en diámetros que varían de ½ pulg. Hasta 13/8 pulg. Tal como se muestra en la tabla 3.4 y en dos grados: el grado 145 y el grado 160, teniendo resistencias últimas mínimas de 145,000 y 160,000 lb/pulg2. (1000 y 1100 N/mm2), respectivamente. Según Palacios (2004) y Negrín (2007).
1. Acero preesforzado utilizado en Cuba.
En Cuba particularmente, se ha diseñado históricamente el Hormigón Pretensado a partir de la tecnología francesa con el uso de cables de 12 alambres de 7mm, donde cada cable con estas características presenta un área de 4.61cm², un fpy=1600MPa y un esfuerzo de tracción ζpo=0.6*fpy=960MPa. Mientras que para el diseño de Hormigón Postesado se le replantean los ductos previamente al proceso de hormigonado, por los cuales pasarán los cables, con la distribución deseada y se ha determinado la cantidad de alambres que conformarán cada uno de los cables para soportar la carga de servicio requerida. Para el futuro, las tecnologías pueden cambiar en función del mercado internacional.
2.3.3.3 REFUERZO NO PREESFORZADO
El acero de refuerzo convencional, no para el preesfuerzo, tiene varias aplicaciones importantes en la construcción de hormigón pretensado. A pesar de que el refuerzo del alma para tomar la tensión diagonal puede ser preesforzado, normalmente se toma mediante varillas de acero convencional. El refuerzo suplementario convencional se usa comúnmente en la región de altos esfuerzos locales de compresión en los anclajes de vigas postensadas. Tanto para los miembros pretensados como para los postensados es usual proveerlos de varillas de acero longitudinal para controlar las grietas de contracción y temperatura. Los patines que sobresalen de las secciones “T” e “I” se refuerzan normalmente tanto transversal como longitudinalmente con varillas convencionales, no preesforzadas. Finalmente, a menudo es conveniente incrementar la resistencia a flexión de vigas preesforzadas empleando varillas de refuerzo longitudinales suplementarias.
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Tales varillas de refuerzo no preesforzadas, las cuales son idénticas a las empleadas en la construcción de hormigón reforzado, se fabrican en forma tal de cumplir con los requisitos de las siguientes especificaciones ASTM: A-615, “Varillas de Acero de Lingotes Corrugadas y Lisas Para Hormigón Reforzado”, A-616, “Varillas de Acero de Riel Relaminado Corrugadas y Lisas para Refuerzo de Hormigón” a la A-617, “Varillas de Acero de Eje Corrugadas y Lisas Para Hormigón Reforzado”. Las varillas se pueden conseguir en diámetros nominales que van desde 3/8 pulg. Hasta 1 3/8 pulg., con incrementos de 1/8 de pulg., y también en dos tamaños más grandes de más o menos 1 ¾ y 2 ¼ pulg. de diámetro. Estas varillas se denominan por lo general mediante un número, el cual corresponde al número de octavos de pulg. del diámetro nominal de la varilla, por ejemplo, la varilla No 7 tiene un diámetro nominal de 7/8 pulg. Con la finalidad de identificar a las varillas que cumplen con los requerimientos de las especificaciones ASTM, se colocan marcas distintivas en la superficie de un lado de las varillas, para denotar: (a) el lugar de origen (designación de la planta de producción), (b) la denominación del tamaño mediante número, (c) el tipo de acero (N para aceros de lingote, un riel como símbolo para acero de riel relaminado, o A para acero de eje), y (d) en el caso de varillas del grado 60 se coloca bien sea el número 60 o una simple línea longitudinal continua a través de por lo menos 5 espacios desfasada del centro del lado de la varilla. Cuando se usan varillas de refuerzo, es importante que el acero y el hormigón se deformen juntos, esto es, que exista adherencia suficientemente resistente entre los dos materiales de tal forma que ocurra un movimiento relativo muy pequeño o nulo. Esta adherencia proviene de la relativamente grande adhesión química que se desarrollo en la superficie de contacto entre el acero y el hormigón, también de la rugosidad natural de las costras del laminado en los refuerzos laminados en caliente, y de las corrugaciones poco espaciadas en la superficie de la varilla, provistas con la finalidad de obtener un alto grado de anclaje entre los dos materiales. Se han desarrollado los requerimientos mínimos para estas corrugaciones mediante investigación experimental y se describen en las especificaciones ASTM. Los diversos fabricantes usan diferentes patrones para satisfacer estos requerimientos. Las varillas se pueden conseguir en diferentes resistencias. Los grados 40, 50 y 60 tienen resistencias mínimas especificadas para la fluencia de 40,000, 50,000 y 60,000 lb/pulg2, respectivamente (276, 345 y 414 N/mm2). La tendencia actual es hacia el uso de las varillas del grado 60. Bajo pedido especial se pueden conseguir varillas de gran diámetro con puntos de fluencia de 75,000 y 90,000 lb/pulg2. (517 y 621 N/mm2), aunque estas últimas encuentran muy poca aplicación en miembros de hormigón preesforzado. Además de las simples varillas de refuerzo, a menudo se emplean las mallas de alambre soldadas para el refuerzo de losas, patines de vigas, y otras superficies tales como cascarones. La malla consiste de alambres de acero estirados en frío, longitudinales y transversales, formando ángulos rectos y soldadas en todos sus puntos de intersección. Las mallas pueden conseguirse con espaciamientos entre alambres desde 2 hasta 12 pulg. y con diámetros de alambre desde 0.080 hasta 0.628 pulg., aunque no todas las combinaciones son de fácil obtención. El tamaño y el espaciamiento de los alambres puede ser el mismo o diferente para cada dirección, tal como se necesite. El alambre de acero y la malla de alambre deben cumplir con los requerimientos de las Especificaciones ASTM A-82, “Alambres de Acero Estirado en Frío Para Refuerzo de Hormigón”, y A-185, “Malla de Alambre de Acero Soldada Para Refuerzo de Hormigón”.
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La tabla 3.5 muestra los aceros de refuerzo, que se obtienen más comúnmente, incluyendo las mayas de alambre, con la información del esfuerzo de fluencia y de la resistencia a la tensión.
2.3.3.4 PROPIEDADES DE ESFUERZO-DEFORMACIÓN DEL ACERO
La mayoría de las propiedades mecánicas de los aceros que son de interés para los Ingenieros de diseño se pueden obtener directamente de sus curvas de esfuerzo-deformación. Tales características importantes como el límite elástico proporcional, el punto de fluencia, la resistencia, la ductilidad y las propiedades de endurecimiento por deformación son evidentes de inmediato. Resulta instructivo comparar, en términos generales, las curvas de esfuerzo-deformación a tensión de varillas de esfuerzo ordinarias con las de aceros típicos para el preesfuerzo, tal como se hace en la figura 3.6, las diferencias más notables son el mucho más elevado límite elástico proporcional y la resistencia disponible en alambres redondos y en varillas de aleación usadas como preesfuerzos, y la substancialmente más baja ductilidad. Tabla 3.5 Refuerzo corriente, no para el preesfuerzo.
Tipo Grado o Tamaño
Mínima Resistencia
Especificada para la Fluencia
lb/pulg2 (N/mm2)
Resistencia a la Tracción lb/pulg2
(N/mm2)
Acero y lingote y 40 40,000 (276) 70,000 (483)
Varillas de Acero de Ejes
60 60,000 (414) 90,000 (621)
Varillas de acero de rieles
50 50,000 (345) 80,000 (552)
Alambre estirado en frío
60 60,000 (414) 70,000 (483)
90,000 (621) 80,000 (552)
Malla de Alambre Soldada
W 1.2 o Mayor 65,000 (448) 75,000 (517)
Menor que W 1.2 56,000 (386) 70,000 (483)
En el acero de refuerzo ordinario, tipificado aquí mediante los grados 40 y 60, existe una respuesta inicial elástica hasta un punto de fluencia, mas allá del cual, ocurre un incremento sustancial en la deformación sin que venga aparejado un incremento en el esfuerzo. Si se incrementa la carga, esta mesa de fluencia es seguida por una región de endurecimiento por deformación, durante el cual se obtiene una relación pronunciadamente no lineal entre el esfuerzo y la deformación. Eventualmente ocurrirá la ruptura del material, a una deformación bastante grande alrededor de 13 % para varillas del grado 60 y del 20% para varillas del grado 40. El contraste con los aceros de preesfuerzo es notable. Estos no presentan un esfuerzo de fluencia bien definido. El límite proporcional para los alambres redondos (y para cables hechos con tales alambres) está alrededor de las 200 kilolibras /pulg. 2 (1720 N/mm2), casi cuatro veces que el de las varillas de grado 40, pero la deformación en la falla es solamente la tercera parte. Las varillas de aleación tienen
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características similares a aquellas de los alambres redondos o de los cables trenzados, pero sus límites proporcionales y resistencias son 30 a 40 % menores. Curvas de esfuerzo-deformación para varillas de acero de refuerzo más detalladas se muestran en la figura 3.6 el módulo de elasticidad para tales aceros es más o menos lo mismo: 29,000 kilolibras /pulg. 2 (200000 N/mm2).
Figura 3.6 Curvas comparativas de esfuerzo-deformación para acero de refuerzo y
acero de preesfuerzo. A pesar de que los aceros de grado 40 y 60 generalmente presentan un punto de fluencia bien definido, esto no ocurre con los aceros de alta resistencia. Para tales casos se define un punto de fluencia equivalente, como el esfuerzo para el cual la deformación total tiene un valor determinado: de 0.5% para varillas de los grados 40, 50 y 60 y 0.6% para varillas del grado 75. Todos los grados presentan un endurecimiento por deformación considerable después de haber alcanzado el esfuerzo de fluencia. La ductilidad, medida como la deformación total en el momento de falla es significativamente menor para los grados mayores. En la figura 3.8 se dan las curvas de esfuerzo-deformación típicas para alambre de preesfuerzo, cables trenzados y varilla de aleación. Para alambres redondos lisos el módulo de elasticidad es más o menos el mismo que para el refuerzo ordinario, esto es, alrededor de 290000 kilolibras /pulg. 2 (200000 N/mm2). Para el cable trenzado el módulo aparente es algo menor, alrededor de 270000 kilolibras /pulg. 2 (186000N/mm2), a pesar de que el cable se fabrica con el mismo alambre. Esto ocurre debido a que la espiral del torcido del cable tiende enderezarse ligeramente a medida que se aplica la tensión al cable. El módulo para cables embebidos en hormigón puede tener valores más próximos a de los alambres redondos. El módulo de elasticidad para varillas de aleación es también más o menos 27000 kilolibras /pulg. 2 (186000 N/mm2), la
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reducción en este caso se debe a la presencia de elementos de aleación. Referenciado en Palacios (2004) y Negrín (2007).
Figura 3.7 Curvas comparativas de esfuerzo-deformación para acero de refuerzo de
diferentes grados. Ante la ausencia de un esfuerzo de fluencia bien definido para los aceros de preesfuerzo de todos los tipos, es necesario adoptar definiciones arbitrarias para la fluencia. Para alambres y cables el esfuerzo de fluencia se toma como aquel que produce una deformación de 0.7% estos valores se muestran en la figura 3.8.
2.3.2.5 RELAJAMIENTO DEL ACERO
Cuando el acero del preesfuerzo del preesfuerzo se le esfuerza hasta los niveles que son usuales durante el tensado inicial y al actuar las cargas de servicio, se presenta una propiedad que se conoce como relajamiento. El relajamiento se define como la pérdida de esfuerzo en un material esforzado mantenido con longitud constante. (El mismo fenómeno básico se conoce con el nombre de escurrimiento plástico cuando se define en términos de un cambio de longitud de un material que está sujeto a esfuerzo constante). En los miembros de hormigón pretensado, el escurrimiento plástico y la contracción del hormigón.
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Figura 3.8 Curvas de esfuerzo-deformación típicas para aceros de preesfuerzo. Así como las fluctuaciones de las cargas aplicadas producen cambios en la longitud del tendón. Sin embargo, se puede considerar la longitud constante. El relajamiento no es un fenómeno que ocurra en un corto período de tiempo. De la evidencia que se tiene disponible, resulta que continúa casi indefinidamente, aunque a una velocidad decreciente. Debe de tomarse en cuenta en el diseño ya que produce una pérdida significativa en la fuerza pretensora. La magnitud del relajamiento varía dependiendo del tipo y del grado del acero, pero los parámetros más significativos son el tiempo y la intensidad del esfuerzo inicial. El análisis de los resultados de varias investigaciones experimentales, algunas de las cuales duraron más de nueve años, ha producido la información que se presenta gráficamente en la figura 3.9, en la cual fp es el esfuerzo final después de t horas, fpi es el esfuerzo inicial, y fpy es el esfuerzo de fluencia. La información que se muestra en la figura 3.9 puede aproximarla expresándola mediante la siguiente fórmula:
55.010
log1
pi
p
pi
p
f
ft
f
f (3.3)
donde log t tiene como base 10, y fpi/fpy no es menor que 0.55. Palacios (2004) y Negrín (2007).
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Las pruebas en que está basada la figura 3.9 y la ecuación (3.3) se efectuaron en alambres redondos relevados de esfuerzo, y ante la falta de otra información puede también aplicarse a varillas de acero de aleación. En el caso de miembros pretensados, la pérdida por relajamiento que ocurre antes de la “liberación” (Transferencia de la fuerza al hormigón) debe de restarse de la pérdida total por relajamiento que se predice para el esfuerzo efectivo en el momento de la liberación.
Figura 3.9 Cuervas de relajamiento para alambres y cables relevados de esfuerzo. Por ejemplo, si se va a estimar el esfuerzo para el tiempo tn, habiendo sido tensado el alambre en el tiempo cero, y liberado en el tiempo tr , entonces la ecuación (3.3) se puede modificar como sigue:
55.010
loglog1
pi
prn
pi
p
f
ftt
f
f (3.4)
El término fpi puede tomarse como el esfuerzo en el acero en el momento de la liberación. En algunos casos las pérdidas por relajamiento se han reducido mediante un pre alargamiento, constituyendo esto una técnica mediante la cual el esfuerzo en el acero se incrementa hasta un nivel más alto que el esfuerzo inicialmente propuesto, manteniéndose en aquel nivel durante un corto lapso de tiempo y reduciéndose luego hasta el nivel inicialmente propuesto. Sin embargo, como el nivel práctico de esfuerzo inicial es más o menos 70% de la resistencia del acero, no es posible sobreesforzarlo en más de un 15%. Sobre la base de la evidencia disponible en Palacios (2004),
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resulta que el pre alargamiento es de poco efecto cuando su duración se limita a solo unos cuantos minutos. Se pueden conseguir alambres y cables especiales con bajo relajamiento. De acuerdo con las especificaciones ASTM A-416 y A-421, tales aceros deberán producir un relajamiento después de1000 horas no mayor de 2.5% cuando se carguen al 70% de la resistencia especificada a la tensión, y no más del 3.5% cuando se carguen hasta el 80% de la resistencia especificada a la tensión. Las pérdidas para alambres y cables de bajo relajamiento debido a este concepto, pueden tomarse como alrededor del 25% de las pérdidas en alambres y cables normales.
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MÉTODOS DE ESTADOS LÍMITES.
PRINCIPIOS
2.4.1 CRITERIOS DIVERSOS DE SEGURIDAD. FACTORES DE INCERTIDUMBRE
En el cálculo de las estructuras se han seguido diversos criterios de la seguridad de acuerdo al método utilizado para el diseño de las secciones. La seguridad se introduce para dejar margen a todos los factores de incertidumbre que se presentan en la ejecución y utilización de la estructura que se ha proyectado. En el proyecto se especifica ciertas calidades de materiales, dimensiones de las piezas, posición de los aceros, etc., así como se calculara para las cargas probables que serán de uso normal para el tipo de estructura que se ha proyectado. Sin embargo es posible que el elemento no tanga las calidades requeridas, con ciertas deficiencias en la construcción y que además durante la vida del elemento pueda estar sometido a cargas mayores que las especificadas. Por otro lado el elemento ha de cumplir ciertos requisitos tanto dentro de la utilización normal como bajo condiciones anormales pero previsibles. En cada caso, para tener en cuenta los factores de incertidumbre debe calcularse con un cierto margen de seguridad que será mayor o menor, de acuerdo a la peligrosidad del estado analizado. Así como la mayor o menor restricción impuesta para la funcionalidad y durabilidad del elemento. Los elementos que han sido desarrollados para calcular el hormigón pretensado utilizan criterios diversos de la seguridad que veremos en los párrafos siguientes.
2.4.1.1 MÉTODO DE TENSIONES ADMISIBLES
En el método de las tensiones admisibles considera solamente la etapa de servicio del elemento (etapa I) por lo cual utiliza como base la teoría elástica, ya que los materiales deben estar trabajando a tensiones relativamente pequeñas y dentro del comportamiento elástico.
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En este método, las incertidumbres relativas a las cargas, materiales, deficiencias de ejecución, etc. Son atribuidas en su totalidad a las resistencias de los materiales, es decir, se limitan las tensiones a ciertos “valores admisibles”. En resumen con las cargas de servicio, se pone a trabajar a la sección a tensiones inferiores de lo que es capaz de resistir, pero de modo que este dentro del rango elástico con lo cual se puede aplicar la teoría elástica. Las tensiones admisibles se obtienen con la fórmula general:
SF
rot
. (4.1)
Donde:
= tensiones admisibles.
rot = resistencia del material (rotura límite de fluencia).
SF. = factor de seguridad.
En este método el valor de SF. no cuantifica el margen de seguridad, ya que los
materiales componentes del hormigón pretensado no son elásticos, específicamente el hormigón. Pero como en el método de tensiones admisibles no se analiza la etapa de agotamiento puede asegurarse que: F.S ≠ M.S (4.2)
El margen de seguridad depende de la relación:
servicio
rotura
M
MSM . (4.3)
Solamente cuando los materiales son elásticos puros (acero ordinario), el F.S=M.S. El método de tensiones admisibles es un método determinista puesto que considera las cargas y resistencia invariables. Poggio, Valdés y Vázquez (1983).
2.4.1.2 MÉTODO DE ROTURA
Otra forma de enfocar el criterio de la seguridad es el considerado por el método de rotura o diseño último. En este método, se considera la etapa de agotamiento de la sección, utilizando como base la teoría de rotura, para lo cual los materiales trabajan a sus máximas capacidades pero considerando que la carga es la máxima que pueda alcanzar el elemento, o sea, las cargas anormales pero previsibles, mayores que la de servicio normal. En este método, las incertidumbres relativas a los materiales, cargas, proceso de ejecución, etc., son atribuidas todas en su totalidad a las cargas, es decir, las cargas de servicio se incrementan mediante los factores de carga de modo que se alcance el fallo para estas condiciones.
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Luego:
CFMM servrotura .*. (4.4)
Donde F.C. es el factor de carga (aplicable a cada tipo de carga). En este caso se estudia la etapa de agotamiento y se puede asegurar que F.C=M.S siempre que los materiales no tengan variación en su resistencia. No obstante el método no puede predecir el comportamiento del elemento bajo las cargas de servicio.
2.4.1.3 FACTORES DE INCERTIDUMBRE Hemos señalado en los párrafos anteriores que existen ciertos factores de incertidumbre que obligan al proyectista a tomar las precauciones necesarias a través del criterio de seguridad adecuado y asegurar que el elemento no presente peligro de fallo en su utilización normal. Como se puede comprobar en la práctica, una obra determinada presenta variaciones con relación al proyecto. Estas variaciones normales se deben a los que llamamos factores de incertidumbres; donde no se contemplan los errores conceptuales o graves, sino los que se derivan de la práctica normal. Entre los factores de incertidumbres que contribuyen a que existan diferencias señaladas tenemos:
1) Relativos a la resistencia de los materiales.
Variación de la resistencia medida en las probetas debido a alteraciones en dosificaciones, mezclado, relación agua-cemento, áridos etc., en el caso del hormigón y por proceso d fabricación del acero.
Variación de la resistencia en obra por deficiencia en la construcción.
Defectos locales y de ejecución, posición inexacta del refuerzo.
2) Relativas a las cargas.
Variación de las cargas con relación al valor previsto en el momento de la concepción de la obra.
Actuación de acciones anormales e imprevistas o de probabilidad reducida de que actúan simultáneamente acciones que alcancen su valor normalmente previsible.
3) Relativos a las solicitaciones.
Diferencia entre la hipótesis de cálculo y el comportamiento real de la estructura.
Inexactitud y errores de la construcción (geométricas).
4) Otras causas.
Limitación al estado tensional plano cuando se trata realmente de estados tensionales triaxiales.
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Desestimación de algunas causas, por ejemplo, cambios de temperatura, retracción etc.
Estos factores pueden superponerse según las leyes de probabilidades. En los métodos de tensiones admisibles y en el método de rotura, todas las incertidumbres estaban tenidas en cuenta en su totalidad en el F.S. y en los F.C, pero como se puede apreciarse las posibles causas del fallo se deben a varias causas, cuya combinación desfavorable provoca el mismo.
2.4.1.4 MÉTODO DE LOS ESTADOS LÍMITES El más moderno de los métodos, el método de los estados límites ha sido adoptado por las Normas Cubanas (NC), tomando como base fundamentalmente las recomendaciones del CEB-FIP del año 1970. Este método de cálculo considera en primer lugar las diversas etapas de la vida de la estructura, tanto la etapa de servicio como la etapa de agotamiento. Utiliza para ello la Teoría elástica y la Teoría de rotura d acuerdo a la etapa que se esta analizando, pero además interpreta la seguridad con criterio estadístico dentro de lo posible. Ciertos factores de incertidumbres pueden tratarse por cálculo de probabilidad, otros no existen datos suficientes para este análisis. Es por eso que el método es semiprobabilístico, ya que no puede introducirse dentro de la seguridad un análisis probabilístico completo como seria lo ideal. Al analizar cada etapa de la vida de la estructura, el método de estados límites toma la misma base teórica que los métodos precedentes, la diferencia esencial entre este y los anteriores estriba en el criterio que se sigue para la seguridad. En este método los factores de incertidumbres se tratan por separado en dos grandes grupos, uno el que añade a la resistencia de los materiales y otro el que afecta las cargas y/o solicitaciones. Estas incertidumbres se consideran por separado afectando a la resistencia o a las cargas con ciertos factores que disminuyen o aumentan, de acuerdo a la condición más desfavorable, los valores de las resistencias y de la acciones, de modo que la probabilidad de alcanzar el fallo sea acorde con el peligro que se entraña tal fallo, tales valores son llamados “de cálculo”. En resumen el método de estados límites es una etapa superior de cálculo en que se analiza toda la vida del elemento (etapa de servicio y etapa de agotamiento) tomando como base las teoriza elásticas o de rotura según la etapa analizada y que introduce el criterio estadístico para el análisis de la seguridad de acuerdo a los factores de incertidumbres que afectan a los materiales y a las cargas o solicitaciones de modo que se fija una probabilidad según sea el peligro que conlleva el tipo de fallo analizado.
2.4.2 DEFINICIÓN DEL MÉTODO DE LOS ESTADOS LÍMITES La norma NC 053-039:1978, según Poggio, Valdés y Vázquez (1983), define el
método de los estados límites como: “Una estructura, o una parte de la estructura, pierde su aptitud para el empleo al que se le destina cuando alcanza un estado particular llamado “estado límite”, en el cual deja de cumplir o no satisface ya las condiciones para las cuales fue concebida.
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El objeto del cálculo es mantener la probabilidad de alcanzar el estado límite considerando por debajo de un cierto valor previamente establecido para el tipo de estructura de que se trate. A través de los coeficientes que se indican en la propia norma se establece el valor de probabilidad de alcanzar el estado límite cuyo valor definitivo es difícil de precisar.
2.4.3 CATEGORÍA DE LOS ESTADOS LÍMITES
Los estados límites pueden clasificarse en dos categorías: a) Estados límites último, que son los correspondientes al valor de la capacidad
portante, o sea, el agotamiento. b) Estados límites de utilización, que son función de criterios de utilización normal
o de durabilidad, o sea en la etapa de servicio. Entre los estados límites últimos que pueden considerarse son los siguientes:
a) Pérdida de la estabilidad de una parte o del conjunto de la estructura, asimilada a un cuerpo rígido.
b) Rotura de las secciones críticas de la estructura. c) Transformación de la estructura en un mecanismo. d) Inestabilidad por deformación. e) Deterioro por efecto de la fatiga.
El estado límite último puede deberse a otras causa tales como: Efecto de cargas repetidas, efecto del fuego, etc. Entre los estados límites de utilización se tienen:
a) Deformación excesiva para su utilización normal de la estructura. b) Fisuración permanente o excesiva. c) Averías indeseables, (corrosión). d) Desplazamiento excesivo sin pérdidas de equilibrio. e) Vibraciones excesivas etc.
En general no es necesario que un elemento cumpla todos los estados límites; por ejemplo, las vigas se verifican `para el estado límite último por rotura de la sección critica por deformaciones plásticas excesivas, y para el estado límite de utilización de fisuracion y deformación. Los otros estados límites se verifican cuando se quiera cumplimentar algún que otro requisito necesario, por ejemplo, las vibraciones cuando existen cargas dinámicas, etc.
2.4.4 PRINCIPIOS BÁSICOS
Una estructura debe concebirse al diseñarse de modo que las cargas de uso normal (utilización) trabaje sin que sufra alteraciones de orden funcional o estructural, pero además, que bajo cargas no usuales que puedan actuar sobre la misma, no ocurra el fallo o colapso con las graves consecuencias que ello conlleva. Las incertidumbres en cuanto a la calidad de los materiales y el valor de las cargas adoptadas en el proyecto obligan al calculista a establecer un margen de seguridad cuando se producen Las condiciones más desfavorables de modo que la estructura sea capaz de resistirla con la seguridad adecuada. Analizando el grado de peligrosidad de los posibles estados límites es obvio que las alteraciones que pueden originarse en los estados límites de utilización (fisuracion, deformación, etc.) ponen fuera de servicio al elemento pero no ocasiona daños
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graves. Por otro lado si se alcanza el estado límite último provoca la destrucción del elemento o de la estructura completa con el riesgo de la pérdida de bienes materiales o de vidas humanas por lo que el margen de seguridad debe ser mucho mayor que el estado límite de utilización. Las normas fijan la probabilidad de que se alcancen los estados límites mediante los valores de cálculo de las resistencias de los materiales y de las cargas y solicitaciones. En la norma se establecen los valores a utilizar en cada caso. En los estados límites
m , c , s toman generalmente valores mayores que la unidad, mientras que en los
estados límites de utilización toman valores iguales a 1 que equivale a decir que los estados límites de utilización se consideran característicos, de las cargas y los materiales. En los elementos de hormigón pretensado a flexión en pretensado total o pretensado parcial domina el estado límite de utilización en el diseño debiendo comprobarse el comportamiento del estado límite último. Para asegurarse que la sección trabaje dentro del rango elástico en la etapa de utilización con la seguridad apropiada, las tensiones deben limitarse a valores tales que se encuentran dentro del comportamiento elástico del material. Es por ello que en el hormigón las compresiones no deben sobrepasar de (0.5~0.6) f‟ck , figura 4.1 mientras que las tracciones serán nulas en pretensado total e inferiores a f‟ck en pretensado parcial. En el acero no deben sobrepasar de 0.6*f‟spk, figura 4.2 a estas tensiones le llamaremos tensiones límites.
Figura 4.1 Diagrama característico del hormigón.
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Figura 4.2 Diagrama característico del acero.
Debido a que es prácticamente imposible analizar cada una de las incertidumbres mediante la teoría probabilística, se establece un procedimiento semiprobabilístico que considere en introducir valores característicos y valores de cálculo. Los valores característicos de los materiales y las cargas tienen en cuenta la variación de estos según la teoría de probabilidad, mientras que afectan a las resistencias y a las cargas. Los valores característicos vienen dados por:
*1mK RR (4.5)
*1mK QQ (4.6)
Siendo: Rk, Rm= resistencia característica o media del material. Qk,Qm= carga característica o media de las cargas. = coeficiente de dispersión.
λ = coeficiente que depende de la probabilidad deseada y del número de muestras utilizadas en el ensayo.
Los valores de cálculo se obtienen de:
m
KRR* (4.7)
KSc QQ *** (4.8)
Donde:
m , c , s = son los coeficientes de minoración y mayoración.
R*= resistencia de cálculo. Q*= carga de cálculo.
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Se concluye que para el diseño se desarrollarán las fórmulas tomando como base la teoría elástica para el estado límite de utilización limitando los valores de las tensiones su etapa elástica y con los diagramas característicos lo que asegura la probabilidad fijada por la norma en este estado. Para la comprobación se verifica que la sección cumpla con el estado límite último con las fórmulas de esta etapa en base a la teoría de rotura y con los valores de cálculo. Poggio, Valdés y Vázquez (1983).
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FLEXIÓN
2.5.1 INTRODUCCIÓN Estudiaremos el diseño de elementos pretensados a flexión usando el criterio de la seguridad según el método de Estados Límites. Estado de servicio para etapa I y de agotamiento para etapa II. El ACI no deja claro esto. Para el dimensionamiento de un elemento pretensado a flexión, en pretensado total y parcial, predomina el Estado Límite de Fisuración. Por esto se desarrollarán las fórmulas de diseño a partir de la etapa I de comportamiento elástico bajo carga de servicio, en un proceso igual al método de esfuerzos admisibles, pero en la introducción de la seguridad a través de los valores normativos. Posteriormente se calculará el momento de agotamiento en flexión, verificándose la seguridad del elemento en el Estado Límite Último bajo cargas máximas y mínimas.
2.5.2 ESFUERZOS EN EL CENTROIDE. EXPRESIONES ANALÍTICAS
Figura 5.1
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70
Figura 5.2
Resultante:
I
yM
A
P nny (5.1)
El esfuerzo en el centroide es ζ* (sigma asterisco).
y = 0 esfera en el centroide A
P constante para cualquier estado de
carga pues los esfuerzos producidos por los momentos en ese punto son nulos. Expresión Analítica
Figura 5.3
Desarrollando las expresiones analíticas:
(5.2)
)( 21 cch
'
21
**nn
cc
** 22
'
11 cccc nn
'
1221 ** nn cccc
'
1221* nn cccc
h
cc nn 1
'
2 ***
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para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
71
Cálculo de ζ* a partir de los esfuerzos en cualquier estado y conocida la posición del centroide.
2.5.3 CENTRO DE PRESIONES El centro de presión de una sección cualquiera, para un estado de carga determinado, es el punto de aplicación de la fuerza resultante del volumen de esfuerzos que actúa en dicha sección en el referido estado. Los centros de presiones, para un estado de carga determinado, varían en las diferentes secciones a lo largo de la viga el lugar geométrico de los mismos se denomina curvas de presiones. Si en es la excentricidad del punto de aplicación de la resultante P correspondiente a la distribución de esfuerzo (ζn, ζn‟) en un estado de carga n, este punto en es, pues, el centro de presiones de este estado.
I
M
A
P n
Donde:
nn PeM (5.2)
I
yPen
*
Para las fibras extremas tenemos:
I
cPenn
1*
I
cPenn
2*'
I
cPe
I
cPe nnnn
21'
)(* 21
'cc
I
Pennn
Donde:
21 cch
Ph
Ie nn
n
)('
(5.4) Excentricidad del centro de presión correspondiente al estado n definido por los esfuerzos extremos ζn y ζn
‟.
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
72
En el estado 0 de pretensado, para una sección cualquiera, con una fuerza P cuya excentricidad es e0, el centro de presión correspondiente al estado de pretensado es, por definición, el punto de aplicación de esa fuerza coincide con el punto por donde pasa el cable resultante en la sección considerada. La curva de presiones correspondiente al estado de pretensado coincide, pues, con el cable resultante. Negrín (2007).
Figura 5.4
La expresión Ph
Ie nn
n
)('
es general y sirve para calcular el centro de presión de
cualquier estado:
Para estado 0 (solo pretensado): )('
000Ph
Ie (5.5)
Para estado 1 (estado de vacío o inicial): )('
111Ph
Ie (5.6)
Para estado 1 (estado de carga): )('
222Ph
Ie (5.7)
Desde:
E0 hasta E1 P
MEE 1
10
E1 hasta E2 P
MEE 2
21
MT = M1 + M2
2.5.4 ESFUERZOS LÍMITES ADMISIBLES
a) En el hormigón. Los valores de los esfuerzos ζ1, ζ1‟, ζ2, ζ2‟ no deben sobrepasar los límites admisibles del hormigón. Esos límites los designaremos como: R1, R1‟, R2, R2‟. Se deberá cumplir que:
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
73
ζ ≥ R1‟ R Límite en compresión ζ‟ ≤ R1 para el estado 1 R‟ Límite en tracción ζ2 ≤ R2 ζ2‟ ≥ R2‟ para el estado 2 Empleamos la prima („) para la nomenclatura de las tensiones límites del pretensado en los esfuerzos de tracción, a diferencia de lo tradicional, donde empleamos la prima („) para esfuerzos de compresión, ejemplo (f‟c), resistencia a la compresión del hormigón. Esfuerzos Permisibles La referencia [10], Hormigón Pretensado (2009). Propuesta de Norma Cubana (según ACI 2005). Capítulo 27 según PCI (versión 14 de julio 2009), específica:
1. Los esfuerzos en el hormigón inmediatamente después de la transferencia de la
fuerza de pretensado (Hipótesis de carga 1, antes de que tengan lugar las pérdidas diferidas dependientes del tiempo) no deben exceder de los siguiente límites (R1 y R1‟):
a. Esfuerzo de compresión en fibra extrema:
R1 = 0.6*f ‟ci (5.8)
b. Esfuerzo de tracción de fibras extremas, excepto en lo permitido por (c):
cifR 25.0´1
´ (5.9)
c. Esfuerzo de tracción de fibras extremas de elementos simplemente apoyados:
cifR 50.0´1
(5.10)
En los casos en que los esfuerzos de tracción calculados,
1, excedan de los límites
definidos en (b) y (c), debe colocarse refuerzo adicional adherido (pretensado o no) en la zona de tracción, para resistir la fuerza total de tracción en el hormigón, calculada con la suposición de sección no fisurada. Los esfuerzos admisibles en el hormigón en esta etapa son originados por la fuerza de pretensado transferida una vez deducidas las pérdidas instantáneas debidas al acortamiento elástico del hormigón, al relajamiento del acero pretensado y al asentamiento del anclaje, básicamente; además de aquellos otros esfuerzos provocados por las cargas externas que son concomitantes con el pretensado transferido, por ejemplo, en muchos casos el peso propio del elemento. Generalmente no se incluyen en esta etapa las pérdidas diferidas debido a la retracción y al flujo plástico del hormigón. Estos esfuerzos se consideran tanto para el hormigón
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
74
pretensado como para el postesado, con las modificaciones que correspondan para la evaluación de las pérdidas antes y durante la transferencia. Los esfuerzos límites de tracción definidos en (b) y (c) se refieren a la fibra extrema de la sección localizada fuera de la zona de tracción precomprimida. Cuando los esfuerzos de tracción que se originan excedan de los valores admisibles, la fuerza total en la zona de tracción puede ser calculada y con ella diseñar un refuerzo pasivo
trabajando a una tensión de yf6.0 , pero no mayor de 210MPa. Los efectos de la
retracción y el flujo plástico del hormigón comienzan a reducir la fuerza del acero estirado casi inmediatamente, no obstante, algún nivel de tracción permanece en esta área después de que hayan ocurrido todas las pérdidas de tensión en el preesfuerzo.
2. Para los elementos pretensados sometidos a flexión Clase U y Clase T, los esfuerzos en el hormigón bajo las cargas de servicio (después que han ocurrido todas las pérdidas de tensión en el acero estirado), no deben exceder de los siguientes límites (R2 y R‟2):
a. Esfuerzos de compresión de fibra extrema debido al pretensado efectivo y a
las cargas de servicio de acción permanente: R2 = 0.45*f‟c (5.11)
b. Esfuerzos de tracción en fibras extremas debido al pretensado efectivo y a la carga de servicio total:
R2 = 0.60*f‟c (5.12)
El límite del esfuerzo de compresión se estableció en '45.0 cf de manera conservadora
para disminuir la probabilidad de falla bajo cargas repetidas de los elementos de hormigón pretensado. Este límite parece razonable para evitar deformaciones excesivas por flujo plástico. A valores de esfuerzo mayores, las deformaciones unitarias por flujo plástico tienden a incrementarse más rápidamente de lo que se incrementa el esfuerzo aplicado. Los diseños en los que la carga viva de acción breve o transitoria es grande, en comparación con las cargas muertas y vivas de acción prolongada en el tiempo, se
penalizaban hasta 1995 por el mismo esfuerzo límite de '45.0 cf , sin embargo, ensayos
de fatiga al hormigón pretensado han demostrado que la falla del hormigón no es el criterio que controla, y en consecuencia en aquellos diseños en los que una parte importante de toda la carga de servicio es de carácter temporal, resulta aconsejable
fijar este límite en '60.0 cf , permitiéndose un incremento de un tercio en el esfuerzo
admisible de compresión cuando los elementos se someten a cargas vivas transitorias. La carga viva mantenida en el tiempo es cualquier porción de la carga viva de servicio que se mantendrá por un período suficiente para provocar deflexiones dependientes del tiempo que sean significativas. Así, cuando las cargas muertas y vivas permanentes en el tiempo representan un % elevado de la carga de servicio
total, el límite de '45.0 cf puede controlar mejor. Por otra parte, cuando una porción
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
75
apreciable de la carga viva total es transitorio o temporal, el límite de '60.0 cf es más
aconsejable. El límite al esfuerzo de compresión de '45.0 cf para la combinación de
pretensado efectivo o permanente y cargas de servicio mantenidas en el tiempo, continúa controlando el comportamiento a largo plazo de elementos pretensados. Al revisar la etapa de servicio de un elemento pretensado ya diseñado, o al diseñarlo con base a los esfuerzos límites que se han fijado en este apartado, se debe asegurar que los esfuerzos en las fibras extremas superior e inferior de la sección permanezcan dentro de los límites especificados, para cualquiera de las combinaciones de carga que puedan ocurrir.
3. Se pueden exceder los esfuerzos admisibles indicados en las secciones 1 y 2 para el hormigón, si se demuestra mediante ensayos o análisis que no se perjudica el comportamiento del elemento diseñado.
4. Los elementos pretensados a flexión deben clasificarse como Clase “U”, Clase
“T” o Clase “C” según sea el valor de la tensión 2 calculada para las cargas de
servicio en la fibra extrema en tracción ubicada en la zona precomprimida, y de acuerdo a los siguientes límites (R‟2) para esta tensión:
a) Clase U: '
2 7.0 cf (5.13)
b) Clase T: '
2
'7.0 cc ff (5.14)
c) Clase C: '
2 cf (5.15)
Los sistemas de losas pretensadas en dos direcciones deben ser diseñadas como Clase “U”:
'
2 5.0 cf (5.16)
Esta sección define las tres clases de comportamiento dentro de la etapa de servicio de los elementos pretensados a flexión. Los elementos Clase U se supone que
poseen un comportamiento como elementos no fisurados, aun cuando se admita cierto nivel de tracción en la sección. Ya para en los elementos Clase C se supone un comportamiento como elementos fisurados, mientras que en los elementos Clase T se supone una transición entre los no fisurados y los fisurados. (Es práctica común hacer R‟1 = R‟2 = 0) f‟ci = resistencia a la compresión del hormigón al momento del preesfuerzo inicial. f‟c = resistencia especificada a la compresión.
b) En el acero:
1. Los esfuerzos de tracción en el acero pretensado no deben exceder los siguientes límites:
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
76
a) Debido a la fuerza del gato de tesado:
pyf94.0 ó
puf80.0 (5.17)
Sin llegar a superar el máximo valor ofrecido por el fabricante del acero, o de los dispositivos de anclaje.
b) Inmediatamente después de la transferencia del pretensado:
pyf82.0 ó
puf74.0 (5.18)
c) Tendones de postesado en anclajes y acoples, inmediatamente después de
la transferencia:
puf70.0 (5.19)
La relación entre la resistencia mínima a la fluencia
pyf y la resistencia mínima a
tracción especificada puf debe ser ofrecida por el fabricante del acero pretensado.
Para alambres y torones de bajo relajamiento en los que 90.0/ pupy ff , los límites de
pyf94.0 y pyf82.0 son equivalentes a
puf85.0 y puf74.0 , respectivamente. Sin embargo,
el esfuerzo máximo en el gato para el acero pretensado de bajo relajamiento se
reduce a puf80.0 para asegurar una mejor compatibilidad con el valor máximo del
esfuerzo del acero de puf74.0 , inmediatamente después de la transferencia. La mayor
resistencia a la fluencia del acero pretensado de bajo relajamiento no cambia la efectividad de los dispositivos de anclaje de los tendones; así pues, el esfuerzo admisible en los anclajes de postesado y de los elementos de acoplamiento no se
incrementa sobre el valor previamente permitido de puf70.0 .
En el caso del acero pretensado común (alambres, torones y barras) con
85.0/ pupy ff , los límites de de pyf94.0 y
pyf82.0 son equivalentes a puf80.0 y
puf70.0 ,
respectivamente. Para el acero pretensado en forma de barras en el que
80.0/ pupy ff , los mismos límites son equivalentes a puf75.0 y
puf66.0 ,
respectivamente.
2.5.5 PUNTOS LÍMITES: NÚCLEO LÍMITE Y NÚCLEO CENTRAL A continuación se calcularan expresiones que determina la excentricidad del centro de presión correspondiente a diferentes estados, en función de parámetros distintos a los empleados en el epígrafe anterior. La expresión clásica del radio de giro es:
A
Ir
(5.20)
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
77
Desarrollando esta expresión nos quedaría:
A
Ir 2 ArI *2
I
yPenny *
Ar
yPenny 2
*
yr
en
ny 2
yr
en
ny 21
y
nyn
yr
e2
1
y
re
ny
n
2
*1
y
re
ny
n
2
*1
Evaluando estas expresiones para las fibras extremas: Como que:
1cy
*
1
2
1 nn
c
re (5.21)
Y
2cy
*
'
2
2
1n
nc
re (5.22)
Se obtienen las expresiones (5.21) y (5.22) que determinan la excentricidad del centro de presión del estado n, definido por los esfuerzos ζn y ζ‟n. Si hacemos los esfuerzos iguales a sus límites en estado de vacío: ζ1 = R‟1, ζ‟1 = R1
Alcanza el límite de tracción.
1
1
2
.
'1*'
R
c
rC IEST (5.23)
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
78
Alcanza el límite de compresión.
1
2
2
. 1*R
c
rC IEST (5.24)
Ambas ecuaciones tienen sentido hacia abajo. Si ambos puntos son coincidentes si alcanzan los esfuerzos permisibles para: R‟1 y R1 simultáneamente. Para estado de carga: ζ2 = R2 ζ‟2 = R‟2
Alcanza el límite de tracción.
2
2
2
.
'1*'
R
c
rC IIEST (5.25)
Alcanza el límite de compresión.
2
1
2
. 1*R
c
rC IIEST (5.26)
Ambas ecuaciones tienen sentido hacia arriba.
Figura 5.5 Centro de presiones. Esto sirve para comprobar diseños: Si el diseño cumple (resultantes dentro) Si el diseño es económico (sí se aprovecha al máximo la excentricidad)
El rango E‟1 E‟2 es el límite de las tracciones. El rango E1 E2 es el límite de las compresiones.
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
79
El núcleo límite es el más pequeño (en valor absoluto) de los dominios definidos por esos cuatro puntos y es donde debe estar el centro de presiones en cualquier estado para cumplir que ζ1 ≥ R‟1, ζ‟1 ≤ R1, ζ2 ≤ R2, ζ‟2 ≥ R‟2 El núcleo central representa la parte de la sección dentro de la cual debe actuar la resultante para que no haya tracciones (R‟1 = R‟2 = 0).
'0
1*'1
2
1
2
. ac
r
c
rC IEST (5.27)
ac
r
c
rC IIEST
2
2
2
2
.
01*' (5.28)
Núcleo límite, es la región donde el centro de presiones puede variar para que se cumplan los esfuerzos permisibles. Esta zona o región depende de los valores de R‟1 y R‟2, mientras que el núcleo central es la zona para que no haya tracciones y depende solo de las características geométricas de la sección. Puede haber varios núcleos límites, pero un solo núcleo central. Negrín (2007).
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
80
DISEÑO DE SECCIONES A FLEXIÓN
2.6.1 HIPÓTESIS DE CARGAS
Etapa Elástica
1) Viga en vacío y pretensado inicial (PP + Pi) pretensado como enemigo. 2) Viga en carga y pretensado inicial (PP + CD (sin peso propio) + CL + Pi)
pretensado como amigo, poco probable hay que construir muy rápido, excesivamente rápido.
3) Viga en vacío sometida pretensado final (PP + P) pretensado como enemigo, pudiera ser que se paralice la construcción, pero de todas formas la hipótesis (1) es mas critica.
4) Viga en carga y pretensado final (PP + CD + CL + P) pretensado como amigo, es mas critica que (2. En resumen los decisivos son: para estado 1 la hipótesis 1, para estado 2 la hipótesis 4. Negrín (2007)
En Agotamiento:
5) Pretensado inicial mayorado y PP minorado por carga numérica. Se produce la rotura en la cara superior.
6) Carga total mayorado y pretensado final minorado para carga máxima (rompe para abajo). Se produce la rotura en la cara inferior.
2.6.2 MÉTODO DE DISEÑO
Se debe calcular el módulo de la sección (W1 y W2), P (Pi) y e para que se cumpla que: ζ1 ≥ R1, ζ‟1≤ R‟1, ζ2 ≤ R2, ζ‟2 ≥ R‟2 En valor numérico (en absoluto el signo debe ser ≤)
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
81
El problema que tendrán más frecuente es en la sección fijada (eso lo veremos más adelante). No existen fórmulas, todo sale de aplicar todos los conceptos de resistencia de materiales, y teniendo claro todos los conceptos estudiados hasta aquí. Estados de Esfuerzo para el Diseño en ETAPA I Se debe cumplir 4 condiciones:
Figura 6.1 Diagrama de Estados de Esfuerzo para el diseño en ETAPA II.
1
0W
Pe
A
P
1W
M pp
pp ó M1 101 'Rpp
Pretensado inicial
1W
SS 2
11
2 RWW
e S
Pretensado final
2
'
0W
Pe
A
P
2
'
W
M pp
pp ó M1 101 ''' Rpp
Pretensado inicial
2
'
W
SS '
2
22
'
2 RWW
e S
Pretensado final
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
82
(1) 10 'Rpp
(2) 10 Rpp Cuatro Condicionales de Diseño
(3) 20 Rspp
(4) 20 ''' Rspp De aquí sacaremos las expresiones para diseñar.
2.6.3 TIPOS DE DISEÑO Existen dos formas de diseñar una viga pretensada:
1) Calculando la sección: Se calcula primero la sección bajo criterios de eficiencia u optimización.
2) Con la sección fijada: La sección se fija con criterios constructivos, de recomendaciones de secciones óptimas o por proyecto típico (secciones estándares).
Este caso tiene dos variantes:
Con excentricidad conocida
Con excentricidad desconocida El primero de los casos es muy sencillo.
2.6.4 DETERMINACIÓN DE LA SECCIÓN En este caso las incógnitas son: La sección transversal, P (Pi), y e. Primero habrá que calcular la sección que consiste en determinar las características W1 y W2 y luego P y e que satisfaga las cuatro condicionales antes vistas. En el primer cálculo se pueden obtener W1, W2 y h a través del concepto de núcleo límite y las expresiones para determinarlo. Luego que tenemos esos parámetros geométricos solo nos falta definir el área de la sección que cumpla esas condiciones. Se usa el principio de área mínima, es decir, la distribución de área que haga un máximo de W1 y W2 (de inercia máxima un área mínima para gastar menos materiales, o costo mínimo del elemento que es un problema más difícil).
1
2
1
c
r
A
W y
2
2
2
c
r
A
W buscando máxima W con mínimo A
A
Ir 2
2r
IA
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
83
Resulta:
2
2
1
21
c
r
c
r
h (6.1)
Donde: ρ = Eficiencia. Las secciones “I” bien proyectadas tienen ρ ≈ 0.5 Las secciones rectangulares tienen ρ = 0.33, por lo tanto, no son económicas desde el punto de vista del consumo de materiales como para un peralte dado. Claro que el costo no solo depende del gasto de materiales, depende del encofrado, mano de obra, etc. Por eso el mejor concepto sería el de minimización total del costo del elemento. Negrín (2007).
La racionalización u optimización de la sección no será tema de estudio de este manual (es tema de postgrado) por tal razón nos ocuparemos del segundo tipo de problemas. Pero comenzaremos estudiando ese problema dando criterios, de varios autores y códigos, para predimensionar la sección transversal de una viga pretensada. Luego pasaremos a estudiar el problema de diseño con sección prefijada en sus dos casos.
2.6.5 CRITERIOS PARA LA ELECCIÓN DE LA FORMA DE LA SECCIÓN 1. - Para vigas de pequeñas luces (soluciones de entrepisos), donde la carga muerta es solo una pequeña fracción de la carga total a soportar, los miembros rectangulares proporcionan la solución más económica, pues minimizan el costo de encofrado. Pero estas secciones tienen un núcleo de la sección pequeña, lo que significa, cuando hay varios cables calculados, gran dificultad de lograr el cable resultante dentro del núcleo. 2. - Cuando las luces son medianas o grandes se prefieren secciones “I” en sus distintas variantes:
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
84
Figura 6.2 Variantes de secciones “I”. Recomendaciones para el predimensionamiento: Negrín (2007)
1) Peraltos (h).
a) h
L= 16 ~ 22 dependiendo de carga y condiciones de diseño.
h = 16
L ~
22
L
b) Pocos tableros ligeramente cargados u de entrepiso.
h = 30
L ~
40
L
c) Para tableros cajón.
h < 40
L
d) Otras fórmulas según Guyón (1965).
a) h = L/20 para L ≤ 30 m b) h = L/17 para L ≈ 30~50 m c) h = L/15 para L ≈ 50~100 m
d) L
LLh
*04.03
*04.01*
11; h y L en (m)
e) h/L = 0.1+L/25 para vigas de puentes simplemente apoyadas, L ≈ 20~40 m
f) h = (0.1~0.3)* LM
g) h = (15~20)* 3TM
Para luces mayores debe incrementarse.
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
85
2) Espesor mínimo del alma ( wb ).
Se determina por los espacios mínimos requeridos por los tendones y el refuerzo auxiliar y por los requisitos de recubrimiento. Hay que tener en cuenta también la constante y la posibilidad de buena fundición sin vacíos o aire entrampado.
a) hbw *8
1~
7
1 para h ≤0.8m
b) 40
09.0h
bw para h >0.8m
c) Vainaw cmh
b 5.536
d) cmbw 16min
3) Espesor del ala superior (hf).
a) hf =(0.1~0.5)*h 4) Espesor del ala inferior (hf‟).
a) hf‟ =(0.2~0.3)*h b) hf‟ =(0.5~0.6)*b‟
5) Ancho del ala superior (b). a) b ≤0.8*h b) b ≤ h para vigas con rigidizadores. c) b ≥ 0.4*h valor mínimo.
6) Ancho del ala inferior (b‟).
a) b‟ =(2~4)* wb
Se debe ajustar buscando una eficiencia (ρ) sobre 0.5 algunas recomendaciones pueden ser: (para puentes o para elementos con libertad constructiva, sino usar los estándares.) En general las vigas “I” bien diseñadas tienen una ρ ≈ 0.5. Las ρ menores que más o menos 0.45 indican secciones muy pesadas (robustas) y las mayores de 0.55 muy esbeltas que son casi imposibles de construir en la práctica. Negrín (2007).
Secciones estándares Con la práctica de las constantes pretensada durante años han surgido ciertas formas eficientes muy usadas, de secciones transversales para: Paneles de piso y cubierta, muros, vigas, columnas y vigas de puentes.
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
86
Sección constructiva
Figura 6.3 Detalles de sección constructiva.
2.6.6 DISEÑO EN ETAPA ELÁSTICA CON SECCIÓN FIJADA
La sección se fija por los criterios dados en el epígrafe anterior. Siempre es bueno probar el valor de ρ. En este problema, con sección de datos aparecen dos casos: Excentridad conocida y no conocida. Ordenemos las expresiones de diseño que salen a partir de las cuatro condiciones de diseño:
1. 2
11
0 RW
M
W
Pe
A
P T
2. '
2
22
0 RW
M
W
Pe
A
P T
3. '
1
11
0i
ppii RW
M
W
eP
A
P
4. i
ppii RW
M
W
eP
A
P1
22
0
1 y 2 son estados de carga. 3 y 4 estado de vacío.
PPi
α = 1.1 hasta 1.25 Pérdidas del 10% al 25 % diferida.
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
87
α = 1 + pérdidas en un tanto por uno. Del principio 1:
1
2
1
01
W
MR
W
e
AP T
1
1c
IW
A
Ir 2 IAr 2
1
22
101
W
MR
Ar
ce
AP T
1
22
10
2
W
MR
Ar
cerP T
PW
MR
Ar
rce T 1*
1
22
2
10
ARW
Mr
rce
PT
2
1
2
2
101
ARW
MD T
2
1
D
r
ce
Dr
rce
P
11 2
10
2
2
10
Por tanto para el resto de los principios:
1. D
r
ce
P
11 2
10
ARW
MD T
2
1
2. '
2
20 11
D
r
ce
P AR
W
MD T '
2
2
'
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
88
3. iD
r
ce
P '
2
10 11
ARW
MD i
PPi
'
1
1
'
4. iD
r
ce
P
11 2
20
ARW
MD i
PPi 1
2
En un problema con excentricidad de dato se busca la fuerza de pretensado con los principios 1 y 2. Se toma la mayor fuerza de pretensado que dé. Luego se chequean los principios 3 y 4 de la siguiente manera: Negrín (2007)
PPi
3. '
1
11
0i
ppii RW
M
W
eP
A
P
4. i
ppii RW
M
W
eP
A
P1
22
0
Ejemplo 6.1. Diseño con e0 conocida: Determinar el número de cables. La solución de este ejercicio presenta una ayuda de diseño preparada en Excel, según se muestra en el Anexo #1.
Figura 6.4 (a) Luz del puente. (b) Sección transversal de la viga cajón.
Carga equivalente de vehículos 15 kN/m.
Carga permanente sin peso propio de una losa de 15cm de espesor.
Separación entre cajones 2m.
Se usarán cables de 12 alambres de 7mm de diámetro.
Al momento de tesarse los cables (9 días), el hormigón tiene el 90% de la resistencia.
Pérdidas aproximadamente del 18%.
f‟c=35MPa.
fpy=1600MPa.
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
89
R2=0.45*f‟c=0.45*35MPa=16MPa.
R‟2=-2MPa.
Ri1=0.6*fci=0.6*0.9*35MPa=18.9MPa.
Ri‟1=-3MPa.
Evaluación del predimensionamiento. Estos son los valores que por criterios de predimensionamiento debe cumplir la sección transversal de este problema.
20
Lh para mL 30
cmcm
h 6020
1200
hb *8/1~7/10 para mh 8.0
cmb 6.8~5.70
ht *5.0~1.0
cmt 30~6
ht *3.0~2.0'
cmt 18~12'
hb *8.0 y hb *4.0 valor mínimo
cmb 48 cmb 24
0
' *4~2 bb
cmb 4.34~15'
Características geométricas:
cmc
cmcmc
chc
cmc
c
c
cmA
cmcmcmA
cmcmcmA
cmcmcmA
T
25.27
75.3260
75.32
96625*2950
)5.7(*1050)23515(*700)55(*1200*2950
2950
105015*70
700)35*10(*2
120010*120
1
1
21
2
2
2
2
2
3
2
2
1
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
90
4
23
2323
21.1364705
60407508.7150213.689128
)75.3255(*120010*120*12
1
)5.3275.32(*70035*20*12
1)5.775.32(*105015*70*12
1
cmI
I
cmI
2
2
42
34
2
2
34
1
1
61.4622950
1364705
39.4167075.32
21.1364705
93.5008025.27
21.1364705
cmcm
cm
A
Ir
cmcm
cm
c
IW
cmcm
cm
c
IW
Eficiencia:
518.0
)75.32
61.462
25.27
61.462(*
60
1
)(*1
22
2
2
1
2
cm
cm
cm
cm
c
r
c
r
h
(Distribución de inercia muy cercana a la óptima). Solicitaciones:
mkNmkNmkNM
mkNmkNmkNM
mkNM
mkNmkNmmq
mkNM
lqM
mkNmmkNq
mkNM
lqM
mkNmkNmq
T
LD
D
D
L
LL
L
pp
pppp
pp
.75.807.675.75.132
*675.540.135
.13512*5.7*8/1
/5.7/25*2*15.0
.54012*30*8/1
**8/1
/302*/15
.75.13212*375.7*8/1
**8/1
/375.7/25*2950.0
2
3
2
2
2
2
2
32
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
91
1. Prefijar excentricidad.
Figura 6.5 Detalle de recubrimiento estructural de los ductos.
cmcmcme 25.255.775.320
2. Cálculo de P por condiciones (1) y (2).
kN
cmkN
r
ce
ARW
M
P
kN
cmkN
r
ce
ARW
M
P
T
T
74.1839
161.462
75.32*25.25
2950*/2.039.41670
80775
1*
*
02.78
161.462
25.27*25.25
2950*/6.193.50080
80775
1*
*
2
2
20
'
2
2
2
2
10
2
1
Trabajamos con la mayor P=1383.74kN
kNkNP
PP
i
i
89.217074.1839*18.1
*
KOcmkNcmkN
W
M
W
eP
A
P
KOcmkNcmkN
W
M
W
eP
A
P
i
i
PPiii
i
i
PPiii
./89.1/73.13186.03154.17359.0
39.41670
13275
39.41670
25.25*89.2170
2950
89.2170
*
./3.0/0935.02651.00945.17359.0
93.50080
13275
93.50080
25.25*89.2170
2950
89.2170
*
221'
1'
22
01'
22
1
1
11
01
3. Cálculo del # de cables.
4
)7.0(*
4
* 22dA
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
92
cm
cmA
vaina 5.4
61.4 2
Tracción límite en el acero.
MPaMPa
f
po
pypo
9601600*6.0
*6.0
cableskN
kN
P
P
kNcmcmkNP
cable
cables
cable
5157.456.442
74.1839#
56.44261.4*/96 22
Figura 6.6 Detalle de la ubicación constructivas de los cables obtenidos en el diseño. Los 5 cables caben muy bien en el ancho de la sección. Reajustar la tracción de los cables.
MPacmkNcm
kN
A
P
cables
po 2.798/82.7961.4*5
74.1839
*#
2
2
Ejemplo 6.2. Diseño con e0 no conocida.
Diseñar una viga pretensada de 20m de luz para soportar un momento total (sin considerar peso propio) de1500kN.m
Figura 6.7 Sección transversal de la viga pretensada.
Se usarán cables de 12 alambres de 7mm de diámetro. PФ=442kN.
Al momento de tesarse los cables (9 días), el hormigón tiene el 90% de la resistencia.
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
93
Pérdidas aproximadamente del 16%.
f‟c=35MPa.
fpy=1600MPa.
R2=0.4*f‟c=0.4*35MPa=14MPa.
R‟2=0
Ri1=0.6*fci=0.6*0.9*35MPa=18.9MPa.
Ri‟1=-2MPa. Características geométricas:
cmc
cmcmc
chc
cmc
c
c
cmA
cmcmcmA
cmcmcmA
cmcmcmA
T
06.51
94.58110
94.58
220900*3748
)13(*1300)26826(*1088)102(*1360*3748
3748
130026*50
108868*16
136016*85
2
1
21
2
2
2
2
2
3
2
2
2
1
4
23
2323
98.5788002
83.255067514.42046501.2816862
)94.58102(*136016*85*12
1
)94.5860(*108868*16*12
1)1394.58(*130026*50*12
1
cmI
I
cmI
2
2
42
34
2
2
34
1
1
29.15443748
98.5788002
61.9820194.58
98.5788002
89.11335606.51
98.5788002
cmcm
cm
A
Ir
cmcm
cm
c
IW
cmcm
cm
c
IW
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
94
Chequeo de eficiencia:
513.0
)94.58
29.1544
06.51
29.1544(*
110
1
)(*1
22
2
2
1
2
cm
cm
cm
cm
c
r
c
r
h
(Distribución de inercia muy cercana a la óptima) Solicitaciones:
mkNmkNmkNM
mkNM
mkNM
lqM
mkNmkNmq
T
LD
pp
pppp
pp
.5.1968.5.468.1500
*1500
.5.46820*37.9*8/1
**8/1
/37.9/25*3748.0
2
2
32
Principio 1:
kNARW
MD t 12613748*4.1
113357
1968502
1
1261
1*033.01
3.1544
06.51**
1261
11
**
11 00
2
10 ee
r
ce
DP
Intersectos: (e; 0)
cme
e
P
30.30
01261
1*033.0
01
0
0
(0;P
1)
Para 00e
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
95
40 1093.71261
1*033.01x
e
P
Puntos de la recta: (30.30cm; 0) y (0; -0.000793) Notar que el intercepto es r2/c1 Principio 2:
kNARW
MD t 75133748*0
98202
196850'
2
2
'
7513
1*0382.01
3.1544
94.58**
7513
11
**
11 00
2
20
'
ee
r
ce
DP
Intersectos: (e; 0)
cme
e
P
18.26
07513
1*0382.0
01
0
0
(0;P
1)
Para 00e
40 1033.17513
1*0382.01x
e
P
Puntos de la recta: (-26.18cm; 0) y (0; 0.000133) Principio 3:
kNARW
MD PP
i 22983748*2.0113357
46850'
1
1
'
2298
)1*033.0(*16.11
3.1544
06.51**
22981
**
1 00
2
10
'
ee
r
ce
DPi
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
96
Intersectos: (e; 0)
cme
e
P
30.30
02298
)1*033.0(*16.1
01
0
0
(0;P
1)
Para 00e
40 1005.52298
1*033.0(*16.11x
e
P
Puntos de la recta: (30.30cm; 0) y (0; 0.000505) Principio 4:
kNARW
MD PP
i 88723748*89.198202
468501
2
8872
)1*0382.0(*16.11
3.1544
94.58**
88721
**
1 00
2
20 ee
r
ce
DP i
Intersectos: (e; 0)
cme
e
P
18.26
08872
)1*0382.0(*16.1
01
0
0
(0;P
1)
Para 00e
40 1031.18872
1*0382.0(*16.11x
e
P
Puntos de la recta: (-26.18cm; 0) y (0; 0.000131) Los resultados se grafican como se muestra en la figura 6.8 según una hoja de cálculo preparada en Excel, ver Anexo #2, donde la zona útil según Bermúdez (2000), indica todas las combinaciones que cumplen las cuatro condiciones.
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
97
Figura 6.8 Zona útil que define el diseño.
Ahora solo resta escoger la solución que constructivamente sea factible. La solución más racional debe ser la de menor fuerza de pretensado (mayor excentricidad), pero para esa solución no es posible lograr el cable resultante dentro de la sección. Para obtener la solución final hay que buscar en las especificaciones constructivas que veremos a continuación: Sobre separación entre cables (ductos de los cables) y recubrimientos tenemos los siguientes valores mínimos:
Figura 6.9 Espaciamientos mínimos recomendables. Negrín (2007)
Ductos de postensado: Para cables de un solo alambre, torón o varilla que se vaya a inyectar lechada
(agua, arena y cemento) deben tener un diámetro interior de por lo menos 6mm (1/4") mayor que el diámetro del cable.
Para cables de varios alambres: un área transversal interior superior a 2 áreas netas del cable.
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
98
Comencemos, con estas especificaciones, a buscar el # de cables de nuestra viga. Usemos cables de 12 alambres de 7mm. Área del cable = 4.61cm2 Área del ducto ≈ 2 (4.61cm2) ≈ 9.22cm2 Diámetro del ducto ≈ 3.43cm P de un cable=442kN Hay que escoger una e0 bastante menor que c1. Por lo que para Pmín→e0 ≈55cm (no se puede).
Para 410*5.31
P kNP 2857
Entrando con 410*5.31
P según muestra la figura 6.10.
Figura 6.10 Zona útil y combinación de 1/P y e0 que pudiera definir el diseño.
cme 440
cableskN
kNdecables 746.6
442
2857#
cmy
cmcmy
eVy
P
P
P
94.14
4494.58
' 0
Para lograr esta dimensión de (yP) debemos fijar la posición y el espaciamiento entre cables, recubrimiento estructural y dejar como incógnita la dimensión (x), según se muestra en la figura 6.11. De esta forma lograremos la excentricidad deseada para este caso de 44cm.
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
99
Figura 6.11 Propuesta de distribución de cables para lograr la excentricidad deseada.
7*(14.94cm)=4*(6)+1*(x+6)+1*(x+14)+1*(x+22)
x=12.86cm Transformando esta distribución de cables a una solución constructiva y para este último valor de (x) pero reajustándolo a 12cm, se obtiene un yP=14.57cm que equivale a una excentricidad de 44.37cm y luego entrando en el gráfico anterior, de forma
inversa, obtendremos un valor de 410*2.31
P, es decir, kNP 3125 .
Reajustando el número de cables.
cableskN
kNdecables 7
442
3125#
kNP
kNP
PP
i
i
i
3625
3125*16.1
*
Por tanto con 7 cables de 12 alambres Ф7mm y la siguiente solución constructiva de los mismos queda diseñada nuestra viga pretensada según se muestra en la figura 6.12.
Figura 6.12 Solución constructiva de cables con la que queda diseñada la viga.
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
100
Ejemplo 6.3: Revisión de máximo momento elástico. (Viga del puerto de Cienfuegos).
La solución de este ejercicio presenta una ayuda de diseño preparada en Excel, según se muestra en el Anexo #3.
Figura 6.13 Sección transversal de la viga “I”. (Sección central)
Datos:
Carga peso propio de la viga de 17.5T.
Espaciamiento entre vigas es de 1.2m.
fpy=160kg/mm2→1600MPa.
0.8*fpy=128kg/cm2→1280MPa.
f‟c=350kg/cm2.
Luz=9.6m.
11cables con 12Ф7mm.
Tensión permanente 75kg/m2→750MPa
P*α=380.48T.
AФ=4.61cm2.
R2=0.4*f‟c=0.4*35MPa=14MPa.
R‟2=-2.8MPa.
PФ=75000T/m2*0.000461m2 Pα de un cable = 34.6T Pcable=34.575 T*11cables= 380.325T
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
101
Antes de las pérdidas:
TP
mmTP
mkNmmkg
i
i
P
93.59
000461.0*/130000
/130000/130
22
22
Excentricidad:
cme
e
30
)88(*1)71(*1)54(*1)37(*1)20(*3)5(*4*11
0
0
Solicitaciones:
Losa de 12cm.
mkNmmkNM
lqM
mkNqq
mkNm
kNq
mkNmkNmmq
DTotal
DTotal
PPD
PP
D
/86.2436.9*/17.21*8/1
**8/1
/17.21
/7.176.9
170
/46.3/24*20.1*12.0
2
2
3
Características geométricas:
cmc
cmcmc
chc
cmc
c
c
cmA
cmcmcmA
cmcmcmA
cmcmcmA
T
04.57
96.72130
96.72
44.438781*6014
)119(*2640)75.67(*1449)2/5.27(*1925*6014
6014
264022*120
14495.80*18
192570*5.27
1
1
21
2
2
2
2
2
3
2
2
1
4
23
2323
13394288
4.57024398.8217915.6870026
)1104.57(*264022*120*12
1
)75.6796.72(*14495.80*18*12
1)2/5.2796.72(*1925)5.27(*70*12
1
cmI
I
cmI
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
102
2
2
42
34
2
2
34
1
1
2.22276014
13394288
18358496.72
13394288
7.23482204.57
13394288
cmcm
cm
A
Ir
cmcm
cm
c
IW
cmcm
cm
c
IW
Eficiencia:
54.0
)96.72
2.2227
04.57
2.2227(*
130
1
)(*1
22
2
2
1
2
cm
cm
cm
cm
c
r
c
r
h
(Distribución de inercia próxima a convertirse en esbelta).
kNTP
RW
M
W
eP
A
P
RW
M
W
eP
A
P
T
T
25.3803325.380*
*
*
'
2
22
0
2
11
0
Condición 1:
mkNM
MmkNmkNM
mkNMmkNmkN
mkNm
M
m
m
m
kN
T
DTotalT
T
T
*2700
)(*86.243*5.2943
/14000*25853.4/9.4858/6324
/1400234823.02324823.0
3.0*25.3803
6014.0
25.3803
222
2
332
Condición 2:
mkNM
MmkNmkN
m
M
m
m
m
kN
T
T
T
*2302
0*4471.5/6215/6324
0183584.0183584.0
3.0*25.3803
6014.0
25.3803
22
332
Suponiendo 2'
2 /28008.2 mkNMPaR
mkNM
MmkNmkNM
mkNMmkNmkN
T
DTotalT
T
*2572
)(*86.243*2816
/2800*4471.5/6215/6324 222
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
103
Decide la condición 2 porque ofrece un menor MT.
TmkNm
mkNq
ó
mkNq
mkNlqM
L
L
L
6.18/1862.1
/28.223
/28.223
*2572**8/1
2
2
Esta es la máxima Lq que soporta la viga.
2.6.7 DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS ELÁSTICOS EN EL ACERO DE
PREEESFUERZO PARA SECIONES NO AGRIETADAS
1. Debido a la fuerza ejercida por el gato: fpj = Pj / Ap (6.2) 2. Debido a la fuerza de pretensado inicial (después de pérdidas instantáneas) más
el peso propio: fpi = (Pi / Ap) + np.ζpp (6.3) Donde: np = Ep / Ec ζpp = Mppe / Ic (esfuerzo en el hormigón debido al peso propio) El segundo término de la ecuación 6.3 representa la parte del esfuerzo debido al peso propio, determinado en base al área transformada. Para secciones no agrietadas es pequeño y se desprecia. 3. Debido a la fuerza de pretensado efectiva (después de pérdidas totales) más las
cargas de servicio: fpe = (Pe / Ap) + npζcs (6.4) Donde: ζcs = Mse / Ic De nuevo, para secciones no agrietadas, el segundo término es pequeño y se desprecia.
2.6.8 CAPACIDAD ÚLTIMA A LA FLEXIÓN La propiedad más importante de una estructura es su resistencia, debido a que la resistencia del miembro está relacionada directamente con su seguridad. La resistencia de un miembro de hormigón pretensado no esta automáticamente asegurada por la limitación de los esfuerzos bajo carga de servicio. Si el miembro tuviera que sobrecargarse, ocurrirían importantes cambios en su comportamiento por el agrietamiento y debido a que uno o los dos materiales alcanzarían niveles de
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
104
esfuerzo dentro del rango inelástico antes de la falla. El factor de seguridad real solamente puede establecerse calculando la resistencia del miembro, con un reconocimiento total de estos efectos, y comparando la carga que produciría la falla del miembro con aquella que se espera actúe. Ya se mostró que las vigas de hormigón pretensado difieren en su comportamiento de las de hormigón reforzado. A medida que se incremente la carga hasta más o menos el nivel de la carga se servicio, las fuerzas que componen el par interno resistente permanecen casi constantes, siendo el incremento en el momento aplicado resistido a través de un aumento en el brazo del par interno. Obviamente, esto no puede continuar indefinidamente, después del agrietamiento sobreviene un incremento súbito en el esfuerzo del acero, acompañado por un aumento en el esfuerzo de compresión resultante en el hormigón. A medida en que se continúa incrementando la carga, una viga pretensada se comporta más similarmente a una viga ordinaria de hormigón reforzado. El brazo interno permanece más o menos constante, y se incrementa con la carga tanto los esfuerzos en el hormigón como los del acero. Igual que en una viga de hormigón reforzado, la capacidad a la flexión se alcanza cuando el acero se esfuerza hasta su resistencia última o cuando se alcanza la capacidad de deformación del hormigón. Sin embargo, aún para cargas próximas a la última, existen diferencias importantes entre las vigas de hormigón reforzado y las pretensadas, como consecuencia de lo siguiente:
1) En hormigón reforzado, cuando las cargas se anulan, se anulan también las deformaciones en el acero. En hormigón pretensado, la deformación de los tendones bajo cargas nulas no es cero, sino que corresponde al preesfuerzo efectivo después de las pérdidas. Cualquier deformación posterior en el acero causada por las cargas aplicadas se suma a esta deformación preexistente.
2) Las características de esfuerzo-deformación del acero del preesfuerzo son bastante diferentes de las de las varillas de refuerzo, los aceros del preesfuerzo no presentan una meseta definida de fluencia. La fluencia se desarrolla gradualmente y, en el rango inelástico, la curva esfuerzo-deformación continua elevándose suavemente hasta que se alcanza la resistencia de tensión. La diferencia entre la resistencia nominal a la fluencia fpy y la resistencia última a la tracción fpu es mucho más pequeña para los aceros de preesfuerzo que para los aceros ordinarios de refuerzo. También, la deformación total εpu en la ruptura es mucho más pequeña.
1. Curvas de esfuerzo-deformación
Las curvas representativas de esfuerzo-deformación para el acero de preesfuerzo y el hormigón se muestran, para propósitos de referencia, en la figura 6.14. Para el acero, en la figura 6.14a, una notación conveniente y fácil de recordar es la siguiente: fpe , εpe = esfuerzo y deformación en el acero debidos a la fuerza pretensora efectiva P, después de las pérdidas (el ACI lo designa fse) fpy , εpy = esfuerzo y deformación de fluencia para el acero.
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
105
fpu , εpu = resistencia y deformación últimas del acero. fps , εps = esfuerzo y deformación del acero cuando la viga falla.
Figura 6.14 Curvas representativas de Esfuerzo-deformación. (a) Acero de
preesfuerzo (b) Hormigón. En el caso del hormigón, la resistencia última a la compresión, se denomina f‟c, como siempre, y la deformación en la falla es εcu, tal como se muestra en la figura 6.14b. Las mediciones de la deformación al momento de la falla en vigas de prueba indican que los valores de εcu se encuentran entre 0.003 y 0.004. De acuerdo con el Código del ACI, aquí se empleara una deformación límite para el hormigón de 0.003 (tal como se hizo en Hormigón Armado) 2. Distribución sucesiva de esfuerzos en el hormigón a medidas que la viga es sobrecargada.
Al igual que las vigas de hormigón reforzado, las vigas pretensadas se pueden dividir en 2 tipos, basándose en su tipo de falla por flexión. Para vigas subreforzadas la falla se inicia con la fluencia del acero de tensión. Las grandes deformaciones involucradas permiten el ensanchamiento de las grietas de flexión y su propagación hacia el eje neutro. Los esfuerzos de compresión en el hormigón aumentados actuando sobre una reducida área de compresión provocan una falla “secundaria” del hormigón a la compresión, aún cuando la falla se inicio con la fluencia. El esfuerzo en el acero al momento de la falla estará entre los puntos A y B de la figura 6.14a. Las grandes deformaciones del acero producen un agrietamiento visible y una deformación considerable del miembro antes de que se alcance la carga de la falla. Por otro lado, las vigas sobre reforzadas fallan cuando el hormigón alcanza la deformación límite de compresión, a una carga para la cual el acero está aun por debajo de su esfuerzo de fluencia, entre los puntos 0 y A de la figura 6.14a. Este segundo tipo de falla viene acompañado con un desplazamiento hacia abajo del eje neutro, debido a que el hormigón está esforzado dentro de su rango inelástico, en tanto que la respuesta del acero es aún elástica. Este tipo de falla ocurre súbitamente con poco aviso.
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
106
Las distribuciones del esfuerzo de compresión en el hormigón de vigas pretensadas sub. y sobre reforzadas, bajo niveles sucesivos de carga, se muestran en la figura 6.15. Tanto para los miembros sobre como subreforzados, es posible hallar la distribución de esfuerzos para cualquier nivel de carga de las curvas esfuerzo-deformación del hormigón, tal como sigue. Con base en que es aplicable la suposición usual de que las secciones transversales planas de una viga permanecen planas a medida que se aplica el momento de flexión, las deformaciones en el hormigón para cualquier nivel de carga varían linealmente desde cero en el eje neutro hasta un máximo en la cara superior. En consecuencia la variación del esfuerzo de compresión con la distancia del eje neutro es idénticamente igual a la variación del esfuerzo con la deformación indicada por la curva esfuerzo-deformación hasta aquella deformación que corresponde al máximo valor, en la cara superior de la viga. Consecuentemente, la distribución de esfuerzos para el estado (1) (figuras 6.15a o 6.15b, es aproximadamente lineal, en tanto que para el estado (2) presenta una pequeña curvatura cerca de la parte superior de la viga. En el estado (3) se reproduce la curva esfuerzo-deformación hasta llegar al esfuerzo máximo f‟c, pero no se llega a la falla hasta el estado (4) en que la máxima deformación es igual a εcu, y se reproduce totalmente la curva esfuerzo-deformación.
Figura 6.15 Distribuciones sucesivas de esfuerzos de flexión a medida que se incrementa la carga desde la de agrietamiento hasta la última. (a) Viga pretensada subreforzada. (b) Viga pretensada sobre reforzada. Salvo casos excepcionales, las vigas de hormigón pretensado son subreforzadas. Cuando el hormigón alcanza su deformación límite, el esfuerzo en el acero fps está entre fpy y fpu, tal como se muestra en la figura 6.14a.
Capítulo II: Manual Básico
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107
Es interesante observar que una viga pretensada sobre reforzada, en la cual el esfuerzo en el acero está debajo de la fluencia en la falla, se puede transformar en una viga pretensada subreforzada incrementando la intensidad del preesfuerzo en el acero. Así, resulta evidente que la distinción entre una viga pretensada subreforzada y otra sobre reforzada, depende no solamente del porcentaje del acero y de las propiedades de los materiales, como en las vigas de hormigón reforzado, sino también de la intensidad del preesfuerzo del acero. Pero también deberá notarse que, si se va a incrementar la intensidad del esfuerzo en el acero, debiéndose mantener la misma fuerza pretensora, se requerirá disminuir el área de acero. Realmente es este cambio el que causa que la viga sea subreforzada, de acuerdo con la definición dada. Palacios (2004)
3. Esfuerzo en el acero de preesfuerzo para la falla a flexión. Ecuaciones del
código ACI.
Cuando una viga de hormigón pretensado falla a flexión, el acero de preesfuerzo esta
sometido a un esfuerzo psf que es mayor que el preesfuerzo efectivo
pef , pero menor
que la resistencia última a tensión puf . Si el preesfuerzo efectivo
psepe APf / no es
menor que puf5.0 , el Código ACI 18.7.2 permite la utilización de ciertas ecuaciones
aproximadas para estimarpsf . Estas ecuaciones parecen bastante complejas,
principalmente porque están formuladas de modo general para tener en cuenta las diferencias en los tipos de acero de preesfuerzo y aplicarlas a vigas donde pueden incluirse barras de refuerzo no preesforzadas en la zona de tensión por flexión, o en la región de compresión, o en ambas. Se dan ecuaciones independientes para elementos para elementos con tendones adheridos y con tendones no adheridos porque, en este último caso, el aumento del esfuerzo en el acero, en la sección de máximo momento, a medida que la viga se sobrecarga, es mucho menor que si el acero se adhiere en toda su longitud. Para el caso básico, en el cual el acero de preesfuerzo proporciona todo el esfuerzo a flexión, las ecuaciones del Código ACI pueden plantearse de la siguiente manera simplificada: a) Para tendones adheridos
c
pu
ppupsf
fff
'5.01
(6.5) b) Para tendones no adheridos
p
c
peps
fff
100
'000,10
(6.6) Pero ningún caso mayor que fpy ó (fpe + 287.4MPa). Todos los esfuerzos en estas ecuaciones están en MPa. El porcentaje de acero de preesfuerzo ρp es igual a:
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108
p
p
pbd
A (6.7)
Donde b es el ancho de la cara a compresión de la viga. Pueden suponerse que las varillas de refuerzo no preesforzadas actúan a su esfuerzo de fluencia. Para vigas de sección transversal rectangular o para vigas de sección “T” o “I” en las cuales la profundidad del bloque de esfuerzos cae dentro del patín a compresión, la resistencia nominal a la flexión es:
2
adfAM ppspn (6.8)
y
bf
fAa
c
psp
'85.0 (6.9)
Para fines del diseño, de acuerdo con el código, esta resistencia nominal debe de multiplicarse por un factor de reducción de resistencia φ para obtener la resistencia del diseño.
2
adfAM ppspn (6.10)
Donde φ = 0.90 para flexión. Para miembros con patines tales como las vigas “I” y “T”, en las cuales la profundidad del bloque de esfuerzos es más grande que el espesor del patín, el área total de acero, por razones de cálculo, se divide en dos partes. La primera parte es el Área Apf que actúa bajo el esfuerzo fps y equilibra exactamente a la compresión en las porciones sobresalientes del patín:
fw
ps
c
pf hbbf
fA )(
'85.0
(6.11) y actúa con un brazo de palanca interno [dp – (hf / 2)]. Todos los términos geométricos se definen en la figura 6.16. La parte restante del área de acero Apw viene aparejada con la compresión en al alma. Consecuentemente,
pfppw AAA (6.12)
y la profundidad del bloque de esfuerzos es:
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109
wc
pspw
bf
fAa
'85.0 (6.13)
De acuerdo con los comentarios del Código, este es generalmente el caso cuando el espesor del patín es menor que (1.4dρnfps) / f‟c. El brazo del par interno para esta parte del momento resistente es [dp - (a/2)]. El momento total resistente en la falla se halla sumando las dos partes:
22
f
ppspfppspwn
hdfA
adfAM (6.14)
Figura 6.16 División de la zona de compresión en una viga con un patín para el
calculo del momento resistente último. Y para fines de diseño, como es usual, la resistencia a la flexión se supone igual a
nM.
Si el índice del esfuerzo
c
ps
pf
fp
' (6.15)
Sobrepasa 0.30, se ha encontrado que las ecuaciones no se correlacionan bien con las pruebas. En consecuencia, para tales casos el Código da expresiones alternativas para el momento último. Para vigas rectangulares, o para aquellas en las que la profundidad del bloque de esfuerzos es menor o igual que el espesor del patín: Mn = 0.25f‟cbdp
2 (6.16) Y para secciones con patines en las que la profundidad del bloque de esfuerzos es mayor que el espesor del patín:
Capítulo II: Manual Básico
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110
285.025.0 '2' f
pfwcpwcn
hdhbbfdbfM (6.17)
En cualquier caso, la resistencia de diseño deberá tomarse igual a nM .
Como una medida de precaución en contra de una falla abrupta resultante de la rotura del acero del preesfuerzo inmediatamente después del agrietamiento, el Código especifica que el momento resistente último sea por lo menos 1.2 veces el momento de agrietamiento. 4. Algoritmo de Cálculo (Ecuaciones ACI) Si fpe > 0.5fpu Para tendones con adherencia:
c
pu
ppupsf
fff
'5.01
≤ pyf ó MPaf pe 4.287
c
p
pf
A
'
Tendones sin adherencia:
p
c
peps
fff
100
'000,10
≤ pyf ó MPaf pe 4.287
Si 3.0*'
c
ps
pf
f
Sección rectangular o “T” e “I” trabajando como rectangular
Si '
***4.1c
ps
ppf
fdhf
bf
fAa
c
psp
'85.0
2
adfAM ppspn
nu MM Ф=0.9
Capítulo II: Manual Básico
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111
Sección “T”:
Si '
***4.1c
ps
ppf
fdhf
Entonces:
fw
ps
c
pf hbbf
fA
'85.0
pfppw AAA
wc
pspw
bf
fAa
'85.0
22
f
ppspfppspwn
hdfA
adfAM
Mu ≤ φMn
Si 3.0*'
c
ps
pf
f
Para viga rectangular
2'25.0 pwcn dbfM
Y para secciones con patines en las que la profundidad del bloque de esfuerzos es mayor que el espesor del patín: Sección “T”
285.025.0 '2' f
pfwcpwcn
hdhbbfdbfM
5. Ejemplo 6.4. Capacidad última a la flexión mediante las ecuaciones del ACI. Encontrar la capacidad de momento último de la viga del ejemplo 6.3 del epígrafe 2.6.6 usando las ecuaciones aproximadas del ACI. La solución de este ejercicio presenta una ayuda de diseño preparada en Excel, según se muestra en el Anexo #4. La relación de preesfuerzo efectivo a la resistencia última del acero es:
50.075.01000
31.750
MPa
Mpa
f
f
pu
pe
Consecuentemente, puede usarse la ecuación (6.7) para hallar el valor aproximado del esfuerzo en el acero en la falla. Con la relación de acero
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112
00423.0100*120
71.50
*
2
cmcm
cm
db
A
p
p
p
El esfuerzo en la falla, mediante la ecuación (6.5) es: Para tendones adheridos.
c
pu
ppupsf
fff
'5.01
MPaMpaf ps 63.93935
1000*00423.0*5.01*1000
Pero los valores superiores límites valen:
MPaf py 1600 ó MPaMPaf pe 71.10374.28731.7504.287
En este caso, el límites que rige el diseño es el propio valor MPaf ps 63.939 y según
el código. De la ecuación (6.15) el índice de refuerzo es:
11.035
63.939*00423.0*
' MPa
MPa
f
f
c
ps
p
Como este valor es menor que 0.30 la viga se clasifica como subreforzada (hipo-reforzado) de acuerdo con el código y pueden aplicarse tanto la ecuación (6.8) ó (6.14). Para poder determinar cuál de las ecuaciones usar, se compara el parámetro
cmhfcmcmf
fd
c
ps
pp 2288.1511.0*100*4.1***4.1'
Con el espesor promedio del patín de 22cm resulta claro que la ecuación (6.8) para secciones con patines es la aplicable ya que trabaja como rectangular. De la ecuación (6.9) se halla la profundidad del bloque de esfuerzos la cual cae en el alma de la viga.
bf
fAa
c
psp
'85.0
cma
cmMPa
MPacma
35.13
120*35*85.0
63.939*71.50 2
Finalmente, empleando la ecuación (6.8) la resistencia nominal a la flexión vale:
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113
mkNM
mMPamM
adfAM
n
n
ppspn
.81.4446
2/1335.01*1000*63.939*10*71.50
2/**
24
nu MM * 9.0
kNM
kNM
u
u
13.4002
81.4446*9.0
*
*
Cualquiera que sea el método usado para calcular la resistencia nominal a la flexión Mn, este valor debe de reducirse mediante el factor φ=0.9 para obtener la resistencia de diseño φ*Mn.
2.6.9 LÍMITES DEL REFUERZO
Para vigas corrientes de hormigón reforzado se establece un límite superior en la cuantía de acero a tensión igual a 0.75 veces la cuantía balanceada de acero, con el fin de garantizar que , en caso de que ocurra la falla a flexión, esta sea una falla dúctil con amplio agrietamiento y grandes deflexiones antes de que se llegue al colapso. En el Código ACI 18.8.1 según Nilson (2000), se presenta la correspondiente disposición para vigas pretensadas. Planteada de manera muy sencilla, esta es:
136.085.0
pd
a
Si la viga pretensada o cumple el requisito de esta ecuación, se considera sobreesforzada y deben desarrollarse ecuaciones alternas para calcular la resistencia a la flexión. Para vigas corrientes de hormigón reforzado se impone una cuantía mínima de acero a tracción con el fin de que la viga sea segura contra la falla súbita después de la formación de las grietas de flexión. Para vigas pretensadas, ante la misma inquietud el Código ACI 18.8.3 según Nilson (2000), exige que el refuerzo total a tensión debe estar en capacidad una carga mayorada de al menos 1.2 veces la carga de
agrietamiento de la viga, calculada con base en un módulo de rotura de cf '5.7 .
2.6.10 REFUEZO ADHERIDO MÍNIMO
Para controlar el agrietamiento en vigas y en losas pretensadas en una dirección con tendones no adheridos, se debe adicionar un poco de refuerzo adherido en forma de barras no preesforzadas, uniformemente distribuidas en la zona de tracción y tan cerca como sea posible de la cara de tracción. De acuerdo con el Código ACI 18.9.2 según Nilson (2000), la cantidad mínima de este esfuerzo es:
AAs 004.0
Donde A es el área de la parte de la sección transversal entre la cara a tracción por flexión y el centroide de la sección transversal bruta de hormigón.
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114
TRAZADO DE CABLES
2.7.1 INTRODUCCIÓN
El diseño que hemos hecho, en cada uno de los ejemplos anteriores, ha sido para la sección critica (momento máximo de la viga), generalmente en el centro de la luz; aunque en un voladizo el momento máximo sería en el empotramiento. Para esa sección da máximo momento se ha calculado P (Pi) y la excentricidad del cable resultante. En las restantes secciones (donde el momento es menor, incluso cero en los apoyos) no hará falta esa fuerza de pretensado ni el momento que hace. Se hace necesario disminuir la fuerza, su excentricidad o ambas a la vez. Por otra parte al disminuir el valor de Mpp puede pasar que las condiciones (3) y (4) no se cumplan y eso genera la necesidad de cambiar la posición del cable resultante. Para reducir la fuerza (y su momento), se levantan los cables, anclándolos antes del extremo (por arriba de la viga). En el caso de cables uniformes a lo largo de la viga, el trazado será tal, que la excentricidad del cable resultante disminuye progresivamente hasta el extremo, donde será mínima.
2.7.2 TRAZADOS LÍMITES
Son los trazados extremos que debe tener el cable resultante para que no se sobrepasen los esfuerzos límites admisibles en los distintos estados de carga. La región limitada por esos trazados extremos se denomina (huso límite) y es donde debe estar localizado el cable resultante para que los esfuerzos estén comprendidos dentro de los límites permisibles, en todos los estados de carga y en todas las secciones. Un buen diseño lleva implícito un buen trazado de cables. Es decir, la curva de presiones correspondientes a cualquier estado de cargas debe estar situada en la región limitada por las rectas c‟1c‟2 y c1c2 que se denomina, como se sabe, Núcleo límite. Poggio, Valdés y Vázquez (1983) y Negrín (2007).
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
115
*
´
1
1
2'
1 1*R
c
rC Límite inferior
*
'
2
2
2'
2 1*R
c
rC Límite superior Para cumplir límite de tracción
*1 1
2
2
1
R
c
rC Límite inferior
Para cumplir límite de compresión
*
2
1
2
2 1*R
c
rC Límite superior
Figura 7.1 Trazados límites.
2.7.2.1 TRAZADO LÍMITE INFERIOR
El punto P1 (en la recta c‟c‟); de ordenada por debajo de c‟c P
M x1 donde M1x es el
momento mínimo (estado 1) y P es la fuerza de pretensado, supuesta constante a lo largo de la viga; es la posición inferior del cable resultante de una sección a una distancia x del centro de la luz. Es evidente que la curva c‟E0C‟ es una parábola (para carga distribuida), ya que, M1x es una función parabólica de x, suponiendo constante la fuerza de pretensado en otro sistema de cargas habrá que trazar la curva por puntos. La curva c‟E0C‟ es el trazado límite inferior. La excentricidad de los puntos de dicha parábola viene dado por:
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116
En los extremos de la viga, donde el momento es P
MCe x
x1
0 ' nulo, el punto P,
coincide con C‟
2.7.2.2 TRAZADO LÍMITE SUPERIOR
El trazado límite superior es el lugar geométrico de los puntos P2 situados a una
distancia P
M tx por debajo de la línea CC. Mtx es el momento total correspondiente a
la carga máxima (estado 2). Cuando la carga es distribuida uniformemente este trazado es una parábola. En el centro de luz se obtiene el mismo E0, cuando se alcanzan los cuatro esfuerzos admisibles fijados, esto es cuando se compensa el peso propio. En el caso que se compense parcialmente, también se obtiene el mismo punto si la recta C´C´ se ha determinado considerando ζ1 y no R1; el huso resultante es como si el peso propio se compensara si se considerase ζ1, R1, R2, R2‟ como los esfuerzos admisibles impuestos. En los extremos el punto P2 coincide con C.
2.7.2.3 HUSO LÍMITE
Es la región comprendida entre ambos trazados y en la que debe estar situado el cable resultante para que los esfuerzos alcanzados cumplan, en cualquier sección de la viga, las desigualdades propuestas por las cuatro condicionales de diseño. Si el cable resultante está situado según el trazado límite inferior, al actuar el momento mínimo M1x/P y estará en el punto P1 perteneciente a la recta C‟C‟. La curva de presiones correspondiente será la recta C‟C‟ y los esfuerzos serán los correspondientes al estado de vacío (R1‟, R1) en todas las secciones de la viga. Si actuara el máximo momento Mtx la curva de presiones correspondiente será la parábola CcC‟ comprendida en la región límite. Los esfuerzos quedarán comprendidos entre los permisibles. Figura 7.2.
Figura 7.2 Huso límite.
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117
Si el cable resultante estuviera situado en el trazado límite superior, al actuar el momento mínimo M1x la curva de presiones sería la parábola Cc‟C quedando los esfuerzos comprendidos entre los permisibles si actuara el momento máximo M tx = M1x + M2x la curva de presiones correspondientes sería la recta CC. Los esfuerzos serían los correspondientes al estado en carga (R2, R2‟) en todas las secciones de la viga. Figura 7.3.
Figura 7.3
Si el cable resultante está situado entre los trazados límites, es decir, en el huso límite, los esfuerzos, en todas las secciones de la viga y en cualquier estado de carga, quedarán comprendidos entre los límites permisibles, o lo que es igual, se cumplirán las desigualdades: ζ1 ≥ R1‟, ζ1„≤ R1; ζ2 ≤ R2, ζ2„≥ R2‟. Luego entonces el trazado de cables lo decide el huso límite, dentro de esa región debe quedar replanteado el cable resultante.
2.7.3 EJEMPLO ILUSTRATIVO Ejemplo 7.1 Se realizó el trazado de los cables de la viga de 20m calculada para el centro de luz para soportar una carga total (incluida la permanente) de 3.2T/m².(Solución constructiva). (Recuerde que luego de calcular una viga hay que llevar la sección a su forma constructiva, se deben calcular las características geométricas, la ρ, los esfuerzos, reajustar el # de cables, su e0 y las P, Pi y Pj). Ejemplo muy completo desarrollado a partir de la referencia, Poggio, Valdés y Vázquez (1983) y Negrín (2007). La solución de este ejercicio presenta una ayuda de diseño preparada en Excel, según se muestra en el Anexo #5.
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118
Figura 7.4 Sección transversal de la viga.
mc
r3092.0
1
2
, mc
r2484.0
2
2
, me 4216.00
La tensión en el centroide de la sección:
2
2* 6.778
10.1
61.0*/1404
mT
m
mmT
La fuerza de pretensado vale:
TAP 314** , mTMPP *4.50
Y las tensiones (121; 1597) 2/ mT y (1404; 0) 2/ mT
Calculando los valores de C y C‟ (límites para peso propio) se tiene:
mR
c
rC
mR
c
rC
2484.06.778
01*2484.01*
2611.06.778
1211*3092.01*
*
'
2
2
2
*
´
1
1
2´
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119
Por otra parte:
mP
Me
mP
Me
TT
PPPP
67.0314
4.210
314
4.50160
1605.0314
4.50
Con estos valores se procede a trazar el huso límite, el que se indica en la figura 7.5.
Figura 7.5
1. Distribución de los cables a lo largo de la viga.
Se ha hallado la distribución de los cables en el centro de la luz, o mejor dicho de los ductos (vainas) que los contienen. El centro de gravedad de los 7 cables hallados está a 0.1884m (0.61 – 0.4216) del borde inferior de la viga. Este punto E0 es un punto obligado del cable resultante. En los extremos es conveniente, aunque no es imprescindible, que el cable resultante pase por el centroide de la sección, para compensar lo más posible la fuerza cortante. Si el cable resultante adopta el trazado de la parábola GE0G aseguramos que esté situado dentro del huso límite. Basta, no obstante, que el cable resultante pase lo más cerca posible del centroide G, dentro de la región CC‟ y que los cables individuales sean parabólicos para que los esfuerzos alcanzados, en todas las secciones de la viga, queden comprendidos entre los límites permisibles. En los extremos de la viga se ejercen fuerzas considerables aplicadas en áreas pequeñas relativamente, el cortante en esas secciones son los mayores. Por esta razón es necesario macizar dichos extremos en una longitud del peralto de la viga. En dicho extremo se colocarán los dos cables exteriores 6 y 7 a 10cm. del borde inferior (ver figura) para lograr un recubrimiento de 4cm ya que esos cables terminan en los bloques de anclajes que tiene, en el sistema Freyssinet, un diámetro de 12cm (4cm + 12/2 cm = 10cm). Estos cables deben colocarse rectos hasta el comienzo de la zona macizada, donde se levantarán 4cm, comprobándose que el radio de la curvatura de levantamiento sea mayor o igual que 5m. Figura 7.7.
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120
El resto de los cables centrales se levantarán de manera que, de ser posible, el centroide de todos ellos coincida con el centroide G. Estos deben estar espaciados entre sí, al menos, 15cm de eje a eje para dejar un espacio libre entre ellos de 3cm (recordar que el diámetro del bloque de anclaje es de 12cm). El grupo de estos cinco cables se colocará a la distancia “a”, medida verticalmente, a partir de los dos conos inferiores. Este valor, para lograr la coincidencia de ambos centroides será:
7*61 = 2(10) + 1(a+10) + 1(a +25) + 1(a +40) + 1(a +55) + 1(a +700) 427 = 20 + a +10+ a + 25 + a + 40 + a + 55 + a + 70 427 = 5a + 220 a = 41.4cm Quedaría entonces un recubrimiento estructural (r) por arriba:
r = 110 - (10 + 41.4 + 4*15) r = -1.4cm (no cabe la distribución propuesta) Este valor debe dar, como mínimo, 10cm. para garantizar que después del cono superior queden 4cm. de recubrimiento real. Fijando ese valor se calcula a:
h = 110 = 10 + 4*15 + a + 10 a + 80 = 110 a = 30cm El centroide de todos los cables (cable resultante) queda:
7*yP = 2*10 + 5*70 => posición del cable del medio (resultante de los 5 superiores) yP = 52.86cm El cable resultante queda 61 – 52.86 = 8.14cm por debajo del centroide de la sección, pero evidentemente dentro del huso límite, como se muestra en la figura 7.6:
Figura 7.6 Excentricidad del cable resultante en los apoyos.
Aunque los cables individuales deben adoptar una configuración parabólica desde el centro de la luz, como se ha dicho, desde el punto de vista constructivo es conveniente que los cables sean rectos en la parte central de la viga. Ello implica que los esfuerzos en vacío se sobrepasan en dicha longitud, no obstante, se eligió un ζ1= 121 t/m2 (1.19MPa) de compresión, cuando puede ser cero (0) un valor de tensión
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121
límite. No ofrece dificultad el cálculo del valor del esfuerzo a imponer de R‟1 (o R1) y la longitud del trazado recto de los cables. De acuerdo a lo anterior los cables 2, 3, 4 y 5 son rectos 1, 2, 4 y 4m respectivamente, a partir del centro de la luz y de ahí sus trazados son parabólicos hasta el extremo de la viga como se indica en la figura 7.7. El cable 1 es totalmente parabólico y los cables 6 y 7 son rectos hasta 9m, levantándose 4cm en la parte macizada de 1.00m.
Figura 7.7
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122
2. Determinación de las coordenadas de los cables.
Se calculará, como ejemplo, las coordenadas del cable #3, las restantes aparecen tabulados solo los resultados. Cable #3 La ecuación de una parábola es:
y‟ = k(x‟)2 Evaluando dicha ecuación para el punto P, extremo del cable #3 (figura 7.8) se obtiene para la constante k el valor:
0072.08
46.022'
0
'
0
x
yk
Y la ecuación tiene por expresión: y‟ = 0.0072 *x‟2 Evaluándola para distintos valores de x se obtienen las coordenadas de los diferentes puntos de esta parábola. Al efecto del replanteo se refieren las mismas a los ejes “x” e “y”, fondo del encofrado y centro de la luz (punto 0, 0)
Figura 7.8 Trazado del cable #3.
Tabulando los resultados se obtiene:
x x’ = x - 2 y’ y = y’ + 0.24
0 - - 0.24
2 - - 0.24
4 2 0.0288 0.27
6 4 0.1152 0.355
8 6 0.2592 0.5
10 8 0.4609 0.7
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El ángulo de desviación, en radianes es:
tg α = dx
dy = 2*0.0072*x = 2*0.0072*(8) = 0.1152 => α o = 6.56o
α (rad.) = 0.1145 Como la curvatura es pequeña tg α ≈ α (rad.). Los demás cables se calculan análogamente, y los resultados aparecen en las tablas 7.1 y 7.2. Tabla 7.1
Cable No. x’o (m) y’o (m) 2)'(
'
o
o
x
yk
α (rad)
1 10 0.58 5.8 * 10-3 0.1155
2 9 0.52 6.52 * 10-3 0.1150
3 8 0.46 7.19 * 10-3 0.1145
4 6 0.40 1.1 * 10-2 0.1324
5 6 0.34 9.4 * 10-3 0.1123 Resultante (7cables)
10 0.34 3.4 * 10-3 0.0679
Tabla 7.2
Nota: En los planos solo aparecerán los valores de “x” e “y”.
1 2 3 4 5
x x‟ y‟ y x x‟ y‟ y x x‟ y‟ y x x‟ y‟ y x x‟ y‟ y
0 0 0 0.42 0 - - 0.33 0 - - 0.24 0 - - 0.15 0 - - 0.06
2 2 0.02 0.44 1 0 0 0.33 2 0 0 0.24 2 - - 0.15 2 - - 0.06
4 4 0.09 0.51 4 3 0.06 0.39 4 2 0.03 0.27 4 0 - 0.15 4 - - 0.06
6 6 0.21 0.63 6 5 0.16 0.49 6 4 0.12 0.36 6 2 0.04 0.19 6 2 0.04 0.10
8 8 0.31 0.79 8 7 0.31 0.64 8 6 0.26 0.5 8 4 0.18 0.33 8 4 0.15 0.21
10 10 0.58 1.00 10 9 0.52 0.85 10 8 0.46 0.7 10 6 0.40 0.55 10 6 0.34 0.40
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124
PÉRDIDAS EN LA FUERZA DE PRETENSADO
2.8.1 INTRODUCCIÓN
La fuerza de pretensado, como ya se discutió en el primer tema, no es constante a lo largo de la vida útil de la viga. Desde el momento en que se tensa el acero de preesfuerzo, el esfuerzo inducido se disminuye por diversas causas que ya se analizaron anteriormente. Estas pérdidas en esfuerzo se clasifican en instantáneas y diferidas o dependientes del tiempo. Las pérdidas instantáneas ocurren por acortamiento elástico del hormigón, fricción entre el cable y ductos u orificios, asentamiento de cuñas de anclaje y, en el caso particular de la construcción pretensada, por relajamiento del acero que ocurre entre el tensado del acero y la transmisión de la fuerza de pretensado del acero al hormigón. Las pérdidas diferidas se deben al acortamiento del hormigón por flujo plástico, a la retracción del hormigón por pérdida de humedad y al relajamiento del acero. Estos tres fenómenos son función del tiempo, su rapidez de variación es grande al principio hasta hacerse casi nula con el transcurso del mismo. Según pruebas experimentales se considera que después de 5 ó 6 años han ocurrido casi todas (98%) las pérdidas diferidas. Tanto las pérdidas instantáneas como la diferidas, sobre todo estas últimas, son interdependientes, es decir, la pérdida por flujo plástico del hormigón depende de la pérdida por relajamiento del acero, y ésta a su vez, depende de aquella. Sin embargo, una buena aproximación consiste en considerarlas independientes entre sí, pero introduciendo ciertos factores empíricos para considerar esa interdependencia. Finalmente, las pérdidas solo pueden calcularse cuando la viga ya está diseñada, es decir, cuando ya se conoce la fuerza de pretensado. En el diseño no hay más opción que estimar la pérdida. En el análisis, para revisar, se parte de la fuerza de diseño que debe aplicarse con el gato (Pj) para, calculando las pérdidas instantáneas,
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125
)(. kl
pApB eff
obtener la fuerza inicial de pretensado (Pi) y hacer una revisión en la fase inicial o de transmisión. En esta fase es donde se hacen los ajustes necesarios en la fuerza de diseño (pues se pudieron haber sobrestimado o subestimado las pérdidas) para cumplir con los requerimientos de los códigos. Partiendo de la fuerza inicial se calculan las pérdidas diferidas para obtener la fuerza efectiva de pretensado (Pe) y hacer la revisión de la viga en la fase final o de servicio. Palacios (2004) y Negrín (2007).
2.8.2 PÉRDIDAS INSTANTÁNEAS 1. Por fricción.
Cuando se empieza a tensar el acero de preesfuerzo existe un deslizamiento de éste con respecto a los ductos en la construcción postensada u orificios en la construcción pretensada. Este deslizamiento produce una fuerza de fricción que se opone a la fuerza que aplica el gato, reduciéndola. En la construcción pretensada, debido a que esa fricción es pequeña, se desprecia. Para la construcción postensada, la pérdida de esfuerzo dependerá de la curvatura que presente el ducto. El ducto tendrá dos tipos de curvatura, una intencional para obtener el perfil deseado del acero de preesfuerzo (ver la figura 8.1) y la otra no intencional, debida a las imperfecciones tolerables de la construcción misma. La ecuación para determinar el esfuerzo ya reducido por la fricción en el acero de preesfuerzo y para cierta sección, adoptada por el ACI, está en función de un coeficiente de fricción (μ) para tomar en cuenta la curvatura intencional y un coeficiente de oscilación (K) para considerar la curvatura no intencional. Dicha ecuación se presenta a continuación:
(8.1) Donde: l = distancia horizontal entre A y B en m α= cambio de pendiente entre A y B (θB - θA) en radianes μ = coeficiente de fricción entre el ducto y el acero (adimensional) K = coeficiente de oscilación, en m-1 fpA = esfuerzo en el acero en el punto A fpB = esfuerzo en el acero en el punto B (ya reducido por fricción)
Figura 8.1 Pérdidas por fricción en hormigón postensado.
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126
Figura 8.2 Variación del esfuerzo reducido por fricción a lo largo de la luz. 2. Pérdida por deslizamiento de cuñas de anclaje. Tanto en la construcción pretensada como en la postensada, una vez que el acero se ha tensado debe anclarse. Básicamente existen dos sistemas de anclaje, el anclaje a base de tuercas y el anclaje a base de cuñas. El anclaje a base de tuercas no presenta mayor problema, en cuanto a pérdida de esfuerzo se refiere, pues esta estaría en función de la deformación de los herrajes de anclaje que sería mínima, por lo cual se desprecia. El anclaje a base de cuñas sí es una fuente de pérdida en el esfuerzo que amerita su consideración, pues su deslizamiento permite que el acero recupere significativamente su longitud original traduciéndose en reducción de su esfuerzo. Como la fricción existente entre los ductos u orificios y el acero juega un papel importante en la determinación de ésta reducción, se trata por separado para la construcción postensada y la pretensada. a) Deslizamiento de cuñas en postensado. En la gráfica de la figura 8.2 se puede apreciar lo que sería una solución aproximada, para encontrar los esfuerzos reducidos por fricción, por medio de una relación lineal, que acepta el ACI, y que arroja buenos resultados si esta es pequeña (fPB = fPA/ (l+ KL+μ.α), cuando (KL+ μ.α) < 0.3). Comparando la solución aproximada con la exacta podemos darnos cuenta que podemos aceptar sin mucho error que la variación del esfuerzo, ya neto, es lineal. Esto nos ayudará para el análisis en la determinación de la pérdida de esfuerzo en el acero por el deslizamiento de la cuña o cuñas. Basándonos en la figura 8.3, que nos muestra la variación lineal del esfuerzo reducido por la fricción, podemos derivar expresiones que nos definan los esfuerzos finales, en secciones determinadas, considerando esta nueva pérdida.
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127
4/2' LxfpAfpA
2/2' LxfpBfpB
4/32' LxfpCfpC
Figura 8.3 Pérdida de esfuerzo en el acero postensado por deslizamiento de cuñas.
Dependiendo del valor de x, consideramos dos casos: para 0<x<L, que se muestra en la figura 8.3, decimos que tenemos el caso 1, para el cual: Resulta obvio que en la primera sección, donde se considera aplicado fpj, la pérdida de esfuerzo por el deslizamiento de la cuña estará dado por: ∆fpo = 2 β.x (8.2) Por lo tanto, de una relación de triángulos semejantes podremos determinar la mitad de la pérdida para las otras secciones:
Quedando: ∆fpA = 2 β (x - L/4) (8.3) ∆fpB = 2 β (x - L/2) (8.4)
∆fpC = 2 β (x - 3L/4) (8.5) Entonces, los esfuerzos ya reducidos por este nuevo concepto quedarían determinados por las siguientes funciones (de singularidad, algunas):
fpO = fpj - 2 β . x (8.6)
(8.7)
(8.8)
(8.9)
)4/3(
2/
)2/(
2/
)4/(
2/.
Lx
f
Lx
f
Lx
f
x
x pCpBpA
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128
2/
)(
L
ff pBpj
pp Ef 0
x
L
pp Ex
Lf 0
pop ff2
10
xEx
LP
pELx
.
L
L
Determinación de β: De una relación de triángulos semejantes:
(8.10) Determinación de x: La ecuación 8.2 nos define la pérdida por deslizamiento de la cuña para la primera sección, sin embargo, para esa sección podemos encontrar, con la ley de Hooke, una pérdida promedio: donde: en la cual a su vez: ∆L = deslizamiento de la cuña Que debe ser igual a la ecuación 8.2 dividida entre dos: De donde:
(8.11) El caso 2 lo tendremos cuando resulte la x mayor que la luz, esto sucederá cuando la viga sea muy corta o cuando la fricción sea tan pequeña que el efecto de deslizamiento de la cuña se disipe en toda la longitud de la viga. En este caso, se puede considerar que la deformación promedio será igual a dividir el deslizamiento de la cuña, que es un dato, por la longitud total de la viga. Por consiguiente la pérdida es constante en toda la longitud:
(8.12)
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129
pcuñadesp Ef .,
pcuñadesp EL
Lf .,
L
L
pcuñadesp Ef .,
pcuñadesp EL
Lf .,
b) Deslizamiento de cuñas en pretensado. En la construcción pretensada la fricción existente entre los cables y los orificios de las formas o de los anclajes es despreciable; por lo tanto el deslizamiento de la cuña de anclaje se reparte uniformemente en toda la longitud del cable. Obviamente, mientras más largo sea éste la deformación unitaria será menor y por consiguiente la pérdida de esfuerzo también será menor. La pérdida de esfuerzo estará dada por:
(8.12)
Donde: ∆L = deslizamiento que experimenta la cuña al aflojar el "gato" L = longitud del cable Ep= módulo de elasticidad del acero de preesfuerzo (cable trenzado)
3. Pérdida de esfuerzo por acortamiento elástico del hormigón.
Al transmitir la fuerza de pretensado del acero al hormigón, éste se acortará elásticamente permitiendo que el cable recupere en algo su longitud original, lo que redundará en una pérdida de esfuerzo en el mismo. Para la construcción pretensada será significativa la forma en que se afloje el acero de sus anclas para transmitir la fuerza de pretensado al hormigón. Es muy común, sobretodo en plantas de gran producción, que todos los cables se aflojen simultáneamente, sin embargo en plantas pequeñas o provisionales puede suceder que se aflojen una a la vez secuencialmente. En la construcción postensada, definitivamente, por razones de orden práctico, el tensado de los tendones se hace uno a la vez secuencialmente en base a un plan preestablecido para no inducir esfuerzos desfavorables en el hormigón. a) Acortamiento elástico en hormigón pretensado Para la construcción pretensada consideraremos dos casos. El primero cuando todos los cables se aflojan simultáneamente, y el segundo cuando los cables se aflojan uno a la vez secuencialmente.
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130
cci
pp
cic
i
ci
cc
IE
eM
r
e
EA
P
E
f2
2
1
c
pp
c
ic
I
eM
r
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A
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2
1
N
nk c
nppnk
c
pkpkn
c
pnpn
cielapI
eM
r
ee
A
Af
r
e
A
Afnnf
122
2
, 1.
1.)(
1) Todos los cables se aflojan simultáneamente: En este caso, por la ley de Hooke, la pérdida estará dada por la siguiente expresión: ∆fp,ela = εpEp (8.13)
Donde, debido a la adherencia entre el acero y el hormigón εp = εc, y esta última deformación, que se debe al acortamiento elástico del hormigón, está dada por:
(8.14)
Sustituyendo la ecuación 8.14, en su expresión reducida, en la 8.13, nos queda: ∆fp,ela = ncifc (8.13) Donde: nci = Ep / Eci
'*15100 cici fE (kg/cm2 ) (para hormigón normal)
Nótese que en esta última relación, para determinar ζc, necesitamos Pi, que se supone que es la fuerza de pretensado que queda después de considerar las pérdidas instantáneas. Obviamente, todavía no conocemos Pi, por lo cual la suponemos como igual a 0.9Pj (la fuerza ejercida por el "gato"). Una vez que se evalúen las pérdidas instantáneas se puede conocer Pi y en una segunda iteración usarla en lugar del 0.9Pj para volver a calcular la pérdida por acortamiento elástico del hormigón, pero por lo general no es necesario hacerlo. También es conveniente hacer notar que se está considerando la deformación por el acortamiento elástico en el centroide del acero de preesfuerzo, de aquí que e esté elevado al cuadrado. La
pérdida será diferente para cada sección, pues aunque la excentricidad fuera constante el momento por peso propio es variable. 2) Los cables se aflojan uno a la vez secuencialmente: En este otro caso, el primer cable que se afloja es el que más pérdida experimenta en su esfuerzo, pues cada vez que se aflojen los subsiguientes cables el hormigón se acortará haciendo que este primer cable vuelva a recuperar algo de su longitud original; el último cable en aflojarse es el que menos pérdida experimenta. La pérdida de esfuerzo podrá determinarse para cada cable con la siguiente expresión:
(8.16)
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131
2
))((
rA
eeAf
I
Me
c
nnpnpn
c
nc
2
))((
rA
eeAf
I
Mef
c
nkpkpk
c
nck
La ecuación anterior sirve para determinar la pérdida del cable n cuando ya se aflojaron los n cables y es conveniente empezar por el último. El primer término dentro de los corchetes representa la contribución del cable considerado y el segundo término (sumatoria) representa la contribución subsecuente de los el cables n+1, n+2,...... n. En el primer término la excentricidad esta elevada al cuadrado por que se está considerando la deformación recuperada en el cable n, y la fórmula de la flexión simple quedaría: Y en el segundo término como estamos considerando el efecto de otro cable sobre el cable n, la fórmula de flexión simple quedaría: En 8.16: nci = Ep / Eci fpn = esfuerzo en el cable considerado después de pérdidas por deslizamiento de cuñas y relajamiento del acero. Apn = área de sección del cable considerado. fpk = esfuerzo en los demás cables después de pérdidas por deslizamiento de cuñas y relajamiento del acero. Apk = área de sección de cada uno de los demás cables excentricidad de los cables. Ac = área de la sección de hormigón. r = radio de giro (centroidal) de la sección de hormigón. Como una aproximación, para este segundo caso de la construcción pretensada, la pérdida promedio se puede estimar con la ecuación 8.15, donde e es la distancia del centroide de todos los cables al centroide de la sección de hormigón. b. Acortamiento elástico en hormigón postensado.
En la construcción postensada regularmente se da el caso de tener un solo tendón (constituido por los cables o alambres alojados en un ducto). En este caso no habrá pérdida de esfuerzo por acortamiento elástico del hormigón, pues como el gato se apoya directamente sobre el hormigón se pueden compensar los acortamientos del hormigón en el mismo acto del tensado. Solo que haya más de un tendón habrá pérdida por acortamiento, pues el primero experimentará el acortamiento del hormigón debido a los siguientes que se tensan secuencialmente. Se puede determinar con exactitud la pérdida experimentada por el tendón enésimo usando una expresión similar a la ecuación 8.16, en la cual no se considera la contribución del
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132
N
nk c
nppnk
c
pkpk
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eM
r
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A
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12, 1
..)(
1
1
1
,
,,
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ip
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A
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1
1
,, )(1 N
i
ielapelap fN
f
tendón enésimo por la razón expuesta antes. Entonces, la ecuación para determinar la pérdida experimentada por el enésimo tendón será:
(8.17) La pérdida de esfuerzo promedio en todo el acero, para una sección dada, será:
(8.18) Si todos los tendones tienen la misma área, el numerador de la ecuación 8.18 tendrá como factor común Ap y el denominador será igual a N (Ap), quedando entonces:
(8.19)
El límite superior de la sumatoria exterior en la ecuación 8.18 es n-1 debido a que el último tendón que se tensa no tiene pérdida de esfuerzo. En las ecuaciones 8.17 y 8.18 será el esfuerzo en el tendón después de pérdidas el área Apk se refiere a un tendón y fpk será el refuerzo en el tendón después de pérdidas por fricción, por deslizamiento de cuñas y por el acortamiento elástico del hormigón por los otros tendones que ya hayan sido tensados. También es importante considerar que el momento externo puede deberse no solo al peso propio, sino además a la carga muerta adicional o una fracción de ésta. Cuando suceda esto, obviamente deberá usarse Ec en lugar de Eci. Finalmente, cabe mencionar, y esto también para la construcción pretensada, que existe la incertidumbre de cuando introducir el peso propio, por lo cual usualmente no se considera. En la construcción postensada, en la práctica como una buena aproximación, suele calcularse la pérdida de esfuerzo por acortamiento elástico del hormigón, de la manera siguiente: a) Para vigas: ∆fp.ela=1/2 ncifc (8.20) b) Para losas: ∆fp.ela=1/4 ncifc (8.21) Ecuaciones en las cuales el significado de los parámetros es el mismo que en la ecuación 8.15. Debido a que en las losas la separación entre tendones es mayor que en vigas, la interacción entre ellos es menor y por consiguiente se usa un 4 en el denominador. Debido a que el acortamiento elástico, en la construcción postensada, ocurre en la fase inicial cuando los ductos todavía no están lechereados y por consiguiente los cables no están adheridos, la pérdida de esfuerzo debe ser la misma para cualquier
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133
pj
py
pj
p ff
fttf 55.0
10
)log(1)(
pj
py
pjoop f
f
fttf 55.0
10
)log(1)(
pj
py
pjttp f
f
fttf 55.0
10
)log(1)(
pj
py
pjtorelp f
f
fttf 55.0
10
)log()log(,
pj
py
pjtrelp f
f
ftf 55.0
10
)log(,
sección. Sin embargo, como el esfuerzo es diferente, deberá obtenerse un valor promedio del mismo, calculándolo en varias secciones. 4. Relajamiento del acero.
El relajamiento del acero es un fenómeno físico que redunda en pérdida de esfuerzo a longitud constante. Depende primordialmente del tiempo y del nivel de esfuerzo inicial a que se somete el acero. Aunque el relajamiento del acero que ocurre en el tiempo que transcurre entre el tensado y la transmisión de la fuerza del acero al hormigón, en la construcción pretensada, no constituye una pérdida de esfuerzo instantánea, debe substraerse del esfuerzo inducido por el gato para a continuación calcular las pérdidas instantáneas. El esfuerzo en cualquier tiempo, considerando el relajamiento del acero, puede calcularse de una ecuación empírica propuesta por Magura, Sozen y Siess (1964), referenciado por Palacios (2004), que se escribe a continuación:
(8.22) Donde: t ≥1 hora, y fpj / fpy ≥0.55 Usando la ecuación 8.22: a) En el tensado:
b) En la transmisión:
(8.23) Para un intervalo de tiempo ∆t= tt - t0, tendremos:
Si tomamos t0 = 1 hr, tendremos:
(8.24)
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134
Si queremos el esfuerzo después del relajamiento, usaremos la siguiente relación: fp(t)= fpj - ∆fp,rel , que nos conduce a la ecuación 8.23. La ecuación 8.24 nos da la pérdida de esfuerzo, pero de hecho nos interesa el esfuerzo (reducido por el relajamiento) en la transmisión, que obtenemos de la ecuación 8.23. Para acero de bajo relajamiento se substituye el 10, del denominador, por 45. Una vez que se han calculado las pérdidas instantáneas se puede determinar la fuerza de pretensado inicial con la ecuación 8.25: Pi = Pj - ∆Pi (8.25) Donde: ∆Pi = (∆fp)i.Ap (∆fp)i = pérdidas instantáneas de esfuerzo. Ap = área total del acero de preesfuerzo. Con la fuerza de pretensado inicial conocida (Pi) se procede a la revisión, por esfuerzos permisibles, en la fase inicial. Usando las ecuaciones 1.4 y 1.5, se determinan los esfuerzos desarrollados en el hormigón para compararlos con los permisibles. Usando las ecuaciones 6.3 y 6.4 se determina el esfuerzo desarrollado en el acero que también debe compararse con los permisibles. La determinación de Pi nos permite continuar con el proceso de calcular, ahora, las pérdidas diferidas o dependientes del tiempo.
2.8.3 PÉRDIDAS DIFERIDAS
1. Por flujo plástico del hormigón.
Antes de considerar la pérdida de esfuerzo debida al flujo plástico del hormigón, debemos definir ciertos conceptos relacionados con el fenómeno, así como el fenómeno mismo. Flujo plástico del hormigón. Este fenómeno físico se define como un cambio en la longitud del elemento (acortamiento) a esfuerzo constante. Aunque, debido a las pérdidas que experimenta la fuerza de pretensado el esfuerzo no es constante, para efectos prácticos se considera como tal un valor promedio del mismo. Este acortamiento del hormigón permitirá que el acero recupere en algo su longitud original, produciéndose una pérdida de su esfuerzo. Experimentalmente se ha encontrado que este fenómeno del flujo plástico depende, además del tiempo, de la dosificación del hormigón, la humedad relativa del medio ambiente, las condiciones de curado y de la edad del hormigón cuando se carga por primera vez. La rapidez de variación del flujo plástico con respecto al tiempo es grande en los primeros meses y disminuye hasta hacerse casi cero cuando han transcurrido entre 5 y 6 años. Coeficiente de flujo plástico último. La deformación adicional por flujo plástico (εcu) esta relacionada con el esfuerzo en el hormigón (no mayor de 0.5*f'c) en una forma
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135
ut Ct
tC
60.0
60.0
10
utt
t60.0
60.0
10
casi lineal, por lo tanto se puede definir el coeficiente de flujo plástico como la relación de la deformación por flujo plástico a la deformación elástica inicial, ó: Cu = εcu / εci (8.26)
Donde: εci = deformación elástica inicial εcu = deformación adicional por flujo plástico (después de un largo período de tiempo)
Coeficiente de flujo plástico unitario (flujo plástico específico). La deformación adicional por flujo plástico se puede expresar en términos del esfuerzo por medio de un coeficiente que no es más que esa misma deformación por unidad de esfuerzo, ó: εcu = δu fci (8.27) Donde: δu = deformación por flujo plástico por unidad de esfuerzo fci = intensidad del esfuerzo elástico inicial Combinando las ecuaciones 8.26 y 8.27 obtenemos: Cu = Eci δu (8.28) El coeficiente de flujo plástico a cualquier tiempo (Ct) se puede relacionar con el coeficiente de flujo plástico último por una ecuación propuesta por D. E. Branson (1971) y K. M. Kripanarayanan (1977) y referenciado por Palacios (2004), avalada
por el ACI y que se presenta a continuación:
(8.29) O también:
(8.30) Donde t es el tiempo, en días, después de la carga. Branson recomienda usar 2.35, referenciado por Palacios (2004), para Cu cuando no se disponga de información
para su estimación. Los valores de Ct ó δt que se obtienen con las ecuaciones empíricas 8.29 y 8.30, deben mortificarse si la edad de carga es diferente de 7 días y la humedad relativa del medio ambiente es diferente de 40% (condiciones prevalecientes en las pruebas experimentales). Entonces tendremos dos factores, uno por edad de carga diferente a 7 días y otro por humedad relativa del medio ambiente diferente a 40%. Se recomienda determinar estos factores como sigue:
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
136
118.0
.. 25.1 cece tF
095.0
.. 13.1 cece tF
a) Para hormigón curado con humedad y edades de carga mayores de 7 días:
(8.31) Donde: te.c = edad de carga en días b) Para hormigón curado con vapor y edades de carga mayores de un día:
(8.32) c) Para humedades relativas del medio ambiente mayores de 40%: Fh.r = 1.27 - 0.0067H (8.33) Donde: H = humedad relativa del medio ambiente en porcentaje
Según recomendaciones del comité ACI-ASCE el valor del coeficiente de flujo plástico último se puede tomar, para hormigón normal y ya neto, como sigue: a) Para miembros pretensados: Cu = 2.00 c) Para miembros postensados: Cu = 1.60 Tabla 8.1 Parámetros típicos de flujo plástico.
Resistencia a la compresión (MPa)
Flujo Plástico
específico cu 610 por (MPa)
Coeficiente de
flujo plástico cuC
21 145 3.1
28 116 2.9
41 80 2.4
55 58 2.0
69 41 1.6
La pérdida de esfuerzo en el acero estará dada por la ley de Hooke, ó: ∆fp,fpc = εcu Ep (8.34) Pero de la ecuación 8.26 εcu = Cu εci , por lo tanto:
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
137
ushtsht
t,,
35
ushtsht
t,,
55
∆fp,fpc = Cu εci Ep (8.34a) Pero por la ley de Hooke: εci = fci / Ec , por lo tanto: ∆fp,fpc = Cu np fci (8.34b) Donde: np = Ep / Ec
El usar el 90% de la fuerza de pretensado en lugar de la totalidad es una recomendación Nilson (2000) para considerar que las pérdidas diferidas no son independientes entre sí. Deberá considerarse únicamente las cargas permanentes o las cargas vivas sostenidas por un período de tiempo significante. Para la construcción pretensada y la postensada con los cables adheridos, la pérdida por flujo plástico del hormigón será diferente para cada sección. Sin embargo, para hormigón postensado con cables no adheridos, la pérdida será más o menos uniforme en todo el elemento, debiéndose tomar un valor promedio para ζci entre anclajes. 2. Por retracción del hormigón.
La retracción del hormigón es un fenómeno físico que básicamente consiste en el acortamiento del elemento por la pérdida de humedad (agua libre que no se necesita para la hidratación del cemento). Este acortamiento empieza a ocurrir desde el mismo instante en que empieza el fraguado del hormigón. Ahora bien, puesto que parte de dicho acortamiento ocurrirá cuando todavía no exista preesfuerzo en el elemento, no será causa de pérdida de esfuerzo en el acero. Para poder considerar solo el acortamiento que ocurre cuando sí existe fuerza de pretensado, necesitamos alguna relación que nos permita calcularlo para tiempos diferentes. D. E. Branson y Kripanarayanan, según Palacios (2004), sugieren usar las siguientes relaciones:
a) Para hormigón curado con humedad:
(8.35) b) Para hormigón curado con vapor:
(8.36)
c
spermanentec
c
ici
I
eM
r
e
A
P .1
9.0 .
2
2
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
138
55.09.0
.10
)log()log(9.0,
py
pitf
pirelpf
fttff
Donde: εsh,t = deformación por retracción a cualquier tiempo t εsh,u = deformación última por retracción t = tiempo transcurrido, en días Para humedades relativas del medio ambiente diferentes a las que prevalecieron en la investigación conducida por Branson y Kripanarayanan según Palacios (2004), se deberá usar un factor de corrección como sigue:
Para 40 < H ≤80% Fsh,h = 1.40 - 0.010H Para 80 < H ≤100% Fsh,h = 3.00 - 0.030H
Con las ecuaciones 8.35 y 8.36 se pueden determinar el acortamiento del elemento de hormigón que ocurre cuando existe preesfuerzo. La deformación última dependerá, además del tiempo, de factores como la humedad relativa del medio ambiente, de la relación agua-cemento del hormigón, del armado del mismo, del área expuesta, etc. Se recomienda usar, cuando no se dispone de información, 800x10 -6 para hormigón curado con humedad y 730x10-6 para hormigón curado con vapor. La pérdida de esfuerzo en el acero de preesfuerzo estará dada por la ley de Hooke, ó: ∆fp,sh = εsh Ep (8.37) Donde: εsh = εsh, t f - εsh, t o
Finalmente, cabe decir, que la pérdida de esfuerzo por retracción del hormigón es la misma para cualquier sección, independientemente de si se trata de elementos pretensados o postensados. 3. Por relajamiento del acero. El relajamiento del acero es un fenómeno físico que consiste en la pérdida de esfuerzo a longitud constante (lo contrario del flujo plástico), aunque existe alguna reducción en longitud por el flujo plástico y la retracción del hormigón. Para calcular la pérdida de esfuerzo por esta causa, es necesario distinguir entre el hormigón pretensado y el postensado. Para el pretensado debemos considerar que el relajamiento que causa pérdida es el que ocurre después de la transferencia de la fuerza, pues el acero estará experimentando el relajamiento desde el momento que se tensa y se ancla en los "muertos" en espera del endurecimiento del hormigón. Entonces, manejando la ecuación 8.22 podemos obtener: a) Para hormigón pretensado:
(8.38) Donde: tf = tiempo final, en horas tt = tiempo en la transferencia, en horas
Capítulo II: Manual Básico
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139
55.09.0
10
)log(9.0,
py
pi
pirelpf
ftff
Nótese que se ha modificado el esfuerzo inicial en el acero multiplicándolo por 0.9. De nuevo, esto es una recomendación de Nilson (2000) para considerar la interdependencia de las pérdidas diferidas. b) Para hormigón postensado:
(8.39) Las ecuaciones 8.38 y 8.39 son para acero de relajamiento normal. Para acero de bajo relajamiento habrá que remplazar el 10, del denominador, por 45. La pérdida de esfuerzo por relajamiento es diferente para cada sección y para cada cable que tenga trayectoria diferente (en postensado).
2.8.4 EJEMPLOS DE DETERMINACIÓN DE PÉRDIDAS Ejemplos muy ilustrativos según Palacios (2004).
Ejemplo 8.1: Revisión de una viga pretensada calculando pérdidas.
Se diseñó una viga-banca, para un estadio, pensando en que seria prefabricada, es decir, pretensada con excentricidad constante. Se requiere revisarla, tanto en la fase inicial como en la de servicio en el apoyo y en el centro de la luz, calculando pérdidas y adoptando las especificaciones del ACI. La sección se muestra en la figura 8.4 y los datos disponibles se escriben a continuación: Datos:
f'c = 350kg/cm2 Ac = 1704cm2 f'ci = 245kg/cm2 C1 = 24.08cm fpj = 14700kg/cm2 C2 = 38.92cm qpp = 409kg/m S1 = 28436cm3 qd = 115kg/m S2 = 17594cm3 ql = 475kg/m Ic = 684739cm4 Ap = 2.20 cm2 r2 = 401.85cm2 Pj = 32340kg Rdiseño = 0.8 Re = 7cm e = 31.92 cm (constante) te.c = 1 día εsh,u = 730x10-6 (curado con vapor) H = 50% (humedad relativa del medio ambiente donde trabajará) Se usará acero grado 270 de relajamiento normal Cu = 2.35 (valor recomendado por D. Branson) según Palacios (2004)
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
140
2
, /7401470055.016065
14700
10
)24log(cmkgf relp
824515100
1089.1 6xnci
Figura 8.4 Ejemplo de determinación de pérdidas en pretensado.
Solución: 1. Pérdidas instantáneas: 1.1 Por deslizamiento de mordazas:
∆L = 0.3175cm en una longitud de 50m
εp = 0.3175 / 5000 = 6.35x10-5 de la ecuación 8.12:
∆fp,des.cuña = (6.35x10-5) (1.89x106) kg/cm2 ∆fp,des.cuña = 120 kg/cm2
1.2 Por relajamiento del acero: Tiempo de transmisión = 24 horas (1 día):
fpy = 0.85fpu = 16065 kg/cm2 de la ecuación 8.24:
Nota: el signo negativo indica que es pérdida
1.3 Por acortamiento elástico del hormigón: a) En el apoyo: De la ecuación 8.15, donde:
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
141
22
/39.60085.401
)92.31(1
1704
323409.0cmkg
xc
c
pp
cI
eM *39.60
cmkgM pp .491005100*8
)8.9(409 2
2/5.3789.2239.60684739
92.31*49100539.60 cmkgc
22
/96.6085.401
)92.31(1
1704
4.29385cmkgfc
por lo tanto:
∆fp,ela = (8)(-60.39) = -483.12 kg/cm2
b) En el centro de la luz: Solo cambia el valor de fc: Donde: por lo tanto:
∆fp,ela = (8)(-37.5) = -300kg/cm2
Finalmente, en la fase inicial o de transmisión, el esfuerzo será: a) En el apoyo:
fpi = 14700 - 740 - 120 - 483 = 13357kg/cm2 b) En el centro de la luz:
fpi = 14700 - 740 - 120 - 300 = 13540 kg/cm2 Puesto que se usó 0.9Pj como una aproximación de Pi se hará una segunda iteración para la pérdida por acortamiento elástico, usando los valores obtenidos en la primera:
a) En el apoyo, con Pi = 2.2x13357 = 29385.4kg
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
142
22
/92.38684739
92.31491005
85.401
)92.31(1
1704
0.29788cmkg
xc
2
1 /04.252456.173.1585.401
08.2492.311
1704
4.29374cmkg
xi
2
2 /0.1472456.054.7085.401
92.3892.311
1704
4.29374cmkgx
xi
2
1 /0.14733.128436
491005
85.401
08.2492.311
1704
8.29763cmkg
xi
2
2 /0.14756.4317594
491005
85.401
92.3892.311
1704
8.29763cmkg
xi
por lo tanto:
∆fp,ela = (8)(-60.96) = -487.75 kg/cm2
b) En el centro de la luz, con Pi = 2.2x13540 = 29788kg
por lo tanto:
∆fp,ela = (8)(-38.92) = -311.33 kg/cm2
Entonces, puesto que las otras pérdidas instantáneas no cambian, tendremos: a) En el apoyo:
fpi = 14700 - 740 - 120 - 488 = 13352kg/cm2 b) En el centro de la luz:
fpi = 14700 - 740 - 120 - 311 = 13529kg/cm2 Si comparamos estos valores con los anteriores, vemos que no vale la pena la iteración. Con los valores de fpi conocidos se procede a determinar Pi para determinar los esfuerzos en las fibras extremas del hormigón y efectuar la revisión: a) En el apoyo:
Pi = 2.2x13352 = 29374.40kg b) En el centro de la luz: Mpp = 491005kg.cm
Pi = 2.2x13529 = 29763.80kg
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
143
7.635015100
1089.1 6xnp
Dibujando los diagramas de esfuerzos se puede apreciar mejor el estado de esfuerzos en la fase inicial (ver figura 8.5). Podemos apreciar que los esfuerzos desarrollados no exceden los permisibles en ninguna de las dos secciones, o sea, la del apoyo y la del centro de la luz.
Figura 8.5 Estado de esfuerzos en el hormigón en la fase inicial.
Respecto a los esfuerzos desarrollados en el acero de preesfuerzo, el esfuerzo permisible será el menor de:
fpi ≤0.82 fpy = 0.82x0.85fpu = 13173.3 kg/cm2
fpi≤0.74 fpu = 13986.0 kg/cm2 Como podemos ver, el esfuerzo permisible, fpip = 13173.3 kg/cm2, es excedido tanto en la sección del apoyo como en la del centro de la luz. Probablemente, esto se deba a que se sobrestimaron ligeramente las pérdidas instantáneas cuando se determinó P i a partir de Pj que se debió haber obtenido del diseño. Generalmente, en el diseño se determina Pi y estimando las pérdidas instantáneas en un 10% se determina P j, en este caso particular las pérdidas instantáneas resultaron en un 8% en el centro de la luz y en un 9% en el apoyo. Rigurosamente hablando, deberíamos de empezar de nuevo con un valor de fpj:
fpj = 14700x0.98 = 14406.0 kg/cm2 Sin embargo, puesto que solo se excede ligeramente (2.7%), aceptaremos que estamos dentro de lo especificado. 2. Pérdidas diferidas o dependientes del tiempo:
2.1 Por flujo plástico del hormigón:
Para usar la ecuación 8.34b (∆fp,fpc = Cu np fci) necesitamos determinar los parámetros involucrados en ella:
Fh.r = 1.27 - 0.0067x50 = 0.935
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
144
22
/85.5400.085.401
)92.31(1
1704
4.293749.0cmkg
xci
22
/26.26684739
92.31629062
85.401
)92.31(1
1704
8.297649.0cmkg
xxci
ushushsh ,,1, 0179.0155
1
66
, 1064510657982.0)0179.01( xxxushsh
Cu = 2.35x0.935 = 2.2
a) En el apoyo:
Mc.perm = 0.00
Pi = 13352x2.2 = 29374.4kg
∆fp,fpc = (2.2)(6.7)(-54.85) = -808.49 kg/cm2
b) En el centro de la luz:
Mc.perm = ((409+115)(9.8)2 / 8)x100 = 629062kg.cm
Pi = 13529x2.2 = 29764.8kg
∆fp,fpc = (2.2)(6.7)(-26.26) = -387.07 kg/cm2 2.2 Por retracción del hormigón: Primero determinaremos la deformación que ocurre entre la transmisión del preesfuerzo y el tiempo final:
Fsh,h = 1.40 - 0.010x50 = 0.90
εsh,u = 730x10-6 Fsh,h = 657x10-6
de la ecuación 8.36: por lo tanto: finalmente, para ambas secciones:
∆fp,sh = 645x10-6x1.89x106 = 1219.50 kg/cm2
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
145
2
, /85.79455.016065
133529.0.
10
)24log()52560log(133529.0 cmkg
xxf relp
2
, /71.84555.016065
135299.0.
10
)24log()52560log(135299.0 cmkg
xxf relp
2.3 Por relajamiento del acero: a) En los apoyos, donde fpi = 13352 kg/cm2 y fpy = 0.85fpu = 16065 kg/cm2 : de la ecuación 8.38, tomando tf = 52560 horas (6 años): b) En el centro de la luz, donde fpi = 13529 kg/cm2 : Finalmente, el esfuerzo efectivo del preesfuerzo, en la fase final o de servicio, será: a) En el apoyo:
fpe = 13352 - 809 - 1220 - 795 = 10528 kg/cm2
R = 10528 / 13352 = 0.788 b) En el centro de la luz:
fpe = 13529 - 387 - 1220 - 846 = 11076 kg/cm2 R = 11076 / 13529 = 0.819
El reglamento del ACI no requiere que, en esta fase, se revisen los esfuerzos en el acero de preesfuerzo, sino solo en el hormigón: a) En el apoyo:
ζ1s = 15.73x0.788 = 12.4 < 1.6*(350)0.5 = 29.93 kg/cm2
ζ2s = -70.54x0.788 = -55.16 > -0.45*(350) = -157.5 kg/cm2 b) En el centro de la luz:
ζ1s = 15.94x0.819 - (1200000 / 28436) = -29.15 > -0.45(350) = -157.5 kg/cm2
ζ2s = -71.47x0.819 + (1200000 / 17594) = 9.67 < 1.6*(350)0.5 = 29.93 kg/cm2
Capítulo II: Manual Básico
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146
Figura 8.6 Estado de esfuerzos en el hormigón en la fase final.
Como se puede ver, de los resultados de la determinación de los esfuerzos en el hormigón, ilustrados con la figura 8.6, los esfuerzos desarrollados son menores en magnitud que los permisibles. Por lo que se concluye que, bajo condiciones de servicio, el diseño es adecuado. Ejercicio 2. Revisión de una viga postensada calculando pérdidas.
Para la viga que se muestra en la figura 8.7, la fuerza de pretensado con su excentricidad se diseñó para soportar la carga para la cual tiene capacidad la sección de hormigón. Se consideró acero grado 270 de relajamiento normal (fpy =0.85 fpu) y se estimó R=0.85. La fuerza de diseño fue Pi = 349574kg, a partir de la cual se determinó el número de cables adoptando las especificaciones del ACI. Al fabricante de la viga se le proporcionó el esfuerzo a que deberá tensar el gato los cables, este esfuerzo se estimó a partir de fpi =Pi/Ap,real considerando un 10% de pérdidas instantáneas. Se requiere que se revise el diseño calculando las pérdidas del preesfuerzo en forma detallada.
Figura 8.7 Ejemplo de revisión de pérdidas de una viga postensada.
Datos: f'c = 420kg/cm2 μ = 0.18 f'ci = 315kg/cm2 ∆L = 0.6cm (deslizamiento de la cuña) fpj = 11560kg/cm2 emáx = 27.1cm (en el centro de la luz) qpp = 960kg/m L = 15m qd = 2400kg/m te.c = 28 días (edad de carga) ql = 2041kg/m εsh = 800x10-6
Ap = 33.6 (24 cables, 12 por ducto) Ep = 1.89x106 kg/cm2 fpy = 0.85fpu = 16065 kg/cm2 K = 1.62x10-3 m-1 qper = qpp + qd = 3360 kg/m H = 60% (humedad relativa) Cu = 2.35 (valor recomendado por D. Branson) según Palacios (2004)
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
147
pi
pi
y
i xxdx
d).10746.16(tan 5
pd
pd
y
d xxdx
d).10524.2(tan 5
Solución: 1. Pérdidas instantáneas:
1.1 Pérdida por fricción: a) Definición del perfil del tendón compuesto de dos ramas de parábola: Solo se definirá el tendón No. 1, puesto que el 2 es espejo del 1. Para la rama izquierda, de la ecuación típica de una parábola vertical y positiva:
y = C x2 Si x = -750cm, entonces y = (27.1cm+20cm) = 47.1cm, que substituyendo en la ecuación de arriba, obtenemos:
Ci = y / x2 = 47.1cm/(750cm)2 = 8.373x10-5cm-1 Quedando para la rama izquierda:
y = (8.373x10-5) x2pi
Para la rama derecha, con x = 750.00cm y y = (27.1cm-20cm) = 7.1cm, que substituyendo en la ecuación típica de la parábola, obtenemos:
Cd = y / x2 = 1.262x10-5cm-1 Quedando para la rama derecha:
y = (1.262x10-5) x2pd
De estas ecuaciones obtenemos para la rama izquierda, -750 ≤xpi ≤0:
ó
θi = tan-1(16.746x10-5) xpi
Para la rama derecha, 0 ≤ xpd ≤750: ó
θd = tan-1(2.524x10-5) xpd
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
148
5248.0750
)4.1116611560(i
2292.0750
)1.109944.11166(d
cmx
x 0.14705248.0
)1089.1)(6.0( 6
Con estas relaciones y la ecuación 8.1 (fpB = fpA e-(KL+μα)) podemos calcular las pérdidas por fricción para el tendón No.1, los cálculos se organizan en una hoja electrónica y se presentan a continuación (θB - θA = α): Tabla 8.2
x(m) xp(cm) Pend.(rad) L(m) Alfa Con fricción fpx(kg/cm2)
0.00 -750 -0.125 0.00 0.000 11560.0
3.75 -375 -0.063 3.75 0.062 11362.0
7.50 0 -0.000 3.75 0.063 11166.4
11.25 375 0.009 3.75 0.009 11079.9
15.00 750 0.019 3.75 0.009 10994.1
1.2 Pérdida por deslizamiento de la cuña:
De la ecuación 8.10 obtenemos para la rama izquierda: Y para la rama derecha: De la ecuación 8.11 obtenemos la distancia x hasta donde influye el deslizamiento de la cuña: Finalmente, con las ecuaciones 8.6 a 8.9 obtenemos los esfuerzos reducidos por el deslizamiento de la cuña y que, usando la hoja de cálculo anterior, presentamos a continuación: Tabla 8.3
x(m) xp(cm) Pend.(rad) L(m) Alfa Con fricción fpx(kg/cm2)
Con des. cuña
f'px(kg/cm2)
0.00 -750 -0.125 0.00 0.000 11560.0 10017.1
3.75 -375 -0.063 3.75 0.062 11362.0 10212.7
7.50 0 -0.000 3.75 0.063 11166.4 10410.7
11.25 375 0.009 3.75 0.009 11079.9 10921.8
15.00 750 0.019 3.75 0.009 10994.1 10994.1
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
149
05.742075.015100
1089.1 6
x
xnci
2/35.874000
3884169.0cmkg
xc
22
/71.1023333333
323.152025000
33.833
)323.15(1
4000
3884169.0cmkg
xxc
22
/45.1423333333
1.272700000
33.833
)1.27(1
4000
3884169.0cmkg
xxc
1.3 Pérdida por acortamiento elástico del hormigón: Para la fase inicial: Pj = 11560x1.4x24 = 388416kg a) En el apoyo, donde e = 0.00cm (los 2 cables) y Mpp = 0.00: b) En el cuarto de la luz, donde e = 15.323cm (los 2 cables) y Mpp = 2025000 kg.cm: c) En el centro de la luz, donde e = 27.10cm (los 2 cables) y Mpp = 2700000kg.cm: El valor promedio del esfuerzo será:
Con este valor promedio del esfuerzo en el hormigón al nivel del centroide del acero y con la ecuación 8.20, obtenemos:
∆fp,ela = (0.5)(7.05)(110.85) = 390.75 kg/cm2
Cabe recordar que como los ductos todavía no están lechereados y por lo tanto los tendones no están adheridos al hormigón, esta pérdida es la misma para todas las secciones. A continuación se presenta una tabla donde se muestran los esfuerzos reducidos por las pérdidas instantáneas: Tabla 8.4
x(m) xp(cm) Con fricción fpx(kg/cm2)
Con des.cuña
f'px(kg/cm2)
Con acor. ela
F''px(kg/cm2)
Pérdida ins. (%)
0.00 -750 11560.0 10017.1 9626.4 16.7
3.75 -375 11362.0 10212.7 9822.0 15.0
7.50 0 11166.4 10410.7 10020.0 13.3
2/85.1103
45.14271.10235.87cmkgc
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
150
107.642015100
1089.1 6xnp
11.25 375 11079.9 10921.8 10531.1 8.9
15.00 750 10994.1 10994.1 10603.4 8.3
Nótese que las pérdidas instantáneas, en promedio igual al 12.44%, son mayores que las estimadas (10%). Esto puede deberse a que la viga es relativamente corta. Una vez que se han evaluado las pérdidas instantáneas se está en la posibilidad de efectuar una revisión en la fase de transmisión (o inicial). Esta revisión solo se hace para el hormigón, pues para el acero no es necesaria debido a que fpj < fpip. Para efectuar la revisión primero se determinan las fuerzas resultantes con sus excentricidades en las secciones de interés, esto se presenta en la siguiente tabla: Tabla 8.5
x(m) Pi(activo)kg e(cm) Pi(pasivo)kg e(cm) Resultante eR
0.00 161723.5 -20.0 178137.1 20.0 339860.6 1.00
3.75 165009.6 15.3 176922.5 25.3 341932.1 20.50
7.50 168336.0 27.1 168336.0 27.1 336672.0 27.10
11.25 176922.5 25.3 165009.6 15.3 341932.1 20.50
15.00 178137.1 20.0 161723.5 -20.0 339860.6 1.00
Con las resultantes y sus excentricidades en las secciones de interés se procede a determinar los esfuerzos en las fibras superior e inferior de la sección en el estado inicial. Esto se presenta en la siguiente tabla: Tabla 8.6
x(m) Resultante eR Mpp(kg-cm) σ1i
kg/cm2 σ2i
kg/cm2 σti
kg/cm2 σci
kg/cm2
0.00 339860.6 1.00 0.00 -80.0 -89.9 28.4 -189.0
3.75 341932.1 20.5 2025000.0 -10.8 -160.2 14.2 -189.0
7.50 336672.0 27.1 2700000.0 12.2 -180.5 14.2 -189.0
11.25 341932.1 20.5 2025000.0 -10.8 -160.2 14.2 -189.0
15.00 339860.6 1.00 0.00 -80.0 -89.9 28.4 -189.0
Como puede verse los esfuerzos desarrollados están por abajo de los valores permisibles, según el reglamento de las construcciones del ACI. Por lo que se concluye, que en la fase inicial o de transmisión (bajo Pi + qpp.) el diseño es adecuado según requisitos de servicio. 2. Pérdidas dependientes del tiempo:
2.1 Pérdida por flujo plástico del hormigón: Para usar la ecuación 8.34b (∆fp,fpc = Cu np fci) necesitamos determinar los parámetros involucrados en ella:
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
151
c
sPermanentec
c
ici
I
eM
r
e
A
P .1
9.0 .
2
2
2
. 5.15002
153001XX
xM sPermanentec
ushushsh ,,28, 444.02835
28
ushushushsh ,,, 5556.0444.0
Fh.r = 1.27 - 0.0067x60 = 0.868 Fe.c = 1.25*(28)-0.118 = 0.844 Cu = 2.35*(0.868)*(0.844) = 1.73 Para la determinación de fci usaremos la ecuación: Donde Mc.perm estará dado por la ecuación (qpp + qd = 3001kg/m): Usando una hoja electrónica de cálculo obtenemos: Tabla 8.7
x(m) Resultante eR Mper ∆fp,fpc
0.00 339860.6 1.0 0.0 -808.8
3.75 341932.1 20.5 6330234.4 -811.1
7.50 336672.0 27.1 8440312.5 -780.6
11.25 341932.1 20.5 6330234.4 -811.1
15.00 339860.6 1.0 0.0 -808.8
2.2 Pérdida por retracción del hormigón:
Puesto que el hormigón se carga (se tensa) a los 28 días, habrá que descontar la retracción ocurrida entre el colado y la carga: Donde εsh,u = 800x10-6 . De la ecuación 8.37 determinamos la pérdida de esfuerzo que es la misma en todas las secciones:
∆fp,sh = (444.44x10-6)(1.89x106) = 840 kg/cm2
2.3 Pérdidas por relajamiento del acero: De la ecuación 8.39, donde el tiempo en horas será igual al correspondiente a 6 años menos 28 días (51888 horas), se determina la pérdida por relajamiento para el tendón No. 1 en las diferentes secciones. Puesto que el tendón No. 2 es un espejo del No. 1, sus pérdidas serán iguales, en espejo, que las del No. 1:
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152
Tabla 8.8
x(m) ∆fp, fpc ∆fp, sh ∆fp1, rel ∆fp2, rel
0.00 -808.8 -840.0 0.0 198.1
3.75 -811.1 -840.0 1.0 178.6
7.50 -780.6 -840.0 48.2 48.2
11.25 -811.1 -840.0 178.6 1.0
15.00 -808.8 -840.0 198.1 0.0
Finalmente, el esfuerzo de pretensado efectivo que queda después de descontar las pérdidas dependientes se presentan en la siguiente tabla: Tabla 8.9
x(m) fpi
kg/cm2 ∆fp, fpc kg/cm2
∆fp, sh kg/cm2
∆fp1, rel kg/cm2
∆fp2, rel kg/cm2
fpe1 kg/cm2
fpe2 kg/cm2
0.00 9626.4 -808.8 -840.0 0.0 198.1 7977.6 8756.5
3.75 9822.0 -811.1 -840.0 1.0 178.6 8169.8 8701.3
7.50 10020.0 -780.6 -840.0 48.2 48.2 8351.1 8351.1
11.25 10531.1 -811.1 -840.0 178.6 1.0 8701.3 8169.8
15.00 10603.4 -808.8 -840.0 198.1 0.0 8756.5 7977.6
Para efectuar la revisión en la fase final, con la información anterior se determina la fuerza de pretensado efectiva resultante y su excentricidad en las secciones de interés tal como se muestra en la siguiente tabla: Tabla 8.10
x(m) Pe(activo)kg e(cm) Pe(pasivo)kg e(cm) Resultante eR(cm)
0.00 134022.9 -20.0 147108.5 20.0 281131.4 0.9
3.75 137253.0 15.3 146181.9 25.3 283434.9 20.5
7.50 140298.4 27.1 140298.4 27.1 280596.8 27.1
11.25 146181.9 25.3 137253.0 15.3 283434.9 20.5
15.00 147108.5 20.0 134022.9 -20.0 281131.4 0.9
Con estos valores obtenemos, en la fase de servicio, los esfuerzos en las secciones de interés usando las ecuaciones 1.8 y 1.9. Los resultados se presentan en la siguiente tabla: Tabla 8.11
x(m) Resultante eR(cm) Ms(kg.cm) σ1s
kg/cm2 σ2s
kg/cm2 σts
kg/cm2 σcs
kg/cm2
0.00 281131.4 0.9 0.0 -66.4 -74.2 32.8 -189.0
3.75 283434.9 20.5 11392734.4 -154.7 13.0 32.8 -189.0
7.50 280596.8 27.1 15190312.5 -183.9 43.6 32.8 -189.0
11.25 283434.9 20.5 11392734.4 -154.7 13.0 32.8 -189.0
15.00 281131.4 0.9 0.0 -66.4 -74.2 32.8 -189.0
Como puede verse, en la sección del centro de la luz se está excediendo el esfuerzo permisible a tracción. La razón de esto es que en el diseño se subestimaron las
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153
pérdidas, tanto las instantáneas (como ya se había observado) como las dependientes del tiempo según se pude observar en la siguiente tabla (se estimó una R = 0.85): Tabla 8.12
fpi1 kg/cm2
fpe1
kg/cm2 R
9626.4 7977.6 0.829
9822.0 8169.8 0.832
10020.0 8351.1 0.833
10531.1 8701.3 0.826
10603.4 8756.5 0.826
Obviamente, lo que se debe hacer es ajustar el esfuerzo inducido directamente por el gato de tal manera que la fuerza de pretensado sea más grande. Otra opción es
aceptar un esfuerzo de tracción no mayor de 2' /58.652.3 cmkgfc (como en este
ejemplo que tenemos 43.6 kg/cm2), pero revisando las deflexiones y la resistencia como lo exige el ACI.
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154
DISEÑO A CORTANTE
2.9.1 INTRODUCCIÓN
En los temas 5 y 6 se han visto los esfuerzos de flexión y la resistencia a la flexión de vigas. Las vigas también deben tener seguridad en contra de fallas prematuras de otros tipos, las cuales pueden ser más peligrosas que la falla por flexión en el sentido que, si sobrevinieran la sobrecarga y colapso catastrófico, estos podrían ocurrir de súbito y sin previo aviso. La falla por cortante, mas propiamente llamada falla por tensión diagonal, es un ejemplo. Las vigas de hormigón pretensado normalmente poseen refuerzo para el cortante, especial con la finalidad de asegurar que la falla por flexión, la cual puede predecirse con precisión y viene precedida por el agrietamiento y las grandes deflexiones obvias, ocurrirá antes que la falla por cortante, la cual es súbita y más difícil de predecir con exactitud. Muy estrechamente relacionados con los esfuerzos cortantes provenientes de la flexión en las vigas están aquellos producidos por la torsión, o el torcimiento de la viga alrededor de su eje longitudinal. Los esfuerzos cortantes por torsión producen también tensión diagonal en el hormigón. En los miembros que van a resistir momentos torsionantes significativos, se requerirá refuerzo torsionante, similar al refuerzo por cortante y a menudo combinado con él. Los aspectos básicos del diseño por torsión se presentaran mas adelante en este tema, después del estudio de los esfuerzos cortantes por flexión y del refuerzo por cortante. Ni al análisis del cortante por flexión ni al análisis del cortante por torsión, les incumbe el esfuerzo cortante como tal. Los refuerzos cortantes producidos por cualquiera de los dos tipos de acción están generalmente muy por debajo de la resistencia al cortante directo del hormigón. La preocupación real la ocasiona el esfuerzo de tensión diagonal en el hormigón producido por el esfuerzo cortante, actuando ya sea solo o en combinación con los esfuerzos normales longitudinales.
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155
CCC I
My
I
yPe
A
P
*
2.9.2 CORTANTE Y TENSIÓN DIAGONAL EN VIGAS SIN AGRIETAR
Cuando las cargas que actúan en una viga de hormigón pretensado son relativamente bajas, esta no se agrietara y la respuesta del hormigón será casi elástica. En estas circunstancias los esfuerzos cortantes, los debidos a la flexión, y los esfuerzos principales que resultan de su acción combinada se pueden hacer hallar basándose en las ecuaciones familiares de la mecánica. El esfuerzo cortante en el hormigón para cualquier ubicación esta dada por:
bI
QVv
c
net
(9.1) Donde: Vnet = fuerza cortante neta en la sección transversal debida a las cargas aplicadas y al pretensado. Q= momento estático alrededor del eje neutro de la parte de la sección transversal que se encuentra hacia fuera del plano de corte considerado. Ic = momento de inercia de la sección transversal. b = ancho de la sección transversal a la altura del plano considerado. El esfuerzo de flexión en el hormigón se puede hallar mediante la ecuación:
(9.2) Donde: P = fuerza de pretensado. e = excentricidad de la fuerza de pretensado, positiva hacia abajo. y = distancia desde el eje centroidal de la sección al punto considerado. AC = área de la sección transversal de hormigón. M = momentos debidos a las cargas aplicadas. Y el signo, superior o inferior de cada par, se aplica para el cálculo de los refuerzos por arriba o por debajo del eje centroidal, respectivamente. La influencia benéfica del preesfuerzo en la reducción de la tensión diagonal en las trabes de hormigón resulta evidente de la consideración de dos trabes de hormigón, una con varillas de refuerzo no pretensadas como en la figura 9.1a, y otra pretensada, como en la figura 9.1e. Un elemento pequeño “a” ubicado en el eje neutro de la trabe de hormigón reforzado estará sujeto a esfuerzos cortantes positivos v actuando en sus caras verticales, y cortantes negativos de la misma magnitud en las caras horizontales, tal como se muestra en la figura 9.1b. Haciendo uso del circulo de Mohr para hallar los esfuerzos principales, (figura 9.1c) se halla que la tensión principal σ1 es igual (en valor absoluto) a la intensidad del esfuerzo cortante, y actúa formando un ángulo de 45 grados con el eje de la viga, tal como se muestra 9.1d. En la dirección perpendicular
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156
actúa una compresión principal igual. Si ocurriera algún agrietamiento, este seria inclinado a 45 grados con el eje del miembro, tal como se muestra de manera idealizada en la figura 9.1a El elemento correspondiente “b” en la trabe pretensada de la figura 9.1e esta sujeto a idénticos esfuerzos cortantes v, figura 9.1f, y adicionalmente se encuentra sujeto a esfuerzos horizontales de compresión σ. La construcción del círculo de Mohr de la figura 9.1g indica que la tensión principal σ1 se ha reducido a un valor mucho más bajo que aquel correspondiente mayor con el eje horizontal de la viga, tal como se ve en la figura 9.1h. En consecuencia, la grieta debida a la tensión diagonal de la figura 9.1e es mucho más tendida que anteriormente. Si el refuerzo por cortante consiste de estribos verticales, la grieta diagonal será cruzada por un mayor número de dichos estribos en la viga pretensada que lo que ocurrirá en la viga sin pretensar, incrementándose la eficacia de los estribos en la transmisión del cortante a través de la grieta. También puede verse de las construcciones de los esfuerzos principales de las figuras 9.1c y 9.1g, que el esfuerzo de tensión diagonal no puede eliminarse por completo, independientemente de cual sea el valor de la compresión longitudinal, a menos que al mismo tiempo se aplique una precompresión vertical. Negrín (2007). Adicionalmente a los efectos que se acaban de describir, el preesfuerzo por lo general introduce una fuerza cortante negativa, actuando en sentido contrario al cortante inducido por las cargas, como resultado de la inclinación del tendón, tal como se muestra en la figura 9.2 Consecuentemente, los esfuerzos cortantes en la trabe sin agrietar son aquellos correspondientes.
pascnet VVV arg (9.3) Donde: Vp = cortante invertido proveniente de los tendones. Para trabes con secciones rectangulares, la variación del esfuerzo cortante según la profundidad del miembro considerado, dada por la ecuación (9.1), es parabólica, siendo cero el valor de v en las caras superior e inferior y alcanzando un máximo en el punto medio de la profundidad. Para trabes de sección I, tal como la mostrada en la figura 9.3a, comúnmente usada en miembros pretensados, los esfuerzos cortantes aumentan bruscamente en la transición del patín al alma, debido a la reducción del ancho b de la sección. La distribución del esfuerzo de la figura 9.3b es típica para trabes “I”, y se caracteriza por tener un valor casi constante de v en toda la profundidad del alma.
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157
Figura 9.1 Efecto del pretensado longitudinal en la tensión diagonal y en el
agrietamiento.
q
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158
Figura 9.2 Efecto de los tendones inclinados en la reducción de la fuerza cortante
neta.
Figura 9.3 Agrietamiento por tensión diagonal en vigas “I” de hormigón pretensado.
(a) Sección transversal. (b) Variación de los esfuerzos cortantes (c) Variación de los esfuerzos de flexión (d) Ubicación probable de la grieta diagonal. El esfuerzo principal de tensión en una trabe “I” se puede hallar de los esfuerzos cortantes de la figura 9.3b y los esfuerzos longitudinales de flexión de la figura 9.3c, los cuales generalmente son más o menos tal como se indican bajo el nivel de cargas de servicio. Típicamente, para trabes “I”, la máxima tensión principal no se encontrará en el eje neutro en donde el esfuerzo cortante es máximo, sino que estará cerca de la unión del alma con el patín inferior, en donde el esfuerzo cortante es alto también, pero en donde la compresión longitudinal se reduce por el efecto de las cargas aplicadas. Además, deberá notarse que la ubicación crítica para la tensión diagonal no es generalmente adyacente a los apoyos aun cuando el cortante exterior neto tiene un
Grieta diagonal por tensión Grieta diagonal por tensión
En el centro de la luz
Cerca del apoyo
Grieta diagonal por tensión
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159
valor más alto aquí, debido a que la compresión longitudinal del preesfuerzo es apenas reducida desde su valor total mediante los pequeños momentos exteriores actuantes. Es típica una distribución de esfuerzos por flexión tal como la mostrada por la línea discontinua de la figura 9.3c, la variación exacta depende de la excentricidad del pretensado. La compresión longitudinal considerable reduce el esfuerzo de tracción principal cerca de los apoyos. Adicionalmente los esfuerzos de compresión verticales provenientes de las reacciones de la trabe evitan el agrietamiento diagonal cerca de los apoyos. En consecuencia, el agrietamiento por tensión diagonal en trabes “I” pretensadas simplemente apoyadas y uniformemente cargadas, es propenso a ocurrir en los alrededores de los puntos cuartos de la luz, en donde las fuerzas cortantes netas son relativamente grandes y cerca de la unión del alma, con el patín inferior, en donde los esfuerzos longitudinales de compresión son bajos y los esfuerzos cortantes son altos. Si se formara una grieta se puede prevenir que esta tendría la apariencia de la mostrada en la figura 9.3d en forma idealizada. Esto lo confirman numerosas pruebas. Negrín (2007). La investigación de la tensión diagonal en almas de trabes sin agrietar es importante mayormente en la predicción de la carga bajo la cual se formara una grieta diagonal así como la ubicación y orientación de esta. Basar el diseño por cortante y un esfuerzo permisible por tensión en el hormigón bajo carga de servicio no es seguro, debido a que incrementos relativamente pequeños de carga arriba del nivel de cargas de servicio producirán incrementos desproporcionados en los esfuerzos de tensión diagonal. Esto ocurre por dos motivos. Primero, considérese el esfuerzo de tensión principal en el punto A de la parte inferior del alma de la trabe “I” mostrada en la figura 9.4a. Bajo cargas de servicio la distribución de esfuerzos cortantes y la distribución de esfuerzos por flexión se muestran por las líneas llenas de las figuras 9.4b y 9.4c, respectivamente con valores de v y σ en los puntos de interés. El esfuerzo de tensión principal f1 de la figura 9.4d se puede obtener gráfica o analíticamente. Supóngase ahora que las cargas se incrementan en un 20% produciendo los esfuerzos de corte incrementados y los esfuerzos por flexión que se muestran con líneas discontinuas en las figuras 9.4b y 9.4c, respectivamente. De la construcción modificada de los esfuerzos principales mostrada por la línea discontinua de la figura 9.4d, resulta evidente que la reducción a cero de la compresión por flexión en el punto A (lo cual se logra con un modesto incremento de las cargas aplicadas) junto con un 20% de incremento en el esfuerzo cortante es suficiente para producir un gran incremento en la tensión principal. En el caso presente el incremento mostrado es aproximadamente del 60%. La segunda causa para el incremento desproporcionado en la tensión es que el esfuerzo cortante se calcula para el cortante neto, dado por la ecuación (9.3). A medida que se incrementan las cargas el cortante externo Vcargas se incrementa en proporción directa. Sin embargo, Vp, el cortante invertido proveniente
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Figura 9.4 Incremento en los esfuerzos principales después de la sobrecarga. (a)
Sección transversal. (b) Esfuerzos cortantes. (c) Esfuerzos de flexión. (d) Círculo de esfuerzos principales. De los tendones inclinados, permanece casi constante. Así, un pequeño porcentaje de aumento en las cargas facialmente puede duplicar el esfuerzo cortante neto para el cual se debe diseñar la trabe. En síntesis, los cálculos de los esfuerzos principales son útiles para poder visualizar el flujo de esfuerzos en las trabes sin agrietar, y pueden proporcionar información útil para la ubicación y orientación de las grietas por tensión diagonal. Dichos cálculos también brindan información con relación a la carga bajo la cual se prevé la ocurrencia de la grieta. Sin embargo, nunca debe emplearse para evaluar el grado de seguridad inherente a un diseño. Un análisis basado en la resistencia es esencial para tales fines.
2.9.3 AGRIETAMIENTO DIAGONAL PRODUCIDO POR CORTANTE
Gran cantidad de pruebas han demostrado que pueden ocurrir dos tipos de grietas diagonales en trabes pretensadas: grietas por flexión cortante y grietas por cortante en el alma, referenciado por Negrín (2007).
Las grietas por flexión cortante se presentan después de que han ocurrido las grietas por flexión. Las grietas por flexión se extienden más o menos verticalmente dentro de la trabe desde la cara en tracción. Cuando se desarrolla una combinación crítica de esfuerzos de flexión y cortantes en la cabeza de una grieta por flexión, la grieta se propaga en la dirección inclinada, a menudo algo tendida, tal como se indica en la figura 9.5a si no se proporciona refuerzo en el alma, tal grieta puede producir lo que se conoce como una falla por compresión-cortante, en la cual el área de compresión
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del hormigón cerca de la parte superior de la trabe, reducida por la grieta diagonal, es insuficiente para resistir las fuerzas provenientes de la flexión. Mientras que el agrietamiento por flexión cortante es el tipo más común, la grieta por cortante en el alma puede ocurrir tal como se muestra en la figura 9.5b, especialmente cerca de los apoyos de vigas altamente pretensadas con almas relativamente delgadas. Este tipo de grietas se inicia en el alma, sin previo agrietamiento por flexión, cuando la tracción principal en el hormigón iguala a la resistencia de tracción del material. Ese tipo de peligro en el alma conduce a la súbita formación de una gran grieta inclinada, y si no se encuentra refuerzo en el alma, conducirá a la falla de la viga según uno de los modos siguientes:
Figura 9.5 Tipos de grietas inclinadas. (a) Grietas por flexión-cortante. (b) Grietas por
cortante en el alma.
a. Separación del patín en tracción del alma, a medida en que la grieta inclinada se extiende horizontalmente hacia los apoyos.
b. Aplastamiento del alma debido a la elevada compresión que actúa paralelamente a la grieta diagonal, a medida en que la trabe se transforma en un arco atirantado equivalente.
c. Agrietamiento por tensión inclinada secundaria cerca de los apoyos el cual separa el patín en compresión del alma.
Típicamente, las fallas por cortante en el alma son más violentas que las fallas por flexión-cortante. Para el caso de las grietas por flexión cortante, las pruebas muestran que la inclinación crítica de la grieta tiene una proyección horizontal por lo menos igual al peralte efectivo dp medida en la dirección en que crecen los momentos, desde la sección considerada, relacionada con la grieta inclinada que causa la falla. Adicionalmente, las pruebas indican que la formación de una segunda grieta por flexión, generalmente a más o menos dp/2 de la sección dada, es el hecho que marca el colapso real.
Flexión y corte Flexión
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162
La figura 9.6a muestra una representación idealizada de grietas por flexión cortante en la región de esfuerzos combinados de una trabe. La grieta por flexión en la sección A inicia una grieta inclinada que tiene una proyección horizontal d y termina en la sección considerada C. Una segunda grieta por flexión en la sección B es crítica en la precipitación de la falla. El cortante y el momento en la sección C son V y M respectivamente, en tanto que el cortante y el momento en la sección B son Vcr y Mcr, tal como se muestra en las figuras 9.6b y 9.6 c.
Figura 9.6 Agrietamiento por flexión cortante. (a) Configuración idealizada del
agrietamiento. (b) Diagrama de la fuerza cortante. (c) Diagrama de momentos. Los cortantes y momentos mostrados son aquellos producidos por las cargas sobrepuestas muerta y viva, y actúan en forma adicional a aquellos producidos por el peso propio y por el tendón del pretensado. La razón para la distinción entre los momentos y cortantes debidos a las cargas exteriores y aquellos debidos al peso propio se aclararán más adelante. El cambio de momento entre las secciones B y C es igual al área debajo del diagrama de corte entre las dos secciones:
22
1 p
crcr
dVVMM
o, como la diferencia entre V y Vcr en la distancia dp/2 es pequeña para la mayoría de los casos
Capítulo II: Manual Básico
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163
pcr VdMM
2
1
así
2
pcrd
V
M
V
M
y
2// p
cr
dVM
MV (a)
Esta ecuación da el cortante V en la sección C, debido a las cargas sobrepuestas muerta y viva, cuando el momento debido a dichas cargas en la sección B es Mcr. Nótese que como aún como el cortante V aparece en ambos lados de la ecuación (a), no es necesario saber el valor de V para usar la ecuación, sino solamente el valor de M/V, el cual es una característica para cualquier forma de carga dada y permanece constante a medida en que se incrementan proporcionalmente las cargas sobrepuestas. El cortante total en la sección C cuando se desarrolla una grieta por flexión en la sección B, es la suma de aquel dado por la ecuación (a) más la fuerza cortante debida al peso propio Vpp y el cortante Vp inducido por la componente vertical de la fuerza en el tendón curvado o colgado. Más aún, las pruebas indican que se necesita un incremento en el cortante de 0.062bwdp √f’c, después de la formación de la segunda grieta por flexión, para que se desarrolle la grieta inclinada, donde bw es el ancho de la sección y dp es la profundidad del centroide del acero de preesfuerzo. Así, la fuerza cortante total Vci que produciría la falla por flexión cortante está dada por:
pppcr
cpwci VVVM
MfdbV
/062.0 ' (b)
En la mayoría de los casos, la parte de la luz en que es más probable el agrietamiento por flexión cortante, la inclinación del tendón es muy pequeña. En consecuencia, Vp tiene un valor pequeño que puede despreciarse conservadoramente, lo cual resulta en:
pp
p
crcpwci V
dVM
MfdbV
2//062.0 ' (9.4)
El momento de agrietamiento Mcr de la ecuación (9.4) es, por definición, aquel momento proveniente de las cargas muerta y viva sobrepuestas, y actúa en forma adicional al momento debido al peso propio. Mcr se puede calcular tomando como base el esfuerzo de tracción en el hormigón en la cara inferior igual al módulo de
ruptura, el cual vale '62.0 cffr . De esta forma:
'
22 62.0 cp
c
crpp f
I
cM
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
164
ó
pppcc
cr fc
IM 2
'
2
62.0 (9.5)
Donde: ζpp = esfuerzo de flexión en el hormigón en la cara inferior de la trabe debido al peso propio. c2 = distancia desde el centroide del hormigón a la cara inferior. Ic = momento de inercia de la sección transversal del hormigón. σ2p= esfuerzo de compresión del hormigón en la cara inferior debido a la fuerza de pretensado efectiva. La convención de signos que se usará aquí, congruente con el Código ACI, trata a todos los esfuerzos como valores absolutos, sin darles el sentido positivo o negativo. La razón para la consideración por separado del peso propio y las cargas exteriores es debido a que el peso propio es generalmente uniformemente distribuido, en tanto que las cargas sobrepuestas pueden tener cualquier distribución. Separando las cargas de esta forma, la relación M/V de la ecuación (9.4) permanece constante a medida que las cargas exteriores aumentan, facilitándose los cálculos. También debe notarse que, mientras que el análisis y diseño a seguirse para el refuerzo del alma se fundamenta en la resistencia última bajo cargas factorizadas, los términos Vpp y σpp usados para predecir el agrietamiento diagonal deben basarse en el peso propio real calculado sin la aplicación de factores de carga. La figura 9.7 muestra la estrecha concordancia entre la ecuación (9.4) y la información experimental disponible. El segundo tipo de grietas, las grietas por cortante en el alma, ocurren cuando el máximo esfuerzo principal de tracción proveniente de la combinación de los esfuerzos de corte y de flexión, iguala a la resistencia de tracción del hormigón. El comportamiento del hormigón es razonablemente elástico hasta la falla por tracción, de manera que los cálculos se pueden basar en las ecuaciones ordinarias de la elasticidad. Los cálculos de los esfuerzos principales y las pruebas en trabes típicas indican que puede esperarse la aparición de grietas por cortante en el alma en o debajo del centroide de la sección de hormigón. Negrín (2007)
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
165
Figura 9.7 Comparación de la ecuación 9.4 para Vci con información experimental.
Las trabes para las cuales la máxima tracción principal se encuentra en la parte inferior de su sección transversal tienen más probabilidad de admitir grietas por flexión, las cuales conducen a su vez a las grietas por flexión-cortante en lugar de a las grietas por cortante en el alma. En consecuencia, se puede estimar el cortante que produce las grietas por cortante en el alma tomando como base la tensión principal en el centroide del hormigón. La capacidad del cortante de un miembro se alcanza si la tracción principal llega a igualar a la resistencia a la tracción directa del hormigón, σ’t. Así
'22
2
2
22t
cccwV
Donde: vcw = esfuerzo cortante nominal en el hormigón, Vcw/bwdp debido a todas las cargas aplicadas, muertas y vivas. σcc = esfuerzo de compresión en el centroide del hormigón debido a la fuerza de pretensado efectiva. Despejando el esfuerzo cortante nominal correspondiente (ζ*) al agrietamiento diagonal, se obtiene la resistencia a la tracción directa puede tomarse igual a
'36.0 cf , conservadoramente lo cual indica que:
'
'
36.01*36.0
c
ccccw
ffV (9.6)
Capítulo II: Manual Básico
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166
Figura 9.8 Esfuerzo cortante nominal vcw para agrietamiento por cortante en el alma. La figura 9.8 muestra la relación funcional de la ecuación (9.6). También indica que el resultado del cálculo de esfuerzos principales puede aproximarse estrechamente mediante la siguiente expresión, mucho más simple:
ccccw fV 3.036.0 ' (9.7)
Por lo tanto, el uso de la ecuación (9.7) se recomienda como una base para el diseño. El cortante exterior Vcw bajo el cual es probable la ocurrencia del agrietamiento por cortante en el alma, basado en la ecuación (9.7), es incrementado por la componente vertical de la fuerza de pretensado, Vp, la cual normalmente actúa en el sentido opuesto al cortante inducido por las cargas. Así pues;
pcccpwcw VfdbV )3.036.0( ' (9.8)
En cualquier caso dado, se pueden formar tantas grietas por flexión-cortante como grietas por cortante en el alma. Por lo tanto, la fuerza cortante Vc bajo la cual ocurre el agrietamiento diagonal debe tomarse como el menor de los valores Vci y Vcw, dados por las ecuaciones (9.4) y (9.8), respectivamente.
2.9.4 REFUERZO EN EL ALMA POR CORTANTE
No sería ni económico ni seguro diseñar trabes de hormigón pretensado de tales proporciones que solo el hormigón sea el que proporcione toda la resistencia al cortante. El refuerzo del alma sin preesforzar se emplea de la misma manera general tal como se usa en trabes de hormigón reforzado. Al acero en el alma no solamente aumenta la resistencia al cortante de las trabes, sino que también garantiza que la
Capítulo II: Manual Básico
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167
falla sea más dúctil, en caso de que ocurra una severa sobrecarga que produzca una falla por cortante. La fluencia del refuerzo del alma, acompañada por un amplio agrietamiento del hormigón dará alguna alarma de peligro. Se requiere por lo menos una cantidad mínima de refuerzo en el alma en todas las trabes pretensadas. Se pueden exceptuar los miembros tales como trabes doble “T” de luces cortas a medianas, que han probado tener un comportamiento satisfactorio sin tal acero, o las losas en las que el esfuerzo cortante es característicamente bajo. Con poca frecuencia se usa el preesfuerzo diagonal o vertical en las almas de las vigas. Aún cuando esto brinda la ventaja de que pueden eliminarse completamente las grietas y los esfuerzos principales de tracción en el hormigón, bajo cargas de servicio, tales métodos no son económicos con la excepción de casos poco frecuentes. Adicionalmente, existe gran dificultad práctica en el control de la tracción en el acero, debido a las grandes pérdidas por los deslizamientos en los anclajes de los tendones cortos. En la figura 9.9 se muestran formas típicas de refuerzos para el alma no preesforzados. Para las trabes de dimensiones ordinarias, es común el uso de varillas de refuerzo corrugadas con tamaños que varían desde el No.3 hasta el No.5, y aceros con grados desde el 40 hasta el 60. Los aceros con resistencias más altas, sometidos a esfuerzos más altos bajo cargas de servicio, son propensos a permitir grietas excesivamente anchas. Estas no solo serían estéticamente inconvenientes, sino que reducirían la efectividad de ciertos mecanismos para la transferencia del corte, los cuales se describan más adelante en esta sección. Adicionalmente, los ganchos muy pronunciados requeridos en los estribos, pueden acarrear deterioros si se usaran los aceros de resistencias más altas, que son más frágiles. Debido a que las varillas de los estribos son forzosamente más bien cortas, en la mayoría de los casos no es posible desarrollar la totalidad del esfuerzo de fluencia de la varilla solamente por adherencia dentro de la longitud embebida de desarrollo. Por esta razón, se proporciona anclaje especial en la forma de ganchos o dobleces tal como se muestra en la figura 9.9. En la parte superior de un estribo típico, la varilla de refuerzo se dobla en la forma de una U, presentando resistencia positiva al arrancamiento. En la parte superior se usan ganchos o dobleces hacia las caras interiores o exteriores. Negrín (2007)
Figura 9.10 Tipos de refuerzos en el alma.
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168
En la mayoría de los casos, se agregan varillas longitudinales de diámetro pequeño en las trabes pretensadas, en las esquinas del refuerzo del alma. Estas varillas rectas se entrelazan con los estribos para mejorar su resistencia al arrancamiento, y servir para el propósito práctico de la formación de una “jaula” rígida tal que permita la fabricación del refuerzo del alma fuera de las cimbras de la trabe y luego colocarlo en su posición como un ensamble total. La transferencia de fuerzas cortantes a través de la sección diagonalmente agrietada de una trabe con refuerzo en el alma puede comprenderse estudiando la figura 9.10. Ésta muestra las fuerzas que actúan en una parte de la trabe entre la sección diagonalmente agrietada y el apoyo adyacente. Los estribos en U se muestran con un espaciamiento s. Por razones que ya se establecieron, el análisis se basará en cargas factorizadas, cuando se supone que el miembro se halla en un estado correspondiente al inicio del colapso. Debido al preesfuerzo de compresión longitudinal en el hormigón, la pendiente de la grieta diagonal es por lo general considerablemente más pequeña que 45 grados. Aquí se supone algo conservadoramente, que la proyección horizontal de la grieta tiene una longitud d igual al peralte efectivo de la viga medido al centroide del tendón de la sección de interés.
Figura 9.10 Transferencia del cortante de una viga parcialmente agrietada. Entonces, si el espaciamiento del refuerzo del alma en la dirección del eje del miembro s, el número de estribos U que atraviesan la grieta diagonal es dp/s. Cuando el miembro se encuentra al inicio de la falla, los estribos se encuentran esforzados a la totalidad de su resistencia de fluencia fy. Por lo que la contribución total de los estribos para la transferencia del cortante a través de la sección agrietada es:
s
dfAV
pyv
s (c)
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169
Donde Av es el área total del acero de un estribo, esto es, dos veces el área de la sección transversal de la varilla para el caso típico de los estribos en U. Si el centroide del tendón atraviesa la sección de interés con una inclinación θ, entonces el tendón transmite una fuerza cortante igual a la componente vertical de la fuerza de pretensado. Aun cuando la fuerza en el tendón aumenta a medida en que se sobrecarga el miembro, se supondrá conservadoramente que tiene un valor igual al preesfuerzo efectivo Pe. Así, la componente vertical es:
senPV ep (d)
Una tercera contribución a la transferencia del cortante proviene de la resistencia friccionante a lo largo de las superficies naturalmente rugosas formadas por la grieta. Aun cuando la grieta será perpendicular a la dirección de la tensión principal, de tal forma que no se deberían preverse desplazamientos por cortante, se ha confirmado por las pruebas que después del agrietamiento ocurre una redistribución significativa de fuerzas internas, en tal forma que existe una tendencia al deslizamiento relativo de las caras de la grieta. Esta es resistida por la rugosidad de la superficie y por la trabazón del agregado. La fuerza Va resistente asociada con la trabazón del agregado actúa sobre el cuerpo libre en la dirección representada en la figura 9.10. Su composición vertical es Vay. Finalmente, el hormigón de la zona en compresión sin agrietar arriba de la grieta diagonal proporciona una fuerza resistente Vcz. Igualando a cero la suma de todas las fuerzas verticales de la figura 9.10, se obtiene la expresión para la resistencia nominal al cortante:
aypcz
p
yvn VVVs
dfAV (9.9)
No obstante la intensiva investigación durante un período de años, las magnitudes individuales de las contribuciones de Vcz y Vay son desconocidas. Partiendo de las pruebas, parece ser que una base conservadora para el diseño consiste en suponer que su contribución combinada no es menor que Vc, la fuerza cortante que produjo la grieta diagonal. A su vez, se puede determinar la magnitud de Vc bien sea por agrietamiento por cortante en el alma o por agrietamiento por flexión-cortante, y se tomara como el menor de los valores de Vci y Vcw dados por las ecuaciones (9.4) y (9.8), respectivamente. Si finalmente se desprecia la componente vertical de la fuerza de pretensado (esto se puede justificar debido al pequeño ángulo de inclinación del tendón en la región de mayor interés), entonces la ecuación (9.9) para la resistencia última al cortante se puede simplificar hasta obtener:
c
p
yvn Vs
dfAV (9.10)
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170
Si (Vn - Vc) representa el “exceso de cortante” sobre el que toma el hormigón y si el porcentaje del refuerzo del alma se define como:
sb
A
w
vv
Entonces la ecuación 9.10 puede escribirse en la siguiente forma:
yv
pw
cn fdb
VV (9.11)
Figura 9.11 Incremento en la resistencia al cortante en un miembro pretensado debido al refuerzo en el alma. En la figura 9.11 se compara la resistencia al cortante predicha mediante la ecuación (9.11) y la información experimental. Puede verse que la ecuación da un límite inferior conservador para casi todos los casos de la información experimental, estando también las excepciones cercanas al valor dado por la ecuación (9.11). Negrín (2007).
2.9.5 CRITERIO DE DISEÑO POR CORTANTE SEGÚN EL ACI A. Bases del diseño Las especificaciones para el cortante del Código ACI concuerdan directamente con el desarrollo de los artículos precedentes. El diseño debe basarse en el miembro cargado con un estado de sobrecarga hipotético, con las cargas muertas calculadas y las vivas de servicio multiplicadas por los usuales factores de sobrecarga, excepto cuando se especifique otra cosa. Según Negrín (2007). El diseño de las secciones transversales sometidas a cortante debe de basarse en la relación:
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171
nu VV (9.12)
Donde: Vu = Fuerza cortante aplicada bajo cargas factorizadas. Vn = Resistencia nominal al cortante de la sección. Φ = Factor de reducción de la resistencia, tomando igual a 0.85 para cortante. La resistencia nominal al cortante, Vn, se calcula de la ecuación
scn VVV (9.13)
Donde: Vc = Resistencia nominal al cortante proporcionada por el hormigón. Vs = Resistencia nominal al cortante proporcionada por el refuerzo para cortante. El valor de Vc debe calcularse de acuerdo con la sección B que sigue. Se supone que la primera sección crítica para el cortante se encuentra a la distancia h/2 desde la cara del apoyo, y las secciones que se encuentran a menos de h/2 se diseñan para el cortante calculado para h/2. Esta especificación reconoce el efecto benéfico de la compresión vertical en el hormigón producida por la reacción. En circunstancias especiales, aquellos beneficios no se obtienen, y el cortante en la cara del apoyo puede llegar a ser crítico. B. Resistencia nominal al cortante proporcionada por el hormigón El valor de Vc en la ecuación (9.13) debe tomarse como el menor de los valores de Vci y Vcw determinados para un agrietamiento por flexión-cortante y para un agrietamiento por cortante en el alma, respectivamente. Estos valores se basan en las ecuaciones (9.4) y (9.8). Primero, en la ecuación (9.4) para las grietas por flexión-cortante, el término dp/2 se puede despreciar, con el propósito de simplificar. Esto tiene el efecto de relacionar el agrietamiento por flexión-cortante a la carga que produce el agrietamiento por flexión en la sección considerada, en lugar de a la distancia dp/2 de la sección considerada, y vuelve algo más conservadora a la ecuación. Entonces, con algunos pequeños cambios en la notación,
cri
pppwcci MM
VVdbfV
max
'062.0 (9.14)
Donde bw es el ancho de la sección rectangular o el espesor del alma de una sección con patín, y dp es la profundidad desde la cara en compresión del miembro hasta el centroide del acero del preesfuerzo. Basándose en las pruebas, este último valor no necesita tomarse menor que 0.80h para esta y para todas las demás especificaciones del Código relativas al cortante, excepto cuando específicamente se diga diferente. En la ecuación (9.14), Vi y Mmax son, respectivamente, el cortante y momento flector afectados del factor en la sección considerada, provenientes de las cargas muerta y
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172
viva sobrepuestas, y Mcr es el momento que produce el agrietamiento por flexión, calculado mediante la ecuación (9.5)
pppc
cr cfc
IM 2
'
2
62.0 (9.5)
En la ecuación (9.14), Vpp es el cortante debido al peso propio del miembro y se calcula sin factor de carga, y σpp en la ecuación (9.5) es el esfuerzo de flexión en la cara inferior de la trabe, debido al peso propio del miembro, también calculado sin factor de carga. La razón para la consideración por separado del peso propio se ha explicado anteriormente. Al aplicarse la ecuación (9.14) Vci no necesita ser considerado menor que
pwc dbf '18.0 , de acuerdo con el código.
La resistencia nominal al cortante correspondiente al agrietamiento por cortante en el alma se calcula mediante la ecuación (9.8) sin modificación:
pcccpwcw VfdbV )3.036.0( ' (9.15)
Donde Vp es la componente vertical de la fuerza de pretensado efectiva en la sección:
senPV ep (9.16)
En la cual θ es la inclinación de la línea centroidal del tendón en la sección. Como una alternativa del uso de la ecuación (9.15), Vcw puede calcularse como la fuerza cortante que corresponde a la carga muerta más la carga viva, que resulta de
un esfuerzo de tracción principal de '41.0 cf en el centroide del miembro o en la
intersección del patín y el alma cuando el eje centroidal esta en el patín. Para miembros con una fuerza de pretensado efectiva no menor que el 40% de la resistencia a la tracción del refuerzo por flexión, se permite una alternativa con relación al empleo de las ecuaciones (9.14) y (9.15). La fuerza cortante Vc puede tomarse igual a:
pwcw
u
pu
ccpwc dbfdbM
dVfVdbf ''' 21.0700062.052.0 (9.17)
En esta ecuación, Vu y Mu es el cortante y el momento factorizado, debido a todas a las cargas en la sección considerada y la cantidad Vud/Mu no debe considerarse mayor que 1.0.
Si se emplea la ecuación (9.7), Vc necesita ser considerado menor que pwc dbf '21.0 y
no debe tomarse mayor que pwc dbf '52.0 .En esta ecuación d es la profundidad hasta
el centroide de los tendones de preesfuerzo; el límite inferior de 0.8h usado en la otra parte no es aceptable aquí. La ecuación (9.17) resulta conveniente en el sentido que es simple de usar en comparación con las ecuaciones más exactas (9.14) y (9.15), pero puede dar como resultados muy conservadores y antieconómicos para algunas clases de miembros.
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C. Área requerida de refuerzo en el alma Cuando se emplea el refuerzo por cortante perpendicular al eje del miembro, su contribución a la resistencia al corte es:
pwc
yv
s dbfs
dfAV '83.0 (9.18)
Pero el valor Vs no debe tomarse mayor que pwc dbf '83.0
La resistencia total nominal al cortante Vn se halla sumando las contribuciones del acero y del hormigón:
c
pyv
n Vs
dfAV (9.19)
Para el caso límite de la inecuación (9.12) mediante la ecuación (9.13):
nu VV
csu VVV
de la cual
c
pyv
n Vs
dfAV (9.20)
el área requerida para la sección transversal de un estribo, Av, puede calcularse mediante una adecuada transposición de términos en la ecuación (9.20)
py
cuv
df
sVVA (9.21)
Normalmente, en los casos prácticos de diseño, el ingeniero escogerá un tamaño tentativo de estribo, para el cual se halla el espaciamiento requerido. Así pues, una forma más conveniente de la ecuación (9.21) es:
cu
pyv
VV
dfAs (9.22)
Si el espaciamiento hallado para el tamaño tentativo de estribo resulta muy estrecho para una colocación económica o práctica o si resultara tan grande que los requisitos para espaciamiento máximo rigen el diseño para una parte muy grande de la luz de la trabe, entonces se selecciona un nuevo tamaño de varilla y se repiten los cálculos.
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174
D. Refuerzo mínimo en el alma En todos los miembros de hormigón pretensado se debe de proporcionar por lo menos una cierta área mínima de refuerzo por cortante, cuando la fuerza cortante factorizada total Vu es mayor que la mitad de la resistencia al cortante θ Vc proveniente del hormigón. Sin embargo, basándose en su exitoso comportamiento, se exceptúan de este requerimiento los siguientes tipos de miembros:
1. Losas y zapatas. 2. Construcciones de viguetas de hormigón (influyen a miembros nervados tales
como trabes doble “T”). 3. Trabes con un peralte total no mayor que el más grande de los siguientes
valores: 25.4cm, 2 ½ veces el espesor del patín, ½ del espesor del alma. El área mínima que debe de proporcionarse como refuerzo para el cortante para todos los demás casos debe ser igual al menor de los siguientes valores
y
wv
f
sbA 34.0 (9.23)
y
w
p
py
pup
vb
d
df
sfAA
80 (9.24)
En el cual Ap es el área de la sección transversal del acero de preesfuerzo, fy es el esfuerzo de fluencia del acero del estribo, y fpu es la resistencia última de tracción del acero de preesfuerzo. Todos los demás términos se han definido anteriormente. La ecuación (9.23) por lo general requerirá un mayor refuerzo mínimo de acero en el alma que la ecuación (9.24); de forma que la última ecuación es la que rige generalmente el diseño. Sin embargo, solamente puede ser aplicada si la fuerza de pretensado efectiva no es menor que el 40% de la resistencia a la tracción del refuerzo tensado (T). El código ACI contiene también ciertas restricciones para el espaciamiento máximo del refuerzo del alma, para asegurarse que cualquier grieta diagonal potencial será atravesada por lo menos por una mínima cantidad del acero del alma. Para miembros preesforzados, este espaciamiento máximo no debe exceder el menor de los
siguientes valores: 0.75*h ó 60cm. Si el valor de Vs sobrepasa pwc dbf '41.0 , estos
límites se reducen a la mitad. E. Hormigón ligero Los hormigones con agregado ligero se están empleando con creciente frecuencia en miembros pretensados. Aun cuando las disposiciones para el diseño por cortante del Código ACI que se acaban de sintetizar atañen a los miembros de hormigón con peso normal, se pueden aplicar a aquellos construidos con hormigón ligero con las siguientes modificaciones:
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175
a) Cuando se especifique la resistencia cilíndrica a la cuarteadura fct para el hormigón ligero las disposiciones para Vc deberán modificarse sustituyendo
fct/6.7 por '
cf , pero el valor de fct/6.7 no deberá exceder '
cf .
b) Cuando no se especifica fct, todos los valores de '
cf que afectan Vc y Mcr
deberán multiplicarse por 0.75 para los hormigones con agregados ligeros y por 0.85 para los hormigones con agregados ligeros y arena normal.
F. Anclaje del acero del alma El refuerzo del alma debe de llevarse tan cerca de las superficies de tracción y compresión del miembro como lo permitan los requisitos de recubrimiento y la proximidad de algún otro refuerzo. De acuerdo con el Código, los estribos deben extenderse una distancia dp desde la cara extrema en compresión y deben de anclarse en ambos extremos por uno de los siguientes medios:
a) Un gancho estándar más un anclaje efectivo de 0.5*ld. El anclaje de 0.5*ld de una pierna del estribo debe de tomarse como la distancia entre el punto medio del peralte del miembro, dp/2, y el inicio del gancho (punto de tangencia).
b) Anclaje por arriba o por debajo del punto medio del peralte, dp/2, de la trabe del lado de compresión desarrollando toda la longitud ld pero no menos que 24 veces el diámetro de la varilla ó 30cm. para varillas o alambres corrugados.
c) Para varillas del No. 5 y alambres D31 y menores, el doblado alrededor del refuerzo longitudinal es por lo menos 135 grados, más, para estribos con esfuerzos de diseño que excedan 310 MPa, un anclaje efectivo de 0.33*ld. el anclaje de 0.33*ld de una pierna del estribo debe de tomarse como la distancia entre el punto medio del peralte del medio, dp/2, y el inicio del gancho (punto de tangencia).
La longitud básica de desarrollo ld debe de considerarse igual a:
c
yb
df
fAl
'
04.0
(9.25a) Pero no menor que:
ybd fdl 0004.0 (9.25b)
Donde: Av = área de la sección transversal de la varilla, cm2. db = diámetro de la varilla, cm. Para hormigones con agregados ligeros esta longitud es aumentada en 33%, mientras que para los hormigones con agregados ligeros y arena normal el incremento es el 18%.
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176
Figura 9.12 Ganchos estándar para estribos y tirantes. Se han estandarizado las dimensiones de los anchos, y para los estribos estas se muestran en la figura 9.12. Para tal refuerzo el mínimo diámetro interior del doblez no debe ser menos que 4 veces el diámetro, para varillas del No. 5 y menores, y no menor que 6 veces el diámetro para varillas hasta el No. 8. G. Diseño en la práctica Resulta claro que en el diseño del refuerzo del alma llega a haber ciertas complicaciones, aun en los casos ordinarios. Esto es particularmente cierto si Vc está basado en el método más refinado usando las ecuaciones (9.14) y (9.15) para Vci y Vcw respectivamente, debido a que muchos de los parámetros de aquellas ecuaciones varían dependiendo de la ubicación a lo largo de la luz. El uso de un programa de computadora facilitará considerablemente los cálculos del espaciamiento requerido para los estribos.
Figura 9.13 Bases para el diseño de estribos de una viga cargada uniformemente.
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177
Alternativamente, puede resultar ventajoso determinar los requisitos de acero en el alma graficando la variación de los cortantes aplicados y resistentes a lo largo de la luz, tal como se muestra en la figura 9.13 para un miembro cargado uniformemente. El exceso en cortante puede establecerse rápidamente para cualquier ubicación con tal diagrama, y se puede seleccionar una colocación práctica de los estribos. Para la posición de los estribos, por lo general se seleccionan tres o cuatro espaciamientos constantes para aproximar el requerimiento de variación continua indicado en la figura 9.13.
2.9.6 EJEMPLO. DISEÑO DEL REFUERZO DEL ALMA POR CORTANTE
Ejemplo 9.1 La trabe “I” asimétrica de la figura 9.14 debe soportar una carga muerta
sobrepuesta de qd = 5.1 kN/m y una carga viva de servicio de ql = 17.8 kN/m en forma adicional a su peso propio de qpp= 4.03kN/m. Debe fabricarse con hormigón de f‟c=35MPa y se preesfuerza usando tendones de alambres múltiples con fpu=1896MPa con una fuerza efectiva Pe = 1281 kN. Hállese el espaciamiento requerido para los estribos verticales en U en un punto a x = 3.05m del apoyo izquierdo, si fy para el estribo de acero es de fy = 280 MPa. Extraído de la referencia Negrín (2007) y que permite un completo entendimiento del tema. La solución de este ejercicio presenta una ayuda de diseño preparada en Excel, según se muestra en el Anexo #6.
Figura 9.14 Ejemplo de diseño por cortante. (a) Sección transversal. (b) Perfil. Puede establecerse fácilmente que las propiedades de la sección transversal de hormigón sin agrietar son: Ic =1055490.58cm4, Ac=1612cm2, y r2=654.77cm2. La profundidad dp del tendón en la parte central de la luz es 62.2cm y la excentricidad e = 28.45cm. Desde una distancia de 4.6m del apoyo, la excentricidad comienza a reducirse linealmente hasta cero en los apoyos. Así pues, la excentricidad en la sección de interés es:
cmm
mcme 86.18
6.4
05.3*45.28
La profundidad dp correspondiente es 33.75cm+18.86cm=52.61cm. De acuerdo con el Código, la profundidad efectiva para los cálculos de cortante se supondrá igual a 0.8*h=0.8*75cm=60cm.
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Con la ayuda de las ecuaciones (9.14) y (9.5) se halla la resistencia nominal al cortante para agrietamiento por flexión-cortante. Para la sección dada, el esfuerzo en el hormigón en la cara inferior debido solamente el preesfuerzo:
2
222
22 /3.17389
77.654
25.41*86.181
1612
12811 mkN
cm
cmcm
cm
kN
r
ec
A
P
c
ep
El momento por peso propio y el cortante en x=3.05m son, respectivamente
mkNmmmmkN
xlxq
Mpp
PP .30.6705.3142
05.3*/03.4
2
*
kNmm
mkNxl
qV pppp 92.1505.32
14/03.4
2
El momento Mpp produce un esfuerzo de tracción en la parte inferior de la viga igual a:
2
4
2/18.2630
58.1055490
25.41*.30.67*mkN
cm
cmmkN
I
cM
c
pp
pp
Entonces, de la ecuación (9.5)
mkNM
mkNmkNMPacm
cmM
cfc
IM
cr
cr
pppc
cr
.51.471
/18.2630/3.173893562.025.41
58.1055490
62.0
224
2
'
2
El cortante y el momento en la sección a 3.05m del apoyo, provenientes de la carga muerta sobrepuesta de qd = 5.1 kN/m, y de la carga viva de ql = 17.8 kN/m, son respectivamente:
kNmm
mkNxl
qqV ldi 46.9005.32
14/90.22
2)(
mkNmmmmkN
xlxqq
M ld .4.38205.3142
05.3*/90.22
2
*)(max
Así de la ecuación (9.14) el valor de Vci es:
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
179
kNV
mkNmkN
kNkNcmcmMPaV
MM
VVdbfV
ci
ci
cri
pppwcci
07.156
.51.471*.4.382
46.9092.1560*13*35062.0
062.0max
'
Nótese que el límite inferior kNcmcmMPa 06.8360*13*3518.0 no es el que rige el
diseño aquí. La resistencia nominal al cortante para agrietamiento por cortante en el alma se halla de la ecuación (9.15). Con Pe = 1281 kN, el esfuerzo centroidal en el hormigón es:
2
2/65.7946
1612
1281mkN
cm
kN
A
P
c
ecc
La componente vertical de la fuerza de pretensado efectiva es:
Para mx 6.40 , senPV ep *
kNcmcm
cmkNsenPV ep 08.79
46045.28
45.28*1281*
22
Para mx 6.4 , 0pV
Entonces, de la ecuación (9.15)
kNV
kNcmcmmkNMPaV
VdbfV
cw
cw
ppwccccw
16.431
08.7960*13*/65.7946*3.03536.0
*3.036.0
2
'
En el presente caso, el agrietamiento por flexión-cortante rige el diseño, y
cV es el menor valor entre cwV y ciV
kNVV cic 07.156
La fuerza cortante total en x=3.05m bajo cargas factorizadas es:
kNV
mmmkNmkNmkNV
u
u
77.155
05.32/14*/8.17*6.1/1.5/03.42.1
Luego el exceso en cortante:
scu VVV )85.0/(
kNkNkNVs 19.27)07.15685.0/77.155(
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
180
Se encuentra bien por debajo del límite superior de:
kNcmcmMPaVs 01.38360*13*35*83.0sup.lim,
y también se encuentra por debajo de:
kNcmcmMPaVs 2.18960*13*35*41.0inf.lim,
De manera que rigen las limitaciones normales de espaciamiento. En forma tentativa, se seleccionan estribos en U del No.3, proporcionando un área por estribo de Av = 2*0.71cm2 = 1.42cm2. De la ecuación (9.22) El espaciamiento del refuerzo requerido en el alma es:
cms
kNkN
cmMPacms
VV
dfAs
cu
pyv
73.87
07.156*85.077.155
60*280*42.1*85.0 2
Revisando el área mínima de acero en el alma (o separación máxima) mediante las ecuaciones (9.23) y (9.24) transformadas:
Tomar la menor separación dadas por (1) ó por (2):
cmcm
MPacm
b
fAs
w
yv95.89
13*34.0
280*42.1
34.0
2
(1)
Como que Pe < 0.4T, entonces:
wp
p
pup
yv
bd
d
fA
fAs
/*
80 (no debe usarse) (2)
El menor de los dos requerimientos es el que rige, y para estribos de No.3 con Av=1.42cm2 el máximo espaciamiento es s=85.95cm. Adicionalmente, el máximo espaciamiento no debe sobrepasar el menor de los siguientes valores 60cm, ó
0.75*75cm=56.25cm (gobierna 56.25cm) ya que pwcs dbfV '41.0 . El requerimiento
calculado de s=56.25cm rige en cualquier caso. Este se redondeará a s = 56cm por razones prácticas.
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
181
DEFLEXIÓN
2.10.1 INTRODUCCIÓN
La deflexión de las vigas esbeltas y relativamente flexibles que se pueden construir mediante la utilización del pretensado debe estimarse cuidadosamente. Muchos elementos, satisfactorios de todos los otros puntos de vista, han demostrado ser inservibles por su deformación excesiva. En algunos casos, el valor absoluto de la deflexión es excesivo. A menudo, la deformación diferencial entre elementos adyacentes (por ejemplo, unidades prefabricadas para tableros de cubiertas) es la que genera problemas. Con bastante frecuencia las dificultades que ocurren están asociadas con la deflexión hacia arriba producida por la carga sostenida de preesfuerzo. Tales dificultades se evitan en una consideración adecuada en el diseño. Cuando se aplica por primera vez la fuerza de pretensado, una viga presentará normalmente una contraflecha hacia arriba. Con el transcurso del tiempo, la retracción de fraguado y el flujo plástico del hormigón producirán una reducción gradual de la fuerza de pretensado; a pesar de esto, la deflexión hacia arriba aumentará por lo general a causa del flujo plástico diferencial, que afecta más las fibras inferiores sometidas a altos esfuerzos que las superiores. Con la aplicación de las cargas muerta y viva superpuestas, esta deflexión hacia arriba se balanceará parcial o totalmente y se obtendrá una deflexión nula o una deflexión hacia abajo. Es claro que, al calcular esta deformación, debe prestarse atención especial a la duración de la carga. El estimativo de la deflexión puede realizarse con diferentes niveles de precisión según la naturaleza e importancia del trabajo. En algunos casos es suficiente aplicar unos límites a la relación luz altura, con base en las experiencias pasadas. En general, es necesario calcular las deflexiones (de acuerdo con el código ACI, es preciso calcularlas para todos los elementos pretensados).El método aproximado que se describe en esta numeral resultará suficientemente preciso para la mayoría de los propósitos. En circunstancias especiales, donde es importante obtener la mejor
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
182
información posible con relación a la deflexión en todos los estados importantes de carga como en puentes de luces largas, el único método satisfactorio consiste en utilizar un procedimiento de sumas basado en el incremento de las deflexiones en intervalos discretos de tiempo. De esta manera, pueden tenerse en cuenta los cambios dependientes del tiempo de la fuerza de pretensado, las propiedades de los materiales y las cargas hasta el grado de precisión que desee. Normalmente, las deflexiones de principal interés son las que ocurren en el estado
inicial, cuando la viga se somete al preesfuerzo inicial iP y a su peso propio, y para
una o más combinaciones de carga de servicio, cuando la fuerza de pretensado se
reduce al valor efectivo eP a causa de las pérdidas. Las deflexiones cambian por el
flujo plástico que ocurre con la fuerza de pretensado sostenida y con todas las demás cargas sostenidas. Nilson (2000)
2.10.2 DEFLEXIONES A CORTO PLAZO
Las deflexiones a corto plazo pi , producto de la fuerza de pretensado inicial iP
puede determinarse con base en la variación del momento de preesfuerzo a lo largo de la luz, utilizando los principios del área de momentos. Para vigas estáticamente determinadas, las ordenadas del diagrama de momentos que resulta de la fuerza de pretensado excéntrica son directamente proporcionales a la excentricidad de la línea del centroide del acero con respecto al centroide del hormigón. En vigas indeterminadas, la excentricidad se debe medir hasta la línea de empuje en vez del centroide del acero. En cualquier caso, el efecto del pretensado también puede tratarse en términos de cargas equivalentes y las deflexiones se pueden hallar con las ecuaciones corrientes.
La deflexión hacia abajo 0 por el peso propio de la viga, que es por lo genera
uniformemente distribuido, se encuentra mediante los métodos convencionales. Así que la deflexión neta obtenida inmediatamente después del preesfuerzo es:
0pi (10.1)
Donde el signo negativo indica un desplazamiento hacia arriba. Para determinar las deflexiones producidas por las cargas externas linealmente distribuidas e incluyendo el peso propio se utiliza la siguiente expresión:
cc IE
ql
384
5 4
0 (10.2)
Donde: ∆ = Deflexión al centro de la luz (m)
q = Carga distribuida (kN/m)
l = Luz de la viga (m)
cE = Módulo de elasticidad del hormigón (MPa)
cI = Inercia bruta de la sección ( 4m )
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
183
Para determinar las deflexiones producidas por las cargas externas concentradas en el centro de la luz se utiliza la siguiente expresión:
cc
cIE
Pl
96
3
(10.3)
Donde:
c = Deflexión al centro de la luz (m)
P = Carga concentrada (kN) l = Luz de la viga (m)
cE = Módulo de elasticidad del hormigón (MPa)
cI = Inercia bruta de la sección ( 4m )
cc
ii
piIE
LLaPLLaeP
*
4/*2/**2/*8
5*2/*
3
2*0
(10.4)
cc
ii
piIE
LLaPLLaeP
*
4/*2/**2/*8
5*2/*
3
2*0
(10.5)
Donde 0e es la excentricidad que tiene el cable resultante con respecto al centroide
de la sección de hormigón en el centro de la luz y a es la excentricidad que tiene el
cable resultante con respecto al centroide de la sección de hormigón en los apoyos. La expresión (10.3) se utiliza cuando la excentricidad que tiene el cable resultante con respecto al centroide de la sección de hormigón en los apoyos está por encima y la expresión (10.4) para cuando está por debajo. Nilson (2000)
2.10.3 DEFLEXIONES A LARGO PLAZO
Las deflexiones a largo plazo debidas al pretensado ocurren a medida que la fuerza
se reduce en forma gradual de iP a eP . Esto puede tenerse en cuenta de manera
aproximada, suponiendo que el flujo plástico ocurre con una fuerza de pretensado constante igual a la promedio de los valores inicial y final. Consecuentemente con este supuesto, la deflexión total que resulta del solo preesfuerzo es:
c
pepi
pe C*2
(10.6)
Donde:
i
epipe
P
P (10.7)
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
184
Y cC es el coeficiente de flujo plástico para el hormigón (ver la tabla 8.1).
La deflexión a largo plazo por el peso propio se incrementa también por el flujo plástico y se obtiene aplicando en forma directa el coeficiente de flujo plástico al valor instantáneo. Entonces, la deflexión total del elemento, después de las pérdidas y de las deflexiones por flujo plástico, cuando actúan el pretensado efectivo y el peso propio, es:
cc
pepi
pe CC 1*2
0 (10.8)
La deflexión producto de las cargas superpuestas puede ahora adicionarse, introduciendo el coeficiente de flujo plástico para tener en cuenta el efecto a largo plazo de las cargas sostenidas, con el fin de obtener la deflexión neta para la carga de servicio completa:
lcdc
pepi
pe CC 1*2
0 (10.9)
Donde d y l son las deflexiones instantáneas generadas por las cargas muerta y
viva superpuestas, respectivamente. Puesto que los elementos permanecen práctica o totalmente no fisurados para los niveles de carga característicos de interés, los cálculos pueden basarse en las propiedades de la sección de hormigón no fisurado. Si la tracción en la fibra inferior excede el módulo de rotura con la carga a la cual se va a encontrar la deflexión, los cálculos deben basarse en una curva bilineal carga-deformación, o la equivalente, cuyas pendientes se relacionan con el momento de inercia de las secciones transformadas no fisurada y fisurada. Por lo general se utiliza un momento efectivo de inercia basado en un promedio ponderado de los momentos de inercia de las secciones no fisurada y fisurada. Nilson (2000)
Ejemplo 10.1 La viga “I” simplemente apoyada de m20 que aparece en la figura 10.1
se preesfuerza con una fuerza de TPi 314 , utilizando un tendón parabólico que tiene
una excentricidad de ma 0814.0 por debajo del centroide del hormigón en los apoyos
y me 4216.00 por debajo del centroide en el centro de la luz .Después de que
ocurren las pérdidas dependientes del tiempo, este preesfuerzo se reduce a
TPe 271 . Además de su peso propio de mT /1 lineal, la viga principal debe soportar
una carga viva superpuesta de corta duración de mT /2.2 lineal. Estime la deflexión
para todos los estados críticos de carga. El coeficiente de flujo plástico 6.2cC ,
MPaEc 28397 y el módulo de rotura MPafr 67.3 .
La solución de este ejercicio presenta una ayuda de diseño preparada en Excel, según se muestra en el Anexo #7. Solución. Se confirma que el esfuerzo en la fibra inferior, cuando la viga soporta la carga máxima que debe analizarse es MPa07.0 a compresión. Por tanto todos los
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
185
cálculos de deflexiones pueden basarse en el momento de inercia de la sección bruta
de hormigón, 40611911.0 mIc.Resulta conveniente calcular por separado la deflexión
que generan el pretensado y la carga sobre la viga, para superponer más tarde los resultados. Con las excentricidades del perfil del tendón mostrado en la figura10.1 (los momentos están dados en unidades de mT. ).Aplicando el segundo teorema del área
de momentos, se toman los momentos del diagrama Cc IEM / entre el centro de la luz
y el apoyo, con respecto al apoyo, para obtener el desplazamiento vertical deseado entre estos dos puntos, de la siguiente manera:
mmMPa
mmmTmmmT
pi 0323.00611911.0*28397
5*10*.6.2510*8
5*10*
3
2*.8.106
4
El signo negativo indica una deflexión hacia arriba por el solo pretensado inicial. La deflexión hacia abajo, a causa del peso propio de la viga, se calcula mediante la ecuación
mmMPa
mmT
IE
ql
cc
0119.00611911.0*28397*384
20*/1*5
384
54
24
0
Cuando estos dos resultados se superponen, la deflexión neta hacia arriba, cuando actúan conjuntamente el pretensado inicial y el peso de la viga, es:
mmmpi 0204.00119.00323.00
Figura 10.1 Viga ¨ I ¨ del ejemplo 10.1 (a) Sección transversal; (b) Perfil del tendón; (c) Momento causado por la fuerza de pretensado.
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
186
La retracción del fraguado y el flujo plástico del hormigón producen una reducción
gradual del fuerza de pretensado desde TPi 314 hasta TPe 271 y reducen en
formas proporcional el momento flector ocasionado por el pretensado .Sin embargo el flujo plástico del hormigón actúa para incrementar tanto la componente de deflexión hacia arriba, por la fuerza de pretensado como la componente de deflexión hacia abajo por la carga sobre la viga. La deflexión neta, después de que ocurren estos cambios se encuentra a partir de la ecuación (10.7), con
mpe 0279.0314/271*0323.0 :
m0634.00428.00783.00279.0
6.210119.06.2*2
0279.00323.00279.0
A pesar de la pérdida de pretensado, la deflexión hacia arriba es considerablemente mayor que antes. Finalmente, a medida que se aplica la carga superpuesta de corta duración de mT /2.2 lineal, la deflexión neta es:
m0372.01
2.20119.00634.0
Así, se obtiene una deflexión neta hacia arriba de aproximadamente 500/1 veces la
luz, cuando el elemento soporta una carga superpuesta total.
2.10.4 DEFLEXIONES EN VIGAS AGRIETADAS En general, el agrietamiento de las vigas de hormigón pretensado parcialmente ocurrirá bajo la totalidad de la carga viva, por lo cual la deflexión inmediata deberá calcularse para dicha carga siguiendo un criterio diferente al de secciones no agrietadas. El cálculo de esta deflexión puede hacerse con las ecuaciones de la Mecánica Elástica usando un momento de inercia de la sección reducido por el efecto del agrietamiento. En la estimación de ese momento de inercia reducido debe tenerse en cuenta que no todas las secciones de la viga están agrietadas, por lo cual debe ser un momento de inercia que tenga como límite inferior el de la sección agrietada y como límite superior el de la sección gruesa. Para determinar el momento de inercia de la sección agrietada se considera, conservadoramente, que la sección está totalmente agrietada (en la falla) y no parcialmente agrietada (como realmente está). La razón de esto es que el momento de inercia de la sección parcialmente agrietada no es constante, sino que cambia con el nivel de carga. Palacios (2004) El ACI exige, para secciones agrietadas, que se calculen las deflexiones en base a una relación bilineal momento-deflexión. Es decir, que se debe considerar el momento de inercia de la sección gruesa para las deflexiones causadas por aquella porción de la carga viva ligeramente menor a la de agrietamiento, y se debe considerar el momento de inercia de la sección agrietada y transformada para la deflexión adicional causada por la porción de carga viva mayor o igual a la de agrietamiento. Alternativamente, el ACI, permite que se use, para toda la carga viva, un momento de inercia efectivo que puede determinarse por:
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
187
gcr
a
crg
a
cre II
M
MI
M
MI
33
1
l
rti
a
cr
f
ff
M
M1
2
2
21S
M
r
eC
A
Pf s
c
eti
2S
Mf l
l
cr ff '*62.0
ppppspcr ndAnI 6.112
sppssppspcr nndAndAnI 6.1122
c
ps
pE
En
c
ss
E
En
(10.10) Donde, para hormigón pretensado y en la determinación de deflexiones para carga viva:
(10.11)
Donde:
(10.12)
(10.13)
(10.14)
1. Momento de inercia de secciones agrietadas.
Como ya mencionamos antes, para la determinación del momento de inercia de la sección agrietada se considera ésta, en forma conservadora, como totalmente agrietada y sin la influencia benéfica de la fuerza de pretensado. Esto implica que la sección se considera como si fuera de hormigón reforzado. El momento de la sección agrietada puede ser calculado por las expresiones recomendadas por el PCI. Para secciones sin acero de refuerzo a tracción:
(10.15)
Para secciones con acero de refuerzo a tracción:
(10.16)
Donde:
Capítulo II: Manual Básico
para el diseño y revisión de vigas de Hormigón Pretensado. Ejemplos.
188
p
ps
pbd
A
bd
As
2.10.5 DEFLEXIONES PERMISIBLES
Las deflexiones límites para las estructuras son muy variables, dependerán del tipo particular de la estructura en consideración y de las circunstancias particulares para esa estructura. Se debe calcular la deflexión y comprobar que no exceda los valores normados en la siguiente tabla. Tabla 10.1 Deformación máxima permisible en edificaciones (en función de la luz del
elemento, L) [9]
Tipo de elemento Deflexión considerada Deflexión permisible
Azoteas planas que no soportan ni están ligadas a elementos no estructurales que pueden ser dañados por deformaciones excesivas.
Deflexión instantánea debida a la carga viva (L)
L/180
Entrepisos que no soportan ni están ligados a elementos no estructurales que puedan ser dañados por deformaciones excesivas
Deflexión instantánea debida a la carga viva (L)
L/360
Sistema de entrepiso o azotea que soportan o están ligados a elementos no estructurales susceptibles de ser dañados por deformaciones excesivas
La parte de la deflexión total que ocurre después de la construcción de los elementos no estructurales, o sea la suma de las deflexiones a largo plazo como consecuencia de todas las cargas sostenidas y las deflexiones instantáneas que ocasionan cualquier carga viva adicional.
L/480
Sistema de entrepiso o azotea que soportan o están ligados a elementos no estructurales no susceptibles de ser dañados por deformaciones excesivas
L/240
Vigas soportes de puentes-grúas
Grúas operadas a mano.
Grúas eléctricas.
Deflexión total
L/500 L/600
Tabla 10.2 Deformación máxima permisible en puentes (en función de la luz del
elemento, L) [1]
Tipo de elemento Deflexión considerada Deflexión permisible
Vigas de puentes isostáticos. Deflexión total L/240+0.5cm
189
Conclusiones
189
CONCLUSIONES
Para enunciar las conclusiones se debe, primero que todo, destacar el cumplimiento
de todos los objetivos del trabajo, fijados desde un principio:
1. Se realizó la recopilación bibliográfica necesaria, trabajándose con clásicos de la
materia como: las Normas ACI, Soviética, Propuesta de Norma Cubana; además
de textos básicos muy importantes como Guyón (1965), Poggio, Valdés y Vázquez
(1983), Lin (1984), Nilson (2000). Se debe destacar también lo utilitario que fueron
las referencias Palacios (2004) y Negrín (2007). Toda esta literatura fue adaptada
a las condiciones cubanas referentes a: unidades de medida, calidades de los
materiales, equipamiento, etc.
2. Se desarrollaron una serie de ejercicios muy completos e ilustrativos sobre la
base, en algunos de los casos, de problemas reales (como la revisión de las vigas
del puerto de Cienfuegos) que permite al estudiante o proyectista medio, hacer un
razonamiento más amplio de la metodología expuesta, para cada uno de los
temas; todo expresado de una forma clara y precisa.
3. Se conformaron los algoritmos de cálculo de cada una de las cuestiones a evaluar
en los diseños y revisiones, haciéndose las hojas de cálculo para resolver los
problemas planteados. Todos los ejemplos típicos fueron resueltos también por
estas hojas de cálculo confirmando su efectividad, al compararlos con las
soluciones manuales.
4. Se logra la redacción del Manual Básico en formato accesible al proyectista medio
que también pueda ser utilizado como material docente, tanto para pre como
postgrado. Este Manual consta de todos los temas necesarios para aplicar en un
diseño o revisión de vigas pretensadas: propiedades de los materiales y equipos,
criterios de diseño y revisión, revisión y diseño en etapa elástica, trazado de
cables, cortante, pérdidas, chequeo de deformación, etc.
190
Recomendaciones
190
RECOMENDACIONES
1. Primero que todo, que se le de aplicación inmediata a este Manual, tanto en la
docencia como en la producción a la hora de realizar revisiones o diseño de vigas
pretensadas.
2. Completar las hojas de cálculo de pérdidas que por cuestión de tiempo no
pudieron ser terminadas.
3. Realizar algunos ejemplos de vigas de puentes isostáticos con cargas móviles,
diseñando a través de envolventes de Líneas de Influencia.
4. Unificar completamente la nomenclatura en función de la futura Norma Cubana
(que no es totalmente compatible con la del ACI).
191
Bibliografía
191
BIBLIOGRAFÍA
1. AASHTO (1996). Standard Specifications for Highway Bridges.
2. ACI 318-02 “Building Code Requirements for Structural Concrete and
Commentary”. PCA 2002.
3. Bases de cálculo de estructuras de hormigón armado y pretensado (2003).
Basado en Eurocódigo. UNE-EN 1990.
4. Baykov, V. y E. Sigalov. (1986). “Estructuras de Hormigón Armado”. Moscú: Ed.
Mir.
5. Bermúdez M., M. (2000). “Método Unificado para diseño de secciones
pretensadas”. Tesis de grado de Doctor en Ciencias Técnicas no publicado,
ISPJAE, Ciudad Habana, Cuba.
6. Cowan, H.J. (Ed.). (1983). “Esquema histórico de las ciencias de la
construcción”, Facultad de Arquitectura, ISPJAE, Habana, Cuba.
7. Generalidades e historia del pretensado (sin autor). Consultado el 10 de
diciembre, 2009. En: www.arqmastri.com.ar/inve/HORMIGON/Postensado.htm
8. Guyón, Y. (Ed.). (1965). “Hormigón Pretensado”. Madrid: Editorial Doss.
9. Hernández S., J.J., Bermúdez M., M. Broche L., J.L. (2006) “Hormigón
Estructural” (Primera Parte) “Vigas de Hormigón Armado”.
10. “Hormigón Pretensado” (2009). Propuesta de Norma Cubana (según ACI 2005).
Capítulo 27 según PCI (versión 14 de julio 2009)
11. Lin T., Y. (Ed.). (1984). “Diseño de Estructuras de Concreto Preesforzado”.
México: Editorial Continental, S.A.
12. Martínez, A. (2001). “Diseño óptimo de elementos sometidos a flexo
compresión”. Tesis presentada para optar por el grado de Master en
Estructuras no publicado, UCLV, Santa Clara, Cuba.
13. Negrín, A. (2007). “Hormigón Pretensado”. [folleto]. UNITEC, Tegucigalpa,
Honduras.
14. Nilson, H. A. (2000). “Diseño de Estructuras de Concreto”. México: Ed. Limusa.
15. Palacios, M. (2004). “Hormigón Pretensado”. [folleto]. UNITEC, Tegucigalpa,
Honduras.
16. Poggio M., M., Valdés A., E. y Vázquez R., J. (Ed.). (1983). “Hormigón
Pretensado”. Apuntes para un libro de texto. Facultad de Ingeniería Civil,
ISPJAE, Ciudad Habana, Cuba.
192
Anexos
192
ANEXOS
Anexo #1. Hoja de cálculo en Excel, “Diseño con excentricidad conocida”.
La ayuda de diseño que aquí se presenta permite obtener el número de cables necesarios para una viga de Hormigón Pretensado, diseñada con excentricidad conocida, a partir de introducir datos que definan las características geométricas de la viga, calidades de los materiales (hormigón y acero preesforzado), diámetro de cables a utilizar, momentos producidos por las cargas muerta (sin peso propio) y de uso, etc. Muestra una serie de resultados en la transferencia de la fase de diseño que permite al usuario chequear e interiorizar soluciones obtenidas en la misma. Además se recrea, con figuras y ecuaciones que caracterizan este tipo de diseño, para un poco interactuar con el usuario. Presenta también, una serie de notas de estricto cumplimiento, que garantizan su correcto funcionamiento. Es muy importante que se respeten las unidades de medidas, tanto para los datos de entrada, como para los resultados.
Específicamente da solución al Ejercicio Resuelto 6.1, que se presenta en el Capítulo 2, Epígrafe 2.6.6.
Anexos
193
Anexo #2. Hoja de cálculo en Excel, “Diseño con excentricidad no conocida”.
La ayuda de diseño que aquí se presenta permite obtener una gráfica que muestra la “zona útil” que define el diseño, pues indican todas las combinaciones que cumplen las cuatro condiciones, para que solo reste que el usuario escoja la solución que económica y constructivamente le sea factible. A partir de introducir datos que definan las características geométricas de la viga, calidades de los materiales (hormigón y acero preesforzado), diámetro de cables a utilizar, momentos producidos por las cargas muerta (sin peso propio) y de uso, tensiones límites para ambos estados, etc. Muestra una serie de resultados en la transferencia de la fase de diseño que permite al usuario chequear e interiorizar soluciones obtenidas en la misma, entre ellos, los interceptos en los ejes “x” y “y”. Además se recrea, con figuras y ecuaciones que caracterizan este tipo de diseño, para un poco interactuar con el usuario. Es muy importante que se respeten las unidades de medidas, tanto para los datos de entrada, como para los resultados.
Específicamente da solución al Ejercicio Resuelto 6.2, que se presenta en el Capítulo 2, Epígrafe 2.6.6.
Anexos
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Anexo #3. Hoja de cálculo en Excel, “Revisión de máximo momento elástico”. (Viga del puerto de Cienfuegos).
La ayuda de diseño que aquí se presenta permite obtener el momento total permisible, el momento permisible debido a la carga viva y el valor permisible de la carga viva propiamente dicha que satisfacen las tensiones límites permisibles en los dos estados. A partir de introducir datos que definan las características geométricas de la viga, calidades de los materiales (hormigón y acero preesforzado), cantidad y disposición real de los cables, momentos producidos por la carga muerta (sin peso propio), tensiones límites en estado 2, etc. Muestra una serie de resultados en la transferencia de la fase de diseño que permite al usuario chequear e interiorizar soluciones obtenidas en la misma. Además se recrea, con figuras y ecuaciones que caracterizan este tipo de diseño, para un poco interactuar con el usuario. Presenta también, una nota de estricto cumplimiento, que garantizan su correcto funcionamiento Es muy importante que se respeten las unidades de medidas, tanto para los datos de entrada, como para los resultados.
Específicamente da solución al Ejercicio Resuelto 6.3, que se presenta en el Capítulo 2, Epígrafe 2.6.6.
Anexos
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Anexo #4. Hoja de cálculo en Excel, “Revisión de momento último”. (Viga del puerto de Cienfuegos).
La ayuda de diseño que aquí se presenta permite obtener el momento último total permisible que soporta una viga de Hormigón Pretensado. A partir de introducir datos que definan las características geométricas de la viga, calidades de los materiales (hormigón y acero preesforzado), cantidad y disposición real de los cables, momento producido por la carga muerta (sin peso propio), etc. Muestra una serie de resultados en la transferencia de la fase de diseño que permite al usuario chequear e interiorizar soluciones obtenidas en la misma. Además se recrea, con figuras y ecuaciones que caracterizan este tipo de revisión, para un poco interactuar con el usuario. Presenta también, una nota de estricto cumplimiento, que garantizan su correcto funcionamiento. Es muy importante que se respeten las unidades de medidas, tanto para los datos de entrada, como para los resultados.
Específicamente da solución al Ejercicio Resuelto 6.4, que se presenta en el Capítulo 2, Epígrafe 2.6.8.
Anexos
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Anexo #5. Hoja de cálculo en Excel, “Trazado de cables”.
La ayuda de diseño que aquí se presenta permite obtener las coordenadas, cada un metro, del trazado de cada uno de los cables que conforman la viga pretensada, con respecto al centro de la luz y al fondo del encofrado. A partir de introducir datos que definan las características geométricas de la viga, cantidad y disposición real de los cables calculada para el centro de la luz y luego la distribución propuesta por el usuario para los extremos, donde este tiene que velar que el centroide del cable resultante caiga dentro del huso límite etc. Se limita el cálculo a aquellas vigas que presenten una luz menor e igual a los 30m y un total de 13 cables como máximo. Muestra una serie de resultados en la transferencia de la fase de diseño que permite al usuario chequear e interiorizar soluciones obtenidas en la misma. Además se recrea, con figuras y ecuaciones que caracterizan este tipo de revisión, para un poco interactuar con el usuario. Presenta también, una serie de notas de estricto cumplimiento, que garantizan su correcto funcionamiento. Es muy importante que se respeten las unidades de medidas, tanto para los datos de entrada, como para los resultados.
Específicamente da solución al Ejercicio Resuelto 7.1, que se presenta en el Capítulo 2, Epígrafe 2.7.3.
Anexos
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Anexo #6. Hoja de cálculo en Excel, “Diseño por cortante”.
La ayuda de diseño que aquí se presenta permite obtener el espaciamiento requerido, máximo permisible y definitivo del acero de refuerzo en el alma a partir de introducir datos que definan las características geométricas de la viga, calidades de los materiales (hormigón y acero preesforzado), diámetro de los cercos a utilizar, las cargas muerta (sin peso propio) y de uso, así como definir la distancia desde el apoyo a la que será calculada el espaciamiento de los cercos, etc. Muestra una serie de resultados en la transferencia de la fase de diseño que permite al usuario chequear e interiorizar soluciones obtenidas en la misma. Además se recrea, con figuras y ecuaciones que caracterizan este tipo de diseño, para un poco interactuar con el usuario. Presenta también, una serie de notas de estricto cumplimiento, que garantizan su correcto funcionamiento. Es muy importante que se respeten las unidades de medidas, tanto para los datos de entrada, como para los resultados.
Específicamente da solución al Ejercicio Resuelto 9.1, que se presenta en el Capítulo 2, Epígrafe 2.9.6.
Anexos
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Anexo #7. Hoja de cálculo en Excel, “Revisión de deflexión en el centro de la luz”.
La ayuda de diseño que aquí se presenta permite obtener la deflexión a corto plazo debido a la fuerza de pretensado inicial, carga muerta y de uso, al peso propio, y la deflexión provocada por la carga superpuesta total a largo plazo, así como al parte que representa esta con respecto a la luz que salva la viga, a partir de introducir datos que definan las características geométricas de la viga, calidades del hormigón, las cargas muerta (sin peso propio) y de uso, fuerza de pretensado inicial, así como definir la posición del cable resultante en el centro de la luz y en los apoyos, etc. Muestra una serie de resultados en la transferencia de la fase de diseño que permite al usuario chequear e interiorizar soluciones obtenidas en la misma. Además se recrea, con figuras y ecuaciones que caracterizan este tipo de diseño, para un poco interactuar con el usuario. Es muy importante que se respeten las unidades de medidas, tanto para los datos de entrada, como para los resultados.
Específicamente da solución al Ejercicio Resuelto 10.1, que se presenta en el
Capítulo 2, Epígrafe 2.10.3.