VIGAS COMPUESTAS

INTRODUCCION• En este capitulo continuamos nuestro estudio de flexión de viga al examinar

varios temas especializados, los cuales se basan en temas fundamentales como: curvaturas, esfuerzos normales en vigas y esfuerzos cortantes en vigas.

• Sin embargo ya no requerimos que las vigas estén compuestas de un solo material, también eliminaremos las restricción de que las vigas tengan un plano de simetría en el cual se deben aplicar las cargas transversales, por ultimo, ampliaremos el desempeño en el rango de comportamiento inelástico de vigas hechas de materiales elastoplasticos.

VIGAS COMPUESTAS• Las vigas fabricadas con mas de un material se llaman vigas

compuestas.

• Algunos ejemplos son los tubos recubiertos con plástico y vigas de madera con placas de refuerzo de acero.

• En años recientes se han desarrollado muchos otros tipos de vigas compuestas, principalmente para ahorrar material y reducir peso. por ejemplo, las vigas sándwich se usan ampliamente en las industrias de aviación y aeroespacial, donde se requiere peso ligero, alta resistencia y rigidez. algunos objetos comunes como esquíes, puertas, paneles de muros, estantes y cajas de cartón también se fabrican como elementos sándwich.

VIGAS SÁNDWICH• una viga sándwich ordinaria (figura 6.2) consiste en dos tapas delgadas de material con resistencia relativamente alta (como el aluminio) separadas por un núcleo grueso de material ligero y baja resistencia. como las tapas están a la mayor distancia del eje neutro (donde los esfuerzos de flexión son mayores) funcionan de alguna forma como los patines de una viga i. el núcleo sirve como un relleno y proporciona soporte para las tapas, estabilizándolas contra arrugamiento o pandeo. con frecuencia se utilizan como núcleos plásticos y espumas de peso ligero, así como paneles y corrugaciones.

DEFORMACIÓN UNITARIA• las deformaciones unitarias en vigas compuestas se determinan a partir del

mismo axioma básico que empleamos para encontrar las deformaciones unitarias en vigas hechas con un solo un material; es decir:

Donde:

𝜖𝑥=−𝑦𝜌

=−𝐾𝑦 ………………………………………………… ..(1)

• En la superficie de contacto (C) los esfuerzos en los dos materiales son diferentes debido a que sus módulos son distintos. En el material 1 el esfuerzo es y en el material 2 es Al utilizar la ley de Hooke y la ecuación (1), podemos expresar los esfuerzos normales a una distancia y del eje neutro en términos de la curvatura:

ESFUERZOS

𝜎 x 1=−𝐸1𝑘𝑦 …………………………(2𝑎 ,𝑏)𝜎 x 2=−𝐸2𝑘𝑦

• la posición del eje neutro (el eje z) se determina a partir de la condición de que la fuerza axial resultante que actúa sobre la sección transversal es cero; por tanto:

EJE NEUTRO

𝐸1∫1

❑

𝑦𝑑𝐴+𝐸2∫2

❑

𝑦𝑑𝐴=0 …………………………..(3)

RELACIÓN MOMENTO - CURVATURA• la relación momento-curvatura para una viga compuesta de dos materiales

(figura 6.3) se puede determinar a partir de la condición de que el momento resultante de los esfuerzos flexionante sea igual al momento flexionante M que actúa en la sección transversal. siguiendo los mismos pasos para una viga de un solo material obtenemos:

𝐾=1𝜌

=𝑀

𝐸1 𝐼1+𝐸2 𝐼 2………………………………………………… ..(4)

ESFUERZOS NORMALES (FORMULA DE FLEXIÓN)

• los esfuerzos normales (o esfuerzos de flexión) en la viga se obtienen al sustituir la expresión para la curvatura (ecuación 4) en las expresiones y (ecuaciones 2a y 2b); por tanto

𝜎 𝑥 1=−𝑀𝑦𝐸1

𝐸1 𝐼 1+𝐸2 𝐼2𝜎 𝑥 2=−

𝑀𝑦𝐸2

𝐸1 𝐼 1+𝐸2 𝐼 2…………………………..(5𝑎 ,𝑏)

TEORÍA APROXIMACIÓN PARA LA FLEXIÓN DE VIGAS DE SÁNDWICH

• las vigas sándwich con secciones transversales doblemente simétricas y compuestas de dos materiales linealmente elásticos (figura 6.5) se pueden analizar para la flexión utilizando las ecuaciones (2a) y (2b), como describió con anterioridad. sin embargo, también podemos desarrollar una teoría aproximada para la flexión de vigas sándwich introduciendo algunas suposiciones simplificadoras.

𝜎 𝑥 1=−𝑀𝑦𝐼 1

𝐼 1=𝑏12

(h3−h𝐶3 ) 𝜎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎=−h𝑀

2 𝐼 1𝜎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜=

h𝑀2 𝐼1

EJEMPLO N°1• una viga compuesta (figura 6.7) está construida con una viga de madera (4.0 in × 6.0 in de dimensiones reales) y una placa de acero de refuerzo (4.0 in ancho y 0.5 in espesor). La madera y el acero están firmemente unidos para actuar como una sola viga. la viga está sometida a un momento flexionante positivo M = 60 k-in. Calcule los esfuerzos máximos de tensión y compresión en la madera (material 1) y los esfuerzos máximo y mínimo de tensión en el acero (material 2) si E1 = 1500 ksi y E2 = 30,000 ksi.

SOLUCION: • eje neutro. El primer paso en el análisis es ubicar el eje neutro de la sección transversal. para ese fin denotamos las distancias desde el eje neutro hasta la parte superior e inferior de la viga como h1 y h2 , respectivamente. para obtener estas distancias utilizamos la ecuación (3). las integrales en esa ecuación se evalúan tomando los momentos estáticos de las áreas 1 y 2 con respecto al eje z, como sigue:∫1

❑

𝑦𝑑𝐴=𝑦1𝐴1= (h1−3 𝑖𝑛 ) (4 𝑖𝑛 𝑥6 𝑖𝑛 )= (h1−3 𝑖𝑛) (24 𝑖𝑛2)

∫2

❑

𝑦𝑑𝐴=𝑦2𝐴2=(0−h2 ) (4 𝑖𝑛 𝑥0.5 𝑖𝑛 )

h2=(6.25𝑖𝑛−h1 )Pero se sabe que:∫2

❑

𝑦𝑑𝐴=𝑦2𝐴2=− (6.25𝑖𝑛−h1 ) (2 𝑖𝑛2)=(h1−6.25 𝑖𝑛) (2𝑖𝑛2 )

Entonces:

𝐸1∫1

❑

𝑦𝑑𝐴+𝐸2∫2

❑

𝑦𝑑𝐴=0

(1500𝑘𝑠𝑖 ) (h1−3 𝑖𝑛 ) (24 𝑖𝑛2 )+(30000𝑘𝑠𝑖 ) (h1−6.25 𝑖𝑛) (2𝑖𝑛2 )=0

h1=5.031𝑖𝑛

al sustituir las expresiones anteriores en la ecuación (3) da la ecuación para ubicar el eje neutro, que es

h2=(6.25𝑖𝑛−h1 )=6.25−5 .031=1.469∈¿

• Momento de inercia. Los momentos de inercia I1y I2de las áreas A1 y A2 con respecto al eje neutro se puede determinar empleando el teorema del eje paralelo, comenzando con el área 1 obtenemos:𝐼 1=𝐼 1+ 𝐴𝑑1

2=112

(4 𝑖𝑛 ) (6 𝑖𝑛 )3+(4 𝑖𝑛) (6 𝑖𝑛 ) (h1−3 𝑖𝑛)3=171.0 𝑖𝑛4

• Esfuerzos normales. Los esfuerzos en los materiales 1 y 2 se calculan a partir de las fórmulas de la flexión para vigas compuestas (ecuaciones 5a y b). El esfuerzo de compresión máximo en el material 1 ocurre en la parte superior de la viga (A) donde y = h1 = 5.031 in. Al denotar este esfuerzo con y emplear la ecuación (5a) se obtiene.

𝐼 2=𝐼 2+𝐴𝑑22=112

(4 𝑖𝑛) (0.5 𝑖𝑛)3+ (4 𝑖𝑛 ) (0.5𝑖𝑛 ) (h2−0.25 𝑖𝑛 )3=3.01 𝑖𝑛4

𝜎 1 𝐴=−𝑀 h1𝐸1

𝐸1 𝐼 1+𝐸2 𝐼2

¿−(60𝑘− 𝑖𝑛) (5.031𝑖𝑛 ) (1500𝑘𝑠𝑖 )

(1500𝑘𝑠𝑖 ) (171.0 𝑖𝑛4 )+ (30000𝑘𝑠𝑖 ) (3.01𝑖𝑛4 )=−𝟏𝟑𝟏𝟎𝒑𝒔𝒊

• El esfuerzo de tención máximo en el material1 se tiene en el plano de contacto entre los dos materiales (C) donde Al continuar en los cálculos anteriores, obtenemos

• por tanto, hemos encontrado los esfuerzos máximos de compresión y tensión en la madera.• la placa de acero (material 2) está ubicada debajo del eje neutro y, por tanto, está completamente en tensión. el esfuerzo de tensión máximo sucede en la parte inferior de la viga (B) donde y = –h2 = –1.469 in. por tanto, de la ecuación (5b) obtenemos

𝜎 1𝐶=−(60𝑘−𝑖𝑛) (−0.969 𝑖𝑛 ) (1500𝑘𝑠𝑖 )

(1500𝑘𝑠𝑖 ) (171.0 𝑖𝑛4 )+(30000𝑘𝑠𝑖 ) (3.01𝑖𝑛4 )=𝟐𝟓𝟏𝒑𝒔𝒊

𝜎 2𝐵=−𝑀(−h¿¿2)𝐸2

𝐸1 𝐼 1+𝐸2 𝐼 2¿

¿−(60 𝑘−𝑖𝑛 ) (−1.469 𝑖𝑛 ) (30000𝑘𝑠𝑖 )

(1500𝑘𝑠𝑖 ) (171.0 𝑖𝑛4 )+ (30000𝑘𝑠𝑖 ) (3.01𝑖𝑛4 )=𝟕𝟔𝟐𝟎𝒑𝒔𝒊

• El esfuerzo de tensión mínima en el material 2 se tiene en el plano de contacto C donde y=-0.969 in. Por tanto:𝜎 2𝐶=−

(60𝑘−𝑖𝑛) (−0.969𝑖𝑛 ) (30000 𝑘𝑠𝑖 )(1500𝑘𝑠𝑖 ) (171.0 𝑖𝑛4 )+ (30000𝑘𝑠𝑖 ) (3.01𝑖𝑛4 )

=𝟓𝟎𝟑𝟎𝒑𝒔𝒊

• Estos son los esfuerzos máximos y mínimos de tensión en el acero.

EJEMPLO N°2• una viga sándwich con tapas de aluminio con un núcleo de plástico (figura 6.8) está sometida a un momento flexionante M =3.0 kN·m. el espesor de las tapas es t =5 mm y su módulo de elasticidad es E1 = 72 GPa. la altura del núcleo de plástico es hc =150 mm y su módulo de elasticidad es E1 =800 MPa. las dimensiones totales de la viga son h = 160 mm y b =200 mm. Determine los esfuerzos máximos de tensión y compresión en las tapas y el núcleo empleando: (a) la teoría general para vigas compuestas y (b) la teoría aproximada para vigas sándwich.

SOLUCION:

• eje neutro. como la sección transversal es doblemente simétrica, el eje neutro (eje x en la figura 6.8) está ubicado a la mitad de la altura. • momentos de inercia. el momento de inercia I1de las áreas de las secciones transversales de las tapas (con respecto al eje z) es𝐼 1=

𝑏12

(h3−h𝐶3 )=200𝑚𝑚12

[(160𝑚𝑚)3−(150𝑚𝑚)3 ]=12.017 𝑥106𝑚𝑚4

Y el momento de inercia I2 del núcleo de plástico es:𝐼 2=

𝑏12

(h𝐶3 )=200𝑚𝑚12

(150𝑚𝑚)3=56.250𝑥106𝑚𝑚4

• como verificación de estos resultados, observe que el momento de inercia de toda el área de la sección transversal con respecto al eje z (I = bh3/12) es igual a la suma de I1 e I2• (a) esfuerzos normales calculados con la teoría general para vigas compuestas. para calcular estos esfuerzos, empleamos las ecuaciones (5a) y (5b). como punto preliminar, evaluaremos el término en el denominador de estas ecuaciones (es decir, la rigidez a la flexión de la viga compuesta):• Los esfuerzos máximos de tensión y compresión en las tapas de aluminio se determinan con la ecuación (5a)𝜎 1𝑚𝑎𝑥=±

𝑀( h2 )𝐸1

𝐸1 𝐼 1+𝐸2 𝐼2=±

(3.0𝑘𝑁 .𝑛)(80𝑚𝑚)(72𝐺𝑃𝑎)910.2𝑘𝑁 .𝑚2 =±𝟏𝟗𝑴𝑷𝒂

𝜎 2𝑚𝑎𝑥=±𝑀( h𝐶2 )𝐸2

𝐸1 𝐼 1+𝐸2 𝐼2=±

(3.0𝑘𝑁 .𝑛)(75𝑚𝑚)(800𝐺𝑃𝑎)910.2𝑘𝑁 .𝑚2 =±𝟎 .𝟏𝟗𝟖𝑴𝑷𝒂

• Las cantidades correspondientes para el núcleo de plástico (de la ecuación 4b) son:

• (b) Esfuerzos normales calculados con la teoría aproximada para vigas compuestas. En la teoría aproximada ignoramos los esfuerzos normales en el núcleo y suponemos que las caras transmiten todo el momento flexionante. Luego, los esfuerzos máximos de tensión y compresión en las caras se pueden encontrar con las ecuaciones (5a) y (5b), como sigue 𝜎 1𝑚𝑎𝑥=±

𝑀 h2 𝐼1

=±(30𝑘𝑁 .𝑚)(80𝑚𝑚)12.017 𝑥106𝑚𝑚4 =±𝟐𝟎𝑴𝑷𝒂

USOS APLICATIVOS

• EN LA CONSTRUCCIÓN DE UNA CASA DE MADERA, PUENTE

• VIGA Y PILAR MIXTO DE ACERO Y HORMIGÓN

• VIGAS COMPUESTAS, CON CONECTORES DE FUERZA CORTANTE

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