MAGNITUDES PROPORCIONALES

REGLAS DE TRES

1.- RAZÓN Y

PROPORCIÓN

NUMÉRICA

2.- MAGNITUDES

DIRECTAMENTE

PROPORCIONALES

3.- REGLA DE

TRES SIMPLE

DIRECTA

4.- MAGNITUDES

INVERSAMENTE

PROPORCIONALES

5.- REGLA DE

TRES SIMPLE

INVERSA

6.-

PROPORCIONALIDAD

COMPUESTA DE

MAGNITUDES

11. La variaci�n proporcional

Corresponde a la sesi�n de GA 2.11 LA PROPORCI�N DEL SUBE Y BAJA

La variaci�n proporcional tiene gran aplicaci�n en situaciones cotidianas, por citar

algunos ejemplos: cuando se prepara un pastel, es necesario que todos sus ingredientes

guarden una proporci�n, esto es, la leche con la harina y los huevos; al preparar mezclas

de materiales para la construcci�n de un cuarto, se debe guardar una proporci�n entre la

arena, la grava, el cemento y la cantidad de agua necesaria.

Dentro de la variaci�n proporcional se tienen dos tipos: la directa y la inversa. Estas se

explican con los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1:

En un laboratorio de fisiologia, al medir durante cierto tiempo los litros de sangre que

bombea el coraz�n de una persona cuyo peso es de 70 kg, se obtuvieron los siguientes

datos:

En la tabla se observa que, cuando aumenta el tiempo, tambi�n aumenta el n�mero de

litros de sangre que bombea el coraz�n; esto se ve de izquierda a derecha; ahora, si se ve

la tabla de derecha a izquierda, tenemos que, al disminuir los litros de sangre que bombea el

coraz�n, tambi�n disminuye el tiempo que tarda en bombear la sangre.

Al expresar las razones de la tabla y obtener sus cocientes se tiene:

como sus cocientes son constantes, las razones son directamente proporcionales. Aplicando

la ley fundamental de las proporciones se tiene:

Con base en este ejemplo, se observa que:

Dos o m�s cantidades son directamente proporcionales cuando su cociente es constante

o igual.

Ejemplo 2:

Un dep�sito de agua se llena en 2.25 horas empleando cinco llaves de agua de igual

di�metro. �En cu�nto tiempo se llenar�, si primero se utiliza una llave y luego tres?

En la tabla se observa que, al disminuir el n�mero de llaves de agua, aumenta el tiempo

necesario para llenar el dep�sito.

Al expresar las razones de la tabla y obtener el producto de los t�rminos de cada raz�n,

se tiene lo siguiente:

como los productos son iguales, las razones son inversamente proporcionales.

Para encontrar un t�rmino desconocido en una proporci�n, cuando es una variaci�n

inversa, se multiplican los t�rminos de las dos razones, y el producto se divide entre el

t�rmino conocido de la otra raz�n.

Retomando el segundo ejemplo, para encontrar el tiempo en el que se llena el dep�sito con

tres llaves de agua, se tiene la siguiente proporci�n:

Como ya se mostr� anteriormente, se trata de una variaci�n inversamente proporcional

porque los productos de las razones son iguales, aqu� no se aplica la. propiedad

fundamental de las proporciones, sino el procedimiento que se tiene en el recuadro, esto es:

esto indica que, al emplearse tres llaves de agua para llenar el dep�sito, se requieren 3.75

horas.

Con base en este ejemplo se observa que:

Dos o m�s cantidades son inversamente proporcionales si los productos que se obtienen

al multiplicar los t�rminos de cada una de las razones son iguales entre s�.

Aplicando lo anterior, se tiene lo siguiente:

De manera general, se tiene lo siguiente:

La variaci�n directamente proporcional consiste en que si se tienen dos cantidades y una

de ellas aumenta o disminuye un cierto n�mero de veces, la otra tambi�n se incrementa o

disminuye en igual cantidad. En cambio, cuando aumenta una de esas cantidades y la otra

disminuye en igual n�mero, o al disminuir la primera, se incrementa la segunda, entonces

se da una variaci�n inversamente proporcional.

1. RAZÓN Y PROPORCIÓN NUMÉRICA

Razón entre dos números

Razón entre dos números a y b es el cociente

Por ejemplo la razón entre 10 y 2 es 5, ya que

Y la razón entre los números 0.15 y 0.3 es

Proporción numérica

Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que

entre c y d.

Es decir

Se lee “a es a b como c es a d”

Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma

que la razón entre 8 y 20.

Es decir

En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman

medios. La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los

extremos es igual al de los medios.

Así en la proporción anterior se cumple que el producto de los extremos nos da

2x20=40 y el producto de los medios nos da 5x8=40

b

a

52

10

2

1

3.0

15.0

d

c

b

a

20

8

5

2

d

c

b

a

20

8

5

2

EN GENERAL

2. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde

doble, triple... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente

proporcionales.

Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla:

Magnitud 1ª a b c d ...

Magnitud 2ª a’ b’ c’ d’ ...

son directamente proporcionales si se cumple que:

Ejemplo

Un saco de patatas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?

Un cargamento de patatas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos se podrán hacer?

Número de

sacos 1 2 3 ... 26 ...

Peso en kg 20 40 60 ... 520 ...

Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20

Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20

Observa que

Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.

La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.

3. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Ejemplo 1

En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar

contendrán 5200 gramos de sal?

Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc.

Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales.

b.ca.dd

c

b

a

...c'

c

b'

b

a'

a

...60

3

40

2

20

1

Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos

la siguiente tabla:

Litros de agua 50 x

Gramos de sal 1300 5200

Se verifica la proporción:

Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos, resulta:

50.5200=1300.x

Es decir

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el

nombre de regla de tres simple directa.

Ejemplo 2

Un auto gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si en el tanque de la gasolina hay 18

litros, de combustible ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el auto?

Luego con 18 litros el auto recorrerá 360 km

4. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple...cantidad de la primera corresponde la

mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son

inversamente proporcionales.

Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla:

Magnitud 1ª a b c ...

Magnitud 2ª a’ b’ c’ ...

son inversamente proporcionales si se verifica que:

a.a’ = b.b’ = c.c’ = ...

Ejemplo

52001300

50 x

2001300

5200.50x

2001300

5200.50

5200_____

1300____50

5200

130050x

glx

gl

saldeghabrálxEn

saldeghaylEn

Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18

hombres para realizar el mismo trabajo?

En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de

trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto las magnitudes son

inversamente proporcionales.

Formamos la tabla:

Hombres 3 6 9 ... 18

Días 24 12 8 ... ?

Vemos que los productos 3.24=6.12=9.8=72

Por tanto 18.x=72

O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo

5. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Ejemplo 1

Un ganadero tiene pienso suficiente, en su finca, para alimentar 220 vacas durante 45

días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pasto a 450 vacas?

Vemos que con el mismo pienso, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de

días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto son magnitudes

inversamente proporcionales.

x= número de días para el que tendrán comida las 450 vacas

Nº de vacas 220 450

Nº de días 45 x

Se cumple que: 220.45=450.x, de donde

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Luego 450 vacas podrán comer 22 días

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el

nombre de regla de tres simple inversa.

22450

45.220x

22450

45.220

_____450

45____220

450

45220x

díasxvacas

díasvacas

díasxparatienenvacas

díasparatienenvacas

Ejemplo 2

Para envasar cierta cantidad de agua se necesitan 8 tanques de 200 litros de capacidad

cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de agua empleando 32 tanques. ¿Cuál

deberá ser la capacidad de esos tanques?

Pues la cantidad de agua=8.200=32.x

Debemos tener 32 tanques de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad

de agua.

6. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA DE MAGNITUDES

Regla de tres compuesta. Método de reducción a la unidad

Ejemplo 1: Proporcionalidad directa

Cuatro chicos en una acampada de 10 días han gastado en comer 25000 ptas. En las

mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante una acampada de 15

días?

Doble número de chicos acampados el mismo número de días gastarán el doble.

Luego las magnitudes número de chicos y dinero gastado son directamente

proporcionales.

El mismo número de chicos, si acampan el doble número de días gastarán el doble.

Luego las magnitudes número de días de acampada y dinero gastado son directamente

proporcionales.

Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de chicos y nº de días con la cantidad

desconocida, gasto.

SABEMOS QUE

REDUCCIÓN A LA

UNIDAD

BÚSQUEDA DEL

RESULTADO

Ejemplo 2: Proporcionalidad inversa

5032

200.8

____32

200_____8x

litrosxtoneles

litrostoneles

ptastangas

díasen

coschi 25000104

ptastagas

díasen

cochi 62504

25000101

ptastagas

díaen

cochi 62510

625011

ptastangas

díaen

coschi 37506.62516

ptastangas

díasen

coschi 5625015.3750156

15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos

días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?

Doble número de obreros trabajando el mismo número de días trabajarán la mitad de

horas al día para realizar el trabajo. Por tanto el número de obreros y el número de días

de trabajo son inversamente proporcionales.

Doble número de horas diarias de trabajo el mismo número de obreros tardarán la

mitad de días en realizar el trabajo. Luego el número de horas diarias de trabajo y el

número de días de trabajo son inversamente proporcionales.

Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de obreros y nº de horas diarias de

trabajo, con la cantidad desconocida, nº de días de trabajo.

SABEMOS

QUE

REDUCCIÓN

A LA

UNIDAD

BÚSQUEDA

DEL

RESULTADO

Por tanto, 10 obreros empleando 8 horas diarias tardarán 33.75 días.

EJEMPLOS DESARROLLADOS DE REGLA DE TRES SIMPLE

1. 1 Para averiguar cuántos kilómetros recorría mi auto con un litro de gasolina, antes de viajar a

Santa Fe por la autopista, llené el tanque. Al llegar a la capital de la provincia volví a llenar el tanque de gasolina,. Para hacerlo tuve que cargar quince litros de gasolina. Sabiendo que la distancia entre Rosario y Santa Fe es de 160 km, ¿cuántos kilómetros recorrió mi auto por cada litro de combustible consumido? Solución

Si el auto necesitó 15 litros de gasolina, para recorrer 160 km, y yo quiero averiguar cuántos

kilómetros recorrió con cada litro, debo realizar el siguiente cálculo:

15 litros ________________ 160 km

1 litro ________________ X km

Como se trata de una regla de tres simple, debo multiplicar 1 x 160 y dividir el resultado por

15. El resultado es: 10,66 km por litro. 2. 3. 2. Cuando las legiones del ejército romano debían desplazarse hacia algún punto del Imperio —

para imponer el orden o defender las fronteras— recorrían unos 35 km por día. Hay que tener en cuenta que casi todos los hombres viajaban a pie y cargando sus armas. ¿Cuántos días les tomaba a estos legionarios recorrer una distancia de 1050 km.? Solución

díasardant

diariashorastrabajando

obreros 30615

díasardat

diariashorastrabajando

obrero 45015.3061

díasardat

diariahoratrabajando

obrero 27006.45011

díasardant

diariahoratrabajando

obreros 27010

2700110

díasardant

diariashorastrabajando

obreros 75.338

270810

Si la legión necesita 1 día para recorres 35 km, para saber cuántos días le tomaría recorrer

1050 km debo realizar el siguiente cálculo:

35 km ________________ 1 día

1050 km ________________ X días

Como se trata de una regla de tres simple, debo multiplicar 1 x 1050 y dividir el resultado por

35. El resultado final es: 30 días. 4. 5. 3 En las aerosillas del Cerro Catedral, a unos pocos kilómetros de la Ciudad de San Carlos de

Bariloche, trasladar a un contingente de 100 personas desde la base del Cerro hasta el fin del último de sus tres tramos insume unos 60 minutos. Teniendo en cuenta que a un pasajero ese traslado le toma 40 minutos, ¿cuánto tiempo demorá en llegar hasta arriba un grupo de 40 personas? Solución

Si a una persona le toma 40 minutos transitar los tres tramos de la aerosilla y a un

contingente de 100 personas le insume 60 minutos realizar ese ascenso, debo considerar

entonces que un grupo de 100 personas tiene una demora de 20 minutos respecto del ascenso

individual (60-40). Luego tengo que averiguar cuál será la demora correspondiente a un

grupo de 40 personas. Para ello, hago el siguiente cálculo:

100 personas ________________ 20 minutos

40 personas ________________ X minutos

Como se trata de una regla de tres simple, debo multiplicar 40 x 20 y dividir el resultado por

100. Esto me da por resultado 8 minutos de demora. Ahora bien, en el ejercicio no se me

preguntaba por la demora sino por el tiempo total que insumiría a un grupo de 40 personas

ascender por la aerosilla. Para responder eso, debo sumar a estos ocho minutos de demora los

cuarenta que implica el ascenso individual. El resultado final es: 48 minutos.

6. 4. Un empleado que trabaja 6 horas diarias recibe como salario $480 por mes. El dueño de la fábrica le ha comunicado que la empresa aumentará su horario de trabajo en 2 horas diarias. ¿Cuál será a partir de ahora su sueldo? Solución

7. 8. Si por 6 horas diarias de trabajo el empleado recibe $480 mensuales, para saber cuánto

cobrará por trabajar 8 horas diarias debo realizar el siguiente cálculo:

6 horas ________________ $480

8 horas ________________ $X

Como se trata de una regla de tres simple, debo multiplicar 8 x 480 y dividir el resultado por

6. El resultado final es: $640.

9.