lukasiewicz jan - estudios de logica y filosofia

ESTUDIOSDELGICAY

FILOSOFA

Janukasiewicz(edicinyseleccinacargode

AlfredoDeao)

Edicinelectrnicadewww.philosophia.cl/EscueladeFilosofaUniversidadARCIS.

www.philosophia.cl / Escuela de Filosofa Universidad ARCIS.

ND IC E ELEMENTOSCREATIVOSENLACIENCIA ............................................................................................................ 3 LECCINDEDESPEDIDAPRONUNCIADAPORELPROFESORJANUKASIEWICZENELAULAMAGNADELAUNIVERSIDADDEVARSOVIAEL7DEMARZODE1918 .................................................................................... 15 SOBRELALGICATRIVALENTE ........................................................................................................................ 18 SOBREELDETERMINISMO ................................................................................................................................ 20 OBSERVACIONESFILOSFICASSOBRELOSSISTEMASPOLIVALENTESDELGICAPROPOSICIONAL................. 34 PARALAHISTORIADELALGICADEPROPOSICIONES .................................................................................... 56 LOGSTICAYFILOSOFA ................................................................................................................................... 60 ENDEFENSADELALOGSTICA ......................................................................................................................... 74

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ELEMENTOSCREATIVOSENLACIENCIA* Tantoloscientficoscomolosprofanospiensanmuchasvecesqueloquelacienciapersiguees laverdad,yentienden laverdadcomoelacuerdoentreelpensamientoy loqueexiste.Deahqueconsiderenque latareadelcientficoconsisteenreproducirhechosmediante juiciosverdaderos,de igualmodoqueunaplaca fotogrficareproduce lucesysombrasyun fongrafo reproduce sonidos.Elpoeta,elpintoryel compositor trabajancreativamente;elcientficonocreanada:simplemente,descubrelaverdad1. Este nudo de ideas, a la vez que suscita en el cientfico un sentimiento deinjustificada arrogancia, lleva al artista a tomarse la ciencia a la ligera.Talespuntosdevista han abierto un vaco entre ciencia y arte, y en ese vaco ha desaparecido lacomprensindeesainapreciablecualidadqueeselelementocreativoenlaciencia. Cortemosestenudodeideasconlaespadadelespritucrticolgico.

***1.No todos los juiciosverdaderos sonverdades cientficas.Hayverdadesquesondemasiadoftilescomoparaformarpartedelaciencia.DiceAristfanesenLasnubes2:

PreguntabahapocoQuerefonaScratescuntasvecessaltabalo largodesuspatasunapulgaquehabapicadoaQuerefonenunacejaysehabalanzadoluegoalacabezadeScrates.

Scratesdiocazaa lapulgay sumergi suspatasencera fundida;qued,as, lapulgacomoconzapatos.Luegoladescalz,ylosutilizparamedirladistancia.Heaquunaverdad acercadel saltode lapulgaque lleg apreocupar aScrates.Pero el lugarapropiadoparaverdadestalesestenunacomedia,ynoenlaciencia. Lamentehumana,cuandoestproduciendociencia,nopersiguelaomnisciencia.Sias fuera, tendramos que ocuparnos hasta de las verdadesms ftiles. En realidad, la *Publicadoporverprimera,conelttuloOtwrczociwnauceenKsigapamitkowakuuczczeniu250rocznicyzaloeniaUniwersytetuLwowskiego,Lww,1912,yreimpreso,enunaversinabreviada,con el ttulo de O nauce [Sobre la ciencia], en Poradnik dla samoukw, Vol. 1, Varsovia, 1915.Publicadodenuevo en la edicinde 1961deZ zagadnie logiki i filozofii [Problemasde lgica yfilosofa].1 Cuando ya tena redactada la introduccin a este escrito encontr en una obra de Xnopol,conocidometodlogodelascienciashistricas,lassiguientesformulaciones:Laciencianoesunacreacin de nuestro espritu, a lamanera del arte La ciencia no esms que la reproduccinintelectualdeluniverso(Cf.Lathoriedelhistoire,Pars,1908,pg.30).2 [Versos144147.Hemosutilizado laversindeFedericodeBarbaryZumrraga.ComediasdeAristfanes.Tomoprimero.Madrid,LibrerayCasaEditorialHernando.2ed.,1962.]

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omniscienciapareceun ideal religioso,msque cientfico.Dios conoce todos loshechos,porqueEleselCreadorylaProvidenciadelmundo,yel juezdelashumanasaccioneseintenciones.Comodiceelsalmista,

MiraYahvdesdeloscielos/contemplaatodosloshijosdeloshombres. Desdelamoradaenqueseasienta/observatodosloshabitantesdelatierra. Elhaplasmadotodosloscorazones/yconoceafondotodassusobras.3

Cundiferenteeslaideaaristotlicadeconocimientoperfecto!TambinAristtelespiensaqueunsabioloconocetodo;peronoconocehechosdetallados,sinoqueslotieneunconocimientodelogeneral.Y,comoconocelogeneral,enunciertosentidoconocetodoslosdetallesque logeneral abarca.Demodoque, en potencia, conoce todo loquepuede serconocido.Perosloenpotencia:laomniscienciaenactonoeselidealdelEstagirita4.2.Puestoquenoesciertoquetodoslosjuiciosverdaderosformenpartedelaciencia,algnotro valor habr, adems de su verdad, que confiere a determinados juicios el rango de verdadescientficas. YaScratesysusgrandescontinuadorespensaronqueesevaloradicionaleraeldela generalidad.Aristtelesdeca que el conocimiento cientfico se ocupa,node eventosincidentales(comoelsaltode lapulgadesde lacejadeQuerefon),sinodehechosqueserepiten demanera constante, o almenos con frecuencia.Esoshechosquedan reflejados enjuiciosgenerales,yslotalesjuiciosformanpartedelaciencia5. Sin embargo, la generalidad no es ni una caracterstica necesaria ni unacaracterstica suficientede las verdades cientficas.No es necesaria:porquepodemos noeliminarde la ciencia los juicios singulares.Laproposicin singularWadysaw JagieofueelvencedordelabatalladeGrunwaldserefiereaunimportanteeventohistrico;eljuiciosingularque,sobre labasedeciertosclculos,previ laexistenciadeNeptuno fueunodelosmayorestriunfosdelaastronoma.Sin juiciossingulares,lahistoriadejaradeexistircomociencia,ylaciencianaturalseverareducidaaretazosdeteora. La generalidad no es una caracterstica suficiente de las verdades cientficas. Lasiguienteestrofadecuatroversos,obradeMickiewicz:

Nakadymmiejscuiokadejdobie,gdziemztobpaka,gdziemsiztobabawi,wszdzieizawszebdjaprzytobie,

3 Salmo 33 (Exultate iusti inDomino), versos 2930.Cf. tambin Salmo 139. [Hemos utilizado laversindeE.NcaryA.Colunga.Madrid,B.A.C.,4aed.,1970].4Metafsica,A,2,982a8yss.,21yss.5Metafsica,E.2,1027a20,21,26.

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bomwszdzieczstkmejduszyzostawi.*puedeserobjetodelossiguientesjuiciosgenerales: Entodoslosversosaparecelaletras, Entodoslosversosenlosqueaparecelaletram,staaparecedosveces, Entodoslosversos,elnmerodevecesenqueaparecelaletramesunafuncindelnmerodevecesenqueaparecelaletrasexpresadaporlafrmula:m=s25s+6.6 Podemosproducirindefinidamenteverdadesgeneralescomostas.Habremosdeincluirlasenlaciencia?3.Aristteles, al adoptar la generalidad como la caracterstica de la verdad cientfica,estaba sucumbiendo al encanto del valor metafsico. Tras los hechos constantementerepetidospercibalunaexistenciapermanentedistintadelosfenmenosevanescentesdelmundode los sentidos.Hoyenda, los cientficos se sientenms inclinadosaveren lageneralidadunvalorprctico. Los juicios generales, al definir las condiciones bajo las cuales tienen lugar losfenmenos,hacenposiblepronosticarelfuturo,provocarfenmenostilesyevitarqueseproduzcan los dainos. De aqu procede la concepcin segn la cual las verdadescientficassonjuiciosvaliososparalaprctica,reglasdelaaccineficaz7. Peroelvalorprcticonoes,tampoco,niunapropiedadsuficienteniunapropiedadnecesaria de las verdades cientficas. El teorema deGauss segn el cual todo nmeroprimo de la forma 4n + 1 es un producto de dos nmeros conjugados no tiene valorprctico8.Porotraparte,lainformacinproporcionadaporlapolicadequeciertosobjetos

*Dejamossin traducirelejemplooriginaldebidoaque lareferenciadelautornoestdirigidaalsignificadodelpoema,sinoalapresenciaenldeciertasletras.6EstoscuatroversoscomponenlaterceraestrofadelpoemaDoM***(AM***),quecomienzaconlaspalabrasPreczzmoichoczu.AdamMickiewicz,Dziela[Obras],SociedadLiterariaAdamMickiewicz,Lww,1896,Vol.1,pg.179.Sesiguedelafrmulaquem=2paras=1(versosunoydos),m=0paras=2(versotres)ym=2paras=4(versocuatro).7A.Comte(cf.Coursdephilosophie,2ed.,Pars,1864,Vol.1,pg.51)definalarelacinentrecienciayaccindelsiguientemodo:Ciencia,y,deah,previsin;previsin,y,deah,accin.PeroComte,sinembargo,noveaenlaprediccinnienlaaccinelobjetivodelaciencia(cf.lanota3alpedelapgina 6). Actualmente, el pragmatismo identifica la verdad con la utilidad, y H. Bergson, alreemplazar,enLvolution cratice (5ed.,Pars,1909,pg.151),el trminohomo sapiensporhomofaber(cosaqueyaCarlylehabahechoantes:elhombreesunanimalqueutilizainstrumentos.SartorResarius,Libro 1, captulo5),quiereque lamente enteradelhombre sepongaal serviciode losobjetivosde laactividadprctica.H.Poincar,ensu libroLavaleurde la science (Pars,1911,pg.218)[HayversincastellanadeA.B.BesioyJ.Banfi.Madrid,EspasaCalpe,1947]citalasiguienteafirmacindeLeRoy,unode losseguidoresdeBergson:Laciencianoesmsqueunaregladeaccin.8Gauss,Theoriaresiduorumbiquadraticorum,commentatiosecunda,33.Ejemplos:5=(1+2i)(12i),13=(2+3i)(23i),etc.ElteoremadeGaussesequivalentealteoremadeFermatsegnelcualtodonmeroprimodelaforma4n+1sepuederepresentarcomounasumadedosnmeroscuadrados;e.g.,5=12+22,13=22+32,etc.

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robadoshansidorecuperadoses,desde todos lospuntosdevistaprcticos,muyvaliosaparalospropietariosdelosustrado.Porlodems,cuntosfenmenospuedenpreverse,ycuntospercancespuedenconjurarseenvirtuddelasiguienteley,desconocidaparaGalileoenestaformulacinqueledamos:TodosloslpicesfabricadosporMajewskiyCa.,S.L.,deVarsovia,cuandonada lossostieneniennadaseapoyan,caenconunavelocidadqueseincrementaenproporcinalperiododecada! Losquequierenconvertira lacienciaenunasiervade lasnecesidadescotidianastienenunabajaopinindelaciencia.Mssublime,aunquenomejor,eralaideadeTolstoidecondenarlascienciasexperimentalesypedirdelacienciaquenosinstruyeratansloenlas cuestiones ticas9.La ciencia tieneuna importancia inmensaen losasuntosprcticos;puedeelevarticamentealhombre;ypuede resultaruna fuentede satisfaccinesttica;peroloesencialdesuvalorestenotraparte.4.Aristteles vio el origen de la ciencia en el asombro. Los griegos se asombraron aldescubrirqueladiagonalyelladodeuncuadradoeraninconmensurables10.Elasombroesun estadopsicolgicodenaturaleza a lavez intelectualy emocional.Hayotros estadossemejantesal,comopuedenserlacuriosidad,eltemoralodesconocido,laincredulidad,laincertidumbre.Hastaahoranohansidoestudiadosdeunamaneracompleta,perobastaconunanlisissumarioparapercatarsedequetodosellosconllevan, juntoafactoresemocionales,unelementointelectualquenoessinoundeseodeconocimiento11. Estedeseoserefiereahechosquesonimportantesparaalgunosindividuosoparatodosloshombres.Unhombrequeestenamoradoysesientetorturadoporladudadesilapersonaamadalecorresponde,tendraintersenconoceresehechotanimportanteparal.Perotodohombrevelamuertecontemorycuriosidadcuandointentaenvanosondearsumisterio.La ciencia no tiene que ver con losdeseosde ciertos individuos; investigaaquelloquepuededespertardeseodeconocimientoentodohombre. Siloqueacabamosdedecirescierto,entonceselvaloradicional,ademsdelaverdad,quetodojuiciodebeposeerparaperteneceralacienciapuededefinirsecomolacapacidaddedespertar,odesatisfacer,directaoindirectamente,necesidadesintelectualescomunesatodalahumanidad.esdecir,necesidadesquetodohombreconunciertogradodedesarrollointelectualpuedesentir.5.Laverdadrelativaalsaltode lapulgadesde lacejadeQuerefonno formapartede lacienciaporquenidespiertanisatisfaceningunadenuestrasnecesidades intelectuales.La 9L.Tolstoi incluysusobservacionessobre losobjetivosde lacienciaen laconclusindesu librocontraelartemoderno(Sloconozcoese libroentraduccinalemana:GegendieModernKunst.V.alem.deW.Thal.Berln,1898,pgs.171yss.).H.PoincarcitaaTolstoiensuartculoLechoixdesfaits,incluidoensulibroScienceetmthode(Pars.1908,pg.7).[HayversincastellanadeM.G.MirandayL.Alonso.Madrid,EspasaCalpe,1944].10Metafsica,A2,982b11ss.Comte(loc.cit.)dicequeelconocimientodelasleyesquegobiernanlosfenmenos satisface esa urgente necesidad de lamente humana que se expresa en el asombro,tonnement.11Losestadosdeincertidumbre,enlamedidaenquesedanenlosdeseos,hansidoanalizadosporW.WitwickienAnalizapsychologiczanaobjawwwoli(Anlisispsicolgicodelasmanifestacionesdelavoluntad),Lww,1904,pgs.99yss.

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informacinproporcionadaporlapolicarelativaalarecuperacindelorobadopuedeserde inters, a lo sumo, para las personas afectadas.Asimismo, nadie est interesado ensaber cuntas veces aparecen las letrasm y s en un determinado poema, o cul es larelacin entre esos dos nmeros.Ni siquiera el juicio acerca de la cada de los lpicesfabricados porMajewski yCa., encontrara su lugar en un libro de fsica, puesto quenuestrodeseodeconocimientoquedasatisfechoporuna leygeneralacercade lacadadeloscuerpos. ElteoremadeGaussacercadelafactorizacindelosnmerosprimosdelaforma4n+1ennmeroscomplejosslo loconocenunospocoscientficos.Sinembargo, formapartedelaciencia,porquerevelalaexistenciadeunaextraaregularidadenlasleyesquegobiernan losnmeros, loscuales,siendounpoderoso instrumentode investigacin,despiertancuriosidadentodohombrequepiense.NotodoelmundonecesitaocuparsedelaexistenciadeNeptuno,peroesehechoconfirmalateorasintticadeNewtonacercadelaestructuradelsistemasolar,ydeestemodo,aunqueseaindirectamente,ayudaasatisfacerlanecesidadintelectualquelahumanidadhasentidodesdelosmstempranostiempos.Lavictoriade Jagieoquizsea,como tal,depoco intersparaun japons,peroesehechotuvosuimportanciaenlahistoriadelasrelacionesentredosnaciones,ylahistoriadeunanacinpuedenoresultarindiferenteaunindividuoculto. Mientras que el arte partide un anhelode belleza, la ciencia se form en unabsqueda del conocimiento. Pretender encontrar los objetivos de la ciencia fuera de laesferadelintelectoesunerrortangroserocomorestringirelartemedianteconsideracionesdeutilidad.Lasconsignaslacienciaporlacienciayelarteporelartesonigualmentelegtimas.6.Todanecesidad intelectualquenopuede satisfacerse inmediatamentedeunamaneraempricada lugaralrazonamiento.Todoaquelquesesientaasombradopor la inconmensurabilidaddeladiagonalconelladodeuncuadradoquerrencontrarunaexplicacindeese hecho; busca, entonces, razones de las que el juicio sobre la inconmensurabilidadpuedaserunaconsecuencia.Todoelquesientatemoranteelpasodelatierraatravsdelacoladeuncometaintentarinferir,basndoseenlasleyesconocidasdelanaturaleza,lasconsecuenciasdetalsuceso.Unmatemticoquenoestsegurodesilaecuacinxn+vn=znno tiene solucin entre enterospositivos con n > 2 buscarunademostracin, esdecir,buscar juiciosfidedignosque justifiquenelfamosoteoremadeFermat.Unapersonaquesufrade alucinacionesyque enunmomentodadono cree loqueve,querr verificar lanaturalezaobjetivade loqueve;buscar,portanto, lasconsecuenciasquesederivandelsupuestodequenosufrealucinaciones.Porejemplo,preguntaraotraspersonassivenlomismoquel.Laexplicacin, la inferencia, lademostraciny laverificacinsontiposderazonamiento12.

12ElProfesorK.Twardowskifueelprimeroenutilizareltrminorazonamientocomountrminogeneral para cubrir inferencia y demostracin en Zasadnicze pojecia dydaktyki i logiki (Losconceptos fundamentales de los mtodos de enseanza y de la lgica) Lww, 1901, pg. 19,pargrafo 97.Comoprolongacinde suspuntosde vista introduzco la teoradel razonamientobosquejadaen7.

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Todorazonamientosecomponecuandomenosdedosjuiciosentrelosquesedalarelacindeconsecuencia.Unconjuntodejuiciosconectadosmedianteesasrelacionespuederecibir elnombrede sntesis.Puestoque todanecesidad intelectualque sea comn a lahumanidadsepuedesatisfacermedianteelsolorazonar,ynomediantelaexperiencia,queporsumismanaturalezaesindividual,laciencianoincluyejuiciosaislados,sinosolosntesisdejuicios.7.Todasntesisdejuiciosincluyecomofactornecesariolarelacinformaldeconsecuencia.El silogismo Si todo S esM, y todoM es P, entonces todo S es P, es el ejemplomscorriente,aunquenoelnico,de juiciosconectadospormediodeesarelacin lgica.Larelacin de consecuencia que se mantiene entre las premisas de un silogismo y suconclusin se llama formalporque semantiene con independenciadel significadode lostrminosS,MyPqueconstituyenlamateriadelsilogismo. Larelacin formaldeconsecuenciaesnosimtrica,esdecir, tiene lapropiedaddeque,cuandolarelacindeconsecuenciasemantieneentreunjuiciooconjuntodejuiciosAyB,lamismarelacinpuedeperonotienenecesariamentequemantenerseentreByA. El juicioA, del que B es una consecuencia, es la razn, y B es la consecuencia*. Latransicin de la razn a la consecuencia determina la direccin de la relacin deconsecuencia. Elrazonamientoquepartederazonesybuscaconsecuenciasrecibeelnombredededuccin;elquepartedeconsecuenciasybuscarazonerecibeelnombredereduccin.Enelcasodeladeduccinladireccindelrazonamientoestdeacuerdoconladelarelacindeconsecuencia;enlareduccin,ambasdireccionessoncontrarias. Elrazonamientodeductivopuedeserobienunainferenciaobienunaverificacin,y el razonamiento reductivo puede presentarse como una explicacin o como unademostracin.Siapartirde juiciosfidedignosdeducimosunaconsecuencia,estamosinfiriendo; si buscamos razones para determinados juicios fidedignos estamos explicando. Sibuscamosjuiciosfidedignosqueseanconsecuenciasdedeterminadosjuiciosnofidedignos,estamos verificando; si buscamos juicios fidedignos de los que determinados juicios nofidedignosseanconsecuenciasestamosdemostrando.8.Hayunelementocreativoentodorazonamiento;dondesemanifiestaconmsfuerzaesenlaexplicacin. Lainduccinincompletaesuntipodeexplicacin.Esunmododerazonarque,paradeterminadosjuiciossingularesfidedignosS1esP,S2esP,S3esP,buscaunaraznenformadeunjuiciogeneralTodoSesP. Como todo razonamiento reductivo, la induccin incompleta no justifica elresultado del razonamiento por su punto de partida. En efecto: S1, S2, S3 no agotan laextensindelconceptoS,e inferirun juiciogeneralapartirdeunospocos juiciossingularesnoesformalmentepermisible.Heaqularazndequeunargumentoporinduccin *Comosehabrobservado,conunnicotrmino,consecuencia,estamosrefirindonosadoscosasdistintas(queukasiewiczdesignacondostrminosdiferentes):alarelacindeconsecuenciaentrejuicios,yaljuicioquesesiguedeotro,siendosteltimoelfundamentoorazndeaqul.

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incompletanosea,comotal,unjuiciofidedigno,sinoslounjuicioprobable13. LageneralizacinTodoSesP sepuede interpretar,bien comoun conjuntodedescripciones singulares, bien como la relacin si algo es S, entonces es P. Si unageneralizacinesunconjuntodejuiciossingulares,entoncesabarcanosloaquelloscasosquehansidoyainvestigados,sinotambincasosnoconocidoshastaahora.Enelsupuestodeque loscasosnoconocidosseancomo losconocidos,nosotrosno estamos reproduciendohechosempricamentedados,sinoqueestamoscreandonuevosjuiciossegnelmodelodelosjuiciosacercadecasosconocidos. Siunageneralizacinexpresaunarelacin,entoncesest introduciendoun factorqueesajenoa laexperiencia.Desde los tiemposdeHumeslonosestpermitidodecirquepercibimosunacoincidenciaounasecuenciadeeventos,peronounarelacinentreellos14.As,pues,un juicioacercadeuna relacinno reproducehechosqueestnempricamente dados, sino que, una vezms, constituye unamanifestacin del pensamientocreativodelhombre. Y esta es todava una actividad creativa de pocamonta; tendremos ocasin deconocerotrademayorentidad.9.PensemosenlageneralizacindeGalileo:Todosloscuerpospesados,cuandonadalossostieneniennadaseapoyan,caenconunavelocidadqueseincrementaenproporcinaltiempode cada.Estageneralizacin incluyeuna leyque expresa la relacin funcionalentrelavelocidadvyeltiempodecadat,relacinquevienedadaporlafrmula:v=gt. La cantidad tpuede tomarvaloresque seexpresanmedianteenteros, fracciones,nmeros irracionalesynmeros trascendentales.Esto conduce aunnmero infinitodejuiciosacercadecasosquenadiehaobservadonuncaoquenadiepodrnuncaobservar.Esteesuncasodepensamientocreativoqueyahemosmencionadoantes. El otro elemento est inserto en la forma de la relacin.Ningunamedicin esexacta. Por tanto, es imposible afirmar que la velocidad es exactamente proporcional altiempodecada.As,pues,tampocolaformadelarelacinreproducehechosqueestnempricamentedados: la relacin entera esunproductode la actividad creativade lamentehumana. Porlodems,sabemosquelaleyquegobiernalacadadelosgravesslopuedeserverdaderaaproximativamente,puestoquesuponecondicionesquenosedan,talescomouna aceleracin gravitatoria constante o una falta de resistencia por parte del aire. Porconsiguiente,noreproducelarealidad,sinoquetansloaludeaunaficcin. He aqu por qu la historia nos dice que la ley no surgi de la observacin defenmenos, sino que naci a priori en lamente creativa deGalileo. Fue slo despus de

13Estaconcepcinde lanaturalezade la inferencia inductivaestdeacuerdocon ladenominadateoradelainduccincomoinversin,formuladaporJevonsySigwart(cf.mitrabajoOindukcjijako inwersji dedukeji (Sobre la induccin como la inversin de la deduccin, en PrzegladFilozoficzny6(1903),pg.9.14Cf.DavidHume, Enquiry ConcerningHumanUnderstanding: no podemos, en un solo casoaislado,descubrirposibilidadalgunadeconexinnecesaria.

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formularsuleycuandoGalileoverificenloshechossusconsecuencias15.Taleselpapeldelaexperienciaentodateoradelaciencianatural:servirdeestimuloaideascreativasyproporcionarmaterialesparasuverificacin.10.Otrotipodeexplicacinconsisteen la formulacindehiptesis.Formularunahiptesissignifica asumir la existencia de un hecho, no confirmado empricamente, con vistas adeducir de un juicio acerca de ese hecho que aparece como su razn parcial un juiciofidedignodadocomoconsecuencia.Porejemplo:unapersonasabequealgnSesP,peronosabeporqu.Comoquiereencontrarunaexplicacin,daporsupuestoqueesemismoSesM,aunqueno loverificaempricamente.Perolsabequetodos losMsonP,demodoquesidaporsupuestoqueSesM,entoncesdeestosdosjuiciospuedeconcluirqueSesP. EljuicioacercadelaexistenciadeNeptunoera,antesdequeelhechoseconfirmaraempricamente, una hiptesis. El juicio acerca de la existencia de Vulcano, un planetasituadomscercadelSolqueMercurio,estodavaunahiptesis.Lasconcepcionessegnlas cuales existen los tomos, los electrones o el ter sern siempre hiptesis16. Toda lapaleontologa est basada en hiptesis;por ejemplo, el enunciadode que ciertasmasasgrisesdecalizaqueseencontraronenPodoliasonrastrosdelosbraquipodosquevivieronenelSilricoyenelDevnico inferiorataeafenmenosquenosonaccesiblesa laobservacin. La historia es un inmenso tejido de hiptesis que, por medio de juiciosgenerales,extrados,enlamayoradeloscasos,delaexperiencia,explicanempricamentedeterminados datos, tales como monumentos histricos, documentos, instituciones ycostumbresqueexistenahora. Todas las hiptesis son productos de lamente humana, porque una persona queasume un hecho que no est empricamente confirmado est creando algo nuevo. Lashiptesissonelementospermanentesdelconocimientoynoideastransitoriasquemediantela verificacin pueden transformarse en verdades establecidas. Un juicio acerca de unhechodejadeserunahiptesisslosiesehechosepuedeconfirmarmedianteexperienciadirecta.Estoslo tiene lugarencasosexcepcionales.Ydemostrarque lasconsecuenciasdeuna hiptesis concuerdan con los hechos no significa convertir una hiptesis en unaverdad,porquelaverdaddelaraznnosesiguedelaverdaddelaconsecuencia.11.Hay otros tipos de razonamiento que, a diferencia de la explicacin, no contienenelementoscreativosprimarios.Estoocurreasporquedemostrarconsisteenbuscarrazones

15Cf.E.Mach,DieMechanikinihrerEntwickelung,6ed.,Leipzig,1908,pgs.129yss.16EnelescritodelDr.BronislawBiegeleisenOtwrczosciwnaukachscisych(Sobreelementoscreativosenlascienciasexactas),publicadoenPrzegladFitozoficzny13(1910),pgs.263,387,secitanmuchos ejemplosque sealan lapresenciade elementos creativos en la fsica.ElDr.Biegeleisenllamalaatencinsobrelavisualizacindeteorasfsicasmediantemodelosmecnicos(pgs.389yss.).Entreunmodeloqueexplicaunateorayunainvencin,quees,sinduda,untrabajocreativo,hay slo una diferencia, que se refiere a los objetivos y aplicaciones de ambos. Hay tambinmodelosenlgica:porejemplo,elbacolgicodeJevons(vaseeldiseoensulibroThePrinciplesofScience,Londres,1883)olasmquinaslgicasdeMarquand(cf.StudiesinLogicbyMembersoftheJohnHopkinsUniversity,Boston,1883.pgs.12yss.)

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conocidas, y la inferencia y la verificacin desarrollan las consecuencias que estn yacontenidasenlaspremisasencuestinSinembargo,entodorazonamientohaysiemprerazonamientocreativoformal:unprincipioderazonamientodecarcterlgico. Unprincipiode razonamientoesun juicioqueenunciaque la relacindeconsecuencia se cumple entre ciertas formas de juicios. El silogismo si S esM, yM es P,entoncesSesPesunprincipioderazonamiento17. Los principios de razonamiento no reproducen hechos que estn empricamentedados;porqueni larelacinnosimtricadeconsecuenciaesobjetodeexperiencia,ni lasformasdejuicios,talescomoSesPenuncianfenmenos. Las relacionesnosimtricasnunca liganentre sobjetos reales.Porque llamamosnosimtricaaunarelacinquepuedeperonotienequemantenerseentreByAsisemantiene entre A y B. Y si A y B existen realmente, entonces toda relacin o bien semantieneentreellosonosemantiene.Larealidadexcluyelaposibilidad. Laposibilidadestpresentetambinenlasformasdelosjuicios.LostrminosSyPsonvariablesquenodenotannadadefinido,sinoquepuedendenotaralgo.Elelementodeposibilidad es suficienteparahacernos considerar losprincipiosde razonamiento comocreacionesdelamentehumana,ynocomoreproduccionesdehechosreales. La lgica es una ciencia a priori. Sus teoremas son verdaderos sobre la base dedefinicionesy axiomasderivadosde la raznynode la experiencia.Esta ciencia esunmbitodepuraactividadmental.12.Lalgicadalugaralasmatemticas.Lamatemtica,segnRussell,esunconjuntodejuiciosdelaformapimplicaq,dondelosjuiciospyqslopuedencontener,ademsdelasvariables,constanteslgicas18.Lasconstanteslgicasincluyenconceptostalescomolarelacindeconsecuencia,larelacindepertenenciaquesemantieneentreunindividuoyunaclase,etc,*.Sitodalamatemticaesreductiblealalgica,entoncestambinellaesunproductopuramentemental. Unanlisisdelasdiversasdisciplinasmatemticasllevaalamismaconclusin.Elpunto, la lnea recta, el tringulo, el cubo, todos los objetos que la geometra investigatienentanslounaexistenciaideal;noestnempricamentedados.Ynodigamosnadadelasfigurasnoeucldeasode losslidosmultidimensionales.Nohay,enelmundode losfenmenos,nmeros integrales, irracionales, imaginariosni conjugados.Dedekinddecade losnmerosqueeranproductos libresdelesprituhumano19.Y losnmerossonel

17PorloqueserefierealconceptodeprincipioderazonamientoestoyendeudaconelprofesorK.Twardowski(cf.Zasadniczepojeciadydaktykiitogiki(Losconceptosfundamentalesdelosmtodosdeenseanzaydelalgica),Lww,1901,pg.30,pargrafo64).18B.Russell,ThePrinciplesofMathematics,Cambridge,1903,pg.3.[HayversincastellanadeJ.C.Grimberg.BuenosAires,EspasaCalpe,1948].*Parececomo si ukasiewicz se refirieraaqual smbolode la implicacinyal smbolo0quedenotalarelacindepertenenciaquesedaentreunobjetoyunconjuntodelqueeseobjetoesunelemento.19R.Dedekind,WassindundwassollersdieZahlen.Braunschweig,1888,pg.VI:dieZahlensindfreieSchpfungendesmenschlichenGeistes.

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fundamentodetodoelanlisis. Lalgica,juntoconlamatemtica,sepuedecompararaunafinaredquesearrojaal inmensoabismode los fenmenosparaobteneresasperlasqueson lassntesiscientficas.Esun instrumentopoderosode investigacin,perosloun instrumento.Los juicioslgicosymatemticosslosonverdadesenelmundode lasentidades ideales.Probablementenuncasabremossiestasentidades tienensuscorrespondenciasenalgunosobjetosreales20. Las construccionesmentales a priori, que estn contenidas en toda sntesis, empapan lacienciaenteraenunelementoidealycreativo.13.Hallegadoelmomentodeexaminarlasiguientecuestin:culesverdadescientficassonpurasreproduccionesdehechos?Porquesilasgeneralizaciones,lasleyesylashiptesis,yportantotodas lasteorasde lascienciasempricasyelmbitoenterode lascienciasapriori,sonunresultadodeltrabajocreativodelamentehumana,entoncesprobablementepocosjuicioshabrenlacienciaqueseanpuramentereproductivos. Larespuestaaestacuestinparecefcil.Slounenunciadosingularacercadeunhechoque est directamente dado en la experiencia, puede ser un juicio puramente reproductivo. Porejemplo: Aqu crece un pino, Esta agujamagntica se desva ahora (de su posicinanterior), en estahabitacinhaydos sillas.Pero si alguien examina estos juicios conmayoratencinquizencuentretambinenelloselementoscreativos.Laspalabraspino,agujamagntica y dos representan conceptos, y, por tanto, encierran un trabajo delespritu.Todosloshechosformuladosenpalabrasestn,porprimitivosquesean,interpretados por el hombre.Un hecho crudo, intocado por lamente humana, se antoja unconceptolimite. Encualquiercaso, tenemos lasensacindeque lacapacidadcreativade lamentehumananoesilimitada.Lossistemasidealistasdeepistemologanoconsigueneliminarlasensacindequeexistealgunarealidadindependientedelhombreydequehadebuscarseenlosobjetosdeobservacin,enlaexperiencia.Desdehacemuchotiempolagrantareadelafilosofahasidoinvestigarquelementosdeesarealidadvienendelamentehumana21.14. En la ciencia hay que distinguir dos tipos de juicios: de algunos se supone quereproducenhechosdadosenlaexperiencia;losotrosestnproducidosporlamentehumana.Losjuiciosdelprimertiposonverdaderos,porquelaverdadconsisteenelacuerdoentreelpensamientoyloqueexiste.Sontambinverdaderoslosjuiciosdelsegundotipo?

20EnmilibroOzasadziesprzecznosciuArystotelesa(SobreelprincipiodecontradiccinenlasobrasdeAristteles),Cracow,1910,pgs.133yss.,intentdemostrarquenopodemostenerlaseguridaddequelosobjetosrealesestnsometidosalprincipiodecontradiccin.21LaideacopernicanadeKant,queintentdemostrarquelosobjetossiguenalconocimientomsbien que al revs, incluye puntos de vista que favorecen la tesis de la presencia de elementoscreativosenlaciencia.Yo,sinembargo,heintentadodemostraresatesisnosobrelabasedealgunadeterminada teora del conocimiento, sino sobre la base del realismo comn, pormedio de lainvestigacinlgica.PorlamismaraznnohetomadoenconsideracinelpragmatismodeJamesnielhumanismodeSchiller.

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Nopodemosafirmarcategricamentequesean falsos.Loque lamentehumanahaproducido no tiene por qu ser necesariamente una fantasa. Pero tampoco estamosautorizadosaconsiderarloscomoverdaderos,porquenormalmentenosabemossitienensucorrespondencia en lo que realmente existe. Sin embargo, los incluimos en la ciencia siestn ligadosporrelacionesdeconsecuenciaa juiciosdelprimertipoysinoconducenaconsecuenciasqueestnendiscordanciaconloshechos. Por tanto,eserrneopensarqueelobjetivode la ciencia sea laverdad.Lamentehumanano trabajacreativamentebuscando laverdad.Elobjetivode la ciencia es construirsntesisquesatisfaganlasnecesidadesintelectualescomunesatodalahumanidad. Esas sntesis incluyen juicios verdaderos acerca de los hechos; ellos son los quefundamentalmentesuscitannecesidades intelectuales.Sonelementosreconstructivos.Peroesas sntesis incluyen tambin juicios creativos; stos son los nicos que satisfacennecesidades intelectuales. Son elementos constructivos.Los elementosdel primero ydelltimotiposecombinanenuntodomedianterelacioneslgicasdeconsecuencia.Sonestasrelacioneslasquedanalassntesisdejuiciossucarctercientfico. Lacreatividadpoticanodifieredelacreatividadcientficaenqueencierremayorcantidad de fantasa. Cualquiera que, como Coprnico, haya cambiado a la Tierra deposicinylahayaenviadoahacerrevolucionesentornoalSol,oque,comoDarwin,hayapercibidoen lasnieblasdelpasado lastransformacionesgenticasde lasespecies,puedecodearseconelmayorde lospoetas.Peroelcientficodifieredelpoetaenque,en todotiempoylugar,razona.Nonecesitanipuedejustificarlotodo,perotodoloqueafirmetieneque ligarlomediante lazos lgicos en un todo coherente. El fundamento de ese todoconsiste en juicios acerca de hechos, y ello sostiene la teora, que explica, organiza ypredicehechos. Asescomosecreaelpoemadelaciencia22. Estamosviviendounperododeafanosarecoleccindehechos.Fundamosmuseosdeciencianaturalyhacemosherbolarios.ConfeccionamoslistasdelasestrellasytrazamosmapasdelaLuna.OrganizamosexpedicionesalosPolosdenuestrogloboyalaselevadasmontaas del Tbet. Medimos, computamos y recolectamos datos estadsticos.Acumulamosartefactosprocedentesdecivilizacionesprehistricasyespecimenesdeartepopular.Exploramos tumbas antiguas en buscade nuevospapiros.Publicamos fuenteshistricas y damos listas bibliogrficas.Nos gustara preservar de la destruccin todofragmentodepapelimpreso.Todoestoesuntrabajovaliosoynecesario. Perounacoleccindehechosnoes todavaciencia.Unverdaderocientficoeselquesabecmotrabarloshechosparaformarsntesis.Parahacerestonobastaconadquirirelconocimientodeloshechos;estambinnecesarioaportarpensamientocreativo.

22 IgnacyMatuszewski, en su trabajo Cele sztuki (Los objetivos del arte), incluido en el libroTurczositwrcy(Creacinycreadores),Varsovia,1904,ofrecepuntosdevistasimilaressobreloselementoscreativosenlaciencia.Susestudios,emprendidosconpropsitosdiferentesydesdeundiferentepuntodevista,lehanconducidoalosmismosresultadosaquemehanconducidoamlasconsideracioneslgicas.

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Cuanto ms adiestre una persona su mente y su corazn, y cuanto msestrechamenteseunaconlasgrandesmentescreativasdelahumanidad,tantomayorserel nmero de ideas creativas que pueda formar en su frtil espritu. Y quiz en unmomento felizsevea iluminadoporunachispade inspiracinque leharprocrearalgogrande.Porque,comohadichoAdamMckewicz23,Todaslascosasgrandesquehayenelmundolas nacionalidades, la legislacin, las viejas instituciones, todos los credosanterioresalavenidadeCristo,todaslasciencias,losinventos,losdescubrimientos,todaslas obrasmaestras de la poesa y el arte han tenido su origen en la inspiracin deprofetas,sabios,hroesypoetas.

23Estaformulacin,extradadelascartasdeOdyniec,aparececitadaporW.BiegaskiensuescritoOfilozofiiMickiewicza(SobrelafilosofadeMickiewicz)enPrzeglpdFilozoficzny10(1907),pg.205.

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LECCINDEDESPEDIDAPRONUNCIADAPORELPROFESORJANUKASIEWICZENELAULAMAGNADELAUNIVERSIDADDEVARSOVIAEL7DEMARZODE1918

Enestaleccindedespedidaquieroofrecerunasntesisdemtrabajoinvestigador,basadaenconfesionesautobiogrficas.Quierodescribirelfondoemocionalsobreelquesehanidodesarrollandomispuntosdevista. Hedeclaradounaguerraespiritualencontradetodacoercinquerestrinjalalibreactividadcreativadelhombre. Haydosclasesdecoercin.Unadeellaseslacoercinfsica,quesepresentabiencomounafuerzaexternaqueponecadenasalalibertaddemovimientos,bienenlaformadeunaimpotenciainternaquehaceimposibletodaaccin. Deesacoercinpodemos liberarnos.Tensandonuestrosmsculospodemosromper lascadenas,yejercitandonuestravoluntadpodemosvencer la inerciadelcuerpo.Ycuandotodaslasmedidasfracasan,todavaquedalamuertecomolagranliberadora. Laotraclasedecoercineslacoercinlgica.Notenemosmsremedioqueaceptarlos principios que son evidentes, as como los teoremas que de ellos se derivan. Esacoercinesmuchomsfuertequelafsica;nohayesperanzadeliberacin.Nohayfuerza,nifsicaniintelectual,quepuedavenceralosprincipiosdelalgicaylamatemtica. Esacoercinsurgicon laaparicinde la lgicadeAristtelesy lageometradeEuclides. Haba nacido el concepto de ciencia como sistema de principios y teoremasconectadosmediante relaciones lgicas.El concepto vinodeGrecia y hamantenido susoberana. El universo se conceba sobre elmodelo de un sistema cientfico: todos loseventosyfenmenosestninterconectadosporlazoscausalesysesiguenlosunosdelosotros como los teoremas de una teora cientfica. Todo lo que existe est sujeto a leyesnecesarias. Eneluniversoasconcebidonohaylugarparaunactocreativoqueresulte,nodeuna ley,sinodeun impulsoespontneo.Los impulsos,adems,estnsometidosa leyes,tienensuorigenenlanecesidadypodranserprevistosporunseromnisciente.Antesdequeyovengaaestemundo,misaccioneshansidopredeterminadashastaensusmenoresdetalles. Estaideainvadeinclusolavidaprctica.Resultaquelaaccinsujetaaleyes,tantonaturales como sociales, y, por ende, ordenada e intencional, es siempre efectiva. Si lanacinenterapudierallegaraconstituirunmecanismocuyaestructurareprodujeraladelsistema cientfico, adquirira tan enorme fuerza que podra aspirar a convertirse en ladueadelmundo. Lamentecreativasesublevacontraestaconcepcindelaciencia,deluniversoydela vida. Un individuo valiente, consciente de su valor, no se resigna a ser un simpleeslabn en la cadenade causay efecto, sinoquequieredejar sentir su influencia en elcursodelosacontecimientos.

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Aquhaestadosiempreelfondodelaoposicinentrecienciayarte.Peroheaquque losartistaspermanecenajenosa los resultadosde la cienciayno son sensiblesa lacoercinlgica.Quhadehacer,entonces,uncientfico? Tienedos vas para escoger: o bien hundirse en el escepticismo y abandonar lainvestigacin,obienvrselasconelconceptodecienciabasadoenlalgicaaristotlica. Pormi parte, he escogido esta segunda va.Lenta y gradualmente he llegado acomprender cul es elobjetivoltimode la campaaque ahora estoy llevando a cabo.Inclusotodomitrabajoanteriorserva,inconscientemente,elmismopropsito. Enmi intentodemodificarelconceptodecienciabasadoen la lgicaaristotlica,me vea obligado a forjar armasms poderosas que esa lgica. La lgica simblica seconvirtiparamenesaarma. Somet a examen, a la luz de esa lgica, los grandes sistemas filosficos queproclaman launiversalidadde la causalidad entre los fenmenos.Adquir la certezadeque todos ellos, sin excluir la filosofa crticadeKant, se reducenanada cuando se lossomete a la crtica lgica. Se convierten en una coleccin de ideas sueltas, a vecesbrillantes, pero desprovistas de valor cientfico. En absoluto constituyen amenazas a lalibertad. Lascienciasempricas llegana leyesgeneralesmedianteelrazonamiento inductivo.Yo somet a examen la estructura lgica de las conclusiones obtenidas por induccin.EmpecporlasinvestigacionesdeJevonsySigwarteintentdemostrarquelainduccinesunrazonamientoreductivoquebuscarazonesparadeterminadasconsecuenciasdadas.Unrazonamientodeese tipo jams llevaaresultadosseguros:sloahiptesis.Tambinaqu,portanto,dejadefuncionarlacoercinlgica. Lasleyesyteorasdelaciencianatural,porserhiptesis,nosonreproduccionesdehechos,sinoproductoscreativosdelpensamientohumano.Deberacomparrselos,noconunafotografa,sinoconuncuadropintadoporunartista.Elmismopaisajepuedeaparecerinterpretadodediferentesmanerasenobrasdeartistasdiferentes;digamos,poranaloga,queteorasdiferentespuedenservirparaexplicarlosmismosfenmenos.Enestoveoyounaprimeracercanaentreeltrabajocientficoyelartstico. Lacoercin lgica semanifiestaconmayor fuerzaen las cienciasapriori.Aqu ladisputa se planteaba por todo lo alto. En 1910 publiqu un libro sobre el principio decontradiccinenlaobradeAristteles,enelqueintentabademostrarqueeseprincipionoestanevidentecomosecrea.Yaentoncesaspirabaaconstruirunalgicanoaristotlica.peroenvano. Ahoracreoquetuvexitoenesto.Micaminomevenaindicadoporlasantinomias,que demostraban que la lgica aristotlica tiene lagunas. El rellenarlasme llev a unamodificacindelosprincipiostradicionalesdelalgica. El estudiode este tema fue elobjetodemisltimas clases.Hedemostradoque,ademsdeproposicionesverdaderasyfalsas,hayproposicionesposibles,alasquecorrespondelaposibilidadobjetivacomountercervalorademsdelserydelnoser. Estodioorigenaunsistemadelgicatrivalente,quedesarrollendetalleduranteelveranopasado.EsesistemaestancoherenteyconsistentecomolalgicadeAristteles,yresultamuchomsricoenleyesyfrmulas.

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Esa nueva lgica, al introducir el concepto de posibilidad objetiva, destruye elprimitivoconceptodecienciabasadoen lanecesidad.Los fenmenosposiblesno tienencausas, aunque ellosmismos puedan constituir el punto de partida de una secuenciacausal.Elactodeunindividuocreativopuedeserlibreyalmismotiempoafectarelcursodelmundo. Laposibilidadde construir sistemas lgicosdiferentesmuestra que la lgica noestlimitadaalareproduccindehechos,sinoqueesunproductolibredelhombre,comounaobradearte.Lacoercinlgicaseevaporaensumismafuente. Talfuemitrabajoinvestigador,sutrasfondoemocionalyelobjetivoporelqueseguiaba. Yahorahedeabandonarmi trabajoporalgn tiempoy sometermeyomismoacoercinyatenermealeyesyregulacioneseinclusovelarporellas.Noserlibre,aunqueel no serlo lo habr decidido pormi propia voluntad. Pero cuandome sienta libre denuevo,volver a la ciencia.Volver a ellay quizs osponga avosotros o a los que ossucedan ante la tarea de continuar esa lucha ideal en pro de la liberacin del esprituhumano.

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SOBRELALGICATRIVALENTE* La lgica aristotlica, al operar sobre la basede que toda proposicin es o bienverdaderaobienfalsa,distingueslodostiposdevaloreslgicos:laverdadylafalsedad.Sisimbolizamoslaverdadpor1,lafalsedadpor0,laidentidadpor=ylaimplicacinpor


Las leyes de la lgica trivalente difieren en parte de las de la lgica bivalente.Algunasde las leyesde la lgicaaristotlicasonsloposiblesen lgica trivalente:porejemplo,elprincipiodelsilogismoenlaformulacinordinaria:(a


SOBREELDETERMINISMO* Estearticuloeslaversinrevisadadeunaconferenciaquepronunci,comoRectorde laUniversidaddeVarsovia,en laInauguracindelcursoacadmico19221923.Comode costumbre,habl sinelauxiliodenotas.Ms tarde, redactmidiscurso,peronuncahastaahoralohabapublicado. Enelcursode losltimosveinticuatroaosvolvcon frecuenciasobremiconferencia,perfeccionandosuformaysucontenido.Lasideasfundamentales,y,enparticular,elexamencrticode losargumentosen favordeldeterminismo,quedaron,sinembargo,comoestaban. Poreltiempoenquepronuncimconferencia,loshechosyteorasque,dentrodelcampodelafsicaatmica,siguieroninmediatamentealsocavamientodeldeterminismo,eran todava desconocidos. Para no desviarme demasiado del contenido original de laconferencia,nitampocointerferirconl,herenunciadoaampliarmiartculoaadindoleargumentostomadosdeestaramadelconocimiento.Dubln,noviembrede1946.

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1.EsunaviejacostumbreacadmicaqueelRectorabraunnuevoperodo lectivocon una disertacin inaugural. Se supone que en ese discurso debe exponer su credointelectualyofrecerunasntesisdesusinvestigaciones. Lasntesisdeunasinvestigacionesfilosficasseexpresaenunsistemafilosfico,enuna visin comprehensivadelmundo yde la vida.Me siento incapazdepresentarunsistemadeesetipo,porquenocreoquehoyendasepuedasentarunsistemafilosficoquesatisfagalasexigenciasdelmtodocientfico. Formo,juntoconunospocoscompaerosdetrabajo,ungrupotodavapequeodefilsofosymatemticosquehanescogido la lgicamatemticacomo temaobasedesusinvestigaciones.EstadisciplinafueinauguradaporLeibniz,elgranmatemticoyfilsofo,perosusesfuerzoshabancadoenolvidocuando,haciamediadosdelsiglodiecinueve,GeorgeBoole seconvirtien su segundo fundador.GottlobFregeenAlemania,CharlesPeirceenlosEstadosUnidosyBertrandRussellenInglaterrahansidolosrepresentantesmsprominentesdelalgicamatemticaennuestrostiempos. EnPoloniaelcultivode la lgicamatemticahaproducidoresultadosmsabun *Nota editorial tomadadePolishLogic19201939, ed.porStorrsMcCall,Oxford,TheClarendonPress, 1967:Este escrito, titulado ODeterminizmie sepublicporvezprimera enZ zagadnielogiki i filozofii,unaantologade lasobrasdeukasiewiczeditadapor J.Slupecki,Varsovia,1961.TraducidoporZ.Jordan.

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dantesy fructferosqueenmuchosotrospases.Hemosconstruidosistemas lgicosquedesbordan conmuchono slo la lgica tradicional, sino tambin los sistemasde lgicamatemticaformuladoshastaahora.Hemoscomprendido,quizmejorqueotros,quesunsistemadeductivoycmodebenconstruirse talessistemas.Hemossido losprimerosencaptarlaconexindelalgicamatemticaconlosantiguossistemasdelgicaformal.Sobretodo,hemosalcanzadonivelesdeprecisincientficaquesonmuysuperioresalasexigenciashastaahoraaceptadas. Comparadaconestosnuevosnivelesdeprecisin, laexactitudde lamatemtica,considerada antes como un modelo sin igual, deja mucho que desear. El grado deprecisinque lebastabaalmatemticoyanonos satisface.Nosotrosexigimosquecadarama de lamatemtica sea un sistema deductivo correctamente construido.Queremossaberculessonlosaxiomassobrelosquesebasacadasistemaylasreglasdeinferenciadelasquehaceuso.Pedimosquelasdemostracionessellevenacabodeacuerdoconesasreglasde inferencia,queseancompletasysusceptiblesdecontrastacinmecnica.Yanonos sentimos satisfechos con las deduccionesmatemticas usuales, que por lo generalcomienzandealgnmodopor lamitad,revelan frecuentesvacos,yhacenconstantesapelaciones a la intuicin.Si lamatemticanohapasado lapruebadelnuevoniveldeprecisin, cmohandepasarlo lasdemsdisciplinas,menos exactasque ella? Cmopodrlafilosofa,enlaquelasinvestigacionessistemticassevenamenudosofocadasporfantsticasespeculaciones,sobrevivir? CuandonosacercamosalosgrandessistemasfilosficosdePlatnodeAristteles,deDescartesodeSpinoza,deKantodeHegel,conloscriteriosdeprecisinestablecidosporlalgicamatemtica,esossistemascaenenpedazoscomosifuerancastillosdenaipes.Susconceptosbsicosnoestnclaros,sustesismsimportantessonincomprensibles,susargumentacionesydemostracionesson inexactas,y lasteoras lgicasqueconfrecuenciasubyacen a ellas son prcticamente todas errneas. La filosofa ha de ser reconstruidadesdesusmismos fundamentos; tendraque inspirarseenelmtodocientficoybasarseen lanueva lgica.Ningn individuopuedesoarconcumplirlsoloestatarea.Esunalabordegeneracionesydeintelectosmuchomspoderososquelosnacidoshastaahora. 2.Esteesmi credo cientfico.Puestoquenopuedoofrecerun sistema filosfico,intentarhoydiscutirunproblemaqueninguna sntesis filosficapuede ignoraryqueestestrechamenteconectadoconmisinvestigacioneslgicas.Quisieraconfesaryadesdeahoraquenosoycapazdeexaminaresteproblema,entodossusdetalles,conlaprecisincientficaquemeexijoammismo.Loqueofrezcoesslounensayomuyimperfecto,delque quiz alguien pueda algn da beneficiarse para establecer, sobre la base de estasindagacionespreliminares,unasntesismsexactaymadura. Quierohablardeldeterminismo.Entiendopordeterminismoalgomsque lacreenciaquerechazalalibertaddelavoluntad.Empezarexplicandomedianteunejemploloquepretendodecir. Juan se encontr con Pablo en la Plaza de la Ciudad Vieja de Varsovia ayer amedioda.Elhechodelencuentrodeayeryanoexistehoy.Sinembargo,esehechodeayernoeshoyunamerailusin,sinounaciertapartedelarealidadquetantoJuancomoPablotienenquetomarenconsideracin.Ambosrecuerdansuencuentrodeayer.Losefectoso

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rastrosdeeseencuentroexistendealgnmodoenelloshoy.Cualquieradeellospodrajuraranteun tribunalquevioalotroen laPlazade laCiudadViejadeVarsoviaayeramedioda. Sobrelabasedeestosdatosyodigoesverdadencualquierinstantedeldadehoyque Juan se encontr con Pablo en la Plaza de la Ciudad Vieja de Varsovia ayer amedioda.Conestonopretendosostenerque la fraseJuanseencontrconPabloen laPlazadelaCiudadViejadeVarsoviaayeramediodaseaverdaderaentodoinstantedeldadehoy,porqueesafrase,sinadielausaopiensaenella,puedenoexistirenabsoluto.Hago uso de la expresin es verdadero en el instante t que p donde instantesignifica un punto inextenso de tiempo y p cualquier enunciado de hecho comoequivalenteaeselcasoenel instantezquep.Porelmomentosoy incapazdedarunmayoranlisisdeestaltimaexpresin. Estamosen lacreenciadeque loqueha tenido lugarnohapodidonoserhecho:factainfectafierinonpossunt.Loqueeraverdaderoenunaocasinsiguesiendoverdaderopara siempre. Toda verdad es eterna. Estos enunciados parecen intuitivamente ciertos.Estamos,portanto,enlacreenciadequesiunobjetoAesbenelinstantet,esverdadencualquierinstanteposterioratqueAesbenelinstantet.SiJuanseencontrconPabloenlaPlazadelaCiudadViejadeVarsoviaayeramedioda,esverdadencualquierinstanteposterioralmediodadeayerque Juan seencontr conPabloen laPlazade laCiudadViejadeVarsoviaayeramedioda. Seplantealacuestindesieratambinverdaderoencualquierinstanteanterioralmediodade ayerque Juan se encontrara conPablo en laPlazade laCiudadViejadeVarsovia ayer amedioda. Era verdadero anteayer y hace un ao, en elmomentodelnacimientodeJuanyencualquierinstantequeprecedieraaesenacimiento?Acasotodoloquehadesucederydeserverdaderoenalgntiempofuturoesverdaderoyahoy,yhasidoverdaderodesdetodalaeternidad?Eseternatodaverdad? La intuicin en este caso no nos sirve, y el problema se hace controvertido. Eldeterminismo responde a la cuestin afirmativamente, y el indeterminismo con unanegativa.PordeterminismoentiendolacreenciaenquesiAesbenelinstantetesverdadencualquierinstanteanterioratqueAesbenelinstantet. Nadiequehagasuyaestacreenciapuedetratarelfuturodemododiferenteacomotrata elpasado. Si todo lo que hade ocurrir y llegar a ser verdadero en algn tiempofuturoesverdaderoyahoy,yhasidoverdaderodesdetodalaeternidad,elfuturoesttandeterminadocomoelpasadoyslosediferenciadelpasadoenquenohapasadotodava.Eldeterminista contempla loseventosque tienen lugarenelmundo como si fueranundramarodadoenpelculaproducidoporalgnestudiocinematogrficodeluniverso.Nosencontramosenplenarealizacinynoconocemoselfinal,aunquecadaunodenosotrosesnoslounespectador,sinotambinunactordeldrama.Peroelfinalestah,existedesdeel comienzo de la realizacin, porque la imagen entera est completa desde toda laeternidad.Enellatodasnuestrascualidades,todas lasaventurasyvicisitudesdenuestravida, todas nuestras decisiones y actos, tanto buenos como malos, estn fijados poranticipado.Inclusoelmomentodenuestramuerte,ladeustedesylama,estestablecidodeantemano.Slosomosttereseneldramadeluniverso.Nonosquedasinocontemplar

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elespectculoyesperarpacientementesufinal. Esstaunaconcepcinextraayenmodoalgunoevidente.Hay,sinembargo,dosargumentos,depoderpersuasivoconsiderable,queseconocendesdehacemuchotiempoy que proporcionan apoyo al determinismo. Uno de ellos, que tiene su origen enAristteles,estbasadoenelprincipio lgicodetercioexcluso,yelotro,conocidoyadelosEstoicos,enelprincipiofsicodecausalidad.Intentarpresentarestosdosargumentos,apesardelodifcilesyabstractosqueson,delmodomsfcilquemeseaposible. 3.Dosenunciadosdelosqueunoeslanegacindelotrosellamancontradictorios.VoyailustrarestanocinmedianteunejemplotomadodeAristteles.MaanahabrunabatallanavalyMaananohabrunabatallanavalsonenunciadoscontradictorios.DosfamososprincipiosderivadosdeAristteles,elprincipiodecontradiccinyelprincipiodetercioexcluso,hacenreferenciaaenunciadoscontradictorios.Elprimerodeellosenunciaquedosenunciadoscontradictoriosnosonverdaderosalavez,esdecir,queunodeellosdebeserfalso.EnloquesiguenomeocupardeesteimportanteprincipioqueAristteles,yconlotrosmuchospensadores,consideraroncomoelmsprofundosostndenuestropensamiento.Me ocupar aqu del principio de tercio excluso. Este establece que dosenunciados contradictorios no son falsos a la vez, esdecir, que unode ellos hade serverdadero.Obienhabrmaanaunabatallanavalobiennohabrmaanaunabatallanaval.Tertiumnondatur.Nohaytrminomedioentre losargumentosdeestaalternativa:nohayuna tercera cosa que, siendo verdadera, invalidara susdos argumentos.Puedeocurriravecesquedospersonasendisputa,delasqueunaconsiderablancoloqueotraconsideranegro,estnambasequivocadas,yquelaverdadestenalgnpuntoentreesasdosaserciones.Nohaycontradiccin,sinembargo,entreconsiderarunacosacomoblancayconsideraresamismacosacomonegra.Slo losenunciadosqueafirmanque lamismacosaesynoesblancaserancontradictorios.Encasossemejantes,laverdadnopuedeestarentreesosenunciadosofueradeellos,sinoenunodeellos. Volvamosanuestroejemplocotidiano.Sisecumpleelprincipiodetercioexcluso,ysiPedrodice hoy Juan estar en casamaana amedioda yPablo lo niegadiciendoJuannoestaren casamaanaamedioda,entoncesunodeellosdice laverdad.Nopodemossaberhoyculdelosdoseselqueladice,perolosabremoshaciendounavisitaa Juanmaana amedioda. Si encontramos a Juan en casa,Pedro hizouna afirmacinverdadera,ysiJuannoest,Pablodijolaverdadhoy. Por lo tanto, o bien es ya verdadero hoy que Juan estar en casa maana amediodaoesverdaderohoyque Juannoestarencasamaanaamedioda.Sialguienprofiere el enunciadop,yalgunaotrapersonaprofiere sunegacin,nop,entoncesuno de ellos hace una afirmacin verdadera no slo hoy sino en cualquier instante t;porqueobienpobiennopesverdadero.Noimportaquealguienexpresedehechoestosenunciadosopienseenellos;pareceestarenlanaturalezamismadelcasoqueobienes verdadero en el instante t que p o es verdadero en el instante t que nop. Estaalternativapareceintuitivamenteverdadera.Aplicadaanuestroejemplo,tomalasiguienteforma:

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(a) O bien es verdadero en el instante t que Juan estar en casamaana amedioda o esverdaderoenelinstantetqueJuannoestarencasamaanaamedioda.

Retengamosesteenunciadocomoprimerapremisadenuestrorazonamiento. Lasegundapremisanoestbasadaenningnprincipiolgicoysepuedeexpresardemanerageneralenlasiguienteformacondicional:siesverdaderoenelinstantetquep,entoncesp.Enestecondicional,prepresentacualquierenunciado,seaafirmativoonegativo.SisustituimospporelenunciadonegativoJuannoestarencasamaanaamediodaobtenemos:

(b) Siesverdaderoenel instante tque Juannoestarencasamaanaamedioda,entoncesJuannoestarencasamaanaamedioda.

Estapremisatambinpareceintuitivamenteverdadera.Siesverdaderoenuninstantecualquiera,t,porejemplo,ahora,queJuannoestarencasamaanaamediodaporquesabemosquesehamarchadoaun lugar lejanopor largotiemponoha lugarallamarasupuertamaanaamedioda.Tenemoslacertezadequenoloencontraremosencasa. Aceptamosambaspremisassindemostracincomointuitivamenteciertas.Latesisdel determinismo se basa en estas premisas. Su demostracin se desarrollar rigurosamentedeacuerdoconlallamadateoradeladeduccin. 4.GraciasalalgicamatemticasabemoshoyqueelsistemabsicodelgicanoeselpequeofragmentodelalgicadetrminosconocidacomolasilogsticadeAristteles,sino la lgica de proposiciones, incomparablementems importante que la silogstica.Aristteles utiliz intuitivamente la lgica de proposiciones, y slo los estoicos, conCrisipoa la cabeza, la formularondemanera sistemtica.Ennuestrosdas, la lgicadeproposicionesfueconstruidaenunaformaaxiomticacasiperfectaporGottlobFregeen1879;fuedescubierta,independientementedeFrege,yenriquecidaconnuevosmtodosyteoremasporCharlesPeirceen1895;ybajoelnombredelateoradeladeduccinfueconvertida por BertrandRussell, en 1910, en la base de la lgica y lamatemtica. FuetambinBertrandRussellquiendivulgsuconocimientoentrelacomunidaddecientficosensentidoamplio. Lateoradeladeduccindeberaconvertirseenalgotanuniversalmenteconocidocomolaaritmticaelemental,porquecomprendelasreglasdeinferenciamsimportantesutilizadasenlacienciayenlavidadiaria.Nosenseaautilizarcorrectamentepalabrastancomunescomono,y,o,sientonces.Enelcursodeestaexposicin,queempezarconnuestrasegundapremisa,nosencontraremoscontresreglasde inferenciaquepertenecenalateoradeladeduccin. Lasegundapremisaesuncondicionaldelaformasi,entoncesno,donderepresentaelenunciadoesverdaderoenelinstantetqueJuannoestarencasamaanaamediodayelenunciadoJuanestarencasamaanaamedioda.Enelconsecuentede lapremisa (b)aparece lanegacindel enunciado, esdecir, el enunciadono.Juannoestarencasamaanaamedioda.Deacuerdoconlateoradeladeduccin,la

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premisasi,entoncesno implica laconclusinsi,entoncesno.Porque siimplicanoentoncesyseexcluyenentres,y,por tanto, implicano.Siguiendoestaregladeinferencia,lapremisa(b)setransformaenelenunciado:

(c) SJuanvaaestarencasamaanaamedioda,entoncesnoesverdaderoenelinstantetqueJuannovaaestarencasamaanaamedioda.

Pasemosahoraalaprimerapremisa,alaalternativadelaformao,dondesignifica el enunciado esverdadero en el instante tque Juan estar en casamaana amediodayelmismoenunciadoqueantes:esverdaderoenelinstantetqueJuannoestarencasamaanaamedioda.Delateoradeladeduccinsesiguequelapremisaoimplicalaconclusinsino,entonces.Porqueunaalternativaesverdaderasiyslosialmenosunodesusargumentosesverdadero.Sielsegundoargumentoesfalso,elprimerohadeserverdadero.Deacuerdoconestaregladeinferencialapremisa(a)setransformaenelenunciado:

(d) SinoesverdaderoenelinstantetqueJuannoestarencasamaanaamedioda,entoncesesverdaderoenelinstantetqueJuanestarencasamaanaamedioda.

Comparemosahoralosenunciados(c)y(d).Ambossoncondicionales,yelconsecuentede(c)tienelamismaformaqueelantecedentede(d);estosdosenunciadostienenlaformasi,entoncesnoysino,entonces.Segnlateoradeladeduccin,esasdospremisasimplicanlaconclusinsi,entonces.Porquesiesverdaderoquesiloprimero,entonceslosegundoysilosegundo,entonceslotercero,entoncesestambinverdaderoquesiloprimero,entonceslotercero.Estaeslaleydelsilogismohipottico,comosabemosporAristteles.SirecordamosquerepresentaelenunciadoJuanestarencasamaanaamediodayelenunciadoesverdaderoenel instante tque Juanestarencasamaanaamedioda,obtenemoslaconclusin:

(e) SiJuanvaaestarencasamaanaamedioda,entoncesesverdaderoenel instantetqueJuanestarencasamaanaamedioda.

Elinstantetesuninstantecualquiera;porlotanto,obienesanteriorobiensimultneoobienposterioramaanaamedioda.DeellosesiguequesiJuanvaaestarencasamaanaamedioda,entoncesesverdaderoenun instantecualquieraque Juanestarencasamaanaamedioda.Dichodemanerageneral:sehademostradosobrelabasedeunejemploconcretoquesiAesbenelinstantet,entoncesesverdaderoencualquierinstantey,porlotanto,encualquierinstanteanterioratqueAesbenelinstantet.Haquedadodemostradalatesisdeldeterminismodeducindoladelprincipiodetercioexcluso. 5.Elsegundoargumentoenfavordeldeterminismoestbasadoenelprincipiodecausalidad.Noesfcilpresentaresteargumentodeunmodocomprensible,porquenilapalabracausani laproposicinconocidacomoprincipiodecausalidadhanadquiridoun significado establecido en la ciencia.Simplemente estnasociados conun cierto sig

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nificadointuitivoquemegustaraexplicitardandoalgunasexplicaciones. Yodigoqueelsonidodeltimbreenlapuertadeentradademicasaenesteinstanteesunhechoqueestteniendolugarahora.YoconsiderolapresenciadeJuanencasaenelinstante tcomounhechoqueocurreenel instante t.Todohecho seproduceenalgunaparteenalgnmomento.Lasafirmacionesdehechosonsingulareseincluyenunaindicacindetiempoylugar. ElhechoFquetienelugarenelinstantessellamacausadelhechoGquetienelugarenelinstantet,yelhechoG,efectodelhechoF,sielinstantesesanterioralinstantet,ysiloshechosFyGestnconectadosentresdetalmodoquepormediodeleyesconocidasvigentesentrelosrespectivosestadosdecosasesposibleinferirlaafirmacindehechoGapartirdelaafirmacindehechoF*.Porejemplo,yoconsideroquelapresinsobreelbotndeun timbre elctrico es la causade su sonido,porque el timbre espresionado enuninstanteanterioraaquelenelquesuena,yyopuedodeducirelenunciadodelsegundohechoapartirdelenunciadodelprimeropormediodelasconocidasleyesdelafsicaenlasquesebasalaconstruccindeuntimbreelctrico. Ladefinicinde causa implicaque la relacin causal es transitiva.Esto significaqueparacualesquierahechos,F,GyH,siFeslacausadeGyGeslacausadeH,entoncesFeslacausadeH. Porprincipiodecausalidadentiendo laproposicindeque todohechoGque seproduceenel instante t tienesucausaenalgnhechoFqueseproduceenel instantesanteriorat,yqueentodoinstanteposteriorasyanterioratseproducenhechosquesonalavezefectosdelhechoFycausasdelhechoG. Estasexplicacionesseproponenhacerexplcitaslassiguientesintuiciones.Elhechoqueescausatienelugarantesqueelhechoqueesefecto.Yoprimeropresionoelbotndeltimbre,yeltimbresuenadespus,aunquenosparezcaqueamboshechosocurrensimultneamente. Si se produce un hecho que es la causa de algn otro hecho, entonces esteltimohecho,queeselefectodelprimero,sigueinevitablementealacausa.As,pues,siyo aprieto el botn, entonces el timbre suena.Esposible inferir el efecto apartirde lacausa.Ascomolaconclusinesverdaderasiempreycuandosuspremisasseanverdaderas,astambin,demanerasimilar,elefectotienequeproducirsesiempreycuandoexistasucausa.Nadasucedesincausa.El timbrenosuenaporsmismo;sisuenaesdebidoaalgunos hechos anteriores.En el conjuntode hechos que se suceden, ordenadospor larelacincausal,nohaynivacosnisaltos.Entreelinstanteenqueseaprietaelbotnyelinstante en que suena el timbre se producen constantemente hechos, cada uno de loscualesessimultneamenteunefectode lapresindelbotnyunacausadelsonidodeltimbre.Adems,cadaunodeestoshechosqueseproducenanteseslacausadecadaunodelosqueseproducendespus. 6.Trasestasexplicacionespuederesultarmsinteligibleelargumentomedianteel

*Estadefinicindel conceptode causadifierede ladefinicin aceptadapor ukasiewicz en suensayoAnalizaikonstrukcjapojeciaprzyczyny(Anlisisyconstruccindelconceptodecausa),Przeglad Filozoficzny 9 (1906),pgs. 105179, reimpreso en la edicinde 1961Z zagadnie logigi ifilozofii.Ambasdefinicionesestablecen,sinembargo,que larelacindecausalidadestransitiva,yestepuntoesderelevanteimportanciaenlasinvestigacionessubsiguientesdeukasiewicz.

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cualsededucelatesisdeldeterminismoapartirdelprincipiodecausalidad.SupongamosqueunciertohechoFocurreenelinstantet;porejemplo,queJuanestencasamaanaamedioda.ElhechoF tiene su causaenalgnhechoF1,que tiene lugarenel instante t,anteriorat1.Asuvez,elhechoF1tienesucausaenalgnhechoF2,quetienelugarenelinstantet2,anteriorat1.Puestoquedeacuerdoconelprincipiodecausalidadtodohechotienesucausaenalgnhechoanerror,esteprocedimientopuedeserrepetidounayotravez.Porlotanto,obtenemosunasecuenciainfinitadehechosqueregresaindefinidamente

Fn,Fn1,,F2,F1,Fporqueloshechostienenlugareninstantessiempreanteriores

tn,tn1,,t2,t1,tEn esta secuencia todo hecho anterior es la causa de todo hecho posterior, porque larelacincausalestransitiva.Adems,sielhechoFn,queseproduceenelinstantetn,eslacausadelhechoFqueseproduceenelinstantet,entonces,deacuerdoconelprincipiodecausalidad,entodoinstanteposterioratn,yanterioratseproducenhechosquesonsimultneamente efectos del hecho Fn, y causas del hecho F. Puesto que estos hechos soninfinitosennmero,nonosesposibleordenarlos todosen lasecuencia,yslopodemosdesignaralgunos,como,porejemplo,Fn1,F2,oF1. Hasta aqu todoparece estar enorden.Pero es ahora cuandoviene elpasomsimportanteenelargumentodeldeterminista.Surazonamientotomaraprobablementeelsiguientecurso. ComolasecuenciadehechosqueocurrenantesqueFyquesonlascausasdeesehechoFesinfinita,entodoinstanteanterioraty,portanto,entodoinstantepresenteypasadoocurrealgnhechoqueeslacausadeF.SieselcasoqueJuanvaaestarencasamaana amedioda, entonces la causa de este hecho existe ya hoy y tambin en todoinstanteanterioramaanaamedioda.Silacausaexisteoexisti,todoslosefectosdeestacausadeben inevitablementeexistir.Por lotanto,esyaverdaderoahorayhasidoverdaderodesdetodalaeternidadqueJuanestaraencasamaanaamedioda.Engeneral,siAesbenelinstantet,esverdaderoentodoinstanteanterioratqueAesbenelinstantet;porqueentodoinstanteanterioratexistenlascausasdeestehecho.As,pues,latesisdeldeterminismosepuededemostrarpormediodelprincipiodecausalidad. Estossonlosdosargumentosdemayorfuerzaquepuedenaducirseenapoyodeldeterminismo.Hemosdedesistiryaceptarlos?Hemosdecreerque todoenelmundotiene lugardemaneranecesariayque todoacto libreycreativoesslouna ilusin?O,porelcontrario,hemosde rechazarelprincipiodecausalidad juntoconelprincipiodetercioexcluso? 7. Escribe Leibniz que hay dos famosos laberintos en los que nuestra razn sepierdeamenudo.Unodeelloseselproblemadelalibertadylanecesidad,yelotrohacereferenciaa la continuidady la infinitud.CuandoLeibniz escriba estonopensabaqueestosdos laberintospudieranconstituirun todonicoyque la libertad,siesqueexiste,

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pudieraestarocultaenalgnrincndelainfinitud. Si las causasde todos los hechos quepudieran ocurrir alguna vez existieran entodo instante,entoncesnohabra libertad.Porfortuna,elprincipiodecausalidadnonosobligaaaceptarestaconsecuencia.Lainfinitudylacontinuidadvienenennuestrorescate. Hayun error en el argumentoquederiva la tesisdeldeterminismo apartirdelprincipiodecausalidad.PorquenoeselcasoquesiJuanestencasamaanaamedioda,entonceslasecuenciainfinitadecausasdeestehechodebaalcanzarelinstantepresenteytodoinstantepasado.Estasecuenciapuedetenersulmiteinferiorenuninstanteanterioralinstantepresente:uninstanteque,porlotanto,nohallegadotodavaapasar.Estoesloqueclaramenteimplicanlassiguientesconsideraciones. Consideremos el tiempo como una lnea recta y establezcamos una correspondenciauno auno entreun cierto intervalode tiempoy el segmento (0, l)de esa lnea.Supongamosqueelinstantepresentecorrespondealpunto0,queunciertohechofuturoocurreenelinstante1(correspondientealpunto1),yquelascausasdeestehechoocurreneninstantesdeterminadospornmerosrealesmayoresque.Estasecuenciadecausasesinfinitayno tienecomienzo,esdecir,causaprimera.Porqueestaprimeracausa tendraquetener lugarenel instantecorrespondientealmenornmerorealmayorque,yesenmerorealnoexiste;comotampocoexisteelmenornmeroracionalmayorque.Enelconjunto de los nmeros reales, y de modo similar en el conjunto ordenado de losnmerosracionales,nohaydosnmerosquesesucedaninmediatamenteelunoalotro,esdecir, talesqueunodeellosseaelpredecesor inmediatoyotroelsucesor inmediatodelotro;entredosnmeroscualesquierahaysiempreotro,y,enconsecuencia,hay infinitosnmerosentrecualesquieradosdeellos.Deacuerdoconelprincipiodecausalidad,todohechode la secuencia sometidaa consideracin tiene su causa enalgnhechoanterior.Aunquetieneunlmiteinferiorenelinstante,queesposterioralinstantepresente0yque no ha sido todava alcanzado, la secuencia es infinita.Adems, esta secuencia nopuede rebasar su lmite inferior, y, por lo tanto, no puede regresar hasta el instantepresente. Esterazonamientomuestraquepuedenexistirsecuenciascausalesinfinitasquenohan comenzado todavayquepertenecen enteramente al futuro.Esta concepcin esnoslolgicamenteposible,sinoquetambinparecemsprudentequelacreenciasegnlacual hasta el menor hecho futuro tiene sus causas actuando desde el comienzo deluniverso.Nodudoenabsolutodequehayaalgunoshechosfuturoscuyascausasexistanyahoyyhayanexistidodesdetodalaeternidad.Medianteobservacionesyconayudadelasleyesdelmovimientodeloscuerposcelesteslosastrnomosprediceneclipsesdelunayde sol congranprecisiny conmuchosaosdeanticipacin.Peronadiees capazdepredecirhoyqueunamoscaquenoexistetodavazumbarenmiodoalmediodadel7de septiembredelaoprximo.La creencia enque esta conducta futurade estamoscafutura tiene sus causas ya hoy y las ha tenido desde toda la eternidad se antoja unafantasamsbienqueunaproposicin apoyadaporunamnima sombradevalidacincientfica. Porlotanto,elargumentobasadoenelprincipiodecausalidadcaeporlossuelos.Sepuedetenerelfirmeconvencimientodequenadasucedesincausa,ydequetodohecho

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tiene sucausaenalgnhechoanterior, sinporello serundeterminista.Nosquedaporexaminarelargumentobasadoenelprincipiodetercioexcluso. 8.Aunqueelargumentobasadoenelprincipiodetercioexclusoesindependientedelque sederivadelprincipiode causalidad, ciertamenteelprimero sehace completamente inteligible si todo hecho tiene sus causas existiendo desde toda la eternidad.Explicarloquequierodecirmedianteunejemplotomadodelavidadiaria*.Supongamosque Juan estar en casamaana amedioda. Si las causas de todos los hechos existendesde toda la eternidad, tendramos que reconocer que en elmomento actual existe lacausadelapresenciadeJuanensucasamaanaamedioda.Porlotanto,esverdadero,o,dichodeotromodo,eselcasoenelmomentopresentequeJuanestarencasamaanaamedioda. La expresin algo confusa es el caso en el instante t que p, donde prepresentaenunciadosacercadeeventosfuturos,expresinqueanteshesido incapazdeclarificar,sehaceahoraperfectamenteinteligible.EselcasoenelinstanteactualqueJuanestar en casamaana amedioda implica, en primer lugar, que en el instante actualexisteunhechoqueeslacausadelapresenciadeJuanencasamaanaamedioda,y,ensegundolugar,queesteefectofuturoestcomprendidoenesacausadelmismomodoqueunaconclusinestincluidaensuspremisas.Lacausadelhechofuturo,queelenunciadopenunciayqueexisteenelinstantet,esuncorrelatorealdelaoracineselcasoenelinstantetquep. SisupusiramosqueJuannoestarencasamaanaamedioda,podramosseguirelmismocursoderazonamiento.Siaceptamosquelascausasdetodohechoexistendesdetoda laeternidad,debemosaceptar tambinelhechodeque la causade laausenciadeJuandesucasamaanaamediodaexisteyaenelinstanteactual.Porlotanto,laoracinesverdadero,esdecir,eselcasoenelinstanteactualqueJuannoestarencasamaanaamedioda tiene su correlato real en la causa del hecho enunciado, y esta causa existeactualmente. PuestoqueJuanobienestarobiennoestarencasamaanaamedioda,existeobien la causade supresencia en casa obien la causade su ausenciade ellamaana amedioda,supuestoquelascausasdetodosloshechosexistendesdetodalaeternidad.Porlo tanto, o bien es verdadero en el instante actual que Juan estar en casamaana amedioda o es verdadero en el instante actual que Juan no estar en casamaana amedioda.Elargumentobasadoenelprincipiodetercioexclusotieneunapoyoadicionalenelargumentoderivadodelprincipiodecausalidad. 9.Sin embargo, el segundode estos argumentos es, como sehademostrado,novlido.Deacuerdoconlasinvestigacionesanteriores,podemossuponerqueenelinstanteactualnoexisteannilacausadelapresenciadeJuannilacausadelaausenciadeJuande su casamaana amedioda. Por tanto, puede suceder que la secuencia infinita decausasqueocasionalapresenciaoausenciadeJuandecasamaanaamediodanohayacomenzadoanypertenezcaenteramentealfuturo.Paradecirloentrminoscoloquiales:podemosdecirquelacuestindesiJuanestaronoestarencasamaanaamediodanoesttodavadecididaenningnsentido.Cmoargiramosnosotrosenestecaso? * ukasiewicz repite este argumento en su ensayo Observaciones filosficas sobre los sistemaspolivalentesdelgicaproposicional(enestevolumen).

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Podemosadoptarlasiguientelneadeargumentacin.Laoracinesverdaderoenel instante presente t que Juan estar en casamaana amedioda no tiene correlatoactual,porque la causade estehechono existe en el instante t;por lo tanto,nadanosobligaaaceptarestaoracincomoverdadera.As,puedesucederqueJuannoestencasamaanaamedioda.Delmismomodo,laoracinesverdaderoenelmomentopresentetqueJuannoestarencasamaanaamediodanotienecorrelatoreal,porquelacausadeestehechonoexisteenel instantet;unavezms,nadanosobligaaaceptarestaoracincomo verdadera.As, podra suceder que Juan estuviera en casamaana amedioda.Podemos,portanto,rechazarcomofalsasambasoracionesyaceptarsusnegacionesnoesverdaderoenelinstantetqueJuanestarencasamaanaamediodaynoesverdaderoen el instante tque Juanno estaren casamaanaamedioda.El condicionalpreviamenteestablecido,(e),siJuanvaaestarencasamaanaamedioda,entoncesesverdaderoenelinstantetqueJuanestarencasamaanaamediodasehacenovlido.Porquesu antecedente resulta verdadero si Juan est en casa maana a medioda, y suconsecuentesevuelvefalsosiescogemosuninstantet,anterioramaanaamedioda,enelquelacausadelapresenciadeJuanencasamaanaamediodanoexistaan.Pero,alser invlido el condicional (e), la tesisdeldeterminismo, siA es b en el instante t, esverdaderoentodo instanteanterioratqueAesbenel instantetsetorna invlidaasuvez;porquepodemossustituirlasvariablesA,bytporvalorestalesqueelantecedentedelatesissevuelveverdaderoyelconsecuentefalso. Si sobre el supuestode que un cierto hecho futuro no est todavadecidido enningnsentidolatesisdeldeterminismosevuelvefalsa,ladeduccindeestatesisapartirdelprincipiodetercioexclusodebeenvolverunerror.Adems,sirechazamoscomofalsalaoracinesverdaderoenelinstantetqueJuanestarencasamaanaamedioda,ascomo la oracin es verdadero en el instante t que Juan no estar en casamaana amedioda,debemosrechazartambin laalternativa(a)quetieneaestasoracionescomoargumentosyquehasidoelpuntodepartidadeladeduccin.Unaalternativacuyosdosargumentos son falsos es ella misma falsa. As tambin el condicional (d), obtenidotransformando lapremisa (a),sinoesverdaderoenel instante tque Juannoestarencasamaanaamedioda,entoncesesverdaderoenel instante tque Juanestarencasamaanaamediodaresultaserfalso,porqueaceptamossuantecedenteyrechazamossuconsecuente.Nadatienedeextraoquelainferenciaproduzcaunaconclusinfalsasiunadesuspremisasyunodelosteoremasqueintervienensonfalsos. Habraquesealarqueelrechazode laalternativa(a)noesunatransgresindelprincipiode tercio excluso;porque sus argumentosno se contradicen entre s. Slo lasoracionesJuanestarencasamaanaamediodayJuannoestarencasamaanaamedioda son contradictorias, y la alternativa construida con estas oraciones, O bienJuanestarencasamaanaamediodaoJuannoestarencasamaanaamediodahade ser verdadera de acuerdo con el principio de tercio excluso. Pero las oraciones esverdaderoenelinstantetqueJuanestarencasamaanaamediodayesverdaderoenel instante t que Juan no estar en casamaana amedioda no son contradictorias,porquelaunanoeslanegacindelaotra,ysupresentacincomoalternativanotieneporqueserverdadera.Lapremisa(a)hasidodeducidadelprincipiodetercioexclusosobrela

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basedeinvestigacionespuramenteintuitivasynomediantelaaplicacindeunprincipiolgico.Sinembargo,lasinvestigacionesintuitivaspuedenserfalaces,yenestecasoparecequenoshanengaado. 10.Aunqueestasolucinparece lgicamentevlida,no laconsideroenteramentesatisfactoria,porquenosatisfacetodasmisintuiciones.CreoquehayunadiferenciaentrelanoaceptacindelaoracinesverdaderoenelinstantepresentequeJuanestarencasamaanaamediodaporque lapresenciaoausenciade Juandesucasanoest todavadecididay lanoaceptacinde estaoracinporque la causade suausenciademaanaexistayaenelinstantepresente.PiensoquesloenesteltimocasoestamosautorizadosarechazarlaoracinencuestinydecirnoesverdaderoenelinstantepresentequeJuanestarencasamaanaamedioda.Enelprimercasonopodemosniaceptarnirechazarlaoracin,sinoslosuspendernuestrojuicio. Estaactitudencuentrasu justificacintantoenlavidacomoenelhablacoloquial.Si lapresenciaoausenciadeJuandesucasamaananoest todavadecidida,entoncesdecimosesposiblequeJuanestencasamaanaamedioda,perotambinesposiblequeJuannoestencasamaanaamedioda.Porotraparte,silacausadelaausenciadeJuandesucasamaanaamediodaexisteyaenel instantepresente,entoncesdecimos,enelsupuesto de que conozcamos su causa, no es posible que Juan est en casamaana amedioda. En el supuesto de que la presencia o ausencia de Juan de casamaana amediodanoest todavadecidida, laoracinesverdaderoenel instantepresentequeJuanestarencasamaanaamediodanopuedeserniaceptadanirechazada,esdecir,nopodemosconsiderarlaniverdaderanifalsa.Enconsecuencia,tampocolanegacindeesta oracin, no es verdadero en el instante presente que Juan vaya a estar en casamaanaamediodapuedeserniaceptadanirechazada,esdecir,nopodemosconsiderarlaniverdaderanifalsa.Elrazonamientodeantes,queconsistaenelrechazodelaoracinsometidaaconsideracinyenlaaceptacindesunegacin,esahorainaplicable.Enconcreto, el condicional (d), que antes fue rechazado se aceptaba su antecedente y serechazabasuconsecuente,notieneahoraporquserrechazado,porqueyanoesverdadque su antecedente sea aceptado y su consecuente rechazado.Adems, puesto que elcondicional(d),juntoconlapremisa(c),sobrelaquenopareceexistirningunaduda,bastaparavalidarlatesisdeldeterminismo,parececomosielargumentodeAristtelesrecuperarasupoderpersuasivo. 11.Sinembargo,estenoeselcaso.Piensoquesloahoraalcanzamosunasolucinque concuerda a la vez con nuestras intuiciones y con las concepciones del propioAristteles.PorqueAristtelesformulsuargumentoenapoyodeldeterminismosloconelpropsitoderechazarlosubsecuentementecomo invlido.Enel famosocaptulo9delDeInterpretatione,Aristtelesparecehaberllegadoalaconclusindequelaalternativaobienhabrunabatallanavalmaanaobiennohabrunabatallanavalmaana esyaverdadera y necesaria hoy, pero ni es verdadero hoy que habr una batalla navalmaana ni que no habr una batalla naval maana. Estas oraciones se refieren aeventosfuturoscontingentesy,comotales,nosonniverdaderasnifalsashoy.EstaeralainterpretacindeAristtelesquedieron losestoicos, los cuales, comodeterministasqueeran,seopusieronaestaconcepcin,ylosepicreos,quedefendanelindeterminismoya

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Aristteles. ElrazonamientodeAristtelesnosocavatantoelprincipiodetercioexclusocomounodelosprincipiosbsicosdetodanuestralgica,quelprecisamentefueelprimeroenformular, a saber, que toda proposicin es o bien verdadera o bien falsa.Esdecir, sepuedeasumir uno y slo uno de dos valores de verdad: verdad o falsedad. Yo llamo a esteprincipio,principiodebivalencia.En laantigedadesteprincipiofueenfticamentedefendidopor los estoicosyatacadopor los epicreos, siendo totalmente conscientesunosyotrosde las cuestiones envueltas en ello.Como esteprincipioyace en los fundamentosmismosdelalgica,nopuedeserdemostrado.Slosepuedecreerenl,ysloelqueloconsideraevidentecreeenl.Am,personalmente,elprincipiodebivalencianomepareceevidente.Porlotanto,estoyenelderechodenoreconocerlo,ydeaceptarlaideadequeademsde laverdady la falsedad existen otrosvaloresdeverdad: comomnimo,unoms,untercervalordeverdad. Culesestetercervalordeverdad?Notengounnombreapropiadoparal*.Perodespusdelasexplicacionesprecedentesnoserdifcilentenderculesmiidea.Sostengoquehayproposicionesquenosonniverdaderasni falsas,sino indeterminadas.Todas lasoracionesacercadehechos futurosque todavanoestndecididospertenecenaestacategora.Esasoracionesno sonniverdaderasenelmomentopresente,porqueno tienencorrelato real,ni falsas,porque susnegaciones tampoco tienen correlato real.Haciendousodeuna terminologa filosficaquenoesparticularmenteclara,podramosdecirqueontolgicamentenocorrespondeaestasoracionesnielsernielnoser,sinolaposibilidad.Lasoraciones indeterminadas,queontolgicamentetienen laposibilidadcomocorrelato,tomaneltercervalordeverdad. Si se introduce en lgica este tercer valor de verdad, estamos cambiando susfundamentos.Un sistema trivalentede lgica, cuyoprimerbosquejopudedar en1920**difiere de la lgica bivalente ordinaria, la nica conocida hasta ahora, tanto como lossistemasnoeucldeosdegeometradifierende lageometraeucldea.Apesardeello, lalgicatrivalenteestanconsistenteylibredecontradiccionescomolalgicabivalente.Seacualfuerelaformaqueestanuevalgicaasumacuandoseladesarrolleendetalle,latesisdeldeterminismono formarpartedeella.Porqueenelcondicionalmedianteelqueseexpresaesatesis,siAesbenelinstantet,entoncesesverdaderoentodoinstanteanterioratqueAesbenelinstantet,podemosasignaralasvariablesA,bytvalorestalesquesuantecedenteseconvierteenunaoracinverdaderaysuconsecuenteenunaoracinindeterminada,esdecir,enunaoracinque tieneel tercervalordeverdad.EstosucedesiemprecuandolacausadelhechodequeAseabenuninstantefuturotnoexistehoy.Uncondicionalconantecedenteverdaderoyconsecuenteindeterminadonosepuedeaceptarcomoverdadero;porque laverdadslopuede implicarverdad.Elargumento lgicoquepareceapoyareldeterminismofalladecisivamente. 12.Estoy llegandoal finaldemis investigaciones.Enmiopinin. losviejosargumentosenapoyodeldeterminismonosuperan lapruebadeunexamencrtico.Estono *EnObservacionesfilosficasukasiewiczutilizaeltrminoposibilidad.**LaprimeramencindelalgicatrivalentesehaceenlaLeccindedespedidade1918(pg.18deestelibro).

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implicaenabsolutoqueeldeterminismoseaunaconcepcinfalsa;lafalsedaddelosargumentosnodemuestra la falsedadde la tesis.Apoyndome en el examen crticoquehehecho,quisieradecirsolamenteunacosa:queeldeterminismonoesunaconcepcinmejorjustificadaqueelindeterminismo. Porlotanto,ysinexponermeaquesemeacusedeirreflexivo,puedodeclararmeen favor del indeterminismo. Puedo asumir que no es cierto que el futuro entero estdeterminadoconanticipacin.Sihaycadenascausalesquecomienzansloenel futuro,entonces slo algunos hechos y eventos futuros, los que estn ms cerca del tiempopresente, estn causalmente determinados en el instante presente. Apoyndose en elconocimientopresente, inclusounamente omniscientepodrapredecir cadavezmenoshechos cuantoms profundamente intente penetrar en el futuro: esta es la nica cosaefectivamentedeterminadaenelmarcocadavezmsampliodentrodelcualtienenlugarloshechos,ydentrodelcualhaymsymscabidaparalaposibilidad.Eldramauniversalnoesuncuadrocompletadodesdelaeternidad;cuandomsnosalejemosdelaspartesdelapelculaqueseestnpasandoenesteinstante,msvacosyblancosincluirlaimagen.Estbienqueellodeba seras.Podemoscreerqueno somos simplementeespectadorespasivosdeldrama, sino tambinparticipantesactivosenl.Entre las contingenciasquenosesperanpodemosescogerelcaminomejoryevitarelpeor.Podemosdealgnmodoconfigurarelfuturodelmundodeacuerdoconnuestrosdesignios.Noscmoesposibleesto,peroestoyenlacreenciadequeloes. Encuantoalpasado,nodebiramostratarlodemododistintoqueelfuturo.Si lanicapartedelfuturoqueesrealahoraesaquellaqueestcausalmentedeterminadaporel instantepresente,y si las cadenas causalesque comienzanenel futuropertenecenalreinodelaposibilidad,entoncesslolaspartesdelpasadoquecontinanteniendoefectoshoy son reales en el momento presente. Los hechos cuyos efectos han desaparecidototalmente,yquenisiquieraunamenteomniscientepodra inferirde losqueestnocurriendo ahora, pertenecen al reino de la posibilidad. De ellos no se puede decir quetuvieronlugar,sinosloquefueronposibles.Esbuenoqueellodebaseras.Haymomentosdifcilesdesufrimientoymomentos,todavamsdifciles,deculpaenlavidadetodoelmundo.Deberamos sentirnos felices de borrarlos no slo de nuestramemoria, sinotambin de la existencia. Cabe creer que cuando todos los efectos de estosmomentosnefastos se hayan agotado, incluso aunque ello suceda slo despus de nuestramuerte,entoncestambinsuscausassernborradasdelmundode larealidadypasarnalreinodelaposibilidad.Eltiempocalmanuestroscuidadosynostraeelperdn.

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OBSERVACIONESFILOSFICASSOBRELOSSISTEMASPOLIVALENTESDELGICAPROPOSICIONAL*

1.Proposicionesmodales.2.Teoremasrelativosalasproposicionesmodales.3.Consecuencias de los dos primeros teoremas relativos a proposiciones modales.4.Consecuenciasdel tercer teorema sobreproposicionesmodales.5. Incompatibilidaddelos teoremas sobreproposicionesmodales en el clculoproposicionalbivalente.6.Lasproposicionesmodalesyelclculoproposicionaltrivalente.7.Definicindelconceptodeposibilidad.8.Consecuenciasde ladefinicindel conceptodeposibilidad.9. Significacinfilosficadelossistemaspolivalentesdelgicaproposicional. Apndice.Sobrelahistoriadelaleydebivalencia. En lacomunicacinUntersuchungenberdenAussagenkalkl (investigacionessobreel clculoproposicional),queaparecienestamismapublicacin con la firmadeTarskiy lama, laseccin3estdedicadaa lossistemaspolivalentesde lgicaproposicionalqueyoestablec.Enloqueserefierealascuestioneslgicas,remitoallectoraesacomunicacin.Aqumepropongoclarificarelorigeny lasignificacindeestossistemasdesdeunpuntodevistafilosfico.

1.Proposicionesmodales El sistema trivalente de lgica proposicional debe su origen a ciertas investigacionesqueyorealicsobre las llamadasproposicionesmodalesysobre lasnocionesestrechamenteconectadasconellasdeposibilidadynecesidad24. Porproposicionesmodalesentiendoproposicionesquehansidoconstruidassobreelmodelodeunadelascuatroexpresionessiguientes:(1)Esposiblequep ensmbolos,Mp.(2)Noesposiblequep ensmbolos,NMp.(3)Esposiblequenop ensmbolos,MNp.(4)Noesposiblequenop ensmbolos,NMNp.

*Nota del editor en la edicin deMacCall: Este ensayo apareci originariamente bajo el ttuloPhilosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des Aussagenkalkls. en Comptesrendus des sances de la Socit des Sciences et des Lettres de Varsovie 23 (1930). cl. iii, pgs. 5177.TraducidoalinglsporH.Weber.Reimpresoenlaedicinde1961deZzagadnielogikiifilozofii.24Leun ensayo sobre estas investigaciones en la reunindel5de juniode1920de laSociedadFilosficaPolacaenLww.Laspartesesencialesdeesteensayosepublicaronen larevistapolacaRuchFilozoficzny. [La traduccinal ingls fuerealizadaporO.Wojtasiewiczsobreel textomismodelensayoledoporukasiewiczel5dejuniode1920.]

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La letrapdesignaaqucualquierproposicin;Neselsmbolode lanegacin(Np=nop);Mcorrespondealaspalabrasesposibleque.Enlugardedecirnoesposiblequenopsepodratambinutilizarelgiroesnecesarioquep. Lasexpresionesaquenumeradasnoson idnticasa los juiciosproblemticosyapodcticosdeKant.Correspondenmsbiena lasproposicionesmodalesde la lgicamedievalquetuvieronsuorigenenAristtelesyqueestnformadasapartirdeloscuatromodos: possibile (por ejemplo, Socratem currere est possibile), impossibile, contingens ynecessarium. Adems de estos cuatromodos, los lgicosmedievales citaban otros dos:verumyfalsum.Sinembargo,estosmodosnofueronobjetodemayorconsideracin,yaquelasproposicionesmodalesquecorrespondenaellos,esverdaderoquepyesfalsoquep,setenanporequivalentesalasproposicionespyNp25. Laexpresinesposiblequenosedefineaqu;susentidoseesclarecemediantelosteoremasquesecumplenparalasproposicionesmodales.

2.Teoremasrelativosalasproposicionesmodales Enlahistoriadelalgicanosencontramoscontresgruposdeteoremasrelativosaproposicionesmodales. Enelprimergrupoincluyolossiguientesteoremastodosellosmuyconocidosquenoshanllegadodelalgicaclsicayqueenellafueronconsideradoscomoverdadesevidentessindemostracin:(a)Aboportereadessevaletconsequentia.(b)Abesseadpossevaletconsequentia. Porcontraposicinobtenernosde(b)unaterceraproposicin:(c)Abnonposseadnonessevaletconsequentia. Estaltimaproposicinsignifica:La inferenciaquevadesdeelnoserposiblealnoseresvlida.Porejemplo:noesposibledividirunnmeroprimoporcuatro;por lotanto, ningn nmero primo es divisible por cuatro. Este ejemplo es plausible, y tanplausible comolesel siguiente teoremageneralque retendremos como representativodelprimergrupo:I.Sinoesposiblequep,entoncesnop. Menos conocido, si bien no menos intuitivo, parece el siguiente teorema delsegundogrupocitadoporLeibnizenlaThodice26: 25Cf.Prantl,GeschichtederLogikimAbendlande,vol.iii,pg.14,nota42;pg.117,nota542.26Philos.Schriften(ed.Gerhardt),vol.6,pg.131.

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(d)Unumquodque,quandoest,oportetesse. Todo loque es, cuando es, esnecesario.Este teorema se remontaaAristteles,quien,ciertamente,sostienequenotodo loqueesesnecesarioynotodo loquenoesesimposible,sinoquecuandoalgoquees,es,entoncesestambinnecesario;ycuandoalgoquenoesnoes,entoncesestambinimposible27. Noesfcil interpretar losteoremascitadoshastaahora.Empezardandoalgunosejemplos. Noesnecesarioqueyoestencasaesta tarde.Perocuandoyoestoyencasaestatarde, entonces, sobre este supuesto, es necesario que yo est en casa esta tarde. Otroejemplo:raramenteocurrequeyonotengadineroenmibolsillo,perosiahora(enunciertomomento t)yono tengodineroenmibolsillo,noesposible,sobreestesupuesto,queyotenga(exactamenteenelmismomomentot)dineroenelbolsillo. Represeendoscosasapropsitodeestosejemplos.Enprimer lugar, lasproposiciones Yo estoy en casa esta tarde y Yo no tengo (en elmomento t) dinero en elbolsillo se suponen verdaderas, y sobre este su puesto se infieren respectivamente lanecesidado la imposibilidad.Ensegundo lugar, lapalabraquandoen (d)yelcorrespondientedeAristteles,noesunapartculacondicional,sinounapartcula temporal.Sinembargo,lotemporalsesubsumeenlocondicionalsiladeterminacindeltiempoenlas proposiciones temporalmente conectadas se incluye en el contenido de las proposiciones. Los ejemplos dados son, adems, lo bastante claros como para establecer elsiguienteteoremageneral,queretendremoscomorepresentativodelsegundogrupo:II.Sisesuponequenop,entonces,sobreestesupuesto,noesposiblequep. El tercer grupo consta de un solo teorema basado en el concepto aristotlico deposibilidad bilateral. SegnAristteles hay algunas cosas que sonposibles en ambasdirecciones,esdecir,quepuedenser,peronosonnecesariamente.Esposible,porejemplo,queestemantoseacortado;peroestambinposiblequenolosea28. Igualmente, es posible que el pacientemuera, pero tambin es posible que serecobre,y,portanto,nomuera.Esteconceptodeposibilidadbilateralestprofundamenteenraizadoenelpensamientoyenelhabla cotidiana.El siguiente teorema, sobreelquehabremosdevolver,parecetanevidentecomolosdosanteriores:III.Paraalgnp:esposiblequepyesposiblequenop. 27Deinterpr.,9.19a23.28Deinterpr.,9.19a9.

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3.Consecuenciasdelosdosprimerosteoremasrelativosaproposiciones

modales Haremosahoraalgunas inferenciasapartirde losteoremasIyIIantescitados.Aeste fin, representarem

lukasiewicz jan - estudios de logica y filosofia

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