lógica mtemática
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1
PROPOSICION
Ejemplos:
"Hoy es Lunes"
"Estoy en la clase de Física"
a:
b:
Enunciado al que se lo puede calificar o
bien como Verdadero o bien como Falso.
NOTACIÓN:
Primeras letras del abecedario en minúscula
2
• NO PROPOSICIONES
¡Ojala deje de llover!
¿Hiciste el deber de Matemáticas?
Siéntate y quédate quieto.
VALOR DE VERDAD
Verdadero: 1
Falso: 0
Cualidad de una proposición de ser verdadera o de ser falsa.
3
OPERADORES (CONECTORES) LÓGICOS
NEGACIÓN No
Símbolo :
b
a
Ejemplos
: "Hoy no es Lunes "
:“ No Estoy en la clase de Física"
No es verdad que
No es cierto que
a a
0
01
1
Tabla de verdad
Lenguaje
Relacionado
4
CONJUNCIÓN
“y”
Símbolo:
Ejemplo
a : "Tengo un lápiz"
b : "Tengo un cuaderno"
ba : "Tengo un lápiz y un cuaderno "
baa b
0
1
10 0
0 00 01
1 1
Tabla de verdad
OPERADORES LÓGICOS
Lenguaje
Relacionado “pero”
5
DISYUNCION INCLUSIVA
“O”
Símbolo:
Ejemplo
a : "Tengo un lápiz"
b : "Tengo un cuaderno "
: "Tengo un lápiz o un cuaderno "
0
1
10 0
0 10 11
1 1
Tabla de verdad
a b
a b ba
Lenguaje
Relacionado
OPERADORES LÓGICOS
6
DISYUNCION EXCLUSIVA
“0……o.…..”
Símbolo:
Ejemplo
a : “Daniel está en España "
b : “Daniel está en Italia"
: “Daniel está en España o en Italia"
0
0
10 0
0 10 11
1 1
Tabla de verdad
a b
“o bien……o bien…..”
baba
ba
ba
Lenguaje
Relacionado
OPERADORES LÓGICOS
a b
ba
Significa:
7
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)
Símbolo: Ejemplo
a : “Apruebas el preuniversitario"
b : “Te regalaré un carro"
: “Si apruebas el preuniversitario entonces te regalaré un carro"
0
1
10 1
0 10 01
1 1
Tabla de verdad a b
ba
ba
ba
Lenguaje
Relacionado
OPERADORES LÓGICOS
“Si…..entonces.….”a b
8
Antecedente
Hipótesis
Premisa
Consecuente
Tesis
Conclusión.
ba
OTROS LENGUAJES RELACIONADOS:
a implica b
Basta a para b
a sólo si b
b si a
b cada vez que a
a solamente si b
b siempre que a
b puesto que a
b porque a
b con la condición de que a
OPERADORES LÓGICOSENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)
9
ba
“a es condición suficiente para b”
“b es condición necesaria para a”
Ejemplo:"Si un número es divisible para 4 entonces es divisible para 2"
OPERADORES LÓGICOS
verdadera
1. “La divisibilidad para 4 es condición suficiente para la divisibilidad para 2"
2. “La divisibilidad para 2 es condición necesaria para la divisibilidad para 4"
“Es suficiente que un número sea divisible para 4 para que se divisible para 2"
“Es necesario que un número sea divisible para 2 para que se divisible para 4"
Condición Necesaria y
Condición Suficiente
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)
10
baVARIACIONES
LA RECÍPROCA: b a
LA INVERSA: a b
LA CONTRARRECÍPROCA: b a
Ejemplo:Si me pagan entonces iré a trabajar
“Iré a trabajar si me pagan”
OPERADORES LÓGICOS
LA RECÍPROCA: Si voy a trabajar entonces me pagan
LA INVERSA: Si no me pagan entonces no iré a trabajar
LA CONTRARRECÍPROCA: Si no voy a trabajar entonces no me pagan
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)
11
baVARIACIONES
OPERADORES LÓGICOS
Importante
"Si un número es divisible para 4 entonces es divisible para 2"
RECÍPROCA:
"Si un número es divisible para 2 entonces es divisible para 4"
Falso
Contraejemplo:
“6 es divisible para 2, pero no es divisible para 4"
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)
Condicional:
12
BICONDICIONAL
baSímbolo: abba
0
1
10 1
0 00 01
1 1
TABLA
DE
VERDAD
a b ba
Lenguaje Relacionado
Ejemplo:
OPERADORES LÓGICOS
Significa:
a : “Un triángulo es equilátero”
b : “Un triángulo tiene sus ángulo de igual medida”
: “Un triángulo es equilátero si y sólo si tiene sus ángulos de
igual medida”
a b
“…..si y sólo si.….”a b
13
PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
Simples: No poseen operador lógico
Compuestas: Formadas por varias proposiciones
y operadores lógicos
a b c a bEjemplo:El valor de verdad de
una proposición
compuesta depende del
valor de verdad de sus
proposiciones simples.
Suponga que: 1a 0b 1c
1 0 1 1 0
001
1 0 1 1 0
001
0
1 0 1 1 0
001
0
1
1 0 1 1 0
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PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
a b c d a c d
Ejemplo:
Determine el valor de verdad de las proposiciones
simples sabiendo que el valor de verdad de la
proposición compuesta es VERDADERO.
1
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1 1 1
1a
0c
1d
1 0
00
1
1
0b
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0
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1
11
1
1
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0
1
1
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0
1
1
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1
0
1
0
1
0
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0
1
1
0
1
0
1
1 11
1
1
1
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0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0 1 11
1
1
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0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0 0 1 11
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1 0 0 1 11
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0
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0
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1
0
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0
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0
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1 0 0 11
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1
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0
1
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0
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0
1 01
1
1
1
0
0
0
0
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1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
11
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
FORMAS PROPOSICIONALES
Expresión constituida por símbolos querepresentan o conectores lógicos o variablesproposicionales.
Ejemplo p q r p q núm. var. prop.Total = 2
p q r p q r p q r p q p q r p q
16
1
Ejemplo
p q p q
1 11 1 11 1 1 01 1 1 0 11 1 1 0 1 11
1
1 1 0 1 11
1
1
0
1 0 1 11
1
1
0
1
0
0 1 11
1
1
0
1
0
0
0
1 11
1
1
0
1
0
0
0
1
0
11
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
11
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
11
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
11
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
11
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
11
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
p q qp p qp p q p q
Si se obtienen sólo proposiciones verdaderas para todos los valoresde verdad de las variables proposicionales
FORMAS PROPOSICIONALES
TAUTOLOGÍA
Si se obtienen sólo proposiciones falsas
Si se obtienen proposiciones verdaderas y otras falsas.
CONTRADICCION:
CONTINGENCIA:
17
IMPLICACIONES LÓGICAS
Sean A y B dos formas proposicionales, se
dice que A implica lógicamente a B si y sólo
si es una tautología.A B
En este caso se escribe: BA
Ejemplo
p q p q
18
IMPLICACIONES LÓGICAS
Algunas implicaciones lógicas típicas son:
qpp Adición
pqp Simplificación
qqpp Modus Ponens
pqqp Modus Tollens
qpqp Silogismo Disyuntivo
rprqqp Silogismo Hipotético
19
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
11
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
11
1
1
0
1
0
0
0
1
0
11
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
11
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
11
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
11
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1 1
EQUIVALENCIAS LÓGICAS
Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice
que A es lógicamente equivalente a B si y sólo si
es una tautología.BA
En este caso se escribe:
También:
qp qpEjemplo
BA
BA
11 11 1 11 1 1 01 1 1 0 11 1 1 0 1 11
1
1 1 0 1 11
1
1
0
1 0 1 11
1
1
0
1
0
0 1 1
p q qp p qp qpqp
20
ALGEBRA DE PROPOSICIONES
CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN
11p00p
rqprqprqprqp
pqqp pqqp
ppp ppp
pp 1 pp 0
Conmutativa
Asociativa
Idempotencia
Identidad
Absorción
21
ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Otras:
rpqprqp
rpqprqpLeyes distributivas
pp Doble negación
p q p q
Leyes de De Morgan
pqqp
qpqp
Contrarrecíproca
Implicación
p q p q
22
ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Otras:
Ley del tercer excluido1p p
0p p Ley de la contradicción
p q r p q r Ley de exportación
0p q p q Reducción al absurdo
23
Demostrar:
EJEMPLO
p p q p
Solución:
0p p qp p q
p q q p q
Identidad
Contradicción
p q p q p q Distributivas
p q p q Idempotencia
p q q Distributivas
0p Contradicción
p Identidad
24
Sea la proposición:
“Si tú eres inteligente y no resuelves el problema
entonces desconoces la materia ”
Siendo: m: Tú eres inteligente
n: Tú resuelves el problema
p: Tú desconoces la materia
m n pa)
Indique a que opción corresponde la TRADUCCIÓN:
b) p m n
c) m n p
d) m p n
e) m n p
Solución:
Primero: Traducción: m n p
Transformamos empleando el álgebra de
proposiciones:
Segundo:
m n p
m n p
m n p
m n p
EJEMPLO
Implicación
Ley de De Morgan
Implicación
Asociativa de la disyunción
25
Sea la proposición:
“Hoy es jueves y tengo que dar un examen, pero si
hay huelga, entonces no voy a la Universidad”
Siendo: a: Hoy es jueves
b: Tengo que dar un examen
c: Hay huelga
a b c da)
Indique a que opción corresponde la TRADUCCIÓN:
b)
d c a bc)
a b c d
d) a b c d
e) c d a b
Solución:
Primero: Traducción: a b c d
Transformamos :Segundo:
a b d c
a b d c
d c a b
EJEMPLO
Contrarrecíproca
Doble Negación
Conmutativa
d: Me voy a la Universidad
26
RAZONAMIENTOS
CONCLUSIÓN
PRINCIPALOPERADOR
HIPOTESISOPREMISAS
n CHHHH 321
VALIDEZ
Un razonamiento es VÁLIDO cuando la formaproposicional que se obtiene de la proposicióncompuesta que lo define, es tautológica.
27
RAZONAMIENTOSEJEMPLO
1
"Si aumenta la producción, aumentan los ingresos; si
aumentan los ingresos, se recupera la inversión. Por lo
tanto, si aumenta la producción ,se recupera la inversión"
SOLUCIÓN:a: Aumenta la producción
b: Aumentan los ingresos
c: Se recupera la inversión
cacbba
rprqqp
Traducción:
Forma proposicional:
28
EJEMPLO
1
rprqqp
PRIMER MÉTODO: Aplicando leyes de Equivalencias
p q q r p r Implicación
p q q r p r De Morgan
p q q r p r De Morgan
p q p q r r Asociativa
p p q p q r r r
Del Tercero excluido1 1q p q r
Distributiva
RAZONAMIENTOS
q p q r Identidad para la conjunción
q q p r Asociativa
1 p r Del Tercero excluido
1 Absorción para la disyunción
29
EJEMPLO
1
01
0
rprqqp
1 1 1 0
1 0
1p
0r
1 1
VALIDO
(0)
(0)
(1)
Segundo Método: Reducción al Absurdo
RAZONAMIENTOS
30
RAZONAMIENTOSEJEMPLO
2
"Si soy estudioso , aprobaré el curso ; si soy fiestero, no
aprobaré el curso. Por lo tanto, no puedo ser estudioso
y fiestero al mismo tiempo"Solución: a: Soy estudioso
b: Aprobaré el curso
c: Soy fiestero
cabcba
rpqrqp
1
Traducción:
Forma proposicional:
31
RAZONAMIENTOS
EJEMPLO
2
PRIMER MÉTODO: Aplicando leyes de Equivalencias
p q r q p r Implicación
p q r q p r De Morgan
p q r q p r De Morgan
p q r q p r Doble negación
1
p q p r q r Asociativa
p p q p r r q r Distributiva
1 1q p q r Del tercero excluido
q p q r Identidad para la conjunción
q q p r Asociativa
1 p r Del tercero excluido
1 Absorción para la disyunción32
RAZONAMIENTOS
1
rpqrqp
01
0
1
1 01 1
1
1 11p
1r
VALIDO
(0)
(0)
(1)33
Segundo Método: Reducción al Absurdo
EJEMPLO
2
La Lógica es difícil o no les gusta a muchos
estudiantes. Si la Matemática es fácil, entonces la
Lógica no es difícil. Por lo tanto, la Lógica es difícil.
Solución: a: La lógica es difícil
b: La lógica les gusta a muchos estudiantes
c: La Matemática es fácil. aacba
EJEMPLO
3
pprqp
01
1
0
1
1 1 10p
0q
NO VALIDO
0 0
1r 0r
0
RAZONAMIENTOS
34