LOGICA, MATEMATICA y FILOSOFIAANALlSIS DEL PENSAMIENTO DE GEORGE BOOLE

• El concepto de matemática en 8001e. Lalógica en 800le

El intento de Boole es demostrar que la lógicaencuentra su fundamento más profundo en lasoperaciones de la mente. En su opúsculo AnálisisJI1lternático de la lógica, publicado en 1847,.mrna Boole: "Está basada en hechos de otra

turaleza que tienen su fundamento en la consti-tución de la mente" (1). La lógica es posible en lamedida de la existencia de las facultades propias

1 intelecto, en " ... nuestra capacidad paraconcebir una clase y designar sus miembros indi-- uales por medio de un nombre común" (2).

Ahora bien, es en el lenguaje donde vamos aservar la manifestación de las operaciones de lante, y, por tanto, sus leyes van a ser también las

kyes del mismo lenguaje. El lenguaje es un "instru--.mto" del pensamiento y no sólo un "medio " Elmétodo booleano es el de incidir en el lenguaje

como manifestación del operar intelectual,üigirá al análisis de las operaciones de la mente, .Le a la lógica. Dice Boole en su "An Investigation

the laws of thought": "Estudiando las leyes designos, estamos en efecto estudiando las leyes

-mestadas del razonamiento" (3).Las reglas de los signos y símbolos mani-

festarán las del intelecto. La lógica, sus leyes yJIIOPUsiciones, puede establecerse simbólicamente

través de un cálculo. Decía Boole en AML: "uncálculo del razonamiento deductivo ... "(4). 0,

(1) AML, p. 9.(2) Ibid, p. 13.(3) LT, p. 24.(4) AML, p. 10.

Rev. Fil. Univ. Costa Rica, XIX (49, 50),77 -88,1981

AngelRuiz Zúñiga

más adelante; "La teoría de la Lógica y la teoríadel lenguaje resultan así, Íntimamente rela-cionadas. Un intento afortunado de expresar lasproposiciones lógicas por medio de símbolos-cuyas leyes combinatorias podrían basarse en lasleyes de los procesos mentales que representan-sería un paso en el camino hacia un lenguaje filo-sófico" (5). Es interesante evidenciar la relación eneste sentido con el propósito de Leibniz.

Ahora bien, este cálculo simbólico es mate-mático y axiomático. Esta esencialidad es la queabre las bases de la lógica como una ciencia exacta.Es un método, el que plantea Boole, que como tales base también para la teoría (elemental) deprobabilidades. (Esto se basa en una situación: laexpresión de un evento cuya probabilidad esbuscada, como función de los eventos cuya proba-bilidad es dada, son, de hecho, eventos com-puestos). Boole resume todos estos elementos en elprimer capítulo de su libro de 1854: "The designof the following treatise isto investigate the fun-damentallaws of those operations of the mind bywhich reasoning is performed; to give expressionto thern in the simbolicallanguage of a Calculus,and upon this foundation to establish the scienceof Logic and construct its method; to make thatmethod itself the basis of a general method for theaplication of the mathematical doctrine ofProbabilities; and, finally, to collect from thevariaus elements of truth brought to view in thecourse of these inquiries some probable inti-mations concerning the nature and constitution ofthe human mind" (6).

(5) Ibid, p. 13.(6) LT, p. 1.

ANGEL RUIZ ZUÑIGA78

Para Boole la lógica no es filosofía si por ellase entiende metafísica. La ciencia para Boole tieneque ver con las leyes y no con la "investigación delas causas" o con el "por qué" de las cosas, esocorresponde a un campo distinto en el cual Booledecide conscientemente no tomar partido. Sinembargo, con mentalidad científica decimonónica,parece insinuar en el AML que las causas y la"ciencia de la existencia real" no se escapa de "loslímites del intelecto humano". En contraposicióncon una aproximación metafísica afirma Boole:" ... Lógica no forma parte de ella. Y, siguiendoun principio de clasificación estricta, no hay queasociar más la Lógica y la Metafísica, sino laLógica y la Matemática" (7).

Boole es claro. La Lógica es matemática,porque es esencialmente axiómatica. Más preciso:por ser desarrollada como un cálculo simbólico ypor su interconexión axiomática. Para este existenciertas verdades fundamentales sobre las cualesdescansan todas las otras verdades. Todas ellas,dice en LT,: " ... rest together upon thefoundation of a few simple axioms; and yet theseare all general truth" (8). Más adelante dice: "Letus define as fundamental those laws and principlesfrom which all other general truths of science maybe deduced, and into which they may all be againresolved" (9). Pero esto había sido establecidovarios años antes en AML: " ... la lógica, como lageometría, se basa en verdades axiomáticas y quesus teoremas se construyen teniendo en cuenta esadoctrina general de los símbolos que constituyenla base del Análisis hoy aceptado" (IO). Y, enfa-tiza, en el mismo opúsculo: " ... porque es unmétodo que se apoya en el empleo de símbolosregidos por leyes combinatorias generales y cono-cidas, cuyos resultados admiten una interpretaciónno contradictoria" (I1).

En su AML Boole habla de la Lógica comoAnálisis matemático: " ... me propongo esta-blecer el Cálculo de la Lógica para el que reclamoun lugar entre las formas conocidas del AnálisisMatemático" (I2). Sin embargo, en LT habla del"acuerdo" entre Algebra y Lógica y, en la "Propo-sición 1" del capítulo 11,establece la relación entreellas. Las leyes de la lógica son en su forma,

(7) AML, p. 25.(8) LT, p. 5.(9) Ibid, p. 5.(10) AML, p. 25.(11) Ibid, p. 12.(12) Ibid, p.12.

aunque no exactamente en su contenido, mate-mática: "whence it is that the ultimate laws ofLogíc are mathematical in their form; why theyare except in a single point, identical with thegenerallaws of Number; and why in that particularpoint they differ; -are questions upon which itmight not be very remote from presumption toendeavour to pronounce a positivejudgment" (I3).

[(a) Todas las leyes básicas de la lógica las vareduciendo Boole a relaciones de asociatividad,conmutatividad, distributividad, etc. Para elloidentifica el signo "+". A los términos "y", "o"en lógica. Debe al usar las proposiciones que rela-cionan clases de objetos exigir exclusividad (inter-sección vacía) entre las clases para garantizar laasimilación al "r+". (b) Las diferencias de las reglasen Lógica con las algebraicas son dos a su decir: (i)si xy = xy ~ y = z, no se puede concluir en lógicay (ii) x2 = x no es regla general del álgebra clásica.(Es interesante señalar que la ley x2 = x, es unrefinamiento de la ley xn = x que había esta-blecido en el AML de 1847). (c) Boole sustituyórelaciones lógicas así:

TodoXesY: .. x(l-y)=ONingún X es Y xy = OAlgún X es Y xy -=1= OAlgún x no es Y x( 1 - Y ) -=1= O

Donde "x' representa la clase de las cosas X y"z" la de las cosas Y. Boole además añade:

Algún X es Y ... xy = v.Algún X no es Y ... x (1 - y) = v, para laexpresión de preposiciones particulares]

Boole recogiendo los aportes del siglo XIX enel terreno de la geometría (axiomática) y el álgebra(estructuras y numeraciones no clásicas), deduceun contenido no exclusivamente cuantitativo y demagnitudes para la matemática. Dice Kneale en suDesarrollo de la Lógica: "Las obras publicadashasta la fecha arrojaban dos importantes resultadosque habrían de servir a Boole de punto de partida:(1) el descubrimiento de la posibilidad de unálgebra de entidades que no fuesen números enninguno de los sentidos convencionales delvocablo, y (11) el descubrimiento de que las leyesque rigen para cualquier clase de números hasta

(13) LT, p. 11.

ANALISIS DEL PENSAMIENTO DE GEORGE BOOLE 79

~ a los complejos e incluidos estos últimos, no~sitan ser conservadas en su totalidad por un

ma algebraico que no resulta aplicable a tales.mueros" (14). Para Boole la matemática no es de.agnitudes. Refiriéndose a la concepción numé-

y de magnitud dice en AML: "La con si-ción de la perspectiva, ya establecida, quelucra el verdadero principio del Algebra de los

SÚIilOlos nos lleva a inferir, sin embargo, que estaclusión de ningún modo es necesaria" (15).

Aliade el texto ya citado: el verdadero cálculo es_.. un método que se apoya en el empleo de

SÚIilOlos regidos por leyes combinatorias generaleseonocidas, cuyos resultados admiten una inter-

tretación no contradictoria" (16).La lógica en sus leyes es matemática. Las ope-

.aones de la mente son establecidas matemáti-amente. La realidad natural, dirá en el final de-..aws of Thought", está regida también por leyes

temáticas. La matemática se va a presentarmo una afirmación de "la verdad", máslante. Las leyes matemáticas son las "correc-"leyes del razonamiento. Dice Boole en el capí-

XXII: "the mathematicallaws of reasoning• properly speaking, the laws of right reasoning

... "(17). Son verdades "Absolutas" (I8).No es necesario señalar el gran papel que juega

matemática, para Boole, en el edificio del cono--miento. Dice Bo o le en LT: " ... the

thematical sciences occupy, by the constitutionf nature, a fundamental place in human

wledge, and that no system of mental culturecan be complete or fundamental, which altogether.eglects them" (19). El grado de conexión que leasigna Boole· a la lógica y a la matemática se evi-

ncia cuando dice en AML: " ... toda propo-8t:ión lógica puede ser expresada por una ecuadón

ya forma determina las reglas de conversión yransformación que rigen la proposición

dada" (20). Los razonamientos pueden expresarsetravés de funciones y sus desarrollos. El camino

- termedio entre las premisas y las conclusionesede establecerse simbólicamente y matemáti-

camente, para sólo al final retomar el sentido lógi-oo. El "desarrollo" es clave en la lógica formal de

(14) DL, p. 374.(15) AML, p. 12.(16) Ibid, p. 2.(17) LT, p. 408.(18) Ibid, p. 405.(19) Ibid, p. 423.(20) AML, p. 18.

Boole. Como afirma Kneale: "El procedimientofundamental en el despliegue formal del sistema deBoole es lo que este llama una "expansión" (deve-lopment" (21). [Con la notación de símboloselectivos y, si a, b son coeficientes, entoncesf(x)=ax+b(l-x). En particular: f(x) = f(1) xfeO) (1 - x), que se llama "la expansión de f(x)

respecto de x" Esto ya se planteaba en el AML].Un elemento muy importante que hay

que considerar es que el contenido matemáticoque le da a la lógica Boole, abre la lógica de clasesy con ello la superación de la clásica relación suje-to-predicado en las proposiciones de la lógica aris-totélica-tomista. La matemática es el "instru-mento" que sirve a Boole para delimitar fronterasy abrir el curso a la independentización de la lógicacomo ciencia, basada como tal en el cálculo simbó-lico axiomático. (El peso que Frege y Husserl van atener en este camino es importante). La conexióncon Boole es clara en Frege desde su Begriffscchriftde 1879. Boole abre el camino en su teoría de lasfunciones electivas y su expansión a lo que llama-mos en la actualidad "la teoría de las funciones deverdad y su expresión en forma normal disyun-tiva". Frege, Jevons, J. Venn, hasta Post y Wítt-genstein se sitúan en este camino.

Es interesante señalar que los criterios deBoole para la ciencia y la matemática establecen enla que se llama Fundamentos de la Matemática(epistemología) sólidas bases para el formalismo,que será posteriormente desarrollado en lo funda-mental por D. Hilbert, uno de los últimos matemá-ticos "universales". Boole señala que la comple-titud de un sistema científico debe resider en lacompletidud de sus verdades básicas ("derived") yde la generalidad de los métodos que establece. EnLT dice: "Let it be considered wheter in any scien-ce, viewed either as a system of truch or as thefoundation of a practical art, there can properlybe any other test of the completeness of its systemof derived truths, and the generality of the me-hods which it serves to establish" (22). Al igualplantea la relación entre Lógica y Aritmética en elcampo de la axiomática y de la consistencia de susleyes (23).

La separación booleana de relaciones entre ob-jetos y proposiciones, entre primaria y secundarias,puede verse como un intento leve y apenas insi-

(21) LT, pág .. 384.(22) LT, p. 5.(23) Ibid, p. 46.

80 ANGEL RUlZ ZUÑIGA

nuado de una "cierta" teoría de tipos (Russell) endos niveles.

El concepto de matemática en Boole sólo pue-de comprenderse en su relación con el de la lógica,puesto que así lo establecer él mismo. la lógica dedos valores que sólo sean 1 y O, forma en su baseun posible sistema matemático binario. Kneale a-firma en este asunto: " ... han llevado a algunoscomentaristas a describir el sistema de Boole comoun álgebra bivalente. Semejante descripción esequivocada; pues, al tratar su sistema como uncálculo de clases, estamos lejos de asumir que todaclase sea coextensa con la base universal o con laclase nula. Pero no deja de ser cierto que po-dríamos convertir el sistema de Boole en un álge-bra bivalente mediante la adición del nuevo princi-pio (Ox = 1 ó x = O) "(24). No es clara la afirma-ción de Kneale, Boole considera la posibilidad deasignar dos únicos valores 0, y 1, a las variables x,y, z, etc. No lo desarrolla porque no es ese sucometido, pero abre, sin lugar a dudas, un sistemabivalente. Lo que sucede es que Kneale no ve aBoole como matemático que no se preocupa por sila clase sea coextensa con la clase universal o conla nula. la afirmación de Boole posee otro sentido,que no capta Kneale.

la "libertad" que Boole asigna a los axiomasbásicos de la matemática se manifiesta y corres-ponde al espíritu matemático del siglo XIX. (Sinembargo aun no es absoluto, cuando afirma la for-ma clásica xy = xz '* y = z, pierde de vista que es-to sólo es posible bajo un axioma, a saber que seauna estructura sin divisores de cero ... ). Un álge-bra cuyas operaciones son la unión y la inter-sección sólo puede concebirse si la matemática hallegado a plantearse en términos fuertemente axio-máticos. las proyecciones del concepto de mate-

. mática en Boole sólo se pueden, además del carác-ter axiomático, comprender en su concatenacióncon la filosofía, o con la aplicación de las leyes dela realidad.

2. El concepto de matemática en Peirce

El concepto de matemática que predomina enBoole responde a las condiciones "materiales" quelos resultados matemáticos han establecido en lossiglos XVIII y XIX fundamentalmente. El salto deuna comprensión cuantitativa a otra cualitativa so-

(24) DL, p. 382.

bre la naturaleza de la matemática está presentecomo substrato común a la mayoría de matemi-ticos y filósofos de la matemática a partir de esemomento histórico. Sobre este terreno especíñeees interesante señalar las relaciones de las coneep-ciones entre Boole y C. S. Peirce. Todo esto dentrode la línea continua que abre una etapa cualitati-vamente diferente en la lógica formal y sus rela-ciones con la axiomática y la matemática.

Peirce prosigue la tradición decimonónica deconsiderar la matemática no como "ciencia de lamagnitud", sino como esencialmente un métodosobre "hipótesis" establecidas. Hace retrotraer aAristóteles para contribuir al desarrollo de su con-cepto; en 1898 en su texto "The logic of Math-ematics in Relation to Ed ucation", (Ed ucationalReview 1898 (CP 3.554-60», afirma: "Aristotlenames, as the subjects of mathematical study,quantity and continuity. But though he never givesa formal definition of mathematics, he makesquite dear, in more than a dozen places, his viewthat mathematics ought not to be defíned by thethings which it studies but its peculiar mode anddegree of abstractness" (25). Igualmente sumarizaal respecto a Kant: "Kant, in the Critique of PureReason (Methodology, Chapter 1, Section 1), di-tinctly rejects the definition of mathematics asthe science of quantity. What really dístínguishesmathematics, according to him, is not the subjectof which it treats, but its method, which consist instudying constructions, or diagrams. That such isits method is unquestionably correct; for, even inalgebra, the relations con cerned in the problem be-fore the mind's eye in a schematic shape, whichcan be studied much as a geometrical figure is stu-díed" (26). Peirce coincide con Boole en estoplenamente. Para ambos el "método" es esencial.En Boole (también en Leibniz) el sentido de"cálculo" operacional es "totalizante", más que laabsoluta afirmación sobre lo axiomático del conte-nido matemático. Pero es claro: la axiomática esdeterminante para Boole. En Peirce la axiomáticaes precisada y afirmada con mayor claridad, nosólo por el estilo brillante conciso de Peirce, sinopor su propio desarrollo en la afirmación axio-mática, sobre la establecida por Boole.

En el espíritu de esta precisión afirma Peirce:"Now the mathematician does not conceive it tobe any part of bis duty to verify the facts stated.

(25) HP, p. 135.(26) Ibid, p. 136.

ANALlSIS DEL PENSAMIENTO DE GEORGE BOOLE 81

He accepts them absolutely without question. Hedoes not in the least care whether they are correct

noto He finds, however, in almost every caselllat the statement has one incovenience, and inmany cases that it has a second ( ... )" (Subra-yado mío, A. R.) (27), Y aún más, enfatiza: "Thus,

mathematician does two very different things:.amely, he first frames apure hypothesis stripped

alI features which do not concern the drawingconsequences from it, and this he does without

- uiring or caring whether it agrees with the ac-lDal facts or not; and, secondly, he proceeds to

w necessary consequences from that hypo-sis" (28). En este jerreno Peirce valoriza a Kant:

~t is entirely right in saying that, in drawingse consequences, the mathematician uses what,geometry, is called a "construction", or in ge-

.eral a diagram, or visual array to a precept fur-- d by the hypothesis" (29). Pero no reafirma a

t en el idealismo sino que le imprime en ciertotido un corte "materialista", correcto a mi jui-

- : "Being formed, the construction, and new re-- ns are discovered among its parts, not statedthe precept by which it was formed, and are

d, by a little mental experimentation, to bethat they will always be present in such a

•• _lStruction thus, the necessary reasoning ofhematics is performed by means of observationexperimento and its necessary character is dueIy to the circunstance that the subject of this

."erv:ation and experiment is a diagram of ourcreation, the conditions of whose being we

w all about" (Subrayado mío, A. R.) (30).- re hace intervenir una práctica específica sobreobjeto matemático. Plantea un proceso de cons-

ión de la matemática, no es un contenido a-- . para esto. Ese diagrama básico debe ente n-

en Peirce extraído del mundo real material.En Boole la necesidad de los asertos mate-

• ieos parece que significa su validez axiomáticalógica, pero el pensamiento Booleano es confuso

este terreno; la verdad y la validez como entes•• rentes no emerge en él suficientemente esclare-

l.

En una selección del volúmen "Minute Logic"2 (CP 4.232, 238-43, 246), Peirce se plantea

problema de afirmar el método deductivo en la

(27) Ibid, p. 137.(28) lbid, p. 138.(29) Ibid, p. 138.(30) lbid, p. 138.

matemática o el objeto hipotético: "It is difficultto decide between the two definitions of math-ematics; the one by its method, that of drawingnecessary conclusions; the other by its aim andsubject matter, as the study of hypothetical statesof things" (31). El asumir cualquiera de las dosposee consecuencias evidentes si nos regimos porcriterios estrechamente mecánicos. Peirce avanzauna idea interesante, frente a la cual Boole se en-contraría en problemas: " ... in the first place,whatever exercise of intellect may be called for inapplying mathematics to a question not pro-pounded in mathematical form (it) is certainly notpure mathematical thought; and in the secondplace, that the mere creation of a hypotheses agrand work of poietio genius, but cannot be saidto be scientific, inasmuch as that which/it pro-duces is neither true nor false, and therefore isnot knowledge" (32). La dicotomía verdad-validezes clara en Peirce; para Boole, en cambio, todoparece indicarlo así, lo verdadero como tal recorreel conjunto de los productos matemáticos. Lo cualimplica que toda la matemática en Boole se inte-gra al conocimiento de lo real material.

Las diferencias que Peirce establece entre laLógica y la Matemática, revelan el contenido queadjudica a ambas. Sin salirse completaente del te-rreno booleano de la lógica como matemática, sinembargo, precisa con detalle, en su concepción, losobjetos distintos de ambas ciencias, pero sobre unmismo contenido. En la selección del "the Logicof Mathematics in Relation to Education" afir-maba "All necessary reasoning whatsoever pro-ceeds by constructions and the only difference be-tween mathematical and philosophical necessarydeductions is that the latter are so excessivelysimple that the construction attracts no attentionand is overlooked" (33). Y, en el mismo lugar, aña-de: "The true difference between the necessarylogic of philosophy and mathematics is merely oneof degree. It is that, in mathematics, the reasoningis frightfully intricate, while the elementary con-ceptions are of the last degree of familiarity; incon trast to philosophy, were the reasonings are assimple as they can be, while the elementary con-ceptions are abstruse and hard to get clearly appre-hended" (34).

(31) Ibid, p. 141.(32) Ibid, p. 141.(33) Ibid, p. 139.(34) Ibid, p. 139.

ANGEL RUIZ ZUÑIGA82

En "Minute Logic", posteriormente, dirá quela diferencia entre lógica y matemática estriba en:"the one studies the science of drawing con-clusions, the other the science which draws neces-sary conclusíons" (35). Es decir, una dirigida sobretodo el "¿cómo? " en su conjunto, y la otra, espe-cialmente hacia el "cálculo", hacia el resultadooperacional. Pero Peirce establece diferencias másprofundas: "But, indeed, the difference betweenthe two sciences is far more than that between twopoints of view. Mathematics is purely hypo-thetical: it produces nothing but conditional propo-sitions. Logic, on the contrary, is categorical in itsasertions" (36), y relaciona inmediatamente la ló-gica con la matemática: "True, it is not merely, oreven mainly, a mere discovery of what really is,like metaphysics. It ís a normative science. It thushas a strongly mathematical character, at least inits methodeutic division; for here it analyzes theproblem of how, with given means, a required endis to be pursued. This is, at most, to say that it hasto call in the aid of mathematics; that it has amathematical branch. But so much be said ofevery science". (Subrayado mío, A. R.) (37).Peirce delimita los objetos de ambas ciencias, y a lapar su relación. La matemática es un instrumento,en su concepción, no sólo de la lógica sino de lasotras ciencias. Esto es progresivamente escla-recedor. En Boole no aparece esta forma de apro-ximación; históricamente Boole da un paso gigan-tesco en la Lógica como tal, pero, como extenderéen otro momento, no "auto-reflexiona" sobre elcontenido global de la lógica, o, de la matemática,con suficiente- precisión. La aproximación dePeirce es correcta, sólo que, en mi juicio, estática;no incide, por lo menos en los ensayos a que merefiero, en el devenir de ambos conjuntos teóricosen conexión con las relaciones materiales y socialesque hacen posible conprender la unidad de queparticipan. En Boole esto se intenta, pero la ópticaque resulta se extravía en nebulosas de metafísicaidealista subjetiva.

Peirce comprende la lógica en un plano másprofundo que Boole, para quien es simple "análisismatemático". Sin embargo, sin una comprehensiónmaterialista dialéctica, acaricia una manta abs-tracta y estrecha, aunque no por ello deja de po-seer corrección en parte de su análisis. Dice Peirce:

(35) Ibid, p. 142.(36) Ibid, p. 142.(37) Ibid, p. 142.

"There is a mathematical logic, just as there is arnathematical optics and a mathematical eco-nomics. Mathematical logic isformallogic .. Formallogic, however developed, is mathematics. Formallogic, however, is by no means the whole of logic,or even its principal part. It is hardly to be reck-oned as a part of logic proper. Logic has to defineits aim; and in doing so is even more dependentupon ethics, or the philosophy of aims, by far,than it is, in the methodeutic branch, upon math-ematics" (138). (Subrayado mío, A. R.). Es claroque estas últimas frases de Peirce no serían acep-tadas de ningún modo por Frege y seguidores,cuya afirmación de la lógica es como aritméticaespecíficamente, y de la lógica como ciencia inde-pendiente de concepciones subjetivas, éticas, ideo-lógicas, etc. Boole inició, en sus razgos centrales,esa aproximación. Pero, sigamos con Peirce; queaclara su pensamiento: ''We shall soon come tounderstand how a student of ethics well be temp-ted to make his science a branch of logic; as, in-deed, it pretty nearly was in the mind of Socrates.But this would be no truer a view than the other.Logic depends upon matematics; still more inti-matelly upon ethics; but its proper concern is withtruths beyond the purview of eíther" (39).

En las relaciones lógica-matemática Peirce es-tablece una afirmación sumamente interesante:"My proposition is that true mathematical rea-sonmg is so much more evident than it is possibleto render any doctrine of logic proper-without justsuch reasoning- that an appeal in mathernatical tologic could only embroil a situation. On the cont-rary, such difficulties as may arise concerning nec-essary reasoning have to be solved by the logicianby reducing thern to questions of math-ematics" (40).

El llamado matemático para facilitar dificul-tades lógicas, aunque desde otra concepción dis-tinta, es vista en Boole en los "desarrollos" mate-máticos de las "ecuaciones" de la lógica.

En la polémica que ejerce Frege contra laaproximación empiricista de J .S. Mill, desde su óp-tica kantiana sui generis, Peirce va a tomar partici-pación, desde un punto de vista conceptual, en supropia manera. En la "Grand Logic" de 1893 (CP4.86, 88-91) Y de "Reply to the Necessitarians"the monist 1893 (CP 6.595), se diferencia de MilI:

(38) Ibid, p. 142.(39) Ibid, p. 142.(40) Ibid, p. 145.

ANALISIS DEL·PENSAMIENTO DE GEORGE BOOLE

"If Mill wishes me to admit that experience is theonly source of any kind of knowledge, I grant itatonce, provided only that by experience he meanspersonal history, life. But if he wants me to admitthat inner experience is nothing, and that nothingof moments is found out by diagrams, he askswhat cannot be granted" (41). También con su pri-mera oración se diferencia de Frege.

Rechaza de Kant el carácter "sintético" de lamatemática: "the propositions of arithmetic,which Dr. Crus usvally adduces as examples of for-mal law, are, in fact, only corollaries from defin-itions. They are certain only as applied to idealc:onstructions and, in such proposition, they aremerely analytical ... An analytical propositions isa definition or a proposition deducible from defi-Ditions; a synthetical proposition is a propositionDOtanalytical" (42).

La "naturaleza de la matemática" es lo que haapuntado en Peirce. Los problemas consideradosplantean temas centrales de la filosofía de la mate-mática y de la lógica, que han sido discutidas du-I3Dte más de un. siglo con amplia riqueza de apro-ximaciones.

a La filosofía en 800le

En Boole no se puede hablar de una filosofíaclara y distinta", al decir cartesiano. Hay muchos

razgos comunes a los pensadores del siglo XIX:positivismo clásico, empirismo, cientificismo, asícomo abstracciones idealistas subjetivas. Son másque todo ideas globales aisladas sobre la historia, elpensamiento, la naturaleza. Aparentemente notoma posición en la polémica de los universales,pero por sus métodos y apreciaciones objetivas seinclina de una parte. ¿Qué es la filosofía paraBoole? No es claro en sus escritos básicos, peroptrece significar el concepto clásico de metafísicaentrelazada con un contenido cientificista empí-rico. Lo que sí es claro en Boole, a pesar de reco-DOcer los márgenes de error, es el planteamiento delas tareas de investigación de las leyes de los fenó-menos como posibles al intelecto humano. El co-aocimiento, en su apreciación, se sigue desarro-~do progresivamente.

Boole recoge la tradición decimonónica del va-lor fecundo de la ciencia natural y de los métodos

(41) Ibid, p. 149.(42) Ibid, p. 149.

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que se desarrollan en el conjunto del ascenso delmodo de producción capitalista en ese período. Laexperimentación, la observación, son recursosesenciales. Boole se refiere a la observación en va-rias partes de sus obras básicas; en especial cuandose refiere a la definición de constitución de unsistema del "carácter observado" de la cosa sobrela que se establece este; en el capítulo XXII de suLT dice: ''What I mean by the constitution of asystem is the aggregate of those causes and ten-dencies which produce its observed character, whenoperating, withou t interference, under those con-ditions to which the system is conceived to be ad-apred. Our judgment of such adaptation must befounded upon a study of the circunstances inwhich the system attains its freest action, producesits most harmonious results, or fulfils in someother way the apparent design of its cons-truction" (43). Boole habla de la experiencia parael conocimiento de una ley de la mente (lo cual sepuede extender ... ) "1 would remark, that theprincipIe in question may be considered as restingupon a generallaw of the mind, the knowledge ofwhich is not given to us a priori, i.e. antecedently toexperience, but ts derived ... "(44). (Subrayadomío, A. R.). Pero resume en una mejor disposiciónel contenido del método científico en LT: "Again,it is agreed that there is a certain order observablein the progre ss of all the exacter forms of know-ledge. The study of every department of physicalscience begins wíth observation, it advances bytne collection of facts to a presumptive aquaint-ance with their connecting law, the validity ofsuch presumption it tests by new experiments sodevised as to augment, if the presumption be wellfounded, its probability indefinitely; and finally,the law of the phacnomenon having been with suf-ficient confidence determined, the investigation ofcauses, conducted by the due mixture of hypo-thesis and deduction crowns the inquiry" (45) y,para no dejar dudas, unas frases más adelante hablade " ... necessity of an experimental basis for allpositive knowledge" (46).

Boole trata de no meterse en la falsedad ovalidez de las especulaciones metafísicas, enfa-tizando el carácter no metafísico del conocimientocientífico en contraposición: "More-over, as any

(43) LT, p. 395.(44) Ibid, p. 68-69.(45) Ibid, p. 402.(46) Ibid, p. 402.

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duction to Symbolic Logic and its Aplications";"los objetos básicos considerados en un sistemalingüístico dado").

Todos estos aspectos permiten situar a Booleen un contexto claro y limitado. Es una figuraintegrada a un proceso social en el que la ciencia ysus métodos experimentales y empíricos juegan unrol clave, bajo las necesidades objetivas de la bur-guesía, proceso que como tal se sitúa contra al-gunas, no todas, anquilosadas estructuras teóricascorrespondientes a modos de producción precapi-talistas. Boole posee una mentalidad científica, ymás que eso, matemática y matematizante (in-fluencia del poderoso desarrollo matemático de lossiglos XVIII-XIX, y, al fin y al cabo, Boole eramatemático ... ). El adjetivo científico aparecepor todo su pensamiento, hay cierta hipostasía dela ciencia y de lo científico, natural a la época endiferentes sectores de pensadores. Ahora bien, estecontenido en su carácter entra en relación con otracorriente filosófica: el positivismo clásico (Comte,Durkheim ... ). Hay, de hecho, algunos elementosen común con Boole. Boole establece un desarrolloprogresivo del "conocimiento positivo": lenguaje eidea pariente al positivismo. Pulula a lo largo deLT, la luz de un "ORDEN", cuya manifestación esobservada en la conexión de premisas y conclu-siones experimentales, de un orden que se mani-fiesta en las leyes de la naturaleza y las de lamente. Boole habla de la naturaleza del hombre.Dice que este posee una facultad moral que se ma-nifiesta como sentimiento de aprobación o desa-probación moral en todo "progreso humano obser-vable". etc.. . . Habla de la Manifestación de unorden que conlleva una presuposición de relleno,de un fin y un propósito, y de la existencia de uncampo de causalidad ordenada. Dice Boole en LT:"It has thus, I think rightly, been concluded thatthere ís a moral faculty in our nature, not becausewe can understand the special instruments bywhich it works, as we connect the organ with thefaculty of sight, nor upon the ground that rnenagree in the adoption of universal rules ofconduct: but be cause while, in some form orother, the sentiment of moral approbation or dís-approbation manifests itself in all, it tends, wher-ever human progress is observable, wherever so-ciety is not either stationary or hastening to decay,to attach itself to certain classes of actions, con-sentaneously, and after a manner indicative bothof permanency and of law. Always and everywherethe manifestation of Order affords a presumption,not measurable in deed, but real (XX. 22), of the

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statement of the laws of thought, founded uponactual observation, must thus contain scientificelements which are independent of methaphysicaltheories of the nature of the mind, the practicalaplication of such elements to the construction ofa system or method of reasoning must also be in-dependent of metaphysical distinctions. For it isupon the scientific elements involved in the stat-ement of the laws ( ... ), but rest only on theknowledge of its phacnomenal effects" (46a). Y,además, los fines científicos son: " ... un-concerned with the truth or falsehood of any meta-physical speculations what ever" (47). En el as-censo del pensamiento burgués, la impugnación ala metafísica feudal desde varios puntos filosó-ficos, dialécticos, empiristas, etc .... es caracte-rística. Boole contrapone ciencia natural y meta-física. Los métodos de la ciencia desarrollada bajoel desarrollo del capital en ascenso, son dirigidoscontra las elucubraciones metafísicas anteriores.No sería sin embargo un proceso totalizan te, por elcarácter intrínseco del pensamiento burgués ( ¡PU-silánime contra el absolutismo ... !). Esta re-lación, en todo caso, planteada en Boole, es pro-gresiva históricamente, pero común en el mismoterreno. Boole enfatíza la experiencia; esto estáaprehendido en el espíritu del clásico empirismoanglosajón desde siglos anteriores.

Otro elemento sobre este marco es el que de-posita el concepto booleano de "universo de dis-curso". Es interesante, porque es un paso mani-fiesto en la concreción de los conceptos. Este, des-de cierto punto de vista, es otro elemento que seenfila contra la metafísica. Ahora bien, este con-cepto que aparece en la página 42 de LT viene deDe Morgan. En su Formal Logic se lee que: "en lamayor parte de las proposiciones el campo del pen-samiento es mucho menos extenso que el universototal", "por eso" el campo total de un tema dediscusión es -desde el punto de vista de la discu-sión- lo que he denominado un universo", queposee cierta extensión, es decir, que comprende"un campo de ideas que es expresado como el quecontiene la totalidad del asunto en discu-sión"(48).

Normalmente en lógica se usa la expresión"dominio de individuos" para el mismo efecto.("individuos" es lo que Capnap llama en su "Intro-

(46 a) Ibid, p. 40-41.(47) Ibid,p.41.(48) AML, p. 56.

ANALlSIS DEL 'PENSAMIENTO DE GEORGE BOOLE

fulfilment of an end or purpose, and the existenceof a ground of orderly causation" (49). Toda estapalabrería está recargada de conceptos y entes abs-tractos. El telón cientificista parece caer y dejarpaso a la metafísica. En Boole se aspira ese místicoy moral vaho que recorre la ciencia natural en laescuela positivista clá~ica. Sin embargo, en Booleno es tan claro que ese Orden recorra las proyec-ciones que alcanza en Comte. Se trata sobre todode un ideal de armonía, de causalidad, que otracosa. No obstante, es un ideal abstracto y saturadode aproximaciones subjetivas, y, al fin y al cabo,idealistas.

Boole habla de la correspondencia entre laskyes del pensamiento y las de la Naturaleza:

ere this correspondence between the forms ofthought and the actual constitution of Natureproved to exist ... "(SO). El aserto boolleano esmuy interesante y progresivo, pero descuida un e-lemento básico. Anula el carácter social en que seconstruyen las leyes de la mente en la relaciónIIombres-naturaleza. La subestimación, anulación,de lo social como tal, es también un elemento cir-amdante al positivismo clásico, especialmente enComte. (En Durkheim se plantea con una ópticadiferente). Esto no obstante no puede bastar paraimplicar la correspondencia de Boole, en esa idea,con Comte. Más que eso, en el plano objetivo de laidentificación o correspondencia de las leyes natu-aJes y mentales, la visión materialista merodea.Esto es importante.

Una cosa realmente interesante es que Boolelabla de una "science of social statistic" (S 1), diri-&iendo los métodos de la ciencia natural a lo social.Esto es precursor de toda una aproximación a laciencia. Especialmente de esa que afirma la so-ciedad como un "organismo", que es examinable

• por supuesto, "curable". Boole no lo planteóí, pero el substrato social e histórico que da pie aaserto no está alejado del que brinda a Durk-

kim su concepción eminentemente defensora de"orden", una "normalidad", al servicio de la

lnuguesía ... ).En general, es erróneo decir que Boole fue

plSitivista. Pero no se puede negar la conexión dealgunos de sus asertos con el positivismo clásico.

A pesar de la aproximación empirista deBoole, su pensamiento está rodeado de lagunas os-

(49) LT, p. 399.(50) Ibid, p. 418.(51) Ibid, p. 21.

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curas de fuerte idealismo y metafísica subjetiva.En primer lugar, aunque pasa de considerar de me-dio a instrumento al lenguaje, sin embargo, asertael lenguaje como manifestación y producto delpensamiento. En LT afirma: "as a law of thoughtit is actually developed in a law of languaje, theproduct and the instrument of thought" (Su-brayado mío, A.R.) (52). El lenguaje como mani-festación del razonamiento es una concepción peli-grosamente idealista, porque lenguaje y concienciason partes unidad en forma indisoluble de la ac-ción de pensar de los hombres: una unidad de con-dicionamiento recíproco, v. gr. dialéctico. El len-guaje es el camino necesario para poder pensar, esconciencia "materializada" expresada. No es el"instrumento" del pensamiento, de una razón, me-ramente. Es parte activa del proceso de pensar. Larazón y conciencia se ha desarrollado como fa-cultad a través del uso del lenguaje en el seno delas relaciones sociales establecidas para la repro-ducción de la vida material. Ha sido "instrumento"para el desarrollo de la conciencia. La concienciaes, al decir de Marx, "lenguaje interiorizado". Larelación entre lenguaje y conciencia, para el desa-rrollo efectivo, de su aprehensión teórica, debeplantearse históricamente, desde sus inicios comotal. Boole toma una proximación en que examinasólo una cara (la de instrumento) del lenguaje enrelación al pensamiento y conciencia; la globalidadde su pensamiento en este terreno no fue ex-puesto. En todo caso, el intento de hacer incidir elanálisis sobre el lenguaje para obtener las leyes delas operaciones de la mente no es erróneo.

Según Boole, las leyes de la realidad estándadas matemáticamente. Es decir que la realidad es"rnatematizable". Este aserto aparentemente co-rrecto es insuficiente porque no toma una pivoteque, en la relación hombre-naturaleza, la expli-cación por la conciencia del devenir de lo real esuna práctica que utiliza instrumentos diversos co-rrespondientes al grado de desarrollo social y teó-rico. La matemática es un instrumento para tratarde explicar la realidad y su movimiento interior,pero no todos los desarrollos matemáticos son"realidad viviente", ni conocimiento explicativo.Ni, por otro lado, la matemática cubre, en formatotalizante, la explicación de lo real. Por eso espeligroso afirmar que la realidad es matemática, oque sus leyes 10 sean absolutamente. Las leyes dela matemática cuando se vinculan a lo que es "ver-

(52) Ibid, p. 30.

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quier; más adelante hablará de un propósito moralal cual deberán subordinarse las diferentes partesde la Verdad. Dice Boole en LT: "Hence, perhaps,it is that we sometimes find juster conceptions ofthe unity, the vital connexion, and the subor-dination to a moral purpose, of the different partsof truth, among those who acknowledge nothinghigher than the changing aspect of collective hu-manity, than among those who profess an in-tellectual allegiance to the Father of Lights" (56).La Verdad subordinada a la Moral, ¡a un Pro-pósito! y ¿quién establece ese propósito? , ¿a cuálmoral se refiere? En Boole, sin embargo, esto nopasa, en su XXII capítulo del LT, de ser una genea-logía de formas abstractas y vacías ..Por otro lado,sigue Boole en la línea de doblegación a lo místico.Habla de facultades humanas sujetas a leyes expre-sables científicamente, pero investidas con una"autoridad", la cual, en contraste con la autoridadde las leyes de la naturaleza, es distinta, sui generis,y no derivada. ¿De dónde proviene esa "au-toridad" que no se origina en las leyes naturales?

La "Verdad", el "Orden", la "Autoridad", el"Propósito Moral", son todas categorías cuyo con-tenido sólo puede ser metafísico. ¿Qué tienen quever todas esas figuras con la ciencia y el expe-rimento empírico? Boole deja para el final de suLT esas formas metafísicas que parecen retro-traídas del oscurantismo medieval.

Boole dice, por otro lado, que los objetos ex-ternos se aproximan en la realidad a estados limi-tados y las proposiciones de la ciencia van a tra-bajar sobre esos estados. Dice en la LT: " ... wecan only affirm that the more external objects doaproach in reality, or the conceptions of fancy byabstraction, to certain limiting states ( ... )" (58).¿Qué son esos estados limitados? Los objetos rea-les están en procesos que pasan por diversas etapas,que pueden tratar de explicarse. Cada estado pue-de aproximarse por modelos de explicación teó-rica, al tanto que el objeto real sigue su devenir.¿Es eso lo que dice Boole? Boole ejemplifica conlos planetas que se aproximan a esferas, en su ex-plicación. Esta es válida en parte. Pero, el pro-blema reside en que no son los objetos reales losque se aproximan a situaciones-límite teóricas. Sonnuestros recursos e instrumentos teórico-prácticos

. los que se aproximan a los objetos en sus estados

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dad", como verdades necesarias y absolutas, y seinterpretan ontológicamente, brindan una aproxi-mación falsa. La verdad es parte de una relaciónentre conciencia (social) y realidad. Es un procesohistórico ligado determinantemente a la prácticasocial, que es producto de la aproximación de loshombres a la realidad "por la vía del pensa-miento", al decir de Marx. La "verdad" supone el"error", y de éste se asciende a la "verdad" en unproceso dialéctico indisoluble y fundamentado enla práctica social global. Inclusive, el error es lapalanca más sólida, desde un punto de vista abs-tracto, de la consecusión de 10 verdadero. Boolehabla de las leyes matemáticas comoverdades abso-lutas. Su concepto de verdad es abstracto y am-biguo, metafísico en última instancia. SeparaBoole las ciencias naturales y la matemática. Plan-tea que el paso de premisas particulares a la propo-sición general se hace a través de una habilidadinherente a la naturaleza humana de la apreciacióndel Orden, que vertebra la realidad. Habla Boole enel LT: "It is the ability inherent in our nature toappreciate arder, and the concurrent presumption,however founded, that the phaenomena of Natureare connected by a principIe of arder. Withoutthese, the general truths of physical sciense couldnever have been ascertained" (53). ¡Boole es com-pletamente abstracto! Esto ya no es una forma deverdad, pero para Boole hay otro tipo de verdad,ya 10 dije, que el llama necesaria. Son especial-mente las proposiciones de la Aritmética (de lamatemática). Habla de sus proposiciones como ab-solutamente verdaderas (54). (¿Qué es 10 ver-dadero: 10 axiomático o la relación de las propo-siciones con 10 real? En este terreno Boole es am-biguo. Validez y verdad no son plenamente escla-recidos. La "verdad" de la matemática sólo puedeverse con criterios concretos en el marco de la in-vestigación científica; su validez hace intervenircontenidos axiomáticos y lógicos. El contraste delconcepto, en Peirce, de matemática y de verdad,con el de Boole, señala las limitaciones de Boole enese sentido. Esto ya 10 desarrollé). Para Boole laverdad es una categoría abstracta tratada en formaidealista. A lo largo del capítulo XXII de su LThabla de que la naturaleza humana es vista serconstituida en una certera relación con la Ver-dad (55). Ese "sujeto" de Verdad aparece por do-

(53) Ibid, p. 30.(54) Ibid, p. 405.(55) Ibid, p. 420.

(56) Ibid, p. 424.(57) Ibid, p. 424.(58) Ibid, p. 406.

ANALlSIS DEL PENSAMIENTO DE GEORGE BOOLE

de su devenir. La línea vectorial es distinta. Cam-biar el sentido al vector nos lleva directamente auna concepción idealista realista "ortodoxa", Le.plató n ica .' (los objetos reales aproximanideas ... ). Dice Boole en LT: " ... el oficio (delas potencias del intelecto) es el aprehender las ver-dades generales las cuales de hecho son ejem-plificadas, pero nunca con verdadera fidelidad, enun mundo de cambiantes fenómenos" (59). Lasverdades inmutables "bellas" y las "feas" fenó-menos empíricos. No lo pone Boole tan claro, perose le deja escapar una visión abstracta de la cienciay del conocimiento. Más que abstracta, idealista.

Boole reconoce la correspondencia entre for-mas del pensamiento y la constitución de lanaturaleza, pero establece su carácter indepen-diente, a tal punto que dice no poderse decir queWlO de los sistemas es el mero producto delotro (60). ¿Es Boole materialista? Si se quita ese"mero" no lo sería, pues las formas del pensa-miento son producto de una relación social con lanaturaleza. Sin embargo, tampoco puede decirseque lo sea, evidentemente.

Boole utiliza los asertos de existencia de leyesy conceptos generales que trascienden lo particulary son verdad, aunque con error. Boole afirma laexistencia de estos elementos que son contenidoen diversos. Esto señala, en Boole, cierta incli-nación en lo que se refiere a la "polémica de losuniversales" .

Resumiendo. La obra de Boole en lo que serefiere especialmente a LT y AML es poco originalen lo que se refiere a su filosofía, hasta la posición"neutral" con respecto a lo ontológico. Posee con-tenidos progresivos históricamente: el carácter em-pírico, cientificista del conocimiento, etc. Lo posi-tivo es sin embargo desteñido por un retorno a lasfiguras místicas de la escolástica. Mas no un meroretorno, es un retorno que aprehende lo progresivodel desarrollo científico histórico para depositarioregresivamente en la mesa predilecta de la meta-física idealista subjetiva. Esto es no sólo la contra-dictoriedad personal de Boole, sino que es con-tenido común al pensamiento burgués, que re-produce en la conciencia lo que expresa en lo obje-tivo histórico. (La incapacidad congénita de la bur-zuesía para librar una batalla frontal y permanentecon el absolutismo feudal se revela en la teoría. Laburguesía, en el terreno del pensamiento, muestra

(59) Ibid, p. 407.(60) Ibid,p. 418.

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sus debilidades íntimas. Muestra como su pensa-miento no podía ir en forma totalizante y com-pleta contra la metafísica, y el idealismo subjetivo,proveniente de una sociedad precapitalista, porqueno podía ir contra las bases sociales que ella mismacontinuaba como clase dominante: ie. la propiedadprivada). Las contradicciones del pensamiento bur-guésgrosso modo se muestran en Boole.

Boole introduce un cambio en la lógica consi-derada como ciencia. Abre el camino para la lógi-ca-matemática, cuya independencia de la filosofíacomo tal se enfatiza y desarrolla con sus sucesores.Sin embargo desde el punto de sus aportes filo-sóficos poco podemos decir en su favor. No en-cuentro originalidad en sus aproximaciones filosó-ficas. Sus mejores aportes están en el terreno de lalógica.

4. Conclusiones globales

La utilización por Boole de la matemática enel desarrollo de la lógica, bajo su concepción mate-matizan te de ésta, señala un nuevo curso para lalógica clásica aristotélica. Aunque el esquema de larelación sujeto predicado, y su asfixiante "esen-cialidad" metafísica, es trasto cada con Boole, y,aparece la lógica de clases como tal y la "lógicaformal" en la acepción de Peire, es necesario in-dicar que no deja de establecerse todo este procesodentro de los límites básicos que rigen la lógicaaristotélica-tomista. Es decir Boole inicia una revo-lución en lógica, la lógica contemporánea, perosiempre descansa sobre los principios de la "ley deno contradicción", es decir, del "principio de iden-tidad": A = A. Sobre la base de este "momento"se ha erigido un edificio gigantesco. En mi opinión,este no ha sido más que ese momento, al decirhegeliano, aunque haya sido necesario. La carrerade Frege, de los Russell, de los Wíttgensteín, etc.,ha estado encerrado bajo la "formalidad", o la "ló-gica", de un principio básico, pero no suficiente enla historia de la epistemología y la sociedad. Li-mitado desde un principio, el edificio, llamémoslode la "lógica formal", hace rato ha evidenciado sus"debilidades". Teorías y más teorías aparecen, sinembargo, los problemas las siguen al poco tiempo.

En mi opinión la lógica, con el objeto de es-clarecer sobre las reglas de funcionamiento delpensamiento humano, bajo las reglas de las rela-ciones hombre-naturaleza y hombre-sociedad, sólopuede aprehenderse, como aproximación total,desde una visión materialista dialéctica. En el desa-

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por Hegel, el mejor ideólogo de la burguesía en superíodo de ascenso como clase dominante en lasociedad mundial. Marx sabría integrar con majes-tuosa brillantez el aporte hegeliano.

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rrollo de los factores históricos que abren esa con-ciencia, desde un punto de vista teórico, una verda-dera revolución en la lógica se abre con fuerza enla metodología dialéctica codificada primeramente

ABR EVIACIONES

LT: George Boole, A n investlgatlon of the 1aws ofthought on which are founded the mathematicaltheories of Iogic and 'probabilities; Dover publi-cations inc., New York, 1958.

AML: George Boole, Análisis matemático de la lógica;Instituto de Filosofía de la Facultad de Humani-dades y Ciencias de la Educación, Universidad Na-cional de la Plata, Argentina, 1960.

DL: William y Martha Kneale; El desarrollo de la lógica;Editorial Tecnos, Madrid, 1972.

HP: Charles Sanders Peirce; Philosophical Writings; Dover,New York, 1955.