lÓgica-administración

8/15/2019 LÓGICA-Administración

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Lógica

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FILIAL JAEN FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES

ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN Y NEGOCIOS INTERNACIONALES

UNIDAD I: NOCIONES BASICAS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL

1.1. INTRODUCCION:

Lógica es el estudio de los procesos válidos del razonamiento humano. En la actualidad el estudio serio de cualquier tema tanto en el campo de las humanidades como el de las ciencias y la técnica requieren conocer los fundamentos ymétodos del razonamiento lógico preciso que permite al estudiante o profesional extraer y depurar sus conclusionesevitando el riesgo de modificar en forma equivocada la información que posee. Esto es aún más en esta era de lacomputación, herramienta que es empleada en todos los campos del desarrollo de una sociedad y con la velocidad a lacual se procesan los datos cualquier error de lógica puede originar prolemas técnicos, sociales y económicos.!iendo muy importante, en la matemática moderna el análisis del lengua"e con un criterio lógico# la Lógica tiene comofin de conducirnos a un háil mane"o del lengua"e matemático y el empleo de métodos eficaces de razonamiento.Existen dos tipos importantes del razonamiento$ El %nductivo y el &eductivo.El razonamiento inductivo es el razonamiento por el cual una persona en ase a sus experiencias espec'ficas, decideaceptar como válida un principio general.El razonamiento deductivo es, en camio, el medio según el cual dicha persona utiliza el principio general aceptadopreviamente para decidir sore la validez de una idea, que a su vez hará de determinar su curso de su acción.&ado que las proposiciones son preceptos válidos de razonamiento deductivo, en el desarrollo de nuestro estudioveremos lo esencial de la lógica proposicional, a través del uso y mane"o de una simolog'a adecuada, ya que el

razonamiento es un género especial de pensamiento en el cual se realizan inferencias, es decir, se derivanconclusiones a partir de premisas

Padre de la Ló!"a: La lógica es conocida como una de las ciencias más antiguas, tanto es as' que se le atriuye aAr!#$ó$ele# la paternidad de esta disciplina. !in emargo, los lógicos no están todav'a de acuerdo con el o"eto de estaciencia, deido a que existe un prolema semántico, es decir que existen varias disciplinas sore esta ciencia lo quecrea confusión. Es preciso por ello determinar con exactitud su o"eto para poder definirla.

N%"!ó& de '%r(a Ló!"a

La )r%)%#!"!ó& es una oración aseverativa susceptile de ser calificada de verdadera o falsa. E"emplos$

a( Einstein fue el creador de la teor'a de la relatividad

( El )erú está al norte del Ecuador

En estos e"emplos *a(+ y *(+ son proposiciones$ *a(+ es verdadera y *(+ es falsa. En consecuencia, la verdad y lafalsedad son sus propiedades.

La !&'ere&"!a es una operación lógica que consiste en otener la verdad de una proposición, conocida comoconclusión, a partir de la verdad de una o más proposiciones, conocidas como premisas. E"emplos$

a( !i eres limeo, entonces eres peruano -premisa(!i eres peruano, entonces eres sudamericano -premisa(Luego, si eres limeo, entonces eres sudamericano -conclusión(

( ingún peruano es chileno -premisa(/odos los loretanos son peruanos -premisa(Luego, ningún loretano es chileno -conclusión(

Es fácil advertir que *a(+ y *(+ son e"emplos de inferencias válidas, puesto que en amos casos la conclusión derivanecesariamente de las premisas. En efecto, nadie puede aceptar la verdad de éstas, y simultáneamente, negar laverdad de aquella sin incurrir en flagrante contradicción.

)ero 0cómo saemos que las mencionadas inferencias son válidas1 /odos lo saemos por intuición, si emargo éstaes su"etiva y no puede garantizar o"etivamente la validez de las inferencias en todos los casos. Es aqu', entonces,

donde se hace necesario estalecer las condiciones formales de validez de las inferencia.

EJERCICOS DE APLICACION

2 continuación se presentan con"untos de expresiones, de los cuales algunos son inferencias y otros no. En cada casodetermine cuales son inferencias y cuáles no, identificando porque.

3. !i el )erú es un pa's con una estailidad pol'tica y "ur'dica, entonces es un pa's que garantiza la inversión privada,y si el )erú es un pa's que garantiza la inversión privada, entonces es un pa's con posiilidades de desarrollo.Luego, si el )erú es un pa's con una estailidad pol'tica y "ur'dica, entonces tiene posiilidades de desarrollo.

4. La 5atemática es una aproximación si y sólo si es un cálculo. !i la matemática es un cálculo entonces la aritméticatamién es un cálculo.

Profesor: Lic. Javier Saldarriaga Herrera


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6. El precio del dólar sue rápidamente por la inestailidad pol'tica y social. La moneda peruana pierde su valor adquisitivo. El 7anco 8entral de 9eserva dicta la pol'tica monetaria del pa's.

:. !i es tan uen alcalde entonces deer'a querer aumentar la limpieza en la ciudad reparando la antigua red dealcantarillado que se cae a pedazos. o quiere reparar la red de alcantarillado. )or lo tanto no se atreva a decir que es tan uen alcalde.

;. Lima es la capital del )erú, sin emargo Lima es una ciudad con un comercio amulatorio desordenado. ? cent'grados entonces no lloverá. )ero, lloverá si ysolo si el cielo está nulado.

@. i llego tarde a la ceremonia de graduación de 2dministración, entonces no podré ingresar y se postergará migraduación. )or consiguiente, no llegue tarde a la ceremonia de graduación.

>. !i hay lluvias y las tierras son aonadas adecuadamente, entonces se otendrán uenas cosechas. Acurre que,hay lluvias y las tierras son aonadas adecuadamente. Luego, se otendrá uenas cosechas.

B. La Luna gira alrededor de la tierra. La /ierra gira alrededor del !ol, la Luna gira alrededor del !ol.



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3C. La matemática es exacta si y solo si es un cálculo. !i la matemática es un cálculo entonces la geometr'a tamiénes un cálculo.

33. 8olon descurió un nuevo continente porque estaa seguro de que la tierra era redonda. 8olon creyó haer llegado a las indias. )or lo tanto, 8olon no descurió un nuevo continente.

34. !i 8opérnico di"o la verdad entonces el !ol es el centro de los planetas. La tierra es redonda. En consecuencia, sila tierra es redonda entonces el !ol es el centro de los planetas.

36. Lima es la capital del )erú, sin emargo Lima es una ciudad desordenada. )izarro fundo la ciudad de Lima, noostante es una ciudad desordenada.

3:. El director del colegio es un uen conse"ero, sin emargo los alumnos son inquietos. 9o"as es un alumno aplicadosi el director del colegio es un uen conse"ero, además 9o"as es un alumno aplicado si los alumnos son inquietos.Luego, 9o"as es un alumno aplicado.

3;. Day mucha gente tratando de conseguir oletos para el partido de futol y los polic'as se esfuerzan por guardar elorden. %ngresare al estadio si y solo si puedo conseguir oletos para el partido de futol. 2unque los polic'as seesfuercen por guardar el orden, ingresare al estadio.

1.*. EL LENGUAJE:

El Lengua"e es un instrumento para la comunicación. )uede ser un con"unto de sonidos articulados que el homre usapara expresar ideas o sentimientos.

)or e"emplo$ el idioma de un puelo o una nación es el lengua"e con el cual se entiende dicha comunidad.

A. FUNCIONES B+SICAS DEL LENGUAJE:

El lengua"e cumple tres funciones ásicas que son$ la función informativa, la función expresiva y la funcióndirectiva.

a, La F-&"!ó& I&'%r(a$!a:



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La


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!i las premisas de una inferencia son$

/odos los números pares son divisiles por dos.

Acho es un número par.

La conclusión que se sigue es$

Acho es divisile por dos.

!i 2$ *números pares+7$ *divisiles por dos+x$ *ocho+

Entonces se tiene la siguiente estructura formal./odos los 2 son 7.x es 2.Luego, x es 7.

El lengua"e lógico es un lengua"e simólico -que representa a la inferencia( por que este lengua"e está en función deun con"unto de reglas lógicas.

EJERCICOS DE APLICACION:

0KI


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En el Lengua"e común las falacias son tipos de razonamientos incorrectos, pero psicológicamente persuasivos.

!e conoce con el nomre de 'ala"!a a cualquier idea equivocada o creencia falsa, es decir son argumentos o

razonamientos aparentemente correctos, pero si los analizamos cuidadosamente resultan ser incorrectos.E/e()l% 1:

Algunos niños juegan bien al fútbol y algunos niños juegan bien al tenis. Por lo tanto, algunos niños juegan bien al fútbol y al tenis.

En las falacias la verdad de las premisas no logra garantizar la verdad de la conclusión.

Las


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"Los canones religiosos son infalibles porque 0instein, feriente católico, tambi'n lo admit%a#.

vii. La Ca-#a Fal#a$ denominada tamién non causa pro causa. !e comete esta falacia cuando se admite

una conclusión a partir de una causa con la cual no tiene conexión.E/e()l%:

"Sab%a que me iban a despedir de mi trabajo, porque cuando sal%a de mi casa un gato negro se cru$ó

en el camino# Si tomas un trago de 1/is2y y te gusta, seguramente tomarás más. 3 otro d%a olerás a beber y cada

e$ lo /arás más y más frecuentemente, /asta que iirás borrac/o todo el d%a# "4ira, no se /a donde /emos llegado, pero de seguro no es 0uropa. Lisboa está en 0uropa y te

aseguro que esta ciudad no es Lisboa.

viii. La Pre-&$a C%()le/a$ llamada tamién falacia de interrogación. !e comete esta falacia cuando en laformulación de una pregunta hay varias cuestiones diferentes, y se exige una sola respuesta como sifuera una pregunta simple.

E/e()l%:

"Si eres abogado, 5trabajarás en el palacio de justicia y estarás de acuerdo con el plan de gobierno sobre

la justicia6

9esponder con un s' o con un no a la pregunta es caer en una falacia de pregunta comple"a.

ix. A)ela"!ó& a la '-er7a$ ocurre cuando se aandona toda razón para fundamentar algo, y se pasadirectamente a la alusión más o menos velada de que tal cosa dee hacerse porque quien tiene el poder para sancionar lo hará. Es decir, no hay argumento a favor, sino una amenaza contra quien use unargumento en contra.

E/e()l%$

"7ebes arreglar tu /abitación a/ora, porque si no tendrás pro/ibido salir el fin de semana#.

4. Fala"!a# de A(0!8edad$ Llamadas tamién


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JUSTIFI=UE SURESPUESTA EN CADA CASO.

3. */odas las declaraciones de 8halaquito %% en el triunal son falsas porque él es un delincuente criminal y plagiario+.

4. *8omo "urado del concurso de poes'a, estoy de acuerdo en que se le otorgue el premio a )edro 5anuel porque esun "oven inspirado y sensile, cuando declamaa conmov'a siempre al auditorio.+

6. *Ruliana roó ese collar desesperada por el hamre, porque no ten'a que comer. Oiv'a en la miseria, aandonadapor sus padres. Ella es v'ctima de la crisis social y económica de nuestro puelo. )or eso !r. Ruez, Ruliana no deeser condenada.+

:. *El perro de )epito es carioso. 8ome de todo. Le gustan mucho los nios.+

;. */odos los métodos artificiales de control de la natalidad son dainos por que han sido condenados por la iglesiacatólica.+

=. En una entrevista al astronauta Gagarin$08reé usted en &ios1)ues, realmente no. En ninguno de mis via"es lo he visto.

@. *08uándo vamos a poner final al espantoso despilfarro y a la corrupción de los empleados púlicos1+

>. *Los haitantes extraterrestres siempre nos visitan, sólo que nadie ha tenido un contacto directo en latierra.+

B. *EL 829%8E9A &E 72G&2&H !addam Dussein es un guerrero sanguinario. Isara las armasqu'micas contra la humanidad+



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3C. *0Isted ha perdido cuernos1 0!i o no1+

33. *En esta legislatura deemos aproar la ley sore el control de la natalidad para evitar muchas muertespor aortos ilegales.+

34. *8arla y Rosé pelean siempre y tienen prolemas en su hogar. Eso les pasa porque se casaron unviernes trece.+

36. In diálogo entre dos mu"eres$

- Luisa $ 0Elia te sientes una mu"er realizada1

- Elia $ )lenamente, hi"a,F Ta he realizado mi segundo divorcio y me voy por el tercero.

3:. *!i la oposición insiste en no reconocer la carta fundamental, entonces puede quedar nulo el pleiscitorealizado en Acture de 3BB> -&eclaración del )residente 2. )inochet, *El comercio+ 3BV33V>>(.+

3;. *ietzche fue un individuo enfermizo, atormentado y desleal, que pasó los últimos d'as de su vida en unasilo para locos.+

)or lo tanto lo que sosten'a sore la ley moral es falso.

3=. *5arx es comunista, en consecuencia todo lo que dice sore la econom'a es falso+

3@. *El control de natalidad normado por el goierno peruano es per"udicial, porque el )apa, máximaautoridad de la %glesia 8atólica, lo condena+.

3>. *!e vende casacas de cuero para caalleros de ecerro+.

1.?. LOGICA PROPOSICIONAL

ELEMENTOS DE LA LOGICA SIMBOLICA:



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ENUNCIADO$ se llama enunciado a toda frase u oración. 2lgunos enunciados son mandatos o interrogaciones oson expresiones de emoción# otras en camio son afirmaciones o negaciones que tienen la caracter'stica de serverdadera o falsa. E"emplos$

3. 0Kué curso te has matriculado1

4. Oaya rápidoF

6. Oiva el )erúF

:. )rohiido hacer ulla

;. &os más tres es igual a cinco

=. /odas las gallinas son aves

@. )ar's es la capital de . ; W >

B. ; J 6 X >

3C. x4

Y :y33. x4 J y4 Y B

O0#era"!ó&$Los enunciados que expresan una exclamación, una interrogante, una emoción# son expresiones noproposicionales, tales como los e"emplos 3, 4, 6 y :

PROPOSICION$ llamamos proposición a todo enunciado que tiene la cualidad de ser OE9&2&E92 -O( o de ser


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1.. CONECTIVOS LOGICOS:

!on expresiones que sirven para unir dos o más proposiciones, entre los más importantes conectivos lógicos tenemos$

La con"unción, disyunción, implicación, icondicional, negación, contradicción, esto mostraremos en el siguientecuadro$

1.. CLASES DE PROPOCIONES LOGICAS:

PROPOSICIONES SIMPLES O ATOMICAS$ es una proposición que tienen un solo su"eto y un sólo predicado. ollevan ningún conectivo lógico. E"emplos$

V p$ *B es múltiplo de 6+ donde p es O

V q$ *6 es mayor que 4+ donde q es O

V r$ *4 x ; X 34+ donde r es <

V s$ * 4 es mayor que cero+ donde s es O

V t$ *6 es mayor que >+ donde t es <

PROPOSICIONES ATOMICAS O MOLECULARES$ son aquellas proposiciones que se otienen de la cominaciónde dos o más proposiciones simples, los cuales son enlazados por los s'molos$ [, O, \, ], ^# llamadosconectivos lógicos. )or e"emplo$

V“ 9 es mayor que 3 ”⏟

p

y “ 3 es mayor que 2”⏟

q

⇒ p∧q

V

“ José llegó tarde⏟

p

, sin embargo dió examen ”⏟

q

⇒ p∧q p : José llegó tarde ,q : José dióexamen

V

“Mradona jugó⏟

p

, aunqueestuvo lesionado”⏟

q

⇒ p∧q p : Mradona jugó , q : Maradonaestuvo lesionado

V

“ si 9 es múltiplo de3⏟

p

y 12 esmúltiplo de3 ”⏟

q

, entonces 9+12 es múltiplode 3⏟

r

⇒( p∧q)→r


omre Expresión !'molo Lógico8on"unción y [&isyunción o O%mplicación !i, H entonces, H \7icondicional, equivalencia, doleimplicación

H s' y sólo s' H]_

egación o ^

&isyunción exclusiva,contradicción

oH , o Hno equivalente

≢


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V

Noeselcasoque{Pedrobaile}underbrace{p}y{nocante”}underbrace{q}⇒

N%$a$

La OE9&2& o


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En todo párrafo, las palaras$ *pero+, *sin emargo+, *además+, *no ostante+, *aunque+, *a la vez+, etc. equivalen alconectivo lógico *[+.

E/e()l%#:

V *la andera peruana es lanco y ro"a+

p∧q⟺ { p : la bandera peruana esblancoq : la bandera peruana esroja

V *5anuel es "uez pero honesto+

p∧q⟺ { p : Manuel es juezq : Manuel es onesto

V *las computadoras son muy caras, sin emargo son muy útiles+

p∧q⟺ { p: las computadoras soncarasq : las computadoras son muy útiles

V *6 es menor que ;, pero mayor que 3+

p∧q⟺ { p :3 es menorque q :3 es mayor que1

LA DISYUNCION$ la disyunción de dos proposiciones ) y 9 es la proposición compuesta que resulta de unir p y qmediante el conectivo lógico *o+ que se simoliza ) V 9 en el sentido inclusivo y`o, donde el principio lógico es *ladisyunción p O q es falsa


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!e le conoce tamién como disyunción inclusiva o déil.

E/e()l%#:

V *x es menor o igual a 6+

p∨q⟺ x


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8uando en un párrafo, se encuentran los términos$ *porque+, *puesto que+, *ya que+, *siempre que+, *cuando+,*s'+, *cada vez que+, *dado que+# estos términos, tamién, son conectivos condicionales. !e caracterizan porquedespués de cada uno de estos términos está el 2/E8E&E/E.

E/e()l%#:

V *el profesor controló la asistencia, puesto que la oficina de la dirección del colegio estaa cerrada y no estaael portero+

(q∧∼r )→ p⟺ { p: el pro!esor controló laa sistencia

q : lao!icina del colegio estaba cerrada

r :el portero estaba

V *&oy examen sólo cuando estudio+

p→ q⟺ { p : doy examenq :estudio

V *%ré de via"e y me divertiré, si me saco la loter'a +

r → p∧q⟺ { p : iré deviaje

q : me divertiré

r :me sacola loter"a

V *)edro compra un liro sólo cuando tiene dinero+

p→ q⟺

{

p : #edro compraun libro

q : #edrotiene dinero

V *!e apagarán las luces porque se interrumpió el fluido eléctrico+

p→ q⟺ { p : seinterrumpió el !luido eléctricoq :se apa gar$nlas luces



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V *9oerto aproará el curso puesto que dio uen examen+

q → p⟺ { p : %oberto aprobar$ el cursoq : %oberto dió buen examen

LA BICONDICIONAL E=UIVALENTE O IMPLICACION,$ la dole implicación o icondicional de dosproposiciones ) y 9 es la proposición compuesta mediante el conectivo lógico *si y sólo s'+, y se simoliza ) H 9,donde el principio lógico es *la proposición icondicional es Oerdadera O, en el caso que la proposiciones p y q sonverdadera o son falsas, siendo falsa en todos los demás casos+. !u tala de verdad es $

p& q≅ ( p→ q )∧ (q → p )

La icondicional tamién se denota por *p _ q+ se lee$ *p es equivalente a q+.

E"emplos$

V *a4 X : s' y sólo s', a X 4 O a X V 4+

p& (q∨r )⟺{ p :a2=!

q : a=2r :a=−2

V *x4 Y : s' y sólo s' V 4 Y x Y 4+


p q p ] q

O O O

O < <

< O <

< < O


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p& ( p∧q)⟺ { p : x2−2

r : x


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p△ q⟺ { p : Juanablainglésq :Juanabla !rncés

1.11.USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACION:

En un párrafo que se presentan proposiciones simples, conectivos lógicos, comas y puntos se requiere, para surepresentación simólica, el uen uso de los signos de agrupación -paréntesis, corchetes, llaves(.

Los signos de agrupación se usan para indicar la "erarqu'a de los conectivos lógicos y as' evitar las amigUedades enlas


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3. )ara los siguientes enunciados$

-3( 9ecoge ese lápiz

-4( 4 J ; Y =

-6( x Z y X ;

-:( Dace mucho frio

08uál de las alternativas siguientes es la correcta1

a( &os son proposiciones

( &os son enunciados aiertos

c( &os no son ni proposiciones ni enunciados aiertos

d( /res son proposiciones

9espuesta$ HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH.

4. &adas las proposiciones$ p$ 5arcos es comerciante, q$ 5arcos es un próspero industrial y r$ 5arcos es ingeniero.!imolizar el enunciado$ *!i no es el caso que 5arcos sea un comerciante y un próspero industrial, entonces esingeniero o no es comerciante+

!olución$

6. &eterminar los valores de verdad de las siguientes proposiciones$

-3( -6 J ; X >( v -; Z 6 X:(

-4( -; Z 6 X >( \ -3 Z @ X =(

-6( -6 J > X 33( [ -@ Z : W 3(

-:( -: J = X B( ] -; Z 4 X :(



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:. &adas las proposiciones q$ *: es un número impar+, p y r cualesquiera tal que ^b-r v q( \ -r \ p( es verdadera#hallar el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares$

2 X r \ -^p v ^q(# 7X br ] -p [ q( ] -q [ ̂ p(# 8X -r v ^p( [ -q v p(

!olución$

;. &e la falsedad de la proposición$ -p \ ^q( v -^r \ s( se deduce que el valor de verdad de los esquemasmoleculares$ 2X-^p [ ̂ q( v -^q(# 7X b-^r v q( ] b-^q v r( [ s# 8X -p \q( \ b-p v q( [ ̂ q son respectivamente$

a( O


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=. &efinamos p q como una operación erdadera si p es falsa y q verdadera, y como 'al#a en todos los casosrestantes. !egún esto, si r$ *Ruan es médico+ y s$ *Ruan es deportista+# hallar la traducción de -^r( s.

1.1*.EVALUACION DE ES=UEMAS MOLECULARES POR LA TABLA DE VALORES

!on esquemas moleculares$

a( bp [ -p \ q( \ p

( b-̂ p [ q( \ ̂ r ] br [ ̂ -p v ^q(



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c( -q \ r( v -p \ r(

La evaluación de esquemas moleculares consiste en hallar los valores del operador principal a partir de la validez decada una de las proposiciones simples -variales proposicionales(.

El número de valores que se asigna a cada variale proposicional depende de la fórmula *&, donde *n+ indica el númerode proposiciones simples que existe en el esquema molecular y 4 es una constante que indica los valores -O( o -


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( b-̂ p [ q( \ ^r ] br [ ̂ -p v q̂(

c( -q \ r( v -p \ r(

&eemos distinguir los conceptos de equivalencia e implicación de los conceptos icondicional y condicionalrespectivamente.

La equivalencia y la implicación son relaciones entre 'ór(-la# )r%)%#!"!%&ale#, mientras que la icondicional y lacondicional son relaciones entre )r%)%#!"!%&e#.

2s' tenemos las siguientes definiciones$

LA E=UIVALENCIA: &os fórmulas 7 y 8 son equivalentes cuando unidos por la icondicional *]+ el resultado es una/2I/ALAG%2.

LA IMPLICACION: Ina fórmula 2 implica a 7, cuando unidos por la condicional *\+, siendo 2 antecedente y 7

consecuente, el resultado es una /2I/ALAG%2.&esarrollando las talas de verdad correspondiente, tenemos$

a( 7 ] 8

p q r b ̂ - p [ q ( v ^ r ] ^ - p [ q [ r (

O O O

O O <

O < O

O < <

< O O

< O <

< < O

< < <

( 2 \ 7

8omo vemos$ 7 es equivalente a 8 y 2 implica a 7

NOTA$ 8uando 7 no es equivalente a 8, denotaremos por 7 ↮ 8. cuando 2 no implica a 7, denotamos por 2

↛ 7.


p q r b ^ p ̂ r \ b ̂ - p [ q ( v ̂ r

O O O

O O <

O < O

O < << O O

< O <

< < O

< <


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1.15.PROPOSICIONES LOGICAMENTE E=UIVALENTES

8uando sus talas de verdad de dos esquemas moleculares 2 y 7 son idénticos se denominan equivalentes -o

lógicamente equivalentes( en este caso se simoliza en la forma$ 2 _ 7.

Los esquemas moleculares 2 X - p \ q ( y 7 X - ^ q \ ^ p ( son lógicamente equivalentes, puesto que sus talas deverdad son idénticos. En efecto$


3. &eterminar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones$

a( !i ; J : X 33, entonces = J = X34

( o es verdad que 6 J 6 X @ s' y sólo s' ; J ; X 34

c( Lima está en 8hile o la paz está en el Ecuador

d( o es verdad que 4 J 4 X ; o que 6 J 3 X :


p q p \ q ^ q \ ̂ p

O O

O <

< O

<


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e( La I5!5 está en 2requipa o está en Lima

f( A la I% está en Lima o está en /ru"illo

4. Evaluar la tala de verdad de la siguiente proposición compuesta$ ^ - p [ q ( ] - ^ p v ^ q (

6. 8onstruir la tala de verdad de la siguiente proposición$^ ^ b p v - ^ q \ p ( v ^ b - p ] ^ q ( \ - q [ ^ p (

:. &eterminar si la proposición b - ^ p v q ( [ ̂ q \ ̂ p es una tautolog'a.

;. Oerificar que las siguientes proposiciones son contradicciones$

a( - p [ q ( [ ̂ - p v q (

( ^ b p v - ̂ p v ̂ q (



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=. &emostrar que la proposición dada es una contingencia b ^ p [ - q v r ( ] b - p v r ( [ q

@. &eterminar si las proposiciones b p \ - r v ^ q ( y b - q \ ^ p ( v - ^ r \ ̂ p ( son equivalentes.

>. &e la falsedad de la proposición$ - p \ q ( v - ^ r \ s ( determinar el valor de verdad de los siguientes esquemasmoleculares

a( - ̂ p [ ̂ q( v ̂ q

( - ^ r v q ( ] - ̂ q v r ( [ s



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c( - p \ q ( \ - p v q ( [ ̂ q

B. El valor de verdad de ̂ b - ^ p v q ( v - r \ q ( [ b- ^ p v q ( \ - q [ ̂ p( es verdadero. Dallar el valor de verdad dep, q, y r.

1.1?.LA INFERENCIA LOGICA

La inferencia es el proceso de pasar de un con"unto de )re(!#a# a una "%&"l-#!ó&.

La inferencia es una condicional de la forma$

&onde

p1, p2 , p3 , , p n , son llamadas premisas y originan como consecuencia otra proposición *K+ llamada

CONCLUSION.

El resultado de la implicación puede ser$

V !i la implicación es una $a-$%l%a -O(, entonces se tiene una !&'ere&"!a l!da -o argumento válido(.

V !i la implicación es


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E/e()l% 1: Determinar si p O q es una consecuencia válida de$ ^p \ ^q, ^q \ r, ^r.

!olución$ aqu' las premisas son p1: p → q - p2:∼q → r - p3 :∼r

¿ y la conclusión. : p∨q .

&eemos demostrar que ( p1∧ p2∧ p3)→ . , es una tautolog'a. En efecto la tala de verdad, para esta

inferencia es$

p q r - ̂ p \ ̂ q ( [ - ̂ q \ r ( [ - ̂ r ( \ - p O r (

O O O O O O < < O O

O O < O O O O O O O

O < O O O O < < O O

O < < O < < < O O O

< O O < < O < < O O

< O < < < O < O O <

< < O O O O < < O O< < < O < < < O O <

8omo el resultado es una tautolog'a, la con"unción de premisas implica a la conclusión, por tanto, la inferencia esválida.

O0#era"!ó&$

V En los casos en que las premisas forman dos o más con"unciones, se toma la última con"unción como la principal delantecedente.

V La validez de una inferencia no depende de los valores de verdad ni del contenido ni del contenido de los enunciadosque aparecen en la inferencia, sino de la forma particular de la inferencia.

V !i la condicional no es una tautolog'a, entonces se dice que la inferencia es &% l!da o es una 'ala"!a.

E/e()l% *: &eterminar la validez de la inferencia$ *si el triángulo es isósceles entonces tiene dos lados iguales. )ero, eltriángulo no tiene dos lados iguales# por lo tanto, no es isósceles+.

!olución$ sean p$ El triángulo es isósceles+, q$ *El triángulo tiene dos lados iguales+. Esto es$

p1: p → q - p2:∼q y la conclusión

. : p. Entonces, el esquema de la inferencia es

( p1∧ p2)→. y deemos demostrar que, es una tautolog'a.



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Lógica



8omo el resultado de la tala de verdad es una tautolog'a, la inferencia es válida.


DETERMINAR SI SON INFERENCIAS LÓGICAS O FALACIAS:

3. !i 5aradona es argentino entonces es aficionado al fútol. )ero, 5aradona no es aficionado al fútol. )or lo tanto, no es argentino.

S%l-"!ó&$

[ ( p → q )⋀ (∼q ) ]→(∼ p){ p : Maradonaes argentinoq : Maradona es a!icionado al !útbol

4. 8omo es hora de clases, se concluye que en el aula hay profesores y alumnos, dado que, si es hora declases, en el aula hay profesores, y hay alumnos si en el aula hay profesores.S%l-"!ó&$

[ p∧ ( p → q )⋀ (q → r ) ] →(q∧r){ p :esora declase

q : en el aulaay pro!esores

r : enel aula ay alumnos

6. !i Ruan participa en un comité electoral de la Iniversidad entonces los estudiantes se eno"arán con él, ysi no participa en un comité electoral de la Iniversidad entonces las autoridades universitarias se eno"arán con él.)ero Ruan participará en un comité electoral de la Iniversidad o no participará. )or lo tanto, los estudiantes o lasautoridades universitarias se eno"arán con él.S%l-"!ó&$

[ ( p → q )⋀ (∼ p →r )∧( p∨∼ p) ]→(q∨ r){ p : Juan participa enun comité electoral

q : los estudiantesse enojaran con él

r : las autoridadesuniversitarias se enojarancon Juan


p q - p \ q ( [ - ̂ q ( \ ̂ p

O O O < < O <O < < < O O <

< O O < < O O

< < O O O O O


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Lógica



:. !i 2nito dec'a la verdad, entonces !ócrates corromp'a a la "uventud y si el /riunal lo condenóequivocadamente, entonces 2nito no es el culpale. )ero !ócrates no corromp'a a la "uventud o 2nito es elculpale. )or lo tanto, 2nito no dec'a la verdad o el /riunal no condenó a !ócrates equivocadamente.

S%l-"!ó&$

[ ( p → q )⋀ (r →∼s )∧(∼q∨ s)] →(∼ p∨∼r){ p : 'nito dec"ala verdad

q : /ócrates corromp"aa la juventud

r : eltribunal locondeno equivocadamentea /ócratess 0 'nito esel culpable

TRABAJO ENCARGADO N1

1. &e los siguientes enunciados$(1) Dola que talF

(2) x2+1


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Lógica



5. 1"

q : si x2+1=",entonces x es un númeroreal

r :el punto %edio de un se&%ento, equidista de los e'tre%ost: si '3, entonces '*3

Dallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

a¿ [ ( p∧q ) → r ]∧∼ t b ¿ [ ( p⟷q )→∼r∧t ]∨ ( p∨q )

7. )or medio de una tala de valores, estalezca, si cada una de los siguientes esquemasmoleculares es una tautolog'a, contingencia o contradictoria.

a¿∼ [∼ p →∼ (∼q∧∼ p ) ]∨∼ (∼ p∨∼q ) b¿ [ ( p∧q )∨q ]⟷q

c ¿ [∼ p∧ (q∨∼r ) ]⟷ [ ( (∼ p∧q )∨∼ ( p∨q ) ) ]d ¿∼ ( p → q)⟷∼ (∼q →∼ p )

>. !i la proposición ( p∧q ) → (q →r ) es falsa. Dallar el valor de verdad de las siguientes

proposiciones.

a¿ (q∨r )∨ ( p∨q ) b¿ ( p∨∼q ) → (∼r∧q ) c¿ [ ( p∧q )∨ (q∧∼r ) ]& ( p∨∼r )

B. !i la proposición (∼ p∧q ) → (∼ s∨r ) es falsa. Dallar el valor de verdad de las

siguientes proposiciones.

a¿∼ [ ( p → q )→ r ] b¿ [ ( p∨∼q )∧ p ]∨∼r c ¿∼ [ (∼ p∧q )∧ (∼r∨r ) ]∧s

3C. !i el esquema (∼ p →∼q )∨ (r △ q ) es falsa, determine el valor de verdad de las

siguientes proposiciones.

a¿ ( p → q )→ (r△∼q )b¿∼q → [ ( p & q )∧ r ]



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Lógica



33. &emostrar si las siguientes fórmulas son lógicamente equivalentes.

a¿∼ p∧q 2∼ ( p∨q ) b¿∼ [ ( p∧q )∧∼r ]2∼ [ (∼ p∧∼q )∧ ( p∨ r ) ]

34. .&emostrar que las icondicionales siguientes son equivalentes lógicas.

a¿ ( p → q )⇔∼ p∨q b¿ ( p∨q )∧ p⇔ p

36. Oerifique la validez de los siguientes argumentos$

a¿ ( p∧q )∧ (∼ p → q )⇒∼q b¿ [ p∧ ( p∨q ) ]∧ [ p∨q → r ]∧ (r → s )⇒ s

c ¿ [ ( p∧q )→ (r∧ s) ]∧ [∼q∨∼ s ]⇒ [∼ p∨∼ q ] d¿ [ (r →∼q )∧ ( p → q )∧ (∼r → s ) ]⇒ ( p → s )

3:. 8omproar la validez del siguiente enunciado$ *!i estudio, entonces no perderé 5atemática#y si no "uego futol, entonces estudiaré# pero perd' 5atemática. )or tanto, "ugué futol+.

3;. !imolizar y analizar el valor de verdad del siguiente enunciado$ *!i un satélite giraalrededor de la luna, gira tamién alrededor de la tierra# y si gira alrededor de la tierra,tamién gira alrededor del sol. T, si gira alrededor del sol, entonces gira alrededor de la lira.En consecuencia, si un satélite gira alrededor de la luna, entonces gira alrededor de laconstelación de la lira+.

3=. /raducir a forma simólica y comproar la validez del siguiente enunciado$ *!i traa"o, nopuedo estudiar. Estudio o paso matemática, pero traa"é. )or tanto, pasé matemáticas+

3@. /raducir a forma simólica y comproar la validez del siguiente enunciado$ *!i = es par,entonces 4 no divide a @. ; no es primo ó 4 divide a @. )or tanto, = es impar+.

3>. /raducir a forma simólica y comproar la validez del siguiente enunciado$ *!i traa"o, nopuedo estudiar, traa"o o aprueo matemática, pero aproé matemática. )or tanto estudié+.

3B. /raducir a forma simólica y comproar la validez del siguiente enunciado$ *!i Londres noestá en &inamarca, entonces )ar's no está


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Lógica



8omo podemos apreciar, la implicación es 4 sólo cuando el antecedente es Verdadero y el consecuente es

Falso.

El análisis que haremos es a la inferencia ( p1∧ p2∧ p3∧∧ pn)→. .

Pa#%# a #e-!r:

3( 2signar el valor V -verdadero( a cada una de las premisas pi y de F -falso( a la conclusión.

8omo el antecedente es una con"unción de *n+ premisas y el antecedente es O, entonces cada premisa pi

necesariamente será verdadera.

2s' tendremos$

4 ( p1∧ p2∧ p3∧∧ pn)

⏟

→ .⏟ 4 3

4( &educir el valor de cada una de las variales proposicionales, teniendo en cuenta las reglas para$

∧ ,∨, → , & ,△ ,∼ que se pueden presentar en cada premisa.

LA DECISION

3( !i cada una de las variales proposicionales tiene I !ALA O2LA9. Entonces la inferencia no es válida. Es decir no hay implicación puesto q la con"unción de premisas es O y la conclusión es


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Lógica



8omo la conclusión es una negación, entonces por la regla de la negación otendremos$ F para q , luego

q es V.

:( 2signar V a cada premisa. /eniendo en cuenta los valores otenidos en la conclusión se van analizando quévalores tendrán las variales en cada premisa.

2nalizamos cada premisa$

p1: p & q

4 4 ⏟3

. )or lo deducido en la conclusión, ya tenemos que q es V entoncesq

es F. 8omo la

7icondicional es V, entonces p es F

p3:∼r

3 . En la tercera premisa encontramos quer

es V entonces el valor de verdad der

es F.

estos dos valores encontrados satisfacen el valor de verdad de la segunda premisa.

;( 8omo cada una de las variales cumple una sola función veritativa, decimos que la !&'ere&"!a &% e# l!da. Estoes, se ha demostrado que la con"unción de premisas es verdadera y la conclusión falsa

E/e()l% *: e#$a0le"er #! e# l!da la !&'ere&"!a la !&'ere&"!a:

[ ( p → q )∧ (∼ p△∼r )∧ (r & q ) ] → ( p → r )

!olución$ empezamos escriiendo el esquema de la inferencia en la forma$

[ ( p → q)⏟3

∧ (∼ p△∼r )⏟

3

∧ (r & q)⏟

3 ]→ ( p → r )⏟

4

2nalicemos$

3( 2signar F a la conclusión$

( p→ r )⏟

4



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Lógica



8omo la conclusión es una implicación$ F para ( p → r ) , luego p es V y r es F.

4( /rasladamos estos valores en la primera y tercera premisa.

2nalizamos cada premisa$

p1: p → q

3 3 ⏟3

. )or lo deducido en la conclusión, ya tenemos que p

es V entoncesq

es V.

p3:r & q

4 4 ⏟3

. En la tercera premisa encontramos queq

es F puesto quer

es F.

6( 8omo la variale q tiene los valores de V y F a la vez, concluimos afirmando que la !&'ere&"!a e# l!da.

E/e()l% 3: *!i 2nito dice la verdad, entonces !ócrates corromp'a a la "uventud# y, si el triunal lo condenóequivocadamente, entonces 2nito no es el culpale. )ero, !ócrates no corromp'a a la "uventud o 2nito es el culpale.)or lo tanto, 2nito no dec'a la verdad o el triunal no condenó a !ócrates equivocadamente+

!olución$



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Lógica



E/e()l% 4: e#$a0le"er #! e# l!da la !&'ere&"!a la !&'ere&"!a:

[ ( p → q )∧ (∼ p → r )∧ ( p∨∼ p) ]→ ( p∨r )

!olución$

E/e()l% 5: e#$a0le"er #! e# l!da la !&'ere&"!a la !&'ere&"!a:

[ (∼ p & (∼q∨ r ) )∧ (r → s) ] → (s →∼ p )

!olución$



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Lógica



E/e()l% ?: 8omproar la validez del enunciado siguiente$ *!i estudio, entonces no perderé 5atemáticas# y, si no "uegofútol, entonces no estudiaré# pero perd' 5atemáticas. )or lo tanto, "ugué fútol+.

!olución$

E/e()l% @: !imolizar y analizar el valor de verdad del siguiente enunciado$ *!i 9aúl participa en el comité electoral dela Iniversidad, entonces los estudiantes se eno"arán con él# y, si no participa en un comité electoral de la Iniversidad,entonces las autoridades universitarias se eno"arán con él. )ero 9aúl participará en un comité electoral de laIniversidad. )or lo tanto, los estudiantes o las autoridades universitarias se eno"arán con él+.

!olución$



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Lógica



1.*. PRINCIPALES LEYES LOGICAS O TAUTOLOGICAS

Las llamadas leyes lógicas o principios lógicos viene hacer formas proposicionales tautológicas de carácter general yque a partir de estas leyes lógicas se puede generar otras tautológicas y tamién cualquier tautolog'a se puede reducir a una de las leyes lógicas, entre las principales leyes lógicas mencionaremos$

A. LOS TRES PRINCIPIOS LOGICOS CLASICOS

1. Le de !de&$!dad

{ p⟶ p

p⟷ p *una proposición sólo son idénticos as' mismo+

*. Le &% "%&$rad!""!ó&

∼ ( p∧∼ p ) *una proposición no puede ser verdadero y falso a la vez+

3. Le del $er"!% e"l-!d%

p∨∼ p *una proposición es verdadero o es falso no hay una tercera posiilidad+

B. E=UIVALENCIAS NOTABLES

1. Le de la d%0le &ea"!ó&



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Lógica



∼(∼ p)2 p *la negación de la negación es una afirmación+

*. Le de la Ide()%$e&"!a

a¿ p∧ p 2 p b¿ p∨ p 2 p

3. Lee# C%&(-$a$!a#

a¿ p∧q 2 q∧ p b¿ p∨q 2q∨ p c¿ p⟷q 2q⟷ p

4. Lee# A#%"!a$!a#

a¿ p∧ (q∧r )2 ( p∧q )∧ r b¿ p∨(q∨ r)2( p∨q)∨r

c ¿ p⟷(q⟷ r)2( p⟷q)⟷ p

5. Lee# D!#$r!0-$!a#

a¿ p∧ (q∨r )2 ( p∧q )∨( p∧r )b¿ p∨(q∧ r)2( p∨q)∧( p∨r )

c ¿ p → (q∧r ) 2 ( p → q )∧ ( p→ r ) d ¿ p → (q∨r ) 2 ( p → q )∨ ( p→ r )

?. Lee# De M%ra&

a¿∼ ( p∧ q) 2∼ p∨∼q b¿∼ ( p∨q )2∼ p∧∼q



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Lógica



@. Lee# del C%&d!"!%&al

a¿ p → q 2∼ p∨ q b¿∼ ( p → q )2 p∧∼ q

. Lee# del B!"%&d!"!%&al

a¿ p⟷q 2 ( p →q )∧(q → p )b¿ p⟷q 2 ( p∧q )∨(∼ p∧∼q)2∼ ( p△ q )

. Lee# de la A0#%r"!ó&

a¿ p∧ ( p∨q ) 2 p b¿ p∧ (∼ p∨q ) 2 p∧q

c ¿ p∨ ( p∧q )2 p d¿ p∨ (∼ p∧q )2 p∨q

1. Lee# de Tra)%#!"!ó&

a¿ p → q 2∼q →∼ p b¿ p⟷q 2∼q⟷∼ p

11. Lee# de E)%r$a"!ó&

a¿ ( p∧q ) →r 2 p →(q →r )

b¿ ( p1∧ p2∧∧ pn ) →r 2( p1∧ p2∧∧ pn−1)→( pn→ r )

1*. F%r(a# &%r(ale# )ara la "%&/-&"!ó& d!#-&"!ó&



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F.N. C%&/-&$!a

a¿5 ∧5 2 5 b¿5 ∧ p 2 p c ¿) ∧ p 2)

F.N. D!#-&$!a

a¿) ∨) 2 ) b¿) ∨ p 2 p c ¿5 ∨ p 25

-/$ /autolog'a, 8$ 8ontradicción, p$ Esquema molecular cualquiera(

13. Ele(e&$%# &e-$r%# )ara la C%&$rad!""!ó& la Ta-$%l%a

a¿ p∧) 2) b¿) ∨5 2 5 c¿ p∨5 2 5

O0#era"!ó&: estas leyes son muy usadas para simplificar los prolemas, puesto que es válido reemplazar unaproposición por su equivalente sin alterar el resultado.

E/e()l%#:

3. !implificar las proposiciones siguientes aplicando las leyes lógicas.

a( b-^p O ̂ q( [ q \ p



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Lógica



( ^ b̂ -p [ q( \ ̂ q O q

4. &emostrar si a( y ( son proposiciones equivalentes$

a( p \ -r O ̂ q(



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Lógica



( -q \ p̂( O - r̂ \ ̂ p(

6. 2plicando equivalencias lógicas, simplificar lo más posile la siguiente proposición$

[( p 6 q)→(r 6 r )] 6 q

:. 2plicando equivalencias lógicas, simplificar lo más posile la siguiente proposición$

¿¿∨ p



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;. 2plicando equivalencias lógicas, simplificar lo más posile la siguiente proposición$

[( p 6 q)∨ ( p∧∼ q )]∨ (∼ p∧∼q )

=. 2plicando equivalencias lógicas, simplificar lo más posile la siguiente proposición$

( p∨q)∧[ (∼q∧(r∨∼q))∨ ( p∧q )]∧r



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Lógica



@. 2plicando equivalencias lógicas, simplificar lo más posile la siguiente proposición$

(∼ p∨∼q)∧[∼ p∧ (q → p ) ]

1.3. IMPLICACIONES NOTABLES

Las implicaciones notales se pueden escriir de dos formas$ en forma horizontal y en forma vertical.

2. F%r(a %r!7%&$al: cuando la con"unción de premisas que implican a la conclusión p1∧ p2∧∧ pn se

escrien horizontalmente en forma expl'cita usando los conectores$ ∧ ,⇒

7. F%r(a er$!"al: llamada tamién forma clásica# en este caso no se escrien en forma expl'cita los conectores$

∧ ,⇒ . La conclusión de premisas se escrien verticalmente una después de otra y al término de la ultima

premisa se escrie una raya horizontal y tres puntos para luego escriir la conclusión.

El razonamiento es *si ocurren p1 y p2 y y pn # por tanto ocurre . +

I. Le de MODUS PONENS:

!u representación simólica es$


p1 p2

0

0

0 pn

( p1∧ p2∧∧ pn )⇒.

p→ q

p

∴


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Lógica



!i se afirma el antecedente de una premisa condicional se concluye en la afirmación del consecuente.

E/e()l%:

II. Le de MODUS TOLLENS:


!i se niega el consecuente de una premisa condicional se concluye en la negación del antecedente.

E/e()l%:

III. Le del SILOGISMO DISYUNTIVO:



[ ( p → q )∧ p ]⇒q

+i en erano -ace calor, entonces en inierno -ace .r/o

¿¿

p→ qq

∴

[ ( p → q )∧ q ]⇒ p

+i icardo Pal%a naci en i%a, entonces es li%e4o

%icardo #alma no es lime8o

+ue o : icardo Pal%a no naci en i%a

p∨q p

∴ o

p∨qq

∴

[ ( p∨q )∧ p ]⇒q o [ ( p∨q )∧ q ]⇒ p


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Lógica



!i se niega uno de los miemros de una premisa disyuntiva, se concluye en la afirmación del otro miemro.

E/e()l%:

IV. Le de la INFERENCIA E=UIVALENTE:


!i uno de los miemros de la premisa icondicional es verdadera, entonces es verdadera el otro miemro.

E/e()l%:

V. Le del SILOGISMO 6IPOTETICO:



5uan es abo&ado o es in&eniero

Juan no esabogado

+ue o :5uan no es in eniero

p& q

p

∴

[ ( p & q )∧ p ]⇒q

+i ' es %6ltiplo de 2, si y slo si ' es par

x es múltiplo de 2 +ue o :' es ar

p→ q

q →r∴ → r[ ( p → q )∧ ( q →r ) ]⇒ p →r


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!i p→ q es verdadero y q → r es verdadero, entonces p→ r es verdadero. Esta ley indica que

el condicional es transitivo.

E/e()l%:

VI. Le de la TRANSITIVIDAD SIMETRICA:!u representación simólica es$

!i p& q es verdadero y q & r es verdadero, entonces p& r es verdadero. Esta ley indica la

transitividad de la icondicional.

E/e()l%:

VII. Le de la SIMPLIFICACION:



+i ' es un n6%ero real tal que {'} 7 {2} '*#", entonces le.t ('3 ri&-t ) le.t

/i le.t ('3 ri&-t ) le.t ('*2 ri&-t ) ", entonces:'*3 '2

+ue o :+i ' es un n6%ero real tal ue {'} 7 {2} '*#" entonces:'*3

p& q

q &r

∴ & r

[ ( p & q )∧ ( q &r ) ]⇒ p &r

0l iento sopla s / y s lo s / lluee

+lueve s" y sólo s" el cielo est$ nublado

+ue o : 0l iento so la s/ slo s/ el cielo est8 nublado

p∧q

∴ p

o

p∧q

∴q

( p∧q )⇒ p o ( p∧q )⇒ q


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Lógica



&e una premisa con"untiva se puede concluir en cualquiera de sus componentes.

E/e()l%:

VIII. Le de la ADICION:


Ina disyunción está implicada por cualquiera de sus miemros.

E/e()l%:

I. Le del ABSURDO:


!i una contradicción se deduce de una premisa condicional, se concluye en la negación del antecedente.


a" *; es menor que @ y 3; es múltiplo de ;, por tanto, ; es menor que @+

( *!ócrates fue un filósofo griego y !haespeare fue un dramaturgoinglés, por lo tanto, !haespeare fue un dramaturgo inglés+

p

∴ p∨q o p⇒ ( p∨q ) o q⇒ ( p∨q )

*7en"am'n


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Lógica



EJERCICIOS DE APLICACIÓN

I. USANDO IMPLICACIONES NOTABLESK DETERMINAR LA CONCLUSIÓN CORRECTA DEL SIGUIENTECONJUNTO DE PREMISAS:

3. *!i 4 es divisor de :, entonces 4 es divisor de :6+*4 es divisor de :6+

4. *!i Rorge estudió, entonces aproó Lógica+*Rorge no aproó Lógica+

6. *x es un número par o múltiplo de ;+*x no es par+

:. *a es un número primo, s' y sólo s' es múltiplo de 3 y de a+*a es múltiplo de a y de 3+

II. SIMBOLIQA LAS SIGUIENTES EPRESIONES Y USANDO IMPLICACIONES NOTABLES DETERMINA LACONCLUSION CORRECTA DE CADA UNO DE LOS SIGUINETES EJERCICIOS. ADEMAS DEBE MENCIONAR LAIMPLICACION NOTABLE =UE ESTA USANDO:

;. *!i Ruan va a 8hiclayo, se encuentra con )edro+=. *Ruan va a 8hiclayo+@.>.B.

3C.33.34.36.3:.3;.3=.

3@. *!i Luis no apruea el ao, no via"a a 2rgentina+3>. *Luis no ha pasado de ao+3B.4C.43.44.46.4:.4;.

[email protected]>.

4B. *!i Enrique no via"a a 2requipa, no se encontrarácon 2ndrés+

6C. *Enrique se encontró con 2ndrés+63.64.66.6:.

6;[email protected]>.6B.:C.

:3. *!i hace calor, Ruan va a la piscina+:4. *!i Ruan va a la piscina, arregla la casadespués de almorzar+:6.::.:;.:=.:@.:>.:B.

;C.;3.;4.;6.;:.



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;;.;=.

;@. *A via"o a /ru"illo o no via"o a 2requipa+

;>. *Oia"o a 2requipa+;B.=C.=3.=4.=6.=:.=;.

==.=@.=>.

=B.@C.@3.@4.@6.@:.@;.

III. EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS SE MUESTRA UN CONJUNTO DE PREMISASK SE DEBEDEMOSTRAR =UE UNA PROPOSICIÓN ES CONSECUENCIA LÓGICA DE ESTE CONJUNTO DEPROPOSICIONES. DEBE MENCIONAR LA IMPLICACIÓN NOTABLE =UE EST+ UTILIQANDO.@?.

@@. &emostrar, que se otiene$ 5

a( % → 5

( / → %

c( /

@>.@B.>C.>3.>4.>6.>:.>;.

>=. &emostrar, que se otiene$ M ∨ 9

a( ∼J → ( M ∨ 9 )

( ( 4 ∨: ) →∼ J

c( 4 ∨:

>@.>>.>B.BC.B3.B4.

B6.B:.

B;. &emostrar, que se otiene$ 4

a( :→ ;

( ∼:→∼ (∼ 4 )

c( ∼ ;

B=.

[email protected]>.

BB. &emostrar, que se otiene$ %∧/

a( #→∼.

( .

c( ∼ #→ ( %∧/ )

3CC.3C3.3C4.3C6.3C:.3C;.3C=.3C@.

3C>. &emostrar, que se otiene$ .

a( ∼ %→ /

( / → ( %∧. )

c( % →5

d( ∼5

3CB.33C.

333.334.336.33:.33;[email protected]>.33B.34C.343.344.

346.34:.1*5.

1.4. METODO DE DEMOSTRACION O DERIVACIONES34=. En la demostración de muchos teoremas y otras proposiciones que se presentan en 2lgera y en el 2nálisis -2nálisis real, topológico, geometr'a, etc.( se aplican ordenadamente los pasos lógicos agotandotodas las premisas -antecedentes o hipótesis( para verificar la conclusión -consecuente o tésis(.



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Lógica



34@. )ara evaluar un razonamiento por el método de las demostraciones o derivaciones, es decir, parademostrar que la conclusión de una argumento se sigue lógicamente de las premisas se siguen$

34>.

34B. 3? !e asigna a cada proposición atómica su correspondiente variale.36C. 4? !e simolizan las premisas y la conclusión, disponiendo aquellas en forma vertical y escriiendo la

conclusión a continuación de la última premisa, en el mismo renglón. Entre la última premisa y la conclusión se

escrie una arra separatoria *`+ seguida del s'molo *

∴

+ que se lee$ *por lo tanto+.363. 6? !e procede a efectuar las derivaciones tomando como punto de partida cualquiera de las premisas,

siempre que sea factile, e indicando a la derecha en forma areviada de qué premisas y mediante qué ley o reglase ha otenido la nueva expresión.

364. :? haiéndose otenido la conclusión, puede afirmarse que la argumentación original es correcta o válida.

366.36:. E/e()l%: !ea la argumentación siguiente$

36;. !i hay aundancia de peces, hará aundante harina de pescado.36=. !i hay aundante harina de pescado, se incrementa la producción.36@. La exportación no se incrementa.36>. A hay aundancia de peces o será preciso recurrir a otras actividades.

36B. Luego, será preciso recurrir a otras actividades.3:C.3:3.3:4.3:6.3::.3:;.3:=.3:@.3:>.3:B.3;C.

3;3. E/er"!"!%# de A)l!"a"!ó&

I. F%r(-le la /-#$!'!"a"!ó& de "ada )a#% e& la# #!-!e&$e# der!a"!%&e#:

a( 3.qp →

( 4.

q`r p ∴∧

c( 6. pd( :. qe,',g(

h( 3.

( )tr ^ ∨

i( 4.

s^`r s ∴→

"( 6.t^r ^ ∧

( :. ^rl( ;. ^s(,&,o(

p( 3.

s^r →

q( 4.

p^

r( 6.

r q∨

s( :.

s^`pq ∴↔

t( ;.

( ) ( )qppq →∧→

u( =.( ) pq →

v( @. ^qQ( >. r , B. ^s,

3.

( )r qp ∧∨

aa( 4.

sp →

a( 6.

r `r s ∴→

ac( :.

r p →

ad( ;.

( ) pr q ∨∧

ae( =.

( ) pr q^ →∧

af( @.

( ) r r q^ →∧

ag( >.

( ) r r q ∨∧

ah( B.

( ) ( )r r r q ∨∧∨

ai( 3C.( ) ( )r qr r ∨∧∨

a"( 33.

r r ∨



53/87

Lógica



a( 34. r al(am(

an( 3.

( ) r qp →∨

ao( 4.

r p`sp ∧∴∧

ap( 6. p

aq( :.

qp ∨

ar( ;. r

as(=.

r p ∧

at(a-,

a,a,

II. Med!a&$e el ($%d% de la# der!a"!%&e# de(-e#$ra la al!de7 de la# #!-!e&$e# !&'ere&"!a#:

a( 3.

qp ∨

( 4.

( ) q`r p^ ∴∨

c(d(e(f(g(h(i( "((l(

m( 3.

( ) r qp →∧

n( 4.

sp ∧

o( 6.r `q ∴

p(q(r(s(t(u(v(Q(x(y(

z( 3.

( ) r q p →∨

aa( 4.

p s →

a( 6.

qt →

ac( :.

r w / t s ∨∴∨

ad(

ae( 3.

( )r t^ ∧

af( 4.

sr ^ →

ag( 6.

st^ →

ah( :.

w / sw −∴−→

ai(a"(a(al(am(an(ao(ap(aq(ar(

as(

at( 3.

( ) ( )sr qp ∨→∨

au( 4.

( )t^tp^ →→

av( 6.

t ̂`r ^ ∴

aQ(ax(ay(az(a((c(d(e(f(g(h(i(

"((l(m(n(

III. Pr-e0e la al!de7 de l%# #!-!e&$e# ra7%&a(!e&$%# (ed!a&$e el ($%d% de la# der!a"!%&e#:0%,a. !i eliges una carrera profesional, tendrás que esforzarte en lograr una uena preparación. A eliges uena carrera

profesional o te dedicas al deporte. Es as' que no te dedicas al deporte. Luego, tendrás que esforzarte en lograr

una uena preparación.p(q(r(s(



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Lógica



t(u(v(

Q(x(y(z(ca(c(cc(. !i el chofer es astemio, entonces la eriedad no fue la causa del accidente. )ero la causa del accidente fue o

ien la eriedad o ien una falla mecánica. El chofer es astemio. Luego, la causa del accidente dee haer sidouna falla mecánica.

cd(ce(cf(cg(ch(ci(

c"(c(cl(cm(cn(co(cp(cq(cr(c. !i el capitán 2ha fue mutilado por 5oy &ic, entonces la perseguirá hasta alcanzarla. )ero si la persigue hasta

alcanzarla, entonces 5oy &ic matará a 2ha. Es as' que 2ha fue mutilado por 5oy &ic. )or consiguiente5oy &ic matará al capitán 2ha.

cs(ct(cu(cv(

cQ(cx(cy(cz(da(d(dc(dd(de(df(dg(dh(di(d"(d. !i la polic'a actúa rápidamente o se vale de perros amaestrados entonces los ladrones serán aprehendidos o se

recupera la mercader'a. !i los ladrones serán aprehendidos o se recupera la mercader'a, entonces el comerciante

podrá evitar la quiera de su negocio. La polic'a actúa rápidamente. Luego, el comerciante podrá evitar la ruina desu negocio.d(dl(dm(dn(do(dp(dq(dr(ds(dt(du(dv(dQ(dx(

dy( dz( NOTA: Day dos métodos para demostrar una )r%)%#!"!ó&$

1.5. M;TODO DIRECTO DE DEMOSTRACIÓN



55/87

Lógica



ea( Es una modalidad dentro del método de las derivaciones y se aplica en los casos en que una argumentacióntenga conclusión implicativa.

e( En efecto, siendo la conclusión una expresión implicativa, necesariamente tendrá antecedente yconsecuente. )ara saer si una conclusión de este tipo se deriva de las premisas dadas, se agrega elantecedente de la conclusión a las premisas y luego, aplicando a este nuevo con"unto de premisas las leyeslógicas ya conocidas, se realizan las derivaciones hasta otener el consecuente de la conclusión. &e aqu' la$Rela de De(%#$ra"!ó& C%&d!"!%&al -)8($ *!i es posile deducir N de S y un con"unto de premisas,

entonces se puede deducir sólo del con"unto de premisas la expresión implicativa

Z Y →+.

ec( Esta regla puede hacerse corresponder con la ley de exportación$

ed(

( )[ ] ( )[ ]r qpr qp →→↔→∧

ee(e', Pr%"ed!(!e&$%:

eg( &ado el caso de que la conclusión de una argumentación sea una expresión implicativa$

a. !e toma su antecedente y se introduce como una nueva premisa -premisa adicional -)2(.

. !e efectúan las derivaciones, corriendo la demostración algunos lugares hacia la derecha, hasta hallar elconsecuente de la conclusión.

c. !e une implicativamente la premisa adicional con el últ imo paso logrado, volviendo la demostración a laizquierda, a la posición original.

eh( E/e()l%: Itilizando la demostración condicional, pruee la validez de las siguientes inferencias$ei(

e"(a. 3.

r s→

e( 4.

ps∨

el" #.

qp→

e$" %.

tq^ `tr →∴→

e&"

eo"

e'"e("

er"

es"

e)"e*"

ev"

e+"

e,"e"

e"

fa"

f/"fc"

fd"

fe"

ff"/. 0.

( ) r ^qp →∨

fg" 1.

p s →

f2" #.

qt →

fi" %.

qr / t s →∴∨

f3"

f4"



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Lógica



fl"f$"

f&"

fo"f'"f("

fr"

fs"

f)"f*"

fv"

f+"f,"

f"

f"

ga"

g/" c. 0 .

( ) t sr →∨

gc" 1.

t^p →

gd" #.

sr / s p →∴∨

ge"

gf"gg"

g2"

gi"g3"

g4"

gl"

g$"g&"

go"g'"

g("gr"

gs"

g)"

g*" d. 0.

p^

gv" 1.

tr ^ →

g+" #.

( ) tsr ^`ps →∧∴∨

g,"g"

g"2a"2/"

2c"

2d"

2e"2f"

2g"

22"

2i"23"

24"

2l"

2$"2&"

2o"

2'"2("

1.?. M;TODO DE REDUCCIÓN POR EL ABSURDO



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Lógica



hr( Es otra modalidad dentro del método de las derivaciones. 9esulta de la fusión de la regla de la demostracióncondicional y de la noción de contradicción, de aqu' su nomre$ demostración por el asurdo.

hs( 8onsiste en introducir como premisa adicional la negación de la conclusión para llegar a encontrar unacontradicción en las premisas. Es decir, se supone la falsedad del consecuente para llegar a la falsedad delantecedente, mostrando de esta manera que la conclusión se halla implicada en las premisas-de(%#$ra"!ó& !&d!re"$a(.

ht( El sentido de esta demostración se puede entender fácilmente si se recuerda que por MODUS TOLENS sepuede deducir la negación del antecedente cuando se niega el consecuente, es decir cuando se sae que elconsecuente es falso.

hu( Rela de de(%#$ra"!ó& )%r el a0#-rd%: *!i es posile deducir una contradicción de un con"unto depremisas y de la negación de S, entonces S puede deducirse del con"unto de premisas solo.+

hv( Esta regla corresponde a la le del a0#-rd% cuya expresión es la siguiente$

hQ( [ p → (q∧∼ q ) ] → p

, Pr%"ed!(!e&$%:

hy( &ada una argumentación cualquiera$

a. !e niega la conclusión y se introduce como una nueva premisa -premisa adicional -)2(.

. !e efectúan las derivaciones corriendo la demostración varios lugares hacia la derecha, hasta encontrar unacontradicción.

c. !e une implicativamente la premisa adicional con la contradicción hallada, volviendo la demostración a laizquierda, a la posición original -)8(

d. !e estalece la conclusión deseada como una inferencia lógicamente deducida de las premisas originales-). 2.(

hz( E/e()l%: Itilizando la demostración por el asurdo pruee la validez de las siguientes inferencias$

a(

1 ( p∧q )2∼r →q

3∼ p → r /∴r

ia(i(ic(id(ie(if(ig(ih(ii(i"(

i(il(im(in(

(

1 p → q

2r → p

3∼ q/∴∼ r

io(ip(iq(ir(is(it(

iu(iv(iQ(ix(iy(



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Lógica



iz( "a( "(

"c( "d(

c(

1 p → (q∨r )2 q →∼ p

3 s →∼r /∴∼ ( p∧ s )

"e( "f( "g( "h( "i( ""( "( "l(

"m( "n( "o( "p( "q( "r( "s( "t( "u(

d(

1 ( p∧q )2 p → r

3 (q∨∼r ) /∴∼ p

"v(

"Q( "x( "y( "z(a((c(d(e(f(g(h(i("((l(

m(&, LAS FORMAS NORMALES:

o( !e llaman


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Lógica



t(La F%r(a N%r(al C%&/-&$!a FNC,: es la constituida por disyunciones ásicas como p∨q∨r∨∼r

o por con"unciones de disyunciones ásicas como$ ( p∨q∨r )∧ (∼r∨ s∨t )

u( La F%r(a N%r(al D!#-&$!a FND, es la constituida por con"unciones ásicas como

p∧q∧r∧∼r o por disyunciones de con"unciones ásicas como$

( p∧q∧r )∨ (∼r∧ s∧t )

, PRINCIPIOS Y ANTIPRINCIPIOS:

Q( Estando la función ásica compuesta por con"unciones o por disyunciones de variales, pueden darse estosdos casos$

3. !i la función ásica está compuesta por con"unciones, entonces es posile que una misma variale

aparezca afirmada y negada dentro de la misma función, con lo que se dar'a una "%&$rad!""!ó& o a&$!)r!&"!)!%del tipo$

x( p∧∼ p

4. !i la función ásica está compuesta por disyunciones, entonces puede suceder que una misma varialese repita con diferente signo dentro de la misma función, dándose en consecuencia una $a-$%l%a o )r!&"!)!% deltipo$

y( p∨∼ p

z( La presencia o ausencia de estos antiprincipios o principios constituyen el criterio para determinar la validez oinvalidez de un enunciado o inferencia.

la(

l0, PROCEDIMIENTO DECISORIO:

lc(8omo toda función proposicional -sea implicativa, equivalente, etc.( es reducile a estas dos formas normales,el procedimiento decisorio puede realizarse por cualquiera de ellas.

ld(Pr%"ed!(!e&$% )ara FNC: &ada una función proposicional, se reduce a su equivalente


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Lógica



lr( ∼ (∼ p∨q )∨∼ p∨q

ls(- !e elimina la negación que está delante del paréntesis aplicando &e 5organ

lt(

lu( ( p∧∼q )∨∼ p∨q

lv(- !e aplica la ley de distriución para otener la


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Lógica



mz( ∼ {[ ( p →q )∧ p ]→ q }

na(- !e eliminan los operadores condicionales aplicando implicación

n(

nc( ∼ { [ (∼ p∨q )∧ p ]∨q }

nd(- !e cancela la negación que está delante de la llave aplicando &e 5organ

ne(

nf( (∼ p∨q )∧ p∧∼q

ng(- !e aplica la ley de distriución para otener la


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Lógica



!i )edro es urgués, es propietario de los medios de producción social y emplea traa"oasalariado. Es urgués y propietario de los medios de producción social. Luego, )edro

emplea traa"o asalariado.

!i eres fiscal, eres aogado, si eres profesional, eres aogado. Luego, si eres fiscal eresprofesional.

!i eres cardiólogo, eres médico. !i eres médico, eres colegiado. Luego, si erescardiólogo, eres colegiado.

oc(

4. &etermine mediante el método areviado si las siguientes inferencias son válidas oinválidas.

!i las aguas del mar peruano se enfr'an o calientan excesivamente, entonces no sepodrá pescar anchoveta ni atún. o se puede pescar anchoveta ni atún. )or tanto, lasaguas del mar peruano se han enfriado se han enfriado o calentado excesivamente.

!i dos miemros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potenciapositiva, el signo de la desigualdad no camia. !i los dos miemros de una desigualdadson negativos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdadcamia. )or tanto, el signo de la desigualdad camia o no camia.

A la vitamina 2 no es requerida por el homre o es requerida por otros verterados. Lavitamina 2 no es hidrosolule o se almacenan en el h'gado. En consecuencia, lavitamina 2 no es hidrosolule ni antihemorrágica si es requerida por el homre.

od(

6.


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Lógica



'3" 0.

q p →

'4" 1.( ) r q p →∧

'l" #.

( ) p / r p −∴∧−

'$" %.

( )q p p ∧→

'&" 5.

r p →

'o" 6.

( )r p p ∧→

''" 7. -'

pq)

'r" 0.

sr −→

's" 1. p−

')" #.

r q∨

'*" %.

s / pq −∴↔

'v" 5.

( ) ( )q p pq →∧→

'+" 6.

( ) pq →

'," 7. - ( '" 8. r

'" 9. - s(a"(/"

:. &emuestre por la pruea directa -)&( y luego mediante la pruea por la reducción alasurdo -)92(

qc(

a( 3. p → q

( 4. ( p∨ r ) /∴q

c(

d( 3. p→ q

e( 4. p → r

f(6. q /∴ r

g(

h( 3. (q → p )∧ ( p → r )

i(4. r →q

"( 6. s → p /∴ s

(

l( 3. p→ q

m( 4. r → s

n( 6. p∨ r

o( :. q /∴ s

p(q(r(s(t(u(

;. &emuestre mediante la pruea condicional -)8($v(

a( 3. ( p∨q )∨ r

( 4. s → p

c( 6. t ∨q

d( :. s∨t /∴ r →q

e(

f( 3. q → p

g( 4. t ∨ s

h( 6.s →q /∴ ( p∨r ) →t

i(

"( 3. (r∨ s )∨ t

( 4. p→ t

l(6. p → s /∴r → s



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Lógica



m(

n( 3. p→ q

o( 4. q → r

p( 6. s∨t

q( :. r∨ s /∴ t → p

=.


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Lógica



g( [ ( p → q )∧ p ]→ q h( [ ( p → q )∧ ( q →r ) ]→ (r → p )

aa, UNIDAD III: LOGICA CUANTIFICACIONAL

1. EL CALCULO PREDICATIVO:

a0, La lógica de predicados llamada tamién Lógica8uantificacional, comienza distinguiendo dos clases detérminos$ los que representan individuos-gramaticalmente *su"etos+( y los que representanpropiedades -gramaticalmente *predicados+(.Lógicamente los llamaremos argumentos y predicadosrespectivamente, de acuerdo a este esquema$

ac(

ad(

ae(

af(

ag(

ah( El predicado determina al argumento y es consideradopor la lógica de predicados como una nota ocaracter'stica del su"eto.

*. CLASIFICACIÓN DE PROPOSICIONES PREDICATIVAS:

ai( Las proposiciones que intervienen en este nuevo tipo deinferencia son atómicas predicativas. &e acuerdo a lacantidad del su"eto pueden clasificarse en$

a. !ingulares$ el su"eto es un individuo.

a/, E/e()l%:

a( Este homre, Ruan.

. Iniversales$ el su"eto indica la totalidad de individuos.

al, E/e()l%:

am( /odos los homres.

c. )articulares$ el su"eto seala una parte de los individuos.

a&, E/e()l%:

ao( 2lgunos homres, ciertos compatriotas.

ap(

aq( La cantidad del su"eto en estas proposiciones introducenuevos elementos, los cuantificadores, representadospor los términos *todos+ y *algunos+. Estos nuevoselementos determinan cuantitativamente a susargumentos.

ar(a#, SIMBOLOS:

at( Los s'molos que introduce la Lógica de )redicadosson$

• Oariales individuales$ representan individuos indeterminados. !e emplean las últimas letras del alfaeto$ x, y, z, H.

• 8onstantes individuales$ representan individuos determinados. !e emplean las primeras letras del alfaeto$ a, , c,d, H.

• Oariales predicativas$ significan predicados indeterminados$ !e usan las letras mayúsculas$


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Lógica



au( (∀ ): cuanti!icador universal

av( (∃ ) :cuanti!icador existencial

aQ( Los s'molos ∀ y ∃ se l laman

cuantificadores. En el espacio vac'o que le sigue dentrodel paréntesis se colocan o ien variales individuales

como (∀ x ) y (∃ x ) , y entonces estamos enel ámito de la lógica de predicados de primer orden# o

ien, variales predicativas como (∀ 4 ) y

(∃ 4 ) situándonos, con esto, en el contexto de lalógica de predicados de segundo orden.

ax( La lógica cuantificacional aqu' desarrollada es de primer orden, pues los cuantificadores sólo tienen varialesindividuales.

a, Rela# de '%r(a"!ó& de 'ór(-la# 0!e& '%r(ale#:

3. 8ada variale predicativa segu'a de una o más constantes individuales es una proposición atómica. E"emplos$

- 4a

- Ga

- Dac

az(

4. 8ada proposición atómica afectada al menos por un operador es una proposición molecular. E"emplo$

- 4a∧:b

- 4a→ (:b∨ ;c )

- 4a∧:b∧ ;c

6. 8ada variale predicativa seguida de una o más variales individuales es una función proposicional atómica.E"emplo$

- 4x

- :xy

- ;xyz

a(

:. 8ada función proposicional atómica afectada al menos por un operador es una función proposicional molecular.E"emplo$

- 4x∧:y

- 4x → (:y∨ ;z )



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Lógica



- 4x∧:y∧ ;z

;. !on variales lires las variales que no son afectadas por algún cuantificador. E"emplo$

- 4x

- ( 4x →:y )∨ ;z

- 4x∧ (:y∧ ;z )

(

=. !on variales ligadas las variales ligadas por algún cuantificador. E"emplos$

- (∃

x ) 4x

- (∃ x ) (∃ y ) ( 4x∧:x )

- (∀ x ) (∀ y ) (∀ z ) [ ( 4x →:y )∨ ;z ]

c(

@. !on fórmulas cerradas las fórmulas que no contienen variales lires. E"emplos$

- (∃ x ) 4x

- (∃ x ) (∃ y ) ( 4x∧:x )

- (∀ x ) (∀ y ) (∀ z ) [ ( 4x →:x )∨ ;z ]

d(

>. !i sustituimos las variales lires de una función proposicional por constantes individuales otenemos unaproposición. E"emplos$

- 4x $ 4a

- :xy $ :ab

- ;xyz $ ;abc

e(

3. SIMBOLIQACIÓN DE PROPOSICIONES:

f( Ina proposición predicativa se simolizafuncionalmente invirtiendo el orden de sus elementos y,por razones operativas, se usa cualquier letramayúscula para los predicados y cualquier letraminúscula para las constantes individuales. E"emplo$

g( Ruan es universitario 2lerto escrie

h( a < G

i( !e simolizan respectivamente

"(


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Lógica



( Estas expresiones$


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Lógica



cf( 'lgún x noestudia⇒ (∃ x ) 4x

. LEYES DE INTERCAMBIO DE CUANTIFICADORES:

",

• (∀ x ) 4x⇔ (∃ x ) 4x

• (∃ x ) 4x⇔ (∀ x ) 4x

(∀ x ) 4x⇔ (∃ x ) 4x

(∃ x ) 4x⇔ (∀ x ) 4x

E/e()l%#:

• /odos son Lógicos.

• 2lgunos son lógicos.

• inguno es Lógico.

• 2lgunos no son Lógicos.

•

Rela:

• )ara intercamiar cuantificadores se suple uno con otro teniendo cuidado de camiar de signo tanto elcuantificador como a la función predicativa.

•

. SIMBOLIQACIÓN DE LAS PROPOSICIONES TRADICIONALES:

U&!er#al A'!r(a$!a A,:

• La proposición$

• /odos los leones son melenudos

• )uede representarse funcionalmente

• )ara todo x, si x es león, entonces x es melenudo

• -

x∀(


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Lógica



• -

x∃(


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Lógica



;. /odos los prolemas no son insolules.

=. /odas las mu"eres no son sinceras.

@. Las colegialas son románticas.

>. Las estrellas rillan.

B. Los timales y las campanas son instrumentos de percusión.

3C. Los f'sicos y los astrónomos son cient'ficos.

33. ingún payaso que sea equilirista es t'mido.

34. inguna mu"er indiscreta puede ser secretaria.

36. ingún


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Lógica



>. 2lgunos verterados no son mam'feros.B. ingún payaso que sea equilirista es t'mido.

3C. inguna mu"er indiscreta puede ser secretaria.33. ingún . /odas las muchachas son e

lÓgica-administración

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