HISTORIA DE LOS LOGARITMOS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 122 4 8 16 32 64 128 25

6512 1024 204

8409

6

•Los orígenes del descubrimiento, oinvención, de los logaritmos se remontanhasta los estudios de Arquímedes referidos ala comparación de las sucesiones aritméticascon las geométricas.•Para comprender tal comparación veamos, por ejemplo, las siguientes dos sucesiones:

•Esta comparación de dos sucesiones vuelve a aparecer en el siglo XVI en los trabajos de un matemático alemán, el suavo Miguel Stifel(1487-1567),

•Stífel entrega también laprimera tabla de sucesiones(aún no se llamaban logaritmos)que existe, aunque en forma muyrudimentaria

Miguel (Michel) Stifel

(1487-1567),

John Napier (1550-1617)

La invención de los logaritmos se debe al escocés JohnNapier o Neper (1550-1617), que no era matemático deprofesión, sino aficionado a esta materia. Es en su obraMirifici logarithmorum canonis descriptio cuandoaparece por primera vez este concepto.

En la época de Neper, y hasta la invención de lascalculadoras, los logaritmos se obtenían mediantecálculos complejos y los resultados se registraban entablas. Las primeras tablas de logaritmos decimalesfueron confeccionadas por Henry Briggs y tenían unaprecisión de 10 cifras decimales, mucho mayor que lanecesaria para la mayoría de los problemas reales.

Los logaritmos se hallan presentes en numerosassituaciones de la vida real y son una herramienta muyutilizada en contextos científicos.

Veamos unos ejemplos: Los astrónomos dividen las estrellas, según su grado

de luminosidad, en astros de primera magnitud, desegunda, de tercera, etc., asociándoles los términos deuna progresión aritmética: 1, 2, 3... Ahora bien, laluminosidad física de las estrellas (no la adjudicadapor los astrónomos) varía siguiendo una progresióngeométrica, de razón 2,5: 2,5, 2,52, 2,53... Observamosque la magnitud asociada a cada estrella por losastrónomos coincide con el logaritmo de suluminosidad física en base 2,5.

En el testamento de Benjamin Franklin, famosocientífico, éste donaba 1.000 libras a los habitantes deBoston, a condición de que se prestasen al 5% aartesanos jóvenes. Según Franklin, al cabo de 100 años,se habrían convertido en 131.000 libras.

Definición El Logarítmo de un número real positivo (x) en una base (b)

positivo y diferente de la unidad es el exponente real (y) al que se debe elevar la base (b) para obtener una potencia igual al número dado.Simbólicamente.

Donde:

La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 .

x tiene que ser un número positivo (x > 0).

n puede ser cualquier número

EJEMPLOS Siendo b la base, x el número e y el logarítmo.

De la definición de logaritmo podemos deducir:

log2 8 = 3 pues 2 3= 8.

log √ 10 = 1/2 pues 10 1/2 = √ 10

log1/216 = - 4 pues (1/2)-4 = 2 4 = 16

log 121 = 0 pues (12)0 = 1

log71/49 = -2 pues (7)- 2 = 1/49

log10 = 1 pues (10)1= 10

SISTEMAS DE LOGARITMOSLogaritmos Decimales :

Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.

Se representan por log (x).

Logaritmos Neperianos :

Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e.

Se representan por ln (x) o L(x).

PROPIEDAD FUNDAMENTAL

Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces :

.

PROPIEDADES GENERALES Los números negativos no tienen logaritmo en el

campo de los reales

El logaritmo de su base es 1. Así logbb = 1 ya

que b1 = b.

El logaritmo de 1 es cero independientemente de la base). Así logb1 = 0 ya que b0 = 1.

Si 0<A<1 entonces logbA es un logaritmo negativo

Identidades Logarítmicas

El logaritmo de un producto en una base dada, es igual a la suma de los logaritmos de los factores en esa misma base.

Ejemplo:

log5 (25 . 5) = log525 + log55 =log5 (25 . 5) = 2 + 1 = 3

log5125 = 3 pues53= 125

LOGARITMO DE UN COCIENTE El logaritmo de un cociente en una base dada, es

igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el del divisor.

log2(64: 16) = log264 - log216 = 6 - 4 = 2

log2 4 = 2

loga( m : n) = loga m – logan

LOGARITMO DE UNA POTENCIA El logaritmo de una potencia es igual al producto

del exponente por el logaritmo de la base.

Ejemplos:

a) log2 8 4 = 4 . log 2 8 =

a) log2 4096 = 12 pues 212 = 4096

loga b n = n. log a b

Logaritmo de una raíz El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el

logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

Ejemplos:

a) log2 √16

CAMBIO DE BASE

Ejemplo: