lo que 01 divisibilidad vamos a€¦ · de ecuaciones 1. ecuaciones 118 2. ecuaciones de primer...
TRANSCRIPT
01 DIVISIBILIDAD 1. Múltiplos y divisores de un número 12 2. Relación y criterios de divisibilidad 14 3. Números primos y compuestos 15 4. Descomposición factorial de un número 16 5. Máximo común divisor 18 6. Mínimo común múltiplo 19ACTIVIDADES 20
02 NÚMEROS ENTEROS 1. Números enteros 28 2. Suma y resta de números enteros 30 3. Multiplicación y división de números enteros 31 4. Potencias de números enteros. Operaciones 32 5. Raíces cuadradas exactas y enteras 35 6. Operaciones combinadas con números enteros 36 7. Números figurados. Números poligonales 37ACTIVIDADES 38
03 NÚMEROS FRACCIONARIOS 1. Números fraccionarios 46 2. Fracciones equivalentes 47 3. Representación, ordenación y comparación
de fracciones 48 4. Suma y resta de fracciones 50 5. Multiplicación y división de fracciones 51 6. Potencias de fracciones 52 7. Raíces de fracciones 53 8. Operaciones combinadas con fracciones 54ACTIVIDADES 56
LO QUE VAMOS A APRENDER
MATEMÁTICAS
PARA QUE LAS COSAS OCURRAN
10 TRIÁNGULO RECTÁNGULO. TEOREMA DE PITÁGORAS 1. Clasificación de triángulos 172 2. Teorema de Pitágoras 173 3. El teorema de Pitágoras y los polígonos regulares 175 4. Aplicaciones del teorema de Pitágoras 177ACTIVIDADES 178
08 FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS 1. Funciones. Variable dependiente e independiente 140 2. Características de las funciones 142 3. Interpretación y análisis de gráficas 147ACTIVIDADES 148
09 FUNCIONES ELEMENTALES 1. Funciones lineales 156 2. Funciones afines 158 3. Funciones cuadráticas 160 4. Funciones de proporcionalidad inversa 162 5. Aplicaciones de las funciones 163ACTIVIDADES 164
04 NÚMEROS DECIMALES 1. Representación y ordenación de números decimales 64 2. Expresión decimal de una fracción. Fracción generatriz 66 3. Aproximación de números decimales.
Errores. Notación científica 68 4. Operaciones con números decimales 70ACTIVIDADES 74
05 PROPORCIONALIDAD 1. Magnitudes directamente proporcionales 82 2. Magnitudes inversamente proporcionales 85 3. Proporcionalidad compuesta 86 4. Porcentajes. Aumentos y disminuciones
porcentuales: índice de variación 87 5. Repartos proporcionales 90ACTIVIDADES 92
06 LENGUAJE ALGEBRAICO 1. Expresiones algebraicas 100 2. Operaciones con monomios 102 3. Operaciones con polinomios 104ACTIVIDADES 110
07 ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 1. Ecuaciones 118 2. Ecuaciones de primer grado con una incógnita 120 3. Resolución de problemas mediante
ecuaciones de primer grado 123 4. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 125 5. Resolución de problemas mediante
ecuaciones de segundo grado 128 6. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 129 7. Resolución de problemas mediante
sistemas de ecuaciones lineales 131ACTIVIDADES 132
14 ESTADÍSTICA 1. Población y muestra 232 2. Tablas de frecuencias 233 3. Gráficos estadísticos 235 4. Parámetros de centralización 237 5. Parámetros de dispersión 238ACTIVIDADES 240
15 PROBABILIDAD 1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral 248 2. Sucesos. Tipos de sucesos 249 3. Frecuencia de un suceso 250 4. Probabilidad 251 5. Regla de Laplace 253 6. Diagrama de árbol 254ACTIVIDADES 256
11 SEMEJANZA. TEOREMA DE TALES 1. Clasificación de cuadriláteros 186 2. Razón y semejanza 187 3. Teorema de Tales 189 4. Semejanza de polígonos. Semejanza de triángulos 190 5. Perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 191 6. Aplicaciones: planos y mapas. Escalas 193ACTIVIDADES 194
12 GEOMETRÍA DEL ESPACIO. POLIEDROS 1. Poliedros 202 2. Poliedros regulares 203 3. Prismas 204 4. Paralelepípedos 206 5. Pirámides y troncos de pirámides 208ACTIVIDADES 210
13 CUERPOS DE REVOLUCIÓN 1. Cuerpos de revolución 218 2. Cilindro 219 3. Cono 220 4. Esfera 222ACTIVIDADES 224
02NÚ
MERO
S EN
TERO
S
LAS P
ERSO
NAS S
ON C
OMO
LOS
NÚME
ROS:
SOLO
ADQ
UIER
EN EL
VALO
R DE L
A
NAPO
LEÓN
BO
NAPA
RTE
¡EN C
LAVE
DE H
UMOR
!Vu
estro
inst
ituto
va
a or
gani
zar u
n ev
ento
mul
ticul
tura
l en
tre c
uyos
act
os h
ay p
rogr
amad
o un
o qu
e lle
va p
or
nom
bre
«Cur
iosid
ades
pol
igon
ales
». P
ara
parti
cipar
en
él, d
ebéi
s pr
epar
ar u
n m
onól
ogo
sobr
e lo
s nú
mer
os
polig
onal
es q
ue s
ea d
iver
tido
a la
par
que
ilus
trativ
o,
de m
odo
que
tras
vues
tra in
terv
enció
n lo
s as
isten
tes
se v
ayan
con
una
idea
cla
ra d
e es
te c
once
pto
y ha
yan
apre
ndid
o la
form
a de
con
segu
ir es
te ti
po d
e nú
mer
os.
EL JU
EGO
DE LA
S POT
ENCI
AS Y
LAS R
AÍCES
Con
idea
de
parti
cipar
en
la c
ampa
ña d
e re
cogi
da d
e ju
guet
es, h
abéi
s pe
nsad
o co
nstru
ir un
jueg
o de
mes
a. P
ara
ello
vai
s a
crea
r un
tabl
ero
con
30 c
asilla
s, e
n ca
da u
na d
e la
s cu
ales
esc
ribiré
is un
a po
tenc
ia o
una
raíz
de u
n nú
mer
o en
tero
. Los
ju
gado
res,
al c
aer e
n un
a ca
silla
, han
de
mov
erse
el
núm
ero
de p
uest
os q
ue in
diqu
e el
resu
ltado
. Cua
ndo
colo
quéi
s la
raíz
par d
e un
núm
ero
posit
ivo,
deb
éis
indi
car l
a ac
ción
que
corre
spon
de a
esa
cas
illa (a
vanc
e o
retro
ceso
), ya
que
la o
pera
ción
pued
e te
ner c
omo
resu
ltado
un
valo
r pos
itivo
o n
egat
ivo.
Sop
lad
el d
ado
y ¡q
ue e
mpi
ece
la p
artid
a!
26 | 27
INVE
STI
GAR
CO NO CER
¡FRÍO
FRÍO
! ¡CA
LIENT
E CAL
IENTE
!Un
a ag
encia
de
viaje
s qu
iere
pro
moc
iona
r la
vent
a de
pa
quet
es tu
rístic
os c
on d
estin
os in
tern
acio
nale
s. P
ara
atra
er a
futu
ros
clien
tes,
os
han
pedi
do q
ue s
eñal
éis
la d
ifere
ncia
ent
re la
tem
pera
tura
mín
ima
y m
áxim
a an
ual d
e di
ez c
apita
les
sobr
e un
gra
n m
apa
mun
dial
. A
cont
inua
ción,
deb
éis
com
para
r las
tem
pera
tura
s de
ca
da c
apita
l con
las
de la
nue
stra
. ¿Có
mo
afec
ta la
la
titud
a e
sas
dife
renc
ias?
¿Q
ué o
curre
con
ella
s al
co
mpa
rar a
mbo
s he
misf
erio
s? P
oned
en
com
ún lo
s tra
bajo
s de
los
dist
into
s gr
upos
de
la c
lase
en
un g
ran
map
a pa
ra o
frece
r a la
age
ncia
una
info
rmac
ión
glob
al. ¿
A dó
nde
irías
tú?
PRE
SEN
TAR
¡COR
RE C
ORRE
QUE
TE P
ILLO!
Os
prop
onem
os a
hora
la re
aliza
ción,
por
equ
ipos
, de
una
yinca
na m
atem
ática
que
con
sta
de d
os fa
ses:
la
prim
era
cons
iste
en re
copi
lar u
na b
ater
ía d
e cin
co
prob
lem
as c
uyas
sol
ucio
nes
sean
núm
eros
ent
eros
co
mpr
endi
dos
entre
–10
y 1
0. E
n la
seg
unda
juga
réis
por t
urno
s a
reso
lver
eso
s pr
oble
mas
de
form
a al
eato
ria. T
odos
los
equi
pos
empi
ezan
el j
uego
sit
uado
s a
la m
isma
dist
ancia
de
la m
eta.
Por
cad
a pr
oble
ma
resu
elto
con
sol
ució
n po
sitiv
a, e
l equ
ipo
al
que
le c
orre
spon
da e
l tur
no a
vanz
ará
hacia
la m
eta
dand
o ta
ntos
pas
os c
omo
indi
que
el n
úmer
o ob
teni
do,
mie
ntra
s qu
e, si
el r
esul
tado
es
nega
tivo,
dec
idirá
qu
é gr
upo
debe
retro
cede
r el n
úmer
o de
pas
os
corre
spon
dien
te. P
or c
ada
prob
lem
a m
al re
suel
to,
el e
quip
o en
jueg
o re
troce
derá
cin
co p
asos
. Gan
a el
equ
ipo
que
ante
s lle
gue
a la
met
a.
CREAR
28 | LAS PERSONAS SON COMO LOS NÚMEROS: SOLO ADQUIEREN EL VALOR DE LA POSICIÓN QUE OCUPAN
Los números enteros son números precedidos del signo «+» (positivo) o «–» (negativo). Se representan por la letra ℤ:
ℤ = {…, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, …}
Este conjunto de números está comprendido por:
• Los números enteros positivos, que son los números naturales, ℕ, precedi-
dos del signo «+»: ℤ+ = ℕ = {+1, +2, +3, …}
• El número cero, 0, que no es ni positivo ni negativo.
• Los números enteros negativos, que son los números naturales precedidos
del signo «–»: ℤ– = {…, –3, –2, –1}
Actividad resuelta
Indica cuándo utilizarías en las siguientes situaciones números enteros positivos y cuándo números negativos:
a. Temperatura. b. Años. c. Dinero.
a. Para expresar temperaturas que están por encima de los 0 ºC, se utilizan números enteros positivos, mientras que, si las temperaturas se hallan por debajo de los 0 ºC, se recurre a los números enteros negativos.
b. Para representar los años anteriores a la muerte de Cristo (a. C.), podrían emplearse los números enteros negativos; si los años son posteriores a ese momento (d. C.), se hace uso de los números enteros positivos.
c. Si se está en posesión de una cierta cantidad de dinero, esta se expresa con números en-teros positivos; por el contrario, si se debe dinero, se indica con números enteros negativos.
1.1 VALOR ABSOLUTO Y OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO
El valor absoluto, |a|, de un número entero, a, que se lee valor absoluto de a, es dicho número sin signo.
Así, por ejemplo, el valor absoluto de (–3) o (+3) es |–3| = |+3| = 3.
Dos números enteros se denominan opuestos si tienen el mismo valor absoluto, pero distinto signo.
En el ejemplo anterior, +3 y –3 son opuestos: op(+3)= –3, ya que |+3| = |–3| = 3
1 NÚMEROS ENTEROS
ObservaLos números enteros positivos suelen escribirse sin el signo «+» precediéndoles:
+7 = 7
RecuerdaTodos los números naturales son enteros, pero no todos los números enteros son naturales. Se dice, por tanto, que ℕ está contenido en ℤ.
–1
2 23
1
7 1000
264
36
–5
–16–3
–679–2
–9
–12–78
Actividad resuelta
Halla el valor absoluto y el opuesto según cada caso:
a. op(+28) c. |op(+12)|
b. |+9| d. op(|–10|)
Para calcular los opuestos, se cambia el signo existente, y, para calcular los va-lores absolutos, se quita el signo.
En el apartado c. primero se calcula el opuesto y luego el valor absoluto, mien-tras que en el apartado d. se procede de modo inverso.
a. op(+28) = –28
b. |+9| = 9
c. |op(+12)| = |–12| = 12
d. op(|–10|) = op(10) = –10
02 | NÚMEROS ENTEROS | 29
1.2 REPRESENTACIÓN Y ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROSLos números enteros se representan en la recta numérica mediante puntos equidistantes. En el centro se sitúa el cero, a su derecha se encuentran los nú-meros enteros positivos y a su izquierda los negativos.
–7 –3–4–5–6 0 +1
Enteros positivos
+2 +3 +4 +5 +6 +7–1
Enteros negativos
–2
Un número entero es mayor que otro número entero si está situado a su dere-cha en la recta numérica. Por el contrario, un número entero es menor que otro entero si se encuentra a su izquierda en la recta numérica.
De lo dicho se deducen las siguientes propiedades:
1 El cero es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier número positivo. En consecuencia, cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
–a < 0 < b
–7 < 0 < 4
2 Entre dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto, es decir, el que está más alejado del cero en la recta numérica.
+a > +b, si |+a| > |+b|
+7 > +4, porque |+7| > |+4|
3 Si se consideran dos números enteros negativos, será mayor el que tenga menor valor absoluto, es decir, el que esté más cerca del cero en la recta numérica.
–a > –b, si |–a| < |–b|
– 4 > –7, porque |– 4| < |–7|
Actividades resueltas
1 Compara los siguientes números:
a. 0 y – 4 c. –12 y –35 e. –51 y –22
b. +7 y +10 d. +8 y 0 f. +15 y –12
a. 0 > – 4, puesto que el cero es mayor que cualquier nú-mero negativo.
b. +7 < +10, ya que |+7| < |+10|
c. –12 > –35, ya que |–12| < |–35|
d. +8 > 0, dado que cualquier número positivo es mayor que el cero.
e. –51 < –22, ya que |–51| > |–22|
f. +15 > –12, puesto que cualquier número positivo es ma-yor que cualquier número negativo.
2 Ordena los números siguientes de menor a mayor y repre-séntalos en la recta numérica:
– 4, +7, 0, +10, –9, +8, –3
El número más pequeño será el número negativo de mayor va-lor absoluto y el mayor será el número positivo de mayor valor absoluto. De este modo, si se ordenan de menor a mayor:
–9 < – 4 < –3 < 0 < +7 < +8 < +10
Para representarlos en la recta numérica, se divide esta en partes que representen todos los números comprendidos en-tre –9 y +10 y se señalan con un punto los números pedidos:
0–3
–4
–9 +10
+8
+7
Ten en cuentaEn el ejemplo de la página anterior, ambos números, +3 y –3, están a la misma distancia del cero: +3 se encuentra 3 unidades a la derecha del cero, y –3, 3 unidades a la izquierda del cero.
De este modo, están situados a la misma distancia respecto del cero, distancia que es su valor absoluto.
–3–4 0 +1 +2 +3 +4–1
3 unidades 3 unidades
–2
30 | LAS PERSONAS SON COMO LOS NÚMEROS: SOLO ADQUIEREN EL VALOR DE LA POSICIÓN QUE OCUPAN
Cuando se suman o restan números enteros, se obtiene otro número entero.
Al realizar dichas operaciones, conviene simplificar las expresiones reduciendo
los paréntesis. A la hora de operar, hay que tener en cuentas estas condiciones:
• Si delante de un paréntesis hay un «+», se conserva el signo: +(– 4) = – 4
• Si delante de un paréntesis hay un «–», se cambia el signo: –(–4) = +4
Suma de dos números enteros Sumas y restas combinadas
Se pueden dar dos casos:
• Si son del mismo signo, se suman sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo común:
(+5) + (+4) = +9 (–4) + (–6) = –10
• Si son de distinto signo, se restan sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo del número con mayor valor absoluto:
(+6) + (–7) = –1 (–15) + (+17) = +2
Si hay una combinación de sumas y restas de varios números enteros, se puede proceder de uno de estos modos:
• Operando de izquierda a derecha:
6 + 4 – 2 + 1 – 7 = 10 – 2 + 1 – 7 =
= 8 + 1 – 7 = 9 – 7 = 2
• Agrupando los positivos y los negativos:
6 + 4 – 2 + 1 – 7 =
= 6 + 4 + 1 – 2 – 7 = 11 – 9 = 2
Resta de dos números enteros
Restar dos números enteros equivale a sumar al minuendo el opuesto del sustraendo:
(+3) – (+7) = +3 + op(+7) = +3 + (–7) = – 4
La suma y la resta de números enteros cumplen las siguientes propiedades:
Conmutativa Asociativa Elemento neutro
Elemento opuesto o simétrico
Suma a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = a op(a) = –a, tal que:
a + op(a) = 0 y a – op(a) = 2aResta a – b ≠ b – a (a – b) – c ≠ a – (b – c) a – 0 = a
Actividad resuelta
Enrique tiene ahorrados 35 €. Esta semana se propone comprarle un regalo de 20 € a un amigo, ir al cine, cuya entrada vale 9 €, y merendar en una cafetería, donde suele gastar 8 €. ¿Cuánto le tienen que adelantar sus padres de su paga semanal para que pueda hacer frente a todos los gastos?
Se identifican los datos: el dinero que recibe se representa mediante números enteros positivos y el que paga, con números enteros negativos:
• Positivos: 35 € ahorrados y el adelanto de la paga.
• Negativos: –20 € del regalo, –9 € del cine y –8 € de la cafetería.
Se realiza la operación combinada: 35 20 9 8– – –+ = +15 – 17 = –2
Así pues, le falta dinero, al ser el resultado negativo, –2 €, que son los que le tienen que adelantar sus padres.
2 SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
Actividad resuelta
Realiza la siguiente operación combi-nada con sumas y restas de números enteros:
–(– 6) + (–3) – (+9) + (+5)
Primero, se eliminan los paréntesis:
( ) ( ) ( ) ( )6 3 9 5– – – –+ + + + =
= +6 – 3 – 9 + 5
Ahora se puede proceder de dos formas:
• 1.er procedimiento: se opera de dos en dos (teniendo en cuenta si son en-teros del mismo o de distinto signo):
= 6 3 9 5– –+ + = +3 – 4 = –1
• 2.º procedimiento: se opera agru-pando, por un lado, los números po-sitivos y, por otro, los negativos:
= 6 5 3 9– –+ + = +11 – 12 = –1
02 | NÚMEROS ENTEROS | 31
Con los números enteros también es posible realizar las operaciones de multi-plicación y división.
• Para multiplicar números enteros, se multiplican sus valores absolutos y el signo del resultado será:
– Positivo, si los números son del mismo signo: (–22) · (– 4) = +88
– Negativo, si los números son de distinto signo: (+22) · (– 4) = –88
• Para dividir números enteros, se dividen sus valores absolutos y el signo del resultado será:
– Positivo, si los números son del mismo signo: (–93) : (–3) = +31
– Negativo, si los números son de distinto signo: (+93) : (–3) = –31
La multiplicación y la división de números enteros cumplen las siguientes pro-piedades:
Conmutativa Asociativa Elemento neutro Elemento absorbente
Multiplicación a · b = b · a (a · b) · c = a · (b · c) a · 1 = a a · 0 = 0
División a : b ≠ b : a (a : b) : c ≠ a : (b : c) a : 1 = a No se puede dividir por 0.
Distributiva respecto de la suma o la resta Extraer factor común (consecuencia de la propiedad distributiva)
Multiplicación a · (b ± c) = a · b ± a · c a · b ± a · c = a · (b ± c)
División a : (b ± c) ≠ a : b ± a · c a : b ± a : c ≠ a : (b ± c)
Actividades resueltas
1 Elena se gasta 36 € al mes en sus clases de cocina. En el mes de julio han dupli-cado las clases, doblando de este modo también la mensualidad. ¿Cuánto tendrá que pagar Elena en julio? ¿Es el resultado un número negativo o positivo?
Como es un gasto, se trataría de un número entero negativo: (–36) · 2 = –72
De este modo, Elena tendrá que pagar 72 € en el mes de julio.
2 Extrae factor común en la siguiente expresión y opera para simplificar el resultado: –15 + 20 + 5 – 35 + 100
Se descompone en factores para buscar el factor común:
–15 + 20 + 5 – 35 + 100 = –3 · 5 + 4 · 5 + 1 · 5 – 7 · 5 + 20 · 5 = 5 · (–3 + 4 + 1 – 7 + 20) = 5 · 15 = 75
Se identifica el factor común y se extrae. Para ello, se sitúa fuera del paréntesis dicho factor y se deja dentro el resto de los términos con sus signos correspondientes.
Se opera y simplifica el resultado.
3 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
RecuerdaRegla de los signos para la multiplicación y la división:
(+) · (+) = (+) (–) · (–) = (+)
(+) : (+) = (+) (–) : (–) = (+)
(+) · (–) = (–) (–) · (+) = (–)
(+) : (–) = (–) (–) : (+) = (–)
32 | LAS PERSONAS SON COMO LOS NÚMEROS: SOLO ADQUIEREN EL VALOR DE LA POSICIÓN QUE OCUPAN
4 POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS. OPERACIONES
Una potencia de exponente natural de un número entero equivale a multiplicar dicho número por sí mismo tantas veces como indique el exponente, y su signo depende del signo de la base.
Para calcular las potencias, se multiplican tanto los signos como el valor abso-
luto de la base.
Potencias de base positiva Potencias de base negativa
El resultado será siempre positivo:
(+3)2 = (+3) · (+3) = +32
El resultado será:
• Positivo cuando el exponente es par:
(–3)2 = (–3) · (–3) = +32
• Negativo si el exponente es impar:
(–3)3 = (–3) · (–3) · (–3) = –33
Veamos, a continuación, cómo se opera con potencias atendiendo a cómo son
sus bases y sus exponentes:
Operaciones con potencias
Multiplicación de potencias de la misma base División de potencias de la misma base
Es otra potencia con igual base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se multiplican:
am · an = am + n 54 · 53 = 54 + 3 = 57
Es otra potencia con igual base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se dividen:
am : an = am – n (–7)6 : (–7)2 = (–7)6 – 2 = (–7)4
Multiplicación de potencias de igual exponente División de potencias de igual exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es la multiplicación de las bases:
am · bm = (a · b)m 34 · 54 = (3 · 5)4 = 154
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es la división de las bases:
am : bm = (a : b)m 65 : 35 = (6 : 3)5 = 25
Potencias de potencia Potencias de exponente entero
Es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la multiplicación de los exponentes:
(am)n = am · n [(– 4)4]3 = (– 4)4 · 3 = (– 4)12
Toda potencia de exponente negativo se convierte en la inversa de la base, cuyo exponente será positivo:
a–m = a1m y
ba
ab–m m
=b cl m 3–7 = 317 y
35
53
625814 4–
= =c cm m
Potencias de exponente 1 Potencias de exponente 0
Toda potencia elevada a 1 equivale a la base sin el exponente:
a1 = a 71 = 7
Toda potencia elevada a 0 es igual a 1:
a0 = 1 30 = 1
Elementos de una potenciaBase: es el factor que se repite.
Exponente: es el número de veces que se multiplica la base.
n veces
a · … · a = an
02 | NÚMEROS ENTEROS | 33
Actividades resueltas
1 Demuestra las propiedades de las potencias con los siguientes ejemplos:
a. (–3)4 · (–3)2 = (–3)6 c. (–5)4 · (–7)4 = 354 e. [(–8)2]3 = (–8)6
b. (– 6)6 : (– 6)2 = (– 6)4 d. (–30)3 : (– 6)3 = 53 f. (–2)3 · (–2)5 : (–2)2 = (–2)6
a. Se descomponen las potencias y se suman los factores que se multiplican:
(–3)4 · (–3)2 = [(–3) · (–3) · (–3) · (–3)] · [(–3) · (–3)] = (–3)6
Es decir, multiplicar potencias de la misma base es otra potencia de la misma base, elevada a la suma de los exponentes de las potencias.
b. Se descomponen las potencias y se simplifican los fac- tores, con lo que se comprueba que dividir potencias de la misma base da como resultado otra potencia de igual base, elevada a la diferencia de los exponentes de las potencias:
(– 6)6 : (– 6)2 = ( ) · ( )
( ) · ( ) · ( ) · ( ) · ( ) · ( )6 6
6 6 6 6 6 6– –
– – – – – – =
= (– 6)4
c. Se descomponen las potencias y se reordenan los factores. Se verifica, de este modo, que multiplicar potencias del mismo exponente da como resultado otra potencia con di-cho exponente, cuya base es la multiplicación de las bases:
(–5)4 · (–7)4 =
= [(–5) · (–5) · (–5) · (– 5)] · [(–7) · (–7) · (–7) · (–7)] =
= [(–5) · (–7)] · [(–5) · (–7)] · [(–5) · (–7)] · [(–5) · (–7)] =
= [(–5) · (–7)]4 = 354
d. Se descomponen las potencias y se reordenan los elemen-tos:
(–30)3 : (– 6)3 = ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )6 6 6
30 30 30– · – · –
– · – · – =
= ( )( )
( )( )
( )( )
630
630
630
––
·––
·––
= 630–– 3
c m = 53
Así pues, el resultado de dividir potencias del mismo expo-nente es otra potencia con dicho exponente, cuya base es la división de las bases.
e. Se descomponen sucesivamente las potencias:
[(–8)2]3 = [(–8) · (–8)]3 =
= [(–8) · (–8)] · [(–8) · (–8)] · [(–8) · (–8)] = (–8)6
De este modo, una potencia de una potencia es otra po-tencia de la misma base que tiene como exponente el pro-ducto de los exponentes.
f. Se comprueba, utilizando la explicación de los apartados a. y b., que, si se combinan multiplicaciones y divisiones de potencias de la misma base, el resultado es una potencia con dicha base que tiene por exponente la suma o la resta de cada exponente si se trata de una multiplicación o de una división, respectivamente:
(–2)3 · (–2)5 : (–2)2 =
= ( ) ( )
[( ) · ( ) · ( )] · [( ) · ( ) · ( ) · ( ) · ( )]2 2
2 2 2 2 2 2 2 2– · –
– – – – – – – – = (–2)6
2 Demuestra que 54
452 2–
=c cm m mediante la siguiente operación: :54
543 5
c cm m
Se efectúa la operación aplicando las propiedades de las potencias de la misma base:
:54
54
54
543 5 3 5 2– –
= =c c c cm m m m
A continuación, se resuelve la expresión anterior descomponiendo las potencias y simplificando los factores:
:· ·· · :
· · · ·· · · ·
· ·· · ·
· · · ·· · · ·
54
54
5 5 54 4 4
5 5 5 5 54 4 4 4 4
5 5 54 4 4
4 4 4 4 45 5 5 5 53 5
= =c cm m =
= · · · · · · ·· · · · · · ·
5 5 5 4 4 4 4 44 4 4 5 5 5 5 5
= ·· ·
4 45 5
45
45
45 2
= = c m
De este modo, se demuestra que:
54
452 2–
=c cm m
34 | LAS PERSONAS SON COMO LOS NÚMEROS: SOLO ADQUIEREN EL VALOR DE LA POSICIÓN QUE OCUPAN
Actividades resueltas
1 Demuestra que a1 = a mediante la siguiente operación: (–2)3 : (–2)2
Primero se realiza la operación con las propiedades de las potencias y luego se opera descomponiendo las potencias:
(–2)3 : (–2)2 = (–2)3 – 2 = (–2)1
(–2)3 : (–2)2 = ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2
2 2 2– · –
– · – · – = (–2) ⇒ (–2)1 = (–2)
2 Demuestra que a0 = 1, mediante la siguiente operación: (– 4)3 : (– 4)3
Se realiza antes que nada la operación aplicando las pro-piedades de las potencias para, a continuación, operar des-componiendo las potencias:
(– 4)3 : (– 4)3 = (– 4)3 – 3 = (– 4)0
(– 4)3 : (– 4)3 = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )4 4 44 4 4
– · – · –– · – · –
= 1 ⇒ (– 4)0 = 1
3 Descompón 49 249 de forma polinómica.
Se descompone el número en forma aditiva y luego se escribe cada sumando utilizando una potencia de 10:
49 249 = 40 000 + 9 000 + 200 + 40 + 9 =
= 4 · 104 + 9 · 103 + 2 · 102 + 4 · 10 + 9
4 Resuelve la siguiente operación combinada con potencias:
(–5)7 · (+3)7 : [(+60)2 : (– 4)2]
Se resuelve el primer par de potencias antes que el corchete, cuyo contenido, al tener en común el exponente, se aborda operando con las bases:
( ) ( ) : [( ) : ( ) ]5 3 60 4– · –7 7 2 2+ + = (–15)7 : (–15)2 =
Como las potencias resultantes tienen la misma base y se trata de una división, se restan los exponentes:
= (–15)5
Desglosar la información
Un instituto integrado por un total de 1 000 profesores y alumnos se dispone a home-najear a su directora. La idea la tuvo uno de los profesores a las 9 de la mañana. Al cuarto de hora, este se la había transmitido a otras 5 personas del centro, cada una de las cuales se la comentó a otras 5 tras un nuevo cuarto de hora, y así sucesivamente. Al cabo de una hora y media, ¿cuántas personas estaban al tanto de la idea?
• Desglosamos la información paso a paso
Para facilitar el trabajo, conviene completar una tabla como la del margen.
Se podría proseguir así hasta las 10:30; sin embargo, si se analizan detalladamente los resultados, es posible llegar a un algoritmo que simplifica los cálculos.
• Traducimos al lenguaje matemático
Se empieza por expresar el proceso en potencias de base 5:
1 → 50
1 + 5 → 50 + 51
1 + 5 + (5 · 5) → 50 + 51 + 52
1 + 5 + (5 · 5) + (5 · 5 · 5) → 50 + 51 + 52 + 53
1 + 5 + (5 · 5) + (5 · 5 · 5) + (5 · 5 · 5 · 5) → 50 + 51 + 52 + 53 + 54
Como se puede ver, se trata de una suma de potencias de 5. Por tanto, al cabo de una hora y media habrán pasado 6 periodos de un cuarto de hora, es decir:
50 + 51 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = 19 531
Luego, las personas que estarían al tanto de la idea serían 19 531, muchas más de las que hay en el instituto.
Hora Periodo Personas que conocen la idea Total9 h 1 1
9:15 h 1 1 + 5 6
9:30 h 2 1 + 5 + (5 · 5) 31
9:45 h 3 1 + 5 + (5 · 5) + (5 · 5 · 5) 156
10 h 4 1 + 5 + (5 · 5) + (5 · 5 · 5) + (5 · 5 · 5 · 5) 781
10:15 h 5 …
10:30 h 6 …
02 | NÚMEROS ENTEROS | 35
Al elevar un número al cuadrado, se obtiene otro número que recibe el nombre
de cuadrado perfecto. Así, 16 es un cuadrado perfecto porque:
16 = (+4) · (+4) = (+4)2 16 = (– 4) · (– 4) = (– 4)2
RAÍZ CUADRADA EXACTA Y ENTERA
La raíz cuadrada exacta de un número, a, es otro número entero, b, tal que, si se eleva al cuadrado, se obtiene el número a:
a = ±b ⇔ a = (±b)2
Los números enteros positivos tienen dos raíces cuadradas, una positiva y
otra negativa. Así, por ejemplo: 256 = ±16, porque 162 = 256 y (–16)2 = 256
Los números enteros negativos no tienen raíz cuadrada. Por ejemplo, 25– no
existe, porque no hay ningún número que, elevado al cuadrado, tenga signo
negativo.
Una raíz cuadrada es entera cuando no es exacta, sino que tiene un resto:
a = ±b y resto r ⇔ a = (±b)2 + r
Con las raíces cuadradas se pueden efectuar las siguientes operaciones:
Multiplicación o división de raíces con el mismo índice
Es una raíz con el mismo índice y cuyo radicando es la multiplicación o división, respectivamente, de los radicandos.
a · b a · b=
a : b a : b=
·16 121 = 4 · 11 y 16 121 1936· = = 44
:100 4 = 10 : 2 = 5 y :100 4 25= = 5
Potencia de una raíz
Es una raíz del mismo índice y cuyo radicando queda elevado a dicha potencia. a a
b b=` j 93
` j = 33 = 27 y 9 7293 = = 27
RAÍZ ENÉSIMA
Se puede generalizar el concepto de raíz cuadrada a raíz de índice n:
La raíz enésima de un número, a, an , es otro número entero, b, que, elevado a la potencia n, da como resultado a; es decir:
an = b ⇔ a = bn
5 RAÍCES CUADRADAS EXACTAS Y ENTERAS
Elementos de una raíz Índice ↓
a bn = ↑ ↑ Radicando Raíz
Actividad resuelta
Calcula la siguiente raíz cuadrada en-tera: 136
Se procede a buscar el cuadrado per-fecto que más se aproxime al radicando sin excederlo:
112 = 121 < 136; 122 = 144 > 136
De este modo, 136 = 11, con resto 15, ya que:
136 – 112 = 136 – 121 = 15
Actividad resuelta
Calcula la siguinte raíz 1728–3 des-componiendo previamente el radi-cando en factores:
2 31728 – ·– 6 333 = =
= 2 2 3– · ·3 3 33 = –22 · 3 = –12
36 | LAS PERSONAS SON COMO LOS NÚMEROS: SOLO ADQUIEREN EL VALOR DE LA POSICIÓN QUE OCUPAN
Sin olvidar que las operaciones se realizan de izquierda a derecha, es preciso
respetar el siguiente orden:
1 Se resuelven las operaciones entre paréntesis y/o corchetes, del más interno
al más externo.
2 Se calculan las potencias y las raíces.
3 Se realizan las multiplicaciones y las divisiones.
4 Se efectúan las sumas y las restas.
Actividad resuelta
Realiza la siguiente operación con números enteros: –(+5) · [(–2) – (–6)] + 33 · 23 : 36
Cuando hay paréntesis y corchetes, se procede del interior al exterior:
–(+5) · [(–2) – (–6)] + 33 · 23 : 36 =
= –(+5) · [–2 + 6] + 33 · 23 : 36 =
Se realiza la operación con potencias de igual exponente y se calcula la raíz:
= –(+5) · [+4] + 33 · 23 : 36 = –(+5) · [+4] + 63 : 6 =
A continuación, se reducen las potencias con la misma base:
= –(+5) · [+4] + 62 =
Se calcula la potencia, se halla la multiplicación y, por último, se realizan las sumas y las restas:
= –(+5) · [+4] + 36 = –20 + 36 = +16
La calculadora y los números enterosUtiliza tu calculadora científica para realizar operaciones con números enteros. Dependiendo del tipo de calculadora científica, se emplearán las teclas de uno u otro modo. Fíjate en estos ejemplos:
Ejemplo Pantalla sencilla Pantalla descriptiva
Cambio de signo –8 8 +/– (–) 8
Potencias de números enteros
Potencias cuadradas 32 3 x 2
Resto de potencias 34 3 x y 4 o 3 ^ 4
Raíces de números enteros
Cuadradas y cúbicas ;6 53 6 ; 5 3 6; 3 5
Otros índices 243–5
243 +/– x 5 5 x (–) 243
243 +/– x y1
5 5 x y1
(–) 243
6 OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS
Jerarquía de operaciones[ ] ( )
· :
+ –
√ ↑
Realiza las siguientes operaciones con tu calculadora, indicando las teclas que has utilizado:
a. 5 – 6 · (–7) – (+9)
b. (–12)3 + (–44) : (–2)
c. –34 + (–12) – 529
d. 4 913 1024– – –3 5
e. –(– 678) : (– 6) · 225–
f. 34 · (– 4)4 : [9 – (–18) : (–2)]
• ¿De qué tipo es tu calculadora?
• ¿Has podido realizar todas las operaciones? ¿Qué error se produce en alguna de ellas? Explica qué indica la calculadora y dónde crees que reside el error.
02 | NÚMEROS ENTEROS | 37
Los números figurados son aquellos que pueden representarse por puntos equidistantes que forman figuras geométricas.
Cuando los números figurados dan lugar a un polígono regular, se denominan números poligonales, que se clasifican en números triangulares, cuadrados, pentagonales, etc., según los lados que tenga el polígono regular en cuestión.
Así, los números triangulares son aquellos que forman triángulos equilá- teros. Los primeros números triangulares son 1, 3, 6, 10, …
Construcción de los números triangularesVamos a construir números triangulares empleando plastilina y palillos.
Estos números se forman representando cada unidad con bolitas de plastilina, que se unen mediante palillos.
El primer número triangular está constituido por 1 bolita.
1
Para construir el siguiente número triangular, hay que añadir al anterior 2 bolitas y unir las 3 bolas con palillos.
3
El número triangular que viene a continuación necesita 3 bolitas más, que se unen con otros 4 palillos.
6
El próximo número triangular requiere 4 bolitas más unidas con 5 nuevos palillos.
10
• El 1 es el primer número triangular, si bien, por convenio, lo es también de cualquier otro tipo de número poligonal.
• Para formar cada nuevo número, se añade el siguiente número natural al incorporado anteriormente.
• El resto de número poligonales se construye de forma análoga.
7 NÚMEROS FIGURADOS. NÚMEROS POLIGONALES
Números poligonales en la Edad MediaLas referencias gráficas de los números poligonales se remontan a la Edad Media, como el manuscrito de Boecio, del siglo xv.
La siguiente imagen, perteneciente a otro manuscrito medieval, representa también números poligonales:
11 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 61 + 2 + 3 + 4 = 10
…
38 | LAS PERSONAS SON COMO LOS NÚMEROS: SOLO ADQUIEREN EL VALOR DE LA POSICIÓN QUE OCUPAN
ACTIVIDADES
02 NÚMEROS ENTEROS
1Números enteros
1 Expresa las siguientes situaciones como números enteros:
a. La pasada noche hubo 10 °C bajo cero.
b. Nos han marcado 3 goles.
c. La longitud del meridiano de Greenwich es de 0°.
d. Albert Einstein nació en el año 1879.
e. La fosa de las Marianas tiene una profundidad aproximada de 11 000 m.
f. El Mulhacén tiene una altura de 3 479 m.
g. Platón nació en el año 427 a. C.
h. Ana debía 6 € y paga 34 €.
i. Hay un coche aparcado en el segundo sótano.
2 Escribe los números enteros con los siguientes valores absolutos:
a. 7 b. 18 c. 29 d. 0
3 Ana afirma que un número que tiene mayor valor absoluto que otro es mayor que este. Luis asegura que no tiene razón, ya que eso no siempre ocurre. ¿Puedes explicar por qué Ana está equi-vocada?
4 ¿Qué número es igual que su opuesto? ¿Por qué?
5 Halla el opuesto de los siguientes números:
a. +6 e. –2 + 7
b. –28 f. – 4 – 6
c. +9 g. +9 – 14
d. – 4 h. +3 + 8
6 Representa los números propuestos en la recta numérica.
+7 –8 –2 +4 0 –1
7 Escribe todos los números enteros comprendidos entre estos pares de números enteros:
a. –7 y –2 c. 0 y +4
b. +1 y – 6 d. 0 y –9
8 Indica qué números enteros se representan en la siguiente recta numérica:
A C –124 DB
9 Representa en la recta numérica todos los números enteros cuyo valor absoluto sea mayor o igual que 3 y menor que 6.
02 | NÚMEROS ENTEROS | 39
2Suma y resta de números enteros
15 Realiza las siguientes sumas y restas de números enteros, elimi-nando previamente los paréntesis:
a. (+8) + (–15) e. (+29) + (–32)
b. (–56) – (–78) f. –(–120) + (+9)
c. (+99) – (–51) g. –(–76) – (+89)
d. –(+46) – (+77) h. (–34) + (–105)
16 Comprueba si las siguientes igualdades son ciertas:
a. (+17) + (– 41) = (– 41) + (+17)
b. (–16) – (+69) = (+69) – (–16)
c. (+ 4) + [(–7) + (–2)] = [(+ 4) + (–7)] + (–2)
d. (+ 4) – [(–7) – (–2)] = [(+ 4) – (–7)] – (–2)
¿Qué conclusiones obtienes sobre la propiedad conmutativa de sumas y restas de números enteros? ¿Y sobre la propiedad aso-ciativa de sumas y restas de números enteros?
17 Efectúa estas operaciones con sumas y restas:
a. (–12) + (+20) + (–33) + (– 4) + (+14) – (–19)
b. (+9) + (+673) + (–65) + (–89) + (–32) + (+7)
c. (–764) + (+78) + (–274) + (–2 563) – (–123)
d. (– 63) + (–21) + (+85) – (+95)
e. –(–213) – (+675) + (–536) – (+894) + (+29)
18 Resuelve estas operaciones combinadas de sumas y restas con números enteros:
a. –[(–32) + (– 49)] + [(+78) – (–28) – (–83)]
b. –(–23 + 28 – 183) – (29 – 284 + 274 – 32)
c. – 617 – (+352) – [(–323) – (–839)] + (+372)
d. [982 – (+284) + (–726)] – (274 – 482 + 27)
e. –[(+361) – (–273) + 562] + (–138 + 89)
f. [(+722) – (+938)] – [(–284) – (–273)] + [(–173) – (+26)]
19 Realiza las siguientes operaciones:
a. op(–3 + 7 – 9) + |+5| – op(|– 6 + 8|)
b. |928 – (+294) + 2| + (+123) + (–864)
c. +(–937) – (–524) – (+233) + op(+280)
d. |–(–271) + op(–23 – 163)| – |–62|
e. op[–(+273) + (–381)] – |283 – 833|
10 Ordena de mayor a menor los siguientes números:
a. –7 328 985, +8 692 638, +8 693 532, –7 238 408
b. – 67 753, +98 643, –76 842, +98 432, – 67 609
c. +8 827, –2 893, –2 372, +8 264, –2 921
d. +9 284, +9 237, –3 203, +9 258, –3 111
e. –72 374, –74 274, –47 274, –47 742, – 37 736
11 Sustituye la letra R por el signo adecuado: >, < o =, según proceda.
a. op(–3) R |–3| d. |+3| R |op(|–1|)|
b. |–7| R op[op(–5)] e. op(+4) R op(+12)
c. |+8| R |–10| f. |op(+7)| R op(|+7|)
12 La Tierra tiene una temperatura media de unos 15 °C. Esto se debe a las grandes diferencias térmicas existentes en las distin-tas regiones de nuestro planeta a lo largo de las estaciones.
Dividid la clase en cuatro grupos para buscar lugares con una determinada temperatura media.
• Por debajo de los 15 ºC.
• Entre 0 ºC y 15 ºC.
• Entre –15 ºC y 0 ºC.
• Por encima de los 15 ºC.
Recopilad toda la información en un mural e incluid en él foto-grafías de dichos lugares.
13 Angélica tiene 5 primos: Juan es 2 años menor que ella, Eva tiene 3 años menos que Iván, que es 4 años mayor que Angé-lica; Marina tiene 4 años menos que Angélica, y Raúl está entre Marina y Juan.
a. Indica sus edades mediante variaciones de números enteros, considerando que Angélica es el cero u origen.
b. Si Angélica tuviese 10 años, ¿qué edad tendría cada uno de sus primos?
14 Investiga en Internet cuál fue el origen de los números enteros y su evolución a lo largo de la historia. Organiza la información y realiza con ella una presentación para exponerla luego ante el resto de compañeros de la clase.
40 | LAS PERSONAS SON COMO LOS NÚMEROS: SOLO ADQUIEREN EL VALOR DE LA POSICIÓN QUE OCUPAN
25 Efectúa las operaciones propuestas.
a. (+12) · (– 4) e. [(–2) · (–3)] · (+5)
b. (– 4) · (+12) f. (–2) · [(–3) · (+5)]
c. (–20) : (–5) g. [(–90) : (–15)] : (+3)
d. (–5) : (–20) h. (–90) : [(–15) : (+3)]
Explica las conclusiones que obtienes con respecto a las propie-dades conmutativa y asociativa de la multiplicación y división de números enteros.
26 Calcula el resultado de las siguientes operaciones con multipli-caciones y divisiones de números enteros:
a. op[op(–12)] : |–3| d. op(+3) · op(–15)
b. +(–93) : (–3) · (–5) e. –(–10) : (–5) · (+9)
c. |(–7) · (–4) : (+2)| f. (–150) : 30 · (+16)
27 Una tienda tuvo 30 000 € de pérdidas el primer año de fun-cionamiento. El segundo año registró la mitad de estas pérdi-das. Finalmente, el tercer año obtuvo un beneficio que ascendió al triple de la suma de las pérdidas de los dos años anteriores. Indica con números enteros las situaciones financieras por las que ha pasado la tienda a lo largo de estos tres años.
28 Extrae factor común y opera.
a. 18 – 27 – 36 + 12 d. –242 + 726 – 66
b. 64 + 32 + 40 – 88 e. – 465 – 837 + 744
c. –75 – 35 + 55 – 5 f. 209 – 684 + 152
29 Efectúa estas operaciones extrayendo factor común:
a. (–8) · 3 – 8 · (–6) + 5 · (–8) + 8 · (+6)
b. –(–7) · (+12) + (–3) · 8 – (–24) · 15
c. (+16) · (–30) + 20 · 12 + (–24) · (–6)
d. (–25) · (– 4) + 20 · (–9) – 15 · 26
4Potencias de números enteros. Operaciones
30 Indica, sin realizar cálculo alguno, el signo de las siguientes po-tencias, atendiendo a la paridad de su exponente:
a. (–345)13 · (–820)76 c. (–579)24 · (–314)12
b. (– 472)99 · (–9 527)67 d. (–123)16 · (–74)71
20 Halla la altura total de la montaña representada en el dibujo. Indícala como operación de números enteros y resuélvela.
3Multiplicación y división de números enteros
21 En la antigüedad, los chinos no utilizaban el signo «–» para representar los números negativos, sino que escribían estos en color rojo para diferenciarlos de los positivos, que se escribían en negro. De este hecho viene la expresión «números rojos», que se utiliza cuando una persona, empresa o institución deben dinero, es decir, cuando su saldo es un número negativo.
Sin efectuar las operaciones, escribe de color rojo las que vayan a tener signo negativo y en negro aquellas que vayan a ser po-sitivas.
a. (– 4) · 3 · (+15) d. (+50) : (+2) · (– 4)
b. –(–5) · (+6) · (–3) e. –150 : 3 : (–5)
c. (+5) · (–7) · (–3) f. –(+8) : (–2) · (+6)
22 Realiza las operaciones de la actividad anterior y comprueba los signos que indicaste.
23 Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones de números enteros:
a. (–5) · (+7) · (–2) e. –(+2) · (+28) · 8
b. –(–3) · 9 · (+2) f. 50 · (+3) · (–21)
c. (–75) : (+5) g. –(+42) : (+7)
d. –(–30) : (+2) h. 50 : (+10)
24 Efectúa las siguientes operaciones combinadas de multiplicacio-nes y divisiones de números enteros:
a. (–255) : (–3) · (+ 46) · (– 6) : (–12)
b. –(–18) · 9 : (+2) · (– 60) : (+15)
c. (–891) · (+ 48) : (+11) : (–27) · (–3)
d. (–372) · (+20) : (+15) : (–8) · (–23)
02 | NÚMEROS ENTEROS | 41
37 Escribe las siguientes unidades de medida astronómicas usando potencias de 10:
1 año luz ≈ 9 461 000 000 000 km
1 unidad astronómica ≈ 150 000 000 km
a. 630 UA c. 2 690 UA
b. 5 años luz d. 40 años luz
38 Descompón estos números de forma polinómica:
a. –837 284 d. –183 283 181
b. 10 382 037 e. 90 273 282
c. 29 247 927 f. –280 209 230
39 Realiza las siguientes operaciones combinadas con potencias de números enteros y establece el resultado con ayuda de la calculadora:
a. (–3)9 : (–3)7 + (+8)5 : (–2)5 – (22)4
b. (– 45)4 : (+9)4 : (–5)2 + [(–3)2]3 : (–3)4
c. [(–10)2]3 : [(–2)3 · (–2)2 · (–2)] : (+5)3
d. (–27)3 · (–27)6 : (–27)5 + 93 · (–8)3
e. (–12)3 : 43 · [(–3)2]3 : [362 : (–12)2]
40 Escribe en forma de potencia única las expresiones propues-tas, utilizando las propiedades de las potencias.
a. ·
· · ( ) ·5 3
5 3 5 32
2 7 2 3 2–
b. ( ) ·
( ) · ( ) · ( )10 15
3 5 2–– –
3 2
5 3 7 2 3 3
c. · ·· ·
20 30 210 18 40
2 3 3
3 3 2
d. · ( ) ·
( ) · ( ) · ( )150 112 363132 225 147
–– – –
3 2
4 3
5Raíces cuadradas exactas y enteras
41 Señala si las siguientes raíces cuadradas son exactas o enteras y calcula su valor, indicando el resto en el caso de que sean enteras:
a. 232 g. 674 m. 199
b. 400 h. 412 n. 900
c. 196 i. 933 ñ. 169
d. 121 j. 457 o. 371
e. 324 k. 763 p. 64
f. 456 l. 961 q. 628
31 Una casa tiene 3 dormitorios en cada una de sus 3 plantas; cada dormitorio dispone de 3 camas, y en cada cama hay 3 cojines. ¿Cuántos cojines hay en toda la casa? Indícalo mediante una potencia.
32 Calcula las siguientes operaciones con potencias de números enteros, expresándolas previamente en forma de potencia única:
a. (–3)2 · (–3)3 e. (–5)30 : (–5)27 · (–5)2
b. (+12)30 : (+12)30 f. (+4)8 : (+4)7 · (+4)2
c. (+3)14 : (+3)10 g. (–7)15 · (–7)3 : (–7)16
d. (+10)4 · (+10)3 h. (–2)2 · (–2)3 · (–2)
33 Expresa, como potencia única, el resultado de las siguientes operaciones con potencias de números enteros:
a. (+8)5 · (–7)5 e. (– 4)2 · (–5)2 · (+3)2
b. (+27)6 : (–3)6 f. (+14)8 : (+7)8 · (+2)8
c. (+84)2 : (–12)2 g. (–8)9 · (+9)9 : (+6)9
d. (–10)3 · (–50)3 h. (–18)7 : (–9)7 · (– 6)7
34 Escribe estas potencias de potencia como potencia única y halla su valor con la ayuda de la calculadora:
a. [(–5)2]3 d. [(+3)2]4
b. [(+8)2]2 e. [(–2)3]3
c. [(–10)4]3 f. [(+100)2]2
35 Efectúa las siguientes operaciones con potencias en las que aparecen exponentes enteros:
a. (–5)–2 · (–5)3 e. (+60)–2 : (+10)–2 · 64
b. (–2)2 : (–2)–3 f. (–8)–3 : (–8)–3
c. [(–3)–2]–2 g. (– 4)– 6 · (– 4)10 : (– 4)3
d. [(+17)–1]–2 h. (–2)6 · (–2)6 · (+4)–2
36 Reduce a potencia única las siguientes expresiones y halla su valor con ayuda de la calculadora:
a. (–2)3 · [(–2)4]3 d. (33)5 : (32 · 34 · 3)
b. 83 · (–15)3 : 63 e. (123)2 : (613 : 67)
c. 58 : 52 · (– 6)6 f. 106 : (22)3 · 5–3
42 | LAS PERSONAS SON COMO LOS NÚMEROS: SOLO ADQUIEREN EL VALOR DE LA POSICIÓN QUE OCUPAN
6Operaciones combinadas con números enteros
48 Resuelve las siguientes operaciones combinadas con números enteros:
a. (–5) · (+7) – (–3) · (+10)
b. – 6 + 2 · [9 + 2 · (–3)]
c. (+ 4) – (–8) : 2 – (–9 + 13)
d. 15 – (–3) · [– 6 : (–2)]
e. 18 : (–6) + 9 · (– 4) + 47 – 5 · (–3)
f. (–33) : 11 + (–27) : 3 – (–5) · 4
g. (39 – 9 · 6) + (–30) : (–15) · (– 43)
h. 4 – (93 – 194) – 105 : (–15) – (–3)
49 Organizad grupos en clase y reunid diferentes tipos de calcula-doras. Con ellas realizad las siguientes operaciones, anotando en el cuaderno la secuencia de teclas que utilizáis:
a. –3 – 5 e. (–35)2 i. 4 9133
b. 5 · (–15) f. (–8)5 j. 729–6
c. (–27) : (–3) g. 225 k. 6254
d. (–12) · (+3) : 9 h. 3844 l. 2187–7
50 Amelia es propietaria de una tienda de electrodomésticos. Esta semana ha vendido una lavadora por 347 €, un frigorífico por 529 € y una televisión de 359 €. Pero también ha tenido que hacer frente a ciertos gastos, como 823 € de impuestos y 560 € por el transporte de los artículos. Al final de la semana, ¿el balance ha sido positivo o negativo? Indica el problema con una operación combinada y resuélvelo.
51 En un concurso de televisión, los participantes ganan 100 € por cada respuesta acertada y pierden 30 € por cada respuesta incorrecta. Carmen ha acertado 12 preguntas y fallado 8, Laura se ha equivocado en 15 y ha contestado bien 5, e Inés ha fallado 6 y acertado 14. ¿Cuánto dinero ganará cada una de las concur-santes? Escríbelo mediante operaciones combinadas.
52 Resuelve la siguiente situación mediante una operación combi-nada:
Ramón compra 18 kg de naranjas. Le da 3 kg a su madre y su hermana recibe el doble de esta. Los kilos que quedan los re-parte a partes iguales entre sus tres hijos. ¿Cuántos kilos recibe cada hijo?
42 Opera con las siguientes raíces cuadradas exactas utilizando la descomposición factorial:
a. 1296 e. 676 i. 129600
b. 1600 f. 1225 j. 7056
c. 9801 g. 729 k. 67600
d. 5625 h. 24 336 l. 81225
43 Realiza estas raíces con ayuda de la descomposición factorial:
a. 125–3 d. 2435 g. 10245
b. 2564 e. 2163 h. 1331–3
c. 64–4 f. 625–4 i. 12964
44 Efectúa estas raíces utilizando la descomposición factorial si fuera necesario:
a. 2744–3 d. 5832–3 g. 166375–3
b. 21973 e. 100004 h. 207364
c. 24014 f. 7776–5 i. 59049–5
45 Resuelve las siguientes operaciones con raíces cuadradas:
a. 53 4` j f. : · :3024 21 18 2` `j j
b. 24
` j g. · :288 648 144
c. · ·6 8 3 h. · : ·90 40 9 25` `j j
d. : ·75 3 16 i. · ·201 30 105
e. · ·15 45 3 j. · ·156 1248 288
46 Halla estas longitudes:
a. La arista de un cubo cuyo volumen es de 1 331 cm3.
b. El lado de un cuadrado de 1 444 cm2 de superficie.
47 Efectúa las siguientes operaciones con raíces utilizando la des-composición factorial:
a. 4916 225
25–+
b. 125
3281–3
5
+
c. ·125
16 8–
3
3
d. ·16964
34364
3
+
02 | NÚMEROS ENTEROS | 43
57 Construye los 6 primeros números cuadrados en tu cuaderno del mismo modo que se han construido los triangulares. Utiliza las siguientes representaciones como ayuda:
58 Copia esta tabla en tu cuaderno y complétala con los 10 pri- meros números cuadrados (Cn) y los 10 primeros números trian-gulares (Tn), donde n es el lugar que ocupan:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Cn 1 4
Tn 1 3
Averigua qué ocurre al sumar dos números triangulares conse-cutivos.
59 Con ayuda de las siguientes figuras construye los 5 primeros números pentagonales y los 5 primeros hexagonales:
Números pentagonales
Números hexagonales
¿Qué sumas componen los números pentagonales? ¿Y los hexa-gonales?
60 Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala con los 8 primeros números pentagonales (Pn) y hexagonales (Hn), donde n es el lugar que ocupan:
n 1 2 3 4 5 6 7 8
Pn 1
Hn 1
61 Compara los números triangulares con los hexagonales y de-termina qué relación existe entre ellos.
n 1 2 3 4 5 6 7 8
Tn 1
Hn 1
62 Escribe la sucesión de los seis primeros números heptago-nales y de los octogonales.
53 Una línea de autobús realiza un trayecto con cinco paradas. En el último viaje se subieron 5 personas en la primera parada. En la segunda montaron 10 y bajaron 3. En la tercera parada subió el doble de los viajeros que se apearon en la parada anterior y bajaron 5. En la cuarta parada se montaron 12 personas y se apeó la mitad de este número. ¿Con cuántos viajeros llegará el autobús a la quinta parada, que es el final del trayecto? Expré-salo en forma de operación combinada y calcula el resultado.
54 Efectúa las siguientes operaciones combinadas de números enteros:
a. 23 · 53 + 196 – (– 4) · (–5) + (–34 + 12)
b. 8 : (–2) · (–3)2 – (–7) · (–12) : 6 – 3
c. (32)3 : 32 · (– 4) + (–19 – 7 + 53) · (–2)
d. 8–3 : 8–7 : (23)3 – 43 : 23
e. 42 : (–2)2 + 53 : 5 – ·18 2
55 Escribe paréntesis, si es necesario, para que las siguientes igualdades sean ciertas:
a. (– 6) · 3 – (–9) = –72
b. (+20) : (–5) + 1 = –5
c. 3 · 4 – 6 · 5 = –30
d. (– 4) + 3 · (– 6) – 12 : (– 4) – 2 = 5
e. 17 – 3 : (–7) · 2 – 122 : 32 · 22 = –8
7Números figurados. Números poligonales
56 Para formar los números triangulares, se suman números naturales consecutivos:
1 = 1; 3 = 1 + 2; 6 = 1 + 2 + 3; …
¿De qué números están compuestas las sumas de los números cuadrados?